Siruri in Spatii Metrice PDF [PDF]

Zitiervorschau

3. Siruri in spatii metrice 3.1. Siruri in spatii metrice Spatiile metrice constituie cadrul firesc pentru studiul convergentei sirurilor. Astfel, in spatiul metric (X, d) spunem ca sirul (xn )n este convergent, daca exista un punct x ∈ X, astfel incat sirul de numere reale (d(xn , x))n sa fie convergent la zero, adica: ∀ ε > 0 ∃ n 0 ∈N, astfel incat ∀ n ≥ n 0 sa avem d (xn , x) < ε . Daca sirul (xn )n converge catre limita x, scriem xn → x sau lim xn = x. Un sir convergent in (X, d) are inX

n→∞

limita unica. Un sir din spatiul metric (X, d) se numeste marginit daca toti termenii sai sunt continuti intr-o bila deschisa din X. Fie (xn )n un sir in X. Fixand un sir crescator de numere naturale k 0 < k 1 0 ∃ n 0 ∈ N, astfel incat ∀ m, n ∈ N cu m, n ≥ n 0 , sa avem d(xm ,xn ) < ε , adica, de la un anumit rang in sus, orice doi termeni sunt suficient de ”apropiati” , in sensul distantei d. Sa observam ca in definitia sirului Cauchy nu intervin decat termenii sirului, spre deosebire de sirul convergent unde intervine un “nou” element -limita. Propozitia 3.1.4. Fie (X, d) un spatiu metric. Atunci: a) Orice sir convergent din X este sir Cauchy.

b) Orice sir Cauchy din X este marginit. c) Un sir aceeasi limita.

Cauchy

ce

contine

un

subsir

convergent

este

convergent,

avand

Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊂ X. Punctul x0 ∈ X (ce poate sa apartina sau nu lui A) se numeste punct de acumulare al multimii A, daca pentru oricare V ∈ V(x0 ) avem (V \ {x0 }) ∩ A ≠ φ si va fi notat x0 ∈ A’. Daca exista o vecinatate V ∈ V(x0 ) astfel incat V \ {x0 }) ∩ A = φ , atunci x0 este punct izolat al multimii A. Multimea punctelor de acumulare ale multimii A se numeste multime derivata si se noteaza A′ . Trebuie remarcat ca doar multimile infinite au puncte de acumulare. In continuare, vom da o caracterizare cu ajutorul sirurilor a punctului de acumulare: Propozitia 3.1.5. Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊂ X. Punctul x0 ∈ X este punct de acumulare al multimii A daca si numai daca exista un sir (xn )n ⊂ A, xn ≠ x0 ,∀n ∈N , convergent la x0 . Vom introduce o clasa deosebit de importanta de spatii metrice si anume spatiile metrice complete. Numim spatiu metric complet un spatiu metric in care orice sir Cauchy este convergent. Pentru a argumenta afirmatia “R este spatiu metric complet” este necesara prezentarea unor rezultate preliminare, cu adevarat importante. Teorema 3.1.1. (Bolzano-Weierstrass) Orice multime de numere reale marginita si infinita are cel putin un punct de acumulare. Lema 3.1.1. (Lema lui Cesaro) Orice sir marginit de numere reale contine un subsir convergent. Teorema 3.1.2. (criteriul de convergenta al lui Cauchy) In R orice sir Cauchy este convergent. Demonstratie. Un sir Cauchy fiind marginit, conform lemei lui Cesaro, va contine un subsir convergent si astfel sirul initial va fi convergent. Sa consideram acum spatiul Rp , p > 1, cu metrica euclidiana. Un sir (xn )n ⊂ Rp , 1 2 p xn = xn , xn ,..., xn este marginit, respectiv Cauchy, respectiv convergent, daca cele p siruri

(

componente

) (x ) ,(x ) 1 n n

,..., ( xnp ) n ale sale sunt marginite, respectiv Cauchy sau convergente,

2 n n

demonstratia acestor afirmatii bazandu-se pe inegalitatile: p

xi − yi ≤

∑ (x k − y k ) k =1

2

p

≤ ∑ xk − y k , xi , yi ∈ R , 1 ≤ i ≤ p, k =1

Astfel in Rp , limita unui sir (convergent) se calculeaza pe componente. exemplu:Fie sirul din R3 , xn = ( n n ,

