Sıfırdan Sonsuza Matematik 9786058309302 [PDF]
136 2 24MB
Turkish Pages [408]
MATEMATİK 3. BASKI İÇ KAPAK
SıfırdanSonsuzaMatematik
Papiere empfehlen
![Sıfırdan Sonsuza Matematik
9786058309302 [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/sfrdan-sonsuza-matematik-9786058309302.jpg)
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
YAZARLAR ✧ Dr. Serap ÖZCAN ✧ Kazım ÖZCAN
DİZGİ ✧ Doktrin Yayınları Dizgi Birimi
KAPAK TASARIM ✧ Şendoğan Yazıcı
ISBN 978-605-83093-0-2
BASIM YERİ Oirent Basım Yayın San. Tic. A. Ş. Adresi: İkitelli OBS Mah. Giyim Sanatkarları 5A - 6A Blok No: 315 Başakşehir / İSTANBUL Sertifika No: 35724
İLETİŞİM VE DAĞITIM Cevizlik Mah. Beyazzambak Sok. No. 1 Bakırköy - İstanbul (0212) 542 42 14 ✧ 0 542 522 42 14
Doktrin Yayınları
[email protected] [email protected]
sıfırdansonsuzamatematik
www.doktrinyayinlari.com
doktrin tv
www.sifirdansonsuza.com
Copyright © Doktrin Yayınları Bu kitabın her türlü yayın hakkı Doktrin Yayınları'na aittir. Bu kitabın baskısından 5846 ve 2936 sayılı "Fikir ve Sanat Eserleri Yasası" hükümleri gereğince kaynak gösterilerek bile olsa alıntı yapılamaz, herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, genel ağ ve diğer elektronik ortamlarda yayımlanamaz.
Değerli Arkadaşlar,
Bu çalışma, matematiği sıfırdan başlayarak anlatmak, anlaşılması güç konuları en basit şekilde anla-
tarak tüm öğrencilerde belli bir temel oluşturmak, gereksiz ayrıntılara yer vermeden soruları en kısa sürede çözebileceğiniz seviyeye ulaşmanızı sağlamak amacıyla hazırlanmıştır.
YKS (TYT), KPSS, DGS ve ALES gibi sınavların içerik kapsamına göre oluşturulan ve lise öğrencilerinin de
yararlanabileceği bu çalışmada, ÖSYM’nin yapmış olduğu son değişiklikler esas alınmıştır. Geçmiş yıllarda uygulanan sınavların soruları analiz edilerek, gelecek sınavlarda çıkması muhtemel tüm soru tiplerini önceden görmenizi sağlamak hedeflenmiştir. Bu sınavların kapsamından çıkarılan konu başlıklarına ve sorulma ihtimali çok düşük olan soru tiplerine yer verilmeyerek, sizlere zaman kazandırmak amaçlanmıştır.
Kitabımızın ilk bölümünde, özellikle matematiği zayıf öğrencilerimize yönelik temel oluşturmak ama-
cıyla “Temel Bilgiler” konusuna yer verilmiştir. Bu bölümde bulunan, kısa sürede işlem yapabilme becerisi kazandıracak yüzlerce alıştırma sayesinde belli bir seviyeye ulaşacak ve sınavlara hazırlık yolunda büyük bir mesafe kat etmiş olacaksınız.
Konular özet olarak verilmiş olup, her konunun bütün alt başlıkları ayrı ayrı ele alınmıştır. Takılma ihtima-
linizin yüksek olduğu konular göz önüne alınmış ve bu konulara yönelik tatmin edici açıklamalar verilmeye çalışılmıştır. Verilen her kural ve özellik, sınavlarda sorulma ihtimali yüksek olan soru kalıplarıyla örneklendirilmiştir. Konuları daha iyi kavratacak nitelikte olan bu örneklerin çözümlerinin açık ve anlaşılır olmasına özen gösterilmiştir. Ayrıca her sayfa, o başlığa ilişkin kazanıma uygun, konuyu pekiştireceğiniz sorular içermektedir. Konunun akışı içinde verilen çözümlü ve çözümsüz soruların yanı sıra, soru tiplerine yatkınlık ve pratiklik kazanmanız için konuları bütün yönleriyle tarayıp değerlendiren “Konu Testleri”ne yer verilmiştir. Böylece, konuyu anlamlı bir şekilde öğrenmenizi sağlamak hedeflenmiştir.
