Strömungsmechanik eine Einführung in die Physik und die mathematische Modellierung von Strömungen ; mit 48 Tabellen [2., neu bearb. und erw. Aufl] 9783540324416, 3540324410 [PDF]

Zitiervorschau

Heinz Herwig Strömungsmechanik

Heinz Herwig

Strömungsmechanik Eine Einführung in die Physik und die mathematische Modellierung von Strömungen

2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 100 Abbildungen und 48 Tabellen

123

Professor Dr.-Ing. Heinz Herwig Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Thermofluiddynamik Denickestraße 17 21073 Hamburg e-mail: [email protected]

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ISBN-10 3-540-32441-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-32441-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-41972-1 1. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 2006 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz: Digitale Druckvorlage des Autors Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: eStudioCalamar S.L., F. Steinen-Broo, Pau/Girona, Spanien Gedruckt auf säurefreiem Papier

SPIN: 11583707

7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Dieses Buch soll der Entwicklung Rechnung tragen, daß str¨omungsmechanische Probleme in Forschung und Entwicklung zunehmend durch den Einsatz leistungsstarker Rechner und weitentwickelter Software gel¨ost werden. Dieser Trend, beschrieben durch die Abk¨ urzung CFD (engl. f¨ ur: computational fluid dynamics), wird sich in Zukunft mit Sicherheit noch verst¨arken. Mit dieser Entwicklung ist aber auch eine Gefahr verbunden: Der Anwender“ ” str¨omungsmechanischer Computer-Software neigt fast zwangsl¨aufig dazu, diese Programme als black box“ zu sehen und sich aus der physikalisch moti” vierten und mathematisch begr¨ undeten Modellierung eines Problems zur¨ uckzuziehen, weil das Programm das alles kann“. ” Ohne Kenntnis der physikalischen Zusammenh¨ange und ohne genaue Vorstellung davon, welche mathematischen Modelle, meist in Form von Differentialgleichungen, im konkreten Fall zum Einsatz kommen, ist eine halbwegs seri¨ ose Interpretation von numerischen Ergebnissen jedoch nicht m¨oglich ! Im Extremfall wird gar nicht eingesehen, daß solche Ergebnisse u ¨berhaupt interpretiert werden m¨ ußten, da sie doch die gesuchte L¨osung sind“. ” Auf diesem Hintergrund wird mit dem vorliegenden Buch versucht, von vornherein und immer wieder deutlich zu machen, daß eine angestrebte Probleml¨ osung stets mit einer physikalisch/mathematischen Modellbildung einhergeht, die dem Problem angepaßt sein muß. Das grundlegende Konzept besteht dabei darin, fr¨ uhzeitig die allgemeinen Bilanzgleichungen bereitzustellen und einzelne physikalisch/mathematische Modelle als Spezialf¨alle dieser allgemeinen Formulierung erkennbar zu machen. Diese Vorgehensweise, die als deduktiv bezeichnet werden kann, soll durch folgende Besonderheiten so klar wie m¨ oglich realisiert werden: Es wird stets versucht, den physikalischen Hintergrund mathematischer Gleichungen zu verdeutlichen, bzw. zu zeigen, daß eine physikalische Vorstellung und eine mathematische Formulierung zusammengenommen ein physikalisch/mathematisches Modell ausmachen. Dabei ist es besonders wichtig, stets das Str¨ omungsverhalten eines Fluides von seinem Materialverhalten zu trennen. ¨ Dimensionsanalytische Uberlegungen besitzen in diesem Buch einen hohen Stellenwert. Sie tragen zum physikalischen Verst¨andnis entscheidend bei und sind ein wichtiges Element bei der Aufstellung physikalisch/mathematischer Modelle.

vi

Vorwort

Der formale Aufbau der z.T. komplizierten Gleichungssysteme wird einer strengen Ordnung unterworfen, die konsequent beibehalten wird und damit die Zuordnung sich entsprechender Terme erleichtert. Speziell bei der Energiegleichung wird streng nach mechanischer und thermischer Energie unterschieden. Es soll stets pr¨ asent sein, daß beide zusammen die im ersten Hauptsatz der Thermodynamik bilanzierte Energie darstellen. Es wird streng nach dimensionsbehafteten und dimensionslosen Gr¨oßen unterschieden. Dimensionsbehaftete Gr¨ oßen werden an jeder Stelle durch einen hochgestellten Stern gekennzeichnet. Gr¨oßen ohne Stern sind damit stets dimensionslose Gr¨ oßen. Bei der Umsetzung dieses Konzeptes haben viele geholfen. Mein Dank geht in diesem Sinne an Frau Dorit Moldenhauer und Herrn Thorben Vahlenkamp f¨ ur die Hilfe bei der Gestaltung des Buches, an Herrn Fabian Kock f¨ ur die numerische Berechnung einer Reihe von Beispielen und an Herrn Dr. Moschallski sowie Herrn Roland Schmid f¨ ur die kritische Durchsicht des Manuskriptes, die zu vielen Klarstellungen und Verbesserungen gef¨ uhrt hat. Last but not least geht mein ganz besonderer Dank an Herrn Holger Oest, der die Gesamtgestaltung des Buches u ¨bernommen hat und ohne dessen virtuosen“ ” udlichen Einsatz das Buch in dieser Form nicht Umgang mit LATEX und unerm¨ h¨ atte entstehen k¨ onnen.

Hamburg, Fr¨ uhjahr 2002

Vorwort zur 2. Auflage Neben der Korrektur leider nie ganz zu vermeidender Druckfehler ist die ¨ zweite Auflage um einen Teil C/Ubungsaufgaben erg¨anzt worden. Dabei haben Herr Bastian Schmandt, Herr Frerk Fitzek und Herr Marc H¨olling tatkr¨ aftig mitgewirkt. Allen sei herzlich gedankt.

Hamburg, Fr¨ uhjahr 2006

H. Herwig

. . . und ein etwas anderes Vorwort

Jeder Autor eines Grundlagen-Buches zur Str¨omungsmechanik steht fr¨ uher oder sp¨ ater vor folgender Entscheidung: Soll er die Probleme bei der Darstellung einer im Grunde sehr komplexen Materie verschweigen, bestimmte Sachverhalte als gegeben annehmen, Voraussetzungen nicht im einzelnen nennen, Einschr¨ankungen unerw¨ahnt lassen, Herleitungen sich und dem Leser ersparen ? Damit wird dann der Eindruck erweckt: Eigentlich ist alles ganz einfach. Oder soll er ehrlich sein und sagen: Bestimmte Aspekte, wie z.B. die Turbulenz und ihre Modellierung oder die asymptotische Theorie bei großen Reynolds-Zahlen sind so kompliziert, daß man sie auf Anhieb eigentlich nicht wirklich verstehen kann, auch wenn die Darstellung noch so sorgf¨ altig und u ahlt ist ? Und: Die Erfahrung lehrt, daß ein ¨ berlegt gew¨ wirkliches Durchdringen von Problemen (leider) bedeutet, daß mit jeder Antwort mindestens zwei neue Fragen entstehen. Auch dem Autor des vorliegenden Buches ist das grundlegende Problem nicht erspart geblieben, einerseits den Leser nicht verschrecken“ zu wollen, ande” rerseits aber auch dem Anliegen einer gr¨ undlichen Vermittlung des Stoffes gerecht zu werden. Da sich Ehrlichkeit im Leben oft doch auszahlt, soll in diesem Buch m¨ oglichst nicht verschwiegen werden, daß die Str¨omungsmechanik vielleicht wirklich ein schweres Fach“ ist. ” Fast zwangsl¨ aufig wird der Leser deshalb die Erfahrung machen, daß sich Phasen des . . . jetzt habe ich es aber wirklich verstanden“ mit denen des ” . . . dann verstehe ich aber nicht mehr, wieso . . .“ abl¨osen. Genau so l¨auft ” aber ein Lernprozeß ab, der zu einem sukzessiv vertieften Verst¨andnis von Problemen f¨ uhrt. Das vorliegende Buch ist als Hilfestellung in diesem Prozeß gedacht.

Hamburg, Fr¨ uhjahr 2002

H. Herwig

Inhalt

Teil A Grundlagen

1

¨ Uberblick u omungen und ihre ¨ ber verschiedene Str¨ physikalischen Merkmale . . . . . . . .

.

3

1.1 Vor¨ uberlegungen . . . . . . . . . 1.1.1 Gegenstand der Str¨ omungsmechanik . . 1.1.2 Str¨ omungsmechanik als Kontinuumstheorie

. . .

3 3 3

. . .

1.2 Verschiedene Aspekte zur Charakterisierung von Str¨omungen 1.2.1 Aspekte des Str¨ omungsverhaltens . . . . . 1.2.2 Aspekte des Fluidverhaltens . . . . . . .

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10

Physikalisch/mathematische Modellbildung in der Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . .

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13

2.1 Vor¨ uberlegungen

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13

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14

. . . . . . . . . . . . Relevanzliste

. . . .

16 16 17 21

Anmerkung 1.1:

2

.

Teilgebiete der Str¨ omungsmechanik

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.

2.2 Bildung physikalisch/mathematischer Modelle 2.3 Dimensionsanalyse . . . . 2.3.1 Vorbemerkung . . . . 2.3.2 Das Pi-Theorem . . . 2.3.3 Modellbildung durch Aufstellen Anmerkung 2.1:

. . . der

Vorteil dimensionsloser Darstellung

2.3.4 Kennzahlen und Modell-Theorie 3

5 5 8

.

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23

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23

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27

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27

Physikalisch/mathematische Modelle ohne . . . . . . Haftbedingung

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30

.

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30

3.1 Haftbedingung/Grenzschichten Anmerkung 3.1:

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.

Spezielle Ph¨ anomene

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.

3.2 Str¨ omungsabl¨ osung

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.

x

Inhalt

3.2.1 Stromlinien . . . . . . . . 3.2.2 Stromlinienverlauf bei Str¨ omungsabl¨osung

. .

. .

30 31

3.3 Turbulenz . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Entstehung turbulenter Str¨ omungen (Transition) 3.3.2 Erscheinungsbild turbulenter Str¨omungen . .

. . .

32 32 32

Anmerkung 3.2:

35

Charakteristische Zeiten turbulenter Str¨ omungen

3.3.3 Eigenschaften turbulenter Str¨omungen .

.

.

.

35

. . .

. . .

. . .

36 36 37

.

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38

.

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39

3.5 Kompressibilit¨ at und Druckwellen . . . . . . 3.5.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . 3.5.2 Ausbreitung von schwachen Druckwellen, Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . 3.5.3 Ausbreitung von starken Druckwellen, Verdichtungsst¨ o¨se, Verd¨ unnungswellen . . .

39 39

3.4 Drehung und Zirkulation 3.4.1 Vorbemerkung . 3.4.2 Drehung . . Anmerkung 3.3:

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

Definition der Drehung in einer allgemeinen . . . dreidimensionalen Str¨ omung

3.4.3 Zirkulation .

4

. .

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41 44

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

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47

4.1 Erhaltungsgr¨ oßen, Bilanzgleichungen

.

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.

47

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48

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.

Anmerkung 4.1:

Bilanzen in bezug auf endliche Kontrollr¨ aume

Anmerkung 4.2:

Relativistische Mechanik

.

.

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.

48

4.2 Teilchenfeste/ortsfeste Betrachtungsweise .

.

.

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.

48

¨ 4.3 Ubergang von der teilchenfesten auf die ortsfeste Betrachtungsweise . . . . . . . . 4.4 Allgemeine Bilanzgleichungen, dimensionsbehaftet

.

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49

.

.

51

4.5 Erl¨ auterungen zu den allgemeinen Bilanzgleichungen . 4.5.1 Erl¨ auterungen zur Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ ) .

. .

52 52

.

54

Anmerkung 4.3:

Anmerkung 4.4:

Bilanzgleichungen in konservativer Form; Interpretation der Kontinuit¨ atsgleichung in der . Eulerschen (ortsfesten) Betrachtungsweise Spezialf¨ alle der allgemeinen Kontinuit¨ atsgleichung

56

xi

Inhalt

4.5.2 Erl¨ auterungen zu den Impulsgleichungen (XI∗ ), (YI∗ ) und (ZI∗ ) . . . . . . . . . . . Anmerkung 4.5:

Druck in str¨ omenden Fluiden, Stokessche Hypothese, mechanischer Druck, modifizierter Druck

4.5.3 Erl¨ auterungen zu den Energiegleichungen (E∗ ), (ME∗ ) und (TE∗ ) . . . . . . . . Anmerkung 4.6:

.

.

61 61

.

62

.

64

4.7 Navier-Stokes-Gleichungen, dimensionsbehaftet

.

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65

4.8 Entdimensionierung der Grundgleichungen

.

.

.

68

Index-Schreibweise der Grundgleichungen, hier: . . . . Navier-Stokes-Gleichungen

.

70

Vektor-Schreibweise der Grundgleichungen, hier: . . . . Navier-Stokes-Gleichungen

.

72

Wirbeltransportgleichung als spezielle Form der Navier-Stokes-Gleichungen . . . .

.

73

Anmerkung 4.7: Anmerkung 4.8: Anmerkung 4.9:

.

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.

.

.

75

Anmerkung 4.11: Bilanzen in endlichen Kontrollr¨ aumen

.

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76

Anmerkung 4.12: Impulsmomentengleichungen als weitere . . . . Bilanzgleichungen

.

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78

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78

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81

5.1 Der Energiehaushalt turbulenter Str¨ omungen .

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81

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84

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.

84

Anmerkung 4.10: Einf¨ uhrung einer Stromfunktion

Anmerkung 4.13: Nat¨ urliche Konvektionsstr¨ omungen

5

58 59

Potentielle Energie als Teil der Gesamtenergie bzw. . . . . . . . . . -enthalpie

4.6 Spezielle konstitutive Gleichungen, dimensionsbehaftet 4.6.1 Konstitutive Gleichungen f¨ ur τij∗ in den Impulsgleichungen / Newtonsche Fluide . . 4.6.2 Konstitutive Gleichungen f¨ ur qi∗ in den Energiegleichungen / Fouriersches W¨ armeleitungsverhalten . . . . . .

56

Das Turbulenzproblem

Anmerkung 5.1: Anmerkung 5.2:

.

.

.

.

.

.

Kaskadenprozeß in Gedichtform“ . ” Korrelationen zwischen zwei turbulenten . . . . Schwankungsgr¨ oßen

5.2 Direkte numerische Simulation (DNS)

.

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.

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.

86

5.3 Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨oßen 5.3.1 Zeitmittelung der Str¨ omungsgr¨oßen

. .

. .

. .

. .

89 89

xii

Inhalt

5.3.2 Zeitmittelung der Grundgleichungen (RANS)

.

.

91

.

.

94

5.3.3 Allgemeine Grundgleichungen f¨ ur die zeitgemittelten Str¨ omungsgr¨ oßen/spezielle konstitutive Gleichungen

94

Anmerkung 5.3:

Die Kontinuit¨ atsgleichung bei konventioneller . . . . . . . Mittelung

5.4 Turbulenzmodellierung

.

.

100

Modellierung weiterer turbulenter Zusatzterme

.

107

5.4.1 Turbulenzmodelle I: Wirbelviskosit¨ats-Modelle . 5.4.2 Turbulenzmodelle II: Reynolds-Spannungs-Modelle

107 113

Anmerkung 5.4:

.

.

.

.

.

.

.

Anmerkung 5.6:

Zweite Momente“ . . . . . ” Schließung durch zus¨ atzliche Gleichungen

Anmerkung 5.7:

Homogene Turbulenz

.

.

.

.

.

.

.

116

Anmerkung 5.8:

Isotrope Turbulenz

.

.

.

.

.

.

.

116

Anmerkung 5.9:

Modellierung der Reynoldsschen . . W¨ armestromdichte λ∗t

.

.

.

.

117

.

.

.

.

118

Anmerkung 5.11: Entstehung der Turbulenz/Str¨ omungsstabilit¨ at bzw. . . . . . . . . -instabilit¨ at .

118

Anmerkung 5.5:

Anmerkung 5.10: Grobstruktur-Simulation (LES)

.

.

115

.

.

115

Teil B Die physikalisch/mathematische Modellierung spezieller Str¨ omungen

B1 Eindimensionale N¨ aherung

6

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten f¨ ur inkompressible Str¨ omungen . . . . . . .

.

125

6.1 Stromfaden, Stromr¨ ohre

.

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125

6.2 Mechanische Energiegleichung 6.2.1 Bernoulli-Gleichung .

. .

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. .

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125 125

.

129

Anmerkung 6.1:

.

Hydrostatisches Grundgesetz als Grenzfall der afte auf feste Bernoulli-Gleichung f¨ ur u∗Si = 0 / Kr¨ . . . . . . . . W¨ ande .

xiii

Inhalt

Anmerkung 6.2:

Druckverteilung in gleichf¨ ormig rotierenden Fluiden

133

Anmerkung 6.3:

Auswertung der Bernoulli-Gleichung bei endlichen . . . . . . . Querschnitten

.

133

Anmerkung 6.4:

Instation¨ are Bernoulli-Gleichung

6.2.2 Erweiterte Bernoulli-Gleichung .

.

.

.

134

.

.

.

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135

Anmerkung 6.5:

Andere Formen der (erweiterten) Bernoulli-Gleichung

Anmerkung 6.6:

Dynamischer Druck, Gesamtdruck

139

.

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140

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142

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143

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143

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten f¨ ur kompressible Str¨ omungen . . . . . . . .

.

153

7.1 Vorbemerkung

6.3 Thermische Energiegleichung Anmerkung 6.7:

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Gesamt-Energiegleichung der Stromfadentheorie

6.4 Impulsgleichungen 7

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153

7.2 Grundgleichungen f¨ ur isentrope Str¨ omungen

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153

7.3 Besondere Entdimensionierung des Gleichungssystems; ¨ Erzeugung von Uberschallstr¨ omungen in einer Stromr¨ohre .

155

7.4 Berechnung der kompressiblen isentropen Str¨omung durch eine Stromr¨ ohre . . . . . . . . . . .

161

Anmerkung 7.1:

Die inkompressible Str¨ omung als Grenzfall der . . . . . kompressiblen Str¨ omung

7.5 Senkrechter Verdichtungsstoß . Anmerkung 7.2:

.

Schiefer Verdichtungsstoß

.

164

.

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166

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171

B2 Zweidimensionale N¨ aherung

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

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177

8.1 Euler-Gleichungen

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177

8.2 Potentialstr¨ omungen . . . . . . . . . 8.2.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . 8.2.2 Drehungsfreie Str¨ omungen (Potentialstr¨omungen)

. . .

180 180 181

.

.

xiv

Inhalt

Anmerkung 8.1:

Konstante Drehung bzw. Drehungsfreiheit als Bedingung f¨ ur eine reibungsfreie Str¨ omung

8.2.3 Direkte L¨ osungen f¨ ur Potentialstr¨omungen . 8.2.4 Indirekte L¨ osungen f¨ ur Potentialstr¨omungen 8.2.5 Singularit¨ atenmethoden . . . . . 9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen 9.1 Vorbemerkung

.

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182

. . .

. . .

183 184 189

.

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191

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191

9.2 Die Entstehung und Physik von Str¨ omungsgrenzschichten

192

9.3 Die Grenzschichttheorie als asymptotische Theorie f¨ ur Re → ∞ . . . . . . . . . . . . 9.4 Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨omungen . 9.4.1 Grenzschichteffekt: Widerstand . . 9.4.2 Grenzschicht-Effekt: Verdr¨ angung . .

197

. . .

. . .

199 208 214

.

.

216

.

.

.

217

9.5 Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨omungen . 9.5.1 Die Entstehung und Physik der Wandschicht ¨ 9.5.2 Der Ubergang in den vollturbulenten Bereich

. . .

. . .

219 222 228

.

232

.

233

.

235

Anmerkung 9.1:

Selbst¨ ahnliche Grenzschichten (laminar)

Anmerkung 9.2:

Grenzschichtabl¨ osung (laminar)

Anmerkung 9.3:

.

. . .

.

Logarithmisches Wand“gesetz als asymptotische ” . . . . . Anpassungsbedingung

9.5.3 Der vollturbulente Bereich (Defekt-Schicht) Anmerkung 9.4:

.

Indirekte Turbulenzmodellierung zur Bestimmung . . . des Geschwindigkeits-Defektes .

9.5.4 Ergebnisse f¨ ur turbulente Grenzschichten

.

.

.

236

Anmerkung 9.5:

Grenzschichtabl¨ osung (turbulent)

.

.

.

.

244

Anmerkung 9.6:

Turbulenzgrad der Außenstr¨ omung

.

.

.

.

245

Anmerkung 9.7:

Temperaturgrenzschichten

.

.

.

.

246

Anmerkung 9.8:

Der Transitionsprozeß bei ebenen Grenzschichten/ . . . Str¨ omungsstabilit¨ at bzw. -instabilit¨ at

246

.

.

.

249

10.1 Ausgebildete Durchstr¨ omungen . . . . . 10.1.1 Das Konzept des hydraulischen Durchmessers 10.1.2 Laminare Str¨ omungen im ebenen Kanal .

. . .

. . .

249 250 253

10 Durchstr¨ omungen

.

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xv

Inhalt

Anmerkung 10.1: Ausgebildete laminare Str¨ omung im Rohr . . . . . (Kreisquerschnitt)

.

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258

10.1.3 Turbulente Str¨ omungen im ebenen Kanal

.

.

258

.

.

263

10.2 Nichtausgebildete Durchstr¨ omungen . . . . . 10.2.1 Laminare Einlaufstr¨ omungen im ebenen Kanal .

. .

263 266

.

Anmerkung 10.2: Ausgebildete turbulente Str¨ omung im Rohr . . . . . (Kreisquerschnitt)

Anmerkung 10.3: Laminare Einlaufstr¨ omungen im Rohr . . . . (Kreisquerschnitt)

.

.

.

267

10.2.2 Turbulente Einlaufstr¨ omungen .

.

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267

.

.

269

Anmerkung 10.4: Kr¨ afte- und Energiebilanzen bei Durchstr¨ omungen

B3 Dreidimensionale N¨ aherung

11 Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen . . . . . . . . . .

.

.

.

273

11.1 Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen . . . . . 11.1.1 Reibungsfreie Umstr¨ omungen und Potentialstr¨ omungen . . . . . . . .

273 273

Anmerkung 11.1: Das d’Alembertsche Paradoxon bei r¨ aumlichen . . . . . . . Str¨ omungen .

.

276

11.1.2 Str¨ omungsgrenzschichten

.

277

11.2 Dreidimensionale Durchstr¨ omungen . . . . . . 11.2.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . 11.2.2 Parabolisierte, teilparabolisierte Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . .

288 288

.

.

.

.

12 Spezielle Aspekte bei der numerischen L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme . . . .

.

.

.

.

288

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291

12.1 Numerische L¨ osung dimensionsloser Gleichungen . . . 12.1.1 Bestimmung dimensionsloser Ergebnisse aus dimensionsbehafteten Gleichungen . . . . 12.1.2 Bestimmung weiterer dimensionsbehafteter Ergebnisse aus einer dimensionsbehafteten L¨osung

291 293 297

xvi

Inhalt

12.2 Numerische L¨ osungen bei turbulenten Str¨omungen 12.3 Numerische L¨ osungen kritisch gesehen

.

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299

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304

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311

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329

¨ Teil C Ubungsaufgaben

Aufgaben

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L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

Anhang 1

Anhang 2

Vektoroperatoren und ihre Bedeutung in kartesischen Koordinaten . . . . .

.

355

Andere Koordinatensysteme/Grundgleichungen in Zylinderkoordinaten . . . . . . .

357

H¨ aufig verwendete . . Indizes . . und . Kennungen . . . .

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361

Symbole und Formelzeichen . . . . .

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363

Literatur

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369

Index

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371


  Grundlagen

Im Teil A des Buches werden Grundlagen der Str¨omungsmechanik behandelt. Neben der Beschreibung und Erl¨ auterung grundlegender Ph¨anomene sollen vor allem die weitgehend allgemeing¨ ultigen Bilanzgleichungen bereitgestellt werden. Der Schwerpunkt liegt dabei weniger auf dem formalen Aspekt der mathematischen Herleitung, als vielmehr auf der Erl¨auterung des physikalischen Hintergrundes. Dies gilt besonders bez¨ uglich des Turbulenzproblems, das ausf¨ uhrlich behandelt wird. Im Teil B des Buches werden die allgemeinen Bilanzgleichungen dann anschließend f¨ ur verschiedene Str¨ omungen systematisch vereinfacht und auf das jeweils dem Problem angepaßte Maß reduziert.

1

¨ Uberblick u omungen und ¨ber verschiedene Str¨ ihre physikalischen Merkmale

1.1

Vor¨ uberlegungen

1.1.1

Gegenstand der Str¨ omungsmechanik

Die Str¨ omungsmechanik befaßt sich mit dem kinematischen und dynamischen Verhalten von Fluiden. Der Begriff Fluid umfaßt dabei Fl¨ ussigkeiten und Gase und hat sich als Oberbegriff auch deshalb eingeb¨ urgert, weil in bestimmten thermodynamischen Zustandsbereichen (in der N¨ahe des sog. kritischen Zustandes) keine klare Trennung zwischen einem fl¨ ussigen und einem gasf¨ormigen Zustand m¨ oglich ist. In diesem Sinne wird im englischsprachigen Raum der Begriff fluid mechanics verwendet. Der entscheidende Unterschied eines Fluides im Vergleich zu einem Festk¨orper besteht im sog. Verformungsverhalten. W¨ahrend ein Festk¨orper unter einer aufgepr¨ agten, zeitlich konstanten Scherkraft eine endliche Verformung zeigt, treten bei Fluiden st¨ andig anwachsende, d.h. nicht-endliche Verformungen auf. Dies wird als Str¨omen bezeichnet. In vielen F¨allen sind bei Festk¨ orpern die Verformungen direkt proportional zu den aufgepr¨agten Kr¨aften, bei Fluiden hingegen die Geschwindigkeiten der Verformung (also die ¨ zeitlichen Anderungen der Verformungen). Damit wird sofort eine besondere Schwierigkeit bei der Beschreibung von Str¨omungen deutlich: W¨ ahrend ein Festk¨ orper auch unter der Wirkung von Kr¨ aften in Raum und Zeit leicht und eindeutig zu identifizieren ist, wird ein Fluid k¨ orper“ permanent deformiert und verliert seine urspr¨ ungliche Iden” tit¨at. Wie sp¨ ater gezeigt wird, geht man deshalb bei Str¨omungen h¨aufig von einer materiellen Beschreibung bzgl. des Verhaltens bestimmter FluidPartikel auf eine sog. ortsfeste Beschreibung u ¨ ber, die einzelne Str¨omungsgr¨ oßen an einem festen Ort in einem durchstr¨omten Gebiet erfaßt. 1.1.2

Str¨ omungsmechanik als Kontinuumstheorie

Abgesehen von wenigen extremen Ausnahmesituationen kann eine Str¨omung in sehr guter N¨ aherung als ein Kontinuum behandelt werden. Damit wird unterstellt, daß alle beteiligten physikalischen Gr¨oßen eine kontinuierliche Verteilung in Raum und Zeit aufweisen. Es k¨ onnen aber noch unterschiedliche Werte zu beiden Seiten von Phasengrenzen auftreten, wie z.B. bzgl. der Dichte an einer Gas/Fl¨ ussigkeits-Grenze. Diese Kontinuums-Modellvorstellung f¨ uhrt zu brauchbaren Ergebnissen, solange typische Abmessungen und typische Zeiten in den Betrachtungen sehr

4

1

¨ Uberblick uber verschiedene Str¨ omungen ¨

groß gegen¨ uber den Abmessungen und Zeiten sind, die den molekularen Aufbau des Fluides bestimmen. Modellvorstellungen sind dabei nicht nach den Kriterien richtig“ oder falsch“ zu beurteilen, sondern nach brauchbar“ ” ” ” oder unbrauchbar“ zur Beschreibung von interessierenden Vorg¨angen. Eine ” Kontinuums-Modellvorstellung w¨ are in diesem Sinne v¨ollig unbrauchbar, um die Wechselwirkung einzelner Molek¨ ule zu beschreiben. Deren aufsummier” te“ Wirkung bestimmt aber das Verhalten einer Str¨omung, so daß diese dann wiederum sinnvoll mit einem Kontinuums-Modell beschrieben werden kann. Bei der Verwendung einer Modellvorstellung m¨ ussen die Grenzen der Anwendbarkeit prinzipiell angegeben werden k¨ onnen. Im vorliegenden Fall ist dies die Frage nach den Abmessungen bzw. Zeiten, die als typische (charakteristische) Werte nicht unterschritten werden d¨ urfen, um die Anwendung der Kontinuums-Modellvorstellung zu rechtfertigen. Dies soll im folgenden am Beispiel der Dichte ∗ eines Fluides diskutiert werden. Im Sinne der Kontinuumstheorie definiert man sie als ∆m∗ ∗ = lim , (1.1) ∆V ∗ →0 ∆V ∗ d.h. in einem verschwindenden“ Volumen und damit als eine physikalische ” Gr¨ oße an einem Punkt des Str¨ omungsfeldes. Wollte man den Grenzprozeß lim∆V ∗ →0 nun in der Realit¨at nachvollziehen, so m¨ ußten nacheinander immer kleinere Volumenelemente ∆V ∗ aus dem Str¨ omungsfeld isoliert und deren Masse ∆m∗ bestimmt werden. Dieses ∗ ∆m ist dabei stets die aufsummierte Masse endlich vieler einzelner Molek¨ ule. Solange deren Anzahl sehr groß ist, werden die Ergebnisse auch bei mehrmaliger Wiederholung praktisch“ zum gleichen Ergebnis f¨ uhren. Erst ” wenn die Anzahl von Molek¨ ulen im Volumen ∆V ∗ klein wird, spielen statis¨ tische Schwankungen (d.h. Anderungen bei mehrmaliger Wiederholung) eine Rolle und markieren damit die Grenzen der Kontinuums-Modellvorstellung. ¨ Im nachfolgenden Beispiel 1.1 wird diese Uberlegung f¨ ur Luft unter Atmosph¨ aren-Bedingungen konkretisiert. Bei Gasen sollten die charakteristischen Abmessungen eines Str¨omungsgeoßer als die sog. mittlere freie Wegl¨ange λ∗ der Molek¨ ule bietes L∗c deutlich gr¨ sein. Diese L¨ ange beschreibt den Weg, den ein Molek¨ ul im statistischen Mittel zur¨ ucklegt, bis es zu einer Wechselwirkung (meistens einem Stoß) mit einem anderen Molek¨ ul kommt. Sie entspricht unter Normbedingungen etwa dem 25fachen des mittleren Molek¨ ulabstandes. Der entsprechende Zahlenwert f¨ ur λ∗ von Luft ist ≈ 5 · 10−8 m = 0,05 µm. Setzt man beide L¨angen ins Verh¨altnis und bildet damit die sog. Knudsen-Zahl Kn, so gilt als Bedingung f¨ ur die Anwendbarkeit der Kontinuums-Modellvorstellung bei Gasen Kn =

λ∗ c∗ nennt man Uberschallstr¨ zahl u∗ (Mach-Zahl) (3.15) Ma = ∞ c∗ sind dies Str¨ omungen mit einer Mach-Zahl Ma > 1. Schon aus diesen einfa¨ chen Uberlegungen folgt, daß deren Str¨ omungsfelder (Druck- und Geschwindigkeitsverteilung) fundamental anders geartet sein werden, als diejenigen von Unterschallstr¨ omungen bei Ma < 1. Beispiel 3.1:

¨ Ausbreitung von St¨ orungen in einer Uberschallstr¨ omung

Eine momentane punktf¨ ormige St¨ orung breitet sich in einer homogenen Gasstr¨ omung (konstante Geschwindigkeit u∗∞ ) in Form einer Kugelwelle aus, deren Mittelpunkt sich orung st¨ andig wirkt (weil mit der Str¨ omungsgeschwindigkeit u∗∞ bewegt. Wenn diese St¨ sie z.B. durch ein Hindernis ausgel¨ ost wird, das mit u∗∞ u omt wird), werden also ¨berstr¨ st¨ andig neue Kugelwellen ausgesandt. Ist u∗∞ kleiner als die Schallgeschwindigkeit c∗ , so k¨ onnen die Druckst¨ orungen jeden Punkt des Str¨ omungsfeldes erreichen, insbesondere auch alle stromaufw¨ arts gelegenen Punkte. Ist aber u∗∞ > c∗ , so entsteht die in Bild B3.1 skizzierte Situation. Da die Kugelwelle als Ganzes schneller stromabw¨ arts bewegt wird, als sich (kleine) Druckst¨ orungen von ihrem Mittelpunkt ausgehend ausbreiten, k¨ onnen die Druckst¨ orungen nur diejenigen Punkte im Str¨ omungsfeld erreichen, die innerhalb des umh¨ ullenden Kegels mit dem ¨ halben Offnungswinkel α ¯ liegen. Aus den geometrischen Verh¨ altnissen ergibt sich α ¯ zu sin α ¯=

c∗ ∆t∗ u∗∞ ∆t∗

−→

α ¯ = arcsin

c∗ = arcsin Ma−1 u∗∞

d.h. mit wachsender Mach-Zahl entsteht ein immer spitzerer Kegel als Einflußgebiet f¨ ur die Druckst¨ orungen.

3.5.3

Ausbreitung von starken Druckwellen, Verdichtungsst¨ o¨se, Verd¨ unnungswellen

Schwache Druckwellen sind mathematisch durch die infinitesimal kleinen ¨ Anderungen d∗ , dp∗ und du∗ gekennzeichnet und werden durch die im vorigen Abschnitt bereitgestellten Beziehungen beschrieben. Real vorkommende Druckwellen gehorchen diesen Beziehungen in guter N¨aherung, wenn die ¨ Anderungen in ∗ , p∗ und u∗ als endliche aber kleine Gr¨oßen ∆∗ , ∆p∗ und ∗ ∆u vorkommen. ¨ Treten jedoch erhebliche Anderungen dieser Gr¨oßen auf (starke Druckwellen), so k¨ onnen diese u ¨ber die Druckwelle hinweg nicht mehr einfach als d∗ = ∆∗ , dp∗ = ∆p∗ und du∗ = ∆u∗ angesetzt werden, sondern die infinitesimalen Gr¨oßen d∗ , dp∗ und du∗ m¨ ussen durch Integration u ¨ ber die

3.5

Kompressibilit¨ at und Druckwellen

St¨ orquelle → st¨ andiges Aussenden von Kugelwellen

u∗∞

c∗ ∆t∗ 


α ¯

45

Lage des Mittelpunktes der Kugelwelle nach der Zeit ∆t∗

S u∗∞ ∆t∗ Machscher Kegel (Einh¨ ullende aller Kugelwellen) Bild B3.1:

Front der kleinen Druckst¨ orungen, ∆t∗ nach dem Aussenden

Front der bei S (St¨ orquelle) ausgehenden Druckst¨ orungen nach der Zeit ∆t∗ und Machscher Kegel hinter der St¨ orquelle S

Druckwelle hinweg zu den endlichen Werten ∆∗ , ∆p∗ und ∆u∗ f¨ uhren. In diesem Sinne kann man sich eine starke Druckwelle als eine Abfolge unmittelbar hintereinander folgender schwacher Druckwellen vorstellen. Dabei ergibt sich nun folgende neue Situation: W¨ ahrend sich die vorderste der hintereinander laufenden schwachen Druckwellen in ein noch ungest¨ ortes Gebiet ausbreitet, sind alle nachfolgenden Druckwellen von den vorauslaufenden beeinflußt. Die Dichte¨anderung d∗ , die von einer zur n¨ achsten“ Druckwelle auftritt, f¨ uhrt ” 1. zu einer ver¨ anderten Str¨ omungsgeschwindigkeit, da aus (3.12a) unmittelbar folgt: c∗ du∗ = ∗ d∗ (3.16)  2. zu einer ver¨ anderten Schallgeschwindigkeit (Ausbreitungsgeschwindigkeit der infinitesimalen Druckwelle), da aus (3.12b) zusammen mit der Isentropenbeziehung p∗ ∗−κ = const folgt: dc∗ =

c∗ (κ − 1) ∗ d ∗ 2

(3.17)

Beide Effekte zusammen f¨ uhren bei Druckanstieg (d∗ > 0) zu einer st¨ andig steileren Front der Druckwelle, weil nachfolgende (infinitesimale) Teilwellen in einer st¨andig schnelleren Grundstr¨ omung“ liegen (du∗ > 0) und ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ” um so gr¨ oßer ist, je weiter hinten sie in der Druckwelle liegen (dc∗ > 0). Dies f¨ uhrt schließlich zu senkrechten Wellenfronten mit endlichen Werten

46

3

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

von ∆∗ , ∆p∗ und ∆u∗ , zu sog. Verdichtungsst¨oßen. Ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit (in einem ruhenden Fluid oder relativ zu einer u ¨berlagerten Str¨ omung) liegt stets oberhalb der Schallgeschwindigkeit. Druckabfall (d∗ < 0) zu einer st¨ andig flacher werdenden Druckwelle, weil f¨ ur weiter hinten liegende Teilwellen jetzt sowohl die Grundstr¨omung als auch die Schallgeschwindigkeit abnehmen (du∗ < 0, dc∗ < 0). Solche Verd¨ unnungswellen verflachen also mit der Zeit in zunehmendem Maße. Ihnen kann deshalb auch keine einheitliche Ausbreitungsgeschwindigkeit zugeordnet werden. Die vorderste Front einer Verd¨ unnungswelle bewegt sich mit der ¨ ortlichen Schallgeschwindigkeit in ein ruhendes Fluid oder relativ zur u omungsgeschwindigkeit. ¨ berlagerten Str¨

4

4.1

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Erhaltungsgr¨ oßen, Bilanzgleichungen

Unter den Grundgleichungen der Str¨omungsmechanik versteht man die mathematischen Formulierungen des Erhaltungsprinzips f¨ ur Masse, Impuls und Energie. Diese drei Gr¨ oßen werden in bezug auf einen in der Regel ortsfesten (endlichen oder infinitesimal kleinen) Kontrollraum einzeln bilanziert. Sie k¨onnen u ¨ber die Kontrollraumgrenzen ein- und austreten, im Kontrollraum aber weder vernichtet noch erzeugt werden. Bei der Masse und der Energie gilt dies jedoch nur f¨ ur die Gesamtmasse bzw. f¨ ur die Gesamtenergie. Spaltet man die Gesamtmasse in Teilmassen auf, zwischen denen chemische Reaktionen stattfinden, so gilt die Massenerhaltung nur bez¨ uglich der Summe aller Teilmassen, nicht aber f¨ ur die einzelnen Teilmassen. In diesem Sinne k¨ onnen z.B. in der Reaktion C + O2 → CO2 Kohlenstoff und Sauerstoff als Reinstoffe vernichtet und CO2 erzeugt werden. ¨ Ahnliches gilt f¨ ur die Aufspaltung der Energie in mechanische (kinetische) und thermische (innere) Energie. Durch einen Dissipationsprozeß wird mechanische Energie vernichtet und thermische Energie erzeugt, die Gesamtenergie als Summe aus beiden Anteilen bleibt jedoch erhalten. In diesem Zusammenhang tritt eine wichtige physikalische Gr¨oße auf, die keine Erhaltungsgr¨ oße ist: die Entropie. Sie kann gem¨aß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zwar nicht vernichtet, wohl aber (wie z.B. in einem Dissipationsprozeß) erzeugt werden. Die Entropie kann genauso wie die Masse, der Impuls und die Energie bez¨ uglich eines Kontrollraumes bilanziert werden, dabei tritt aber ein sog. Quellterm auf, der die Erzeugung dieser Gr¨ oße beschreibt. Erhaltungsgr¨ oßen sind dadurch gekennzeichnet, daß ihre jeweilige Bilanz keine Quellterme aufweist. Mit der Aufstellung der Bilanzen f¨ ur die einzelnen physikalischen Gr¨oßen entstehen mathematische Gleichungen, die zur Bestimmung gesuchter Gr¨oßen verwendet werden k¨ onnen. Prinzipiell kann mit jeder neuen Gleichung eine weitere unbekannte Gr¨ oße bestimmt werden. Die Bilanzen k¨onnen dabei vielfach so interpretiert werden, daß die ein- und austretenden Gr¨oßen an der ortsfesten“ Kontrollraumgrenze registriert“ werden. ” ” Werden solche Bilanzen f¨ ur endlich große Kontrollr¨aume aufgestellt, so kann man daraus unmittelbar keine Aussagen u ¨ ber das genaue Verhalten im Inneren dieses Kontrollraumes gewinnen. Dies gelingt jedoch, wenn der endlich große Kontrollraum in Gedanken in infinitesimal kleine Teilbereiche unterteilt wird, f¨ ur die dann die jeweiligen Bilanzen gelten.

48

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Auf diesem Weg k¨ onnen die anfangs erw¨ ahnten Grundgleichungen der Str¨omungsmechanik unmittelbar in Form von Differentialgleichungen hergeleitet werden. Dazu werden also die Bilanzen bez¨ uglich der Masse, des Impulses und der Energie an einem infinitesimalen Fluidelement formuliert. Die dabei entstehenden Gleichungen erm¨ oglichen eine Bestimmung der gesuchten Gr¨ oßen im gesamten betrachteten Str¨ omungsfeld als sog. Feldgr¨oßen. Die Integration der Differentialgleichungen ist im allgemeinen Fall sehr aufwendig, kann in Sonderf¨ allen aber auch sehr einfach sein.

Anmerkung 4.1:

Bilanzen in bezug auf endliche Kontrollr¨ aume

Da Bilanzen, die nicht u ¨ber infinitesimale Fluidelemente, sondern u ¨ber endlich große Kontrollr¨ aume aufgestellt werden, keine unmittelbare Aussage u omungs¨ber die Details des Str¨ feldes im Inneren zulassen, wird h¨ aufig auch die detaillierte Verteilung der Str¨ ome u ¨ber die Kontrollraumgrenzen nicht ber¨ ucksichtigt. Wenn z.B. ein Massenstrom mit einem beanden erf¨ ullt, stimmten Geschwindigkeitsprofil u∗ (y ∗ ), das die Haftbedingung an festen W¨ u aufig ersatzweise von ¨ber die Kontrollraumgrenze tritt, so wird bei der Globalbilanz h¨ einem homogenen Geschwindigkeitsprofil u ¯ ∗ ausgegangen, das zu demselben Massenstrom  f¨ uhrt. Dies ist erf¨ ullt, wenn bei konstanter Dichte ∗ u ¯∗ A∗ = ∗ u∗ dA∗ gilt. Dabei ist zu beachten, daß zwar der Massenstrom richtig“ bilanziert wird, aber z.B. der ebenfalls ” mit einfließende Impulsstrom f¨ ur die Geschwindigkeitsprofile ∗ u ¯∗ A∗ und ∗ u∗ dA∗ verschieden ist. In diesem Sinne ist mit der Bilanz u aume h¨ aufig eine Modellbil¨ber endliche Kontrollr¨ dung verbunden (z.B. die Modellannahme einer eindimensionalen Str¨ omung), die von einer realen Str¨ omung nur n¨ aherungsweise erf¨ ullt wird. Die vollst¨ andige und korrekte Bilanz f¨ ur einen endlichen Kontrollraum ergibt sich aus der Integration der Differentialgleichungen f¨ ur das betrachtete Kontrollvolumen, s. dazu die Anmerkung 4.11/S. 76. Anmerkung 4.2:

Relativistische Mechanik

Die Masse und die Energie sind nur im Rahmen der sog. klassischen Mechanik physikalische Gr¨ oßen, die unabh¨ angig voneinander bilanziert werden k¨ onnen. Die Einsteinsche Relativit¨ atstheorie postuliert den Zusammenhang E ∗ = m∗ cˆ∗2 zwischen der Energie E ∗ und der Masse m∗ , die somit nicht mehr unabh¨ angig voneinander betrachtet werden k¨ onnen. Ef¨ fekte dieser Energie/Masse-Aquivalenz treten aber erst bei Geschwindigkeiten in der N¨ ahe der Lichtgeschwindigkeit cˆ∗ in nennenswertem Maße auf. Mit Werten von cˆ∗ = 3 · 109 m/s liegt diese um viele Gr¨ oßenordnungen u ¨ber der Schallgeschwindigkeit von etwa 3 · 102 m/s, die als charakteristischer Wert f¨ ur Str¨ omungen mit hohen Geschwindigkeiten gelten kann.

4.2

Teilchenfeste/ortsfeste Betrachtungsweise

In der Festk¨ orpermechanik werden Bilanzen, z.B. Impuls- oder Energiebilanzen, in der Regel f¨ ur K¨ orper aufgestellt, die entweder in Ruhe sind und bleiben (Statik) oder in ihrer Bewegung verfolgt werden (Dynamik). Stets sind es aber einzelne K¨ orper, die eindeutig identifiziert werden k¨onnen, bzw. idealisierte Massepunkte, die in Raum und Zeit verfolgt werden (Punktmechanik). In der Str¨ omungsmechanik ist die Situation anders. Betrachtet man etwa die Umstr¨ omung eines Tragfl¨ ugels, so soll die Wirkung der Str¨omung auf diesen Tragfl¨ ugel z.B. in Form eines Auftriebes und eines Widerstandes ermittelt

4.3

¨ Ubergang von der teilchenfesten auf die ortsfeste Betrachtungsweise

49

werden. Daf¨ ur sind die entsprechenden Str¨ omungsgr¨oßen in der Umgebung des Tragfl¨ ugels von Interesse. Das Schicksal“ eines Fluidteilchens, das zu ei” ner bestimmten Zeit weit vor dem Tragfl¨ ugel ist, diesen dann u ¨berstr¨omt und danach hinter dem Tragfl¨ ugel verschwindet“ ist dagegen weniger interessant. ” Zus¨ atzlich tritt die Frage auf, wie denn ein Fluidteilchen“ identifiziert wer” den kann. Im Rahmen der sog. Kontinuumstheorie (s. Abschn. 1.1.2) kann es kein identifizierbares Molek¨ ul sein, da mit der Kontinuums-Annahme der diskrete, molekulare Fluidcharakter ignoriert wird. Stattdessen muß man eine bestimmte Teilmenge (z.B. ein infinitesimales W¨ urfelelement dx∗ dy ∗ dz ∗ im Sinne der Punktmechanik) in Gedanken zu einem bestimmten Zeitpunkt zum Fluidteilchen erkl¨ aren. Dieses kann anschließend in seinem zeitlichen Verlauf in der Str¨ omung verfolgt werden. Dabei k¨onnen Bilanzen wie in der Festk¨ orpermechanik f¨ ur bewegte Massepunkte aufgestellt werden. Diese Betrachtungsweise ist in der Str¨ omungsmechanik mit dem Namen Lagrange verbunden und wird als Lagrangesche bzw. teilchenfeste Betrachtungsweise bezeichnet. Diese Vorgehensweise ist aber in vielen F¨allen nicht der Fragestellung angepaßt und wird deshalb selten benutzt. Alternativ bietet es sich an, feste Punkte im Str¨omungsfeld zu betrachten und an diesen die Str¨ omungsgeschwindigkeit, den Druck und alle anderen interessierenden Gr¨ oßen zu bestimmen. Diese sog. ortsfeste Betrachtungsweise ist mit dem Namen Euler verbunden und wird deshalb auch als Eulersche Betrachtungsweise bezeichnet. Man l¨ ost sich also von der Vorstellung, einzelne Teilchen in der Str¨ omung zu verfolgen und betrachtet stattdessen feste Orte, an denen sich mit fortschreitender Zeit stets andere Teilchen befinden. Damit wird es m¨ oglich, die gesamte betrachtete Str¨omung in einem einzigen Koordinatensystem zu beschreiben. Wenn die Umstr¨omung oder Durchstr¨ omung eines festen K¨ orpers betrachtet wird, so wird man das Koordinatensystem an diesen K¨ orper koppeln (k¨ orperfestes Koordinatensystem). In bezug auf das Koordinatensystem befindet sich der K¨orper dann in Ruhe. Dies bedeutet z.B. f¨ ur die Tragfl¨ ugelumstr¨ omung, daß sich das Koordinatensystem mit dem Tragfl¨ ugel bewegt, was bei der Aufstellung der Bilanzen in diesem Koordinatensystem ggf. ber¨ ucksichtigt werden muß, wie folgende ¨ Uberlegungen zeigen. Solange sich das Koordinatensystem in einer gleichf¨ormigen (nicht beschleunigten) Bewegung befindet (wie im Falle eines Tragfl¨ ugels nach Erreichen der Reisegeschwindigkeit“) unterscheidet sich die Situation nicht von ” einem ruhenden Koordinatensystem (wie im Falle eines Tragfl¨ ugels im Windkanal). Wenn das k¨ orperfeste Koordinatensystem aber Beschleunigungen unterliegt (wie im Falle der Schaufel eines Laufrades, die in einer Str¨omungsmaschine st¨ andigen Normalbeschleunigungen ausgesetzt ist), so muß dies bei der Aufstellung der Bilanzen in diesem Koordinatensystem entsprechend ber¨ ucksichtigt werden.

50

4.3

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

¨ Ubergang von der teilchenfesten auf die ortsfeste Betrachtungsweise

Der Ausgangspunkt f¨ ur die nachfolgende Aufstellung der Bilanzen sind physikalische Aussagen in bezug auf ein infinitesimales Massenelement ∆m∗ , das aufgrund seiner Dichte ∗ ein Volumenelement ∆V ∗ ausf¨ ullt. In kartesischen Koordinaten wird dieses als Quader mit den Kantenl¨angen ∆x∗ , ∆y ∗ und ∆z ∗ angenommen, so daß gilt ∆m∗ = ∗ ∆V ∗ = ∗ ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ .

(4.1)

Die physikalischen Aussagen zur Masse, zum Impuls und zur Energie, die in Form von Bilanzen bez¨ uglich ∆m∗ formuliert werden, sind somit zun¨achst von Lagrangescher Natur, d.h. sie beziehen sich im Sinne der teilchenfesten Betrachtungsweise auf ein Fluidteilchen mit der Masse ∆m∗ . Wie im vorigen Abschnitt ausgef¨ uhrt, ist diese Betrachtungsweise in der Str¨ omungsmechanik h¨ aufig nicht der Fragestellung angepaßt, so daß deshalb ¨ nach Aufstellung der Lagrangeschen Bilanz ein Ubergang auf eine ortsfeste Eulersche Betrachtungsweise erfolgt. Der entscheidende Schritt bei diesem ¨ Ubergang ist die Formulierung einer Lagrangeschen Zeitableitung in Eulerschen, ortsfesten Koordinaten. F¨ ur die Zeitabh¨ angigkeit einer beliebigen physikalischen Gr¨oße G∗ in der Lagrangeschen Betrachtungsweise gibt es zwei Ursachen: 1. An einem bestimmten Ort, an dem sich das betrachtete Teilchen zum andert sich die physikalische Situation mit der Zeitpunkt t∗ befindet, ver¨ Zeit. Wenn das Teilchen an diesem Ort bliebe, w¨ urde sich also auch G∗ st¨ andig ver¨ andern. 2. Mit der Str¨ omung wird das Teilchen an andere Orte bewegt, an denen die physikalische Situation anders als am Ausgangsort ist, so daß sich G∗ ¨ aufgrund dieser Ortsver¨ anderung ebenfalls mit der Zeit ver¨andert. Uber den Zusammenhang zum Str¨ omungsfeld kann also die Ortsver¨anderung des betrachteten Teilchens wiederum als zeitabh¨angiges Verhalten von G∗ interpretiert werden. Soll die insgesamt auftretende Zeitabh¨ angigkeit durch die Zeitableitung beschrieben werden, so gilt es, die Gr¨ oße DG∗ /Dt∗ zu bestimmen. Mit der Schreibweise D/Dt∗ wird die Lagrangesche (teilchenfestes Koordinatensys¨ tem) Zeitableitung gekennzeichnet. Wie sieht diese nun beim Ubergang auf die Eulersche Betrachtungsweise (ortsfestes Koordinatensystem) aus ? Eine Zeitableitung im Eulerschen System, formal geschrieben als ∂/∂t∗ erfaßt nur die Ver¨ anderungen der physikalischen Situation an einem festen Ort und entspricht damit nur der oben aufgef¨ uhrten Ursache 1. Zus¨ atzlich ¨ andert sich G∗ mit der Zeit, weil beispielsweise die Ortsableitung ∂G∗ /∂x∗ von Null verschieden ist und das Teilchen in der Zeit ∂t∗

4.4

Allgemeine Bilanzgleichungen, dimensionsbehaftet

51

¨ den Weg ∂x∗ zur¨ uckgelegt hat. Diese Anderung ∂G∗ = (∂G∗ /∂x∗ )∂x∗ pro Zeiteinheit ist also, ∂G∗ ∂x∗ ∂G∗ ∗ ∂G∗ ∗ 1 ∂x = = u ∗ ∗ ∗ ∗ ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x∗

(4.2)

d.h., wie anschaulich zu erwarten, unmittelbar mit der Str¨omungsgeschwindigkeit in x-Richtung u∗ = ∂x∗ /∂t∗ verbunden. ¨ Ber¨ ucksichtigt man auf gleiche Weise die m¨oglichen Anderungen von G∗ durch Str¨ omungen in die anderen beiden Koordinatenrichtungen, so ergibt sich insgesamt: Ursache 1: lokale Ableitung

DG∗ Dt∗   Lagrangesche Betrachtungsweise (teilchenfest)

= 

 



∂G∗ ∂t∗

+ u∗

Ursache 2: konvektive Ableitung





∂G∗ ∂G∗ ∂G∗ + v ∗ ∗ + w∗ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z 

(4.3)

Eulersche Betrachtungsweise (ortsfest)

In der Eulerschen Betrachtungsweise sind beide Ursachen f¨ ur eine Ver¨anderung der Gr¨ oße G∗ mit der Zeit getrennt zu erkennen. Man nennt die mit diesen Ursachen verbundenen Ableitungen lokale bzw. konvektive Ableitungen. Im folgenden werden die Bilanzen zun¨ achst als Lagrangesche Bilanzen for¨ muliert, anschließend erfolgt der Ubergang auf das Eulersche System unter Zuhilfenahme von (4.3). Im Eulerschen, ortsfesten System k¨onnen die mit den konvektiven Ableitungen verbundenen Terme dann anschließend als Differenz der ein- und ausstr¨ omenden Gr¨ oßen interpretiert werden, die an den ortsfesten Kontrollraumgrenzen vorliegen. Diese Vorgehensweise mag umst¨andlich erscheinen, sie erlaubt aber eine anschauliche physikalische Interpretation der einzelnen Teilschritte.

4.4

Allgemeine Bilanzgleichungen, dimensionsbehaftet

Die Bilanzen f¨ ur Masse, Impuls und Energie werden jetzt wie folgt aufgestellt: 1. Schritt: Formulierung der Lagrangeschen Bilanz, d.h. der Bilanz in bezug auf ein Fluidteilchen der Masse ∆m∗ , das sich zur Zeit t∗ im Volumen ∆V ∗ = ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ befindet, dieses aber wieder verl¨ aßt ¨ 2. Schritt: Ubergang auf die ortsfeste Eulersche Betrachtungsweise

52

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

3. Schritt: Ggf. Interpretation der Terme im Zusammenhang mit den konvektiven Ableitungen als Differenz der ein- und ausstr¨omenden Gr¨ oßen in bezug auf den ortsfesten Kontrollraum ∆V ∗ Diese Vorgehensweise ergibt die Bilanzgleichungen, die in Tab. 4.1 zusammengestellt sind und die im nachfolgenden Abschn. 4.5 n¨aher erl¨autert werden. Diese Gleichungen sind zur Kennzeichnung nicht mit den u ¨blichen Gleichungsnummern versehen, sondern erhalten sinnvoll gew¨ahlte Kennbuchstaben. In Tab. 4.1 weist der Stern an diesen Kennbuchstaben darauf hin, daß es sich um dimensionsbehaftete Gleichungen handelt. Diese Bilanzgleichungen sind allgemein g¨ ultig, d.h. sie gelten f¨ ur beliebige Fluide. Das konkrete Fluidverhalten ¨ außert sich erst nach Einf¨ uhrung von sog. Materialgleichungen. Dies sind: 1. konstitutive Gleichungen, die einen fluidspezifischen Zusammenhang zwischen dem sog. Spannungstensor in den Impulsgleichungen (Komponen∗ ∗ , τyx , . . . ) und dem Geschwindigkeitsfeld, sowie dem W¨armeten: τxx stromvektor in den Energiegleichungen (Komponenten: qx∗ , qy∗ , . . . ) und dem Temperaturfeld herstellen. 2. Stoffwertabh¨angigkeiten, d.h. Abh¨ angigkeiten der Dichte ∗ sowie weiterer, mit Einf¨ uhrung der konstitutiven Gleichungen auftretender Stoffwerte von Druck und Temperatur. Erst nach Einf¨ uhrung dieser Materialgleichungen k¨onnen die Bilanzgleichungen f¨ ur ein konkretes Fluid gel¨ ost werden, um die interessierenden Feldgr¨oßen Geschwindigkeit, Druck und Temperatur zu bestimmen. In Abschn. 4.6 werden konstitutive Gleichungen f¨ ur eine bestimmte Fluidklasse eingef¨ uhrt, die, eingesetzt in die allgemeinen Bilanzgleichungen, dann zu konkret anwendbaren Gleichungen f¨ uhren (Navier-Stokes-Gleichungen, s. Abschn. 4.7).

4.5

Erl¨ auterungen zu den allgemeinen Bilanzgleichungen

Im folgenden wird die Entstehung der Gleichungen in Tab. 4.1 erl¨autert, wobei der physikalische Hintergrund sowie die Bedeutung der einzelnen Terme deutlich werden sollen, nicht jedoch der Anspruch erhoben wird, jede formale Umformung im Detail aufzuf¨ uhren. F¨ ur solche Details der Herleitung sei verwiesen auf Oswatitsch (1959); Bird, Stewart and Lightfood (2002) oder Whitaker (1977). 4.5.1

Erl¨ auterungen zur Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ )

Die Grundaussage zur Massenerhaltung ist, daß ein Fluidelement der Masse ∆m∗ erhalten bleibt. F¨ ur seine Lagrangesche (teilchenfeste) Zeitableitung gilt

4.5

53

Erl¨ auterungen zu den allgemeinen Bilanzgleichungen

∂ D ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z Kontinuit¨ atsgleichung

∗  D∗ ∂v ∗ ∂w∗ ∗ ∂u +  + + =0 (K∗ ) Dt∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ x-Impulsgleichung
∗  ∗ ∗ ∂τyx ∂τxx Du∗ ∂p∗ ∂τzx ∗ ∗ = fx∗ − ∗ + + + Dt ∂x ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ y-Impulsgleichung
∗ ∗ ∗  ∂τxy ∂τyy ∂τzy Dv ∗ ∂p∗ ∗ ∗ = fy∗ − ∗ + + + Dt ∂y ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ z-Impulsgleichung
∗  ∗ ∗ ∂τyz ∂τxz Dw∗ ∂p∗ ∂τzz ∗ ∗ = fz∗ − ∗ + + + Dt ∂z ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Energiegleichung
∗  ∂qy∗ ∂qx DH ∗ ∂qz∗ ∗ = − + + D t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ +(u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ) +

(XI∗ )

(YI∗ )

(ZI∗ )

(E∗ ) ∂p∗ + D∗ ∂t∗

Teil-Energiegleichung (mechanische Energie)
∗  ∂p ∗ D Dp∗ ∗2 ∗2 ∗2 [u + v + w ] = − + D ∗ − Φ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt∗ +(u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ )

(ME∗ )

Teil-Energiegleichung (thermische Energie)
∗  ∂qy∗ ∂qx ∂qz∗ Dh∗ Dp∗ ∗ ∗ = − + + + Φ∗ + ∗ ∗ ∗ Dt ∂x ∂y ∂z Dt∗

(TE∗ )

Hilfsfunktionen in den Energiegleichungen :  ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u τxx + v ∗ τyx + ∂y∂ ∗ u∗ τxy + w∗ τzx + v ∗ τyy + w∗ τzy   ∗ ∗ ∗ + ∂z∂ ∗ u∗ τxz + v ∗ τyz + w∗ τzz Diffusion     ∗ ∂u∗ ∗ ∂v ∗ ∗ ∂w ∗ ∗ ∂u∗ ∗ ∂v ∗ ∗ ∂w ∗ + τ Φ∗ = τxx + τ + τ + τ + τ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ yx ∂x zx ∂ x xy ∂ y yy ∂y zy ∂ y ∂x   ∗ ∂u∗ ∗ ∂v ∗ ∗ ∂w ∗ + τxz ∂ z∗ + τyz ∂z∗ + τzz ∗ ∂z Dissipation D∗ =

Tab. 4.1:

∂ ∂x∗

Dimensionsbehaftete allgemeine Bilanzgleichungen in einem ortsfesten Koordinatensystem. D/Dt∗ steht abk¨ urzend f¨ ur die Summe aus lokaler und konvektiver Ableitung. Dimensionslose Version: s. Tab. 4.5

54

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

also (1. Schritt):

D∆m∗ =0 (4.4) Dt∗ Mit ∆m∗ = ∗ ∆V ∗ l¨ aßt sich dies (Differentiation eines Produktes) so schreiben, daß die Effekte der Dichte¨ anderung und die damit verbundene Volumen¨ anderung in getrennten Termen auftreten: ∆V ∗

D∗ Dt∗ 

Dichte¨ anderung

+ ∗

D∆V ∗ Dt∗  

=0

(4.5)

Volumen¨ anderung

¨ Der Ubergang auf das Eulersche, ortsfeste System (2. Schritt) ergibt mit (4.3), angewandt zun¨ achst nur auf die Volumen¨anderung : ⎡ ⎤ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ D ∂∆V ∂∆V ∂∆V ∂∆V ⎦=0 ∆V ∗ ∗ + ∗ ⎣ (4.6) + u∗ + v∗ + w∗ Dt ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Der erste Term in (4.6) wird zun¨ achst nicht mit (4.3) umgeschrieben. Da aber der Wechsel in das Eulersche, ortsfeste System erfolgt ist, steht D∗ /Dt∗ jetzt als formale Abk¨ urzung f¨ ur ∂∗ /∂t∗ + u∗ (∂∗ /∂x∗ ) + v ∗ (∂∗ /∂y ∗ ) + w∗ (∂∗ /∂z ∗) gem¨ aß (4.3). Zur Volumen¨anderung der Masse ∆m∗ kommt es, weil sich das zur Zeit t∗ vorhandene Volumen ∆V ∗ = ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ im allgemeinen Fall in einem Geschwindigkeitsfeld bewegt, das sich mit dem Ort ver¨andert. So wird z.B. die Kantenl¨ ange ∆x∗ des Volumens auf der Strecke ∂x∗ um ∂∆x∗ ver¨andert (s. Bild 4.1), weil der linke und rechte Endpunkt von ∆x∗ mit einer um ∆u∗ verschiedenen Geschwindigkeit f¨ ur die Dauer ∂t∗ in x∗ -Richtung bewegt worden sind. Somit gilt unmittelbar:
∗  ∂u ∗ ∆x ∂t∗ . (4.7) ∂∆x∗ = ∂x∗ 

 ∆u∗

Am Beispiel des in (4.6) durch Unterstreichung markierten Terms gilt also mit ∆V ∗ = ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ , ∂x∗ = u∗ ∂t∗ und ∂∆x∗ nach (4.7): ∗ u ∗

∂∆V ∗ ∂x∗

∂∆x∗ ∂x∗ (∂u∗ /∂x∗ )∆x∗ ∂t∗ ∂u∗ = ∗ u∗ ∆y ∗ ∆z ∗ = ∗ ∗ ∆V ∗ ∗ ∗ u ∂t ∂x = ∗ u∗ ∆y ∗ ∆z ∗

(4.8)

¨ Werden diese Uberlegungen gleichermaßen auf die y- und z-Komponente angewandt und wird die gesamte Gleichung durch ∆V ∗ dividiert, so ergibt sich unmittelbar die Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ ) in Tab. 4.1, wenn zus¨atzlich ∗ ∗ ∂∆V /∂t = 0 gesetzt wird, wie dies in der ortsfesten Eulerschen Betrachtungsweise gilt.

4.5

55

Erl¨ auterungen zu den allgemeinen Bilanzgleichungen

Zeitpunkt t∗ :

Zeitpunkt t∗ + ∂t∗ :

u∗ ∆z ∗ ∆y ∗

z∗

∆x∗ + ∂∆x∗

∆x∗

y∗ ∂x∗ = u∗ ∂t∗

x∗ Bild 4.1:

Bewegung des Massenelementes ∆m∗ in x-Richtung

Anmerkung 4.3:

Bilanzgleichungen in konservativer Form; Interpretation der Kontinuit¨ atsgleichung in der Eulerschen (ortsfesten) Betrachtungsweise

Die linken Seiten der Bilanzgleichungen in Tab. 4.1 sind (bis auf die Kontinuit¨ atsgleichung) einheitlich von der Form ∗ (DG∗ /Dt∗ ), wenn G∗ wiederum eine allgemeine physikalische Gr¨ oße darstellt. Ausgehend von (4.3) und unter Verwendung der Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ ) kann daf¨ ur ganz allgemein geschrieben werden ∗

DG∗ ∂(∗ G∗ ) ∂(∗ u∗ G∗ ) ∂(∗ v∗ G∗ ) ∂(∗ w ∗ G∗ ) = + + + . Dt∗ ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(4.9)

Diese Form bietet Vorteile bei der Integration der Gleichungen und wird konservative Form der Bilanzgleichungen genannt. Die Kontinuit¨ atsgleichung selbst kann ausgehend von (K∗ ) in Tab. 4.1 auf a ¨hnliche Weise in die folgende Form gebracht und danach sehr anschaulich interpretiert werden. ∂(∗ u∗ ) ∂(∗ v∗ ) ∂(∗ w ∗ ) ∂∗ + + + =0 ∗ ∗ ∗ ∂t ∂x ∂y ∂z ∗

(4.10)

Werden alle Terme mit dem konstanten Volumen ∆V ∗ = ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ , dem Bilanzvolumen der Eulerschen Betrachtungsweise multipliziert, so folgt mit ∗ ∆V ∗ = ∆m∗ : ∂∆m∗ ∂t∗

+

 

∂(∗ u∗ ∆y ∗ ∆z ∗ ) ∂x∗



zeitliche ¨ Anderung von ∆m∗ in ∆V ∗



∆x∗

Gradient des Massenstromes in x-Richtung +

∂(∗ v∗ ∆x∗ ∆z ∗ ) ∂y ∗





Gradient des Massenstromes in y-Richtung

∆y ∗ +

∂(∗ w ∗ ∆x∗ ∆y ∗ ) ∂z ∗





∆z ∗ = 0

Gradient des Massenstromes in z-Richtung (4.11)

56

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

¨ Es ist jetzt unmittelbar erkennbar, daß die zeitliche Anderung der Masse ∆m∗ im ortsfesten omenund unver¨ anderlichen Bilanzvolumen ∆V ∗ durch die Differenzen der ein- und ausstr¨ den Massen in x-, y- und z-Richtung zustande kommen und nicht etwa durch Erzeugung oder Vernichtung von Masse. Diese Differenzen sind jeweils das Produkt aus den Massenstromgradienten und der L¨ ange des Weges durch das Bilanzvolumen. F¨ ur eine ¨ ahnliche Interpretation der anderen Bilanzgleichungen empfiehlt es sich, diese zun¨ achst in die konservative Form (4.9) umzuschreiben. Anmerkung 4.4:

Spezialf¨ alle der allgemeinen Kontinuit¨ atsgleichung

In Abschn. 3.5.1 waren diejenigen Str¨ omungen als kompressibel eingef¨ uhrt worden, bei denen erhebliche Dichte¨ anderungen aufgrund von Druck¨ anderungen in der Str¨ omung auftreten. In diesen F¨ allen muß die vollst¨ andige Form der Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ ) verwendet werden. Als inkompressibel werden folgerichtig diejenigen Str¨ omungen bezeichnet, bei denen ur diese Str¨ omungen reduziert sich die Kontinuit¨ atsgleichung auf D∗ /Dt∗ = 0 gilt. F¨ ∂u∗ ∂v∗ ∂w ∗ + + =0 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(4.12)

Dabei wird in diesem Zusammenhang stillschweigend unterstellt, daß keine nennenswerten Dichte¨ anderungen aufgrund von Temperatureffekten auftreten, weil dann nat¨ urlich wieder die vollst¨ andige Form der Kontinuit¨ atsgleichung erforderlich w¨ are. Der Vergleich mit der vollst¨ andigen Kontinuit¨ atsgleichung (4.5) zeigt, daß bei inkompressiblen Str¨ omungen, f¨ ur die (4.12) gilt, die Fluidteilchen auf ihrem Weg durch das Str¨ omungsfeld keine Volumen¨ anderung erfahren. Dies kann in speziellen Str¨ omungssituationen durchaus in einem Feld mit variabler, ortsabh¨ angiger Dichte der Fall sein. Insofern ist die oftmals unterstellte Bedingung einer konstanten Dichte im gesamten Feld hinreichend (da dann D∗ /Dt∗ = 0 gilt) aber nicht notwendig. Ein Beispiel f¨ ur die besondere Situation von inkompressiblen Str¨ omungen in einem dichtevariablen Feld sind sog. innere Schwerewellen (s. dazu Lighthill (1978)).

4.5.2

Erl¨ auterungen zu den Impulsgleichungen (XI∗ ), (YI∗ ) und (ZI∗ )

Die Grundaussage zur Impulsbilanz ist das Newtonsche Axiom der Mecha¨ nik ( Tr¨ agheitsprinzip“) nach dem die zeitliche Anderung des Impulses eines ” K¨ orpers gleich der Summe aller an ihm angreifenden Kr¨afte ist. Bezogen auf ein Fluidelement der Masse ∆m∗ mit dem Impuls ∆m∗v ∗ heißt dies im Lagrangeschen, teilchenfesten System:  D ∗ ∗ Fi∗ (∆m  v ) = Dt∗ i bzw. ∆m∗

 Dv ∗ Fi∗ , = ∗ Dt i

(4.13)

da D(∆m∗v ∗ )/Dt∗ = ∆m∗ (Dv ∗ /Dt∗ )+v ∗ (D∆m∗ /Dt∗ ) und D∆m∗ /Dt∗ = 0 aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung (4.4) gilt. Als Kr¨afte Fi∗ treten auf:

4.5

Erl¨ auterungen zu den allgemeinen Bilanzgleichungen

57

1. Kr¨ afte, die als sog. Volumenkr¨afte am gesamten Volumen ∆V ∗ angreifen. Beispiele hierf¨ ur sind die Schwerkraft, Zentrifugalkr¨afte oder sog. Lorentz-Kr¨ afte (Kr¨ afte auf bewegte elektrische Ladungen in einem Magnetfeld). Bezieht man solche Kr¨ afte Fi∗ auf das Volumen ∆V ∗ , so soll gelten fi∗ = Fi∗ /∆V ∗

(4.14)

2. Kr¨ afte, die als sog. Oberfl¨achenkr¨afte gem¨ aß dem Schnittprinzip der Mechanik an den Oberfl¨ achen des herausgeschnittenen Fluidelementes ∆V ∗ angreifen. An einem w¨ urfelf¨ ormigen Fluidelement greifen Normal- und Tangentialkr¨ afte an den sechs Oberfl¨ achen an. Diese Kr¨afte k¨onnen formal durch einen Spannungstensor mit neun Komponenten (von denen aus Symmetriegr¨ unden jedoch nur sechs verschieden sind) ausgedr¨ uckt werden, wie dies in Bild 4.2 am Beispiel von zwei der neun Komponenten gezeigt ist. Die Kr¨ afte ergeben sich als Produkt der Spannungen mit den zugeh¨origen Fl¨ achen. Die Doppelindizierung an den Spannungen wird so gew¨ahlt, daß der erste Index die Fl¨ achen-Normalenrichtung angibt, der zweite Index die Richtung der zugeh¨ origen Kraft-Wirkungslinie. Die Kr¨afte an gegen¨ uberliegenden Fl¨ achen kompensieren sich weitgehend. Nur die Zuuhren zu effektiven w¨ achse u angen ∆x∗ , ∆y ∗ bzw. ∆z ∗ hinweg f¨ ¨ ber die L¨ Kr¨ aften auf das Fluidelement. Am Beispiel der in Bild 4.2 gezeigten zwei Komponenten sind dies die beiden Kr¨ afte
∗  
∗ ∂τzx ∂ τˆxx ∗ ∗ ∗ ∗ ∆x ∆z und ∆z (4.15) ∆y ∆x∗ ∆y ∗ . ∂x∗ ∂z ∗ Da also sowohl bei den Oberfl¨ achenkr¨ aften als auch bei den Volumenkr¨aften ∆V ∗ = ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ auftritt, s. (4.14), (4.15), kann die Impulsgleichung (4.13) mit ∆m∗ = ∗ ∆V ∗ insgesamt durch ∆V ∗ dividiert werden. Auf diese Weise entsteht die Form der drei Komponentengleichungen (XI∗ ), (YI∗ ) und (ZI∗ ) in Tab. 4.1, wenn noch eine Besonderheit im Zusammenhang mit dem Druck ber¨ ucksichtigt wird. W¨ ahrend im Grenzfall eines ruhenden Fluidteilchens (v ∗ = 0) alle Schubspannungen sowie die zugeh¨ origen Kr¨ afte verschwinden, bleiben f¨ ur die Normalspannungen endliche Werte. Die Normalspannungen entsprechen dann dem thermodynamischen Druck im Fluid, wie er f¨ ur ideale Gase z.B. in der thermischen Zustandsgleichung p∗ /∗ = R∗ T ∗ auftritt. Aus diesem Grund spaltet man den (negativen) Druck vom Spannungstensor ab und schreibt f¨ ur die drei Normalspannungskomponenten ∗ ∗ τˆxx = τxx − p∗

;

∗ ∗ τˆyy = τyy − p∗

;

∗ ∗ τˆzz = τzz − p∗ .

(4.16)

∗ ∗ ∗ Da τxx , τyy und τzz jetzt die Abweichungen vom statischen Druckzustand beschreiben, spricht man von deviatorischen Spannungen bzw. vom Devia-

58

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

∗ τzx +

∗ ∂τzx ∆z ∗ ∂z ∗ ∗ τˆxx

z∗

∗ τˆxx +

∗ ∂ τˆxx ∆x∗ ∂x∗

∗ τzx

y∗ x∗ Bild 4.2:

Normal- und Schubspannungen an einem Fluidelement am Beispiel der Nor∗ und der Schubspannung τ ∗ malspannung τˆxx zx

∗ torischen Spannungstensor. Zum Beispiel treten dann anstelle von ∂ τˆxx /∂x∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ die beiden Terme −∂p /∂x und ∂τxx /∂x in der Impulsgleichung (XI ) auf. Die bisherigen Erl¨ auterungen waren von der Lagrangeschen, teilchenfes¨ ur den Uberten Betrachtung des Impulses der Masse ∆m∗ ausgegangen. F¨ gang auf die ortsfeste, Eulersche Betrachtungsweise, w¨are nun die Zeitableitung D/Dt∗ gem¨aß (4.3) umzuschreiben. Die Beibehaltung der Schreibweise D/Dt∗ bedeutet dann die formale Abk¨ urzung f¨ ur die tats¨achlich vorliegende Kombination der zeitlichen und konvektiven Ableitungen. In der ortsfesten Betrachtung k¨ onnen diese Terme wieder als Differenz der ein- und ausfließenden Impulsstr¨ ome in bezug auf ein unver¨ anderliches Volumenelement ∆V ∗ interpretiert werden.

Anmerkung 4.5:

Druck in str¨ omenden Fluiden, Stokessche Hypothese, mechanischer Druck, modifizierter Druck

In ruhenden Fluiden herrscht der thermodynamische Druck p∗ . Es ist nun keineswegs selbstverst¨ andlich, daß auch in str¨ omenden Fluiden Messungen der Normalspannungen den thermodynamischen Druck p∗ ergeben. Definiert man einen mechanischen Druck p∗mech als erste Invariante des Spannungstensors (Summation l¨ angs der Hauptdiagonalen), also als: p∗mech = −

  1 ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ τˆ + τˆyy + τˆzz = p∗ − τ + τyy + τzz , 3 xx 3 xx

(4.17)

so entsteht die Frage nach der Beziehung zwischen dem thermodynamischen und dem ¨ mechanischen Druck. Aufgrund von Uberlegungen zur Energiedissipation bei Kompression und Expansion gelangt man zu dem Ansatz p∗mech − p∗ = −

µ∗ D∗ ∗ Dt∗

wobei µ∗ die sog. Volumenviskosit¨ at ist. Die Differenz beider Dr¨ ucke wird also proportional zur Dichte¨ anderung D∗ /Dt∗ gesetzt. Damit sind beide Dr¨ ucke in inkompressiblen Str¨ omungen gleich (D∗ /Dt∗ = 0). Auch f¨ ur kompressible Str¨ omungen wird in den meisten F¨ allen p∗mech = p∗ gesetzt, was µ∗ = 0 unterstellt und als Stokessche Hypothese bezeichnet wird. Nennenswerte Abweichungen zwischen p∗mech und p∗ treten nur in Extremsituationen, wie z.B. bei Verdichtungsst¨ oßen auf.

4.5

59

Erl¨ auterungen zu den allgemeinen Bilanzgleichungen

Im folgenden wird der Druck stets im Sinne des thermodynamischen Druckes p∗ benutzt. Dieser ist selbst in einem ruhenden Fluid aber keineswegs konstant, sondern aufgrund der sog. hydrostatischen Druckverteilung eine Funktion der H¨ ohe, wie in der sp¨ ateren Anmerkung 6.1/S. 129/ gezeigt wird. F¨ ur diesen Druck im statischen Feld gilt grad p∗st = ∗g ∗ . Da eigentlich nur interessiert, welcher zus¨ atzliche Druck durch die Str¨ omung entsteht, wird h¨ aufig der sog. modifizierte Druck p∗mod = p∗ − p∗st

(4.18)

eingef¨ uhrt (aber leider nicht immer durch einen entsprechenden Index gekennzeichnet). Bei konstanter Dichte vereinfacht dies die Gleichungen (s. Tab. 4.3a, Tab. 4.7a); bei Str¨ omungen mit Auftrieb entstehen unter Verwendung von (4.18) die Auftriebsterme in den Gleichungen (s. Anmerkung 4.13/S. 78).

4.5.3

Erl¨ auterungen zu den Energiegleichungen (E∗ ), (ME∗ ) und (TE∗ )

Die Grundaussage zur Energiebilanz ist der erste Hauptsatz der Thermody¨ namik, nach dem die zeitliche Anderung der Energie eines geschlossenen Systems (K¨ orper) gleich der Summe aus der an ihm geleisteten (mechanischen) Arbeit sowie der u arme ist. In bezug auf ein Fluidelement der ¨bertragenen W¨ Masse ∆m∗ mit der spezifischen Energie als Summe aus spezifischer innerer (e∗ ) und spezifischer kinetischer Energie ( 12 v ∗2 ) gilt damit zun¨achst als Lagrangesche, teilchenfeste Aussage
  D 1 ∗2 ∗ ∗  v + + Q∗ ∆m e = P∗ (4.19) Dt∗ 2 zeitl. Energie¨ anderung

mechanische Leistung

W¨ armestrom

bzw. ∆m∗

D Dt∗


 1 e∗ + v ∗2 = P ∗ + Q∗ 2

(4.20)

da wiederum D∆m∗ /Dt∗ = 0 aufgrund der Kontinuit¨atsgleichung (4.4) gilt. uckDie Form der Energiegleichung (E∗ ) in Tab. 4.1 entsteht nun unter Ber¨ sichtigung folgender Umformungen: 1. Einf¨ uhrung der spez. Gesamtenthalpie H ∗ als 1 H ∗ = h∗ + v ∗2 2

mit

h∗ = e ∗ +

p∗ , ∗

(4.21)

wobei h∗ die spezifische Enthalpie ist, die in der Thermodynamik vorwiegend f¨ ur offene, durchstr¨ omte Systeme eingef¨ uhrt wird. Damit wird auf der linken Seite von (4.20) der Term ∆m∗ D(p∗ /∗ )/Dt∗ addiert, was entsprechend auf der rechten Seite ber¨ ucksichtigt werden muß, s. dazu den nachfolgenden Punkt 2.

60

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

2. Bestimmung der mechanischen Leistung P ∗ als Arbeit der angreifenden Kr¨ afte pro Zeiteinheit. Diese Kr¨ afte waren im Zusammenhang mit der Impulsbilanz bereits identifiziert worden. Die Volumenkraft (fx∗ ,fy∗ ,fz∗ ) f¨ uhrt skalar mit dem Geschwindigkeitsvektor multipliziert auf einen Term (u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ )∆V ∗ , der bis auf ∆V ∗ so auch auf der rechten Seite von (E∗ ) auftritt. Die Oberfl¨ achenkr¨ afte aufgrund der Schubspannungen leisten die Arbeiten, die im Term D∗ zusammengefaßt sind. Aufgrund ihrer mathematischen Struktur kann die Wirkung als Diffusion“ interpretiert werden. ” ∗ ∗ , τyy In D∗ nach Tab. 4.1 sind allerdings nur die deviatorischen Anteile τxx ∗ und τzz der Normspannungen enthalten, so daß die restlichen“ Anteile ” ∗ (−p∗ , s. (4.16)) der eigentlich wirksamen vollen Normalspannungen τˆxx , ∗ ∗ ∗ τˆyy und τˆzz noch explizit außerhalb von D vorhanden sind. Diese k¨onnen ¨ mit den Drucktermen zusammengefaßt werden, die beim Ubergang auf die Gesamtenthalpie auf der rechten Seite entstehen und ergeben insgesamt einen Term (∂p∗ /∂t∗ )∆V ∗ , der bis auf ∆V ∗ auf der rechten Seite von (E∗ ) auftritt. 3. Bestimmung des W¨ armestromes Q∗ , d.h. der pro Zeiteinheit effektiv in arme. Als Differenz der ein- und das Fluidteilchen ∆m∗ u ¨ bertragenen W¨ ausfließenden W¨ armestr¨ ome in den drei Raumrichtungen gilt daf¨ ur Q∗ = −




∂qy∗ ∂qx∗ ∂q ∗ + ∗ + z∗ ∗ ∂x ∂y ∂z



∆V ∗

(4.22)

wobei qx∗ , qy∗ , qz∗ die W¨ armestromdichten, d.h. die W¨armestr¨ome pro Fl¨ache, in der jeweiligen Koordinatenrichtung sind. 4. Division der ganzen Gleichung durch ∆V ∗ . Dieses Fluidteilchen-Volumen tritt implizit auf der linken Seite von (4.20) in ∆m∗ = ∗ ∆V ∗ auf, sowie explizit in den Formulierungen f¨ ur P ∗ und Q∗ . Die danach zun¨ achst in der Lagrangeschen (teilchenfesten) Betrachtungsweise entstandene Energiegleichung (E∗ ) kann nun wieder als Bilanzgleichung f¨ ur ein ortsfestes Kontrollvolumen (Eulersche Betrachtungsweise) interpretiert werden. Dabei steht dann D/Dt∗ als formale Abk¨ urzung f¨ ur die Summe aus lokaler und konvektiver Ableitung gem¨ aß (4.3). Im Rahmen dieser Betrachtungsweise k¨ onnen die konvektiven Terme wiederum als Differenz der ein- und ausfließenden Energiestr¨ ome interpretiert werden. Tab. 4.1 enth¨ alt neben der eigentlichen Energiegleichung (E∗ ) noch die beiden Teil- Energiegleichungen (ME∗ ) und (TE∗ ). Diese sind in der Summe exakt die Energiegleichung (E∗ ), d.h. sie stellen eine Aufspaltung von (E∗ ) in einen mechanischen“ Anteil und einen thermischen“ Anteil dar. Diese ” ” Aufspaltung wird m¨ oglich, weil die Gleichung f¨ ur die mechanische Energie auf einem eigenen Weg gewonnen werden kann und die Gleichung f¨ ur die thermische Energie dann als Differenz zwischen (E∗ ) und (ME∗ ) entsteht.

4.6

Spezielle konstitutive Gleichungen, dimensionsbehaftet

61

Die Gleichung f¨ ur die mechanische Energie (ME∗ ) entsteht, indem die Impulsgleichung mit der Geschwindigkeit multipliziert wird. Da die Impulsgleichung eine vektorielle Gleichung mit den drei Komponenten (XI∗ ), (YI∗ ) und (ZI∗ ) ist, entsteht (ME∗ ) als das Skalarprodukt (XI∗ ) · u∗ +(YI∗ ) · v ∗ +(ZI∗ ) · w∗ . Neben der Termgruppe D∗ , die, wie schon zuvor erw¨ahnt, als Diffusi” on“ interpretiert werden kann, entsteht dabei eine Termkombination Φ∗ , die einen Dissipationsprozeß beschreibt. Diese Gr¨ oße tritt in der Gesamtenergiegleichung (E∗ ) nicht explizit auf, so daß Φ∗ mit umgekehrtem Vorzeichen in der zweiten Teil- Energiegleichung (TE∗ ) auftreten muß. Dies entspricht genau dem physikalischen Charakter des Dissipationsprozesses: ein gewisser Anteil der mechanischen Energie wird in innere (thermische) Energie umgewandelt, geht also der mechanischen, nicht aber der Gesamtenergie verloren. Tab. 4.1 zeigt, daß eine Aufspaltung der Energiegleichung in die beiden Teil-Energiegleichungen offensichtlich ganz allgemein m¨oglich ist. Dies ist allerdings nur dann wirklich von Nutzen, wenn diese Teil-Energiegleichungen auch unabh¨ angig voneinander ausgewertet werden k¨onnen. Das ist jedoch nur ur inkompressible Str¨omungen. Bei bei konstanter Dichte ∗ der Fall, also f¨ kompressiblen Str¨omungen liegt eine Kopplung beider Gleichungen vor, weil die Dichte dann temperaturabh¨ angig ist und durch die thermische Energiegleichung mitbestimmt wird. Dar¨ uber hinaus erkennt man, daß dann nicht nur die Gesamt-Energiegleichung ben¨ otigt wird, sondern auch das Str¨omungsfeld nicht unabh¨ angig vom Temperaturfeld bestimmt werden kann, weil die Dichte auch in den Impulsgleichungen auftritt. Kompressible Str¨omungen erfordern also stets die gemeinsame Betrachtung der Impuls- und Energiegleichung, w¨ ahrend bei inkompressiblen Str¨ omungen zun¨achst die Str¨omung auf der Basis der Impulsgleichungen berechnet werden kann. Bei Bedarf kann danach die Energiegleichung als Ganzes oder in zwei Teilen (mechanische, thermische Energie) berechnet werden. Anmerkung 4.6:

Potentielle Energie als Teil der Gesamtenergie bzw. -enthalpie

Bisweilen wird die Gesamtenergie bzw. die Gesamtenthalpie (d.h. die Gesamtenergie er∗ eingef¨ g¨ anzt um den Term p∗ /∗ ) abweichend von (4.21) als H ∗ = h∗ + 12  v ∗2 + ψpot uhrt. ∗ hinzugenommen, die in dem VoGegen¨ uber (4.21) wird also die potentielle Energie ψpot lumenkraftterm  v ∗ · f∗ enthalten ist. Der Kraftvektor in einem solchen Potentialfeld ist ∗ = −∗ grad ψ ∗ . Mit dem zus¨ ∗ in der Gesamtenthalpie, also dem atzlichen Term ψpot fψ pot ∗ ∗ ∗ zus¨ atzlichen Term  Dψpot /Dt auf der linken Seite der Energiegleichung (E∗ ) tritt dann ∗ /Dt∗ = ∗ ∂ψ ∗ /∂t∗ −  ∗ auf. formal auf der rechten Seite ∗ Dψpot v ∗ · fψ pot ∗ ∗ Wenn f die einzige Volumenkraft f in der Energiegleichung (E∗ ) ist, heben sich ψ

∗ und  ∗ ist v ∗ · f∗ auf. F¨ ur ein station¨ ares, d.h. zeitunabh¨ angiges Potential ψpot − v ∗ · fψ ∗ /∂t∗ null. dar¨ uber hinaus der neue zus¨ atzliche Term ∗ ∂ψpot

4.6

Spezielle konstitutive Gleichungen, dimensionsbehaftet

Wie in Abschn. 4.4 bereits erl¨ autert, sind die allgemeinen Bilanzgleichungen f¨ ur ein konkretes Fluid erst dann einsetzbar, wenn dessen Materialverhal-

62

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

ten in den Bilanzgleichungen ber¨ ucksichtigt wird. Neben der Konkretisierung der m¨ oglichen Druck- und Temperaturabh¨ angigkeit vorkommender Stoffwerte (in Tab. 4.1 zun¨ achst nur die Dichte) betrifft dies die Impuls- und die Energiegleichungen. 4.6.1

∗ in den ImpulsgleichunKonstitutive Gleichungen f¨ ur τij gen / Newtonsche Fluide

Die auf den rechten Seiten der Impulsgleichungen auftretenden Komponen∗ ∗ ten des (deviatorischen) Spannungstensors, τxx , τyx , . . . entstehen physikalisch durch die Wirkung des Geschwindigkeitsfeldes. F¨ ur jedes interessierende Fluid m¨ ußte also die Frage beantwortet werden, welche lokalen Spannungskomponenten (als Ursache f¨ ur die Oberfl¨ achenkr¨afte an den infinitesimalen Fluidelementen) aufgrund einer lokalen Geschwindigkeitsverteilung auftreten. Um nun nicht jedes neue Fluid auf diese Frage hin untersuchen zu m¨ ussen, geht man den umgekehrten Weg: Es werden sinnvolle mathematische Ans¨ atze f¨ ur den gesuchten Zusammenhang aufgestellt, die insbesondere alle physikalisch begr¨ undbaren Bedingungen erf¨ ullen, und es wird dann u uft, welche Fluide in hinreichender ¨ berpr¨ Genauigkeit das so beschriebene Verhalten zeigen. Dabei ist es naheliegend, zun¨ achst die einfachst m¨ oglichen Ans¨ atze daraufhin zu u ufen, ob sie als ¨ berpr¨ konstitutive Gleichung f¨ ur interessierende Fluide in Frage kommen. In diesem Sinne wurde bereits von I. Newton (1643–1727) der lineare Ansatz: ∂v ∗ ∗ )kl k∗ (4.23) τij∗ = (Bij ∂xl f¨ ur die neun Komponenten des deviatorischen Spannungstensors gew¨ahlt. Die Indexschreibweise bedeutet in diesem Zusammenhang, daß i, j, k und l jeweils die Werte 1, 2 oder 3 annehmen k¨ onnen und bezogen auf kartesische Koordinaten den x-, y- oder z-Koordinaten entsprechen. Damit steht also ur die x-Koordinate und v1∗ f¨ ur die Geschwindigkeitskomponente in z.B. x∗1 f¨ x-Richtung, also f¨ ur u∗ nach der bisher verwendeten Bezeichnung. Zus¨atzlich gilt, daß bei doppelt auftretenden Indizes in einem Term die Summe der entsprechenden Terme u ¨ ber alle vorgesehenen Indexwerte hinweg zu bilden ist (Summationskonvention bei Indexschreibweise). Da auf der rechten Seite von (4.23) sowohl k als auch l doppelt auftreten, entspricht dieser Term f¨ ur jede der neun m¨ oglichen Kombinationen ij der Summe aus wiederum neun einzelnen Termen, die jeweils bis auf eine thermodynamische Konstante“ alle ” neun m¨ oglichen Geschwindigkeitsgradienten (∂u∗ /∂x∗ , ∂u∗ /∂y ∗ , . . .) darstellen. Die Konstanten“ k¨ onnen bei Reinstoffen noch von zwei thermodynami” schen Gr¨ oßen, z.B. vom Druck und von der Temperatur, abh¨angen. ∗ )kl unabh¨ angig vom Geschwindigkeitsfeld sind, stellt (4.23) Da die (Bij also einen linearen Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Geschwindigkeitsgradienten her. Jede der neun Spannungskomponenten τij∗ wird

4.6

Spezielle konstitutive Gleichungen, dimensionsbehaftet

63

durch (4.23) mit den neun m¨ oglichen Geschwindigkeitsgradienten linear ver∗ kn¨ upft. Dabei treten also zun¨ achst 81 Konstanten (Bij )kl auf. Die Geschwindigkeit selbst spielt keine Rolle, da Spannungen als Ursache von Oberfl¨achenkr¨ aften am infinitesimalen Fluidelement nur auftreten, wenn das Element in einem sich ver¨ andernden Geschwindigkeitsfeld deformiert wird, nicht aber, wenn es mit konstanter Geschwindigkeit lediglich eine translatorische Bewegung erf¨ ahrt. Zweite und h¨ ohere Ableitungen der Geschwindigkeit sowie Produkte von Ableitungen w¨ aren als Ansatz denkbar, werden aber in dem einfachst m¨ oglichen Ansatz (4.23) zun¨ achst nicht ber¨ ucksichtigt. In diesen mathematischen Ansatz (4.23) fließen nun folgende physikalische ¨ Uberlegungen ein: ∗ . Dies ist eine 1. Der Spannungstensor ist symmetrisch, d.h. es gilt τij∗ = τji direkte Folge der Annahme, daß sich die Drehmomente aller Molek¨ ule, die ein Fluidelement bilden, im Mittel aufheben, weil die Molek¨ ule einer zuf¨ alligen Orientierung unterliegen. Damit entfallen prinzipiell m¨ogliche Oberfl¨ achenmomente an den Fluidelementen.

2. Das Fluid besitzt keine bevorzugte Orientierung. Man nennt dies isotrop. 3. Schubspannungs- und Normalspannungskomponenten des Spannungstensors weisen unterschiedliche Abh¨ angigkeiten von den Geschwindigkeitsgradienten auf und werden deshalb getrennt formuliert. 4. Die sog. Volumenviskosit¨ at kann vernachl¨ assigt werden, s. dazu Anmerkung 4.5/S. 58. Unter Ber¨ ucksichtigung dieser vier Punkte kann (4.23) so pr¨azisiert werden, daß daraus die in Tab. 4.2 enthaltenen Spannungskomponenten entstehen. ∗ Anstelle der urspr¨ unglich 81 Stoffwerte (Bij )kl tritt nur ein einziger (!) ska∗ larer Stoffwert η auf. In den (deviatorischen) Normalspannungen ist durch die Subtraktion von 2 ∗ ∗ ∗ div v ∗ sichergestellt, daß τxx +τyy +τzz = 0 gilt, da unterstellt wird, daß der 3 ∗ omenden Fluiden den Druck darstellt, thermodynamische Druck p auch in str¨ s. Punkt 4 der obigen Annahmen. Es zeigt sich nun, daß eine ganze Reihe gerade auch technisch wichtiger Fluide, wie Luft und Wasser, in sehr guter N¨ aherung durch die Form der Materialgleichung nach Tab. 4.2 beschrieben werden. Als stoffspezifische Gr¨oße verbleibt nur die sog. dynamische Viskosit¨at, die gem¨aß dem urspr¨ unglichen Ansatz (4.23) eine thermodynamische Konstante“ darstellt, die bei Rein” stoffen von zwei Gr¨ oßen (z.B. Druck und Temperatur) abh¨angt. In vielen F¨allen wird diese Abh¨ angigkeit in erster N¨ aherung vernachl¨assigt und η ∗ als echte“ stoffspezifische Konstante behandelt. ” Stoffe mit einem τij∗ -Materialverhalten gem¨ aß Tab. 4.2 werden als Newtonsche Fluide bezeichnet, alle anderen folgerichtig als Nicht-Newtonsche Fluide (vgl. dazu auch Abschnitt 1.2.2). Ist z.B. die zuvor unterstellte Isotropie nicht erf¨ ullt, weil Fluide mit langkettigen Molek¨ ulen dazu neigen, diese unter der Wirkung von Scherbewegungen in einer bestimmten Richtung auszurichten,

64

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

div v ∗ =

τij∗ f¨ ur ein Newtonsches Fluid : Tangentialspannungen

∗  ∂v ∂u∗ ∗ ∗ τxy = τyx = η∗ + ; ∂x∗ ∂y ∗

 ∂w∗ ∂v ∗ + ; ∂y ∗ ∂z ∗

∗  ∂u ∂w∗ = η∗ + ∂z ∗ ∂x∗

∗ ∗ = τzy = η∗ τyz ∗ ∗ = τxz τzx

∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗



(Deviatorische) Normalspannungen



 2 2 ∂u∗ ∂v ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ τxx = η 2 ∗ − div v ; τyy = η 2 ∗ − div v ; ∂x 3 ∂y 3

 ∗ 2 ∂w ∗ ∗ ∗ τzz = η 2 ∗ − div v ∂z 3 qi∗ f¨ ur Fouriersche W¨armeleitung : W¨ armestromdichte qx∗ = −λ∗ Tab. 4.2:

∂T ∗ ; ∂x∗

qy∗ = −λ∗

∂T ∗ ; ∂y ∗

qz∗ = −λ∗

∂T ∗ ∂z ∗

Spezielle konstitutive Gleichungen, dimensionsbehaftet; Newtonsche Fluide/Fouriersches W¨ armeleitungsverhalten; Dimensionslose Version: s. Tab. 4.6 ∗ , τ∗ ∗ Beachte: die Terme − 23 div  v ∗ in τxx yy und τzz stellen sicher, daß ∗ + τ ∗ + τ ∗ = 0 gilt, s. dazu Anmerkung 4.5/S. 58/ (Druck in str¨ τxx omenden yy zz Fluiden, Stokessche Hypothese)

so k¨ onnen erhebliche Abweichungen von einem Newtonschen Fluidverhalten auftreten. Ein weiter Zweig der Str¨ omungsmechanik, die Rheologie, befaßt sich speziell mit dem Str¨ omungsverhalten Nicht-Newtonscher Fluide, s. dazu z.B. B¨ ohme (1981). 4.6.2

Konstitutive Gleichungen f¨ ur qi∗ in den Energiegleichungen / Fouriersches W¨ armeleitungsverhalten

In der allgemeinen Energiebilanzgleichung treten die drei Komponenten qx∗ , qy∗ und qz∗ des W¨armestromdichtevektors auf. Da W¨armestr¨ome fließen, wenn Temperaturgradienten auftreten, besteht der einfachste lineare Ansatz f¨ ur den W¨ armestrom aus der direkten Proportionalit¨at zwischen dem W¨armestrom(vektor) und dem Temperaturgradienten(vektor). Unterstellt man dar¨ uber hinaus die Isotropie der W¨armeleitung (Richtungsunabh¨ angigkeit), so kann mit einer einzigen stoffspezifischen Konstan-

4.7

Navier-Stokes-Gleichungen, dimensionsbehaftet

65

ten λ∗ angesetzt werden q ∗ = −λ∗ grad T ∗ =⇒

qx∗ = −λ∗

∂T ∗ ; ∂x∗

qy∗ = −λ∗

∂T ∗ ; ∂y ∗

qz∗ = −λ∗

∂T ∗ , ∂z ∗

(4.24)

wie dies in Tab. 4.2 aufgenommen worden ist. Die Konstante λ∗ ist die sog. W¨armeleitf¨ahigkeit des Fluides. Das Minuszeichen ber¨ ucksichtigt, daß ein W¨ armestrom stets in Richtung abnehmender Temperatur fließt, so daß λ∗ in (4.24) dann stets ein positiver Zahlenwert ist. Der Ansatz (4.24) geht auf J. Fourier (franz¨osicher Mathematiker und Physiker, 1768–1830) zur¨ uck, und wird gelegentlich als Fouriersches W¨armeleitungsgesetz bezeichnet. Die f¨ alschliche Bezeichnung Gesetz“, obwohl es ” lediglich ein Ansatz f¨ ur eine konstitutive Gleichung ist, r¨ uhrt offensichtlich daher, daß mit (4.24) das W¨ armeleitungsverhalten fast aller Stoffe mit hoher Genauigkeit wiedergegeben wird.

4.7

Navier-Stokes-Gleichungen, dimensionsbehaftet

Die mathematische Grundlage f¨ ur die Berechnung sehr vieler Str¨omungen sind die sog. Navier-Stokes-Gleichungen, die auf M. Navier (ver¨offentlicht 1827) und G. G. Stokes (ver¨ offentlicht 1849) zur¨ uckgehen. Sie entstehen aus den allgemeinen Bilanzgleichungen des Abschn. 4.4 durch folgende Zusatzannahmen, gelten also gem¨ aß diesen Einschr¨ ankungen: 1. Als konstitutive Gleichungen f¨ ur τij∗ gelten die Newtonschen Ans¨atze gem¨ aß Tab. 4.2 2. Die einzig vorkommende Volumenkraft ist die Schwerkraft mit f∗ = ∗g ∗ . (Gelegentlich wird auch die allgemeine Volumenkraft f∗ beibehalten). In Tab. 4.3a sind die Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur den Spezialfall konstanter Stoffwerte aufgef¨ uhrt. Erg¨ anzend dazu enth¨ alt Tab. 4.3b die zugeh¨ origen Energiegleichungen, die jetzt ebenfalls f¨ ur konstante Stoffwerte formuliert sind und in die neben den ur qi∗ eingesetzt Newtonschen Ans¨ atzen f¨ ur τij∗ auch die Fourierschen Ans¨atze f¨ worden sind. ur die thermische Energie ist in die Die Teil-Energiegleichungen (TE∗cp ) f¨ sog. Temperaturform umgeschrieben worden, die h¨aufig f¨ ur die Anwendung geeigneter ist als die Enthalpieform. Dazu wird zun¨achst das vollst¨andige Differential der Funktion h∗ (T ∗ , p∗ ) gebildet, also Dh∗ =




∂h∗ ∂T ∗

 p

DT ∗ +




∂h∗ ∂p∗

 T

Dp∗ .

66

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + ∗+ =0 ∗ ∂x ∂y ∂z ∗

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z (K∗cp )

x-Impulsgleichung

2 ∗  ∂p∗ ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ ∂ u Du∗ ∗ ∗ = ∗ gx∗ − ∗ + η ∗ + + Dt ∂x ∂x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2

(XI∗cp )

y-Impulsgleichung

2 ∗  ∗ ∂p∗ ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∗ Dv ∗ ∗ ∗ ∂ v  =  gy − ∗ + η + ∗2 + ∗2 Dt∗ ∂y ∂x∗2 ∂y ∂z

(YI∗cp )

z-Impulsgleichung

2 ∗  ∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ Dw ∗ ∗ ∗ ∂ w  =  gz − ∗ + η + + D t∗ ∂z ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2

(ZI∗cp )

Tab. 4.3a:

Navier-Stokes-Gleichungen, dimensionsbehaftet, konstante Stoffwerte; (Newtonsches Fluidverhalten) Beachte: Mit dem modifizierten Druck p∗mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂x ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂y ∂y ∗

∗ gz∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ∗ ∂z ∂z ∗

Dimensionslose Version: s. Tab. 4.7a

Dann wird c∗p = (∂h∗ /∂T ∗)p als spez. W¨ armekapazit¨at bei konstantem Druck eingef¨ uhrt und ber¨ ucksichtigt, daß f¨ ur (∂h∗ /∂p∗ )T gilt

∗ ∂h 1 1 ∂∗ ∗ ∗ ∗ = (1 − β T ) ; β = − . ∂p∗ T ∗ ∗ ∂T ∗ p Dies folgt aus der Existenz der thermodynamischen Fundamentalgleichung g ∗ = h∗ −T ∗ s∗ und der daraus ableitbaren Maxwell-Beziehung (∂s∗ /∂p∗ )T = −(∂(1/∗ )/∂T ∗)p , mit s∗ als spezifischer Entropie. F¨ ur konstante Stoffwerte ist der sog. W¨ armeausdehnungskoeffizient β ∗ gleich Null, so daß insgesamt die linke Seite von Gleichung (TE∗ ) in Tab. 4.1 wie folgt ersetzt wird und damit zur Temperaturform der thermischen Eneruhrt: giegleichung (TE∗cp ) in Tab. 4.3b f¨ ∗

∗ Dh∗ Dp∗ ∗ ∗ DT =  c + p Dt∗ Dt∗ Dt∗

Die Bezeichnung der Gleichungen erfolgt analog zu Tab. 4.1 . Durch den Zusatz cp ist gekennzeichnet, daß jetzt konstante Stoffwerte (engl. f¨ ur: constant properties) angenommen worden sind. F¨ ur die L¨ osung der Gleichungen aus Tab. 4.3 m¨ ussen die dem jeweiligen Problem angepaßten Rand- und Anfangsbedingungen gegeben sein. Neben

4.7

67

Navier-Stokes-Gleichungen, dimensionsbehaftet

Energiegleichung ∗

2 ∗  ∂2T ∗ ∂2T ∗ DH ∗ ∗ ∂ T = λ + + D t∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2 +∗ [u∗ gx∗ + v ∗ gy∗ + w∗ gz∗ ] +

(E∗cp ) ∂p∗ + D∗ ∂t∗

Teil-Energiegleichung (mechanische Energie)
∗  ∂p ∗ D Dp∗ ∗2 ∗2 ∗2 [u + v + w ] = − + D ∗ − Φ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt∗ +∗ [u∗ gx∗ + v ∗ gy∗ + w∗ gz∗ ] Teil-Energiegleichung (thermische Energie; Temperaturform)

2 ∗  ∂ T DT ∗ ∂2T ∗ ∂2T ∗ ∗ c∗p ∗ = λ∗ + + + Φ∗ Dt ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(ME∗cp )

(TE∗cp )

Hilfsfunktionen in den Energiegleichungen :

∗2

∗ 

∗  ∂v ∗ ∂u∗ ∂ ∂u ∗ ∂u ∗ ∂w D∗ = η ∗ + v + + + w ∂x∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂x∗ ∂x∗ ∂z ∗

∗ 

∗  ∂ ∂v ∗2 ∂u∗ ∂w∗ ∗ ∂v ∗ ∂v + ∗ + u + + + w ∂y ∂y ∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∂y ∗

∗ 

∗  ∂ ∂w∗2 ∂u∗ ∂w∗ ∗ ∂w ∗ ∂v + ∗ + u + + + v ∂z ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂z ∗ ∂y ∗ Diffusion 

2 ∗ 2 ∗ 2  ∂v ∂w ∂u∗ ∗ ∗ Φ = 2η + + ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗ 

 2 ∗ 2  2

∂v ∗ ∂w∗ ∂w ∂u∗ ∂v ∗ ∂u∗ ∗ +η + ∗ + ∗ + ∗ ∂x∗ ∂y ∂y ∗ ∂z ∂x∗ ∂z Dissipation Tab. 4.3b:

Energiegleichungen, dimensionsbehaftet, konstante Stoffwerte; (Fouriersche W¨ armeleitung) Dimensionslose Version: s. Tab. 4.7b.

den Anfangswerten bez¨ uglich der Zeit m¨ ussen bestimmte Bedingungen am Rand des L¨ osungsgebietes eingehalten werden. Bei der Bestimmung dieser Randbedingungen sollte man unterscheiden, ob der Rand des L¨osungsgebietes mit einer Fluidgrenze (feste Wand, freie Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ache) zusammenf¨ allt, oder ob er willk¨ urlich“ im Fluidgebiet gesetzt wird, um das ” L¨osungsgebiet zu begrenzen. Im letzteren Fall setzt eine physikalisch sinn-

68

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

volle Formulierung der Randbedingungen eigentlich die Kenntnis der L¨osung am Rand voraus. Deshalb wird man versuchen, solche willk¨ urlichen“ Be¨” grenzungen nur dort zu legen, wo aus physikalischen Uberlegungen auf die Eigenschaften der L¨ osung geschlossen werden kann. Ein Beispiel hierf¨ ur ist eine Begrenzung des L¨ osungsgebietes weit stromabw¨arts, wo h¨aufig ein ausgebildeter (in Str¨ omungsrichtung unver¨ anderlicher) Zustand erwartet werden kann. Als Randbedingung an einer festen Wand gilt in der Regel die schon im Abschn. 3.1 erw¨ ahnte Haftbedingung, die besagt, daß die Fluidteilchen mit unmittelbarer Wandber¨ uhrung keine tangentiale Relativgeschwindigkeit gegen¨ uber der Wand aufweisen. Eine Ausnahme hiervon kann nur bei Str¨omungen in Mikrokan¨ alen oder bei Str¨ omungen von stark verd¨ unnten Gasen auftreten (Abweichungen vom Kontinuum). Letztere spielen nur in Extremf¨allen eine Rolle, wie z.B. bei der Vorderkantenumstr¨omung im Hyperschallbereich. Im Rahmen diese Buches gilt stets die Haftbedingung an der Wand, also u∗tangential, Fluid = u∗tangential, Wand .

(4.25)

∗ , Die Haftbedingung gilt unabh¨ angig von der Normalgeschwindigkeit vnormal obwohl bei einer por¨ osen Wand der Ersatz vieler kleiner Einzelstrahlen durch eine kontinuierliche Ausblaseverteilung bez¨ uglich der Haftbedingung nicht unproblematisch ist. Die Differenz der Normalgeschwindigkeiten zwischen ∗ unden bei einer unFluid und Wand vrel, Fluid ist aus kinematischen Gr¨ durchl¨ assigen Wand null. Sie ist von Null verschieden, wenn u ¨ ber eine por¨ose Wand Fluid abgesaugt oder ausgeblasen wird, d.h. im Fall einer por¨osen Wand gilt ∗ ∗ ∗ vnormal, (4.26) Fluid = vnormal, Wand + vrel, Fluid .

F¨ ur die Temperatur als skalare Gr¨ oße wird analog zur Haftbedingung angenommen, daß es keinen Temperatursprung zwischen Wand und angrenzendem Fluid gibt, lokal also thermisches Gleichgewicht herrscht. Somit gilt ∗ ∗ = TWand TFluid

(4.27)

Gleichung (4.27) ist maßgebend f¨ ur den Fall einer vorgegebenen Wandtemperatur. Wird ein bestimmter W¨ armestrom an der Wand als Randbedingung aufgepr¨ agt, so f¨ uhrt dies zur Festlegung des Temperaturgradienten an der Wand, da f¨ ur Fouriersche W¨ armeleitung gilt ∗ = −λ∗ qw




wenn n∗ senkrecht zur Wand verl¨ auft.

