Solucionario Trigonometría 4° [PDF]
SOLUCIONARIO CUADERNO DE TRABAJO 9 CAP 01 ACTIVIDADES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO I 1 I - B, 2 •
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SOLUCIONARIO CUADERNO DE TRABAJO 9
CAP 01
ACTIVIDADES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO I 1
I - B,
2
• (CB)2 = 612 – 602 ⇒ CB = 11
II - A,
III - D,
3
⇒ AB = 13
⇒ HC = 8m
8
15
4
H = 10
8 15 – =1 17 17
3 1 = 9 3
• tanq = 0,3 = • H2 = 32 + 12
•E=4
C
10 A
1
• P = 10
3
–
10
1
∴ M=3
⇒
5
2 5
=
–
22
E=3
a b
2 3 =6–2=4
2
a
E=3+1 ⇒E=4
A
8
B
c
c b b 1 E= b –a +c b a c c 1 E = (c – b + b) = 1 c
7
A
B c
2
104 10
⇒ seca =
• tanb =
⇒ secb =
• Q = sec2a + sec2b
∴ Q=
3 ⇒ 10 109 10
= .A.
109 10
104 109 213 + = = 2,13 100 100 100
b
P=b–b=0
C
7
H2
=
• P = 97
+
92
4 = C.O.
A
P=
8
6 B
1
6 1
C
2
+
A
9 – 4 97 97
2
8 1
= 6 + 8 = 14
Clave E
13
Clave A B
1) Graficando:
A
10
a C
b
a b b +b –c b c a
2) E = a
∴E=b+a–b=a
Clave A
B
C
B
2
13 3
Sec C =
3
A
A
⇒ P=5
7
1
Clave C
⇒ H = 97
c
9
H
3
C
7
40
Clave D
1
C.A. = 9
42
2 =1 2
tana =
1
Clave E
el
4 3
a
Clave E
H = 41
4 9 • Dibujamos
•
10
A
b b –a a c
P= c
2
tana =0,4 =
104
B
B
b a = ⇒ b2 = 2a2 ⇒ b = 2a 2a b
C
b
tanb = 0,1 + 0,2 = 0,3 2 ⇒ 10
a
a M
C
a
• tanb = 0,1 + tana
• tana =
A
x2 = 412 – 402
C b
Clave A
B c A
b
+c ⇒c= 5
b +1 a
B
C
C.O. 9 ∴tanq = = C.A. 40
6
6
x
32
12 3 = 8 2
.=
2 * senq = 3
E=c–c=0
C
A
x = 9
c c –b b a
Piden: E = a
C.O
1
B
c
C
a
c
CUADERNO DE TRABAJO
2
C
a 2 2 ∴ tanq = = 2a 2
C
A
A
8
3
A
B
3
5
⇒ tanq =
= 1 – 3 = –2
10
H
8
b 2a a MBC: tanq = b
b
ABC: tanq =
H = 17
13
∴ Finalmente: tanq =
10
• H2 = 82 + 152 H
5
5
B
• AB2 = 52 + 122
IV - C
5 12
11 • tanq = 60
tana =
TRIGONOMETRÍA 4°
• Graficamos: C
a
b
⇒ b2 + c2 = a2
...... (1)
B
• Reemplazando en cotB + cotC = 4
c
A
c b ⇒ + = 4 ⇒ b2 + c2 = 4bc b c
...... (2)
b c 4bc M=4 ⋅ = 2 a a a
...... (3)
∴M =
b2 + c2 =1 b2 + c2
Clave C
M = 10 sena M = 10 ∴M=3
3 10
10
TAREA
3
1
Clave C
1
cos2q + tan2q =
5 3
2
2
+
5
2
=
61 45 3
2
5
4
1
EDITORIAL INGENIO
2
3
2
7
3
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
7 2 – 2 3 3 7 2 P=3 – ⇒ P=5 3 3
P=3
7
C
2
2
2
• x + a = (3a) φ 3a x = 2 2a a
B A x
Piden tanφ =
Piden:
6
x 2 2a = =2 2 a a
⇒ AC – AB = 3m
CO = 4k
C H = 5k
A
⇒S=
5k – 3k = 3 3 k= 2
B
CA = 3k
S
C
(3k)(4k) 2
= 6k2 = 6
3 2
2
=
15 17
• cosa =
• sena =
∴ cosa + sena =
23 17
8
2
0,4 =
8 17
Clave C
H
4 2 = 10 5
2
H2 = 22 + 52 ⇒ H = 29 10 2 5 ∴ ⋅ = 29 29 29
c b 2) L = 3⋅ ⋅ + 1 b c
13
Piden:
3tanq – 1 = 3
a2
b2
+
9
1)
10
b
2 2 a b a +b + = b a ab 4ab ∴E= =4 ab
Clave D
15
1) Siendo AO = OD = L ⇒ CD = 2L
2) En el
R2
=
ODC:
L2
+ (2L)2 ⇒ R = 5 L
3) 2tanq = 2
2L R+L
⇒ 2tanq =
4 4L = = 5 – 1 5+1 5L+L
Clave D
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II
3 CO = CA 3
C
Clave B
11
1
Clave B
⇒ C = 10
15
12 B
m
12 –1= 4–1=3 9
1 (I) 5 senq = 5–1 = 5 x 1 • ADE: senq = = ⇒ x=2 10 5 y 1 • ABC: tanq = = ⇒ y=3 15 5
4
13 5
• secA = 2,6 ⇒ secA = 2
2
2
a = 12k
a 10 a – 3a 3a
C
• 13k + 5k + 12k = 60 ⇒ k = 2
∴AABC =
12
3
2
1) En el
(12⋅2)(5⋅2) 2
L=4
2
a
5k
2
3
K=
4
x
Clave C
DCB: (4x)2 + 92 = (5x)2 ⇒ x = 3
1 2
2 =7 1
1
2
• tan60° = 3 • cot53° = 1 + 2
3
2
⋅
5 3 + (2 + 1) = 6 4 4
1 3 + (2)2 = 4x + (1)4 2 4
C
n 1 tana = = 2n 2
2n
A
6
E=4
1 2
2
+5
45°
n M n
3 +1=1+3+1=5 5
3 4
3 =3 4
x + 4 = 3x + 1 ⇒ x = 1,2 2
Clave A
3 tana= 2
+
5
Reemplazando: A = 2
B
= 120
5 2
2
• cos60° =
5 3
13
=
• tana = sen30° 1 tana = 2
A 13k
CB⋅AB
CAP 02
ACTIVIDADES
ABC: (tanq)
a 10
a
⇒ E=
MBC: (Pitágoras)
tanq =
ab
2
2) Se pide: E = tana + tanb
22 + BC2 = ( 7)2 ⇒ BC = 3
2)
Clave B
c=
= 4ab
= 2 – 3 = –1
13
Clave E
Clave B
2
3
B
C
A
a2 + b2 = (2 ab)2
3a 10 1 C= – =3 B 3 3 A a
a
∴L=4
m=9
Clave D
c
• m2 + 122 = 152
1) Graficando:
⇒ H = 13
–
• a = (13k) (5k)
4
14
15 9 3 + = 20 12 2
b
A
2
M = 13
C
1) Del gráfico
4) cotb + tana =
• 22 + 32 = H2
2
9
12
Clave B
5
3
3 5
20
25 15
3
H
H = 13
3) Reemplazando:
B
c
H2 = 82 + 152 ⇒ H = 17
225 = 5(2y + 5) ⇒ y = 20
a
2) H2 = 32 + 52 ⇒ H = 34 3 5 3) cosa = cosq = 34 34 5 3 4) cosa ⋅cosq = ⋅ 34 34 15 ∴ cosa ⋅cosq = 34 Clave E
27 2
REFORZANDO 1
b
1) tana = 0,6 6 tana = 10 3 tana = 5
DBA: (5x)2 + y2 = (y + 5)2
2) En el
C
Clave D
7
c c +a b a 2c = =2 c c
75 3 CA = = 100 4 CO
ctgC: 0,75 =
R=
Clave A
A
4
b
x 2 = y 3
B
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4° 2 1 ; tan30° = 2 3
sen45° =
2
2 G=4 2
G=2+1+4=7
3
MBC: 3 tanq = 2
4 3
4 +3 3
6
