Statistische Mechanik [3., aktualisierte Aufl.] 9783540310976, 9783540310952, 3540310959 [PDF]

Zitiervorschau

Springer-Lehrbuch

Franz Schwabl

Statistische Mechanik Dritte, aktualisierte Auflage mit 189 Abbildungen, 26 Tabellen und 186 Aufgaben

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Professor Dr. Franz Schwabl Physik-Department Technische Universität München James-Franck-Strasse 85747 Garching, Deutschland e-mail: [email protected]

ISBN-10 3-540-31095-9 3. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-31095-2 3. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-20360-5 2. Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek. Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000, 2004, 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: F. Schwabl und Satztechnik Katharina Steingraeber, Heidelberg unter Verwendung eines Springer LATEX2ε Makropakets Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

SPIN: 11607779

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Eine Theorie ist desto eindrucksvoller, je gr¨oßer die Einfachheit ihrer Pr¨ amissen ist, je verschiedenartigere Dinge sie verkn¨ upft und je weiter ihr Anwendungsbereich ist. Deshalb der tiefe Eindruck, den die klassische Thermodynamik auf mich machte. Es ist die einzige physikalische Theorie allgemeinen Inhaltes, von der ich u ¨ berzeugt bin, daß sie im Rahmen der Anwendbarkeit ihrer Grundbegriffe niemals umgestoßen werden wird (zur besonderen Beachtung der grunds¨atzlichen Skeptiker). Albert Einstein

Meiner Tochter Birgitta

Vorwort zur dritten Auf lage

Die erfreulich positive Aufnahme des Buches hatte dazu gef¨ uhrt, daß innerhalb verh¨ altnism¨ aßig kurzer Zeit eine weitere Neuauflage erforderlich war. Dabei wurden an einer Reihe von Stellen erkl¨ arende Erg¨anzungen, Pr¨azisierungen und Erweiterungen angebracht und Querverbindungen zwischen den einzelnen Abschnitten hervorgehoben. Das betrifft auch einen Teil der ¨ Ubungsaufgaben. Ein Teil der Abbildungen wurde sch¨oner gestaltet, der Umbruch wurde verbessert und Druckfehler korrigiert. Bei allen diesen Zus¨atzen habe ich darauf Bedacht genommen, den kompakten Charakter des Buches nicht zu ver¨ andern. Bei dieser Gelegenheit m¨ ochte ich allen Kollegen, Mitarbeitern und Studenten danken, die Verbesserungsvorschl¨age machten oder beim Korrekturlesen halfen. Herrn Dr. Th. Schneider und den an der Herstellung beteiligten Mitarbeitern des Springer-Verlages danke ich f¨ ur die exzellente Zusammenarbeit.

M¨ unchen, im Januar 2006

F. Schwabl

Vorwort

Das vorliegende Lehrbuch behandelt die statistische Mechanik. Ziel ist eine deduktive Darstellung der statistischen Mechanik des Gleichgewichts basierend auf einer einzigen Hypothese – der Form der mikrokanonischen Dichtematrix – sowie der Behandlung der wichtigsten Elemente von Nichtgleich¨ gewichtsph¨ anomenen. Uber die Grundlagen hinaus wird versucht, die Breite und Vielfalt der Anwendungen der statistischen Mechanik zu demonstrieren. Es werden auch modernere Gebiete wie Renormierungsgruppentheorie, Perkolation, stochastische Bewegungsgleichungen und deren Anwendungen in der kritischen Dynamik besprochen. Es wird Wert auf eine gestraffte Darstellung gelegt, die dennoch außer Kenntnis der Quantenmechanik keine weiteren Hilfsmittel ben¨ otigt. Die Verst¨ andlichkeit wird gew¨ahrleistet durch die Angabe aller mathematischen Schritte und ausf¨ uhrliche und vollst¨andige Durchf¨ uhrung der Zwischenrechnungen. Am Ende jedes Kapitels sind ei¨ ne Reihe von Ubungsaufgaben angegeben. Teilabschnitte, die bei der ersten Lekt¨ ure u onnen, sind mit einem Stern gekennzeichnet. ¨ bergangen werden k¨ Nebenrechnungen und Bemerkungen, die f¨ ur das Verst¨andnis nicht entscheidend sind, werden in Kleindruck dargestellt. Wo es hilfreich erscheint, werden Zitate angegeben, die keineswegs vollst¨ andig sind, aber zur weiteren Lekt¨ ure anregen sollen. Am Ende der fortgeschritteneren Kapitel befindet sich eine Liste von Lehrb¨ uchern. Im ersten Kapitel werden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und Eigenschaften von Verteilungsfunktionen und Dichtematritzen dargestellt. In Kapitel 2 wird das mikrokanonische Ensemble und davon ausgehend grundlegende Begriffe wie Entropie, Druck und Temperatur eingef¨ uhrt. Daran anschließend werden die Dichtematrizen f¨ ur das kanonische und das großkanonische Ensemble abgeleitet. Das dritte Kapitel ist der Thermodynamik gewidmet. Hier wird der u ¨ bliche Stoff (thermodynamische Potentiale, Haupts¨ atze, Kreisprozesse, etc.) mit besonderem Augenmerk auf die Theorie der Phasen¨ uberg¨ ange, Mischungen und Grenzgebiete zur physikalischen Chemie behandelt. Kapitel 4 befaßt sich mit der statistischen Mechanik von idealen Quantensystemen, u. a. Bose-Einstein-Kondensation, Strahlungsfeld, Suprafluidit¨ at. Im Kapitel 5 werden reale Gase und Fl¨ ussigkeiten (innere Freiheitsgrade, van der Waals Gleichung, Mischungen) behandelt. Kapitel 6 ist den Erscheinungen des Magnetismus, u. a. magnetischen Phasen¨ uberg¨angen,

X

Vorwort

gewidmet. Dar¨ uber hinaus werden damit verwandte Ph¨anomene, wie z. B. die Gummielastizit¨ at, dargestellt. Kapitel 7 ist der Theorie der Phasen¨ uberg¨ange ¨ und kritischen Ph¨ anomenen gewidmet, wobei nach einem allgemeinen Uberblick die Grundz¨ uge der Renormierungsgruppentheorie dargestellt werden. Außerdem wird die Ginzburg-Landau- Theorie eingef¨ uhrt, und als ein den kritischen Ph¨ anomenen verwandtes Gebiet die Perkolation besprochen. Die restlichen drei Kapitel handeln von Nichtgleichgewichtsvorg¨angen, das sind zun¨ achst Brownsche Bewegung, Langevin- und Fokker-Planck-Gleichung und deren Anwendungen, sowie die Theorie der Boltzmann-Gleichung und daraus das H-Theorem und hydrodynamische Gleichungen. Im letzten Kapitel, u ¨ ber ¨ Irreversibilit¨ at, werden grunds¨ atzliche Uberlegungen u ¨ ber deren Zustande¨ kommen und den Ubergang ins Gleichgewicht angestellt. In den Anh¨angen wird u. a. der dritte Hauptsatz und die Herleitung der klassischen Verteilungsfunktion aus der Quantenstatistik dargestellt und die mikroskopische Herleitung hydrodynamischer Gleichungen. Diese ist nur deshalb in den Anhang verschoben, weil sie Methoden aus der fortgeschrittenen Quantenmechanik ben¨ utzt, die u ¨ ber den Rahmen des Buches hinausgehen, und auch um den Gedankenfluß von Kapitel 10 nicht zu unterbrechen. Das Buch wird Studenten der Physik und verwandter Fachgebiete ab dem 5. oder 6. Semester empfohlen, und Teile daraus k¨onnen m¨oglicherweise auch von Lehrenden nutzbringend verwendet werden. Dem Studierenden wird empfohlen, zun¨ achst Abschnitte mit Stern oder Kleindruck zu u ¨ bergehen, um so an den essentiellen Kern des Gebietes zu gelangen. Dieses Buch ist aus Vorlesungen, die der Autor wiederholt an der Johannes Kepler Universtit¨ at Linz und an der Technischen Universit¨at M¨ unchen gehalten hat, entstanden. Am Schreiben des Manuskripts, am Lesen der Korrekturen haben viele Mitarbeiter mitgewirkt: Frau I. Wefers, Frau E. J¨org-M¨ uller, die Herren M. Hummel, A. Vilfan, J. Wilhelm, K. Schenk, S. Clar, P. Maier, St. Fiedler, B. Kaufmann, M. Bulenda, K. Kroy, H. Schinz, A. Wonhas. Herr W. Gasser hat das gesamte Manuskript mehrfach gelesen und zahlreiche Korrekturvorschl¨ age gemacht. Ratschl¨ age meiner fr¨ uheren Mitarbeiter, der Herren E. Frey und U. T¨ auber, waren ebenfalls sehr wertvoll. Ihnen und allen anderen Mitarbeitern, deren Hilfe wichtig war, sowie stellvertretend f¨ ur den Springer-Verlag Herrn Dr. H.J. K¨ olsch sei an dieser Stelle herzlichst gedankt.

M¨ unchen, Dezember 1999

F. Schwabl

Inhaltsverzeichnis

1.

2.

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exkurs u ¨ber Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Wahrscheinlichkeitsdichte, charakteristische Funktion . 1.2.2 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ensemble in der klassischen Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Phasenraum, Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Liouville-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Dichtematrix f¨ ur reine und gemischte Gesamtheiten . . . 1.4.2 Von Neumann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 1.5 Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 1.5.1 Binomial- und Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 1.5.2 Gemischte Gesamtheiten und Dichtematrix von Teilsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 4 7 9 9 11 14 14 15 17 17

Gleichgewichtsensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mikrokanonisches Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Mikrokanonische Verteilungsfunktion und Dichtematrix 2.2.2 Klassisches ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 2.2.3 Quantenmechanische harmonische Oszillatoren und Spin-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Allgemeine Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Extremaleigenschaft der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Entropie im mikrokanonischen Ensemble . . . . . . . . . . . . 2.4 Temperatur und Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Systeme im Kontakt, Energieverteilungsfunktion, Definition der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Zur Sch¨ arfe von Verteilungsfunktionen von makroskopischen Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.4.3 Außere Parameter, Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 26 30

19 21

33 35 35 36 37 38 38 41 43

XII

3.

Inhaltsverzeichnis

2.5 Eigenschaften einiger nicht wechselwirkender Systeme . . . . . . . 2.5.1 Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 2.5.2 Nicht wechselwirkende quantenmechanische harmonische Oszillatoren und Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Kanonisches Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Beispiele: Maxwell-Verteilung und barometrische H¨ ohenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Entropie des kanonischen Ensembles und deren Extremalit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.6.4 Virialsatz und Aquipartitionstheorem (Gleichverteilungssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Thermodynamische Gr¨ oßen im kanonischen Ensemble . 2.6.6 Weitere Eigenschaften der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Großkanonisches Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 System mit Teilchenaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Großkanonische Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Thermodynamische Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Großkanonisches Zustandsintegral f¨ ur das klassische ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 2.7.5 Großkanonische Dichtematrix in Zweiter Quantisierung Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 46

Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Potentiale und Haupts¨ atze der Gleichgewichtsthermodynamik 3.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Legendre-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Gibbs-Duhem-Relation in homogenen Systemen . . . . . . 3.2 Ableitungen thermodynamischer Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Integrabilit¨ at und Maxwell-Relationen . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Jacobi-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fluktuationen und thermodynamische Ungleichungen . . . . . . . 3.3.1 Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Absolute Temperatur und empirische Temperaturen . . . . . . . . 3.5 Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Begriffe der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Irreversible Expansion eines Gases, Gay-Lussac-Versuch 3.5.3 Statistische Begr¨ undung der Irreversibilit¨at . . . . . . . . . . 3.5.4 Reversible Vorg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 Adiabatengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Erster und zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 75 79 81 82 82 84 87 88 90 90 91 91 93 93 95 97 98 103 104

48 50 50 53 54 54 58 60 63 63 64 65 67 69 70

Inhaltsverzeichnis

3.6.1 Der erste und zweite Hauptsatz f¨ ur reversible und irreversible Vorg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 3.6.2 Historische Formulierungen der Haupts¨atze und andere Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Beispiele und Erg¨ anzungen zum zweiten Hauptsatz . . . 3.6.4 Extremaleigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 3.6.5 Thermodynamische Ungleichungen aus der Maximalit¨ at der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Carnot-Prozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Allgemeiner Kreisprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Phasen von Einstoffsystemen (einkomponentigen Systemen) . . 3.8.1 Phasengrenzkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Clausius-Clapeyron-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3 Konvexit¨ at der freien Energie und Konkavit¨at der freien Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.4 Tripelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen . . . . . . . . . . . 3.9.1 Verallgemeinerung der thermodynamischen Potentiale . 3.9.2 Gibbs-Phasenregel und Phasengleichgewicht . . . . . . . . . 3.9.3 Chemische Reaktionen, Thermodynamisches Gleichgewicht und Massenwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . ∗ 3.9.4 Dampfdruckerh¨ ohung durch Fremdgas und durch Oberfl¨ achenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.

Ideale Quanten-Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Großkanonisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Klassischer Grenzfall z = eµ/kT
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Grundzustand, T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Grenzfall starker Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 4.3.3 Reale Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Bose-Einstein-Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Photonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Eigenschaften von Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Die kanonische Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Das Plancksche Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 4.5.4 Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 4.5.5 Teilchenzahl–Fluktuationen von Fermionen und Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Phononen in Festk¨ orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Harmonischer Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Thermodynamische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII

104 108 110 120 123 125 125 126 129 130 131 135 140 142 145 145 147 151 157 161 169 169 175 177 177 178 185 190 198 198 199 201 204 206 207 207 209

XIV

Inhaltsverzeichnis ∗

4.6.3 Anharmonische Effekte, Mie-Gr¨ uneisen-Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Phononen und Rotonen in He II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Die Anregungen (Quasiteilchen) von He II . . . . . . . . . . . 4.7.2 Thermische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 4.7.3 Suprafluidit¨ at, Zwei-Fl¨ ussigkeitsmodell . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.

6.

212 214 214 216 218 222

Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Ideales Molek¨ ul-Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Hamilton-Operator und Zustandssumme . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Rotationsanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Schwingungsanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 5.1.4 Einfluß des Kernspins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 5.2 Gemisch von idealen Molek¨ ulgasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Virialentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Klassische N¨ aherung f¨ ur den zweiten Virialkoeffizienten 5.3.3 Quantenkorrekturen zu den Virialkoeffizienten . . . . . . . 5.4 Van der Waals-Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Maxwell-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Gesetz der korrespondierenden Zust¨ande . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Die Umgebung des kritischen Punktes . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Verd¨ unnte L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Zustandssumme und chemische Potentiale . . . . . . . . . . . 5.5.2 Osmotischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 5.5.3 L¨ osung von Wasserstoff in Metallen (Nb, Pd,. . .) . . . . . 5.5.4 Gefrierpunktserniedrigung, Siedepunktserh¨ohung und Dampfdruckerniedrigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227 227 227 229 232 234 236 239 239 240 244 244 244 249 253 254 260 260 264 265

Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Dichtematrix, Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Hamilton-Operator und kanonische Dichtematrix . . . . . 6.1.2 Thermodynamische Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Erg¨ anzungen und Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Diamagnetismus von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Paramagnetismus ungekoppelter magnetischer Momente . . . . . 6.4 Pauli-Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Austauschwechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Molekularfeldn¨ aherung f¨ ur das Ising-Modell . . . . . . . . . . 6.5.3 Korrelationsfunktion und Suszeptibilit¨at . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Ornstein–Zernike Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . .

271 271 271 275 278 281 282 287 290 290 292 303 304

266 269

Inhaltsverzeichnis ∗

6.5.5 Kontinuumsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Dipolwechselwirkung, Formabh¨ angigkeit, innere und ¨ außere Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Thermodynamik und Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Statistisch-mechanische Begr¨ undung . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Dom¨ anen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Anwendungen auf verwandte Ph¨ anomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Polymere, Gummielastizit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Negative Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 6.7.3 Schmelzkurve von He3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV

308

∗

7.

Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Phasen¨ uberg¨ ange, kritische Ph¨ anomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Symmetriebrechung, Ehrenfestsche Klassifizierung . . . . ∗ 7.1.2 Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ ange und Analogien . . . . . . . . 7.1.3 Universalit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Statische Skalenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Thermodynamische Gr¨ oßen, kritische Exponenten . . . . 7.2.2 Skalenhypothese f¨ ur die Korrelationsfunktion . . . . . . . . 7.3 Renormierungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Eindimensionales Ising-Modell, Dezimierungstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Zweidimensionales Ising-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Skalengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 7.3.5 Allgemeine Ortsraum RG-Transformationen . . . . . . . . . ∗ 7.4 Ginzburg-Landau-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Ginzburg-Landau-Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Ginzburg-Landau-N¨ aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Fluktuationen in Gaußscher N¨ aherung . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Kontinuierliche Symmetrie, Phasen¨ uberg¨ ange erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 7.4.5 Impulsschalen-Renormierungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 7.5 Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Das Ph¨ anomen der Perkolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Theoretische Beschreibung der Perkolation . . . . . . . . . . 7.5.3 Perkolation in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4 Bethe-Gitter (Cayley-Baum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.5 Allgemeine Skalentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.6 Renormierungsgruppentheorie im Ortsraum . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 311 312 315 319 321 321 324 327 329

335 335 335 337 343 344 344 348 350 350 351 355 361 364 367 367 370 372 379 386 394 394 398 399 400 405 408 411

XVI

8.

9.

Inhaltsverzeichnis

Brownsche Bewegung, Stochastische Bewegungsgleichungen und Fokker-Planck-Gleichungen . . . 8.1 Langevin-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Freie Langevin-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Langevin-Gleichung in einem Kraftfeld . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung aus der Langevin-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur die Langevin-Gleichung (8.1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Herleitung der Smoluchowski-Gleichung f¨ ur die u ampfte Langevin-Gleichung (8.1.23) . . . . . ¨ berd¨ 8.2.3 Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur die Langevin-Gleichung (8.1.22b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Beispiele und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Integration der Fokker-Planck-Gleichung (8.2.6) . . . . . . 8.3.2 Chemische Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Kritische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 8.3.4 Smoluchowski-Gleichung und supersymmetrische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Herleitung der Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 H-Theorem und Irreversibilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 9.3.2 Verhalten der Boltzmann-Gleichung unter Zeitumkehr . 9.3.3 Stoßinvarianten und lokale Maxwell-Verteilung . . . . . . . 9.3.4 Erhaltungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5 Hydrodynamische Gleichungen im lokalen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Eigenfunktionen von L und Entwicklung der L¨osungen der Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Hydrodynamischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.5 L¨ osungen der hydrodynamischen Gleichungen . . . . . . . . ∗ 9.5 Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Relaxationszeitn¨ aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Berechnung von W (v1 , v2 ; v1 , v2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

417 417 417 422 424 424 426 428 428 428 431 433 438 441 445 445 446 451 451 454 455 457 460 464 464 465 466 469 474 476 476 477 484

Inhaltsverzeichnis

XVII

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Wiederkehrzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Der Ursprung makroskopischer irreversibler Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Mikroskopisches Modell zur Brownschen Bewegung . . . 10.3.2 Mikroskopische zeitumkehrbare und makroskopische irreversible Bewegungsgleichungen, Hydrodynamik . . . . ∗ 10.4 Master-Gleichung und Irreversibilit¨ at in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Wahrscheinlichkeit und Phasenraumvolumen . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 10.5.1 Wahrscheinlichkeit und Zeitabstand großer Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Ergodenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Gibbssche und Boltzmannsche Entropie und deren Zeitverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Zeitableitung der Gibbsschen Entropie . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2 Boltzmann-Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Irreversibilit¨ at und Zeitumkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1 Expansion eines Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.2 Beschreibung des Expansionsexperiments im µ-Raum . 10.7.3 Einfluß ¨ außerer St¨ orungen auf die Trajektorien der Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 10.8 Entropietod oder geordnete Strukturen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Nernstsches Theorem (3. Hauptsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Vorbemerkungen zur historischen Entwicklung des Nernstschen Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Nernstsches Theorem und thermodynamische Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Restentropie, Metastabilit¨ at etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Klassischer Grenzfall und Quantenkorrekturen . . . . . . . . . . . . . B.1 Klassischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Berechnung der quantenmechanischen Korrekturen . . . B.3 Quantenkorrekturen zum zweiten Virialkoeffizienten B(T ) . . . . . . . . . . . . . . . C St¨ orungsentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Riemannsche ζ-Funktion und Bernoulli-Zahlen . . . . . . . . . . . . . E Herleitung des Ginzburg-Landau-Funktionals . . . . . . . . . . . . . . F Transfermatrix-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G Integrale mit der Maxwell-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

489 489 491 494 494 500 501 504 504 507 508 508 509 510 510 515 516 518 520 525 525 525 526 528 533 533 538 543 548 550 551 558 560 561

XVIII Inhaltsverzeichnis

H.1 H.2 H.3

I

Hydrodynamische Gleichungen, ph¨anomenologisch . . . . Kubo-Relaxationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mikroskopische Ableitung hydrodynamischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheiten, Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

562 563 565 570

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

1. Grundlagen

1.1 Einleitung Die statistische Mechanik behandelt die physikalischen Eigenschaften von Systemen, die aus sehr vielen Teilchen bestehen, d.h. Vielteilchensystemen, aufgrund der mikroskopischen Naturgesetze. Beispiele derartiger Vielteilchensysteme sind Gase, Fl¨ ussigkeiten, Festk¨ orper in ihren verschiedenen Formen (kristallin, amorph), fl¨ ussige Kristalle, biologische Systeme, Sternmaterie, das Strahlungsfeld etc. Zu den interessierenden physikalischen Eigenschaften geh¨ oren Gleichgewichtseigenschaften (spezifische W¨arme, thermische Ausdehnung, Elastizit¨ atsmodul, magnetische Suszeptibilit¨at, etc.) und Transporteigenschaften (W¨ armeleitf¨ ahigkeit, elektrische Leitf¨ahigkeit, etc.). Schon lange vor ihrer Fundierung durch die statistische Mechanik wurde die Thermodynamik entwickelt, die allgemeine Beziehungen zwischen den makroskopischen Parametern des Systems lieferte. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik wurde von Robert Mayer 1842 formuliert; dieser besagt, daß sich der Energieinhalt eines K¨ orpers aus der Summe der an ihm geleisteten Arbeit und der ihm zugef¨ uhrten W¨ armemenge zusammensetzt: dE = δQ + δA .

(1.1.1)

Daß W¨ arme eine Form von Energie ist oder pr¨ aziser, daß Energie in Form von W¨ arme u ¨ bertragen werden kann, wurde von Joule in den Jahren 1843–1849 experimentell u uft (Reibungsversuche). ¨ berpr¨ Der zweite Hauptsatz wurde von Clausius und von Lord Kelvin (W. Thomson1 ) 1850 aufgestellt. Dieser geht von der Feststellung aus, daß ein und derselbe Zustand eines thermodynamischen Systems durch unterschiedliche Aufteilung der Energiezufuhr in W¨ arme und Arbeitsanteil erreicht werden kann, d.h. W¨ arme ist keine Zustandsgr¨ oße“ (Zustandsgr¨oße = physikalische ” Gr¨ oße, die durch den Zustand des Systems bestimmt ist; sp¨ater wird dieser Begriff mathematisch pr¨ azise festgelegt). Die wesentliche Erkenntnis des zweiten Hauptsatzes war, daß es eine Zustandsgr¨ oße S, die Entropie, gibt, die f¨ ur reversible Ver¨ anderungen mit der W¨ armezufuhr durch 1

Geb. W. Thomson, der Name wurde sp¨ ater in Zusammenhang mit der Adelserhebung f¨ ur hervorragende wissenschaftliche Verdienste angenommen.

2

1. Grundlagen

δQ = T dS

(1.1.2)

zusammenh¨ angt, w¨ ahrend f¨ ur irreversible Vorg¨ ange δQ < T dS ist. Der zweite Hauptsatz ist identisch mit der Feststellung, daß ein perpetuum mobile 2. Art unm¨ oglich ist (p.m. 2. Art = periodisch arbeitende Maschine, die nur ein W¨ armereservoir abk¨ uhlt und Arbeit leistet). Die atomistische Fundierung der Thermodynamik wurde eingeleitet durch die kinetische Theorie verd¨ unnter Gase. Die von Maxwell (1831–1879) gefundene Geschwindigkeitsverteilung erlaubt die Ableitung der kalorischen und thermischen Zustandsgleichung von idealen Gasen. Boltzmann (1844–1906) stellte im Jahre 1874 die nach ihm benannte grundlegende Transportgleichung auf. Er leitete daraus das Anwachsen der Entropie (H-Theorem) beim Streben ins Gleichgewicht her. Weiter erkannte Boltzmann, daß die Entropie mit der Zahl der Zust¨ ande W (E, V, . . .), die mit den makroskopischen Angaben der Energie E, des Volumens V, . . . vertr¨ aglich sind, durch S ∝ log W (E, V, . . .)

(1.1.3)

zusammenh¨ angt.2 Es ist bemerkenswert, daß die atomistischen Grundlagen der Theorie der Gase zu einer Zeit geschaffen wurden, in der der atomare Aufbau der Materie nicht nur experimentell nicht gesichert war, sondern von angesehenen Physikern wie Mach (1828–1916) sogar zugunsten von Kontinuumstheorien erheblich angezweifelt wurde. Die Beschreibung makroskopischer Systeme durch statistische Ensembles wurde von Boltzmann durch die Ergodenhypothese begr¨ undet. Grundlegende Beitr¨ age zur Thermodynamik und statistischen Theorie der makroskopischen Systeme erfolgten von Gibbs (1839–1903) in den Jahren 1870–1900. Erst durch die Quantentheorie (1925) war die korrekte Theorie im atomaren Bereich geschaffen. Im Unterschied zur klassischen statistischen Mechanik nennt man die auf der Quantentheorie basierende statistische Mechanik auch Quantenstatistik. Viele Ph¨ anomene wie z.B. elektronische Eigenschaften von Festk¨ orpern, Supraleitung, Suprafluidit¨ at, Magnetismus, konnten erst auf der Basis der Quantenstatistik erkl¨ art werden. Auch heute geh¨ ort die statistische Mechanik noch zu den aktivsten Gebieten der theoretischen Physik: Theorie der Phasen¨ uberg¨ange, Theorie der Fl¨ ussigkeiten, ungeordnete Festk¨ orper, Polymere, Membrane, biologische Systeme, granulare Medien, Oberfl¨ achen, Grenzfl¨ achen, Theorie der irreversiblen Prozesse, Systeme weit entfernt vom Gleichgewicht, nichtlineare Prozesse, Strukturbildung in offenen Systemen, biologische Vorg¨ange, und immer noch Magnetismus und Supraleitung. Nach diesen Bemerkungen u ¨ber den Problemkreis der statistischen Mechanik und u ¨ber deren historische Entwicklung wollen wir nun einige charakteristische Probleme, die sich in der Theorie makroskopischer Systeme erge2

Planck erg¨ anzte diese Formel zu S = k log W , wodurch die Ableitung gleich der absoluten Temperatur ist.


∂S −1 ∂E

1.1 Einleitung

3

Abb. 1.1. Abstand der Energieniveaus f¨ ur große Teilchenzahl N .

ben, aufzeigen. Konventionelle makroskopische Systeme wie Gase, Fl¨ ussigkeiten und Festk¨ orper bei Zimmertemperatur bestehen aus 1019 – 1023 Teilchen urlich pro cm3 . Die Zahl der quantenmechanischen Eigenzust¨ande w¨achst nat¨ mit der Teilchenzahl. Wie wir sp¨ ater sehen werden, ist der Abstand der Energieniveaus von der Gr¨ oße e−N , d.h. die Energieniveaus liegen so dicht, daß schon die kleinste St¨ orung das System von einem Zustand in einen anderen u uhren kann, der faktisch die gleiche Energie besitzt. Soll man nun als ¨berf¨ Ziel die Berechnung des Bewegungsablaufs der 3N Koordinaten in der klassischen Physik anstreben, oder der Zeitabh¨ angigkeit der Wellenfunktion in der Quantenmechanik, um daraus Zeitmittelwerte berechnen zu k¨onnen? Beide derartige Unterfangen w¨ aren undurchf¨ uhrbar und sind auch u ussig. Man ¨berfl¨ kann weder Newtonsche Gleichungen noch die Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur 1019 23 – 10 Teilchen l¨ osen. Und selbst wenn wir die L¨ osung h¨atten, w¨ urden wir nicht alle Koordinaten und Geschwindigkeiten oder Quantenzahlen im quantenmechanischen Fall kennen, um die Anfangswerte festzulegen. Außerdem spielt die detaillierte Zeitentwicklung f¨ ur die interessierenden, makroskopischen Eigenschaften keine Rolle. Dar¨ uber hinaus f¨ uhrt auch die schw¨achste Wechselwirkung (¨ außere St¨ orung), die auch bei der besten Isolierung von der ¨ Umgebung immer noch vorhanden ist, zur Anderung des mikroskopischen Zustandes bei gleichbleibenden makroskopischen Eigenschaften. Es sind f¨ ur die weitere Diskussion zwei Begriffe zu definieren. Mikrozustand : Dieser ist definiert durch die Wellenfunktion des Systems in der Quantenmechanik, bzw. durch alle Koordinaten und Impulse des Systems in der klassischen Physik. Makrozustand : Dieser wird charakterisiert durch einige makroskopische Angaben (Energie, Volumen, . . .). ¨ Aus den vorhergehenden Uberlegungen folgt, daß der Zustand eines makroskopischen Systems statistisch beschrieben werden muß. Der Umstand, daß das System w¨ ahrend des Meßvorganges eine Verteilung von Mikrozust¨anden durchl¨ auft, erfordert, daß der Makrozustand durch Angabe der Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten bestimmter Mikrozust¨ ande zu charakterisieren ist. Die Gesamtheit der mit ihrer H¨ aufigkeit gewichteten Mikrozust¨ande, die einen Makrozustand repr¨ asentieren, nennt man ein statistisches Ensemble. Statt Ensemble ist auch der Ausdruck statistische Gesamtheit oder Gesamtheit gebr¨ auchlich.

4

1. Grundlagen

Obwohl der Zustand eines makroskopischen Systems durch ein statistisches Ensemble charakterisiert wird, sind die Vorhersagen f¨ ur makroskopische Gr¨ oßen scharf. Mittelwerte und Schwankungsquadrate sind beide proportional zur Teilchenzahl N . Die relative Schwankung, das Verh¨altnis von Schwankung zu Mittelwert, geht im thermodynamischen Grenzfall gegen Null (siehe (1.2.21c)).

1.2 Exkurs u ¨ ber Wahrscheinlichkeitstheorie Wir wollen an dieser Stelle einige grundlegende mathematische Definitionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammenstellen, um dann den zentralen Grenzwertsatz abzuleiten.3 1.2.1 Wahrscheinlichkeitsdichte, charakteristische Funktion Zun¨ achst m¨ ussen wir den Begriff der Zufallsvariable erl¨autern. Darunter versteht man eine Gr¨ oße X, die Werte x abh¨ angig von den Elementen e einer Ereignismenge“ E annehmen kann. Bei jeder einzelnen Beobachtung steht ” der Wert von X nicht fest, sondern es ist lediglich die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten eines der m¨ oglichen Ergebnisse (Ereignisse) aus E bekannt. So ist bei einem idealen W¨ urfel die Zufallsvariable die Augenzahl, die Werte von 1 bis 6 annehmen kann, wobei jedes dieser Ereignisse die Wahrscheinlichkeit 1/6 besitzt. H¨ atten wir die genaue Kenntnis der Anfangslage und der durch den Wurf ausge¨ ubten Kr¨ afte, w¨ are das Ergebnis des Wurfes aus der klassischen Mechanik berechenbar. In Unkenntnis derartiger detaillierter Angaben kann man nur die oben genannte Wahrscheinlichkeitsaussage treffen. Sei e ∈ E ein Ereignis aus der Menge E und Pe die zugeh¨orige Wahrscheinlichkeit, dann ist bei einer großen Zahl N von Versuchen die Anzahl Ne , mit der das Ergebnis e auftritt, durch limN →∞ NNe = Pe mit Pe verkn¨ upft. Es sei X eine Zufallsvariable. Die von X angenommenen Werte x seien kontinuierlich verteilt, und die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen sei w(x). Das bedeutet, w(x)dx ist die Wahrscheinlichkeit, daß X einen Wert im Intervall [x, x + dx] annimmt. Die gesamte Wahrscheinlichkeit ist eins, d.h., w(x) ist auf eins normiert:  +∞ dx w(x) = 1 . (1.2.1) −∞

Definition 1 : Der Mittelwert von X ist durch  +∞ X = dx w(x) x

(1.2.2)

−∞

3

Siehe z.B.: M. Fisz, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1980.

1.2 Exkurs u ¨ ber Wahrscheinlichkeitstheorie

5

definiert. Nun sei F (X) eine Funktion der Zufallsvariablen X; man nennt dann F (X) Zufallsfunktion. Deren Mittelwert ist entsprechend (1.2.2) durch  F (X) = dx w(x)F (x) (1.2.2 ) definiert.4 Besondere Bedeutung haben die Potenzen von X, durch deren Mittelwerte die Momente der Wahrscheinlichkeitsdichte eingef¨ uhrt werden. Definition 2 : Das n-te Moment der Wahrscheinlichkeitsdichte w(x) ist durch µn = X n 

(1.2.3)

definiert. (Das erste Moment von w(x) ist durch den Mittelwert gegeben). Definition 3 : Das Schwankungsquadrat ist definiert durch   
2  (∆x)2 = X 2 − X2 = X − X . (1.2.4) Definition 4 : Schließlich definieren wir die charakteristische Funktion:    χ(k) = dx e−ikx w(x) ≡ e−ikX . (1.2.5) Durch Umkehrung der Fouriertransformation kann w(x) durch χ(k) ausgedr¨ uckt werden  dk ikx w(x) = e χ(k) . (1.2.6) 2π Unter der Voraussetzung, daß alle Momente der Wahrscheinlichkeitsdichte w(x) existieren, folgt aus Gl. (1.2.5) folgende Darstellung der charakteristischen Funktion  (−ik)n χ(k) = X n  . (1.2.7) n! n Falls das Wertespektrum von X diskret ist, also die Werte ξ1 , ξ2 , . . . mit Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , . . . angenommen werden, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte von der Form w(x) = p1 δ(x − ξ1 ) + p2 δ(x − ξ2 ) + . . . .

(1.2.8)

H¨aufig wird die Wahrscheinlichkeitsdichte diskrete und kontinuierliche Bereiche haben. F¨ ur mehrdimensionale (mehrkomponentige) Systeme X = (X1 , X2 , . . .) seien die von X angenommenen Werte x = (x1 , x2 , . . .). Dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte w(x) und besitzt folgende Bedeutung: Es ist w(x)dx ≡ w(x)dx1 dx2 . . . dxN die Wahrscheinlichkeit, x im Hyperkubus x, x + dx zu finden. 4

Falls die Integrationsgrenzen nicht angegeben sind, erstreckt sich die Integration von −∞ bis +∞. Eine analoge Vereinfachung der Notation verwenden wir auch bei mehrdimensionalen Integralen.

6

1. Grundlagen

Definition 5 : Der Mittelwert einer Funktion F (X) der Zufallsvariablen X ist durch  F (X) = dx w(x)F (x) (1.2.9) definiert. Theorem: Wahrscheinlichkeitsdichte von Zufallsfunktionen Eine Funktion F der Zufallsvariablen X ist selbst eine Zufallsvariable, die Werte f entsprechend einer Wahrscheinlichkeitsdichte wF (f ) annimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte wF (f ) kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte w(x) berechnet werden. Wir behaupten: wF (f ) = δ(F (X) − f ) .

(1.2.10)

Beweis: Wir dr¨ ucken die Wahrscheinlichkeitsdichte wF (f ) durch ihre charakteristische Funktion aus  dk ikf  (−ik)n n wF (f ) = e F  . 2π n! n  Setzen wir f¨ ur F n  = dx w(x)F (x)n ein, ergibt sich   dk ikf wF (f ) = e dx w(x)e−ikF (x) 2π und nach Verwendung der Fourier-Darstellung der δ-Funktion δ(y) = schließlich  wF (f ) = dx w(x)δ(f − F (x)) = δ(F (X) − f ) ,



dk 2π

eiky

also (1.2.10). Definition 6 : F¨ ur mehrdimensionale Verteilungen definieren wir Korrelationen Kij = (Xi − Xi )(Xj − Xj )

(1.2.11)

der Zufallsvariablen Xi und Xj . Diese geben an, inwieweit Fluktuationen (Abweichungen vom Mittelwert) von Xi und Xj korreliert sind. Falls die Variable xi unabh¨ angig von den u ¨brigen auftritt, also die Wahrscheinlichkeitsdichte die Form w(x) = wi (xi )w ({xk , k = i}) hat, wobei w ({xk , k = i}) nicht von xi abh¨ angt, dann ist Kij = 0 f¨ ur j = i, also Xi und Xj unkorreliert.

1.2 Exkurs u ¨ ber Wahrscheinlichkeitstheorie

7

Im Spezialfall w(x) = w1 (x1 ) · · · wN (xN ) sind die stochastischen Variablen X1 , . . . , XN v¨ ollig unkorreliert. Sei Pn (x1 , . . . , xn−1 , xn ) die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn−1 , Xn . Dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur eine Untermenge dieser Zufallsvariablen durch Integration von Pn u ¨ ber den Wertebereich der u ¨ brigen Zufallsvariablen gegeben; z.B. ist die Wahrscheinlichkeitsdichte Pn−1 (x1 , . . . , xn−1 ) f¨ ur die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn−1  Pn−1 (x1 , . . . , xn−1 ) = dxn Pn (x1 , . . . , xn−1 , xn ) . Schließlich f¨ uhren wir noch den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit und der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichte ein. Definition 7: Sei Pn (x1 , . . . , xn ) die Wahrscheinlichkeit(sdichte). Die bedingte Wahrscheinlichkeit(sdichte) Pk|n−k (x1 , . . . , xk |xk+1 , . . . , xn ) ist definiert durch die Wahrscheinlichkeit(sdichte) von x1 , . . . , xk , wenn mit Sicherheit xk+1 , . . . , xn vorliegen. Es gilt Pk|n−k (x1 , . . . , xk |xk+1 , . . . , xn ) = wobei Pn−k (xk+1 , . . . , xn ) =



Pn (x1 , . . . , xn ) , Pn−k (xk+1 , . . . , xn )

(1.2.12)

dx1 . . . dxk Pn (x1 , . . . , xn ) .

Anmerkung zur bedingten Wahrscheinlichkeit: Formel (1.2.12) wird in der mathematischen Literatur meist als Definition eingef¨ uhrt, sie kann aber folgendermaßen deduziert werden, wenn man die Wahrscheinlichkeiten mit den statistischen H¨ aufigkeiten identifiziert. Pn (x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn ) bei festen xk+1 , . . . , xn legt die H¨ aufigkeit der x1 , . . . , xk bei festen xk+1 , . . . , xn fest. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die diesen H¨ aufigkeiten entspricht, ist deshalb proportional zu Pn (x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn ). Da dx1 . . . dxk Pn (x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn ) = Pn−k (xk+1 , . . . , xn ), ist die auf 1 normierte bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte Pk|n−k (x1 , . . . , xk |xk+1 , . . . , xn ) =

Pn (x1 , . . . , xn ) . Pn−k (xk+1 , . . . , xn )

1.2.2 Zentraler Grenzwertsatz Gegeben seien voneinander unabh¨ angige Zufallsgr¨ oßen X1 , X2 , . . . , XN , die durch gleiche aber unabh¨ angige Wahrscheinlichkeitsverteilungen w(x1 ), w(x2 ), . . . , w(xN ) charakterisiert seien. Der Mittelwert und das Schwankungsquadrat der X1 , . . . ,XN m¨ ogen existieren. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur die Summe Y = X1 + X2 + . . . + XN

(1.2.13)

8

1. Grundlagen

in der Grenze f¨ ur N → ∞. Es wird sich zeigen, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur Y durch eine Gauß-Verteilung gegeben ist. Anwendungsbeispiele f¨ ur diese Situation sind a) System von nicht wechselwirkenden Teilchen Xi = Energie des i-ten Teilchens, Y = Gesamtenergie des Systems b) Random Walk (Zufallsbewegung) Xi = Zuwachs beim i-ten Schritt,

Y = Position nach N Schritten.

Zur u ¨bersichtlichen Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte von Y ist es zweckm¨ aßig, die Zufallsvariable Z einzuf¨ uhren 
 √
 √ Z= Xi − X / N = Y − N X / N , (1.2.14) i

wo X ≡ X1  = . . . = XN  definiert ist. Nach (1.2.10) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte wZ (z) der Zufallsvariablen Z durch   x1 + . . . + xN √ √ wZ (z) = dx1 . . . dxN w(x1 ) . . . w(xN ) δ z − + N X N   √ −ik(x1 +...+xN ) dk ikz √ +ik NX N = e dx1 . . . dxN w(x1 ) . . . w(xN )e 2π

N  dk ikz+ik√N X  k = e χ √ (1.2.15) 2π N gegeben, wobei χ(q) die charakteristische Funktion zu w(x) ist. Die Darstellung (1.2.7) der charakteristischen Funktion durch die Momente der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man umformen, indem man den Logarithmus der Momentenentwicklung nimmt.

1 2 χ(q) = exp −iqX − q 2 (∆x) + . . . q 3 + . . . , 2

(1.2.16)

d.h. allgemein ∞ n   (−iq) χ(q) = exp Cn . n! n=1

(1.2.16 )

Im Unterschied zu (1.2.7) wird in (1.2.16 ) der Logarithmus der charakteristischen Funktion in eine Potenzreihe entwickelt. Die darin auftretenden Entwicklungskoeffizienten Cn heißen Kumulanten n-ter Ordnung. Sie sind durch die Momente (1.2.3) ausdr¨ uckbar; die drei niedrigsten haben die Gestalt: C1 = X = µ1   C2 = (∆x)2 = X 2 − X2 = µ2 − µ21     3 C3 = X 3 − 3 X 2 X + 2X = µ3 − 3µ1 µ2 + 2µ31 .

(1.2.17)

1.3 Ensemble in der klassischen Statistik

9

Die Relationen (1.2.17) zwischen den Kumulanten und Momenten erh¨alt man, indem man die Exponentialfunktion in (1.2.16) bzw. (1.2.16) entwickelt und die Koeffizienten der Taylor-Reihe mit (1.2.7) vergleicht. Einsetzen von (1.2.16) in (1.2.15) ergibt  dk ikz− 1 k2 (∆x)2 +...k3 N − 12 +... 2 wZ (z) = e . (1.2.18) 2π √ Daraus folgt unter Vernachl¨ assigung der Terme, die f¨ ur große N wie 1/ N oder st¨ arker gegen Null gehen
−1/2 − z2 2 wZ (z) = 2π(∆x)2 e 2(∆x)

(1.2.19)

und schließlich unter Verwendung von WY (y)dy = WZ (z)dz f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen Y (y−XN )2
2 −1/2 − 2(∆x)2 N wY (y) = 2πN (∆x) e .

(1.2.20)

Dies ist der zentrale Grenzwertsatz. wY (y) ist eine Gauß-Verteilung, obwohl keineswegs vorausgesetzt war, daß w(x) eine solche Verteilung war. Mittelwert:

Y  = N X

(1.2.21a)

Schwankungsbreite:

√ ∆y = ∆x N

(1.2.21b)

Relative Schwankung:

√ ∆y ∆x N ∆x √ . = = Y  N X X N

(1.2.21c)

Der zentrale Grenzwertsatz ist die mathematische Grundlage daf¨ ur, daß im Grenzfall großer N die Aussagen u ¨ ber Y scharf werden. Die relative Schwankung, das Verh¨ altnis von Schwankung zu Mittelwert, geht nach (1.2.21c) im Grenzfall großer N gegen Null.

1.3 Ensemble in der klassischen Statistik Obwohl die korrekte Theorie im atomistischen Bereich auf der Quantentheorie basiert und die klassische Statistik aus der Quantenstatistik abgeleitet werden kann, ist aus Gr¨ unden der anschaulichen Begriffsbildung zweckm¨aßig, die klassische Statistik schon jetzt parallel zur Quantenstatistik zu entwickeln. Wir werden sp¨ ater die klassische Verteilungsfunktion in ihrem G¨ ultigkeitsgebiet aus der Quantenstatistik herleiten. 1.3.1 Phasenraum, Verteilungsfunktion Wir betrachten N Teilchen in drei Dimensionen mit Koordinaten q1 , . . . , q3N und Impulsen p1 , . . . , p3N . Als Phasenraum, auch Γ -Raum genannt, definiert

10

1. Grundlagen

Abb. 1.2. Trajektorie im Phasenraum. Hier repr¨ asentieren q und p die 6N Koordinaten und Impulse q1 , . . . , q3N und p1 , . . . , p3N .

Abb. 1.3. Phasenbahn des eindimensionalen harmonischen Oszillators.

man den Raum, der durch die 6N Koordinaten und Impulse aufgespannt wird. Ein mikroskopischer Zustand wird durch einen Punkt im Γ -Raum und die Bewegung des Gesamtsystems durch eine Kurve im Phasenraum repr¨asentiert (Abb. 1.2), die man auch als Phasenbahn oder Phasentrajektorie bezeichnet. Als Beispiel betrachten wir den eindimensionalen harmonischen Oszillator q = q0 cos ωt p = −mq0 ω sin ωt ,

(1.3.1)

dessen Bahn im Phasenraum in Abb. 1.3 dargestellt ist. F¨ ur große N ist der Phasenraum ein hochdimensionaler Raum. In aller Regel reicht die Kenntnis u ¨ber ein derartiges System nicht aus, um seine Position im Phasenraum festzulegen. Wie schon im einleitenden Abschnitt 1.1 ausgef¨ uhrt wurde, wird ein Makrozustand, charakterisiert durch die makroskopischen Angaben wie Energie E, Volumen V , Teilchenzahl N etc., durch sehr viele Mikrozust¨ ande, d.h. durch sehr viele Punkte im Phasenraum, gleichermaßen realisiert. Anstatt nun einen einzelnen dieser Mikrozust¨ande willk¨ urlich herauszugreifen, betrachten wir stattdessen eine Gesamtheit, d.h. ein Ensemble von Systemen, die alle ein und denselben Makrozustand repr¨ asentieren, sich aber in allen m¨ oglichen dieser Mikrozust¨ande befinden. Die H¨ aufigkeit, mit der ein Punkt (q, p) ≡ (q1 , . . . , q3N , p1 , . . . , p3N ) zur Zeit t auftritt, wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(q, p, t) angegeben. Die Einf¨ uhrung dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ist nun keineswegs nur Ausdruck unserer Unkenntnis der detaillierten Form des Mikrozustandes, son-

1.3 Ensemble in der klassischen Statistik

11

dern hat vielmehr den folgenden physikalischen Hintergrund. Jedes realistische makroskopische System sp¨ urt auch bei bester Isolierung noch eine Wechselwirkung mit der Umgebung. Diese Wechselwirkung ist zwar so schwach, daß die makroskopischen Eigenschaften des Systems nicht ge¨andert werden, d.h. der Makrozustand ¨ andert sich nicht, sie f¨ uhrt aber dazu, daß das System immer wieder seinen Mikrozustand ¨ andert und somit beispielsweise w¨ahrend eines Meßvorganges eine Verteilung von Mikrozust¨anden durchl¨auft. Diese w¨ahrend eines kurzen Zeitintervalls durchlaufenen Zust¨ande werden zur Verteilung ρ(q, p) zusammengefaßt. Diese Verteilung beschreibt also nicht nur die statistischen Eigenschaften eines fiktiven Ensembles von sehr vielen Kopien des betrachteten Systems in den diversen Mikrozust¨anden, sondern das Einzelsystem. Statt bei zeitlichen Mittelwerten die sequentielle stochastische Folge dieser Mikrozust¨ ande zugrunde zu legen, betrachten wir die simultane Zeitentwicklung des Ensembles. Es wird die Hauptaufgabe des n¨achsten Kapitels sein, die bestimmten physikalischen Situationen entsprechenden Verteilungsfunktionen zu bestimmen. Daf¨ ur wird auch die Kenntnis der Bewegungsgleichung sehr wichtig sein, die wir im n¨ achsten Abschnitt herleiten werden. F¨ ur große N kennen wir nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ(q, p, t). Dabei ist ρ(q, p, t)dqdp ≡ ρ(q1 , . . . , q3N , p1 , . . . , p3N , t)

3N 

dqi dpi

(1.3.2)

i=1

gleich der Wahrscheinlichkeit zur Zeit t, ein System des Ensembles (oder das Einzelsystem im Laufe der Beobachtung) im Element dqdp in der Umgebung des Punktes q, p im Γ -Raum zu finden. Man nennt ρ(q, p, t) Verteilungsfunktion. Diese muß positiv, ρ(q, p, t) ≥ 0 und normierbar sein. Hier stehen q, p f¨ ur die Gesamtheit der Koordinaten und Impulse q1 , . . . , q3N , p1 , . . . , p3N . 1.3.2 Liouville-Gleichung Wir wollen nun den Zeitverlauf von ρ(q, p, t) ausgehend von der Anfangsverteilung W (q0 , p0 ) zur Zeit 0 aufgrund der Hamilton-Funktion H ≡ H(p, q) bestimmen. Dabei setzen wir das System als abgeschlossen voraus. Die folgenden Resultate sind aber auch g¨ ultig, wenn H ¨außere zeitabh¨angige Kr¨ afte enth¨ alt. Wir betrachten zun¨ achst ein System, dessen Koordinaten im Phasenraum zur Anfangszeit 0 q0 , p0 seien. Die zugeh¨orige Trajektorie im Phasenraum, die aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgt, sei q(t; q0 , p0 ), p(t; q0 , p0 ), wobei wir in den folgenden Darlegungen die Anfangswerte der Trajektorien explizit anf¨ uhren. F¨ ur eine einzelne Trajektorie ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Koordinaten q und Impulse p von der Gestalt

 δ q − q(t; q0 , p0 ) δ p − p(t; q0 , p0 ) . (1.3.3) Hier ist δ(k) ≡ δ(k1 ) . . . δ(k3N ). Die Anfangswerte sind jedoch im allgemeinen nicht scharf vorgegeben, sondern es liegt eine Verteilung W (q0 , p0 ) vor. In

12

1. Grundlagen

diesem Falle ergibt sich deshalb die Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum zur Zeit t durch Multiplikation von (1.3.3) mit W (q0 , p0 ) und Integration u ¨ ber die Anfangswerte  

 ρ(q, p, t) = dq0 dp0 W (q0 , p0 )δ q −q(t; q0 , p0 ) δ p−p(t; q0 , p0 ) . (1.3.3 ) Wir wollen eine Bewegungsgleichung f¨ ur ρ(q, p, t) ableiten. Dazu ben¨ utzen wir die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen q˙i =

∂H ∂H , p˙ i = − . ∂pi ∂qi

(1.3.4)

Die Geschwindigkeit im Phasenraum

 ∂H ∂H v = (q, ˙ p) ˙ = ,− ∂p ∂q erf¨ ullt div v ≡

 ∂ q˙i i

∂qi

+

∂ p˙ i ∂pi

 =

  ∂2H ∂2H − =0. ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

(1.3.4 )

(1.3.5)

D.h. die Bewegung im Phasenraum kann als Str¨ omung“ einer inkompressi” blen Fl¨ ussigkeit“ veranschaulicht werden. ” Durch Ableiten von (1.3.3 ) nach der Zeit findet man ∂ρ(q, p, t) ∂t 

  ∂ ∂ =− dq0 dp0 W (q0 , p0 ) q˙i (t; q0 , p0 ) + p˙i (t; q0 , p0 ) ∂qi ∂pi i

 × δ q − q(t; q0 , p0 ) δ p − p(t; q0 , p0 ) . (1.3.6) Dr¨ uckt man die Geschwindigkeit im Phasenraum durch (1.3.4) aus und verwendet die δ-Funktionen in (1.3.6), erh¨ alt man nach (1.3.3 ) und (1.3.5) die folgenden Darstellungen der Bewegungsgleichung f¨ ur ρ(q, p, t)

  ∂ρ ∂ ∂ =− ρq˙i + ρp˙ i ∂t ∂q ∂p i i i   ∂ρ ∂ρ =− q˙i + p˙ i (1.3.7) ∂qi ∂pi i   ∂ρ ∂H ∂ρ ∂H = − + . ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i Unter Verwendung der Poisson Klammern5 kann die letzte Zeile von Gl. (1.3.7) auch in der Form 5

  ∂u {u, v} = i ∂pi nicht einheitlich.

∂v ∂qi

−

∂u ∂v ∂qi ∂pi



; die Vorzeichenkonvention ist in der Literatur

1.3 Ensemble in der klassischen Statistik

∂ρ = − {H, ρ} ∂t

13

(1.3.8)

geschrieben werden. Dies ist die Liouville-Gleichung, die grundlegende Bewegungsgleichung f¨ ur die klassische Verteilungsfunktion ρ(q, p, t). Erg¨ anzungen: Wir besprechen noch ¨ aquivalente Darstellungen der Liouville-Gleichung und Folgerungen daraus. (i) Die erste Zeile der Gleichungskette (1.3.7) kann verk¨ urzt als Kontinuit¨ atsgleichung ∂ρ = − div vρ ∂t

(1.3.9)

geschrieben werden. Man kann sich die Bewegung des Ensembles im Phasenraum als die Str¨ omung einer Fl¨ ussigkeit veranschaulichen. Dann ist (1.3.9) die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Dichte und die Gleichung (1.3.5) besagt, daß die Fl¨ ussigkeit“ inkompressibel ist. ” (ii) Wir wollen nochmals die Analogie der Bewegung im Phasenraum zur Hydrodynamik einer Fl¨ ussigkeit aufgreifen. In unserer bisherigen Darstellung haben wir die Dichte an einem festen Punkt q, p des Γ -Raums betrachtet. Wir k¨ onnen aber auch die Bewegung vom Standpunkt eines mit der Str¨ omung“ mitbewegten Beobachters betrachten, d.h. nach dem Zeitverlauf ” von ρ(q(t), p(t), t) fragen, wobei wir in q(t) und p(t) der K¨ urze halber die Anfangskoordinaten q0 , p0 weglassen. Die zweite Zeile von Gl. (1.3.7) besagt  d
ρ q(t), p(t), t = 0 . dt

(1.3.10)

Die Verteilungsfunktion ist l¨ angs einer Phasenraumtrajektorie konstant. (iii) Wir untersuchen nun die Ver¨ anderung eines Volumelements dΓ im Phasenraum. Zur Anfangszeit sei in einem Volumelement dΓ0 eine gleichm¨aßig verteilte Zahl dN von Repr¨ asentanten des Ensembles vorhanden. Aufgrund der Bewegung im Phasenraum nehmen diese zur Zeit t ein Volumen dΓ ein. dN Das bedeutet, daß die Dichte ρ zur Anfangszeit dΓ ist, w¨ahrend sie zur Zeit t 0 dN durch dΓ gegeben ist. Aus (1.3.10) folgt die Gleichheit dieser Gr¨oßen, woraus (Abb. 1.4) die Gleichheit der Volumina dΓ = dΓ0

(1.3.11)

folgt. Gleichung (1.3.8) ist als Liouville-Theorem aus der Mechanik bekannt.6 Es wird dort mit Hilfe der Theorie kanonischer Transformationen aus der Jacobischen Determinante berechnet. Man kann in umgekehrter Richtung, ausgehend von (1.3.11), Gl. (1.3.10) und die Liouville-Gleichung (1.3.8) ableiten. 6

L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik I, Mechanik, Gl. (46.5), Akademie Verlag, Berlin, 1969

14

1. Grundlagen

Abb. 1.4. Zeitliche Ver¨ anderung eines Volumenelements im Phasenraum, bei gleichbleibendem Volumsinhalt.

1.4 Quantenstatistik 1.4.1 Dichtematrix f¨ ur reine und gemischte Gesamtheiten7 Die Dichtematrix ist von u ur den Aufbau der Quan¨ berragender Bedeutung f¨ tenstatistik; es sind daf¨ ur auch die Bezeichnungen statistischer Operator und Dichteoperator gebr¨ auchlich. Das System befinde sich im Zustand |ψ. Die Observable A hat in diesem Zustand den Mittelwert A = ψ| A |ψ .

(1.4.1)

Die Struktur des Mittelwertes legt es nahe, die Dichtematrix ρ = |ψ ψ|

(1.4.2)

zu definieren. Es gilt: A = Sp(ρA)

(1.4.3a)

Sp ρ = 1 , ρ2 = ρ , ρ† = ρ .

(1.4.3b,c,d)

Dabei lautet die Definition der Spur (Sp)  Sp X = n| X |n ,

(1.4.4)

n

wobei {|n} ein beliebiges vollst¨ andiges Orthonormalsystem ist. Wegen   Sp X = n|m m| X |n = m| X |n n|m n

=



m

m

n

m| X |m

m

ist die Spur unabh¨ angig von der Basis. 7

Siehe z.B. F. Schwabl, Quantenmechanik, 6., erw. Aufl., Springer, Heidelberg, 2002 (korrigierter Nachdruck 2005), Kap. 20. Im folgenden wird dieses Lehrbuch mit QM I zitiert.

1.4 Quantenstatistik Anmerkung: Beweise von (1.4.3a–c):   Sp ρA = n|ψ ψ| A |n = ψ| A |n n|ψ = ψ| A |ψ n

15

,

n 2

Sp ρ = Sp ρ11 = ψ| 11 |ψ = 1 , ρ = |ψ ψ|ψ ψ| = |ψ ψ| = ρ .

Wenn die untersuchten Systeme oder Objekte alle in ein und demselben Zustand |ψ sind, spricht man von einer reinen Gesamtheit oder man sagt, die Systeme befinden sich in einem reinen Zustand. Neben dem der Quantenmechanik inh¨ arenten, dem einzelnen Zustand innewohnenden statistischen Charakter, kann in einem Ensemble dar¨ uber hinaus noch eine statistische Verteilung von Zust¨ anden vorliegen. Liegt ein Ensemble mit unterschiedlichen Zust¨ anden vor, nennt man dieses eine gemischte Gesamtheit, ein Gemisch, oder man spricht von einem gemischten Zustand. Wir nehmen an, daß der Zustand |ψ1  mit der Wahrscheinlichkeit von p1 , der Zustand |ψi  mit der Wahrscheinlichkeit pi , u.s.w. realisiert ist, mit  pi = 1 . i

Der Mittelwert von A ist dann  A = pi ψi | A |ψi  .

(1.4.5)

i

Auch diesen Mittelwert kann man durch die nun folgendermaßen definierte Dichtematrix  ρ= pi |ψi  ψi | (1.4.6) i

darstellen. Es gilt: A = Sp ρA

(1.4.7a)

Sp ρ = 1 ρ = ρ 2

(1.4.7b) und Sp ρ < 1, falls pi = 0 ist f¨ ur mehr als ein i 2

†

ρ =ρ.

(1.4.7c) (1.4.7d)

Die Ableitungen f¨ ur diese Relationen und weitere Erg¨anzungen u ¨ber Dichtematritzen von gemischten Gesamtheiten werden in Abschnitt 1.5.2 dargestellt. 1.4.2 Von Neumann-Gleichung Aus der Schr¨odinger-Gleichung und ihrer Adjungierten i


∂ |ψ, t = H |ψ, t , ∂t

−i


∂ ψ, t| = ψ, t| H ∂t

16

1. Grundlagen

folgt i


  ∂ ρ = i
pi |ψ˙i  ψi | + |ψi  ψ˙ i | ∂t i  = pi (H |ψi  ψi | − |ψi  ψi | H) . i

Daraus ergibt sich ∂ i ρ = − [H, ρ] ∂t


(1.4.8)

die von Neumann-Gleichung, die das quantenmechanische Pendant der Liouville-Gleichung darstellt. Diese beschreibt die Zeitentwicklung der Dichtematrix im Schr¨ odinger-Bild. Sie gilt auch f¨ ur zeitabh¨angige HamiltonOperatoren H. Sie ist nicht zu verwechseln mit der Bewegungsgleichung f¨ ur Heisenberg-Operatoren, in der auf der rechten Seite ein positives Zeichen auftritt. Der Mittelwert einer Observablen A ist durch
 At = Sp ρ(t)A (1.4.9) gegeben, wobei sich ρ(t) durch L¨ osung der von Neumann-Gleichung (1.4.8) ergibt. Die Zeitabh¨ angigkeit des Mittelwertes wird durch den Index t hervorgehoben. Die von Neumann-Gleichung wird uns im n¨ achsten Kapitel bei der Aufstellung der Gleichgewichtsdichtematrizen wieder begegnen und ist nat¨ urlich f¨ ur alle zeitabh¨ angigen Vorg¨ ange von fundamentaler Bedeutung. ¨ Wir behandeln nun den Ubergang zur Heisenberg-Darstellung. Die formale L¨ osung der Schr¨ odinger-Gleichung ist von der Form |ψ(t) = U (t, t0 ) |ψ(t0 ) ,

(1.4.10)

wobei U (t, t0 ) ein unit¨ arer Operator und |ψ(t0 ) der Anfangszustand zur Zeit t0 ist. Daraus ergibt sich f¨ ur die Zeitentwicklung der Dichtematrix ρ(t) = U (t, t0 )ρ(t0 )U (t, t0 )† .

(1.4.11)

(F¨ ur zeitunabh¨ angiges H ist U (t, t0 ) = e−iH(t−t0 )/
.) Der Mittelwert einer Observablen A kann sowohl im Schr¨odinger-Bild wie auch im Heisenberg-Bild berechnet werden


 At = Sp ρ(t)A = Sp ρ(t0 )U (t, t0 )† AU (t, t0 ) = Sp ρ(t0 )AH (t) . (1.4.12) Hier ist AH (t) = U † (t, t0 )AU (t, t0 ) der Operator in der Heisenberg-Darstellung. Die Dichtematrix in der Heisenberg-Darstellung ρ(t0 ) ist zeitunabh¨ angig.

∗

∗ ∗

1.5 Erg¨ anzungen

17

1.5 Erg¨ anzungen

1.5.1 Binomial- und Poisson-Verteilung

Wir besprechen nun zwei h¨ aufig auftretende Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Gegeben sei ein Intervall der L¨ ange L, das in zwei Teilintervalle [0, a] und [a, L] aufgeteilt werde. Es werden nun N unterscheidbare Objekte (Teilchen) v¨ ollig stochastisch auf die beiden Teilintervalle verteilt, so daß die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens, sich im ersten oder zweiten Teilintervall zu
 befinden, durch La oder 1 − La gegeben ist. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß sich n Teilchen im Intervall [0, a] befinden, ist dann durch die Binomialverteilung

  a n  a N −n N wn = 1− (1.5.1) L L n
 gegeben,8 wobei der kombinatorische Faktor N oglichkeiten n die Zahl der M¨ gibt, aus N Objekten n auszuw¨ ahlen. Der Mittelwert von n ist n =

N  n=0

nwn =

a N L

und das Schwankungsquadrat a a 2 (∆n) = 1− N. L L

(1.5.2a)

(1.5.2b)


 Wir betrachten nun den Grenzfall L a. Zun¨ achst kann wn mit N n = N ·(N −1)···(N −n+1) in der Form n!

n 



 aN a N −n 1 1 n−1 wn = 1− 1· 1− ··· 1 − L L n! N N (1.5.3a)

N 1 n−1 1 · (1 − N ) · · · (1 − N ) n n 1 =n 1− a n n! N (1 − L )

geschrieben werden, wobei f¨ ur den Mittelwert (1.5.2a) die Abk¨ urzung n = aN L a eingef¨ uhrt wurde. Im Grenzfall L → 0, N → ∞ bei endlichem n geht der dritte Faktor in (1.5.3a) in e−n u ¨ ber und der letzte Faktor wird 1, so daß sich f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsverteilung n n −n e (1.5.3b) n! ergibt. Dies ist die Poisson-Verteilung, die schematisch in Abb. 1.5 dargestellt ist. Die Poisson-Verteilung hat folgende Eigenschaften wn =

8

Eine bestimmte Anordnung mit n Teilchen im Intervall a und N − n in L − a, z.B. erstes Teilchen in a, zweites Teilchen in L − a, drittes Teilchen in L − a,
n
N−n u.s.w. hat die Wahrscheinlichkeit La . Daraus erh¨ alt man wn durch 1 − Lb
 Multiplikation mit der Zahl der Anordnungen N . n

18

1. Grundlagen

Abb. 1.5. Poisson-Verteilung



wn = 1 , n = n , (∆n)2 = n .

(1.5.4a,b,c)

n

Die ersten beiden Relationen folgen unmittelbar aus der Herleitung der Poisson-Verteilung aus der Binomialverteilung. Sie werden in Aufgabe 1.5 zusammen mit 1.5.4c direkt aus 1.5.3b hergeleitet. Die relative Schwankung ist deshalb ∆n 1 = 1/2 . (1.5.5) n n 1 F¨ ur nicht sehr große Zahlen n, z.B. n = 100 ist ∆n = 10 und ∆n ur n = 10 . F¨ ∆n 20 10 −10 makroskopische Systeme, z.B. n = 10 ist ∆n = 10 und n = 10 . Die relative Schwankung wird ungeheuer klein. F¨ ur große n ist die Verteilung wn sehr scharf um n konzentriert. Die Wahrscheinlichkeit, daß sich u ¨ berhaupt 20 kein Teilchen im Teilsystem befindet, d.h. w0 = e−10 ist verschwindend klein. Die Teilchenzahl im Untersystem [0, a] ist zwar nicht fest, aber dennoch ist die relative Schwankung sehr klein f¨ ur makroskopische Untersysteme. In der untenstehenden Abbildung 1.6a) wird die Binomialverteilung f¨ ur a 3 N = 5 und L = 10 (und somit n = 1.5) dargestellt und mit der Poisson-

Abb. 1.6. Vergleich der Poisson-Verteilung mit der Binomialverteilung

∗

1.5 Erg¨ anzungen

19

3 Verteilung f¨ ur n = 1.5 verglichen, in b) das gleiche f¨ ur N ≡ 10, La = 20 (also wieder n = 1.5). Selbst bei diesen kleinen N approximiert die PoissonVerteilung die Binomialverteilung schon ziemlich gut. Schon bei N = 100 w¨ urden die graphischen Darstellungen der Binomial- und Poisson-Verteilung fast vollst¨ andig u ¨ bereinstimmen. ∗

1.5.2 Gemischte Gesamtheiten und Dichtematrix von Teilsystemen (i) Beweise von (1.4.7a–d)   Sp ρA = pi ψi | A |n n|ψi  = pi ψi | A |ψi  = A . n

i

i

Daraus folgt mit A = 1 auch (1.4.7b)  ρ2 = pi pj |ψi  ψi |ψj  ψj | = ρ . i

j

F¨ ur jedes |ψ ist der Erwartungswert von ρ  2 ψ| ρ |ψ = pi |ψ|ψi | ≥ 0 i

nicht negativ. Da ρ hermitesch ist, sind die Eigenwerte Pm von ρ positiv reell: ρ |m = Pm |m ρ=

∞ 

Pm |m m| ,

(1.5.6)

m=1 ∞ 

Pm ≥ 0,

m|m  = δmm .

Pm = 1,

m=1

  2 2 In dieser Basis ist ρ2 = m Pm |m m| und offensichtlich Sp ρ2 = m Pm < 1, wenn mehr als nur ein Zustand vorkommt. Man kann (1.4.7c) auch direkt aus (1.4.6) zeigen, wobei mindestens zwei verschiedene, aber nicht notwendigerweise orthogonale Zust¨ ande in (1.4.6) vorkommen m¨ ussen:  Sp ρ2 = pi pj ψi |ψj  ψj |n n|ψi  n

=

 i,j

i,j 2

pi pj |ψi |ψj |
0 (3.5.2b) ∂V E T bestimmt, also dS > 0. Außerdem wird keine W¨ arme mit der Umgebung ausgetauscht, also δQ = 0. Deshalb folgt hier zwischen der Entropie¨anderung und der zugef¨ uhrten W¨ armemenge die Ungleichung T dS > δQ .

(3.5.3)

Die aus der Gleichgewichtsthermodynamik berechneten Koeffizienten (3.5.2a, b) sind auf den Gay-Lussac-Versuch im gesamten Verlauf anwendbar, wenn der Prozeß quasistatisch gef¨ uhrt wird. Der Vorgang ist dennoch irreversibel! Durch Integration von (3.5.2a,b) erh¨ alt man die Temperatur- und Entropiedifferenz von End- und Anfangszustand. Das dabei erhaltene Ergebnis kann man im u ¨brigen auch auf den nichtquasistatischen irreversiblen Vorgang anwenden, da die beiden Endzust¨ ande gleich sind. Wir kommen auf den quasistatisch irreversiblen Gay-Lussac-Versuch nochmals in 3.6.3.6 zur¨ uck. 3.5.3 Statistische Begr¨ undung der Irreversibilit¨ at Wie irreversibel ist der Gay-Lussac-Vorgang? Um zu verstehen, weshalb der Gay-Lussac-Versuch irreversibel ist, betrachten wir den Fall, daß die Volumenvergr¨ oßerung δV die Ungleichung δV
V erf¨ ullt, wo V nun das Ausgangsvolumen bedeute (Siehe Abb. 3.5). Bei der Expansion von V auf V +δV a ¨ndert sich die Phasenraumoberfl¨ache von Ω(E, V ) auf Ω(E, V + δV ) und deshalb die Entropie von S(E, V ) auf S(E, V +δV ). Nachdem das Gas diese Expansion durchgef¨ uhrt hat, fragen wir uns, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das System nur in dem Teilvolumen V zu finden. Diese ist nach (1.3.2), (2.2.4) und (2.3.4) durch

98

3. Thermodynamik

Abb. 3.5. Zum Gay-Lussac-Versuch

 W (E, V ) =

dq dp δ(H − E) Ω(E, V ) = = N ! h3N Ω(E, V + δV ) Ω(E, V + δV )

(3.5.4)

V

= e−(S(E,V +δV )−S(E,V ))/k = = e−( ∂V )E δV /k = e− T δV /k = e− V ∂S

P

δV

N


1

gegeben, wobei in der letzten Umformung ein ideales Gas angenommen wurde. Wegen des Faktors N ≈ 1023 im Exponenten ist die Wahrscheinlichkeit, daß das System von selbst wieder in das Volumen V zur¨ uckkehrt, verschwindend klein. Allgemein gilt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, daß eine Einschr¨ankung (Zwangsbedingung Z) von selbst auftritt W (E, Z) = e−(S(E)−S(E,Z))/k .

(3.5.5)

Es ist S(E, Z)
S(E), da unter der Zwangsbedingung weniger Zust¨ande zug¨ anglich sind. Die Differenz S(E) − S(E, Z) ist makroskopisch; im Falle der Volumens¨ anderung war sie proportional zu N δV /V , und die Wahrschein¨ lichkeit W (E, Z) ∼ e−N also praktisch Null. Der Ubergang von einem Zustand mit der Zwangsbedingung Z in einen ohne diese Zwangsbedingung ist irreversibel, da die Wahrscheinlichkeit, daß das System von sich aus einen Zustand mit dieser Zwangsbedingung einnimmt, verschwindend klein ist. 3.5.4 Reversible Vorg¨ ange Wir betrachten im ersten Teilabschnitt die reversible isotherme und adiabatische Expansion von idealen Gasen, zur Erl¨ auterung der Reversibilit¨at und wegen der Bedeutung als Teilelemente in thermodynamischen Prozessen. 3.5.4.1 Charakteristische Beispiele: Reversible Expansion eines Gases Bei der reversiblen Expansion eines idealen Gases wird an einer Feder Arbeit vom expandierenden Gas geleistet und Energie in der Feder gespeichert (Abb. 3.6). Diese Energie kann danach wieder zur Kompression des Gases verwendet werden, also ist der Prozeß reversibel. Man kann diesen Prozeß, der als reversible Variante des Gay-Lussac-Versuches angesehen werden kann, isotherm oder adiabatisch f¨ uhren.

3.5 Thermodynamische Prozesse

99

Abb. 3.6. Reversible isotherme Expansion eines Gases durch Speicherung der geleisteten Arbeit in einer Feder. Die vom Gas geleistete Arbeit ist gleich der Fl¨ ache unterhalb der Isothermen.

a) Isotherme Expansion eines Gases, T = const Wir betrachten zuerst die isotherme Expansion. Hier befindet sich der Gasbeh¨ alter in einem W¨ armebad, dessen Temperatur T sei. Bei der Expansion des Ausgangsvolumens V1 auf V , wird vom Gas die Arbeit5 V W =

V P dV =

V1

dV

N kT V = N kT log V V1

(3.5.6)

V1

geleistet. Diese Arbeit kann geometrisch als Fl¨ ache unterhalb der Isothermen veranschaulicht werden (Abb. 3.6). Da die Temperatur konstant ist, bleibt auch die Energie des idealen Gases unge¨ andert. Deshalb muß das Reservoir die W¨ arme Q=W

(3.5.7)

an das System abgeben. Die Entropie¨ anderung bei dieser isothermen Expansion ist nach (2.7.27) durch ∆S = N k log

V V1

(3.5.8)

gegeben. Wir sehen durch Vergleich von (3.5.6) und (3.5.8), daß der Entropiezuwachs und die vom System aufgenommene W¨ armemenge hier in folgendem Zusammenhang stehen ∆S = 5

Q . T

(3.5.9)

Zum Unterschied von der am System geleisteten Arbeit wird die vom System geleistete Arbeit mit W bezeichnet (W = −A).

100

3. Thermodynamik

Dieser Vorgang ist reversibel, denn man kann durch die in der Feder gespeicherte Energie das Gas wieder auf das urspr¨ ungliche Volumen komprimieren. Bei dieser Kompression gibt dann das Gas die W¨armemenge Q an das Reservoir ab. Der Endzustand des Systems und der Umgebung ist dann wieder identisch mit dem Ausgangszustand. Damit dieser Prozeß exakt quasistatisch verl¨ auft, muß die St¨ arke der Feder im Verlauf so variieren, daß sie genau den Gegendruck P des Gases kompensiert (siehe dazu Diskussion in Abschnitt 3.5.4.2). Man kann sich die Speicherung und R¨ uckgewinnung der Arbeitsenergie in einem idealisierten Gedankenexperiment auch durch die keine Energie kostende horizontale Verschiebung von kleinen Gewichten ausgef¨ uhrt denken. Wir kehren nochmals zu dem Beispiel der irreversiblen Expansion (Abschnitt 3.5.2) zur¨ uck. Man kann nat¨ urlich nach erfolgter Expansion durch Arbeitsleistung das Gasvolumen wieder komprimieren, dann erh¨oht man aber die Energie des Gases. Die daf¨ ur n¨ otige Arbeit ist endlich, sie ist von der Gr¨ oßenordnung der Volumens¨ anderung bestimmt und kann nicht wie bei reversiblen Vorg¨ angen im Prinzip Null gemacht werden. b) Adiabatische Expansion eines Gases, ∆Q = 0 Nun beschreiben wir die adiabatische reversible Expansion. Im Unterschied zu Abb. 3.6 ist der Gasbeh¨ alter isoliert, und die Kurve im P -V -Diagramm steiler. In jedem Prozeß-Schritt ist δQ = 0, und da Arbeit vom Gas nach außen geleistet wird, k¨ uhlt es sich bei der Expansion ab. Aus dem ersten Hauptsatz folgt dann dE = −P dV . Setzen wir darin die kalorische und thermische Zustandsgleichung ein, ergibt sich dT 2 dV =− . T 3 V

(3.5.10)

Die Integration der letzten Gleichung f¨ uhrt auf die beiden Darstellungen der Adiabatengleichung des idealen Gases
2/3 2/3 T = T1 V1 /V und P = N kT1 V1 V −5/3 , (3.5.11a,b) wobei f¨ ur b nochmals die Zustandsgleichung verwendet wurde. Wir bestimmen nun wieder die bei Expansion von V1 auf V geleistete Arbeit W (V ). Diese ist offenbar kleiner als bei der isothermen Expansion, da keine W¨ arme von außen zugef¨ uhrt wird. Dementsprechend ist die Fl¨ache unterhalb der Adiabaten kleiner als unterhalb der Isothermen (Siehe Abb. 3.7). Einsetzen von Gl. (3.5.11b) ergibt f¨ ur die Arbeit V W (V ) =

dV P = V1



−2/3  V 3 N kT1 1 − ; 2 V1

(3.5.12)

3.5 Thermodynamische Prozesse

101

Abb. 3.7. Durch den Ausgangspunkt (P1 , V1 ) mit P1 = N kT1 /V1 gehende Isotherme und Adiabate

¨ geometrisch ist dies die Fl¨ ache unterhalb der Adiabaten, Abb. 3.7. Die Anderung der Entropie ist durch

 V λ31 ∆S = N k log =0 (3.5.13) λ3 V1 gegeben und verschwindet. Wir haben hier einen reversiblen Vorgang eines isolierten Systems (∆Q = 0) und finden ∆S = 0, d.h. die Entropie bleibt unge¨ andert. Dies ist nicht u ur jeden infinitesimalen Teilschritt ¨berraschend, da f¨ des Vorgangs T dS = δQ = 0

(3.5.14)

gilt. ∗

3.5.4.2 Allgemeine Betrachtung von realen reversiblen Vorg¨ angen

Wir wollen uns nun u ¨ berlegen, inwieweit die Situation eines reversiblen Prozesses u berhaupt realisierbar ist. Wenn der Prozeß in beiden Richtungen ab¨ laufen kann, was entscheidet, daß er in eine bestimmte Richtung abl¨auft? Dazu betrachten wir in Abb. 3.8 einen Vorgang, der zwischen den Punkten 1 und 2 abl¨ auft.

Abb. 3.8. Reversibler Prozeß. P Innendruck des Systems (durchgezogen). Pa der durch die Feder einwirkende Außendruck (gestrichelt).

Die durchgezogene Linie m¨ oge eine Isotherme oder eine Polytrope sein (d.h. eine zwischen Isotherme und Adiabate liegende Gleichgewichtskurve). Auf

102

3. Thermodynamik

dem Weg von 1 nach 2 expandiert die Substanz, von 2 nach 1 komprimiert sie sich wieder auf den Anfangszustand 1, ohne daß irgend eine Ver¨anderung in der Außenwelt u ¨ brig bleibt. In jedem Zeitpunkt wird der Druck in der Substanz durch den Außendruck (hier durch eine Feder angedeutet) genau kompensiert. Dieser quasistatische reversible Prozeß ist nat¨ urlich eine Idealisierung. Damit die Expansion u ¨ berhaupt erfolgt, muß der Außendruck PaEx in der Expansionsphase des Ablaufs etwas niedriger als P sein. Der Außendruck ist in Abb. 3.8 durch die gestrichelte Kurve angedeutet. Die Kurve, die den realen Prozeßablauf charakterisieren soll, wurde in Abb. 3.8 strichliert gezeichnet, auch um anzudeuten, daß f¨ ur diesen Vorgang die Kurve im P V -Diagramm gar nicht ausreicht das System vollst¨ andig zu charakterisieren. In der Exahe des Kolbens etwas verd¨ unnt. pansionsphase Pa < P ist das Gas in der N¨ Effektiv ist dadurch der Druck reduziert und die Arbeit, die das Gas leistet, geringer als es seinem Druck entspricht. Es treten Dichtegradienten auf, d.h. es liegt ein Nichtgleichgewichtszustand vor. Die gewonnene Arbeit (die in der 2 ullt dann die Ungleichung Feder gespeicherte Energie) 1 dV PaEx erf¨ 

2 dV 1

PaEx


1, und deshalb ist f¨ ur beliebige Substanzen die Steigung der Adiabaten P = P (V, S = const.) gr¨ oßer als die der Isothermen P = P (V, T = const.).

104

3. Thermodynamik

F¨ ur ein klassisches ideales Gas ist κ=const.6 und Daher folgt aus (3.5.18)

 ∂P P = −κ . ∂V S V


∂P  ∂V

T

= − NVkT = − VP . 2 (3.5.20)

Die L¨ osung dieser Differentialgleichung lautet P V κ = const. , und mit Hilfe der Zustandsgleichung folgt dann T V κ−1 = const. F¨ ur das einatomige ideale Gas ist κ = wurde.

(3.5.21) 3 2 +1 3 2

=

5 3,

wobei (3.2.27) verwendet

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz 3.6.1 Der erste und zweite Hauptsatz f¨ ur reversible und irreversible Vorg¨ ange 3.6.1.1 Quasistatische und insbesondere reversible Vorg¨ ange Wir erinnern nun an die Formulierung des ersten und zweiten Hauptsatzes ¨ in (3.1.3) und (3.1.5). Bei reversiblen Uberg¨ angen von einem Gleichgewichtszustand zu einem benachbarten Gleichgewichtszustand gilt dE = δQ − P dV + µdN

(3.6.1)

δQ = T dS .

(3.6.2)

mit

(3.6.1) und (3.6.2) sind die mathematischen Formulierungen des ersten und zweiten Hauptsatzes. Der zweite Hauptsatz in der Form (3.6.2) gilt f¨ ur reversible (und damit notwendigerweise quasistatische) Vorg¨ange. Er gilt auch f¨ ur quasistatische irreversible Vorg¨ ange innerhalb derjenigen Teilsysteme, die sich zu jedem Zeitpunkt im Gleichgewicht befinden und nur quasistatische ¨ Uberg¨ ange von einem Gleichgewichtszustand in einen benachbarten Gleichgewichtszustand erfahren. (Ein Beispiel daf¨ ur ist der Temperaturausgleich zweier K¨ orper u armeleiter (siehe Abschn. 3.6.3.1). ¨ ber einen schlechten W¨ Das Gesamtsystem ist dabei nicht im Gleichgewicht, der Vorgang ist irreversibel. Der Temperaturausgleich erfolgt aber so langsam, daß sich die beiden K¨orper jeweils in Gleichgewichtszust¨ anden befinden). 6

Dies ist f¨ ur das einatomige klassische ideale Gas nach (3.2.27) offensichtlich. F¨ ur das in Kap. 5 behandelte mehratomige, molekulare ideale Gas sind die spezifischen W¨ armen nur in den Temperaturgebieten, wo innere Freiheitsgrade voll oder u angig. ¨ berhaupt nicht angeregt sind, temperaturunabh¨

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

105

3.6.1.2 Irreversible Vorg¨ ange F¨ ur beliebige Vorg¨ ange gilt der erste Hauptsatz in der allgemeinen in (3.1.3 ) angegebenen Form dE = δQ + δA + δEN ,

(3.6.1 )

uhrte W¨ armemenge, die am System geleistete wo δQ, δA und δEN die zugef¨ Arbeit und die Energieerh¨ ohung durch Materialzufuhr sind. Um den zweiten Hauptsatz in voller Allgemeinheit aufzustellen, erinnern wir an die Relation (2.3.5) f¨ ur die Entropie der mikrokanonischen Gesamtheit und betrachten folgende Situation. Wir gehen von zwei separierten und deshalb nicht miteinander im Gleichgewicht stehenden Systemen 1 und 2 aus, deren Entropien S1 und S2 seien. Nun bringen wir diese beiden Systeme in Kontakt. Die Entropie dieses Nichtgleichgewichtszustandes ist SAnfang = S1 + S2 .

(3.6.3)

Die beiden Systeme seien gegen die Außenwelt isoliert, ihre Gesamtenergie, -volumen und -teilchenzahl seien E, V und N . Nun geht das Gesamtsystem in den diesen makroskopischen Angaben entsprechenden mikrokanonischen Gleichgewichtszustand u at der Entropie ist diese, ¨ ber. Wegen der Additivit¨ nachdem das Gleichgewicht erreicht ist, ˜1 ) + S2 (E˜2 , V˜2 , N ˜2 ) , S1+2 (E, V, N ) = S1 (E˜1 , V˜1 , N

(3.6.4)

˜1 (E ˜2 , V˜2 , N ˜2 ) die wahrscheinlichsten Werte dieser Gr¨oßen im ˜1 , V˜1 , N wo E Teilsystem 1 (2) darstellen. Da die Gleichgewichtsentropie maximal ist (Gl. (2.3.5)), gilt folgende Ungleichung S1 + S2 = SAnfang

(3.6.5)

˜1 ) + S2 (E˜2 , V˜2 , N ˜2 ) . ≤S1+2 (E, V, N ) = S1 (E˜1 , V˜1 , N Immer dann, wenn die Ausgangsdichtematrix der vereinigten Systeme 1+2 nicht schon von vornherein gleich der mikrokanonischen ist, gilt das Ungleichheitszeichen. Wir wenden nun die Ungleichung (3.6.5) auf verschiedene physikalische Situationen an. (A) Ein abgeschlossenes System befinde sich nicht im Gleichgewicht. Wir k¨ onnen dieses in Teilsysteme zerlegen, die f¨ ur sich im Gleichgewicht sind und ¨ wenden die Ungleichung (3.6.5) an. Dann ergibt sich f¨ ur die Anderung der Gesamtentropie ∆S ∆S > 0 .

(3.6.6)

Diese Ungleichung besagt, daß die Entropie eines abgeschlossenen Systems nur anwachsen kann und wird auch als Clausius-Prinzip bezeichnet.

106

3. Thermodynamik

(B) Wir betrachten zwei f¨ ur sich im Gleichgewicht, untereinander jedoch nicht im Gleichgewicht befindliche Systeme 1 und 2. Deren Entropie¨anderungen seien ∆S1 und ∆S2 . Aus der Ungleichung (3.6.5) folgt ∆S1 + ∆S2 > 0 .

(3.6.7)

Wir setzen nun voraus, daß das System 2 ein W¨ armebad ist, das gegen¨ uber System 1 groß ist und sich w¨ ahrend des Vorgangs auf der Temperatur T befindet. Die dem System 1 zugef¨ uhrte W¨ armemenge sei ∆Q1 . F¨ ur das System 2 l¨ auft der Vorgang quasistatisch ab, so daß dessen Entropie¨anderung ∆S2 mit der zugef¨ uhrten W¨ armemenge −∆Q1 durch 1 ∆S2 = − ∆Q1 T zusammenh¨ angt. Setzen wir dies in (3.6.7) ein, finden wir 1 ∆Q1 . (3.6.8) T In allen vorhergehenden Relationen brauchen die ∆S und die ∆Q keineswegs ¨ klein zu sein, sondern stellen einfach die Anderung der Entropie und die zugef¨ uhrte W¨ armemenge dar. ¨ Wir haben in den bisherigen Uberlegungen den Ausgangszustand und als Endzustand den totalen Gleichgewichtszustand betrachtet. Tats¨achlich gelten diese Ungleichungen auch f¨ ur Teilabschnitte des Relaxationsvorganges. Jeder Zwischenschritt kann aus Gleichgewichtszust¨ anden mit Zwangsbedingungen dargestellt werden, wobei die Einschr¨ ankung durch die Zwangsbedingungen im Lauf der Zeit abnimmt. Gleichlaufend nimmt die Entropie zu. Es gilt also ¨ f¨ ur jeden infinitesimalen Zeitschritt f¨ ur die Entropie-Anderung des isolierten Gesamtsystems ∆S1 >

dS ≥ 0 .

(3.6.6 )

F¨ ur die unter B genannte physikalische Situation gilt 1 dS1 ≥ δQ1 . (3.6.8 ) T Wir fassen nun die Aussagen des ersten und zweiten Hauptsatzes noch zusammen. Erster Hauptsatz : dE = δQ + δA + δEN

(3.6.9)

Energie¨ anderung = zugef¨ uhrte W¨ arme + Arbeit + Energie¨anderung durch Materialzufuhr; E ist eine Zustandsfunktion. Zweiter Hauptsatz : δQ ≤ T dS und S ist Zustandsfunktion. ¨ a) F¨ ur reversible Anderungen: δQ = T dS. ¨ b) F¨ ur irreversible Anderungen: δQ < T dS.

(3.6.10)

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

107

Anmerkungen: ¨ (i) Das Gleichheitszeichen in (3.6.10) gilt auch f¨ ur irreversible quasistatische Anderungen f¨ ur diejenigen Teilbereiche, die in jedem Prozeßschritt im Gleichgewicht sind. (Siehe Abschnitt 3.6.3.1.) (ii) In (3.6.10) haben wir (3.6.6) und (3.6.8) zusammengefaßt. Die Situation des isolierten Systems (3.6.6) ist in (3.6.10) enthalten, weil f¨ ur dieses δQ = 0 gilt. (Siehe Beispiel 3.6.3.1) (iii) Bei vielen Vorg¨ angen bleibt die Teilchenzahl konstant (dN = 0). Deshalb verwenden wir h¨ aufig (3.6.9) nur unter Bedachtnahme auf δQ und δA, ohne jedesmal besonders darauf hinzuweisen.

Wir wenden nun den zweiten Hauptsatz auf einen Vorgang an, der vom Zustand A in den Zustand B f¨ uhrt, wie in Abb. 3.10 dargestellt ist. Integriert man (3.6.10), so ergibt sich B

B dS ≥

A

δQ T

A

und daraus B SB − SA ≥

δQ . T

(3.6.11)

A

F¨ ur reversible Vorg¨ ange gilt das Gleichheitszeichen, f¨ ur irreversible das Ungleichheitszeichen. Bei einem reversiblen Vorgang ist der Zustand zu jedem Zeitpunkt durch einen Punkt im P -V -Diagramm vollst¨andig charakterisierbar. Bei einem irreversiblen Vorgang, der von einem Gleichgewichtszustand (eventuell mit Zwangsbedingungen) A in einen anderen Gleichgewichtszustand B f¨ uhrt, ist dies im allgemeinen nicht der Fall. Dies soll die unterbrochene Linie in Abb. 3.10 andeuten.

Abb. 3.10. Prozeßablauf zwischen zwei thermodynamischen Zust¨ anden A und B

Abb. 3.11. Kreisprozeß, geschlossene Kurve im P -V -Diagramm, die wieder an den Ausgangspunkt (B = A) zur¨ uckf¨ uhrt, wobei zumindestens teilweise irreversible Zustands¨ anderungen durchlaufen werden.

108

3. Thermodynamik

Wir betrachten folgende Spezialf¨ alle: (i) Adiabatischer Prozeß: F¨ ur einen adiabatischen Vorgang (δQ = 0) folgt aus (3.6.11) SB ≥ SA

oder

∆S ≥ 0 .

(3.6.11 )

Die Entropie eines thermisch abgeschlossenen (w¨armeisolierten) Systems nimmt nicht ab. Diese Aussage ist allgemeiner als Gleichung (3.6.6), wo v¨ ollig abgeschlossene Systeme vorausgesetzt wurden. (ii) Kreisprozeß: F¨ ur einen Kreisprozeß ist der Endzustand identisch mit dem Anfangszustand B = A (Abb. 3.11). Dann ist SB = SA und es folgt aus (3.6.11) f¨ ur einen Kreisprozeß die Ungleichung ) δQ 0≥ , (3.6.12) T ( wo das Ringintegral entsprechend der tats¨ achlichen Prozeßrichtung auf der geschlossenen Kurve von Abb. 3.11 berechnet wird. ∗

3.6.2 Historische Formulierungen der Haupts¨ atze und andere Bemerkungen Erster Hauptsatz Es gibt kein perpetuum mobile erster Art (Unter einem perpetuum mobile erster Art versteht man eine periodisch arbeitende Maschine, die nur Energie abgibt). Energie ist erhalten und W¨ arme ist nur eine bestimmte Form von Energie, genauer Energie¨ ubertragung. Die Erkenntnis, daß W¨arme nur eine Form von Energie ist und nicht ein eigener alle K¨ orper durchdringender Stoff, ist das besondere Verdienst von Julius Robert Mayer (Arzt) (1814-1878) 1842. James Prescott Joule (Bierbrauer) f¨ uhrte in den Jahren 1843-1849 Experi¨ mente durch, die die Aquivalenz von W¨ armeenergie und Arbeitsenergie zeigten 1 cal = 4.1840 × 107 erg = 4.1840 Joule . Von Clausius wurde der erste Hauptsatz mathematisch formuliert: δQ = dE + P dV . Aus dem ersten Hauptsatz, der die Erhaltung der Energie und die Aussage, daß E eine Zustandsgr¨ oße ist, beinhaltet, folgt die oben genannte historische Formulierung. Denn wenn eine Maschine wieder in ihren Ausgangszustand zur¨ uckgekehrt ist, ist ihre Energie unge¨ andert und sie kann deshalb keine Energie nach außen abgegeben haben.

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

109

Zweiter Hauptsatz Rudolf Clausius (1822-1888) 1850 : W¨arme kann nie von selbst von einem k¨alteren in ein w¨armeres Reservoir u ¨ bergehen. William Thomson (Lord Kelvin, 1824-1907) 1851 :Unm¨oglichkeit eines perpetuum mobile zweiter Art. (Unter einem perpetuum mobile zweiter Art versteht man eine periodisch arbeitende Maschine, die nur ein W¨armereservoir abk¨ uhlt und Arbeit leistet.) Diese Formulierungen sind untereinander und mit der mathematischen Formulierung ¨ aquivalent. ¨ Aquivalenz der Formulierungen des zweiten Hauptsatzes. Die Existenz eines perpetuum mobile zweiter Art k¨ onnte man anwenden, um arme zu entziehen. Die geleistete einem Reservoir, dessen Temperatur T1 ist, W¨ Arbeit k¨ onnte man dann zur Erw¨ armung eines heißeren Reservoirs mit Temperatur T2 verwenden. Aus der Richtigkeit der Clausiusschen Aussage folgt deshalb die Richtigkeit der Kelvinschen Aussage. K¨ onnte W¨ arme von einem k¨ alteren in ein heißeres Reservoir u onn¨ bergehen, so k¨ te man diese W¨ arme bei einem Carnot-Prozeß (siehe Abschnitt 3.7.2) verwenden, wobei Arbeit geleistet wird und ein Teil der W¨ arme wieder vom k¨ alteren Reservoir aufgenommen wird. Bei dem Vorgang w¨ are nur dem k¨ alteren Reservoir W¨ arme entzogen und Arbeit geleistet worden. Man h¨ atte dann insgesamt ein perpetuum mobile zweiter Art. Aus der Richtigkeit der Kelvinschen Aussage folgt deshalb die Richtigkeit der Clausiusschen Aussage. Die beiden verbalen Formulierungen des zweiten Hauptsatzes, die Clausiussche und die Kelvinsche Aussage sind also ¨ aquivalent. Es bleibt noch zu zeigen, daß die Clausiussche Aussage ¨ aquivalent zu der differentiellen Form des zweiten Hauptsatzes (3.6.10) ist. Dazu bemerken wir, daß aus (3.6.10) in Abschnitt 3.6.3.1 gezeigt werden wird, daß W¨ arme vom heißeren Reservoir zum k¨ alteren u ¨ bergeht. Aus (3.6.10) folgt die Clausiussche Aussage. Nun m¨ ussen wir noch zeigen, daß aus der Clausiusschen Aussage die Relation (3.6.10) folgt. Dies sieht man folgendermaßen ein. W¨ urde n¨ amlich statt (3.6.10) umgekehrt T dS < δQ gelten, dann w¨ urde aus der Betrachtung u arme ¨ber den quasistatischen Temperaturausgleich folgen, daß W¨ vom k¨ alteren zum heißeren Reservoir transportiert w¨ urde; also daß die Clausiussche Aussage falsch ist. Die Richtigkeit der Clausiusschen Aussage bedingt somit die Richtigkeit der mathematischen Formulierung des zweiten Hauptsatzes (3.6.10). Alle Formulierungen des zweiten Hauptsatzes sind ¨ aquivalent. Wir haben diese hi¨ storischen Uberlegungen hier vorgef¨ uhrt, weil gerade diese Verbalformulierungen zu Alltagskonsequenzen des zweiten Hauptsatzes Bezug haben und weil diese Art der Schlußfolgerung typisch f¨ ur die Thermodynamik ist.

Nullter Hauptsatz Wenn zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten System sind, dann sind sie auch untereinander im Gleichgewicht. Beweis in der statistischen Mechanik: Systeme 1, 2 und 3. Gleichgewicht von 1 mit 3 bedeutet T1 = T3 und von 2 mit 3 T2 = T3 , daraus folgt T1 = T2 also sind auch 1 und 2 miteinander im ¨ Gleichgewicht. Die Uberlegung f¨ ur den Druck und das chemische Potential l¨ auft genauso.

110

3. Thermodynamik

Dieser Tatbestand ist nat¨ urlich in der Praxis sehr wichtig, da er erm¨oglicht durch Thermometer und Manometer festzustellen, ob zwei K¨orper gleiche Temperatur und Druck besitzen und miteinander im Gleichgewicht bleiben oder nicht, falls sie in Kontakt gebracht werden. Der dritte Hauptsatz Der dritte Hauptsatz (auch Nernstsches Theorem) macht Aussagen u ¨ ber den Temperaturverlauf thermodynamischer Gr¨ oßen im Grenzfall T → 0; er wird im Anhang A.1 besprochen. Seine Bedeutung ist nicht von der gleichen Tragweite wie der erste und zweite Hauptsatz. Das Verschwinden von spezifischen W¨ armen f¨ ur T → 0 ist eine unmittelbare Folgerung der Quantenmechanik. ¨ der klassischen Physik als vision¨ar Insofern kann seine Aufstellung in der Ara betrachtet werden. 3.6.3 Beispiele und Erg¨ anzungen zum zweiten Hauptsatz Es werden nun eine Reihe von Beispielen dargestellt, die die vorhergehenden Begriffe und allgemeinen Ergebnisse erl¨ autern und auch praktische Bedeutung besitzen. 3.6.3.1 Quasistatischer Temperaturausgleich Wir betrachten zwei K¨ orper mit den Temperaturen T1 und T2 und den Entropien S1 und S2 . Diese beiden K¨ orper werden durch einen schlechten W¨armeleiter verbunden und seien gegen¨ uber der Umwelt isoliert (Abb. 3.12). Die beiden Temperaturen seien verschieden, T1 = T2 , deshalb sind die beiden K¨orper nicht untereinander im Gleichgewicht. Da der W¨armeleiter schlecht ist, erfolgen alle Energie¨ ubertragungen langsam und jedes der Teilsysteme ist zu jedem Zeitpunkt im thermischen Gleichgewicht. Es gilt deshalb, bei einer W¨ armezufuhr δQ an K¨ orper 1 und damit einer entgegengesetzten W¨armezufuhr −δQ an K¨ orper 2, der zweite Hauptsatz f¨ ur die beiden Teilsysteme in der Form dS1 =

δQ , T1

dS2 = −

δQ . T2

(3.6.13)

Abb. 3.12. Quasistatischer Temperaturausgleich zweier durch einen schlechten W¨ armeleiter verbundenen K¨ orper

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

111

F¨ ur das Gesamtsystem gilt dS1 + dS2 > 0 ,

(3.6.14)

¨ da sich beim Ubergang in den Gleichgewichtszustand die Gesamtentropie erh¨ oht. Setzen wir (3.6.13) in (3.6.14) ein, ergibt sich

 1 1 δQ − >0. (3.6.15) T1 T2 Wir setzen voraus, daß T2 > T1 ist, daraus folgt aus (3.6.13) die Ungleichung δQ > 0, also geht W¨ arme vom heißeren zum k¨alteren Beh¨alter u ¨ ber. Es werden hier die differentiellen Teilschritte betrachtet, da sich die Temperaturen im Laufe des Vorgangs ¨ andern. Die W¨ arme¨ ubertragung geht so lange vor sich, bis die beiden Temperaturen ausgeglichen sind; die gesamte von 2 nach  1u armemenge δQ ist positiv. ¨ bertragene W¨ Auch beim nicht quasistatischen Temperaturausgleich geht W¨arme vom heißeren zum k¨ alteren: Wenn die beiden vorhin genannten K¨orper in Kontakt gebracht werden (nat¨ urlich wieder von der Außenwelt isoliert, aber ohne Barriere eines schlechten Leiters), ergibt sich der gleiche Endzustand wie beim quasistatischen Prozeß. Es ist also auch beim nichtquasistatischen Temperaturausgleich W¨ arme vom heißeren zum k¨ alteren K¨ orper u ¨ bergegangen. 3.6.3.2 Joule-Thomson-Prozeß Der Joule-Thomson-Prozeß betrifft die gedrosselte Expansion eines Gases (siehe Abb. 3.13). Dabei wird ein Gasstrom durch eine enge Drossel gepreßt.

Abb. 3.13. Joule-Thomson-Prozeß, mit verschiebbaren Stempeln S1 und S2 und Drossel D

Das Gasvolumen wird links und rechts durch die beiden Stempel S1 und S2 abgegrenzt, die im linken und rechten Teil die Drucke P1 und P2 erzeugen, wobei P1 > P2 ist. Der Vorgang erfolge adiabatisch, d.h. δQ = 0 w¨ahrend des gesamten Vorgangs. Im Ausgangszustand (1) nimmt das Gas auf der linken Seite das Volumen V1 ein und besitzt die Energie E1 . Im Endzustand ist das Gas rechts und besitzt Volumen V2 und Energie E2 . Durch den linken Stempel wird am Gas Arbeit geleistet, am rechten Stempel leistet das Gas Arbeit nach außen. Die Differenz der inneren Energien ist gleich der gesamten am System geleisteten Arbeit

112

3. Thermodynamik

2 E2 − E1 =

2 dE =

1

0 δA =

1

V2 dV1 (−P1 ) +

V1

dV2 (−P2 ) 0

= P1 V1 − P2 V2 . Daraus folgt, daß die Enthalpie bei diesem Vorgang unge¨andert bleibt H2 = H 1 ,

(3.6.16)

wobei Hi = Ei + Pi Vi definiert wurde. F¨ ur die K¨ altetechnik ist nun von Bedeutung, ob bei einer derartigen gedrosselten Expansion das Gas abgek¨ uhlt wird. Dies wird durch den JouleThomson-Koeffizienten beantwortet
∂H 
∂S 
∂V 

 T ∂P + V T ∂T ∂P T ∂T P − V
∂ST  = −
∂H  = − = . ∂P H CP T ∂T P ∂T P In der Umformung haben wir (3.2.21), dH = T dS + V dP und die MaxwellRelation (3.2.10) verwendet. Setzen wir den thermischen Ausdehnungskoeffizienten α ein, so ergibt sich f¨ ur den Joule-Thomson-Koeffizienten

 ∂T V = (T α − 1) . (3.6.17) ∂P H CP F¨ ur ein ideales Gas ist α = T1 , deshalb kommt es zu keiner Temperatur¨anderung bei einer Expansion. F¨ ur ein reales Gas kann sowohl Abk¨ uhlung als auch Erw¨ armung auftreten. Wenn α > T1 ist, dann f¨ uhrt Expansion zur Abk¨ uhlung (positiver Joule-Thomson-Effekt). Wenn α < T1 ist, dann f¨ uhrt die Expansion zur Erw¨ armung (negativer Joule-Thomson-Effekt). Die Grenze zwischen diesen beiden Effekten wird durch die Inversionskurve gegeben, die durch α=

1 T

(3.6.18)

definiert ist. Wir berechnen nun die Inversionskurve f¨ ur ein van-der-WaalsGas, und gehen von der van-der-Waals-Zustandsgleichung (Kapitel 5) aus kT a V − , v= (3.6.19) v − b v2 N und differenzieren diese bei konstant gehaltenem Druck nach der Temperatur



 k kT ∂v 2a ∂v 0= − + . v − b (v − b)2 ∂T P v 3 ∂T P
∂v  die Bedingung (3.6.18) ein Darin setzen wir f¨ ur ∂T P

 1 ∂v 1 α≡ = v ∂T P T P =

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

113

k 1 und erhalten 0 = kv − v−b + 2a v 3 T (v−b). Mit Hilfe der van-der-Waals-Gleichung ergibt sich schließlich f¨ ur die Inversionskurve

0=−

b a 2a P + 2 + 3 (v − b) , v v v

also P =

2a 3a − 2 bv v

.

(3.6.20)

Im Grenzfall starker Verd¨ unnung k¨ onnen wir den zweiten Term in (3.6.20) vernachl¨ assigen und die Inversionskurve ist dann durch P =

2a kTinv = bv v

,

Tinv =

2a = 6.75 Tc bk

(3.6.21)

gegeben. Hier ist Tc die aus der van-der-Waals-Gleichung folgende kritische Temperatur (5.4.13). F¨ ur Temperaturen, die h¨ oher als die Inversionstemperatur Tinv sind, ist der Joule-Thomson-Effekt immer negativ. Die Inversionstemperatur und andere Daten einiger Gase sind im Tabellenanhang in Tabelle I.4 angegeben.

(a) Inversionskurve beim JouleThomson-Effekt (obere durchgezogene Kurve). Die Isotherme T = 6.75 Tc (strichpunktiert). Das schraffierte Gebiet scheidet aus, da in ihm Dampf und Fl¨ ussigkeit immer gleichzeitig vorhanden sind.

(b) Die Inversionskurve im P -T Diagramm.

Abb. 3.14. Inversionskurve beim Joule-Thomson-Effekt

114

3. Thermodynamik

Die Entropie¨ anderung beim Joule-Thomson-Prozeß ist bestimmt durch

 ∂S V =− , (3.6.22) ∂P H T wie sich aus dH = T dS +V dP = 0 ergibt. Da der Druck abnimmt, ergibt sich f¨ ur die Entropie, dS > 0, w¨ ahrend δQ = 0 ist. Der Joule-Thomson-Prozeß ist irreversibel , da der Ausgangszustand mit unterschiedlichen Dr¨ ucken in den beiden Kammern offensichtlich kein Gleichgewichtszustand ist. Die komplette Inversionskurve nach der van-der-Waals-Theorie ist in Abb. 3.14a,b dargestellt. Innerhalb der Inversionskurve f¨ uhrt die Expansion zu einer Abk¨ uhlung. 3.6.3.3 Temperaturausgleich von idealen Gasen Wir untersuchen nun den Temperaturausgleich zweier einatomiger idealer Gase (a und b). Die beiden einatomigen Gase seien durch einen verschiebbaren Stempel getrennt und gegen die Umgebung isoliert (Abb. 3.15). Der Druck der beiden Gase sei gleich Pa = Pb = P , w¨ahrend die Temperaturen im Ausgangszustand unterschiedlich seien, Ta = Tb . Die Volumina und Teilchenzahlen sind durch Va , Vb und Na , Nb gegeben, so daß das Gesamtvolumen und die gesamte Teilchenzahl V = Va + Vb und N = Na + Nb sind. Die Entropie des Anfangszustandes ist durch 



 5 Va 5 Vb S = Sa + Sb = k N a + log + Nb + log (3.6.23) 2 Na λ3a 2 Nb λ3b gegeben. Die Temperatur nach Einstellung des Gleichgewichts, bei dem sich die Temperaturen der beiden Systeme nach Kap. 2 angleichen m¨ ussen, nennen wir T .

Abb. 3.15. Temperaturausgleich zweier idealer Gase

Wegen der Energieerhaltung gilt 32 N kT = 32 Na kTa + 32 Nb kTb woraus T =

Na T a + Nb T b = ca T a + cb T b Na + Nb

(3.6.24) N

folgt, worin die Teilchenzahlverh¨ altnisse ca,b = Na,b eingef¨ uhrt wurden. Wir erinnern an die Definition der thermischen Wellenl¨ angen

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

h λa,b =  , 2πma,b kTa,b

115

h λa,b =  . 2πma,b kT

Die Entropie nach Einstellung des Gleichgewichts ist     5 Va 5 Vb  S = kNa + log + kNb + log , 2 Na λ3 2 Nb λ3 a b so daß sich f¨ ur den Entropiezuwachs S  − S = kNa log

Va λ3a Vb λ3b + kN log b Va λ3 Vb λ3 a b

(3.6.25)

ergibt. Wir zeigen noch, daß der Druck unge¨ andert bleibt. Dazu addieren wir die beiden Zustandsgleichungen der Teilsysteme vor dem Temperaturausgleich Va P = Na kTa ,

Vb P = Nb kTb

(3.6.26a)

und erhalten mit (3.6.24) (Va + Vb )P = (Na + Nb )kT .

(3.6.26b)

Aus den Zustandsgleichungen der beiden Teilsysteme nach dem Temperaturausgleich  Va,b P  = Na,b kT

(3.6.26a)

mit Va + Vb = V folgt V P  = (Na + Nb )kT ,

(3.6.26b )

also P  = P . Hier, in (3.6.24) und (3.6.26b ) geht u ¨ brigens ein, daß die beiden einatomigen Gase gleiche spezifische W¨ arme besitzen. Durch Vergleich von (3.6.26b) und (3.6.26b ) folgen die Volumensverh¨ altnisse  Va,b T = . Va,b Ta,b

Daraus folgt S − S =

5 T Na+Nb k log Na Nb , 2 Ta Tb

woraus sich schließlich 5 T 5 ca T a + cb T b S  − S = kN log ca cb = kN log 2 Ta Tb 2 Taca Tbcb

(3.6.27)

ergibt. Wegen der Konvexit¨ at der Exponentialfunktion gilt Taca Tbcb = exp(ca log Ta + cb log Tb ) ≤ ca exp log Ta + cb exp log Tb = ca T a + cb T b = T und somit folgt aus (3.6.27) S  − S ≥ 0, d.h. die Entropie nimmt bei dem Temperaturausgleich zu.

116

3. Thermodynamik

Anmerkung: Nach dem Temperaturausgleich, bei dem W¨ arme vom heißeren zum k¨ alteren str¨ omt, sind die Volumina: Va =

Na V , Na + Nb

Vb =

Nb V . Na + Nb

Das bedeutet mit (3.6.26b), daß Va /Va = T /Ta und Vb /Vb = T /Tb sind. Die dem Teil a zugef¨ uhrte Energie ist ∆Ea = 32 Na k(T − Ta ). Die dem Teil a zugef¨ uhrte Enthalpie ist durch ∆Ha = 52 Na k(T − Ta ) gegeben. Da der Vorgang isobar ist, gilt ∆Qa = ∆Ha . Die am System a geleistete Arbeit ist deshalb ∆Aa = ∆Ea − ∆Qa = −Na k(T − Ta ) . Das heißere Teilsystem gibt W¨ arme ab. Da es dann f¨ ur den Druck P zu d¨ unn w¨ are, wird es komprimiert, also nimmt es Energie durch an ihm geleistete Arbeit auf.

3.6.3.4 Mischentropie Wir betrachten nun die Durchmischung zweier unterschiedlicher idealer Gase mit Massen ma und mb .

Abb. 3.16. Mischung zweier Gase

Die Temperaturen und Drucke der Gase seien gleich Ta = Tb = T ,

Pa = Pb = P .

Aus den Zustandsgleichungen Va P = Na kT ,

Vb P = Nb kT

folgt Na Nb Na + Nb = = . Va Vb Va + Vb Unter Verwendung der thermischen Wellenl¨ ange λa,b = √

h 2πma,b kT

Entropie mit Trennwand durch

ist die

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

117





 5 Va 5 Vb S = Sa + Sb = k N a + log + N + log (3.6.28) b 2 Na λ3a 2 Nb λ3b gegeben. Nach dem Herausnehmen der Trennwand und Durchmischen der Gase ist der Wert der Entropie 



 5 Va + Vb 5 Va + Vb  S = k Na + log + Nb + log . (3.6.29) 2 Na λ3a 2 Nb λ3b Aus (3.6.28) und (3.6.29) erhalten wir die Entropiedifferenz

 (Na + Nb )Na +Nb 1  S − S = k log = k(Na + Nb ) log ca cb > 0 , ca cb NaNa NbNb wobei die relativen Teilchenzahlen ca,b =

Na,b Na + Nb

verwendet wurden. Da das Argument des Logarithmus gr¨oßer als 1 ist, ergibt sich eine positive Mischentropie, z.B. Na = Nb ,

S  − S = 2kNa log 2 .

Die Mischentropie tritt immer auf, wenn verschiedene Gase ineinander diffundieren, auch wenn es sich um Isotope desselben Elements handelt. Wenn andererseits die Gase a und b gleichartig (identisch) sind, ist die Entropie nach Entfernung der Trennwand   5 Va + Vb  Sid = k(Na + Nb ) + log (3.6.29 ) 2 (Na + Nb )λ3 und λ = λa = λb . Es ist nun  Sid − S = k log

(Va + Vb )Na +Nb NaNa NbNb (Na + Nb )Na +Nb VaNa VbNb

=0

unter Verwendung der Zustandsgleichung, also tritt keine Mischentropie auf. Dies ist durch den auf der Ununterscheidbarkeit der Teilchen beruhenden Faktor 1/N ! im fundamentalen Integrationselement in (2.2.2) und (2.2.3) bedingt. Ohne diesen k¨ ame es, wie nach (2.2.3) erw¨ahnt, zum Gibbsschen Paradoxon, d.h. einer positiven Mischentropie von gleichartigen Gasen. ∗

3.6.3.5 Heizen eines Raumes

Schließlich betrachten wir ein Beispiel in Anlehnung an Sommerfeld.7 Ein Zimmer soll von 0◦ C auf 20◦ C erw¨ armt werden. Welche W¨ armemenge ist erforderlich? Wie andert sich der Energiegehalt des Raumes? ¨ 7

A. Sommerfeld, Vorlesungen ¨ uber Theoretische Physik , Bd. V, Thermodynamik und Statistik , (Harri Deutsch, Thun, 1987)

118

3. Thermodynamik

Wenn die Luft aus dem Raum u ¨ ber die Fensterschlitze entweichen kann, ist dieser Vorgang isobar, wobei allerdings die Zahl der Luftmolek¨ ule innerhalb des Raumes im Laufe der Erw¨ armung abnimmt. Die zugef¨ uhrte W¨ armemenge h¨ angt mit der Temperaturerh¨ ohung u ¨ ber δQ = CP dT

(3.6.30)

zusammen, wo CP die W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Druck ist. In dem betrachteten Temperaturbereich sind die Rotationsfreiheitsgrade von Sauerstoff O2 und Stickstoff N2 angeregt (siehe Kap. 5), so daß unter der Annahme, Luft sei ein ideales Gas 7 CP = N k , (3.6.31) 2 wobei N die gesamte Teilchenzahl ist. Die gesamte W¨ armezufuhr erh¨ alt man durch Integration von (3.6.31) zwischen der Ausgangs- und Endtemperatur T1 und T2 T2 Q=

dT CP .

(3.6.32)

T1

Sieht man zun¨ achst von der Temperaturabh¨ angigkeit der Teilchenzahl und damit der W¨ armekapazit¨ at (3.6.31) ab, so ergibt sich Q = CP (T2 − T1 ) =

7 N1 k(T2 − T1 ) . 2

(3.6.32 )

¨ Hier haben wir die Teilchenzahl bei T1 mit N1 bezeichnet und deren Anderung vernachl¨ assigt. Gleichung (3.6.32 ) wird eine gute N¨ aherung darstellen, wenn T2 ≈ T1 . ¨ Wenn die Anderung der Teilchenzahl innerhalb des Raumes mit Volumen V ber¨ ucksichtigt wird, muß in (3.6.31) N nach der Zustandsgleichung durch N = P V /kT ersetzt werden, und es folgt T2 Q=

dT

7 PV 7 T2 7 T2 = P V log = N1 kT1 log . 2 T 2 T1 2 T1

T1

Mit log

T2 T1

=

T2 T1

−1+O




T2 T1

(3.6.33)

2 −1 erhalten wir f¨ ur kleine Temperaturdifferenz

aus (3.6.33) die N¨ aherungsformel (3.6.32 )

 7 T2 − T1 dyn 20 3.5 × 2 11 Q = PV = 3.5 106 106 (V m3 ) = 10 erg (V m3 ) 2 T1 cm2 273 2.73 = 6 kcal (V m3 ). ¨ Es ist instruktiv, die Anderung des Energieinhalts des Raumes bei der Erw¨ armung zu berechnen, wobei wir ber¨ ucksichtigen, daß die Rotationsfreiheitsgrade voll angeregt sind, T  Θr (siehe Kap. 5). Dann ist die innere Energie vor und nach der Erw¨ armung 5 1 Ni kTi − Ni kΘr + Ni εel (3.6.34) 2 6



 5 1 1 1 1 εel 1 − − E2 − E1 = k(N2 T2 − N1 T1 ) − P V Θr + PV 2 6 T2 T1 k T2 T1 Ei =

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

119

Der erste Term ist exakt Null, der zweite positiv, der dritte, der dominierende Term ist negativ. Die innere Energie des Raumes nimmt beim Heizen sogar ab. Die zugef¨ uhrte W¨ arme wird an die Außenwelt abgegeben, um dabei zu erreichen, die Temperatur im Raum und damit die mittlere kinetische Energie der im Raum verbleibenden Gasmolek¨ ule zu erh¨ ohen. Das Heizen bei fester Teilchenzahl (vollst¨ andige Abdichtung) erfordert die W¨ armemenge Q = CV (T2 − T1 ) ≡ 52 N1 k(T2 − T1 ). F¨ ur kleine Temperaturdifferenzen T2 − T1 ist es g¨ unstiger zuerst zu erw¨ armen und bei der Endtemperatur T2 den Druck auszugleichen. Der Schnittpunkt der beiden Kurven (P, N ) const. und P const, N variabel (Abb. 3.17) bei T20 wird bestimmt durch T20 − T1 T1 log

T20 T1

=

CP . CV

Abb. 3.17. Zugef¨ uhrte W¨ armemenge beim Heizen; isobar (durchgezogen), isochor (strichliert), isobar unter Vernachl¨ assigung der Abnahme der Teilchenzahl (strichpunktiert).

Eine numerische Absch¨ atzung ergibt f¨ ur den Schnittpunkt in Abb. 3.17 T20 = 1.9 T1 , ◦ 0 ◦ d.h. bei T1 = 273 K, T2 = 519 K. Bei jeder Raumerw¨ armung ist das isolierte Erw¨ armen g¨ unstiger. Die Differenz der notwendigen W¨ armemengen ist ∆Q ≈ (CP − CV )(T2 − T1 ) =

1 6 kcal (V m3 ) = 1.7 kcal (V m3 ) . 3.5

¨ Nicht ber¨ ucksichtigt in allen Uberlegungen ist die Erw¨ armung der W¨ ande. Die ¨ Uberlegungen treffen f¨ ur die rasche Aufheizung der Luft zu. Die Druck¨ anderung bei Erw¨ armung mit fester Luftmenge um 20◦ C betr¨ agt allerdings δP δT 20 = ∼ ∼ 0.07 , d.h. δP ∼ 0.07 bar ∼ 0.07 kg/cm2 ∼ 700 kg/m2 ! P T 273

∗

3.6.3.6 Irreversibler, quasistatischer Gay-Lussac-Versuch

Wir erinnern an die verschiedenen Varianten des Gay-Lussac-Versuchs. Bei der irreversiblen F¨ uhrung ist ∆Q = 0 und ∆S > 0 (3.5.1). Bei der reversiblen F¨ uhrung

120

3. Thermodynamik

(isotherm oder adiabatisch) ist mit (3.5.9), (3.5.14) die entsprechende Relation f¨ ur reversible Prozesse erf¨ ullt. Es ist instruktiv, den Gay-Lussac-Versuch quasistatisch irreversibel ablaufen zu lassen. Man kann sich vorstellen, daß die Expansion nicht schlagartig erfolgt, sondern durch die Reibung des Kolbens so langsam abl¨ auft, daß das Gas immer im Gleichgewicht ist. Die Reibungsw¨ arme kann entweder dem Gas zugef¨ uhrt werden oder kann nach außen abgegeben werden. Wir betrachten zun¨ achst die erste M¨ oglichkeit. Da die Reibungsw¨ arme wieder dem Gas zugef¨ uhrt wird, ist nach jedem Prozeßschritt keine Ver¨ anderung der Außenwelt vorhanden. Das Endergebnis entspricht der Situation des u ur den Moment versehen ¨ blichen Gay-Lussac-Versuchs. F¨ wir das Gas mit dem Index 1 und den Kolben, der zun¨ achst die Reibungsw¨ arme aufnimmt, mit 2. Dann ist die Arbeit, die das Gas bei der Expansion um dV leistet δW1→2 = P dV . Dieser Energiebetrag wird vom Kolben als W¨ arme an 1 abgegeben δQ2→1 = δW1→2 . Die Energie¨ anderung des Gases ist dE = δQ2→1 − δW1→2 = 0. Da das Gas immer im momentanen Gleichgewicht ist, gilt auch dE = T dS − P dV und deshalb f¨ ur den Entropiezuwachs des Gases T dS = δQ2→1 > 0 . Das Gesamtsystem Gas + Kolben leitet keine W¨ arme nach außen ab und leistet auch keine Arbeit nach außen, d.h. δQ = 0 und δA = 0. Da sich die Entropie des Kolbens nicht ¨ andert (der Einfachheit halber ideales Gas, ohne Temperatur¨ anderung) folgt T dS > δQ. Nun betrachten wir die Situation, daß die Reibungsw¨ arme nach außen abgef¨ uhrt wird. Das bedeutet δQ2→1 = 0 und deshalb T dS = 0 und auch dS = 0. Die gesamte nach außen abgef¨ uhrte W¨ armemenge (Verlustw¨ arme δQV ) ist δQV = δW1→2 > 0 . Auch hier ist die Ungleichung −δQV < T dS als Charakteristikum des irreversiblen Prozesses erf¨ ullt. Der Endzustand des Gases entspricht demjenigen, den wir beim reversibel gef¨ uhrten adiabatischen Prozeß gefunden hatten. Dort war ∆S = 0, Q = 0 und W > 0. Jetzt ist ∆S = 0, w¨ ahrend QV > 0 und gleich W des adiabatisch reversiblen Prozesses aus Gl. (3.5.12) ist.

