Solution de TD N°1 Turbo M1 [PDF]

Zitiervorschau

‫اﻟﺟﻣﮭورﯾﺔ اﻟﺟزاﺋرﯾﺔ اﻟدﯾﻣﻘراطﯾﺔ اﻟﺷﻌﺑﯾﺔ‬

République Algérienne Démocratique et Populaire Faculté Des Sciences et Des Sciences Appliquées Département de Génie Mécanique Année Universitaire 2019/2020 M1 Energétique

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université

Akli Mohand Oulhadj de Bouira

TD N°1 Module : Turbomachines Approfondie

EXERCICE 01:

Soit la pompe montrée ci-dessous. En appliquant les équations d’Euler, déterminer la puissance de la pompe P en fonction des paramètres 𝑅𝑅2 , 𝑏𝑏2 , 𝑄𝑄𝑄𝑄, 𝜌𝜌 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝛽𝛽2

Solution

1) La puissance de la popme

Le triangle de vitesse de la pompe

U1

α1

β1

W2

Wx2

C1

C2

W1

Entrée

Cx2

Sortie

En écrivent l’équation d’Euler :

β2 α2

U2

𝑴𝑴 = 𝒎𝒎̇(𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 ) = 𝒎𝒎̇(𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ) = 𝝆𝝆𝑸𝑸𝒗𝒗 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐

Puisque 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜶𝜶𝟏𝟏 ) = 𝟎𝟎 (𝜶𝜶𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟗𝟗°)

𝑸𝑸

A la sortie : 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑼𝑼𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) et 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑹𝑹𝒗𝒗 𝒃𝒃 , 𝑼𝑼𝟐𝟐 = 𝝎𝝎𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐

𝑸𝑸 Finalement : 𝑬𝑬̇ = 𝝎𝝎𝝎𝝎 = 𝝆𝝆𝑸𝑸𝒗𝒗 𝝎𝝎𝑹𝑹𝟐𝟐 �𝝎𝝎𝑹𝑹𝟐𝟐 − �𝟐𝟐𝟐𝟐𝑹𝑹𝒗𝒗 𝒃𝒃 � 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜷𝜷𝟐𝟐 )�

EXERCICE 02 :

𝟐𝟐 𝟐𝟐

L'arbre de petite turbine tourne à 20000 tr / min et la vitesse de rotor est U = 250 m / s. La vitesse axiale à la sortie du stator est Cx2 = 175 m/s. L'angle auquel la vitesse absolue

MESSAI.T

1

quitte les aubes de stator est α2 = 67 °, l'angle d'écoulement de la vitesse relative α3 = -20 quittant le rotor est β3 = -60 ° et la vitesse absolue quitte le rotor à l'angle °, Trouver a) le rayon moyen des pales,

b) l'angle de la vitesse relative entrant dans le rotor, c) la valeur de la vitesse axiale quittant le rotor,

d) la valeur de la vitesse absolue à la sortie du stator e) le travail spécifique fourni par étage.

Solution

𝑼𝑼

𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔

a) Le rayon moyen : 𝑼𝑼 = 𝝎𝝎𝑹𝑹𝒎𝒎 ⇒ 𝑹𝑹𝒎𝒎 = 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝜷𝜷𝟐𝟐 =?

Selon le triangle de vitesses

𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝑪𝑪 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝜶𝜶 ) ⎧ 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜶𝜶𝟐𝟐) 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐

⎨𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑾𝑾𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) ⎩𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑾𝑾𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) Et

comme

�⃗ = ��⃗ ����⃗ 𝑪𝑪 𝑼𝑼 + 𝑾𝑾

𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) alors :

MESSAI.T

donc

𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 − 𝑼𝑼 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜶𝜶𝟐𝟐 ) − 𝑼𝑼 avec

𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 2

𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜶𝜶𝟐𝟐 ) − 𝑼𝑼 ⇒ 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) = 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜶𝜶𝟐𝟐 ) − 𝑼𝑼/𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐

𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) = 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝟔𝟔𝟔𝟔°) −

c) 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 =?

