Sujets Des Concours Doctorat en Electromécanique - Eloued 2022 - 2 [PDF]

Zitiervorschau

‫ﺠﺎﻤﻌﺔ اﻟﺸﻬﯿد ﺤﻤﺔ ﻟﺨﻀر �ﺎﻟوادي‬ Université Echahid Hamma Lakhdar d’Eloued Faculté :

Technologie

Département :

Spécialité :

‫اﻟﺘﻛﻨوﻟوﺠ�ﺎ‬

Génie mécanique

‫اﻟﻬﻨدﺴﺔ اﻟﻤ�كﺎﻨ�ك�ﺔ‬

2022/2021 ‫ ل م د‬،‫ﻣﺴﺎﺑﻘﺔ اﻟﺪﺧﻮل ﻟﺪﻛﺘﻮراﻩ اﻟﻄﻮر اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ Concours d’accès au doctorat 3e cycle, LMD 2021/2022 Electromécanique /‫ﻛﮭروﻣﯾﻛﺎﻧﯾك‬ Variante :

Epreuve :

Systèmes Asservis

‫ﺳﺎﻋﺔ وﻧﺻف‬ 10/03/2022

Durée : Date :

:‫اﻟﺧﯾﺎر رﻗم‬

2

:‫ اﻟﻣدة‬Coefficient : :‫ اﻟﺗﺎرﯾﺦ‬Heure :

01 13:00

:‫كﻠ�ﺔ‬ :‫ﻗﺴم‬

:‫اﻻﺧﺗﺻﺎص‬

:‫اﺧﺗﺑﺎر‬

:‫اﻟﻣﻌﺎﻣل‬ :‫اﻟﺗوﻗﯾت‬

Exercice 1 : (6 Pts) Soit le système de la figure ci-dessous où K est un gain variable. E ( p)

+

K

-

(

1 2

)

S ( p)

p ⋅ p + 2 ⋅ p +1



Calculer la fonction de transfert de ce système en boucle ouverte (FTBO).



Calculer la fonction de transfert de ce système en boucle fermée (FTBF).



Donner l’ordre et le gain statique K ' correspondants.

Exercice 2 : (7 Pts) Soit le schéma fonctionnel suivant :

a) Simplifier le schéma fonctionnel ci-dessous afin d’obtenir une fonction de transfert en boucle fermée 𝑺𝑺(𝑷𝑷)

𝑭𝑭(𝑷𝑷) = 𝑬𝑬(𝑷𝑷).

* En posant que

A1 .A2 .A3 =K ; A1 .A2.B1 = P2 ;

2/1

A2.A3.B2 = 3.6 P – 1 ;

a.1) Relevez son équation caractéristique. a.2) En utilisant le critère de Routh ; discutez la stabilité du système d’après les valeurs du gain « K». b) On remplace K= 36 . Relevez les valeurs de la pulsation naturelle « 𝝎𝝎𝒏𝒏 » et du coefficient d’amortissement « ξ » de cette fonction de transfert puis calculez le temps de pic « tp » lorsque le système est sujet à une entrée échelon .

Exercice 3 : (7 Pts) On considère le montage électrique représenté sur la figure suivante. On injecte dans ce système un signal d’entrée e(t) correspondant à un échelon de tension de 0 à 5 V.

1.

Déterminer l’équation différentielle qui lie e(t) à la tension de sortie s(t).

2.

Trouver la transformée de Laplace

3.

Déduire la fonction de transfert du système.

2/2

EXERCICE 1 : (6 Pts) Soit le système de la figure où K est un gain variable.

E ( p)

+

(

K

1 2

S ( p)

)

p ⋅ p + 2 ⋅ p +1

-



Calculer la fonction de transfert de ce système en boucle ouverte (FTBO).



Calculer la fonction de transfert de ce système en boucle fermée (FTBF). Donner l’ordre et le gain statique K ' correspondants.

Solution 

La fonction de transfert en boucle fermée FTBO ( p ) =



Sur retour unitaire : FTBF ( p ) =

Si on pose : FTBO ( p ) =

(

K 2

)

p ⋅ p + 2 ⋅ p +1

FTBO ( p ) 1 + FTBO ( p )

2

0.5

N FTBO ( p ) , Alors, sur retour unitaire : DFTBO ( p ) FTBF ( p ) =

FTBF ( p ) =

Soit sous forme canonique : FTBF ( p ) =



Le système est de l’ordre n = 3.



