Stromungsberechnung im Kuhl- und Sperrluftsystem von Gasturbinen zur Optimierung des Sekundarluftsystems [PDF]
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Zitiervorschau
Stromungsberechnung im Kuhl{ und Sperrluftsystem von Gasturbinen zur Optimierung des Sekundarluftsystems Vom Fachbereich Maschinenbau der Gerhard{Mercator{Universitat Duisburg zur Erlangung des akademischen Grads DOKTOR{INGENIEUR genehmigte Dissertation von
Dieter Brillert aus Stadtlohn
Referent: Korreferent:
Prof. Dr.-Ing. H. Simon Prof. Dr.-Ing. D. Bohn
Tag der mundlichen Prufung: 17. Juli 2001
Berichte aus der Strömungstechnik
Dieter Brillert
Strömungsberechnung im Kühl- und Sperrluftsystem von Gasturbinen zur Optimierung des Sekundärluftsystems
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Shaker Verlag Aachen 2001
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Brillert, Dieter: Strömungsberechnung im Kühl- und Sperrluftsystem von Gasturbinen zur Optimierung des Sekundärluftsystems / Dieter Brillert. Aachen : Shaker, 2001 (Berichte aus der Strömungstechnik) Zugl.: Duisburg, Univ., Diss., 2001 ISBN 3-8265-9591-2
.
Copyright Shaker Verlag 2001 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany.
ISBN 3-8265-9591-2 ISSN 0945-2230 Shaker Verlag GmbH • Postfach 1290 • 52013 Aachen Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9 Internet: www.shaker.de • eMail: [email protected]
Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit im Fachgebiet Stromungsmaschinen der Gerhard{Mercator{Universitat Duisburg und wurde im Rahmen eines Forschungsvorhabens von der Siemens Power Generation in Mulheim a. d. Ruhr nanziell gefordert. Ziel ist es ein Berechnungssystem zu schaen, das die auslegungssichere, exible und schnelle Berechnung der Stromung in Kuhl{ und Sperrluftsystemen ermoglicht. Dazu mussten zunachst die theoretischen Grundlagen der Innenstromung in rotierenden Systemen erarbeitet werden. Diese sind anschlie end in ein fur die Praxis anwendbares zuverlassiges Berechnungssystem integriert worden. Meinen herzlichen Dank mochte ich all denen aussprechen, die mich bei der Erstellung dieser Arbeit in jeglicher Hinsicht unterstutzt haben. Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Simon, dem Leiter des Fachgebiets Stromungsmaschinen, gilt mein besonderer Dank fur die Forderung und Unterstutzung dieser Arbeit, sowie fur die U bernahme des Hauptreferats. Herrn Prof. Dr.-Ing. D. Bohn danke ich fur sein Interesse an dieser Arbeit, fur die wertvollen Hinweise und fur die U bernahme des Korreferats. Von Seiten der Firma Siemens Power Generation mochte ich besonders Herrn Dr.-Ing. A.W. Reichert meinen Dank aussprechen, der durch seine Diskussionsbeitrage zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat. Allen Kollegen und Mitarbeitern des Fachgebiets Stromungsmaschinen mochte ich fur die tatkraftige Unterstutzung ganz herzlich danken. Ebenso mochte ich mich bei allen Studenten bedanken, die im Rahmen ihrer Diplom{ und Studienarbeiten an der Losung von Teilproblemen mitgewirkt haben. Nicht zuletzt danke ich meiner Familie und allen Freunden fur die mir entgegengebrachte Unterstutzung. Insbesondere gilt dieser Dank meinem ehemaligen Studienkollegen Dipl.-Ing. Thorsten Schulz fur die intensive Durchsicht des Manuskripts. Ein gro es Dankeschon richtet sich an meine Frau Ulrike, die durch ihren Rat und ihr Verstandnis sowie die sorgfaltige Durchsicht des Manuskripts ganz wesentlich den Erfolg dieser Arbeit gesichert hat.
Inhaltsverzeichnis Formelzeichen und Abkurzungen
iv
1 Einleitung
1
2 Die Stromung in komplexen Netzwerken
7
2.1 Aufbau und Struktur der Netzwerke im Sekundarluftsystem von Gasturbinen . . 2.2 Losung der Gleichungssysteme mit kommerzieller Software . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Der Modul{Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Der Flowmaster{Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Die Mischung von Massenstromen unterschiedlichen Dralls . . . . . . . . 2.2.4 Die Anwendung von dreidimensionalen nummerischen Losungsverfahren . 2.3 Grundgleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie . . . . . . . . . . . . 2.4 Berucksichtigung der realen Einusse durch Korrelationen . . . . . . . . . . . .
3 Stromung in rotierenden Bohrungen
3.1 Literaturuberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Laminare Einlaufstromung in feststehenden Bohrungen (`=d ! 1) 3.1.2 Die Stromung in feststehenden Blenden (`=d ! 0) . . . . . . . . . . 3.1.3 Feststehende Bohrungen (`=d > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Rotierende Bohrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Energieumwandlung in rotierenden Bohrungen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Struktur der Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Energieformen und Geschwindigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . 3.2.3 Eintrittsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Rohrreibungsverluste und Einlauange . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Austrittsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Aufbau des mathematischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Totaldruckverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Stromungsumlenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Dimensionslose Kenngro en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Modellierung feststehender Bohrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Korrelationen fur lange Bohrungen (` `D ) . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Korrelationen fur kurze Bohrungen (` < `D ) . . . . . . . . . . . . . 3.5 Modellierung rotierender Bohrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Bohrungslange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Rundungsradius der Eintrittskante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 8 8 9 12 15 15 18
21
22 22 22 24 26 29 29 29 32 33 34 36 36 37 37 40 40 41 46 48 49 50
Inhaltsverzeichnis
4 Stromung zwischen rotierenden Wellen
4.1 Literaturuberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen 4.2.1 Gestaltung der Rechengitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Einuss des Impulses und der Asymmetrie des Eintrittsstrahls . 4.2.4 Ausbildung einer Trennache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Korrelationen zur vereinfachten Modellierung der 3D{Stromung . . . . 4.3.1 Ergebnisse der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii . . . . . . . . .
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5.1 Literaturuberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Korrelationen zur vereinfachten Modellierung der 3D{Stromung . . . . . 5.2.1 Struktur und Aufbau der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Grenzschicht einer rotierenden Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Kernrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Quellregion{Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Scheiben 5.3.1 Gestaltung der Rechengitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Stromungsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Kernrotationsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6 Ergebnisse der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . .
5 Stromung zwischen Rotorscheiben
53
54 57 58 60 61 69 73 76 80
81
82 85 85 87 90 91 92 92 94 94 97 99 100 103
6 Zusammenfassung und Ausblick
105
Anhang
109
Literaturverzeichnis
113
Formelzeichen und Abkurzungen Symbol
a a ~a A b c ~c cF cp Cc CD Cw d fp fv F ht J J k K1 ; K20 Kg Kvu r ` m m_ M M Ma n p pt P q r R Re
Einheit
J/kg m/s m2/s m2 { { m2/s { J/(kgK) { { { m { { N J/kg ms m { { { m { kg/s Nm { { { bar bar W J/kg m J/(kgK) {
Bedeutung
spezische Arbeit p Schallgeschwindigkeit a = RT Zentripetalbeschleunigung Flache Koezient Koezient Coriolisbeschleunigung Widerstandsbeiwert der Platte spezische isobare Warmekapazitat Kontraktionsverhaltnis Cc = Av =A Durchu koezient CD = m= _ m_ id dimensionslose Massenstromrate Cw = m= _ (ra) Durchmesser Druckkoezient Geschwindigkeitskoezient Kraft spezische Totalenthalpie Tensor, Koezient Rauhigkeit Koezienten Koezient Grenzschichtmassenstrom Koezient Grenzschichtenergie Lange Minderumlenkungsfaktor Massenstrom Drehmoment Massenstromanteil M = m_ g =m_ Machzahl Exponent statischer Druck Totaldruck Leistung spezische Warme Radius Gaskonstante Reynoldszahl
Formelzeichen und Abkurzungen
Symbol
Einheit
Reu s s sI sI sI T Tt u v V_ w x Y Y+ z
0
{ J/(kgK) { K K m/s m/s m3 /s m/s { { { m { rad { m { { { Nm/s { { { kg/m3 { N/m2 rad 1/s 1/s
00
F
' !
v
Bedeutung
Rotations{Reynoldszahl Reu = !ra2 = Entropie Steigungen des Geschwindigkeitsprols statische Temperatur Totaltemperatur Umfangsgeschwindigkeit Absolutgeschwindigkeit, Komponente Volumenstrom Relativgeschwindigkeit, Komponente dimensionsloser Radius x = r=ra Expansionsfaktor Y = m_ c =m_ inc dimensionsloser Wandabstand Axialabstand Grenzschichtkoezient = ;limz!0 r = u Relativwinkel Kernrotationsfaktor = vu =(!r) Grenzschichtdicke Dierenz Verlustkoezient = ptV =(0:5 wm2 ) dimensionslose Koordinate dynamische Viskositat Verhaltnis der spezischen Warmekapazitaten Stromungsparameter = Cw Re;u Rohrreibungskoezient Dichte Koezient (turbulent = 0:8, laminar = 0:5) Schubspannung Winkel Winkelgeschwindigkeit Wirbelvektor
Tiefgestellte Indizes Symbol a c d
Bedeutung
Austritt kompressibel Rohr, Kanal
vi
Formelzeichen und Abkurzungen
Symbol D e F g i id inc irr I k krit K ` lam m max p P Q rel rev r R s s t turb T u v V z Z
0 1 2 2
0
1
Bedeutung
ausgebildetes Prol Eintritt Reibung Grenzschicht Laufvariable ideal inkompressibel irreversibel Eintrittsbereich Laufvariable kritisch korreliert mit Khaldi 49 ] Lange laminar Meridan, mittlere maximal Platte Druck Warme relativ reversibel radial Rotation isentrop Quellregion total turbulent Tragheit Umfangsrichtung engster Querschnitt Verluste axial zentrifugal Oset Zustand Dierenz unendlich
1 Einleitung Seit der Entwicklung der Gasturbine hat sich diese in vielen Bereichen der Technik etabliert und ist an vielen Stellen unentbehrlich geworden. In der zivilen Luftfahrt werden die Gasturbinen als Schubantrieb fur gro e und kleine Flugzeuge genutzt. Im militarischen Bereich werden die Gasturbinen zum Antrieb von Militarugzeugen eingesetzt. Die hohen Fluggeschwindigkeiten von Militarugzeugen, die ein Vielfaches der Schallgeschwindigkeit betragen konnen, wurden erst moglich durch den Einsatz von Gasturbinen. Die Luftfahrt ist somit ein Paradebeispiel fur den Einsatz von Gasturbinen. Versuche Gasturbinen in Personen{ oder Lastkraftwagen zu etablieren, scheiterten hingegen genauso wie die im Bahnverkehr. Der Grund fur das Scheitern der Fahrzeuggasturbine ist der im Vergleich zum Kolbenmotor schlechte Wirkungsgrad im Teillastbereich. Ein weiterer Grund ist die aufwendige Regelung von Gasturbinen, dessen Betrieb bei relativ kleinen Leistungen nicht unbedingt wirtschaftlich ist. Abgesehen von den Antrieben zur Fortbewegung des Menschen, werden die Gasturbinen als Anlagekomponente in vielen Bereichen der Technik eingesetzt. In chemischen und verfahrenstechnischen Gro anlagen werden Prozessgasturbinen zum Antrieb von Verdichtern oder Geblasen benotigt. Gasturbinen eignen sich besonders fur den Antrieb von Verdichtern in Gaspipelines. Der gro e Vorteil liegt hier in einer autarken Anlage, die keine weitere Anbindung an die Au enwelt benotigt. Das geforderte Medium Gas wird gleichzeitig als Brennsto zum Antrieb der Gasturbine und damit des Verdichters genutzt. Besonders in den letzten Jahren werden Gasturbinen immer hauger als Antrieb von Generatoren zur Erzeugung elektrischer Energie genutzt. Die Kombination der Gasturbinenanlage mit Dampfkraftanlagen in den sogenannten GUD{Kraftwerken fuhrt in neuster Zeit zu Anlagenwirkungsgraden von knapp 60%. Diese Tendenz fuhrt dazu, dass der Einsatz der Gasturbinen nicht auf Spitzenlastkraftwerke beschrankt ist, sondern in Zukunft zur Grundlastversorgung von elektrischer Energie beitragen wird. Abbildung 1.1 zeigt ein Beispiel einer stationaren Gasturbine der Firma Siemens Power Generation zum Antrieb von Generatoren zur Erzeugung elektrischer Energie. Die Gasturbine kann in die drei wesentlichen Komponenten Verdichter, Brennkammer und Turbine eingeteilt werden. Der Verdichter saugt die Luft aus der Umgebung an, verdichtet diese und fuhrt die komprimierte Luft der Brennkammer zu. Hier wird der Brennsto zugefuhrt und mit der komprimierten Luft teilweise vermischt und dann verbrannt. Der Energieinhalt des Gases wird zum Antrieb der Turbine genutzt, die wiederum den Verdichter und den Generator antreibt. Die Leistung einer Gasturbine wird, bezogen auf die Gesamtleistung von Verdichter und Turbine, zu ca. 1/3 in dem Verdichter und zu ca. 2/3 in der Turbine umgesetzt. D.h. eine Gasturbine mit 300 MW Abtriebsleistung setzt sich zusammen aus einer Turbine mit einer Leistung von 600 MW, wovon 300 MW zum Antrieb des Verdichters und 300 MW zum Antrieb des Generators genutzt werden. In der Summe wird in der Gasturbine fast 1 GW Stromungsleistung in Form von Exergie umgesetzt.
2
Kapitel 1. Einleitung
Abbildung 1.1: Kuhl{ und Sperrluftfuhrung in einer Heavy Duty Gasturbine (Siemens Power Generation).
Ziel der Weiterentwicklung von Gasturbinen ist es deshalb, die Leistungspotentiale durch immer hohere Wirkungsgrade und gro ere Leistungsdichten auszuschopfen bei gleichzeitiger Verbesserung der Verfugbarkeit und der Betriebssicherheit. Eine sehr eziente Moglichkeit zur Steigerung des Wirkungsgrads und der Leistungsdichte ist die Erhohung der Turbineneintrittstemperatur bei gleichzeitig angepasstem Druckverhaltnis. Diesem sind allerdings durch die erhohte NOx {Bildung bei hohen Flammentemperaturen Grenzen gesetzt, da die Reduzierung des NOx {Ausstosses ohne Abgaskatalysator ein Ziel weiterer Entwicklungen ist. Typische Eintrittstemperaturen bei Gro gasturbinen liegen deshalb bei ca. 1450 C . Dadurch werden immer hohere Anforderungen im Bereich der Zeitstandfestigkeit an die Einzelkomponenten der Gasturbine gestellt. Trotz der enormen Fortschritte in der Entwicklung hochtemperaturbestandiger Werkstoe mussen thermisch hochbelastete Bauteile gekuhlt werden. Diese Aufgabe ubernimmt das Kuhl{ und Sperrluftsystem bzw. Sekundarluftsystem, dem auch eine Vielzahl von weiteren Funktionen wie die Bereitstellung von Sperrluft gegen Hei gaseinbruch oder dem Axialschubausgleich zukommt. Der Anteil des Kuhl{ und Sperrluftmassenstroms betragt bei den aktuellen Heavy Duty Gasturbinen bei steigender Tendenz ca. 20{25% des Ansaugmassenstroms. Wie in Abbildung 1.1 durch die wei en Pfeile dargestellt, wird die Kuhlluft an verschiedenen Stellen im Verdichter entnommen. Die statorseitig entnommene Kuhlluft wird uber au enliegende Rohrleitungen an der Brennkammer vorbei zu den Leitschaufeln der Turbine gefuhrt. Die Kuhlluft zur Versorgung der Laufschaufeln und der Scheiben der Turbine werden im Verdichter rotorseitig
3
Abbildung 1.2: Kuhl{ und Sperrluftfuhrung in einem Flugtriebwerk (Rolls-Royce 65 ]).
entnommen und durch Bohrungen, Ringraume, etc. vom Verdichterende zum turbinenseitigen Ende gefuhrt. Abbildung 1.2 zeigt eine Skizze einer Flugzeuggasturbine der Firma Rolls{Royce. Eine wichtiges Kriterium bei der Auslegung von Flugzeuggasturbinen ist das Gewicht. Dies muss bei der Dimensionierung der Bauteile besonders berucksichtigt werden. Die Voraussetzung dafur ist eine zuverlassige Kuhlung der Bauteile, so dass dem Sekundarluftsystem eine besondere Bedeutung zukommt. Gekennzeichnet durch die schwarzen Pfeile in Abbildung 1.2 sind die Kuhlluftwege der rotorseitig gefuhrten Kuhlluft im Turbinenbereich aufgezeigt worden. Es werden ebenso wie bei der Heavy Duty Gasturbine ahnliche Komponenten wie Bohrungen, Ringraume, etc. durchstromt. Die Zuverlassigkeit des Kuhl{ und Sperrluftsystems hat hier im Vergleich zum Wirkungsgrad eine ubergeordnete Rolle, da ein Ausfall bzw. eine Unterversorgung der Bauteile mit Kuhlluft zur vollstandigen Zerstorung des Triebwerkes fuhren kann. Im Ernstfall ware unter Umstanden ein Absturz eines Militar{ oder Zivilugzeugs die Folge. Die Heavy Duty Gasturbine (Abb. 1.1) und die Flugzeuggasturbine (Abb. 1.2) haben beide ein sehr komplexes und stark verknupftes Kuhl{ und Sperrluftsystem. Voraussetzung fur die Optimierung von Gasturbinen ist die auslegungssichere, exible und schnelle Berechnung der Stromung in derartigen komplexen Netzwerken. Zur Erfullung dieser Kriterien mussen die Stromungen in allen Komponenten des Kuhl{ und Sperrluftsystems untersucht und durch ein-
4
Kapitel 1. Einleitung
fache Modellierungen abgebildet werden. Diese Modelle, die die Stromung in den Komponenten beschreiben, mussen miteinander verknupft werden um die Einusse der einzelnen Komponenten auf das Gesamtsystem untersuchen zu konnen. Die Stromungen besonders in rotierenden Komponenten sind Gegenstand aktueller Forschungsvorhaben, da die Einusse der Rotation auf die Stromungen und damit auf das gesamte Kuhl{ und Sperrluftsystem nicht ausreichend bekannt sind. Ziel dieser Arbeit ist es die Stromungen in folgenden Komponenten: rotierenden Bohrungen
rotierenden Scheiben (radial ausgedehnte Hohlraume) rotierenden Wellen
zu untersuchen. Aus den Ergebnissen der Untersuchungen sind vereinfachte Modellierungen der Komponenten zur Beschreibung der Stromung entwickelt worden und erganzen damit die Arbeit von Reichert und Janssen 73 ]. Es stehen somit Modelle zur Beschreibung der Stromungen in allen Komponenten zur Verfugung um das gesamte Kuhl{ und Sperrluftsystem abbilden zu konnen. Die Forderung der schnellen Berechnung komplexer Sekundarluftverzweigungen ist bei den momentanen Rechnerleistungen nur zu erfullen, indem die Berechnungsmethode der eindimensionalen Stromfadentheorie eingesetzt wird. Zur Auswertung und Verknupfung der Stromungsmodelle wird das Software{Paket Flowmaster genutzt. Es arbeitet auf Basis der eindimensionalen Stromfadentheorie mit einem modularen Aufbau, der es ermoglicht, neue Stromungsmodelle zu implementieren und diese beliebig miteinander zu verknupfen. Der teilweise starke dreidimensionale Charakter der Stromung geht bei der Formulierung der eindimensionalen Stromfadentheorie verloren, so dass Korrelationen zur vereinfachten Modellierung der dreidimensionalen Stromung erarbeitet werden mussen. Wesentlicher Kern dieser Arbeit ist die Erarbeitung dieser Korrelationen zur Beschreibung der Stromung in rotierenden Bohrungen, rotierenden Wellen und rotierenden radialen Ringraumen. Um die Stromung in rotierenden Systemen untersuchen zu konnen ist in dieser Arbeit ein dreidimensionales nummerisches Losungsverfahren angewendet worden. Dieser kommerzielle Loser CFX{Tascow wird besonders im Turbomaschinenbereich eingesetzt. Mit dem Loser wird die Stromung in den rotierenden Komponenten untersucht und die erarbeiteten Stromungsmodelle werden veriziert. Im folgenden Kapitel werden zunachst die Grundlagen erarbeitet. Es wird anhand eines Beispiels der prinzipielle Aufbau und die Vernetzung eines Sekundarluftsystems verdeutlicht. Im Anschluss daran wird die Funktionsweise des Software{Pakets Flowmaster und kurz das Verfahren des dreidimensionalen nummerischen Losungsalgorithmus CFX-Tascow beschrieben. Am Ende des Kapitels werden die Grundgleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie hergeleitet und die Terme der zu korrelierenden Gro en erlautert. In den weiteren Kapiteln werden die oben genannten Stromungskanale untersucht. Zunachst wird hier jeweils ein U berblick uber den aktuellen Stand der Technik gegeben. Anschlie end wird die U bertragbarkeit
5 der bisherigen Ergebnisse auf die hier vorliegenden Probleme betrachtet. Darauf aufbauend werden Korrelationen zur Berechnung der Zustandsanderung der Stromung entwickelt. Diese Korrelationen werden mit experimentellen Ergebnissen bzw. Ergebnissen des dreidimensionalen nummerischen Stromungslosers veriziert.
2 Die Stromung in komplexen Netzwerken 2.1 Aufbau und Struktur der Netzwerke im Sekundarluftsystem von Gasturbinen Das Kuhl{ und Sperrluftsystem von Gasturbinen hat wie schon erwahnt eine Vielzahl von Aufgaben. Die Sekundarluft wird im Verdichter entnommen und durchstromt unterschiedliche Komponenten, verzweigt sich und wird mit anderen Sekundarluftstromen wieder gemischt, bevor sie ihre eigentliche Hauptaufgabe, die Kuhlung der Schaufeln, erfullt. Dies fuhrt zu komplexen Netzwerken mit Verknupfungen, Verzweigungen und Ruckkopplungen, die bei einer einfachen Betrachtung nicht sofort zu erkennen sind. Abbildung 2.1 zeigt ein Netzwerk des Komponenten Symbol Komponenten Symbol Rotierende Bohrung Rotierende Welle Rotierende Scheiben
Drallmischmodul
Labyrinth
Drallvorgabe
2
1
Druck, Temperatur Stationare Bohrung als Grenzfall der rotierenden Bohrung
Schaufel & Schaufelfuß
j
w Abbildung 2.1: Aufbau und Struktur eines Netzwerks zur Versorgung der Turbinenschaufeln (Siemens Power Generation).
8
Kapitel 2. Die Stromung in komplexen Netzwerken
Sekundarluftsystems einer Gasturbine, dessen Hauptaufgabe die Kuhlluftversorgung der ersten Turbinenlaufschaufel ist. Die unterschiedlichen Komponenten werden durch Symbole gekennzeichnet. Die Symbole wiederum stehen fur eine Modellierung der Stromung in den einzelnen Komponenten und werden miteinander verknupft. Im weiteren Verlauf wird von Modulen gesprochen, in denen die mathematischen Modellierungen implementiert werden. Mit dieser Struktur konnen nahezu beliebig komplexe Systeme modelliert und berechnet werden, so dass der Einuss von verschiedenen Gro en auf das gesamte Sekundarluftsystem durch Parameterstudien untersucht werden kann.
2.2 Losung der Gleichungssysteme mit kommerzieller Software Die komplexe Struktur des Kuhl{ und Sperrluftsystem und die sich daraus ergebenden Variationen in der Konstruktion im Hinblick auf Weiterentwicklungen fordern ein Berechnungsverfahren mit einem hohen Ma an Flexibilitat. Das ausgewahlte Softwarepaket Flowmaster ermoglicht die Implementierung neuer Module und eine beliebige Verknupfung untereinander. Die Dokumentation der Ergebnisse ist sichergestellt und mit der zur Verfugung stehenden Benutzeroberache ubersichtlich und einfach zu handhaben. Zusatzliche Schnittstellen ermoglichen einen Datenaustausch mit anderen Softwarepaketen oder das Einbinden benutzerspezischer Programme, das in dieser Arbeit genutzt worden ist. Die Wartung und Pege des Programms obliegt einem kommerziellen Anbieter, der bei Problemen als Ansprechpartner dient.
