Spectroscopie D Impedance [PDF]

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Modélisation et commande des systèmes électriques embarqués Stabilité des systèmes à puissance distribuée dans les applications embarquées

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Chapitre II- Mise en évidence des problèmes posés par la mise en cascade de dispositifs électrotechniques 2.1- Introduction La mise en cascade de dispositifs électrotechniques est une chose extrêmement courante dans les architectures électriques. Cela va d’une association filtre convertisseur à la mise en cascade de deux convertisseurs (exemple hacheur /onduleur, hacheur / hacheur ….) voire plus dans le cas de réseaux distribués complexes (un convertisseur de source alimentant un ensemble de dispositifs de charge)) Dans ce chapitre, nous allons considérer des systèmes qui pris séparément sont tous stables et dont les caractéristiques entrée sortie sont compatibles. Pour illustrer les problèmes posés par la mise en cascade de dispositifs électriques, trois exemples vont être étudiés. Les deux premiers traitent le cas bien connu de l’association filtre d’entrée convertisseur statique, le convertisseur étant dans un cas un hacheur série, le second un ensemble onduleur machine synchrone à aimants. Le troisième traite le cas d’une mise en cascade de deux dispositifs électriques commandés, les dispositifs électriques étant deux hacheurs parallèles. 2.2- Mise en cascade d’un filtre d’entrée et d’un hacheur série Prenons l’exemple d’un filtre série faiblement amorti alimentant un hacheur série contrôlé en tension. La fréquence de découpage du dispositif est fixée à 20 kHz. Le schéma de principe du montage étudié est donné sur la figure 2.1. La modélisation en mode de conduction continue du hacheur série et son contrôle en mode tension sont rappelés sur la figure 2.2. En l’absence de filtre d’entrée (Vs devient la tension d’entrée du hacheur), la tension de sortie V0 est parfaitement asservie à sa référence (figures 2.3 et 2.4). La fonction de 1 T .s transfert du correcteur G ( s ) k a été dimensionnée de manière à ce que le système en boucle cv

T .s .( s /

p

1)

fermée ait une pulsation de coupure ωc =1400 rad.s-1 et une marge de phase de 95°. La pulsation de coupure acceptable du filtre d’entrée ωca est fixée à ωc/20 avec ωc la pulsation de découpage. u Lf , rf

L vL

Q Vs

Cf

Vcf

D

io

iL iC Co

R ch

Vo

ich

Figure 2.1 : Mise en cascade d’un filtre d’entrée et d’un hacheur série.

Figure 2.2 : Modélisation et contrôle en mode tension d’un hacheur série.

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2

2

v4

A6

Vo Voref

2 3 2 2

5

2 1

4. 5

2 0

4

1 9

3. 5 3

1 8 2. 5

1 7 1 60.05

courant iL

5. 5

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

0.095

0. 1

Figure 2.3 : Allure de la réponse en tension du hacheur série sans filtre d’entrée (L=1 mH, C=10 µF, rL=0,1 Ω, Vs=40V,Rch = 5 Ω).

2 0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

0.095

0. 1

Figure 2.4 : Allure du courant iL du hacheur série sans filtre d’entrée (L=1 mH, C=10 µF, rL=0,1 Ω, Vs=40V,Rch = 5 Ω).

L’utilisation d’un filtre série très faiblement amorti entraîne alors une oscillation du courant et de la tension de sortie du filtre d’entrée (Figures 2.5 à 2.8) et par conséquence sur toutes les variables d’états du montage. Ce résultat caractérise parfaitement les interactions qui peuvent exister entre le filtre d’entrée et le convertisseur de charge.

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3

120

40 Vcf

100

35

80

30

60

25

40

20

20

15

0

10

-20

5

-40 0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08 0.085

0.09 0.095

0.1

Figure 2.5 : Tension de sortie du filtre d’entrée en régime permanent lorsqu’il est connecté au hacheur série (L=1 mH, C=10µF, rL=0,1 Ω, Vs=40 V, Cf=10 µF, Lf=2,5 mH, rf=0.1Ω). 8

0 0.05

Vo Voref

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08 0.085

0.09 0.095

0.1

Figure 2.7 : Tension de sortie du hacheur série en régime permanent lorsqu’il est muni d’un filtre d’entrée (L=1 mH, C=10µF, rL=0,1 Ω, Vs=40 V, Cf=10 µF, Lf=2,5 mH, rf=0.1Ω). 8

if

courant iL 7

6

6

4

5 2 4 0 3 -2

2

-4

-6 0.05

1

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08 0.085

0.09 0.095

0.1

Figure 2.6 : Courant circulant dans le filtre d’entrée en régime permanent lorsqu’il est connecté au hacheur série (L=1 mH, C=10 µF, rL=0,1 Ω, Vs=40 V, Cf=10 µF, Lf=2,5 mH, rf=0.1Ω).

0 0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08 0.085

0.09 0.095

0.1

Figure 2.8 : Courant circulant dans l’inductance du hacheur série en régime permanent lorsqu’il est muni d’un filtre d’entrée (L=1 mH, C=10 µF, rL=0,1 Ω, Vs=40 V, Cf=10 µF, Lf=2,5 mH, rf=0.1Ω).

2.3- mise en cascade d’un filtre d’entrée et d’un ensemble onduleur / machine synchrone à aimant. Pour mettre en évidence les problèmes posés par la mise en cascade d’un filtre d’entrée et d’un ensemble onduleur moteur, considérons le dispositif présenté sur la figure 2.9. Il est constitué d’un ensemble auto transformateur redresseurs alimentant un ensemble onduleur-machine synchrone à aimants régulée en courant et en vitesse. La mise en parallèle des deux ponts redresseurs se fait par l’intermédiaire de deux inductances d’interphase présentant une inductance de fuite L supposée connue. L’étude de la stabilité de ce dispositif a fait l’objet de plusieurs contrats industriels avec le groupe SAFRAN et a fait l’objet d’une étude détaillée dans le cadre de la thèse de P. Liutanakul.

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Id 2

Tension d’entrée triphasée 115 V – 400Hz

Id

ie

C

ia ib

ve

ic

Mach.

Id 2

contrôleur du moteur

ref

ve

Figure 2.9: Mise en cascade d’un filtre d’entrée et d’un ensemble onduleur machine synchrone à aimants. Afin de mieux visualiser les interactions filtre – convertisseur, les résultats sont présentés en régime établi. Deux résultats de simulation sont présentés, le premier avec une valeur de condensateur de filtrage égal à 100 µF et la seconde avec un condensateur de filtrage égale à 240 µF, tous les autres paramètres du système restant inchangés. La commande utilisée pour l’autopilotage de la machine synchrone est présentée sur la figure 2.10

Figure 2.10 : Schéma de contrôle utilisé pour l’autopilotage de la machine synchrone à aimant. Comme le montre la figure 2.11 le système est stable lorsque la valeur de la capacité C du filtre d’entrée est égale à 240µF (figure 2.11-b). Pour une valeur de capacité de 100 µF (figure2.11-a), des interactions se produisent entre la commande et le filtre d’entrée. Ces interactions conduisent à des oscillations de fortes amplitudes sur la tension continue et donc par conséquence, sur les variables d’états liées à l’ensemble onduleur machine synchrone à aimants. Les ondulations crêtes à crêtes des courants d’axe d et q dans la machine synchrone sont de l’ordre de 400 A en fonctionnement instable alors qu’elles n’étaient que de 4 A en fonctionnement stable. Les valeurs numériques nominales des différents paramètres utilisés pour les simulations sont données cidessous, en notant tf et tfv le temps de réponse des asservissements respectivement de courant et de vitesse : =15000 tr.mn-1 g0 = E/(2*pm) Lq = 50 µH f = 8,8 e-3 N.m.s p=2 R= 0,35 T*d=Ld/Rs K = 1,36 ref

C = 240µF Vs = 270 V T = 4e-5 s Ld = 50 µH J = 0,0015Kg.m2 pm = 1 P0 = 22,5 kW f = 0,033 Wb Rs = 0,025 L = 260 µH Kv = 0,15 T*m = J/f * T q=Lq/Rs tf = 4.T wp = 400 rad.s-1 tfv = Tm / 5

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5

4

1.505

x 10

400 300

1.5 200 1.495

vitesse(tr/mn) 0.16

0.18 t(s)

100

0.2

400

tension du bus continu (V) 0.16

0.18 t(s)

0.16

0.18 t(s)

0.2

400 300

200

200 0 100 -200 -400

0 id(A) 0.16

0.18 t(s)

-100

0.2

iq(A) 0.2

(a) 4

1.5001

x 10

238 237

1.5 236

1.4999

vitesse(tr/mn) 0.16

0.18

0.2

4

235

tension du bus continu (V) 0.16

0.18

0.16

0.18

0.2

207 206

2

205 0 204 -2

203 id(A)

-4

0.16

0.18

iq(A) 0.2

202

0.2

(b) Figure 2.11 : Allure de la tension continue, de la vitesse, des courants d’axe d et q en régime permanent, (a) lorsque la valeur de la capacité de stockage du bus continu est égale à 100 µF, (b) lorsque la valeur de la capacité de stockage est égale à 240 µF.

2.4- Mise en cascade de deux hacheurs élévateurs Tout comme l’association filtre d’entrée convertisseur, la mise en cascade de deux convertisseurs fonctionnant à puissance constante peut engendrer une instabilité globale du système alors que pris séparément, chaque sous système est stable pour un point de fonctionnement similaire. Prenons l’exemple de deux hacheurs élévateurs programmés en mode courant et fonctionnant en mode de conduction continu. La puissance nominale de chaque hacheur est de 1kW. Les deux hacheurs sont dimensionnés pour un point de fonctionnement correspondant à une puissance de charge de 1kW sous les tensions d’entrée respectivement de 50V (hacheur n°1) et 100V (hacheur n°2). Les tensions de sortie des hacheurs sont asservies respectivement à 100V et 200 V. La fréquence de découpage est fixée à 20 kHz. Pour les deux hacheurs la pulsation de coupure des asservissements en courant est fixée à 2.105 rad.s-1 et celle en tension à 848 rad.s-1. Les marges de phase des asservissements en tension et courant sont respectivement de 46° (hacheur n°1) et 78° (hacheur n°2). Les

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marges de gain des boucles de courant et de tension sont respectivement infinies et de 61 dB. Les marges de robustesse usuelles (marge de gain supérieure à 5 dB et marge de phase supérieure à 45°) sont respectées. Comme le montre la figure 2.12, chaque hacheur alimenté par une source de tension parfaite, et fournissant une puissance de 1 kW sur charge résistive est stable.

(a)

(b)

Figure 2.12 : Allure des courants circulant à travers l’inductance et tensions aux bornes de la capacité des hacheurs n°1 et 2 en régime permanent lorsqu’ils sont alimentés par une source de tension parfaite (L1=1mH, C1=470µF,rL1=rL2=0, L2=1mH, C2=470µF), (a) : hacheur n°1 alimenté par une source de tension de 50V et régulé à 100V, (b) : hacheur n°2 alimenté par une source de tension de 100V et régulé à 200V. La mise en cascade des deux hacheurs provoque l’apparition d’un cycle limite se traduisant par des ondulations de tension et de courant dans le système. Les résultats de simulation obtenus suite à la mise en cascade des hacheurs n°1 et n°2 sont présentés sur la figure 2.13.