1 sin2 n , n ( n e − 1)) . Rezulta ca sirul va avea limita n

lim xn = (1, 0, 1). n→∞

Asadar, studiul unui sir de puncte din Rp se reduce la studiul a p siruri de numere reale. Fiind dat (xn )n un sir Cauchy in Rp , cele p siruri componente sunt siruri Cauchy in R, deci convergente, rezultand astfel convergenta sirului (xn )n si astfel putem afirma ca Rp este un spatiu complet. Un spatiu liniar normat care este un spatiu metric complet se numeste spatiu Banach. Vom prezenta proprietati specifice sirurilor de numere reale, rezultate din axioma marginii superioare: Propozitia 3.1.6. (trecerea la limita in inegalitati) Daca sirurile de numere reale (xn )n si (yn )n sunt convergente, xn → x, yn → y si, in plus, xn < yn , ∀n ∈N, atunci x ≤ y. inR

inR

Teorema 3.1.3. Daca (xn )n ⊂ R este un sir monoton crescator (i.e. xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N) si marginit superior (i.e. ∃ M ∈ R, astfel incat ∀n ∈ N xn ≤ M ), atunci sirul (xn )n este convergent si limita sa este sup{xn , n∈N}. Sa remarcam ca un rezultat analog se obtine pentru sirurile de numere reale descrescatoare si marginite inferior si sa retinem ca afirmatia nu este adevarata pentru sirurile de numere rationale, in general. De exemplu, sirul :1, 1.4, 1.41, 1.414,…. este monoton crescator, marginit superior, dar nu este convergent in Q deoarece lim xn = 2 ∉ Q. n→∞

In finalul acestui paragraf reamintim ca in capitolul introductiv am definit sirul de functii ca fiind o aplicatie f: N → Hom(A, X1 ), unde A ⊂ X, si (X, d) si (X1 , d 1 ) sunt doua spatii metrice.. Notatia

consacrata pentru termenul general este f(n) = fn , unde fn : A → X1 , iar pentru sirul de functii este ( fn )n . Fixand x0 ∈A, obtinem (fn (x0 ))n un sir de puncte din X1 Spunem ca (fn )n este convergent in x0 daca sirul (fn (x0 ))n este convergent in X1 . Multimea punctelor x∈A, pentru care sirul (fn (x))n este convergent se numeste multime de convergenta; daca (fn )n este convergent pe A1 ⊂ A, atunci putem defini pe A1 o functie, numita functia limita, data de x0 a f ( x0 ) , unde f ( x0 ) este limita sirului (fn (x0 ))n . Tipul de convergenta definit mai sus se numeste convergenta punctuala si vom spune ca (fn )n converge punctual la f pe A1 daca: ∀x∈A1 , ∀ ε > 0 , ∃ n 0 (x, ε ) astfel incat ∀ n ≥ n 0 , avem |fn (x) - f (x)| < ε .. Trebuie sa retinem ca rangul n 0 depinde atat de ε cat si de x. Cazul in care n 0 depinde doar de ε , caz in care sirul (fn (x))n converge “la fel de repede” pentru toti x∈A1 , este cazul convergentei uniforme. Astfel, sirul ( fn )n converge uniform la f pe A1 , daca: ∀ ε > 0 ∃ n 0 ( ε ), astfel incat ∀ n ≥ n 0 , avem | fn ( x) − f ( x) | < ε , ∀x ∈ A1 . p

u

Convergenta punctuala se noteaza fn → f , iar cea uniforma fn → f . Convergenta uniforma este o u

notiune globala, avand multe aplicatii (e.g. in aproximatii, daca fn → f , functia f este aproximata de sirul ( fn )n ). exemplu: Fie fn : [0,1] → R, fn ( x) = x n ,

n∈N; sirul (fn )n converge punctual catre functia

 0, x ∈ (0,1] f : [0,1] → R, f ( x ) =  dar nu converge uniform catre f : [0,1) → R deoarece presupunand x =1 1,

contrariul si luand ε > 0 , exista n 0 ( ε ), astfel incat ∀ n ≥ n 0 , avem x n < ε , ∀x ∈[0, 1), inegalitate din 1 1 ln ln ε care rezulta ca n > , ∀x ∈[0,1), adica, n > sup ε = +∞ si n 0 ( ε ) = + ∞ . O multime de 1 1 [0,1) ln ln x x convergenta uniforma este [0,α) unde α∈ (0, 1). In acest caz obtinem:  1  ln  ∀ ε > 0 ∃ n 0 ( ε ) =  ε  + 1, astfel incat ∀ n ≥ n 0 , avem: x n < ε ,∀x∈[0,α).  ln 1   α  Prezentam acum urmatorul criteriu de convergenta uniforma: Propozitia 3.1.7 (criteriul lui Cauchy) Considerand (X, d) un spatiu metric si (X1 , d 1 ) un spatiu metric complet, sirul (fn )n este uniform convergent pe multimea de convergenta A1 daca si numai daca: ∀ ε > 0 ∃ n 0 ( ε ), astfel incat ∀ n, m ≥ n 0 avem d1 ( fn (x), f m (x) ) < ε , ∀x∈A1 .