2.2.1 Der Modul{Algorithmus Der Datenaustausch zwischen dem kommerziellen Softwarepaket Flowmaster und den Modulen erfolgt uber die Totalgro en und den Massenstrom. Des weiteren benotigt der kommerzielle Loser Informationen uber die Durchusskennlinie der Module. Diese wird ihm in Form einer linearisierten Kennlinie durch die Koezienten J m_ 0 zur Verfugung gestellt. Die Durchusskennlinie in den Modulen wird durch die Zustandsanderung unter Berucksichtigung der dreidimensionalen Stromungseekte (Korrelationen) ermittelt. Die Koezienten ,pt Betriebspunkt J m_ 0 beschreiben den aktuellen Betriebspunkt des Moduls (Abb. 2.2). 1,0 ,pt,R Er wird festgelegt durch den Massenstrom m_ und die TotaldruckandeJ rung pt . Zur Beschreibung der li- mreal nearisierten Durchusskennlinie genugen m0 m 0 die reziproke Steigung J und der Oset{Massenstrom m_ 0, der die Rotation des Stromungskanals beruck- Abbildung 2.2: Kennliniebeschreibung einer Komponente. .
.
.
2.2. Losung der Gleichungssysteme mit kommerzieller Software
9
sichtigt: Der Oset{Massenstrom m_ 0 berechnet sich aus der reziproken Steigung J und der rotationsbedingten Totaldruckdierenz ptR und entspricht naherungsweise dem realen Oset{Massenstrom m_ real der Kennlinie. Die Durchusskoezienten J m_ 0 sind neben der Totaltemperatur am Austritt die einzigen Informationen, die von dem Modul an das Programm Flowmaster ubermittelt werden. Um den Betriebspunkt des Moduls bzw. die Gro en aus Gl. 2.1 pt ptR und die Totaltemperatur am Austritt Tt2 ermitteln zu konnen, muss die Zustandsanderung vom Ein{ zum Austritt berechnet werden. Abbildung 2.3 zeigt die Funktionsweise der Module mit den Abhangigkeiten zwischen den Korrelationen, den thermischen Zustandsgro en und den Ein{ und Ausgabedaten. Als physikalische Eingabedaten werden neben der Geometrie und der Winkelgeschwindigkeit ! der Massenstrom m_ oder der Totaldruck am Austritt pt2 , der Drall am Eintritt r1vu1 und die totalen Gro en des Eintrittsdrucks pt1 und der Eintrittstemperatur Tt1 eingelesen. Die Berechnung des Austrittszustands und damit des Betriebspunkts erfolgt mit den thermischen Zustandsgro en, den Korrelationen und der Geschwindigkeit ~v2 = ~vm2 + ~vu2. Da die Gleichungen gekoppelt sind und dadurch nicht explizit gelost werden konnen, wird uber die Absolutgeschwindigkeit ~v2 iteriert. Die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit ~vu2 wird aus der Drallanderung und die Meridiankomponente ~vm2 aus der Kontinuitatsgleichung ermittelt. Mit den Korrelationen konnen die Totalzustandsanderungen Tt1!2 pt1!2 und damit alle thermischen Zustandsgro en inklusive des Austrittsdralls r2 vu2 ermittelt werden. Als Abbruchkriterium fur die Iterationsschleife dient die Kontinuitatsgleichung, die erfullt sein muss, wenn das System in sich konsistent ist. Der dreidimensionale Charakter der Stromung wird durch die drei Korrelationen Drallanderung, Warmeuss und Totaldruckverlust in die Kennlinie eingebracht. Sie bestimmen die Kennlinienform und die Grenzen des Einsatzgebiets.
m_ = J pt + m_ 0
mit m_ 0 = ;J ptR :
(2.1)
2.2.2 Der Flowmaster{Algorithmus Der Losungsalgorithmus des Softwarepakets Flowmaster ist aus Grunden des Wettbewerbs nicht vollstandig oen gelegt, so dass an dieser Stelle nur das prinzipielle Losungsverfahren beschrieben werden kann. Abbildung 2.4 zeigt den Losungsalgorithmus, der sich in zwei wesentliche Elemente unterteilt, in den schwach kompressiblen Loser, bei dem die Energieerhaltung zunachst vernachlassigt wird und den kompressiblen Loser. Es beginnt mit einem Pre{Processing Check. Alle Daten werden auf fehlerhafte und nicht zulassige Eingaben kontrolliert, welche gegebenenfalls durch Ausgaben dokumentiert werden. Zur schnelleren und stabileren Losung des Vektorgleichungssystems wird die Nummerierung der Knoten und Komponenten in den Netzwerken so vorgenommen, dass eine Minimierung der Bandbreite in der Matrix nach Cuthill{McKee 24 ]
10
Kapitel 2. Die Stromung in komplexen Netzwerken
Eingabedaten:
m _ pt1 (pt2) Tt1 r1 vu1 ! und Geometrie
?
thermische Zustandsgro en
Totaltemperaturanderung Tt1!2 Gl. 2.12
6
Warmeuss TtQ
6
Kontigl.:
m_ = vm2A
nein
Gl. 2.15
6
Drallanderung (rvu)1!2
?
Totaldruckan-
6 derung pt1!2
6
- Iteration uber - ~Geschwindigkeit v = ~v + ~v 2
m2
6
Totaldruckverlust ptV
6
Korrelationen
u2
ja
?
Ausgabedaten:
Kennlinie
J m_ 0 Tt2 r2vu2
Abbildung 2.3: Losungsalgorithmus der Module zur Berechnung der Durchusskennlinie.
erreicht wird. Danach werden ausgehend von den Startwerten die Koezienten Ji m_ 0i zur Beschreibung der Kennlinien in den Modulen ermittelt. Mit diesen Koezienten fur die Steigung Ji und dem Oset{Wert m_ 0i der Durchusskennlinie eines jeden Moduls wird die Massenerhaltung in jedem Knotenpunkt angesetzt. Die Losung dieser Vektorgleichung nach dem Gau schen Algorithmus 20 ] liefert den neuen Totaldruck pti+1 in jedem Knotenpunkt, der zur Berechnung des neuen Massenstroms m_ i+1 verwendet wird. Werden die Konvergenzkriterien nicht eingehalten, so ndet eine erneute Iteration statt. Konvergenzkriterien sind die A nderung des Massenstroms und des Drucks zwischen zwei Iterationsschritten und die Einhaltung der Druck{ bzw. der Massenstromrandbedingungen.
2.2. Losung der Gleichungssysteme mit kommerzieller Software
11
Start Pre-Processing Check
Renumber Komponenten und Knoten (Cuthill-McKee [ 24]) Kompressibler Löser
Schwach kompressibler Löser
Energieerhaltung . m ·h =0 i
t,i
Koeffizienten in den Modulen . . ermitteln m = J · ,p + m
Koeffizienten ermitteln in den . . Modulen m = J · ,p + m
Lösen der Kontinuitätsgleichung . (J · p + m ) = 0
Lösen der Energiegleichung . h ·(J · p + m ) = 0
i
i
i
t,i+1
t,i
0,i
0,i
20])
(Gaußscher Algorithmus [
.Massenstrom ermitteln. m =J ·D p + m i+1
i
t,i+1
Konvergenzkriterien erfüllt? ja
0,i
nein i=i+1
i
t,i
i
i
t,i
t,i+1
0,i
0,i
(Gaußscher Algorithmus [
20])
.Massenstrom ermitteln. m =J ·D p + m i+1
i
t,i+1
Konvergenzkriterien erfüllt?
0,i
nein i=i+1
ja ENDE
Abbildung 2.4: Losungsalgorithmus des kommerziellen Programms Flowmaster.
Die Vorgehensweise ohne Berucksichtigung der Energiegleichung (Schwach kompressibler Loser) dient laut Softwarebeschreibung zur Beschleunigung des Losungsverfahrens. Im Anschluss an die Losung ohne Energiegleichung wird im weiteren zunachst mehrmals die Energiegleichung gelost. In jedem Punkt wird dabei die Energie bilanziert, d.h. die Summe der Energiestrome m_ i hti muss im Gleichgewicht stehen. Wird bei der Startwertvorgabe eine
12
Kapitel 2. Die Stromung in komplexen Netzwerken
Temperatur vorgegeben, die in der Gro enordnung der Losung liegt, so tragt dies zu einem stabileren und schnelleren Losungsverhalten bei. Im nachsten Schritt des Losungsalgorithmus werden wieder die Koezienten Ji m_ 0i zur Beschreibung der Durchusskennlinie ermittelt. Anschlie end wird die Energiegleichung gelost, wobei der Massenstrom aus der Kontinuitatsgleichung eliminiert worden ist. Der neue Totaldruck pti+1 ermoglicht wieder die Berechnung des neuen Massenstroms m_ i+1 . Dieser Iterationszyklus wird wiederholt bis eine stabile Losung mit den vorgegebenen Randbedingungen existiert bzw. bis die maximal vorgegebene Anzahl der Iterationsschritte erreicht worden ist. Der Loser arbeitet in der Regel sehr zuverlassig und der Fortschritt in den bisher gelieferten Versionen war in der verbesserten Oberache und hoherer Rechengeschwindigkeit zu nden. Keine Berucksichtigung in den neuen Versionen hat bis heute die Erfassung der Drallerhaltung an den Knotenpunkten gefunden. Analog zu der Energieerhaltung in den Knotenpunkten konnte auch die Drallerhaltung in den Loser eingebaut werden. Um dieses Problem losen zu konnen wird in folgenden Abschnitt ein Modul zur Drallerhaltung bzw. zur Mischung von Massenstromen unterschiedlichen Dralls erlautert.
2.2.3 Die Mischung von Massenstromen unterschiedlichen Dralls In verzweigten Netzwerken lost das Programm Flowmaster an den einzelnen Knotenpunkten die Energie{ und die Kontinuitatsgleichung, so dass in jedem Knotenpunkt der Totaldruck und die Totaltemperatur bekannt sind. Zur Beschreibung der eindimensionalen Stromung im rotierenden System gehort zusatzlich der Drall. Der Drall wird in den einzelnen Modulen berechnet und den angrenzenden Knotenpunkten zugeordnet. Dies kann zu Problemen fuhren, wenn in einem Knoten mehr als zwei Module miteinander verknupft sind. In Abbildung 2.5 sind drei Module im Knotenpunkt 4 miteinander verknupft. Physikalisch betrachtet werden die Massenstrome des ersten und zweiten Moduls vermischt und stromen mit einem mittleren Drall durch das Modul 3. Flowmaster arbeitet die Module Knoten 2 sequentiell nach ihrer Nummerierung ab, so dass es zunachst mit dem Modul 1 Informationen austauscht. D.h. der Austrittsdrall des Moduls 1 wird dem Knotenpunkt 4 zugeordnet. Anschlie end wird der Austrittsdrall des Moduls 2 ebenfalls dem Knotenpunkt Modul 2 K3 4 zugeordnet und uberschreibt damit K1 Modul 1 Knoten 4 den vorherigen Drall. Das Folgemodul 3 wird nicht mit einem mittleren Drall gespeist. Dies fuhrt zu falschen Ergebnissen und schlechtem Losungsverhal- Abbildung 2.5: Mischung von Massenstromen unterschiedten, wenn uberhaupt eine Losung er- lichen Dralls.
2.2. Losung der Gleichungssysteme mit kommerzieller Software
13
mittelt werden kann. Deshalb mussen Massenstrome mit unterschiedlichem Drall in einem gesonderten Modul gemischt werden. Moglichkeiten zur mathematischen Beschreibung einer Mischung von Massenstromen sind die dreiarmigen Module. Hier konnen zwei wesentliche Schaltungen unterschieden werden, die Dreiecks{ und die Sternschaltungen (Abbildung 2.6). Fur das vorliegende Problem ist die Sternschaltung die geeignetere Schaltung, da sie dem physikalischen Problem mit einem zentralen Mischungspunkt entspricht. Da die mathematische Umsetzung der Dreieckschaltung in ein Modul wesentlich einfacher herzuleiten ist, wird im folgenden zunachst die Dreieckschaltung betrachtet um danach die aus der Elektrotechnik bekannte Transformation auf die Sternschaltung durchzufuhren. Beide dreiarmige Module sind zusammengesetzt worden aus zweiarmigen Modulen, so dass die Beschreibung der Kennlinien nach dem gleichen in Kap. 2.2.1 erlauterten Prinzip fur zweiarmige Module arbeitet. In dem Programm Flowmaster erfolgt die Berechnung der Massenstrome fur ein dreiarmiges Modul nach folgender Vektorgleichung:
0 1 0 1 0 1 pt1 B@ mm__ 12 CA = B@ JJ1121 JJ1222 JJ1323 C A B@ pt2 CA : m_ 3
J31 J32 J33
(2.2)
pt3
Die Matrix J beschreibt das Verhalten des dreiarmigen Moduls, sie enthalt die Durchusskoezienten zur Beschreibung der Kennlinien zwischen den Knotenpunkten. Zur Erlauterung der Koezienten der Matrix J wird die Dreieckschaltung in Abbildung 2.6 betrachtet. Der Massenstrom des Knotens 1 berechnet sich wie folgt:
m_ 1 = J| 3 (pt{z2 ; pt1}) + J| 2(pt{z3 ; pt1}) m_ 1
m_ 1
2
3
J pt + |{z} J pt ;| (J {z+ J }) pt + |{z} J J J !
=
2
!
3
11
1
3
2
12
2
3
:
(2.3)
13
Der Massenstrom ergibt sich aus der Summe der beiden abzweigenden Teilmassenstrome m_ 1!2 , m_ 1!3. Diese wiederum errechnen sich aus den jeweiligen Totaldruckdierenzen pt1!2, pt1!3 mit den Durchusskoezienten J2 , J3 der Kennlinien. Damit ergeben sich die Koezienten der Matrix J fur die erste Zeile und entsprechend fur die beiden anderen Zeilen bzw. Knotenpunkte. Die Matrix J fur die Dreieckschaltung kann wie folgt beschrieben werden:
0 ;(J2 + J3) J3 JDreieck = B ;(J1 + J3) @ J3 J1
J2
;(J
J2 J1
2
+ J3)
1 CA :
(2.4)
14
Kapitel 2. Die Stromung in komplexen Netzwerken
Dreieckschaltung 3
Sternschaltung
3
J1
J3 J2
J2
2
2 Mischungspunkt
1
J3
J1
1
Abbildung 2.6: Stern{ und Dreieckschaltung eines dreiarmigen Moduls.
Nachdem der Aufbau der Matrix fur die Dreieckschaltung bekannt ist, konnen die Durchusskoezienten Ji der Sternschaltung fur die Matrix J transformiert werden (Abbildung 2.6, 50] ). Damit ergibt sich folgende Matrix:
0 J P(J +J ) BB j J j B (J +J ) JStern = B BB Pj J j B@ (J +J ) 1
2
3
2
1
P3j J1j
Pj Jj
(J1 +J2 )
J2P (J1 +J3 ) j J j
Pj Jj
(J3 +J2 )
1 CC CC (JP +J ) CC : jJ j CA J ( J +J ) Pj Jj
(J1 +J3 )
2
3
3
(2.5)
P2j Jj 1
Fur die Mischung in einem Punkt, wird eine Mischung in einem gro en Volumen vorausgesetzt. Die Meridionalkomponente der Absolutgeschwindigkeit kann damit vernachlassigt werden und der statische Zustand ergibt sich aus dem Totalzustand und der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit. Aus der Energiegleichung folgt fur den Mischungspunkt mit der Totaltemperatur Tti, dem Drall (vu r)i und dem Massenstrom m_ i:
P3 (v r) m_ u i i P3 T m_
i=1 i=1
ti
i
= 0 = 0:
(2.6)
Die einstromenden und ausstromenden Massenstrome haben dabei entgegengesetzte Vorzeichen, da im Mischungspunkt die Kontinuitatsgleichung erfullt sein muss. Als weitere Randbedingung gilt konstanter statischer Druck im Mischungsraum, der sich aufgrund des Gegendrucks einstellt und den einstromenden Massenstromen aufgepragt wird. Die Mischungsverluste ergeben
2.3. Grundgleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie
15
sich aus den Totaldruckdierenzen der Knotenpunkte, die mit dem aufgepragten statischen Druck unter Berucksichtung der Umfangskomponenten der Absolutgeschwindigkeiten ermittelt werden.
2.2.4 Die Anwendung von dreidimensionalen nummerischen Losungsverfahren Zur Unterstutzung der theoretisch erarbeiteten Ergebnisse unter anderem aus der Literatur sind Navier{Stokes{Rechnungen durchgefuhrt worden. An dieser Stelle sollen kurz die wesentlichen Elemente des Verfahrens erlautert werden. Detaillierte Informationen uber das Verfahren nden sich in der angegebenen Literatur. Der kommerzielle Loser CFX-Tascow Der kommerzielle Loser CFX{Tascow lost stationare und instationare laminare und turbulente Stromungen fur komplexe Strukturen mit Multiblockgittern. Er wird hauptsachlich im Turbomaschinenbereich eingesetzt. In dieser Arbeit wurde fur die Ergebnisse mit dem CFX{ Tascow{Loser das k{{Turbulenzmodell mit logarithmischem Wandgesetz eingesetzt. Das Verfahren wird durch folgende Elemente charakterisiert:
Finite Volumen Zeitschrittverfahren Dreidimensionale Formulierung Turbulenzmodellierung: k{{Modell, k{!{Modell u.a. Implizites Losungsverfahren Strukturierte Multiblockgitter. Detaillierte Informationen u ber das Verfahren konnen den Handbuchern 25 ] entnommen werden.
2.3 Grundgleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie Die Beschreibung der stationaren Stromung eines Kontinuums basiert auf den Erhaltungsgleichungen von Masse, Impuls und Energie. Der Ortsvektor wird im Zylinderkoordinatensystem durch drei unabhangige Koordinaten, die radiale, die axiale und die Umfangsrichtung beschrieben. Bei einer rotationssymmetrischen Stromung reduzieren sich die unabhangigen Koordinaten auf die axiale und radiale Richtung. Dennoch besitzt die Umfangskomponente des Geschwindigkeitsvektors eine nicht zu vernachlassigende Bedeutung. Wird die Projektion eines Stromfadens in der von den beiden unabhangigen Koordinaten aufgespannten Ebene betrachtet, so kann die Stromung langs dieses projizierten Stromfadens mit einer unabhangigen Koordinate, der meridionalen Koordinate, betrachtet werden. Da die Projektionslinie des Stromfadens als bekannt vorausgesetzt wird (z.B. vorgegeben durch Geometrie), werden die Impulsgleichungen in axialer
16
Kapitel 2. Die Stromung in komplexen Netzwerken
und radialer Richtung nicht benotigt, da sie die beschreibenden Gleichungen der projizierten Stromlinie sind. Die Erhaltungsgleichungen reduzieren sich somit auf die Gleichungen fur Masse und Energie. Die Erhaltung der Masse m_ ergibt sich bei einer Zustandsanderung von 1 nach 2 aus der meridionalen Geschwindigkeitskomponente vm , der Dichte und der Flache A. Die Richtung des Normalenvektors der Austrittsache entspricht der Richtung des Vektors der meridionalen Geschwindigkeitskomponente:
m_ = 1 vm1A1 = 2vm2A2 :
(2.7)
Der allgemeine Energiesatz sagt aus, dass die in einem Kontrollraum ein{ und austretenden Energien im Gleichgewicht stehen mussen. Fur die Zustandsanderung von 1 nach 2 bedeutet dies, dass die zu{ bzw. abgefuhrte spezische Arbeit a1!2 und die spezische Warmemenge q1!2 gleich der A nderung der Totalenthalpie ht1!2 bzw. der Totaltemperaturanderung Tt1!2 mit der spezischen isobaren Warmekapazitat cp des Fluids sind:
a1!2 + q1!2 = ht1!2 = cp Tt1!2:
(2.8)
Zur Berechnung der spezischen Arbeit wird auf den Kontrollraum das Drallgesetz angewendet. Demnach muss die Summe aller im betrachteten Raum mit der Stromung in Wechselwirkung stehenden Momente im Gleichgewicht sein. Ganz allgemein gilt, dass die auf das Fluid wirkenden Momente M1!2 gleich der Summe der Momente an den rotierenden Begrenzungen Mrotor und den nicht{rotierenden Begrenzungen Mstator sind:
Z
Z
M1!2 = rvu vmdA ; rvu vmdA: = Mrotor + Mstator 2
1
(2.9)
Die Drallanderung des Fluids (rvu)1 ! (rvu)2 muss um den Anteil des statorseitigen Moments Mstator reduziert werden, damit die vom Rotor aufgenommene innere Leistung Pi ermittelt werden kann:
Pi = Mrotor ! =
Z 2
Z
rvu vm dA ; rvu vmdA ; Mstator !: 1
(2.10)
Unter Berucksichtung der oben genannten Randbedingungen der eindimensionalen Stromfadentheorie fur eine unabhangige Koordinate ergibt sich unter Vernachlassigung des statorseitigen Moments Mstator die Eulersche Hauptgleichung der Turbomaschinen. Sie wurde von dem Mathematiker Leonhard Euler bereits 1754 aufgestellt:
Pi = a = ! (rv ) ; (rv ) ] : 1!2 u2 u1 m_
(2.11)
2.3. Grundgleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie
17
Wird die Eulersche Hauptgleichung der Turbomaschinen in die Energiegleichung (Gl. 2.8) eingesetzt, so ergibt sich durch einfaches Umformen die Totaltemperaturanderung von Zustand 1 nach 2: Tt1!2 = ! (vu1!2 + vu1) r2 ; vu1r1] + TtQ ; Ttstator
cp
q TtQ = 1c!2 ! p
M
!
stator Ttstator = mc _ p :
(2.12)
Hier ist gegenuber der Eulerschen Hauptgleichung der Turbomaschinen der Anteil der Totaltemperaturanderung durch die Statorwirkung Ttstator nicht vernachlassigt worden. Um die Zustandsanderung von 1 nach 2 vollstandig beschreiben zu konnen wird zusatzlich zu der Gleichung 2.12 die ideale Gasgleichung und die Isentropengleichung verwendet:
p
= RT " 1 # Tt2s pt1!2s = ;1 : Tt1 ;
(2.13) (2.14)
Die isentrope Totaldruckanderung pt1!2s von 1 nach 2 ermittelt sich mit der Totaltemperatur am Eintritt Tt1, der isentropen Totaltemperatur am Austritt Tt2s und dem Isentropenexponenten . Wird allerdings Warme zu{ oder abgefuhrt, dann andert sich aufgrund des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik die Entropie, da mit dem Warmetransport immer ein Transport von Entropie verbunden ist. Die Totaltemperatur Tt2 (Gl. 2.12) muss dann um die Totaltemperaturanderung durch Warmezu{ oder {abfuhr TtQ korrigiert werden: pt1!2 =
"
Tt2 ; TtQ Tt1
1
;
#
; 1 ; ptV :
(2.15)
Die reale Totaldruckanderung ergibt sich in Gl. 2.15 unter Berucksichtigung eines Totaldruckverlusts ptV infolge von Dissipation.
18
Kapitel 2. Die Stromung in komplexen Netzwerken
2.4 Berucksichtigung der realen Einusse durch Korrelationen Die realen Einusse der dreidimensionalen Stromung werden durch folgende Korrelationen in der Isentropengleichung (Gl. 2.15) und der Energiegleichung (Gl. 2.12) charakterisiert:
Einuss eines Stators Ttstator Totaltemperaturanderung durch Warmezu{ oder {abfuhr TtQ Drallanderung (rvu) ! Totaldruckverluste ptV . 1 2
Die Abbildung dieser physikalischen Terme durch Korrelationen ist Teilaufgabe dieser Arbeit, da durch diese die dreidimensionale Stromung vereinfacht modelliert wird. Abbildung 2.7 zeigt die durch die Gleichungen 2.12 und 2.15 beschriebene Zustandsanderung von 1 nach 2.
h D
,I
J
G D
I J I
= D
HAL
,I
J EHH
ht pt ptV a q sirr srev
Totalenthalpie Totaldruck Totaldruckverlust spezische Arbeit spezische Warmemenge irreversible Entropieanderung reversible Entropieanderung
J
J
s Abbildung 2.7: Die Zustandsanderung im h{s{Diagramm unter Berucksichtigung der Drallanderung, des Warmeusses und des Totaldruckverlusts.