∂T ∗ ∂n∗

 , W

(4.28)

4.8

4.8

Entdimensionierung der Grundgleichungen

69

Entdimensionierung der Grundgleichungen

Wie in Abschn. 2.3 ausf¨ uhrlich erl¨ autert worden war, bietet es große Vorteile, ein Problem in dimensionslosen Gr¨ oßen zu beschreiben. Deshalb sollen die in den Tab. 4.1–4.3 aufgef¨ uhrten Gleichungen jetzt konsequent entdimensioniert werden. Dies geschieht, indem zun¨ achst formal die Bezugsgr¨oßen (Index B) ∗ L∗B ; UB∗ ; TB∗ ; ∆TB∗ ; ∗B ; ηB ; λ∗B ; c∗pB

eingef¨ uhrt werden. Die ersten vier Gr¨ oßen werden im Anwendungsfall mit bestimmten problemrelevanten Gr¨ oßen identifiziert (z.B. L∗B mit dem Rohrdurchmesser bei der Rohrstr¨ omung), die letzten vier Gr¨oßen sind die vorkommenden Stoffwerte in einem jeweils problemspezifisch festzulegenden Bezugszustand. Der Druck p∗B gilt ebenfalls im Bezugszustand. Mit diesen Bezugsgr¨ oßen werden alle Variablen der Grundgleichungen gem¨ aß Tab. 4.4 entdimensioniert. Dabei treten in den Gleichungen folgende dimensionslose Kombinationen von Bezugsgr¨oßen auf, die dimensionslose Kennzahlen im Sinne der Dimensionsanalyse (s. Abschn. 2.3) darstellen: ∗B UB∗ L∗B ∗ ηB

=

Re

(Reynolds-Zahl)

(4.29)

∗B UB∗ L∗B c∗pB λ∗B

=

Pe

(Peclet-Zahl)

(4.30)

UB∗2 ∗ cpB ∆TB∗

=

Ec

(Eckert-Zahl)

(4.31)

Wenn die allgemeine Volumenkraft f∗ mit der Schwerkraft als f∗ = ∗g ∗ identifiziert wird, wie dies f¨ ur die Navier-Stokes-Gleichungen der Fall ist, uhrt sollte gE = (gEx , gEy , gEz ) als Einheitsvektor in Richtung von g ∗ einf¨ werden (d.h. es gilt g ∗ = g ∗gE und |gE | = 1) und g ∗ zur Entdimensionierung dienen. Dabei entsteht dann als weitere dimensionslose Kennzahl: U∗  B∗ g ∗ LB

=

Fr

(Froude-Zahl)

(4.32)

Bei der Entdimensionierung des Druckes wird die Differenz zu einem Bezugswert p∗B eingef¨ uhrt, was in den Gleichungen keinen Unterschied macht, solange nur Ableitungen des Druckes, nicht aber der Druck selber vorkommen. Bez¨ uglich der Enthalpien ist zu beachten, daß der Zusammenhang H ∗ = h∗ + 12 v ∗2 gem¨ aß (4.21) in dimensionsloser Form lautet: 1 H = h + Ec v 2 2

(4.33)

70

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

t

x, y, z

u, v, w

p

fx , fy , fz

t∗ L∗B /UB∗

x∗ ,... L∗B

u∗ ,... UB∗

p∗ − p∗B ∗B UB∗2

fx∗ ,... ∗B UB∗2 /L∗B

τij

H, h

T

qi

Φ, D

τij∗ ∗ B UB∗2

,... c∗pB ∆TB∗

T ∗ − TB∗ ∆TB∗

qi∗ ∗ ∗ B UB c∗pB ∆TB∗

,... ∗B UB∗3 /L∗B



η

λ

cp

β

∗ ∗B

η∗ ∗ ηB

λ∗ λ∗B

c∗p c∗pB

β ∗ TB∗

Tab. 4.4:

H∗

Φ∗

Entdimensionierung der Variablen in den Grundgleichungen

In den Tab. 4.5–4.7 sind alle Gleichungen aus den Tab. 4.1–4.3 in dimensionsloser Form enthalten. Der Aufbau der Tabellen ist streng beibehalten worden, so daß die Zuordnung einzelner Terme unmittelbar erkennbar ist. Konsequenterweise ist in den Gleichungsbezeichnungen jetzt die Kennung * entfallen, da es sich um dimensionslose Gleichungen handelt. Anmerkung 4.7:

Index-Schreibweise der Grundgleichungen, hier: Navier-Stokes-Gleichungen

In einem kartesischen Koordinatensystem k¨ onnen die Grundgleichungen sehr kompakt und konsequent in der sog. Index-Schreibweise formuliert werden, die bereits im Abschn. 4.6.1 ∗ verwendet worden ist. Unter Beachtung der Summationskonvenim Zusammenhang mit τij tion (bei doppelt auftretenden Indizes in einem Term ist die Summe u ¨ber alle vorgesehenen Indexwerte zu bilden) gilt dann z.B. f¨ ur die Navier-Stokes-Gleichungen, jetzt aber anders als in Tab. 4.3a allgemein, d.h. nicht unter der zus¨ atzlichen Einschr¨ ankung konstanter Stoffwerte, mit i = 1,2,3 ; j = 1,2,3 und x∗i : x∗ , y ∗ , z ∗ ;

u∗i : u∗ , v∗ , w ∗ ;

∂ D ∂ = ∗ + u∗i Dt∗ ∂t ∂x∗i

∂u∗ D∗ + ∗ i∗ = 0 ∗ Dt ∂xi ∗

Du∗i Dt∗

= ∗ gi∗ −

∂p∗ ∂ + ∂x∗i ∂x∗j






η∗



∂u∗i ∂x∗j

+

(4.34) ∂u∗j ∂x∗i

−



∗ τij

2 v∗ δij div  3

 (4.35)

4.8

71

Entdimensionierung der Grundgleichungen

Kontinuit¨ atsgleichung

 ∂u ∂v ∂w D + + + =0 Dt ∂x ∂y ∂z

∂ ∂ ∂ ∂ D = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

x-Impulsgleichung
 ∂τxx ∂τyx ∂τzx Du ∂p = fx − + + +  Dt ∂x ∂x ∂y ∂z y-Impulsgleichung
 ∂τxy ∂τyy ∂τzy Dv ∂p = fy − + + +  Dt ∂y ∂x ∂y ∂z z-Impulsgleichung
 ∂τxz ∂τyz ∂τzz Dw ∂p = fz − + + +  Dt ∂z ∂x ∂y ∂z Energiegleichung
 ∂qx ∂qy ∂qz DH =− + +  Dt ∂x ∂y ∂z 

∂p +D +Ec (ufx + vfy + wfz ) + ∂t Teil-Energiegleichung (mechanische Energie)
 ∂p Dp  D 2 [u + v 2 + w2 ] = − +D−Φ 2 Dt ∂t Dt +(ufx + vfy + wfz ) Teil-Energiegleichung (thermische Energie)
 

∂qx ∂qy ∂qz Dp Dh =− + + +Φ  + Ec Dt ∂x ∂y ∂z Dt

(K)

(XI)

(YI)

(ZI)

(E)

(ME)

(TE)

Hilfsfunktionen in den Energiegleichungen : D=

∂ ∂x

∂ [uτxx + vτyx + wτzx ] + ∂y [uτxy + vτyy + wτzy ]

∂ [uτxz + vτyz + wτzz ] + ∂z Diffusion     ∂v ∂w ∂u ∂v ∂w + τ Φ = τxx ∂u + τ + τ + τ + τ yx zx xy yy zy ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y   ∂v ∂w + τ + τ + τxz ∂u yz ∂z zz ∂z ∂z Dissipation

Tab. 4.5:

Dimensionslose (s. Tab. 4.4) allgemeine Bilanzgleichungen in einem ortsfesten Koordinatensystem. D/Dt steht abk¨ urzend f¨ ur die Summe aus lokaler und konvektiver Ableitung Dimensionsbehaftete Version: s. Tab. 4.1

72

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

τij f¨ ur ein Newtonsches Fluid : Tangentialspannungen

 ∂u η ∂v + τxy = τyx = ; Re ∂x ∂y

div v =

∂w ∂u ∂v + + ∂x ∂y ∂z

 η ∂w ∂v + ; Re ∂y ∂z

 η ∂u ∂w + = Re ∂z ∂x

τyz = τzy = τzx = τxz

(Deviatorische) Normalspannungen  



η η ∂u 2 ∂v 2 − div v ; τyy = − div v ; τxx = 2 2 Re ∂x 3 Re ∂y 3 

η ∂w 2 − div v τzz = 2 Re ∂z 3 qi f¨ ur Fouriersche W¨armeleitung : W¨ armestromdichte qx = − Tab. 4.6:

λ ∂T ; Pe ∂x

qy = −

λ ∂T ; Pe ∂y

qz = −

λ ∂T Pe ∂z

Spezielle konstitutive Gleichungen, dimensionslos (s. Tab. 4.4); Newtonsche Fluide/Fouriersches W¨ armeleitungsverhalten Dimensionsbehaftete Version: s. Tab. 4.2

In (4.35) ist δij das sog. Kronecker-Symbol mit δij = 1 f¨ ur i = j und δij = 0 f¨ ur i = j. F¨ ur div  v ∗ k¨ onnte auch ∂u∗l /∂x∗l geschrieben werden (Summationskonvention). In einer entsprechenden Erweiterung kann die Index-Schreibweise auf alle rechtwinkligen (also auch nicht-kartesischen) Koordinatensysteme angewandt werden (Verwendung von Christoffel-Symbolen). Anmerkung 4.8:

Vektor-Schreibweise der Grundgleichungen, hier: Navier-Stokes-Gleichungen

Eine einheitliche Darstellung der Grundgleichungen, unabh¨ angig vom Koordinatensystem ist durch die Verwendung der sog. Vektor-Schreibweise (symbolische Schreibweise) m¨ oglich. Diese symbolische Schreibweise kann dann jeweils Koordinaten-spezifisch in ein bestimmtes Koordinatensystem u ¨ bersetzt“ werden, wenn die Bedeutung der Vektor- und Tensorope” ratoren in dem betreffenden Koordinatensystem bekannt ist. Die Navier-Stokes-Gleichungen, nicht unter der zus¨ atzlichen Einschr¨ ankung konstanter Stoffwerte (vgl. Tab. 4.3a) lauten in dieser Form mit D/Dt∗ = ∂/∂t∗ +v ∗ · grad und ·grad als dem Vektorprodukt mit dem Gradientenvektor grad D∗ + ∗ div  v∗ = 0 Dt∗

(4.36)

4.8

∗

73

Entdimensionierung der Grundgleichungen





2 Dv ∗ = ∗g ∗ − grad p∗ + Div η∗ 2E∗ −  δ div  v∗ Dt∗ 3

 (4.37)

Dabei ist E∗ der sog. Verzerrungstensor (auch: Dehnungs- oder Deformationsgeschwindigkeitstensor),  δ der Kronecker-Einheitsvektor. Als Vektor- bzw. Tensoroperatoren treten auf: div, grad und Div, deren Bedeutungen in bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem durch den Vergleich von (4.36) und (4.37) mit den entsprechenden Gleichungen aus Tab. 4.1 zusammen mit Tab. 4.2 deutlich werden. H¨ aufig werden die Vektoroperatoren div und grad auch durch die sog. Nabla-Operatoren ∇· und ∇ ausgedr¨ uckt, die auf einen Vektor angewandt dann div und auf einen Skalar angewandt dem Operator grad entsprechen. In diesem Sinne gelten also z.B.: ∇ ·  v∗ = div  v ∗ ; ∇p∗ = grad p∗ , s. auch Anhang A1.

Anmerkung 4.9:

Wirbeltransportgleichung als spezielle Form der Navier-Stokes-Gleichungen

In Abschn. 3.4.2 war der Begriff der Drehung in einem zweidimensionalen Str¨ omungsfeld eingef¨ uhrt worden. In Anmerkung 3.3/S. 38/ erfolgte die Erweiterung dieses Begriffes durch die Einf¨ uhrung des Drehungsvektors als  ω ∗ = rot v ∗ . ¨ ∗ Ahnlich wie der Geschwindigkeitsvektor v ∗ beschreibt auch der Drehungsvektor ω die Kinematik eines Str¨ omungsfeldes. Ausgehend von der vektoriellen Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen (4.37) jetzt aber f¨ ur konstante Stoffwerte, also f¨ ur eine inkompressible Str¨ omung, kann diese Gleichung formal umgeschrieben werden zu (Einzelheiten z.B. in Panton (1996)):

∂ ∂ ∂ ∂ D = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

Kontinuit¨ atsgleichung ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

(Kcp )

x-Impulsgleichung 

1 1 ∂2u ∂2u ∂2u Du ∂p = 2 g Ex − + + 2 + 2 Dt ∂x Re ∂x2 ∂y ∂z Fr y-Impulsgleichung 

1 1 ∂2v ∂p ∂2v ∂2v Dv = 2 g Ey − + + 2+ 2 Dt ∂y Re ∂x2 ∂y ∂z Fr z-Impulsgleichung 

1 1 ∂2w ∂2w ∂2w Dw ∂p = 2 g Ez − + + + Dt ∂z Re ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 Fr Tab. 4.7a:

(XIcp )

(YIcp )

(ZIcp )

Navier-Stokes-Gleichungen, dimensionslos (s. Tab. 4.4); konstante Stoffwerte (Newtonsches Fluidverhalten) gEx , gEy , gEz : Komponenten des Einheitsvektors in Richtung der Fallbeschleunigung  g∗ Beachte: mit dem modifizierten Druck pmod = p − pst gilt, ∂pmod 1 ∂p =− ; gE − ∂x Fr2 x ∂x

1 ∂pmod 1 ∂pmod ∂p ∂p =− ; 2 g Ez − =− gE − ∂y ∂z ∂z Fr2 y ∂y Fr

Dimensionsbehaftete Version: s. Tab. 4.3a

74

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Energiegleichung 

DH ∂2T ∂2T 1 ∂2T  + + = Dt Pe ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 

1 ∂p + D +Ec [ug + vg + wg ] + Ex Ey Ez ∂t Fr2 Teil-Energiegleichung (mechanische Energie)
 ∂p Dp 1 D 2 2 2 [u + v + w ] = − +D−Φ 2 Dt ∂t Dt 1 + 2 [ugEx + vgEy + wgEz ] Fr Teil-Energiegleichung (thermische Energie; Temperaturform) 

1 ∂2T DT ∂2T ∂2T = + + + Ec Φ Dt Pe ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(Ecp )

(MEcp )

(TEcp )

Hilfsfunktionen in den Energiegleichungen :





 ∂u ∂v ∂w ∂u 1 ∂ ∂u2 +v + + D= +w Re ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂z





 ∂v ∂u ∂v ∂w ∂ ∂v 2 +u + + + +w ∂y ∂y ∂x ∂y ∂z ∂y

2 

 ∂w ∂u ∂v ∂w ∂ ∂w +u + + + +v ∂z ∂z ∂x ∂z ∂z ∂y Diffusion  

2

2  2 ∂u ∂v ∂w 2 Φ= + + Re ∂x ∂y ∂z 

2

2

2  ∂v ∂w ∂v ∂w ∂u ∂u 1 + + + + Re ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z Dissipation Tab. 4.7b:

Energiegleichungen, dimensionslos (s. Tab. 4.4); Fouriersche W¨ armeleitung; konstante Stoffwerte Dimensionsbehaftete Version: s. Tab. 4.3b

D ω∗ Dt∗

 ¨ zeitliche Anderung der Drehung

=

ω ∗ · grad v∗ 





Wirbelstreckungen, ∼Umlenkungen

+

η∗ ∆ ω∗ ∗

(4.38)

  viskose Diffusion“ ” von Drehung

Da (4.38) die Drehung in Form des Drehungsvektors  ω ∗ bilanziert, kann damit das Str¨ omungsfeld bez¨ uglich seiner Wirkung auf sog. Wirbellinien interpretiert werden, die stets

4.8

Entdimensionierung der Grundgleichungen

75

parallel zum Drehungsvektor verlaufen. Danach kann die Wirbelst¨ arke auf den Wirbellinien (d.h. von gedachten langgestreckten, l¨ angs einer Linie angeordneten Wirbeln) durch zwei Effekte ver¨ andert werden: 1.

durch Streckung bzw. Stauchung sowie eine Umlenkung dieser Wirbellinien

2.

durch eine viskose Diffusion“ der Wirbelst¨ arke mit demselben Diffusionskoeffizienten ” η∗ , der auch im Fließgesetz Newtonscher Fluide auftritt und dort als Koeffizient f¨ ur die Diffusion“ von Impuls interpretiert werden kann. ” Bemerkenswert an (4.38) ist, daß der Druck p∗ nicht mehr vorkommt, da der Druck den Normalspannungen an einem Fluidteilchen entspricht, diese aber die Teilchendrehung nicht ver¨ andern k¨ onnen. F¨ ur eine Reihe von Str¨ omungen vereinfacht sich (4.38) erheblich, weil der Mechanismus der Wirbel-Streckung bzw. Umlenkung entf¨ allt. Dies gilt u.a. f¨ ur alle ebenen (zweidimensionalen) Str¨ omungen, da f¨ ur diese der Vektor  ω ∗ = (0, 0, ωz∗ ) stets senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor v ∗ = (u∗ ,v∗ ,0) steht und somit das Produkt  ω ∗ · grad  v∗ = 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ gilt. F¨ ur zweidimensionale Str¨ omungen gilt also mit ωz = ω = ∂v /∂x − ∂u /∂y ∗ als einziger Komponente des Wirbelvektors: ∂ω ∗ ∂ω ∗ ∂ω ∗ η∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ = ∗ ∂t∗ ∂x ∂y 




∂ 2 ω∗ ∂ 2 ω∗ + ∂x∗2 ∂y ∗2

 (4.39)

Ein Vergleich mit der thermischen Energiegleichung (s. Tab. 4.3b) f¨ ur zweidimensionale Str¨ omungen bei Vernachl¨ assigung der Dissipation Φ∗ , also ∂T ∗ λ∗ ∂T ∗ ∂T ∗ + u∗ + v∗ ∗ = ∗ ∗ ∂t∗ ∂x∗ ∂y  cp




∂2T ∗ ∂2T ∗ + ∂x∗2 ∂y ∗2



(4.40)

zeigt, daß eine weitgehende Analogie zwischen den jeweiligen Transportvorg¨ angen f¨ ur innere Energie und Drehung besteht. Im Sonderfall Pr = η∗ c∗p /λ∗ = 1 sind beide Gleichungen sogar identisch, so daß unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangs- und Randbedingungen von einer L¨ osung auf die andere geschlossen werden kann. Die Stoffwerte-Kombination Pr spielt als sog. Prandtl-Zahl bei der W¨ arme¨ ubertragung eine wichtige Rolle.

Anmerkung 4.10: Einf¨ uhrung einer Stromfunktion Wie bereits in Abschn. 3.2.1 ausgef¨ uhrt worden war, sind sog. Stromlinien in einem Str¨ omungsfeld definiert als die Linien, die zu einem bestimmten Zeitpunkt an jedem Ort tangential zu den Geschwindigkeitsvektoren verlaufen. In station¨ aren Str¨ omungen bleibt dieses Stromlinienfeld zeitunabh¨ angig erhalten und stellt zugleich das Feld der Bahnlinien dar (also derjenigen Linien, l¨ angs derer sich die Fluidteilchen bewegen). Bei instation¨ aren Str¨ omungen ver¨ andert sich das Stromlinienbild mit der zeitlichen Ver¨ anderung des Geschwindigkeitsfeldes. Bahnlinien und Stromlinien sind dann nicht mehr identisch. Mit der Stromfunktion Ψ∗ soll nun eine Funktion eingef¨ uhrt werden, die f¨ ur Ψ∗ = const die Stromlinien beschreibt und mit dem jeweiligen Zahlenwert die einzelnen Stromlinien kennzeichnet. In zwei Dimensionen beschreibt eine Funktion Ψ∗ (x∗ ,y ∗ ) = const eine Linie und kann offensichtlich die gew¨ unschte Aufgabe erf¨ ullen. In drei Dimensionen beschreibt eine Funktion Ψ∗ (x∗ ,y ∗ ,z ∗ ) = const aber eine Fl¨ ache, so daß zwei solche Funktionen Ψ∗1 = const und Ψ∗2 = const erforderlich sind, deren Fl¨ achen sich in einer Linie schneiden und dann wiederum die gew¨ unschte Aufgabe erf¨ ullen k¨ onnen. Im allgemeinen Fall empfiehlt es sich jedoch, dann eine sog. Vektorstromfunktion einzuf¨ uhren, s. dazu auch (11.3) im sp¨ ateren Kap. 11. F¨ ur eine zweidimensionale inkompressible Str¨ omung (konstante Stoffwerte) muß f¨ ur die Stromfunktion Ψ∗ folgendes gelten:

76

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Auf einer Linie Ψ∗ (x∗ ,y ∗ ) = const gilt f¨ ur das vollst¨ andige Differential ∂Ψ∗ ∗ ∂Ψ∗ ∗ dx + dy = 0. ∗ ∂x ∂y ∗

dΨ∗ =

(4.41)

Wenn diese Linie tangential zum Geschwindigkeitsvektor v ∗ = (u∗ , v∗ ) verlaufen soll, muß gelten v∗ dy ∗ = ∗ (4.42) dx∗ u so daß aus (4.41) und (4.42) folgt ∂Ψ∗ /∂y ∗ u∗ = − . ∂Ψ∗ /∂x∗ v∗

(4.43)

Legt man ∂Ψ∗ /∂y ∗ = u∗ fest, so folgt daraus ∂Ψ∗ /∂x∗ = −v∗ . Es gilt also f¨ ur eine zweidimensionale Str¨ omung: u∗ =

∂Ψ∗ , ∂y ∗

v∗ = −

∂Ψ∗ . ∂x∗

(4.44)

Es ist sofort zu erkennen, daß die Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ /∂x∗ + ∂v∗ /∂y ∗ = 0 mit diesem Ansatz identisch erf¨ ullt ist, also mit Einf¨ uhrung einer Stromfunktion nicht weiter betrachtet werden muß. Um eine Gleichung f¨ ur die Stromfunktion Ψ∗ herzuleiten, kann man den Zusammenhang
 ∂ 2 Ψ∗ ∂v∗ ∂u∗ ∂ 2 Ψ∗ ∗ ω = − =− + . (4.45) ∂x∗ ∂y ∗ ∂x∗2 ∂y ∗2





∆Ψ∗

zwischen der Drehung ω ∗ und der Stromfunktion Ψ∗ ausnutzen, der sich unmittelbar aus den jeweiligen Definitionen ergibt. Die formale Umschreibung der Wirbeltransportgleichung (4.39) ergibt dann als Gleichung f¨ ur Ψ∗ : ∂(∆Ψ∗ ) ∂Ψ∗ ∂(∆Ψ∗ ) ∂Ψ∗ ∂(∆Ψ∗ ) η∗ + − = ∗ ∆∆Ψ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂t ∂y ∂x ∂x ∂y 

(4.46)

Es handelt sich dabei um eine (nichtlineare) Differentialgleichung vierter Ordnung, deren L¨ osung das zweidimensionale Stromlinienfeld beschreibt. Stromlinien in zwei Dimensionen bzw. Stromfl¨ achen in drei Dimensionen k¨ onnen zur Veranschaulichung einer Str¨ omung sehr hilfreich sein. Da kein Fluid u ¨ber eine Stromlinie bzw. ∼fl¨ ache tritt, ist der Massenstrom zwischen ihnen konstant und wird somit im station¨ aren Fall wie durch feste W¨ ande (in Form der Stromlinien bzw. ∼fl¨ achen) begrenzt“. ” Anmerkung 4.11: Bilanzen in endlichen Kontrollr¨ aumen Die bisher behandelten Differentialgleichungen sind als Bilanzgleichungen an einem infinitesimalen Fluidvolumen ∆V ∗ eingef¨ uhrt worden. Im Zuge der Herleitung wurde stets die gesamte Gleichung formal durch ∆V ∗ dividiert, so daß das Bilanzvolumen nicht mehr explizit auftritt. Eine Bilanz u ¨ber ein endliches Volumen entsteht durch Integration dieser Differential¨ gleichungen, also durch den Ubergang von dV ∗ auf V ∗ als



V∗ =

dV ∗

(4.47)

4.8

Entdimensionierung der Grundgleichungen

77

Dabei treten die einzelnen Summanden der Differentialgleichungen als Integranden der Volumenintegrale auf. Am Beispiel der Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ ), also







∂v∗ ∂w ∗ D∗ ∂u∗ + ∗ + + ∗ ∗ ∗ Dt ∂x ∂y ∂z ∗

!



dV ∗ = 0

(4.48)

=0 (differentielle Kontinuit¨ atsgl., s. Tab. 4.1) Das Integral u achsten Schritt als Summe von ¨ber die Summe der einzelnen Terme kann im n¨ Integralen geschrieben werden. Diese Integrale lassen sich einzeln auswerten (berechnen), wenn der Verlauf des Integranden im Gebiet V ∗ bekannt ist. Unabh¨ angig davon bzw. vor Ausf¨ uhrung einer m¨ oglichen Integration kann man aber noch folgende Eigenschaften dieser Volumenintegrale ausnutzen (wiederum am Beispiel der Kontinuit¨ atsgleichung erl¨ autert): 1.

Bei zeitlich unver¨ anderlichen Integrationsbereichen kann die Zeitableitung des Integranden vor das Integral gezogen werden“. F¨ ur V ∗ = V ∗ (t∗ ) gilt also in Zusammen” ∗ hang mit ∂ /∂t∗ als dem zeitabh¨ angigen Anteil von D∗ /Dt∗ bei der Eulerschen Betrachtungsweise (vgl. dazu (4.3))



∂ ∂∗ dV ∗ = ∗ ∂t∗ ∂t



∗ dV ∗ =

∂m∗ ∂t∗

(4.49)

ußte das Integral nach dem sog. Leibnitzschen Theorem ausgewertet (F¨ ur V ∗ (t∗ ) m¨ werden, das explizit die Geschwindigkeit ber¨ ucksichtigt, mit der sich die Integrationsgrenze bewegt.) 2.

Wenn der Integrand als Ganzes die Form einer Ableitung nach x∗i , also nach x∗ , y ∗ oder z ∗ , aufweist, gilt aufgrund des sog. Gaußschen Theorems f¨ ur diesen Fall



∂(. . .) dV ∗ = ∂x∗i





∗

(. . .) ni dA =

(. . .) dA∗i

(4.50)

Dies ist die Verallgemeinerung der bekannten Linien-Integralbeziehung (wenn f = dΦ/dx gilt)

x=b

x=b

f dx = x=a

dΦ dx = Φ(b) − Φ(a) dx

x=a

auf ein Volumenintegral. Dabei bedeutet ni dA∗ die Projektion des Fl¨ achenelementes dA∗ auf eine Ebene senkrecht zu x∗i was auch als ni dA∗ = dA∗i geschrieben werden kann. Mit (4.50) wird also ein Volumenintegral auf ein Oberfl¨ achenintegral zur¨ uckgef¨ uhrt, wenn der Integrand des Volumenintegrals die spezielle Form von (4.50) aufweist, die auch als verallgemeinerte Divergenzform“ bezeichnet wird. ” Ist (. . . ) in (4.50) eine skalare Gr¨ oße, beschreibt (4.50) drei Gleichungen f¨ ur die Koordinaten x∗i : x∗ , y ∗ , z ∗ ; ist (. . . ) ein Vektor u∗i : u∗ , v∗ , w ∗ , so gilt die Summationskonvention und (4.50) beschreibt eine Gleichung, in der jeder Integrand drei Terme aufweist (s. dazu auch Anmerkung 4.7/S. 70). Der Integrand ∂u∗i /∂x∗i entspricht in diesem Fall dem VektorOperator Divergenz“, also ∂u∗ /∂x∗ + ∂v∗ /∂y ∗ + ∂w ∗ /∂z ∗ . ” Die Umformung eines Volumen- in ein Oberfl¨ achenintegral ist auf der Basis von (4.48) nicht unmittelbar m¨ oglich, da die Integranden der einzelnen Integrale, die aus (4.48) entstehen, noch nicht alle in der dazu n¨ otigen Divergenzform auftreten. Wenn aber statt (4.48) die gleichwertige Gleichung (4.10) verwendet wird, so liegt diese Divergenzform vor und es gilt z.B. f¨ ur die Integration des Termes ∂(∗ u∗ )/∂x∗ :



∂(∗ u∗ ) dV ∗ = ∂x∗



∗ u∗ dA∗x

(4.51)

Die rechte Seite kann jetzt unmittelbar als Differenz der in x-Richtung ein- und austretenden Massenstr¨ ome interpretiert werden.

78

4

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

Die konsequente Anwendung von (4.48) und (4.50) auf die Volumenintegration der differentiellen Kontinuit¨ atsgleichung in der Form (4.10) ergibt damit ∂m∗ =− ∂t∗

 



∗ u∗ dA∗x

+ +



∗ v∗ dA∗y



∗ w ∗ dA∗z

 =−

(4.52) ∗ ∗  v ∗ dA

 ∗ stets nach außen zeigt. Diese Gleichung f¨ wobei die Fl¨ achennormale des Vektors dA ur ein endliches (ortsfestes) Kontrollvolumen entspricht der infinitesimalen Bilanzgleichung (4.11) in Anmerkung 4.3/S. 54. So wie hier am Beispiel der Kontinuit¨ atsgleichung demonstriert, k¨ onnen alle Bilanzgleichungen f¨ ur endliche Kontrollr¨ aume formuliert werden. Zur Auswertung der dabei auftretenden Volumenintegrale sollten die o.g. Punkte 1 und 2 konsequent bedacht werden. H¨ aufig wird die Auswertung auch dadurch vereinfacht, daß f¨ ur Sonderf¨ alle bestimmte Faktoren als Konstanten vor das Integral gezogen werden k¨ onnen. Anmerkung 4.12: Impulsmomentengleichungen als weitere Bilanzgleichungen In bestimmten Anwendungen (besonders bei Turbomaschinen) nutzt man die Tatsache, daß Fluidteilchen nicht nur Tr¨ ager von Impuls sind, sondern auch einen Drall (Impulsmoment) besitzen, um diesen entsprechend zu bilanzieren. Dabei stellt sich heraus, daß die Impulsmomentengleichung f¨ ur ein infinitesimales Volumen ∆V ∗ die mit einem Abstandsvektor  r∗ vektoriell multiplizierte Momentengleichung (z.B. (4.37)) ist, wenn folgende Voraussetzung erf¨ ullt ist. ∗ in Abschn. 4.6.1 war erw¨ Bereits im Zusammenhang mit dem Spannungstensor τij ahnt worden, daß sich die Drehmomente aller Molek¨ ule, die ein Fluidteilchen bilden, im Mittel aufheben m¨ ussen. Dies ist der Fall, wenn die Molek¨ ule einer zuf¨ alligen Orientierung un∗ symmetrisch τ ∗ = τ ∗ , wie terliegen. Unter dieser Bedingung ist der Spannungstensor τij ij ji dies z.B. in der Kontinuumsmechanik stets der Fall ist, und die Prinzipien der Impulsund der Impulsmomentenerhaltung sind keine voneinander unabh¨ angigen Erhaltungsprinzipien. In diesem Sinne k¨ onnen die Impuls- und die Impulsmontengleichungen (jeweils als Komponentengleichungen) gleichwertig Anwendung finden. F¨ ur die konkreten Formen der Impulsmomentengleichungen sei z.B. auf Panton (1996) verwiesen. Anmerkung 4.13: Nat¨ urliche Konvektionsstr¨ omungen Wenn Str¨ omungen zustande kommen, weil ¨ außere Ursachen“ daf¨ ur verantwortlich sind, ” spricht man u außeren Ursachen k¨ onnen ¨blicherweise von erzwungener Konvektion. Diese ¨ verschiedener Art sein; die drei wesentlichen sind: 1.

Ein aufgepr¨ agter Druckgradient wie z.B. bei der Rohrstr¨ omung, erzwungen durch eine Pumpe (bei Fl¨ ussigkeiten) oder ein Gebl¨ ase (bei Gasen),

2.

Eine vorgegebene Anstr¨ omung, wie zum Beispiel bei der K¨ orperumstr¨ omung in einem Windkanal, erzwungen durch das Gebl¨ ase des Windkanals,

3.

Eine erzwungene Bewegung der Wand, wie z.B. bei zwei parallel zueinander bewegten W¨ anden, die zu einer Str¨ omung zwischen den W¨ anden f¨ uhrt (der sog. CouetteStr¨ omung)

onnen auch innere Kr¨ afte“ im Fluidfeld Neben der Wirkung dieser a ¨ußeren Ursachen“ k¨ ” ” zu Str¨ omungen f¨ uhren. Wenn die Kr¨ afte Auftriebskr¨ afte aufgrund von Dichteunterschieden sind, spricht man von nat¨ urlicher Konvektion. Diese Dichteunterschiede kommen in einem homogenen Fluid (bestehend aus einer Komponente) zustande, wenn die Dichte des Fluides temperaturabh¨ angig ist und im Fluid Temperaturunterschiede entstehen. Ein

4.8

Entdimensionierung der Grundgleichungen

79

typisches Beispiel ist die Auftriebsstr¨ omung u orper. Diese Str¨ omungen ¨ber einem Heizk¨ sind wie die erzwungenen Konvektionsstr¨ omungen durch die allgemeinen Bilanzgleichungen nach Tab. 4.1 beschrieben. Die Ursache der Str¨ omung sind dann die Volumenkr¨ afte ¨ (fx∗ , fy∗ , fz∗ ). Beim Ubergang auf eine dimensionslose Formulierung sind diese Str¨ omungen aber anders zu behandeln als bisher, wobei besonders der genauen Bedeutung des Druckes Aufmerksamkeit geschenkt werden muß. Im folgenden soll eine Str¨ omung im kartesischen Koordinatensystem betrachtet werden, bei dem die x-Koordinate entgegen der Richtung des Fallbeschleunigungsvektors g ∗ weist. In der Darstellung g ∗ = g ∗gE gilt dann f¨ ur den Einheitsvektor in Richtung von g ∗ : ¨ gE = (gEx , gEy , gEz ) = (−1, 0, 0). Der Ubergang auf die dimensionslose Form wird am Beispiel der x-Komponente der Navier-Stokes-Gleichungen erl¨ autert. Mit der Volumenkraft als Schwerkraft, f∗ = ∗g ∗ , gilt fx∗ = ∗ g ∗ gEx = −∗ g ∗ . Der Druck p∗ wird aufgespaltet in einen Anteil p∗st , der im ruhenden Feld mit der einheitlichen Dichte ∗B gilt, und den Abweichungen aufgrund der Str¨ omung, geschrieben als p∗mod , dem sog. modifizierten Druck, s. dazu auch Anmerkung 4.5/S. 58. F¨ ur den Druck im ruhenden ater gezeigt wird (Anmerkung Feld gilt p∗st = p∗stB − ∗B g ∗ x∗ und p∗stB = p∗st (x∗ = 0), wie sp¨ 6.1/S. 129). In der Gleichung (XI∗ ) in Tab. 4.1 gilt damit: fx∗ −

∂(p∗st + p∗mod ) ∂p∗mod ∂p∗ = −∗ g ∗ − = (∗B − ∗ )g ∗ − ∗ ∗ ∂x ∂x ∂x∗

(4.53)

oßen L∗B und Die Entdimensionierung der Gleichung (XI∗ ) erfolgt formal mit den Bezugsgr¨ ∗ . Wird unterstellt, daß die ubrigen Stoffwerte (außer der Dichte) konstant sind, kann UB ¨ auf die Einf¨ uhrung von Bezugsstoffwerten (vgl. Tab. 4.4) verzichtet werden. Die Bezugsge∗ hat die Bedeutung einer charakteristischen Geschwindigkeit, mit ihr muß schwindigkeit UB also sichergestellt sein, daß die dimensionslosen Geschwindigkeiten nicht entarten. Deshalb ∗ eine typische Temperaturdifferenz vorkommen, da Temperaturunterschiede die muß in UB treibende Kraft“ dieser Str¨ omung darstellen. ” Eine in diesem Sinne geeignete Bezugsgeschwindigkeit ist ∗ UB = ∗ βB



∗ ∆T ∗ g ∗ L∗B βB B

(4.54)

−(∂∗ /∂T ∗ )B /∗B

= der sog. isobare thermische Ausdehnungskoeffizient ist und wobei ∗ eine charakteristische Temperaturdifferenz des Problems darstellt. Bei der Entdi∆TB ∗ L∗ /ν ∗ . Dies war bei der erzwungenen mensionierung von (XI∗ ) entsteht die Kennzahl UB B ∗ = u∗ die Reynolds-Zahl u∗ L∗ /ν ∗ . Mit der Bezugsgeschwindigkeit Konvektion mit UB ∞ ∞ B (4.54) entsteht ∗ L∗ UB B

ν∗

"



=

∗ L∗ g ∗ L∗B βB ∆TB B

ν∗

=

∗ ∆T ∗ L∗3 g ∗ βB B B

ν ∗2

=

√

mit Gr als der sog. Grashof-Zahl. Die dimensionslose Form von (XI∗ ) lautet demnach: ∂pmod (1 − ) 1 Du − = ∗ +√ ∗ Dt βB ∆TB ∂x Gr



∂2u ∂2u ∂2u + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Gr

(4.55)

 (4.56)

mit den dimensionslosen Gr¨ oßen nach Tab. 4.4. Dabei ist ∗B die Dichte im Bezugspunkt des Str¨ omungsfeldes. Dieser Punkt legt auch den Bezugdruck p∗StB fest, so daß der dimen∗2 ) ist. sionslose modifizierte Druck pmod = (p∗ − p∗stB )/(∗B UB Der erste Term auf der rechten Seite von (4.56) stellt die treibende Kraft“ der Str¨ o” mung dar und wird als Auftriebsterm bezeichnet. Mit der Taylor- Reihenentwicklung ∗ = ∗B + gilt =



∂∗ ∂T ∗



B

∗ (T ∗ − TB ) + ...

∗ ∗ ∗ = 1 − βB (T ∗ − TB ) + ... ∗B

80

4

Das Turbulenzproblem

Eingesetzt in den Auftriebsterm ergibt dies 1− ∗ ∆T ∗ βB B

=

∗ T ∗ − TB ∗ ∆TB

=T

(4.57)

Diese Form der Beschreibung von Auftriebsstr¨ omungen, d.h. in den Grundgleichungen eine variable Dichte nur im Zusammenhang mit dem Auftriebsterm zu ber¨ ucksichtigen und diese durch eine Taylor-Reihe, abgebrochen nach dem linearen Term, zu beschreiben, bezeichnet man als Boussinesq-Approximation. Sie wird sehr h¨ aufig bei der Berechnung von Auftriebsstr¨ omungen eingesetzt. Da mit (4.57) die Temperatur T in der Impulsgleichung auftritt, m¨ ussen das Str¨ omungsund das Temperaturfeld simultan gel¨ ost werden. Dies ist ein entscheidender Unterschied zu erzwungenen Konvektionsstr¨ omungen, bei denen das Str¨ omungsfeld unabh¨ angig vom Temperaturfeld ist, solange konstante Stoffwerte unterstellt werden k¨ onnen.

5

Das Turbulenzproblem

Bereits in Abschn. 3.3 waren einige charakteristische Merkmale turbulenter Str¨ omungen aufgef¨ uhrt worden und erste Ans¨ atze zur theoretischen Beschreibung in Form von Zeitmittelungen eingef¨ uhrt worden (vgl. (3.2)). In diesem Kapitel soll die Physik turbulenter Str¨ omungen genauer beschrieben werden. Dar¨ uber hinaus werden die Grundgleichungen f¨ ur die zeitlich gemittelten Str¨omungen in einer weitgehend allgemeinen Form angegeben, die sich wieder streng an dem formalen Aufbau der Grundgleichungs-Tabellen (Tab. 4.1 bis 4.3) des vorherigen Kapitels orientiert, um die Zuordnung sich entsprechender Terme in den jeweiligen Gleichungen zu erm¨oglichen.

5.1

Der Energiehaushalt turbulenter Str¨ omungen

Die zeitlich stark schwankenden Geschwindigkeiten einer turbulenten Str¨omung k¨ onnen als die Summe aus einer mittleren Bewegung und einer u ¨ berlagerten Schwankungsbewegung dargestellt werden. Eine solche Aufspaltung ist dann auch bez¨ uglich der kinetischen Energie m¨oglich, d.h. die kinetische Energie setzt sich aus den beiden Anteilen zusammen, die mit der mittleren Bewegung bzw. mit der Schwankungsbewegung verbunden sind. F¨ ur das Verst¨ andnis der physikalischen Vorg¨ange in einer turbulenten Str¨omung ist die genauere Analyse der Energieanteile sowie ihrer Umwand¨ lungen sehr hilfreich. Man sollte bei solchen Uberlegungen aber stets beachten, daß die Aufteilung in mittlere und Schwankungsgr¨oßen eine in gewisser Weise willk¨ urliche mathematische Operation, angewandt auf ein zeitabh¨angiges Signal, darstellt. Ein zeitgemitteltes Geschwindigkeitsprofil liegt in einer turbulenten Str¨ omung nie als eine reale Geschwindigkeitsverteilung vor, sondern charakterisiert die konkrete Str¨ omung als Profil, das durch eine Zeitintegration entsteht. Wie bereits in Abschn. 3.3 erl¨ autert, k¨ onnen die Schwankungsbewegungen durch charakteristische L¨ angen und Zeiten beschrieben werden, die als Abmessungen bzw. Frequenzen einer wirbelbehafteten Fluidbewegung interpretiert werden. Damit werden Fluidballen (engl.: eddies) charakterisiert, die eine mehr oder weniger zusammenh¨ angende (koh¨arente) Str¨omungsstruktur darstellen. Dies ist eine zun¨ achst noch wenig pr¨ azise und kaum greifbare“ Be” schreibung turbulenter Bewegungsformen. Dar¨ uber hinaus werden mit Wirbeln h¨ aufig diskrete Einzelstrukturen assoziiert. Die Fluidballen-Bewegung ist aber nicht die Summe“ aus diskreten Einzelwirbeln, sondern das Integral“ ” ” u ¨ ber eine kontinuierlich verteilte Wirbelbewegung, die nur durch kontinuierliche Verteilungsfunktionen beschrieben werden kann.

82

5

Das Turbulenzproblem

So ist z.B. die kinetische Energie der Schwankungsbewegung typischerweise, wie in Bild 5.1 gezeigt, in Form von Spektralfunktionen Fx∗ , Fy∗ und Fz∗ u ¨ber der Schwankungsfrequenz νe∗ verteilt (Index e f¨ ur “eddy”). Die Spektralfunktionen sind Energiedichtefunktionen, die angeben, welcher Anteil der kinetischen Energien u∗2 /2, v ∗2 /2 und w∗2 /2 pro infinitesimalem Frequenzanteil d νe∗ gespeichert ist. Die Auftragung wird u ¨ blicherweise nicht direkt u ¨ ber νe∗ vorgenommen, sondern u ¨ ber der sog. Wellenzahl 2π c∗ mit λ∗e = e∗ , (5.1) ∗ λe νe die noch die Wellenl¨ ange λ∗e (charakteristisches L¨angenmaß f¨ ur den Wirucksichtigt, also die Transport“bel) bzw. die Phasengeschwindigkeit c∗e ber¨ ” Geschwindigkeit Die Spektralfunktionen Fi∗ in Bild 5.1 sind so  ∞der∗ Wirbel. normiert, daß 0 Fi dk ∗ = 1 gilt, weil hier die Verteilung der Energie u ¨ber ke∗ bzw. νe∗ die entscheidende Aussage ist und nicht der Absolutwert. In dieke∗ =

10−2

Steigung = −5/3

Fy∗ → v ∗2 Fi∗ m

Fz∗ → w∗2 Fx∗ → u∗2

101

Bild 5.1:

Kaskadenprozess

102

ke∗ 1/m

Dissipation

10−8

Turbulenzproduktion

10−6

104

Typische spektrale Verteilung der kinetischen Energie, gespeichert in den drei Geschwindigkeitskomponenten u∗ , v∗  , w ∗ (Hier: turbulenter Freistrahl, Daten aus Champagne (1978)). Eine genauere Analyse der Vorg¨ ange ergibt z.B. ∗5/3 f¨ ur den mittleren Wellenzahlbereich eine Abh¨ angigkeit ∼ 1/ke , was in der doppeltlogarithmischen Auftragung zur Steigung −5/3 f¨ uhrt.

5.1

Der Energiehaushalt turbulenter Str¨ omungen

83

sem Sinne bleibt auch der Faktor 1/2 unber¨ ucksichtigt, der z.B. in u∗2 /2 als spezifischer kinetischer Energie vorkommt. Aus der (typischen) Verteilung der kinetischen Energie in Bild 5.1 k¨ onnen folgende physikalische Aussagen gewonnen werden: 1. Die kinetische Energie ist sehr ungleichm¨ aßig auf die insgesamt vorkommenden Frequenzen bzw. Wellenzahlen verteilt, sie konzentriert sich bei den kleinen Wellenzahlen, d.h. bei niedrigen Frequenzen bzw. großen Wirbeln. Sie nimmt mit steigenden Wellenzahlen stark ab (beachte: doppeltlogarithmische Auftragung). 2. Ein nennenswerter Unterschied der kinetischen Energien zwischen den u∗ , v ∗ und w∗ -Komponenten liegt nur bei kleinen Wellenzahlen vor. F¨ ur große Wellenzahlen (kleine Wirbelabmessungen) liegt keine Richtungsabh¨ angigkeit mehr vor, die Turbulenz ist in diesem Spektralbereich isotrop (s. dazu auch die sp¨ atere Anmerkung 5.8/S. 116). 3. Das Wellenzahl-Spektrum ist in Richtung großer Wellenzahlen begrenzt, d.h. die Wirbelabmessungen werden nicht beliebig klein. Der Grund daf¨ ur ist die zunehmende Wirkung der molekularen Viskosit¨at. Die immer kleinr¨ aumigere Schwankungsbewegung bei kleiner werdenden Wirbelabmessungen f¨ uhrt zu stets gr¨ oßeren lokalen Geschwindigkeitsgradienten und damit zu verst¨ arkter (turbulenter) Dissipation. Diese kleinsten Wirbelabmessungen k¨ onnen in Form einer charakteristischen L¨ange abgesch¨atzt werden, die als Kolmogorov-L¨ange Eingang in die str¨omungsmechanische Literatur gefunden hat. Diese L¨ ange ist abh¨angig von der kinematischen Viskosit¨ at ν ∗ des beteiligten Fluides sowie von der spezifischen turbulenten Dissipation ε∗ , die f¨ ur große Reynolds-Zahlen einen endlichen Grenz¨ wert annimmt. Aus dimensionsanalytischen Uberlegungen ergibt sich mit diesen Abh¨ angigkeiten der Zusammenhang

∗3 1/4 ν ∗ (5.2) lk = ε∗ wobei eine m¨ ogliche freie Konstante willk¨ urlich zu Eins gesetzt worden ist, da lk∗ nur als charakteristische L¨ ange dient, also die richtigen“ Abh¨angig” keiten aufweisen sollte, aber zahlenm¨ aßig nicht exakt den Verh¨altnissen angepaßt sein muß. Eine Absch¨ atzung f¨ ur Zahlenwerte von lk∗ erh¨alt man aus dem Verh¨altnis der charakteristischen L¨ angen von den gr¨oßten Wirbelstrukturen (charakteristische L¨ ange L∗ ) zu den kleinsten Wirbelstrukturen (charakteristische L¨ ange lk∗ ), f¨ ur das gilt (s. Panton (1996)): L∗ = Re3/4 lk∗

(5.3)

Wenn die gr¨ oßten Wirbel charakteristische L¨angen L∗ = 0,1 m besitzen (weil sie etwa einer typischen Abmessung des Str¨omungsgebietes entspre-

84

5

Das Turbulenzproblem

chen), so gilt z.B. f¨ ur Re = 104 : lk∗ = 10−4 m = 0,1 mm, f¨ ur Re = 106 gilt ∗ −6 lk = 3,2 · 10 m = 0,0032 mm. 4. Der zuvor beschriebene Dissipationsprozeß entzieht der Str¨omung st¨andig mechanische Energie und wandelt diese in innere Energie um (die Gesamtenergie bleibt also erhalten). Um die Turbulenz in einer Str¨omung aufrechtzuerhalten, muß also (u.U. an einer anderen Stelle) diese mechanische Energie wieder in die Turbulenzbewegung eingebracht werden. Dies geschieht bei kleinen Wellenzahlen, indem großr¨aumige Wirbelbewegungen durch die mittlere Bewegung in Gang gesetzt werden, was als Turbulenzproduktion bezeichnet wird. Diese großr¨aumigen Wirbelbewegungen geben in einem (nichtlinearen) Energietransfer mechanische Energie an immer kleinere Wirbel weiter, was man insgesamt als Kaskadenprozeß bezeichnet. Die Turbulenzproduktion im Wellenzahlbereich großr¨aumiger Wirbel wird aus der mittleren Bewegung gespeist und f¨ uhrt zu einem entsprechend hohen Druckverlust bei Durchstr¨ omungen bzw. Widerstand bei Umstr¨ omungen. Zur Aufrechterhaltung der Str¨omung m¨ ussen also von ” außen“ entsprechende mechanische Leistungen (Energien pro Zeit) aufgebracht werden, um den Druckverlust bzw. den Widerstand zu u ¨ berwinden. Der Energietransfer von der aufgebrachten mechanischen Leistung zur Aufrechterhaltung der Str¨ omung u ¨ ber die turbulente Dissipation bis zur Erw¨ armung der Umgebung ist in Bild 5.2 noch einmal dargestellt. Anmerkung 5.1:

Kaskadenprozeß in Gedichtform“ ”

Eine anschauliche Beschreibung des Kaskadenprozesses gibt ein Vierzeiler, der auf L.F. Richardson zur¨ uckgeht (ver¨ offentlicht 1926): Big whirls have little whirls, Which feed on their velocity, And little whirls have lesser whirls, And so on to viscosity.

Anmerkung 5.2:

Korrelationen zwischen zwei turbulenten Schwankungsgr¨ oßen

Da turbulente Str¨ omungen dadurch charakterisiert sind, daß in ihnen mehr oder weniger ” zusammenh¨ angende Str¨ omungsstrukturen“ identifiziert werden k¨ onnen, die als Fluidballen bzw. Wirbelstrukturen (engl.: eddies) bezeichnet werden, sind zwei r¨ aumlich oder zeitlich benachbarte Turbulenzgr¨ oßen nicht v¨ ollig unabh¨ angig voneinander, sondern werden eine gewisse Korrelation aufweisen. Es ist zu erwarten, daß diese Korrelationen um so en” ger“ sind, je n¨ aher die zwei aufeinander bezogenen Turbulenzgr¨ oßen r¨ aumlich oder zeitlich zueinander angeordnet sind. Dies kann mathematisch wie folgt erfaßt werden: Bezieht man die allgemeinen Schwankungsgr¨ oßen a∗  ( x∗a ,t∗a ) und b∗ ( x∗b ,t∗b ) aufeinander, wobei  x∗a ,  x∗b die Ortsvektoren und t∗a , t∗b die Zeiten sind, an bzw. zu denen a∗  und ∗ ,t∗ + τ ∗ ) x∗ ,t∗ ) und b∗ ( x∗ +  rab b∗ betrachtet werden, so kann man ganz allgemein a∗  ( ab ∗ einen Abstandvektor und mit τ ∗ eine Zeitdifferenz ein. schreiben, f¨ uhrt also mit  rab ab Damit kann folgende allgemeine Korrelationsfunktion definiert werden: ∗ ∗ ∗ ,t∗ + τ ∗ ) , R∗ab ( x∗ , rab ,τab ) = a∗ ( x∗ ,t∗ )b∗ ( x∗ +  rab ab

(5.4)

5.1

Der Energiehaushalt turbulenter Str¨ omungen

85

bereitgestellte

Antriebsenergie

Turbulenzproduktion

Mittlere Bewegung (mechanische Energie)

Schwankungsbewegung (mechanische Energie) Kaskadenprozess

Thermische Bewegung (innere Energie)

turbulente Dissipation

(Direkte Dissipation)

(z.B.: Pumpe)

(W¨ arme¨ ubergang)

Erw¨ armung der Umgebung Wellenzahl ke∗ Bild 5.2:

Energiepfad“ einer station¨ aren turbulenten Str¨ omung von der bereitgestell” ten mechanischen Energie bis zur Erw¨ armung der Umgebung durch die innere Energie, die von der Str¨ omung abgegeben wird. Ein geringer Anteil wird von der mittleren Bewegung direkt in innere Energie umgewandelt (direkte Dissipation).

die aus mathematischer Sicht sog. zentrale Momente zweiter Ordnung (Integration des Produktes aus zwei Abweichungen vom Mittelwert) darstellen und sehr anschaulich interpretiert werden k¨ onnen. Sinnvollerweise entdimensioniert man R∗ab , indem als Bezugsgr¨ oße





a∗ 2 bzw. b∗ 2 eingef¨ uhrt werden, die auch die jeweils mittleren Schwankungsgr¨ oßen als sog. rms-Werte bezeichnet werden (engl.: root mean square). Man schreibt also: Rab =

a∗  b∗



(5.5)

a∗2 b∗2

∗ und τ ∗ wie in (5.4). mit den Abh¨ angigkeiten von den Gr¨ oßen  x∗ ,  rab ab Die (dimensionslose) Korrelationsfunktion Rab ist also ein quantitatives Maß f¨ ur die ∗ r¨ zeitgemittelte Korrelation von zwei Schwankungsgr¨ oßen, die um  rab aumlich auseinander ∗ getrennt sind. Spezialf¨ liegen und zus¨ atzlich eine Zeitspanne τab alle dieser allgemeinen Korrelation sind bez¨ uglich dreier Aspekte m¨ oglich, die auch gemeinsam zutreffen k¨ onnen:

1.

a∗  und b∗ beschreiben dieselbe Schwankungsgr¨ oße, z.B. die Geschwindigkeitsschwankung u∗ ; dies sind dann sog. Autokorrelationen.

86

5

∗ = 0, d.h. es werden r¨ ∗ ausτab aumliche Korrelationen (Schwankungsgr¨ oßen, die  rab ∗ ∗  einander liegen) beschrieben, wobei die Gr¨ oßen a und b jeweils gleichzeitig erfaßt werden.

2.

3.

Das Turbulenzproblem

∗ = 0, d.h. an einem festen Ort x∗ werden zeitliche Korrelationen (Schwankungs rab ∗ auseinander liegen) beschrieben. gr¨ oßen, die um τab

Werden die Bedingungen 1 und 2 kombiniert, so erh¨ alt man r¨ aumliche Autokorrelationsfunktionen. Zum Beispiel gilt in bezug auf die Schwankungsgeschwindigkeit u∗ ∗ Ruu ( x ∗ , ruu )=



∗ ) u∗ ( x∗ ) u∗ ( x∗ +  ruu

∗ )]2 [u∗ ( x∗ )]2 [u∗ ( x∗ +  ruu

1/2

(5.6)

Diese Funktion Ruu l¨ aßt sich experimentell relativ leicht ermitteln, indem an zwei um ∗ auseinanderliegenden Orten z.B. mit zwei Hitzdrahtsonden die beiden Schwankungs ruu geschwindigkeiten u∗ gleichzeitig aufgenommen und gem¨ aß (5.6) ausgewertet werden. Dabei ist zu erwarten, daß alle Wirbelstruktur-Anteile mit charakteristischen Abmessungen ∗ einen Beitrag zu R ∗ ) liefern, alle Anteile mit Abmessungen <  ∗ jedoch > ruu x∗ , ruu ruu uu ( nicht. ∗ gr¨ Wenn  ruu oßer als die gr¨ oßten Wirbelstrukturabmessungen wird, muß Ruu demnach zu Null werden. Aus der Verteilung von Ruu kann deshalb im Umkehrschluß“ ein ” Integral-L¨ angenmaß L∗i gewonnen werden, wie dies in Bild 5.3 gezeigt ist. F¨ ur eine einfache geometrische Deutung u achen wird allerdings vorausgesetzt, daß die ¨ber die schraffierten Fl¨ Turbulenz in dem Bereich, in dem Ruu > 0 gilt, homogen, d.h. ortsunabh¨ angig ist (s. dazu auch die sp¨ atere Anmerkung 5.7/S. 116). Aufgrund der Definition (5.6) gilt Ruu ( x∗ ,0) = 1. Das Kr¨ ummungsverhalten der Kurve Ruu im Ursprung der Funktion ist durch die kleinsten Wirbelstrukturen beeinflußt. Je kleiner diese sind, um so gr¨ oßer ist die Kr¨ ummung der Kurve (2. Ableitung der Funktion). ¨ Solche Uberlegungen f¨ uhren zur Definition eines Mikro-L¨ angenmaßes λ∗m , das ebenfalls in Bild 5.3 eingezeichnet ist. Diese von G.I. Taylor 1921 eingef¨ uhrte Gr¨ oße beschreibt, wie die in (5.2) eingef¨ uhrte Kolmogorov-L¨ ange lk∗ , die kleinsten Wirbelstrukturen, ist aber nicht mit dieser identisch (z.B. gilt L∗ /λ∗m ∼ Re1/2 anstelle von L∗ /lk∗ ∼ Re3/4 , s. (5.3)). Dies macht noch einmal deutlich, daß die Vorstellung von Wirbelstrukturen zur Beschreibung der turbulenten Bewegung eine Modellvorstellung ist, die eine gewisse Anschaulichkeit vermitteln kann, die aber keine konkrete Beschreibung im Sinne von identifizierbaren Einzelwirbeln darstellt. Je nachdem, welcher physikalische Aspekt der durch Wirbelstrukturen grob beschriebenen Verh¨ altnisse betrachtet wird, kommt es deshalb zu leicht verschiedenen charakteristischen L¨ angen zur Beschreibung der kleinsten Wirbelstrukturen“. ”

5.2

Direkte numerische Simulation (DNS)

Die allgemeinen Bilanzgleichungen im Abschn. 4.4, besonders auch Tab. 4.1, waren f¨ ur ein infinitesimales Fluidelement aufgestellt worden und gelten uneingeschr¨ ankt auch f¨ ur turbulente Str¨ omungen. Unterstellt man ein Newtonsches Fluid, also ein bestimmtes einfaches Materialverhalten (s. Tab. 4.2) so gelten die Navier-Stokes-Gleichungen gem¨ aß Tab. 4.3a zur Beschreibung der Str¨ omung. Diese Gleichungen zusammen mit den zugeh¨origen Anfangs- und Randbedingungen k¨ onnen aufgrund ihrer Komplexit¨ at nur numerisch gel¨ost werden. Dazu wird das Str¨ omungsgebiet mit einem sog. numerischen Gitter u ¨berzogen. Die physikalischen Gr¨ oßen an den Gitterpunkten dienen dann dazu, die

5.2

Direkte numerische Simulation (DNS)

87

Ruu

1

√

2λ∗m

∗ |ruu |

L∗i

Bild 5.3:

R¨ aumliche Autokorrelationsfunktion der Geschwindigkeitsschwankung u∗ (prinzipieller Verlauf) angenmaß (festgelegt durch die Gleichheit der schraffierten L∗i : Integral-L¨ Fl¨ achen, wenn die Turbulenz homogen ist) ∗ |2 λ∗m : Mikro-L¨ angenmaß; λ∗m = 1/ −∂ 2 Ruu /∂| ruu

Differentialgleichungen im Zuge der sog. Diskretisierung durch entsprechende algebraische Differenzen-Gleichungssysteme zu approximieren. Das verwendete r¨ aumliche Gitter sowie die Zeitschritte bei einer instation¨ aren Formulierung m¨ ussen dem Problem angepaßt sein, d.h. fein genug sein, um alle r¨ aumlichen Strukturen bzw. zeitlichen Ver¨anderungen erfassen zu k¨ onnen. Bezogen auf turbulente Str¨ omungen bedeutet dies, daß die im vorigen Abschnitt beschriebenen Wirbelstrukturen bis hin zu den kleinsten Abmessungen (charakterisiert durch die Kolmogorov-L¨ange lk∗ ) erfaßt werden m¨ ussen, da diese f¨ ur die Turbulenz und damit f¨ ur die Str¨omung insgesamt ¨ von großer Bedeutung sind. Aufgrund dieser Uberlegungen folgt also, daß eine Gitteraufl¨ osung von der Gr¨ oßenordnung der Kolmogorov-L¨ange und eine entsprechend feine Zeitaufl¨ osung erforderlich sind. Diese Zeitaufl¨osung ergibt sich aus der Bedingung, daß ein Fluidelement der charakteristischen L¨ange lk∗ w¨ahrend eines Zeitschrittes nicht mehr als einen Gitterabstand zur¨ ucklegen darf. Eine numerische Str¨ omungsberechnung auf der Basis der vollst¨andigen Navier-Stokes-Gleichungen unter Ber¨ ucksichtigung der soeben angestellten ¨ Uberlegungen zur Gitter- und Zeitaufl¨ osung wird Direkte Numerische Simulation (engl.: direct numerical simulation), abgek¨ urzt DNS genannt. F¨ ur rea-

88

5

Das Turbulenzproblem

le, technisch interessierende Str¨ omungen sind solche Simulationen allerdings weder (mit vertretbarem Aufwand) m¨ oglich noch sinnvoll. Der numerische Aufwand w¨ are schier unvorstellbar groß (s. das nachfolgende Beispiel) und das Ergebnis der Fragestellung v¨ ollig unangepaßt. In konkreten Str¨omungssituationen interessieren Globalwerte“ wie z.B. der Str¨omungswiderstand, der ” aerodynamische Auftrieb oder ein Massenstrom, nicht aber die r¨aumliche und zeitliche Verteilung der turbulenten Schwankungsbewegungen. Direkte numerische Simulationen, die erst in den letzten Jahren durch die rasante Entwicklung leistungsstarker Computer m¨oglich geworden sind, haben ihre Berechtigung und sind von großem Wert f¨ ur ein vertieftes Verst¨andnis der Turbulenz, sie stellen aber kein Werkzeug“ dar, um technisch rele” vante Probleme im Zusammenhang mit turbulenten Str¨omungen zu l¨osen. Dazu bedarf es einer vorherigen Zeitmittelung der Grundgleichungen, die dann allerdings das Problem der Turbulenzmodellierung nach sich zieht, wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird. Beispiel 5.1:

Direkte numerische Simulation einer ebenen Kanalstr¨ omung

F¨ ur die denkbar einfache Geometrie einer turbulenten Kanalstr¨ omung, s. dazu Bild B5.1, gilt folgende Absch¨ atzung f¨ ur die Anzahl N der erforderlichen Gitterpunkte (s. dazu Reynolds (1990)) ! Re 2,7 N = 2 · 106 (B5.1-1) 3 300 Diese ergibt sich als Hochrechnung“ einer ausgef¨ uhrten Rechnung f¨ ur eine Reynolds” Zahl Re = 3 300 (Kim et al. (1987)). Unter Ber¨ ucksichtigung der zus¨ atzlich erforderli∗ chen Zeitaufl¨ osung ergibt sich f¨ ur die Rechenzeit Tcpu in Form der CPU-Zeit (centralprocessor-unit-Zeit als reine“ Rechenzeit) die Beziehung ” ∗ Tcpu ∼ N 4/3 .

(B5.1-2)

Die bereits erw¨ ahnte Rechnung f¨ ur Re = 3 300 erforderte eine CPU-Zeit von ca. 250 Stunden auf einem sehr leistungsstarken Großrechner (Cray X-MP), also ca. 10 Tage reine Rechenzeit. F¨ ur eine realistische Reynolds-Zahl von Re = 20 000 (f¨ ur Wasser in einem Kanal der H¨ ohe 2H ∗ = 2 cm entspricht dies einer Geschwindigkeit u∗c = 1 m/s in der Kanalmitte) ergibt sich bereits eine Rechenzeit von 18 Jahren !

H∗ H∗

Bild B5.1:

u∗c Re =

H ∗ u∗c ν∗

Ebene Kanalstr¨ omung; L¨ angserstreckung des Rechengebietes 5H ∗ (Details in Kim et al. (1987))

5.3

5.3

Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨ oßen

89

Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨ oßen

Wie im vorigen Abschnitt deutlich werden sollte, stellt die direkte numerische Simulation von turbulenten Str¨ omungsproblemen keinen gangbaren Weg dar, technisch interessierende Gr¨ oßen in turbulenten Str¨omungen zu bestimmen. In aller Regel interessieren die Details der turbulenten Schwankungsbewegung auch nicht, sondern allenfalls sind mittlere“ Werte des Str¨omungs” feldes gesucht. H¨aufig interessieren nicht einmal diese mittleren Werte im Str¨ omungsfeld, sondern nur deren Auswirkung auf um- oder durchstr¨omte K¨ orper z.B. in Form von Druckverlusten bzw. Widerst¨anden. Es ist deshalb naheliegend, aus den allgemeinen Grundgleichungen f¨ ur turbulente Str¨omungen ganz allgemein zun¨ achst diejenigen Gleichungen abzuleiten, deren L¨osung dann unmittelbar die mittleren“ Str¨ omungsgr¨ oßen ergeben. ” Dazu muß und soll zun¨ achst definiert werden, was genau unter mittleren“ ” Str¨omungsgr¨ oßen zu verstehen ist. 5.3.1

Zeitmittelung der Str¨ omungsgr¨ oßen

Bereits in Abschn. 3.3.2 war die formale Aufspaltung einer allgemeinen Str¨oangigen Mittelwert a∗ , der eine geordnete mungsgr¨ oße a∗ in einen zeitunabh¨ Grundstr¨ omung repr¨ asentiert, und in einen verbleibenden Schwankungswert uhrt worden. a∗ eingef¨ Mit Blick auf die allgemeinen Grundgleichungen wird sinnvollerweise ber¨ ucksichtigt, daß eine etwas andere Mittelung eingef¨ uhrt werden sollte, wenn die Dichte im Str¨ omungsfeld variabel ist. Wie anschließend gezeigt wird (s. Anmerkung 5.3/S. 94), hat es deutliche Vorteile, dann die Geschwindigkeiten und die Enthalpie einer sog. massengewichteten Mittelung zu unterziehen, die sich von der bereits in Abschn. 3.3.2 verwendeten konventionellen Mittelung durch das Einbeziehen der variablen Dichte unterscheidet. Wiederum f¨ ur eine allgemeine Str¨ omungsgr¨ oße a∗ wird deshalb folgendes definiert: Konventionelle Mittelung einer Gr¨ oße a∗ = a∗ + a∗ , vgl. (3.2), 1 a∗ = ∆t∗

+∆t∗ t∗ 1

a∗ dt∗

a∗ = 0

;

(5.7)

t∗ 1

.....

Massengewichtete Mittelung einer Gr¨ oße a∗ = a∗ + a∗ .....

a∗ =

1 ∗ ∆t∗

+∆t∗ t∗ 1

∗ a∗ dt∗

t∗ 1

;

∗ a∗ = 0

(5.8)

90

5

Das Turbulenzproblem

konventionelle Mittelung ∗

∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) + ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ )

∗ = 0

p∗

p∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) + p∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ )

p∗ = 0

T∗

T ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) + T ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ )

T ∗ = 0

massengewichtete Mittelung u∗

.....

v∗

.....

w∗

......

h∗

.....

H∗

.......

u∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) + u∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ ) v ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) + v ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ ) w∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) + w∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ )

h∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) + h∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ )

∗ u∗ ∗

∗ v ∗ = 0 ; v ∗ = −

∗ v ∗ ∗

∗ w∗ = 0 ; w∗ = − ∗ h∗ = 0 ; h∗ = −

H ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ )+ H ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ )

Tab. 5.1:

∗ u∗ = 0 ; u∗ = −

∗ w∗ ∗

∗ h∗ ∗

∗ H ∗ = 0 ; H ∗ = −

∗ H ∗ ∗

Zeitmittelung der einzelnen Str¨ omungsgr¨ oßen. Die Mittelungssymbole bedeuten: ∗ t∗ 1 +∆t

(. . .) :

1 ∆t∗



(. . .) dt∗ t∗ 1

........

;

(. . .) :

∗ t∗ 1 +∆t

1



∗ (. . .) dt∗

∗ ∆t∗ t∗ 1

Beachte: Beide Mittelungen sind f¨ ur ∗ = const identisch; in diesen F¨ allen wird der Mittelwert stets durch das Symbol (. . . ) und der Schwankungswert durch das Symbol (. . . ) gekennzeichnet.

Es ist leicht zu erkennen, daß.....im Spezialfall ∗ = const beide Mittelungen identisch sind (dann gilt a∗ = a∗ und a∗ = a∗ ), u ¨ blicherweise wird in diesen F¨ allen die Schreibweise a∗ = a∗ + a∗ verwendet. Da im allgemeinen Fall die Geschwindigkeiten, die spezifische Enthalpie und die spezifische Gesamtenthalpie einer massengewichteten Mittelung unterworfen werden sollen, treten im weiteren die in Tab. 5.1 zusammengestellten Gr¨ oßen mit ihren dort allgemein angegebenen Abh¨angigkeiten auf. Wenn nicht zwischen beiden Mittelungen unterschieden werden muß (weil ∗ = const gilt), wird im folgenden stets die formale Schreibweise a∗ = a∗ +a∗ gew¨ ahlt.

5.3

Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨ oßen

a∗ = a∗ a∗ + b ∗ = a∗ + b ∗ a∗ b ∗ = a∗ b ∗

.....

.....

................

.....

.....

.....

a∗ = a∗

.....

a∗ + b ∗ = a∗ + b ∗ a∗ b ∗ = a∗ b ∗

∂a∗ ∂a∗ = ∂s∗ ∂s∗ Tab. 5.2:

91

—

Rechenregeln f¨ ur die Mittelwertbildung bez¨ uglich zweier abh¨ angiger Variablen a∗ und b∗ : s∗ : x∗ , y ∗ , z ∗ oder t∗ (. . .): konventionelle Mittelung; (5.7) ........

(. . .):

massengewichtete Mittelung; (5.8)

(Die Regeln folgen unmittelbar aus den Definitionen der mathematischen ........

Operationen (. . .) und (. . .).)

5.3.2

Zeitmittelung der Grundgleichungen (RANS)

Um die Bestimmungsgleichungen f¨ ur die zeitgemittelten Gr¨oßen herzuleiten, m¨ ussen die allgemeinen Grundgleichungen (f¨ ur die zeitabh¨angigen Momentanwerte) in folgenden zwei Schritten umgeformt werden: (S1) Ersetzen der Momentangr¨ oße (allgemein: a∗ ) durch die Summen a∗ +a∗ ..... bzw. a∗ + a∗ gem¨ aß Tab. 5.1. (S2) (Konventionelle) Zeitmittelung der gesamten Gleichungen. Da die Zeitmittelung eine Integration darstellt, ist das Integral u ¨ ber die Summe der einzelnen Gleichungsterme gleich der Summe der Integrale u ¨ber die einzelnen Terme. F¨ ur die Terme gelten die allgemeinen Regeln aus Tab. 5.2, die unmittelbar aus den Definitionen f¨ ur die Mittelwertbildung folgen. Die so entstehenden Gleichungen werden h¨ aufig als RANS bezeichnet. Diese Buchstabenfolge entstammt der englischen Bezeichnung Reynolds Averaged Navier-Stokes.

Beispiel 5.2:

Herleitung der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die gemittelten Str¨ omungsgr¨ oßen

Am Beispiel der Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ ) aus Tab. 4.1, hier jedoch in der gleichwertigen, aber besser geeigneten Form (4.9) aus Anmerkung 4.3/S. 54, also ∂∗ ∂(∗ u∗ ) ∂(∗ v∗ ) ∂(∗ w ∗ ) + + + =0 ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ergeben die beiden Schritte (S1) und (S2) folgendes:

(B5.2-1)

92

5

Das Turbulenzproblem

(S1) Einsetzen: .....

....

∂(∗ + ∗ ) ∂(∗ (u∗ + u∗ )) ∂(∗ (v∗ + v∗  )) + + ∗ ∗ ∂t ∂x ∂y ∗ .....

+

∂(∗ (w ∗ + w ∗ )) =0 ∂z ∗

(B5.2-2)

(S2) Zeitmittelung und Anwendung der Rechenregeln f¨ ur die Mittelwertbildung aus ¨ Tab. 5.2 (Mittelwertbildung durch Uberstreichung gekennzeichnet) sowie von ∗ = ∗ u∗ = ∗ v∗  = ∗ w ∗ = 0, s. Tab. 5.1: =0

=0

.....

....

=0

∂ ∗ ∂ ∗  ∂(∗ u∗ ) ∂(∗ u∗  ) ∂(∗ v∗ ) ∂(∗ v∗  ) + + + + + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂t ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y∗ .....

=0

∂(∗ w ∗ ) ∂(∗ w∗  ) + + =0 ∗ ∂z ∂z∗ woraus unmittelbar folgt: .....

....

.....

∂(∗ u∗ ) ∂(∗ v∗ ) ∂(∗ w ∗ ) ∂ ∗ + + + =0 ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(B5.2-3)

Der Vergleich mit der Ausgangsgleichung (B5.2-1) zeigt, daß lediglich die Momentan..... ....

.....

werte von ∗ , u∗ , v∗ und w ∗ durch die entsprechenden Mittelwerte ∗ , u∗ , v∗ und w ∗ ersetzt worden sind !

Die zun¨ achst naheliegende Erwartung, daß wie in Beispiel 5.2 auch in allen anderen Gleichungen der Tab. 4.1 nur die Momentanwerte durch die zeitgemittelten Gr¨ oßen ersetzt w¨ urden, erf¨ ullt sich jedoch nicht ! Immer dann, wenn nichtlineare Terme oder Produkte von Str¨ omungsgr¨oßen auftreten, liegt eine (zun¨ achst formal) andere Situation vor: Diese Terme k¨onnen mit den Schritten (S1) und (S2) nicht einfach zu Termen umgeformt werden, in denen nur die Momentanwerte durch gemittelte Gr¨ oßen ersetzt werden. Im Zuge der Umformungen (S1) und (S2) entstehen zus¨atzliche Terme. Daß dies in der Kontinuit¨ atsgleichung nicht auch schon bei den Produkten ∂(∗ u∗ )/∂x∗ , ∗ ∗ ∗ ∂( v )/∂y und ∂(∗ w∗ )/∂z ∗ geschehen ist, liegt an der speziell auf diese Terme zugeschnittenen massengewichteten Mittelung (s. dazu Anmerkung 5.3/S. 94). Die Entstehung zus¨ atzlich auftretender Terme wird im Beispiel 5.3 f¨ ur die Impulsgleichungen erl¨ autert.

Beispiel 5.3:

Zeitmittelung der Impulsgleichungen und Entstehung zus¨ atzlicher Terme

Bei der Herleitung der Gleichungen f¨ ur die zeitgemittelten Str¨ omungsgr¨ oßen treten zus¨ atzliche Terme auf, wenn die Ausgangsgleichungen Produkte bzw. nichtlineare Terme aufweisen. Dies ist bei den drei Impulsgleichungen auf den jeweils linken Seiten der Fall, wie Tab. 4.1 zeigt. Stellvertretend f¨ ur die drei Gleichungen soll hier die xImpulsgleichung behandelt werden, deren linke Seite unter Ber¨ ucksichtigung des Differentialoperators D/Dt∗ gem¨ aß (4.3) wie folgt lautet:

5.3

93

Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨ oßen





Du∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂u∗ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ = . . . (B5.3-1) Dt∗ ∂t∗ ∂x ∂y ∂z F¨ ur die weitere Behandlung ist es hilfreich, diese linke Seite formal dadurch umzuformen, daß die mit u∗ multiplizierte Kontinuit¨ atsgleichung (4.10), also ∗

u∗

∂∗ ∂(∗ u∗ ) ∂(∗ v∗ ) ∂(∗ w ∗ ) + u∗ + u∗ + u∗ =0 ∗ ∗ ∗ ∂t ∂x ∂y ∂z ∗

addiert (und damit (B5.3-1) nicht ver¨ andert) wird. Dadurch kann die gesamte linke Seite formal in die folgende konservative Form (s. Anmerkung 4.3/S. 54) gebracht werden: ∗

∂(∗ u∗ ) ∂(∗ u∗ u∗ ) ∂(∗ u∗ v∗ ) ∂(∗ u∗ w ∗ ) Du∗ = + + + = ... ∗ ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∗

(B5.3-2)

Die Ausf¨ uhrung der Schritte (S1) und (S2) ergibt nun: (S1) Einsetzen:

.....

.....

.....

∂(∗ (u∗ + u∗ )) ∂(∗ (u∗ + u∗ )(u∗ + u∗ )) + ∗ ∂t ∂x∗

.....

....

.....

.....

∂(∗ (u∗ + u∗ )(v∗ + v∗  )) ∂(∗ (u∗ + u∗ )(w ∗ + w ∗ )) + + = ... ∂y ∗ ∂z ∗ ¨ (S2) Zeitmittelung (durch Uberstreichen gekennzeichnet): .....

∂(∗ u∗ ) ∂t∗

+

..........

+

∂(∗ u∗ u∗ ) ∂x∗

+

∂(∗ u∗ v∗ ) ∂y ∗

+

∂(∗ u∗ w ∗ ) ∂z ∗

∂(∗ u∗  ) ∂t∗ .....

+

∂(∗ u∗ u∗  ) ∂x∗

+

∂(∗ u∗ v∗  ) ∂y∗

+

∂(∗ u∗ w∗  ) ∂z∗

.........

.....

+

∂(∗ u∗  u∗ ) ∂x∗

+

∂(∗ u∗  v∗ ) ∂y∗

+

∂(∗ u∗  w∗ ) ∂z∗

.....





=0

∂(∗ u∗ u∗ ) ∂x∗

+

∂(∗ u∗ v∗  ) ∂y ∗

+

∂(∗ u∗ w ∗ ) ∂z ∗

.....

.....

..........

+

......





=0

=. . .

Unter Ber¨ ucksichtigung der Rechenregeln f¨ ur die Mittelwertbildung (Tab. 5.2) sowie von ∗ u∗ = ∗ v∗  = ∗ w ∗ = 0 folgt .....

..... .....

..... ....

..... .....

∂(∗ u∗ u∗ ) ∂(∗ u∗ v∗ ) ∂(∗ u∗ w ∗ ) ∂(∗ u∗ ) + + + ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ +

∂(∗ u∗ u∗ ) ∂(∗ u∗ v∗  ) ∂(∗ u∗ w ∗ ) + + = ... ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(B5.3-3)

Der Vergleich zwischen (B5.3-3) und (B5.3-2) zeigt, daß im Zuge der Herleitung der Gleichungen f¨ ur die zeitgemittelten Gr¨ oßen (auf der linken Gleichungsseite) alle Momentanwerte durch die entsprechenden zeitgemittelten Werte ersetzt werden, aber auch zus¨ atzliche neue Terme entstehen, die offenbar die physikalische Wirkung der turbulenten Schwankungsbewegung auf die mittleren Gr¨ oßen beinhalten. Diese Terme sind in (B5.3-3) grau unterlegt.

94

5

Das Turbulenzproblem

Eine genauere Analyse der physikalischen Vorg¨ange ergibt, daß die zus¨atzlichen Terme in den Impulsgleichungen (s. Beispiel 5.3) als zus¨atzliche Spannungen interpretiert werden k¨ onnen. Neben den viskosen Spannungen, die in der u ¨ blichen Schreibweise als Komponenten des viskosen Spannungstensors auf den rechten Seiten der Impulsgleichungen stehen, treten genau neun zus¨ atzliche Terme auf (in jeder der drei Impulsgleichungen drei Terme, wie in (B5.3-3)), die als die neun Komponenten eines turbulenten Spannungstensors interpretiert werden k¨ onnen. Um diese Interpretation zu verdeutlichen, werden diese Terme auf die rechte Seite u ¨ bernommen und treten deshalb stets mit einem Minuszeichen auf. Sie werden zun¨ achst formal durch die Symbole τij∗  dargestellt, um den engen Zusammenhang zu den viskosen Spannungen τij∗ zu verdeutlichen. Ebenso treten in der Energiegleichung mit qi∗  turbulente W¨ armestromdichten analog zu den molekularen W¨armestromdichten qi∗ auf. Der turbulente Spannungstensor wird u ¨ blicherweise als Reynoldsscher Spannungstensor bezeichnet, der turbulente W¨armestromdichtevektor entsprechend als Reynoldsscher W¨armestromdichtevektor. Wie in Beispiel 5.3 f¨ ur die Impulsgleichung gezeigt wurde, ergeben sich in den Grundgleichungen turbulente Zusatzterme, wenn die Ausgangsgleichungen Produkte oder nichtlineare Terme enthalten. Diese Zusatzterme sind auf die Schwankungsbewegungen bei turbulenten Str¨omungen zur¨ uckzuf¨ uhren und k¨ onnen jeweils physikalisch interpretiert werden. Im folgenden werden die allgemeinen Bilanzgleichungen aus Kap. 4, dort Tab. 4.1, der Mittelungsprozedur (S1), (S2) unterworfen. Dabei wird wiederum der Aufbau der Tabellen streng beibehalten, so daß die Zuordnung der einzelnen Terme unmittelbar erkennbar ist. Konsequenterweise werden die Gleichungsbezeichnungen jetzt mit einem Querstrich versehen, da es sich um Gleichungen f¨ ur die zeitlich gemittelten Gr¨ oßen handelt. Anmerkung 5.3:

Die Kontinuit¨ atsgleichung bei konventioneller Mittelung

Wird die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Momentanwerte (in der Form (4.10)) der konventionellen Mittelung (5.7) anstelle der massengewichteten Mittelung (5.8) unterzogen, so ergibt sich mit den Schritten (S1) und (S2): ∂∗ ∂(∗ u∗ ) ∂(∗ v∗ ) ∂(∗ w ∗ ) ∂(∗  u∗ ) ∂(∗ v∗ ) ∂(∗  w ∗ ) = 0 (5.9) + + + + + + ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗





turbulente Zusatzterme Anders als in der durch massengewichtete Mittelung entstandenen Gleichung (B5.2-3) entstehen jetzt auch in der Kontinuit¨ atsgleichung turbulente Zusatzterme, die als sog. Quellterme interpretiert werden m¨ ussen. F¨ ur eine ebene (zweidimensionale) station¨ are Str¨ omung kann dies wie folgt anschaulich interpretiert werden: Definiert man, wie u ¨blich, die Stromlinien als diejenigen Linien, bei denen die Geschwindigkeits-Vektoren (u∗ , v∗ ) Tangenten sind, dann ist der Massenstrom zwischen zwei solchen Stromlinien nicht mehr konstant, sondern ver¨ andert sich durch Quellen bzw. Senken im Feld. Daher l¨ aßt sich so keine Stromfunktion der mittleren Str¨ omung bilden, die wie in Anmerkung 4.10/S. 75/ interpretiert werden k¨ onnte. Dies erfordert vielmehr Stromlinien als Tangenten an den Stromdichte..... .... Vektor (∗ u∗ , ∗ v∗ ), wie (B5.2-3) zeigt.

5.3

5.3.3

95

Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨ oßen

Allgemeine Grundgleichungen f¨ ur die zeitgemittelten Str¨ omungsgr¨ oßen/spezielle konstitutive Gleichungen

Tab. 5.3a enth¨ alt die allgemeinen Bilanzgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Str¨omungen vollkommen analog zu Tab. 4.1 (Momentanwerte). Die turbulenten Zusatzterme sind in Tabelle 5.3b zusammengefaßt. Neben der kinetischen Energie der mittleren Bewegung kann f¨ ur turbulente Str¨ omungen auch die kinetische Energie der Schwankungsbewegungen bilanziert werden, so daß jetzt drei (statt zwei) Teil-Energiegleichungen auftreten. Mit der abk¨ urzenden Schreibweise q ∗2 = u∗2 + v ∗2 + w∗2

(5.10)

gilt f¨ ur die (auf die Masse bezogene) mittlere kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung k∗ =

1 ∗2 q . 2

(5.11)

Diese Gr¨ oße ist unmittelbar mit dem sog. Turbulenzgrad Tu, definiert als #
 2 k∗ Tu = (5.12) 3 UB∗2 verkn¨ upft, der damit ein Maß f¨ ur eine mittlere dimensionslose Schwankungsgeschwindigkeit darstellt (UB∗ : Bezugsgeschwindigkeit). Gem¨ aß der Definition f¨ ur die spez. Gesamtenthalpie H ∗ , s. (4.21), gilt f¨ ur turbulente Str¨ omungen jetzt: 1 H ∗ = h∗ + v ∗2 2

−→

.......

..... 1 ...... H ∗ = h∗ + (v ∗ )2 + k ∗ 2

(5.13)

Die allgemeinen Bilanzgleichungen in Tab. 5.3 stellen in zweierlei Hinsicht noch kein geschlossenes, l¨ osbares Gleichungssystem dar: 1. Durch konstitutive Gleichungen muß das Materialverhalten festgelegt werden. Damit werden die zun¨ achst unbekannten viskosen Spannungen ∗ , τ ∗ , . . .) bzw. molekularen W¨ (τxx armestromdichten (qx∗ , qy∗ , . . .) mit den xy (zeitgemittelten) Geschwindigkeits- bzw. Temperaturfeldern verkn¨ upft und damit das Gleichungssystem in dieser Hinsicht geschlossen. 2. Durch eine Turbulenzmodellierung m¨ ussen die turbulenten Zusatzterme beschrieben werden. Dies geschieht in der Regel dadurch, daß die ∗  ∗  , τxy , . . .) bzw. zun¨ achst unbekannten Reynoldsschen Spannungen (τxx ∗ ∗ Reynoldsschen W¨ armestromdichten (qx , qy , . . . ) durch entsprechende Turbulenz-Modellgleichungen mit den (zeitgemittelten) Geschwindigkeitsbzw. Temperaturfeldern verkn¨ upft werden. Damit wird dann das Gleichungssystem in dieser Hinsicht geschlossen.

96

5

Das Turbulenzproblem ..... ∂ ..... ∂ ...... ∂ D ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

Kontinuit¨ atsgleichung  ..... ..... ......  ∗ ∗ D∗ u v w∗ ∂ ∂ ∂ + ∗ =0 + ∗+ ∗ ∗ Dt ∂x ∂y ∂z ∗ x-Impulsgleichung .....

Du∗ ∂p∗ ∗− ∗ = f + x Dt∗ ∂x∗

y-Impulsgleichung .....

Dv ∗ ∂p∗ ∗− ∗ = f + y Dt∗ ∂y ∗

z-Impulsgleichung ......

∂p∗ Dw∗ ∗ = fz∗ − ∗ + ∗ Dt ∂z

(K∗ )

$

% ∗ ∗ ∗ ∂τyx ∂τxx ∂τzx + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗
∗   ∗  ∗  ∂τyx ∂τxx ∂τzx + + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ % ∗ ∗ ∗ ∂τxy ∂τyy ∂τzy + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗
∗  ∗  ∗  ∂τxy ∂τyy ∂τzy + + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(XI∗ )

$

(YI∗ )

$

% ∗ ∗ ∗ ∂τyz ∂τxz ∂τzz + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗
∗  ∗  ∗  ∂τyz ∂τxz ∂τzz + + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

Energiegleichung $ % ....... ∗ ∗ ∗ ∗ ∂q D H ∂q ∂q y x ∗ = − + ∗ + z∗ Dt∗ ∂x∗ ∂y ∂z  ∂p∗ ..... ..... ...... + u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ + ∗ + D∗ ∂t
∗  ∗ ∗  ∂qy ∂qx ∂q − + + z∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z

(ZI∗ )

(E∗ )

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −TTD1 − TTD2 + TVD + TDG1 + TDG3

Teil-Energiegleichung (mechanische Energie der mittleren Bewegung)
∗  ..... ......  ∂p ∗ D ..... Dp∗ ∗2 ∗2 ∗2 = u + v + w − + D ∗ − Φ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt∗  ..... ..... ...... + u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ∗ ∗ −TTD2 − TPRO

Fortsetzung der Tabelle auf der folgenden Seite

(ME∗ )

5.3

Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨ oßen

97

Fortsetzung der Tabelle von der vorigen Seite

Teil-Energiegleichung (thermische Energie) % $ ..... ∂qy∗ Dh∗ Dp∗ ∂qx∗ ∂qz∗ ∗ +  = − + + + Φ∗ Dt∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Dt∗
∗  ∂qy∗  ∂qx ∂qz∗  ∗ ∗ − + + + TDG3 + TΦ∗ + TDG2 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Teil-Energiegleichung (mechanische Energie der Schwankungsbewegung) ∗

(TE∗ )

(MES∗ )

Dk ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = TDG1 − TDG2 − TTD1 + TPRO + TVD − TΦ∗ Dt∗ Hilfsfunktionen in den Energiegleichungen:

 ∂ .....  ..... ...... ..... ...... ∂ ..... ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + u τ + v τ + w τ u τ + v τ + w τ xx yx zx xy yy zy ∂x∗ ∂y ∗   ..... ...... ∂ ..... ∗ ∗ + w∗ τ ∗ + ∗ u∗ τxz + v ∗ τyz zz ∂z Diffusion $ ..... ..... ...... % $ ..... ..... ...... % ∂ u∗ ∂ v∗ ∂ w∗ ∂ u∗ ∂ v∗ ∂ w∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Φ = τxx ∗ + τxy + τxz + τyx ∗ + τyy ∗ + τyz ∂x ∂x∗ ∂ x∗ ∂y ∂y ∂ y∗ $ ..... ..... ...... % ∗ ∗ ∂ u ∂ v ∂ w∗ ∗ ∗ ∗ + τzx + τ + τ zy zz ∂ z∗ ∂z ∗ ∂ z∗ Dissipation D∗ =

Tab. 5.3a:

Allgemeine Bilanzgleichungen f¨ ur zeitgemittelte turbulente Str¨ omungsgr¨ oßen (entstanden aus den Gleichungen in Tab. 4.1)

Ein spezieller Satz von konstitutiven Gleichungen (Newtonsche Fluide) ist in Tab. 5.4 enthalten. Turbulenz-Modellgleichungen sind Gegenstand der beiden nachfolgenden Abschnitte. Zun¨ achst sollen aber die Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur turbulente Str¨omungen mit konstanten Stoffwerten bereitgestellt werden. Dies geschieht wiederum in Analogie zu Tab. 4.3 f¨ ur die Momentanwerte. Tab. 5.5a enth¨alt diese Gleichungen, zusammen mit den zugeh¨ origen Energiegleichungen. Tab. 5.5b enth¨ alt die turbulenten Zusatzterme. Wiederum erlaubt der formal gleiche Aufbau eine Zuordnung der einzelnen Terme zwischen den verschiedenen Tabellen. Der Index cp bei den Gleichungsbezeichnungen verweist, wie schon fr¨ uher, auf die Konstanz der Stoffwerte (cp: constant properties). Da bei konstanten Stoffwerten insbesondere auch die Dichte ∗ konstant ist, entf¨allt die Unterscheidung nach massengewichteter und konventioneller Mittelung.

98

5

Das Turbulenzproblem

Wie schon zuvor erw¨ ahnt, wird dann einheitlich das Symbol (. . .) f¨ ur die  gemittelten und das Symbol (. . .) f¨ ur die Schwankungsgr¨oßen verwendet. Alle turbulenten Gleichungen sind bisher in dimensionsbehafteter Form geschrieben worden. Anders als bei den Grundgleichungen f¨ ur die Momentanwerte in Kap. 4 ist es auch nicht u ¨ blich, die allgemeinen Gleichungen

Reynoldssche Normalspannungen ∗  τxx = −∗ u∗2

∗  τyy = −∗ v ∗2

;

∗  τzz = −∗ w∗2

;

Reynoldssche Tangentialspannungen ∗  ∗  τxy = τyx = −∗ u∗ v ∗

;

∗  ∗  τyz = τzy = −∗ v ∗ w∗ ∗  ∗  τzx = τxz = −∗ w∗ u∗

Reynoldssche W¨ armestromdichte qx∗  = ∗ u∗ h∗

;

qy∗  = ∗ v ∗ h∗

;

qz∗  = ∗ w∗ h∗

q ∗2 = u∗2 + v ∗2 + w∗2 Turbulente Diffusion/1  



 ∂ ∗ ∗2 ∗ ∗2 ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ TTD1 = u p + q + ∗ v p + q ∂x∗ 2 ∂y 2 

 ∗ ∗2 ∂ ∗ ∗ p + q + ∗ w ∂z 2 Turbulente Diffusion/2  ..... ...... ∂  ..... ∗ ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u  u + v  u v + w  u w TTD2 = ∂x∗  ..... ...... ∂  ..... + ∗ u∗ ∗ u∗ v ∗ + v ∗ ∗ v ∗2 + w∗ ∗ v ∗ w∗ ∂y  ..... ...... ∂  ..... + ∗ u∗ ∗ u∗ w∗ + v ∗ ∗ v ∗ w∗ + w∗ ∗ w∗2 ∂z Turbulenzproduktion $ ..... ..... ...... % ∂ u∗ ∂ v∗ ∂ w∗ ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ TPRO = −  u + u v + u w ∂x∗ ∂x∗ ∂x∗ $ ..... ...... % ..... ∂ v∗ ∂ w∗ ∂ u∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + v + v w −  u v ∂y ∗ ∂y ∗ ∂y ∗ $ ..... ...... % ..... ∗ ∗ w∗ u ∂ v ∂ ∂ ∗ w∗2 ∗ v ∗ w∗ +  +  − ∗ u∗ w∗ ∂z ∗ ∂z ∗ ∂z ∗ Fortsetzung der Tabelle auf der folgenden Seite

5.3

Grundgleichungen f¨ ur zeitgemittelte Gr¨ oßen

99

Fortsetzung der Tabelle von der vorigen Seite

Turbulente (indirekte) Dissipation
 ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ ∗ ∗ ∗ ∗ TΦ = τxx + τxy + τxz ∂x∗ ∂x∗ ∂x∗
 ∗ ∗ ∂u ∂v ∂w∗ ∗ ∗ ∗ + τ + τ + τyx yy yz ∂y ∗ ∂y ∗ ∂y ∗
 ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ ∗ ∗ ∗ + τzx + τzy + τzz ∂z ∗ ∂z ∗ ∂z ∗ Viskose Diffusion  ∂  ∗ ∗ ∗ ∗ + w∗ τ ∗ TVD = u τxx + v ∗ τxy xz ∗ ∂x  ∂  ∗ + v ∗ τ ∗ + w∗ τ ∗ + ∗ u∗ τyx yy yz ∂y  ∂  ∗ + v ∗ τ ∗ + w∗ τ ∗ + ∗ u∗ τzx zy zz ∂z Druck-Geschwindigkeits-Korrelation/1/2/3
∗  ∂u ∂v ∗ ∂w∗ ∗ ∗ TDG1 = p + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

Tab. 5.3b:

∗ TDG2 = u∗

∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ ∗ ∗ + v + w ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

∗ TDG3 = u∗

∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ ∗ ∗ + v + w ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

Turbulente Zusatzterme in den allgemeinen Bilanzgleichungen (Tab. 5.3a)

fr¨ uhzeitig zu entdimensionieren. Wie sp¨ ater gezeigt wird, treten in turbulenten Str¨ omungen h¨ aufig Schichtenstrukturen auf, wobei in jeder einzelnen Schicht spezifische physikalische Bedingungen herrschen. Diese f¨ uhren zu jeweils unterschiedlichen charakteristischen L¨angen und Geschwindigkeiten, die sinnvollerweise zur Entdimensionierung eingesetzt werden sollten. Es ist deshalb nicht sinnvoll, vorab eine (einheitliche) Entdimensionierung der Gesamtgleichungen vorzunehmen, die die spezielle physikalische Situation in den einzelnen Schichten dann nicht ber¨ ucksichtigen kann. Ein typisches Beispiel einer speziellen, der Physik einer begrenzten Schicht angepaßten Entdimensionierung, ist die dimensionslose Darstellung wandnaher Str¨ omungsbereiche (s. dazu das sp¨ atere Kap. 9).

100

5

Das Turbulenzproblem

div v ∗ =

τij∗ f¨ ur ein Newtonsches Fluid : Normalspannungen

 2 ∂u∗ ∗ ∗ ∗ τxx = η 2 ∗ − div v ; ∂x 3

∗ τyy

=

η∗

=

η∗

∗ τzz

Tangentialspannungen

∗  ∂u∗ ∂v ∗ ∗ ∗ τxy = τyx = η + ∗ ; ∂x∗ ∂y

2 ∂v ∗ 2 ∗ − div v ∗ ∂y 3

=

∗ τzy

=

∗ τxz

=

η∗

=

η∗

∗ τzx



2 ∂w∗ 2 ∗ − div v ∗ ∂z 3

∗ τyz

∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗



∂v ∗ ∂w∗ + ∗ ∗ ∂y ∂z ∂u∗ ∂w∗ + ∂z ∗ ∂x∗

 

qi∗ f¨ ur Fouriersche W¨armeleitung : W¨ armestromdichte qx∗ = −λ∗

Tab. 5.4:

5.4

∂T ∗ ; ∂x∗

qy∗ = −λ∗

∂T ∗ ; ∂y ∗

qz∗ = −λ∗

∂T ∗ ∂z ∗

Spezielle zeitgemittelte konstitutive Gleichungen Newtonsche Fluide/Fouriersches W¨ armeleitungsverhalten (entstanden aus den Gleichungen in Tab. 4.2)

Turbulenzmodellierung

Im Zuge der Herleitung von Gleichungen f¨ ur die zeitgemittelten Str¨omungsgr¨ oßen aus den entsprechenden Gleichungen f¨ ur die Momentangr¨oßen entstehen turbulente Zusatzterme. Diese sind als zus¨atzliche Unbekannte des Gleichungssystems anzusehen, so daß insgesamt mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind, was in diesem Zusammenhang als Schließungsproblem bei der Berechnung von turbulenten Str¨ omungen bezeichnet wird. F¨ ur jede neue unbekannte Turbulenzgr¨ oße ist somit eine zus¨atzliche Gleichung f¨ ur diese Gr¨ oße erforderlich, um das gesamte Gleichungssystem zu ” schließen“ (Anzahl der Gleichungen = Anzahl der Unbekannten). Da diese Zusatzgleichungen prinzipiell nicht vollst¨ andig aus den allgemeinen Grundgleichungen abgeleitet werden k¨ onnen (s. dazu Anmerkung 5.6/S. 115), sondern zumindest in Teilaspekten eine Zusatzinformation aufgrund von Modell-

5.4

Turbulenzmodellierung

101

vorstellungen bez¨ uglich der Turbulenz und ihrer Wirkung auf die mittleren Str¨omungsgr¨ oßen enthalten, nennt man sie Turbulenzmodelle (genau w¨are: Turbulenzmodellgleichungen) und bezeichnet ihre Aufstellung als Turbulenzmodellierung.

Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + ∗+ =0 ; ∗ ∂x ∂y ∂z ∗

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z
∗  ∂u ∂v ∗ ∂w∗ + + = 0 (K∗cp ) ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

x-Impulsgleichung

2 ∗  ∂ u Du∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∗ = ∗ gx∗ − ∗ + η ∗ + + Dt ∂x ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2   ∗2 ∂ u∗ v ∗ ∂ u∗ w∗ ∗ ∂u − + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ y-Impulsgleichung

2 ∗  ∗ ∂p∗ ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∗ Dv ∗ ∗ ∗ ∂ v  =  gy − ∗ + η + + Dt∗ ∂y ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2   ∗ ∗ ∂ v ∗2 ∂ v ∗ w∗ ∗ ∂v u − + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ z-Impulsgleichung

2 ∗  ∂ w Dw∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ ∗ = ∗ gz∗ − ∗ + η ∗ + + Dt ∂z ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2   ∗ u∗ ∗ v ∗ ∗2 w w w ∂ ∂ ∂ −∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(XI∗cp )

(YI∗cp )

(ZI∗cp )

Energiegleichung ∗

2 ∗  DH ∗ ∂2T ∗ ∂2T ∗ ∗ ∂ T = λ + + D t∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2 ∂p∗ +∗ [u∗ gx∗ + v ∗ gy∗ + w∗ gz∗ ] + ∗ + D∗ ∂t

 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂u h ∂v h ∂ w∗ h∗ −∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −TTD1 − TTD2 + TVD + TDG1 + TDG3 Fortsetzung der Tabelle auf der folgenden Seite

(E∗cp )

102

5

Das Turbulenzproblem

Teil-Energiegleichung (mechanische Energie der mittleren Bewegung)
∗  ∂p ∗ D Dp∗ ∗ 2 + v ∗ 2 + w∗ 2 ] = [ u − + D ∗ − Φ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt∗ +∗ [ u∗ gx∗ + v ∗ gy∗ + w∗ gz∗ ]

(ME∗cp )

∗ ∗ −TTD2 + TPRO

Teil-Energiegleichung (Thermische Energie; Temperaturform)

2 ∗  ∂ T DT ∗ ∂2T ∗ ∂2T ∗ Dp∗ ∗ c∗p ∗ = λ∗ + + + Φ∗ + ∗2 ∗2 ∗2 Dt ∂x ∂y ∂z Dt∗

 ∗ ∗ ∂ v ∗ T ∗ ∂ w∗ T ∗ ∗ ∗ ∂u T − cp + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∗ ∗ ∗ +TDG2 + TDG3 + TΦ

(TE∗cp )

Teil-Energiegleichung (Mechanische Energie der Schwankungsbewegung) ∗

D∗ k ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = TDG1 − TDG2 − TTD1 − TPRO + TVD − TΦ∗ Dt∗

D∗ = η ∗



Diffusion Φ∗ = 2η

∗

Dissipation

(MES∗cp )

Hilfsfunktionen in den Energiegleichungen:

∗2

∗ 

∗  ∂ ∂u ∂u ∂w ∂v ∗ ∂u∗ ∗ ∗ +v + ∗ +w + ∗ ∂x∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂x ∂x∗ ∂z

∗2

∗ 

 ∂u∗ ∂w∗ ∂ ∂v ∂v ∂v ∗ ∗ ∗ +u + ∗ +w + + ∗ ∂y ∂y ∗ ∂x∗ ∂y ∂z ∗ ∂y ∗

∗2

∗ 

 ∂w ∂v ∗ ∂ ∂w ∂u∗ ∂w∗ ∗ ∗ + ∗ +u + ∗ +v + ∂z ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∂z ∗ ∂y ∗



2 ∗ 2  ∂v ∗ ∂w + + ∂y ∗ ∂z ∗ 

2 ∗ 2 ∗ 2  ∂v ∗ ∂w ∂w ∂u∗ ∂v ∗ ∂u∗ ∗ +η + ∗ + ∗ + ∗ ∂x∗ ∂y ∂y ∗ ∂z ∂x∗ ∂z ∂u∗ ∂x∗

2



Tab. 5.5a: Navier-Stokes-Gleichungen und Energiegleichungen; konstante Stoffwerte

Fortsetzung der Tabellenunterschrift auf der folgenden Seite

5.4

Turbulenzmodellierung

103

Fortsetzung der Tabellenunterschrift von der vorigen Seite

(Newtonsches Fluidverhalten; Fouriersche W¨ armeleitung) (entstanden aus den Gleichungen in Tab. 4.3) Beachte: Mit dem modifizierten Druck p∗mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ gy∗ − = − mod ; ∗ gz∗ − = − mod ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∗

Wenn z.B. in den Navier-Stokes-Gleichungen nach Tab. 5.5a neun zus¨atzliche Turbulenzgr¨ oßen auftreten (die neun Komponenten des Reynoldschen Spannungstensors), so sind prinzipiell neun zus¨ atzliche Modellgleichungen erforderlich. Selbst im allgemeinen Fall reduziert sich die Anzahl aus Symmetriegr¨ unden allerdings auf sechs, in vielen speziellen Anwendungsf¨allen zeigt sich, daß nur eine Komponente dominiert und damit dann nur“ eine Modellglei” chung (als Turbulenzmodell) erforderlich ist. Dies ist z.B. bei sog. einfachen Scherstr¨omungen der Fall, bei denen ein Geschwindigkeitsgradient dominiert, wie dies z.B. in einer ausgebildeten Rohrstr¨ omung der Fall ist. Historisch gesehen sind Turbulenzmodelle zun¨achst f¨ ur diese einfachen Scherstr¨ omungen entwickelt worden. Als entscheidender Aspekt f¨ ur die Entstehung von Turbulenz und f¨ ur ihre Aufrechterhaltung stellt sich dabei die Scherung in der Str¨ omung heraus, d.h. die Existenz von Gradienten der (mittleren) Str¨ omungsgeschwindigkeit. Die Instabilit¨ at solcher gescherter Str¨omungen ist sehr h¨ aufig die Ursache f¨ ur die Entstehung von Turbulenz. Einfache Turbulenzmodelle werden deshalb stets einen Zusammenhang zu diesen, die Turbulenz erzeugenden, Geschwindigkeitsgradienten herstellen. Um den Aspekt der Scherung zu betonen, spricht man in diesem Zusammenhang auch von der sog. Scherstr¨omungsturbulenz. Zu Beginn der Turbulenzforschung bzw. im Zusammenhang mit den ersten Turbulenzmodellen (zeitlich etwa zu Beginn des 20. Jahrhunderts) war man stets bem¨ uht, turbulente Str¨ omungen wie modifizierte laminare Str¨omun” gen“ zu behandeln. Diese Vorgehensweise bietet sich scheinbar geradezu an, da die Gleichungen der laminaren und der turbulenten Str¨omungen bis auf ” einige Terme“ (die zus¨ atzlichen Turbulenzterme) gleich sind. Dieser Grundgedanke ist verlockend“ und hat zu einer Reihe von relativ einfachen, physi” kalisch interpretierbaren und durchaus erfolgreichen Ans¨atzen gef¨ uhrt. Er suggeriert allerdings auch die falsche Vorstellung, turbulente Str¨omungen k¨ onnten als modifizierte laminare Str¨ omungen aufgefaßt werden, oder die Ergebnisse f¨ ur laminare Str¨ omungen k¨ onnten bez¨ uglich des Turbulenzeinflusses korrigiert werden. Dies w¨ are in der Tat eine irref¨ uhrende Vorstellung und verstellt den Blick f¨ ur die Tatsache, daß turbulente Str¨omungen einer grunds¨atzlich anderen Physik“ folgen als laminare Str¨ omungen. Diesem Aspekt tr¨agt ” z.B. die warnende Aussage Rechnung: “Never study turbulent flows with a laminar mind” (frei u ¨bersetzt als: Turbulente Str¨omungen vertragen sich nicht mit laminarem Denken.)

104

5

Das Turbulenzproblem

q ∗2 = u∗2 + v ∗2 + w∗2 Turbulente Diffusion/1  



 ∂ ∗ ∗2 ∗ ∗2 ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ TTD1 = u p + q + ∗ v p + q ∂x∗ 2 ∂y 2 

 ∗  ∂ + ∗ w∗ p∗ + q ∗2 ∂z 2 Turbulente

Diffusion/2  ∂  ∗ ∗2 ∗ ∗ TTD2 =  u u + v ∗ u∗ v ∗ + w∗ u∗ w∗ ∗ ∂x  ∂  + ∗ u∗ u∗ v ∗ + v ∗ v ∗2 + w∗ v ∗ w∗ ∂y  ∂  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 + ∗ u u w +v v w +w w ∂z Turbulenzproduktion


 ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ ∗ ∗ v ∗ ∗ w∗ TPRO = −∗ u∗2 + u + u ∂x∗
∂x∗ ∂x∗  ∗ ∗ ∂u ∂v ∂w∗ ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ +v +v w + u v ∗ ∂y ∗ ∂y ∗
∂y  ∗ ∗ ∂u ∂v ∂w∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 + u w +v w +w ∂z ∗ ∂z ∗ ∂z ∗ Turbulente (indirekte) Dissipation 

2

∗ 2

∗ 2 ∂u∗ ∂v ∂w ∗ ∗ TΦ = η 2 +2 +2 ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗

∗ 

2 ∗ 2  2 ∂u ∂u∗ ∂v ∂v ∗ ∂w∗ ∂w∗ + + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗ Viskose Diffusion

2     ∂ ∂2  ∗ ∂2  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 + ∗2 + ∗2 k k k TVD = η + u + v + w ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

2 ∗ ∗  ∂ u v ∂ 2 v ∗ w∗ ∂ 2 w∗ u∗ + + +2 ∂x∗ ∂y ∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∂z ∗ ∂x∗ Druck-Geschwindigkeits-Korrelation/1/2/3 ∗ ∗ TDG1 = TDG2 =0

Tab. 5.5b:

;

∗ TDG3 = u∗

∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ + v ∗ + w∗ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗

Turbulente Zusatzterme in den Energiegleichungen (Tab. 5.5a) Beachte: Die turbulenten Zusatzterme der Navier-Stokes-Gleichungen sind bereits in diese eingesetzt worden.

5.4

Turbulenzmodellierung

105

Ein bis heute bei Turbulenzmodellen f¨ ur Scherstr¨omungen tragendes Konzept ist der Ansatz der sog. Wirbelviskosit¨at (auch: scheinbare Viskosit¨at; engl.: eddy viscosity). Dieser Ansatz geht auf J. Boussinesq zur¨ uck (ver¨offentlicht 1872) und ist ein typische Beispiel eines laminar inspirierten“ Modellierungs” ansatzes. Analog zur viskosen Schubspannung bei Newtonschen Fluiden, s. (1.3), du∗ (5.14) dy ∗ wird f¨ ur die zus¨ atzliche turbulente Schubspannung τ ∗ = −∗ u∗ v ∗ (eine Komponente des Reynoldsschen Spannungstensors, Annahme: konstante Stoffwerte) angesetzt: τ ∗ = η∗

τ ∗ = ηt∗

du∗ dy ∗

(5.15)

mit ηt∗ als Wirbelviskosit¨ at. Dieser Ansatz ist f¨ ur eine einfache Scherstr¨omung formuliert, in der eine Komponente des allgemeinen Reynoldsschen Spannungstensors dominiert und in der die (mittlere) Geschwindigkeit u∗ nur eine Funktion der (Quer-)Koordinate y ∗ ist, die z.B. von der Wand ausgehend quer zur Str¨ omung zeigt. Der entscheidende Unterschied zwischen η ∗ und ηt∗ ist allerdings, daß η ∗ ein Stoffwert ist, der abgesehen von einer m¨ oglichen Temperatur- und Druckabh¨ angigkeit eine konstante Gr¨ oße darstellt, die Wirbelviskosit¨at ηt∗ aber eine Str¨omungsgr¨oße. Als solche beschreibt ηt∗ Turbulenzeigenschaften von Str¨ omungen und nimmt deshalb innerhalb ein und derselben Str¨omung sehr unterschiedliche Werte an, die jeweils ein integraler“ Ausdruck der Turbu” lenzwirkung an der betrachteten Stelle im Str¨omungsfeld sind. Wie sp¨ater gezeigt wird, ist eine wichtige Besonderheit der Gr¨oße ηt∗ , daß diese an einer festen Wand den Wert Null annimmt, da aufgrund der Haftbedingung dort die Str¨omungsgeschwindigkeit und damit auch deren Schwankungen verschwinden. Der Ansatz (5.15) unterstellt im allgemeinen, daß die turbulente Schubspannung mit dem Geschwindigkeitsgradienten das Vorzeichen wechselt und insbesondere, daß τ ∗ = 0 gilt, wenn der Geschwindigkeitsgradient den Wert Null annimmt. Obwohl reale Str¨ omungen in vielen F¨allen nicht diese Eigenschaften aufweisen, ist (5.15) ein sehr weit verbreiteter Ansatz. Verschiedene Turbulenzmodelle unterscheiden sich auf der Basis dieses Ansatzes danach, wie die Str¨ omungsgr¨ oße ηt∗ modelliert, d.h. mit der mittleren Str¨omung in Zusammenhang gebracht wird, s. dazu den nachfolgenden Abschn. 5.4.1 . F¨ ur turbulente Str¨ omungen, die nicht den Charakter einfacher Scherstr¨omungen aufweisen, in denen also mehr als eine Komponente des turbulenten Spannungstensors ber¨ ucksichtigt werden muß, wird (5.15) auf einen Ansatz f¨ ur den gesamten turbulenten Spannungstensor erweitert. Mit der Indexschreibweise (s. dazu Anmerkung 4.7/S. 70) gilt f¨ ur die Komponenten τij∗  = −∗ u∗i  u∗j  dann allgemein:

106

5

Das Turbulenzproblem

$ τij∗ 

=

ηt∗

% ..... ..... ...... ∂ u∗j 2 ∂ u∗i 2 ∗ − δij ∗ k ∗ + ∗ − δij div v ∗ ∂xj ∂xi 3 3

(5.16)

mit k ∗ = (u∗2 + v ∗2 + w∗2 )/2 als kinetischer Energie der Schwankungsbewegung gem¨ aß (5.11). Der Vergleich mit (4.35) zeigt den weitgehend analogen Aufbau der Beziehungen f¨ ur τij∗ und τij∗  . Gleichung (5.16) wirkt nur wegen der besonderen Bedingungen auf der Hauptdiagonalen von τij∗  , ausgedr¨ uckt durch δij (mit δij = 1 f¨ ur i = j, δij = 0 f¨ ur i = j) kompliziert. Es wird damit sichergestellt, daß bei der Aufsummierung u ¨ ber die Hauptdiagonale durch die Ausdr¨ ucke in runden Klammern kein zus¨ atzlicher Term entsteht, weil der (mittlere) Druck bereits alle Effekte der Normalspannungen enthalten soll. Der Term −2/3 δij ∗ k ∗ f¨ uhrt bei der Aufsummierung u ¨ ber die Hauptdiagonale des turbulenten Spannungstensors auf 3 · (−2/3 ∗ k ∗ ) = −∗ (u∗2 + v ∗2 + w∗2 ). Dies kann dem gemittelten Druck zugeschlagen“ werden und ” muß deshalb nicht extra modelliert werden, bedeutet aber, daß in turbulenten Str¨ omungen der Druck dann nicht mehr dem thermodynamischen Druck entspricht (s. dazu auch Anmerkung 4.5/S. 58). Da ηt∗ in (5.16) ein skalarer Wert ist, der keinerlei Richtungsabh¨angigkeit ber¨ ucksichtigen kann, spricht man auch von einem isotropen Wirbelviskosit¨ats-Modell (engl.: isotropic eddy viscosity model). Der Boussinesq-Ansatz (5.15) bzw. seine erweiterte Form (5.16) stellt den Ausgangspunkt f¨ ur sehr viele Turbulenz-Modellierungen dar. Das eigentliche Modellierungsziel wird dabei von den zus¨ atzlichen turbulenten Spannungen in Form des Reynoldsschen Spannungstensors auf die Modellierung nur noch einer skalaren Gr¨oße at, verlagert. Solche Modelle werden als Wirbelviskoηt∗ , der Wirbelviskosit¨ sit¨ats-Modelle bezeichnet (engl.: eddy viscosity models). Ein grunds¨ atzlich anderes Vorgehen, das in j¨ ungster Zeit an Bedeutung gewinnt, besteht darin, die einzelnen Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors direkt, also nicht u ¨ber den Ansatz einer Wirbelviskosit¨at, zu modellieren. Solche Modelle werden als Reynolds-Spannungs-Modelle bezeichnet (engl.: Reynolds-stress models). Bei dieser Aufz¨ ahlung verwundert vielleicht, wieso u ¨ berhaupt mehrere (und in der Tat sehr viele) Turbulenzmodelle entwickelt worden sind, weil doch ein universelles Modell, das ganz allgemein die Wirkung der Turbulenz beschreiben k¨ onnte, ausreichen w¨ urde. Weit u ¨ ber einhundert Jahre Turbulenzforschung haben bis heute leider nicht zu einem solchen universellen Modell gef¨ uhrt, und es gibt gute Gr¨ unde f¨ ur die Annahme, daß ein solches Modell auch in Zukunft nicht verf¨ ugbar sein wird. Da Turbulenzmodelle grunds¨ atzlich nicht als mathematische Modelle vollst¨andig aus den allgemeinen Grundgleichungen ableitbar sind (Schließungsproblem, s. auch Anmerkung 5.6/S. 115) m¨ ussen sie notwendigerweise empirische Informationen enthalten. Diese werden meist dadurch in die Modelle

5.4

Turbulenzmodellierung

107

eingebracht, daß Modellkonstanten durch den Vergleich mit bestimmten experimentellen Ergebnissen ermittelt werden. Streng genommen ist das Turbulenzmodell dann ein Modell zur Beschreibung dieser bestimmten Str¨omung. Ob es auch dar¨ uber hinaus angewandt werden kann, muß im Einzelfall u ¨ berpr¨ uft werden. Leider zeigt sich dabei sehr h¨ aufig, daß bestimmte Turbulenzmodelle nur eine beschr¨ ankt verallgemeinerte Anwendung zulassen. Anmerkung 5.4:

Modellierung weiterer turbulenter Zusatzterme

Die Ausf¨ uhrungen des vorherigen Abschnittes zur Turbulenzmodellierung waren jeweils am Beispiel des Reynoldsschen Spannungstensors erl¨ autert worden. Neben diesen turbulenten Zusatztermen in den Impulsgleichungen treten in den zeitgemittelten Grundgleichungen aber eine Reihe weiterer Terme auf, wie Tab. 5.3b f¨ ur die allgemeinen Bilanzgleichungen zeigt. Wenn neben den Impulsgleichungen f¨ ur die zeitgemittelte Str¨ omung (in denen als turbulente Zusatzterme nur die Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors vorkommen) auch die anderen Gleichungen, wie z.B. die Teil-Energiegleichung f¨ ur die kinetische Energie der Schwankungsbewegung k ∗ gel¨ ost werden sollen, so m¨ ussen zuvor alle turbulenten Zusatzterme durch entsprechende Ans¨ atze modelliert werden, um die Gleichungen l¨ osen zu k¨ onnen. Dabei wird man stets versuchen, wie bei der Modellierung des Reynoldsschen Spannungstensors, einfache Ans¨ atze zu finden, die m¨ oglichst an physikalischen Vorstellungen bez¨ uglich der Wirkung dieser Terme orientiert sind. Insbesondere zur Modellierung der k-Gleichung s. den folgenden Abschnitt 5.4.1 (k-ε-Modell). Speziell in der Teil-Energiegleichung f¨ ur die thermische Energie gilt es, den Vektor q ∗ = (qx∗  , qy∗  , qz∗  ) der zus¨  atzlichen turbulenten W¨ armestromdichte (auch Reynoldssche W¨ armestromdichte genannt) zu modellieren, der die Komponenten qi∗  = ∗ u∗i  h∗ be¨ achst ein skalarer sitzt, s. Tab. 5.3b. Ahnlich wie mit der Wirbelviskosit¨ at ηt∗ wird dabei zun¨ Koeffizient, diesmal in Anlehnung an die molekulare W¨ armestromdichte q ∗ = −λ∗ grad T ∗ als

λ∗t

(Fourierscher W¨ armeleitungsansatz)

(5.17)

in q ∗ = −λ∗t grad T ∗

(5.18)

armeleitf¨ ahigkeit eine Stoffgr¨ oße, w¨ ahrend eingef¨ uhrt. Auch hierbei ist λ∗ als molekulare W¨ λ∗t als zus¨ atzliche turbulente W¨ armeleitf¨ ahigkeit eine Str¨ omungsgr¨ oße darstellt, die ein integraler Ausdruck der Turbulenzwirkung auf die W¨ armestromdichte ist. Zur konkreten Modellierung der skalaren Gr¨ oße λ∗t s. Anmerkung 5.9/S. 117.