Clave E
2
8
9
1 2 ⋅ ⋅ 3 2 2
M=
=
2 3 1⋅ ⋅ 2 3
3 8
A
7
45°
12
∴ AC = 15
9
53°
45°
C 3
2)
D
5 2
•L=4
2
2
5
1
8
2 + =7 1
2 3
Clave C
1 2 ⋅ 2 2 2 senq = 4
2
14 +2=3 2
•L=
3
Clave C
1 3 + (2)2 = 4x + (1)4 2 4 6 x + 4 = 3x + 1 ⇒ x = 5 2
x
4
9
21
15
C
3
2 3 9
=x ⇒
3
J= 2+
E=4
37° 4k
BC = AB = 2n
Operando: ∴ E = 2
6
⇒ x= 2
Clave C
2 3 3 – 3 3
5
n
C
ABC notable: 3
A
37°
2 M 4
B
1
E=
3 3 3 1 + + – =1 4 2 4 2
BC = 3; AB = 4 Como: AM = MB = 2
2
TAREA
Clave D
2
2+1+2 M=
5 3 – 4 4
1 2
=8
Clave B
4 2
= 15
Clave C
5 – 2 = x + 6(1) 3 Operando: x = 2
3x ⋅
Clave C
7
1 1 3 ⋅ 2⋅ 1 x⋅ ⋅ = ∴x=6 2⋅2 2 2
8
Utilizando proporciones: 2x 2tan37° = ⇒ x = 0,2 2tan45° 6
9
A=
1 1 + +2 2 2 1 3
MBC: n 1 tana = = 45° 2n 2 A B n M
3 – 2
Q=
2n
Operando: ∴ J = 1,4
3 1 –5 + 3⋅ 3 5 2
3k
ABC isósceles:
4 1 ⋅ 5 2
Clave E
4k 2 3k tana = = 6k 3
+2
4
Clave C
C
2
5
Clave E
3 2 =x 3
2
2
C
7
Clave D
3 3 +1– 3+ 2 2 3 25 Operando: ∴ M = 12 Clave A 1
M=
10
Clave C
2
1
+ 3(2)2 2 Operando: ∴ E = 17
4
2
1 + 2 2
x⋅sen30° + sec260° = 4x⋅tan37° + tan445°
6
AHC: tanq =
2
2
4
14
1
E= 3 +4
AHB (notable): AB = 4, HB = 2; AH = 2 3
4
• senq =
tanq =
8
Como mBABC = 120° ⇒ mBABH = 60°
De la condición:
1
60° 120° H 2 B
2 1
1 2
REFORZANDO
A
2
1
Clave E
ABH, notable: AB = 10, BH = 8 y AH = 6
30°
Tenemos que: • tana = sen30° 1 tana = 2
3 9
3) Como: AH = 6 ⇒ HC = 15 8 BCH: tanq = 15 Clave E
⇒ x=
4
1) Trazamos BH ⊥ AC: BC = 3; AB = 4
CUADERNO DE TRABAJO 1
53°
A
4
2 1 1 1 =x⋅ ⋅ ⋅ 3 4 2 2
2 5 tanq = 2 5 3 53°
B
1–
AD = 4DC ⇒ AD = 8
10
12 2
DB = 1; BC = 3 ; DC = 2
3
Como:
B
ABC: tanq =
A 10
B
60° 1
2
3 1 5x 2 – 2x = 5(2) + 8(1) 3 3 20x 2x – = 18 ∴ x = 3 3 3
3
2
D
8
DBC notable:
C
30
+3
2
1
y tan53° =
°
7
Clave C
=1
⋅ 3 + 2⋅ 2
Clave C
5 4 3 4 – ⋅ – 3 5 4 3 91 =– 10 E = 180 1 1 + 2 2
11
Clave D
Clave C
2 x x = sen45° ⇒ = ⇒ x=4 2 8 8 2
Clave C
4
3
EDITORIAL INGENIO
37° 4k
5 3k
• tan(2q + 45°) = cotq
E = tanatanq
⇒ 2q + 45° + q = 90°
3k 4k ⋅ 7k 7k
4
E= 4k
12 E= 49
3k
4k
13
3 3 1 2x = tan30° ⇒ x = 3 2 3 3
3 x = = 1,5 2
D
A
4k H
15° D
⇒ q = 15°
30°
B
6
2q + q = 90°
4
∴ x=2
C
⇒ q = 30°
Luego: sen2x⋅csc(90° – y) = 1 ⇒ 2x = 90° – y 2x + y = 90° Reemplazando: P = csc2
P = csc230° + csc245° ⇒ P = 22 + 2 = 6
Clave B
M = sen30°⋅ csc30° + cos18°⋅sec18°
5
M=1+1=2
7
Por propiedad, se cumple: 1 3 2senx + 1 = senx + ⇒ senx = 2 2 ∴ cscx = 2
Reemplazando: sen(4x + 10°)⋅cot(60° – 3x)⋅secx = cot(60° – 3x)
M
⇒ MN = HN = 2 2k 1 ∴ cotq = = C 6k 3
8
A = sen27°⋅sec63° + tan18°⋅ tan72°
9 3 = ⇒ x=6 5 x+9
Clave D
CAP 03
ACTIVIDADES
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1
sen4x⋅csc40° = 1 ⇒ 4x = 40° ⇒ x = 10° ∴ cos6x = cos60° =
2
⇒ 4x + 10° = 90° – x ⇒ 5x = 80° ⇒ x = 16
A = sen27°⋅csc27° + tan18°⋅cot18° + sec36°⋅cos36 + 1 1
∴A=4
9
1
P = 6⋅tan2(48° – 18°) + 7⋅tan6(16° + 29°)
1
P = 6⋅tan230° + 7⋅tan645°
sen(4x + 10°) ⋅ secx = 1
⇒ 4x + 10 = 90° – x ⇒ x = 16°
P = 6tan2(30°) + 7tan6(45°)
P=6
1 3
cosb cot(q + b) + + 7 ⋅ cotb ⋅ tanb cob cot(q + b) 1 J = 1 + 1 + 7 = 9
10
Del dato: sen2x ⋅
csc(90° – y)
tan4x⋅ cot60°⋅ sen30°⋅csc30° = 1 1 tan4x⋅ cot60° = 1 ⇒ 4x = 60° ⇒ x = 15°
2
1 Piden: cos6x = cos60° = 2
3
Clave B
cos(60° – x)⋅sec2x = 1 ⇒ 60° – x = 2x
⇒ x = 20°
⇒ 2x = 90° – y ⇒ 2x + y = 90°
sen3x = cos3y ⇒ 3(20°) + 3y = 90°
Reemplazando en:
y = 10° ∴ 2y – x = 0°
P = csc2
P = csc230° + csc245° = (2)2 + ( 2)2 = 6
Clave A
4
3 3
15°
∴ x=3
6
Clave C
7
Se observa: * (q + a) + b = 90° ⇒ sen(q + a) = cosb
* (q + a) + b = 90° ⇒ tan(q + a) = cotb
Luego reemplazando:
J=
cosb cot(q + b) + + 7⋅cotb⋅tanb = 9 cosb cot(q + b) 1
4
Clave E
sen4x⋅csc40° = 1 ⇒ 4x = 40° ⇒ x = 10°
Luego: sen2x⋅csc(90° – y) = 1
4
Clave B
90° 90° + csc2 2 3
6 30°
J=
CUADERNO DE TRABAJO
y = 10°
=1
15° 60°
* a + (q + b) = 90° ⇒ tana = cot(q + b)
secy
2q + 45° + q = 90° ⇒ q = 15°
x=3
+ 7(1)2 = 2 + 7 ⇒ P = 9
1
⇒
Clave E
Reemplazando en el gráfico:
2
60° = 3x ⇒ x = 20°
∴ 2y – x = 0
4
6
sen(4x + 10°)⋅ csc(90° – x) = 1
• sen3x = cos3y ⇒ 3(20°) + 3y = 90°
2
1 + 7(1)6 = 9 3
⇒ tan(3x + 30°) = cot(60° – 3x)
tan4x⋅cot60°⋅ sen30° ⋅csc30° = 1 1 tan4x⋅ cot60° = 1
• cos(60° – x) ⋅ sec2x = 1 ⇒ 60° – x = 2x
P=6
• (3x + 30°) y (60° – 3x) complementarios
1 2
4x = 60° ⇒ x = 15°
3
=1
sen(4x + 10°)⋅csc(90° – x) = 1
+ sec36°⋅ sen54° + cot45°
9
9 53° 9
secx
sen(4x + 10°)⋅
csc(90° – x)
15 sen37° = x + 9 x
(3x + 30°) y (60° – 3x) son complementarios ⇒ tan(3x + 30°) = cot(60° – 3x)
Clave E
37°
2
• NC = 2k