Um die Eekte der Stromungsumlenkung, der Stromungsverluste und des Warmetransports zu isolieren, ist fur die Darstellung in Abbildung 2.7 ein ktiver Zwischenzustand 2s eingefuhrt worden. Ausgehend von dem Totalzustand 1t bzw. dem statischen Zustand 1 wird durch isentrope Energiezu{ oder {abfuhr uber die Drallanderung der Zustand 2s bestimmt. Durch Warmetransport q erfolgt eine weitere Energiezu{ oder {abfuhr, die das Niveau der Totalenthalpie ht2 des Zustandes 2t und die reversible Entropiezu{ oder {abnahme srev unter der Bedingung einer isobaren Zustandsanderung festlegen. Die Stromungsverluste als Ursache der Totaldruckverluste legen die Dissipation bzw. Entropiezunahme sirr und damit den Totalzustand 2t 0
0
2.4. Berucksichtigung der realen Einusse durch Korrelationen
19
und den statischen Zustand 2 fest. Die gestrichelte Linie deutet die Zustandsanderung von 1 nach 2 an, wobei dem quantitativen Verlauf keine Bedeutung zukommt, da die Zustandsgro en wegunabhangig sind. Die in den folgenden Kapiteln untersuchten Komponenten sind ausschlie lich von rotierenden Bauteilen umgeben, so dass der Einuss des Stators auf die A nderung der Totaltemperatur TtStator entfallt. Treten allerdings statorseitige Begrenzungen auf, die in Wechselwirkung mit der Stromung stehen, so kann der Einuss nicht immer vernachlassigt werden. Zum Beispiel wird bei Labyrinthen das aus dem Rotor kommende Fluid am Stator in den meisten Fallen in Umfangsrichtung verzogert. Wird dies nicht berucksichtigt, dann wird die Verzogerung der Fluidteilchen am Stator in eine an den Rotor geleistete Arbeit (Gl. 2.12) umgerechnet und die berechnete Totaltemperatur wird zu klein. Daraus folgt, dass in der Isentropengleichung (Gl. 2.14) die isentrope Totaldruckanderung und damit die reale Totaldruckanderung (Gl. 2.15) ebenfalls zu klein berechnet werden. Der Einuss der Warmezu{ oder {abfuhr wird in dieser Arbeit nicht berucksichtigt und steigt mit zunehmendem Temperaturgradienten zwischen Fluid und Material an. Im verdichterseitigen Bereich des Sekundarluftsystems ist der Warmeeintrag durch den Heisgaskanal vernachlassigbar gering, so dass die Materialtemperatur weitgehenst durch die Sekundarluft bestimmt wird. Im turbinenseitigen Bereich des Sekundarluftsystems ist diese Annahme nur noch bedingt gultig, da dort der Einuss des Heisgaskanals mit einer Fluidtemperatur von bis 1450 C eine erhebliche Rolle spielen kann. Ein grosser Teil der von der Schaufel in den Rotor eingetragenen Warme wird durch die Kuhlung des Schaufelfusses abgefuhrt. Eine Restwarme wird in die Turbinenscheibe eingetragen und es bildet sich ein thermisches Gleichgewicht zwischen der Sekundarluft und dem Material aus. Der Einuss der Warme auf die Sekundarluft sinkt mit zunehmender Entfernung vom Heisgaskanal.
3 Stromung in rotierenden Bohrungen Die A nderung von statischem Druck, statischer Temperatur und der Absolutgeschwindigkeit der Luft insbesondere bei der Durchstromung von rotierenden Bohrungen in Gasturbinen ist immer noch Gegenstand von Forschungsvorhaben. Die vielen Parameter, die alle einen wesentlichen Einuss auf die Energieumwandlung nehmen, erschweren eine allgemeingultige Betrachtung des Problems. Bis heute wurden viele Einzelbetrachtungen durchgefuhrt, bei denen der Einuss einzelner Parameter untersucht wurde. Die starke Wechselwirkung der Parameter untereinander erlaubt jedoch nicht die direkte U bertragung der Ergebnisse bei veranderten Randbedingungen. Die ersten Betrachtungen wurden an feststehenden Rohrleitungen durchgefuhrt. Colebrook und White 22 ] geben in den 30er Jahren eine Zusammenfassung dieser Arbeiten. Spater wurde die Stromung durch feststehende Dusen und Blenden untersucht. Lichtarowicz et al. 54 ] und Idel'cik 45 ] haben die Ergebnisse dieser Untersuchungen in den 60er Jahren zusammengefasst. McGreehan und Schotsch 56 ] stellten 1988 die Ergebnisse in der Anwendung auf rotierende Kanale zusammen. Eine Verbindung zwischen den oben genannten Untersuchungsergebnissen ist bislang nicht gelungen, da die Verluste der Dusen{ und Blendenstromung durch den Durchussbeiwert zusammengefasst betrachtet werden, wahrend die Verluste in den Rohrleitungen durch Beiwerte des Eintritts, Austritts und der Durchstromung beschrieben werden. Die im Sekundarluftsystem von Gasturbinen verwendeten Bohrungen decken den gesamten Bereich von sehr langen Bohrungen bis zu den Blenden ab und konnen zusammen weder mit den Durchussbeiwerten noch mit den Verlustbeiwerten fur Rohrleitungen hinreichend genau beschrieben werden. Dies macht eine Zusammenfuhrung der Darstellungen erforderlich. Einen U berblick uber den Stand der Technik gibt die Literaturstudie im folgenden Kapitel. Die Untersuchungen aus der Literatur konnen dabei im wesentlichen wie folgt unterteilt werden (Bohrungslange `, Bohrungsdurchmesser d):
Laminare Einlaufstromung in feststehenden Bohrungen `=d ! 1 Stromung in feststehenden Blenden `=d ! 0 Stromung in feststehenden Bohrungen `=d > 0 Stromung in rotierenden Bohrungen. Im Anschluss an den Literaturuberlick wird die Energieumsetzung in feststehenden und rotierenden Bohrungen diskutiert und ein Ansatz zur Beschreibung der Stromung in feststehenden und rotierenden Bohrungen gegeben. Dem folgt der Aufbau eines einfachen Modells mit der eindimensionalen Stromfadentheorie. Die zu korrelierenden Gro en des mathematischen Modells werden an feststehenden Bohrungen und spater an rotierenden Bohrungen angepasst. In einer Zusammenfassung werden noch mal alle wichtigen Punkte und der Einsatzbereich des mathematischen Modells angesprochen.
22
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
3.1 Literaturuberblick
3.1.1 Laminare Einlaufstromung in feststehenden Bohrungen (`=d ! 1) Langhaar (1942, 51 ]) untersucht die laminare Einlaufstromung in langen feststehenden Bohrungen (Abb. 3.1, `D Einlauange). Er benutzt zur Beschreibung des Geschwindigkeitsprols die Besselsfunktionen und vergleicht die Ausbildungsverluste der Geschwindigkeitsprole mit vorherigen Arbeiten. Einen U berblick uber die Eintrittsverlustbeiwerte unterschiedlicher Autoren gibt Tabelle 3.1. Der Verlustbeiwert ist deniert als Druckverlust bezogen auf den dynamischen Druck eines Kolbenprols bei gleichem Massenstrom. Die theoretischen Arbeiten weichen erheblich voneinander ab. Schiller, Campbell und Slatterly ermitteln im Vergleich zu allen anderen Autoren einen sehr niedrigen Verlustbeiwert von ungefahr eins.
Kolbenprofil d lD l
Abbildung 3.1: Laminare Einlaufstromung in feststehenden Bohrungen.
Campbell und Slattery (1963, 19 ]) erweitert den Ansatz von Schiller (1922, 78 ]) fur die Ausbildung des laminaren Geschwindigkeitsprols. Sie berucksichtigen bei der Berechnung der Ausbildungsverluste des Geschwindigkeitsprols die durch die viskosen Krafte in der Grenzschicht verursachte Dissipation. Die Ergebnisse von Campbell und Slattery (1963, 19 ]) unterscheiden sich allerdings nur sehr geringfugig von denen von Schiller (1922, 78 ]). Hohere Verlustbeiwerte in ihren theoretischen Arbeiten ermitteln Atkinson und Goldstein, Langhaar, Boussinesq und Truckenbrodt. Die experimentellen Ergebnisse von Schiller, Knibbs und Riemann stimmen in ihrer Bandbreite mit den theoretischen Arbeiten uberein. Die relativ gro e Bandbreite der theoretischen und experimentellen Ergebnisse lasst auf eine starke Abhangigkeit der Randbedingungen schliessen. Den konservativsten Wert liefert Truckenbrodt (1980, 83 ]), dessen Ergebnis in dieser Arbeit als Vergleichswert genutzt wird.
3.1.2 Die Stromung in feststehenden Blenden (`=d ! 0) Neben experimentellen Untersuchungen entwickelt Perry (1949, 68 ]) eine erste mathematische Beschreibung fur das Durchussverhalten von Blenden. Er stellt fest, dass bei Luftstromungen
3.1. Literaturuberblick
Theoretische Arbeiten Boussinesq Schiller Atkinson und Goldstein Langhaar Campbell und Slattery Truckenbrodt
Experimentelle Arbeiten Schiller Knibbs Riemann
23 Quelle
Verlustbeiwert
(1890, 12 ]) (1922, 78 ]) (Goldstein 1938, 36 ]) (1942, 51 ]) (1963, 19 ]) (1980, 83 ])
1.120 1.080 1.205 1.140 1.090 1.333
(1922, 78 ]) 1.058{1.225 (Riemann 1928, 75 ]) 1.135 (1928, 75 ]) 1.110{1.134
Tabelle 3.1: Literaturvergleich von Eintrittsverlustbeiwerten fur laminare Einlaufstromungen.
mit Re > 100000 der Durchussbeiwert unabhangig von der Reynoldszahl ist. Engel und Stainsby (1964, 30 ]) untersuchen die Blendenstromung fur Reynoldszahlen Re < 107 . Sie stellen fest, dass die Einschnurung der Stromung bei gro en An{ und Abstromquerschnitten unabhangig von der Reynoldszahl ist. Den Einschnurungsquerschnitt vena contracta Av bezogen auf den Blendenquerschnitt A geben sie als Kontraktionsverhaltnis von Cc = Av =A = 0:611 an. Dies wird von Benson und Pool (1965, 9 ]) bestatigt. Unger (1979, 84 ]) beschaftigt sich mit Carnot'schen Sto verlusten, da diese auf eine einzige fundamentale Gleichung zuruckzufuhren sind. Fur unterschiedliche zylindrische Geometrien ermittelt er die Druckverluste. Er betrachtet dabei die Venturiduse, eine Borda{Mundung und scharfkantige Blenden und Bohrungen. Er ermittelt die Kontraktionsverhaltnisse und diskutiert, ob und welchen Einuss das Wiederanlegen einer von der Wand abgelosten Stromung in oder au erhalb einer Bohrungen hat. Jobson (1954, 46 ]) kommt in seiner Arbeit zu dem Schluss, dass das Kontraktionsverhaltnis einer kompressiblen Blendenstromung aus dem Kontraktionskoezienten des inkompressiblen Falls ermittelt werden kann. Bragg (1960, 13 ]) befasst sich ebenfalls in seiner Arbeit mit diesem Problem und erweitert den von Jobson (1954, 46 ]) erarbeiteten Ansatz in seinem Gultigkeitsbereich fur Durchussbeiwerte gro er CD = m= _ m_ id > 0:65. Der Durchussbeiwert ist deniert als der tatsachlich durchgesetzte Massenstrom m_ einer Bohrung bezogen auf einen idealen Massenstrom m_ id . Benedict (1971/1, 6 ]) ermittelt einen eigenen Ansatz um auf der Basis des Kontraktionsverhaltnisses der inkompressiblen Stromung das Kontraktionsverhaltnis der kompressiblen Stromung berechnen zu konnen. Hierauf aufbauend untersucht er im zweiten Teil seiner Arbeit
24
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
(1971/2, 7 ]) den Expansionsfaktor Y , der den durchgesetzten Massenstrom der kompressiblen (c) und der inkompressiblen Stromung (inc) ins Verhaltnis setzt:
Y = m_m_ c 1: inc
(3.1)
3.1.3 Feststehende Bohrungen (`=d > 0) Umfangreiche experimentelle Versuche fuhrt Idel'cik (1966, 45 ]) fur unterschiedliche Kongurationen von Bohrungen und Blenden durch. Er untersucht gerundete Einlaufe, angefaste und in eine Umgebung hineinragende Bohrungen, die sogenannten gesteckten Bohrungen. Seine Arbeit beschaftigt sich mit Einlaufstromungen, der Reibung in Bohrungen und dem Durchussverhalten von Blenden fur laminare und turbulente Stromungen. Neben Bohrungen und Blenden werden eine Vielzahl anderer Formen wie Rechteckkanale oder Ellipsen behandelt. Nakayama (1961) untersucht in seinen beiden Arbeiten ( 59 ], 60 ]) das Durchussverhalten von zylindrischen Blenden und Bohrungen in Abhangigkeit unterschiedlicher Langendurchmesserverhaltnisse (0.8 < `=d < 16.5). Im ersten Teil (1961/1) fuhrt er die Versuche sowohl mit Wasser als auch mit Luft bei kleinen Druckverhaltnissen durch. Unter der Voraussetzung gleicher Geometrie und gleicher Reynoldszahlen zeigt sich, dass die Durchussbeiwerte von Wasser denen von Luft bei kleinen Druckverhaltnissen entsprechen. Im zweiten Teil (1962/2) seiner Arbeit geht er auf die kompressible Durchstromung von Blenden und Bohrungen ein. Fur verschiedene Druckverhaltnisse ermittelt er den Expansionsfaktor, der den durchgesetzten Massenstrom der inkompressiblen und kompressiblen Stromung ins Verhaltnis setzt (Gl. 3.1). Fur die Blendenstromungen mit einem Langendurchmesserverhaltnis von `=d ! 0 vergleicht er seine experimentellen Ergebnisse mit den Ergebnissen von Cunningham (1951, 23 ]), der vom Deutschen Institut fur Normung e.V herausgegebenen DIN 1952 (1982, 28 ]) und den ASME{Standards (1937, 3 ]) und stellt eine gute U bereinstimmung fest. Hall (1963, 39 ]) beschaftigt sich mit scharfkantigen Bohrungen und dem Einuss des Langendurchmesserverhaltnisses (1 < `=d < 10). Er beschreibt ein einfaches Modell, in dem er in Abhangigkeit der Reynoldszahl eine Funktion fur den Durchusskoezienten angibt. Lichtarowicz et al. (1965, 54 ]) untersuchen das Langendurchmesserverhaltnis von bis zu `=d < 10 und variieren dabei in weiten Bereichen die Reynoldszahl. Sie lieferten umfangreiche Ergebnisse auf experimenteller Ebene, die von vielen Autoren als Basis genutzt wird. Aus den experimentellen Daten ermittelt er Korrelationen zur Berechnung des Durchussbeiwerts. Ward{Smith (1971, 86 ]) und McGreehan und Schotsch (1988, 56 ] greifen auf die experimentellen Ergebnisse von Lichtarowicz et al. (1965, 54 ]) zuruck und stellen ihrerseits eigene Korrelationen fur die Abhangigkeit des Durchussbeiwerts von dem Langendurchmesserverhaltnis und der Reynoldszahl auf. Wei ert (1996, 87 ]) vergleicht die Ergebnisse der Korrelationen von Nakayama, Hay, Lichtarowicz et al., Ward{Smith und Schotsch miteinander und stellt mit den experimentellen Ergebnissen von Lichtarowicz et al. (1965, 54 ]) eine gute U bereinstim-
3.1. Literaturuberblick
25
mung fest. Deckker und Chang (1965-66, 26 ]) untersuchen Bohrungen mit einem Langendurchmesserverhaltnis von 0:5 < `=d < 2:0. Sie variieren die Reynoldszahl und stellen fest, dass bei einem Langendurchmesserverhaltnis von `=d = 0.5 eine Hystereseschleife auftritt. Auch Lichtarowicz et al. (1965, 54 ]) haben Unregelma igkeiten in ihren Messungen festgestellt. Nach Ward{Smith (1971, 86 ]) treten bei Bohrungen mit einem Langendurchmesserverhaltnis von `=d = 0.5 zwei stabile Stromungsformen auf, die von der Vorgeschichte der Versuchsfuhrung abhangen. In einem Fall des gro eren Massendurchsatzes liegt die Stromung an der Wand an, im anderen Fall lost die Stromung ab und es kommt zu einer Versperrung mit geringerem Massendurchsatz. Rhode et al. (1969, 71 ]) untersuchen querangestromte Bohrungen mit unterschiedlichen Kongurationen. Dabei variieren sie das Langendurchmesserverhaltnis und die Abrundung der Eintrittskante. McGreehan und Schotsch (1988, 56 ]) nutzen die Ergebnisse von Rhode et al. (1969, 71 ]), Meyfarth und Shine (1965, 57 ]), sowie Grimm (1967, 38 ]) zur Korrelation ihres Durchussbeiwerts. Die experimentellen Ergebnisse sind, wie McGreehan und Schotsch (1988, 56 ]) zeigen, zuverlassig und werden zur Korrelation der spater ausgefuhrten theoretischen Arbeit genutzt. Ebenfalls querangestromte Bohrungen untersucht Khaldi (1987, 49 ]) in experimenteller Form. Er gibt Zusatzverluste an, die aufgrund der Queranstromung entstehen und variiert dabei den Rundungsradius der Eintrittskante. Die Erfassung einer Vielzahl von Ergebnissen ist eine gute Basis fur eine Gesamtbetrachtung von Bohrungen in Abhangigkeit des Kantenradius und der Queranstromung. Hay et al. (1992, 40 ]) untersuchen die Querstromung in der Zu- und Abstromung fur ein Langendurchmesserverhaltnis von `=d = 6. Geometrische Variationsparameter sind dabei der Radius der Eintrittskante und der Anstellwinkel der Bohrung zur Hauptstromung. Die Umlenkung der Stromung fallt bei der angestellten Bohrung geringer aus als bei der Bohrung, die senkrecht zur Hauptanstromung ausgerichtet ist. Es entsteht eine geringere Versperrung, so dass der Stromungswiderstand sinkt und der Durchuss steigt. Parker and Kercher (1991, 67 ]) entwickeln eine Methode zur Berechnung kompressibler Stromung fur eine verallgemeinerte Bohrung. Sie berucksichtigen dabei die Kompressibilitat, den Radius der Eintrittskante, das Langendurchmesserverhaltnis und die Reynoldszahl. Korreliert werden die Ergebnisse mit Daten aus der Literatur. Hay und Spencer (1992, 41 ]) vergleichen fur die kompressible Stromung gerundete und angefaste Eintrittskanten fur Langendurchmesserverhaltnisse von 0:25 < `=d < 2:0. Bei den angefasten Kanten untersuchten sie Anfasungen unter 30 und 45 Grad zur Bohrungsachse. Das Radiendurchmesserverhaltnis und entsprechend bei 45 Grad das Kantendurchmesserverhaltnis liegt bei 0 { 0.2. Die 30 Grad angefasten Bohrungen liefern von den untersuchten Kongurationen die hochsten Durchussbeiwerte.
26
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
3.1.4 Rotierende Bohrungen Die rotierenden Bohrungen konnen in zwei prinzipielle Kongurationen (Abb. 3.2) unterschieden werden. In beiden Kongurationen { Rotation parallel zur Achse bzw. senkrecht zur Achse { treten Sekundarstromungen auf. Durch die Rotation treten zusatzlich Krafte auf, die das Stromungsbild durch Sekundarstromungen erganzen und beeinussen. Es treten zusatzliche Verluste und eine Reihe weiterer Einussfaktoren auf, z.B. die Rotationsgeschwindigkeit und die asymmetrische Anstromung.
axial rotierend
radial rotierend
Abbildung 3.2: Sekundarstromungen in rotierenden Bohrungen.
Erste Untersuchungen des Rotationseinusses auf das Durchussverhalten von Bohrungen werden von Samoilovich und Morozov (1975, 77 ]) durchgefuhrt. Meyfarth und Shine (1965, 57 ]) untersuchen rotierende Bohrungen, deren Achse parallel zur Rotationsachse verlaufen (axial rotierende Bohrungen, Abb. 3.2). Sie geben kein Langendurchmesserverhaltnis der Bohrung an. Anhand der Durchussbeiwerte fur die feststehenden Bohrungen lasst sich erkennen, dass es sich um Blenden (`=d ! 0) handelt. Sie variieren die Drehzahl und stellen erst bei gro eren Drehzahlen einen Abfall des Durchussbeiwerts fest. Ebenfalls rotierende Blenden untersucht Wiles (1976, 88 ]). Die Angaben uber das Langendurchmesserverhaltnis fehlen zwar, auch hier kann aufgrund des Durchussbeiwerts auf eine Blende geschlossen werden. Einen U berblick uber die Arbeiten, die sich mit dem Durchuss von rotierenden Bohrungen befassen, geben McGreehan und Schotsch (1988, 56 ]). Sie werten unterschiedliche Einusse aus und versuchen diese in ihren Korrelationen in Abhangigkeit der Anstromung, der Reynoldszahl, der Kompressibilitat, des Kantenradius und des Langendurchmesserverhaltnisses zu beschreiben. In den mit Experimenten abgesicherten Gultigkeitsbereichen der Korrelationen ist die U bereinstimmung zwischen Rechnung und Messung gut. Die Ergebnisse der Korrelationen konnen nicht uber den Gultigkeitsbereich hinaus extrapoliert werden, da z.B. unter Umstanden bei sehr langen Bohrungen negative Durchusskoezienten ermittelt werden.