5.4.1

Turbulenzmodelle I:

Wirbelviskosit¨ ats-Modelle

Mit dem Wirbelviskosit¨ atsansatz (5.15) bzw. (5.16) wird die gesamte Information u ¨ ber die Wirkung der Turbulenz in einem Str¨omungsfeld auf diese (Str¨ omungs-)Gr¨ oße ηt∗ verlagert. Solange noch keine weiteren Aussagen ∗ bez¨ uglich ηt gemacht werden, besteht die einzige einschr¨ankende Annahme darin, zu unterstellen, daß ein und dieselbe skalare Gr¨oße alle Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors mit dem Str¨omungsfeld verbinden kann (isotropes Wirbelviskosit¨ ats-Modell). Diese skalare Gr¨oße ηt∗ mit der ∗ ∗ prinzipiellen Abh¨angigkeit ηt (x , y ∗ , z ∗ , t∗ ) kann dabei noch auf fast beliebig komplizierte Weise mit dem Str¨ omungsfeld verbunden sein.

108

5

Das Turbulenzproblem

In diesem Sinne werden Wirbelviskosit¨ ats-Turbulenzmodelle nach der Anzahl partieller Differentialgleichungen, die diese Modelle beinhalten, geordnet und wie folgt kategorisiert: Null-Gleichungsmodelle Diese enthalten nur algebraische Gleichungen und werden deshalb bisweilen auch als algebraische Turbulenzmodelle bezeichnet. Ein-Gleichungsmodelle Die Wirbelviskosit¨ at wird mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung mit dem Str¨ omungsfeld in Verbindung gebracht. Zwei-Gleichungsmodelle Zwei partielle Differentialgleichungen werden eingesetzt, um ηt∗ zu bestimmen. Mehr als zwei Differentialgleichungen werden nicht eingesetzt, um ηt∗ zu bestimmen. Einen Hinweis darauf, daß dies auch nicht sinnvoll w¨are, geben ¨ die nachfolgenden dimensionsanalytische Uberlegungen zu ηt∗ , die gleichzeitig auch die verschiedenen m¨ oglichen Modellierungsans¨atze verdeutlichen. Da ηT∗ in Analogie zur molekularen Viskosit¨at η ∗ eingef¨ uhrt worden ist, ange ·Zeit). Wenn man ber¨ uckhat ηt∗ wie diese die Dimension Masse/(L¨ sichtigt, daß die Dimension Masse ausschließlich u ¨ ber die Dichte ∗ Eingang in ein Str¨ omungsproblem findet, kann von vornherein eine rein kinematische Gr¨ oße gebildet werden. F¨ ur die molekulare Viskosit¨at η ∗ ist dies ν∗ =

η∗ ∗

mit

[ν ∗ ] =

m2 s

(5.19)

die sog. kinematische Viskosit¨at. Analog dazu wird νt∗ =

ηt∗ ∗

mit

[νt∗ ] =

m2 s

(5.20)

als kinematische Wirbelviskosit¨at eingef¨ uhrt. Die modellm¨ aßige Beschreibung von νt∗ muß nun durch Gr¨oßen erfolgen, die rein kinematischer Natur sind, in denen also nur die Dimensionen L¨ ange und Zeit vorkommen. Als Vor¨ uberlegung k¨ onnen deshalb zun¨achst alle physikalisch f¨ ur die Turbulenz in einer Str¨ omung offensichtlich relevanten Gr¨oßen gesammelt“werden, die diese Eigenschaft besitzen. Nach den bisherigen Aus” f¨ uhrungen zur Physik der Turbulenz geh¨ oren folgende Gr¨oßen in diese Liste: Gradienten der mittleren Geschwindigkeiten ∂u∗i /∂x∗j (→ Turbulenzerzeugung); Dimension: Zeit−1 Turbulenz-L¨ angenmaß L∗t (→ charakteristische Abmessung von Wirbelstrukturen); Dimension: L¨ ange (Spezifische) kinetische Energie der Schwankungsbewegungen k ∗ (→ Energiehaushalt turbulenter Str¨ omungen); Dimension: L¨ ange2 /Zeit2

5.4

Turbulenzmodellierung

109

(Spezifische) turbulente Dissipationsrate ε∗ (→ Energiehaushalt turbulenter Str¨ omungen); Dimension: L¨ ange2 /Zeit3 ... Mit den aufgef¨ uhrten Gr¨ oßen, unterstellt, man k¨onnte sie in einem Str¨omungsfeld durch entsprechende Modellgleichungen bestimmen, k¨onnte aufgrund der Dimensionsbedingung (νt∗ muß die Dimension L¨ ange2 /Zeit besitzen) νt∗ ∗ ∗ ∗ bzw. ηt =  νt auf folgende Weise bestimmt werden: νt∗ = C1 L∗2 t

√ ∂u∗i k ∗2 = C2 L∗t k ∗ = C3 ∗ = . . . ∗ ∂xj ε

(5.21)

Wenn die Gr¨ oßen L∗t , k ∗ , ε∗ , . . . in einem Str¨omungsfeld ermittelt werden k¨onnen, ergibt (5.21), wie daraus die gesuchte Gr¨oße νt∗ zu bestimmen ist. Die Konstanten C1 , C2 , C3 , . . . sind reine Zahlenwerte, die als Modellkonstanten dann ebenfalls empirisch zu ermitteln sind. Im folgenden werden zwei Turbulenzmodelle vorgestellt, die auf unterschiedlich aufwendige Art eine bzw. zwei dieser Gr¨oßen bestimmen und damit gem¨ aß (5.21) auf eine Formulierung f¨ ur νt∗ bzw. ηt∗ = ∗ νt∗ f¨ uhren. Prandtlscher Mischungsweg (Null-Gleichungsmodell) Dieses algebraische Turbulenzmodell geht auf Ludwig Prandtl zur¨ uck (veroffentlicht 1925) und ist ein gutes Beispiel daf¨ ur, wie auch mit einfachen ¨ aber zutreffenden physikalischen Vorstellungen der komplizierte Turbulenzmechanismus n¨ aherungsweise beschrieben werden kann. Mit der im folgenden ¨ erl¨auterten Uberlegung gelang es Prandtl, ein physikalisch interpretierbares Turbulenz-L¨ angenmaß L∗t in Form einer algebraischen Beziehung herzuleiten. Ausgangspunkt ist dabei das (gedachte) Verhalten eines kleinen aber zusammenh¨ angenden Fluidbereiches in einer gescherten Str¨omung. In Bild 5.4 ist diese in Form von u∗ (y ∗ ) dargestellt. Die Vorstellung ist nun, daß der Fluidbereich (graues Quadrat in Bild 5.4) unter Beibehaltung seines Impulses (bei fester Masse also unter Beibehaltung seiner Geschwindigkeit) nach oben oder unten ausgelenkt wird, also schwankt“. Bewegt sich der Fluidbereich ” nach oben, so weist er dort eine kleinere Geschwindigkeit als das umgebende Fluid auf. Diese Differenz wird als u∗ interpretiert, weil sie wie der Schwankungswert der Geschwindigkeit u∗ an dieser Stelle wirkt. Die Geschwindigkeit, die den zusammenh¨ angenden Fluidbereich dorthin gebracht hat, wird als Querschwankungsgeschwindigkeit v ∗ interpretiert. Bei einer Schwankung nach unten liegen dieselben Verh¨ altnisse, jetzt aber mit anderen Vorzeichen vor. Bild 5.4 ist zu entnehmen, daß sowohl bei einer Schwankung nach oben als auch bei einer Schwankung nach unten das Produkt u∗ v ∗ dasselbe (negative) Vorzeichen besitzt, dieses Produkt also nicht etwa im statistischen Mittel verschwindet. Das Turbulenz-L¨ angenmaß L∗t ist nun gerade diejenige L¨ange, um die der Fluidbereich ausgelenkt werden muß, damit in der zuvor geschilderten

110

5

Das Turbulenzproblem

Interpretation eine Schwankungsgeschwindigkeit entsteht, die aufgrund von uhrt. Diese Gr¨oße nann−∗ u∗ v ∗ = τ ∗ zur turbulenten Schubspannung τ ∗ f¨ te Prandtl einen Mischungsweg, sie ist seitdem als Prandtlscher Mischungsweg eingef¨ uhrt. Entwickelt man die Geschwindigkeit u∗ (y ∗ ) in eine Taylor-Reihe  du∗  ∗ ∗ ∗ ∗ u (y ) = u (y0 ) + (y ∗ − y0∗ ) + . . . , dy ∗ 0 so ergibt der lineare Term dieser Entwicklung mit (y ∗ − y0∗ ) = L∗t und (u∗ (y ∗ ) − u∗ (y0∗ )) = −u∗ du∗ −u∗ = L∗t ∗ . (5.22) dy Ferner wird unterstellt, daß u∗ und v ∗ betragsm¨aßig etwa gleich groß sind, so daß in guter N¨ aherung gilt  
∗  τ du∗  du∗  ∗ v ∗ = L∗2 . (5.23) = − u t ∗ dy ∗  dy ∗  Dabei stellen die Betragstriche sicher, daß τ ∗ mit einem Vorzeichenwechsel von du∗ /dy ∗ ebenfalls das Vorzeichen wechselt. Ein Vergleich mit dem allgemeinen Wirbelviskosit¨atsansatz (5.15) zeigt, daß im Rahmen dieser Vorstellung gilt  ∗   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2  du  (5.24) ηt =  νt =  Lt  ∗  . dy   νt∗

y∗ u∗ (y ∗ ) ⎫ ⎪ ⎬

u∗ < 0 L∗t

v

L∗t

v ∗ < 0

∗

>0

u∗ > 0

⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

u∗ v ∗ < 0

u∗ v ∗ < 0

u∗ Bild 5.4:

Physikalische Interpretation des Turbulenz-L¨ angenmaßes L∗t , in diesem Zusammenhang auch als Mischungswegl¨ ange bezeichnet

5.4

Turbulenzmodellierung

111

Dies entspricht genau einer der Formen, die in (5.21) aus Dimensions¨ uberlegungen f¨ ur νt∗ abgeleitet worden waren. Solange u ¨ ber L∗t noch keine weiteren Aussagen getroffen werden k¨ onnen, ist gegen¨ uber (5.21) lediglich“ die ” Interpretation von L∗t als Mischungsweg gewonnen. Dies bietet allerdings auch einen unmittelbaren Ansatz f¨ ur die Bestimmung von L∗t , zumindest ¨ in Wandn¨ ahe, wie die folgende Uberlegung zeigt. An der Wand selbst sind die Geschwindigkeit und insbesondere die Geschwindigkeitsschwankungen null (Haftbedingung), so daß dort auch L∗t = 0 gelten muß. Die Frage ist nun, wie verl¨ auft die Funktion L∗t (y ∗ ) ausgehend vom Wert L∗t = 0 an der Wand ? Prandtl nahm einen linearen Verlauf L∗t ∼ y ∗ in Wandn¨ ahe an. Dies k¨ onnte als erster Versuch“ interpretiert ” werden. Sp¨ ater, als man wandnahe Str¨ omungen mit einer bestimmten Methodik genauer untersuchen und verstehen konnte (Asymptotik bei großen Reynolds-Zahlen, s. dazu Kap. 9), stellte sich jedoch heraus, daß der Verlauf ur y ∗ → 0 notwendigerweise linear sein muß. L∗t (y ∗ ) f¨ Aus Messungen sehr vieler wandnaher Str¨ omungen ergibt sich f¨ ur L∗t in Wandn¨ ahe ur y ∗ → 0 (5.25) L∗t = κy ∗ f¨ mit einer Konstanten κ = 0,41, die bei turbulenten Str¨omungen vielfach auftritt und den Namen Karman-Konstante (bisweilen auch: von Karmansche Konstante) tr¨ agt. In gr¨ oßerer Entfernung von der Wand m¨ ussen zus¨atzliche ¨ uhren, die dann alphysikalische Uberlegungen zur Festlegung von L∗t (y ∗ ) f¨ lerdings h¨ aufig problemspezifisch anzustellen sind. k-ε-Modell (Zwei-Gleichungsmodell) Dieses weitverbreitete Turbulenzmodell verwendet zwei partielle Differentialgleichungen f¨ ur die kinetische Energie der Schwankungsbewegung k ∗ und f¨ ur aß (5.21) wird daraus die kinematieine turbulente Dissipationsrate ε∗ . Gem¨ sche Wirbelviskosit¨ at k ∗2 νt∗ = Cµ ∗ (5.26) ε gebildet, in der die Konstante C3 , wie im k-ε-Modell u ¨ blich, als Cµ geschrieben wird (Zahlenwert in Tab. 5.6). Die Differentialgleichung f¨ ur k ∗ = (u∗2 + v ∗2 + w∗2 )/2 entsteht wie folgt (Annahme: konstante Stoffwerte, d.h., u∗ statt u∗ , . . . ): 1. Herleitung von je einer Bilanzgleichung f¨ ur u∗ , v ∗ und w∗ , indem von den entsprechenden Impulsgleichungen f¨ ur die Momentanwerte (s. Tab. 4.3a) die zeitlich gemittelten Gleichungen (s. Tab. 5.5a) subtrahiert werden. Dabei sind die Momentanwerte als Summe aus Mittelwerten und zugeh¨ origen Schwankungswerten zu schreiben.

112

5

Das Turbulenzproblem

2. Multiplikation der drei unter 1. gewonnenen Bilanzgleichungen mit u∗ , v ∗ bzw. w∗ und anschließende Zeitmittelung. Damit entstehen Bilanzgleichungen f¨ ur (die turbulenten Normalspannungen) u∗2 , v ∗2 und w∗2 . 3. Addition der drei Gleichungen und formale Ersetzung von (u∗2 + v ∗2 + w∗2 )/2 durch k ∗ . Dies ist die vollst¨andige k-Gleichung, in der allerdings eine Reihe von Turbulenztermen auftreten, die wiederum modelliert werden m¨ ussen, um insgesamt ein geschlossenes Gleichungssystem zu erhalten. Sie entspricht der Gleichung (MES∗cp ) in Tab. 5.5a . 4. Modellierung der vollst¨ andigen k-Gleichung, indem f¨ ur die Terme, in denen unbekannte Turbulenzgr¨ oßen auftreten, wie z.B. die Korrelation u∗ p∗ oder (∂u∗ /∂x∗ )2 physikalisch motivierte Ans¨atze eingef¨ uhrt werden. Dabei tritt in der Regel pro modelliertem Term eine neue Modellkonstante auf. Insgesamt entsteht auf diese Weise eine k-Modellgleichung (modellierte Transportgleichung f¨ ur k ∗ ), die im k-ε-Modell verwendet wird und nachfolgend als Gleichung (5.28) aufgef¨ uhrt ist. Die Differentialgleichung f¨ ur die Dissipationsrate ε∗ mit der Definition von ∗ ∗ ε als (Verwendung von TΦ aus Tab. 5.5b) ⎡
∗ ∗  ∗ ∗ ∂u ∂v ∂v ∗ ∂w∗ ∂w∗ ∂u∗ T η ∗ Φ ⎣ ε = ∗ − ∗ 2 + +   ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ⎤
∗ 2
∗ 2
∗ 2 ∂u ∂v ∂w ⎦ + + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(5.27)

entsteht wiederum aus den Bilanzgleichungen f¨ ur die Schwankungsgr¨oßen u∗ , ∗ ∗ v und w , diesmal aber als (zeitgemittelte) Kombination von Ortsableitungen dieser Gleichungen mit Gradienten von Schwankungsgr¨oßen. Die Grundidee bei der Herleitung dieser Gleichung besteht darin, Bilanzgleichungen f¨ ur die Schwankungsgr¨ oßen so miteinander zu kombinieren, daß daraus eine neue Gleichung entsteht, in der die Termkombination ε∗ gem¨aß (5.27) identifiziert werden kann und die deshalb dann als Bilanzgleichung f¨ ur ε∗ interpretiert ∗ wird. Dabei ist zu beachten, daß ε nur eine sog. Pseudo-Dissipation“ dar” stellt, weil die wahre indirekte turbulente Dissipation durch TΦ∗ /∗ gegeben ist. Auch bei der Herleitung der ε-Gleichung treten eine Reihe von unbekannten turbulenten Termen auf, so daß eine Modellierung dieser Terme erforderlich ist. Auf diese Weise gelangt man auch hier von der zun¨achst vollst¨andigen ε-Gleichung zu einer ε-Modellgleichung (modellierte Transportgleichung f¨ ur ε∗ ), die im k-ε-Modell verwendet wird. Details zur Herleitung der k- und ε−Modellgleichungen finden sich z.B. in Speziale and So (1998). Die Modellgleichungen lauten mit

5.4

113

Turbulenzmodellierung

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z wie folgt: Dk ∗ ∂ = P ∗ − ε∗ + ∗ Dt∗ ∂x




νt∗ ∂k ∗ σk ∂x∗



∂ + ∗ ∂y




νt∗ ∂k ∗ σk ∂y ∗



∂ + ∗ ∂z




νt∗ ∂k ∗ σk ∂z ∗



(5.28) Dε∗ Dt∗

=

ε∗ ∗ ε∗2 P − C ε2 k∗ k∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ νt ∂ε νt ∂ε νt ∂ε ∂ ∂ ∂ + ∗ + + ∂x σε ∂x∗ ∂y ∗ σε ∂y ∗ ∂z ∗ σε ∂z ∗ Cε1

(5.29) ∗ ∗ /∗ (TPRO in Tab. 5.5b) als Turbulenzproduktion. mit P ∗ = −TPRO Die f¨ unf Modellkonstanten des k-ε-Modells mit den entsprechenden Zahlenwerten sind in Tab. 5.6 zusammengestellt. Ein entscheidender Punkt f¨ ur die Anwendung des k-ε-Modells sind die Randbedingungen f¨ ur k ∗ und ε∗ , s. dazu Abschn. 12.2 . 5.4.2

Turbulenzmodelle II:

Reynolds-Spannungs-Modelle

Bei diesen Turbulenzmodellen werden die einzelnen Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors direkt modelliert, ohne auf den Ansatz (5.16) f¨ ur die Wirbelviskosit¨ at zur¨ uckzugreifen. Es wird jetzt also nicht mehr unterstellt, daß eine einzige skalare Gr¨ oße (die Wirbelviskosit¨at) als Bindeglied“ ” zwischen dem Geschwindigkeitsfeld und dem Spannungstensor wirkt. Im vorigen Abschnitt war die Herleitung der vollst¨andigen k-Gleichung aus den Bilanzgleichungen f¨ ur die Schwankungsgr¨oßen u∗ , v ∗ und w∗ erl¨autert worden. Auf ganz ¨ ahnliche Weise k¨ onnen die Bilanzgleichungen f¨ ur die Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors τij∗  hergeleitet werden. Diese Gleichungen sind exakt aus den Navier-Stokes-Gleichungen ab-

Tab. 5.6:

Cµ

σk

σ

C1

C2

0,09

1,0

1,3

1,44

1,92

Modellkonstanten im k-ε-Modell (Bestimmung der Zahlenwerte durch Vergleich mit Messungen)

114

5

Das Turbulenzproblem

leitbar, enthalten aber leider wiederum unbekannte Turbulenzterme, die entsprechend modelliert werden m¨ ussen. In Index-Schreibweise (s. dazu Anmerkung 4.7/S. 70) lauten die (exakten, vollst¨ andigen) Bilanzgleichungen f¨ ur die Reynolds-Spannungs-Komponenten (Details zur Herleitung z.B. in Speziale, So (1998)): ∗ ∗ ∂Cijk ∂u∗j Dτij∗  ∗ ∗  ∂ui ∗ ∗ − ε − +ν ∗ ∇2 τij∗  = −τ − τ + π ik jk ij ij Dt∗ ∂x∗k ∂x∗k ∂x∗k     (1) (2) (3)

(5.30)

Dabei gilt f¨ ur kartesische Koordinaten wieder D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

,

∇2 =

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

In (5.30) sind die zu modellierenden Terme numeriert. Erst nach deren Modellierung, bei der dann die τij  -Modellgleichungen entstehen, ist das Gleichungssystem, bestehend aus den Bilanzgleichungen f¨ ur die Impuls- und Massenerhaltung, erg¨ anzt um die τij  -Modellgleichungen, geschlossen und damit prinzipiell einer numerischen L¨ osung zug¨ anglich. Die Modellierung der in (5.30) unterstrichenen Turbulenzterme ist Gegenstand intensiver Forschung, f¨ ur die auf die Spezialliteratur verwiesen sei ¨ (einen sehr guten Uberblick findet man z.B. in Speziale, So (1998), speziell f¨ ur Str¨ omungen bei großen Reynolds-Zahlen s. Gersten, Herwig (1992)). Im folgenden sollen nur einige Bemerkungen, speziell zur Physik, die sich hinter diesen Termen verbirgt“, gemacht werden. ” $ % ∂u∗j  ∂u∗i  ∗ ∗ : Druck-Scher-Korrelations-Tensor + 1. πij = p ∂x∗j ∂x∗i Die Terme beschreiben den Transfer von kinetischer Energie der Schwankungsbewegung zwischen den einzelnen Komponenten und f¨ uhren in der Tendenz zu einem Ausgleich bez¨ uglich dieser Energie zwischen den drei Komponenten. Eine systematische Analyse dieser Vorg¨ange f¨ uhrt zu einer sehr aufwendigen Modellierung. 2. ε∗ij = 2ν ∗

∂u∗i  ∂u∗j  : ( Pseudo“-)Dissipationsraten-Tensor ” ∂x∗k ∂x∗k

Dieser Tensor ber¨ ucksichtigt, daß die Dissipation im allgemeinen Fall richtungsabh¨ angig ist. H¨ aufig wird jedoch eine lokale Isotropie (Richtungsunuher abh¨ angigkeit) angenommen, bei der dann ε∗ij unmittelbar mit der fr¨ eingef¨ uhrten skalaren Dissipationsrate ε∗ , s. (5.27), zusammenh¨angt. Mit ε∗ij =

1 δij 2ε∗ 3

(δij = 1 f¨ ur i = j; δij = 0 f¨ ur i = j)

(5.31)

5.4

Turbulenzmodellierung

115

wird die skalare Dissipationsrate ε∗ zu jeweils 1/3 auf die drei Normal∗  ∗  ∗  komponenten (τxx , τyy , τzz ) des Reynoldsschen Spannungstensors aufgeteilt. Der Faktor 2 in (5.31) entsteht, weil ε∗ im Zusammenhang mit der Gleichung f¨ ur die kinetische Energie k ∗ , (5.28), so definiert worden war, daß der Faktor 1/2 in k ∗ ber¨ ucksichtigt worden ist. ∗ 3. Cijk = u∗i  u∗j  u∗k  + p∗ u∗i  δjk + p∗ u∗j  δik : Turbulente Diffusion

Die Terme treten auf, wenn der Normalfall“ einer sog. inhomogenen Tur” bulenz vorliegt, bei der die Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors ortsabh¨ angig sind. (Nur im Spezialfall einer homogenen Turbulenz entf¨ allt diese Ortsabh¨ angigkeit; s. dazu auch Anmerkung 5.7/S. 116). F¨ ur die Modellierung werden u ¨ blicherweise die Druckterme p∗ u∗i  und ∗ ∗  p uj vollst¨ andig vernachl¨ assigt. Die u ¨brigen Tripel-Korrelationsterme u∗i  u∗j  u∗k  werden h¨ aufig mit einem sog. Gradientenansatz als proportional zu Ortsgradienten von Spannungskomponenten angesetzt.

Mit den Modellierungsans¨ atzen 1.–3. in (5.30) entsteht die Reynolds-Spannungs-Modellgleichung in Form von Differentialgleichungen f¨ ur die einzelnen Komponenten von τij∗  . Wenn die Differentialausdr¨ ucke in (5.30) durch algebraische Ans¨atze approximiert werden, wird das dann entstehende Modell als algebraisches Reynolds-Spannungs-Modell (engl.: algebraic stress mode, ASM) bezeichnet. Der Vergleich mit algebraischen Wirbelviskosit¨ ats-Modellen zeigt den entscheidenden Unterschied: Interpretiert man das algebraische Reynolds-SpannungsModell im Sinne einer Wirbelviskosit¨ at (indem Vorfaktoren vor Gradienten der mittleren Geschwindigkeit mit dieser identifiziert werden), so liegt kein skalarer Wert der Wirbelviskosit¨ at vor (wie bei den sog. isotropen Wirbelviskosit¨ ats-Modellen), sondern eine richtungsabh¨angige Wirbelviskosit¨at. Im Zusammenhang mit diesen sog. anisotropen Wirbelviskosit¨ats-Modellen sollte deren Entstehung aus der Modellierung des vollst¨andigen Reynoldsschen Spannungstensors aber stets pr¨ asent sein.

Anmerkung 5.5:

Zweite Momente“ ”



In Anlehnung an die Bezeichnung n-tes Moment“ f¨ ur die Operation xn f (x) dx nennt ” ∗ man die Multiplikation von Bilanzgleichungen f¨ ur u , v∗  und w ∗ mit Schwankungsgr¨ oßen und anschließende Zeitmittelung Bildung von Momenten dieser Gleichungen“. Entstehen ” auf diese Weise Bilanzgleichungen f¨ ur Zweier-Korrelationen wie u∗2 oder u∗ v∗  , so sind dies sog. zweite Momente, die darauf aufbauenden Modelle Schließungs-Modelle mit zweiten Momenten (engl.: second-moment closure models). Diese Bezeichnung wird f¨ ur Modelle verwendet, die diese zweiten Momente direkt modellieren, also f¨ ur die Reynolds-SpannungsModelle.

116

5

Das Turbulenzproblem

Anmerkung 5.6:

Schließung durch zus¨ atzliche Gleichungen

Das Schließungsproblem der Turbulenz entsteht, weil nach der Zeitmittelung der Grundgleichungen in diesen turbulente Zusatzterme entstehen. In den Impulsgleichungen sind dies die Komponenten des (turbulenten) Reynoldsschen Spannungstensors. Da f¨ ur diese ∗  aus den Grundgleichungen exakte Bilanzgleichungen abgeleitet werden Komponenten τij k¨ onnen, scheint zun¨ achst auf diesem Weg eine Schließung des Gleichungssystems m¨ oglich. Die entsprechenden Bilanzgleichungen (5.30) zeigen allerdings, daß jetzt weitere unbekannte Terme auftreten, in denen Tripelkorrelationen vorkommen. Eine genauere Analyse ergibt, daß in allen prinzipiell ableitbaren n-ten Momentengleichungen stets Terme h¨ oherer Momente vorkommen, so daß auf diesem Wege eine Schließung des Gleichungssystems prinzipiell nicht m¨ oglich ist. Auf einem bestimmten Momenten” Niveau“ muß die Turbulenzmodellierung einsetzen. Bei den Wirbelviskosit¨ atsmodellen geschieht dies auf dem Niveau der Grundgleichungen selbst, bei den Reynolds-SpannungsModellen auf dem Niveau zweier Momente. Schließungen auf h¨ oheren Momenten-Niveaus sind prinzipiell m¨ oglich aber nicht u ¨blich. Anmerkung 5.7:

Homogene Turbulenz

F¨ ur das Studium der Turbulenz ganz allgemein ist es hilfreich, spezielle F¨ alle zu betrachten, selbst wenn diese keine unmittelbare praktische Bedeutung haben. Einen solchen Spezialfall stellt die sog. homogene Turbulenz dar. Sie ist definiert als Turbulenz in einem Str¨ omungsfeld, in dem alle (zeitgemittelten) Str¨ omungsgr¨ oßen vom Ort unabh¨ angig sind. Dies erfordert u.a. eine konstante mittlere Geschwindigkeit, die dar¨ uber hinaus notwendigerweise station¨ ar sein muß. Ohne Einschr¨ ankung kann man deshalb den Fall  v∗ = 0 betrachten, also ein Str¨ omungsfeld“, das im zeitlichen Mittel in Ruhe ist. Es verbleiben ” die turbulenten Schwankungsgr¨ oßen, deren Dynamik auf diese Weise untersucht werden kann. Zum Beispiel reduziert sich die k-Gleichung (5.28) auf die Aussage ∂k ∗ ∗ = −TΦ /∗ ∂t∗

(5.32)

¨ aus der ein Zusammenhang zwischen der zeitlichen Anderung der kinetischen Energie der ∗ , s. Tab. 5.5b, folgt. Schwankungsbewegung und der Dissipationsrate TΦ Solche Str¨ omungssituationen werden n¨ aherungsweise in der Abklingphase einer irgendwie in Gang gesetzten, dann aber wieder gestoppten Bewegung vorliegen. Auch die sog. Gitterturbulenz, bei der ein gleichf¨ ormiger Luftstrom konstanter Geschwindigkeit beim Durchstr¨ omen eines feinmaschigen Gitters in turbulente Bewegung versetzt wird, ist in Ebenen senkrecht zur Hauptstr¨ omung hinter dem Gitter in guter N¨ aherung homogen. ¨ Uber die n¨ aherungsweise Realisierung hinaus ist das Konzept der homogenen Turbulenz im Sinne einer sog. lokalhomogenen Turbulenz in begrenzter Umgebung betrachteter Orte von Bedeutung. In diesem Sinne sind viele insgesamt inhomogene turbulente Str¨ omungen lokalhomogen, was dann f¨ ur die Turbulenzmodellierung entsprechend genutzt werden kann. Bisweilen wird der Begriff homogene Turbulenz auch nur auf die gemittelten Turbulenzgr¨ oßen bezogen. Danach m¨ ussen diese ortsunabh¨ angig sein, es werden aber ortsabh¨ angige Werte der mittleren Geschwindigkeit zugelassen. Ein solcher Fall liegt bei einer homogenen Scherstr¨ omung vor.

Anmerkung 5.8:

Isotrope Turbulenz

Ein weiterer Spezialfall turbulenter Str¨ omungen ist die sog. isotrope Turbulenz. Diese liegt vor, wenn die (gemittelten) Turbulenzgr¨ oßen, gebildet aus den Geschwindigkeitskomponenten in einem bestimmten Koordinatensystem, von der Orientierung dieses Koordinatensystems unabh¨ angig sind. Die betrachteten Turbulenzgr¨ oßen m¨ ussen also unver¨ andert erhalten bleiben, wenn das Koordinatensystem in beliebiger Weise gedreht oder gespiegelt

5.4

Turbulenzmodellierung

117

wird. Als unmittelbare Konsequenz aus dieser Bedingung folgt, daß gelten muß: u∗2 = v∗ 2 = w ∗2 u∗ v∗ 

=

u∗ w ∗

=

v∗  w ∗

(5.33) =0

(5.34)

Es treten also keine turbulenten Schubspannungen auf, sondern nur Normalspannungen, die dar¨ uber hinaus in allen drei Koordinatenrichtungen gleich groß sind. Eine insgesamt isotrope Str¨ omung liegt in guter N¨ aherung wiederum hinter einem gleichm¨ aßig durchstr¨ omten engmaschigen Netz vor (Gitterturbulenz). Die eigentliche Bedeutung dieses Konzeptes liegt aber darin, daß insgesamt anisotrope Str¨ omungen in begrenzten Teilgebieten lokalisotrop sein k¨ onnen. Tats¨ achlich findet man lokale Isotropie in beliebigen turbulenten Str¨ omungen, wenn die Reynolds-Zahl hinreichend groß ist. Eine genauere Analyse zeigt, daß kleine Gebiete des Str¨ omungsfeldes, die dann als kleine Wirbelabmessungen (große Wellenzahlen) interpretiert werden k¨ onnen, die Eigenschaft der Isotropie besitzen, s. dazu auch die Ausf¨ uhrungen im Zusammenhang mit Bild 5.1 (Spektrale Verteilung der kinetischen Energie). Anmerkung 5.9:

Modellierung der Reynoldsschen W¨ armestromdichte λ∗t

In Anmerkung 5.4/S. 107/ (Modellierung weiterer turbulenter Zusatzterme) war mit (5.18) die turbulente W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ∗t eingef¨ uhrt worden. Wie die Wirbelviskosit¨ at im Reynoldsschen Spannungstensor die Spannungen mit den Geschwindigkeitsgradienten verbindet, wird durch λ∗t der Zusammenhang zwischen den W¨ armestromdichten und den Temperaturgradienten im Reynoldsschen W¨ armestromdichte-Vektor hergestellt. So wie statt ηt∗ in der Regel νt∗ = ηt∗ /∗ modelliert wird, kann anstelle von λ∗t die Gr¨ oße λ∗ a∗t = ∗ t ∗ (5.35)  cp als sog. turbulente Temperaturleitf¨ ahigkeit eingef¨ uhrt werden, die dann anstelle von λ∗t modelliert wird. In vielen F¨ allen kann man sich dabei den passiven Charakter“ des Temperaturfeldes ” zunutze machen. Damit ist gemeint, daß die turbulente W¨ arme¨ ubertragung weitgehend durch das turbulente Str¨ omungsgeschehen bestimmt wird. Dies ¨ außert sich u.a. darin, daß f¨ ur inkompressible Str¨ omungen ohne thermische Auftriebseffekte das Str¨ omungsfeld vollkommen unabh¨ angig vom Temperaturfeld ist und deshalb unabh¨ angig von diesem bestimmt werden kann. Mit dem bekannten Str¨ omungsfeld kann dann das zugeh¨ orige Temperaturfeld ermittelt werden, das auf diese Weise passiv“ dem Str¨ omungsgeschehen folgt“. ” ” Dieser passive Charakter ¨ außert sich bez¨ uglich der Turbulenz darin, daß a∗t weitgehend ∗ 2 dem Verhalten von νt folgt. Beide Gr¨ oßen besitzen die Dimension L¨ ange /Zeit, so daß ihr Quotient ν∗ Prt = t∗ (5.36) at eine dimensionslose Zahl darstellt, die analog zur molekularen Prandtl-Zahl Pr = ν ∗ /a∗ als sog. turbulente Prandtl-Zahl eingef¨ uhrt wird. Sie stellt wie νt∗ und a∗t eine Str¨ omungsgr¨ oße und keinen Stoffwert dar. Als eine in sehr vielen F¨ allen brauchbare Turbulenzmodellierung ergibt sich Prt = const (5.37) wobei die Konstante h¨ aufig zu 0,9 gew¨ ahlt wird. Dies unterstreicht den passiven Charakter des thermischen Turbulenzfeldes, da dann im ganzen betrachteten Feld a∗t = νt∗ /0,9 bzw. λ∗t = ηt∗ c∗p /0,9 gilt. F¨ ur eine genauere Turbulenzmodellierung des Temperaturfeldes k¨ onnte wiederum u ¨ber Ans¨ atze analog zu (5.21) eine direkte Modellierung von λ∗t erfolgen. Ein Zwei-Gleichungsmodell analog zum k-ε-Modell f¨ ur νt∗ mit zwei Differentialgleichungen f¨ ur die sog. Varianz ∗ uglich der Varianz der der Temperaturschwankungen kΘ = T ∗2 /2 und die Dissipation bez¨ Temperaturschwankungen ε∗Θ liefert die erforderliche Information zur Bestimmung von a∗t .

118

5

Das Turbulenzproblem

Alternativ kann die turbulente Prandtl-Zahl wie folgt modelliert werden:

"

Prt =

∗ /ε∗ kΘ Θ

k ∗ /ε∗

(5.38)

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird dann als das Verh¨ altnis zweier Zeiten interpretiert, die f¨ ur die Turbulenz im Temperatur- bzw. Str¨ omungsfeld charakteristisch sind. (5.38) stellt damit ein Vier-Gleichungsmodell dar. F¨ ur Einzelheiten s. Speziale, So (1998).

Anmerkung 5.10: Grobstruktur-Simulation (LES) Bisher waren die Simulation (Direkte numerische Simulation (DNS), s. Abschn. 5.2) und die Modellierung (Turbulenzmodellierung (RANS), s. Abschn. 5.3.2) als grunds¨ atzlich alternative Vorgehensweisen zur theoretischen Beschreibung turbulenter Str¨ omungen behandelt worden. Als deutlich wurde, daß auch bei weiterhin schneller Entwicklung der Computer in Richtung k¨ urzerer Rechenzeiten und steigender Speicherkapazit¨ at die direkte numerische Simulation in u ¨berschaubarer Zukunft keine Alternative bei der Berechnung technisch relevanter Probleme sein kann, hat man begonnen, Simulation und Modellierung sinnvoll miteinander zu kombinieren. Diese Vorgehensweise wird Grobstruktur-Simulation (engl.: large eddy simulation, LES) genannt. Wie bei der direkten numerischen Simulation werden auch bei der Grobstruktur-Simulation die zeitabh¨ angigen Grundgleichungen numerisch gel¨ ost, jedoch erfolgt dabei eine sog. Filterung der Gleichungen. Diese Filterung kann beispielsweise dadurch erreicht werden, daß die Grundgleichungen u ¨ber ein Maschenvolumen (eines relativ groben Gitters) integriert werden. Diese integrierten sog. Grobstrukturgr¨ oßen (bei einem reinen Str¨ omungsproblem die drei Geschwindigkeitskomponenten und der Druck), sind dann in einem Volumen konstant, ¨ andern sich jedoch von Maschenvolumen zu Maschenvolumen und mit der Zeit, sind also grob“ ortsabh¨ angige Momentanwerte. ” Bei der Integration u ahnliches Schließungspro¨ber die Maschenvolumen entsteht ein ¨ blem wie bei der bisher behandelten Turbulenzmodellierung, so daß der Einfluß der turbulenten Feinstruktur auf die Grobstruktur modelliert werden muß. Diese FeinstrukturTurbulenzmodelle a atzen sehr stark den bisher be¨hneln dabei in ihren Modellierungsans¨ handelten Wirbelviskosit¨ ats-Modellen. Ungenauigkeiten bei der Feinstruktur-Modellierung sind jedoch relativ unkritisch, da die Feinstruktur-Turbulenz nur einen geringen Beitrag zur gesamten turbulenten kinetischen Energie und zum Impulsstrom liefert. Dar¨ uber hinaus vereinfachen gewisse universelle Eigenschaften der Feinstruktur, wie z.B. die Isotropie, die Modellierung. Obwohl auch bei der Grobstruktur-Modellierung hohe Rechenleistungen erforderlich sind, besteht der große Vorteil dieses Ansatzes darin, daß die Grenze zwischen Simulation (der Grobstuktur) und Modellierung (der Feinstruktur) in dem Maße in Richtung zur Simulation hin verschoben werden kann, wie es die Entwicklung leistungsstarker Rechentechnik zul¨ aßt. Eine zusammenfassende Darstellung der Grobstruktur-Simulation findet sich z.B. in Schumann & Friedrich (1986). Anmerkung 5.11: Entstehung der Turbulenz/Str¨ omungsstabilit¨ at bzw. -instabilit¨ at Betrachtet man die unterschiedlichsten Str¨ omungen bei jeweils unterschiedlichen Werten der zugeh¨ origen Reynolds-Zahlen, so ergibt sich einheitlich folgendes Bild: Bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen sind die Str¨ omungen stets laminar, bei sehr großen Reynolds-Zahlen ∗ L∗ /ν ∗ enth¨ liegen stets turbulente Str¨ omungen vor. Die Reynolds-Zahl Re = UB alt neB ben der kinematischen Viskosit¨ at, die bei der Str¨ omung eines bestimmten Fluides un∗ und eine charakteristiver¨ andert bleibt, eine charakteristische Bezugsgeschwindigkeit UB ∗ sche Bezugsl¨ ange LB . Steigende Reynolds-Zahlen k¨ onnen also so interpretiert werden, daß die Str¨ omungswege“ der Fluidteilchen an der betrachteten Geometrie zunehmen (gr¨ oße”

5.4

Turbulenzmodellierung

119

re Werte von L∗B ) oder daß die Str¨ omungsgeschwindigkeiten steigen (gr¨ oßere Werte von ∗ ). Beides f¨ UB uhrt offensichtlich bei hinreichend starker Auspr¨ agung zu einer grunds¨ atzlichen Ver¨ anderung des Str¨ omungsverhaltens von der gleichm¨ aßigen laminaren zur starken Schwankungen unterworfenen turbulenten Str¨ omung. ¨ Als Ursache dieses Uberganges kann das unterschiedliche Verhalten der Str¨ omung gegen¨ uber St¨ orungen angesehen werden. St¨ orungen k¨ onnen dabei auf ganz unterschiedliche Weise entstehen, wie z.B. durch Wandrauheiten oder kurzfristige Druckschwankungen. Interpretiert man Str¨ omungen als schwingungsf¨ ahige Systeme“ (mit unendlich vielen Frei” ¨ heitsgraden), so k¨ onnen diese sehr unterschiedlich auf St¨ orungen reagieren. Ahnlich wie eine angeregte Feder/Masse-Anordnung ged¨ ampft oder im Resonanzfall angefacht reagieren kann, k¨ onnen St¨ orungen in Str¨ omungen (mit der Zeit) abklingen oder aber auch anwachsen. Offensichtlich ver¨ andern Str¨ omungen abh¨ angig von der Reynolds-Zahl ihr Verhalten gegen¨ uber St¨ orungen. Wenn dies prinzipiell den Unterschied zwischen laminaren (St¨ orungen werden ged¨ ampft) und turbulenten (St¨ orungen wurden nicht mehr ged¨ ampft) Str¨ omungen beschreibt, so muß eine Analyse des Verhaltens der Str¨ omung gegen¨ uber eingebrachten St¨ orungen Aufschluß dar¨ uber geben k¨ onnen ab wann“ Str¨ omungen nicht mehr ” laminar bleiben k¨ onnen und auch, auf welchem Wege Str¨ omungen turbulent werden. Dies ist in der Tat ein sinnvolles Konzept, nur sind diese Vorg¨ ange wie auch die auf diesem Wege entstandenen turbulenten Str¨ omungen leider ¨ außerst komplex und weit schwerer zu analysieren als eine einfache schwingende Feder-Masse-Anordnung. Im folgenden soll kurz skizziert werden, wie (¨ uber viele Jahrzehnte hinweg) versucht ¨ worden ist, den Ubergang vom laminaren zum turbulenten Str¨ omungsverhalten auf die¨ se Weise zu analysieren. Ganz allgemein wird der Ubergang als Transitionsprozeß, meist nur Transition genannt, beschrieben. Dieser Prozeß beginnt in vielen F¨ allen mit kleinen, zun¨ achst zweidimensionalen St¨ orungen, die anwachsen, zus¨ atzliche dreidimensionale Wirbelstrukturen entwickeln, als solche zerfallen und letztendlich zur ausgebildeten Turbulenz f¨ uhren. Bei (zeitgemittelt) station¨ aren Str¨ omungen finden diese Vorg¨ ange l¨ angs eines endlichen Str¨ omungsweges statt, dessen Beginn und Ende jeweils durch eine mit der Laufl¨ ange gebildete Reynolds-Zahl gekennzeichnet werden kann. Der Beginn des Transitionsprozesses wird durch die sog. Indifferenz-Reynolds-Zahl Reind gekennzeichnet, der voll turbulente Bereich beginnt weiter stromabw¨ arts bei der sog. kritischen Reynolds-Zahl Rekrit . Diese wird h¨ aufig als Reynolds-Zahl des Umschlages von laminar zu turbulent“ eingef¨ uhrt, wenn ” der Transitionsprozeß ignoriert wird und der Vorgang in grober N¨ aherung als Umschlag“ ” behandelt wird. Die Anfangsphase dieses insgesamt sehr komplizierten Prozesses ist einer theoretischen Behandlung noch am ehesten zug¨ anglich. Damit gelingt es, im konkreten Fall die Indifferenz-Reynolds-Zahl zu bestimmen. Diese Anfangsphase ist insofern von großer Bedeutung, als alle Versuche, die Transition zu beeinflussen, sinnvollerweise dort ansetzen, wo der Prozeß beginnt. Historisch gesehen hat es zwei Wege gegeben, die St¨ orungsentwicklung in einer Str¨ o¨ mung zu analysieren. Es ist zun¨ achst versucht worden, die zeitliche Anderung der Energie der St¨ orungsbewegung zu bestimmen, was aber nicht zum Erfolg gef¨ uhrt hat, u.a. deshalb, weil beliebige St¨ orungen zugelassen worden sind, auch solche, die nicht mit den Grundgleichungen f¨ ur die Str¨ omung vertr¨ aglich sind. Erst als die St¨ orbewegung selbst (auf der Basis der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen) untersucht worden ist, konnten Ergebnisse gefunden werde, die anschließend eindrucksvoll durch (sehr sorgf¨ altige) Experimente best¨ atigt wurden. Die wesentlichen Schritte dieser Analyse sind: 1.

Die gest¨ orte Str¨ omung wird bez¨ uglich aller abh¨ angigen Variablen in einen Grundstr¨ omungs- und einen St¨ oranteil aufgespalten. Somit gilt f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten und den Druck u∗ = U ∗ + u∗ ; v∗ = V ∗ + v∗  ; w ∗ = W ∗ + w ∗ ; p∗ = P ∗ + p∗ .

(5.39)

Dies ist formal dieselbe Aufspaltung wie bei der konventionellen Zeitmittelung turbulenter Gr¨ oßen, vgl. (5.7), es besteht aber insofern ein konzeptioneller Unterschied, als z.B. u∗ in (5.7) durch die Zeitmittelung der turbulenten Gr¨ oße u∗ entsteht, w¨ ahrend U ∗ in (5.39) die laminare ungest¨ orte Str¨ omung darstellt.

120

5

Das Turbulenzproblem

2.

Aus den Navier-Stokes-Gleichungen und der Kontinuit¨ atsgleichung werden Bestimmungsgleichungen f¨ ur u∗ , v∗ , w ∗ und p∗ hergeleitet. Wenn darin alle nichtlinearen Terme wie z.B. u∗2 und u∗ v∗  vernachl¨ assigt werden, entstehen die sog. linearisierten St¨ orungsdifferentialgleichungen, aus deren L¨ osung prinzipiell die zeitliche und r¨ aumliche Entwicklung von St¨ orungen in ihrer Anfangsphase ermittelt werden kann. Im Rahmen dieser N¨ aherung gibt es keine R¨ uckwirkung der St¨ orung auf die Grundstr¨ omung.

3.

H¨ aufig werden zweidimensionale Str¨ omungen untersucht, bei denen dann die Grundstr¨ omung die Komponenten U ∗ (x∗, y ∗ ) und V ∗ (x∗, y ∗ ) besitzt. Wenn eine Hauptstr¨ omung in x-Richtung existiert, wird die Grundstr¨ omung anschließend durch U ∗ (y ∗ ), V ∗ = 0 approximiert, was als Parallelstr¨ omungsannahme bezeichnet wird, weil dies einer Str¨ omung entspricht, deren Stromlinien stets parallel zur x-Richtung verlaufen.

4.

Statt willk¨ urliche und beliebige St¨ orungen als Rand- und/oder Anfangswerte vorzugeben, interpretiert man eine beliebige St¨ orung im Sinne einer Fourier-Reihe zusammengesetzt aus unendlich vielen Elementarst¨ orungen und untersucht diese Einzelst¨ orungen.

5.

Die Elementarst¨ orungen werden als zweidimensionale St¨ orungen durch folgenden sog. Wellenansatz beschrieben (die Summanden der unendlichen Fourierschen Reihe einer beliebigen Funktion k¨ onnen als Elementarwellen“ interpretiert werden), der hier f¨ ur ” die St¨ orung u∗ gezeigt ist: ˆ∗ (y ∗ ) exp[iα∗ (x∗ − cˆ∗ t∗ )] + cc u∗ (x∗ , y ∗ , t∗ ) = u

(5.40)

2π/α∗ .

Der Ansatz (5.40) Es handelt sich dabei um eine St¨ orwelle der Wellenl¨ ange ist nicht sehr anschaulich, da es sich bei den mit ˆ markierten Gr¨ oßen um mathematisch komplexe Gr¨ oßen handelt, bei denen meist nur der Realteil physikalisch anschaulich interpretiert werden kann. Der Zusatz +cc bedeutet, daß die konjugiert komplexe Funktion zu addieren ist, damit u∗ als mathematisch reelle Gr¨ oße entsteht. Die entscheidende Gr¨ oße in diesem Ansatz ist cˆ∗ = c∗r + ic∗i , wobei der Realteil c∗r der Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in x-Richtung entspricht und der Imagin¨ arteil c∗i u ampfung entscheidet. Das Ziel der recht aufwendigen ¨ber die Anfachung bzw. D¨ Analyse besteht deshalb haupts¨ achlich darin, herauszufinden, ob die Gr¨ oße c∗i in der betrachteten Str¨ omung positiv, null oder negativ ist, weil dies dar¨ uber entscheidet, wie sich die Elementarst¨ orung mit der Wellenl¨ ange 2π/α∗ in der Str¨ omung verh¨ alt. Es gilt (beachte: exp[−i2 α∗ c∗i ] = exp[α∗ c∗i ]) c∗i > 0:

die St¨ orung wird angefacht

c∗i = 0:

die St¨ orung bleibt unver¨ andert erhalten

c∗i < 0:

die St¨ orung wird ged¨ ampft

In Anmerkung 9.7/S. 246/ wird am konkreten Beispiel der Str¨ omungsgrenzschicht gezeigt, welche Aussagen aus einer solchen Analyse folgen. Weiterf¨ uhrende Informationen zur Entstehung der Turbulenz und zur Stabilit¨ atstheorie sind z.B. in Schlichting, Gersten (1997) zu finden bzw. in der umfangreichen Spezialliteratur zu diesem Gebiet, wie etwa in Oertel, Delfs (1996) oder Drazin, Reid (1981).


  Die physikalisch/mathematische ¨ mungen Modellierung spezieller Stro

Im Teil B des Buches wird ausf¨ uhrlich behandelt, wie verschiedene Str¨omungen durch eine ad¨ aquate Modellbildung in jeweils guter N¨aherung beschrieben werden k¨ onnen. Diese Modellbildung geht von der physikalischen Vorstellung aus, bestimmte Effekte als vernachl¨ assigbar anzusehen und dies dann in ein vereinfachtes mathematisches Modell umzusetzen. Auf diese Weise entstehen unterschiedlich komplexe physikalisch/mathematische Modelle. Durch welches dieser Modelle eine bestimmte Str¨omung in guter N¨ aherung beschrieben werden kann, muß jeweils im Einzelfall u uft ¨ berpr¨ werden. Dies wird in der Regel dadurch geschehen, daß die einschr¨ankenden Voraussetzungen der unterschiedlichen Modelle mit der physikalischen Situation bei der zu beschreibenden Str¨ omung verglichen werden und damit dann die ad¨ aquate Modellvorstellung ausgew¨ ahlt wird. Dabei ist der bereits in Abschnitt 2.1 hervorgehobene Aspekt der Brauchbarkeit einer Modellvorstellung wichtig und nicht etwa, daß Modelle in sich falsch oder richtig w¨aren. Die grobe Gliederung der nachfolgenden Kapitel ergibt sich daraus, daß zun¨ achst die Modellannahme einer eindimensionalen Str¨omung getroffen wird. Danach werden zweidimensionale bzw. rotationssymmetrische und schließlich allgemein dreidimensionale Modellvorstellungen behandelt. In allen F¨ allen soll deutlich werden, welche N¨aherungsannahmen gegenu ber der vollst¨ andigen Beschreibung auf der Basis der allgemeinen Bilanz¨ gleichungen getroffen werden. Dazu werden die Modellgleichungen jeweils als Spezialf¨ alle in den allgemeinen Gleichungen gekennzeichnet.


      Die allgemeinen Bilanzgleichungen in Form der in Teil A eingef¨ uhrten Differentialgleichungen m¨ ussen integriert werden, um zu den gew¨ unschten Ergebnissen in endlichen Str¨omungsgebieten zu gelangen. Eine eindimensionale N¨ aherung liegt vor, wenn diese Integration nur in einer Raumrichtung erfolgt ¨ und die Anderungen in den zwei dazu senkrechten Richtungen vernachl¨assigt werden. Eine solche N¨aherung ist naturgem¨ aß nur in Str¨omungen sinnvoll, in denen eine Hauptstr¨omungsrichtung identifiziert werden kann, wie dies z.B. bei der Str¨omung durch ein Rohr, einen Kanal oder in einem ins Freie austretenden Strahl (dem sog. Freistrahl) der Fall ist. Die Integration sollte dann in Richtung dieser Hauptstr¨omung erfolgen, die nicht notwendigerweise mit der x-, y- oder z-Richtung zusammenf¨allt und wie bei einem gekr¨ ummten Rohr auch von einer geraden Linie abweichen kann. Die in diesem Sinne gew¨ unschte Richtung ist unmittelbar durch die Stromlinien einer Str¨omung vorgegeben, die im station¨aren Fall, der hier vorausgesetzt werden soll, mit den Bahnlinien zusammenfallen (s. dazu Abschn. 3.2.1).

6

6.1

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten f¨ ur inkompressible Str¨ omungen

Stromfaden, Stromr¨ ohre

Es wird ein infinitesimales Fl¨ achenelement dA∗ senkrecht zu einer Stromlinie betrachtet und ein sog. Stromfaden definiert, wie dies in Bild 6.1 gezeigt ist. ¨ Uber den Querschnitt dA∗ hinweg werden alle Gr¨oßen als konstant unter¨ stellt. Anderungen k¨ onnen nur in Richtung des Stromfadens erfolgen. Dies stellt auch f¨ ur einen infinitesimal kleinen Querschnitt dA∗ noch eine N¨aherung dar, weil alle vorhandenen Gradienten quer zur umh¨ ullten“ Stromli” nie vernachl¨ assigt werden. Damit kann dann eine gew¨ohnliche (nicht partielle) Integration l¨ angs der Stromlinie vorgenommen werden. Dies nennt man Stromfadentheorie. Wird diese Vorstellung auf eine endlich Fl¨ ache A∗ ausgeweitet, so soll eine sog. Stromr¨ohre dadurch definiert sein, daß sie durch alle Stromlinien begrenzt ist, die durch den Rand von A∗ verlaufen. Diese Stromr¨ohre besitzt die anschauliche Eigenschaft, daß sie einen durch A∗ eintretenden Fluidstrom gegen¨ uber der Umgebung abgrenzt, weil u ¨ ber die Seitenfl¨achen der Stromr¨ohre kein Fluid ein- oder austreten kann. Diese Eigenschaft gilt auch, wenn die Str¨ omungsgr¨ oßen u ¨ ber den Querschnitt variabel sind. Wird jedoch zus¨atzlich die eindimensionale N¨ aherung getroffen (alle Str¨omungsgr¨oßen sind u ¨ber A∗ konstant) spricht man von der Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten.

6.2

Mechanische Energiegleichung

6.2.1

Bernoulli-Gleichung

Da bei inkompressiblen Str¨ omungen die Teil-Energiegleichung f¨ ur die mechanische Energie vollst¨ andig von derjenigen f¨ ur die thermische Energie entkoppelt ist, (s. dazu Abschn. 4.5.3 vor Anmerkung 4.6/S. 61) gen¨ ugt es, die Teil-Energiegleichung (ME∗ ) aus Tab. 4.1 zu betrachten. Mit der eindimensionalen N¨ aherung werden alle Geschwindigkeitsgradienten quer zur Hauptstr¨ omungsrichtung vernachl¨assigt. Diese k¨onnen jedoch als Ursache f¨ ur die Entstehung der Turbulenz angesehen werden und bilden den Ansatzpunkt f¨ ur eine Turbulenzmodellierung in den turbulenten Bilanzgleichungen, wie der zentrale Boussinesq-Ansatz (5.15) bzw. (5.16) zeigt. Ohne diese Geschwindigkeitsgradienten in den Gleichungen entf¨allt also die

126

6

Stromfadentheorie

y∗

A∗1

m Stro

ro¨hr

A∗2

e

u∗S

v∗

z∗

g ∗ x∗

w∗ u∗

Stromlinie

dA∗ Stromfaden Bild 6.1:

Stromfaden und Stromr¨ ohre u∗S : u∗ , v ∗ , w ∗ : dA∗ : A∗1 , A∗2 : g ∗ :

Geschwindigkeit in Stromlinienrichtung; u∗S = | v ∗| kartesische Geschwindigkeitskomponenten des Vektors v ∗ infinitesimal kleiner Querschnitt des Stromfadens endliche Querschnitte der Stromr¨ ohre an den Stellen 1 und 2 Fallbeschleunigungsvektor; Verlauf entgegen der y ∗ -Koordinate

M¨ oglichkeit, Turbulenzmodelle mit einzubeziehen. Es wird also zun¨achst vernachl¨ assigt, daß die n¨ aherungsweise zu beschreibenden Str¨omungen in aller Regel turbulent sind. Da in der eindimensionalen Stromfaden-N¨aherung die Turbulenz nicht erfaßt, sondern allenfalls mit Hilfe eines zus¨atzlichen Korrekturtermes nachtr¨ aglich ber¨ ucksichtigt werden kann, wird von den allgemeinen Bilanzgleichungen der Tab. 4.1 ausgegangen und nicht von den zeitgemittelten Bilanzgleichungen in Tab. 5.3a. Tab. 6.1 enth¨alt diese Gleichung sowie die darin vorkommenden Hilfsfunktionen. Im Sinne der Stromfadentheorie sind die Bilanzgleichungen in Richtung der Stromlinien zu integrieren, die im allgemeinen Fall aber nicht parallel zu einer der kartesischen Koodinatenrichtungen verlaufen und dar¨ uber hinaus auch gekr¨ ummt sein k¨ onnen. Diesem speziellen Integrationsweg tr¨agt die ¨ folgende Uberlegung Rechnung, die leider“ auf eine vektorielle Darstellung ” zur¨ uckgreifen muß. Bezeichnet man den Betrag der Geschwindigkeit v ∗ l¨angs einer Stromlinie mit u∗S , s. Bild 6.1, so gilt u∗S =

 u∗2 + v ∗2 + w∗2

(6.1)

als Zusammenhang mit den kartesischen Geschwindigkeitskomponenten des Vektors v ∗ . Wie in Anmerkung 4.8/S. 72/ erl¨ autert, kann f¨ ur ∂ ∂ ∂ D ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

6.2

127

Mechanische Energiegleichung

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z Teil-Energiegleichung (mechanische Energie) % $ ∗ ∗ ∂p Dp ∗ D + D ∗ − Φ∗ [u∗2 + v ∗2 + w∗2 ] = − ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt

(ME∗ )

+ (u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ) Hilfsfunktionen in der Energiegleichung: ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ [u∗ τxx + v ∗ τyx + w∗ τzx ]+ ∗ [u∗ τxy + v ∗ τyy + w∗ τzy ] ∗ ∂x ∂y ∂ ∗ ∗ ∗ + ∗ [u∗ τxz + v ∗ τyz + w∗ τzz ] ∂z Diffusion

 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂u ∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∂u ∗ ∂v ∗ ∂w ∗ Φ = τxx ∗ + τyx ∗ + τzx + τxy ∗ + τyy ∗ + τzy ∂x ∂x ∂ x∗ ∂y ∂y ∂ y∗
 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂u ∗ ∂v ∗ ∂w + τxz + τ + τ yz zz ∂ z∗ ∂z ∗ ∂ z∗ Dissipation D∗ =

Tab. 6.1:

Mechanische Energiegleichung Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten f¨ ur inkompressible Str¨ omungen als Spezialfall der allgemeinen Bilanzgleichungen aus Tab. 4.1 grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme grau schraffiert: indirekt ber¨ ucksichtigte Terme, s. Abschnitt 6.2.2 (Die neue Gleichung entsteht, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme u ¨bernommen werden.)

formal auch ∂ + v ∗ · grad ∂t∗ geschrieben werden. Damit lautet die Gleichung (ME∗ ) aus Tab. 6.1, reduziert auf die grau unterlegten Terme (deren Auswahl anschließend erl¨autert wird), geschrieben mit Skalarprodukten je zweier Vektoren: ∗ ∗ v · grad u∗2 v ∗ · grad p∗ + v ∗ · f ∗ S = − 2

(6.2)

Wird unterstellt, daß die Volumenkraft f ∗ die Schwerkraft f ∗ = ∗g ∗ ist und ∗ ∗ ber¨ ucksichtigt, daß f ∗ im Schwere-Potentialfeld ψpot = −g ∗ · x ∗ + ψpot,B als f∗ = −∗ grad ψ ∗ entsteht, so kann (6.2) umgeschrieben werden zu: pot

128

6

Stromfadentheorie

∗

∗

 v · grad



 u∗2 p∗ ∗ S + ∗ + ψpot = 0 2 

(6.3)

Es ist unmittelbar zu erkennen, daß diese Gleichung erf¨ ullt ist, wenn der Ausdruck in eckigen Klammern eine Konstante C ∗ ist, weil grad C ∗ gleich dem Null-Vektor ist. Bei Potentialen von Kraftfeldern interessiert h¨aufig nicht der absolute Wert, weil dieser von einem willk¨ urlich w¨ahlbaren Bezugszustand ∗ ) abh¨ angt. Interessant sind dagegen Potentialdifferenzen, bei de(hier: ψpot,B nen dieser Bezugszustand herausf¨ allt“. ” Setzt man, wie im Zusammenhang mit (4.32), g ∗ = g ∗gE mit gE als Einheitsvektor in Richtung von g ∗ , so wird das Skalarprodukt g ∗ · x ∗ im Koordinatensystem nach Bild 6.1 zu g ∗gE · x ∗ = g ∗ (−y ∗ ), wobei (−y ∗ ) eine H¨ ohenposition“ auf der Wirkungslinie des Vektors g ∗ beschreibt. ” Zwischen zwei Positionen 1 und 2 entlang des Stromfadens gilt damit p∗ p∗ u∗2 u∗2 S2 + 2∗ + g ∗ y2∗ = S1 + 1∗ + g ∗ y1∗ 2  2 

(6.4)

Diese Gleichung stellt eine Form der ber¨ uhmten sog. Bernoulli-Gleichung dar, die Daniel Bernoulli (1700–1782) bereits im Jahre 1738 in einer ¨aquivalenten Form in seinem Werk Hydrodynamik“ ver¨ offentlicht hat. ” Gleichung (6.4) besagt, daß unter den getroffenen Voraussetzungen die ∗ ∗ ∗ ∗ Summe u∗2 stets eine Konstante darstellt, die h¨aufig S /2 + p / + g y als Bernoulli-Konstante bezeichnet wird. Die Dimension der drei Terme ist onnen deshalb als spezifische Energien, d.h. Ener(L¨ ange)2 /(Zeit)2 . Diese k¨ gien pro Masse mit der Einheit J/kg = m2 /s2 interpretiert werden. Eine anschaulichere Interpretation ergibt sich aber, wenn diese Gr¨oßen als Leistungen pro Massenstrom (Leistung: Energie/Zeit, Massenstrom: Masse/Zeit) angesehen werden. Durch einen festen Querschnitt (z.B. A∗1 oder A∗2 in Bild 6.1) str¨ omt dann mit dem Massenstrom m ˙ ∗ eine bestimmte Leistung. Die drei beteiligten Energien (die auf die Zeit bezogen Leistungen darstellen) sind: u∗2 S : spezifische kinetische Energie 2 p∗ : spezifische Verschiebearbeit ∗ g ∗ y ∗ : spezifische potentielle Energie Die bisweilen benutzte Bezeichnung Druckenergie“ f¨ ur den Term p∗ /∗ ist ” unsinnig, da es aus thermodynamischer Sicht keinen solchen Energieanteil ˙ ∗ = ∗ u∗S A∗ multipligibt. Wird der Term p∗ /∗ mit dem Massenstrom m ∗ ∗ ∗ ziert, so entsteht mit (p A )uS das Produkt aus der Kraft (p∗ A∗ ) und dem Weg pro Zeit u∗S , also der geleisteten Arbeit = Kraft · Weg pro Zeit, also die Verschiebeleistung.

6.2

Mechanische Energiegleichung

129

In Tab. 6.1 sind diejenigen Terme der allgemeinen Teil-Energiegleichung grau markiert, die in der Bernoulli-Gleichung (6.4) ber¨ ucksichtigt sind. Damit wird deutlich, daß folgende Effekte (zun¨ achst) vernachl¨assigt worden sind: 1. Turbulenzeinfl¨ usse; wie schon erw¨ ahnt, ist von vorne herein darauf verzichtet worden, die Energiegleichung f¨ ur die zeitgemittelten Gr¨oßen als Ausgangspunkt zu nehmen, weil mit der eindimensionalen N¨aherung die Grundlage f¨ ur eine Turbulenzmodellierung entf¨allt. 2. Instationarit¨aten; es war eine station¨ are Str¨omung vorausgesetzt worden. F¨ ur instation¨are Str¨ omungen s. Anmerkung 6.4/S. 134. 3. Diffusionseffekte; die in der Hilfsfunktion D∗ zusammengefaßten Terme beschreiben physikalisch die Wirkung mechanischer Kr¨afte auf die Energie in einem Volumenelement (s. dazu die Erl¨auterungen im Zusammenhang mit (4.20), besonders Punkt 2). Nur bei detaillierter Kenntnis des Str¨ omungsfeldes und der Festlegung einer konstitutiven Gleichung k¨onnte dieser Term ausgewertet und u ¨ ber ein endliches Gebiet integriert werden. Seine vollst¨ andige Vernachl¨ assigung bedeutet, daß zwischen den Querschnitten 1 und 2 keine mechanische Energie u ¨ ber die Systemgrenze hinweg mit der Umgebung ausgetauscht wird. 4. Dissipationseffekte; auch dieser Term k¨ onnte nur bei detaillierter Kenntnis des Str¨ omungsfeldes ausgewertet werden. Die vollst¨andige Vernachl¨ assigung dieser Effekte bedeutet, daß eine reibungsfreie, dissipationslose Str¨ omung angenommen wird. Diese Aufz¨ ahlung macht deutlich, daß mit (6.4) vermutlich nur sehr wenige Str¨ omungen in guter N¨ aherung beschrieben werden k¨onnen. Um einen weitergehenden Einsatz der eindimensionalen Betrachtung zu erm¨oglichen, kann (6.4) um zwei Terme erweitert werden, die den Austausch mechanischer Energie mit der Umgebung und Dissipationseffekte in ihrer globalen Wirkung zwischen den Bilanzquerschnitten 1 und 2 erfassen. Dies ist dann allerdings keine Ableitung aus den allgemeinen Bilanzgleichungen, sondern eine nachtr¨ agliche pauschale“ Erweiterung der Gleichung, die im folgenden ” Abschnitt n¨ aher erl¨ autert wird. Anmerkung 6.1:

Hydrostatisches Grundgesetz als Grenzfall der Bernoulli-Gleichung f¨ ur u∗Si = 0 / Kr¨ afte auf feste W¨ ande

Obwohl die Bernoulli-Gleichung als mechanische Energiegleichung f¨ ur eine Str¨ omung hergeleitet worden ist, muß sie auch im Grenzfall beliebig kleiner Str¨ omungsgeschwindigkeiten und damit letztlich auch f¨ ur ein ruhendes Fluid ihre G¨ ultigkeit bewahren. Nach (6.4) gilt f¨ ur diesen Grenzfall ∗ ∗ p2 p + g ∗ y2∗ = 1∗ + g ∗ y1∗ (6.5) ∗  was formal umgeschrieben werden kann zu p∗2 = p∗1 + ∗ g ∗ (y1∗ − y2∗ )

(6.6)

130

6

Stromfadentheorie

∗ 1 ; y1∗ = yB

h∗

2 ; y2∗

g ∗

Bild 6.2:

p∗ p∗

y∗ z∗

−

p∗B

Hydrostatische Druckverteilung Einf¨ uhrung der H¨ ohenkoordinate ∗ − y ∗ , hier: y ∗ = y ∗ h ∗ = yB 1 B

x∗

∗ ein, s. Bild 6.2, und F¨ uhrt man speziell in diesem Zusammenhang ein Bezugsniveau yB ∗ − y ∗ , so lautet das hydrostatische Grundgesetz definiert h∗ = yB

p∗ = p∗B + ∗ g ∗ h∗

(6.7)

Ausgehend von einem Bezugsniveau mit dem Bezugsdruck p∗B steigt in einem ruhenden Fluid der Druck also in Richtung von h∗ , d.h. in Richtung der Fallbeschleunigung, linear an. Der Proportionalit¨ atsfaktor ist ∗ g ∗ mit ∗ als der Dichte des Fluides. Diese Druckzunahme kann sehr anschaulich als die Gewichtszunahme der Fluids¨ aule interpretiert werden, die sich oberhalb des jeweils betrachteten H¨ ohenniveaus befindet. Der Druckgradient in der mit (6.7) beschriebenen Situation ist dp∗ /dy ∗ = −∗ g ∗ . F¨ ur eine beliebige Lage des Koordinatensystems lautet er grad p∗ = ∗g ∗ , wobei sich die Vorzeichen der Komponenten von  g ∗ = (gx∗ , gy∗ , gz∗ ) aus der Lage des kartesischen Koordinatensystems ergibt. So gilt in der Situation, die in Bild 6.2 skizziert ist: g ∗ = (0, −g ∗ , 0). Die Druckverteilung (6.7) in einem ruhenden Fluid f¨ uhrt zu Kr¨ aften auf teilweise oder vollst¨ andig benetzte Fl¨ achen, die u onnen. Eine ¨ber eine Integration bestimmt werden k¨ gleichwertige aber anschaulichere M¨ oglichkeit ergibt sich, wenn die resultierende Gesamtkraft in eine Horizontal- und eine Vertikalkomponente zerlegt wird. Beide Kraftkomponenten k¨ onnen dann sehr einfach ermittelt werden. Bild 6.3 erl¨ autert die Entstehung der Druckkraft auf eine beliebig gekr¨ ummte, von einem Fluid der Dichte ∗ benetzte Fl¨ ache. Die Fl¨ ache wird als zylindrisch verformt angenommen (Breite senkrecht zur Zeichenebene: B ∗ ). Eine Erweiterung auf beliebige dreidimensionale Fl¨ achen ist ohne Schwierigkeiten m¨ oglich. Die fl¨ achenm¨ aßig verteilte Druckkraft  ∗ = (R∗x , R∗y ). Mit R ∗ des Fluides auf die benetzte Fl¨ ache A∗ entspricht dem Kraftvektor R ist deshalb die Gesamtbelastung der Fl¨ ache durch das Fluid sowohl dem Betrag nach als R∗ =



∗2 R∗2 x + Ry

als auch nach der Richtung als αR = arctan

R∗y

(6.8)

(6.9) R∗x bekannt. W¨ are die Fl¨ ache A∗ z.B. eine in den Beh¨ alter eingesetzte Klappe, die sich ¨ offnen  ∗ die Information vor, welche Kr¨ und schließen ließe, so liegt mit R afte in Halterungen oder Scharnieren (zus¨ atzlich zur Gewichtskraft der Klappe) aufgenommen werden m¨ ussen, damit die Klappe verschlossen bleibt. Die Kraftkomponenten R∗x und R∗y k¨ onnen nun wie folgt bestimmt werden.

6.2

Mechanische Energiegleichung




∗

y∗

x∗

131

p∗B = p∗Umg

VA∗

∗ yS

SV A∗x Sx

A∗


R∗y




R∗x




e∗x

αR Dx R∗

Bild 6.3:

Kraftwirkung auf eine zylindrisch gekr¨ ummte Fl¨ ache A∗ durch ein Fluid der Dichte ∗ SV : Schwerpunkt des realen und/oder fiktiven Volumens u ¨ber A∗ Sx : Fl¨ achenschwerpunkt der Projektionsfl¨ ache Dx : Druckmittelpunkt der Projektionsfl¨ ache

Vertikalkomponente R∗y : ache A∗ real Die Kraftkomponente R∗y entspricht der Gewichtskraft der auf der Fl¨ oder fiktiv lastenden Fluids¨ aule mit dem Volumen VA∗ und dem Volumenschwerpunkt SV . Das Volumen VA∗ u ache A∗ bis zur Fluidoberfl¨ ache muß dabei nicht ¨ber der Fl¨ tats¨ achlich mit Fluid gef¨ ullt sein, weil sich die Druckverh¨ altnisse auf A∗ nicht ¨ andern, auch wenn ein Teil des Volumens VA∗ von W¨ anden geschnitten wird, wie dies in Bild 6.3 angedeutet ist. Entscheidend ist die Lage der Fl¨ ache A∗ in bezug auf die Fluidoberfl¨ ache, weil nur der vertikale Abstand eines Punktes zur Oberfl¨ ache gem¨ aß des hydrostatischen Grundgesetzes (6.7) u ¨ber den Druck in diesem Punkt entscheidet. F¨ ur R∗y gilt demnach R∗y = ∗ g ∗ VA∗

(6.10)

Diese Kraftkomponente ber¨ ucksichtigt die Wirkung des Fluides. Der Umgebungsdruck spielt keine Rolle, weil unterstellt wird, daß dieser auf beiden Seiten der Fl¨ ache A∗ gleichermaßen wirkt und deshalb keine Kraft auf A∗ bewirkt. Die Kraftkomponente ist positiv, wenn die Fl¨ ache (wie in Bild 6.3) von oben benetzt ist, sie w¨ are negativ, wenn das Fluid die Fl¨ ache von unten benetzen w¨ urde. Horizontalkomponente R∗x : Durch eine horizontale Projektion der Fl¨ ache A∗ entsteht die Projektionsfl¨ ache A∗x . Die Kraftwirkung des Fluides auf diese Projektionsfl¨ ache entspricht der Horizontal-

132

6

Stromfadentheorie

komponente R∗x (wie durch Integration u achenelemente dA∗ ¨ber alle infinitesimalen Fl¨ leicht zu zeigen ist). Diese wiederum entspricht dem Druck im Fl¨ achenschwerpunkt Sx multipliziert mit der Projektionsfl¨ ache A∗x , also R∗x = (p∗Sx − p∗Umg )A∗x

(6.11)

Wiederum spielt der Umgebungsdruck keine Rolle, solange er auf beiden Seiten der Fl¨ ache wirkt, wie dies in Bild 6.3 der Fall ist. Um neben der Richtung von R∗ auch die genaue Lage der Wirkungslinie zu bestimmen, reicht die Kenntnis eines Punktes der Wirkungslinie aus. Dieser ist durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien der Kraftkomponente gegeben. Die Wirkungslinie der Vertikalkomponente verl¨ auft durch SV (Volumenschwerpunkt) diejenige der Horizontalkomponente durch ache f¨ allt nicht mit dem Fl¨ achenschwerDx . Dieser sog. Druckmittelpunkt einer ebenen Fl¨ punkt zusammen, solange eine Fl¨ ache eine ungleichm¨ aßige Druckverteilung aufweist. Der Abstand e∗x beider Punkte ist I∗ e∗x = ∗ S ∗ (6.12) yS Ax ∗ als der y-Koordinate des Fl¨ achenschwerpunktes und IS∗ als dem sog. Fl¨ achenmit yS tr¨ agheitsmoment um eine horizontale Achse durch Sx . Das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment ist  ∗ ∗ )2 dA∗ eine rein geometrische Gr¨ als (y − yS oße und f¨ ur Standardfl¨ achen vertafelt zu finden, s. z.B. Dubbel (2001).

Beispiel 6.1:

Kraft auf eine eingetauchte Kugel; Hydrostatischer Auftrieb

Eine Kugel mit dem Radius R∗ und der Dichte ∗K befindet sich wie in Bild B6.1 skizziert um den Betrag h∗ in ein Fluid der Dichte ∗F eingetaucht. Mit welcher Kraft ∗ wird die Wand im Punkt B durch die Kugel belastet ? FK Das Kr¨ aftegleichgewicht bzgl. der Kugel in y-Richtung lautet: ∗ ∗ FG + FF∗ o + FF∗ u + FB =0

mit folgenden Gr¨ oßen ∗: FG

∗: (VK

Kugelvolumen

(B6.1-1)

4 πR∗3 ) 3

∗ = ∗ V ∗ Gewichtskraft; FG K K

FF∗ o : Gewichtskraft der (z.T. fiktiven) Fluids¨ aule auf die obere Kugelh¨ alfte; FF∗ o = ∗F [πR∗2 (h∗ + R∗ ) − Vk∗ /2] FF∗ u : Gewichtskraft der (z.T. fiktiven) Fluids¨ aule auf die untere Kugelh¨ alfte; FF∗ u = −∗F [πR∗2 (h∗ + R∗ ) + Vk∗ /2] ∗: FB

Haltekraft der Wand auf die Kugel im Punkt B. Gesucht ist die Reaktionskraft ∗ = −F ∗ als Kraft der Kugel auf die Wand ! FK B

∗ ergibt sich nach Einsetzen der obigen Gr¨ Aufgel¨ ost nach −FB oßen in (B6.1-1): ∗ ∗ ∗ FK = −FB = (∗K − ∗F )VK

∗K

(B6.1-2)

∗F

Mit < ergibt sich f¨ ur die Kraft auf die Wand ein negativer Zahlenwert: die Kugel dr¨ uckt mit dieser nach oben (entgegen der positiven y-Richtung). F¨ ur ∗K > ∗F ergibt sich formal ein positiver Wert: die Kugel w¨ urde nicht in der gezeigten Position verharren, sondern nach unten sinken (und dann den Boden mit einer entsprechenden Kraft belasten). Die Wirkung der Fluidkr¨ afte FF∗ o + FF∗ u allein ergibt eine Kraft ∗ FF∗ o + FF∗ u = ∗F VK

also die Gewichtskraft des verdr¨ angten Fluidvolumens. Diese Kraft entsteht stets bei vollst¨ andig benetzten K¨ orpern und wird hydrostatischer Auftrieb genannt.

6.2

Mechanische Energiegleichung

133

x∗ ∗F

h∗

y∗ B ∗K

R∗

Richtung der Kr¨ afte Bild B6.1:

Eingetauchte Kugel rechts: relevante Volumen (z.T. fiktiv)

Anmerkung 6.2:

Druckverteilung in gleichf¨ ormig rotierenden Fluiden

Die vorhergehende Anmerkung 6.1/S. 129/ hat ein ruhendes Fluid in einem ruhenden Koordinatensystem behandelt. Eine Verallgemeinerung ergibt sich, wenn ein gleichf¨ ormig rotierendes Fluid in einem mitgedrehten“ Koordinatensystem betrachtet wird. Bez¨ uglich ” dieses Koordinatensystems ist das Fluid weiterhin in Ruhe, es muß jetzt aber beachtet werden, daß in dem gleichm¨ aßig beschleunigten Koordinatensystem (konstante Winkelgeschwindigkeit → konstante Winkelbeschleunigung) zus¨ atzlich Zentrifugalkr¨ afte auftreten. Liegt die Drehachse parallel zum Erdbeschleunigungsvektor, so wirken diese Kr¨ afte in horizontaler Richtung und m¨ ussen durch entsprechende Druckkr¨ afte kompensiert werden. Damit kann der Druck in einer bestimmten horizontalen Ebene nicht mehr konstant sein. In Erweiterung des hydrostatischen Grundgesetzes (6.7) gilt deshalb p∗ = p∗B + ∗ g ∗ h∗ + 12 ∗ ω ˆ ∗2 r ∗2

(6.13)

wobei r ∗ von der Drehachse aus z¨ ahlt und ω ˆ ∗ die konstante Winkelgeschwindigkeit der gleichf¨ ormigen Rotation darstellt. Bild 6.4 erl¨ autert das Kr¨ aftegleichgewicht an einem Fluidelement in horizontaler Richtung, aus dem unmittelbar der zus¨ atzliche Term in (6.13) folgt. Da die Dichte ∗ in (6.13) stets die Fluiddichte sein soll, muß das Bezugsniveau (h∗ = 0) im rotierenden Fluid liegen. Deshalb z¨ ahlt h∗ vorteilhaft stets von der Oberfl¨ ache aus, wie dies in Bild 6.4 eingezeichnet ist. Bei einer freien Oberfl¨ ache ist der Bezugsdruck p∗B dann der Umgebungsdruck p∗Umg . Aus der Bedingung, daß p∗ = p∗Umg f¨ ur die gesamte Oberfl¨ ache gilt, folgt unmittelbar h∗ = −

ω ˆ ∗2 ∗2 r 2g ∗

(6.14)

f¨ ur die Form der freien Oberfl¨ ache, also ein parabolischer Verlauf, wie ebenfalls in Bild 6.4 angedeutet. Anmerkung 6.3:

Auswertung der Bernoulli-Gleichung bei endlichen Querschnitten

Wird (6.4) auf einen Stromfaden mit infinitesimalem Querschnitt dA∗ angewandt, so l¨ aßt sich daraus selbst bei Kenntnis der Lage des Stromfadens, also bei Kenntnis von y1∗ und y2∗ noch nicht ermitteln, wie sich die Energien bzw. Leistungen auf die Terme u∗2 S /2 und p∗ /∗ verteilen.

134

6

Stromfadentheorie

Kr¨ aftegleichgewicht: p∗

p∗ + dp∗

p∗ Umg

dz ∗ = r ∗ ω ˆ ∗2 dm∗

r∗

h∗ ∗

dm∗ = ∗ dA∗ dr ∗ dm∗

r∗ ω ˆ ∗2 ∗ dA∗ dr ∗ =





Zentrifugalkraft

ω ˆ∗

dp∗ dA∗

  resultierende Druckkraft

−→ dp∗ = ∗ ω ˆ ∗2 r ∗ dr ∗ Bild 6.4:

−→ p∗ (h∗ , r ∗ ) − p∗ (h∗ , 0) =

Fluid in gleichf¨ ormiger Rotationsbewegung

1 ∗ ∗2 ∗2 ˆ r  ω 2

Im Rahmen der Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten steht jedoch zus¨ atzlich die Aussage u omung durch die Stromr¨ ohre in Form von ¨ber die Massenerhaltung bei der Str¨ m ˙ ∗ = ∗ u∗S A∗ = const =⇒ ∗ u∗S1 A∗1 = ∗ u∗S2 A∗2 zur Verf¨ ugung. Eingesetzt in (6.4) folgt wegen Umformung:  p∗1 − p∗2 ∗

+

u∗2 S1 2



1−

u∗S2


∗ 2  A1

A∗2

=

u∗S1 A∗1 /A∗2

nach einer sinnvollen

+ g ∗ (y1∗ − y2∗ ) = 0



(6.15)

(6.16)

Geometrie + Zustr¨ omung Ist die Geometrie (y1∗ , A∗1 , y2∗ , A∗2 ) bekannt und liegt die Zustr¨ omung in Form von u∗S1 vor, so ergibt sich unmittelbar die Druckdifferenz zwischen den Querschnitten 1 und 2 .

Anmerkung 6.4:

Instation¨ are Bernoulli-Gleichung

F¨ ur zeitabh¨ angige Str¨ omungen tritt gegen¨ uber den bisher in Tab. 6.1 ber¨ ucksichtigten Termen nur der Term ∗ ∂(u∗2 + v∗2 + w ∗2 ) 2 ∂t∗ auf der linken Seite der Gleichung (ME∗ ) hinzu. Der Druckterm auf der rechten Seite enth¨ alt keine Zeitabh¨ angigkeit, da diese in der Kombination (∂p∗ /∂t∗ − Dp∗ /Dt∗ ) herausf¨ allt. Der zus¨ atzlich auftretende Term kann formal wie folgt umgeformt werden, wenn beachtet wird, daß u∗S der Betrag des Geschwindigkeitsvektors v ∗ ist und deshalb u∗2 S das Skalarprodukt  v ∗ · v ∗ : ∗ ∂(u∗2 + v∗2 + w ∗2 ) ∗ ∂( ∂Φ∗ v ∗) ∂ v∗ v∗ · = = ∗  v ∗ ∗ = ∗  v ∗ grad 2 ∂t∗ 2 ∂t∗ ∂t ∂t∗

(6.17)

Dabei ist im Vorgriff auf die ausf¨ uhrliche Behandlung von reibungsfreien Str¨ omungen in Kap. 8 ausgenutzt worden, daß diese ein sog. Geschwindigkeitspotential Φ∗ besitzen, wenn

6.2

Mechanische Energiegleichung

135

die Zustr¨ omung drehungsfrei ist (s. dazu auch Abschn. 3.4.2). Dann entsteht das Geschwindigkeitsfeld durch Ortsableitungen einer skalaren Potentialfunktion, so daß f¨ ur diese Str¨ omungen v ∗ = grad Φ∗ mit Φ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ , t∗ ) als Geschwindigkeitspotential gilt. Damit l¨ aßt sich (6.3) erweitern zu



∗v ∗ · grad

u∗2 S 2

+

∂Φ∗ p∗ ∗ + ψpot + ∗  ∂t∗



=0,

(6.18)

so daß wiederum mit der Bedingung [. . .] = const = C ∗ , diesmal noch mit C ∗ = C ∗ (t∗ ), die ohre instation¨ are Bernoulli-Gleichung zwischen zwei Querschnitten 1 und 2 der Stromr¨ lautet     ∗2 ∗2 ∗ ∗ uS2 u p p ∂Φ∗ ∂Φ∗ + 2∗ + g ∗ y2∗ + = S1 + ∗1 + g ∗ y1∗ + (6.19) 2  ∂t∗ 2 2  ∂t∗ 1

6.2.2

Erweiterte Bernoulli-Gleichung

Wenn zwischen den Querschnitten 1 und 2 einer Stromr¨ohre (die weiterhin mit der Stromfadentheorie, also eindimensional beschrieben werden soll) technische Vorkehrungen getroffen werden, die einen Austausch mechanischer Energie (sog. technische Arbeit) mit der Umgebung zulassen, so wird die spezifische Energie ( = Bernoulli-Konstante) p∗ u∗2 S + ∗ + g∗y∗ 2  auf dem Weg von 1 nach 2 dadurch ver¨ andert. Zum Beispiel wird sie mit ∗ einer Pumpe, die eine spezifische Energie wt12 in das Fluid einbringt, um diesen Betrag vergr¨ oßert, mit einer Turbine, die dem Fluid die spezifische ∗ entzieht, entsprechend verringert. Energie wt12 Eine Verringerung der Bernoulli-Konstante, findet ebenfalls statt, wenn das Fluid auf dem Weg von 1 nach 2 nicht reibungsfrei str¨omt, sondern durch irreversible Dissipationseffekte einen Anteil ϕ∗12 an mechanischer Energie verliert. Dieser Anteil geht in innere Energie u ¨ ber (er geht damit der mechanischen Energie verloren) und wird in der Regel in Form von W¨arme an die Umgebung abgegeben. Diese Gr¨ oße ϕ∗12 ist stets positiv, weil sie aus thermodynamischer Sicht einer Entropieerzeugung entspricht, die nicht negativ sein kann (2. Hauptsatz der Thermodynamik). Beide Effekte k¨ onnen in Erweiterung von (6.4) in die Energiebilanz f¨ ur die Stromr¨ ohre aufgenommen werden. Es gilt damit also p∗ p∗ u∗2 u∗2 ∗ S2 + 2∗ + g ∗ y2∗ = S1 + 1∗ + g ∗ y1∗ + wt12 −   2  2 

ϕ∗12 

techn. Arbeit

Dissipation

∗ > 0 Pumpe: wt12 ∗ < 0 Turbine: wt12

ϕ∗12 ≥ 0

(6.20)

∗ und ϕ∗12 gilt f¨ ur eine Str¨omungsDie getroffene Vorzeichenregelung f¨ ur wt12 richtung von 1 nach 2 .

136

6

Stromfadentheorie

∗ Obwohl es sich bei wt12 und ϕ∗12 um Globalwerte zwischen den Querschnitten 1 und 2 handelt, ist in Tab. 6.1 zu erkennen, daß diese aus den Gr¨ oßen D∗ und Φ∗ hervorgehen w¨ urden, wenn diese Feldgr¨oßen entsprechend ausgewertet werden k¨onnten. Die Gr¨ oßen D∗ und Φ∗ sind deshalb in Tab. 6.1 als indirekt ber¨ ucksichtigte Terme“ gekennzeichnet worden. Die neu eingef¨ uhr” ten Globalwerte haben dabei folgende Bedeutung: ∗ Spezifische Technische Arbeit wt12 : Es handelt sich hierbei um den Austausch mechanischer Leistung zwischen dem Fluid in der Stromr¨ ohre und einem technischen Apparat. Dabei ist zu beachten, daß technische Apparate wie Pumpen und Turbinen Wirkungsgrade ηi < 1 besitzen. Diese Wirkungsgrade ber¨ ucksichtigen den Unterschied zwischen der mit dem Fluid ausgetauschten mechanischen ∗ Leistung m ˙ ∗ wt12 und der mechanischen Leistung P ∗ , mit der der Apparat dazu angetrieben werden muß (im Fall der Pumpe) bzw. die dem Apparat entnommen werden kann (im Fall der Turbine). In beiden F¨allen unden Wellenleistung. In diesem Sinne wird heißt P ∗ aus naheliegenden Gr¨ definiert; wenn P ∗ stets positiv z¨ ahlt:

ηP

=

ηT

=

∗ m ˙ ∗ wt12 ∗ P P∗ ∗ ) ∗ m ˙ (−wt12

(Pumpenwirkungsgrad)

(6.21)

(Turbinenwirkungsgrad)

(6.22)

Gut ausgef¨ uhrte Apparate erreichen Wirkungsgrade von etwa 0,9. Das bedeutet z.B. f¨ ur eine Pumpe, daß 10% der zum Betreiben der Pumpe eingesetzten mechanischen Leistung durch Dissipation verlorengeht und danach als innere Energie zum Teil im Fluid vorhanden ist (erh¨ohte Fluidtemperatur) und zum Teil in Form von W¨arme direkt an die Umgebung abgegeben wird. Beide Anteile treten in der mechanischen Energiegleichung nicht auf, diese ber¨ ucksichtigt nur den Anteil ηP P ∗ . Der Dissipationseffekt im Zusammenhang mit der technischen Arbeit ∗ wt12 ist somit durch die Ber¨ ucksichtigung des jeweiligen Wirkungsgrades erfaßt und muß nicht in den expliziten Dissipationsterm ϕ∗12 aufgenommen werden. Dieser ist f¨ ur die Ber¨ ucksichtigung von Dissipationseffekten in den restlichen Bauteilen der Stromr¨ ohre vorgesehen. Spezifische Dissipation ϕ∗12 : Dieser Globalwert f¨ ur die durch Dissipation zwischen den Querschnitten 1 und 2 verlorene mechanische Energie kann nur in entsprechenden Experimenten ermittelt werden. Solche Experimente sind f¨ ur eine Vielzahl von verschiedenen Bauteilen durchgef¨ uhrt worden. Eine relativ große Allgemeing¨ ultigkeit der experimentellen Ergebnisse ergibt sich aus der Beobachtung, daß bei sehr vielen (turbulenten) Str¨omungen die spezifische dissipierte Energie ϕ∗12 direkt proportional zur kinetischen Energie u∗2 S /2 in einem ausgew¨ ahlten Bezugsquerschnitt eines betrachteten Bauteiles ist.

6.2

Mechanische Energiegleichung

137

In dem Ansatz ϕ∗12 = ζ

u∗2 S 2

(6.23)

ist deshalb die sog. Widerstandszahl ζ eine Konstante. Dabei ist zu beachten, daß zwischen den Querschnitten 1 und 2 Dissipation nur aufgrund des betrachteten Bauteiles vorliegen soll und daß der Zahlenwert von ζ an die Auswahl des Bezugsquerschnittes gebunden ist (in dem u∗S auftritt). Diese Auswahl ist willk¨ urlich, auch wenn sich in vielen F¨allen bestimmte Querschnitte, wie etwa der Eintrittsquerschnitt in ein Bauteil anbieten. Daraus folgt, daß stets bekannt sein muß, welcher Bezugsquerschnitt zu dem ζ-Wert eines bestimmten Bauteils geh¨ort. Widerstandszahlen verschiedener Bauteile sind in umfangreichen Tabellen vertafelt, s. z.B. VDIW¨ armeatlas (1997), einige Beispiele sind in Tabelle 6.2 enthalten. Mit der Einf¨ uhrung der Widerstandszahl ζ gem¨aß (6.23) verbindet sich jedoch auch eine nicht zu untersch¨ atzende Problematik, die am Beispiel eines Rohrkr¨ ummers erl¨ autert werden soll. Bild 6.5 zeigt die prinzipielle Form der Str¨ omungsprofile und den Verlauf ummers mit der Widerder Druckverteilung. Durch die Wirkung des 90◦ -Kr¨ standszahl ζ entsteht ein zus¨atzlicher Druckverlust ∆p∗ζ = ζ ∗

u∗2 S 2

(6.24)

der in Bild 6.5 abzulesen ist. Es ist zu erkennen, daß dieser nicht nur im Bereich des Kr¨ ummers entsteht, sondern auch vor und nach dem Kr¨ ummer, also in den Bereichen L∗V und L∗N , weil dort die Str¨omung durch den Kr¨ ummer schon bzw. noch beeinflußt wird. Dort sind die Str¨omungsprofile nicht mehr bzw. noch nicht wieder ausgebildet, was generell zu erh¨ohten Druckgradienten f¨ uhrt. F¨ ur eine experimentelle Bestimmung von ζ muß also eine Vorlaufl¨ange L∗V und eine Nachlaufl¨ ange L∗N vorgesehen werden, um zu definierten Zust¨anden in der Zu- und Abstr¨ omung zu gelangen. Ein typischer Wert im Fall des 90◦ Kr¨ ummers ist etwa L∗N /D∗ ≥ 10 ; L∗V /D∗ ≥ 5. Damit beschreibt der ζ-Wert, der dem Kr¨ ummer als Bauteil zugeordnet ist, also nicht nur die Dissipationseffekte im Bauteil selbst, sondern auch die zus¨atzlichen Dissipationseffekte außerhalb des Bauteils in einer Situation, in der hinreichend lange Zu- und Abstr¨ oml¨ angen vorhanden sind. In der praktischen Anwendung treten einzelne Bauteile (mit ihren individuellen ζ-Werten) aber h¨ aufig so dicht hintereinander auf, daß die Zu- und Abstr¨ ombereiche nicht vorhanden sind, so daß eine einfache Addition der Verluste als  u∗2 (6.25) ζi Si ∆p∗gesamt = ∗ 2 i u assig ist. ¨ ber alle Bauteile nicht zul¨

138

6

Bauteil

Stromfadentheorie

: Bezugsquerschnitt

Skizze

∗ Dh

gerades Rohrst¨ uck L∗

Rohrerweiterung ∗ Dh2 ∗ = 2 Dh1

ζ = λR

L∗ Dh∗

λR aus Bild B2.3 oder B10.2 (Rohrreibungszahl)

B

90◦ -Rohrkr¨ ummer, hydraulisch glatt, Re > 105

Widerstandszahl

∗ = 2 : ζ = 0,14 R∗ /Dh B

∗ = 4 : ζ = 0,11 R∗ /Dh

R∗

∗ = 6 : ζ = 0,09 R∗ /Dh

∗ Dh

α = 20◦ : ζ = 0,23 ∗ Dh1

∗ Dh2

α

α = 40◦ : ζ = 0,48 α = 60◦ : ζ = 0,62

B

scharfkantig: ζ = 0,6 Rohreinlauf B

Rohraustritt B

Tab. 6.2:

gut abgerundet: ζ = 0,05

ζ =1 (Verlust der gesamten kinetischen Energie)

Widerstandszahlen einiger Bauteile mit kreisf¨ ormigen Str¨ omungsquerschnitten. Bei nicht-Kreisquerschnitten k¨ onnen diese Werte n¨ aherungsweise ver∗ als sog. hydraulischen Durchmesser: wendet werden, dann gilt f¨ ur Dh ∗ ∗ ∗ ∗ Dh = 4A /U (A : durchstr¨ omter Querschnitt; U ∗ : benetzter Umfang), s. auch Abschn. 10.1.1

6.2

139

Mechanische Energiegleichung

1 L∗V ζ Druckverlauf ohne Kr¨ ummer

p∗

∆p∗ζ nichtausgebildete Profile

D

∗

Druckverlauf mit Kr¨ ummer

L∗N L∗V

L∗N

1 ausgebildete Profile

2

(a) Bild 6.5:

2

(b)

(a) Str¨ omungsprofile vor und nach dem 90◦ -Kr¨ ummer (b) Prinzipieller Druckverlauf vor, im und nach dem Kr¨ ummer l¨ angs des Str¨ omungsweges ange, L∗V : Vorlaufl¨

L∗N : Nachlaufl¨ ange

H¨ aufig wird bei der Hintereinanderschaltung einzelner Bauteile trotzdem (6.25) verwendet, es muß aber der systematische Fehler beachtet werden, der dabei entsteht. Bei einer r¨ aumlich engen Anordnung der Bauteile sollte man versuchen, Angaben u ¨ ber die ζ-Werte ganzer Bauteilgruppen zu finden, die z.B. f¨ ur hintereinandergeschaltete Rohrkr¨ ummer vielf¨altig vertafelt sind. Generell ist anzumerken, daß Widerstandszahlen ζ h¨aufig nur eine sehr grobe Angabe u achlich im konkreten Fall auftretenden Verluste ¨ber die tats¨ zulassen, da es vielf¨ altige Zusatzeffekte gibt (wie z.B. aufgrund von Wandrauheiten und Fertigungsungenauigkeiten), die nicht systematisch erfaßt werden, aber einen erheblichen Einfluß haben k¨ onnen. So finden sich z.B. f¨ ur den Fall des Rohrkr¨ ummers mit R∗ /D∗ = 4 (in Tab. 6.2 vertafelt mit ζ = 0,11) in der Literatur Zahlenwerte von 0,08 bis 0,3 ! Anmerkung 6.5:

Andere Formen der (erweiterten) Bernoulli-Gleichung

Je nach Fragestellung kann es sinnvoll sein, die Bernoulli-Gleichung formal umzuformen, weil dann die einzelnen Terme, die bisher als spezifische Energien auftreten, als Dr¨ ucke oder H¨ ohen interpretiert werden k¨ onnen. In diesem Sinne sind folgende alternative Formen zu (6.4) bzw. (6.20) u ¨blich: Druckform der Bernoulli-Gleichung: Diese entsteht nach einer Multiplikation der urspr¨ unglichen Gleichung mit der Dichte ∗ und lautet:

140

6

Stromfadentheorie

∗ ∗2 ∗ ∗2 ∗ − ∗ ϕ∗12 u + p∗2 + ∗ g ∗ y2∗ = u + p∗1 + ∗ g ∗ y1∗ + ∗ wt12 2 S2 2 S1

(6.26)

Dabei sind die Terme ∗ ϕ∗12 als Druckverlust aufgrund von Dissipationseffekten und ∗ als Druck¨ ∗ wt12 anderung in technischen Apparaten (Pumpe, Turbine) interpretierbar. H¨ ohenform der Bernoulli-Gleichung: Diese entsteht nach einer Division der urspr¨ unglichen Gleichung durch den Betrag der Fallbeschleunigung, g ∗ , und lautet: u∗2 S2 2g ∗

+

p∗2

∗ g ∗

+ y2∗ =

u∗2 S1 2g ∗

+

p∗1

∗ g ∗

+ y1∗ +

∗ wt12

g∗

−

ϕ∗12 g∗

(6.27)

ohe ist im Zusammenhang mit Pumpen und Turbinen Der Term ϕ∗12 /g ∗ als sog. Verlusth¨ ∗ /g ∗ anschaulich interpretierbar und beschreibt, um wieviel die sog. F¨ orderh¨ ohe wt12 einer Pumpe durch Dissipationseffekte verringert wird, bzw. wieviel weniger in einer Turbine als nutzbare H¨ ohendifferenz zur Verf¨ ugung steht.

Anmerkung 6.6:

Dynamischer Druck, Gesamtdruck

∗ Die Druckform (6.26) ergibt f¨ ur den Fall ϕ∗12 = 0 (keine Dissipationseffekte), wt12 = 0 (keine technische Arbeit) und y2∗ = y1∗ (horizontale Stromr¨ ohre) die einfache Beziehung:

∗ ∗2 ∗ ∗2 (6.28) uS2 = p∗1 + u 2 2 S1 Danach kommt es zu einer Druckerh¨ ohung, wenn die Geschwindigkeit entlang einer Stromr¨ ohre abnimmt. Der maximal m¨ ogliche Druck liegt vor, wenn die Geschwindigkeit bis auf den Wert Null sinkt. Um die Wirkung des Termes ∗ u∗2 ur der S /2 auf den Druck zu kennzeichnen, wird daf¨ Name dynamischer Druck eingef¨ uhrt, also definiert: p∗2 +

∗ ∗2 u (dynamischer Druck) (6.29) 2 S Diese Gr¨ oße selbst ist kein Druck“ (obwohl sie die Dimension eines Druckes besitzt), son” dern eine physikalische Gr¨ oße, deren Ver¨ anderung unter den genannten Voraussetzungen unmittelbar zu einer betragsm¨ aßig gleich großen Ver¨ anderung des Druckes f¨ uhrt. Die Summe aus dem echten“ Druck p∗ und dem dynamischen Druck p∗dyn heißt Ge” samtdruck, ist also definiert als: p∗dyn =

∗ ∗2 u (Gesamtdruck) (6.30) 2 S Auch diese Gr¨ oße ist kein Druck“, obwohl es eine Situation gibt, in welcher der Druck in ” einer Str¨ omung gleich dem Gesamtdruck p∗ges ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn in einer horizontalen, reibungsfreien Str¨ omung die Geschwindigkeit in einem sog. Staupunkt bis auf den Wert Null sinkt, wie dies im Zusammenhang mit der Einf¨ uhrung von Stromlinien in Abschn. 3.2.2, Bild 3.2 gezeigt worden ist. Leider wird h¨ aufig in diesem Zusammenhang der Druck selbst dann als statischer ” Druck“ p∗st bezeichnet, was ¨ außert irref¨ uhrend ist. Weder gibt es die Notwendigkeit, den Druck durch einen besonderen Zusatz zu kennzeichnen, da es nur einen Druck gibt, noch ist der Zusatz statisch“ sinnvoll, da meist keine statische, also str¨ omungsfreie Situation vor” liegt. Gleichwohl kann es sinnvoll sein, von dem Druck in einem statischen (ruhenden) Feld zu sprechen, verk¨ urzt h¨ aufig auch als dem statischen Druckfeld“, wie es bei der Bestim” mung der sog. hydrostatischen Druckverteilung vorliegt, s. dazu Anmerkung 6.1/S. 129. Bei der Einf¨ uhrung des modifizierten Druckes spielt das statische Druckfeld ebenfalls eine Rolle, s. Anmerkung 4.5/S. 58. p∗ges = p∗ +

6.2

Beispiel 6.2:

Mechanische Energiegleichung

141

Wirkungsweise von Druck-Meßsonden (Pitot-, Prandtl-Sonde)

In Anmerkung 6.6/S. 140/ war mit (6.30) der Gesamtdruck eingef¨ uhrt worden. Dieser kann in einer Str¨ omung mit Hilfe einer sog. Gesamtdrucksonde, auch Pitot-Sonde genannt, gemessen werden. Dazu muß in der Str¨ omung ein Staupunkt erzeugt werden, weil dort dann der aktuelle Druck gleich dem Gesamtdruck ist (Geschwindigkeit u∗S = 0). In Bild B6.2a ist die prinzipielle Anordnung einer solchen Gesamtdrucksonde gezeigt. Der nach außen geleitete Druck wird als Differenzdruck gegen¨ uber dem Umgebungsdruck durch Bestimmung der Manometerh¨ ohe ∆h∗ ermittelt (s. dazu auch (6.7) in Anmerkung 6.1/S. 129). Mit der sog. Prandtl-Sonde wird zus¨ atzlich zum Staudruck auch noch der Druck der ¨ ungest¨ orten Str¨ omung in einer seitlich angebrachten Offnung gemessen. Dies ist allerdings nur n¨ aherungsweise m¨ oglich, weil in der Anordnung nach Bild B6.2b eine (wenn auch geringe) Beeinflussung der Str¨ omung durch die Sonde vorliegt und der Druck nicht an genau derselben Stelle wie der Staudruck gemessen wird. Schaltet man beide Dr¨ ucke gegeneinander, so ergibt diese Druckdifferenz unmittelbar den dynamischen Druck p∗dyn und damit auch die Str¨ omungsgeschwindigkeit u∗S , wie in Bild B6.2b erl¨ autert wird. Wird die Prandtl-Sonde in einer Rohrleitung eingesetzt, so besteht die haupts¨ achliche Beeinflussung der Str¨ omung durch die Sonde in einer Beschleunigung der Str¨ omung aufgrund der Querschnittsverengung. Mit D ∗ als Rohr- und d∗ als Sondendurchmesser verengt sich der freie Str¨ omungsquerschnitt von πD ∗2 /4 vor der Sonde auf π(D ∗2 − d∗2 )/4 im Sondenbereich. Die aus p∗dyn = ∗p g ∗ ∆h∗ ermittelte Geschwindigkeit u∗S ist deshalb gr¨ oßer als die Geschwin-

(a) Pitot-Sonde

(b) Prandtl-Sonde

(Messung: p∗ges )

(Messung: p∗dyn )

Staudruck (Staupunkt)

Staudruck (Staupunkt)

d∗

D∗

p∗Umg

∗p

∆h∗

p∗ges = p∗Umg + ∗p g ∗ ∆h∗

∗p

p∗dyn = ∗p g ∗ ∆h∗

 p∗dyn

Bild B6.2:

∆h∗

∗ = u∗2 −→ u∗S = 2 S

Druck-Meßsonden, prinzipieller Aufbau

#

∗p 2g ∗ ∗ ∆h∗ 



142

6

Stromfadentheorie

digkeit u∗S0 der ungest¨ orten (und eigentlich interessierenden) Str¨ omung. Wegen der Konstanz des Massenstromes gilt



∗ u∗S0

π ∗2 π D = ∗ u∗S (D ∗2 − d∗2 ) −→ u∗S0 = u∗S 1 − 4 4



d∗ D∗

2 

als Korrektur dieses systematischen Fehlers.

6.3

Thermische Energiegleichung

Es sei noch einmal darauf hingewiesen, daß die Bernoulli-Gleichung als Energiegleichung f¨ ur inkompressible Fluide lediglich die mechanische Energie bilanziert, die wegen der Bedingung ∗ = const unabh¨angig von der thermischen Energie ist. Der prinzipiell m¨ ogliche Austausch von thermischer Energie mit der Umgebung in Form einer spezifischen, fl¨achenbezogenen W¨arme∗ zwischen den Querschnitten 1 und 2 beeinflußt diese Bistromdichte q12 lanz nicht. Die getrennt aufzustellende thermische Energiebilanz aus Tab. 4.1 lautet in einer Vorgehensweise analog zu derjenigen bei der Herleitung der Bernoulli-Gleichung zun¨ achst f¨ ur ein nichtleitendes Fluid (qx∗ = qy∗ = qz∗ = 0) ∗ ohne Dissipationseffekte, (Φ = 0)

 p∗ ∗ ∗ ∗  v · grad h − ∗ = 0 (6.31)  Daraus folgt mit h∗ = e∗ +

p∗ ∗

aus

[. . .] = const :

e∗2 = e∗1

(6.32)

also die Konstanz der inneren Energie zwischen den Querschnitten 1 und 2 . In einer Erweiterung um den Austausch thermischer Energie mit der ∗ ) und dem Zuwachs an thermischer Energie durch Dissipation Umgebung (q12 ∗ (ϕ12 ) wird daraus e∗2 = e∗1 +

∗ q12  

+

u arme ¨bertr. W¨ Zufuhr: Abgabe:

∗ >0 q12 ∗ 0 ; u∗ < 0 dQ∗ = v∗ dA

gebundener Teil der Kontrollraumgrenze, O ∗ , ∗ hier wirkt die Kraft F FW ∗ bzw. die Reaktionskraft R ∗ L

R∗x

ˆ∗x dA ˆ∗x < 0 dQ∗ = u∗ dA u∗ > 0

147

freier Teil der Kontrollˆ∗ raumgrenze, A

Staupunkt

u∗ ∗

ˆ∗y > 0 ; u∗ > 0 dQ = v dA

Bild 6.6:

∗

v

ˆ∗y dA

∗

Zweidimensionaler Strahl an einer schr¨ agen Wand; Prinzipbild, Zahlenwerte im Beispiel 6.3

∗ Dabei ist nur zu beachten, daß die Gr¨ oße dQ∗ das Skalarprodukt v ∗ · dA  ∗ definitionsgem¨ darstellt, wobei dA aß stets ein bez¨ uglich des Kontrollraumes nach außen gerichteter Vektor ist. Als Folge davon z¨ahlen einfließende  ∗ str¨ omend) negativ, ausfließende VoVolumenstr¨ ome (gegen den Vektor dA lumenstr¨ ome positiv, s. auch Bild 6.6 f¨ ur drei Beispiele. Damit ergibt sich folgende endg¨ ultige Form der drei Komponenten-Gleichungen (y-, z-Komponente analog zur x-Komponente) zur Bestimmung der Kraftkomponenten auf die festen W¨ ande, Rx∗ , Ry∗ und Rz∗ : 

∗ ∗



∗

 u dQ = − ˆ∗ A

 ˆ∗ A

 ˆ∗ A

p∗ dAˆ∗x − Rx∗

(6.40)

p∗ dAˆ∗y − Ry∗

(6.41)

p∗ dAˆ∗z − Rz∗

(6.42)

ˆ∗ A



∗ v ∗ dQ∗ = −

ˆ∗ A

∗ w∗ dQ∗ = −



ˆ∗ A

Bei der Herleitung der Gleichungen (6.40)–(6.42) ist bisher weder von der Bedingung ∗ = const noch von der Annahme einer eindimensionalen Str¨omung

148

6

Stromfadentheorie

Gebrauch gemacht worden, so daß diese Gleichungen bez¨ uglich dieser Aspekte ganz allgemein gelten. F¨ ur den Spezialfall ∗ = const und eindimensionale Str¨ omung (der in diesem Kapitel behandelt werden soll) ist die Auswertung der Integrale in den Gleichungen jedoch besonders einfach, da ihre Werte abschnittsweise unmittelbar bestimmt werden k¨onnen, wie die Beispiele 6.3 und 6.4 zeigen. Bei der Anwendung der Gleichungen (6.40)–(6.42) ist auf folgende Punkte sorgf¨ altig zu achten: Die Lage des Kontrollraumes muß der Fragestellung angepaßt sein. Dies gilt besonders bez¨ uglich des gebundenen Teiles der Kontrollraumgrenze, da dieser dar¨ uber entscheidet, welche Wandkr¨afte in der Bilanz auftreten. Der Kontrollraum enth¨ alt nur Fluid, alle festen Bauteile sind u ¨ber Kontrollraumgrenzen aus diesem auszuschließen. Es muß ein Koodinatensystem festgelegt werden, da sich die Vorzeichen der Geschwindigkeitskomponenten, der Fl¨ achenelemente dAˆ∗x , dAˆ∗y , dAˆ∗z und der Kr¨ afte an diesem orientieren. H¨ aufig gelingt mit einer geschick” ten“ Wahl des Koordinatensystems eine besonders einfache Auswertung. Einfließende Volumenstr¨ ome z¨ ahlen negativ, ausfließende positiv, wie dies zuvor bereits erl¨ autert worden ist.

