Solucionario Trigonometría 4° [PDF]

Zitiervorschau

SOLUCIONARIO CUADERNO DE TRABAJO 9

CAP 01

ACTIVIDADES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO I 1

I - B,

2

• (CB)2 = 612 – 602 ⇒ CB = 11

II - A,

III - D,

3

⇒ AB = 13



⇒ HC = 8m

8



15

4

H = 10



8 15 – =1 17 17

3 1 = 9 3

• tanq = 0,3 = • H2 = 32 + 12

•E=4

C

10 A

1

• P = 10

3

–

10

1



∴ M=3



⇒

5

2 5

=

–

22

E=3



a b

2 3 =6–2=4

2

a

E=3+1 ⇒E=4

A





8



B

c

c b b 1 E= b –a +c b a c c 1 E = (c – b + b) = 1 c

7

A

B c

2

104 10

⇒ seca =



• tanb =



⇒ secb =



• Q = sec2a + sec2b



∴ Q=

3 ⇒ 10 109 10

= .A.

109 10

104 109 213 + = = 2,13 100 100 100

b

P=b–b=0

C

7



H2

=



• P = 97

+

92

4 = C.O.

A



P=

8

6 B

1

6 1

C

2

+

A

9 – 4 97 97

2

8 1

= 6 + 8 = 14

Clave E

13



Clave A B

1) Graficando:

A

10

a C

b

a b b +b –c b c a



2) E = a



∴E=b+a–b=a

Clave A

B

C



B

2

13 3

Sec C =

3

A

A

⇒ P=5

7

1

Clave C

⇒ H = 97

c





9

H



3

C

7

40

Clave D

1



C.A. = 9

42

2 =1 2

tana =

1

Clave E

el

4 3

a

Clave E

H = 41

4 9 • Dibujamos

•

10



A

b b –a a c

P= c

2

tana =0,4 =



104

B

B

b a = ⇒ b2 = 2a2 ⇒ b = 2a 2a b

C

b

tanb = 0,1 + 0,2 = 0,3 2 ⇒ 10

a

a M

C



a

• tanb = 0,1 + tana

• tana =

A

x2 = 412 – 402



C b

Clave A

B c A

b

+c ⇒c= 5

b +1 a

B

C

C.O. 9 ∴tanq = = C.A. 40



6

6

x



32

12 3 = 8 2

.=

2 * senq = 3

E=c–c=0

C

A

x = 9

c c –b b a

Piden: E = a

C.O

1

B

c

C

a

c

CUADERNO DE TRABAJO

2



C

a 2 2 ∴ tanq = = 2a 2

C

A

A

8

3

A

B

3

5



⇒ tanq =

= 1 – 3 = –2

10

H

8

b 2a a MBC: tanq = b



b

ABC: tanq =

H = 17







13

∴ Finalmente: tanq =

10

• H2 = 82 + 152 H



5





5

B

• AB2 = 52 + 122



IV - C

5 12

11 • tanq = 60





tana =

TRIGONOMETRÍA 4°

• Graficamos: C

a

b

⇒ b2 + c2 = a2

...... (1)



B



• Reemplazando en cotB + cotC = 4

c

A





c b ⇒ + = 4 ⇒ b2 + c2 = 4bc b c

...... (2)



b c 4bc M=4 ⋅ = 2 a a a

...... (3)

∴M =



b2 + c2 =1 b2 + c2

Clave C

M = 10 sena M = 10 ∴M=3

3 10

10

TAREA

3

1

Clave C

1

cos2q + tan2q =

5 3

2

2

+

5

2

=

61 45 3



2

5

4

1

EDITORIAL INGENIO

2

3



2

7



3

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

7 2 – 2 3 3 7 2 P=3 – ⇒ P=5 3 3

P=3

7

C

2

2

2

• x + a = (3a) φ 3a x = 2 2a a

B A x

Piden tanφ =



Piden:

6

x 2 2a = =2 2 a a

⇒ AC – AB = 3m

CO = 4k

C H = 5k

A

⇒S=

5k – 3k = 3 3 k= 2

B

CA = 3k



S

C



(3k)(4k) 2

= 6k2 = 6

3 2

2

=

15 17

• cosa =

• sena =



∴ cosa + sena =

23 17



8



2

0,4 =



8 17

Clave C

H

4 2 = 10 5

2

H2 = 22 + 52 ⇒ H = 29 10 2 5 ∴ ⋅ = 29 29 29

c b 2) L = 3⋅ ⋅ + 1 b c



13

Piden:

3tanq – 1 = 3



a2

b2

+

9

1)

10

b

2 2 a b a +b + = b a ab 4ab ∴E= =4 ab



Clave D

15

1) Siendo AO = OD = L ⇒ CD = 2L



2) En el



R2

=

ODC:

L2

+ (2L)2 ⇒ R = 5 L

3) 2tanq = 2

2L R+L

⇒ 2tanq =

4 4L = = 5 – 1 5+1 5L+L

Clave D

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II

3 CO = CA 3

C

Clave B

11

1

Clave B

⇒ C = 10

15

12 B

m

12 –1= 4–1=3 9

1 (I) 5 senq = 5–1 = 5 x 1 • ADE: senq = = ⇒ x=2 10 5 y 1 • ABC: tanq = = ⇒ y=3 15 5

4



13 5

• secA = 2,6 ⇒ secA = 2

2

2

a = 12k

a 10 a – 3a 3a

C

• 13k + 5k + 12k = 60 ⇒ k = 2



∴AABC =

12

3

2



1) En el

(12⋅2)(5⋅2) 2

L=4

2

a

5k

2



3

K=

4

x

Clave C

DCB: (4x)2 + 92 = (5x)2 ⇒ x = 3

1 2

2 =7 1

1

2

• tan60° = 3 • cot53° = 1 + 2

3

2

⋅





5 3 + (2 + 1) = 6 4 4

1 3 + (2)2 = 4x + (1)4 2 4

C

n 1 tana = = 2n 2

2n

A

6

E=4

1 2

2

+5

45°

n M n

3 +1=1+3+1=5 5

3 4

3 =3 4

x + 4 = 3x + 1 ⇒ x = 1,2 2



Clave A

3 tana= 2

+

5

Reemplazando: A = 2

B

= 120

5 2

2

• cos60° =



5 3

13

=

• tana = sen30° 1 tana = 2

A 13k



CB⋅AB

CAP 02

ACTIVIDADES

ABC: (tanq)

a 10

a

⇒ E=



MBC: (Pitágoras)

tanq =

ab

2

2) Se pide: E = tana + tanb

22 + BC2 = ( 7)2 ⇒ BC = 3

2)

Clave B

c=

= 4ab

= 2 – 3 = –1

13

Clave E

Clave B

2

3

B

C

A

a2 + b2 = (2 ab)2

3a 10 1 C= – =3 B 3 3 A a

a

∴L=4

m=9



Clave D

c

• m2 + 122 = 152

1) Graficando:



⇒ H = 13

–

• a = (13k) (5k)

4

14

15 9 3 + = 20 12 2





b

A

2

M = 13



C

1) Del gráfico

4) cotb + tana =



• 22 + 32 = H2

2



9

12

Clave B

5

3

3 5



20

25 15

3



H

H = 13

3) Reemplazando:



B

c



H2 = 82 + 152 ⇒ H = 17





225 = 5(2y + 5) ⇒ y = 20





a

2) H2 = 32 + 52 ⇒ H = 34 3 5 3) cosa = cosq = 34 34 5 3 4) cosa ⋅cosq = ⋅ 34 34 15 ∴ cosa ⋅cosq = 34 Clave E



27 2

REFORZANDO 1

b

1) tana = 0,6 6 tana = 10 3 tana = 5



DBA: (5x)2 + y2 = (y + 5)2

2) En el

C

Clave D

7



c c +a b a 2c = =2 c c



75 3 CA = = 100 4 CO

ctgC: 0,75 =

R=

Clave A

A



4

b

x 2 = y 3

B

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4° 2 1 ; tan30° = 2 3

sen45° =

2



2 G=4 2



G=2+1+4=7

3

MBC: 3 tanq = 2

4 3

4 +3 3

6

Clave E



2

8

9

1 2 ⋅ ⋅ 3 2 2

M=

=

2 3 1⋅ ⋅ 2 3

3 8

A

7

45°



12

∴ AC = 15

9

53°

45°

C 3

2)