3.6.4 Extremaleigenschaften In diesem Abschnitt leiten wir Extremaleigenschaften der thermodynamischen Potentiale her. Aus diesen werden wir die Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur multikomponentige Systeme in verschiedenen Phasen und auch wieder die Ungleichungen (3.3.5) und (3.3.6) gewinnen. Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, daß kein Teilchenaustausch mit der Umgebung stattfindet, d.h. dNi = 0 abgesehen von chemischen Reaktionen innerhalb des Systems. Das System sei i.a. noch nicht im Gleichgewicht; dann ist z.B. f¨ ur ein abgeschlossenes System der Zustand nicht durch E, V, {Ni } allein charakterisiert, sondern es bedarf noch weiterer Gr¨oßen

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

121

xα , die z.B. die Konzentrationen der unabh¨ angigen Bestandteile in den verschiedenen Phasen oder Konzentrationen der Komponenten, zwischen denen chemische Reaktionen ablaufen, angeben. Eine andere Nichtgleichgewichtssituation sind r¨ aumliche Inhomogenit¨ aten.8 Wir setzen jedoch voraus, daß Gleichgewicht bez¨ uglich der Temperatur und des Druckes vorliegt, d.h. daß das System durch einheitliche (wenn auch ver¨ anderliche) T und P charakterisiert ist. Diese Voraussetzung l¨aßt sich noch etwas abschw¨ achen. Es gen¨ ugt f¨ ur die folgende Herleitung, daß das System im Stadium der Arbeitsleistung durch den Druck P ebenfalls den Druck P besitzt, und w¨ ahrend es W¨ arme mit einem Reservoir der Temperatur T austauscht, die Temperatur T besitzt. (Dies erlaubt z.B. inhomogene Temperaturverteilungen w¨ ahrend einer chemischen Reaktion in einem Teilbereich.) Unter diesen Voraussetzungen lautet der erste Hauptsatz (3.6.9) dE = δQ − P dV . Unser Ausgangspunkt ist der zweite Hauptsatz (3.6.10) dS ≥

δQ . T

(3.6.35)

Darin setzen wir den ersten Hauptsatz ein und erhalten dS ≥

1 (dE + P dV ) . T

(3.6.36a)

Wir haben hier den Energiesatz der Gleichgewichtsthermodynamik verwen¨ det, der aber auch in Nichtgleichgewichtszust¨ anden gilt. Die Anderung der Energie ist gleich der zugef¨ uhrten W¨ arme und der geleisteten Arbeit. Voraussetzung ist, daß w¨ ahrend des Vorgangs ein bestimmter Druck vorliegt. Wenn E, V konstant gehalten werden, ist nach Gl. (3.6.36a) dS ≥ 0

fu ¨ r E, V fest

(3.6.36b)

das heißt, ein abgeschlossenes System strebt einem Maximum der Entropie zu. Wenn ein Nichtgleichgewichtszustand durch einen Parameter x charakterisiert wird, hat die Entropie das in Abb. 3.18 skizzierte Aussehen. Sie ist maximal f¨ ur den Gleichgewichtswert x0 . Der Parameter x kann z.B. das Volumen oder die Energie eines Teilsystems des betrachteten abgeschlossenen Systems sein. 8

Als Beispiel kann man sich ein St¨ uck Eis und eine L¨ osung aus Kochsalz und Wasser bei P = 1 atm und −5◦ C denken. Jeder dieser Teile ist f¨ ur sich im Gleichgewicht. Bringt man sie in Kontakt, dann schmilzt soviel Eis und es diffundiert etwas NaCl in das Eis, bis die Konzentrationen so sind, daß das Eis und die L¨ osung im Gleichgewicht sind (siehe Abschnitt u ¨ber Eutektika). Der hier beschriebene Ausgangszustand - ein Nichtgleichgewichtszustand - ist ein typisches Beispiel f¨ ur ein gehemmtes Gleichgewicht. Solange Barrieren den Teilchenaustausch verhindern (hemmen), also nur Energie- und Volumensausgleich m¨ oglich sind, ist dieser inhomogene Zustand durch die Gleichgewichtsthermodynamik darstellbar.

122

3. Thermodynamik

Abb. 3.18. Entropie als Funktion eines Parameters x, Gleichgewichtswert x0 .

Abb. 3.19. Freie Enthalpie als Funktion eines Parameters.

¨ Man nennt Anderungen virtuell – also im Prinzip m¨oglich, wenn sie mit den Bedingungen des Systems vertr¨ aglich sind. Eine ungleichm¨aßige Aufteilung der Energie auf Teilsysteme bei gleichbleibender Gesamtenergie wird zwar von selbst nicht auftreten, ist aber denkbar. Im Gleichgewicht ist die Entropie ein Maximum gegen¨ uber allen virtuellen Ver¨anderungen. Als n¨ achstes betrachten wir die freie Enthalpie, G = E − TS + PV ,

(3.6.37)

die wir durch (3.6.37) f¨ ur Nichtgleichgewichtszust¨ ande ebenso definieren wie ¨ f¨ ur Gleichgewichtszust¨ ande. F¨ ur deren Anderung folgt aus (3.6.36a) die Ungleichung dG ≤ −SdT + V dP

(3.6.38a)

F¨ ur konstant gehaltene T und P folgt aus (3.6.38a) dG ≤ 0

fu ¨ r T und P fest,

(3.6.38b)

d.h. die freie Enthalpie G strebt einem Minimum zu. In der Umgebung des ¨ Minimums (Abb. 3.19) gilt f¨ ur eine virtuelle (gedachte) Anderung δG = G(x0 + δx) − G(x0 ) =

1  G (x0 )(δx)2 . 2

(3.6.39)

Die Terme erster Ordnung verschwinden, deshalb gilt in erster Ordnung δx: δG = 0

fu ¨r T und P fest.9

(3.6.38c)

Man bezeichnet dies als Stationarit¨at. Da G bei x0 ein Minimum besitzt, ist G (x0 ) > 0 . 9

(3.6.40)

Diese Bedingung spielt in der physikalischen Chemie eine große Rolle, da in der Chemie Druck und Temperatur meist vorgegeben sind.

3.6 Erster und zweiter Hauptsatz

123

Analog zeigt man f¨ ur die freie Energie F = E − T S und f¨ ur die Enthalpie H = E + PV dF ≤ −SdT − P dV

(3.6.41a)

dH ≤ T dS + V dP .

(3.6.42a)

¨ Auch diese Potentiale streben beim Ubergang in das Gleichgewicht unter der Bedingung festgehaltener nat¨ urlicher Variablen einem Minimum zu: dF ≤ 0

fu ¨ r T und V fest

(3.6.41b)

dH ≤ 0

fu ¨ r S und P fest,

(3.6.42b)

und

und als Gleichgewichtsbedingungen folgen δF = 0

fu ¨r T und V fest

(3.6.41c)

δH = 0

fu ¨r S und P fest.

(3.6.42c)

∗

3.6.5 Thermodynamische Ungleichungen aus der Maximalit¨ at der Entropie Wir betrachten ein System, dessen Energie E und dessen Volumen V sein m¨oge. Dieses System zerlegen wir in zwei gleich große Teile und untersuchen ¨ eine virtuelle Anderung der Energie und des Volumens des Untersystems 1 um δE1 und δV1 . Dementsprechend ¨ andern sich die Werte des Teilsystems 2 um −δE1 und −δV1 . Die gesamte Entropie ist vorher



 E V E V S(E, V ) = S1 , + S2 , . (3.6.43) 2 2 2 2 ¨ Deshalb ist die Anderung der Entropie durch



 E V E V δS = S1 + δE1 , + δV1 + S2 − δE1 , − δV1 − S(E, V ) 2 2 2 2



 ∂S1 ∂S2 ∂S1 ∂S2 = − δE1 + − δV1 ∂E1 ∂E2 ∂V1 ∂V2



 1 ∂ 2 S1 ∂ 2 S2 1 ∂ 2 S1 ∂ 2 S2 2 2 + + (δE ) + + (δV1 ) 1 2 ∂E12 ∂E22 2 ∂V12 ∂V22

2  ∂ S1 ∂ 2 S2 + + δE1 δV1 + . . . (3.6.44) ∂E1 ∂V1 ∂E2 ∂V2

124

3. Thermodynamik

gegeben. Aus der Stationarit¨ at der Entropie, δS = 0, folgt, daß die Terme linear in δE1 und δV1 verschwinden m¨ ussen. Dies besagt, daß im Gleichgewicht Temperatur T und Druck P der Untersysteme gleich sein m¨ ussen T1 = T2 , P1 = P2 ;

(3.6.45a)

eine Aussage, die uns schon aus der Gleichgewichtsstatistik bekannt ist. ¨ Wenn man auch noch virtuelle Anderungen der Teilchenzahlen δN1 und −δN1 in den Teilsystemen 1 und 2 zul¨ a ßt, dann tritt in der zweiten Zeile von  ∂S1 ∂S2 (3.6.44) noch ein Term ∂N − δN hinzu, und man erh¨alt als weitere 1 ∂N2 1 Gleichgewichtsbedingung die Gleichheit der chemischen Potentiale µ1 = µ2

(3.6.45b)

Dabei k¨ onnen die beiden Teilsysteme auch aus unterschiedlichen Phasen (z.B. fest und fl¨ ussig) bestehen. Zun¨ achst bemerken wir, daß die zweiten Ableitungen von S1 und S2 in (3.6.44) beide an den Stellen E/2, V /2 zu bilden sind und deshalb einander gleich sind. Im Gleichgewichtszustand ist die Entropie nach (3.6.36b) maximal. Daraus folgen f¨ ur die Koeffizienten der quadratischen Form (3.6.44) die beiden Bedingungen ∂ 2 S1 ∂ 2 S2 = ≤0 ∂E12 ∂E22

(3.6.46a)

und ∂ 2 S1 ∂ 2 S1 − ∂E12 ∂V12



∂ 2 S1 ∂E1 ∂V1

2 ≥0.

(3.6.46b)

Wir lassen nun den Index 1 weg und formen die linke Seite der ersten Bedingung um

1 ∂T ∂2S 1 = =− 2 . (3.6.47a) ∂E 2 ∂E V T CV Die linke Seite der zweiten Bedingung, Gl. (3.6.45b), k¨onnen wir durch eine Jakobi-Determinante darstellen und umformen
∂S ∂S 

 ∂ ∂E , ∂V ∂ T1 , PT ∂ T1 , PT ∂ (T, V ) = = ∂ (E, V ) ∂ (E, V ) ∂ (T, V ) ∂ (E, V ) (3.6.47b)

 1 ∂P 1 1 =− 3 = 3 . T ∂V T CV T V κT CV Wenn wir die Ausdr¨ ucke (3.6.47a,b) in die Ungleichungen (3.6.46a) und (3.6.46b) einsetzen, ergibt sich

3.7 Kreisprozesse

CV ≥ 0 ,

κT ≥ 0 ,

125

(3.6.48a,b)

was die Stabilit¨at des Systems ausdr¨ uckt. Bei W¨ armeabgabe wird das System k¨ alter. Bei Kompression erh¨ oht sich der Druck. Stabilit¨ atsbedingungen der Art (3.6.48a,b) sind Ausdruck des Prinzips von Le Chatelier: Wenn ein System in einem stabilen Gleichgewichtszustand ¨ ist, dann f¨ uhrt jede spontane Anderung seiner Parameter zu Reaktionen, die das System wieder ins Gleichgewicht f¨ uhren. Die Ungleichungen (3.6.48a,b) wurden in Abschnitt 3.3 schon aus der Positivit¨ at von Teilchenzahl– und Energieschwankungen hergeleitet. Durch die obige Herleitung sind sie im Rahmen der Thermodynamik auf die Stationarit¨ at der Entropie zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Ungleichung CV ≥ 0 garantiert die thermische Stabilit¨at . Wird einem Teil eines Systems W¨arme zugef¨ uhrt, dann erh¨ oht sich seine Temperatur und es gibt W¨ arme an seine Umgebung ab, wodurch sich seine Temperatur erniedrigt. W¨ are die spezifische W¨arme negativ, dann w¨ urde sich die Temperatur des Teilsystems bei der W¨armezufuhr erniedrigen, und es w¨ urde W¨ arme aus der Umgebung einstr¨omen, die zu einer weiteren Temperaturerniedrigung f¨ uhren w¨ urde. Die kleinste W¨armezufuhr w¨ urde eine Instabilit¨ at ausl¨ osen. Die Ungleichung κT ≥ 0 garantiert die mechanische Stabilit¨at . Eine kleine Volumensausdehnung eines Teilbereiches hat zur Folge, daß sich darin der Druck vermindert und die Umgebung mit h¨ oherem Druck diesen Teilbereich wieder komprimiert. W¨are κT < 0 dann w¨ urde der Druck ansteigen und das Volumenelement w¨ urde sich noch weiter ausdehnen.

3.7 Kreisprozesse Die Analyse von Kreisprozessen hat historisch in der Entwicklung der Thermodynamik und in der Auffindung des zweiten Hauptsatzes eine wichtige Rolle gespielt. Auch heute ist deren Verst¨ andnis von prinzipiellem Interesse und dar¨ uber hinaus von eminent praktischer Bedeutung. Die Thermodynamik liefert Aussagen u ¨ber die Effizienz (den Wirkungsgrad) von Kreisprozessen (periodisch wiederkehrenden Vorg¨ angen) allgemeinster Art, die sowohl f¨ ur W¨ armekraftmaschinen und damit f¨ ur die Energiewirtschaft, wie auch f¨ ur den Energiehaushalt biologischer Systeme wichtig sind. 3.7.1 Allgemein Bei Kreisprozessen kehrt die Arbeitssubstanz, d.i. das betrachtete System, nach einem Durchlauf wieder in den Ausgangszustand zur¨ uck. Aus praktischen Gr¨ unden wird in der Dampfmaschine und im Verbrennungsmotor die Arbeitssubstanz periodisch gewechselt. Wir nehmen an, daß der Prozeß quasistatisch verl¨ auft, somit k¨ onnen wir den Zustand des Systems durch zwei thermodynamische Variable charakterisieren, z.B. P und V oder T und S.

126

3. Thermodynamik

Abb. 3.20. Kreisprozeß: (a) im P -V -Diagramm, (b) im T -SDiagramm

Der Prozeß ist in der P -V - und T -S-Ebene durch eine geschlossene Kurve repr¨ asentiert (Abb. 3.20). Die w¨ ahrend eines Umlaufs nach außen geleistete Arbeit ist durch das Ringintegral (das geschlossene Linienintegral) ) W = −A = P dV = F (3.7.1) gegeben, welches gleich der durch den Kreisprozeß eingeschlossenen Fl¨ache F ist. Die w¨ ahrend eines Umlaufs aufgenommene W¨ arme ist durch ) Q = T dS = F (3.7.2) gegeben. Da das System nach einem Umlauf wieder in den Ausgangszustand zur¨ uckkehrt, also insbesondere die innere Energie der Arbeitssubstanz unverandert ist, folgt aus dem Energiesatz ¨ Q=W .

(3.7.3)

Die aufgenommene W¨ armemenge ist gleich der nach außen geleisteten Arbeit. (Der Umlaufsinn und der Fl¨ acheninhalt im P -V - und T -S-Diagramm sind also gleich.) Falls der Kreisprozeß im Uhrzeigersinn durchlaufen wird (Rechtsprozeß) ist ∨

Q=W >0

(3.7.4a)

und man spricht von einer Arbeitsmaschine. F¨ ur den Fall des Gegenuhrzeigersinns (Linksprozeß) ist  Q=W T1 ist, in Kontakt gebracht und isoliert. Die Kolbenbewegung ist in Abb. 3.22 dargestellt.

Abb. 3.22. Der Ablauf des Carnot-Prozesses.

1. Isotherme Expansion: Das System wird mit dem heißeren W¨armebad armemenge der Temperatur T2 in Kontakt gebracht. Die W¨ Q2 = T2 (S2 − S1 )

(3.7.5a)

wird dem Bad 2 bei gleichzeitiger Arbeitsleistung nach außen entnommen. 2. Adiabatische Expansion: Das System wird w¨armeisoliert. Es erfolgt durch adiabatische Expansion Arbeitsleistung nach außen und Abk¨ uhlung der Arbeitssubstanz von der Temperatur T2 auf T1 . 3. Isotherme Kompression: Die Arbeitssubstanz wird in Kontakt mit dem auf Temperatur T1 befindlichen W¨ armebad 1 gebracht und durch Arbeitsleistung von außen komprimiert. Die von der Arbeitssubstanz aufgenommene“ ” W¨ armemenge Q1 = T1 (S1 − S2 ) < 0

(3.7.5b)

ist negativ. D.h., es wird die W¨ armemenge |Q1 | an das W¨armebad abgegeben. 4. Adiabatische Kompression: Durch Arbeitsleistung von außen wird die nun wieder isolierte Arbeitssubstanz komprimiert und ihre Temperatur auf T2 erh¨ oht.

128

3. Thermodynamik

Da nach einem Durchlauf die innere Energie unge¨andert ist, ist die gesamte nach außen geleistete Arbeit gleich der vom System aufgenommenen W¨ armemenge Q = Q1 + Q2 , also W = Q = (T2 − T1 )(S2 − S1 ) .

(3.7.5c)

Der Wirkungsgrad ( = geleistete Arbeit/aus dem heißeren Bad entnommene W¨ armemenge) ist durch η=

W Q2

(3.7.6a)

definiert. F¨ ur die Carnot-Maschine ergibt sich ηC = 1 −

T1 , T2

(3.7.6b)

wobei der Index C auf Carnot hinweist. Es ist ηC < 1. Die allgemeine G¨ ultigkeit von (3.7.6a) kann nicht gen¨ ugend betont werden; sie gilt f¨ ur jede beliebige Arbeitssubstanz. Sp¨ ater wird auch gezeigt werden, daß es keinen Kreisprozeß gibt, dessen Wirkungsgrad den Carnotschen u ¨bertrifft. Inverser Carnot-Prozeß Nun betrachten wir den inversen Carnot-Prozeß, bei dem der Umlaufsinn entgegen dem Uhrzeigersinn ist (Abb. 3.23). Dabei gilt f¨ ur die aus dem Bad 2 und 1 entnommenen W¨ armemengen Q2 = T2 (S1 − S2 ) < 0 Q1 = T1 (S2 − S1 ) > 0 .

(3.7.7a,b)

Die gesamte vom System aufgenommene W¨ armemenge Q, und die am System geleistete Arbeit A, sind dann durch Q = (T1 − T2 )(S2 − S1 ) = −A < 0

(3.7.8)

gegeben. Es wird Arbeit von außen geleistet. Das heißere Reservoir wird erw¨ armt, das k¨ altere abgek¨ uhlt. Je nachdem ob das prim¨are Interesse die

Abb. 3.23. Inverser Carnot-Prozeß

3.7 Kreisprozesse

129

Erw¨ armung des heißeren Reservoirs oder die Abk¨ uhlung des k¨alteren ist, definiert man die Heizeffektivit¨ at oder die K¨ uhleffektivit¨at. Heizeffektivit¨at (= an das Bad 2 u arme/geleistete Arbeit) ¨bertragene W¨ H ηC =

−Q2 T2 = >1. A T2 − T1

(3.7.9)

H Da ηC > 1 ist, stellt dies eine effektivere Heizmethode als die direkte Umwandlung von elektrischer oder anderer Arbeitsenergie in W¨arme dar (man nennt eine derartige Maschine W¨ armepumpe). Die Formel zeigt aber auch, daß W¨ armepumpen nur sinnvoll sind, solange T2 ≈ T1 ist; denn wenn die Temperatur des Reservoirs (z.B. Nordpolmeer) T1
T2 ist, folgt |Q2 | ≈ |A|, d.h. man kann, statt u armepumpe, die Antriebsenergie direkt in ¨ ber eine W¨ W¨ arme umwandeln. K¨ uhleffektivit¨at (= dem k¨ alteren Reservoir entzogene W¨armemenge/geleistete Arbeit) K ηC =

Q1 T1 = . A T2 − T1

(3.7.10)

Bei großtechnischen K¨ uhlvorg¨ angen ist es zweckm¨ aßig, in mehreren Schritten zu k¨ uhlen. 3.7.3 Allgemeiner Kreisprozeß Wir betrachten nun einen allgemeinen Kreisprozeß (Abb. 3.24), bei dem W¨ armeaustausch mit der Umgebung bei unterschiedlichen Temperaturen stattfinden kann, nicht notwendigerweise nur bei der Maximal- und Minimaltemperatur. Wir zeigen, daß der Wirkungsgrad η die Ungleichung η ≤ ηC

(3.7.11)

erf¨ ullt, wo ηC der Wirkungsgrad eines zwischen den Extremaltemperaturen operierenden Carnot-Prozesses ist. Wir zerlegen den Prozeß in Abschnitte mit W¨ armezufuhr (δQ > 0) und W¨ armeabgabe (δQ < 0) und lassen auch irreversible Prozeßf¨ uhrung zu

Abb. 3.24. Allgemeiner Kreisprozeß

130

3. Thermodynamik

  W = Q = ∨ δQ =

 δQ +

δQ>0

δQ = Q2 + Q1 . δQ0

0

(3.7.12)

δQ 0. Dazu erinnern wir an die in Abschnitt 3.8.1 besprochene isobare Erw¨armung. Im Koexistenzgebiet bleibt die Temperatur T konstant, da die zugef¨ uhrte W¨ arme zur Umwandlung verwendet wird. Aus (3.8.10), QL = T ∆S > 0, folgt ∆S > 0. Man kann dies auch aus Abb. ablesen, deren allgemeine
3.34b  Form sich aus der Konkavit¨ at von G und ∂G = −S < 0 ergibt. ∂T P

3.8 Phasen von Einstoffsystemen (einkomponentigen Systemen)

137

3.8.2.2 Beispiele zur Clausius-Clapeyron-Gleichung: Wir besprechen nun einige interessante Beispiele zur Clausius-ClapeyronGleichung. ¨ (i) Fl¨ ussig → Gasf¨ ormig: Da nach der vorausgehenden Uberlegung ∆S > 0 0 und das spezifische Volumen des Gases gr¨ oßer ist, ∆V > 0, folgt dP > 0, d.h. dT die Siedetemperatur nimmt mit dem Druck zu (Tab. I.5 und Abb. 3.28(b), 3.29(b)). Tabelle I.6 enth¨ alt die Verdampfungsw¨ armen einiger Stoffe bei ihrem Siedepunkt unter Normaldruck, d.h. 760 Torr. Man beachte den hohen Wert von Wasser. ¨ (ii) Fest → Fl¨ ussig: Beim Ubergang in die Hochtemperaturphase ist immer dT ∆S > 0. Meistens ist ∆V > 0, dann folgt dP > 0. Bei Wasser ist ∆V < 0 und dT deshalb dP < 0. Daß Eis auf Wasser schwimmt, impliziert u ¨ber die ClausiusClapeyron-Gleichung, daß der Schmelzpunkt bei Druckerh¨ohung abnimmt (Abb. 3.29). Bemerkung: Es gibt auch noch einige andere Substanzen, die sich beim Schmelzen ausdehnen, z.B. Quecksilber und Wismut. Die starke Volumenszunahme des Wassers (9,1%) hat mit der lockeren, Hohlr¨ aume aufweisenden Struktur von Eis zu tun (Die Bindung kommt durch Wasserstoffbr¨ ucken zwischen den Sauerstoffatomen zustande, siehe Abb. 3.30). Deshalb ist die fl¨ ussige Phase dichter. Schon ab 4◦ C oberhalb des Schmelzpunktes Tm nimmt die Dichte des Wassers bei Abk¨ uhlung ab (Anomalie des Wassers), weil schon oberhalb von Tm lokale Ordnung einsetzt. W¨ ahrend in der Regel der feste Stoff in seiner eigenen Schmelze zu Boden sinkt, schwimmt Eis auf Wasser, und zwar so, daß es zu etwa 9/10 eintaucht. Diese Tatsache spielt im Zusammenhang mit der Dichteanomalie des Wasser eine sehr wichtige Rolle in der Natur und ist f¨ ur das Leben auf der Erde fundamental. Die Volumens¨ anderung beim Schmelzen ist VFl − VF = (1.00 − 1.091) cm3 /g = −0.091 cm3 g−1 . Die Schmelzw¨ arme pro g betr¨ agt Q = 80 cal/g = 80×42.7 at cm3 /g. Daraus folgt f¨ ur die Steigung der Schmelzkurve des Eises bei etwa 0◦ C dP 80 × 42.7 at =− = −138 at/K . dT 273 × 0.091 K

(3.8.12)

Abb. 3.30. Die hexagonale Struktur von Eis. Es sind die Sauerstoffatome gezeichnet, die u ucken mit vier ¨ ber Wasserstoffbr¨ Nachbarn verbunden sind.

138

3. Thermodynamik

Die Schmelzkurve verl¨ auft als Funktion der Temperatur sehr steil. Es erfordert eine Druckerh¨ ohung von 138 at, damit sich die Schmelztemperatur um 1 K erniedrigt. Diese Gefrierpunktserniedrigung“ tritt, so klein sie ist, in einer Reihe von ” Alltagserscheinungen zutage. Bringt man ein St¨ uck Eis von etwas weniger als 0◦ unter erh¨ ohten Druck, so tritt im ersten Augenblick ein Schmelzvorgang ein. Die hierzu n¨ otige Schmelzw¨ arme entzieht aber das Eis sich selbst, und es k¨ uhlt sich so auf eine etwas niedrigere Temperatur ab, so daß ein Fortschreiten des Schmelzvorganges unterbunden wird, solange dem Eis nicht W¨ arme von außen zugef¨ uhrt wird. Auf dieser Tatsache beruht die sogenannte Regelation des Eises (= das abwechselnde Auftauen und Gefrieren von Eis durch Temperatur- und Druck¨ anderungen). Das Zusammenpressen des Schnees, der ja aus Eiskristallen besteht, im Schneeball bewirkt infolge der Druckzunahme, daß der Schnee stellenweise schmilzt. Beim Nachlassen des Drucks gefriert er wieder, und die Schneekristalle backen zusammen. Die Gl¨ atte von Eis r¨ uhrt sehr wesentlich auch davon her, daß es an Druckstellen schmilzt, so daß sich zwischen einem gleitenden K¨ orper und dem Eis eine d¨ unne Wasserschicht befindet, die wie ein Schmiermittel wirkt, worauf man auch die leichte Beweglichkeit des Schlittschuhl¨ aufers zur¨ uckf¨ uhrt. Auf der Regelation beruht auch zum Teil die Plastizit¨ at des Gletschereises und dessen Vorr¨ ucken ¨ ahnlich einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit. Unter dem Druck des dar¨ uber lastenden Eises werden die tieferen Partien des Gletschers beweglich, gefrieren aber wieder, wenn der Druck nachl¨ aßt.

(iii) He3 , Fl¨ ussig → Fest: Das Phasendiagramm von He3 ist in Abb. 3.31 schematisch gezeichnet. Bei tiefen Temperaturen gibt es ein Intervall mit fal¨ lender Schmelzkurve. In dieser Region ist beim Ubergang von fl¨ ussig nach fest (siehe Pfeil in Abb. 3.31a) dP < 0; des weiteren zeigt sich experimentell, daß dT das Volumen der festen Phase (wie im Normalfall) kleiner als der fl¨ ussigen ist, ∆V < 0. Somit ergibt sich aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung (3.8.8) ¨ ∆S > 0, wie es aufgrund der allgemeinen Uberlegung in Anmerkung (ii) sein muß. Pomerantschuk-Effekt: Man bezeichnet die Tatsache, daß in dem oben genannten Temperaturintervall die Entropie beim Verfestigen steigt, als Pomerantschuk-Effekt. Man n¨ utzt diesen zur Erreichung tiefer Temperaturen aus (Siehe Abb. 3.31b). Eine Kompression (gestrichelte Linie) von fl¨ ussigem He3 f¨ uhrt zur Verfestigung und wegen ∆S > 0 zum Verbrauch von W¨ arme. Das hat eine Abk¨ uhlung der Substanz zur Folge. Die Kompression f¨ uhrt deshalb zu einer Zustands¨ anderung l¨ angs der Schmelzkurve (siehe Pfeil in Abb. 3.31b). Man kann diesen Effekt zur Abk¨ uhlung von He3 verwenden. Man erreicht −3 dabei Temperaturen bis zu 2 × 10 K. Der Pomerantschuk-Effekt hat allerdings heute kaum mehr praktische Bedeutung in der Tieftemperaturphysik. Die wichtigsten Methoden zur Erreichung tiefster Temperaturen sind He3 He4 -Entmischung (2 × 10−3 − 5 × 10−3 K), und adiabatische Entmagnetisierung von Kupfer (10 × 10−6 − 12 × 10−6 K), wobei in Klammern die erreichbaren Temperaturen angegeben sind. (iv) Sublimationskurve: Wir betrachten einen Festk¨orper (1), der sich im Gleichgewicht mit einem klassischen idealen Gas (2) befindet. Da f¨ ur die

3.8 Phasen von Einstoffsystemen (einkomponentigen Systemen)

Abb. 3.31. Phasendiagramm von He3 . (a) Isobare Verfestigung im Bereich (b) Pomerantschuk-Effekt.

139

dP dT

< 0.

Volumina V1
V2 gilt, folgt aus der Clausius-Clapeyron-Gleichung (3.8.11) dP QL = , dT T V2 wobei QL die Sublimationsw¨ arme darstellt. F¨ ur V2 setzen wir die ideale Gasgleichung ein dP QL P = . dT kN T 2

(3.8.13)

Diese Differentialgleichung kann unter der Annahme, daß QL temperaturunabh¨ angig ist, sofort integriert werden P = P0 e−q/kT ,

(3.8.14)

wobei q = QNL die Sublimationsw¨ arme pro Teilchen ist. Gleichung (3.8.14) gibt den Verlauf der Sublimationskurve unter den genannten Voraussetzungen an. Der Dampfdruck der meisten festen Stoffe ist u ¨ beraus klein, und in der Tat zeigt sich fast durchweg keine meßbare zeitliche Abnahme der Menge dieser Stoffe durch Verdampfung. Nur sehr wenige feste Stoffe zeigen eine deutlich beobachtbare Sublimation und haben infolgedessen auch einen merklichen, mit der Temperatur ansteigenden Dampfdruck, dazu geh¨ oren manche feste Duftstoffe. Zahlenwerte f¨ ur den Dampfdruck u ¨ ber Eis und Jod geben die Tabellen I.8 und I.9. Bei scharfem Frost und trockener Luft beobachtet man ein allm¨ ahliches Schwinden des Schnees, der sich durch Sublimation unmittelbar in Wasserdampf verwandelt. Der umgekehrte Vorgang ist die unmittelbare Bildung von Rauhreif aus dem Wasserdampf der Luft sowie die Bildung der Schneekristalle in den kalten oberen Luftschichten. Bringt man in ein luftleer gemachtes Glasgef¨ aß Jodkristalle und k¨ uhlt eine Stelle der Gef¨ aßwand ab, so schl¨ agt sich dort aus dem im Gef¨ aß gebildeten Joddampf festes Jod nieder. Frei an der Luft liegende Jodkristalle, gewisse Quecksilbersalze, darunter das Sublimat“ (HgCl2 ) u. dgl., verschwinden durch ” Sublimation.

140

3. Thermodynamik

3.8.3 Konvexit¨ at der freien Energie und Konkavit¨ at der freien Enthalpie ¨ Wir kehren nun nochmals zum Gas-Fl¨ ussigkeits-Ubergang zur¨ uck, um einige weitere Aspekte der Verdampfung und das Kr¨ ummungsverhalten der thermodynamischen Potentiale zu besprechen. Das Koexistenzgebiet und die Koexistenzkurve sind im T -V -Diagramm deutlich ersichtlich. Statt dessen ben¨ utzt man auch h¨ aufig das P -V -Diagramm. Aus der Projektion des dreidimensionalen P -V -T -Diagramms ersieht man die in Abb. 3.32 gezeichnete Form. Aus dem Verlauf der Isothermen im P -V -Diagramm
kann  die freie ∂F Energie analytisch und graphisch bestimmt werden. Wegen ∂V = −P , T folgt f¨ ur die freie Energie V F (T, V ) − F (T, V0 ) = −

dV  PT (V  ) .

(3.8.15)

V0

Man sieht sofort, daß die Isotherme in Abb. 3.32 qualitativ zu der Volumenabh¨angigkeit der darunter gezeichneten freien Energie f¨ uhrt. Die freie Energie ist konvex (nach oben gekr¨ ummt). Die grundlegende Ursache daf¨ ur ist, daß die Kompressibilit¨ at positiv ist: ∂2F ∂P 1 =− ∝ >0, 2 ∂V ∂V κT

Abb. 3.32. Isotherme PT (V ) und freie Energie als Funktion des Volumens beim Verdampfen, d¨ unne Linie Koexistenzkurve

3.8 Phasen von Einstoffsystemen (einkomponentigen Systemen)

141

Abb. 3.33. Die konstruktive Bestimmung der freien Enthalpie aus der freien Energie.

w¨ ahrend

2 

 ∂ F ∂S = − ∝ −CV < 0 . ∂T 2 V ∂T V

(3.8.16)

Diese Ungleichungen beruhen auf den fr¨ uher bewiesenen Stabilit¨atsrelationen (3.3.5, 3.3.6) bzw. (3.6.48a,b). Die freie Enthalpie G(T, P ) = F + P V kann man aus F (T, V ) konstruktiv
∂F bestimmen. Wegen P = − ∂V ergibt sich G(T, P ) aus F (T, V ), indem T man eine Tangente mit Steigung −P an F (T, V ) anlegt (Siehe Abb. 3.33). Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der Ordinate hat die Koordinate

 ∂F F (T, V ) − V = F + V P = G(T, P ) . (3.8.17) ∂V T Das Ergebnis dieser Konstruktion ist in Abb. 3.34 gezeichnet.

Abb. 3.34. Die freie Enthalpie als Funktion (a) des Druckes und (b) der Temperatur.

142

3. Thermodynamik

Die Ableitungen der freien Enthalpie



 ∂G ∂G = V und = −S ∂P T ∂T P ergeben das Volumen und die Entropie. Sie sind am Phasen¨ ubergang unstetig, was sich in einem Knick der Kurven ¨ außert. Hier ist P0 (T ) der Verdampfungsdruck bei der Temperatur T und T0 (P ) die Verdampfungstemperatur beim Druck P . Aus dieser Konstruktion erkennt man auch, daß die freie Enthalpie konkav ist (Abb. 3.34). Die Kr¨ ummungen sind negativ, da κT > 0 und CP > 0 sind. Die Vorzeichen der Steigungen ergeben sich aus V > 0 und S > 0. Aus ¨ den Abbildungen ist ersichtlich, daß beim Ubergang in die Hochtempera¨ turphase die Entropie zunimmt und beim Ubergang in die Phase h¨oheren Druckes das Volumen abnimmt. Diese Folgerungen aus den Stabilit¨atsbedingungen gelten ganz allgemein. In den Diagrammen (3.34a,b) k¨onnen Gas und Fl¨ ussigkeit durch Niederdruck und Hochdruck bzw. Hochtemperaturund Niedertemperatur-Phasen ersetzt werden. Beim Schmelzen muß die latente W¨ arme zugef¨ uhrt werden, beim Gefrieren muß diese der Substanz entnommen werden. Wenn man bei konstantem Druck W¨ arme zu- oder abf¨ uhrt, wird diese dazu verwendet, um die feste in die fl¨ ussige Phase oder umgekehrt umzuwandeln. Im Koexistenzbereich bleibt dabei die Temperatur konstant. Dies ist der Grund daf¨ ur, daß im Sp¨ atherbst und Fr¨ uhjahr die Außentemperatur auf der Erde u angere Perioden gerade sehr nahe bei Null Grad ¨ ber l¨ Celsius, dem Gefrierpunkt von Wasser, liegt.

3.8.4 Tripelpunkt Im Tripelpunkt (Abb. 3.26 und 3.35) koexistieren feste, fl¨ ussige und gasf¨ormige Phase im Gleichgewicht. Die Bedingung f¨ ur das Gleichgewicht von gasf¨ormiger, fl¨ ussiger und fester Phase oder allgemeiner von drei Phasen 1, 2 und 3 lautet µ1 (T, P ) = µ2 (T, P ) = µ3 (T, P ) ,

(3.8.18)

und legt den Tripelpunktsdruck und die Tripelpunktstemperatur Pt , Tt fest. Im P -T -Diagramm ist der Tripelpunkt ein Punkt. Im T -V -Diagramm ist der Tripelpunkt die in Abb. 3.35b gezeichnete horizontale Linie. L¨angs dieser sind die drei Phasen im Gleichgewicht. Stellt man das Phasendiagramm durch zwei extensive Variable dar, wie z.B. in Abb. 3.35c in V und S, so wird aus dem Tripelpunkt die gesamte dort sichtbare Dreiecksfl¨ache. In jedem Punkt dieses Dreiecks sind die drei den Eckpunkten des Dreiecks entsprechenden Zust¨ ande der Phasen 1, 2 und 3 miteinander in Koexistenz. Wir wollen dies nun genauer erl¨ autern. Es seien s1 , s2 und s3 die Entropien pro Teilchen der Phasen 1, 2 und 3 genau am Tripelpunkt   ∂µi  si = − ∂T und entsprechend v1 , v2 , v3 die spezifischen Volu P T t ,Pt i  mina vi = ∂µ . Die Punkte (si , vi ) sind im s-v-Diagramm als ∂P Tt ,Pt T

3.8 Phasen von Einstoffsystemen (einkomponentigen Systemen)

143

Abb. 3.35. Tripel-Punkt (a) im P -T -Diagramm (Die Phasen sind mit 1, 2, 3 bezeichnet. Die Koexistenzgebiete sind durch 3-2 etc. gekennzeichnet, d.h. Koexi¨ stenz von Phase 3 und Phase 2 auf den beiden Asten der Koexistenzkurve.), (b) im T -v-Diagramm und (c) im v-s-Diagramm

Punkte 1, 2, 3 eingetragen. Offensichtlich kann jedes Paar von Phasen miteinander koexistieren; die Verbindungslinien zwischen den Punkten 1 und 2 etc. ergeben das Dreieck mit den Eckpunkten 1, 2, 3. Die Koexistenzkurven zweier z.B. 1 und 2 ergeben  Phasen,   sich im s-v-Diagramm aus ∂µi i   si (T ) = − ∂µ und v (T ) = mit i = 1 und 2 und i ∂T ∂P P0 (T ) P0 (T ) P

T

der zugeh¨ origen Phasengrenzkurve P = P0 (T ). Hier ist die Temperatur ein ¨ Parameter; Punkte auf den beiden Asten der Koexistenzkurven mit gleichem T k¨ onnen miteinander in Koexistenz sein. Das Diagramm 3.35c ist nur schematisch. Die (keineswegs parallelen) Geraden innerhalb der ZweiPhasen-Koexistenzfl¨ achen geben an, welche der Paare von einkomponentigen ¨ Zust¨ anden auf den beiden Asten der Koexistenzlinie miteinander in Koexistenz sein k¨ onnen. Nun kommen wir zum Inneren der Dreiecksfl¨ ache in Abb. 3.35c. Zun¨achst ist klar, daß die drei Tripelpunktsphasen 1, 2, 3 mit Temperatur Tt und Druck Pt in beliebigen Mengenverh¨ altnissen miteinander koexistieren k¨onnen. Das bedeutet auch, daß eine vorgegebene Menge der Substanz in beliebigen Bruchteilen c1 , c2 , c3 (0 ≤ ci ≤ 1) c1 + c2 + c3 = 1

(3.8.19a)

auf diese drei Phasen aufgeteilt werden kann, und dann die gesamte spezifische Entropie c1 s 1 + c2 s 2 + c3 s 3 = s

(3.8.19b)

und das gesamte spezifische Volumen c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = v

(3.8.19c)

besitzt. Aus (3.8.19a,b,c) folgt, daß s und v innerhalb des Dreiecks von Abb. 3.35c liegt. Umgekehrt kann jeder (heterogene) Gleichgewichtszustand

144

3. Thermodynamik

mit gesamter spezifischer Entropie s und spezifischem Volumen v innerhalb des Dreiecks realisiert werden, wobei c1 , c2 , c3 aus (3.8.19a-c) folgen. Gl. (3.8.19a-c) k¨ onnen durch folgende Schwerpunktsregel interpretiert werden. Es sei ein Punkt (s, v) innerhalb des Dreiecks im v-s-Diagramm (siehe Abb. 3.35c) gegeben. Die Bruchteile c1 , c2 , c3 m¨ ussen so gew¨ahlt werden, daß eine Belegung der Eckpunkte des Dreiecks 1, 2, 3 mit Massen c1 , c2 , c3 auf einen Schwerpunkt mit der Position (s, v) f¨ uhrt. Das ist unmittelbar einsichtig, wenn man (3.8.19b,c) in der zweikomponentigen Form darstellt:





  v1 v2 v v c1 + c2 + c3 3 = (3.8.20) s1 s2 s3 s Bemerkungen: (i) Abgesehen von der Schwerpunktsregel k¨ onnen auch algebraisch gel¨ ost werden      1 1 1 1 1 1 1 1       s s2 s 3   s 1 s s3   s1 s2       v v2 v3   v1 v v3   v1 v2  , c2 =   , c3 =  c1 =   1 1 1 1 1 1 1 1     s1 s2 s3   s1 s2 s3   s1 s2       v1 v2 v3   v1 v2 v3   v1 v2

die linearen Gleichungen  1  s  v  . 1  s3  v3 

(ii) Durch den Tripelpunkt ist eine pr¨ azise Festlegung einer Temperatur und eines Druckes m¨ oglich, denn die Koexistenz der drei Phasen ist zweifelsfrei feststellbar. Aus Abb. 3.35c ist auch ersichtlich, daß der Tripelpunkt als Funktion der experimentell kontrollierbaren Parameter kein Punkt, sondern die gesamte Dreiecksfl¨ ache ist. Die von außen direkt steuerbaren Parameter sind nicht P und T , sondern das Volumen V und die Entropie S, die man durch Arbeitsleistung oder W¨ armezufuhr ¨ andern kann. F¨ uhrt man dem System im durch ein Kreuz (Abb. 3.35c) markierten Zustand W¨arme zu, dann wird im Beispiel von Wasser etwas Eis schmelzen, der Zustand aber noch immer innerhalb des Dreiecks bleiben. Dies erkl¨ art, daß sich der Tripelpunkt als in weiten Grenzen unempfindlicher Temperaturstandard eignet. (iii) F¨ ur Wasser ist Tt = 273, 16 K und Pt = 4, 58 Torr. Wie in Abschnitt 3.4 ausgef¨ uhrt wurde, wird die absolute Temperaturskala durch den Tripelpunkt des Wassers festgelegt. Zur Erreichung des Tripelpunktes muß man lediglich hochreines Wasser in einen Beh¨ alter destillieren und diesen nach Entfernung von jeglicher Luft versiegeln. Man hat dann Wasser und Wasserdampf koexistierend (Koexistenzgebiet 1-2 in Abb. 3.35c). Entzug von W¨arme durch eine K¨ altemischung bringt das System in die Tripelpunkts-Region. Solange alle drei Phasen vorliegen, ist die Temperatur gleich Tt (Siehe Abb. 3.36).

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen

145

Abb. 3.36. Tripelpunkts-Zelle; Eis, Wasser und Wasserdampf sind miteinander im Gleichgewicht. Durch die an der inneren Wand eingebrachte K¨ altemischung gefriert dort das Wasser. Nachdem die K¨ altemischung durch den Thermometerkolben ersetzt wird, bildet sich an der inneren Wand ein Fl¨ ussigkeitsfilm.

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen 3.9.1 Verallgemeinerung der thermodynamischen Potentiale Wir betrachten ein homogenes Gemisch von n Stoffen, oder wie man in diesem Zusammenhang sagt, Komponenten, deren Teilchenzahlen N1 , N2 , . . . , Nn seien. Wir m¨ ussen zun¨ achst die thermodynamischen Relationen auf diese Situation verallgemeinern. Hierzu kn¨ upfen wir an Kapitel 2 an. Das Phasenraumvolumen und desgleichen die Entropie sind nun Funktionen der Energie, des Volumens und aller Teilchenzahlen S = S(E, V, N1 , . . . , Nn ) .

(3.9.1)

Alle thermodynamischen Beziehungen k¨ onnen auf diesen Fall verallgemeinert werden, indem man N und µ durch Ni und µi ersetzt und u ¨ ber i summiert. Wir definieren das chemische Potential des i-ten Stoffes durch

 ∂S µi = −T (3.9.2a) ∂Ni E,V,{Nk=i } und wie bisher sind

 1 ∂S = T ∂E V,{Nk }

und

P = T



∂S ∂V

 .

(3.9.2b,c)

E,{Nk }

Dann folgt f¨ ur das Differential der Entropie  µi 1 P dE + dV − dNi T T T i=1 n

dS =

und daraus der erste Hauptsatz

(3.9.3)

146

3. Thermodynamik

dE = T dS − P dV +

n 

µi dNi

(3.9.4)

i=1

f¨ ur dieses Gemisch. Die Gibbs-Duhem-Relation f¨ ur homogene Gemische lautet E = TS − PV +

n 

µi Ni .

(3.9.5)

i=1

Diese erh¨ alt man analog zu Abschnitt 3.1.3, indem man αE = E(αS, αV, αN1 , . . . , αNn )

(3.9.6)

nach α differenziert. Aus (3.9.4) und (3.9.5) folgt die differentielle Form der Gibbs-Duhem-Relation f¨ ur Gemische −SdT + V dP −

n 

Ni dµi = 0 .

(3.9.7)

i=1

Daraus ist ersichtlich, daß von den n+2 Variablen (T, P, µ1 , . . . , µn ) nur n+1 unabh¨ angig sind. Die freie Enthalpie ist durch G = E − TS + PV

(3.9.8)

definiert. Aus dem ersten Hauptsatz (3.9.4) ergibt sich das Differential dG = −SdT + V dP +

n 

µi dNi .

(3.9.9)

i=1

Aus (3.9.9) liest man

∂G S=− ∂T



,

V =

P,{Nk }

∂G ∂P



,

µi =

T,{Nk }

∂G ∂Ni

 T,P,{Nk=i }

(3.9.10) ab. F¨ ur homogene Gemische findet man mittels der Gibbs-Duhem-Relation (3.9.5) f¨ ur die freie Enthalpie (3.9.8) G=

n 

µi Ni .

(3.9.11)

i=1

Dann ist S=−

 n

 ∂µi i=1

∂T

P

Ni ,

V =

 n

 ∂µi i=1

∂P

T

Ni .

(3.9.12)

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen

147

Die chemischen Potentiale sind intensive Gr¨ oßen und h¨angen deshalb nur von T  , P und den n − 1 Konzentrationen c1 = NN1 , . . . , cn−1 = Nn−1 ab N n (N = i=1 Ni , cn = 1 − c1 − . . . − cn−1 ). Das großkanonische Potential ist durch Φ = E − TS −

n 

µi Ni

(3.9.13)

i=1

definiert. F¨ ur dessen Differential findet man aus dem ersten Hauptsatz (3.9.4) dΦ = −SdT − P dV −

n 

Ni dµi .

(3.9.14)

i=1

F¨ ur homogene Gemische ergibt sich aus der Gibbs-Duhem-Relation (3.9.5) Φ = −P V .

(3.9.15)

Die Dichtematrix f¨ ur Gemische h¨ angt vom gesamten Hamilton-Operator ab und wird im Kapitel 5 eingef¨ uhrt. 3.9.2 Gibbs-Phasenregel und Phasengleichgewicht Wir betrachten n chemisch verschiedene Stoffe (Komponenten), die sich in r Phasen befinden k¨ onnen (Abb. 3.37) und zwischen denen keine chemischen Reaktionen stattfinden sollen.

Abb. 3.37. Gleichgewicht von 3 Phasen.

Es gelten die folgenden Gleichgewichtsbedingungen: Temperatur T und Druck P m¨ ussen im Gesamtsystem einheitliche Werte annehmen. Außerdem m¨ ussen f¨ ur jede Komponente i die chemischen Potentiale in allen Phasen gleich sein. Diese Gleichgewichtsbedingungen k¨ onnen sowohl direkt durch Betrachtung der mikrokanonischen Gesamtheit abgeleitet werden, als auch aus der Station¨ arit¨ at der Entropie.

148

3. Thermodynamik

(i) Als erste M¨ oglichkeit denken wir uns ein aus n chemischen Substanzen bestehendes mikrokanonisches Ensemble und zerlegen dieses in r Teile. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit f¨ ur eine bestimmte Aufteilung der Energie, des Volumens und der Teilchenzahlen auf diese Teile, dann erh¨alt man f¨ ur die wahrscheinlichste Aufteilung die Gleichheit von Temperatur, Druck und der chemischen Potentiale jeder Komponente. (ii) Als zweite M¨ oglichkeit zur Ableitung der Gleichgewichtsbedingungen kann man von der Maximalit¨ at der Entropie im Gleichgewicht (3.6.36b)

 n  1 dS ≥ dE + P dV − µi dNi (3.9.16) T i=1 und der daraus folgenden Stationarit¨ at des Gleichgewichtszustandes bei festem E, V , {Ni }, δS = 0

(3.9.17)

gegen¨ uber virtuellen Ver¨ anderungen Gebrauch machen. Man kann dann wie in Abschnitt 3.6.5 vorgehen und ein System in zwei Teile 1 und 2 zerlegen und neben der Energie und dem Volumen noch die Teilchenzahlen variieren: (Siehe (3.6.44))



 ∂S1 ∂S2 ∂S1 ∂S2 δS = − δE1 + − δV1 ∂E1 ∂E2 ∂V1 ∂V2

 (3.9.18)  ∂S1 ∂S2 + − δNi,1 + . . . . ∂Ni,1 ∂Ni,2 i Hier ist Ni,1 (Ni,2 ) die Teilchenzahl der Komponente i im Teilsystem 1 (2). Aus dem Verschwinden der Variation folgen die Gleichheit der Temperaturen und Dr¨ ucke T1 = T2 , und

∂S1 ∂Ni,1

=

P1 = P2

∂S2 ∂Ni,2 ,

µi,1 = µi,2

(3.9.19)

also die Gleichheit der chemischen Potentiale

fu ¨r i = 1, . . . , n .

(3.9.20)

Damit sind die eingangs des Abschnitts formulierten Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet und wir wollen diese nun auf n chemische Substanzen in r Phasen anwenden (Abb. 3.37). Insbesondere wollen wir kl¨aren, wieviele Phasen im Gleichgewicht koexistieren k¨ onnen. Neben der Gleichheit von Temperatur und Druck im gesamten System m¨ ussen nach (3.9.20) auch die chemischen Potentiale gleich sein (1)

(r)

µ1 = . . . = µ1 , ... (r) µ(1) n = . . . = µn .

(3.9.21)

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen

149

Der obere Index bezieht sich auf die Phasen, der untere auf die Stoffe. Die Gleichungen (3.9.21) stellen insgesamt n(r−1) Bedingungen f¨ ur die 2+(n−1)r (1) (1) (r) (r) Variablen (T, P, c1 , . . . , cn−1 , . . . , c1 , . . . , cn−1 ) dar. Die Zahl der Variablen, die man variieren kann (die Zahl der Freiheitsgrade), ist deshalb f = 2 + (n − 1)r − n(r − 1) f =2+n−r .

(3.9.22)

Die Beziehung (3.9.22) nennt man Gibbssche Phasenregel . Bei dieser Herleitung haben wir angenommen, daß jede Substanz in allen r Phasen vorhanden ist. Von dieser Voraussetzung k¨ onnen wir leicht abgehen. Wenn z.B. die Substanz 1 in der Phase 1 nicht vorkommt, dann entf¨allt die (1) Bedingung an µ1 . Es tritt dann aber auch in der Phase 1 die Teilchenzahl der Komponente 1 nicht als Variable auf. Man hat somit eine Bedingung, aber auch eine Variable, weniger und die Gibbssche Phasenregel (3.9.22) gilt unver¨ andert.12 Beispiele zur Gibbsschen Phasenregel: (i) r r r

Einkomponentiges System, n = 1: = 1, f = 2 T, P frei = 2, f = 1 P = P0 (T ) Phasengrenzkurve = 3, f = 0 fester Punkt: Tripelpunkt.

(ii) Zweikomponentiges System, n = 2: Ein Beispiel f¨ ur ein zweikomponentiges System ist eine Mischung von Salmiak und Wasser, NH4 Cl+H2 O. Die m¨ oglichen Phasen sind: Wasserdampf (darin ist faktisch kein NH4 Cl enthalten), Fl¨ ussigkeitsgemisch, Eis (mit etwas Salzgehalt), Salz (mit etwas H2 O). M¨ogliche koexistierende Phasen sind: • Eine fl¨ ussige Phase: r = 1, f = 3 (Variable P, T, c) • Fl¨ ussige Phase + Wasserdampf: r = 2, f = 2, Variable P, T , die Konzentration ist eine Funktion von P und T : c = c(P, T ). • Fl¨ ussige Phase + Wasserdampf + eine feste Phase: r = 3, f = 1. Nur eine Variable, z.B. die Temperatur ist frei variierbar. • Fl¨ ussige Phase + Dampf + Eis + Salz: r = 4, f = 0. Dies ist der Eutektische Punkt. Das Phasendiagramm der fl¨ ussigen und der festen Phasen ist in Abb. 3.38 dargestellt. Bei der Konzentration 0 ist der Schmelzpunkt von reinem Eis ersichtlich und bei c = 1 von reinem Salz. Da sich der Gefrierpunkt einer L¨osung 12

Die Zahl der Freiheitsgrade ist eine Aussage u ¨ ber die intensiven Variablen, es gibt jedoch noch Variationen in den extensiven Variablen. Z.B. ist am Tripelpunkt f = 0, die Entropie und das Volumen k¨ onnen innerhalb eines Dreiecks variieren (Abschn. 3.8.4).

150

3. Thermodynamik

Abb. 3.38. Phasendiagramm eines Gemisches aus Salmiak und Wasser. In den horizontal schraffierten Gebieten sind Eis und Fl¨ ussigkeit, Fl¨ ussigkeit und festes Salz und schließlich Eis und festes Salz miteinander in Koexistenz.

¨ absenkt (siehe Kap. 5), ist der Verlauf der beiden Aste der Gefrierpunktskur¨ ve als Funktion der Konzentration verst¨ andlich. Die beiden Aste treffen sich im eutektischen Punkt. In den Gebieten E-F sind Eis und Fl¨ ussigkeit und in F-S Fl¨ ussigkeit und Salz miteinander l¨ angs der Horizontalen in Koexistenz. Dabei ist die Konzentration von NH4 Cl in Eis wesentlich geringer als in dem damit im Gleichgewicht stehenden Fl¨ ussigkeitsgemisch. Oft bestehen die festen Phasen nur aus den reinen Komponenten. Dann sind die linken und rechten Begrenzungslinien die beiden Senkrechten l¨ angs c = 0 und c = 1. Am eutektischen Punkt ist das Fl¨ ussigkeitsgemisch mit dem Eis und dem Salz im Gleichgewicht. Ist die Konzentration einer Fl¨ ussigkeit niedriger als es der Konzentration des eutektischen Punktes entspricht, wird bei Abk¨ uhlung Eis abgeschieden. Dabei erh¨ oht sich die Konzentration der Fl¨ ussigkeit solange, bis schließlich die eutektische Konzentration erreicht wird, bei der sich die Fl¨ ussigkeit in Eis und Salz umwandelt. Das dabei entstehende Gemisch aus Salz und Eiskristallen nennt man Eutektikum. Bei der eutektischen Konzentration besitzt die Fl¨ ussigkeit ihren niedrigsten Gefrierpunkt. Das Phasendiagramm in Abb. 3.38 der fl¨ ussigen und der festen Phasen und die zugeh¨ orige Interpretation mit der Gibbsschen Phasenregel sind auf folgende physikalische Gegebenheiten anwendbar: (i) bei so niedrigem Druck, daß auch eine (nicht eingezeichnete) gasf¨ ormige Phase vorhanden ist (ii) ohne Gasphase bei festem Druck P , wodurch auch ein Freiheitsgrad verbraucht wird (iii) in Anwesenheit von Luft mit Druck P und darin gel¨osten Dampf mit Partialdruck cP .13 Die Konzentration des Dampfes c in der Luft geht im chemischen Potential durch log cP ein (siehe Kap. 5). Diese richtet sich gerade so ein, daß das chemische Potential des Wasserdampfes gleich dem chemischen Potential in der Fl¨ ussigkeitsmischung ist. Es sei darauf hingewiesen, daß wegen des Termes log c das chemische Potential des in der Luft gel¨osten Dampfes niedriger ist, als das des reinen Dampfes. W¨ahrend bei Normaldruck Verdampfung erst bei 100◦ C eintritt, dann wandelt sich die gesamte Fl¨ ussigkeit in Dampf um, geht auch bei ganz niedrigen Temperaturen soviel 13

Die Gibbssche Phasenregel ist nat¨ urlich wieder erf¨ ullt; gegen¨ uber (ii) ist eine Komponente (Luft) und eine Phase (Luft-Dampfgemisch) mehr vorhanden.

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen

151

in die Dampfphase u ¨ ber, daß der log c-Term den Ausgleich der chemischen Potentiale bewirkt. Aus dem Phasendiagramm 3.38 ist die Wirkungsweise von K¨ altemischungen verst¨ andlich. Bringt man z.B. NaCl und Eis von einer Temperatur von 0◦ C zusammen, so sind diese nicht im Gleichgewicht. Es wird etwas Eis schmelzen, dabei l¨ ost sich Salz in dieser Fl¨ ussigkeit. Deren Konzentration ist allerdings viel zu hoch um mit dem Eis im Gleichgewicht zu sein, so daß noch mehr Eis schmilzt. Bei dem Schmelzvorgang wird W¨ arme verbraucht, die Entropie erh¨ oht, so daß sich die Temperatur erniedrigt. Der beschriebene Vorgang setzt sich so lange fort, bis die Temperatur des eutektischen Punktes erreicht ist. Dann sind Eis, hydriertes Salz NaCl·2H2 O und Fl¨ ussigkeit mit der eutektischen Konzentration miteinander im Gleichgewicht. F¨ ur NaCl und H2 O ist die eutektische Temperatur −21◦ C. Man nennt das dabei entstehende Gemisch K¨ altemischung. Diese eignet sich, um die Temperatur auf −21◦ C konstant zu halten. W¨ armeaufnahme f¨ uhrt nicht zu Erh¨ ohung der Temperatur der K¨ altemischung, sondern nur zum weiteren Schmelzen von Eis und L¨ osen von NaCl bei gleichbleibender Temperatur.

Eutektische Mischungen treten immer dann auf, wenn zwischen den beiden festen Phasen eine Mischbarkeitsl¨ ucke besteht und die freie Energie der Fl¨ ussigkeitsmischung niedriger ist als die der beiden festen Phasen (siehe Aufgabe 3.28). Der Schmelzpunkt des eutektischen Gemisches ist dann erheblich niedriger als die Schmelzpunkte der beiden festen Phasen (siehe Tabelle I.10).

3.9.3 Chemische Reaktionen, Thermodynamisches Gleichgewicht und Massenwirkungsgesetz In diesem Abschnitt betrachten wir mehrkomponentige Systeme, in denen sich die Teilchenzahlen durch chemische Reaktionen ¨andern k¨onnen. Wir bestimmen zuerst die allgemeine Bedingung f¨ ur das chemische Gleichgewicht und untersuchen dann Gemische aus idealen Gasen. 3.9.3.1 Bedingung f¨ ur chemisches Gleichgewicht Reaktionsgleichungen, wie zum Beispiel 2H2 + O2  2H2 O

(3.9.23)

k¨ onnen allgemein in der Gestalt n 

νj Aj = 0

(3.9.24)

j=1

geschrieben werden, wobei die Aj die chemischen Symbole und die st¨ochiometrischen Koeffizienten νj (kleine) ganze Zahlen sind, die die Beteiligung der Komponenten an der Reaktion angeben, vereinbarungsgem¨aß links positiv und rechts negativ.

152

3. Thermodynamik

Die Reaktionsgleichung (3.9.24) enth¨ alt weder eine Aussage dar¨ uber, in welchen Konzentrationen die Aj im thermodynamischen und chemischen Gleichgewicht bei vorgegebener Temperatur und vorgegebenem Druck vorhanden sind, noch dar¨ uber, in welche Richtung die Reaktion ablaufen wird. ¨ Die Anderung der freien Enthalpie mit der Teilchenzahl bei fester Temperatur T und festem Druck P ist f¨ ur einphasige Systeme14 dG =

n 

µj dNj .

(3.9.25)

j=1

Im Gleichgewicht m¨ ussen die Nj so bestimmt werden, daß G station¨ar ist, n 

µj dNj = 0 .

(3.9.26)

j=1

Wird bei der Reaktion die Menge dM umgesetzt, so gilt dNj = νj dM . Somit erfordert die Stationarit¨ atsbedingung n 

µj νj = 0 .

(3.9.27)

j=1

F¨ ur jede chemische Reaktion, die im System m¨ oglich ist, gilt eine solche Bedingung. F¨ ur das prinzipielle Verst¨ andnis reicht es, das chemische Gleichgewicht f¨ ur eine einzige Reaktion zu bestimmen. Die chemischen Potentiale µj (T, P ) h¨ angen außer vom Druck und der Temperatur auch von den relativen Teilchenzahlen (Konzentrationen) ab. Letztere stellen sich im chemischen Gleichgewicht so ein, daß (3.9.27) erf¨ ullt ist. Falls miteinander chemisch reagierende Substanzen zwar im thermischen ¨ aber nicht im chemischen Gleichgewicht sind, kann aus der Anderung der freien Enthalpie   δG = δ µj (T, P )νj M (3.9.25 ) j

die Richtung des Reaktionsablaufes bestimmt werden. Da G im Gleichgewicht minimal ist, muß δG ≤ 0 sein, siehe Gl. (3.6.38b). Die chemische Zusammensetzung verschiebt sich in Richtung kleinerer freier Enthalpie oder kleinerer chemischer Potentiale. Anmerkungen: (i) Man kann die Bedingung f¨ ur chemisches Gleichgewicht (3.9.27) so interpretieren, daß das chemische Potential einer Verbindung gleich der Summe der chemischen Potentiale seiner Konstituenten ist. 14

Chemische Reaktionen in Systemen, die aus mehreren Phasen bestehen, werden in M.W. Zemansky and R.H. Dittman, Heat and Thermodynamics, Mc Graw Hill, Auckland, Sixth Edition, 1987 behandelt.

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen

153

(ii) Die Gleichgewichtsbedingung (3.9.27) f¨ ur die Reaktion (3.9.24) gilt auch, wenn das System aus mehreren im Kontakt stehenden Phasen besteht, zwischen denen die reagierenden Substanzen u ¨bergehen k¨onnten. Dies kommt von der Gleichheit des chemischen Potentials jeder Komponente in allen miteinander im Gleichgewicht stehenden Phasen. (iii) Gl. (3.9.27) kann auch verwendet werden, um die Gleichgewichtsverteilung von Elementarteilchen, die durch Reaktionen ineinander u ¨ bergehen k¨onnen, zu bestimmen. Z.B. kann die Verteilung von Elektronen und Positronen, die der Paarvernichtung e− + e+  γ unterliegen, bestimmt werden (siehe Aufgabe 3.31). Diese Anwendungen der statistischen Mechanik sind wichtig in der Kosmologie, der Beschreibung der Fr¨ uhphase des Universums und dem Elementarteilchenreaktionsgleichgewicht in Sternen. 3.9.3.2 Gemische idealer Gase Zur weiteren Auswertung der Gleichgewichtsbedingung (3.9.27) werden Aussagen u otigt. Wir betrachten im folgenden ¨ber die chemischen Potentiale ben¨ Reaktionen in (klassischen) idealen Gasen . In Abschnitt 5.2 wird gezeigt, daß das chemische Potential der Teilchensorte j eines Gemisches von idealen Molek¨ ulgasen in der Gestalt µj = fj (T ) + kT log cj P

(3.9.28a) N

geschrieben werden kann, wobei cj = Nj gilt und N die Gesamtteilchenzahl ist. Die Funktion fj (T ) ist rein temperaturabh¨ angig und enth¨alt die mikroskopischen Parameter des Gases Nr. j. Aus (3.9.27) und (3.9.28a) folgt  eνj [fj (T )/kT +log(cj P )] = 1 . (3.9.29) j

Nach Abschnitt 5.2, Gl. (5.2.4 ) gilt fj (T ) = ε0el,j − cP,j T log kT − kT ζj .

(3.9.28b)

Durch Einsetzen von (3.9.28b) in (3.9.29) ergibt sich f¨ ur das Produkt der potenzierten Konzentrationen 

ν

cj j = K(T, P ) ≡ e

 j

νj (ζj −

ε0 el,j kT

)



(kT )

j

cP,j νj /k

P−

 j

νj

;

(3.9.30)

j

wobei ε0el,j die elektronische Energie, cP,j die spezifische W¨arme der Komponente j bei konstantem Druck und ζj die chemische Konstante 3/2

ζj = log

2mj

kΘr, j (2π
2 )3/2

(3.9.31)

154

3. Thermodynamik

ist. Dabei ist Θr
T
Θv angenommen, wo Θr und Θv die charakteristischen Temperaturen f¨ ur die Rotations- und Vibrationsfreiheitsgrade sind, Gl. (5.1.11) und (5.1.17). Gl. (3.9.30) ist das Massenwirkungsgesetz f¨ ur die Konzentrationen. Die Funktion K(T,*P ) wird auch als Massenwirkungskonstante bezeichnet. Die ν Aussage, daß j cj j nur eine Funktion von T und P ist, gilt allgemein f¨ ur ideale Gemische µj (T, P, {ci }) = µj (T, P, cj = 1, ci = 0(i = j)) + kT log cj . Wenn man statt der Konzentrationen die Partialdr¨ ucke (siehe Bemerkung (i) am Ende dieses Abschnitts) Pj = cj P

(3.9.32)

einf¨ uhrt, erh¨ alt man 

 ν Pj j

= KP (T ) ≡ e

j

 ε0 el,j νj ζj − kT



(kT )

j

cP,j νj /k

,

(3.9.30 )

j

das Massenwirkungsgesetz von Guldberg und Waage15 f¨ ur die Partialdrucke, wobei KP (T ) unabh¨ angig von P ist. Es folgt z.B. f¨ ur die Knallgasreaktion von Gl. (3.9.23) 2H2 + O2 − 2H2 O = 0 mit νH2 = 2 ,

νO2 = 1 ,

νH2 O = −2

(3.9.33)

die Relation K(T, P ) =

 [H2 ]2 [O2 ] −q/kT j cP,j νj /k P −1 . = const. e T [H2 O]2

(3.9.34)

Hier sind die Konzentrationen cj = [Aj ] durch die chemischen Symbole in eckigen Klammern dargestellt, und es ist q = 2ε0H2 + ε0O2 − 2ε0H2 O > 0 die W¨ armet¨ onung, welche f¨ ur die Knallgasreaktion positiv ist. Der Dissoziationsgrad α wird durch die Konzentrationen α [H2 O] = 1 − α , [O2 ] = , [H2 ] = α 2 definiert. Somit folgt aus (3.9.34)  α3 ∼ e−q/kT T j cP,j νj /k P −1 , 2 2(1 − α) 15

(3.9.35)

Das Massenwirkungsgesetz wurde von Guldberg und Waage 1867 auf Grund statistischer Erw¨ agungen u ¨ber Treffwahrscheinlichkeiten bei Reaktionen aufgestellt und sp¨ ater von Gibbs f¨ ur ideale Gase thermodynamisch bewiesen und durch die Berechnung von K(T, P ) versch¨ arft.

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen

155

woraus α berechnet werden kann. α f¨ allt mit sinkender Temperatur exponentiell ab. Das Massenwirkungsgesetz gibt wichtige Aussagen dar¨ uber, unter welchen Bedingungen gew¨ unschte Reaktionen mit optimaler Ausbeute ablaufen. Es mag f¨ ur die Verk¨ urzung der Zeitskala der Reaktion noch zus¨atzlich ein Katalysator n¨ otig sein; welche Gleichgewichtsverteilung sich zwischen den reagierenden Komponenten einstellt, ist aber lediglich durch die Reaktionsgleichungen und die chemischen Potentiale der Konstituenten (Komponenten) bestimmt – im Falle der idealen Gase durch Gl. (3.9.30). Das Massenwirkungsgesetz hat viele Anwendungen in Chemie und Technik. Wir greifen hier nur als ein Beispiel die Druckabh¨angigkeit des Reaktionsgleichgewichts heraus. Aus (3.9.30) folgt f¨ ur die Druckableitung von K(T, P ) 1 ∂K ∂ log K 1  = =− νi , K ∂P ∂P P i

(3.9.36a)

 mit dem sog. Mol¨ uberschuß ν = i ν i . Aus der Zustandsgleichung idealer Gasgemische (Gl. (5.2.3)) P V = kT i Ni , erh¨ alt man f¨ ur die mit einer ¨ Reaktion bei festem T und P einhergehenden Anderungen ∆V und ∆Ni :  P ∆V = kT ∆Ni . (3.9.37a) i

Sei die Zahl der Einzelreaktionen ∆N , d.h. ∆Ni = νi ∆N , dann folgt aus (3.9.37a) −

1  ∆V νi = − . P i kT ∆N

(3.9.37b)

Nehmen wir f¨ ur ∆N = L (die Loschmidt/Avogadro-Zahl), dann werden von jeder Komponente νi Mol umgesetzt und es folgt aus (3.9.36a) und (3.9.37b) mit der Gaskonstanten R 1 ∂K ∆V =− . K ∂P RT

(3.9.36b)

 Außerdem ist dann ∆V = i νi VMol die Volumens¨anderung bei Ablauf der Reaktion von rechts nach links (bei einer in der Form (3.9.23) dargestellten Reaktion). (Der Wert des Molvolumens VMol ist f¨ ur jedes der idealen Gase gleich.) Nach Gl. (3.9.36b) in Verbindung mit (3.9.30) f¨ uhrt eine Zunahme von K zu einem Anwachsen der Konzentrationen cj mit positivem νj , d.h. der Substanzen, die auf der linken Seite der Reaktionsgleichungen stehen. Somit verschiebt sich nach (3.9.36b) bei einer Druckerh¨ ohung das Gleichgewicht zugunsten der Seite der Reaktionsgleichung mit dem kleineren Volumen. Wenn ∆V = 0 ist, h¨ angt die Lage des Gleichgewichts nur von der Temperatur ab: z.B. bei der Chlor-Wasserstoff-Reaktion H2 + Cl2  2HCl.

156

3. Thermodynamik

¨ Ahnlich zeigt man f¨ ur die Temperaturabh¨ angigkeit von K(T, P )  νi hi ∂ log K ∆h = i 2 = . (3.9.38) ∂T RT RT 2 ¨ Hier bedeutet hi die Enthalpie pro Mol der Substanz i und ∆h die Anderung der gesamten Molenthalpie bei einmaligem Ablauf der Reaktionsgleichung von rechts nach links, siehe Aufgabe 3.26. Ein interessantes und technisch wichtiges Anwendungsbeispiel ist die Ammoniakerzeugung aus Stickstoff und Wasserstoffgas nach Haber: Die chemische Reaktion N2 + 3H2  2NH3

(3.9.39)

cN2 c3H2 = K(T, P ) = KP (T ) P −2 . c2NH3

(3.9.40)


  ist durch 1N2 + 3H2 − 2NH3  0 charakterisiert ν = i νi = 2 :

Zur Erzielung einer hohen NH3 -Ausbeute muß der Druck m¨oglichst groß gemacht werden. Sommerfeld:16 Die volle Beherrschung der thermodynami” ¨ schen Gleichgewichtsbedingungen (Haber), die technische Uberwindung der mit hohen Drucken verbundenen Konstruktionsschwierigkeiten (Bosch) und die Auswahl geeigneter Katalysatoren, die zur Beschleunigung der Reaktion dient (Mittasch), waren die Vorbedingungen f¨ ur den großartigen Erfolg dieser Synthese.“ Bemerkungen: (i) Die in Gl. (3.9.32) eingef¨ uhrten Partialdr¨ ucke Pj = cj P mit cj = Nj /N erf¨ ullen nach der Zustandsgleichung des Gemisches idealer Molek¨ ulgase (5.2.3) die Gleichungen  V Pj = Nj kT und P = Pi . (3.9.41) i

(Diese Tatsache ist unter Daltons Gesetz bekannt: Die nichtwechselwirkenden Gase des Gemisches u ¨ ben einen ihrer Teilchenzahl entsprechenden Partialdruck aus, so als ob sie das gesamte Volumen alleine zur Verf¨ ugung h¨atten.) (ii) H¨ aufig wird auch das Massenwirkungsgesetz, ausgedr¨ uckt durch die Teilchendichten i = Ni /V , verwendet:   νi i = K (T ) ≡ (kT )− i νi KP (T ) . (3.9.30 ) i

(iii) Wir betrachten nun die Richtung des Reaktionsablaufs. Wenn ein Gemisch anf¨ anglich mit beliebigen Dichten vorliegt, kann man aus dem Massenwirkungsgesetz die Richtung, mit der die Reaktion abl¨auft, ablesen. Seien 16

A. Sommerfeld, Vorlesungen ¨ uber Theoretische Physik , Bd.V, Thermodynamik und Statistik , S. 71 (Harri Deutsch, Thun, 1987)

3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen

157

ν1 , ν2 , . . . , νs positiv und νs+1 , . . . , νn negativ, also die Reaktionsgleichung (3.9.24) von der Form s  i=1

νi Ai 

n 

|νi |Ai .

(3.9.24 )

i=s+1

Angenommen, das Produkt der Teilchendichten erf¨ ullt die Ungleichung * s  νi νi i ≡ *n i=1 i|ν | < K (T ) , (3.9.42) i i i=s+1 i also das System ist nicht im chemischen Gleichgewicht. Wenn die chemische Reaktion (3.9.24) von rechts nach links abl¨ auft, erh¨ohen sich die Dichten links und erniedrigen sich die Dichten rechts, und der Bruch in der Ungleichung wird gr¨ oßer. Folglich wird in dem Fall (3.9.42) die Reaktion von rechts nach links ablaufen. Wenn umgekehrt anf¨ anglich das Gr¨oßerzeichen > vorl¨ age, w¨ urde die Reaktion von links nach rechts ablaufen. (iv) Bei allen chemischen Reaktionen findet man eine ,,W¨armet¨onung” (Reaktionsw¨arme), d.h. sie verlaufen entweder unter W¨armeentwicklung – exotherm – oder unter W¨ armeaufnahme – endotherm. Wir erinnern daran, daß ¨ f¨ ur isobare Vorg¨ ange ∆Q = ∆H, die Reaktionsw¨arme gleich der Anderung der Enthalpie ist; siehe Kommentar nach Gl. (3.1.12). Die Temperaturabh¨ angigkeit des Reaktionsgleichgewichts folgt aus Gl. (3.9.38). Eine Temperaturerh¨ ohung bei konstantem Druck verschiebt das Gleichgewicht zugunsten derjenigen Seite der Reaktionsgleichung, die die h¨ohere Enthalpie besitzt; oder anders ausgedr¨ uckt, f¨ uhrt zu einem Reaktionsablauf, bei dem W¨arme aufgenommen wird. In der Regel ist in der Reaktionsw¨arme der elektronische Beitrag – O(eV) – dominierend. Deshalb ist bei niederen Temperaturen die enthalpiereichere Seite praktisch nicht vorhanden. ∗

3.9.4 Dampfdruckerh¨ ohung durch Fremdgas und durch Oberfl¨ achenspannung 3.9.4.1 Verdampfen von Wasser unter Luftatmosph¨ are Wie in Abschn. 3.8.1 ausf¨ uhrlich diskutiert, kann ein einkomponentiges System nur l¨ angs der Dampfdruckkurve P0 (T ) verdampfen oder anders ausgedr¨ uckt nur l¨ angs der Dampfdruckkurve sind die Gas- und Fl¨ ussigkeitsphase im Gleichgewicht. Wenn außerdem ein Fremdgas vorhanden ist, bedeutet dies in der Gibbsschen Phasenregel einen Freiheitsgrad mehr, so daß eine Fl¨ ussigkeit mit ihrem Dampf auch außerhalb von P0 (T ) koexistieren kann. Wir wollen hier das Verdampfen in Gegenwart von Fremdgasen und im besonderen von Wasser unter Luftatmosph¨ are untersuchen. Dabei nehmen wir an, daß das Fremdgas in der fl¨ ussigen Phase nur in vernachl¨assigbarem Maße gel¨ ost ist. W¨ are das chemische Potential der Fl¨ ussigkeit unabh¨angig

158

3. Thermodynamik

vom Druck, dann h¨ atte das Fremdgas u ¨berhaupt keinen Einfluß auf das chemische Potential der Fl¨ ussigkeit; der Partialdruck des Dampfes m¨ ußte dann identisch sein mit dem Dampfdruck der reinen Substanz – eine h¨aufig anzutreffende Aussage. Tats¨ achlich wirkt auf die Fl¨ ussigkeit der Gesamtdruck, wodurch sich deren chemisches Potential ¨ andert. Die daraus resultierende Dampfdruckerh¨ ohung wollen wir hier berechnen. Zun¨ achst stellen wir fest, daß

 ∂µFl V = (3.9.43) ∂P T N V wegen des geringen spezifischen Volumens vFl = N der Fl¨ ussigkeit klein ist. ¨ Bei einer Anderung des Druckes um ∆P ¨ andert sich das chemische Potential der Fl¨ ussigkeit nach

µFl (T, P + ∆P ) = µFl (T, P ) + vFl ∆P + O(∆P 2 ) .

(3.9.44)

Nach der Gibbs-Duhem-Relation ist das chemische Potential der Fl¨ ussigkeit µFl = eFl − T sFl + P vFl

(3.9.45)

Hier bedeuten eFl und sFl die innere Energie und Entropie pro Teilchen. Wenn wir Temperatur- und Druckabh¨ angigkeit von eFl , sFl und vFl vernachl¨assigen k¨ onnen, so gilt (3.9.44) ohne jegliche Korrekturen. Das chemische Potential des Dampfes ist unter der Annahme einer idealen Mischung17 µDampf (T, P ) = µ0 (T ) + kT log cP ,

(3.9.46) N

wo c die Konzentration des Dampfes c = NFremdDampf +NDampf in der Gasphase ist. Die Verdampfungskurve P0 (T ) ohne Fremdgase folgt aus µFl (T, P0 ) = µ0 (T ) + kT log P0 .

(3.9.47)

Mit Fremdgas setzt sich der Druck aus dem Druck des Fremdgases PFremd und dem Partialdruck des Dampfes PDampf = cP zusammen P = PFremd +PDampf . Dann lautet die Gleichheit der chemischen Potentiale in der fl¨ ussigen und gasf¨ ormigen Phase µFl (T, PFremd + PDampf ) = µ0 (T ) + kT log PDampf . Ziehen wir davon (3.9.47) ab, ergibt sich

PDampf − P0 µFl (T, PFremd + PDampf ) − µFl (T, P0 ) = kT log +1 P0 PDampf − P0 vFl (PFremd + PDampf − P0 ) ≈ kT P0 17

Siehe Abschn. 5.2



3.9 Gleichgewicht von mehrkomponentigen Systemen



159



kT − vFl (PDampf − P0 ) P0 vFl PFremd vFl PDampf − P0 = = (P − PDampf ) . vG − vFl vG − vFl vFl PFremd =

(3.9.48)

Aus dem zweiten Glied von (3.9.48) folgt f¨ ur die Dampfdruckerh¨ohung n¨aherungsweise PDampf − P0 (T ) ≈ vvFl P und exakt findet man Fremd G PDampf = P0 (T ) +

vFl (P − P0 (T )) . vG

(3.9.49)

Der Partialdruck des Dampfes ist gegen¨ uber der Dampfdruckkurve um vvFl × G (P − P0 (T )) erh¨ oht. Wegen der Kleinheit des Faktors vvFl ist allerdings G n¨aherungsweise der Partialdruck gleich dem Dampfdruck bei der Tempera¨ tur T . Die wichtigste Aussage dieser Uberlegungen ist folgende: W¨ahrend eine Fl¨ ussigkeit unter dem Druck P bei der Temperatur T nur f¨ ur P = P0 (T ) im Gleichgewicht mit ihrer Gasphase ist, also f¨ ur P > P0 (T ) (oder f¨ ur Temperaturen unterhalb der Siedetemperatur) nur als Fl¨ ussigkeit vorliegt, ist sie auch in diesem (P, T )-Gebiet mit seinem in einem anderen Gas gel¨osten Dampf im Gleichgewicht.

Abb. 3.39. Dampfdruck PDampf ist gegen¨ uber der Dampfdruckkurve P0 (T ) (strich-punktiert) erh¨ oht. Wir besprechen nun das Verdampfen von Wasser oder das Sublimieren von Eis in Luftatmosph¨ are, Abb. 3.39. Durch die Luftatmosph¨ are wird ein bestimmter Druck P vorgegeben. Bei jeder Temperatur T unterhalb der zu diesem Druck geh¨ origen Verdampfungstemperatur (P > P0 (T )) verdampft gerade soviel Wasser, daß (erinnere PDampf = cP ) der Partialdruck durch (3.9.49) gegeben ist. Die Konzentration des Wasserdampfes ist c = (P0 (T ) + vvFl (P − P0 (T )))/P . G In freier Luftatmosph¨ are wird der Wasserdampf durch Diffusion oder auch Konvektion (Wind) abtransportiert, und es muß immer Wasser von neuem verdampft (verdunstet) werden.18 Bei Erh¨ ohung der Temperatur erh¨ oht sich der Partialdruck 18

¨ Wie schon vorhin erw¨ ahnt gelten die obigen Uberlegungen auch f¨ ur die Sublimation. Wenn man Wasser bei 1 atm unterhalb von 0◦ C abk¨ uhlt gefriert es zu Eis. Dieses Eis von beispielsweise −10◦ C ist zwar als Einstoffsystem nicht mit der Gasphase im Gleichgewicht, aber mit Wasserdampf in Luft von einem Partialdruck von etwa P0 (−10◦ C), wo P0 (T ) die Sublimationskurve darstellt. Aus diesem Grund trocknet gefrorene W¨ asche, weil Eis in Luftatmosph¨ are sublimiert.

160

3. Thermodynamik

des Wassers, bis er schließlich gleich P ist. Die dann weiter vor sich gehende Verdampfung nennt man auch Sieden. F¨ ur P = P0 (T ) ist die Fl¨ ussigkeit mit ihrem reinen Dampf im Gleichgewicht. Das Verdampfen geht dann nicht nur an der Oberfl¨ ache, sondern auch im Inneren der Fl¨ ussigkeit insbesondere an den Gef¨ aßw¨ anden vor sich. Es bilden sich dort Dampfblasen, die an die Oberfl¨ ache steigen. Im Inneren dieser Dampfblasen herrscht der Dampfdruck P0 (T ), welcher der Temperatur T entspricht. Da die Dampfblasen im Inneren der Fl¨ ussigkeit auch noch unter dem hydrostatischen Druck der Fl¨ ussigkeit stehen, muß ihre Temperatur tats¨ achlich etwas h¨ oher sein als die Siedetemperatur bei Atmosph¨ arendruck. Falls die Fl¨ ussigkeit Kondensationskeime (Fettk¨ ugelchen in der Milch) enth¨ alt, an den sich Dampfblasen leichter bilden als in der reinen Fl¨ ussigkeit, dann kocht sie u ¨ ber“. ” Die Erh¨ ohung des Dampfdruckes durch zus¨ atzlichen Druck, oder wie man sich auch ausdr¨ uckt, durch Pressung mag u atzliche Druck bewirkt ¨ berraschen. Der zus¨ ein verst¨ arktes Austreten von Molek¨ ulen aus der Fl¨ ussigkeit, also einen Anstieg des Partialdruckes.

3.9.4.2 Dampfdruckerh¨ ohung durch Oberfl¨ achenspannung von Tr¨ opfchen Ein zus¨ atzlicher Druck r¨ uhrt auch von der Oberfl¨achenspannung her und kommt beim Verdampfen von Fl¨ ussigkeitstr¨opfchen zur Geltung. Wir betrach¨ ten ein Fl¨ ussigkeitstr¨ opfchen vom Radius r. Bei einer isothermen Anderung des Radius um dr vergr¨ oßert sich die Oberfl¨ ache um 8πr dr, was zu einer Energieerh¨ ohung um σ8πr dr f¨ uhrt, wobei σ die Oberfl¨achenspannung ist. Durch die Druckdifferenz p zwischen dem im Tr¨ opfchen herrschenden Druck und dem Druck des umgebenden Gases kommt es zu einer auf die Oberfl¨ache ¨ nach außen wirkenden Kraft p 4πr2 . Die gesamte Anderung der freien Energie ist deshalb dF = δA = σ8πr dr − p 4πr2 dr .

(3.9.50)

Im Gleichgewicht muß die freie Energie des Tr¨ opfchens station¨ar sein, so daß sich f¨ ur die Druckdifferenz folgende Abh¨ angigkeit vom Radius ergibt p=

2σ . r

(3.9.51)

Danach besitzen kleine Tr¨ opfchen einen gr¨ oßeren Dampfdruck als gr¨oßere. Die Dampfdruckerh¨ ohung aufgrund der Oberfl¨ achenspannung ist nun nach Gl. (3.9.48) PDampf − P0 (T ) =

2σ vFl r vG − vFl

(3.9.52)

umgekehrt proportional zum Radius des Tr¨ opfchens. In einem Gemisch von kleinen und großen Tropfen werden deshalb die kleineren von den gr¨oßeren aufgezehrt.

Aufgaben zu Kapitel 3

161

Bemerkungen: (i) Kleine Tr¨ opfchen verdampfen leichter als Fl¨ ussigkeiten mit ebener Oberfl¨ache, und umgekehrt findet an ihnen schwerer eine Kondensation statt. Deshalb tritt an ausgedehnten, festen, abgek¨ uhlten Fl¨achen eine Kondensation des Wasserdampfes der Luft leichter ein als an kleinen Wassertr¨opfchen. Die Temperatur, bei der eine Kondensation von Wasser aus der Atmosph¨are (Taubildung) an ausgedehnten Fl¨ achen eintritt, heißt Taupunkt. Er ist vom Partialdruck des Wasserdampfes, d.h. dem S¨ attigungsgrad der Luft, abh¨angig und kann zur Bestimmung des Feuchtigkeitsgehaltes der Atmosph¨are dienen. (ii) Wir betrachten die homogene Kondensation eines Gases im freien Raum ohne Oberfl¨ achen. Die Temperatur des Gases sei T und der Dampfdruck bei dieser Temperatur P0 (T ). Wir nehmen an, daß der Druck P des Gases den Dampfdruck u attigter Dampf. Zu jedem ¨ bersteigt; es heißt dann u ¨ bers¨ ¨ Ubers¨ attigungsgrad l¨ aßt sich aus (3.9.52) ein kritischer Radius rkr =

vFl 2σ vG (P − P0 (T ))

definieren. F¨ ur Tr¨ opfchen, deren Radius kleiner als rkr ist, ist der Dampf nicht u attigt. Die Kondensation kann also nicht durch die Bildung ganz ¨ bers¨ kleiner Tr¨ opfchen zustande kommen, da deren Dampfdruck gr¨oßer als P ist. Es muß sich durch eine Schwankung ein kritisches Tr¨opfchen bilden, das die Kondensation einleitet. Die Kondensation wird durch zus¨atzliche anziehende Kr¨ afte erleichtert. So wirken in der Luft stets vorhandene elektrisch geladene Staubteilchen und dergleichen infolge der von ihnen ausgehenden elektrischen Kr¨ afte auf Wasserdampf kondensationsf¨ ordernd, also als Kondensationskeime.

Aufgaben zu Kapitel 3 3.1 Lesen Sie die partiellen Ableitungen der inneren Energie E nach ihren nat¨urlichen Variablen aus Gl. (3.1.3) ab. 3.2 Zeigen Sie, daß x δg = αdx + β dy y

Abb. 3.40. Wege im x-y-Diagramm

162

3. Thermodynamik

kein exaktes Differential ist: a) mit Hilfe der Integrabilit¨ atsbedingungen, b) durch Integration von P1 nach P2 entlang der Wege C1 und C2 . Zeigen Sie, daß 1/x ein integrierender Faktor ist df = δg/x.

3.3 Beweisen Sie die Kettenregel (3.2.17) f¨ur Jacobi-Determinanten! 3.4 Leiten Sie die folgenden Relationen her: CP κT = CV κS

,

∂T ∂V

 =− S

T CV



∂P ∂T



und V

3.5 Bestimmen Sie die Arbeitsleistung W (V ) =

∂T ∂P

 = S

T CP



∂V ∂T

 . P

V

dV P eines idealen Gases bei V1 reversibler adiabatischer Expansion. Aus δQ = 0 folgt dE = −P dV , daraus ergeben 2/3
2/3 V sich die Adiabatengleichungen T = T1 VV1 und P = N kT1 V15/3 des idealen Gases, mit denen die Arbeitsleistung bestimmt werden kann.

3.6 Zeigen Sie, daß aus der Maximalit¨at der Entropie die Stabilit¨atsbedingungen (3.6.48a,b) folgen.

3.7 Ein Liter ideales Gas expandiert reversibel und isotherm (20◦ C) von einem Anfangsdruck von 20 atm auf 1 atm. Wie groß ist die geleistete Arbeit in Joule? Welche W¨ armemenge Q in Kalorien muß dem Gas zugef¨ uhrt werden?

3.8 Zeigen Sie, daß das Verh¨altnis des Entropiezuwachses bei Erw¨armung eines idealen Gases von T1 auf T2 bei konstantem Druck bzw. bei konstantem Volumen durch das Verh¨ altnis der spezifischen W¨ arme gegeben ist.

3.9 Ein thermisch isoliertes System bestehe aus zwei 2 Subsystemen (TA , VA , P ) und (TB , VB , P ), die durch einen beweglichen, w¨ armedurchl¨ assigen Stempel getrennt sind. (Abb. 3.41(a). Die Gase seien ideal). (a) Berechnen Sie die Entropie¨ anderung beim Temperaturausgleich (irreversibler Prozeß). (b) Berechnen Sie die bei einem quasistatischen Temperaturausgleich geleistete Arbeit, Abb. 3.41(b).

(a)

(b)

Abb. 3.41. Zu Aufgabe 3.9

3.10 Berechnen Sie die gewonnene Arbeit W =

(

P dV beim Carnot-Prozeß f¨ ur ein ideales Gas, indem Sie das Ringintegral auswerten.

Aufgaben zu Kapitel 3

163

3.11 Vergleichen Sie die K¨uhleffektivit¨at eines Carnot-Zyklus zwischen den Temperaturen T1 und T2 mit der von zwei Carnot-Zyklen, die zwischen T1 und T3 und zwischen T3 und T2 arbeiten (T1 < T3 < T2 ). Zeigen Sie, daß es g¨ unstiger ist, einen K¨ uhlvorgang in Teilschritte zu zerlegen.

3.12 Diskutieren Sie einen Carnot-Zyklus, bei dem das Arbeitsmaterial thermische Strahlung ist. Es gilt: E = σV T 4 , pV = 13 E, σ > 0. (a) Stellen Sie die Adiabatengleichung auf. (b) Berechnen Sie CV und CP .

3.13 Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Joule-Zyklus (siehe Abb. 3.42): Resultat : η = 1 − (P2 /P1 )(κ−1)/κ . Vergleichen Sie den Wirkungsgrad mit dem des (gestrichelt eingezeichneten) CarnotProzesses, wobei das Arbeitsmittel ein ideales Gas ist.

Abb. 3.42. Joule-Zyklus

Abb. 3.43. Diesel-Zyklus

3.14 Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Diesel-Zyklus (Abb. 3.43): Ergebnis η =1−

1 (V2 /V1 )κ − (V3 /V1 )κ . κ (V2 /V1 ) − (V3 /V1 )

¨ 3.15 Berechnen Sie f¨ur ein ideales Gas die Anderung der inneren Energie, die zu leistende Arbeit und die zuzuf¨ uhrende W¨ armemenge f¨ ur die quasistatischen Prozesse auf folgenden Wegen von 1 nach 2 (siehe Abb. 3.44) (a) 1-A-2 (b) 1-B-2 (c) 1-C-2. Wie sieht die Fl¨ ache E(P, V ) aus?

Abb. 3.44. Zu Aufgabe 3.15

164

3. Thermodynamik

3.16 Betrachten Sie den sogenannten Stirlingschen Kreisprozeß, wobei eine W¨armekraftmaschine (Arbeitsmittel: ideales Gas) Arbeit gem¨ aß dem folgenden quasistatischen Zyklus leistet: (a) isotherme Expansion bei der Temperatur T1 vom Volumen V1 auf das Volumen V2 . (b) Abk¨ uhlung bei konstantem Volumen V2 von T1 nach T2 . (c) isotherme Kompression bei der Temperatur T2 von V2 auf V1 . (d) Erw¨ armung bei konstantem Volumen von T2 auf T1 . Bestimmen Sie den Wirkungsgrad η f¨ ur diesen Prozeß!

3.17 Das Verh¨altnis des spezifischen Volumens von Wasser zu dem von Eis ist

1.000:1.091 bei 0◦ C und 1 atm. Die Schmelzw¨ arme ist 80 cal/g. Berechnen Sie die Steigung der Schmelzkurve.

¨ 3.18 Integrieren Sie die Clausius-Clapeyronsche Differentialgleichung f¨ur den Uber¨ gang fl¨ ussig-gasf¨ ormig, indem Sie vereinfachend annehmen, daß die Ubergangsw¨ arme konstant ist, Vfl¨uss gegen Vgas vernachl¨ assigt werden kann und f¨ ur die Gasphase die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase gilt.

3.19 Betrachten Sie die Umgebung des Tripelpunktes in einem Bereich, wo die Grenzkurven durch Geraden gen¨ ahert werden k¨ onnen. Zeigen Sie, daß α < π ist (siehe Abb. 3.45). Anleitung: Ben¨ utzen Sie dP/dT = ∆S/∆V , und daß die Steigung der Geraden 2 gr¨ oßer ist, als die der Geraden 3.

Abb. 3.45. Umgebung des Tripelpunktes

3.20 Die latente W¨arme von Eis pro Masseneinheit sei QL . Ein Gef¨aß enth¨alt eine Mischung von Wasser und Eis am Gefrierpunkt (absolute Temperatur T0 ). Es soll zus¨ atzlich Wasser der Masse m aus dem Gef¨ aß mit einem K¨ uhlapparat gefroren werden. Die vom K¨ uhlapparat abgegebene W¨ arme wird verwendet, um einen K¨ orper der W¨ armekapazit¨ at C und der Anfangstemperatur T0 aufzuw¨ armen. Wie groß ist die minimale W¨ armeenergie, die vom K¨ uhlapparat an den K¨ orper abgegeben wird? (C sei temperaturunabh¨ angig)

3.21 (a) Diskutieren Sie die Druckabh¨angigkeit der Reaktion N2 +3H2 2NH3 (Ammoniakerzeugung). F¨ ur welchen Druck ist die Ammoniakausbeute m¨ oglichst groß? (b) Diskutieren Sie die thermische Dissoziation 2H2 O2H2 +O2 . Zeigen Sie, daß eine Druckerh¨ ohung der Dissoziation entgegenwirkt.

3.22 Erg¨anzen Sie die Details der Ableitung von (3.9.36a) und (3.9.36b). 3.23 Diskutieren Sie die Druck- und Temperaturabh¨angigkeit der Reaktion CO + 3H2  CH4 + H2 O

Aufgaben zu Kapitel 3

165

3.24 Wenden Sie das Massenwirkungsgesetz auf die Reaktion H2 +Cl2 2HCl an. 3.25 Leiten Sie das Massenwirkungsgesetz f¨ur die Teilchendichten j = Nj /V , Gl. (3.9.30 ), her. 3.26 Beweisen Sie Gl. (3.9.38) f¨ur die Temperaturabh¨angigkeit der Massenwirkungskonstante. ∂ Anleitung: Zeigen Sie H = G − T ∂G = −T 2 ∂T ∂T der freien Enthalpie  ∆G = µi νi


G T

¨ und dr¨ ucken Sie die Anderung

i

durch Gl. (3.9.28) aus und setzen Sie das Massenwirkungsgesetz (3.9.30) oder (3.9.30 ) ein.

3.27 Pomerantschuk-Effekt. Das Entropiediagramm f¨ur festes bzw. fl¨ussiges He3 besitzt unterhalb von 3 K die angegebene Gestalt. Beachten Sie, daß die spezifischen Volumina in beiden Phasen in diesem Temperaturbereich sich nicht ¨ andern. Stellen Sie P (T ) f¨ ur die Koexistenzkurven der Phasen dar (Abb. 3.46).

Abb. 3.46. Pomerantschuk-Effekt

3.28 Die (spezifischen) freien Energien fα und fβ zweier fester Phasen α und β mit einer Mischbarkeitsl¨ ucke und die (spezifische) freie Energie fFl der Fl¨ ussigkeitsmischung sind als Funktion der Konzentration c in Abb. 3.47 dargestellt. Diskutieren Sie die Bedeutung der gestrichelten und der durchgezogenen Doppeltangenten. Bei Erniedrigung der Temperatur wird die freie Energie der fl¨ ussigen Phase erh¨ oht, also verschiebt sich fFl gegen¨ uber den beiden festen Zweigen der freien Energie nach oben. Leiten Sie daraus die Form des eutektischen Phasendiagramms ab.

3.29 Eine typische Form eines Zustandsdiagramms von fl¨ussigen und gasf¨ormigen Gemischen ist in Abb. 3.48 dargestellt. Die Komponenten A und B sind sowohl in der Gasphase als auch in der fl¨ ussigen Phase beliebig mischbar. B hat den h¨ oheren Siedepunkt als A. F¨ ur eine Temperatur in dem Intervall TA < T < TB ist deshalb die Gasphase A-reicher als die fl¨ ussige Phase. Diskutieren Sie das Sieden f¨ ur die Ausgangskonzentration c0 , (a) f¨ ur den Fall, daß die Fl¨ ussigkeit in Kontakt mit der Gasphase bleibt. Zeigen Sie, daß der Verdampfungsvorgang in dem Temperaturintervall T0 bis Te abl¨ auft. (b) f¨ ur den Fall, daß der Dampf abgepumpt wird. Zeigen Sie, daß der Verdampfungsvorgang im Intervall T0 bis TB abl¨ auft. Anmerkung: Man nennt die aus Verdampfungslinie und Kondensationslinie zusammengesetzte Kurve Siedelinse“. Ihre Form ist entscheidend f¨ ur die Effizienz von ” Destillationsvorg¨ angen. Die Siedelinse kann auch kompliziertere Formen annehmen

166

3. Thermodynamik

Abb. 3.47. Fl¨ ussigkeitsgemisch

Abb. 3.48. Siedelinse

als in Abb. 3.48, wie z.B. in Abb. 3.49. Eine Mischung mit der Konzentration ca nennt man azeotrop. F¨ ur diese Konzentration l¨ auft der Verdampfungsvorgang des Gemisches genau bei der Temperatur Ta und nicht in einem Temperaturintervall ab. Auch die eutektische Konzentration ist in diesem Sinne speziell. Ein derartiger Punkt tritt im Alkohol-Wasser Gemisch bei 96 % auf, was die Destillationsm¨ oglichkeit begrenzt.19

Abb. 3.49. Siedelinse

Abb. 3.50. Freie Energie

3.30 In Abb. 3.50 ist die freie Energie der fl¨ussigen Phase fFl als Funktion der Konzentration gezeichnet, sowie die der Gasphase fG . Es ist angenommen, daß fFl temperaturunabh¨ angig ist und fG mit abnehmender Temperatur sich nach oben verschiebt. Erkl¨ aren Sie das Zustandekommen der Siedelinse von Aufgabe 3.29.19

19

Detaillierte Angaben u ¨ ber Phasendiagramme von Mischungen findet man in M. Hansen, Constitution of Binary Alloys, McGraw Hill, 1983 und Supplementen. Weitere ausf¨ uhrliche Diskussionen u ¨ ber die Form von Phasendiagrammen findet man in Landau Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik, Bd. V Statistische Physik.

Aufgaben zu Kapitel 3

167

3.31 Betrachten Sie die Paarerzeugung von Elektron-Positron-Paaren e+ + e−  γ . Nehmen Sie der Einfachheit halber an, daß das chemische Potential der Elektronen und Positronen durch den nichtrelativistischen Grenzfall unter Ber¨ ucksichtigung 3 der Ruheenergie durch µ = mc2 + kT log λVN gegeben sei. Zeigen Sie f¨ ur die Teilchenzahldichten n± von e± , daß n+ n− = λ−6 e−

2mc2 kT

gilt und diskutieren Sie die Konsequenzen.

3.32 Betrachten Sie die Siede- und Kondensationskurven eines zweikomponentigen Fl¨ ussigkeitsgemisches. Die Konzentrationen in der Gas- und Fl¨ ussigkeitsphase seien cG und cFl . Zeigen Sie, daß in Punkten mit cG = cFl (azeotropes Gemisch), an denen sich also die Siede- und die Kondensationskurve ber¨ uhren, f¨ ur festes P dT =0 dc und f¨ ur festes T dP =0 dc sind, d.h. die Steigungen sind horizontal. Anleitung: Gehen Sie aus von den differentiellen Gibbs-Duhem-Beziehungen der Gas und der Fl¨ ussigkeitsphase auf den Grenzkurven.

3.33 Bestimmen Sie die Temperatur der Atmosph¨are als Funktion der H¨ohe. Um wieviel nimmt die Temperatur pro km H¨ ohe ab? Vergleichen Sie Ihr Resultat f¨ ur den Druck P (z) mit der Barometerformel (siehe Aufgabe 2.15). Anleitung: Gehen Sie von der Kr¨ aftebilanz in einem kleinen Luftvolumen aus. Das ergibt dP (z) = −mg P (z)/k · T (z). dz Nehmen Sie an, daß die Temperatur¨ anderungen mit Druck¨ anderungen der Luft (z) γ−1 dP (z) (ideales Gas) adiabatisch zusammenh¨ angen dT = . Daraus folgt dTdz(z) . T (z) γ P Zahlenwerte: m = 29g/mol, γ = 1.41.

3.34 In der Meteorologie betrachtet man auch die homogene Atmosph¨are“, bei ” der ρ konstant ist. Bestimmen Sie den Druck und die Temperatur als Funktion der H¨ ohe. Berechnen Sie die Entropie der homogenen Atmosph¨ are und vergleichen Sie diese mit jener einer isothermen Atmosph¨ are gleichen Energieinhalts. Kann eine solche homogene Atmosph¨ are stabil sein?

4. Ideale Quanten-Gase

In diesem Kapitel wollen wir die thermodynamischen Eigenschaften idealer Quantengase, also nicht wechselwirkender Teilchen, aus der Quantenstatistik herleiten. Dies umfaßt nichtrelativistische Fermionen und Bosonen, deren Wechselwirkungen vernachl¨ assigt werden, Quasiteilchen in kondensierter Materie und relativistische Quanten, insbesondere Photonen.

4.1 Großkanonisches Potential Die Berechnung des großkanonischen Potentials ist am einfachsten. Um zun¨ achst ein konkretes System vor Augen zu haben, gehen wir vom HamiltonOperator f¨ ur N nicht wechselwirkende, nichtrelativistische Teilchen aus H=

N  1 2 p . 2m i i=1

(4.1.1)

Die Teilchen seien in einen Kubus der L¨ ange L und Volumen V = L3 eingeschlossen, wobei wir periodische Randbedingungen voraussetzen. Die Einteilcheneigenfunktionen des Hamilton-Operators sind dann die Impulseigenzust¨ ande |p und in der Ortsdarstellung durch 1 ϕp (x) = x|p = √ eip·x/
V

(4.1.2a)

gegeben, wobei die Impulsquantenzahlen die Werte p=

2π
(ν1 , ν2 , ν3 ) , L

να = 0, ±1, . . . ,

(4.1.2b)

annehmen und die Einteilchenenergie durch εp =

p2 2m

(4.1.2c)

gegeben ist. Zur vollst¨ andigen Charakterisierung der Einteilchenzust¨ande m¨ ussen wir noch den Spin s ber¨ ucksichtigen. Dieser ist f¨ ur Bosonen ganzzahlig und f¨ ur Fermionen halbzahlig. Die Quantenzahl ms f¨ ur die z-Komponente

170

4. Ideale Quanten-Gase

des Spins nimmt 2s + 1 Werte an. Wir fassen mit p ≡ (p, ms ) die beiden Quantenzahlen in einem Symbol zusammen und haben f¨ ur die kompletten Energieeigenzust¨ ande |p ≡ |p |ms  .

(4.1.2d)

In die nun folgende Behandlung k¨ onnen wir auch beliebige nicht wechselwirkende Hamilton-Operatoren mit einschließen, die z.B. noch ein Potential enthalten und vom Spin abh¨ angen, wie dies etwa bei Elektronen in einem Magnetfeld der Fall ist. Wir nennen auch dann die Einteilchenquantenzahlen p und den zum Energieeigenzustand |p geh¨ origen Eigenwert εp , der jedoch nicht mehr mit (4.1.2c) u ¨bereinstimmen muß. Aus diesen ergibt sich das Basissystem der N -Teilchenzust¨ ande f¨ ur Bosonen und Fermionen  |p1 , p2 , . . . , pN  = N (±1)P P |p1  . . . |pN  . (4.1.3) P

Hier wird u ¨ ber alle Permutationen P der Zahlen 1 bis N summiert. Das obere Vorzeichen gilt f¨ ur Bosonen, (+1)P = 1, das untere f¨ ur Fermionen. P Es ist (−1) f¨ ur gerade Permutationen 1 und f¨ ur ungerade −1. Die Bosonenzust¨ ande sind vollkommen symmetrisch, die Fermionenzust¨ande vollkommen antisymmetrisch. Wegen der Symmetrisierungsoperation ist der Zustand (4.1.3) v¨ ollig charakterisiert durch die Besetzungszahlen np , die angeben, wieviele der N Teilchen im Zustand |p sind. F¨ ur Bosonen kann np = 0, 1, 2, . . . alle ganzzahligen Werte von 0 bis ∞ annehmen. Man sagt, diese Teilchen gen¨ ugen der Bose-Einstein-Statistik. F¨ ur Fermionen kann jeder Einteilchenzustand h¨ ochstens einmal besetzt werden, np = 0, 1 (gleiche Quantenzahlen w¨ urden durch die Antisymmetrisierung auf der rechten Seite von (4.1.3) Null ergeben). Man sagt, derartige Teilchen gen¨ ugen der FermiDirac-Statistik. Der Normierungsfaktor in (4.1.3) ist N = √1N ! f¨ ur Fermionen und N = (N ! np1 ! np2 ! . . .)−1/2 f¨ ur Bosonen.1 F¨ ur einen N -Teilchen Zustand muß die Summe aller np  N= np

(4.1.4)

p

erf¨ ullen, und der Energie-Eigenwert dieses N -Teilchen-Zustandes ist  E({np }) = np ε p . (4.1.5) p

Nun k¨ onnen wir leicht die großkanonische Zustandssumme (Abschnitt 2.7.2) berechnen: 1

Anmerkung: F¨ ur Bosonen kann der Zustand (4.1.3) auch in der Form  (N !/np1 ! np2 ! . . .)−1/2 P  P  |p1  . . . |pN  geschrieben werden, wo nur u ¨ ber zu unterschiedlichen Termen f¨ uhrende Permutationen P  summiert wird.

4.1 Großkanonisches Potential

ZG ≡

∞ 

 p

 p

np =N

e−β(εp −µ)np

np



e−β



p (εp −µ)np

{np }

{np }

N =0 

=

e−β(E({np })−µN ) =

171

⎧ 1 ⎪ fu ¨r Bosonen ⎪ ⎨ −β(ε p −µ) 1−e p  =  ⎪ ⎪ 1 + e−β(εp −µ) f u ¨r Fermionen. ⎩ p

(4.1.6)  Wir f¨ ugen hier einige Erl¨ auterungen zu (4.1.6) ein. Hier bedeutet {np } . . . *  ≡ p np . . . die Vielfachsumme u ¨ ber alle Besetzungszahlen, wobei jede der Besetzungszahlen np die zul¨ assigen Werte (0,1 f¨ ur Fermionen und 0,1,2,. . . f¨ ur Bosonen) annimmt. Hier durchl¨ auft p ≡ (p, ms ) alle Werte von p und ms . Die Berechnung der großkanonischen Zustandssumme verlangt, daß man zun¨ achst f¨ ur feste Teilchenzahl N u ¨ ber alle damit vertr¨aglichen Zust¨ande und dann u N = 0, 1, 2, . . . summiert. In der Definition von ¨ ber alle Teilchenzahlen   ZG tritt deshalb {np } mit der Einschr¨ ankung p np = N auf. Da aber zum Abschluß u ¨ ber alle N summiert wird, folgt der Ausdruck nach dem zweiten Gleichheitszeichen, in dem u angig voneinander summiert ¨ ber alle np unabh¨ wird. Hier erkennt man, daß es im Vergleich zu den anderen Ensembles am bequemsten ist, die großkanonische Zustandssumme zu berechnen. F¨ ur Bosonen entsteht in (4.1.6) ein Produkt von geometrischen Reihen; die Bedingung f¨ ur deren Konvergenz verlangt µ < εp f¨ ur alle p. Aus (4.1.6) folgt das großkanonische Potential   Φ = −β −1 log ZG = ±β −1 log 1 ∓ e−β(εp −µ) , (4.1.7) p

aus dem wir alle interessierenden thermodynamischen Gr¨oßen ableiten k¨onnen. Dabei beziehen sich hier und im folgenden die oberen (unteren) Vorzeichen auf Bosonen (Fermionen). F¨ ur die mittlere Teilchenzahl ergibt sich deshalb

  ∂Φ N ≡− = n(εp ) . (4.1.8) ∂µ β p Hier wurde n(εp ) ≡

1 eβ(εp −µ) ∓ 1

(4.1.9)

eingef¨ uhrt, die man auch als Bose- bzw. Fermi-Verteilungsfunktion bezeichnet. Wir zeigen nun, daß n(εq ) die mittlere Besetzungszahl des Zustands |q ist. Dazu wird der Mittelwert von nq berechnet

172

4. Ideale Quanten-Gase



  −β p np (εp −µ) −βnq (εq −µ) e nq nq {np } nq e   nq  = Sp(ρG nq ) =  = −β p np (εp −µ) −βn (ε −µ) q q nq e {np } e    ∂ =− log e−xn  = n(εq ) , ∂x x=β(εq −µ) n

womit die Behauptung gezeigt ist. Wir kehren nun zur Berechnung der thermodynamischen Gr¨ oßen zur¨ uck. F¨ ur die innere Energie findet man aus (4.1.7)

  ∂(Φβ) E= = εp n(εp ) , (4.1.10) ∂β βµ p wobei in dieser Ableitung das Produkt βµ konstant gehalten wird. Bemerkungen: (i) Damit n(εp ) ≥ 0 f¨ ur jedes p ist, muß f¨ ur Bosonen µ < 0 , f¨ ur ein allgemeineres Energiespektrum µ < min(εp ), sein. (ii) F¨ ur e−β(εp −µ)
1 ergibt sich aus (4.1.7) f¨ ur s = 0 das großkanonische Potential klassischer idealer Gase (siehe 4.1.14a)   2 z V zV −1 −β(εp −µ) Φ = −β e =− d3 p e−βp /2m = − 3 . 3 β (2π
) βλ p (4.1.11) Hier wurde f¨ ur die rechte Seite von (4.1.11) die Dispersionsrelation εp = p2 /2m aus Gl. (4.1.2c) verwendet. Mit z = eβµ

(4.1.12)

h wurde die Fugazit¨ at2 und mit λ = √2πmkT (Gl. (2.7.20)) die thermische Wellenl¨ ange eingef¨ uhrt. F¨ ur s = 0 w¨ urde sich ein Zusatzfaktor (2s + 1) nach dem zweiten und dritten Gleichheitszeichen in Gl. (4.1.11) ergeben. (iii) Die Berechnung der großkanonischen Zustandssumme ist noch einfacher, wenn man den Formalismus der zweiten Quantisierung verwendet
 ˆ) , ZG = Sp exp −β(H − µN (4.1.13a)

wo der Hamilton-Operator und der Teilchenzahl-Operator in zweiter Quantisierung3 die Gestalt  H= εp a†p ap (4.1.13b) p 2

3

Fugazit¨ at=Fl¨ uchtigkeit: (Urspr¨ unglich eingef¨ uhrt als Gr¨ oße, die in der idealen Zustandsgleichung den Druck P ersetzt, so daß daraus die Zustandsgleichung des realen Gases resultiert). Siehe z.B. F. Schwabl, Quantenmechanik f¨ ur Fortgeschrittene (QM II), 4. Aufl., Springer, 2005, Kap. 1.

4.1 Großkanonisches Potential

173

und ˆ= N



a†p ap

(4.1.13c)

p

besitzen. Dann folgt   † ZG = Sp e−β(εp −µ)ap ap = e−β(εp −µ)np p

p

(4.1.13d)

np

und damit wieder (4.1.6). Nach Gl. (4.1.2b) entspricht jedem der diskreten p-Werte im Impulsraum ein Volumen ∆ = (2π
/L)3 . Deshalb k¨ onnen im Grenzfall großer V Summen u ur den Hamilton-Operator freier ¨ber p durch Integrale ersetzt werden. F¨ Teilchen (4.1.1) bedeutet dies in (4.1.7) und (4.1.8)    1  V ... = g ... = g ∆... = g d3 p . . . (4.1.14a) 3 ∆ (2π
) p p p mit dem Entartungsfaktor g = 2s + 1 ,

(4.1.14b)

wegen der Unabh¨ angigkeit der Einteilchenenergie εp vom Spin. F¨ ur die mittlere Teilchenzahl erhalten wir dann aus (4.1.8)4 gV N= (2π
)3



gV d p n(εp ) = 2 3 2π


∞

3

dp p2 n(εp ) 0

3/2

gV m = 1/2 2 3 2 π


∞ 0

√ ε , eβ(ε−µ) ∓ 1 dε

(4.1.15)

wobei als Integrationsvariable ε = p2 /2m eingef¨ uhrt wurde. Wir definieren noch das spezifische Volumen v = V /N

(4.1.16)

und substituieren x = βε, dann ergibt sich schließlich aus (4.1.15) 1 1 2g = 3√ v λ π

∞ dx 0

4

x1/2 g = 3 x e z −1 ∓ 1 λ



g3/2 (z) f u ¨ r Bosonen f3/2 (z) f u ¨r Fermionen .

(4.1.17)

F¨ ur Bosonen wird es sich in Abschn. 4.4 erweisen, daß in einem Temperaturbe¨ reich, wo µ → 0 geht, der Term mit p = 0 beim Ubergang von der Summe u ¨ber die Impulse zum Integral gesondert behandelt werden muß.

174

4. Ideale Quanten-Gase

Dabei wurden die verallgemeinerten ζ-Funktionen eingef¨ uhrt, die durch gν (z) fν (z)



1 ≡ Γ (ν)

∞ dx 0

xν−1 ex z −1 ∓ 1

(4.1.18)

definiert sind.5 Genauso ergibt sich aus (4.1.7)   gV 3 −β(εp −µ) Φ=± d p log 1 ∓ e (2π
)3 β ∞  √ gV m3/2 = ± 1/2 2 3 dε ε log 1 ∓ e−β(ε−µ) , 2 π
β

(4.1.19)

0

was nach einer partiellen Integration auf 2 gV m3/2 Φ = −P V = − 3 21/2 π 2
3

∞ 0

dε ε3/2 gV kT =− 3 β(ε−µ) λ e ∓1



g5/2 (z) f5/2 (z)

(4.1.19 )

f¨ uhrt, wobei die obere Zeile f¨ ur Bosonen und die untere f¨ ur Fermionen gilt. Dabei wurde auch der f¨ ur homogene Systeme g¨ ultige Ausdruck (3.1.26) Φ = −P V eingesetzt. F¨ ur die innere Energie erh¨ alt man aus (4.1.10) gV E= (2π
)3



gV m3/2 d p εp n(εp ) = 1/2 2 3 2 π


∞

3

0

dε ε3/2 . eβ(ε−µ) ∓ 1

(4.1.20)

Der Vergleich mit (4.1.19) ergibt bemerkenswerterweise den gleichen Zusammenhang PV =

2 E 3

(4.1.21)

wie f¨ ur das klassische ideale Gas. Weitere allgemeine Relationen folgen aus der Homogenit¨ at von Φ in T und µ. Aus (4.1.19 ), (4.1.15) und (3.1.18) folgt µ µ Φ = −T 5/2 ϕ , N = V T 3/2 n , V T T

 µ ∂Φ S s(µ/T ) S=− = V T 3/2 s und = . ∂T V,µ T N n(µ/T )

P =−

5

∞

(4.1.22a,b) (4.1.22c,d)

dt e−t tν−1 [Re ν > 0] definiert. Sie √ √ erf¨ ullt die Relation Γ (ν + 1) = ν Γ (ν); z. B.: Γ ( 12 ) = π, Γ ( 32 ) = π/2, Γ ( 52 ) = √ 3 π/4. Die Riemannsche ζ-Funktion ist in Gl. (D.2) definiert. Die Gamma-Funktion ist durch Γ (ν) =

0

4.2 Klassischer Grenzfall z = eµ/kT 1

175

Aus diesen Ergebnissen k¨ onnen wir leicht die Adiabatengleichung ableiten. Die Bedingung S = const und N = const ergibt mit (4.1.22d), (4.1.22b) und (4.1.22a) µ/T = const, V T 3/2 = const, P T −5/2 = const und schließlich P V 5/3 = const .

(4.1.23)

Die Adiabatengleichung hat dieselbe Gestalt wie f¨ ur das klassische ideale Gas, obwohl die meisten anderen thermodynamischen Gr¨oßen sich unterschiedlich verhalten, wie zum Beispiel cP /cV = 5/3. Nach diesen allgemeinen Vor¨ uberlegungen wollen wir die Zustandsgleichung aus (4.1.22a) herleiten. Dazu m¨ ussen wir µ/T aus (4.1.22a) eliminieren und mittels (4.1.22b) durch die Dichte N/V ersetzen. Die explizite Berechnung f¨ uhren wir in 4.2 f¨ ur den klassischen Grenzfall und in 4.3 und 4.4 f¨ ur tiefe Temperaturen, bei denen die Quanteneffekte dominieren.

4.2 Klassischer Grenzfall z = eµ/kT  1 Zun¨ achst berechnen wir die Zustandsgleichung im nahezu klassischen Grenzfall. Dazu werden die in (4.1.18) definierten, verallgemeinerten ζ-Funktionen g und f in Potenzreihen in z entwickelt gν (z) fν (z)

 =

1 Γ (ν)

∞ 0

dx xν−1 e−x z

∞ 







(±1)k e−xk z k =

k =0

∞  (±1)k+1 z k k=1

kν

,

(4.2.1) wobei die obere Zeile (Vorzeichen) f¨ ur Bosonen, die untere f¨ ur Fermionen gilt. Damit nimmt Gl. (4.1.17) die Gestalt ∞  
3  λ3 (±1)k+1 z k z2 =g = g z ± + O z v k 3/2 23/2

(4.2.2)

k=1

an. Diese Gleichung kann man iterativ nach z au߬ osen / 0

3 2

3 3 λ3 1 λ λ z= ∓ +O . vg 23/2 vg v

(4.2.3)

Setzt man dies in die aus (4.1.19 ) und (4.2.1) folgende Entwicklung f¨ ur Φ


 gV kT z2 Φ=− 3 z ± 5/2 + O z 3 (4.2.4) λ 2 ein, so l¨ aßt sich µ zugunsten von N eliminieren und es ergibt sich die Zustandsgleichung

176

4. Ideale Quanten-Gase

/ P V = −Φ = N kT

λ3 1 ∓ 5/2 + O 2 gv

/

λ3 v

2 00 .