Gain statique K’=1/K ; K ' = 1

N FTBO ( p ) ⇒ N FTBO ( p ) + DFTBO ( p ) 3

K

1.5

2

p + 2⋅ p + p + K 1 1 3 2 2 1   p +   ⋅ p +   p +1 K K K 0.5 0.5

1

Exercice2 (7 Pts) a.)- D’après la règle de simplification de vient :

0.25

Puis

0.25

Enfin

0.25

0.25

a)-La discution de la stabilité du systeme d’après la valeur de K : Remplaçant : 𝐹𝐹(𝑠𝑠) =

𝑆𝑆(𝑠𝑠) 𝐾𝐾 = 2 𝐸𝐸(𝑠𝑠) 𝑃𝑃 + 3.6 𝑃𝑃 + 𝐾𝐾

1. 5

a.1)- D’après le critére de Routh ; on a l’équation caractéristique. : 𝑃𝑃2 + 3.6 𝑃𝑃 + 𝐾𝐾

0. 5

a.2)- Dressons le tableau de Routh : 1

K

3.6

0

0. 5

K

Le système est stable dans le cas ou K > 0

𝐾𝐾 > 0

0. 5

b)- déduire les valeurs de la pulsation naturelle 𝝎𝝎𝒏𝒏 et du coefficient d’amortissement Avec la valeur K=36 et en comparant avec l’expression du 2eme degré 𝐹𝐹(𝑃𝑃) =

𝑆𝑆(𝑃𝑃) 𝐾𝐾 = 1 2 2𝜉𝜉 𝐸𝐸(𝑃𝑃) 𝑃𝑃 + 𝜔𝜔 𝑃𝑃 + 1 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 𝑛𝑛

𝐹𝐹(𝑃𝑃) =

*la pulsation naturelle 𝜔𝜔𝑛𝑛 = 6 𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠

*le coefficient d’amortissement 𝜉𝜉 = 0.3 *Temps de Pic

𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 =

𝜋𝜋

𝜔𝜔𝑝𝑝

= 0.5489 s

36 𝑆𝑆(𝑃𝑃) = 2 𝐸𝐸(𝑃𝑃) 𝑃𝑃 + 3.6 𝑃𝑃 + 36

ξ

0. 5

0. 5

0. 5

0. 5

0. 5

La pulsation amortie est donnée par

𝜔𝜔𝑝𝑝 = 𝜔𝜔𝑛𝑛 �1 − 𝜉𝜉 2 =5.7236 rd/s

0. 5

Exercice 3: (7 Pts) 1. Appelons A le point commun aux deux résistances et vA(t) la tension en ce point. Nommons les courants dans les différentes branches du circuit et appliquons la loi des nœuds au point A : A 0.5

𝑒𝑒(𝑡𝑡)−𝑣𝑣𝐴𝐴 (𝑡𝑡) 𝑅𝑅

= 𝐶𝐶

𝑑𝑑𝑣𝑣𝐴𝐴 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑

+

𝑣𝑣𝐴𝐴 (𝑡𝑡)−𝑠𝑠(𝑡𝑡)

0.75

(1)

𝑅𝑅

Le courant i1(t) circulant dans le deuxième condensateur, on peut écrire alors : 𝐶𝐶

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑

=

𝑣𝑣𝐴𝐴 (𝑡𝑡)−𝑠𝑠(𝑡𝑡)

0.75

(2)

𝑅𝑅

Tirons de cette équation l’expression de la tension vA(t) et remplaçons celle-ci dans la première équation : 𝑣𝑣𝐴𝐴 (𝑡𝑡) = 𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 𝑅𝑅𝑅𝑅

Remplaçant (3) en (1) en obtient : 𝑒𝑒(𝑡𝑡) − 𝑅𝑅𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)

− 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2

𝑑𝑑2 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 2

On obtient ainsi l’équation différentielle qui lie s(t) à e(t) : 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2

2. La transformée de Laplace :

𝑑𝑑2 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 2

+ 3𝑅𝑅𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 2𝑅𝑅𝑅𝑅

+ 𝑠𝑠(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑2 𝑠𝑠(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) + 3𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑠𝑠(𝑡𝑡)) 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐸𝐸(𝑃𝑃) = 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2 𝐶𝐶𝐶𝐶2 𝑆𝑆(𝑃𝑃) + 3𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑃𝑃) + 𝑆𝑆(𝑃𝑃) 3. La fonction de transfert est donc : 𝑆𝑆(𝑃𝑃) 1 G(P) = = 2 2 2 𝐸𝐸(𝑃𝑃) 𝑅𝑅 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 3𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 + 1 ℒ(𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2

0.75

(3)

𝑑𝑑𝑑𝑑

0.75

(4)

(5)

1.5

1

1