D





5 2

•L=4

2

2

5

1

8

2 + =7 1

2 3

Clave C

1 2 ⋅ 2 2 2 senq = 4



2

14 +2=3 2

•L=

3

Clave C

1 3 + (2)2 = 4x + (1)4 2 4 6 x + 4 = 3x + 1 ⇒ x = 5 2

x



4

9





21

15

C

3

2 3 9

=x ⇒



3

J= 2+

E=4

37° 4k

BC = AB = 2n

Operando: ∴ E = 2

6

⇒ x= 2

Clave C

2 3 3 – 3 3

5

n

C







ABC notable: 3

A

37°

2 M 4

B

1

E=

3 3 3 1 + + – =1 4 2 4 2

BC = 3; AB = 4 Como: AM = MB = 2

2

TAREA

Clave D

2

2+1+2 M=

5 3 – 4 4

1 2

=8

Clave B

4 2

= 15

Clave C

5 – 2 = x + 6(1) 3 Operando: x = 2

3x ⋅

Clave C

7

1 1 3 ⋅ 2⋅ 1 x⋅ ⋅ = ∴x=6 2⋅2 2 2

8

Utilizando proporciones: 2x 2tan37° = ⇒ x = 0,2 2tan45° 6



9

A=

1 1 + +2 2 2 1 3

MBC: n 1 tana = = 45° 2n 2 A B n M

3 – 2

Q=

2n



Operando: ∴ J = 1,4

3 1 –5 + 3⋅ 3 5 2

3k

ABC isósceles:

4 1 ⋅ 5 2

Clave E



4k 2 3k tana = = 6k 3

+2

4

Clave C

C

2

5

Clave E

3 2 =x 3

2

2



C

7

Clave D

3 3 +1– 3+ 2 2 3 25 Operando: ∴ M = 12 Clave A 1

M=



10

Clave C

2

1

+ 3(2)2 2 Operando: ∴ E = 17



4

2

1 + 2 2

x⋅sen30° + sec260° = 4x⋅tan37° + tan445°



6

AHC: tanq =

2



2



4

14

1

E= 3 +4

AHB (notable): AB = 4, HB = 2; AH = 2 3

4

• senq =

tanq =

8

Como mBABC = 120° ⇒ mBABH = 60°

De la condición:



1

60° 120° H 2 B



2 1



1 2

REFORZANDO

A



2

1

Clave E

ABH, notable: AB = 10, BH = 8 y AH = 6

30°



Tenemos que: • tana = sen30° 1 tana = 2

3 9

3) Como: AH = 6 ⇒ HC = 15 8 BCH: tanq = 15 Clave E





⇒ x=

4

1) Trazamos BH ⊥ AC: BC = 3; AB = 4



CUADERNO DE TRABAJO 1

53°

A

4

2 1 1 1 =x⋅ ⋅ ⋅ 3 4 2 2

2 5 tanq = 2 5 3 53°

B



1–

AD = 4DC ⇒ AD = 8

10

12 2

DB = 1; BC = 3 ; DC = 2



3

Como:

B

ABC: tanq =

A 10

B

60° 1

2

3 1 5x 2 – 2x = 5(2) + 8(1) 3 3 20x 2x – = 18 ∴ x = 3 3 3



3



2

D

8

DBC notable:

C

30

+3

2

1

y tan53° =

°

7

Clave C

=1

⋅ 3 + 2⋅ 2

Clave C

5 4 3 4 – ⋅ – 3 5 4 3 91 =– 10 E = 180 1 1 + 2 2

11

Clave D

Clave C

2 x x = sen45° ⇒ = ⇒ x=4 2 8 8 2

Clave C

4

3

EDITORIAL INGENIO

37° 4k

5 3k



• tan(2q + 45°) = cotq

E = tanatanq



⇒ 2q + 45° + q = 90°

3k 4k ⋅ 7k 7k

4

E= 4k



12 E= 49

3k

4k

13

3 3 1 2x = tan30° ⇒ x = 3 2 3 3



3 x = = 1,5 2

D

A

4k H



15° D

⇒ q = 15°



30°

B

6

2q + q = 90°

4

∴ x=2

C

⇒ q = 30°

Luego: sen2x⋅csc(90° – y) = 1 ⇒ 2x = 90° – y 2x + y = 90° Reemplazando: P = csc2



P = csc230° + csc245° ⇒ P = 22 + 2 = 6

Clave B

M = sen30°⋅ csc30° + cos18°⋅sec18°

5

 M=1+1=2



7

Por propiedad, se cumple: 1 3 2senx + 1 = senx + ⇒ senx = 2 2 ∴ cscx = 2

Reemplazando: sen(4x + 10°)⋅cot(60° – 3x)⋅secx = cot(60° – 3x)

M

⇒ MN = HN = 2 2k 1 ∴ cotq = = C 6k 3

8

A = sen27°⋅sec63° + tan18°⋅ tan72°



9 3 = ⇒ x=6 5 x+9

Clave D



CAP 03

ACTIVIDADES

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1

sen4x⋅csc40° = 1 ⇒ 4x = 40° ⇒ x = 10° ∴ cos6x = cos60° =



2

⇒ 4x + 10° = 90° – x ⇒ 5x = 80° ⇒ x = 16

A = sen27°⋅csc27° + tan18°⋅cot18° + sec36°⋅cos36 + 1 1

∴A=4



9

1

P = 6⋅tan2(48° – 18°) + 7⋅tan6(16° + 29°)

1

P = 6⋅tan230° + 7⋅tan645°

sen(4x + 10°) ⋅ secx = 1



⇒ 4x + 10 = 90° – x ⇒ x = 16°



P = 6tan2(30°) + 7tan6(45°)



P=6

1 3

cosb cot(q + b) + + 7 ⋅ cotb ⋅ tanb cob cot(q + b) 1  J = 1 + 1 + 7 = 9

10

Del dato: sen2x ⋅

csc(90° – y)

tan4x⋅ cot60°⋅ sen30°⋅csc30° = 1 1 tan4x⋅ cot60° = 1 ⇒ 4x = 60° ⇒ x = 15°

2

1 Piden: cos6x = cos60° = 2

3

Clave B

cos(60° – x)⋅sec2x = 1 ⇒ 60° – x = 2x

⇒ x = 20°



⇒ 2x = 90° – y ⇒ 2x + y = 90°

sen3x = cos3y ⇒ 3(20°) + 3y = 90°



Reemplazando en:

y = 10° ∴ 2y – x = 0°



P = csc2



P = csc230° + csc245° = (2)2 + ( 2)2 = 6

Clave A

4

3 3

15°

∴ x=3

6

Clave C

7

Se observa: * (q + a) + b = 90° ⇒ sen(q + a) = cosb





* (q + a) + b = 90° ⇒ tan(q + a) = cotb



Luego reemplazando:



J=

cosb cot(q + b) + + 7⋅cotb⋅tanb = 9 cosb cot(q + b) 1

4

Clave E

sen4x⋅csc40° = 1 ⇒ 4x = 40° ⇒ x = 10°

Luego: sen2x⋅csc(90° – y) = 1

4



Clave B



90° 90° + csc2 2 3

6 30°

J=

CUADERNO DE TRABAJO

y = 10°

=1

15° 60°

* a + (q + b) = 90° ⇒ tana = cot(q + b)

secy

2q + 45° + q = 90° ⇒ q = 15°

x=3

+ 7(1)2 = 2 + 7 ⇒ P = 9

1

⇒

Clave E

Reemplazando en el gráfico:

2

60° = 3x ⇒ x = 20°

∴ 2y – x = 0

4

6

sen(4x + 10°)⋅ csc(90° – x) = 1

• sen3x = cos3y ⇒ 3(20°) + 3y = 90°



2

1 + 7(1)6 = 9 3

⇒ tan(3x + 30°) = cot(60° – 3x)

tan4x⋅cot60°⋅ sen30° ⋅csc30° = 1 1 tan4x⋅ cot60° = 1

• cos(60° – x) ⋅ sec2x = 1 ⇒ 60° – x = 2x

P=6

• (3x + 30°) y (60° – 3x) complementarios



1 2

4x = 60° ⇒ x = 15°

3

=1

sen(4x + 10°)⋅csc(90° – x) = 1

+ sec36°⋅ sen54° + cot45°

9

9 53° 9

secx

sen(4x + 10°)⋅

csc(90° – x)