2k 45° 2k N 2k
90° 90° + csc2 2 3
2a + 3a = 90° ⇒ a = 18°
Clave A
B
x
Clave E
14
A
° 15
3k 12
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
Del dato sen2x ⋅
secy csc(90° – y)
=1
8
De la condición
4sec(2x +10°) – 2sec(2x + 10°) = 2csc(3x – 10°)
2sec(2x + 10°) = 2csc(3x – 10°)
sec(2x + 10°) = csc(3x – 10°) suman = 90° (2x + 10°) + (3x – 10°) = 90° ⇒ 5x = 90° x + 4x = 90° 5x
2x + 3x = 90° x + 4x = 90°
⇒
senx = cos4x
⇒ sen2x = cos3x ⇒ tan4x = cotx
Hallando E ⇒ E = 1 + 1 + 1 = 3
Clave C
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
9
6
Se cumple: (3q – 15°) + (2q – 10°) = 90° Operando: 2q = 46°
10 Como: m + n = 90°
Clave B
⇒ cscn = 2 ⇒ n = 30° ∧ m = 60°
E= 3+
⇒ E=
3 3 2
operando: M = –5
7
E = tan45° + sec60° = 1 + 2 = 3
Se cumple: (20° + x) + (18° + x) = 90° Operando: x = 26°
2
9
2(1) + 2
A=
3. (F)
4
A
∴E=1
B
Se cumple: (5x + 30°) + (3x – 20°) = 90°
M = tan10° – cot80° ⇒ M = cot80° – cot80° = 0
M=
cot89° + cot88° + cot87° + ... + cot1° =1 cot1° + cot2° + cot3° + ... + cot89°
11
Se cumple: (2a + 10°) + (30° – 2b) = 90°
Por propiedad, se cumple:
∴ csc = –2
2
1 2
⇒ 2a – 2b = 50° ⇒
a – b = 25°
M = csc30° + tan45°
1 3 • 2⋅ – 1 = 2 4
1 2
.......................... (V)
• sen32° – sen32° = 0 ................. (V) • 2sec78° = 2sec78°
∴ VVV
3
1
4
5
.................. (V)
Clave C
E = (4sen40°)⋅csc40°
sen20° tan40° x= + sen20° tan40°
∴ E=4
tanq =
4
∴ x=2
Clave B
Clave B
2
32
32 32
⇒ tanq = 1
⇒ q = 45°
C
4
Se cumple:
P – Q = 36°
P + Q = 90° P = 63° ∧ Q = 27° P 7 P 63° = ∴ = Q 3 Q 27° Clave D φ 13 Se cumple: 2 + 2φ = 90° ⇒ φ = 36° 1 3 1 1 I= ⋅ – ⇒ I= 2 4 3 24 Clave C
14
Se cumple: 3a + 3b = 90° ⇒ sen3a = cos3b
E = (sen3a – cosb)⋅ cot2a ⋅cotb
E=0
P
Se cumple: a + q = 90° ⇒ tanq = cota
M=
2cota + 1
ACTIVIDADES
4H = 3H + 4 ⇒ H = 4
3H = 3(4) 3H = 12
5
12k = 24 ⇒ k = 2 16k
x = 25k ⇒ x = 25(2) ⇒
6
B
53° 9k
7
P
x = 50
∴ AC = Lcotq + L + Lcotq
R
L L A
x
• QC = AP ⇒ QC = Lcotq
AC = L(2cotq + 1) C
Q
L
C
B
F
m
Clave A
RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y ÁNGULOS VERTICALES
12k = 24 37°
∴ M=1
CAP 04
B
4H
S
15
1 + 2cota
37°
A
0
Clave E
3H
45°
Clave D
E = tan10°⋅cot10 + sen20° ⋅ csc20 1 1 ∴E = 2
32
∴M=3
Clave A
⇒ senx = –
a + b = 35° ⇒ a = 30° ∧ b = 5°
12
REFORZANDO
2senx + 1 = senx +
Clave B
Clave D
1
3
B
ncosq
32
Clave A
Resolviendo: x = 10°
∴ x + y = 30° + 65° = 95°
10
• A + C = 90° C cotA + tanA • E = tanA + cotA
4
C
3
A
• sec(y + 20°)cos(2y – 45°) = 1 ⇒ y + 20° = 2y – 45° ⇒ y = 65°
m + c = m(1 + cota)
A
C
• 2x – 5° + x + 5° = 90° ⇒ x = 30°
m + c = m + mcota
n 2p = n(1 + senq + cosq)
Clave D
B
2
1 sen(x + 30°) + – sen(x + 30°) 2 A = 12
2
c = mcota
c
m
⇒ a = 18
Clave E
A
Clave C
TAREA 2. (V)
1
C
8
1. (V)
Clave E
Se cumple: 2a + 3a = 90°
1
4 3 5 4
nsenq
3 2
(8sen18°)⋅csc18° – tan30°⋅cot30 (–2cos36°)⋅sec36°+
⇒ secm = cscn
M=
A
x
m E
D
y
x = msenq
y = mcosq
∴ BC = x + y = m(senq + cosq)
4
5
EDITORIAL INGENIO
8
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
C
xcosq = L + xsenq
45° L D
9
B
18 m
4K = 3K + 18
3K
H 3
K = 18
La altura de la 18 m torre es:
2
Se observa: 2H = 10 ⇒ H = 5
Altura del edificio es: 3H
∴ 3H = 15
Piden: 30m
x 10 m
∴
6
tanx(3cotq + 1) 30
3
2
2
12 m
H
⇒ AB = 15m
• x = 3k ⇒ x = 3(14) ⇒ x = 42
Clave A
Clave A
9
Siendo tanb = 3
∴ x + y = 36 + 48 = 84 m
3 2 x 3 = 12 2
tana =
x
x = 18
12
6
⇒ h = 21 ⇒ En (I) tanq = 3
REFORZANDO 12 x 12 m 12 ⇒ 1,5 = x ∴x=8m x
1
⇒ tana =
Clave A
2
C
14 m
Clave E
4
B
L 3
H
60° 30°
60 m
Clave E
10 L
⇒ y = 48 m
h ...(I) 28 – h PHA: notable de 37° y 53°
Clave A 37°
60 m h
60 60 3 ⇒ = ⇒ L = 20 m 1 L 3 L 3
tan60° =
∴ h = 60 – L = 40
H
PHB: tanq =
O
53°
37°
A
Siendo: OA = 12k ⇒ AB = 9k y AC = 16k
⇒ 16k – 9k = 14 ⇒ k = 2
∴ AB = H = 9(2) = 18 m
3
15° m
3 36 ⇒ = 4 y
3k =3 4k – x
28 h
Clave C
B
1,2
∴ BC =
2,4 = 1,2 2
2,4
∧
x = 36 m
B 28 m
8 ∴ x = asenq a x=?
36 tan37° = y
h
⇒ x = 3k 37° x 4k – x x 3k ∴ = =1 4k h 3k
y
x
4
37° A
3k
36 m 45°
h
45° k 14
⇒ h = 3k 37°
P
Poste
37°
Clave D
45°
∴ d = 30 m
3k x = ?
∴ H = 15 + 1,8 = 16,8 m
Tierra
d
• k = 14
27 x
AB ⇒ 1,25 = 12
53°
Clave B
C
d = tan37° 40 Edificio 37° 3 ⇒ d = 40 4 40 E
3
Clave B
7
A AB tana = 12
Árbol
53°
5m
1,5 m
4
3 27 ⇒ = 4 x ∴ x = 36 m
B α 1,8 m
3
∴ x = 4(4) = 16
14
x
=1
27 m x
4(4)
2
30cotq + 10
tanx(3cotq + 1)
tan37° =
37°
12 37°
CUADERNO DE TRABAJO 1
3
⇒ tanx =
45°
4K
Clave A
45°
Objeto
3H
4K = 72 m
10
Linea visual
Torre
H
30°
45°
L.H.