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ⇒ 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟖𝟖𝟖𝟖° 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

De même façon de question (2) on a : 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 − 𝑼𝑼 ⇒ 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟑𝟑) = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜶𝜶𝟑𝟑 ) − 𝑼𝑼 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 =

𝑼𝑼 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜶𝜶𝟑𝟑 ) − 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟑𝟑 ) 𝒕𝒕𝒕𝒕(−𝟐𝟐𝟐𝟐°) − 𝒕𝒕𝒕𝒕(−𝟔𝟔𝟔𝟔°)

d) 𝑪𝑪𝟐𝟐 =? 𝒎𝒎 On a 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 et 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜶𝜶𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟔𝟔𝟔𝟔°) = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Donc 𝑪𝑪𝟐𝟐 = �𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟐𝟐 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏2 + 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝟐2 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑾𝑾̇

e) 𝑬𝑬 = − 𝒎𝒎̇ = 𝑼𝑼(𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 − 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 )

𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 et 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜶𝜶𝟑𝟑 ) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕(−𝟐𝟐𝟐𝟐°) = −𝟔𝟔𝟔𝟔. 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Donc : 𝑬𝑬 = −𝑼𝑼(𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 − 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 ) = −𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐(−𝟔𝟔𝟔𝟔. 𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒌𝒌𝒌𝒌

EXERCICE 03 :

La pompe tourne avec 1470 tr/min et délivre 0.1 m3/s de fluide avec une énergie spécifique de 400J/kg.

1) Trouver les vitesses relatives et absolues puis tracer le triangle de vitesses.

Solution :

1) les vitesses relatives et absolues Le triangle de vitesse de la pompe

U1

α1

β1

Donc : 𝑼𝑼𝟏𝟏 = 𝝎𝝎𝑹𝑹𝟏𝟏 =

MESSAI.T

Wx2

C1

C2

W1

Entrée

Selon la figure on a : 𝑫𝑫𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎 ⇒ 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝑫𝑫𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒎𝒎 ⇒ 𝑹𝑹𝟐𝟐 =

W2

𝑫𝑫𝟏𝟏 𝟐𝟐

Sortie

α2

U2

= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝒎𝒎

𝑫𝑫𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔

Cx2

β2

= 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 et 𝑼𝑼𝟐𝟐 = 𝝎𝝎𝑹𝑹𝟐𝟐 =

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟔𝟔𝟔𝟔

= 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔

3

On a : 𝑸𝑸𝒗𝒗 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 /𝒔𝒔 donc on peut calculer les vitesses axiales à l’entrée et la sortie de la pompe. 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟏𝟏 =

𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 =

𝑸𝑸𝒗𝒗 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝒎𝒎 = = 𝟓𝟓. 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝒔𝒔

𝑸𝑸𝒗𝒗 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 𝒎𝒎 = = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 𝑾𝑾̇

Et comme 𝑬𝑬 = − 𝒎𝒎̇ =

𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝐤𝐤𝐤𝐤

𝑬𝑬

𝒎𝒎

= 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑼𝑼𝟐𝟐 ⇒ 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑼𝑼 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 ⇒ 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 + 𝑼𝑼𝟐𝟐 𝟐𝟐

Donc 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑼𝑼𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒

𝒎𝒎 𝒔𝒔

Finalement les vitesses relatives et absolues sont : 𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝟓𝟓. 𝟑𝟑𝟑𝟑

𝒎𝒎 𝒔𝒔

𝑾𝑾𝟏𝟏 = �𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝑼𝑼𝟏𝟏 𝟐𝟐 = �𝟓𝟓. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑪𝑪𝟐𝟐 = �𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟐𝟐 = �𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑

𝒎𝒎 𝒔𝒔

𝑾𝑾𝟐𝟐 = �𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 𝟐𝟐 = �𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Et pour les angles : 𝜶𝜶𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟗𝟗°

𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟓𝟓. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 � � = 𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 � � = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎° 𝑼𝑼𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑

𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝜶𝜶𝟐𝟐 = 𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 � � = 𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 � � = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓° 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎

EXERCICE 04 :

𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 �

𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖 � = 𝒕𝒕𝒕𝒕−𝟏𝟏 � � = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐° 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒

Lors du test de la pompe centrifuge de la figure ci-dessous, les données relevées sont les suivantes : P1=100mmHg (vide) et P2=500mmHg (manomètre). Les diamètres des conduites sont D1=12cm et D2 =5cm. Le débit est de 180 gal/min de litre d’huile (d = 0.91). Calculez :

(a)la hauteur manométrique développée par la pompe.