15 sen37° = x + 9 x

(3x + 30°) y (60° – 3x) son complementarios ⇒ tan(3x + 30°) = cot(60° – 3x)



Clave E

37°

2

• NC = 2k

2k 45° 2k N 2k

90° 90° + csc2 2 3



2a + 3a = 90° ⇒ a = 18°

Clave A

B

x



Clave E

14

A

° 15

3k 12

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

Del dato sen2x ⋅

secy csc(90° – y)

=1

8

De la condición

4sec(2x +10°) – 2sec(2x + 10°) = 2csc(3x – 10°)

2sec(2x + 10°) = 2csc(3x – 10°)

sec(2x + 10°) = csc(3x – 10°) suman = 90° (2x + 10°) + (3x – 10°) = 90° ⇒ 5x = 90° x + 4x = 90° 5x

2x + 3x = 90° x + 4x = 90°

⇒

senx = cos4x

⇒ sen2x = cos3x ⇒ tan4x = cotx

Hallando E ⇒ E = 1 + 1 + 1 = 3

Clave C

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

9

6

Se cumple: (3q – 15°) + (2q – 10°) = 90° Operando: 2q = 46°

10 Como: m + n = 90°

Clave B

⇒ cscn = 2 ⇒ n = 30° ∧ m = 60°



E= 3+

⇒ E=

3 3 2

operando: M = –5

7

E = tan45° + sec60° = 1 + 2 = 3

Se cumple: (20° + x) + (18° + x) = 90° Operando: x = 26°

2

9

2(1) + 2

A=

3. (F)

4

A

∴E=1

B

Se cumple: (5x + 30°) + (3x – 20°) = 90°

M = tan10° – cot80° ⇒ M = cot80° – cot80° = 0

M=

cot89° + cot88° + cot87° + ... + cot1° =1 cot1° + cot2° + cot3° + ... + cot89°

11

Se cumple: (2a + 10°) + (30° – 2b) = 90°



Por propiedad, se cumple:

∴ csc = –2



2

1 2

⇒ 2a – 2b = 50° ⇒

a – b = 25°



M = csc30° + tan45°

1 3 • 2⋅ – 1 = 2 4

1 2

.......................... (V)

• sen32° – sen32° = 0 ................. (V) • 2sec78° = 2sec78°



∴ VVV

3

1



4

5

.................. (V)

Clave C

E = (4sen40°)⋅csc40°

sen20° tan40° x= + sen20° tan40°

∴ E=4

tanq =

4

∴ x=2

Clave B

Clave B

2

32

32 32

⇒ tanq = 1

⇒ q = 45°

C





4

Se cumple:

P – Q = 36°

P + Q = 90° P = 63° ∧ Q = 27° P 7 P 63° = ∴ = Q 3 Q 27° Clave D φ 13 Se cumple: 2 + 2φ = 90° ⇒ φ = 36° 1 3 1 1 I= ⋅ – ⇒ I= 2 4 3 24 Clave C

14

Se cumple: 3a + 3b = 90° ⇒ sen3a = cos3b



E = (sen3a – cosb)⋅ cot2a ⋅cotb

E=0

P



Se cumple: a + q = 90° ⇒ tanq = cota



M=

2cota + 1



ACTIVIDADES

4H = 3H + 4 ⇒ H = 4



3H = 3(4)  3H = 12



5



12k = 24 ⇒ k = 2 16k



x = 25k ⇒ x = 25(2) ⇒



6



B

53° 9k

7



P

x = 50

∴ AC = Lcotq + L + Lcotq

R

L L A

x

• QC = AP ⇒ QC = Lcotq

AC = L(2cotq + 1) C

Q

L

C

B

F

m

Clave A

RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y ÁNGULOS VERTICALES

12k = 24 37°

∴ M=1

CAP 04

B

4H

S

15

1 + 2cota

37°

A

0

Clave E

3H

45°

Clave D

E = tan10°⋅cot10 + sen20° ⋅ csc20 1 1 ∴E = 2

32

∴M=3

Clave A





⇒ senx = –



a + b = 35° ⇒ a = 30° ∧ b = 5°

12

REFORZANDO

2senx + 1 = senx +



Clave B

Clave D

1

3

B

ncosq

32

Clave A

Resolviendo: x = 10°



∴ x + y = 30° + 65° = 95°

10

• A + C = 90° C cotA + tanA • E = tanA + cotA

4



C

3

A

• sec(y + 20°)cos(2y – 45°) = 1 ⇒ y + 20° = 2y – 45° ⇒ y = 65°

 m + c = m(1 + cota)

A



C

• 2x – 5° + x + 5° = 90° ⇒ x = 30°



m + c = m + mcota

n  2p = n(1 + senq + cosq)

Clave D



B

2

1 sen(x + 30°) + – sen(x + 30°) 2 A = 12



2

c = mcota

c

m

⇒ a = 18

Clave E

A





Clave C

TAREA 2. (V)

1

C



8

1. (V)

Clave E

Se cumple: 2a + 3a = 90°



1

4 3 5 4

nsenq

3 2

(8sen18°)⋅csc18° – tan30°⋅cot30 (–2cos36°)⋅sec36°+



⇒ secm = cscn



M=

A

x

m E

D

y



x = msenq



y = mcosq



∴ BC = x + y = m(senq + cosq)

4

5

EDITORIAL INGENIO

8



SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

C

xcosq = L + xsenq

45° L D

9

B

18 m



4K = 3K + 18

3K

H 3

K = 18



La altura de la 18 m torre es:

2

Se observa: 2H = 10 ⇒ H = 5



Altura del edificio es: 3H



∴ 3H = 15



Piden: 30m

x 10 m



∴



6

tanx(3cotq + 1) 30

3

2

2

12 m

H



⇒ AB = 15m

• x = 3k ⇒ x = 3(14) ⇒ x = 42

Clave A

Clave A

9









Siendo tanb = 3



∴ x + y = 36 + 48 = 84 m





3 2 x 3 = 12 2

tana =

x

x = 18

12

6



⇒ h = 21 ⇒ En (I) tanq = 3

REFORZANDO 12 x 12 m 12 ⇒ 1,5 = x ∴x=8m x

1

⇒ tana =



Clave A

2

C

14 m

Clave E

4

B

L 3

H

60° 30°

60 m

Clave E



10 L

⇒ y = 48 m





h ...(I) 28 – h PHA: notable de 37° y 53°

Clave A 37°

60 m h

60 60 3 ⇒ = ⇒ L = 20 m 1 L 3 L 3



tan60° =



∴ h = 60 – L = 40

H

PHB: tanq =

O



53°

37°

A

Siendo: OA = 12k ⇒ AB = 9k y AC = 16k



⇒ 16k – 9k = 14 ⇒ k = 2



∴ AB = H = 9(2) = 18 m

3

15° m



3 36 ⇒ = 4 y

3k =3 4k – x

28 h

Clave C

B

1,2

∴ BC =

2,4 = 1,2 2

2,4

∧

x = 36 m

B 28 m

8 ∴ x = asenq a x=?

36 tan37° = y



h



⇒ x = 3k 37° x 4k – x x 3k ∴ = =1 4k h 3k

y

x

4

37° A

3k

36 m 45°

h

45° k 14

⇒ h = 3k 37°

P



Poste

37°

Clave D

45°



∴ d = 30 m

3k x = ?

∴ H = 15 + 1,8 = 16,8 m



Tierra

d

• k = 14

27 x

AB ⇒ 1,25 = 12

53°



Clave B

C

d = tan37° 40 Edificio 37° 3 ⇒ d = 40 4 40 E

3

Clave B

7

A AB tana = 12

Árbol

53°

5m

1,5 m

4

3 27 ⇒ = 4 x ∴ x = 36 m

B α 1,8 m

3

∴ x = 4(4) = 16



14

x

=1

27 m x

4(4)

2



30cotq + 10

tanx(3cotq + 1)

tan37° =

37°

12 37°

CUADERNO DE TRABAJO 1



3

⇒ tanx =

45°



4K





Clave A

45°



Objeto

3H

4K = 72 m

10

Linea visual

Torre

H







30°

45°

L.H.