Probleme. 1. Argumentati convergenta sirurilor urmatoare cu ajutorul definitiei. 2n + 1 sinθ n 1 1 a) lim = 2 ; b) lim = 0 ; c) lim( , 2 ) = (0,0) . n→∞ n + 2 n→∞ n→∞ n n n . 2. Aratati ca urmatoarele siruri sunt siruri Cauchy: 1 n n n arctg k 1 sin k ! 2 . a) a n = ∑ 2 ; b) bn = ∑ ; c) cn = ∑ k! 2k k =1 k k =1 k= 1 R. In aplicatii folosim o alta varianta a definitiei sirului Cauchy, si anume: (xn )n ⊂ R este sir Cauchy daca : ∀ ε > 0 ∃ n 0 ∈ N, astfel incat ∀ n ≥ n 0 si ∀p N avem | xn + p − xn | < ε .

a) Vom evalua:

an + p − an =

n+ p

n+ p 1 1 1 1 1 1 < = − < . Deoarece lim = 0, ∑ ∑ 2 n →∞ n +1 n + p + 1 n + 1 n +1 k = n+1 k k = n +1 k ( k + 1)

avem: ∀ ε > 0 ∃ n 0 ∈ N, astfel incat ∀ n

≥

n 0 si ∀p ∈ N an + p − an < ε .

In general, problema este rezolvata daca reusim majorarea lui an + p − an cu un sir care sa nu depinda de p, convergent la 0, sau cum se mai spune daca a n + p − a n → 0 , uniform in raport cu p. n →∞

3. Intr-un spatiu normat (E, . ) sirul (xn )n este sir Cauchy. Aratati ca sirul ( xn )n este convergent. R. Sirul ( xn )n este un sir de numere reale pozitive, asadar este suficient sa aratam ca este sir Cauchy, bazandu-ne pe inegalitatea: xn − xm < xn − xm . 4. Sa se determine A 'i , 1 ≤ i ≤ 5, unde: A1 = {1, 2, 3}, A2 = (1, 3], A3 = Q, A4 = (0, 1) \ Q, A5 = {

1 , n ∈N}. 2n

R. A 1' = φ , A '2 = [1, 3], A '3 = R, A '4 = [0, 1], A '5 = {0}. 5. Sa se calculeze limitele urmatoarelor siruri din R3 :

[ na] , 1 a) xn = ( n , sin2 n , n ( n e − 1)) ; b) yn = ( n n n

n

1  12 , 1 +  ) , n ∈N. ∑ n k =1 k 

n

n

1 π  λ 6. Fie xn = ( 1 +  , n n, sin ) , n∈N. Sa se determine parametrul real n n  n 3 xn sa fie la distanta minima in R de punctul (1, e −λ , π ).

λ astfel incat limita sirului

7. Folosind trecerea la limita in inegalitati, aratati ca: a) lim

[ n.a] = a,

b) lim

[ a] +  32 a + ... +  (2n − 1) 2 a

n→∞

n

∀a ∈ R ;

n→∞

n

3

=

4a , a∈R 3

n

 1 8. Aratati ca sirul xn =  1 +  este monoton si marginit.  n n

 1 R. Folosim inegalitatea mediilor: n+1  1 +  ≤  n

 1 1 + n 1 +  1  n =1+ , rezultand astfel ca (xn )n este n +1 n +1

n 1 n 1 n ( n − 1) 1 n ( n − 1)...[ n − ( n − 1)]  1 xn =  1 +  =1+ ⋅ + +…+ ==1 + 1 + 2 1! n 2! n n! nn  n 1  1 1  1   n −1  1 1 1 1 1 1 1 −  +…+  1 −  ... 1 − ≤1+1+ + + ...+ ≤ 1 + 1 + + 2 + …. + n−1 ≤ 3.   2!  n  n!  n  n  2 2 2 2! 3! n!

crescator. Sa evaluam:

Remarca. Aplicand inegalitatea mediilor, i.e. media armonica este mai mica sau egala cu media n +1

 1 geometrica, putem demonstra ca sirul xn =  1 +  este descrescator si convergent la e (constanta  n Euler) si obtinem astfel, folosind si rezultatul din exercitiul 11, o inegalitate deosebit de utila:

n

 1  1+  < e <  n

 1  1+   n

n +1

, ∀ n ∈ N.