(a) (b) Figure 2.13 : Formes d’onde obtenues après une mise en cascade des hacheurs n°1 et 2 en régime permanent, le hacheur n°1 étant alimenté par une source de tension parfaite de 50V, (L1=1mH, C1=470µF,rL1=rL2=0, L2=1mH, C2=470µF), (a) : Courants dans les inductances des hacheurs n°1 et 2 et leur référence (b) : Tensions à la sortie des hacheurs n°1 et 2 et leur référence.

2.5- Conclusion Ce chapitre introductif a présenté les risques encourus lorsqu’on interconnecte des dispositifs électriques en cascade. Que les dispositifs interconnectés soit passifs (filtre d’entrée) ou actifs (convertisseurs munis d’une commande), des instabilités peuvent apparaître lorsqu’on interconnecte ces dispositifs, même si pris

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indépendamment chaque dispositif est parfaitement stable. Il est nécessaire de pouvoir assurer avant la mise cascade, que le système résultant de l’interconnexion sera stable. Les outils nécessaires à une telle étude sont détaillés dans le chapitre suivant.

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Chapitre III – Méthodes basées sur des spécifications d’impédance

3.1- introduction Grâce au développement des technologies dans le domaine de l’électronique de puissance mais aussi dans les sciences de l’information et de l’automatique une nouvelle architecture électrique se développe dans les industries de l’automobile, de l’aéronautique, etc. Cette topologie connue sous le nom de « structure de Système à Puissance Distribuée (SPD) » (en anglais : Distributed Power System), est présentée sur la figure 3-1. Dans un système SPD, la puissance demandée à la source principale d’énergie est générée par un ensemble de petits modules de puissance, distribués dans tout le système, et situés en général au plus près des actionneurs ou d’autres type de charge qu’ils doivent alimenter. Les architectures du SPD peuvent être classifiées en deux catégories (Figure 3-2). La première utilise un bus de tension continue distribué. Le système est alors dit « à puissance continue distribuée (DC-SPD) ». La seconde utilise un bus alternatif commun d’alimentation et est appelé système « à puissance alternative distribuée (ACSPD) ». La plupart des systèmes embarqués ont un bus de tension continue distribué auquel sont connectés les différentes sources et charges via des convertisseurs statiques AC/DC, DC/DC, ou DC/AC. Les études menées concernent exclusivement les systèmes « à puissance continue distribuée (DC-SPD) ». Le fait que les systèmes SPD soient physiquement constitués de petits groupes de modules ou de sous systèmes de puissance, et que chacun de ces sous modules ait été conçu de manière séparée, rend l’étude de tels ensembles très difficile. Par contre, si la tension du bus continu est bien contrôlée et sa stabilité assurée, cette topologie autorise une plus grande flexibilité dans la gestion de l’énergie de l’ensemble du système ainsi qu’un entretien plus facile, une densité de puissance accrue et une conception normalisée [3.3]. Afin d’établir un critère simple de stabilité des systèmes DC-SPD, nous commençons ce chapitre par l’étude de la mise en cascade de deux convertisseurs qui est un cas simple de systèmes DC-SPD. Les méthodes utilisées pour l’étude de stabilité sont toutes basées sur la détermination des impédances de sortie et d’entrée des convertisseurs en cascade. L’intérêt de cette approche est qu’elle peut être généralisée au cas de plusieurs sources et charges connectées au même bus continu. Cela peut être envisagé en introduisant l’impédance de sortie de l’ensemble des sources vu du bus continu et l’impédance d’entrée de l’ensemble des charges, vu également du bus continu. Convertisseur Continu/Continu Charge1

Réseau

Convertisseur Alternatif/Continu

Convertisseur Continu/Continu Charge2

Convertisseur Continu/Continu Charge3

Figure 3-1 : Système d’alimentation électrique (une structure de SPD).

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DC/DC Front End Converter DC Input Power

DC/AC Inverter

AC/DC Rectifier

DC/DC Load Converters

DC BUS

(a) DC-SPD

DC/AC Inverter

AC/DC Rectifier

DC/AC Inverter

AC/DC Rectifier

Front End Inverter DC Input Power

Load 1

Load 2

AC/DC Load Converters

DC/AC Inverter

AC/DC Rectifier

AC BUS

(b) AC-SPD

AC/DC Rectifier

Load 1

Load 2

Figure 3-2 : Classification d’architecture SPD.

3.2- Spectroscopie d’impédance Les méthodes d’analyse de la stabilité des systèmes DC-SPD sont basées sur une approche « petit signal » dont les principes de base ont été exposés par Middlebrook en [3.4-3.6]. Originellement proposée pour la synthèse des filtres d’entrée dans la conception des alimentations à découpage [3.7-3.12], la méthode a été étendue à l’étude d’autres systèmes interconnectés via un bus commun d’alimentation continu [3.13]. 3.2.1- Cas de deux dispositifs en cascade Dans cette approche, chaque sous-système électrique est supposé être stable lorsqu’il travaille seul, sous ses conditions nominales de fonctionnement. Pour étudier l’impact de la connexion d’un dispositif électrique sur le bus commun d’alimentation, nous commençons par le cas simple de la connexion en cascade de deux dispositifs électriques. En adoptant une notation quadripôle (Figure 3.3, Figure 3.4) pour les deux dispositifs, les variations des différentes grandeurs d’entrée et de sortie, après linéarisation au premier ordre et transformée de Laplace, peuvent se mettre sous la forme : v~o1 ( s) ~ ie ( s)

Tv1 ( s) 1 / Z e1 ( s)

Z o ( s) Tc1 ( s)

v~e ( s) ~ i ( s)

v~o 2 ( s) ~ i ( s)

et

Tv 2 ( s) 1 / Z in ( s)

v~i 2 ( s) ~ is ( s)

Z s 2 ( s) Tc 2 ( s)

(3-1)

où : Zin(s) est l’impédance d’entrée du dispositif de charge : v~ ( s ) Z in ( s ) ~i 2 i ( s ) ~i ( s ) s

Zo(s) est l’impédance de sortie du dispositif de source : v~o1 ( s ) Z o ( s) ~ i (s)

(3-2) 0

(3-3) v~e ( s ) 0

Tv1(s) et Tv2(s) représentent les fonctions de transfert en tension : ~ v~ ( s ) v (s) Tv1 ( s ) ~ e et Tv 2 ( s ) ~o 2 vi 2 ( s ) ~i ( s ) vo1 ( s ) ~i ( s ) 0 s

Tc1(s) et Tc2(s) représentent les fonctions de transfert en courant : ~ ~ ie ( s) i ( s) et Tc 2 ( s) ~ Tc1 ( s) ~ i ( s) v~ ( s ) 0 is ( s) v~ ( s ) 0 e

(3-4) 0

(3-5)

e

Ze1(s) est l’impédance d’entrée du dispositif source, Zs2(s) est l’impédance de sortie du dispositif de charge :

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Z e1 ( s )

~ ve ( s ) ~ ie ( s ) ~i ( s )

v~o 2 ( s ) ~ is ( s ) v~

et Z s 2 ( s ) 0

s

(3-6)

i2 (s)

0

Chaque sous-système étant supposé stable individuellement, les quatre fonctions de transfert Tv1(s), Tc1(s), Tv2(s), et Tc2(s) ont toutes des pôles à partie réelle négative. Le calcul de la fonction de transfert liant les variations de tension de sortie en fonction de celle d’entrée des deux dispositifs en cascade v~o2 (s) v~e (s) (la variation du courant de charge étant mis à zéro is(s) = 0) conduit à : v~o 2 ( s) T 1 ( s) T 2 ( s) Zo ( s ) avec Z m ( s ) (3-7) Z o ( s ) Yin ( s ) ~ Zin ( s ) ve ( s) 1 Z m ( s)

~ ie ( s )

~ is ( s )

~ i (s)

Sous-système ~ v~e ( s ) vo1 ( s ) de source Z e1 ( s )

Sous-système ~ v~i 2 ( s) vo 2 ( s ) de charge

Z o (s )

Z in (s)

Z s2 (s)

Figure 3-3 : Mise en cascade de deux sous-systèmes [3.14]. ~ vo1 ( s )

1

Tv1 ( s ) v~e ( s )

~ ve 2 ( s )

~ vo 2 ( s ) Tv 2 ( s )

1 Z e1 (s )

1 Z in ( s)

Z o (s )

Z s 2 (s)

~ i (s)

~ i (s)

Tc1( s )

v~o1 (s ) ~ ie (s )

Tv1 ( s) 1 Z e1 ( s )

~ is ( s )

~ ie ( s )

Zo (s) Tc1 ( s)

~ i (s) Tc 2 ( s )

v~e ( s) ~ i (s )

v~o 2 ( s) ~ i ( s)

sous-système de source

Tv 2 ( s ) 1 Z in ( s)

Z s 2 ( s) Tc 2 (s )

v~o1 (s ) ~ is ( s)

sous-système de charge -1

Figure 3-4 : Modélisation petit signal de deux dispositifs électriques en cascade. La mise en cascade des deux dispositifs sera donc stable si les zéros de la fonction de transfert 1+Zm(s) sont tous à partie réelle négative. Dans l’expression (3-7), le premier terme Tv1(s)·Tv2(s) reflète les performances de chaque sous-système pris individuellement. Alors que le deuxième terme 1+Zm(s) reflète l’influence des interactions entre les deux sous-systèmes sur les performances globales de la cascade. Différentes méthodes de conception existent pour assurer la stabilité de l’ensemble du système. Elles sont toutes basées sur le tracé de Nyquist de la fonction de transfert Zm(s) et imposent toutes au tracé de Nyquist de ne pas entourer le point (-1, 0). Cette condition est suffisante pour assurer que les zéros de 1+Zm(s) sont tous à partie réelle négative et que donc l’association des deux dispositifs en cascade est stable. Parmi les méthodes de conception les plus usuelles, nous trouvons celle de Middlebrook [3.5-3.6], celle de la MGMP (Marge de Gain et Marge de Phase) [3.14] ou bien encore celle d’ESAC (Energy Systems Analysis Consortium) utilisant des contraintes tridimensionnelles [3.15-3.16]. Méthode de Middlebrook Le critère de Middlebrook impose au module de Zo(s)Yin(s) (donc de Zm) d’être strictement inférieur à 1. Le tracé de Nyquist de Zo(s)Yin(s) n’entoure alors pas le point (-1, 0). Un corollaire du critère de Nyquist assure