37°
10
30°
L x= cosq – senq
37°
1
60° 30°
Graficando el problema
x(cosq – senq) = L
x A
5
TAREA
A
15° 2,4 m
D
30°
C
Clave E
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
4
x
30°
x = sec30° 30 2 x = ⇒ x = 20 3 30 3
30
11
Clave B
40
∴ x = 20 3
Clave A
30°
2q = 60° ⇒ q = 30
Clave A
12k x =?
Distancia de (2; 4) al origen: d2 = 22 + 42 ⇒ d2 = 2 5
20
Distancia de (–1; 4) al origen:
H 30 tana = = ⇒ H = 10 6 20 H
d3 = (–1)2 + 42 ⇒ d3 = 17
El punto (2; 4) se encuentra más alejado del origen de coordenadas.
10
∴ tana = 1,5
Clave D 40 5k
⇒ x = 12(8)
k=8 ∴ x = 96 m
30° 60° 30°30° ∴ x = 20 m
30°
10 3
20 60° 10
x
Clave C
8
3k x = ?
13
53°
⇒ 2x2 + 2 = 100
12L
∴ x = 12L – 3L = 9L = 108 m
4
M(–9; 2) es punto medio de AB
B(a; b)
Clave D
P
P
3k b
5
3P tana = y b
P
P P
4P b tanb 4 ∴ = tana 3
tanb =
Clave C
Clave E
15
Graficando:
∴ ±x = 7
1+a A(1; –5) ⇒ –9 = ⇒ a = –19 2 n –5 + b ⇒2= ⇒ b=9 M(–9; 2) 2 n ∴ k = –19 + 9 = –10
3L
1 37° 18,5° = ⇒ tan 37° = 3 2 2 ⇒ 4L = 48m ⇒ L = 12m
⇒ k = 42 ⇒ x = 3k ⇒ x = 3(42) ∴ x = 126
9
(x + 1)2 + (x – 1)2 = 10
37° 2 53°
18,5° x
45° 42 k
Distancia de P(x + 1; x – 1) al origen D(0; 0):
4L
14
37°
3
Clave C
7
Distancia de (3; –2) al origen:
6 10 6 6 tana = ⇒ tana = = 2 4 20
12 • tanq = 2,4 = 5
2
H
k
3k
P(–6; 2) ∈ IIC
d1 = 32 + (–2)2 ⇒ d1 = 13
12 2k
1
k 3
2k
6
PLANO CARTESIANO
60° 20
30°
Clave CAP 05E
ACTIVIDADES
x=?
40
5
30° 30°
B(x; 7)
A(–3; 4) d(A; B) = (x + 3)2 + (7 – 4)2 13 = (x + 3)2 + 9 ⇒ (x + 3)2 = 4
⇒
i)
ii) x + 3 = –2 ⇒ x = –5
∴ La suma de los valores de x es: –6
6
H
x+3=2
⇒ x=–1
A(3; 2)
h
d
a H
20
⇒ Hcota = H + Htana ⇒
Del gráfico: hcota – hcotb = 20
h(cota – cotb) = 20 ⇒ h(0,25) = 20
Reemplazando: h = 80
Clave C
1 1 = + tana + tan2a 4 4 5–1 5 1 ⇒ = (tana + )2 ∴ tana = 4 2 2 ⇒1+
k
• (0 – 3)2 + (m – 2)2 = (0 – 5)2 + (m – 10)2
9 + m2 – 4m + 4 = 25 + m2 – 20m + 100
7
∴m=7
C(0; 1) b D(–3; 0)
3k
⇒ k = 5 ⇒ x = 3(5) = 15
Clave D
d
B(5; 10)
45°
5
a
3k x = ? 37°
1 = 1 + tana tana
Clave E
10
⇒ 1 = tana + tan2a
M(0; m)
a
a
B(–2; 7)
b A(–5; 6)
4
7
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
(0 – (–5))2 + (1 – 6)2 = 5 2
2a =
2b = (–3 –
(–7))2
+ (1 –
7)2
5
=5 2
Perímetro:
A(7; 13)
7+x ⇒ x = 13 2 13 + y 7= ⇒ y=1 2
Se cumple
Perímetro de la región ABCD:
C(a; b) D(c; d) l
l B(7; 5) A(3; 1)
∴ 2p = 16 2
6
r2 = x2 + y2
Se sabe:
2p = 3l
Reemplazando valores: 2
⇒ a = 10
2
5a = 5×10
A(–1; 2)
2
⇒ 2p = 3 (2 – (–1)) + (5 – 1) B(2; 5)
l
7 2
l
B(8; 8)
P
2k A(–4; 2)
10
Longitud de la mediana AM:
8
B(3; 5) m
M(5; 2)
A(1; 1)
3S
2S
P=
C(8; 10)
3k
(16; 20) + (–6; 15) (10; 35) = ⇒ P = (2; 7) 5 5
∑=2+7=9
El cuadrilátero es un paralelogramo
a=
b=
∴ El perímetro es: = 10 2
4
A(1; 5)
(0; 0)
Clave B
3
d = (2 –
7)2
(–4; 3)
(–11; 1)
Clave E
d (5; 2)
A(–9; 2)
•0+y=4 ⇒ y=4
∴ ∑ = 10
∴ M(4; 10) ∧
d = 82
Clave C
P(–1; –5)
C(5; 6)
Del gráfico: d = [–7 – (–2)] + [5 – (–7)] = 13
Clave D
4
Clave D
TAREA
2 2
B(10; 20)
OP =
(–3)2
+
(4)2
N (7; 15)
P(–1; 0) ∈ eje X.
Clave A
2
P(–1; –5) ∈ IIIC.
3
Y 8
Clave C
P(5; 8) d
x = (3 – 4)2 + (5 – 7)2 = 5
1
(–2; –7)
x
M(4; 7)
A(1; 1)
Q(–3; 9)
d
1
B(3; 8)
G(3; 5)
n N(z; w)
REFORZANDO
∑=6+4
Clave D
10
d = (–4 – 5)2 + (3 – 2)2
2
8
B(–5; 8)
(–7; 5)
= 41
(3; 5)
4
+ (5 –
1)2
n M(x; y)
10 + 2 =4 3 20 + 10 y= = 10 3 20 + 1 z= =7 3 40 + 5 w= = 15 3
(0; y)
M(3; 2)
(x; 0)
• x + 0 = 6 ⇒ x = 6
Clave D
n
x=
(5; 5)
r = 5 2 r (3; 1)
2
9
(7; 9) r = 52 + 52
25 25 5 + = 2 4 4 2
1 49 5 = + 2 4 4 2 5 2 Perímetro = 4 2
CUADERNO DE TRABAJO 1
B(–2; 7)
P
2k
C(7; –1)
a
b
A(–5; 6)
B(–2; 5)
a
(–1; 4)
b
a
A(1; 9)
∴ m = 17
C(0; 1)
(–4; 3)
Clave E
m = (5 – 1)2 + (2 – 1)2
a
D(–3; 0)
Clave C
Por teoría se cumple: (–4; 2) + (16; 16) P= 3 12 + 18 = = (4; 6) 3
k
∴ 2p = 9 2
–3 1 ; 2 2
(10 5)2 = (a)2 + (–2a)2
l
Clave A
Perímetro de la región ABC:
C(a; b)
3
∴ Las coordenadas de B es (13; 1)
⇒ 2p = 4 (7 – 3)2 + (5 – 1)2
l
Operando: y = 8
10 =
2p = 4l
l
9
B(x; y)
M(10; 7)
2p = 2a + 2b = 10 2
8
74 = (–6 –1)2 + (y – 3)2
∴ d=8
5 X
4
a2 + (a – 1)2 = 52
Clave B ⇒ a = 4; –3
Clave D
5
R2 = (3)2 + (–2)2 ⇒
6
d = (3 – 2)2 + (8 – 6)2 = 5
7
d = (–1 – 4)2 + (7 + 5)2 = 13
R = 13
Clave B
=5
Clave C
74
P(–6; y)
Q(1; 3)
Clave C
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
8
N(3; –9)
C(5; 5)
15
52
x=
x
+
(12)2
d
= 13
M(1; 4)
(–2; 3)
Clave C n
9
n (3; 4)
A(1; 1)
• x + 1 = 6 ⇒ x = 5
∴ Perimetro = 4(4) = 16
D(–1; –10)
12
290° O
B(7; –1)
3
• x + 3 = 2 ⇒ x = –1 • y + 5 = 4 ⇒ y = –1
4
Paralelogramo: A + C = B + D
c) 880°, no es cudrantal
5
7=5+y ⇒ y=2 D(7;2)
• (0 –
+ (m –
7
q
∴m=7
2. (V)
3. (V)
Clave D
6
A) 1800° = 20(90°)
B) 2700 = 30(90°)
C) 3000 = 2970° + 30° = 33(90°) + 30° no es cuadrantal.