Beispiel 6.3:

Kraft auf eine schr¨ ag angestr¨ omte Wand bei reibungsfreier Str¨ omung ohne Schwerkrafteinfluß

Die prinzipielle Anordnung aus Bild 6.6 soll im folgenden quantitativ berechnet werden. Dazu wird angenommen: Ebene Zustr¨ omung mit der homogenen Geschwindigkeit u∗S0 , Strahlbreite h∗0 , d.h.: Massenstrom m ˙ ∗0 = ∗ u∗S0 h∗0 B ∗ (B ∗ : Abmessung senkrecht zur Zeichenebene) Neigungswinkel der Platte α reibungsfreie Str¨ omung; Vernachl¨ assigung der Schwerkr¨ afte F¨ ur eine konkrete Berechnung ist es ¨ außerst hilfreich, sich zun¨ achst die physikalische Situation vor Augen zu f¨ uhren, auf der die mathematische, modellm¨ aßige Beschreibung  ∗ zustande basiert. In diesem Sinne sollte man zun¨ achst verstehen, wie die Kraft R kommt. Da eine reibungsfreie Str¨ omung vorausgesetzt ist, k¨ onnen an der Wand keine Tan∗ gential-, sondern nur Normal-, d.h. Druckkr¨ afte auftreten. Die resultierende Kraft R muß deshalb senkrecht zur u omten Wand gerichtet sein. Gegen¨ uber dem Umge¨berstr¨ bungsdruck p∗Umg erh¨ ohte Druckwerte treten in den Wandbereichen auf, u ¨ber denen die Stromlinien gekr¨ ummt sind, also in der Umgebung des Staupunktes. Weiter entfernt vom Staupunkt verlaufen die Stromlinien parallel zur Wand und der Druck an der Wand ist gleich dem Druck am Strahlrand, also gleich dem Umgebungsdruck p∗Umg .  ∗ = (R∗ , R∗ ) senkrecht auf der Wand steht, bietet es sich Da die gesuchte Kraft R x y an, das Koordinatensystem anders als in Bild 6.6 zu w¨ ahlen, weil dann vermieden wer-

6.4

Impulsgleichungen

149

 ∗ aus den zwei Komponenten R∗x und R∗y zusammensetzen zu m¨ den kann, R ussen. Bild B6.3 zeigt die geschicktere“ Wahl des Koordinatensystems zusammen mit dem ” dann gegen¨ uber Bild 6.6 leicht modifizierten Kontrollraum, der aber weiterhin der Fragestellung korrekt angepaßt ist.  ∗ muß zun¨ F¨ ur die konkrete Bestimmung von R achst gekl¨ art werden, mit welchen omung erfolgt. Dazu kann die BernoulliGeschwindigkeiten u∗S1 bzw. u∗S2 die Abstr¨ Gleichung (6.4) mit der sinngem¨ aßen Indizierung zwischen den Querschnitten 0 und 1 bzw. 0 und 2 herangezogen werden. Da in beiden F¨ allen die auftretenden Dr¨ ucke jeweils gleich dem Umgebungsdruck sind und H¨ ohenunterschiede aufgrund der vernachl¨ assigten Schwerkr¨ afte keine Rolle spielen, ergibt sich unmittelbar: u∗S1 = u∗S2 = u∗S0 (B6.3-1) ˙ ∗1 + m ˙ ∗2 folgt wegen m ˙ ∗i = ∗ u∗Si h∗i B ∗ Mit der Aussage zur Massenerhaltung m ˙ ∗0 = m daraus unmittelbar: (B6.3-2) h∗0 = h∗1 + h∗2 Damit k¨ onnen die beiden Impulsgleichungen (6.40) und (6.41) wie folgt ausgewertet werden: (6.40) :

∗ (u∗S0 sin α)(−u∗S0 h∗0 B ∗ ) = p∗Umg L∗ B ∗ − R∗x R∗x ∗ −→ = p∗Umg L∗ + ∗ u∗2 S0 h0 sin α B∗

(6.41) :

(B6.3-3) (B6.3-4)

∗ (−u∗S0 cos α)(−u∗S0 h∗0 B ∗ )

+∗ u∗S1 (u∗S1 h∗1 B ∗ ) + ∗ (−u∗S2 )(u∗S2 h∗2 B ∗ ) = 0

(B6.3-5)

1 ∗ (B6.3-6) h (1 − cosα) 2 0 1 (B6.3-7) −→ h∗2 = h∗0 (1 + cosα) 2 wenn jeweils (B6.3-1) und (B6.3-2) ber¨ ucksichtigt werden.  ∗ = (R∗ , 0) bereits aus der x-Impulsgleichung Wie zu erwarten war, folgt die Kraft R x  ∗ nur die Komponente R∗x = 0 besitzt. Die y-Impulsgleichung dient dann allein, da R zur Bestimmung der Massenstromaufteilung. F¨ ur die anschauliche Interpretation der Ergebnisse ist es hilfreich, in Gedanken den Winkel α zu variieren. Als Grenzf¨ alle treten dabei auf: −→ h∗1 =

α = 90◦ : Senkrecht auftreffender Strahl, maximale Kraft (pro Breite B ∗ ) auf die Wand; h∗1 = h∗2 α = 0◦ : Strahl parallel zur Wand, keine zus¨ atzliche Kraft auf die Wand; h∗1 = 0, h∗2 = h∗0 Bei der Auswertung der Integrale ist sorgf¨ altig auf die Vorzeichen zu achten. Die Orienˆ∗x , dA ˆ∗y , dA ˆ∗z in bezug auf die Koordinatenrichtung x∗ , y ∗ , tierung von u∗ , v∗ , w ∗ und dA z ∗ entscheidet So entsteht z.B. in (B6.3-3) aus dem allgemeinen  u¨∗ber∗deren Vorzeichen. ˆx der Term p∗ L∗ B ∗ , weil dA ˆ∗x auf der linken Kontrollraumgrenze p dA Integral − Umg

(stets nach außen weisend) ein negatives Vorzeichen erh¨ alt, da es entgegen der Koor¨ dasselbe Problem in einem um 180◦ dinatenrichtung x∗ zeigt. Es ist eine gute Ubung, gedrehten Koordinatensystem zu l¨ osen !  ∗ = (R∗x , 0) wirkt einseitig auf die Wandfl¨ Die Kraft R ache B ∗ L∗ und enth¨ alt deshalb den Einfluß des Umgebungsdruckes p∗Umg . Wenn die Wand auf der R¨ uckseite ebenfalls dem Umgebungsdruck ausgesetzt ist, kompensiert sich der Umgebungsdruck-Einfluß. Dies folgt unmittelbar aus der konsequenten Anwendung der x-Impulsgleichung, dann aber in einem vergr¨ oßerten Kontrollraum, der die rechte Wandfl¨ ache als gebundene Oberfl¨ ache enth¨ alt und so die Kraftwirkung auf diese Fl¨ ache ebenfalls ber¨ ucksichtigt.

150

6

Stromfadentheorie u∗S1 1 u∗S0

h∗0

h∗1

α

0

∗ R

L∗

= (R∗x ,0)

p∗Umg

h∗2 y∗ x∗ Bild B6.3:

2

u∗S2

Bestimmung der Kraft auf eine schr¨ ag angestr¨ omte Wand

Im Beispiel 6.3 war eine reibungsfreie Str¨ omung unterstellt worden, so daß an den W¨ anden keine Tangentialkr¨ afte auftreten k¨onnen. Solche Tangential ∗ , wenn y ∗ senkkr¨ afte entstehen aus Wandschubspannungen τw∗ = η ∗ ∂u  ∂y ∗ w

recht zur Wand verl¨ auft, s. (3.1), sind also unmittelbar mit der Wirkung der Haftbedingung verkn¨ upft. Dies alles wird vernachl¨assigt, wenn ein eindimensionales Geschwindigkeitsprofil unterstellt wird. Aber: Mit dieser Annahme ist nicht notwendigerweise eine reibungsfreie Str¨omung zu unterstellen. In der Impulsbilanz k¨ onnen auch bei einer eindimensionalen Str¨omung Reibungseffekte ber¨ ucksichtigt werden. Diese k¨onnen nur nicht mit der Geschwindigkeitsverteilung in Zusammenhang gebracht werden, sondern ¨außern sich global“ als zus¨ atzliche Kr¨ afte oder (speziell bei Innenstr¨omungen) in den ” entsprechenden Druckwerten, wie dies im nachfolgenden Beispiel der Fall ist. In Tab. 6.3 war dies durch die Bezeichnung indirekt ber¨ ucksichtigte Terme“ ” gekennzeichnet worden. Solche scheinbaren Widerspr¨ uche treten immer wieder auf, wenn bestimmte Modellannahmen einzelne Teilaspekte der realen Str¨omung vernachl¨assigen. In diesem Sinne ist“ eine Str¨ omung nicht eindimensional, sondern f¨ ur ” die Auswertung der Integrale in (6.40)–(6.42) wird das reale Profil durch eine eindimensionale N¨ aherung approximiert.

6.4

Beispiel 6.4:

Impulsgleichungen

151

Str¨ omung durch einen 90◦ -Kr¨ ummer; eindimensionale N¨ aherung, ohne Schwerkrafteinfluß

F¨ ur den nachfolgend gezeigten 90◦ -Kr¨ ummer wird gesucht: (a) die Kraft auf die Innenwand des Kr¨ ummers als R∗xI , R∗yI (b) die Kraft auf den gesamten Kr¨ ummer als R∗xG , R∗yG Die Gr¨ oßen A∗ , u∗S und p∗ sind im Ein- und im Austrittsquerschnitt bekannt. (a) ges.: R∗xI , R∗y I

(b) ges.: R∗xG , R∗y G

A∗1 u∗S1 p∗1

A∗1 u∗S1 p∗1 1

1

p∗Umg

2 2

A∗2 , u∗S2 , p∗2

A∗2 , u∗S2 , p∗2

y∗ x∗

x-Impuls (6.40): ∗ u∗S1 (−u∗S1 A∗1 )

=

p∗1 A∗1

R∗xI

−

∗ −→ R∗xG = (p∗1 − p∗Umg + ∗ u∗2 S1 )A1

y-Impuls (6.41):

y-Impuls (6.41): 

(−u∗S2 )(u∗S2 A∗2 )

∗ u∗S1 (−u∗S1 A∗1 )

= (p∗1 − p∗Umg )A∗1 − R∗xG

∗ −→ R∗xI = (p∗1 + ∗ u∗2 S1 )A1

∗

x-Impuls (6.40):

=

p∗2 A∗2

−

∗ −→ R∗yI = (p∗2 + ∗ u∗2 S2 )A2

R∗yI

∗ (−u∗S2 )(u∗S2 A∗2 )

= (p∗2 − p∗Umg )A∗2 − R∗yG

∗ −→ R∗yG = (p∗2 − p∗Umg + ∗ u∗2 S2 )A2

Die beiden F¨ alle (a) und (b) unterscheiden sich also in der Ber¨ ucksichtigung des Umgebungsdruck-Einflusses. Dies verdeutlicht noch einmal, daß die Wahl des Kontrollraumes jeweils sorgf¨ altig der Fragestellung angepaßt sein muß.

7

7.1

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten f¨ ur kompressible Str¨ omungen

Vorbemerkung

Der entscheidende Unterschied zum vorigen Kapitel u ¨ ber inkompressible Str¨omungen besteht darin, daß jetzt bei kompressiblen Str¨omungen die TeilEnergiegleichung f¨ ur die mechanische Energie nicht mehr isoliert f¨ ur sich betrachtet werden kann. Die Dichte ∗ ist nicht mehr konstant, sondern vom Druck und insbesondere auch von der Temperatur abh¨angig. Damit entsteht eine Kopplung zwischen der Teil-Energiegleichung f¨ ur die mechanische Energie und derjenigen f¨ ur die thermische Energie. Da also beide TeilEnergiegleichungen ben¨ otigt werden, ist es u ¨ blich, direkt die (Gesamt-)Energiegleichung zu verwenden. Dies ist Gleichung (E∗ ) der allgemeinen Bilanzgleichungen nach Tabelle 4.1. Diese Gleichung soll im folgenden unter einer Reihe von speziellen Annahmen integriert werden. Damit sind dennoch einige allgemeine Aussagen zu kompressiblen Str¨ omungen m¨ oglich.

7.2

Grundgleichungen f¨ ur isentrope Str¨ omungen

Im folgenden werden eine Reihe spezieller Str¨omungseigenschaften unterstellt, die in Tab. 7.1 zu den entsprechend numerierten Vernachl¨assigungen uhren. einzelner Terme in der vollst¨ andigen (Gesamt-)Energiegleichung (E∗ ) f¨ Die Str¨ omung sei: 1. station¨ ar 2. adiabat 3. reibungsfrei, nicht turbulent 4. ohne Schwerkrafteinfluß Da die Str¨ omung als nicht-turbulent angenommen wird, basiert Tab. 7.1 auf der Energiegleichung f¨ ur die nicht zeitgemittelten Str¨omungen (Tab. 4.1). Mit den getroffenen Annahmen verbleibt aus der (Gesamt-)Energiegleichung gem¨ aß Tab. 7.1 also DH ∗ =0 Dt∗

−→

1 H ∗ = h∗ + u∗2 = const 2 S

(7.1)

ur das SkalarproDabei wurde gegen¨ uber der Definition von H ∗ in (4.21) f¨ ∗2 (unter Annahme einer eindimensionalen Geschwindigkeit u∗S in dukt v Stromlinien-Richtung) u∗2 S geschrieben.

154

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z  Energiegleichung 1. 2.

 
∗  ∗ ∂qy∗ ∂qx ∂qz∗ ∗ DH  =− + ∗+ ∗ (E∗ ) D t∗ ∂x∗ ∂y ∂z ∂p∗ +(u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ) + ∗ + D∗ ∂t  

  4. 1. 3. Hilfsfunktion in der Energiegleichung: ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ [u∗ τxx + v ∗ τyx + w∗ τzx ]+ ∗ [u∗ τxy + v ∗ τyy + w∗ τzy ] ∗ ∂x ∂y ∂ ∗ ∗ ∗ + ∗ [u∗ τxz + v ∗ τyz + w∗ τzz ] ∂z Diffusion D∗ =

Tab. 7.1:

(Gesamt-)Energiegleichung Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten f¨ ur spezielle kompressible Str¨ omungen als Spezialfall der allgemeinen Bilanzgleichungen aus Tab. 4.1 grau unterlegt: ber¨ ucksichtige Terme (Die neue Gleichung entsteht, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null) 1.– 4.: vernachl¨ assigte Terme

Neben den oben getroffenen Annahmen u ur das Fluid ¨ ber die Str¨omung, wird f¨ ein ideales Gasverhalten unterstellt. Da nennenswerte Kompressibilit¨atseffekte nur bei Gasen auftreten, und diese sich bei moderaten Dr¨ ucken (< 10 bar) und moderaten Temperaturen (≈ 300 K) in sehr guter N¨aherung wie ideale Gase verhalten, ist dies keine sehr starke Einschr¨ankung, erleichtert aber die Berechnung erheblich. Im Sinne des idealen Gasverhaltens gilt insbesondere: p∗ = R∗ T ∗ ∗

(7.2)

als thermische Zustandsgleichung des idealen Gases mit der speziellen Gaskonstante R∗ und der thermodynamischen (absoluten) Temperatur T ∗ . F¨ ur ideale Gase ist die spezifische Enthalpie h∗ nur von der Temperatur, nicht aber vom Druck abh¨ angig (weil in dieser Modellvorstellung keine Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Molek¨ ulen auftreten und somit unterschiedliche Dr¨ ucke keinen Einfluß auf das Verhalten der einzelnen Molek¨ ule haben). Wird zus¨ atzlich unterstellt, daß die spezifische W¨armekapazit¨at bei

7.3

¨ Entdimensionierung/Uberschallstr¨ omungen

155

konstantem Druck c∗p = (∂h∗ /∂T ∗)p konstant ist (ein sog. perfektes Gas), so gilt h∗ = c∗p (T ∗ − TB∗ ) + h∗B

(7.3)

mit der Bezugsenthalpie h∗B , die im folgenden aber keine Rolle spielt, da nur Enthalpiedifferenzen interessieren und h∗B sich dann heraushebt. Da die Str¨ omung adiabat und reibungsfrei verlaufen soll, ¨andert sich aus thermodynamischer Sicht die spezifische Entropie s∗ nicht, es handelt sich also um eine sog. isentrope Str¨omung. F¨ ur ein ideales Gas konstanter W¨armekapazit¨ at (perfektes Gas) gilt f¨ ur die mit dieser Str¨omung verbundenen Zustands¨ anderungen die sog. Isentropenbeziehung p∗ = const . ∗κ

(7.4)

Die Konstante κ ist der sog. Isentropenexponent, der f¨ ur ein perfektes Gas als κ = c∗p /c∗v das Verh¨ altnis der beiden als konstant unterstellten W¨armekapazit¨ aten c∗p = (∂h∗ /∂T ∗)p und c∗v = (∂e∗ /∂T ∗)v darstellt. Da im folgenden nur Str¨ omungen durch ver¨ anderliche Querschnitte A∗ (x∗ ) ∗ l¨ angs der Koordiante x betrachtet werden, k¨onnte u∗ anstelle von u∗S geschrieben werden. Der Index wird jedoch beibehalten und erinnert daran, daß es sich um die eindimensionale Geschwindigkeit der Stromfadentheorie handelt. Im Rahmen dieser eindimensionalen N¨ aherung lautet die Kontinuit¨atsgleichung m ˙ ∗ = ∗ u∗S A∗ = const

(7.5)

Die Zusammenstellung der bisher aufgef¨ uhrten Gleichungen ergibt damit (7.3) in (7.1) : c∗p T ∗ + u∗2 S /2 = const

(7.6a)

(7.2) : p∗ /∗ = R∗ T ∗

(7.6b)

(7.4) : p∗ /∗κ = const

(7.6c)

(7.5) : ∗ u∗S A∗ = m ˙ ∗ = const

(7.6d)

Dies ist ein System aus 4 Gleichungen f¨ ur die vier Unbekannten u∗S (x∗ ), ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ p (x ),  (x ) und T (x ) l¨ angs einer bekannten Stromr¨ohre A∗ (x∗ ), mit dem diese vier Gr¨ oßen an einer beliebigen Stelle x∗ bestimmt werden k¨onnen, wenn sie in einem Querschnitt x∗1 bekannt sind. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie die Gleichungen f¨ ur die hier vorliegende spezielle Str¨ omungssituation so entdimensioniert werden k¨onnen, daß daraus eine weitgehend allgemeine L¨ osung gewonnen werden kann.

156

7.3

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

Besondere Entdimensionierung des Gleichungssystems; ¨ Erzeugung von Uberschallstr¨ omungen in einer Stromr¨ ohre

Als naheliegende Entdimensionierung f¨ ur das Gleichungssystem (7.6) w¨ urde sich anbieten, alle Gr¨ oßen auf diejenigen im (als bekannt unterstellten) Querare allerdings eine willk¨ urliche, problemschnitt A∗ (x∗1 ) zu beziehen. Dies w¨ spezifische Art der Entdimensionierung, da die Gr¨oßen in einem beliebigen Querschnitt (hier A∗ (x∗1 )) f¨ ur das betrachtete Problem keinerlei Besonderheiten aufweisen, und somit keine charakteristischen Gr¨oßen darstellen. Solche charakteristische Gr¨ oßen, die dann sinnvollerweise zur Entdimensionierung herangezogen werden sollten, ergeben sich in der vorliegenden ¨ Str¨ omungssituation aus folgender Uberlegung. Da die Str¨omung als isentrop unterstellt wird (konstante Entropie, da reibungsfrei und adiabat) ist sie aus thermodynamischer Sicht reversibel, d.h., die Zustandsgr¨oßen in allen Querschnitten sind so miteinander verkn¨ upft, daß prinzipiell jeder Zustand durch die unterstellte Str¨ omungsform aus jedem anderen Zustand hervorgehen k¨ onnte. ¨ Die Frage ist nun: Gibt es auf dem Hintergrund dieser Uberlegung einen ausgezeichneten Zustand“, der dann das Gesamtproblem charakterisiert und ” zur Entdimensionierung dienen kann? Gleichung (7.6a) zeigt, daß u∗S = 0 einen Grenzfall darstellt, in dem die Temperatur T ∗ einen endlichen Maximalwert erreicht. Die Kontinuit¨ atsgleichung (7.6d) fordert dann zwar A∗ = ∞, es handelt sich aber trotzdem nicht um einen entarteten“ Fall. Im Sinne eines ” gedachten Grenzprozesses u∗S → 0 und A∗ → ∞, der die Stromr¨ohre A∗ (x∗ ) in Gedanken zu einem beliebig großen Querschnitt erweitert, kann A∗ → ∞ als sog. Kessel“ interpretiert werden, aus dem heraus die Str¨omung durch ” den endlichen Querschnitt gespeist wird. Der Zustand im gedachten Kessel, der sog. Kesselzustand“, im folgenden mit dem Index 0 versehen, ist also ” durch die im Problem maximal m¨ oglichen Werte von T ∗ , ∗ und p∗ sowie durch den minimal m¨ oglichen Wert von u∗S , n¨amlich u∗S0 = 0 gekennzeich¨ net. Bild 7.1 veranschaulicht diese Uberlegungen. Da sich u∗S0 = 0 naturgem¨ aß nicht als Bezugsgeschwindigkeit eignet, kann statt dessen vom Kesselzustand ausgehend die maximal m¨ ogliche Geschwindigkeit u∗Smax gew¨ahlt werden, weil diese dann wiederum f¨ ur den Kesselzustand und damit f¨ ur die gesamte Str¨ omung charakteristisch ist. Gleichung (7.6a) zeigt, daß u∗Smax bei T ∗ = 0 vorliegt, also bei Ausstr¨ omen in einen Vakuum-Umgebungszustand. /2 = const folgt unmittelbar Aus c∗p T0∗ = u∗2 Smax * u∗Smax = 2c∗p T0∗ (7.7) als maximale Geschwindigkeit, die beim Ausstr¨omen aus einem Kessel der Temperatur T0∗ erreicht werden kann. Als charakteristischer Wert f¨ ur die Entdimensionierung der Querschnittsfl¨ ache A∗ (x∗ ) bietet sich der engste Querschnitt A∗min an, so daß insgesamt

7.3

¨ Entdimensionierung/Uberschallstr¨ omungen

157

po* = p*max %o* = %*max * To *= Tmax

uso* = 0 A*

1

p1*, %*1 , T1*

p2*, %*2 , T2*

u*s1 , A1*

u*s2 , A2* A*min 2

1

gedachte Erweiterung zu einem Kessel Bild 7.1:

Tab. 7.2:

zu berechnende Stromrohre oÄ

Umgebung

Erweiterung der realen Stromr¨ ohre durch einen gedachten Kessel (A∗ → ∞)

p



T

uS

A

p∗ p∗0

∗ ∗0

T∗ T0∗

u∗  S∗ ∗ 2cp T0

A∗ A∗min

m ˙

∗0

m ˙∗  ∗ ∗ ∗ 2cp T0 Amin

Entdimensionierung bei der kompressiblen Str¨ omung durch Stromr¨ ohren p∗0 , ∗0 , T0∗ : Kesselgr¨ ohrenquerschnitt oßen; A∗min : minimaler Stromr¨

die Entdimensionierung nach Tab. 7.2 eingef¨ uhrt wird. Mit diesen dimensionslosen Gr¨ oßen l¨aßt sich das Gleichungssystem (7.6) durch elementare Umformungen auf folgende Form bringen, in der das Druckverh¨altnis p = p∗ /p∗0 formal als Parameter auftritt: 1

 = pκ T =p * uS =

(7.8a)

κ−1 κ

1−p

(7.8b) κ−1 κ

(7.8c)

158

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

m ˙ =  uS A =

1 pκ

* 1−p

κ−1 κ A

(7.8d)

Aus der zun¨ achst seltsam erscheinenden Form der dimensionslosen Kontinuit¨ atsgleichung (7.8d) lassen sich zwei wichtige Schl¨ usse ziehen: 1. In jeder gegebenen Stromr¨ ohre A liegt der Maximalwert der sog. Stromdichte  uS im Querschnitt A = 1, also im engsten Querschnitt A∗min (beachte: A ≥ 1 in dimensionsloser Darstellung). 2. Dieser Maximalwert innerhalb einer Stromr¨ohre wird zu einem absoluten Maximalwert der Stromr¨ohre, wenn f¨ ur p bei A = 1 gilt
p=

2 1+κ



κ κ−1

= pkrit

(7.9)

Diese Bedingung folgt * aus der Bestimmung der Lage des Maximums der κ−1 1 Funktion  uS = p κ 1 − p κ bzgl. des Druckverh¨altnisses p, s. (7.8d). Physikalisch bedeutet dies, daß der Massenstrom durch eine gegebene Stromr¨ohre A∗ (x∗ ) bei einem gegebenen Kesselzustand (∗0 , p∗0 , T0∗ ) einen Maximalwert besitzt, der nicht u ¨ berschritten werden kann. Dieser liegt dann vor, wenn im engsten Querschnitt einer Stromr¨ ohre das sog. kritische Druckverh¨altnis aß (7.9) vorliegt. pkrit gem¨ Wird zun¨ achst unterstellt, daß der engste Querschnitt den Austrittsquerschnitt in die Umgebung darstellt, daß es sich also um eine in Str¨omungsrichtung kontinuierlich enger werdende Stromr¨ ohre handelt, sind die Verh¨altnisse unmittelbar einsichtig: Der dimensionslose Druck pUmg entspricht dann dem Verh¨ altnis des Umgebungsdruckes p∗Umg zum Kesseldruck p∗0 . Verst¨arkt man in Gedanken das Ausstr¨ omen aus dem Kessel ausgehend von pUmg = 1, d.h. Umgebungsdruck p∗Umg = Kesseldruck p∗0 , durch Absenken des Umgebungsdruckes, so nimmt der ausstr¨ omende Massenstrom kontinuierlich zu, bis sein Maximalwert bei dem Druckverh¨ altnis pkrit erreicht ist. Auch ein weiteres Absenken des Druckes p∗Umg kann daran nichts ¨andern. Dies f¨ uhrt lediglich dazu, daß es nach Austritt des Strahles in die Umgebung zu sog. Nachexpansionen im Freistrahl kommt, ¨ andert aber nicht den Massenstrom im engsten Querschnitt (bzw. in der gesamten Stromr¨ ohre). Offensichtlich liegt bei Erreichen des maximalen Massenstromes eine besondere Situation im engsten Querschnitt der Stromr¨ohre vor. Eine genauere Analyse der Verh¨ altnisse ergibt, daß dann die Geschwindigkeit u∗S im engsten Querschnitt gerade der Schallgeschwindigkeit c∗ entspricht, die in Abschn. 3.5.2 (s. (3.14)) bereits eingef¨ uhrt worden war. Dies folgt unmittelbar aus der allgemeinen Beziehung f¨ ur die Mach-Zahl, vgl. (3.15), mit Ma als u∗ Ma = ∗S , (7.10) c √  f¨ ur die mit u∗Smax = 2c∗p T0∗ , c∗ = κR∗ T ∗ , κ = c∗p /c∗v und R∗ = c∗p − c∗v

7.3

¨ Entdimensionierung/Uberschallstr¨ omungen

gilt: u∗ Ma = uS Smax = c∗

# 2 κ−1


1−κ κ −1 p

159

(7.11)

 κ  κ−1 2 Setzt man in (7.11) p = pkrit = 1+κ gem¨aß (7.9) ein, so ergibt sich Ma = 1. Mit einer sich stetig verengenden Stromr¨ ohre kann als Ausstr¨omgeschwindigkeit in die Umgebung also maximal die Schallgeschwindigkeit erreicht werden. Andererseits zeigt die Beziehung f¨ ur die Mach-Zahl, (7.11), daß MaZahlen Ma > 1 m¨ oglich sind, wenn p unter den kritischen Wert pkrit in der Stromr¨ ohre sinkt. Entscheidend ist, daß dieses niedrige Druckverh¨altnis in der Stromr¨ohre erreicht werden muß und nicht beim Austritt in die Umgebung. Da die Stromdichte  uS bei pkrit einen Maximalwert besitzt, f¨allt sie f¨ ur p < pkrit gegen¨ uber diesem Maximalwert wieder ab. Die Kontinuit¨atsgleichung (7.8d) fordert dann A > 1, so daß sich der Str¨omungsquerschnitt nach dem engsten Querschnitt wieder erweitern muß, um p < pkrit in der Stromr¨ ohre zu erm¨ oglichen. In Bild 7.2 sind die prinzipiellen Druckverl¨aufe in einer so gearteten Stromr¨ ohre gezeigt. Nach dem schwedischen Ingenieur de Laval wird diese Anordnung Laval-D¨ use genannt. Die Str¨ omungszust¨ ande im engsten Querschnitt werden als kritische Zust¨ande bezeichnet, wenn die Gesamtanordnung zur Mach-Zahl Ma = 1 in diesem Querschnitt f¨ uhrt. Der Querschnitt selbst heißt dann kritischer Querschnitt A∗krit , die Gr¨ oße c∗0 ist die Schallgeschwindigkeit bei der Kesseltemperatur T0∗ . Die kritischen Gr¨ oßen ∗

pkrit

∗ Tkrit


=
=

2 1+κ 2 1+κ





κ κ−1

T0∗

p∗0

;

;

∗

krit

c∗krit


=
=

2 1+κ 2 1+κ



1 κ−1

1 2

∗0 (7.12)

c∗0

stellen wie die Kesselgr¨ oßen charakteristische Werte der betrachteten Str¨omung dar, die prinzipiell zur dimensionslosen Darstellung der Str¨omungsgr¨oßen geeignet sind. In diesem Sinne wird jetzt die dimensionslose Fl¨ache ¨ uhrt, die nur f¨ ur Uberschallstr¨ omungen in der Stromr¨ohre Aˆ = A∗ /A∗krit eingef¨ mit der bisher verwendeten Gr¨ oße A nach Tab. 7.2 u ¨ bereinstimmt. Bild 7.2 verdeutlicht die verschiedenen Str¨ omungsformen, die in einer konvergentdivergenten Stromr¨ ohre abh¨ angig vom Druckverh¨altnis pUmg = p∗Umg /p∗0 auftreten k¨ onnen. Ausgehend vom Wert pUmg = 1, bei dem keine Str¨omung vorliegt, da der Umgebungsdruck gleich dem Kesseldruck ist, soll in Gedanken der Umgebungsdruck wieder auf Werte pUmg < 1 abgesenkt werden. Es k¨onnen dann vier prinzipiell verschiedene Situationen unterschieden werden.

160

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

ENGSTER QUERSCHNITT = kritischer Querschnitt, wenn dort Ma = 1 gilt

Kessel p0*

* pUmg

p 1

11

A B

pkrit

C

D 0

Bild 7.2:

2

13

C,D

pI

14

pII pIII

Prinzipielle Druckverl¨ aufe in einer konvergent-divergenten Stromr¨ ohre A: B: C: D:

Reine Unterschallstr¨ omung; Unterschallstr¨ omung, bei der Ma = 1 im engsten Querschnitt erreicht wird ¨ Uberschallstr¨ omung mit nicht-isentropem Verdichtungsstoß in der Stromr¨ ohre, anschließend Unterschallstr¨ omung ¨ Uberschallstr¨ omung bis zum Austritt

1. 1 > pUmg > pI : Es liegt eine reine Unterschallstr¨omung vor; die Geschwindigkeit u∗S ist im engsten Querschnitt am gr¨oßten, erreicht aber noch nicht die Schallgeschwindigkeit. Erst f¨ ur pUmg = pI wird im engsten Querschnitt gerade Schallgeschwindigkeit erreicht. 2. pI > pUmg > pII : Im engsten Querschnitt wird Schallgeschwindigkeit ¨ erreicht, dahinter herrscht Uberschallstr¨ omung mit einem Druck unter¨ halb des kritischen Druckes. Die Uberschallstr¨ omung kann jedoch nicht bis zum Austritt in die Umgebung aufrechterhalten werden, weil der Umgebungsdruck daf¨ ur zu groß ist. Deshalb erfolgt zwischen dem engsten ¨ Querschnitt und dem Austrittsquerschnitt der schlagartige“ Ubergang ” auf eine Unterschallstr¨ omung in einem sog. senkrechten Verdichtungsstoß. Die Lage des Verdichtungsstoßes stellt sich dabei so ein, daß der Druck am Austritt der Stromr¨ ohre mit dem Umgebungsdruck u ¨ bereinstimmt. Die Str¨ omungsverh¨ altnisse u ¨ ber den Verdichtungsstoß hinweg sind nicht mehr

7.4

Berechnung der kompressiblen isentropen Str¨ omung

161

isentrop, k¨ onnen also nicht auf der Basis von (7.6) bzw. (7.8) berechnet werden. F¨ ur pUmg = pII befindet sich der senkrechte Verdichtungsstoß gerade im Austrittsquerschnitt. 3. pII > pUmg > pIII : Bei diesem sog. ¨ uberexpandierten Strahl bleibt die Str¨ omung in der Stromr¨ ohre unver¨ andert wie im Fall pUmg = pII , außerhalb der Stromr¨ ohre ist sie aber nicht mehr eindimensional und auch nicht mehr isentrop. Durch schr¨ age Verdichtungsst¨oße und anschließende ¨ Expansionswellen erfolgt der Ubergang auf eine Unterschallstr¨omung in einem typischen Rombenmuster des Strahles. Bei pUmg = pIII liegt gerade ein angepaßtes Druckverh¨ altnis vor, bei dem der Strahl nach dem Austritt (im Rahmen der getroffenen Annahmen) unver¨andert erhalten bleibt. 4. pIII > pUmg : Bei diesem sog. unterexpandierten Strahl bleibt die Str¨omung in der Stromr¨ ohre ebenfalls unver¨ andert wie im Fall pUmg = pII , außerhalb der Stromr¨ ohre entsteht jetzt aber ein (nicht mehr zweidimensionales) Rombenmuster aus Expansions- und anschließenden Kompressionswellen. Die Anordnung in Bild 7.2 zeigt, daß die Zahlenwerte f¨ ur pI , pII und pIII keinen universellen Charakter besitzen (wie etwa derjenige f¨ ur pkrit ), sondern davon abh¨ angen, bis zu welchen Werten A > 1 sich die Stromr¨ohre erweitert. Die Berechnung der kompressiblen Str¨ omung erfolgt auf der Basis des Gleichungssystems (7.8) und wird im folgenden Abschnitt erl¨autert.

7.4

Berechnung der kompressiblen isentropen Str¨ omung durch eine Stromr¨ ohre

¨ Im folgenden soll zun¨ achst von einer Uberschallstr¨ omung ausgegangen werden. Wie die Ergebnisse auch auf Unterschallstr¨omungen angewandt werden k¨onnen, wird dann anschließend erl¨ autert. F¨ ur die Berechnung der Str¨ omung wird unterstellt, daß die Geometrie der Stromr¨ ohre als A∗ (x∗ ) bekannt ist, so daß die dimensionslose Geometrieˆ funktion A = A∗ /A∗krit = A∗ /A∗min vorliegt. Da in (7.8) alle dimensionslosen Gr¨ oßen als Funktion des Druckes p = p∗ /p∗0 formuliert sind, soll zun¨achst der Zusammenhang zwischen Aˆ und p hergestellt werden, weil dann f¨ ur einen bestimmten Wert von Aˆ alle anderen Gr¨ oßen unmittelbar angegeben werden k¨ onnen. Dieser gesuchte Zusammenhang folgt mit Aˆ = A direkt aus der Kontinuit¨ atsgleichung (7.8d), wenn in dieser Gleichung der Zahlenwert f¨ ur  den dimensionslosen Massenstrom m ˙ =m ˙ ∗ /(∗0 2c∗p T0∗ A∗min ), vgl. Tab. 7.2, bekannt ist. ¨ Der dimensionsbehaftete Massenstrom kann bei Uberschallstr¨ omung mit ∗ ∗ ∗ ∗ den kritischen Werten als m ˙ krit = krit ckrit Akrit formuliert werden, so daß f¨ ur m ˙ krit gilt:

162

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

m ˙ krit

∗krit c∗krit A∗krit = ∗ = 0 2c∗p T0∗ A∗min




2 κ+1



1 κ−1

"

κ−1 κ+1

(7.13)

Dabei wurde A∗krit = A∗min gesetzt, und es wurden die Beziehungen (7.12) sowie κ = c∗p /c∗v und R∗ = c∗p − c∗v in (7.13) verwendet. Zusammen mit (7.8d) ˆ ¨ gilt also f¨ ur Uberschallstr¨ omungen die gesuchte Beziehung Aˆ = A(p) als:
Aˆ =

2 κ+1



1 κ−1

"

κ − 1 −1 p κ κ+1


− 1 2 κ−1 κ 1−p

(7.14)

Bild 7.3 zeigt die Verl¨ aufe der Str¨ omungsgr¨ oßen abh¨angig vom dimensionslosen Druck p f¨ ur den Fall κ = 1,4. Dieser Zahlenwert ist typisch f¨ ur zweiatomige Gase und gilt damit in sehr guter N¨ aherung f¨ ur Luft. Aus diesem Bild k¨ onnen die Str¨ omungsgr¨ oßen einer realen D¨ use graphisch abgelesen werden; genauere Ergebnisse folgen aus der direkten Verwendung der zugrundeliegenden Gleichungen. Da eine eindimensionale Str¨omung unterstellt wird, spielt die genaue Form des Str¨ omungsquerschnittes keine Rolle, da Reibungsfreiheit gelten soll, z¨ ahlt nur die Querschnittsfl¨ ache, aber nicht an welcher Stelle x∗ (gez¨ ahlt in Str¨ omungsrichtung) diese erreicht wird. Deshalb ergibt sich die L¨ osung in einer realen D¨ use sehr einfach dadurch, daß an einer interessierenden Stelle x∗ der dimensionslose Querschnitt Aˆ bestimmt wird, mit dem dann aus Bild 7.3 alle anderen Gr¨ oßen abgelesen werden k¨onnen. F¨ ur andere Zahlenwerte von κ, z.B. κ = 1,33, in guter N¨aherung g¨ ultig uber Bild 7.3 ein leicht f¨ ur dreiatomige Gase wie etwa CO2 , ergibt sich gegen¨ ver¨ anderter Kurvenverlauf. Tabelle 7.3 enth¨ alt einige Zahlenwerte f¨ ur die kri¨ tischen Gr¨ oßen, sowie den dimensionslosen kritischen Massenstrom bei Uberschallstr¨ omung, s. (7.13). Wenn in der Stromr¨ ohre eine reine Unterschallstr¨omung vorliegt (s. Fall A“ in Bild 7.2) sind die Str¨ omungsverh¨ altnisse nicht mehr durch die Strom”

c∗krit u∗Smax

m ˙ krit

0,528 0,634 0,833 0,913

0,408

0,259

1,33 0,540 0,629 0,858 0,926

0,376

0,237

κ

1,4

Tab. 7.3:

p∗krit p∗0

∗krit ∗0

∗ Tkrit T0∗

c∗krit c∗0

¨ Kritische Werte und dimensionsloser Massenstrom bei Uberschallstr¨ omung f¨ ur κ = 1,4 (zweiatomige Gase) und κ = 1,33 (dreiatomige Gase)   Beachte: u∗Smax /c∗0 = 2/(κ − 1) ; c∗0 = κR∗ T0∗

7.4

Bild 7.3:

Berechnung der kompressiblen isentropen Str¨ omung

163

Auswertung der Gleichungen (7.8a–c), (7.11) und (7.14) f¨ ur κ = 1,4 (Luft). ˆ F¨ ur pUmg < pI in Bild 7.2 liegt im engsten Querschnitt Ma = 1 vor und A entspricht der tats¨ achlichen Stromr¨ ohren-Geometrie. F¨ ur pUmg > pI in Bild 7.2 liegt in der gesamten Stromr¨ ohre Unterschallˆ entspricht nur bis auf einen Zahlenfaktor A∗min /A∗ der str¨ omung vor und A krit Stromr¨ ohren-Geometrie A, s. (7.16).

r¨ ohren-Geometrie und den Kesselzustand alleine bereits festgelegt. W¨ahrend ¨ bei einer Uberschallstr¨ omung der Massenstrom von vorne herein als der kritische Massenstrom festliegt, ist er bei Unterschallstr¨omungen noch abh¨angig vom Umgebungsdruck und damit ein Parameter des Problems. Mit Hilfe der Kontinuit¨ atsgleichung (7.5) kann der Massenstrom m ˙ ∗ am ∗ ∗ =  und die GeAustrittsquerschnitt ermittelt werden, indem die Dichte  0  schwindigkeit u∗S = uS 2c∗p T0∗ mit p = pUmg aus (7.8a) und (7.8c) bestimmt werden. Dieser Massenstrom m ˙ ∗ bzw. m ˙ gem¨ aß Tab. 7.2 ist der kritische Massenstrom f¨ ur eine fiktive Stromr¨ ohre mit der (minimalen) Querschnittsfl¨ache ˙ krit nach (7.13) gilt: A∗krit,fiktiv , so daß mit m A∗krit,fiktiv m ˙ = ≤1 A∗min m ˙ krit

(7.15)

164

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

Bild 7.3 kann auch f¨ ur eine reine Unterschallstr¨omung verwendet werden, wenn Aˆ u ¨ ber A∗ m ˙ krit A∗ (7.16) = A ∗ min =A Aˆ = ∗ Akrit,fiktiv Akrit, fiktiv m ˙ zuvor aus A = A∗ /A∗min ermittelt wird. In Bild 7.3 bleiben dann alle Zust¨ande stets bei Werten p > pkrit (reine Unterschallstr¨omung, beachte die Auftragung des Druckes von rechts nach links in Bild 7.3). Anmerkung 7.1:

Die inkompressible Str¨ omung als Grenzfall der kompressiblen Str¨ omung

Die bisher verwendeten Gleichungen f¨ ur kompressible Str¨ omungen gelten auch f¨ ur reine Unterschallstr¨ omungen bei beliebig kleinen Geschwindigkeiten. Dann spielen aber Kompressibilit¨ atseffekte eine immer geringere Rolle, so daß sich die Str¨ omungen immer mehr wie inkompressible Str¨ omungen verhalten. Es werden deshalb die Ergebnisse sehr gut mit denjenigen u ¨bereinstimmen, die ausgehend von der Modellvorstellung einer inkompressiblen Str¨ omung gewonnen werden k¨ onnen. Es ist allerdings nicht zu erwarten, daß die Gleichungen f¨ ur kompressible Str¨ omungen durch den formalen Grenz¨ ubergang zu ∗ = const in diejenigen f¨ ur inkompressible ¨ Str¨ omungen u assiger) formaler Ubergang w¨ urde mit ∗ = ¨bergehen. Ein solcher (unzul¨ const, also  = 1 nach (7.8a) auf p = 1, also einen konstanten Druck f¨ uhren. In Wirklichkeit ist die Dichte bei einer entsprechenden Str¨ omung von Gasen nicht konstant, ihre ¨ Anderungen spielen aber keine Rolle, so daß alternativ eine theoretische Beschreibung angemessen ist, die Dichtevariationen von vornherein vernachl¨ assigt (und dann (7.8a) gar nicht enth¨ alt). Eine solche Modellvorstellung hat im Kap. 6 auf die Bernoulli-Gleichung (6.4) gef¨ uhrt. Angewandt auf eine horizontale Stromr¨ ohre mit dem Querschnitt 1 im Kessel und dem Querschnitt 2 an beliebiger Stelle in der Stromr¨ ohre gilt mit ∗ = const = ∗0 : u∗2 p∗ p∗ + S = ∗0 ∗ 0 2 0

(7.17)

Unter Verwendung der idealen Gasgleichung p∗0 /∗0 = R∗ T0∗ und c∗p /R∗ = κ/(κ − 1) folgt daraus κ p=1− u2 (7.18) κ−1 S L¨ ost man (7.8c) nach p auf und entwickelt die dann entstehende Gleichung f¨ ur uS → 0, so folgt κ κ κ p = (1 − u2S ) κ−1 = 1 − u4 + O(u6S ) (7.19) u2 + κ − 1 S 2(κ − 1)2 S





(7.18)

d.h., (7.18) f¨ ur inkompressible Str¨ omungen ist der f¨ uhrende Term der allgemeineren Gleichung (7.19) f¨ ur kompressible Str¨ omungen. Bild 7.4 zeigt den zunehmenden Einfluß der Kompressibilit¨ atseffekte f¨ ur ansteigende Werte der Geschwindigkeit uS . Vernachl¨ assigt man (tats¨ achlich auftretende) Dichte¨ anderung von bis zu 5%, so zeigt Bild 7.4, daß Str¨ omungen bis zu einer Mach-Zahl von etwa Ma = 0,3 als inkompressible Str¨ omungen berechnet werden k¨ onnen. Dies entspricht bei einer Schallgeschwindigkeit von c∗ = 340 m/s (Luft unter Normbedingungen) Str¨ omungsgeschwindigkeiten von bis zu etwa 100 m/s. Bild 7.4 zeigt, daß dann die berechneten Druckwerte f¨ ur den kompressiblen und den inkompressiblen Fall noch sehr gut u ¨bereinstimmen.

7.4

Bild 7.4:

Berechnung der kompressiblen isentropen Str¨ omung

165

Vergleich der Funktion uS (p) in einer Stromr¨ ohre f¨ ur die Berechnung der Str¨ omung als kompressible und als inkompressible Str¨ omung; κ = 1,4; vgl. Bild 7.3

Beispiel 7.1:

Steigerung des Massenstromes bei u omung ¨berkritischer Str¨ ( Ma = 1 im engsten Querschnitt)

Wenn im engsten Querschnitt einer Stromr¨ ohre der kritische Zustand erreicht ist, kann der dort herrschende Massenstrom m ˙ ∗krit = ∗krit c∗krit A∗krit

(B7.1-1)

durch ein weiteres Absenken des Umgebungsdruckes nicht mehr erh¨ oht werden. Welche M¨ oglichkeiten stehen zur Verf¨ ugung, um m ˙ ∗ dennoch zu steigern? Gleichung (7.20), die bei u omung stets gilt, zeigt unmittelbar, daß ¨berkritischer Str¨ m ˙ ∗ direkt proportional zu einer Erweiterung des Querschnittes A∗ ansteigt, solange der engste Querschnitt auch der kritische Querschnitt bleibt (also dort weiterhin Ma = 1 gilt). Eine zweite M¨ oglichkeit besteht darin, den Kesselzustand so zu ver¨ andern, daß die kritische Stromdichte ∗krit c∗krit ansteigt. Diese ist mit dem Kesselzustand u ¨ber (7.12) verbunden als   κ+1 2 2(κ−1) ∗ ∗ ∗krit c∗krit = 0 c0 (B7.1-2) κ+1 Mit c∗0 =



κR∗ T0∗ und p∗0 /∗0 = R∗ T0∗ folgt daraus:

166

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

∗krit c∗krit =



2 κ+1



κ+1 2(κ−1)



κ R∗

 12

p∗

0 ∗

(B7.1-3)

T0

ohung des Kesseldruckes und/oder durch Absenkung Danach kann m ˙ ∗ also durch Erh¨ der Kesseltemperatur erh¨ oht werden. Bei einer konkreten Ausf¨ uhrung solcher Maßnahmen ist aber zu beachten, daß p∗0 und T0∗ im allgemeinen nicht unabh¨ angig voneinander variiert werden k¨ onnen. Wie p∗0 und T0∗ ggf. gekoppelt sind, h¨ angt von der Art der Prozeßf¨ uhrung bei der Ver¨ anderung des Kesselzustandes ab, wie folgende Beispiele zeigen: 1. W¨ arme¨ ubergang bei konstantem Kesselvolumen Geht man von einem realen, großen aber endlichen Kessel aus, so kann der Kesselzustand durch Heizen oder K¨ uhlen ver¨ andert werden. Da die Dichte bei diesem Vorgang unver¨ andert bleibt (konstantes Volumen und konstante Masse), folgt aus der idealen Gasgleichung p∗0 /∗0 = R∗ T0∗ die Proportionalit¨ at p∗0 ∼ T0∗ . Dies ergibt in (7.22) den funktionalen Zusammenhang ∗krit c∗krit = const



T0∗ ,

(B7.1-4)

d.h., die Stromdichte und damit der Massenstrom erh¨ oht sich, wenn der Kessel geheizt wird. 2. Adiabate, isentrope Verdichtung durch Ver¨ anderung des Kesselvolumens Wenn ¨ ahnlich wie bei einer Zylinder/Kolben-Anordnung die Volumen¨ anderung sehr langsam (reversibel) und adiabat (ohne W¨ arme¨ ubergang an die Umgebung) erfolgt, so ist dieser Prozeß isentrop. Es gilt also neben der idealen Gasgleichung p∗0 /∗0 = R∗ T0∗ die Isentropenbeziehung p∗0 /∗κ ur den Zu0 = const. Daraus folgt f¨ κ−1

∗ κ

sammenhang zwischen Druck und Temperatur T0∗ ∼ p0 gilt:

, so daß mit (7.22) jetzt

∗ 1+κ ∗krit c∗krit = const p0 2κ ( = const

p∗0,86 0

(B7.1-5) f¨ ur

κ = 1,4 )

d.h. die Stromdichte und damit der Massenstrom erh¨ oht sich, wenn das Kesselvolumen isentrop verdichtet wird.

7.5

Senkrechter Verdichtungsstoß

¨ Bild 7.2 im vorhergehenden Abschnitt enth¨ alt als Fall C eine Uberschallstr¨ omung in einer Stromr¨ ohre, die als solche aufgrund des Druckverh¨altnisses pUmg = p∗Umg /p∗0 nicht bis zum Austrittsquerschnitt erhalten bleibt, sondern vorher u ¨ ber einen sog. Verdichtungsstoß schlagartig in eine Unterschallstr¨ omung u oße werden im folgenden als Ebenen ¨ bergeht. Diese Verdichtungst¨ betrachtet, u ¨ ber die hinweg eine sprungartige Ver¨anderung der Str¨omungsgr¨ oßen erfolgt. Dies ist eine vereinfachte Modellvorstellung, die alle Details der tats¨ achlich auftretenden extrem hohen Gradienten u ¨ ber einen sehr schmalen aber endlichen Bereich vernachl¨ assigt. Der physikalische Hintergrund f¨ ur das Auftreten solcher steiler Gradienten, die dann als schlagartige St¨oße interpretiert werden, ist bereits in Abschn. 3.5.3 erl¨autert worden.

7.5

Senkrechter Verdichtungsstoß

167

Im Rahmen der eindimensionalen Modellvorstellung (Stromfadentheorie f¨ ur endliche Querschnitte) k¨ onnen die Verh¨ altnisse u ¨ ber den Verdichtungsstoß hinweg aus der Bilanz u ¨ber einen Kontrollraum ermittelt werden, der eine omungsrichtung aufweist und den infinitesimal kleine Erstreckung dx∗ in Str¨ Verdichtungsstoß einschließt, wie dies in Bild 7.5 dargestellt ist. Da die durchstr¨ omte Querschnittsfl¨ ache A∗ vor und nach dem Stoß gleich ist, lautet die Kontinuit¨ atsgleichung u ¨ ber den Stoß hinweg (vgl. (7.5)) ∗1 u∗S1 = ∗2 u∗S2

(7.20)

¨ Uber den Stoß kann die integrale Impulsgleichung (6.40) mit Rx∗ = 0 angesetzt werden, da auf der infinitesimalen kurzen Strecke dx∗ keine endlichen Kraftkomponenten auf die Wand u ¨ bertragen werden k¨onnen. Mit dQ∗ = u∗S dAˆ∗x wird (6.40) dann zu  (∗ u∗2 + p∗ ) dAˆ∗ = 0 (7.21) S

x

A∗

Im Zusammenhang mit (6.40) war bereits darauf hingewiesen worden, daß diese Bilanzgleichung allgemein, also auch f¨ ur ∗ = const gilt. Mit den Gr¨oßen vor und nach dem Stoß folgt aus (7.21) unmittelbar die Impulsbilanz ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗1 u∗2 S1 + p1 = 2 uS2 + p2 .

(7.22)

F¨ ur die Energiegleichung gelten dieselben Voraussetzungen, die in (7.1) auf H ∗ = const gef¨ uhrt haben, so daß f¨ ur ein perfektes Gas (vgl. (7.3)) gilt: 1 1 c∗p T1∗ + u∗2 = c∗p T2∗ + u∗2 2 S1 2 S2

(7.23)

±x*

Ä oÄ Uberschallstromung

%1* ,us1* , p1*, T1*

Bild 7.5:

oÄ Unterschallstromung

%2* ,us2* , p2* ,T2*

x*

Str¨ omungsgr¨ oßen vor und nach dem senkrechten Verdichtungsstoß

168

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

Zusammen mit der idealen Gasgleichung, umgeschrieben zu p∗1 ∗ 1 T1∗

=

p∗2 ∗ 2 T2∗

(7.24)

liegt mit (7.20), (7.22), (7.23) und (7.24) ein Gleichungssystem aus vier Gleichungen f¨ ur die vier unbekannten Gr¨ oßen ∗2 , u∗S2 , p∗2 und T2∗ vor, die sich hinter einem Verdichtungsstoß ergeben, vor dem die als bekannt unterstellten Gr¨ oßen ∗1 , u∗S1 , p∗1 und T1∗ auftreten. Da es sich um ein nichtlineares gekoppeltes Gleichungssystem handelt, gibt es mehr als eine L¨ osung, so daß neben der trivialen L¨osung ∗2 = ∗1 , ∗ ∗ ∗ ∗ uS2 = uS1 , p2 = p1 und T2∗ = T1∗ , eine weitere L¨osung existiert. Durch elementare Umformungen gelangt man zu einer Darstellung, bei der die Verh¨altnisse der Gr¨ oßen nach und vor  dem Verdichtungsstoß als Funktion der MachZahl Ma1 = u∗S1 /c∗1 = u∗S1 / κR∗ T1∗ auftreten. Das Verh¨altnis u∗S2 /u∗S1 wird  sinnvollerweise mit der Mach-Zahl nach dem Stoß, Ma2 = u∗S2 / κR∗ T2∗ als  u∗S2 /u∗S1 = Ma2 T2∗ /T1∗ / Ma1 formuliert, so daß insgesamt folgende L¨osung gilt: ∗2 (κ + 1) Ma21 = ∗1 2 + (κ − 1) Ma21 # Ma2 =

(κ + 1) + (κ − 1)( Ma21 − 1) (κ + 1) + 2κ( Ma21 − 1)

(7.25)

(7.26)

2κ p∗2 ( Ma21 − 1) =1+ p∗1 κ+1

(7.27)

T2∗ [2κ Ma21 − (κ − 1)][2 + (κ − 1) Ma21 ] = ∗ T1 (κ + 1)2 Ma21

(7.28)

In Bild 7.6 sind diese Ergebnisse f¨ ur κ = 1,4 (zweiatomiges Gas) graphisch dargestellt. Im (theoretischen) Grenzfall Ma1 → ∞ erreicht das Dichteverh¨ altnis den Maximalwert (κ + 1)(κ − 1), w¨ahrend die Druck- und Temperaturverh¨ altnisse u F¨ ur die Mach-Zahl hinter ¨ ber alle Grenzen anwachsen.  dem Stoß gilt in diesen Grenzfall Ma2 = (κ − 1)/2κ. Hinter dem Verdichtungsstoß kann die Str¨ omung in der Stromr¨ohre wieder in sehr guter N¨ aherung als isentrope Str¨ omung behandelt werden, so daß die Berechnungsm¨ oglichkeiten aus dem vorhergehenden Abschnitt zur Verf¨ ugung stehen. Es ist aber unbedingt zu beachten, daß sich die Kesselgr¨oßen u ¨ber den Stoß hinweg ¨ andern, die Str¨ omung nach dem Stoß also aus einem anderen

7.5

Senkrechter Verdichtungsstoß

169

1

1

10

1 T2 */ T1 *

8 p02* /p01*

6

(·+1)/(·-1) = 6

p * /p * 2

1

%2*/%1*

4

Ö(·-1)/2· = 0,38

Ma 2

2 1 1 Bild 7.6:

2

3

4

5

Ma1

7

0

Perfektes Gas (c∗p = const) mit κ = 1,4 Dichte-, Druck- und Temperaturverh¨ altnisse u ¨ber den senkrechten Verdichtungsstoß hinweg (linke Skala); Ma-Zahl Ma2 hinter dem Stoß (rechte Skala) p∗02 /p∗01 : Ver¨ anderung des Kesseldruckes u ¨ber den Stoß hinweg, s. (7.32) Die Pfeile an den Kurven beziehen sich auf die linke bzw. rechte Skala.

Kesselzustand hervorgeht, als die Str¨ omung vor dem Stoß. Beiden Zust¨anden gemeinsam ist die spezifische Gesamtenergie, die sich u ¨ ber den Stoß hinweg nicht ver¨ andert (s. (7.23)), so daß mit u∗S01 = u∗S02 = 0 (Kesselzustand) unmittelbar die Gleichheit der Kesseltemperaturen f¨ ur den Zustand 1 vor dem Verdichtungsstoß und den Zustand 2 nach dem Verdichtungsstoß folgt: ∗ ∗ T01 = T02

(7.29)

Das Verh¨ altnis der Kesseldr¨ ucke p∗02 /p∗01 ergibt sich nach der formalen Umformung p∗02 p∗02 p∗2 p∗1 = · · (7.30) p∗01 p∗2 p∗1 p∗01    (7.11) (7.27) (7.11)

wobei Gleichung (7.11) zu

 κ 1−κ κ−1 p∗ 2 Ma p= ∗ = 1+ p0 2

(7.31)

umgeformt worden ist. F¨ ur p∗1 /p∗01 in (7.30) kann (7.31) unmittelbar mit Ma = Ma1 verwendet werden, im Zusammenhang mit p∗2 /p∗02 und Ma = Ma2 wird anschließend noch (7.26) eingesetzt, um einheitlich Ma1 als unabh¨angige Variable zu erhalten. Damit ergibt sich f¨ ur p∗02 /p∗01 = ∗02 /∗01 (ideale Gas-

170

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

∗ ∗ gleichung mit T02 = T01 ), endg¨ ultig folgende Funktion, die in Bild 7.6 f¨ ur κ = 1,4 eingezeichnet ist:

 1

 κ
1−κ Ma21 − 1 1−κ p∗02 ∗02 2κ 2 2 ( Ma1 − 1) = ∗ = 1+ 1− p∗01 01 κ+1 κ+1 Ma21 (7.32) Die Auswertung von (7.32) ergibt, daß p∗02 und ∗02 stets kleiner als p∗01 bzw. ∗01 sind, daß also sowohl der Kesseldruck als auch die Kesseldichte u ¨ ber den Stoß hinweg abnehmen. Der physikalische Hintergrund ist, daß u ber den Stoß ¨ hinweg zwar die (Gesamt-)Energie erhalten bleibt, aufgrund von Dissipationseffekten aber die Entropie zunimmt. Nach dem Stoß muß also (gegen¨ uber den Zust¨ anden vor dem Stoß) ein Kesselzustand mit erh¨ohter Entropie gelten. F¨ ur die Differenz der Entropien beider Kesselzust¨ande (ideales Gas bei gleicher Temperatur) gilt mit R∗ als spezieller Gaskonstante, s. dazu z.B. Baehr (2000): s∗02 − s∗01 = −R∗ ln(p∗02 /p∗01 )

(7.33)

so daß p∗02 /p∗01 < 1 gelten muß, damit (s∗02 − s∗01 ) > 0 ist.

Beispiel 7.2:

Bestimmung der Stoßlage in einer Laval-D¨ use durch die Wahl des Umgebungsdruckes (κ = 1,4)

F¨ ur eine D¨ use mit kreisf¨ ormigen Querschnitten (A∗ = πr ∗2 ) und dem Querschnittsverlauf A∗ = 0,1 m2 + x∗2 f¨ ur −0,5 m ≤ x∗ ≤ 0,5 m, also der Wandgeometrie


∗

r =

0,1 m2 + x∗2 π

 12 (B7.2-1)

ahlt werden, daß ein senkrechter Verdichsoll der Umgebungsdruck p∗Umg /p∗01 so gew¨ tungsstoß bei x∗ = 0,3 m auftritt. Der Druck p∗01 ist dabei der Kesseldruck mit dem die Str¨ omung erzeugt wird, s. Bild B7.2. ¨ Da es sich um eine Uberschallstr¨ omung handelt, ist der engste Querschnitt bei x∗ = 0 ˆ = 1,9. Aus Bild ˆ = A∗ /A∗ bei x∗ = 0,3 m gilt A der kritische Querschnitt und f¨ ur A krit 7.3 kann damit die Mach-Zahl Ma1 = 2,15 abgelesen werden. Gem¨ aß Bild 7.6 liegt dann eine Mach-Zahl Ma2 = 0,56 hinter dem Stoß vor. F¨ ur die Unterschallstr¨ omung nach dem Stoß muß nun der kritische Querschnitt A∗krit ˆ= neu bestimmt werden. Wiederum aus Bild 7.3 folgt f¨ ur Ma2 = 0,56 der Zahlenwert A A∗ /A∗krit = 1,24 , wobei jetzt A∗krit nicht mehr der engste Querschnitt der Stromr¨ ohre ist, sondern eine fiktive Bezugsgr¨ oße. Im vorliegenden Fall gilt A∗min /A∗krit = 1,24/1,9 = ˆUmg des Austrittsquerschnitts bei x∗ = 0,65. Nach (7.16) errechnet sich die Gr¨ oße A ˆUmg = (A∗ /A∗ )AUmg = 0,65 · 3,5 = 2,28. Im Austrittsquerschnitt, also 0,5 m zu A min krit ˆUmg = 2,28 kann aus Bild 7.3 (im Unterschallbereich) abgelesen werden: mit A MaUmg = 0,26

;

p∗Umg p∗02

=

p∗Umg p∗01

·

p∗01 p∗02

= 0,95

(B7.2-2)

7.5

ENGSTER

QUERSCHNITT A*min Verdichtungssto¼ bei x*= 0,3 m

x* Kessel

p01*

Bild B7.2:

Austrittsquerschnitt A*Umg

p02*

Ä BERSCHALL U

UNTERSCHALL

171

Senkrechter Verdichtungsstoß

* pUmg

UNTERSCHALL

¨ Uberschallstr¨ omung mit senkrechtem Verdichtungsstoß p∗01 : p∗02 :

Kesseldruck f¨ ur die Str¨ omung vor dem Stoß (real vorhanden, wenn die Str¨ omung aus einem Kessel gespeist wird) Kesseldruck f¨ ur die Str¨ omung nach dem Stoß (fiktiver Wert, d.h. ein solcher Kesseldruck w¨ are notwendig, wenn die Str¨ omung isentrop, also ohne Verdichtungsstoß, aus einem Kessel gespeist zustande k¨ ame)

F¨ ur das gesuchte Druckverh¨ altnis p∗Umg = p∗01 folgt deshalb p∗Umg p∗01

=

p∗Umg p∗02

·

p∗02 = 0,95 · 0,66 = 0,63 p∗01

(B7.2-3)

wobei die Ver¨ anderung des Kesseldruckes u ¨ber den Stoß hinweg, p∗02 /p∗01 , aus Bild 7.6 bei Ma1 = 2,15 zu 0,66 abgelesen worden ist. Ein Umgebungsdruck p∗Umg = 0,63 p∗01 f¨ uhrt also zur gew¨ unschten Lage des senkrechten Verdichtungsstoßes bei x∗ = 0,3 m. Ein Absenken dieses Wertes f¨ uhrt zu einer Verschiebung der Stoßlage in Richtung des Austrittsquerschnittes, bis nach Bild 7.2 der f¨ ur diese Geometrie g¨ ultige Wert pII erreicht ist, bei dem der Stoß gerade im Austrittsquerschnitt steht. Ein Anheben des Druckes l¨ aßt den Stoß in Richtung des engsten Querschnittes wandern, bis wiederum nach Bild 7.2 der charakteristische Wert pI erreicht ist, bei dem im engsten Querschnitt gerade Ma = 1 herrscht, sonst aber u omung ¨berall Unterschallstr¨ vorliegt. Der Verdichtungsstoß ist dann so schwach geworden, daß er im Grenzfall verschwindet. Anmerkung 7.2:

Schiefer Verdichtungsstoß

Obwohl in diesem Teil B1 des Buches zun¨ achst nur eindimensionale Str¨ omungen behandelt ¨ werden, soll kurz die Situation erl¨ autert werden, die entsteht, wenn Uberschallstr¨ omungen durch W¨ ande abgelenkt werden und dadurch die Str¨ omungen nur noch bereichsweise als eindimensional beschrieben werden k¨ onnen. Dazu sollen zun¨ achst die konkaven und konvexen Wandgeometrien (jeweils abgerundet und scharfkantig) in Bild 7.7 betrachtet werden. An den abgerundeten Wandgeometrien entsteht dort wo die W¨ ande gekr¨ ummt sind ein kontinuierliches Band von sog. Machschen Linien. Dieser Bereich ist grau unterlegt und einzelne Linien sind jeweils eingezeichnet. Sie entsprechen den Linien, die in Beispiel 3.1 in Kap. 3 den Machschen Kegel einer punktf¨ ormigen Einzelst¨ orung ergeben. In diesem Sinne kann die gekr¨ ummte Wand als kontinuierliche St¨ orungsquelle interpretiert

172

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

Ä BERSCHALL - KOMPRESSION U (Druckanstieg)

Ä BERSCHALL - EXPANSION U (Druckabfall)

Verdichtungssto¼

Ma 1 > 1

Ma 1 > 1

konkave Abrundung

konvexe Abrundung

Verdichtungssto¼

Ma 1 > 1

Ma 1 > 1

£ konkave Ecke Bild 7.7:

konvexe Ecke

£

¨ Kompression und Expansion von Uberschallstr¨ omungen durch Ver¨ anderung der Wandgeometrie. Wird der Bereich der Abrundung stets kleiner entstehen im Grenzfall jeweils Ecken in der Wandgeometrie.

werden. Bez¨ uglich dieser St¨ orung verhalten sich konkave und konvexe W¨ ande vollst¨ andig verschieden. W¨ ahrend die Machschen Linien bei konkaven W¨ anden zusammenlaufen und in gr¨ oßerer Entfernung einen diskontinuierlichen Verdichtungsstoß ausbilden, bleibt bei konvexen Wandgeometrien in einem aufgef¨ acherten Bereich ein kontinuierlicher Verlauf der Str¨ omungsgr¨ oßen erhalten. Die Str¨ omung kann in guter N¨ aherung als isentrop angesehen werden mit Ausnahme der Verdichtungsst¨ oße, d.h. die Str¨ omung erh¨ oht u ¨ber einen Verdichtungsstoß hinweg die Entropie. Eine Entwicklung der Gleichungen f¨ ur Θ → 0 (verschwindend kleiner Wandwinkel) ergibt einen Druckanstieg ∆p∗ ∼ Θ u ¨ber den Verdichtungsstoß hinweg, aber ∆s∗ ∼ Θ3 , d.h. eine Entropieerh¨ ohung, die mit steigendem Winkel stark ansteigt, bei kleinen Winkeln aber auch sehr klein ist (nahezu isentrope Str¨ omung f¨ ur Θ → 0). Dort wo der Str¨ omungsverlauf isentrop ist, k¨ onnen erhebliche Vereinfachungen in den Bilanzgleichungen vorgenommen werden, so wie dies f¨ ur den eindimensionalen Fall im Abschn. 7.2 geschehen ist. Aus diesen vereinfachten Gleichungen folgt insbesondere: 1.

Durch die Ablenkung um den Winkel Θ entsteht im Kompressionsfall ein schiefer Verdichtungsstoß, der mit der Anstr¨ omung den Stoßwinkel β bildet, s. Bild 7.8 . Der

7.5

Senkrechter Verdichtungsstoß

173

Zusammenhang zwischen der Ablenkung Θ, dem Stoßwinkel β und der Anstr¨ om-MachZahl Ma1 lautet: Ma21 sin2 β − 1 tan Θ = 2 cot β (7.34) Ma21 (κ + cos 2β) + 2 2.

¨ Uber den Verdichtungsstoß hinweg wird die Str¨ omung um den Winkel Θ umgelenkt. Dabei bleibt die Geschwindigkeitskomponente tangential zum Verdichtungsstoß erhalten. Die Normalkomponente ver¨ andert sich wie bei einer eindimensionalen Str¨ omung und einem senkrechten Verdichtungsstoß. Bez¨ uglich der Normalkomponente der Geschwindigkeit verh¨ alt sich demnach ein schiefer Verdichtungsstoß genauso wie ein senk∗ der Geschwindigkeit v ∗ rechter Verdichtungsstoß. Da f¨ ur die Normalkomponente v1n 1 ∗ = v ∗ sin β, s. Bild 7.8, k¨ gilt v1n o nnen die Beziehungen (7.25)–(7.28) auch f¨ ur den 1 schiefen Verdichtungsstoß verwendet werden, wenn jeweils Ma1 = v1∗ /c∗1 ersetzt wird ∗ /c∗ . Die Gr¨ durch Ma1 sin β = v1n oße Ma2 in (7.26) hat dann die Bedeutung von 1 ∗ /c∗ , so daß die Mach-Zahl hinter dem Verdichtungsstoß unter Ber¨ v2n ucksichtigung 2 ∗ / sin(β − Θ) als v ∗ /c∗ = Ma / sin(β − Θ) folgt. Diese Mach-Zahl kann von v2∗ = v2n 2 2 2 ¨ gr¨ oßer als Eins sein, so daß die Str¨ omung auch nach dem Stoß noch eine Uberschallstr¨ omung sein kann (nur die Normalkomponente wechselt stets zum Unterschall).

3.

Im Expansionsfall liegt eine vollst¨ andig isentrope Str¨ omung vor. Eine Str¨ omung mit Ma1 = 1 wird dabei um den Winkel

"

Θ=

κ+1 arctan κ−1

"

 κ−1 Ma22 − 1 ( Ma22 − 1) − arctan κ+1

(7.35)

ur Anstr¨ omungen umgelenkt. Ist Θ vorgegeben, so folgt daraus die Mach-Zahl Ma2 . F¨ mit Ma1 > 1 ist der Winkel bei der Expansion von Ma1 = 1 auf Ma2 > 1 entsprechend zu ber¨ ucksichtigen. Gleichung (7.35) wird Prandtl-Meyer-Funktion genannt, der Gesamtvorgang entsprechend Prandtl-Meyer-Expansion. ¨ Da Uberschallstr¨ omungen ein stromabw¨ artsgerichtetes Einflußgebiet besitzen, k¨ onnen komplexe Str¨ omungsgebiete in Str¨ omungsrichtung durch aufeinanderfolgende Teilgebiete zu” sammengesetzt“ werden. Bild 7.9 zeigt zwei solche Str¨ omungen. Die Geometrie im Fall (a) entsteht aus konkaven und konvexen Ecken wie in Bild 7.7 gezeigt. Im Fall (b) entspricht der vordere Teil des K¨ orpers einem sog. stumpfen K¨ orper. Aus (7.34) folgt, daß es abh¨ angig

v1n*

v1t*

~v2*

~v1*

v2n*

¯

Bild 7.8:

Umlenkung der Str¨ omung um den Winkel Θ β: ∗ = v∗ : v1t 2t ∗ = v ∗ : v1n 2n

¯-£

v2t*

¯

Stoßwinkel Tangentialkomponenten von  vi∗ Normalkomponenten von  vi∗

£

174

7

Stromfadentheorie bei endlichen Querschnitten

(a)

(b) Ma < 1

Druckverlauf im " Fernfeld " p*1 Bild 7.9:

¨ Str¨ omungsfelder bei Uberschallanstr¨ omung Unterschallstr¨ omung tritt nur im grau unterlegten Bereich auf.

ur den ein schiefer Verdichtungsstoß von Ma1 einen maximalen Umlenkwinkel Θmax gibt, f¨ in der Ecke beginnen kann. F¨ ur gr¨ oßere Winkel bildet sich ein Stoß aus, der stromaufw¨ arts der Ecke liegt. F¨ ur die in Bild 7.9 (b) gezeigte Geometrie f¨ uhrt dies zu einem abgel¨ osten Stoß, einer sog. Kopfwelle, hinter der ein begrenztes Unterschallgebiet auftritt. Weit entfernt vom K¨ orper im sog. Fernfeld tritt eine Druckverteilung auf, deren prinzipieller Verlauf in Bild 7.9 (a) ebenfalls skizziert ist. Solche Druckverl¨ aufe werden z.B. ¨ ¨ am Boden als Uberschall-Knall“ von Flugzeugen wahrgenommen, die mit Uberschall flie” gen. Das vorgeblich anschauliche Bild vom Durchbrechen der Schallmauer“ ist dabei eher ” irref¨ uhrend! F¨ ur eine vertiefende Behandlung kompressibler Str¨ omungen sei auf die umfangreiche Literatur zu diesem Thema verwiesen, wie z.B. Zierep (1976), Liepman, Roskko (1957), Anderson (1982).


       Bei zweidimensionalen N¨ aherungen auf der Modellebene (s. Bild 2.1) entstehen sog. ebene oder rotationssymmetrische Modelle. Ebene Modelle werden dabei in kartesischen Koordinaten beschrieben, wobei bzgl. einer Koordinatenrichtung ¨ keine Anderung der am Problem beteiligten Gr¨ oßen auftreten. In der u ¨ blichen Darstellung ist dies die Richtung senkrecht zur Zeichenebene. Auf der Realit¨ atsebene (s. wiederum Bild 2.1) entsprechen diesen zweidimensionalen Modellen Str¨ omungen, die n¨ aherungsweise die Eigenschaft besitzen, in bestimmten parallelen Schnittebenen dieselbe Verteilung der beteiligten Gr¨ oßen aufzuweisen. Solche Str¨ omungen entstehen z.B. in Kan¨ alen, deren H¨ ohen/Seitenverh¨ altnis sehr klein ist. W¨ ahrend die Modellvorstellung der ebenen Str¨ omung f¨ ur dieses Verh¨ altnis den Zahlenwert Null unterstellt, ist es in der Realit¨ at u.U. zwar sehr klein, aber stets end-

lich. Mit der Modellvorstellung einer ebenen Str¨omung werden deshalb zwangsl¨aufig alle sog. Randeffekte vernachl¨assigt, die aufgrund der endlichen Breite solcher Kan¨ale stets auftreten. Rotationssymmetrische Modelle werden zweckm¨aßigerweise in Zylinderkoordinaten beschrieben. Der zweidimensionale Charakter kommt dabei durch die Unabh¨angigkeit aller beteiligten Gr¨oßen von der Umfangskoordinate zum Ausdruck. Im Gegensatz zu ebenen Str¨ omungen, bei denen durch die Vernachl¨assigung von Randeffekten diesbez¨ uglich stets eine N¨aherung vorliegt, k¨onnen reale Str¨omungen die Eigenschaft, eine Rotationssymmetrie aufzuweisen, beliebig genau erf¨ ullen. In den Kapiteln 8 bis 10 werden u ¨ berwiegend ebenen Str¨omungen behandelt, an mehreren Stellen wird aber auf die entsprechenden Ergebnisse f¨ ur rotationssymmetrische Str¨omungen hingewiesen.

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

8.1

Euler-Gleichungen

Im folgenden soll die Modellierung einer Str¨ omung mit diesen Eigenschaften betrachtet werden: eben (∂/∂z ∗ = 0) reibungsfrei (τij∗ = 0) station¨ ar (∂/∂t∗ = 0) inkompressibel (∗ = const) Die allgemeinen Bilanzgleichungen in Tab. 4.1 reduzieren sich damit auf die in Tab. 8.1 markierten Terme. Die so entstehenden Gleichungen werden als 2D-Euler-Gleichungen bezeichnet. Aus den beiden Impulsgleichungen kann eine einzige Gleichung gewonnen werden, wenn die x-Impulsgleichung nach y ∗ und die y-Impulsgleichung nach x∗ abgeleitet werden und anschließend die Differenz gebildet wird. Dabei fallen die Druckterme heraus und unter Ber¨ ucksichtigung der Kontinuit¨atsgleichung folgt:  ∗   ∗ 
 ∂v ∂v ∂u∗ ∂u∗ ∂fx∗ 1 ∂fy∗ ∗ ∂ ∗ ∂ − ∗ +v − ∗ = ∗ − ∗ u (8.1) ∂x∗ ∂x∗ ∂y ∂y ∗ ∂x∗ ∂y  ∂x∗ ∂y Die Ausdr¨ ucke in geschweiften Klammern entsprechen der in Abschn. 3.4.2 eingef¨ uhrten Drehung ω ∗ . Diese ist die ωz∗ -Komponente des allgemeinen Drehungs-Vektors  ω ∗ , s. Anmerkung 3.3/S. 38. ∗ F¨ ur Volumenkr¨ afte, die ein (Kraft-)Potential ψK besitzen (konservative ∗ ∗ ∗  Kr¨ afte, wie z.B. die Schwerkraft), gilt f = −grad ψK , d.h. fx∗ = −∂ψK /∂x∗ , ∗ ∗ ∗ fy = −∂ψK /∂y , so daß f¨ ur diese Kr¨ afte die rechte Seite von (8.1) zu Null wird. Dieselbe Aussage folgt, wenn die Schwerkraft als einzige Volumenkraft unterstellt wird und der modifizierte Druck eingef¨ uhrt wird, wie dies in der Unterschrift zu Tab. 4.3a erl¨ autert ist. Unter diesen Umst¨anden reduziert sich (8.1) auf: ∂v ∗ ∂u∗ ∂ω ∗ ∂ω ∗ u∗ ∗ + v ∗ ∗ = 0 mit ω ∗ = − (8.2) ∂x ∂y ∂x∗ ∂y ∗ Dies h¨ atte sich auch unmittelbar aus (4.39) f¨ ur die hier unterstellte station¨are (∂/∂t∗ = 0) und reibungsfreie (τij∗ = 0, s. dazu Anmerkung 8.1/S. 182) Str¨omung ergeben.

178

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z 

Kontinuit¨ atsgleichung  D∗ ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ ∗ +  + + Dt∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ x-Impulsgleichung ∗

y-Impulsgleichung ∗




Du∗ ∂p∗ = fx∗ − ∗ + ∗ Dt ∂x

Dv ∗ ∂p∗ = fy∗ − ∗ + ∗ Dt ∂y




(K∗ )

=0

∗ ∗ ∂τyx ∂τxx ∂τ ∗ + + zx ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗

∗ ∗ ∗ ∂τxy ∂τyy ∂τzy + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

 (XI∗ )

 (YI∗ )

z-Impulsgleichung
∗  ∗ ∗ ∂τyz ∂τxz Dw∗ ∂p∗ ∂τzz ∗ ∗ = fz∗ − ∗ + + + Dt ∂z ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(ZI∗ )

Energiegleichung
∗  ∂qy∗ ∂qx DH ∗ ∂qz∗ ∗ = − + + D t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(E∗ )

+(u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ) +

∂p∗ + D∗ ∂t∗

Teil-Energiegleichung (mechanische Energie) $ % ∗ ∗ ∗ D ∂p Dp [u∗2 + v ∗2 + w∗2 ] = − ∗ + D ∗ − Φ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt

(ME∗ )

+(u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ) Teil-Energiegleichung (thermische Energie)
∗  ∗ ∂qy∗ ∂qx ∂qz∗ Dp∗ ∗ Dh  =− + ∗+ ∗ + + Φ∗ ∗ ∗ Dt ∂x ∂y ∂z Dt∗ Tab. 8.1:

(TE∗ )

2D-Euler-Gleichungen Ebene, reibungsfreie Str¨ omungen als Spezialfall der allgemeinen Bilanzgleichungen aus Tab. 4.1; zus¨ atzliche Annahmen: station¨ ar, inkompressibel grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme (Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null.) Beachte: Mit

p∗mod = p∗ − p∗st

∗ gx∗ −

∂p∗ ∂x∗

=

und

∂p∗ − mod ∂x∗

;

fx∗ = ∗ gx∗ , fy∗ = ∗ gy∗ ∗ gy∗ −

∂p∗ ∂y ∗

=

∂p∗ − mod ∂y ∗

gilt

8.1

Euler-Gleichungen

179

Um den Druck zu berechnen, k¨ onnten nach der L¨osung von (8.2) zusammen mit der Kontinuit¨ atsgleichung (K∗ ) in Tab. 8.1, also mit bekanntem Geschwindigkeitsfeld (u∗ , v ∗ ), die beiden Impulsgleichungen (XI∗ ) und (YI∗ ) in Tab. 8.1 integriert werden. Sehr viel einfacher ist es jedoch, den Druck mit der Teil-Energiegleichung f¨ ur die mechanische Energie zu berechnen. Deren Integration l¨ angs einer Stromlinie ist besonders einfach und f¨ uhrte in Kap. 6 auf die Bernoulli-Gleichung (6.4). Mit u∗S als Geschwindigkeitsbetrag l¨angs ∗2 ∗2 einer Stromlinie, also u∗2 ur die betrachtete Str¨omung wegen S = u +v , gilt f¨ der Vernachl¨ assigung der potentiellen Energie  p∗ 1  ∗2 u + v ∗2 + ∗ = const , 2 

(8.3)

woraus unmittelbar der Druckbeiwert cp =

p∗ − p∗∞ u∗2 + v ∗2
∗ ∗2 = 1 − u∗2 ∞ 2 u∞

(8.4)

f¨ ur eine homogene Anstr¨ omung mit der Geschwindigkeit u∗∞ und dem Druck ∗ p∞ gebildet werden kann. Da die K¨ orperoberfl¨ ache eine Stromlinie ist, kann mit (8.4) die Druckverteilung auf der K¨ orperoberfl¨ache bestimmt werden, wenn dort die Geschwindigkeiten bekannt sind. Diese wiederum folgen aus der L¨ osung der Euler- Gleichungen bei Vorgabe entsprechender Randbedingungen (zu denen die Haftbedingung nicht geh¨ort !). Die L¨ osung der Euler-Gleichungen (in Form der in Tab. 8.1 verbleibenden Terme, oder in Form von (8.2)) kann im allgemeinen nur numerisch erfolgen. Bei dieser L¨ osung ist aber zu beachten, daß die Euler-Gleichungen gegen¨ uber den allgemeinen Bilanzgleichungen von niedrigerer Ordnung sind, da die Terucksichtigt bleiben. F¨ ur Newtonsche Fluide enthalten diese me ∂τij∗ /∂x∗j unber¨ Terme zweite Ableitungen nach den Ortskoordinaten, so daß die entsprechenden Differentialgleichungen von zweiter Ordnung sind. Die Euler-Gleichungen dagegen sind von erster Ordnung, da nur erste Ableitungen auftreten. Diese Erniedrigung der Ordnung hat zur Folge, daß mit den Euler-Gleichungen nicht mehr alle Randbedingungen des vollst¨ andigen Problems erf¨ ullt werden k¨ onnen. Als physikalisch sinnvoll erweist sich die Vernachl¨assigung der Haftbedingung, so daß in dieser Modellvorstellung an den W¨anden keine Schubspannung u ¨ bertragen wird. Ein reibungsfrei umstr¨ omter K¨ orper kann damit keinen Widerstand (Kraft in Richtung der Anstr¨ omung) aufgrund von Schubspannungen aufweisen, d.h. sein Reibungswiderstand ist Null. Wenn es u ¨ berhaupt zu einem Str¨omungswiderstand kommen soll, so m¨ ußte also die Druckverteilung, integriert u ¨ber den gesamten K¨ orper, eine Kraft in Richtung der Anstr¨omung ergeben, was dann als Druckwiderstand bezeichnet w¨ urde. Aber auch dieser Druckwiderstand ist in reibungsfreier Str¨ omung Null, so daß K¨orper in reibungsfreier Umstr¨ omung insgesamt keinen Widerstand besitzen ! Dies bezeichnet man als d’Alembertsches Paradoxon, obwohl dieser Name etwas irref¨ uhrend ist.

180

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

Schließlich ist es nicht paradox, sondern allenfalls unerwartet, daß reibungsfreie Umstr¨ omungen zu keinem Widerstand bei der K¨orperumstr¨omung f¨ uhren. Die Tatsache, daß alle real umstr¨ omten K¨orper einen endlichen Widerstand besitzen, besagt in diesem Zusammenhang lediglich, daß es in der Realit¨ at keine reibungsfreien Str¨ omungen gibt und daß der gesamte Widerstand, also auch der Druckwiderstand, letztlich auf Reibungseffekte zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Daß K¨ orper bei reibungsfreier Umstr¨ omung keinen Widerstand aufweisen, korrespondiert damit, daß reibungsfreie Str¨omungen keine Dissipation (Entropieerzeugung) besitzen, daß also der Term Φ∗ in Tab. 4.1 stets Null ist. Reibungsfreie Str¨ omungen sind in diesem Sinne verlustfreie Str¨omungen. Aus den Euler-Gleichungen, insbesondere in ihrer dreidimensionalen Version, k¨ onnen generelle Aussagen u ¨ ber das Verhalten von Wirbeln und sog. Wirbelr¨ ohren gewonnen werden (Helmholtzsche Wirbels¨atze, s. z.B. Spurk (1989) f¨ ur eine genauere Darstellung). Aus diesen wiederum k¨onnen weitreichende Schl¨ usse u ¨ ber das Verhalten reibungsfreier Str¨omungen gezogen werden.

8.2

Potentialstr¨ omungen

8.2.1

Vorbemerkung

Die vollst¨ andige Wirbeltransportgleichung (4.38) in Anmerkung 4.9/S. 73/ zeigt, daß die Drehung  ω ∗ in einer Str¨ omung konvektiv transportiert, durch Streckung und Umlenkung von Wirbeln anders angeordnet, durch Diffusion breiter verteilt“, aber im Str¨ omungsfeld nicht erzeugt werden kann, weil ” alt. Damit stellt sich die Frage, wie Dre(4.38) keinen Quellterm f¨ ur  ω ∗ enth¨ hung u omungsfeld gelangt. Daf¨ ur gibt es zwei Mechanis¨berhaupt in ein Str¨ men: 1. Die Zustr¨ omung eines betrachteten endlichen Str¨omungsfeldes ist bereits drehungsbehaftet. 2. Drehung entsteht an festen W¨ anden und wird anschließend durch die oben erw¨ ahnte Diffusion in das Str¨ omungsfeld transportiert. Die Entstehung der Drehung an der Wand ist bereits im zweidimensionalen Fall (Drehung ω ∗ = ∂v ∗ /∂x∗ − ∂u∗ /∂y ∗ ) zu erkennen. Verl¨auft die x-Koordinate l¨ angs der Wand und die y-Koordinate senkrecht dazu, so ist v ∗ entlang der (undurchl¨ assigen) Wand stets Null, also gilt (∂v ∗ /∂x∗ )w = 0. ∗ = −(∂u∗ /∂y ∗ )w . F¨ ur ein Newtonsches Fluid An der Wand ist damit ωw ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ mit τw = η (∂u /∂y )w gilt dann ωw = −τw∗ /η ∗ . Wenn nun aber die Zustr¨ omung drehungsfrei ist und an der Wand keine Drehung entsteht, so ist das ganze betrachtete Str¨omungsfeld drehungsfrei, d.h. es gilt  ω ∗ = 0. In diesem Fall wird die mathematische Beschreibung der

8.2

Potentialstr¨ omungen

181

Str¨ omung besonders einfach, weil ω  ∗ = 0 aus mathematischer Sicht gerade die Bedingung daf¨ ur ist, daß dΦ∗ = u∗ dx∗ + v ∗ dy ∗ + w∗ dz ∗ das vollst¨ andige Differential einer Funktion Φ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) darstellt. Dann kann das (allgemein dreidimensionale) Geschwindigkeitsfeld v ∗ als Gradient einer skalaren Funktion Φ∗ , also als v ∗ = grad Φ∗ , geschrieben werden, was im folgenden n¨ aher erl¨ autert wird. 8.2.2

Drehungsfreie Str¨ omungen (Potentialstr¨ omungen)

Mit ω ∗ = 0 liegt eine drehungsfreie (ebene) Str¨omung vor. Die hinreichenden Bedingungen daf¨ ur sind, daß die Zustr¨ omung drehungsfrei ist und daß an festen W¨ anden keine Drehung entsteht, was bei reibungsfreien Str¨omungen aufgrund der vernachl¨ assigten Haftbedingung stets der Fall ist. Das Geschwindigkeitsfeld dieser Str¨ omung kann, wie bereits erw¨ahnt, als Ableitung eines Geschwindigkeitspotentials Φ∗ , also als v ∗ = grad Φ∗ , dargestellt werden, so daß im zweidimensionalen Fall gilt u∗ =

∂Φ∗ ∂x∗

;

v∗ =

∂Φ∗ ∂y ∗

(8.5)

Da mit ω ∗ = 0 die Euler-Gleichungen in Form von (8.2) bereits erf¨ ullt sind, verbleibt einzig die Kontinuit¨ atsgleichung, zur Bestimmung der Potentialfunktion Φ∗ (x∗ , y ∗ ). Setzt man (8.5) in die Kontinuit¨atsgleichung ∂u∗ /∂x∗ + ∂v ∗ /∂y ∗ = 0 ein, so folgt als Gleichung zur Bestimmung von Φ∗ (x∗ , y ∗ ) ∂ 2 Φ∗ ∂ 2 Φ∗ + =0 ∂x∗2 ∂y ∗2

auch geschrieben als:

∇2 Φ∗ = ∆Φ∗ = 0 .

(8.6)

Dies ist die Potentialgleichung in Form der sog. Laplace-Gleichung. Der Operator ∇2 = ∆ = ∂ 2 /∂x∗2 +∂ 2 /∂y ∗2 wird Laplace-Operator genannt. Str¨omungen, die der Gleichung (8.6) gehorchen, heißen Potentialstr¨omungen. Da die Haftbedingung an festen W¨ anden durch Potentialstr¨omungen nicht erf¨ ullt werden kann, k¨ onnen solche L¨ osungen eine reale Str¨omung also h¨ochstens außerhalb des unmittelbaren Wandbereiches in guter N¨aherung beschreiben. Interessanterweise (und erst verst¨ andlich nach Einf¨ uhrung der Grenzschichttheorie im nachfolgenden Kapitel) wird aber die Druckverteilung auf den festen W¨ anden trotzdem durch diese L¨ osungen sehr gut beschrieben, solange es in der realen Str¨ omung nicht zur Abl¨osung kommt. Dazu wird, wie ganz allgemein bei den L¨ osungen f¨ ur reibungsfreie Str¨omungen, von der Bernoulli-Gleichung l¨ angs der Stromlinien Gebrauch gemacht, was zur Formulierung des Druckbeiwertes (8.4) f¨ uhrt.

182

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

Statt mit dem Ansatz (8.5), der die Drehungsfreiheit ω ∗ = 0 erf¨ ullt, aus der Kontinuit¨ atsgleichung eine Bestimmungsgleichung f¨ ur Φ∗ (x∗ , y ∗ ) zu gewinnen, kann gleichwertig auch mit dem allgemeinen Ansatz der Stromfunktion (vgl. (4.44)) in Anmerkung 4.10/S. 75) u∗ =

∂Ψ∗ ∂y ∗

;

v∗ = −

∂Ψ∗ ∂x∗

,

(8.7)

der die Kontinuit¨ atsgleichung identisch erf¨ ullt, aus der Bedingung der Dreur Ψ∗ (x∗ , y ∗ ), gewonnen hungsfreiheit (ω ∗ = 0), eine Bestimmungsgleichung f¨ ∗ ∗ ∗ ∗ werden. Einsetzen von (8.7) in ω = ∂v /∂x − ∂u /∂y ∗ = 0 ergibt, ∂ 2 Ψ∗ ∂ 2 Ψ∗ + =0 ∗2 ∂x ∂y ∗2

auch geschrieben als:

∇2 Ψ∗ = ∆Ψ∗ = 0 ,

(8.8)

also eine Laplace-Gleichung f¨ ur die Stromfunktion Ψ∗ einer drehungsfreien Str¨ omung. Dies folgt auch unmittelbar aus (4.45) in Anmerkung 4.10/S. 75/ zur Stromfunktion. Der Vergleich zwischen (8.5) und (8.7) zeigt, daß ∂Φ∗ /∂x∗ = ∂Ψ∗ /∂y ∗ und ∂Φ∗ /∂y ∗ = −∂Ψ∗ /∂x∗ gilt. Dies sind bzgl. der Funktionen Φ∗ und Ψ∗ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen der Funktionentheorie. Damit sind Φ∗ und Ψ∗ zueinander konjugierte Potentialfunktionen, d.h. Linien Φ∗ = const und Linien Ψ∗ = const stehen senkrecht aufeinander. Daraus folgt ebenfalls, daß Φ∗ und Ψ∗ in ihrer Bedeutung vertauscht werden k¨onnen. Ist also eine L¨ osung Φ∗1 (x∗ , y ∗ ) bekannt, so kann das zugeh¨orige Stromlini∗ ∗ enfeld Ψ1 (x , y ∗ ) zu einer neuen L¨ osung Φ∗2 = Ψ∗1 erkl¨art werden (mit dem ∗ zugeh¨ origen Stromlinienfeld Ψ2 = Φ∗1 ). Anmerkung 8.1:

Konstante Drehung bzw. Drehungsfreiheit als Bedingung f¨ ur eine reibungsfreie Str¨ omung

Tab. 8.1 zeigt, daß reibungsfreie Str¨ omungen dann vorliegen, wenn der Tensor der de∗ /∂x∗ , ∂τ ∗ /∂y ∗ , . . . ) Null ist. F¨ viatorischen Spannungen (mit den Komponenten ∂τxx ur yx Newtonsche Fluide sind die Spannungskomponenten u at η∗ mit ¨ber die dynamische Viskosit¨ dem Str¨ omungsfeld verbunden, wie Tab. 4.2 zeigt. Mit diesen speziellen konstitutiven Gleichungen entstehen aus den allgemeinen Bilanzgleichungen die Navier-Stokes-Gleichungen, s. Tab. 4.3a. Man ist nun versucht, (vorschnell) eine reibungsfreie Str¨ omung mit der Bedingung η∗ = 0 zu identifizieren, weil dann die Reibungsterme in den Navier-Stokes-Gleichungen verschwinden. Dies f¨ uhrt aber auf folgenden Widerspruch: Eine Modellannahme im Sinne einer Vernachl¨ assigung eines bestimmten Effektes beschreibt die Realit¨ at um so besser, je kleiner dieser Effekt im realen Fall ist. Daraus w¨ urde im vorliegenden Fall folgen, daß die Bedingung der Reibungsfreiheit um so besser erf¨ ullt w¨ are, je kleiner die Viskosit¨ at η∗ des beteiligten Fluides ist, daß die Reibungsfreiheit einer Str¨ omung also eine reine Fluideigenschaft w¨ are. In diesem Sinne m¨ ußte die Str¨ omung von Luft, deren dynamische Viskosit¨ at η∗ etwa 55 mal kleiner als diejenige von Wasser ist, sehr viel eher als reibungsfreie Str¨ omung behandelt werden k¨ onnen als diejenige von Wasser. Da Str¨ omungen aber grunds¨ atzlich in dimensionsloser Form beschrieben werden k¨ onnen (und sollten), spielt es keine Rolle, um welches Fluid es sich handelt (solange es ein Newtonsches Fluid ist, f¨ ur das dann die Navier-Stokes-Gleichungen gelten). Die Reibungsfreiheit muß also vornehmlich eine Str¨ omungseigenschaft sein. Unterschiedliche Fluide f¨ uhren

8.2

Potentialstr¨ omungen

183

bei sonst gleichen Bedingungen lediglich zu anderen Zahlenwerten der dimensionslosen ∗ /η ∗ (bei sonst gleichen Kennzahlen. Zum Beispiel ist die Reynolds-Zahl Re = ∗ L∗B UB Bedingungen) f¨ ur Luft um den Faktor 15 kleiner als diejenige f¨ ur Wasser. Welche Str¨ omungseigenschaft ist dies aber, die f¨ ur Reibungsfreiheit sorgt ? Die Antwort ist: Konstante Drehung bzw. als Spezialfall die Drehungsfreiheit ! Aus der Bedingung ωx∗ =

∂w ∗ ∂v∗ − = const , ∗ ∂y ∂z ∗

ωy∗ =

∂u∗ ∂w ∗ − = const , ∗ ∂z ∂x∗

ωz∗ =

∂v∗ ∂u∗ − = const ∗ ∂x ∂y ∗

kann f¨ ur den allgemeinen Fall der dreidimensionalen inkompressiblen Str¨ omung mit der dann geltenden Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ ∂v∗ ∂w ∗ + + =0 ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗ durch einfache Kreuzdifferentation und Addition bzw. Subtraktion der entstehenden Gleichungen abgeleitet werden, daß gilt: ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ + + ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

=

0

(8.9)

∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ + + ∗2 ∗2 ∂x ∂y ∂z ∗2

=

0

(8.10)

∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ + + ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

=

0

(8.11)

Dies sind aber genau die Ausdr¨ ucke, die in den Navier-Stokes-Gleichungen (s. Tab. 4.3a) als Faktoren in den Reibungstermen auftreten. Damit entstehen aber reibungsfreie Str¨ omungen, beschrieben durch die Euler-Gleichungen als Spezialfall der allgemeinen Navier-StokesGleichungen, auch bei endlichen Werten der Viskosit¨ at η∗ (bzw. der Reynolds-Zahl Re), und zwar genau dann, wenn die Str¨ omung eine konstante oder keine Drehung besitzt. Ob solche Str¨ omungen tats¨ achlich existieren, ist eine ganz andere Frage; zun¨ achst einmal ist an dieser Stelle entscheidend, welche Art von Str¨ omungen als reibungsfreie Str¨ omungen“ ” bezeichnet werden k¨ onnen. Reibungsfreie Str¨ omungen liegen also dann vor, wenn die Str¨ omungsbedingungen so sind, daß sich Str¨ omungen mit konstanter oder ohne Drehung ausbilden. Dies beschreibt aber eine Str¨ omungseigenschaft und nicht eine Fluideigenschaft. Allenfalls kann man sagen: Wenn es Fluide mit η∗ = 0 g¨ abe, so w¨ aren Str¨ omungen dieser Fluide stets reibungsfreie Str¨ omungen. Solche Fluide gibt es aber nicht, so daß eine reibungsfreie Str¨ omung sinnvollerweise nur als eine besondere Str¨ omung charakterisiert werden sollte. Dabei kommt den Str¨ omungen mit  ω ∗ = 0 (drehungsfreie Str¨ omungen) eine besondere Bedeutung zu. Str¨ omungen mit konstanter, von Null verschiedener Drehung spielen z.B. bei der theoretischen Beschreibung von endlichen Abl¨ osegebieten eine Rolle.

8.2.3

Direkte L¨ osungen f¨ ur Potentialstr¨ omungen

Potentialstr¨ omungen gehorchen der Laplace-Gleichung (8.6), mit der die Geschwindigkeits-Potentialfunktion Φ∗ (x∗ , y ∗ ) einer bestimmten zweidimensionalen, drehungsfreien Str¨ omung bestimmt werden kann. Aus mathematischer Sicht ist (8.6) eine elliptische Differentialgleichung, die in einem Gebiet mit geschlossenen R¨ andern gel¨ ost werden kann, auf denen entweder der Funktionswert selbst (Dirichletsche Randbedingung) oder seine Normalenableitung (Neumannsche Randbedingung) bekannt sein m¨ ussen. Reicht das ge-

184

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

schlossene Gebiet bis ins Unendliche, so m¨ ussen dort entsprechende Randbedingungen formuliert werden. Physikalisch entspricht das Einflußgebiet bei elliptischen Differentialgleichungen dem vollst¨ andigen L¨ osungsgebiet, so daß ein reibungsfrei umstr¨omter K¨ orper prinzipiell Auswirkungen im gesamten Str¨omungsgebiet hat. Besonders bei endlichen Str¨ omungsgebieten ist deshalb die Formulierung der Randbedingungen h¨ aufig ein Problem, da die L¨ osung bereits bekannt sein m¨ ußte, damit die Randbedingungen korrekt formuliert werden k¨onnen. Direkte L¨ osungen, also L¨ osungen, die durch die Integration der Differentialgleichung (8.6) entstehen, k¨ onnen im allgemeinen nur durch den Einsatz numerischer Verfahren erhalten werden. Da (8.6) aber eine lineare Differentialgleichung ist, bietet sich eine alternative Vorgehensweise an, die als indirekte L¨osung bezeichnet und im folgenden Abschnitt erl¨autert wird. 8.2.4

Indirekte L¨ osungen f¨ ur Potentialstr¨ omungen

Wegen der Linearit¨ at der Laplace-Gleichung (8.6), ist die Summe aus zwei Einzell¨ osungen wiederum eine L¨ osung. Allgemeiner formuliert gilt das sog. Superpositionsprinzip: osung von ∆Φ∗ = 0, wenn dies Φ∗ = a1 Φ∗1 + a2 Φ∗2 ist eine L¨ ∗ ∗ auch f¨ ur Φ1 und Φ2 gilt und a1 , a2 Konstanten sind.

(8.12)

Unter Anwendung dieses Superpositionsprinzipes k¨onnen komplexe L¨osungen ¨ durch Uberlagerung von einfachen Elementarl¨osungen aufgebaut werden. Es ist dabei allerdings zu beachten, daß eine so zusammengesetzte L¨osung auch die Randbedingung des urspr¨ unglichen Problems erf¨ ullen muß. Bei diesen Elementarl¨ osungen kann nach sog. regul¨aren und singul¨aren L¨ osungen unterschieden werden. Singul¨ are L¨osungen weisen in mindestens einem Punkt des Str¨ omungsfeldes Unendlichkeitsstellen auf, die dann selbst nicht zum L¨ osungsgebiet geh¨ oren. Tab. 8.2 zeigt eine Reihe solcher Elementarl¨ osungen; die nachfolgenden Beispiele demonstrieren die Anwendung des Superpositionsprinzipes.

Beispiel 8.1:

¨ Uberlagerung der Translationsstr¨ omung Ψ∗ = u∗∞ y ∗ mit einer Quellstr¨ omung der Quellst¨ arke Q∗ : Str¨ omung um einen halbunendlichen K¨ orper

Die entstehende Str¨ omung kann unmittelbar und anschaulich interpretiert werden. Das Stromlinienbild der Quellstr¨ omung in Tab. 8.2 zeigt, daß bei einer ungest¨ orten Str¨ omung das im singul¨ aren Ursprung austretende Fluid gleichm¨ aßig radial in alle Richtungen str¨ omt. Es ist typisch f¨ ur solche singul¨ aren L¨ osungen, daß im Singularit¨ atspunkt die physikalischen Grundgleichungen nicht erf¨ ullt sind, wohl aber außerhalb diese Punktes. Im Ursprung ist z.B. das Prinzip der Massenerhaltung verletzt, Masse entsteht“ hier, ” außerhalb dieses Punktes ist aber sichergestellt, daß z.B. durch konzentrische Kreise um den singul¨ aren Ursprung stets derselbe, im Ursprung entstehende“ Massenstrom fließt. ”

Regul¨ are L¨ osungen

8.2

Potentialstr¨ omungen

Str¨ omung

Potentiallinien

Stromlinien

Translationsstr¨ omung:

y*

y*

Φ∗ Ψ∗ u∗ v∗

∗ y∗ u∗∞ x∗ + v∞ ∗ x∗ u∗∞ y ∗ − v∞ u∗∞ ∗ v∞

= = = =

Staupunktstr¨ omung: Φ∗

a∗ ∗2 (x − y ∗2 ) 2 a∗ x∗ y ∗ a∗ x∗ −a∗ y ∗

=

Ψ∗ = u∗ = v∗ =

x*

x*

y*

185

y*

x*

x*

Quellstr¨ omung: Q∗ 2π Q∗ ∗ Ψ = 2π Q∗ u∗ = 2π Q∗ v∗ = 2π

Singul¨ are L¨ osungen

Φ∗ =

ln



x∗2 + y ∗2

arctan

y*

y∗ x∗

x∗ ∗2 x + y ∗2 y∗ ∗2 x + y ∗2

y*

x*

x*

aÄ Q * : Quellstarke

Potentialwirbelstr¨ omung: Γ∗ y∗ arctan ∗ 2π x Γ∗  ∗2 ∗ Ψ =− ln x + y ∗2 2π Γ∗ y∗ u∗ =− 2π x∗2 + y ∗2 x∗ Γ∗ v∗ = ∗2 2π x + y ∗2 Φ∗ =

y*

y*

x*

x* ¡ *: Zirkulation

Dipolstr¨ omung: M∗ x∗ ∗2 2π x + y ∗2 M∗ y∗ Ψ∗ =− ∗2 2π x + y ∗2 ∗ y ∗2 − x∗2 M u∗ =− 2π (x∗2 + y ∗2 )2 M∗ 2x∗ y ∗ v∗ =− 2π (x∗2 + y ∗2 )2 Φ∗ =

Tab. 8.2:

y*

y*

x* M * : Dipolmoment

Elementarl¨ osungen der Potentialtheorie Qualitativer Verlauf der Potential- und Stromlinien

x*

186

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

Dieser entspricht im Fall der Einzelquelle mit der Quellst¨ arke Q∗ als dem Volumenstrom pro L¨ ange z ∗ (senkrecht zur Zeichenebene) dem Produkt ∗ Q∗ , also einem Massenstrom pro L¨ ange z ∗ . Dieser Massenstrom wird nun durch die u omung strom¨berlagerte Translationsstr¨ abw¨ arts transportiert, wobei ganz anschaulich eine Trennstromlinie entstehen muß, die das Fluid aus der Quelle von demjenigen trennt, das der Anstr¨ omung entstammt. Qualitativ entsteht dabei der in Bild B8.1 skizzierte Stromlinienverlauf. Der Staupunkt entsteht an der Stelle, an der die x-Komponente der Quellgeschwindigkeit, u∗ = Q∗ /2πx∗ gem¨ aß Tab. 8.2 (beachte: y ∗ = 0), gerade den Wert −u∗∞ annimmt. ur x∗ → ∞ ist der Abstand der TrennstromEs gilt also: x∗Staupunkt = −Q∗ /2πu∗∞ . F¨ linien dadurch festgelegt, daß zwischen ihnen der Volumenstrom (pro L¨ ange z ∗ ), der in der Quelle freigesetzt wird, hindurchstr¨ omen muß. Da weit stromabw¨ arts wieder eine Parallelstr¨ omung vorliegt, bleibt nur noch die Frage zu kl¨ aren, welche (konstante) Geschwindigkeit dort zwischen den Stromlinien herrscht. Da es sich um eine reibungsfreie Str¨ omung handelt, herrscht innen und außen jeweils ein konstanter Gesamtdruck p∗ + ∗ (u∗2 + v∗2 )/2. Da beide Gebiete im Staupunkt denselben (Gesamt-)Druck besitzen, liegt also weit stromabw¨ arts wegen Druckgleichheit auch dieselbe Geschwindigkeit u∗∞ vor. Deshalb betr¨ agt der Stromlinienabstand Q∗ /u∗∞ , wie dies in Bild B8.1 eingezeichnet ist. Erkl¨ art man in Gedanken die Trennstromlinie zur K¨ orperkontur, so kann die a ¨ußere Str¨ omung als reibungsfreie Umstr¨ omung eines so geformten K¨ orpers interpretiert werden. Man kann dann z.B. den Druckverlauf auf dieser K¨ orperkontur in Form des Druckbeiwertes cp nach (8.4) bestimmen. Die innerhalb des K¨ orpers vorliegende Str¨ omung“ ” wird dann schlicht ignoriert. Sie w¨ are f¨ ur sich genommen ebenfalls als eine reibungsfreie Str¨ omung interpretierbar, entstanden aus der Quelle in dem entsprechenden Hohlk¨ orper. ¨ An diesem Beispiel wird die Zielrichtung bei der Uberlagerung von Elementarl¨ osungen deutlich: Man versucht eine Stromlinie zu erzeugen, die der K¨ orperkontur bei einem zu berechnenden Umstr¨ omungsproblem entspricht und erh¨ alt dann (außen) das Str¨ omungsfeld f¨ ur die zugeh¨ orige reibungsfreie K¨ orperumstr¨ omung.

Quelle; Quellstarke Q*, [Q*] = m 2/s aÄ

y*

u*1

x*

Q* u*1

Staupunkt

Trennstromlinie Bild B8.1:

¨ Prinzipieller Stromlinienverlauf bei der Uberlagerung einer Translationsstr¨ omung mit einer Quellstr¨ omung

8.2 Beispiel 8.2:

187

Potentialstr¨ omungen

¨ Uberlagerung der Translationsstr¨ omung Ψ∗ = u∗∞ y ∗ mit einer Dipolstr¨ omung mit dem Dipolmoment M ∗ : Str¨ omung um einen Kreiszylinder

Die in Tab. 8.2 als Elementarl¨ osung aufgenommene Dipolstr¨ omung entsteht aus einer kombinierten Quell-, Senkenstr¨ omung mit einem Abstand h∗ zwischen Quelle (Quellst¨ arke Q∗ ) und Senke (Quellst¨ arke −Q∗ ), im Grenz¨ ubergang h∗ → 0, Q∗ → ∞ aber M ∗ = Q∗ h∗ = const. ¨ Bild B8.2-1 zeigt das durch Uberlagerung der Stromlinienbilder dieser Dipolstr¨ omung und der Translationsstr¨ omung entstehende Stromlinienbild. Erstaunlicherweise entsteht dabei eine (kreisf¨ ormige) geschlossene Trennstromlinie. Dies verwundert aber dann nicht mehr, wenn man sich vergegenw¨ artigt, daß mit dem Dipol, entstanden aus einer Quelle mit +Q∗ und einer Senke mit −Q∗ effektiv kein Fluid in das Str¨ omungsfeld eingebracht wird, wie dies bei einer offenen Trennstromlinie der Fall sein m¨ ußte. Da Quelle und Senke dar¨ uber hinaus keine ausgezeichnete Richtung besitzen, kann folgerichtig nur eine kreisf¨ ormige Trennstromlinie entstehen. Aus der Bedingung, daß der (vordere) Staupunkt dort liegen muß, wo die x-Komponente der Geschwindigkeit des Dipols gerade −u∗∞ betr¨ agt, folgt (y ∗ = 0) gem¨ aß ∗ = −M ∗ /2πx∗2 , so daß aus den Staupunktlagen x∗ = Tab. 8.2 die Beziehung −u ∞   ur den Radius R∗ folgt: R∗ = M ∗ /2πu∗∞ . ± M ∗ /2πu∗∞ f¨ Wiederum kann die Trennstromlinie zur Wand erkl¨ art werden, die Außenstr¨ omung stellt dann die reibungsfreie Umstr¨ omung eines Kreiszylinders dar. Aus der Geschwindigkeitsverteilung l¨ angs der Kontur kann unmittelbar der Druckbeiwert cp nach (8.4) berechnet werden. F¨ uhrt man den Winkel ϑ mit ϑ = 0 im vorderen Staupunkt ein, so ergibt sich f¨ ur cp , gebildet mit dem Druck p∗∞ in der Anstr¨ omung: cp (ϑ) =

p∗ − p∗∞ ∗ ∗2 u 2 ∞

= 1 − 4 sin2 ϑ

(B8.2-1)

Dipol; Dipolmoment M *, [M *] = m 3/s y*

* u1 u* ¥

x*

Staupunkt

Staupunkt Trennstromlinie

Bild B8.2-1:

¨ Prinzipieller Stromlinienverlauf bei der Uberlagerung einer Translationsstr¨ omung mit einer Dipolstr¨ omung

188

8

Reibungsfreie Umstr¨ omungen

1 reibungsfrei

cP Ä u uberkritisch

0

-1 unterkritisch #

-2

-3 0º Bild B8.2-2:

90º

180º

270º

#

360º

Verlauf des Druckbeiwertes bei der Kreiszylinder-Umstr¨ omung

Diese Druckverteilung ist in Bild B8.2-2 mit real gemessenen Werten verglichen. Nur ¨ im Bereich des vorderen Staupunktes gibt es eine relativ gute Ubereinstimmung. Die starken Abweichungen bei gr¨ oßeren Winkeln ϑ sind darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß die reale Str¨ omung nicht (wie die reibungsfreie Modellstr¨ omung) bis zum hinteren Staupunkt der Wandkontur folgt, sondern vorher abl¨ ost. Die als unter- und u ¨berkritisch bezeichneten F¨ alle weisen unterschiedlich große Abl¨ osegebiete auf. Der u ¨berkritische Fall entsteht dadurch, daß die Wandgrenzschicht (s. dazu das nachfolgende Kapitel 9) vor einer m¨ oglichen Abl¨ osung vom laminaren in den turbulenten Str¨ omungszustand wechselt und dann einen gr¨ oßeren Druckanstieg u ost. ¨berwinden kann, bevor sie abl¨ Das dabei entstehende Abl¨ osegebiet ist deutlich kleiner als dasjenige einer fr¨ uhzeitigen laminaren Abl¨ osung, s. dazu auch Beispiel 9.4 im nachfolgenden Kapitel. Dieses Beispiel zeigt, daß reibungsfreie K¨ orperumstr¨ omungen dann keine auch nur n¨ aherungsweise Beschreibung der Str¨ omung mehr darstellen, wenn in der realen Str¨ omung große Abl¨ osegebiete entstehen.