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alors que Zo(s)Yin(s) n’admet pas de zéro à partie réelle positive. Un exemple de critère de Middlebrook permettant d’étudier la stabilité de deux systèmes en cascade est représenté sur la figure 3-5. Sur ce graphique, on impose au tracé de Zo(s)Yin(s) de rester à l’intérieur d’un cercle de rayon 1/MG où MG représente la marge de gain du système en boucle fermée. Cette marge de gain doit être prise supérieure à 1 pour respecter le critère de Middlebrook. Cette contrainte graphique a l’avantage de fournir une directive de conception. En effet, celle ci est transformée en une condition sur l’impédance d’entrée du sous-système de charge lorsque l’impédance de sortie du sous-système source est donnée. Il vient alors : 1 1 (3-8) Yin ( s) Yin ( s) Z o ( s) Z o ( s) MG MG De (3-8), il est alors possible de se fixer des limites pour Yin(s) et vice-versa si les rôles de Yin(s) et de Zo(s) sont échangés. Axe Im Cercle unitaire

-1

1 Axe Ré

1/MG

0 Région interdite

Figure 3-5 : Région interdite basée sur le critère de Middlebrook. Méthode de marge de gain et marge de phase (MGMP) Afin d’avoir un critère moins conservateur que celui de Middlebrook, les auteurs en [3.14] et [3.15-3.16] proposent le critère de « marge de gain et marge de phase » (MGMP). En effet, pour qu’un système soit considéré stable, le critère de Middlebrook impose une marge de gain minimale (|Zm(jω)| < 1/MGminimale), tandis que le critère MGMP considère qu’un système est stable si : 1 Zm ( j ) MG minimale 1 où (3-9) Zm( j ) avec MP MPminimale MGminimale Cette méthode permet de définir des conditions sur l’impédance d’entrée du sous-système de charge tout en autorisant des dépassements d’impédance à l’interface et en conservant naturellement la stabilité du système [3.14-3.16]. Elle permet également au concepteur de pouvoir spécifier arbitrairement des marges de stabilité. L’étude du tracé de Zm(s) tiré de (3-7) reste le moyen de vérifier la stabilité du DC-SPD. En se fixant, par exemple une marge de gain MG de 6 dB et une marge de phase MP de ±60 degré, nous arrivons à la « région interdite » présentée sur la figure 3-6. À chaque fois que Zm(s) franchira le cercle de rayon 1/MG, la marge de phase de Zm(s) devra être au moins de 60 degrés. De plus, à chaque fois que Zm(s) croisera l’axe des réels négatifs, le module de Zm(s) devra être inférieur à 0.5 assurant une marge de gain minimale de 6 dB.

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Axe Im Cercle unitaire

-1

60° -60°

0.5

1 Axe Ré

0

Région interdite Trajectoir e de Z m ( s )

Figure 3-6 : Région interdite selon la méthode de MGMP. Si on fait l’hypothèse que l’impédance de sortie du dispositif de source Zo(s) est connue, la définition de la région interdite vue précédemment peut être transformée en deux conditions sur l’impédance d’entrée de charge Zin(s) exprimées à l’aide de deux inégalités. La première traduit la condition sur le module de Zm(s) qui doit être inférieur à 1/MG (inégalité exprimée en dB). Il vient alors : Z in ( s) dB

Z o ( s) dB

MG dB

(3-10)

La seconde traduit que la marge de phase de Zm(s) est supérieure à la marge de phase désirée MP. Il vient :

180 où

Zin (s) et

MP

Z o ( s)

Zin (s)

180

MP

(3-11)

Zo (s) représentent respectivement les phases de Zin(s) et de Zo(s).

A partir de (3-10) on peut définir le module limite d’impédance d’entrée du sous-système de charge pour un sous-système de source à impédance de sortie donnée : Z in ( s ) lim ite,dB Z o ( s ) dB MG dB (3-12) Bandes de phase inacceptables : Elle représente les limites d’un domaine au-delà desquelles il est défendu à la courbe de phase de Zin(s) de pénétrer lorsque son module est inférieur à celui de Zo(s) afin de préserver la marge de phase désirée. En fonction de Zo (s) et de la marge de phase choisie, les bandes de phase inacceptables sont obtenues facilement d’après (3-11). La figure 3-7a montre un tracé de l’impédance limite de sortie, de la phase de l’impédance de sortie Zo(s) et les zones interdites de phase. Sur la figure 3-7b, tant que |Zin(s)| est supérieur à |Z(s)|limite, la condition sur la phase de l’impédance d’entrée n’est pas prise en compte. Dans la plage de fréquence où |Zin(s)| devient inférieur à |Zin(s)|limite (voir relation 310) alors son argument doit rester dans les limites définissant la région valide de phase [3.14], [3.15]. La figure 3-8, est un exemple démonstratif de spécification d’impédance de charge. Dès lors que |Zin(s)| est plus petit que le gain limite, il faut veiller à contrôler son argument selon les spécifications imposées. Sur la figure 3-8a, il est clair que l’argument de Zin(s) ne pénètre pas dans les bandes de phase inacceptable pour toute la plage de fréquence où |Zin(s)| est plus petit que |Zin(s)|limite. Sur la figure 3-8b, on constate effectivement que le tracé de Zm(s) n’entre jamais dans la région interdite, confirmant que le sous-système de charge satisfait la spécification d’impédance d’entrée.

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Gain [dB]

Gain [dB]

|Z(s)|limite

|Zo(s)|

|Zin(s)|

|Zo(s)|

Z o (s )

Fréquence [Hz]

Bande inacceptable

Bande inacceptable

Phase [degré]

Phase [degré]

Fréquence [Hz]

6 dB

Bande inacceptable

120° Région validé pour

Z o (s ) -120°

Z in (s ) Bande inacceptable

Fréquence [Hz]

Fréquence [Hz]

(a) (b) Figure 3-7 : Spécification d’impédance appliquée aux dispositifs de charge.

Figure 3-8 : Utilisation des spécifications d’impédance [3.14]. 3.2.2- Cas des systèmes mono source multi charges : n dispositifs en parallèle connectés à une même source Un exemple de système électrique constitué d’un dispositif électrique unique de source alimentant un ensemble de N dispositifs de charge tous connectés à un bus commun d’alimentation, est donné sur la figure 3-9. L’impédance d’entrée équivalente pour l’ensemble des charges est donnée par le calcul de N impédances en parallèle. On obtient alors : Z in ( s )

alors :

Z in1 ( s ) // Z in 2 ( s ) //  // Z inN ( s )

Z o ( s) = Z in ( s )

Z o ( s) Zin1 ( s)

1 Z in1 ( s )

Z o ( s) Z o ( s)  Zin 2 ( s) ZinN ( s)

1 Z in 2 ( s )



1

1

Z inN ( s )

(3-13)

Manifestement, il n’est pas avantageux d’utiliser une impédance d’entrée globale Zin(s) pour assurer la stabilité du système puisqu’il est impossible de concevoir et de fabriquer des charges multiples ayant leurs impédances d’entrées coordonnées de sorte à respecter les conditions d’impédance. Il est donc préférable de développer des conditions d’impédances indépendantes, dépendant du nombre de charges connectées au bus commun d’alimentation et des puissances mises en jeu par chaque dispositif [3.15]. Ainsi, si chaque charge se conforme à ces spécifications d’impédance, le SPD sera stable après l’intégration de l’ensemble des sous-systèmes de source et de charge.

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Sous-système de charge 1

Sous-système de charge 2

Sous-système de charge N

Z in1 ( s )

Z in 2 ( s )

Z in (s )

BUS continu

Z o (s )

Z inN (s )

Sous-système de source

Figure 3-9 : Structure typique d’un DC-SPD. Cas 1 : les N dispositifs de charge sont identiques On suppose dans ce cas que tous les dispositifs de charge sont de structures identiques et opèrent au même point de fonctionnement. Une première solution consisterait alors à imposer des spécifications individuelles de charge sur chaque impédance d’entrée Zink(s). Dans l’approche dite « Flow Down » [3.15], chaque impédance d’entrée de charge doit vérifier l’une ou l’autre des deux conditions suivantes sur toute la gamme de fréquence de travail : La première est une condition sur les modules des termes Zo(s)/Zink(s) : Z o (s) 1 (3-14) Z ink ( s ) N MG où MG est la marge de gain souhaitée pour la fonction de transfert Zo(s)/Zin(s) (Figure9). La seconde oblige l’argument de Zink(s) à satisfaire : (3-15) 180 MP Z o ( s) Zink (s) 180 MP où MP est la marge de phase souhaitée pour la fonction de transfert Zo(s)/Zin(s). Dans le cas où l’une de ces conditions est vérifiée, le système complet aura des marges de phase et de gain supérieures respectivement à MP et MG (Figure3-10). Gain [dB]

Axe Im Cercle unitaire

|Zink (s)|

|Zo(s)|

1 2N

6 dB+20log(N)

60° Fréquence [Hz]

-1

1 Axe Ré

Phase [degré]

0 -60° 120°

Zo (s)

Région validé pour

Zink (s) -120°

Région interdite Fréquence [Hz]

Trajectoir e de Z m ( s )

(a)

(b)

Figure 3-10 : Spécification individuelle de charge (méthode « Flow Down ») (Cas de N dispositifs de charge identiques). Cas 2 : les N dispositifs de charge sont quelconques Compte tenu de la relation 3-13, même si aucun des tracés des rapports d’impédance Zo(s)/Zink(s) avec (k = 1, 2, …, N) ne pénètre à l’intérieur de sa région interdite respective, la combinaison des impédances d’entrée Zin(s) peut toutefois amener Zo(s)/Zin(s) à pénétrer sa propre région interdite [3.16]. Pour étudier la stabilité d’un tel système deux solutions peuvent être envisagées :

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15

La première solution consiste à déterminer Zin(s) de l’ensemble des charges connaissant leurs impédances d’entrée (Zink(s), k = 1, 2, …, N) et étudier la stabilité du système par la tracée Nyquist de Zo(s)/Zin(s) en utilisant par exemple le critère de MGMP. La deuxième solution est basée sur l’imposition des contraintes spécifiques sur chacune des différentes charges en tenant compte de leurs puissances maximales. Si l’on appelle Pchk la puissance maximale consommée par kème dispositif de charge et Psource la puissance maximale pouvant être fournie par le dispositif de source, on peut généralement admettre :

Psource

Pch1 Pch2  PchN

(3-16)

Imposons alors aux différents rapports Zo(s)/Zink(s) de vérifier les conditions suivantes (formulation proposée dans la thèse de P . Liutanakul) : Z o (s) Z ink ( s)

Re

cos(MP)

Pchk avec k 1, 2,, N Psource

(3-17)

où MP représente la marge de phase minimale souhaitée pour le système DC-SPD (avec MP ]0, 90°[). En effet, nous avons : Z ( s) Z o ( s) Z o ( s) P Pch2 PchN Re o  cos(MP)( ch1  ) cos(MP) Z in1 ( s) Z in 2 ( s) Z inN ( s) Psource Psource Psource d’où :

Re

Z o ( s) Z in ( s)

cos(MP)

(3-18)

Pour assurer la stabilité du système complet, il est suffisant d’imposer les spécifications individuelles d’impédance définies par les relations (3-17) et (3-18). Ainsi le gain de boucle Zm(s) n’a aucune chance de pouvoir encercler le point critique (-1, 0) ce qui assure la stabilité du système modélisé via une approche petit signal. La connaissance de l’impédance de sortie du dispositif de source permet alors d’en déduire des spécifications d’impédance pour chaque dispositif de charge. Lorsque l’impédance d’entrée du kéme dispositif de charge vérifie : Z o ( s) Z ink ( s)

cos(MP)

Pchk avec k Psource

1, 2,, N

alors la relation (3-18) est vérifiée et aucune condition de phase est à imposer à l’impédance d’entrée de ce dispositif.