(4.2.5)

Die Symmetrisierung (Antisymmetrisierung) der Wellenfunktionen bewirkt im Vergleich mit dem klassischen idealen Gas eine Verringerung (Erh¨ohung) des Drucks. Diese wirkt sich so wie eine Anziehung (Abstoßung) der tats¨achlich wechselwirkungsfreien Teilchen aus (Clusterbildung (Zusammenballung) von Bosonen, Ausschließungsprinzip f¨ ur Fermionen). F¨ ur das chemische Potential finden wir aus (4.1.12) und (4.2.3) die Entwicklung unter Benutzung 3 von λvg
1   λ3 1 λ3 µ = kT log z = kT log ∓ ... , (4.2.6) gv 23/2 gv d.h. µ < 0. F¨ ur die freie Energie F = Φ + µN folgt aus (4.2.5) und (4.2.6) F = Fklass ∓ kT

N λ3 , 25/2 gv

(4.2.7a)

wo Fklass

 λ3 = N kT −1 + log gv

(4.2.7b)

die freie Energie des klassischen idealen Gases ist. Bemerkungen: (i) Die Quantenkorrekturen sind proportional zu
3 , da λ proportional zu
ist. Man nennt diese Korrekturen auch Austauschkorrekturen, da sie einzig vom Symmetrieverhalten der Wellenfunktion abh¨angen. (Siehe auch Anhang B.) (ii) Die Austauschkorrekturen zu den klassischen Ergebnissen sind bei endlichen Temperaturen von der Gr¨ oßenordnung λ3 /v. Die klassische Zustandsgleichung gilt f¨ ur z
1, bzw. λ
v 1/3 , also im Grenzfall starker Verd¨ unnung. Dieser Grenzfall ist umso besser realisiert, je h¨oher die Temperatur und je geringer die Dichte ist. Die Besetzungszahl im klassischen Grenzfall ist gegeben durch (Abb. 4.1) n(εp ) ≈ e−βεp eβµ = e−βεp

λ3
1. gv

(4.2.8)

Der klassische Grenzfall (4.2.8) gilt f¨ ur Bosonen und Fermionen gleichermaßen. Im Vergleich dazu ist die Fermi-Verteilungsfunktion bei Temperatur Null eingezeichnet. Deren Bedeutung sowie die von εF wird in Abschnitt 4.3 besprochen. (iii) Entsprechend der symmetriebedingten Druck¨ anderung von (4.2.5) f¨ uhren die Austauscheffekte zu einer Ab¨ anderung der freien Energie (4.2.7a).

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas

177

Abb. 4.1. Die Besetzungszahl n(ε) im klassischen Grenzfall (schraffiert). Zum Vergleich ist auch die Besetzungszahl f¨ ur ein entartetes Fermigas eingezeichnet.

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas In diesem und im n¨ achsten Abschnitt betrachten wir den entgegengesetzten Grenzfall, in dem die Quanteneffekte dominieren. Wir m¨ ussen hier Fermionen und Bosonen in 4.4 separat behandeln. Zun¨ achst erinnern wir unabh¨angig von der statistischen Mechanik an die Eigenschaften des Grundzustandes von Fermionen. 4.3.1 Grundzustand, T = 0 (Entartung) Wir besprechen zuerst den Grundzustand von N Fermionen. Dieser ist bei Temperatur Null realisiert. Im Grundzustand sind die N niedrigsten Einteilchenzust¨ ande |p einfach besetzt. Falls die Energie nur vom Impuls p abh¨angt, kommt jeder Wert von p g-fach vor. F¨ ur die Dispersionsrelation (4.1.2c) sind deshalb die Impulse innerhalb einer Kugel (der Fermi-Kugel), deren Radius man Fermi-Impuls pF nennt (Abb. 4.2), besetzt. Die Teilchenzahl h¨angt mit pF folgendermaßen zusammen   V gV p3F 3 N =g 1=g d p Θ(p − p) = . (4.3.1) F (2π
)3 6π 2
3 p≤pF

Abb. 4.2. Besetzung der Impulseigenzust¨ ande innerhalb der Fermikugel

178

4. Ideale Quanten-Gase

Aus (4.3.1) ergibt sich folgende Beziehung zwischen der Teilchenzahldichte n= N V und dem Fermi-Impuls

pF =

6π 2 g

1/3
n1/3 .

(4.3.2)

Die dem Fermi–Impuls entsprechende Einteilchenenergie nennt man FermiEnergie: εF =

p2F = 2m



6π 2 g

2/3


2 2/3 n . 2m

F¨ ur die Grundzustandsenergie folgt  gV p2 gV p5F 3 3 E= d p Θ(p − p) = = εF N . F (2π
)3 2m 20π 2
3 m 5

(4.3.3)

(4.3.4)

Aus (4.1.21) und (4.3.4) ergibt sich f¨ ur den Druck von Fermionen bei der Temperatur Null 2 1 P = εF n = 5 5



6π 2 g

2/3


2 5/3 n . m

(4.3.5)

Die Entartung des Grundzustandes ist so gering, daß f¨ ur T = 0 die Entropie und T S verschwinden (Siehe auch (4.3.19)). Daraus und mit (4.3.4) und (4.3.5) ergibt die Gibbs-Duhem-Relation µ = N1 (E + P V − T S) f¨ ur das chemische Potential µ = εF .

(4.3.6)

Dieses Ergebnis ist auch aus der Form des Grundzustandes ersichtlich, die eine Besetzung aller Niveaus bis zur Fermi-Energie beinhaltet, woraus folgt, daß die Fermi-Verteilungsfunktion eines Systems von N Fermionen f¨ ur T = 0 in n(ε) = Θ(εF − ε) u ¨ bergehen muß. Klarerweise ben¨otigt man genau die Energie εF um ein weiteres Fermion in das System einzubringen. Die Existenz der Fermi-Energie ist eine Folge des Pauli-Prinzips und somit ein Quanteneffekt. 4.3.2 Grenzfall starker Entartung Nun berechnen wir die thermodynamischen Eigenschaften im Grenzfall großer µ/kT . In der Abb. 4.3 ist die Fermi-Verteilungsfunktion n(ε) =

1 e(ε−µ)/kT

+1

(4.3.7)

f¨ ur tiefe Temperaturen dargestellt. Gegen¨ uber einer Stufenfunktion an der

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas

179

Abb. 4.3. Fermi-Verteilungsfunktion n(ε) f¨ ur kleine Temperaturen, verglichen mit der Stufenfunktion Θ(µ − ε).

Stelle µ ist sie u ¨ber einen Bereich kT aufgeweicht. Wir werden unten sehen, daß µ nur bei T = 0 gleich εF ist. F¨ ur T = 0 artet die FermiVerteilungsfunktion in eine Stufenfunktion aus, man spricht dann von einem entarteten Fermi-Gas, f¨ ur kleine T von einem fast entarteten Fermi-Gas. Es ist zweckm¨ aßig, die Vorfaktoren in (4.1.19 ) und (4.1.15) durch die Fermi-Energie (4.3.3) zu ersetzen;6 f¨ ur das großkanonische Potential erh¨alt man −3/2

∞

Φ = −N εF

dε ε3/2 n(ε)

(4.3.8)

0

und aus der Formel (4.1.15) f¨ ur N wird 3 −3/2 1 = εF 2

∞ dε ε1/2 n(ε) .

(4.3.9)

0

Es bleiben also noch Integrale des Typs ∞ I=

dε f (ε) n(ε)

(4.3.10)

0

zu berechnen. Die Methode f¨ ur die Auswertung bei tiefen Temperaturen stammt von Sommerfeld: Man kann I in folgender Weise zerlegen µ I=

∞ dε f (ε) +



dε f (ε) n(ε) − Θ(µ − ε)

0

0

µ

∞

≈

dε f (ε) + 0



dε f (ε) n(ε) − Θ(µ − ε)

(4.3.11)

−∞

und f¨ ur T → 0 im zweiten Term die Integrationsgrenze n¨aherungsweise nach 6

In (4.3.8) und (4.3.14) ist Φ nach wie vor durch seine nat¨ urlichen Variablen T, V −3/2 ∝ V . In (4.3.14 ) ist die Abh¨ angigkeit von µ u und µ ausgedr¨ uckt, da N εF ¨ber (4.3.13) durch T und N/V ersetzt.

180

4. Ideale Quanten-Gase

Abb. 4.4. Die FermiVerteilungsfunktion n(ε) und n(ε) − Θ(µ − ε). −(µ−ε)/kT −∞ verschieben, da f¨ ur negative ) ist.7 Man
ε n(ε) = 1+ O(e sieht sofort aus Abb. 4.4, daß n(ε) − Θ(µ − ε) nur in der Umgebung von ε = µ verschieden von Null ist und antisymmetrisch um die Stelle µ ist.8 Deshalb entwickeln wir f (ε) um die Stelle µ in eine Taylor-Reihe und f¨ uhren als neue Integrationsvariable x = (ε − µ)/kT ein:

µ I=

∞ dε f (ε) +

0

−∞

 dx

 1 − Θ(−x) × ex + 1


2 f  (µ)
4 3 × f  (µ) kT x + kT x + . . . 3! µ ∞
2 x = dε f (ε) + 2 kT f  (µ) dx x + e +1 0

0


4 ∞ 2 kT x3  + f (µ) dx x + ... 3! e +1 0

 (da

1 ex +1

 − Θ(−x) antisymmetrisch und =

1 ex +1

f¨ ur x > 0). Daraus folgt

unter Verwendung der in Anhang D, Gl. (D.7), berechneten Integrale die allgemeine Entwicklung nach der Temperatur9 7

8 9

Sollte f (ε) von vornherein nur f¨ ur positive ε definiert sein, kann man z.B. f (−ε) = f (ε) definieren, das Ergebnis h¨ angt nur von ε ab.  f (ε) bei positiven  1 1 1 − Θ(−x) = 1 − − Θ(−x) = − − Θ(x) ex +1 e−x +1 e−x +1 Diese Reihe ist eine asymptotische Reihe in T . Eine asymptotische Reihe f¨ ur  k eine Funktion I(λ), I(λ) = m k=0 ak λ + Rm (λ) ist durch folgendes Verhalten des Restglieds charakterisiert: limλ→0 Rm (λ)/λm = 0, limm→∞ Rm (λ) = ∞. F¨ ur kleine λ wird die Funktion durch eine endliche Zahl der Reihenglieder sehr genau repr¨ asentiert. Daß f¨ ur Funktionen f (ε) ∼ ε1/2 etc. das Integral aus (4.3.10) nicht in eine Taylor-Reihe entwickelbar ist, sieht man sofort, da I f¨ ur T < 0 divergiert.

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas

µ I=

dε f (ε) +

π 2
2  7π 4
4  kT f (µ) + kT f (µ) + . . . . 6 360

181

(4.3.12)

0

Wenden wir diese Entwicklung auf Gl. (4.3.9) an, so ergibt sich

3/2 

2 
 µ π 2 kT 1= 1+ + O T4 . εF 8 µ Diese Gleichung k¨ onnen wir iterativ nach µ aufl¨ osen und erhalten das chemische Potential als Funktion von T und N/V 

2 
4 π 2 kT µ = εF 1 − +O T , (4.3.13) 12 εF wobei εF durch (4.3.3) gegeben ist. Das chemische Potential verringert sich mit steigender Temperatur, da nicht mehr alle Zust¨ ande innerhalb der FermiKugel besetzt sind. Genauso ergibt sich f¨ ur (4.3.8)   π 2
2 3 1/2 −3/2 2 5/2 Φ = −N εF µ + kT µ + ... , (4.3.14) 5 6 2 woraus nach Einsetzen von (4.3.13)10 

2 
4 2 5π 2 kT Φ = − N εF 1 + +O T 5 12 εF

(4.3.14 )

bzw. u ¨ ber P = −Φ/V die Zustandsgleichung folgt. Aus (4.1.21) ergibt sich unmittelbar f¨ ur die innere Energie 

2 
4 3 3 5π 2 kT E = P V = N εF 1 + +O T . (4.3.15) 2 5 12 εF Daraus folgt f¨ ur die W¨ armekapazit¨ at bei konstantem V und N CV = N k

π2 T , 2 TF

(4.3.16)

wobei die Fermi-Temperatur TF = εF /k

(4.3.17)

eingef¨ uhrt wurde. F¨ ur tiefe Temperaturen (T
TF ) ist die W¨armekapazit¨at linear in der Temperatur (Abb. 4.5). Dieses Verhalten kann man sich leicht qualitativ verst¨ andlich machen. Erh¨ oht man die Temperatur von Null auf T , so erh¨ oht sich die Energie eines Teils der Teilchen um kT . Die Zahl der 10

Wenn man das großkanonische Potential als Funktion seiner nat¨ urlichen Varia−3/2 blen ben¨ otigt, muß man in (4.3.14) N εF = V g(2m)3/2 /6π 2
3 ersetzen. F¨ ur die Berechnung von CV und der Zustandsgleichung ist es jedoch zweckm¨ aßig als Variable T, V und N zu verwenden.

182

4. Ideale Quanten-Gase

Abb. 4.5. Spezifische W¨ arme (W¨ armekapazit¨ at) des idealen FermiGases

Abb. 4.6. Der Druck als Funktion der Temperatur. Ideales FermiGas (durchgezogen). Ideales klassisches Gas (gestrichelt).

Teilchen, die derartig angeregt werden, ist auf eine Schale der Breite kT um die Fermi-Kugel beschr¨ ankt, also durch N kT /εF gegeben. Insgesamt ist die Energieerh¨ ohung δE ∼ kT N

kT , εF

(4.3.16 )

woraus sich wie in (4.3.16) CV ∼ kN T /TF ergibt. Nach (4.3.14) ist der Druck durch

2/3 2 5/3 

2  2 6π 2
N 5π 2 kT P = 1+ + ... (4.3.14 ) 5 g 2m V 12 εF gegeben. Wegen des Pauli-Verbotes kommt es gegen¨ uber dem klassischen idealen Gas zu einer Druckerh¨ohung bei T = 0, wie aus Abb. 4.6 ersichtlich ist. Daraus folgt f¨ ur die isotherme Kompressibilit¨ at κT = −

1 V



∂V ∂P

 = T



2  3(V /N ) π 2 kT 1− + ... . 2εF 12 εF

(4.3.18)

F¨ ur die Entropie findet man f¨ ur T
TF S = kN

π2 T 2 TF

(4.3.19)

mit T S = E+P V −µN aus (4.3.15), (4.3.14 ) und (4.3.13) (vergleiche Anhang A.1, Dritter Hauptsatz). Das chemische Potential eines idealen Fermi-Gases bei fester Dichte kann aus Gl. (4.3.9) bestimmt werden und ist als Funktion der Temperatur in Abb. 4.7 dargestellt.

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas

183

µ/ εF

1

0

0.5

1.0

1.5

kT/ εF

Abb. 4.7. Chemisches Potential des idealen Fermi-Gases bei fester Dichte als Funktion der Temperatur.

-1

Erg¨ anzungen: (i) Die Fermi-Temperatur, auch Entartungstemperatur genannt,

2/3 εF 1 N TF [K] = = 3.85 × 10−38 k m[g] V [cm3 ]

(4.3.20)

ist charakteristisch f¨ ur das thermodynamische Verhalten von Fermionen (siehe Tab. 4.1). F¨ ur T TF ist das System fast entartet, w¨ ahrend f¨ ur T  TF der klassische Grenzfall zutrifft. Fermi-Energien werden u ¨ blicherweise in Elektronen∧ Volt angegeben. Die Umrechnung in Kelvin erfolgt u 11605 K . ¨ ber 1 eV= (ii) Die Zustandsdichte ist durch  Vg ν(ε) = d3 p δ(ε − εp ) (4.3.21) (2π
)3 definiert. Wir bemerken, daß ν(ε) lediglich von der Dispersionsrelation bestimmt ist und nicht von der Statistik. Die thermodynamischen Gr¨ oßen h¨ angen nicht von der detaillierten Impulsabh¨ angigkeit der Energieniveaus ab, sondern nur von der Verteilung der Energieniveaus, also der Zustandsdichte. Integrale u ¨ ber den Impulsraum, deren Integranden nur von εp abh¨ angen, k¨ onnen folgendermaßen umgeformt werden     (2π
)3 d3 p f (εp ) = dε d3 p f (ε)δ(ε − εp ) = dε ν(ε)f (ε) . Vg Beispielsweise l¨ aßt sich die Teilchenzahl in der Form ∞ N=

dε ν(ε)n(ε)

(4.3.22)

−∞

durch die Zustandsdichte ausdr¨ ucken. F¨ ur freie Elektronen ergibt sich aus (4.3.21) gV ν(ε) = 4π 2



2m
2

3 2

ε1/2 =

3 ε1/2 N . 2 ε3/2

(4.3.23)

F

Die in Abb. 4.8 dargestellte ε1/2 -Abh¨ angigkeit ist charakteristisch f¨ ur nichtrelativistische, materielle, nicht wechselwirkende Teilchen. Die oben dargestellten Ableitungen der spezifischen W¨ arme und der Kompressibilit¨ at k¨ onnen auf allgemeine Zustandsdichten ν(ε) verallgemeinert werden, indem (4.3.9) und (4.3.8) f¨ ur allgemeines ν(ε) ausgewertet werden. Die Ergebnisse lauten

184

4. Ideale Quanten-Gase

Abb. 4.8. Die Zustandsdichte f¨ ur freie Elektronen in drei Dimensionen. CV =


 1 2 π ν(εF )k2 T + O (T /TF )3 3

(4.3.24a)

und
 V ν(εF ) + O (T /TF )2 . (4.3.24b) N2 Daß nur der Wert der Zustandsdichte an der Fermi-Energie f¨ ur das Tieftemperaturverhalten maßgeblich ist, war nach den Bemerkungen nach Gleichung (4.3.17) zu erwarten. F¨ ur (4.3.23) ergeben sich aus (4.3.24a,b) wieder die Ergebnisse (4.3.16) und (4.3.18). κT =

(iii) Entartete Fermi-Fl¨ ussigkeiten: Physikalische Beispiele f¨ ur entartete FermiFl¨ ussigkeiten sind in Tab. 4.1 aufgef¨ uhrt. Tabelle 4.1. Entartete Fermi-Fl¨ ussigkeiten, Masse, Dichte, Fermi-Temperatur, Fermi-Energie Teilchen Metallelektronen He3 , P = 0–30 bar

m[g]

N/V [cm−3 ]

TF [K]

εF [eV]

0.91 × 10−27

1024

105

< 10

1.7–1.1

(1.5–0.9)×10−4

5.01 × 10−24 (1.6–2.3)×1022 m∗/m = 2.8–5.5

Neutronen im Kern

1.67 × 10−24

0.11×1039
 × A−Z A

Protonen im Kern Elektronen in weißen Zwergen

1.67 × 10−24

0.11 × 1039 Z A

0.91 × 10−27

1030

5.3×1011
2 3
A−Z  2 46 A−Z × 106 A 3 × A
 23
 23 5.3 × 1011 Z 46 Z × 106 A A 3 × 109

3 × 105

(iv) Coulomb-Wechselwirkung: Elektronen in Metallen sind nicht frei, sondern stoßen sich infolge der Coulomb-Wechselwirkung ab  p2 1  e2 i + . (4.3.25) H= 2m 2 rij i i =j

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas

185

Die folgende Skalierung des Hamilton-Operators zeigt, daß die N¨aherung freier Elektronen vor allem f¨ ur große Dichten sinnvoll ist. Dazu f¨ uhren wir eine kanonische Transformation r = r/r0 , p = p r0 durch. Die charakteristische
3V 1/3 3 L¨ange r0 ist durch 4π . In den neuen 3 r0 N = V definiert, d.h. r0 = 4πN Variablen lautet der Hamilton-Operator

 1  pi 2 1  e2 H= 2 + r0 .  r0 2m 2 rij i

(4.3.25 )

i =j

Die Coulomb-Wechselwirkung wird im Vergleich zur kinetischen Energie umso unwichtiger, je kleiner r0 ist, d.h. je dichter das Gas ist. ∗

4.3.3 Reale Fermionen

In diesem Abschnitt besprechen wir reale fermionische Vielteilchensysteme: Elektronen in Metallen, fl¨ ussiges He3 , Protonen und Neutronen in Kernen, Elektronen in Weißen Zwergen, Neutronen in Neutronensternen. Alle diese Fermionen wechselwirken; man kann jedoch viele Eigenschaften verstehen, wenn man die Wechselwirkung vernachl¨ assigt. Wir geben im folgenden die Parameter Masse, Fermi-Energie und Temperatur an und besprechen die Modifikationen, die von der Wechselwirkung herr¨ uhren (siehe auch Tabelle 4.1). a) Elektronengas in Festk¨ orpern Alkalimetalle Li, Na, K, Rb, Cs sind einwertig (Kristallstruktur kubisch raumzentriert), z.B. besitzt Na ein 3s1 -Elektron (Tab. 4.2). Edelmetalle (Kristallstruktur kubisch fl¨ achenzentriert) 1 10 Kupfer Cu 4s 3d Silber Ag 5s1 4d10 Gold Au 6s1 5d10 Alle diese Elemente besitzen ein Valenzelektron pro Atom, welches zu einem Leitungselektron im Metall wird. Die Zahl dieser freien Elektronen ist gleich der Zahl der Atome. Die Energie-Impuls-Beziehung ist in guter N¨aherung p2 11 parabolisch εp = 2m . 11

Bemerkung zur festk¨ orperphysikalischen Anwendung: F¨ ur Na ist 4π ( p
F )3 = 3 3 4π N = 12 VBrill. , wo VBrill. das Volumen der ersten Brillouin-Zone bedeutet. Die V Fermi-Kugel liegt immer innerhalb der Brillouin-Zone, schneidet also nirgends die Begrenzung der Brillouin-Zone, wo es zu Energiel¨ ucken und auch zu Deformationen der Fermi-Oberfl¨ ache k¨ ame. Die Fermi-Oberfl¨ ache ist deshalb faktisch kugelf¨ ormig, ∆pF /pF ≈ 10−3 . Selbst in Kupfer, wo die 4s-Fermi-Oberfl¨ ache die Brillouin-Zone des fcc Gitters schneidet, ist die Fermi-Oberfl¨ ache in den meisten Bereichen n¨ aherungsweise kugelf¨ ormig.

186

4. Ideale Quanten-Gase

Tabelle 4.2. Elektronen in Metallen; Element, Dichte, Fermi-Energie, FermiTemperatur, γ/γtheor. , effektive Masse N/V [cm−3 ]

εF [eV]

TF [K]

γ/γtheor.

m∗ /m

Li Na K Rb Cs

4.6 × 1022 2.5 1.34 1.08 0.86

4.7 3.1 2.1 1.8 1.5

5.5 × 104 3.7 2.4 2.1 1.8

2.17 1.21 1.23 1.22 1.35

2.3 1.3 1.2 1.3 1.5

Cu Ag Au

8.5 5.76 5.9

7 5.5 5.5

8.2 6.4 6.4

1.39 1.00 1.13

1.3 1.1 1.1

Die Ber¨ ucksichtigung der Elektron-Elektron-Wechselwirkung erfordert Vielteilchenmethoden, die hier nicht zur Verf¨ ugung stehen. Die Wechselwirkung zweier Elektronen wird durch die Abschirmung durch die u ¨ brigen Elektronen geschw¨ acht; insofern ist es verst¨ andlich, daß in einer Reihe von Ph¨ anomenen die Wechselwirkung in erster N¨ aherung vernachl¨assigbar ist (z.B. Pauli-Paramagnetismus, nicht jedoch Ferromagnetismus). Die gesamte spezifische W¨ arme eines Metalls setzt sich aus dem Beitrag der Elektronen und der Phononen (Gitterschwingungen, siehe Abschn. 4.6) zusammen (Abb. 4.9) CV = γT + DT 3 . N

Abb. 4.9. Zur experimentellen Bestimmung von γ aus der spezifischen W¨ arme von Gold (D.L. Martin, Phys. Rev. 141, 576 (1966); 170, 650 (1968))

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas

187

CV 2 2 Tr¨ agt man N T = γ + DT gegen T auf, kann man γ auf der Ordinate ab2 2 lesen. Nach (4.3.16) ist der theoretische Wert von γ: γtheor = π2εkF . Die Abweichungen zwischen Theorie und Experiment k¨ onnen darauf zur¨ uckgef¨ uhrt werden, daß sich die Elektronen im Potential der Atomr¨ umpfe bewegen und dem Einfluß der Elektron-Elektron-Wechselwirkung unterliegen. Das Potential und die Elektron-Elektron-Wechselwirkung f¨ uhren unter anderem zu einer effektiven Masse m∗ der Elektronen, d.h. die Dispersionsrelation lautet n¨ahep2 rungsweise εp = 2m oßer oder kleiner als die ∗ . Diese effektive Masse kann gr¨ Masse freier Elektronen sein.

b) Fermi-Fl¨ ussigkeit He3 He3 hat den Kernspin I = 12 , die Masse m = 5.01 × 10−24 g, bei P = 0 die Teilchenzahldichte n = 1.6 × 1022 cm−3 und die Massendichte 0.081 g cm−3. Daraus folgt εF = 4.2 × 10−4 eV und TF = 4.9K. Die Wechselwirkung der He3 -Atome f¨ uhrt zu einer effektiven Masse, welche bei Druck P = 0 und P = 30 bar die Werte m∗ = 2.8m und m∗ = 5.5 m hat. Deshalb ist die Fermi-Temperatur f¨ ur P = 30, TF ≈ 1K gegen¨ uber der eines fiktiven nichtwechselwirkenden He3 -Gases reduziert. Die Dichten bei diesen Dr¨ ucken sind n = 1.6 × 1023 cm−3 und n = 2.3 × 1022 cm−3 . Die Wechselwirkung zwischen den Heliumatomen ist kurzreichweitig im Gegensatz zur Elektron-ElektronWechselwirkung. Die geringe Masse f¨ uhrt zu großen Nullpunktsschwankungen; deshalb bleibt He3 wie auch He4 bei Dr¨ ucken unterhalb von ∼ 30 bar fl¨ ussig. Man nennt He3 und He4 Quantenfl¨ ussigkeiten. Bei 10−3 K findet ein Phasen¨ ubergang in den suprafluiden Zustand durch (l = 1, s = 1) BCSPaarbildung statt.12 Bei der Supraleitung in Metallen haben die aus Elektronen gebildeten Cooper-Paare l = 0 und s = 0. Das verh¨altnism¨aßig komplizierte Phasendiagramm von He3 ist in Abb. 4.10 dargestellt.12

Abb. 4.10. Phasendiagramm von He3 12

D. Vollhardt und P. W¨ olfle, The Superfluid Phases of Helium 3, Taylor & Francis, London, 1990

188

4. Ideale Quanten-Gase

c) Kernmaterie Ein weiteres Beispiel f¨ ur Fermionen-Vielteilchensysteme sind Neutronen und Protonen im Kern, die beide ungef¨ ahr die Masse m = 1.67 × 10−24g besitzen. Der Kernradius h¨ angt mit der Nukleonenzahl A u ¨ber R = 1.3 × 10−13A1/3 cm 4π 3 3 −39 zusammen. Das Kernvolumen ist V = 3 R = 4π A cm3 = 3 (1.3) × 10 −39 3 9.2 × 10 A cm . A ist die Zahl der Nukleonen und Z die Zahl der Protonen im Kern. Kernmaterie13 tritt nicht nur im Inneren von großen Atomkernen auf, sondern auch in Neutronensternen, wobei dort auch die Gravitationswechselwirkung ber¨ ucksichtigt werden muß. d) Weiße Zwerge Die Eigenschaften des (fast) freien Elektronengases sind in der Tat von grundlegender Bedeutung f¨ ur die Stabilit¨ at der Weißen Zwerge, die am Ende eines Sternenlebens auftreten k¨ onnen.14 Der erste solche weiße Zwerg, Sirius B, wurde von Bessel als Begleiter des Sirius vorhergesagt. Masse ≈ M = 1.99 × 1033 g Radius ≈ 0.01R , R = 7 × 1010 cm Dichte ≈ 107 ρ = 107 g/cm3 , ρ = 1g/cm3 ρSirius B ≈ 0.69 × 105 g/cm3 Temperatur im Zentrum ≈ 107 K ≈ T Weiße Zwerge bestehen aus ionisierten Kernen und freien Elektronen. Es kann in weißen Zwergen noch immer Helium verbrennen. Die Fermi-Temperatur ist TF ≈ 3 × 109K, demnach ist das Elektronengas hochgradig entartet. Dem hohen Nullpunktsdruck des Elektronengases wirkt die Gravitationsanziehung der Kerne, die den Stern zusammenh¨ alt, entgegen. Die Elektronen k¨onnen faktisch als frei betrachtet werden; die Coulombabstoßung ist bei diesen hohen Dichten vernachl¨ assigbar. 13

14

A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems, McGraw-Hill, New York 1971 Eine in der Astronomie u ¨ bliche Klassifizierung der Sterne erfolgt durch die Angabe ihrer Lage im Hertzsprung-Russel-Diagramm, in welchem die Helligkeit gegen die Farbe (¨ aquivalent der Oberfl¨ achentemperatur) aufgetragen ist. Die meisten Sterne liegen in der sog. Hauptreihe. Das sind Sterne etwa von einem Zehntel der Masse der Sonne bis zur sechzigfachen Sonnenmasse, in dem Entwicklungsstadium, in welchem Wasserstoff zu Helium fusioniert (verbrennt). Etwa 90% ihrer Entwicklung halten sich die Sterne in der Hauptreihe auf – solange das nukleare Brennen und die Gravitationsanziehung einander die Waage halten. Wenn der Kernverschmelzungsprozeß zu Ende geht, dominiert die Schwerkraft. In der weiteren Entwicklung werden die Sterne zu roten Riesen und kontrahieren schließlich zu folgenden Endstadien. F¨ ur Sterne bis zur 1.4-fachen Masse unserer Sonne wird die Verdichtung durch das Ansteigen der Fermi-Energie der Elektronen beendet, es entsteht ein weißer Zwerg, bestehend aus Helium und Elektronen. Sterne mit der zwei- bis dreifachen Sonnenmasse beenden ihre Kontraktion nach Zwischenstadien als Neutronensterne. Ab der drei- bis vierfachen Sonnenmasse ist auch die Fermi-Energie der Neutronen nicht mehr imstande den Verdichtungsprozeß zu stoppen, es entsteht ein schwarzes Loch.

4.3 Fast entartetes ideales Fermi-Gas ∗

189

e) Landau-Theorie von Fermi-Fl¨ ussigkeiten

Die f¨ ur ideale Fermi-Gase bei tiefen Temperaturen gefundenen charakteristischen Temperaturabh¨ angigkeiten bleiben auch in Anwesenheit von Wechselwirkungen bestehen. Dies ist das Ergebnis der Landauschen Fermi-Fl¨ ussigkeitstheorie, welche auf einer Reihe von plausiblen physikalischen Argumenten beruht, welche auch mit der quantenmechanischen Vielteilchentheorie mikroskopisch begr¨ undet werden k¨ onnen. Wir stellen diese Theorie nur skizzenhaft mit den wesentlichen Endergebnissen dar und verweisen auf ausf¨ uhrliche Darstellungen.15 Zun¨ achst betrachtet man den Grundzustand des idealen Fermi-Gases und den Grundzustand mit einem zus¨atzlichen Teilchen (mit Impuls p) und schaltet die Wechselwirkung ein. Dabei geht der ideale in einen abge¨ anderten Grundzustand u ¨ ber und der Zustand mit dem zus¨atzlichen Teilchen in den abge¨ anderten Grundzustand und ein angeregtes Quant (Quasiteilchen mit Impuls p) u ¨ber. Die Energie dieses Quants ε(p) ist gegen¨ uber ε0 (p) ≡ p2 /2m verschoben. Da jeder nichtwechselwirkende Einteilchenzustand nur einfach besetzt ist, gibt es auch keine mehrfachbesetzten Quasiteilchenzust¨ ande, also gehorchen die Quasiteilchen ebenfalls der FermiDirac-Statistik. Falls mehrere Quasiteilchen angeregt sind, h¨ angt ihre Energie auch von der Zahl δn(p) der anderen Anregungen ab  ε(p) = ε0 (p) + F (p, p )δn(p ) . (4.3.26) p

F¨ ur die mittlere Besetzungszahl erh¨ alt man wegen des fermionischen Charakters der Quasiteilchen wie f¨ ur ideale Fermionen np =

1 e(ε(p)−µ)/kT

+1

,

(4.3.27)

wobei nach (4.3.26) ε(p) selbst von der Besetzungszahl abh¨angt. Diese Relation wird in diesem Kontext u ¨ blicherweise aus der Maximierung des in Aufgabe 4.2 hergeleiteten Entropieausdrucks abgeleitet, welchen man aus rein ¨ kombinatorischen Uberlegungen erhalten kann. Bei niederen Temperaturen sind die Quasiteilchen nur in der N¨ ahe der Fermi-Kante angeregt und wegen der besetzten Zust¨ ande und der Energieerhaltung ist der Phasenraum f¨ ur Streuprozesse erheblich eingeschr¨ ankt. Obwohl die Wechselwirkung keineswegs klein sein muß, verschwindet die Streurate mit der Temperatur wie 1 2 τ ∼ T , d.h. die Quasiteilchen sind nahezu stabile Teilchen. Die Wechselwirkung zwischen den Quasiteilchen schreibt man in der Form 15

Eine detaillierte Darstellung der Landauschen Fermi-Fl¨ ussigkeitstheorie findet sich in D. Pines and Ph. Nozieres, The Theory of Quantum Liquids, W.A. Benjamin, New York 1966 und J. Wilks, The Properties of Liquid and Solid Helium, Clarendon Press, Oxford, 1967. Siehe auch J. Wilks and D.S. Betts, An Introduction to Liquid Helium, Oxford University Press, 2nd ed., Oxford, (1987).

190

4. Ideale Quanten-Gase

F (p, σ; p , σ  ) = f s (p, p ) + σ · σ  f a (p, p )

(4.3.28a)

mit dem Pauli-Spin-Matrizen σ. Da nur Impulse in der N¨ahe des FermiImpulses maßgeblich sind, f¨ uhrt man f s,a (p, p ) = f s,a (χ)

(4.3.28b)

und F s,a (χ) = ν(εF )f s,a (χ) =

V m∗ pF s,a f (χ) π 2
3

(4.3.28c)

ein, wo χ der von p und p eingeschlossene Winkel und ν(εF ) die Zustandsdichte ist. Eine Entwicklung nach Legendre-Polynomen f¨ uhrt auf  s,a F s,a (χ) = Fl Pl (cos χ) = 1 + F1s,a cos χ + . . . . (4.3.28d) l

Fls

Fla

Die und sind die spin-symmetrischen und -antisymmetrischen LandauParameter; die Fla r¨ uhren von der Austauschwechselwirkung her. Wegen der Fermi-Natur der Quasiteilchen, die bei tiefen Temperaturen nur in der N¨ ahe der Fermi-Energie angeregt werden k¨ onnen, ist es aus der qualitativen Absch¨ atzung (4.3.16 ) klar, daß auch f¨ ur die Fermi-Fl¨ ussigkeit die spezifische W¨ arme linear von der Temperatur abh¨ angt. Im Detail erh¨alt man f¨ ur die spezifische W¨ arme, die Kompressibilit¨ at und die magnetische Suszeptibilit¨ at 1 2 π ν(εF ) k 2 T , 3 V ν(εF ) κT = 2 , N 1 + F0s ν(εF )N χ = µ2B , 1 + F0a

CV =

mit der Zustandsdichte ν(εF ) = Masse

(4.3.29a) (4.3.29b) (4.3.29c) V m∗ pF π 2
3

und dem Verh¨altis der effektiven

m∗ 1 = 1 + F1s . m 3

(4.3.29d)

Die Struktur der Resultate ist gleich wie f¨ ur ideale Fermionen.

4.4 Bose-Einstein-Kondensation In diesem Abschnitt untersuchen wir das Tieftemperaturverhalten eines nichtrelativistischen idealen Bose-Gases mit Spin s = 0, also g = 1 und

4.4 Bose-Einstein-Kondensation

εp =

p2 . 2m

191

(4.4.1)

Im Grundzustand nehmen nichtwechselwirkende Bosonen alle den energetisch niedrigsten Einteilchenzustand ein; ihr Tieftemperaturverhalten wird sich deshalb ganz erheblich von Fermionen unterscheiden. Zwischen der Hochtemperaturphase, in der sich die Bosonen entsprechend der Bose-Verteilungsfunktion auf das gesamte Spektrum von Impulswerten verteilen, in die Phase, in welcher der (p = 0)-Zustand makroskopisch besetzt ist, (bei T = 0 sind alle Teilchen in diesem Zustand), findet ein Phasen¨ ubergang statt. Diese sog. Bose-Einstein-Kondensation eines idealen Bose-Gases wurde von Einstein16 aufgrund statistischer Betrachtungen Boses nahezu siebzig Jahre vor ihrer experimentellen Beobachtung vorhergesagt. Wir kn¨ upfen zun¨ achst an die Ergebnisse von Abschnitt 4.1 an, wo wir f¨ ur die Teilchenzahldichte – d.h. das inverse spezifische Volumen – in Gl. (4.1.17) fanden λ3 = g3/2 (z) v  mit λ =
2π/mkT und mit (4.2.1) 2 g3/2 (z) = √ π

∞

∞

dx 0

(4.4.2a)

 zk x1/2 = . ex z −1 − 1 k 3/2

(4.4.2b)

k=1

Nach Bemerkung (i) in Abschnitt 4.1 ist die Fugazit¨ at von Bosonen z = eµ/kT auf z ≤ 1 eingeschr¨ ankt. Der Maximalwert der Funktion g3/2 (z), welche in Abb. 4.11 dargestellt ist, ist dann durch g3/2 (1) = ζ(3/2) = 2.612 gegeben. Im folgenden seien die Teilchenzahl, das Volumen und folglich das spezifische Volumen v immer fest vorgegeben. Dann l¨ aßt sich durch Umkehrung von Gl. (4.1.17) z als Funktion von T oder zweckm¨ aßiger von vλ−3 berechnen. v Bei Erniedrigung der Temperatur nimmt λ3 ab und es wird z deshalb gr¨oßer,

Abb. 4.11. Die Funktion g3/2 (z). 16

A. Einstein, Sitzber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 1924, 261, (1924), ibid. 1925, 3 (1925) S. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924)

192

4. Ideale Quanten-Gase

Abb. 4.12. Die Fugazit¨ at z als Funktion von v/λ3 . 1 bis schließlich bei λv3 = 2.612 sein Maximalwert z = 1 erreicht ist (Abb. 4.12). Dies definiert eine charakteristische Temperatur

kTc (v) =

2π
2 /m . (2.612 v)2/3

(4.4.3)

Wenn z gegen 1 geht, m¨ u ssen wir den in (4.1.14a) und (4.1.15) verwende ten Grenz¨ ubergang von d3 p sorgf¨ altiger durchf¨ uhren. Dies wird p → auch dadurch signalisiert, daß (4.1.17) f¨ ur z = 1 implizieren w¨ urde, daß f¨ ur Temperaturen unterhalb von Tc (v) die Dichte v1 mit sinkender Temperatur abnehmen m¨ ußte. Nach (4.1.17) scheint dann nicht mehr f¨ ur alle Teilchen Platz zu sein. Offensichtlich m¨ ussen wir den (p = 0)–Term in der Summe (4.1.8), der f¨ ur z → 1 divergiert, gesondert behandeln:   1 1 V N = −1 + n(εp ) = −1 + d3 p n(εp ) . z −1 z − 1 (2π
)3 p =0

Der p = 0 Zustand f¨ ur Fermionen erforderte keine besondere Behandlung, da die mittleren Besetzungszahlen h¨ ochstens den Wert 1 annehmen. Selbst f¨ ur Bosonen ist diese Ab¨ anderung nur f¨ ur T < Tc (v) von Bedeutung und f¨ uhrt bei T = 0 auf die vollst¨ andige Besetzung des p = 0 Zustandes, im Einklang mit dem eingangs erw¨ ahnten Grundzustand. Wir erhalten also f¨ ur Bosonen statt (4.4.2a) N=

1 v + N 3 g3/2 (z) , −1 λ

(4.4.4)

z −1

oder unter Verwendung von Gl. (4.4.3) auch 1 N = −1 +N z −1



T Tc (v)

3/2

g3/2 (z) . g3/2 (1)

(4.4.4 )

Die gesamte Teilchenzahl N setzt sich somit aus der Zahl der Teilchen im Grundzustand N0 =

1 z −1 − 1

und der Zahl der Teilchen in den angeregten Zust¨ anden

(4.4.5a)

4.4 Bose-Einstein-Kondensation

N = N



T Tc (v)

3/2

g3/2 (z) g3/2 (1)

193

(4.4.5b)

zusammen. F¨ ur Temperaturen T > Tc (v) gibt Gl. (4.4.4 ) f¨ ur z einen Wert z < 1. Der erste Term auf der rechten Seite von (4.4.4 ) ist deshalb endlich und kann gegen N vernachl¨ assigt werden. Es gelten also hier unsere eingangs ¨ gemachten Uberlegungen, insbesondere folgt z aus

Tc (v) g3/2 (z) = 2.612 T

3/2 fu ¨r T > Tc (v) .

(4.4.5c)

F¨ ur T < Tc (v) ist nach Gl. (4.4.4 ) z = 1 − O(1/N ), sodaß alle diejenigen Teilchen, die nicht mehr in den angeregten Zust¨ anden Platz haben, in den Grundzustand u bergehen. Wenn z so nahe an 1 ist, kann man im zweiten ¨ Term z = 1 setzen und erh¨ alt /

3/2 0 T N0 = N 1 − . Tc (v) Definieren wir im thermodynamischen Limes den Anteil des Kondensats im System durch ν0 = lim

N →∞

v fest

N0 , N

so gilt zusammenfassend  0  3/2 ν0 = 1 − TcT(v)

(4.4.6)

T > Tc (v) T < Tc (v) .

(4.4.7)

Man nennt dieses Ph¨ anomen Bose-Einstein-Kondensation. Unterhalb von Tc (v) ist der Grundzustand p = 0 makroskopisch besetzt. Der Tempera√ √ turverlauf von ν0 und ν0 ist in Abb. 4.13 gezeigt. Die Gr¨oßen ν0 und ν0 sind gleichermaßen f¨ ur die Kondensation oder die Ordnung des Systems cha√ rakteristisch. Aus sp¨ ater ersichtlichen Gr¨ unden nennt man ν0 Ordnungspa√ rameter. In der N¨ ahe von Tc verschwindet ν0 wie  √ ν0 ∝ Tc − T . (4.4.7 ) ¨ In Abb. 4.14 ist die Ubergangstemperatur als Funktion des spezifischen Volumens gezeigt. Je h¨ oher die Dichte ist (d.h. je kleiner das spezifische Volumen), desto h¨ oher ist die Temperatur Tc (v), bei der die Bose-Einstein-Kondensation einsetzt. Bemerkung: Man k¨ onnte sich fragen, ob nicht auch die n¨ achsten Terme in der  Summe p n(εp ) makroskopisch besetzt sein k¨ onnten. Die folgende Absch¨ atzung

194

4. Ideale Quanten-Gase

Abb. 4.13. Die relative Zahl von Teilchen im Kondensat und deren Wurzel als Funktion der Temperatur

¨ Abb. 4.14. Ubergangstemperatur als Funktion des spezifischen Volumens

zeigt jedoch, daß n(εp ) n(0) f¨ ur p = 0. Betrachten wir den Impuls p = f¨ ur den


2π
L

 , 0, 0 ,

1 1 1 1 2m < < ∼ O(V −1/3 ) V eβp21 /2m z −1 − 1 V eβp21 /2m − 1 V βp21 folgt, w¨ ahrend

1 1 V z −1 −1

∼ O(1) .

¨ Im großkanonischen Potential gibt es keine Anderungen gegen¨ uber der Inte graldarstellung (4.1.19 ), da f¨ ur den Term mit p = 0 im thermodynamischen Grenzfall lim

V →∞

1 1 1 log(1 − z(V )) = lim log = 0 V →∞ V V V

folgt. Deshalb ist der Druck unge¨ andert durch (4.1.19 ) gegeben, wobei z f¨ ur T > Tc (v) aus (4.4.5c) folgt und f¨ ur T < Tc (v) durch z = 1 gegeben ist. Insgesamt lautet somit der Druck des idealen Bose-Gases ⎧ kT ⎪ ⎪ T > Tc ⎪ ⎨ λ3 g5/2 (z) P = , (4.4.8) ⎪ ⎪ kT ⎪ ⎩ 1.342 T < Tc λ3
 mit g5/2 (1) = ζ 52 = 1.342. Setzten wir hier z aus (4.4.4) ein, so erhielten wir die Zustandsgleichung. F¨ ur T > Tc k¨ onnen wir (4.4.8) mit (4.4.5c) in die Form P =

kT g5/2 (z) v g3/2 (z)

(4.4.9)

bringen. Die Funktionen g5/2 (z) und g3/2 (z) sind in Abb. 4.15 dargestellt. Daraus l¨ aßt sich der Verlauf der Zustandsgleichung qualitativ ablesen. F¨ ur kleine z ist g5/2 (z) ≈ g3/2 (z), deshalb ergibt sich f¨ ur große v und T aus

4.4 Bose-Einstein-Kondensation

195

Abb. 4.15. Die Funktionen g3/2 (z) und g5/2 (z). Im Limes z → 0 stimmen die Funktionen asymptotisch u ¨berein, g3/2 (z) ≈ g5/2 (z) ≈ z.

Abb. 4.16. Die Zustandsgleichung des idealen Bose-Gases. Gezeigt sind die Isochoren f¨ ur abnehmende Werte von v. F¨ ur T < Tc (v) ist der Druck P = kT 1.342. λ3

(4.4.9) die klassische Zustandsgleichung (siehe Abb. 4.16). Bei Ann¨aherung an Tc (v) macht sich zunehmend bemerkbar, daß g5/2 (z) < g3/2 (z) ist. Die Isochoren m¨ unden bei Tc (v) in die Kurve P = kT ur λ3 1.342 ein, die den Druck f¨ T < Tc (v) beschreibt. Insgesamt f¨ uhrt dies zu der Zustandsgleichung, welche durch ihre Isochoren in Abb. 4.16 dargestellt ist. F¨ ur die Entropie findet man17

 ⎧ 5 v ⎪ ⎪ Nk g5/2 (z) − log z T > Tc ⎪ ⎪

 2 λ3 ⎨ ∂P V S= = (4.4.10)

3/2 ∂T V,µ ⎪ ⎪ 5 g5/2 (1) T ⎪ ⎪ ⎩ Nk T < Tc 2 g3/2 (1) Tc und nach einiger Rechnung f¨ ur die W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Volumen ⎧ ⎪ ⎪ 15 v g (z) − 9 g3/2 (z) T > Tc ⎪ 5/2 ⎪ ⎪

 4 g1/2 (z) ⎨ 4 λ3 ∂S CV = T = Nk (4.4.11)

3/2 ⎪ ∂T N,V ⎪ ⎪ 15 g5/2 (1) T ⎪ ⎪ T < Tc . ⎩ 4 g (1) T c 3/2 17

Man beachte

d g (z) dz ν

= 1z gν−1 (z).

196

4. Ideale Quanten-Gase

Die Entropie und die spezifische W¨ arme verhalten sich wie T 3/2 f¨ ur kleine T . Zur Entropie und zur inneren Energie tragen nur die angeregten Zust¨ande bei; das Kondensat hat den Entropiewert null. Bei Tc besitzt die spezifische W¨ arme des idealen Bose-Gases eine Spitze (Abb. 4.17). Aus Gl. (4.4.4) bzw. Abb. 4.12 erh¨ alt man das in Abb. 4.18 dargestellte chemische Potential als Funktion der Temperatur.

Abb. 4.17. W¨ armekapazit¨ at = N × Spezifische W¨ arme eines idealen Bose-Gases 2

µ/kTc(υ)

1 0 -1 -2 -3

1

2

3

T/Tc

Abb. 4.18. Chemisches Potential des idealen Bose-Gases bei fester Dichte als Funktion der Temperatur

He4 hat bei Tλ = 2.18 K, der sogenannten Lambda-Temperatur, einen Phasen¨ ubergang in den suprafluiden Zustand (siehe Abb. 4.19). K¨onnte man die Wechselwirkung der Helium-Atome vernachl¨ assigen, so w¨are die Temperatur f¨ ur Bose-Einstein-Kondensation Tc (v) = 3.14 K, wobei in (4.4.3) das spezifische Volumen von Helium eingesetzt wurde. Die Wechselwirkung ist jedoch sehr wesentlich, und es w¨ are falsch den Phasen¨ ubergang in den suprafluiden Zustand mit der oben besprochenen Bose-Einstein-Kondensation zu identifizieren. Der suprafluide Zustand im dreidimensionalen Helium entsteht zwar ebenfalls durch eine Kondensation (makroskopische Besetzung) des p = 0 Zustandes, aber bei T = 0 betr¨ agt der Anteil des Kondensats nur 8%. Die spezifische W¨ arme (Abb. 4.20) zeigt die dem Phasen¨ ubergang den Namen gebende λ-Anomalie, eine n¨ aherungsweise logarithmische Singularit¨ at. Das typische Anregungsspektrum und das hydrodynamische Verhalten, wie es durch das Zweifl¨ ussigkeitsmodell beschrieben wird, ist nur in einem wechselwirkenden Bose-System m¨ oglich (Abschnitt 4.7.1).

4.4 Bose-Einstein-Kondensation

Abb. 4.19. Das Phasendiagramm von He4 (schematisch). Unterhalb von 2.18 K tritt ein Phasen¨ ubergang von der normal fl¨ ussigen He I-Phase in die suprafl¨ ussige He II-Phase auf.

197

Abb. 4.20. Experimentelle spezifische W¨ arme von He4 mit der charakteristischen Lambda-Anomalie

Ein weiteres Bose-Gas, das idealer ist als Helium und in dem man ebenfalls Bose-Einstein-Kondensation erwartet und intensiv experimentell sucht, ist atomarer Wasserstoff in einem starken Magnetfeld (durch die Spinpolarisation der Wasserstoffelektronen soll die Rekombination zu molekularem H2 verhindert werden). Wegen der dennoch nicht zu verhindernden Rekombination von H zu H2 ist es u oglich gewesen, atomaren ¨ ber viele Jahre nicht m¨ Wasserstoff in hinreichender Dichte herzustellen. Durch die Entwicklung von Atomfallen hat es in diesem Gebiet u ¨berraschende Fortschritte gegeben. Bose-Einstein-Kondensation wurde 70 Jahre nach seiner Vorhersage in einem Gas aus etwa 2000 spin-polarisierten 87 Rb-Atomen, die in einer Qua¨ drupol-Falle eingeschlossen waren, beobachtet.18,19 Die Ubergangstemperatur liegt bei 170 × 10−9 K. Zun¨ achst w¨ urde man einwenden, daß Alkaliatome f¨ ur niedere Temperaturen einen Festk¨ orper bilden sollten; es kann jedoch selbst bei Temperaturen im Nanokelvinbereich ein metastabiler gasf¨ormiger Zustand aufrecht erhalten werden. Der kondensierte Zustand ließ sich in den ersten Experimenten etwa zehn Sekunden aufrechterhalten. Ein ¨ahnlicher Erfolg wurde in einem Gas aus 2 × 105 spinpolarisierten 7 Li-Atomen erzielt.20 In diesem Fall liegt die Kondensationstemperatur bei Tc ≈ 400 × 10−9 K. In 87 Rb ist die s-Wellen Streul¨ ange positiv, w¨ ahrend sie in 7 Li negativ ist. 7 Dennoch kommt es auch in Li nicht zu einem Kollaps der Gasphase in die fl¨ ussige oder feste Phase, jedenfalls nicht in der r¨ aumlich inhomogenen Falle.20 Schließlich konnte auch in atomarem Wasserstoff ein Kondensat von 18

19 20

M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman and E.A. Cornell, Science 269, 198 (1995) Siehe auch G.P. Collins, Physics Today, August 1995, 17. C.C. Bradley, C.A. Sackett, J.J. Tollett and R.G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995)

198

4. Ideale Quanten-Gase

¨ mehr als 108 Atomen mit einer Ubergangstemperatur von ungef¨ahr 50 µK f¨ ur bis zu 5 sec aufrechterhalten werden.21

4.5 Photonengas 4.5.1 Eigenschaften von Photonen Als n¨ achstes wollen wir die thermischen Eigenschaften des Strahlungsfeldes bestimmen. Wir z¨ ahlen einige charakteristische Eigenschaften von Photonen auf. (i) Photonen haben die Dispersionsrelation εp = c|p| =
ck und sind Bosonen mit dem Spin s = 1. Da es sich um ultrarelativistische Teilchen handelt (m = 0, v = c) hat der Spin nur 2 Einstellm¨ oglichkeiten, n¨amlich parallel oder antiparallel zu p, entsprechend rechts- bzw. linkspolarisiertem Licht (0 und π sind die einzigen lorentzinvarianten Winkel). Deshalb ist der Entartungsfaktor f¨ ur Photonen g = 2. (ii) Die Wechselwirkung der Photonen ist faktisch Null, wie man aus der ¨ folgenden Uberlegung sieht: In niedrigster Ordnung besteht die Wechselwirkung in der Streuung zweier Photonen γ1 und γ2 in die Endzust¨ande γ3 und γ4 , (siehe Abb. 4.21a). Dabei zerf¨ allt etwa das Photon γ1 in ein virtuelles Elektron-Positron-Paar, das Photon γ2 wird von dem Positron absorbiert, das Elektron emittiert das Photon γ3 und rekombiniert mit dem Positron zum Photon γ4 . Der Streuquerschnitt hierf¨ ur ist extrem klein, n¨amlich σ ≈ 10−50 cm2 . Aus dem Streuquerschnitt kann man die mittlere Stoßzeit folgendermaßen berechnen. Ein Photon durchmißt in der Zeit ∆t die Strecke c∆t. Deshalb betrachten wir den in Abb. 4.21b dargestellten Zylinder, dessen Grundfl¨ ache der Streuquerschnitt und dessen H¨ohe Lichtgeschwindigkeit × ∆t sei. Ein Photon wechselwirkt gr¨ oßenordnungsm¨ aßig in der Zeit ∆t mit allen Photonen, die sich im Volumen c σ ∆t befinden. Es sei N die von der Temperatur abh¨ angende und noch zu bestimmende Gesamtzahl (Siehe Ende von Abschnitt 4.5.4) der Photonen innerhalb eines Volumens V . Dann wechselwirkt

Abb. 4.21. (a) PhotonPhoton-Streuung (Photon gestrichelt, Elektron und Positron durchgezogen) (b) Streuquerschnitt und mittlere Stoßzeit 21

D. Kleppner, Th. Greytak et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3811 (1998)

4.5 Photonengas

199

ein Photon pro Zeiteinheit mit c σ N/V anderen Photonen. Daraus folgt f¨ ur die mittlere Stoßzeit τ , das ist die mittlere Zeit zwischen zwei St¨oßen, τ=

(V /N ) sec V = 1040 3 . cσ cm N

Demnach ist die mittlere Stoßzeit von der Gr¨ oßenordnung τ ≈ 1031 sec bei 18 Zimmertemperatur und τ ≈ 10 sec bei Sonnentemperatur (107 K). Selbst bei der im Zentrum der Sonne herrschenden Temperatur ist die Wechselwirkung der Photonen vernachl¨ assigbar. Zum Vergleich betr¨agt das Alter des Weltalls ∼ 1017 sec. Photonen bilden wirklich ein ideales Quantengas. Die Wechselwirkung mit der umgebenden Materie ist notwendig, damit das Strahlungsfeld ins Gleichgewicht kommt. Die Einstellung des Gleichgewichts des Photonengases kommt durch Absorption und Emission von Photonen durch die Materie zustande. Im folgenden untersuchen wir das Strahlungsfeld in einem Hohlraum vom Volumen V und der Temperatur T und nehmen ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit als Quantisierungsvolumen einen Kubus (Die Form ist f¨ ur kurze Wellen irrelevant, und die langen Wellen fallen statistisch nicht ins Gewicht). (iii) Die Zahl der Photonen ist nicht erhalten. Photonen werden von der Materie emittiert und absorbiert. Aus der quantenfeldtheoretischen Beschreibung der Photonen folgt, daß jeder Wellenzahl und Polarisationsrichtung ein harmonischer Oszillator entspricht. Der Hamilton-Operator hat deshalb die Form   H= εp n ˆ p,λ ≡ εp a†p,λ ap,λ , p = 0 , (4.5.1) p,λ

p,λ

wobei n ˆ p,λ = a†p,λ ap,λ der Besetzungszahloperator zum Impuls p und der

Polarisationsrichtung λ ist und a†p,λ , ap,λ Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperator eines Photons im Zustand p, λ bedeuten. Wir bemerken, daß im Hamilton-Operator des Strahlungsfeldes keine Nullpunktsenergie auftritt, was in der Quantenfeldtheorie automatisch erreicht wird, indem man den Hamilton-Operator durch normalgeordnete Produkte definiert.22 4.5.2 Die kanonische Zustandssumme Die kanonische Zustandssumme ist durch (np,λ = 0, 1, 2, . . .) Z = Sp e−βH =

 {np,λ }

22

⎡ e−β

 p

εp np,λ

=⎣



p =0

⎤2 1 ⎦ 1 − e−βεp

(4.5.2)

C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill; siehe auch QM II.

200

4. Ideale Quanten-Gase

gegeben. Es gibt hier keine Nebenbedingung an die Zahl der Photonen, da diese nicht fest ist. In (4.5.2) tritt wegen der beiden Polarisationen λ die Potenz 2 auf. Daraus ergibt sich f¨ ur die freie Energie F (T, V ) = −kT log Z = 2kT



 log 1 − e−εp /kT

p =0

2V = β



d3 p V (kT )4 log(1 − e−βεp ) = 2 3 (2π
) π (
c)3

∞

dx x2 log(1 − e−x ) .

0

(4.5.3) Die Summe wurde gem¨ aß (4.1.14a) in ein Integral umgewandelt. F¨ ur das Integral in (4.5.3) finden wir nach partieller Integration ∞

dx x2 log(1 − e−x ) = −

0

1 3

∞ 0

∞  dx x3 1 π4 = −2 ≡ −2ζ(4) = − , x 4 e −1 n 45 n=1

wobei ζ(n) die Riemannsche ζ-Funktion ist (Gl. (D.2) und (D.3)), so daß sich schließlich f¨ ur F F (T, V ) = −

V (kT )4 π 2 4σ = − V T4 (
c)3 45 3c

(4.5.4)

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten σ≡

π2 k4 = 5.67 × 10−8 J sec−1 m−2 K−4 60
3 c2

ergibt. Aus (4.5.4) erh¨ alt man die Entropie

 ∂F 16σ S=− = V T3 , ∂T V 3c

(4.5.5)

(4.5.6a)

die innere Energie (kalorische Zustandsgleichung) E = F + TS =

4σ V T4 c

und den Druck (thermische Zustandsgleichung)

 ∂F 4σ 4 P =− = T ∂V T 3c und schließlich die W¨ armekapazit¨ at

 ∂S 16σ CV = T V T3 . = ∂T V c

(4.5.6b)

(4.5.6c)

(4.5.7)

4.5 Photonengas

201

Auf Grund der relativistischen Dispersion ist f¨ ur Photonen E = 3P V und nicht 32 P V . Man nennt (4.5.6b) Stefan-Boltzmann-Gesetz: Die innere Energie des Strahlungsfeldes steigt mit der vierten Potenz der Temperatur an. Der Strahlungsdruck (4.5.6c) ist außer bei extrem hohen Temperaturen sehr gering. Bei 105 K, der bei einer Atombombenexplosion erzeugten Temperatur, betr¨ agt er P = 0.25 atm und bei 107 K, der Sonnentemperatur, P = 25 × 106 atm. 4.5.3 Das Plancksche Strahlungsgesetz Wir wollen nun noch einige Charakteristika des Strahlungsfeldes besprechen. Die mittlere Besetzungszahl des Zustandes (p, λ) ist durch np,λ  =

1 eεp /kT − 1

(4.5.8a)

mit εp =
ωp = cp gegeben, da ∞ 

Sp e−βH n ˆ p,λ np,λ  ≡ = Sp e−βH

np,λ =0 ∞ 

np,λ e−np,λ εp /kT e−np,λ εp /kT

np,λ =0

in Analogie zu Gl. (4.1.9) ausgewertet werden kann. Die mittlere Besetzungszahl (4.5.8a) entspricht der atomarer oder molekularer freier Bosonen, Gl. (4.1.9), mit µ = 0. Die Anzahl der besetzten Zust¨ ande im Element d3 p in einem festen Volumen ist deshalb (siehe (4.1.14a)) np,λ 

2V d3 p (2π
)3

(4.5.8b)

und im Intervall [p, p + dp] np,λ 

V p2 dp . π 2
3

(4.5.8c)

Daraus folgt f¨ ur die Anzahl der besetzten Zust¨ ande im Intervall [ω, ω + dω] V ω 2 dω . π 2 c3 e
ω/kT − 1

(4.5.8d)

Die spektrale Energiedichte u(ω) ist durch Energie pro Volumen- und Frequenzeinheit definiert, also durch Multiplikation von (4.5.8d) mit
ω/V

202

4. Ideale Quanten-Gase

u(ω) =


π 2 c3

ω3 e
ω/kT

−1

.

(4.5.9)

Dies ist das ber¨ uhmte Plancksche Strahlungsgesetz (1900), das an der Wiege der Quantentheorie stand. Wir wollen diese Ergebnisse nun eingehend diskutieren. Die Besetzungszahl (4.5.8a) f¨ ur Photonen divergiert f¨ ur p → 0 wie 1/p (siehe Abb. 4.22), da die Energie der Photonen f¨ ur p → 0 verschwindet. Da die Zustandsdichte in drei Dimensionen proportional zu ω 2 verl¨ auft, ist diese Divergenz f¨ ur den Energiegehalt des Strahlungsfeldes ohne Belang. Die spektrale Energiedichte ist in Abb. 4.22 dargestellt. Als Funktion von
ω besitzt sie ein Maximum bei
ωmax = 2.82 kT ,

(4.5.10)

etwa der dreifachen thermischen Energie. Das Maximum verschiebt sich proportional zur Temperatur. Gleichung (4.5.10), das Wiensche Verschiebungsgesetz (1893), hat historisch in der Entwicklung der Theorie des Strahlungsfeldes, die zur Entdeckung des Planckschen Wirkungsquantums f¨ uhrte, eine bedeutende Rolle gespielt. In Abb. 4.23 haben wir u(ω, T ) f¨ ur unterschiedliche Temperaturen dargestellt. Wir besprechen nun noch Grenzf¨alle des Planckschen Strahlengesetzes: (i)
ω
kT : F¨ ur niedere Frequenzen ergibt sich aus (4.5.9) kT ω 2 , (4.5.11) π 2 c3 das Rayleigh-Jeans Strahlungsgesetz. Dies ist der klassische, niederenergetische Grenzfall. Dieses Ergebnis der klassischen Physik war eines der Hauptprobleme in der Theorie des Strahlungsfeldes. Neben der Tatsache, daß es mit dem Experiment nur bei kleinen Frequenzen u ¨ bereinstimmte, war es auch grunds¨ atzlich unakzeptabel. Denn nach (4.5.11) erg¨abe sich infolge der Divergenz von u(ω) im Limes großer Frequenzen, ω → ∞, die sogenannte Ultra∞ violettkatastrophe, die zu einem unendlichen Energiegehalt 0 dω u(ω) = ∞ der Hohlraumstrahlung f¨ uhrte. u(ω) =

Abb. 4.22. Die Photonenzahl als Funktion von
ω/kT (strichpunktiert). Die spektrale Energiedichte als Funktion von
ω/kT (durchgezogen).

4.5 Photonengas

203

Abb. 4.23. Das Plancksche Gesetz f¨ ur drei Temperaturen T1 < T2 < T3 .

(ii)
ω kT : Im Grenzfall hoher Frequenzen ergibt sich aus (4.5.9) u(ω) =


ω 3 −
ω/kT e . π 2 c3

(4.5.12)

Die Energiedichte f¨ allt mit ansteigender Frequenz exponentiell ab. Diese Relation war als Wiensches Gesetz empirisch gefunden worden. In seiner ersten Herleitung hat Planck weitblickend (4.5.9) aufgestellt, indem er zwischen den den Gleichungen (4.5.11) und (4.5.12) entsprechenden Entropien interpolierte. H¨ aufig wird die Energiedichte als Funktion der Wellenl¨ ange λ angegeben: Aus2πc gehend von ω = ck = 2πc , erhalten wir dω = − dλ. Deshalb ist die Energie pro 2 λ λ Volumeneinheit im Intervall [λ, λ + dλ] durch

  dEλ 2πc  dω  16π 2
c dλ =u ω= (4.5.13)  dλ  dλ = 5  2π
c V λ λ e kT λ − 1 gegeben, wobei (4.5.9) eingesetzt wurde. Die Energiedichte als Funktion der Welλ lenl¨ ange dE besitzt ihr Maximum an der Stelle λmax , bestimmt durch dλ 2π
c = 4.965 . kT λmax

(4.5.14)

¨ Wir wollen nun die Strahlung, die von einer Offnung eines Hohlraums bei Temperatur T ausgeht, berechnen. Dazu bemerken wir zun¨achst, daß die Strahlung im Hohlraum v¨ ollig isotrop ist. Die W¨armeabstrahlung mit Frequenz ω in ein Raumwinkelelement dΩ ist deshalb u(ω) dΩ 4π . Die pro Zeiteinheit durch die Einheitsfl¨ ache austretende Strahlungsenergie ist 1 I(ω, T ) = 4π



1 dΩ c u(ω) cos ϑ = 4π

2π

1 dϕ

0

dη η c u(ω) = 0

c u(ω) . (4.5.15) 4

204

4. Ideale Quanten-Gase z

Hohlraum

c

ϑ

Abb. 4.24. Zur Abstrahlung pro Fl¨ acheneinheit eines Hohlraums (schwarzen K¨ orpers)

Die Integration u ¨ ber den Raumwinkel dΩ erstreckt sich nur u ¨ ber eine Halbkugel (siehe Abb. 4.24). Die gesamte abgestrahlte Leistung pro Fl¨acheneinheit (der Energiefluß) ist  IE (T ) = dω I(ω, T ) = σT 4 , (4.5.16) wo wieder die Stefan-Boltzmann-Konstante σ von Gl. (4.5.5) eingeht. Einen K¨ orper, der alle auf ihn einfallende Strahlung vollst¨andig absor¨ biert, nennt man schwarz. Eine Offnung eines Hohlraums, dessen innere W¨ ande gut absorbieren, ist die ideale Realisierung eines schwarzen K¨orpers. ¨ Die oben berechnete Abstrahlung aus der Offnung eines Hohlraums stellt also die von einem schwarzen K¨ orper ausgehende Strahlung dar. N¨aherungsweise werden Gl. (4.5.15,16) auch f¨ ur die Abstrahlung von Himmelsk¨orpern verwendet. Bemerkung: Das Universum ist von der durch Penzias und Wilson entdeckten sog. Hintergrundstrahlung durchflutet, die nach der Planckschen Formel mit einer Temperatur von 2, 73 K verteilt ist. Diese r¨ uhrt aus der Fr¨ uhzeit des Universums — etwa 300.000 Jahre nach dem Urknall — her, zu der sich die Temperatur des Universums schon auf etwa 3000 K abgek¨ uhlt hatte. Vor dieser Zeit war diese Strahlung mit der Materie im thermischen Gleichgewicht. Bei Temperaturen von 3000 K und darunter wurden Elektronen an Kerne zu Atomen gebunden, so daß der Weltraum f¨ ur diese Lichtstrahlung durchsichtig wurde, und diese faktisch von der u ¨ brigen Materie entkoppelte. Die Expansion des Universums auf etwa das Tausendfache f¨ uhrte wegen der Rotverschiebung zu einer Vergr¨ oßerung aller Wellenl¨ angen auf das Tausendfache und folglich zu einer Planck-Verteilung mit einer Temperatur von 2, 73 K. ∗

4.5.4 Erg¨ anzungen

Wir wollen nun die Eigenschaften des Photonengases noch physikalisch interpretieren und mit anderen Gasen vergleichen. Die mittlere Photonenzahl ist durch

4.5 Photonengas

N =2

 p

=

1 ecp/kT

V (kT )3 π 2 c3
3

∞ 0

−1

=

V π 2 c3

∞

205

dω ω 2 −1

e
ω/kT 0

dx x2 2ζ(3) = V ex − 1 π2



kT
c

3

 gegeben, wobei in p der Wert p = 0 ausgeschlossen ist. Setzt man ζ(3) ein, dann folgt

3 kT N = 0.244 V . (4.5.17)
c Kombinieren wir dies mit (4.5.6c) und (4.5.6a) ergibt sich mit n¨aherungswei¨ sen Zahlenfaktoren eine formale Ahnlichkeit zum klassischen idealen Gas P V = 0.9 N kT

(4.5.18)

S = 3.6 N k ,

(4.5.19)

wobei N jedoch stets durch (4.5.17) gegeben ist und nicht durch einen festen Wert. Der Druck pro Teilchenzahl ist ungef¨ ahr von der gleichen Gr¨oße wie beim klassischen idealen Gas. Die thermische Wellenl¨ ange des Photonengases ist durch λT =

2π 2π
c 0.510 = = [cm] kmax 2.82 kT T [K]

(4.5.20)

gegeben. Mit dem numerischen Faktor 0.510 ist λT in der Einheit cm angegeben. Eingesetzt in (4.5.17) erhalten wir

3 2π V V N = 0.244 = 2.70 3 . (4.5.21) 2.82 λ3T λT V N λ3T 1/3

F¨ ur das klassische ideale Gas ist

1; im Gegensatz dazu ist der mittlere

Abstand der Photonen (V /N ) nach (4.5.21) von der Gr¨oßenordnung λT , und deshalb m¨ ussen Photonen quantenmechanisch betrachtet werden. Bei Zimmertemperatur, also T = 300 K, ist λT = 1.7 × 10−3 cm und 8 −3 die Dichte N . Bei Sonnentemperatur, also T ≈ 107 K, ist V = 5.5 × 10 cm −8 22 −3 λT = 5.1 × 10 cm und die Dichte N . Im Vergleich dazu V = 2.0 × 10 cm −4 betr¨ agt die Wellenl¨ ange von sichtbarem Licht λ = 10 cm. Anmerkung: H¨ atte das Photon eine endliche Ruhemasse m, so w¨are g = 3. Dann h¨ atte man im Stefan-Boltzmann-Gesetz einen Faktor 32 . Die experimentelle G¨ ultigkeit des Stefan-Boltzmann-Gesetzes besagt, daß entweder m = 0 ist, oder daß die longitudinalen Photonen nicht an die Materie koppeln. Chemisches Potential: Das chemische Potential des Photongases kann aus der Gibbs-Duhem-Relation E = T S − P V + µN berechnet werden, da es sich um ein homogenes System handelt:

206

4. Ideale Quanten-Gase µ=

1 1 (E − T S + P V ) = N N

4−

16 4 + 3 3



σV T 3 ≡0. 3c

(4.5.22)

Das chemische Potential des Photonengases ist f¨ ur alle Temperaturen identisch 0, da die Zahl der Photonen nicht fest ist, sondern sich an die Temperatur und das Volumen anpaßt. Photonen werden von der umgebenden Materie, den W¨ anden des Hohlraums, absorbiert und emittiert. Generell verschwindet das chemische Potential von Teilchen und von Quasiteilchen, wie z.B. Phononen, deren Teilchenzahl durch keinen Erhaltungssatz eingeschr¨ ankt ist. Betrachten wir n¨ amlich die freie Energie f¨ ur eine fiktive feste Zahl von Photonen (Phononen etc.) F (T, V, NPh ). Da die Zahl der Photonen (Phononen)  nicht eingeschr¨ ankt ist, adjustiert sie sich so, daß die freie Energie minimal wird

∂F ∂NPh

= 0 . Das ist aber gerade der Ausdruck f¨ ur T,V

das chemische Potential, welches somit verschwindet: atten wir  µ = 0 . Ebenso h¨ µ ∂S von der Maximalit¨ at der Entropie ausgehen k¨ onnen ∂NPh = −T = 0 . E,V

∗

4.5.5 Teilchenzahl–Fluktuationen von Fermionen und Bosonen

Da wir nun die statistischen Eigenschaften der verschiedenen Quantengase kennengelernt haben, n¨ amlich Fermionen und Bosonen (inklusive Photonen, deren Teilchenzahlverteilung sich durch µ = 0 auszeichnet), wollen wir jetzt die mittleren Schwankungen der Teilchenzahlen studieren. Zu diesem Zweck gehen wir vom großkanonischen Potential aus   Φ = −β −1 log e−β p np (εp −µ) . (4.5.23) {np }

Die Ableitung von Φ nach εq ergibt den Mittelwert von nq  ∂Φ = ∂εq

nq e−β

{np }



e−β

 p

 p

np (εp −µ)

np (εp −µ)

= nq  .

(4.5.24)

{np }

Die zweite Ableitung von Φ ergibt das Schwankungsquadrat    ∂2Φ 2 2 = −β n − n  ≡ −β(∆nq )2 . q q ∂ε2q Somit erhalten wir unter Ben¨ utzung von (∆nq )2 = −β −1

ex ex ∓1

(4.5.25) =1±

1 ex ∓1


 ∂nq  eβ(εq −µ) =
2 = nq  1 ± nq  . ∂εq eβ(εq −µ) ∓ 1

(4.5.26)

F¨ ur Fermionen ist das Schwankungsquadrat immer klein. Im Bereich der besetzten Zust¨ ande, wo nq  = 1 ist, verschwindet ∆nq und im Bereich kleiner nq  ist ∆nq ≈ nq 1/2 .

4.6 Phononen in Festk¨ orpern

207

Bemerkung: F¨ ur Bosonen k¨ onnen die Schwankungen sehr groß werden. Im Falle großer Besetzungszahlen wird ∆nq ∼ nq  und die relative Schwankung geht gegen eins. Dies ist eine Konsequenz der Tendenz von Bosonen sich zusammenzuballen. Diese großen Schwankungen findet man auch im r¨ aumlichen Sinn. Wenn N Bosonen in einem Volumen L3 eingeschlossen sind, dann ist die mittlere Zahl der Bosonen in einem Teilvolumen a3 durch n ¯ = N a3 /L3 gegeben. Falls a λ, wo λ die Ausdehnung der Wellenfunktionen der Bosonen ist, dann findet man f¨ ur das Schwankungsquadrat der Teilchenzahl (∆Na3 )2 in dem Teilvolumen23 (∆Na3 )2 = n ¯ (¯ n + 1) . Im Vergleich dazu erinnern wir an das ganz andersartige Verhalten von klassischen Teilchen, die einer Poisson-Verteilung (siehe Abschnitt 1.5.1) gen¨ ugen. Die Wahrscheinlichkeit, n Teilchen im Teilvolumen a3 zu finden, ist f¨ ur a/L 1 und N → ∞ Pn = e−¯n

n ¯n n!

mit n ¯ = N a3 /L3 , woraus  (∆n)2 = n2 − n ¯2 = Pn n2 − n ¯2 = n ¯ n

folgt. Die Abweichung der Z¨ ahlraten von Bosonen vom Poisson-Gesetz wurden in intensiven Photonen-Strahlen experimentell verifiziert.24

4.6 Phononen in Festk¨ orpern 4.6.1 Harmonischer Hamilton-Operator Wir erinnern an die Mechanik der linearen Kette aus N Teilchen der Masse m, die durch Federn zwischen n¨ achsten Nachbarn mit der Federkonstante f gekoppelt sind. Deren Hamilton-Funktion besitzt in harmonischer N¨aherung die Form  m f 2 2 H = W0 + u˙ + (un − un−1 ) . (4.6.1) 2 n 2 n Man gelangt zu (4.6.1), indem man von der Hamilton-Funktion der N Teilchen, deren Positionen xn seien, ausgeht. Die Gleichgewichtslagen der Teilchen seien x0n , wobei f¨ ur eine unendliche Kette und f¨ ur eine endliche Kette bei periodischen Randbedingungen die Gleichgewichtslagen exakt translationsinvariant sind und der Abstand benachbarter Gleichgewichtspositionen durch die Gitterkonstante a = x0n+1 − x0n gegeben ist. Dann f¨ uhrt man die 23

24

Eine detaillierte Diskussion der Tendenz von Bosonen sich in Regionen u ¨ berlappender Wellenfunktionen zusammenzuballen, findet sich in E.M. Henley und W. Thirring, Elementary Quantum Field Theory, McGraw Hill, New York 1962, Seite 52ff. R. Hanbury Brown und R.Q. Twiss, Nature 177, 27 (1956).

208

4. Ideale Quanten-Gase

Auslenkungen von den Gleichgewichtslagen un = xn − x0n ein und entwickelt nach den un . Die Gr¨ oße W0 ist durch den Wert der gesamten potentiellen Energie W ({xn }) der Kette an der Gleichgewichtslage gegeben. Durch die kanonische Transformation  1  ikan m  −ikan √ un = e Qk , mu˙ n = e Pk (4.6.2) N Nm k k wird H in eine Summe von ungekoppelten harmonischen Oszillatoren transformiert 1 H = W0 + (Pk P−k + ωk2 Qk Q−k ) , (4.6.1 ) 2 k

wobei die Frequenzen mit der Wellenzahl u ¨ ber  f ka ωk = 2 sin m 2

(4.6.3)

zusammenh¨ angen. Man bezeichnet Qk als Normalkoordinaten und die Pk als Normalimpulse. Die Qk und Pk sind zueinander konjugierte Variable, welche wir im folgenden als quantenmechanische Operatoren auffassen. In der quantenmechanischen Darstellung gelten die folgenden Vertauschungsrelationen [un , mu˙ n ] = i
δnn ,

[un , un ] = [mu˙ n , mu˙ n ] = 0

und daraus folgt [Qk , Pk ] = i
δkk ,

[Qk , Qk ] = [Pk , Pk ] = 0 ;

außerdem gilt Q†k = Q−k und Pk† = P−k . Schließlich kann man durch Einf¨ uhren von Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren   


ωk
†  Qk = ak + a−k , Pk = −i a−k − a†k (4.6.4) 2ωk 2 H = W0 +

 k


ωk

1 n ˆk + 2

 (4.6.1 )

erhalten, mit dem Besetzungszahloperator n ˆ k = a†k ak

(4.6.5)

und [ak , a†k ] = δkk , [ak , ak ] = [a†k , a†k ] = 0. In dieser Form k¨ onnen wir den Hamilton-Operator sofort auf drei Dimensionen verallgemeinern. In einem dreidimensionalen Kristall mit einem Atom

4.6 Phononen in Festk¨ orpern

209

pro Einheitszelle gibt es zu jeder Wellenzahl 3 Gitterschwingungen, eine longitudinale (l) und zwei transversale (t1 , t2 ) (Siehe Abb. 4.25). Wenn die Einheitszelle s Atome enth¨ alt, gibt es 3s Gitterschwingungen. Diese setzen sich aus den drei akustischen, deren Frequenz bei k = 0 verschwindet, und den 3(s − 1) optischen Phononen, deren Frequenz bei k = 0 endlich ist, zusammen.25

Abb. 4.25. Die Phononfrequenzen in einem Kristall mit einem Atom pro Einheitszelle

Wir werden uns im folgenden auf den einfachen Fall eines einzigen Atoms pro Einheitszelle beschr¨ anken, also auf Bravais-Kristalle. Dann lautet nach den vorhergehenden Betrachtungen der Hamilton-Operator

  1 H = W0 (V ) +
ωk,λ n ˆ k,λ + . (4.6.6) 2 k,λ

Hier haben wir die Gitterschwingungen durch den Wellenzahlvektor k und die Polarisation λ charakterisiert. Die zugeh¨ orige Frequenz ist ωk,λ und der entsprechende Besetzungszahloperator n ˆ k,λ . Die potentielle Energie W0 (V ) in der Gleichgewichtslage des Kristalls h¨ angt von der Gitterkonstanten oder, was bei vorgegebener Teilchenzahl ¨ aquivalent ist, vom Volumen ab. Der K¨ urze halber werden wir den Wellenzahlvektor und die Polarisation in der Form k ≡ (k, λ) zusammenfassen. Es gibt in einem Gitter mit N Atomen insgesamt 3N Schwingungsfreiheitsgrade. 4.6.2 Thermodynamische Eigenschaften Analog zu der Rechnung bei Photonen ergibt sich f¨ ur die freie Energie    
ωk −
ωk /kT F = −kT log Z = W0 (V ) + + kT log 1 − e . (4.6.7) 2 k

Die innere Energie finden wir aus 25

Siehe z.B. J.M. Ziman, Principles of the Theory of Solids, 2nd edition, Cambridge University Press, 1972.

210

4. Ideale Quanten-Gase

E = −T 2

∂ F ∂T T

 ,

(4.6.8)

V

also E = W0 (V ) +


ωk k

+

2

 k


ωk

1 e
ωk /kT

−1

(4.6.8 )

.

Es erweist sich auch hier f¨ ur die Phononen wieder als zweckm¨aßig, die normierte Zustandsdichte 1  g(ω) = δ(ω − ωk ) (4.6.9) 3N k

einzuf¨ uhren. Der Vorfaktor ist so gew¨ ahlt, daß ∞ dω g(ω) = 1 .

(4.6.10)

0

Mit Hilfe der Zustandsdichte kann die innere Energie in der Form ∞ E = W0 (V ) + E0 + 3N

dω g(ω) 0


ω e
ω/kT

(4.6.11)

−1

geschrieben werden, ur die Nullpunktsenergie der Phononen die Be wobei f¨ zeichnung E0 =
ω /2 eingef¨ uhrt wurde. F¨ ur die thermodynamischen k k Gr¨ oßen kommt es nicht auf die genaue Wellenzahlabh¨angigkeit der Phononfrequenzen an, sondern nur auf deren Verteilung, die Zustandsdichte. Um nun die thermodynamischen Gr¨ oßen wie etwa die innere Energie bestimmen zu k¨ onnen, m¨ ussen wir zun¨ achst die Zustandsdichte g(ω) berechnen. F¨ ur kleine k ist die Frequenz der longitudinalen Phononen ωk,l = cl k, und die der transversalen Phononen ωk,t = ct k, welche zweifach entartet sind, wobei cl und ct die longitudinale und transversale Schallgeschwindigkeit sind. Setzen wir dies in (4.6.9) ein, erhalten wir V 1 g(ω) = 3N 2π 2



V ω2 dk k [δ(ω − cl k) + 2δ(ω − ct k)] = N 6π 2 2



 1 2 + 3 . c3l ct (4.6.12)

Gleichung (4.6.12) trifft nur f¨ ur kleine Frequenzen zu, also in dem Bereich, in dem die Phonon-Dispersionsrelation tats¨ achlich linear ist. In diesem Frequenzbereich ist die Zustandsdichte proportional zu ω 2 , wie das auch bei Photonen der Fall war. Mit (4.6.12) k¨ onnen wir nun die thermodynamischen Gr¨ oßen f¨ ur niedere Temperaturen berechnen, da in diesem Temperaturbereich nur niederfrequente Phononen thermisch angeregt sind. Im Grenzfall hoher

4.6 Phononen in Festk¨ orpern

211

Temperaturen werden wir sehen, daß es auf die detaillierte Form des PhononSpektrums gar nicht ankommt, sondern nur auf die gesamte Zahl der Schwingungen. Somit k¨ onnen wir auch diesen Fall sofort behandeln, Gl. (4.6.14). Bei tiefen Temperaturen tragen nur niedere Frequenzen bei, da Frequenzen ω kT /
durch die Exponentialfunktion im Integral (4.6.11) unterdr¨ uckt werden. Deshalb kann das Niederfrequenzresultat (4.6.12) f¨ ur g(ω) verwendet werden. Entsprechend der Rechnung f¨ ur Photonen ergibt sich

 V π2 k4 1 2 E = W0 (V ) + E0 + + 3 T4 . (4.6.13) 30
3 c3l ct F¨ ur hohe Temperaturen, also Temperaturen, die sehr viel gr¨oßer sind als
ωmax /k, wo ωmax die Maximalfrequenz der Phononen ist, gilt f¨ ur alle Fre
−1 kT quenzen, f¨ ur die g(ω) nicht verschwindet, e
ω/kT − 1 ≈
ω , und deshalb folgt aus (4.6.11) und (4.6.10) E = W0 (V ) + E0 + 3N kT .

(4.6.14)

Durch Ableiten nach der Temperatur erhalten wir aus (4.6.13) und (4.6.14) im Grenzfall kleiner Temperaturen CV ∼ T 3

(4.6.15)

das Debyesche Gesetz und im Grenzfall hoher Temperaturen CV ≈ 3N k

(4.6.16)

das Dulong-Petit-Gesetz. F¨ ur tiefe Temperaturen ist die spezifische W¨arme proportional zu T 3 , w¨ ahrend sie f¨ ur hohe Temperaturen gleich der Zahl der Freiheitsgrade mal der Boltzmann-Konstanten ist. Um die spezifische W¨ arme f¨ ur alle Temperaturen bestimmen zu k¨onnen, ben¨ otigen wir die normierte Zustandsdichte g(ω) f¨ ur den gesamten Frequenzbereich. Die typische Form von g(ω) f¨ ur einen Bravais-Kristall25 ist in Abb. 4.26 gezeigt. F¨ ur kleine ω erkennt man das ω 2 -Verhalten. Oberhalb der Maximalfrequenz verschwindet g(ω). In Zwischenbereichen weist die Zustandsdichte noch charakteristische Strukturen, sogenannte van HoveSingularit¨ aten25 auf, die von den Maxima, Minima und Sattelpunkten der Phononen-Dispersionsrelation herr¨ uhren, deren typischer Verlauf in Abb. 4.27 dargestellt ist. Um eine f¨ ur viele Zwecke ausreichende Interpolationsformel zu erhalten, approximiert man die Zustandsdichte durch die Debyesche N¨aherung gD (ω) =

3ω 2 3 Θ(ωD − ω) , ωD

(4.6.17a)

212

4. Ideale Quanten-Gase

Abb. 4.26. Die Phonon-Zustandsdichte g(ω). Durchgezogen: Realistische Zustandsdichte. Strichliert: Die Debyesche N¨ aherung.

mit 1 1 V = 3 ωD 18π 2 N



1 2 + 3 3 cl ct

Abb. 4.27. Phonondispersionsrelation mit Maxima, Minima und Sattelpunkten, die sich in der Zustandsdichte als van Hove-Singularit¨ aten ¨ außern.

 .

(4.6.17b)

Durch (4.6.17a) wird der Niederfrequenzausdruck (4.6.12) auf den ganzen Frequenzbereich ausgedehnt und bei der sogenannten Debye-Frequenz ωD abgeschnitten, die so gew¨ ahlt ist, daß (4.6.10) erf¨ ullt ist. Die Debyesche N¨aherung ist ebenfalls in Abb. 4.26 dargestellt. Setzt man (4.6.17a) in (4.6.11) ein, so erh¨ alt man


ωD E = W0 (V ) + E0 + 3N k T D (4.6.18) kT mit 3 D(x) = 3 x

x 0

dy y 3 . ey − 1

(4.6.19)

Leitet man (4.6.18) nach der Temperatur ab, so ergibt sich ein Ausdruck f¨ ur die spezifische W¨ arme, der zwischen dem Debye- und dem Dulong-PetitGrenzfall interpoliert (Siehe Abb. 4.28). ∗

4.6.3 Anharmonische Effekte, Mie-Gr¨ uneisen-Zustandsgleichung

Bisher haben wir nur die harmonische N¨ aherung behandelt. Tats¨achlich enth¨ alt der Hamilton-Operator f¨ ur Phononen in einem Kristall auch anharmonische Terme, z.B.  Hint = c(k1 , k2 )Qk1 Qk2 Q−k1 −k2 k1 ,k2

4.6 Phononen in Festk¨ orpern

213

Abb. 4.28. Die W¨ armekapazit¨ at eines einatomigen Isolators. Bei tiefen Temperaturen ist CV ∼ T 3 und bei hohen konstant.

mit Koeffizienten c(k1 , k2 ). Terme dieser Art und h¨ohere Potenzen r¨ uhren von der Entwicklung des Wechselwirkungspotentials nach den Auslenkungen der Gitterbausteine her. Diese nichtlinearen Terme sind verantwortlich f¨ ur (i) die thermische Ausdehnung von Kristallen (ii) das Auftreten eines linearen Terms in der spezifischen W¨ arme f¨ ur hohe T (iii) die D¨ampfung von Phononen (iv) und eine endliche W¨ armeleitf¨ ahigkeit. Diese Terme sind auch entscheidend bei strukturellen Phasen¨ uberg¨ angen. Die systematische Behandlung dieser Ph¨ anomene erfordert st¨ orungstheoretische Methoden. Die anharmonischen Terme bewirken, daß die Frequenzen ωk von der Gitterkonstanten, d.h. vom Volumen V des Kristalls abh¨ angen. Diesen Effekt der Anharmonizit¨ aten k¨ onnen wir n¨ aherungsweise mit einer geringf¨ ugigen Erweiterung der harmonischen Theorie des vorhergehenden Teilabschnitts zur Herleitung der Zustandsgleichung mitber¨ ucksichtigen. Wir leiten die freie Energie F nach dem Volumen ab. Außer der potentiellen Energie W0 an der Gleichgewichtskonfiguration h¨angt auch ωk , bedingt durch Anharmonizit¨ aten, vom Volumen V ab, deshalb ergibt sich f¨ ur den Druck



 ∂F ∂W0  1 1 ∂ log ωk P =− =− −
ωk + . (4.6.20) ∂V T ∂V 2 e
ωk /kT − 1 ∂V k Zur Vereinfachung wird angenommen, daß die logarithmische Ableitung von ωk nach dem Volumen f¨ ur alle Wellenzahlen gleich ist (Gr¨ uneisen-Annahme) ∂ log ωk 1 ∂ log ωk 1 = = −γ . ∂V V ∂ log V V

(4.6.21)

Die hier auftretende Materialkonstante γ heißt Gr¨ uneisen-Konstante. Das negative Vorzeichen besagt, daß die Frequenzen bei Ausdehnung kleiner werden. Setzen wir nun (4.6.21) in (4.6.20) ein und vergleichen wir mit (4.6.8 ), so erhalten wir mit EPh = E − W0 die Mie-Gr¨ uneisen-Zustandsgleichung ∂W0 EPh +γ . (4.6.22) ∂V V Diese Formel trifft f¨ ur nichtleitende Kristalle zu, bei denen keine elektronischen Anregungen vorhanden sind und das thermische Verhalten einzig durch die Phononen bestimmt wird. P =−

214

4. Ideale Quanten-Gase

Aus der Mie-Gr¨ uneisen-Zustandsgleichung lassen sich die verschiedenen thermodynamischen Ableitungen bestimmen, wie z.B. der Spannungskoeffizient (3.2.5)

 ∂P β= = γCV (T )/V (4.6.23) ∂T V und der lineare Ausdehnungskoeffizient (Anhang: I, Tabelle I.3)

 1 ∂V αl = , 3V ∂T P der wegen αl =


∂P  ∂T

V

=−


∂V  
∂V  ∂T

P

∂P T

≡

( ∂V ∂T )P κT V

(4.6.24)

auch als

1 βκT 3

(4.6.25)

dargestellt werden kann. In der letzten Relation kann f¨ ur tiefe Temperaturen die Kompressibilit¨ at durch



−1 1 ∂V ∂ 2 W0 κT (0) = − = V (4.6.26) V ∂P T =0 ∂V 2 ersetzt werden. Bei tiefen Temperaturen verhalten sich nach (4.6.23) und (4.6.25) der thermische Ausdehnungskoeffizient und der Spannungskoeffizient eines Isolators so wie die spezifische W¨ arme und sind proportional zur dritten Potenz der Temperatur α ∝ β ∝ T3 . Wegen des thermodynamischen Zusammenhangs der spezifischen W¨armen (3.2.24) verh¨ alt sich CP − CV ∝ T 7 . Deshalb ist bei Temperaturen unterhalb der Debye-Temperatur die isobare spezifische W¨arme faktisch gleich der isochoren. Analog zu den Phononen kann man die thermodynamischen Eigenschaften anderer Quasiteilchen bestimmen. Magnonen in Antiferromagneten haben ebenfalls eine lineare Dispersionsrelation bei kleinem k und deshalb ist deren Beitrag zur spezifischen W¨ arme ebenfalls proportional T 3 . Magnonen im Ferromagneten haben eine quadratische Dispersionsrelation ∼ k 2 und f¨ uhren zu einer spezifischen W¨ arme ∼ T 3/2 .

4.7 Phononen und Rotonen in He II 4.7.1 Die Anregungen (Quasiteilchen) von He II Im Anschluß an die in 4.4 dargestellte Bose-Einstein-Kondensation haben wir das Phasendiagramm von He4 besprochen. In der He II-Phase, unterhalb

4.7 Phononen und Rotonen in He II

215

Abb. 4.29. Die Quasiteilchenanregungen in suprafluidem He4 . Phononen und Rotonen nach Henshaw und Woods.27

von Tλ = 2.18 K, kondensiert He4 . Zust¨ ande mit der Wellenzahl 0 sind makroskopisch besetzt. In der Sprache der zweiten Quantisierung bedeutet dies, daß der Erwartungswert des Feldoperators ψ(x) endlich ist. Der Ordnungsparameter ist hier ψ(x).26 Das Anregungsspektrum ist dann ganz anders als in einem System von freien Bosonen. Wir wollen hier nicht auf die quantenmechanische Theorie eingehen, sondern an den experimentellen Befund ankn¨ upfen. Bei tiefen Temperaturen sind nur die niederenergetischen Anregungen von Bedeutung. In Abb. 4.29 sind die mittels Neutronenstreuung bestimmten Anregungen dargestellt. Das Anregungsspektrum zeigt folgende Charakteristika. F¨ ur kleine p variiert die Anregungsenergie linear mit dem Impuls εp = cp .

(4.7.1a)

In diesem Bereich heißen die Anregungen Phononen, deren Schallgeschwindigkeit ist c = 238 m/sec. Als zweites Charakteristikum hat das Anregungsspektrum ein Minimum bei p0 = 1.91 ˚ A−1
. In diesem Bereich heißen die Anregungen Rotonen und k¨ onnen durch εp = ∆ + 26

(|p| − p0 )2 2µ

Es ist a0 |φ0 (N ) = a†0

27

|φ0 (N ) =

√ √

N |φ0 (N − 1) ≈

(4.7.1b) √

N |φ0 (N ) √ N + 1 |φ0 (N + 1) ≈ N |φ0 (N ) ,

da bei makroskopischer Besetzung des Grundzustandes N  1 ist. Siehe z.B. QM II, Abschn. 3.2.2. D.G. Henshaw and A.D. Woods, Phys. Rev. 121, 1266 (1961)

216

4. Ideale Quanten-Gase

dargestellt werden, mit der effektiven Masse µ = 0.16 mHe und der L¨ ucke ∆/k = 8.6 K. Diese Z¨ uge der Dispersionsrelationen werden sich auch in den thermodynamischen Eigenschaften ¨ außern. 4.7.2 Thermische Eigenschaften Bei tiefen Temperaturen ist die Zahl der Anregungen klein, und deren Wechselwirkung kann vernachl¨ assigt werden. Da die He4 -Atome Bosonen sind, sind auch die Quasiteilchen dieses Systems Bosonen.28 Wir betonen, daß die Quasiteilchen in Gleichungen (4.7.1a) und (4.7.1b) kollektive Dichte-Anregungen sind, die nichts mit der Bewegung einzelner Heliumatome zu tun haben. Wegen des Bose-Charakters und wegen der Tatsache, daß die Zahl der Quasiteilchen nicht erhalten ist, also das chemische Potential Null ist, gilt f¨ ur die mittlere Besetzungszahl
−1 n(εp ) = eβεp − 1 .

(4.7.2)

Es folgt f¨ ur die freie Energie 
 kT V F (T, V ) = d3 p log 1 − e−βεp , (2π
)3 f¨ ur die mittlere Zahl von Quasiteilchen  V NQ.T. (T, V ) = d3 p n(εp ) (2π
)3

(4.7.3a)

(4.7.3b)

und f¨ ur die innere Energie  V E(T, V ) = d3 p εp n(εp ) . (2π
)3

(4.7.3c)

Bei tiefen Temperaturen tragen in (4.7.3a) bis (4.7.3c) nur die Phononen und Rotonen bei, da nur diese thermisch angeregt sind. Der Beitrag der Phononen ist in diesem Limes durch FPh = −

π 2 V (kT )4 , 90(
c)3

bzw. EPh =

π 2 V (kT )4 30(
c)3

(4.7.4a,b)

gegeben. Daraus ergibt sich f¨ ur die W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Volumen CV = 28

2π 2 V k 4 T 3 . 15(
c)3

(4.7.4c)

Dagegen kann es in wechselwirkenden Fermi-Systemen sowohl Fermi- wie BoseQuasiteilchen geben. Die Teilchen-Zahl bosonischer Quasiteilchen ist im allge¨ meinen nicht fest. Extra Quasiteilchen k¨ onnen entstehen; da die Anderung des Drehimpulses jedes Quantensystems ganzzahlig sein muß, m¨ ussen diese Anregungen ganzzahligen Spin besitzen.

4.7 Phononen und Rotonen in He II

217

Wegen der L¨ ucke in der Rotonenenergie (4.7.1b) kann f¨ ur niedrige Temperaturen, T ≤ 2 K, die Rotonen-Besetzungszahl durch n(εp ) ≈ e−βεp gen¨ahert werden, und es ergibt sich f¨ ur die mittlere Zahl der Rotonen

NRot

V ≈ (2π
)3 =

≈

 3

d pe

V e−β∆ 2π 2
3

∞

−βεp

V = 2 3 2π


dp p2 e−β(p−p0 )

∞

dp p2 e−βεp

0 2

/2µ

0

V e−β∆ p20 2π 2
3

∞

dp e−β(p−p0 )

2

−∞

/2µ

≈

1/2 −β∆ V p20
2πµkT e . 2 3 2π
(4.7.5a)

Der Beitrag der Rotonen zur inneren Energie ist durch

  V ∂ kT 3 −βεp ERot ≈ d p εp e = − NRot = ∆ + NRot (4.7.5b) (2π
)3 ∂β 2 gegeben, woraus f¨ ur die spezifische W¨ arme / 0

2 3 ∆ ∆ CRot = k + + NRot 4 kT kT

(4.7.5c)

folgt, wobei nach (4.7.5a) NRot f¨ ur T → 0 exponentiell verschwindet. In Abb. 4.30 ist die spezifische W¨ arme als Funktion der Temperatur doppeltlogarithmisch dargestellt. Die Gerade folgt dem T 3 -Gesetz von Gl. (4.7.4c). Oberhalb von 0.6 K macht sich der Rotonen-Beitrag (4.7.5c) bemerkbar.

Abb. 4.30. Die spezifische W¨ arme von Helium II unter ges¨ attigtem Dampfdruck (Wiebes, NielsHakkenberg und Kramers).

218 ∗

4. Ideale Quanten-Gase

4.7.3 Suprafluidit¨ at, Zwei-Fl¨ ussigkeitsmodell

Die Kondensation von Helium und die daraus folgende Quasiteilchen-Dispersionsrelation ((4.7.1a,b), Abb. 4.29) haben entscheidende Konsequenzen f¨ ur das dynamische Verhalten von He4 in der He II-Phase. Es folgt hieraus die Suprafluidit¨ at und deren Darstellung durch das Zwei-Fl¨ ussigkeitsmodell. Um dies einzusehen, betrachten wir die Str¨ omung von Helium in einer R¨ohre in zwei verschiedenen Inertialsystemen. Im System K ist die R¨ohre in Ruhe und die Fl¨ ussigkeit str¨ omt mit der Geschwindigkeit −v. Im System K0 sei das Helium in Ruhe, w¨ ahrend die R¨ ohre die Geschwindigkeit v besitzt (Siehe Abb. 4.31).

Abb. 4.31. Suprafluides Helium im Ruhsystem der R¨ ohre K und im Ruhsystem der Fl¨ ussigkeit K0 .

Die Gesamt-Energien (E, E0 ) und die Gesamt-Impulse (P, P0 ) der Fl¨ ussigkeit in den beiden Systemen (K,K0 ) h¨ angen durch eine Galilei-Transformation P = P0 − M v

(4.7.6a) 2

Mv 2 zusammen. Dabei bedeuten   pi = P , pi0 = P0 , E = E0 − P0 · v +

i

(4.7.6b) 

i

mi = M .

(4.7.6c)

i

Man zeigt (4.7.6a,b), indem man die Galilei-Transformation f¨ ur die einzelnen Teilchen xi = xi0 − vt

,

pi = pi0 − mv

anwendet. Das gibt f¨ ur den Gesamtimpuls   P= pi = (pi0 − mv) = P0 − M v und die Gesamtenergie 2   1 2   m  pi0 E= pi + V (xi − xj ) = −v + V (xi0 − xj0 ) 2m 2 m i i

i,j

i,j

 p2i0 M 2  M 2 = − P0 · v + v + V (xi0 − xj0 ) = E0 − P0 · v + v . 2m 2 2 i

i,j

4.7 Phononen und Rotonen in He II

219

In einer gew¨ ohnlichen Fl¨ ussigkeit wird jede anf¨ anglich vorhandene Str¨omung durch Reibungsverluste abgebremst. Vom System K0 aus betrachtet bedeutet dies, daß in der Fl¨ ussigkeit Anregungen auftreten, die sich mit der Wand mitbewegen, so daß nach und nach mehr und mehr der Fl¨ ussigkeit mit der bewegten R¨ ohre mitgezogen wird. Von K aus betrachtet bedeutet dieser Vorgang, daß die Str¨ omung der Fl¨ ussigkeit abgebremst wird. Damit derartige Anregungen u onnen, muß sich die Energie der Fl¨ ussig¨ berhaupt auftreten k¨ keit dabei vermindern. Wir m¨ ussen nun untersuchen, ob f¨ ur das spezielle Anregungsspektrum von He II, Abb. 4.29, die str¨ omende Fl¨ ussigkeit durch Bildung von Anregungen ihre Energie vermindern kann. Ist es energetisch g¨ unstig, Quasiteilchen anzuregen? Wir betrachten zuerst Helium bei der Temperatur T = 0, also im Grundzustand. Im Grundzustand sind Energie und Impuls im System K0 durch E0g

und P0 = 0

(4.7.7a)

gegeben. Daraus folgt f¨ ur diese Gr¨ oßen im System K E g = E0g +

M v2 2

und P = −M v .

(4.7.7b)

Wenn ein Quasiteilchen mit Impuls p und der Energie εp angeregt ist, haben die Energie und der Impuls im System K0 die Werte E0 = E0g + εp

und P0 = p ,

(4.7.7c)

und daraus folgt aus (4.7.6a,b) f¨ ur die Energie im System K E = E0g + εp − p · v +

M v2 2

und P = p − M v .

(4.7.7d)

Die Anregungsenergie im System K (im Ruhsystem der R¨ohre) ist deshalb ∆E = εp − p · v .

(4.7.8)

∆E ist die Energie¨ anderung der Fl¨ ussigkeit durch das Auftreten einer Anregung in K. Nur wenn ∆E < 0 ist, verliert die str¨ omende Fl¨ ussigkeit Energie. Da ε − pv am kleinsten ist, wenn pv ist, muß die Ungleichung v>

ε p

(4.7.9a)

erf¨ ullt sein, damit eine Anregung auftritt. Aus (4.7.9a) ergibt sich die kritische Geschwindigkeit (Abb. 4.32)

 ε vc = ≈ 60 m/sec . (4.7.9b) p min Wenn die Str¨ omungsgeschwindigkeit kleiner als vc ist, werden keine Quasiteilchen angeregt, und die Fl¨ ussigkeit str¨ omt ungebremst durch die R¨ohre.

220

4. Ideale Quanten-Gase

Dieses Ph¨ anomen nennt man Suprafluidit¨ at. Das Auftreten einer endlichen kritischen Geschwindigkeit ist eng mit der Form des Anregungsspektrums verkn¨ upft, das bei p = 0 endliche Gruppengeschwindigkeit besitzt und u ¨berall gr¨ oßer als Null ist (Abb. 4.32).

Abb. 4.32. Quasiteilchen und kritische Geschwindigkeit.

Der Wert (4.7.9b) der kritischen Geschwindigkeit wird bei der Bewegung von Ionen in He II beobachtet. Die kritische Geschwindigkeit f¨ ur die Str¨omungen in Kapillaren ist viel kleiner als vc , da schon bei geringerer Geschwindigkeit Wirbel entstehen; diese Anregungen haben wir hier nicht betrachtet. Eine entsprechende Argumentation gilt auch bei endlichen Temperaturen f¨ ur das Entstehen von zus¨ atzlichen Anregungen. Bei endlichen Temperaturen sind thermische Anregungen von Quasiteilchen vorhanden. Wie wirken sich diese aus? Die Quasiteilchen werden mit der bewegten R¨ohre im Gleichgewicht sein und die mittlere Geschwindigkeit v im System K0 haben. Das Kondensat, die suprafluide Komponente, ruht in K0 . Die Quasiteilchen haben den Impuls p und die Anregungsenergie εp in K0 . Die mittlere Zahl dieser Quasiteilchen ist n(εp − p · v). (Man muß die Gleichgewichtsverteilungsfunktionen in dem System anwenden, in dem das Quasiteilchengas ruht! Und dort ist die Anregungsenergie εp − p · v). Der Impuls des Quasiteilchengases ist in K0 durch  V P0 = d3 p p n(εp − p · v) (4.7.10) (2π
)3 gegeben. F¨ ur kleine Geschwindigkeit kann man (4.7.10) nach v entwickeln. Indem man d3 p p n(εp ) = 0 verwendet und mit der ersten Ordnung in v abbricht, ergibt sich   −V ∂n −V 1 ∂n 3 P0 ≈ d p p(p · v) = v d3 p p2 , (2π
)3 ∂εp (2π
)3 3 ∂εp   wobei d3 p pi pj f (|p|) = 13 δij d3 p p2 f (|p|) benutzt wurde. F¨ ur kleine T gen¨ ugt es, in dieser Gleichung den Phononen-Beitrag zu ber¨ ucksichtigen, also P0,Ph

4πV 1 =− v (2π
)3 3c5

∞ dε ε4 0

∂n . ∂ε

(4.7.11)

4.7 Phononen und Rotonen in He II

Nach partieller Integration und der Ersetzung von 4π erh¨ alt man  V 4 P0,Ph = v d3 p εp n(εp ) . (2π
)3 3c2



dε ε2 /c3 durch

221



d3 p

Dieses Ergebnis schreiben wir in der Form P0,Ph = V ρn,Ph v ,

(4.7.12)

wo wir die normalfluide Dichte ρn,Ph =

4 EPh 2π 2 (kT )4 = 2 3Vc 45
3 c5

(4.7.13)

definiert haben; vergleiche (4.7.4b). In (4.7.13) ist der Phononen-Beitrag zu ρn ausgewertet. Der Beitrag der Rotonen ist durch ρn,Rot =

p20 NRot 3kT V

(4.7.14)

gegeben. Gl. (4.7.14) folgt aus (4.7.9) nach ¨ ahnlichen N¨aherungen wie bei der Bestimmung von NRot in Gl. (4.7.5a). Man nennt ρn = ρn,Ph + ρn,Rot die Massendichte der Normalkomponente. Nur dieser Teil der Dichte kommt mit der Wand ins Gleichgewicht. Der gesamte Impuls pro Volumeneinheit P0 /V ist nach (4.7.10) und (4.7.12) durch P0 /V = ρn v

(4.7.15)

gegeben. Wir f¨ uhren nun eine Galilei-Transformation von dem System K0 , in dem das Kondensat ruht, auf ein System durch, in dem sich das Kondensat mit Geschwindigkeit vs bewegt. Das Quasiteilchengas, d.h. die Normalkomponente, hat in diesem Bezugssystem die Geschwindigkeit vn = v + vs . Der Impuls ergibt sich aus (4.7.15), indem man aufgrund der Galilei-Transformation ρvs addiert P/V = ρvs + ρn v . Substituiert man v = vn − vs , kann man den Impuls in der Form P/V = ρs vs + ρn vn

(4.7.16)

schreiben, wobei die suprafluide Dichte ρs = ρ − ρn

(4.7.17)

¨ definiert wurde. Ahnlich kann man die freie Energie im System K0 berechnen und daraus durch eine Galilei-Transformation die freie Energie der str¨omenden Fl¨ ussigkeit pro Volumeinheit in dem System, in dem sich die suprafluide ¨ Komponente mit vs bewegt, bestimmen (Ubungen, Aufgabe 4.23):

222

4. Ideale Quanten-Gase

1 1 F (T, V, vs , vn )/V = F (T, V )/V + ρs vs2 + ρn vn2 , 2 2

(4.7.18)

wo die freie Energie der ruhenden Fl¨ ussigkeit F (T, V ) durch (4.7.3a) und die darauffolgenden Relationen gegeben ist.

Abb. 4.33. Suprafluide und normale Dichte ρs und ρn in He II als Funktion der Temperatur, gemessen durch die Schwingungen eines Torsionspendels von Andronikaschvili.

Das hydrodynamische Verhalten von in der He II-Phase kondensiertem Helium ist so, als w¨ urde Helium aus zwei Fl¨ ussigkeiten bestehen, einer normalfluiden mit der Dichte ρn , die mit Hindernissen wie z.B. der Oberfl¨ache der R¨ ohre ins Gleichgewicht kommt, und einer suprafluiden mit der Dichte ρs , die reibungsfrei str¨ omt. Bei T → 0 geht ρs → ρ und ρn → 0, w¨ahrend bei T → Tλ ρs → 0 und ρn → ρ gehen. Dieses theoretische Bild, das ZweiFl¨ ussigkeitsmodell von Tisza und Landau, wurde unter anderem in Experimenten von Andronikaschvili (Abb. 4.33) best¨ atigt. Es ist die theoretische Basis f¨ ur die faszinierenden makroskopischen Eigenschaften von suprafluidem Helium.

Aufgaben zu Kapitel 4 4.1 Zeigen Sie die Richtigkeit der Gleichungen (4.3.24a) und (4.3.24b). 4.2 Zeigen Sie, daß die Entropie eines idealen Bose-(Fermi-) Gases in folgender Form dargestellt werden kann: 

 S=k −np  log np  ± 1 ± np  log 1 ± np  . p

Betrachten Sie diesen Ausdruck auch im klassischen Grenzfall und im Grenzfall T → 0.

4.3 Berechnen Sie CV , CP , κT , α f¨ur ideale Bose- und Fermi-Gase im Grenzfall starker Verd¨ unnung bis zur Ordnung
3 .

Aufgaben zu Kapitel 4

223

4.4 Sch¨atzen Sie die Fermi-Energien (in eV) und die Fermi-Temperaturen (in K) f¨ ur folgende Systeme ab. (N¨ aherung freier Teilchen: εF =


2 2m



N V

2/3

6π 2 g

2/3

)

(a) Elektronen im Metall (b) Neutronen in einem schweren Kern (c) He3 in fl¨ ussigem He3 (V /N = 46.2 ˚ A3 ).

4.5 Betrachten Sie ein eindimensionales Elektronengas (S = 1/2), bestehend aus N Teilchen im Raumintervall (0, L). (a) Wie groß sind Fermi-Impuls pF und Fermi-Energie εF ? (b) Berechnen Sie analog zu Abschnitt 4.3 µ = µ(T, N/L).   2  2 Ergebnis: pF = π
N , µ = εF 1 + π12 kT + O(T 4 ) . L εF Geben Sie eine qualitative Erkl¨ arung des Vorzeichenunterschieds der Temperaturabh¨ angigkeit gege¨ uber drei Dimensionen.

4.6 Berechnen Sie das chemische Potential µ(T, N/V ) f¨ur ein zweidimensionales Fermi-Gas. 



4.7 Man bestimme das mittlere Schwankungsquadrat (∆N )2 = N 2 − N 2 der Fluktuationen der Zahl der Elektronen f¨ ur ein Elektronengas im Limes verschwindender Temperatur.

4.8 Berechnen Sie die isotherme Kompressibilit¨at (Gl. (4.3.18)) des Elektronen-

gases f¨ ur tiefe Temperaturen, indem Sie von Formel (4.3.14 ) f¨ ur den Druck, 2 )2 N 2 εF N P = 5 V + π6 (kT ausgehen. Vergleichen Sie mit der in Aufgabe 4.7 beεF V stimmten Teilchenzahlfluktuation.

4.9 Berechnen Sie die freie Energie f¨ur das fast entartete Fermi-Gas, sowie α und CP .

4.10 Berechnen Sie f¨ur ein extrem relativistisches Fermigas (εp = pc) (a) das großkanonische Potential Φ (b) die thermische Zustandsgleichung (c) die spezifische W¨ arme CV . Betrachten Sie auch den Grenzfall sehr tiefer Temperaturen. 4.11 (a) Berechnen Sie die Grundzustandsenergie des relativistischen Elektronen

gases, Ep = (me c2 )2 + (pc)2 , in einem weißen Zwerg, der N Elektronen und N/2 (ruhende) Heliumkerne enthalten m¨ oge, und geben Sie den Nullpunktsdruck f¨ ur die beiden Grenzf¨ alle me c2 2 x v5 F

 me c2 1 xF  1 : P0 = x 1 − F v4 x2F xF 1 : P0 =

an; xF =

pF . me c

Wie h¨ angt der Druck vom Radius R des Sterns ab?

(b) Leiten Sie eine Beziehung zwischen der Masse M des Sterns und seinem Radius R f¨ ur die beiden F¨ alle xF 1 und xF  1 her und zeigen Sie, daß ein weißer Zwerg keine gr¨ oßere Masse haben kann als

224

4. Ideale Quanten-Gase 

3/2 9mp 3π
c M0 = . 64 α3 γm2p α∼1, G = 6.7 × 10−8 dyn cm2 g−2 −24

mp = 1.7 × 10

g

Gravitationskonstante Protonmasse

(c) Wird ein Stern bei gegebener Masse M = 2mp N auf einen (endlichen) Radius R komprimiert, so erniedrigt sich seine Energie um die Selbstenergie Eg der Gravitation, die f¨ ur homogene Massenverteilung die Form Eg = −αGM 2 /R hat, wobei α eine Zahl der Gr¨ oßenordnung 1 ist. Aus dE0 dR dEg + =0 dV dV dR k¨ onnen Sie den Gleichgewichtsradius bestimmen, wobei dE0 = −P0 (R) 4πR2 dR das Differential der Grundzustandsenergie ist.

4.12 Zeigen Sie, daß im zweidimensionalen idealen Bose-Gas keine Bose-EinsteinKondensation auftritt.

4.13 Beweisen Sie die Formeln (4.4.10) und (4.4.11) f¨ur die Entropie und die spezifische W¨ arme eines idealen Bose-Gases.

4.14 Berechnen Sie die innere Energie eines idealen Bose-Gases f¨ur T < Tc (v), bestimmen Sie daraus die spezifische W¨ arme, und vergleichen Sie mit Gleichung (4.4.10). 4.15 Zeigen Sie f¨ur Bosonen mit εp = aps und µ = 0, daß sich die spezifische W¨ arme bei tiefen Temperaturen im Dreidimensionalen wie T 3/s verh¨ alt. Im Spezialfall s = 2 ergibt sich die spezifische W¨ arme eines Ferromagneten, dessen Bosonen Spinwellen sind.

4.16 Zeigen Sie, daß das Maximum der Planckschen Formel f¨ur die Energieverteilung u(ω) bei ωmax = 2.82 kT liegt, siehe (4.5.10).
4.17 Best¨atigen Sie, daß der von einem schwarzen K¨orper der Temperatur T

in den Halbraum ausgehende Energiefluß IE (T ) durch (Gl. (4.5.16)), IE (T ) ≡ abgestrahlte Energie cE = 4V = σT 4 , gegeben ist, indem Sie von der Energiestromdichte cm2 sec jE =

1  p c εp np,λ  V p p,λ

ausgehen. Der Energiefluß IE pro Fl¨ acheneinheit durch ein Fl¨ achenelement df ist df jE |df . |

4.18 Der Energiefluß, der von der Sonne auf die Erde trifft, betr¨agt b = 0, 136 Joule

sec−1 cm−2 (ohne Absorptionsverluste, bei senkrechtem Einfall). b heißt auch Solarkonstante. (a) Zeigen Sie, daß die gesamte Sonnenabstrahlung = 4 × 1026 Joule sec−1 ist. (b) Berechnen Sie die Oberfl¨ achentemperatur der Sonne unter der Annahme, daß die Sonne wie ein schwarzer K¨ orper strahlt (T ∼ 6000 K). RS = 7 × 1010 cm, RSE = 1 AE = 1.5 × 1013 cm

Aufgaben zu Kapitel 4

225

4.19 Phononen im Festk¨orper. Berechnen Sie den Beitrag der sog. optischen Phononen zur spezifischen W¨ arme eines Festk¨ orpers, indem Sie f¨ ur die Dispersionsrelation der Schwingungen ε(k) = ωE annehmen (Einstein-Modell).

4.20 Berechnen Sie die der Gleichung (4.6.17a) entsprechende Frequenzverteilung f¨ ur ein- bzw. zweidimensionale Gitter. Welches Verhalten hat in diesem Falle die spezifische W¨ arme bei tiefen Temperaturen? (Beispiele f¨ ur niederdimensionale Systeme sind Selen (eindimensionale Ketten) und Graphit (Schichten)). 0 4.21 Der Druck eines Festk¨orpers ist durch P = − ∂W +γ ∂V

Eph V

gegeben (siehe (4.6.22)). Zeigen Sie unter der Annahme W0 (V ) = (V − V0 ) /2χ0 V0 f¨ u r V ∼ V0 und χ0 CV T V0 , daß die thermische Ausdehnung (bei konstantem P ∼ 0) durch

 1 ∂V γχ0 CV γ 2 χ0 CV2 T α≡ = und CP − CV = V ∂T V0 V0 2

gegeben ist.

4.22 Spezifische W¨arme in Metallen. Vergleichen Sie die Beitr¨ age von Phononen und Elektronen. Zeigen  Sie, daß der lineare Beitrag zur spezifischen W¨ arme erst f¨ ur T < T ∗ = 0.14θD θD /TF dominiert. Sch¨ atzen Sie T ∗ f¨ ur typische Werte von θD und TF ab.

4.23 Suprafluides Helium: Zeigen Sie, daß in einem Koordinatensystem, in dem

die suprafluide Komponente ruht, die freie Energie F = E − T S gegeben ist durch   1 Φv + ρn v 2 , wo Φv = log 1 − e−β(εp −p·v) . β p Entwickeln Sie Φv und zeigen Sie ferner, daß in dem System, in dem sich die suprafluide Komponente mit vs bewegt F = Φ0 +

ρn vn2 ρs vs2 + ; 2 2

vn = v + vs .

Hinweise: Bei der Bestimmung der freien Energie F beachte man, daß die Verteilungsfunktion n f¨ ur die Quasiteilchen mit der Energie εp gleich n(εp − p · v) ist.

4.24 Ideale Bose- und Fermi-Gase im kanonischen Ensemble. (a) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme f¨ ur ideale Bose- und Fermi-Gase. (b) Berechnen Sie die mittlere Besetzungszahl im kanonischen Ensemble. Anleitung: Berechnen Sie statt ZN die Gr¨ oße Z(x) =

∞ 

xN ZN

N=0

( Z(x) 1 und bestimmen Sie ZN durch ZN = 2πi dx, wobei der Weg in der komplexen xN +1 x–Ebene den Ursprung, aber keine Singularit¨ at von Z(x) einschließt. Benutzen Sie bei der Berechnung des Integrals die Sattelpunktsmethode.

226

4. Ideale Quanten-Gase

4.25 Berechnen Sie das chemische Potential µ f¨ur den atomaren Grenzfall des Hubbard-Modells, H=U

N 

ni↑ ni↓ ,

i=1

wobei ni↑ = c†i↑ ci↑ der Anzahloperator f¨ ur Elektronen im Zustand i (Gitterplatz) und σ = + 21 ist. (Im allgemeinen Fall, der hier nicht betrachtet werden soll, lautet das Hubbard-Modell   H= tij c†iσ cjσ + U ni↑ ni↓ . ) ijσ

i

5. Reale Gase, Flu osungen ¨ssigkeiten und L¨

In diesem Kapitel werden wir reale Gase betrachten, also auf die Wechselwirkung der Atome oder Molek¨ ule und deren Struktur Bedacht nehmen. Im ersten Abschnitt wird die Erweiterung gegen¨ uber dem klassischen idealen Gas nur in der Ber¨ ucksichtigung der inneren Freiheitsgrade bestehen. Im zweiten Abschnitt werden Mischungen derartiger idealer Gase betrachtet. In den weiteren Abschnitten wird die Wechselwirkung der Molek¨ ule ber¨ ucksichtigt, was auf die Virialentwicklung und die van der Waals-Theorie der fl¨ ussigen und ¨ gasf¨ ormigen Phase f¨ uhrt. Besondere Aufmerksamkeit wird dem Ubergang zwischen diesen Phasen gewidmet. Im letzten Abschnitt werden Mischungen untersucht. Dieses Kapitel weist auch Verbindungen zur Alltagsphysik auf. Es werden darin Grenzgebiete ber¨ uhrt, die Anwendungen in der physikalischen Chemie, Biologie und Technik besitzen.