37°



10

30°

L x= cosq – senq

37°



1

60° 30°

Graficando el problema

x(cosq – senq) = L

x A

5

TAREA

A



15° 2,4 m

D

30°

C

Clave E

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

4



x



30°

x = sec30° 30 2 x = ⇒ x = 20 3 30 3

30

11

Clave B



40

∴ x = 20 3

Clave A

30°

2q = 60° ⇒ q = 30

Clave A

12k x =?

Distancia de (2; 4) al origen: d2 = 22 + 42 ⇒ d2 = 2 5

20



Distancia de (–1; 4) al origen:

H 30 tana = = ⇒ H = 10 6 20 H



d3 = (–1)2 + 42 ⇒ d3 = 17



El punto (2; 4) se encuentra más alejado del origen de coordenadas.



10

∴ tana = 1,5



Clave D 40 5k

⇒ x = 12(8)



k=8 ∴ x = 96 m

30° 60° 30°30° ∴ x = 20 m



30°



10 3

20 60° 10

x

Clave C

8

3k x = ?



13

53°



⇒ 2x2 + 2 = 100

12L



∴ x = 12L – 3L = 9L = 108 m



4



M(–9; 2) es punto medio de AB

B(a; b)

Clave D

P



P

3k b

5

3P tana = y b

P

P P

4P b tanb 4 ∴ = tana 3

tanb =

Clave C

Clave E

15

Graficando:

∴ ±x = 7

1+a A(1; –5) ⇒ –9 = ⇒ a = –19 2 n –5 + b ⇒2= ⇒ b=9 M(–9; 2) 2 n ∴ k = –19 + 9 = –10

3L

1 37° 18,5° = ⇒ tan 37° = 3 2 2 ⇒ 4L = 48m ⇒ L = 12m

⇒ k = 42 ⇒ x = 3k ⇒ x = 3(42) ∴ x = 126

9

(x + 1)2 + (x – 1)2 = 10



37° 2 53°

18,5° x

45° 42 k

Distancia de P(x + 1; x – 1) al origen D(0; 0):



4L

14



37°

3

Clave C

7

Distancia de (3; –2) al origen:



6 10 6 6 tana = ⇒ tana = = 2 4 20

12 • tanq = 2,4 = 5

2

H

k

3k

P(–6; 2) ∈ IIC

d1 = 32 + (–2)2 ⇒ d1 = 13

12 2k



1



k 3

2k

6

PLANO CARTESIANO

60° 20

30°

Clave CAP 05E

ACTIVIDADES

x=?

40



5

30° 30°

B(x; 7)



A(–3; 4) d(A; B) = (x + 3)2 + (7 – 4)2 13 = (x + 3)2 + 9 ⇒ (x + 3)2 = 4



⇒



i)



ii) x + 3 = –2 ⇒ x = –5



∴ La suma de los valores de x es: –6

6

H

x+3=2

⇒ x=–1

A(3; 2)

h

d

a H



20



⇒ Hcota = H + Htana ⇒

Del gráfico: hcota – hcotb = 20

h(cota – cotb) = 20 ⇒ h(0,25) = 20

Reemplazando: h = 80

Clave C

1 1 = + tana + tan2a 4 4 5–1 5 1 ⇒ = (tana + )2 ∴ tana = 4 2 2 ⇒1+

k



• (0 – 3)2 + (m – 2)2 = (0 – 5)2 + (m – 10)2



9 + m2 – 4m + 4 = 25 + m2 – 20m + 100

7

∴m=7



C(0; 1) b D(–3; 0)

3k

⇒ k = 5 ⇒ x = 3(5) = 15



Clave D

d

B(5; 10)



45°

5

a



3k x = ? 37°



1 = 1 + tana tana

Clave E

10



⇒ 1 = tana + tan2a

M(0; m)





a

a

B(–2; 7)

b A(–5; 6)

4

7

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

(0 – (–5))2 + (1 – 6)2 = 5 2

2a =

2b = (–3 –

(–7))2

+ (1 –

7)2

5

=5 2

Perímetro:

A(7; 13)



7+x ⇒ x = 13 2 13 + y 7= ⇒ y=1 2

Se cumple

Perímetro de la región ABCD:

C(a; b) D(c; d) l



l B(7; 5) A(3; 1)

∴ 2p = 16 2

6

r2 = x2 + y2

Se sabe:



2p = 3l

Reemplazando valores: 2

⇒ a = 10

2

5a = 5×10

A(–1; 2)

2

⇒ 2p = 3 (2 – (–1)) + (5 – 1) B(2; 5)

l

7 2

l

B(8; 8)

P

2k A(–4; 2)

10

Longitud de la mediana AM:

8

B(3; 5) m

M(5; 2)

A(1; 1)



3S

2S

P=

C(8; 10)

3k

(16; 20) + (–6; 15) (10; 35) = ⇒ P = (2; 7) 5 5

∑=2+7=9



El cuadrilátero es un paralelogramo



a=



b=



∴ El perímetro es: = 10 2



4

A(1; 5)

(0; 0)

Clave B

3

d = (2 –

7)2

(–4; 3)

(–11; 1)



Clave E

d (5; 2)

A(–9; 2)

•0+y=4 ⇒ y=4



∴ ∑ = 10



∴ M(4; 10) ∧



d = 82

Clave C

P(–1; –5)

C(5; 6)



Del gráfico: d = [–7 – (–2)] + [5 – (–7)] = 13

Clave D

4

Clave D

TAREA

2 2

B(10; 20)

OP =

(–3)2

+

(4)2

N (7; 15)

P(–1; 0) ∈ eje X.

Clave A

2

P(–1; –5) ∈ IIIC.

3





Y 8

Clave C

P(5; 8) d



x = (3 – 4)2 + (5 – 7)2 = 5

1

(–2; –7)

x

M(4; 7)

A(1; 1)

Q(–3; 9)

d

1

B(3; 8)

G(3; 5)



n N(z; w)

REFORZANDO

∑=6+4

Clave D

10

d = (–4 – 5)2 + (3 – 2)2

2

8





B(–5; 8)



(–7; 5)



= 41

(3; 5)





4

+ (5 –

1)2

n M(x; y)

10 + 2 =4 3 20 + 10 y= = 10 3 20 + 1 z= =7 3 40 + 5 w= = 15 3

(0; y)

M(3; 2)

(x; 0)

• x + 0 = 6 ⇒ x = 6

Clave D

n

x=



(5; 5)

r = 5 2 r (3; 1)

2

9

(7; 9) r = 52 + 52

25 25 5 + = 2 4 4 2

1 49 5 = + 2 4 4 2 5 2 Perímetro = 4 2

CUADERNO DE TRABAJO 1

B(–2; 7)





P

2k



C(7; –1)

a

b

A(–5; 6)



B(–2; 5)

a

(–1; 4)

b

a

A(1; 9)

∴ m = 17



C(0; 1)

(–4; 3)

Clave E



m = (5 – 1)2 + (2 – 1)2

a

D(–3; 0)

Clave C

Por teoría se cumple: (–4; 2) + (16; 16) P= 3 12 + 18 = = (4; 6) 3

k



∴ 2p = 9 2



–3 1 ; 2 2



(10 5)2 = (a)2 + (–2a)2

l



Clave A

Perímetro de la región ABC:

C(a; b)

3

∴ Las coordenadas de B es (13; 1)



⇒ 2p = 4 (7 – 3)2 + (5 – 1)2

l

Operando: y = 8



10 =

2p = 4l

l

9

B(x; y)

M(10; 7)

2p = 2a + 2b = 10 2

8

74 = (–6 –1)2 + (y – 3)2





∴ d=8

5 X



4

a2 + (a – 1)2 = 52

Clave B ⇒ a = 4; –3

Clave D

5

R2 = (3)2 + (–2)2 ⇒

6

d = (3 – 2)2 + (8 – 6)2 = 5

7

d = (–1 – 4)2 + (7 + 5)2 = 13

R = 13

Clave B

=5

Clave C

74

P(–6; y)

Q(1; 3)

Clave C

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

8

N(3; –9)

C(5; 5)

15



52

x=

x

+

(12)2

d

= 13

M(1; 4)

(–2; 3)

Clave C n

9

n (3; 4)

A(1; 1)



• x + 1 = 6 ⇒ x = 5



∴ Perimetro = 4(4) = 16

D(–1; –10)

12

290° O

B(7; –1)

3

• x + 3 = 2 ⇒ x = –1 • y + 5 = 4 ⇒ y = –1

4



Paralelogramo: A + C = B + D

c) 880°, no es cudrantal

5

7=5+y ⇒ y=2  D(7;2)



• (0 –

+ (m –

7

q



∴m=7

2. (V)

3. (V)

Clave D

6

A) 1800° = 20(90°)

B) 2700 = 30(90°)



C) 3000 = 2970° + 30° = 33(90°) + 30° no es cuadrantal.