3.1. Literaturuberblick
27
Als einer der ersten haben Howard et al. (1980, 43 ]) nummerische Stromungssimulationen mit fur die Rotation modizierten Turbulenzmodellen an rotierenden Kanalen durchgefuhrt. Sie betrachten einen rotierenden Rechteckkanal und erzielen nummerische Ergebnisse, die gut mit den experimentellen Ergebnissen aus der Literatur ubereinstimmen. Wittig et al. (1996, 90 ]) untersuchen auf nummerischer und experimenteller Grundlage rotierende Scheibenbohrungen unterschiedlicher Lange. Sie variieren dabei die Anstromung der Bohrung durch unterschiedliche Drehzahlen der Scheibe. In einer weiteren Arbeit variieren Maeng et al. (1998, 55 ]) den Kantenradius des Eintritts bei einem Langendurchmesserverhaltnis der Bohrung von `=d = 10. Einen sehr ausfuhrlichen U berblick uber die Literatur von Stromungen in rotierenden und feststehenden Bohrungen gibt Wei ert (1996, 87 ]) in seiner Arbeit. Er befasst sich mit der nummerischen Stromungssimulation von rotierenden Wellen{ und Scheibenbohrungen und gibt hierzu Korrelationen zum Durchussverhalten an. Becker et al. (1975, 5 ]) untersuchen den Druckverlust rotierender Wellenbohrungen fur relativ kleine Langendurchmesserverhaltnisse 1:143 < `=d < 1:887. Ziel dieser experimentellen Arbeiten ist die Erforschung von Instabilitaten, die sich in der Geometrie einer realen Gasturbine einstellen. Barua (1955, 4 ]) befasst sich mit dem Reibbeiwert in laminaren inkompressiblen Stromungen in rotierenden Bohrungen, deren Bohrungsachse senkrecht zur Rotationsachse steht (radialen Bohrungen, Abb. 3.2). Er gibt das Verhaltnis zwischen dem Reibbeiwert der rotierenden und feststehenden Bohrungen an. Er macht keine Aussage uber den Gultigkeitsbereich in Form von dimensionslosen Kennzahlen, sondern sagt lediglich, dass es sich um eine laminare Stromung handeln muss. Ito und Nanbu (1971, 44 ]) untersuchen ebenfalls den Rohrreibungskoezienten in radial rotierenden Bohrungen und geben empirische Gleichungen fur die turbulente Stromung an. Den Rohrreibungskoezienten fur axial rotierende Bohrungen untersuchen Johnson und Morris (1992, 47 ]) experimentell und geben hierfur empirische Gleichungen fur laminare und turbulente Stromungen an. Die Ermittlung der empirischen Gleichung zur Berechnung des Reibbeiwerts orientiert sich an experimentellen Ergebnissen mit Reynoldszahlen unter Re < 105 . Bisher sind eine Vielzahl von Ergebnissen aus der Literatur vorgestellt und teilweise bewertet worden. Wie am Anfang diese Kapitels erlautert wird, ist das Ziel die Erstellung eines einfachen Modells zur Beschreibung der Stromung in feststehenden und rotierenden Bohrungen. Im folgenden Kapitel ist ein solches Modell zur Berechnung von feststehenden und rotierenden Bohrungen erarbeitet worden. Es sind eine Reihe von physikalischen Ansatzen genutzt worden um die zu korrelierenden Einussparameter auf ein Minimum reduzieren zu konnen. Als Beispiel kann hier die Kompressibilitat genannt werden, die bei der Anwendung der Erhaltungsgleichungen berucksichtigt wird und daher nicht explizit korreliert werden muss, wie dies durch den Expansionsfaktor haug in der Literatur gemacht wird. Zur Absicherung bzw. An-
28
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
passung des Modells an experimentelle Ergebnisse werden die zuvor genannten Literaturstellen herangezogen. Insbesondere fur feststehende Bohrungen liefert die Literatur eine Vielzahl von Ergebnissen zur Kalibrierung des Modells:
Truckenbrodt 83 ] fur die laminare Einlaufstromung Colebrook und White 22 ] fur die Reibungsverluste mit ausgebildetem Geschwindigkeitsprol
Khaldi 49 ] und Rhode et. al 71 ] fur querangestromte Bohrungen mit abgerundeten Eintrittskanten
Lichtarowicz et al. 54 ] fur unterschiedliche Langendurchmesserverhaltnisse Idel'cik 45 ] fur unterschiedliche Radiendurchmesserverhaltnisse. Fur die rotierenden Bohrungen sind die Literaturstellen sehr viel geringer in ihrer Anzahl und deshalb fur diese Arbeit um so wertvoller. Wei ert 87 ], Wittig et. al 89 , 90 ] und Meyfarth und Shine 57 ] liefern experimentelle Ergebnisse die den gro ten Teil der hier untersuchten Parameter abdecken, so dass eine ausreichende Anzahl von experimentellen Ergebnissen zur Kalibrierung des Modells zur Verfugung stehen. Als ersten Schritt zur Entwicklung eines Modells befasst sich das folgende Kapitel mit der Energieumwandlung in rotierenden Bohrungen inklusive des Spezialfalls der feststehenden Bohrung. Dort werden die Stromungsphanomene in Bohrungen untersucht und durch vereinfachte eindimensionale Gleichungen beschrieben. Aufbauend auf diese Gleichungen wird ein mathematisches Modell entwickelt, das im Anschluss daran zunachst auf die experimentellen Ergebnisse der feststehenden Bohrung und dann der rotierenden Bohrung abgestimmt wird.
3.2. Energieumwandlung in rotierenden Bohrungen
29
3.2 Energieumwandlung in rotierenden Bohrungen 3.2.1 Struktur der Stromung
In allgemeiner Form soll die Stromung durch eine Bohrung innerhalb einer rotierenden Scheibe betrachtet werden. Die Geometrie der Bohrungen kann wie folgt charakterisiert werden:
Ein- und Austritt der Bohrung liegen auf unterschiedlichen Radien. Der U bergang von der Scheibe zur Bohrung ist mit einem beliebigen Radius verrundet. Stromauf und {ab der Scheibe benden sich gro e Ringraume.
Innerhalb der Ringraume stromt Gas mit einer von der Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe unterschiedlichen Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit (Abb. 3.3, w Relativgeschwindigkeit). Beim Eintritt in die Bohrungen wird das Gas aus einer Bewegung, die absolut betrachtet vornehmlich in Umfangsrichtung gerichtet ist, in eine Bewegung in Richtung der Bohrungsachse umgelenkt. Diese Umlenkung erzeugt am Bohrungseintritt Druckgradienten, die zu einer Stromungsablosung fuhren konnen. Kommt es zur Stromungsablosung, so wird ein Teil des zur Verfugung stehenden Bohrungsquerschnitts versperrt. Die Verengung des Stromungsquerschnitts fuhrt zu einer Beschleunigung der Stromung. Der statische Druck im engsten Querschnitt sinkt entsprechend der Beschleunigung der Stromung und der aufgetretenen Stromungsverluste ab. Innerhalb der Bohrung wird die Stromung nahezu wandparallel gefuhrt. Bei sehr kurzen Bohrungen ndet eine solche Fuhrung nur in geringem Ma e statt und die gegebenenfalls abgeloste Stromung legt sich ω nicht mehr innerhalb der Bohrung an. Mit zuneh- W mender Lange der Bohrung klingen die am Eintritt erzeugten Storungen ab. Im Falle des Wiederanlegens der Stromung ergibt sich ein leichter Druckanstieg. Die Stromung verlasst die Bohrung als freien Strahl, dessen kinetische Energie auf- Abbildung 3.3: Stromung in rotierenden Bohrungen. grund von Scherkraften dissipiert.
3.2.2 Energieformen und Geschwindigkeitsverteilungen Der Zustand eines Fluids wird durch den statischen Druck, die statische Temperatur und die absolute Stromungsgeschwindigkeit beschrieben. Mit Hilfe des Totalzustands ndet gedanklich eine Zusammenfassung der Energie der Stromungsgeschwindigkeit mit den anderen Energiespeichern statt. Werden die Veranderungen des Totalzustands untersucht, so kann dies durch
30
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen 3:00
w=wm 1:00
2:0 = s 1:0 0:5 0:0
w/wm
w/wm
w/wm
2.0
2.0
2.0
r/rmax
r/rmax
1.0
1.0
s = 2:0 -1.0
;1:00 ;1:00
0:00 r=rmax
1:0 -1.0
r/rmax 1.0
0:0 -1.0
1:00
Abbildung 3.4: Geschwindigkeitsprole von asymmetrischen Prolen mit unterschiedlicher Steigung s und dem Exponenten n = 1=7.
Bilanzierung der von au en zu{ oder abgefuhrten Energien und durch Bestimmung der Ezienz der internen Energieumwandlung geschehen. Die Erhaltungsgleichungen 2.12 und 2.15 werden entsprechend der eindimensionalen Stromfadentheorie auf mittlere Stromungsgro en angewendet. Bei der Berechnung des Sekundarluftsystems ist es sinnvoll eine Mittelwertbildung anhand des Massenstroms durchzufuhren um den gleichen Massendurchsatz wie bei einer vorliegenden Verteilung von Geschwindigkeit und oder Dichte zu erzielen. In diesem Zusammenhang ist es von Interesse, welche mittlere kinetische Energie eine Stromung mit stark variierender Geschwindigkeitsverteilung besitzt. Fur Geschwindigkeitsprole in Bohrungen wird durch Integration die kinetische Energie in Abhangigkeit von der Geschwindigkeitsverteilung ermittelt. Diese kinetische Energie kann die mit der kontinuitatsgemittelten Geschwindigkeit gebildete kinetische Energie um mehr als einen Faktor 4 ubersteigen. Zur allgemeinen Beschreibung der kinetischen Energien einer Stromung werden die Kennzahlen Geschwindigkeitskoezient fv und Druckkoezient fp eingefuhrt:
R
fv =
wmax wm
fp =
2 m wm _ Aw
1
R
mit wm = A1 A w dA 2
;pm : dm_ = ptrelm 2 =2 wm
(3.2)
Der Geschwindigkeitskoezient fv gibt das Verhaltnis der maximalen Geschwindigkeit wmax zur mittleren Geschwindigkeit wm an. Der Druckkoezient fp bezieht den mittleren dynamischen Druck ptrelm ; pm auf den mit der mittleren Geschwindigkeit berechneten dynamischen
3.2. Energieumwandlung in rotierenden Bohrungen Geschwindigkeitsprole Koezienten Re Geschwindigkeitskoezient fv n=1/2.5 400 n=1/4 1000 nkrit =1/6 2300 n=1/7 6 104 n=1/10 4 106 Druckkoezient fp n=1/2.5 400 n=1/4 1000 nkrit =1/6 2300 n=1/7 6 104 n=1/10 4 106
31
s = 0:0 s = 0:5 s = 1:0 s = 2:0 1.680 1.406 1.264 1.224 1.155 1.347 1.156 1.077 1.058 1.031
1.692 1.485 1.411 1.397 1.383 1.486 1.302 1.231 1.216 1.195
1.919 1.790 1.759 1.758 1.771 1.902 1.740 1.693 1.687 1.685
2.565 2.498 2.514 2.531 2.581 3.568 3.492 3.539 3.569 3.647
Tabelle 3.2: Koezienten fur asymmetrische Geschwindigkeitsprole.
Druck wm2 =2. Es wird vorausgesetzt, dass die Dichte uber dem gesamten Bohrungsquerschnitt konstant ist. Fur laminare und turbulente Stromungen wird eine vereinfachte Geschwindigkeitsverteilung eingefuhrt (Abb. 3.4). Diese Vereinfachung erlaubt die Beschreibung des U bergangs von einer gestorten, asymmetrischen Geschwindigkeitsverteilung zur voll ausgebildeten Rohrstromung in Zylinderkoordinaten durch:
w(r ') = wr=0 1 ; r r max
n
1 + s r cos ' :
rmax
(3.3)
Die Asymmetrie des Geschwindigkeitsprols wird durch die Steigung s bestimmt. Der Exponent n beschreibt den U bergang zwischen einem Kolbenprol, einem laminaren und einem turbulenten Geschwindigkeitsprol. Anhand der vereinfachten Geschwindigkeitsverteilung konnen die Koezienten fv und fp in Abhangigkeit von n und s durch Integration uber das Geschwindigkeitsprol berechnet werden (Tabelle 3.2). Der Zusammenhang zwischen dem Exponenten n und der Reynoldszahl Re kann durch folgende Gleichungen mit der relativen Rauhigkeit k=d und dem Rohreibungskoezienten F beschrieben werden: p mit nD = F (Nunner 63 ]) (3.4) h
2:51 i 1 k 2 (Colebrook and White 22 ]): p = ; 2 log + 0 : 27 F d Re F Fur symmetrische Geschwindigkeitsprole s = 0 kann die Abhangigkeit zwischen dem Druck{ und Geschwindigkeitskoezienten analytisch angegeben werden: (n + 2)3(n + 1)3 : fv = (n + 2)(2 n + 1) ! fp = 4(3 (3.5) n + 2)(3n + 1)
32
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
p s p n
>0 n
0
Abbildung 3.5: Stromungsablosungen im Eintrittsbereich von Bohrungen.
Fur den turbulenten Fall (n < 1=6) gibt das symmetrische Prol nahezu die realen Geschwindigkeitsverhaltnisse wieder. Im laminaren Fall (n > 1=6) weicht das Geschwindigkeitsprol von dem realen Geschwindigkeitsprol ab. Der Geschwindigkeitskoezient fv ist fur eine reale Geschwindigkeitsverteilung fv 2. Wesentlich ist allerdings, dass der Druckkoezient des laminaren Geschwindigkeitsprols aus Tabelle 3.2 nahezu mit dem der realen Stromung ubereinstimmt fp = 1:08 ; 1:41 (Literaturstudie Truckenbrodt 83 ]), da dieser die kinetische Energie der Stromung bestimmt (Gleichung 3.2).
3.2.3 Eintrittsverluste Die Eintrittsverluste haben einen gro en Einuss auf die Gesamtstromungsverluste einer rotierenden Bohrung. Die Hohe der Verluste hangt { neben der Abhangigkeit von dem dynamischen Druck der Stromung { von drei Parametern ab! von dem Rundungsradius r=d, von der Asymmetrie der Zustromung wu =wm und von der Bohrungslange `=d. Bei asymmetrischer Zustromung bildet sich durch die Umlenkung der Stromung in die Bohrung hinein senkrecht zu den Strombahnen ein Druckgradient aus p=n > 0 (Abb. 3.5). Die Geschwindigkeitsverteilung nach der Umlenkung ergibt sich aus der Druckverteilung, mit einer u berhohten Geschwindigkeit an den innenliegenden Strombahnen und einer geringeren Stromungsgeschwindigkeit an den au enliegenden Strombahnen. Reibungskrafte und evtl. auftretende Sekundarstromungen sorgen fur einen Ausgleich des Geschwindigkeitsprols und einen nahezu konstanten Druck uber dem Bohrungsquerschnitt mit zunehmender Lauange in der Bohrung. Dieser Ausgleichsprozess zwischen der am Eintritt vorliegenden Druckverteilung und
3.2. Energieumwandlung in rotierenden Bohrungen
33
dem stromab vorliegenden konstanten Druck fuhrt an den au enliegenden Strombahnen zu einem Druckabfall in Stromungsrichtung p=s < 0 und innenliegend zu einem Druckanstieg p=s > 0. Bei kleinen Radien ist der Druckgradient senkrecht zu den innenliegenden Strombahnen sehr gro und daraus resultierend die Verzogerung in der Bohrung so stark, dass diese physikalisch nicht mehr realisiert werden kann. Es stellt sich ein neues physikalisches Gleichgewicht mit einer innenliegenden Ablosung ein. Die so erzeugten Storungen setzen sich in die Bohrung hinein fort, wobei das Auftreten und die Gro e stark vom Radius der Eintrittskante abhangig sind. Eine asymmetrische Zustromung wird durch gro e Umfangskomponenten der Relativgeschwindigkeit im Ringraum stromauf der Bohrung erzeugt. Durch die relative Querstromung am Eintritt wird die Bohrung im Relativsystem asymmetrisch angestromt, so dass eine starkere Umlenkung der Stromung am Bohrungseintritt erforderlich ist. Die Neigung zu Stromungsablosungen in der Bohrung wird verstarkt. In extremen Fallen ist die Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit der asymmetrischen Zustromung in dem Ringraum gro er als die (mittlere) Geschwindigkeit in der Bohrung. Die hier erforderliche Verzogerung in der Bohrung ndet praktisch ohne Energieruckgewinn statt. Es entstehen erhebliche Verluste. Die Lange der Bohrung hat bei kurzen Bohrungen `=d < 2 einen starken Einuss auf die Stromung am Eintritt. In Abhangigkeit von der Starke der Einlaufstorung sind die Storungen bis zu dem Ende der Bohrung gegebenenfalls noch nicht abgeklungen. Insbesondere wenn bei vorliegender Stromungsablosung die Stromung innerhalb der Bohrung nicht wieder zur Anlage kommt, zeigt sich eine starke Einschnurung der Stromung am Eintritt. Es wird deutlich, dass die Eintrittsverluste bei kurzen Bohrungen die Stromung bis zum Austritt der Bohrung beeinussen. Dadurch tritt eine Kopplung der Ein{ und Austrittsverluste auf.
3.2.4 Rohrreibungsverluste und Einlauange Die bei der Durchstromung der Bohrung entstehenden Scherkrafte bewirken die Rohrreibungsverluste ptF . Die Hohe dieser Verluste hangt von der Lange der Bohrung `=d und den Geschwindigkeitsgradienten in der Stromung ab. Die Berechnung erfolgt mittels des Rohrreibungskoezienten F (Colebrook und White 22 ]): ptF = F ` wm2 : (3.6) d2 Bei den Rohrreibungsverlusten vermischen sich die Phanomene der Ausbildung des Geschwindigkeitsprols und die der Rohrreibung. Zunachst muss sich das Geschwindigkeitsprol der ausgebildeten Rohrstromung formen. Wahrend dieses Vorgangs andert sich das Geschwindigkeitsprol fortlaufend, wobei die Geschwindigkeitsgradienten und die pro Wegeinheit erzeugten Verluste abnehmen. Dieses nichtlineare Verhalten wird durch den ublicherweise verwendeten linearen Rohrreibungskoezienten nicht berucksichtigt. Fur ein ausgebildetes Geschwindig-
34
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
keitsprol ergibt sich daher aus dieser Nichtlinearitat ein Zusatzverlust, der vereinfachend als Eintrittsverlust pteD = ID =2wm2 berucksichtigt wird. Die gesamten Verluste zur Ausbildung des Geschwindigkeitsprols berechnen sich wie folgt (Truckenbrodt 83 ]):
ptD = ID + F `D wm2 : (3.7) d 2 Hierin bedeutet `D die Bohrungslange, nach deren Durchstromung die ausgebildete Stromung auftritt. Da sich fur laminare und turbulente Stromungen jeweils ein anderer Verlust fur die Ausbildung des Geschwindigkeitsprols ergibt, unterscheiden sich auch die zugehorigen Eintrittsverluste stark. Fur turbulente ungestorte Einstromungen (gut gerundete Eintrittskanten) betragt der durch die Ausbildung des Geschwindigkeitsprols auftretende zusatzliche Eintrittsverlust ID = 0:03 (Idel'cik 45 ]). Fur laminare Stromungen betragt er ungefahr ID 1:08 ; 1:41 (Literaturstudie Truckenbrodt 83 ]). In U bereinstimmung mit den in der Literatur angegeben Werten wird hier ein zusatzlicher Eintrittsverlust fur laminare Stromungen von ID = 1:41 angenommen. Die Verluste der Ausbildung des Geschwindigkeitsprols ID + F `D =d lassen sich aus der Dierenz der Energieinhalte der Stromung am Eintritt und der Stromung des 2 ;f ausgebildeten Geschwindigkeitsprols fvI pD berechnen. Hierbei wird angenommen, dass der Totaldruck des mittleren Stromfadens vom Eintritt bis zur Ausbildung des Geschwindigkeitsprols konstant bleibt: 2 ID + F `dD = fvI ; fpD:
(3.8)
Durch Umstellen ergibt sich eine Gleichung zur Bestimmung der Bohrungslange, nach deren Durchstromung ein ausgebildetes Geschwindigkeitsprol auftritt: 2 ;f `D = fvI pD ; ID d F
fur r=d 0:2
(f
(laminar) v = 2:0 fv = (n+2)(2 n+1) (turbulent, Gl. 3.5):
(3.9)
Bei laminarer Stromung wurde zuvor schon festgestellt, dass das mit Gl. 3.3 beschriebene Geschwindigkeitsprol nicht dem der realen Stromung entspricht. Deshalb wird in diesem Fall der Geschwindigkeitsfaktor auf fv = 2:0 gesetzt. Der Einfachheit halber wird nicht zwischen der Ausbildungslange fur gestorte und ungestorte Einlaufstromung unterschieden, die unter anderem von dem Radiendurchmesserverhaltnis der Eintrittskante r=d und der asymmetrischen Anstromung abhangt.
3.2.5 Austrittsverluste Das Fluid tritt aus der Bohrung als Freistrahl in das Fluid der Umgebung aus. Da die Grenzschicht des Freistrahls keine Druckkrafte aufnehmen kann, sind der statische Druck im Freistrahl
3.2. Energieumwandlung in rotierenden Bohrungen
35
und im Fluid der Umgebung gleich gro . Der Freistrahl lost sich mit zunehmender Entfernung vom Bohrungsaustritt in dem Fluid der Umgebung auf. Damit ergeben sich die Austrittsverluste aus den Dierenzen der kinetischen Energien der Stromung am Austritt fp wm2 =2 und der Stromung der Umgebung wu2 =2. Die kinetische Energie der Stromung am Austritt der Bohrung ist durch das vorliegende Geschwindigkeitsprol bestimmt:
pta = fpwm2 ; wu2 : (3.10) 2 Fur Bohrungen mit einer Lange gro er als der Ausbildungslange `D ist das Geschwindigkeitsprol bekannt. Bei kurzen Bohrungen hangt das Austrittsprol stark von der Art der Zustromung ab. Die Bildung der ausgebildeten Geschwindigkeitsverteilung ist bis zum Austritt der Bohrung noch nicht abgeschlossen. Alle Verlustvorgange vom Eintritt bis zum Austritt sind stark miteinander verknupft. Aus diesem Grund ist es sinnvoll die Austrittsverluste, die Zusatzverluste durch Ausbildung des Geschwindigkeitsprols und die sonstigen Eintrittsverluste zusammenzufassen. Die einmal im engsten Querschnitt am Eintritt erreichte Stromungsgeschwindigkeit wird bis zur vollstandigen Auosung der Stromung im Freistrahl kontinuierlich verzogert. Unter Vernachlassigung der geringfugigen Ruckgewinnung des statischen Drucks bei dem Wiederanlegen der abgelosten Stromung geht die kinetische Energie der Stromung im engsten Querschnitt vollstandig verloren. Eine getrennte Betrachtung von Ein- und Austrittsverlusten ist in diesem Fall nicht moglich. Die in dieser Arbeit vorgestellte Modellierung der Stromungsverluste beruht daher im wesentlichen darauf die Geschwindigkeitsverteilung der Stromung im engsten Querschnitt zu bestimmen. Die kinetische Energie dieser Stromung wird dann zur Bestimmung der Verluste herangezogen. Dabei wird die Steigung s des vereinfachten Geschwindigkeitsprols nach Gleichung 3.3 genutzt. In abgelosten Stromungen treten an den Wanden deutlich geringere Geschwindigkeitsgradienten auf als in ausgebildeten Stromungen. Daher ist es erforderlich die durch den Rohrreibungskoezienten erfassten Stromungsverluste zu korrigieren. Wegen seiner starken Verknupfung mit den Storungen am Eintritt muss dieses bei der Bestimmung der Eintrittsverluste berucksichtigt werden.
36
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
3.3 Aufbau des mathematischen Modells Die Berechnung der Totaldruckverluste und der Stromungsumlenkung erfolgt uber Korrelationen, in denen folgende Parameter eingearbeitet worden sind:
Bohrungslange `=d Rundungsradius der Eintrittskante r=d Asymmetrische Anstromung wu=wm. Ein weiterer wichtiger Parameter ist die Kompressibilitat. Diese muss allerdings nicht korreliert werden, da sie durch die Erhaltungsgleichungen in Gleichung 2.12 und 2.15 berucksichtigt wird. Zur Ermittlung der Korrelationen fur den Totaldruckverlust und die Stromungsumlenkung werden diese an zahlreichen Messergebnissen aus der Literatur in Abhangigkeit der oben genannten Parameter angepasst. Zur Berechnung des Totaldruckverlusts und der Stromungsumlenkung wird zunachst die mathematische Modellierung erlautert. Im Anschluss daran werden noch einige dimensionslose Kenngro en aus der Literatur deniert, u.a. das Kontraktionsverhaltnis, aus dem der Einschnurquerschnitt und damit der kritische Massenstrom ermittelt werden kann.