5.1 Ideales Moleku ¨l-Gas 5.1.1 Hamilton-Operator und Zustandssumme Das Gas bestehe aus N Molek¨ ulen, die wir mit dem Index n numerieren. Zu den Translationsfreiheitsgraden, die wir nach wie vor als klassisch voraussetzen, kommen nun die inneren Freiheitsgrade (Rotation, Vibration, elektronische Anregung) hinzu. Die Wechselwirkung der Molek¨ ule untereinander wird vernachl¨ assigt. Der gesamte Hamilton-Operator besteht aus der Translationsenergie (kinetische Energie der Molek¨ ule) und dem Hamilton-Operator der inneren Freiheitsgrade Hi,n , summiert u ule ¨ ber alle Molek¨ H=

N 2  p

n

n=1

2m

 + Hi,n

.

(5.1.1)

Die Eigenwerte von Hi,n sind die inneren Energieniveaus εi,n . Die kanonische Zustandssumme ist durch    2 VN d3 p1 . . . d3 pN e− n pn /2mkT Z(T, V, N ) = e−εi,n /kT 3N (2π
) N ! n ε i,n

228

5. Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen

gegeben. Die klassische Behandlung der Translationsfreiheitsgrade, repr¨asentiert durch das Zustandsintegral u ¨ ber die Impulse, ist gerechtfertigt, wenn das spezifische Volumen sehr viel gr¨ oßer als die dritte Potenz der thermischen √ Wellenl¨ ange λ = 2π
/ 2πmkT ist (Kap. 4). Da die inneren Energieniveaus εi,n ≡ εi f¨ ur alle Molek¨ ule identisch sind, folgt  N 1 1 V Z(T, V, N ) = [Ztr (1) Zi ]N = Z , (5.1.2) i N! N ! λ3  wo Zi = εi e−εi /kT die Zustandssumme u ¨ber die inneren Freiheitsgrade und Ztr (1) das translatorische Zustandsintegral jeweils eines einzelnen Molek¨ uls sind. Aus (5.1.2) folgt f¨ ur die freie Energie unter Zuhilfenahme der Stirlingschen Formel f¨ ur große N   V F = −kT log Z ≈ −N kT 1 + log + log Z (5.1.3) i . N λ3 Aus (5.1.3) findet man die Zustandsgleichung

 ∂F N kT P =− = , ∂V T,N V

(5.1.4)

die mit der des einatomigen Gases u ¨ bereinstimmt, da die inneren Freiheitsgrade nicht von V abh¨ angen. F¨ ur die Entropie folgt

   ∂F 5 V ∂ log Zi S=− = Nk + log + log Zi + T (5.1.5a) ∂T V,N 2 N λ3 ∂T und daraus f¨ ur die innere Energie   3 ∂ log Zi E = F + T S = N kT +T . 2 ∂T

(5.1.5b)

Die kalorische Zustandsgleichung (5.1.5b) wird durch die inneren Freiheitsgrade gegen¨ uber der des einatomigen idealen Gases abge¨andert. Ebenso ¨außern sich die inneren Freiheitsgrade in der W¨ armekapazit¨at bei konstantem Volumen

   ∂E 3 ∂ 2 ∂ log Zi CV = = Nk + T . (5.1.6) ∂T V,N 2 ∂T ∂T Schließlich geben wir f¨ ur sp¨ atere Anwendungen auch noch das chemische Potential



 ∂F V µ= = −kT log Z (5.1.5c) i ∂N T,V N λ3 an, was mit µ = System handelt.

1 N (F

+ PV ) u ¨ bereinstimmt, da es sich um ein homogenes

5.1 Ideales Molek¨ ul-Gas

229

F¨ ur die weitere Auswertung m¨ ussen die Beitr¨ age aus den inneren Freiheitsgraden der Molek¨ ule untersucht werden. Die Energieniveaus der inneren Freiheitsgrade setzen sich aus drei Beitr¨ agen zusammen εi = εel + εrot + εvib .

(5.1.7)

Hier bedeutet εel die elektronische Energie inklusive der Coulomb-Abstoßung der Kerne, bezogen auf die Energie separierter Atome. εrot ist die Rotationsenergie und εvib die Schwingungs(Vibrations-)energie der Molek¨ ule. Wir untersuchen zweiatomige Molek¨ ule aus verschiedenen Atomen (z.B. HCl; f¨ ur gleichartige Atome, siehe Abschn. 5.1.4). Dann besitzt die Rotationsenergie die Gestalt1 εrot =


2 l(l + 1) , 2I

(5.1.8a)

wo l die Drehimpulsquantenzahl und I = mred R02 das durch die reduzierte Masse mred und den Kernabstand R0 dargestellte Tr¨agheitsmoment ist.2 Die Schwingungsenergie εvib hat die Gestalt1

 1 εvib =
ω n + , (5.1.8b) 2 wo ω die Frequenz der Molek¨ ulschwingung und n = 0, 1, 2, . . . ist. Die elektronischen Energieniveaus εel sind mit der Dissoziationsenergie εDiss zu vergleichen. Da wir nicht-dissoziierte Molek¨ ule betrachten wollen, also kT
εDiss sein muß, und andererseits die Anregungsenergien der niedrigsten elektronischen Zust¨ ande von der gleichen Gr¨ oßenordnung sind wie εDiss , folgt aus der Bedingung kT
εDiss , daß sich die Elektronen im Grundzustand, dessen Energie wir mit ε0el bezeichnen, befinden. Dann wird

0  ε Zi = exp − el Zrot Zvib . (5.1.9) kT Wir berechnen nun der Reihe nach den Rotationsanteil Zrot und den Vibrationsanteil Zvib zur Zustandssumme. 5.1.2 Rotationsanteil Da die Rotationsenergie εrot (5.1.8a) nicht von der Quantenzahl m (z–Komponente des Drehimpulses) abh¨ angt, ergibt die Summation u ¨ ber m einen 1

2

Im allgemeinen h¨ angen das Tr¨ agheitsmoment I und die Schwingungsfrequenz ω von l ab2 . Die letztere Abh¨ angigkeit f¨ uhrt zu einer Kopplung von Rotations- und Schwingungsfreiheitsgraden. F¨ ur die folgende Auswertung ist angenommen, daß diese Abh¨ angigkeiten schwach sind und vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. Siehe z.B. QM I

230

5. Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen

Faktor (2l + 1), und es bleibt die Summation u urlichen ¨ ber l, die alle nat¨ Zahlen durchl¨ auft,

 ∞  l(l + 1)Θr Zrot = (2l + 1) exp − . (5.1.10) 2T l=0

Hier wurde die charakteristische Temperatur
2 Ik eingef¨ uhrt. Wir betrachten nun zwei Grenzf¨ alle: Θr =

(5.1.11)

T
Θr : F¨ ur niedere Temperaturen tragen in (5.1.10) nur die kleinsten Werte von l bei  Zrot = 1 + 3 e−Θr /T + 5 e−3Θr /T + O e−6Θr /T . (5.1.12) T Θr : F¨ ur hohe Temperaturen muß die Summation u ¨ ber alle l ausgef¨ uhrt werden, was auf

  T 1 1 Θr Θr 2 Zrot = 2 + + +O (5.1.13) Θr 3 30 T T f¨ uhrt. Zum Beweis von (5.1.13) verwendet man die Euler-MacLaurin-Summenformel3 ∞ 

∞ f (l) =

l=0

 (−1)k Bk (2k−1) 1 f (0) + f (0) + Restn , 2 (2k)! n−1

dl f (l) +

(5.1.14)

k=1

0

f¨ ur den Spezialfall f (∞) = f  (∞) = . . . = 0. Die ersten Bernoulli-Zahlen Bn sind 1 gegeben durch B1 = 16 , B2 = 30 . Der erste Term in (5.1.14) ergibt gerade das klassische Resultat ∞

∞ dl f (l) =

0



l(l + 1) Θr dl (2l + 1) exp − 2 T



∞ =2

0

dx e−x

Θr T

= 2

T , (5.1.15) Θr

0

das man erh¨ alt, wenn man die Rotationsenergie nicht quantenmechanisch, sondern nach der klassischen Mechanik ber¨ ucksichtigt.4 Die weiteren Terme erh¨ alt man u ¨ber

2

3 Θr Θr Θr 1 Θr f (0) = 1 , f  (0) = 2 − , f  (0) = −6 +3 − , 2T T T 8 T woraus u ¨ ber (5.1.14) die Entwicklung (5.1.13) folgt. 3

4

Whittaker, Watson, A Modern Course of Analysis, Cambridge at the Clarendon Press; Smirnow III2 , S.239 Siehe z.B. A. Sommerfeld, Thermodynamik und Statistik, S.196   βI 2 2 4πI 2 2IkT dω dω2 e− 2 (ω1 +ω2 ) = Zrot = . 1 (2π
)2
2

5.1 Ideales Molek¨ ul-Gas

231

Aus (5.1.12) und (5.1.13) ergibt sich f¨ ur den Logarithmus der Zustandssumme nach Entwicklung

log Zrot

⎧
 9 ⎪ 3 e−Θr /T − e−2Θr /T + O e−3Θr /T T
Θr ⎪ ⎪ 2 ⎨ =

    2 ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎩log 2T + Θr + 1 Θr + O Θr T Θr . Θr 6T 360 T T (5.1.16a)

Aus diesem Resultat kann der Beitrag der Rotationsfreiheitsgrade zur inneren Energie berechnet werden ∂ Erot = N kT 2 log Zrot ∂T ⎧
 ⎪ 3N k Θr e−Θr /T − 3 e−2Θr /T + . . . T
Θr ⎪ ⎨ =   2 ⎪ ⎪ ⎩N kT 1 − Θr − 1 Θr + . . . T Θr . 6T 180 T Der Beitrag zur W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Volumen lautet ⎧  2  Θr ⎪ ⎪ 3 e−Θr /T 1 − 6 e−Θr /T + . . . T
Θr ⎪ ⎨ T rot CV = N k ⎪  2 ⎪ ⎪ ⎩1 + 1 Θr + . . . T Θr . 180 T

(5.1.16b)

(5.1.16c)

In Abb. 5.1 ist der Rotationsbeitrag zur spezifischen W¨arme dargestellt.

Abb. 5.1. Rotationsbeitrag zur spezifischen W¨ arme

F¨ ur tiefe Temperaturen sind die Rotationsfreiheitsgrade thermisch nicht angeregt. Erst bei T ≈ Θr /2 tragen die Rotationsniveaus bei. F¨ ur hohe Temperaturen, also im klassischen Gebiet, geben die beiden Freiheitsgrade der

232

5. Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen

Rotation einen Beitrag 2kT /2 zur inneren Energie. Erst durch die Quantentheorie wird verst¨ andlich, warum in Abweichung vom Gleichverteilungssatz der klassischen Physik die spezifische W¨ arme pro Molek¨ ul verschieden von der mit k/2 mulitplizierten Zahl der Freiheitsgrade sein kann. Der Rotationsanteil zur spezifischen W¨ arme hat ein Maximum von 1.1 bei der Temperatur 0.81 Θr /2 . F¨ ur HCl betr¨ agt Θr /2 = 15.02 K. 5.1.3 Schwingungsanteil Wir kommen nun zum Schwingungsanteil, wobei wir mit
ω = kΘv

(5.1.17)

eine charakteristische Temperatur einf¨ uhren. Wir erhalten die bekannte Zustandssumme eines harmonischen Oszillators Zvib =

∞ 

e−(n+ 2 ) 1

n=0

Θv T

=

e−Θv /2T , 1 − e−Θv /T

(5.1.18)


 −Θv /T v deren Logarithmus durch log Zvib = − Θ gegeben ist. 2T − log 1 − e Daraus ergibt sich f¨ ur die innere Energie   1 1 2 ∂ Evib = N k T log Zvib = N k Θv + , (5.1.19a) ∂T 2 eΘv /T − 1 und f¨ ur den Vibrationsbeitrag zur W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Volumen CVvib = N k

Θv2 eΘv /T Θv2 1 = N k .

2 2 2 Θ /T T e v −1 T [2sinh Θv /2T ]2

(5.1.19b)

F¨ ur tiefe und hohe Temperaturen findet man aus (5.1.19b) die Grenzf¨alle ⎧ 2 Θv ⎪ ⎪ e−Θv /T + . . . T
Θv ⎪ ⎨ vib T CV = (5.1.19c) ⎪ Nk  Θ 2 ⎪ 1 ⎪ v ⎩ 1− + . . . T Θv . 12 T Die Schwingungsniveaus sind erst f¨ ur Temperaturen oberhalb von Θv merklich angeregt. Die spezifische W¨ arme (5.1.19b) ist in Abb. 5.2 dargestellt. Der Beitrag der elektronischen Energie ε0el zur Zustandssumme, freien Energie, inneren Energie, Entropie und zum chemischen Potential ist nach (5.1.9) Zel = e−εel /kT , 0

Fel = N ε0el ,

Eel = N ε0el ,

Sel = 0 ,

µel = ε0el . (5.1.20)

5.1 Ideales Molek¨ ul-Gas

233

Abb. 5.2. Vibrationsanteil der spezifischen W¨ arme (Gl. (5.1.19b))

Diese Anteile spielen bei chemischen Reaktionen eine Rolle, da dort die Atomh¨ ulle v¨ ollig umgebaut wird. In einem zweiatomigen Molek¨ ul-Gas gibt es drei Freiheitsgrade der Translation, zwei Freiheitsgrade der Rotation und einen doppelt zu z¨ahlenden p2 2 2 Schwingungsfreiheitsgrad (E = 2m +m 2 ω x ; kinetische und potentielle Ener1 gie liefern je 2 kT ). Die klassische spezifische W¨ arme ist deshalb 7k/2, wie es experimentell f¨ ur hohe Temperaturen gefunden wird. Insgesamt ergibt sich das in Abb. 5.3 dargestellte Bild des Temperaturverlaufs der spezifischen W¨ arme. Die Kurve ist nicht bis zur Temperatur Null gezeichnet, da dort die N¨ aherung des klassischen idealen Gases sicher nicht mehr zutrifft.

Abb. 5.3. Spezifische W¨ arme CV bei konstantem Volumen eines Molek¨ ulgases (schematisch).

Die Rotationsniveaus entsprechen einer Wellenl¨ ange von λ = 0.1 − 1 cm und liegen im fernen Infrarot- und Mikrowellenbereich, w¨ahrend die Vibrationsniveaus bei einer Wellenl¨ ange von λ = 2 × 10−3 − 3 × 10−3 cm im Infraroten liegen. Die entsprechenden Energien sind 10−3 − 10−4 eV beziehungsweise 0.06 − 0.04 eV (Abb. 5.4). Ein Elektronvolt entspricht etwa 11000 K ∧ (1 K = 0.86171 × 10−4 eV). Einige Werte von Θr und Θv sind in Tabelle 5.1 zusammengefaßt. Bei komplizierten Molek¨ ulen gibt es drei Rotationsfreiheitsgrade und mehr Schwingungsfreiheitsgrade (f¨ ur n Atome i.a. 3n − 6 Schwingungsfreiheitsgrade und f¨ ur lineare Molek¨ ule 3n − 5). Bei genauen Experimenten sieht

234

5. Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen

Abb. 5.4. Die Lage der Rotationsund Vibrationsniveaus (schematisch).

1 Θ 2 r

[K] Θv [K]

H2

HD

D2

HCl

O2

85 6100

64 5300

43 4300

15 4100

2 2200

Tabelle 5.1. Die Werte von Θ2r und Θv f¨ ur einige Molek¨ ule

man auch die Kopplung zwischen Schwingungs- und Rotationsfreiheitsgraden und Anharmonizit¨ aten in den Schwingungsfreiheitsgraden. ∗

5.1.4 Einfluß des Kernspins

Vorweg sei betont, daß angenommen wird, daß der elektronische Grundzustand Bahndrehimpuls und Spin Null habe. F¨ ur Kerne A und B, die verschiedenen Spin SA und SB besitzen, erh¨ alt man in der Zustandssumme den zus¨ atzlichen Faktor (2SA + 1)(2SB + 1), d.h.Zi → (2SA + 1)(2SB + 1)Zi . Dies f¨ uhrt pro Molek¨ ul zu einem Zusatz −kT log(2SA + 1)(2SB + 1) in der freien Energie und zu einem Zusatz k log(2SA + 1)(2SB + 1) in der Entropie, ¨ d.h. eine Anderung der chemischen Konstanten um log(2SA + 1)(2SB + 1), (siehe Gl. (3.9.29) und (5.2.5 )). Folglich bleiben die innere Energie und die spezifischen W¨ armen unge¨ andert. Bei Molek¨ ulen wie H2 , D2 , O2 aus identischen Bestandteilen muß man das Pauli-Prinzip beachten. Wir betrachten den Fall von H2 , wo der Spin der einzelnen Kerne S = 1/2 ist. Orthowasserstoff-Molek¨ ul:

Kernspintriplett (Stot = 1), die Ortswellenfunktion der Kerne ist antisymmetrisch (l ungerade)

Parawasserstoff-Molek¨ ul:

Kernspinsinglett (Stot = 0), die Ortswellenfunktion der Kerne ist symmetrisch (l = gerade)

5.1 Ideales Molek¨ ul-Gas

  l(l + 1) Θr Zu = (2l + 1) exp − 2 T l ungerade

  l(l + 1) Θr Zg = (2l + 1) exp − . 2 T

235

(5.1.21a) (5.1.21b)

l gerade

Im vollst¨ andigen Gleichgewicht ist Z = 3Zu + Zg . F¨ ur T = 0 ist der Gleichgewichtszustand der Grundzustand l = 0, also ein Pa¨ razustand. Tats¨ achlich wird wegen der Langsamkeit der Uberg¨ ange zwischen den beiden Spinzust¨ anden bei T = 0 noch ein Gemisch aus Ortho- und Parawasserstoff vorliegen. Bei hohen Temperaturen ist Zu ≈ Zg ≈ 12 Zrot = ΘTr und das Mischungsverh¨ altnis von Ortho- und Parawasserstoff 3:1. Wenn wir von diesem Zustand ausgehend abk¨ uhlen und von Ortho-Para-Reaktionen absehen, dann besteht H2 aus einem Gemisch von zwei Molek¨ ulsorten: 34 N Ortho-, 14 N Parawasserstoff, und die Zustandssumme dieses (metastabilen) Nichtgleichgewichtszustandes ist Z = (Zu )3/4 (Zg )1/4 .

(5.1.22)

Dann ist die spezifische W¨ arme CVrot =

3 rot 1 rot C + C 4 Vo 4 Vp

(5.1.23)

In Abb. 5.5 sind die Rotationsanteile der spezifischen W¨arme f¨ ur den metastabilen Zustand ( 34 Ortho und 14 Para) und f¨ ur das vollst¨andige Gleichgewicht dargestellt. Die Gleichgewichtseinstellung kann durch Katalysatoren beschleunigt werden.

Abb. 5.5. Rotationsanteil der spezifischen W¨ arme f¨ ur zweiatomige Molek¨ ule wie H2 : Gleichgewicht (durchgezogen), metastabiles Gemisch (gestrichelt).

In Deuteriummolek¨ ulen, D2 , ist der Kernspin pro Atom S = 1,5 der sich im Molek¨ ul zu Orthodeuterium mit Gesamtkernspin 2 oder 0 und Paradeuterium mit Gesamtkernspin 1 zusammensetzt. Der Entartungsgrad dieser 5

QM I, Seite 189

236

5. Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen

Zust¨ ande ist 6 und 3. Die zugeh¨ origen Bahndrehimpulse sind gerade und ungerade. Die Zustandssumme ist entsprechend den Gl. (5.1.21a-b) durch Z = 6Zg + 3Zu gegeben. ∗

5.2 Gemisch von idealen Moleku ¨lgasen

In diesem Abschnitt bestimmen wir die thermodynamischen Eigenschaften von Gemischen aus Molek¨ ulgasen. Die verschiedenen Teilchensorten (Elemente), von denen es insgesamt n geben m¨ oge, unterscheiden wir durch den Index j. Somit bedeutet Nj die Teilchenzahl, λj = (2πmjhkT )1/2 die thermische N

Wellenl¨ ange, cj = Nj die Konzentration, ε0el,j die elektronische Grundzustandsenergie, Zj die gesamte Zustandssumme (siehe (5.1.2)), und Zi,j die Zustandssumme u ¨ ber die inneren Freiheitsgrade der Teilchensorte j, wo hier im Unterschied zu (5.1.9)der elektronische Teil absepariert wird. Die Gesamtteilchenzahl ist N = j Nj . Die gesamte Zustandssumme dieses nicht wechselwirkenden Systems ist Z=

n 

Zj ,

(5.2.1)

j=1

und daraus folgt f¨ ur die freie Energie " #   V Zi,j F = −kT Nj 1 + log + ε0el,j Nj . 3 N λ j j j j Aus (5.2.2) folgt f¨ ur den Druck P = −

(5.2.2)


∂F  ∂V

T,{Nj }

kT  kT N P = Nj = . V j V

(5.2.3)

Die Zustandsgleichung (5.2.3) ist identisch mit der des einatomigen idealen Gases, da der Druck durch die translatorischen Freiheitsgrade bewirkt wird. F¨ ur das chemische Potential µj der Komponente j (Abschnitt 3.9.1) finden wir

 ∂F V Zi,j µj = = −kT log + ε0el,j (5.2.4) ∂Nj T,V Nj λ3j oder, wenn wir statt des Volumens aus (5.2.3) den Druck einsetzen, µj = −kT log

kT Zi,j + ε0el,j . cj P λ3j

(5.2.4 )

Wir machen nun die Voraussetzung, daß die Rotationsfreiheitsgrade vollst¨andig angeregt seien, jedoch nicht die Vibrationsfreiheitsgrade (Θr
T
Θv ).

∗

5.2 Gemisch von idealen Molek¨ ulgasen

Dann ergibt sich nach Einsetzen von Zi,j = Zrot,j = in (5.2.4 )

2T Θr,j

237

(siehe Gl. (5.1.13))

3/2

mj 7 µj = ε0el,j − kT log kT − kT log 1/2 3/2 3 + kT log cj P . (5.2.5) 2 2 π
kΘr,j Wir haben hier ber¨ ucksichtigt, daß die Massen und die charakteristischen Temperaturen von der Teilchensorte j abh¨ angen. Der Druck geht in das chemische Potential der Komponente j in der Kombination cj P ≡ Pj (Partialdruck) ein. Das chemische Potential (5.2.5) ist ein Spezialfall von der allgemeinen Gestalt µj = ε0el,j − cP,j T log kT − kT ζj + kT log cj P .

(5.2.5 )

F¨ ur zweiatomige Molek¨ ule ist im oben genannten Temperaturbereich cP,j = 7k/2. Die ζj heißen chemische Konstanten; diese gehen in das Massenwirkungsgesetz ein (siehe Kap. 3.9.3). F¨ ur die Entropie folgt

  ∂µj S=− Nj ∂T P,{Ni } j  = (cP,j log kT + cP,j + kζj − k log cj P ) Nj , (5.2.6) j

woraus ersichtlich ist, daß der Koeffizient cP,j die spezifische W¨arme bei konstantem Druck der Komponente j ist. Bemerkungen zu 5.1 und 5.2: In den vorhergehenden Abschnitten wurden die wesentlichen Effekte der inneren Freiheitsgrade von Molek¨ ulgasen besprochen. Es folgen nun einige erg¨ anzende Bemerkungen u atzliche Effekte, die von der ¨ ber zus¨ jeweiligen Atomstruktur abh¨ angen. (i) Zun¨ achst betrachten wir atomare Gase. Die einzigen inneren Freiheitsgrade sind die elektronischen. F¨ ur die Edelgase besitzt der elektronische Grundzustand L = S = 0 und ist somit nicht entartet. Die angeregten Niveaus liegen etwa um 20 eV, entsprechend einer Temperatur von 200.000 K h¨ oher; sie sind deshalb in der Praxis thermisch nicht angeregt, alle Atome befinden sich im Grundzustand. Man sagt auch, die elektronischen Freiheitsgrade sind eingefroren“. Der Kernspin SK ” f¨ uhrt zu einem Faktor (2SK + 1). Gegen¨ uber punktf¨ ormigen klassischen Teilchen erh¨ alt die Zustandssumme einen zus¨ atzlichen Faktor (2SK + 1)e−ε0 /kT , was in der freien Energie einen Zusatz ε0 − kT log(2SK + 1) gibt. Dies f¨ uhrt zu einem Zusatz ¨ k log(2SK + 1) in der Entropie, aber zu keiner Anderung der spezifischen W¨ arme. (ii) Die Anregungsenergien anderer Atome sind zwar nicht so hoch wie bei den Edelgasen, z.B. f¨ ur Na 2.1 eV oder 24.000 K, aber dennoch sind die angeregten Zust¨ ande thermisch nicht besetzt. Falls die Elektronenh¨ ulle des Atoms ein endliches S, aber immer noch L = 0 hat, ergibt sich zusammen mit dem Kernspin ein Entartungsfaktor (2S + 1)(2SK + 1). Die freie Energie enth¨ alt dann den Zusatzterm ε0 − kT log((2SK + 1)(2S + 1)) mit den oben diskutierten Konsequenzen. Man muß hier allerdings die magnetische Wechselwirkung zwischen den Kern- und Elektronmomenten betrachten, die zur Hyperfeinaufspaltung f¨ uhrt. Diese ist z.B. in

238

5. Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen

Wasserstoff von der Gr¨ oße 6×10−6 eV, entsprechend der bekannten 21 cm Linie. Die entsprechende charakteristische Temperatur ist 0.07 K. Die Hyperfeinaufspaltung kann deshalb im Gasbereich v¨ ollig vernachl¨ assigt werden. (iii) Falls sowohl der Spin S, als auch der Bahndrehimpuls L endlich sind, ist der Grundzustand (2S + 1)(2L + 1)–fach entartet; diese Entartung wird durch die Spin-Bahn-Kopplung teilweise aufgehoben. Die Energieeigenwerte h¨ angen vom Gesamtdrehimpuls J, dessen Werte zwischen S + L und |S − L| liegen, ab. Z.B. haben monoatomare Halogene im Grundzustand nach den beiden ersten Hundschen Regeln S = 12 und L = 1. Wegen der Spin-Bahn-Kopplung ist im Grundzustand J = 32 , die Niveaus mit J = 12 haben h¨ ohere Energie. F¨ ur Chlor beispielsweise liegt das 2-fach entartete 2 P1/2 Niveau um δε = 0.11 eV u ¨ ber dem 4-fach entarteten 2 P3/2 Grundzustandsniveau. Dies entspricht einer Temperatur von δε = 1270 K. k Die Zustandssumme erh¨ alt nun von den inneren Feinstrukturfreiheitsgraden einen Faktor Zel = 4 e−ε0 /kT + 2e−(ε0 +δε)/kT , was in der freien Energie zu einem Zusatz δε −kT log Zel = ε0 − kT log 4 + 2 e− kT f¨ uhrt. Dies ergibt den folgenden elektronischen Beitrag zur spezifischen W¨ arme
2 δε 2 δε e kT CVel = N k  kT 2 . δε 2 e kT + 1 F¨ ur T δε/k ist Zel = 4 – nur die vier niedrigsten Niveaus sind angeregt – und CVel = 0. F¨ ur T  δε/k ist Zel = 6, alle sechs Niveaus sind gleichermaßen besetzt, und CVel = 0. F¨ ur dazwischenliegende Temperaturen durchl¨ auft CVel ein Maximum bei etwa δε/k. Sowohl f¨ ur tiefe als auch f¨ ur hohe Temperaturen ¨ außern sich die Feinstrukturniveaus nur in den Entartungsfaktoren, f¨ uhren aber zu keinen Beitr¨ agen in der spezifischen W¨ arme. Man sollte hier noch bemerken, daß monoatomares Cl nur bei sehr tiefen Temperaturen vorliegt, und sonst sich zu Cl2 verbindet. (iv) Bei zweiatomigen Molek¨ ulen ist in vielen F¨ allen der niedrigste elektronische Zustand nicht entartet und die angeregten elektronischen Niveaus sind weit von ε0 entfernt. Die innere Zustandssumme enth¨ alt von den Elektronen nur den Faktor e−ε0 /kT . Es gibt jedoch Molek¨ ule, die im elektronischen Grundzustand einen endlichen Bahndrehimpuls Λ oder Spin besitzen. Dies ist zum Beispiel f¨ ur NO der Fall. Da der Bahndrehimpuls zwei m¨ ogliche Richtungen bez¨ uglich der Molek¨ ulachse hat, ergibt sich in der Zustandssumme ein Faktor 2. Ein endlicher Elektronenspin f¨ uhrt zu einem Faktor (2S+1). Bei S = 0 und Λ = 0 gibt es wiederum Feinstruktureffekte, die von einer Gr¨ oßenordnung sein k¨ onnen, daß sie die thermodynamischen Eigenschaften beeinflussen. Die resultierenden Ausdr¨ ucke sind von der gleichen Gestalt wie in Bemerkung (iii). Ein besonderer Fall ist das Sauerstoffmolek¨ ul O2 . Der Grundzustand 3 Σ hat Bahndrehimpuls Null und Spin S = 1, ist also ein Triplett ohne Feinstruktur. Das erste angeregte Niveau 1 ∆ ist zweifach entartet und liegt ∧ mit δε = 0.97 eV = 11300 K relativ nahe, so daß es bei hohen Temperaturen angeregt werden kann. Diese Elektronenkonfigurationen f¨ uhren in der Zustandssumme −ε0
−δε  kT kT zu einem Faktor e 3+2e mit den in Bemerkung (iii) diskutierten Konsequenzen.

5.3 Virialentwicklung

239

5.3 Virialentwicklung 5.3.1 Herleitung Wir studieren nun ein reales Gas, bei dem die Teilchen untereinander wechselwirken. In diesem Fall kann die Zustandssumme nicht mehr exakt berechnet werden. In deren Auswertung wird als erster Schritt die Virialentwicklung, eine Entwicklung nach der Dichte, dargestellt. Die großkanonische Zustandssumme ZG k¨ onnen wir in die Beitr¨ age f¨ ur 0,1,2, usw. Teilchen zerlegen ZG = Sp e−(H−µN )/kT = 1+Z(T, V, 1) eµ/kT +Z(T, V, 2) e2µ/kT +. . . , (5.3.1) wobei ZN ≡ Z(T, V, N ) die kanonische Zustandssumme f¨ ur N Teilchen darstellt. Daraus erh¨ alt man f¨ ur das großkanonische Potential unter Verwendung der Taylor-Reihe f¨ ur den Logarithmus    1 Φ = −kT log ZG = −kT Z1 eµ/kT + Z2 − Z12 e2µ/kT + . . . , (5.3.2) 2 wobei der Logarithmus nach Potenzen in der Fugazit¨at z = eµ/kT entwickelt wurde. Aus der Ableitung von (5.3.2) nach dem chemischen Potential ergibt sich die mittlere Teilchenzahl

  1 ¯ = − ∂Φ N = Z1 eµ/kT + 2 Z2 − Z12 e2µ/kT + . . . . (5.3.3) ∂µ T,V 2 Gl. (5.3.3) kann man iterativ nach eµ/kT aufl¨ osen mit dem Ergebnis


 ¯ ¯ 2 2 Z2 − 12 Z12 N N eµ/kT = − + ... . (5.3.4) Z1 Z1 Z1 Gl. (5.3.4) stellt eine Entwicklung von eµ/kT nach der Dichte dar, da Z1 ∼ V . Einsetzen von (5.3.4) in Φ bewirkt, daß Φ statt in seinen nat¨ urlichen ¯ dargestellt ist, was f¨ Variablen T, V, µ durch T, V, N ur die Aufstellung der Zustandsgleichung g¨ unstig ist:   ¯2  ¯ − Z2 − 1 Z12 N + . . . . Φ = −kT N (5.3.5) 2 Z12 Dies sind die ersten Glieder der sogenannten Virialentwicklung. Durch Anwendung der Gibbs-Duhem-Relation Φ = −P V gelangt man daraus direkt auf die Entwicklung der Zustandsgleichung nach der Teilchenzahldichte ¯ /V ρ=N   P = kT ρ 1 + B(T )ρ + C(T )ρ2 + . . . . (5.3.6) Der Koeffizient von ρn in der eckigen Klammer heißt (n + 1)-ter Virialkoeffizient. Die f¨ uhrende Korrektur zur Zustandsgleichung des idealen Gases wird durch den zweiten Virialkoeffizienten

240

5. Reale Gase, Fl¨ ussigkeiten und L¨ osungen

 1 B = − Z2 − Z12 V /Z12 2

(5.3.7)

bestimmt. Dieser Ausdruck gilt klassisch wie quantenmechanisch. Anmerkung: Im klassischen Grenzfall k¨ onnen die Impulsintegrationen ausgef¨ uhrt werden, und (5.3.1) vereinfacht sich in folgender Weise ZG (T, V, µ) =

∞  eβµN Q(T, V, N ) . N !λ3N N=0

(5.3.8)

Hier ist Q(T, V, N ) der Konfigurationsanteil der kanonischen Zustandssumme Z(T, V, N )     Q(T, V, N ) = d3N x e−β i Tc

m = ±m0 ,

m0 =

(6.5.17a)

und √ 3(−τ )1/2

fu ¨ r T < Tc .

(6.5.17b)

Die erste L¨ osung, m = 0, findet man f¨ ur alle Temperaturen, die zweite nur f¨ ur T ≤ Tc , d.h. τ ≤ 0. Da die freie Energie der zweiten L¨osung kleiner ist (siehe unten und Abb. 6.9), ist diese die stabile L¨osung unterhalb von Tc . ¨ Aus dieser Uberlegung ergeben sich die in (6.5.17) angegebenen Temperaturbereiche. F¨ ur T ≤ Tc setzt die mit m0 bezeichnete spontane Magnetisierung

296

6. Magnetismus

(6.5.17b) mit einem Wurzelgesetz ein (Abb. 6.5). Man nennt diese Gr¨oße den Ordnungsparameter des ferromagnetischen Phasen¨ ubergangs. b) h und τ endlich: F¨ ur kleine h und τ und damit m f¨ uhrt die Entwicklung von (6.5.14)



3 Tc h 1 h Tc m 1− = − + m + ... T kT 3 kT T auf die magnetische Zustandsgleichung h 1 = τ m + m3 kTc 3

(6.5.18)

in der N¨ ahe von Tc . Ein ¨ außeres Feld bewirkt auch schon oberhalb von Tc eine endliche Magnetisierung und f¨ uhrt qualitativ zu der gestrichelten Kurve in Abb. 6.5. c) τ = 0 : Genau bei Tc folgt aus (6.5.18) die kritische Isotherme

m=

3h kTc

1/3 ,

h ∼ m3 .

(6.5.19)

d) Suszeptibilit¨ at f¨ ur kleine τ : Als n¨ a chstes berechnen wir die isotherme magnetische Suszeptibilit¨at χ =
∂m  , indem wir die Zustandsgleichung (6.5.18) nach h differenzieren ∂h T

Abb. 6.5. Spontane Magnetisierung (durchgezogen), Magnetisierung bei a ¨ußerem Feld (strichliert). Die spontane Magnetisierung des Ising-Modells hat zwei Einstellungsm¨ oglichkeiten +m0 oder −m0 .

Abb. 6.6. Die magnetische (6.5.21), Curie-Weiß-Gesetz.

Suszeptibilit¨ at

6.5 Ferromagnetismus

1 = τ χ + m2 χ . kTc

297

(6.5.20)

Im Grenzfall h → 0 k¨ onnen wir in (6.5.20) die spontane Magnetisierung (6.5.17) einsetzen und erhalten f¨ ur die isotherme magnetische Suszeptibilit¨at ⎧ 1/k ⎪ ⎪ T > Tc ⎨T − T 1/kTc c χ= = , (6.5.21) ⎪ 1/k τ + m2 ⎪ ⎩ T < Tc 2(Tc − T ) das in Abb. 6.6 dargestellte Curie-Weiß-Gesetz . Anmerkung: Wir k¨ onnen die bei Tc divergente Suszeptibilit¨ at verst¨ andlich machen, indem wir vom Curie-Gesetz f¨ ur paramagnetische Spins (6.3.10a) ausgehen, ˜ hinzuaddieren und daraus die Magzum Feld h noch das innere Molekularfeld Jm netisierung bestimmen: m=

1 ˜ → m = 1/k . (h + Jm) kT h T − Tc

(6.5.22)

Nach diesen Grenzf¨ allen l¨ osen wir (6.5.14) allgemein. Zun¨achst besprechen wir die graphische L¨ osung dieser Gleichung anhand von Abb. 6.7.
 ˜ e) Graphische L¨ osung der Gleichung m = tgh β(h + Jm) Zur graphischen L¨ osung ist es zweckm¨ aßig, die Hilfsvariable y = m + kThc einzuf¨ uhren. Dann findet man m als Funktion von h, indem man die Gerade y − kThc mit tgh TTc y schneidet: m=y−

h Tc = tgh y . kTc T

Abb. 6.7. Graphische L¨ osung von Gl. (6.5.14).

298

6. Magnetismus

F¨ ur T ≥ Tc zeigt Abb. 6.7a genau einen Schnittpunkt f¨ ur jedes h. Dies ergibt die monoton verlaufende Kurve f¨ ur T ≥ Tc in Abb. 6.8. F¨ ur T < Tc ist nach Abb. 6.7b die Steigung von tgh TTc y bei y = 0 gr¨ oßer als 1 und deshalb ergeben sich f¨ ur kleine Absolutwerte von h drei Schnittpunkte, w¨ahrend die L¨osung f¨ ur starke Felder eindeutig bleibt. Dies f¨ uhrt zu der in Abb. 6.8 dargestellten Funktion f¨ ur T < Tc .

Abb. 6.8. Die magnetische Zustandsgleichung nach der Molekularfeldn¨ aherung (6.5.23). Die punktierte Vertikale auf der m-Achse repr¨ asentiert den inhomogenen Zustand (6.5.28).

F¨ ur kleine h ist m(h) mehrdeutig. Besonders auff¨ allig ist, daß die s-f¨ormige Kurve m(h) eine Strecke mit negativer Steigung, also negativer Suszeptibilit¨ at enth¨ alt. Um die Stabilit¨ at der L¨ osung zu kl¨ aren, m¨ ussen wir die freie Energie heranziehen. Zun¨ achst bemerken wir noch, daß sich f¨ ur große h die Magnetisierung ihrem S¨ attigungswert n¨ ahert. Tats¨ achlich kann man aus Gl. (6.5.14) die Funktion h(m) sofort analytisch berechnen, da aus β(J˜m + h) = Artgh m ≡

1 1+m log 2 1−m

die Zustandsgleichung h = −kTc m +

kT 1+m log 2 1−m

(6.5.23)

folgt. Deren Form ist f¨ ur T ≶ Tc in Abb. 6.8 f¨ ur die beiden exemplarischen Werte T = 0.8 Tc und 1.2 Tc in Einklang mit der graphischen Konstruktion wiedergegeben. Wie schon oben erw¨ ahnt, ist bei vorgegebenem Feld h der Wert der Magnetisierung unterhalb von Tc nicht u ¨ berall eindeutig; z.B. treten f¨ ur h = 0 die drei Werte 0, ±m0 auf. Um herauszufinden, welche Teile der Zustandsgleichung physikalisch stabil sind, m¨ ussen wir die freie Energie untersuchen.

6.5 Ferromagnetismus

299

Die freie Energie in Molekularfeldn¨ aherung F = −kT log ZMFT bezogen auf einen Gitterplatz und in Einheiten der Boltzmann-Konstante ist mit (6.5.13 ) durch f (T, h) =

$
% F 1 = Tc m2 − T log 2 cosh (Tc m + h/k)/T Nk 2 1 Tc ≈ (T − Tc )m2 + m4 − mh/k − T log 2 2 12

(6.5.24)

gegeben. Wir geben hier in der ersten Zeile den kompletten Ausdruck und in der zweiten die Entwicklung nach m, h und T − Tc an, wie sie in der N¨ahe des Phasen¨ ubergangs verwendet werden kann. Hier muß noch m = m(h) eingesetzt werden. Aus (6.5.24) folgt f¨ ur die W¨ armekapazit¨ at bei verschwindendem ¨außeren Feld (f¨ ur T ≈ Tc )   0 T > Tc ∂ 2 f  ch=0 = −N kT = 3 , T ∂T 2 h=0 T < Tc 2 N k Tc woraus ein Sprung von der Gr¨ oße ∆ch=0 = mittelbar die Helmholtzsche freie Energie

3 2Nk

folgt. Wir berechnen un-

a(T, m) = f + mh/k $
% 1 = Tc m2 − T log 2 cosh (Tc m + h/k)/T + mh/k , 2

(6.5.25)

in der h = h(m) einzusetzen ist. Aus der Bestimmungsgleichung f¨ ur m (6.5.14) folgt $
% T log 2 cosh (Tc m + h/k)/T = / 01/2 1
 = T log 2 + T log 1 − tgh2 (Tc m + h/k)/T = T log 2 −

T log(1 − m2 ) . 2

Setzt man dies zusammen mit (6.5.23) in (6.5.25) ein, so erh¨alt man 1 1 Tm 1+m a(T, m) = − Tc m2 − T log 2 + T log(1 − m2 ) + log 2 2 2 1−m 1 T c ≈ −T log 2 + (Tc − T )m2 + m4 , (6.5.26) 2 12 wobei die zweite Zeile in der N¨ ahe von Tc gilt. Die Helmholtzsche freie Energie ist in Abb. 6.9 oberhalb und unterhalb von Tc dargestellt. ¨ Wir weisen zun¨ achst auf die Ahnlichkeit der freien Energie f¨ ur T < Tc mit der des van-der-Waals-Gases hin. F¨ ur T < Tc gibt es einen Bereich in dem

300

6. Magnetismus

Abb. 6.9. Die Helmholtzsche freie Energie in Molekularfeldn¨ aherung, oberhalb und unterhalb von Tc f¨ ur T = 0.8 Tc und T = 1.2 Tc .

a(T, m) die Stabilit¨ atsbedingung (6.1.24a) verletzt. Die Magnetisierung kann man aus Abb. 6.9 nach

 ∂a h=k (6.5.27) ∂m T ablesen, indem man an die Funktion a(T, m) eine Tangente mit Steigung h anlegt. Oberhalb von Tc ist diese Konstruktion eindeutig, unterhalb von Tc jedoch nur f¨ ur gen¨ ugend starkes Feld. Wir bleiben bei der Diskussion der Tieftemperaturphase und wollen die Umorientierung der Magnetisierung bei einer Richtungs¨ anderung des ¨ außeren Magnetfeldes bestimmen. Wir gehen zun¨ achst von einem Magnetfeld h aus, f¨ ur das nur ein einziger Wert der Magnetisierung nach der Tangentenkonstruktion resultiert. Bei Verkleinerung des Feldes wird m kleiner, bis bei h = 0 der Wert m0 erreicht wird. Genau die gleiche Tangente, n¨ amlich mit Steigung Null, besitzt der Punkt −m0 . Regionen mit Magnetisierung m0 und −m0 k¨ onnen deshalb miteinander im Gleichgewicht vorliegen. Wenn ein Bruchteil c des K¨ orpers die Magnetisierung −m0 aufweist und ein Bruchteil 1 − c die Magnetisierung m0 , liegt f¨ ur 0 ≤ c ≤ 1 die mittlere Magnetisierung m = −cm0 + (1 − c)m0 = (1 − 2c)m0

(6.5.28)

im Intervall zwischen −m0 und m0 . Die freie Energie dieses inhomogen magnetisierten K¨ orpers ist a(m0 ) (punktierte Linie in Abb. 6.9) und deshalb niedriger als der nach oben gew¨ olbte Teil der Molekularfeld-L¨osung, die einem homogenen Zustand im Koexistenzbereich der beiden Zust¨ande +m0 und −m0 entspricht. Im Intervall [−m0 , m0 ] nimmt das System nicht den homogenen

6.5 Ferromagnetismus

301

Zustand mit h¨ oherer freier Energie ein, sondern bricht in Dom¨anen24 auf, die nach Gl. (6.5.28) insgesamt die Magnetisierung m erbringen. Wir weisen auf die Analogie zur Maxwell-Konstruktion bei der van-der-Waals-Fl¨ ussigkeit hin. Zur Vollst¨ andigkeit vergleichen wir noch die freien Energien der zu kleinem endlichen h geh¨ orenden Magnetisierungszust¨ ande. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit nehmen wir h als positiv an. Neben der positiven Magnetisierung gibt es f¨ ur kleines h auch noch zwei L¨ osungen von (6.5.27) mit negativer Magnetisierung. Nach Abb. 6.9 ist es offensichtlich, daß die beiden letzteren h¨ ohere freie Energie besitzen als die L¨ osung mit positiver Magnetisierung. F¨ ur positives (negatives) Magnetfeld ist also der Zustand mit positiver (negativer) Magnetisierung der thermodynamisch stabile. Der schleifenf¨ ormige Teil (T < Tc ) in Abb. 6.8 der Zustandsgleichung wird somit durch die punktierte Vertikale ersetzt. Schließlich geben wir noch die Entropie in der Molekularfeldn¨aherung

   S ∂a 1+m 1+m 1−m 1−m s= =− =− log + log (6.5.29) Nk ∂T m 2 2 2 2 an, die nur von der mittleren Magnetisierung m abh¨angt. Die innere Energie ist durch e=

E 1 = a − mh/k + T s = − Tc m2 − mh/k Nk 2

(6.5.30)

gegeben. Dies sieht man noch schneller aus (6.5.11), indem man den Mittelwert H mit der Dichtematrix (6.5.12) bildet. Aus h = k ∂a(T,m) folgt ∂m wieder, m = tgh Tc m+h/k , also Gl. (6.5.14). T Bemerkungen: (i) Die Molekularfeldn¨ aherung l¨ aßt sich auch f¨ ur andere Modelle, z.B. das Heisenberg-Modell, und auch ganz andere kooperative Ph¨anomene durchf¨ uhren. Die Resultate sind dabei ganz analog. (ii) Die Wirkung der u ¨ brigen Spins auf einen beliebig herausgegriffenen wird in der Molekularfeldtheorie durch ein mittleres Feld ersetzt. Bei kurzreichweitiger Wechselwirkung wird die tats¨ achliche Feldkonfiguration erheblich von diesem Mittelwert abweichen. Je langreichweitiger die Wechselwirkung ist, umso mehr Spins tragen zu dem lokalen Feld bei und umso besser wird sich dieses dem gemittelten Feld ann¨ ahern. Die Molekularfeldn¨aherung wird deshalb f¨ ur langreichweitige Wechselwirkung exakt (siehe auch Beispiel 6.13, 24

Die Zahl der Dom¨ anen kann auch gr¨ oßer als nur zwei sein. Bei nur wenigen Dom¨ anen ist die Grenzfl¨ achenenergie im Vergleich zum Gewinn an Volumensenergie vernachl¨ assigbar, siehe Aufgabe 7.6. In der Realit¨ at spielt bei der Dom¨ anenbildung die Dipolwechselwirkung, Anisotropien und auch Inhomogenit¨ aten des Kristalls eine Rolle. Die Dom¨ anen bilden sich so aus, daß die Energie inklusive des magnetischen Feldes m¨ oglichst niedrig wird.

302

6. Magnetismus

Weiß-Modell). Es sei hier auch auf die Analogie der Molekularfeldtheorie zur Hartree-Fock-Theorie von Atomen und anderen Vielteilchensystemen hingewiesen. (iii) Wir wollen noch auf ein weiteres Merkmal der Molekularfeldn¨aherung hinweisen. Die Ergebnisse sind v¨ ollig unabh¨ angig von der Dimension. Dies widerspricht der Intuition und auch exakten Rechnungen. Bei kurzreichweitigen Kr¨ aften werden eindimensionale Systeme tats¨ achlich keinen Phasen¨ ubergang durchmachen; es gibt zu wenige Nachbarn, um zu einer kooperativen Ordnung zu f¨ uhren. (iv) Wir werden uns im n¨ achsten Kapitel eingehend mit dem Vergleich des ¨ ¨ Gas-Fl¨ ussigkeits-Uberganges und dem ferromagnetischen Ubergang befassen. Schon jetzt wollen wir darauf hinweisen, daß sich die van-der-WaalsFl¨ ussigkeit und der Ferromagnet in Molekularfeldn¨aherung in der unmittelbaren N¨ ahe ihrer kritischen Punkte ganz ¨ ahnlich verhalten, z.B. sind 1/2 1/2 und M0 ∼ (Tc − T ) , und genauso divergieren die (ρG − ρc ) ∼ (Tc − T ) isotherme Kompressibilit¨ at und magnetische Suszeptibilit¨at wie (Tc − T )−1 . ¨ Diese Ahnlichkeit ist nicht verwunderlich. In beiden F¨allen wurde die Wechselwirkung mit den u ¨ brigen Gasatomen bzw. Spins durch ein mittleres Feld ersetzt, das sich selbstkonsistent aus der Zustandgleichung bestimmte. (v) Vergleicht man die kritischen Potenz-Gesetze (6.5.17), (6.5.19), (6.5.21) mit Experimenten, mit der exakten L¨ osung des zweidimensionalen IsingModells und mit numerischen Ergebnissen aus Computersimulationen oder Reihenentwicklungen, so stellt man fest, daß zwar qualitativ ¨ahnliche Potenzgesetze gelten, jedoch die kritischen Exponenten verschieden von jenen der Molekularfeldtheorie sind. Je niedriger die Dimension ist, umso gr¨oßer sind die Abweichungen. Statt (6.5.17), (6.5.19), (6.5.21) findet man verallgemeinerte Potenzgesetze β

T < Tc ,

(6.5.31a)

m ∼h1/δ

T = Tc ,

(6.5.31b)

χ ∼ |τ |−γ

T ≷ Tc ,

(6.5.31c)

ch ∼ |τ |−α

T ≷ Tc .

(6.5.31d)

m0 ∼|τ |

Die hier auftretenden kritischen Exponenten β, δ, γ und α sind i.a. verschieden von ihren Molekularfeldwerten 1/2, 3, 1 und 0 (entsprechend dem Sprung). Zum Beispiel, f¨ ur das zweidimensionale Ising-Modell sind β = 1/8, δ = 15, γ = 7/4, α = 0 (logarithmisch). Bemerkenswerterweise h¨ angen die Werte der kritischen Exponenten nicht von der Gitterstruktur ab, sondern nur von der Dimension des Systems. Alle Ising-Systeme mit kurzreichweitigen Kr¨ aften haben in d Dimensionen die gleichen kritischen Exponenten. Wir haben hier ein Beispiel der sogenannten Universalit¨at vor uns. Das kritische Verhalten h¨angt nur von ganz

6.5 Ferromagnetismus

303

wenigen Gr¨ oßen, wie der Dimension des Systems, der Zahl der Komponenten des Ordnungsparameters und der Symmetrie des Hamilton-Operators ab. Heisenberg-Ferromagneten haben andere kritische Exponenten als IsingFerromagneten, aber unter sich sind sie wiederum alle gleich. Mit diesen Bemerkungen u achliche Verhalten in der N¨ahe eines kritischen ¨ ber das tats¨ Punktes wollen wir die Diskussion beenden. Insbesondere verschieben wir die Darstellung weiterer Analogien zwischen Phasen¨ uberg¨angen auf das n¨achste Kapitel. Wir kehren nun wieder zu der Molekularfeldn¨aherung zur¨ uck und berechnen in diesem Rahmen die magnetische Suszeptibilit¨at und die ortsabh¨ angige Spin-Korrelationfunktion. 6.5.3 Korrelationsfunktion und Suszeptibilit¨ at Im vorliegenden Abschnitt betrachten wir das Ising-Modell in Gegenwart eines ortsabh¨ angigen ¨ außeren Magnetfeldes hl . Der Hamilton-Operator ist dann durch   1 H = H0 − hl σl = − J (l − l ) σl σl − hl σl (6.5.32) 2  l

l,l

l

gegeben. Die Magnetisierung pro Spin an der Position l

ml = σl  ≡ Sp e−βH σl /Sp e−βH ,

(6.5.33)

h¨angt nun vom Ort ab. Wir definieren zun¨ achst die Suszeptibilit¨at χ (xl , xl ) =

∂ml , ∂hl

(6.5.34)

¨ die die Antwort an der Stelle l auf eine Anderung des Feldes an der Stelle l angibt. Als Korrelationsfunktion wird definiert G (xl , xl ) ≡ σl σl  − σl σl  = (σl − σl )(σl − σl ) .

(6.5.35)

Die Korrelationsfunktion (6.5.35) ist ein Maß daf¨ ur, wie Abweichungen von den jeweiligen Mittelwerten an den Stellen l und l miteinander korreliert sind. Suszeptibilit¨ at und Korrelationsfunktion sind verkn¨ upft durch die wichtige Beziehung (Fluktuations-Response-Theorem) χ(xl , xl ) =

1 G (xl , xl ) . kT

Man zeigt (6.5.36) indem man (6.5.33) nach hl ableitet. F¨ ur ein translationsinvariantes System ist

(6.5.36)

304

6. Magnetismus

χ(xl , xl )|{hl =0} = χ (xl − xl )

und

G(xl , xl )|{hl =0} = G (xl − xl ) . (6.5.37)

F¨ ur kleine Felder hl gilt (ml ≡ ml − m)  ml = χ (xl − xl ) hl .

(6.5.38)

l

Ein periodisches Feld hl = hq eiqxl

(6.5.39)

verursacht folglich eine Magnetisierung der Form  ml = eiqxl χ (xl − xl ) e−iq(xl −xl ) hq = χ (q) eiqxl hq ,

(6.5.40)

l

wobei χ (q) =



χ (xl − xl ) e−iq(xl −xl ) =

l

1  G (xl ) e−iqxl kT

(6.5.41)

l

die Fourier-Transformierte der Suszeptibilit¨ at ist, und nach dem Gleichheitszeichen (6.5.36) eingesetzt wurde. Speziell f¨ ur q = 0 ergibt sich folgende Beziehung zwischen der homogenen Suszeptibilit¨ at und der Korrelationsfunktion 1  χ ≡ χ (0) = G (xl ) . (6.5.42) kT l

Da die Korrelationsfunktion (6.5.35) nie gr¨ oßer als 1 ist (|σl | = 1), und schon gar nicht divergent ist, kann die Divergenz der homogenen Suszeptibilit¨at, Gl. (6.5.21), (der Suszeptibilit¨ at gegen¨ uber einem ortsunabh¨angigen Feld) nur dadurch entstehen, daß die Korrelationen bei Tc unendliche Reichweite erlangen. 6.5.4 Ornstein–Zernike Korrelationsfunktion Wir wollen nun die im vorhergehenden Abschnitt eingef¨ uhrte Korrelationsfunktion in Molekularfeldn¨ aherung berechnen. Wie schon zuvor sei das Feld hl und somit auch der Mittelwert ml = σl  ortsabh¨angig. Die Dichtematrix lautet nun in Molekularfeldn¨ aherung     −1  ρMFT = Z exp β σl (hl + J(l − l )σl ) . (6.5.43) l

l

Die Fourier-Transformierte der als kurzreichweitig vorausgesetzten Austauschkopplung schreiben wir f¨ ur kleine Wellenzahlen als

6.5 Ferromagnetismus

˜ J(k) ≡



J(l)e−ikxl ≈ J˜ − k2

l

1 6

x2l J(l) ≡ J˜ − k 2 J .

305

(6.5.44)

l

Hier haben wir die Exponentialfunktion durch ihre Taylor-Reihe ersetzt. Wegen der Spiegelsymmetrie eines kubischen Gitters ist J (−l) = J (l), und  2 deshalb tritt kein linearer Term in k auf. Außerdem gilt (k · xl ) J (l) = l  2 1 2 xl J (l) . Die Konstante J ist durch 3k l

J=

1 2 xl J(l) 6

(6.5.45)

l

definiert. Mit der Molekularfelddichtematrix (6.5.43) erhalten wir f¨ ur den Mittelwert von σl analog zu (6.5.14) in Abschnitt 6.5.2    σl  = tgh β(hl + J(l − l )σl ) . (6.5.46) l

Wir bilden nun die Ableitung ∂h∂  der letzten Gleichung (6.5.46), setzen alle l hl = 0 und erhalten f¨ ur die Suszeptibilit¨ at χ(xl − xl ) =

1

× cosh [ β l J(l − l )m]   × βδll + β J(l − l ) χ(xl − xl ) 2



(6.5.47)

l

Die Fourier-transformierte Suszeptibilit¨ at (6.5.41) erh¨alt man aus (6.5.47) indem man sich an das Faltungstheorem erinnert: χ(q) =

 1 ˜(q)χ(q) . β + β J ˜ cosh2 β Jm

(6.5.48)

1 Verwendet man außerdem cosh2 β J˜m = 1−tgh12 β Jm = 1−m 2 , wo die Bestim˜ mungsgleichung f¨ ur m, Gl. (6.5.16) eingesetzt wurde, so folgt allgemein

χ(q) =

1 1−m2

β . − β J˜(q)

(6.5.49)

Aus der letzten Gleichung folgt mit (6.5.15) und (6.5.44) in der N¨ahe von Tc χ (q) = oder auch

β 1−

Tc T

+ m20 +

Jq2 kT

fu ¨ r T ≈ Tc

(6.5.50)

306

6. Magnetismus

χ (q) =

1 , J (q 2 + ξ −2 )

wobei die Korrelationsl¨ange

 12  −1/2 τ J ξ= kTc (−2τ )−1/2

(6.5.50 )

T > Tc T < Tc

(6.5.51)

eingef¨ uhrt wurde mit τ = (T − Tc ) /Tc. Die Suszeptibilit¨at im Ortsraum erh¨ alt man durch Umkehrung der Fourier-Transformation χ(xl − xl ) =

 1  V χ(q)eiq(xl −xl ) = d3 q χ(q) eiq(xl −xl ) . N q N (2π)3 (6.5.52)

Beim zweiten Gleichheitszeichen wurde vorausgesetzt, daß das System makroskopisch ist, so daß die Summe u ¨ber q durch ein Integral ersetzt werden kann (vergl. (4.1.2b) und (4.1.14a) mit p/
→ q) . Zur Berechnung der Suszeptibilit¨ at f¨ ur große Abst¨ande gen¨ ugt es, f¨ ur χ(q) das Ergebnis f¨ ur kleine q (Gl. (6.5.50 )) einzusetzen, dann folgt mit der Gitterkonstanten a  a3 eiq(xl −xl ) a3 e−|xl −xl |/ξ χ (xl − xl ) = d3 q = . (6.5.53) 3 2 −2 J (q + ξ ) 4πJ|xl − xl | (2π) Aus dem so berechneten χ ergibt sich u ¨ ber (6.5.37), die Korrelationsfunktion G (x) = kT χ (x) =

kT a3 e−|x|/ξ , 4πJ |x|

(6.5.53 )

die in diesem Zusammenhang Ornstein-Zernike-Korrelationsfunktion heißt. Die Ornstein-Zernike-Korrelationsfunktion und ihre Fourier-Transformierte sind in Abb. 6.10 und Abb. 6.11 f¨ ur die Temperaturen T = 1.01 Tc und Tc dargestellt. In diesen Figuren ist auch die Korrelationsl¨ange ξ bei T = 1.01 Tc eingetragen. Die Gr¨ oße ξ0 ist nach (6.5.48) durch ξ0 = (J/kTc )1/2 definiert. 1 −|x|/ξ F¨ ur große Abst¨ ande f¨ allt χ(x) exponentiell wie |x| e ab. Die Korrelationsl¨ ange ξ charakterisiert die typische L¨ ange, u ¨ ber die Spin-Fluktuationen korreliert sind. F¨ ur |x| ξ ist G (x) praktisch Null. Bei Tc ist ξ = ∞, und G (x) gehorcht dem Potenzgesetz G (x) =

kTc v 4πJ |x|

(6.5.54)

mit dem Volumen der Einheitszelle v = a3 . χ(q) verh¨alt sich f¨ ur ξ −1
q wie 1/q 2 und ist f¨ ur q = 0 identisch mit der Curie-Weiß-Suszeptibilit¨at. Bei Ann¨ aherung an Tc wird χ (0) immer gr¨ oßer. Es sollte noch bemerkt werden,

6.5 Ferromagnetismus

Abb. 6.10. Ornstein-Zernike-Korrelationsfunktion f¨ ur T = 1.01 Tc und f¨ ur T = Tc . Die Abst¨ ande werden in Einheiten von ξ0 = (J/kTc )1/2 gemessen.

307

Abb. 6.11. Die Fouriertransformierte der Ornstein-Zernike-Suszeptibilit¨ at f¨ ur T = 1.01 Tc und f¨ u r T = Tc . Durch den Pfeil ist die inverse Korrelationsl¨ ange f¨ ur T = 1.01 Tc markiert.

daß die Kontinuumstheorie und damit (6.5.50 ) und (6.5.52) nur f¨ ur |x| a zutreffend ist. Ein wichtiges experimentelles Hilfsmittel zur Untersuchung von magnetischen Ph¨ anomenen ist die Neutronenstreuung. Das magnetische Moment des Neutrons wechselwirkt mit dem durch die magnetischen Momente des Festk¨orpers erzeugten Magnetfeld und reagiert deshalb auf die magnetische Struktur und auf statische und dynamische Fluktuationen. Der elastische Streuquerschnitt ist proportional zur statischen Suszeptibilit¨ at χ(q). Hierbei ist q der Impuls¨ ubertrag q = kein − kaus , wo kein(aus) die Wellenzahlen der einfallenden und auslaufenden Neutronen sind. Das Anwachsen von χ(q) bei kleinen q f¨ ur T → Tc f¨ uhrt zu starker Streuung in Vorw¨ artsrichtung. Dies ist der Ausdruck der kritischen Opaleszenz in der N¨ ahe des Curie-Punktes analog zum entsprechenden Ph¨ anomen in der Lichtstreuung in der N¨ahe des kritischen ¨ Punktes des Fl¨ ussigkeits-Gas-Uberganges. Die Korrelationsl¨ ange ξ divergiert am kritischen Punkt, die Korrelationen werden bei Ann¨ aherung an Tc immer langreichweitiger. Deshalb sind statistische Fluktuationen der magnetischen Momente u ¨ber immer gr¨oßer werdende Bereiche miteinander korreliert. Außerdem induziert wegen (6.5.37) ein Feld das an der Stelle x einwirkt, nicht nur an dieser Stelle eine Polarisation, sondern auch noch in der Entfernung ξ. Das Anwachsen der Korrelation kann man auch an den in Abb. 6.12 dargestellten Spin-Konfigurationen erkennen. Hier sind Momentaufnahmen einer Computersimulation des Ising-Modells dargestellt. Weiße Quadrate stellen σ = +1 und schwarze Quadrate σ = −1 ¨ dar. Bei der zweifachen Ubergangstemperatur sind die Spins nur u ¨ber ganz kleine Distanzen (wenige Gitterkonstanten) korreliert. Bei T = 1.1 Tc ist das Anwachsen der Korrelationsl¨ ange deutlich erkennbar. Neben ganz kleinen

308

6. Magnetismus

Abb. 6.12. Momentaufnahme der Spinkonfiguration eines zweidimensionalen Ising-Modells bei T = 2 Tc , T = 1.1 Tc und T = Tc . Weiße Quadrate σ = +1, schwarze Quadrate σ = −1.

Clustern sind sowohl schwarze wie weiße Cluster bis hinauf zur Korrelationsl¨ ange ξ (T = 1.1 Tc) erkennbar. Bei T = Tc ist ξ = ∞. Man sieht in der Abbildung zwei große weiße und schwarze Cluster. W¨ urde man den Ausschnitt vergr¨ oßern, so w¨ urde sich zeigen, daß diese sich selbst nur innerhalb eines noch gr¨ oßeren Clusters befinden, der auch seinerseits nur Teil eines noch gr¨oßeren ist. Es gibt also korrelierte Regionen auf allen L¨angenskalen. Es ist hier eine Skaleninvarianz ersichtlich, auf die wir sp¨ater noch zur¨ uckkommen werden. Wenn wir die L¨ angeneinheit vergr¨ oßern, werden die großen Cluster zu kleineren Clustern, da aber Cluster bis zu unendlich großer Ausdehnung vorliegen, bleibt das Bild das gleiche. Die Ornstein-Zernike Theorie (6.5.51) und (6.5.53 ) gibt qualitativ das richtige Verhalten. Die Korrelationsl¨ ange divergiert allerdings in Wirklichkeit wie ξ = ξ0 τ −ν , wo i.A. ν = 12 ist, und auch die Form von G(x) unterscheidet sich von (6.5.53 ) (siehe Kap. 7). ∗

6.5.5 Kontinuumsdarstellung

6.5.5.1 Korrelationsfunktion und Suszeptibilit¨ at Es ist instruktiv, die in den vorhergehenden Abschnitten erhaltenen Ergebnisse in einer Kontinuumsdarstellung abzuleiten. Die dabei auftretenden Formeln erlauben auch einen direkten Vergleich mit der sp¨ ater (Kap. 7) noch zu behandelnden Ginzburg-Landau-Theorie. Kritische Anomalien treten bei großen Wellenl¨ angen auf. Um diesen Bereich zu beschreiben, ist es ausreichend und zweckm¨ aßig, zu einer Kontinuumsformulierung u ¨ berzugehen hl → h (x) , σl → σ (x) , ml → m(x) ,  3  d x hl σl → h (x) σ (x) , v l

(6.5.55)

dabei ist a die Gitterkonstante und v = a3 das Volumen der Elementarzelle. Aus der Summe u ¨ ber l wird im Grenzfall v → ∞ ein Integral u ¨ ber x. Die partielle

6.5 Ferromagnetismus

309

Ableitung wird zur Funktionalableitung25 (v → 0) δm (x) 1 ∂ml = δh (x ) v ∂hl

etc., z.B.


 δh (x) = δ x − x . δh (x )

(6.5.56)

F¨ ur die Suszeptibilit¨ at und Korrelationsfunktion erh¨ alt man aus (6.5.34) somit

 δm (x) ∂ml 1 χ x − x = v = = G x − x .   δh (x ) ∂hl kT F¨ ur kleines h (x) gilt  3  
 d x
m (x) = χ x − x h x . v

(6.5.57)

(6.5.58)

Ein periodisches Feld
  h x = hq eiqx

(6.5.59)

induziert eine Magnetisierung der Form  3    d x
m (x) = eiqx χ x − x e−iq(x−x ) hq = χ (q) eiqx hq , v

(6.5.60)

wobei  χ (q) =

d3 y 1 χ (y) e−iqy = v kT v



d3 y e−iqy G (y)

(6.5.61)

die Fourier-Transformierte der Suszeptibilit¨ at ist, und nach dem zweiten Gleichheitszeichen (6.5.37) eingesetzt wurde. Speziell f¨ ur q = 0 ergibt sich folgende Beziehung zwischen der homogenen Suszeptibilit¨ at und der Korrelationsfunktion  1 χ ≡ χ (0) = d3 y G (y) . (6.5.62) kT v

6.5.5.2 Ornstein-Zernike-Korrelationsfunktion Wie schon zuvor sei das Feld h (x) und somit auch der Mittelwert σ(x) ortsabh¨ angig. Die Dichtematrix lautet nun in Molekularfeldn¨ aherung in Kontinuumsdarstellung:   3

  3   
 d x d x
ρMFT = Z −1 exp β σ (x) h (x) + J x − x σ x . (6.5.63) v v Die Fourier-Transformierte der Austauschkopplung nimmt f¨ ur kleine Wellenzahlen die Form  3  3 d x 1 d x 2 J˜ (k) = J (x) e−ik·x ≈ J˜ − k2 x J(x) ≡ J˜ − k2 J (6.5.64) v 6 v 25

Die allgemeine Definition der Funktionalableitung findet sich in W.I. Smirnov, Lehrgang der h¨ oheren Mathematik, Bd.V, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1960 oder QM I, Abschn. 13.3.1; siehe auch S. Großmann, Funktionalanalysis, Kap. 8, 4. Aufl., 1988, AULA-Verlag, Wiesbaden.

310

6. Magnetismus

an, wobei die Exponentialfunktion durch ihre Taylor-Reihe ersetzt wurde. Wegen der Kugelsymmetrie der Austauschwechselwirkung  J(x) ≡ J(|x|) tritt kein linearer Term in k auf und ist d3 x (kx)2 J (x) = 13 k2 d3 x x2 J (x). Die Konstante J ist 1 durch J = 6v d3 x x2 J (x) definiert. Die Umkehrung von (6.5.64) liefert  J (x) = v J˜ + J∇ 2 δ (x) . (6.5.65) F¨ ur Ph¨ anomene bei kleinen k oder großen Abst¨ anden kann die tats¨ achliche Ortsabh¨ angigkeit der Austauschwechselwirkung durch (6.5.65) ersetzt werden. Dies setzen wir in (6.5.63) ein und erhalten f¨ ur den Mittelwert von σ (x) analog zu (6.5.14) in Abschnitt 6.5.2    σ (x) = tgh β h (x) + J˜ σ (x) + J∇2 σ(x) . (6.5.66) In der N¨ ahe von Tc k¨ onnen wir ¨ ahnlich wie in (6.5.16) entwickeln, m (x) ≡ σ (x), τ m (x) −

J 1 h (x) ∇2 m (x) + m (x)3 = , kTc 3 kTc

(6.5.67)

mit τ = (T − Tc ) /Tc , wobei wegen der r¨ aumlichen Inhomogenit¨ at der Magnetisierung der zweite Term auf der linken Seite auftritt. Die Gleichungen des Kontinuumsgrenzfalls kann man in jedem Schritt auch direkt aus den jeweiligen Gleichungen der diskreten Darstellung erhalten, z.B. folgt (6.5.67) aus (6.5.46), indem man die  Ersetzungen σl  = ml → m (x) , J (l) → J (x) = J˜ + J∇2 δ (x) durchf¨ uhrt. Wir bilden die Funktionalableitung  τ−

J ∇2 + m20 kTc



δ δh(x )

der letzten Gleichung (6.5.67)



 χ x − x = vδ x − x /kTc .

(6.5.68)

Da die Suszeptibilit¨ at im Grenzfall h → 0 berechnet wird, steht auf der linken Seite m0 , die spontane Magnetisierung, die durch die Molekularfeldausdr¨ ucke (6.5.17a,b) gegeben ist. Die L¨ osung dieser auch in Zusammenhang mit dem Yukawa-Potential auftretenden Differentialgleichung ist in drei Dimensionen durch 
 v e−|x−x |/ξ χ x − x = 4πJ |x − x |

(6.5.69)

gegeben. Die Fourier-Transformation lautet χ (q) =

1 . J (q 2 + ξ −2 )

(6.5.70)

Dabei wurde die Korrelationsl¨ ange eingef¨ uhrt:

ξ=

J kTc

1/2 

τ −1/2 (−2τ )−1/2

T > Tc T < Tc

(6.5.71)

Die so erhaltenen Ergebnisse stimmen mit denen des vorhergehenden Abschnitts u ur deren Diskussion verweisen wir darauf. ¨ berein; f¨

6.6 Dipolwechselwirkung, Formabh¨ angigkeit, innere und ¨ außere Felder

311

∗

6.6 Dipolwechselwirkung, Formabh¨ angigkeit, innere und ¨ außere Felder 6.6.1 Hamilton-Operator In diesem Abschnitt werden wir den Einfluß der Dipolwechselwirkung untersuchen. Der gesamte Hamilton-Operator f¨ ur die magnetischen Momente µl lautet  H ≡ H0 ({µl }) + Hd ({µl }) − µl Ha . (6.6.1) l

H0 enth¨ alt die Austauschwechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten, Hd die Dipolwechselwirkung 1  αβ α β A  µ µ 2  ll l l l,l / 0 3(xl − xl )α (xl − xl )β 1 δαβ β = − µα l µl 5 2  |xl − xl |3 |xl − xl |

Hd =

(6.6.2)

l,l

und Ha das von außen angelegte Feld. Die Dipolwechselwirkung ist im Unterschied zur Austauschwechselwirkung langreichweitig, sie nimmt mit der dritten Potenz des Abstandes ab. Obwohl die Dipolwechselwirkung i.A. wesentlich schw¨ acher als die Austauschwechselwirkung ist – ihre Energie entspricht einer Temperatur von etwa26 1 K – spielt sie wegen ihrer langen Reichweite und auch wegen der Anisotropie f¨ ur manche Ph¨ anomene eine wichtige Rolle. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, Aussagen u ur den ¨ber die freie Energie f¨ Hamilton-Operator (6.6.1) F (T, Ha ) = −kT log Sp e−H/kT

(6.6.3)

¨ und deren Ableitungen zu erhalten und die Anderungen aufgrund der Dipolwechselwirkung zu analysieren. Bevor wir uns der mikroskopischen Theorie zuwenden, wollen wir einige elementare Konsequenzen der klassischen Magnetostatik f¨ ur die Thermodynamik herleiten; die Begr¨ undung im Rahmen der statistischen Mechanik wird am Ende des Abschnittes durchgef¨ uhrt.

26

Siehe z.B. die Absch¨ atzung in N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1976, S. 673.

312

6. Magnetismus

6.6.2 Thermodynamik und Magnetostatik 6.6.2.1 Entmagnetisierungsfeld Schon aus der Elektrodynamik27 (Magnetostatik) ist wohlbekannt, daß in einem magnetisierten K¨ orper zu dem von außen angelegten Feld Ha ein von den Dipolfeldern der einzelnen magnetischen Momente herr¨ uhrendes Entmagnetisierungsfeld He hinzukommt, so daß das im Inneren des Magneten wirkende Feld Hi , Hi = Ha + He ,

(6.6.4a)

im allgemeinen verschieden von Ha ist. Das Feld He ist nur in Ellipsoiden und deren Grenzformen homogen, und auf derartige K¨orper wollen wir uns wie u ur Ellipsoide ist das Entmagnetisierungsfeld von ¨ blich beschr¨anken. F¨ der Form He = −D M und somit ist das (makroskopische) Feld im Inneren Hi = Ha − D M .

(6.6.4b)

Hier ist D der Entmagnetisierungstensor und M die Magnetisierung (pro Einheitsvolumen). F¨ ur Ha l¨ angs einer der Hauptachsen, bedeutet D in (6.6.4b) den zugeh¨ origen Entmagnetisierungsfaktor. F¨ ur Ha und damit M parallel zur Achse eines langen zylindrischen K¨ orpers ist D = 0, f¨ ur Ha und M senkrecht zu einer unendlich ausgedehnten d¨ unnen Platte ist D = 4π, und f¨ ur eine Kugel ist D = 4π . Der Wert des inneren Feldes h¨ a ngt also von der Form 3 der Probe und von der Richtung des Feldes ab. 6.6.2.2 Magnetische Suszeptibilit¨ aten Wir m¨ ussen nun unterscheiden zwischen der Suszeptibilit¨at bez¨ uglich des ∂M außeren Feldes χa (Ha ) = ∂H und der Suszeptibilit¨ a t bez¨ u glich des inneren ¨ a ∂M Feldes χi (Hi ) = ∂H . Wir betrachten zun¨ a chst nur Felder in Richtung der i Vorzugsachsen, so daß wir vom Tensorcharakter der Suszeptibilit¨aten absehen k¨onnen. Es sei betont, daß die in der Elektrodynamik u ¨ bliche Definition die zweite ist. Dies liegt daran, daß χi (Hi ) eine reine Materialgr¨oße28 ist, und daß wegen rot Hi = 4π arke c j das Feld Hi in einem Spulenkern durch die Stromst¨ j gesteuert werden kann. Indem man Gl. (6.6.4b) nach M ableitet, erh¨ alt man zwischen den beiden Suszeptibilit¨ aten den Zusammenhang 27

28

A. Sommerfeld, Elektrodynamik , 5. Aufl., Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1967; R. Becker u. F. Sauter, Theorie der Elektrizit¨ at, Bd. 1, 21. Auflage, S. 52, Teubner, Stuttgart, 1973; J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley, New York, 1962 In der magnetischen Literatur nennt man χi (Hi ) wahre Suszeptibilit¨ at und χa (Ha ) scheinbare Suszeptibilit¨ at. E. Kneller, Ferromagnetismus, Springer, Berlin, 1962, S. 97

6.6 Dipolwechselwirkung, Formabh¨ angigkeit, innere und ¨ außere Felder

1 1 = −D . χi (Hi ) χa (Ha )

313

(6.6.5a)

Es ist physikalisch klar, daß die Suszeptibilit¨ at χi (Hi ) bez¨ uglich des im Inneren des K¨ orpers wirkenden Feldes Hi eine spezifische, von der Form unabh¨ angige Materialgr¨ oße ist und daß somit die Formabh¨angigkeit von χa (Ha ) χa (Ha ) =

χi (Hi ) 1 + Dχi (Hi )

(6.6.5b)

durch das Auftreten von D in (6.6.5b) und (6.6.4b) resultiert.29 Wenn das Feld nicht in eine der Hauptachsen des Ellipsoids weist, findet man durch Ableiten der α-Komponente von (6.6.4b) nach Mβ die tensorielle Beziehung
−1 
 χi αβ = χ−1 − Dαβ . (6.6.5c) a αβ Relationen der Art (6.6.5a-c) findet man schon in der klassischen thermodynamischen Literatur.30 6.6.2.3 Freie Energien und spezifische W¨ armen Geht man von der freien Energie F (T, Ha ) mit dem Differential dF = −SdT − V MdHa

(6.6.6)

aus, so k¨ onnen wir u ¨ ber eine Legendre-Transformation eine weitere freie Energie V Fˆ (T, Hi ) = F (T, Ha ) + M α Dαβ M β 2

(6.6.7a)

definieren. Das Differential dieser freien Energie ist mit (6.6.4b) durch dFˆ (T, Hi ) = −SdT − V MdHi

(6.6.7b)

gegeben. Da die Entropie S(T, Hi ) und die Magnetisierung M(T, Hi ) als Funktion des inneren Feldes unabh¨ angig von der Form sein m¨ ussen, sind alle Ableitungen von Fˆ (T, Hi ) unabh¨ angig von der Form der Probe. Deshalb ist die freie Energie Fˆ (T, Hi ) selbst formunabh¨ angig. Aus (6.6.6) und (6.6.7b) folgt 29

30

Wenn χi  10−4 , wie in vielen praktischen Situationen, kann man die Entmagnetisierungskorrektur vernachl¨ assigen. Andererseits gibt es auch F¨ alle in denen die Form des K¨ orpers wichtig werden kann. In paramagnetischen Salzen w¨ achst χi aufgrund des Curie-Gesetzes bei tiefen Temperaturen an und kann von der Gr¨ oßenordnung 1 werden und in Supraleitern ist 4πχi = −1. R. Becker und W. D¨ oring, Ferromagnetismus, Springer, Berlin, 1939, S. 8.

314

6. Magnetismus

S=−

∂F ∂T

 Ha

ˆ ∂F =− ∂T Hi

(6.6.8)

und 1 M =− V



∂F ∂Ha

 T

1 =− V



∂ Fˆ ∂Hi

 .

(6.6.9)

T

Auch die spezifische W¨ arme kann man bei konstantem inneren Feld

 T ∂S CHi = V ∂T Hi und konstantem ¨ außeren Feld

 T ∂S CHa = V ∂T Ha

(6.6.10a)

(6.6.10b)

definieren. Man zeigt leicht unter Verwendung der Jacobi-Determinante, wie in Abschn. 3.2.4, die folgenden Zusammenh¨ ange CHa = CHi

1 1 + DχiT
∂M 

CHi = CHa + T und

∂T

(6.6.11a) Ha


∂M  ∂T

Ha

(6.6.11b)

1 − DχaT
∂M 

CHa = CHi − T

D

∂T

Hi

D


∂M  ∂T

1 + DχiT

Hi

,

(6.6.11c)

wo der Index T auf die isotherme Suszeptibilit¨ at hinweist. Die aus den oben angef¨ uhrten physikalischen Gr¨ unden einleuchtende Formunabh¨ angigkeit von χi (Hi ) und Fˆ (T, Hi ) wurde auch mit st¨ orungstheoretischen Methoden abgeleitet.31 F¨ ur verschwindendes Feld wurde die Formunabh¨ angigkeit ohne Verwendung der St¨ orungstheorie bewiesen.32

6.6.2.4 Lokales Feld Neben dem inneren Feld ben¨ otigt man gelegentlich auch das lokale Feld Hlok . Das ist das Feld, das an der Stelle eines magnetischen Momentes wirkt. Man erh¨ alt es, indem man sich um den betrachteten Gitterpunkt eine Kugel denkt, die groß ist gegen¨ uber der Einheitszelle, aber klein gegen¨ uber dem gesamten Ellipsoid (siehe Abb. 6.13). F¨ ur das lokale Feld erh¨alt man27 Hlok = Ha + φM 4π −D . mit φ = φ0 + 3 31 32

(6.6.12a) (6.6.12b)

P.M. Levy, Phys. Rev. 170, 595 (1968); H. Horner, Phys. Rev. 172, 535 (1968) R.B. Griffiths, Phys.Rev.176, 655 (1968)

6.6 Dipolwechselwirkung, Formabh¨ angigkeit, innere und ¨ außere Felder

315

Abb. 6.13. Zur Definition des lokalen Feldes. Ellipsoid mit Volumen V und fiktive Kugel mit Volumen V0 ; schematisch.

Hier ist φ0 die Summe der Dipolfelder der mittleren Momente innerhalb der fiktiven Kugel. Das Medium außerhalb der gedachten Kugel kann man als Kontinuum behandeln, und sein Beitrag ist der eines
 vollen polarisierten Ellipsoids (−D) abz¨ uglich einer polarisierten Kugel 4π ur kubische Gitter 3 . F¨ verschwindet φ0 aus Symmetriegr¨ unden.27 Man kann nun auch eine freie Energie 1 ˆ Fˆ (T, Hlok ) = F (T, Ha ) − V M φM 2

(6.6.13a)

mit dem Differential ˆ dFˆ = −SdT − V M dHlok einf¨ uhren. Da aus (6.6.12a,b),(6.6.7a) und (6.6.13a)

 1 4π ˆ ˆ ˆ F (T, Hlok ) = F (T, Hi ) + V M φ0 + M 2 3

(6.6.13b)

(6.6.14)

ˆ folgt, unterscheidet sich Fˆ von Fˆ nur um einen von der ¨außeren Form unabh¨ angigen Term und ist deshalb selbst formunabh¨ angig. Man kann nat¨ urlich auch Suszeptibilit¨ aten bei konstantem Hlok einf¨ uhren und den Gleichungen (6.6.13a-c) und (6.6.11a-c) entsprechende Relationen herleiten, in denen im wesentlichen Hi durch Hlok und D durch φ ersetzt wird. 6.6.3 Statistisch-mechanische Begr¨ undung In diesem Teilabschnitt werden die thermodynamischen Ergebnisse des vorhergehenden Abschnitts mikroskopisch begr¨ undet und Hamilton-Operatoren zur Berechnung der formunabh¨ angigen freien Energien Fˆ (T, Hi ) und

316

6. Magnetismus

ˆ Fˆ (T, Hlok ) der Gleichungen (6.6.7a) und (6.6.13a) abgeleitet. Es werden dabei die magnetischen Momente durch ihren Mittelwert und Fluktuationen dargestellt. Die Dipolwechselwirkung wird in einen kurzreichweitigen und einen langreichweitigen Teil zerlegt. Bei der Wechselwirkung der Fluktuationen kann der langreichweitige Teil vernachl¨ assigt werden. Ausgangspunkt ist der Hamilton-Operator (6.6.1), in den wir die Fluktuationen um den Mittelwert µα l  α α δµα l ≡ µl − µl 

(6.6.15)

einf¨ uhren: 1  αβ α β 1  αβ  α  β  A  δµl δµl + A  µl µl 2  ll 2  ll l,l l,l  αβ  β  α α + All δµα µl Ha l µl −

H =H0 ({µl }) +

l,l

l

1  αβ α β 1  αβ  α  β  =H0 ({µl }) + A  δµl δµl − A  µl µl 2  ll 2  ll l,l l,l  α α − µα l (Ha + He,l )

(6.6.16)

l

mit dem thermisch gemittelten Feld der u ¨ brigen Dipole am Gitterplatz l  αβ  β  α He,l =− All µl . (6.6.17) l

F¨ außeren Magnetfeld ist die Magnetisierung homogen
urβEllipsoide  V β in  einem ¨ µl = N M , desgleichen das Dipolfeld (Entmagnetisierungsfeld) α α He,l = Hlok ≡ (φ0 + D0 − D)αβ M β .

(6.6.18)

¨ Beim Ubergang von (6.6.17) auf (6.6.18) wurde die Dipolsumme φαβ = −

V  αβ A  = (φ0 + D0 − D)αβ N  ll

(6.6.19)

l

in eine diskrete Summe u ¨ ber ein Teilvolumen V0 (die Lorentzkugel) und das Gebiet V − V0 , in welchem eine Kontinuumsn¨ aherung durchgef¨ uhrt werden kann, zerlegt:  ∂ ∂ 1 (D0 − D)αβ = − d3 x ∂xα ∂xβ |x| V −V0

   (6.6.20) ∂ 1 ∂ 1 = δαβ dfα − dfα . ∂xβ |x| ∂xβ |x| O1 O2

6.6 Dipolwechselwirkung, Formabh¨ angigkeit, innere und ¨ außere Felder

317

Das erste Oberfl¨ achenintegral erstreckt sich u ¨ber die Oberfl¨ache der LorentzKugel und das zweite u außere) Oberfl¨ ache des Ellipsoids. ¨ ber die (¨ Somit kann der Hamilton-Operator in der Form 1  αβ α β  α α 1 H = H0 ({µl }) + A  δµl δµl − µl Hlok + V Mα φαβ Mβ (6.6.21) 2  ll 2 l,l

l

geschrieben werden. Da in der Wechselwirkung zwischen den Fluktuationen δµl die Langreichweitigkeit der Dipolwechselwirkung keine Rolle spielt, sind die beiden ersten Terme des Hamilton-Operators formunabh¨angig. Die Form der Probe a ¨ußert sich nur im lokalen Feld Hlok und im vierten Term der rechten Seite. Der Vergleich mit (6.6.13a) zeigt, daß die bis auf die Abh¨angigkeit ˆ von Hlok formunabh¨ angige freie Energie Fˆ (T, Hlok ) durch Berechnung der Zustandssumme mit den ersten drei Termen von (6.6.21) bestimmt werden kann. Wenn man die Dipolwechselwirkung zwischen den Fluktuationen zur G¨ anze vernachl¨ assigt,33 erh¨ alt man als n¨ aherungsweisen effektiven Hamilton-Operator  ˆ ˆ = H 0 ({µ }) − H µl Hlok , (6.6.22) l l

in dem sich die Dipolwechselwirkung lediglich im Entmagnetisierungsfeld außert. ¨ 

β α Die pr¨ azise Behandlung des zweiten Terms 12 l,l Aαβ ll δµl δµl in (6.6.21) verl¨ auft folgendermaßen. Da der Erwartungswert unter n¨aherungsweiser Zu−r  /ξ grundelegung der Ornstein-Zernike-Theorie wie δµl δµl  ≈ e rll abf¨allt, 1 und All ∼ r3 ist, ist die Wechselwirkung der Schwankungen f¨ ur große ll Abst¨ ande vernachl¨ assigbar. Die Form des K¨ orpers spielt also in diesem Term im Grenzfall V → ∞ bei gleichbleibender Form keine Rolle. Man kann deshalb Aαβ ll durch σ αβ All

=

∂ ∂ e−σ|x| ∂xα ∂xβ |x|

(6.6.23)

ersetzen; mit der Abschneidel¨ ange σ −1 , genauer 1  αβ α β 1  σ αβ α β All δµl δµl = lim lim All δµl δµl . σ→0 V →∞ 2  2  l,l

(6.6.24)

l,l

Setzt man δµl = µl − µl  ein, erh¨ alt man f¨ ur die rechte Seite von (6.6.24)    β   α  β  1 β σ αβ α lim lim All µα µl l µl − 2µl µl + µl σ→0 V →∞ 2  l,l

1  σ αβ α β All µl µl + σ→0 V →∞ 2 

= lim lim +

 l

33

l,l

(φ0 + D0 )αβ M β µα l −

V (φ0 + D0 )M 2 . 2

J. H. van Vleck, J. Chem. Phys. 5, 320, (1937), Gl. (36)

(6.6.25)

318

6. Magnetismus

In der Reihenfolge, zuerst thermodynamischer Grenzwert V → ∞ und dann σ → 0, ist der erste Term in (6.6.25) formunabh¨ angig. Da im zweiten und dritten Term die Summe u ¨ ber l durch e−|xl −xl |σ abgeschnitten wird, tritt der Beitrag −D von der ¨ außeren Begrenzung des Ellipsoids hier nicht auf. Setzt man (6.6.24) und (6.6.25) in (6.6.21) ein, ergibt sich der Hamilton-Operator in endg¨ ultiger Form34 ˆ − V M DM H=H 2

(6.6.26a)

mit  ˆ = H0 ({µ }) + H l

d3 q

αβ α β 3 va Aq µq µ−q

(2π)

Hier wurde die Fourier-Transformation 1  −iqxl α µα e µl , q = √ N l  Aαβ e−iq(xl −xl ) Aαβ q = l0

−



α µα l Hi .

(6.6.26b)

l

(6.6.27a) (6.6.27b)

l =0

und das innere Feld Hi = Ha − DM eingef¨ uhrt. Die Fourier-Transformation (6.6.27b) kann mit der Ewald-Methode 35 ausgewertet werden und ergibt36 f¨ ur kubische Gitter



  1 4π 3q α q β αβ α β 2 α 2 Aαβ = δ − + α q q + α q − α (q ) δ αβ + 1 2 3 q va 3 q2  2 4 2 O q 4 , (q α ) , (q α ) (q β ) , (6.6.27b ) wo va das Volumen der primitiven Einheitszelle ist, und die αi von der ˆ Gitterstruktur abh¨ angige Konstanten sind. Die beiden ersten Terme in H, Gl. (6.6.26b) sind von der Form unabh¨ angig. Die Form der Probe ist lediglich im inneren Feld Hi und im letzten Term von (6.6.26a) enthalten. Der Vergleich von Gl. (6.6.26a) mit Gl. (6.6.7a) zeigt, daß die formunabh¨angige freie ˆ Energie Fˆ (T, Hi ) aus der Zustandssumme mit dem Hamilton-Operator H, Gl. (6.6.26b), berechnet werden kann. Besonders sei auf das nicht-analytische Verhalten des Termes qα qβ /q 2 im Grenzfall q → 0 hingewiesen, das vom 1/r3 Abfall der Dipolwechselwirkung herr¨ uhrt. Wegen dieses Terms sind die longitudinale und transversale wellenzahlabh¨ angige Suszeptibilit¨at (in Bezug auf den Wellenzahlvektor) voneinander verschieden.37 Wir erinnern daran, daß 34 35 36

37

Siehe auch W. Finger, Physica 90 B, 251 (1977). P.P. Ewald, Ann. Phys. 54, 57 (1917), ibid. 54, 519 (1917), ibid. 64, 253 (1921) M.H. Cohen and F. Keffer, Phys. Rev. 99 1135 (1955); A. Aharony and M.E. Fisher, Phys. Rev. B 8, 3323 (1973) E. Frey and F. Schwabl, Advances in Physics 43, 577 (1994)

6.6 Dipolwechselwirkung, Formabh¨ angigkeit, innere und ¨ außere Felder

319

die kurzreichweitige Austauschwechselwirkung nach q in eine Taylor-Reihe entwickelbar ist  1 H0 = − d3 q J˜(q)µq µ−q 2 (6.6.28) 2 4 ˜ ˜ J(q) = J − Jq + O(q ) . Neben den ausf¨ uhrlich dargestellten Entmagnetisierungseffekten und der daraus resultierenden Formabh¨ angigkeit hat die Dipolwechselwirkung, obwohl sie i.a. sehr viel schw¨ acher als die Austauschwechselwirkung ist, aufgrund ihrer langen Reichweite und der Anisotropie eine Reihe von wichtigen Konsequenzen.37 (i) Sie ¨ andert die Werte der kritischen Exponenten in der N¨ahe von ferromagnetischen Phasen¨ uberg¨ angen. (ii) Sie kann die magnetische Ordnung in niederdimensionalen Systemen stabilisieren, die sonst wegen der großen thermischen Fluktuationen unm¨ oglich w¨ are. (iii) Das gesamte magnetische  Moment µ = l µl ist nicht mehr erhalten. Dies hat wichtige Konsequenzen in der Dynamik. (iv) Die Dipolwechselwirkung ist wichtig im Kernspinmagnetismus, wo sie gr¨ oßer oder vergleichbar mit der indirekten Austauschwechselwirkung ist. Man kann die Dipolwechselwirkung nun folgendermaßen in die Resultate der Abschnitte 6.1 bis 6.5 einbauen. (i) Wenn man n¨ aherungsweise die Dipolwechselwirkung zwischen den Fluktuationen der magnetischen Momente δµl = µl − µl  vernachl¨assigt, kann man den r¨ aumlich homogenen Teil der Dipolfelder ber¨ ucksichtigen, indem man das Feld H durch das lokale Feld Hlok ersetzt. (ii) Wenn man zus¨ atzlich zu der eventuell vorhandenen Austauschwechselwirkung auch die dipolare Wechselwirkung zwischen den Schwankungen ber¨ ucksichtigt, dann erh¨ alt der komplette Hamilton-Operator nach Gl. (6.6.26) das innere Feld Hi . Das Feld H ist also zu ersetzen durch Hi , und außerdem tritt im Hamilton-Operator H, Gl. (6.6.26a), der forˆ der formunabh¨angige mabh¨ angige Term − V2 M DM und u ¨ ber den Term H  Teil der Dipolwechselwirkung, Gl. (6.6.27b ) auf. 6.6.4 Dom¨ anen Die spontane Magnetisierung pro Spin, m0 (T ), ist in Abb. 6.15 dargestellt. Das gesamte magnetische Moment einer homogen magnetisierten Probe ohne ¨ außerem Feld w¨ are N m0 (T ), und die spontane Magnetisierung pro Einheitsvolumen M0 (T ) = N m0 (T )/V , wo N die Gesamtzahl der magnetischen Momente ist. T¨ ats¨ achlich ist in der Regel das magnetische Moment kleiner oder sogar Null. Dies r¨ uhrt daher, daß eine Probe i.a. in Dom¨anen mit unterschiedlichen Magnetisierungsrichtungen zerf¨ allt. Innerhalb jeder Dom¨ane ist |M(x, T )| = M0 (T ). Erst durch Anlegen eines ¨außeren Feldes wachsen die l¨ angs des Feldes orientierten Dom¨ anen auf Kosten der anderen an, und

320

6. Magnetismus

es kommt zu Neuorientierungen bis schließlich N m0 (T ) erreicht ist. Man nennt deshalb die spontane Magnetisierung auch S¨attigungsmagnetisierung. Wir wollen die Dom¨ anenbildung an zwei Beispielen illustrieren. (i) Eine m¨ ogliche Dom¨ anenstruktur eines ferromagnetischen Stabes unterhalb von Tc ist in Abb. 6.14 dargestellt. Man u ur ¨ berzeugt sich leicht, daß f¨ die Konfiguration mit 45◦ -W¨ anden u ¨ berall in der Probe

450

Abb. 6.14. Dom¨ anenstruktur in einem Quader

div M = 0

(6.6.29)

ist. Deshalb folgt aus der Grundgleichung der Magnetostatik div Hi = −4π div M

(6.6.30a)

rot Hi = 0

(6.6.30b)

im Inneren der Probe Hi = 0 ,

(6.6.31)

und deshalb auch B = 4πM im Inneren. Aus den Stetigkeitsbedingungen folgt B = H = 0 im Außenraum. Die Dom¨ anenkonfiguration ist also energetisch g¨ unstiger als eine homogen magnetisierte Probe. (ii) Dom¨ anenstrukturen ¨ außern sich auch bei der Messung des gesamten magnetischen Moments M einer Kugel. Die daraus berechnete Magnetisierung M = M außeren Feldes zeigt den in Abb. 6.15 dargeV als Funktion des ¨ stellten Verlauf. Als Funktion des inneren Feldes Hi = Ha − DM sei die Magnetisierung in einem homogen magnetisierten Bereich durch die Funktion M = M (Hi ) gegeben. Solange die gesamte Magnetisierung der Kugel kleiner als die S¨attigungsmagnetisierung ist, sind die Dom¨ anen so geformt, daß Hi = 0 ist, und 1 deshalb muß M = D Ha sein.38 F¨ ur Ha = DMspontan ist schließlich die Probe homogen, entsprechend der S¨ attigungsmagnetisierung, magnetisiert. F¨ ur Ha > DMspontan kann M aus M = M (Ha − DM ) berechnet werden. 38

S. Arajs and R.V. Calvin, J. Appl. Phys. 35, 2424 (1964).

6.7 Anwendungen auf verwandte Ph¨ anomene

321

Abb. 6.15. Die Magnetisierung innerhalb einer Kugel als Funktion des ¨ außeren Feldes Ha , T1 < T2 < Tc , D ist der Entmagnetisierungsfaktor.

6.7 Anwendungen auf verwandte Ph¨ anomene In diesem Abschnitt besprechen wir Folgerungen aus den Ergebnissen dieses Kapitels u ¨ ber Magnetismus in anderen Bereichen der Physik: Polymerphysik, negative Temperaturen und die Schmelzkurve von He3 . 6.7.1 Polymere, Gummielastizit¨ at Polymere sind lange Kettenmolek¨ ule, die aus gleichartigen Gliedern, den Monomeren aufgebaut sind. Die Zahl der Monomere betr¨agt typischerweise N ≈ 100.000 . Beispiele f¨ ur Polymere sind Poly¨ athylen (CH2 )N , Polystyrol (polysterene) (C8 H8 )N und Kautschuk (C5 H8 )N , wo die Zahl der Monomere N > 100.000 ist (Siehe Abb. 6.16).

Abb. 6.16. Der Aufbau von Poly¨ athylen und Polystyrol.

Zur Beschreibung der mechanischen und thermischen Eigenschaften legen wir folgendes einfache Modell zugrunde (siehe Abb. 6.17). Den Anfangspunkt des Monomers 1 bezeichnen wir mit X1 , allgemein des Monomers i mit Xi . Die Lage (Orientierung) des i-ten Monomers ist dann durch den Vektor Si ≡ Xi+1 − Xi charakterisiert: S1 = X2 − X1 , . . . , Si = Xi+1 − Xi , . . . , SN = XN +1 − XN .

(6.7.1)

Wir nehmen nun an, daß abgesehen von der Verkettung der Monomere keinerlei Wechselwirkung zwischen diesen bestehe, und daß sie v¨ollig unabh¨angig voneinander jede Orientierung einnehmen k¨ onnen, Si · Sj  = 0 f¨ ur i = j. Die L¨ ange eines Monomers bezeichnen wir mit a, d.h. S2i = a2 .

322

6. Magnetismus

Abb. 6.17. Polymer, aufgebaut aus Monomeren.

Da die Verbindungslinie zwischen Anfangs- und Endpunkt des Polymers in der Form XN +1 − X1 =

N 

Si

(6.7.2)

i=1

dargestellt werden kann, folgt XN +1 − X1  = 0 .

(6.7.3)

Hier wird u angig gemittelt. Die letzte ¨ber alle Orientierungen der Si unabh¨ Gleichung bedeutet, daß das verkn¨ aulte Polymer beliebig im Raum orientiert ist, aber sagt nichts u ¨ber dessen typische Ausdehnung aus. Ein geeignetes Maß f¨ ur die mittlere quadratische L¨ ange ist !  
 2 (XN +1 − X1 )2 = Si = a2 N . (6.7.4) Wir definieren den sogenannten Gyrationsradius   1 R≡ (XN +1 − X1 )2 = aN 2 ,

(6.7.5)

der die Gr¨ oße des Kn¨ auels charakterisiert und mit der Wurzel aus der Zahl der Monomere anw¨ achst. Um die elastischen Eigenschaften zu studieren, lassen wir auf die Enden des Polymers eine Kraft wirken, d.h. auf XN +1 wirke K und auf X1 die Kraft −K. (Siehe Abb. 6.17). Unter dem Einfluß dieser Zugkraft h¨angt die Energie von den Anfangs- und Endpositionen ab: H = −(XN +1 − X1 ) · K = − [(XN +1 − XN ) + (XN − XN −1 ) + . . . + (X2 − X1 )] · K = −K ·

N 

Si .

(6.7.6)

i=1

Polymere unter Zugspannung lassen sich demnach auf das Problem des Paramagneten im Magnetfeld abbilden, Abschn. 6.3. Die Kraft entspricht dem

6.7 Anwendungen auf verwandte Ph¨ anomene

323

Magnetfeld im Paramagneten, die L¨ ange der Kette der Magnetisierung. Also ist der thermisch gemittelte Abstandsvektor der Kettenenden L=

N 

! Si

i=1

 aK kT K = N a ctgh − . kT aK K

(6.7.7)

Hier haben wir die Langevin-Funktion (6.3.12b) f¨ ur klassische Momente eingesetzt und mit dem Einheitsvektor in Kraftrichtung K/K multipliziert. Falls aK klein gegen kT ist, ergibt sich entsprechend dem Curie-Gesetz L=

N a2 K. 3kT

(6.7.8)

¨ F¨ ur die Anderung der L¨ ange erhalten wir aus der vorhergehenden Gleichung ∂L 1 ∼ ∂K T

(6.7.9a)

∂L N a2 =− |K| . ∂T 3kT 2

(6.7.9b)

und

Die L¨ angen¨ anderung pro Einheitskraft bzw. die elastische Konstante, nimmt nach (6.7.9a) mit steigender Temperatur ab. Noch spektakul¨arer ist das Re∂L sultat f¨ ur den Ausdehnungskoeffizienten ∂T . Gummi zieht sich bei Temperaturerh¨ ohung zusammen! Dies ist v¨ ollig verschieden von Kristallen, die sich in der Regel thermisch ausdehnen. Der Grund f¨ ur das elastische Verhalten von Gummi ist leicht einzusehen. Je h¨ oher die Temperatur wird, umso mehr wirkt sich in der zu minimalisierenden freien Energie F = E − T S die Entropie aus. Die Entropie w¨ achst an, d.h. das Polymer wird zunehmend ungeordneter oder verkn¨ ault und zieht sich somit zusammen. Die allgemeine Abh¨angigkeit der L¨ ange von aK/kT ist in Abb. 6.18 dargestellt.

Abb. 6.18. Die L¨ ange eines Polymers unter dem Einfluß einer Zugkraft K.

324

6. Magnetismus

Bemerkung: In dem hier betrachteten Modell wurde nicht ber¨ ucksichtigt, daß ein Monomer in seiner Orientierungsfreiheit eingeschr¨ankt ist, weil jede Stelle nur durch h¨ ochstens ein Monomer belegt werden kann. In einer Theorie, die diesen Effekt ber¨ ucksichtigt, wird die Abh¨angigkeit R = aN 1/2 in Gl. (6.7.5) durch R = aN ν ersetzt. Der Exponent ν hat eine analoge Bedeutung wie der Exponent der Korrelationsl¨ ange bei Phasen¨ uberg¨angen und der Polymerisationsgrad (Kettenl¨ ange) N entspricht dem inversen Abstand vom kritischen Punkt τ −1 . Die Eigenschaften von Polymeren, bei denen schon belegtes Volumen ausgeschlossen ist, entsprechen auch einer Zufallsbewegung, bei der der Weg nicht nochmals auf einen schon durchlaufenen Platz zur¨ uckf¨ uhren darf. Die Eigenschaften dieser beiden Ph¨anomene folgen aus dem n-komponentigen φ4 -Modell (siehe Abschnitt 7.4.5) im Grenzfall n → 0.39 Eine N¨ aherungsformel f¨ ur ν stammt von Flory νFlory = 3/(d + 2). 6.7.2 Negative Temperaturen In isolierten Systemen, deren Energieniveaus nach unten und nach oben beschr¨ ankt sind, k¨ onnen thermodynamische Zust¨ ande mit negativer absoluter Temperatur erreicht werden. Beispiele f¨ ur Systeme mit auch nach oben beschr¨ ankten Energieniveaus sind Zweiniveausysteme oder Paramagnete in einem ¨ außeren Magnetfeld h. Wir betrachten einen Paramagneten, der aus N Spins der Quantenzahl S = 1/2 bestehe, in einem Feld in z-Richtung. Mit den Quantenzahlen der Pauli-Matrizen σl = ±1 besitzt der Hamilton-Operator die folgende diagonale Gestalt  H = −h σl . (6.7.10) l

Die Magnetisierung pro Gitterplatz ist durch m = σ definiert und ist unabh¨ angig von der Gitterposition l. Die Entropie ist durch   1+m 1+m 1−m 1−m S(m) = −kN log + log 2 2 2 2   (6.7.11) N+ N− = −k N+ log + N− log N N gegeben und die innere Energie E h¨ angt mit der Magnetisierung u ¨ ber E = −N hm = −h(N+ − N− )

(6.7.12)

zusammen, N± = N (1 ± m)/2. Diese Ausdr¨ ucke folgen unmittelbar aus der Behandlung im mikrokanonischen Ensemble (Abschnitt 2.5.2.2) und k¨onnen 39

P.-G. de Gennes, Scaling Concepts in Polymer Physics, Cornell University Press, 1979, Ithaca.

6.7 Anwendungen auf verwandte Ph¨ anomene

325

auch aus Abschnitt 6.3 durch Elimination von T und B erhalten werden. F¨ ur m = 1 (alle Spins parallel zum Feld h) ist die Energie E = −N h, f¨ ur m = −1 (alle Spins antiparallel zu h) ist die Energie E = N h. Die Entropie ist als Funktion der Energie in Abb. 2.9 dargestellt. Sie ist maximal f¨ ur E = 0, also im Zustand v¨ olliger Unordnung. Die Temperatur erh¨alt man durch Ableiten der Entropie:  −1 1 2h 1+m T =
∂S  = log . k 1−m ∂E h

(6.7.13)

Sie ist als Funktion der Energie in Abb. 2.10 dargestellt. Im Intervall 0 < m ≤ 1, d.h. −1 ≤ E/N h < 0, ist die Temperatur, wie gewohnt, positiv. F¨ ur m < 0, also wenn die Magnetisierung entgegengesetzt zum Magnetfeld orientiert ist, ist die absolute Temperatur negativ, d.h. T < 0 ! Mit steigender Energie geht die Temperatur T von 0 nach ∞ , dann nach −∞ , und schließlich zu −0. Negative Temperaturen geh¨ oren also zu h¨ oheren Energien, “sind also heißer“ als die positiven Temperaturen. Im Zustand negativer Temperaturen sind mehr Spins im angeregten Zustand als im Grundzustand. Daß negative Temperaturen tats¨ achlich heißer sind als die positiven, erkennt man auch, indem man zwei derartige Systeme in Kontakt bringt. Das System 1 habe positive Temperatur T1 > 0 und das System 2 negative Temperatur T2 < 0. Wir nehmen an, daß der Energieaustausch quasistatisch erfolgt, dann ist die Gesamtentropie S = S1 (E1 ) + S2 (E2 ) und die (konstante) Gesamtenergie dE1 2 E = E1 + E2 . Aus dem Anwachsen der Entropie folgt mit dE dt = − dt

 dS ∂S1 dE1 ∂S2 dE2 1 1 dE1 0< = + = − . (6.7.14) dt ∂E1 dt ∂E2 dt T1 T2 dt
 1 Da der Faktor in Klammern T11 + |T12 | positiv ist, muß auch dE dt > 0 sein; das bedeutet Energie fließt vom Teilsystem mit negativer Temperatur in das Teilsystem 1. Wir betonen, daß die in Abb. 2.9 dargestellte Energieabh¨angigkeit von S(E) und die daraus resultierenden negativen Temperaturen eine direkte Konsequenz der Beschr¨ anktheit der Energieniveaus ist. W¨aren die Energieniveaus nicht nach oben beschr¨ ankt, so k¨ onnte eine endliche Energiezufuhr nicht zu unendlicher Temperatur oder sogar dar¨ uber hinaus f¨ uhren. Wir bemerken auch noch, daß die spezifische W¨ arme pro Gitterplatz dieses Spin-Systems durch

2 C 2h e2h/kT = (6.7.15)
2 Nk kT 1 + e2h/kT gegeben ist und sowohl bei T = ±0 als auch bei T = ±∞ verschwindet. Wir besprechen nun zwei Beispiele f¨ ur negative Temperaturen:

326

6. Magnetismus

(i) Kern-Spins in einem magnetischen Feld: Das erste Experiment dieser Art wurde von Purcell und Pound40 in einem Kernresonanzexperiment mit den Kernspins von 7 Li in LiF durchgef¨ uhrt. Die Spins werden zun¨ achst bei Temperatur T durch das Feld H ausgerichtet. Anschließend wird die Richtung von H so rasch umgekehrt, daß die Kernspins nicht folgen k¨ onnen, das bedeutet rascher als die Periode der Spinpr¨ azession. Die Kernspins sind dann in einem Zustand negativer Temperatur −T . Die Wechselwirkung der Spins untereinander wird durch die Spin-SpinRelaxationszeit 10−5 − 10−6 sec charakterisiert. Diese Wechselwirkung ist wichtig, damit die Spins untereinander ins Gleichgewicht kommen, sie ist aber f¨ ur die Energieniveaus gegen¨ uber der Zeeman-Energie vernachl¨assigbar. F¨ ur Kern-Spins ist die Wechselwirkung mit dem Gitter so langsam (die SpinGitter-Relaxationszeit betr¨ agt 1 bis 10 min), daß das Spinsystem in Zeitr¨aumen von Sekunden als v¨ ollig isoliert angesehen werden kann. Außerdem bleibt der Zustand negativer Temperatur u ¨ ber Minuten erhalten, solange bis durch Wechselwirkung mit dem Gitter sich die Magnetisierung umkehrt und die Temperatur wieder T ist. In verd¨ unnten Gasen kann ein Spin-invertierter Zustand erreicht werden, dessen Lebensdauer Tage betr¨agt. (ii) Laser (gepulster Laser, Rubin): Durch Einstrahlung von Licht werden die Atome angeregt (Abb. 6.19). Das Elektron f¨ allt in einen metastabilen Zustand. Wenn mehr Elektronen in diesem angeregten Zustand als im Grundzustand sind, d.h. bei Inversion, liegt negative Temperatur vor.

Abb. 6.19. Beispiele f¨ ur negative Temperatur (a) Kern-Spins in Magnetfeld H, das um 180◦ gedreht wird (b) Rubin-Laser. “Pumpe“ bringt Elektron in angeregten Zustand. Mit Emission eines Photons f¨ allt das Elektron in einen metastabilen Zustand. Bei Inversion: negative Temperatur.

40

E.M. Purcell and R.V. Pound, Phys.Rev. 81, 279 (1951)

6.7 Anwendungen auf verwandte Ph¨ anomene ∗

327

6.7.3 Schmelzkurve von He3

Das anomale Verhalten der Schmelzkurve von He3 (Abb. 6.20) h¨angt mit den magnetischen Eigenschaften von festem He3 zusammen.41

Abb. 6.20. Schmelzkurve von He3 bei tiefen Temperaturen.

Wie schon in Zusammenhang mit der Clausius-Clapeyron-Gleichung dP SF − SFl = VF ist. Dies f¨ uhrt zu dem in Abschn. 3.8.2 erw¨ahnten Pomerantschuk-Effekt. Die Absch¨ atzung von Tmin ergibt gegen¨ uber dem exexp perimentellen Wert Tmin = 0.3K einen um einen Faktor 0.5 zu kleinen Wert. Dies r¨ uhrt von dem zu großen Wert von SFl her. Gegen¨ uber einem idealen Gas gibt es in einer wechselwirkenden Fermi-Fl¨ ussigkeit Korrelationen, die, wie anschaulich klar ist, deren Entropie erniedrigen und zu einem gr¨oßeren Tmin f¨ uhren.

Vor der Entdeckung der beiden suprafluiden Phasen von He3 wurde theoretisch auch die Existenz eines Maximums der Schmelzkurve unterhalb von 10−3 K diskutiert.41 Dieses wurde aus der T 3 -Abh¨ angigkeit der spezifischen W¨ arme in der antiferromagnetisch geordneten Phase und der linearen spezifischen W¨ arme der Fermi-Fl¨ ussigkeit gefolgert. Dieses Bild a ¨nderte sich jedoch mit der Entdeckung der suprafluiden Phasen von He3 (siehe Abb. 4.10). Die spezifische W¨ arme der Fl¨ ussigkeit verh¨ alt sich f¨ ur niedere Temperaturen wie e−∆/kT , mit einer Konstanten ∆ (Energiel¨ ucke) und deshalb steigt die Schmelzkurve f¨ ur T → 0 an und hat bei T = 0 die Steigung 0.

Literatur A.I. Akhiezer, V.G. Bar’yakhtar and S.V. Peletminskii, Spin Waves, North Holland, Amsterdam, 1968 N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1976 R. Becker u. W. D¨ oring, Ferromagnetismus, Springer, Berlin, 1939 W.F. Brown, Magnetostatic Principles in Ferromagnetism, North Holland, Amsterdam, 1962 F. Keffer, Spin Waves, Handbuch der Physik, Band XVIII/2, S.1. Ferromagnetismus, Hrsg. S. Fl¨ ugge, Springer, Berlin (1966) Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 3rd ed., John Wiley, 1967 Ch. Kittel, Thermal Physics, John Wiley, New York, 1969 D.C. Mattis, The Theory of Magnetism, Harper and Row, New York, 1965 W. Nolting, Quantentheorie des Magnetismus 1 und 2, Teubner Studienb¨ ucher, Teubner, Stuttgart, 1986 A.B. Pippard, Elements of Classical Thermodynamics, Cambridge at the University Press, 1964 H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Clarendon Press, Oxford, 1971

Aufgaben zu Kapitel 6

329

J.H. van Vleck, The Theory of Magnetic and Electric Susceptibilites, Oxford University Press, 1932 D. Wagner, Introduction to the Theory of Magnetism, Pergamon Press, Oxford, 1972

Aufgaben zu Kapitel 6 6.1 Zeigen Sie (6.1.24c) f¨ur den Hamilton-Operator (6.1.25), indem Sie A(T, M ) = −kT log Sp e−βH + HM bei festem M zweimal nach T ableiten.

6.2 Klassischer Paramagnet: Betrachten Sie einSystem von N nichtwechselwir-

kenden, klassischen magnetischen Magneten µi ( µ2i = m) in einem magnetischen  Feld H, mit der Hamilton-Funktion H = − N i=1 µi H . Berechnen Sie das klassische Zustandsintegral, die freie Energie, die Entropie, die Magnetisierung und die isotherme Suszeptibilit¨ at. Siehe Anleitung nach Gl. (6.3.12b)

6.3 Quantenmechanischer Paramagnet, in Analogie zum Haupttext: (a) Berechnen Sie die Entropie und die innere Energie eines idealen Paramagneten als Funktion von T . Zeigen Sie f¨ ur T → ∞ S = N k ln (2J + 1) und diskutieren Sie die Temperaturabh¨ angigkeit nahe T = 0. (b) Berechnen Sie die W¨ armekapazit¨ aten CH und CM f¨ ur ein nichtwechselwirkendes Spin-1/2-System.

6.4 Suszeptibilit¨at und Schwankungsquadrat von harmonischen Oszillatoren. Betrachten Sie den quantenmechanischen harmonischen Oszillator mit Ladung e in einem elektrischen Feld E H=

p2 mω 2 2 + x − eEx . 2m 2

Zeigen Sie, daß die dielektrische Suszeptibilit¨ at die Form χ=

∂ex e2 = ∂E mω 2

und das Schwankungsquadrat die Form 

 x2 =


β
ω ctgh 2ωm 2

besitzen, woraus χ=

 2 2 tgh β
ω 2 x
ω

folgt. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem Paramagnetismus ungekoppelter magnetischer Momente! Beachten Sie den Unterschied zwischen starren Momenten und induzierten Momenten und die daraus resultierende unterschiedliche Temperaturabh¨ angigkeit der Suszeptibilit¨ at. Bilden Sie den klassischen Grenzfall β
ω 1.

330

6. Magnetismus

6.5 Betrachten Sie einen Festk¨orper, der N Freiheitsgrade besitzt, die jeweils durch zwei Energieniveaus bei ∆ und −∆ charakterisiert sind. Zeigen Sie, daß

2 ∆ dE ∆ 1 E = −N ∆ tanh , C= = Nk ∆ kT dT kT cosh2 kT gilt. Wie verh¨ alt sich die spezifische W¨ arme f¨ ur T  ∆/k und T ∆/k ?

6.6 Wenn das System aus 6.5 ungeordnet ist, so daß alle Werte von ∆ im Intervall

0 ≤ ∆ ≤ ∆0 mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommen, zeigen Sie, daß dann die spezifische W¨ arme f¨ ur kT ∆0 proportional zu T ist. Hinweis: Die innere Energie dieses Systems erh¨ alt man aus Aufgabe 6.5 durch Mittelung u ur die lineare spezifische W¨ arme ¨ ber alle ∆. Dieses dient als Modell f¨ von Gl¨ asern bei tiefen Temperaturen.

6.7 Zeigen Sie die G¨ultigkeit des Fluktuations-Response-Theorems Gl. (6.5.35). 6.8 In einem Ferromagneten werden zwei Defekte an den Stellen x1 und x2 eingebracht, die an diesen Stellen magnetische Felder h1 und h2 erzeugen. Berechnen Sie die Wechselwirkungsenergie dieser Defekte f¨ ur |x1 − x2 | > ξ. F¨ ur welche Vorzeichen der hi ziehen sich die Defekte an?   ¯ =  Anleitung: Die Energie ist in Molekularfeldn¨ aherung E l,l Sl  Sl  J(l − l ). F¨ ur jeden einzelnen Defekt ist Sl 1,2 = G (xi − x1,2 ) h1,2 , wo G die OrnsteinZernike-Korrelationsfunktion ist. F¨ ur zwei Defekte, die weit entfernt sind, kann Sl  als die lineare Superposition der Einzeldefektmittelwerte gen¨ ahert werden. Die ¯ f¨ Wechselwirkungsenergie erh¨ alt man, indem man E ur diese lineare Superposition berechnet und davon die Energien f¨ ur die einzelnen Defekte abzieht.

6.9 Eindimensionales Ising-Modell: Berechnen Sie die Zustandssumme ZN f¨ur ein eindimensionales Ising-Modell mit N Spins mit dem Hamilton-Operator H=−

N−1 

Ji Si Si+1 .

i=1

Hinweis: Zeigen Sie die Rekursionsrelation ZN+1 = 2ZN cosh (JN /kT ).

6.10 (a) Berechnen Sie die Zweispin-Korrelationsfunktion Gi,n := Si Si+n  f¨ur das eindimensionale Ising Modell aus Aufgabe 6.9. Hinweis: Die Korrelationsfunktion kann durch entsprechendes Ableiten der Zustandssumme nach den Wechselwirkungen gefunden werden. Beachten Sie Si2 = 1. Resultat: Gi,n = tanhn (J/kT ) f¨ ur Ji = J. (b) Bestimmen Sie das Verhalten der u ¨ ber Gi,n = e−n/ξ definierten Korrelationsl¨ ange f¨ ur T → 0. (c) Berechnen Sie die Suszeptibilit¨ at aus dem Fluktuations-Response-Theorem: χ=

N N (gµB )2   Si Sj  . kT i j

¨ Hinweis: Uberlegen Sie, wieviele Terme mit |i − j| = 0, |i − j| = 1, |i − j| = 2 usw. in der Doppelsumme vorkommen. Berechnen Sie die auftretenden geometrischen Reihen. Resultat:

Aufgaben zu Kapitel 6 χ=

(gµB )2 kT



N

1+α 1−α

5 2α 1 − αN


 −

(1 − α)2

; α = tanh

331

J . kT

(d) Zeigen Sie, daß im thermodynamischen Limes (N → ∞) χ ∝ ξ f¨ ur T → 0, und somit γ/ν = 1. (e) Zeichnen Sie χ−1 im thermodynamischen Limes als Funktion der Temperatur. (f ) Wie erh¨ alt man daraus die Suszeptibilit¨ at f¨ ur eine antiferromagnetisch gekoppelte lineare Kette? Zeichnen und diskutieren Sie χ als Funktion der Temperatur.

6.11 Zeigen Sie, daß in der Molekularfeld-N¨aherung f¨ur das Ising-Modell die innere Energie E

 1 E = − kTc m2 − hm N 2 und die Entropie S durch  
 Tc 1 S = kN − m2 − hm + log 2 cosh(kTc m + h)/kT T kT gegeben sind. Unter Benutzung der Zustandsgleichung gilt auch

S = −kN

1+m 1+m 1−m 1−m log + log 2 2 2 2

 .

Entwickeln Sie ferner a(T, m) = e − T s + mh bis zur 4. Potenz in m.