Si cette condition n’est pas vérifiée, des spécifications de phase sont à imposer au dispositif de charge. Il vient : 90 ) Zo ( s ) Z ink ( s ) 90 ) (3-19) k( k( où

k

( ) sin 1 cos( MP )

Zink ( s ) Pchk Z o ( s ) Psource

(3-20)

Un exemple de spécifications d’impédance est représenté sur la figure 3-11 dans le cas d’une marge de phase minimale de 60 degrés. L’approche présentée permet alors d’assurer une marge de gain de 6 dB et une marge de phase de 60 degrés.

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Gain [dB]

Axe Im Cercle unitaire

|Zin(s)|

6 dB+20log(Pchk /Psource )

1 Pchk 2 Psource

|Zo(s)|

-1

Fréquence [Hz]

1 Axe Ré

Phase [degré]

0 90

Zo (s)

k(

)

Région validé pour

Zink (s) 90

k(

)

Région interdite Trajectoir e de Z m ( s )

Fréquence [Hz]

(a)

(b)

Figure3-11 : Spécifications d’impédance (cas de N dispositifs de charge quelconques). Méthode d’ESAC [3.17-3.18] Cette méthode est similaire à celle développée précédemment (MGMP) au sens qu’elle autorise également au concepteur de spécifier des marges de stabilité. Un exemple de définition d’une région interdite par la méthode d’ESAC est donné sur la figure 3-12. On constate que contrairement à la méthode de Middlebrook ou à la méthode basée sur des critères de marge de phase et de gain (MGMP), le lieu de Zm(j ) est autorisé à passer au plus prêt du point (-1, 0) dans le plan de Nyquist ; le critère de stabilité d’ESAC est donc moins contraignant d’un point de vue dimensionnement mais la génération de spécifications d’impédance à l’aide de ce critère est difficile à mettre en œuvre (génération de spécifications d’impédance tridimensionnelles). Axe Im Cercle unitaire

-1

1 Axe Ré

1/MG

0 Région interdite

Figure 3-12 : Définition d’une région interdite avec la méthode d’ESAC. 3.3- Calcul des impédances d’entrée et/ou de sortie des principaux dispositifs électrotechniques Les impédances du système sont définies en fonction des propriétés internes des sous systèmes qui le constitue, comme leur architecture de puissance, la valeur des différentes variables d’état au point de fonctionnement et leurs commandes. La connaissance de ces différentes impédances est indispensable pour définir et respecter les spécifications d’impédance qui assurent un fonctionnement stable d’un système distribué. Au cours des travaux de thèse de P. Liutanakul et ceux en cours de A. Payman, nous avons établi un formalisme permettant de calculer les impédances d’entrée et/ou de sorties des principaux dispositifs électriques utilisés en électrotechniques. Nous avons donc pu trouver les expressions généralisées des impédances d’entrée et de sortie des hacheurs DC/DC et les impédances d’entrée des ensembles onduleur - moteur (synchrone ou asynchrone).

3.3.1- Cas des convertisseurs DC/DC : formulation générale Afin de déterminer de manière synthétique les impédances d’entrée et de sortie d’un hacheur quelle que soit la structure du hacheur utilisé, nous proposons de représenter les hacheurs DC/DC non isolés munis de leur

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17

commande par le schéma fonctionnel présenté sur la figure 3-13. Ce modèle a été établi dans le cadre de la thèse de Pisit Liutanakul. L’utilisation de ce modèle dan le cadre de l’étude de la stabilité de systèmes multi sources multi charges fait l’objet d’études en cours dans le cadre de la thèse de A. Payman. Il est valable en mode de conduction continue pour de petites variations autour du point de fonctionnement et pour les hacheurs n’ayant qu’une seule entrée de commande. Son extension au mode de conduction discontinue et aux alimentations isolées est en cours de validation (thèse de A. Payman). Pour modéliser la charge des hacheurs, on utilise un modèle de type Norton ; elle sera donc modélisée par une résistance de charge Rch en parallèle avec une source de courant ich. La fonction de transfert K(s) n’intervient que lorsque la tension d’entrée du montage est variable et permet de stabiliser le système lors de fluctuations de la tension d’entrée. Le tableau 3-1 donne l’expression en mode de conduction continue des fonctions de transfert introduites dans le schéma présenté sur la figure 3-13 dans le cas des trois principaux hacheurs non isolés à savoir le hacheur série, le hacheur parallèle et le hacheur à stockage inductif. La fonction de transfert F(s) modélise le modulateur MLI. Comme le montre les travaux menés par R.D. Middelbrook, cette fonction de transfert permet de prendre en compte l’effet du découpage dans la modélisation du modulateur et est une fonction de transfert du premier ordre. Les hacheurs munis de leurs commandes sont donc modélisés par des dispositifs possédant trois entrées ~ (tension de sortie de référence v~oréf ( s) , courant de charge ich ( s) et tension d’entrée du dispositif v~s (s) ) et deux ~ sorties (courant dans l’élément inductif i ( s ) et tension de sortie du hacheur v~ (s) ). L

o

v~s ( s )

K(s) v~oréf ( s )

~ iLréf ( s)

I1 ( s )

~ d ( s) Gcv (s )

Gci (s )

H v ( s ) v~o ( s )

~ Hi ( s)iL ( s)

I 2 ( s)

F(s)

Convertisseur continu- continu I (s )

I3 ( s)

Hi (s)

Gain de capteurde courant

~ iL ( s)

V1 ( s)

V2 ( s )

V (s )

v~o (s )

V3 (s )

~ ich ( s)

Hv (s )

Gain de capteurde tension

Figure 3-13 : Modélisation généralisée des hacheurs DC/DC non isolés en mode de conduction continu. Grâce à la modélisation proposée, il est possible de calculer de manière formelle les impédances d’entrée et de sortie des hacheurs DC/DC non isolés quelle que soit la nature du contrôle utilisé pour l’asservissement en tension. Le schéma fonctionnel proposé faisant apparaître une boucle de courant, il correspond à une approche en courant. Dans le cas d’une approche en tension, la fonction de transfert Hi (s) est nulle et la fonction de transfert du correcteur Gci (s) est égale à l’unité.

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Tableau 3-1 : Expression de fonctions de transfert des trois principaux hacheurs non isolés. Convertisseur Bloc

V(s)

Hacheur série

R ch (1 rC C o s) 1 ( Rch rC )C o s

Hacheur à stockage inductif

Hacheur parallèle

1 ( Rch

R ch (1 rC C o s ) IL (1 D ) R ch (1 rC C o s ) Vo

rC )C o s

1 rC C o s 1 ( R ch

I L (1 D )

rC )C o s

Vs

I(s)

1 sL rL

1 sL rL

1 sL rL

V1 (s)

0

IL Vo

DI L V s Vo

V2 (s)

1

V3 (s)

1

1

1

I1(s)

D

1

D

I2(s)

Vs

Vo

Vs+Vo

I3(s)

1

1-D

1-D

Où : rc, rL D, Vo, Vs et IL

Co et L

(1 D )

IL ( sL rL ) Vo

(1 D )

Vs

Vo

(1 rC C o s )

IL ( sL rL ) Vo

représentent respectivement la résistance série de la capacité de sortie et de l’inductance du hacheur représentent respectivement la valeur du rapport cyclique et les valeurs moyennes de la tension de sortie, de la tension d’entrée et du courant à travers de l’élément inductif en régime permanent. représentent respectivement les valeurs de la capacité de sortie, de l’inductance de hacheur

3.3.1.1- Calcul d’une expression généralisée de l’impédance d’entrée des hacheurs munis de leur contrôle Par définition l’impédance d’entrée d’un dispositif se calcule en exprimant la variation du courant absorbé par le hacheur produite par une variation de la tension d’entrée du hacheur ( v~s (s) ≠ 0) et ceci lorsque les deux autres entrées du système restent constantes. De manière générale, le courant absorbé par le convertisseur peut se mettre sous la forme : ~ is ( s)

~ ~ A iL (s) B d ( s)

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(3-21)

19

Le tableau 3-2 donne les valeurs des constantes A et B pour les trois structures de convertisseurs non isolées les plus usuelles. Pour calculer l’impédance d’entrée du système, il est donc nécessaire d’exprimer les variations du rapport cyclique et du courant absorbé en fonction des variations de tension de charge. Seule la variation de la ~ tension d’entrée est non nulle ; les deux autres entrées sont supposées constantes (i.e. ich ( s) = 0, v~oréf ( s) = 0).

Coefficients A

B

Hacheur série

D

IL

Hacheur parallèle

1

0

Hacheur à stockage inductif

D

IL

Convertisseur

Tableau 3.2 : Valeurs de coefficients constantes A et B D’après la figure 3-13, il vient alors (effet non linéaire du à la saturation négligé): ~ d (s)

=

~ ~ F ( s ) Gci ( s ) [ iLréf ( s ) H i ( s ) iL ( s )]

~ iLréf ( s )

=

K ( s)v~s ( s) Gcv ( s)[v~oréf (s) H v ( s)v~o (s)]   

=

K (s)v~s (s) Gcv (s) H v (s)v~o (s) ~ I (s) [ I 2 (s)d (s) I1 ( s)v~s ( s) I 3 ( s)v~o (s)]

(3-22)

0

(3-23)

~ iL ( s )

=

v~o (s)

=

~ ~ V (s) [V1 ( s) v~s ( s) V2 ( s) iL (s) V3 (s) ich ( s)] 

=

~ V ( s) [V1(s) v~s ( s) V2 (s) iL ( s)]

(3-24)

0

(3-25)

L’utilisation des relations (3-22), (3-23) et (3-24) permet d’exprimer les variations du courant inductif en fonction des variations de tensions d’entrée et de sortie. On obtient : ~ A1 ( s) iL ( s)

avec :

A2 ( s) v~s ( s) A3 ( s) v~o ( s)

(3-26)

A1 ( s)

1 I ( s) I 2 ( s) F ( s) Gci ( s) H i ( s)

A2 ( s)

I ( s) [ I 2 ( s) F ( s) Gci ( s) K ( s)

A3 ( s)

I ( s) [ I 2 ( s) F ( s) Gci ( s) Gcv ( s) H v ( s)

I 1 ( s)] I 3 ( s)]

Les relations (3-25) et (3-26) conduisent alors à :

B1 (s) v~o (s)

B2 (s) v~s (s)

(3-27)

avec : A3 ( s) A1 (s)

B1 ( s)

1 V ( s) V2 ( s)

B2 ( s)

V ( s) V1 ( s) V2 ( s)

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A2 ( s) A1 ( s)

20

Les relations (3-21), (3-26) et (3-27) permettent alors d’exprimer les variations de courant d’entrée en fonction des variations de tension d’entrée et d’en déduire l’expression de l’impédance d’entrée du dispositif en boucle fermée. On trouve : Z in ( s )

v~s ( s ) ~ is ( s )