MESSAI.T

4

(b) la puissance requise par la pompe si son rendement est de 75%. Solution :

a) 𝐻𝐻 =?

On a 𝑷𝑷𝑷𝑷 = −𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎, 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 Le signe (-) c’est pour la pression sous vide.

Et comme 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑷𝑷𝑷𝑷 alors 𝑷𝑷𝑷𝑷 = −𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷, 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈

Et pour 𝑸𝑸𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈/𝒔𝒔 avec 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 donc 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈

𝑸𝑸𝒗𝒗 = 𝟑𝟑

𝒔𝒔

= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 /𝒔𝒔

Maintenant on peut calculer les vitesses au point (1) et (2) : 𝑽𝑽𝟏𝟏 =

𝑸𝑸𝒗𝒗

𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

= (𝝅𝝅/𝟒𝟒)𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 et 𝑽𝑽𝟐𝟐 =

𝑨𝑨𝟏𝟏

D’après Bernoulli équation on trouve : 𝑷𝑷𝑷𝑷

𝑯𝑯𝒑𝒑 = �𝝆𝝆 Donc :

𝑯𝑯𝒑𝒑 = �

𝒉𝒉

+ 𝒈𝒈

𝑽𝑽𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝑷𝑷𝑷𝑷

+ 𝒛𝒛𝒛𝒛� − �𝝆𝝆

𝒉𝒉

+ 𝒈𝒈

𝑽𝑽𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝑸𝑸𝒗𝒗 𝑨𝑨𝟐𝟐

𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

= (𝝅𝝅/𝟒𝟒)𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟔𝟔. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔

+ 𝒛𝒛𝒛𝒛� avec 𝝆𝝆𝒉𝒉 = 𝒅𝒅. 𝝆𝝆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑

𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟔𝟔. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟐𝟐 −𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 + + 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔� − � + + 𝟎𝟎� = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 × 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐 × 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 × 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐 × 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖

b) La puissance

La puissance pour un rendement 75% est : 𝑾𝑾̇ =

EXERCICE 05 :

𝝆𝝆𝒉𝒉 𝒈𝒈𝑸𝑸𝒗𝒗 𝑯𝑯𝒑𝒑 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 × 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟏𝟏 = = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟒 𝑾𝑾 𝜼𝜼 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕

Une pompe centrifuge radiale tourne à une vitesse de 1160 r/min. Le rotor de la pompe a les caractéristiques suivantes D1 = 7 in, D2 = 13 in, b1 =4 in, b2 = 3 in, β1 = 25°, β2 = 40° Si le fluide est de l’eau à 20°, estimez (1inch=2.54 cm) 1- le débit en gal/min. 2- la puissance. 3- la hauteur manométrique

MESSAI.T

5

Solution : 1) 𝑸𝑸𝒗𝒗 =?

Le triangle de vitesses pour la pompe

U1

A l’entrée on a : 𝑪𝑪

α1

β1

W2

Wx2

C1

C2

W1

Entrée

Cx2

Sortie

β2 α2

U2

𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟏𝟏 ) = 𝑼𝑼𝟏𝟏 ⇒ 𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝑼𝑼𝟏𝟏 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝜷𝜷𝟏𝟏 ) avec 𝟏𝟏

𝑼𝑼𝟏𝟏 = 𝝎𝝎𝑹𝑹𝟏𝟏 =

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟕𝟕 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑹𝑹𝟏𝟏 = � �� � = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟐𝟐

Donc 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟖𝟖 × 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝟐𝟐𝟐𝟐°) = 𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 alors

𝟕𝟕 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑸𝑸𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒃𝒃𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝝅𝝅(𝟒𝟒 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) � � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 /𝒔𝒔 𝟐𝟐 On a : 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 Alors :

𝑸𝑸𝒗𝒗 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒎𝒎𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈/𝒔𝒔 𝒔𝒔

2) 𝑾𝑾̇ =?