Beispiel 8.3:

¨ Uberlagerung der Kreiszylinderumstr¨ omung (Beispiel 8.2) mit einer Potentialwirbelstr¨ omung der Zirkulation Γ∗

Wenn zus¨ atzlich zu den u osungen aus Beispiel 8.2 (Transla¨berlagerten Elementarl¨ tionsstr¨ omung und Dipolstr¨ omung) eine Potentialwirbelstr¨ omung mit dem Ursprung im Kreismittelpunkt ber¨ ucksichtigt wird, so entsteht das Stromlinienbild in Bild B8.3. Aufgrund der Asymmetrie bez¨ uglich der x-Achse f¨ uhrt die Druckverteilung auf der K¨ orperkontur (Trennstromlinie) zu einer Kraft, die im Beispiel in Bild 8.3 nach oben gerichtet ist, da die erh¨ ohten Druckwerte in Staupunktn¨ ahe im unteren Umfangsbereich konzentriert sind. Eine solche, senkrecht zur Anstr¨ omung wirkende Kraft auf einen K¨ orper nennt man (aerodynamischen) Auftrieb. Eine Kraft in Richtung der Anstr¨ omung heißt (aerodynamischer) Widerstand. Ein Widerstand liegt aufgrund der zur y-Achse symmetrischen Druckverteilung wie stets bei reibungsfreien Umstr¨ omungen nicht vor. Eine Integration der Druckverteilung u orperoberfl¨ ache ergibt f¨ ur ¨ber die gesamte K¨ den Auftrieb A∗ (pro L¨ ange z ∗ ) mit [A∗ ] = N/m (Details dazu z.B. in Gersten (1991)):

8.2

189

Potentialstr¨ omungen

Dipol; Dipolmoment M * y*

Auftriebskraft

|

| | |

Potentialwirbel; Zirkulation ¡ *, [¡ *] = m2/s

|

* u u* 1 1

x*

+

+ + +

Staupunkt

Bild B8.3:

+

Staupunkt

Prinzipieller Stromlinienverlauf (außerhalb der Trennstromlinie) bei der ¨ Uberlagerung einer Translationsstr¨ omung, einer Dipolstr¨ omung und einer Potentialwirbelstr¨ omung Beachte: Γ∗ z¨ ahlt positiv gegen den Uhrzeigersinn, d.h. hier gilt Γ∗ < 0

A∗ = −∗ u∗∞ Γ∗

(B8.3-1)

Diese direkte Proportionalit¨ at zwischen dem Auftrieb und der Zirkulation Γ∗ ist nicht ein Zufallsergebnis in diesem Beispiel, sondern gilt ganz allgemein f¨ ur beliebige zweidimensionale K¨ orper (sog. Kutta-Joukowsky-Theorem).

8.2.5

Singularit¨ atenmethoden

Im vorigen Abschnitt war gezeigt worden, wie mit Hilfe des Superpositions¨ prinzipes durch Uberlagerung von einzelnen Elementarl¨osungen neue L¨osungen entstehen. In diesen kann jede vorkommende Stromlinie zur Wand er” kl¨ art“ werden. Meist werden K¨ orper jedoch durch eine Trennstromlinie zwischen zwei Teilgebieten gebildet“. Die Druckverteilung l¨angs dieser Trenn” stromlinie kann dann unmittelbar als Druckverteilung auf dem reibungsfrei umstr¨ omten K¨ orper interpretiert werden. Nun m¨ ochte man allerdings nicht mehr oder weniger zuf¨allig entstehende Stromlinien zu K¨ orpern erkl¨ aren, sondern umgekehrt beliebige K¨orperformen bez¨ uglich ihrer reibungsfreien Umstr¨ omung berechnen k¨onnen. Dies ist durch endlich viele Elementarl¨ osungen nicht zu erreichen, nur in Ausnahmef¨allen ist eine vorgegebene K¨ orperform so zu berechnen. Der Ausweg liegt auf der Hand: Unendlich viele Elementarl¨ osungen k¨ onnen im Prinzip jede beliebige

190

8

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

K¨ orperform als eine durchgehende Stromlinie erzeugen ! Dies f¨ uhrt unmittel¨ bar auf die Uberlegung, anstelle von einzelnen diskreten Elementarl¨osungen kontinuierliche Verteilungen von Quellen, Senken und Wirbeln zu verwenden, die einer unendlichen Anzahl von infinitesimal schwachen Elementarl¨osungen entsprechen. Dies ist der Grundgedanke der Singularit¨atenmethoden zur Berechnung reibungsfreier Umstr¨ omungen vorgegebener K¨orperkonturen. Aus den bisherigen Ausf¨ uhrungen, besonders auch aus den Beispielen 8.1 bis 8.3 kann f¨ ur dieses Vorgehen schon folgendes abgeleitet werden: Auftriebslose K¨ orper k¨ onnen durch eine kontinuierliche Quell-, Senkenverorpern mit Auftrieb ist zus¨atzlich eine teilung q ∗ dargestellt werden. Bei K¨ Potentialwirbelverteilung γ ∗ erforderlich, weil der Auftrieb eines K¨orpers  proportional zur Zirkulation Γ∗ = γ ∗ ds∗ ist. Hierbei sind q ∗ (s∗ ) und γ ∗ (s∗ ) die jeweiligen Quell- bzw. Zirkulationsst¨arken pro L¨angenelement s∗ , l¨ angs der diese verteilt sind. Geschlossene K¨ orperformen entstehen, wenn die Gesamt-Quellst¨arke Q∗ =  ∗ ∗ q ds den Wert Null aufweist, d.h. es m¨ ussen Quell- und Senkenverteilungen mit demselben Betrag der Gesamtst¨arke auftreten. Aus Sicht ” der ankommenden Str¨ omung“ m¨ ussen zun¨achst Quellen und anschließend achst positiv und anschließend neSenken auftreten, d.h. q ∗ (s∗ ) muß zun¨ gativ sein. Eine typische Anwendung f¨ ur solche Singularit¨atenmethoden ist die Bestimmung der reibungsfreien Str¨ omung um Tragfl¨ ugelprofile. Durch eine Quell-, Senkenverteilung wird dabei der sog. Dickeneffekt beschrieben, w¨ahrend f¨ ur Anstellung und W¨olbung Wirbelbelegungen verwendet werden. Handelt es sich um schlanke Profile, so kann in guter N¨ aherung die Randbedingung, daß orperkontur entsprechen muß (weil v ∗ /u∗ an der Wand der Steigung der K¨ diese eine Stromlinie ist), statt auf der K¨ orperkontur auf der Profilsehne erf¨ ullt werden. Dies erleichtert die Bestimmung der Singularit¨atenverteilung erheblich. F¨ ur Details dieser Methode sei auf die Spezialliteratur verwiesen, s. z.B. Truckenbrodt (1999).

9

9.1

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Vorbemerkung

Reale Str¨ omungen sind stets reibungsbehaftet, da die beteiligten Fluide eine endliche Viskosit¨at besitzen. Im vorigen Kapitel war gezeigt worden, daß es deshalb u omungen als reibungsfrei zu berechnen, ¨ berhaupt nur sinnvoll ist, Str¨ wenn reale Str¨ omungen unter gewissen Umst¨ anden so geartet sind, daß in ihnen die Reibungseffekte in guter N¨ aherung vernachl¨assigt werden k¨onnen. Es handelt sich in diesem Sinne also um eine Eigenschaft der Str¨omung und nicht des Fluides. Wenn also z.B. bei der Umstr¨ omung eines K¨orpers mit Luft gelegentlich gesagt wird, diese Str¨ omung k¨ onne als weitgehend reibungsfrei angesehen werden, weil die Viskosit¨ at von Luft so klein sei, daß dies auf große Reynolds-Zahlen f¨ uhre, und damit die Reibungsterme in den Navier-StokesGleichungen (s. Tab. 4.7a) wegen des Vorfaktors Re−1 vernachl¨assigt werden k¨onnten, so ist dies in zweierlei Hinsicht irref¨ uhrend: 1. Es erweckt den Eindruck, Luft sei ein typischer Kandidat“ f¨ ur reibungs” freie Str¨ omungen. Die Str¨ omungsmechanik auf der Basis der NavierStokes-Gleichungen ist aber ganz allgemein f¨ ur Newtonsche Fluide for¨ . . . . Daß bei sonst muliert und unterscheidet nicht nach Luft, Wasser, Ol, gleichen Bedingungen eine große Reynolds-Zahl f¨ ur ein Fluid A eher erreicht wird als f¨ ur ein Fluid B mag sein, ¨ andert aber nichts an der Tatsache, daß die Reibungsfreiheit eine Str¨ omungs- und keine Fluideigen¨ schaft ist. (Ubrigens: Bei 20 ◦ C und insgesamt gleichen Bedingungen ist die Reynolds-Zahl f¨ ur Luft um den Faktor 15 kleiner als diejenige f¨ ur ¨ !) Wasser und nur etwa doppelt so groß wie diejenige f¨ ur Ol 2. Es erweckt den Eindruck, große Reynolds-Zahlen seien per se ein Garant f¨ ur Reibungsfreiheit. Die Navier-Stokes-Gleichungen in 4.7a zeigen  Tab. 2 2 ∂2 u aber, daß dabei vorausgesetzt werden muß, daß z.B. ∂x2 + ∂∂yu2 + ∂∂zu2 in der x-Impulsgleichung nicht so groß ist, daß das Produkt dieser Terme mit Re−1 doch ber¨ ucksichtigt werden m¨ ußte. An genau dieser Stelle setzt die nachfolgend beschriebene Grenzschichttheorie an. Die korrekte und nicht irref¨ uhrende Aussage zur K¨orperumstr¨omung mit Luft m¨ ußte also lauten: Diese Str¨ omung kann dann als weitgehend reibungsfrei angesehen werden, wenn die f¨ ur die Str¨ omung von Luft auftretenden ReynoldsZahlen sehr groß sind und die Str¨ omung deshalb die Eigenschaft besitzt, daß

192

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

in großen Teilen des Str¨ omungsfeldes Reibungseffekte in guter N¨aherung vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. Dies macht deutlich, daß es sich um eine Str¨omungseigenschaft handelt und f¨ uhrt unmittelbar auf die Frage, warum ein Str¨omungsfeld f¨ ur große Reynolds-Zahlen diese Eigenschaft besitzt.

9.2

Die Entstehung und Physik von Str¨ omungsgrenzschichten

Str¨ omungsgrenzschichten sind d¨ unne, an Grenzfl¨achen eines Str¨omungsfeldes auftretende Schichten, in denen hohe Geschwindigkeitsgradienten vorliegen und Reibungseffekte von entscheidender Bedeutung sind. In diesen ¨ Grenzschichten erfolgt der Ubergang der Geschwindigkeit vom Wert an der Grenzfl¨ ache (z.B. null wegen der Haftbedingung) auf den Wert am Rand der Grenzschicht. Außerhalb dieser d¨ unnen Grenzschichten kann die Str¨omung in guter N¨ aherung als reibungsfrei angesehen werden. Grenzfl¨achen sind h¨aufig, aber nicht notwendigerweise feste W¨ ande. Sie sind dadurch gekennzeichnet, daß an ihnen ein singul¨ arer, sprunghafter Geschwindigkeitsverlauf vorliegen w¨ urde, wenn die Str¨ omung vollst¨ andig reibungsfrei w¨are und damit z.B. die Haftbedingung nicht mehr erf¨ ullt werden k¨ onnte. In diesem Sinne liegt eine Grenzfl¨ ache also z.B. auch dort vor, wo zwei reibungsfreie Str¨omungen unterschiedlicher Geschwindigkeit aneinander grenzen. Es gibt nun verschiedene M¨ oglichkeiten zu veranschaulichen, wann und warum Str¨ omungsgrenzschichten an Grenzfl¨ achen entstehen. Eine vielleicht zun¨ achst etwas abstrakt erscheinende Erkl¨ arung, die aber sehr nahe an den entscheidenden physikalischen Vorg¨ angen bleibt, beschreibt in diesem Zusammenhang die Entstehung und Ausbreitung von Drehung (einer lokalen Eigenschaft von Str¨ omungen) in einem Str¨ omungsfeld, s. dazu Abschn. 3.4.2, besonders Tab. 3.1 . Da drehungsfreie Str¨ omungen stets auch reibungsfrei sind, andererseits reibungsbehaftete Str¨ omungen notwendigerweise auch drehungsbehaftet sind, ist die Drehung offensichtlich eine in diesem Zusammenhang aussagekr¨ aftige Eigenschaft, und: sie ist eine Eigenschaft der Str¨omung und nicht des Fluides! Die allgemeine Bilanzgleichung f¨ ur den Drehungsvektor ω ∗ =(ωx∗ , ωy∗ , ωz∗ ) war in Anmerkung 4.9 /S. 73/ als sog. Wirbeltransportgleichung angegeben worden, s. (4.38). F¨ ur ebene, zweidimensionale Str¨ omungen vereinfacht sie sich erheblich und stellt dann eine Gleichung f¨ ur die Komponente ωz∗ =

∂v ∗ ∂u∗ − ∂x∗ ∂y ∗

(9.1)

dar, die hier noch einmal angegeben wird, jetzt aber mit ω ∗ anstelle von ωz∗ :
2 ∗  ∗ ∗ ∂ 2ω∗ ∂ ω ∂ω ∗ ∗ ∂ω ∗ ∂ω ∗ +u +v =ν + (9.2) ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂x∗2 ∂y ∗2

9.2

Die Entstehung und Physik von Str¨ omungsgrenzschichten

193

In dimensionsloser Form mit den Variablen gem¨aß Tab. 4.4, der Reynolds∗ und der dimensionslosen Drehung ω = ω ∗ /(UB∗ /L∗B ) Zahl Re = UB∗ L∗B /νB lautet (9.2)
2  ∂ω ∂ω ∂ ω ∂2ω ∂ω +u +v = Re−1 + (9.3) ∂t ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2  

 

konvektiver Transport von ω

diffusiver Transport von ω

Diese Gleichung ist (zusammen mit der Kontinuit¨atsgleichung) ¨aquivalent zu den Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur ebene Str¨omungen, beschreibt also die Geschwindigkeit eines (ebenen) Str¨ omungsfeldes. Im Zusammenhang mit den grunds¨ atzlich drehungsfreien Potentialstr¨omungen (s. Abschn. 8.2) war bereits darauf hingewiesen worden, daß die Wirbeltransportgleichung (9.3) als homogene Differentialgleichung keinen Quellterm besitzt. Man erkennt sofort, daß ω = 0 eine L¨osung der Gleichung (9.3) ist, wenn die Randbedingungen dies zulassen. Aus mathematischer Sicht bedeutet dies, daß eine von ω = 0 verschiedene L¨osung dann entsteht, wenn ω = 0 auf dem Rand des L¨ osungsgebietes herrscht. Physikalisch bedeutet dies: Unterstellt man zun¨ achst eine drehungsfreie Zustr¨omung (z.B. die homogene Anstr¨ omung eines K¨ orpers), so wird eine reibungsbehaftete Str¨omung (f¨ ur die ω = 0 sein muß) entstehen, wenn an der Wand ω = 0 herrscht, an der Wand also Drehung entsteht, da sie in der Str¨omung nicht entstehen kann. Die Wand, oder allgemeiner eine Grenzfl¨ ache, ist also eine Drehungsquelle“. ” Wie gelangt die an der Wand erzeugte Drehung aber in die Str¨omung ? In Anmerkung 4.9 /S. 73/, im Zusammenhang mit (4.39) war die Analogie zwischen dem Transport von innerer Energie und Drehung beschrieben worden. So wie sich die innere Energie durch W¨ armeleitung in einem Feld ausbreiten kann (was Diffusion von innerer Energie genannt werden kann), kann Drehung durch einen vergleichbaren Prozeß in das Innere des Str¨omungsfeldes gelangen. Die maßgeblichen Transportkoeffizienten sind die Tempeur die Diffusion innerer Energie und die kinematische raturleitf¨ ahigkeit a∗ f¨ Viskosit¨ at ν ∗ f¨ ur die Diffusion von Drehung. Auf diesem Hintergrund soll im folgenden erl¨autert werden, in welchem Sinne eine Str¨ omungsgrenzschicht der grenzfl¨ achennahe Bereich ist, in dem Drehungsdiffusion stattfindet. Der anschließende Außenbereich ist drehungsbzw. reibungsfrei. Dazu soll folgendes 3-Schritt-Gedankenexperiment“ die” nen: (1) In einem ersten Schritt stellt man sich vor, eine zun¨achst ruhende, unendlich ausgedehnte Wand werde pl¨ otzlich in ihrer eigenen Ebene mit einer konstanten Geschwindigkeit u∗∞ nach links in Bewegung gesetzt, wie dies im Teilbild 9.1 (1) dargestellt ist. Aufgrund der Haftbedingung wird unmittelbar an die Wand angrenzendes Fluid mitbewegt, unter der Wirkung der Viskosit¨ at ν ∗ entsteht ein kontinuierlicher Abfall der Ge-

194

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

schwindigkeit bis auf den Wert Null des ruhenden Fluides in gr¨oßerem Abstand von der Wand. In einem fluidfesten Koordinatensystem ergeben sich zu drei Zeiten t∗3 > t∗2 > t∗1 die skizzierten Geschwindigkeitsverl¨aufe im Fluid. Die Profile wachsen“ mit der Zeit t∗ in das ruhende Fluid hinein“, sind aber ” ” an jeder Stelle x∗ zu gleichen Zeiten identisch. Die Bereiche, in denen ∗ die Drehung ω endliche, von Null verschiedene Werte besitzt, sind grau unterlegt. Es ist deutlich zu erkennen, wie Drehung mit der Zeit in das Fluid hineindiffundiert“. Dabei ist zu beachten, daß keine scharfe Gren” ¨ zu ω ∗ = 0 erfolgt ze in y ∗ besteht, von der ab ω ∗ = 0 gilt. Der Ubergang ∗ vielmehr asymptotisch“, d.h. ω = 0 wird endg¨ ultig erst im Unendlichen ” erreicht, ω ∗ ist aber außerhalb der grauen Bereiche bereits vernachl¨assigbar klein. Grenzschichtr¨ ander, im Bild mit δ ∗ (t∗ ) bezeichnet, k¨onnen also nur die Bedeutung haben, daß dort die Drehung bis auf einen kleinen, vorgegebenen Wert abgeklungen ist. (2) Im n¨ achsten Schritt wechselt nur das Bezugssystem. Man betrachtet dieselbe Str¨ omung jetzt in einem k¨ orperfesten Koordinatensystem. Die neu zu beobachtenden Geschwindigkeiten u∗2 sind damit u∗2 = u∗∞ − u∗1 , wenn u∗1 die im Teilbild (1) dargestellten Str¨ omungsgeschwindigkeiten sind. ¨ (3) Im dritten Schritt erfolgt der gedankliche Ubergang auf eine nur noch halbunendliche Platte, d.h., es soll eine Vorderkante existieren, die im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Damit entsteht eine v¨ollig neue Situation: Die Str¨ omung f¨ ur x∗ < 0 ist aus Sicht des k¨orperfesten Koordinatensystems f¨ ur alle Werte von y ∗ die ungest¨orte Str¨omung u∗∞ . F¨ ur x∗ > 0 liegt eine zeitunabh¨ angige Grenze δ ∗ des Gebietes mit ∗ Drehung ω = 0 vor (grau unterlegt). Diese ist jetzt aber eine Funktion der Koordinate x∗ . Wenn Grenzschichten die wandnahen Gebiete sind, in denen Drehungsdiffusion stattfindet, so ist der in Teilbild 9.1(3) grau unterlegte Bereich die Str¨ omungsgrenzschicht an der mit u∗∞ u ¨ berstr¨omten Wand. Station¨ are Grenzschichten entstehen offensichtlich an u ¨berstr¨omten Grenzfl¨ achen, die im weitesten Sinne eine Vorderkante“ besitzen, was bei realen ” endlichen K¨ orpern stets der Fall ist. Die h¨ aufig anzutreffende Erkl¨arung, daß dies Gebiete seien, in denen Reibungseffekte eine Rolle spielen, ist zutreffend aber unpr¨ azise, weil dies das Str¨ omungsfeld noch nicht konkret charakterisiert. Die Aussage, daß es Gebiete sind, die aufgrund von Reibungseffekten endliche Werte der Drehung aufweisen, die durch einen Diffusionsprozeß von der Grenzfl¨ ache dorthin gelangt ist, erkl¨ art die besondere physikalische Situation in Grenzschichten sehr viel pr¨ aziser.

9.2

Die Entstehung und Physik von Str¨ omungsgrenzschichten

ω∗ =

(1) Koordinatensystem fluidfest“ ”

±*(t*) 3

y*

195 ∂v ∗ ∂u∗ − ∂x∗ ∂y ∗  =0

±*(t*) 2

±*(t*) 1

x* u*1

ω∗ =

(2) Koordinatensystem k¨ orperfest“ ” u*1

±*(t*) 3

y*

∂v ∗ ∂u∗ − ∂x∗ ∂y ∗  =0

±*(t*) 2

±*(t*) 1

x*

∂v ∗ ∂u∗ − ∂x∗ ∂y ∗  →0 (f¨ ur Re → ∞)

ω∗ =

(3) Koordinatensystem k¨ orperfest“ ” (+Vorderkante) u*1 y*

±*

x* L*

Bild 9.1:

3-Schritt-Gedankenexperiment zur Erzeugung“ von ” Str¨ omungsgrenzschichten δ∗ :

Grenzschichtrand;

L∗ : willk¨ urliche Bezugsl¨ ange

196

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Aus dieser Vorstellung heraus l¨ aßt sich sehr einfach und anschaulich ableiten, von welcher Gr¨ oßenordnung δ ∗ (x∗ ) in Bild 9.1(3) ist. Dazu werden zwei Zeiten gleichgesetzt: 1. die Zeit t∗u = x∗ /u∗∞ , die verstreicht, bis das Fluid wandparallel von der Vorderkante bis zur Stelle x∗ gestr¨ omt ist 2. die Zeit t∗δ = δ ∗ /vω∗ , die verstreicht, bis Fluidteilchen an der Stelle x∗ am Außenrand der Grenzschicht von dem diffusivem Transport der Drehung, der von der Wand ausgeht, erfaßt werden. Teilchen geh¨ oren“ zur Grenzschicht, wenn sie w¨ahrend ihrer Verweilzeit u ¨ber ” der Platte von der Drehungsdiffusion erreicht werden k¨onnen. Es gilt also t∗u ∼ t∗δ −→

x∗ δ∗ ∼ ∗ ∗ u∞ vω

(9.4)

Dabei ist vω∗ eine charakteristische Geschwindigkeit senkrecht zur Wand, mit der Drehung diffusiv transportiert wird. Mit der Viskosit¨at ν ∗ als der Ursache f¨ ur diesen Transport und δ ∗ als der Strecke auf der dieser Transport stattfindet, ist ν∗ (9.5) vω∗ = ∗ δ eine solche charakteristische Diffusions-Transportgeschwindigkeit. Gleichung (9.5) in (9.4) eingesetzt ergibt unmittelbar # ν ∗ x∗ ∗ δ ∼ u∗∞ oder dimensionslos mit einer willk¨ urlichen Bezugsl¨ange L∗ (s. Bild 9.1(3)) δ∗ 1 ∼√ ∗ L Re

"

x∗ L∗

mit

Re =

u∗∞ L∗ ν∗

(9.6)

Damit wird deutlich, daß Str¨ omungsgrenzschichten als d¨ unne, grenzfl¨achennahe Schichten um so ausgepr¨ agter (d¨ unner) sind, je h¨oher die Reynolds-Zahl ist. Dies bedeutet, daß mit steigender Reynolds-Zahl ein immer kleinerer Teil des Str¨ omungsfeldes drehungsbehaftet im Sinne eindiffundierter Drehung ist. Dies gilt allerdings nur, wenn es nicht zur Str¨omungsabl¨osung kommt (s. dazu auch die Erl¨ auterungen im Zusammenhang mit Beispiel 8.2). Auf genau diesem sog. asymptotischen Verhalten der Str¨omung f¨ ur Re → ∞ basiert die im nachfolgenden Abschnitt behandelte Grenzschichttheorie. Eine sorgf¨ altige Beachtung der Voraussetzungen, unter denen der Zusammenhang (9.6) abgeleitet worden ist, f¨ uhrt weiterhin zu folgenden Schlußfolgerungen: Die Proportionalit¨ at δ ∗ /L∗ ∼ Re−1/2 wird nur f¨ ur laminare Grenzschichten gelten, da nur f¨ ur diese der diffusive Drehungstransport ausschließlich

9.3

Die Grenzschichttheorie als asymptotische Theorie f¨ ur Re → ∞

197

durch die molekulare Viskosit¨ at ν ∗ erfolgt. Bei turbulenten Str¨omungen tritt ein weiterer str¨ omungsabh¨ angiger Transportmechanismus hinzu (charakterisierbar durch die kinematische Wirbelviskosit¨at νt∗ (5.20)), so daß eine andere Abh¨ angigkeit von der Reynolds-Zahl auftreten wird. Dabei ist zu beachten, daß die Reynolds-Zahl stets, also auch bei turbulenten Str¨ omungen mit dem Stoffwert der molekularen Viskosit¨at gebildet wird. √ Die Proportionalit¨ at von δ ∗ zu x∗ , also bei laminaren Grenzschichten  diejenige von δ ∗ /L∗ zu x∗ /L∗ gem¨ aß (9.6), wird nur dann gelten, wenn die wandferne Str¨ omung einheitlich u∗∞ betr¨agt. Dies ist aber nur bei der Str¨ omung u ¨ber einer ebenen Wand (wie in Bild 9.1) der Fall. Wenn die Str¨ omung außerhalb der Grenzschicht x-abh¨angig ist, muß auch f¨ ur δ ∗ √ eine andere x-Abh¨ angigkeit als x∗ erwartet werden. Auf diese Details wird im Rahmen der Grenzschichttheorie n¨aher eingegangen. Vorher soll aber der Grundgedanke, die Grenzschichttheorie als asymptotische Theorie f¨ ur Re → ∞ zu formulieren, n¨aher erl¨autert werden.

9.3

Die Grenzschichttheorie als asymptotische Theorie f¨ ur Re → ∞

Bei der im vorigen Abschnitt beschriebenen Entstehung von Grenzschichten war ein entscheidender Aspekt, daß diese f¨ ur steigende Reynolds-Zahlen (Re → ∞) immer deutlicher auftreten, weil der wandnahe Bereich, gekennzeichnet durch endliche Werte der Drehung, immer d¨ unner wird. F¨ ur das weitergehende Verst¨ andnis ist es nun sehr hilfreich die Rea” lit¨ atsebene“ und die Modellebene“ gedanklich deutlich zu trennen, wie dies ” in Kap. 2 (s. vor allem auch Bild 2.1) beschrieben worden ist. Auf der Realit¨ atsebene ist zu fragen, unter welchen Umst¨anden große Reynolds-Zahlen entstehen und durch welche Maßnahmen Reynolds-Zahlen ansteigen. Auf der Modellebene gilt es zu kl¨aren, welchen Charakter die L¨ osung des physikalisch/mathematischen Modells annimmt, wenn der Parameter Reynolds-Zahl sehr groß wird. Handelt es sich um ein ad¨aquates Modell, so liegen bez¨ uglich der entscheidenden Eigenschaften die in Bild 2.1 angedeuteten Entsprechungen zwischen der L¨ osung des physikalisch/mathematischen Modells und der Realit¨ at vor. ∗ mit Zun¨ achst zur Realit¨ atsebene: Gem¨ aß der Definition Re = UB∗ L∗B /νB ∗ ∗ ∗ νB = ηB /B , sind die Reynolds-Zahlen eines bestimmten Problems um so gr¨ oßer, je gr¨ oßer die charakteristische Geschwindigkeit UB∗ des Problems ist. Eine Erh¨ ohung dieser Geschwindigkeit, z.B. der Anstr¨omgeschwindigkeit bei einer K¨ orperumstr¨ omung, f¨ uhrt unmittelbar zu einer Steigerung der Reynolds-Zahl innerhalb des Problems. je gr¨ oßer die charakteristische L¨ ange L∗B des Problems ist. Eine Erh¨ohung dieser Gr¨ oße, z.B. des Durchmessers bei der Kreiszylinderumstr¨omung,

198

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

f¨ uhrt ebenfalls unmittelbar zu einer Steigerung der Reynolds-Zahl innerhalb des Problems. ∗ je kleiner die kinematische Viskosit¨ at νB des beteiligten Fluides ist. F¨ ur ∗ technisch relevante Fluide sind νB jeweils sehr kleine Werte in der Gr¨oßenordnung von etwa 10−5 m2 /s. Deshalb sind Reynolds-Zahlen h¨aufig sehr ∗ groß. Steigende Reynolds-Zahlen innerhalb eines Problems u →0 ¨ ber νB realisieren zu wollen, ist aber kein sinnvolles Konzept, weil daf¨ ur das Fluid ∗ zwischen verschiegewechselt werden m¨ ußte (und sich dar¨ uber hinaus νB denen Fluiden nicht extrem stark unterscheidet).

Durch die beschriebenen M¨ oglichkeiten ist aufgezeigt, wann ein Str¨omungsproblem durch große bzw. steigende Reynolds-Zahlen gekennzeichnet ist und damit (zunehmenden) Grenzschichtcharakter besitzt. Die Reynolds-Zahlen k¨ onnen groß werden, bleiben aber nat¨ urlich stets endliche Werte. Auf der Modellebene tritt die Frage auf, welche Besonderheit die L¨osungen aufweisen, wenn große bzw. steigende Reynolds-Zahlen auftreten. Dazu bietet es sich an, die L¨ osung systematisch auf ihr Verhalten f¨ ur Re → ∞ zu untersuchen. Die mit (9.6) gefundene Abh¨ angigkeit δ ∗ /L∗ ∼ Re−1/2 bedeutet, daß auch im physikalisch/mathematischen Modell δ ∗ /L∗ → 0 f¨ ur Re → ∞ gelten muß, wenn dieses eine ad¨ aquate Beschreibung der Grenzschichtphysik darstellen soll. F¨ ur Re = ∞ bzw. Re−1 = 0 gilt damit δ ∗ /L∗ = 0, so daß die Grenzschicht scheinbar verschwunden“ ist. Andererseits muß auch die L¨osung f¨ ur ” Re−1 = 0 die physikalisch bedingten Randbedingungen erf¨ ullen, an der Wand ¨ also die Haftbedingung. Der Ubergang vom Geschwindigkeitswert Null an der Wand (Haftbedingung) auf einen endlichen Wert am Rand der Grenzschicht erfolgt im Grenzfall Re = ∞ also in einer Schicht mit der Dicke Null ! Damit wird der Geschwindigkeitsgradient an der Wand unendlich groß. Eine solche Grenzl¨ osung bezeichnet man als singul¨are L¨osung, da die allgemeine L¨osung mit Re als Parameter im Grenzfall Re = ∞ Werte aufweist, die nicht mehr endlich sind. Bisher ist damit u osung eines Problems mit Grenz¨ ber die allgemeine L¨ schichtcharakter, also f¨ ur Re → ∞, folgendes bekannt: Die mathematische Beschreibung auf der Modellebene erfolgt durch die allgemeinen Grundgleichungen. F¨ ur Newtonsche Fluide sind dies die Navier-Stokes-Gleichungen; die Reynolds-Zahl Re ist ein Parameter in diesen Gleichungen. F¨ ur große Reynolds-Zahlen bildet sich eine wandnahe Schicht der Dicke δ ∗ aus, die durch endliche Werte der Drehung gekennzeichnet ist, w¨ahrend außerhalb dieser Schicht eine drehungsfreie Str¨omung vorliegt. Die Schichtdicke skaliert z.B. bei einer laminaren Str¨omung bzgl. der Reynolds-Zahl als δ ∗ /L∗ ∼ Re−1/2 .

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

199

Im Grenzfall Re = ∞ entartet“ die Schichtdicke zu δ ∗ /L∗ = 0, die ma” thematische L¨ osung ist an der Wand singul¨ar. Str¨ omungen mit Grenzschichtcharakter haben in der Realit¨at stets große, aber endliche Reynolds-Zahlen. L¨ osungen des physikalisch/mathematischen Modells bei diesen endlichen Reynolds-Zahlen sind m¨oglich aber u.U. schwierig, weil sie in der N¨ ahe“ der singul¨ aren Grenzl¨osung (bei Re = ∞) gesucht ” werden. Hier nun macht die Grenzschichttheorie aus der Not eine Tugend“: Sie ” nutzt den speziellen Charakter des L¨ osungsverhaltens f¨ ur Re → ∞ aus, um damit Reihenentwicklungen f¨ ur große Reynolds-Zahlen in zwei getrennten Gebieten zu formulieren und diese Gebiete anschließend aneinander anzupassen. Wie sich herausstellt, ist bereits der jeweils f¨ uhrende Term dieser Reihenentwicklungen eine sehr gute N¨ aherung der exakten L¨osung. Dar¨ uber hinaus sind die Gleichungen zur Bestimmung dieser f¨ uhrenden Terme gegen¨ uber den vollst¨ andigen Grundgleichungen erheblich vereinfacht. F¨ ur laminare Grenzschichten ist der Weg f¨ ur eine solche Behandlung des Problems klar vorgezeichnet und ohne prinzipielle Schwierigkeiten gangbar. F¨ ur turbulente Grenzschichten ist die systematische Behandlung auf der Basis einer Reihenentwicklung sehr viel schwieriger. Oftmals begn¨ ugt man sich dann deshalb damit, einen mehr oder weniger systematisch abgeleiteten f¨ uhrenden Term“ einer Reihenentwicklung f¨ ur Re → ∞ zu formulieren. ” Der wesentliche Grund f¨ ur diesen Unterschied liegt in der unterschiedlichen Abh¨ angigkeit der Grenzschichtdicke von der Reynolds-Zahl. Bei laminaren Grenzschichten gibt es eine einheitlich zu behandelnde Grenzschicht der Dicke δ ∗ /L∗ ∼ Re−1/2 . Bei turbulenten Grenzschichten dagegen muß die gesamte Grenzschicht noch einmal unterteilt werden, wobei beide Teilbereiche unterschiedliche Abh¨ angigkeiten von der Reynolds-Zahl aufweisen, die dar¨ uber hinaus auch keine einfachen Potenzen Rem sind. Noch einmal zur notwendigen und sinnvollen Trennung von Realit¨ats- und Modellebene: In der Realit¨ at besitzen Str¨ omungen u.U. Grenzschichtcharakter, d.h., in einem Teil des Str¨ omungsfeldes k¨ onnen besondere Eigenschaften gefunden werden; das Str¨ omungsfeld ist aber ein einziges Gebiet mit u ¨ berall kontinuierlich verlaufenden Zustandsgr¨ oßen. Auf der Modellebene wird das L¨ osungsgebiet daraufhin in zwei Teilbereiche aufgespalten (die Außenstr¨ omung und die Grenzschicht). Beide Gebiete werden getrennt betrachtet und ihre L¨ osungen anschließend wieder zu einer L¨osung zusammengesetzt. Eine Grenzschicht als isoliertes Str¨ omungsgebiet f¨ ur sich“ zu betrachten ist ” also ein typischer Aspekt der Behandlung einer Str¨omung auf der Modellebene.

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

Im Grenzfall Re = ∞ entarten die L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen zu sog. singul¨aren L¨osungen. Als physikalisch/mathematisches Modell rea-

200

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

ler Str¨ omungen werden L¨ osungen f¨ ur Re → ∞, d.h. f¨ ur große aber endliche Reynoldszahlen gesucht. Da diese L¨ osungen in der N¨ahe der singul¨aren L¨osung f¨ ur Re = ∞ liegen, k¨ onnen sie durch eine sog. St¨orungsrechnung ermittelt werden, bei der Abweichungen von der (singul¨aren) Grenzl¨osung durch eine systematische Reihenentwicklung bestimmt werden. Man nennt dies ein singul¨ares St¨orungsproblem. Es gibt aus mathematischer Sicht verschiedene Methoden, singul¨are St¨orungsprobleme zu behandeln. Die wichtigste Methode, die dar¨ uber hinaus unmittelbar an dem zuvor beschriebenen physikalischen Ph¨anomen der Grenzschichtbildung in Wandn¨ ahe ansetzt, ist die Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen (engl.: method of matched asymptotic expansions). Diese Methode kann hier nicht in allen Einzelheiten dargestellt werden, dazu sei auf die Spezialliteratur verwiesen, wie z.B. Gersten, Herwig (1992, Kap. 11). Im folgenden soll jedoch der Grundgedanke erl¨autert werden, wie aus den Navier-Stokes-Gleichungen im Grenz¨ ubergang Re → ∞ die Gleichungen zur Beschreibung laminarer Grenzschichten entstehen. Der Ausgangspunkt ist die sog. naive N¨aherung des Gesamtproblems: Man setzt Re = ∞ und erh¨ alt aus den Navier-Stokes-Gleichungen (s. Tab. 4.7a) die 2D-Euler-Gleichungen (s. Tab 8.1, dort dimensionsbehaftet; hier dimensionslos und ohne Schwerkrafteinfluß oder mit p = pmod ): ∂p Du =− Dt ∂x

;

Dv ∂p =− Dt ∂y

(9.7)

Die L¨ osungen von (9.7), zusammen mit der Kontinuit¨atsgleichung ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0, ergibt als L¨ osung die Verteilung von u(x,y), v(x,y) und p(x,y) f¨ ur den Außenbereich einer realen Str¨ omung. Ein Beispiel ist die Str¨omung um einen schlanken K¨ orper, wie in Bild 9.2 skizziert. Die L¨osung bei Re = ∞ (bei der die Grenzschichten unendlich d¨ unn werden) stellt eine N¨aherungsl¨osung f¨ ur endliche Reynolds-Zahlen dar. Der damit verbundene Fehler ist asymptotisch klein, d.h., er geht f¨ ur Re → ∞ gegen Null, wenn man sich nicht in unmittelbarer Wandn¨ ahe, d.h. in der Grenzschicht, befindet. Deshalb kann folgende Entwicklung außerhalb des wandnahen Bereiches, im sog. Außenbereich, angesetzt werden: uA (x,y,Re) = uA1 (x,y) + Re−n uA2 (x,y) + . . . vA (x,y,Re) = vA1 (x,y) + Re−n vA2 (x,y) + . . . pA (x,y,Re) = pA1 (x,y) + Re−n pA2 (x,y) + . . .

(9.8)

Die f¨ uhrenden Terme uA1 , vA1 , pA1 folgen als L¨osung von (9.7), wobei jetzt u = uA1 , v = vA1 und p = pA1 gilt. Die weiteren Terme uA2 , vA2 , pA2 , . . . k¨ onnen aus Gleichungen bestimmt werden, die ¨ahnlich wie (9.7) aus den Navier-Stokes-Gleichungen abzuleiten sind, die hier aber nicht aufgef¨ uhrt werden. F¨ ur das weitere Verst¨ andnis ist wichtig, daß (9.8) ein Str¨omungsfeld beschreibt, das bis an die Wand reicht, dort aber eine L¨osung aufweist, deren

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

201

AUSSENBEREICH -1/2

n*, N

y *, y

Entwicklung: uA = uA1 + Re uA2+ ... vA = ... s *, s

x*, x uA*1

GRENZSCHICHTBEREICH -1/2

Entwicklung: uG = uG1 + Re u G2 + ... vG = ...

Bild 9.2:

K¨ orperumstr¨ omung ohne Abl¨ osung Außenbereichs-Koordinaten: x = x∗ /L∗ ; y = y ∗ /L∗ √ Grenzschicht-Koordinaten: s = s∗ /L∗ ; N = (n∗ /L∗ ) Re

Fehler nicht mehr asymptotisch klein ist. An der Wand besitzt die wandparallele Geschwindigkeitskomponente f¨ ur Re → ∞ einen endlichen Wert, so daß der Fehler, d.h. die Abweichung zum tats¨achlichen Wert Null (Haftbedingung), nicht asymptotisch klein ist. Im wandnahen Bereich, d.h. in der Grenzschicht, versagt die bisherige L¨ osung, so daß sie durch eine andere L¨ osung ersetzt werden muß, die der besonderen physikalischen Situation in unmittelbarer Wandn¨ahe gerecht wird. Der entscheidende Punkt ist nun, daß das Grenzschichtgebiet asymptotisch klein ist, d.h. daß seine Dicke f¨ ur Re → ∞ mit dem Faktor Re−1/2 zu Null geht, wie in (9.6) gezeigt worden war. Um in diesem wandnahen Gebiet ebenfalls eine L¨ osung f¨ ur Re → ∞ zu finden, m¨ ussen die Grundgleichungen (Navier-Stokes Gleichungen) zun¨ achst in ein Koordinatensystem umgeschrieben werden, in dem das L¨ osungsgebiet (die Grenzschicht) f¨ ur Re → ∞ als Gebiet endlicher Gr¨ oße erhalten bleibt. Dies ist nur m¨oglich, wenn eine wandnormale Koordinate n∗ √ N = ∗ Re (9.9) L als sog. Grenzschichtkoordinate eingef¨ uhrt wird. Dabei verl¨auft ein (s∗ ,n∗ )Koordinatensystem entlang der Wand, wie dies in Bild 9.2 eingezeichnet ist.

202

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Die wandparallele Koordinate s∗ wird nicht transformiert, so daß s = s∗ /L∗ als dimensionslose Koordinate eingef¨ uhrt werden kann. Neben der Transformation (9.9), die verhindert, daß das L¨ osungsgebiet f¨ ur Re → ∞ verschwin” det“, muß auch eine transformierte Quergeschwindigkeit V =

v∗ √ Re UB∗

(9.10)

eingef¨ uhrt werden, um ein Entarten der Kontinuit¨atsgleichung im Grenzfall Re → ∞ zu vermeiden. Nur wenn V gem¨ aß (9.10) eingef¨ uhrt wird, bleiben in der Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ /∂x∗ + ∂v ∗ /∂y ∗ = 0 nach der Transformation formal alle Terme auch f¨ ur Re → ∞ erhalten. Dies ber¨ ucksichtigt, daß die unnen Grenzschichten asymptotisch klein, Quergeschwindigkeit v ∗ in den d¨ aber nicht gleich Null wird. Das Koordinatensystem (s,N ) ist im allgemeinen ein krummliniges System, das der Wand folgt. In dieses System m¨ ussen die Navier-Stokes-Gleichungen umgeschrieben werden, damit dann die Grenzl¨osung f¨ ur Re → ∞ und die Abweichungen f¨ ur große, aber endliche Reynolds-Zahlen in der Grenzschicht ermittelt werden k¨ onnen. Die Navier-Stokes-Gleichungen in allgemeinen krummlinigen Koordinaten sollen hier nicht explizit aufgef¨ uhrt werden. Gegen¨ uber der Formulierung in kartesischen Koordinaten treten Terme hinzu, die explizit die Kr¨ ummung der Koordinatenlinien enthalten. Dies wirkt sich jedoch erst in den Gleichungen h¨ oherer Ordnung aus, wie noch erl¨autert werden wird. ¨ Ahnlich wie im Außenbereich k¨ onnen jetzt f¨ ur den Grenzschichtbereich Entwicklungen angesetzt werden, die Abweichungen von der Grenzl¨osung bei Re = ∞ systematisch erfassen: uG (s,N ,Re) = uG1 (s,N ) + Re−m uG2 (s,N ) + . . . VG (s,N ,Re) = VG1 (s,N ) + Re−m VG2 (s,N ) + . . . pG (s,N ,Re) = pG1 (s,N ) + Re−m pG2 (s,N ) + . . .

(9.11)

Die Gleichungen zur Bestimmung von uG1 , VG1 , pG1 sowie uG2 , VG2 , pG2 und allen nachfolgenden Termen folgen aus den Navier-Stokes-Gleichungen, wenn die Ans¨ atze (9.11) dort eingesetzt werden. Im Zuge dieser systematischen Ableitung kann auch der zun¨ achst unbekannte Exponent m festgelegt werden, f¨ ur den sich wie auch f¨ ur den Exponenten n in (9.8) der Zahlenwert m = n = 1/2 ergibt. Die besagten Gleichungssysteme entstehen, indem jeweils alle Terme derselben asymptotischen Gr¨oßenordnung zusammengefaßt werden, also alle Terme frei von der Reynolds-Zahl, alle Terme mit demselben ur Vorfaktor Re−1/2 , mit Re−1 , usw. . Das so abgeleitete Gleichungssystem f¨ die f¨ uhrende, erste Ordnung, also die Grenzl¨ osung bei Re = ∞, lautet: ∂VG1 ∂uG1 + =0 ∂s ∂N

(9.12)

9.4

uG1

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

∂pG1 ∂ 2 uG1 ∂uG1 ∂VG1 + VG1 =− + ∂s ∂N ∂s ∂N 2 ∂pG1 =0 ∂N

203

(9.13) (9.14)

mit den Randbedingungen: N =0 : N →∞:

uG1 = VG1 = 0 uG1 = uA1

Die Randbedingung an der Wand entspricht mit uG1 = 0 der Haftbedingung, VG1 = 0 bedeutet eine undurchl¨ assige Wand. Die Randbedingung am Außenrand (N → ∞) wird sp¨ ater als (9.16) n¨ aher erl¨autert. Die Gleichungen (9.12)–(9.14) sind die sog. Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung, die in mehrerlei Hinsicht bemerkenswert sind. Zun¨achst f¨allt auf, daß in diesen Gleichungen noch kein Kr¨ ummungseinfluß vorkommt. Dies war allerdings auch zu erwarten, da ein lokaler Kr¨ ummungsradius R∗ (s∗ ) im Vergleich zur asymptotisch kleinen Grenzschichtdicke δ ∗ (s∗ ) relativ gesehen sehr √ ∗ ∗ ummungseinfluß groß ist (Asymptotisch gilt R /δ ∼ Re, so daß ein Kr¨ erst in den Grenzschichtgleichungen 2. Ordnung auftritt). Da in den Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung noch keine Kr¨ ummungseffekte vorkommen, k¨ onnen die Gleichungen formal auch in einem x-y-Koordinatensystem angegeben werden, wie dies in Tab. 9.1 geschieht. Es ist aber zu beachten, daß nur die Gleichungen 1. Ordnung im kartesischen x-y-System und dem k¨orperangepaßten s-N -System identisch sind und deshalb nur f¨ ur diese Gleichungen das kartesische x-y-System als k¨ orperangepaßtes Koordinatensystem interpretiert werden kann. In der s-Impulsgleichung (9.13) ist ein Reibungsterm erhalten geblieben, dessen Ursprung √ leichter zu erkennen ist, wenn die Grenzschichtkoordinate N formal in n Re umgeschrieben wird, so daß gilt ∂ 2 uG1 1 ∂ 2 uG1 = 2 ∂N Re ∂n2 Der Vergleich mit den dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichungen in Tab. 4.7a zeigt (dort als Term Re−1 [∂ 2 u/∂y 2 ]), daß einer von drei Reibungstermen in der x- bzw. s-Impulsgleichung erhalten bleibt. F¨ ur Re → ∞ gilt also ∂ 2 uG1 /∂n2 → ∞, so daß der Reibungsterm insgesamt von der Gr¨oßenordnung Eins bleibt. Die N -Impulsgleichung (9.14) ist auf die Aussage pG1 = pG1 (s) reduziert, d.h., der Druck ist in der Grenzschicht 1. Ordnung u ¨ber die Grenzschicht hinweg konstant. Er kann aber l¨ angs der Wand, also mit s variieren, und zwar genau so, wie sich der Druck in der Außenstr¨ omung (am Grenzschichtrand) mit s ver¨ andert. Der Druck ist also durch die Außenstr¨omung aufgepr¨agt, weshalb pG1 (s) in (9.13) durch pA1 (s), den Druck der Außenstr¨omung am Grenzschichtrand, ersetzt werden kann.

204

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Gem¨ aß (8.3) gilt in der reibungsfreien Außenstr¨omung l¨angs einer Stromlinie p∗ + ∗ u∗2 omung (am Grenzs /2 = const. Der Druckgradient der Außenstr¨ schichtrand), dp∗A1 /ds∗ , kann deshalb mit Hilfe von du∗sA1 dp∗A1 ∗ ∗ = − u sA1 ds∗ ds∗ ersetzt werden. In dimensionsloser Form (vgl. Tab. 4.4) wird daraus dusA1 dpA1 = −usA1 ds ds, so daß endg¨ ultig der Term −∂pG1 /∂s in (9.13) ersetzt werden kann durch −

∂pG1 dusA1 = usA1 ∂s ds

(9.15)

Dabei ist usA1 die Geschwindigkeit der Außenstr¨omung an der Wand und nicht am Grenzschichtrand, wie sp¨ ater erl¨ autert wird. Historisch gesehen sind die Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung erstmals von L. Prandtl in einer 1904 ver¨ offentlichten Abhandlung angegeben worden. Die Ableitung war von Prandtl jedoch nicht auf dem systematischen, zuvor kurz skizzierten Weg vorgenommen worden. Vielmehr hat er mit physikalischen Argumenten gefolgert, daß die Navier-Stokes-Gleichungen in den Grenzschichten auf die in (9.12)–(9.15) enthaltenen Terme reduziert werden k¨ onnen. Die von Prandtl durch eine Absch¨ atzung der Gr¨oßenordnung identifizierten wichtigen“ Terme, sind in Tab. 9.1 markiert. Sie entsprechen genau ” den mit Hilfe einer systematischen Reihenentwicklung bestimmten Termen (9.12)–(9.15). Die sog. Prandtlschen Grenzschichtgleichungen haben sich also im nachhinein als f¨ uhrende Terme einer Entwicklung der Navier-StokesGleichungen f¨ ur Re → ∞ erwiesen. Die Entwicklung (9.11) zeigt, daß die Ergebnisse der Prandtlschen Grenzschichttheorie systematisch verbessert werden k¨ onnen, wenn h¨ ohere Ordnungen hinzugenommen werden, d.h. wenn neben uG1 , VG1 , pG1 auch die nachfolgenden Gleichungssysteme 2. und ggf. noch h¨ oherer Ordnung gel¨ ost werden. F¨ ur praktische Anwendungen werden aber stets nur die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen gel¨ ost (Grenzschichttheorie 1. Ordnung). L¨osungen h¨ oherer Ordnung sind sehr aufwendig und bleiben deshalb auf systematische Grundsatzstudien beschr¨ ankt. Neben den Gleichungen sind (wie fast immer) die Randbedingungen von entscheidender Bedeutung. F¨ ur die Str¨ omung im Außenbereich gilt als entscheidende Randbedingung an der Wand die sog. kinematische Str¨omungsbedingung. Sie fordert, daß die Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Wand Null sein muß, wenn die Wand undurchl¨assig ist. Bez¨ uglich der Tangentialkomponente kann keine Vorgabe gemacht werden, sie ist Teil der Außenl¨ osung (und verletzt mit einem von Null verschiedenen Wert die Haftbedingung).

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z

Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + + =0 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ x-Impulsgleichung Du∗ ∗ ∗ Dt

=

∗ gx∗

205

(K∗cp )

  2 ∗ ∂ 2 u∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∂ u − ∗ +η + + ∂x ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(XI∗cp )

y-Impulsgleichung

2 ∗  ∂p∗ ∂ 2v∗ ∂ 2 v∗ Dv ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ v =  g − + η + + y Dt∗ ∂y ∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(YI∗cp )

z-Impulsgleichung

2 ∗  ∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ Dw ∗ ∗ ∗ ∂ w  =  gz − ∗ + η + + D t∗ ∂z ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(ZI∗cp )

∗

Tab. 9.1:

2D-Prandtlsche Grenzschichtgleichungen (laminar) Grenzschichtgleichungen f¨ ur ebene, laminare Str¨ omungen als Spezialfall der Navier-Stokes-Gleichungen aus Tab. 4.3a Zus¨ atzliche Annahme: station¨ ar grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme (Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme, ggf. mit dem zugeh¨ origen Vorfaktor η∗ , u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null.) Beachte: mit dem modifizierten Druck p∗mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂x ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ∗ ∂y ∂y ∗

Die Bestimmung der relevanten Terme erfolgt u oßenordnungs¨ ber eine Gr¨ Absch¨ atzung aller Terme mit den beiden Bedingungen v∗ u∗ und ∂/∂x∗ ∂/∂y ∗ und ber¨ ucksichtigt, daß das L¨ osungsgebiet eine (asymptotisch) kleine Querabmessung besitzt. Beachte: Da nur die Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung identifiziert werden, f¨ ur die noch keine Kr¨ ummungseinfl¨ usse auftreten, k¨ onnen die kartesischen Koordinaten x-y-z beibehalten werden. Nur im Rahmen der Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung k¨ onnen diese Koordinaten allgemein als k¨ orperangepaßte Koordinaten interpretiert werden.

F¨ ur die Grenzschichtstr¨ omung hingegen wird an der Wand die Haftbedingung erf¨ ullt. Am Außenrand der Grenzschicht gilt die Forderung, daß die ” Grenzschicht in die Außenstr¨ omung u ¨bergehen muß“. Diese Forderung ist am

206

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

¨ Beispiel einer konstanten Außengeschwindigkeit u∗∞ , wie sie bei der Uberstr¨ omung einer ebenen Platte vorliegt, unmittelbar einsichtig, s. Bild 9.3a. ¨ Der Ubergang von der Grenzschicht in die Außenstr¨omung erfolgt asymptotisch, also scheinbar fließend“, ohne daß eine feste Stelle erkennbar w¨are, an ” ¨ der genau der Ubergang vollzogen wird. ¨ Dieser einfache Fall verschleiert aber, was asymptotischer Ubergang“ ” wirklich meint, und was damit auch die genaue Außenrandbedingung f¨ ur die Grenzschicht festlegt. F¨ ur den allgemeineren Fall einer nicht konstanten Außenstr¨ omung ist dies in Bild 9.3b gezeigt: Der Wandwert der Außenstr¨omung legt den Geschwindigkeitswert am Außenrand der Grenzschicht fest, ohne daß dies zun¨ achst zu einem insgesamt glatten und kontinuierlichen Verlauf des letztlich gesuchten Gesamt-Geschwindigkeitsprofiles f¨ uhren w¨ urde ! Die ma∗ als Normalkoordinate sowie n = n∗ /L∗ thematische Bedingung lautet mit n √ ∗ ∗ und N = (n /L ) Re: lim uA1 = lim uG1

n→0

N →∞

(9.16)

und stellt die sog. asymptotische Anpassungsbedingung dar. Beide Gebiete werden also nicht an einem irgendwie gearteten Grenzschichtrand angepaßt, sondern so aufeinander abgestimmt, daß sie bei endlichen Reynolds-Zahlen an verschiedenen Stellen einen gemeinsamen Geschwindigkeitswert erreichen. Diese Diskrepanz, daß die Grenzschicht am Grenzschichtrand den Geschwindigkeitswert erreicht, den die Außenstr¨ omung an der Wand besitzt, ist asymptotisch klein, d.h. sie verschwindet im Grenzfall Re = ∞, weil dann die Grenzschichtdicke zu Null geworden ist. Die Randbedingung (9.16) ist gleichzeitig Ausdruck des hierarchischen Aufbaus einer Grenzschichtrechnung: In einem ersten Schritt wird mit (9.7) die Außenstr¨ omung um den K¨ orper berechnet. Ein Ergebnis dieser Rechnung ist die Geschwindigkeitsverteilung und u ¨ ber den Zusammenhang (8.4) auch die Druckverteilung auf der K¨ orperoberfl¨ ache. In einem zweiten Schritt wird aus (9.12)–(9.15), jetzt mit der bekannten Außengeschwindigkeit usA1 , die Grenzschicht l¨ angs der Wand berechnet, und zwar so, daß die Anpassungsbedingung (9.16) erf¨ ullt ist. Diese Hierarchie kann systematisch fortgesetzt werden, indem in einem dritten Schritt die Außenstr¨omung 2. Ordnung und in einem vierten Schritt die Grenzschicht 2. Ordnung berechnet wird. Dies ist jedoch nicht mehr Gegenstand dieses Buches. Eine entscheidende Voraussetzung f¨ ur einen hierarchischen Aufbau der Grenzschichttheorie ist jedoch, daß es nicht zur Str¨omungsabl¨osung an dem betrachteten K¨ orper kommt. Nur dann kann im ersten Schritt die Außenstr¨ omung u orper selbst berechnet werden und muß nicht (ein prin¨ber dem K¨ zipiell auch durch die Grenzschicht beeinflußtes) zus¨atzliches Abl¨osegebiet ber¨ ucksichtigen. Sobald es zu großen Abl¨ osegebieten kommt, ist zumindest die Grenzschichthierarchie durchbrochen. Meist gelingt es auch nicht mehr, Grenzschicht und Außenstr¨ omung in einem dann erforderlichen iterativen Verfahren aufeinander abzustimmen. H¨ aufig gibt man dann das Grenzschicht-

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

Zusammengesetzte Losung o

Tangentialgeschwindigkeit o der Grenzschichtstromung am Grenzschichtrand

uA*1

Haftbedingung

Tangentialgeschwindigkeit der o Au¼enstromung an der Wand

Bild 9.3a: Zusammengesetzte L¨ osung bei konstanter Außenstr¨ omung (Theorie 1. Ordnung)

o Zusammengesetzte Losung

Tangentialgeschwindigkeit o der Grenzschichtstromung am Au¼enrand

uA*1

Haftbedingung Tangentialgeschwindigkeit der o Au¼enstromung an der Wand

Bild 9.3b: Zusammengesetzte L¨ osung bei nicht konstanter Außenstr¨ omung (Theorie 1. Ordnung)

207

208

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

konzept als Modellvorstellung ganz auf und berechnet die Str¨omung (numerisch) auf der Basis der vollst¨ andigen Navier-Stokes-Gleichungen. Mit der L¨ osung uA1 und uG1 , die wie Bild 9.3b zeigt, im allgemeinen zun¨ achst keinen glatten Geschwindigkeitsverlauf ergeben, kann durch folgende Vorschrift eine sog. zusammengesetzte L¨osung (engl.: composite solution) erzeugt werden (Beachte: uA1 ist jetzt auch im Koordinatensystem (s,n) formuliert): √ (9.17) u(s,n) = uA1 (s,n) + uG1 (s,n Re) − ug d.h.: beide Profile werden addiert und ihr gemeinsamer (doppelt gez¨ahlter) Anteil ug wird anschließend wieder subtrahiert. Da das Profil u ¨ ber der Koordinate n aufgetragen wird, entsteht abh¨ angig von der Reynolds-Zahl ein gemeinsames Profil, das mit steigender Reynolds-Zahl einen immer ausgepr¨ agteren Grenzschichtcharakter besitzt. Im Grenzfall Re = ∞ ist es optisch nicht vom Profil der Außenl¨ osung zu unterscheiden, trotzdem wird aber auch in diesem (singul¨ aren) Grenzfall die Haftbedingung erf¨ ullt. In Bild 9.3b ist eine solche zusammengesetzte L¨ osung eingezeichnet, der gemeinsame Anteil ug ist in diesem Fall die Tangentialgeschwindigkeit der Außenstr¨omung an der Wand. Wenn die L¨ osung der Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung ((9.12)–(9.15)), die zusammen mit der L¨ osung der Gleichungen (9.7) f¨ ur den Außenbereich im Grenzfall Re = ∞ eine exakte (singul¨ are) L¨osung der Navier-StokesGleichungen darstellen, als asymptotische N¨ aherungsl¨osung benutzt wird, so ist dabei folgendes zu beachten. Die N¨ aherung ist umso besser, je h¨oher die Reynolds-Zahl ist. Laminare Str¨ omungen liegen aber nicht bei beliebig hohen Reynolds-Zahlen vor, weil oberhalb der sog. kritischen Reynolds-Zahlen ¨ in eine turbulente Str¨ omungsform erfolgt. Im konkreten Rekrit der Ubergang Fall wird die Grenzschichtl¨ osung bei laminaren Str¨omungen stets einen gewissen Mindestfehler aufweisen, weil die Reynolds-Zahl zwangsl¨aufig unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl liegt. Dieser Fehler kann dadurch verkleinert werden, daß weitere Terme der systematischen Reihenentwicklung hinzugenommen werden (Grenzschichttheorie h¨ oherer Ordnung). Er kann auf diesem Wege bei endlichen Reynolds-Zahlen aber nicht beliebig verkleinert werden, weil asymptotische Reihen nicht notwendigerweise konvergent sind, d.h. der Fehler bei fester Reynolds-Zahl nicht notwendigerweise durch die Hinzunahme weiterer Terme kleiner wird. Wenn u ¨ berhaupt, wird meist nur die erste Korrektur, d.h. die Grenzschichttheorie 2. Ordnung berechnet. Dies f¨ uhrt in der Regel zu einer deutlichen Verbesserung des Ergebnisses bei endlichen Reynolds-Zahlen, s. dazu Beispiel 9.1 . Bild 9.4 soll die prinzipielle Fehlerproblematik verdeutlichen. F¨ ur eine detaillierte Darstellung der Grenzschichttheorie muß auf die Spezialliteratur verwiesen werden (z.B. Schlichting, Gersten (1997); Gersten, Herwig (1992)). Hier sollen nur die beiden entscheidenden Effekte Wider” stand“ und Verdr¨ angung“ behandelt werden. ”

9.4

209

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

Grenzschichttheorie 1.Ordnung Grenzschichttheorie 2.Ordnung

Fehler

turbulent

-1

Rekrit

laminar

-1

Re

Re = 1 (exakte Losung) o

Bild 9.4:

9.4.1

Prinzipielle Abh¨ angigkeit des Fehlers bei asymptotischen N¨ aherungsl¨ osungen grau unterlegt: Reynolds-Zahl-Bereich laminarer Grenzschicht-Str¨ omungen

Grenzschichteffekt: Widerstand

Der Widerstand eines umstr¨ omten K¨ orpers, d.h. die resultierende Kraft auf den K¨ orper in Richtung der Anstr¨ omung, setzt sich (bei Unterschallstr¨omungen) aus den beiden Anteilen Druckwiderstand und Reibungswiderstand zusammen. Der Druckwiderstand ergibt sich aus einer Integration der Druckverteilung u orperoberfl¨ ache, der Reibungswiderstand aus ¨ ber die gesamte K¨ der entsprechenden Integration der Wandschubspannung. Im Rahmen der Grenzschichttheorie 1. Ordnung k¨ onnte der Druckwiderstand prinzipiell aus dem Ergebnis der Außenstr¨ omung usA1 ermittelt werden, da diese den Druck l¨ angs der K¨ orperkontur ergibt. Ist dies eine Potentialstr¨omung um den K¨orper selbst, ist dieser Druckwiderstand allerdings Null (d’Alembertsches Paradoxon, s. die Diskussion am Ende von Abschn. 8.1). Der Reibungswiderstand folgt aus der L¨ osung der Grenzschichtgleichungen, da diese an der Wand die Haftbedingung erf¨ ullen und dabei u ¨ ber den Zusammenhang (vgl. (3.1))  ∂u∗  (9.18) τw∗ = η ∗ ∗  ∂n w unmittelbar auf die Wandschubspannung f¨ uhren. Bei diesem Vorgehen muß allerdings vorausgesetzt werden, daß keine Str¨omungsabl¨osung auftritt, da nur dann die Hierarchie der Grenzschichttheorie eingehalten ist, bei der nacheinander zun¨ achst die Außenstr¨ omung und dann die Grenzschicht berechnet werden k¨ onnen. Diese Bedingung ist bei sog. schlanken K¨orpern ohne nennenswerte Anstellwinkel erf¨ ullt, wie dies z.B. In Bild 9.2 skizziert ist. Der Widerstand eines umstr¨ omten K¨ orpers als Kraft auf den K¨orper erzeugt eine entsprechende Reaktionskraft, d.h. eine Kraft auf die Str¨omung.

210

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Diese f¨ uhrt gem¨ aß des Tr¨ agheitsprinzipes“ zu einer Impuls¨anderung (vgl. ” (4.13) in Kap. 4), die im vorliegenden Fall als Impulsverlust der Str¨omung interpretiert werden kann. Da ein K¨ orper in reibungsfreier Str¨omung jedoch keinen Widerstand besitzt, muß dieser im realen Fall auf die Wirkung der Grenzschicht zur¨ uckgehen. Im Rahmen der Grenzschichttheorie 1. Ordnung muß er als Reibungswiderstand aus der L¨ osung der Grenzschichtgleichungen zu ermitteln sein. Durch die verminderten Geschwindigkeiten in der Grenzschicht (gegen¨ uber der reibungsfreien Str¨ omung bis an die Wand heran) liegt dort auch ein verminderter Impuls vor. Die sog. Impulsverlustdicke δ2∗ , definiert als die Dicke einer Schicht mit der Geschwindigkeit u∗sA1 , die denselben Impuls besitzt, welcher der Grenzschicht insgesamt fehlt, folgt damit aus (B ∗ : Breite, senkrecht zur (s∗ ,n∗ )-Ebene)  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (u∗sA1 − u∗G1 )u∗G1 dn∗ ( B δ2 usA1 )usA1 =  B 



Impulsstrom einer Schicht der Dicke δ2∗



 In der Grenzschicht fehlender“ Impuls ”

und lautet in dimensionslosen Grenzschichtkoordinaten: δ∗ √ ∆2 = 2∗ Re = L

 ∗ ∞
uG1 u∗ dN 1 − ∗G1 usA1 u∗sA1

(9.19)

0

Die Gr¨ oße δ2∗ bzw. in Grenzschichtvariablen ∆2 muß ein Maß f¨ ur den Widerstand sein, da der Impulsverlust unmittelbar darauf zur¨ uckgeht, daß die Str¨ omung den Widerstand als Reaktionskraft sp¨ urt“. Eine globale Impuls” bilanz zeigt, daß die Gr¨ oße δ2∗ allerdings hinter dem K¨orper bestimmt werden muß, wo die Grenzschichten als sog. Nachlaufstr¨omung stromabw¨arts weitergef¨ uhrt werden, wo aber bereits wieder der ungest¨orte Druck der Außenstr¨ omung vorliegt. Damit ist der im Str¨ omungsprofil gefundene Impulsdefekt auch physikalisch ein Impulsverlust, weil keine Druckkr¨afte an der Kr¨aftebilanz bei der Impulsbilanzierung beteiligt sind (vgl. (6.40)). Bild 9.5 skizziert diese Situation f¨ ur einen allgemeinen umstr¨ omten K¨orper. Mit der Bedingung, daß stromabw¨ arts bereits wieder der Druck der Anstr¨omung herrscht, wird der dimensionslose Impulsverlust ganz analog zu (9.19) an einer Stelle orper als x∗ hinreichend weit hinter dem K¨ +∞
  yo
 1 u∗G1 u∗G1 u∗G1 u∗G1 dy = √ dN 1− ∗ 1− ∗ u∞ u∗∞ u∞ u∗∞ Re

yu

(9.20)

−∞

bestimmt. Dabei ist u∗G1 jetzt das Nachlauf-Geschwindigkeitsprofil an der festen Stelle x∗ . Die Integration erfolgt dabei in der Grenzschichtkoordinate

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

211

Geschwindigkeitsdefekt !Impulsverlust

y *, y x*, x o umstromter Korper o o ohne/mit Stromungsablosung o

uA*1

Bild 9.5:

uA*1

Geschwindigkeitsdefekt hinter einem umstr¨ omten K¨ orper Folge: Impulsverlust der Str¨ omung

√ N = n Re von −∞ bis +∞, in der nicht-transformierten Koordinate y von einer unteren Grenze yu bis zu einer oberen Grenze yo . In beiden F¨allen werden alle Abweichungen vom Wert u∗∞ , der weit entfernt vorliegt, erfaßt. Aus der globalen Impulsbilanz ergibt sich nun unmittelbar f¨ ur den sog. Wi/2) derstandsbeiwert cW = W ∗ /(B ∗ L∗ ∗ u∗2 ∞

cW

2W ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗2 = 2  B L u∞

 ∗ yo
u u∗ dy 1− ∗ u∞ u∗∞

(9.21)

yu

Dabei ist (9.21) zun¨ achst bewußt nicht in der transformierten Koordinate f¨ ur laminare Grenzschichten formuliert worden, weil das Ergebnis (9.21) nicht auf diese Situation beschr¨ ankt ist. Vielmehr findet sich der Widerstand jedes K¨ orpers, ob laminar oder turbulent u ¨ berstr¨omt, ob ohne oder mit Str¨ omungsabl¨ osung im Impulsverlust der Nachlaufstr¨omung wieder, wenn dort der Druck der Anstr¨ omung vorliegt ! Dieses Ergebnis zeigt, daß f¨ ur große Reynolds-Zahlen, bei denen eine Umstr¨ omung ohne Ber¨ ucksichtigung der Grenzschichten zu keinem Widerstand f¨ uhrt, die Grenzschichten f¨ ur den Str¨ omungswiderstand verantwort” lich“ sind. Erst die Ber¨ ucksichtigung der Grenzschichten f¨ uhrt zu einem endlichen Str¨ omungswiderstand; der Reibungswiderstand entsteht dabei direkt u ¨ ber die integrale Wirkung der Wandschubspannung, der Druckwiderstand als Effekt h¨ oherer Ordnung“ indirekt u ¨ber die Beeinflussung der Außen” str¨omung. Diese Beeinflussung ist besonders stark bei Abl¨osung der Str¨omungsgrenzschicht, die zu einer stark ver¨ anderten Außenstr¨omung f¨ uhrt; s. dazu auch die nachfolgende Anmerkung 9.2/S. 217.

212

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Hinterkante

ebene Platte N s

u*1

u*1

u*1

L* Bild B9.1-1:

Laminare Grenzschichtstr¨ omung an der ebenen Platte der L¨ ange L∗

2

2 (1,328 Re-1/2) [Theorie 1.Ordnung]

1 Bild B9.1-2:

Beispiel 9.1:

-7/8

-1/2

2 (1,328 Re + 2,67 Re ) o [Theorie hoherer Ordnung]

cW

0,2

Nachlaufprofil

10

100

1000

Re

Widerstandsbeiwert einer beidseitig benetzten Platte der L¨ ange L∗ ; Re = u∗∞ L∗ /ν ∗ : L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen

: Experimentelle Ergebnisse

Widerstand einer laminar u omten ebenen Platte ¨ berstr¨

Der Prototyp des schlanken K¨ orpers ist eine ebene, parallel angestr¨ omte Platte. Sie besitzt von vorne herein nur Reibungswiderstand, da es keine Druckkraftkomponenten in Anstr¨ omrichtung gibt. Aus der L¨ osung der Grenzschichtgleichungen (9.12)–(9.15) mit der Außenstr¨ omung an der Wand usA1 = u∗sA1 /u∗∞ = 1 folgt f¨ ur den Geschwindigkeitsgradienten an der Wand (in Grenzschichtkoordinaten): ∂uG1 0,4696 = √ ∂N 2s



0,664 = √ s



(B9.1-1)

Der Zahlenwert 0,4696 ist das Ergebnis einer entsprechenden numerischen L¨ osung der Gleichungen (9.12)–(9.15).

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

213

∗ der zweiseitig benetzten Platte (oftmals wird auch F¨ ur den gesuchten Widerstand Wzb nur die einseitig benetzte Platte betrachtet !) gilt zun¨ achst mit B ∗ als Plattenbreite, senkrecht zur Zeichenebene, s. Bild B9.1-1:

L∗ ∗ Wzb = 2 B∗

L∗ ∗ τw ds∗ = 2 B ∗ η∗

0



∂u∗   ds∗ ∂n∗ w

(B9.1-2)

0

Umgeschrieben in die dimensionslosen Grenzschichtvariablen ergibt dies zusammen mit (B9.1-1): cW =

∗ 2Wzb

∗ B ∗ L∗ u∗2 ∞

2 =2· √ Re

1 0

∂uG1 0,664 ds = 2 · √ ∂N Re

1

ds 1,328 √ = 2· √ s Re

(B9.1-3)

0

√ Das Ergebnis (B9.1-3) in der Form cW Re = 2 · 1,328 zeigt unter dimensionsanalytischen Gesichtspunkten, daß der Widerstandsbeiwert cW und die Reynolds-Zahl Re bei laminaren Grenzschichten offenbar keine unabh¨ angigen dimensionslosen Kennzahlen sind, die dann eine allgemeine L¨ osung urden. Vielmehr √ cW = cW (Re) implizieren w¨ Kennzahl angesehen werkann offensichtlich die Kombination cW Re als eine (neue) √ den, so daß die gesuchte L¨ osung die allgemeine Form cW Re = const besitzt. Eine solche Reduktion in der Anzahl der zur Beschreibung erforderlichen dimensionslosen Kennzahlen hat stets einen physikalischen Hintergrund, der mit dimensionsana¨ lytischen Uberlegungen aufgekl¨ art werden kann. Entweder besitzt eine urspr¨ unglich als relevante Einflußgr¨ oße angesehene physikalische Gr¨ oße gar nicht diese Funktion, oder es gibt neben dem eigentlich gesuchten funktionalen Zusammenhang zwischen den relevanten Einflußgr¨ oßen eine weitere, davon zun¨ achst unabh¨ angige Kopplung zwischen den Einflußgr¨ oßen bzw. den daraus abgeleiteten dimensionslosen Kennzahlen (s. dazu das Pi-Theorem in Abschn. 2.3.2). Im vorliegenden Fall gibt es eine feste Kopplung zwischen der Reynolds-Zahl Re und ∗ gem¨ der Str¨ omungsgeschwindigkeit v = v∗ /UB aß (9.10) und u ats¨ber die Kontinuit¨ gleichung damit an das Str¨ omungsfeld insgesamt, so daß die Zahl der unabh¨ angigen Kennzahlen um Eins reduziert wird. Dies gilt aber nur im Rahmen der Grenzschichttheorie 1. Ordnung. Ber¨ ucksichtigt man Effekte h¨ oherer Ordnung, so ist die eindeutige Kopplung zwischen v und Re aufgehoben, weil der allgemeine Zusammenhang (9.11) gilt. Deshalb hat die L¨ osung jetzt die Form cW = cW (Re). Eine (aufwendige) Analyse ergibt als Ergebnis im Sinne einer systematischen Erweiterung von (B9.1-3), f¨ ur Einzelheiten s. Gersten, Herwig (1992): cW = 2 · (1,328 Re−1/2 + 2,67 Re−7/8 + . . .)

(B9.1-4)

Bild B9.1-2 zeigt diesen Zusammenhang. Es wird deutlich, daß bei niedrigen Reynolds¨ Zahlen erst die Grenzschichttheorie h¨ oherer Ordnung eine befriedigende Ubereinstimmung mit der L¨ osung der vollst¨ andigen Grundgleichungen bzw. mit dem Experiment ergibt (vgl. auch Bild 9.4 bez¨ uglich der prinzipiellen Abh¨ angigkeit des Fehlers bei asymptotischen N¨ aherungsl¨ osungen). Das Ergebnis (B9.1-3) f¨ ur cW der 1. Ordnung kann statt durch eine Integration u omung gem¨ aß (9.21) ¨ber die Wandschubspannung auch aus dem Impulsverlust der Str¨ ermittelt werden. Da im vorliegenden Fall der Druck der Anstr¨ omung bereits direkt an der Hinterkante der u omten Platte vorliegt, kann der Nachlauf-Impulsverlust ¨berstr¨ (9.20) aus der Impulsverlustdicke der Grenzschichten (oben und unten) an der Hinterkante bestimmt werden. Aus der numerischen L¨ osung folgt f¨ ur ∆2 bei s = 1 (also an der Hinterkante) ∆2 = 0,664. Damit gilt √ f¨ ur die zweiseitig benetzte Platte mit dem Nachlauf-Impulsverlust δ2∗ /L∗ = 2 · 0,664/ Re f¨ ur cW gem¨ aß (9.21): √ 1,328 cW = 2 · 2 · 0,644/ Re = 2 · √ Re ¨ in Ubereinstimmung mit dem Ergebnis (B9.1-3).

(B9.1-5)

214

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

reibungsfreie Au¼enstromung o

a Verdrangungsdicke

REALITATSEBENE: Grenzschichtcharakter der Stromung o

Bild 9.6:

9.4.2

MODELLEBENE: a Verdrangung der reibungsfreien Au¼enstromung durch die o Verdrangungsdicke der a Grenzschicht

Verdr¨ angung der reibungsfreien Außenstr¨ omung (Modellvorstellung zur Wirkung von Grenzschichten)

Grenzschicht-Effekt: Verdr¨ angung

Die Modellierung einer realen Str¨ omung mit Grenzschichtcharakter durch die beiden Teill¨ osungen reibungsfreie Außenstr¨omung“ und Grenzschicht“ ” ” f¨ uhrt im Modell (d.h. auf der Modellebene) zu folgendem Effekt: Nach dem Zusammensetzen der Teill¨ osungen ist die reibungsfreie Außenstr¨omung gegen¨ uber der urspr¨ unglichen L¨ osung (bis zur Wand hin) durch die Grenzschicht nach außen verdr¨ angt worden, weil in der Grenzschicht durchweg kleinere wandparallele Geschwindigkeiten vorliegen. In bezug auf eine rein reibungsfreie L¨ osung wirkt die Grenzschicht also wie eine k¨ unstliche Aufdi” ckung“ des K¨ orpers. Der reibungsfreie Teil der zusammengesetzten L¨osung k¨onnte also auch durch die reibungsfreie Umstr¨omung eines Ersatzk¨orpers ermittelt werden, der dem urspr¨ unglichen K¨ orper plus der sog. Verdr¨angungsdicke der Grenzschicht entspricht, s. Bild 9.6 . Deshalb spricht man von dem Verdr¨angungseffekt von Grenzschichten, sollte aber beachten, daß dies zun¨ achst ein Effekt auf der Modellebene ist. Er beschreibt einen Aspekt einer Str¨ omung mit Grenzschicht gegen¨ uber einer Str¨omung ohne Grenzschicht (die es auf der Realit¨ atsebene nicht gibt). Trotzdem ist es ein sinnvoller Begriff, weil er u omungen verdeutlicht, wie sich der Au¨ bertragen auf reale Str¨ ßenbereich der Str¨ omung bei steigenden Reynolds-Zahlen ver¨andert, n¨amlich angt“. Im hierarchischen Aufbau der so, als w¨ urde er weniger stark verdr¨ ” Grenzschichttheorie wird diese Verdr¨ angungswirkung bei der Bestimmung der Außenstr¨ omung 2. Ordnung ber¨ ucksichtigt. Als quantitatives Maß f¨ ur die Verdr¨ angungswirkung einer Grenzschicht wird die sog. Verdr¨angungsdicke eingef¨ uhrt. Wie in Bild 9.7 veranschaulicht, kann δ1∗ aus dem Grenzschicht-Geschwindigkeitsprofil durch die Bedin-

9.4

215

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

* Au¼engeschwindigkeitsprofil usA1

Grenzschicht* Geschwindigkeitsprofil uG1

±1*

* o ; reibungsfreie Au¼enstromung an der Wand usA1

Bild 9.7:

Verdr¨ angungswirkung der Grenzschicht auf die reibungsfreie Außenstr¨ omung Darstellung f¨ ur eine endliche Reynolds-Zahl, vgl. auch Bild 9.3b .

gung gewonnen werden, daß die beiden dunkel unterlegten Teilfl¨achen gleich groß sind. Dies entspricht der Bestimmung des Defekt-Volumenstromes“ ” u∗sA1 δ1∗ B ∗ aus der Integration u ¨ber das Grenzschichtprofil als ∗

n0 ∗ B (u∗sA1 − u∗G1 ) dn∗ 0

so daß insgesamt in Grenzschichtkoordinaten gilt δ∗ √ ∆1 = 1∗ Re = L

 ∞
u∗G1 1− ∗ dN usA1

(9.22)

0

Diese Verdr¨ angungsdicke ist ein sinnvolles Maß zur Charakterisierung der Grenzschicht insgesamt. Gelegentlich wird als Grenzschichtdicke eine Gr¨oße δi∗ eingef¨ uhrt, die angibt, in welchem Wandabstand i % des Geschwindig¨ keitswertes am Außenrand der Grenzschicht erreicht sind. Ubliche Werte sind ¨ i = 95 oder i = 99. Wegen des fließenden“ Uberganges am Grenzschichtrand, ” besonders aber auch wegen der Problematik, daß Grenzschicht und Außenstr¨omung nicht kontinuierlich, sondern asymptotisch (im Sinne von Bild 9.3b) ineinander u ¨ bergehen, ist δ ∗ kein sinnvolles Maß. Allenfalls im Spezialfall der ebenen Plattengrenzschicht (vgl. Bild 9.3a) kann daf¨ ur ein sinnvoller Wert angegeben werden, wie Tab. 9.2 zeigt. √ ∗ /L∗ ) Re, ∆1 und ∆2 f¨ ur Diese Tabelle enth¨ alt die Zahlenwerte ∆99 = (δ99 die Grenzschicht an der ebenen Platte sowie die daraus gewonnenen dimensionsbehafteten Werte f¨ ur drei verschiedene Reynolds-Zahlen. F¨ ur konkrete

216

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

(a) Allgemeine Ergebnisse: ∗ √ δ99 Re L∗ √ ≈5 s

∆99 =

δ1∗ √ Re L∗ √ 1,721 s

∆1 =

δ2∗ √ Re L∗ √ 0,664 s

∆2 =

√ 2τ ∗ √ cf Re = ∗ w∗2 Re  u∞ √ 0,664/ s

(b) s∗ = L∗ = 1 m; ∗ = 1,2 kg/m3; η ∗ = 1,8 · 10−5 kg/ms (Luft bei 20 ◦ C) u∗∞

Re

∗ δ99

δ1∗

δ2∗ 21 mm

τw∗

0,015

m s

103

158 mm

54,4 mm

2,83 · 10−6

N m2

0,15

m s

104

50 mm

17,2 mm 6,6 mm 8,96 · 10−5

N m2

1,5

m s

105

15,8 mm

2,1 mm 2,83 · 10−3

N m2

Tab. 9.2:

5,4 mm

(a) Zahlenwerte aus der numerischen L¨ osung der Grenzschichtgleichungen f¨ ur die Grenzschicht an einer ebenen Platte Re =

∗ u∗∞ L∗ ; η∗

s=

s∗ L∗

(b) Anwendung in einem speziellen Fall

Ergebnisse anderer Grenzschichtstr¨ omungen sei auf die Spezialliteratur verwiesen. Anmerkung 9.1:

Selbst¨ ahnliche Grenzschichten (laminar)

Die L¨ osung der Grenzschichtgleichungen (9.12)–(9.15) mit den zugeh¨ origen Rand- und Anfangsbedingungen liegt eindeutig fest, sobald die Außengeschwindigkeit usA1 (s) vorgegeben ist. Diese wiederum ergibt sich als L¨ osung einer reibungsfreien Str¨ omung um einen bestimmten K¨ orper, so daß auf diesem indirekten Weg zu jeder K¨ orperkontur eine bestimmte Grenzschichtentwicklung l¨ angs der K¨ orperoberfl¨ ache geh¨ ort. Handelt es sich nun um sog. halbunendliche K¨ orper (die einen Anfang“, aber kein ” Ende“ besitzen), so muß f¨ ur die Grenzschichtentwicklung l¨ angs dieser K¨ orperkontur eine ” besondere Situation vorliegen. Der Prototyp eines solchen halbunendlichen K¨ orpers ist die halbunendliche ebene Platte (s. Beispiel 9.1). Wegen des Fehlens einer charakteristischen L¨ ange bei solchen K¨ orpern hat die Grenzschicht an keiner Stelle einen bestimmten Prozentsatz ihrer insgesamt vorkommenden Entwicklung erreicht, d.h. aber, daß sie sich nur in einer gleichf¨ ormigen, nie endenen Entwicklung befinden kann. Diese Gleichf¨ ormigkeit der stromabw¨ artigen Entwicklung muß aber zu Geschwindigkeitsprofilen f¨ uhren, die an keiner Stelle eine Besonderheit aufweisen k¨ onnen (weil dies umgekehrt eine charakteristische L¨ ange des Problems festlegen w¨ urde), sie m¨ ussen also alle untereinander ¨ ahnlich sein.

9.4

Grenzschichttheorie f¨ ur laminare Str¨ omungen

Au¼enstromung o usA1 = s m

s

Bild 9.8:

2m ¼ 1+m

217

selbstahnliche a Grenzschicht

halbunendlicher Keil

Selbst¨ ahnliche Grenzschichten bei sog. Keilstr¨ omungen

Aus mathematischer Sicht ist es daher m¨ oglich, alle in der Grenzschichtentwicklung vor¨ kommenden Geschwindigkeitsprofile einheitlich als Funktion einer unabh¨ angigen sog. Ahnlichkeitsvariablen η darzustellen, die eine Kombination der beiden urspr¨ unglichen Variablen s und N darstellt. Die zugrundeliegende Differentialgleichung ist dann nur noch eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung in η, d.h., es muß gelingen, die partiellen Differentialglei¨ chungen (9.12)–(9.15) durch eine Ahnlichkeitstransformation auf eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung zu reduzieren. Dies gelingt in der Tat z.B. immer dann, wenn die Außenstr¨ omung usA1 von der Form usA1 = sm ist. Unterschiedliche Exponenten geh¨ oren“ dabei zu unterschiedlichen halbun” endlichen K¨ orpern, die geometrisch Keile mit einem Keilwinkel 2mπ/(1+m) darstellen. Die Grenzschichten entwickeln sich ausgehend von der Keilspitze entlang der Wand, wie dies in Bild 9.8 angedeutet ist. F¨ ur m = 0, d.h. usA1 = 1, liegt der Spezialfall der ebenen Platte vor (mit dem Keilwinkel 0“). F¨ ur weitere Einzelheiten sei wiederum auf die Spezialliteratur ” verwiesen. Die beschriebene besondere Situation bei diesen sog. selbst¨ ahnlichen Grenzschichten l¨ aßt sich auch aus dimensionsanalytischer Sicht beleuchten. Eine allgemeine, nichtselbst¨ ahnliche Grenzschicht besitzt im Rahmen der Grenzschichttheorie 1. Ordnung ein Geschwindigkeitsprofil der Form u = uG1 (s,N ), also einen Zusammenhang zwischen den drei dimensionslosen Gr¨ oßen u, s und N . Diese drei Gr¨ oßen folgen im Sinne der Dimensionsanalyse aus der Liste (u∗ , s∗ , n∗ , L∗ , u∗∞ , ν ∗ ) der relevanten Einflußgr¨ oßen. Formal ergeben sich daraus zun¨ achst 4 dimensionslose Gr¨ oßen (6 Einflußgr¨ oßen; 2 Basisdimensionen). Im Beispiel 9.1 war aber schon erl¨ autert worden, daß wegen der zus¨ atzlichen Kopplung zwischen der Reynolds-Zahl und dem Geschwindigkeitsfeld die Zahl der unabh¨ angigen, dimensionslosen Gr¨ oßen in diesem Fall um eins, also auf 3, reduziert ist. Im Sonderfall selbst¨ ahnlicher Grenzschichten ist dar¨ uber hinaus die Gr¨ oße L∗ keine relevante Einflußgr¨ oße (sondern wenn sie eingef¨ uhrt wird eine rein formale Bezugsgr¨ oße), so daß die Anzahl der dimensionslosen Gr¨ oßen auf 2 reduziert wird. Damit kann die Ge¨ schwindigkeit u nur noch von einer weiteren Gr¨ oße abh¨ angen. Dies ist die Ahnlichkeitsvaria¨ ble η, so daß f¨ ur selbst¨ ahnliche Grenzschichten aus dimensionsanalytischen Uberlegungen u = uG1 (η) gelten muß. Anmerkung 9.2:

Grenzschichtabl¨ osung (laminar)

Es war bereits mehrfach darauf hingewiesen worden, daß die Anwendung der Grenzschichttheorie eine abl¨ osefreie K¨ orperumstr¨ omung voraussetzt. Dies ist eine starke Einschr¨ ankung,

218

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

weil Str¨ omungsabl¨ osung eher der Normalfall“ ist. Nur extrem schlanke K¨ orper ohne nen” nenswerten Anstellwinkel weisen keine Str¨ omungsabl¨ osung auf. Paradoxerweise ist die Str¨ omungsabl¨ osung (bei hohen Reynolds-Zahlen) einerseits ein reines Grenzschichtph¨ anomen, andererseits ist zumindest die klassische Grenzschichttheorie (Prandtlsche Grenzschichtgleichungen, Grenzschichttheorie 1. Ordnung) nicht in der Lage, abgel¨ oste Grenzschichten zu berechnen ! Was tritt bei Grenzschichtabl¨ osung besonderes auf ? Physikalisch liegt die in Bild 9.9 skizzierte Situation vor, die durch einen Druckanstieg in Str¨ omungsrichtung charakterisiert ist. Im Bereich der Außenstr¨ omung dient die Abnahme der kinetischen Energie dazu, die Verschiebearbeit gegen den ansteigenden Druck zu leisten. In der Grenzschicht liegt zwar derselbe Druckanstieg vor, da der Druck von der Außenstr¨ omung aufgepr¨ agt“ ist (vgl. (9.15)), die Geschwindigkeiten sind aber deutlich ” kleiner. Das heißt, daß selbst bei einer unterstellten idealen Umsetzung von kinetischer Energie in Verschiebearbeit diese nicht ausreichen w¨ urde, um denselben Druckanstieg zu u omung m¨ oglich ist. ¨berwinden, wie dies in der Außenstr¨ Wenn die kinetische Energie im wandn¨ achsten Bereich in diesem Sinne aufgezehrt“ ist, ” tritt in Wandn¨ ahe R¨ uckstr¨ omung auf, wobei sich stromaufw¨ arts str¨ omendes Fluid zwischen die Wand und die urspr¨ ungliche Grenzschicht schiebt, weshalb man dies als Grenzschicht” abl¨ osung“ bezeichnet. Da der Geschwindigkeitsgradient an der Wand u ¨ber das Newtonsche Reibungsgesetz ∗ = η ∗ (∂u∗ /∂n∗ ) (1.2) als τw w unmittelbar mit der Wandschubspannung verbunden ist, ∗ = 0 gilt. Anliefolgt aus dem in Bild 9.9 skizzierten Vorgang, daß im Abl¨ osepunkt τw gende Grenzschichten weisen also eine positive und abgel¨ oste Grenzschichten eine negative Wandschubspannung auf. Mathematisch liegt im Abl¨ osepunkt leider nicht nur eine besondere, sondern eine die weitere Berechnung begrenzende singul¨ are Situation vor. Im Abl¨ osepunkt gilt im Rahmen ∗ = 0, bzw. in dimensionsloser Form der√Grenzschichttheorie 1. Ordnung wie erwartet τw ∗ /∗ u∗2 . Leider gilt aber f¨ ur s → sA mit sA als Koordinate des cf Re = 0 mit cf = 2τw ∞ Abl¨ osepunktes: √ √ 1 cf Re ∼ sA − s ; VG1 ∼ √ (9.23) sA − s ur s → sA ; die Quergeschwindigkeit w¨ achst u Damit gilt also VG1 → ∞ f¨ ¨ber alle Grenzen und l¨ aßt deshalb keine regul¨ are L¨ osung der Grenzschichtgleichungen bei s = sA mehr

DRUCK -ANSTIEG GESCHWINDIGKEITS - ABNAHME

Ablosepunkt o ( ¿W* = 0 ) Bild 9.9:

o Ruckstromu gebiet

Prinzipielle physikalische Situation bei Grenzschichtabl¨ osung

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

219

zu. Dieses Grenzschicht-L¨ osungsverhalten wurde erstmals von S. Goldstein im Jahr 1948 analysiert und heißt deshalb Goldstein-Singularit¨ at. Es hat seitdem viele Anstrengungen gegeben, dieses Problem in einer erweiterten Grenzschichttheorie zu l¨ osen. Dabei werden aufwendige, iterativ angelegte L¨ osungsans¨ atze f¨ ur eine gekoppelte asymptotische Behandlung von Grenzschicht und Außenstr¨ omung eingef¨ uhrt, s. dazu z.B. Gersten, Herwig (1992, Kap. 11.7). Es ist außerdem zu beachten, daß mit dem Auftreten der Grenzschichtabl¨ osung nicht nur eine Grenzschichtrechnung u oglich wird, sondern auch die Grenz¨ber sA hinaus unm¨ schichtberechnung bis zum Abl¨ osepunkt sA nicht mehr m¨ oglich ist. Die Grenzschicht kann nicht mehr bis sA berechnet werden, weil die dazu notwendige Außenstr¨ omung nicht mehr in einem vorhergehenden, von der Grenzschicht unbeeinflußten Schritt ermittelt werden kann.

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

Wie schon im vorigen Abschnitt bei der Behandlung laminarer Str¨omungen beschrieben worden ist, entarten die L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen im Grenzfall Re = ∞ zu sog. singul¨ aren L¨ osungen. Mit der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen gelingt es, eine systematisch verbesserbare N¨ aherungsl¨ osung f¨ ur Re → ∞ zu formulieren. Dabei werden Reihenentwicklungen in der Außenstr¨ omung und in der Grenzschicht angesetzt, die mit Hilfe einer Anpassungsvorschrift zu einer gemeinsamen N¨aherungsl¨osung f¨ ur das gesamte L¨ osungsgebiet kombiniert werden k¨onnen. Prinzipiell k¨ onnten turbulente Str¨ omungen im Grenz¨ ubergang Re → ∞ ebenfalls ganz systematisch durch asymptotische N¨aherungsl¨osungen der zugrundeliegenden Gleichungen beschrieben werden. Die asymptotisch zu entwickelnden Grundgleichungen w¨ aren dann die zeitgemittelten Navier-StokesGleichungen, s. Tab. 5.5a. Die Formulierung k¨onnten . . . beschrieben wer” den“ weist schon darauf hin, daß dieser Weg offenbar bei turbulenten Str¨omungen so nicht gegangen wird. Ein Vorgehen analog zu der asymptotischen Entwicklung der L¨osung bei laminaren Str¨ omungen ist nicht ohne weiteres m¨oglich, weil turbulente Grenzschichten bei steigenden Reynolds-Zahlen (Re → ∞) nicht dasselbe Verhalten wie laminare Grenzschichten aufweisen. W¨ ahrend sich laminare Grenzschich√ ten als Ganzes proportional zu Re entwickeln, so daß die Grenzschichtkoordinate N gem¨ aß (9.9) eingef¨ uhrt werden kann, m¨ ussen bei turbulenten Grenzschichten zwei Teilbereiche getrennt betrachtet werden: Ein wandnaher Grenzschichtbereich, dessen Verhalten von der molekularen Viskosit¨at ν ∗ mitbestimmt wird und ein wandferner Grenzschichtbereich, in dem ausschließlich der turbulente Impulstransport, modellierbar durch Einf¨ uhrung der kinematischen Wirbelviskosit¨ at νt∗ , s. (5.20), wirkt. Die turbulente Grenzschicht weist damit eine sog. Zweischichtenstruktur auf. Die wandnahe Schicht wird als Wandschicht bezeichnet. Der wandferne Grenzschichtbereich heißt DefektSchicht, weil dort nur geringe Abweichungen vom Wert am Grenzschichtrand auftreten und diese als Abweichungen vom Wert am Grenzschichtrand (also als Defekt) formuliert werden k¨ onnen.

220

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Beide Teilschichten weisen unterschiedliche Abh¨angigkeiten von der Reynolds-Zahl auf, die dar¨ uber hinaus auch nicht einfache Potenzabh¨angigkeiten urde man eine systematische Vorgehensweise im Sinne einer ∼ Rem sind. W¨ Entwicklung f¨ ur Re → ∞ und anschließende Anpassung anstreben, so m¨ ußten drei Teilbereiche getrennt entwickelt werden (s. dazu z.B. Gersten, Herwig (1992, S. 668)), die Außenstr¨ omung, die Defekt-Schicht und die Wandschicht. ¨ Ublicherweise wird darauf verzichtet und die turbulente Grenzschicht als Ganzes betrachtet. Die dabei entstehenden Grenzschichtgleichungen stellen dann aber nicht mehr den f¨ uhrenden Term einer systematischen Entwicklung f¨ ur Re → ∞ dar, sondern sind Gleichungen, die aufgrund physikali¨ scher Uberlegungen aus den Navier-Stokes-Gleichungen gewonnen werden. Eine weiterhin verwendete Anpassungsbedingung zwischen der Grenzschicht und der Außenstr¨ omung analog zu (9.15) bei laminaren Grenzschichten zeigt, daß der Modellierungsansatz der laminaren Grenzschichttheorie 1. Ordnung u ¨ bernommen wird, nur daß die Grenzschicht jetzt turbulent ist“. ” In diesem Sinne entstehen die Grenzschichtgleichungen f¨ ur turbulente 2DGrenzschichten in Tab. 9.3 analog zu den laminaren Grenzschichtgleichungen (dort 1. Ordnung, s. Tab. 9.1), als Spezialfall der allgemeinen zeitgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur turbulente Str¨ omungen. Das Grenzschicht-Gleichungssystem ist allerdings erst dann geschlossen und damit l¨ osbar, wenn der turbulente Zusatzterm −∗ ∂u∗ v ∗ /∂y ∗ durch ein Turbulenzmodell mit dem Feld der zeitgemittelten Geschwindigkeit verbunden wird. Wie bei laminaren Grenzschichten ist der Druck quer zur Grenzschicht konstant (∂p∗ /∂y ∗ = 0) so daß ∂p∗ /∂x∗ zun¨achst durch dp∗ /dx∗ ersetzt wird und anschließend ganz analog zu (9.15) durch die Verteilung der Außenstr¨ omung u∗sA (x∗ ) an der Wand (bekannt aus der L¨osung der reibungsfreien Str¨ omung um den betrachteten K¨ orper) ersetzt wird (−dp∗ /dx∗ = ∗ ∗ ∗ ∗  usA dusA /dx ). Insgesamt liegt damit folgendes Gleichungssystem, wiederum formuliert in den wandangepaßten Koordinaten (s∗ , n∗ ) vor: ∂v ∗ ∂u∗ + =0 ∗ ∂s ∂n∗ u∗

∗ 2 ∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂(u∗ v ∗ ) ∗ dusA ∗∂ u ∗ + v = u + ν − sA ∂s∗ ∂n∗ ds∗ ∂n∗2 ∂n∗

u∗ v ∗ → Turbulenzmodell

(9.24)

(9.25)

(9.26)

mit den Randbedingungen n∗ = 0 :

u∗ = 0 v∗ = 0

n∗ groß : u∗ → u∗sA (s∗ )

(Haftbedingung) (undurchl¨ assige Wand)

(9.27)

(Anpassung an die Außenstr¨omung) (9.28)

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

221

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂y ∂z Kontinuit¨ atsgleichung
∗  ∂u ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ ∂v ∗ ∂w∗ + ∗ + =0; + + =0 (K∗cp ) ∂x∗ ∂y ∂z ∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ x-Impulsgleichung Du∗ ∗ ∗ Dt

  2 ∗ ∂ 2 u∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∂ u = − ∗ +η + + ∂x ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2 ⎡ ⎤ ∂ u∗2 ∂ u∗ w∗ ⎦ ∂ u∗ v ∗ + + −∗ ⎣ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗ ∗ gx∗

(XI∗cp )

y-Impulsgleichung Dv ∗ ∗ ∗ Dt

2 ∗  ∂p∗ ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∗ ∂ v = − ∗ +η + + ∂y ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2   ∂ v ∗2 ∂ v ∗ w∗ ∂ v ∗ u∗ + + −∗ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗ ∗ gy∗

z-Impulsgleichung

2 ∗  ∂ w Dw∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ ∗ = ∗ gz∗ − ∗ + η ∗ + + Dt ∂z ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2   ∗ u∗ ∗ v ∗ ∗2 w w w ∂ ∂ ∂ −∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Tab. 9.3:

(YI∗cp )

(ZI∗cp )

2D-Prandtlsche Grenzschichtgleichungen (turbulent) Grenzschichtgleichungen f¨ ur ebene, inkompressible, turbulente Str¨ omungen als Spezialfall der zeitgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen aus Tab. 5.5a Zus¨ atzliche Annahme: station¨ ar grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme (Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme, ggf. mit den Vorfaktoren η∗ und ∗ , u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null.) Beachte: Mit dem modifizierten Druck p∗ mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ mod =− ; ∂x∗ ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗ ∂p∗ mod =− ∂y ∗ ∂y ∗

¨ Die Auswahl der Terme erfolgt in Analogie zu den Uberlegungen bei laminaren Grenzschichten, s. Tab. 9.1

222

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Die Entdimensionierung der Gleichungen (9.24)–(9.26) w¨are an dieser Stelle nicht sinnvoll, weil wegen des erw¨ ahnten Zweischichtencharakters kein einheitlicher Maßstab f¨ ur die√Querabmessung der Grenzschicht besteht (Im laminaren Fall ist dies L∗ / Re, s. (9.9)). Eine (numerische) L¨ osung der Grenzschichtgleichungen ist prinzipiell m¨og¨ lich, aber nicht sinnvoll bevor nicht weitergehende Uberlegungen zur erwarteten Struktur der L¨ osung angestellt werden. Der Zweischichtencharakter turbulenter Wandgrenzschichten kann weitgehend analysiert werden, ohne daß Details zur Turbulenz bekannt sein m¨ ußten. Diese Ergebnisse k¨onnen dann sinnvoll bei der numerischen L¨ osung der Gleichungen verwendet werden. So stellt sich heraus, daß der wandnahe Teil der Grenzschicht f¨ ur Re → ∞ einen universellen Charakter besitzt und deshalb bei numerischen L¨osungen nicht stets aufs Neue berechnet werden muß. Bei Verwendung von sog. Wandfunktionen kann diesem universellen Charakter Rechnung getragen werden und die L¨ osung auf den Außenbereich der Grenzschicht beschr¨ankt bleiben. Vor einer numerischen L¨ osung der Grenzschichtgleichungen sollten deshalb zun¨ achst alle allgemeing¨ ultigen Aspekte der zu erwartenden L¨osung ermittelt werden. Dies geschieht in den folgenden Abschnitten, in denen der asymptotische Charakter turbulenter Grenzschichten analysiert wird. Als Vorbereitung darauf ist in Bild 9.10 skizziert, wo im gesamten Str¨omungsfeld u usse auftreten. Bei einer insge¨berhaupt deutliche Turbulenzeinfl¨ samt als turbulent bezeichneten K¨ orperumstr¨omung tritt nennenswerte Turbulenz nur in einem sehr kleinen Teil des gesamten Str¨omungsfeldes auf. Sie liegt haupts¨ achlich in der h¨ aufig sehr d¨ unnen Grenzschicht sowie dem stromabw¨ artigen Nachlauf vor. Einer turbulenten Grenzschicht geht stets eine laminare Grenzschicht voraus, die im sog. Umschlag punkt“ in die turbulente ” Str¨ omungsform wechselt. In Anmerkung 5.11/S. 118/ wurde erl¨autert, daß die Bezeichnung Umschlagpunkt eine grobe Vereinfachung des eigentlich vorliegenden Transitionsprozesses ist. 9.5.1

Die Entstehung und Physik der Wandschicht

Der Schl¨ ussel zum Verst¨ andnis turbulenter wandgebundener Str¨omungen ist arung f¨ ur das Auftreten und die Auswirkungen der sog. Wandeine Erkl¨ schicht. Dies ist eine durch die molekulare Viskosit¨at beeinflußte relativ d¨ unne Schicht zwischen der Wand und dem angrenzenden, ausschließlich durch turbulenten Impulsaustausch bestimmten Grenzschichtbereich, der DefektSchicht. Bild 9.11 zeigt die Verh¨ altnisse in unmittelbarer Wandn¨ahe. An der Wand gilt die Haftbedingung; die Geschwindigkeit und somit auch m¨ogliche Schwankungsgeschwindigkeiten sind Null. Weil an der Wand die Wirbelviskosit¨at deshalb ebenfalls Null ist, gilt f¨ ur die Wandschubspannung das Newtonsche Reibungsgesetz, hier als τw∗ = η ∗ (∂u∗ /∂n∗ )w mit η ∗ als molekularer (dynamischer) Viskosit¨ at. Da die Wirbelviskosit¨ at ηt∗ als Folge der mit dem Wandabstand zunehmenden Schwankungsgeschwindigkeiten ebenfalls mit dem Wand-

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

223

reibungsfreie o Au¼enstromung Defekt-Schicht laminare Grenzschicht

Wandschicht

turbulente Grenzschicht

s* uA*1

n* Umschlag-"punkt"

Bild 9.10: Teilbereiche des Str¨ omungsfeldes bei einer turbulenten K¨ orperumstr¨ omung grau unterlegt: Bereiche mit nennenswerten turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten

abstand (ausgehend von ηt∗ = 0) anw¨ achst, kommt es zu Abweichungen des mittleren Geschwindigkeitsprofils u∗ (s∗ ,n∗ ) vom linearen Anstieg als Fortsetzung des Wandgradienten (∂u∗ /∂n∗ )w = τw∗ /η ∗ . Ein zweiter Grund, der auch schon ohne Turbulenz zu Abweichungen vom linearen Geschwindigkeitsverlauf f¨ uhrt, sind nicht mehr konstante Werte f¨ ur die Schubspannung, also τ ∗ (s∗ ,n∗ ) = τw∗ , die mit zunehmendem Wandabstand auftreten (k¨onnen). omung ist die Summe aus der molekuDie Schubspannung τ ∗ in der Str¨ ∗ laren Schubspannung τm und der turbulenten Schubspannung τ ∗ . Deshalb gilt mit dem Konzept der Wirbelviskosit¨ at, s. (5.15), ∗ + τ ∗ = (η ∗ + ηt∗ ) τ ∗ = τm

∂u∗ ∂n∗

(9.29)

Dies ist in Bild 9.11 f¨ ur den Fall eingezeichnet, daß sich die Schubspannung τ ∗ in unmittelbarer Wandn¨ ahe noch nicht erkennbar ¨andert, also dort den konstanten Wert τ ∗ = τw∗ besitzt. ∗ ∗ Als Wandschicht wird ein Bereich mit der Dicke δw bezeichnet, in dem τm ∗ von gleicher Gr¨ oßenordnung“ sind, d.h. beide gleichermaßen zu der und τ ” Gesamtschubspannung τ ∗ beitragen. Gleichbedeutend damit ist die Aussage, daß in diesem Bereich als Impulstransport-Mechanismus nicht ausschließlich die Turbulenz vorkommt, sondern der molekulare Impulstransport noch ¨ eine Rolle spielt. Mit den nachfolgenden Uberlegungen soll die Gr¨oße von

224

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

∗ δw abgesch¨ atzt werden. Dies ist unter Zuhilfenahme der Dimensionsanalyse m¨ oglich, ohne daß Detailkenntnisse zur Turbulenz vorliegen m¨ ußten. Dazu soll von der sog. Couette-Str¨omung als der einfachst m¨oglichen Str¨ omung ausgegangen werden. An dieser kann die wandnahe turbulente Str¨ omung untersucht werden wie an jeder anderen Str¨omung auch, weil sich sp¨ ater herausstellt, daß alle Str¨ omungen in Wandn¨ahe ein gleiches Verhalten zeigen. Die Couette-Str¨ omung entsteht zwischen zwei ebenen Platten, die in ihrer eigenen Ebene relativ zueinander bewegt werden. Bild 9.12 zeigt eine solche Anordnung, in der die untere Platte ruht und die obere Platte (Abstand zwischen den Platten: 2H ∗ ) durch die Wirkung einer Kraft nach rechts bewegt wird. Die aufgrund der Kraft wirkende Schubspannung τw∗ (Kraft pro Fl¨ ache) ist also die Ursache f¨ ur die zu untersuchende Str¨omung. Zwischen den Platten bildet sich ein Geschwindigkeitsprofil u∗ (n∗ ) aus, das s-unabh¨angig dieselbe Form besitzt und an der unteren und oberen Wand jeweils die Haftbedingung erf¨ ullt. Dieses Geschwindigkeitsprofil u∗ soll auf seine allgemeine dimensionslose Form hin untersucht werden. F¨ ur das Verst¨ andnis der Turbulenzwirkung ist es hilfreich, zun¨achst den laminaren Fall zu betrachten. Die relevanten Einflußgr¨oßen bez¨ uglich der Zielgr¨ oße u∗ sind n∗ , H ∗ , τw∗ und η ∗ , die nach dem Schema in Abschnitt 2.3.3

Abweichungen wegen 1.) ´t* ¹ 0 2.) ¿ * ¹ ¿W* n*

´*

u*(s,* n* ) ´t*

¿*

±W* Wandschicht (= c ±W* )

¿* m

¿W*

u* @u @n n*

n*=

w cu*¿ Schubspannungsgeschwindigkeit 1/2 u*¿ = (¿W* /% ) [ fiktive (Bezugs-)"Geschwindigkeit"]

¿W* n* ´*

Bild 9.11: Viskosit¨ ats-, Schubspannungs- und Geschwindigkeitsverl¨ aufe in unmittelbarer Wandn¨ ahe

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

225

KRAFT ( ) ¿W* ) uW* H* H*

?

n* s*

Bild 9.12: Ermittlung der dimensionslosen Form f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung u∗ (n∗ ) bei der Couette-Str¨ omung, s. dazu Abschnitt 2.3 (Dimensionsanalyse). ∗ also eine konstante Eine Kr¨ aftebilanz ergibt f¨ ur diese Str¨ omung τ ∗ (n∗ ) = τw Schubspannung im gesamten Str¨ omungsgebiet.

ermittelt werden k¨ onnen. Wichtig ist, daß die Dichte ∗ im laminaren Fall als relevante Einflußgr¨ oße ausscheidet, weil keine Beschleunigungen und damit keine Tr¨ agheitskr¨afte vorkommen (s. dazu auch Beispiel 2.3). Nach Ermittlung der dimensionslosen Kennzahlen ergibt sich der allgemeine Zusammenhang u∗ u= ∗ =F uc

laminare Couette-Str¨ omung:




n∗ H∗



mit: u∗c =

τw∗ H ∗ η∗

(9.30)

In der dimensionslosen Geschwindigkeit u l¨ aßt sich u∗c = τw∗ H ∗ /η ∗ als charakteristische (Bezugs-)Geschwindigkeit interpretieren. Im turbulenten Fall tritt ein neuer Mechanismus hinzu. Der Drehungsbzw. Impulstransport erfolgt jetzt nicht mehr ausschließlich auf molekularer Basis, sondern im gr¨ oßten Bereich des Str¨omungsfeldes (und damit fast ausschließlich) durch die Wirkung turbulenter Schwankungsbewegungen. Dabei treten momentane und lokale Tr¨ agheitskr¨ afte auf, so daß die Dichte ∗ jetzt eine zus¨ atzliche relevante Einflußgr¨ oße ist (s. dazu ebenfalls Beispiel 2.3). Damit erh¨ oht sich die Zahl der dimensionslosen Gr¨oßen bzw. Kennzahlen um Eins. Zus¨ atzlich, und das ist in diesem Zusammenhang ein wichtiger Punkt, sollten die dimensionslosen Gr¨ oßen so gebildet werden, daß jetzt der at η ∗ in der Bezugsgeschwindigkeit auftritt. Stoffwert ∗ anstelle der Viskosit¨ Damit erh¨ alt die Bezugsgeschwindigkeit im jetzt turbulenten Fall wieder die Bedeutung einer charakteristischen Geschwindigkeit. Jetzt ist der turbulente Austausch (charakterisiert durch ∗ ) und nicht mehr der molekulare Austausch (charakterisiert durch η ∗ ) maßgeblich. Damit ergibt sich folgender allgemeiner Zusammenhang: turbulente Couette-Str¨ omung:

u=

u∗ =F u∗c




n∗ ∗ u∗c H ∗ , H∗ η∗

 ;

u∗c =

 τw∗ /∗

(9.31)

226

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

∗ Die als  charakteristische (Bezugs-)Geschwindigkeit uc auftretende Kombina∗ ∗ tion τw / wird in der Literatur Schubspannungsgeschwindigkeit

u∗τ =

 τw∗ /∗

(9.32)

genannt. Diese Bezeichnung ist allerdings etwas irref¨ uhrend, da es sich zwar um eine Gr¨ oße mit der Dimension L¨ ange/Zeit, physikalisch aber nicht um eine Geschwindigkeit handelt. Eine genauere Bezeichnung k¨onnte lauten mit ” der Wandschubspannung gebildete Bezugsgr¨oße f¨ ur die Geschwindigkeit“, d.h. es handelt sich um eine fiktive Geschwindigkeit“. ” Neben der ge¨ anderten Bezugsgeschwindigkeit tritt im turbulenten Fall (9.31) gegen¨ uber dem laminaren Fall (9.30) ein weiterer dimensionsloser Parameter hinzu, der wegen des Auftretens von u∗τ als turbulente Reynolds-Zahl Reτ =

∗ u∗τ H ∗ η∗

(9.33)

bezeichnet wird. Diese zus¨ atzliche Kennzahl bestimmt die Dicke der Wand∗ /L∗B . schicht, also δw Der formale Zusammenhang zur konventionellen“ Reynolds-Zahl, gebil” det mit der Bezugsgeschwindigkeit UB∗ eines Problems als Re = ∗ UB∗ L∗B /η ∗ ist (9.34) Reτ = Re uτ ; uτ = u∗τ /UB∗ Eine genauere Analyse des asymptotischen Verhaltens ergibt folgende Abur Re → ∞: h¨ angigkeiten bzgl. uτ , δw und der Grenzschichtdicke δ f¨ uτ ∼

1 ; ln Re

δw =

∗ δw ln Re ∼ ; ∗ LB Re

δ=

δ∗ 1 ∼ , ∗ LB ln Re

(9.35)

woraus unmittelbar folgt: Reτ ∼

Re ln Re

∗ δw ln2 Re ∼ δ∗ Re

(→ ∞ f¨ ur Re → ∞) ; (→ 0 f¨ ur Re → ∞)

(9.36)

∗ Mit wachsender Reynolds-Zahl wird der Anteil der Wandschicht δw an der ∗ Grenzschicht δ also stets kleiner. Zus¨ atzlich ist zu erkennen, daß die Schichtenskalierung bei turbulenten Str¨ omungen nicht mehr mit Potenzen der Reynolds-Zahl erfolgt, wie dies bei laminaren Str¨omungen der Fall ist. ∗ der WandAn dieser Stelle kann nun eine Absch¨ atzung der Dicke δw schicht erfolgen. Wie in Bild 9.11 skizziert, ist jenseits“ der Wandschicht ” die Wirkung der turbulenten Schwankungsbewegungen (manifestiert in der

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

227

Wirbelviskosit¨ at ηt∗ ) stark genug, den Drehungs- bzw. Impulstransport zu ¨ dominieren. Der Ubergang in dieses voll turbulente Gebiet wird etwa dort erfolgen, wo die Geschwindigkeit u∗ Werte angenommen hat, die einem festen Vielfachen c der durch den turbulenten Austausch bedingten charakteristischen Geschwindigkeit u∗τ entsprechen. Da bei solchen Gr¨oßenordnungsabsch¨ atzungen keine konkreten Zahlenwerte gesucht sind, sondern prinzipielle Abh¨ angigkeiten bestimmt werden sollen, kann in diesem Fall die genannte Be∗ ∗ = δw /c gesucht ist, dingung so formuliert werden, daß der Wandabstand δˆw f¨ ur den u∗ = u∗τ gilt. Approximiert man die Geschwindigkeit u∗ (n∗ ) durch ∂u∗  u∗ (n∗ ) = ∂n n∗ + . . ., also eine Taylor-Reihenentwicklung, so gilt mit ∗ w ur δˆ∗ : (∂u∗ /∂n∗ )w = τ ∗ /η ∗ deshalb als Bedingung f¨ w

w

τ∗ ∗ ∗ u∗ (δˆw ) = u∗τ −→ w∗ δˆw = η

"

τw∗ , ∗

(9.37)

woraus mit ν ∗ = η ∗ /∗ unmittelbar als Maßstab“ f¨ ur die Wandschicht (mit ” ∗ ∗ ˆ δw = cδw ) folgt: ν∗ ∗ δˆw = ∗ (9.38) uτ Bild 9.11 zeigt diesen Zusammenhang, wobei die fiktive Geschwindigkeit cu∗τ an der Wand aufgetragen worden ist. Wie (9.38) zeigt, wird die Wandschicht also um so d¨ unner, je gr¨ oßer die Wandschubspannung (und damit u∗τ ) wird. Bei der Couette-Str¨ omung bedeutet eine steigende Wandschubspannung unmittelbar eine steigende Geschwindigkeit der Plattenbewegung. Bildet man wie u ¨ blich die Reynolds-Zahl mit einer typischen Geschwindigkeit des Gesamtproblems, hier also etwa mit der Plattengeschwindigkeit, so steigt auch diese Reynolds-Zahl mit steigender Wandschubspannung. In diesem Sinne wird die Wandschicht also um so d¨ unner, je gr¨oßer die Reynolds-Zahl des Problems wird. Aus den Gr¨ oßenordnungsangaben (9.35) folgt f¨ ur diesen Zu∗ /L∗B ∼ (ln Re)/Re ∼ 1/Reτ . sammenhang unmittelbar δw ∗ bei abnehmender ViskoDie Interpretation einer abnehmenden Dicke δw sit¨ at in (9.38) ist nicht sinnvoll, da diese Modellvorstellung keine Entsprechung in der Realit¨ at hat, weil daf¨ ur eine Abfolge von Fluiden mit abnehmender Viskosit¨ at betrachtet werden m¨ ußte (s. dazu auch Abschn. 3.1). Da die Wandschicht im Grenzfall Re = ∞ genauso entarten w¨ urde wie eine laminare Grenzschicht (vgl. dazu die Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 9.4) kann eine nicht-entartete L¨ osung nur in einer transformierten Koordinate gefunden werden. Diese lautet analog zu (9.9) jetzt n+ =

n∗ n∗ u∗τ = ∗ ν∗ δˆw

(9.39)

Dies ist also die asymptotisch ad¨ aquate Koordinate f¨ ur die Wandschicht. Die Kennzeichnung mit dem Symbol +“ ist allgemein u ¨ blich und wird auch auf ”

228

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

die anderen dimensionslosen Gr¨ oßen in der Wandschicht u ¨ bertragen (z.B. ∗ u+ = u∗ /u∗τ ). Da mit δˆw der asymptotisch richtige“ Maßstab f¨ ur diese ” Schicht gefunden worden ist, liegen Zahlenwerte f¨ ur y + in dieser Schicht, insbesondere auch f¨ ur Re → ∞, stets in der N¨ ahe von Eins, d.h. sie entarten“ ” nicht zu Zahlenwerten 0“ oder ∞“. ” ” Bild 9.11 zeigt, daß der Geschwindigkeitsverlauf in der Wandschicht f¨ ur n∗ → 0 dem linearen Verlauf (τw∗ /η ∗ )n∗ entspricht. In den transformierten Variablen ist dies der Verlauf u + = n+

f¨ ur n+ → 0

(9.40)

Dies gilt f¨ ur alle wandgebundenen turbulenten Str¨omungen, bei denen τw∗ nicht null ist ! F¨ ur τw∗ = 0 liegt der Sonderfall der Str¨omungsabl¨osung vor, s. dazu Anmerkung 9.5/S. 244. Die Aussagen zur Wandschicht sind zwar bisher am Beispiel der CouetteStr¨ omung abgeleitet worden, sie gelten aber nicht nur f¨ ur diese, wie folgende ¨ Uberlegung zeigt: Die Couette-Str¨ omung entsteht unter der Wirkung der Schubspannung τ ∗ (n∗ ) = τw∗ , die als konstante Schubspannung im ganzen Feld vorliegt. In diesem Sinne ist umgekehrt eine Str¨ omung dann eine Couette-Str¨omung, wenn sie eine einheitliche, konstante Schubspannung aufweist. Alle wandgebundenen turbulenten Str¨ omungen haben in Wandn¨ ahe einen Schubspannungsverlauf (n∗ = 0 an der Wand/Taylor-Reihenentwicklung):  ∂τ ∗ (s∗ ,n∗ )  ∗ τ (s ,n ) = τ (s ,0) +  n + ··· ∂n∗ w    

Abweichungen vom τw∗ (s∗ ) Couette-Fall ∗

∗

∗

∗

∗

(9.41)

Da nun die Wandschicht im Grenz¨ ubergang Re → ∞ stets d¨ unner wird, werden die Abweichungen vom Couette-Fall in der Wandschicht damit stets kleiner. Jede wandgebundene turbulente Str¨ omung verh¨alt sich deshalb in unmittelbarer Wandn¨ ahe asymptotisch (d.h. f¨ ur Re → ∞) wie die zugeh¨orige Couette-Str¨ omung, d.h. die Couette-Str¨ omung mit der aktuellen“ Schub” spannung τ ∗ = τw∗ (s∗ ). Der Vergleich mit Messungen ergibt, daß die Wandschicht etwa bis zu ∗ ∗ = c δˆw etwa c = 70 ist. Ab dort erWerten n+ = 70 reicht, daß also c in δw ¨ folgt der Ubergang in den vollturbulenten Bereich. F¨ ur Werte n+ < 5 sind die Einfl¨ usse der turbulenten Schwankungen so schwach, daß die molekulare Viskosit¨ at dominiert. Man nennt diesen Bereich, in dem dann (9.40) gilt, viskose Unterschicht (gelegentlich f¨ alschlicherweise auch laminare Unterschicht“, ” f¨ alschlicherweise, weil sie ein Teil der insgesamt turbulenten Grenzschicht ist).