3.2. Topologia spatiilor metrice Ne vom ocupa acum de clase remarcabile de submultimi ale unui spatiu metric, introducand conceptele topologice cu ajutorul bilelor deschise. Am definit notiunea de vecinatate a unui punct. Intr-un spatiu metric (X, d) o submultime D ⊂ X se numeste deschisa daca pentru orice a ∈ D exista r > 0 astfel incat B (a, r) ⊂ D. O submultime F ⊂ X se numeste inchisa daca X \ F este deschisa. Notam cu D familia multimilor deschise din X, D numindu-se topologia asociata metricii d. exemplu: Intr-un spatiu metric (X, d) bila deschisa este multime deschisa. Intr-adevar, fie B (x0 , r) ⊂ X si y ∈ B (x0 , r). Considerand 0 < r1 < r - d(x0 , y), avem: B(y, r1 ) ⊂ B(x0 , r). Teorema 3.2.1. Fie (X, d) un spatiu metric. Familia multimilor deschise D are urmatoarele proprietati: (D1 ) φ , X ∈ D ; (D2 ) Reuniunea arbitrara de multimi deschise este deschisa; (D3 ) Intersectia finita de multimi deschise este deschisa. Multimile deschise din R sunt caracterizate de urmatorul rezultat: „o multime D ⊂ R este o multime deschisa daca si numai daca exista o familie cel mult numarabila ( J i )i∈I de intervale deschise, disjuncte doua cate doua, astfel incat D = U J i ” i∈I

Alte notiuni topologice importante sunt cele care urmeaza. Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊂ X. Atunci: q interiorul multimii A este multimea: 0

int A = A = {x ∈ X | ∃ r >0, astfel incat B(x, r) ⊂ A} q aderenta multimii A este multimea: A = ( x ∈ X ; ∀r > 0 B( x, r) ∩ A ≠ φ} . q

frontiera multimii A este multimea Fr A = A \ int A.

exemple: 1. Fie X = R si A1 = [1, 3), A2 = (0, 1) ∩ Q. Atunci : int A1 = (1, 3), A1 = [1, 3], Fr A1 = {1, 3}, int A2 = φ , A2 = [0, 1], Fr A2 = [0, 1]. 2. Fie X = R2 si A = B (θ, r ) = {(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 < r2 }. Rezulta ca: int A = B (θ, r ) , A = B (θ , r) , Fr A = {( x , y ) ∈ R2 ; x2 + y2 = r2 }. Se demonstreaza ca interiorul unei multimi A este cea mai mare multime deschisa inclusa in A (relativ la ordinea definita de incluziune), adica: int A = U {D, D ∈ D}, respectiv ca aderenta unei multimi A D⊂ A

este cea mai mica multime inchisa ce include pe A si anume,

A=

I {F , F ∈ F}.

A⊂ F

Remarcam ca interiorul unei multimi este o multime deschisa, aderenta si frontiera fiind multimi inchise. Se poate usor arata ca intr-un spatiu metric (X, d) o multime A ⊂ X este deschisa daca si numai daca A = int A, respectiv, A este inchisa daca si numai daca A = A . Multimile inchise pot fi caracterizate cu ajutorul sirurilor, dupa cum urmeaza. Considerand A o multime inchisa si sirul (xn )n ⊂ A, cu xn → x , avem x∈ A si din A = A obtinem x ∈ A . Reciproc, daca inX

limita unui sir convergent din A apartine lui A, rezulta A ⊂ A si astfel A ∈ F deducand rezultatul ca multimea A este inchisa daca si numai daca limita oricarui sir convergent din A apartine lui A. Intr-un spatiu metric (X, d) o multime A ⊂ X se numeste densa (in X) daca A = X. Bazandu-ne pe afirmatia precedenta, observam ca multimea A ⊂ X este densa in X daca si numai daca orice punct din X este limita unui sir convergent din A. exemplu: Q este densa in R.

Daca A ⊂ X, unde (X, d) este un spatiu metric, atunci restrictia metricii d la A × A este o metrica pe A, numita metrica indusa pe A si notata d A . Spatiul (A, d A ) este un subspatiu (metric) al spatiului (X, d) . Sa prezentam in continuare doua rezultate importante ce permit a da, imediat, exemple de spatii metrice complete. Propozitia 3.2.1. Fie (X, d) un spatiu metric. Daca subspatiul (A, dA ) este complet, atunci A este inchisa in X. Propozitia 3.2.2. Intr-un spatiu metric complet orice subspatiu inchis A este un subspatiu metric complet. exemplu: Fie X = R si distanta d(x, y) = x − y . (X, d) fiind complet, subspatiul (- ∞ , a] (sau [a, b], sau [a, ∞ )) cu metrica

d ( −∞ , a ] (sau d [ a ,b ] , sau d [ a , ∞ ) ) este complet, in schimb subspatiul

(- ∞ , a) (sau (a, b), sau (a, ∞ )) cu metrica

d ( −∞ , a ) (sau d ( a ,b ) , sau d (a ,∞ ) ) nu este complet.