𝑾𝑾̇ = 𝒎𝒎̇𝑼𝑼𝟐𝟐 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐

𝒎𝒎̇ = 𝝆𝝆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑸𝑸𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓. 𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 𝑼𝑼𝟐𝟐 = 𝝎𝝎𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 =?

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑹𝑹𝟐𝟐 = � �×� � = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟐𝟐

����⃗ donc 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑼𝑼𝟐𝟐 + 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑼𝑼𝟐𝟐 + 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) Comme �𝑪𝑪⃗ = ��⃗ 𝑼𝑼 + 𝑾𝑾 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 =?

𝑸𝑸𝒗𝒗 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 ⇒ 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = = 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔

MESSAI.T

𝑸𝑸𝒗𝒗 = (𝟐𝟐𝟐𝟐𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 )

𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 �� �𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟑𝟑 × 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 × � 𝟐𝟐 6

Donc 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑼𝑼𝟐𝟐 + 𝑾𝑾𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑼𝑼𝟐𝟐 + 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜷𝜷𝟐𝟐 ) = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕(𝟒𝟒𝟒𝟒°) = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Finalement : 𝑾𝑾̇ = 𝒎𝒎̇𝑼𝑼𝟐𝟐 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟓𝟓. 𝟕𝟕 × 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑾𝑾

3) 𝑯𝑯𝒑𝒑 =?

La puissance en fonction de 𝑯𝑯𝒑𝒑 selon l’exercice 01 : 𝑾𝑾̇ =

𝝆𝝆𝒉𝒉 𝒈𝒈𝑸𝑸𝒗𝒗 𝑯𝑯𝒑𝒑 𝜼𝜼

et 𝜼𝜼 = 𝟏𝟏 ⇒ 𝑯𝑯𝒑𝒑 = 𝝆𝝆

EXERCICE 06 :

𝑾𝑾̇ 𝒉𝒉 𝒈𝒈𝑸𝑸𝒗𝒗

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟓𝟓

= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏×𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖×𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎

Un étage d’une turbine à vapeur axiale reçoit 6 kg/s de vapeur saturée et les stators dirigent l’écoulement vers les rotors avec un angle de 70° par rapport à la direction axiale à une vitesse absolue de 975 m/s. La vitesse tangentielle de l’écoulement à la sortie du rotor est nulle, le diamètre moyen est de 1 m et l’arbre tourne 10 000 rpm. a) Quelle est la puissance produit par cet étage b) Quelle est la différence d’enthalpie h01-h02 dans cet étage

Solution :

a) La puissance produit par cet étage

Les données : 𝒎𝒎̇ = 𝟔𝟔

𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒔𝒔

𝒎𝒎

, 𝜶𝜶𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕°, 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒔𝒔 , 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝑵𝑵 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒕𝒕𝒕𝒕/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎

On a: −𝑾𝑾̇ = 𝒎𝒎̇𝑼𝑼(𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 − 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 ) = −𝒎𝒎̇𝑼𝑼𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 ⇒ 𝑾𝑾̇ = 𝒎𝒎̇𝑼𝑼𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝜶𝜶𝟐𝟐 ) = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗(𝟕𝟕𝟕𝟕°) = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗. 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑼𝑼 = 𝝎𝝎𝑹𝑹𝒎𝒎 =

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑹𝑹𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟔𝟔

𝑾𝑾̇ = 𝒎𝒎̇𝑼𝑼𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 × 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓. 𝟔𝟔 × 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗. 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑾𝑾 = 𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑴𝑴𝑴𝑴 b) 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 =?

La conservation d’énergie donne : 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 d’autre part 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 = −𝑾𝑾̇/𝒎𝒎̇ Donc 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝒉𝒉𝟎𝟎𝟎𝟎 =

MESSAI.T

𝑾𝑾̇ 𝒎𝒎̇

= 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒌𝒌𝒌𝒌

7