Kitabımızın bu temel mantığına uygun çalışan her öğrencinin gerek sınavlarda, gerekse okul başarı-
sında belirlediği hedeflere ulaşabileceğine inanıyoruz.
Bu anlamda, matematiğe karşı önyargılarınızı kırarak özgüven oluşturacak ve başarıya ulaşmanızda
önemli bir rol üstlenen tüm bilgileri tek bir kitapta toplayarak işinizi gerçekten kolaylaştıracak bir kaynak hazırladığımız için mutluyuz. Başarı dileklerimizle…
Dr. Serap ÖZCAN Kazım ÖZCAN
)
Matematige Baslarken . Kendİnİ İkna etmelİsİn.
01 KONULARA BAŞLAMADAN ÖNCE İŞLEM BECERİSİ KAZANMALISIN. Önce dört işlem becerini geliştirmelisin. Sıkıcı gelse de toplama, çıkarma, çarpma ve bölme pratikleri yapmalısın.
02
Amacını, süreni, hedefini belirleyip bu hedef için sınavda matematikten yapman gereken net sayısını belirlemelisin. Tüm konulara çalışıp hedefini yüksek tutmalısın.
BOL SORU ÇÖZMELİSİN. Bir kaynak bitirmek yetmez. En az 5 farklı kaynaktan soru çözülmelisin.
TEMEL BİLGİ EKSİKLERİNİ TAMAMLAMALISIN.
03
04
Plan yapmalısın.
İşe, matematiği yapamama ön yargısından kurtularak başlamalısın.
Pozitif ve negatif sayılar arasında işlemler, basit denklemler, eşitlikte karşıya geçirme, harfli ifadeler, sadeleştirme, içler dışlar çarpımı, kesir parçalama gibi temel bilgileri pekiştirmelisin.
BİTİRMEN GEREKEN KAÇ KONU OLDUĞUNU HESAPLAMALISIN.
05
06
Temel matematikte yaklaşık 30 konu var. Sınava olan süreni hesaplayarak haftalık bitirmen gereken konu sayısını belirlemelisin.
ÇÖZÜMLERİ TAKLİT ETMELİSİN.
07 HER KONUNUN MANTIĞINI ÖĞRENMELİSİN. Formül ve kural ezberlemek konuyu öğrendiğini göstermez. Konuların mantığını ve her konu ile ilgili soruların çözüm yöntemini öğrenmelisin.
08
Kendini motive edecek sebepler bulmalısın. Mesela tıp fakültesi hedefleyen birisi kendini beyaz önlüğün içinde hayal edebilir.
DÜZENLİ UYKU VE DÜZENLİ BESLENME ALIŞKANLIĞI KAZANMALISIN. Kendine iyi bakacaksın ki sağlıklı çalışasın.
HER NE OLURSA OLSUN PROGRAMINI BOZMAMALISIN.
09
MOTİVASYONUNU YÜKSEK TUTMALISIN.
Soruları gördüğünde ne yapacağını bilemediğin durumlar olur. Soruyla bakıştığın durumlarda hocanın ya da kitabın çözümünü taklit et. Bir süre sonra soru çözme taktiğini öğrendiğini göreceksin.
10
Zamanını verimli kullanarak rakiplerin arasında bir fark yaratmalısın.
ZAMANINI BOŞA GEÇİRMEMELİSİN.
11
12
Ders çalışırken verdiğin kısa molalar dışında televizyon, sosyal medya ve arkadaş grubunun ders çalışma zamanlarını çalmasına izin vermemelisin.