Sa studiem acum o alta notiune importanta si anume notiunea de compactitate. O submultime K ⊂ X a unui spatiu metric (X, d) se numeste compacta daca verifica urmatoarea conditie (axioma Borel-Lebesgue): „din orice acoperire deschisa ( Dλ )λ∈I a lui K se poate extrage o subacoperire finita ( Dλ )λ∈H⊂ I (H-finita)”. Merita retinut urmatorul rezultat: „intr-un spatiu metric (X, d) multimea K este compacta daca si numai daca orice sir din K contine un subsir convergent.” Propozitia 3.2.3. Intr-un spatiu metric, orice multime compacta este inchisa si marginita. O submultime inchisa a unei multimi compacte este compacta, demo nstratia acestei afirmatii fiind lasata ca exercitiu cititorului. Propozitia 3.2.4. Produsul cartezian a doua multimi compacte este o multime compacta Propozitia 3.2.5. O submultime K ⊂ Rn este compacta daca si numai daca este marginita si inchisa.. O alta notiune topologica importanta este cea de multime conexa . Intr-un un spatiu metric (X, d) multimea A ⊂ X este conexa daca nu exista doua multimi deschise U, V ⊂ X nevide, disjuncte, cu proprietatle: A ∩U ≠φ , A ∩ V ≠ φ , A ⊂ U ∪ V . exemplu. Multimea Q a numerelor rationale nu este conexa, deoarece exista multimile deschise, disjuncte, U = (- ∞, α) si V = (α, + ∞), unde α este numar irational, astfel incat U ∩ Q ≠ φ , V ∩ Q ≠ φ , Q ⊂ U ∪V. Multimile conexe din R sunt usor identificabile, dupa cum urmeaza. Propozitia 3.2.6. A ⊂ R este conexa daca si numai daca x, y ∈ A si x < z < y implica z ∈ A, adica A este interval. In finalul acestui paragraf consideram necesar sa ne oprim atentia asupra multimilor convexe ale unui spatiu vectorial, multimi deosebit de importante in matematica aplicata. In E, spatiu vectorial real, o multime C ⊂ E este convexa daca oricare ar fi x, y∈ C si λ ∈ [0, 1], avem n

λ x + (1 - λ ) y ∈ C . Vom spune ca x = ∑ λi xi este o combinatie convexa a elementelor xi ∈ E, daca i =1

λi ≥ 0, 1≤ i ≤ n si

n

∑ λ = 1. Prin conventie multimea vida este convexa. i

i =1

Prezentam cateva proprietati elementare ale multimilor convexe, ale caror demonstratii, fiind simple, le lasam ca exercitiu. ü Multimea C ⊂ E este convexa daca si numai daca orice combinatie convexa a elementelor xi ∈ C, apartine lui C. ü Intersectia arbitrara de multimi convexe este multime convexa. Daca (E,

) este un spatiu vectorial normat, bilele deschise si inchise sunt multimi convexe. Tinand

seama ca intersectia arbitrara de multimi convexe este multime convexa putem defini cea mai mica multime convexa ce contine o multime data in A ⊂ E, astfel: „intersectia tuturor multimilor convexe ce includ multimea A (adica cea mai mica multime convexa, in raport cu incluziunea, ce contine A) se numeste acoperirea convexa a multimii A si se noteaza co(A); Propozitia 3.2.7. Fie (E,

. ) un spatiu normat si A ⊂ E. Atunci acoperirea convexa co(A) a multimii A n

este multimea tuturor combinatiilor convexe

∑λx

i i

i =1

lui A)

ale elementelor xi ∈ A (adica acoperirea liniara a

Probleme 1 Sa se determine A 'i , int Ai , Ai , Fr Ai in R, daca : A1 = {1, 2, 3};

A2 =[1, 2) ∪ [3, 4] ∪ (5, 6) ;

1 ; n∈N* } 2n R. Se foloseste formula: A = A ∪ A ' . A3 = Q; A4 = {

2. Care din urmatoarele multimi este compacta? Dar conexa? A1 = [0,1); A2 = {1,2}; A3 = [0,1] ∪ {2}; A4 = [0,1] ∩ Q; A5 = [0,1] ∪{2 − n; n ∈N}.