6.12 Eine Verbesserung der Molekularfeldtheorie f¨ur ein Ising-Spinsystem kann folgendermaßen eingef¨ uhrt werden (Bethe-Peierls-N¨ aherung). Man behandelt die Wechselwirkung eines Spin σ0 mit seinen z Nachbarn exakt. Die restlichen Wechselwirkungen werden durch ein Molekularfeld h ber¨ ucksichtigt, das nur auf die z Nachbarn wirkt. Der Hamilton-Operator lautet damit: H = −h

z  j=1

σj − J

z 

σ0 σj − hσ0 .

j=1

Das ¨ außere Feld h wirkt direkt auf den zentralen Spin und sei gegebenenfalls in h enthalten. H  wird selbstkonsistent aus der Bedingung σ0  = σj  bestimmt. (a) Zeigen Sie, daß die Zustandssumme Z (h , T ) die Gestalt 

 z 

 z h J h J −h/kT Z = 2 cosh + e + 2 cosh − eh/kT kT kT kT kT = Z+ + Z− hat. (b) Berechnen Sie die Mittelwerte σ0  und σj  der Einfachheit halber f¨ ur h = 0. Ergebnis: σ0  = (Z+ − Z− ) /Z , z 1 1 ∂ σj  = σj  =
h  log Z = z j=1 z ∂ kT



    1 h J h J = Z+ tanh − + Z− tanh − . z kT kT kT kT

332

6. Magnetismus

(c) Die Gleichung σ0  = σj  hat unterhalb von Tc eine von Null verschiedene L¨ osung:  J h  cosh + kT kT h 1 = log
J  . h kT (z − 1) 2 cosh kT − kT Bestimmen Sie Tc und h durch Entwickeln der Gleichung nach Ergebnis:

h kT

.

J tanh = 1/ (z − 1) kTc

 2   h cosh3 (J/kT ) J 1 =3 tanh − + ... . kT sinh (J/kT ) kT z−1

6.13 Im sog. Weiß-Modell wechselwirkt jeder der N Spins mit jedem gleich stark H=−

 1 J σl σl − h σl . 2  l,l

l

ˆ

J Dabei ist J = N . Dieses Modell l¨ aßt sich exakt l¨ osen; zeigen Sie, daß das Ergebnis der Molekularfeldtheorie resultiert.

6.14 Magnonen (= Spinwellen) in Ferromagneten. Der Heisenberg-Hamilton-Operator, der eine Beschreibung von bestimmten Ferromagneten leistet, ist durch H=−

1 J (|xl − xl |) Sl Sl 2  l,l

gegeben, wobei l und l n¨ achste Nachbarn in einem kubischen Gitter sind. Durch die Holstein-Primakoff-Transformation √ √ Sl+ = 2S ϕ (nl ) al , Sl− = 2S a+ Slz = S − nl l ϕ (nl ) , 
± 

S = Slx ± iSly mit ϕ (nl ) = 1 − nl /2S, nl = a†l al und al , a†l = δll sowie l

al , al = 0 werden die Spin-Operatoren auf Bose-Operatoren transformiert. (a) Zeigen Sie, daß die Vertauschungsregeln f¨ ur die Spinoperatoren erf¨ ullt sind. (b) Stellen Sie den Heisenberg-Operator bis in zweiter Ordnung (harmonische N¨ aherung) durch die Bose-Operatoren {al } dar, indem Sie die Wurzeln in der obigen Transformation in eine Taylor-Reihe entwickeln. (c) Diagonalisieren Sie H (durch eine Fourier-Transformation) und bestimmen Sie die Magnonendispersionsrelation.

6.15 (a)  Zeigen Sie, daß ein Magnon die z-Komponente des gesamten Spinoperaz z tors S ≡

l

Sl um
erniedrigt.

(b) Berechnen Sie die Temperaturabh¨ angigkeit der Magnetisierung! (c) Zeigen Sie, daß es im ein- und zweidimensionalen Spingitter keine ferromagnetische Ordnung bei endlicher Temperatur geben kann!

Aufgaben zu Kapitel 6

333

6.16 Gegeben sei ein Heisenberg-Modell in einem ¨außeren Feld H.  1
J l − l Sl Sl − µ · H , 2  l,l gµB  µ=− Sl .


H=−

l

Zeigen Sie, daß die isothermen Suszeptibilit¨ aten χ|| (parallel zu H) und χ⊥ (senkrecht zu H) nicht negativ sind. Anleitung: F¨ uhren Sie in den Hamilton-Operator ein zus¨ atzliches Feld ∆H ein und leiten Sie nach diesem ab. F¨ ur χ|| , d.h. ∆H || H folgt die Behauptung wie in Abschnitt 3.3 u at. F¨ ur beliebig orientiertes ∆H kann man ¨ ber die Kompressibilit¨ zweckm¨ aßigerweise die Entwicklung aus Anhang C verwenden.

6.17 Die spezifische W¨arme bei konstanter Magnetisierung sei cM , bei konstantem Feld cH . Zeigen Sie, daß f¨ ur die isotherme und adiabatische Suszeptibilit¨ at die Relation (6.1.22c) gilt. Volumens¨ anderungen des magnetischen Materials werden hier vernachl¨ assigt. 6.18 Ein paramagnetisches Material erf¨ullt das Curie-Gesetz M =c

H , T

wobei c eine Konstante ist. Zeigen Sie unter Beachtung von T dS = dE − H dM , ¨ daß f¨ ur eine adiabatische Anderung (das Volumen sei konstant) gilt dTad =

H c dH . cH T

cH ist die spezifische W¨ arme bei konstantem Magnetfeld.

6.19 Eine paramagnetische Substanz erf¨ullt das Curie-Gesetz M =

c T

H (c konst.) und die innere Energie E ist gegeben durch E = aT (a > 0, konst.). (a) Welche W¨ armemenge, δQ, wird bei einer isothermen Magnetisierung abgegeben, wenn das Magnetfeld von 0 auf H1 erh¨ oht wird. (b) Wie ¨ andert sich die Temperatur, wenn Sie nun das Feld adiabatisch von H1 auf 0 reduzieren? 4

6.20 Zeigen Sie die Zusammenh¨ange zwischen der formabh¨angigen und der formunabh¨ angigen spezifischen W¨ arme (6.6.11a), (6.6.11b) und (6.6.11c).

6.21 Polymer in eingeschr¨ankter Geometrie: Betrachten Sie ein Polymer, das sich in einem konischen Kasten befindet (wie dargestellt). Warum bewegt sich das Po¨ lymer in Richtung der gr¨ oßeren Offnung? (Keine Rechnung!)

7. Phasenu ange, Skaleninvarianz, ¨ berg¨ Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Dieses Kapitel kn¨ upft unmittelbar an die Ergebnisse der beiden vorhergehenden u ubergang und den Gas-Fl¨ ussigkeits¨ber den ferromagnetischen Phasen¨ ¨ Ubergang an. Zun¨ achst werden einige allgemeine Betrachtungen u ¨ ber Symmetriebrechung und Phasen¨ uberg¨ ange vorangestellt. Dann werden verschiedene Phasen¨ uberg¨ ange und kritische Punkte besprochen und Analogien aufgezeigt. Anschließend befassen wir uns eingehend mit dem kritischen Verhalten und werden durch die statische Skalentheorie eine ph¨anomenologische Beschreibung derartiger Erscheinungen geben. Im darauf folgenden Abschnitt werden die wesentlichen Gedanken der Renormierungsgruppentheorie in einem einfachen Modell besprochen und dabei die Skalengesetze abgeleitet. Schließlich f¨ uhren wir die Ginzburg-Landau-Theorie1 ein, die einen wichtigen Grundstein f¨ ur die verschiedenen N¨ aherungsmethoden in der Theorie kritischer Ph¨ anomene bildet. Der erste, einleitende Abschnitt dieses Kapitels soll die Reichhaltigkeit und Vielf¨ altigkeit der Erscheinungen der Phasen¨ uberg¨ange zeigen und dem Leser die Faszination dieses Gebietes nahebringen. Er f¨allt dabei etwas aus dem Rahmen des Buches, weil nur ph¨ anomenologische Beschreibungen ohne statistische, theoretische Behandlungen geboten werden. Alle diese vielf¨altigen Erscheinungen k¨ onnen im Rahmen einer einheitlichen Theorie, der Renormierungsgruppentheorie, beschrieben werden, die von so herausragender theoretischer Wirkungskraft ist, daß sie auch in der Quantenfeldtheorie der Elementarteilchen grundlegend ist.

7.1 Phasenu ange, kritische Ph¨ anomene ¨ berg¨ 7.1.1 Symmetriebrechung, Ehrenfestsche Klassifizierung Die fundamentalen Naturgesetze, die der Materie zugrunde liegen (Maxwellsche Elektrodynamik, Schr¨ odinger-Gleichung eines Vielteilchensystems), zeichnen sich durch eine Reihe von Symmetrieeigenschaften aus. Sie sind 1

Die russische Literatur wird h¨ aufig in der englischen Transkription zitiert, weil ¨ deren Ubersetzungen ins Englische am verbreitetsten sind, d.h. z.B. Ginzburg statt Ginsburg.

336

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

invariant gegen r¨ aumliche und zeitliche Translation, gegen Drehungen und Spiegelungen. Die in der Natur realisierten Zust¨ ande haben im allgemeinen nicht die volle Symmetrie der Naturgesetze. Ein Festk¨orper ist nur mehr invariant gegen diskrete Translationen und gegen¨ uber Drehungen von einer Punktgruppe. Die Materie besitzt also verschiedene Aggregatszust¨ande oder Phasen, die sich in ihrer Symmetrie und folglich in ihren thermischen, mechanischen und elektromagnetischen Eigenschaften unterscheiden. Durch die ¨außeren Bedingungen (Druck P , Temperatur T , Magnetfeld H, elektrisches Feld E, . . .) wird bestimmt, in welcher der m¨ oglichen Phasen eine chemische Substanz ¨ mit bestimmten Wechselwirkungskr¨ aften vorliegt. Andert man die ¨außeren Kr¨ afte oder die Temperatur, so kann bei bestimmten Werten dieser Gr¨oßen ein System von einer Phase in eine andere u ¨ bergehen: es findet ein Phasen¨ ubergang statt. Ehrenfestsche Klassifizierung: Wie aus den bisherigen Beispielen f¨ ur Phasen¨ uberg¨ ange ersichtlich ist, ist die freie Energie (oder ein anderes, geeignetes thermodynamisches Potential) am Phasen¨ ubergang eine nichtanalytische Funktion eines Kontrollparameters. Die folgende von Ehrenfest eingef¨ uhrte Klassifizierung von Phasen¨ uberg¨ angen ist gebr¨ auchlich. Ein Phasen¨ ubergang n-ter Ordnung ist dadurch definiert, daß mindestens eine der n-ten Ableitungen des thermodynamischen Potentials unstetig ist, w¨ahrend alle niedrige¨ ren Ableitungen stetig sind. Bei unstetiger Anderung einer der ersten Ableitungen spricht man von einem Phasen¨ ubergang erster Ordnung, bei stetiger ¨ Anderung der ersten Ableitung und Singularit¨ aten oder Diskontinuit¨aten der zweiten Ableitungen von einem Phasen¨ ubergang zweiter Ordnung oder auch kritischem Punkt bzw. kontinuierlichem Phasen¨ ubergang. Es geh¨ ort sicher zu den interessantesten Fragestellungen der Physik der kondensierten Materie, zu verstehen, welche Phasen ein bestimmtes Material unter bestimmten ¨ außeren Bedingungen einnimmt. Wegen ihrer unterschiedlichen Eigenschaften ist dies auch f¨ ur Anwendungen von Materialien von Bedeutung. Dar¨ uber hinaus ist das Verhalten in der N¨ahe von Phasen¨ uberg¨ angen von grunds¨ atzlichem Interesse. Dabei wollen wir hier auf zwei Aspekte besonders hinweisen. Wieso kommt es trotz der Kurzreichweitigkeit der Wechselwirkung zu langreichweitigen Korrelationen von Fluktuationen in der N¨ ahe des kritischen Punktes und zu langreichweitiger Ordnung unterhalb von Tc ? Welchen Einfluß hat die innere Symmetrie des Ordnungsparameters? Grunds¨ atzliche Fragen dieser Art haben weit u ¨ ber die Physik der kondensierten Materie hinaus Bedeutung. Die Renormierungsgruppentheorie wurde urspr¨ unglich im Rahmen der Quantenfeldtheorie entwickelt. In Zusammenhang mit kritischen Ph¨ anomenen wurde sie von Wilson2 in einer Weise formuliert, aus der die unterliegende Struktur nichtlinearer Feldtheorien ersichtlich wurde, und die auch systematische und detaillierte Berechnungen erlaubte. Dieser entscheidende Durchbruch f¨ uhrte nicht nur zu einem gewaltigen Anstieg der 2

K.G. Wilson, Phys. Rev. B 4, 3174, 3184 (1971).

7.1 Phasen¨ uberg¨ ange, kritische Ph¨ anomene

337

Kenntnis und des tieferen Verst¨ andnisses der kondensierten Materie, sondern hatte auch bedeutende R¨ uckwirkungen auf die quantenfeldtheoretischen Anwendungen der Renormierungsgruppentheorie in der Elementarteilchenphysik. ∗

7.1.2 Beispiele f¨ ur Phasen¨ uberg¨ ange und Analogien

Zun¨ achst wollen wir die wesentlichen Merkmale von Phasen¨ uberg¨angen darstellen, indem wir an Kap. 5 und 6 ankn¨ upfend, die schon dort erw¨ahnte ¨ Analogie und die Gemeinsamkeiten zwischen dem Fl¨ ussigkeits-Gas-Ubergang ¨ und dem ferromagnetischen Ubergang weiter analysieren. Dazu betrachten wir die verschiedenen Projektionen der Zustandsgleichung. In Abb. 7.1a,b sind die Zustandsdiagramme einer Fl¨ ussigkeit und eines Ferromagneten dargestellt. Den beiden ferromagnetischen Ordnungen in einem Ising Ferromagneten (Spin nach oben“ und unten“) entsprechen die fl¨ ussige und die ” ” gasf¨ ormige Phase. Der kritische Punkt entspricht der Curie-Temperatur. Wegen der Symmetrie des Hamilton-Operators f¨ ur H = 0 gegen¨ uber der Opeur alle l liegt die Phasengrenzlinie symmetrisch in der ration σl → −σl f¨ H-T -Ebene. Die ferromagnetische Ordnung wird durch den Ordnungsparameter m bei H = 0 charakterisiert. Dieser ist Null oberhalb von Tc und ±m0 unterhalb von Tc , wie in Abb. 7.1d im M -T -Diagramm dargestellt. Die entsprechende Gr¨oße kann man f¨ ur die Fl¨ ussigkeit dem V -T -Diagramm von Abb.7.1c entnehmen. Der Ordnungsparameter ist hier (ρF l − ρc ) bzw. (ρG − ρc ). Im Alltags¨ leben beobachtet man den Fl¨ ussigkeits-Gas-Ubergang meist bei konstantem

Abb. 7.1a,b. Phasendiagramme (a) einer Fl¨ ussigkeit (P -T ) und (b) eines Ferromagneten (H-T ). (Tripelpunkt (T.P.), kritischer Punkt (K.P.))

338

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

¨ Abb. 7.1c,d. Ordnungsparameter f¨ ur den Gas-Fl¨ ussigkeit-Ubergang (c) (darunter ¨ Natterer-R¨ ohren) und f¨ ur den ferromagnetischen Ubergang (d).

Druck weit unterhalb von Pc . Bei Erhitzung ¨ andert sich die Dichte diskontinuierlich als Funktion der Temperatur. Deshalb bezeichnet man den Verdampfungs¨ ubergang meist als erster Ordnung und den kritischen Punkt als Endpunkt der Verdampfungskurve, bei dem der Unterschied zwischen Gas und Fl¨ ussigkeit verschwindet. Die Analogie zwischen dem Gas-Fl¨ ussigkeits- und ¨ dem ferromagnetischen Ubergang wird deutlicher, wenn man die Fl¨ ussigkeit in einer sogenannten Natterer-R¨ ohre3 untersucht. Diese ist eine abgeschlossene R¨ ohre, in der die Substanz deshalb eine feste vorgegebene Dichte besitzt. Falls man die Stoffmenge so w¨ ahlt, daß die Dichte gleich der kritischen ρc ist, dann gibt es oberhalb von Tc eine fluide Phase, w¨ ahrend bei Abk¨ uhlung diese in eine dichtere, fl¨ ussige und eine durch einen Meniskus getrennte, d¨ unnere gasf¨ ormige Phase aufspaltet. Dies entspricht der Abk¨ uhlung eines Ferromagneten bei H = 0. Oberhalb von Tc liegt der ungeordnete paramagnetische Zustand vor, und unterhalb zerf¨ allt der K¨ orper in (mindestens zwei) nega-

3

Siehe Zitat in Abschnitt 3.8.

7.1 Phasen¨ uberg¨ ange, kritische Ph¨ anomene

339

Abb. 7.1e,f. Die Isothermen (e) im P -V - und (f ) im M -H-Diagramm

tiv und positiv orientierte ferromagnetische Phasen.4 In Abb. 7.1e,f sind die ¨ Isothermen im P -V - und M -H-Diagramm dargestellt. Die Ahnlichkeit der Isothermen ist nach Drehung der zweiten Abbildung um 90◦ offenkundig. In Ferromagneten kommt wieder die besondere Symmetrie zum Ausdruck. Da die Phasengrenzkurve im P -T -Diagramm der Fl¨ ussigkeit schr¨ag liegt, fallen die horizontalen Abschnitte der Isothermen des P -V -Diagramms nicht zusammen. In Abb.7.1g,h sind schließlich die Zustandsfl¨achen dargestellt.

Abb. 7.1g,h. Die Zustandsfl¨ ache der Fl¨ ussigkeit (g) und des Ferromagneten (h).

4

In Ising-Systemen sind es zwei, in Heisenberg-Systemen ohne Feld kann die Magnetisierung in jede beliebige Raumrichtung zeigen, da der Hamilton-Operator (6.5.2) drehinvariant ist.

340

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Das Verhalten in unmittelbarer N¨ ahe eines kritischen Punktes wird durch Potenzgesetze mit kritischen Exponenten charakterisiert, welche f¨ ur Ferromagnete und Fl¨ ussigkeiten in Tab. 7.1 zusammengefaßt sind. Wie in Kap. 5 c und 6 bedeutet τ = T −T ur den OrdTc . Die kritischen Exponenten β, γ, δ, α f¨ nungsparameter, die Suszeptibilit¨ at, die kritische Isotherme und die spezifische W¨ arme sind Ziel der Theorie und des Experiments. Weitere Analogien werden sich sp¨ ater bei den Korrelationsfunktionen und den daraus folgenden Streuph¨ anomenen zeigen. Tabelle 7.1. Ferromagnet, Fl¨ ussigkeit, kritische Exponenten Ferromagnet

Fl¨ ussigkeit

Kritisches Verhalten

Ordnungsparameter

M

(VG,F − Vc ) oder (ρG,F − ρc )

(−τ )β

T < Tc

isotherme Suszeptibilit¨ at

magnetische Suszeptibilit¨
 at χT = ∂M ∂H T

isotherme Kompressibilit¨
at κT = − V1 ∂V ∂P T

∝ |τ |−γ

T ≷ Tc

Kritische Isotherme (T = Tc )

H = H(M )

P = P (V − Vc )

∼ Mδ ∼ (V − Vc )δ

T = Tc

Spezifische W¨ arme

CM =0
∂S=CH=0 = T ∂T H

CV = T

∝ |τ |−α

T ≷ Tc


∂S  ∂T

V

Die allgemeine Definition des Wertes eines kritischen Exponenten einer Funktion f (T − Tc ), die nicht von vornherein eine reine Potenzfunktion ist, lautet Exponent = lim

T →Tc

d log f (T − Tc ) . d log(T − Tc )

(7.1.1)

Falls f von der Form f = a + b (T − Tc ) ist: d log(a + T − Tc ) 1 = · d log(T − Tc ) a + (T − Tc )

1 d log (T −Tc ) d (T −Tc )

=

T − Tc −→ 0 . a + (T − Tc )

Falls f logarithmisch divergiert, gilt d log log (T − Tc ) 1 = −→ 0 . d log(T − Tc ) log(T − Tc ) In diesen beiden F¨ allen ist der Wert des kritischen Exponenten Null. Der erste Fall tritt bei der spezifischen W¨ arme in Molekularfeldn¨ aherung auf, der zweite bei der spezifischen W¨ arme des zweidimensionalen Ising-Modells. Der Grund auch hier kritische Exponenten einzuf¨ uhren, liegt in den im n¨ achsten Abschnitt behandelten Skalengesetzen. Um auf die unterschiedliche Bedeutung des Exponenten Null hinzuweisen (Sprung oder Logarithmus), wird manchmal 0Sp oder 0log geschrieben.

7.1 Phasen¨ uberg¨ ange, kritische Ph¨ anomene

341

Von der Vielzahl der Phasen¨ uberg¨ ange5,6 wollen wir hier nur einige Beispiele anf¨ uhren. Im Bereich der magnetischen Substanzen findet man Antiferromagnete (z.B. mit zwei Untergittern mit entgegengesetzter Magnetisierung M1 und M2 , und dem Ordnungsparameter N ≡ M1 − M2 , der sog. alternierenden Magnetisierung), Ferrimagnete und helikale Phasen. In Fl¨ ussigkeitsgemischen gibt es Entmischungs¨ uberg¨ ange, wo der Ordnungsparameter die Konzentration charakterisiert. Bei strukturellen Phasen¨ uberg¨angen ¨andert sich die Gitterstruktur, wobei der Ordnungsparameter durch das Verschiebungsfeld oder den Deformationstensor gegeben ist. Beispiele sind Ferro¨ elektrika7 und distortive Uberg¨ ange, bei denen die Ordnungsparameter z.B. durch die elektrische Polarisation P oder durch den Drehwinkel ϕ von Mo¨ lek¨ ulgruppen gegeben sind. Schließlich gibt es Uberg¨ ange in makroskopische Quantenzust¨ ande, n¨ amlich Suprafluidit¨ at und Supraleitung. Der Ordnungsparameter ist hier ein komplexes Feld ψ, die makroskopische Wellenfunktion, und die gebrochene Symmetrie ist die Eichinvarianz bez¨ uglich der Phase ¨ von ψ. Beim Ubergang fl¨ ussig-fest wird die Translationssymmetrie gebrochen und der Ordnungsparameter ist eine Komponente der Fourier-transformierten ¨ Dichte. Dieser Ubergang endet nicht in einem kritischen Punkt. ¨ In Tab. 7.2 haben wir f¨ ur einige dieser Uberg¨ ange den Ordnungsparameter und ein Substanzbeispiel angegeben. Generell versteht man unter dem Ordnungsparameter eine Gr¨oße, die oberhalb des kritischen Punktes Null und unterhalb endlich ist und welche die strukturelle oder sonstige Ver¨ anderung charakterisiert, wie z.B. den Erwartungswert von Gitterauslenkungen oder einer Komponente des gesamten magnetischen Momentes. Zur Verdeutlichung einiger Begriffe wollen wir an dieser Stelle ein verallgemeinertes anisotropes, ferromagnetisches Heisenberg-Modell diskutieren H=−

 % 1 $ J (l − l )σlz σlz + J⊥ (l − l )(σlx σlx + σly σly ) −h σlz , (7.1.2) 2  l,l

l

wo σ l = (σlx , σly , σlz ) der dreidimensionale Pauli-Spin-Operator am Gitterplatz xl und N die Zahl der Gitterpl¨ atze ist. Dieser Hamilton-Operator enth¨ alt f¨ ur J (l − l ) > J⊥ (l − l ) ≥ 0 den uniaxialen Ferromagneten und 5

6

7

¨ Wir weisen auf zwei Ubersichtsartikel hin, in denen die Literatur bis 1966 zusammengefaßt ist: M.E. Fisher, The Theory of Equilibrium Critical Phenomena, S. 615 und P. Heller, Experimental Investigations of Critical Phenomena, S. 731, beides in Reports on Progress in Physics XXX (1967). ¨ Einen Uberblick u anomene bei Phasen¨ uberg¨ angen und ¨ ber die wichtigsten Ph¨ die theoretischen Methoden kann man auch in W.Gebhardt und U.Krey, Phasen¨ uberg¨ ange und kritische Ph¨ anomene, Vieweg, 1980 erhalten. Bei einer Reihe von strukturellen Phasen¨ uberg¨ angen springt der Ordnungspara¨ meter bei der Ubergangstemperatur diskontinuierlich auf einen endlichen Wert. Hier liegt nach der Ehrenfestschen Klassifizierung ein Phasen¨ ubergang erster Ordnung vor.

342

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Tabelle 7.2. Phasen¨ uberg¨ ange (Kritische Punkte), Ordnungsparameter, Substanzen Phasen¨ uberg¨ ange Paramagnet-Ferromagnet (Curie-Temperatur)

Ordnungsparameter Magnetisierung M

Paramagnet-Antiferromagnet alternierende N = M1 − M2 (N´eel-Temperatur) Magnetisierung

Substanz Fe RbMnF3

Gas-Fl¨ ussigkeit (Kritischer Punkt)

Dichte

ρ − ρc

CO2

Entmischung von bin¨ aren Fl¨ ussigkeiten

Konzentration

c − cc

Methanoln-Hexan

Ordnungs-Unordnungs¨ Uberg¨ ange

Untergitterbesetzung

NA − NB

Cu-Zn

Paraelektrisch-ferroelektrisch

Polarisation

P

BaTiO3

Distortive strukturelle Umwandlungen

Drehwinkel

ϕ

SrTiO3

Elastische Phasen¨ uberg¨ ange

Deformation

!

KCN

He I–He II (Lambda-Punkt)

Bose-Kondensat Ψ

He4

Normalleiter-Supraleiter

Cooper-PaarAmplitude

Nb3 Sn

∆

f¨ ur J⊥ (l − l ) = J (l − l ) das isotrope Heisenberg-Modell (6.5.2). Im ersten Fall ist der auf die Zahl der Gitterpl¨ atze bezogene Ordnungsparameter    (h = 0) die einkomponentige Gr¨ oße N1 l σlz , d.h. die Zahl der  Kompo  nenten n ist n = 1. Im zweiten Fall ist der Ordnungsparameter N1 l σ l , welcher in jede beliebige Richtung zeigen kann (h = 0!), die Komponentenzahl ist hier n = 3. F¨ ur J⊥ (l − l ) > J (l − l ) ≥ 0 liegt der sogenannte planare  Ferromagnet vor, in welchem der Ordnungsparameter N1 l (σlx , σly , 0) zwei Komponenten, n = 2, besitzt. Ein Spezialfall des uniaxialen Ferromagneten ist das Ising-Modell (6.5.4) mit J⊥ (l − l ) = 0. Der uniaxiale Ferromagnet hat als Symmetrieelemente alle Drehungen um die z-Achse, die diskrete Symmetrie (σlx , σly , σlz ) → (σlx , σly , −σlz ) und deren Produkte. Unterhalb von Tc ist die diskrete Symmetrie gebrochen. Beim planaren Ferromagneten ist die (kontinuierliche) Drehsymmetrie um die z-Achse und im Fall des isotropen Heisenberg-Modells die O(3)-Symmetrie, also die Drehinvarianz um eine beliebige Achse, gebrochen. Man k¨ onnte sich fragen,  wieso z.B. f¨ ur den Ising-Hamilton-Operator ohne a¨ußeres Feld u Null sein kann,denn aus ¨ berhaupt N1  σl  verschieden von  der Invarianz-Operation {σlz }  → {−σlz } folgt N1  l σlz  = − N1  l σlz . In einem endlichen System ist N1  σlz h f¨ ur endliches h analytisch in h, und

7.1 Phasen¨ uberg¨ ange, kritische Ph¨ anomene

1  z  lim σl =0. h→0 N l

343

(7.1.3)

h

F¨ ur endliches N tragen auch Konfigurationen mit dem Feld entgegengesetzten Spins zur Zustandssumme bei und haben immer mehr Gewicht je kleiner h ist. Die mathematisch pr¨ azise Definition des Ordnungsparameters lautet σ = lim

lim

h→0 N →∞

1  z  σl , N l

(7.1.4)

h

zuerst erfolgt der thermodynamische Limes N → ∞ und dann h → 0. Diese Gr¨ oße kann unterhalb von Tc verschieden von Null sein. F¨ ur N → ∞ haben Zust¨ ande mit falscher Orientierung auch f¨ ur beliebig kleines, aber endliches Feld verschwindendes Gewicht in der Zustandssumme. 7.1.3 Universalit¨ at In der N¨ ahe von kritischen Punkten ist die Topologie der Phasendiagramme von so unterschiedlichen Systemen wie einem Gas-Fl¨ ussigkeitsgemisch und einem ferromagnetischen Material erstaunlich ¨ ahnlich, Abb. 7.1. Dar¨ uber hinaus zeigen Experimente und Computersimulationen, daß die kritischen Exponenten f¨ ur die entsprechenden Phasen¨ uberg¨ ange f¨ ur breite Klassen von physikalischen Systemen gleich sind und nur von der Zahl der Komponenten und der Symmetrie des Ordnungsparameters, der Raumdimension und dem Charakter der Wechselwirkung, n¨ amlich ob kurz- oder langreichweitig (z.B. Coulomb-, Dipolkr¨ afte) abh¨ angen. Dieser bemerkenswerte Zug wird als Universalit¨at bezeichnet. Die mikroskopischen Details dieser stark wechselwirkenden Vielteilchensysteme a ¨ußern sich nur in den Vorfaktoren (Amplituden) der Potenzgesetze, und selbst die Verh¨ altnisse derartiger Amplituden sind universelle Zahlen. Der Grund f¨ ur diesen bemerkenswerten Befund liegt in der Divergenz der  −ν c Korrelationsl¨ ange, ξ = ξ0 T −T . Bei Ann¨ aherung an Tc wird ξ zur einziTc gen relevanten L¨ angenskala des Systems, die bei großen Abst¨anden u ¨ber alle mikroskopischen Skalen dominiert. Obwohl der Phasen¨ ubergang in der Regel durch kurzreichweitige Wechselwirkungen der mikroskopischen Konstituenten verursacht wird, ist wegen der großen langreichweitigen Fluktuationen (siehe 6.12) die Abh¨ angigkeit von den mikroskopischen Details wie der Gitterstruktur, der Gitterkonstanten, der Reichweite der Wechselwirkung (so lange sie kurzreichweitig ist) untergeordnet. Im kritischen Bereich verh¨alt sich das System kollektiv, und nur globale Z¨ uge wie die Dimension und die Symmetrie spielen eine Rolle, wodurch das universelle Verhalten verst¨andlich wird.

344

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Die Universalit¨ at kritischer Ph¨ anomene ist nicht auf Materialklassen beschr¨ ankt, sondern geht u ¨ ber diese hinaus. Z.B. ist das statische kritische Verhalten des Gas-Fl¨ ussigkeits¨ uberganges das gleiche wie von IsingFerromagneten. Planare Ferromagneten verhalten sich gleich wie He4 am ¨ Lambda-Ubergang. Auch ohne Verwendung der Renormierungsgruppentheorie kann man diese Zusammenh¨ ange durch folgende Transformationen verstehen.8 Die großkanonische Zustandssumme eines Gases kann man n¨aherungsweise auf die eines Gittergases abbilden, welches ¨ aquivalent einem magnetischen Ising-Modell ist (besetzte (unbesetzte) Zelle = 6 Spin nach oben (unten)). Den Hamilton-Operator einer Bose-Fl¨ ussigkeit kann man auf den eines planaren Ferromagneten abbilden. Die Eichinvarianz des Bose-Hamilton-Operators entspricht der zweidimensionalen Drehinvarianz des planaren Ferromagneten.

7.2 Statische Skalenhypothese9 7.2.1 Thermodynamische Gr¨ oßen, kritische Exponenten In diesem Abschnitt wird die analytische Struktur der thermodynamischen Gr¨ oßen in der N¨ ahe des kritischen Punktes diskutiert und daraus typische Folgerungen f¨ ur die kritischen Exponenten gezogen. Dieser allgemein g¨ ultige Sachverhalt wird in der Sprache des Ferromagneten demonstriert. In der N¨ahe von Tc besitzt die Zustandsgleichung nach Gl. (6.5.16) die Form h 1 = τ m + m3 kTc 3

(7.2.1)

und kann folgendermaßen umgeformt werden kT1 c |τ |h3/2 = sgn(τ ) |τ m + |1/2  3 1 m . Indem wir nach m aufl¨ osen, erhalten wir f¨ ur m die folgende 3 |τ |1/2 Abh¨ angigkeit von τ und h / 0 h 1/2 m(τ, h) = |τ | m± fu ¨ r T ≷ Tc . (7.2.2) 3/2 |τ | 8 9

¨ Siehe z.B. M.E. Fisher, op.cit. und Ubungsaufgabe 7.16. Obwohl die sog. Skalentheorie kritischer Ph¨ anomene durch die Renormierungsgruppentheorie mikroskopisch hergeleitet werden kann (siehe Abschnitt 7.3.4), ist es aus folgenden Gr¨ unden zweckm¨ aßig, sie zun¨ achst ph¨ anomenologisch einzuf¨ uhren. (i) als Motivation f¨ ur die Vorgangsweise der Renormierungsgruppentheorie (ii) zur Darstellung der Struktur von Skalen¨ uberlegungen in physikalischen Situationen, wo noch keine feldtheoretischen, renormierungsgruppentheoretischen Behandlungen m¨ oglich sind (wie z.B. bei vielen Nichtgleichgewichtsph¨ anomenen). Skalen¨ uberlegungen haben ausgehend von kritischen Ph¨ anomenen und Hochenergieskalen in der Elementarteilchenphysik einen großen Einfluß in verschiedensten Gebieten.

7.2 Statische Skalenhypothese

345

Die Funktionen m± f¨ ur T ≷ Tc sind durch (7.2.1) bestimmt. In der N¨ahe des kritischen Punktes h¨ angt die Magnetisierung von τ und h in ganz spezieller 1/2 Weise ab, n¨ amlich abgesehen von dem Faktor |τ | nur von dem Verh¨altnis 3/2 h/|τ | . Die Magnetisierung ist eine verallgemeinerte homogene Funktion von τ und h. Dies impliziert, daß (7.2.2) invariant gegen¨ uber der Skalentransformation h → hb3 , τ → τ b2

und m → mb

ist. Die Skaleninvarianz der physikalischen Eigenschaften ¨außert sich zum Beispiel in der spezifischen W¨ arme von He4 am Lambda-Punkt (Abb. 7.2).

¨ Abb. 7.2. Spezifische W¨ arme bei konstantem Druck, cP , am Lambda-Ubergang ¨ von He4 . Die Form der spezifischen W¨ arme bleibt bei Anderung der Temperaturskala (1K bis 10−6 K) gleich.

Wir wissen aus Kap. 6 und Tab. 7.1, daß die tats¨achlichen kritischen Exponenten von den in (7.2.2) auftretenden Molekularfeldwerten verschieden sind. Es liegt deshalb nahe, die Zustandsgleichung (7.2.2) auf beliebige kritische Exponenten zu erweitern10 10

Abgesehen als Verallgemeinerung der Molekularfeldtheorie, kann man sich die Skalenhypothese (7.2.3) auch plausibel machen, indem man von der Feststellung

346

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

/ m(τ, h) = |τ | m±

0

h

β

|τ |

δβ

,

(7.2.3)

dabei sind β, δ kritische Exponenten, m± heißen Skalenfunktionen. Im momentanen Stadium ist (7.2.3) eine Hypothese; es ist jedoch m¨oglich, diese Hypothese durch die Renormierungsgruppentheorie zu beweisen, wie wir es sp¨ ater in Abschn. 7.3, z.B. Gl. (7.3.40 ), ausf¨ uhren werden. F¨ ur den Moment wollen wir (7.2.3) als gegeben annehmen und nach den allgemeinen Konsequenzen fragen. Die beiden Skalenfunktionen m± (y) m¨ ussen gewisse Grenzbedingungen erf¨ ullen, die aus den in Gl. (6.5.31) und in Tab. 7.1 aufgelisteten kritischen Eigenschaften folgen. Die Magnetisierung ist f¨ ur endliches h immer l¨ angs h orientiert und bleibt im Grenzfall h → 0 unterhalb von Tc endlich, w¨ ahrend sie oberhalb verschwindet: lim m− (y) = sgn y

y→0

,

m+ (0) = 0 .

(7.2.4a)

Die thermodynamischen Funktionen sind genau bei τ = 0, h = 0 nicht analytisch. F¨ ur endliches h ist die Magnetisierung im gesamten Temperaturbereich β endlich und muß als Funktion von τ selbst bei τ = 0 analytisch sein; die |τ | δβ Abh¨ angigkeit von (7.2.3) muß durch die Funktion m± (h/|τ | ) kompensiert werden. Deshalb m¨ ussen sich die beiden Funktionen m± f¨ ur große Argumente wie lim m± (y) ∝ y 1/δ

(7.2.4b)

y→∞

verhalten. Daraus folgt, daß f¨ ur τ = 0, also am kritischen Punkt, m ∼ h1/δ ist. Die Skalenfunktionen m± (y) sind in Abb. 7.3 dargestellt. So wie oben die Molekularfeldvariante des Skalengesetzes besagt auch (7.2.3), daß die Magnetisierung eine verallgemeinerte homogene Funktion von τ und h ist und deshalb invariant gegen¨ uber der Skalentransformation h → hb

βδ ν

1

, τ → τbν

und m → mbβ/ν

ist. Aus dieser Skaleninvarianz leitet sich der Name Skalengesetz ab. Gleichung (7.2.3) enth¨ alt weitere Informationen u ¨ ber die Thermodynamik; durch Integration k¨ onnen wir die freie Energie bestimmen und durch geeignete Ableitungen die magnetische Suszeptibilit¨ at und die spezifische W¨arme. Daraus ausgeht, daß Singularit¨ aten nur bei τ = 0 und h = 0 vorhanden sind. Wie stark sich diese auswirken, h¨ angt vom Abstand vom kritischen Punkt τ und von h/|τ |βδ , also dem Verh¨ altnis zwischen ¨ außerem Feld und dem Feld¨ aquivalent von τ , n¨ amlich hτ = mδ = |τ |βδ , ab. Solange h hτ ist, befindet sich das System effektiv in verschwindendem Feld und m ≈ |τ |β m± (0). Wenn andererseits τ so klein wird, daß |τ | ≤ h1/βδ ist, dominiert der Einfluß des Feldes. Jede weitere Verkleinerung von τ f¨ uhrt zu keiner Ver¨ anderung: m bleibt bei dem Wert, den sie 1 f¨ ur |τ | = h1/βδ hatte, d.h. h δ m± (1). Im Grenzfall τ → 0 muß also m± (y) −→ y β gelten, damit sich in m(τ, h) die singul¨ are Abh¨ angigkeit von τ weghebt.

7.2 Statische Skalenhypothese

347

Abb. 7.3. Das qualitative Verhalten der Skalenfunktionen m± .

folgen Beziehungen zwischen den kritischen Exponenten. F¨ ur die Suszeptibilit¨at finden wir aus Gl. (7.2.3) das Skalengesetz



 ∂m h β−δβ  χ≡ = |τ | m± , (7.2.5) ∂h T |τ |δβ und im Grenzfall h → 0 somit χ ∝ |τ |β−δβ . Daraus folgt, daß der kritische Exponent der Suszeptibilit¨ at γ (Gl. (6.5.31c)) durch γ = −β(1 − δ)

(7.2.6)

gegeben ist. Die spezifische freie Energie ergibt sich durch Integration von (7.2.3) 



h

f − f0 = −

dh m(τ, h) = −|τ |

β+δβ

h0

h/|τ |δβ

h0 /|τ |δβ

dx m± (x) .

Dabei sei h0 gen¨ ugend groß, so daß der Ausgangspunkt außerhalb des kritischen Bereichs liege. Die freie Energie hat also die folgende Gestalt

 h β+δβ ˆ f (τ, h) = |τ | f± + freg (7.2.7) |τ |βδ Hier ist fˆ durch den von der oberen Grenze kommenden Beitrag des Integrals definiert und freg der nichtsingul¨ are Teil der freien Energie. F¨ ur die spezifische W¨ arme bei konstantem Magnetfeld erh¨ alt man durch zweimaliges Ableiten von (7.2.7) ch = −

∂ 2f β(1+δ)−2 ∼ A± |τ | + B± . ∂τ 2

(7.2.8)

Hier sind A± Amplituden, und B± kommt vom regul¨aren Teil. Der Vergleich mit dem durch den kritischen Exponenten α charakterisierten Verhalten der spezifischen W¨ arme (Gl. (6.5.31d)) ergibt

348

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

α = 2 − β(1 + δ) .

(7.2.9)

Die Relationen zwischen den kritischen Exponenten bezeichnet man als Skalenrelationen, da sie aus den Skalengesetzen f¨ ur die thermodynamischen Gr¨ oßen folgen. Wenn wir (7.2.6) und (7.2.9) addieren, erhalten wir γ + 2β = 2 − α .

(7.2.10)

Aus (7.2.6) und (7.2.9) sieht man, daß die u ¨ brigen thermodynamischen kritischen Exponenten durch β und δ bestimmt sind. 7.2.2 Skalenhypothese f¨ ur die Korrelationsfunktion In Molekularfeldn¨ aherung fanden wir in Gl. (6.5.50) und (6.5.53) f¨ ur die wellenzahlabh¨ angige Suszeptibilit¨ at χ(q) und die Korrelationsfunktion G(x) das Ornstein-Zernike-Verhalten: χ(q) =

1 (qξ)2 , ˜ 2 1 + (qξ)2 Jq

G(x) =

kTc v e−|x|/ξ 4π J˜ |x|

mit ξ = ξ0 τ − 2 . (7.2.11) 1

Die Verallgemeinerung dieses Gesetzes lautet (q
a−1 , |x| a, ξ a mit der Gitterkonstanten a) χ(q) =


 1 χ ˆ qξ , q 2−η

G(x) =

1 |x|

1+η


 ˆ |x|/ξ , G

ξ = ξ0 τ −ν , (7.2.12a,b,c)

ˆ mit noch unbekannten Funktionen χ(qξ) ˆ und G(|x|/ξ). In (7.2.12c) wurde davon ausgegangen, daß die Korrelationsl¨ ange ξ im kritischen Punkt divergiert. Diese Divergenz wird durch den kritischen Exponenten ν charakterisiert. Genau bei Tc ist ξ = ∞, und deshalb ist keine endliche charakteristische L¨ange mehr vorhanden; die Korrelationsfunktion G(x) kann demnach nur nach eiˆ nem Potenzgesetz abfallen G(x) ∼ |x|11+η G(0). Mit der Einf¨ uhrung des weiteren kritischen Exponenten η wurde die M¨ oglichkeit des Abweichens vom 1/|x|-Verhalten der Ornstein-Zernike Theorie ber¨ ucksichtigt. In der unmittelbaren Umgebung von Tc ist ξ die einzige relevante L¨ange, daher enth¨alt die ˆ Korrelationsfunktion noch den Faktor G(|x|/ξ). Die Fourier-Transformation von G(x) ergibt (7.2.12a) f¨ ur die wellenzahlabh¨ angige Suszeptibilit¨at, die ihrerseits eine naheliegende Verallgemeinerung des Ornstein-Zernike-Ausdrucks darstellt. Wir erinnern daran (Abschnitt 5.4.4 und 6.5.5.2), daß das Anwachsen von χ(q) f¨ ur kleine q mit Ann¨ aherung an Tc zur kritischen Opaleszenz f¨ uhrt. In (7.2.11) und (7.2.12b) wurde ein dreidimensionales System angenommen. Nat¨ urlich sind auch Phasen¨ uberg¨ ange in zwei Dimensionen von

7.2 Statische Skalenhypothese

349

h¨ ochstem Interesse, und außerdem hat es sich in der Theorie der Phasen¨ uberg¨ ange als sehr fruchtbar erwiesen, ganz beliebige (selbst nicht ganzzahlige) Dimensionen zu betrachten. Wir wollen deshalb die Relationen auf beliebige Dimensionen d verallgemeinern: G(x) =

1 d−2+η

|x|


 ˆ |x|/ξ . G

(7.2.12b )

Die Gleichungen (7.2.12a) und (7.2.12c) bleiben auch in d Dimensionen g¨ ultig, ˆ wobei nat¨ urlich die Exponenten ν und η und die Gestalt der Funktionen G  und χ ˆ von der Dimension abh¨ angen. Aus (7.2.12a) und (7.2.12b ) ergibt sich am kritischen Punkt G(x) ∝

1 d−2+η

|x|

und

χ∝

1 q 2−η

fu ¨ r T = Tc .

(7.2.13)

ˆ Hier haben wir vorausgesetzt, daß G(0) und χ(∞) ˆ endlich sind, was aus der Endlichkeit von G(x) bei endlichen Abst¨ anden und von χ(q) bei endlichen Wellenzahlen (und ξ = ∞) folgt. Nun betrachten wir noch f¨ ur Temperaturen T = Tc den Grenzfall q → 0. Dann folgt aus (7.2.12a) 2−η

χ = lim χ(q) ∝ q→0

(qξ) q 2−η

= ξ 2−η .

(7.2.14)

Diese Abh¨ angigkeit erh¨ alt man aufgrund folgender Argumentation. F¨ ur endliches ξ ist die Suszeptibilit¨ at sogar im Grenzfall q → 0 endlich. Deshalb 1 muß der Faktor q2−η in (7.2.12a) durch eine entsprechende Abh¨angigkeit von χ(qξ) ˆ kompensiert werden, woraus die Relation (7.2.14) f¨ ur die homogene Suszeptibilit¨ at folgt. Da deren Divergenz nach (6.5.31c) durch den kritischen Exponenten γ charakterisiert wird, folgt aus (7.2.14) zusammen mit (7.2.12c) eine weitere Skalenrelation γ = ν(2 − η) .

(7.2.15)

Relationen der Art (7.2.3), (7.2.7) und (7.2.12b ) nennt man Skalengesetze, weil sie unter den folgenden Skalentransformationen x → x/b,

ξ → ξ/b,

m → mbβ/ν ,

τ → τ b1/ν ,

fs → fs b(2−α)/ν ,

h → hbβδ/ν

G → Gb(d−2+η)/ν

(7.2.16)

invariant sind, wobei fs f¨ ur den singul¨ aren Teil der (spezifischen) freien Energie steht. Wenn man dar¨ uber hinaus annimmt, daß diesen Skalentransformationen eine mikroskopische Eliminationsprozedur zugrunde liegt, durch die das urspr¨ ungliche System mit Gitterkonstante a und N Gitterpl¨atzen auf ein neues

350

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

mit der gleichen Gitterkonstanten a abgebildet wird, aber mit der verkleinerten Zahl N b−d von Freiheitsgraden, dann gilt Fs (τ, h) Fs (τ b1/ν , hbβδ/ν ) = b−d , N N b−d

(7.2.17)

was die Hyperskalenrelation 2 − α = dν

(7.2.18)

impliziert, in der auch die Dimension d enthalten ist. Nach den Gleichungen (7.2.6), (7.2.9), (7.2.15) und (7.2.18) werden alle kritischen Exponenten aus zwei unabh¨ angigen festgelegt. F¨ ur das zweidimensionale Ising Modell ergibt sich aus den nach Gl. (6.5.31d) zitierten Exponenten und den Skalenrelationen (7.2.15) und (7.2.18) f¨ ur die Exponenten der Korrelationsfunktion ν = 1 und η = 1/4.

7.3 Renormierungsgruppe 7.3.1 Einleitende Bemerkungen Unter dem Begriff Renormierung“ einer Theorie versteht man eine gewisse ” Umparametrisierung mit dem Ziel, daß die renormierte Theorie leichter behandelbar ist als die urspr¨ ungliche. Historisch wurde die Renormierung von St¨ uckelberg und Feynman erfunden, um Quantenfeldtheorien, wie die Quantenelektrodynamik, von Divergenzen zu befreien. Statt der nackten Parameter (Massen, Kopplungskonstanten) wird die Lagrange-Funktion durch physikalische Massen und Kopplungskoeffizienten ausgedr¨ uckt, so daß ultraviolett¨ divergente Beitr¨ age von virtuellen Uberg¨ angen nur mehr im Zusammenhang zwischen den nackten und den physikalischen Gr¨ oßen auftreten, wodurch die renormierte Theorie endlich ist. Die Renormierungsprozedur ist nicht eindeutig; die renormierten Gr¨ oßen k¨ onnen zum Beispiel von einer Abschneidel¨ angenskala abh¨ angen, bis zu der bestimmte, virtuelle Prozesse ber¨ ucksichtigt werden. Die Renormierungsgruppentheorie studiert die Abh¨angigkeit von dieser L¨ angenskala, die man auch Flußparameter“ nennt. Der Name Re” ” normierungsgruppe“ kommt von der Tatsache, daß zwei aufeinanderfolgende Renormierungsgruppentransformationen zu einer dritten derartigen Transformation f¨ uhren. Im Bereich der kritischen Ph¨ anomene, wo man das Verhalten bei großen Abst¨ anden (oder im Fourier-Raum bei kleinen Wellenzahlen) erkl¨aren muß, ist es naheliegend, die Renormierungsvorschrift durch eine geeignete Elimination von kurzwelligen Fluktuationen zu realisieren. Eine derartige teilweise Auswertung der Zustandssumme ist einfacher als die Berechnung der vollst¨ andigen Zustandssumme und auch unter Verwendung von N¨aherungsmethoden m¨ oglich. Als Ergebnis eines Eliminationsschrittes werden die u ¨ brigbleibenden Freiheitsgrade modifizierte, effektive Wechselwirkungen erfahren.

7.3 Renormierungsgruppe

351

Ganz allgemein kann man sich von einer solchen Renormierungsgruppentransformation die folgenden Vorteile erwarten: a) Die neuen Kopplungskonstanten k¨ onnten kleiner sein. Durch fortgesetzte Anwendung der Renormierungsprozedur k¨ onnte man schließlich eine praktisch freie Theorie, ohne Wechselwirkung, erhalten. b) Die sukzessive iterierten Kopplungskoeffizienten, auch Parameterfluß“ ” genannt, k¨ onnten einen Fixpunkt besitzen, an dem sich das System bei weiteren Renormierungsgruppentransformationen nicht mehr ¨andert. Da ¨ die Elimination von Freiheitsgraden von einer Anderung des Gitterabstandes, bzw. der L¨ angenskala begleitet ist, kann man vermuten, daß die Fixpunkte unter bestimmten Umst¨ anden mit kritischen Punkten zu tun haben. Weiters kann man hoffen, daß der Fluß in der N¨ahe dieser Fixpunkte Informationen u ¨ ber die universellen physikalischen Gr¨oßen in der Umgebung der kritischen Punkte liefert. Das unter a) genannte Szenario werden wir f¨ ur das eindimensionale IsingModell und das unter b) f¨ ur das zweidimensionale finden. Durch die Renormierungsgruppenmethode wird die Skaleninvarianz in der N¨ahe eines kritischen Punktes zur Geltung gebracht. Bei sogenannten Ortsraumtransformationen (im Gegensatz zu Transformation im Fourier-Raum) eliminiert man bestimmte Freiheitsgrade, welche auf einem Gitter definiert sind und f¨ uhrt somit eine partielle Spurbildung der Zustandssumme aus. Anschließend wird die Gitterkonstante des resultierenden Systems readjustiert und die inneren Variablen werden dergestalt renormiert, daß der neue Hamilton-Operator in seiner Form dem urspr¨ unglichen entspricht. Durch Vergleich definiert man effektive, skalenabh¨ angige Kopplungskonstanten, deren Flußverhalten man untersucht. Wir untersuchen zun¨achst das eindimensionale Ising-Modell und anschließend das zweidimensionale. Schließlich wird die allgemeine Struktur derartiger Transformationen mit der Ableitung von Skalengesetzen diskutiert. Eine kurze skizzenhafte Diskussion von kontinuierlichen feldtheoretischen Formulierungen wird im Anschluß an die GinzburgLandau-Theorie vorgenommen. 7.3.2 Eindimensionales Ising-Modell, Dezimierungstransformation Wir wollen zun¨ achst die Renormierungsgruppen-Methode am eindimensionalen Ising-Modell mit ferromagnetischer Austauschwechselwirkung J ohne außerem Feld erl¨ autern. Der Hamilton-Operator ist durch ¨  σl σl+1 (7.3.1) H = −J l

gegeben, wobei l u atze des eindimensionalen Gitters l¨auft. Siehe ¨ ber alle Pl¨ Abb. 7.4. In der Zustandssumme f¨ ur N Spins (mit periodischen Randbedingungen σN +1 = σ1 ) f¨ uhren wir die Abk¨ urzung K = J/kT ein

352

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation



ZN = Sp e−H/kT =

eK

 l

σl σl+1

.

(7.3.2)

{σl =±1}

Die Dezimierungsprozedur besteht in einer teilweisen Ausf¨ uhrung der Zustandssumme, indem im ersten Schritt die Summe u ¨ber jeden zweiten Spin durchgef¨ uhrt wird. In Abb. 7.4 werden die Gitterpl¨atze, an denen die Spur ausgef¨ uhrt wird, durch ein Kreuz gekennzeichnet.

Abb. 7.4. Ising-Kette. Die Spur wird u ¨ ber die angekreuzten Gitterpunkte durchgef¨ uhrt. Es bleibt ein Gitter mit der doppelten Gitterkonstanten.

Ein typischer Term in der Zustandssumme ist dann   eKσl (σl−1 +σl+1 ) = 2 cosh K(σl−1 + σl+1 ) = e2g+K σl−1 σl+1 , (7.3.3) σl =±1

mit noch zu bestimmenden Koeffizienten g und K  . Hier haben wir nach dem ersten Gleichheitszeichen die Summe u ¨ ber σl = ±1 gebildet. Da cosh K(σl−1 + σl+1 ) nur davon abh¨ angt, ob σl−1 und σl+1 parallel oder antiparallel stehen, kann das Ergebnis auf jeden Fall auf die nach dem zweiten Gleichheitszeichen stehende Form gebracht werden. Die Koeffizienten g und K  k¨onnen entweder durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktion bestimmt werden oder noch einfacher, indem die beiden Ausdr¨ ucke f¨ ur die m¨oglichen Orientierungen verglichen werden. Wenn σl−1 = −σl+1 ist, finden wir 

2 = e2g−K ,

(7.3.4a)

und wenn σl−1 = σl+1 ist, 

2 cosh 2K = e2g+K .

(7.3.4b)

Aus dem Produkt von (7.3.4a) und (7.3.4b) erhalten wir 4 cosh 2K = e4g und  aus dem Quotienten cosh 2K = e2K , also lauten die Rekursionsrelationen 1 log cosh 2K 2  1
g = log 2 + K  . 2

K =

(7.3.5a) (7.3.5b)

F¨ uhrt man diese Dezimierungsprozedur k-mal durch, ergibt sich aus (7.3.5a,b) f¨ ur den k-ten Schritt folgende Rekursionsrelation

7.3 Renormierungsgruppe



1 log cosh 2K (k−1) 2 1 1 g(K (k) ) = log 2 + K (k) . 2 2 K (k) =

353

(7.3.6a) (7.3.6b)

Durch die Dezimierung entsteht wieder ein Ising-Modell mit einer Wechselwirkung zwischen n¨ achsten Nachbarn mit der Kopplungskonstante K (k) . Außerdem wird ein Spin-unabh¨ angiger Beitrag g(K (k) ) zur Energie erzeugt, der im k-ten Schritt durch (7.3.6b) gegeben ist. Bei einer Transformation dieser Art ist es zweckm¨aßig die Fixpunkte zu bestimmen, die sich im gegenw¨ artigen Zusammenhang auch als physikalisch bedeutsam erweisen werden. Fixpunkte sind diejenigen Punkte K ∗ , die gegen¨ uber der Transformation invariant sind, d.h. hier K ∗ = 12 log(cosh 2K ∗ ). Diese Gleichung besitzt zwei L¨ osungen K∗ = 0

(T = ∞) und

K ∗ = ∞ (T = 0) .

(7.3.7)

In Abb. 7.5 ist die Rekursionsrelation (7.3.6a) graphisch dargestellt. Ausgehend vom Anfangswert K0 ergibt sich K  (K0 ) und durch Spiegelung an der Geraden K  = K erh¨ alt man K  (K  (K0 )) und so fort. Man sieht, daß die Kopplungskonstante fortschreitend kleiner wird. Das System l¨auft auf den Fixpunkt K ∗ = 0, d.h. ein wechselwirkungsfreies System, zu. Daher kommt es f¨ ur kein endliches K0 zu einem geordneten Zustand: es tritt kein Phasen¨ ubergang auf. Nur f¨ ur K = ∞, d.h. bei endlicher Austauschwechselwirkung J und T = 0 sind die Spins geordnet. Mittels dieser Renormierungsgruppentransformation k¨onnen wir die Zustandssumme und die freie Energie berechnen. Die Zustandssumme f¨ ur insgesamt N Spins mit der Kopplungskonstanten K ist unter Verwendung von (7.3.3)

Abb. 7.5. Rekursionsrelation f¨ ur das eindimensionale Ising-Modell mit Wechselwirkung zwischen n¨ achsten Nachbarn (dick), Gerade K  = K (strichliert), Iterationsschritte (d¨ unn).

354

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation 

ZN (K) = eN g(K ) Z N (K  ) = eN g(K



 )+ N 2 g(K )

2

Z N2 (K  )

(7.3.8)

2

und nach dem n-ten Schritt    n
(n)  1
(k)  ZN (K) = exp N g K + log Z Nn K . 2 2k−1

(7.3.9)

k=1

Die reduzierte freie Energie pro Gitterplatz und kT ist durch 1 f˜ = − log ZN (K) N

(7.3.10)

definiert. Wir haben gesehen, daß die Wechselwirkung bei der Renormierungsgruppentransformation schw¨ acher wird, woraus sich folgende Anwendungsm¨oglichkeit ergibt. Nach einigen Schritten ist die Wechselwirkung so schwach, daß st¨ orungstheoretische Methoden verwendet werden k¨onnen, oder die Wechselwirkung u assigt werden kann. Falls wir K (n) ≈ 0 setzen, ¨ berhaupt vernachl¨ ergibt sich aus (7.3.9) die N¨ aherung f˜(n) (K) = −

n  k=1

1 2k−1


 1 g K (k) − n log 2 , 2

(7.3.11)

da die freie Energie pro Spin eines feldfreien Spin-1/2-Systems ohne Wechselwirkung − log 2 betr¨ agt. In Abb. 7.6 ist f˜(n) (K) f¨ ur n = 1 bis 5 gezeichnet. Wir sehen, wie rasch sich diese N¨ aherungsl¨ osung der exakten reduzierten, freien Energie, f˜(K) = − log(2 cosh K), ann¨ ahert. Das eindimensionale IsingModell kann mit elementaren Methoden (siehe Aufgabe 6.9) exakt gel¨ost werden, sowie auch mit der Transfermatrixmethode, (Anhang F).

Abb. 7.6. Reduzierte freie Energie des eindimensionalen Ising-Modells. f˜ exakte freie Energie, f˜(1) , f˜(2) , . . . Approximation (7.3.11).

7.3 Renormierungsgruppe

355

7.3.3 Zweidimensionales Ising-Modell Interessanter ist die Anwendung der Dezimierungsprozedur auf das zweidimensionale Ising-Modell, da es einen Phasen¨ ubergang bei einer endlichen Temperatur Tc > 0 besitzt. Wir betrachten nun das in Abb. 7.7 dargestellte, um 45◦ gedrehte, quadratische Gitter mit der Gitterkonstanten eins.

Abb. 7.7. Quadratisches, um 45◦ gedrehtes Spingitter. Die Gitterpunkte sind durch einen Punkt gekennzeichnet. Bei der Dezimierungstransformation werden die Spins an den zus¨ atzlich durch ein Kreuz markierten Pl¨ atzen eliminiert. K ist die Wechselwirkung zwischen n¨ achsten und L zwischen u achsten Nachbarn. ¨ bern¨

Der mit β multiplizierte Hamilton-Operator H = βH lautet  H =− Kσi σj ,

(7.3.12)

n.N.

wobei sich die Summation u achsten Nachbarn (n.N.) erstreckt ¨ ber Paare von n¨ (K = J/kT ). Wenn in der teilweisen Berechnung der Zustandssumme die Spur u uhrt wird, er¨ber die durch ein Kreuz gekennzeichneten Spins ausgef¨ √ gibt sich ein neues quadratisches Gitter mit der Gitterkonstanten 2. Wie transformieren sich die Kopplungskonstanten? Wir greifen einen der gekreuzten Spins σ heraus, bezeichnen seine Nachbarn mit σ1 , σ2 , σ3 , σ4 und werten f¨ ur diesen den Beitrag zur Zustandssumme aus:  eK(σ1 +σ2 +σ3 +σ4 )σ = elog(2 cosh K(σ1 +σ2 +σ3 +σ4 )) σ=±1 (7.3.13)     1 = eA + 2 K (σ1 σ2 ...+σ3 σ4 )+L (σ1 σ3 +σ2 σ4 )+M σ1 σ2 σ3 σ4 . Durch diese Transformation (partielle Spurbildung) ergibt sich eine ge¨anderte Wechselwirkung zwischen n¨ achsten Nachbarn K  (hier tr¨agt die Elimination zweier gekreuzter Spins bei), dar¨ uber hinaus werden neue Wechselwirkungen zwischen den u achsten Nachbarn (wie z.B. σ1 und σ3 ) und eine Vier¨ bern¨ spinwechselwirkung erzeugt    H  = A + K  σi σj + L σi σj + . . . . (7.3.12 ) n.N.

u ¨.n.N.

356

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Die Koeffizienten A , K  , L und M  k¨ onnen aus (7.3.13) leicht als Funktion von K angegeben werden, indem man σi 2 = 1, i = 1, . . . , 4 ben¨ utzt (siehe Aufgabe 7.2): % 1$ log cosh 4K + 4 log cosh 2K , 8 1 1 K  (K) = log cosh 4K , L (K) = K  (K) 4 2 $ % 1 M  (K) = log cosh 4K − 4 log cosh 2K . 8 A (K) = log 2 +

(7.3.14) (7.3.13 )

Setzt man zur Absch¨ atzung in diese Relation f¨ ur den Ausgangswert K den kritischen Wert Kc = J/kTc = 0.4406 (exaktes Resultat11 ) ein, so findet man M 
L ≤ K  . Beim ersten Eliminationsschritt wird aus dem urspr¨ unglichen Ising-Modell eines mit drei Wechselwirkungen, beim n¨achsten Eliminationsschritt m¨ ussen wir diese mitber¨ ucksichtigen und erhalten noch weitere Wechselwirkungen und so fort. In einer quantitativ brauchbaren Rechnung wird es also notwendig sein, die Rekursionsrelationen f¨ ur eine erweiterte Zahl von Kopplungskonstanten zu bestimmen. Wir wollen hier nur die wesentliche Struktur derartiger Rekursionsrelationen bestimmen und sie so weit vereinfachen, daß eine analytische L¨ osung m¨ oglich ist. Deshalb vernachl¨assigen wir die Kopplungskonstante M  und alle weiteren durch die Elimination erzeugten und beschr¨ anken uns auf K  und L und auch deren Ausgangswerte K und L. Dies ist begr¨ undet in der oben erw¨ ahnten Kleinheit von M  . Wir ben¨ otigen nun die Rekursionsrelation inklusive der Kopplungskonstanten L, die zwischen σ1 und σ4 usw. wirkt. Wenn man in (7.3.13 ) bis zur zweiten Ordnung in K entwickelt und beachtet, daß eine Wechselwirkung L zwischen u achsten Nachbarn in der urspr¨ unglichen Hamilton-Funktion ¨bern¨ als ein Beitrag zur Wechselwirkung der n¨ achsten Nachbarn in der gestrichenen Hamilton-Funktion erscheint, erh¨ alt man bei Elimination der gekreuzten Spins (Abb. 7.7) folgende Rekursionsrelation K  = 2K 2 + L 

2

L =K .

(7.3.15a) (7.3.15b)

Man kann diese Relationen folgendermaßen intuitiv begr¨ unden. Der Spin σ vermittelt eine Wechselwirkung der Gr¨ oße K mal K, also K 2 zwischen σ1 und σ3 , ebenso der genau links von σ liegende gekreuzte Spin. Dies f¨ uhrt zu 2K 2 in K  . Die Wechselwirkung zwischen u ¨ bern¨achsten Nachbarn L des urspr¨ unglichen Modells wird unmittelbar ein Beitrag zu K  . Der Spin σ vermittelt auch eine diagonale Wechselwirkung zwischen σ1 und σ4 , dies f¨ uhrt also zu der Relation L = K 2 von (7.3.15b). 11

Die Zustandssumme des Ising-Modells auf einem Quadratgitter ohne a ¨ußeres Feld wurde von L. Onsager, Phys. Rev. 65 117 (1944) mittels der Transfermatrixmethode (siehe Anhang F) exakt berechnet.

7.3 Renormierungsgruppe

357

Es sollte jedoch klar sein, daß im Gegensatz zum eindimensionalen Fall mit jedem Eliminationsschritt neue Kopplungen entstehen. Man kann nicht erwarten, daß die n¨ aherungsweise auf einen eingeschr¨ankten Parameterraum (K, L) reduzierten Rekursionsrelationen quantitativ genaue Resultate liefern werden. Sie enthalten jedoch alle typischen Z¨ uge derartiger Rekursionsrelationen.

Abb. 7.8. Flußdiagramm von Gl. (7.3.15a,b). (Es wird nur jeder zweite Punkt gezeichnet.) Es sind drei Fixpunkte erkennbar: K ∗ = L∗ = 0, K ∗ = L∗ = ∞ und Kc∗ = 13 , L∗c = 19

In Abb. 7.8 haben wir die Rekursionsrelationen (7.3.15a,b) dargestellt.12 Ausgehend von Werten (K, 0) wird die Rekursionsrelation immer wieder angewendet, genauso f¨ ur Ausgangswerte (0, L). Es ergibt sich folgendes Bild: F¨ ur kleine Ausgangswerte m¨ unden die Flußlinien in K = L = 0, f¨ ur große Ausgangswerte in K = L = ∞. Diese beiden Regionen werden getrennt durch zwei Linien, die in Kc∗ = 13 und L∗c = 19 m¨ unden. Weiter unten wird klar, daß dieser Fixpunkt mit dem kritischen Punkt verbunden ist. Wir werden nun die wichtigsten Eigenschaften des aus den Rekursionsrelationen (7.3.15a,b) folgenden Flußdiagramms analytisch untersuchen. Als ersten Schritt m¨ ussen wir nun die Fixpunkte von (7.3.15a,b) bestimmt werden, also K ∗ und L∗ , die K ∗ = 2K ∗ 2 + L∗ und L∗ = K ∗ erf¨ ullen. Daraus folgen drei Fixpunkte 1. K ∗ = L∗ = 0,

2. K ∗ = L∗ = ∞ und

3. Kc∗ =

1 1 , L∗c = . (7.3.16) 3 9

Der Hochtemperaturfixpunkt 1 entspricht der Temperatur T = ∞, der Tieftemperaturfixpunkt 2 nicht nur der Temperatur Null, sondern der ganzen 12

¨ Aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit haben wir in Abb. 7.8 nur jeden zweiten Iterationsschritt eingezeichnet. Wir kommen darauf am Ende dieses Abschnitts, nach der analytischen Untersuchung der Rekursionsrelation, zur¨ uck.

358

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

geordneten Tieftemperaturphase. Das kritische Verhalten kann nur mit dem nichttrivialen Fixpunkt (Kc∗ , L∗c ) = ( 13 , 19 ) zu tun haben. Daß Ausgangswerte von K und L, die in den Fixpunkt (Kc∗ , L∗c ) f¨ uhren, kritische Punkte darstellen, sieht man folgendermaßen. Die RG-Transforma√ tion f¨ uhrt zu einem Gitter mit einer um 2 vergr¨ oßerten Gitterkonstanten. Die Korrelationsl¨ a nge des transformierten Systems ξ  ist also um den Faktor √ 2 kleiner: √ ξ  = ξ/ 2 . (7.3.17) Am Fixpunkt sind aber die Kopplungskonstanten Kc∗ , L∗c invariant, also √ muß f¨ ur das ξ des Fixpunktes gelten: ξ  = ξ , d.h. am Fixpunkt folgt ξ = ξ/ 2 , also  ∞ oder ξ= (7.3.18) 0 . Der Wert 0 entspricht dem Hochtemperatur- und dem TieftemperaturFixpunkt. Bei endlichen K ∗ , L∗ kann ξ nicht Null, sondern nur ∞ sein. Zur¨ uckrechnen der Transformation zeigt, daß die Korrelationsl¨ange an jeder Stelle der kritischen Trajektorie, die in den Fixpunkt f¨ uhrt, unendlich ist. Deshalb sind alle Punkte der kritischen Trajektorie“, also der Trajektorie, ” die in den Fixpunkt f¨ uhrt, kritische Punkte von Ising-Modellen mit n¨achster und u achster Nachbar-Wechselwirkung. ¨bern¨ Um das kritische Verhalten zu bestimmen, betrachten wir das Verhalten der Kopplungskonstanten in der N¨ ahe des nichttrivialen Fixpunktes und linearisieren dazu die Transformationsgleichungen (7.3.15a,b) um (Kc∗ , L∗c ) im l-ten Schritt: δKl = Kl − Kc∗

,

δLl = Ll − L∗c .

Damit erhalten wir folgende lineare Rekursionsrelation:

 ∗ 

 4 

 δKl 4Kc 1 δKl−1 δKl−1 3 1 = = . 2 δLl 2Kc∗ 0 δLl−1 δLl−1 3 0

(7.3.19)

(7.3.20)

Die Eigenwerte der Transformationsmatrix bestimmen sich aus λ2 − 43 λ− 23 = 0 , also:  √ 1 1.7208 λ1,2 = (2 ± 10) = (7.3.21a) 3 −0.3874 . √ 
Die zugeh¨ origen Eigenvektoren erhalten wir aus 4 − (2 ± 10) δK + 3δL = 0 , also:

7.3 Renormierungsgruppe

359

√

10 − 2 δL = ± δK und somit 3 √

√ 

 10 − 2 10 + 2 e1 = 1, und e2 = 1, − 3 3 mit dem Skalarprodukt e1 · e2 =

1 3

(7.3.21b)

.

Wir gehen nun von einem Ising-Modell mit (durch kT dividierten) Kopplungskonstanten K0 und L0 aus. Zun¨ achst entwickeln wir die Abweichung der Ausgangskopplungskonstanten K0 und L0 vom Fixpunkt in der Basis der Eigenvektoren (7.3.21):

 ∗ K0 Kc = + c1 e 1 + c2 e 2 , (7.3.22) L0 L∗c mit Entwicklungskoeffizienten c1 und c2 . Die Dezimierungsprozedur wird mehrfach wiederholt; nach l Transformationsschritten ergeben sich Kopplungskonstanten Kl und Ll :

 ∗ Kl Kc = + λl1 c1 e1 + λl2 c2 e2 . (7.3.23) Ll L∗c Weicht der Hamilton-Operator H von H ∗ nur um einen Anteil in Richtung e2 ab, so f¨ uhrt die sukzessive Anwendung der Renormierungsgruppentransformation in den Fixpunkt, da |λ2 | < 1 ist (siehe Abb. 7.9).

Abb. 7.9. Flußdiagramm aufgrund der um den nichttrivialen Fixpunkt (FP) linearisierten Rekursionsrelation (7.3.22)

Betrachten wir nun das urspr¨ ungliche Ising-Modell mit der KopplungsJ konstanten K0 ≡ kT und mit L0 = 0 und bestimmen zun¨achst den kritischen Wert Kc ; das ist derjenige Wert von K0 , der in den Fixpunkt f¨ uhrt. ¨ Die Bedingung f¨ ur Kc lautet nach der obigen Uberlegung

 1

 Kc 1 3 √ = 1 + 0 · e 1 + c2 . (7.3.24) − 10+2 0 3 9

360

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Diese beiden linearen Gleichungen besitzen die L¨ osung c2 =

1 √ , 3( 10 + 2)

und folglich Kc =

1 1 + √ = 0.3979 . (7.3.25) 3 3( 10 + 2)

F¨ ur K0 = Kc f¨ uhrt die linearisierte RG-Transformation in den Fixpunkt, d.h. J dies ist der kritische Punkt des urspr¨ unglichen Ising-Modells, Kc = kT . Aus c der nichtlinearen Rekursionsrelation (7.3.15a,b) ergibt sich f¨ ur den kritischen Punkt der etwas kleinere Wert Kcn.l. = 0.3921. Beide Werte weichen noch von der exakten L¨ osung von Onsager ab, wonach Kc = 0.4406 ist, aber sind diesem bei weitem n¨ aher als der Wert der Molekularfeldtheorie Kc = 0.25. F¨ ur K0 = Kc ist nur c2 = 0, und die Transformation f¨ uhrt in den Fixpunkt. F¨ ur K0 = Kc ist auch c1 ∝ (K0 − Kc ) = − kTJ 2 (T − Tc ) · · · = 0. c Dies w¨ achst und f¨ uhrt vom Fixpunkt (Kc∗ , L∗c ) weg (Abb. 7.9), und der Fluß l¨ auft entweder zum Tieftemperatur- (f¨ ur T < Tc ) oder zum HochtemperaturFixpunkt (f¨ ur T > Tc ). Nun bestimmen wir noch den kritischen Exponenten ν der Korrelationsl¨ ange und gehen dazu von der Rekursionsrelation (K − Kc ) = λ1 (K − Kc ) aus und schreiben λ1 als Potenz der neuen L¨ angenskala √ y1 λ1 = ( 2) .

(7.3.26)

(7.3.27)

F¨ ur den hier definierten Exponenten y1 folgt der Wert log λ1 = 1.566 . (7.3.28) log 2 √ −ν −ν √ Aus ξ  = ξ/ 2 (Gl. (7.3.17)) folgt (K  − Kc ) = (K − Kc ) / 2, d.h. y1 = 2

√ 1 (K  − Kc ) = ( 2) ν (K − Kc ) .

(7.3.29)

Vergleicht man dies mit der ersten Beziehung (7.3.26), erh¨alt man ν=

1 = 0.638 . y1

(7.3.30)

Dies ist zwar noch weit entfernt von 1, dem exakt bekannten Wert des zweidimensionalen Ising-Modells, aber immerhin ergibt sich etwas Gr¨oßeres als 0.5, dem Wert der Molekular-Feld-N¨ aherung. Eine wesentliche Verbesserung kann man erreichen, wenn man die Rekursionsrelation auf mehrere Kopplungskoeffizienten erweitert. Betrachten wir noch den Effekt eines endlichen Magnetfeldes h (inklusive des Faktors β). Die Rekursionsrelation kann wieder intuitiv aufgestellt werden. Auf die verbleibenden Spins wirkt direkt das Feld h, und durch die

7.3 Renormierungsgruppe

361

orientierende Wirkung des Feldes auf die eliminierten Nachbarspins ein (dabei etwas untersch¨ atztes) Zusatzfeld Kh, somit insgesamt h = h + Kh .

(7.3.31)

Der Fixpunktwert dieser Rekursionsrelation ist h∗ = 0 . Die Linearisierung um den Fixpunkt ergibt h = (1 + K ∗ )h =

4 h, 3

(7.3.32)

also ist der zugeh¨ orige Eigenwert λh =

4 . 3

(7.3.33)

Man nennt K0 − Kc (bzw. T − Tc ) und h relevante Felder“, weil die ” Eigenwerte λ1 und λh gr¨ oßer als 1 sind, und sie deshalb bei der Renormierungsgruppentransformation anwachsen und vom Fixpunkt wegf¨ uhren. Dagegen ist c2 ein irrelevantes Feld“, da |λ2 | < 1, und deshalb c2 bei der ” RG-Transformation immer kleiner wird. Hier versteht man unter Feldern“ ” Felder im u ¨blichen Sinn und Kopplungskonstanten in der Hamilton-Funktion. Die hier gefundene Struktur ist typisch f¨ ur Modelle, die kritische Punkte beschreiben, und bleibt auch erhalten, wenn man beliebig viele Kopplungskonstanten bei der Transformation ber¨ ucksichtigt: Es gibt zwei relevante Felder (T − Tc ) und h, das zum Ordnungsparameter konjugierte Feld), und alle u ¨brigen Felder sind irrelevant. Noch eine Bemerkung zum Flußdiagramm 7.9. Dort ist wegen des negativen λ2 nur jeder zweite Punkt dargestellt. Dies entspricht einer zweimaligen Anwendung der Transformation und der Vergr¨ oßerung der Gitterkonstanten um den Faktor 2 und λ1 → λ21 , λ2 → λ22 . Dann ist auch der zweite Eigenwert λ22 positiv, w¨ ahrend sonst die Trajektorie oszillierend in den Fixpunkt hineinwandern w¨ urde.

7.3.4 Skalengesetze Obwohl die in Abschnitt 7.3.3 dargestellte Dezimierungsprozedur mit nur ganz wenigen Parametern keine quantitativ befriedigenden Resultate liefert und auch f¨ ur die Berechnung von Korrelationsfunktionen ungeeignet ist, zeigt sie doch die allgemeine Struktur von RG-Transformationen, an die wir jetzt ankn¨ upfen, um die Skalengesetze abzuleiten. Eine allgemeine RG-Transformation R bildet die urspr¨ ungliche HamiltonFunktion H auf eine neue ab H = RH .

(7.3.34)

Diese Transformation beinhaltet auch die Reskalierung der L¨angen des Pro blems, und f¨ ur die Zahl √ der Freiheitsgrade N gilt in d Dimensionen N = N b−d (dabei ist b = 2 f¨ ur die Dezimierungstransformation aus 7.3.1).

362

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Die Fixpunkt-Hamilton-Funktion ist durch R(H∗ ) = H∗

(7.3.35)

bestimmt. F¨ ur kleine Abweichungen von der Fixpunkt-Hamilton-Funktion, R(H∗ + δH) = H∗ + L δH

,

kann nach der Abweichung δH entwickelt werden. Daraus folgt die linearisierte Rekursionsrelation LδH = δH .

(7.3.36a)

Die Eigenoperatoren“ δH1 , δH2 , . . . dieser linearen Transformation sind ” durch die Eigenwertgleichung LδHi = λi δHi

(7.3.36b)

bestimmt. Eine vorgegebene Hamilton-Funktion H, die sich von H∗ nur wenig unterscheidet, kann durch H∗ und Abweichungen davon dargestellt werden:  H = H∗ + τ δHτ + hδHh + ci δHi , (7.3.37) i≥3

wobei δHτ und δHh die beiden relevanten St¨ orungen mit |λτ | = byτ > 1 , |λh | = byh > 1

(7.3.38)

c bezeichnen, die mit der Temperaturvariablen τ = T −T und dem ¨außeren Tc yj Feld h zusammenh¨ angen, w¨ ahrend |λj | = b < 1 und deshalb yj < 0 f¨ ur j ≥ 3 mit den irrelevanten St¨ orungen zusammenh¨ angen.13 Die Koeffizienten  τ, h und cj heißen Skalenfelder. F¨ ur das Ising-Modell ist δHh = l σl . Wenn wir die Ausgangswerte der Felder mit ci bezeichnen, dann transformiert sich die freie Energie nach l Schritten auf

FN (ci ) = FN/bdl (ci λli ) .

(7.3.39a)

F¨ ur die freie Energie pro Spin, f (ci ) =

1 FN (ci ) N

,

gilt dann in der linearen N¨ aherung
 f (τ, h, c3 , . . .) = b−dl f τ byτ l , hbyh l , c3 by3 l , . . . . 13

(7.3.39b)

(7.3.40)

Vergl. die Diskussion nach Gl. (7.3.33). Das (einzige) irrelevante Feld ist dort mit c2 bezeichnet. Im weiteren nehmen wir an, daß die λi ≥ 0 sind.

7.3 Renormierungsgruppe

363

Hier haben wir einen additiven Term, der die folgende Herleitung des Skalengesetzes nicht beeinflußt, weggelassen, der jedoch f¨ ur die Berechnung der gesamten freien Energie wichtig w¨ are. Der Skalenparameter l kann nun so gew¨ ahlt werden, daß |τ |byτ l = 1 ist, wodurch das erste Argument von f gleich ±1 wird. Dann ergibt sich f (τ, h, c3 , . . .) = |τ |

d/yτ


 −y /y |y |/y fˆ± h|τ | h τ , c3 |τ | 3 τ , . . . ,

(7.3.40 )

wobei fˆ± (x, y, . . .) = f (±1, x, y, . . .) und yτ , yh > 0, y3 , . . . < 0. Nahe bei Tc kann die Abh¨ angigkeit von den irrelevanten Feldern c3 , . . . vernachl¨assigt werden, und Gleichung (7.3.40 ) nimmt dann genau die Skalenform (Gl. 7.2.7) an, mit den konventionellen Exponenten βδ = yh /yτ

(7.3.41a)

und 2−α=

d . yτ

(7.3.41b)

Ableiten nach h ergibt β=

d − yh yτ

und

γ=

d − 2yh yτ

(7.3.41c,d)

Damit ist das Skalengesetz Gl. (7.2.7) innerhalb der RG-Theorie f¨ ur Fixpunkte mit genau einem relevanten Feld, neben dem ¨außeren Magnetfeld und den irrelevanten Operatoren hergeleitet. Dar¨ uber hinaus gibt die Abh¨angigkeit von den irrelevanten Feldern c3 , . . . Korrekturen zu den Skalengesetzen, welche man f¨ ur Temperaturen außerhalb des asymptotischen Bereiches ber¨ ucksichtigen muß. Um yτ mit dem Exponenten ν in Verbindung zu bringen, erinnern wir daran, daß l Iterationen die Korrelationsl¨ ange auf ξ  = b−l ξ verkleinern, was yτ l −ν −l −ν (τ b ) = b τ impliziert und folglich ν=

1 yτ

(7.3.41e)

(vergl. Gl. (7.3.30) f¨ ur das zweidimensionale Ising-Modell). Aus der Existenz einer Fixpunkt-Hamilton-Funktion mit zwei relevanten Operatoren konnte die Skalenform der freien Energie hergeleitet werden, und es ergibt sich auch die M¨ oglichkeit, die kritischen Exponenten zu berechnen. Selbst die Form der Skalenfunktionen fˆ und m ˆ kann mit st¨ orungstheoretischen Methoden berechnet werden, da die Argumente endlich sind. Eine ¨ahnliche Vorgangsweise kann f¨ ur die Korrelationsfunktion Gl. (7.2.12b) angewendet werden. In diesem Punkt ist es wichtig, die Spinvariable zu renormieren σ  = bζ σ, wobei sich herausstellt, daß die Fixierung

364

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Abb. 7.10. Kritische Hyperfl¨ ache. Trajektorie in der kritischen Hyperfl¨ ache gestrichelt. Trajektorie in der N¨ ahe der kritischen Hyperfl¨ ache durchgezogen. Die Kopplungskoeffizienten eines bestimmten physikalischen Systems als Funktion der Temperatur lang-gestrichelt.

ζ = (d − 2 + η)/2

(7.3.41f)

die G¨ ultigkeit von (7.2.13) am kritischen Punkt garantiert. Wir f¨ ugen noch einige Bemerkungen u ¨ber die generische Struktur des Flußdiagramms in der N¨ ahe eines kritischen Fixpunktes (Abb. 7.10) an. In dem multidimensionalen Raum der Kopplungskoeffizienten gibt es eine Richtung (die relevante Richtung), die vom Fixpunkt wegf¨ uhrt (wir setzen h = 0 voraus). Die anderen Eigenvektoren der linearisierten RG-Transformation spannen die kritische Hyperfl¨ ache auf. Weiter weg vom Fixpunkt ist diese Hyperfl¨ ache keine Ebene mehr, sondern gekr¨ ummt. Von jedem Punkt auf der kritischen Hyperfl¨ ache f¨ uhren die Trajektorien in den kritischen Fixpunkt. Wenn der Ausgangspunkt nahe, aber nicht genau auf der kritischen Hyperfl¨ ache liegt, wird die Trajektorie zun¨ achst parallel zur Hyperfl¨ache laufen, bis der relevante Teil gen¨ ugend vergr¨ oßert wird, so daß schließlich die Trajektorie die Umgebung der kritischen Hyperfl¨ ache verl¨ aßt und entweder zum Hochoder Tieftemperaturfixpunkt abbiegt. F¨ ur ein gegebenes physikalisches System (Ferromagnet, Fl¨ ussigkeit, . . .) h¨ angen die Parameter τ, c3 , . . . von der Temperatur ab (die lang-gestrichelte Kurve in Abb. 7.10). Die Temperatur, ¨ f¨ ur welche diese Kurve die kritische Hyperfl¨ ache schneidet, ist die Ubergangstemperatur Tc . Aus dieser Diskussion sind auch die Universalit¨atseigenschaften offensichtlich. Alle Systeme, die zu einem bestimmten Teil des Parameterraums geh¨ oren, d.h. zum Attraktionsgebiet eines bestimmten Fixpunktes, werden in der N¨ ahe der kritischen Hyperfl¨ ache des Fixpunktes durch die selben Potenzgesetze beschrieben. ∗

7.3.5 Allgemeine Ortsraum RG-Transformationen

Eine allgemeine Ortsraum-RG-Transformation bildet ein bestimmtes, auf einem Gitter definiertes Spinsystem {σ} mit Hamilton-Operator H{σ} auf ein

7.3 Renormierungsgruppe

365

neues Spinsystem mit um N  /N = b−d weniger Freiheitsgraden und dem neuen Hamilton-Operator H {σ  } ab. Sie kann durch eine Transformation T {σ  , σ} dargestellt werden, so daß    e−G−H {σ } = T {σ  , σ}e−H{σ} (7.3.42) {σ}

mit den Bedingungen  H {σ  } = 0

(7.3.43a)

{σ }

und 

T {σ  , σ} = 1 ,

(7.3.43b)

{σ }

welche garantieren, daß 



e−G Sp {σ } e−H {σ } = Sp {σ} e−H{σ} (7.3.44a)  erf¨ ullt ist (Sp {σ} ≡ {σ} ). Daraus ergibt sich zwischen der freien Energie F des urspr¨ unglichen Gitters und der freien Energie F  des gestrichenen Gitters der Zusammenhang F + G = F .

(7.3.44b)

Die Konstante G ist unabh¨ angig von der Konfiguration der {σ  } und ergibt sich aus der Beziehung (7.3.43a). Wichtige Beispiele derartiger Transformationen sind Dezimierungstransformationen sowie lineare und nichtlineare Block-Spin-Transformationen. Die einfachste Realisierung besteht in 1 T {σ  , σ} = Πi ∈Ω  (1 + σi ti (σ)) , 2

(7.3.45)

wo Ω die Gitterpl¨ atze des Ausgangsgitters und Ω  die Gitterpl¨atze des neuen Gitters bezeichnen, und die Funktion ti (σ) die Natur der Transformation festlegt. α) Dezimierungstransformation (Abb. 7.11) ti {σ} = ζσi √ b= 2 ,

ζ = b(d−2+η)/2

,

wo ζ die Amplitude der verbleibenden Spins reskaliert. Nun ist σx σ0  = ζ 2 σx  σ0  .

(7.3.46a)

366

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Abb. 7.11. Dezimierungstransformation

β) Lineare Block-Spin-Transformation (Dreiecksgitter, Abb. 7.12) ti {σ} = p(σi1 + σi2 + σi3 ) √ 1 √ η/2 b = 3 , p = ( 3) = 3−1+η/4 3

(7.3.46b)

Abb. 7.12. Block-Spin-Transformation

γ) Nichtlineare Block-Spin-Transformation ti {σ} = p(σi1 + σi2 + σi3 ) + qσi1 σi2 σi3

(7.3.46c)

Wichtiger Spezialfall p = −q =

1 2

,

σi = sgn(σi1 + σi2 + σi3 ) .

Diese sog. Ortsraum-(real-space)-Renormierungsprozeduren wurden von Niemeijer und van Leeuwen eingef¨ uhrt.14 Die in Abschn. 7.3.3 dargestellte, vereinfachte Variante stammt aus.15 Die Blockspintransformation f¨ ur das quadratische Ising-Gitter ist in16 dargestellt. F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Darstellung mit weiteren Referenzen verweisen wir auf den Reviewartikel von Niemeijer und van Leeuwen.17

14 15 16 17

Th. Niemeijer, J.M.J. van Leeuwen, Phys. Rev. Lett. 31, 1411 (1973) K.G. Wilson, Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975). M. Nauenberg, B. Nienhuis, Phys. Rev. Lett. 33, 344 (1974) Th. Niemeijer and J.M.J. van Leeuwen, in Phase Transitions and Critical Phenomena Vol.6, Ed. C. Domb, M.S. Green, p.425, 1976, Academic Press, London.

∗

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

367

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

7.4.1 Ginzburg-Landau-Funktional Die Ginzburg-Landau-Theorie ist eine Kontinuumsbeschreibung von Phasenu angen. Die Erfahrung und die bisherigen theoretischen Betrachtungen ¨berg¨ in diesem Kapitel zeigen, daß die mikroskopischen Details, wie Gitterstruktur, genaue Form der Wechselwirkung etc. unerheblich f¨ ur das kritische Verhalten sind, das sich bei Abst¨ anden manifestiert, die sehr viel gr¨oßer als die Gitterkonstante sind. Da uns also nur das Verhalten bei kleinen Wellenzahlen interessiert, werden wir zu einer makroskopischen Kontinuumsbeschreibung ¨ u von der mikroskopischen Elektrody¨bergehen, etwa analog dem Ubergang namik zur Elektrodynamik der Kontinua. Bei der Aufstellung des GinzburgLandau-Funktionals werden wir eine intuitive Begr¨ undung geben; eine mikro¨ skopische Ableitung ist im Anhang E dargestellt; siehe auch Ubungsaufgabe 7.15. Wir gehen von einem ferromagnetischen System aus, das aus Ising-Spins (n = 1) auf einem d-dimensionalen Gitter bestehe. Die Verallgemeinerung auf beliebige Dimensionen ist aus mehreren Gr¨ unden von Interesse. Erstens sind darin die physikalisch relevanten Dimensionen drei und zwei enthalten. Zweitens zeigt sich, daß bestimmte N¨ aherungsverfahren oberhalb von vier Dimensionen exakt sind. Das gibt dann die M¨ oglichkeit st¨orungstheoretische Entwicklungen um die Dimension vier durchzuf¨ uhren (Abschn. 7.4.5). Statt der Spins Sl auf dem Gitter f¨ uhren wir eine Kontinuumsmagnetisierung m(x) =

1  g(x − xl )Sl ˜ ad N 0 l

(7.4.1)

˜ ein. Hier ist g(x − xl ) eine Gewichtsfunktion, die innerhalb einer Zelle mit N Spins eins ist und außerhalb Null. Die lineare Abmessung dieser Zelle az soll sehr viel gr¨ oßer sein als die Gitterkonstante a0 aber sehr viel kleiner als die Seitenl¨ ange L des Kristalls, d.h. a0
az
L. Die Funktion g(x − xl ) soll stetig vom Wert 1 auf 0 u ¨ bergehen, so daß m(x) stetig mit x variiert, siehe Abb. 7.13 .

Abb. 7.13. Die Gewichtsfunktion g(y) l¨ angs einer der d kartesischen Koordinaten

368

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Unter Verwendung von  ˜ ad dd xg(x − xl ) = N 0 und der Definition (7.4.1) kann man den Zeeman-Term folgendermaßen umformen    1  d hSl = h d xg(x − x )S = dd xhm(x) . (7.4.2) l l ˜ ad N 0 l l Aus der kanonischen Dichtematrix f¨ ur die Spins folgt die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur die Konfigurationen m(x). Allgemein gilt    1  P[m(x)] = δ m(x) − g(x − x )S (7.4.3) l l ˜ ad N 0 l Wir schreiben f¨ ur P[m(x)] P[m(x)] ∝ e−F [m(x)]/kT ,

(7.4.4)

wo das Ginzburg-Landau-Funktional F [m(x)], eine Art Hamilton-Funktion f¨ ur die Magnetisierung m(x), auftritt. Die durch die Austauschwechselwirkung hervorgerufene Tendenz zur ferromagnetischen Ordnung muß sich in der Form des Funktionals F [m(x)] ¨ außern  
2 b F [m(x)] = dd x am2 (x) + m4 (x) + c ∇m(x) − hm(x) . (7.4.5) 2 In der N¨ ahe von Tc sollten nur Konfigurationen von m(x) mit kleinen Absolutwerten von Bedeutung sein, und deshalb die Taylor-Entwicklung (7.4.5) zul¨ assig sein. Bevor wir uns den Koeffizienten in (7.4.5) zuwenden, f¨ ugen wir einige Bemerkungen u ber die Bedeutung dieses Funktionals ein. ¨ Wegen der Mittelung (7.4.1) tragen kurzwellige Variationen von Sl nicht zu m(x) bei. Die langwelligen Variationen jedoch, mit Wellenl¨ange gr¨oßer als az werden genauso durch m(x) repr¨ asentiert. Die Zustandssumme des magnetischen Systems ist deshalb von der Form  Z = Z0 (T ) D[m(x)]e−F [m(x)]/kT . (7.4.6)  Hier bedeutet das Funktionalintegral D[m(x)] . . . die Summe u ¨ ber alle m¨oglichen Konfigurationen von m(x) mit dem Wahrscheinlichkeitsgewicht e−F [m(x)]/kT . Man kann m(x) durch eine Fourier-Reihe darstellen und erh¨alt die Summe u ¨ ber alle Konfigurationen durch Integration u ¨ ber alle FourierKomponenten. Der Faktor Z0 (T ) r¨ uhrt von den (kurzwelligen) Konfigurationen des Spin-Systems her, die nicht zu m(x) beitragen. Die Berechnung des in der Zustandssumme (7.4.6) auftretenden Funktionalintegrals ist nat¨ urlich ein

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

369

h¨ochst nichttriviales Problem und wird in den folgenden Abschnitten 7.4.2 und 7.4.5 mit N¨ aherungsmethoden durchgef¨ uhrt. Die freie Energie ist F = −kT log Z .

(7.4.7)

Wir kommen nun zu den Koeffizienten in der Entwicklung (7.4.5). Zun¨achst hat die Entwicklung (7.4.5) darauf Bedacht genommen, daß F [m(x)] dieselbe Symmetrie wie die mikroskopische Spin-Hamilton-Funktion hat. D.h. bis auf den Zeeman-Term ist F [m(x)] eine gerade Funktion  von m(x). Wegen (7.4.2) ¨ außert sich das Feld h nur im Zeeman-Term − dd x h m(x), und die Koeffizienten a, b, c sind unabh¨ angig von h. Aus Stabilit¨atsgr¨ unden m¨ ussen große Werte von m(x) ein geringes statistisches Gewicht besitzen, was b > 0 verlangt. Sollte b ≤ 0 sein, muß die Entwicklung zu h¨oherer Ordnung in m(x) fortgef¨ uhrt werden. Diese Verh¨ altnisse treten bei Phasen¨ uberg¨angen erster Ordnung und an trikritischen Punkten auf. Die ferromagnetische Austauschwechselwirkung hat die Tendenz, die Spins gleichm¨aßig auszurichten. Dies f¨ uhrt zu dem Term c∇m∇m mit c > 0, welcher Inhomogenit¨aten in der Magnetisierung unterdr¨ uckt. Schließlich kommen wir zu den Werten von a. F¨ ur h = 0 und homogenes m(x) = m, ist das Wahrscheinlichkeitsgewicht e−βF in der Abbildung 7.14 gezeigt.

Abb. 7.14. Die Wahrscheinlichkeitsdichte e−βF als Funktion von homogenen Werten der Magnetisierung. (a) F¨ ur a > 0 (T > Tc0 ) und (b) f¨ ur a < 0 (T < Tc0 ).

Wenn a > 0 ist, dann ist die wahrscheinlichste Konfiguration m = 0, wenn a < 0 ist, dann ist die wahrscheinlichste Konfiguration m = 0. Somit muß a sein Vorzeichen wechseln, a = a (T − Tc0 ) ,

(7.4.8)

mit einem positiven Koeffizienten a , damit ein Phasen¨ ubergang existiert. Wegen der nichtlinearen Terme und Fluktuationen wird das tats¨achliche Tc verschieden von Tc0 sein. Die Koeffizienten b und c sind endlich bei Tc0 .

370

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Falls man statt vom Ising-Modell vom Heisenberg-Modell ausgeht, ist zu ersetzen (siehe Gl. (7.4.10)) Sl → Sl

und m(x) → m(x)  2 2 m4 (x) → m(x)

2

(∇m) → ∇α m∇α m .

,

(7.4.9)

Ginzburg-Landau-Funktionale kann man f¨ ur jede Art von Phasen¨ ubergang aufstellen. Es ist dazu auch nicht notwendig von einer mikroskopischen Herleitung auszugehen. Die Form ergibt sich in den meisten F¨allen aus der Kenntnis der Symmetrie des Ordnungsparameters. So wurde die Ginzburg-LandauTheorie erstmalig f¨ ur den Fall der Supraleitung aufgestellt, lange vor der mikroskopischen BCS-Theorie. In der Supraleitung war die Ginzburg-LandauTheorie auch besonders erfolgreich, weil einfache N¨ aherungen, Abschn. 7.4.2, einen großen G¨ ultigkeitsbereich haben (siehe Abschn. 7.4.3.3). 7.4.2 Ginzburg-Landau-N¨ aherung Wir gehen vom Ginzburg-Landau-Funktional f¨ ur einen n-komponentigen Ordnungsparameter m(x), n = 1, 2, . . . , aus    1 2 2 F [m(x)] = dd x am2 (x)+ b(m(x)2 ) + c(∇m) − h(x)m(x) . (7.4.10) 2 Die Integration m¨ oge sich u ¨ber das Volumen Ld erstrecken. Die wahrscheinlichste Konfiguration von m(x) ist durch den station¨aren Zustand gegeben, bestimmt durch
 δF 2 = 2 a + bm(x) − c∇2 m(x) − h(x) = 0 . (7.4.11) δm(x) Sei h ortsunabh¨ angig und o.B.d.A. wird h in die x1 -Richtung gelegt, h = he1 , (h ≷ 0), dann ergibt sich die homogene L¨ osung aus
 2 a + bm2 m − he1 = 0 . (7.4.12) Wir diskutieren Spezialf¨alle (i) h → 0 : spontane Magnetisierung und spezifische W¨arme Bei verschwindendem ¨ außeren Feld besitzt (7.4.12) folgende L¨osungen m=0

f¨ ur

(m = 0) und

a>0 m = ±e1 m0 ,

 m0 =

−a b

(7.4.13) f¨ ur

a Tc0

(7.4.14a)

f¨ ur

T < Tc0 .

(7.4.14b)

2

1a d L 2 b

Wir lassen den regul¨ aren Term Freg = −kT log Z0 immer weg. Der Zustand m = 0 h¨ atte f¨ ur T < Tc0 eine h¨ ohere freie Energie als der Zustand m0 , deshalb wurde m = 0 schon in (7.4.13) eingeklammert. F¨ ur T < Tc0 ergibt sich also eine endliche spontane Magnetisierung . Das Einsetzen dieser Magnetisierung wird durch den kritischen Exponenten β charakterisiert, der hier den Wert β = 12 annimmt (Abb. 7.15).

Abb. 7.15. Spontane Magnetisierung in der GinzburgLandau-N¨ aherung

Spezifische W¨arme Aus (7.4.14a,b) findet man unmittelbar die spezifische W¨arme 



2  0 T > Tc0 ∂S ∂ F d L ch=0 = T = −T = , (7.4.15) 2 ∂T h=0 ∂T 2 h=0 T ab Ld T < Tc0 mit a aus (7.4.8). Die spezifische W¨ arme weist einen Sprung a b

2

∆ch=0 = Tc0

(7.4.16)

auf, der kritische Exponent α ist deshalb Null (siehe Gl. (7.1.1)) α = 0. (ii) Zustandsgleichung f¨ ur h > 0 und Suszeptibilit¨at Man zerlegt m in den longitudinalen Teil e1 m1 und den transversalen Teil m⊥ = (0, m2 , ..., mn ). Aus Gl. (7.4.12) folgt offensichtlich m⊥ = 0

(7.4.17)

und die magnetische Zustandsgleichung h = 2(a + bm21 )m1 .

(7.4.18)

Wir k¨ onnen diese in Grenzf¨ allen vereinfachen α) T = Tc0 h = 2bm31

also δ = 3 .

(7.4.19)

372

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

β) T > Tc0 m1 =

h + O(h3 ) . 2a

(7.4.20)

γ) T < Tc0 m1 = m0 sgn (h) + ∆m ergibt
 h m1 = m0 sgn (h) + + O h2 sgn(h) 2 4bm0
 h = m0 sgn(h) + + O h2 sgn(h) . −4a

(7.4.21)

Nun k¨ onnen wir auch die magnetische Suszeptibilit¨at f¨ ur h = 0 berechnen, indem wir entweder die Zustandsgleichung (7.4.18) differenzieren
 ∂m1 2 a + 3bm21 =1 ∂h oder direkt (7.4.20) und (7.4.21) betrachten. Daraus folgt f¨ ur die isotherme Suszeptibilit¨ at 

 1 T > Tc0 ∂m1 χT = = 2a1 . (7.4.22) ∂h T T < Tc0 4|a| Der kritische Exponent γ besitzt wie in der Molekularfeldtheorie den Wert γ = 1. 7.4.3 Fluktuationen in Gaußscher N¨ aherung 7.4.3.1 Gaußsche N¨ aherung Wir wollen nun den Einfluß von Schwankungen der Magnetisierung untersuchen. Dazu entwicklen wir das Ginzburg-Landau-Funktional nach Abweichungen vom wahrscheinlichsten Zustand bis zur 2. Ordnung. Wir f¨ uhren m(x) = m1 e1 + m (x)

(7.4.23)

ein, wo m (x) = L−d/2



mk eikx ,

(7.4.24)

k∈B

die Abweichung vom wahrscheinlichsten Wert charakterisiert. Wegen der unterliegenden Zelleneinteilung ist die Summation u ¨ber k auf die Brillouin-Zone − aπz < ki < aπz beschr¨ ankt. Die Reellit¨ atsbedingung f¨ ur m(x) ergibt m∗k = m−k .

(7.4.25)

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

373

A) T > Tc0 und h = 0 : In diesem Bereich ist m1 = 0, und die Fourier-Entwicklung (7.4.24) diagonalisiert den harmonischen Teil Fh des Ginzburg-Landau-Funktionals  
2 2 Fh = dd x am + c(∇m ) = (a + ck 2 )mk m−k . (7.4.26) k

Wir k¨ onnen nun sehr leicht die Zustandssumme (7.4.6) in Gaußscher N¨aherung oberhalb Tc0   ZG = Z0 dmk e−βFh (7.4.27) k

berechnen. Zerlegen wir mk in Real- und Imagin¨ arteil, so ergibt sich f¨ ur jedes k und jede der n Komponenten von mk ein Gauß-Integral, so daß n   π ZG = Z0 (7.4.28) β(a + ck 2 ) k

folgt, und somit die freie Energie (station¨ are L¨ osung 0 gibt keinen Beitrag) n  π F (T, 0) = F0 − kT log (7.4.29) 2 β(a + ck 2 ) k

ist. Die spezifische W¨ arme ist mit dann ch=0 = −T



∂ 2 F/Ld n 2 = k (T a ) 2 ∂T 2

k



··· = dd k d

V (2π)d



dd k . . . und Gl. (7.4.8)

1 2

(2π) (a + ck 2 )

+ ... .

(7.4.30)

Die Punkte stehen f¨ ur weniger singul¨ are Terme. Wir definieren die Gr¨oße  c  c 1/2 −1/2 ξ= = (T − Tc0 ) , (7.4.31) a a die im Limes T → Tc0 divergiert und sich bei Berechnung der Korrelationsfunktion (7.4.47) als Korrelationsl¨ ange erweisen wird. Indem man in (7.4.30) als neue Integrationsvariable q = ξk einf¨ uhrt, ergibt sich f¨ ur den singul¨aren Teil der spezifischen W¨ arme ˜ 4−d csing. h=0 = A+ ξ mit der Amplitude

2  n T a dd q 1 ˜ A+ = k 2 d 2 c q 4 unterschieden: d4 



Λξ

dq 

0 Λξ

=−

dq 0

q d−1 − q d−5 (1 + q 2 )2





Λξ

dq q d−5

+ 0

q d−5 + 2q d−3 1 + (Λξ)d−4 . d−4 (1 + q 2 )2

Das Gesamtresultat ist in (7.4.35) ⎧ 4−d 0 − 2 ⎪ ⎪ ⎨A+ (T − Tc ) 0 csing h=0 = ⎪∼ log(T − Tc ) ⎪ ⎩A − B(T − T 0 ) d−4 2 c

zusammengefaßt: d4.

F¨ ur d ≤ 4 ist die spezifische W¨ arme bei Tc divergent, f¨ ur d > 4 besitzt sie eine Spitze (engl. cusp). Die Amplitude A+ f¨ ur d < 4 lautet

d  ∞ n 2 a 2 q d−1 A+ = T Kd dq . 2 c (1 + q 2 )2 0

(7.4.36)

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

375

Unterhalb von d = 4 ist der kritische Exponent der spezifischen W¨arme −α (ch=0 ∼ (T − Tc ) ) α=

1 (4 − d) , 2

(7.4.37)

insbesondere bei d = 3 ist in Gaußscher N¨ aherung α = 12 . Der Vergleich mit exakten Resultaten und Experimenten zeigt, daß in der Gaußschen N¨aherung die Fluktuationen u atzt werden. ¨ bersch¨ B) T < Tc0 Nun gehen wir zu T < Tc0 u ¨ber und unterscheiden zwischen den longitudinalen (m1 ) und transversalen Komponenten (mi ) m1 (x) = m1 + m1 (x) ,

mi (x) = mi (x)

f¨ ur

i≥2

(7.4.38)

mit den Fourierkomponenten m1k und mik , wobei letztere nur f¨ ur n ≥ 2 vorhanden sind. Im gegenw¨ artigen Zusammenhang, auch nicht-ganzzahliger Dimension, werden wir Vektoren vereinfacht durch x etc. bezeichnen. Aus (7.4.10) ergibt sich f¨ ur das Ginzburg-Landau-Funktional in zweiter Ordnung in den Schwankungen  3h 2 Fh [m] = F [m1 ] + −2a + + O(h2 ) + ck 2 |m1k | 2m1 k  (7.4.39)  h  2 + + ck 2 |mik | . 2m1 i≥2

Dabei wurde folgende Nebenrechnung verwendet:   a m21 + 2m1 m1 + m12 + m2⊥  b 4 + m1 + 4m31 m1 + 6m21 m12 + 2m21 m2⊥ − h(m1 + m1 ) 2
 
 b = am21 + m41 − hm1 + a + 3bm21 m12 + a + bm21 m2⊥ . 2 7 89 : h 2m1

¨ Ahnlich der Rechnung, die von (7.4.26) auf (7.4.29) f¨ uhrte, finden wir f¨ ur die freie Energie der Tieftemperaturphase f¨ ur h = 0 F (T, 0) = F0 (T, h) + FG.L. (T, 0)−   1 π π − kT log + (n − 1) log . 2 β(2|a| + ck2 ) βck2

(7.4.40)

k

Der erste Term r¨ uhrt von Z0 , der zweite Term von F [m1 ], der in der Ginzburg-Landau-N¨ aherung betrachteten station¨ aren L¨osung, der dritte von

376

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

den longitudinalen Fluktuationen und der vierte von den transversalen her. Zur spezifischen W¨ arme tragen die transversalen Fluktuationen, deren Energie f¨ ur h = 0 temperaturunabh¨ angig ist, nichts bei: 

ch=0 = T



a2 a2 − 4−d + A˜− ξ 4−d = T + A− (Tc − T ) 2 b b

,

(7.4.41)

wobei die Tieftemperaturkorrelationsl¨ ange / ξ=

2|a| c

0−1 =

 c 1/2 −1/2 (Tc0 − T ) , 2a

T < Tc0

(7.4.42)

einzusetzen ist. Die Amplituden in (7.4.23) und (7.4.41) erf¨ ullen die Beziehungen 4 A˜− = A˜+ n

,

A− =

2d/2 A+ . n

(7.4.43)

Das Verh¨ altnis der Amplituden des singul¨ aren Beitrages zur spezifischen W¨ arme h¨ angt nur von der Komponentenzahl n und der Dimension d ab und ist in diesem Sinne universell. Die transversalen Fluktuationen tragen nichts zur spezifischen W¨ arme unterhalb von Tc bei, deshalb tritt der Faktor n1 im Amplitudenverh¨ altnis auf. 7.4.3.2 Korrelationsfunktionen Nun berechnen wir noch die Korrelationsfunktionen in Gaußscher N¨aherung. Zuerst betrachten wir T > Tc0 Um derartige Gr¨ oßen, die uns sp¨ ater immer wieder begegnen werden, zu berechnen, f¨ uhren wir das erzeugende Funktional    1 Z[h] = dmk e−βFh + hk m−k ZG k   (7.4.44)  2 2 1 = dmk e−β k (a+ck )|mk | +hk m−k ZG k

ein. Zur Berechnung der Gauß-Integrale in (7.4.44) f¨ uhrt man die Substitution m ˜ k = mk −

1 −1 (a + ck 2 ) hk 2β

(7.4.45)

ein und erh¨ alt   1  1 Z[h] = exp h h k −k . 4β a + ck 2 k

(7.4.46)

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

377

Offensichtlich ist mk m−k  =

  ∂2 Z[h] ∂h−k ∂hk h=0

,

woraus sich mit Hilfe von (7.4.46) die Korrelationsfunktion mk m−k  = δkk

1 ≡ δkk G(k) 2β(a + ck 2 )

(7.4.47)

ergibt. Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß in der Summe u ¨ ber k in (7.4.46) jeder Term hk h−k = h−k hk zweimal vorkommt. Aus der letzten Gleichung wird die Bedeutung der Korrelationsl¨ange (7.4.31), charakterisiert durch den kritischen Exponenten ν = 12 , klar, denn im Ortsraum folgt aus (7.4.47)   1  ik(x−x ) 1 dd k eik(x−x ) e = d Ld 2β(a + ck 2 ) (2π) 2βc(ξ −2 + k 2 ) k   ξ 2−d dd q eiq(x−x )/ξ = . 2βc q 1 zwischen der longitudinalen und der transversalen (i ≥ 2) Korrelationsfunktion   G (k) = m1k m1−k und G⊥ (k) = mik mi−k  . (7.4.52) F¨ ur n = 1 ist nur G (k) maßgeblich. Aus (7.4.39) folgt analog zu (7.4.47)

378

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

G (k) =

1

h→0

3h 2m1

2β[−2a +

+

ck 2 ]

−→

1 2β[2a (Tc0 − T ) + ck 2 ]

(7.4.53)

und G⊥ (k) =

1 1 h→0 −→ h 2] 2βck 2 2β[ 2m + ck 1

(7.4.54a)

G⊥ (0) =

T m1 . h

(7.4.54b)

Die Divergenz der transversalen Suszeptibilit¨ at (Korrelationsfunktion) (7.4.54a) f¨ ur h = 0 ist eine Folge der Rotationsinvarianz, aufgrund derer es keine Energie kostet, die Magnetisierung zu drehen. Wir wollen zun¨ achst die Ergebnisse der Gaußschen N¨aherung zusammenfassen, dann die G¨ ultigkeitsgrenzen der Gaußschen N¨aherung behandeln und schließlich in Abschn. 7.4.4.1 die Form der Korrelationsfunktionen unterhalb Tc0 allgemeiner diskutieren. Zusammenfassend ergibt sich f¨ ur die kritischen Exponenten αFlukt = 2 −

d 1 1 , β = , γ =1, δ =3, ν = , η =0 2 2 2

(7.4.55)

und f¨ ur die Amplitudenverh¨altnisse der spezifischen W¨arme, der longitudinalen Korrelationsfunktion und der isothermen Suszeptibilit¨at A˜+ n = ˜ 4 A−

,

C˜+ = 1 und C˜−

C+ =2. C−

(7.4.56)

Die Amplituden sind in (7.4.32), (7.4.41), (7.4.57) und (7.4.58) definiert: G(k) = C˜±

ξ2 2

1 + (ξk)

,

−1

χ = C± |T − Tc |

,

1 C˜± = , 2βc

(7.4.57)

T ≷ Tc .

(7.4.58)

7.4.3.3 G¨ ultigkeitsbereich der Gaußschen N¨ aherung Den G¨ ultigkeitsbereich der Gaußschen N¨ aherung und von weitergehenden st¨ orungstheoretischen Rechnungen kann man durch Vergleich von h¨oheren mit niedrigen Ordnungen absch¨ atzen. Es muß z.B. die vierte Ordnung sehr viel kleiner sein als die zweite, bzw. der Gaußsche Beitrag zur spezifischen W¨ arme kleiner als der station¨ are Wert. Die Ginzburg-Landau-N¨aherung ist zul¨ assig, wenn die Fluktuationen klein gegen¨ uber dem station¨aren Wert sind, d.h. nach Gl. (7.4.16) und (7.4.41)

∆c ξ 4−d

T a c

2 N

,

(7.4.59)

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

379

wo N ein numerischer Faktor ist. Somit muß gelten τ (4−d)/2 mit τ =

T −Tc0 Tc0

N ξ0d ∆c

und ξ0 =

(7.4.60) ;

c a Tc0 .

F¨ ur Dimensionen d < 4 bricht die Ginzburg-Landau-N¨aherung nahe bei Tc zusammen. Aus (7.4.60) ergibt sich eine charakteristische Temperatur τGL = ( ξdN∆c )2/(4−d) , die sogenannte Ginzburg-Levanyuk-Temperatur; die0 se h¨ angt von den Ginzburg-Landau-Parametern ab, Tab. 7.3. Es tritt in diesem Zusammenhang dc = 4 als Grenzdimension (obere kritische Dimension) auf. F¨ ur d < 4 bricht f¨ ur τ < τGL die Ginzburg-LandauN¨ aherung zusammen. Es reicht dann auch nicht aus, den Fluktuationsanteil zu addieren, sondern man muß noch Wechselwirkungen unter den Fluktuationen ber¨ ucksichtigen. Oberhalb von vier Dimensionen nehmen die Korrekturen zur Gaußschen N¨ aherung bei Ann¨ aherung an Tc0 ab, so daß dort die Gaußsche N¨ aherung zutrifft. F¨ ur d > 4 ist der Exponent des Fluktuationsbeitrags nach c (Tc0 ) Gl. (7.4.35) negativ, αFlukt < 0. Es kann deshalb das Verh¨altnis h=0 ≷ 1 ∆c sein. Tabelle 7.3. Korrelationsl¨ ange und kritischer Bereich Supraleiter19 Magnete ¨ λ−Ubergang

ξ0 ∼ 103 ˚ A ˚ ξ0 ∼ A ξ0 ∼ 4 ˚ A

τGL = 10−10 − 10−14 τGL ∼ 10−2 τGL ∼ 0.3

7.4.4 Kontinuierliche Symmetrie, Phasen¨ uberg¨ ange erster Ordnung 7.4.4.1 Suszeptibilit¨ aten f¨ ur T < Tc A) Transversale Suszeptibilit¨ at Wir fanden f¨ ur die transversale Korrelationsfunktion (7.4.54a) G⊥ (k) = 2β[ h 1 +ck2 ] und wollen nun zeigen, daß 2m1

1 das Ergebnis G⊥ (0) = T m h eine allgemeine Folge der Rotationsinvarianz ist. Dazu stellen wir uns vor, daß auf den Ferromagneten ein ¨außeres Feld h wirke. Nun untersuchen wir den Einfluß eines infinitesimalen, transversalen Zusatzfeldes δh , das senkrecht auf h sei

19

F Nach der BCS-Theorie ist ξ0 ∼ 0.18
v . In reinen Metallen ist m = me , vF = kTc ˚ 108 cm , T niedrig, ξ = 1000 − 16.000 A . Die A-15 Verbindungen Nb3 Sn, V3 Ga c 0 s , Tc gr¨ oßer, ξ0 = 50 ˚ A. besitzen flache B¨ ander, deshalb ist m groß, vF = 106 cm s Ganz anders ist die Situation in Hoch-Tc -Supraleitern, dort ist ξ0 ∼ ˚ A.

380

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Abb. 7.16. Feld h und infinitesimales transversales Zusatzfeld δh

;  δh2 2 (h + δh) = h2 + δh2 = h + 2h

.

Die Gr¨ oße des Feldes wird nur um O(δh2 ) ge¨ andert, f¨ ur kleines δh haben wir eine Drehung des Feldes um den Winkel δh , Abb. 7.16. Die Magnetisieh δh rung dreht sich um den gleichen Winkel; das bedeutet δm = m h , und daraus erhalten wir f¨ ur die transversale Suszeptibilit¨ at χ⊥ ≡

δm m = . δh h

(7.4.61)

Die transversale Korrelationsfunktion in Gaußscher N¨aherung (7.4.54a) ist mit diesem allgemeinen Resultat in Einklang. Bemerkungen u angigkeit der transversalen Korrelationsfunk¨ ber die Ortsabh¨ tion G⊥ (r): (i)

1 G⊥ (r, h = 0) = 2βc



d−2 dd k eikx ξ⊥ = Ad , d k2 r (2π)

ξ⊥ = (2βc)− d−2 1

(7.4.62) Mit Hilfe des Volumenelements dd k = dk k d−1 (sin θ)

d−2

dθ dΩd−1

folgt f¨ ur das Integral in (7.4.60)  π 1 d−2 eikr cos θ (sin θ) dθ d 2 2βck (2π) 0 0

   ∞ J d −1 (kr) d Kd−1 d 1 1 = dk k d−3 Γ − Γ 2 2 −1 2 d 2βc 2π 0 2 2 2 (kr) 2 −1

=

Ωd−1



∞

∼ r−(d−2) .

dkk d−1

20

Aus Dimensionsgr¨ unden muß G⊥ (r) von der Form G⊥ (r) ∼ M 2 20

d−2 ξ r

I.S. Gradshteyn and I.M. Ryshik, Table of Integrals, Series and Products, Academic Press New York, 1980, Eq. 8.411.7

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

381

sein, d.h. die transversale Korrelationsl¨ ange aus Gl. (7.4.62) ist 2β

ξ⊥ = ξM d−2 ∝ τ −ν τ d−2 = τ ην/(d−2) 2

,

(7.4.63)

wo der Exponent unter Verwendung von Skalenrelationen umgeformt wurde. (ii) Wir rechnen noch die lokalen transversalen Magnetisierungsschwankungen aus " #−d+2  ; 2m1  Λ d−1 h cΛ dk k 2m1 q d−1 G⊥ (r = 0) ∼ ∼ c dq h 2 h 1 + q2 0 0 2m + ck 1

und betrachten den Limes h → 0: Das Ergebnis ist f¨ ur d>2: endlich d=2: log h
m  2−d h→0 2 1 d 0 hinzugef¨ ugt wird. Dann lautet das Ginzburg-Landau-Funktional   
2 1 1 F = dd x am2 + c ∇m + bm4 + vm6 , (7.4.72) 2 2 wobei a = a (T − Tc0 ). Die Dichte der freien Energie ist f¨ ur einen homogenen Ordnungsparameter in der Abb. 7.19 dargestellt.

Abb. 7.19. Dichte der freien Energie in der N¨ ahe einer Phasenumwandlung erster Ordnung f¨ ur Temperaturen T < Tc0 , T ≈ Tc0 , T = Tc , T < T1 , T > T1 .

F¨ ur T > T1 gibt es nur das Minimum bei m = 0, also den ungeordneten Zustand. Bei T1 entsteht ein zweites relatives Minimum, das f¨ ur T ≤ Tc schließlich niedriger als das bei m = 0 ist. F¨ ur T < Tc0 ist der Zustand m = 0 instabil. Die Stationarit¨ atsbedingung lautet  v a + bm2 + 3 m4 m = 0 , (7.4.73) 2 und die Bedingung daf¨ ur, daß ein Minimum vorliegt

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

1 ∂2f v = a + 3bm2 + 15 m4 > 0 . 2 ∂m2 2

385

(7.4.74)

Die L¨ osungen der Stationarit¨ atsbedingung sind m0 = 0

(7.4.75a)

und m20 = −

b + (−) 3v



b2 2a − 9v 2 3v

1/2 .

(7.4.75b)

Wir erinnern b < 0. Die endliche L¨ osung mit dem Minuszeichen entspricht einem Maximum der freien Energie und wird im weiteren außer Acht gelassen. Das Minimum (7.4.75b) existiert f¨ ur alle Temperaturen, f¨ ur die die Diskriminante positiv ist, also unterhalb der Temperatur T1 T1 = Tc0 +

b2 6va

.