İçindekiler Temel Bilgiler
7 30
Sayı Sistemleri
Temel Kavramlar
52 61
Bölünebilme
Bölme
74 85
EBOB - EKOK
Asal Çarpanlara Ayırma
94
Ondalık Sayılar
104 114
Basit Eşitsizlikler
Rasyonel Sayılar
124 129
Üslü Sayılar
143 Mutlak Değer 155 173 Köklü Sayılar
Çarpanlara Ayırma Birinci Dereceden Denklemler
219
Kesir Problemleri
232 244
İşçi Problemleri
192
204
Oran Orantı
Sayı Problemleri
253 264
Yüzde Problemleri
Sıralama
Yaş Problemleri
270 282
Kümeler
Hareket Problemleri
301 311
Olasılık
Karışım Problemleri
323 342
Polinomlar
Permütasyon Kombinasyon
354
369
Mantık
392
Fonksiyonlar
380
Veri ve Grafik
TEMEL . . BILGILER
www.doktrinyayinlari.com
Temel Bilgiler
1
İki Pozitif Sayının Toplanması
İki pozitif sayı arasında toplama işlemi yapmak için, verilen sayıların sayı değerlerini toplarız. Sonuç daima pozitif olur. Sonucun önüne + işareti koymak gerekmez. Örneğin; 4 + 3 = 7 Örneğin; 15 + 25 = 40
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR ÖRNEKLER
SORULAR
1. 5 + 4
=
11. 6 + 6
=
2. 6 + 8
=
12. 11 + 8
=
3. 5 + 13
=
13. 10 + 24
=
4. 14 + 1
=
14. 33 + 33
=
15. 2 + 48
=
16. 26 + 14
=
17. 55 + 26
=
8. 60 + 40 =
18. 80 + 70
=
9. 75 + 15 =
19. 109 + 66
=
10. 123 + 56 =
20. 79 + 291
=
6. 30 + 5
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
5. 12 + 12 =
=
7. 16 + 20 =
1) 9
2) 14
3) 18
4) 15
5) 24
11) 12
12) 19
13) 34
14) 66
15) 50
6) 35
7) 36
8) 100
9) 90
10) 179
16) 40
17) 81
18) 150
19) 175
20) 370
9
Temel Bilgiler
2
Üç veya Daha Fazla Pozitif Sayının Toplanması
Üç veya daha fazla pozitif sayı arasında toplama işlemi yapmak için, verilen tüm sayıların sayı değerlerini toplarız. Sonuç daima pozitif olur. İşlem kolaylığı için gruplandırarak toplama yapabiliriz. Örneğin; 3 + 5 + 12 + 8 = (3 + 5) + (12 + 8) = 8 + 20 = 28 Örneğin; 16 + 11 + 4 + 9 + 20 = (16 + 4) + (11 + 9) + 20
= 20 + 20 + 20
= 60
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11.
2. 3 + 2 + 8
=
12. 10 + 11 + 12 + 13
=
3. 10 + 15 + 20
=
13. 24 + 6 + 42 + 8
=
4. 6 + 17 + 24
=
14. 17 + 21 + 24 + 32
=
5. 35 + 55 + 65
=
15. 11 + 22 + 33 + 44
=
6. 47 + 48 + 49
=
7. 22 + 33 + 44
=
8. 73 + 24 + 51
=
18. 13 + 21 + 34 + 18 + 42 =
9. 203 + 107 + 38 =
19. 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =
10. 156 + 264 + 312 =
20. 123 + 248 + 335 + 529 =
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. 5 + 7 + 4
6 + 6 + 8 + 8 + 11
=
16. 120 + 140 + 160 + 180 =
17. 105 + 145 + 210 + 425 =
1) 16
2) 13
3) 45
4) 47
5) 155
11) 39
12) 46
13) 80
14) 94
15) 110
6) 144
7) 99
8) 148
9) 348
10) 732
16) 600
17) 885
18) 128
19) 490
20) 1235
10
Temel Bilgiler
3
İki Negatif Sayının Toplanması
Negatif sayılarda toplama işlemi yapmak için, verilen sayılar pozitifmiş gibi düşünerek sayı değerlerini toplarız. Sonuç daima negatif olur. Bu yüzden, bulduğumuz sonucun önüne – işareti koyarız. Örneğin; –5 ve – 2 sayılarını toplamak istiyorsak, 5 ve 2’yi toplayıp önüne – işareti koyarız. Yani (–5) + (–2) = –7 olur. Negatif sayılar toplanırken, araya + işaretinin konulması gerekmez. Örneğin; – 3 + (–6) = –3 –6 = –9 olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. –6–13
=
2.