D) 540° = 6(90°)
E) 810° = 9(90°)
IIC
IC
7
2460° = 6(360°) + 300° 300° ∈ IV C
X
IVC
1. (V)
2. (V) (90°) + (–90°) = 0
3. (F) 180° – 90° = 90° ≠ múltiplo de 360°
Y
IIC
IC
O
–1230° M(0; m)
q
8 5)2
+ (m –
–1230° = –3(360°) – 150°
–150° ∈ III C
X
8
250° + n > 360° + 90° n > 200° ⇒ nmín = 201°
IVC
∴ –1230° ∈ III C
10)2
9 + m2 – 4m + 4 = 25 + m2 – 20m + 100
IIIC
= (0 –
1. (F) Para ser cuadrantal su lado inicial debe estar en el semieje X positivo.
Clave C Clave E
2)2
Y
IIIC
B(5; 10)
3)2
5
∴ 2460° ∈ IV C
A(3; 2) 14
La figura "a" representa a un ángulo cuadrantal.
O
Luego: 12 = 5 + x ⇒ x = 7
Clave D
Clave C
⇒ (12; 7) = (5 + x ; 5 + y)
I y III están en posición normal.
a) 1710° = 19(90°); es cuadrantal
6
H b
4
La figura "b" representa a un ángulo en posición normal.
b) 1170° = 13(90°); es cudrantal
Clave A
b
Clave B
O X –110°
• d = (2 + 1)2 + (3 + 1)2 = 25 = 5
Sea D(x; y)
• 90° < 125° < 180° ⇒ 485° ∈ IIC
IC
B(–1; –1)
13
• 485° = 360° + 125° = 1 vuelta + 125°
d C(2; 3)
Solo I tiene origen en el semi eje X positivo.
Clave A
∴ 290° ∈ IV C
Y
IIIC
B(x; y)
n
180° < 235° < 270° ⇒ 235° ∈ IIIC
IIC
M(1; 2)
2
X
∴ –110° ∈ III C IVC
n
1
3 2
CUADERNO DE TRABAJO
IIC IC
Clave C
3. (F)
Clave C
IIIC
∴ M(3; 2)
A(3; 5)
2. (V)
Y
6 =3 2 4 • y = = 2 2
1. (V)
Clave C M(x; y)
•x=
1
IVC
E = x – y = –3 – (–2) ∴ E = –1
n
A(–1; 5)
10
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
n
11
Clave C
CAP 06
ACTIVIDADES
n P(x; y)
–6 •x= = –3 2 –4 • y = = –2 2
∴ qmín = 11°
B(x; y)
n C(–5; 6)
q > 10°
2
• 2l2 = 32 ⇒ l = 4
Clave D
10
q∈IC
B(5; 7)
• y + 1 = 8 ⇒ y = 7
9
4q + 50° > 90° ⇒ 4q > 40°
• d = (5 – 1)2 + (5 – 1)2 = 32
O(–5; 2)
l
A(1; 1)
l
Clave E
Clave E
(4a + 30°) ∈ IIIC
9
⇒ 4a + 30° > 180°
–275°
–275° ∈ IC
a > 37,5° ⇒ amín = 38° ⇒ 4a + 30° < 270° a < 60°
Clave A
⇒ amáx = 59°
4
9
EDITORIAL INGENIO
10
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4° • 1355° ∈ IV C
• 2360° ∈ III C
15
270° < q < 360°
• 1945° ∈ II C
• 2810° ∈ IV C
(360°) + 0° < 4q + 120° < 4(360°) + 90°
• –2360° ∈ II C
4
q ∈ IIIC ⇒ q > 180° ⇒ 4q > 720°
⇒ 4q + 50° > 770° ∈ IVC
Clave B
⇒ 4q + 50° > 770° + 220°
770°
4q > 940
220°
5
q > 235° qmín = 236°
Clave C
180° < 265° < 270°
∴ 985 ∈ III C
1
a)
6
I y II
b) 200°
7 340°
IIIC
9
∴ qmáx = 352°
Clave A
1260° es cuadrantal
I y II
Clave C
∴ –259 ∈ IIC
1
x = – 2 ; y = 3
(– 2 ; 3 ) ⇒ r= 5
Clave C Clave C
P
y 3 = y r 5 x – 2 cosq = = r 5
∴ senq ⋅cosq =
–270° < –259° < –180°
CAP 07
ACTIVIDADES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
500° IIC
⇒ 330° < q < 352°30'
Clave C
IVC
8
c)
360° < q + 30° < 360° + 22°30'
985° = 2(360°) + 265°
TAREA
senq =
3 – 2 – 6 ⋅ = 5 5
5
Clave B Y x =7 (7;2) d y = 2
2
2
a) 450° = 90° ⇒ Es cuadrantal
b) 800° ≠ 90° ⇒ No es cuadrantal
c) 2340° = 90° ⇒ Es cuadrantal ∴ b) y c)
3
2q + 20° > 2(360°) + 180° ⇒ q > 440°
2q + 20° < 2(360°) + 270° ⇒ q < 485°
Luego: 440° < q < 485°
∴ q ∈ I y II
10
400° – x < 270° ⇒ 130° < x
∴ xmín = 131°
11
270° < 3q + 150° < 360°
90° < q + 50° < 120°
⇒ 140° < q + 100° < 170°
∴ (q + 100°) II C
Clave E
3 Clave B
12
465 < q < 510°
930° < 2q < 1020°
5q – 70° ∈ IV ⇒ 5q – 70° < 5(270°) + 90°
990° < 2q + 60° < 1080°
⇒ q – 14° < 270° + 18° ⇒ q < 302°
2(360°) + 270° < 2q + 60° < 2(360°) + 360°
∴ qmáx = 301°
∴ (2q + 60°) IV C
4
q ∈ IV ⇒ 270° < q < 360°
270° < 285° < 360° ∴ 285° ∈ IV C
Clave D
La figura III corresponde a un ángulo en posición normal
Clave C
3
2 ángulos no pertenecen al tercer cuadrante:
secq =
13
194° < q < 212° 970° < 5q < 1060°
1170° < 200° + 5q < 1260°
3(360°) + 90° < 200° + 5q < 3(360°) + 180°
(200° + 5q) ∈ II C
14
2(360°) + 180° < 3q + 95° < 2(360°) + 270° 805 < 3q < 895°
⇒ 268°20' < q < 298°20'
... (1)
q ∈ III C ⇒ 180° < q < 270°
... (2)
• 840° ∈ II C
• –460° ∈ III C
De (1) y (2): 268°20' < q < 270°
• –1130° ∈ IV C
• 5270° ∈ III C
∴ q = 269°
Clave C
4
5 x = y 2
5
r 3 = x – 5
senq =
y –2 = 3 r
3 2 –3– 3 – 5
Y
A 2 X (–3;–2) M y = –2 37° 4 y –2 2 2 ∴ tana = = = B x –3 3 3
x =–3 O
6
Clave A
x=– 5 y = –2 r=3
∴ E = –3 + 2 = –1
r 41 = x 5
⇒ E= 5
10
cotq =
y = –4 x=5 r = 41
4 y = 5 x
∴ seca =
4
Clave B
2
tana = –
Clave D
REFORZANDO 1
O (0;0) X ∴ cota = 7 2 d 7 (–7; –2)
x = –3 P(–3; –4) y = –4 b ∈ III C r=5 C=
5 –4 1 + =– –3 –3 3
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
7
1 y = ⇒ x=– 8 3 r y=–1 ; r=3
Como:
senq = –
Reemplazando: E = 2
E= 2
–5 1 –12 + 13 4 13
Q=–
13 = –1 13
4 –2 2
5
Y
A 1
O 45°
X
2
⇒ tana = ∴ tana =
B 2
y x –1 –2
⇒ cosa > sena • cosa > 0 + ⇒ sena – cosa < 0 0 > sena
• tana < 0
a ∈ IV C ⇒ E =
= +
x ∈ [90°; 135°] 2
10
x ∈ [180°; 270°] ⇒
⇒
M = (–)(–)
N = (+) + (+) ⇒ N = +
3 x ∈ [270°; 405°] ⇒ 2 x ∈ [360°; 540°] 2 ⇒ M=+
Y
3
• OP =
P
O
2 X
Y
1
O X
1
2
B2
x y
∴ tana =
1 2
Clave B
6
Y O
5 X
–4
7
Clave B d(A; B) = 13
3
2
⇒
⇒ (n – 3)2 + 25 = 169
