Sujet 13 Blanc - Aljabr2020 [PDF]

Zitiervorschau

Académie Régionale de l'Education et de la Formation Fès-Meknès

DEVOIRALJABR SURVEILLE BLANC 2020

Groupe Scolaire Aljabr Matière

Mathématiques

Niveau

2ème Bac SM

Durée Coefficient

2h 9

1 Exercice 1 soit m un complexe non nul on considère dans

Partie I l'équation  E  : 2 z 2  2  m  1  i  z  m 2  1  i  m  i  0

1 vérifier que le discriminant de (𝐸) est Δ  (2mi) 2 2 résoudre dans

l ′ équation (𝐸)

3 déterminer les valeurs possibles de m pour que l'une des solutions soit nulle Partie II Dans la suite on suppose que m   1, 1, i, i,0 Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct  O, u , v  on considère les points

A 1 , B  i  , M  m  , M 1  z1  , M 2  z2  tels que les triangles  AMM 2  et  BMM 1  soient rectangles isocèles avec

 M M , M B    M A, M M   2 2  1

1

2

2

1 i 1 i  m  1 et z2   m  i  (on pourra appliquer l'expression 2 2 complexe d'une rotation)

1) Montrer que z1 

2) Vérifier que

 OM1M 2 

z2 mi en déduire la forme exponentielle de 𝑚 pour que le triangle i z1 m 1

soit un triangle équilatère direct

  1 i  3) Montrer que M 2 est l'image de M 1 par la rotation de centre Ω   et d'angle 2  2  z2  m m 1  i en déduire l'ensemble des points M  m  pour que z1  m mi z 2  zΩ  1 i  i ) Ω  , M , M 1, M 2 soient cocycliques ( utiliser z1  zΩ  2 

4) Vérifier que

Exercice 2 on définit sur

une loi de composition interne * par   a, b, x, y   4 :  a  ib  * x  iy   ax  i  b  y 

1) montrer que * est commutative et associative dans Groupe Scolaire Aljabr

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Prof : Bouayoun

2) montrer que * admet un élément neutre que l'on déterminera 3) soit  a, b  

*



montrer que a  ib est symétrisable dans



, * et son symétrique est

1  ib a 4) soit E  {z  C / Re  z   0} montrer que  E , * est un groupe commutatif 5) soit H   x  i  ln  x  / x 

*

 montrer que  H ,*

est un sous groupe de  E , *

6) on définit dans E la loi de composition interne T par pour chaque  a, x  ]0,   2 et pour chaque  b, y  

2

: on pose

 a  ib  T  x  iy   xba y   by  ln  a  ln  x   i montrer que T est commutative et distributive par rapport à ∗ dans 𝐸 7) On considère l'application

f :

 E x  iy e y  i.x *

a) montrer que f est un morphisme de b) montrer que f

   E  1



*

,  vers  E , T 

*

8) Déduire que  E , *, T  est un corps commutatif Exercice 3 Partie I soit 𝑝 un nombre premier tel que 𝑝 > 3 on suppose 𝑞𝑢′ il existe deux entiers a, b premiers entre eux tels que 𝑝/𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 1) montrer que 𝑝 ∧ 𝑎 = 1 et 𝑝 ∧ 𝑏 = 1 2) montrer 𝑎3 ≡ 𝑏 3 [𝑝] et 𝑎𝑝−1 ≡ 𝑏 𝑝−1 [𝑝] 3) déduire que 𝑝 ≡ 1[3] Partie II on considère dans

*2

l’équation:  E  : x  2021  x   y  x  y 

soit  x, y  une solution de  E  on pose d  x  y et x  da et y  db

 a  b  1 1) vérifier que  2 2  a  ab  b  d  2021a 2) montrer que  a 2  ab  b 2   a  1 en déduire que a 2  ab  b 2 / 2021 3) montrer en utilisant la partie I que a 2  ab  b2  43 ( on rappel que 2021 = 43 × 47 4) déduire dans

*2

les solutions de  E  .

Exercice 4 Partie I 

On considère la fonction f définie sur

par

  x  , x0  f  x   ln  x   1 e    f  0  0 

f  x  0 que peut on déduire? x x x 2) montrer que f est continue à droite de 0 1) montrer que lim f  x    et lim

3) soit x  0 on pose pour chaque t 



: g  t   e t  1  t

a) en appliquant le théorème des accroissements finis à g sur  0, x 2  montrer qu'il existe e x  1  x 1 e c  1 , c   0, x 2  :   x2 2 c e x  1  x 1  d  e puis déduire qu'il existe d  0, x : x2 2 x e 1  x 1  b) montrer que lim x0 x2 2 4) montrer que f est dérivable à droite de 0 et que f d'  0  

1 ( on pourra utiliser la question 2

3)b) 5) montrer que f est dérivable sur

*

et que (x  0) : f   x  

e x  e x  1  x  x 1  e x 

6) montrer que (x  0) : e x  1  x  0 et donner le tableau de variation de f 7) tracer  C f  soit  an 

Partie II 1 la suite définie par a0  1 et an1  1  e an 2





1) Montrer (n  ) : an  0 2) justifier que (x  0) : 0  1  e x  x en déduire à l’ aide d'un raisonnement par récurrence

1 que (n  ) : 0  an    2

n

n

3) on pose pour tout entier naturel n : Sn   f  ak  k 0

n 1 ) : 0  f  x   x et que (n  ) : Sn     k 0  2  b) en déduire que la suite  Sn  est majorée

a) montrer que (x 

k



c) montrer que  Sn  est croissane en déduire qu'elle est convergente on note 𝑙 sa limite ( on

ne vous demande pas de calculer 𝑙 ). d) montrer que (k  ) : ln  2k ak   ln  2k 1 ak 1   f  ak  et déduire que

(n 

*

) : 2n an  e Sn1

4) montrer que la suite  2n an 

n 0

est convergente et donner en fonction de 𝑙 sa limite

Exercice 5 soit H la fonction définie sur

* 

1

par H  x    e t dt 2x

x

1) justifier l'existence de H  x  pour chaque x  0 1

1

2) montrer que pour chaque x  0 : x e 2 x  H  x   x e x 3) Déduire lim H  x  et lim H  x  et lim x0

x

x 

4) Montrer que H est dérivable sur

* 

H  x x

et que pour chaque x  0 : H   x  a même signe que

1

2  e2x 1 2ln2 a) montrer que H est strictement croissante sur  ,  et strictement déroissante sur

5) on pose  

0, 

b) montrer

1 2  H    ln2 ln2

6) soit x  0 1

1

a) à l'aide d'une intégration par partie montrer que H  x   2 xe 2 x  xe x  

2x

x

1

b) montrer que

e2x



2x

x

1 1 2x 1 2x 1 1 dt   e t dt  e x  dt , en déduire lim x t x t x t



2x

x

1 1t e dt t

1 1t e dt  ln2 t

1 1   7) montrer que lim  2 xe 2 x  xe x  x   0 x    8) déduire que lim  H  x   x   ln2 et interpréter géométriquement le résultat

x

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