=
12. –33–11
=
3. –9 + (–8)
=
13. –18–17
=
4. –10 + (–12)
=
14. –28–1
=
5. –23 + (–22)
=
15. –100–90 =
6. –30 + (–60)
=
7. –45 + (–55)
=
8.
–1 + (–89)
– 5 + (–14)
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. – 2 + (–7)
16. –8–37
=
17. –48–32
=
=
18.
–15–75
=
9. –13 + (–48)
=
19. –145–55
=
10. –53 + (–34)
=
20. –314–497
=
1) –9
2) –19
3) –17
4) –22
5) –45
11) –19
12) –44
13) –35
14) –29
15) –190
6) –90
7) –100
8) –90
9) –61
10) –87
16) –45
17) –80
18) –90
19) –200
20) –811
11
Temel Bilgiler
4
Üç veya Daha Fazla Negatif Sayının Toplanması
Üç veya daha fazla negatif sayı arasında toplama işlemi yapmak için, verilen tüm sayıları pozitifmiş gibi düşünerek sayı değerlerini toplarız. Sonuç daima negatif olur. İşlem kolaylığı için verilen negatif sayıları gruplandırarak toplayabiliriz. Örneğin; –4 –2 –7 –3 = –6 –10 = –16 123 123 –6 –10 Örneğin; –2 + (–3) + (–5) + (–1) –4 = –5 –6 –4 = –11 –4 = –15 1423 14243 123 –5 –6 –11
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. –1 –2 –3 –4 –5
=
2. –3 –5 –4
=
12. –8 + (–12) + (–20) + (–15)
=
3.
–6 + (–8) –1
=
13. –4 –8 –12 –16 –20
=
4.
–5 –4 –3 –2
=
14. –3 –3 –3 –3 –3 –3
=
5. –1 + (–3) + (–5) + (–7)
=
15. –12 + (–6) –3 –2 –1
=
6.
–4 –6 –10 –12
=
16. –33 –13 –21 –11 –1
=
7. – 9 –7 + (–21) –13
=
17. –10 –20 –30 –40 –50
=
8. –10 + (–10) – 10 + (–10)
=
18. –75 –125 –20 –82 –9
=
9. –15 –5 –25 –5
=
19. –7 –7 –7 + (–5) + (–5) + (–5) + (–3) –3 =
10. –7 + (–23) –32 + (–9)
=
20. –48 –36 –27 –13 –11
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. –2 –7 –1
=
1) –10
2) –12
3) –15
4) –14
5) –16
11) –15
12) –55
13) –60
14) –18
15) –24
6) –32
7) –50
8) –40
9) –50
10) –71
16) –79
17) –150
18) –311
19) –42
20) –135
12
Temel Bilgiler
5
Zıt İşaretli İki Sayının Toplanması
Biri pozitif, diğeri negatif olan iki sayı arasında toplama işlemi yapmak için, sayı değeri büyük olan sayıdan küçük olan sayıyı çıkarırız. Bulduğumuz sonucun önüne, sayı değeri büyük olan sayının işaretini koyarız. İşlem yaparken, + – işareti yerine – koyarız. Örneğin; 8 + (–3) = 8–3 = + ↓
Örneğin; (8 – 3)=5 ↓
4 + (–9) = 4 – 9 = –
↓
Büyük
sayının
işareti
↓
Büyük Küçük sayı
(9 – 4) = –5 ↓
↓
Büyük Büyük Küçük
sayı
sayının
sayı
sayı
işareti
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. –17 + 24
=
2. 3 + (–6)
=
12. –40 + 20
=
3. –7 + 9
=
13. 15–45
=
4. 7–3
=
14. –22 + 66
=
5. –5 + 10
=
15. 53 + (–18) =
6. 12 + (–16)
=
7. 9–11
=
8. –3 + 14
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
1. –2 + 1
16.