C( s ) B

A3 ( s ) B2 ( s ) A1( s ) B1( s )

A (s) A 2 A1( s )

1

(3-28)

avec :

C( s )

F ( s ) Gci ( s ) K ( s ) Gcv ( s ) H v ( s )

B2 ( s ) B1 ( s )

Hi( s )

A2 ( s ) A1 ( s )

A3 ( s ) B2 ( s ) A1 ( s ) B1 ( s )

3.1.1.2- Calcul d’une expression généralisée de l’impédance de sortie des hacheurs munis de leur contrôle Par définition l’impédance de sortie d’un dispositif se calcule en exprimant la variation de tension de sortie du ~ hacheur produite par une variation du courrant de charge ( ich ( s) ≠ 0, Rch supposée infinie) et ceci lorsque les deux autres entrées du système restent constantes ( v~ (s) 0 , v~ ( s) = 0). Les relations (3.22) à (3-25) oréf

s

conduisent alors à : ~ iL ( s )

=

I ( s) [ I 2 (s) F ( s) Gci ( s)

~ Gcv ( s) H v (s) v~0 (s) H i ( s) iL ( s)

I 3 (s)v~o ( s)]

Après simplification, il est alors possible d’exprimer les variations de courant moyen en fonction des variations de la tension de sortie moyenne. On obtient : ~ X 1 ( s) iL ( s)

Avec

X 2 ( s) v~o ( s)

(3-29)

X 1 (s) 1 I (s) I 2 (s) F (s) Gci (s) H i (s) X 2 ( s ) I ( s ) I 2 ( s ) F( s ) Gci ( s ) Gcv ( s ) H v ( s ) I 3 ( s )

En utilisant les relations (3-25) et (3-29), il vient : X ( s) ~ ~ v~o ( s) V ( s) [ V2 ( s) 2 v o ( s) V3 ( s) ich ( s)] X 1 ( s)

Cette dernière relation permet d’obtenir l’expression généralisée de l’impédance de sortie du hacheur. On obtient :

Zo ( s )

v~o ( s ) ~ ich( s )

~ voref ( s ) 0 ,~ v s ( s ) 0 ,Rch

V ( s ) V3 ( s ) X 1( s ) X 1( s ) V ( s ) V2 ( s ) X 2 ( s )

(3-30)

3.3.2- Calcul de l’impédance d’entrée des ensembles onduleur – machine : formulation générale Un ensemble onduleur machine (figure 3-14) muni de sa commande (figure 3-15) possèdent en général quatre entrées à savoir la référence de vitesse (contrôle en vitesse) ou de couple (contrôle en couple), la référence de flux (ou de courant d’axe d), le couple de charge et la tension de l’étage continu alimentant l’onduleur. Il a deux sorties qui sont la vitesse mécanique et le courant continu absorbé par l’ensemble onduleur moteur. L’impédance d’entrée est alors donnée par l’expression : ~ v (s) (3-31) Z in ( s ) ~s is ( s ) ~ ( s ) 0 , ~ ( s ) 0 , C~ ( s ) 0 ref

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ref

ch

21

~ ( s ) et ~i ( s ) sont les variations de la tension et du courant d’entrée de l’ensemble onduleur-machine où v s s autour de son point de fonctionnement (figure 3-14). En supposant les pertes par commutation nulles dans l’onduleur, la loi de conservation de puissance s’écrit : v s i s = v ds i ds

(3-32)

v qs i qs

où (vds, vqs) et (ids, iqs) sont les composantes directe et en quadrature de la tension et du courant statorique du moteur. ~ i s

~ vs

Machine

onduleu r

Figure 3-14: Schéma de principe d’un ensemble convertisseur moteur. Le principe d’une commande conventionnelle de moteur est présenté sur la figure 3-15. Un terme additionnel (proportionnel à v~s (s) ) apparaît dans la structure de contrôle. A la référence de courant d’axe q est additionné un terme proportionnel aux variations de la tension d’entrée autour de sa valeur moyenne. En fait, on demande au moteur d’adapter sa demande de puissance afin de lutter contre les fluctuations de la tension d’entrée, notamment lors du démarrage de la machine. Ce terme est similaire à celui introduit dans le contrôle des hacheurs. L’estimation des variations de la tension d’entrée v~s (s) est faite par une soustraction entre la tension d’entrée v s et la sortie d’un filtre du premier ordre de fréquence propre ωp.. En modélisant l’onduleur (commandé en MLI) au sens des valeurs moyennes par un gain G, nous avons :

vds vqs

G

v*ds v*qs

(3-33)

avec : G

vs 2 pm

(3-34)

* * où pm est l’amplitude de la porteuse de la MLI et ( v ds ) sont les composantes directe et en quadrature de v qs la tension de commande de l’onduleur.

Figure 3-15 : Schéma typique d’une commande de machine auto pilotée munie d’un terme de compensation d’oscillation. Pour de petites variations autour du point de fonctionnement, on obtient à partir de (3-32), (3-33) et (3-34) le modèle linéarisé suivant :

v~s ( s ) I s

~ Vs is ( s ) = v~d ( s ) I d

~ ~ Vd id ( s ) v~q ( s ) I q Vq iq ( s )

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(3-35)

22

* v~d ( s ) ~ vs ( s ) Vd = v~q ( s ) 2 pm Vq*

Vs 2 pm

~ vd* ( s ) ~ vq* ( s )

(3-36)

En utilisant les équations d’état de la machine, il est possible d’exprimer les variations de tension d’axe d et q en fonction de celles des courants d’axe d et q. Il vient alors :

~ ids ( s ) Z( s ) ~ iqs ( s )

v~d ( s ) v~q ( s )

où Z(s) est la matrice d’impédance de la machine : Z ( s )

(3-37)

z11( s ) z12 ( s ) z21( s ) z22 ( s )

.

En combinant les relations (3-35) et (3-37), il est alors possible d’exprimer les variations des grandeurs d’entrée en fonction des variations des courants d’axe d et q de la machine :

~ ~ ~ v~s ( s ) I s Vs is ( s ) = C( s ) ids ( s ) D( s ) iqs ( s )

(3-38)

avec :

C( s ) Vd

I d z11 ( s ) I q z 21 ( s ) et

D( s ) Vq

I q z 22 ( s ) I d z12 ( s )

Afin d’exprimer les variations de courant d’axe d et q en fonction des variations de tension de commande et d’entrée, en combinant les équations (3-36) et (3-37), il vient :

~ id ( s ) ~ iq ( s ) avec :

Y( s )

Y( s )

* v~s ( s ) Vd 2 pm Vq*

Vs 2 pm

v~d* ( s ) v~q* ( s )

Z 1( s )

(3-39)

(3-40)

A ce stade, il est nécessaire d’introduire la méthode de découplage choisie pour asservir les courants d’axes d et q à leurs références. Nous allons modéliser le découplage par une matrice A vérifiant la relation suivante :

v~d* ( s ) v~q* ( s )

v~d** ( s ) A ~** vq ( s )

(3-41)

vq** ( s ) les sorties respectivement des régulateurs de courants d’axe d et q. vd** ( s ) et ~ avec ~

Trois cas se présentent habituellement. Lorsqu’il n’y a pas de découplage, A est alors la matrice identité. Lorsqu’un découplage de type Feedforward est utilisé, A est alors une matrice de R2x2. La matrice produit Y.A est alors diagonale et est, en générale, égale à l’admittance du système initial sans terme de couplage. Lorsqu’un découplage non linéaire de type Feedback est utilisé, on peut alors modéliser l’effet du découplage en considérant le produit Y.A identique au précédant et en considérant les équations différentielles modélisant le comportement des courants d’axe d et q comme découplées (les coefficients z12 et z21 de la matrice impédance Z sont alors considérés comme nuls). Posons Cd(s) et Cq(s) les fonctions de transfert des correcteurs utilisés respectivement pour le contrôle des courants d’axe d et q. Il vient alors :

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23

v~ds ( s ) v~qs ( s )

A.

Cd ( s ) 0

~ ids ,ref ( s ) ~ Cq ( s ) iqs ,ref ( s ) 0

~ ids ( s ) ~ iqs ( s )

(3-42)

Il est alors possible de calculer les variations des courants statoriques d’axe d et q de la machine. Il vient :

~ id ( s ) ~ iq ( s )

~ Cd ( s ) 0 ids ,ref ( s ) Vs .A. ~ 0 Cq ( s ) iqs ,ref ( s ) 2 pm

* v~s ( s ) Vd Y( s ) 2 pm Vq*

~ ids ( s ) ~ iqs ( s )

(3-43)

La génération des courants de références ids,ref et iqs,ref sont généralement les sorties des asservissements respectivement de flux et de vitesse (avec éventuellement un terme correctif sur les oscillations de tension d’entrée voir Fig. 3.15). Pour le calcul de l’impédance d’entrée d’un ensemble onduleur/moteur, ses références sont supposées constantes (i.e. leurs variations sont supposées nulles). Dans la plus part des applications, les dynamiques de ses asservissements sont au moins une décade inférieure à celles des courants. On peut alors modéliser l’influence de ses boucles d’asservissements par deux relations de la forme :

~ ids ,ref ( s ) ~ iqs , ( s ) ref

hd 1 ( s ) hd 2 ( s ) ~ i . ~ds hq1 ( s ) hq 2 ( s ) iqs

0 ~ vs ( s ) hvs ( s )

~ i I ( s ) ~ds iqs

J( s ) ~ vs ( s )

(3-44)

Des équations (3-43) et (3-44), il est possible d’exprimer les variations de courant d’axe d et q en fonction des variations de tension continu. Il vient : ~ ids ( s ) ~ iqs ( s )

H 1

Y( s )

1 V *d 2 pm V *q

Cd ( s ) 0 Vs Y ( s ) A( s ) 0 Cq ( s ) 2 pm

J( s ) ~ vs ( s )

(3-45) avec

H

On pose :

Cd ( s ) 0 Vs Y ( s ) A( s ) 0 Cq ( s ) 2 pm

I2

~ ids ( s ) Yd ( s ) ~ iqs ( s ) Yq ( s )

I( s ) I2

v~s ( s ) v~ ( s )

(3-46) (3-47)

s

Les relations (3-38),(3-46) et (3-47) conduisent alors à :

Is

C( s ) Yd ( s ) D( s ) Yq ( s ) v~s ( s )

~ Vs is ( s )

D’où la valeur de l’impédance d’entrée de l’ensemble onduleur moteur : Z in ( s )

Is

Vs C( s ) Yd ( s ) D( s ) Yq ( s )

(3-48)

3.3.2.1- Application aux machines synchrones à aimants

serge pierfederici 2007

24

On prend l’exemple d’une machine lisse à aimant permanent asservie en vitesse. Le schéma de commande de l’ensemble onduleur moteur correspond à celui représenté sur la figure 3-15 en prenant CΦ(s)=0 ( pas d’asservissement en flux, i.e. hd1(s)=hd2(s)=0). Supposons que le mode de découplage des courants d’axe d et q soit de type Feedforward. On note : Rs la resistance statorique, Ld, Lq les inductances cycliques statoriques d’axe d et q, ω0 la pulsation électrique au point de fonctionnement étudié, Ψf le flux d’aimant, f le coefficient de frottement visqueux, Ji l’inertie des pièces tournantes, p le nombre de paire de pôles.