3.3.1 Totaldruckverluste Die Totaldruckverluste der rotierenden und feststehenden Bohrungen werden wie folgt ermittelt:
8 < ID + F d` + fpD 2m wm2 ; 2m wu2 ptV = : 2 fvI + F d` 2m wm2 ; 2m wu2
fur ` `D fur ` < `D :
(3.11)
Bei der Berechnung der Totaldruckverluste ptV ist es sinnvoll nach der Bohrungslange ` zu unterscheiden. Kriterium ist die Stromungslange `D , bei der sich ein gerade voll ausgebildetes Geschwindigkeitsprol einstellt. Ist die Stromungslange ausreichend, so dass sich ein ausgebildetes Geschwindigkeitsprol ausbilden kann ` `D , so werden die Verluste aufgeteilt in Eintrittsverluste ID , Rohrreibungsverluste F d` mit dem Rohrreibungskoezienten F und Austrittsverluste fpD . Ist die Bohrung kurzer als die Einlauange ` < `D , so lassen sich die Austrittsverluste nicht mehr von den Eintrittsverlusten trennen, so dass diese zusammengefasst 2 . werden zu fvI Die in Gleichung 3.11 verwendeten Verlustkoezienten konnen durch Integration uber das Geschwindigkeitsprol wie folgt ermittelt werden:
3.3. Aufbau des mathematischen Modells (nD +2)3 (nD +1)3 fpD = 4(3 nD +2)(3nD +1)
1
F
=
h
37
p
mit nD = F
;2 log
2:51 RepF
+ 0:27 kd
i2
(Nunner 63 ])
(3.12)
(Colebrook and White 22 ]):
Die Berechnung des Koezienten ID wird im nachfolgenden Abschnitt 3.4 beschrieben. Der Verlustkoezient fvI wird fur ein vereinfachtes Geschwindigkeitsprol ermittelt, wobei der Exponent n = 0 aus Gleichung 3.3 gesetzt wird:
fvI = wwmax = 1 + sI : m
(3.13)
U ber die Steigung sI konnen die Verluste an Messungen aus der Literatur angepasst werden.
3.3.2 Stromungsumlenkung Eine wichtige Einussgro e bei rotierenden Bohrungen ist die Stromungsumlenkung, und die damit verbundene Arbeitszu{ oder {abfuhr. Fur die Korrelation der Stromungsumlenkung wird ein Minderumlenkungsfaktor mI eingefuhrt, der die unvollstandige Stromungsumlenkung bei rotierenden Bohrungen berucksichtigt: (vur)e!a = (1 ; mI )(vur)e!amax:
(3.14)
Mit dem Minderumlenkungsfaktor mI kann die maximal mogliche Stromungsumlenkung, gekennzeichnet durch die maximal mogliche Drallanderung (vur)e!amax gemindert und damit die Arbeitszu{ oder {abfuhr korreliert werden. Die maximal mogliche Umlenkung wird durch den Eintrittsdrall und die Geometrie (Austrittswinkel) der Bohrung bestimmt und ist unabhangig von der Bohrungslange und dem Rundungsradius der Eintrittskante.
3.3.3 Dimensionslose Kenngroen Dimensionsloser Durchusskoezient CD In der Literatur werden unterschiedliche dimensionslose Durchusskoezienten zur Charakterisierung der Stromung in Bohrungen verwendet, so dass an dieser Stelle eine Denition gegeben werden soll. Der dimensionslose Durchussbeiwert CD wird deniert als der tatsachlich durchgesetzte Massenstrom m_ durch eine Bohrung bezogen auf einen idealen Massenstrom m_ id :
CD = m_m_ : id
(3.15)
38
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
Zur Berechnung des idealen Massenstroms m_ id wird folgendes Modell zugrunde gelegt:
Ideale Dusenstromung ohne Stromungsverluste vom Ein{ zum Austritt Der statische Druck am Austritt bleibt konstant Vor und hinter der Bohrung ist der statische Druck gleich dem Totaldruck Der ideale Massenstrom fur kompressible und inkompressible Stromung kann aus dem obengenannten Modell wie folgt hergeleitet werden:
p
m_ idinc = A 2 pte!a m_ idc = A RTpee
s
2 1
; RTe
(inkompressibel)
pa pa 2
pte
;
+1
pte
(kompressibel):
(3.16)
Die Totaldruckdierenz pte!a zur Berechnung des inkompressiblen idealen Massenstroms ist identisch mit dem Totaldruckverlust ptV . Der kompressible ideale Massenstrom wird uber das Druckverhaltnis des statischen Austrittsdrucks pa zum Totaldruck am Eintritt pte berechnet. Zusatzlich werden noch die statische Eintrittstemperatur Te , der statische Eintrittsdruck pe und die Flache der Bohrung A benotigt. Verlustkoezient Der Verlustkoezient wird in der Literatur deniert als Totaldruckverlust ptV bezogen auf die kinetische Energie, gebildet mit der kontinuitatsgemittelten Durchstromgeschwindigkeit wm :
= wptV2 = C 21 : Dinc 2 m
(3.17)
Der dimensionslose inkompressible Durchusskoezient CDinc kann direkt in den Verlustkoefzienten umgerechnet werden. Kontraktionsverhaltnis Cc Das Kontraktionsverhaltnis wird in der Literatur als Flachenverhaltnis des eingeschnurten Querschnitts Av zur gesamten Bohrungsache A deniert. Das Fluid erreicht den engsten Querschnitt in der Nahe des Bohrungseintritts. Bis zu diesem Zeitpunkt sind nahezu keine Reibungsverluste aufgetreten, so dass vorausgesetzt werden kann, dass alle Verluste erst nach dem Erreichen des engsten Querschnitts entstehen. Dies hat zur Folge, dass bei einem vorgegebenen Druckverhaltnis das Fluid nahezu isentrop bis zum engsten
3.3. Aufbau des mathematischen Modells
39
Querschnitt beschleunigt wird. Auf der Basis von Gleichung 3.16 kann damit der real durchgesetzte Massenstrom m_ durch die ideale Geschwindigkeit im engsten Querschnitt Av ermittelt werden:
CD = m_m_ = idc
Av RTpee A RTpee
s
s
2 1
; RTe
2 1
; RTe
pa pa 2
pte
;
+1
pte
pa pa 2
pte
;
+1
pte
= Av :
A
(3.18)
Unter diesen Voraussetzungen kann das Kontraktionsverhaltnis aus dem Durchusskoezienten ermittelt werden: Cc = AAv = CD inkompressibel: Cc = 1 +1 s : (3.19) I Fur inkompressible Stromung kann das Kontraktionsverhaltnis aus der Steigung sI ermittelt werden. Fur eine inkompressible laminare Blendenstromung ergibt sich aus den spater korrelierten Werten ein Kontraktionsverhaltnis in Abhangigkeit der Reynoldszahl (1000 < Re < 2300) von Cc = 0:588 ; 0:606. In der Literatur werden Werte von 0:58 ; 0:611 angegeben (Wei ert 87 ]). Mit dem Kontraktionsverhaltnis kann im engsten Querschnitt die Machzahl bzw. der kritische Massenstrom bestimmt werden.
40
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
3.4 Modellierung feststehender Bohrungen 3.4.1 Korrelationen fur lange Bohrungen (` `D)
Rundungsradius der Eintrittskante Um die Abrundung der Eintrittskante bei langen Bohrungen und damit die geringere Abloseneigung im Gegensatz zu scharfkantigen Bohrungen berucksichtigen zu konnen wird der Eintrittsverlustkoezient ID fur turbulente Stromungen mit den experimentellen Ergebnissen von Idel'cik 45 ] wie folgt korreliert:
8 > :93(r=d)4 ; 259:93(r=d)3 > < 393 2 IDr = > + 65:415(r=d) ; 8:1944r=d > 0:03 :
) + 0:5017
fur r=d < 0:2 fur r=d 0:2:
(turbulent)
(3.20)
Die experimentellen Ergebnisse von Idel'cik 45 ] beschreiben die Eintrittsverluste ohne die Rohrreibungs{ und Austrittsverluste in Abhangigkeit des Radiendurchmesserverhaltnisses r=d. Fur die laminare Stromung wird ein Zusatzverlust angesetzt, der ahnlich dem turbulenten Zusatzverlust ermittelt wird:
IDr = IDrturb(r=d) + IDrlam ; IDrturb
{z =1:41;0:03
|
r=d0:2
}
:
(3.21)
Asymmetrische Anstromung Khaldi 49 ] untersuchte die Stromung durch Bohrungen unter Berucksichtigung der Fehlanstromungen und variierte dabei das Radiendurchmesserverhaltnis der Eintrittskante. Die von Khaldi 49 ] angegebenen Koezienten seiner Korrelation stimmen teilweise nicht mit seinen Messergebnissen uberein und sind neu an die Messergebnisse angepasst worden (Tabelle 3.3). Er gibt die Koezienten fur unterschiedliche Radiendurchmesserverhaltnisse an. Diese sind durch eine quadratische Gleichung in Abhangigkeit des Radiendurchmesserverhaltnisses ausgehend von Khaldis 49 ] Gleichung an die Messergebnisse angepasst worden:
"
IDK = exp c ; 2b ln
2
IDK = wwu m
wu # wm
fur 0 < (wu=wm)2 / 10 ; 20 r=d 1
fur (wu=wm)2 ' 10 ; 20 r=d 1
oder (w =w u
m)
2
= 0]:
(3.22)
(3.23)
3.4. Modellierung feststehender Bohrungen
0
Khaldi 49 ] r=d 0.25 0.50 0.75
41
1.00
Anpassung dieser Arbeit f (r=d)
c 1.2348 0.8114 0.59332 0.49786 0.48347 0:8222(r=d)2 ; 1:6364(r=d) + 0:0955 b -0.0944 -1.0988 -1.16957 -1.24774 -1.23091 0:3287(r=d)2 ; 0:6244(r=d) ; 0:9562 Tabelle 3.3: Koezienten aus Gleichung 3.22
Fur ideale Zustromung wu =wm = 0 verschwindet 100 der Grenzwert limwu =wm !0 IDK = 0 (Abb. 3.6), Reihe4 da von Khaldi 49 ] ausschlie lich die Zusatzverluste der Fehlanstromung ermittelt worden sind. 10 In diesem Fall werden die zusatzlichen Eintrittsverluste IDK = 0 gesetzt. Die Gleichung 3.22 ζ I,D,K beschreibt den Verlustkoezienten fur verschie1 dene Radien der Eintrittskante fur eine Fehlan2 R r/d stromung von 0 < (wu= wm) / 10 ; 20. Mit zunehmendem Radius nehmen bei dieser Fehl0,1 anstromung die Verluste ab. Bei gro erer Fehl0,1 1 10 100 anstromung (wu=wm )2 ' 10 ; 20 wird der Ver(wu/wm)2 lustbeiwert IDK gleich der kinetischen Energie am Eintritt gesetzt (Gl. 3.23). Die genaue Abbildung 3.6: Korrelation der zusatzlichen Grenze zwischen der Gleichung 3.22 und 3.23 Totaldruckverluste fur asymmetrische Anwird durch den jeweiligen Schnittpunkt festge- stromung. legt. Der gesamte Eintrittsverlustkoezient ID fur lange Bohrungen kann damit aus der Summe der Einzelverlustkoezienten ermittelt werden: Gl. 3.22 Gl. 3.23
ID = IDr + IDK :
(3.24)
Die Totaldruckverluste fur lange Bohrungen ` `D konnen nun mit dem Verlustkoezienten
ID (mit Gleichung 3.11) berechnet werden.
3.4.2 Korrelationen fur kurze Bohrungen (` < `D) Bohrungslange Das Langendurchmesserverhaltnis einer Bohrung hat einen wesentlichen Einuss auf die Totaldruckverluste. Wie die experimentellen Ergebnisse von Lichtarowicz et al. 54 ] in Abbildung
42
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen 3.0
3.0
r/d=0.00 r/d=0.04
2.5
2.5
2.0
r/d=0.08 r/d=0.16 r/d=0.20
2.0
Korrelation
1.5
1.5
1.0
1.0 0
2
4
6
8
0
10
`=d
2
4
6
8
10
`=d
Abbildung 3.7: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen von Lichtarowicz et al. 2 54 ] und den Ergebnissen der Modellierung fur scharfkantige Bohrungen (r=d = 0).
Abbildung 3.8: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen von Idel'cik 45 ] (`=d 2), Hay und Spencer 41 ] (`=d < 2) und den Ergebnissen der Modellierung fur gerundete Eintrittskanten.
3.7 zeigen, nehmen besonders bei kleinen Langendurchmesserverhaltnissen die Totaldruckverluste stark zu. Die Anpassung des Modells an die experimentellen Ergebnisse fuhrt zu folgender Korrelation der Steigung sI!=0: 0
sI!=0 = sID + K1 exp 0
|
h
i }
; K `=`D ; K exp(;K `=`D) 2
{z
3
sI`
4
; K pIDr + fpD ; 1 (1 ; `=`D)pF `D=d |
5
{z s
IFD
p sID = ID + fpD ; 1:
}
(3.25)
mit Die Verluste fur das ausgebildete Geschwindigkeitsprol werden durch die Steigung sID korreliert. Dies ist notwendig, da die Beschreibung des Geschwindigkeitsprols mit n = 0 Gl. 3.3 vereinfacht worden ist. Der Einuss der kurzen Bohrungen wird durch die Steigung sI` beschrieben, die die zunehmende Beschleunigung mit abnehmender Bohrungslange berucksichtigt. In die Korrelation werden auch sehr kurze Bohrungen wie die Blenden `=d ! 0 mit einbezogen. Zu gro eren Langendurchmesserverhaltnissen `=d > 3 steigen die Totaldruckverluste. Der Kurvenverlauf geht in einen linearen Verlauf mit nahezu konstanter Steigung uber. Dieses lasst sich auf die Ausbildungsverluste des Geschwindigkeitsprols zuruckfuhren. Die Steigung sIFD berucksichtigt die geringeren Verluste der Ausbildung des unvollstandig ausgebildeten
3.4. Modellierung feststehender Bohrungen
43
Geschwindigkeitsprols gegenuber denen des ausgebildeten Geschwindigkeitsprols ` = `D . Rundungsradius der Eintrittskante Mit zunehmendem Rundungsradius der Eintrittskante nehmen die Abloseneigung, die Gro e der Ablosung am Eintritt der Bohrung und damit auch der Totaldruckverlust ab. Abbildung 3.8 zeigt in Abhangigkeit des Langendurchmesserverhaltnisses fur verschiedene Rundungsradien der Eintrittskante experimentelle Ergebnisse von Idel'cik 45 ] und von Hay und Spencer 41 ]. Idel'cik 45 ] gibt direkt die Totaldruckverluste an, wobei Hay und Spencer 41 ] den kompressiblen Durchussbeiwert ermitteln. Fur kleine Druckverhaltnisse ist der kompressible Durchussbeiwert nahezu identisch mit dem inkompressiblen Durchussbeiwert und kann nach Gleichung 3.17 direkt in Totaldruckverluste umgerechnet werden. Dies wird auch durch die U bereinstimmung der experimentellen Ergebnisse von Hay und Spencer 41 ] (Abb. 3.8 2) mit den experimentellen Ergebnissen von Lichtarowicz et al. 54 ] (Abb. 3.7 2) fur scharfkantige Bohrungen bestatigt. Mit der Steigung sI!=0 auf Basis der Gleichung 3.25 werden die Verluste der Stromung wie folgt an die Messergebnisse angepasst: 00
h
i }
sI!=0 = sID +sI` exp( | ;{zK6r=d}) ;sIFD ; K7(r=d) 1 ; exp(;K8`=`D) : 00
sIr
|
{z
sIFr
(3.26)
Der Term sIr berucksichtigt bei sehr kurzen Bohrungen die geringere Beschleunigung aufgrund der abnehmenden Abloseneigung und der geringeren Ausdehnung der Ablosung. Das A quivalent zur Steigung sIFD ist hier die Steigung sIFr . Sie berucksichtigt ebenfalls die geringeren Verluste gegenuber dem ausgebildeten Geschwindigkeitsprol ` = `D und bezieht die Abhangigkeit des Radiendurchmesserverhaltnisses mit ein. Fur die ideale Dusenstromung wird das Radiendurchmesserverhaltnis r=d ! 1, da eine ungestorte Einstromung modelliert werden soll. Bei einer idealen Dusenstromung treten keine Verluste durch Rohrreibung auf, so dass sich ein Langendurchmesserverhaltnis von `=d = 0 ergibt. Die Steigung sI!=0 aus Gleichung 3.26 ergibt sich dann zu null und der Gesamtverlust2 = 1 ermittelt koezient kann allein aus den Austrittsverlusten eines Kolbenprols zu: = fvI werden. Dieses zeigt, dass auch die Ergebnisse der idealen Dusenstromung in der Korrelation berucksichtigt werden. 00
44
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
Asymmetrische Anstromung Die Asymmetrische Zustromung bei feststehenw Ma = ——— den Bohrungen resultiert aus einer dem Fluid auf RT gepragten Querkomponente durch rotierende oder feststehende vorgeschaltete Bauelemente. Rhode et al. 71 ] untersuchen die asymmetrische Anw stromung (Abb. 3.9), indem sie senkrecht zur Bohrung ein Anstromrohr anbringen und dieses mit w Massenstrom beaufschlagen. Als Ma fur die asymBohrung •e •a metrische Anstromung geben sie ein Velocity Head Ratio als Verhaltnis von Druckdierenzen an. Rhode et al. 71 ] bilden die Druckdierenz des Totaldrucks am Eintritt pte zum statischen Druck pa am Anströmrohr Austritt und beziehen diese auf den mittleren dynamischen Druck am Eintritt pte ; pe . Wird der Abbildung 3.9: Versuchsanordnung von RhoTerm im inkompressiblen Fall betrachtet, so kann de et al. 71 ] er als Verhaltnis der Bohrungs{ zur Anstromgeschwindigkeit wm =wu interpretiert werden: u
d
u
m
2
pte ; pa = wm pte ; pe wu
(inkompressibel):
(3.27)
Die asymmetrische Anstromung sorgt im Eintrittsbereich fur eine Verstarkung der Abloseneigung und Vergro erung der Ablosung. Dieses wird bei der Anpassung des Modells an die experimentellen Ergebnisse aus der Literatur in Abbildung 3.10 durch die Steigung sIK berucksichtigt. Auf Basis der Gleichung 3.25 und 3.26 ergibt sich damit folgende endgultige Korrelation der Steigung sI!=0 fur feststehende Bohrungen:
sI!=0 = sID +sI` sIr ; sIFD ; sIFr + K9sKK10 exp
; K|
|
13
(wu=wm )K14{zexp(;K15 `=`D})
p
sIu
"
;K {z
sIK
` K # 12
11
`D
} (3.28)
p
mit sK = ID + fpD ; IDr + fpD :
Bei sehr kurzen Bohrungen (Blenden, `=d ! 0) nehmen die Querschnittsverengungen durch Ablosungen der Stromung im Vergleich zu langeren Bohrungen wieder etwas ab, so dass die Asymmetrie geringer ist. Dieses wird durch den Term sIu berucksichtigt.
3.4. Modellierung feststehender Bohrungen
CDc
45
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
CDc
l/d = 4.00 l/d = 1.60
0.4
0.6 r/d=0.485
0.4
l/d = 1.06
r/d=0.195
l/d = 0.51
0.2
r/d=0.000
0.2
Korrelation
Korrelation
0.0
0.0
1
;p ;p
10
p p
te te
100
a e
1
;p ;p
10
p p
te te
100
a e
Abbildung 3.10: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen von Rhode et al. 71 ] (Mad = 0:07, rechts: r=d = 0 bzw. links: `=d = 1:06) und den Ergebnissen der Modellierung fur asymmetrische Anstromung.
In Abbildung 3.10 ist der Vergleich zwischen den Ergebnissen der Modellierung und den experimentellen Ergebnissen von Rhode et al. 71 ] dargestellt. In Abhangigkeit von unterschiedlichen Langendurchmesserverhaltnissen ist fur scharfkantige Bohrungen bei einer Anstrommachzahl im Anstromrohr von Mad = 0:07 die asymmetrische Anstromung untersucht worden. In der rechten Abbildung wurde anstatt des Langendurchmesserverhaltnisses, das Radiendurchmesserverhaltnis untersucht. Der gemessene Durchussbeiwert (Abb. 3.10, rechts) erreicht mit zunehmendem Velocity Head Ratio einen Sattelpunkt bei dem Wert 20 und steigt danach wieder an. Dieser Sattelpunktbereich lasst auf einen Hysterese{Eekt schlie en wie ihn auch schon Deckker und Chang 26 ] bei Langendurchmesserverhaltnissen von `=d = 0:5 durch Messungen nachgewiesen haben. Der Hysterese{Eekt beruht auf einer Instabilitat bei abgeloster Stromung am Eintritt, bei der in einem Fall die Stromung am Austritt der Bohrung gerade wiederanliegt und im anderen Fall eine vollstandig abgeloste Stromung vorliegt. Auch Lichtarowicz et al. 54 ] haben Unregelma igkeiten bei ihren Messungen mit Langendurchmesserverhaltnissen von `=d = 0:5 festgestellt, die auf einen Hysterese{Eekt hinweisen, der aber von Lichtarowicz et al. 54 ] nicht als solcher identiziert worden ist. Kompressibilitat Abbildung 3.11 zeigt eine sehr gute U bereinstimmung zwischen den Berechnungen und den experimentellen Daten von Rhode et al. 71 ] fur unterschiedliche Anstrommachzahlen im Anstromrohr Mad , d.h. unterschiedliche asymmetrische Anstromung. Wie anhand der Ergebnisse in Abbildung 3.11 zu erkennen ist, kann der Einuss der Kompressibilitat nicht vernachlassigt werden. Im Modell wird die Kompressibilitat durch die Erhaltungsgleichungen berucksichtigt. Der Einuss der Kompressibilitat sinkt mit abnehmendem Durchussbeiwert, also zu geringe-
46
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen 1.0 0.8
CDc
0.6 0.25
0.4
0.14 Mad 0.07
0.2
Korrelation
0.0 1
p p
;p ;p
10
te te
100
a e
Abbildung 3.11: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen (Rhode et al. 1969, `=d = 4:0, r=d = 0) und den Ergebnissen der Modellierung fur asymmetrische Anstromung.
ren Massenstromen. Die U bereinstimmung zwischen Messung und Rechnung lasst auf eine gute Zuverlassigkeit der Modellierung durch die Erhaltungsgleichung im Hinblick auf den Einuss der Kompressibilitat schlie en, der im Gegensatz zu anderen Modellen nicht explizit korreliert werden muss.
3.5 Modellierung rotierender Bohrungen In Abbildung 3.12 sind experimentelle Ergebnisse von Wittig et al. 89 ] fur rotierende Bohrungen mit experimentellen Ergebnissen von Rhode et al. 71 ] fur feststehende Bohrungen verglichen worden. Die kompressiblen Durchussbeiwerte CDc liegen bei den rotierenden Bohrungen durch die zugefuhrte Arbeit hoher. Der Unterschied in den Durchussbeiwerten ist bei kleinen Bohrungslangen gering und steigt mit zunehmender Bohrungslange an. Der Grund fur den Unterschied ist die Arbeitszufuhr durch den Rotor. Diese Arbeitszufuhr wird in Abhangigkeit der bisher bekannten Parameter Bohrungslange, Rundungsradius der Eintrittskante und asymmetrischer Anstromung durch den Minderumlenkungsfaktor mI in Gleichung 3.14 berucksichtigt. Er wird an die experimentellen Ergebnisse in der Literatur wie folgt angepasst:
h
mI = K15 exp ;K16
` i `D
h
exp ;K
17
r i d
(3.29)
Bei sehr langen Bohrungen bzw. bei gut gerundeten Eintrittskanten, d.h. bei idealen Voraussetzungen ist der Minderumlenkungsfaktor mI = 0, so dass die Stromung vollstandig umgelenkt wird. Unter dieser Annahme sind die Ergebnisse der Modellierung mit den experimentellen Ergebnissen von Wittig et al. 89 ] verglichen worden und es ergeben sich fur lange Bohrungen, dass die berechneten Durchussbeiwerte erheblich hoher liegen als die experimentellen Ergeb-
3.5. Modellierung rotierender Bohrungen
47
1.0 0.8
CDc
0.6
0.27 rotating 0.60 0.27 nonrotating 0.60 Korrelation
w u/w m,id,c
0.4 0.2 0.0 0
1
2
3
4
5
6
7
`=d
Abbildung 3.12: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen von Wittig et al. 89 ] fur rotierende Bohrungen und den von Rhode et al. 71 ] fur feststehende Bohrungen mit asymmetrischer Anstromung.
nisse. Das lasst darauf schlie en, dass bei langen Bohrungen hohere Verluste entstehen als die bisher modellierten. Gute U bereinstimmungen zwischen den experimentellen Ergebnissen und den Ergebnissen der bisherigen Modellierung ergeben sich, wenn eine der jeweils folgenden Randbedingungen erfullt ist: keine Rotation u=wm = 0
keine Schraganstromung wu=wm = 0 sehr kurze Bohrungen `=d ! 0 gut gerundete Eintrittskante r=d ! 1.