–1 + 99
=
17. –34 + 72
=
=
18. 43–51
=
9. –8 + 3
=
19.
–9 + 109
=
10. 20 + (–13)
=
20. 235–321
=
1) –1
2) –3
3) 2
4) 4
5) 5
11) 7
12) –20
13) –30
14) 44
15) 35
6) –4
7) –2
8) 11
9) –5
10) 7
16) 98
17) 38
18) –8
19) 100
20) –86
13
Temel Bilgiler
6
Üç veya Daha Fazla Zıt İşaretli Sayının Toplanması
Bir kısmı pozitif, diğer kısmı negatif olan üç veya daha fazla sayı arasında toplama işlemi yapmak için, işlem kolaylığı bakımından pozitif sayıları ve negatif sayıları ayrı ayrı gruplandırarak toplayabiliriz. Son olarak da, elde ettiğimiz iki sayı arasında toplama işlemi yaparız. Örneğin; 2 + 3 + 4 –1 – 2 – 5 = 9 + (–8) = 9 – 8 = 1 1423 1423 9 –8 Örneğin; 3 + 4 – 8 – 10 – 2 = 7 + (–20) = 7 – 20 = –13 3 – 8 + 4 – 10 – 2 = 123 14243 7 –20
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6
=
2. 1 – 7 – 2
=
12. 25 – 4 – 5 – 6 + 2
=
3. – 6 + 9 + 3
=
13. – 6 + 6 + 6 + 6 – 8 – 8 – 8
=
4. 2 – 4 + 1
=
14. 9 + 36 – 7 – 18 + 4 – 8
=
5. – 8 + 5 – 7
=
15. – 16 + 14 + 12 – 3 – 7
=
6. – 10 – 11 + 12 + 13
=
16. – 1 + 3 – 5 + 7 – 21 – 29
=
7. 6 + 8 – 7 – 4
=
17. – 32 + 24 + 6 + 14 – 7
=
8. – 3 – 17 + 5 – 9
=
18. 48 + 11 – 19 – 21 – 12
=
D Do o kk tt rr ii n n Y Y aa yy ıı n n ll aa rr ıı
1. 4 + 3 – 5
9. – 5 + 10 – 15 + 20 – 25 =
19. – 14 – 7 + 9 + 8 – 2 – 2 – 2 =
10. – 2 – 4 –6 + 5 + 7
20. 100 – 90 + 10 + 30 – 40
=
=
1) 2
2) –8
3) 6
4) –1
5) –10
11) –3
12) 12
13) –12
14) 16
15) 0
6) 4
7) 3
8) –24
9) –15
10) 0
16) –46
17) 5
18) 7
19) –10
20) 10
14
Temel Bilgiler
7
Çıkarılan Sayının Negatif Olması Durumu
Çıkarma işleminde çıkarılan sayı negatif ise, işlem yaparken – – işareti yerine + işareti koyarız. Terim sayısı üç veya daha fazla ise gruplandırarak işlem yapabiliriz.