D) 540° = 6(90°)

E) 810° = 9(90°)

IIC

IC

7

2460° = 6(360°) + 300° 300° ∈ IV C

X

IVC

1. (V)



2. (V) (90°) + (–90°) = 0



3. (F) 180° – 90° = 90° ≠ múltiplo de 360°

Y

IIC

IC

O

–1230° M(0; m)

q

8 5)2

+ (m –

–1230° = –3(360°) – 150°

–150° ∈ III C

X

8



250° + n > 360° + 90° n > 200° ⇒ nmín = 201°



IVC

∴ –1230° ∈ III C

10)2

9 + m2 – 4m + 4 = 25 + m2 – 20m + 100





IIIC

= (0 –

1. (F) Para ser cuadrantal su lado inicial debe estar en el semieje X positivo.

Clave C Clave E

2)2

Y

IIIC

B(5; 10)

3)2

5

∴ 2460° ∈ IV C

A(3; 2) 14



La figura "a" representa a un ángulo cuadrantal.

O

Luego: 12 = 5 + x ⇒ x = 7



Clave D

Clave C

⇒ (12; 7) = (5 + x ; 5 + y)

I y III están en posición normal.

a) 1710° = 19(90°); es cuadrantal



6

H b

4

La figura "b" representa a un ángulo en posición normal.

b) 1170° = 13(90°); es cudrantal

Clave A

b

Clave B

O X –110°



• d = (2 + 1)2 + (3 + 1)2 = 25 = 5

Sea D(x; y)

• 90° < 125° < 180° ⇒ 485° ∈ IIC

IC

B(–1; –1)

13

• 485° = 360° + 125° = 1 vuelta + 125°



d C(2; 3)

Solo I tiene origen en el semi eje X positivo.

Clave A

∴ 290° ∈ IV C

Y



IIIC

B(x; y)

n

180° < 235° < 270° ⇒ 235° ∈ IIIC

IIC

M(1; 2)



2

X

∴ –110° ∈ III C IVC

n



1

3 2





CUADERNO DE TRABAJO

IIC IC

Clave C



3. (F)

Clave C

IIIC

∴ M(3; 2)

A(3; 5)

2. (V)

Y





6 =3 2 4 • y = = 2 2

1. (V)

Clave C M(x; y)

•x=



1

IVC

E = x – y = –3 – (–2) ∴ E = –1

n

A(–1; 5)

10

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL



n

11

Clave C

CAP 06

ACTIVIDADES

n P(x; y)

–6 •x= = –3 2 –4 • y = = –2 2

∴ qmín = 11°

B(x; y)

n C(–5; 6)

q > 10°



2

• 2l2 = 32 ⇒ l = 4

Clave D

10

q∈IC





B(5; 7)

• y + 1 = 8 ⇒ y = 7

9

4q + 50° > 90° ⇒ 4q > 40°

• d = (5 – 1)2 + (5 – 1)2 = 32

O(–5; 2)



l

A(1; 1)



l

Clave E



Clave E

(4a + 30°) ∈ IIIC

9

⇒ 4a + 30° > 180°





–275°



–275° ∈ IC

a > 37,5° ⇒ amín = 38° ⇒ 4a + 30° < 270° a < 60°

Clave A

⇒ amáx = 59°

4

9

EDITORIAL INGENIO

10

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4° • 1355° ∈ IV C

• 2360° ∈ III C

15

270° < q < 360°



• 1945° ∈ II C

• 2810° ∈ IV C



(360°) + 0° < 4q + 120° < 4(360°) + 90°



• –2360° ∈ II C

4

q ∈ IIIC ⇒ q > 180° ⇒ 4q > 720°

⇒ 4q + 50° > 770° ∈ IVC

Clave B

⇒ 4q + 50° > 770° + 220°

770°

4q > 940

220°

5

q > 235° qmín = 236°

Clave C

180° < 265° < 270°



∴ 985 ∈ III C

1

a)

6

I y II

b) 200°

7 340°

IIIC

9



∴ qmáx = 352°

Clave A

1260° es cuadrantal

I y II

Clave C

∴ –259 ∈ IIC

1

x = – 2 ; y = 3

(– 2 ; 3 ) ⇒ r= 5

Clave C Clave C

P

y 3 = y r 5 x – 2 cosq = = r 5



∴ senq ⋅cosq =



–270° < –259° < –180°



CAP 07

ACTIVIDADES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

500° IIC

⇒ 330° < q < 352°30'

Clave C

IVC

8

c)

360° < q + 30° < 360° + 22°30'



985° = 2(360°) + 265°



TAREA



senq =

3 – 2 – 6 ⋅ = 5 5

5

Clave B Y x =7 (7;2) d y = 2

2

2

a) 450° = 90° ⇒ Es cuadrantal



b) 800° ≠ 90° ⇒ No es cuadrantal



c) 2340° = 90° ⇒ Es cuadrantal ∴ b) y c)



3

2q + 20° > 2(360°) + 180° ⇒ q > 440°

2q + 20° < 2(360°) + 270° ⇒ q < 485°

Luego: 440° < q < 485°



∴ q ∈ I y II

10

400° – x < 270° ⇒ 130° < x



∴ xmín = 131°

11

270° < 3q + 150° < 360°



90° < q + 50° < 120°



⇒ 140° < q + 100° < 170°



∴ (q + 100°) II C

Clave E

3 Clave B

12

465 < q < 510°



930° < 2q < 1020°

5q – 70° ∈ IV ⇒ 5q – 70° < 5(270°) + 90°



990° < 2q + 60° < 1080°



⇒ q – 14° < 270° + 18° ⇒ q < 302°



2(360°) + 270° < 2q + 60° < 2(360°) + 360°



∴ qmáx = 301°



∴ (2q + 60°) IV C

4

q ∈ IV ⇒ 270° < q < 360°

270° < 285° < 360° ∴ 285° ∈ IV C



Clave D

La figura III corresponde a un ángulo en posición normal

Clave C



3

2 ángulos no pertenecen al tercer cuadrante:

secq =

13

194° < q < 212° 970° < 5q < 1060°



1170° < 200° + 5q < 1260°



3(360°) + 90° < 200° + 5q < 3(360°) + 180°



(200° + 5q) ∈ II C

14

2(360°) + 180° < 3q + 95° < 2(360°) + 270° 805 < 3q < 895°



⇒ 268°20' < q < 298°20'

... (1)



q ∈ III C ⇒ 180° < q < 270°

... (2)

• 840° ∈ II C

• –460° ∈ III C



De (1) y (2): 268°20' < q < 270°

• –1130° ∈ IV C

• 5270° ∈ III C



∴ q = 269°

Clave C



4

5 x = y 2

5

r 3 = x – 5

senq =

y –2 = 3 r

3 2 –3– 3 – 5

Y



A 2 X (–3;–2) M y = –2 37° 4 y –2 2 2 ∴ tana = = = B x –3 3 3

x =–3 O



6

Clave A

x=– 5 y = –2 r=3

∴ E = –3 + 2 = –1







r 41 = x 5

⇒ E= 5





10

cotq =

y = –4 x=5 r = 41

4 y = 5 x

∴ seca =



4

Clave B

2

tana = –

Clave D

REFORZANDO 1

O (0;0) X ∴ cota = 7 2 d 7 (–7; –2)

x = –3 P(–3; –4) y = –4 b ∈ III C r=5 C=

5 –4 1 + =– –3 –3 3

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

7

1 y = ⇒ x=– 8 3 r y=–1 ; r=3

Como:

senq = –



Reemplazando: E = 2



E= 2

–5 1 –12 + 13 4 13



Q=–

13 = –1 13

4 –2 2

5

Y

A 1

O 45°

X

2



⇒ tana = ∴ tana =

B 2

y x –1 –2

⇒ cosa > sena • cosa > 0 + ⇒ sena – cosa < 0 0 > sena



• tana < 0



a ∈ IV C ⇒ E =

= +

x ∈ [90°; 135°] 2

10

x ∈ [180°; 270°] ⇒



⇒



M = (–)(–)