9.5

9.5.2

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

229

¨ Der Ubergang in den vollturbulenten Bereich

Zu Beginn von Abschn. 9.5 war beschrieben worden, daß die beiden Teilbereiche einer turbulenten Grenzschicht, die Wandschicht und die Defekt-Schicht aus asymptotischer Sicht (also im Rahmen einer systematischen Theorie f¨ ur Re → ∞) getrennt entwickelt werden m¨ ußten und dies dann auch in den jeweils unterschiedlich transformierten Koordinaten zu geschehen h¨atte. Da man stattdessen die turbulente Grenzschicht als Ganzes und einheitlich, d.h. in einer einzigen (transformierten) Koordinate beschreiben m¨ochte, ¨ achst auch f¨ ur die Beschreibung des Uberbeh¨ alt man die Koordinate n+ zun¨ ganges in den vollturbulenten Bereichen und in diesem selber bei. Diese Koordinate ist dort dann aus asymptotischer Sicht aber nicht mehr korrekt an die Verh¨ altnisse angepaßt, bleibt also im Grenz¨ ubergang Re → ∞ nicht mehr ur wachbeschr¨ ankt. In der Koordinate n+ liegt z.B. der Grenzschichtrand f¨ sende Reynolds-Zahlen bei stets gr¨ oßeren Werten (und f¨ ur Re = ∞ schließlich ur endliche Reynolds-Zahlen gesucht bei n+ = ∞). Solange aber Ergebnisse f¨ werden, ist dies jedoch kein ernsthaftes Problem. Betrachtet man zun¨ achst wieder den prinzipiellen Verlauf des Geschwindigkeitsprofiles f¨ ur die Couette-Str¨ omung, so folgt aus (9.29) mit τ ∗ = τw∗ = const, daß in dem Maße in dem neben der konstanten molekularen Viskosit¨at η ∗ jetzt auch die (mit dem Wandabstand ansteigende) turbulente Viskosit¨at ηt∗ ins Spiel kommt“, Abweichungen von ∂u∗ /∂n∗ = const auftreten m¨ ussen. ” Solange bei ηt∗ (s∗ ,n∗ ), dessen Taylor-Reihenentwicklung an der Wand lautet, =0     ∂ηt∗  ∗ 1 ∂ 2 ηt∗  ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ ηt (s ,n ) = ηt (s,0) + n + n + ... ∂n∗ w 2 ∂n∗2 w  

∼ n∗  

∼ n∗2

(9.42)

der lineare Term dominiert (weil n∗ noch so klein ist, daß die nachfolgenden Terme nicht ins Gewicht fallen), also ηt∗ ∼ n∗ und damit bei steigendem n∗ auch (η ∗ + ηt∗ ) ∼ n∗ gilt, folgt aus (9.29) und τ ∗ = τw∗ = const unmittelbar ∂u∗ 1 ∼ ∗ ∂n∗ n

(9.43)

In dimensionsloser Form und mit einer Proportionalit¨atskonstante versehen, die aus historischen Gr¨ unden als 1/κ geschrieben wird, entsteht daraus ∂u+ 1 1 = · + ∂n+ κ n

(9.44)

Nach einer Integration wird daraus u+ = κ−1 ln n+ + C + f¨ ur die Geschwindigkeit u+ . Die Konstante κ war als Karman-Konstante mit dem u ¨blichen

230

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

¨ Bild 9.13: Entstehung des logarithmischen Geschwindigkeitsverlaufes beim Ubergang der Wandschicht in die Außenschicht (Defekt-Schicht)

Zahlenwert κ = 0,41 bereits im Zusammenhang mit dem Prandtlschen Mischungsweg (s. (5.25) in Kap. 5) eingef¨ uhrt worden. ur gr¨oßeDer wandnahe lineare Verlauf von u∗ (bzw. u+ ) geht also f¨ re Werte von n∗ (bzw. n+ ) in einen logarithmischen Verlauf u ¨ ber, solange ur τ ∗ = const ist dieser logarithmische Verlauf τ ∗ = const gilt. Aber selbst f¨ weiterhin zu erwarten, wie Bild 9.13 zeigt. Wiederum im Sinne einer TaylorReihenentwicklung wird τ ∗ = const zun¨ achst (f¨ ur steigende Werte n∗ ) als τ ∗ ∼ n∗ auftreten. Wenn dann, immer um eine Taylor-Reihenentwicklungs∗ Stufe versetzt (weil τw∗ = 0, aber ηtw = 0 gilt) f¨ ur die Wirbelviskosit¨at ηt∗ ∼ n∗2 gilt, s. (9.42), so ist wiederum (9.43) die Abh¨angigkeit des Geschwindigkeitsgradienten vom Wandabstand. Wie pr¨ agnant diese prinzipiell zu erwartende Geschwindigkeitsverteilung tats¨ achlich auftritt, kann nur im Experiment ermittelt werden. Dabei zeigt sich f¨ ur die unterschiedlichsten wandgebundenen Str¨omungen immer wieder eine sehr deutliche Auspr¨ agung des logarithmischen Verlaufes im Anschluß an die Wandschicht. In diesem Sinne gibt es eine universelle Geschwindigkeitsverteilung in Wandn¨ ahe, h¨ aufig als logarithmisches Wandgesetz bezeichnet (obwohl es nicht bis an die Wand gilt !), der Form lim u+ (n+ ) =

n+ →∞

1 ln n+ + C + κ

(9.45)

9.5

(b)

(a) +

-1

+

u = k ln(n ) + C

* u=u u¿ * +

231

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

+

*

u=u * usA1

30

GESCHWINDIGKEITS -"DEFEKT"

1 "Fortschreibung" des logarithmischen Verlaufes; s.Anmerkung 9.4

20 +

+

u =n

0,5

10 5 1 1

70

1000

n+

0,5

0

1 n

DEFEKT-SCHICHT

Wandschicht

Bild 9.14: Verschiedene Darstellungen des turbulenten Geschwindigkeitsprofiles (a) In Wandschicht-Variablen u+ (n+ ); n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ halblogarithmische Darstellung Beachte: n+ = 0 tritt in dieser Darstellung im Unendlichen“ auf, die ” lineare Kurve u+ = n+ ist verzerrt; die nichtlineare Kurve u+ ∼ ln n+ erscheint als Gerade (b) In Grenzschicht-Variablen u(n); n = n∗ /δ∗ schraffiert: ¨ aquivalente Bereiche des Profils in beiden Darstellungen schwarze Punkte: Meßwerte f¨ ur eine bestimmte Reynolds-Zahl

Die Schreibweise limn+ →∞ deutet an, daß diese Verteilung außerhalb der eigentlichen Wandschicht gilt, in der die Koordinate n+ bekanntlich von der Gr¨ oßenordnung Eins“ ist, also stets endliche Werte annimmt und f¨ ur ” Re → ∞ nicht entartet. Sie ist gleichzeitig aber auch der Hinweis darauf, ¨ daß (9.45) aus systematischen asymptotischen Uberlegungen gewonnen werden kann, auf die bisher nicht n¨ aher eingegangen worden ist, s. dazu z.B. Gersten, Herwig (1992, Kap. 14.1), bzw. Anmerkung 9.3 am Ende diese Abschnittes. Die Integrationskonstante C + in (9.45) ist noch von der Oberfl¨achenbeschaffenheit der Wand, der sog. Wandrauheit (nicht: Wandrauhigkeit !), abh¨ angig. F¨ ur glatte W¨ ande haben zahlreiche Messungen den Wert C + = 5 (glatte Wand)

(9.46)

ergeben. Bild 9.14 zeigt den Geschwindigkeitsverlauf in einer turbulenten Grenzschicht, sowohl in den Wandschichtvariablen n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ und u+ = u∗ /u∗τ als auch in den Grenzschicht-Variablen n = n∗ /δ ∗ und u = u∗ /u∗sA , wobei

232

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

δ ∗ die Grenzschichtdicke und u∗sA die Geschwindigkeit am Außenrand der Grenzschicht sind. Eine konkrete Zuordnung beider Darstellungen, so wie sie in Bild 9.14 durch die schraffierten Bereiche angedeutet ist, gilt aber stets nur f¨ ur eine bestimmte Reynolds-Zahl Re bzw. Reτ . Die als schwarze Punkte eingezeichneten (typischen) Meßwerte zeigen, daß f¨ ur Werte oberhalb von n+ ≈ 1 000 deutliche Abweichungen vom logarithmischen Verhalten auftreten. Dieser Wert entspricht im dargestellten (typischen) Fall erst etwa 20 % der gesamten Grenzschichtdicke. Es wird aber auch deutlich, daß wegen der sehr v¨ olligen Profile“ dort schon ein Geschwindig” keitswert erreicht ist, der relativ nahe am Wert der Geschwindigkeit am Außenrand liegt. F¨ ur eine vollst¨ andige Beschreibung des Geschwindigkeitsprofiles gen¨ ugt es, die Abweichungen vom Wert am Grenzschichtrand als sog. Defektprofil zu formulieren, mit dem man eine besondere Eigenschaft der Geschwindigkeitsverteilung im Außenbereich der Grenzschicht erfassen kann. Dies wird im folgenden Abschnitt gezeigt. Anmerkung 9.3:

Logarithmisches Wand“gesetz als asymptotische ” Anpassungsbedingung

Die Zweischichtenstruktur turbulenter Wandgrenzschichten hat einen asymptotischen Cha∗ und δ ∗ zeigt eine eindeutige Abh¨ rakter, d.h. das Verh¨ altnis der Schichtdicken δw angigkeit von der Reynolds-Zahl, es wird mit steigender Reynolds-Zahl (Re → ∞) stets kleiner, s. (9.36). Ein entscheidender Aspekt der konsequent asymptotischen Beschreibung eines mehrschichtigen Gebietes sind Anpassungsbedingungen zwischen den einzelnen Schichten. Diese werden in einem asymptotischen Sinne in der Regel so formuliert, daß Verteilungen in beiden Gebieten in zugeordneten Grenz¨ uberg¨ angen beider Koordinaten gleich sein m¨ ussen. Ein Beispiel daf¨ ur ist die Anpassung einer laminaren Grenzschicht an die Außenstr¨ omung mit der Bedingung (9.16) f¨ ur die wandparallele Geschwindigkeitsverteilung u in den Grenz¨ u angen n → 0 und N → ∞. Eine genauere Analyse ergibt, daß dann im Ubergang der ¨berg¨ anzupassenden Gebiete eine gemeinsame Zwischenschicht“ besteht, in der beide L¨ osun” gen gleichermaßen g¨ ultig sind. Bei der laminaren Grenzschicht ist die gemeinsam g¨ ultige L¨ osung ug , s. (9.17). ¨ Ubertr¨ agt man diese Vorstellungen auf die beiden Schichten einer turbulenten Wandgrenzschicht, so sind diese wie folgt aneinander anzupassen. Es muß eine gemeinsame Zwischenschicht identifizierbar sein, in der die L¨ osung sowohl in der Koordinate n+ als auch in der Koordinate n gilt, einmal f¨ ur n+ → ∞ und das andere Mal f¨ ur n → 0. In diesem Sinne muß z.B. f¨ ur den Geschwindigkeitsgradienten bei Re → ∞ gelten: du∗ (n+ ) du∗ (n) = dn∗ dn∗

f¨ ur

n+ → ∞ n → 0

(9.47)

F¨ ur den Geschwindigkeitsgradienten du∗ /dn∗ gilt in Wandschicht-Koordinaten (n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ ) du∗ du∗ dn+ du∗ u∗τ u∗ = = = f ∗ (n+ ) τ∗ (9.48) ∗ + ∗ + ∗ dn dn dn dn ν ν ∗ ∗ und in Grenzschicht-Koordinaten n = n /δ du∗ dn du∗ 1 1 du∗ = = = g ∗ (n) ∗ (9.49) dn∗ dn dn∗ dn δ∗ δ angigkeit in Form von c∗ n∗α Unterstellt man f¨ ur du∗ /dn∗ versuchsweise eine Potenzabh¨ und schreibt diese sowohl in n+ als auch in n, so lautet sie du∗ = c∗ n∗α = c∗ n+α dn∗



u∗τ ν∗

−α

= c ∗ nα



1 δ∗

−α

(9.50)

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

233

Der Vergleich von (9.50) mit (9.48) und (9.49) zeigt, daß die in (9.48) und (9.49) geforderte Form des Geschwindigkeitsgradienten gleichzeitig nur f¨ ur α = −1 vorliegt, und zwar mit f ∗ (n+ ) = c∗ /n+ und g ∗ (n) = c∗ /n woraus z.B. (9.44) folgt. Integriert ergibt dies den ur u+ = u∗ /u∗τ = logarithmischen Verlauf der Geschwindigkeit f¨ ur n+ → ∞ bzw. n → 0. F¨ u+ (n+ ) ergibt die Integration

n+ u

+

=

du+ dn+ = dn+

1

0

1 =

du+ dn+ + dn+

0

du+ dn+ dn+

0

du+ dn+ dn+

1

n+
1



n+

du+ 1 − dn+ κn+



1 dn+ + κ



C+

n+

1 dn+ n+

(9.51)

1

Integriert wird du+ /dn+ . Da du+ /dn+ aber nur f¨ ur große Werte von n+ den Verlauf 1/(κn+ ) aufweist, wird das Integral von 0 bis n+ in die drei gezeigten Anteile aufgespalten. Die Konstante C + enth¨ alt dann die Integration von du+ /dn+ von 0 bis n+ = 1, sowie zwischen 1 und n+ die Integration der Abweichungen von du+ /dn+ gegen¨ uber dem Verlauf 1/(κn+ ), die f¨ ur n+ → ∞ stets kleiner werden. Da ln 1 = 0 ist, tritt durch die formale Umformung des Integrals kein weiterer Term hinzu. F¨ ur n+ → ∞ wird der mit C + bezeichnete Teil der Integration konstant (unabh¨ angig von n+ ), so daß (im Grenz¨ ubergang Re → ∞) gilt: u+ =

1 ln n+ + C + κ

f¨ ur n+ → ∞

(9.52)

Der logarithmische Geschwindigkeitsverlauf ist also eine Folge der gemeinsamen L¨ osung in ¨ einem Uberlappungsbereich beider Schichten.

9.5.3

Der vollturbulente Bereich (Defekt-Schicht)

Bild 9.14b zeigt den Geschwindigkeits-Defekt D∗ = u∗sA − u∗ in dimensionsloser Form, jeweils bezogen auf UB∗ = u∗sA , als D = 1 − u. Da die Geschwindigkeitsprofile mit steigender Reynolds-Zahl insgesamt immer v¨olliger werden (weil die Wandschicht relativ zur gesamten Grenzschicht immer d¨ unner wird), nimmt der Geschwindigkeits-Defekt D entsprechend ab. Eine asymptotische Analyse ergibt eine direkte Proportionalit¨ at von D zu uτ = u∗τ /UB∗ , so daß der bezogene Geschwindigkeits-Defekt D+ =

D u∗ − u∗ = sA ∗ uτ uτ

(9.53)

eingef¨ uhrt wird, der dann bez¨ uglich seines Betrages Reynolds-Zahl unabh¨angig ist. Die eigentlich interessierende Geschwindigkeit u ist damit u = 1 − uτ D +

(9.54)

Es bleibt jetzt als Aufgabe, die Funktion D+ zu ermitteln, die sinnvollerwei¨ se in der Grenzschicht-Koordinate n = n∗ /δ ∗ formuliert wird. Der Ubergang + aquate Koordinate in der Wandschicht) auf n tr¨agt dem asymptovon n (ad¨ tischen Zweischichten-Charakter der Grenzschicht Rechnung. W¨ahrend n+

234

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

f¨ ur Re → ∞ in der Defekt-Schicht beliebig große Werte annehmen w¨ urde, gilt f¨ ur n der Bereich 0 < n ≤ 1. Es ist aber zu beachten, daß die wahre“ ” Skalierung der Grenzschicht (also die Abh¨ angigkeit der in der Grenzschicht ∗ vorkommenden Werte n von der Reynolds-Zahl) solange unbekannt ist, solange die Abh¨ angigkeit der Dicke δ ∗ von der Reynolds-Zahl nicht bekannt ist. F¨ ur die Bestimmung der Funktion D+ ist jetzt ein Turbulenz-Modell erforderlich, da D+ prinzipiell aus dem Gleichungssystem (9.24), (9.25) bestimmt werden muß, das erst mit einem Turbulenzmodell (9.26) geschlossen ist. Um aber auszunutzen, daß nur noch der Außenbereich der Grenzschicht, die Defekt-Schicht, berechnet werden muß, leitet man sinnvollerweise aus (9.24)–(9.26) eine allgemeing¨ ultige Gleichung f¨ ur D+ her. Diese wird anschließend anstelle des zugrundeliegenden Systems (9.24)–(9.26) weiter betrachtet. F¨ ur Details muß wiederum auf die Spezialliteratur verwiesen werden, wie z.B. Schlichting, Gersten (1997) oder Gersten, Herwig (1992). Wird stattdessen doch das Gleichungssystem (9.24)–(9.26) numerisch gel¨ost, sollte ber¨ ucksichtigt werden, daß eigentlich nur noch der Defekt-Bereich der Grenzschicht berechnet werden muß, da der Geschwindigkeitsverlauf in ¨ Wandn¨ ahe, ausgehend von der Wand bis in die Uberlappungsschicht hinein mit dem dort vorliegenden universellen logarithmischen Verlauf, bereits bekannt ist, sobald auch ein Zahlenwert f¨ ur die Konstante C + (glatte Wand: + C = 5) vorliegt. Numerische Verfahren, die dies ber¨ ucksichtigen, benutzen den universellen Verlauf in Wandn¨ ahe in Form von sog. Wandfunktionen (engl.: wall functions). F¨ ur eine allgemeine und im Prinzip beliebige Geschwindigkeitsverteilung usA (s) = u∗sA /UB∗ der reibungsfreien Außenstr¨omung ist D+ eine Funktion von n und s, geschrieben als D+ (n,s), da die zugrundeliegenden Gleichungen (9.24)–(9.26) partielle Differentialgleichungen in den zwei Koordinaten n∗ und s∗ sind. ¨ Ahnlich wie bei laminaren Grenzschichten gibt es nun besondere Geschwindigkeitsverteilungen usA (s), die zu sog. selbst¨ahnlichen Geschwindigkeitsprofilen f¨ uhren. Diese sind dadurch gekennzeichnet, daß sie aus einem gemeinsamen Grundprofil durch eine Streckung“ oder Stauchung“ hervor” ” gehen, was mathematisch einer Koordinatentransformation entspricht. W¨ahrend sich dies bei laminaren Grenzschichten auf das gesamte Profil bezieht, s. Anmerkung 9.1/S. 216, kann Selbst¨ ahnlichkeit bei turbulenten Grenzschichten (unter besonderen Umst¨ anden) nur bez¨ uglich der Defekt-Geschwindigkeitsverteilung vorliegen. Die Bedingung f¨ ur die Selbst¨ ahnlichkeit des Defekt-Profiles l¨aßt sich aus der allgemeinen partiellen Differentialgleichung f¨ ur D+ (s,n), die hier aber nicht gezeigt wird, ablesen und lautet:

β=

δ1∗ dp∗ = const τw∗ ds∗

(Gleichgewichtsgrenzschichten)

(9.55)

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

235

Die Kombination β wird Clauser-Parameter genannt, Str¨omungen mit β = const, also selbst¨ahnlicher Defekt-Schicht, heißen Gleichgewichtsgrenzschichangungsdicke der Grenzschicht. Sie ten. Die Gr¨ oße δ1∗ in (9.55) ist die Verdr¨ ist ganz analog zur entsprechenden Gr¨ oße bei laminaren Grenzschichten, s. (9.22), definiert als (n∗R : Grenzschichtrand): ∗

 nR
u∗ ∗ δ1 = 1− ∗ dn∗ usA

(9.56)

0

Gem¨ aß (9.55) ist die Grenzschicht an der ebenen Platte (dp∗ /ds∗ = 0) offensichtlich eine Gleichgewichtsgrenzschicht. Welche anderen Außengeschwindigkeiten bzw. Druckverteilungen dp∗ /ds∗ zu Gleichgewichtsgrenzschichten f¨ uhren, ist (9.55) nicht unmittelbar zu entnehmen, da auch δ1∗ und τw∗ von s∗ abh¨ angen. Eine genauere Analyse ergibt, daß insbesondere alle Außengeschwindigkeiten mit Potenzgesetzen u∗sA (s∗ ) ∼ s∗m dazu geh¨oren, wobei dann β = −m/(1 + 3m) gilt. Diese Geschwindigkeitsverteilungen entstehen an halbunendlichen Keilen, wie dies in Anmerkung 9.1/S. 216/ f¨ ur laminare selbst¨ ahnliche Grenzschichten erl¨ autert worden war. Anmerkung 9.4:

Indirekte Turbulenzmodellierung zur Bestimmung des Geschwindigkeits-Defektes

Bild 9.14 zeigt, daß der gesuchte Geschwindigkeitsverlauf durch die Rand- und Anpassungsbedingungen weitgehend festliegt, weil z.B. eine Fortschreibung“ des logarithmischen Ver” laufes bis zum Grenzschichtrand das gesamte Profil schon fast“ beschreibt. Deshalb ist es ” naheliegend, nicht die Turbulenz zu modellieren und damit die (Defekt-)Geschwindigkeit zu ermitteln, sondern umgekehrt die Geschwindigkeit zu modellieren“ und damit indirekt ” ein bestimmtes Turbulenzmodell zu unterstellen. Dieses Vorgehen kann dann folgerichtig als indirekte Turbulenzmodellierung bezeichnet werden. Unterstellt man zun¨ achst, der logarithmische Verlauf u+ = κ−1 ln n+ + C + w¨ urde bis zum Grenzschichtrand n = nR = 1 gelten, so w¨ are das Defektprofil (beachte: n∗ /n∗R = n∗ /δ∗ = n) D+ =

u∗sA − u∗ u∗τ

= u+ − u+ = R

1 1 − ln n+ ) = − ln n (ln n+ R κ κ

(9.57)

Die Geschwindigkeits- Modellierung“ besteht nun darin, die tats¨ achlich doch vorhandene ” Abweichung in Form einer Funktion W (n) zu formulieren. Messungen an verschiedenen Grenzschichten zeigen, daß die Abweichungen qualitativ wie die (halbe) Nachlauf-Delle hinter einem K¨ orper aussehen (vgl. Bild 9.5 f¨ ur eine solche Nachlauf-Delle im Geschwindigkeitsprofil), so daß die Funktion W genannt wird (engl.: wake = Nachlauf) und aus Zweckm¨ aßigkeitsgr¨ unden mit Vorfaktoren versehen wie folgt angesetzt wird: B (1 + cos πn), (9.58) κ so daß W (0) = 2B/κ und W (1) = 0 gilt. Mit W (n) als Korrektur zu (9.57) ergibt sich somit endg¨ ultig W (n) =

D+ =

u∗sA − u∗ u∗τ

=

1 [B(1 + cos πn) − ln n] κ

(9.59)

Der Faktor B beschreibt die St¨ arke der Abweichung vom logarithmischen Verlauf bis hin zum Grenzschichtrand. F¨ ur die ebene Platte z.B. besitzt er den Zahlenwert B = 0,55. Als

236

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

N¨ aherung f¨ ur Gleichgewichtsgrenzschichten mit β > 0 (Druckanstieg, s. (9.55)) kann B = 0,55 + 0,47β verwendet werden, f¨ ur solche mit β < 0 (Druckabfall) wird B = 0,55 + 0,94β empfohlen, s. Rohsenow et al. (1998), sowie Tab. 9.5 .

9.5.4

Ergebnisse f¨ ur turbulente Grenzschichten

Nachdem in den letzten drei Abschnitten gezeigt worden ist, daß turbulente Grenzschichten auf dem Hintergrund ihrer asymptotischen ZweischichtenStruktur analysiert werden sollten, bevor die L¨osung der Grenzschichtgleichungen (9.24)–(9.26) in Angriff genommen wird, sollen jetzt die wichtigsten Ergebnisse f¨ ur turbulente Grenzschichten mitgeteilt werden. Diese Ergebnisse entstehen nach konsequenter Anwendung der Erkenntnisse zur asymptotischen Struktur. In ihnen sind die Beitr¨age der prinzipiell erforderlichen Turbulenzmodellierung bei der Bestimmung verschiedener Konstanten eingeflossen (die alternativ auch aus experimentellen Ergebnissen gewonnen werden k¨ onnen). Einzelheiten der Herleitung sind der Spezialliteratur zu entnehmen. Die Ergebnisse werden f¨ ur Gleichgewichtsgrenzschichten angegeben, d.h., es werden Grenzschichten betrachtet, deren Außenstr¨omung auf konstante Werte β gem¨ aß (9.55) f¨ uhren. Der ganz allgemeine Fall einer Außenstr¨omung uhrt, kann in guter N¨aheusA (s), die nicht zu Gleichgewichtsgrenzschichten f¨ rung dadurch erfaßt werden, daß ein lokaler Gleichgewichtsparameter β(s) bestimmt wird. Die Grenzschichtentwicklung kann dann in guter N¨aherung als Abfolge verschiedener Gleichgewichtsgrenzschichten mit dem jeweiligen Parameter β(s) approximiert werden. Bestimmung der Wandschubspannung Gesucht ist die Wandschubspannung τw∗ (s∗ ) f¨ ur eine Außengeschwindigkeit u∗sA (s∗ ) bei der Reynolds-Zahl Res = u∗sA s∗ /ν ∗ . Mit dem lokalen Reibungsbeiwert (u∗sA anstelle von UB∗ )

∗ ∗ 2 u (s ) 2τ ∗ cˆf = ∗ w∗2 = 2 ∗τ ∗ = 2ˆ u2τ (9.60)  usA usA (s ) bzw. der dimensionslosen lokalen Schubspannungsgeschwindigkeit uˆτ :=

u∗τ (s∗ ) uτ = u∗sA (s∗ ) usA

;

uτ =

u∗τ (s∗ ) ; UB∗

usA =

u∗sA (s∗ ) UB∗

(9.61)

folgt (durch asymptotische Anpassung der Wand- und Defekt-Schicht) #


 1 2 cˆf = ln (1 + 3β) Res (9.62) + C + + C(β) cˆf κ 2 Diese Form der Bestimmungsgleichung f¨ ur cˆf (und damit τw∗ ) ist leider implizit und daher etwas schwierig auszuwerten. Sie kann aber auch in expliziter

9.5

237

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

Form angegeben werden, s. Gersten, Herwig (1992):

2 κ cˆf = 2 G(Λ; A) ln Res

(9.63)

mit Λ = ln Res A = 2 ln κ + κ(C + + C) + ln(1 + 3β) und der Funktion G(Λ; A) gem¨ aß Tab. 9.4. Die Konstante C(β) kann Tab. 9.5 entnommen werden. Mit cˆf = 2ˆ u2τ ∼ (1/ ln Res )2 best¨atigt sich die schon in (9.35) angegebene Re-Abh¨ angigkeit uτ ∼ 1/ ln Re. Bestimmung der Grenzschichtdicken Bereits bei der Behandlung laminarer Grenzschichten war darauf hingewiesen worden, daß Grenzschichtdicken im Sinne von Erreichen eines bestimmten ” Prozentsatzes der Außenstr¨ omungsgeschwindigkeit“ sehr problematisch sind, s. die Ausf¨ uhrungen im Zusammenhang mit (9.22). Dies gilt insbesondere auch f¨ ur turbulente Grenzschichten, die sehr v¨ollige Geschwindigkeitsprofile besitzen und deshalb nur schwer auszumachende R¨ander aufweisen. Eine sinnvolle Charakterisierung kann jedoch u ¨ber eine charakteristische Dicke ∆∗ erfolgen, die u ¨ ber einen (physikalisch unbedeutenden) Faktor mit der bisher zur Bildung von n verwendeten Grenzschichtdicke“ δ ∗ verbunden ” ist, damit aber dann dieselbe Laufl¨ angen- und Reynolds-Zahl-Abh¨angigkeit ¨ besitzt wie diese. F¨ ur diese Gr¨ oße findet man aus asymptotischen Uberlegungen: u∗ (s∗ ) (9.64) ∆∗ = s∗ (1 + 3β) ∗τ ∗ usA (s ) A Λ −0,96 −0,46 −0,17 0,04 1,10 2,65 2,90 3,70 5,03 5,70 11,4

Res 105

11,51

1,71

1,62

1,57 1,53 1,38 1,20 1,17 1,10 0,99 0,94 0,67

106

13,82

1,61

1,54

1,50 1,47 1,35 1,19 1,17 1,11 1,01 0,97 0,72

10

7

16,12

1,54

1,48

1,45 1,43 1,32 1,19 1,17 1,11 1,03 0,99 0,75

10

8

18,42

1,48

1,43

1,41 1,39 1,30 1,18 1,17 1,12 1,04 1,01 0,78

1010

23,03

1,40

1,36

1,34 1,33 1,26 1,17 1,15 1,11 1,05 1,02 0,83

12

27,63

1,34

1,31

1,29 1,28 1,23 1,15 1,14 1,11 1,06 1,03 0,86

1014

32,24

1,30

1,27

1,26 1,25 1,20 1,14 1,13 1,10 1,06 1,04 0,88

16

36,84

1,26

1,24

1,23 1,23 1,19 1,13 1,12 1,10 1,06 1,04 0,90

∞

1

1

10 10

∞ Tab. 9.4:

1

1

1

1

Zahlenwerte der Funktion G(Λ; A) in (9.63)

1

1

1

1

1

238

Tab. 9.5:

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

β

m

B

C

G

− 0,5

−1

0,08

−2,66

4,64

− 0,33

∞

0,24

−1,96

5,33

0

0

0,55

−0,56

6,59

0,5

−0,2

0,79

1,34

8,17

1

−0,25

1,02

3,04

9,50

2

−0,286

1,49

6,87

11,7

10

−0,323

5,25

25,1

22,3

Konstanten f¨ ur Gleichgewichtsgrenzschichten β: Gleichgewichtsparameter (9.55) m: Exponent der zugeh¨ origen Außenstr¨ omung u∗sA ∼ s∗m B: Konstante im Defekt-Gesetz (9.59) C: Konstante in (9.62) und (9.63) G: Konstante in (9.66)

Dies ist f¨ ur β = 0 (Plattengrenzschicht) ein fast lineares Anwachsen der Grenzschicht, da u∗τ dann nur schwach von s∗ abh¨angig ist und u∗sA = u∗∞ = const gilt. In (9.64) wird angenommen, daß die Grenzschicht bei s∗ = 0 als turbulente Grenzschicht beginnt. Eine laminare Verlaufstrecke kann dadurch ber¨ ucksichtigt werden, daß anstelle von s∗ jetzt (s∗ − s∗0 ) verwendet wird und s∗0 die Lage eines sog. virtuellen Ursprunges beschreibt. aß (9.56) und die zu (9.19) analog geF¨ ur die Verdr¨ angungsdicke δ1∗ gem¨ bildete Impulsverlustdicke gilt

2 u∗τ (s∗ ) = s (1 + 3β) ∗ ∗ usA (s )
 u∗τ (s∗ ) ∗ ∗ δ2 = δ1 1 − G(β) ∗ ∗ usA (s ) δ1∗

∗

(9.65) (9.66)

mit G(β) aus Tab. 9.5 . Da das Verh¨altnis u∗τ /u∗sA sehr viel kleiner als Eins ist, sind δ1∗ und δ2∗ anders als bei laminaren Grenzschichten erheblich kleiner als die eigentliche Grenzschichtdicke (asymptotisch um eine Gr¨oßenordnung“ kleiner). ” atigt sich wiederum die bereits in Mit ∆∗ ∼ u∗τ und uτ ∼ 1/ ln Re best¨ (9.35) angegebene Re-Abh¨ angigkeit δ ∼ 1/ ln Re. Aus Messungen an der ebenen Platte ergibt sich, daß f¨ ur diesen Fall δ ∗ ≈ 0,34∆∗ gilt, wenn δ ∗ diejenige Dicke ist, bei der 99 % der Außengeschwindigkeit erreicht sind.

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

239

5 C

+

0 +

8.0 - k-1 ln k s

-5

1

10

100

+

ks

Bild 9.15: Zahlenwerte C + in (9.52), (9.62), (9.63) f¨ ur verschiedene dimensionslose Rauheitsh¨ ohen ks+

Einfluß von Wandrauheiten Anders als bei laminaren Str¨ omungen spielen Wandrauheiten bei turbulenten Str¨ omungen u.U. eine entscheidende Rolle (s. dazu auch Beispiel 2.3 in Kap. 2). Dies ist nicht verwunderlich, wenn man bedenkt, welche entscheidende Rolle die (extrem d¨ unne) Wandschicht f¨ ur turbulente Grenzschichten spielt und daß Rauheiten, die deutlich in diese hineinragen oder sogar bis an

WERKSTOFF

¨ OBERFLACHENBESCHAFFENHEIT

kS∗ /mm

Messing, Kupfer, Glas, Aluminium, Kunststoff

glatt, ohne Ablagerungen

< 0,03

Stahl

neu verrostet verkrustet

< 0,03 0,2 − 0,3 0,5 − 2,0

Gußeisen

neu verrostet verkrustet

0,25 1,0 − 1,5 > 1,5

Tab. 9.6:

¨ Aquivalente Sandrauheiten ks∗ (aus: DIN 1952)

240

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

ihren Rand und dar¨ uber hinaus reichen, die physikalischen Verh¨altnisse dort wesentlich beeinflussen k¨ onnen. Um die Vielfalt von m¨ oglichen Oberfl¨ achenbeschaffenheiten ber¨ ucksichtigen zu k¨ onnen, wird eine Standard-Rauheit eingef¨ uhrt (Kugeln vom Durchullt bei Sandpapier), die als ¨ aquivamesser k ∗ in dichtester Packung, gut erf¨ lente Sandrauheit ks∗ dann durch vergleichende Messungen den technischen Rauheiten zugeordnet wird. Tabelle 9.6 zeigt eine kleine Auswahl solcher Zuordnungen. ¨ Aus den eingangs angestellten Uberlegungen zur Wirkung der Rauheiten folgt bereits unmittelbar: 1. Entscheidend sind nicht die Absolutwerte ks∗ von Rauheitsh¨ohen, sondern wieweit diese bei einer bestimmten Grenzschicht in die Wandschicht hineinragen. Dies kann beurteilt werden, wenn analog zur WandschichtKoordinate n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ eine entsprechende dimensionslose Rauheitsh¨ ohe ks+ =

ks∗ u∗τ ν∗

(9.67)

gebildet wird, mit der die Rauheit im Wandschicht-Maßstab“ gemessen ” ∗ gilt. werden kann, weil dann ks+ = ks∗ /δˆw 2. Wandrauheiten beeinflussen die Geschwindigkeitsverteilung in der Wandschicht. Sie m¨ ussen deshalb die Konstante C + ver¨andern, die durch eine Integration der Geschwindigkeit u ¨ ber die Wandschicht hinweg entsteht, s. (9.51). 3. Sehr große Rauheiten zerst¨ oren die Wandschicht vollst¨andig. Da nur dort die molekulare Viskosit¨ at ν ∗ von Bedeutung ist, m¨ ussen diese Str¨omungen dann frei von Viskosit¨ atseinfl¨ ussen sein (und damit unabh¨angig von der Reynolds-Zahl Res = UB∗ s∗ /ν ∗ werden). Diese F¨alle heißen vollrauh. Eine genaue Analyse und experimentelle Untersuchungen best¨atigen alle drei Punkte. Danach k¨ onnen folgende Bereiche bzgl. ks+ unterschieden werden: Hydraulisch glatt:

ks+ ≤ 5 :

rauh:

5 < ks+ ≤ 70 :

vollrauh:

70 < ks+ :

Beispiel 9.2:

C + ≈ 5,0 C + (ks+ ) aus Bild 9.15 1 C + (ks+ ) = 8,0 − ln ks+ κ

Turbulente Grenzschichtdicken am Ende einer hydraulisch glatten Platte der L¨ ange L∗

Unterstellt man eine von der Vorderkante an turbulente Grenzschicht, so ergibt sich folgendes f¨ ur die Dicken der Grenzschicht sowie der Wandschicht: Wie im Zusammenhang mit (9.64) bereits erw¨ ahnt, ist die Grenzschichtdicke δ∗ als ∗ (Dicke, bei der 99 % der Außengeschwindigkeit erreicht ist) etwa 0,34∆ ∗ . F¨ ur den δ99

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

241

Grenzschichtmaßstab ∆∗ gilt nach (9.64) f¨ ur die ebene Platte (β = 0; u∗sA (s∗ ) = u∗∞ ) ∗ ∗ bei s = L : ∆∗ = L∗ uτ (B9.2-1)



ˆτ = Mit (9.60) und (9.63) folgt uτ = u

cˆf /2 = κG(Λ; A)/ ln Re, wobei Re =

u∗∞ L∗ /ν ∗ gilt. Die Konstante A ist f¨ ur die ebene hydraulisch glatte Platte (β = 0; C = −0,56; C + = 5,0) A ≈ 0,04, so daß im folgenden G ≈ 1,45 gesetzt wird (s. Tab. 9.4). Damit gilt insgesamt: δ∗ 0,202 0,34 κ G = = (B9.2-2) L∗ ln Re ln Re ∗ folgt mit n+ = n∗ u∗ /ν ∗ = 70 am Rand der Wandschicht F¨ ur die Wandschichtdicke δw τ ∗ u∗ δ∗ 70 δw τ = 70 −→ w∗ = ν∗ L Re uτ

(B9.2-3)

Wiederum mit uτ = κ G/ ln Re ergibt sich ∗ δw ln Re 70 ln Re = 118 = L∗ κ G Re Re

(B9.2-4)

∗ /δ ∗ gilt damit: F¨ ur das Verh¨ altnis δw ∗ 118 ln2 Re δw ln2 Re = = 584 ∗ δ 0,202 Re Re

(B9.2-5)

Tabelle B9.2 enth¨ alt einige Zahlenwerte f¨ ur die Realisierung in Luft (ν ∗ = 15·10−6 m2 /s) und Wasser (ν ∗ = 10−6 m2 /s).

Beispiel 9.3:

Widerstand einer turbulent u omten ebenen Platte ¨ berstr¨

∗ der zweiseitig benetzten Platte gilt mit B ∗ als Plattenbreite F¨ ur den Widerstand Wzb

L∗ ∗ = 2B ∗ Wzb

∗ ∗ τw (s ) ds∗

(B9.3-1)

0

woraus der dimensionslose Widerstandsbeiwert cW gebildet wird (vgl. Beispiel 9.1 f¨ ur den laminaren Fall). Auch hier mit uτ = u ˆτ und cˆf nach (9.60) gilt f¨ ur diesen Fall: cW =

1

∗ 2 Wzb

∗ B ∗ L∗ u∗2 ∞

1 u ˆ2τ

=4 0

ds = 2

cˆf (s) ds

(B9.3-2)

0

Die Integration ist wiederum wegen des impliziten Charakters von ˆ cf , s. (9.62), nicht einfach auszuf¨ uhren, so daß (9.63) verwendet werden sollte. Alternativ kann cW aber auch aus der Impulsverlustdicke stromabw¨ arts des K¨ orpers, im Falle der ebenen Platte (wegen u∗sA (s∗ ) = u∗∞ = const) sogar direkt an der Hinterkante bestimmt werden, wie dies f¨ ur die laminare Grenzschicht im Beispiel 9.1 bereits erl¨ autert worden ist. In diesem Sinne gilt f¨ ur die zweiseitig benetzte Platte mit δ2∗ /L∗ nach (9.66),  

 δ∗  2

cW = 2 2

L∗

"

= 2ˆ cf

1 − (G − G2 )

cˆf 2

.

(B9.3-3)

In der Beziehung f¨ ur δ2∗ /L∗ mußte dabei jedoch ein Term G2 als bisher vernachl¨ assigter Term h¨ oherer Ordnung erg¨ anzt werden, f¨ ur den bei β = 0 der Zahlenwert G2 = 11,5 gilt, s. Gersten, Herwig (1992, S. 630).

242

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

u∗∞ m/s

L∗ m

50

1 1

100

Luft

u∗∞ L∗ ν∗

∗ δw mm

∗ δw δ∗

3,3 · 106

13,5

0,54

0,04

6,6 · 10

6

12,9

0,28

0,02

7

58,3

0,31

5,3 · 10−3

100

5

3,3 · 10

200

10

1,3 · 108

108

0,17

1,6 · 10−3

1

2

2 · 106

27,8

1,7

0,06

5

7

62,7

0,95

0,015

522

0,46

0,9 · 10−3

1886

0,25

1,3 · 10−4

2

Wasser

δ∗ mm

Re =

1 · 10

8

5

50

2,5 · 10

10

200

2 · 109

∗ am Ende einer hydraulisch Grenzschichtdicke δ∗ und Wandschichtdicke δw glatten Platte der L¨ ange L∗

Tab. B9.2:

∗ */ L /k k ∗ BB S S

0,04

cW 0,01

2

10

3

10

4 5

1

10 6 10 7 10

2

0,002 10

Bild B9.3:

5

4

3

10

6

10

8

Re

10

10

Widerstandsdiagramm der l¨ angsangestr¨ omten Platte (zweiseitig benetzt) 1: Laminar, Beispiel 9.1, (B9.1-3) 2: mit laminarem Anlauf 3: turbulent, hydraulisch glatt (C + = 5,0) 4: turbulent, rauh (C + nach Bild 9.15) 5: turbulent, vollrauh (C + = 8,0 − κ−1 ln ks+ ) gestrichelt: Grenzlinie des vollrauhen Bereiches (ks+ = 70)

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

243

Damit ergibt sich das in Bild B9.3 gezeigte Widerstandsdiagramm f¨ ur die Str¨ omung an der ebenen Platte. Deutlich zu erkennen ist: die starke Zunahme des Widerstandes gegen¨ uber einer (fiktiven) weiterhin laminaren Str¨ omung der starke Einfluß der Wandrauheit die Re-Unabh¨ angigkeit von cW f¨ ur Rauheiten ks+ > 70, da dann die Wandschicht zerst¨ ort“ und kein Viskosit¨ atseinfluß mehr vorhanden ist. ”

Beispiel 9.4:

Widerstandsbeiwert des Kreiszylinders

W¨ ahrend die ebene, parallel u omte Platte den Prototyp einer Str¨ omung ohne ¨berstr¨ Abl¨ osung darstellt, ist die Kreiszylinderumstr¨ omung ein typisches Beispiel f¨ ur eine Str¨ omung mit (druckinduzierter) Abl¨ osung. F¨ ur den Widerstandsbeiwert cW = cW (Re) ergibt sich ein Verlauf, der auch f¨ ur ahnlich geformte K¨ orper (z.B. eine Ellipse) charakteristisch ist. Die f¨ unf verschiede¨ nen Reynolds-Zahl-Bereiche mit jeweils anderen physikalischen Merkmalen bzgl. der Str¨ omungsabl¨ osung, sind in Bild B9.4 skizziert. Bei hohen Reynolds-Zahlen (Re > 105 ) kommt es zu einer sehr starken Abnahme des Widerstandsbeiwertes vom Wert cW ≈ 1 ur diese drastische Abnahme des Widerstanauf einen Wert cW ≈ 0,2. Die Ursache f¨ ¨ des in diesem Reynolds-Zahl-Bereich ist ein Ubergang der zun¨ achst laminaren Grenzschicht in die turbulente Str¨ omungsform bevor die Grenzschicht abl¨ ost. Die turbulente Grenzschicht kann einen deutlich gr¨ oßeren Druckanstieg u ¨berwinden, bis auch sie zur Abl¨ osung kommt. Damit ist das entstehende Abl¨ osegebiet aber deutlich kleiner als bei laminarer Abl¨ osung und als Folge davon der Druckwiderstand des Kreiszylinders erheblich geringer. Die Str¨ omungsverh¨ altnisse mit turbulenter Abl¨ osung ver¨ andern sich gegen¨ uber dem Fall laminarer Abl¨ osung in Richtung“ der potentialtheoretisch zu be” schreibenden vollst¨ andig reibungsfreien Umstr¨ omung, f¨ ur die bekanntlich cW = 0 gilt, vgl. Abschn. 8.1 . Der Gesamtwiderstand eines ebenen K¨ orpers (bei Unterschallstr¨ omung) ist die Summe aus dem Reibungs- und dem Druckwiderstand. Wenn gr¨ oßere Abl¨ osegebiete auftreten, ist stets der Druckwiderstand der dominierende Anteil. Dieser wird von m¨ oglicherweise vorhandenen Wandrauheiten nur insofern indirekt beeinflußt, als Rauheiten zu ¨ einem fr¨ uheren Ubergang der laminaren in die turbulente Str¨ omungsform der Grenzschichten f¨ uhren k¨ onnen und damit der starke Abfall im Wert von cW bereits bei niedrigeren Reynolds-Zahlen erfolgt. Ein direkter Einfluß von Wandrauheiten liegt nur im turbulenten Teil der Str¨ omungsgrenzschichten stromaufw¨ arts der Abl¨ osung vor. Dies wirkt sich jedoch nur so schwach auf den Gesamtwiderstand aus, daß anders als im Fall der ebenen Platte, bei der der Widerstand ausschließlich Reibungswiderstand ist, keine Kurvenscharen mit einem Rauheitswert als Parameter entstehen. Eine weitere Besonderheit auf die hingewiesen werden sollte, ist der periodische Abl¨ osevorgang im Reynolds-Zahl Bereich von etwa 60 < Re < 5 000, der als Karmansche Wirbelstraße bezeichnet wird. In diesem Bereich kommt es zu beidseitig alternierend abl¨ osenden Wirbeln, wobei sich die Abl¨ osewinkel (d.h. die Winkelposition auf dem Kreiszylinder) erstaunlicherweise nicht erkennbar ver¨ andern. Ein neuer Wirbel w¨ achst sozusagen am festen Beginn des Abl¨ osegebietes und wird mit Erreichen seiner Abl¨ ose” gr¨ oße“ stromabw¨ arts bewegt.Der Rand des Abl¨ osegebietes ist damit periodisch stark verformt, die Abl¨ osestelle auf dem Kreiszylinder bleibt aber praktisch unver¨ andert an derselben Stelle. Oberhalb von etwa Re = 500 stellt sich eine Abl¨ osefrequenz f ∗ ein, f¨ ur die der Zusammenhang f ∗ D ∗ /u∗∞ ≈ 0,21 = const gilt. Die dimensionslose Kombination f ∗ D ∗ /u∗∞ wird Strouhal-Zahl S genannt.

244

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Anmerkung 9.5:

Grenzschichtabl¨ osung (turbulent)

Das Kriterium f¨ ur die Grenzschichtabl¨ osung ist wie im Laminaren eine Wandschubspan∗ = 0. Die physikalischen Vorg¨ nung τw ange verlaufen auch bei einer turbulenten Grenzschicht prinzipiell wie in Bild 9.9 der Anmerkung 9.2/S. 217/ dargestellt. W¨ ahrend jedoch die laminare Grenzschichttheorie 1. Ordnung im Abl¨ osepunkt eine Singularit¨ at aufweist und damit dieses physikalisch/mathematische Modell keine weiteren Aussagen u ¨ ber die Vorg¨ ange bei Erreichen des Abl¨ osepunktes zul¨ aßt, k¨ onnen die bisher entwickelten Modellvorstellungen f¨ ur turbulente Grenzschichten modifiziert werden und erlauben damit eine Analyse der Vorg¨ ange bei der Str¨ omungsabl¨ osung. Dies ist m¨ oglich, wenn nicht einfach“ ” die Grenzschichtgleichungen (9.24)–(9.26) numerisch gel¨ ost werden (wobei dann ein a ¨hnlich singul¨ ares L¨ osungsverhalten wie im laminaren Fall auftreten w¨ urde), sondern die Verh¨ altnisse wie bisher bez¨ uglich der Schichtenstruktur analysiert werden.

keine o Ablosung

o a Ablosung instationare Karmansche Wirbelstra¼e

stationare Ä oÄ Ablosung

100 cw

Rauheitseinflu¼

10 1 0,1 10 0

10 1

10 2

10 3

10 4

laminare Grenzschichtablosung breiter turbulenter Nachlauf Bild B9.4:

10 5

10 6

Re

turbulente o Grenzschichtablosung schmaler turbulenter Nachlauf

Widerstandsbeiwert des Kreiszylinders (glatte Wand)

9.5

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

245

Dabei ergeben sich folgende Besonderheiten (f¨ ur weitere Details sei wiederum auf die Spezialliteratur verwiesen, besonders auf Gersten, Herwig (1992, Kap. 16.2 und 17.4)): 1.



∗ /∗ , die bei An die Stelle der bisher verwendeten Bezugsgeschwindigkeit u∗τ = τw ∗ = 0 ebenfalls null wird, tritt die sog. Druckgradientengeschwindigkeit τw

u∗s =



ν ∗ dp∗w ∗ ds∗

1/3

(9.68)

2.

Die Wandschicht-Koordinate (bisher n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ ) wird n× = n∗ u∗s /ν ∗ . Die Wand∗ > 0 etwas schw¨ schicht selbst ist gegen¨ uber den Bereichen mit τw acher von der ∗ → 0 zu einer Verdickung“ der WandReynolds-Zahl abh¨ angig, weshalb es f¨ ur τw ” schicht kommt.

3.

Am Außenrand der Wandschicht tritt nicht mehr das logarithmische Geschwindigkeitsprofil u+ = κ−1 ln n+ + C + auf, sondern es gilt ein sog. Wurzelgesetz: u× =

1 √ × u∗ = n + C× u∗s κ0

(9.69)

mit den Konstanten κ0 = 0,4 und C × = −3,2 (glatte Wand). 4.

Die Wandschicht geht nicht direkt in die Außenschicht u ¨ber (bisher: Defekt-Schicht), sondern in eine Zwischenschicht mit einer eigenen Skalierung. Diese Schicht wird als innere Außenschicht bezeichnet. Insgesamt besteht die Grenzschicht damit nicht mehr nur aus zwei, sondern aus drei Schichten.

5.

Die Außenschicht ist keine Defekt-Schicht mehr, d.h., sie geht f¨ ur Re → ∞ nicht in die homogene Str¨ omung u∗ = u∗sA (s∗ ) u ¨ber, sondern bleibt als echtes Grenzschicht” profil“ erhalten. Außerdem zeigt sie keine mit Re → ∞ verschwindende Dicke wie alle anliegenden Grenzschichten, sondern hat eine Re-unabh¨ angige endliche Dicke. Sie ¨ stellt damit den Ubergang in die sog. freie Scherschicht dar, die diese Eigenschaft ebenfalls besitzt.

Die experimentelle Untersuchung des Grenzschichtverhaltens bei Abl¨ osung erfolgt u ¨blicher∗ =0 weise an Grenzschichten, f¨ ur die auf endlichen Laufl¨ angen eine Wandschubspannung τw realisiert wird. Dies kann mit einer Außenstr¨ omung u∗sA ∼ (s∗ − s∗0 )m und m ≈ −0,219 erreicht werden. Diese Grenzschicht besitzt eine selbst¨ ahnliche Außenschicht. Sie ist unter dem Namen Stratford-Str¨ omung bekannt.

Anmerkung 9.6:

Turbulenzgrad der Außenstr¨ omung

Bisher war die turbulente Umstr¨ omung eines K¨ orpers bei hohen Reynolds-Zahlen mit Hilfe des Grenzschichtkonzeptes behandelt worden. Dabei konnte die Grenzschicht selbst entweder laminar oder turbulent sein. Dieses entweder, oder“ verleitet nun zu der Frage, ob die ” reibungsfreie Außenstr¨ omung, da sie offensichtlich nicht turbulent ist, (s. auch Bild 9.10) damit notwendigerweise als laminar anzusehen sei. Eine solche Frage entsteht typischerweise, wenn nicht nach der Realit¨ ats- und der Modellebene unterschieden wird. Mit dem Begriff und der damit verbundenen physikalischen Vorstellung der reibungsfreien Außenstr¨ omung“ ist man auf der Modellebene. Im Rahmen ” dieser Modellvorstellung, formuliert mit einem Gleichungssystem ohne viskose und ohne Reynoldssche Spannungstensoren bzw. deren Komponenten, existiert kein Mechanismus, der zu zwei unterschiedlichen Str¨ omungsformen f¨ uhren k¨ onnte, die dann als laminar bzw. turbulent bezeichnet werden m¨ ußten. Im Rahmen dieser Beschreibung kann also die Frage laminar oder turbulent“gar nicht beantwortet werden. Sie wird als reibungsfrei modelliert, ” die Kategorien laminar“ oder turbulent“ existieren in dieser Modellvorstellung nicht. ” ” Nun ergeben allerdings Messungen, daß diese als reibungsfrei modellierten Str¨ omungsbereiche h¨ aufig einen, wenn auch meist nur geringen, Turbulenzgrad aufweisen, diese

246

9

Reibungsbehaftete Umstr¨ omungen

Str¨ omungen also offensichtlich doch“ turbulent sind. Dieser scheinbare Widerspruch ist ” eigentlich schon aufgekl¨ art: Im Rahmen einer Modellvorstellung reibungsfreie Str¨ omung“ ” wird dieser Aspekt vernachl¨ assigt (s. dazu auch Bild 2.1, fehlende Entsprechungen zwischen Modell- und Realit¨ atsebene). Wenn er sich als dennoch bedeutsam erweist, so kann und muß er zus¨ atzlich ber¨ ucksichtigt werden, indem die Modellvorstellung um diesen Aspekt erweitert wird. Ein erster Schritt dazu ist, daß der Einfluß endlicher Turbulenzgrade der Außenstr¨ omung experimentell bestimmt wird. Darauf aufbauend k¨ onnen u.U. Korrekturfaktoren ermittelt werden, die in die Endergebnisse einer Analyse ohne Ber¨ ucksichtigung des Turbulenzgrades der Außenstr¨ omung aufgenommen werden k¨ onnen. Zum Beispiel ist der W¨ arme¨ ubergang zwischen einer Wand und dem angrenzenden Fluid sehr stark von auch nur geringen Turbulenzgraden der Außenstr¨ omung (Anstr¨ omung) abh¨ angig, was in einem entsprechenden Korrekturfaktor n¨ aherungsweise ber¨ ucksichtigt werden kann.

Anmerkung 9.7:

Temperaturgrenzschichten

In Abschn. 9.2 war die Entstehung von Str¨ omungsgrenzschichten anschaulich aus dem Zusammenspiel von Diffusion von Drehung und deren konvektivem Transport abgeleitet worden. Im Zusammenhang mit (9.3) war dabei auf die Analogie zwischen dem diffusen Transport von Drehung und von innerer Energie hingewiesen worden. Dem Transportko” effizienten“ Viskosit¨ at ν ∗ entspricht bei der inneren Energie die Temperaturleitf¨ ahigkeit a∗ . Entsteht“ nun an einer Grenzfl¨ ache innere Energie (weil diese z.B. aufgrund von ” W¨ armeleitung durch eine Wand dorthin gelangt), so breitet sich diese in Form von W¨ armeleitung im Fluid quer zur Wand aus und wird gleichzeitig konvektiv entlang der Wand transportiert, wenn die Wand u omt ist. Es bilden sich deshalb d¨ unne Temperatur¨berstr¨ grenzschichten aus, innerhalb derer die innere Energie des Fluides durch den Transport u ache beeinflußt ist. ¨ber die Grenzfl¨ Je nach den konkreten Verh¨ altnissen k¨ onnen diese Temperaturgrenzschichten etwa die gleiche Dicke besitzen wie die Str¨ omungsgrenzschichten, sie k¨ onnen aber auch sehr viel d¨ unner oder sehr viel dicker sein als diese. Ein maßgeblicher Parameter f¨ ur die Frage, in welchem Verh¨ altnis die Dicken der Str¨ omungs- und Temperaturgrenzschichten stehen, ist die molekulare Prandtl-Zahl ν∗ Pr = ∗ , (9.70) a die beide Transportkoeffizienten“ ins Verh¨ altnis setzt. Bild 9.16 zeigt die Verh¨ altnisse am ” Beispiel der laminaren Temperaturgrenzschichten. F¨ ur diesen Fall k¨ onnen die Grenzf¨ alle Pr → 0 und Pr → ∞ sehr einfach und universell behandelt werden. Bei turbulenten Grenzschichten entstehen aber komplizierte Dreischichten-Strukturen, f¨ ur Einzelheiten s. z.B. Gersten, Herwig (1997, Abschn. 7.5.5 und 15.1).

Anmerkung 9.8:

Der Transitionsprozeß bei ebenen Grenzschichten/ Str¨ omungsstabilit¨ at bzw. -instabilit¨ at

In Anmerkung 5.11/S. 118/ war der Transitionsprozeß als Folge des Verhaltens von Str¨ omungen gegen¨ uber St¨ orungen beschrieben worden. Danach setzt dieser Prozeß ein, wenn Str¨ omungen erstmals nicht mehr in der Lage sind, alle Elementarst¨ orungen (aus denen sich eine beliebige St¨ orung zusammensetzt) zu d¨ ampfen. Am Beispiel der ebenen Plattengrenzschicht soll das Vorgehen bei einer solchen Analyse des Str¨ omungsverhalten gegen¨ uber St¨ orungen erl¨ autert werden. F¨ ur die St¨ orgeschwindigkeiten u∗ und v∗  einer als zweidimensional angenommenen St¨ orung werden die Wellenans¨ atze (5.40) gew¨ ahlt. In dimensionsloser Form (entdimensioniert mit der Anstr¨ omgeschwindigkeit u∗∞ und einer Bezugsl¨ ange L∗B ) lauten sie u = u ˆ exp[iα(s − cˆt)] + cc ;

v = vˆ exp[iα(s − cˆt)] + cc

(9.71)

9.5

247

Grenzschichttheorie f¨ ur turbulente Str¨ omungen

± *T

±*

± * , ± *T

±* ± *T

Pr

0

Pr = O(1)

Pr

1

±* ± *T

0

±* ¼ 1 ± *T

±* ± *T

1

∗ ) in laminaren TemBild 9.16: Prinzipieller Verlauf der Temperaturdifferenz (T ∗ − T∞ peraturgrenzschichten f¨ ur verschiedene Bereiche der Prandtl-Zahlen

δ∗ : Dicke der Str¨ omungsgrenzschicht ∗ : Dicke der Temperaturgrenzschicht δT Dabei sind u ˆ(n) und vˆ(n) die (komplexen) sog. Amplitudenfunktionen, mit denen die Form der St¨ orung (¨ uber der Grenzschicht, in Richtung der Koordinate n) beschrieben werden. Die komplexe Exponentialfunktion exp[iα(s − ˆ ct)] beschreibt den Wellencharakter der St¨ orung in x-Richtung bzw. in der Zeit t, der die Elementarwelle der dimensionslosen Wellenl¨ ange 2π/α ausmacht. Anstelle der Einzelkomponenten u und v wird die Stromfunktion der St¨ orung eingef¨ uhrt, wobei dann u ˆ=ϕ ˆ und vˆ = −iαϕ ˆ gilt. Die Bestimmungsgleichung f¨ ur die Amplitudenfunktion der St¨ orung, ϕ, ˆ kann – relativ einfach – aus den Grundgleichungen (Navier-Stokes-Gleichungen) abgeleitet werden. Sie lautet f¨ ur ebene Str¨ omungen (lineare Stabilit¨ atstheorie; Parallelstr¨ omungsannahme): (U − cˆ)(ϕ ˆ − α2 ϕ) ˆ − U  ϕ ˆ=−

1 ˆ + α4 ϕ) ˆ (ϕ ˆ − 2α2 ϕ αRe

(9.72)

und wird Orr-Sommerfeld-Gleichung genannt. Darin ist U die Str¨ omungsgeschwindigkeit der Grundstr¨ omung (laminare Grenzschicht). Zus¨ atzlich kommen vor: α:

Wellenzahl (Wellenl¨ ange: 2π/α)

cˆ:

cˆ = cr + ici cr : Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit,

Re:

Reynolds-Zahl der Str¨ omung (Re =

ci : Anfachungsfaktor

u∗∞ L∗B /ν ∗ )

Die Randbedingungen f¨ ur ϕ ˆ sind homogen, so daß insgesamt ein Eigenwertproblem vorliegt (ϕ ˆ = 0 ist L¨ osung der Gleichungen, f¨ ur diskrete Werte der beteiligten Parameter existieren aber zus¨ atzliche L¨ osungen ϕ ˆ = 0). Die numerische L¨ osung von (9.72) ist keineswegs trivial, da es sich um eine sog. steife Differentialgleichung handelt. Bei dieser L¨ osung werden z.B. die Reynolds-Zahl Re und die Wellenzahl α vorgegeben (beide sind reelle Gr¨ oßen). Die L¨ osung, getrennt nach Real- und Imagin¨ arteil, besteht aus der komplexen Amplitudenfunktion ϕ ˆ (deren Realteil die konkrete Form der wellenartigen St¨ orung beschreibt) und dem komplexen Eigenwert ˆ c = cr + ici . Wie bereits in Anmerkung 5.11/S. 118/ ausgef¨ uhrt, entscheidet das Vorzeichen von ci u ¨ber

248

9

Durchstr¨ omungen

das Stabilit¨ atsverhalten (der Partialst¨ orung mit der Wellenzahl α bei der Reynolds-Zahl Re). Nach einer systematischen Variation der Eingangsparameter (α, Re) erh¨ alt man schließlich das sog. Stabilit¨ atsdiagramm der betrachteten Str¨ omung. Bild 9.17 zeigt dieses f¨ ur die ebene Plattengrenzschicht. Da unterhalb von Re = 520 keine Elementarst¨ orung angefacht wird, ist die Str¨ omung mit Re < 520 stabil und Re = 520 stellt die gesuchte Indifferenz-Reynolds-Zahl dar. Wie in Anmerkung 5.11 erl¨ autert, kennzeichnet sie den Beginn des Transitionsprozesses, der bei der gr¨ oßeren kritischen Reynolds-Zahl Rekrit dann abgeschlossen ist. Messungen ergeben eine kritische Reynolds-Zahl, ebenfalls mit der Verdr¨ angungsdicke als charakteristischer L¨ ange gebildet, von Rekrit = u∗∞ δ1∗ /ν ∗ = 950. Dem Stabilit¨ atsdiagramm ist zu entnehmen, daß die mit steigender Reynolds-Zahl erste angefachte Welle den Wert α∗ δ1∗ = 0,36 besitzt. Dies entspricht einer Wellenl¨ ange 2π/α∗ ∗ ∗ von 2πδ1 /0,36 = 17,5δ1 bzw. etwa dem sechsfachen der Grenzschichtdicke, vgl. Tab. 9.2 . Es handelt sich also um relativ langwellige St¨ orungen. Weitere Einzelheiten finden sich z.B. in Schlichting, Gersten (1997).

100 c *i = u*1 0,4 a* d*1

*

0.0 0.5 1.0

Indifferenzkurve stabil

1.5

0,2

1.8

instabil 0 10

2

10 Reind = 520

3

10

4

Re =

u*1 d*1 º*

10

5

Bild 9.17: Stabilit¨ atsdiagramm der ebenen Plattengrenzschicht; gezeigt sind die Werte von c∗i f¨ ur c∗i < 0 im stabilen Bereich (keine konkreten Angaben) c∗i = 0 auf der Indifferenzkurve im instabilen Bereich; c∗i > 0 beachte: hohe Anfachungsraten bei relativ kleinen Reynolds-Zahlen α∗ : Wellenzahl, c∗i : Anfachungsfaktor, δ1∗ : Verdr¨ angungsdicke s. (9.22)

10 Durchstr¨ omungen

W¨ahrend bei der Umstr¨ omung von K¨ orpern im Fall großer Reynolds-Zahlen (die in den meisten technisch relevanten Situationen gegeben sind) ein weitgehend reibungsfreier wandferner und ein stark reibungsbehafteter und ggf. turbulenter wandnaher Teil des Str¨ omungsfeldes ausgemacht und getrennt behandelt werden k¨ onnen, ist dies bei Durchstr¨ omungen nur im sog. Einlaufbereich der Fall. Nur im Eintrittsbereich von durchstr¨omten K¨orpern besitzt die Str¨ omung bei großen Reynolds-Zahlen Grenzschichtcharakter. Da Grenzschichten (fast immer) in Str¨ omungsrichtung anwachsen, der Abstand begrenzender W¨ ande aber endlich ist, werden die Grenzschichten hinreichend weit stromabw¨ arts zusammenwachsen“. Sie f¨ ullen dann den gesamten Str¨omungs” raum aus und existieren nicht mehr als einzeln identifizierbare Grenzschichten (in Abgrenzung zu einer Außenstr¨ omung). Die Str¨omung ist damit dann u ¨ber den gesamten Querschnitt hinweg reibungsbehaftet bzw. turbulent. Falls die durchstr¨ omten Geometrien in Str¨ omungsrichtung konstante Querschnitte aufweisen, wie etwa bei durchstr¨ omten Rohren und Kan¨alen unterschiedlichster Querschnittsformen aber ohne Erweiterung oder Verengung in Str¨ omungsrichtung, so ist bei konstanter Dichte des Fluides weit stromabw¨ arts eine sog. ausgebildete Str¨omung zu erwarten. Bei diesen Str¨omungen variieren die Geschwindigkeitsprofile nur noch in Quer-, nicht aber in Str¨omungsrichtung. Aus Kontinuit¨ atsgr¨ unden kann dann keine Quergeschwindigkeitskomponente vorhanden sein. Wegen der großen technischen Bedeutung werden im folgenden zun¨achst Geometrien behandelt, die zu solchen Str¨ omungen f¨ uhren. Es handelt sich dabei also um Kan¨ ale und Rohre unver¨ anderten Querschnittes, in denen die Str¨omung im Eintrittsbereich Grenzschichtcharakter besitzt und weit stromabw¨ arts einen ausgebildeten Zustand erreicht. Dabei sind zun¨achst nur die Str¨ omungen durch einen ebenen Kanal und durch einen Kreis- oder Kreisringquerschnitt zweidimensional bzw. rotationssymmetrisch und damit im Teil B2 diese Buches richtig angesiedelt“. Bez¨ uglich anderer Str¨omungsquerschnitte ” werden deshalb im folgenden nur einige globale Ergebnisse angegeben, ohne daß diese im Prinzip dreidimensionalen Str¨ omungen im einzelnen behandelt werden.

10.1 Ausgebildete Durchstr¨ omungen Weit stromabw¨ arts (asymptotisch f¨ ur x∗ /H ∗ → ∞, H ∗ : halbe Kanalh¨ohe) entstehen in einem Kanal konstanten Querschnittes und f¨ ur ein Fluid mit

250

10

Durchstr¨ omungen

konstanter Dichte (zeitgemittelte) Geschwindigkeitsprofile, die sich mit der Laufl¨ ange immer weniger ver¨ andern und schließlich die endg¨ ultige“ Form ” eines ausgebildeten Geschwindigkeitsprofiles annehmen. In Abschn. 10.2 wird untersucht, nach welchen Laufl¨ angen dieser ausgebildete Zustand erreicht wird, hier geht es zun¨ achst um die Beschreibung dieses Zustandes. Ein in x-Richtung unver¨ anderlicher Str¨ omungszustand im Sinne eines von angigen Geschwindigkeitsprofiles (konstante Dichte) bedeutet unx∗ unabh¨ mittelbar ∂u∗ = 0 =⇒ u∗ = u∗ (y ∗ ) (10.1) ∂x∗ Im Fall der laminaren Str¨ omung bezieht sich diese Aussage auf die Geschwindigkeitskomponenten u∗ , da dann der Aspekt der Zeitmittelung entf¨allt. In einer turbulenten Str¨ omung bezieht sich der ausgebildete Zustand auch auf das Feld der zeitgemittelten Geschwindigkeitskorrelationen, so daß zus¨atzlich insbesondere gilt: ∂u∗ v ∗ =0 (10.2) ∂x∗ Dies folgt aus der Vorstellung, daß im allgemeinen Fall eine x-Unabh¨angigkeit der zeitgemittelten Geschwindigkeitsprofile notwendigerweise mit einer x-Unabh¨ angigkeit der zeitgemittelten Geschwindigkeitskorrelationen einhergeht, da diese physikalisch im Sinne von zus¨ atzliche (Reynoldsschen) Schubspannungen wiederum die konkreten Formen der zeitgemittelten Geschwin¨ digkeitsprofile bestimmen. Solche Uberlegungen sind deshalb erforderlich, weil im ausgebildeten Zustand nicht grunds¨ atzlich alle Gr¨oßen x-unabh¨angig anderlich. sind, der Druck z.B. ist weiterhin mit x∗ ver¨ Aufgrund von (10.1) und (10.2) vereinfachen sich die vollst¨andigen Grundgleichungen bereits erheblich. Setzt man zus¨atzlich als Randbedingung undurchl¨ assige W¨ ande voraus, also v ∗ = 0 an den W¨anden, so folgt aus der Kontinuit¨ atsgleichung (bei inkompressibler Str¨omung zun¨achst reduziert auf ∂v ∗ /∂y ∗ = 0) unmittelbar v∗ = 0 (10.3) (bzw. v ∗ = 0 im laminaren Fall) Unter Ber¨ ucksichtigung von (10.1)–(10.3) ergeben sich die Gleichungen gem¨ aß Tabelle 10.1 f¨ ur die dort noch einmal aufgef¨ uhrten Voraussetzungen. 10.1.1

Das Konzept des hydraulischen Durchmessers

Bei ausgebildeten Str¨ omungen im zuvor beschriebenen Sinne liegt stets ein Gleichgewicht zwischen den Reibungskr¨ aften aufgrund der Schubspannungen an den W¨ anden und den Druckkr¨ aften auf den gegen¨ uberliegenden freien Str¨ omungsquerschnitten vor. Da diese Aussage unabh¨angig von der geometrischen Form des durchstr¨ omten Querschnittes gilt, wird versucht, dar¨ uber zu einer einheitlichen Behandlung unterschiedlicher Kanalgeometrien zu gelangen, bzw. von dem bekannten Ergebnis bei einer bestimmten Kanalgeometrie auf dasjenige einer anderen Geometrie zu schließen.

10.1

Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + ∗+ =0 ; ∗ ∂x ∂y ∂z ∗

Ausgebildete Durchstr¨ omungen

251

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z
∗  ∂u ∂v ∗ ∂w∗ + + = 0 (K∗cp ) ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

x-Impulsgleichung Du∗ ∗ ∗ Dt

  2 ∗ ∂ 2 u∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∂ u = − ∗ +η + + ∂x ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2 ⎡ ⎤ ∂ u∗2 ∂ u∗ w∗ ⎦ ∂ u∗ v ∗ + + −∗ ⎣ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∗ gx∗

(XI∗cp )

y-Impulsgleichung Dv ∗ ∗ ∗ Dt

2 ∗  ∂p∗ ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∗ ∂ v = − ∗ +η + + ∂y ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2 ⎡ ⎤ ∂ v ∗ u∗ ∂ v ∗2 ∂ v ∗ w∗ ⎦ −∗ ⎣ + + ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗ ∗ gy∗

z-Impulsgleichung

2 ∗  ∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ Dw ∗ ∗ ∗ ∂ w  =  gz − ∗ + η + + D t∗ ∂z ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2   ∗ ∗ ∂ w∗ v ∗ ∂ w∗2 ∗ ∂w u − + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Tab. 10.1:

(YI∗cp )

(ZI∗cp )

Gleichungen der ausgebildeten ebenen Kanalstr¨ omung als Spezialfall der vollst¨ andigen Navier-Stokes-Gleichungen aus Tab. 5.5a Voraussetzungen: station¨ are Str¨ omung, konstante Dichte, undurchl¨ assige W¨ ande. F¨ ur laminare Str¨ omungen entfallen die turbulenten Zusatzterme und die Zeitmittelungs-Striche sind ohne Bedeutung (sie k¨ onnen entfallen). grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme (Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme, ggf. mit den zugeh¨ origen Vorfaktoren η∗ und ∗ , u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null.) Beachte: Mit dem modifizierten Druck p∗mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗mod ∂p∗ = − ; ∂x∗ ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗mod ∂p∗ = − ∂y ∗ ∂y ∗

Bild 10.1 zeigt die Verh¨ altnisse an einem Kanalst¨ uck der L¨ange dx∗ und ∗ beliebiger Querschnittsgeometrie mit der Fl¨ ache A . Die Kr¨aftebilanz an dem Kanal der L¨ ange dx∗ lautet

252

10

Durchstr¨ omungen

∗



dx

τw∗ (s∗ ) ds∗ = −A∗ dp∗

(10.4)

U∗

wobei die Integration l¨ angs der Umfangskoordinate s∗ erfolgt und U ∗ am Integralzeichen f¨ ur eine vollst¨ andige Integration l¨angs des gesamten Umfangs steht. Diese Integration ist erforderlich, weil τw∗ im allgemeinen Fall mit s∗ variiert und nur in Ausnahmef¨ allen u ¨ ber den gesamten Umfang einen einheitlichen, konstanten Wert aufweist. Wenn U ∗ den Umfang darstellt, kann  1 τˆw∗ = ∗ τw∗ (s∗ ) ds∗ (10.5) U U∗

als querschnittsgemittelte Wandschubspannung eingef¨ uhrt werden. Gleichung (10.4) wird damit zu
 A∗ dp∗ ∗ τˆw = ∗ − ∗ (10.6) U dx ange stellt offensichtlich eine chaDie Gr¨ oße A∗ /U ∗ mit der Dimension L¨ rakteristische L¨ ange der Querschnittsgeometrie in bezug auf die hier untersuchten Str¨ omungen dar. F¨ ur eine universelle Darstellung von Ergebnissen ist dies damit die geeignete geometrische Gr¨ oße. Bei Durchstr¨ omungen ist haupts¨ achlich das Widerstandsgesetz von Interesse, das den Zusammenhang zwischen dem gef¨ orderten Massenstrom m ˙ ∗ und dem dazu erforderlichen Druckgradienten beschreibt. Der Massenstrom kann dabei durch die querschnittsgemittelte Geschwindigkeit  1 ∗ u∗ dA∗ (10.7) um = ∗ A

y*

x* dx x*

z*

durchstromter o Querschnitt A*

p*A* dss*

(p*+ dp*) A* ¿W* dx* ds * Bild 10.1: Kr¨ aftegleichgewicht bei einer vollausgebildeten Str¨ omung durch einen Kanal mit einer beliebigen Querschnittsfl¨ ache A∗ .

10.1

Ausgebildete Durchstr¨ omungen

253

mit m ˙ ∗ = ∗ u∗m A∗ charakterisiert werden. Um diese beiden Gr¨oßen in einer dimensionslosen Kennzahl ins Verh¨ altnis zu setzen, wird die sog. Reibungszahl uhrt, definiert als λR eingef¨
 (−dp∗ /dx∗ )2Dh∗ 8ˆ τw∗ λR = = (10.8) ∗ u∗2 ∗ u∗2 m m Darin ist die charakteristische L¨ ange Dh∗ =

4A∗ U∗

(10.9)

enthalten, die hydraulischer Durchmesser Dh∗ genannt wird. Die (rein geometrische) Gr¨ oße entspricht z.B. bei einem Kreisquerschnitt dem Durchmesser D∗ des Kreises, bei einem ebenen Kanal mit den Wandabst¨anden 2H ∗ ist Dh∗ = 4H ∗ . ¨ Das Ziel der weiteren Uberlegungen ist die Bestimmung von λR . Die Hoffnung ist, daß verschiedene Geometrien ein einheitliches Widerstandsgesetz λR = λR (. . .) zeigen, wenn als charakteristische L¨ange jeweils der hydrauli¨ sche Durchmesser verwendet wird. Eine exakte Ubereinstimmung kann nicht erwartet werden, da die Einf¨ uhrung des hydraulischen Durchmessers nicht etwa einer Transformation entspricht, nach der f¨ ur alle Geometrien eine einheitliche L¨ osung existieren w¨ urde. Untersuchungen an vielen verschiedenen ausgebildeten Kanalstr¨omungen ergeben f¨ ur die Widerstandsgesetze bei unterschiedlichen Querschnittsformen (charakterisiert durch den jeweiligen hydraulischen Durchmesser): 1. f¨ ur laminare Str¨ omungen: relativ starke Abweichungen von einem einheitlichen Widerstandsgesetz. Abweichungen k¨ onnen durchaus 20 % erreichen. 2. f¨ ur turbulente Str¨ omungen: nur sehr geringe Abweichungen von einem einheitlichen Widerstandsgesetz. Abweichungen liegen in der Regel unterhalb von 2 %. ¨ Die gute Ubereinstimmung von Widerstandsgesetzen auf der Basis des hydraulischen Durchmessers bei turbulenten Str¨ omungen ist auf die weitgehend universelle Geschwindigkeitsverteilung in Wandn¨ahe zur¨ uckzuf¨ uhren. Dies hat bekanntlich auch zur Folge, daß die Widerstandsgesetze ganz unterschiedlicher turbulenter Str¨ omungen (Kanalstr¨ omung, Grenzschichtstr¨omung, . . . ) eine einheitliche Struktur aufweisen. 10.1.2

Laminare Str¨ omungen im ebenen Kanal

F¨ ur laminare Str¨ omungen reduzieren sich die vollst¨andigen Navier-StokesGleichungen gem¨ aß Tab. 10.1 auf: 0=−

2 ∗ ∂p∗ ∗∂ u + η ∂x∗ ∂y ∗2

(10.10)

254

10

Durchstr¨ omungen

wenn das Koordinatensystem wie in Bild 10.2 gelegt wird (horizontal, gx∗ = 0). Da u∗ voraussetzungsgem¨ aß keine Funktion von x∗ ist, kann auch ∂p∗ /∂x∗ ∗ nicht von x abh¨ angen, k¨ onnte prinzipiell aber noch eine Funktion von y ∗ ∗ sein. Aus der y ∗ -Impulsgleichung ((YIcp ) in Tab. 10.1) folgt aber unter den hier g¨ ultigen Voraussetzungen, daß der Druckgradient in y-Richtung bei laminarer Str¨ omung verschwindet, wenn p∗ den sog. modifizierten Druck (s. auch Anmerkung 4.5/S. 58) darstellt, so daß unmittelbar folgt: ∂p∗ = const = K ∗ ∂x∗

(10.11)

Der Druck ist also eine lineare Funktion von x∗ und jeweils u ¨ber den Querschnitt hinweg konstant. Der modifizierte Druck ist der Anteil des Druckes, der aufgrund der Str¨omung zus¨ atzlich zum hydrostatischen Druck entsteht, er stellt also strenggenommen eine Druckdifferenz dar. Die Aussage (10.10) gilt f¨ ur eine beliebige, nicht notwendigerweise horizontale Lage des Kanals also nur, wenn mit p∗ der modifizierte Druck gemeint ist. In den dimensionslosen Variablen gem¨ aß Tab. 4.4, hier mit L∗B = H ∗ (hal∗ ∗ be Kanalh¨ ohe) und UB = um , der querschnittsgemittelten Geschwindigkeit u∗m

1 = ∗ A



1 u dA = 2H ∗ ∗

∗

∗ +H 

u∗ dy ∗

(10.12)

−H ∗

lautet (10.10)

dp 1 d2 u + (10.13) dx Re dy 2 Dabei sind die partiellen Ableitungen formal durch die gew¨ohnlichen Ableitungen d/dx bzw. d/dy ersetzt worden. Wird (10.13) mit Re multipliziert, so folgt daraus und aus (10.11) endg¨ ultig: 0=−

d2 u dy 2

~g *

(10.14)

u*

y*

H* H*

= const (= K)

x*

um* Bild 10.2: Ausgebildete laminare Kanalstr¨ omung (station¨ ar, konstante Dichte, undurchl¨ assige Wand)

10.1

Re

dp dx

Ausgebildete Durchstr¨ omungen

= const (= K)

255

(10.15)

Hierbei ist wiederum der Vorteil der dimensionslosen Schreibweise erkennbar. W¨ ahrend aus der dimensionsbehafteten Betrachtung folgt, daß bei einer bestimmten Str¨ omung (jeweils ein bestimmter Wert f¨ ur H ∗ , u∗m und η ∗ ) der ∗ ∗ Druckgradient dp /dx eine problemspezifische, zun¨achst unbekannte Konstante ist, folgt aus der dimensionslosen Betrachtung, daß f¨ ur alle hier betrachteten Str¨ omungen die Kombination Re dp/dx eine universelle, zun¨achst unbekannte Konstante ist. Diese Konstante K kann wie folgt bestimmt werden. Nach zweimaliger Integration von (10.14) gilt mit den zwei formalen Integrationskonstanten K1 und K2 u=

K 2 y + K1 y + K2 2

(10.16)

Aus den Randbedingungen u(1) = 0 (Haftbedingung) und du/dy = 0 f¨ ur y = 0 (Symmetriebedingung) folgt K1 = 0, K2 = −K/2, so daß die dimensionslose Geschwindigkeitsverteilung zun¨ achst wie folgt lautet: u(y) =

K 2 (y − 1) 2

(10.17)

Da u mit u∗m entdimensioniert worden ist, kann K aus der dimensionslosen Bedingung (10.12) f¨ ur u∗m ermittelt werden, die lautet: 1 1= 2

1 u dy

(10.18)

−1

Mit u(y) aus (10.17) folgt daraus K = −3, so daß endg¨ ultig die dimensionslose Geschwindigkeitsverteilung u(y) =

3 (1 − y 2 ) 2

(10.19)

vorliegt. Es handelt sich um ein parabelf¨ ormiges Geschwindigkeitsprofil, bei dem der Maximalwert in der Symmetrieebene dem 1,5-fachen der mittleren Geschwindigkeit entspricht. Da bei der Herleitung von (10.19) an keiner Stelle eine N¨ aherung eingef¨ uhrt worden ist, sondern eine Reihe von Termen aufgrund der besonderen physikalischen Situation in diesem Fall nicht in den Navier-Stokes-Gleichungen vorkommen, handelt es sich bei (10.19) um eine exakte L¨ osung der vollst¨ andigen Navier-Stokes-Gleichungen. Dies verdeutlicht einmal mehr, daß die konkreten Rand- und Anfangsbedingungen bei Differentialgleichungen von entscheidender Bedeutung sind, da L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur andere Rand- und Anfangsbedingungen leider nicht so leicht zu finden sind !

256

10

Durchstr¨ omungen

Aus (10.15) kann mit dem bekannten Wert f¨ ur K unmittelbar das Widerstandsgesetz f¨ ur die ebene Kanalstr¨ omung gewonnen werden. Gem¨aß der allgemeinen Definition der Reibungszahl λR nach (10.8) wird mit dem hydrauur die ebene Kanalstr¨omung die Kanalreilischen Durchmesser Dh∗ = 4H ∗ f¨ bungszahl (−dp∗ /dx∗ )8H ∗ λR = (10.20) ∗ u∗2 m eingef¨ uhrt. Aus dem zuvor gewonnenen Ergebnis K = Re dp/dx = −3 kann λR unmittelbar zu λR =

96 (−dp∗ /dx∗ )8H ∗ 24 = = ∗ u∗2 Re Re Dh m

(10.21)

bestimmt werden. Im Sinne eines einheitlichen Widerstandsgesetzes“ wird ” die mit dem hydraulischen Durchmesser gebildete Reynolds-Zahl ReDh eingef¨ uhrt, die wegen Dh∗ = 4H ∗ im Falle der ebenen Kanalstr¨omung um den Faktor 4 gr¨ oßer als die Reynolds-Zahl Re = ∗ u∗m H ∗ /η ∗ ist. In bezug auf die Einheitlichkeit“ des Widerstandsgesetzes s. auch das nachfolgende Beispiel ” 10.1 . Die kompakte“ Schreibweise in dimensionsloser Form unterstreicht zwar ” den universellen Charakter der Ergebnisse, l¨ aßt aber bisweilen die konkreten Abh¨ angigkeiten nicht auf Anhieb erkennen. So lautet das o.g. Widerstandsgesetz λR ReDh = const; um aber erkennen zu k¨onnen, wie sich bei einer bestimmten Kanalstr¨ omung (feste Gr¨ oßen f¨ ur H ∗ , ∗ und η ∗ ) z.B. eine Verdoppelung des Druckgradienten auswirkt, muß der Zusammenhang zwischen den dimensionsbehafteten Gr¨ oßen betrachtet werden. Dieser lautet im vorliegenden Fall (−dp∗ /dx∗ )H ∗2 =3 (10.22) u∗m η ∗ Ein verdoppelter Druckgradient f¨ uhrt also zu einem verdoppelten Massenstrom (Verdoppelung von u∗m ). Es ist aber auch zu erkennen, daß z.B. eine Verdoppelung der Kanalh¨ ohe bei gleichem dp∗ /dx∗ und η ∗ zu einem vierfachen Massenstrom f¨ uhrt. Dar¨ uber hinaus folgt aus (10.22), daß die Dichte ∗ keinen Einfluß auf das Ergebnis besitzt. Dies ist nicht verwunderlich, da bei ausgebildeten Str¨ omungen keine Beschleunigungen bzw. Tr¨agheitskr¨afte auftreten, bei denen die Dichte ∗ von Bedeutung w¨are. ¨ Diese Uberlegungen f¨ uhren zu dem Schluß, daß eine dimensionslose Darstellung unter Einbeziehung der Reynolds-Zahl im hier vorliegenden laminaren Str¨ omungsfall eigentlich sachlich nicht gerechtfertigt und damit iruhren, sollte das Produkt λR Re ref¨ uhrend ist. Statt λR und Re getrennt einzuf¨ mit einem neuen Symbol versehen werden, weil stets diese Kombination auftritt. In der Tat wird die Darstellung mit λR und Re, die in der Literatur durchgehend zu finden ist, im Hinblick auf den turbulenten Str¨omungsfall gew¨ ahlt, weil dort dann eine explizite Reynolds-Zahl-Abh¨angigkeit vorliegt

10.1

Ebener Kanal (kartesische Koordinaten) (10.10):

257

Ausgebildete Durchstr¨ omungen

Kreisrohr (Zylinder-Koordinaten)

Navier-Stokes-Gleichungen

0=−

∂ 2 u∗ ∂p∗ + η ∗ ∗2 ∗ ∂x ∂y

(10.12):

0=−


 ∂u∗ r∗ ∗ ∂r

∂p∗ η∗ ∂ + ∗ ∗ ∗ ∂x r ∂r

querschnittsgemittelte Geschwindigkeit

u∗m

1 = 2H ∗

(10.13):

+H  ∗

∗

u dy

∗

−H ∗

dimensionslos

0=−

1 d2 u dp + dx ReH dy 2

(10.14), (10.15): d2 u =K; dy 2

1 = πR∗2

u∗m (L∗B

∗

R∗ u∗ 2πr∗ dr∗ 0

∗

= H bzw. R ) 0=−

1 1 d dp + dx ReR r dr


 du r dr

speziell gilt ReH

dp =K dx

1 d r dr


 du r =K; dr

ReR

dp =K dx

Zahlenwert f¨ ur K K = −3 (10.19):

K = −8 Geschwindigkeitsprofil

u(y) =

3 (1 − y 2 ) 2

(10.9):

u(r) = 2(1 − r2 )

hydraulischer Durchmesser Dh∗ = 4H ∗

(10.21):

Dh∗ = 2R∗ Widerstandsgesetz

λR = (10.22):

96 ; ReDh

ReDh = 4ReH

λR =

64 ; ReDh

ReDh = 2ReR

dimensionsbehafteter Zusammenhang (−dp∗ /dx∗ )H ∗2 =3 u∗m η ∗

Tab. 10.2:

(−dp∗ /dx∗ )R∗2 =8 u∗m η ∗

Gegen¨ uberstellung der beiden F¨ alle (laminare) ebene Kanalstr¨ omung und Kreisrohrstr¨ omung

258

10

Durchstr¨ omungen

und man beide F¨ alle, laminar und turbulent, formal einheitlich behandeln m¨ochte, die Ergebnisse also z.B. in einem Diagramm darstellen will, s. dazu Bild B2.3 in Beispiel 2.3 . Die mit (10.21) suggerierte explizite Reynolds-Zahl-Abh¨angigkeit liegt f¨ ur die ausgebildete laminare Durchstr¨ omung nicht vor, weil in Wirklichkeit“ ” das Produkt λR ReDh als charakteristische Kennzahl auftritt. Daran ist zu erkennen, s. (10.22), daß eine ad¨ aquate Entdimensionierung des Druckes p∗ ∗ ∗2 nicht mit  um gem¨ aß Tab. 4.4, sondern mit η ∗ u∗m /H ∗ vorgenommen werden sollte, wenn dies ausschließlich unter den Gesichtspunkten der vorliegenden laminaren Str¨ omung erfolgen w¨ urde. W¨ ahrend ∗ u∗2 m als (doppelter) dynamischer Druck (vgl. Anmerkung 6.6/S. 140) typischerweise der Entdimensionierung turbulenter Str¨ omungsgr¨ oßen dient, w¨are η ∗ u∗m /H ∗ eine typisch laminare Bezugsgr¨ oße“ mit der Bedeutung einer viskosen Scherspannung ” (molekulare Viskosit¨ at × Geschwindigkeitsgradient).

Anmerkung 10.1: Ausgebildete laminare Str¨ omung im Rohr (Kreisquerschnitt) Die ausgebildete Rohrstr¨ omung kann vollkommen analog zur zuvor behandelten ebenen Kanalstr¨ omung betrachtet werden. Ausgangspunkt sind jetzt aber sinnvollerweise die Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinder-Koordinaten, s. dazu Anhang 2. In Tab. 10.2 sind die einzelnen Schritte gegen¨ ubergestellt. Die Entdimensionierung erfolgt in beiden F¨ allen mit ∗ = u∗ , die Bezugsl¨ UB ange ist im Fall der Kanalstr¨ omung die halbe Kanalh¨ ohe H ∗ , im m Fall der Rohrstr¨ omung der Radius R∗ .

Beispiel 10.1:

Widerstandsgesetze ausgebildeter laminarer Str¨ omungen durch Kreisring- und Rechteck-Querschnitte

Im Sinne von einheitlichen Widerstandsgesetzen“ sind in Bild B10.1 die Konstanten ” ∗ /η ∗ im Widerstandsgesetz λR ReDh = const mit λR nach (10.8) und ReDh = ∗ u∗m Dh ∗ mit Dh nach (10.9) f¨ ur zwei verschiedene Querschnittsformen aufgetragen. Im Grenzfall Λ = 0 entarten“ beide Geometrien zum Grenzfall der ebenen Kanal” str¨ omung, f¨ ur den die Konstante bereits in (10.21) zu 96 bestimmt worden ist. Daß die Kreisring-Geometrie f¨ ur kleine Werte von Λ, also f¨ ur Geometrien in der N¨ ahe“ ” ¨ dieses Grenzfalles keine deutlichen Anderungen in der Konstanten aufweist, l¨ aßt darauf schließen, daß Kr¨ ummungseffekte in diesem Zusammenhang keinen sehr starken Einfluß besitzen. Daß andererseits der Zahlenwert der Konstanten f¨ ur kleine Werte von Λ bei der Rechteckgeometrie schnell abf¨ allt, bedeutet einen offensichtlich starken Einfluß der Randeffekte (Effekte der Seitenw¨ ande). F¨ ur Λ = 1 liegt der Grenzfall“ Kreis bzw. ” Quadrat vor. Bei der Ann¨ aherung an diesen Grenzfall zeigt der Kreisring-Querschnitt eine sehr starke Ver¨ anderung der Konstanten f¨ ur Λ → 1. Dies r¨ uhrt offensichtlich daher, daß f¨ ur Werte sehr nahe bei Λ = 1 trotzdem noch erhebliche Unterschiede zur reinen Rohrstr¨ omung (Λ = 1) vorliegen, da das sehr kleine Innenrohr, solange es existiert, an seiner Wand die Haftbedingung erzwingt und damit das Gesamtprofil stark beeinflußt.

10.1

259

Ausgebildete Durchstr¨ omungen

100 96 Di* Da*

¸R ReDh

84 A*

B*

80 76 72 68 64 60 56

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

L = 1Bild B10.1:

10.1.3

0,8

0,9

1,0

A* Di* = B* Da*

Widerstandsgesetz λR ReDh = const f¨ ur a) Kreisring-Querschnitte mit verschiedenen Di∗ /Da∗ b) Rechteck-Querschnitte mit verschiedenen A∗ /B ∗

Turbulente Str¨ omungen im ebenen Kanal

F¨ ur turbulente Str¨ omungen reduzieren sich die vollst¨andigen Navier-StokesGleichungen gem¨ aß Tab. 10.1 auf 0=−

2 ∗ ∗ ∗ dp∗ ∗d u ∗ du v + η −  , dx∗ dy ∗2 dy ∗

(10.23)

wenn wiederum (wie im laminaren Fall) der Druck p∗ als modifizierter Druck 2

interpretiert wird und wenn die turbulente Normalspannung (−∗ ∂v ∗ /∂y ∗

260

10

Durchstr¨ omungen

in (YI∗ cp )) vernachl¨ assigt werden kann. Um die letztgenannte Voraussetzung zu u ufen, ist allerdings eine aufwendige asymptotische Analyse erfor¨berpr¨ derlich. Diese kann den Term −∗ ∂v ∗2 /∂y ∗ als sog. Effekt h¨oherer Ordnung identifizieren, so daß er in erster N¨ aherung vernachl¨assigt werden kann, s. Gersten, Herwig (1992). aß keine Funktion von x∗ ist (ausgebildete Str¨oDa u∗ voraussetzungsgem¨ mung) und dies auch f¨ ur die u∗ mit erzeugende“ turbulente Schubspan” ∗ ∗ ∗ nung − u v gilt, kann dp∗ /dx∗ wiederum nur eine Konstante sein (weangigkeit ausgeschlossen). Damit wird aus gen ∂p∗ /∂y ∗ = 0 ist eine y ∗ -Abh¨ (10.23): η∗

d2 u∗ d(u∗ v ∗ ) − ∗ ∗2 dy dy ∗ dp∗ dx∗

= const (= K ∗ )

(10.24)

= const (= K ∗ )

(10.25)

Anders als im laminaren Fall (dort (10.14) und (10.15)), stellen die gefundenen Gleichungen noch kein geschlossenes Gleichungssystem dar. Dazu m¨ ußte die turbulente Schubspannung −∗ u∗ v ∗ bekannt sein. Dies bedeutet, daß (10.24) und (10.25) um eine weitere Gleichung (Turbulenzmodell) erg¨anzt werden m¨ ussen, um zu einem l¨ osbaren geschlossenen Gleichungssystem zu gelangen. Wie bei der turbulenten Umstr¨ omung (Kap. 9) ist es sinnvoll, zun¨achst den asymptotischen Charakter des Str¨ omungsfeldes im Grenzfall großer Reynolds-Zahlen zu betrachten. Bei der Umstr¨ omung war dabei gefunden worden, daß der wandnahe Bereich einer turbulenten Str¨omung einen weitgehend universellen Charakter besitzt. Da eine Kanalstr¨omung durch zwei W¨ande begrenzt ist, kann erwartet werden, daß das gesamte Str¨omungsfeld in seiner Struktur und damit auch in seinen generellen Abh¨angigkeiten diesem universellen Verhalten folgt. In der Tat zeigt sich, daß eine Turbulenzmodellierung im vorliegenden Fall nur noch erforderlich ist, um die Zahlenwerte bestimmter Konstanten festzulegen, nachdem die allgemeinen Struktur¨ uberlegun” gen“ das Ergebnis bis auf diese Zahlenwerte bereits ergeben haben. H¨aufig wird auf eine Turbulenzmodellierung ganz verzichtet. Die unbekannten Werte der Konstanten werden dann statt dessen aus dem Experiment bestimmt. ¨ Die asymptotischen Uberlegungen zur L¨ osungsstruktur sind vollkommen analog zu denjenigen bei der Ausbildung turbulenter Grenzschichten bei der Umstr¨ omung. Da die ausgebildete Durchstr¨ omung dadurch entsteht, daß anfangs vorhandene Grenzschichten an gegen¨ uberliegenden W¨anden zusam” menwachsen“, entsteht im Bereich der ausgebildeten Str¨omung die in Bild 10.3 skizzierte Struktur. An den gegen¨ uberliegenden W¨anden liegen Wandschichten (mit viskosen Unterschichten) vor. Der vollturbulente Kernbereich geht aus den Defekt-Schichten hervor und wird jetzt sinnvoller als Kernschicht bezeichnet. Da turbulente Str¨ omungen in Wandn¨ahe, d.h. in ihren Wandschichten, einen universellen Charakter besitzen, sind die Besonder-

10.1

Ausgebildete Durchstr¨ omungen

261

heiten der Kanalstr¨ omung nur bei der Formulierung des Kernbereiches zu erwarten. ¨ Ahnlich wie bei der Analyse des Umstr¨ omungsproblems sollen hier nicht alle Einzelheiten der asymptotischen Analyse wiedergegeben werden. Analog zur Darstellung der Ergebnisse f¨ ur Umstr¨ omungen in Abschn. 9.5.4 werden im folgenden die wesentlichen Ergebnisse mitgeteilt. W¨ahrend bei Grenzschichten ein Gleichgewichtsparameter zur Kennzeichnung der Außenstr¨omung existiert, ist dies bei Innenstr¨ omungen naturgem¨ aß nicht der Fall, da die Kernschicht keine frei w¨ ahlbare Geschwindigkeitszu- oder abnahme zul¨aßt. Die Massenerhaltung m ˙ ∗ = ∗ u∗m A∗ = const erzwingt vielmehr (bei konstan∗ ter Dichte  ) eine konstante querschnittsgemittelte Geschwindigkeit u∗m , da auch A∗ konstant ist. Bestimmung der Wandschubspannung (Widerstandsgesetz) Gesucht ist der Zusammenhang zwischen der Wandschubspannung τw∗ und der querschnittsgemittelten Geschwindigkeit u∗m . Da die Wandschubspannung bei ausgebildeten Str¨ omungen direkt proportional zum Druckgradienten ist (vgl. (10.6)) soll dieser Zusammenhang wiederum als λR = λR (. . .), mit der Kanalreibungszahl λR nach (10.8) dargestellt werden. Durch asymptotische Anpassung der Wand- und Kernschicht folgt f¨ ur λR (vgl. (9.62) mit λR = 4ˆ cf !):

vollturbulente Schichten: Defekt-Schichten Kernschicht

y* x* u*1 Umschlag laminar/turbulent EINLAUFBEREICH

Wandschicht BEREICH

AUSGEBILDETER Ä STROMUNG

Bild 10.3: Teilbereiche des Str¨ omungsfeldes bei einer turbulenten Durchstr¨ omung grau unterlegt: Bereiche mit nennenswerten turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten

262

10

Durchstr¨ omungen

"

1 8 = ln λR κ

$

1 ReDh 4

"

λR 8

% + C+ + C + C

(10.26)

Dabei ist ReDh wiederum die mit dem hydraulischen Durchmesser gebildete Reynolds-Zahl ReDh = 4ReH . Die Konstanten in (10.26) haben folgende Bedeutung: C + : Wandschicht-Konstante; sie erfaßt wie bei Grenzschichten den Einfluß der Wandrauheit; C + = 5 f¨ ur eine hydraulisch glatte Wand C: Kernschicht-Konstante; sie erfaßt die Abweichungen des Geschwindigkeitsverlaufes in der Kernschicht vom logarithmischen Verlauf (der in Wandn¨ ahe gilt); C = 0,94 C: Kernschicht-Konstante; sie erfaßt die Abweichung der maximalen Geschwindigkeit (auf der Symmetrielinie) von der querschnittsgemittelten Geschwindigkeit; C = −2,64 Die beiden Konstanten C und C (die nach einer Turbulenzmodellierung oder im Experiment bestimmt werden k¨ onnen) k¨onnten zu einer einzigen Kernschicht-Konstanten zusammengefaßt werden. F¨ ur weitergehende Aussagen sollten sie aber zun¨ achst getrennt aufgef¨ uhrt werden. Anstelle der impliziten Form (10.26) kann wieder die (sehr gute) explizite N¨aherung

2 κ (dp∗ /dx∗ )8H ∗ 8τw∗ λR = = ∗ ∗2 = 8 G(Λ,A) ∗ u∗2  um ln ReDh m

(10.27)

mit Λ = ln Re2Dh A = −0,46 verwendet werden. Tabelle 10.3 enth¨ alt die Werte G(Λ, −0,46), vgl. Tab. 9.4 . Bestimmung der Maximalgeschwindigkeit Durch Integration des Geschwindigkeitsprofiles u+ = u∗ /u∗τ mit u∗τ als Schubspannungsgeschwindigkeit gem¨ aß (9.32) ergibt sich f¨ ur die Maximalgeschwindigkeit auf der Symmetrieachse + u+ max = um − C

bzw. umgeschrieben und mit C = −2,64 : u∗max u∗τ 2,64  = 1 + 2,64 =1+ √ λR ∗ ∗ um um 8

(10.28)

10.2

Nichtausgebildete Durchstr¨ omungen

263

In (10.28) ist unmittelbar erkennbar, daß die Str¨omungsprofile mit wachsender Reynolds-Zahl stets v¨ olliger“ werden, d.h., daß u∗max /u∗m → 1 gilt, weil ” λR mit steigender Reynolds-Zahl abnimmt. Einfluß von Wandrauheiten In der Formulierung (10.26) wirken Wandrauheiten auf die Konstante C + , die aus einer Integration der Wandschicht entsteht, vgl. (9.51). Es gelten exakt dieselben Aussagen u ¨ber die Wirkung von Wandrauheiten wie bei Grenzschichten, s. dazu die Ausf¨ uhrungen im Zusammenhang mit (9.67). Anmerkung 10.2: Ausgebildete turbulente Str¨ omung im Rohr (Kreisquerschnitt) Wie im laminaren Fall kann die ausgebildete Rohrstr¨ omung wieder vollkommen analog zur zuvor behandelten ebenen Kanalstr¨ omung behandelt werden. Die Bezugsl¨ ange ist im Falle der Kanalstr¨ omung wiederum die halbe Kanalh¨ ohe H ∗ , im Fall der Rohrstr¨ omung der Radius R∗ . Die nachfolgende Tabelle 10.4 zeigt die Gegen¨ uberstellung beider F¨ alle. Beispiel 10.2:

Widerstandsgesetz ausgebildeter turbulenter Rohrstr¨ omungen

Bild B10.2 zeigt die Rohrreibungszahl λR als Funktion der Reynolds-Zahl und der Wandrauheit. Bei Reynolds-Zahlen Re < 2 300 liegt eine laminare Str¨ omung vor, f¨ ur die λR = 64/ReDh gem¨ aß Tab. 10.2 gilt. W¨ are die Str¨ omung auch f¨ ur Reynolds-Zahlen Re > 2 300 weiterhin laminar, so w¨ urde λR den als fiktive laminare Str¨ omung“ ge” kennzeichneten Verlauf aufweisen. Daran wird deutlich, daß turbulente Str¨ omungen gegen¨ uber den (fiktiv) laminaren Str¨ omungen einen erheblich gr¨ oßeren Widerstand besitzen. Als reale Str¨ omungen treten laminare F¨ alle oberhalb von Re = 2 300 nur auf, wenn eine absolut st¨ orungsfreie Str¨ omung realisiert werden kann. N¨ aherungsweise k¨ onnen solche Str¨ omungen erreicht werden, wenn durch Polymerzus¨ atze (langkettige Molek¨ ule) die turbulente Schwankungsbewegung weitgehend unterdr¨ uckt wird. Die mit hydraulisch glatt“ bezeichnete Kurve entspricht dem Widerstandsgesetz nach ” Tab. 10.4 mit C + = 5,0. Im vollrauhen Bereich ragen die Wandrauheiten u ¨ber die Wandschicht hinaus, zerst¨ oren“ diese und unterbinden damit einen Viskosit¨ ats- bzw. ” Reynolds-Zahl-Einfluß. Mit dem Konzept des hydraulischen Durchmessers kann Bild B10.2 auch f¨ ur andere, nicht-Kreisquerschnitte benutzt werden, wenn als charakteristische L¨ ange der hydraulische Durchmesser gew¨ ahlt wird.

Re2Dh

105

106

107

108

1010

1012

1014

1016

∞

G

1,62

1,54

1,48

1,43

1,36

1,31

1,27

1,24

1

(1,57) (1,50) (1,45) (1,41) (1,34) (1,29) (1,26) (1,23) (1) Tab. 10.3:

Zahlenwerte der Funktion G(Λ,A) mit A = −0,46, vgl. Tab. 9.4 in Klammern: Werte f¨ ur A = −0,17, s. Anmerkung 10.2/S. 263 Beachte: Die Eingangsgr¨ oße ist hier Re2D , in Tab. 9.4 aber Re, weil Λ in h beiden F¨ allen unterschiedlich definiert ist.