(7.4.76)

¨ ¨ T1 ist die Uberhitzungstemperatur (siehe Abb. 7.19 und unten). Die Ubergangstemperatur Tc ergibt sich aus der Bedingung, daß die freie Energie f¨ ur (7.4.75b) Null ist. F¨ ur diese Temperatur (siehe Abb. 7.19) hat die freie Energie eine Doppelnullstelle bei m2 = m20 und hat somit die Form  2 v
2 b v m − m20 m2 = a + m2 + m4 m2 2 2 2

  v b 2 b2 = m2 + − + a m2 = 0 . 2 2v 8v Daraus folgt a = Tc = Tc0 +

b2 8v

b und m2 = − 2v , was gleichermaßen zu

b2 8va

(7.4.77)

f¨ uhrt. F¨ ur T < Tc0 liegt bei m = 0 ein lokales Maximum vor. Tc0 hat die Bedeutung der Unterk¨ uhlungstemperatur. Im Bereich Tc0 ≤ T ≤ T1 k¨onnen ¨ also beide Phasen koexistieren, d.h. es ist Unterk¨ uhlung bzw. Uberhitzung 0 einer Phase m¨ oglich. Denn f¨ ur Tc ≤ T < Tc ist die ungeordnete Phase (m0 = 0) metastabil; f¨ ur T1 ≥ T > Tc dagegen ist die geordnete Phase (m0 = 0) metastabil. Bei langsamer Abk¨ uhlung, so daß das System den Zustand niedrigster freier Energie einnimmt, springt m0 bei Tc von 0 auf m20 (Tc ) = −

b + 3v



b2 b2 − 2 9v 12v 2

1/2 =−

b 2v

(7.4.78)

386

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Abb. 7.20. Temperaturverlauf der Magnetisierung bei einem Phasen¨ ubergang erster Ordnung

und hat unterhalb von Tc den Temperaturverlauf, Abb. 7.20, < " # 0) 2 3 (T − T c m20 (T ) = m20 (Tc ) 1 + 1 − . 3 4 (Tc − Tc0 ) ∗

7.4.5 Impulsschalen-Renormierungsgruppe

Die RG-Theorie kann auch im Rahmen des G.L.-Funktionals durchgef¨ uhrt werden, mit folgenden Vorteilen gegen¨ uber diskreten Spin-Modellen: Die Methode ist auch in h¨ oheren Dimensionen praktikabel und verschiedene Wechselwirkungen und Symmetrien sind behandelbar. Es ergibt sich dabei eine Entwicklung der kritischen Exponenten in  = 4 − d. Hier kann nicht auf die Details der dazu notwendigen st¨ orungstheoretischen Techniken eingegangen werden, sondern nur die wesentliche Struktur der RenormierungsgruppenRekursionsrelationen und ihre Konsequenzen dargestellt werden. F¨ ur die detaillierte Rechnung wird auf ausf¨ uhrliche Darstellungen22,23 und die Literatur am Ende des Kapitels hingewiesen. 7.4.5.1 Wilsons RG-Schema Wir wenden uns nun der Renormierungsgruppentransformation f¨ ur das Ginzburg-Landau-Funktional (7.4.10) zu. Dabei f¨ uhren wir durch die Substitutionen √ 1 m = √ φ , a = rc , b = uc2 und h → 2c h (7.4.79) 2c die in diesem Zusammenhang u ¨ bliche Notation ein, und erhalten das sog. Ginzburg–Landau–Wilson–Funktional.  r  u 1 F [φ] = dd x φ2 + (φ2 )2 + (∇φ)2 − hφ . (7.4.80) 2 4 2 22 23

Wilson, K.G., Kogut, J., Phys. Rep. 12 C, 76 (1974). S. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin, Reading, 1976.

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

387

Eine intuitiv einleuchtende Vorgehensweise wurde von K.G. Wilson22,23 vorgeschlagen. Im wesentlichen wird im Impulsraum die Spur u ¨ ber die Freiheitsgrade mit großem k ausgef¨ uhrt, und man erh¨ alt auf diese Weise Rekursionsrelationen f¨ ur die Ginzburg–Landau–Koeffizienten. Da man erwartet, daß die detaillierte Form der kurzwelligen Fluktuationen nicht wesentlich ist, kann die Brillouin–Zone einfach durch eine d–dimensionale Kugel mit dem Radius (cutoff) Λ gen¨ ahert werden. Die Impulsschalen-RG-Transformation besteht dann aus den folgenden Schritten: (i) Ausf¨ uhren der Spur u ¨ ber alle Fourier Komponenten φk mit Λ/b < |k| < Λ (Abb 7.21) eliminiert diese kurzwelligen Moden.

Abb. 7.21. Impulsraum-RG: Die partielle Spur wird u ¨ ber die Fourier-Komponenten φk mit Impulsen in der Schale Λ/b < |k| < Λ gebildet.

(ii) Durch eine Skalentransformation24 k  = bk , 

φ =b φ, ζ

(7.4.81) (7.4.82)

und deshalb φk = bζ−d φk ,

(7.4.83)

wird das resultierende effektive Hamilton–Funktional auf ein Form analog zum urspr¨ unglichen Modell gebracht, wodurch dann effektive skalenabh¨angige Kopplungsparameter definiert werden. Durch wiederholte Anwendung dieser RG–Transformation (die eine Halbgruppe darstellt, da es kein inverses Element gibt) werden die erwarteten universellen Eigenschaften des langwelligen Bereiches deutlich. Wie bei der Ortsraum-Renormierungsgruppentransformation von Abschn. 7.3.3 entsprechen die Fixpunkte der Trans24

Betrachtet man (7.4.83) zusammen mit dem Feldterm im Ginzburg-LandauFunktional (7.4.10), so erkennt man, daß der Exponent ζ die Transformation des ¨ außeren Feldes bestimmt und mit yh aus Abschnitt (7.3.4) u ¨ ber ζ = d − yh zusammenh¨ angt.

388

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

formation den verschiedenen thermodynamischen Phasen und den Phasen¨ uberg¨ angen dazwischen. Die Eigenwerte der linearisierten Flußgleichungen in der N¨ ahe des kritischen Fixpunktes geben schließlich die kritischen Exponenten (siehe (7.3.41a,b,c)). Obwohl eine st¨ orungstheoretische Entwicklung (nach u) im kritischen Bereich in keiner Weise gerechtfertigt scheint, ist sie v¨ ollig legitim weit entfernt vom kritischen Punkt, wo die Fluktuationen vernachl¨ assigbar sind. Die wichtige Beobachtung ist nun, daß der RG–Fluß diese sehr unterschiedlichen Bereiche verbindet und Resultate der St¨orungsentwicklung im nicht-kritischen Bereich auf diese Weise in die N¨ahe von Tc transformiert werden k¨ onnen, wobei die nichtanalytischen Singularit¨aten bei der Abbildung konsistent, kontrolliert und verl¨ aßlich ihre Ber¨ ucksichtigung erfahren. St¨ orungstheoretische Methoden k¨ onnen ebenfalls bei der Eliminierung der kurzwelligen Freiheitsgrade Anwendung finden (Schritt (i)). 7.4.5.2 Gaußsches Modell Das im vorhergehenden Abschnitt dargestellte Konzept soll nun zun¨achst auf das Gaußsche Modell, bei dem u = 0 gilt (siehe Abschnitt 7.4.3), angewendet werden,  r + k2 F0 [φk ] = |φk |2 , (7.4.84) 2 |k| | < Λ, erh¨ alt man in erster Ordnung in u Terme der folgenden (symbolisch geschriebenen) Form (von nun an wird kT gleich 1 gesetzt):  (i) u φ4< e−F0 muß lediglich wieder exponentiert werden, da diese Freiheitsgrade nicht eliminiert werden; (ii) alle  Terme mit einer ungeraden Anzahl von φ< oder φ> , wie z.B. u φ3< φ> e−F0 , verschwinden;  (iii) u φ4> e−F0 gibt einen konstanten Beitrag zur freien Energie und schließ lich u φ2< φ2> e−F0 , wof¨ ur das Gaußsche Integral u ¨ ber die φ> mit der Hilfe δkk β von Gl. (7.4.47) f¨ ur den Propagator φα φ  uhrt k> −k 0 = 2(r+k2 ) durchgef¨ >

werden kann, ein Mittelwert, der mit dem statistischen Gewicht e−F0 berechnet wird.

Ganz allgemein besagt das Wicksche Theorem,22,23 daß Ausdr¨ ucke der Form m  i



  ≡ φk1> φk2> . . . φkm> 0

φki> 0

in eine Summe von Produkten aller m¨ oglichen Paare φk> φ−k> 0 faktorisieren, wenn m geradzahlig ist und sonst verschwinden. Speziell in der Behandlung h¨ oherer Ordnungen der St¨ orungstheorie steht mit den Feynman Diagrammen eine sehr hilfreiche Darstellung f¨ ur die große Anzahl von Beitr¨agen, die in der St¨ orungsreihe aufsummiert werden m¨ ussen, zur Verf¨ ugung. Hierbei symbolisieren Linien die Propagatoren und Wechselwirkungsvertizes stehen f¨ ur die nichtlineare Kopplung u. Mit diesen Mitteln k¨ onnen die Zweipunkt–Funktion φk< φ−k<  und die ahnlich definierte Vierpunkt–Funktion berechnet werden. Unter Verwendung ¨ von Gl. (7.4.47) erh¨ alt man dann zur ersten nichttrivialen Ordnung ( 1–loop“, ” eine Notation, die von der graphischen Darstellung herr¨ uhrt) die folgenden Rekursionsrelationen zwischen den Ausgangskoeffizienten r, u und den transformierten Koeffizienten r , u des Ginzburg-Landau-Wilson-Funktionals:22,23
 r = b2 r + (n + 2) A(r) u , (7.4.88)
  4−d u = b u 1 − (n + 8) C(r) u , (7.4.89) wo A(r) und C(r) durch die Integrale

390

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation



Λ

(k d−1 /r + k 2 )dk

A(r) = Kd Λ/b



=Kd Λd−2 (1 − b2−d )/(d − 2) − rΛd−4 (1 − b4−d )/(d − 4) + O(r2 )  Λ d−1

C(r) = Kd k /(r + k 2 )2 dk Λ/b

= Kd Λd−4 (1 − b4−d )/(d − 4) + O(r) , mit Kd = 1/2d−1π d/2 Γ (d/2) definiert sind, und die von der Zahl n der Komponenten des Ordnungsparameterfeldes abh¨ angigen Faktoren, von der Kombinatorik beim Z¨ ahlen der a oglichkeiten, die Felder φk> ¨quivalenten M¨ zu kontrahieren“, d.h. die Integrale u uhren, ¨ ber die großen Impulse auszuf¨ ” herstammen. Wir weisen darauf hin, daß hier wieder Gl. (7.4.85) gilt. Wenn man die Gl. (7.4.88) und (7.4.89) am Gaußschen Fixpunkt r∗ = 0, u∗ = 0 linearisiert, findet man sofort die Eigenwerte yτ = 2 und yu = 4 − d. Somit stellt sich f¨ ur d > dc = 4 die Nichtlinearit¨ at ∝ u als irrelevant heraus, und die Molekularfeld-Exponenten sind g¨ ultig, wie bereits in Abschn. 7.4.3.3 vermutet. F¨ ur d < 4 (dc = 4 obere kritische Dimension) werden die Fluktuationen jedoch relevant und jeder Anfangswert u = 0 w¨achst unter der Renormierungsgruppentransformation an. Um das Skalenverhalten in diesem Fall zu erhalten, m¨ ussen wir deshalb nach einem nichttrivialen, endlichen Fixpunkt suchen. Das geschieht am leichtesten, indem man via b = eδ und δ → 0 den differentiellen Fluß einf¨ uhrt, wodurch die Anzahl der RG-Schritte effektiv eine kontinuierliche Variable wird, und die resultierenden differentiellen Rekursionsrelationen studiert: dr(") = 2r(") + (n + 2)u(")Kd Λd−2 − (n + 2)r(")u(")Kd Λd−4 , (7.4.90) d" du(") = (4 − d)u(") − (n + 8)u(")2 Kd Λd−4 . (7.4.91) d" Ein Fixpunkt ist nun durch die Bedingung dr/d" = 0 = du/d" definiert.

Abb. 7.22. Fluß der effektiven Kopplung u(#), bestimmt durch die als Ordinate aufgetragene rechte Seite von Gl. (7.4.91). Sowohl f¨ ur Anfangswerte u0 > u∗c , als auch f¨ ur 0 < u0 < u∗c erh¨ alt man u(#) → u∗c f¨ ur # → ∞.

In Abb. 7.22 ist der Fluß von u(") entsprechend Gl. (7.4.91) dargestellt; f¨ ur jeden Anfangswert u0 = 0 findet man, daß asymptotisch, d.h. f¨ ur " → ∞, der nichttriviale Fixpunkt

∗

u∗c Kd =

 Λ , n+8

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

=4−d

391

(7.4.92)

erreicht wird, der die universellen kritischen Eigenschaften des Modells be¨ stimmen sollte. Ahnlich wie bei der Ortsraum-Renormierung, Abschn. 7.3, erzeugt auch die RG Transformation mittels Impulsschalenelimination neue Wechselwirkungen; zum Beispiel Terme ∝ φ6 und ∇2 φ4 etc., die in nachfolgenden Schritten wieder die Rekursionsrelationen f¨ ur r und u beeinflussen. Es zeigt sich jedoch, daß bis zur Ordnung 3 diese Terme nicht ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen.22,23 Die urspr¨ ungliche Annahme, daß u klein sei, die die St¨orungsreihe gerechtfertigt hat, bedeutet wegen Gl. (7.4.92) jetzt, daß der effektive Entwicklungsparameter hier die Abweichung von der oberen kritischen Dimension  ist. Setzt man (7.4.92) in Gl. (7.4.90) und nimmt Terme bis zur Ordnung O() mit, so findet man rc∗ = −

n+2 ∗ (n + 2) 2 uc Kd Λd−2 = − Λ . 2 2(n + 8)

(7.4.93)

Die physikalische Interpretation dieses Resultats lautet, daß Fluktuationen ¨ zu einer Erniedrigung der Ubergangstemperatur f¨ uhren. Mit τ = r −rc∗ ergibt schließlich die differentielle Form der Flußgleichung  dτ (") = τ (") 2 − (n + 2) u Kd Λd−4 d"

(7.4.94)

den Eigenwert yτ = 2 − (n + 2)/(n + 8) in der N¨ ahe des kritischen Punktes (7.4.92). In der hier dargestellten Ein-Loop-Ordnung O() findet man deshalb f¨ ur den kritischen Exponenten ν nach Gl. (7.3.41e) ν=

1 n+2 +  + O(2 ) . 2 4(n + 8)

(7.4.95)

Benutzt man das Ergebnis η = O(2 ) und die Skalenrelationen (7.3.41a-d), so erh¨ alt man folgende Resultate (bemerkenswert ist der Unterschied zum Resultat (7.4.35) der Gaußschen N¨ aherung) 4−n  + O(2 ) , 2(n + 8) 1 3 β= −  + O(2 ) , 2 2(n + 8) n+2 γ =1+  + O(2 ) , 2(n + 8)

α=

δ = 3 +  + O(2 )

(7.4.96) (7.4.97) (7.4.98) (7.4.99)

in erster Ordnung in dem Entwicklungsparameter  = 4 − d. Der erste nichttriviale Beitrag zum Exponenten η tritt in Zwei-Loop-Ordnung auf,

392

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

η=

n+2 2 + O(3 ) . 2(n + 8)2

(7.4.100)

Die Universalit¨ at dieser Resultate manifestiert sich, indem diese nur von der Raumdimension d und der Anzahl der Ordnungsparameter-Komponenten n und nicht von den urspr¨ unglichen mikroskopischen“ Ginzburg–Landau Pa” rametern abh¨ angen. Bemerkungen: (i) An der oberen kritischen Dimension dc = 4 tritt ein inverses Potenzgesetz als L¨ osung der Gl. (7.4.91) an Stelle des exponentiellen Verhaltens, was zu logarithmischen Korrekturen zum Molekularfeld-Exponenten f¨ uhrt. (ii) Zus¨ atzlich bemerken wir, daß f¨ ur langreichweitige Wechselwirkungen, die ein Potenzverhalten zeigen, ∝ |x|−(d+σ) , die kritischen Exponenten eine zus¨ atzliche Abh¨ angigkeit vom Parameter σ erhalten. (iii) Neben der -Entwicklung ist auch eine Entwicklung in Potenzen von 1/n m¨ oglich. Hierbei entspricht der Limes n → ∞ dem exakt l¨osbaren sph¨ arischen Modell.25 Zwar hilft die 1/n-Entwicklung einige allgemeine Aspekte zu kl¨ aren, die numerische Genauigkeit ist allerdings nicht sehr hoch, da doch gerade kleine Werte f¨ ur n von praktischem Interesse sind. Die differentiellen Rekursionsrelationen der Form (7.4.90) und (7.4.91) dienen auch als Basis f¨ ur die Behandlung subtilerer Fragestellungen wie der Berechnung von Skalenfunktionen oder auch der Behandlung von cross overPh¨anomen im Rahmen der RG-Theorie. So f¨ uhrt zum Beispiel eine anisotrope St¨ orung im n-komponentigen Heisenberg-Modell, die m Richtungen auszeichnet, zu einem crossover vom O(n)-Heisenberg-Fixpunkt26 zum O(m) Fixpunkt.27 Die Instabilit¨ at des ersten wird durch den cross over Exponenten beschrieben. F¨ ur kleine anisotrope St¨ orungen wird der Fluß der RGTrajektorie dem instabilen Fixpunkt allerdings sehr nahe kommen. Das be¨ deutet, daß man weit entfernt von der Ubergangstemperatur Tc des Systems das Verhalten eines n-komponentigen Systems findet, bevor das System von dem kritischen anisotropen Verhalten gepr¨ agt wird. Der cross over von einem RG–Fixpunkt zu einem anderen kann durch die Einf¨ uhrung von effektiven Exponenten dargestellt (und gemessen) werden. Diese sind als logarithmische Ableitungen der geeigneten physikalischen Gr¨ oßen definiert. Andere wichtige St¨ orungen, die im Rahmen der RG– Theorie behandelt wurden, sind zum einen kubische Terme. Sie reflektieren die zugrundeliegende Kristallstruktur und tragen im Ginzburg-LandauWilson-Funktional in vierter Ordnung in den kartesischen Komponenten von 25

26

27

Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin, Reading, 1976. O(n) weist auf die Invarianz gegen¨ uber Drehungen im n-dimensionalen Raum, d.h. gegen¨ uber der Gruppe O(n) hin. siehe D.J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group and Critical Phenomena, 2nd ed., World Scientific, Singapore, 1984, Kap. 5–3.

∗

7.4 Ginzburg-Landau-Theorie

393

φ bei. Zum anderen werden Dipol-Wechselwirkungen als St¨orungen behandelt. Diese ¨ andern den harmonischen Anteil der Theorie. 7.4.5.4 Weitergehende feldtheoretische Methoden Will man die St¨ orungstheorie in h¨ oherer als der ersten oder zweiten Ordnung diskutieren, ist Wilsons Impulsschalen-Renormierungsschema f¨ ur praktische Rechnungen nicht die beste Wahl, trotz seiner intuitiv einleuchtenden Eigenschaften. Der technische Grund hierf¨ ur sind Einschr¨ankungen der Impulse in den Integralen im Fourier-Raum, die wegen der endlichen Abschneidewellenzahl Λ schwer zu behandeln sind. Es erweist sich als besser das feldtheoretische Renormierungsschema mit Λ → ∞ zu verwenden. Allerdings f¨ uhrt dieses auf zus¨ atzliche Ultraviolett (UV)-Divergenzen der Integrale f¨ ur d ≥ dc . Bei der kritischen Dimension dc treten sowohl Ultraviolett- als auch Infrarot (IR)-Singularit¨ aten kombiniert in logarithmischer Form, [∝ log(Λ2 /r)], auf. Die Idee besteht nun darin, die UV-Divergenzen mit der urspr¨ unglich in der Quantenfeldtheorie entwickelten Methodik zu behandeln und somit das korrekte Skalenverhalten f¨ ur den IR-Limes zu gewinnen. Bei der formalen Umsetzung wird die Tatsache ausgenutzt, daß die urspr¨ ungliche, unrenormierte Theorie nicht vom frei w¨ ahlbaren Renormierungspunkt abh¨angt; als Ergebnis erh¨ alt man die Callan–Symanzik- oder RG-Gleichungen. Dabei handelt es sich um partielle Differentialgleichungen, die den differentiellen Flußgleichungen im Wilson-Schema entsprechen. -Entwicklungen sind bis zur siebten Ordnung durchgef¨ uhrt worden;28 die so erhaltene Reihe ist aber nur asymptotisch konvergent (der Konvergenzradius der St¨ orungsreihe in u muß klarerweise Null sein, da u < 0 einer instabilen Theorie entspricht). Durch die Kombination dieser durch Entwicklung Tabelle 7.4. Die besten N¨ aherungen f¨ ur die statischen kritischen Exponenten ν, β, und δ f¨ ur das O(n)–symmetrische φ4 -Modell in d = 2 und d = 3 Dimensionen, aus !-Entwicklungen bis zu hoher Ordnung in Verbindung mit Borel-SummationsTechnik.28 Zum Vergleich sind auch die exakten Onsager-Resultate f¨ ur das 2d-IsingModell angegeben. Der Grenzfall n = 0 beschreibt die statistische Mechanik von Polymeren. γ n = 0 1.39 ± 0.04 n = 1 1.73 ± 0.06 2d Ising (exakt) 1.75 d=2

d=3

28

n=0 n=1 n=2 n=3

1.160 ± 0.004 1.239 ± 0.004 1.315 ± 0.007 1.390 ± 0.010

ν

β

η

0.76 ± 0.03 0.99 ± 0.04 1

0.065 ± 0.015 0.120 ± 0.015 0.125

0.21 ± 0.05 0.26 ± 0.05 0.25

0.5885 ± 0.0025 0.3025 ± 0.0025 0.031 ± 0.003 0.6305 ± 0.0025 0.3265 ± 0.0025 0.037 ± 0.003 0.671 ± 0.005 0.3485 ± 0.0035 0.040 ± 0.003 0.710 ± 0.007 0.368 ± 0.004 0.040 ± 0.003

J.C. Le Guillou und J.C. Zinn-Justin, J. Phys. Lett. 46 L, 137 (1985)

394

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

in so hoher Ordnung gewonnenen Resultate mit dem divergenten asymptotischen Verhalten und der Technik der Borel-Resummation, k¨onnen kritische Exponenten mit einer beeindruckenden Genauigkeit erhalten werden, siehe Tabelle 7.4

∗

7.5 Perkolation

Skalentheorien und Renormierungsgruppentheorien spielen auch in anderen Zweigen der Physik eine Rolle, und zwar immer dann, wenn die charakteristische L¨ ange gegen unendlich geht und Strukturen jeder L¨angenskala auftreten. Beispiele daf¨ ur sind die Perkolation in der N¨ ahe der Perkolationsschwelle, Polymere im Grenzfall großer Zahl von Monomeren, Wiederkehr vermeidende Zufallsbewegung29 , Wachstumsvorg¨ ange und getriebene dissipative Systeme im Grenzfall langsamer Wachstumsrate (selbstorganisierte Kritikalit¨at). Als Beispiel eines derartigen Systems, das sich in der Sprache kritischer Ph¨anomene beschreiben l¨ aßt, betrachten wir die Perkolation. 7.5.1 Das Ph¨ anomen der Perkolation Unter dem Ph¨ anomen der Perkolation versteht man Probleme der folgenden Art. (i) Es m¨ oge eine Landschaft gegeben sein mit Bergen und T¨alern, die sukzessive mit Wasser aufgef¨ ullt wird. Bei niedrigem Wasserspiegel bilden sich Seen, bei ansteigendem Wasserspiegel wachsen einige der Seen zusammen bis schließlich ab einer gewissen kritischen H¨ ohe (oder auch Fl¨ache) des Wasserspiegels ein von einem zum anderen Ende der Landschaft reichendes Meer mit Inseln entsteht. (ii) Gegeben sei eine Fl¨ ache aus einem elektrischen Leiter, in den kreisf¨ormige L¨ ocher, v¨ ollig stochastisch verteilt, gestanzt werden, Abb. 7.23a . Wenn man mit p den Bruchteil der verbleibenden Leiterfl¨ache bezeichnet, dann ist f¨ ur p > pc noch eine Verbindung von einem zum anderen Ende der Fl¨ache vorhanden, w¨ ahrend f¨ ur p < pc die leitenden Fl¨ achenst¨ ucke in Inseln zerfallend keine durchgehende Br¨ ucke mehr bilden, und die Leitf¨ahigkeit dieses ungeordneten Mediums Null ist. Man nennt pc die Perkolationsschwelle. Oberhalb von pc gibt es einen unendlichen “Cluster“, unterhalb nur endliche “Cluster“, deren mittlerer Radius aber mit Ann¨ aherung an pc divergiert. Die Beispiele (i) und (ii) repr¨ asentieren Kontinuumsperkolation. Theoretisch modelliert man derartige Systeme auf einem diskreten d-dimensionalen Gitter. Tats¨achlich treten solche diskrete Modelle auch in der Natur auf, z.B. in Legierungen. (iii) Stellen wir uns ein quadratisches Gitter vor, in dem jeder Platz mit der Wahrscheinlichkeit p besetzt und mit der Wahrscheinlichkeit (1 − p) leer ist. 29

self-avoiding random walk

∗

7.5 Perkolation

395

Abb. 7.23. Beispiele f¨ ur Perkolation (a) Durchl¨ ocherter Leiter (Swiss-cheese model), Kontinuumsperkolation, (b) Site percolation, (c) Bond percolation

Dabei kann besetzt bedeuten, daß dort ein elektrischer Leiter ist und leer ein Nichtleiter, oder daß ein magnetisches Ion oder ein nichtmagnetisches Ion vorliegt, Abb. 7.23b. Wenn wir bei der ersten Interpretation bleiben, dann ergibt sich folgender physikalischer Sachverhalt. F¨ ur kleine p bilden die Leiter nur kleine Inseln (elektischer Strom m¨ oge nur zwischen benachbarten Lagen fließen) und das System ist insgesamt ein Isolator. Bei anwachsendem p werden die Inseln (Cluster) aus leitenden Pl¨ atzen gr¨oßer. Zwei Gitterpl¨atze geh¨ oren zum gleichen Cluster, wenn es zwischen ihnen eine Verbindung u ¨ ber besetzte n¨ achste Nachbarn gibt. Bei großen p (p  1) gibt es viele leitende Verbindungswege zwischen entgegengesetzten R¨andern und das System ist ein Leiter. Bei einer dazwischenliegenden Konzentration pc , der Perkolationsschwelle bzw. auch kritischen Konzentration, gibt es gerade noch eine Verbindung, d.h. kann Strom von einem Rand zum anderen perkolieren. Die kritische Konzentration trennt die Isolatorphase unterhalb pc von der Leiterphase oberhalb pc . Im Falle des magnetischen Beispiels wird bei pc aus einem Paramagneten ein Ferromagnet, vorausgesetzt, die Temperatur ist gen¨ ugend tief. Ein weiteres Beispiel ist die Besetzung der Gitterpl¨ atze durch Supra- und Nor¨ malleiter, in welchem Fall ein Ubergang von einer normalleitenden in eine supraleitende Phase stattfindet. Wir haben hier Beispiele f¨ ur site percolation (Platzperkolation) betrachtet, wobei die Gitterpl¨ atze stochastisch besetzt werden, Abb. 7.23b. Eine andere M¨ oglichkeit ist, daß die Bindungen zwischen den Gitterpl¨atzen stochastisch vorhanden oder durchgeschnitten sind. Man spricht dann von bond percolation (Bindungsperkolation), Abb. 7.23c. Hier hat man Cluster aus vorhandenen Bindungen; zwei Bindungen geh¨ oren zum selben Cluster, wenn es zwischen ihnen eine Verbindung u ber vorhandene Bindungen gibt. Zwei Bei¨ spiele f¨ ur die Bindungsperkolation sind: (i) Ein makroskopisches System mit Perkolationseigenschaften kann man durch ein stochastisches Netzwerk aus Widerst¨ anden und Metalldrahtverbindungen realisieren. (ii) Ein Gitter aus

396

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

verzweigenden Monomeren sei gegeben. Mit der Aktivierungswahrscheinlichkeit p bilden sich Bindungen zwischen den Monomeren. F¨ ur p < pc bilden sich endliche Makromolek¨ ule, f¨ ur p > pc dehnt sich ein Netzwerk chemischer Bindungen u ¨ ber das gesamte Gitter aus. Diesen Gelations-Vorgang nennt man ¨ den sol-gel (L¨ osungs-Gelatine)-Ubergang (Beispiel: Kochen eines Eies oder eines Puddings). Siehe Abb. 7.23. Bemerkungen: (i) Fragestellungen, die mit Perkolation zusammenh¨ angen, haben auch außerhalb der Physik Bedeutung, wie z.B. in der Biologie. Ein Beispiel ist die Ausbreitung einer Epidemie oder eines Waldbrandes. Ein erkranktes Individuum kann mit Wahrscheinlichkeit p in einem Zeitschritt seine noch nicht infizierten n¨ achsten Nachbarn infizieren. Das Individuum selbst stirbt nach einem Zeitschritt, aber seine infizierten Nachbarn k¨ onnen weitere noch lebende nichtinfizierte Nachbarn anstecken. Unterhalb der kritischen Wahrscheinlichkeit pc stirbt die Epidemie nach einigen Zeitschritten aus, oberhalb breitet sie sich immer weiter aus. Beim Waldbrand kann man sich ein Gitter denken, auf dem B¨ aume mit Wahrscheinlichkeit p sind. Wenn ein Baum brennt, z¨ undet er in einem Zeitschritt die ihm benachbarten B¨ aume an und er selbst wird zu Asche. F¨ ur kleine p stirbt das Feuer nach einigen Schritten aus. F¨ ur p > pc breitet sich das Feuer, falls an einem Rand alle B¨ aume angez¨ undet sind, u ¨ber das gesamte Waldgebiet ¨ aus. Es erlischt, wenn es am anderen Rand angekommen ist. Ubrig bleiben abgebrannte B¨ aume, leere Pl¨ atze und B¨ aume, die von der Umgebung durch einen Ring von leeren Pl¨ atzen getrennt waren, und so niemals vom Feuer ber¨ uhrt werden konnten. F¨ ur p > pc bilden die abgebrannten B¨ aume einen unendlichen Cluster. (ii) In der Natur treten h¨ aufig ungeordnete Systeme auf. Die Perkolation stellt daf¨ ur ein einfaches Beispiel dar, bei dem die Besetzung der einzelnen Gitterpl¨ atze untereinander unkorreliert ist.

Wie oben betont wurde, kann man diese Modelle f¨ ur Perkolation auch auf einem d-dimensionalen Gitter einf¨ uhren. Je h¨ oher die Dimension ist, umso mehr Verbindungswege gibt es zwischen zwei Pl¨atzen; deshalb wird die Perkolationsschwelle pc mit zunehmender Dimension abnehmen. Auch ist die Perkolationsschwelle f¨ ur bond percolation kleiner als f¨ ur site percolation, da eine Bindung mehr benachbarte Bindungen besitzt als eine Gitterplatz benachbarte Gitterpl¨ atze (im Quadratgitter 6 statt 4). Siehe Tab. 7.5. Tabelle 7.5. Perkolationsschwelle und kritische Exponenten f¨ ur einige Gitter Gitter ein-dimensional quadratisch einfach kubisch Bethe-Gitter d = 6 hyperkubisch d = 7 hyperkubisch

pc site

bond

1 0.592 0.311

1 1/2 0.248

1 z−1

1 z−1

0.107 0.089

0.0942 0.0787

β

ν

-

1

1

5 36

4 3

43 18

0.417 1 1 1

0.875 1 1 2 1 2

γ

1.795 1 1 1

∗

7.5 Perkolation

397

Der Perkolations¨ ubergang ist im Unterschied zu thermischen Phasen¨ uberg¨ angen geometrischer Natur. Wenn p gegen pc anw¨ achst, werden die Cluster immer gr¨ oßer, bei pc entsteht ein unendlicher Cluster. Obwohl sich dieser Cluster schon u ¨ ber das ganze Gebiet ausdehnt, ist der Bruchteil der in ihm ur p > pc geh¨oren mehr und mehr enthaltenen Pl¨ atze bei pc noch Null. F¨ Pl¨ atze zum unendlichen Cluster, auf Kosten der endlichen Cluster, deren mittlerer Radius abnimmt. F¨ ur p = 1 geh¨ oren nat¨ urlich alle Pl¨atze zum un¨ endlichen Cluster. Das Verhalten in der N¨ ahe von pc weist viele Ahnlichkeiten mit dem kritischen Verhalten bei Phasen¨ uberg¨ angen zweiter Ordnung in der N¨ ahe der kritischen Temperatur Tc auf. Wie in Abschnitt 7.1 behandelt, β w¨ achst die Magnetisierung unterhalb von Tc wie M ∼ (Tc − T ) an. Bei der Perkolation entspricht dem Ordnungsparameter die Wahrscheinlichkeit P∞ , daß ein besetzter Platz (oder eine vorhandene Bindung) zum unendlichen Cluster geh¨ ort, Abb. 7.24. Es gilt  0 f¨ ur p < pc P∞ ∝ (7.5.1) (p − pc )β f¨ ur p > pc .

Abb. 7.24. P∞ Ordnungsparameter (St¨ arke des unendlichen Clusters), S mittlere Zahl von Pl¨ atzen in einem endlichen Cluster

Die Korrelationsl¨ange ξ charakterisiert (oberhalb und unterhalb von pc ) die lineare Abmessung der endlichen Cluster. Genauer ist sie durch den mittleren Abstand zweier Gitterpunkte am selben endlichen Cluster definiert. In der alt sich ξ wie N¨ ahe von pc verh¨ ξ ∼ |p − pc |−ν .

(7.5.2)

Eine weitere Gr¨ oße ist die mittlere Zahl von Pl¨ atzen (Bindungen) in einem endlichen Cluster. Diese divergiert wie −γ

S ∼ |p − pc |

(7.5.3)

und entspricht der magnetischen Suszeptibilit¨ at χ, siehe Abb. 7.24. Genau wie bei thermischen Phasen¨ uberg¨ angen erwartet man, daß die kritischen Eigenschaften (z.B. die Werte von β, ν, γ) universell sind, d.h. nicht

398

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

von der Gitterstruktur abh¨ angen oder der Art der Perkolation (site, bond, Kontinuums-perkolation). Wohl aber h¨ angen diese kritischen Eigenschaften von der Dimension des Systems ab. Die Werte der Exponenten sind f¨ ur einige Gitter in Tab. 7.5 angegeben. Man kann das Perkolationsproblem auf ein s-Zustands-Potts-Modell abbilden, wobei der Grenzwert s → 1 zu nehmen ist.30,31 Aus diesem Zusammenhang ist verst¨ andlich, daß die obere kritische Dimension f¨ ur Perkolation dc = 6 ist. Das Potts-Modell enth¨alt in seiner feldtheoretischen Ginzburg-Landau-Formulierung einen Term von der Form φ3 , ¨ daraus folgt aus Uberlegungen analog zur φ4 -Theorie die charakteristische Dimension dc = 6. Die kritischen Exponenten β, ν, γ beschreiben die geometrischen Eigenschaften des Perkolations¨ uberganges. Dar¨ uber hinaus gibt es noch dynamische Exponenten, die die Transporteigenschaften wie z.B. die Leitf¨ahigkeit der durchl¨ ocherten Leiterplatte oder des ungeordneten Widerstandsgitters be¨ schreiben. Auch kann man die magnetischen, thermodynamischen Uberg¨ ange in der N¨ ahe der Perkolationsschwelle untersuchen. 7.5.2 Theoretische Beschreibung der Perkolation Wir betrachten Cluster der Gr¨ oße s, d.h. Cluster, die s Pl¨atze enthalten. Wir definieren mit ns die Zahl der Cluster der Gr¨ oße s dividiert durch die Zahl aller Gitterpl¨ atze und nennen dies die (normierte) Clusterzahl. Dann ist s ns die Wahrscheinlichkeit, daß ein willk¨ urlich gew¨ ahlter Platz zu einem Cluster der Gr¨ oße s geh¨ ort. Es gilt unterhalb der Perkolationsschwelle (p < pc ) ∞ 

s ns =

s=1

Zahl aller besetzten Pl¨ atze = p. Zahl aller Gitterpl¨ atze

Die Zahl aller Cluster pro Gitterplatz, unbeschadet ihrer Gr¨oße, ist  Nc = ns .

(7.5.4)

(7.5.5)

s

Die mittlere Gr¨ oße (auch die mittlere Masse) aller endlichen Cluster ist ∞ 

∞

s ns 1 2 S= s ∞ = s ns . p s=1 s=1 s ns s=1

(7.5.6)

Es gilt auch noch folgender Zusammenhang zwischen dem vor Gl. (7.5.1) definierten P∞ und den ns : Wir betrachten einen beliebigen Gitterplatz. Dieser 30 31

C.M.Fortuin, P.W. Kasteleyn, Physica 57, 536 (1972). Das s-Zustands-Potts-Modell ist als Verallgemeinerung des Ising-Modells, welches dem 2-Zustands-Potts-Modell entspricht, definiert: An jedem Gitterplatz gibt es s Zust¨ ande Z. Der Energiebeitrag eines Paares ist −JδZ,Z  d.h. −J, wenn die beiden Gitterpl¨ atze im gleichen Zustand sind, und Null sonst.

∗

7.5 Perkolation

399

ist entweder unbesetzt, oder er ist besetzt und geh¨ ort zu einem Cluster endlicher Gr¨ oße, oderer ist besetzt und geh¨ ort zum unendlichen Cluster, das ∞ heißt 1 = 1 − p + s=1 s ns + p P∞ , und folglich P∞ = 1 −

1 s ns . p s

(7.5.7)

7.5.3 Perkolation in einer Dimension Wir betrachten eine eindimensionale Kette, bei der jeder Gitterplatz mit der Wahrscheinlichkeit p besetzt ist. Da ein einziger unbesetzter Platz schon die Verbindung von einem Ende zum anderen unterbricht, ein unendlicher Cluster also nur vorliegen kann, wenn alle Pl¨ atze besetzt sind, ist pc = 1. In diesem Modell k¨ onnen wir also nur die Phase p < pc studieren. Wir k¨ onnen f¨ ur dieses eindimensionale Modell die normierte Clusterzahl ns sofort berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein willk¨ urlich gew¨ahlter Platz einem Cluster der Gr¨ oße s angeh¨ ort, hat den Wert s p s (1 − p)2 , denn es m¨ ussen s aufeinanderfolgende Pl¨ atze besetzt sein (Faktor ps ) und die links 2 und rechts angrenzenden Pl¨ atze frei sein (Faktor (1 − p) ). Da der herausgegriffene Platz an jeder der s Positionen des Clusters sein kann, tritt der ¨ Faktor s auf. Daraus und aus den allgemeinen Uberlegungen am Anfang von Abschn. 7.5.2 folgt 2

ns = ps (1 − p) .

(7.5.8)

Daraus k¨ onnen wir ausgehend von (7.5.6) die mittlere Clustergr¨oße berechnen:

2  ∞ ∞ 1 2 1 2 s (1 − p)2 d 2 S= s ns = s p (1 − p) = p ps p p s=1 p dp s=1 (7.5.9)

2 (1 − p)2 d p 1+p = p = f¨ ur p < pc . p dp 1 − p 1−p Die mittlere Clustergr¨ oße divergiert bei Ann¨ aherung an die Perkolationsschwelle pc = 1 wie 1/(1 − p), d.h. in einer Dimension ist der in (7.5.3) eingef¨ uhrte kritische Exponent γ = 1. Wir definieren nun die radiale Korrelationsfunktion g(r). Sei der Nullpunkt ein besetzter Platz, dann gibt g(r) die mittlere Zahl von besetzten Pl¨ atzen in der Entfernung r an, die zum gleichen Cluster wie der Nullpunkt geh¨ oren. Dies ist auch gleich der Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmter Platz in der Entfernung r besetzt ist und zum gleichen Cluster geh¨ort multipliziert mit der Zahl aller Pl¨ atze in der Entfernung r. Offensichtlich ist g(0) = 1. Daß der Punkt r zum Cluster geh¨ ort, erfordert, daß dieser Punkt selbst und alle zwischen 0 und r liegenden besetzt sind. D.h. die Wahrscheinlichkeit, daß der

400

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Punkt r besetzt ist und zum selben Cluster geh¨ ort wie 0, ist pr , und somit ist g(r) = 2 pr

r≥1.

f¨ ur

(7.5.10)

Der Faktor 2 tritt auf, da es im eindimensionalen Gitter zwei Punkte in der Entfernung r gibt. Die Korrelationsl¨ ange ist durch ∞ 2 ∞ 2 r r g(r) 2 r=1 r=1 r p ξ = ∞ =  (7.5.11) ∞ r g(r) r=1 r=1 p definiert. Analog zur Rechnung in Gl. (7.5.9) erh¨ alt man ξ2 =

1+p 2

(1 − p)

=

1+p (p − pc )

2

,

(7.5.11 )

d.h. der kritische Exponent der Korrelationsl¨ ange ist hier ν = 1. Wir k¨onnen g(r) auch in der Form g(r) = 2 er log p = 2 e−

√

2r ξ

(7.5.10 )

schreiben, wobei nach dem letzten Gleichheitszeichen p ≈ pc vorausgesetzt wurde, so daß log p = log(1 − (1 − p)) ≈ −(1 − p). Die Korrelationsl¨ange charakterisiert den (exponentiellen) Zerfall der Korrelationsfunktion. Die vorhin eingef¨ uhrte mittlere Clustergr¨ oße kann auch durch die radiale Korrelationsfunktion dargestellt werden S =1+

∞ 

g(r) .

(7.5.12)

r=1

Wir erinnern an den analogen Zusammenhang zwischen statischer Suszeptibilit¨ at und Korrelationsfunktion, der im Kapitel u ¨ ber Ferromagnetismus hergeleitet wurde (6.5.42). Man u ¨berzeugt sich leicht, daß (7.5.12) mit (7.5.10) wieder auf (7.5.9) f¨ uhrt. 7.5.4 Bethe-Gitter (Cayley-Baum) Ein weiteres exakt l¨ osbares Modell, das gegen¨ uber dem eindimensionalen Modell den Vorzug besitzt, auch in der Phase p > pc definiert zu sein, ist Perkolation auf dem Bethe-Gitter. Das Bethe-Gitter wird folgendermaßen konstru¨ iert. Vom Gitterplatz am Ursprung gehen z (Koordinationszahl) Aste aus, an deren Enden wieder Gitterpl¨ atze liegen, von denen wieder jeweils z − 1 neue Zweige ausgehen, u.s.w. (siehe Abb. 7.25 f¨ ur z = 3). Die erste Schale von Gitterpl¨ atzen enth¨ alt z Gitterpl¨atze, die zweite Schal−1 le z(z − 1) Pl¨ atze und die l-te Schale z(z − 1) Gitterpl¨atze. Die Zahl der

∗

7.5 Perkolation

401

Abb. 7.25. Bethe-Gitter mit Koordinationszahl z=3

Gitterpl¨ atze nimmt mit der Entfernung vom Mittelpunkt ∼ el log(z−1) exponentiell zu, w¨ ahrend in einem euklidischen d-dimensionalen Gitter sich diese Zahl wie ld−1 verh¨ alt. Dies l¨ aßt die Vermutung zu, daß die kritischen Exponenten des Bethe-Gitters mit denen eines u ¨ blichen euklidischen Gitters f¨ ur d → ∞ zusammenfallen. Ein weiterer besonderer Unterschied des BetheGitters zu euklidischen Gittern ist die Eigenschaft, daß es nur Verzweigungen aber keine geschlossenen Schleifen enth¨ alt. Dies ist der Grund f¨ ur die exakte L¨ osbarkeit. Wir berechnen zun¨ achst die radiale Korrelationsfunktion g(l), die wie vorhin als mittlere Zahl von besetzten Gitterpl¨ atzen im gleichen Cluster in der Entfernung l von einem beliebigen besetzten Gitterplatz definiert ist. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß ein bestimmter Gitterplatz in Entfernung l besetzt ist und auch alle zwischen ihm und dem Ausgangspunkt liegenden l−1 Pl¨ atze, hat den Wert pl . Die Zahl aller Pl¨ atze in der Schale l ist z(z − 1) , daraus folgt l−1

g(l) = z(z − 1)

pl =

z z l log(p(z−1)) (p(z − 1))l = e . z−1 z−1

(7.5.13)

Aus dem Verhalten der Korrelationsfunktion f¨ ur große l kann man die Perkolationsschwelle f¨ ur das Bethe-Gitter ablesen. F¨ ur p(z − 1) < 1 liegt exponentieller Abfall vor, f¨ ur p(z − 1) > 1 divergiert g(l) f¨ ur l → ∞, und es liegt ein unendlicher Cluster vor, der in der Berechnung der Korrelationsfunktion der endlichen Cluster nicht ber¨ ucksichtigt werden darf. Es folgt aus (7.5.13) f¨ ur pc pc =

1 . z−1

(7.5.14)

F¨ ur z = 2 wird das Bethe-Gitter zur eindimensionale Kette, und somit auch pc = 1. Aus (7.5.13) ist offensichtlich, daß die Korrelationsl¨ange ξ∝

−1 −1 1 = ∼ log p(z − 1) log ppc pc − p

(7.5.15)

402

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

f¨ ur p in der N¨ ahe von pc ist, d.h. ν = 1 wie in einer Dimension.32 Das gleiche Resultat ergibt sich, wenn man ξ u ur die mittlere ¨ber (7.5.11) definiert. F¨ Clustergr¨ oße erh¨ alt man f¨ ur p < pc S =1+

∞ 

g(l) =

l=1

pc (1 + p) pc − p

f¨ ur

p < pc ;

(7.5.16)

d.h. γ = 1. Die St¨ arke des unendlichen Clusters P∞ , d.h. die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebiger besetzter Gitterpunkt dem unendlichen Cluster angeh¨ort, kann auf folgende Weise berechnet werden. Das Produkt pP∞ ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Ursprung oder irgend ein anderer Punkt besetzt ist, und eine Verbindung von besetzten Pl¨ atzen bis Unendlich besteht. Wir berechnen zun¨ achst die Wahrscheinlichkeit Q, daß f¨ ur einen beliebigen Gitterplatz u ¨ber einen bestimmten von diesem ausgehenden Zweig keine Verbindung nach Unendlich f¨ uhrt. Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich der Wahrscheinlichkeit, daß der an dem Zweig h¨ angende Platz gar nicht besetzt ist, also (1 − p), plus der Wahrscheinlichkeit, daß der Platz besetzt ist, aber keiner der z − 1 von ihm wegf¨ uhrenden Zweige nach ∞ f¨ uhrt, d.h. Q = 1 − p + p Qz−1 . Dies ist eine Bestimmungsgleichung f¨ ur Q, die wir der Einfachheit halber f¨ ur Koordinationszahl z = 3 l¨ osen. Die beiden L¨ osungen der quadratischen Gleichung sind Q = 1 und Q = 1−p . p Die Wahrscheinlichkeit, daß der Ursprung besetzt ist, daß aber kein Weg ins Unendliche f¨ uhrt, ist einerseits p(1 − P∞ ) und andererseits p Qz , d.h. f¨ ur z=3 P∞ = 1 − Q3 . F¨ ur die erste L¨ osung, Q = 1, ergibt sich P∞ = 0, offensichtlich zutreffend f¨ ur p < pc , und f¨ ur die zweite L¨ osung

P∞ = 1 −

1−p p

3 ,

f¨ ur p > pc . In der N¨ ahe von pc = Clusters wie 32

(7.5.17) 1 2

verh¨ alt sich die St¨arke des unendlichen

Es wurde vorhin vermutet, daß hyperkubische Gitter hoher Dimension die gleichen kritischen Exponenten wie das Bethe-Gitter besitzen. Der aus Tab. 7.5 ersichtliche Unterschied bei ν kommt daher, daß beim Bethe-Gitter der topologische (chemische) und beim hyperkubischen Gitter der euklidische Abstand verwendet wurde. Verwendet man auch beim hyperkubischen Gitter den chemischen Abstand, ergibt sich oberhalb von d = 6 ebenfalls 1. Siehe Literatur: A. Bunde und S. Havlin, S. 71.

∗

P∞ ∝ (p − pc )

7.5 Perkolation

,

403

(7.5.18)

also β = 1. Wir werden dieses Resultat mit Gl. (7.5.30) noch auf andere Weise erhalten. Nun untersuchen wir die normierte Clusterzahl ns , die auch gleich der Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ist, daß ein bestimmter Platz einem Cluster der Gr¨ oße s angeh¨ ort, dividiert durch s. In einer Dimension konnte ns leicht bestimmt werden. Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Cluster aus t s Pl¨ atzen und t (leeren) Begrenzungspunkten ps (1 − p) . Der Perimeter t enth¨ alt innere und ¨ außere Begrenzungspunkte. F¨ ur allgemeine Gitter, wie z.B. Quadratgitter gibt es zu ein und demselben s verschiedene Werte von t, je nach der Form des Clusters; je gestreckter der Cluster umso gr¨oßer ist t, und je kugelf¨ ormiger umso kleiner ist t. In einem Quadratgitter gibt es zwei Cluster der Gr¨ oße 3, linienf¨ ormige und winkelf¨ ormige. Die zugeh¨origen Werte von t sind 8 und 7, und die Zahl der Orientierungen auf dem Gitter sind 2 und 4. F¨ ur allgemeine Gitter muß man deshalb die Gr¨oße gst einf¨ uhren, welche die Zahl der Cluster mit Gr¨ oße s und Umrandung t angibt. Dann lautet der allgemeine Ausdruck f¨ ur ns  t ns = gst ps (1 − p) . (7.5.19) t

F¨ ur beliebige Gitter ist die Bestimmung von gst nicht allgemein m¨oglich. F¨ ur das Bethe-Gitter besteht aber ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Gr¨ oße des Clusters s und der Zahl seiner Begrenzungspunkte t. Ein Cluster der Gr¨ oße 1 hat t = z, ein Cluster der Gr¨ oße 2 hat t = 2z − 2. Allgemein hat ein Cluster der Gr¨ oße s um z − 2 mehr Begrenzungspunkte als ein Cluster der Gr¨ oße s − 1, d.h. t(s) = z + (s − 1)(z − 2) = 2 + s(z − 2) . Somit ist f¨ ur das Bethe-Gitter
2+(z−2)s ns = g s p s 1 − p ,

(7.5.20)

wo gs die Zahl der Konfigurationen der Cluster der Gr¨oße s ist. Um die Berechnung von gs zu umgehen, werden wir ns (p) auf die Verteilung ns (pc ) bei pc beziehen. −1 Wir wollen nun das Verhalten von ns in der N¨ ahe von pc = (z − 1) als Funktion der Clustergr¨ oße untersuchen und separieren die Verteilung bei pc ab  2 

z−2 s 1−p p (1 − p) ns (p) = ns (pc ) , (7.5.21) 1 − pc pc (1 − pc ) und entwickeln um p = pc  2  s 2
 1−p (p − pc ) 3 ns (p) = ns (pc ) + O (p − p ) 1− c 1 − pc 2 pc2 (1 − pc ) = ns (pc ) e

−c s

,

(7.5.22)

404

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

 2 2 c) mit c = − log 1 − 2p(p−p ∝ (p − pc ) . c (1−pc ) Das bedeutet, die Zahl der Cluster der Gr¨ oße s f¨allt exponentiell ab. 1 Der zweite Faktor in (7.5.22) h¨ angt nur von der Kombination (p − pc ) σ s, mit σ = 1/2, ab. Der Exponent σ gibt an, wie rasch die Clusterzahl mit wachsender Gr¨ oße s abnimmt. Bei pc stammt die s-Abh¨angigkeit von ns nur vom Vorfaktor ns (pc ). In Analogie zu kritischen Punkten nehmen wir an, daß ns (pc ) ein reines Potenzgesetz ist; falls ξ die einzige L¨angenskala ist, die bei pc unendlich ist, dann k¨ onnen bei pc keine charakteristischen L¨angen, Clustergr¨ oßen etc. vorhanden sein. D.h. ns (pc ) kann nur von der Form ns (pc ) ∼ s−τ

(7.5.23)

sein. Die gesamte Funktion (7.5.22) ist dann von der Form  1 ns (p) = s−τ f (p − pc ) σ s ,

(7.5.24)

und ist eine homogene Funktion von s und (p − pc ). Den Exponenten τ k¨ onnen wir mit schon bekannten Exponenten in Verbindung bringen: Die mittlere Clustergr¨ oße ist nach Gl. (7.5.6)  1 2 s ns (p) ∝ s2−τ e−cs p s  ∞  ∞ 2−τ −cs τ −3 ∝ ds s e =c z 2−τ e−z dz .

S=

1

(7.5.25)

c

F¨ ur τ < 3 existiert das Integral, auch wenn die untere Grenze gegen Null geht: Es ist dann S ∼ cτ −3 = (p − pc )

τ −3 σ

,

(7.5.26)

woraus nach (7.5.3) γ=

3−τ σ

(7.5.27)

folgt. Da f¨ ur das Bethe-Gitter γ = 1 und σ = 12 ist, ergibt sich τ = 52 . Man kann aus (7.5.24) mittels der allgemeinen Relation (7.5.7) auch P∞ bestimmen. W¨ ahrend der Faktor s2 in (7.5.25) ausreichte, um das Integral an der unteren Grenze konvergent zu machen, ist das in (7.5.7) nicht der Fall. Deshalb schreiben wir (7.5.7) zun¨ achst in der Form  1
s ns (p) − ns (pc ) − p s  1
s ns (pc ) − ns (p) + 1 − = p s

P∞ = 1 −

1 s ns (pc ) p s pc , p

(7.5.28)

∗

7.5 Perkolation

405

wobei P∞ (pc ) = 0 = 1 −

1  s ns (pc ) pc s

ben¨ utzt wurde. Nun kann der erste Term in (7.5.28) durch ein Integral ersetzt werden  ∞

p − pc P∞ = const. cτ −2 z 1−τ 1 − e−z dz + p c (7.5.29) p − p c τ −2 = ...c + . p Daraus folgt f¨ ur den in Gl. (7.5.1) definierten Exponenten β=

τ −2 . σ

(7.5.30)

F¨ ur das Bethe-Gitter erh¨ alt man in Einklang mit (7.5.18) wieder β = 1. Im Bethe-Gitter ist der erste Term in (7.5.29)) auch von der Form p−pc , w¨ahrend β in anderen Gittern der erste Term, (p − pc ) , wegen β < 1 gegen¨ uber dem zweiten dominiert. Wir haben in (7.5.5) auch die mittlere Clusterzahl pro Gitterplatz eingef¨ uhrt, deren kritisches Perkolationsverhalten durch einen Exponenten α u ¨ber  2−α Nc ≡ ns ∼ |p − pc | (7.5.31) s

charakterisiert wird. D.h. diese Gr¨ oße steht in Analogie zur freien Energie bei thermischen Phasen¨ uberg¨ angen. Wir bemerken, daß es bei der Perkolation keine Wechselwirkung gibt, und die freie Energie lediglich durch die Entropie bestimmt wird. Setzt man in (7.5.31) wieder (7.5.24) f¨ ur die Clusterzahl ein, so ergibt sich 2−α=

τ −1 , σ

(7.5.32)

was auf α = −1 f¨ ur das Bethe-Gitter f¨ uhrt. Zusammenfassend sind die kritischen Exponenten f¨ ur das Bethe-Gitter β = 1 , γ = 1 , α = −1 , ν = 1 , τ = 5/2 , σ = 1/2 .

(7.5.33)

7.5.5 Allgemeine Skalentheorie Im letzten Abschnitt wurden die Exponenten f¨ ur das Bethe-Gitter (Cayleytree) berechnet. Dabei haben wir zum Teil von einer Skalenannahme (7.5.24)

406

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Gebrauch gemacht. Wir werden diese nun verallgemeinern und die daraus folgenden Konsequenzen ableiten. Wir gehen von der allgemeinen Skalenhypothese  1 ns (p) = s−τ f± |p − pc | σ s (7.5.34) aus, wobei sich ± auf p ≷ pc beziehen.33 Die Relationen (7.5.27), (7.5.30) und (7.5.32), die nur die Exponenten α, β, γ, σ, τ betreffen, gelten auch f¨ ur die allgemeine Skalenhypothese. Die Skalenrelation f¨ ur die Korrelationsl¨ange und andere Charakteristika der Ausdehnung der endlichen Cluster m¨ ussen wir von neuem herleiten. Die Korrelationsl¨ ange ist der mittlere quadratische Abstand zwischen allen besetzten Positionen innerhalb des gleichen endlichen Clusters. F¨ ur einen Cluster mit s besetzten Pl¨atzen ist der mittlere quadratische Abstand zwischen allen Paaren Rs2 =

s i 1  2 (xi − xj ) . s2 i=1 j=1

Die Korrelationsl¨ ange ξ erh¨ alt man durch Mittelung u ¨ ber alle Cluster ∞ 2 2 s=1 Rs s ns ξ2 =  . (7.5.35) ∞ 2 s=1 s ns Die Gr¨ oße 12 s2 ns ist gleich der Zahl der Paare in Cluster ns von der Gr¨oße s, also proportional zur Wahrscheinlichkeit, daß ein Paar (im gleichen Cluster) zu einem Cluster der Gr¨ oße s geh¨ ort. Der mittlere quadratische Clusterradius ist durch ∞ 2 s=1 Rs s ns R2 =  (7.5.36) ∞ s=1 s ns gegeben, da s ns = Wahrscheinlichkeit, daß ein besetzter Platz zu einem s-Cluster geh¨ ort. Der mittlere quadratische Abstand w¨achst mit der Clustergr¨oße wie Rs ∼ s1/df ,

(7.5.37)

wo df die fraktale Dimension ist. Dann folgt aus (7.5.35)

33

An der Perkolationsschwelle p = pc ist die Clusterverteilung ein Potenzgesetz ns (pc ) = s−τ f± (0). Die Abschneidefunktion f± (x) geht f¨ ur x
1 gegen Null, z.B. wie in (7.5.22) exponentiell. Die Gr¨ oße smax = |p−pc |−1/σ hat die Bedeutung des maximalen Clusters. Cluster der Gr¨ oße s smax sind auch f¨ ur p = pc nach s−τ verteilt und f¨ ur s
smax verschwindet ns (p).

∗

ξ2 ∼

∞ 

2

s df

+2−τ

7.5 Perkolation

407

∞   
 1 1 f± |p − pc | σ s s2−τ f± |p − pc | σ s

s=1

s=1 − d 2σ

∼ |p − pc | , 1 τ −1 ν= = df σ dσ f

2 < τ < 2.5

und aus (7.5.36) R2 ∼

∞ 

2

s df

+1−τ

1

−2ν+β

f± (|p − pc | σ s) ∼ |p − pc |

.

s=1

7.5.5.1 Dualit¨ atstransformation und Perkolationsschwelle Die Berechnung von pc f¨ ur die Bindungsperkolation ist durch Verwendung einer Dualit¨atstransformation im quadratischen Gitter m¨oglich. Die Definition des dualen Gitters ist in Abb. 7.26 illustriert. Die Gitterpunkte des dualen Gitters sind durch die Zentren der Einheitszellen des Gitters definiert.

Abb. 7.26. Gitter und duales Gitter. Linkes Bild: Gitter mit Bindungen und duales Gitter. Rechtes Bild: Zus¨ atzlich noch die Bindungen im dualen Gitter.

Eine Bindung am dualen Gitter wird gelegt, wenn sie nicht eine Bindung des Gitters kreuzt. D.h., die Wahrscheinlichkeit f¨ ur eine Bindung im dualen Gitter ist q =1−p. Am dualen Gitter liegt ebenfalls ein Bindungsperkolationsproblem vor. F¨ ur p < pc gibt es keinen unendlichen Cluster am Gitter, daf¨ ur aber gibt es einen unendlichen Cluster am dualen Gitter. Es gibt eine Verbindung von einem Ende des dualen Gitters zum anderen, der keine Bindung des Gitters + schneidet, es ist also q > pc . F¨ ur p → p− c von unten, erreicht q → pc die Perkolationsschwelle von oben, d.h. pc = 1 − pc . Also ist pc = 12 . Dieses Resultat f¨ ur Bindungs-Perkolation ist exakt.

408

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Anmerkungen: ¨ (i) Durch ¨ ahnliche Uberlegungen findet man auch, daß die Perkolationsschwelle f¨ ur Platz-Perkolation am Dreiecksgitter durch pc = 12 gegeben ist. (ii) Auch f¨ ur das zweidimensionale Ising-Modell waren f¨ ur eine Reihe von Gitter¨ strukturen die Ubergangstemperaturen durch Dualit¨ atstransformationen schon vor dessen exakter L¨ osung bekannt.

7.5.6 Renormierungsgruppentheorie im Ortsraum Wir besprechen nun eine Ortsraum-Renormierungsgruppentransformation, welche die n¨ aherungsweise Bestimmung von pc und den kritischen Exponenten gestattet.

Abb. 7.27. Gitter und dezimiertes Gitter

Bei der in Abb. 7.27 f¨ ur ein quadratisches Gitter dargestellten Dezimierungstransformation wird jeder zweite Gitterplatz eliminiert; dabei entsteht wieder ein quadratisches Gitter. Im neuen Gitter wird eine Bindung gelegt, wenn zwischen den beiden Gitterpunkten im urspr¨ unglichen Gitter wenigstens ein Verbindungsweg u ¨ ber zwei Bindungen bestand (siehe Abb. 7.27). Die Bindungskonfigurationen, die zu einer Bindung (gestrichelt gezeichnet) am dezimierten Gitter f¨ uhren, sind in Abb. 7.28 dargestellt. Darunter ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur diese Konfigurationen angegeben. Aus den in Abb. 7.28 dargestellten Regeln folgt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit einer Bindung am dezimierten Gitter p = p4 + 4p3 (1 − p) + 2p2 (1 − p)2 = 2p2 − p4 .

(7.5.38)

Aus diesem Transformationsgesetz34 erh¨ alt man die Fixpunktgleichung p∗ = ∗2 ∗4 2p − p . Diese besitzt als L¨ osungen p∗ = 0 , p∗ = 1, die den Hoch- und Tieftemperaturfixpunkten bei Phasen¨ uberg¨ angen entsprechen; und außerdem + √5 √ −1 (−) 5−1 ∗ die beiden Fixpunkte p∗ = , von denen nur p = = 0.618 . . . 2 2 in Frage kommt. Der Wert der so gefundenen Perkolationsschwelle ist verschieden vom im vorhergehenden Abschnitt gefundenen exakten Wert 12 . Die Gr¨ unde daf¨ ur sind: (i) Punkte, die im urspr¨ unglichen Gitter verbunden waren, 34

A.P. Young and R.B. Stinchcombe, J.Phys.C: Solid State Phys. 8, L 535 (1975).

∗

7.5 Perkolation

409

Abb. 7.28. Bindungskonfigurationen, die zu einer Bindung (gestrichelt) am dezimierten Gitter f¨ uhren

k¨onnen im dezimierten Gitter unverbunden sein. (ii) Verschiedene Bindungen auf dem dezimierten Gitter sind nicht mehr unkorreliert, da die Existenz einer Bindung auf dem urspr¨ unglichen Gitter f¨ ur das Auftreten von mehreren Bindungen auf dem dezimierten Gitter entscheidend sein kann. Die Linearisierung der Rekursionsrelation um den Fixpunkt ergibt f¨ ur den Exponenten der Korrelationsl¨ ange ν = 0.817. In zwei Dimensionen ist die Behandlung des Dreiecksgitters am einfachsten. Die Gitterpunkte eines Dreiecks werden zu einer Zelle zusammengefaßt. Diese Zelle gilt als besetzt, wenn alle drei Pl¨ atze besetzt sind, oder wenn zwei Pl¨ atze besetzt und einer leer ist, da in beiden F¨ allen ein Weg durch die Zelle besteht. F¨ ur alle anderen Konfigurationen (nur ein Platz besetzt oder keiner) ist die Zelle unbesetzt. F¨ ur das Dreiecksgitter35 erh¨ alt man folglich als Rekursionsrelation p = p3 + 3p2 (1 − p)

,

(7.5.39)

mit den Fixpunkten p∗ = 0, 1, 12 . Diese RG-Transformation liefert also f¨ ur die Perkolationsschwelle pc = 12 , was identisch mit dem exakten Wert ist. Die Linearisierung der RG-Transformation um den Fixpunkt ergibt f¨ ur den Exponenten der Korrelationsl¨ ange ν √ log 3 ν= = 1.3547 . log 32 Dies ist n¨ aher dem Reihenentwicklungsresultat ν = 1.34, bzw. dem exakten Resultat 4/3 als der vorhin f¨ ur das Quadratgitter gefundene Wert (siehe Bemerkung u at nach Gl. (7.5.3)). ¨ ber Universalit¨

7.5.6.1 Definition der Fraktalen Dimension In einem fraktalen Objekt verh¨ alt sich die Masse als Funktion der L¨ ange L eines d-dimensionalen euklidischen Ausschnitts wie M (L) ∼ Ldf

,

und somit die Dichte ρ(L) = 35

M (L) ∼ Ldf −d . Ld

P.J. Reynolds, W. Klein and H.E. Stanley J. Phys. C: Solid State Phys. 10 L167 (1977).

410

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

Eine alternative Definition von df erfolgt u ¨ ber die Zahl der Hyperkuben N (Lm , δ), ¨ die man zur Uberdeckung der fraktalen Struktur ben¨ otigt. Die Kantenl¨ ange der Hyperkuben sei δ; der Hyperkubus, der den gesamten Cluster enth¨ alt, habe die Kantenl¨ ange Lm

d Lm f N (Lm , δ) = , δ d.h. df = − lim

δ→0

log N (Lm , δ) . log δ

Literatur D.J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena, 2nd ed., World Scientific, Singapore, 1984 P. Bak, C. Tang and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. Lett. 59, 381 (1987) K. Binder, Rep. Prog. Phys. 60, 487 (1997) J.J. Binney, N.J. Dowrick, A.J. Fisher, M.E.J. Newman, The Theory of Critical Phenomena, 2nd ed., Oxford University Press, New York, 1993 M.J. Buckingham, W.M. Fairbank, in: C.J. Gorter (Ed.), Progress in Low Temperature Physics, Vol. III, 80–112, North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1961 A. Bunde, S. Havlin, in: A. Bunde, S. Havlin (Eds.), Fractals and Disordered Systems, 51, Springer Berlin, 1991 Critical Phenomena, Lecture Notes in Physics 54, Ed. J. Brey, R.B. Jones, Springer, Sitges, Barcelona, 1976 M.C. Cross and P.C. Hohenberg (1994), Rev. Mod. Phys. 65, 851–1112 P.G. De Gennes, Scaling Concepts in Polymer Physics, Cornell University Press, Ithaca, 1979 C. Domb and M.S. Green, Phase Transitions and Critical Phenomena, Academic Press, London, 1972-1976 C. Domb, J.L. Lebowitz (Eds.), Phase Transitions and Critical Phenomena, Vols. 7– 15, Academic Press, London, 1983–1992 B. Drossel and F. Schwabl, Phys. Rev. Lett. 69, 1629 (1992) J.W. Essam, Rep. Prog. Phys. 43, 843 (1980) R.A. Ferrell, N. Menyh´ ard, H. Schmidt, F. Schwabl and P. Sz´epfalusy, Ann. Phys. (N.Y.) 47, 565 (1968) M.E. Fisher, Rep. Prog. Phys. 30, 615–730 (1967) M.E. Fisher, Rev. Mod. Phys. 46, 597 (1974) H.J. Jensen, Self-Organized Criticality, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 E. Frey and F. Schwabl, Adv. Phys. 43, 577–683 (1994) B.I. Halperin and P.C. Hohenberg, Phys. Rev. 177, 952 (1969) Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin, Reading, Mass., 1976 S. Ma, in: C. Domb, M.S. Green (Eds.), Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 6, 249–292, Academic Press, London, 1976 T. Niemeijer, J.M.J. van Leeuwen, in: C. Domb, M.S. Green (Eds.), Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 6, 425–505, Academic Press, London, 1976

Aufgaben zu Kapitel 7

411

G. Parisi, Statistical Field Theory, Addison–Wesley, Redwood, 1988 A.Z. Patashinskii and V.L. Prokovskii, Fluctuation theory of Phase Transitions, Pergamon Press, Oxford, 1979 C.N.R. Rao and K.J. Rao, Phase Transitions in Solids, McGraw Hill, New York, 1978 F. Schwabl und U.C. T¨ auber, Phase Transitions: Renormalization and Scaling, in Encyclopedia of Applied Physics, Vol. 13, 343,VCH (1995) H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Clarendon Press, Oxford, 1971 D. Stauffer and A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor and Francis, London and Philadelphia, 1985 P. Pfeuty and G. Toulouse, Introduction to the Renormalization Group and to Critical Phenomena, John Wiley, London 1977 J.M.J. van Leeuwen in Fundamental Problems in Statistical Mechanics III, Ed. E.G.D. Cohen, North Holl. Publ. Comp., Amsterdam, 1975 K.G. Wilson and J. Kogut, Phys. Rept. 12C, 76 (1974) K.G. Wilson, Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975) J. Zinn–Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, 3rd ed., Clarendon Press, Oxford, 1996

Aufgaben zu Kapitel 7 7.1 Eine verallgemeinerte homogene Funktion erf¨ullt die Relation f (λa1 x1 , λa2 x2 ) = λaf f (x1 , x2 ) . j

k

∂ Zeigen Sie, daß (a) die partiellen Ableitungen ∂ j ∂x k f (x1 , x2 ) (b) die Fourier∂x1 2  d ik1 x1 Transformierte g(k1 , x2 ) = d x1 e f (x1 , x2 ) einer verallgemeinerten homogenen Funktion ebenfalls homogene Funktionen sind.

7.2 Leiten Sie die Beziehungen (7.3.13 ) f¨ur A , K  , L , M  her. Betrachten Sie zus¨ atzlich im Ausgangsmodell eine Wechselwirkung zwischen u achsten Nach¨ bern¨ barn L. Berechnen Sie die Rekursionsrelation in f¨ uhrender Ordnung in K und L, d.h. bis K 2 und L. Zeigen Sie, daß (7.3.15a,b) resultiert.

7.3 Welchen Wert hat δ f¨ur die zweidimensionale Dezimierungstransformation aus Abschnitt 7.3.3?

7.4 Zeigen Sie durch Fourier-Transformation der Suszeptibilit¨at χ(q) =

1 q 2−η

χ(qξ), ˆ

daß die Korrelationsfunktion die Gestalt 1 ˆ G(x) = G(|x|/ξ) |x|d−2+η hat.

7.5 Best¨atigen Sie Gl. (7.4.35). 7.6 Zeigen Sie, daß m(x) = m0 tgh

x − x0 2ξ−

die Ginzburg-Landau-Gleichung (7.4.11) l¨ ost. Berechnen Sie die freie Energie der dadurch beschriebenen Dom¨ anenwand.

412

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

7.7 Trikritischer Phasen¨ubergangspunkt Durch folgendes Ginzburg-Landau-Funktional wird ein trikritischer Phasen¨ ubergangspunkt beschrieben:  $ % F[φ] = dd x c(∇φ)2 + aφ2 + vφ6 − hφ mit a = a τ

,

τ=

T − Tc Tc

,

v≥0.

Bestimmen Sie durch Variationsableitung ( δF = 0 ) die homogene station¨ are δφ L¨ osung φst f¨ ur h = 0 und die zugeh¨ origen trikritischen Exponenten αt , βt , γt und δt .

7.8 Betrachten Sie das erweiterte Ginzburg-Landau-Funktional 

F[φ] =

$ % dd x c(∇φ)2 + aφ2 + uφ4 + vφ6 − hφ .

(a) Bestimmen Sie f¨ ur u > 0 in Analogie zu Aufgabe 7.7 die kritischen Exponenten α, β, γ und δ. Sie nehmen dieselben Werte wie beim φ4 -Modell (siehe Abschn. 4.6) an, der Term ∼ φ6 ist irrelevant, d.h. er liefert nur Korrekturen zum Skalenverhalten ¨ des φ4 -Modells. Untersuchen Sie f¨ ur kleine u den Ubergang ( cross over“) von ” trikritischen Verhalten f¨ ur h = 0. Betrachten Sie dazu die Crossover-Funktion m(x), ˜ die wie folgt definiert ist u φeq (u, τ ) = φt (τ ) · m(x) ˜ mit φt (τ ) = φeq (u = 0, τ ) ∼ τ βt , x =  . 3|a|v (b) Untersuchen Sie nun den Fall u < 0, h = 0. Hier tritt ein Phasen¨ ubergang 1. Ordnung auf; bei Tc wechselt das absolute Minimum von F von φ = 0 zu φ = φ0 . Be¨ rechnen Sie die Verschiebung der Ubergangstemperatur Tc −T0 und die Sprungh¨ ohe des Ordnungsparameters φ0 . Auch f¨ ur die Ann¨ aherung an den trikritischen Punkt durch Variation von u lassen sich kritische Exponenten definieren φ0 ∼ |u|βu ,

1

Tc − T0 ∼ |u| ψ .

Geben Sie βu und den shift-Exponenten“ ψ an. ” (c) Berechnen Sie f¨ ur u < 0 und h = 0 die Phasen¨ ubergangslinien 2. Ordnung indem Sie aus den Bedingungen ∂2F ∂3F =0= 2 ∂φ ∂φ3 eine Parameterdarstellung ableiten. (d) Zeigen Sie durch Einsetzen der bei a) gefundenen Crossover-Funktion in F, daß die freie Energie in der N¨ ahe des trikritischen Punktes einem verallgemeinerten Skalengesetz gen¨ ugt  u h F[φeq ] = |τ |2−αt fˆ , δt φ t |τ | |τ | (φt heißt cross over-Exponent“). Zeigen Sie, daß die Skalenrelationen ” γ δ = 1 + , α + 2β + γ = 2 β bei a) und am trikritischen Punkt (Aufgabe 7.7) erf¨ ullt sind. (e) Diskutieren Sie das Hystereseverhalten im Fall des Phasen¨ ubergang erster Ordnung (u < 0).

Aufgaben zu Kapitel 7

413

7.9 In Ginzburg-Landau-N¨aherung lautet die Spin-Spin-Korrelationsfunktion 

 1  ik(x−x ) 1 m(x)m(x ) = d e ; L 2βc(ξ −2 + k2 )

1

ξ ∝ (T − Tc )− 2

|k|≤Λ

(a) Ersetzen Sie die Summe durch ein Integral. (b) Zeigen Sie, daß im Grenzfall ξ → ∞ gilt:   1 m(x)m(x ) ∝ . |x − x |d−2 (c) Zeigen Sie, daß f¨ ur d = 3 und große ξ gilt: 

 m(x)m(x ) =



1 e−|x−x |/ξ . 8πcβ |x − x |

7.10 Untersuchen Sie das Verhalten des folgenden Integrals im Grenzfall ξ → ∞ 

Λξ

I= 0

dd q ξ 4−d , (2π)d (1 + q 2 )2

indem Sie zeigen: a) I ∝ ξ 4−d , d < c) I ∝ A − Bξ 4−d , d > 4 .

4

;

b) I

∝

ln ξ

,

d

=

4

;

7.11 Phasen¨ubergang eines molekularen Reißverschlusses; nach C. Kittel, American Journal of Physics, 37, 917, (1969). ¨ Ein stark vereinfachtes Modell f¨ ur die Helix-Kn¨ aul-Uberg¨ ange in Polypeptiden oder ¨ DNA, die den Ubergang zwischen durch Wasserstoffbr¨ ucken stabilisierten Helices und einem Kn¨ aul beschreiben, ist der molekulare Reißverschluß“. ” Ein molekularer Reißverschluß bestehe aus N Br¨ ucken, die nur von einer Seite her zu ¨ offnen sind. Es erfordert die Energie !, die Br¨ ucke p + 1 zu ¨ offnen, wenn alle Br¨ ucken 1, ..., p ge¨ offnet sind, aber unendliche Energie, wenn nicht alle vorhergehenden Br¨ ucken offen sind. Eine ge¨ offnete Br¨ ucke habe G Orientierungen, ihr Zustand ist also G−fach entartet. Der Reißverschluß ist offen, wenn alle N − 1 Br¨ ucken offen sind.

(a) Bestimmen Sie die Zustandssumme Z=

1 − xN ; 1−x

x ≡ G exp(−!β) .

(b) Bestimmen Sie die mittlere Anzahl s offener Br¨ ucken. Untersuchen Sie s in der Umgebung von xc = 1 . Welchen Wert nimmt s bei xc an und wie ist die Steigung dort? Wie verh¨ alt sich s bei x  1 und x 1? (c) Wie lautet die Zustandssumme, wenn der Reißverschluß von beiden Seiten ge¨ offnet werden kann?

414

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

7.12 Fluktuationen in Gaußscher N¨aherung unterhalb Tc Entwickeln Sie im f¨ ur h = 0 O(n)-symmetrischen Ginzburg-Landau-Funktional    b F[m] = dd x am(x)2 + m(x)4 + c(∇m(x))2 − hm(x) 2 bis zur zweiten Ordnung in den Fluktuationen des Ordnungsparameters m (x), wobei unterhalb von Tc
 m(x) = m1 e1 + m (x) , h = 2 a + bm21 m1 gilt. (a) Zeigen Sie, daß f¨ ur h → 0 die langwelligen (k → 0) transversalen Fluktuationen mi (i = 2, . . . , n) keine Anregungsenergie“ ben¨ otigen (Goldstone-Moden) und ” bestimmen Sie die Gibbssche freie Energie. In welchen F¨ allen treten Singularit¨ aten auf? (b) Wie lautet die spezifische W¨ arme ch=0 unterhalb Tc in harmonischer N¨ aherung? Vergleichen Sie mit dem Resultat der ungeordneten Phase! (c) Berechnen Sie die bez¨ uglich der spontanen Magnetisierung m1 longitudinalen und transversalen Korrelationsfunktionen   G (x − x ) = m1 (x)m1 (x ) und       G⊥ ij (x − x ) = mi (x)mj (x ) , i, j = 2. . . . , n f¨ ur d = 3 aus deren Fourier-Transformierten in harmonischer N¨ aherung. Diskutieren Sie insbesondere den Grenzfall h → 0.

7.13 Longitudinale Korrelationsfunktion unterhalb von Tc Die Resultate aus Aufgabe 7.12 lassen erwarten, daß die Ber¨ ucksichtigung der transversalen Fluktuationen in harmonischer N¨ aherung i.a. ungen¨ ugend sein wird. In einfacher Weise lassen sich anharmonische Beitr¨ age mitnehmen, wenn man – wie im zugrundeliegenden Heisenberg-Modell – die L¨ ange des Vektors m(x) fixiert (h = 0): m1 (x)2 +

n 

mi (x)2 = m20 = konst.

i=2

Berechnen Sie die Fourier-Transformierte G (k), indem Sie die Vier-Spin-Korrelationsfunktion geeignet in Zwei-Spin-Korrelationsfunktionen faktorisieren G (x − x ) =

n 1  mi (x)2 mj (x )2  4m20 i,j=2

und f¨ ur 

G⊥ (x − x ) =





dd k eik(x−x ) (2π)d 2βck2

einsetzen. Bemerkung: F¨ ur n ≥ 2 und 2 < d ≤ 4 gelten die Relationen G⊥ (k) ∝ 1 G ∝ k4−d im limes k → 0 sogar exakt.

7.14 Verifizieren Sie die zweite Zeile in Gl. (7.5.22) .

1 k2

und

Aufgaben zu Kapitel 7

415

7.15 Hubbard-Stratonovich-Transformation: Unter Verwendung der Identit¨at     exp − Jij Si Sj = const. i,j

∞



−∞

i

  1 −1 dmi exp − mi Jij mj 4 i,j

ist zu zeigen, daß sich die Zustandssumme des Ising-Hamilton-Operators H =  i,j Jij Si Sj in der Form  ∞  $
% Z = const. dmi exp H {mi } −∞

i

schreiben l¨ aßt. Geben Sie die Entwicklung von H nach mi bis zur Ordnung O(m4 ) an. Caveat: Der Ising-Hamilton-Operator muß durch Terme mit Jii so erg¨ anzt werden, daß Jij positiv definit ist.

7.16 Gittergasmodell. Es soll die Zustandssumme eines klassischen Gases auf die eines Ising-Magneten abgebildet werden. Anleitung: Dazu wird der d-dimensionale Ortsraum in N Zellen eingeteilt. In jeder Zelle soll sich maximal 1 Atom befinden (hard core Volumen). Man stelle sich dabei ein Gitter vor, bei dem eine Zelle durch einen Gitterplatz repr¨ asentiert wird, der entweder frei oder besetzt sein kann (ni = 0 oder 1). Der attraktiven Wechselwirkung U (xi − xj ) zweier Atome soll in der Energie durch den Term 12 U2 (i, j)ni nj Rechnung getragen werden. (a) Die großkanonische Zustandssumme f¨ ur diese Problem lautet nach Ausintegration der kinetischen Energie somit ZG =

 N   i=1 ni =0,1


  1 exp −β −¯ µ ni + U2 (i, j)ni nj . 2 ij i

µ ¯ = kT log zv0 = µ − kT log

 λd v0

,

z=

eβµ , λd

λ= √

2π
, 2πmkT

v0 ist das Volumen einer Zelle. (b) Bringen Sie durch Einf¨ uhrung von Spinvariablen Si (ni = 12 (1 + Si ), Si = ±1) die großkanonische Zustandssumme auf die Form ZG =

 N



i=1 Si =−1,1




   exp −β E0 − hSi − Jij Si Sj . i

ij

Berechnen Sie die Beziehungen zwischen E0 , h, J und µ, U2 , v0 . (c) Bestimmen Sie die Dampfdruckkurve des Gases aus der Phasengrenzkurve h = 0 des Ferromagneten. (d) Berechnen Sie die Teilchendichte-Korrelationsfunktion f¨ ur ein Gittergas.

7.17 Zeigen Sie unter Verwendung von Skalenrelationen Gl. (7.4.63). 7.18 Zeigen Sie, daß aus (7.4.68) im Limes kleiner k und f¨ur h = 0 f¨ur die longitudinale Korrelationsfunktion G (k) ∝ folgt.

1 kd−2

416

7. Phasen¨ uberg¨ ange, Renormierungsgruppentheorie und Perkolation

7.19 Verschiebung von Tc in der Ginzburg-Landau Theorie: Betrachten Sie Gl. (7.4.1) f¨ ur die paramagnetische Phase in der sog. quasiharmonischen N¨ aherung. Dabei wird der nichtlineare Term in (7.4.1) durch 6bm(x)2 m(x) ersetzt. a) ¨ Begr¨ unden Sie diese N¨ aherung. b) Berechnen Sie nun die Ubergangstemperatur Tc und zeigen Sie, daß Tc < Tc0 ist. 7.20 Bestimmen Sie die Fixpunkte der Transformationsgleichung (7.5.38).

8. Brownsche Bewegung, Stochastische Bewegungsgleichungen und Fokker-Planck-Gleichungen

Die nun folgenden Kapitel sind Nichtgleichgewichtsvorg¨angen gewidmet. Zun¨ achst behandeln wir in Kapitel 8 den Problemkreis der Langevin-Gleichungen und der damit verbundenen Fokker-Planck-Gleichungen. Im n¨achsten Kapitel wird die Boltzmann-Gleichung dargestellt, die f¨ ur die Dynamik von verd¨ unnten Gasen, aber auch von Transportvorg¨ angen in kondensierter Materie fundamental ist. Im letzten Kapitel wird auf allgemeine Probleme der ¨ Irreversibilit¨ at und den Ubergang ins Gleichgewicht eingegangen.

8.1 Langevin-Gleichungen 8.1.1 Freie Langevin-Gleichung 8.1.1.1 Brownsche Bewegung In der Natur gibt es eine Vielzahl von Situationen, bei denen man nicht an der kompletten Dynamik eines Vielteilchensystems interessiert ist, sondern nur an einer Untermenge von ausgezeichneten Variablen. Die u uhren ¨brigen f¨ in deren Bewegungsgleichungen zu vergleichsweise rasch variierenden stochastischen Kr¨ aften und zu D¨ ampfungseffekten. Beispiele sind die Brownsche Bewegung eines schweren Teilchens in einer Fl¨ ussigkeit, die Bewegungsgleichungen von erhaltenen Dichten und die Dynamik des Ordnungsparameters in der N¨ ahe eines kritischen Punktes. Wir besprechen zun¨ achst als grunds¨ atzliches Beispiel eines stochastischen Vorgangs die Brownsche Bewegung. Ein schweres Teilchen mit Masse m und Geschwindigkeit v bewege sich in einer Fl¨ ussigkeit von leichten Teilchen. Dieses Brownsche Teilchen“ wird von den Molek¨ ulen der Fl¨ ussigkeit in un” regelm¨ aßiger Weise gestoßen (Abb. 8.1). Die St¨ oße mit den Molek¨ ulen der Fl¨ ussigkeit bewirken eine mittlere bremsende Kraft auf das Teilchen und eine um diesen Mittelwert fluktuierende stochastische Kraft f (t), wie in Abb. 8.2 dargestellt. Den ersten Kraftanteil −mζv wollen wir durch einen Reibungskoeffizienten ζ charakterisieren. Somit wird die Newtonsche Gleichung – unter diesen physikalischen Gegebenheiten – Langevin-Gleichung genannt mv˙ = −mζv + f (t).

(8.1.1)

418

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

Abb. 8.1. gung

Zur Brownschen Bewe-

Abb. 8.2. Stochastische Kraft bei der Brownschen Bewegung

Man nennt derartige Gleichungen stochastische Bewegungsgleichungen und dadurch beschriebene Vorg¨ ange stochastische Prozesse.1 Die Korrelationszeit τc gibt an,2 u ¨ber welchen Zeitraum die Fluktuationen der stochastischen Kraft korreliert sind. Wir nehmen nach dem Gesagten an, daß der Mittelwert der Kraft und ihre Autokorrelationsfunktion zu verschiedenen Zeitpunkten die folgende Form besitzen3 f (t) = 0 f (t)f (t ) = φ(t − t ).

(8.1.2)

Hier ist φ(τ ) nur f¨ ur τ < τc merklich von Null verschieden (Abb. 8.3). Da wir uns f¨ ur die Bewegung unseres Brownschen Teilchens u ¨ ber Zeitr¨aume t interessieren, die wesentlich gr¨ oßer als τc sind, k¨ onnen wir φ(τ ) durch eine Delta-Funktion φ(τ ) = λδ(τ )

(8.1.3)

n¨ahern. Der Koeffizient λ ist eine Maß f¨ ur die St¨ arke des Schwankungsquadrats der stochastischen Kraft. Da auch die Reibung mit der St¨arke der St¨oße zunimmt, muß es einen Zusammenhang zwischen λ und dem Reibungskoeffiziententen ζ geben. Um diesen zu ermitteln, l¨ osen wir zun¨achst die LangevinGl. (8.1.1). 1

2

3

Wegen der stochastischen Kraft in Gl. (8.1.1) ist auch die Geschwindigkeit eine stochastische Gr¨ oße, d.h. eine Zufallsvariable. Unter der Voraussetzung, daß die St¨ oße der Fl¨ ussigkeitsatome auf das Brownsche Teilchen v¨ ollig unkorreliert sind, ist die Korrelationszeit etwa gleich der Dauer −6 eines Stoßes. F¨ ur die Stoßdauer erhalten wir τc ≈ av¯ = 10105 cmcm = 10−11 sec, /sec wo a der Radius des schweren Teilchens ist und v¯ die mittlere Geschwindigkeit der Gasatome. Den Mittelwert   kann man als Mittelung u angi¨ ber ein Ensemble von unabh¨ gen Brownschen Teilchen verstehen oder als Mittelung u ¨ ber verschiedene Zeiten ein und desselben Brownschen Teilchens. Zur Festlegung der h¨ oheren Momente von f (t) werden wir sp¨ ater annehmen, daß f (t) einer Gauß-Verteilung gen¨ ugt, Gl. (8.1.26).

8.1 Langevin-Gleichungen

419

Abb. 8.3. Korrelation der stochastischen Kr¨ afte.

8.1.1.2 Einstein-Relation Die Bewegungsgleichung (8.1.1) kann mit Hilfe der retardierten Greenschen Funktion G(t) gel¨ ost werden, welche durch G(t) = Θ(t)e−ζt

G˙ + ζG = δ(t) ,

(8.1.4)

definiert ist. Sei v0 der Anfangswert der Geschwindigkeit, dann erh¨alt man f¨ ur v(t)  ∞ −ζt v(t) = v0 e + dτ G(t − τ )f (τ )/m 0  t = v0 e−ζt + e−ζt dτ eζτ f (τ )/m. (8.1.5) 0

Da der Verlauf von f (τ ) nur statistisch bekanntist, betrachten wir nicht den  Mittelwert von v(t) sondern den des Quadrats v(t)2   v(t)2 = e−2ζt





t

dτ 0

t



dτ  eζ(τ +τ ) φ(τ − τ  )

0

1 + v02 e−2ζt ; m2

der gemischte Term verschwindet. Mit (8.1.3) ergibt sich   v(t)2 =

λ (1 − e−2ζt ) + v02 e−2ζt 2ζm2

t  ζ −1

−→

λ . 2ζm2

(8.1.6)

F¨ ur t ζ −1 wird der Beitrag von v0 vernachl¨ assigbar, und die Erinnerung an den Anfangswert geht verloren. Somit hat ζ −1 die Bedeutung einer Relaxationszeit. Wir verlangen, daß unser Teilchen f¨ ur große Zeiten, t ζ −1 , das thermische Gleichgewicht erreicht, d.h. daß der Mittelwert der kinetischen Energie ¨ dann das Aquipartitionstheorem

420

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

 1 1  m v(t)2 = kT 2 2

(8.1.7)

erf¨ ullt. Daraus finden wir die sogenannte Einstein-Beziehung λ = 2ζmkT.

(8.1.8)

Der Reibungskoeffizient ζ ist proportional zum Schwankungsquadrat λ der stochastischen Kraft. 8.1.1.3 Geschwindigkeitskorrelationsfunktion Als n¨ achstes berechnen wir die Geschwindigkeitskorrelationsfunktion 

v(t)v(t ) = e−ζ(t+t )





t

dτ 0

t

dτ  eζ(τ +τ



)

0

 λ δ(τ −τ  )+v02 e−ζ(t+t ) . (8.1.9) 2 m

Da die Rollen von t und t beliebig vertauschbar sind, k¨onnen wir ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit t < t annehmen und die beiden Integrale sofort uhren, so daß
in der in in dieser  λ Gleichung stehenden Reihenfolge ausf¨ sich e2ζ min(t,t ) − 1 2ζm 2 ergibt, und deshalb insgesamt gilt

  λ −ζ|t−t | λ 2 e + v − e−ζ(t+t ) . 0 2ζm2 2ζm2

v(t)v(t ) =

(8.1.10)

F¨ ur t, t ζ −1 kann der zweite Term in (8.1.10) vernachl¨assigt werden. 8.1.1.4 Mittleres Auslenkungsquadrat Um das mittlere Auslenkungsquadrat f¨ ur t ζ −1 zu erhalten, brauchen wir nur (8.1.10) zweifach zu integrieren,   x(t)2 =





t

dτ 0

t

dτ 

0

λ −ζ|τ −τ | e . 2ζm2

(8.1.11)

Zwischenrechnung f¨ ur Integrale des Typus  t  t I= dτ dτ  f (τ − τ  ). 0

0

Wir bezeichnen die Stammfunktion von f (τ ) mit F (τ ) und f¨ uhren die τ -Integration t aus I = 0 dτ  (F (t − τ  ) − F (−τ  )). Nun substituieren wir u = t − τ  im ersten Term und erhalten nach partieller Integration zun¨ achst  t  t I= du (F (u) − F (−u)) = t(F (t) − F (−t)) − du u(f (u) + f (−u)) 0

und daraus das Endergebnis

0

8.1 Langevin-Gleichungen 



t

t

dτ 0

dτ  f (τ − τ  ) =



0

421

t

du (t − u)(f (u) + f (−u)).

(8.1.12)

0

Mit Gl. (8.1.12) folgt f¨ ur (8.1.11)  t  2  λ λ x (t) = 2 du (t − u)e−ζu ≈ 2 2 t 2ζm2 0 ζ m beziehungsweise  2  x (t) = 2Dt

(8.1.13)

mit der Diffusionskonstanten D=

λ 2ζ 2 m2

=

kT . ζm

(8.1.14)

Daß D die Bedeutung einer Diffusionskonstanten hat, k¨onnen wir vorl¨aufig begr¨ unden, indem wir von der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Teilchendichte n(x) ˙ + ∇j(x) = 0

(8.1.15a)

und der Stromdichte j(x) = −D∇n(x)

(8.1.15b)

ausgehen. Die daraus folgende Diffusionsgleichung n(x) ˙ = D∇2 n(x)

(8.1.16)

hat in einer Dimension die L¨ osung n(x, t) = √

x2 N e− 4Dt . 4πDt

(8.1.17)

Die Teilchenzahldichte n(x, t) von Gl. (8.1.17) beschreibt das Auseinanderlaufen von N Teilchen, welche zur Zeit t = 0 bei x = 0 konzentriert waren (n(x, 0) = N δ(x)). D.h. die mittlere Auslenkung zum Quadrat w¨achst mit der Zeit wie 2Dt. (Allgemeinere L¨ osungen von (8.1.16) findet man mittels (8.1.17) durch Superposition.) Wir k¨ onnen der Einstein-Relation noch eine gel¨aufigere Form geben, indem wir in (8.1.1) statt des Reibungskoeffizienten die Beweglichkeit µ einf¨ uhren. Die Langevin-Gleichung lautet dann m¨ x = −µ−1 x˙ + f mit µ =

1 , ζm

(8.1.18)

und die Einstein-Beziehung erh¨ alt die Gestalt D = µkT.

(8.1.19)

Die Diffusionskonstante ist also proportional zur Beweglichkeit des Teilchens und zur Temperatur.

422

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

Bemerkungen: (i) Als vereinfachte Form von Einsteins4 historischer Herleitung von (8.1.19), betrachten wir (statt des osmotischen Druckes in einem Kraftfeld) den dynamischen Ursprung der barometrischen H¨ohenformel. Die wesent¨ liche Uberlegung ist, daß es im Schwerefeld zwei Str¨ome gibt, die sich im Gleichgewichtszustand kompensieren m¨ ussen. Dies sind der Diffusionsstrom ∂ −D ∂z n(z) und der Strom der im Schwerefeld fallenden Teilchen v¯n(z). Hier ist n(z) die Teilchenzahldichte und v¯ die mittlere Fallgeschwindigkeit, die sich wegen der Reibung aus µ−1 v¯ = −mg ergibt. Das Verschwinden der Summe dieser beiden Str¨ ome liefert die Bedingung −D

∂ n(z) − mgµn(z) = 0. ∂z

(8.1.20) mgz

Daraus ergibt sich die barometrische H¨ ohenformel n(z) ∝ e− kT , wenn die Einstein-Beziehung (8.1.19) erf¨ ullt ist. (ii) Bei der Brownschen Bewegung einer Kugel in einer Fl¨ ussigkeit mit der Z¨ ahigkeitskonstanten η ist die Reibungskraft nach dem Stokesschen Gesetz Kr = 6πaη x, ˙ wo a der Radius und x˙ die Geschwindigkeit der Kugel sind. Somit ist die Diffusionskonstante D = kT /6πaη und das mittlere Auslenkungsquadrat der Kugel  2  kT t x (t) = . 3πaη

(8.1.21)

  Mit Hilfe dieser Beziehung kann durch Beobachtung von x2 (t) die Boltzmann-Konstante k experimentell bestimmt werden. 8.1.2 Langevin-Gleichung in einem Kraftfeld ¨ In Verallgemeinerung der bisherigen Uberlegungen betrachten wir nun die Brownsche Bewegung in einem ¨ außeren Kraftfeld K(x) = −

∂V . ∂x

(8.1.22a)

Dann lautet die Langevin-Gleichung m¨ x = −mζ x˙ + K(x) + f (t),

(8.1.22b)

wobei wir annehmen, daß die stoßende und bremsende Einwirkung der Molek¨ ule durch die a andert wird und somit die stochastische ¨ußere Kraft nicht ge¨ Kraft f (t) wiederum (8.1.2), (8.1.3) und (8.1.8) erf¨ ullt.5 4 5

Siehe Literatur am Ende des Kapitels Wir werden sp¨ ater sehen, daß die Einstein-Relation (8.1.8) bedingt, daß die Funkp2 tion exp(−( 2m + V (x))/kT ) eine Gleichgewichtsverteilung f¨ ur diesen stochastischen Prozeß ist.

8.1 Langevin-Gleichungen

423

Ein wichtiger Spezialfall von (8.1.22b) ist der Grenzfall starker D¨ampfung ζ. Falls die Ungleichung mζ x˙ m¨ x erf¨ ullt ist (wie es z.B. bei periodischer Bewegung f¨ ur kleine Frequenzen der Fall ist), folgt aus (8.1.22b) x˙ = −Γ

∂V + r(t), ∂x

(8.1.23)

wo die D¨ ampfungskonstante Γ und die fluktuierende Kraft r(t) durch Γ ≡

1 1 und r(t) ≡ f (t) mζ mζ

(8.1.24)

gegeben sind. Die stochastische Kraft r(t) erf¨ ullt nach Gl. (8.1.2) und (8.1.3) r(t) = 0 r(t)r(t ) = 2Γ kT δ(t − t ) .

(8.1.25)

Zur Charakterisierung der h¨ oheren Momente (Korrelationsfunktionen) von r(t) werden wir im folgenden noch annehmen, daß r(t) einer Gauß-Verteilung gen¨ ugt P[r(t)] = e−



tf t0

dt

r2 (t) 4Γ kT

.

(8.1.26)

P[r(t)] gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur die Werte von r(t) im Intervall [t0 , tf ] an, wo t0 und tf die Anfangs- und Endzeiten sind. Zur Definition der Funktionalintegration unterteilen wir das Intervall in N=

tf − t 0 ∆

kleine Teilintervalle der Breite ∆ und f¨ uhren die diskreten Zeiten ti = t0 + i∆,

i = 0, . . . , N − 1

ein. Das Element der Funktionalintegration D[r] ist durch / 0  N −1  ∆ D[r] ≡ lim dr(ti ) ∆→0 4Γ kT π i=0

(8.1.27)

definiert. Die Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichte ist / 0   N −1    r2 (ti ) ∆ D[r] P[r(t)] ≡ lim dr(ti ) e− i ∆ 4Γ kT = 1. (8.1.28) ∆→0 4Γ kT π i=0 Zur Kontrolle berechnen wir r(ti )r(tj ) =

4Γ kT δij δij = 2Γ kT → 2Γ kT δ(ti − tj ) , 2∆ ∆

was in Einklang mit Gl. (8.1.2), (8.1.3) und (8.1.8) ist.

424

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

Da Langevin-Gleichungen der Art (8.1.23) in sehr vielen physikalischen Situationen auftreten, wollen wir einige elementare Erl¨auterungen anschließen. Wir betrachten (8.1.23) zun¨ achst ohne die stochastische Kraft, d.h. x˙ = −Γ ∂V . In Regionen positiver (negativer) Steigung von V (x) wird x in ∂x negativer (positiver) x-Richtung verschoben. Die Koordinate x bewegt sich in Richtung eines der Minima von V (x) (Siehe Abb. 8.4). An den Extrema von V (x) verschwindet x. ˙ Durch die stochastische Kraft r(t) wird die Bewegung in Richtung auf die Minima fluktuierend, und an den Extremallagen selbst bleibt das Teilchen nicht in Ruhe, sondern wird immer wieder weggestoßen, ¨ so daß die M¨ oglichkeit f¨ ur einen Ubergang von einem Minimum in ein an¨ deres besteht. Die Berechnung derartiger Ubergangsraten ist unter anderem f¨ ur thermisch aktiviertes H¨ upfen von Fremdatomen in Festk¨orpern und f¨ ur chemische Reaktionen von Interesse (siehe Abschn. 8.3.2).

Abb. 8.4. Bewegung aufgrund der Bewegungsgleichung x˙ = −Γ ∂V /∂x.

8.2 Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung aus der Langevin-Gleichung Als n¨ achstes wollen wir f¨ ur die Langevin-Gleichungen (8.1.1), (8.1.22b) und (8.1.23) Bewegungsgleichungen f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichten herleiten. 8.2.1 Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur die Langevin-Gleichung (8.1.1) Wir definieren 
 P (ξ, t) = δ ξ − v(t) ,

(8.2.1)

die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur das Ereignis, daß das Brownsche Teilchen zur Zeit t die Geschwindigkeit ξ besitzt. Das bedeutet, P (ξ, t)dξ ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Geschwindigkeit im Intervall [ξ, ξ + dξ] liegt. Wir leiten nun eine Bewegungsgleichung f¨ ur P (ξ, t) her:

8.2 Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung aus der Langevin-Gleichung

  ∂ ∂ 
P (ξ, t) = − δ ξ − v(t) v(t) ˙ ∂t ∂ξ 
 ∂ 
1 =− δ ξ − v(t) −ζv(t) + f (t) ∂ξ m 
 ∂ 
1 =− δ ξ − v(t) −ζξ + f (t) ∂ξ m    ∂
1 ∂ 
= ζP (ξ, t)ξ − δ ξ − v(t) f (t) , ∂ξ m ∂ξ

425

(8.2.2)

wobei in der zweiten Zeile die Langevin-Gleichung (8.1.1) eingesetzt wurde. Zur Berechnung des letzten Terms ben¨ otigen wir die als Gaußverteilung angenommene Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur die stochastische Kraft P[f (t)] = e−

 tf t0

dt

f 2 (t) 4ζmkT

.

(8.2.3)

Die Mittelwerte . . .  sind durch das Funktionalintegral mit dem Gewicht (8.2.3) gegeben (siehe Gl. (8.1.26)). Insbesondere erh¨alt man f¨ ur den letzten Term in (8.2.2)   f (t )2 dt 
 
 δ ξ − v(t) f (t) = D[f (t )] δ ξ − v(t) f (t)e− 4ζmkT 
 δ −  f (t )2 dt 4ζmkT = −2ζmkT D[f (t )] δ ξ − v(t) e δf (t)   f (t )2 dt
 δ = 2ζmkT D[f (t )] e− 4ζmkT δ ξ − v(t) δf (t)  δ   δv(t)  ∂ 
= 2ζmkT δ(ξ − v(t)) = −2ζmkT δ ξ − v(t) . δf (t) ∂ξ δf (t) (8.2.4) Hier m¨ ussen wir die L¨ osung (8.1.5) verwenden  ∞ f (τ ) v(t) = v0 e−ζt + dτ G(t − τ ) m 0 und nach f (t) ableiten. Mit δv(t) = δf (t)

 0

t

dτ e−ζ(t−τ )

δf (τ ) δf (t)

(8.1.5)

= δ(τ − t) und (8.1.4) ergibt sich

1 1 δ(t − τ ) = . m 2m

(8.2.5)

Der Faktor 12 resultiert, weil nur die H¨ alfte der δ-Funktion integriert wird. Setzt man (8.2.5) in (8.2.4) und (8.2.4) in (8.2.2) ein, so erh¨alt man als Bewegungsgleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte die Fokker-PlanckGleichung: ∂ kT ∂ 2 ∂ P (v, t) = ζ vP (v, t) + ζ P (v, t) . ∂t ∂v m ∂v 2

(8.2.6)

426

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

Wir ersetzen hier die Bezeichnung f¨ ur die Geschwindigkeit ξ durch v, nicht zu verwechseln mit der stochastischen Variablen v(t). Die Fokker-Planck Gleichung kann auch in Form einer Kontinuit¨ atsgleichung dargestellt werden

 ∂ ∂ kT ∂ P (v, t) = −ζ −vP (v, t) − P (v, t) . (8.2.7) ∂t ∂v m ∂v Bemerkungen: (i) Die Stromdichte, der Ausdruck in Klammern, setzt sich aus einem Driftterm und einem Diffusionsstrom zusammen. (ii) Die Stromdichte verschwindet falls die Wahrscheinlichkeitsdichte die mv2

Form P (v, t) ∝ e− 2kT hat. Die Maxwell-Verteilung ist also (zumindest eine) Gleichgewichtsverteilung. Hier geht wesentlich die Einstein-Relation (8.1.8) ein. Umgekehrt h¨ atten wir aus dieser Forderung, daß die MaxwellVerteilung eine L¨ osung der Fokker-Planck Gleichung ist, die EinsteinRelation erhalten k¨ onnen. (iii) Wir werden in Abschn. 8.3.1 sehen, daß P (v, t) im Zeitverlauf in die Maxwell-Verteilung u ¨bergeht, und diese somit die einzige Gleichgewichtsverteilung der Fokker-Planck-Gleichung (8.2.6) ist.

8.2.2 Herleitung der Smoluchowski-Gleichung f¨ ur die u ampfte Langevin-Gleichung (8.1.23) ¨berd¨ Auch f¨ ur die stochastische Bewegungsgleichung (8.1.23) x˙ = −Γ

∂V + r(t), ∂x

definieren wir eine Wahrscheinlichkeitsdichte 
 P (ξ, t) = δ ξ − x(t) ,

(8.1.23)

(8.2.8)

wobei P (ξ, t)dξ die Wahrscheinlichkeit ist, das Teilchen zur Zeit t an der Stelle ξ im Intervall dξ zu finden. Wir leiten nun eine Bewegungsgleichung f¨ ur P (ξ, t) her und bilden dazu (K(x) ≡ − ∂V ∂x )   ∂ ∂ 
P (ξ, t) = − δ ξ − x(t) x(t) ˙ ∂t ∂ξ 
 ∂ 
=− δ ξ − x(t) Γ K(x) + r(t) ∂ξ    ∂
∂ 
=− Γ P (ξ, t)K(ξ) − δ ξ − x(t) r(t) . ∂ξ ∂ξ

(8.2.9)

In der zweiten Zeile wurde die u ampfte Langevin-Gleichung eingesetzt. ¨ berd¨ F¨ ur den letzten Term ergibt sich analog zu Gl. (8.2.4)

8.2 Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung aus der Langevin-Gleichung

427

!


  δ ξ − x(t) r(t) = 2Γ kT

 δ
δ ξ − x(t) δr(t) !
 δx(t) ∂ ∂ = −2Γ kT δ ξ − x(t) = −Γ kT P (ξ, t) . (8.2.10) ∂ξ δr(t) ∂ξ

Dabei haben wir (8.1.23) zwischen 0 und t integriert,  t

  x(t) = x(0) + dτ Γ K x(τ ) + r(τ ) ,

(8.2.11)

0

woraus δx(t) = δr(t )

 t

0

 ∂Γ K(x(τ )) δx(τ )  + δ(t − τ ) dτ ∂x(τ ) δr(t )

(8.2.12)

δx(τ ) folgt. Die Ableitung ist δr(t ur τ < t aus Gr¨ unden der Kausalit¨at und  ) = 0 f¨ verschieden von Null nur f¨ ur τ ≥ t mit einem endlichen Wert f¨ ur τ = t . So ergibt sich  t δx(t) ∂Γ K(x(τ )) δx(τ ) = dτ + 1 f¨ ur t < t (8.2.13a)  δr(t ) ∂x(τ ) δr(t ) 0

und δx(t) = δr(t )

 7

0

t

∂Γ K(x(τ )) δx(τ ) 1 1 + = ∂x(τ ) δr(t ) 2 2 89 :

f¨ ur t = t .

(8.2.13b)

0 f¨ ur t =t

Damit ist der letzte Schritt in (8.2.10) begr¨ undet. Aus (8.2.10) und (8.2.9) erh¨ alt man die Bewegungsgleichung f¨ ur P (ξ, t) die sog. SmoluchowskiGleichung  ∂ ∂
∂2 P (ξ, t) = − Γ P (ξ, t)K(ξ) + Γ kT 2 P (ξ, t) . ∂t ∂ξ ∂ξ

(8.2.14)

Bemerkungen: (i) Man kann die Smoluchowski-Gleichung (8.2.14) in die Form einer Kontinuit¨ atsgleichung ∂ ∂ P (x, t) = − j(x, t) ∂t ∂x bringen, mit der Stromdichte

 ∂ j(x, t) = −Γ kT − K(x) P (x, t). ∂x

(8.2.15a)

(8.2.15b)

Die Stromdichte j(x, t) setzt sich der Reihe nach aus einem Diffusionsund einem Driftanteil zusammen.

428

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

(ii) Offensichtlich ist P (x, t) ∝ e−V (x)/kT

(8.2.16)

eine station¨ are L¨ osung der Smoluchowski-Gleichung. F¨ ur diese L¨osung verschwindet j(x, t).

8.2.3 Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur die Langevin-Gleichung (8.1.22b) F¨ ur die allgemeine Langevin-Gleichung (8.1.22b) definieren wir die Wahrscheinlichkeitsdichte P (x, v, t) = δ(x − x(t))δ(v − v(t)) .

(8.2.17)

Hier muß man sorgf¨ altig unterscheiden zwischen den Gr¨oßen x, v und den stochastischen Variablen x(t), v(t). Die Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsdichte P (x, v, t) ist folgendermaßen charakterisiert: P (x, v, t)dxdv ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [x, x + dx] mit der Geschwindigkeit [v, v + dv] zu finden. Die Bewegungsgleichung von P (x, v, t), die allgemeine Fokker-Planck-Gleichung   ∂ ∂P K(x) ∂P ∂ kT ∂ 2 P P +v + =ζ vP + (8.2.18) ∂t ∂x m ∂v ∂v m ∂v 2 folgt durch ¨ ahnliche Schritte wie in Abschn. 8.2.2, siehe Aufgabe 8.1.

8.3 Beispiele und Anwendungen In diesem Abschnitt wird die Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur die freie Brownsche Bewegung exakt gel¨ ost. Außerdem wird f¨ ur die Smoluchowski-Gleichung allgemein gezeigt, daß die Verteilungsfunktion in die Gleichgewichtslage relaxiert. In diesem Zusammenhang wird auch eine Ankn¨ upfung an die supersymmetrische Quantenmechanik gefunden. Dar¨ uber hinaus werden zwei wichtige Anwendungen der Langevin-Gleichungen bzw. Fokker-Planck-Gleichungen ¨ dargestellt: die Ubergangsraten bei chemischen Reaktionen und die Dynamik kritischer Ph¨ anomene. 8.3.1 Integration der Fokker-Planck-Gleichung (8.2.6) Wir wollen nun die Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur die freie Brownsche Bewegung (8.2.6)   ∂ kT ∂P P˙ (v) = ζ Pv + (8.3.1) ∂v m ∂v

8.3 Beispiele und Anwendungen

429

2 − mv 2kT

l¨ osen. Wir erwarten, daß P (v) gegen die Maxwell-Verteilung e relaxiert und zwar mit dem Relaxationsgesetz e−ζt . Dies legt nahe, statt v die Variable ρ = veζt einzuf¨ uhren. Dann wird P (v, t) = P (ρe−ζt , t) ≡ Y (ρ, t) , 2

(8.3.2a)

2

∂P ∂Y ζt ∂ P ∂ Y 2ζt = e , = e , ∂v ∂ρ ∂v 2 ∂ρ2 ∂P ∂Y ∂ρ ∂Y ∂Y ∂Y = + = ζρ + . ∂t ∂ρ ∂t ∂t ∂ρ ∂t

(8.3.2b) (8.3.2c)

Setzen wir (8.3.2a-c) in (8.2.6) bzw. (8.3.1) ein, ergibt sich ∂Y kT ∂ 2 Y 2ζt = ζY + ζ e . ∂t m ∂ρ2

(8.3.3)

Dies legt die Substitution Y = χeζt nahe. Wegen

∂Y ∂t

=

∂χ ζt ∂t e

∂χ kT ∂ 2 χ 2ζt =ζ e . ∂t m ∂ρ2

+ ζY folgt (8.3.4)

Nun f¨ uhren wir durch dϑ = e2ζt dt die neue Zeitvariable ϑ=

 1
2ζt e −1 2ζ

(8.3.5)

ein, wobei ϑ(t = 0) = 0. Somit folgt aus (8.3.4) die Diffusionsgleichung ∂χ kT ∂ 2 χ =ζ ∂ϑ m ∂ρ2

(8.3.6)

mit der aus (8.1.17) bekannten L¨ osung (ρ−ρ0 )2 1 kT χ(ρ, ϑ) = √ e− 4qϑ ; q = ζ . m 4πqϑ

(8.3.7)

Indem wir wieder zu den urspr¨ unglichen Variablen v und t zur¨ uckkehren, erhalten wir folgende L¨ osung  P (v, t) = χe

ζt

=

m 2πkT (1 − e−2ζt )

 12 e

−

m(v−v0 e−ζt )2 2kT (1−e−2ζt )

(8.3.8)

der Fokker-Planck-Gleichung (8.2.6), die die Brownsche Bewegung in Abwesenheit a afte beschreibt. In (8.3.8) ist auch die L¨osung der ¨ußerer Kr¨ Smoluchowski-Gleichung (8.2.14) f¨ ur ein harmonisches Potential enthalten. Wir diskutieren nun die wichtigsten Eigenschaften und Konsequenzen der L¨ osung (8.3.8): Im Grenzfall t → 0 gilt

430

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

lim P (v, t) = δ(v − v0 ).

t→0

Im Grenzfall großer Zeiten, t → ∞, ergibt sich  m 12 2 lim P (v, t) = e−mv /2kT . t→∞ 2πkT

(8.3.9a)

(8.3.9b)

Bemerkung: Da P (v, t) die Eigenschaft (8.3.9a) besitzt, haben wir mit (8.3.8) auch die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte6 P (v, t|v0 , t0 ) = P (v, t − t0 )

(8.3.10)

gefunden. Dies ist nicht u ¨ berraschend. Da durch (8.1.1), (8.1.2) und (8.1.3) ein Markov-Prozeß7 festgelegt ist, erf¨ ullt P (v, t|v0 , t0 ) ebenfalls die Fokker-PlanckGleichung (8.2.6).

F¨ ur eine beliebige integrierbare und normierte Anfangswahrscheinlichkeitsdichte ρ(v0 ) zur Zeit t0  dv0 ρ(v0 ) = 1 (8.3.11) ergibt sich mit (8.3.8) der Zeitverlauf  ρ(v, t) = dv0 P (v, t − t0 )ρ(v0 ).

(8.3.12)

Offensichtlich erf¨ ullt ρ(v, t) die Anfangsbedingung lim ρ(v, t) = ρ(v0 ),

t→t0

w¨ ahrend f¨ ur große Zeiten   m 12 2  mv2 m 12 − mv 2kT lim ρ(v, t) = e dv0 ρ(v0 ) = e− 2kT t→∞ 2πkT 2πkT

(8.3.13a)

(8.3.13b)

die Maxwell-Verteilung resultiert. Somit ist f¨ ur die Fokker-Planck-Gleichung (8.2.6) und die Smoluchowski-Gleichung (8.2.14) mit einem harmonischen Potential bewiesen, daß eine beliebige Anfangsverteilung f¨ ur große Zeiten in die Maxwell-Verteilung (8.3.13b) relaxiert. Die Funktion (8.3.8) wird u ¨ brigens auch in der Wilsonschen exakten Renormierungsgruppen-Transformation zur kontinuierlichen partiellen Elimination kurzwelliger kritischer Fluktuationen ben¨ utzt.8 6

7

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P (v, t|v0 , t0 ) gibt die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur an, daß zur Zeit t der Wert v vorliegt, unter der Bedingung, daß er v0 zur Zeit t0 war. Unter einem Markov-Prozeß versteht man einen stochastischen Prozeß, bei dem alle bedingten Wahrscheinlichkeiten nur von der letzten der in den Bedingungen auftretenden Zeiten abh¨ angt; z.B. P (t3 , v3 |t2 , v2 ; t1 , v1 ) = P (t3 , v3 |t2 , v2 ) ,

8

wobei t1 ≤ t2 ≤ t3 . K. G. Wilson and J. Kogut, Phys. Rep. 12C, 75 (1974)

8.3 Beispiele und Anwendungen

431

8.3.2 Chemische Reaktion ¨ Wir wollen nun den thermisch aktivierten Ubergang u ¨ ber eine Barriere berechnen (Abb. 8.5). Eine naheliegende physikalische Anwendung ist die Bewegung eines Fremdatoms in einem Festk¨orper von einem lokalen Minimum des Gitterpotentials in ein anderes. Auch gewisse chemische Reaktionen kann man auf dieser Basis beschreiben. Hier bedeutet x die Reaktionskoordinate, die den Zustand des Molek¨ uls charakterisiert. Die Umgebung des Punktes A kann etwa einen angeregten Zustand eines Molek¨ uls bedeuten, ¨ w¨ahrend B das dissoziierte Molek¨ ul bedeutet. Der Ubergang von A nach B erfolgt u ohere Energie besitzen und wird durch die ¨ ber Konfigurationen, die h¨ thermische Einwirkung des umgebenden Mediums erm¨oglicht. Wir werden die folgende Rechnung in der Sprache der chemischen Reaktion formulieren.

Abb. 8.5. Thermisch aktivierter ¨ Ubergang u ¨ ber eine Barriere vom Minimum A in das Minimum B.

¨ ¨ Gesucht ist die Reaktionsrate (auch Ubergangsrate), das ist die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit f¨ ur die Umwandlung von Sorte A in Sorte B. Wir nehmen an, daß die Reibung so groß ist, daß wir die Smoluchowski-Gleichung (8.2.15a,b) zugrunde legen k¨onnen, ∂ P˙ = − j(x). ∂x

(8.2.15a)

Die Integration dieser Gleichung zwischen den Punkten α und β ergibt  d xβ dxP = −j(xβ ) + j(xα ), (8.3.14) dt xα wobei xβ zwischen den Stellen A und B liegt. Daraus folgt, daß j(xβ ) die ¨ Ubergangsrate zwischen den Zust¨ anden (den chemischen Sorten) A und B ist. Zur Berechnung von j(xβ ) setzen wir voraus, daß die Barriere gen¨ ugend ¨ hoch ist, so daß die Ubergangsrate klein ist. Dann werden faktisch alle Molek¨ ule im Bereich des Minimums A sein und dort nach der thermischen Gleichgewichtsverteilung verteilt sein. Die wenigen Molek¨ ule, die den Zustand B

432

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

erreicht haben, kann man sich abgefiltert vorstellen. Die Strategie unserer Rechnung ist, eine station¨ are L¨ osung P (x) zu finden, die die Eigenschaften 1 −V (x)/kT e Z P (x) = 0 P (x) =

in der Umgebung von A

(8.3.15a)

in der Umgebung von B

(8.3.15b)

besitzt. Aus der Forderung der Stationarit¨ at folgt

 ∂ ∂ ∂V 0=Γ kT + P , ∂x ∂x ∂x woraus sich nach einmaliger Integration

 ∂ ∂V Γ kT + P = −j0 ∂x ∂x

(8.3.16)

(8.3.17)

ergibt. Die Integrationskonstante j0 hat die Bedeutung der Stromdichte, die wegen der Quellenfreiheit von (8.2.14) zwischen A und B unabh¨angig von x ist. Diese Integrationskonstante kann aus den obigen Randbedingungen bestimmt werden. Dazu f¨ uhren wir f¨ ur P (x) den Ansatz P (x) = e−V /kT Pˆ

(8.3.18)

in Gleichung (8.3.17) ein ∂ ˆ j0 V (x)/kT P =− e . ∂x kT Γ

(8.3.17a)

Wenn man diese Gleichung ausgehend von A bis x integriert, erh¨alt man  x j0 Pˆ (x) = const − dx eV (x)/kT . (8.3.17 b) kT Γ A Die Randbedingung bei A, daß dort P der thermischen Gleichgewichtsverteilung gen¨ ugt, bedingt 1 . (8.3.19a) −V /kT dx e A  Hier bedeutet A , daß sich das Integral u ¨ ber die Umgebung von A erstreckt. Bei gen¨ ugender H¨ ohe der Barriere sind Beitr¨ age, die entfernt vom Minimum sind, vernachl¨ assigbar.9 Die Randbedingung bei B verlangt / 0  B j0 −VB /kT V /kT 0=e const − dx e , (8.3.19b) kT Γ A const = 

9

Setzt man (8.3.17 b) mit (8.3.20) in (8.3.18) ein, erh¨ alt man in der Umgebung der Stelle A vom ersten Term tats¨ achlich die Gleichgewichtsverteilung, w¨ ahrend B x der zweite Term wegen Adx eV /kT / A dx eV /kT 1 vernachl¨ assigbar ist.

8.3 Beispiele und Anwendungen

433

so daß j0 =

kT Γ




 −V (x)/kT −1 A dx e B dx eV (x)/kT A

.