N = (+) + (+) ⇒ N = +

3 x ∈ [270°; 405°] ⇒ 2 x ∈ [360°; 540°] 2 ⇒ M=+

Y

3

• OP =

P

O

2 X

Y

1

O X

1

2

B2

x y



∴ tana =

1 2

Clave B

6

Y O

5 X

–4

7

Clave B d(A; B) = 13



3

2

⇒



⇒ (n – 3)2 + 25 = 169



⇒ (n – 3)2 = 144

ii) n – 3 = 12



8k

2

2 r = 1 x

2

3 +

• senq ⋅cosq =

seca = –

3 = 5 3 2 6 ⋅ = 5 5 5

⇒ tana =



Luego: E = 13

3

∴ tana = – 3

4 –4 41 • sena⋅seca = ⋅ =– 5 41 5

senq =

–3k –8k

3 –6k tana = 8

x = –12 12 x cota = = y = –5 (por Pitágoras) 5 y r = 13

–3 13

= –1

⇒ x = –3; y = 4; r = (–3)2 + 42 ⇒ r = 5 4 senq 1 5 E= = ∴E= 1 – cosq 2 –3 1– 5 tanb =

3 , b ∈ IIIC, r = 22 + 32 2



⇒ r = 13 ; x = –2 , y = –3



⇒ M=

13 13 1 – –3 13 –2

∴M=

–1 6

REFORZANDO

9

10 10

a + b = 90° ⇒ sena = cosb



3 r Se cumple: cscq = = 1 y



M=2

q r=3 ∈ y=1 x = –2 2 II

2 2 1 2 + 2 – ∴M=– 3 3 3

Clave C

Y

(7; 2)

(–7; –2)

tanq =

Clave E 5 ; q ∈ III C; x = –2 ; y = – 5 2 2



r = 22 + 5 ⇒ r = 3



E = 5cscq – 2secq



E= 5

3 3 –2 –2 – 5

∴E=0

Clave C



Clave B

10



y r tana = x 2 0(0; 0) X r ⇒ tana = 7

2

1 X senq = 10



3

+

A(–3; 4)



1

y Y senq = r 10 1

2 13



r=2 x = –1 y=+ 3

y 3 = x –1

∴ r=5 2





Clave C

Clave B

4

(3; 1)

Clave B

tana = –8k 3k

X

⇒ n = 15

∴ La suma es: –9 + 15 = 6

8

Radio vector OM:

Radio vector: r = 22 + (–3)2 ⇒ r = 13

4

i) n – 3 = –12 ⇒ n = –9





(n – 3)2 + (9 – 4)2 = 13

• OP = (5)2 + (–4)2 = 41

53°



M(5; 5)

E = 13 (cosq + senq); (x; y) = (2; –3)

B(n; 9)

Clave D

3k



⇒ x = 2; y = –3



A(3; 4)





P





O

(+)(+) (–)

Signo de E: E =  E = (–)

9

(7; 9)

a

r ⇒ r = 52 + 52 a

Clave C

2





–1 tana = –2



CUADERNO DE TRABAJO 1

Clave D

• tana = 2





(–)

1

45°

1 2

• cosa < 1 ⇒ 1 – cosa > 0

(–)(+)

TAREA

Y

tana =

N(–2; –1) 1

9

Q=2

∴ E = –2



8

3 –1 – – 8 – 8



3

P(–3; –4) ⇒ x = –3; y = –4 ;



r = 32 + 42 ⇒ r = 5



C=



4

5 –3 – –4 –4

senq = –

∴ C = –2

Clave B

1 ; q ∈ III C; y = –1; r = 3; 3

32 = x2 + (–1)2 ⇒ x = –2 2

E=3 2

–2 2 –2 2 + 3 –1

∴E=8

Clave B

4

11

EDITORIAL INGENIO

5

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

Si tanq > 0 ⇒ tanq es (+), por lo tanto sólo podría estar en el I C ó III C. Como senq < 0 ⇒ senq es (–), por lo tanto sólo podría estar en el III C y IV C, luego como ambas condiciones sólo se cumplen en el III C, entonces q ∈ III C.



Clave C

6

•A=



•B=

=

(–) (+)(+)

(–)

(+)

=

(–)

(–)

(–)

cotq > 0 ⇒ q ∈ I; III (+)

∴ q ∈ III C

∆ ∆ M=3 + 11 –3 11

∴M=0

E = 65



4k

2 3tanq

Clave B 30° 2



–7k 4k

3

1

2

1

x –3 • cotq = = y 3



Clave A

2tanq–3

2

=

X

2

∴ cotq = – 3

x = 4; y = –3; r =



⇒ 6tanq = 2tanq – 3

+

(–3)2

⇒ r=5

5 –3 Luego: secq⋅tanq = 4 4 15 ∴ secq⋅tanq = – 16



15 senq

1 + senq senq + sen3q + sen5q + ... = –

2 3 1 • Operando: senq = – ∧ senq = 2 ∃ 2 y = –1 1 y r=2 senq = – = q ∈ IV C 2 r x=+ 3 –

42



Clave D

•M=

9

• cosq > 0 ⇒ q ∈ I; IV + ∴q∈IC • cotq > 0 ⇒ q ∈ I; III + Clave A

10

–1 2 + 3 M = –3 –1 3

1

Clave D

a + b = 600° ⇒ a – b = 360°n ∧ n ∈ 



n = 1 ; porque 450° < a < 550°



Sumando: 2a = 960°

2



Luego: 2 ≤ a ≤ 4



Reemplazando: p H = sen + cosp + tan2p 3 H = 1 + (–1) + 0 ∴H=0



2 3

9

X

3

3



4

y –3 3 tanq = = = x –6 6

1 ⇒ tanq = 2

37°

4

tana =

y 4 = x –7

4 tana = – 7

R = (2senq)(5cscq)



R = 10 senqcscq 1

10 cos(b + 2a) = 0

12

3

Clave D

4

H=



H=

∴ R = 10

⇒ 2a + b = 90°

6cosa + 10sen(90° – a) 3cosa – sen(90° – a) 6cosa + 10cosa 3cosa – cosa

=

16cosa

=8

2cosa

CUADERNO DE TRABAJO 1

III) 11250° 90° es cuadrantal –– 125



I, II y IV no son múltiplos de 90° ∴ Hay 3 ángulos no cuadrantales.



∴ cotg = 6



P= ∴P=



3(–1) + (1) (1) – 3(–1) (1 – –2

3)2

=

=

(1 – 3) (1 – 3) (1 + 3) (1 – 3)

1+3–2 3 = 3–2 –2

Clave C

T = 7(–1) + 5(–1) + 3(1)

H= H=

5

2

1 = tang 6

3

a2(1) – 2ab(1) + b2(1)



a2(1) + 4ab(0) – b2(1) (a – b)2 (a + b)(a – b)



∴H=

T = (5cosb – cosa) T=5

cosb cosa – cosa cosa

1 cosa ⇒ T = 5(1) – 1 = 4

Clave B

a–b a+b

a – b = 360°n; n ∈  ; a > b

4

P = 3(1) + 2(–1) –1 = 0

5

M=

Clave C

a + b = 1640°

2a = 1640° + 360°n ⇒ a = 820° + 180°n

X 4

Propiedad: RT(q) = RT(w)



T = –9

4

Clave C

12 Y

⇒ a = p

Clave D

Propiedad: tanφ = tang ⇒ 1 ⇒ = 6 tang



–3

2

a – 2 ≥ 0 ⇒ a ≥ 2

∴ a = 480°

Y

–6

2

8

2. 0 = 0 (V) 3. 1 > – 1 (V)

4–a≥0 ⇒ a≤4

Clave E



1. –1 < 0 (V)