⇒ (n – 3)2 = 144
ii) n – 3 = 12
8k
2
2 r = 1 x
2
3 +
• senq ⋅cosq =
seca = –
3 = 5 3 2 6 ⋅ = 5 5 5
⇒ tana =
Luego: E = 13
3
∴ tana = – 3
4 –4 41 • sena⋅seca = ⋅ =– 5 41 5
senq =
–3k –8k
3 –6k tana = 8
x = –12 12 x cota = = y = –5 (por Pitágoras) 5 y r = 13
–3 13
= –1
⇒ x = –3; y = 4; r = (–3)2 + 42 ⇒ r = 5 4 senq 1 5 E= = ∴E= 1 – cosq 2 –3 1– 5 tanb =
3 , b ∈ IIIC, r = 22 + 32 2
⇒ r = 13 ; x = –2 , y = –3
⇒ M=
13 13 1 – –3 13 –2
∴M=
–1 6
REFORZANDO
9
10 10
a + b = 90° ⇒ sena = cosb
3 r Se cumple: cscq = = 1 y
M=2
q r=3 ∈ y=1 x = –2 2 II
2 2 1 2 + 2 – ∴M=– 3 3 3
Clave C
Y
(7; 2)
(–7; –2)
tanq =
Clave E 5 ; q ∈ III C; x = –2 ; y = – 5 2 2
r = 22 + 5 ⇒ r = 3
E = 5cscq – 2secq
E= 5
3 3 –2 –2 – 5
∴E=0
Clave C
Clave B
10
y r tana = x 2 0(0; 0) X r ⇒ tana = 7
2
1 X senq = 10
3
+
A(–3; 4)
1
y Y senq = r 10 1
2 13
r=2 x = –1 y=+ 3
y 3 = x –1
∴ r=5 2
Clave C
Clave B
4
(3; 1)
Clave B
tana = –8k 3k
X
⇒ n = 15
∴ La suma es: –9 + 15 = 6
8
Radio vector OM:
Radio vector: r = 22 + (–3)2 ⇒ r = 13
4
i) n – 3 = –12 ⇒ n = –9
(n – 3)2 + (9 – 4)2 = 13
• OP = (5)2 + (–4)2 = 41
53°
M(5; 5)
E = 13 (cosq + senq); (x; y) = (2; –3)
B(n; 9)
Clave D
3k
⇒ x = 2; y = –3
A(3; 4)
P
O
(+)(+) (–)
Signo de E: E = E = (–)
9
(7; 9)
a
r ⇒ r = 52 + 52 a
Clave C
2
–1 tana = –2
CUADERNO DE TRABAJO 1
Clave D
• tana = 2
(–)
1
45°
1 2
• cosa < 1 ⇒ 1 – cosa > 0
(–)(+)
TAREA
Y
tana =
N(–2; –1) 1
9
Q=2
∴ E = –2
8
3 –1 – – 8 – 8
3
P(–3; –4) ⇒ x = –3; y = –4 ;
r = 32 + 42 ⇒ r = 5
C=
4
5 –3 – –4 –4
senq = –
∴ C = –2
Clave B
1 ; q ∈ III C; y = –1; r = 3; 3
32 = x2 + (–1)2 ⇒ x = –2 2
E=3 2
–2 2 –2 2 + 3 –1
∴E=8
Clave B
4
11
EDITORIAL INGENIO
5
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
Si tanq > 0 ⇒ tanq es (+), por lo tanto sólo podría estar en el I C ó III C. Como senq < 0 ⇒ senq es (–), por lo tanto sólo podría estar en el III C y IV C, luego como ambas condiciones sólo se cumplen en el III C, entonces q ∈ III C.
Clave C
6
•A=
•B=
=
(–) (+)(+)
(–)
(+)
=
(–)
(–)
(–)
cotq > 0 ⇒ q ∈ I; III (+)
∴ q ∈ III C
∆ ∆ M=3 + 11 –3 11
∴M=0
E = 65
4k
2 3tanq
Clave B 30° 2
–7k 4k
3
1
2
1
x –3 • cotq = = y 3
Clave A
2tanq–3
2
=
X
2
∴ cotq = – 3
x = 4; y = –3; r =
⇒ 6tanq = 2tanq – 3
+
(–3)2
⇒ r=5
5 –3 Luego: secq⋅tanq = 4 4 15 ∴ secq⋅tanq = – 16
15 senq
1 + senq senq + sen3q + sen5q + ... = –
2 3 1 • Operando: senq = – ∧ senq = 2 ∃ 2 y = –1 1 y r=2 senq = – = q ∈ IV C 2 r x=+ 3 –
42
Clave D
•M=
9
• cosq > 0 ⇒ q ∈ I; IV + ∴q∈IC • cotq > 0 ⇒ q ∈ I; III + Clave A
10
–1 2 + 3 M = –3 –1 3
1
Clave D
a + b = 600° ⇒ a – b = 360°n ∧ n ∈
n = 1 ; porque 450° < a < 550°
Sumando: 2a = 960°
2
Luego: 2 ≤ a ≤ 4
Reemplazando: p H = sen + cosp + tan2p 3 H = 1 + (–1) + 0 ∴H=0
2 3
9
X
3
3
4
y –3 3 tanq = = = x –6 6
1 ⇒ tanq = 2
37°
4
tana =
y 4 = x –7
4 tana = – 7
R = (2senq)(5cscq)
R = 10 senqcscq 1
10 cos(b + 2a) = 0
12
3
Clave D
4
H=
H=
∴ R = 10
⇒ 2a + b = 90°
6cosa + 10sen(90° – a) 3cosa – sen(90° – a) 6cosa + 10cosa 3cosa – cosa
=
16cosa
=8
2cosa
CUADERNO DE TRABAJO 1
III) 11250° 90° es cuadrantal –– 125
I, II y IV no son múltiplos de 90° ∴ Hay 3 ángulos no cuadrantales.
∴ cotg = 6
P= ∴P=
3(–1) + (1) (1) – 3(–1) (1 – –2
3)2
=
=
(1 – 3) (1 – 3) (1 + 3) (1 – 3)
1+3–2 3 = 3–2 –2
Clave C
T = 7(–1) + 5(–1) + 3(1)
H= H=
5
2
1 = tang 6
3
a2(1) – 2ab(1) + b2(1)
a2(1) + 4ab(0) – b2(1) (a – b)2 (a + b)(a – b)
∴H=
T = (5cosb – cosa) T=5
cosb cosa – cosa cosa
1 cosa ⇒ T = 5(1) – 1 = 4
Clave B
a–b a+b
a – b = 360°n; n ∈ ; a > b
4
P = 3(1) + 2(–1) –1 = 0
5
M=
Clave C
a + b = 1640°
2a = 1640° + 360°n ⇒ a = 820° + 180°n
X 4
Propiedad: RT(q) = RT(w)
T = –9
4
Clave C
12 Y
⇒ a = p
Clave D
Propiedad: tanφ = tang ⇒ 1 ⇒ = 6 tang
–3
2
a – 2 ≥ 0 ⇒ a ≥ 2
∴ a = 480°
Y
–6
2
8
2. 0 = 0 (V) 3. 1 > – 1 (V)
4–a≥0 ⇒ a≤4
Clave E
1. –1 < 0 (V)
R. T. DE ÁNGULOS COTERMINALES Y CUADRANTALES
csca > 0 ⇒ a ∈ I; IV a ∈ IV C (+) 5 3 –2 •M= + ⇒ M= 5 5 5
3
14senq tanq ∴ E = 7 2tanq senq
7
CAP 08
ACTIVIDADES
Se cumple: 2csca + 3 = 0 r=3 3 r y = –2 csca = – = 2 y x=+ 5
11
E=
Clave C
3 4
⇒ tanq = –
Clave A
q ∈ IV C 2
q y d son medidas de ángulos coterminales, entonces RT(q) = RT(d)
Y
E = 4 + 7 = 11
∴ a = 1360°
14
= (–)
–4
65k
Reemplazando: a = 820° + 180°(3)
= (+)
Reemplazando:
8
q ∈ II; III C
6
30°
7
(–)(–)(–)
r = 11 x = –3 y=∆
11 r 13 secq = – 3 = x (–)
1200° < 820° + 180°n < 1500°
19 < 9n < 34 ⇒ n = 3
(3(1) – (–1))2 42 = = 16 (2(–1) + (1))2 12
Clave E
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
6
(1) + 2(0) – (–1)(1) N= (–1)3 – 3(0) + (0)(1)
⇒ N = –2
Clave E
7
8
4
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales: 0 E = (– 1)1 – + (–1)0 = 0 1 Clave C
T=
T=
T=
a2sen90° + 2abcos180° – b2sen270°
a2(1)
+ 6ab(0) –
a2 – 2ab + b2
=
a2 – b2
9
Clave E
1
Sean los ángulos coterminales a y b.