(8.3.20) 2

F¨ ur V (x) in der Umgebung von A setzen wir VA (x) ≈ 12 (2πν) x2 , wobei wir ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit den Nullpunkt der Energieskala an die Stelle A gesetzt haben. Dann ergibt sich √   ∞ kT −VA /kT − 12 (2πν)2 x2 /kT dx e = dx e =√ . 2πν A −∞ Hier wurde die Integration u ¨ ber die Umgebung von A hinaus bis [−∞, ∞] ausgedehnt, was wegen des raschen Abfalls des Integranden zul¨assig ist. Der Hauptbeitrag zu dem Integral im Nenner von (8.3.20) kommt von der Um2 gebung der Barriere, wo wir V (x) ≈ ∆ − (2πν  ) x2 /2 setzen. Hier ist ∆ die 2 H¨ ohe der Barriere und ν charakterisiert die Kr¨ ummung der Barriere √  B  ∞  ) 2 x2 ∆ kT V /kT ∆/kT − (2πν 2kT dx e ≈e dx e = e kT √ .  2πν A −∞ ¨ Das ergibt insgesamt f¨ ur die Stromdichte beziehungsweise die Ubergangsrate10 j0 = 2πνν  Γ e−∆/kT .

(8.3.21)

¨ Wir weisen auf folgende wichtige Z¨ uge der thermisch aktivierten Ubergangsrate hin. Der entscheidende Faktor in diesem Resultat ist die Arrhenius-Abh¨ angigkeit e−∆/kT , wo ∆ die H¨ ohe der Barriere, d.h. die Aktivierungsenergie, angibt. Den Vorfaktor k¨ onnen wir noch umformen, indem wir 2 2 2 1 (2πν) = mω 2 , (2πν  ) = mω  und Γ = mζ (Gleichung (8.1.24)) ersetzen: j0 =

ωω  −∆/kT e . 2πζ

(8.3.21 )

Nehmen wir ω  ≈ ω an, so ist der Vorfaktor proportional dem Quadrat der durch die Potentialmulde charakterisierten Schwingungsfrequenz.11 8.3.3 Kritische Dynamik Es wurde schon in der Einleitung zur Brownschen Bewegung darauf hingewiesen, daß die daf¨ ur entwickelte Theorie wesentlich allgemeinere Bedeutung 10 11

H. A. Kramers, Physica 7, 284 (1940) ω ist die Frequenz (attempt frequency) mit der das Teilchen auf die rechte Seite der Potentialmulde kommt, von wo aus es (wenn auch mit kleiner Wahrscheinlichkeit ∼ e−∆/kT ) die M¨ oglichkeit hat, durch St¨ oße die Barriere zu u ¨ berwinden.

434

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

hat. Statt der Bewegung eines schweren Teilchens in einer Fl¨ ussigkeit von stochastisch stoßenden Molek¨ ulen hat man auch in ganz anderen Situationen eine kleine Zahl von vergleichsweise langsam variierenden kollektiven Variablen, die in Wechselwirkung mit vielen stark variierenden, raschen Freiheitsgraden stehen. Die letzteren f¨ uhren zur D¨ ampfung der Bewegung der kollektiven Freiheitsgrade. Diese Situation liegt im hydrodynamischen Bereich vor. Hier sind die kollektiven Freiheitsgrade die Dichten der Erhaltungsgr¨oßen. Die typischen Zeitskalen f¨ ur diese hydrodynamischen Freiheitsgrade wachsen proportional zu 1/q oder 1/q 2 an, wo q die Wellenzahl ist. Im Vergleich dazu sind im Bereich kleiner Wellenzahlen alle u ¨ brigen Freiheitsgrade sehr rasch und k¨onnen als stochastisches Rauschen in den Bewegungsgleichungen der erhaltenen Dichten angesehen werden. Dies f¨ uhrt dann zu der typischen Form der hydrodynamischen Gleichungen mit D¨ ampfungstermen proportional zu q 2 oder 2 im Ortsraum ∼ ∇ . Es sei betont, daß Hydrodynamik“ keineswegs auf die ” Dom¨ ane der Fl¨ ussigkeiten oder Gase beschr¨ ankt ist, sondern in Verallgemeinerung der urspr¨ unglichen Bedeutung generell die Dynamik der Erhaltungsgr¨ oßen beinhaltet, entsprechend der jeweiligen physikalischen Situation (Dielektrikum, Ferromagnet, fl¨ ussige Kristalle etc.). Ein weiteres wichtiges Gebiet, in dem eine solche Trennung der Zeitskalen auftritt, ist die Dynamik in der N¨ ahe von kritischen Punkten. Wie aus den Abschnitten u anomene bekannt ist, werden ¨ ber die statischen kritischen Ph¨ die Korrelationen des lokalen Ordnungsparameters langreichweitig. Man hat also fluktuierende Ordnung innerhalb von Bereichen der Ausdehnung von der Gr¨ oße der Korrelationsl¨ ange. Mit dem Anwachsen dieser korrelierten Bereiche geht das Anwachsen der charakteristischen Zeitskala einher. Deshalb k¨onnen die u ¨ brigen Freiheitsgrade des Systems als rasch variierend angesehen werden. Im Ferromagneten ist der Ordnungsparameter die Magnetisierung. In dessen Bewegung wirken sich die u ¨ brigen Freiheitsgrade wie Elektronen und Gitterschwingungen als rasch variierende stochastische St¨oße aus. Im Ferromagneten verh¨ alt sich in der N¨ ahe des Curie-Punktes die magnetische Suszeptibilit¨ at wie χ∼

1 T − Tc

(8.3.22a)

und die Magnetisierungskorrelationsfunktion wie GMM (x) ∼

e−|x|/ξ . |x|

(8.3.22b)

¨ In der N¨ ahe des kritischen Punktes des Fl¨ ussigkeits-Gas-Uberganges divergiert die isotherme Kompressibilit¨ at κT ∼

1 T − Tc

(8.3.22c)

8.3 Beispiele und Anwendungen

435

und die Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion hat den Verlauf gρρ (x) ∼

e−|x|/ξ . |x|

(8.3.22d)

In Gl. (8.3.22b,d) ist in Molekularfeldn¨ aherung ξ ∼ (T − Tc )− 2 die Korrelationsl¨ ange. Dies sind die bekannten Resultate der Molekularfeldtheorie, Abschn. 5.4, 6.5. Ein allgemeiner modellunabh¨ angiger Zugang zur Theorie der kritischen Ph¨ anomene geht von einer Kontinuumsbeschreibung f¨ ur die freie Energie, der Ginzburg-Landau-Entwicklung (Siehe Abschn. 7.4.1) aus,     a b c F [M ] = dd x (T − Tc )M 2 + M 4 + (∇M )2 − M h , (8.3.23) 2 4 2 1

wobei e−F /kT das statistische Gewicht einer Konfiguration M (x) angibt. Die wahrscheinlichste Konfiguration ist durch δF = 0 = a (T − Tc )M − c∇2 M + bM 3 − h δM

(8.3.24)

gegeben. Daraus folgt f¨ ur die Magnetisierung und die Suszeptibilit¨at im Grenzfall h → 0 M ∼ (Tc − T )1/2 Θ(Tc − T ) und χ ∼

1 . T − Tc

Da die Korrelationsl¨ ange bei Ann¨ aherung an den kritischen Punkt divergiert, ξ → ∞, werden auch die Schwankungen langsam. Dies legt die folgende stochastische Bewegungsgleichung12 M˙ (x, t) = −λ

δF + r(x, t) δM (x, t)

(8.3.25)

f¨ ur die Magnetisierung nahe. Der erste Term in der Bewegungsgleichung bewirkt die Relaxation in das Minimum des Funktionals der freien Energie. Diese thermodynamische Kraft ist umso st¨ arker, je gr¨oßer der Gradient δF /δM (x) ist. Der Koeffizient λ charakterisiert die Relaxationsrate analog zu Γ in der Smoluchowski-Gleichung. Schließlich ist r(x, t) eine stochastische Kraft, die von den u uhrt. Statt einer endlichen ¨brigen Freiheitsgraden herr¨ Zahl von stochastischen Variablen haben wir hier von einem kontinuierlichen Index, dem Ort x, abh¨ angige stochastische Variablen M (x, t) und r(x, t). Statt M (x) k¨ onnen wir auch deren Fourier-Transformierte  Mk = dd x e−ikx M (x) (8.3.26) 12

TDGL = time dependent Ginzburg Landau model

436

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

einf¨ uhren und gleichermaßen f¨ ur r(x, t). Dann lautet die Bewegungsgleichung (8.3.25) ∂F M˙ k = −λ + rk (t). ∂M−k

(8.3.25 )

Schließlich m¨ ussen wir noch die Eigenschaften der stochastischen Kr¨afte spezifizieren. Der Mittelwert verschwindet r(x, t) = rk (t) = 0 und außerdem sind sie r¨ aumlich und zeitlich nur u ¨ber kurze Distanzen korreliert, was wir in idealisierter Form durch rk (t)rk (t ) = 2λkT δk,−k δ(t − t )

(8.3.27)

oder r(x, t)r(x , t ) = 2λkT δ(x − x )δ(t − t )

(8.3.27 )

darstellen. F¨ ur das Schwankungsquadrat der Kraft haben wir die Einstein-Relation postuliert, wodurch gesichert ist, daß eine Gleichgewichtsverteilungsfunktion durch e−βF [M] gegeben ist. Wir setzen außerdem voraus, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur die stochastischen Kr¨afte r(x, t) eine GaußVerteilung ist (vgl. (8.1.26)). Das hat zur Folge, daß die ungeraden Korrelationsfunktionen von r(x, t) verschwinden und die geraden in Produkte von (8.3.27 ) faktorisieren (Summe u ¨ ber alle paarweisen Kontraktionen). Wir untersuchen nun die Bewegungsgleichung (8.3.25) f¨ ur T > Tc . Im weiteren verwenden wir die Gaußsche N¨aherung, d.h. wir vernachl¨assigen die anharmonischen Terme, dann vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu
 M˙ k = −λ a (T − Tc ) + ck 2 Mk + rk . (8.3.28) Deren L¨ osung ist uns schon aus der elementaren Theorie der Brownschen Bewegung gel¨ aufig  t  Mk (t) = e−γk t Mk (0) + e−γk t dt rk (t )eγk t , (8.3.29) 0

und ebenso die daraus resultierende Korrelationsfunktion 

Mk (t)Mk (t ) = e−γk |t−t |

 λkT δk,−k + O(e−γk (t+t ) ) γk

(8.3.30)

beziehungsweise f¨ ur Zeiten t, t > γk−1 Mk (t)Mk (t ) = δk,−k

a (T

 kT e−γk |t−t | . 2 − Tc ) + ck

(8.3.31)

8.3 Beispiele und Anwendungen

Hier haben wir die Relaxationsrate
 γk = λ a (T − Tc ) + ck 2

437

(8.3.32a)

eingef¨ uhrt. Insbesondere gilt f¨ ur k = 0 γ0 ∼ (T − Tc ) ∼ ξ −2 .

(8.3.32b)

Wie eingangs vermutet, nimmt die Relaxationsrate bei Ann¨aherung an den kritischen Punkt drastisch ab. Man bezeichnet diesen Sachverhalt als kritische Verlangsamung oder auch critical slowing down“. ” Wie schon aus Kap. 7 bekannt ist, f¨ uhrt die Wechselwirkung bM 4 zwischen den kritischen Fluktuationen zur Ab¨ anderung der kritischen Exponenten, z.B. ξ → (T − Tc )−ν . Ebenso zeigt sich im Rahmen der dynamischen Renormierungsgruppentheorie, daß diese Wechselwirkungen in der Dynamik zu γ0 → ξ −z

(8.3.33)

mit einem von 2 verschiedenen kritischen dynamischen Exponenten z f¨ uhren13 . Bemerkung: Nach Gl. (8.3.25) ist die Dynamik des Ordnungsparameters relaxierend. F¨ ur isotrope Ferromagneten ist die Magnetisierung erhalten, und die gekoppelte Pr¨ azessionsbewegung der magnetischen Momente f¨ uhrt zu Spinwellen. In diesem Fall lauten die Bewegungsgleichungen14 δF δF ˙ M(x, t) = −λM (x, t) × (x, t) + Γ ∇2 (x, t) + r(x, t) , δM δM

(8.3.34)

mit r(x, t) = 0 , ri (x, t)rj (x, t) = −2Γ kT ∇2δ (3) (x − x )δ(t − t )δij ,

(8.3.35) (8.3.36)

die oberhalb der Curie-Temperatur zu Spindiffusion und unterhalb zu Spinwellen f¨ uhrt (Aufgabe 8.9). Der erste Term auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung bewirkt die Pr¨ azessionsbewegung der lokalen Magnetisierung M(x, t) um das lokale Feld δF /δM(x, t) an der Stelle x. Der zweite Term ergibt die D¨ ampfung. Da die Magnetisierung erhalten ist, ist sie proportional zu ∇2 , d.h. im Fourier-Raum proportional zu k 2 angesetzt. Diese Bewegungsgleichungen sind unter dem Namen Bloch-Gleichungen oder Landau-LifshitzGleichungen bekannt und exklusive des stochastischen Terms schon lange vor 13

14

Siehe z.B. F. Schwabl und U.C. T¨ auber, Encyclopaedia of Applied Physics, Vol. 13, 343 (1995), VCH. S. Ma, G.F. Mazenko, Phys. Rev. B 11, 4077 (1975).

438

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

der Zeit der kritischen dynamischen Ph¨ anomene in der Festk¨orperphysik in Verwendung gewesen. Die stochastische Kraft r(x, t) r¨ uhrt von den u ¨ brigen, raschen Freiheitsgraden her. Das Funktional der freien Energie lautet F [M(x, t)] =

1 2



 b d3 x a (T − Tc )M2 (x, t) + M4 (x, t) 2

 + c(∇M(x, t))2 − hM(x, t) (8.3.37)

∗

8.3.4 Smoluchowski-Gleichung und supersymmetrische Quantenmechanik 8.3.4.1 Eigenwertgleichung Um die Smoluchowski-Gleichung (8.2.14) (V  ≡ ∂V /∂x) ≡ −K

 ∂P ∂ ∂  =Γ kT +V P ∂t ∂x ∂x

(8.3.38)

auf eine Gestalt zu bringen, die nur mehr die zweite Ableitung nach x enth¨alt, setzen wir den Ansatz P (x, t) = e−V (x)/2kT ρ(x, t) ein und erhalten / 0 2 ∂ρ ∂2 V  V = kT Γ + − ρ. ∂t ∂x2 2kT 4(kT )2 Dies ist eine Schr¨ odinger-Gleichung mit imagin¨ arer Zeit

 ∂ρ 1 ∂2 0 i
= − + V (x) ρ. ∂(−i
2kT Γ t) 2 ∂x2 mit dem Potential  5 2  1 V V V 0 (x) = − . 2 4(kT )2 2kT

(8.3.39)

(8.3.40)

(8.3.41)

(8.3.42)

Nach der Separation der Variablen ρ(x, t) = e−2kT Γ En t ϕn (x)

(8.3.43)

erhalten wir aus Gl. (8.3.40) die Eigenwertgleichung  1 
ϕn = −En + V 0 (x) ϕn (x). 2

(8.3.44)

8.3 Beispiele und Anwendungen

439

Formal ist Gleichung (8.3.44) identisch mit einer zeitunabh¨angigen Schr¨odinger-Gleichung.15 In (8.3.43) und (8.3.44) haben wir die aus (8.3.44) folgenden Eigenfunktionen und Eigenwerte mit dem Index n numeriert. Der Grundzustand von (8.3.44) ist durch ϕ0 = N e− 2kT , E0 = 0 V

(8.3.45)

gegeben, wo N ein Normierungsfaktor ist. Eingesetzt in (8.3.39) ergibt sich daraus f¨ ur P (x, t) die Gleichgewichtsverteilung P (x, t) = N e−V (x)/kT .

(8.3.45 )

Aus (8.3.42) ist sofort der Zusammenhang mit der supersymmetrischen Quantenmechanik ersichtlich. Der supersymmetrische Partner16 zu V 0 besitzt das Potential " # 2 1 V V  1 V = + . (8.3.46) 2 4(kT )2 2kT Die Anregungsspektren der beiden Hamilton-Operatoren

Abb. 8.6. Die Anregungsspektren der beiden HamiltonOperatoren H 0 und H 1 , QM I, S. 357 und 365.

H 0,1 = −

1 d2 + V 0,1 (x) 2 dx2

(8.3.47)

h¨ angen in der in Abb. 8.6 dargestellten Weise zusammen. Man kann diesen Zusammenhang mit Vorteil n¨ utzen, wenn das Problem H 1 einfacher zu l¨osen 0 ist als H . 15 16

N.G. van Kampen J. Stat. Phys. 17, 71 (1977). M. Bernstein, L. S. Brown, Phys. Rev. Lett. 52, 1933 (1984); F. Schwabl, QM I, Kap. 19, Springer, 2005. Die dort eingef¨ uhrte Gr¨ oße Φ h¨ angt mit der Grundzustandswellenfunktion ϕ0 und dem Potential V folgendermaßen zusammen: Φ = −ϕ0 /ϕ0 = V  /2kT .

440

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

8.3.4.2 Relaxation in das Gleichgewicht Wir k¨ onnen nun das Anfangswertproblem f¨ ur die Smoluchowski-Gleichung allgemein l¨ osen. Ausgehend von einer beliebigen, normierten Anfangsverteilung P (x) l¨ aßt sich ρ(x) berechnen und nach den Eigenfunktionen von (8.3.44) entwickeln  ρ(x) = eV (x)/2kT P (x) = cn ϕn (x), (8.3.48) n

mit den Entwicklungskoeffizienten  cn = dx ϕ∗n (x)eV (x)/2kT P (x).

(8.3.49)

Aus (8.3.43) ergibt sich die Zeitabh¨ angigkeit  ρ(x, t) = e−2kT Γ En t cn ϕn (x),

(8.3.50)

n

woraus mit (8.3.39) P (x, t) = e−V (x)/2kT

∞ 

cn e−2kT Γ En t ϕn (x)

(8.3.51)

n=0

folgt. Der normierte Grundzustand hat die Form ϕ0 =


e−V (x)/2kT dx e−V (x)/kT

1/2 .

(8.3.52)

Deshalb ist der Entwicklungskoeffizient c0 durch   dx P (x) 1 ∗ V (x)/2kT c0 = dx ϕ0 e P (x) =
 1/2 =
 1/2 dx e−V (x)/kT dx e−V (x)/kT (8.3.53) gegeben. Dies erlaubt uns (8.3.51) in die Form P (x, t) = 

∞  e−V (x)/kT −V (x)/2kT + e cn e−2kT Γ En t ϕn (x) dx e−V (x)/kT n=1

(8.3.54)

zu bringen. Damit ist das Anfangswertproblem f¨ ur die Smoluchowski-Gleichung allgemein gel¨ ost. Da En > 0 f¨ ur n ≥ 1 ist, folgt aus dieser Entwicklung lim P (x, t) = 

t→∞

e−V (x)/kT , dx e−V (x)/kT

(8.3.55)

was bedeutet, daß von einer beliebigen Anfangsverteilung ausgehend P (x, t) f¨ ur große Zeiten in die Gleichgewichtsverteilung (8.3.45 ) bzw. (8.3.55) u ¨bergeht.

Aufgaben zu Kapitel 8

441

Literatur R. Becker, Theorie der W¨ arme, 3. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg, 1985, Kap. 7 A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 182 (1905); nachgedruckt in Annalen der Physik 14, Supplementary issue, 2005 H. Risken, The Fokker-Planck Equation, Springer Verlag, Heidelberg, 1984 N.G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North Holland, Amsterdam, 1981

Aufgaben zu Kapitel 8 8.1 Leiten Sie die allgemeine Fokker-Planck-Gleichung (8.2.18) her. 8.2 Ein Teilchen bewegt sich mit der Schrittweite l entlang der x-Achse. In einem Zeitschritt h¨ upft es mit der Wahrscheinlichkeit p+ nach rechts und mit der Wahrscheinlichkeit p− nach links (p+ + p− = 1). Wie weit entfernt es sich im Mittel nach t Zeitschritten vom Ausgangspunkt wenn p+ = p− = 1/2 ist, bzw. wenn p+ = 3/4 und p− = 1/4 ist?

8.3 Diffusion und W¨armeleitung (a) L¨ osen Sie die Diffusionsgleichung n˙ = D∆n f¨ ur d = 1, 2 und 3 Dimensionen mit der Anfangsbedingung n(x, t = 0) = N δ d (x). Hierbei ist n die Teilchendichte, N die Teilchenzahl und D die Diffusionskonstante. (b) Eine andere Form der Diffusionsgleichung ist die W¨ armeleitungsgleichung cρ ∂T ∆T = κ ∂t wobei T die Temperatur, κ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit, c die spezifische W¨ arme und ρ die Dichte ist. L¨ osen Sie als Anwendung die folgende Aufgabe: Kartoffeln werden bei +5◦ C in einen breiten Graben eingelagert, der mit einer Schicht lockerer Erde der Dicke d zugedeckt wird. Gleich nach dem Einlagern setzt schlagartig eine K¨ alteperiode von durchgehend −10◦ C ein, die zwei Monate lang dauert. Wie dick muß die Erdschicht sein, damit die Kartoffelschicht am Ende der zwei Monate nicht bis auf 0◦ C abgek¨ uhlt ist? Nehmen Sie n¨ aherungsweise f¨ ur Kartoffeln und Erde die gleichen kg W J Werte an: κ = 0.4 m·K , c = 2000 kg·K , ρ = 1000 m 3.

8.4 Betrachten Sie die Langevin-Gleichung eines u¨ berd¨ampften, harmonischen Oszillators x(t) ˙ = −Γ x(t) + h(t) + r(t), wobei h(t) eine ¨ außere Kraft und r(t) eine stochastische Kraft mit den Eigenschaften (8.1.25) ist. Berechnen Sie die Korrelationsfunktion   C(t, t ) = x(t)x(t ) h=0 , die Responsefunktion δx(t) χ(t, t ) = , δh(t ) und die Fourier-Transformierte der Responsefunktion.

442

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

8.5 Ged¨ampfter Oszillator (a) Betrachten Sie den ged¨ ampften harmonischen Oszillator m¨ x + mζ x˙ + mω02 x = f (t) mit der stochastischen Kraft f (t) aus Gl. (8.1.25). Berechnen Sie Korrelationsfunktion und dynamische Suszeptibilit¨ at. Diskutieren Sie insbesondere die Lage der Pole und die Linienform. Was ¨ andert sich gegen¨ uber den Grenzf¨ allen des unged¨ ampften bzw. u ampften Oszillators? ¨ berd¨ (b) Dr¨ ucken Sie die station¨ are L¨ osung x(t) beim Einwirken einer periodischen außeren Kraft fe (t) = f0 cos 2π t durch die dynamische Suszeptibilit¨ at aus. Berech¨ T T nen Sie damit die dissipierte Leistung T1 0 dt fe (t)x(t). ˙

8.6 Verschiedenste physikalische Systeme lassen sich als ein schwingungsf¨ahiges Subsystem beschreiben, das an einen relaxierenden Freiheitsgrad koppelt, wobei beide sich in Kontakt mit einem W¨ armebad befinden (z.B. die Schallausbreitung in einem Medium, in dem chemische Reaktionen ablaufen; Phononen bei Ber¨ ucksichtigung von Energie-/W¨ armediffusion). Betrachten Sie als einfaches Modell das folgende gekoppelte Gleichungssystem 1 p m p˙ = −mω02 x − Γ p + by + R(t) b y˙ = −γy − p + r(t) . m

x˙ =

Hierbei wird durch x und p der Schwingungsfreiheitsgrad (mit Eigenfrequenz ω0 ) beschrieben, y ist der Relaxationsfreiheitsgrad. Die Subsysteme sind wechselseitig linear verkoppelt, die Kopplungsst¨ arke ist durch den Parameter b bestimmt. Die Kopplung an das W¨ armebad wird jeweils durch die Zufallskr¨ afte R, r mit den u ¨ blichen Eigenschaften (Verschwinden der Mittelwerte und Einstein-Relationen) und die zugeh¨ origen D¨ ampfungskoeffizienten Γ , γ gew¨ ahrleistet. (a) Berechnen Sie die dynamische Suszeptibilit¨ at χx (ω) f¨ ur den Schwingungsfreiheitsgrad. (b) Diskutieren Sie den erhaltenen Ausdruck im Grenzfall γ → 0, d.h. die Relaxationszeit des Relaxators sei sehr lang.

8.7 Ein Anwendungbeispiel f¨ur die u¨ berd¨ampfte Langevin-Gleichung ist ein elektrischer Schwingkreis bestehend aus einer Kapazit¨ at C und einem Widerstand R, der sich auf der Temperatur T befindet. Die Spannung UR am Widerstand ist mit der Stromst¨ arke I u ¨ ber UR = RI und die Spannung Uc am Kondensator ist mit der Ladung Q des Kondensators u verkn¨ upft. Im Mittel gilt, daß die ¨ber Uc = Q C Summe der beiden Spannungen Null ist, UR + UC = 0. Tats¨ achlich r¨ uhrt der Strom von der Bewegung vieler Elektronen her, und durch St¨ oße am Gitter und mit Phononen kommt es zu Schwankungen, die man durch einen Rauschterm Vth in der ˙ Spannungsbilanz modelliert (J = Q) RQ˙ +

1 Q = Vth . C

bzw. 1 1 Uc = Vth . U˙ c + RC RC

Aufgaben zu Kapitel 8

443

(a) Nehmen Sie f¨ ur die stochastische Kraft die Einstein-Relation an und berechnen Sie die spektrale Verteilung der Spannungsschwankungen  ∞ φ(ω) = dt eiωt Uc (t)Uc (0) . −∞

(b) Berechnen Sie 

 Uc2 ≡ Uc (t)Uc (t) ≡



∞

dω φ(ω) −∞

und interpretieren Sie das Ergebnis

1 C 2



 Uc2 = 12 kT .

8.8 In Verallgemeinerung von Beispiel 8.7 m¨oge der Schwingkreis nun auch noch ein induktives Element enthalten, an welchem der Spannungsabfall UL = LI˙ ist. Die Bewegungsgleichung f¨ ur die Ladung am Kondensator lautet ¨ + RQ˙ + 1 Q = Vth . Q C Indem Sie wieder die Einstein-Relation f¨ ur die Rauschspannung Vth annehmen, ∞ berechnen Sie die spektrale Verteilung f¨ ur die Stromst¨ arke −∞ dt eiωt I(t)I(0).

8.9 Gehen Sie von den Bewegungsgleichungen des isotropen Ferromagneten Gleichung (8.3.34) aus, und untersuchen Sie die ferromagnetische Phase, in welcher M(x, t) = eˆz M0 + δM(x, t) gilt. (a) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichungen in δM(x, t), und bestimmen Sie die transversalen und longitudinalen Anregungen in Bezug auf die z−Richtung. (b) Berechnen Sie die dynamische Suszeptibilit¨ at  ∂Mi (x, t) χij (k, ω) = d3x dt e−i(kx−ωt) ∂hj (0, 0) und die Korrelationsfunktion  Gij (k, ω) = d3x dt e−i(kx−ωt) δMi (x, t)δMj (0, 0)

8.10 L¨osen Sie die Smoluchowski-Gleichung ∂P (x, t) ∂ =Γ ∂t ∂x



kT

∂ ∂V (x) + ∂x ∂x



P (x, t)

f¨ ur ein harmonisches Potential und ein invertiertes harmonisches Potential V (x) = 2 2 ± mω x , indem sie das entsprechende Eigenwertproblem l¨ osen. 2

8.11 Begr¨unden Sie den Ansatz Gl. (8.3.39) und f¨uhren Sie die Umformung auf Gl. (8.3.40) durch. 8.12 L¨osen Sie die Smoluchowski-Gleichung f¨ur das Modellpotential V (x) = 2kT log(cosh x) mit Hilfe der supersymmetrischen Quantenmechanik, indem Sie sie gem¨ aß Kapitel 8.3.4 auf eine Schr¨ odinger-Gleichung transformieren. (Literatur: F. Schwabl, Quantenmechanik, Kap. 19, 6., erw. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg, 2004.)

444

8. Brownsche Bewegung und Stochastische Bewegungsgleichungen

8.13 Wertpapierkurse als stochastischer Prozeß Nehmen Sie an, der Logarithmus l(t) = log S(t) des Kurses S(t) eines Wertpapiers gen¨ uge (auf einer gen¨ ugend groben Zeitskala) der Langevin-Gleichung d l(t) = r + Γ (t) dt wobei r eine Konstante und Γ eine Gaußsche Zufallskraft“ mit Γ (t)Γ (t ) = ” σ 2 δ(t − t ) sei. (a) Motivieren Sie diesen Ansatz. Hinweise: Was bedeutet die Annahme, daß zuk¨ unftige Kurse nicht aus der Kursentwicklung in der Vergangenheit vorhergesagt werden k¨ onnen? Denken Sie zun¨ achst an einen in der Zeit diskreten Prozeß ¨ (z.B. Zeitentwicklung der Tagesschlußkurse). Sollte die Ubergangswahrscheinlichkeit eher eine Funktion der Kursdifferenz oder des Kursverh¨ altnisses sein? (b) Stellen Sie die Fokker-Planck-Gleichung f¨ ur l und davon ausgehend die f¨ ur S auf. (c) Was ist der Erwartungswert des Wertpapierkurses zur Zeit t, wenn das Papier zur Zeit t0 = 0 zum Kurs S0 gehandelt wird? Hinweis: L¨ osen Sie die Fokker-PlanckGleichung f¨ ur l = log S.

9. Boltzmann-Gleichung

9.1 Einleitung In der Langevin-Gleichung (Kap. 8) wurde die Irreversibilit¨at durch den D¨ ampfungsterm ph¨ anomenologisch eingef¨ uhrt. Kinetische Theorien haben die Erkl¨ arung und quantitative Berechnung von Transportprozessen und dissipativen Vorg¨ angen aus den Stoßprozessen der Atome (oder im Festk¨orper der Quasiteilchen) zum Ziel. Gegenstand der Theorie ist die Einteilchenverteilungsfunktion, deren zeitliche Entwicklung durch die kinetische Gleichung bestimmt wird. Wir wollen uns im folgenden mit einem einatomigen klassischen Gas bestehend aus Teilchen der Masse m besch¨ √aftigen, wir setzen also voraus, daß die thermische Wellenl¨ ange λT = 2π
/ 2πmkT und das Volumen pro Teilchen v = n−1 die Ungleichung λT
n−1/3 , erf¨ ullen, d.h. die Wellenpakete sind so stark lokalisiert, daß die Atome als klassisch betrachtet werden k¨ onnen. Als weitere charakteristische Gr¨ oßen gehen die Stoßdauer τc und die Stoßzeit τ (das ist die Zeit, die zwischen zwei St¨ oßen eines Molek¨ uls vergeht, siehe (9.2.12)) ein. Es gilt τc ≈ rc /¯ v und τ ≈ 1/nrc2 v¯, wo rc die Reichweite des Potentials und v¯ die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen ist. Damit wir unabh¨ angige Zweiteilchenst¨ oße betrachten k¨ onnen, haben wir die weitere Bedingung τc
τ , d.h. die Stoßdauer ist kurz im Vergleich zur Stoßzeit. Diese Bedingung ist im Grenzfall kleiner Dichte, rc
n−1/3 , erf¨ ullt. Es k¨onnen dann St¨oße von mehr als zwei Teilchen vernachl¨ assigt werden. Die kinetische Gleichung, die den Fall des hier betrachteten verd¨ unnten Gases beschreibt, ist die Boltzmann-Gleichung.1 Die Boltzmann-Gleichung ist eine der grundlegendsten Gleichungen der Nichtgleichgewichts-Statistischen

1

Ludwig Boltzmann, Wien. Ber. 66, 275 (1872); Vorlesungen u ¨ber Gastheorie, Leipzig, 1896

446

9. Boltzmann-Gleichung

Mechanik und findet Anwendungen in Bereichen, die weit u ¨ ber den des verd¨ unnten Gases hinausgehen.2 In diesem Kapitel wird die Boltzmann-Gleichung der klassischen Herleitung1 Boltzmanns folgend aufgestellt. Daran anschließend werden einige grundlegende Fragen zur Irreversibilit¨ at anhand des H-Theorems diskutiert. Als Anwendung der Boltzmann-Gleichung werden die hydrodynamischen Gleichungen abgeleitet und deren Eigenmoden (Schall, W¨armediffusion) bestimmt. Die Transportkoeffizienten werden aus der linearisierten BoltzmannGleichung systematisch durch die Eigenmoden und Eigenfrequenzen dieser Gleichung dargestellt.

9.2 Herleitung der Boltzmann-Gleichung Wir setzen voraus, daß nur eine Sorte von Atomen vorliegen m¨oge. F¨ ur diese wird die Bewegungsgleichung der Einteilchen-Verteilungsfunktion gesucht. Definition: Die Einteilchen-Verteilungsfunktion f (x, v, t) ist definiert durch f (x, v, t) d3 x d3 v = Zahl der Teilchen, die sich zur Zeit t im Volumenelement d3 x um den Punkt x und d3 v um die Geschwindigkeit v befinden.  d3 x d3 v f (x, v, t) = N . (9.2.1) f (x, v, t) h¨ angt mit der N -Teilchen-Verteilungsfunktion   ρ(x1 ,v1 , . . .,xN ,vN , t) (Gl. (2.3.1)) durch f (x1 , v1 , t) = N d3 x2 d3 v2 . . . d3 xN d3 vN ρ(x1 , v1 , . . . , xN , vN , t) zusammen. Bemerkungen: 1. In der kinetischen Theorie nimmt man u ¨ blicherweise als Variable die Geschwindigkeit statt des Impulses, v = p/m. 2. Der von x und v erzeugte 6-dimensionale Raum heißt µ-Raum. 3. Die Volumenelemente d3 x und d3 v sollen zwar in ihren linearen Dimensionen klein sein gegen die makroskopischen Abmessungen bzw. gegen  die mittlere Geschwindigkeit v¯ = kT /m , aber groß auf der mikroskopischen Skala, so daß sich viele Teilchen innerhalb des betrachteten Elementes aufhalten. In einem Gas unter Normalbedingungen (T = 1◦ C, P = 1 atm) ist die Zahl der Molek¨ ule pro cm3 n = 3 × 1019 . In einem −3 Kubus mit der Kantenl¨ ange 10 cm, also einem Volumenelement der Gr¨ oße d3 x = 10−9 cm3 , das f¨ ur alle experimentellen Zwecke faktisch als punktf¨ ormig angesehen werden kann, befinden sich immer noch 3 × 1010 Molek¨ ule. W¨ ahlt man f¨ ur d3 v ≈ 10−6 × v¯3 , so befinden sich nach der Maxwell-Verteilung 2

Siehe z.B.: J. M. Ziman, Principles of the Theory of solids, 2nd ed, Cambridge Univ. Pr., Cambridge, 1972.

9.2 Herleitung der Boltzmann-Gleichung

447

 m 3/2 mv2 f 0 (v) = n e− 2kT 2πkT in diesem Element des µ-Raums f 0 d3 x d3 v ≈ 104 Molek¨ ule. Zur Herleitung der Boltzmann-Gleichung verfolgen wir die Bewegung eines Volumenelementes im µ-Raum im Zeitintervall [t, t + dt], Abb. 9.1. Da

Abb. 9.1. Deformation eines Volumenelements im µ-Raum w¨ ahrend des Zeitintervalls dt.

sich Teilchen mit h¨ oherer Geschwindigkeit rascher bewegen, deformiert sich das Volumenelement. Jedoch gilt durch Betrachtung der Inhalte der beiden Parallelepipede3 d3 x d3 v  = d3 x d3 v .

(9.2.2)

Die Zahl der Teilchen zur Zeit t in d3 x d3 v ist f (x, v, t) d3 x d3 v, und die Zahl der Teilchen in dem daraus nach dem Zeitintervall dt entstehenden Volumen1 element d3 v ist f (x + vdt, v + m Kdt, t + dt) d3 x d3 v  . Falls sich die Gasatome ¨ stoßfrei bewegen w¨ urden, w¨ aren diese Zahlen gleich. Eine Anderung dieser Teilchenzahlen kann nur durch St¨ oße erfolgen. Somit erhalten wir  f (x + v dt, v +

 1 K dt, t + dt) − f (x, v, t) d3 x d3 v = m  ∂f = dt d3 x d3 v , (9.2.3) ∂t Stoß

¨ ¨ d.h. die Anderung der Teilchenzahl ist gleich der Anderung der Teilchenzahl aufgrund von St¨ oßen. Die Entwicklung dieser Bilanz-Gleichung ergibt    ∂ 1 ∂f + v∇x + K(x)∇v f (x, v, t) = . (9.2.4) ∂t m ∂t Stoß 3

Das hier geometrisch erzielte Ergebnis kann auch mittels des Liouvilleschen Satzes (L.D. Landau und E.M. Lifshitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1, 6. Aufl., Akademie Verlag, Berlin, 1969, S. 181) hergeleitet werden.

448

9. Boltzmann-Gleichung

Die linke Seite dieser Gleichung bezeichnet man als den Str¨omungsterm.4 ∂f Den Stoßterm ∂t k¨ onnen wir als Differenz von Gewinn- und Verlust Stoß Prozessen darstellen  ∂f =g−v. (9.2.5) ∂t Stoß Dabei ist g d3 x d3 v dt die Zahl der Teilchen, die w¨ahrend des Intervalls dt durch Stoß in das Volumen d3 x d3 v gestreut werden, und vd3 x d3 v dt die Zahl derer, die herausgestreut werden, d.h. die Zahl der St¨oße im Volumenelement d3 x, bei denen einer der beiden Stoßpartner vor dem Stoß die Geschwindigkeit v besaß. Es wird dabei angenommen, daß das Volumenelement d3 v im Geschwindigkeitsraum so klein ist, daß jeder Stoß aus diesem Volumenelement herausf¨ uhrt. Unter dem Boltzmannschen Stoßzahlansatz versteht man den folgenden Ausdruck f¨ ur den Stoßterm   ∂f = d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v, v2 ; v3 , v4 )[f (x, v3 , t)f (x, v4 , t)− ∂t Stoß − f (x, v, t)f (x, v2 , t)] . (9.2.6) ¨ Hier bedeutet W (v, v2 ; v3 , v4 ) die Ubergangswahrscheinlichkeit v, v2 →

Abb. 9.2. Gewinn- und Verlustprozesse, g und v.

v3 , v4 , d.h. die Wahrscheinlichkeit, daß bei einem Stoß zwei Teilchen mit Geschwindigkeit v und v2 in zwei Teilchen mit den Geschwindigkeiten v3 und v4 u oße, die aus dem betrachteten Volumenelement ¨ bergehen. Die Zahl der St¨ herausf¨ uhren, ist proportional zur Zahl der Teilchen mit der Geschwindigkeit v und der Zahl der Teilchen mit der Geschwindigkeit v2 und proportional zu W (v, v2 ; v3 , v4 ), und es ist zu summieren u ¨ber alle v2 und alle Werte der Endgeschwindigkeiten v3 und v4 . Die Zahl der St¨ oße, bei denen nach dem Stoß ein Teilchen mehr in dem Volumenelement d3 v ist, ist gegeben durch die Zahl der Teilchen mit der Geschwindigkeit v3 und v4 , deren Stoß ein Teilchen ¨ mit der Geschwindigkeit v ergibt. Dabei ist die Ubergangswahrscheinlichkeit W (v3 , v4 ; v, v2 ) mittels (9.2.8e) ausgedr¨ uckt worden. Der Stoßzahlansatz (9.2.6) zusammen mit der Bilanzgleichung (9.2.4) ergibt die Boltzmann-Gleichung 4

In Bemerkung (i), S. 450, wird der Str¨ omungsterm auf andere Weise hergeleitet werden.

9.2 Herleitung der Boltzmann-Gleichung



449



∂ 1 + v∇x + K(x)∇v f (x, v, t) = ∂t m   
3 3 d v2 d v3 d3 v4 W (v, v2 ; v3 , v4 ) f (x, v3 , t)f (x, v4 , t)  − f (x, v, t)f (x, v2 , t) . (9.2.7)

Dies ist eine nichtlineare Integrodifferentialgleichung. ¨ Die Ubergangswahrscheinlichkeit W hat folgende Symmetrieeigenschaften: • Vertauschbarkeit der Teilchen: W (v, v2 ; v3 , v4 ) = W (v2 , v; v4 , v3 ) .

(9.2.8a)

• Rotations- und Reflexionsinvarianz: Mit einer orthogonalen Matrix D gilt W (Dv, Dv2 ; Dv3 , Dv4 ) = W (v, v2 ; v3 , v4 ) .

(9.2.8b)

Darin ist die Inversionssymmetrie W (−v, −v2 ; −v3 , −v4 ) = W (v, v2 ; v3 , v4 )

(9.2.8c)

enthalten. • Zeitumkehrinvarianz: W (v, v2 ; v3 , v4 ) = W (−v3 , −v4 ; −v, −v2 ) . Die Kombination von Inversion und Zeitumkehr ergibt die in schon verwendete Beziehung W (v3 , v4 ; v, v2 ) = W (v, v2 ; v3 , v4 ) .

(9.2.8d) ∂f ∂t

Stoß

(9.2.8e)

Aus dem Impuls- und Energieerhaltungssatz folgt W (v1 , v2 ; v3 , v4 ) = σ(v1 , v2 ; v3 , v4 )δ (3) (p1 + p2 − p3 − p4 )

2  p1 p22 p23 p23 ×δ + − − , (9.2.8f) 2m 2m 2m 2m wie man auch explizit aus der mikroskopischen Berechnung des Zweierstoßes in Gl. (9.5.21) sieht. Die Gestalt des Streuquerschnitts σ h¨angt vom Wechselwirkungspotential zwischen den Teilchen ab. F¨ ur alle allgemeinen, grunds¨ atzlichen Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung kommt es auf die genaue Gestalt von σ nicht an. Als explizites Beispiel werden wir σ f¨ ur das Wechselwirkungspotential harter Kugeln (Gl. (9.5.15)) und ein algebraisch abfallendes Potential (Aufgabe 9.15, Gl. (9.5.29)) berechnen. Zur Vereinfachung der Notation werden wir im folgenden h¨aufig die Abk¨ urzungen f1 ≡ f (x, v1 , t) mit v1 = v, f3 ≡ f (x, v3 , t), f2 ≡ f (x, v2 , t), verwenden.

f4 ≡ f (x, v4 , t)

(9.2.9)

450

9. Boltzmann-Gleichung

Bemerkungen: (i) Man kann den Str¨ omungsterm in der Boltzmann-Gleichung auch herleiten, indem man f¨ ur den fiktiven Fall von stoßfreien, wechselwirkungsfreien Gasatomen eine Kontinuit¨ atsgleichung aufstellt. Dazu f¨ uhrt man den sechsdimensionalen Geschwindigkeitsvektor

 K ˙ v˙ = w = v = x, (9.2.10) m und die Stromdichte wf (x, v, t) ein. F¨ ur ein stoßfreies Gas erf¨ ullt f die Kontinuit¨ atsgleichung ∂f + div wf = 0 . ∂t

(9.2.11)

Mit Hilfe der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen nimmt Gl. (9.2.11) die Form

 ∂ 1 + v∇x + K(x)∇v f (x, v, t) = 0 (9.2.11 ) ∂t m des Str¨ omungsterms in Gl. (9.2.4) und (9.2.7) an. (ii) In der Form des Stoßterms ist die Ausbildung von Korrelationen zwischen zwei Teilchen vernachl¨ assigt. Es wird hier angenommen, daß zu jedem Zeitpunkt die Zahl der Teilchen mit Geschwindigkeit v3 und v4 , bzw. v und v2 unkorreliert ist, eine Annahme, die man auch als molekulares Chaos bezeichnet. Es wird hier ein statistisches Element eingebracht. Zur Rechtfertigung kann man sagen, daß in einem Gas mit niedriger Dichte ein bin¨ arer Stoß zwischen zwei Molek¨ ulen, die schon untereinander wechselwirkten, entweder direkt oder indirekt durch eine gemeinsame Menge von Molek¨ ulen, ¨ außerst unwahrscheinlich ist. Tats¨ achlich kommen miteinander stoßende Molek¨ ule von ganz anderen Stellen des Gases und wurden vorher von ganz anderen Molek¨ ulen gestoßen, und sind deshalb v¨ ollig unkorreliert. Die Annahme des molekularen Chaos ben¨ otigt man nur f¨ ur die Teilchen vor dem Stoß. Nach dem Stoß sind die beiden Teilchen korreliert (sie laufen so auseinander, daß sie bei Umkehr der Bewegung wieder zusammentreffen w¨ urden), dies geht aber in die Gleichung nicht ein. Es ist m¨ oglich, die Boltzmann-Gleichung n¨ aherungsweise aus der LiouvilleGleichung herzuleiten. Dazu leitet man aus dieser Gleichung Bewegungsgleichungen f¨ ur die Ein-, Zwei- u.s.w. Mehrteilchenverteilungsfunktionen her. Die Struktur dieser Gleichungen, die man auch BBGKY (Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon)-Hierarchie5 nennt, ist von einer Gestalt, daß die Bewegungsgleichung f¨ ur die r-Teilchen-Verteilungsfunktion (r = 1, 2, . . .) neben dieser auch die (r + 1)Teilchen-Verteilungsfunktion enth¨ alt.6 Insbesondere ist die Bewegungsgleichung f¨ ur die Einteilchenverteilungsfunktion f (x, v, t) von der Gestalt der linken Seite der Boltzmann-Gleichung. Die rechte Seite enth¨ alt jedoch f2 , die Zweiteilchenverteilungsfunktion, und somit Korrelationen zwischen den Teilchen. Nur durch n¨ aherungsweise Behandlung, n¨ amlich durch Abbrechen der Bewegungsgleichung f¨ ur f2 5 6

Siehe Literatur am Ende des Kapitels: K. Huang, S. Harris. Die r-Teilchen-Verteilungsfunktion erh¨ alt man aus der N -TeilchenN! Verteilungsfunktion durch fr (x1 , v1 , . . . xr , vr , t) ≡ (N−r)! d3 xr+1 d3 vr+1 3 3 d xN d vN ρ(x1 , v1 , . . . xN , vN , t). Der kombinatorische Faktor r¨ uhrt davon her, daß es nicht darauf ankommt, welches der Teilchen an den µ-Raum-Stellen x1 , v1 , . . . ist.

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung

451

selbst, erh¨ alt man einen Ausdruck, der identisch mit dem Stoßterm der BoltzmannGleichung ist. Es sei erw¨ ahnt, daß Terme, die u ¨ ber die Boltzmann-Gleichung hinausgehen, zu Ph¨ anomenen f¨ uhren, die statt des exponentiellen Relaxationszeitverhaltens zu einem zeitlich wesentlich langsameren, algebraischen Zerfall f¨ uhren; man nennt diese Zeitabh¨ angigkeiten auch Langzeitschw¨ anze. Diese r¨ uhren mikroskopisch betrachtet von sogenannten Ringst¨ oßen her, siehe Literatur am Ende dieses Kapitels: J.A. McLennan. Quantitativ sind diese Effekte in der Realit¨ at unmeßbar klein; sie wurden bisher lediglich in Computerexperimenten beobachtet. In diesem Sinn haben sie ein ¨ ahnliches Schicksal wie die in der Quantenmechanik auftretenden Abweichungen vom exponentiellen Zerfall angeregter Quantenniveaus. (iii) Zur Berechnung der Stoßzeit τ stellen wir uns als Hilfskonstruktion einen Zylinder vor, dessen H¨ ohe gleich der Strecke ist, die ein Teilchen mit der thermischen Geschwindigkeit in einer Zeiteinheit durchmißt, und dessen Grundfl¨ ache gleich dem totalen Streuquerschnitt ist. Ein Atom mit der thermischen Geschwindigkeit durchmißt diesen Zylinder w¨ ahrend einer Zeiteinheit und st¨ oßt mit allen Atomen, die sich im Zylinder befinden. Die Zahl der Atome innerhalb dieses Zylinders und somit die Zahl der St¨ oße eines Atoms pro Sekunde sind σtot v¯n, und folglich ist die mittlere Stoßzeit τ =

1 . σtot v¯n

(9.2.12)

Unter der mittleren freien Wegl¨ ange l versteht man die Strecke, die ein Atom typischerweise zwischen zwei St¨ oßen durchmißt, diese ist l ≡ v¯τ =

1 . σtot n

(9.2.13)

(iv) Absch¨ atzung von L¨ angen und Zeiten, die bei der Aufstellung der Boltzmann-Gleichung eine Rolle spielen: Die Reichweite rc des Potentials muß so kurz sein, daß nur St¨ oße von Molek¨ ulen stattfinden, die sich innerhalb des gleichen Volumenelements d3 x befinden: rc dx. Diese Ungleichung ist f¨ ur das Zahlenbeispiel cm rc ≈ 10−8 cm, dx = 10−3 cm erf¨ ullt. Mit v¯ ≈ 105 sec erh¨ alt man f¨ ur die Zeit, die das Teilchen in d3 x ist: τd3 x ≈ Stoßzeit τ ≈

(rc2 n¯ v )−1

10−3 cm ≈ cm 105 sec −16 2

≈ (10

10−8 cm cm 105 sec −1 −1

10−8 sec. Stoßdauer τc ≈

cm ×3×10 cm 19

−3

×10 cm sec 5

)

≈ 10−13 sec,

≈ 3×10−9 sec.

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung 9.3.1 H-Theorem7 und Irreversibilit¨ at Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, daß die Boltzmann-Gleichung irreversibles Verhalten aufweist, und die Verteilungsfunktion in die Maxwell-Verteilung strebt. Dazu wurde von Boltzmann die mit dem Negativen der Entropie zusammenh¨ angende Gr¨ oße H eingef¨ uhrt7 7

Gelegentlich kursiert das M¨ archen, daß es nach Boltzmann eigentlich EtaTheorem heißen m¨ ußte. Tats¨ achlich hat Boltzmann (1872) E (f¨ ur Entropie) verwendet, und erst sp¨ ater (S.H. Burbury, 1890) hat sich der lateinische Buchstabe H eingeb¨ urgert. (D. Flamm, private Mitteilung, und S.G. Brush, Kinetic Theory, Vol. 2, p. 6, Pergamon Press, Oxford, 1966)

452

9. Boltzmann-Gleichung

 H(x, t) =

d3 v f (x, v, t) log f (x, v, t) .

(9.3.1)

F¨ ur deren Zeitableitung erh¨ alt man aus der Boltzmann-Gleichung (9.2.7)  ˙ H(x, t) = d3 v (1 + log f )f˙

  1 3 = − d v (1 + log f ) v∇x + K∇v f − I (9.3.2) m  = −∇x d3 v (f log f ) v − I . Der zweite Term  in der zweiten Zeile innerhalb der großen Klammer ist proportional zu d3 v ∇v (f log f ) und verschwindet, da keine Teilchen mit unendlicher Geschwindigkeit vorhanden sind, d.h. f → 0 f¨ ur v → ∞. Der Beitrag des Stoßterms  I = d3 v1 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v1 , v2 ; v3 , v4 )(f1 f2 − f3 f4 )(1 + log f1 ) (9.3.3) ergibt unter Verwendung der Invarianz von W gegen¨ uber den Vertauschungen 1, 3 ↔ 2, 4 und 1, 2 ↔ 3, 4  1 f1 f2 I= d3 v1 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v1 , v2 ; v3 , v4 )(f1 f2 −f3 f4 ) log . (9.3.4) 4 f3 f4 Die von (9.3.3) auf (9.3.4) f¨ uhrende Umformung ist ein Spezialfall der allgemeinen Identit¨ at  d3 v1 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v1 , v2 ; v3 , v4 )(f1 f2 − f3 f4 )ϕ1  1 = d3 v1 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v1 , v2 ; v3 , v4 )× 4 × (f1 f2 − f3 f4 )(ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 − ϕ4 ) , (9.3.5) welche mit Hilfe der Symmetrierelationen (9.2.8) folgt, und wo ϕi = ϕ(x, vi , t) ist (Aufgabe 9.1). Aus der Ungleichung (x − y) log xy ≥ 0 folgt I ≥0.

(9.3.6)

Die Zeitableitung von H, Gl. (9.3.2) kann in der Form ˙ H(x, t) = −∇x jH (x, t) − I , geschrieben werden, wo  jH = d3 v f log f v

(9.3.7)

(9.3.8)

die zugeh¨ orige Stromdichte ist. Der erste Term auf der rechten Seite von ¨ (9.3.7) gibt die Anderung von H durch Entropiestr¨omung an und der zweite aufgrund von Entropieproduktion.

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung

453

Diskussion: a) Wenn keine a ¨ußere Kraft vorhanden ist, K(x) = 0, kann die vereinfachte Situation vorliegen, daß f (x, v, t) = f (v, t) unabh¨angig von x ist. Da die Boltzmann-Gleichung dann keine x-Abh¨ angigkeit enth¨alt, bleibt f f¨ ur alle Zeiten ortsunabh¨ angig und aus (9.3.7) folgt, da ∇x jH (x, t) = 0 ist, H˙ = −I ≤ 0 .

(9.3.9)

Die Gr¨ oße H nimmt ab und strebt einem Minimum zu, welches endlich ist, da die Funktion f log f nach unten beschr¨ ankt ist, und das Integral u ¨ ber v existiert.8 Am Minimum gilt in (9.3.9) das Gleichgewichtszeichen. In Abschnitt 9.3.3 wird gezeigt, daß f am Minimum in die Maxwell-Verteilung f 0 (v) = n

 m 3/2 mv2 e− 2kT 2πkT

(9.3.10)

u ¨bergeht. b) Falls K(x) = 0 ist, und ein abgeschlossenes System mit dem Volumen V vorliegt, gilt   d3 x ∇x jH (x, t) = dO jH (x, t) = 0 . V

O(V )

Der durch die Oberfl¨ ache tretende H-Fluß verschwindet, wenn die Oberfl¨ache ideal reflektiert; dann gibt es zu jedem Beitrag v dO auch einen Beitrag −v dO, und es folgt   d d 3 Htot ≡ d xH(x, t) = − d3 xI ≤ 0 . (9.3.11) dt dt V V Htot nimmt ab, es liegt Irreversibilit¨at vor. Daß aus einer Gleichung, die aus der Newtonschen Mechanik abgeleitet wurde, welche zeitumkehrinvariant ist, Irreversibilit¨ at folgt, hat zun¨ achst Widerspruch hervorgerufen. Der Stoßzahlansatz enth¨ alt jedoch ein probabilistisches Element, wie nach Gl. (9.3.14) n¨ aher ausgef¨ uhrt wird. Wie schon erw¨ ahnt wurde, h¨ angt H eng mit der Entropie zusammen. Die 0 Berechnung von H f¨ ur die Gleichgewichtsverteilung ur das ideale Gas  
f (v) f¨  3/2 m 3 ergibt (Aufgabe 9.3) H = n log n 2πkT − 2 . Die gesamte Entropie S des idealen Gases (Gl. (2.7.27)) ist deshalb 8

Man kann sich leicht davon u ¨ berzeugen, daß H(t) nicht unbegrenzt abnehmen kann. Wegen d3 v f (x, v, t) < ∞ ist f (x, v, t) u ankt und eine ¨berall beschr¨ Divergenz von H(t) k¨ onnte nur vom Integrationsbereich v → ∞ herr¨ uhren. F¨ ur v → ∞ muß f → 0 gelten und folglich log f → −∞. Der Vergleich  von H(t) = d3 v f log f mit d3 v v 2 f (x, v, t) < ∞ zeigt, daß eine Divergenz 2 |log f | > v 2 verlangt. Dann aber ist f < e−v , und H bleibt endlich.

454

9. Boltzmann-Gleichung

S = −V kH − kN

 2π
3 log −1 . m

(9.3.12a)

Dabei ist
das Plancksche Wirkungsquantum. Lokal lautet der Zusammenhang zwischen der Entropie pro Volumeneinheit, H, und der Teilchenzahldichte n

 2π
S(x, t) = −kH(x, t) − k 3 log − 1 n(x, t) . (9.3.12b) m Die zugeh¨ origen Stromdichten sind

 2π
jS (x, t) = −kjH (x, t) − k 3 log − 1 j(x, t) m

(9.3.12c)

und erf¨ ullen ˙ S(x, t) = −∇jS (x, t) + kI .

(9.3.12d)

Damit hat kI die Bedeutung der lokalen Entropieproduktion. ∗

9.3.2 Verhalten der Boltzmann-Gleichung unter Zeitumkehr

Bei der klassischen Zeitumkehrtransformation T (auch Bewegungsumkehr) werden die Impulse (Geschwindigkeiten) der Teilchen v → −v transformiert.9 Wenn man ein System betrachtet, das sich, von einem Anfangszustand mit den Orten xn (0) und den Geschwindigkeiten vn (0) ausgehend, f¨ ur eine Zeit t bewegt, und dann den Zustand {xn (t), vn (t)} erreicht, und zur Zeit t1 die Bewegungsumkehrtransformation {xn (t1 ), vn (t1 )} → {xn (t1 ), −vn (t1 )} durchgef¨ uhrt wird, so f¨ uhrt in einem bewegungsumkehrinvarianten System eine weitere Bewegung um die Zeit t1 zur¨ uck zum bewegungsumgekehrten Anfangszustand {xn (0), −vn (0)}. Die L¨ osung der Bewegungsgleichungen im zweiten Zeitabschnitt (t > t1 ) ist xn (t) = x(2t1 − t) vn (t)

(9.3.13)

= −v(2t1 − t) .

Wir haben hier vorausgesetzt, daß kein ¨ außeres Magnetfeld vorliegt. Bis auf eine Translation um 2t1 wird also t → −t, v → −v ersetzt. Unter dieser Transformation transformiert sich die Boltzmann-Gleichung (9.2.7) in

 ∂ 1 + v∇x + K(x)∇v f (x, −v, −t) = −I [f (x, −v, −t)] . (9.3.14) ∂t m Die Bezeichung des Stoßterms soll zum Ausdruck bringen, daß alle Verteilungsfunktionen die zeitumgekehrten Argumente besitzen. Die BoltzmannGleichung ist also nicht zeitumkehrinvariant; f (x, −v, −t) gen¨ ugt nicht der 9

Siehe z.B. QM II, Abschn. 11.4.1

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung

455

Boltzmann-Gleichung, sondern einer Gleichung, die auf der rechten Seite ein negatives Vorzeichen hat (−I [f (x, −v, −t)]). Daß eine Gleichung, die aus der Newtonschen Mechanik abgeleitet wurde, welche zeitumkehrinvariant ist, selbst nicht zeitumkehrinvarinat ist und irreversibles Verhalten (Gl. (9.3.11)) aufweist, mag u ¨ berraschen und hat historisch Widerspruch hervorgerufen. Tats¨ achlich enth¨alt der Stoßzahlansatz u ¨ber die Newtonsche Mechanik hinausgehend ein probabilistisches Element. Selbst wenn man von unkorrelierten Teilchenzahlen ausgeht, werden die Zahlen der Teilchen mit der Geschwindigkeit v und v2 schwanken, sie werden einmal gr¨ oßer und kleiner sein als durch die Einteilchen-Verteilungsfunktionen f1 und f2 zu erwarten ist. Der wahrscheinlichste Wert der St¨oße ist f1 · f2 und im zeitlichen Mittel wird diese Zahl f1 ·f2 sein. Die Boltzmann-Gleichung liefert deshalb den typischen Verlauf der typischen Konfigurationen der Verteilung der Teilchen. Konfigurationen mit statistisch geringem Gewicht, bei denen Teilchen von einer (oberfl¨ achlich) typischen Konfiguration in eine weniger typische (mit geringerer Entropie) u ¨bergehen – was nach der Newtonschen Mechanik m¨ oglich ist – werden durch die Boltzmann-Gleichung nicht beschrieben. Wir werden auf diese Fragen im n¨ achsten Kapitel, Abschn. 10.7, noch unabh¨ angig von der Boltzmann-Gleichung genauer eingehen. 9.3.3 Stoßinvarianten und lokale Maxwell-Verteilung 9.3.3.1 Erhaltungsgr¨ oßen Aus der Einteilchen-Verteilungsfunktion lassen sich die folgenden erhaltenen Dichten berechnen. Die Teilchenzahldichte ist durch  n(x, t) ≡ d3 v f (9.3.15a) gegeben. Die Impulsdichte, die auch gleich dem Produkt aus Masse und Stromdichte ist, ist durch  m j(x, t) ≡ m n(x, t)u(x, t) ≡ m d3 v vf (9.3.15b) gegeben. Durch die Gleichung (9.3.15b) wird auch die mittlere lokale Geschwindigkeit u(x, t) definiert. Schließlich definieren wir die Energiedichte, die sich aus der kinetischen Energie der lokalen konvektiven Str¨omung mit der Geschwindigkeit u(x, t) n¨ amlich n(x, t)mu(x, t)2 /2 und der mittleren kinetischen Energie im lokalen Ruhesystem10 n(x, t)e(x, t) zusammensetzt.

10

Wir bemerken, daß f¨ ur das verd¨ unnte Gas die potentielle Energie gegen¨ uber der kinetischen vernachl¨ assigbar ist, und deshalb die innere Energie pro Teilchen e(x, t) = !¯(x, t) gleich der mittleren kinetischen Energie ist.

456

9. Boltzmann-Gleichung

 n(x, t)

    mu(x, t)2 mv 2 m
2 + e(x, t) ≡ d3 v f = d3 v u + φ2 f . 2 2 2 (9.3.15c)

Hier wurde uhrt und nach Gl.  die Relativgeschwindigkeit φ = v − u eingef¨ (9.3.15b) d3 v φf = 0 ben¨ utzt. F¨ ur e(x, t), der inneren Energie pro Teilchen im lokalen Ruhesystem (welches sich mit der Geschwindigkeit u(x, t) bewegt) folgt aus (9.3.15c)  m n(x, t) e(x, t) = d3 v(v − u(x, t))2 f . (9.3.15c ) 2 9.3.3.2 Stoßinvariante Das Stoßintegral I von Gl. (9.3.3) und der Stoßterm in der BoltzmannGleichung verschwinden, wenn die Verteilungsfunktion f f¨ ur alle m¨oglichen St¨ oße (eingeschr¨ ankt durch die in (9.2.8f) enthaltenen Erhaltungss¨atze) die Beziehung f1 f2 − f3 f4 = 0

(9.3.16)

erf¨ ullt, d.h. log f1 + log f2 = log f3 + log f4

(9.3.17)

gilt. Man beachte, daß alle Verteilungsfunktionen fi das gleiche x-Argument haben. Wegen Impuls-, Energie- und Teilchenzahlerhaltung erf¨ ullt jede der f¨ unf sogenannten Stoßinvarianten χi = mvi , χ4 =  v ≡

i = 1, 2, 3 mv 2

(9.3.18a)

2

χ5 = 1

(9.3.18b) (9.3.18c)

die Beziehung (9.3.17). Außer diesen f¨ unf Stoßinvarianten gibt es keine weiteren.11 Somit ist der Logarithmus der allgemeinsten Verteilungsfunktion, f¨ ur die der Stoßterm verschwindet, eine Linearkombination der Stoßinvarianten mit ortsabh¨ angigen Vorfaktoren  m log f  (x, v, t) = α(x, t) + β(x, t) u(x, t) · mv − v2 , (9.3.19) 2 oder

 32   m m  2 f (x, v, t) = n(x, t) exp − (v − u(x, t)) . 2πkT (x, t) 2kT (x, t) (9.3.19 ) 11

H. Grad, Comm. Pure Appl. Math. 2, 331 (1949)

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung



457

32

2π Hier besitzen die Gr¨ oßen T (x, t) = (kβ(x, t))−1 , n(x, t) = mβ(x,t) ×

2 exp α(x, t) + β(x, t)mu (x, t)/2 und u(x, t) die Bedeutung der lokalen Temperatur, der lokalen Teilchenzahldichte und der lokalen Geschwindigkeit. Man nennt f  (x, v, t) lokale Maxwell-Verteilung oder lokale Gleichgewichtsverteilungsfunktion, da sie lokal identisch mit der Maxwell-Verteilung, (9.3.10) bzw. (2.6.13), ist. Setzt man (9.3.19 ) in die Erhaltungssgr¨oßen (9.3.15a–c) ein, so sieht man auch, daß die auf der rechten Seite von (9.3.19 ) auftretenden Gr¨ oßen n(x, t), u(x, t) und T (x, t) die Bedeutung der lokalen Dichte, Geschwindigkeit und Temperatur haben, wobei letztere mit der mittleren kinetischen Energie u ¨ ber

e(x, t) =

3 kT (x, t) 2

– also die kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases – zusammenh¨angt. Die lokale Gleichgewichts-Verteilungsfunktion f  (x, v, t) ist i.a. nicht L¨ osung der Boltzmann-Gleichung, da daf¨ ur zwar der Stoßterm aber nicht der Str¨ omungsterm verschwindet.12 Die lokale Maxwell-Verteilung l¨ost die Boltzmann-Gleichung i.a. nur, wenn die Koeffizienten konstant sind, also im totalen Gleichgewicht. Zusammen mit den Ergebnissen aus Abschnitt 9.3.1 folgt, daß ein Gas mit einer beliebigen inhomogenen Anfangsverteilung f (x, v, 0) schließlich in eine Maxwell-Verteilung (9.3.10) mit konstanter Temperatur und Dichte relaxiert. Deren Werte ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. 9.3.4 Erhaltungss¨ atze Mit Hilfe der Stoßinvarianten k¨ onnen wir aus der Boltzmann-Gleichung Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur die Erhaltungsgr¨ oßen herleiten. Zun¨achst setzen wir die erhaltenen Dichten (9.3.15a–c) in Verbindung mit den Stoßinvarianten (9.3.18a–c). Die Teilchenzahldichte, die Impulsdichte und die Energiedichte k¨ onnen in der folgenden Form dargestellt werden:  n(x, t) ≡ d3 v χ5 f , (9.3.20)  m ji (x, t) ≡ m n(x, t)ui (x, t) =

d3 v χi f

(9.3.21)

und 12

Es gibt spezielle lokale Maxwell-Verteilungen f¨ ur die der Str¨ omungsterm ebenfalls verschwindet, die jedoch keine physikalische Bedeutung haben. Siehe G.E. Uhlenbeck und G.W. Ford, Lectures in Statistical Mechanics, American Mathematical Society, Providence, 1963, p. 86, S. Harris, An Introduction to the Theory of the Boltzmann Equation, Holt Rinehart and Winston, New York, 1971, p. 73 und Aufgabe 9.16.

458

9. Boltzmann-Gleichung

 n(x, t)

  mu(x, t)2 + e(x, t) = d3 v χ4 f . 2

(9.3.22)

Als n¨ achstes wollen wir die Bewegungsgleichungen f¨ ur die in (9.3.15a–c) definierten Gr¨ oßen aus der Boltzmann-Gleichung (9.2.7) ableiten, indem wir letztere mit χα (v) multiplizieren und u ¨ ber v integrieren. Es folgt aufgrund der allgemeinen Identit¨ at (9.3.7)    ∂ 1 d3 v χα (v) + v∇x + K(x)∇v f (x, v, t) = 0 . (9.3.23) ∂t m Indem wir der Reihe nach χ5 , χ1,2,3 und χ4 einsetzen, erhalten wir aus (9.3.23) die folgenden drei Erhaltungss¨ atze: Teilchenzahlerhaltung: ∂ n + ∇j = 0 ∂t

(9.3.24)

Impulserhaltung:  ∂ m ji + ∇xj d3 v m vj vi f − Ki (x)n(x) = 0 ∂t

(9.3.25)

Im dritten Term wurde partiell integriert. Wenn man in (9.3.25) wieder die Substitution v = u − φ einf¨ uhrt, erh¨ alt man m

∂ ∂ ji + (m n ui uj + Pji ) = nKi , ∂t ∂xj

wo der Drucktensor  Pji = Pij = m d3 v φi φj f

(9.3.25 )

(9.3.26)

eingef¨ uhrt wurde. Energieerhaltung: 2

Wenn wir schließlich χ4 = mv 2 in (9.3.23) einsetzen, ergibt sich   ∂ m m d3 v v 2 f +∇xi d3 v (ui +φi ) (u2 +2uj φj +φ2 )f −j·K = 0 , (9.3.27) ∂t 2 2 wo im letzten Term partiell integriert wurde. Unter Verwendung von Gl. (9.3.22) und (9.3.26) erh¨ alt man die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Energiedichte

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung

459

  m  ∂  m 2 n u + e + ∇i nui u2 + e + uj Pji + qi = j · K . (9.3.28) ∂t 2 2 Hier wurde neben der in (9.3.15c) definierten inneren Energiedichte e auch die W¨armestromdichte  m q = d3 v φ φ2 f (9.3.29) 2 eingef¨ uhrt. Bemerkungen: (i) (9.3.25 ) und (9.3.28) haben in Abwesenheit ¨ außerer Kr¨afte (K = 0) wie (9.3.24) die u atsgleichungen. ¨ bliche Form von Kontinuit¨ (ii) F¨ ur die Impulsdichte setzt sich nach Gl. (9.3.25 ) die tensorielle Stromdichte aus einem konvektiven Anteil und dem Drucktensor Pij zusammen, der den mikroskopischen Impulsstrom in Bezug auf das mit der mittleren Geschwindigkeit u bewegte Koordinatensystem angibt. (iii) Die Energiestromdichte in Gl. (9.3.28) enth¨ alt einen makroskopischen Konvektionsstrom, die Arbeit, die vom Druck geleistet wird, und den W¨ armestrom q (= mittlerer Energiefluß in dem mit der Fl¨ ussigkeit mitbewegten System). (iv) Die Erhaltungss¨ atze liefern noch kein geschlossenes Gleichungssystem, solange die Stromdichten unbekannt sind. Im hydrodynamischen Grenzfall ist es m¨ oglich, die Stromdichten durch die Erhaltungsgr¨oßen auszudr¨ ucken. Man kann die Erhaltungss¨ atze f¨ ur Impuls und Energie auch als Gleichungen f¨ ur u und e aufschreiben. Dazu f¨ uhren wir unter Verwendung von (9.3.21) und des Erhaltungssatzes f¨ ur die Teilchenzahldichte die Umformung ∂ ∂ ∂ ji + ∇j (nuj ui ) = n ui + ui n + ui ∇j nuj + nuj ∇j ui ∂t ∂t ∂t

 ∂ =n + uj ∇j ui ∂t durch, welche f¨ ur (9.3.25 )

 ∂ mn + uj ∇j ui = −∇j Pji + nKi ∂t

(9.3.30)

(9.3.31)

ergibt. Hieraus folgen im hydrodynamischen Limes die Navier-Stokes-Gleichungen. Ebenso zeigt man ausgehend von Gl. (9.3.28)

 ∂ + uj ∇j e + ∇q = −Pij ∇i uj . (9.3.32) n ∂t

460

9. Boltzmann-Gleichung

9.3.5 Erhaltungss¨ atze und hydrodynamische Gleichungen f¨ ur die lokale Maxwell-Verteilung 9.3.5.1 Lokales Gleichgewicht und Hydrodynamik Wir wollen hier einige Begriffe, die in der Nichtgleichgewichtstheorie eine Rolle spielen, zusammenstellen und erl¨ autern. Unter lokalem Gleichgewicht versteht man die Situation, daß die thermodynamischen Gr¨ oßen des Systems wie Dichte, Temperatur, Druck etc. zwar r¨ aumlich und zeitlich variieren, aber in jedem Raumelement die thermodynamischen Relationen zwischen den dort gerade zutreffenden lokalen Werten gelten. Die dann zutreffende Dynamik bezeichnet man in der Physik der kondensierten Materie generell als Hydrodynamik, in Anlehnung an die in diesem Grenzfall f¨ ur die Str¨ omung von Gasen und Fl¨ ussigkeiten g¨ ultigen dynamischen Gleichungen. Die Bedingungen f¨ ur lokales Gleichgewicht sind ωτ
1

und kl
1 ,

(9.3.33)

¨ wo ω die Frequenz der zeitlichen Anderung ist und k die Wellenzahl, w¨ahrend τ und l die Stoßzeit und mittlere freie Wegl¨ ange bedeuten. Die erste Bedin¨ gung garantiert, daß die zeitliche Anderung so langsam ist, daß das System Zeit hat, durch die St¨ oße der Atome lokal ins Gleichgewicht zu kommen. Die zweite Bedingung geht davon aus, daß die Teilchen u ¨ber eine Strecke der L¨ ange l ohne Impuls- und Energie¨ anderung fliegen. Die lokalen Werte von Impuls und Energie m¨ ussen deshalb u ¨ ber eine Distanz l faktisch konstant sein. Wenn man von einer beliebigen Anfangsverteilungsfunktion f (x, v, 0) ausgeht, spielen sich nach der Boltzmann-Gleichung die folgenden Relaxationsprozesse ab. Der Stoßterm bewirkt, daß sich die Verteilungsfunktion mit der charakteristischen Zeit τ einer lokalen Maxwell-Verteilung ann¨ahert. Der Str¨ omungsterm bewirkt einen Ausgleich im Ortsraum, welcher l¨angere Zeit ben¨ otigt. Diese beiden Ann¨ aherungsvorg¨ ange in Richtung Gleichgewicht – im Geschwindigkeitsraum und im Ortsraum – sind erst beendet, wenn totales Gleichgewicht erreicht ist. Wenn das System nur r¨aumlich und zeitlich langsam variierenden St¨ orungen ausgesetzt ist, wird es nach der Zeit τ im lokalen Gleichgewicht sein. Diese zeitlich und r¨ aumlich langsam ver¨anderliche Verteilungsfunktion wird von der lokalen Maxwellschen (9.3.19 ) abweichen, welche die Boltzmann-Gleichung nicht erf¨ ullt. 9.3.5.2 Hydrodynamische Gleichungen ohne Dissipation ussen Um explizite Ausdr¨ ucke f¨ ur die Stromdichten q und Pij zu erhalten, m¨ diese Gr¨ oßen f¨ ur eine Verteilungsfunktion f (x, v, t), welche die BoltzmannGleichung zumindest n¨ aherungsweise l¨ ost, berechnet werden. In diesem Abschnitt werden wir n¨ aherungsweise die lokale Maxwell-Verteilung zugrundelegen. In Abschnitt 9.4 wird die Boltzmann-Gleichung in linearisierter N¨aherung systematisch gel¨ ost.

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung

461

¨ Nach den vorhergehenden Uberlegungen u ¨ ber das unterschiedliche Relaxationsverhalten im Orts- und Geschwindigkeitsraum ist zu erwarten, daß im lokalen Gleichgewicht die tats¨ achliche Verteilungsfunktion von der lokalen Maxwellschen nicht sehr verschieden ist. Wenn wir n¨aherungsweise die lokale Maxwell-Verteilung verwenden, vernachl¨ assigen wir Dissipation. Mit der lokalen Maxwell-Verteilung, Gl. (9.3.19) " #

 32 2 m m (v − u(x, t))  f = n(x, t) exp − , (9.3.34) 2πkT (x, t) 2kT (x, t) mit orts- und zeitabh¨ angiger Dichte n, Temperatur T und Str¨omungsgeschwindigkeit u, ergibt sich aus (9.3.15a), (9.3.15b) und (9.3.15c ) j = nu 3 ne = nkT 2

(9.3.35)

Pij ≡

(9.3.37)

d3 v mφi φj f  = δij nkT ≡ δij P ,

(9.3.36)

wo der lokale Druck P eingef¨ uhrt wurde, der nach (9.3.37) P = nkT

(9.3.38)

ist. Die Gleichungen (9.3.38) und (9.3.36) beinhalten die lokale thermische und kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases. Der Drucktensor Pij enth¨ alt nach Gl. (9.3.37) keinerlei dissipativen Anteil, der der Z¨ahigkeit der Fl¨ ussigkeit entsprechen w¨ urde. Die W¨ armestromdichte (9.3.29) verschwindet, q = 0, f¨ ur die lokale Maxwell-Verteilung. Mit diesen Ergebnissen erh¨ alt man f¨ ur die Kontinuit¨atsgleichungen (9.3.24), (9.3.25 ) und (9.3.32) ∂ n = −∇nu ∂t

 ∂ mn + u∇ u = −∇P + nK ∂t

 ∂ n + u∇ e = −P ∇u . ∂t

(9.3.39) (9.3.40) (9.3.41)

Hier ist (9.3.40) die aus der Hydrodynamik (Str¨ omungslehre) bekannte Eulersche Gleichung.13 Die Bewegungsgleichungen (9.3.39) – (9.3.41) stellen zusammen mit den lokalen thermodynamischen Beziehungen (9.3.36) und (9.3.38) ein geschlossenes Gleichungssystem f¨ ur n, u und e dar. 13

Die Eulersche Gleichung beschreibt die nichtdissipative Str¨ omung von Fluiden: L. D. Landau und E. M. Lifshitz, Hydrodynamik, Lehrbuch der Theoretischen Physik IV, 3. Aufl. Akademie Verl. Berlin, 1974, S. 4; A. Sommerfeld, Mechanik der deformierbaren Medien, 6. Aufl. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1970, S. 74.

462

9. Boltzmann-Gleichung

9.3.5.3 Schallfortpflanzung in Gasen Als Anwendung betrachten wir die Schall-Fortpflanzung. Dabei f¨ uhrt das Gas kleine Schwingungen um die Gleichgewichtswerte der Dichte n, des Drucks P , der inneren Energie e, der Temperatur T und um u = 0 durch. Wir vereinbaren im weiteren die folgende Notation: thermodynamische Gr¨oßen, bei denen keine Orts- und Zeitabh¨ angigkeit angegeben ist, bedeuten die Gleichgewichtswerte. D.h. man setzt in Gl. (9.3.39) – (9.3.41) n(x, t) = n + δn(x, t),

P (x, t) = P + δP (x, t),

e(x, t) = e + δe(x, t),

T (x, t) = T + δT (x, t)

(9.3.42)

ein und entwickelt nach den mit einem δ gekennzeichneten kleinen Abweichungen ∂ δn = −n∇u ∂t ∂ m n u = −∇δP ∂t ∂ n δe = −P ∇u . ∂t

(9.3.43a) (9.3.43b) (9.3.43c)

Die Str¨ omungsgeschwindigkeit u(x, t) ≡ δu(x, t) ist insgesamt klein. Durch Einsetzen von Gl. (9.3.36) und (9.3.38) in (9.3.43c) erh¨alt man 3 ∂ δT = −T ∇u , 2 ∂t was zusammen mit (9.3.43a)   ∂ δn 3 δT − =0 ∂t n 2 T ergibt. Der Vergleich mit der Entropie des idealen Gases

 5 (2πmkT )3/2 S = kN + log 2 nh3

(9.3.44)

(9.3.45)

zeigt, daß aus (9.3.44) die zeitliche Konstanz von S/N (der Entropie pro Teilchen bzw. pro Masse) folgt. Indem man auf (9.3.43a) ∂/∂t und auf (9.3.43b) ∇ anwendet und den u enthaltenden Term eliminiert, erh¨alt man ∂ 2 δn = m−1 ∇2 δP . ∂t2 Aus Gl. (9.3.38) folgt δP = nkδT + δnkT ,

(9.3.46)

9.3 Folgerungen aus der Boltzmann-Gleichung

463

∂ ∂ und zusammen mit (9.3.44) ergibt sich ∂t δP = 53 kT ∂t δn. Damit kann man die Bewegungsgleichung (9.3.46) in die Form

∂ 2 δP 5kT 2 = ∇ δP ∂t2 3m

(9.3.47)

bringen. Die aus Gl. (9.3.47) folgenden Schallwellen (Druckwellen) sind von der Form δP ∝ ei(kx±cs|k|t)

(9.3.48)

mit der adiabatischen Schallgeschwindigkeit   1 5kT cs = = . mnκs 3m

(9.3.49)

Hier ist κs die adiabatische Kompressibilit¨ at (Gl. (3.2.3b)), die nach Gl. (3.2.28) f¨ ur das ideale Gas die Form κs =

3 3V = 5P 5N kT

(9.3.50)

hat. Anmerkungen: Das Ergebnis, daß f¨ ur eine Schallwelle die Entropie pro Teilchen S/N bzw. die Entropie pro Einheitsmasse s zeitunabh¨ angig ist, hat u ¨ ber das ideale Gas hinaus allgemeine G¨ ultigkeit. Wenn man die im lokalen Gleichgewicht g¨ ultige thermodynamische Beziehung



  ∂n ∂n S δn = δP + δ (9.3.51) ∂P S/N ∂S/N P N zweimal nach der Zeit ableitet14

∂ 2 δn ∂t2

=


∂n 

∂2P ∂P S/N ∂t2

 +

∂n ∂S/N

∂ 2 S/N , so 2 P 7 ∂t 89 : =0

erh¨ alt man aus (9.3.43a) und (9.3.43b)

 ∂ 2 P (x, t) ∂P −1 =m ∇2 P (x, t) , ∂t2 ∂n S/N wo wieder die adiabatische Schallgeschwindigkeit



 ∂P ∂P 2 −1 −1 cs = m =m ∂n S/N ∂N/V S

 ∂P 1 = m−1 N −1 (−V 2 ) = ∂V S m nκs 14

(9.3.52)

(9.3.53)

Innerhalb von Zeit- und Ortsableitungen kann man δn(x, t), etc. durch n(x, t) etc. ersetzen.

464

9. Boltzmann-Gleichung

auftritt. Nach dem dritten Gleichheitszeichen wurde die Teilchenzahl N als fest angenommen. F¨ ur lokale Maxwell-Verteilungen verschwindet der Stoßterm; es gibt keine D¨ ampfung. Zwischen den Regionen verschiedener lokalen Gleichgewichte kommt es zu reversiblen Oszillationsvorg¨ angen. Abweichungen der tats¨achlichen lokalen Gleichgewichtsverteilungsfunktionen f (x, v, t) von der lokalen Maxwell-Verteilung f l (x, v, t) f¨ uhren aufgrund des Stoßterms zu lokalen, irreversiblen Relaxationsvorg¨ angen und zusammen mit dem Str¨omungsterm zu diffusionsartigen Ausgleichsprozessen, die ins totale Gleichgewicht f¨ uhren.

∗

9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung

9.4.1 Linearisierung In diesem Abschnitt wollen wir die L¨ osungen der Boltzmann-Gleichung systematisch im Grenzfall kleiner Abweichungen vom Gleichgewicht untersuchen. Es kann dann die Boltzmann-Gleichung linearisiert werden, und daraus hydrodynamische Gleichungen abgeleitet werden. Dies sind Bewegungsgleichungen f¨ ur die Erhaltungsgr¨ oßen, deren G¨ ultigkeit im Bereich großer Wellenl¨ angen und kleiner Frequenzen liegt. Es wird zeitweilig zweckm¨aßig sein, von den Variablen (x, t) zu Wellenzahl und Frequenz (k, ω) u ¨ berzugehen. Wir werden dabei auch ein ¨ außeres Potential ber¨ ucksichtigen, das zu fr¨ uhen Zeiten verschwindet lim V (x, t) = 0 .

(9.4.1)

t→−∞

Dann m¨ oge die Verteilungsfunktion die Eigenschaft lim f (x, v, t) = f 0 (v) ≡ n

t→−∞

 m 32 mv2 e− 2kT 2πkT

(9.4.2)

besitzen, wo f 0 die totale r¨ aumlich homogene Maxwellsche Gleichgewichtsverteilung ist.15 F¨ ur kleine Abweichungen vom totalen Gleichgewicht k¨onnen wir f (x, v, t) in der Form

 1 0 f (x, v, t) = f (v) 1 + ν(x, v, t) ≡ f 0 + δf (9.4.3) kT schreiben und die Boltzmann-Gleichung in δf bzw. ν linearisieren. Die Linearisierung des Stoßterms (9.2.6) ergibt

15

Wir schreiben hier den auf die Gleichgewichtsverteilung hinweisenden Index als oberen Index, weil sp¨ ater auch die Notation fi0 ≡ f 0 (vi ) gebraucht werden wird.

∗

9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung

465



 ∂f = − d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (f10 f20 −f30 f40 +f10 δf2 +f20 δf1 −f30 δf4 −f40 δf3 ) ∂t Stoß  1 =− d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v v2 ; v3 v4 )f 0 (v1 )f 0 (v2 )(ν1 + ν2 − ν3 − ν4 ) , kT (9.4.4) da unter Ber¨ ucksichtigung des in W (v v1 ; v3 v4 ) enthaltenen Energieerhaltungssatzes f30 f40 = f10 f20 gilt. Wir verwenden auch die Notation v1 ≡ v, f10 = f 0 (v) etc. Der Str¨ omungsterm hat die Gestalt 



 ∂ 1 f0 0 + v∇x + K(x, t)∇v f + ν ∂t m kT  
 f 0 (v) ∂ = + v∇x ν(x, v, t) + v · ∇V (x, t) f 0 (v)/kT . (9.4.5) kT ∂t

Insgesamt lautet die linearisierte Boltzmann-Gleichung   ∂ + v∇x ν(x, v, t) + v(∇V (x, t)) = −Lν ∂t

(9.4.6)

mit dem linearen Stoßoperator L  kT Lν = 0 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W  (v, v2 ; v3 , v4 )(ν + ν2 − ν3 − ν4 ) (9.4.7) f (v) und W  (v v2 ; v3 v4 ) =

 1 1
0 f (v)f 0 (v2 )f 0 (v3 )f 0 (v4 )) 2 W (v v2 ; v3 v4 , (9.4.8) kT

wo der in W enthaltene Energieerhaltungssatz verwendet wurde. 9.4.2 Skalarprodukt F¨ ur die weitere Untersuchung f¨ uhren wir das Skalarprodukt zweier Funktionen ψ(v) und χ(v) ein,  f 0 (v) ψ|χ = d3 v ψ(v) χ(v) , (9.4.9) kT welches die u ullt. Spezialf¨ alle sind die Stoßinvarian¨ blichen Eigenschaften erf¨ ten   5 5 f 0 (v) n χ |χ ≡ 1|1 = d3 v = , (9.4.10a) kT kT   4 5 ne 3 mv 2 f 0 (v) χ |χ ≡ |1 = d3 v = = n (9.4.10b) 2 kT kT 2

466

9. Boltzmann-Gleichung

mit  ≡

mv 2 2

und

 4 4 χ |χ ≡ | =



 d3 v

mv 2 2

2

f 0 (v) 15 = nkT . kT 4

(9.4.10c)

Der in (9.4.7) eingef¨ uhrte lineare Stoßoperator L ist ein linearer Operator, und es gilt 1 χ|Lν = 4



d3 v1 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W  (v1 v2 ; v3 v4 ) × (ν1 + ν2 − ν3 − ν4 )(χ1 + χ2 − χ3 − χ4 ) . (9.4.11)

Daraus folgt, daß L selbstadjungiert und positiv semidefinit ist, χ|Lν = Lχ|ν ,

(9.4.12)

ν|Lν ≥ 0 .

(9.4.13)

9.4.3 Eigenfunktionen von L und Entwicklung der L¨ osungen der Boltzmann-Gleichung Mit χλ bezeichnen wir die Eigenfunktionen von L Lχλ = ωλ χλ ,

ωλ ≥ 0 .

(9.4.14)

Die Stoßinvarianten χ1 , χ2 , χ3 , χ4 , χ5 sind Eigenfunktionen mit Eigenwert 0. Es wird sich als zweckm¨ aßig erweisen, orthonormierte Eigenfunktionen einzuf¨ uhren:     χ ˆλ |χ ˆλ = δ λλ . (9.4.15) F¨ ur die Stoßinvarianten bedeutet das die Einf¨ uhrung von vi vi χ ˆi ≡ χ ˆui =  =  , i = 1, 2, 3 , vi |vi  n/m  1 vi |vi  = d3 v v2 f 0 (v)/kT , u ¨ ber i nicht summiert, 3 1 1 χ ˆ5 ≡ χ ˆn =  =  , 1|1 n/kT  − 3 kT  1|1 − 1 1| χ ˆ4 ≡ χ ˆT = ; = ; 2 . 2 3 nkT 1|1 (1|1 | − 1| ) 2

(9.4.16a)

(9.4.16b) (9.4.16c)

Die Eigenfunktionen χλ mit ωλ > 0 sind orthogonal auf den Funktionen (9.4.16a–c) und werden im Fall von Entartung untereinander orthonormalisiert. Eine beliebige L¨ osung der linearisierten Boltzmann-Gleichung k¨onnen

∗

9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung

467

wir als Superposition der Eigenfunktionen von L mit orts- und zeitabh¨angigen Faktoren darstellen16 ν(x, v, t) = a5 (x, t)χ ˆn + a4 (x, t)χ ˆT + ai (x, t)χ ˆui +

∞ 

aλ (x, t)χ ˆλ . (9.4.17)

λ=6

Hier weist die Bezeichnung auf die Teilchenzahldichte n(x, t), die Temperatur T (x, t) und die Str¨ omungsgeschwindigkeit ui (x, t) hin:   f0 d v ν χ ˆT ≡ d3 v δf (x, v, t)χ ˆT kT  δe − 3 kT δn 3n = ; 2 = δT (x, t) . (9.4.18a) 2kT 3 nkT

 T  Tˆ(x, t) ≡ a4 (x, t) = χ ˆ |ν =





3

2

Die Identifikation von δT (x, t) mit der lokalen Schwankung der Temperatur bis auf den Normierungsfaktor erkl¨ art sich, indem man die lokale innere Energie betrachtet e + δe =

3 (n + δn)k(T + δT ) , 2

woraus unter Vernachl¨ assigung von Gr¨ oßen zweiter Ordnung δe =

3 3 nkδT + kT δn 2 2

⇒

δT =

δe − 32 δnkT 3 2 nk

(9.4.19)

¨ folgt. Ahnlich erh¨ alt man f¨ ur  d3 v δf (x, v, t) 

n ˆ (x, t) ≡ a5 (x, t) = χ ˆn |ν =

1 δn =  , n/kT n/kT (9.4.18b)

und



vi δf (x, v, t) n/m  vi nui (x, t) = d3 v  (f 0 + δf ) =  , i = 1, 2, 3 n/m n/m

u ˆi (x, t) ≡ a (x, t) = χ ˆ |ν = i

16

ui

d3 v 

(9.4.18c)

Hier wird angenommen, daß die Eigenfunktionen χλ ein vollst¨ andiges System bilden. F¨ ur die explizit bekannten Eigenfunktionen des Maxwell-Potentials (abstoßendes r −4 -Potential) kann man dies direkt zeigen. F¨ ur abstoßende r −n Potentiale wurde die Vollst¨ andigkeit in Y. Pao, Comm. Pure Appl. Math. 27, 407 (1974) bewiesen.

468

9. Boltzmann-Gleichung

den Zusammenhang mit den Dichte- und Impulsschwankungen. Nun setzen wir die Entwicklung (9.4.17) in die linearisierte Boltzmann-Gleichung (9.4.6) ein

 ∞    ∂ + v∇ ν(x, v, t) = − aλ (x, t)ωλ χ ˆλ (v) − v∇V (x, t) . (9.4.20) ∂t  λ =6

In der Summe tragen nur Terme mit λ ≥ 6 bei, da die Stoßinvarianten den Eigenwert 0 besitzen. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit χ ˆλ f 0 (v)/kT und Integration u alt man wegen der Orthonormierung der χ ˆλ , ¨ ber v erh¨ Gl. (9.4.15), ∞      ∂ λ a (x, t) + ∇ χ ˆλ |vχ ˆλ aλ (x, t) ∂t  λ =1

 λ  = −ωλ aλ (x, t) − χ ˆ |v ∇V (x, t) . (9.4.21)

Die Fourier-Transformation  d3 k dω i(k·x−ωt) λ aλ (x, t) = e a (k, ω) (2π)3 2π

(9.4.22)

ergibt (ω + iωλ )aλ (k, ω) − k

∞  



χ ˆλ |vχ ˆλ



 λ   aλ (k, ω) − k χ ˆ |v V (k, ω) = 0 .

λ =1

(9.4.23) Welche Gr¨ angt von den Skalarprodukten   oßen aneinander koppeln, h¨ λ λ χ ˆ |vχ ˆ ab, wof¨ ur offensichtlich die Symmetrie der χ ˆλ eine Rolle spielt. Da f¨ ur die Moden λ = 1 bis 5, d.h. Impuls, Energie und Teilchenzahldichte, ωλ = 0 ist, kann man schon in diesem Stadium die Struktur der Erhaltungss¨ atze f¨ ur diese Gr¨ oßen in (9.4.23) erkennen. Der Term mit der außeren Kraft koppelt aus Symmetriegr¨ unden offensichtlich nur an χ ˆi ≡ χ ˆui ¨  i j   i j v |v χ ˆ |v =  = n/m δ ij . (9.4.24) n/m F¨ ur die Moden mit λ ≤ 5 gilt ωaλ (k, ω) − k

∞  



χ ˆλ |vχ ˆλ



 λ   aλ (k, ω) − k χ ˆ |v V (k, ω) = 0 , (9.4.25)

λ =1

und f¨ ur die nicht erhaltenen Freiheitsgrade17 λ ≥ 6 17

¨ Uber doppelt vorkommende Indizes i, j, l, r wird von 1 bis 3 summiert.

∗

aλ (k, ω) =

ki ω + iωλ +

9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung

469

 5     χ ˆλ |vi χ ˆλ aλ (k, ω)

∞ 

λ =1





χ ˆλ |vi χ ˆλ



  λ   aλ (k, ω) + χ ˆ |vi V (k, ω) . (9.4.26)

λ =6

Diese auf den unterschiedlichen Zeitskalen beruhende Unterscheidung bildet die Grundlage f¨ ur die Elimination der nicht erhaltenen Freiheitsgrade. 9.4.4 Hydrodynamischer Grenzfall F¨ ur kleine Frequenzen (ω
ω λ ) und (vk
ω λ ) ist aλ (k, ω) mit λ ≥ 6 von h¨oherer Ordnung in diesen Gr¨ oßen als die erhaltenen Gr¨oßen λ = 1, . . . , 5. Deshalb kann man in f¨ uhrender Ordnung f¨ ur (9.4.26) schreiben / 5 0       ik i aλ (k, ω) = − χ ˆλ |vi χ ˆλ aλ (k, ω) + χ ˆλ |vi V (k, ω) . (9.4.27) ωλ  λ =1

Somit ergibt sich durch Einsetzen in (9.4.25) f¨ ur die erhaltenen (auch hydrodynamischen) Variablen ωaλ (k, ω) − ki + iki kj

5  



χ ˆλ |vi χ ˆλ





aλ (k, ω)

λ =1 ∞   λ

   1  µ  λ   χ ˆ |vj χ ˆλ aλ (k, ω) − ki χ ˆ |vi V (k, ω) ω µ λ =1 µ=6 ∞   −ik       j − ki χ ˆλ |vi χ ˆλ χ ˆλ |vj V (k, ω) = 0 (9.4.28)  ω λ  5 

χ ˆ |vi χ ˆµ

λ =6

ein geschlossenes System von hydrodynamischen Bewegungsgleichungen. Der zweite Term in diesen Gleichungen f¨ uhrt zu schallartigen propagierenden Bewegungen, der dritte Term zur D¨ ampfung dieser Schwingungen. Dieser r¨ uhrt formal von der Elimination der unendlich vielen nichterhaltenen Variablen her, welche m¨ oglich war wegen der Zeitskalentrennung von hydrodynamischen Variablen (typische Frequenz ck, Dk 2 ) und nichterhaltenen Variablen (typische Frequenz ωµ ∝ τ −1 ). Die in Gl. (9.4.28) ersichtliche Struktur ist sehr allgemeiner Natur und kann auch aus Boltzmann-Gleichungen f¨ ur andere physikalische Systeme hergeleitet werden, wie z.B. Phononen und Elektronen oder Magnonen in Festk¨ orpern. Wir wollen nun Gl. (9.4.28) f¨ ur das verd¨ unnte Gas ohne Einwirkung eines ¨außeren Potentials weiter auswerten. Zuerst berechnen wir die Skalarprodukte im zweiten Term (siehe Gl. (9.4.16a–c))

470

9. Boltzmann-Gleichung

 f 0 (v) vi vj kT  d v = δij 2 kT m n /kT m  2  mv 3  0  T  2 − 2 kT 2kT j 3 f (v) χ ˆ |vi χ ˆ = d v vi vj ; = δij . kT 3m n 3 nkT  n  χ ˆ |vi χ ˆj =



3

(9.4.29a)

(9.4.29b)

m2

 j   n,T  Diese Skalarprodukte und χ ˆ |vi χ ˆn,T = χ ˆ |vi χ ˆj sind die einzigen endlichen Skalarprodukte, die in der Bewegungsgleichung vom Str¨omungsterm herr¨ uhren. Wir werden nun die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Teilchenzahldichte, Energiedichte und Geschwindigkeit analysieren. In der Bewegungsgleichung f¨ ur die Teilchenzahldichte (9.4.28), λ ≡ 5, kommt vom zweiten Term eine Ankopplung an ai (k, ω). Wie oben festgestellt, verschwinden alle u ¨ brigen Skalarprodukte. Der dritte Term verschwindet zur G¨anze, da χ ˆn |vi χ ˆµ  ∝ µ vi |χ ˆ  = 0 f¨ ur µ ≥ 6 wegen der Orthonormierung. Somit folgt  kT i ωˆ n(k, ω) − ki u ˆ (k, ω) = 0 (9.4.30) m bzw. wegen (9.4.18) ωδn(k, ω) − ki nui (k, ω) = 0 ,

(9.4.30 )

oder im Ortsraum ∂ n(x, t) + ∇nu(x, t) = 0 . ∂t

(9.4.30 )

Diese Bewegungsgleichung ist identisch mit der Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die Dichte (9.3.24), nur daß hier im Gradiententerm wegen der Linearisierung n(x, t) durch n ersetzt ist. Die Bewegungsgleichung f¨ ur die lokale Temperatur nimmt unter Verwendung von (9.4.28), (9.4.18a), (9.4.29b) die Form  ω

3n kδT (k, ω) − ki 2kT



2kT nui (k, ω)  3m n/m 5 ∞      1  µ  + iki kj χ ˆ4 |vi χ ˆµ χ ˆ |vj χ ˆλ aλ (k, ω) = 0 (9.4.31) ωµ  µ=6 λ =1

 µ  an. In der Summe u agt λ = 5 nicht bei, da χ ˆ |vj χ ˆ5 ∝ χ ˆµ |vj  = 0 ¨ ber λ tr¨ 4 µ ist. Da χ ˆ sich wie ein Skalar transformiert, muß sich χ ˆ so wie vi trans formieren, so daß wegen des zweiten Faktors auch χ ˆλ = χ ˆi nicht in Frage λ 4 kommt, sondern nur χ ˆ =χ ˆ . Es bleibt vom dritten Term dieser Gleichung

∗

iki kj

9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung

471

∞   4  1  µ  χ ˆ |vi χ ˆµ χ ˆ |vj χ ˆ4 a4 (k, ω) ω µ µ=6

≈ iki kj τ

∞   4  µ  χ ˆ |vi χ ˆµ χ ˆ |vj χ ˆ4 a4 (k, ω) µ=6

5     4  λ  = iki kj τ χ ˆ4 |vi vj χ ˆ4 − χ ˆ |vi χ ˆλ χ ˆ |vj χ ˆ4 a4 (k, ω) λ=1


 4   4  i  = iki kj τ χ ˆ |vi vj χ ˆ4 − χ ˆ |vi χ ˆi χ ˆ |vj χ ˆ4 a4 (k, ω) .

(9.4.32)

Hier wurden alle ωµ−1 durch die Stoßzeit ersetzt, ωµ−1 = τ und f¨ ur die weitere Auswertung die Vollst¨ andigkeitsrelation f¨ ur die Eigenfunktionen von L und Symmetrieeigenschaften ben¨ utzt. Nun ist   4  2kT χ ˆ |vi χ ˆi = , (9.4.33a) 3m wobei hier nicht u ¨ber i summiert wird, und  4  1 χ ˆ |vi vj χ ˆ4 = δij 3



 d3 v f 0 (v) v2

mv2 2

2

−

mv2 2 3kT 3 2 2 n(kT )

+


3

2 kT

2

7kT . (9.4.33b) 3m  Wir erhalten somit f¨ ur den dritten Term in Gl. (9.4.31) ik 2 D 3n/2kT kδT mit dem Koeffizienten = δij

D≡

5 kT τ κ = , 3 m mcv

(9.4.34)

cv =

3 nk 2

(9.4.35)

wo

die spezifische W¨ arme bei konstantem Volumen ist, und κ=

5 2 nk T τ 2

(9.4.36)

die Bedeutung der W¨armeleitf¨ahigkeit hat. Insgesamt erhalten wir mit (9.4.32)–(9.4.34) f¨ ur die Bewegungsgleichung (9.4.31) der lokalen Temperatur  2kT i 4 ωa (k, ω) − ki a (k, ω) + ik 2 Da4 (k, ω) = 0 , (9.4.37) 3m oder

472

9. Boltzmann-Gleichung

ωδT −

2T k · nu + ik 2 DδT = 0 , 3n

(9.4.37 )

oder im Ortsraum ∂ 2T T (x, t) + ∇nu(x, t) − D∇2 T (x, t) = 0 . ∂t 3n

(9.4.37 )

¨ Zusammenhang mit ph¨ anomenologischer Uberlegung: ¨ Die zeitliche Anderung der W¨ armemenge δQ ist δ Q˙ = −∇jQ

(9.4.38a)

mit der W¨ armestromdichte jQ . Im lokalen Gleichgewicht gilt die thermodynamische Beziehung δQ = cP δT .

(9.4.38b)

Hier tritt die spezifische W¨ arme bei konstantem Druck auf, weil W¨ armediffusion isobar ist, wegen cs k  Dk2 im Grenzfall kleiner Wellenzahlen mit der Schallgeschwindigkeit cs und W¨ armediffusionskonstanten Ds . Der W¨ armestrom fließt in Richtung abnehmender Temperatur, folglich gilt jQ = −

κ ∇T m

(9.4.38c)

mit der W¨ armeleitf¨ ahigkeit κ. Somit ergibt sich insgesamt d κ T = ∇2 T dt mcP

(9.4.38d)

eine Diffusionsgleichung f¨ ur die Temperatur.

Schließlich bestimmen wir die Bewegungsgleichung f¨ ur die Impulsdichte, also f¨ ur aj , j = 1, 2, 3: F¨ ur die reversiblen Terme (erster und zweiter Term   in Gl. (9.4.28) ergibt sich unter Verwendung von (9.4.18b–c) und χ ˆj |vi χ ˆj
 j   j   ωaj (k, ω) − ki χ ˆ |vi χ ˆ5 a5 (k, ω) + χ ˆ |vi χ ˆ4 a4 (k, ω) 

 m kT n j = ωnu (k, ω) − kj δn(k, ω) − kj kδT (k, ω) n m m 

 m 1 = ωnuj (k, ω) − kj δP (k, ω) , n m

 wo aus P (x, t) = n(x, t)kT (x, t) = n + δn(x, t) k T + δT (x, t)



=0

(9.4.39)

δP = nkδT + kT δn gefolgert und eingesetzt wurde. F¨ ur den D¨ ampfungsterm in der ImpulsdichteBewegungsgleichung erhalten wir aus (9.4.28) mit der N¨aherung ωµ = 1/τ

∗

9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung

5  ∞     j  1  µ  χ ˆ |vi χ ˆµ χ ˆ |vl χ ˆλ aλ (k, ω) ωµ λ =1 µ=6 ! ! ∞   vj  µ 1 vr µ  = iki kl vi χ ˆ χ ˆ vl  ar (k, ω) ω n/m n/m µ µ=6

! vj  vr  ≈ iki kl τ vi vl  − n/m n/m ! ! 5   vj  λ vr λ  vi χ ˆ χ ˆ vl  ar (k, ω) . n/m n/m λ=1

473

iki kl

(9.4.40)

In der zweiten Zeile wurde verwendet, daß sich die Summe u ¨ ber λ auf r = 1, 2, 3 reduziert. F¨ ur den ersten Term in der runden Klammer ergibt sich: !   vj vr m   vi vl  = d3 v f 0 (v)vj vi vl vr nkT n/m n/m kT = (δji δlr + δjl δir + δjr δil ) . m Zum zweiten Term der runden Klammer in (9.4.40) ben¨otigen wir die Ergeb¨ nisse der Ubungsaufgabe 9.12, woraus δij δlr 5kT 3m resultiert. Folglich lautet der gesamte D¨ ampfungsterm (9.4.40) 5  ∞     j  1  µ  χ ˆ |vi χ ˆµ χ ˆ |vl χ ˆλ aλ (k, ω) ωµ λ =1 µ=6

 kT 5 = iki kl τ δji δlr + δjl δir + δjr δil − δij δlr ar (k, ω) m 3 (9.4.40 ) 



  2 n = i kj kl ul (k, ω) − + ki kj ui (k, ω) + ki ki uj (k, ω) τ kT 3 m 

  1
n 2 =i kj k · u(k, ω) + k uj (k, ω) τ kT . 3 m

iki kl

Wenn man noch die Scherviskosit¨at η ≡ nτ kT

(9.4.41)

definiert, findet man aus (9.4.39) und (9.4.40 ) die folgenden ¨aquivalenten Gestalten der Impulsdichte-Bewegungsgleichung

  1 η 1
ωnuj (k, ω)− kj δP (k, ω)+i kj ku(k, ω) + k2 uj (k, ω) = 0 (9.4.42) m m 3 bzw. in Raum und Zeit ∂ mnuj (x, t)+∇j P (x, t)−η ∂t



  1
∇j ∇ · u(x, t) + ∇2 uj (x, t) = 0 (9.4.42 ) 3

474

9. Boltzmann-Gleichung

oder ∂ mnuj (x, t) + Pjk,k (x, t) = 0 ∂t

(9.4.42 )

mit dem Drucktensor (Pjk,k ≡ ∇k Pjk etc.)

 2 Pjk (x, t) = δjk P (x, t)−η uj,k (x, t) + uk,j (x, t) − δjk ul,l (x, t) . (9.4.43) 3 Wir vergleichen dieses Ergebnis mit dem allgemeinen Drucktensor der Hydrodynamik:

 2 Pjk (x, t) = δjk P (x, t) − η uj,k (x, t) + uk,j (x, t) − δjk ul,l (x, t) − 3 − ζδjk ul,l (x, t) . (9.4.44) Hier ist ζ die Volumenviskosit¨at, auch zweite Z¨ahigkeit oder Kompressionsviskosit¨ at genannt. Als Resultat von Gl. (9.4.44) verschwindet diese nach der Boltzmann-Gleichung f¨ ur einfache einatomige Gase. Man kann den Ausdruck (9.4.41) f¨ ur die Z¨ ahigkeit auch in der Form (siehe Gl. (9.2.12) und (9.2.13)) 2 mvth 1 mvth = nmvth l = (9.4.45) 3 3 3σtot  schreiben, wo vth = 3kT /m die thermische Geschwindigkeit aus der Maxwell-Verteilung ist; d.h. die Z¨ ahigkeit ist unabh¨angig von der Dichte. Es ist instruktiv, die hydrodynamischen Gleichungen statt in den Gr¨oßen n(x, t), T (x, t), ui (x, t) auch in den normierten Funktionen anzugeben, n ˆ= √ n2 , etc. Aus Gl. (9.4.30), (9.4.37) und (9.4.42) folgt

η = τ nkT = τ n

n /kT

n ˆ˙ (x, t) = −cn ∇i u ˆi (x, t) (9.4.46a) ˙ Tˆ (x, t) = −cT ∇i uˆi (x, t) + D∇2 Tˆ(x, t) (9.4.46b) η η ˆ) u ˆ˙ i (x, t) = −cn ∇i n ˆ − cT ∇i Tˆ + ∇2 uˆi + ∇i (∇ · u (9.4.46c) mn 3mn   mit den Koeffizienten cn = kT /m, cT = 2kT /3m, D und η aus Gl. (9.4.34) und (9.4.41). Man beachte, daß in den orthonormierten Gr¨oßen die Kopplung der Freiheitsgrade in den Bewegungsgleichungen symmetrisch ist. 9.4.5 L¨ osungen der hydrodynamischen Gleichungen Von besonderem Interesse sind periodische L¨ osungen von (9.4.46a–c), die man mit dem Ansatz n ˆ (x, t) ∝ uˆi (x, t) ∝ Tˆ(x, t) ∝ ei(kx−ωt) findet. Die aus

∗

9.4 Linearisierte Boltzmann-Gleichung

475

der resultierenden S¨ akulardeterminante folgenden Schallresonanzen und die W¨ armediffusionsmode haben die Frequenzen i ω = ±cs k − Ds k 2 2 ω = −iDT k 2

(9.4.47a) (9.4.47b)

mit der Schallgeschwindigkeit cs , dem Schalld¨ ampfungskoeffizienten Ds und der W¨ armediffusionskonstanten DT :  ; 5 kT 1 2 2 cs = cn + cT = ≡√ (9.4.48a) 3 m mnκs

 4η κ 1 1 Ds = + − (9.4.48b) 3mn mn cv cP cv κ DT = D = . (9.4.48c) cP mcP Dabei geht auch die spezifische W¨ arme bei konstantem Druck ein, die f¨ ur das ideale Gas durch cP =

5 nk 2

(9.4.49)

gegeben ist. Die beiden transversalen Komponenten der Impulsdichte f¨ uhren eine rein diffusive Scherbewegung aus: Dη =

ηk 2 . mn

(9.4.50)

Die Resonanzen (9.4.47a,b) ¨ außern sich z.B. in der Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion, Snn (k, ω). Die Berechnung von dynamischen Suszeptibilit¨aten und von Korrelationsfunktionen (Aufgabe 9.11) aus Bewegungsgleichungen mit D¨ ampfungstermen ist in QM II, Abschn. 4.7 dargestellt. Das gekoppelte System von hydrodynamischen Bewegungsgleichungen f¨ ur die Dichte, die Temperatur und die longitudinale Impulsdichte ergibt f¨ ur die Dichte-Dichte Korrelationsfunktion

 ∂n Snn (k, ω) = 2kT n ∂P T   ⎧ ⎫ cv 2⎬ ⎨ ccv (cs k)2 Ds k 2 + 1 − ccv (ω 2 − c2s k 2 )DT k 2 1 − D k T cP P P × + 2 . ⎩ (ω 2 − c2s k 2 )2 + (ωDs k 2 )2 ω + (DT k 2 )2 ⎭ (9.4.51) Die Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion ist f¨ ur ein festes k schematisch als Funktion von ω in Abb. 9.3 dargestellt.

476

9. Boltzmann-Gleichung

Abb. 9.3. Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion f¨ ur festes k als Funktion von ω.

Die Lage der Resonanzen wird durch den Realteil, die Breite durch den Imagin¨ arteil der Frequenzen (9.4.47a, b) bestimmt. Neben den beiden Resonanzen bei ±cs k von longitudinalen akustischen Phononen findet man eine Resonanz bei ω = 0 von der W¨ armediffusion. Die Fl¨ache unterhalb der in Abb. 9.3 dargestellten Kurve, welche die gesamte Intensit¨at bei inelastischen Streuexperimenten bestimmt, ist proportional zu der isothermen Kompres
∂n  sibilit¨ at ∂P . Die relative St¨ arke der Diffusions- zu den beiden SchallreT V sonanzen ist durch das Verh¨ altnis der spezifischen W¨armen cPc−c gegeben. V Man nennt dieses Verh¨ altnis auch Landau-Placzek-Verh¨altnis und die diffusive Resonanz in Snn (k, ω) Landau-Placzek-peak. Da die spezifischen W¨ armen bei konstantem Druck wie (T − Tc )−γ und bei konstantem Volumen nur wie (T − Tc )−α divergieren (S. 259, 258), wird dieses Verh¨ altnis bei Ann¨ aherung an Tc immer gr¨ oßer. Der im Grenzfall kleiner k (Streuung in Vorw¨ artsrichtung) g¨ ultige Ausdruck (9.4.51) zeigt wegen (∂n/∂P )T ∝ (T − Tc )−γ das Ph¨ anomen der kritischen Opaleszenz. ∗

9.5 Erg¨ anzungen

9.5.1 Relaxationszeitn¨ aherung Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenfunktionen des linearen Stoßoperators ist im allgemeinen kompliziert. Da andererseits in einem bestimmten Diffusionsvorgang nicht alle Eigenfunktionen beitragen und sicher diejenigen das gr¨ oßte Gewicht haben, deren Eigenwerte ωλ besonders niedrig sind, kann man n¨ aherungsweise versuchen, den Stoßterm durch nur eine charakteristische Frequenz zu charakterisieren

 ∂ 1 + v∇ f (x, v, t) = − (f (x, v, t) − f  (x, v, t)) . (9.5.1) ∂t τ Man nennt diese N¨ aherung die erhaltene Relaxationszeitn¨aherung, da man auf der rechten Seite die Differenz von Verteilungsfunktion und lokaler MaxwellVerteilung hat. Damit ist ber¨ ucksichtigt, daß der Stoßterm verschwindet,

∗

9.5 Erg¨ anzungen

477

wenn die Verteilungsfunktion gleich der lokalen Maxwell-Verteilung ist. Die in f  (x, v, t) auftretenden lokalen Gr¨ oßen n(x, t), ui (x, t) und e(x, t) berechnen sich aus f (x, v, t) nach Gl. (9.3.15a), (9.3.15b), (9.3.15c ). Ziel ist nun, f bzw. f − f  zu berechnen. Man schreibt



 ∂ ∂ 1 + v∇ (f − f  ) + + v∇ f  = − (f − f  ) . (9.5.2) ∂t ∂t τ Im hydrodynamischen Bereich, ωτ
1, vkτ
1, k¨onnen wir f¨ ur (f − f  ) den ersten Term auf der linken Seite von (9.5.2) gegen¨ uber  dem Term auf der

rechten Seite vernachl¨ assigen und erhalten f − f  = τ ist die Verteilungsfunktion von der Gestalt

 ∂ f = f + τ + v∇ f  ∂t

∂ ∂t

+ v∇ f  . Somit

(9.5.3)

und man kann damit in Erweiterung von Abschnitt 9.3.5.2 die Stromdichten von Neuem berechnen. In nullter Ordnung erhalten wir die in (9.3.35) und (9.3.36) gefundenen Ausdr¨ ucke f¨ ur die reversiblen Teile des Drucktensors und der u ¨ brigen Stromdichten. Vom zweiten Term kommen Zus¨atze zum Drucktensor, und auch ein endlicher W¨ armestrom. Da f  nur u ¨ ber die drei Funktionen n(x, t), T (x, t) und u(x, t) von x und t abh¨ angt, h¨angt der zweite Term von diesen und ihren Ableitungen ab. Die Zeitableitung von f  bzw. n, T und u kann man durch die Bewegungsgleichungen nullter Ordnung ersetzen. Die Korrekturen sind deshalb von der Gestalt ∇n(x, t), ∇T (x, t) und ∇ui (x, t). Zusammen mit den schon in den Bewegungsgleichungen auftretenden Ableitungen von Pij und q sind die Zus¨ atze zu den Bewegungsgleichungen von der Gestalt τ ∇2 T (x, t) etc. (Siehe Aufgabe 9.13) 9.5.2 Berechnung von W (v1 , v2 ; v1 , v2 ) F¨ ur die generellen Aussagen der Boltzmann-Gleichung kam es auf die genaue Form der Stoßwahrscheinlichkeit nicht an, sondern es wurden nur die allgemeinen Relationen (9.2.8a-f) ben¨ otigt. Der Vollst¨andigkeit halber geben wir nun den Zusammenhang von W (v1 , v2 ; v1 , v2 ) mit dem Streuquerschnitt zweier Teilchen an.18 Es wird vorausgesetzt, daß die beiden stoßenden Teilchen u ¨ber ein Zentralpotential w(x1 − x2 ) wechselwirken. Wir betrachten den Streuprozeß v1 , v2 ⇒ v1 , v2 , bei dem Teilchen 1 und 2, mit den Geschwindigkeiten v1 , v2 vor dem Stoß, in v1 , v2 u ur ¨ bergehen (siehe Abb. 9.4). Es gelten dabei die Erhaltungss¨atze f¨ 18

Die Theorie der Streuung in der klassischen Mechanik ist beispielsweise in L. D. Landau und E. M. Lifshitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik I, Mechanik, Akademie-Verlag, 6. Aufl., Berlin, 1969 und H. Goldstein, Klassische Mechanik, 10. Aufl., Aula Verlag, Wiesbaden, 1989 dargestellt.

478

9. Boltzmann-Gleichung

Abb. 9.4. Stoß zweier Teilchen

Impuls und Energie, die wegen der Gleichheit der Massen v1 + v2 = v1 + v2 v12

+

v22

=

2 v1

+

(9.5.4a)

2 v2

(9.5.4b)

lauten. Es ist zweckm¨ aßig, Schwerpunkts- und Relativgeschwindigkeiten einzuf¨ uhren; das sind vor dem Stoß V=

1 (v1 + v2 ) , 2

u = v1 − v2

(9.5.5a)

u = v1 − v2 .

(9.5.5b)

und nach dem Stoß V =

1  (v + v2 ) , 2 1

In diesen Geschwindigkeiten nehmen die beiden Erhaltungss¨atze die Gestalt V = V

(9.5.6a)

|u| = |u |

(9.5.6b)

und

an. Um (9.5.6b) einzusehen, muß man vom Doppelten der Gl. (9.5.4b) das Quadrat von (9.5.4a) subtrahieren. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ¨andert sich beim Stoß nicht, die (asymptotische) Relativgeschwindigkeit ¨andert ihren Betrag nicht, wird aber gedreht. F¨ ur die in (9.5.5a) und (9.5.5b) angegebenen Transformationen der Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß in das Schwerpunktssystem erf¨ ullen die Volumenelemente im Geschwindigkeitsraum die Relationen d3 v1 d3 v2 = d3 V d3 u = d3 V  d3 u = d3 v1 d3 v2 , da die Jacobi-Determinanten den Wert eins besitzen.

(9.5.7)

∗

9.5 Erg¨ anzungen

479

Der Streuquerschnitt berechnet sich am einfachsten im Schwerpunktsystem. Wie aus der klassischen Mechanik18 bekannt ist, gen¨ ugt die Relativkoordinate x einer Bewegungsgleichung, in der als Masse die reduzierte Masse µ, das ist hier µ = 12 m, und das Zentralpotential w(x) auftreten. Den Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem erh¨ alt man aus der Streuung eines fiktiven Teilchens mit der Masse µ am Potential w(x). Zun¨achst geben wir die Geschwindigkeiten der beiden Teilchen vor und nach dem Stoßprozeß im Schwerpunktsystem an v1s = v1 − V =

1 u, 2

1 v2s = − u , 2

 v1s =

1  u , 2

1  v2s = − u . (9.5.8) 2

Abb. 9.5. Streuung an einem festen Potential, Stoßparameter s und Streuzentrum O. Die Teilchen, die auf das Fl¨ achenelement s ds dϕ einfallen, werden in das Raumwinkelelement dΩ abgelenkt.

Nun erinnern wir an einige Begriffe der Streutheorie. In Abb. 9.5 ist das dazu ¨ aquivalente Potentialstreuproblem dargestellt, anhand dessen der Streuquerschnitt definiert werden kann. Durch die asymptotische Einfallsgeschwindigkeit u und das Streuzentrum O wird eine Ebene, die Bahnebene des Teilchens, festgelegt. Dies folgt aus der Erhaltung des Drehimpulses im Zentralpotential. Die z-Achse des in Abb. 9.5 gezeichneten Koordinatensystems l¨ auft durch das Streuzentrum O und ist parallel zu u festgelegt. Die Bahnkurve der einfallenden Teilchen wird durch den Stoßparameter s und den Winkel ϕ festgelegt. In der Abb. 9.5 ist die durch den Winkel ϕ definierte Bahnebene in die Zeichenebene gelegt. Wir betrachten einen gleichf¨ormigen Strahl von Teilchen, die in unterschiedlichem Abstand s von der Achse mit der asymptotischen Einfallsgeschwindigkeit u einfallen. Die Intensit¨at des Strahls I ist definiert als Zahl der Teilchen, die pro Sekunde auf einen cm2 der gezeichneten senkrechten Fl¨ ache einfallen. Falls n die Zahl der Teilchen pro cm3 ist, dann ist I = n|u|. Die Teilchen, die auf das durch die Stoßparameter s und s + ds und das Winkelelement dϕ festgelegte Fl¨achenelement einfallen, werden in das Raumwinkelelement dΩ abgelenkt. Man bezeichnet mit dN (Ω) die Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit auf dΩ auftrifft. Der differentielle Streuquerschnitt σ(Ω, u), der nat¨ urlich auch von u abh¨angt, ist durch dN (Ω) = Iσ(Ω, u)dΩ definiert oder σ(Ω, u) = I −1

dN (Ω) . dΩ

(9.5.9)

480

9. Boltzmann-Gleichung

Wegen der Drehsymmetrie bez¨ uglich der z-Achse ist σ(Ω, u) = σ(ϑ, u) unabh¨ angig von ϕ. Den Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem erh¨alt man durch die Ersetzung u = |v1 − v2 |. Durch den Stoßparameter s wird die Bahnkurve, und damit der Ablenkwinkel ϑ eindeutig festgelegt: dN (Ω) = Isdϕ(−ds) .