Örneğin; 4 – (–1) = 4 + 1 = 5 Örneğin; –6 –(–3) – (–2) = –6 + 3123 + 2 = –6 + 5 = – (6 – 5) = –1 5
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. – 6 – (–2) + 1 – 3 – (–4)
=
2. – 9 – (–4)
=
12. – 1 – 3 – (–5) – 7
=
3. 1 – (–2) + 3
=
13. 5 – (–10) – 15 – (– 20)
=
4. – 6 – (–6 )
=
14. 1 – (–2) – (–3) – (– 4 ) – (–5 )
=
5. – 8 – (–5) + 2
=
15. – 2 – (–8) – 3 – 4 + 1
=
6. 10 – (–9)
=
16. 100 – (–40) – 180 + 30
=
7. 4 + 1 – (–7)
=
17. 33 – (–22) – (–11) – 44
=
8. – 4 – (–5) – (–1)
=
18. 10 + 10 – (–10) – 10 – 10
=
9. – 12 – (–11 ) + 2 – 8 =
19. 50 – 25 – 11 – (–16) – (–20)
=
10. 20 – 40 – (–10)
20. – 108 – (–48) – (–35) – (–12) – (–1) =
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
1. 5 – ( – 3)
=
1) 8
2) –5
3) 6
4) 0
5) –1
11) –2
12) –6
13) 20
14) 15
15) 0
6) 19
7) 12
8) 2
9) –7
10) –10
16) –10
17) 22
18) 10
19) 50
20) –12
15
Temel Bilgiler
8
Çarpma ve Bölme İşlemleri
Aynı işaretli iki sayının çarpımı da, bölümü de pozitiftir.
(+) . (+) = (+)
(–) . (–) = (+)
Zıt işaretli iki sayının çarpımı da, bölümü de negatiftir.
(+) . (–) = (–)
(–) . (+) = (–)
Örneğin;
( +) = ( +) ( +)
,
( +) = (–) (–)
,
–2. (–3) = 6
,
,
,
(–) = ( +) (–)
(–) = (–) ( +)
3. (–4) = –12
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
,
6 =–3 –2
,
–10 –5 = 2
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11.
16 2
2. –2 . 4
=
12.
–12 6
=
3. –1. (–6)
=
13.
–15 –5
=
4.
=
14.
18 –3
=
15.
24 6
=
16.
–33 –3
=
17.
–48 8
=
=
7. (–3)
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. 3 . 5
=
5. –4 . 8
=
6. –5. (–6)
=
7. 9 . 5
=
8. –12 . (–5)
=
18.
50 –10
9. 15. (–4)
=
19.
–240 –12
=
10. –24 . 6
=
20.
–112 4
=
1) 15
2) –8
3) 6
4) –21
5) –32
11) 8
12) –2
13) 3
14) –6
15) 4
6) 30
7) 45
8) 60
9) –60
10) –144
16) 11
17) –6
18) –5
19) 20
20) –28
16
Temel Bilgiler
9
İşlem Sırası
1. İşlemde parantez varsa, önce parantez içindeki işlemler yapılır. İç içe birden fazla parantez olması durumunda, en içteki parantezlerden başlanarak işlem yapılır. 2. Çarpma ve bölme işlemleri yapılır. 3. Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. Örneğin; 3 – 2 . 4 = 3 – 8 = –5 Örneğin; 2+ 4. (5 – 6) = 2 + 4. (–1) = 2 + (–4) = –2 123 1. işlem 2. işlem
1. işlem
2. işlem
–4
3. işlem
Örneğin; 1+ 2. (1 –6 : (–3) –4) = 1+2. (1–(–2)–4) = 1 + 2. (–1) = 1+(–2) = 1–2 = –1 1. işlem 2. işlem
1 + 2 – 4 = –1
–2
3. işlem
4. işlem
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR ALIŞTIRMALAR
SORULAR
= 11. 3. (1 + 2. (–3))
2. 4.6 + 8.5
=
12.