Rs

La matrice impédance Z s’écrit alors : Z

s Ld Ld

o

Lq s Lq

o

Rs

Les expressions des polynômes C(s) et D(s) données en (3-38) s’écrivent : C( s ) Vd

I d ( Rs

s Ld )

o

Ld I q

D( s ) Vq

I q ( Rs

s Lq )

o

Lq I d

Après découplage, la matrice produit Y.A vérifie : Y

Rs

A

1 Ld s

0

0

1 Lq s

Rs

Les matrices I(s) et J(s) intervenant dans l’équation (3-44) s’écrivent pour cette application :

0 I( s )

0

0

Cv ( s )

p f

f

J( s )

0

K( s )

t

s Ji

3.3.2.2- Applications aux machines asynchrones à cage

Prenons l’exemple d’une machine asynchrone à cage, modélisée dans un repère tournant lié au flux rotorique dont le schéma de contrôle est celui proposé sur la figure 3-15. Supposons que le contrôle des courants statoriques s’effectue via un découplage non linéaire de type Feedback. Grâce à ce découplage, le système équivalent obtenu après découplage est considéré comme linéaire. La matrice impédance Z s’écrit alors :

Z

Rs

s Ld 0

Rs

0 s Lq

Les expressions des polynômes C(s) et D(s) données en (3-38) s’écrivent : C( s ) Vd

I d ( Rs

s Ld )

serge pierfederici 2007

25

D( s ) Vq

I q ( Rs

s Lq )

La matrice produit Y.A est similaire à celle obtenue précédemment. Supposons maintenant que le flux rotorique est obtenu via un estimateur en boucle ouverte. Il vient alors : M

~ 1

r

s

~ où M est la mutuelle stator / rotor et τ la constante de temps rotorique. r ids

Alors les matrices I(s) et J(s) de l’équation (3-44) s’écrivent :

C (s) I( s ) Cv ( s )

J( s )

0

K( s )

M 1

r

p M I qs LR

f

0

s M

Ji s 1

r

s

Cv ( s )

LR

p M f Ji s

t

avec Lr l’inductance cyclique rotorique.

3.4- Applications 3.4.1- Mise en cascade d’un filtre non amorti et d’un hacheur série programmé en mode tension Reprenons l’exemple donné au paragraphe 2.2. Avec les paramètres de commande et de filtre d’entrée choisis, le système résultant de la mise en cascade du filtre et du hacheur n’est pas asymptotiquement stable. La trajectoire d’état du système décrit des cycles limites autour du point de fonctionnement du système (voir Figures 2.5 à 2.8). Ce résultat est corroboré par le tracé de Zm(s) correspondant au rapport entre l’impédance de sortie du filtre d’entrée Zout et l’impédance d’entrée du hacheur série Zin présenté sur la figure 3.16. Le tracé de Nyquist entoure le point (-1,0); le point de fonctionnement du système est n’est donc pas asymptotiquement stable. Pour interpréter de manière plus fine ce dernier résultat, regardons ce que donne le tracé (figure 3.17) du module et de la phase de Zm(s) en fonction de la pulsation. On s’aperçoit qu’il existe un domaine dans l’espace des fréquences pour lequel le module de l’impédance de sortie du filtre et supérieur à celui de l’impédance d’entrée. Le critère de Middlebrook n’est alors pas vérifié. Pour imposer au système des marges de robustesse suffisantes, il est alors nécessaire de modifier la stratégie de contrôle du hacheur en jouant sur la fonction de transfert K(s). L’idée d’utiliser un terme permettant de compenser les fluctuations de tension d’entrée a déjà été évoquée dans la littérature en [3.15], la méthode permettant de régler cette fonction de transfert n’étant pas détaillée. Dans les études réalisés pour la thèse de P. Liutanakul, nous avons expliqué l’action de ce terme sur l’impédance d’entrée du hacheur et son impact sur la stabilité. Prenons pour K(s) une fonction de transfert de type passe bande :

K( s ) Ks

P / wp 1 P / wp 1 1

P / wp 2 1

-1

Avec wp1=300 rad.s et wp2=2.104 rad.s-1 Sur la figure 3.18 est alors représenté le tracé de l’impédance de sortie et de l’impédance d’entrée Zin pour différentes valeurs du coefficient Ks. Ce tracé montre qu’une augmentation de la valeur de Ks conduit à une diminution du module de l’impédance d’entrée dans la bande passante de K(s) mais entraîne aussi une augmentation significative de sa phase ce qui a pour effet d’éloigner le tracé de Nyquist du point (-1,0) dans la zone d’interaction entre le filtre et le hacheur. Le point d’équilibre du système peut alors devenir un point d’équilibre stable du système via un choix judicieux de la fonction de transfert K(s). A titre d’exemple, pour une valeur du coefficient Ks égale à 8, le tracé de Nyquist (figure 3.19) de Zm(s) n’entoure pas le point (-1,0), le

serge pierfederici 2007

26

système filtre d’entrée hacheur est donc stable. Les figures 3.20 à 3.23 permettent de vérifier que le point d’équilibre du système est bien asymptotiquement stable. L’influence des paramètres du filtre d’entrée et de la fonction de transfert K(s) sur la stabilité du système et les performances dynamiques en asservissement du hacheur a été traitée de manière approfondie dans la thèse de P. Liutanakul et ne sera pas reprise dans ce document. Nyquist Diagram 400 Zout/Zin avec Ks=0 300

Imaginary Axis

200 100

0 -100 -200 -300

-400 -100

-50

0

50

100

150

200

250

Real Axis

Figure 3.16 : Tracé de Nyquist du rapport entre l’impédance de sortie du filtre et l’impédance d’entrée du hacheur série obtenue pour K(s) =0. Bode Diagram 80

Magnitude (dB)

60 40 20 0

Phase (deg)

-20 90

0

-90

-180 0 10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

Frequency (rad/sec)

Figure 3.17 : Tracé de Bode du rapport entre l’impédance de sortie du filtre et l’impédance d’entrée du hacheur série obtenue pour K(s)=0.

serge pierfederici 2007

27

Zout Zin pour ks=0 Zin pour ks=2 Zin pour ks=4 Zin pour ks=6 Zin pour ks=8

80

Magnitude (dB)

60 40

Bode Diagram

20 0

Phase (deg)

-20 90

0

-90

-180 0 10

1

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

10

Frequency (rad/sec)

Figure 3.18 : Tracé de l’impédance de sortie du filtre d’entrée et de l’impédance d’entrée du hacheur pour différentes valeurs du coefficient Ks ; Nyquist Diagram Zout/Zin avec Ks=8 1

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Figure 3.19 : Zoom autour du point (-1,0) du tracé de Nyquist du rapport entre l’impédance de sortie du filtre et l’impédance d’entrée du hacheur série obtenue pour Ks =8.

serge pierfederici 2007

28

5

v5

6

A

Vcf

courant iL

5. 5

5 0

5 4 5

4. 5

4 0

4 3. 5

3 5

3 3 0 2 50.05

2. 5 0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

0.095

s Figure 3.20 : Tension à la sortie du filtre en régime permanent obtenue avec Ks = 8.

2

v5

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

0.095

3 i f

2. 8

Voref

0.

Figure 3.21 : Courant dans l’inductance du hacheur série en régime permanent dans le cas d’une cascade filtre – hacheur série obtenue avec Ks =8.

2 3

2. 6

2 2

2. 4

2 1

2. 2

2 0

2

1 9

1. 8

1 8

1. 6

1 7

1. 4

1 6

1. 2

1 50.05

0.055

s1

A

Vo

2 4

2 0.05

0. 1

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

0.095

0.

s1 Figure 3.22 : Tension de sortie du hacheur série en régime permanent dans le cas d’une cascade filtre – hacheur série obtenue avec Ks = 8.

1 0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

0.095

0.

s1 Figure 3.23 : Courant d’entrée du filtre en régime permanent dans le cas d’une cascade filtre – hacheur série obtenue avec Ks = 8.

3.4.2- Association filtre d’entrée - ensemble convertisseur machine Dans le cadre des ensembles filtre d’entrée onduleur moteur, l’analyse de la stabilité via des spécifications d’impédance n’était pas utilisée à ma connaissance. Dans certains articles, une mesure de tension continue est utilisée pour soit optimiser le contrôle du système dans le cadre d’une commande globale de type LQ [3.19] ou soit améliorer sa stabilité via l’ajout d’un terme de compensation d’oscillation (gain proportionnel) [3.20-3.21], la synthèse de ce terme de contre réaction utilisant un modèle simplifié de l’ensemble onduleur moteur et notamment des asservissements en courant. Une fois encore, reprenons l’exemple donné au paragraphe 2.3. Les résultats présentés ont montrés que le point d’équilibre du système était instable lorsque la valeur du condensateur du bus continu était prise égale à 100 µF et stable lorsqu’elle était fixée à 240 µF. Notons tf et tfv les constantes de temps en boucle fermée associées respectivement aux boucles de courants d’axe dq et à la boucle de vitesse. Les régulateurs utilisés sont des régulateurs linéaires de type PI, le dimensionnement des régulateurs utilisant une compensation pôle/zéro. Les valeurs nominales de ces différents paramètres sont données au paragraphe 2.3. Grâce à la modélisation présentée au paragraphe 3.3.2, il est possible de calculer l’impédance d’entrée de l’ensemble onduleur machine synchrone à aimant et d’étudier les interactions possibles entre ce dispositif et le filtre d’entrée qui l’alimente. Pour expliquer le phénomène observé, on peut par exemple tracer sur une même courbe, le tracé de l’impédance de sortie du filtre pour différentes valeurs de condensateur et les comparer à la valeur de l’impédance d’entrée du hacheur. Sur les figures 3.24 et 3.25 sont présentés les tracés du lieu de

serge pierfederici 2007

29

Nyquist de Zm(s) et les diagrammes de Bode de Zin(s) et Zo(s) lorsque la valeur du condensateur de filtrage varie. La fonction de transfert hv(s) (voir figure 3.15) a été prise égale à :

s hv ( s )

K

s

wp

(3.49)

1

wp

Deux valeurs du paramètre K ont été testées à savoir K = 0,5 et K = 0,1. On constate (Figure 3.24, K = 0,5) que lorsque la valeur de C diminue, les marges de robustesse du système diminue (marge de phase, marge de gain et marge de module) mais le système reste stable. Bode Diagram

Nyquist Diagram

Magnitude (dB)

40

15 Zm(s) avec C=240 µF Zm(s) avec C=100 µF

20

0 5

Imaginary Axis

-20 Z in(s) Zo (s) avec C=240 µF Zo (s) avec C=100 µF

-40 90

Phase (deg)

Zm(s) avec C=10 µF

10

Zo (s) avec C=10 µF

0

-5

0

-10

-90

-180 0

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

-15

6

10

10

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Real Axis

Frequency (rad/sec)

Figure 3.24 : Influence de la valeur de capacité sur la stabilité du bus continu (tfv = τm/5, tf = 4T, K = 0,5), A droite : tracé de Nyquist de Zm(s), A gauche : tracé des impédances de sortie et d’entrée. On constate en comparant les figures 3.24 et 3.25 que le paramètre K a un effet stabilisant sur le système. Le système est instable pour des valeurs de capacité C inférieure à 100 µF lorsque K = 0,1 alors qu’il est toujours stable lorsque K = 0,5. La valeur de capacité pour laquelle, la mise en cascade de l’ensemble filtre d’entrée/onduleur-machine est stable, diminue lorsque la valeur de K est correctement choisie. Ce résultat est similaire à celui observé lors de la mise en cascade d’un filtre d’entrée et d’un hacheur série.