264

10

Durchstr¨ omungen

Ebener Kanal (kartesische Koordinaten) (10.23):

0=−

Kreisrohr (Zylinder-Koordinaten)

Navier-Stokes-Gleichungen

2 ∗ ∗ ∗ ∂p∗ ∗∂ u ∗ ∂(u v ) + η −  ∂x∗ ∂y ∗2 ∂y ∗

0=−

∂p∗ ∂x∗


 ∂u∗ r∗ ∗ ∂r

+

η∗ ∂ r∗ ∂r∗

−

∗ ∂(r∗ (u∗ v ∗ )) r∗ ∂r∗

querschnittsgemittelte Geschwindigkeit u∗m

1 = 2H ∗

+H  ∗

u∗ dy ∗

−H ∗

(10.24), (10.25): η∗

u∗m

1 = πR∗2

R∗ u∗ 2πr∗ dr∗ 0

speziell gilt

d2 u∗ d(u∗ v ∗ ) − ∗ ∗2 dy dy ∗ = const ( = K ∗ )

η∗ d r∗ dr∗


 du∗ ∗ d(r∗ (u∗ v ∗ )) r∗ ∗ − ∗ dr r dr∗ = const ( = K ∗ )

dp∗ = const ( = K ∗ ) dx∗

dp∗ = const ( = K ∗ ) dx∗

hydraulischer Durchmesser Dh∗ = 4H ∗ (10.26): "

8 1 ln = λR κ

$

Dh∗ = 2R∗

Widerstandsgesetz $ " % " % " 1 1 λR 8 λR 1 ReDh ln ReDh = 4 8 λR κ 2 8

+C + + C + C

+C + + C + C Konstanten

C + = 5,0 (glatte Wand) C = 0,94 C = −2,64

C + = 5,0 (glatte Wand) C = 1,03 C = −4,07

Fortsetzung der Tabelle auf der folgenden Seite

10.2

265

Nichtausgebildete Durchstr¨ omungen

Fortsetzung der Tabelle von der vorigen Seite

(10.27):

explizite Form

λR = 8

2 κ G(Λ,A) ln ReDh

Λ = ln Re2Dh ; Tab. 10.4:

λR = 8

2 κ G(Λ,A) ln ReDh

Λ = ln Re2Dh ;

A = −0,46

A = −0,17

Gegen¨ uberstellung der beiden F¨ alle (turbulente) ebene Kanalstr¨ omung und Kreisrohrstr¨ omung

ks* Dh*

0,1 0,09 0,08

¸R

5 10

vollrauh

3 10 0,05

2 10

0,04

10

0,03

0,02

10 laminar

hydraulisch glatt

10

0,01

10

3

2

4 68

10

4

2

4 68

10

5

2

4 68

10

6

2

4 68

10

Re = Bild B10.2:

7

2

4 68

10

-2

-3

-3

4 10

fiktive laminare o Stromung

-2

-2

4 10

rauh

-2

-4

-4

-5

%* um* Dh* ´*

∗ = D∗ Widerstandsgesetz f¨ ur ein gerades Rohr mit Kreisquerschnitt Dh ∗ des entsprechenden Querschnittes) oder anderen Querschnittsformen (Dh

10.2 Nichtausgebildete Durchstr¨ omungen Mit dem Zusatz nichtausgebildet“ werden alle Durchstr¨omungen gekenn” zeichnet, die kein laufl¨ angenunabh¨ angiges Geschwindigkeitsprofil aufweisen.

266

10

Durchstr¨ omungen

Wenn auch Temperaturprofile betrachtet werden, sollte zwischen hydrodynamisch und thermisch ausgebildeten Str¨ omungen unterschieden werden. Im folgenden soll nur die Str¨ omung n¨ aher betrachtet werden, so daß auf den Zusatz hydrodynamisch verzichtet wird. Str¨omungen k¨onnen prinzipiell aus zwei Gr¨ unden nichtausgebildet sein: 1. Die Geometrie des durchstr¨ omten Gebietes l¨aßt keinen ausgebildeten Zustand zu, weil keine in Str¨ omungsrichtung konstanten Verh¨altnisse vorliegen. Dies ist z.B. bei Rohrleitungen mit einer entsprechend dichten Abfolge von Kr¨ ummern der Fall oder wenn sich Str¨omungsquerschnitte kontinuierlich verengen (D¨ use) oder erweitern (Diffusor), ganz allgemein also bei variablen Querschnitten. 2. Die Geometrie erlaubt grunds¨ atzlich ausgebildete Str¨omungen, die Str¨omung befindet sich aber noch in einem Umbildungsprozeß hin zum laufl¨ angenunabh¨ angigen, ausgebildeten Zustand. Dies sind sog. Einlaufstr¨omungen; die Laufl¨ angen, auf denen der Umbildungsprozeß stattfindet, werden als (hydrodynamische) Einlaufl¨angen L ∗hyd bezeichnet. ¨ Da es sich um einen allm¨ ahlichen Ubergang in den ausgebildeten Zustand handelt, m¨ ussen bestimmte Kriterien bez¨ uglich der charakteristischen L¨angen f¨ ur den Einlaufbereich festgelegt werden. Eine h¨aufig getroffene Vereinbarung besagt, daß der hydrodynamische Einlauf dann beendet ist, wenn die Geschwindigkeit auf der Mittellinie 99 % derjenigen der ausgebildeten Str¨omung erreicht hat. 10.2.1

Laminare Einlaufstr¨ omungen im ebenen Kanal

Der entscheidende Parameter bei der Bestimmung der dimensionslosen Einlaufl¨ ange Lhyd = L∗hyd /H ∗ , mit H ∗ als halber Kanalh¨ohe, ist die ReynoldsZahl Re = ∗ u∗m H ∗ /η ∗ . F¨ ur große Reynolds-Zahlen sind wegen der dann im Eintrittsbereich vorliegenden d¨ unnen Wandgrenzschichten große Einlaufl¨ angen zu erwarten. Diese k¨ onnen mit einer asymptotischen Betrachtung f¨ ur Re → ∞ ermittelt werden. F¨ ur kleine Reynolds-Zahlen (Re → 0) ist die Einlaufl¨ ange Lhyd praktisch konstant, da die Abweichungen vom Grenzwert Re = 0 (sog. schleichende Str¨omung) ¨ außerst gering sind. ¨ Aufgrund dieser Uberlegungen l¨ aßt sich folgende einfache N¨aherungsbeziehung f¨ ur die hydrodynamische Einlaufl¨ ange angeben, die in den Grenzf¨allen Re → 0 und Re → ∞ exakt ist (f¨ ur die genaue Herleitung s. Gersten, Herwig (1992)): Lhyd =

L∗hyd C1 = + C2 Re ; ∗ H 1 + C2 Re/C1

Re =

∗ u∗m H ∗ η∗

(10.29)

F¨ ur eine Kanalstr¨ omung, die im Eintrittsquerschnitt eine homogene Geschwindigkeitsverteilung aufweist, sind C1 = 0,89 und C2 = 0,164. Bild 10.4 zeigt diese Funktion im Vergleich zu den Asymptoten f¨ ur Re → ∞ und Re → 0 sowie zu numerischen L¨ osungen der vollst¨ andigen Navier-Stokes-Gleichungen.

10.2

267

Nichtausgebildete Durchstr¨ omungen

Lhyd 10 numerische Ergebnisse

1

1

10

: :

2 Re

100

N¨ aherungsgleichung (10.29) Asymptoten f¨ ur Re → ∞, Re → 0

Bild 10.4: Hydrodynamische Einlaufl¨ ange der ebenen, laminaren Kanalstr¨ omung

Danach betr¨ agt die Einlaufl¨ ange bei extrem kleinen Reynolds-Zahlen etwa eine halbe Kanalh¨ ohe (L∗hyd ≈ C1 H ∗ ) und w¨ achst bis zu Werten von Re = 1 000 (kritische Reynolds-Zahl der ebenen Kanalstr¨ omung) auf etwa 80 Kanalh¨ohen (L∗hyd ≈ 1 000 C2) an. Anmerkung 10.3: Laminare Einlaufstr¨ omungen im Rohr (Kreisquerschnitt) Die hydrodynamische Einlaufl¨ ange kann auf ¨ ahnliche Weise wie beim ebenen Kanal durch eine einfache N¨ aherungsbeziehung angegeben werden, die in den Grenzf¨ allen Re → ∞ und Re → 0 im Prinzip exakt ist. Aufgrund der allm¨ ahlichen Ann¨ aherung an den ausgebildeten Zustand weichen verschiedene Literaturangaben zu diesen Grenzf¨ allen jedoch nicht unerheblich voneinander ab. Unter Beibehaltung der Form wie in (10.29) kann die Beziehung

Lhyd =

L∗hyd R∗

=

C1 + C2 Re ; 1 + C2 Re/C1

Re =

∗ u∗m R∗ η∗

(10.30)

mit C1 = 1,2 und C2 = 0,224 auch f¨ ur das Rohr empfohlen werden. Somit ergeben sich f¨ ur sehr kleine Reynolds-Zahlen Einlaufl¨ angen deutlich kleiner als ein Rohrdurchmesser, f¨ ur Re = 1 150 (kritische Reynolds-Zahl; beachte: Die kritische Reynolds-Zahl 2 300 z.B. in Bild B10.2 bezieht sich auf die mit dem Durchmesser gebildete Reynolds-Zahl) liegen Einlaufl¨ angen von etwa 130 Rohrdurchmessern vor.

10.2.2

Turbulente Einlaufstr¨ omungen

Bei turbulenten Einlaufstr¨ omungen wird der ausgebildete Str¨omungszustand wegen des h¨ oheren Impulsaustausches in Querrichtung fr¨ uher erreicht als bei vergleichbaren laminaren Str¨ omungen. Eine theoretische Analyse des Umbildungsprozesses muß die Schichtenstruktur der Str¨omung ber¨ ucksichtigen.

268

10

Durchstr¨ omungen

F¨ ur den f¨ uhrenden Term einer asymptotischen Betrachtung ergibt sich dabei (f¨ ur Details s. Herwig, Voigt (1995)) Lhyd =

L∗hyd u∗m = ∗ LB κ u∗τ ∞

Kanal: L∗B = H ∗ Rohr: L∗B = R∗

(10.31)

mit der Karman-Konstante κ = 0,41 und der Wandschubspannungsgeschwin ∗ /∗ gebildet mit der Wandschubspannung τ ∗ digkeit u∗τ ∞ = τw∞ w∞ im ausgebildeten Zustand. Bild 10.5 zeigt die Auswertung dieser Beziehung unter Ber¨ ucksichtigung ∗ bzw. u∗τ ∞ der Widerstandsgesetze aus Tab. 10.4 zur Bestimmung von τw∞ an hydraulisch glatten W¨ anden. Zus¨ atzlich ist f¨ ur die Rohrstr¨omung eine empirische Beziehung in Form eines Potenzgesetzes, Lhyd =

L∗hyd = 8,8 Re1/6 ; R∗

Re =

∗ u∗m R∗ η∗

(10.32)

eingezeichnet, s. dazu Munson et al. (1998). Es sollte aber beachtet werden, daß das h¨ aufig nicht genannte Kriterium f¨ ur den ausgebildeten Zustand eine entscheidende Rolle spielt. Formuliert man dieses sehr scharf, so ergeben sich deutlich gr¨ oßere Einlaufl¨ angen. Im sp¨ ateren Beispiel 12.2 wird eine solche Str¨ omung numerisch berechnet. Der ausgebildete Zustand wird dort bei 120 Radien als erreicht angesehen. Im Reynolds-Zahl Bereich von 104 bis 105 liegen hydrodynamische Einlaufl¨ angen nach Bild 10.5 von etwa 50 Radien bzw. halben Kanalh¨ohen vor. W¨ are die Str¨ omung bei diesen Reynolds-Zahlen noch laminar, so w¨ urden 100 ROHR (EMPIRISCH) 1/6 8,8 Re

L*hyd LB*

ROHR ; LB* = R* 50

KANAL ; LB* = H *

0 10

4

10

5

10

6

Re

10

7

Bild 10.5: Hydrodynamische Einlaufl¨ angen der turbulenten ebenen Kanal- und Rohrstr¨ omung; Re = ∗ u∗m L∗B /η∗

10.2

Nichtausgebildete Durchstr¨ omungen

h*

269

s*

®

~g * p*

dp pst* 1 dp pst* = % *g*= h* dh dss * cos ®

s.Bild 6.2 Bild 10.6: Hydrostatischer Druckgradient in der Koordinate h∗ (s. Bild 6.2) bzw. s∗

die Einlaufl¨ angen etwa 150 bis 400 mal gr¨ oßer sein, wie (10.29) und (10.30) zeigen. Anmerkung 10.4: Kr¨ afte- und Energiebilanzen bei Durchstr¨ omungen Bei ausgebildeten Durchstr¨ omungen besitzen die Fluidteilchen benachbarter Stromlinien zwar unterschiedliche Geschwindigkeiten (Profile der Geschwindigkeiten), diese ver¨ andern sich aber in Str¨ omungsrichtung nicht. Deshalb treten keine Tr¨ agheitskr¨ afte auf und die Kr¨ aftebilanz ist diejenige zwischen der Druckkr¨ afte-Differenz auf den gegen¨ uberliegenden Querschnittsfl¨ achen und der Kraft aufgrund von Schubspannungen auf der Mantelfl¨ ache eines gedachten Fluidzylinders innerhalb der durchstr¨ omten Geometrie. Wenn die Stromlinien nicht gekr¨ ummt sind (gerades Rohr) muß der Druck bis auf den Einfluß einer m¨ oglichen zus¨ atzlichen hydrostatischen Druckverteilung quer zur Str¨ omungsrichtung konstant sein. Nur bei gekr¨ ummten Stromlinien w¨ urde eine Druckdifferenz quer zur Str¨ omung entstehen, die dann vorhandene Zentrifugalkr¨ afte kompensieren w¨ urde (vgl. dazu Anmerkung 6.2/S. 133). Die bei horizontalen Str¨ omungen vollst¨ andig vernachl¨ assigbare zus¨ atzliche hydrostatische Druckverteilung (diese hat bei horizontalen Str¨ omungen keinen Einfluß auf die Druckdifferenz zwischen zwei Querschnitten) kann bei nicht-horizontalen Str¨ omungen von Bedeutung sein, da sie dann auf die Druckdifferenzen in Str¨ omungsrichtung wirkt. Die bisher beschriebenen Zusammenh¨ ange bleiben allerdings vollst¨ andig erhalten, wenn der Druckgradient in der Str¨ omung so interpretiert wird, daß er den Einfluß der zus¨ atzlichen hydrostatischen Druckverteilung ber¨ ucksichtigt. Der tats¨ achlich im Fluid in Str¨ omungsrichtung vorhandene Druckgradient dp∗ /ds∗ setzt sich demnach aus demjenigen Anteil, der auf die hydrostatische Druckverteilung zur¨ uckgeht dp∗st /ds∗ (und Gewichtskr¨ afte kompensiert) und demjenigen Anteil, der die Reibungskr¨ afte im Str¨ omungszustand kompensiert dp∗mod /ds∗ , zusammen. Der Druck p∗mod war bereits in Anmerkung 4.5/S. 58/ als sog. modifizierter Druck eingef¨ uhrt worden und

270

10

Durchstr¨ omungen

dann formal als

p∗mod = p∗ − p∗st

(10.33)

p∗st

geschrieben werden, wobei den hydrostatischen Druckanteil beschreibt. F¨ ur die geometrischen Verh¨ altnisse in Bild 10.6 ist deshalb der f¨ ur die Str¨ omung maßgebliche Druckgradient dp∗mod /ds∗ dp∗mod ds∗

=

d(p∗ − p∗st ) dp∗ = ∗ − ∗ g ∗ cos α ds∗ ds

(10.34)

W¨ ahrend f¨ ur horizontale ausgebildete Str¨ omungen die Reibungskr¨ afte (Wirkung der Schubspannungen) ausschließlich durch Druckkr¨ afte kompensiert werden, geschieht dies f¨ ur nichthorizontale Str¨ omungen zum Teil auch durch Gewichtskr¨ afte. Da dp∗ /ds∗ z.B. von einer Pumpe aufgebracht werden muß, wird eine Str¨ omung nach unten durch die Schwerkraft unterst¨ utzt (geringeres dp∗ /ds∗ erforderlich), nach oben aber erschwert (h¨ oheres dp∗ /ds∗ erforderlich). Aus energetischer Sicht muß zus¨ atzlich potentielle Energie aufgebracht werden bzw. kann f¨ ur die Str¨ omung genutzt werden. Bei nicht ausgebildeten Str¨ omungen kommt es zu Beschleunigungen bzw. Verz¨ ogerungen von Fluidteilchen, so daß eine Kr¨ aftebilanz dann zus¨ atzlich Tr¨ agheitskr¨ afte einbeziehen muß. Diese sind ¨ ortlich verteilt, so daß nur jeweils eine lokale Kr¨ aftebilanz formulierbar ist. Bez¨ uglich einer globalen Energiebilanz gilt folgendes: Bei laminaren Str¨ omungen wird die durch eine Pumpe aufgebrachte mechanische Leistung bei ausgebildeten Str¨ omungen vollst¨ andig dissipiert, d.h. in thermische Energie verwandelt, bei nicht-ausgebildeten Str¨ omungen zum Teil in kinetische Energie (pro Zeit) umgewandelt. Bei turbulenten Str¨ omungen wird nur ein Teil der mechanischen Leistung direkt dissipiert, ein anderer Teil, die Turbulenzproduktion, dient der Erzeugung bzw. Aufrechterhaltung der turbulenten Schwankungsbewegung und wird erst nach dem sog. Kaskadenprozeß (s. Bild 5.2) dissipiert.


       ¨ Str¨ omungen, bei denen Anderungen der Variablen in allen drei Raumrichtungen vorkommen (dreidimensionale Str¨ omungen) sind h¨aufig so komplex, daß sie nur numerischen L¨osungsverfahren zug¨ anglich sind. Solche Verfahren sind nicht mehr Gegenstand des vorliegenden Buches, dessen Hauptziel aber nach wie vor ist, die Grundgleichungen f¨ ur die theoretische Behandlung allgemeiner Probleme zur Verf¨ ugung zu stellen sowie das physikalische Verst¨andnis f¨ ur Str¨ omungsprobleme zu st¨arken. In Kap. 4 waren die allgemeinen dreidimensionalen Grundgleichungen bereitgestellt worden, die als Basis f¨ ur numerische L¨osungen dienen. Das nachfolgende Kapitel 11 gibt einen ¨ kurzen Uberblick, welche Vereinfachungen auch im dreidimensionalen Fall in diesen Grundgleichungen m¨oglich sind, wenn spezielle Str¨omungzust¨ande und/oder Geometrien vorliegen. Danach sollen in Vorbereitung auf numerische L¨ osungen einige Aspekte n¨aher erl¨ autert werden, die f¨ ur einen effektiven Einsatz numerischer Methoden von großer Bedeutung sind und unmittel¨ bar aus den bisher angestellten Uberlegungen abgeleitet werden k¨onnen. Dies sind im wesentlichen drei Aspekte, die in drei Abschnitten des Kap. 12 behandelt werden.

11 Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

K¨ orperumstr¨omungen bei großen Reynolds-Zahlen besitzen, wie schon im zweidimensionalen Fall ausf¨ uhrlich erl¨ autert worden ist, Grenzschichtcharakter. Das Str¨ omungsfeld kann demnach weitgehend als reibungsfrei und bei zus¨ atzlich drehungsfreier Zustr¨ omung auch als drehungsfrei approximiert werden. Lediglich in Wandn¨ ahe liegt eine drehungsbehaftete Grenzschicht vor, in der Reibungseffekte von Bedeutung sind. K¨ orperdurchstr¨omungen erlauben mit Ausnahme der Einlaufbereiche keine Gebietsaufteilung in reibungs- bzw. drehungsfreie und reibungs- bzw. drehungsbehaftete Teilgebiete. Eine Vereinfachung der Grundgleichungen kann sich bei Durchstr¨ omungen aber durch die sog. Schlankheit des L¨osungsgebietes ergeben, so daß Gradienten quer zur Hauptstr¨omungsrichtung dann sehr viel gr¨ oßer sind als die Gradienten entsprechender Gr¨oßen in Str¨omungsrichtung. Im folgenden werden die m¨ oglichen Vereinfachungen in den vollst¨andigen dreidimensionalen Grundgleichungen f¨ ur Umstr¨omungen und Durchstr¨omungen n¨ aher erl¨ autert.

11.1 Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen 11.1.1

Reibungsfreie Umstr¨ omungen und Potentialstr¨ omungen

Außerhalb der stark reibungs- und damit auch drehungsbehafteten Str¨omungsgrenzschichten kann die Str¨ omung in guter N¨aherung als reibungsfrei angesehen werden. Dies gilt allerdings nur dann, wenn in der Str¨omung keine gr¨ oßeren Abl¨ osegebiete vorhanden sind. Die Str¨omung in solchen Abl¨osegebieten k¨ onnte zwar oftmals auch als weitgehend reibungsfrei angesehen werden, die Form der Abl¨ osegebiete k¨ onnte aber nur unter Ber¨ ucksichtigung von Reibungseffekten in den Grenzschichten ermittelt werden. Damit ist eine vollst¨ andig reibungsfreie Betrachtung auch kein sinnvoller erster Schritt bei der Beschreibung einer Str¨ omung, wenn große Abl¨osegebiete vorhanden sind. F¨ ur reibungsfreie Str¨ omungen k¨ onnen die allgemeinen Grundgleichungen nach Tab. 4.1 erheblich vereinfacht werden. Es entf¨allt der gesamte (deviatorische) Spannungstensor, da alle Schub- und Normalspannungskomponenten ∗ ∗ , τyx , . . .) bei drehungsfreien Str¨ omungen entfallen, s. dazu Anmerkung (τxx 8.1/S. 182. Es entf¨ allt damit die Notwendigkeit, konstitutive Gleichungen einzuf¨ uhren, die das Gleichungssystem schließen w¨ urden, da die Komponenten des Spannungstensors nicht mehr in den Gleichungen enthalten sind. Ein spezielles Fluidverhalten kann sich demnach bei reibungsfreier Str¨omung nicht

274

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

auswirken, eine Unterscheidung nach Newtonschen und nicht-Newtonschen Fluiden entf¨ allt bei reibungsfreier Str¨ omung. Die zu ber¨ ucksichtigenden Terme sind f¨ ur den Fall einer station¨aren, inkompressiblen Str¨ omung in Tab. 11.1 markiert. Die so entstehenden Gleichungen werden wieder als Euler-Gleichungen bezeichnet (f¨ ur die zweidimensionale Version s. Abschn. 8.1 bzw. Tab. 8.1). Wenn konstante Stoffwerte unterstellt werden, sind diese Gleichungen ausreichend, das Str¨omungsproblem zu l¨ osen. F¨ ur variable Stoffwerte und insbesondere f¨ ur Str¨omungen mit stark variabler Dichte (kompressible Str¨ omungen) muß die Energiegleichung hinzugenommen werden. Diese erfordert zun¨ achst eine konstitutive Gleichung zur Verkn¨ upfung des W¨ armstromdichte-Vektors (qx∗ , qy∗ , qz∗ ) mit dem Temperaturfeld. In der Regel wird jedoch auch der W¨armestromdichte-Vektor vernachl¨ assigt, was einem lokal-adiabaten Temperaturfeld oder einem nicht w¨armeleitenden Fluid entspricht. ¨ Da beim Ubergang auf die Euler-Gleichungen die h¨ochsten Ableitungen in den allgemeinen Grundgleichungen vernachl¨ assigt worden sind (f¨ ur ein Newtonsches Fluid z.B. h¨ atten sich jeweils zweite Ableitungen nach den Ortskoordinaten ergeben), k¨ onnen nicht mehr alle physikalischen Randbedingungen erf¨ ullt werden. Wie bereits f¨ ur den zweidimensionalen Fall erl¨autert, kann an festen W¨anden nur noch die sog. kinematische Randbedingung eingehalten werden, die ein Durchstr¨ omen der K¨ orperoberfl¨ ache verhindert (wenn die physikalische Randbedingung dies aufgrund der Wandundurchl¨assigkeit fordert). Die sog. Haftbedingung kann jedoch nicht erf¨ ullt werden, d.h., die Str¨omung besitzt an der Wand eine endliche unphysikalische“ Tangentialkomponente. ” Wie im zweidimensionalen Fall ist dies der Ausgangspunkt f¨ ur die Grenzschichttheorie, die diese Wand-Tangentialkomponente als Geschwindigkeit ¨ am Grenzschicht-Außenrand u ¨ bernimmt“ und den kontinuierlichen Uber” gang auf den Geschwindigkeits-Wandwert Null (Haftbedingung) in der extrem d¨ unnen Grenzschicht realisiert. Aus der L¨ osung der Euler-Gleichungen als reibungsfreie Umstr¨omung einer K¨ orperkontur folgt also die Geschwindigkeitsverteilung an der Wand, interpretiert als Geschwindigkeitsverteilung am Außenrand der Grenzschicht. Daraus ergibt sich unmittelbar die Druckverteilung an der Wand (bzw. am Außenrand der Grenzschicht), da der sog. Gesamtdruck, vgl. (6.30) p∗ges = p∗ +

 ∗  ∗2 u + v ∗2 + w∗2 2

(11.1)

l¨ angs der Wand konstant ist. Ist die reibungsfreie Str¨ omung zus¨ atzlich drehungsfrei (weil sie eine drehungsfreie Anstr¨ omung besitzt), so handelt es sich wieder um eine Potentialstr¨ omung (vgl. Abschn. 8.2 f¨ ur den zweidimensionalen Fall). Es existiert dann ein skalares Potential Φ∗ mit der Eigenschaft v ∗ = grad Φ∗ , d.h., der Geschwindigkeitsvektor v ∗ = (u∗ , v ∗ , w∗ ) folgt unmittelbar durch Bildung des Gradientenvektors (∂Φ∗ /∂x∗ , ∂Φ∗ /∂y ∗ , ∂Φ∗ /∂z ∗ ), wenn es sich – wie hier un-

11.1

Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen

Kontinuit¨ atsgleichung  ∗ D ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ ∗ +  + + Dt∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ x-Impulsgleichung Du∗ ∗ ∗ Dt

=

fx∗

∂p∗ − ∗ + ∂x

y-Impulsgleichung Dv ∗ ∗ ∗ Dt

=

fy∗

∂p∗ − ∗ + ∂y

z-Impulsgleichung Dw∗ ∗ ∗ Dt

=

fz∗

∂p∗ − ∗ + ∂z







D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z  (K∗ )

=0



∗ ∗ ∗ ∂τyx ∂τxx ∂τzx + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

∗ ∗ ∗ ∂τxy ∂τyy ∂τzy + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗




275

(XI∗ )



∗ ∗ ∗ ∂τyz ∂τxz ∂τzz + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(YI∗ )

 (ZI∗ )

Energiegleichung 
∗ ∗ ∂qy∗ ∂qx ∂qz∗ ∗ DH  =− + ∗+ ∗ D t∗ ∂x∗ ∂y ∂z +(u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ) +

(E∗ ) ∂p∗ + D∗ ∂t∗

Teil-Energiegleichung (mechanische Energie) $ % ∗ D ∂p∗ Dp∗ ∗2 ∗2 ∗2 [u + v + w ] = − ∗ + D ∗ − Φ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt

(ME∗ )

+(u∗ fx∗ + v ∗ fy∗ + w∗ fz∗ ) Teil-Energiegleichung (thermische Energie)
∗  ∂qy∗ ∂qx Dh∗ ∂qz∗ Dp∗ ∗ ∗ = − + + + Φ∗ + ∗ ∗ ∗ Dt ∂x ∂y ∂z Dt∗ Tab. 11.1:

(TE∗ )

3D-Euler-Gleichungen und Energiegleichungen R¨ aumliche, reibungsfreie Str¨ omungen als Spezialfall der allgemeinen Bilanzgleichungen aus Tab. 4.1; zus¨ atzliche Annahmen: station¨ ar, inkompressibel grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme (Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null.) Beachte: Mit f∗ = ∗ g ∗ und dem modifizierten Druck p∗mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂x ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂y ∂y ∗

∗ gz∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ∗ ∂z ∂z ∗

276

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

terstellt – um eine inkompressible Str¨ omung handelt. Die Potentialfunktion Φ∗ gehorcht wiederum der jetzt dreidimensionalen Laplacegleichung ∆Φ∗ = 0 ;

∆=

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(11.2)

die unmittelbar bei Ber¨ ucksichtigung von v ∗ = grad Φ∗ aus der Kontinuit¨atsgleichung div v ∗ = 0 hervorgeht (beachte die Identit¨at ∆ . . . = div grad . . . f¨ ur eine skalare Funktion, s. auch Anhang 1). Wie im zweidimensionalen Fall (dort (8.8)) handelt es sich bei (11.2) um eine lineare Differentialgleichung, so daß L¨ osungen wiederum durch Superposition von Elementarl¨ osungen aufgebaut werden k¨onnen, wie dies in Abschn. 8.2.4 f¨ ur den zweidimensionalen Fall beschrieben worden ist. Anders als im ebenen Fall, existiert aber im dreidimensionalen Fall nicht eine Stromfunktion, die auf ¨ ahnlich enge Weise (konjugierte Funktionen) mit der Potentialfunktion verkn¨ upft w¨ are, wie z.B. Tab. 8.2 dies f¨ ur den ebenen Fall zeigt. Stattdessen kann f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen eine Vektorstromfunk ∗ = (Ψ ∗ , Ψ ∗ , Ψ ∗ ) eingef¨ u hrt werden, aus der die Geschwindigkeit in tion Ψ x y z ∗ ∗  ∗ folgt, d.h. f¨ Form des Geschwindigkeitsvektors v als v = rot Ψ ur die einzelnen Komponenten gilt: u∗ =

∂Ψy∗ ∂Ψz∗ − ; ∂y ∗ ∂z ∗

v∗ =

∂Ψx∗ ∂Ψz∗ − ; ∂z ∗ ∂x∗

w∗ =

∂Ψy∗ ∂Ψx∗ − ∂x∗ ∂y ∗

(11.3)

 ∗ = (0, 0, Ψ ∗ ). F¨ Der ebene Fall ergibt sich daraus mit Ψ ur diese Stromfunkz tion, die zun¨ achst ganz allgemein f¨ ur dreidimensionale Str¨omungen eingef¨ uhrt worden ist, gilt im Spezialfall der drehungsfreien (Potential-)Str¨omung aller ∗ = 0, sondern dings keine (Vektor-)Laplace-Gleichung ∆Ψ  ∗ = grad div Ψ ∗ ∆Ψ

(11.4)

so daß nicht mehr von der Stromfunktion auf eine neue Potentialfunktion geschlossen werden kann, wie dies im Spezialfall der ebenen Str¨omung der Fall ist. F¨ ur weitere Einzelheiten s. z.B. Hackeschmidt (1970).

Anmerkung 11.1: Das d’Alembertsche Paradoxon bei r¨ aumlichen Str¨ omungen In Abschn. 8.1 war die Tatsache, daß ein reibungsfrei umstr¨ omter K¨ orper im ebenen Fall (zweidimensionale Str¨ omung) keinen Widerstand besitzt, als sog. d’Alembertsches Paradoxon bezeichnet worden. Aus der Druckverteilung kann im ebenen Fall zwar kein Widerstand, wohl aber ein Auftrieb ermittelt werden (Auftrieb: Kraftkomponente senkrecht zur Anstr¨ omung). Dieser wird durch Reibungseffekte auch nur noch geringf¨ ugig modifiziert, wenn die Str¨ omungsgrenzschichten nicht großr¨ aumig abl¨ osen. Bei r¨ aumlicher (dreidimensionaler) reibungsfreier K¨ orperumstr¨ omung ist der Widerstand erwartungsgem¨ aß ebenfalls stets Null. Dar¨ uber hinaus kann aber auch kein Auftrieb

11.1

277

Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen

entstehen, was zun¨ achst sehr verbl¨ uffend ist. Der mathematische Hintergrund daf¨ ur ist die Tatsache, daß es sich bei r¨ aumlichen K¨ orperumstr¨ omungen nicht mehr um mehrfach zusammenh¨ angende Str¨ omungsgebiete handelt (gekennzeichnet dadurch, daß in ihnen geschlossene Kurven existieren, die nicht durch stetige Ver¨ anderungen auf Null zusammengezogen werden k¨ onnen), sondern um sog. einfach zusammenh¨ angende Gebiete, f¨ ur n¨ ahere Einzelheiten s. Chorin, Marsden (1992).

Beispiel 11.1:

Kugelumstr¨ omung

Da die Laplacegleichung (11.2) wie im zweidimensionalen Fall, dort (8.8), eine lineare ¨ Funktion ist, k¨ onnen aus der additiven Uberlagerung von Einzell¨ osungen neue L¨ osungen gewonnen werden (Superpositionsprinzip). ¨ In Beispiel 8.2 war durch Uberlagerung der zweidimensionalen Dipolstr¨ omung mit der ebenen Translationsstr¨ omung die Potentialstr¨ omung um einen Kreiszylinder bestimmt worden. Im jetzt betrachteten dreidimensionalen Fall entsteht auf ganz analoge Weise die Potentialstr¨ omung um eine Kugel. Dazu werden u ¨berlagert: 1. Die Translationsstr¨ omung in x-Richtung mit der Geschwindigkeit u∗∞ : Potentialfunktion:

Φ∗ = u∗∞ x∗

Stromfunktion:

Ψ∗ = u∗∞ r ∗2 /2

2. Die r¨ aumliche Dipolstr¨ omung im Koordinatenursprung mit dem Dipolmoment M ∗ : Potentialfunktion: Stromfunktion:

M∗ x∗ 4π (r ∗2 + x∗2 )3/2 M∗ r ∗2 Ψ∗ = − 4π (r ∗2 + x∗2 )3/2 Φ∗ =

Das Koordinatensystem ist in Bild B11.1 skizziert. Die Str¨ omung ist rotationssysmmetrisch in den Koordinaten x∗ , r ∗ . Deshalb existiert hier auch, anders als bei allgemeinen dreidimensionalen Str¨ omungen eine Stromfunktion Ψ∗ (x∗, r ∗ ). Der Dipol entsteht analog zum zweidimensionalen Fall aus einer (r¨ aumlichen) Quelle und einer (r¨ aumlichen) Senke mit verschwindenem Abstand aber stetig ansteigender Quellst¨ arke, wobei das Produkt aus Abstand und Quellst¨ arke dem konstanten Dipolmoment M ∗ mit [M ∗ ] = m4 /s entspricht. F¨ ur die Kugelumstr¨ omung insgesamt gilt also:

Φ∗ = u∗∞ +

M∗ ∗2 4π(r + x∗2 )3/2



x∗ ;

Ψ∗ =

u∗∞ M∗ − ∗2 2 4π(r + x∗2 )3/2

 r ∗2

(B11.1-1) F¨ ur die Nullstromlinie (Index NS), die als Wand interpretiert werden kann, folgt aus [. . .] = 0 in der Beziehung f¨ ur die Stromfunktion mit R∗ = (r ∗2 + x∗2 )NS als dem Kugelradius  ∗ 1/3 M R∗ = 2πu∗∞ Außerhalb dieser Kugel kann die √ Str¨ omung als Potentialstr¨ omung um die Kugel interpretiert werden, so daß f¨ ur rˆ∗ = r ∗2 + x∗2 bei rˆ∗ > R∗ gilt



u∗ Φ = ∞ x∗ 2 + 2 ∗



R∗ rˆ∗

3 



;

u∗ Ψ = ∞ r ∗2 1 − 2 ∗



R∗ rˆ∗

3 

(B11.1-2)

278

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

y *, z *-Ebene y* r* ^r * u*1

x*

z*

Bild B11.1:

Koordinatensystem bei der Kugelumstr¨ omung x∗ , y ∗ , z ∗ : kartesische Koordinaten r ∗ : Radialkoordinate in der y ∗, z ∗ -Ebene mit r ∗2 = y ∗2 + z ∗2 rˆ∗ : Radialkoordinate im x∗, y ∗, z ∗ -Raum mit rˆ∗2 = x∗2 + y ∗2 + z ∗2 = r ∗2 + x∗2

11.1.2

Str¨ omungsgrenzschichten

In Kap. 9 sind der physikalische Hintergrund und die mathematische Behandlung von ebenen (zweidimensionalen) Str¨ omungsgrenzschichten ausf¨ uhrlich behandelt worden. An dieser Stelle wird nun eine Erweiterung auf r¨aumliche Str¨ omungsgrenzschichten vorgenommen, wobei sich eine Reihe neuer Effekte ergibt, das prinzipielle Vorgehen aber wie bei der ebenen Str¨omung bleibt. Von besonderer Bedeutung ist dabei das systematische und hierarchische Vorgehen bei der Beschreibung des Str¨ omungsfeldes: In einem ersten Schritt wird die reibungsfreie Umstr¨ omung des K¨ orpers bestimmt (Außenstr¨omung 1. Ordnung). Mit der daraus ermittelten Geschwindigkeits- bzw. Druckverteilung an der Wand wird anschließend die Grenzschicht an der Wand berechnet (Grenzschichtstr¨ omung 1. Ordnung). Prinzipiell kann dieses Verfahren fortgesetzt werden (Außenstr¨ omung und Grenzschichtstr¨omung h¨oherer Ordnungen), aber schon die Ergebnisse der Theorien 1. Ordnung stellen oft eine gute N¨ aherung der insgesamt gesuchten L¨ osung dar. Bei einer Beschr¨ ankung auf die Theorien 1. Ordnung k¨onnen die Grenzschichtgleichungen formal im kartesischen (x,y,z)-Koordinatensystem ange-

11.1

Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen

279

geben werden, obwohl die Grenzschichtgleichungen eigentlich in einem k¨orperangepaßten krummlinigen (s,n,l)-Koordinatensystem formuliert werden (s. dazu Schlichting, Gersten (1997)). Da Kr¨ ummungseinfl¨ usse aber erstmals in den Grenzschichtgleichungen 2. Ordnung auftreten, k¨onnen die Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung formal in (x,y,z)-Koordinaten formuliert und als Gleichungen in k¨ orperangepaßten, sog. nat¨ urlichen Koordinaten interpretiert werden. Im Rahmen dieser Interpretation folgen die x- und z-Koordinaten dann dem Wandverlauf, die y-Koordinate steht senkrecht auf der Wand. Eine Erweiterung auf r¨ aumliche Grenzschichtstr¨omungen f¨ uhrt auf 3DGrenzschichtgleichungen, die in Tab. 11.2a f¨ ur laminare und in Tab. 11.2b f¨ ur turbulente Str¨ omungen als Spezialf¨ alle der Navier-Stokes-Gleichungen dargestellt sind. Als Randbedingungen gelten jeweils die Haftbedingung an der Wand, ¨ die Wandundurchl¨ assigkeit sowie der asymptotische Ubergang in die Außenstr¨omung am Außenrand der Grenzschicht, also: y∗ = 0 : ∗ y ∗ → y∞

:

u∗ = v ∗ = w ∗ = 0

(11.5)

u∗ = u∗A ;

(11.6)

∗ w∗ = wA

∗ ∗ Dabei ist y∞ ein y ∗ -Wert außerhalb der Grenzschicht, u∗A und wA sind die Geschwindigkeitskomponenten einer reibungsfreien Außenstr¨omung an der Wand (prinzipiell ermittelbar aus den Euler-Gleichungen des vorherigen Abschnittes 11.1.1). F¨ ur laminare Grenzschichten entfallen die Mittelungsstriche in (11.5) und (11.6). Gegen¨ uber dem ebenen Fall gibt es im wesentlichen drei neue Effekte, die im folgenden n¨ aher beschrieben werden. Anschließend werden einige spezielle Aspekte behandelt, die f¨ ur die theoretische Beschreibung r¨aumlicher Grenzschichtstr¨ omungen von Bedeutung sind.

3D-Effekt: Verwundene Geschwindigkeitsprofile ¨ Die folgenden Uberlegungen sollen in einem orthogonalen (s,n,l)-Koordinatensystem angestellt werden, das lokal an der betrachteten Stelle des Str¨omungsfeldes so ausgerichtet ist, daß die s-Koordinate stets in Richtung der Außenstr¨ omung an der Wand (Richtung der Geschwindigkeit am Grenzschichtrand), die n-Koordinate senkrecht zur Wand (n: normal) und die lKoordinate in Querrichtung (l: lateral) weist. Die zugeh¨origen Geschwindigkeitskomponenten sollen sein: s → u ; n → v ; l → w. In Bild 11.1 ist auf der linken Seite eine ebene Grenzschichtstr¨omung in diesem Koordinatensystem gezeigt. F¨ ur diese erfolgt die gesamte Str¨omung in s-Richtung, ein von der Außenstr¨ omung aufgepr¨agter Druckgradient kann nur ur eine ebene Str¨omung per Definition als ∂p∗ /∂s∗ vorkommen, ∂p∗ /∂l∗ ist f¨ Null. Der Schubspannungsvektor“ an der Wand, geschrieben als τw∗ , zeigt ” ebenfalls in s-Richtung.

280

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z

Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + ∗+ =0 ∗ ∂x ∂y ∂z ∗

(K∗cp )

x-Impulsgleichung

  ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ Du u u u ∂p ∂ ∂ ∂ ∗ ∗ = ∗ gx∗ − ∗ + η ∗ + + ∗2 Dt ∂x ∂x∗2 ∂ y ∗2 ∂z

y-Impulsgleichung Dv ∗ ∗ ∗ Dt

=

∗ gy∗

2 ∗  ∂p∗ ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∗ ∂ v − ∗ +η + ∗2 + ∗2 ∂y ∂x∗2 ∂y ∂z

z-Impulsgleichung Dw∗ ∗ ∗ Dt

=

∗ gz∗

(XI∗cp )

(YI∗cp )

  2 ∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ ∂ w − ∗ +η + ∗2 + ∂z ∂ x∗2 ∂y ∂ z ∗2

(ZI∗cp )

Tab. 11.2a: 3D-Prandtlsche Grenzschichtgleichungen (laminar) Grenzschichtgleichungen f¨ ur r¨ aumliche, inkompressible, laminare Str¨ omungen als Spezialfall der Navier-Stokes-Gleichungen aus Tab. 4.3a Zus¨ atzliche Annahme: station¨ ar grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme (Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme, ggf. mit dem zugeh¨ origen Vorfaktor η∗ , u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null) Beachte: Mit dem modifizierten Druck p∗mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂x ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂y ∂y ∗

∗ gz∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ∗ ∂z ∂z ∗

Die Bestimmung der relevanten Terme erfolgt u oßenordnungs¨ ber eine Gr¨ Absch¨ atzung aller Terme mit den Bedingungen v ∗ u∗ ≈ w ∗ ∂/∂x∗ ≈ ∂/∂z ∗ ∂/∂y ∗ und ber¨ ucksichtigt, daß das L¨ osungsgebiet eine (asymptotisch) kleine Querabmessung besitzt. Beachte: Da nur die Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung identifiziert werden, f¨ ur die noch keine Kr¨ ummungseinfl¨ usse auftreten, k¨ onnen die kartesischen Koordinaten x∗ , y ∗ , z ∗ beibehalten werden. Nur im Rahmen der Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung k¨ onnen diese Koordinaten allgemein als k¨ orperangepaßte Koordinaten interpretiert werden. (2D-Version, s. Tab. 9.1)

11.1

Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z

Kontinuit¨ atsgleichung ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + + =0 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

281


;

∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + + =0 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

 (K∗cp )

x-Impulsgleichung ∗

∂p∗ Du∗ = ∗ gx∗ − ∗ ∗ Dt ∂x   2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ u ∂ u u ∂ ∂ + η∗ + + ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2 ⎡ ⎤ ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂u ∂u v ∂u w ⎦ + + −∗ ⎣ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(XI∗cp )

y-Impulsgleichung ∗

Dv ∗ ∂p∗ = ∗ gy∗ − ∗ ∗ Dt ∂y

2 ∗  ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∗ ∂ v +η + + ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2   ∗ ∗ ∂ v ∗2 ∂ v ∗ w∗ ∗ ∂v u − + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(YI∗cp )

z-Impulsgleichung ∗

Dw∗ ∂p∗ = ∗ gz∗ − ∗ ∗ Dt ∂z   2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ ∂ ∂ w ∂ w w + η∗ + + ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2 ⎡ ⎤ ∗ u∗ ∗ v ∗ ∗2 w w w ∂ ∂ ∂ ⎦ −∗ ⎣ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(ZI∗cp )

Tab. 11.2b: 3-D Prandtlsche Grenzschichtgleichungen (turbulent) Grenzschichtgleichungen f¨ ur r¨ aumliche, inkompressible, turbulente Str¨ omungen als Spezialfall der zeitgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen aus Tab. 5.5a Zus¨ atzliche Annahme: station¨ ar grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme

Fortsetzung der Tabellenunterschrift auf der n¨ achsten Seite

282

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

Fortsetzung der Tabellenunterschrift von der vorigen Seite

(Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme, ggf. mit den zugeh¨ origen Vorfaktoren η∗ bzw. ∗ , u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null) Beachte: Mit dem modifizierten Druck p∗ mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ mod =− ; ∂x∗ ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗ ∂p∗ mod =− ; ∂y ∗ ∂y ∗

∗ gz∗ −

∂p∗ ∂p∗ mod =− ∂z ∗ ∂z ∗

Die Bestimmung der relevanten Terme erfolgt u oßenordnungs¨ ber eine Gr¨ Absch¨ atzung aller Terme mit den Bedingungen v ∗ ≤ u∗ ≈ w ∗ ∂/∂x∗ ≈ ∂/∂z ∗ ≤ ∂/∂y ∗ u∗i u∗j sind von gleicher Gr¨ oßenordnung und ber¨ ucksichtigt, daß das L¨ osungsgebiet eine (asymptotisch) kleine Querabmessung besitzt. Beachte: Da nur die Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung identifiziert werden, f¨ ur die noch keine Kr¨ ummungseinfl¨ usse auftreten, k¨ onnen die kartesischen Koordinaten x∗ , y ∗ , z ∗ beibehalten werden. Nur im Rahmen der Grenzschichtgleichungen 1. Ordnung k¨ onnen diese Koordinaten allgemein als k¨ orperangepaßte Koordinaten interpretiert werden. (2D-Version, s. Tab. 9.3)

Bei r¨ aumlichen Grenzschichtstr¨ omungen sind die Verh¨altnisse deutlich verschieden, auch wenn am Grenzschichtaußenrand dieselbe Geschwindigkeit in s-Richtung vorliegt, wie auf der rechten Seite in Bild 11.1 gezeigt ist. Durch die Außenstr¨ omung aufgepr¨ agt, herrscht jetzt neben dem m¨oglichen Druckgradienten ∂p∗ /∂s∗ eine weitere Komponente ∂p∗ /∂l∗ = 0, also ein lateraler, aufgepr¨ agter Druckgradient, wenn die Stromlinien der Außenstr¨omung eine laterale Kr¨ ummung aufweisen. Dies f¨ uhrt zu einer Ablenkung des Geschwindigkeitsprofiles in der Grenzschicht in l-Richtung, und zwar um so st¨ arker, je kleiner die Geschwindigkeit ist, d.h., die Ablenkungen, die zu einer Verwindung des Gesamtprofiles f¨ uhren (engl.: skewed profiles), sind in Wandn¨ahe am st¨arksten. Es entsteht also zus¨ atzlich eine w∗ -Komponente des Geschwindigkeitsprofiles, die auch als sog. Querstr¨omung interpretiert werden kann. Als Folge dieser Verwindung bzw. der Querstr¨omung treten zwei Schubspannungskomponenten auf, und zwar (hier am Beispiel der laminaren Str¨omung):
∗
∗ ∂u ∂w ∗ ∗ ∗ τws = η∗ ; τ = η (11.7) wl ∗ ∂n w ∂n∗ w Diese f¨ uhren zu einem Schubspannungsvektor“ τw∗ , der mit der s-Richtung ” einen sog. (Wand-)Querstr¨omungswinkel βw einschließt, wie dies in Bild 11.1 gezeigt ist.

11.1

n*

283

Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen

n*

s*

s* ¯

~¿W*

W

~¿W* l*

l*

ebenes Grenzschichtprofil Str¨ omung in s-Richtung

r¨aumliches Grenzschichtprofil Außenstr¨omung in s-Richtung

(∂p∗ /∂l∗ = 0)

(∂p∗ /∂l∗ = 0)

einzige Komponente: u∗ (n∗ )

Komponenten: u∗ (n∗ ), w∗ (n∗ )

Bild 11.1: Vergleich zwischen einem ebenen und einem r¨ aumlichen Grenzschichtprofil. Verwindung des r¨ aumlichen Geschwindigkeitsprofils durch die zus¨ atzliche n-abh¨ angige Querstr¨ omung w ∗ βW : Querstr¨ omungswinkel an der Wand

In einer sog. Hodographen-Darstellung wird die Verwindung des Geschwindigkeitsprofiles sehr anschaulich. Diese Darstellung entsteht als eine senkrechte Projektion des Geschwindigkeitsprofiles in die s-l-Ebene. Als Koordinaten dieser Projektionsebene werden direkt die Geschwindigkeitskomponenten u∗ und w∗ gew¨ ahlt, die Werte s∗ und l∗ k¨ onnten dann als Parameter an jeden Punkt der Kurve geschrieben werden. Bild 11.2 zeigt eine solche Darstellung, die entsteht, wenn das rechte Profil in Bild 11.1 von oben“, d.h. entgegen ” der n-Achse, betrachtet wird. Die gestrichelten Linien stellen Hodographen extrem verwundener Profile dar, bei denen dann z.B. die Maximalgeschwindigkeit auch innerhalb der Grenzschicht liegen k¨onnen.

3D-Effekt: Lateral konvergierende oder divergierende Stromlinien Bei ebenen Str¨ omungen kann der Stromlinienabstand unmittelbar zur Interpretation des Str¨ omungsfeldes herangezogen werden. Da der Massenstrom zwischen zwei Stromfl¨ achen konstant bleibt, bedeutet ein kleiner Stromlinienabstand große Geschwindigkeiten, ein großer Stromlinienabstand hingegen kleine Geschwindigkeiten (unterstellt, die Dichte bleibt ann¨ahernd konstant).

284

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

uA* ¯(n*)

u*

~¿W*

w*

¯

W

Bild 11.2: Hodographen-Darstellung eines verwundenen r¨ aumlichen Grenzschichtprofiles β(n∗ ): Querstr¨ omungswinkel im Abstand n∗ von der Wand gestrichelte Linien: Hodographen extrem verwundener Profile

Bei r¨ aumlichen Str¨ omungen gilt zwar weiterhin, daß der Massenstrom innerhalb in sich geschlossener Stromfl¨ achen konstant bleibt, diese k¨onnen sich jetzt aber nicht nur in einer, sondern in zwei Richtungen ausdehnen, wie dies in Bild 11.3 angedeutet ist. W¨ ahrend z.B. eine geometrisch bedingte Einschn¨ urung im ebenen Fall unmittelbar zu einer Erh¨ohung der Geschwindigkeit f¨ uhrt, kann die r¨ aumliche Str¨ omung bei einer Einschn¨ urung in einer Richtung in die andere Richtung ausweichen“ und es muß nicht notwendi” gerweise in einer Erh¨ ohung der Geschwindigkeit kommen. Dieses Ph¨ anomen tritt z.B. auf, wenn sich die Grenzschicht an einem rotationssymmetrischen K¨ orper der hinteren Spitze n¨ahert, s. Bild 11.4 . Die Grenzschicht wird dann u.U. so stark aufgedickt, daß sie nicht mehr als schlankes Gebiet angesehen werden kann und wegen der starken Stromlinienkr¨ ummungen nach außen auch kein konstanter Druck quer zur Grenzschicht mehr vorliegt. 3D-Effekt: Sekund¨ arstr¨ omungen Wenn ein Str¨ omungsfeld, wie bei ebenen oder rotationssymmetrischen Str¨omungen nur zwei Geschwindigkeitskomponenten besitzt, so lassen sich diese stets in einer Ebene anschaulich in Form von Geschwindigkeitsvektoren (mit zwei Komponenten) darstellen. Diese stellen die Tangenten an die Stromli-

11.1

Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen

285

nien dar, die in dieser Ebene ebenfalls eingezeichnet werden k¨onnen (und im station¨ aren Fall gleichzeitig auch die Bahnlinien darstellen, vgl. Abschn. 3.2.1). Bei r¨ aumlichen Str¨ omungen besitzt der Geschwindigkeitsvektor im allgemeinen Fall aber drei Komponenten, so daß eine graphische Darstellung nur im Raum m¨ oglich w¨ are. F¨ ur die anschauliche Darstellung einer r¨aumlichen Grenzschichtstr¨ omung wird deshalb folgende Hilfskonstruktion“ gew¨ahlt, die ” dann wieder eine zweidimensionale Darstellung erlaubt. Mit der schon in Bild 11.1 gew¨ ahlten Lage des Koordinatensystems, die s-Koordinate stets in Richtung der Geschwindigkeitskomponente u∗ am Außenrand der Grenzschicht zu legen, ist jeweils eine dazu senkrechte n-l-Ebene definiert, in der die beiden anderen Geschwindigkeitskomponenten v ∗ und w∗ liegen. Diese k¨ onnen als zweidimensionaler Geschwindigkeitsvektor einer sog. Sekund¨arstr¨omung angesehen werden, so daß sich die tats¨achliche Str¨omung aus einer Prim¨ arstr¨ omung und einer Sekund¨ arstr¨ omung (0, v ∗ , w∗ ) zusammensetzt. Es ist aber zu beachten, daß diese Aufteilung in Prim¨ar- und Sekund¨arstr¨omung willk¨ urlich ist. Wenn gelegentlich in der Ebene der Sekund¨arstr¨omung an den (0, v ∗ , w∗ )-Vektor Stromlinien“ angetragen werden, so ist zu beach” ten, daß diese auch bei station¨ aren Str¨ omungen keine Bahnlinien der realen Str¨ omung sind, da diese tangential in Richtung des dreidimensionalen Vektors (u∗ , v ∗ , w∗ ) verlaufen. Abschließend sollen einige Aspekte erw¨ ahnt werden, die bei der Bestimmung r¨ aumlicher Grenzschichtstr¨ omungen auf der Basis der 3D-Grenzschichtgleichungen besonders beachtet werden m¨ ussen. 1. Die numerischen L¨ osungsverfahren m¨ ussen sicherstellen, daß ein bestimmter Punkt P im L¨ osungsfeld (d.h. in der Grenzschicht) einerseits von einem bestimmten stromaufw¨ arts gelegenen Gebiet beeinflußt werden kann und andererseits selbst ein bestimmtes Gebiet stromabw¨arts beeinflußt. Diese Gebiete der Abh¨angigkeit und Gebiete des Einflusses ergeben sich ¨ aus der Uberlegung, daß in der Grenzschicht Information konvektiv l¨angs der Stromlinien und diffusiv (fast) ausschließlich senkrecht zur Wand transportiert wird. Damit k¨ onnen die gesuchten Gebiete als diejenigen

Stromfl¨ achen bei einer ebenen Str¨ omung

Stromfl¨achen bei einer r¨aumlichen Str¨omung

Bild 11.3: Vergleich zwischen ebenen und r¨ aumlichen Str¨ omungen zwischen bzw. innerhalb von Stromfl¨ achen

286

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

Grenzschichtdicke

Bild 11.4: Prinzipieller Grenzschichtverlauf in der N¨ ahe der hinteren Spitze eines rotationssymmetrischen K¨ orpers

identifiziert werden, die zwischen zwei senkrecht zur Wand stehenden Ebenen durch den Punkt P eingeschlossen werden, wie dies in Bild 11.5 gezeigt ist. Eine Ebene verl¨ auft dabei tangential zur Außenstr¨omung u∗A die andere tangential zum Wandschubspannungsvektor τw∗ , wenn das Geschwindigkeitsprofil, wie in den Bildern 11.1 bzw. 11.2 gezeigt, verwunden ist (und Verl¨ aufe, wie in Bild 11.2 gestrichelt eingezeichnet, ausgeschlossen werden). 2. Turbulente r¨ aumliche Grenzschichten sollten vor einer numerischen L¨osung ebenso auf ihre asymptotische Struktur untersucht werden, wie dies f¨ ur ebene Grenzschichten in Abschn. 9.5.1–9.5.3 ausf¨ uhrlich beschrieben worden ist. Dabei ergibt sich die prinzipiell gleiche Aufteilung in eine Wandschicht mit der ad¨ aquaten Koordinate n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ vgl. (9.39) und eine Defekt-Schicht mit der Koordinate n = n∗ /δ ∗ , wobei u∗τ =  τw∗ /∗ wieder die sog. Wandschubspannungsgeschwindigkeit ist und δ ∗ die Grenzschichtdicke darstellt. Die asymptotische Theorie f¨ ur Re → ∞ ergibt eine Struktur, die weitgehend derjenigen einer ebenen Str¨ omung entspricht (f¨ ur Detail s. z.B. Degani et al. (1993)), weil die Querstr¨ omung im Rahmen dieser Theorie zwei entscheidende Eigenschaften besitzt: sie ist von der asymptotischen Gr¨ oßenordnung des GeschwindigkeitsDefektes, also von der Gr¨ oßenordnung O(uτ ), vgl. (9.53). sie weist in der Wandschicht einen konstanten Querstr¨omungswinomung ist dort also nicht verwunden und kel β = βw auf. Die Str¨ wird deshalb als kollaterale Str¨omung bezeichnet (was der Bedingung

11.1

287

Dreidimensionale K¨ orperumstr¨ omungen

Gebiet des Einflusses Gebiet der Abhangigkeit aÄ n*

uA*

P

s*

~¿W* l* Bild 11.5: Gebiete der Abh¨ angigkeit und des Einflusses eines Punktes P in der Grenzschicht

∂ 2 w∗ /∂u∗2 = 0 im Ursprung von Bild 11.2 entspricht). F¨ ur die Ge¨ schwindigkeitskomponente in Richtung von τw∗ gilt damit im Ubergangsgebiet zur Defektschicht (vgl. (9.45)): $ 2 % 2 u∗ + w ∗ 1 = ln n+ + C + (11.8) lim u∗τ κ n+ →∞ Andere, nicht streng asymptotische Theorien liefern getrennte Wandgeur Details sei auf Piquet (1999) verwiesen. setze f¨ ur u∗ und w∗ , f¨ ¨ Die Modellierung der Außenschicht lehnt sich weitgehend an die Uberlegungen zur ebenen Str¨ omung an, wobei als neuer Aspekt die Abh¨angigkeit des Querstr¨ omungswinkels β von der Koordinate n hinzukommt. Damit wird indirekt die Querstr¨ omungskomponente modelliert. Leider existieren nur wenige genau vermessene turbulente r¨aumliche Grenzschichtstr¨ omungen, so daß eine Reihe von Fragen ungekl¨art sind, etwa, ob die zuvor postulierte Kollateralit¨ at in der Wandschicht tats¨achlich vorliegt. F¨ ur eine eingehende Diskussion dieser Fragen s. Piquet (1999). 3. Der f¨ ur die Turbulenzmodellierung weit verbreitete Ansatz einer isour tropen Wirbelviskosit¨ at ηt∗ im turbulenten Spannungstensor τij∗  , ist f¨ r¨ aumliche Grenzschichtstr¨ omungen grunds¨atzlich problematisch, weil die unterstellte Isotropie (Richtungsunabh¨ angigkeit) des mit dieser Gr¨oße modellierten Turbulenzverhaltens offensichtlich nicht gegeben ist. In Abschn. 5.4.2 war bereits die M¨ oglichkeit diskutiert worden, algebraische Reynolds-Spannungs-Modelle so zu interpretieren, daß sie der Einf¨ uhrung

288

11

Vereinfachte Gleichungen f¨ ur dreidimensionale Str¨ omungen

einer anisotropen Wirbelviskosit¨at entsprechen. Alternativ k¨onnte eine Wirbelviskosit¨ at ganz allgemein als ein Tensor vierter Stufe (mit 9·9 = 81 Komponenten) eingef¨ uhrt werden (analog zum Ansatz (4.23) f¨ ur den viskosen Spannungstensor τij∗ ), von dem im vorliegenden Fall aber nur die beiden Komponenten ∗ = −∗ ηts

u∗ v ∗ ; ∂u∗ /∂y ∗

∗ ηtl = −∗

w∗ v ∗ ∂w∗ /∂y ∗

(11.9)

von Bedeutung w¨ aren. Bildet man aus beiden Komponenten das Verh¨altnis η∗ Ne = ∗tl (11.10) ηts ur die Anisotropie. Messungen so sind Abweichungen von Ne = 1 ein Maß f¨ ergeben erhebliche Abweichungen vom Wert Ne = 1. Dies deckt sich mit der vorab m¨ oglichen Aussage, daß eine Reihe dreidimensionaler Effekte mit einem isotropen Wirbelviskosit¨ atsansatz grunds¨atzlich nicht erfaßt werden k¨ onnen, f¨ ur Details sei wiederum auf Piquet (1999) verwiesen. Aus diesem Grund sollten r¨ aumliche Grenzschichtstr¨omungen m¨oglichst mit Hilfe von Reynolds-Spannungs-Turbulenzmodellen behandelt werden (vgl. Abschn. 5.4.2).

11.2 Dreidimensionale Durchstr¨ omungen 11.2.1

Vorbemerkung

Bei Durchstr¨ omungen von K¨ orpern liegen h¨aufig Geometrien vor, die das eigentliche Str¨ omungsgebiet zu einem sog. schlanken Gebiet machen. In kartesischen Koordinaten bedeutet dies, daß die Querabmessungen in der yund der z-Richtung deutlich kleiner sind als die Abmessungen in der Hauptstr¨ omungsrichtung x. Dann sind die ersten und zweiten Ableitungen der Str¨ omungsgr¨ oßen nach y und z erheblich gr¨ oßer als diejenigen nach x, so daß eine sinnvolle N¨ aherung in der Vernachl¨ assigung der x-Ableitungen bestehen kann. Damit tritt h¨ aufig auch ein Wechsel im Typ der Differentialgleichung auf. W¨ ahrend die vollst¨ andigen Navier-Stokes-Gleichungen vom sog. elliptischen Typ sind, bei dem insbesondere auch Stromaufw¨artswirkungen der Str¨ omungsgr¨ oßen auftreten, weisen die reduzierten Gleichungen oftmals einen sog. parabolischen Charakter auf, bei dem das Einflußgebiet der Str¨omungsgr¨oßen nur in stromabw¨ artige Richtung weist. Dieser Unterschied ist f¨ ur die Auswahl numerischer Verfahren von großer Bedeutung. Der Aufwand f¨ ur die L¨osung parabolischer Probleme ist gegen¨ uber demjenigen f¨ ur elliptische Probleme oftmals erheblich reduziert.

11.2

Kontinuit¨ atsgleichung

D ∂ ∂ ∂ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ Dt∗ ∂t ∂x ∂y ∂z

∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + + =0 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ x-Impulsgleichung Du∗ ∗ ∗ Dt

=

∗ gx∗

y-Impulsgleichung Dv ∗ ∗ ∗ Dt

=

∗ gy∗

z-Impulsgleichung Dw∗ ∗ ∗ Dt Tab. 11.3:

=

∗ gz∗

289

Dreidimensionale Durchstr¨ omungen

(K∗cp )

  2 ∗ ∂ 2 u∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∂ u − ∗ +η + + ∗2 ∂x ∂x∗2 ∂ y ∗2 ∂z

(XI∗cp )

  2 ∗ ∂ 2 v∗ ∂p∗ ∂ 2 v∗ ∗ ∂ v − ∗ +η + + ∗2 ∂y ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z

(YI∗cp )

  2 ∗ ∂ 2 w∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∗ ∂ w − ∗ +η + + ∂z ∂ x∗2 ∂ y ∗2 ∂ z ∗2

(ZI∗cp )

Vereinfachungen der vollst¨ andigen Navier-Stokes-Gleichungen aus Tab. 4.3a f¨ ur station¨ are, laminare Durchstr¨ omungen schlanker Gebiete grau unterlegt: ber¨ ucksichtigte Terme (Die neuen Gleichungen entstehen, wenn rechts und links des Gleichheitszeichens die markierten Terme, ggf. mit dem zugeh¨ origen Vorfaktor η∗ , u ¨bernommen werden. Tritt auf einer Seite kein markierter Term auf, so steht dort die Null.) Beachte: Mit dem modifizierten Druck p∗mod = p∗ − p∗st gilt ∗ gx∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂x ∂x∗

∗ gy∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ; ∗ ∂y ∂y ∗

∗ gz∗ −

∂p∗ ∂p∗ = − mod ∗ ∂z ∂z ∗

Je nach Behandlung der Druckterme ergeben sich als Gleichungen: Parabolisierte Navier-Stokes-Gleichungen (PNS) Teilparabolisierte Navier-Stokes-Gleichungen (PPNS)

11.2.2

Parabolisierte, teilparabolisierte Navier-Stokes-Gleichungen

Die Vernachl¨ assigung aller zweiten Ableitungen in der Hauptstr¨omungsrichtung x f¨ uhrt zu dem in Tab. 11.3 enthaltenen Gleichungssystem. Es vernachl¨ assigt gegen¨ uber den allgemeinen Gleichungen in Tab. 4.3a zus¨atzlich die Zeitableitungen, gilt also f¨ ur station¨ are, laminare Str¨omungen. Die entsprechenden Gleichungen f¨ ur turbulente Str¨ omungen k¨onnten auf gleiche Weise aus Tab. 5.5a gewonnen werden, wobei dann zus¨atzlich die Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors Ber¨ ucksichtigung finden m¨ ussen, die

290

11

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

den in Tab. 11.3 aufgenommenen Komponenten des viskosen Spannungstensors entsprechen. Ob das Gleichungssystem in Tab. 11.3 vollst¨andig parabolisch ist, h¨angt noch davon ab, wie der Druckgradient ∂p∗ /∂x∗ behandelt wird, da dieser zun¨ achst noch ein elliptisches Verhalten“ der L¨osung bewirkt. Zwei F¨alle ” sind zu unterscheiden: 1. Der Druck in der x-Impulsgleichung wird als ausschließlich von x∗ abh¨angig unterstellt und kann aus der zu fordernden Massenerhaltung in jedem Str¨ omungsquerschnitt x∗ = const ermittelt werden. In den beiden anderen Impulsgleichungen wird der Druck als zus¨atzlich abh¨angig von y ∗ und z ∗ angenommen, insgesamt also als die Summe p∗ (x∗ ) + ∆p∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) angesetzt, wobei ∆p∗ aus den y- und z-Impulsgleichungen ermittelt wird. Dieses so behandelte Gleichungssystem ist von vollst¨andig parabolischem Typ. Die Gleichungen werden parabolisierte Navier-Stokes-Gleichungen (PNS; engl.: parabolized Navier-Stokes) genannt. 2. Der Druck wird unver¨ andert in den Gleichungen beibehalten, womit ein elliptisches Element in die sonst parabolischen Gleichungen eingef¨ uhrt wird. In einem speziellen Iterationsverfahren wird das Druckfeld vom Str¨ omungsfeld getrennt und so der parabolische Charakter der Gleichungen zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes ausgenutzt. Bei dieser Vorgehensweise werden die Gleichungen teilparabolisierte Navier-StokesGleichungen genannt (PPNS; engl.: partially parabolized Navier-Stokes). Die auf diese Weise vereinfachten Gleichungen entstehen allerdings auf gewisse Weise willk¨ urlich. Anders als z.B. die Grenzschichtgleichungen k¨onnen sie nicht systematisch durch Gleichungen h¨ oherer Ordnung erg¨anzt werden. Solche N¨ aherungen werden deshalb als sog. nichtrationale N¨aherungen bezeichnet, f¨ ur weitere Einzelheiten s. z.B. Gersten, Herwig (1992, Kap. 12).

12 Spezielle Aspekte bei der numerischen L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

Die in den drei folgenden Abschnitten behandelten Aspekte sind oftmals in Darstellungen, die sich den rein numerischen L¨osungsverfahren widmen, gar nicht oder aber nur relativ beil¨ aufig behandelt. Sie stellen in einem gewissen Sinne aber Bindeglieder“ zwischen einer grundlagenorientierten ” Einf¨ uhrung in die Physik und mathematische Behandlung von Str¨omungen und einer anwendungsbezogenen Einf¨ uhrung in die numerische L¨osung konkreter Str¨ omungsprobleme dar. In bezug auf die numerische L¨ osung str¨ omungsmechanischer Probleme existiert eine umfangreiche Spezialliteratur. Aus Sicht des Autors sind folgende B¨ ucher besonders empfehlenswert: Ferziger, Peri´c (1996); Fletcher (1988); Hirsch (1988); Sch¨afer (1999).

12.1 Numerische L¨ osung dimensionsloser Gleichungen Im Zusammenhang mit der Dimensionsanalyse von Str¨omungsproblemen in Abschn. 2.3 war erl¨ autert worden, daß es erhebliche Vorteile bietet, nicht die dimensionsbehafteten Grundgleichungen zu l¨osen, sondern diese vorher in eine dimensionslose Form zu bringen. Der wesentliche Vorteil gegen¨ uber einer dimensionsbehafteten Formulierung (mit der ein einziger konkreter Fall berechnet wird) besteht darin, daß mit einer L¨osung der dimensionslosen Gleichungen unendlich viele dimensionsbehaftete L¨osungen gefunden werden. Dies sind alle diejenigen, die dieselben Zahlenwerte der dimensionslosen Parameter des Problems aufweisen. Neben der zun¨achst eigentlich gesuchten L¨ osung erh¨ alt man automatisch“ weitere dimensionsbehaftete L¨osungen, wie ” dies in Bild 12.1 (dort der rechte Ast“) angedeutet ist, da die dimensions” lose L¨ osung einer unendlich großen Anzahl dimensionsbehafteter L¨osungen entspricht. Eine f¨ ur die praktische Anwendung diese Sachverhaltes wichtige Einschr¨ankung ist allerdings, daß nur diejenigen weiteren L¨osungen gefunden werden, die dem vorgegebenen Satz von dimensionslosen Kennzahlen entsprechen. Ob diese zus¨ atzlichen L¨ osungen von Wert sind, muß im konkreten Fall entschieden werden. Es ist allerdings mit steigender Anzahl dimensionsloser Kennzahlen in einem Problem immer unwahrscheinlicher, daß man mit weiteren L¨ osungen etwas anfangen kann“, weil daf¨ ur genau diejenige zus¨atzliche Kom” bination von dimensionsbehafteten Einflußgr¨ oßen von Interesse sein m¨ ußte, die auf dieselben Kennzahlen f¨ uhrt wie bei dem eigentlich interessierenden urspr¨ unglichen Problem.

292

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

PROBLEM dimensionsbehaftete Formulierung

dimensionsbehaftete Gleichungen + RB darin: oÄ n Einflu¼gro¼en

Pi-Theorem s.Abschn. 2.3

dimensionslose Gleichungen + RB darin: (n - m) Kennzahlen

n Zahlenwerte der oÄ Einflu¼gro¼en festlegen RB festlegen

(n - m) Zahlenwerte der Kennzahlen festlegen RB festlegen

oÄ Gleichungssystem losen

oÄ Gleichungssystem losen

gesuchte dimensionsbehaftete oÄ Losung

dimensionslose oÄ Losung

gesuchte dimensionsbehaftete oÄ Losung Äuber eine " Umweg " u dimensionslose Darstellung

weitere dimensionsbehaftete oÄ Losungen

s.Abschn. 12.1.2 Bild 12.1: Dimensionsbehaftete/dimensionslose L¨ osungen eines Problems

Nicht zuletzt aus diesem Grunde verzichten alle kommerziellen CFD-Programme (wie FLUENT, STAR-CD, CFX, . . . ) auf eine dimensionslose Formulierung und erwarten dimensionsbehaftete Eingabewerte f¨ ur die Einflußgr¨ oßen. Bei der Berechnung turbulenter Str¨ omungen unter Verwendung der sog. Wandfunktionen kommt allerdings noch ein weiterer, grunds¨atzlicher Aspekt hinzu. Wandfunktionen formulieren die universell g¨ ultigen Ergebnisse in unmittelbarer Wandn¨ ahe in speziell transformierten und damit auch entdimen-

12.1

Numerische L¨ osung dimensionsloser Gleichungen

293

sionierten Variablen. Zum Beispiel verh¨ alt sich die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u∗ in einem bestimmten Bereich wie (vgl. (9.45)) u∗ 1 n∗ u∗τ ln n+ + C + ; u+ = ∗ ; n+ = (12.1) κ uτ ν∗ W¨aren die Gleichungen nun allgemein als u = u∗ /UB∗ und n = n∗ /L∗B entdimensioniert, so w¨ urden bez¨ uglich u∗ und n∗ jeweils zwei verschiedene Entdimensionierungen vorliegen, die nur im konkreten Fall ineinander umgerechnet werden k¨ onnten, was einer angestrebten allgemeinen L¨osung des dimensionslosen Problems widerspricht. Eine (direkte) L¨ osung dimensionsloser Gleichungen ist also in diesen F¨allen nicht m¨ oglich. Trotzdem k¨ onnen aber die aus dimensionsloser Sicht“ ” zus¨atzlichen dimensionsbehafteten L¨ osungen aus der direkt bestimmten dimensionsbehafteten L¨ osung durch einen kleinen Umweg problemlos erhalten werden. Dieser ist in Bild 12.1 angedeutet und dort mit Umweg u ¨ ber eine dimensionslose Darstellung (linker Ast“) gekennzeichnet. Wie dieser Um” ” weg“ aussehen muß, ergibt sich aus dem grunds¨atzlichen Vorgehen, mit dem aus dimensionsbehafteten Gleichungen dimensionslose Ergebnisse gewonnen werden k¨ onnen. Dies soll deshalb zun¨ achst erl¨ autert werden. u+ =

12.1.1

Bestimmung dimensionsloser Ergebnisse aus dimensionsbehafteten Gleichungen

Tab. 12.1 zeigt am Beispiel der Impulsgleichungen, daß sich die dimensionsbehaftete und dimensionslose Form einer Gleichung stets nur in den Vorfaktoren der einzelnen Terme unterscheiden. Werden diese Vorfaktoren formal ¨ zur Ubereinstimmung gebracht, so sind beide Gleichungen in ihrem Aufbau identisch und ihre L¨ osungen bei gleichen Rand- und Anfangsbedingungen gleich. Um dies auszunutzen, werden die Einflußgr¨oßen in den dimensionsbehafteten Gleichungen unabh¨ angig von den Zahlenwerten des urspr¨ unglichen Problems so gew¨ahlt, daß 1. Die Zahlenwerte der Kennzahlen der dimensionslosen Formulierung denjenigen entsprechen, die zu dem dimensionsbehaftet formulierten Problem geh¨ oren. 2. Die dimensionsbehafteten und die dimensionslosen Gleichungen formal identisch sind. Dies gelingt stets, da die Zahl der Einflußgr¨oßen gr¨oßer als die Zahl der Kennzahlen ist. Das folgende Beispiel soll dies erl¨autern. Beispiel 12.1:

L¨ osung der Impulsgleichungen f¨ ur die Umstr¨ omung eines K¨ orpers

F¨ ur einen mit der Geschwindigkeit u∗∞ angestr¨ omten K¨ orper der charakteristischen L¨ ange L∗ soll die Widerstandskraft W ∗ durch L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichungen bestimmt werden.

294

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

x-Impulsgleichung/dimensionsbehaftet Du∗ ∗ ∗ Dt

2 ∗  ∂p∗mod ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∂ u =− +η + + ∂x∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(XI∗cp )

x-Impulsgleichung/dimensionslos 

∂pmod 1 ∂2u ∂2u ∂2u Du =− + + + Dt ∂x Re ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(XIcp )

y-Impulsgleichung/dimensionsbehaftet ∗

2 ∗  ∂p∗mod ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ Dv ∗ ∗ ∂ v = − + η + + Dt∗ ∂y ∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(YI∗cp )

y-Impulsgleichung/dimensionslos 

∂pmod 1 ∂2v Dv ∂2v ∂ 2v =− + + 2+ 2 Dt ∂y Re ∂x2 ∂y ∂z

(YIcp )

z-Impulsgleichung/dimensionsbehaftet Dw∗ ∗ ∗ Dt

2 ∗  ∂p∗mod ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ ∂ w =− +η + + ∂z ∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

(ZI∗cp )

z-Impulsgleichung/dimensionslos 

∂pmod 1 ∂2w ∂2w ∂2w Dw =− + + + Dt ∂z Re ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Tab. 12.1:

(ZIcp )

Impulsgleichungen in dimensionsbehafteter und in der zugeh¨ origen dimensionslosen Form aus Tab. 4.3a bzw. 4.7a hier: Verwendung des modifizierten Druckes dimensionslose Gr¨ oßen nach Tab. 4.4

Die n Einflußgr¨ oßen des Problems sind gem¨ aß Abschn. 2.3: W∗ L∗ u∗∞ ∗ η∗

(Widerstand; Zielvariable) (char. L¨ ange; Geometrievariable) (Anstr¨ omgeschwindigkeit; Prozessvariable) (Dichte; Stoffwert) (dyn. Viskosit¨ at; Stoffwert)

Diese n = 5 Einflußgr¨ oßen besitzen m = 3 Basisdimensionen (L¨ ange, Zeit, Masse), so daß die L¨ osung in Form von zwei dimensionslosen Kennzahlen angegeben werden kann, z.B. als 2W ∗ ∗ u∗∞ L∗ cW = cW (Re) mit cW = ∗ ∗2 ∗2 ; Re =  u∞ L η∗

12.1

Numerische L¨ osung dimensionsloser Gleichungen

295

Hierbei ist cW die sog. Zielkennzahl, die also das eigentlich gesuchte Ergebnis darstellt. Wie der Zusammenhang cW (Re) konkret aussieht, muß durch die L¨ osung der zugrundeliegenden Gleichungen bestimmt werden. In diesen Gleichungen und den zugeh¨ origen Rand- und Anfangsbedingungen treten alle Einflußgr¨ oßen bis auf die gesucht Gr¨ oße W ∗ auf. (Diese muß durch Integration aus der gefundenen L¨ osung f¨ ur das Str¨ omungsfeld bestimmt werden.) Im hier vorliegenden Fall seien folgende Zahlenwerte gegeben: L∗ = 0,5 m ;

u∗∞ = 8 m/s ;

∗ = 1,2 kg/m3 ;

η∗ = 1,8 · 10−5 kg/ms

Diese Werte ergeben eine Reynolds-Zahl von Re = 2,7 · 105 . Sollte das Ergebnis aus den dimensionslosen Gleichungen in Tab. 12.1 bestimmt werden, so m¨ ußte dort dieser Zahlenwert f¨ ur die Reynolds-Zahl eingesetzt werden. Aufgrund der Entdimensionierung ∗ = 1 dieser Gleichungen (vgl. Tab. 4.4) w¨ urde die Anstr¨ omung dann mit u∞ = u∗∞ /UB erfolgen, da u∗∞ als Bezugsgeschwindigkeit verwendet wird. Die so gewonnene L¨ osung w¨ are die gesuchte L¨ osung. Tats¨ achlich sollen aber die dimensionsbehafteten Gleichungen gel¨ ost werden, so daß anstelle der urspr¨ unglichen Gr¨ oßen f¨ ur L∗ , u∗∞ , ∗ und η∗ die gleichwertigen Gr¨ oßen der nachfolgenden Tabelle B12.1 verwendet werden, die als Dummy-Variablen“ bezeichnet werden sollen, weil sie k¨ unstliche Ersatzvariable darstel” len. Diese stellen sicher, daß die dimensionsbehafteten und die dimensionslosen Gleichungen formal identisch sind, und daß die richtige Reynolds-Zahl Verwendung findet.

In Beispiel 12.1. war offensichtlich die laminare Umstr¨omung eines K¨orpers betrachtet worden, da die Gleichungen in Tab. 12.1 keine Turbulenzterme enthalten. Beispiel 12.2 zeigt, daß dieses Vorgehen nicht etwa auf laminare Str¨omungen beschr¨ ankt ist, sondern ganz allgemein m¨ oglich ist, also z.B. auch bei der Berechnung einer turbulenten Durchstr¨ omung angewandt werden kann. Dar¨ uber hinaus wird deutlich, daß es zwar einen Satz von Dummy-Variablen gibt, der beide Gleichungssysteme (dimensionsbehaftet und dimensionslos) formal gleich macht, daß es dar¨ uber hinaus aber beliebig viele VariablenKombinationen (weitere sog. dummy-Variablen“, beachte die unterschiedli”

Tab. B12.1:

urspr¨ ungliche Variable

DummyVariable

L∗

0,5 m

1m

u∗∞

8 m/s

1 m/s

∗

1,2 kg/m3

1 kg/m3

η∗

1,8 · 10−5 kg/ms

0,38 · 10−5 kg/ms

Re

2,7 · 105

2,7 · 105

Urspr¨ ungliche und Dummy-Variable

296

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

che Schreibweise Dummy bzw. dummy) gibt, die zum selben Ergebnis f¨ uhren. Dies ist auf gewisse Weise die Umkehrung“ der Erkenntnis, daß eine dimen” sionslose L¨ osung beliebig vielen dimensionsbehafteten L¨osungen entspricht. Die formale Kennzeichnung der Ersatzvariablen als Dummy- und dummyVariablen unterscheidet also danach, ob mit ihnen eine formale Gleichheit der dimensionsbehafteten und dimensionslosen Gleichungen erreicht wird (Dummy-Variablen), oder ob es sich nur um beliebige andere Variablen handelt, die lediglich die erforderlichen Zahlenwerte der Kennzahlen ergeben (dummy Variable). Beispiel 12.2:

Turbulente Rohreinlaufstr¨ omung

Mit einem kommerziellen CFD-Programm (CFX 4.3 von AEA Technology) soll die turbulente Rohrstr¨ omung im Einlaufbereich berechnet werden. Der Rohrdurchmesser betr¨ agt D ∗ = 0,1 m, die homogene Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt ist u∗E = 6 m/s, das Fluid ist Luft mit den Stoffwerten ∗ = 1,2 kg/m3 und η∗ = 1,8 · 10−5 kg/ms. Einige Details zur numerischen L¨ osung sind in den sp¨ ateren Beispielen 12.3 und 12.4 zu finden, hier interessiert nur die Wahl der Eingabegr¨ oßen f¨ ur dieses Problem. Bild B12.2 zeigt zun¨ achst f¨ ur die konventionelle L¨ osung“ unter Eingabe der zuvor ” genannten Gr¨ oßen, daß das Geschwindigkeitsprofil weit stromabw¨ arts, hier bei x∗ /D ∗ = 60 in guter N¨ aherung den universellen Verlauf in Wandn¨ ahe erreicht, der durch das Wandgesetz (9.52) beschrieben wird. Dasselbe Ergebnis wird auch bei Eingabe der Dummy-Variablen nach Tab. B12.2 erzielt. Diese Variablen entsprechen formal einer dimensionslosen Formulierung mit der Bezugsl¨ ange L∗B = D ∗ und der Bezugsgeschwindigkeit u∗B = u∗E . Im Ergebnis sind die Zahlenwerte f¨ ur L¨ angenangaben deshalb als x∗ /D ∗ bzw. r ∗ /D ∗ zu interpretieren, diejenigen f¨ ur Geschwindigkeiten als u∗ /u∗E bzw. v∗ /u∗E .

Bei ebenfalls m¨oglichen Rechnungen in dummy-Variablen (statt DummyVariablen) wird zun¨ achst ein Ergebnis erzielt, das noch nicht unmittelbar als dimensionslos interpretiert werden kann. Deshalb muß eine Umrechnung der Ergebnisse erfolgen, indem alle erhaltenen Zahlenwerte (dimensionsbehaftet, gewonnen aus den dummy-Eingangsgr¨ oßen) auf die Bezugsgr¨oßen der dimensionslosen Darstellung bezogen werden. In Beispiel B12.2 ist eine solche weitere Rechnung aufgef¨ uhrt. Dort ist die ahlt, was zusammen mit den anderen Geschwindigkeit u∗E = 40 000 m/s gew¨ Gr¨ oßen wiederum auf die Reynolds-Zahl Re = 40 000 f¨ uhrt. Die dimensionslosen Geschwindigkeitswerte folgen, nachdem alle erhaltenen Geschwindigkeiten in diesem Beispiel auf UB∗ = u∗E = 40 000 m/s bezogen werden. Am Rohreintritt liegt dann die dimensionslose Geschwindigkeit u∗E /UB∗ = 1 vor. Sind noch andere Eingabewerte zahlenm¨ aßig anders als die dimensionslosen Werte belegt, so muß dies nachtr¨ aglich ebenfalls ber¨ ucksichtigt werden, um zu einem dimensionslosen Ergebnis zu gelangen. Beispiel B12.2 verdeutlicht aber auch, daß bei der Wahl beliebiger dummyVariablen durchaus Vorsicht geboten ist. Eine Wahl von u∗E = 40 000 m/s war nur deshalb m¨ oglich, weil zuvor sichergestellt worden ist, daß nur die inkompressiblen Gleichungen gel¨ ost werden. Eine Geschwindigkeit von dieser Gr¨ oße w¨ urde physikalisch bestimmt keine als inkompressibel zu modellieren-

12.1

297

Numerische L¨ osung dimensionsloser Gleichungen

25

u+ 20

(9.52)

15

10

5 10 Bild B12.2:

1

10

2

+

n

10

3

Str¨ omungsgeschwindigkeit im Rohr weit stromabw¨ arts des Eintrittsquerschnittes (bei x∗ /D ∗ = 60) bestimmt aus einer numerischen L¨ osung mit den Eingabedaten D ∗ = 0,1 m ;

u∗E = 6 m/s ;

∗ = 1,2 kg/m3 ;

η∗ = 1,8 · 10−5 kg/ms

Diese entsprechen einer Reynolds-Zahl Re = 40 000.

de Str¨ omung darstellen ! Um dies zu verdeutlichen, ist in Tab. B12.2 (letzte Spalte) eine Rechnung aufgef¨ uhrt, die mit einem kompressiblen CFD-Code erhalten wurde und die zeigt, daß schon bei einer Eintrittsgeschwindigkeit von u∗E = 200 m/s (die einer Mach-Zahl von ca. Ma = 0,55 entspricht) deutliche Abweichungen vom inkompressiblen Fall auftreten. Nur in einem inkompressiblen Code, in dessen zugrundeliegenden Gleichungen die Mach-Zahl nicht als Parameter vorkommt, kann die Geschwindigkeit im Prinzip beliebig gew¨ahlt werden. Dies ist ein weiteres Beispiel daf¨ ur, daß der physikalische Hintergrund von verwendeten mathematischen Gleichungen stets pr¨asent sein sollte. 12.1.2

Bestimmung weiterer dimensionsbehafteter Ergebnisse aus einer dimensionsbehafteten L¨ osung

Nach den vorhergehenden Ausf¨ uhrungen ist der Umweg“ klar vorgezeichnet, ” wie aus einer zun¨ achst gefundenen dimensionsbehafteten numerischen L¨osung unmittelbar weitere L¨ osungen gefunden werden k¨onnen. Dazu ist in folgenden vier Schritten vorzugehen.

298

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

kompressibler CFD-Code urspr¨ ungliche Variable

DummyVariable

dummyVariable

D∗

0,1 m

1m

1m

u∗E

6

∗

1,2

η∗

1,8 · 10−5

Re

40 000

m s

1

m s

40 000

kg m3

1

kg m3

1 1

kg ms

n+

kg 1 40 000 ms 40 000

...

dummyVariable 1m

m s

200

m s

kg m3

1,98

kg m3

kg ms

1,05 · 10−2

40 000

kg ms

40 000

ermittelte u+ -Werte

50

14,537 706

14,531 083

14,531 083

14,258 807

100

16,371 616

16,364 147

16,364 147

16,044 496

500

20,987 970

20,987 953

20,987 953

20,603 375

Tab. B12.2:

Wiederholung der urspr¨ unglichen numerischen Berechnung mit verschiedenen Dummy- bzw. dummy-Eingangsvariablen Geschwindigkeit u+ bei x∗ /D ∗ = 60 in 3 verschiedenen Wandabst¨ anden.

1. Zu einer dimensionsbehafteten Formulierung der zugrunde liegenden Gleichungen sind die entsprechenden dimensionslosen Gleichungen zu formulieren (u.U. gen¨ ugt es, dies in Gedanken“ zu tun, also ohne sie explizit ” aufzuschreiben). Dabei werden die Bezugsgr¨oßen festgelegt. 2. Die numerischen Ergebnisse der zun¨ achst gefundenen L¨osung werden auf diese Bezugsgr¨ oßen bezogen, also die entsprechenden dimensionslosen Ergebnisse hergestellt. 3. Mit den Zahlenwerten der Eingangsgr¨ oßen (des urspr¨ unglichen dimensionsbehafteten Problems) werden die Zahlenwerte der dimensionslosen Kennzahlen der dimensionslosen Formulierung ermittelt. 4. Alle Kombinationen von Eingangsgr¨ oßen, die dieselben Zahlenwerte der Kennzahlen ergeben, die unter Punkt 3 bestimmt worden waren, sind

12.2

299

Numerische L¨ osungen bei turbulenten Str¨ omungen

jetzt als weitere F¨ alle zugelassen. Die numerischen Ergebnisse f¨ ur diese F¨ alle k¨ onnen unmittelbar aus den zuvor unter Punkt 2. bestimmten dimensionslosen Ergebnissen gewonnen werden, indem diese mit den neu gew¨ ahlten Eingangsgr¨ oßen multipliziert werden. Dieses Vorgehen ist stets m¨ oglich, wenig aufwendig, aber u.U. von großem ¨ Nutzen. Ubrigens: Das Konvergenzverhalten der numerischen Verfahren ist bei unterschiedlicher Wahl von dummy-Variablen durchaus verschieden, was bei Konvergenzproblemen u.U. einen Ausweg weist.

12.2 Numerische L¨ osungen bei turbulenten Str¨ omungen In Kap. 9 war das Verhalten turbulenter Grenzschichtstr¨omungen in Wandn¨ ahe ausf¨ uhrlich behandelt worden. F¨ ur eine numerische L¨osung in wandbegrenzten Str¨ omungsgebieten sind folgende Aspekte des in Kap. 9 analysierten Str¨omungsverhaltens von Bedeutung: 1. Alle wandgebundenen Str¨ omungen verhalten sich bei großen ReynoldsZahlen in unmittelbarer Wandn¨ ahe ¨ ahnlich, solange die Wandschubspannung nicht Null wird (τw∗ = 0). 2. Dieses ¨ ahnliche Verhalten bei großen Reynolds-Zahlen kann einheitlich beschrieben werden, wenn dazu die ad¨ aquaten Variablen gew¨ahlt werden. F¨ ur den Geschwindigkeitsverlauf in Wandn¨ahe u∗ (n∗ ) ist dazu eine Darstellung in den Variablen u+ = u∗ /u∗τ und n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ , also als u+ (n+ ) erforderlich. Dieser Zusammenhang wird als universelles (Wand-) Gesetz bezeichnet. 3. Der konkrete Verlauf der Funktion u+ (n+ ) ist in Bild 9.14a skizziert. Er besitzt die beiden Asymptoten n+ → 0

: u + = n+

vgl. (9.40)

n+ → ∞ : u+ = κ−1 ln n+ + C +

vgl. (9.45)

(12.2)

F¨ ur die numerischen L¨ osungen ist besonders die Asymptote n+ → ∞ von Bedeutung. Bild 9.14a zeigt, daß sie schon f¨ ur n+ -Werte oberhalb von 10 eine gute Beschreibung des tats¨ achlichen Verlaufes von u+ darstellt. 4. Die untere Grenze des durch (9.45) beschriebenen Geschwindigkeitsverlaufes ist durch einen bestimmten, festzulegenden Mindestwert n+ min gegeben. F¨ ur steigende Reynolds-Zahlen entspricht diesem festen Wert n+ min ein immer kleinerer Wert des tats¨ achlichen“ physikalischen Wandabstan” des n∗ . Mit n+ = n∗ u∗τ /ν ∗ gilt f¨ ur diesen physikalischen Wandabstand n∗ , bezogen auf eine charakteristische L¨ ange L∗B , aufgrund einer einfachen Umformung n+ n∗min min = ; L∗B Re uτ

Re =

UB∗ L∗B ; ν∗

uτ =

u∗τ UB∗

(12.3)

300

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

ebene Plattenstr¨ omung allg. N¨aherung (12.4)

Tab. 12.2:

Re

uτ

n∗11 /L∗B

n∗11 /L∗B

105

0,054

2,0 · 10−3

2,1 · 10−3

106

0,044

2,5 · 10−4

2,5 · 10−4

107

0,036

3,0 · 10−5

2,9 · 10−5

108

0,031

3,0 · 10−6

3,3 · 10−6

Physikalischer Wandabstand eines Punktes mit dem transformierten Wandabstand n+ = 11 ∗ L∗ /ν ∗ L∗B : Bezugsl¨ ange des Problems; Re = UB B

Tab. 12.2 enth¨ alt einige Zahlenwerte n∗min /L∗B f¨ ur einen bestimmten Wert + von nmin mit der Schubspannungsgeschwindigkeit uτ der ebenen Plattengrenzschicht, vgl. (9.60)–(9.63). Diese Zahlenwerte sind typisch f¨ ur allgemeine wandnahe Str¨ omungen, da sich verschiedene Wandgrenzschichten zwar in den Zahlenwerten f¨ ur uτ unterscheiden, diese aber nicht stark variieren (s. (9.60), (9.63) unter Beachtung, daß G(Λ; A) gem¨aß Tab. 9.4 stets in der N¨ ahe von G = 1 liegt). F¨ ur n+ min ist in Tab. 12.2 der Zah+ lenwert nmin = 11 als typischer Wert eingesetzt worden. Dieser ergibt sich als n+ -Wert des Schnittpunktes der beiden Asymptoten (12.2) mit aufig in numerischen Programmen κ = 0,41 und C + = 5 und wird h¨ verwendet. Werden die Variationen von G(Λ; A) insgesamt vernachl¨assigt und G = 1 gesetzt, so l¨ aßt sich aus (12.3) mit uτ ∼ 1/ ln Re gem¨aß (9.63) folgende N¨ aherungsbeziehung f¨ ur den tats¨achlichen“ Wandabstand n∗11 ” des Punktes n+ = 11 ableiten: ln Re n∗11 ; ≈ 18 L∗B Re

Re =

UB∗ L∗B ν∗

(12.4)

Diese N¨ aherungswerte sind ebenfalls in Tab. 12.2 aufgenommen worden. Sie stimmen recht gut mit den genauen Werten u ¨berein. Da (12.4) aus dem Verhalten von Wandgrenzschichten abgeleitet wurde, kann diese Beziehung in einem allgemeinen turbulenten L¨osungsgebiet zur Absch¨ atzung der Verh¨ altnisse an den W¨anden eingesetzt werden, ur die wenn L∗B und UB∗ des Problems gleichzeitig auch typische Gr¨oßen f¨ wandnahen Schichten (Grenzschichten) darstellen. Die in den Punkten 1.– 4. genannten Eigenschaften turbulenter Str¨omungen (bei großen Reynolds-Zahlen) in Wandn¨ ahe werden f¨ ur die numerische L¨osung

12.2

301

Numerische L¨ osungen bei turbulenten Str¨ omungen

wie folgt genutzt. Statt die L¨ osung bis zur Wand hin zu bestimmen und dort die physikalischen Randbedingungen (Haftbedingung) zu erf¨ ullen, wird das (bekannte) universelle Verhalten in Wandn¨ahe benutzt, um die L¨osung im ersten wandentfernten Aufpunkt des numerischen Gitters zu formulieren. Wenn dieser Aufpunkt einen Abstand deutlich gr¨oßer als n+ = 11 besitzt, so kann z.B. die wandparallele Geschwindigkeitskomponente u+ aus (9.45) bestimmt werden. Der Vorteil dieser Vorgehensweise besteht darin, einerseits eine bekannte (Teil-)L¨ osung zu nutzen (und nicht stets neu zu berechnen), andererseits vor allem aber auch darin, keine so hohe Aufpunktdichte in unmittelbarer Wandn¨ ahe zu ben¨ otigen. Diese w¨ are erforderlich, wenn der Geschwindigkeitsverlauf bis zur Wand hin berechnet werden m¨ ußte. Alle weiteren Str¨ omungsgr¨ oßen in dem ersten, wandbenachbarten Aufpunkt werden aus dem universellen Verhalten der Str¨omung in Wandn¨ahe ermittelt. Wird z.B. das k-ε-Turbulenzmodell verwendet (vgl. Abschn. 5.4.1), ur ε∗ im ersten Aufpunkt der algebraische Zusammenhang so kann f¨ ur k ∗ und f¨ k + = Cµ−1/2 ;

ε+ = Cµ3/4 Reτ

k +3/2 κn+

(12.5)

mit k+ =

k∗ ; u∗2 τ

ε+ =

ε∗ L∗B ; u∗3 τ

n+ =

n∗ u∗τ ; ν∗

Reτ =

u∗τ L∗B ; ν∗

" u∗τ =

τw∗ ∗

hergeleitet werden (Cµ aus Tab. 5.6 in Abschn. 5.4.1). Diese Funktionen werden u ¨ blicherweise als Wandfunktionen bezeichnet (engl.: wall functions). Da das universelle Verhalten f¨ ur große Reynolds-Zahlen (Re → ∞) vorliegt, wird diese Art der Einbindung der Randbedingungen als Version des k-ε-Modells f¨ ur große Reynolds-Zahlen (engl.: high Reynolds number version) bezeichnet. Die Verwendung dieser Version setzt also zweierlei voraus: 1. Die Reynolds-Zahl des betrachteten Problems ist hinreichend groß, s. dazu Beispiel 12.3 . 2. Der Wandabstand des ersten Aufpunktes ist deutlich gr¨oßer als n+ = 11, s. dazu Beispiel 12.4 . Leider wird bei den meisten kommerziellen Programmen, welche die high ” Reynolds number“ Version des k-ε-Modells verwenden, darauf verzichtet zu u ufen, ob diese Voraussetzungen jeweils erf¨ ullt sind. ¨ berpr¨ In F¨ allen niedriger Reynolds-Zahlen muß das Str¨omungsgebiet bis zur Wand hin berechnet werden, weil das Str¨ omungsverhalten in unmittelbarer N¨ ahe zur Wand nicht mehr universell ist. Trotzdem besteht der Zweischichtencharakter wandgebundener Str¨ omungen weiter, d.h., die molekulare Viskosit¨ at hat nur in der sog. Wandschicht (beschrieben in der Koordinate n+ ) einen Einfluß. Um die Turbulenzmodellierung aber im ganzen Str¨omungsgebiet trotzdem einheitlich vornehmen zu k¨ onnen, wird die besondere Situation in unmittelbarer Wandn¨ ahe jetzt in Form sog. Wandschichtfunktionen

302

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

(engl.: wall layer functions) ber¨ ucksichtigt, die f¨ ur sich genommen wiederum universellen Charakter besitzen und den Einfluß der Viskosit¨at in Wandn¨ahe korrekt erfassen sollen. Diese Funktionen werden gelegentlich auch als D¨ampfungsfunktionen bezeichnet und sollten nicht mit den sog. Wandfunktionen (12.5) der high Reynolds number version“ verwechselt werden ! F¨ ur Einzel” heiten sei auf die Spezialliteratur verwiesen, s. z.B. Gersten, Herwig (1992, Abschn. 14.6.6). Diese Version wird als Version des k-ε-Modells f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen bezeichnet (engl.: low Reynolds number version). Eine solche Bezeichnung ist allerdings etwas irref¨ uhrend, da sie zwar f¨ ur niedrige Reynolds-Zahlen die einzig korrekte Version darstellt, aber auch f¨ ur große Reynolds-Zahlen prinzipiell g¨ ultig bleibt (dort aber in der Regel durch die andere Version f¨ ur große Reynolds-Zahlen ersetzt wird).

Beispiel 12.3:

Turbulente Rohreinlaufstr¨ omung bei steigenden Reynolds-Zahlen

Mit Hilfe eines kommerziellen CFD-Programmes wird die Ausbildung eines zun¨ achst homogenen Str¨ omungsprofiles in einem Rohr berechnet, vgl. auch Beispiel 12.2 . Nach einer Laufl¨ ange von 60 Durchmessern ¨ andert sich die Str¨ omung bei den nachfolgend gezeigten Reynolds-Zahlen nicht mehr in Str¨ omungsrichtung. Sie gilt also in diesem Sinne als ausgebildet. F¨ ur die Berechnung bei vier verschiedenen Reynolds-Zahlen Re = u∗m D ∗ /ν ∗ , n¨ amlich Re = 5 300 ;

Re = 10 000 ;

Re = 20 000 ;

Re = 40 000

werden sowohl die Version f¨ ur kleine als auch die Version f¨ ur große Reynolds-Zahlen des k-ε-Modells eingesetzt. Wie sich herausstellt, ist die an die Physik angepaßte ad¨ aquate Wahl des numerischen Gitters von großer Bedeutung. Bild B12.3-1 zeigt die verwendeten + Gitter im Querschnitt bei 60 D ∗ und enth¨ alt die Angaben n+ wz als den n -Wert des Mittelpunktes der wandn¨ achsten Zelle (erster Aufpunkt). Die Ergebnisse in Bild B12.3-2 sind auf diesem Hintergrund wie folgt zu interpretieren. Als wahre Werte“ k¨ onnen sowohl die Messungen bei den zwei h¨ ochsten Reynolds” Zahlen als auch die numerischen Ergebnisse der direkten numerischen Simulation (DNS, vgl. Abschn. 5.2) bei der kleinsten Reynolds-Zahl angesehen werden. Wie zu erwarten stimmen diese wahren Werte mit steigender Reynolds-Zahl immer besser mit den asymptotischen Werten (9.45) f¨ ur n+ → ∞ u ¨berein. Eine Berechnung mit dem k-ε-Modell f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen, bei der die physikalischen Randbedingungen an der Wand unmittelbar ber¨ ucksichtigt werden, ist, wie zuvor beschrieben, prinzipiell bei allen Reynolds-Zahlen m¨ oglich. Sie erfordert jedoch mit steigender Reynolds-Zahl eine immer feinere Gitteraufl¨ osung, da die Gradienten in Wandn¨ ahe immer steiler werden. Bild B12.3-2 zeigt, daß bei Re = 20 000 und erst recht bei Re = 40 000 das einheitlich gew¨ ahlt Gitter mit immerhin 820 Zellen im Querschnitt nicht ausreicht, die Str¨ omung hinreichend genau zu berechnen. Die zunehmenden Abweichungen bei steigenden Reynolds-Zahlen sind hier ausschließlich auf ein immer weniger den Str¨ omungsverh¨ altnissen angepaßtes Gitter zur¨ uckzuf¨ uhren. Die Version des k-ε-Modells f¨ ur große Reynolds-Zahlen kann trotz der relativ geringen Anzahl von Zellen im Querschnitt die Str¨ omung bei den großen Reynolds- Zahlen sehr gut beschreiben. Bei der niedrigen Reynolds-Zahl von Re = 5 300 treten jedoch erhebliche Abweichungen auf, weil das Modell einen logarithmischen Verlauf von u+ unterstellt, dies aber bei so niedrigen Reynolds-Zahlen (noch) nicht der Fall ist, wie die DNS-Ergebnisse zeigen.

12.2

Re = 5 300

Numerische L¨ osungen bei turbulenten Str¨ omungen

Re = 10 000

260 Zellen

Re = 20 000

260 Zellen

303

Re = 40 000

380 Zellen

n+ wz = 16,7

n+ wz = 15,2

n+ wz = 27,6

n+ wz = 21

Reτ = 353

Reτ = 625

Reτ = 1135

Reτ = 2112

Version f¨ ur große Reynolds-Zahlen

820 Zellen n+ wz = 0,35

n+ = 0,6

n+ = 1,2

n+ = 2,3

Reτ = 361

Reτ = 635

Reτ = 1214

Reτ = 2423

Version f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen Bild B12.3-1: Numerische Gitter bei verschiedenen Reynolds-Zahlen und beiden Versionen des k-ε-Modells.

Beispiel 12.4:

Turbulente Rohreinlaufstr¨ omung Gitterverfeinerung im k-ε-Modell f¨ ur große Reynolds-Zahlen

H¨ aufig erwartet man bei numerischen L¨ osungen von Str¨ omungsproblemen um so genauere Ergebnisse, je feiner das numerische Gitter gew¨ ahlt wird. Bei der Berechnung von turbulenten Str¨ omungen mit Hilfe von Wandfunktionen (d.h. mit der Modellversion f¨ ur große Reynolds-Zahlen, die das universelle wandnahe Verhalten der Str¨ omung ausnutzt) ist dabei aber durchaus Vorsicht geboten. Da z.B. in kommerziellen Programmen bei der Version des k-ε-Modells f¨ ur große Reynolds-Zahlen ein logarithmischer Verlauf der Geschwindigkeit u+ zwar in Wandn¨ ahe aber trotzdem f¨ ur n+ → ∞ unterstellt wird, muß der n+ -Wert des wandn¨ achsten Punktes deutlich gr¨ oßer als n+ = 11 sein.

304

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

25

25

+

u+

15

15

10

10

5

5

u

0 0 10

1

10

2

10

0 0 10

+

n

1

Re=5300

10

+

n

Re=10000

25

25

+

+

u

u

15

15

10

10

5

5

0 0 10

2

10

1

10

2

10

+

n

0 0 10

1

2

10

Re=20000

10

+

n

Re=40000

Bild B12.3-2: Ausgebildetes Geschwindigkeitsprofil bei 60 D ∗





           

Asymptotische Verteilung (Re → ∞) ! Direkte numerische Simulation wahre“ Werte ” Messungen k-ε-Modell f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen k-ε-Modell f¨ ur große Reynolds-Zahlen

Diese Bedingung wird zwangsl¨ aufig verletzt, wenn das numerische Gitter bei fester Reynolds-Zahl stets weiter verfeinert wird. Bild B12.4 zeigt, daß erhebliche Fehler auftreten k¨ onnen, obwohl“ das Gitter lediglich weiter verfeinert wurde (damit aber die ” Bedingung n+ wz > 11 nicht mehr eingehalten wird). Dies verdeutlicht, daß bei numerischen L¨ osungen mit Wandfunktionen eine Kontrolle erforderlich ist, welchen n+ -Wert die ersten Aufpunkte in Wandn¨ ahe besitzen.

12.3 Numerische L¨ osungen kritisch gesehen Das Anliegen der nachfolgenden Anmerkungen l¨aßt sich vielleicht am besten durch zwei anekdotische Bemerkungen“ erl¨ autern. ” Einen experimentellen Befund akzeptieren alle sofort – mit Ausnahme desjenigen, der das Experiment durchgef¨ uhrt hat; einem numerischen Ergebnis mißtrauen alle – mit Ausnahme desjenigen, der die Rechnung durchgef¨ uhrt hat.

12.3

Numerische L¨ osungen kritisch gesehen

305

25

u+

grobes Gitter

15 10 5

feines Gitter 0 0 10

1

2

10

10

+

n

Re=5300 Bild B12.4:

Fehler bei weiterer Gitterverfeinerung mit dem k-ε-Modell in der Version f¨ ur große Reynolds-Zahlen, vgl. Bild B12.3-2 f¨ ur Re = 5 300 grobes Gitter: 260 Zellen feines Gitter: 820 Zellen

CFD als Abk¨ urzung f¨ ur computational fluid dynamics steht eigentlich f¨ ur coloured fluid dynamics“ (aufgrund vieler farbiger Ergebnisbilder). ” Eine etwas ernsthaftere Auseinandersetzung mit dem Thema fordert stattdessen einen grunds¨ atzlich kritischen Umgang mit Ergebnissen numerischer Berechnungen. Daf¨ ur gibt es eine Reihe guter Gr¨ unde, die letztlich alle damit zu tun haben, daß es sich bei numerischen Ergebnissen schließlich um die numerische Approximation einer analytisch formulierten Modellvorstel” lung der realen Situation“ handelt und eben nicht um die Realit¨at selbst. In diesem Zusammenhang ist folgendes besonders zu beachten. 1. Bild 2.1, das den Zusammenhang zwischen der Realit¨atsebene und der Modellebene verdeutlicht, muß bei numerischen L¨osungen um eine dritte Ebene erweitert werden, wie dies in Bild 12.2 angedeutet ist. Zwischen dieser und der Modellebene bestehen die Beziehungen in Form von Approximationen. Neben fehlenden Entsprechungen zwischen Realit¨ats- und Modellebene kann es im konkreten Fall also zus¨ atzlich zu unzureichenden Approximationen zwischen der Modell- und der L¨osungsebene kommen. Damit stellt sich verst¨ arkt die Frage nach der Relevanz von numerischen Ergebnissen auf der L¨ osungsebene in bezug auf die (real oder fiktiv) erhobenen Daten auf der Realit¨ atsebene. 2. Die experimentelle Datenerhebung (auf der Realit¨atsebene, s. Bild 12.2) kann an einzelnen ausgesuchten Punkten des Str¨omungsfeldes prinzipiell beliebig genau erfolgen, ohne daß daf¨ ur die anderen Bereiche des Str¨ omungsfeldes betrachtet werden m¨ ußten.

306

12

Numerische L¨ osung komplexer Str¨ omungsprobleme

¨ LOSUNGSEBENE Numerische Ergebnisse

APPROXIMATIONEN

Mathematische Beschreibung

MODELLEBENE

ENTSPRECHUNGEN

Experimentelle Daten-Erhebung ¨ REALITATSEBENE Bild 12.2: Erweiterung der Realit¨ ats- und Modellebenen um die L¨ osungsebene vgl. Bild 2.1 in Kap. 2

Numerische Ergebnisse in einzelnen ausgesuchten Punkten k¨onnen aber nur in dem Maße an Genauigkeit gewinnen, wie die numerische L¨osung im gesamten L¨ osungsgebiet (pr¨ aziser: im Gebiet der Abh¨angigkeit, vgl. z.B. Bild 11.5) genauer wird. Dies ist stets mit einem hohen Aufwand verbunden, also auch wenn genaue Ergebnisse eigentlich nur an einigen wenigen Stellen des L¨ osungsgebietes gesucht sind. 3. Die numerisch zu l¨ osenden Gleichungen sind in den meisten F¨allen nichtlinear und erfordern deshalb ein iteratives L¨osungsschema auf einem diskreten L¨ osungsgitter. Einem konkreten numerischen Ergebnis ist f¨ ur sich genommen in der Regel weder anzusehen, ob bereits eine hinreichende Konvergenz vorliegt, noch ob die Gitteraufl¨osung dem Problem angepaßt ist (Beispiel B12.4 zeigt, daß dies keineswegs immer die Frage nach einem hinreichend feinen Gitter ist). Insgesamt sollten numerische Ergebnisse, die oftmals f¨ ur komplexe geometrische Str¨ omungsgebiete ermittelt werden, sehr kritisch hinterfragt werden, da in der Regel keine unmittelbare Beurteilung der Beziehung zur Realit¨atsebene

12.3

Numerische L¨ osungen kritisch gesehen

307

m¨oglich ist. Eine durch aufwendiges sog. post-processing erstellte Farbdarstellung von Detailergebnissen einer numerischen L¨osung ist zun¨achst nur eine Aussage u osung selbst. Die suggestive Kraft von ¨ber eben diese numerische L¨ bunten Bildern sollte nicht den kritischen Blick auf die Ergebnisse verstellen ! Bei der Beurteilung der Aussagef¨ ahigkeit einer L¨osung in bezug auf das zugrundeliegende physikalische Problem sollten zumindest folgende Fragen bedacht werden: 1. Ist das physikalisch/mathematische Modell in Form der zugrundeliegenden Gleichungen einschließlich der Anfangs- und Randbedingungen adaquat ? Wie kritisch sind m¨ ogliche Einschr¨ankungen wie z.B. 2D, rotati¨ onssymmetrisch, station¨ ar, konstante Stoffwerte,. . . ? 2. Wie gut“ ist das u.U. eingesetzte Turbulenzmodell ? ” 3. Sind die Anfangs- und Randbedingungen hinreichend bekannt und k¨onnen sie ad¨ aquat in die Modellierung u ¨ bernommen werden ? 4. Ist das gew¨ ahlte numerische Gitter dem Problem angepaßt ? 5. Ist die gew¨ ahlte Form der Diskretisierung der analytischen Modellgleichungen dem Problem angepaßt ? 6. Ist eine hinreichende Konvergenz der numerischen L¨osung erreicht ? Dies ist keine vollst¨ andige Liste. Ohne diese oder ¨ahnliche kritische Nachfragen sollte jedoch kein numerisches Ergebnis akzeptiert werden.


  ¨ Ubungsaufgaben

¨ Im Teil C des Buches sind einige typische Ubungsaufgaben zusammengestellt, die zum gr¨ oßten Teil auch als Klausuraufgaben eingesetzt worden sind. Die Nummerierung ist nicht fortlaufend, sondern bezieht sich auf die zugeh¨ origen Kapitel des Buches. Es wird empfohlen, die Aufgaben zun¨achst selbst zu l¨ osen (und die L¨ osungen anhand der direkt nach den Aufgaben angef¨ uhrten Ergebnisse zu u ufen), bevor die ausf¨ uhrlichen L¨osungswege ¨berpr¨ studiert werden.