Insbesondere die letzten drei Punkte weisen auf den Einuss einer gestorten Einstromung unter Rotationseinuss hin. Dies lasst darauf schlie en, dass infolge einer gestorten Einstromung unter Rotationseinuss zusatzliche Mischungsverluste bei der Ausbildung des Geschwindigkeitsprols entstehen. Diese zusatzlichen Mischungsverluste werden durch:
R = K18
wu u wm
wm
exp ;K
19
r d
h
1 ; exp ;K
20
` i `D
(3.30)
beschrieben und additiv den Koezienten fur die Totaldruckverluste in Gleichung 3.11 hinzugefugt. Im folgenden sollen Rechnung und Messung fur rotierende Bohrungen gegenuber gestellt werden. Die Untersuchungen wurden an rotierenden Bohrungen durchgefuhrt, die drallfrei angestromt wurden. Da in keiner der Arbeiten eine Angabe zu dem Vordrall gemacht worden ist und keine Vordrallapparate beschrieben sind, wird angenommen, dass die relative Umfangskomponente der Geschwindigkeit gleich der Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe wu = ;u ist.
48
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen 1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
CDinc
CDc
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
u=wmidinc
2.0
Abbildung 3.13: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen von Meyfarth und Shine 57 ] (2, `=d = 0) und den Ergebnissen der Modellierung.
0.0
0.2
0.4
0.6
u=wmidc
0.8
1.0
Abbildung 3.14: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen Wittig et al. 90 ] (2, pte=pa = 1:1, `=d = 2:667, r=d = 0) und den Ergebnissen der Modellierung.
3.5.1 Bohrungslange Meyfarth und Shine 57 ] untersuchen Blendenpin Abhangigkeit der asymmetrischen Anstromung fur inkompressible Stromung wmidinc = 2pt = (Abb. 3.13). Der Minderumlenkungsfaktor wird nahezu eins (mI 0:9), so dass nur eine geringe Stromungsumlenkung stattndet. Dieses ist darauf zuruckzufuhren, dass ein Teil des Massenstroms, der durch die Blende stromt, an den Seitenachen der Scheibe auf Umfangsgeschwindigkeit beschleunigt wird und in die Blende hineingesogen wird. Dieser vermischt sich mit dem aus der Umgebung angesaugten Massenstrom und im Mittel wird die Stromung dann auf 10% der Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe beschleunigt. Unter diesem Aspekt zeigt der Durchussbeiwert in Abb. 3.13 eine sehr gute U bereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Wittig et al. 90 ] untersuchen das Durchussverhalten fehlangestromter rotierender Bohrungen mit einem Langendurchmesserverhaltnis von `=d = 2:67. In Abbildung 3.14 ist der Vergleich der modellierten und experimentellen Ergebnisse uber der Umfangsgeschwindigkeit u bezogen auf die ideale Bohrungsgeschwindigkeit wmidc dargestellt. Der die Stromungsumlenkung charakterisierende Minderumlenkungsfaktor ist hier ungefahr mI 0:02, so dass eine nahezu vollstandige Stromungsumlenkung stattndet. Mit zunehmender Schraganstromung steigen die Stromungsverluste an, so dass der Durchussbeiwert abfallt. Weiterhin untersuchten Wittig et al. 89 ] die Abhangigkeit des Langendurchmesserverhaltnisses und variieren dabei die Fehlanstromung u=wmidc (Abb. 3.15). Bei kleinen Langendurchmesserverhaltnissen treten Ablosungen an den Eintrittskanten auf, die zu einer Versperrung der Bohrung fuhren. Fur steigende Langendurchmesserverhaltnisse mit Schraganstromung uber-
3.5. Modellierung rotierender Bohrungen
CDc
49
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
CDc
0.00
0.4
0.6 0.4
0.000
0.27 wu/wm,id,c
0.385 wu/wm,id,c
0.60
0.2
0.840
0.2
Korrelation
Korrelation
0.0
0.0 0
1
2
3
4
5
6
7
`=d
0
1
2
3
4
5
6
7
`=d
Abbildung 3.15: Vergleich zwischen den experimentellen Ergebnissen von Wittig et al. 89 ] (pte=pa = 1:1 linke Abb., pte=pa = 1:2 rechte Abb., r=d = 0) und den Ergebnissen der Modellierung.
wiegt zunachst die Zunahme der Stromungsverluste gegenuber der Zunahme der Stromungsumlenkung. Dies fuhrt zu einem Abfall des Durchussbeiwerts bis er sein Minimum erreicht. Danach sinken die Stromungsverluste, da ein Wiederanlegen der Stromung erfolgt. Die Stromungsumlenkung steigt weiter und der Durchusskoezient erreicht ein Maximum, das anschlie end mit zunehmender Lauange aufgrund der Rohrreibungsverluste leicht abfallt.
3.5.2 Rundungsradius der Eintrittskante Wittig et al. 89 ] untersuchen den Ein1.2 uss des Rundungsradius der Eintrittskante 1.0 fur verschiedene asymmetrische Anstromungen, die mit der idealen Anstrom{ zu Boh- C 0.8 rungsgeschwindigkeit wu =wmidc charakteri- Dc 0.6 siert werden. Der Durchussbeiwert in Ab0.000 0.385 w /w 0.4 bildung 3.16 nimmt mit steigendem Radi0.840 endurchmesserverhaltnis zu, da die Ablo0.2 Korrelation sungen an den Eintrittskanten geringer wer0.0 den bzw. uberhaupt nicht erst entstehen. Die 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 zugefuhrte Arbeit nimmt zu, wobei gleichzeitig die Totaldruckverluste durch die geringer=d ren Eintritts{ und Austrittsverluste abnehmen und in der Summe fuhrt dies zu einem Abbildung 3.16: Untersuchung des Radiendurchmesserverhaltnisses `=d = 2:667. Anstieg des Durchussbeiwerts. u
m,id,c
50
Kapitel 3. Stromung in rotierenden Bohrungen
3.6 Zusammenfassung In Abhangigkeit der Bohrungslange, des Radius der Eintrittskante und der asymmetrischen Anstromung konnte die Modellierung sowohl der feststehenden als auch der rotierenden Bohrung gut an die experimentellen Ergebnisse in der Literatur angepasst werden. Die Modellierung ermoglicht die Berechnung der Zustandsgro en am Ein{ und Austritt der Bohrung fur unterschiedliche Kongurationen von feststehenden und rotierenden Bohrungen, Blenden und Dusen in Abhangigkeit der oben genannten Parameter (`=d r=d wu=wm ). Der Einsatzbereich, der durch die experimentellen Ergebnisse abgesicherten Modellierung, ist nicht auf diese begrenzt, da die Korrelationen der Modellierung die physikalischen Grenzfalle beinhalten. Fur sehr kurze Bohrungen (Blenden) ist gezeigt worden, dass die Zustandsgro en am Ein{ und Austritt mit den zur Verfugung stehenden Korrelationen der Modellierung mit guter Genauigkeit berechnet werden konnen (Lichtarowicz et al. 54 ] und Meyfarth und Shine 57 ]). Bei sehr langen Bohrungen (` > `D ) stimmen die Ergebnisse der experimentellen Arbeiten von Idel'cik 45 ] mit den korrelierten Berechnungen u berein. Die Variation des Langendurchmesserverhaltnisses ist zunachst fur scharfkantige Bohrungen untersucht worden und anschlie end mit den Ergebnissen von Idel'cik 45 ] auf Bohrungen mit gerundeten Eintrittskanten erweitert worden. Im Grenzfall werden die Bohrungen zu idealen Dusen. In diesem Fall entspricht das Geschwindigkeitsprol am Austritt dem eines Kolbenprols und der Gesamtverlustkoezient wird zu eins. Bei den bisher betrachteten Grenzfallen wurde die Bohrung immer ideal angestromt, es treten also keine zusatzlichen Verluste durch Fehlanstromungen auf. Bei starker Fehlanstromung wird die gesamte kinetische Energie der Querstromung dissipiert ! (wu=wm )2 (Abschnitt 3.4.1, Khaldi 49 ]), so dass in der Bohrung keine Verzogerung stattndet. Nach der Abstimmung der Korrelationen auf die feststehenden Blenden und Bohrungen sind die Ergebnisse zunachst auf die rotierenden Bohrungen ubertragen worden. Ein Minderumlenkungsfaktor berucksichtigt die Umlenkung der Stromung in den Blenden und Bohrungen. Ein zusatzlicher Mischungsverlust ist durch den Unterschied zwischen Messung und Rechnung festgestellt worden und wird durch einen Verlustfaktor berucksichtigt. Zusammengefasst kann festgestellt werden, dass hier eine Modellierung fur feststehende und rotierende Bohrungen erarbeitet worden ist, die anhand einer Vielzahl von experimentellen Ergebnissen und theoretischen U berlegungen veriziert worden ist. Sie kann unter folgenden Randbedingungen eingesetzt werden: Parameter
Feststehende und rotierende Bohrungen
Lange 0 `=d 1 (Blende, langes Rohr) Eintrittsdrall 0 wu=wm 1 (ideal angestromt, starke Querstromung) Abr. Eintrittskante 0 r=d 1 (scharfkantig, ideale Duse).
3.6. Zusammenfassung
51
Die in den Gleichungen eingesetzten Koezienten konnen an dieser Stelle nicht veroentlicht werden, da diese ein Ergebnis aus einem Forschungsvorhaben in Zusammenarbeit mit der Firma Siemens Power Generation sind und die Koezienten von dieser Seite aus Geheimhaltungsgrunden nicht freigegeben worden sind.
4 Stromung zwischen rotierenden Wellen Im Sekundarluftsystem einer Gasturbine stromt die Kuhlluft im Rotorinneren durch unterschiedliche Komponenten von der Verdichterentnahme zur Turbinenbeschaufelung. Bisher betrachtet worden sind die rotierenden Bohrungen, mit denen die Kuhlluft aus dem Verdichter entnommen und den Turbinenschaufeln durch die Turbinenscheiben zugefuhrt wird. In Abbildung 4.1 sind wei umrahmt zwei rotierende axiale Hohlraume mit radialer Zustromung durch rotierende Bohrungen zu erkennen. Die Turbinenlaufschaufeln der ersten Stufe sind neben den Leitschaufeln dieser Stufe die thermisch am hochsten belasteten Schaufeln. Im Vergleich zu den Leitschaufeln mussen die Laufschaufeln zusatzlich zu den thermischen Beanspruchungen erheblichen Belastungen im Festigkeitsbereich durch Flieh{, Torsions{ und Biegekrafte standhalten konnen. Um unter diesen Bedingungen die Zeitstandfestigkeit der Laufschaufeln uber ihre Lebensdauer gewahrleisten zu konnen ist eine zuverlassige Versorgung und Vorhersage der Kuhlluftmenge fur die Laufschaufeln der ersten Stufe notwendig.
!
Abbildung 4.1: Rotierende Wellen im Sekundarluftsystem einer Gasturbine (Siemens Power Generation, Ausschnitt aus Abb. 1.1).
Abbildung 4.1 zeigt in der oberen Halfte des wei umrahmten Bereichs den Kuhlluftweg zur Versorgung der ersten Turbinenlaufschaufelreihe. Die Kuhlluft wird ein Stuck hinter dem Verdichterende durch eine Reihe feststehender Bohrungen (1) entnommen. Hinter den feststehenden Bohrungen ist eine Reihe rotierender Bohrungen (2) angeordnet, durch die die Kuhlluft radial in den rotierenden Hohlraum eintritt. Eine im Prinzip sehr ahnliche Konguration ist
54
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen
im unteren wei umrahmten Bereich zu erkennen. Die Kuhlluft wird durch Bohrungen (3) in der drittletzten Verdichterscheibe entnommen und tritt in einen rotationssymmetrischen Hohlraum ein. Die Untersuchungen in dieser Arbeit befassen sich mit dem rotierenden Hohlraum zur Versorgung der Laufschaufeln der ersten Stufe (Abb. 4.1). Die Stromung zwischen den rotierenden Wellen ist durch die Grenzschichten an den Wanden, das Fliehkraftfeld und die Ein{ und Austrittsbedingungen bestimmt. Die Anstromung der Wellen erfolgt durch rotierende Bohrungen und ist daher nicht{rotationssymmetrisch. Das Fluid wird in den rotierenden Hohlraumen in Umfangsrichtung nicht gefuhrt, so dass gegenuber gefuhrten Stromungen, wie z.B. Stromungen in rotierenden Bohrungen, ein zusatzlicher Freiheitsgrad besteht. Dies fuhrt zu erheblichen Problemen bei der Beschreibung der Stromung, wobei die Stromungsform und die Stabilitat der Stromung eine wesentliche Rolle spielen. Ziel der Untersuchung ist es die komplexen Stromungsvorgange in einem einfachen physikalischen Modell abzubilden um eine Rechenvorschrift auf der Basis der eindimensionalen Stromfadentheorie zu entwickeln und diese durch nummerische Stromungssimulationen zu verizieren.
4.1 Literaturuberblick Erste Untersuchungen von Taylor (1923, 81 ]) befassen sich mit der Stabilitat der Stromung in einem abgeschlossenen Ringraum zwischen zwei rotierenden Zylindern. Ruht der au ere Zylinder und rotiert der Innere, so bildet sich eine Couette Stromung aus, d.h. die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit nimmt linear von der Innenwelle nach au en hin ab. Ab einer bestimmten Drehzahl bilden sich aufgrund von Instabilitaten torusformige Wirbel aus und die Couette Stromung schlagt in eine Taylor{Wirbelstromung um. Diese Taylorwirbel fullen den ganzen Raum aus und sind abwechselnd links{ und rechtsdrehend (Abb. 4.2). Je nach Drehzahl treten unterschiedliche Stromungsformen der Taylorwirbel auf. Zunachst bildet sich aus jedem Wirbel ein ebener Ring, wie in Abbildung 4.3 zu erkennen ist, der sich um den Innenzylinder legt. Bei hoheren Drehzahlen (Abb. 4.3a ! 4.3d) liegt dieser Ring nicht mehr eben vor, denn es bilden sich in Umfangsrichtung Wellen aus. Die Wellen werden mit zunehmender Drehzahl starker, bis sie schlie lich einen turbulenten Abbildung 4.2: Taylorwirbel zwischen einer ruCharakter erhalten, bei dem sich die Taylorwir- henden und einer rotierenden Welle. bel zuruckbilden. Durch A nderung der Rotation beider Zylinder konnen Untersuchungen an contra{ und corotierenden Wellen durchgefuhrt werden. Andereck et al. (1986, 2 ]) variieren die Drehzahlen
4.1. Literaturuberblick
55
Drehzahl
6
Abbildung 4.3: Unterschiedliche Strukturen der Taylorwirbel in Abhangigkeit der Drehzahl (a ebener Ring, b Wellen in Umfangsrichtung, c Verstarkung der Wellen, d turbulenter Charakter).
56
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen
der Wellen unabhangig voneinander und stellen fest, dass sich eine Vielzahl von verschiedenen stabilen und instabilen Stromungsstrukturen, einschlie lich des Taylorwirbels, einstellen. Sie untersuchen auch corotierende Wellen mit gleicher Winkelgeschwindigkeit und beobachten eine stabile Couette Stromung. Im Gegensatz zu Taylor (1923, 81 ]) und Andereck et al. (1986, 2 ]) beschaftigt sich Strscheletzky (1959, 80 ]) mit Wellen die axial durchstromt werden. Er untersucht das hydrodynamische Gleichgewicht rotationssymmetrischer reibungsfreier Stromung mit konstantem Drall in geraden, zylindrischen Hohlraumen. Die Begrenzungen einer Stromung, die ihrem hydrodynamischen Gleichgewicht entsprechen, konnen sowohl aus festen Wanden oder aus Trennachen/Trennschichten bestehen. Die letzteren trennen das stromende Fluid der HauptHauptströmung stromung von den Gebieten der Ablosungen. Trennschicht In axialen Hohlraumen konnen solche TrennTotwassergebiet achen parallel zur Symmetrieachse auftreten (Abb. 4.4). Die Ablosungen dehnen sich von der inneren Welle nach au en hin aus. Die Trennachen bzw. die Ablosung verkleinern damit die Abbildung 4.4: Ausbildung einer Trennschicht fur die Hauptstromung zur Verfugung stehende in einer drallbehafteten Stromung. Querschnittsache. Die U bertragung der Ergebnisse von Andereck et al. (1986, 2 ]) und Strscheletzky (1959, 80 ]) auf die real vorliegenden rotierenden Wellen in Abbildung 4.1 liefert einige Schwierigkeiten. Andereck et. al (1986, 2 ]) untersuchen einen abgeschlossenen Hohlraum ohne aufgepragte Stromung und Streschletzky (1959, 80 ]) untersucht eine reibungsfreie Stromung in einem Hohlraum mit aufgepragter Axialstromung. Zudem stromt das Fluid radial ein, wodurch eine zusatzliche Impulskraft eine Rolle spielt und eine direkte U bertragung ohne weitere Untersuchungen nicht sinnvoll ist. Um die Stromung naher betrachten zu konnen sind nummerische Stromungssimulationen durchgefuhrt worden. Die Diskussion der Ergebnisse im folgenden Kapitel soll zum Verstandnis der Stromung beitragen. Im Anschluss daran wird aufgrund der qualitativen Untersuchungsergebnisse der Stromung eine einfache Modellierung der Stromung in axialen Hohlraumen erlautert. Ein quantitativer Vergleich der Ergebnisse zwischen der Modellierung und der nummerischen Simulation schlie en das Kapitel ab.
4.2. Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen
57
4.2 Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen Die Stromung zwischen rotierenden Wellen wird anhand der in Abbildung 4.5 dargestellten Konguration mit radialer Einstromung nummerisch untersucht, wobei das Ziel der nummerischen Betrachtung die Untersuchung folgender Einusse ist:
radialer Impuls des Eintrittsstrahls nicht{rotationssymmetrische Einstromung durch eine Bohrung (Gegenteil: rotationssymmetrische Einstromung durch einen Umfangsspalt)
Ausbildung einer Trennschicht (Strscheletzky) Stabilitat der Stromung (Andereck et. al). Verdichterscheibe
Turbinenscheibe
r
Potentialwirbel u
VK
wu
Abbildung 4.5: Kuhlluftfuhrung in rotierenden Hohlraumen.
Zur qualitativen Bewertung der Stromung werden zunachst zwei gedankliche Stromungsmodelle diskutiert:
Das Fluid tritt radial in den Hohlraum ein (Abb. 4.5). Es wird zunachst angenommen, dass das Fluid aufgrund seiner hohen radial gerichteten Impulskraft bis zur inneren Welle und entlang dieser bis zur Turbinenscheibe stromt. Bei nahezu reibungsfreiem Strahl ndet eine Beschleunigung des Fluids in Umfangsrichtung statt (Abb. 4.5), wodurch sich eine hohe Umfangskomponente der Absolut{ und Relativgeschwindigkeit vu wu ergibt. Die Folge ist eine Energieabgabe durch Reibkrafte an der inneren Welle, die eine Drallanderung in Verbindung mit Stromungsverlusten verursachen. Die abgefuhrte Energie wird in der nachgeschalteten rotierenden Bohrung der Turbinenscheibe wieder zugefuhrt, so dass hier eine mit Verlusten behaftete Energieumwandlung zwischen dem Rotor und der Stromung stattndet. Nicht berucksichtigt ist hier die Anstromung der Bohrung in der
58
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen Turbinenscheibe, die in diesem Fall sehr stark asymmetrisch ist. Dabei entstehen zusatzliche Verluste in der Bohrung (Kapitel 3). Die Energiezufuhr uber die Grenzschicht an der Turbinenscheibe wird in dieser Betrachtung vernachlassigt.
Gunstiger ware die Energiebilanz bei der folgenden Betrachtung. Das Fluid stromt zu-
nachst radial in den Hohlraum ein, wird aber aufgrund des Fliehkraftfelds wieder radial nach au en getragen. Da die Radienanderung zwischen dem Eintritt und der auf der Hohe der Rippen gedachten au eren Welle gering ist, ndet eine geringe Beschleunigung des Fluids in Umfangsrichtung statt. Damit ist die Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit wu geringer als die an der inneren Welle, das zu einem geringen Energieumsatz und damit zu geringen Verlusten fuhrt.
Die theoretischen U berlegungen zeigen, dass der Stromungsweg des Fluids ein wesentliches Kriterium bei der Erfassung und Modellierung der Stromungsverluste und {umlenkung ist. Die folgenden nummerischen Simulationen werden dies zeigen.
4.2.1 Gestaltung der Rechengitter Die Struktur des verwendeten Rechengitters bestimmt in einem erheblichen Umfang die Qualitat nummerischer Stromungssimulationen, insbesondere hinsichtlich der Auosung von Stromungsstrukturen mit hohen Gradienten. Um negative Ruckwirkungen auf die Ergebnisse zu vermeiden sollte das Rechengitter folgenden Anforderungen genugen:
die Gitterlinien sollten sich moglichst orthogonal schneiden die Gitterlinien sollten moglichst gleichma ig gekrummt verlaufen in Bereichen hoher Stromungsgradienten sollte eine hohe Gitterpunktdichte vorliegen.
Der Verwirklichung dieser Forderungen werden in der praktischen Ausfuhrung enge Grenzen gesetzt. Dies gilt insbesondere fur die Gitterpunktdichte, da sowohl Rechenzeit{ als auch Speicherplatzbedarf mit der Anzahl der Gitterpunkte stark anwachsen. Zudem erschweren Radien in den Berandungen und Gebiete abseits der Hauptstromung die Einhaltung der obengenannten Kriterien. Aufgrund der Gitterkriterien und unter dem Aspekt, dass die wesentlichen Eekte der Stromung erfasst werden mussen, ist das in Abbildung 4.6 dargestellte Gitter verwendet worden. Es wird begrenzt durch die rotierenden Wande, die Ein{ und Austrittsache und einige freie Flachen, die als nicht durchlassige reibungsbehaftete Wande angenommen werden. Die Eintrittsbohrung wird durch eine achengleiche Rechteckbohrung ersetzt. Die Stromung ist bezuglich der Umfangsrichtung periodisch, so dass eine durch die Eintrittsbohrungen vorgegebene Teilung gewahlt werden kann, wodurch der Rechenzeit{ und Speicherplatzbedarf reduziert wird.
4.2. Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen
59
Austritt Eintritt
Block
Gitterrichtung # 1 (') 2 (z ) 3 (r) I 36 66 23 54.648 IV II 36 136 19 93.024 I III 36 13 48 22.464 II IV 36 148 23 122.544 Gesamt 292.680 Abbildung 4.6: Rechengitter zur Simulation der Stromung zwischen rotierenden Hohlwellen. Das Rechengitter in Abbildung 4.6 besteht aus vier Blocken mit einer Gesamtknotenzahl von 292.680. Die Aufteilung der Blocke erlaubt die Auosung der I IV Wandgrenzschicht, soweit dies fur die Turbulenzmodellierung erforderlich ist. Da die turbulenten Fluktuationen mit dem k{{Modell mit dem logarithmischen Wandgesetz modelliert werden, kann der physikalische Einuss der Wand durch eine wandnahe Gitterlinie erfasst werden, die au erhalb der viskosen Unterschicht liegen soll. Zur Beurteilung der GitterII punktverteilung innerhalb der Grenzschicht wird der dimensionslose Wandabstand Y + genutzt 76 ]. Wei ert 87 ] gibt mit dem Hinweis auf einen Vergleich Abbildung 4.7: Gitterstruktur an den von Messung und Rechnung an einer ebenen Platte Blockgrenzen (Ausschnitt Abb. 4.6).
60
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen
einen dimensionslosen Wandabstand von Y + = 30{150 an. Der dimensionslose Wandabstand fur das Gitter in Abb. 4.6 liegt im Bereich von Y + = 30{80. Das Gitter zeichnet sich durch hohe Orthogonalitat aus. Lediglich durch die Anordnung der Blocke ergeben sich in den Schnittpunkten der Blocke I,II,IV und der Blocke II,III,IV die am starksten verzerrten Gitterzellen (Abb. 4.7). Die Winkel in den Gitterzellen liegen im Bereich von 35{145 Grad und genugen damit den Anforderungen.