R. T. DE ÁNGULOS COTERMINALES Y CUADRANTALES

csca > 0 ⇒ a ∈ I; IV a ∈ IV C (+) 5 3 –2 •M= + ⇒ M= 5 5 5

3

14senq tanq ∴ E = 7 2tanq senq

7

CAP 08

ACTIVIDADES

Se cumple: 2csca + 3 = 0 r=3 3 r y = –2 csca = – = 2 y x=+ 5

11

E=



Clave C

3 4

⇒ tanq = –





Clave A

q ∈ IV C 2

q y d son medidas de ángulos coterminales, entonces RT(q) = RT(d)

Y

E = 4 + 7 = 11



∴ a = 1360°

14

= (–)

–4

65k

Reemplazando: a = 820° + 180°(3)





= (+)

Reemplazando:



8

q ∈ II; III C





6



30°

7

(–)(–)(–)

r = 11 x = –3 y=∆

11 r 13 secq = – 3 = x (–)



1200° < 820° + 180°n < 1500°



19 < 9n < 34 ⇒ n = 3

(3(1) – (–1))2 42 = = 16 (2(–1) + (1))2 12

Clave E

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

6

(1) + 2(0) – (–1)(1) N= (–1)3 – 3(0) + (0)(1)

⇒ N = –2

Clave E

7

8

4

Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales: 0 E = (– 1)1 – + (–1)0 = 0 1 Clave C

T=



T=



T=

a2sen90° + 2abcos180° – b2sen270°

a2(1)

+ 6ab(0) –

a2 – 2ab + b2

=

a2 – b2

9

Clave E

1

Sean los ángulos coterminales a y b.

(a – b)2 (a + b)(a – b)

=

a–b a+b

M = (–1)(1) + (–1)(1) M = –2

2

E=



b 3 a – b = 360°n , por condición: = a 5



Además: 4032° < a + b < 4608°



E=

3 De (2): b = a, reemplazando en (1): 5 3 a – a = 360°n ⇒ a = 900°n 5



E=



Reemplazando en (3):



3 4032° < 900°n + 900°n < 4608° 5



4032° < 1440°n < 4608°



2, ... < n < 3, ...



Como

∴ n=3

a = 900°n

⇒ a = 900°(3)

a = 2700°

3

(a + b)2(1) – (a – b)2(–1)2

4ab a

⇒ E = 4b

Clave D

Sean a y b los ángulos coterminales

Además: a – b = 5(360°), (304° < b < 430°)



Sumando: 2a = 4280°



∴ a = 2140°

4



P = 3secp – 2sen

5

E = (–1)4 – 0 + ND



E = 1 + ND = Indeterminado

6

1. sen90° > cos180° 1 0

... (V)

2. tan360° < csc270° 0 –1

... (F)

M = sec0° – cos270° = 1 – 0 = 1



N = O – (–1) = 1



∴E=

M–N 1–1 = =0 M+N 1+1



E = 0 – (+1)

∴ E = –1

11

senx < 0 (–)

⇒ x ∈ III; IV C



3tanx = –3 ⇒ x ∈ II; IV C (–) ∴ x ∈ IV C L=

Clave D

Clave D

4ab = –4 –ab

13 8k – 5k = 360°

Clave D

⇒ k = 120°



Piden: ∑ = 13k = 13(120°)



∴ ∑ = 1560°

14

Del gráfico:



tanqcotq + cosqsecq = 1 + 1 = 2 senqcscq 1

Clave E



E=

7



Clave B

15

A=



A=

E=

1 –1

1 2

–1

+ (–1)2

Clave B

Clave C

1. csc270° < csc90° ... (V) 1 –1 2. tan180° > sen270° ... (V) 0 –1 3. cot90° = cos90° ... (V) 0 0

Clave A

(a – b)(a2 + ab + b2) (a2 + ab + b2)

=

a3 – b3 a2

+ ab + b2

=a–b

Clave A

CAP 09

–senφ =1 –senφ

1

E=

2

T = 2cos180°⋅cotφ⋅tanφ 1



∴ E=3

– ab(–1) –

b2(–1)

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA

Clave D

⇒ B=1 ∴ E = –1

a3(1) – b3(1) a2(1)

ACTIVIDADES

... (V)

A = 1 + (–1) ⇒ A = 0 B=0+1

8 3

E = tan[0] – cos[0]

Clave E



E = csc4270° – tan180° + sec290°





3p + cos2p 2

∴P=0

M = 0 + 2 – ND = Indeterminado

2

E = tan[sen(0)] – cos[tan(0)]

Clave E

⇒ P = 3(–1) – 2(–1) + (1)

TAREA M = 3sen0°sec180° + 2csc90° – csc360° 0 1 ND



a

3. sen90° + cos90° = 1 0 1

1

a+b a–b

Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.

12

(a + b)2 – (a – b)2

Clave A

a(1)2 – b(0)3 + c(0) a 10 E = = =1 a asec(0) 1 Clave A

∴ E=



10



a(1)4 – b(0)3



3 3 a ⇒ b = (2700°) 5 5 b = 1620° ∴ 2700° y 1620°

(a + b)(a – b)

Dato: a + b = 2480°, (2480° = 6(360°) + 320°)

b =



Clave B

⇒ a – b = n(360°)



(a + b)(a + b)

Clave C

b2(1)

REFORZANDO

a ∧ b son coterminales: E = (5sena)(csca) = 5

E=

a2(1) + 2ab(–1) – b2(–1)

sena = senb ∧ csca = cscb

9

a2cos0 + 6abtan360° – b2sec0°

⇒ T = 2(1)(1) = 2

3

1. (V)

4

H=



2. (F)

3. (F)

4. (V)

2sen36° 4cos24° 4tan72° + + sen36° –cos24° –tan72°

H = 2 – 4 – 4 = –6

5

R = 6csc37° + 4(–sen30°) – 3(–tan60°)

4

13

EDITORIAL INGENIO

II

5 1 R = 6× – 4 + 3 2



SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

3⋅ 3

5

∴ R = 11

6 7

II

2sena 3cota + = –2 + 3 = 1 –sena cota

N=



6

9

P=

3(–1)tanq(–cosq) (–1)(–senq)

tanφ =

(–1)(–seng) seng

+

= tanq⋅cotq = 3 1

2

5

+

1 5

∴H=6

T=



T = tanq⋅cosq =



E=– 3 3– 2 2



E = –3 – 2 = –5

tan24° = –tan156°



tan72° = –tan108°

2

Reemplazando en P



P = –tan156° – tan108° + tan108° + tan156° + 0



P=0

Clave A



sen(A + B) = senC



tan(B + C) = –tanA



Reemplazando en Q:



Q = senC⋅cscC – (–tanA)cotA

E = (–cos60°)(–sen30°)tan45°

E= –

M=

∴ M = –tan45° = –1

M = 5(– sec45°)2 – 6(–cot60°)2 = 8

5

M = 3(+csc37°) – 3(–tan60°) + 2(–sen30°)

5

M=7

IV

sec150° = sec(90° – 60°) = –csc60° = – II

q = a + 180°

tanq = tan(180° + a) III

Clave E

TAREA

Reemplazando en M:

1

3 1 3 3 3 = = 2 3 2 3 2 – 3

Clave D

4

2

E = (+tan30°)(+cot60°)

1. (V)

Clave C

2. (V)

3. (V)

7

E = cot(270° – x) = tanx IIIC

8

E=

9

L=

4

Del gráfico

2 3 3

–

1. (F)

3



Clave E

Clave D

2. (V)

1 ∴E= 3

3. (V)

4. (F)

4. (F)

Clave B

Clave A

10



1 1 1 – (1) = 4 2 2

14

4

(–sen60°)(–sen30°)(–tan45°) sen60°sen30°

tan300° = tan(270° – 30°) = –cot30° = – 3

M=

Clave D



tanq = + tana = 3/4



E = 2 (1) = 2

6

E = (–sec 45°)(–cot45°)

Clave D

180°





3

IV

Reemplazando en E:



Clave E

1

Q=1+1=2

3 2

N = –tan60° – (–cot45°) = 1 – 3



Propiedad: Si a + b = 180°



Clave B

sen(360° – 60°) = –sen60° = –



Como A + B + C = 180°

M = sen[–(180° – x)]⋅csc(360° – x)



4

1

Clave D



9

M=1

sen6a ⋅cot3b⋅tan3b + csc30° = 3 sen6a

REFORZANDO

Clave E

M = –(+senx)(–cscx)