Aufgaben

Aufgabe 2-1 (Dimensionsanalyse / Kap. 2) Es soll die Widerstandskraft an einem Fabrikschornstein bei Umstr¨omung mit Luft ermittelt werden. Dazu wird in einem Laborexperiment die Wider¨ standskraft auf ein Modell des Schornsteins gemessen. Mit Hilfe der Ahnlichkeitstheorie kann aus den Meßergebnissen des Laborexperiments die am Fabrikschornstein wirkende Kraft ermittelt werden. In dem Laborexperiment

f ∗ = F ∗ /l∗

u∗∞

D∗ str¨omt Luft um einen glatten Zylinder mit dem Durchmesser D∗ . Das Fluid hat in einem ausreichendem Abstand vom Zylinder die konstante Geschwinomten Zylinder wirkt die spezifische Widerstandsdigkeit u∗∞ . Auf den umstr¨ kraft f ∗ = F ∗ /l∗ . a) Es sollen alle Einflußgr¨ oßen aufgelistet werden, die f¨ ur den Vorgang der Zylinderumstr¨ omung relevant sind. b) Wieviele Basisdimensionen treten auf? c) Mit wievielen dimensionslosen Kennzahlen l¨aßt sich das Problem beschreiben? d) Leiten sie einen m¨oglichen Satz dimensionsloser Kennzahlen her, der das Problem beschreibt. 1 des realen betragen. e) Der Durchmesser des Modellschornsteins soll 20 Wie groß muß, bei gleichem Fluid, die Str¨omungsgeschwindigkeit in dem Modell gew¨ ahlt werden, damit aus den Meßergebnissen Aussagen u omten realen Schornstein geschlossen werden ¨ ber den mit 10 m s angestr¨ k¨ onnen? Welche Probleme k¨ onnten sich hierbei ergeben?

312

Aufgaben

L¨ osung:

a) f ∗ , u∗∞ , D∗ , ∗ , η ∗ b) 3 c) 2 d) z.B.:

Π1 = Re =

∗
∗ u∗ ∞D , η∗

Π2 = cw =

⇒ cw = f(Re)

∗ 2

f∗ ∗ u∗2 ∞D

=

∗ 2

F∗ ∗ ∗ u∗2 ∞D l

e) 200 m atseffekte bei der Modell-Str¨omung s ; Problem: Kompressibilit¨ Aufgabe 2-2 (Dimensionsanalyse / Kap. 2) Es sollen die eine Rohreinlaufstr¨ omung ohne W¨arme¨ ubergang beschreiben¨ den dimensionslosen Kennzahlen ermittelt werden. Ziel dieser Uberlegung ist es, einen funktionalen Zusammenhang zwischen der Wandschubspannung und den geometrischen und anderen physikalischen Einflußgr¨oßen dieses Str¨omungsproblems zu erhalten. a) Geben Sie alle Gr¨ oßen an, die auf den Vorgang einer Rohreinlaufstr¨ omung Einfluß haben. b) Wieviele Basisdimensionen treten auf? c) Mit wievielen dimensionslosen Kennzahlen l¨aßt sich das Problem beschreiben? d) Leiten sie einen m¨oglichen Satz dimensionsloser Kennzahlen her, die das Problem beschreiben.

L¨ osung:

a) τw∗ , u∗m , D∗ , x∗ , ∗ , η ∗ b) 3 c) 3 d) z.B.:

Π1 =

∗ τw ,
∗ u∗2 m

Π2 = Re =

∗
∗ u∗ mD , η∗

Π3 =

x∗ D∗

∗

x ⇒ Π1 = f (Re, D ∗)

Aufgaben

313

Aufgabe 4-1 (Grundgleichungen / Kap. 4) Es wird eine station¨ are laminare Str¨ omung eines inkompressiblen, Newtonschen Fluids zwischen zwei sehr langen parallelen ebenen Platten betrachtet, von denen die eine in Ruhe ist, w¨ ahrend die andere mit konstanter Geschwindigkeit U ∗ in ihrer eigenen Ebene bewegt wird. Die Platten besitzen einen Abstand H ∗ , die Dichte ∗ des Fluides sei konstant. Eine solche Str¨omung wird als Couette-Str¨omung bezeichnet. Die Navier-Stokes’schen Bewegungs-

U∗

y∗

x∗ z∗

gleichungen lauten in karthesischen Koordinaten f¨ ur die x∗ -Komponente u∗ ∗ ∗ ∗ ∗ des Geschwindigkeitsvektors v (u ,v ,w ):
∗  ∗ ∗ ∗ ∂u ∗ ∂u ∗ ∂u ∗ ∂u ∗ + u + v + w ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗
 ∗ ∗ ∗ ∂τxy ∂τxx ∂p∗ ∂τxz =− ∗ + + + + ∗ gx∗ ∂x ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ mit den Komponenten des Spannungstensors f¨ ur ein Newtonsches Fluid in karthesischen Koordinaten 

∗  ∂u 2 ∂v ∗ ∂u∗ ∗ ∗ τxx = η ∗ 2 ∗ − div(v ∗ ) , τxy = η∗ + , ∂x 3 ∂y ∗ ∂x∗
∗  ∂u ∂w∗ ∗ = η∗ + τxz ∂z ∗ ∂x∗ und der Divergenz des Geschwindigkeitsvektors v ∗ in karthesischen Koordinaten ∂u∗ ∂v ∗ ∂w∗ + + div(v ∗ ) = ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ a) Leiten Sie aus den Navier-Stokes’schen Bewegungsgleichungen das Geschwindigkeitsprofil einer ausgebildeten Str¨omung (keine x∗ ,t∗ −Abh¨angigkeit) zwischen den Platten her. b) Wie groß ist die Wandschubspannung τw∗ ?

314

Aufgaben

L¨ osung:

a) u∗ (y ∗ ) =

U∗ ∗ H∗ y ∗

∗

∗ ∗ ∗U b) τw∗ = η ∗ ∂u ∂y ∗ = τxy (y = 0) = η H ∗

Aufgabe 4-2 (Grundgleichungen / Kap. 4) Die Navier-Stokes’schen Bewegungsgleichungen lauten in Zylinderkoordinaten (x∗ ,r∗ ,ϕ) f¨ ur die x∗ -Komponente u∗x des Geschwindigkeitsvektors ∗ ∗ ∗ ∗ v (ux ,ur ,uϕ ):


 ∗ ∗ u∗ϕ ∂u∗x ∂u∗x ∗ ∂ux ∗ ∂ux + ux ∗ + ur ∗ + ∗  ∂t∗ ∂x ∂r r ∂ϕ
∗ ∗  ∂τxx 1 ∂ 1 ∂τϕx ∂p∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ (r τrx ) + ∗ =− ∗ + + ∗ gx∗ ∂x ∂x∗ r ∂r r ∂ϕ ∗

mit den Komponenten des Spannungstensors f¨ ur ein Newtonsches Fluid in Zylinderkoordinaten 
∂u∗x 2 ∗ ∗ ∗ τxx = η 2 ∗ − div(v ) ∂x 3
∗  ∗ ∂u ∂u x r ∗ ∗ + ∗ τrx = η ∂r∗ ∂x
∗  ∂u 1 ∂u∗x ϕ ∗ ∗ τϕx = η + ∂x∗ r ∂ϕ und der Divergenz des Geschwindigkeitsvektors v ∗ in Zylinderkoordinaten div(v ∗ ) =

∂u∗x 1 ∂ 1 ∂u∗ϕ ∗ ∗ + (r u ) + r r∗ ∂r∗ r∗ ∂ϕ ∂x∗

Es soll nun eine ausgebildete laminare achsensymmetrische Rohrstr¨omung angigkeit) eines inkompressiblen, N ewtonschen Fluids be(keine x∗ ,ϕ-Abh¨ trachtet werden. Diese Str¨ omung wird als Hagen-Poiseuille-Str¨omung bezeichnet. a) Leiten Sie aus den oben angegebenen Gleichungen die Geschwindigkeitsverteilung der ausgebildeten Rohrstr¨omung her. b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der maximalen Geschwindigkeit in der Rohrmitte u∗max und der mittleren Geschwindigkeit u∗m = 1 u∗x (r∗ )dA∗ der Str¨ omung? A∗

315

Aufgaben

r∗

r∗

ϕ

∗

x

2R∗

Anmerkung: Das Winkelmaß ϕ im Bogenmaß ist definiert als die L¨ange eines zu einem Winkel geh¨ origen Bogens mit einem bestimmten Radius bezogen auf eben diesen Radius. Deshalb kann es als dimensionsloe Gr¨oße betrachtet werden und wird hier ohne ∗ geschrieben. L¨ osung:

a) u∗x (r∗ ) =

∗ ∗2 p∗ r ∗2 l −p0 R ∆l∗ 4η ∗ ( R∗2

− 1)

b) u∗m = 12 u∗max Aufgabe 6-1 (Hydrostatik, Kap. 6) Auf die skizzierte Drosselklappe mit exzentrisch angeordneter Drehachse wirkt im geschlossenen Zustand der hydrostatische Druck des bis zur H¨ohe H ∗ aufgestauten Wassers. Stromabw¨ arts der Klappe herrscht der Umgebungsdruck assigt werden kann, hat eine quadratip∗0 . Die Klappe, deren Dicke vernachl¨ sche Fl¨ ache (Seitenl¨ ange a∗ ).

p∗0

g∗

y∗ ρ∗

H∗ M∗

0, 6 a∗ 0, 4 a∗

316

Aufgaben

a) Wie groß ist das auf die Drosselklappe ausge¨ ubte Moment M ∗ f¨ ur die ∗ Wasserh¨ ohe H ? b) Bei welcher H¨ ohe H0∗ ist das Moment gerade Null? L¨ osung:

a) M ∗ = ∗ g ∗ a∗2 b) H0∗ =



1 ∗ ∗ 10 a H

−

7 ∗2 75 a



14 ∗ 15 a

Aufgabe 6-2 (freie Oberfl¨ achen, Kap. 6) Ein rotationssymmetrischer Beh¨ alter (Radius R∗ , F¨ ullh¨ohe H ∗ ) ist mit einer Fl¨ ussigkeit der Dichte ∗ gef¨ ullt und mit einem Kolben abgeschlossen, der eine Gewichtskraft vom Betrag G∗ auf das Wasser aus¨ ubt. Der Kolben ist frei beweglich, dichtet die Fl¨ ussigkeit aber vollst¨andig gegen die Atmosph¨are ab. Der Beh¨ alter rotiert um seine senkrechte Achse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω ˆ ∗ . Der Umgebungsdruck betr¨agt p∗0 .

p∗0

G∗

r∗ z∗

H∗

2R∗

ω ˆ∗

a) Wie groß ist f¨ ur ω ˆ ∗ = 0 der Druck am Beh¨alterboden?

g∗

317

Aufgaben

b) Berechnen Sie die Druckverteilung im Beh¨alter p∗ (z ∗ ,r∗ ) f¨ ur ω ˆ∗ = const = 0. ∗ c) An welcher Stelle und bei welcher Winkelgeschwindigkeit ω ˆ krit wird der ∗ ∗ Dampfdruck pD = 0,2 p0 zuerst erreicht?

L¨ osung:

a) p∗ (z ∗ = H ∗ ) = p∗0 + b) p∗ (z ∗ ,r∗ ) = p∗0 + ∗ ∗ c) rkrit = zkrit

G∗ πR∗2

+ ∗ g ∗ H ∗

G∗ πR∗2

∗2

− ∗ ω ˆ ∗2 R4 + ∗ g ∗ z ∗ + "  3,2p∗ 4G∗ ∗ 0 = 0, ω ˆ krit = + ∗ ∗4 ∗ ∗2 π
R
R


∗ ∗2 ∗2 ˆ r 2 ω

Aufgabe 6-3 (Stromfadentheorie / Kap. 6) Wasser wird mit Hilfe einer Pumpe vom Beh¨ alter 1 in den h¨oher gelegenen Beh¨ alter 2 gef¨ ordert. Hinweise:

b

ζ3

p∗0 Beh¨ alter 2

a

H1∗

ζR

p∗0

Beh¨alter 1

ζ1

∆p∗p

ζ2

H2∗

ζ1 = 0, 6 ζ2 = 0, 1 ζ3 = 0, 1 ζR = 2, 0

318

Aufgaben

¨ • Die Anderung des F¨ ullstandes im Beh¨ alter 1 kann vernachl¨assigt werden. • Die Rohrreibung soll nur auf dem langen“ Rohrabschnitt durch den ” konstanten Term ζR ber¨ ucksichtigt werden. In den restlichen Abschnitten gilt in erster N¨ aherung λR = 0. • Alle Rohre haben den Durchmesser D∗ . Gegeben: H1∗ = 1 m, H2∗ = 10 m, D∗ = 0,1 m, p∗0 = 105 Pa, ∗ = 1000 kg/m3, g ∗ = 9,81 m/s2 a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit im Punkt b , wenn der Druckanstieg u ¨ber der Pumpe ∆p∗p = 5 · 105 Pa betr¨agt. b) Wie groß sind dabei die Pumpleistung und die elektrische Antriebsleistung (ηP = 0,7)? c) Geben Sie den Zusammenhang zwischen dem gef¨orderten Massenstrom m ˙ ∗ und der dazu ben¨ otigten Druckerh¨ ohung ∆p∗p der Pumpe an (∆p∗p = ∗ ∗ ∆pp (m ˙ )).

L¨ osung:

a) Aus der Bernoulli-Gleichung von a nach b folgt: u∗b = 14,72 m/s b) Es ergibt sich ein Massenstrom von m ˙ ∗ = 115,61 kg/s. ∗ Pumpenleistung: PP = 57,81 kW Antriebsleistung: Pel∗ = 82,58 kW 2

s c) ∆p∗p = 88 290 Pa + 30,80 Pa ˙ ∗2 kg2 · m

Aufgabe 6-4 (Stromfadentheorie / Kap. 6) In dem in der Abbildung skizzierten Rohrsystem wird ein Fluid von 1 nach 2 und 3 gef¨ ordert. In den Querschnitten 1 , 2 und 3 herrschen jeweils Umgebungsbedingungen. In dem Rohrsystem treten keine H¨ohenunterschiede auf. Dissipation tritt in den vier hydraulisch glatten Rohrst¨ ucken ur (L¨ ange jeweils L∗ , Durchmesser jeweils D∗ ), sowie in dem Verteiler (ζa f¨ den Durchgang, ζb f¨ ur den Abzweig) auf.

319

Aufgaben

1 

L∗

L∗

L∗

2 

ζa u∗S2

u∗S1 ζb

L∗ 3 

u∗S3

∗ ∗ Gegeben: u∗S2 = 1 m s , L = 50 m, D = 0,25 m, ζa = 0,5, ζb = 0,75 (gebildet mit der Einstr¨ omgeschwindigkeit am Verteiler), λR = 0,02 2 kg ∗ ν = 10−6 ms , ∗ = 1000 m3 , ηP = 0,7 (effektiver Wirkungsgrad der Pumpe)

a) Wie groß ist die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit im Querschnitt 3 ? b) Bestimmen Sie die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit im Querschnitt 1 . ∗ ? c) Wie groß ist die Pumpen-Wellenleistung PM

L¨ osung:

a) u∗S3 = 0,905 m/s b) u∗S1 = 1,905 m/s. ∗ = 2152,1 W c) PM

Aufgabe 6-5 (Impulssatz / Kap. 6) Ein Kanal mit einer sprunghaften Querschnittserweiterung wird von einem Fluid der Dichte ∗ reibungsfrei durchstr¨ omt. An der Stelle 1 hat das

320

Aufgaben

Fluid die Geschwindigkeit u∗S1 (konst. u ¨ ber dem Querschnitt), bevor es zu der sprunghaften Querschnitterweiterung kommt. Weiter stromabw¨arts an der Stelle 2 hat sich das Geschwindigkeitsprofil u ¨ ber den Querschnitt wieder konstant auf den Wert u∗S2 ausgeglichen.

y∗ x∗

A∗1

u∗S1

u∗S2

p∗1

p∗2

1

A∗2

2

a) Ermitteln Sie die Widerstandszahl ζ2 bezogen auf die Austrittsgeschwindigkeit u∗S2 f¨ ur die sprunghafte Querschnittserweiterung (CarnotscherStoßverlustfaktor).

L¨ osung:
a) ζ2 =

A∗ 1 − 2∗ A1

2

Aufgabe 7-1 (Kompressible Str¨ omungen / Kap. 7) ¨ Im dargestellten Uberschallkanal soll in der Messstrecke eine Mach-Zahl von Ma2 = 2,0 erzeugt werden. Die Luft (ideales Gas) str¨omt aus dem Kessel, use in f¨ ur den nur die Kesseltemperatur T0∗ gegeben ist, durch eine Laval-D¨ die Meßstrecke. Hinter der Meßstrecke verengt sich der Querschnitt auf A∗3 , bevor die Luft in die Umgebung austritt. Hier herrscht der Umgebungsdruck omung sei isentrop. p∗Umg . Die Str¨

Aufgaben

engster Querschnitt

321

Messstrecke

T0∗

p∗Umg

A∗min

2

3

Gegeben: T0∗ = 20◦ C, p∗Umg = 1 bar, Ma2 = 2,0, A∗2 = 0,1 m2 , A∗3 = 0,08 m2 , R∗ = 287 J/(kgK), κ = 1,4 a) Wie groß muß A∗min sein, damit in der Meßstrecke die geforderte MachZahl Ma2 = 2,0 herrscht? b) Wie groß muß der Kesseldruck p∗0 sein, damit die Luft im Austrittsquerschnitt 3 gerade den Umgebungsdruck p∗Umg erreicht? c) Welcher Druck herrscht dann in der Messstrecke 2 ? d) Wie groß ist der Massenstrom durch den Kanal?

L¨ osung:

a) A∗min = 0,058 m b) p∗0 = 5,13 bar c) p∗2 = 0,67 bar d) m ˙ ∗ = 73,81 kg/s

322

Aufgaben

Aufgabe 8-1 (Potentialtheorie / Kap. 8)

h∗ u∗∞ α

A ∗ HA

y∗

H∗ y0∗

x∗ Quelle

Als Segelfluggel¨ ande dient der Rand einer Hochebene, die um die H¨ohe H ∗ u andes entspricht einer Stromli¨ ber der Tiefebene liegt. Die Form des Gel¨ nie eines angestr¨ omten ebenen Halbk¨ orpers (Translationsstr¨omung mit der Geschwindigkeit u∗∞ und Quellenstr¨ omung mit der Ergiebigkeit Q∗ ). In der Tiefebene herrscht weit vor dem Rand (x∗ = −∞) Parallelstr¨omung mit der konstanten Geschwindigkeit u∗∞ . Die Str¨ omung ist eine Potentialstr¨omung. Die Neigung m = tan α des Gel¨ andes im Punkt A ist bekannt, ebenso die ∗ des Punktes A u H¨ ohe HA ¨ber der Tiefebene. a) Um welche H¨ ohe y0∗ muß die Quelle unter dem Niveau der Tiefebene ∗ aus. liegen? Dr¨ ucken Sie das Ergebnis als Funktion von m, H ∗ und HA b) Berechnen Sie Linien gleichen Aufwindes v ∗ (vertikale Geschwindigkeitskomponente) und skizzieren Sie das Ergebnis. c) Wo findet ein horizontal fliegendes Flugzeug, welches u ¨ ber der Hoch∗ ebene in der H¨ ohe h∗ = 100 m fliegt, den st¨arksten Aufwind vmax /u∗∞ und wie groß ist dieser? ∗ = 100 m Gegeben: α = 17,7◦ , H ∗ = 200 m, HA

323

Aufgaben

L¨ osung:

a) y0∗ =

H∗ ∗ − HA = 100 m πm

b)

y∗ v∗ H∗ = const = u∗∞ π x∗2 + y ∗2

c)

∗ vmax 1 = ∗ u∞ 2π

Aufgabe 8-2 (Potentialtheorie / Kap. 8)

u∗∞

A

H∗

y∗ x∗

Senke

L∗

Quelle

Die Abbildung zeigt einen Schnitt durch ein Gel¨ande mit Autobahn. Die Fahrbahn hat die Breite L∗ und liegt um H ∗ tiefer als das umgebende Gel¨ande¨ niveau. Uber dem Gel¨ ande herrscht Seitenwind der Geschwindigkeit u∗∞ . Es soll eine ebene reibungslose Str¨ omung vorausgesetzt werden. Die Form der ¨ B¨oschung soll der Trennstromlinie entsprechen, die sich durch Uberlagerung von Quelle, Senke und Translationsstr¨ omung ergibt. Gegeben: L∗ = 60 m, H ∗ = 16 · π m, u∗∞ = 50 km/h a) Wie groß ist der Seitenwind auf der Mitte der Fahrbahn (im Punkt A)?

324

Aufgaben

L¨ osung:

a) u∗ = 18 km/h Aufgabe 9-1 (Grenzschichten / Kap. 9) Eine Platte mit dem Seitenverh¨ altnis 2:1 (Kantenl¨ange 2l∗ bzw. l∗ ) wird einmal quer und einmal l¨ angs mit der Geschwindigkeit u∗∞ homogen angestr¨ omt. Die sich ausbildende Grenzschicht sei in beiden F¨allen laminar und Randeffekte sowie der Einfluß der Hinterkante sollen vernachl¨assigt werden. ∗ ∗ a) Bestimmen Sie das Verh¨ altnis der Kr¨ afte Wl¨ angs /Wquer .

L¨ osung:

a)

∗ Wl¨ angs ∗ Wquer

1 = √ 2

Aufgabe 9-2 (Grenzschichten / Kap. 9)

u∗W 2H ∗ y∗ x∗

u∗ (y ∗)

Nach obiger Abbildung wird eine voll ausgebildetete turbulente Str¨omung eines inkompressiblen, Newtonschen Fluids zwischen zwei sehr langen parallelen ebenen Platten betrachtet (Abstand 2H ∗ ), von denen die eine in Ruhe ist, w¨ ahrend die andere mit konstanter Geschwindigkeit u∗W in ihrer eigenen Ebene bewegt wird. Eine solche Str¨ omung wird als turbulente Couette-Str¨omung bezeichnet. Es soll das Geschwindigkeitsfeld der mittleren Geschwindigkeit in Str¨ omungsrichtung durch den Prandtlschen Mischungswegansatz berechnet werden.

Aufgaben

325

a) Ermitteln Sie zun¨ achst aus der zeitlich gemittelten x-Impulsgleichung f¨ ur die turbulente Str¨ omung den Gradienten der Schubspannung τ ∗ = η∗

∂u∗ − ∗ u∗ v ∗ = τv∗ + τt∗ ∂y ∗

in y ∗ -Richtung. b) Ein Ansatz f¨ ur den Verlauf der Mischungswegl¨ange im Kernbereich der Str¨ omung ist 1 y∗ L∗t (y ∗ ) = κ ∗ (2H ∗ − y ∗ ) 2 H mit κ = 0,41 als von-K´arm´ an-Konstante. Berechnen Sie mit diesem Verlauf unter Anwendung des Wirbelviskosit¨atsansatzes den Verlauf der turbulenten Scheinspannung τt∗ in der Kernschicht. c) Berechnen Sie das Geschwindigkeitsprofil der mittleren Geschwindigkeit u∗ (y ∗ ) in der Kernschicht, wenn außerhalb der viskosen Unterschicht die viskose Schubspannung τv∗ gegen¨ uber der turbulenten Scheinspannung τt∗ vernachl¨assigt werden kann. d) Leiten Sie das Geschwindigkeitsprofil der mittleren Geschwindigkeit u∗ (y ∗ ) f¨ ur die wandnahe Schicht her. Beachten Sie, daß in Wandn¨a he der Zusammenhang L∗t (y ∗ ) = κy ∗ gilt! e) Wie verl¨ auft das Geschwindigkeitsprofil der mittleren Geschwindigkeit u∗ (y ∗ ) in unmittelbarer N¨ ahe der Wand, wenn dort die turbulenten uber der viskose Schubspannung τv∗ vernachScheinspannung τt∗ gegen¨ la ¨ssigt werden kann?

L¨ osung:

a)

∂τ ∗ =0 ∂y ∗


  κ  2 ∂u∗ 2 ∗ ∗ ∗2 y − y 2H 2H ∗ ∂y ∗ #
 ∗ 1 y∗ 1 τW ∗ ∗ c) u (y ) = ln + u∗W ∗ ∗ ∗ κ  2H − y 2

b) τt∗ = ∗

# d)

u∗ (y ∗ )

1 = κ

∗ τW · ln ∗

$

y∗ ν∗

#

∗ τW ∗

#

% +C ·

∗ τW , C = 5 f¨ ur glatte W¨ande ∗

326

Aufgaben

e) u∗ (y ∗ ) =

∗ τW · y∗ η∗

Aufgabe 10-1 (Durchstr¨ omungen / Kap. 10) ¨ Uber eine hydraulisch glatte Rohrleitung der L¨ange L∗ = 10 m und des Durchmessers D∗ = 0,1 m wird Luft (∗ = 1,2 kg/m3, ν ∗ = 15·10−6 m2 /s) mit Hilfe eines Gebl¨ ases aus der Umgebung angesaugt. Die mittlere Str¨omungsgeschwindigkeit im Rohr betrage u∗S = 15 m/s. Der Eintritt ist sehr gut abgerundet, so daß keine Eintrittsverluste auftreten. Einlaufeffekte k¨onnen vernachl¨ assigt werden. a) Wie groß ist die Kraft auf den Flansch des Gebl¨ases?

L¨ osung:

a) F ∗ = 1,91 N Aufgabe 10-2 (Durchstr¨ omungen / Kap. 10) ummer (Kreisquerschnitt, hydraulisch Es soll im folgenden ein 90◦ -Rohrkr¨ ummungsverglatt) mit einem Durchmesser von D∗ = 0,1 m und einem Kr¨ h¨altnis von R∗ /D∗ = 2 betrachtet werden. Die zugeh¨orige Vorlaufstrecke betrage L∗V /D∗ = 5 und die Nachlaufstrecke L∗N /D∗ = 10. Als Fluid wird Wasser (ν ∗ = 10−6 m2 /s, ∗ = 1000 kg/m3) verwendet, das eine mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit von u∗ = 10 m/s besitzt. a) Bestimmen Sie den Druckverlust ∆p∗ges , der in der Vor- bzw. Nachlaufstrecke und dem Rohrkr¨ ummer auftritt, unter der Annahme, daß ur die die Widerstandszahl des Kr¨ ummers ζKr = 0,14 (vgl. Tab. 6.2) f¨ vorliegende Reynolds-Zahl ermittelt wurde. b) Berechnen Sie den Druckverlust ∆p∗Rohr , den ein hydraulisch glattes Rohr gleicher L¨ ange (Vor- und Nachlauf sowie 90◦ -Bogen) bei gleicher Reynolds-Zahl h¨ atte. Wie groß ist der Anteil am Druckverlust des Kr¨ ummers, der nicht auf Reibung zur¨ uckzuf¨ uhren ist (∆p∗ = ∆p∗ges − ∗ orige Teil-Widerstandszahl ζ? ∆pRohr ), und die zugeh¨ c) Die Str¨ omungsgeschwindigkeit wird nun auf u∗ = 1 m/s verringert. Bestimmen Sie den Druckverlust des Kr¨ ummers bei der neuen ReynoldsZahl unter der Annahme, daß sich der Druckverlust aus einem Anteil, der auf ζ zur¨ uckzuf¨ uhren ist, und einem Anteil, der auf die Rohrreiuckgeht, zusammengebung in Vor- und Nachlauf sowie 90◦ -Bogen zur¨ setzt ist. Es soll durch diese Aufspaltung der Druckverlustberechnung

Aufgaben

327

ber¨ ucksichtigt werden, daß die Widerstandszahl ζKr des Kr¨ ummers von der Reynolds-Zahl abh¨ angt, da jetzt ζKr = ζ + λR (Re) · π/4 gilt. d) Bestimmen Sie den Druckverlust des Kr¨ ummers bei der neuen Reynoldszahl unter der Annahme, daß sich der Druckverlust ( konventionell“) ” uckzuf¨ uhren ist, und einem Anteil, aus einem Anteil, der auf ζKr zur¨ der auf die Rohrreibung nur im Vor- und Nachlauf zur¨ uckgeht, zusammengesetzt ist. ¨ Ist es nach diesen Uberlegungen gerechtfertigt, von einer konstanten Widerstandszahl ζKr auszugehen, die nicht von der Reynolds-Zahl abh¨ angt?

L¨ osung:

a) ∆p∗ges = 15 775 Pa b) ∆p∗Rohr = 9 234 Pa; c) ∆p∗ges = 209,9 Pa d) ∆p∗ges = 207,3 Pa

∆p∗ = 6 541 Pa;

ζ = 0,131

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

L¨ osung von Aufgabe 2-1:

zu a: Die gesuchten Einflußgr¨ oßen lassen sich am einfachsten mit Hilfe der Relevanzliste aus Kap. 2.3.3 ( F¨ unf-Punkte-Plan“) ermitteln: ”

R1 / Zielvariable:

Gesucht∗ ist die spezifische Widerstandskraft f ∗ = Fl∗ .

R2 / Geometrievariable:

Die Widerstandskraft h¨angt offensichtlich vom Durchmesser D∗ des Schornsteins ab. Durch den Bezug der Widerstandkraft F ∗ auf die L¨ ange l∗ tritt diese als Geometrievariable nicht gesondert auf.

R3 / Prozeßvariable:

Mit Variation der Geschwindigkeit u∗∞ geht eine Ver¨ anderung der Widerstandskraft einher. Dies entspricht der Wahrnehmung aus dem Alltag. Wie sich sp¨ater zeigen wird, ist die Widerstandskraft proportional zum Staudruck, der eine quadratische Abh¨angigkeit von der Geschwindigkeit aufweist.

R4 / Stoffwerte:

Im vorliegenden Fall wird die Widerstandskraft maßgeblich vom Druckwiderstand beeinflußt. Dieser h¨angt von der Dichte ∗ des Mediums ab. Außerdem tragen Wandschubspannungen am K¨orper zum Widerstand bei, die von der dynamischen Viskosit¨at η ∗ des Fluides abh¨ angen.

R5 / Konstanten:

-

330

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

zu b: Wie sich anhand der Einheiten der gefundenen Gr¨oßen feststellen l¨aßt, sind ¨ die Basisdimensionen Masse, L¨ange und Zeit vertreten. Eine Uberpr¨ ufung der SI-Einheiten ergibt:

Gr¨ oße (n = 5)

Basisdimensionen (m = 3)

[f ∗ ] = N/m = kg/s2

Masse, Zeit

[D∗ ] = m

L¨ ange

[u∗∞ ]

L¨ ange, Zeit

= m/s

[η ∗ ] = kg/ms ∗

3

[ ] = kg/m

L¨ ange, Masse, Zeit L¨ ange, Masse

zu c: Die Anzahl der dimensionslosen Kennzahlen ist nach dem Buckingham’schen Pi-Theorem gleich der Differenz aus der Anzahl auftretender Einflußgr¨oßen und der Anzahl der Basisdimensionen: n − m = 2 zu d: Dimensionslose Kennzahlen lassen sich bei einer u ¨ berschaubaren Anzahl von Einflußgr¨ oßen nach einem Probierverfahren bestimmen. Sie ergeben sich als Produkt unterschiedlicher (auch negativer) Potenzen der Einflußgr¨oßen. H¨aufig auftretende dimensionslose Kennzahlen, wie z.B. die Reynoldszahl (Re), die bei allen reibungsbehafteten Str¨ omungsvorg¨angen auftritt, k¨onnen dabei direkt gebildet werden, wenn alle darin vorkommenden Gr¨oßen in der Menge der Einflußgr¨ oßen des Problems vorhanden sind. Bestimmt man Π1 zu ∗
∗ u∗ ∞D , so muß die verbleibende Kennzahl Π2 auf jeden Fall die u Re = ¨ briη∗ gen Gr¨ oßen f ∗ und ∗ enthalten. Durch Probieren findet man: Π2 = cw = f∗ F∗ ∗ ∗2 ∗ = ∗ ∗2 ∗ ∗ 2

u∞ D

2

u∞ D l

∗

Der cw -Wert ist das Verh¨ altnis der Widerstandskraft zum Staudruck
2 u∗2 ∞ und zur Stirnfl¨ ache des angestr¨ omten Zylinders. Aus der impliziten Funktion F (Π1 ,Π2 ) = 0 folgt Π2 = f (Π1 ) und damit cw = f(Re). zu e: Damit Aussagen zum realen Verhalten m¨ oglich sind, muß der cw -Wert bekannt sein, um die spezifische Kraft auf den Schornstein ausrechnen zu k¨onnen. Bei gleichen Reynoldszahlen ergeben sich f¨ ur das Modell und den realen Schornstein dieselben cw -Werte. Daraus folgt, daß die Produkte aus Geschwindigkeit und Durchmesser in beiden F¨ allen identisch sein m¨ ussen:

331

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

!

Remodell = Rereal ⇒ (u∗∞ D∗ )modell = (u∗∞ D∗ )real D∗ m ⇒ u∗∞ modell = u∗∞ real ∗ real = 200 . Dmodell s Bei dieser hohen Geschwindigkeit k¨ onnen jedoch Effekte auftreten, die sich am realen Schornstein nicht zeigen. Diese gehen auf nicht mehr zu vernachl¨ assigende Ver¨ anderungen der Dichte bei den hohen Geschwindigkeiten im Modell zur¨ uck. Solche Kopressibilit¨ atseffekte k¨onnen nur bei Machzahlen bis Ma = 0,3 vernachl¨ assigt werden. Diese Bedingung ist im realen Fall erf¨ ullt, nicht aber im Modellfall (→ Skalierungseffekte). L¨ osung von Aufgabe 2-2:

zu a: Die Ermittlung der Einflußgr¨ oßen kann wie im vorangegangenen Beispiel nach der Relevanzliste erfolgen. Die gesuchte Wandschubspannung τw∗ ist eine Funktion der u ¨ ber den Durchmesser gemittelten Str¨omungsgeschwindigkeit u∗m , des Rohrdurchmessers D∗ sowie der Dichte ∗ und der dynamischen Viskosit¨ at η ∗ . Da sich das Profil der Str¨ omung mit zunehmendem Abstand ¨ von der Offnung dem Profil einer ausgebildeten Str¨omung ann¨ahert, ist auch oßen aufzunehmen. dieser Abstand x∗ in die Liste der Einflußgr¨ zu b und c: Bei n = 6 Einflußgr¨ oßen und m = 3 Basisdimensionen, Ermittlung s. Aufgabe 1-2, ergeben sich drei unabh¨ angige Kennzahlen. zu d: Auch hier k¨ onnen die Kennzahlen durch probieren“ ermittelt werden. Es ist ” dabei nur sicherzustellen, daß drei voneinander unabh¨angige dimensionslose Kombinationen entstehen. Alternativ kann auch folgendes systematisches Vorgehen angewandt werden: • Alle SI-Einheiten der Einflußgr¨ oßen werden bestimmt: 3 [τw∗ ] = kg/ms2 , [u∗m ] = m/s, [D∗ ] = m, [∗ ] = kg/m , [η ∗ ] = kg/ms und [x∗ ] = m • Die dimensionslose Kennzahl wird nun als Potenzprodukt der Einflußgr¨ oßen aufgestellt: Π1 = τw∗ α1 u∗m α2 D∗ α3 ∗ α4 η ∗ α5 x∗ α6 Setzt man nun die Einheiten ein, so erh¨ alt man: α1

3 α4

!

[Π1 ] = (kg/ms2 ) (m/s) 2 mα3 (kg/m ) (kg/ms) 5 mα6 = 1 α

α

332

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

Ordnet man diesen Ausdruck nach den Einheiten, findet man: [Π1 ] = kgα1 +α4 +α5 · m−α1 +α2 −3α4 −α5 +α6 · s−2α1 −α2 −α5 • Damit die Dimensionen verschwinden, m¨ ussen also folgende Gleichungen erf¨ ullt sein: (1) α1 + α4 + α5 = 0 (2) −α1 + α2 + α3 − 3α4 − α5 + α6 = 0 (3) −2α1 − α2 − α5 = 0 Da hiermit ein System aus 3 Gleichungen f¨ ur 6 Unbekannte vorliegt, k¨ onnen drei Gr¨ oßen beliebig vorgegeben werden, sofern diese Auswahl keine der drei Bedingungen verletzt und weiterhin drei Gleichungen f¨ ur die auf 3 verminderte Anzahl der zu ermittelnden Unbekannten verbleiben. Da bekannt ist, daß drei Kennzahlen existieren, kann dieses Verfahren dreimal (mit jeweils einer anderen Festlegung von drei Gr¨oßen) angewandt werden: 1. Wahl: α1 = 1, α2 = −2, α3 = 0 ⇒ α4 = −1, α5 = 0, α6 = 0 Setzt man die Exponenten in den urspr¨ unglichen Ansatz ein, so ∗ τw erh¨ alt man Π1 =
∗ u∗2 . Bis auf einen Faktor ist dies die Rohrreim

bungszahl λR =

∗ 8τw
∗ u∗2 m

2. Wahl: α1 = 0, α2 = 1, α3 = 1 ⇒ α4 = 1, α5 = −1, α6 = 0 Auch in diesem Fall findet sich die Reynoldszahl als m¨ogliche
∗ u∗ D∗ Kennzahl: Π2 = Re = ηm∗ . 3. Wahl: α3 = −1, α6 = 1, α1 = 0 ⇒ α2 = 0, α4 = 0, α5 = 0 Eine dritte Kennzahl ergibt sich, als Koordinate x∗ auf den Durchx∗ messer D∗ bezogen: Π3 = D ∗ Bei einem vierten Versuch“ w¨ urde man eine Kennzahl bekommen, die ” bereits aus den anderen Kennzahlen gebildet werden k¨onnte. L¨ osung von Aufgabe 4-1:

zu a: Die Bewegung der Platten geschieht außschließlich in x∗ -Richtung, das Geschwindigkeitsprofil soll u ohe, also in y ∗ -Richtung, ermittelt ¨ ber die Spalth¨ ∗ ∗ ∗ werden. Bei zeit-konstanter Geschwindigkeit  ∂u∗ ∗u in x -Richtung und v ∗= ∗ ∗ ∗ w = 0 ist der Ausdruck u (y ) = ∂y∗ dy gesucht. Dazu wird die x Impulsgleichung f¨ ur den hier vorliegenden Fall betrachtet. Folgende Terme entfallen aufgrund der speziellen Str¨ omungssituation:

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

∂u∗ =0 ∂t∗ ∂u∗ =0 ∂x∗ v∗

∂u∗ =0 ∂y ∗

w∗

∂u∗ =0 ∂z ∗

−

∂p∗ =0 ∂x∗

∗ gx∗ = 0 ∗ ∂τxx =0 ∂x∗ ∗ ∂τxz =0 ∂z ∗

333

Es besteht keine explizite Geschwindigkeits¨anderung mit der Zeit, da bereits eine ausgebildete Str¨omung vorliegt. Aus dem bereits oben genannten Grund besteht keine Abh¨ angigkeit von der Koordinate x∗ . v∗ = 0 w∗ = 0 Es tritt keine Druck¨ anderung in x∗ -Richtung auf, da vor“ und hinter“ den Platten der Umgebungsdruck ” ” aufgepr¨ agt wird. Aufgrund der horizontalen Aufstellung der Platten gilt gx∗ = 0. Ausgebildete Str¨ omung (keine x∗ -Abh¨angigkeit) Ebene Str¨ omung (keine z ∗ -Abh¨angigkeit)

Die x∗ -Impulsgleichung lautet damit f¨ ur den hier vorliegenden Fall: ∗ ∂τxy =0 ∂y ∗

Mit dem Newtonschen Schubspannungsansatz aus Tab. 4.2 gilt dann ∗ 2 ∗ ∂τxy ∗∂ u = η =0 ∂y ∗ ∂y ∗2

⇒

∂u∗ = C1∗ ∂y ∗

⇒

u∗ (y ∗ ) = C1∗ y ∗ + C2∗

Die Integrationskonstanten findet man durch Einsetzen der Randbedingungen: u∗ (y ∗ = 0) = u∗ (y ∗ = H ∗ ) =

0 U∗

⇒ ⇒

C2∗ = 0 C1∗ =

U∗ H∗

U∗ Die gesuchte L¨ osung ist also u∗ (y ∗ ) = ∗ y ∗ . Diese L¨osung ist eine exakH te Gleichung der Navier-Stokes Gleichungen, die aber leider nur in solchen Spezialf¨ allen so einfach zu ermitteln ist. zu b: ∗ Da die Geschwindigkeit linear von y ∗ abh¨ angt, gilt f¨ ur τxy ∼ ∂u∗ /∂y ∗ , daß

334

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

∗ ∗ τxy konstant ist. Mit τxy = η ∗ ∂u∗ /∂y ∗ und ∂u∗ /∂y ∗ aus dem vorigen Aufgabenteil gilt U∗ ∗ ∗ τw∗ = τxy (y ∗ = 0) = τxy (y ∗ = H ∗ ) = η ∗ ∗ H In (a) und (b) wurden also folgende Profile f¨ ur die station¨are laminare CouetteStr¨ omung ermittelt:

U∗

y∗ u∗

τ∗

L¨ osung von Aufgabe 4-2:

zu a: In diesem Beispiel kann ebenfalls eine exakte L¨osung der Navier-Stokes Gleichungen gefunden werden, da bestimmte Terme in Analogie zu Aufgabe 4-1 entfallen. So vereinfacht sich der Geschwindigkeitsvektor durch die besondere Str¨ omungssituation, das ausgebildete Str¨omungsprofil und die Rotationssymmetrie des Rohres zu v ∗ (u∗x ,u∗r ,u∗ϕ ) = v ∗ (u∗x (r∗ ),0,0). Alle partiellen Ableitungen der Geschwindigkeit nach x∗ und ϕ verschwinden. Mit diesen Erkenntnissen und dem Newtonschen Schubspannungsansatz in Zylinderkoordinaten vereinfacht sich die x∗ -Impulsgleichung zu
 ∂p∗ ∂u∗ η∗ ∂ 0 = − ∗ + ∗ ∗ r∗ ∗x ∂x r ∂r ∂r Durch Integration und Umstellen der Terme folgt r∗ ∂p∗ ∂u∗x = + C0∗ ∂r∗ 2η ∗ ∂x∗ Da die Str¨ omung rotationssymmetrisch und stetig ist, muß in der Mitte des ∂u∗ (r ∗ =0) Rohres (r∗ = 0) ein Extremum vorliegen ( x∂r∗ = 0).

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

335

Daraus folgt C0∗ = 0. Durch weitere Integration erh¨alt man u∗x (r∗ ) =

1 ∂p∗ ∗ 2 r + C1∗ 4η ∗ ∂x∗

Die Integrationskonstante findet man durch Anwendung der Haftbedingung u∗x (R∗ ) = 0. Der Druckgradient ∂p∗ /∂x∗ ist konstant, da er sich durch das Kr¨ aftegleichgewicht zwischen den Druckkr¨ aften und den u ¨ber die mit der Rohrl¨ ange linear anwachsende Wandfl¨ ache integrierten konstanten Wandschubspannungen ergibt. Folglich l¨ aßt er sich als ∂p∗ /∂x∗ = (p∗ (x∗ = l∗ ) − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ p (x = x0 ))/(l − x0 ) schreiben, wobei l∗ eine beliebige Entfernung vom Ausgangspunkt darstellt. Dadurch ergibt sich die gesuchte L¨osung: u∗x (r∗ ) =

p∗l − p∗0 R∗2 r∗2 ( − 1) ∆l∗ 4η ∗ R∗2

zu b: Die gesuchte mittlere Geschwindigkeit erh¨ alt man, indem man die Geschwindigkeiten u ache integriert und dieses Integral durch den ¨ ber die Querschnittsfl¨ Betrag dieser Fl¨ ache teilt.  1 ∗ um = u∗x (r∗ )dA∗ A∗ R∗ ∗2 1 p∗l − p∗0 R∗2 r = ( ∗2 − 1)2πr∗ dr∗ πR∗ 2 ∆l∗ 4η ∗ R

u∗max



0

∗4

1r 2 1 − r∗ 2 R∗ 2 4 R∗ 2 2

=

−u∗max

=

2u∗max mit

=

u∗x (r∗ = 0) = −

R∗ 0

p∗l − p∗0 R∗2 ∆l∗ 4η ∗

Mit den Ergebnissen aus (a) und (b) ergibt sich folgendes Str¨omungsprofil:

u∗x

r∗

u∗m

2R∗

336

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

L¨ osung von Aufgabe 6-1:

zu a: Die Ermittlung des Momentes kann in folgenden 3 Schritten erfolgen: 1) Ermittlung des Druckes in der sog. Schwerpunktsh¨ohe der druckbeaufschlagten Oberfl¨ ache (Klappe) Der hydrostatische Druck in Fl¨ ussigkeiten steigt linear in Richtung von g ∗ an: p∗ (y ∗ ) = p∗0 + ∗ g ∗ y ∗ . Die horizontale Komponente der aus dem Druck resultierenden Kraft ergibt sich als Integral dieses Druckes u ¨ber die horizontale Projektion der Oberfl¨ ache des K¨orpers. In dem betrachteten Beispiel der senkrecht stehenden Fl¨ache gilt folglich Fx∗ =

H ∗ +0,6a∗

(p∗ − p∗0 )a∗ dy ∗

H ∗ −0,4a∗

Dabei wird die infinitesimale Fl¨ achenzunahme durch dA∗ = a∗ dy ∗ ausgedr¨ uckt. Außerdem wird der Umgebungsdruck subtrahiert, da er auf beiden Seiten der Klappe wirkt. Wie sich zeigen l¨aßt, kann man diese Kraft auch allgemein durch Multiplikation des Druckes im F¨achenschwerpunkt der Projektion Sx mit der Koordinate yS∗ und der projezierten Oberfl¨ ache erhalten. Damit gilt im vorliegenden Fall Fx∗ = ∗ g ∗ yS∗ A∗ F¨ ur eine Fl¨ ache, deren horizontale Projektion ein Rechteck ergibt, befindet sich deren Schwerpunkt in der Mitte dieser Projektionsfl¨ache. Die Schwerpunktsh¨ ohe ist folglich yS∗ = H ∗ − 0,6a∗ + 0,5a∗ = H ∗ − 0,1a∗ . Die Kraft betr¨ agt damit Fx∗ = ∗ g ∗ (H ∗ − 0,1a∗ )a∗ 2 . 2) Bestimmung des Angriffspunktes von Fx∗ Durch die Zunahme des Druckes mit der Tiefe fallen der Angriffspunkt von Fx∗ (Druckpunkt) und der Schwerpunkt der Fl¨ache nicht zusammen. I∗ Der Druckpunkt liegt um den Abstand e∗x = y∗ sA∗ tiefer. Dabei ist IS∗ S

x

das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment mit dem Wert IS∗ = der Seitenl¨ange a∗ .

1 ∗4 12 a

f¨ ur Quadrate

3) Ermittlung des Momentes Die im Druckpunkt angreifende Kraft bewirkt im Lager eine ebenso große Reaktionskraft. Dieses Kr¨ aftepaar bewirkt ein Moment, das sich durch Multiplikation der Druckkraft und des Abstands beider Kr¨afte

337

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

y∗ ys∗ Sx (Fl¨achenschwerpunkt) e

∗

e∗x D (Druckpunkt)

ermitteln l¨ asst. Dieser Abstand l∗ ist der Abstand des Druckpunktes vom Auflagerpunkt: l∗ = 0,1a∗ − e∗x . Das Moment betr¨agt daher M∗

= Fx∗ l∗ = ∗ g ∗ yS∗ A∗ (0,1a∗ − e∗x ) = ∗ g ∗ a∗ 2 (0,1a∗ yS∗ − = ∗ g ∗ a∗ 2 (

IS∗ ) a∗ 2

1 ∗ ∗ 7 a H − a∗ 2 ) 10 75

zu b: Aus M ∗ = 0 mit M ∗ aus (a) folgt H ∗ =

14 ∗ 15 a .

L¨ osung von Aufgabe 6-2:

zu a: Es gilt das hydrostatische Grundgesetz, vgl. (6.7): p∗ = p∗B + ∗ g ∗ h∗ Der Druck p∗B bei z ∗ = 0 entsteht durch den Umgebungsdruck p∗0 und zus¨atzlich durch die Gewichtskraft der Platte (G∗ ), die auf die Fl¨ ussigkeitsfl¨ache alterboden (h∗ = H ∗ ) herrscht damit der Druck πR∗2 wirkt. Am Beh¨ G∗ p∗ (z ∗ = H ∗ ) = p∗0 + +∗ g ∗ H ∗ ∗2 πR   p∗ B

338

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

zu b: In einem gleichf¨ormig rotierenden Fluid gilt, vgl. (6.13): 1 p∗ = p∗B + ∗ g ∗ h∗ + ∗ ω ˆ ∗2 r∗2 2 Der Druck p∗B bei z ∗ = 0 und r∗ = 0 ergibt sich anders als zuvor jetzt aus der ¨ folgenden Uberlegung: Es herrscht weiterhin der Umgebungsdruck p∗0 und das Gewicht der Platte f¨ uhrt weiterhin zu einem Druckanteil G∗ /πR∗2 . Die von der Fl¨ ussigkeitsfl¨ ache πR∗2 unmittelbar unter der Platte zu tragende Kraft ist damit insgesamt p∗0 πR∗2 + G∗ . Sie entspricht genau der auf dieser Fl¨ache wirkenden Druckkraft  p∗ (z ∗ = 0,r∗ ) 2πr∗ dr∗ Damit gilt f¨ ur h∗ = 0 und damit p∗ = p∗B + 12 ∗ ω ˆ ∗2 r∗2 also ∗

p∗0 πR∗2

∗

+G =

p∗B πR∗2

∗

+ π ω ˆ

∗2

R

r∗3 dr∗

0





=R∗4 /4

woraus unmittelbar folgt p∗B = p∗0 +

G∗ − ∗ ω ˆ ∗2 R∗2 /4 πR∗2

Der Druck bei z ∗ = 0, h∗ = 0 ist kleiner als im ruhenden Fall und nimmt mit steigender Winkelgeschwindigkeit ω ˆ ∗ ab. Die Druckverteilung im Beh¨alter lautet damit G∗ − ∗ ω ˆ ∗2 R∗2 /4 +∗ g ∗ z ∗ + ∗ ω ˆ ∗2 r∗2 /2 p∗ (z ∗ ,r∗ ) = p∗0 + ∗2 πR  

p∗ B

zu c: ∗ ∗ Wie sich leicht nachvollziehen l¨ aßt, wird der Druck f¨ ur rkrit = zkrit = 0 ∗ minimal. Nach Gleichsetzen des Druckes mit dem Dampfdruck pD = 0,2 p∗0 bei Beachtung der soeben gefundenen Koordinaten liefert die Gleichung f¨ ur "  ∗ ∗ 3,2 p0 4G ∗ p∗ (z ∗ ,r∗ ) die kritische Kreisfrequenz ω ˆ krit = π
∗ R∗4 +
∗ R∗2 .

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

339

L¨ osung von Aufgabe 6-3:

zu a: Die Bernoulli-Gleichung von a nach b lautet p∗0 + ∗ g ∗ H1∗ + ∆p∗p = p∗0 + ∗ g ∗ H2∗ + ∗

u∗2 u∗2 b + b (ζ1 + ζ2 + ζ3 + ζR ) . 2 2

Aufl¨ osen nach u∗b ergibt # 2(∆p∗p − ∗ g ∗ (H2∗ − H1∗ )) u∗b = = 14,72 m/s. ∗ (1 + ζ1 + ζ2 + ζ3 + ζR ) zu b: Durch den Querschnitt b mit A∗b = D∗2 π/4 = 7,854 · 10−3 m2 fließt ein Volumenstrom von V˙ ∗ = A∗b · u∗b = 0,116kg/s. Die gesuchte Pumpleistung ergibt sich durch Multiplikation von Druckunterschied und Volumenstrom: PP∗ = ∆p∗p · V˙ ∗ = 57,81 kW Die elektrische Antriebsleistung ergibt sich durch Ber¨ ucksichtigung des Wirkungsgrades: Antriebsleistung: Pel∗ =

PP∗ = 82,58 kW ηP

zu c: Das Aufl¨ osen der Bernoulli-Gleichung nach dem Druckunterschied ergibt folgenden Ausdruck: ∆p∗p = ∗ g ∗ (H2∗ − H1∗ ) + ∗

u∗2 b (1 + ζ1 + ζ2 + ζ3 + ζR ) 2

Da der Massenstrom das Produkt aus Dichte und Volumenstrom ist, m ˙∗ = ∗ ∗ ∗  Ab ·ub = 115,61kg/s, kann er u upfung Eingang in die soeben ¨ber diese Verkn¨ umgeformte Gleichung erhalten. ∆p∗p ∆p∗p

m ˙ ∗2 (1 + ζ1 + ζ2 + ζ3 + ζR ) 2∗ A∗2 Pa s2 = 88 290 Pa + 30,80 ·m ˙ ∗2 kg2 = ∗ g ∗ (H2∗ − H1∗ ) +

340

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

L¨ osung von Aufgabe 6-4:

zu a: Als Modellvorstellung k¨ onnen hier zwei Stromr¨ohren betrachtet werden, die achst nebeneinander“ durch die Rohrleitung sowie vom Querschnitt 1 zun¨ ” die Pumpe str¨ omen und sich dann im Verteiler verzweigen. Bis zum Verteiler m¨ ussen die Geschwindigkeiten in beiden Stromr¨ohren identisch sein. Die zugef¨ uhrte spezifische technische Arbeit an beide Stromr¨ohren ist ebenfalls gleich. Es gilt somit nach der erweiterten Bernoulli-Gleichung (6.20)
∗ 
∗   ∗2  ∗2 ∗ ∗ u + p2 − u + p1 1 → 2 : = ∗ wt∗ 2 S2 2 S1
 ∗ ∗2 2L∗ − uS1 λR ∗ + ζa 2 D
 ∗ L∗  − u∗2 λ R ∗ 2 S2 D 
∗ 
∗  ∗2  ∗2 u + p∗3 − u + p∗1 = ∗ wt∗ 1 → 3 : 2 S3 2 S1
 2L∗ ∗ − u∗2 + ζ λ R b 2 S1 D∗
 L∗ ∗ − u∗2 S3 λR ∗ 2 D Da am Austritt und Eintritt jeweils Umgebungsbedingungen herrschen, ist der Druck dort identisch (p∗1 = p∗2 = p∗3 ) und f¨allt somit aus BernoulliGleichung heraus. Zus¨ atzlich muß die Kontinuit¨atsgleichung erf¨ ullt werden. Bei gleichen Querschnitten reduziert sich diese zu u∗S1 = u∗S2 + u∗S3 Somit stehen drei Gleichungen zur Bestimmung der drei unbekannten Gr¨oßen (wt∗ , u∗S1 und u∗S3 ) zur Verf¨ ugung. Ein m¨ oglicher L¨osungsweg ist nun, die beiden Energie-Gleichungen von einander abzuziehen. ∗2 ∗2 u∗2 S2 − uS3 = −uS1 (ζa − ζb ) − λR

L∗ ∗2 (u − u∗2 S3 ) D∗ S2

uhrt auf eine quadratische Gleichung mit der L¨osung Einsetzen von u∗S1 f¨ u∗S3 = 0,905 m/s Die Geschwindigkeit ist also erwartungsgem¨ aß in dem Rohrzweig mit dem h¨ oheren Reibungswiderstand geringer (u∗S3 < u∗S2 ).

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

341

zu b: Nach der Kontinuit¨ atsgleichung folgt f¨ ur die Geschwindigkeit an der Stelle 1 u∗S1 = u∗S2 + u∗S3 = 1,905 m/s zu c: Aus der Bilanz 1 → 2 kann die zugef¨ uhrte spezifische Arbeit ermittelt werden.




L∗ 2L∗ 1 J ∗2 − ζ 1 + λ − u 1 − λ = 16,11 wt∗ = u∗2 R ∗ R a S2 S1 2 D D∗ kg Der Massenstrom im Querschnitt 1 ist π m ˙ ∗ = u∗S1 ∗ A∗1 = u∗S1 ∗ D∗2 = 93,51 kg/s 4 Somit ergibt sich f¨ ur die gesuchte Pumpen-Wellenleistung ∗ PM =

m ˙ ∗ wt∗ = 2152,1 W 0,7

L¨ osung von Aufgabe 6-5

zu a: Es stehen drei Gleichungen zur L¨ osung dieser Aufgabe zur Verf¨ ugung: • Kontinuit¨ atsgleichung (4.12): u∗S1 A∗1 = u∗S2 A∗2

⇒

u∗S1 = u∗S2

A∗2 A∗1

• Bernoulli-Gleichung (6.20):
∗ 
∗   ∗2  ∗2 ∗ ζ2 uS2 + p2 − uS1 + p1 = − u∗2 2 2 2 S2 • x-Impuls-Gleichung (6.40):   ∗ u∗ dQ∗ = − p∗ dAˆ∗x − Rx∗ ˆ∗ A

ˆ∗ A

342

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

Die Kontinuit¨ atsgleichung und die Bernoulli-Gleichung k¨onnen direkt ausgewertet werden. F¨ ur die Impulsbilanz muß auf die korrekte Bestimmung der Vorzeichen geachtet werden, wie im folgenden gezeigt wird. Desweiteren vereinfachen sich die Integrale, da von einer eindimensionalen Str¨omung ausgegangen werden kann. Wie in Abschnitt 6.4 erl¨ autert, z¨ ahlen eintretende Massenstr¨ome negativ und austretende positiv, somit gilt:  ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ u∗ dQ∗ = ∗ u∗2 S2 A2 −  uS1 A1 

ˆ∗ A

Der Ausdruck − p∗ dAˆ∗x − Rx∗ kann dadurch bestimmt werden, daß die Reaktionskraft Rx∗ des Diffusors auf das Fluid im Kontrollvolumen nicht getrennt behandelt wird. In einer reibungsfreien Str¨omung entsteht Rx∗ aufgrund von Druckkr¨ aften (und nicht durch Schubspannungen). Es wird jetzt angenommen, daß auf der gesamten Querschnittsfl¨ache an der Stelle 1 , also ur die Vorzeichen auf Aˆ∗1 = A∗2 und nicht nur auf A∗1 , der Druck p∗1 herrscht. F¨ der Druckkr¨ afte muß ber¨ ucksichtigt werden, daß der Fl¨achennormalenvektor an der Stelle 1 nach links (negatives Vorzeichen) zeigt und an der Stelle 2 nach rechts (positives Vorzeichen). Es ergibt sich somit:  p∗ dAˆ∗x − Rx∗ = A∗2 (p∗1 − p∗2 ) − ˆ∗ A

Die Impulsbilanz f¨ ur den Kanal mit sprunghafter Querschnittserweiterung unter Verwendung der Kontinuit¨ atsgleichung lautet also:
 A∗2 ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 A −  u A = A (p − p ) ⇒ p − p = u 1 − ∗ u∗2 S2 2 S1 1 2 1 2 1 2 S2 A∗1 ¨ Zur anschaulichen Uberpr¨ ufung kann ausgenutzt werden, daß in einem Diffusor der Druck in Str¨ omungsrichtung ansteigen sollte, also p∗1 − p∗2 < 0. Da das Fl¨ achenverh¨ altnis A∗2 /A∗1 > 1 ist, ist auch die rechte Seite der Impulsbilanz negativ (⇒ Plausibilit¨ atspr¨ ufung erf¨ ullt). Die Bernoulli-Gleichung kann ebenfalls nach der Druckdifferenz aufgel¨ost werden $ %
∗ 2 ∗  ∗  A   2 ∗2 ∗2 u∗2 u∗2 1 − + ζ2 p∗1 − p∗2 = S2 − uS1 + uS2 ζ2 = 2 2 S2 A∗1 Der Ausdruck p∗1 − p∗2 wurde also aus der Impulsbilanz und der BernoulliGleichung bestimmt und kann nun gleichgesetzt werden, um die gesuchte Widerstandszahl ζ2 zu ermitteln. $ %
∗ 2
 A2 ∗ ∗2 A∗2 ∗2 uS2 1 − + ζ = u 1 − 2 S2 2 A∗1 A∗1

343

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

ζ2 ζ2



∗ 2 A2 A∗2 = 2 1− ∗ −1+ A1 A∗1
∗ 2
2 A2 A∗2 A∗2 = − 2 + 1 = 1 − A∗1 A∗1 A∗1

L¨ osung von Aufgabe 7-1 Es soll im folgenden gezeigt werden, wie die Aufgabe graphisch mit Hilfe von Bild 7.3 gel¨ ost werden kann. Da die Str¨ omung isentrop ist, kann jeder Zustand innerhalb des Kanals anhand des Diagramms bestimmt werden. 3 κ = 1,4

Ma = 2

2 Aˆ

Aˆ = 1,72

Ma

Aˆ = 1,38 1 T 

us

0 1

0,5 pkrit

0,195 0,13 p

0

zu a: Nach dem Diagramm nach Bild 7.3 liegt eine Machzahl von Ma2 = 2 bei einem Druckverh¨ altnis von p∗2 = 0,13 p∗0 vor. Das zugeh¨ orige Fl¨ achenverh¨ altnis Aˆ = A∗ /A∗min kann zu 1,72 bestimmt werden. Die gesuchte Fl¨ ache im engsten Querschnitt ist somit Aˆ∗ = A∗2 /1,72 = 0,058 m.

344

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

zu b: Mit dem bekannten Fl¨ achenverh¨ altnis von Austritt 3 zu engstem Querschnitt 0,08 m A∗3 = 1,38 = ∗ Amin 0,058 m liefert das Diagramm folgendes Druckverh¨ altnis: p∗Umg p∗3 = = 0,195 p∗0 p∗0 Somit ergibt sich der gesuchte Kesseldruck zu p∗0 = 1 bar/0,196 = 5,13 bar. zu c: Aus Aufgabenteil a) ist p∗2 /p∗0 = 0,13 bekannt. Somit ist p∗2 = 0,13 ·5,13 bar = 0,67 bar. zu d: Zur L¨ osung dieses Aufgabenteils gibt es mehrere M¨oglichkeiten. Es soll hier beispielhaft folgender L¨ osungsweg gezeigt werden. Aus dem Diagramm kann T2∗ /T0∗ = 0,54 ⇒ T2∗ = 161,23 K entnommen werden. F¨ ur die Geschwindigkeit an der Stelle 2 gilt somit (2-fache Schallgeschwindigkeit, Ma2 = 2):  u∗2 = 2 κR∗ T2∗ = 509,05 m/s Die Dichte kann u ¨ ber das ideale Gasgesetz ermittelt werden: ∗2 =

p∗2 kg = 1,45 3 R∗ T2∗ m

Somit sind alle Gr¨ oßen bekannt, um den Massenstrom zu bestimmen: m ˙ ∗ = ∗2 u∗2 A∗2 = 73,81

kg s

L¨ osung von Aufgabe 8-1

zu a: Zun¨ achst kann die Ergiebigkeit der Quelle Q∗ ermittelt werden. Der Hang wird durch die Stromlinie abgebildet, so daß u ¨ ber die Hanglinie hinweg“ ” kein Massenstrom auftritt. Dar¨ uber hinaus kann davon ausgegangen werden,

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

345

daß f¨ ur x∗ → ∞ wieder die Anstr¨ omgeschwindigkeit u∗∞ vorliegt, siehe auch ur den Austritt Beispiel 8.1. Es gilt also f¨ ur den Eintritt Q∗ein = 2y0∗ u∗∞ und f¨ Q∗aus = 2(H ∗ + y0∗ )u∗∞ . Die Differenz zwischen den beiden Gr¨oßen ist die Ergiebigkeit Q∗ der Quelle, also Q∗ = Q∗aus − Q∗ein = 2H ∗ u∗∞ Im Punkt A ist die Steigung des Hanges bekannt, die auch die Steigung der ∗ zugeh¨ origen Stromlinie ist. Es gilt also m = tan α = vA /u∗A , wobei der Index ∗ ∗ ∗ ∗ A die Stelle x = 0 und y = y0 + HA kennzeichnen soll. Nach Tabelle ∗ ¨ 8.2 gilt f¨ ur die Uberlagerung einer Parallelstr¨omung (v∞ = 0) mit einer ∗ Quellenstr¨ omung der St¨ arke Q : u∗ v∗

x∗ Q∗ 2π x∗2 + y ∗2 y∗ Q∗ ∗ = v∞ + ∗2 2π x + y ∗2 = u∗∞ +

⇒

u∗A = u∗∞

⇒

∗ vA =

1 H ∗ u∗∞ ∗ π y0∗ + HA

Im Punkt A gilt somit: m=

∗ 1 H∗ vA = ∗ ∗ uA π y0∗ + HA

⇒

y0∗ =

H∗ ∗ − HA = 100 m πm

zu b: F¨ ur v ∗ = const bzw. v ∗ /u∗∞ = const muß gelten: y∗ v∗ H∗ = const = u∗∞ π x∗2 + y ∗2 In der Abbildung ist der Hang des Segelfluggel¨andes zusammen mit weiteren Stromlinien angegeben. Linien konstanten Aufwindes (v ∗ /u∗∞ = const) sind als Kreise zu erkennen.

zu c: Um das Maximum des Aufwindes zu bestimmen, kann formal die Ableitung dv ∗ /dx∗ gebildet und hiermit das Maximum ermittelt werden. Es ist aber auch durch Hinschauen“ zu erkennen, daß v ∗ seinen Maximalwert bei x∗ = 0 ” ∗ besitzt, da x∗2 im Nenner steht. Das maximale Verh¨altnis vmax /u∗∞ in einer ∗ alt man nun durch Auswerten von v ∗ an der Flugh¨ ohe von h = 100 m erh¨ ∗ ∗ ∗ ∗ Stelle y = y0 + H + h = 400 m und x∗ = 0: ∗ vmax 1 H∗ 1 = = u∗∞ π y0∗ + H ∗ + h∗ 2π

⇒

∗ vmax ≈ 0,16 · u∗∞

346

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

maximaler Aufwind 500 Flugbahn (h∗ = 100m)

400 300 200 Quelle

100 0

-400

-200

0

Trennstromlinie 200

400

600

800

L¨ osung von Aufgabe 8-2

zu a: ¨ Es handelt sich bei dem vorliegenden Problem um eine Uberlagerung von drei Einzell¨ osungen, so daß hier das Problem der Wahl des Koordinatensystems mit hinzukommt. Es soll hier so gew¨ ahlt werden, daß der Ursprung des Koordinatensystem mit dem Ursprung der Senke u ¨bereinstimmt. Es folgt dann nach Tabelle 8.2 f¨ ur die Geschwindigkeit u∗ , wobei beachtet werden muß, daß die Quelle um x∗Q verschoben ist. u∗ = u∗∞ −

x∗ − x∗Q Q∗ x∗ Q∗ + 2π x∗2 + y ∗2 2π (x∗ − x∗Q )2 + y ∗2  

 

Senke Quelle

Hierbei ist Q∗ die noch unbekannte Ergiebigkeit der Quelle bzw. Senke (gleicher Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen) und x∗Q der noch unbekannte Abstand zwischen Quelle und Senke. Allerdings muß aufgrund der Symmetrie gelten, daß x∗Q = L∗ + 2x∗S ist, wobei x∗S der Abstand von der Senke/Quelle zum entsprechenden Staupunkt ist. Um x∗S zu bestimmen, kann (neben yS∗ = 0) ausgenutzt werden, daß die Geschwindigkeit im Staupunkt definitionsgem¨aß Null ist: 0 = u∗∞ −

1 Q∗ 1 Q∗ + 2π x∗S 2π x∗S − x∗Q

Die Ergiebigkeit ist wie in Beispiel 8.1 gegeben durch Q∗ = 2H ∗ u∗∞ . Es folgt unter Ber¨ ucksichtigung von x∗Q = L∗ + 2x∗S :


1 1 H ∗ 0 = u∞ 1 − + ∗ π x∗S L + x∗S

347

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

L¨osen der quadratischen Gleichung f¨ uhrt auf: #
2 ∗ ∗ L∗ − 2H ∗ /π − 2H /π L H ∗ L∗ ∗ xS = − + = 20 m + 2 2 π Somit folgt x∗Q = 100 m und es sind alle Gr¨ oßen der Gleichung zur Bestimmung der Geschwindigkeit bekannt. Auswerten an der Stelle y ∗ = 0 und x∗ = x∗Q /2 = 50 m (Punkt A) liefert: ∗

u =

u∗∞

% $ Q∗ 1 Q∗ 1 2H ∗ 1 ∗ − = u∞ 1 − = 18 km/h − 2π x∗Q /2 2π x∗Q /2 π x∗Q /2

In der Abbildung bilden die Trennstromlinien die H¨ange. Dar¨ uber sind weitere Stromlinien eingezeichnet.

70 60 50

y∗ m 40

30 20 10 0 x∗s

-10 -20 -50

L∗

x∗s

x∗Q 0

50

100

x∗ m

150

348

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

L¨ osung von Aufgabe 9-1 Nach Gleichung B9.1-3 aus Beispiel 9.1 gilt f¨ ur den Widerstandsbeiwert einer beidseitig benetzten, laminar u omten Platte: ¨ berstr¨ cW =

∗ 2Wzb 1,328 =2·  ∗ B ∗ L∗ u∗2 u∗∞ L∗ /ν ∗ ∞

∗ Dies kann nach der gesuchten Widerstandskraft Wzb aufgel¨ost werden: √ ∗ Wzb = 1,328 ν ∗ L∗ ∗ B ∗ u∗3/2 ∞

F¨ ur die l¨ angs angestr¨ omte Platte gilt f¨ ur die Breite B ∗ = l∗ sowie f¨ ur die ∗ ∗ L¨ ange L = 2l und somit √ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗3/2 Wl¨ angs = 1,328 ν 2l  l u∞ Die quer angestr¨ omte Platte hat die Abmessungen B ∗ = 2l∗ , L∗ = l∗ und die Widerstandskraft √ ∗ Wquer = 1,328 ν ∗ l∗ ∗ (2l∗ )u∗3/2 ∞ F¨ ur das Verh¨ altnis der Kr¨ afte folgt √ ∗ Wl¨ 2l∗ l∗ 1 angs = √ · ∗ = √ ∗ ∗ Wquer 2l 2 l Solange die Grenzschichten√an der Platte laminar sind, ist die Widerstandskraft bei Queranstr¨ omung 2-mal so groß wie bei L¨angsanstr¨omung. Dies war qualitativ zu erwarten, da der Geschwindigkeitsgradient (und somit auch die Wandschubspannung) ausgehend von der Vorderkante monoton abnimmt. Bei einer breiten Platte wirkt die h¨ ohere Schubspannung nun auf einer gr¨oßeren Fl¨ ache und f¨ uhrt zu einer gr¨ oßeren Widerstandskraft als bei der L¨angsanstr¨ omung einer vergleichbaren Platte. L¨ osung von Aufgabe 9-2

zu a: Die zweidimensionale turbulente Impulsbilanz in x-Richtung lautet (ohne Auftriebskr¨ afte):  

2 ∗  ∗ 2 ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ v∗  ∂ ∂u∗ ∂p ∂ ∂u ∂u ∂u ∂u u u ∗ ∗ − + u∗ ∗ + v ∗ ∗ = − ∗ + η + + ∂t∗ ∂x ∂y ∂x ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂x∗ ∂y ∗ die durch folgende Annahmen vereinfacht werden kann

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

• station¨ ar • ausgebildet

349

∂u∗ =0 ∂t∗ ∂ ... =0 ⇒ ∂x∗

⇒

• keine Querstr¨ omung (aus der Kontinuit¨ atsgleichung): ∂u∗ ∂v ∗ + =0 ∂x∗ ∂y ∗ 

⇔

v ∗ = const = 0

=0

Die Impulsbilanz vereinfacht sich damit zu  

2 ∗

 ∗ ∗  ∗ ∂ ∂τ ∗ ∗ ∂ u ∗ ∂u v ∗ ∂u ∗ ∗ ∗ 0=η = −  η = −  u v ∂y ∗2 ∂y ∗ ∂y ∗ ∂y ∗   ∂y ∗   =τt∗ =τv∗

zu b: Es gilt nach Gleichung (5.24)  ∗ 2    κ   ∂u  2  ∂u∗ 2 ∂u∗ ∗ ∗ ∗ ∗2     τt∗ = ηt∗ ∗ = ∗ L∗2 2H =  y − y t   ∂y ∗  ∂y ∂y ∗  2H ∗ zu c: ∗ Es gilt in der Kernschicht, daß τt∗  τv∗ ist, also τt∗ = τW    κ  2  ∂u∗ 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2   2H y − y τt = τW =   ∂y ∗  2H ∗ # ∗ 2H ∗ ∂u∗ 1 τW ⇒ = ∂y ∗ κ ∗ (2H ∗ y ∗ − y ∗2 ) #
 ∗ τW y∗ 1 u∗ = ln + B∗ κ ∗ 2H ∗ − y ∗

Hierbei ist B ∗ die Integrationskonstante, die bestimmt werden kann, indem man ausnutzt, daß aus Symmetrie-Gr¨ unden auf der Mittellinie y ∗ = H ∗ die ∗ ∗ Geschwindigkeit u = uW /2 vorliegt. #
 ∗ H∗ 1 τW u∗W ∗ ∗ = u (H ) = ln +B ∗ 2 κ ∗ 2H ∗ − H ∗ 

 =0

350

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

Somit folgt B ∗ = u∗W /2 und das gesuchte Geschwindigkeitsprofil im Bereich der Kernschicht lautet #
 ∗ y∗ τW 1 1 u∗ = ln + u∗W κ ∗ 2H ∗ − y ∗ 2

zu d: ∗ , mit der turbulenten SchubIn der wandnahen Schicht gilt weiterhin τt∗ = τW spannung als #  ∗ 2  ∗ 2 ∗     τW 1 ∂u∗ ∗ ∗ ∗ ∗2  ∂u  ∗ ∗ 2  ∂u  τt = τW =  Lt  ∗  =  (κy )  ∗  ⇔ = ∗ ∂y ∂y ∂y ∗ κy ∗

Es ist bereits zu erkennen, daß diese Gleichung durch Trennung der Variablen und anschließende Integration zu l¨ osen ist. Allerdings w¨ urde dann die dimenurlichen Logarithmus auftreten, sionsbehaftete Gr¨ oße y ∗ als Argument des nat¨ was nicht zul¨ assig ist. Es hat sich deshalb durchgesetzt, den Wandabstand  ∗ mit Hilfe der sog. Wandschubspannungsgeschwindigkeit u∗τ = τW /∗ und ∗ ∗ ∗ der kinematischen Viskosit¨ at ν = η / zu entdimensionieren. Koordinatentransformation: y ∗ → y + =

y ∗ u∗τ ν∗

In entdimensionierter Form lautet die Gleichung zur Bestimmung der Geschwindigkeit also: # # 1 1 ∗ ∂u∗ ∗ · = ⇒ · u∗ = ln y + + C ∗ ∗ + + τW ∂y κy τW κ Die Integrationskonstante C ist universell g¨ ultig und wurde f¨ ur glatte W¨ande durch Messungen zu 5,0 bestimmt. Das gesuchte Geschwindigkeitsprofil in Wandn¨ ahe lautet also # % # $ # ∗ ∗ ∗ ∗ τ τ τW 1 y W W + u∗ = ln ·C κ ∗ ν ∗ ∗ ∗

zu e: In unmittelbarer Wandn¨ ahe (viskose Unterschicht) gilt τv∗  τt∗ und somit ∗ ∗ τv = τW 
 ∗ ∗ ∂u∗  τW ∗ ∗ ∗ ∂u ∗ ∗ ∗ = τv = τW = η ⇒ u = ∗ ·y ·y ∂y ∗ η ∂y ∗ w

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

351

Die nachfolgende Abbildung zeigt den Geschwindigkeitsverlauf in der viskosen Unterschicht nach Aufgabenteil e) (durchgezogenen Linie), im wandnahen logarithmischen Bereich nach d) (strich-punktierte Linie) und in der Kernschicht nach c) (gepunktete Linie). Die Verl¨ aufe wurden f¨ ur eine Reynoldsur wurden die Wandschubspannung Zahl von Re2H = 48 354 ermittelt. Hierf¨ ∗ zu τW = 30 N/m2 , die Dichte zu ∗ = 1 kg/m3 und die kinematische Viskosit¨at zu ν ∗ = 0,01 m2 /s2 gesetzt. Die Wandgeschwindigkeit u∗W = 241,77 m/s, mit der auch die Reynolds-Zahl gebildet wurde, wurde durch ein hier nicht n¨aher erl¨ autertes Anpassen der Profile aus c) und d) ermittelt. 1 0.9

∗ e) mit τW /η∗ = 3000/s ∗ d) mit τW /ρ∗ = 30 m2 /s2 c) mit u∗W = 241,77 m/s

0.8

u∗ /u∗W

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.5

1

y∗ /H ∗

1.5

2

L¨ osung von Aufgabe 10-1 Um den Druckverlust in der Rohrleitung bestimmen zu k¨onnen, muß zun¨achst die Reynolds-Zahl ermittelt werden Re =

u∗S D∗ = 100 000 ν∗

Die Rohrreibungszahl kann anhand des Moody-Diagramms (Bild B10.2) zu λR = 0,018 ermittelt werden. Der Druckverlust ergibt sich nach (6.20) zu 

∗ ∗2 ∗ ∗2 ∗ L∗ ∗ ∗ p2 − uS2 − p1 − uS1 = − u∗2 S2 λR ∗ 2 2 2 D

352

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

Da sich der Querschnitt des Rohrs nicht a ¨ndert, bleibt die Geschwindigkeit konstant (u∗S2 = u∗S1 = u∗S ). Es folgt somit: ∆p∗ = p∗2 − p∗1 = −

L∗ ∗ ∗2 N uS2 λR ∗ = −243 2 2 D m

Die gesuchte Kraft ergibt sich also zu F ∗ = |∆p∗ | · A∗ = |∆p∗ | ·

π ∗2 D = 1,91 N 4

L¨ osung von Aufgabe 10-2

zu a: Um den Druckverlust ermitteln zu k¨ onnen, ist zun¨achst die Reynolds-Zahl zu bestimmen: u∗ D ∗ Re = = 106 ν∗ Es kann nun f¨ ur den Vor- und Nachlauf die Rohrreibungszahl λR anhand des Moody-Diagramms nach Bild B10.2 zu λR = 0,012 bestimmt werden. Alternativ kann z.B. eine iterative Berechnung anhand des impliziten Widerstandsgesetzes nach Tabelle 10.4 erfolgen. $ " % " 1 8 λR 1 Re + C + + C + C ⇒ λR = 0,0117 = ln λR κ 2 8 Der Druckverlust setzt sich aus Verlusten im Vor- und Nachlauf sowie im Kr¨ ummer zusammen.

∗
  LV ∗ L∗N ∆p∗ges = u∗2 λR · + + ζ = 15 775 Pa Kr 2 D∗ D∗ zu b: Gegen¨ uber der Teilaufgabe a) ¨ andert sich lediglich, daß sich der Druckverlust aus drei geraden Rohrst¨ ucken zusammensetzt, die Rohrreibungszahl λR a¨ndert sich nicht. Die bezogene Gesamtl¨ ange ist nun L∗ /D∗ = L∗V /D∗ + L∗N /D∗ + π/4 und der Druckverlust ergibt sich zu:

∗
 LV ∗ ∗2 L∗N π ∗ ∆pRohr = u + ∗ + λR · = 9 234 Pa 2 D∗ D 4 Der Anteil des Druckverlustes, der nicht auf die Reibung zur¨ uckzuf¨ uhren ist, ist somit ∆p∗ = ∆p∗ges − ∆p∗Rohr = 6 541 Pa

L¨ osungswege und -Hinweise zu den Aufgaben

353

und die zugeh¨ orige Widerstandszahl lautet ζ=

2∆p∗ = 0,131 ∗ u∗2

zu c: Da sich die Geschwindigkeit um den Faktor 10 verkleinert, verringert sich auch die Reynolds-Zahl auf Re = 105 . Die Rohrreibungszahl kann dann zu λR = 0,0183 bestimmt werden. Der Druckverlust ergibt sich zu

∗
  LV ∗ ∗2 L∗N π ∗ + ∗ + ∆pges = u λR · + ζ = 209,9 Pa 2 D∗ D 4

zu d: Analoges Vorgehen f¨ uhrt hier auf einen Druckverlust von

∗
  ∗ ∗2 LV L∗N ∗ + ∗ + ζKr = 207,3 Pa λR · ∆pges = u 2 D∗ D Der Unterschied zwischen beiden Ergebnissen betr¨agt 1,3 % und ist somit zu vernachl¨ assigen. Die Annahme einer konstanten, Re-unabh¨angigen Widerstandszahl ist offensichtlich gerechtfertigt.

Anhang 1:

Vektoroperatoren und ihre Bedeutung in kartesischen Koordinaten

In einer vektoriellen Formulierung gelten die Grundgleichungen einheitlich, d.h. unabh¨ angig vom Koordinatensystem. Um daraus die Gleichungen f¨ ur ein bestimmtes Koordinatensystem zu gewinnen, m¨ ussen die einheitlich g¨ ultigen Vektoroperationen in die koordinaten-spezifische Form u ¨ bersetzt“ werden. ” ¨ F¨ ur eine Ubertragung auf kartesische Koordinaten enth¨alt die nachfolgende Tabelle einige wichtige Operatoren einschließlich ihrer Bedeutung in kartesischen Koordinaten. Um besser erkennen zu lassen, welche Stufe (Skalar, Vektor, Tensor) die ur Skalare, einzelnen Operatoren ergeben, sind allgemeine Gr¨oßen s∗ und sˆ∗ f¨ ∗ ur Vektoren, T ∗ f¨ ur Tensoren gew¨ahlt worden. Die mit ( ˆ ) v ∗ und vˆ f¨ gekennzeichneten Gr¨ oßen sind f¨ ur die F¨ alle eingef¨ uhrt worden, in denen der Operator die Stufe nicht ¨ andert, wie z.B. der Operator rot , der angewandt auf einen Vektor wieder einen Vektor ergibt. Die linke Spalte der Tabelle zeigt jeweils zwei oder mehrere gleichwertige symbolische Schreibweisen f¨ ur ein und denselben Operator, da leider keine einheitliche Schreibweise besteht.

Vektor-Operator

ergibt in IndexSchreibweise

ergibt ausgef¨ uhrt in kartesischen Koordinaten

Gradient des Skalars s∗ ∗

grad s = ∇s

∗

vi∗

∂s∗ = ∂x∗i




∗

v =

∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ , , ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗



Gradient des Vektors v ∗ ⎡

grad v ∗ = ∇v ∗

t∗ij =

∂vj∗ ∂x∗i

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∗ T =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂v1∗ ∂x∗ ∂v1∗ ∂y ∗ ∂v1∗ ∂z ∗

∂v2∗ ∂x∗ ∂v2∗ ∂y ∗ ∂v2∗ ∂z ∗

Fortsetzung der Tabelle auf der folgenden Seite

∂v3∗ ∂x∗ ∂v3∗ ∂y ∗ ∂v3∗ ∂z ∗

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

356

Anhang 1

Vektoroperatoren in kartesischen Koordinaten

Fortsetzung der Tabelle von der vorigen Seite

Divergenz des Vektors v ∗ div v ∗ = ∇ · v ∗

s∗ =

∂vi∗ ∂x∗i

s∗ =

∂v1∗ ∂v2∗ ∂v3∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

Divergenz des Tensors T ∗ ⎛

Div T ∗ = ∇ · T ∗

vi∗ =

∂t∗ji ∂x∗j

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ v ∗ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

∂t∗11 ∂t∗21 ∂t∗31 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∗ ∗ ∂t22 ∂t∗32 ∂t12 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∗ ∗ ∂t23 ∂t∗33 ∂t13 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

⎞

T

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Rotation des Vektors v ∗ ⎛

rot v ∗ = ∇ × v ∗

vˆi∗ = ijk

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ vˆ ∗ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

∂vk∗ ∂x∗j

∂v3∗ ∂v ∗ − 2∗ ∗ ∂y ∂z ∗ ∂v1 ∂v ∗ − 3∗ ∗ ∂z ∂x ∗ ∂v2 ∂v ∗ − 1∗ ∗ ∂x ∂y

⎞

T

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Laplace-Operator auf s∗ ∆s∗ = ∇2 s∗ = div grad s∗ = ∇ · (∇s∗ )

sˆ∗ =

∂ 2 s∗ ∂x∗i ∂x∗i

sˆ∗ =

∂ 2 s∗ ∂ 2 s∗ ∂ 2 s∗ + + ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

Tab. A1.1: Vektoroperatoren und ihre Bedeutung in kartesischen Koordinaten s∗ , sˆ∗ : Skalare ˆ∗ : Vektoren; v ∗ ,  v T ∗:

ijk :

Tensor;

 v

∗

T∗ =

= (v1∗ , v2∗ , v3∗ );

⎡ ⎣

t∗11 t∗21 t∗31

t∗12 t∗22 t∗32

ˆ ∗ = (ˆ  v v1∗ , vˆ2∗ , vˆ3∗ ) t∗13 t∗23 t∗33

⎤ ⎦

Bei der Indexschreibweise gilt die Summationskonvention, s. Anmerkung 4.7/S. 70 Permutationssymbol (+1, −1 oder 0, abh¨ angig von der Zahlenfolge i, j, k)

Anhang 2:

Andere Koordinatensysteme/ Grundgleichungen in Zylinderkoordinaten

Im vorliegenden Buch sind alle Gleichungen in kartesischen Koordinaten angegeben worden. F¨ ur bestimmte Str¨ omungen ist es allerdings zweckm¨aßig, die Gleichungen in anderen, den Str¨ omungen besser angepaßten Koordinaten zu formulieren. Neben den kartesischen sind deshalb folgende Koordinaten gebr¨ auchlich, die jeweils in bezug auf das kartesische Koordinatensystem (x∗ , onnen: y ∗ , z ∗ ) angegeben werden k¨ ∗ Zylinderkoordinaten (x∗Z , rZ , ϕZ )

x∗Z ∗ rZ ϕZ

= x∗  = y ∗2 + z ∗2 = arctan(z ∗ /y ∗ )

∗ Kugelkoordinaten (rK , ϕK , ΘK )  ∗ = x∗2 + y ∗2 + z ∗2 rK

ϕK ΘK

= arctan(z ∗ /y ∗ )  = arctan(x∗ / y ∗2 + z ∗2 )

Allgemeine k¨ orperangepaßte Koordinaten (s∗ , n∗ , l∗ ) s∗ : n∗ : l∗ :

wandparallele Koordinate wandnormale Koordinate laterale Koordinate

Die Gleichungen in neuen Koordinatensystemen k¨onnen prinzipiell auf zwei Wegen gewonnen werden: 1. Ausgehend von den Gleichungen in kartesischen Koordinaten unter Beachtung der Kettenregeln bei der Umschreibung partieller Ableitungen von einem auf ein anderes Koordinatensystem unter Beachtung der Transformationsvorschriften f¨ ur die Einheitsvektoren in den jeweiligen Koordinatensystemen Beispiele hierf¨ ur finden sich u.a. in Jischa (1982). 2. Ausgehend von den Gleichungen in Vektordarstellung, die einheitlich f¨ ur alle Koordinatensysteme gilt und anschließendes Umschreiben in das gew¨ unschte Koordinatensystem unter Beachtung der jeweiligen Vektorund Tensoroperatoren, s. dazu auch Anmerkung 4.8 .

358

Anhang 2

Grundgleichungen in Zylinderkoordinaten

y *(v *) r*(v*) x*(u*)

'(w*)

x*(u*)

z*(w*)

kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten u∗ : v∗ : w∗ :

Axialgeschwindigkeit Radialgeschwindigkeit Umfangsgeschwindigkeit

Bild A2.1: Lage des Zylinder-Koordinatensystems

Beispiele hierf¨ ur finden sich u.a. in Panton (1996) und Bird et al. (1960). In der nachfolgenden Tabelle A2.1 sind beispielhaft die allgemeinen Bilanzgleichungen f¨ ur die Masse und den Impuls analog zu Tab. 4.1 in Zylinderkoordinaten angegeben. Die konstitutiven Gleichungen f¨ ur Newtonsche Fluide ebenfalls in Zylinderkoordinaten enth¨alt Tab. A2.2 (analog zu Tab. 4.2). Die Lage der Koordinaten ist in Bild A2.1 skizziert. Dabei ist zu beachten, ur die drei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors beibedaß u∗ , v ∗ , w∗ f¨ halten worden sind, diese aber gegen¨ uber einem kartesischen Koordinatensystem eine andere Bedeutung haben, wie ebenfalls in Bild A2.1 ausgef¨ uhrt ist.

Anhang 2

D ∂ ∂ ∂ w∗ ∂ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + ∗ ∗ Dt ∂t ∂x ∂r r ∂ϕ

Kontinuit¨ atsgleichung

∂(∗ u∗ ) 1 ∂(r∗ ∗ v ∗ ) 1 ∂(∗ w∗ ) ∂∗ =0 + + + ∂ t∗ ∂x∗ r∗ ∂r∗ r∗ ∂ϕ x-Impulsgleichung Du∗ ∗ ∗ Dt

=

fx∗

∂p∗ − ∗+ ∂x

359

Grundgleichungen in Zylinderkoordinaten




∗ ∗ ∗ ∂τxx ) 1 ∂(r∗ τrx 1 ∂τϕx + + ∂x∗ r∗ ∂r∗ r∗ ∂ϕ

(K∗ ) 

r-Impulsgleichung
∗  Dv w∗2 ∂p∗ ∗ − = fr∗ − ∗ ∗ ∗ Dt r ∂r
∗ ∗ ∗  ∗ ∗ τϕϕ ∂τxr 1 ∂(r τrr ) 1 ∂τϕr − + + + ∂x∗ r∗ ∂r∗ r∗ ∂ϕ r∗ ϕ-Impulsgleichung
 Dw∗ v ∗ w∗ 1 ∂p∗ ∗ + = fϕ∗ − ∗ ∗ ∗ Dt $ r r ∂ϕ % ∗ ∗2 ∗ ∗ ∗ ∗ τϕr ∂τxϕ − τrϕ 1 ∂(r τrϕ ) 1 ∂τϕϕ + + + ∗2 + ∗ ∂x∗ r ∂r∗ r ∂ϕ r∗

(XI∗ )

(RI∗ )

(ΦI∗ )

Tab. A2.1: Dimensionsbehaftete allgemeine Bilanzgleichungen in Zylinderkoordinaten Kartesische Koordinaten: s. Tab. 4.1

div v ∗ =

∂u∗ 1 ∂(r∗ v ∗ ) 1 ∂w∗ + + ∂x∗ r∗ ∂r∗ r∗ ∂ϕ

Tangentialspannungen

∗ 


∗  ∂v w ∂u∗ 1 ∂v ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ τxr = τrx = η∗ + = τ = η ; τ r + ; rϕ ϕr ∂x∗ ∂r∗ ∂r∗ r∗ r∗ ∂ϕ

 ∂w∗ 1 ∂u∗ ∗ ∗ + = τxϕ = η∗ ∗ τϕx r ∂ϕ ∂x∗ Normalspannungen

 ∂u∗ 2 ∗ τxx = η ∗ 2 ∗ − div v ∗ ; ∂x 3

 2 ∂v ∗ ∗ = η ∗ 2 ∗ − div v ∗ ; τrr ∂r 3


  ∗ v∗ 1 2 ∂w ∗ ∗ ∗ + ∗ − div v τϕϕ = η 2 ∗ r ∂ϕ r 3

Tab. A2.2: Konstitutive Gleichungen Newtonscher Fluide in Zylinderkoordinaten Kartesische Koordinaten: s. Tab. 4.2

H¨ aufig verwendete Indizes und Kennungen

Im folgenden werden an einer allgemeinen Gr¨ oße a die wesentlichen, im Buch verwendeten Indizes und Kennungen erl¨ autert. a∗

dimensionsbehaftete Gr¨ oße

a∗

konventionelle Zeitmittelung von a∗ , s. (5.7)

.....

a∗

massengewichtete Zeitmittelung von a∗ , s. (5.8)

a∗

Schwankungsgr¨ oße von a∗ bei konventioneller Zeitmittelung, s. (5.7)

a∗

Schwankungsgr¨ oße von a∗ bei massengewichteter Zeitmittelung, s. (5.8)

a∗i

Komponente eines Vektors (i = x, y, z)

a∗ij

Komponente eines Tensors (i = x, y, z ; j = x, y, z)

a∗0

Kesselgr¨ oße bei kompressiblen Str¨ omungen, s. Bild 7.1

a∗krit

kritische Gr¨ oße bei kompressiblen Str¨ omungen, s. (7.12)

a∗∞

Gr¨ oße in der Zustr¨ omung/Anstr¨ omung

a+

dimensionslose Gr¨ oße in der Wandschicht einer turbulenten Grenzschicht, s. (9.39)

a ˆ

dimensionslose Gr¨ oße in einer turbulenten Grenzschicht, gebildet mit der lokalen Außengeschwindigkeit, s. (9.61)

Verzeichnis wichtiger Symbole und Formelzeichen

Aˆ

−

dimensionsloser Str¨ omungsquerschnitt A∗ /A∗krit bei kompressiblen Str¨ omungen, s. (7.14)

A∗

N

aerodynamischer Auftrieb, s. (B8.3-1)

A∗

m2

Fl¨ ache

Aˆ∗

m2

freier Teil der Kontrollraumgrenze, s. Bild 6.5

a∗

m2 /s

Temperaturleitf¨ ahigkeit

a∗t

m2 /s

turbulente Temperaturleitf¨ahigkeit, s. (5.35)

B

−

Parameter im Defekt-Gesetz, s. (9.58)

B∗

m

Breite, senkrecht zur Zeichenebene

C+

−

Konstante im Wandgesetz turbulenter Grenzschichten, s. (9.45)

cp

−

Druckbeiwert, s. (8.4)

cW

−

Widerstandsbeiwert, s. (9.21)

cˆf

−

Reibungsbeiwert, bezogen auf u∗sA , s. (9.60)

c∗

m/s

c∗

J/kg K

spezifische W¨ armekapazit¨at von Fl¨ ussigkeiten, s. (6.34)

c∗p

J/kg K

isobare spez. W¨ armekapazit¨at

D∗

m

Schallgeschwindigkeit, s. (3.14)

Durchmesser

364

Symbole und Formelzeichen

D∗

m/s

D∗

kg/ms3

Dh∗

m

e∗

m2 /s2

Ec

−

f ∗

N/m3

Fr

−

g ∗

m/s2

H∗

m

H∗

m2 /s2

spez. Gesamtenthalpie, s. (4.21)

h∗

m2 /s2

spez. Enthalpie, s. (4.21)

ke∗

1/m

k∗

m2 /s2

ks∗

m

aquivalente Sandrauheit, s. Tab. 9.6 ¨

Kn

−

Knudsen-Zahl, s. (1.2)

L∗hyd

m

hydrodynamische Einlaufl¨ange, s. (10.29)

L∗t

m

Turbulenz-L¨ angenmaß, s. Bild 5.4

lk∗

m

Kolmogorov-L¨ ange, s. (5.2)

M∗

m3 /s

m∗

kg

Geschwindigkeits-Defekt, s. (9.53) Diffusionsfunktion, s. Tab. 4.1 hydraulischer Durchmesser, s. (10.9) spez. innere Energie, s. (4.21) Eckert-Zahl, s. (4.31) Volumenbezogener Volumenkraftvektor, s. (4.14) Froude-Zahl, s. (4.32) Fallbeschleunigungsvektor halbe Kanalh¨ ohe, s. Bild B5.1

Wellenzahl, s. (5.1) spez. kinetische Energie der Schwankungsbewegung, s. (5.11)

Dipolmoment, s. Tab. 8.2 Masse

Symbole und Formelzeichen

365

Ma

−

Mach-Zahl, s. (3.15)

N

−

laminare Grenzschichtkoordinate, s. (9.9)

n+

−

turbulente Grenzschichtkoordinate, s. (9.39)

n∗

m

Koordinate senkrecht zur Wand

O∗

m2

gebundener Teil der Kontrollraumgrenze, s. Bild 6.5

p∗

N/m2

Druck

p∗dyn

N/m2

dynamischer Druck, s. (6.29)

p∗ges

N/m2

Gesamtdruck, s. (6.30)

p∗mech

N/m2

mechanischer Druck, s. (4.17)

p∗st

N/m2

Druck im statischen Feld

Pe

−

Peclet-Zahl, s. (4.30)

Pr

−

Prandtl-Zahl, s. (7.90)

Prt

−

turbulente Prandtl-Zahl, s. (5.36)

Q∗

m2 /s

Quellst¨ arke, s. Tab. 8.2

Q∗

m3 /s

Volumenstrom

q ∗

W/m2

W¨ armestromdichtevektor, s. (4.24)

q ∗

W/m2

Reynoldsscher W¨ armestromdichtevektor, s. (5.18)

R∗

m

Rohrradius

∗ R

N

Kraftvektor

Re

−

Reynolds-Zahl, s. (4.29)

Reτ

−

turbulente Reynolds-Zahl, s. (9.33)

366

Symbole und Formelzeichen

s∗

m

s∗

m2 /s2 K

T∗

K

Temperatur, absolute

t∗

s

Zeit

Tu

−

Turbulenzgrad, s. (5.12)

u ˆτ

−

Schubspannungsgeschwindigkeit, bezogen auf u∗sA , s. (9.61)

u∗

m/s

Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung

u∗m

m/s

querschnittsgemittelte Geschwindigkeit, s. (10.12)

u∗S

m/s

Geschwindigkeitsbetrag l¨angs einer Stromlinie, s. (6.1)

u∗s

m/s

Druckgradientengeschwindigkeit, s. (9.68)

u∗τ

m/s

Schubspannungsgeschwindigkeit, s. (9.32)

u∗∞

m/s

Anstr¨ omgeschwindigkeit

Koordinate entlang der Wand spez. Entropie

V

−

transformierte Geschwindigkeit in der laminaren Grenzschicht, s. (9.10)

V∗

m3

Fluidvolumen

v∗

m/s

Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung

v ∗

m/s

Geschwindigkeitsvektor

W∗

N

w∗

m/s

∗ wt12

x∗

m2 /s2

m

Widerstandskraft Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung spez. technische Arbeit zwischen zwei Querschnitten 1 und 2 , s. (6.20) kartesische Koordinate

Symbole und Formelzeichen

y∗

m

kartesische Koordinate

z∗

m

kartesische Koordinate

Γ∗

m2 /s

Zirkulation, s. (3.5)

Φ

m2 /s

Potentialfunktion, s. (8.5)

Ψ∗

m2 /s

Stromfunktion, s. Anmerkung 4.10

367

β

−

Clauser-Parameter, s. (9.55)

β

−

Querstr¨ omungswinkel, s. Bild 11.2

δij

−

Kronecker-Symbol, s. (4.35)

δ∗

m

Grenzschichtdicke, s. (9.6)

δ1∗

m

Verdr¨ angungsdicke, s. (9.22)

δ2∗

m

Impulsverlustdicke, s. (9.19)

∗ δW

m

Dicke der Wandschicht bei turbulenten Grenzschichten, s. (9.38)

ε∗

m2 /s3

Dissipationsrate, s. (5.27)

ζ

−

Widerstandszahl, s. (6.23)

η∗

kg/ms

dynamische Viskosit¨ at, s. (1.3)

ηt∗

kg/ms

dynamische Wirbelviskosit¨at, s. (5.15)

κ

−

Isentropenexponent, s. (7.4)

κ

−

Karman-Konstante, s. (5.25)

λ∗e

m

Wellenl¨ ange, s. (5.1)

λ∗

m

mittlere freie Wegl¨ ange, s. (1.2)

368

Symbole und Formelzeichen

λ∗

W/mK

W¨ armeleitf¨ ahigkeit, s. (4.24)

λ∗t

W/mK

turbulente W¨ armeleitf¨ ahigkeit, s. (5.18)

µ∗

kg/ms

Volumenviskosit¨ at, s. Anmerkung 4.5

ν∗

m2 /s

kinematische Viskosit¨ at, s. (5.19)

νt∗

m2 /s

kinematische Wirbelviskosit¨at, s (5.20)

∗

kg/m3

Dichte, s. (1.1)

τ∗

N/m2

Schubspannung, s. (1.3)

τij∗

N/m2

Komponenten des viskosen Spannungstensors

τij∗ 

N/m2

Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors

ϕ∗12

m2 /s2

spez. Dissipation zwischen zwei Querschnitten 1 und 2 , s. (6.23)

ω∗

1/s

Drehung, s. (3.4)

∗ ω

1/s

Drehungsvektor, s. Anmerkung 3.3

Literaturverzeichnis

Anderson, J. (1982): Modern Compressible Flow: With Historical Perspective. Mc GrawHill, New York Baehr (2000): Thermodynamik. 10. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Beskok, A.; Karmiadakis, G.E. (1999): A Model for Flows in Channels, Pipes and Ducts at Micro- and Nano-Scales. Microscale Thermophysical Engineering, Vol. 3, 43–77 Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfood, E.N. (2002): Transport Phenomena. 2. Aufl., John Wiley, New York B¨ ohme G. (1981): Str¨ omungsmechanik nicht-Newtonscher Fluide. Teubner-Verlag, Stuttgart Buckingham, E. (1914): On physically similar systems; Illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev., 2. Ser., Vol. 4, 345–376 Champagne, F.H. (1978): The fine-scale structure of the turbulent velocity field. JFM, Vol. 86, 67–108 Chorin, A.J.; Marsden, J.E. (1992): A Mathematical lntroduction to Fluid Mechanics. 3rd Ed., Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Degani, A.T.; Smith, F.T.; Walker, J.D.A. (1993): The structure of a three-dimensional turbulent boundary layer. J. Fluid Mech., Vol. 250, 43–68 Drazin, P.G.; Reid, W.H. (1981): Hydrodynamic stability. Cambridge University Press, Cambridge Dubbel (2001): Taschenbuch f¨ ur den Maschinenbau. 20. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Ferziger, J.; Peric, M. (1996): Computational Methods for Fluid Dynamics. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York Fletcher, C.A.J. (1988): Computational Techniques for Fluid Dynamics. Vol. 1, 2, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York Gersten, K. (1991): Einf¨ uhrung in die Str¨ omungsmechanik. Vieweg-Verlag, Braunschweig Gersten, K.; Herwig, H. (1992): Str¨ omungsmechanik/Grundlagen der Impuls-, W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung aus asymptotischer Sicht. Vieweg-Verlag, Braunschweig Hackeschmidt, M. (1970): Grundlagen der Str¨ omungstechnik, Band II: Felder. VEB Deutscher Verlag f¨ ur Grundstoffindustrie, Leipzig Herwig, H.; Voigt, M. (1995): Eine asymptotische Analyse des W¨ arme¨ uberganges im Einlaufbereich von turbulenten Kanal- und Rohrstr¨ omungen. Heat and Mass Transfer, Vol. 31, 65–76 Hirsch, C. (1988): Numerical Computation of Internal and External Flows. Vol. 1, 2, John Wiley & Sons, Chichester Isaacson, E. de St. Q.; lsaacson M. de St. Q. (1975): Dimensional Methods in Engineering and Physics. Edward Arnold, London

370

Literatur

Jischa, M. (1982): Konvektiver Impuls-, W¨ arme- und Stoffaustausch. Vieweg-Verlag, Braunschweig Kim, J.; Moin P.; Moser, R.D. (1987): Turbulence statistics in fully-developed channel flow at low Reynolds number. J. Fluid Mech., Vol. 177, 133–166 Kline, S.J. (1986): Similitude and Approximation Theory. Springer-Verlag, Berlin Liepmann, H.W.; Roshko, A. (1957): Elements of Gasdynamics. John Wiley, New York Lighthill, J. (1978): Waves in Fluids. Cambridge University Press, Cambridge Munson, B.R.; Young, D.F.; Okiishi, T.H. (1998): Fundamentals of Fluid Mechanics. 3rd Ed., John Wiley & Sons, New York Oertel Jr. H.; Delfs, J. (1996): Str¨ omungsmechanische Instabilit¨ aten. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Oswatitsch, K. (1959): Physikalische Grundlagen der Str¨ omungslehre. in: Handbuch der Physik, Bd. VIII/l, Fl¨ ugge, S. (Hrsg.), Springer-Verlag, Berlin, 1–124 Panton, R. (1996): lncompressible Flow. John Wiley & Sons, New York Piquet, J. (1999): Turbulent Flows/Models and Physics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Reynolds, W.C. (1990): The Potential and Limitations of Direct and Large Eddy Simulations. in: Lecture Notes in Physics 357 (ed.; J.L. Lumley), 313–343 Rohsenow, W.M.; Hartnett, J.P.; Cho, Y.I. (1998): Handbook of Heat Transfer. 3rd Ed., Mc Graw-Hill, New York Sch¨ afer, M. (1999): Numerik im Maschinenbau. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Schlichting, H.; Gersten, K. (1997): Grenzschicht-Theorie. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Schumann, U.; Friedrich, R. (Eds) (1986): Direct and Large Eddy Simulation of Turbulence. Notes on Numerical Fluid Mechanics, Vol. 15, Vieweg-Verlag, Braunschweig Speziale, C.G.; So, R.M.C. (1998): Turbulence Modelling and Simulation. in: The Handbook of Fluid Dynamics (Johnson, R.W. ed.), CRC Press, Boca Raton, 14.1–14.111 Spurk, J.H. (1989): Str¨ omungslehre. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York Truckenbrodt, E. (1999): Fluidmechanik, Band 2, Elementare Str¨ omungsvorg¨ ange dichtever¨ anderlicher Fluide sowie Potential- und Grenzschichtstr¨ omungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York VDI-W¨ armeatlas, (1997): Berechnungsbl¨ atter f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang. 8. Aufl., La–Lc, VDI-Verlag, D¨ usseldorf Whitaker, S. (1977): Fundamental Principles of Heat Transfer. Pergamon Press, New York ¨ Zierep, J. (1972): Ahnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Str¨ omungslehre. Braun-Verlag, Karlsruhe Zierep, J. (1976): Theoretische Gasdynamik. Braun-Verlag, Karlsruhe

Index

¨aquivalente Sandrauheit, 240 algebraische Turbulenzmodelle, 108 anisotrope Wirbelviskosit¨ at, 288 asymptotische Theorie, 197 Auftrieb, 188 ausgebildete Str¨ omung, 249 Autokorrelation, 85 Bahnlinien, 30 Bernoulli-Gleichung, 125, 128, 133, 135, 139 Betrachtungsweise Eulersche, 49 Lagrangesche, 49 Boussinesq-Approximation, 80 Clauser-Parameter, 235 Couette-Str¨ omung, 224 d’Alembertsches Paradoxon, 179, 276 D¨ ampfungsfunktion, 302 Defekt-Schicht, 233 deviatorische Spannungen, 57 Dichte, 4 Dimensionsanalyse, 16 Dissipation, 61, 135 DNS, 86 Drehung, 193 Druck dynamischer, 140 mechanischer, 58 modifizierter, 58 Druckbeiwert, 179 Druckwiderstand, 179 Eckert-Zahl, 69 Einlaufl¨ angen, 266 Energiegleichungen, 59

Euler-Gleichungen, 177, 178, 275 F¨ orderh¨ohe, 140 Fließgesetz, 10 Fluid, 3 Fluidballen, 34 Fouriersches W¨armeleitungsgesetz, 65 Gaußsches Theorem, 77 Gesamtdrucksonde, 141 Gesamtenthalpie, 59, 95, 143 Gitterturbulenz, 116 Gleichgewichtsgrenzschichten, 234 Goldstein-Singularit¨at, 219 Grenzschichtabl¨osung, 217, 244 Grenzschichtdicke, 237 Grenzschichten, 28, 192 Grenzschichtgleichung 1. Ordnung, 203 Grenzschichtkoordinate, 201 Grobstruktur-Simulation, 118 Haftbedingung, 27, 68 homogene Turbulenz, 116 hydraulischer Durchmesser, 253 hydrostatischer Auftrieb, 132 hydrostatisches Grundgesetz, 130 Impulsgleichungen, 56 Impulsmomentengleichungen, 78 Impulsverlustdicke, 210 Index-Schreibweise, 70 indirekte Turbulenzmodellierung, 235 instation¨are Bernoulli-Gleichung, 134 Integral-L¨angenmaß, 86 isentrope Str¨omung, 155 Isentropenexponent, 155 isotrop, 63

372

Index

isotrope Turbulenz, 116 k-ε-Modell -gleichung, 112 f¨ ur große Reynolds-Zahlen, 301 f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen, 302 Kanalreibungszahl, 256 Karman-Konstante, 111, 229 Karmansche Wirbelstraße, 243 Kaskadenprozeß, 84 Kennzahlen, 18 Kesselzustand, 156 kinematische Viskosit¨ at, 108 kinematische Wirbelviskosit¨ at, 108 Knudsen-Zahl, 4, 28 Kolmogorov-L¨ ange, 83 konservative Form d. Bilanzgleichungen, 55 konstitutive Gleichungen, 52, 61 Kontinuit¨ atsgleichung, 52, 56 Kontinuumstheorie, 3 Konvektion erzwungene, 6 freie, 6 nat¨ urliche, 6, 78 Koordinaten k¨ orperangepaßte, 357 Kugel-, 357 Zylinder-, 357 Korrelationsfunktion, 84 Kr¨ afte Oberfl¨ achen-, 57 Volumen-, 57 kritische Zust¨ ande, 159 kritischer Querschnitt, 159 kritisches Druckverh¨ altnis, 158 Kronecker-Symbol, 72 Kugelumstr¨ omung, 277 Laplace-Gleichung, 181 Laval-D¨ use, 159, 170 LES, 118 logarithmisches Wandgesetz, 230 Mach-Zahl, 44, 158

Materialgleichungen, 52 Mehrphasenstr¨omungen, 10 Mikro-L¨angenmaß, 86 Mittelung konventionelle, 89 massengewichtete, 89 mittlere freie Wegl¨ange, 4 Navier-Stokes-Gleichungen, 65 dimensionsbehaftet, 66 dimensionslos, 73 parabolisierte, 290 teil-parabolisierte, 290 Newtonsche Fluide, 10, 63 Newtonsches Reibungsgesetz, 10 Orr-Sommerfeld-Gleichung, 247 ¨ partielle Ahnlichkeit, 24 Peclet-Zahl, 69 perfektes Gas, 155 physikalisch/mathematisches Modell, 13 Pitot-Sonde, 141 Potentialstr¨omung, 181 Prandtl-Sonde, 141 Prandtl-Zahl, 75 Prandtlsche Grenzschichtgleichungen, 204, 280 Prandtlscher Mischungsweg, 109 Querstr¨omungswinkel, 282 Randbedingungen, 67 RANS, 91 Reibungswiderstand, 179 Relevanzliste, 20 Reynolds-Spannungs-Modell, 106, 113 algebraisches, 115 Reynolds-Zahl, 69 kritische, 35 turbulente, 226 Reynoldssche W¨armestromdichte, 117 Reynoldsscher Spannungstensor, 94

Index

Reynoldsscher W¨ armestromdichtevektor, 94 Rheologie, 64 Rohreinlaufstr¨ omung, 296 Schallgeschwindigkeit, 43 Scherstr¨ omungsturbulenz, 103 Schließungsproblem, 100 Schubspannungsgeschwindigkeit, 226 selbst¨ ahnliche Grenzschichten, 216 senkrechter Verdichtungsstoß, 166 singul¨ ares St¨ orungsproblem, 200 Singularit¨ atenmethode, 189 Skalierungseffekte, 25 Spannungstensor, 57 Spektralfunktion, 82 spezifische Enthalpie, 59 Stabilit¨ atsdiagramm, 248 Stokessche Hypothese, 58 Str¨omung eben, 8 kollateral, 286 kompressibel, 7, 39 laminar, 6 reibungsfrei, 7 rotationssymmetrisch, 8 station¨ ar, 7 turbulent, 6 Str¨ omungsabl¨ osung, 31 Str¨omungsstabilit¨ at, 246 Stromfaden, 125 Stromfadentheorie, 125 Stromfunktion, 75 Stromr¨ ohre, 125 Strouhal-Zahl, 243 Summationskonvention, 62 Superpositionsprinzip, 184 technische Arbeit, 135 Temperaturgrenzschichten, 246 thermische Energiegleichung, 142 Transition, 32 turbulente Prandtl-Zahl, 117 turbulente Reynolds-Zahl, 226 turbulente W¨ armestromdichten, 94

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turbulenter Spannungstensor, 94 Turbulenz, 32, 81 Turbulenzgrad, 95, 245 Turbulenzmodellierung, 100 Turbulenzproduktion, 84, 113 Vektor-Schreibweise, 72 Vektorstromfunktion, 276 Verd¨ unnungswellen, 46 Verdichtungsst¨oße, 46 Verdichtungsstoß, 160 Verdr¨angungsdicke, 214 Verlusth¨ohe, 140 verwundene Geschwindigkeitsprofile, 279 Verzerrungstensor, 73 virtueller Ursprung, 238 viskose Unterschicht, 228 Viskosit¨at, 10, 63 Volumenviskosit¨at, 58 W¨ armeausdehnungskoeffizient, 66 W¨ armeleitf¨ahigkeit, 65 Wandfunktionen, 234, 301 Wandrauheit, 231, 263 Wandschicht, 222 Wandschichtfunktion, 301 Wandschubspannung, 28 Wellenzahl, 82 Widerstand, 209 Druck-, 209 Reibungs-, 209 Widerstandsbeiwert, 211, 244 Widerstandsgesetz, 252, 256, 259, 261, 265 Widerstandszahl, 137 Wirbeltransportgleichung, 73 Wirbelviskosit¨at, 105 Wirbelviskosit¨atsmodelle, 106, 107 Zirkulation, 39 zusammengesetzte L¨osung, 208 Zweischichtenstruktur, 219 zweite Momente, 115