4.2.2 Randbedingungen Als Randbedingungen fur die Simulation stehen die Auslegungsdaten im Grundlastpunkt der Gasturbine zur Verfugung. Da es sich um ein Stromungsproblem im subsonischen Bereich handelt, mussen vier Randbedingungen am Eintritt und eine am Austritt vorgegeben werden. Eintritt:
Vorgabe der konstanten Totaltemperatur Vorgabe der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit, die gleich der Umfangsgeschwindigkeit ist
Vorgabe der Geschwindigkeitskomponente in Axialrichtung zu null Vorgabe des Massenstroms mit konstantem Prol der Radialkomponente Austritt:
Vorgabe konstanten statischen Drucks
Zur Untersuchung des radialen Eintrittsimpulses sind bezogen auf den Auslegungsmassenstrom nummerische Simulationen mit 50%, 100%, 200% und 400% Massenstrom durchgefuhrt worden. Der Eintrittsstrahl bei 400% Massenstrom erreicht eine relative Eintrittsmachzahl von Marel 0:72. Eine weitere Steigerung des Massenstroms ist nur noch in geringem Ma e moglich. Die nummerischen Simulationen sind mit dem kommerziellen CFX{Tascow{Loser 25 ] durchgefuhrt worden. Zur Berucksichtigung der turbulenten Schwankungen ist ein k{{Turbulenzmodell mit logarithmischem Wandgesetz eingesetzt worden 25 ]. Die Diskussion der nummerischen Simulationsergebnisse unterteilt sich im wesentlichen in die Untersuchung des Eintrittsimpulses, der nicht{rotationssymmetrischen Einstromung und deren Einusse auf die Stromung. Weiterhin von Interesse ist die Ausbildung einer Trennache mit einem Totwassergebiet nahe der innenliegenden rotierenden Welle und die Stabilitat der Stromung. In der Auswertung werden Axial{ und Mittelschnitte dargestellt. Der Axialschnitt bezieht sich auf einen konstanten z{Wert senkrecht zur Rotationsachse und der Mittelschnitt auf einen konstanten Winkel in Umfangsrichtung (Abb. 4.8).
4.2. Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen
61
Mittelschnitt 0% 50% 100%
Axialschnitt
80% 0%
100%
20%
Abbildung 4.8: Denition der Axial{ und Mittelschnitte.
4.2.3 Einuss des Impulses und der Asymmetrie des Eintrittsstrahls Der Eintrittsimpuls wird untersucht, indem der Massenstrom varriiert wird. In Abbildung 4.9 ist eine typische Stromlinie im Relativsystem fur den Auslegungsmassenstrom (100%) dargestellt (2 Teilungen). Die Kuhlluft tritt radial in den rotierenden Hohlraum ein und wird in Umfangsrichtung beschleunigt. Da es sich um ein periodisches Rechengebiet handelt, tritt die Stromlinie bei Verlassen des Rechengebiets auf der Gegenseite wieder ein. Im Relativsystem erreicht diese Stromlinie einen Umschlingungswinkel des Rotors von 250o . Am Eintritt wird das Fluid bei abnehmendem Radius zunehmend in Axialrichtung umgelenkt. Es stromt bis zur au eren Welle und entlang dieser bis zum Austritt. Die relative Machzahlverteilung entlang eines mittleren Stromfadens vom Eintritt im Mittelschnitt ' = 50% uber 2 Teilungen bis ' = 200% zeigt Abbildung 4.10. Das Fluid tritt radial mit einer Machzahl von Marel 0:2 ein und wird sowohl absolut als auch relativ in Umfangsrichtung beschleunigt (siehe Stromlinie in Abbildung 4.9). Dies fuhrt in Abbildung 4.10 bei ' 70% zu einer maximalen relativen Machzahl von Marel 0:21. Beim Eintritt des Strahls in das Stromungsgebiet weitet sich dieser auf und wird verzogert. Der Beschleunigung in Umfangsrichtung wirkt somit eine Verzogerung durch die Strahlaufweitung entgegen, infolge dessen es zu einem Abfall der relativen Machzahl kommt. Nach einer Teilung (50% ! 150%) erreicht die relative Machzahl einen Wert von Marel = 0:18. In Abbildung 4.11 erscheint die-
62
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen
Austritt Eintritt
Abbildung 4.9: Stromlinien bei 100% Massenstrom. 0.21
ser Wert als lokales Maximum wieder. Sie zeigt die relative Machzahl verteilung im Mittelschnitt bei 50%. 0.20 Deutlich ist der eintretende Strahl mit einer relativen Machzahl von Ma rel Marel 0:2 zu erkennen. Der Strahl 0.19 wird in Umfangsrichtung beschleunigt und lauft deshalb aus der Ebene des Mittelschnitts heraus. Das oben schon erwahnte lokal erscheinende 0.18 Maximum von Marel = 0:18 ist in Wahrheit keines, da an dieser Stelle der Eintrittsstrahl der vorhergehen0.17 0 50 100 150 200 den Teilung durch die Mittelschnittsebene 50% tritt. In Abbildung 4.10
wird dies noch einmal deutlich, da Abbildung 4.10: Relative Machzahlverteilung entlang einer dieses lokal erscheinende Maximum mittleren Stromlinie. bei ' =150% wieder auftritt.
4.2. Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen
63
0.04 0.04
0.20
0.10
0.10
0.12 0.14 0.18
0.10 lokales Maximum
0.12
0.10
0.08
0.06
Abbildung 4.11: Relative Machzahlverteilung und projezierte Geschwindigkeitsvektoren im Mittelschnitt bei 50% (100% Massenstrom).
Die Projektion der Geschwindigkeitsvektoren in Abb. 4.11 zeigen nach dem Eintritt eine deutliche Umlenkung der Stromung in axialer Richtung. Der Strahl dringt radial in den Hohlraum ein und wird in Hohe der au eren Welle axial umgelenkt. Ein etwas anderes Bild liefert die Stromung bei sehr hohem Massendurchsatz. Abbildung 4.12 zeigt das Stromungsbild im Mittelschnitt (50%) bei 400% Massenstrom. Der Strahl tritt mit einer relativen Machzahl Marel = 0:72 in das Stromungsgebiet ein. Der Impuls des Eintrittsstrahls ist so hoch, dass dieser bis zur inneren Welle eindringt. Die innere Welle in Kombination mit dem Eintrittsstrahl wirkt wie ein Duse{Prallplattensystem, wodurch der Massenstrom zu beiden Seiten aufgeteilt wird. Ein Teil des Fluids wird nach links zur Wand hin abgelenkt, an der das Fluid radial auswarts stromt und schlie lich an der au eren Welle axial umgelenkt wird.
64
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen
0.72
0.08
0.16
0.16
0.24
0.24 0.32 0.32
0.48
0.40 0.48
0.16
0.56
0.16
0.16
0.16
0.56
Abbildung 4.12: Relative Machzahlverteilung und die projezierten Geschwindigkeitsvektoren im Mittelschnitt bei 50% (400% Massenstrom).
Dieser axiale Massenstrom trit in der Hohe der au eren Welle auf den Eintrittsstrahl und es kommt zu einer Umstromung zwischen den axial und radial gerichteten Massenstromen. Abbildung 4.13 zeigt die pAxialkomponente der Absolutgeschwindigkeit vz bezogen auf die Schallgeschwindigkeit (a = RT ). Die Veranderungen der Absolutgeschwindigkeitskomponenten in allen drei Richtungen (r ' z ) werden deutlich durch unterschiedliche Axialschnitte bei -3%, 0%, 3% und 10%. Der axiale Massenstrom weicht dem radialen Strom aus und umgekehrt. Eine Stromaunformation des Stromungsfelds (Abb. 4.13) sorgt schon fruhzeitig fur eine Ausbildung eines Axialstrahls mit einem Maximum der axialen Geschwindigkeitskomponente vz =a = 0:16 (-3%). Dieses verstarkt sich im Bereich des Eintritts 1.72% (Ebene 0%) und erhoht sich auf ein Maximum von vz =a = 0:18. Der Impuls, der von dem radialen an den axia-
4.2. Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen
65
0.02 -0.06 -0.10
0
0 0.04 0.08 0.16
0
0.12
0.06
0.08 0.04 0
-0.04 -0.08 -0.10
-0.30
0.14
0
0
-0.04
-0.04 -0.06
-0.14
-0.20
-3%
0.14
0.14
0.10
0%
3%
10% Z -3% 0% 3%
10%
p
Abbildung 4.13: Bezogene Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit vz =a(a = RT ) im Axialschnitt (400% Massenstrom).
len Massenstrom u bertragen wird, sorgt fur eine Verschiebung des Maximums in Richtung des Eintrittsstrahls zu kleineren Radien. Nach dem Eintritt >1.72% ndet ein Ausgleichsprozess in Umfangsrichtung statt, infolge dessen die maximale Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit nach 10% der Lauange auf vz =a = 0:14 abnimmt. Fur die Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit ist die Stromung bei 10% der Lauange nahezu vollstandig rotationssymmetrisch (vu=' = 0). Die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit wird erst bei 16% der Lauange vollstandig rotationssymmetrisch. Bei dieser Lauange wird fur einen Massenstrom von 400% ein vollstandig rotationssymmetrisches Stromungsbild erreicht. Bei 10% der Lauange weichen die Schwankungen um 5% von dem Mittelwert bei 16% der Lauange ab. Bei 50% des Massenstroms ist der Ausgleichsprozess
66
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen
50%
r
100%
200%
u
r
400%
u
=0
Abbildung 4.14: Die Projektion der relativen Geschwindigkeitsvektoren im Axialschnitt bei 0% fur unterschiedliche Massenstrome.
schon nach 8% der Lauange abgeschlossen, so dass bei einer Lauange oberhalb von 20% in jedem Fall eine rotationssymmetrische Stromung vorliegt. In Abbildung 4.14 wird der Einuss des Eintrittsimpulses auf die Eindringtiefe in den rotierenden Hohlraum untersucht. Die Geschwindigkeitsvektoren sind einheitlich auf den jeweiligen Eintrittsvektor skaliert worden und sind damit fur die unterschiedlichen Massenstrome gleich gro . Mit zunehmendem Massenstrom bzw. Eintrittsimpuls steigt die Eindringtiefe des eintretenden Freistrahls. Die Umlenkung der Stromung in Umfangsrichtung ist bei allen Eintrittsimpulsen stark ausgepragt und ubersteigt am Anfang die Verteilung des Potentialwirbels. Ursache sind Geschwindigkeitsgradienten im Eintrittsbereich, die folgenden Einuss auf den
4.2. Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen
67
1.02
Austritt
Tt Tt,e
1.00
Eintritt
,F 0.98
pt,s pt,e
,F pt pt,e
0.96
0.94
1.00
0.98 0.97
0.84
0
z
50
100
0.90
Abbildung 4.15: Totaldruckverteilung im Mittelschnitt bei 50% (100% Massenstrom).
Wirbelvektor haben:
0 r 1 0 1 vz ; vu 1 B CC = BB r v 'r ; v zz CC : 1 = 2 rot v = B @ ' A B@ h z r i CA
vr 1 (vu r) z
r
r
; '
(4.1)
Die A nderung des Wirbelvektors beruht auf Reibungs{ und Schereekten infolge von Geschwindigkeitsgradienten. Im reibungsfreien Fall folgt daraus fur eine Stromlinie ein in Richtung und Betrag konstanter Wirbelvektor. Wie aus der z{Komponente des Wirbelvektors zu erkennen ist, kann bei Vorhandensein eines Gradienten von vr =' < 0 (konvexe Strahlseite) der Drall entlang einer Stromlinie zunehmen bzw. bei vr =' > 0 (konkave Strahlseite) abnehmen. Da die Gradienten vr =' an der konvexen Strahlseite starker sind, fuhrt dies im Mittel zu einer Beschleunigung der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit die starker ist als die Verteilungsvorschrift des Potentialwirbels. In Abbildung 4.15 fuhrt dies am Eintritt zu einem Anstieg der Totalgro en. Oben rechts sind der Totaldruck, die Totaltemperatur und der isentrope Totaldruck (Gl. 2.14) bezogen auf
68
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen
den totalen Eintrittswert entlang einer mittleren Stromlinie dargestellt. Die Totalgro en nehmen zunachst in den ersten 1{2% der Lauange zu und insbesondere der Totaldruck pt =pte nimmt anschlie end stark ab. Die Totaltemperatur Tt =Tte und ebenso der isentrope Totaldruck pts=pte fallen leicht unter ihren Eintrittswert. Die Dierenz zwischen dem isentropen pts und dem nummerisch ermittelten Totaldruck pt ist nahezu ausschlie lich auf die vollstandige Dissipation des Energieanteils der meridionalen Geschwindigkeitskomponente des Eintrittsstrahls zuruckzufuhren. Wird ausschlie lich der Totaldruckverlust aufgrund dieser Dissipation berucksichtigt, so ergibt sich fur den Totaldruck ein Verhaltnis von pt =pte = 0.97. Die Dierenz zu dem totalen Eintrittsdruck p1 entspricht nahezu der Dierenz p2 zwischen dem isentropen Totaldruck und dem nummerisch ermittelten Totaldruck bei ca. 20% der Lauange. Dies bestatigt die Annahme aus Kapitel 3 der rotierenden Bohrungen, dass der kinetische Energieanteil aus der Geschwindigkeitskomponente der meridionalen Richtung eines Freistrahls, der in einem Relativsystem in eine ruhende Umgebung einstromt, vollstandig dissipiert. Anhand der Totaltemperatur lasst sich zunachst eine Energiezufuhr und anschlie end eine Energieabgabe entlang der Stromlinie erkennen. Das Fluids wird in Umfangsrichtung beschleunigt und erfahrt wie oben schon erlautert eine Energiezufuhr. Die starke Beschleunigung fuhrt zu einem Anstieg der Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit, infolge dessen Reibungskrafte auf den Eintrittsstrahl wirken. Diese Reibungskrafte sorgen fur eine Verzogerung des Fluids in Umfangsrichtung, wodurch Energie an das umgebende Fluid abgegeben wird. Eektiv betrachtet wird entlang der mittleren Stromlinie vom Eintritt bis zur rotationssymmetrischen Stromung bei 20% Lauange Energie abgegeben.
&
0.4 0.36
50%
0.32 0.28
0.4 0.36
100%
0.32 0.28
0.44
0.4
200%
0.36 0.32
400%
0.4
0.36 0.32
0.66
0.5
0.5
vu a
0.4
vu a
0.3
tk
Fes
0.2 0.1 0.0 0.5
r örpe
50% m 100% m 200% m 400% m
0.6
0.4 0.3
0.1
0.7
0.8
0.9
1.0
r/ra
0.0 0.5
per
tkör
Fes
0.2 50% m 100% m 200% m 400% m
0.6
0.7
& 0.8
0.9
1.0
r/ra
Abbildung 4.16: Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit fur die Lauange 20% und 80% (oben Mittelschnitt 50%).
4.2.4 Ausbildung einer Trennache Wie zuvor schon erlautert worden ist, erreicht die nicht{rotationssymmetrische Eintrittsstromung stromab nach 20% der Lauange ein rotationssymmetrisches Stromungsbild. Die nachfolgenden Betrachtungen beschranken sich deshalb auf die Freiheitsgrade in radialer und axialer Richtung bei Lauangen oberhalb von 20%. Die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit vu bei 20% und 80% der Lauange ist p in Abbildung 4.16 dargestellt und wird auf die Schallgeschwindigkeit a = RT bezogen. Der Radius r ist bezogen worden auf den Radius der au eren Welle ra . Fur die unterschiedlichen
70
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen 0.20
0.20 50% m 100% m 200% m 400% m
0.15
vz a
vz a
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
0.00 -0.05
-0.05 -0.10 0.5
50% m 100% m 200% m 400% m
0.15
80%
20% 0.6
0.7
r/ra
0.8
0.9
1.0
-0.10 0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r/ra
Abbildung 4.17: Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit fur die Lauange 20% und 80%.
Massenstrome stellen sich Verteilungen der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit ein, die oberhalb der Verteilung des Festkorperwirbels liegen. Die Mittelschnitte bei 50% zeigen eine deutliche Entwicklung der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit uber der Lauange. Wie zuvor schon angesprochen wurde, wird das Fluid vom Eintritt bis zur rotationssymmetrischen Ebene (20% Lauange) im Relativsystem eektiv verzogert. Infolge der Radienanderung vom Eintritt zur Lauange 20% wird die Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit beschleunigt. Erkennbar wird dies anhand der zuvor schon gezeigten mittleren Stromlinie unter Abb. 4.9. Die Beschleunigung des eintretenden Strahls im Relativsystem wird durch Reibungskrafte auf den gesamten Bereich der Stromung ubertragen. Fur eine Lauange von 80% stromab haben sich die bei 20% der Lauange noch auftretenden Ungleichma igkeiten ausgeglichen. Die Prole der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit entsprechen dem eines Festkorperwirbels mit linearer Verteilung bei hoheren Absolutwerten. Je gro er der Massenstrom, desto hoher ist die Eindringtiefe und damit die relative Beschleunigung des Eintrittsstrahls. Dies fuhrt zu einer starkeren Dierenz zwischen dem Festkorperwirbel und der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit bei hoheren Massenstromen. Abbildung 4.17 zeigt die radiale Verteilung der Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit vz bezogen auf die Schallgeschwindigkeit a nach 20% und 80% der Lauange. In Abhangigkeit der Massenstrome stellt sich ein sehr unterschiedliches Bild dar. Bei 50% Massenstrom ist die Veranderung der Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit zwischen 20% und 80% der Lauange nur geringfugig, diese steigt aber mit zunehmendem Massenstrom. Insbesondere bei 400% Massenstrom hat die Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit nach 20% der Lauange ihr Maximum in der Mitte des Hohlraums, das sich mit zunehmender Lauange zur au eren Welle verschiebt. Die Axial{ und die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit zeigen in Abhangig-
4.2. Nummerische Untersuchung der Stromung zwischen rotierenden Wellen
71
keit der Lauange eine Veranderung uber dem Radius. Die aus diesen beiden Komponenten und der Umfangsgeschwindigkeit resultierende Richtung des relativen Geschwindigkeitsvektors bestimmen die U berstromlange der Fluidteilchen u ber die Oberache. Zur Beurteilung der Stromungsrichtung ist in Abb. 4.18 der Winkel auf konstantem Radius in der Nahe der au eren Welle in Abhangigkeit der Lauange dargestellt (100% Massenstrom). Zwischen der Lauange 20% und 90% verandert sich dieser Winkel nur geringfugig, so dass die Richtung des relativen Geschwindigkeitsvektors nahezu konstant bleibt. Die starken Veranderungen bei kleinen (90%) Lauangen werden durch die Umlenkungen in radialer bzw. aus der radialen Richtung verursacht, da Schnitte konstanten Radius betrachtet werden. Wie aus den Abbildungen 4.16 und 4.17 zu erwarten ist, verandert sich bei 400% Massenstrom der Winkel starker. Er variiert um 20o uber der Lauange. Zur naherungsweisen Berechnung der Stromlinienlange & kann aber auch unter diesen Umstanden % ein nahezu konstanter Winkel gewahlt wer20-90% den. o $ Die oben schon angesprochene Verschie-
r - r # a # r - r 100% bung (Abb. 4.17) des Maximums der Axia i " alkomponente der Absolutgeschwindigkeit ! zu gro eren Radien deutet auf eine Stabi lisierung der Stromung hin. Es bildet sich v ein Ablosegebiet zwischen der inneren Wel > w u le und einer Trennschicht aus. Die Trenn schicht stabilisiert sich mit der Lauange ' # in Abhangigkeit des Massenstroms und erreicht ab 30% der Lauange einen nahezu z [%] konstanten Radius. Durch Integration des Volumenstroms uber dem Radius ergeben Abbildung 4.18: Relativer Winkel zwischen der sich die in Abbildung 4.19 ermittelten Ra- Relativ{ und Umfangsgeschwindigkeit. dien rs. Die von Strscheletzky 80 ] durchgefuhrte Analyse des hydrodynamischen Gleichgewichts erlaubt eine Abschatzung des Radius der Trennache rs und gibt damit ein Kriterium fur das Auftreten einer solchen an. Er bezieht sich auf Geschwindigkeitsfelder reibungsfreier, homogener inkompressibler Flussigkeiten. Die Gleichgewichtsformen von Stromungen hangen lediglich von den Tragheitskraften der stromenden Masse ab. Deshalb konnen die Reibungskrafte, die in Stromungen realer Flussigkeiten auftreten, die Gleichgewichtsform der Stromung nur indirekt beeinussen. Dieses geschieht hauptsachlich durch Ausbildung von Grenzschichten an festen Wanden, die die Drallstromung von diesen Wanden abdrangen oder durch Wirbelschichten, die anstelle der Trennachen auftreten konnen. Nach Strscheletzky 80 ] lasst sich der Radius
72
Kapitel 4. Stromung zwischen rotierenden Wellen 1,0
0,8
0,6
rI/r= 0,4
Strscheletzky Korrelation
0,2
Modifizierte Korrelation numm erische Simulation
0,0 0,001
0,01
0,1
1
10
V / 2F (v Kr)A r= Abbildung 4.19: Stabilitatsradius rs in Abhangigkeit des Massenstroms und des Eintrittdralls.
der Trennache rs iterativ ermitteln (Abb. 4.19):
v u 2 " 2#2 " 2# 1 ; rs ; 1 ; rs ln rs :
u V_ = 1 t 1 ra 2 (vur)era 2 2 rs
ra
ra
ra
(4.2)
Die iterativ zu losende Gleichung 4.2 kann wie folgt korreliert werden (Abb. 4.19):
2
rs V_ 4 ra = 2 ; 1:3 arctan 2:7 2 (vur)era
!0:8 3 + 15 :
(4.3)
Einuss auf den Radius der Trennache rs haben der Volumenstrom V_ , der Eintrittsdrall (vur)e und der Radius der au eren Welle ra . Die Ergebnisse der nummerischen Simulation liefern nach Abbildung 4.19 niedrigere Radien der Trennache als die von Strscheletzky 80 ] mit Gleichung 4.2 ermittelten. Sie unterscheiden sich um einen nahezu festen Betrag, der auf den von Strscheletzky 80 ] schon angesprochenen Grenzschichteinuss bzw. Reibungseinuss der Stromung zuruckzufuhren ist. Dieser Einuss kann durch die Modizierung der Gleichung 4.4 wie folgt berucksichtigt werden:
2
V_ rs = 1:96 ; 1:3 arctan 42:7 ra 2 (vur)era
!0:7
3 + 15 :
(4.4)
4.3. Korrelationen zur vereinfachten Modellierung der 3D{Stromung
73
Es verandern sich im Vergleich zu Gl. 4.3 lediglich zwei Koezienten (2 ! 1.96, 0.8 ! 0.7). Die Dierenz zwischen den Korrelationen ist fur niedrige Volumenstrome nahezu konstant, nimmt aber zu gro eren Volumenstromen bis zu einem Radius von null ab. Die Trennschicht verschwindet also fur unendlich gro e Massenstrome, da der gesamte Querschnitt zur Durchstromung benotigt wird.