3





II

E=

Si: a + b = 180° ⇒ tana = – tanb

1

M = –sen(180° – x)⋅csc(360° – x)





Propiedad:



E = 3(–tan60°) – 2(+sec45°)

• 6a + 6b = 180° ⇒ sen6a = sen6b • 3a + 3b = 90° ⇒ tan3a = cot3b

⇒ sena = senb ⇒ tana = –tanb

senq ⋅cosq cosq

CUADERNO DE TRABAJO

2

L = –senxcosx + senxcosx = 0

8

∴ T = senq

1



senq tanq cosq ⋅ ⋅ tanq –cotq –senq

10



L = (+cosx)(–senx) + (–senx)(–cosx)



2

4

II

II



7

cosg cosg

Luego: H = 2 5

1

p p L = sen + x sen(p + x) + cos + x cos(p – x) 2 2 III

E = sen35° + sen35° –tan35° – tan35° E = – sen35° ⇒ E = – sen35° a tan35°



Clave A

2 tanφ = 1 + 1 ⇒ tanφ = 2 = 1 5

+senx cotx – ⇒ E = – 1 – 1 = –2 –senx cotx

II

3

I

Clave D

1 1 S = 8 – (–1) – (–1)(1) = 2 2 2

8

E=

S = 8(–cos60°)(–1)(–sen30°)(–1)cot45°



I

sen(180° – x) tan(90° – x) E= – cos(90° + x) cot(360° + x)

10

R=



+cosx –cosx + =2 +cosx –cosx

(+tanx)(–cosx) –senx

=1

+cosx –tanx – = –2 –cosx –tanx

11

E = csc[–(270° – q)]



E = –csc(270° – q)



E = –[–secq] = secq

12

L = (–sen37°)(+cos60°)



L= –

3 1 = –0,3 5 2

Clave C

Clave E

Clave A

Clave A

Clave E

Clave C

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

(tan45°)(–1)

1 = =1 13 S = (1)(–cot45°) 1

Luego: 2S = 2

14



R = 2sen45° + 3tan60°



R= 2

Clave C

E = sen60°⋅csc60° – 2tan45(–sen30°) E = 1 – 2(1) –

1 2

⇒ E=2

9

N = –1 + (–1) –sen(p – φ) – cos

10

Luego: E2 = 4



R=

Clave B

E=

(+senA)⋅(+tanA)⋅(+cosA) (+tanA)⋅(–cotA)⋅(–senA)

p –φ 2

CUADERNO DE TRABAJO 750° 360° 720° 2 30°

1

CAP 10

⇒



1

E = –tan(90° + 50°)tan50°



E = –(–cot50°)tan50°



E = tan50°⋅cot50° 1

2

3



3660° 360° 60° 10



1470° 360° 30° 4

420° 360° 60° 1

3cos60°(1)sen60° 2sen30°

4

5

H = 1 + 1

6

–senq + cosq P= =1 –senq + cosq

7

T = 20(–sen53°)cos60° T = 20 –



8

4 5

1 2

4005 360 360 11 405 360 45

4

5



E=

sen(360° – 45°) = –tan45° = –1 cos(1080° – 45°)

TAREA E = cos(360° + 160°)⋅sec(720° + 160°) ∴E=1

E = (cos160°)(sec160°)

2

E=

0+1 tan180° + sec0° = –sen270° – cot270° –(–1)–0

∴E=1



3 2



Clave D

⇒

cos4005 = cos45° ∴ cos4005 =

a) cos(–40°) = cos40°



b) sec(–280°) = sec280° = sec(360° – 80°)



∴ sec(–280°) = sec80°

2 2

4

Clave C

a) sen(–2140°)

= –sen2140° = –sen[5(360°) + 340°] = –sen340°

⇒ E = sen50°⋅ csc50° = 1

b) cot(–1140°) = cot1140° = –cot(3(360°) + 60°) = –cot60°

Clave B

M = sen20° – cos70°

REFORZANDO Clave A

2 2 • cot(–150°) = –cot(90° + 60°)

1

2

= (–tan60°) = 3 6 2 ⋅ 3= 2 2

E=

(–1)(–1) + cos90° cos0°⋅cot270° + sen270°

= –1

Clave B



• cos(–45°) = cos45° =

⇒ M=



R = – 2(–sen45°) – 3(–tan60°)

10

Clave C

= –sen(360° – 20°) = –(–sen20°) = sen20° 1490° 360° 1440° 4 50°



R = – 2sen225° – 3tan120°

(tanx)(–cotx)(–cotx) =1 cotx

M = sen20° – sen20°

6

∴ T = –8

R=



∴M=0

∴H=2



1

–cos30° = –



senq cosq + senq cosq

• cot(1440° + x) = cot(x)

Clave C

1230° 360° 150° 3

3

Q = 5cos(2(360°) + 53°) – 2cos(3(360°) + 120°)

H=



3

3 3 = 2 2

Q = 5cos53° – 2cos120° 3 1 Q=5 –2 – =4 5 2

• tan(x – 270°) = –tan(270° – x) = –(+cot(x)) = –cot(x)

cos1230° = cos150° = cos(180° – 30°) II II



∴H=2



1230° = 3⋅360° + 150°

3 3 ∴S= 4







H = 2sen(360° + 30°)(1)csc(2(360°) + 30°)

⇒S=



2

∴E=1

H = 2 sen30°⋅csc30° 1



• tan(x – 90°) = –tan(90° – x) = –cotx

Clave C

E = tan(360° + 140°)tan(180° + 50°)(–1) E = –tan140°tan50°



tan750° = tan30° 3 ∴ tan750° = 3

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA

9 • tan(x – 180°) = –tan(180° – x) = –(–tanx) = tanx

–senφ(1)

= senA

Clave A

ACTIVIDADES

∴ N = –2

senφ + senφ 2senφ R= = =2 senφ senφ



15

∴R=4

–senφ cosφ N= + senφ –cosφ

1



2 + 3( 3) 2

P=

sen(180° – 40°) + sen(180° + 40°) + 1 sec(180° – 40°) – sec(180° + 40°) – 1

∴ P = –1



Clave B

Clave C

7

L=

cos(x) =1 cos(–x)

8

E=

–cosx –senx + ⇒ E = –1 + 1 = 0 –senx cosx

3

Clave B

Clave B



tanq = cos2 8p + 5

p p 3 + sen2 6p + = 3 4 4

3

∴ cosq =

4

4 5

Clave A

4

15

EDITORIAL INGENIO

4

E=

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

sen2p + sen0 – cosp 0 + 0 – (–1) = =1 tan0 – cosp 0 – (–1)

13

+ tan2(180° – 60°)

∴E=4



6

L=

cos(x) cos(x)



∴L=1

Q =4cos0°+ 3tan 32p + Q = 4 + 3⋅ 3 – 4 3



Clave A



8

p sen + q tan(p + q) 2 M= + p cos(p + q) cot + q 2 M = –2

p p – 4 3sen 42p + 3 3



Q = 4 + 3⋅ 3 – 4 3

3 2



R=





∴ R = 1

1

Clave D

Y

156°

∴L= –



10

1 2

0° X 360°

2



M = –cosx + cosx – senx ∴ M = –senx



E = cos210°cos150° + (–sen60°)cos30°



E = (–cos30°)(–cos30°) – sen60°cos30°



E = cos230° – cos230°

∴E=0

Clave A

1,57



2. (V)

3. (V)

9

1. (F)

2. (V)

3. (V)

10

q ∈ II C



⇒ 0 < senq < 1



X

0 < 5senq < 5 –2 < 5senq – 2 < 3

1



4

–1 ≤ senq ≤ 1 –2 ≤ 2senq ≤ 2 –1 ≤ E ≤3

∴ E ∈ [–1; 3]

Clave E

–1 < senq < 0



–3 < 3senq < 0



–5
senb



∴ FVF

X

–150° –100°

1. (V)

2. (V)

–20° –40°

3. (V)

Clave A

EDITORIAL INGENIO

SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°

5

9



Y

100°



0 < 2sena < 2

X 200° 250°

10

–50° –60°

2. (F)

Clave E

Y

1 < senq ≤ 1 2



1 < 2senq ≤ 2

1 2

–2