(a – b)2 (a + b)(a – b)
=
a–b a+b
M = (–1)(1) + (–1)(1) M = –2
2
E=
b 3 a – b = 360°n , por condición: = a 5
Además: 4032° < a + b < 4608°
E=
3 De (2): b = a, reemplazando en (1): 5 3 a – a = 360°n ⇒ a = 900°n 5
E=
Reemplazando en (3):
3 4032° < 900°n + 900°n < 4608° 5
4032° < 1440°n < 4608°
2, ... < n < 3, ...
Como
∴ n=3
a = 900°n
⇒ a = 900°(3)
a = 2700°
3
(a + b)2(1) – (a – b)2(–1)2
4ab a
⇒ E = 4b
Clave D
Sean a y b los ángulos coterminales
Además: a – b = 5(360°), (304° < b < 430°)
Sumando: 2a = 4280°
∴ a = 2140°
4
P = 3secp – 2sen
5
E = (–1)4 – 0 + ND
E = 1 + ND = Indeterminado
6
1. sen90° > cos180° 1 0
... (V)
2. tan360° < csc270° 0 –1
... (F)
M = sec0° – cos270° = 1 – 0 = 1
N = O – (–1) = 1
∴E=
M–N 1–1 = =0 M+N 1+1
E = 0 – (+1)
∴ E = –1
11
senx < 0 (–)
⇒ x ∈ III; IV C
3tanx = –3 ⇒ x ∈ II; IV C (–) ∴ x ∈ IV C L=
Clave D
Clave D
4ab = –4 –ab
13 8k – 5k = 360°
Clave D
⇒ k = 120°
Piden: ∑ = 13k = 13(120°)
∴ ∑ = 1560°
14
Del gráfico:
tanqcotq + cosqsecq = 1 + 1 = 2 senqcscq 1
Clave E
E=
7
Clave B
15
A=
A=
E=
1 –1
1 2
–1
+ (–1)2
Clave B
Clave C
1. csc270° < csc90° ... (V) 1 –1 2. tan180° > sen270° ... (V) 0 –1 3. cot90° = cos90° ... (V) 0 0
Clave A
(a – b)(a2 + ab + b2) (a2 + ab + b2)
=
a3 – b3 a2
+ ab + b2
=a–b
Clave A
CAP 09
–senφ =1 –senφ
1
E=
2
T = 2cos180°⋅cotφ⋅tanφ 1
∴ E=3
– ab(–1) –
b2(–1)
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA
Clave D
⇒ B=1 ∴ E = –1
a3(1) – b3(1) a2(1)
ACTIVIDADES
... (V)
A = 1 + (–1) ⇒ A = 0 B=0+1
8 3
E = tan[0] – cos[0]
Clave E
E = csc4270° – tan180° + sec290°
3p + cos2p 2
∴P=0
M = 0 + 2 – ND = Indeterminado
2
E = tan[sen(0)] – cos[tan(0)]
Clave E
⇒ P = 3(–1) – 2(–1) + (1)
TAREA M = 3sen0°sec180° + 2csc90° – csc360° 0 1 ND
a
3. sen90° + cos90° = 1 0 1
1
a+b a–b
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.
12
(a + b)2 – (a – b)2
Clave A
a(1)2 – b(0)3 + c(0) a 10 E = = =1 a asec(0) 1 Clave A
∴ E=
10
a(1)4 – b(0)3
3 3 a ⇒ b = (2700°) 5 5 b = 1620° ∴ 2700° y 1620°
(a + b)(a – b)
Dato: a + b = 2480°, (2480° = 6(360°) + 320°)
b =
Clave B
⇒ a – b = n(360°)
(a + b)(a + b)
Clave C
b2(1)
REFORZANDO
a ∧ b son coterminales: E = (5sena)(csca) = 5
E=
a2(1) + 2ab(–1) – b2(–1)
sena = senb ∧ csca = cscb
9
a2cos0 + 6abtan360° – b2sec0°
⇒ T = 2(1)(1) = 2
3
1. (V)
4
H=
2. (F)
3. (F)
4. (V)
2sen36° 4cos24° 4tan72° + + sen36° –cos24° –tan72°
H = 2 – 4 – 4 = –6
5
R = 6csc37° + 4(–sen30°) – 3(–tan60°)
4
13
EDITORIAL INGENIO
II
5 1 R = 6× – 4 + 3 2
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
3⋅ 3
5
∴ R = 11
6 7
II
2sena 3cota + = –2 + 3 = 1 –sena cota
N=
6
9
P=
3(–1)tanq(–cosq) (–1)(–senq)
tanφ =
(–1)(–seng) seng
+
= tanq⋅cotq = 3 1
2
5
+
1 5
∴H=6
T=
T = tanq⋅cosq =
E=– 3 3– 2 2
E = –3 – 2 = –5
tan24° = –tan156°
tan72° = –tan108°
2
Reemplazando en P
P = –tan156° – tan108° + tan108° + tan156° + 0
P=0
Clave A
sen(A + B) = senC
tan(B + C) = –tanA
Reemplazando en Q:
Q = senC⋅cscC – (–tanA)cotA
E = (–cos60°)(–sen30°)tan45°
E= –
M=
∴ M = –tan45° = –1
M = 5(– sec45°)2 – 6(–cot60°)2 = 8
5
M = 3(+csc37°) – 3(–tan60°) + 2(–sen30°)
5
M=7
IV
sec150° = sec(90° – 60°) = –csc60° = – II
q = a + 180°
tanq = tan(180° + a) III
Clave E
TAREA
Reemplazando en M:
1
3 1 3 3 3 = = 2 3 2 3 2 – 3
Clave D
4
2
E = (+tan30°)(+cot60°)
1. (V)
Clave C
2. (V)
3. (V)
7
E = cot(270° – x) = tanx IIIC
8
E=
9
L=
4
Del gráfico
2 3 3
–
1. (F)
3
Clave E
Clave D
2. (V)
1 ∴E= 3
3. (V)
4. (F)
4. (F)
Clave B
Clave A
10
1 1 1 – (1) = 4 2 2
14
4
(–sen60°)(–sen30°)(–tan45°) sen60°sen30°
tan300° = tan(270° – 30°) = –cot30° = – 3
M=
Clave D
tanq = + tana = 3/4
E = 2 (1) = 2
6
E = (–sec 45°)(–cot45°)
Clave D
180°
3
IV
Reemplazando en E:
Clave E
1
Q=1+1=2
3 2
N = –tan60° – (–cot45°) = 1 – 3
Propiedad: Si a + b = 180°
Clave B
sen(360° – 60°) = –sen60° = –
Como A + B + C = 180°
M = sen[–(180° – x)]⋅csc(360° – x)
4
1
Clave D
9
M=1
sen6a ⋅cot3b⋅tan3b + csc30° = 3 sen6a
REFORZANDO
Clave E
M = –(+senx)(–cscx)
3
II
E=
Si: a + b = 180° ⇒ tana = – tanb
1
M = –sen(180° – x)⋅csc(360° – x)
Propiedad:
E = 3(–tan60°) – 2(+sec45°)
• 6a + 6b = 180° ⇒ sen6a = sen6b • 3a + 3b = 90° ⇒ tan3a = cot3b
⇒ sena = senb ⇒ tana = –tanb
senq ⋅cosq cosq
CUADERNO DE TRABAJO
2
L = –senxcosx + senxcosx = 0
8
∴ T = senq
1
senq tanq cosq ⋅ ⋅ tanq –cotq –senq
10