4.3 Korrelationen zur vereinfachten Modellierung der 3D{Stromung Die bisher gewonnenen Erkenntnisse aus den nummerischen Simulationen werden zur Modellierung der Stromung zwischen rotierenden Wellen genutzt. Dabei sind wesentliche Charakterisierungsmerkmale erkennbar geworden, aufgrund derer folgende Vereinfachungen angenommen werden:
Der Eintrittsimpuls und die Asymmetrie des Eintritts beeinussen die Stromung in Bezug
auf die Eindringtiefe und die Ausbildungslange der vollstandig rotationssymmetrischen Stromung. Die Ausbildungslange (12.5% zu niedrig berechnet. Insbesondere bei 25% und 50% Massenstrom fuhrt dies zu einer Abwei-
5.4. Zusammenfassung
103
chung von maximal 2{4% bezogen auf die Schallgeschwindigkeit. Die Modellierung nach der 1/7{Potenzgesetz{Methode liefert einen etwas hoheren mittleren Drall und stimmt besser mit den Massenstromen 50% und 100% uberein. Wird der mittlere Drall mit den massenstromgemittelten Werten der nummerischen Simulation bei x = 0:95 verglichen, so ergibt sich eine erhebliche Verbesserung der U bereinstimmung fur die gro en Massenstrome 50% und 100%. Fur die kleineren Massenstrome 12.5% und 25% erreicht die Modellierung mit der Linear{Methode eine besser Vorhersage. Die mittleren Totaltemperaturen konnen aufgrund der nummerischen Simulation direkt aus dem Drall ermittelt werden. Dies bestatigt die Ergebnisse der nummerischen Simulation fur ein adiabates System. Der mittlere statische Druck und der mittlere Totaldruck zeigen insgesamt eine gute U bereinstimmung zwischen den nummerischen Ergebnissen und den Modellierungsergebnissen beider Methoden. Der Totaldruck wird bei kleinen Massenstromen 12.5% und 25% abwechselnd von der Linear{Methode und von der 1/7{Potenzgesetz{Methode sehr gut ermittelt. Werden die mittleren Gro en im Gesamtbild betrachtet, so ergibt sich mit dem mittleren Drall bei x = 0:95 eine insgesamt gute U bereinstimmung zwischen den nummerischen Ergebnissen und beiden Methoden. Die Linear{Methode ist bei sehr niedrigen Massenstromen 12.5% vorzuziehen, da die 1/7{Potenzgesetz{Methode in diesem Fall den mittleren Drall bzw. die Energiezufuhr im Vergleich zu der nummerischen Simulation uberschatzt. Zu gro eren Massenstromen 25{100% erreicht die 1/7{Potenzgesetz{Methode die bessere U bereinstimmung mit den nummerischen Simulationen.
5.4 Zusammenfassung Die Stromung zwischen rotierenden Scheiben ist auf der Basis der reduzierten Erhaltungsgleichungen (Anhang, Gl. A.5) mit der Linear{Methode und der 1/7{Potenzgesetz{Methode modelliert worden. Das Ziel dieser Modellierung ist eine zuverlassige Vorhersage der mittleren Zustandsgro en am Austritt des radialen Hohlraums. Zur Unterstutzung und Verikation der Ergebnisse sind nummerische Simulationen fur verschiedene Massenstrome durchgefuhrt worden. Die Variation des Massenstroms fuhrt zu unterschiedlichen Stromungsstrukturen. Bei kleinen Massenstromen bildet sich eine Kernregion mit Ekman{Layern aus und bei gro en Massenstromen entsteht eine reine Quell{Senkenstromung. Ohne Kernregion und Ekman{Layer konnen die mittleren Zustandsgro en im Vergleich zu den nummerischen Ergebnissen mit der 1/7{Potenzgesetz{Methode besser als mit der Linear{ Methode vorhergesagt werden. Die Ursache hierfur liegt in der Herleitung der Koezienten zur Berechnung des Massenstroms in den Grenzschichten. Bei der Linear{Methode sind die reduzierten Erhaltungsgleichungen linearisiert worden, so dass die Berechnung des Massenstroms und der Energiezufuhr in den Grenzschichten mit Vereinfachungen behaftet sind. Stromt der gesamte Massenstrom in den Grenzschichten, dann bildet sich eine Kernre-
104
Kapitel 5. Stromung zwischen Rotorscheiben
gion aus. In diesem Fall liefert die Linear{Methode eine bessere U bereinstimmung mit den nummerischen Ergebnissen im Vergleich zu der 1/7{Potenzgesetz{Methode. Die Entkopplung des Einusses zwischen der Quell{ und der Kernregion ist ein Ergebnis der Linear{Methode. Mit zunehmender Ausdehnung der Kernregion, d.h. mit zunehmendem Massenstrom, stimmt dieses Ergebnis aus den linearisierten Erhaltungsgleichungen mit den von Owen et al. 66 ] experimentell gewonnenen Ergebnissen uberein (Abb. 5.14). Diese Vereinfachung ist auf die 1/7{Potenzgesetz{Methode angewendet worden, so dass die U bergangsregion von der Quell{ zur Kernregion nicht berucksichtigt wird. Der Verlauf des Kernrotationsfaktors in der Kernregion wird zu kleineren Radien verschoben. Dies fuhrt bei der 1/7{Potenzgesetz{Methode zu einer Kernrotation und einer Energiezufuhr in den Grenzschichten, die deutlich hoher liegt als bei der Linear{Methode. Sowohl die Linear{Methode als auch die 1/7{Potenzgesetz{Methode haben ihr Anwendungsgebiet und konnen entsprechend ihrer Vorteile eingesetzt werden. Eine Kombination beider Methoden ist in dieser Form nicht sinnvoll, da im Grenzfall kein kontinuierlicher Verlauf der mittleren Zustandsgro en gewahrleistet ist. Dies fuhrt unter Umstanden zu einem nicht konvergierenden System, das keine eindeutige Losung liefert.
6 Zusammenfassung und Ausblick Der Einsatz von Gasturbinen in der elektrischen Energieerzeugung wird nach den heutigen Prognosen in Kombination mit Dampfturbinen (GUD{Kraftwerken) einen immer gro eren Marktanteil einnehmen. Die Betriebssicherheit und der Wirkungsgrad spielen hier eine wesentliche Rolle. Um bei hohen Wirkungsgraden einen sicheren Betrieb garantieren zu konnen sind Berechnungsverfahren notwendig, die eine exible, auslegungssichere und einfache Handhabung gewahrleisten konnen. Die Entwicklung zukunftiger Software zielt auf eine fachubergreifende Berechnung ab, in der die Festigkeit, das dynamische Verhalten und nicht zuletzt die Stromung in der Gasturbine vorhergesagt werden konnen. Ein erster Schritt seitens der Stromungstechnik ist die zuverlassige Vorhersage der Stromung in der Gasturbine. Ein wesentliches Element im Bereich der Stromungstechnik ist das Kuhl{ und Sperrluftsystem, dessen durchgesetzter Massenstrom einen Anteil von 20{25% am Gesamtmassenstrom hat. Die zuverlassige Vorhersage des benotigten Massenstroms ist sowohl ein Kriterium fur die Betriebssicherheit als auch fur den Wirkungsgrad. Je mehr Massenstrom im Kuhl{ und Sperrluftsystem benotigt wird, desto weniger Massenstrom steht fur den eigentlichen Stromungsprozess der Gasturbine zur Verfugung. Ziel dieser Arbeit ist es, die Stromung in wesentlichen Bauteilen des Sekundarluftsystems zuverlassig berechnen zu konnen. Hierzu gehoren die rotierenden Bohrungen, die Stromung zwischen rotierenden Wellen und zwischen Scheiben. Grundlage der Berechnung ist die eindimensionale Stromfadentheorie, ohne die eine schnelle und exible Berechnung des Sekundarluftsystems bei derart komplexen System mit vielen Einussen uberhaupt nicht denkbar ware. Anhand der Herleitung der Gleichungen fur die eindimensionale Stromfadentheorie lasst sich leicht erkennen, dass der dreidimensionale Charakter der Stromung verloren geht. Diese Einusse konnen in der Berechnung aber nicht vernachlassigt werden, so dass diese uber Korrelationen in die Gleichungen eingebaut worden sind. Die Korrelationen bestimmen den Totaldruckverlust, den Energieaustausch uber Drallanderung und Warmezu{ oder Abfuhr. Mit der Erfassung der Korrelationen und den Gleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie konnen die oben genannten Bauteilkomponenten bzw. die Stromung berechnet werden. Zur Losung dieses Gleichungssystems wurde eine kommerzielle Software eingesetzt. Im Losungsalgorithmus der aktuellen Version wird die Drallanderung bisher nicht berucksichtigt. Durch eine Weiterentwicklung des Algorithmus soll diese Lucke in naher Zukunft geschlossen werden. Auf Basis des jetzigen Algorithmus ist die Drallanderung durch die Verwaltung von zusatzlichen Datenbanken gelost worden. Um Massenstromen mit unterschiedlichem Drall mischen zu konnen ist ein externes Modul entwickelt worden. Ausgehend von diesem modizierten Software{Paket sind die Gleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie mit den Korrelationen in externen Modulen implementiert worden. Eine erste zu untersuchende Bauteilkomponente der Gasturbine ist die rotierende Bohrung. Insbesondere bei dem Aufbau eines Scheibenrotors mit Zuganker werden die Bohrungen zur Entnahme der Sekundarluft aus dem Verdichter und zur Speisung in den Schaufelfu zur
106
Kapitel 6. Zusammenfassung und Ausblick
Kuhlung der Laufschaufeln eingesetzt. Die Literatur beschaftigt sich ausfuhrlich mit feststehenden Bohrungen und in den letzten Jahren zunehmend auch mit rotierenden Bohrungen. Die Bohrungen werden dabei in kurze und lange Bohrungen klassiziert. Die kurzen Bohrungen, z.B. Blenden, werden uber die Durchussmengen beschrieben, wahrend lange Bohrungen, z.B. Rohrleitungen, uber die Totaldruckverluste am Ein{, Austritt und in der Bohrung betrachtet werden. Diese unterschiedliche Berechnung basiert auf dem Einuss des Verlustmechanismus. Bei langen Bohrungen sind die bezogenen Austrittsverluste unabhangig von den Eintrittsverlusten bzw. den Randbedingungen am Eintritt, da sich infolge der Lange der Bohrung ein ausgebildetes Geschwindigkeitsprol in der Bohrung einstellt. In kurzen Bohrungen bestimmen die Randbedingungen am Eintritt die Verluste am Austritt und damit die Durchussmenge. Treten Ablosungen am Eintritt von kurzen Bohrungen auf, so wird das Fluid beschleunigt und soweit es nicht zur Wiederanlage der Stromung kommt, dissipiert die kinetische Energie vollstandig. Kommt es zum Wiederanlegen der Stromung, ndet ein Druckruckgewinn statt und die teilweise starke U berhohung der Geschwindigkeiten gleicht sich wieder aus und wird unter geringen Reibungsverlusten in ein ausgebildetes Geschwindigkeitsprol mit am Austritt wesentlich kleineren Verlusten u berfuhrt. In Gasturbinen werden sowohl lange als auch kurze Bohrungen eingesetzt. Fur die Berechnung der Stromung in einer Bohrung ist deshalb ein stetiger U bergang zwischen kurzen und langen Bohrung erforderlich. Aufgrund dieser Forderung sind in dieser Arbeit beide Bohrungstypen durch einen einzigen Ansatz beschrieben worden. Als Korrelationsparameter ist die kinetische Energie des Geschwindigkeitsprols gewahlt worden. Mit diesem Parameter konnten die wesentlichen Verlustmechanismen der Stromungen am Ein{ und Austritt der kurzen und langen Bohrungen erfasst werden. Die Vielzahl der experimentellen Arbeiten in der Literatur sind genutzt worden um diesen Parameter anhand der feststehenden Bohrungen in Abhangigkeit der Lange, des Rundungsradius der Eintrittskante und der Queranstromung zu korrelieren. Durch den systematischen Aufbau, zunachst wurde die Lange korreliert und anschlie end der Rundungsradius der Eintrittskante etc., konnte eine Vielzahl von experimentellen Ergebnissen genutzt werden. Die Einusse sind durch getrennte Terme beschrieben worden, so dass in Zukunft auch neue experimentelle Ergebnisse in die Korrelation eingebaut werden konnen. Nachdem die Korrelationen fur die feststehenden Bohrungen erarbeitet worden sind, wurden die rotierenden Bohrungen betrachtet. Der Korrelationsparameter der feststehenden Bohrungen ist in das rotierende System u bertragen worden. Zusatzlich ist die Energiezu{ bzw. Abfuhr mit einem Minderumlenkungsfaktor korreliert worden. Anhand der Messergebnisse hat sich gezeigt, dass es einer Korrektur des Korrelationsparameters bedarf. Unter Beachtung der Grenzwerte sind zusatzliche Verluste korreliert worden. Die systematische Vorgehensweise aus den Korrelationen der feststehenden Bohrung ist auch hier ubernommen worden. Die Korrelationen der feststehenden und rotierenden Bohrung erreichen eine gute U bereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Ein wesentlicher Aspekt sind die Grenzfalle, z.B. Blende, ideale Duse, Rohrstromung, die in den Korrelationen enthalten sind, so dass Extra-
107 polationen zulassig sind, wie dies in den in der Literatur angegebenen Korrelationen meistens nicht der Fall ist. Als weitere wichtige Bauteilkomponente wurde die Stromung zwischen rotierenden Wellen betrachtet. In der Literatur sind unterschiedliche Kongurationen zur Stromungsuntersuchung zwischen rotierenden Wellen beschrieben. Es werden geschlossene rotierende Hohlraume mit contra{ und corotierenden Wellen betrachtet. Die Untersuchungen von Strschletzky 80 ] an axial rotierenden Wellen mit axialer drallbehafteter Zustromung fur den reibungsfreien Fall geben erste Hinweise auf die Stromungsstruktur in solchen Hohlraumen. Es entsteht in Abhangigkeit des Massenstroms und des Eintrittsdralls ein Totwassergebiet an der inneren Welle. Hinweise uber Stromungseinusse durch die Art der Zustromungen, z.B. radial durch einen Spalt oder eine Bohrung, gibt er nicht. Die radialen Impulskrafte der Einstromung sorgen fur ein verandertes Gleichgewicht. Fur unterschiedliche Massenstrome und damit Eintrittsimpulse wurde der Einuss auf die Stromungsstruktur bei radialer Einstromung untersucht. Die Eindringtiefe des Strahls in das Stromungsgebiet hangt von der Eintrittsgeschwindigkeit bzw. dem Impuls des Eintrittsstrahls ab. Unabhangig von dem Eintrittsimpuls stellt sich schon nach kurzer Lauange ein von Strschletzky 80 ] fur den reibungsfreien Fall theoretisch vorhergesagtes Totwassergebiet ein, dessen Ausdehnung mit seinen Korrelationen gut angenahert werden kann. Durch den Grenzschichteinuss wird die Trennschicht zwischen Hauptstromung und Totwassergebiet zu kleineren Radien verschoben. Eine Anpassung der Korrelationen durch diese Verschiebung wird durch eine Modikation errreicht. Die Reibungsverluste, die durch die U berstromung der Welle entstehen, werden durch die allgemein bekannten Gleichungen der ebenen langsangestromten Platte korreliert. Wie in der Literatur beschrieben, werden die Reibungsverluste durch die Rotation beeinusst und konnen sich um ein Vielfaches erhohen. Aufgrund dieser Untersuchungen ist die Reibungskraft durch eine 220% Erhohung des Reibbeiwerts der Platte an die Ergebnisse der nummerischen Simulation angepasst worden. Die Anpassung fuhrt zu einer Verbesserung der U bereinstimmung zwischen den nummerischen und modellierten Ergebnissen. Der Einuss der Anpassung ist im Vergleich zum Einluss der einstromenden Bohrung gering und die Berechnung des axialen Hohlraums kann daher auch ohne Anpassung angewendet werden. Alles in allem sind die Bohrungsverluste am Eintritt die dominierenden Verluste, die durch die Annahme vollstandiger Dissipation der Energie der Merdiankomponente der Geschwindigkeit erfasst werden kann. Dieses Ergebnis aus der nummerischen Simulation bestatigt zusatzlich die Korrelationen der rotierenden Bohrung und die U bertragbarkeit dieser Verlustannahme vom feststehenden auf das rotierende System. Die Stromung in zwei wesentlichen Komponenten des Sekundarluftsystems auf dem Stromungsweg vom Verdichter zur Turbine sind bisher untersucht worden. Zur Komplettierung dieses Wegs fehlt die Modellierung der Stromung zwischen rotierenden Scheiben. In der Literatur wird fur die Stromung zwischen Scheiben eine Vielzahl von Kongurationen diskutiert. Untersucht werden die freie Scheibe, das Rotor{Stator System, das Rotor{Rotor System mit zentripetaler und zentrifugaler Durchstromung bzw. ohne Durchstromung oder mit axialer
108
Kapitel 6. Zusammenfassung und Ausblick
Durchstromung. Diese Arbeit hat das Rotor{Rotor System mit zentrifugaler Durchstromung untersucht, wie es in Gasturbinen zwischen den Turbinenscheiben auftritt. Die Stromung in einem solchen radialen Hohlraum kann eingeteilt werden in die Quellregion, die Kernregion mit Ekman{Layern und die Senkenregion. Auf der Basis der theoretischen und experimentellen Arbeiten von Owen et al. 65 ] ist ein Modell zur Beschreibung der Stromung in diesen Regionen erarbeitet worden. Grundlage sind die Erhaltungsgleichungen, die durch einfache Annahmen reduziert werden konnen (Anhang). Durch eine Linearisierung dieser reduzierten Erhaltungsgleichung konnen die Ekman{Layer{Gleichungen hergeleitet werden. Auf der Basis der linearen Ekman{Layer{Gleichungen und der reduzierten Erhaltungsgleichungen sind das Linear{Modell und das 1/7{Potenzgesetz{Modell entstanden. Durch nummerische Simulationen konnen die Ergebnisse der Modellierung veriziert werden. Fur Kongurationen, bei denen eine reine Quell{Senkenstromung vorliegt, ist das 1/7{Potenzgesetz{Modell zur Beschreibung der Stromung besser geeignet als das Linear{Modell. Grund ist die zuverlassige Beschreibung der Grenzschicht durch die nichtlinearisierten reduzierten Erhaltungsgleichungen. Durch die Linearisierung der Erhaltungsgleichungen wird eine Entkopplung der Einusse zwischen der Quell{ und Kernregion erreicht. Diese Entkopplung fuhrt bei Stromungskongurationen mit einer Kernregion zur U berbewertung der Energiezufuhr und der Kernrotation. Bei ausgedehnten Kernregionen ist die Entkopplung der Regionen ein von Owen et al. 65 ] durch experimentelle Ergebnisse abgesichertes Phanomen, das sie als \Universal Curve" bezeichnen. Dies fuhrt dazu, dass radiale Hohlraume mit ausgedehnten Kernregionen besser von dem Linear{Modell beschrieben werden konnen. Die Beschreibung der Stromung in den drei Komponenten rotierende Bohrung, Stromung zwischen rotierenden Wellen und zwischen Scheiben erganzt die von Reichert und Janssen 73 ] beschriebenen Komponenten, so dass der gro te Teil des Sekundarluftsystems modelliert werden kann. Zur Beschreibung weiterer Details sind weitere Modellierungen notwendig, z.B. die Stromung in Radseitenraumen mit dem Eekt des Hei gaseinzugs. Diese Anordnung ndet sich in Gasturbinen zwischen den Turbinenleit{ und Laufschaufeln im Nabenbereich des Rotors wieder. Problematisch ist an dieser Stelle der Einzug von Hei gas in den Radseitenraum, der zu einer Aufheizung der Turbinenscheiben und damit einer Verringerung der Zeitstandfestigkeit fuhren kann. Durch aufgepragte Sperrluft kann der Einzug von Hei gas reduziert werden. Die Vorhersage ist aber aufgrund der instationaren Eekte durch die Leit{Laufradanordnung au erst schwierig. Die bisherigen Einusse und Stromungsstrukturen sind in einem adiabaten System durchgefuhrt worden. Wie die neueren Untersuchungen in der Literatur von Farthing et al. 34 ] und Bohn et al. 10 ] zeigen, hat der Warmeuss im Bereich der Turbine einen wesentlichen Einuss auf die Struktur der Stromung. In diesem Zusammenhang spielt die Zeitstandfestigkeit der Bauteile eine wesentliche Rolle, da die Materialtemperaturen auf diese einen erheblichen Einuss haben. Eine Kopplung der Stromungsrechnungen mit den Festigkeitsrechnungen unter Berucksichtung der Warmeeinusse sollte deshalb das Ziel weiterer Entwicklungen der Modellierungen sein.
Anhang In einem ortsfesten Zylinderkoordinatensystem. Die nichtlinearen instationaren Erhaltungsgleichungen der Masse und des Impulses in einem orstfesten Zylinderkoordinatensystem in der konservativen Form lauten:
+ 1 ( rv ) + 1 ( v ) + ( v ) = 0 t r r r r ' u z z ( v ) + 1 ; rv2 + 1 ( v v ) + ( v v ) ; vu2 r t r r r r ' r u z r z r p 1 1 = Fr ; r + r r (rrr ) ; ruu + r 'ru + zrz 1 ; 2 1 ; 2 t ( vu ) + r2 r r vr vu + r ' vu + z ( vu vz ) ; = Fu ; 1 p + 12 r2 ur + 1 uu + uz r ' r r r ' z ( v ) + 1 ( rv v ) + 1 ( v v ) + ; v2 t z r r r z r ' u z z z p 1 1 zu zz (A.1) = Fz ; z + r r (rzr ) + r ' + z : Der Spannungstensor ist in Gleichung A.2 deniert. Der Vektor F~ = (Fr Fu Fz ) berucksichtigt die Volumenkrafte.
r 2 vr vr 1 vu vz rr = 2 v ; + + + r 1 vu3 vrr r2 vr r' vr z1 vu vz uu = 2 r ' + r ; 3 r + r + r ' + z
z 2 vr vr 1 vu vz zz = 2 v ; + + + z 3 r r r ' z u 1 vz uz = zu = v + z v vr ' zr = rz = rz + zr r vu vu ru = ur = 1r v ' + r ; r
(A.2)
110
Anhang
In einem mitbewegten Zylinderkoordinatensystem. Fur ein mitbewegtes Koordinatensystem, das mit der Winkelgeschwindigkeit ! um die z {Achse rotiert, ergeben sich die Erhaltungsgleichungen aus Gleichung A.1 wie folgt:
+ 1 ( rw ) + 1 ( w ) + ( w ) = 0 r t r r r ' u z z ( w ) + 1 ; rw2 + 1 ( w w ) + ( w w ) ; wu2 + ;2!w + !2r u r t r r r r ' r u z r z r p 1 uu 1 ru rz = Fr ; + r r r (rrr ) ; r + r ' + z 1 ; 2 1 ; 2 t ( wu) + r2 r r wr wu + r ' wu + z ( wu wz ) + 2 !wr ; = Fu ; 1 p + 12 r2ur + 1 uu + uz r ' r r r ' z ( w ) + 1 ( rw w ) + 1 ( w w ) + ; w2 r z t z r r r ' u z z z (A.3) = Fz ; p + 1 (rzr ) + 1 zu + zz z r r r ' z Der Relativgeschwindigkeitsvektor w~ = (wr wu wz ) ergibt sich aus dem Absolutgeschwindigkeitsvektor ~v = (vr vu wz ) subtrahiert mit dem Ortsvektor des Relativsystems ~u = (0 !r 0). Die Zylinderkoordinate ' = ' ; !t ist deniert in Abhangigkeit der Zeit. Der Spannungstensor ist analog zu dem in Gleichung A.2 deniert. Der Vektor F~ = (Fr Fu Fz ) berucksichtigt die 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Volumenkrafte im mitbewegten System. Der Vergleich von Gleichung A.1 und A.3 zeigt, dass zwei Terme hinzugekommen sind. Die Zentripetalbeschleunigung ~a = (!r 0 0) hat ausschlie lich in radialer Richtung eine Auswirkung, wahrend die Coriolisbeschleunigung ~c = (;2!wu 2!wr 0) in radialer und in Umfangsrichtung wirkt.
Die linearen Ekman{Layer{Gleichungen. Aus den allgmeinen nichtlinearen Erhaltungsgleichungen nach Gleichung A.3 konnen die linearen Ekman{Layer{Gleichungen hergeleitet werden. Vorausgesetzt werden folgende Annaherungen und Bedingungen:
stationare Stromung () =t = 0) rotations{symmetrische Stromung () =' = 0)
Anhang
111
Grenzschicht{Annahmen (au erhalb der Grenzschicht reibungsfrei)
{ Die A nderungen aller physikalischen Gro en (au er der statische Druck) normal zur
Oberache sind wesentlich gro er als parallel zur Oberache ) f z >> f r fur f = T w~ { Die A nderung des statischen Druckes normal zur Oberache ist vernachlassigbar klein
)
p
z