Sisteme Liniare Foarte Bun [PDF]

Zitiervorschau

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 1. Dacă numărul de ecuaţii = numărul de necunoscute = rang A = n , adică det A  0 (unde A = matricea sistemului) ( exemplu: sistem cu 3 ecuaţii, 3 necunoscute şi rang A = 3), atunci sistemul este compatibil determinat, soluţia sistemului este unică şi pentru rezolvarea sa se aplică REGULA LUI CRAMER, iar soluţiile sale sunt date de FORMULELE LUI

dxn dx1 dx2 , x2  , ……, x n  , unde dx1 , dx2 ,… , dxn se obţin din determinantul det A prin det A det A det A înlocuirea coloanei corespunzătoare lui x1 , x 2 ,..., x n cu coloana termenilor liberi. CRAMER : x1 

2. În studiul compatibilităţii unui sistem OARECARE de ecuaţii liniare se folosesc următoarele 2 teoreme: TEOREMA LUI KRONECKER–CAPELLI: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil dacă şi numai dacă rangA  rang A ( unde A = matricea sistemului, iar

A = matricea extinsă a sistemului). TEOREMA LUI ROUCHE : Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil dacă şi numai dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli. 3. Daca rangA  r  n , unde n este numărul de necunoscute şi sistemul este compatibil, vom avea r necunoscute principale şi (n  r ) necunoscute secundare. Necunoscutele secundare le vom nota cu  ,  , u, t , ……, iar necunoscutele principale se vor exprima în funcţie de necunoscutele secundare. Un sistem compatibil cu → 1 necunoscută secundară se numeşte compatibil simplu nedeteminat, → 2 necunoscute secundare se numeşte compatibil dublu nedeterminat, → 3 necunoscute secundare se numeşte compatibil triplu nedeterminat, ş.a.m.d. Un sistem compatibil cu una sau mai multe necunoscute secundare are o infinitate de soluţii. 4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUAŢII LINIARE OARECARE I) Studiem dacă sistemul este compatibil: scriem matricea A a sistemului şi calculăm rang A , aflând astfel şi minorul principal (determinantul principal). II) Prin bordarea minorului principal cu una dintre liniile rămase şi cu coloana termenilor liberi, obţinem minorul caracteristic sau minorii caracteristici. Calculăm minorul (minorii) caracteristic ( caracteristici) şi obţinem următoarele 2 situaţii, conform TEOREMEI LUI ROUCHE: 1) Dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil şi continuăm rezolvarea. 2) Dacă există un minor caracteristic nenul, atunci sistemul este incompatibil, iar soluţia este  . III) Dacă sistemul este compatibil, procedăm astfel: 1) Selectăm dintre ecuaţiile sistemului acele ecuaţii care «se sprijină« pe minorul principal. În aceste ecuaţii, păstrăm în membrul stâng necunoscutele principale şi trecem în membrul drept necunoscutele secundare, pe care le-am notat anterior cu  ,  , u, t , … 2) Rezolvăm sistemul astfel obţinut cu REGULA LUI CRAMER sau cu metodele învăţate anterior. 5. SISTEME DE ECUAŢII OMOGENE Forma generală a unui sistem liniar omogen cu m ecuaţii şi n necunoscute este:

 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  0  a x  a x  ...  a x  0  22 2 2n n - observăm că într–un sistem liniar omogen, toţi termenii liberi sunt 0 . ( S ) :  21 1 .......... .......... .......... .....  a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  0 Un sistem liniar omogen este întotdeauna compatibil, el având mereu soluţia x1  0, x 2  0,..., x n  0 , numită soluţia nulă ( banală sau trivială ). Dacă presupunem m  n , atunci:  sistemul omogen este compatibil determinat ( are solutie unică) dacă şi numai dacă det A  0 .  sistemul omogen este compatibil nedeterminat ( are o infinitate de soluţii) dacă şi numai dacă det A  0 .