L = (+cosx)(–senx) + (–senx)(–cosx)
2
4
II
II
7
cosg cosg
Luego: H = 2 5
1
p p L = sen + x sen(p + x) + cos + x cos(p – x) 2 2 III
E = sen35° + sen35° –tan35° – tan35° E = – sen35° ⇒ E = – sen35° a tan35°
Clave A
2 tanφ = 1 + 1 ⇒ tanφ = 2 = 1 5
+senx cotx – ⇒ E = – 1 – 1 = –2 –senx cotx
II
3
I
Clave D
1 1 S = 8 – (–1) – (–1)(1) = 2 2 2
8
E=
S = 8(–cos60°)(–1)(–sen30°)(–1)cot45°
I
sen(180° – x) tan(90° – x) E= – cos(90° + x) cot(360° + x)
10
R=
+cosx –cosx + =2 +cosx –cosx
(+tanx)(–cosx) –senx
=1
+cosx –tanx – = –2 –cosx –tanx
11
E = csc[–(270° – q)]
E = –csc(270° – q)
E = –[–secq] = secq
12
L = (–sen37°)(+cos60°)
L= –
3 1 = –0,3 5 2
Clave C
Clave E
Clave A
Clave A
Clave E
Clave C
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
(tan45°)(–1)
1 = =1 13 S = (1)(–cot45°) 1
Luego: 2S = 2
14
R = 2sen45° + 3tan60°
R= 2
Clave C
E = sen60°⋅csc60° – 2tan45(–sen30°) E = 1 – 2(1) –
1 2
⇒ E=2
9
N = –1 + (–1) –sen(p – φ) – cos
10
Luego: E2 = 4
R=
Clave B
E=
(+senA)⋅(+tanA)⋅(+cosA) (+tanA)⋅(–cotA)⋅(–senA)
p –φ 2
CUADERNO DE TRABAJO 750° 360° 720° 2 30°
1
CAP 10
⇒
1
E = –tan(90° + 50°)tan50°
E = –(–cot50°)tan50°
E = tan50°⋅cot50° 1
2
3
3660° 360° 60° 10
1470° 360° 30° 4
420° 360° 60° 1
3cos60°(1)sen60° 2sen30°
4
5
H = 1 + 1
6
–senq + cosq P= =1 –senq + cosq
7
T = 20(–sen53°)cos60° T = 20 –
8
4 5
1 2
4005 360 360 11 405 360 45
4
5
E=
sen(360° – 45°) = –tan45° = –1 cos(1080° – 45°)
TAREA E = cos(360° + 160°)⋅sec(720° + 160°) ∴E=1
E = (cos160°)(sec160°)
2
E=
0+1 tan180° + sec0° = –sen270° – cot270° –(–1)–0
∴E=1
3 2
Clave D
⇒
cos4005 = cos45° ∴ cos4005 =
a) cos(–40°) = cos40°
b) sec(–280°) = sec280° = sec(360° – 80°)
∴ sec(–280°) = sec80°
2 2
4
Clave C
a) sen(–2140°)
= –sen2140° = –sen[5(360°) + 340°] = –sen340°
⇒ E = sen50°⋅ csc50° = 1
b) cot(–1140°) = cot1140° = –cot(3(360°) + 60°) = –cot60°
Clave B
M = sen20° – cos70°
REFORZANDO Clave A
2 2 • cot(–150°) = –cot(90° + 60°)
1
2
= (–tan60°) = 3 6 2 ⋅ 3= 2 2
E=
(–1)(–1) + cos90° cos0°⋅cot270° + sen270°
= –1
Clave B
• cos(–45°) = cos45° =
⇒ M=
R = – 2(–sen45°) – 3(–tan60°)
10
Clave C
= –sen(360° – 20°) = –(–sen20°) = sen20° 1490° 360° 1440° 4 50°
R = – 2sen225° – 3tan120°
(tanx)(–cotx)(–cotx) =1 cotx
M = sen20° – sen20°
6
∴ T = –8
R=
∴M=0
∴H=2
1
–cos30° = –
senq cosq + senq cosq
• cot(1440° + x) = cot(x)
Clave C
1230° 360° 150° 3
3
Q = 5cos(2(360°) + 53°) – 2cos(3(360°) + 120°)
H=
3
3 3 = 2 2
Q = 5cos53° – 2cos120° 3 1 Q=5 –2 – =4 5 2
• tan(x – 270°) = –tan(270° – x) = –(+cot(x)) = –cot(x)
cos1230° = cos150° = cos(180° – 30°) II II
∴H=2
1230° = 3⋅360° + 150°
3 3 ∴S= 4
H = 2sen(360° + 30°)(1)csc(2(360°) + 30°)
⇒S=
2
∴E=1
H = 2 sen30°⋅csc30° 1
• tan(x – 90°) = –tan(90° – x) = –cotx
Clave C
E = tan(360° + 140°)tan(180° + 50°)(–1) E = –tan140°tan50°
tan750° = tan30° 3 ∴ tan750° = 3
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA
9 • tan(x – 180°) = –tan(180° – x) = –(–tanx) = tanx
–senφ(1)
= senA
Clave A
ACTIVIDADES
∴ N = –2
senφ + senφ 2senφ R= = =2 senφ senφ
15
∴R=4
–senφ cosφ N= + senφ –cosφ
1
2 + 3( 3) 2
P=
sen(180° – 40°) + sen(180° + 40°) + 1 sec(180° – 40°) – sec(180° + 40°) – 1
∴ P = –1
Clave B
Clave C
7
L=
cos(x) =1 cos(–x)
8
E=
–cosx –senx + ⇒ E = –1 + 1 = 0 –senx cosx
3
Clave B
Clave B
tanq = cos2 8p + 5
p p 3 + sen2 6p + = 3 4 4
3
∴ cosq =
4
4 5
Clave A
4
15
EDITORIAL INGENIO
4
E=
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
sen2p + sen0 – cosp 0 + 0 – (–1) = =1 tan0 – cosp 0 – (–1)
13
+ tan2(180° – 60°)
∴E=4
6
L=
cos(x) cos(x)
∴L=1
Q =4cos0°+ 3tan 32p + Q = 4 + 3⋅ 3 – 4 3
Clave A
8
p sen + q tan(p + q) 2 M= + p cos(p + q) cot + q 2 M = –2
p p – 4 3sen 42p + 3 3
Q = 4 + 3⋅ 3 – 4 3
3 2
R=
∴ R = 1
1
Clave D
Y
156°
∴L= –
10
1 2
0° X 360°
2
M = –cosx + cosx – senx ∴ M = –senx
E = cos210°cos150° + (–sen60°)cos30°
E = (–cos30°)(–cos30°) – sen60°cos30°
E = cos230° – cos230°
∴E=0
Clave A
1,57
2. (V)
3. (V)
9
1. (F)
2. (V)
3. (V)
10
q ∈ II C
⇒ 0 < senq < 1
X
0 < 5senq < 5 –2 < 5senq – 2 < 3
1
4
–1 ≤ senq ≤ 1 –2 ≤ 2senq ≤ 2 –1 ≤ E ≤3
∴ E ∈ [–1; 3]
Clave E
–1 < senq < 0
–3 < 3senq < 0
–5
senb
∴ FVF
X
–150° –100°
1. (V)
2. (V)
–20° –40°
3. (V)
Clave A
EDITORIAL INGENIO
SOLUCIONARIO - TRIGONOMETRÍA 4°
5
9
Y
100°
0 < 2sena < 2
X 200° 250°
10
–50° –60°
2. (F)
Clave E
Y
1 < senq ≤ 1 2
1 < 2senq ≤ 2
1 2
–2