Solution TD Méthode MCS 2021 2022 [PDF]

Zitiervorschau

Université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou Département Automatique Master 1 Automatique Industrielle - 2021 2022

solution du TD N°2 Identification des processus Exercice 1 : Les résultats d’essais obtenus par injection d’un signal d’entrée de type échelon sur un système à identifier sont présentés sur le tableau suivant : Temps (sec)

0

1

2

3

4

5

um

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

ym

0

0.63

0.86

0.95

1

1

( − 1) +

( − 1)

( )=−

1- Identifier un modèle du système donné par : 2- Identifier un modèle système donné par :

( )=−

( − 1) −

( − 2) +

( − 1)

Exercice 2 : Soit un système à identifier dont des mesures d'entrée/sortie sont données par : 

=[

(1)



=[

(1)

(2) (2)

(3) (3)

(4) (4)

(5)

(6) ]

(5)

(vecteur des mesures d'entrée)

(6) ]

(vecteur des mesures de sortie)

La méthode d’identification des moindres carrés simple définit le vecteur des paramètres à identifier par la relation suivante :

= (∅ ∅) ∅

Pour chacun des trois cas suivants Donner le vecteur

et la matrice d’observations ∅

a- La structure du modèle à identifier est donnée par : ( )=−

( − 1) +

( − 3) +

( − 1) −

( − 2)

b- La structure du modèle à identifier est donnée par : ( )=

( − 2) +

( − 2)

c- La structure du modèle à identifier est donnée par : ( + 2) −

( + 1) +

( )=

( + 1) +

( )

1

Solution de l'exercice 1 : 1- Identifier par la méthode des MCS un modèle sous forme : ( )=−

( − 1) +

( − 1)

La méthode des MCS permet de calculer cette valeur par la relation :  Déterminer le vecteur

, n =1(l'ordre du modèle) , d'où :

⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

(2) 0.63 ⎤ ⎡0.86⎤ (3) ⎥ (4)⎥ = ⎢⎢0.95⎥⎥ (5)⎥ ⎢ 1 ⎥ (6)⎦ ⎣ 1 ⎦

Détermination de la matrice ∅



=

on a :



 ∅

(1) + (2) + (3) + (4) + (5) +

,

avec

(1) − ⎤ ⎡ (2) − ⎥ ⎢ (3)⎥ = ⎢− (4)⎥ ⎢− (5)⎦ ⎣−

( )=−

(1) (2) (3) (4) (5)

( − 1) +

(1) ⎤ (2) ⎥ (3)⎥ (4)⎥ (5)⎦

( − 1), d'où:

0 ⎡−0.63 , d'où: ∅ = ⎢⎢−0.86 ⎢−0.95 ⎣ −1

0.5 0.5⎤⎥ 0.5⎥ 0.5⎥ 0.5⎦

Calculer ∅ ∅ :

0 ⎡−0.63 ∅ = ⎢⎢−0.86 ⎢−0.95 ⎣ −1

∅

( + 1) ( + 2) =∅ ⋮ ( )

(2) − ⎤ ⎡ (3) − ⎥ ⎢ (4)⎥ = ⎢− (5)⎥ ⎢− (6)⎦ ⎣−

⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣



∅

:

( + 1) ( + 2) ⋮ ( )

=

on a :

= (∅ ∅)

∅

0.5 0.5⎤⎥ 0.5⎥ 0.5⎥ 0.5⎦

ù∶

∅ =

0 −0.63 −0.86 −0.95 −1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

0 ⎡−0.63 0 −0.63 −0.86 −0.95 −1 ⎢ = ⎢−0.86 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ⎢−0.95 ⎣ −1

0.5 0.5⎤⎥ 3.0390 0.5⎥ = −1.72 0.5⎥ 0.5⎦

−1.72 1.25

Calculer (∅ ∅) ∅

=

1.4875 2.0468

2.0468 3.6164

Calculer

2

=

2.0468 0 −0.63 0.5 3.6164 0.5

1.4875 2.0468

0.63 ⎢0.86⎥ −0.86 −0.95 −1 ⎢ −0.3779 0.95⎥ = , 0.5 0.5 0.5 1.256 ⎢ 1 ⎥ ⎣ 1 ⎦

=− . = . Solution de l'exercice 2: a- La structure du modèle à identifier est donnée par : ( )=− =

on a:

( − 1) +

( − 1) −

( − 2)

(3) (4) (5)

(2) (3) , (4)

− ( − 3) = 3 , d'où (4) (5) , (6)

=

( − 3) +

− ∅= − −

(3) (4) (5)

(1) (2) (3)

− − −

=

b- La structure du modèle à identifier est donnée par ( )= on a:

=

( − 2) +

( − 2)

− ( − 2) = 2 , d'où ⎡ =⎢ ⎢ ⎣

(3) ⎤ (4) ⎥, (5)⎥ (6)⎦

⎡ ∅=⎢ ⎢ ⎣

(1) (2) (3) (4)

(1) ⎤ (2) ⎥, (3) ⎥ (4) ⎦

=

c- La structure du modèle à identifier est donnée par : ( + 2) −

( + 1) +

( )=

( + 1) +

( )

( )+

( + 1) +

( )

le modèle peut être réécris comme suit: ( + 2) = d'où :

=

( + 1) −

= ( + 2) − ( ) = 2 , d'où (3) (4) , (5) (6)

⎡ ∅=⎢ ⎢ ⎣

(2) (3) (4) (5)

− − − −

(1) (2) (3) (4)

(2) (3) (4) (5)

− − − −

(1) ⎤ (2) ⎥, (3)⎥ (4) ⎦

=

3