(9.5.10)

Daraus folgt mit dΩ = sin ϑdϑdϕ σ(Ω, u) = −

1 ds 1 1 ds2 s =− . sin ϑ dϑ sin ϑ 2 dϑ

(9.5.11)

Aus ϑ(s) oder s(ϑ) erh¨ alt man den Streuquerschnitt. Der Streuwinkel ϑ und der Asymptotenwinkel ϕa h¨ angen u ¨ ber ϑ = π − 2ϕa

bzw. ϕa =

1 (π − ϑ) 2

(9.5.12)

zusammen (Abb. 9.6).

Abb. 9.6. Ablenkwinkel ϑ und Asymptotenwinkel ϕa

In der klassischen Mechanik erh¨ alt man aus Energie- und Drehimpulssatz 



∞

l ϕa = dr ;
 rmin r2 2µ E − w(r) −

∞

= l2 r2

dr rmin

; r2 1 −

s s2 r2

, −

2w(r) µu2

(9.5.13) dabei ist l = µsu

(9.5.14a)

der Drehimpuls und E=

µ 2 u 2

(9.5.14b)

die Energie, ausgedr¨ uckt durch die asymptotische Geschwindigkeit. Den minimalen Abstand rmin vom Streuzentrum bestimmt man aus der Bedingung (r˙ = 0)

∗

w(rmin ) +

9.5 Erg¨ anzungen

l2 =E. 2 2µrmin

481

(9.5.14c)

Als Beispiel betrachten wir die Streuung zweier harter Kugeln mit dem Radius R. In diesem Fall ist

 π ϑ ϑ s = 2R sin ϕa = 2R sin − = 2R cos , 2 2 2 woraus nach (9.5.11) σ(ϑ, u) = R2

(9.5.15)

folgt. In diesem Fall ist der Streuquerschnitt unabh¨angig vom Ablenkungswinkel und von u, was sonst nicht der Fall ist, wie beispielsweise aus der Rutherford-Streuung bekannt ist.18 Nach diesem Exkurs in die klassische Mechanik sind wir in der Lage, ¨ die Ubergangswahrscheinlichkeit W (v, v2 ; v3 , v4 ) f¨ ur die Verlust- und Gewinnprozesse in Gl. (9.2.5) und (9.2.6) zu berechnen. Zur Berechnung der Verlustrate erinnern wir an folgende Annahmen: (i) Die Kr¨ afte werden als kurzreichweitig vorausgesetzt, so daß nur Teilchen im selben Raumelement d3 x1 streuen. (ii) Wenn Teilchen 1 gestreut wird, dann verl¨ aßt es das Geschwindigkeitselement d3 v1 . Zur Berechnung der Verlustrate v greifen wir ein Molek¨ ul in d3 x heraus, das die Geschwindigkeit v1 besitzt, und sehen dieses Molek¨ ul als das Streuzentrum an, auf das Molek¨ ule 2 mit der Geschwindigkeit v2 im Geschwindigkeitselement d3 v2 einfallen. Der Fluß dieser Teilchen ist f (x, v2 , t)|v2 − v1 |d3 v2 . Die Zahl der Teilchen, die auf das Fl¨ achenelement (−s ds)dϕ fallen, ist pro Zeiteinheit f (x, v2 , t)|v2 − v1 |d3 v2 (−s ds)dϕ = = f (x, v2 , t)|v2 − v1 |d3 v2 σ(Ω, |v1 − v2 |)dΩ . Um die Zahl aller St¨ oße, die die Teilchen in d3 xd3 v1 w¨ahrend des Zeitintervalls dt erfahren, zu erhalten, m¨ ussen wir dieses Ergebnis mit f (x, v1 , t)d3 xd3 v1 dt multiplizieren und u ber v ¨ 2 und alle Ablenkungswinkel dΩ integrieren:  vd xd v1 dt = 3

3

 3

d v2

dΩf (x, v1 , t)f (x, v2 , t)|v2 − v1 | ×
 × σ Ω, |v1 − v2 | d3 xd3 v1 dt .

(9.5.16)

Bei der Berechnung der Gewinnrate g betrachten wir Streuvorg¨ange, bei denen ein Molek¨ ul mit der vorgegebenen Geschwindigkeit v1 durch Streuung mit irgendeinem anderen Molek¨ ul in v1 u ¨ bergeht:

482

9. Boltzmann-Gleichung

 gd xd v1 dt = 3

3

 dΩ


 d3 v1 d3 v2 |v1 − v2 | σ Ω, |v1 − v2 | × × f (x, v1 , t)f (x, v2 , t)d3 xdt . (9.5.17)

Die Geschwindigkeitsintegrale sind so eingeschr¨ ankt, daß die Geschwindigkeit v1 im Element d3 v1 liegt. Unter Benutzung von (9.5.7) resultiert f¨ ur die rechte Seite von (9.5.17)  
 3 3 d v1 d v2 dΩ|v1 − v2 | σ Ω, |v1 − v2 | f (x, v1 , t)f (x, v2 , t)d3 xdt , d.h.

 g=

 3

d v2


 dΩ|v1 − v2 | σ Ω, |v1 − v2 | f (x, v1 , t)f (x, v2 , t) . (9.5.18)

Hier ist auch eingegangen, daß der Streuquerschnitt f¨ ur die Streuung von v1 , v2 → v1 , v2 gleich dem f¨ ur v1 , v2 → v1 , v2 ist, da die beiden Vorg¨ange durch r¨ aumliche und zeitliche Spiegelung ineinander u ¨ bergehen. Folglich ergibt sich f¨ ur den gesamten Stoßterm:  

 ∂f = g − v = d3 v2 dΩ |v2 − v1 | σ Ω, |v2 − v1 | f1 f2 − f1 f2 . ∂t Stoß (9.5.19) Der Ablenkwinkel ϑ kann folgendermaßen durch die asymptotischen Relativgeschwindigkeiten dargestellt werden18 ϑ = arccos

(v1 − v2 )(v1 − v2 ) . |v1 − v2 ||v1 − v2 |

 Das Integral dΩ bedeutet eine Integration u ¨ ber die Richtung von u . Mit den Umformungen u − u2 = v1 − 2v1 v2 + v2 − v12 + 2v1 v2 − v22 2

2

2

= −4V + 2v1 + 2v2 + 4V2 − 2v12 − 2v22 = 2(v1 + v2 − v12 − v22 ) 2

und



2

2



2



2

dΩ |v2 − v1 | = dΩ u = du dΩ δ(u − u)u / 0  2 u u2  2 = du u dΩ δ − 2 2 / 0  2 u u2 = d3 u δ − d3 V  δ (3) (V − V) 2 2 / 0  2 2 v1 2 + v2 2 v1 + v2 3  3  − δ (3) (v1 + v2 − v1 − v2 ) , = 4 d v1 d v2 δ 2 2

∗

9.5 Erg¨ anzungen

die auch die Erhaltungss¨ atze zum Ausdruck bringen, erh¨alt man  g − v = d3 v2 d3 v1 d3 v2 W (v1 , v2 ; v1 , v2 )(f1 f2 − f1 f2 ) .

483

(9.5.20)

Hier ist / W (v1 , v2 ; v1 , v2 )

= 4σ(Ω, |v2 − v1 |)δ

v1 + v2 v1 2 + v2 2 − 2 2 2

2

0 ×

× δ (3) (v1 + v2 − v1 − v2 ) . (9.5.21) Der Vergleich mit Gl. (9.2.8f) ergibt σ(v1 , v2 ; v1 , v2 ) = 4m4 σ(Ω, |v2 − v1 |) .

(9.5.22)

Aus dem Verlustterm in (9.5.19) kann man die gesamte Stoßrate des Teilchens mit der Geschwindigkeit v1 ablesen  
 1 3 = d v2 dΩ |v2 − v1 | σ Ω, |v2 − v1 | f (x, v2 , t) . (9.5.23) τ (x, v, t) Der Ausdruck f¨ ur τ −1 entspricht der elementar hergeleiteten Absch¨atzung −1 aus Gl. (9.2.12) τ = nvth σtot mit   rmax
 σtot = dΩσ Ω, |v2 − v1 | = 2π ds s . (9.5.24) 0

rmax ist der Abstand vom Streuzentrum, bei dem der Streuwinkel Null wird, d.h. daß keine Streuung mehr stattfindet. F¨ ur harte Kugeln ist nach Gl. (9.5.15) σtot = 4πR2 .

(9.5.25)

F¨ ur Potentiale mit unendlicher Reichweite divergiert rmax . Der Stoßterm hat in diesem Fall die Form    ∞  2π ∂f 3 = d v2 ds s dϕ(f1 f2 − f1 f2 )|v1 − v2 | . (9.5.26) ∂t Stoß 0 0 Obwohl die einzelnen Beitr¨ age im Stoßterm divergieren, ist der Stoßterm insgesamt endlich:  rmax lim ds s (f1 f2 − f1 f2 ) = endlich , rmax →∞

0

denn f¨ ur s → ∞ wird der Ablenkwinkel 0, und v1 − v1 → 0 und v2 − v2 → 0, so daß (f1 f2 − f1 f2 ) → 0 .

484

9. Boltzmann-Gleichung

Literatur P. Resibois and M. De Leener, Classical Kinetic Theory of Fluids, John Wiley, New York, 1977 K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd ed., John Wiley, New York, 1987 J. J¨ ackle, Einf¨ uhrung in die Transporttheorie, Vieweg, Braunschweig, 1978 L. Boltzmann, Vorlesungen ¨ uber Gastheorie, Band 1: Theorie der Gase mit einatomigen Molek¨ ulen, deren Dimensionen gegen die mittlere Wegl¨ ange verschwinden, Barth, Leipzig, 1896. R.L. Liboff, Introduction to the Theory of Kinetic Equations, Robert E. Krieger Publishing Company, Huntington, New York, 1979 S. Harris, An Introduction to the Theory of the Boltzmann Equation, Holt, Rinehard and Winston, New York, 1971 J.A. McLennan, Introduction to Non-Equilibrium Statistical Mechanics, Prentice Hall, Inc., London, 1988 K.H. Michel and F. Schwabl, Hydrodynamic Modes in a Gas of Magnons, Phys. Kondens. Materie 11, 144 (1970)

Aufgaben zu Kapitel 9 9.1 Symmetrierelationen. Zeigen Sie die zum Beweis des H−Theorems verwendete Identit¨ at (9.3.5) 

   d3 v1 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v1 , v2 ; v3 , v4 )(f1 f2 − f3 f4 )ϕ1     1 = d3 v1 d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (v1 , v2 ;v3 , v4 ) 4 × (f1 f2 − f3 f4 )(ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 − ϕ4 ).

(9.5.27)

9.2 Str¨omungsglied der Boltzmann-Gleichung. F¨uhren Sie die von der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Einteilchenverteilungsfunktion im µ−Raum (9.2.11) auf (9.2.11 ) f¨ uhrenden Zwischenschritte durch.

9.3 Zusammenhang von H und S. Berechnen Sie die Gr¨oße  H(x, t) =

d3 v f (x, v, t) log f (x, v, t)

f¨ ur den Fall, daß f (x, v, t) die Maxwell-Verteilung ist.

9.4 Zeigen Sie, daß in Abwesenheit einer ¨außeren Kraft die Kontinuit¨atsgleichung (9.3.28) in die Form (9.3.32) n(∂t + uj ∂j )e + ∂j qj = −Pij ∂i uj gebracht werden kann.

Aufgaben zu Kapitel 9

485

9.5 Lokale Maxwell-Verteilung. Best¨atigen Sie die nach Gl. (9.3.19 ) gemachten Aussagen, indem Sie die lokale Maxwell-Verteilung (9.3.19 ) in (9.3.15a)–(9.3.15c) einsetzen.

9.6 Verteilung der Stoßzeiten. Betrachten Sie ein kugelf¨ormiges Teilchen mit Radius r, das mit Geschwindigkeit v eine Wolke gleichartiger Teilchen der Dichte n durchquert. Die Teilchen sollen sich nur bei Ber¨ uhrung ablenken. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ ur das Ereignis, daß das Teilchen nach einer Zeitspanne t den ersten Stoß erleidet. Wie groß ist die mittlere Zeit zwischen zwei St¨ oßen?

9.7 Gleichgewichtserwartungswerte. Best¨atigen Sie die Resultate (G.1c) und (G.1g) f¨ ur

 d3 v

mv 2 2

s

 f 0 (v)

und

d3 v vk vi vj vl f 0 (v).

9.8 Berechnen Sie die Skalarprodukte aus Abschnitt 9.4.2 1|1, !|1, !|!, vi |vj , χ ˆ5 |χ ˆ4 , χ ˆ4 |vi χ ˆj , χ ˆ5 |vi χ ˆj , χ ˆ4 |vi2 χ ˆ4 , und vj |vi χ ˆ4 . 9.9 Schalld¨ampfung. In (9.4.30 ), (9.4.37 ) und (9.4.42 ) wurden die linearisierten hydrodynamischen Gleichungen f¨ ur ein ideales Gas abgeleitet. F¨ ur reale Gase und Fl¨ ussigkeiten mit allgemeinen Zustandsgleichungen f¨ ur P (n, T ) gelten analoge Gleichungen:

∂ T (x, t) + n ∂t



∂T ∂n

∂ n(x, t) + n∇ · u(x, t) = 0 ∂t ∂ mn uj (x, t) + ∂i Pji (x, t) = 0 ∂t  ∇ · u(x, t) − D∇2 T (x, t) = 0. S

Der Drucktensor Pij mit den Komponenten

 2 Pij = δij P − η (∇j ui + ∇i uj ) + η − ζ δij ∇ · u 3 enth¨ alt jetzt allerdings in der Diagonalen einen Zusatzterm −ζ∇ · u. Dieser r¨ uhrt daher, daß reale Gase neben der Scherviskosit¨ at η auch eine nicht verschwindende Volumenviskosit¨ at (Kompressionsviskosit¨ at) ζ aufweisen. Bestimmen und diskutieren Sie die Moden. Anleitung: Beachten Sie, daß die Gleichungen teilweise entkoppeln, wenn man das Geschwindigkeitsfeld in transversale und longitudinale Anteile zerlegt: u = ut + ul mit ∇ · ut = 0 und ∇ × ul = 0. (Das erreicht man im Fourier-Raum einfach dadurch, daß man o.B.d.A. den Wellenvektor in z-Richtung legt.) Um die Dispersionsgleichungen (Eigenfrequenzen ω(k)) f¨ ur die Fouriertransformierten von n, ul und T auszuwerten, kann man L¨ osungsans¨ atze f¨ ur ω(k) in sukzessiv ansteigender Ordnung im Betrag des Wellenvektors k betrachten. Eine n¨ utzliche Abk¨ urzung ist



 

 

 

 ∂P ∂P ∂T ∂T ∂P cP mc2s = = . 1− = ∂n S ∂n T ∂n S ∂n P ∂n T cV cs ist die adiabatische Schallgeschwindigkeit.

486

9. Boltzmann-Gleichung

9.10 Zeigen Sie 

      vj  1 1 vl  vr  vi  = δji kT /m , = δlr kT /m , n/m n/kT n/kT n/m    v       2kT vr  2kT j 4 i 4 4   vi χ ˆ = δij vi |χ ˆχ ˆ = δij , χ ˆ vl  = δlr 3m 3m n/m n/m 

und verifizieren Sie (9.4.40 ).  d3 x dt e−i(kx−ωt) n(x, t)n(0, 0) und best¨ atigen Sie das Ergebnis (9.4.51), indem Sie in den Fourier-Raum u ¨ bergehen und die Schwankungen bei gleicher Zeit durch thermodynamische Ableitungen ausdr¨ ucken (siehe auch QM II, Abschn. 4.7).

9.11 Berechnen Sie die Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion Snn (k, ω) =



9.12 Viskosit¨at eines verd¨unnten Gases. In Abschnitt 9.4 wurde die L¨osung der linearisierten Boltzmann-Gleichung mittels Entwicklung in Eigenfunktionen des Stoßoperators behandelt. Komplettieren Sie die Berechnung des dissipativen Anteils des Impulsstroms, Gl. (9.4.40). Zeigen Sie also 5 



λ=1

vj vr 5kT |vi χ ˆλ χ ˆλ |vl   = δij δlr . 3m n/m n/m

9.13 W¨armeleitf¨ahigkeit mittels Relaxationszeitansatz. Eine weitere M¨oglichkeit zur n¨ aherungsweise Bestimmung der dissipativen Anteile der Bewegungsgleichungen f¨ ur die Erhaltungsgr¨ oßen Teilchenzahl, Impuls und Energie besteht in dem in Abschn. 9.5.1 vorgestellten Relaxationszeitansatz  ∂f f − f =− . ∂t Stoß τ F¨ ur g := f − f  erh¨ alt man dann aus der Boltzmann-Gl. (9.5.1) in niedrigster Ordnung

 1 g(x, v, t) = −τ ∂t + v · ∇ + K · ∇v f  (x, v, t) . m Eliminieren Sie die Zeitableitung von f  mit Hilfe der aus f  gewonnenen nichtdissipativen Bewegungsgleichungen und bestimmen Sie die W¨ armeleitf¨ ahigkeit, indem Sie f = f  + g in den in (9.3.29) abgeleiteten Ausdruck f¨ ur den W¨ armestrom q einsetzen.

9.14 Relaxationszeitansatz f¨ur die elektrische Leitf¨ahigkeit. Betrachten Sie ein unendliches System geladener Teilchen vor einem positiven Hintergrund. Der Stoßterm beschreibt St¨ oße der Teilchen untereinander sowie mit den (feststehenden) Ionen des Hintergrundes. Deshalb verschwindet der Stoßterm f¨ ur allgemeine lokale MaxwellVerteilungen f  (x, v, t) nicht mehr. Vor Anlegen eines schwachen homogenen Feldes E sei f = f 0 , wobei f 0 die orts- und zeitunabh¨ angige Maxwellverteilung ist. Machen Sie den Relaxationszeitansatz ∂f /∂t|Stoß = −(f −f 0 )/τ und bestimmen sie die neue Gleichgewichtsverteilung f in erster Ordnung in E. Was erhalten Sie f¨ ur v? Verallgemeinern Sie auf ein zeitabh¨ angiges Feld E(t) = E0 cos(ωt). Diskutieren Sie die Auswirkung des hier gemachten Relaxationszeitansatzes auf die Erhaltungss¨ atze (siehe z.B. John M. Ziman, Principles of the Theory of Solids, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge 1972).

Aufgaben zu Kapitel 9

487

9.15 Ein theoretisch leicht handhabbares aber f¨ur die Wechselwirkung von Atomen unrealistisches Beispiel ist das rein abstoßende Potential19 w(r) =

κ 1 , ν − 1 r ν−1

ν ≥ 2, κ > 0 .

(9.5.28)

Zeigen Sie, daß der zugeh¨ orige Streuquerschnitt von der Form

σ(ϑ, |v1 − v2 |) =

2κ m



2 ν−1

4

|v1 − v2 |− ν−1 Fν (ϑ)

(9.5.29)

ist, mit von ϑ und der Potenz ν abh¨ angigen Funktionen Fν (ϑ). F¨ ur den Spezialfall des sog. Maxwell-Potentials, ν = 5, ist |v1 − v2 |σ(ϑ, |v1 − v2 |) unabh¨ angig von |v1 − v2 |.

9.16 Finden Sie durch Koeffizientenvergleich der Potenzen von v spezielle lokale Maxwell-Verteilungen,

 v2 f 0 (v, x, t) = exp A + B · v + C 2m welche L¨ osung der Boltzmann-Gleichung sind. Das Resultat ist A = A1 + A2 · x + C3 x2 , B = B1 − A2 t − (2C3 t + C2 )x + Ω × x, C = C1 + C2 t + C3 t2 .

9.17 Es sei in der Boltzmann-Gleichung eine ¨außere Kraft K(x) = −∇V (x) vorhanden. Zeigen Sie, daß der Stoßterm und der Str¨ omungsterm f¨ ur die MaxwellVerteilungsfunktion 

  m 3/2 1 m(v − u)2 f (v, x) ∝ n exp − + V (x) 2πkT kT 2 verschwinden.

9.18 Verifizieren Sie Gl. (9.4.33b).

19

Landau Lifshitz, Mechanik, S. 61, op. cit. in Fußnote 18.

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

10.1 Vorbemerkungen ¨ In diesem Kapitel werden wir einige grunds¨ atzliche Uberlegungen u ¨ber irreversible Vorg¨ ange und deren mathematische Beschreibung und zur Herleitung makroskopischer Bewegungsgleichungen aus der mikroskopischen Dynamik – klassisch aus den Newtonschen Gleichungen und quantenmechanisch aus der Schr¨ odinger-Gleichung – anstellen. Diese mikroskopischen Bewegungsgleichungen sind zeitumkehrinvariant, und es erhebt sich die Frage, wie es u ¨berhaupt m¨ oglich sein kann, daß aus derartigen Gleichungen zeitunsymmetrische Gleichungen wie die Boltzmann-Gleichung oder die W¨armediffusionsgleichung folgen k¨ onnen. Diese scheinbare Inkompatibilit¨at, die historisch vor allem von Loschmidt als Einwand gegen die Boltzmann-Gleichung erhoben wurde, wird auch als Loschmidt-Paradoxon bezeichnet. Da zu Zeiten Boltzmanns die Existenz von Atomen in keiner Weise experimentell belegbar war, wurde der scheinbare Widerspruch zwischen zeitumkehrbarer (zeitsymmetrischer) Mechanik von Atomen und irreversibler Nichtgleichgewichts-Thermodynamik von den Gegnern der Boltzmannschen Vorstellung als Gegenargument gegen die Existenz von Atomen u ¨berhaupt gewertet.1 Ein zweiter Einwand gegen die Boltzmann-Gleichung und eine rein mechanische Fundierung der Thermodynamik kam von der durch Poincar´e mathematisch streng bewiesenen Tatsache, daß jedes noch so große endliche System schließlich nach einer sogenannten Wiederkehrzeit in periodischen Abst¨ anden seinen Ausgangszustand wieder einnehmen m¨ ußte. Dieser Einwand wurde nach seinem heftigsten Verfechter auch als Zermelo-Paradoxon bezeichnet. Boltzmann hat beide Einw¨ande ¨ entkr¨ aftet. In diesen Uberlegungen, die von seinem Sch¨ uler P. Ehrenfest weiter verfolgt wurden,2 spielen wie in allen Bereichen der statistischen Mechanik Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen eine Rolle – eine Denkweise, die dem mechanistischen Weltbild der damaligen Physik fremd war. Es sei an dieser Stelle auch schon angemerkt, daß die in Gleichung (2.3.1) mittels der Dichtematrix definierte Entropie sich in einem abgeschlossenen System nicht ¨andert. Wir 1

2

Siehe dazu auch das Geleitwort von H. Thirring in E. Broda, Ludwig Boltzmann, Deuticke, Wien, 1986. Siehe P. Ehrenfest und T. Ehrenfest, Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik, Encykl. Math. Wiss. 4 (32) (1911)

490

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

werden in diesem Kapitel die so definierte Entropie als Gibbssche Entropie bezeichnen. Boltzmanns schon fr¨ uher entstandener Entropiebegriff ordnet, wie in Abschnitt 10.6.2 noch genauer dargestellt wird, nicht nur einem Ensemble sondern jedem Mikrozustand einen bestimmten Wert der Entropie zu. Im Gleichgewicht ist die Gibbssche Entropie gleich der Boltzmann-Entropie. Zur Behebung des Wiederkehreinwandes werden wir die Wiederkehrzeit in einem einfachen Modell absch¨ atzen. In einem zweiten einfachen Modell zur Brownschen Bewegung wird untersucht, wie das Zeitverhalten von der Teilchenzahl und den unterschiedlichen Zeitskalen der Konstituenten abh¨angt. Das wird auf eine allgemeine Herleitung von makroskopischen hydrodynamischen Gleichungen mit Dissipation aus zeitumkehr-invarianten mikroskopischen Bewegungsgleichungen f¨ uhren. Schließlich werden wir das Streben ins Gleichgewicht eines verd¨ unnten Gases und dessen Verhalten unter der Zeitumkehrtransformation untersuchen. In diesem Zusammenhang wird auch der Einfluß ¨ außerer St¨ orungen ber¨ ucksichtigt. Daneben enth¨alt dieses Kapitel eine Absch¨ atzung der Gr¨ oße von statistischen Schwankungen und eine Herleitung der Paulischen Mastergleichungen. In diesem Kapitel werden einige signifikante Aspekte dieses umfangreichen Problemkreises behandelt. Zum einen werden einfache Modelle studiert und ¨ zum anderen qualitative Uberlegungen durchgef¨ uhrt, die den Themenkreis von verschiedenen Seiten beleuchten. Um die Problematik des Loschmidt-Paradoxons zu verdeutlichen stellen wir in Abb. 10.1 die Zeitentwicklung eines Gases dar. Der Leser wird als zeitliche Reihenfolge die Folge a,b,c vermuten, in der das Gas auf das gesamte ihm zur Verf¨ ugung stehende Volumen expandiert. Wenn andererseits in der Konfiguration c eine Bewegungsumkehr durchgef¨ uhrt wird, dann laufen die Atome wieder u ¨ber das Stadium b in die Konfiguration a mit der niedrigeren Entropie zur¨ uck. An diesen Sachverhalt kn¨ upfen sich zwei Fragen: (i) Wieso

(a)

(b)

(c)

Abb. 10.1. Expansion oder Kontraktion eines Gases; Gesamtvolumen V , Teilvolumen V1 (Kubus in der linken unteren Ecke)

10.2 Wiederkehrzeit

491

wird die zuletzt beschriebene Reihenfolge (c,b,a) tats¨achlich niemals beobachtet? (ii) Wie ist die Herleitung des H-Theorems zu verstehen, nach dem die Entropie immer zunimmt?

10.2 Wiederkehrzeit Zermelo (1896)3 kn¨ upfte in seiner Kritik der Boltzmann-Gleichung an das Poincar´esche Wiederkehrzeit-Theorem4 an. Dieses besagt, daß ein abgeschlossenes, endliches konservatives System innerhalb einer endlichen Zeit – der Poincar´eschen Wiederkehrzeit τP – seiner Ausgangskonfiguration beliebig nahe kommt. Nach Zermelos Einwand d¨ urfte H(t) nicht monoton abnehmen, sondern m¨ ußte schließlich wieder zunehmen und den Wert H(0) erreichen. Zur Beurteilung dieses Einwandes sch¨ atzen wir die Wiederkehrzeit in einem Modell5 ab. Wir betrachten ein System klassischer harmonischer Oszillatoren (lineare Kette) mit Auslenkungen qn , Impulsen pn und der HamiltonFunktion (siehe QM II, Abschnitt 12.1)  N   1 2 mΩ 2 2 H= p + (qn − qn−1 ) . 2m n 2 n=1

(10.2.1)

Daraus folgen die Bewegungsgleichungen p˙ n = m¨ qn = mΩ 2 (qn+1 + qn−1 − 2qn ) .

(10.2.2)

Unter der Voraussetzung periodischer Randbedingungen, q0 = qN , liegt ein translationsinvariantes Problem vor, das durch die Fourier-Transformation  m 1/2   1 isn qn = e Q , p = e−isn Ps (10.2.3) s n N (mN )1/2 s s diagonalisiert wird. Man nennt Qs (Ps ) Normalkoordinaten (-impulse). Die periodischen Randbedingungen verlangen 1 = eisN , d.h. s = 2πl N mit ganzzahligem l. Dabei sind die Werte von s, bei denen sich l um N unterscheidet, a ogliche Wahl der Werte von l, z.B. f¨ ur ungerades N , ist: ¨quivalent. Eine m¨ l = 0, ±1, . . . , ±(N − 1)/2. Da qn und pn reell sind, folgt Q∗s = Q−s und Ps∗ = P−s . Die Fourier-Koeffizienten erf¨ ullen die Orthogonalit¨ atsrelationen  N 1 f¨ ur s − s = 2πh mit h ganz 1  isn −is n e e = ∆(s − s ) = (10.2.4) N n=1 0 sonst 3 4 5

E. Zermelo, Wied. Ann. 57, 485 (1896); ibid. 59, 793 (1896) H. Poincar´e, Acta Math. 13, 1 (1890) P.C. Hemmer, L.C. Maximon, H. Wergeland, Phys. Rev. 111, 689 (1958)

492

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

und die Vollst¨ andigkeitsrelation 1  −isn isn e e = δnn . N s

(10.2.5)

Durch Einsetzen der Transformation auf Normalkoordinaten ergibt sich H=

 1 
Ps Ps∗ + ωs2 Qs Q∗s 2 s

(10.2.6)

mit der Dispersionsrelation s ωs = 2Ω | sin | . 2

(10.2.7)

Man findet also N ungekoppelte Oszillatoren mit den Eigenfrequenzen6 ωs . Die Bewegung der Normalkoordinaten kann man am anschaulichsten durch komplexe Vektoren Zs = Ps + iωs Qs

(10.2.8)

darstellen, die sich nach Zs = as eiωs t

(10.2.9)

mit einer komplexen Amplitude as auf einem Einheitskreis bewegen (Abb. 10.2).

Abb. 10.2. Bewegung der Normalkoordinaten

Wir setzen voraus, daß die Frequenzen ωs von N − 1 solchen Normalkoordinaten inkommensurabel seien, also nicht in einem rationalen Verh¨altnis zueinander stehen. Dann rotieren die Phasenvektoren Zs voneinander unabh¨ angig, ohne Koinzidenzen. Es soll nun berechnet werden, welche Zeit verstreicht, bis alle N Vektoren wieder die Ausgangsstellung erreicht haben, genauer bis alle Vektoren in einem Intervall ∆ϕ um die Ausgangsstellung liegen. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Vektor Zs w¨ ahrend eines Umlaufs in ∆ϕ liegt, ist ∆ϕ/2π, und daß alle Vektoren in dem jeweils vorgegebenen Intervall 6

Die Normalkoordinate mit s = 0, ωs = 0 entspricht einer Translation und kann im folgenden außer Acht gelassen werden.

10.2 Wiederkehrzeit

493

liegen ist (∆ϕ/2π)N −1 . Die Zahl der f¨ ur die Wiederkehr n¨otigen Uml¨aufe ist N −1 deshalb (2π/∆ϕ) . Die Wiederkehrzeit ergibt sich daraus, indem man mit einer typischen Umlaufzeit ω1 multipliziert7

τP ≈

2π ∆ϕ

N −1 ·

1 . ω

(10.2.10)

2π Nimmt man f¨ ur ∆ϕ = 100 , N = 10 und ω = 10 Hz, so ergibt sich τP ≈ 1012 Jahre, also mehr als das Alter des Universums. Diese Zeiten werden nat¨ urlich noch viel gr¨ oßer, wenn ein makroskopisches System mit N ≈ 1020 betrachtet wird. Diese Wiederkehr gibt es zwar theoretisch, aber sie spielt praktisch keine Rolle. Damit ist Zermelos Wiederkehrzeiteinwand entkr¨aftet.

Bemerkung: Wir studieren hier noch den Zeitverlauf der L¨ osung der gekoppelten Oszillatoren. Aus (10.2.3) und (10.2.9) ergibt sich qn (t) =

 eisn  Q˙ s (0) √ Qs (0) cos ωs t + sin ωs t , ωs Nm s

(10.2.11)

woraus die folgende L¨ osung des allgemeinen Anfangswertproblems folgt qn (t) =


 q˙  (0)
 1  qn (0) cos s(n−n )−ωs t + n sin s(n−n )−ωs t . (10.2.12) N ωs  s,n

Als Beispiel betrachten wir die spezielle Anfangsbedingung qn = δn ,0 , q˙n (0) = 0, bei der nur der Oszillator an der Stelle 0 ausgelenkt ist, woraus qn (t) =


1  s  cos sn − 2Ω t | sin | N s 2

(10.2.13)

folgt. Solange N endlich ist, ist die L¨ osung quasiperiodisch. Andererseits ist im Grenzfall N →∞  π  π

 1 s  1 qn (t) = ds cos sn − 2Ω t | sin | = ds cos s2n − 2Ω t sin s 2π −π 2 π 0 
1 π = J2n (2Ω t) ∼ cos 2Ω t − πn − f¨ ur große t . (10.2.14) πΩ t 4 Jn sind Besselfunktionen8 . Die Erregung f¨ allt nicht exponentiell ab, sondern algebraisch wie t−1/2 . 7

8

Eine genauere Formel von P.C. Hemmer, L.C. Maximon, H. Wergeland5 ergibt * N−1 2π s=1 1 ∆ϕs τP = ∝ ∆ϕ2−N . N−1 ωs N s=1 ∆ϕs I.S. Gradshteyn und I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, New York, 1980, 8.4.11 u. 8.4.51

494

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

Wir machen noch einige Bemerkungen zu den Eigenschaften der L¨ osung (10.2.13) f¨ ur endliche N . Wenn zur Zeit t = 0 das nullte Atom losgelassen wird, schwingt es zur¨ uck, und die Nachbarn beginnen sich nach oben zu bewegen. Die Anregung breitet sich mit der Schallgeschwindigkeit aΩ aus; das n-te Atom, im n Abstand d = na, reagiert etwa nach der Zeit t ∼ Ω . Hier ist a die Gitterkonstante. Die Auslenkungsamplitude bleibt am nullten Atom am gr¨ oßten. In einer endlichen Kette k¨ ame es zu Echoeffekten. F¨ ur periodische Randbedingungen laufen die abgestrahlten Oszillationen wieder auf das nullte Atom zu. Durch den Grenzfall N → ∞ wird die Poincar´e-Wiederkehr vermieden. Die am Anfang vorhandene Auslenkungsenergie des 0.ten Atoms teilt sich auf die unendlich vielen Freiheitsgrade auf. Die Abnahme der Oszillationsamplitude des angeregten Atoms kommt von seinem Energie¨ ubertrag auf die Nachbarn.

10.3 Der Ursprung makroskopischer irreversibler Bewegungsgleichungen In diesem Abschnitt untersuchen wir ein mikroskopisches Modell der Brownschen Bewegung. Daran zeigt sich, daß die Irreversibilit¨at im Grenzfall unendlich vieler Freiheitsgrade auftritt. Die Herleitung von hydrodynamischen Bewegungsgleichungen wird am Ende des Abschnitts in Analogie zur Brownschen Bewegung skizziert und in Anhang H im Detail dargestellt. 10.3.1 Mikroskopisches Modell zur Brownschen Bewegung Als mikroskopisches Modell zur Brownschen Bewegung betrachten wir einen harmonischen Oszillator, der an ein harmonisches Gitter gekoppelt ist.9 Da es sich insgesamt um ein harmonisches System handelt, haben HamiltonFunktion bzw. -Operator, sowie die Bewegungsgleichungen und deren L¨osungen klassisch und quantenmechanisch die gleiche Gestalt. Wir verwenden zun¨ achst die quantenmechanische Formulierung. Im Unterschied zur Langevin-Gleichung von Abschnitt 8.1, wo auf das Brownsche Teilchen eine stochastische Kraft wirkte, werden nun die vielen stoßenden Teilchen des Gitters explizit im Hamilton-Operator und in den Bewegungsgleichungen ber¨ ucksichtigt. Der Hamilton-Operator dieses Systems lautet H = HO + HF + HW , 1 2 M Ω2 2 1  2 1 P + Q , HF = p + Φnn qn qn , 2M 2 2m n n 2  (10.3.1) nn  = cn qn Q ,

HO = HW

n 9

Die Ankopplung an ein Bad von Oszillatoren als Mechanismus f¨ ur D¨ ampfung wurde vielfach untersucht, z.B.: F. Schwabl und W. Thirring, Ergeb. exakt. Naturwiss. 36, 219 (1964); A. Lopez, Z. Phys. 192, 63 (1965); P. Ullersma, Physica 32, 27 (1966).

10.3 Der Ursprung makroskopischer irreversibler Bewegungsgleichungen

495

wobei HO der Hamilton-Operator des Oszillators mit Masse M und Frequenz Ω ist. Weiters ist HF der Hamilton-Operator des Gitters10 mit Massen m, Impulsen pn und Auslenkungen qn aus den Gleichgewichtslagen, wobei m
M sei. Die harmonischen Wechselwirkungskoeffizienten der Gitteratome sind Φnn . Die Wechselwirkung des Oszillators mit den Gitteratomen ist durch HW gegeben; die Koeffizienten cn charakterisieren die St¨arke und die Reichweite der Wechselwirkung des am Koordinatenursprungs sitzenden Oszillators. Der Vektor n numeriert die Atome des Gitters. Die aus (10.3.1) folgenden Bewegungsgleichungen lauten  ¨ = −M Ω 2 Q − MQ cn qn n

und m¨ qn = −



Φnn qn − cn Q .

(10.3.2)

n

Wir setzen periodische Randbedingungen voraus qn = qn+Ni , mit N1 = (N1 , 0, 0), N2 = (0, N2 , 0), N3 = (0, 0, N3 ), wobei Ni die Zahl der Atome ˆi ist. Wegen der Translationsinvarianz von HF f¨ in Richtung e uhren wir die folgenden Transformationen auf Normalkoordinaten und -impulse ein  1  ikan m  −ikan qn = √ e Q k , pn = e Pk . (10.3.3) N mN k

k

Die Umkehrung dieser Transformation ist durch  m  −ikan 1  ikan Qk = e qn , Pk = √ e pn N n mN n

(10.3.4)

gegeben. Die Fourier-Koeffizienten erf¨ ullen Orthogonalit¨ats- und Vollst¨andigkeitsrelation 1  i(k−k )·an 1  ik·(an −an ) e = ∆(k − k ) , e = δn,n (10.3.5a,b) N n N k



1 f¨ ur k = g . Aus den 0 sonst periodischen Randbedingungen ergeben sich folgende Werte f¨ ur den Wellenzahlvektor mit dem verallgemeinerten Kronecker-Delta ∆(k) =

k = g1 10

r1 r2 r3 + g2 + g3 mit ri = 0, ±1, ±2, ... . N1 N2 N3

Wir verwenden den Index F , weil im Grenzfall N → ∞ das Gitter in ein Feld u ¨ bergeht.

496

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

Hier haben wir noch die aus der Festk¨ orperphysik gel¨aufigen reziproken Gittervektoren eingef¨ uhrt: g1 =


2π 
2π 
2π  , 0, 0 , g2 = 0, , 0 , g3 = 0, 0, . a a a

Die Transformation auf Normalkoordinaten (10.3.3) f¨ uhrt den HamiltonOperator des Gitters in den Hamilton-Operator N ungekoppelter Oszillatoren u ¨ber HF =

 1 
† Pk Pk + ωk2 Q†k Qk , 2

(10.3.6)

k

mit den Frequenzen11 (siehe Abb. 10.3) ωk2 =

1  Φ(n) e−ikan . m n

(10.3.7)

Abb. 10.3. Die Frequenzen ωk in einer der Raumrichtungen, ωmax = ωπ/a

Aus der Invarianz desGitters gegen¨ uber infinitesimalen Translationen ergibt sich die Bedingung n Φ(n, n ) = 0, und aus der Translationsinvarianz gegen¨ uber Gittervektoren t folgt Φ(n + t, n + t) = Φ(n, n ) = Φ(n − n ). Die letzte Relation wurde bereits in (10.3.7) ben¨ utzt. Aus der ersten der beiden Relationen folgt limk→0 ωk2 = 0, d.h. die Schwingungen des Gitters sind akustische Phononen. Ausgedr¨ uckt durch die Normalkoordinaten lauten die Bewegungsgleichungen (10.3.2)  ¨ = −M Ω 2 Q − √ 1 MQ c(k)∗ Qk mN k  m 2 ¨ mQk = −mωk Qk − c(k) Q N 11

(10.3.8a) (10.3.8b)

Wir nehmen an, daß das Oszillatorpotential f¨ ur den schweren Oszillator auf der gleichen mikroskopischen Wechselwirkung wie die der Gitteratome, Φ(n, n ), g beruht. Wenn wir deren St¨ arke mit g bezeichnen, dann ist Ω = M und ωmax = g und folglich Ω ω . Die Gr¨ oßenordnung der Schallgeschwindigkeit ist max m c = aωmax .

10.3 Der Ursprung makroskopischer irreversibler Bewegungsgleichungen

497

mit c(k) =



cn e−ik an .

(10.3.9)

n

Zur weiteren Behandlung der Bewegungsgleichungen (10.3.8a,b) und der L¨osung des Anfangswertproblems f¨ uhren wir die halbseitige Fourier-Transformierte (Laplace-Transformierte) von Q(t) ein  ∞  ∞ ˜ Q(ω) ≡ dt eiωt Q(t) = dt eiωt Θ(t)Q(t) . (10.3.10a) −∞

0

Die Umkehrung dieser Gleichung lautet  ∞ ˜ Θ(t)Q(t) = dω e−iωt Q(ω) .

(10.3.10b)

−∞

F¨ ur freie oszillierende Bewegung enth¨ alt (10.3.10a) δ+ -Distributionen. Zu deren bequemeren Behandlung ist es zweckm¨ aßig  ∞ ˜ + iη) = Q(ω dt ei(ω+iη)t Q(t) , (10.3.11a) 0

mit η > 0 zu betrachten. Wenn (10.3.10a) existiert, dann erst recht (10.3.11a) wegen des Faktors e−ηt . Die Umkehrung von (10.3.11a) lautet  ∞ ˜ + iη) , d.h. e−ηt Q(t) = dω e−iωt Q(ω −∞  ∞ ˜ + iη) . Q(t)Θ(t) = dω e−i(ω+iη)t Q(ω (10.3.11b) −∞

F¨ ur die in (10.3.11a,b) auftretende komplexe Frequenz f¨ uhren wir z ≡ ω + iη ein. Das Integral (10.3.11b) bedeutet in der komplexen z-Ebene einen um iη oberhalb der reellen Achse liegenden Integrationsweg 

∞+iη

Q(t)Θ(t) =

˜ dz e−izt Q(z) .

(10.3.11b )

−∞+iη

Die Bildung der halbseitigen Fourier-Transformation der Bewegungsgleichung (10.3.8a) ergibt f¨ ur den ersten Term  ∞  ∞ d2 ∞ ˙ ˙ dt eizt 2 Q(t) = eizt Q(t)| − iz dt eizt Q(t) 0 dt 0 0 ˙ ˜ = −Q(0) + izQ(0) − z 2 Q(z) . Insgesamt erhalten wir f¨ ur die halbseitige Fourier-Transformierte der Bewegungsgleichungen (10.3.8a,b)

498

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht



 1  ˜ ˜ k (z) + M Q(0) ˙ M −z 2 + Ω 2 Q(z) = −√ c(k)∗ Q − iz Q(0) mN k (10.3.12) 

 ˜ k (z) = − m c(k) Q(z) ˜ m −z 2 + ωk2 Q + m Q˙ k (0) − izQk (0) . N (10.3.13) ˜ k (z) und Ersetzen der Anfangswerte Qk (0), Q˙ k (0) Die Elimination von Q durch qn (0), q˙n (0) ergibt  ˜ ˙ D(z) Q(z) = M Q(0) − iz Q(0) −


 m  e−ik an c(k)∗ q˙n (0) − iz qn (0) (10.3.14) 2 2 N n m(−z + ωk ) k

mit D(z) ≡


 1  |c(k)|2 M −z 2 + Ω 2 + . N m(z 2 − ωk2 )

(10.3.15)

k

Wir beschr¨ anken uns nun auf den klassischen Fall. Setzen wir die speziellen Anfangswerte der Gitteratome qn (0) = 0, q˙n (0) = 0 f¨ ur alle n ein,12 dann folgt ˜ Q(z) =

˙ M (Q(0) − izQ(0)) .  2 2 2 −M z 2 + M Ω 2 − k |c(k)| m N /(−z + ωk )

Daraus erh¨ alt man in der Zeitdarstellung   dω −izt ˜ Θ(t)Q(t) = e Q(z) = −i g(ων ) e−iων t , 2π ν

(10.3.16)

(10.3.17)

˜ wo ων die Pole von Q(z) und g(ων ) die Residuen sind.13 Die L¨osung ist also quasiperiodisch. Man k¨ onnte auch hieran ankn¨ upfend die Poincar´e-Zeit analog zum vorhergehenden Abschnitt absch¨ atzen. Im Grenzfall großer Teilchenzahl N k¨ onnen Summen u ¨ ber k durch Integrale ersetzt werden, und es kann sich ein anderes analytisches Verhalten 12

13

In der Quantenmechanik m¨ ußte man statt dessen den Erwartungswert von (10.3.14) nehmen und qn (0) = q˙n (0) = 0 einsetzen. In Aufgabe 10.6 wird die Kraft auf den Oszillator durch die Gitterteilchen, wenn sich diese im thermischen Gleichgewicht befinden, untersucht. ˜ Die Pole von Q(z), z ≡ ω + iη , sind reell, liegen also in der komplexen ωEbene unterhalb der reellen Achse. (10.3.17) folgt mit dem Residuensatz durch Schließen der Integration in der unteren Halbebene.

10.3 Der Ursprung makroskopischer irreversibler Bewegungsgleichungen

ergeben:14 a3 D(z) = −M z + M Ω + m 2

2



d3 k |c(k)|2 . (2π)3 z 2 − ωk2

499

(10.3.18)

Das k-Integral erstreckt sich u ¨ ber die erste Brillouin-Zone: − πa ≤ ki ≤ πa . Zur einfachen Auswertung des k-Integrals ersetzen wir den Integrationsbereich
3 1/3 2π durch eine Kugel gleichen Volumens mit Radius Λ = 4π a und ersetzen die Dispersionsrelation durch ωk = c|k| mit der Schallgeschwindigkeit c. Dann folgt "   Λc Λc a3 1 dν ν 2 a3 1 2 |c(ν)| = − dν|c(ν)|2 + m 2π 2 c3 0 z 2 − ν 2 m 2π 2 c3 0 #  ∞  ∞ dν |c(ν)|2 dν |c(ν)|2 2 2 +z −z (10.3.19) z2 − ν2 z2 − ν2 0 Λc mit ν = c|k|. Wir diskutieren nun die letzte Gleichung Term f¨ ur Term mit der Vereinfachung |c(ν)|2 = g 2 entsprechend cn = gδn,0 . 1. Term von (10.3.19):  Λc a3 1 − dν|c(ν)|2 = −g 2 Λc (10.3.20) m 2π 2 c3 0 Dies ergibt eine Renormierung der Oszillatorfrequenz  a3 1 ω ¯ = Ω 2 − g 2 Λc . m2π 2 c3 M

(10.3.21)

2. Term von (10.3.19) und Auswertung mittels des Residuensatzes  ∞ a3 1 dν 2 2 g z = −M Γ i z (10.3.22) 2 3 2 m 2π c z − ν2 0 g 2 a3 1 m Γ = = cΛ . (10.3.23) 3 4πmc M M Der dritte Term von (10.3.19) r¨ uhrt von den hohen Frequenzen her und be¨ einflußt das Kurzzeitverhalten. Dessen Effekt wird in Ubungsaufgabe 10.5 mittels einer kontinuierlichen Abschneidefunktion behandelt. Wenn man diesen außer Acht l¨ aßt, erh¨ alt man aus (10.3.16)
2 
 ˜ ˙ −z + ω ¯ 2 − iΓ z Q(z) = M Q(0) − izQ(0) , (10.3.24) 14

Um herauszufinden, in welchem Verh¨ altnis t und N sein m¨ ussen, damit der Grenzwert N → ∞ auch f¨ ur endliches N verwendet werden kann, muß die N −Abh¨ angigkeit der Pole ων aus D(z) = 0 bestimmt werden. Der Abstand der Polstellen ων untereinander ist ∆ων ∼ N1 , und die Werte der Residuen sind von
 N der Gr¨ oße O N1 . Die Frequenzen ων erf¨ ullen ων+1 − ων ∼ ωmax . F¨ ur t ωmax N iων t variieren die Phasenfaktoren e nur wenig mit ν, und es kann die Summe in (10.3.17) u ¨ ber ν durch ein Integral ersetzt werden.

500

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

und nach Transformation in den Zeitraum f¨ ur t > 0 folgende Bewegungsgleichung f¨ ur Q(t)

2  d d 2 +ω ¯ +Γ Q(t) = 0 . (10.3.25) dt2 dt Durch die Ankopplung an das Oszillatorenbad kommt es zum Reibungsglied und zur irreversiblen ged¨ampften Bewegung. Z.B. seien die Anfangswerte ˙ = 0) = Q(0) ˙ Q(0) = 0, Q(t (f¨ ur die Gitteroszillatoren wurde schon fr¨ uher qn (0) = q˙n (0) = 0 gesetzt), dann folgt aus Gl. (10.3.24) f¨ ur  ∞ ˙ dω e−izt Q(0) Θ(t) Q(t) = (10.3.26) 2 2 ¯ − iΓ z −∞ 2π −z + ω und mittels des Residuensatzes Q(t) = e−Γ t/2 mit ω0 =

; ω ¯2 −

sin ω0 t ˙ Q(0) , ω0

(10.3.27)

Γ2 4 .

Die Bedingungen bei der Herleitung der irreversiblen Bewegungsgleichung (10.3.25) waren: N a) Beschr¨ ankung auf Zeiten t
ωmax .15 Das bedeutet f¨ ur große N praktisch keine Einschr¨ ankung, denn der exponentielle Zerfall geht sehr viel rascher vor sich. b) Die Trennung in makroskopische Variable ≡ schwerer Oszillator (Masse M ) und mikroskopische Variable ≡ Gitteroszillatoren (Masse m) f¨ uhrt m wegen M
1 zur Zeitskalentrennung

Ω
ωmax , Γ
ωmax . Die Zeitskalen der makroskopischen Variablen sind 1/Ω, 1/Γ . Die Irreversibilit¨ at (exponentielle D¨ ampfung) entsteht im Grenz¨ ubergang N → ∞. Um auch f¨ ur beliebig große Zeiten Irreversibilit¨at zu erhalten, muß zuerst der Grenz¨ ubergang N → ∞ durchgef¨ uhrt werden. 10.3.2 Mikroskopische zeitumkehrbare und makroskopische irreversible Bewegungsgleichungen, Hydrodynamik Die Herleitung hydrodynamischer Bewegungsgleichungen (Anhang H) direkt aus den mikroskopischen basiert auf den folgenden Elementen. (i) Ausgangspunkt sind die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Erhaltungsgr¨oßen und die Bewegungsgleichungen f¨ ur die unendlich vielen Nichterhaltungsgr¨ oßen. 15

Diese zwar großen Zeiten sind sehr viel kleiner als die Poincar´e-Wiederkehrzeit.

10.4 Master-Gleichung und Irreversibilit¨ at in der Quantenmechanik

501

(ii) Eine wichtige Voraussetzung ist die Zeitskalentrennung ck
ωn.e., d.h. die charakteristischen Frequenzen der Erhaltungsgr¨oßen ck sind sehr viel langsamer als die typischen Frequenzen der nicht erhaltenen Gr¨oßen ωn.e., analog der ωλ (λ > 5) in der Boltzmann-Gleichung, Abschn. 9.4.4. Dies erlaubt die Elimination der raschen Variablen. Bei der analytischen Durchf¨ uhrung in Anhang H geht man von den Bewegungsgleichungen f¨ ur die sog. Kubo-Relaxationsfunktion φ aus und erh¨alt Bewegungsgleichungen f¨ ur die Relaxationsfunktionen der Erhaltungsgr¨oßen. Aus der Eins-zu-eins-Korrespondenz von Bewegungsgleichungen f¨ ur φ und den zeitabh¨ angigen Erwartungswerten von Operatoren unter dem Einfluß einer St¨ orung ergeben sich die hydrodynamischen Gleichungen f¨ ur die Erhaltungsgr¨ oßen. Die u außern sich in D¨ampfungstermen, die ¨brigen Variablen ¨ durch Kubo-Formeln ausdr¨ uckbar sind. ∗

10.4 Master-Gleichung und Irreversibilit¨ at 16 in der Quantenmechanik Wir betrachten ein isoliertes System und seine Dichtematrix zur Zeit t mit den Wahrscheinlichkeiten wi (t)  (t) = wi (t) |i i| . (10.4.1) i

Die Zust¨ ande |i seien Eigenzust¨ ande des Hamilton-Operators H0 . Dabei m¨ogen die Quantenzahlen i die Energie Ei und eine Reihe von weiteren Quantenzahlen νi beinhalten. Auf das System oder innerhalb dessen wirke weiters ¨ eine St¨ orung V , die Uberg¨ ange zwischen den Zust¨ anden bewirkt, also ist der gesamte Hamilton-Operator H = H0 + V .

(10.4.2)

Zum Beispiel k¨ onnte f¨ ur ein fast ideales Gas H0 die kinetische Energie bedeuten und V die Wechselwirkung, welche zu den St¨oßen der Atome f¨ uhrt. Wir betrachten nun die Zeitentwicklung von  aufgrund von (10.4.1) und bezeichnen den Zeitentwicklungsoperator mit U (τ ). Nach der Zeit τ hat die Dichtematrix die Form  (t + τ ) = wi (t)U (τ ) |i i| U † (τ ) i

=

 i

=

j,k

 i

16

wi (t) |j j| U (τ ) |i i| U † (τ ) |k k| ∗ wi (t) |j k| Uji (τ ) Uki (τ ) ,

j,k

W. Pauli, Sommerfeld Festschrift, S. Hirzel, Leipzig, 1928, S.30.

(10.4.3)

502

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

wo die Matrixelemente Uji (τ ) ≡ j| U (τ ) |i

(10.4.4)

eingef¨ uhrt wurden. Wir nehmen an, daß das System, selbst wenn es noch so gut isoliert ist, durch schwachen Kontakt mit anderen makroskopischen Systemen faktisch in jedem Zeitpunkt einer Mittelung seiner Phasen unterliegt. Dies entspricht der Spurbildung u ¨ber weitere an das System gekoppelte und nicht beachtete Freiheitsgrade.17 Dann geht die Dichtematrix (10.4.3) in  ∗ wi (t) |j j| Uji (τ )Uji (τ ) (10.4.5) i

j

u ur den Zustand ¨ber. Vergleich mit (10.4.1) zeigt, daß die Wahrscheinlichkeit f¨ |j deshalb zur Zeit t + τ  wj (t + τ ) = wi (t)|Uji (τ )|2 i

¨ ist, und die Anderung der Wahrscheinlichkeit ist 
 wj (t + τ ) − wj (t) = wi (t) − wj (t) |Uji (τ )|2 ,

(10.4.6)

i

 wo wir i |Uji (τ )|2 = 1 ben¨ utzten. Auf der rechten Seite verschwindet der Term i = j. Wir ben¨ otigen deshalb nur die Nichtdiagonalelemente von Uij (τ ), f¨ ur die wir die goldene Regel18 verwenden k¨ onnen: 1 |Uji (τ )| = 2
2



sin ωij τ /2 ωij /2

2 | j| V |i |2 = τ

2π δ(Ei − Ej )| j| V |i |2
(10.4.7)

mit ωij = (Ei −Ej )/
. Die G¨ ultigkeitsgrenzen der goldenen Regel sind ∆E 2π
δε, wo ∆E die Breite der Energieverteilung der Zust¨ande und δε der τ Abstand der Energieniveaus ist. Aus (10.4.6) und (10.4.7) folgt  2π dwj (t) 
= wi (t) − wj (t) δ(Ei − Ej )| j| V |i |2 . dt
i 17

18

Wenn z. B. mit jedem Zustand |j des Systems ein Zustand |2, j dieser u ¨ brigen makroskopischen Freiheitsgrade verbunden ist, so daß die Beitr¨ age zur gesamten Dichtematrix von der Form |2, j |j k| 2, k| sind, so f¨ uhrt die Spurbildung u ¨ber 2 auf die Diagonalform |j j|. Diese durch die Umwelt eingef¨ uhrte Stochastizit¨ at ist der entscheidende und subtile Schritt in der Herleitung der Mastergleichung. Vergl. dazu N.G. van Kampen, Physica 20, 603 (1954) und Fortschritte der Physik 4, 405 (1956). QM I, Gl. (16.36)

10.4 Master-Gleichung und Irreversibilit¨ at in der Quantenmechanik

503

Wie schon eingangs betont wurde, faßt der Index i ≡ (Ei , νi ) die Quantenzahlen der Energie und νi die große Menge aller u ¨ brigen Quantenzahlen zusammen. Die Summe u ¨ ber die Energieeigenwerte auf der rechten Seite kann gem¨ aß   · · · = dEi (Ei ) · · · Ei

durch ein Integral mit der Zustandsdichte (Ei ) ersetzt werden und man erh¨ alt unter Ausn¨ utzung der δ-Funktion: dwEj νj (t)  2π = (wEj ,νi − wEj ,νj ) (Ej )| Ej , νj | V |Ej , νi  |2 . (10.4.8) dt
ν i

Mit den Koeffizienten λEj ,νj ;νi =

2π (Ej )| Ej , νj | V |Ej , νi  |2 ,


(10.4.9)

folgt die Paulische Master-Gleichung
 dwEj νj (t)  = λEj ,νj ;νi wEj ,νi (t) − wEj ,νj (t) . dt ν

(10.4.10)

i

Diese Gleichung ist von der allgemeinen Struktur  p˙ n = (Wn n pn − Wn n pn ) ,

(10.4.11)

n

¨ wobei die Ubergangsraten Wn n = Wn n die Bedingung des sog. detaillierten Gleichgewichts19 eq Wn n peq n = Wn n pn

(10.4.12)

eq f¨ ur das mikrokanonische Ensemble, peq ur alle n und n , erf¨ ullen. F¨ ur n = pn f¨ Gleichung (10.4.11) kann man allgemein zeigen, daß sie irreversibel ist, und daß die Entropie  S=− pn log pn (10.4.13) n

anw¨ achst. Mit (10.4.11) ist  S˙ = − (pn log pn ) Wn n (pn − pn ) n, n

=




  Wn n pn (pn log pn ) − (pn log pn ) .

n,n 19

Siehe QM II, nach Gl. (4.2.17).

504

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

Durch Vertauschung der Summationsindizes n und n und mit Hilfe der Symmetrierelation Wn n = Wn n erh¨ alt man
 1 S˙ = Wn n (pn − pn ) (pn log pn ) − (pn log pn ) > 0 , (10.4.14) 2  n,n

wobei die Ungleichung aus der Konvexit¨ at von x log x (Abb. 10.4) folgt. Die Entropie w¨ achst solange an, bis pn = pn f¨ ur alle n und n . Dabei ist ange nommen, daß alle n und n u ¨ber eine Kette von Matrixelementen verbunden sind. Das durch die Mastergleichung (10.4.10) beschriebene abgeschlossene System geht ins mikrokanonische Gleichgewicht u ¨ber.

Abb. 10.4. Die Funktion f (x) = x log x ist konvex, (x − x)(f  (x ) − f  (x)) > 0.

10.5 Wahrscheinlichkeit und Phasenraumvolumen ∗

10.5.1 Wahrscheinlichkeit und Zeitabstand großer Fluktuationen

Im Rahmen der statistischen Mechanik des Gleichgewichts berechnet man die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß das System von sich aus eine Zwangsbedingung einnimmt. In Zusammenhang mit dem Gay-Lussac-Versuch fanden wir die Wahrscheinlichkeit, ein System mit fester Teilchenzahl N , das ein Volumen V zur Verf¨ ugung hat, nur in einem Teilvolumen V1 zu finden (Gl. (3.5.5)) W (E, V1 ) = e−(S(E,V )−S(E,V1 ))/k .

(10.5.1)

F¨ ur ein ideales Gas20 ist die Entropie S(E, V ) = kN (log NVλ3 + 52 ). Da E = 3 2 N kT , 20

T

bleibt λT bei der Expansion unge¨ andert und es folgt W (E, V1 ) =

Kapitel 2

10.5 Wahrscheinlichkeit und Phasenraumvolumen

505

1 e−N log . Es ist log VV1 = log V −(VV −V1 ) ≈ V −V f¨ ur kleine Verdichtung. Bei V großer Verdichtung, V1 0 nicht mehr typisch f¨ ur den Makrozustand M (t) (bzw. den lokalen Gleichgewichtszustand), der dann vorhanden ist. Der Phasenraum dieser Zust¨ ande ist gleich groß wie der Phasenraum zur Zeit t = 0, ist also wesentlich kleiner als der aller Zust¨ ande, die den Makrozustand zur Zeit t > 0 repr¨ asentieren. Der Zustand Tt X enth¨ alt komplizierte Korrelationen. Die typischen Mikrozust¨ ande von M (t) haben diese Korrelationen nicht. Ersichtlich werden diese Korrelationen bei einer Zeitumkehr. In zeitlicher Vorw¨ artsrichtung hingegen ist die Zukunft eines derartigen untypischen Mikrozustandes genauso wie die der typischen.

512

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

Abb. 10.6. Entropie als Funktion der Zeit bei der Expansion eines Computergases aus 864 Atomen. Im Anfangsstadium liegen alle Kurven aufeinander. (1) Ungest¨ orte Expansion von V1 auf V (durchgezogene Linie). (2) Zeitumkehr bei t = 94.4 (gestrichelte Linie), System kehrt in den Anfangszustand zur¨ uck und die Entropie zu ihrem Anfangswert. (3) St¨ orung $ bei t = 18.88 und Zeitumkehr bei t = 30.68. Das System kommt dem Anfangszustand nahe (punktierte Linie). (4) St¨ orung $ bei t = 59 und Zeitumkehr bei t = 70.8 (strichpunktierte Linie). Nur u ¨ ber kurze Zeit nach der Zeitumkehr nimmt die Entropie ab und erh¨ oht sich dann auf den Gleichgewichtswert.30

t alle Geschwindigkeiten umkehrt, dann laufen die Teilchen ihren urspr¨ unglichen Weg wieder zur¨ uck und kommen nach einem weiteren Zeitintervall t wieder in der Anfangskonfiguration an, und die Entropie nimmt auf ihren Anfangswert ab, Abb. 10.6 (2). Obwohl bez¨ uglich seiner Ortsverteilung das in Abbildung 10.1 c) dargestellte Gas v¨ ollig ungeordnet aussieht, und in seiner Bewegung in positiver Zeitrichtung keine Besonderheiten erkennen l¨ aßt, ist durch den speziellen, nur einen Bruchteil des Phasenraums ausn¨ utzenden Anfangszustand, in dem hochgradige r¨aumliche Einschr¨ankungen vorhanden sind, ein Zustand entstanden, der subtile Korrelationen der Geschwindigkeiten der Teilchen enth¨ alt. Nach der Zeitumkehr (v → −v) bewegen sich die Teilchen in einer verschworenen“ Weise, so daß sie sich ” schließlich alle wieder im r¨ aumlichen Untervolumen zusammenfinden.31 Es ist offensichtlich so, daß der eingangs definierte Anfangszustand im Laufe 30

31

Es muß hier auf einen unrealistischen Zug der Computerexperimente hingewiesen werden. Die Probe ist so klein, daß innerhalb einer Equilibrierungszeit 10 τ0 nur wenige St¨ oße stattfinden. Die Abnahme der Entropie nach St¨ orung und Zeitumkehr kommt prim¨ ar von Atomen, die noch u ¨berhaupt nicht gestoßen haben. Daher r¨ uhrt der große Unterschied der Kurven (3) und (4). Die zugeh¨ orige vergr¨ oberte Boltzmann-Entropie (10.7.1) nimmt nach der Zeitumkehr wieder ab, Kurve (2) in Abb. 10.6. Ein derartiger Zeitablauf wird durch die Boltzmann-Gleichung nicht beschrieben und wird auch in der Natur niemals beobachtet.

10.7 Irreversibilit¨ at und Zeitumkehr

513

der Zeit zu einem Zustand f¨ uhrt, der nicht typisch ist f¨ ur ein Gas mit der in Abb. 10.1 c) ersichtlichen Dichte und einer Maxwell-Verteilung. Ein typischer Mikrozustand f¨ ur ein derartiges Gas w¨ urde sich nach Zeitumkehr niemals in ein Teilvolumen verdichten. Zust¨ ande, die sich so korreliert entwickeln und nicht typisch sind, werden wir als Quasigleichgewichtszust¨ande 32 bezeichnen, im Zwischenbereich der Zeitentwicklung auch als lokale Quasigleichgewichtszust¨ ande. Quasigleichgewichtszust¨ ande sind so beschaffen, daß ihr makroskopisches Erscheinungsbild nicht invariant unter Zeitumkehr ist. Obwohl diese Quasigleichgewichtszust¨ ande eines isolierten Systems zweifellos existieren und deren zeitumgekehrte Gegenst¨ ucke im Computerexperiment visualisiert werden k¨ onnen, so scheinen letztere in der Realit¨at keine Bedeutung zu haben. Weshalb hat Boltzmann doch recht, daß die Entropie SB bis auf kleine Fluktuationen immer monoton anw¨ achst? Zun¨ achst muß man sich klar machen, daß die Zahl der Quasigleichgewichtszust¨ ande X, die zu einem bestimmten Makrozustand geh¨oren, um vieles geringer ist als die Zahl der typischen Mikrozust¨ande, die diesen Makrozustand repr¨ asentieren. Das Phasenraumvolumen des Makrozustandes M mit Volumen V ist |ΓM(V ) |. Hingegen ist das Phasenraumvolumen der Quasigleichgewichtszust¨ ande gleich dem Phasenraumvolumen |ΓM(V1 ) |, aus dem sie durch Expansion entstehen und bei Zeitumkehr wieder zur¨ uckkehren, und es gilt |ΓM(V1 ) |
|ΓM(V ) |. Das bedeutet, wenn man ein System in einem bestimmten Makrozustand pr¨ apariert, wird der dabei entstandene Mikrozustand niemals, von sich aus zuf¨ allig, oder mit Absicht einer der zeitumgekehrten Quasigleichgewichtszust¨ ande, wie T Tt X, sein. Die einzige M¨oglichkeit einen solchen untypischen Zustand zu erzeugen ist tats¨achlich, ein Gas expandieren zu lassen, und dann alle Geschwindigkeiten umzukehren, d.h. T Tt X zu produzieren. Somit k¨ onnte man gegen das Loschmidt-Paradoxon lakonisch einwenden, daß es in der Praxis (im realen Experiment) nicht m¨oglich ist, die Geschwindigkeiten von 1020 Teilchen umzukehren. Es kommt aber noch eine weitere Unm¨ oglichkeit hinzu, die verhindert, daß Zust¨ande auftreten, in denen die Entropie abnimmt. Wir haben bisher nicht beachtet, daß es unm¨oglich ist, ein System v¨ ollig zu isolieren. Es sind immer ¨außere St¨orungen vorhanden, wie Strahlung, Sonnenflecken oder der ver¨ anderliche Gravitationseinfluß der u ¨ brigen Materie. Der letzte Effekt wird in Abschnitt 10.7.3 abgesch¨atzt. Selbst wenn es gel¨ ange, alle Geschwindigkeiten umzukehren, w¨ urde zwar kurzzeitig die Entropie abnehmen, aber durch die ¨ außeren St¨orungen w¨ urde sich das System in k¨ urzester Zeit (etwa 10 τ ) so ver¨ andern, daß seine Entro¨ pie wieder anw¨ achst. Außere St¨ orungen f¨ uhren Quasigleichgewichtszust¨ande ¨ in typischere Repr¨ asentanten des Makrozustands u St¨orungen ¨ ber. Außere m¨ogen zwar so schwach sein, daß sie in der Energiebilanz keine Rolle spielen, sie f¨ uhren aber quantenmechanisch zu einer Randomisierung der Phasen und klassisch zu geringf¨ ugigen Abweichungen der Trajektorien, so daß das 32

J.M. Blatt, An Alternative Approach to the Ergodic Problem, Prog. Theor. Phys. 22, 745 (1959)

514

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

System schon nach einer geringen Zahl von St¨ oßen seine Erinnerung an den Anfangszustand verliert. Dieser drastische Effekt ¨ außerer St¨orungen ist eng verbunden mit der in der klassischen Mechanik wohlbekannten sensitiven Abh¨ angigkeit von den Anfangsbedingungen, welche auch verantwortlich f¨ ur das deterministische Chaos ist. In den Kurven 3 und 4 von Abb. 10.6 wurde das System zu den Zeiten t = 23.6 und t = 59 gest¨ ort und danach die Zeitumkehrtransformation durchgef¨ uhrt. ¨ Die St¨ orung bestand in einer geringen Anderung der Geschwindigkeitsrichtungen der Teilchen, wie sie auch durch energetisch vernachl¨ assigbare Gravitationseinfl¨ usse verursacht wird (Abschnitt 10.7.3). Bei der fr¨ uheren Zeit kommt das System dem Anfangszustand noch nahe und die Entropie nimmt ab, dann w¨ achst die Entropie wieder an. Bei der sp¨ ateren Zeit kommt es nur f¨ ur eine kurze Periode zu einer Abnahme der Entropie.

Es ist anschaulich klar, daß jede St¨ orung aus dem untypischen Bereich wegf¨ uhrt, da der Phasenraum der typischen Zust¨ ande um vieles gr¨oßer ist. Das weist auch darauf hin, daß die St¨orungen umso effizienter sind, je n¨aher man dem Quasigleichgewicht ist. Denn statistisch betrachtet ist das Mißverh¨ altnis von der Zahl der typischen und untypischen Zust¨ande dann umso gr¨oßer und die Wahrscheinlichkeit durch die St¨ orung in einen wesentlich typischeren Zustand zu gelangen gr¨ oßer. Signifikanter ist allerdings, daß die Zahl der St¨ oße die die Teilchen des Systems erfahren mit der Zeit enorm anw¨achst. Pro τ0 ist die Zahl der St¨ oße τ0 /τ ≈ 105 . Und alle diese St¨oße m¨ ußten bei einer Zeitumkehrtransformation wieder pr¨ azise in umgekehrter Richtung durchlaufen werden, damit der Anfangszustand wieder erreicht wird. Bemerkungen: (i) Stabilit¨ at der irreversiblen makroskopischen Relaxation: Die untersuchten schwachen St¨ orungen haben auf die Zeitentwicklung in Zukunftsrichtung in makroskopischer Hinsicht keine Auswirkung. Aus dem Zustand Tt X wird durch die St¨ orung ein typischerer Zustand, der genauso wie Tt X weiter in das Gleichgewicht (Quasigleichgewicht) relaxiert. Die Zeitumkehrung eines derartigen typischeren Zustands f¨ uhrt aber auf einen Zustand, der h¨ ochstens f¨ ur kurze Zeit eine Entropieabnahme zeigt, und danach nimmt die Entropie wieder zu. (Auch wenn man zuerst umkehrt und dann st¨ ort, wird sich dies ¨ ahnlich auswirken.) Bei der Zeitentwicklung Tt (Tt X) laufen die Teilchen r¨ aumlich auseinander; im Γ -Raum l¨ auft X in Regionen mit insgesamt gr¨ oßerem Phasenraumvolumen, hier ¨ andert eine ¨ außere R¨ uttelei nichts. Bei Tt (T Tt X) laufen die Teilchen auf ein engeres Gebiet zusammen. Alle Geschwindigkeiten und Positionen m¨ ussen aufeinander abgestimmt sein, damit sich der unwahrscheinliche Anfangszustand wieder einstellt. In Vorw¨ artsrichtung ist die makroskopische Zeitentwicklung stabil gegen St¨ orungen aber in der zeitumgekehrten ist sie sehr instabil. (ii) Der Argumentation Boltzmanns folgend, ist die Erkl¨ arung von Irreversiblilt¨ at probabilistisch. Die Grundgesetze sind nicht irreversibel, aber der Anfangszustand des Systems in einem Expansionsexperiment ist speziell. Dieser Anfangszustand ist sehr unwahrscheinlich. Damit ist gemeint, daß ihm nur ein sehr kleines Volumen des Phasenraums entspricht und dementsprechend eine kleine Entropie. Die Zeitentwicklung f¨ uhrt dann in Regionen mit insgesamt großem Volumen (und auch großer Entropie), entsprechend einem wahrscheinlicheren Makrozustand des Systems mit langer Verweilzeit. Im Prinzip w¨ urde das System nach utopisch langer Zeit wieder in seinen unwahrscheinlichen Anfangszustand zur¨ uckkehren; nur wird

10.7 Irreversibilit¨ at und Zeitumkehr

515

man das niemals erleben. Sobald man in der Theorie den Grenzfall unendlicher Teilchenzahl einf¨ uhrt, geht diese Wiederkehrzeit sogar gegen Unendlich. In diesem Grenzfall hat man keine Wiederkehr, und vollst¨ andige Irreversibilit¨ at. (iii) Die Signifikanz der a orungen f¨ ur die Relaxation in das Gleichge¨ußeren St¨ wicht statt nur ins Quasigleichgewicht geht in Hand mit der Begr¨ undung der Notwendigkeit der Beschreibung realer Systeme durch statistische Ensembles in Kap. 2. Man k¨ onnte sich noch fragen, was in einem idealisierten, streng isolierten System gesch¨ ahe. Dessen Mikrozustand w¨ urde sich im Laufe der Zeit in einen Quasigleichgewichtszustand entwickeln, der in seinem makroskopischen Verhalten nicht unterscheidbar w¨ are von f¨ ur den entstandenen Makrozustand typischen Mikrozust¨ anden. Man k¨ onnte deshalb auch in dieser Situation aus rechnerischer Bequemlichkeit statt des einen Zustandes wieder eine Dichtematrix verwenden.

¨ ¨ Damit haben wir die wichtigsten Uberlegungen zum irreversiblen Ubergang ins Gleichgewicht und das damit verbundene Ansteigen der BoltzmannEntropie abgeschlossen. Die n¨ achsten Teilabschnitte enthalten noch zus¨atzliche Betrachtungen und Absch¨ atzungen. 10.7.2 Beschreibung des Expansionsexperiments im µ-Raum Es ist instruktiv, das isolierte Expansionsexperiment auch im Boltzmannschen µ-Raum zu beschreiben, und im Detail Gibbssche und Boltzmannsche Entropie zu vergleichen, Abb. 10.7. Im Ausgangszustand befinden sich alle Atome in dem kleinen Teilvolumen V1 . Die Einteilchenverteilungsfunktion ist in diesem uniform und verschwindet außerhalb. Die Teilchen sind weitgehend unkorreliert, d.h. die Zweiteilchenverteilungsfunktion erf¨ ullt f2 (x1 , v1 , x2 , v2 ) − f (x1 , v1 )f (x2 , v2 ) = 0 und auch h¨ ohere Korrelationsfunktionen verschwinden. Bei der Expansion breitet sich f auf das gesamte Gebiet aus. Wie schon in Zusammenhang mit dem Stoßzahlansatz bei der Herleitung der

.... . . ... .. . . ..

. . i

i (x1 , p1 , . . . , xN , pN ) i SG i f (x, p) i SB Teilchen unkorreliert

→

→ = →
0.

10.5 Mikroskopisches Modell zur Brownschen Bewegung. (a) Berechnen Sie die inverse Greensche Funktion f¨ ur das in Abschnitt 10.3 behandelte Modell, indem Sie eine kontinuierliche Abschneide-Funktion c(k) verwenden:  a3 |c(k)|2 D(z) = −M (z 2 + Ω 2 ) + d3 k 2 3 m(2π) z − |ck|2 mit |c(k)|2 = g 2

Λ2 . k2 + Λ2

(b) Bestimmen Sie f¨ ur große Werte von Λ die Pole von D(z)−1 . (c) F¨ uhren Sie die Integration in der L¨ osung der Bewegungsgleichung ∞ Θ(t)Q(t) = −∞

dω −izt ˙ e D(z)−1 M (Q(0) − izQ(0)) , 2π

aus, indem Sie die Residuen f¨ ur große Λ bis zur Ordnung O(Λ−2 ) entwickeln. Vergleiche auch P.C. Aichelburg und R. Beig, Ann. Phys. 98, 264 (1976).

Aufgaben zu Kapitel 10

521

10.6 Stochastische Kr¨afte im mikroskopischen Modell der Brownschen Bewegung. (a) Zeigen Sie, daß f¨ ur das in Abschn. 10.3 besprochene Modell eines an ein Bad leichter Teilchen gekoppelten schweren Teilchens, das schwere Teilchen einer von den Anfangsbedingungen der leichten Teilchen abh¨ angigen Kraft K(t) ausgesetzt ist, deren halbseitige Fourier-Transformierte  ∞ ˜ K(z) = dt eizt K(t) 0

(z = ω + iη, η > 0) die Form 1 ˜ K(z) = √ mN

 k

c(k)

Q˙ k (0) − izQk (0) ωk2 − z 2

hat. (b) Berechnen Sie die Korrelationsfunktion K(t)K(t ) unter der Annahme, daß die leichten Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 im thermischen Gleichgewicht seien: Q˙ k (0)Q˙ k (0) = δk,−k kT ,

Qk (0)Qk (0) = δk,−k

kT . ωk2

F¨ uhren Sie dabei die auftretende Summe u ¨ ber k wie in (10.3.18) auf ein Integral mit einem Cutoff Λ zur¨ uck und nehmen Sie an, daß das schwere Teilchen nur an das leichte Teilchen am Ursprung koppelt: c(k) = g. Diskutieren Sie die erhaltene Korrelationsfunktion und setzen Sie den Vorfaktor in Beziehung zur der D¨ ampfungskonstanten Γ .

10.7 Zeitunabh¨angigkeit der Gibbsschen Entropie. Es sei ρ(p, q) mit (p, q) = (p1 , . . . , p3N , q1 , . . . q3N ) eine beliebige Verteilungsfunktion im Phasenraum. Zeigen Sie mit Hilfe der mikroskopischen Bewegungsgleichung (Liouville-Gleichung) ∂H ∂ρ ∂ρ ∂H + , ∂pi ∂qi ∂pi ∂qi  daß die Gibbssche Entropie SG = −k dΓ ρ log ρ station¨ ar ist: S˙ G = 0. ρ˙ = −{H, ρ} = −

10.8 Urnenmodell.37 Betrachten Sie folgenden stochastischen Prozeß: N numerierte Kugeln 1, 2, . . . N werden auf zwei Urnen verteilt. In jedem Schritt wird eine Zahl zwischen 1 und N gezogen, und die entsprechende Kugel wird aus der Urne, in der sie sich befindet, in die andere Urne gelegt. Als Zufallsvariable betrachten wir die Anzahl n der Kugeln in der ersten Urne. ¨ Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit (Ubergangswahrscheinlichkeit) Tn,n in der ersten Urne n Kugeln zu finden, falls sie im vorherigen Schritt n Kugeln enthielt.

37

Ein Modell zur Boltzmann-Gleichung und zur Irreversibilit¨ at, in dem das typische Verhalten einfacher berechnet werden kann, ist das Urnenmodell. Obwohl im Prinzip sich auch eine der Urnen auf Kosten der anderen f¨ ullen k¨ onnte, ist dieser Weg so unwahrscheinlich, daß das System mit erdr¨ uckender Wahrscheinlichkeit dem Zustand mit Gleichverteilung zustrebt und um diesen kleine Schwankungen ausf¨ uhrt. Das Urnenmodell wird hier in einer Reihe von Beispielen analysiert.

522

10. Irreversibilit¨ at und Streben ins Gleichgewicht

10.9 Betrachten Sie f¨ur das in Aufgabe 10.8 definierte Ehrenfestsche Urnenmodell die Wahrscheinlichkeit P (n, t), nach t Schritten in der ersten Urne n Kugeln zu finden. (a) K¨ onnen Sie eine Gleichgewichtsverteilung Peq (n, t) finden? Gilt detailliertes Gleichgewicht? (b) Wie verh¨ alt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit P (0, n0 |t, n) f¨ ur t → ∞? ¨ Diskutieren Sie das Ergebnis. Hinweis: Die Matrix Tn,n der Ubergangswahrscheinlichkeiten pro Zeitschritt hat die Eigenwerte λk = 1 − 2k/N , k = 0, 1, . . . , N . Außerdem antikommutiert Tn,n mit einer geeigneten Diagonalmatrix. (Definition: P (t0 , n0 |t, n) = Wahrscheinlichkeit, daß zur Zeit t n Kugeln in der ersten Urne sind, falls sich zur Zeit t0 dort n0 befanden.)

10.10 Urnenmodell und Paramagnet. Das Urnenmodell mit N Kugeln (Aufgabe 10.8 und Aufgabe 10.9) kann als Modell f¨ ur die Dynamik der Gesamtmagnetisierung N nicht wechselwirkender Ising-Spins aufgefaßt werden. Erl¨ autern Sie dies.

10.11 Urnenmodell und H-Theorem. Sei Xt die Zahl der nach t Zeitschritten in Urne 1 liegenden Kugeln und Ht =

Xt Xt N − Xt N − Xt log + log . N N N N

Studieren Sie das Zeitverhalten von Ht f¨ ur ein System mit X0 = N anhand einer Simulation. Tragen Sie dazu die Zeitentwicklung von ∆t ≡ Xt /N − 1/2 f¨ ur mehrere Realisierungen des stochastischen Prozesses auf. Was beobachten Sie? Diskutieren Sie die Beziehung Ihrer Beobachtung zum zweiten Hauptsatz.

10.12 Urnenmodell f¨ur große N . (a) Berechnen Sie den mittleren Verlauf von ∆t aus der vorigen Aufgabe f¨ ur sehr große N . Dazu ist es g¨ unstig, eine quasi-kontinuierliche Zeit τ = t/N einzuf¨ uhren und die Gr¨ oße f (τ ) = ∆Nτ zu betrachten. Stellen Sie ausgehend von der Bewegungsgleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeiten Pn (t), in der ersten Urne im Zeitschritt t n der N Kugeln zu finden, eine Differenzengleichung f¨ ur f (τ + 1/N )f (τ )=f auf. Durch Grenz¨ ubergang N → ∞ und Mittelung u ¨ ber f erhalten Sie eine Differentialgleichung f¨ ur f (τ ). (b) Berechnen Sie ebenso das Schwankungsquadrat v(τ ) ≡ f (τ )2  − f (τ )2 . Was schließen Sie f¨ ur den Verlauf der nicht gemittelten Gr¨ oße f (τ )? (c) Vergleichen Sie das erhaltene Ergebnis mit dem Resultat der Simulation aus der vorigen Aufgabe. Erl¨ autern Sie den Zusammenhang. Literatur: A. Martin-L¨ of, Statistical Mechanics and the Foundation of Thermodynamics, Springer Lecture Notes in Physics 101 (1979).

10.13 Fokker-Planck- und Langevin-Gleichung f¨ur das Urnenmodell. F¨ur das Ehrenfestsche Urnenmodell mit N Kugeln sei Xt die Anzahl der Kugeln, die sich nach t Schritten √ in der linken Urne befinden. Betrachten Sie die Zeitentwicklung von x(τ ) := N f (τ ) wo f (τ ) = XNτ /N − 12 (siehe Aufgabe 10.12). (a) Stellen Sie durch Berechnung der mittleren und mittleren quadratischen Sprungweite x(τ + N1 ) − x(τ )x(τ )=x und [x(τ + N1 ) − x(τ )]2 x(τ )=x die FokkerPlanck-Gleichung f¨ ur P (x, τ ) auf. Hierbei k¨ onnen Sie die in Aufgabe 10.12 erhaltenen Zwischenergebnisse verwenden. (b) Erkennen Sie die erhaltene Gleichung wieder? Geben Sie durch Vergleich mit dem in Kapitel 8 behandelten Fall die L¨ osung f¨ ur P (x, τ ) an und lesen die in Aufgabe 10.12 auf anderem Weg erhaltenen Ergebnisse f¨ ur f (τ ) und v(τ ) = [f (τ ) − f (τ )]2  (jeweils unter der Bedingung f (τ = 0) = f0 ) ab.

Aufgaben zu Kapitel 10

523

(c) Wie lautet die zugeh¨ orige Langevin-Gleichung? Interpretieren Sie die auftretenden Kr¨ afte. Vergleichen Sie dazu das dem nicht-stochastischen Anteil der Kraft entsprechende Potential mit der Boltzmann-Entropie SB (x) = k log |Γx | wobei Γx die Menge der Mikrozust¨ ande ist, die durch x charakterisiert werden (nutzen Sie aus, daß die Binomialverteilung f¨ ur große N durch eine Gauß-Verteilung gen¨ ahert wird).

Anhang

A Nernstsches Theorem (3. Hauptsatz) A.1 Vorbemerkungen zur historischen Entwicklung des Nernstschen Theorems Basierend auf experimentellen Befunden1 hatte Nernst (1905) urspr¨ unglich postuliert, daß Entropie¨ anderungen ∆S bei isothermen Vorg¨angen (chemi¨ schen Reaktionen, Phasen¨ uberg¨ angen, Anderungen des Druckes oder a¨ußerer Felder f¨ ur T = const) die Eigenschaft ∆S → 0 im Grenzfall T → 0 haben. Dieses Postulat wurde von Planck versch¨arft durch die Aussage S → 0 bzw. pr¨ aziser lim

T →0

S(T ) =0, N

(A.1)

wo je nach physikalischer Situation N die Zahl der Teilchen oder der Gitterpl¨atze ist. Man nennt (A.1) Nernstsches Theorem oder dritten Hauptsatz.2 Nach der statistischen Mechanik h¨ angt der Wert der Entropie am absoluten Nullpunkt, T = 0, mit der Entartung des Grundzustandes zusammen. Wir setzen voraus, daß die Grundzustandsenergie E0 g0 −fach entartet sei. Es sei P0 der Projektionsoperator auf die Zust¨ ande mit E = E0 . Dann kann die Dichtematrix des kanonischen Ensembles in der Gestalt 1

2

Die Messung der Entropie als Funktion der Temperatur T erfolgt durch Messung der spezifischen W¨ arme CX (T ) im Intervall [T0 , T ] und Integration nach Gl. T S(T ) = S0 + T0 dT CXT(T ) , wo der Wert S0 bei der Ausgangstemperatur T0 eingeht. Das Nernstsche Theorem in der Form (A.1) sagt, daß diese Konstante f¨ ur alle Systeme bei T = 0 Null ist. Das Nernstsche Theorem ist nur im Rahmen der Quantentheorie verst¨ andlich. Die Entropie von klassischen Gasen und Festk¨ orpern ist damit nicht im Einklang. Klassisch w¨ aren die Energieniveaus kontinuierlich. Z.B. ist f¨ ur einen harmoni 2
 schen Oszillator E = 12 pm + mω 2 q 2 statt E =
ω n + 12 . Die Entropie eines klassischen Kristalls, effektive ein System von harmonischen Oszillatoren, w¨ are bei T = 0 divergent, da pro Schwingungsfreiheitsgrad S = k + k log T . In diesem Sinn kann das Nernstsche Theorem durchaus als vision¨ ar angesehen werden.

526

Anhang

e−βH ρ= = Sp e−βH



e−βEn |n n| n −βEn ne

 P0 + En >E0 e−β(En −E0 ) |n n|  = g0 + En >E0 e−β(En −E0 ) (A.2)

dargestellt werden. F¨ ur T = 0 ergibt sich daraus ρ(T = 0) = f¨ ur die Entropie S(T = 0) = −klog ρ = k log g0 .

P0 g0

und somit (A.3)

Die generelle Meinung der Mathematischen Physik ist, daß der Grundzustand wechselwirkender Systeme nicht entartet sein sollte, oder daß der Entartungsgrad auf jeden Fall wesentlich geringer als die Zahl der Teilchen sein sollte. Wenn g0 = O(1) oder selbst wenn g0 = O(N ), so wird lim

N →∞

S(T = 0) =0, kN

(A.4)

d.h. f¨ ur derartige Entartungsgrade folgt das Nernstsche Theorem aus der Quantenstatistik. Im Abschnitt A.2 wird der dritte Hauptsatz allgemein formuliert unter Bedacht auf die M¨ oglichkeit einer Restentropie. Dies ist in der Praxis aus folgenden Gr¨ unden notwendig: (i) Es gibt Modellsysteme mit st¨arkerer Grundzustandsentartung (Eis, nicht wechselwirkende magnetische Momente). (ii) Eine sehr schwache Aufhebung der Entartung kann sich erst bei ganz tiefen Temperaturen bemerkbar machen. (iii) Ein ungeordneter metastabiler Zustand wird bei rascher Abk¨ uhlung eingefroren und beh¨alt eine endliche Restentropie. Wir werden diese Situationen im dritten Abschnitt besprechen. A.2 Nernstsches Theorem und thermodynamische Konsequenzen Allgemeine Formulierung des Nernstschen Theorems: S(T = 0)/N ist eine endliche Konstante, die unabh¨ angig von Parametern X, z.B. V und P ist (d.h. die Entartung ¨ andert sich nicht mit X) und S(T ) ist endlich f¨ ur endliche T . Folgerungen aus dem Nernstschen Theorem f¨ ur die spezifische W¨arme und andere thermodynamischen Ableitungen: A sei der thermodynamische Zustand, der von T = 0 ausgehend
∂Sbei  Temperaturerh¨ ohung mit konstantem X erreicht wird. Aus CX = T ∂T folgt X  S(T ) − S(T = 0) =

A

dT 0

CX (T ) . T

Daraus folgt ur CX (T ) −→ 0 f¨

T −→ 0 ,

(A.5)

A Nernstsches Theorem (3. Hauptsatz)

527

denn sonst w¨ are S(T ) = S(T = 0)+∞ = ∞. Das bedeutet, daß die W¨armekapazit¨ at jeder Substanz am absoluten Nullpunkt gegen Null geht, insbesondere gilt CP → 0, CV → 0, wie schon in Kap. 4 f¨ ur die idealen Quantengase explizit gefunden wurde. Das bedeutet, daß die spezifische W¨arme bei konstantem Druck die Gestalt CP = T x (a + bT + . . .)

(A.6)

besitzt, wo x ein positiver Exponent ist. F¨ ur die Entropie (A.5) erh¨alt man hieraus

 a bT S(T ) = S(T = 0) + T x + + ... . (A.7) x x+1 Auch andere thermodynamische Ableitungen verschwinden im Grenzfall T → 0, wie man aus Kombination von (A.7) mit thermodynamischen Beziehungen sieht. Der Ausdehnungskoeffizient α und dessen Verh¨ altnis zur isothermen Kompressibilit¨ at erf¨ ullen die Beziehungen



 1 ∂V 1 ∂S α≡ =− → 0 f¨ ur T → 0 (A.8) V ∂T P V ∂P T



 α ∂P ∂S = = → 0 f¨ ur T → 0 . (A.9) κT ∂T V ∂V T Die erste Relation sieht man, indem man (A.7) nach dem Druck ableitet





  ∂V ∂S a b T Vα= =− = −T x + + ... , (A.10) ∂T P ∂P T x x+1 die zweite Beziehung ergibt sich durch Ableitung von (A.7) nach V . Aus dem Verh¨ altnis von (A.10) und (A.6) ergibt sich Vα a =− + ... ∝ T0 . CP ax ¨ Bei einer adiabatischen Anderung des Druckes ¨ andert sich die Temperatur
 wie3 dT = VCPα T dP . Eine endliche Temperatur¨ anderung erfordert, daß dP 1 wie T ansteigt. Der absolute Nullpunkt kann daher nicht durch adiabatische Expansion erreicht werden. Zur Kl¨ arung der Frage, ob der absolute Nullpunkt erreichbar ist, beachten wir, daß K¨ uhlprozesse immer zwischen zwei Kurven X = const verlaufen, z. B. P = P1 , P = P2 (P1 > P2 ) (Siehe Abb. A.1). Der absolute Nullpunkt k¨onnte nur in unendlich vielen Schritten erreicht werden. Die adiabatische 3


∂P  ∂T

S

=−

∂S −1 ( ∂T )P = T ∂V CP = ∂S ( ∂P )T ( ∂T )P

CP TV α

528

Anhang

¨ Anderung von X f¨ uhrt zur Abk¨ uhlung. Danach muß man durch W¨armeabgabe die Entropie erniedrigen; da kein k¨ alteres W¨ armebad vorhanden ist, geht das bestenfalls bei T = const. Wenn eine Substanz mit dem in Abb. A.2 dargestellten T − S Diagramm existierte, also, entgegen dem dritten Hauptsatz, S(T = 0) von X abh¨ angig w¨ are, dann k¨ onnte man den absoluten Nullpunkt erreichen.

Abb. A.1. Ann¨ aherung an den absoluten Nullpunkt durch wiederholte adiabatische Ver¨ anderung (z.B. adiabatische Expansion)

Abb. A.2. Hypothetische Adiabaten, die den dritten Hauptsatz verletzen w¨ urden

A.3 Restentropie, Metastabilit¨ at etc In diesem Abschnitt betrachten wir Systeme, die noch bei ganz tiefen Temperaturen eine Restentropie aufweisen, metastabile eingefrorene Zust¨ande und andere in diesem Zusammenhang auftretende Besonderheiten. (i) Systeme, welche ungekoppelte Spins enthalten und sich nicht in einem ¨außeres Magnetfeld befinden, haben die Zustandssumme Z = (2S + 1)N Z  und die freie Energie F = −kT N log(2S + 1) + F  . Es verbleibt dann von den Spins auch bei T = 0 eine endliche Restentropie S(T = 0) = N k log(2S + 1) . Z. B.: Paraffin C20 H42 ; wegen der Spins der Protonen von H ist die Zustandssumme proportional zu Z ∼ 242N , woraus f¨ ur die Restentropie S = 42kN log 2 folgt. (ii) Metastabile Zust¨ ande in Molek¨ ulkristallen: Der Grundzustand von kristallinem Kohlenmonoxid CO ist eine gleichsinnig orientierte, geordnete Struktur der linearen CO-Molek¨ ule. Bei h¨ oheren Temperaturen sind die COMolek¨ ule nicht geordnet. K¨ uhlt man unter T = ∆ k ab, wo ∆ die sehr kleine Energiedifferenz zwischen der Orientierung CO–OC und CO–CO benachbarter Molek¨ ule ist, so sollten die Molek¨ ule in den geordneten Gleichgewichtszustand u bergehen. Die Umorientierungszeit ist aber sehr lang. Das System ¨

A Nernstsches Theorem (3. Hauptsatz)

Abb. A.3. Struktur von Eis4

529

Abb. A.4. Zweidimensionales Eis: ◦ Sauerstoff, • Wasserstoff, • andere m¨ ogliche Positionen von H

befindet sich in einem metastabilen Zustand in welchem die Restentropie den Wert S(T = 0) = k log 2N = N k log 2 , d.h. S = 5.76 J mol−1 K−1 , hat. Der experimentelle Wert ist etwas kleiner, was auf eine teilweise Orientierung hinweist. (iii) Bin¨ are Legierungen wie β-Messing (CuZn) k¨ onnen bei langsamer Abk¨ uhlung von einem vollkommen ungeordneten Zustand in einen geordneten Zustand u ubergang kann u ¨ bergehen. Dieser Phasen¨ ¨ brigens auch durch das Ising-Modell beschrieben werden. Wenn andererseits die Abk¨ uhlung sehr rasch erfolgt, die Legierung abgeschreckt wird, dann bleiben die Cu und Zn Atome in ihren ungeordneten Positionen. Bei tiefen Temperaturen ist die Umordnungsrate so vernachl¨ aßigbar klein, daß dieser eingefrorene, metastabile Zustand f¨ ur alle Zeiten bleibt. Dieses System hat eine Restentropie. (iv) Eis, festes H2 O: Eis kristallisiert in der Wurtzit–Struktur. Jedes Sauerstoffatom besitzt vier Sauerstoffatome als Nachbarn (Abb. A.3). Benachbarte Sauerstoffe sind durch Wasserstoffbr¨ ucken verbunden. Dabei kann das Wasserstoffatom zwei Positionen zwischen den beiden Sauerstoffen einnehmen (Abb. A.4). Wegen der Coulomb-Abstoßung ist es ung¨ unstig, wenn mehr oder weniger als zwei Wasserstoffe einem Sauerstoffatom benachbart sind. Die m¨ oglichen Konfigurationen der Wasserstoffe schr¨ankt man durch die Eisregel ein: Die Protonen verteilen sich so, daß bei jedem Sauerstoffatom zwei nahe und zwei entfernt sind.5 F¨ ur N Gitterpl¨atze (N Sauerstoffe) gibt es 2N Wasserstoff-Br¨ ucken. Die gen¨ aherte Berechnung der Zustandssumme5 bei T = 0 ergibt 4

5

Die Struktur der gew¨ ohnlichen (hexagonalen) H2 O Eiskristalle. S.N. Vinogrado, R.H. Linnell, Hydrogen Bonding, p. 201, Van Nostrand Reinhold, New York, 1971. L. Pauling: J. Am. Chem. Soc., 57, 2680 (1935)

530

Anhang

Z0 = 2

2N

6 16

N

N 3 = . 2

(Zahl der uneingeschr¨ ankten Einstellungsm¨ oglichkeiten der Protonen in den Wasserstoffbr¨ ucken) mal (Reduktionsfaktor pro Gitterplatz, weil von den 16 1/N Vertizes nur 6 erlaubt sind). Mit W = limN →∞ Z0 = 1.5 folgt f¨ ur die Entropie pro H2 O: S(T = 0) = log W = log 1.5 . kN Als Modell f¨ ur Eis wurde ein exakt l¨ osbares zweidimensionales Modell eingef¨ uhrt6 (Abb. A.4). Ein Quadratgitter von Sauerstoffatomen ist durch Wasserstoffbr¨ ucken verbunden. Die Nachbarschaftsverh¨altnisse sind so wie im dreidimensionalen Eis. Das statistische Problem der Berechnung von Z0 kann auf ein Vertexmodell abgebildet werden (Abb. A.5). Der Pfeil charakterisiert die Position der Wasserstoffbr¨ ucke. Und zwar nimmt H diejenige Position ein, die demjenigen Sauerstoff nahe ist, zu dem der Pfeil zeigt. Da jeder der vier Pfeile eines Vertex zwei Orientierungen besitzt, gibt es insgesamt 16 Vertizes. Wegen der Eisregel sind von den 16 Vertizes nur die sechs in Abb. A.5 gezeigten zul¨ assig.

Abb. A.5. Die Vertizes des zweidimensionalen Eismodells, die die Eisregel (zwei Wasserstoffe nahe und zwei entfernt) erf¨ ullen.

Das statistische Problem besteht nun in der Bestimmung der Zahl der M¨oglichkeiten, die 6 Vertizes von Abb. A.5 auf dem Quadratgitter anzuordnen. Die exakte L¨ osung6 des zweidimensionalen Problems erfolgt mit der Transfermatrixmethode (Anhang F). W = lim

N →∞

1/N Z0

3/2 4 = = 1.5396007 . . . . 3

Numerisches Resultat f¨ ur dreidimensionales Eis7 : W = 1.50685 ± 0.00015, Experiment bei 10 K: 6 7

S(T = 0) = 0.8154 ± 0.0002 cal/K mol S(T = 0) = 0.82 ± 0.05 cal/K mol .

E.H. Lieb, Phys. Rev. Lett. 18, 692 (1967), Phys. Rev. 162, 162 (1967) Review: E.H. Lieb a. F.Y. Wu in: Domb and Green, Phase Transitions and Critical Phenomena I, 331, Academic Press, New York, 1972.

A Nernstsches Theorem (3. Hauptsatz)

531

Die N¨ aherungsformel von Pauling gibt eine untere Schranke f¨ ur die Restentropie an. W¨ urde man die Orientierungen der Wasserstoffbr¨ ucken ganz uneingeschr¨ ankt lassen, w¨ are die Restentropie pro Gitterplatz log 22 = log 4. Durch die Eisregel (wegen Coulombabstoßung) wird die Restentropie auf log 1.5 verkleinert. W¨ urde man noch weitere Wechselwirkungen der Protonen ber¨ ucksichtigen, k¨ ame es zu feineren Energieaufspaltungen unter den verschiedenen Konfigurationen der Vertexanordnungen. Bei Absenkung der Temperatur w¨ aren dann nur mehr eine geringere Zahl erlaubt und vermutlich bei T → 0 keine Restentropie mehr vorhanden. Daß Eis auch bei tiefen Temperaturen noch die Restentropie besitzt, weist darauf hin, daß bei tiefen Temperaturen die Umorientierung sehr langsam wird. (v) Die Entropie eines Systems mit niedrig liegenden Energieniveaus hat typischerweise den in Abb. A.6 gezeigten Verlauf. Hier ist der Wert der Entropie zwischen T1 und T2 nicht die Entropie S0 . Falls Energieniveaus von der Gr¨ oßenordnung kT1 vorhanden sind, so sind diese f¨ ur T T1 faktisch mit dem Grundzustand entartet, und erst f¨ ur T < T1 wird die Restentropie (eventuell S0 = 0) erreicht. Ein Beispiel hierf¨ ur ist das schwach gekoppelte Spinsystem. Das Plateau im Temperatur-Intervall [T1 , T2 ] k¨onnte bei Abk¨ uhlung als

Abb. A.6. Entropie eines Systems mit Energieniveaus der Gr¨ oße kT1 und kT2

Restentropie erscheinen. In diesem Intervall ist die spezifische W¨arme Null. In der Gegend von T1 steigt die spezifische W¨ arme mit abnehmender Temperatur wieder an, um unterhalb von T1 , nachdem die Freiheitsgrade mit der Energie kT1 eingefroren sind, auf den Wert Null zu sinken; dies k¨onnte m¨ oglicherweise die endg¨ ultige Abnahme der Entropie auf ihren Wert bei T = 0 bedeuten. F¨ ur Freiheitsgrade mit einem diskreten Anregungsspektrum (Spins in einem Feld, harmonische Oszillatoren) bestimmt die Anregungsenergie die Temperatur unterhalb derer die Entropie dieser Freiheitsgrade faktisch Null ist. Dies ist anders bei translatorischen Freiheitsgraden, f¨ ur die die Energieniveaus im Limes N → ∞ kontinuierlich werden und z. B. der Abstand des ersten angeregten Zustandes vom Grundzustand von der Gr¨oßenordnung
2 ist. Die entsprechende Anregungstemperatur von ungef¨ahr 5 × 10−15K mV 2/3

532

Anhang

ist jedoch f¨ ur den Anwendungsbereich des dritten Hauptsatzes unerheblich. Dieser gilt schon bei wesentlich h¨ oheren Temperaturen. Der Abstand der Energieniveaus geht im thermodynamischen Grenzfall gegen Null, und diese werden durch eine Zustandsdichte charakterisiert. Der Temperaturverlauf der Entropie und der spezifischen W¨ arme h¨ angt nicht vom Wert einzelner Energieniveaus sondern von der Form der Zustandsdichte ab. F¨ ur Kristalle ist die Zustandsdichte der Phononen proportional zum Quadrat der Energie und deshalb ist bei niederen Temperaturen S ∝ T 3 . Die Zustandsdichte der Elektronen an der Fermi-Kante ist konstant, und somit ergibt sich S ∝ T . (vi) Es ist auch interessant, in Zusammenhang mit dem dritten Hauptsatz, chemische Substanzen mit Allotropie zu diskutieren. Zwei ber¨ uhmte Beispiele sind Kohlenstoff mit den kristallinen Formen Diamant und Graphit sowie Zinn, das als metallisches weißes und als nichtleitendes graues Zinn kristallisiert. Weißes Zinn ist die Hochtemperaturform und graues Zinn die Tieftemperaturform. Bei T0 = 292K geht graues Zinn mit einer latenten W¨arme QL in weißes u uhlung l¨ auft die Transformation in umgekehrter ¨ ber. Bei Abk¨ Richtung, sofern der Vorgang langsam abl¨ auft und Kondensationskeime von grauem Zinn vorhanden sind. Bei rascher Abk¨ uhlung bleibt weißes Zinn als metastabile Struktur. F¨ ur die Entropien von weißem und grauem Zinn gilt: 

T

SW (T ) = SW (0) + 0 T

 SG (T ) = SG (0) +

0

dT CW (T ) T dT CG (T ) . T

Aus der allgemeinen Formulierung des Nernstschen Theorems folgt SW (0) = SG (0) , da beide Formen unter den gleichen ¨ außeren Bedingungen vorliegen. (Die statistische Mechanik gibt dar¨ uber hinaus f¨ ur diese beiden perfekten Kristallkonfigurationen SW (0) = SG (0) = 0.) Somit folgt  SW (T ) − SG (T ) = 0

T

 dT
CW (T ) − CG (T ) . T

¨ Daraus folgt insbesondere, daß die latente W¨ arme bei der Ubergangstemperatur T0 durch  T0
  dT
QL (T0 ) ≡ T0 SW (T0 ) − SG (T0 ) = T0 CW (T ) − CG (T ) (A.11) T 0 gegeben ist. Die Temperaturabh¨ angigkeit der spezifischen W¨arme bei ganz niedrigen Temperaturen macht sich in den Werten der Entropie bei hohen Temperaturen bemerkbar.

B Klassischer Grenzfall und Quantenkorrekturen

533

(vii) Systeme mit kontinuierlicher innerer Symmetrie wie z.B. das Heisenberg-Modell: Sowohl f¨ ur den Heisenberg-Ferromagneten, als auch den Heisenberg-Antiferromagneten ist wegen der kontinuierlichen Drehsymmetrie der Grundzustand kontinuierlich entartet. Klassisch hinge der Grad der Entartung zwar nicht von der Zahl der Gitterpl¨ atze ab, w¨are aber unendlich groß. F¨ ur N Spins der Gr¨ oße 1/2 hat in der Quantenmechanik die z-Komponente des gesamten Spins N + 1 Einstellungsm¨ oglichkeiten. Der Grundzustand ist also nur (N + 1) fach entartet (siehe Gl. (A.4)). Diese Entartung f¨ uhrt also zu keiner Restentropie am absoluten Nullpunkt. Literatur: J. Wilks, The Third Law of Thermodynamics, Oxford University Press, 1961.

B Klassischer Grenzfall und Quantenkorrekturen B.1 Klassischer Grenzfall ¨ Wir besprechen nun den Ubergang von der quantenmechanischen Dichtematrix zur klassischen Verteilungsfunktion (vorerst eindimensional). Bei hohen Temperaturen und geringen Dichten gehen die Ergebnisse der Quantenstatistik in die klassischen u ¨ ber (siehe z.B. Abschnitt 4.2). Die allgemeine Herleitung kann mit der folgenden Methode durchgef¨ uhrt werden.8 Wenn wir das System in eine Box mit Lineardimension L einschließen9 , dann sind die Ortseigenzust¨ ande |q und die Impulseigenzust¨ande |p durch    qˆ |q = q |q , q|q  = δ(q − q ) , dq |q q| = 11 , (B.1a) pˆ |p = p |p , p|p  = δpp ,



|p p| = 11 ,

p

eipq/
q|p = √ , L

mit p =

2π
n L

(B.1b)

charakterisiert10. Wir ordnen jedem Operator Aˆ eine Funktion9 A(p, q) zu, A(p, q) ≡ p| Aˆ |q q|p L .

(B.2a)

Diese Matrixelemente stehen mit den Operatoren entsprechenden klassischen Gr¨ oßen in Verbindung. Zum Beispiel wird einem Operator der Form Aˆ = f (ˆ p)g(ˆ q ) die Funktion 8

9

10

E. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932); G.E. Uhlenbeck, L. Gropper, Phys. Rev. 41, 79 (1932); J.G. Kirkwood, Phys. Rev. 44, 31 (1933) und 45, 116 (1934). Zur Verdeutlichung werden Operatoren in diesem Abschnitt ausnahmsweise durch ein Dach gekennzeichnet. QM I, Kap. 8

534

Anhang

A(p, q) = p| f (ˆ p) g(ˆ q ) |q q|p L = f (p)g(p)

(B.2b)

zugeordnet. Dem Hamilton-Operator pˆ2 ˆ ≡ H(ˆ H p, qˆ) = + V (ˆ q) 2m

(B.3a)

wird also die klassische Hamilton-Funktion H(p, q) =

p2 + V (q) 2m

(B.3b)

zugeordnet. Dem Kommutator zweier Operatoren wird gem¨aß (B.2a) die Funktion ˆ B] ˆ |q q|p L p| [A,    ˆ |q − p| B ˆ |q   q  |p  p | Aˆ |q = L dq  p| Aˆ |q   q  |p  p | B p

× q|p   = L dq  A(p, q  )B(p , q) − B(p, q  )A(p , q) p 

× p|q  p |q q  |p  q|p (B.3c) zugeordnet, wobei p|q   q  |p = L1 ben¨ utzt wurde. Wir bemerken an dieser Stelle, daß f¨ ur den in der Thermodynamik relevanten Grenzfall großer L die Summation   L ↔ dp (B.3d) 2π
p durch ein Integral ersetzt werden kann und umgekehrt. Die runde Klammer in (B.3c) kann man nach (q  − q) und (p − p) entwickeln: A(p, q  )B(p , q) − B(p, q)A(p , q) =

 2 ∂A 1   2∂ A A(p, q) + (q − q) + (q − q) + ... ∂q 2 ∂q 2

 2 ∂B 1   2∂ B × B(p, q) + (p − p) + (p − p) + ... ∂p 2 ∂p2

 2 ∂B 1   2∂ B − B(p, q) + (q − q) + (q − q) + ... ∂q 2 ∂q 2

 ∂A 1  ∂2A × A(p, q) + (p − p) + (p − p)2 2 + . . . . (B.3e) ∂p 2 ∂p

B Klassischer Grenzfall und Quantenkorrekturen

535

Die Terme nullter Ordnung fallen weg, und reine Potenzen von (q  − q) bzw. (p − p) ergeben beim Einsetzen in (B.3c) Null, da die p -Summation bzw. q  -Integration auf eine δ-Funktion f¨ uhrt. Es bleibt in zweiter Ordnung ˆ B] ˆ |q q|p L = p| [A,   ∂(A, B) = L dq  (q  − q)(p − p) p|q   p |q q  |p  q|p ∂(q, p)  p

(B.3f)

∂(A, B) q|p ∂(q, p) ∂(A, B)
∂(A, B) = L i
| q|p |2 = , ∂(q, p) i ∂(q, p) = L p| (ˆ q − q)(ˆ p − p) |q

wobei das Skalarprodukt (B.1b) und Gl. (B.1a) eingesetzt wurde. Bei h¨oheren Potenzen von (ˆ q − q) und (ˆ p − p) treten zwei- und mehrfache Kommutatoren von qˆ und pˆ auf, so daß sich ausgedr¨ uckt durch die Poisson-Klammer (Fußnote 5, Abschn. 1.3) insgesamt ˆ B] ˆ |q q|p L =
{A, B} + O(
2 ) p| [A, i

(B.4)

ergibt. ¨ Die Ubertragung der Zuordnung (B.2a) auf die Zustandssumme f¨ uhrt mit (B.2b) auf   ˆ −β H −βH(p,ˆ ˆ q) ˆ q) Z = Sp e = p| e |p = dq p| e−βH(p,ˆ |q q|p =

 p

=

1 L p

p

p

 ˆ −βV (ˆ q) dq p| e−βK(p) e + O(
) |q q|p 

dq e−βH(p,q) + O(
) =



(B.5)

dp dq −βH(p,q) e + O(
) . 2π


Z ist also bis auf Terme von der Gr¨ oßenordnung
, welche von Kommutatoren zwischen K(ˆ p) und V (ˆ q ) herr¨ uhren, gleich dem klassischen Zustandsintegral. ˆ ≡ K(ˆ In (B.5) ist K p) der Operator der kinetischen Energie. Ausgehend von der Dichtematrix ρˆ definiert man die Wigner-Funktion: ρ(p, q) =

L p|q q| ρˆ |p . 2π


(B.6)

L Der Faktor 2π
wird eingef¨ uhrt, damit zusammen mit der Normierung der Impulseigenfunktionen die Wigner-Funktionen f¨ ur große L unabh¨angig von L ist. Die Bedeutung der Wigner-Funktion zeigt sich an den beiden wichtigen Eigenschaften:

536

Anhang

 (1) Normierung :

 dq

 dp ρ(p, q) =

dq



p|q q| ρˆ |p

p

(B.7)

= Sp ρˆ = 1 . Hier wurde die Vollst¨ andigkeitsrelation f¨ ur die Ortseigenzust¨ ande (B.1a) verwendet.



(2) Mittelwerte :



dq  =

dp ρ(p, q) A(p, q) dq

 =

dq

 L p|q q| ρˆ |p p| Aˆ |q q|p 2π
p 

(B.8)

ˆ . q| ρˆ |p p| Aˆ |q = Sp (ˆ ρA)

p

Nach dem zweiten Gleichheitszeichen wurde p|q q|p = wendet.

1 L

und Gl. (B.3d) ver-

F¨ ur die kanonische Gesamtheit folgt mit (B.5) L e−β H p|q q| |p 2π
Z
 L 1 ˆ = p|q q| e−β K e−βV + O(
) |p 2π
Z −βH(p,q) −βH(p,q) L e e = | p|q |2 + O(
) = + O(
) 2π
Z 2π
Z ˆ

ρ(p, q) =

(B.9)

und ˆ = A

1 L

 =

 

dq e−βH(p,q) A(p, q) p   + O(
) 1 −βH(p,q) p dq e L dp dq −βH(p,q) A(p, q) 2π
e + O(
) .  dp dq −βH(p,q) 2π
e

(B.10)

Verallgemeinerung auf N Teilchen in drei Dimensionen: ˆ = H

N  ˆ 2i p ˆN ) . + V (ˆ q1 , . . . , q 2m i=1

(B.11)

Wir f¨ uhren f¨ ur die Mehrteilchenzust¨ ande die folgenden Abk¨ urzungen ein: |q ≡ |q1  . . . |qN  , p|p  = δpp ,

|p ≡ |p1  . . . |pN  ,

q|p =

eipq/
, L3N/2

 p

|p p| = 11 .

(B.12a) (B.12b)

B Klassischer Grenzfall und Quantenkorrekturen

537

Unter Zugrundelegung von periodischen Randbedingungen nehmen die pi die Werte pi =

L (n1 , n2 , n3 ) 2π


mit ganzen Zahlen ni an. Die in der Natur realisierten quantenmechanischen Vielteilchenzust¨ande sind entweder symmetrisch (Bosonen) oder antisymmetrisch (Fermionen): 1  |ps = √ (±1)P P |p . N! P

(B.13)

Der Index s steht hier allgemein f¨ ur Symmetrisierung und umfaßt symmetrische (oberes Vorzeichen) und antisymmetrische (unteres Vorzeichen) Zust¨ ande. Diese Summe enth¨ alt N ! Terme. Sie erstreckt sich u ¨ ber alle Permutationen P von N Objekten. F¨ ur Fermionen ist (−1)P = 1 f¨ ur gerade Permutationen und (−1)P = −1 f¨ ur ungerade Permutationen, w¨ahrend f¨ ur Bosonen immer (+1)P = 1 ist. Bei Fermionen m¨ ussen deshalb in (B.13) im Einklang mit dem Pauli-Verbot alle pi voneinander verschieden sein. Bei Bosonen k¨ onnen gleiche pi vorkommen; deshalb sind diese Zust¨ande im allgemeinen nicht normiert: Ein normierter Zustand ist durch 1 |psn = √ |p n1 ! n2 ! . . . s

(B.14)

gegeben, wo ni die Zahl der Teilchen mit Impuls pi ist. Es gilt 

Sp Aˆ =

 sn

p1 ,...,pN



=

p1 ,...,pN



p| Aˆ |p sn =

p1 ,...,pN

n1 ! n2 ! . . . ˆ sn p| A |p sn N!

1 ˆ s p| A |p s . N!

(B.15)

Der Strich an der Summe deutet an, daß die Summe so eingeschr¨ankt ist, daß die Zust¨ ande verschieden sind. Z.B. w¨ urden p1 p2 . . . und p2 p1 . . . den gleichen Zustand geben. Die Umschreibung der Zustandssumme im Sinne der Zuordnung (B.2a) ergibt Z = Sp e−βH = 1 = N! 1 = N!

{pi }

 d3N q

1  ˆ −β H |p s s p| e N! 

p| e−β H |q q|p s ˆ

s {pi }

V (2π
)3

N 

 3N

d

p

d3N q e−βH(p,q) | q|ps |2 + O(
) .

(B.16)

538

Anhang

Der letzte Faktor des Integranden hat die Gestalt | q|ps | = V −N (1 + f (p, q)), wobei der erste Term auf das Zustandsintegral  3N 3N d p d q −βH(p,q) Z= e + O(
) (B.16 ) N ! (2π
)3N f¨ uhrt. Bemerkungen:

 ˆ ˆ −β H (i) In (B.16) wurde die Umformung |ps = d3N q s p| e−β K × s p| e  e−βV |q q|ps + O(
) = d3N q e−βH(p,q) | q|ps |2 + O(
) verwendet, wo ˆ in den Teilchen eingeht. die Symmetrie von H 2 (ii) Die Gr¨ oße | q|ps | = V −N (1+f (p, q)) enth¨ alt neben dem im klassischen Grenzfall f¨ uhrenden V −N auch noch p- und q- abh¨angige Terme. Die Korrekturen von der Symmetrisierung ergeben Beitr¨age von der Ordnung
3 . Siehe ideales Gas und Abschn. B.2. (iii) Analog (zu B.16) zeigt man, daß die Verteilungsfunktion ρ(p, q) =

e−βH(p,q) Z(2π
)3N N !

(B.17)

ist. Somit ist gezeigt, daß unter Vernachl¨ assigung von Termen der Gr¨oßenordnung
, welche aus der Nichtkommutativit¨ at der kinetischen und potentiellen Energie und der Symmetrisierung der Wellenfunktion herr¨ uhren, das klassische Zustandsintegral (B.16 ) folgt. Das klassische Zustandsintegral (B.16 ) weist Z¨ uge auf, die auf die zugrundeliegende Quantennatur hinweisen und zwar die Faktoren 1/N ! und (2π
)−3N . Der erste Faktor dr¨ uckt aus, daß Zust¨ ande identischer Teilchen, die durch Vertauschung von Teilchen ineinander u ¨ bergehen, nur einmal gez¨ahlt werden d¨ urfen. Durch diesen Faktor werden die thermodynamischen Potentiale extensiv und das nach Gl. (2.2.3) diskutierte Gibbssche Paradoxon beseitigt. Der Faktor (2π
)−3N macht das Zustandsintegral dimensionslos und besitzt die anschauliche Bedeutung, daß im Phasenraum jedem Volumenelement der Gr¨ oße (2π
)3N ein Zustand im Einklang mit der Unsch¨arferelation entspricht. B.2 Berechnung der quantenmechanischen Korrekturen Wir kommen nun zur Berechnung der quantenmechanischen Korrekturen zu den klassischen thermodynamischen Gr¨ oßen. Diese haben zwei Quellen: a) Symmetrisierung der Wellenfunktion ˆ und V . b) Nichtkommutativit¨ at von K Wir untersuchen diese Effekte seperat; die Kombination von beiden ergibt h¨ ohere Korrekturen in
.

B Klassischer Grenzfall und Quantenkorrekturen

539

ad a) Als erstes berechnen wir ausgehend von (B.13) die in der zweiten Zeile 2 von (B.16) auftretende Gr¨ oße | q|ps  | und die daraus resultierenden Quantenkorrekturen: 2

 1  ∗ (−1)P (−1)P q| P  |p q| P |p N! P P  1  ∗ = (−1)P (−1)P P  q|p P q|p N! P P  ∗  1  = 6 (−1)P (−1)P q|p P P −1 q|p N! P P  = (−1)P q|p P q|p∗

| q|ps | =

(B.18)

P

=

1  i (p1 ·(q1 −P q1 )+...+pN ·(qN −P qN )) e
. VN P

Hier wurde in der zweiten Zeile verwendet, daß die Permutation der Teilchen in der Ortsdarstellung gleich der Permutation der Ortskoordinate ist. In der dritten utzt, daß innerhalb des in (B.16) auftretenden  3N Zeile wurde ausgen¨ d q-Integrals durch Umbenennung die Koordinaten P  q durch q ersetzt werden k¨ onnen. In der vorletzten Zeile wurde die f¨ ur jede Gruppe zutreffende Eigenschaft benutzt, daß f¨ ur jedes feste P  die Elemente P P  −1 alle Elemente der Gruppe durchlaufen. In der letzten Zeile wurde schließlich die explizite Form der Impulseigenfunktionen in der Ortsdarstellung eingesetzt. Setzt man das Endergebnis von Gl. (B.18) in (B.16) ein, kann jedes der dabei auftretenden Impulsintegrale durch   βp2 βp2 d3 p e− 2m +ipx = d3 p e− 2m f (x) (B.19) ausgedr¨ uckt werden, mit f (x) = e−

πx2 λ2

,

(B.20)

2π
wo λ = √2π
mkT (Gl. (2.7.20)) die thermische Wellenl¨ange ist. Somit lautet die Zustandssumme unter Vernachl¨ assigung der von der Nichtvertauschbarkeit herr¨ uhrenden Quantenkorrekturen

 Z=

d3N q d3N p −βH(p,q)  e (−1)P f (q1 − P q1 ) . . . f (qN − P qN ) . N !(2π
)3N P

(B.21) Die Summe u alt f¨ ur das Einheitselement P = ¨ ber die N ! Permutation enth¨ 1 den Beitrag f (0)N = 1, f¨ ur Transpositionen (bei denen nur Paare von

540

Anhang

Teilchen i und j vertauscht werden) den Beitrag (f (qi − qj ))2 usw. Die Anordnung nach steigender Zahl von Vertauschung ergibt 

(−1)P f (q1 − P q1 ) · · · f (qN − P qN ) =

P

=1±


2  f (qi − qj ) + f (qi − qj )f (qj − qk )f (qk − qi ) ± . . . . i