Ma gnitude ( dB)

Bod e D ia gra m

N yq uist D iag ra m

40

10

20

8

Zo(s) avec C=240 µF Zo(s) avec C=100 µF

6

Zo(s) avec C=10 µF

0 4

Ima ginary Axis

-2 0

Z in(s) Zo (s) avec C=240 µF Zo (s) avec C=100 µF Zo (s) avec C=10 µF

Pha se ( de g)

-4 0 90

0

2 0 -2 -4 -6

-9 0 -8

- 1 80 0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

-1 0 -4

-2

0

2

4

6

8

R ea l Axis

Freq ue ncy (rad/sec)

Figure 3.25 : Influence de la valeur de capacité sur la stabilité du bus continu (tfv = τm/5, tf = 4T, K = 0,1), A droite : tracé de Nyquist de Zm(s), A gauche : tracé des impédances de sortie et d’entrée.

serge pierfederici 2007

30

L’influence de la fonction de transfert hv(s) (introduite dans la commande de l’onduleur (Figure 3.15) pour compenser la variation de la tension d’entrée de l’onduleur) sur la stabilité est illustrée par les résultats présentés sur les figures 3.26 et 3.27. On s’aperçoit que pour de faibles valeurs de K (K = 0,1, Figure 3.26), même si le tracé de Nyquist n’entoure pas le point (-1, 0), les marges de robustesse ne sont pas respectées. Il est alors nécessaire de diminuer la dynamique des boucles de courant (Figure 3.26). Cette diminution se traduit par une baisse du module de l’impédance d’entrée mais surtout par une augmentation significative de sa phase ce qui a pour effet une augmentation de la marge de phase du système et donc le respect des marges de robustesses imposées au système. La figure 3.27 permet de mieux comprendre l’effet d’une augmentation de la valeur numérique du coefficient K sur l’impédance d’entrée du système. Lorsque la valeur de K augmente, le module de l’impédance d’entrée a tendance à diminuer notamment dans la zone d’interaction avec le filtre d’entrée. Cet effet négatif est contrebalancé par une augmentation significative de sa phase. Cela a pour effet d’assurer la condition sur la marge de phase du système. Bode Diagram

Nyquist Diagram

60

8 t f = 4T

Magnitude (dB)

40

tf =15T

20

4 0

Imaginary A xi s

-20 -40 90 Z in(s) avec t f = 4T Zi n (s ) avec tf =10T

Phase (deg)

tf =10T

6

2

0

-2

Zi n (s ) avec tf =15T

0

Zo (s)

-4

-90

-6 -180 0 10

1

10

10

2

3

10

4

10

5

10

6

10

-8 -4

7

10

-2

0

2

Frequency ( rad/sec)

4

6

8

10

Real Axis

Figure 3.26 : Influence de la dynamique des boucles de courant sur la stabilité du bus continu (tfv = τm/5, K = 0,1), A droite : tracé de Nyquist de de Zm(s), A gauche : tracé des impédances de sortie et d’entrée.

Bode Diagram

Nyquist Diagram

40

5

Magnitude (dB)

Zin (s ) av ec K = 0,1 4

20

Zin (s) av ec K = 1 0

2

Imaginary A xi s

-20 Zin(s) av ec K = 0 ,1 Zin(s) av ec K = 0 ,5

-40 90

Zin(s) av ec K = 1 Zo (s)

P hase (deg)

Zin (s ) av ec K = 0,5

3

0

1 0 -1 -2 -3

-90

-4 -180 0 10

1

10

10

2

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

-5 -3

-2

Frequency (rad/s ec)

-1

0

1

2

3

4

5

6

Real Axis

Figure 3.27 : Influence du gain K sur la stabilité du bus continu (tfv = τm/5, tf = 4T), A droite : tracé de Nyquist de Zm(s), A gauche : tracé des impédances de sortie et d’entrée.

De manière générale, à l’aide des outils développés dans ce chapitre, il est possible d’étudier l’impact sur la stabilité de tous les paramètres clefs du système. Dans la thèse de P. Liutanakul, l’influence par exemple de la valeur de l’inductance de ligne, des dynamiques des boucles de courant et de vitesse, de la méthode de découplage sur la stabilité du système et ses performances dynamiques en asservissement a été étudiée.

serge pierfederici 2007

31

Des résultats de simulation sont présentés sur les figures 3.28 à 3.31 pour deux valeurs du coefficients K (K = 0,1 et K = 1,36) et deux valeurs de la capacité de filtrage C (C=100 µF et C = 240 µF). Les constantes de temps en boucle fermée de vitesse et de courant sont fixées respectivement à τm/5 (τm constante de temps mécanique) et 4T (T : période de découpage). Comme prévues par les études précédentes, le système est instable lorsque K = 0,1 et C=100µF (Figure 3.29). Il reste stable dans les trois autre cas.

4

2

4

x 10

270

1.5

2

260

1

x 10

270

1.5

Tension du bus continu

250

260

1

250

Vitesse(tr/mn)

Vitesse(tr/mn)

0.5 0

240

0

0.5

1

230

2

250

1

200

0

150

-1

-3

0.5

0

0.5

1

0

240

0

0.5

10

0

0

1

0 100 id (A)

-5

0

1

200

0.5

1

-10

0

iq (A)

50

0.5

0

1

0

0.5

1

Figure 3.29 : Résultats de simulation pour C = 100 µF, K = 0,1 (tfv = τm/5, tf= 4T).

4

x 10

0.5

150

iq (A)

50 0.5

0

250

5

Figure 3.28 : Résultats de simulation pour C = 240 µF, K = 0,1 (tfv = τm/5, tf= 4T). 2

230

1

100 id (A)

-2

Tension du bus continu

4

270

2

Vitesse(tr/mn) 1.5

260

1 0.5

Tension du bus continu

x 10

270

1.5

260

250

1

250

240

0.5

Tension du bus continu

Vitesse(tr/mn)

0

0

0.5

1

230

0

0.5

1

0

240

0

0.5

1

230

2

250

2

1

200

1

200

150

0

150

100

-1

100

50

-2

50

0

-3

0

0.5

1

250 id (A)

0 -1 id (A)

-2 -3

0

0.5

1

iq (A)

0

0.5

1

Figure 3.30 : Résultats de simulation pour C = 100 µF, K = 1,36 (tfv = τm/5, tf= 4T).

0

0.5

1

0

iq (A)

0

0.5

1

Figure 3.31 : Résultats de simulation pour C = 240 µF, K = 1,36 (tfv = τm/5, tf = 4T).

3.4.3- Mise en cascade de hacheurs élévateurs Reprenons l’exemple donné en 2.4. Pour étudier la stabilité du système résultant de la mise en cascade de ces deux convertisseurs, il est nécessaire de calculer l’impédance de sortie du hacheur de tête et l’impédance d’entrée du hacheur en aval. Pour cela, reprenons les résultats généraux donnés par les relations (3-28) et (330). Dans le cas de l’exemple 2.4, les fonctions de transfert K(s) des hacheurs amont et aval sont nulles. Le tracé de Nyquist de Zm(s) correspondant au rapport entre l’impédance de sortie du hacheur amont et l’impédance d’entrée du hacheur aval (figure 3.32) montre que celui-ci passe légèrement à gauche du point (1,0) lorsque la phase de Zm(s) est égale à π. Ceci explique la création d’un cycle limite de fonctionnement observée lors de la mise en cascade des deux hacheurs (voir Figures 2.13). Pour éviter la création de cycle limite lors de la mise en cascade des deux hacheurs, plusieurs solutions sont envisageables. La première est de changer les valeurs des paramètres des différents asservissements de manière à ce que le tracé de Zm(s) n’entoure pas le point (-1,0) et respecte les marges usuelles de stabilité. La seconde est

serge pierfederici 2007

32

de modifier comme précédemment la stratégie de commande en prenant en compte les fluctuations de tension d’entrée du hacheur en aval. Imposons alors au terme K(s) du hacheur aval de vérifier : (3-50) K ( s ) 1000 / s L’optimisation de cette fonction de transfert fait l’objet de travaux en cours (thèse de A. Payman) et ne sera pas discuter dans ce document. Avec ce choix de fonction de transfert, le tracé de Nyquist de la fonction de transfert Zm(s) obtenue n’entoure plus le point (-1,0) et vérifie les normes usuelles de stabilité (figure 3.33). Les figures 3.34 et 3.35 montrent la réponse temporelle en régime permanent des courants et tensions dans les deux hacheurs lors de la mise en cascade des deux convertisseurs. Le système obtenu est bien stable. Nyquist Diagram 5

0.8

4

0.6

3

0.4

2 Imaginary Axis

Imaginary Axis

Nyquist Diagram 1

0.2 0 -0.2

1 0 -1

-0.4

-2

-0.6

-3

-0.8

-4

-1 -1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

-5 -2

0.4

Real Axis

-1

0

1

2

3

4

5

Real Axis

Figure 3-32 : Tracé de Nyquist de la fonction de transfert Zm(s), avec K(s)=0 (hacheur aval).

Figure 3.34 : Allure des courants circulant à travers les hacheurs amont et aval en régime permanent en prenant K ( s ) 1000 / s .

Figure 3-33 : Tracé de Nyquist de la fonction de transfert Zm(s), avec K ( s ) 1000 / s (hacheur aval).

Figure 3.35 : Allure des tensions à la sortie des hacheurs amont et aval en régime permanent en prenant K ( s ) 1000 / s .

serge pierfederici 2007

33

3.5-Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté les travaux de recherche permettant d’analyser la stabilité des systèmes interconnectés via des méthodes basées sur la spectroscopie d’impédance. La contribution des recherches que nous avons menées dans ce domaine a porté sur deux points importants. Le premier a constitué à étendre l’étude de la stabilité des ensembles filtre hacheur DC/DC via l’utilisation de spécifications d’impédance aux convertisseurs DC/AC. Un formalisme permettant le calcul généralisé des impédances d’entrée et de sortie des principaux hacheurs et ensemble onduleur moteur (synchrone ou asynchrone) a été développé. Le second a porté sur l’étude de l’impact d’un terme de compensation d’oscillation sur la stabilité de système en cascade que ce soit pour des hacheurs DC/DC aussi bien que des ensembles onduleur moteur. Il a été montré que ce terme dégrade en général le module de l’impédance d’entrée dans la zone fréquentielle ou il est actif mais a pour effet d’augmenter significativement sa phase. Il est alors possible d’optimiser la structure de compensation de manière à respecter les contraintes de marge de phase et d’assurer la stabilité du système avec des marges de robustesse suffisantes.

Références chapitre III

[3.1] B. Mammano, “Distributed Power Systems”, Unitrode Power Supply Design Seminar SEM 900, 1993. [3.2] M. Milan Jovanovic, A.W. Tabisz, and F. C. Lee., “Distributed power systemsbenefits and challenges”, in International Journal of Electronics. Vol. 77, No. 5, pp. 601-612, 1994. [3.3] W.A. Tabisz, Milan M. Jovanovic, and F.C. Lee, ”Present and Future of Distributed Power Systems”, in IEEE Proc. APEC’92, 1992, pp. 11-18. [3.4] R. D. Middlebrook., “Modeling Current-Programmed Buck and Boost Regulators”, in IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 4, no. 1, pp.36-52, January 1989. [3.5] R.D. Middlebrook, “Input Filter Considerations in Design and Application of Switching Regulators”, in IEEE Proc. IAS’76 Annual Meeting, pp. 366-382, 1976. [3.6] R.D. Middlebrook, “Design Techniques for Preventing Input-Filter Oscillations in Switched-Mode Regulators”, in Proc. Powercon 5, pp. A3-1 to A3-16, 1978. [3.7] A. Emadi, B. Fahimi, and M. Ehsani, “On the Concept of Negative Impedance Instability in the More Electric Aircraft Power Systems with Constant Power Loads”, in SAE Journal, paper No. 1999-01-2545, 1999. [3.8] Y. Jang and R. W. Erickson., ”Physical Origins of Input Filter Oscillations in Current Programmed Converters”, in IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 7, no. 4, pp. 725-733, October 1992. [3.9] C.R. Kohut., “Input Filter Design Criteria for Switching Regulators Using CurrentMode Programming”, in IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 7, no. 3, pp.469-479, July 1992.

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Annexes : Les filtres d’entrées

A.1

Filtre Lf Cf non amorti (Undamped Lf Cf filter)

Le filtre Lf Cf (Figure A-1) est un filtre du deuxième ordre ne comportant pas d’élément résistif (non amorti). Il permet une atténuation de 40 dB par décade au delà de la fréquence de coupure ωc = 1 / L f C f . Il est de gain unitaire pour des fréquences inférieures à sa fréquence de résonance. A cette fréquence, la norme de l’impédance de sortie est théoriquement infinie ; elle est en pratique limitée par les éléments résistif parasites des différents éléments constitutifs du filtre d’entrée (résistance série de l’inductance, résistance de contact, résistance parallèle aux bornes du condensateur, …). Pour cette structure de filtre, différentes fonctions de transfert peuvent être calculées. Il vient (Figure A-1) :

~ i1 ( s )

~ i2 ( s ) Lf

v~1 ( s )

v~2 ( s )

Cf

Z in(s)

Zo (s)

Figure A-1 : Filtre Lf Cf non amorti.

S.PIERFEDERICI- Nancy 2000

Fonction de transfert sortie/entrée : Tvf ( s )

v~2 ( s ) v~1 ( s )

1 ~ i2 ( s ) 0

(A-1)

2

s (L f C f ) 1

Impédance de sortie : Z o (s)

sL f

(A-2)

s 2 (L f C f ) 1

Impédance d’entrée :

Z in ( s )

A.2

s 2 (L f C f ) 1

(A-3)

sC f

Filtre amorti parallèle (Parallel Damped Filter)

Afin d’éviter que le module de l’impédance de sortie du filtre non amorti Lf Cf (Figure 2-2) n’ait une valeur trop importante au voisinage de sa fréquence de coupure, (qui pourrait compromettre la stabilité de l’ensemble du système), il est souvent préférable d’utiliser des filtres avec amortissement. Un exemple de filtre amorti parallèle est représenté sur la figure 2-3. La résistance Rd permet de contrôler le module de l’impédance de sortie évalué à la fréquence de résonance du filtre. La capacité Cd a pour fonction d’empêcher une circulation de courant continu dans la résistance Rd, limitant ainsi la puissance dissipée par effet joule dans la résistance. La valeur numérique de la capacité Cd doit être largement plus grande que la valeur de la capacité Cf puisque son impédance doit être négligeable devant celle de Cf à la fréquence de résonance Erreur ! Source du renvoi introuvable.]-Erreur ! Source du renvoi introuvable.]. Un choix conventionnel des valeurs prises respectivement par la capacité bloquante Cd et la résistance Rd est donné sur la figure 2-3. On peut alors déterminer les caractéristiques du filtre. Il vient :

~ i1 ( s )

~ i2 ( s)

Lf ~ v1 ( s )

Cf

Z in (s)

Cd

Avec

Rd

et

Cd

Rd Zo (s)

Figure A-2 : Filtre amorti parallèle.

Fonction de transfert sortie/entrée :

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Lf Cf

v~2 ( s )

4C f

Tvf ( s )

v~2 ( s ) v~1 ( s )

s( Rd C d ) 1 ~ i2 ( s ) 0

3

s ( L f C f R d C d ) s 2 [ L f (C f

(A-4) C d )] s ( R d C d ) 1

Impédance de sortie : sL f [ s ( R d C d ) 1]

Z o ( s)

3

(A-5)

s ( L f C f R d C d ) s 2 [ L f (C f

C d )] s ( R d C d ) 1

s 3 ( L f C f C d Rd ) s 2 L f (C f

C d ) s(C d Rd ) 1

Impédance d’entrée :

Z in ( s)

A.3

s 2 (C f C d Rd ) s(C f

(A-6)

Cd )

Filtre amorti série (Serie Damped Filter)

L’autre structure de filtre amorti s’obtient par la mise en série de la résistance Rd et de l’inductance Ld, le tout connecté en parallèle avec l’inductance Lf (Figure 2-4). A la fréquence de coupure, la valeur de la résistance Rd doit être plus grande que l’impédance Ld évaluée à la fréquence de résonance du filtre Erreur ! Source du renvoi introuvable.]. Le désavantage de ce filtre est que l’atténuation diminuée à hautes fréquences. La fonction de transfert sortie/entrée ainsi que les impédances d’entrée et de sortie du filtre sont données ci-dessous. Il vient :

Rds ~ i 1 ( s)

Lds ~ i2 ( s )

Lf

Avec Rds v~1 ( s )

Cf

et Zin(s)

Lf Cf

~ v2 ( s ) Lds

2 Lf 15

Zo(s)

Figure A-3 : Filtre amorti série.

Fonction de transfert sortie/entrée : Tvf ( s )

v~2 ( s ) v~1 ( s )

Impédance de sortie :

S.PIERFEDERICI- Nancy 2000

s( L f ~ i2 ( s ) 0

3

2

L ds ) R ds

s ( L f L ds C f ) s ( L f C f R ds ) s ( L f

L ds ) R ds

(A-7)

sL f ( sL ds

Z o ( s)

3

R ds )

(A-8)

2

s ( L f L ds C f ) s ( L f C f R ds ) s ( L f

L ds ) R ds

s 3 ( L f C f Lds ) s 2 ( L f C f Rds ) s( L f

Lds ) Rds

Impédance d’entrée :

Z in ( s)

A.4

s 2C f (L f

(A-9)

Lds ) s(C f Rds )

Filtre mixte amorti (Multiple Section Filters)

Ce type de filtre permet normalement une atténuation plus élevée à hautes fréquences avec un encombrement et un coût réduits (les composants sont plus nombreux mais les valeurs des inductances et des capacités sont plus petites). Il correspond à la mise en cascade d’un filtre non amorti Lf Cf et d’un filtre amorti série. (Figure A-4). Le tableau 2-1 montre tous les paramètres de ce filtre. La fonction de transfert sortie/entrée ainsi que les impédances d’entrée et de sortie du filtre s’écrivent alors :

Rdm Ldm ~ i 1 (s )

L1

L2

v~1 (s )

Avec

~ i2 (s )

C1

~ v2 (s )

C2

L1

Lf 4

L2

7 L1

C1

Cf 4

C2

4C1

Ldm

L1 8

Rdm

Zin (s)

L1 4C1

Z o ( s)

Figure A-4 : Filtre mixte amorti.

Fonction de transfert tension sortie/entrée : v~2 ( s ) v~1 ( s )

Tvf ( s )

s 1 aTF 1 ~ i2 ( s ) 0

s 5 b5

s 4 b4

s 3 b3

s 0 aTF 0 s 2 b2

s 1b1

(A-10)

s 0 b0

Impédance de sortie : Z o (s)

s 3 a z3 s 5 b5

s 4 b4

s 2 a z2

s 1 a z1

s 3 b3

s 2 b2

s 1b1

C 2 L1 ( L2

Ldm )

s 2 b2

(A-11)

s 0 b0

Impédance d’entrée : Z in ( s)

s 5 b5

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s 4 b4

s 3 b3

s 3 C1C 2 ( L2

Ldm )

L1C 2 Rdm

s 2 C1C 2 R dm

s 1b1 b0

(A-12)

A.5

Dimensionnement des filtres d’entrée

La conception de tous les filtres d’entrée présentés dans cette partie s’appuie sur le contrôle du hacheur série en mode tension fonctionnant en mode de conduction continue. La pulsation de commutation ωc du hacheur est de 1.257×105 rad/sec (fréquence de découpage fc=20 kHz). La pulsation de coupure acceptable du filtre d’entrée ωca est normalement au moins 10% en dessous de la pulsation de coupure en boucle fermée de l’asservissement en tension du hacheur série. Tableau A.1 : les coefficients de fonction de transfert du filtre mixte amorti. Coefficient

Paramètres

a TF0

Rdm

a TF1

L 2+Ldm

a z1

Rdm(L1+L 2)

a z2

L 1L2 Rdm C1 +L 1(L 2+Ldm )+L2L dm

a z3

L1 L2L dmC 1

b0

Rdm

b1

L 2+Ldm

b2 b3

Rdm[(L1 +L 2)C2 +L 1C1] C2[L 1(L2+Ldm)+L2L dm ]+L 1C1(L2 +L dm)

b4

L1 L2C1 C2Rdm

b5

L1 L2C1 C2Ldm

Nous posons pour la pulsation de résonance du filtre d’entrée : ωca = ωc/15 = 8.38×103 rad/sec Puis nous choissions la valeur de la capacité Cf : Cf = 100 μF On en déduit alors la valeur de l’inductance Lf : Lf = 1/(

2 caC f

) ≈ 142 μH

Nous utilisons ces valeurs de Cf et Lf pour concevoir les filtres amortis parallèle, série et le filtre mixte amorti. Il vient alors : Cd = 400 μF

Rd ≈ 1,2 Ω

Lds ≈ 19 μH

Rds ≈ 1,2 Ω

Ldm ≈ 4,4 μH

L1 ≈ 35,5 μH

L2 ≈ 250 μH

C1 ≈ 25 μF

C2 = 100 μF

Rdm ≈ 0,59 Ω

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