(4–3.2) – (–7). (–2)
=
3. 6. (–3)+2. (–4)
=
13. –15–2.(–6) +3. (–1)
=
4. –8. (–6) + 10. (–5)
=
14. 3. (6.2–25:5)
=
5. 6.4 + 9:3
=
15. – (–5)+18: (–3) + 3–3.3
=
6. 14: (–2) + 7.3
=
16. 24 –[36–4. (–6+15)]
=
7. 15:3 – 18:6
=
17.
– [–4 +(4 – (–4)]
=
8. 4.9 + 3.8 – 12.5
=
18.
–36 . 24 15 – – (–9) –6 3
=
9.
12 + 3 . (–2) + 4.(–3) = 2
19.
– 3.[8 + 4(2 – 2.2)]
=
10.
–14 –8 25 7 + –2 + –5
20.
[15 – (15 + 4.2)] . (4 – 35 : 7) =
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
1. 3. 5–4.3
=
=
1) 3
2) 64
3) –26
4) –2
5) 27
11) –15
12) –16
13) –6
14) 21
15) –7
6) 14
7) 2
8) 0
9) –12
10) –3
16) 24
17) –4
18) 11
19) 0
20) 8
17
Temel Bilgiler
10
İşlem Sırası 2
•
Üç veya daha fazla sayının çarpılması durumunda, sayıları ikişerli gruplandırarak işlem yapabiliriz.
–2. (–4) . (–3) = 8. (–3) = – 24 Örneğin; 14243 8 •
Örneğin;
–5. (–5) . (–2). (–3)= 25.6 = 150
14243 14243
25
6
Pay ve paydasında işlem bulunan kesirli ifadelerde, işlem sırasından yararlanarak kesrin değeri bulunur.
7.4 – (6 + 3 .2) 28 – (6 + 6) 28 – 12 16 Örneğin; = = = = –4 olur. –4 –4 –4 – [– (–4)]
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
(–(–4) = 4
,
–[ –(–4)] = –4) 1243
4
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11.
17 + 6.(–2) 3–9 + 4 – (–1) 2 – (–1)
=
2. 4. (–3). 3. (–2)
=
12.
4 .(–2) .(–3) 5. (–9) – 12 15
=
3.
–[–(3+4.(–1))]
=
13.
1–2 + 3 – 4 . 5 – 6 + 7 – 8 –1+ (–1) – (–1)
=
4.
12 – (–8 . 3) 4 + 7.5 – 9 : 3
=
14.
4 + (–1) – 3 9 – [4 – (–5)] + 18 20
=
5.
– (–15) – [– (–8)] –5 + – (–2)
=
15.
150 –120 –15 + 9 + + –15 –10 3
=
6.
–2 + 4 . d
12 –18 . 50 n 3 –25
=
7. –(–1 + 4) . (5 + 2.(–3))
=
8. –
–24 – –36 –2 –3 .2 9
=
18.
–15 + 2. (–3) . (–5) .(–2) 2. 3 +1
=
9.
20 . –49 8 :(–4) –5 – 2
=
19.
27 + (–3) .(–3) .(–3) –2 – 3 – 4 – 5
=
10.
16 :(–2 + 4) 36 :(–18)
= 20. – d
D Do o kk tt rr ii n n Y Y aa yy ıı n n ll aa rr ıı
– (–2).(–5). 3
1.
16. –2 . d
17. –
4.6 + 2 1+ 3.3 – 3. 5 n = 13
120 . 150 10 – 90 d– n+ 60 25 40.2
100 . 48 27 . 38 n – –4 24 9 2
=
=
1) –30
2) 72
3) –1
4) 1
5) –7
11) –1
12) 5
13) –2
14) 0
15) 0
6) 14
7) 3
8) 7
9) –70
10) –4
16) 8
17) 11
18) –30
19) 0
20) –7
18
Temel Bilgiler
11
Harfli İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Harfli ifadelerde toplama-çıkarma işlemi yapabilmek için, verilen harflerin ve bu harflerin üslerinin aynı olması gerekir. Harfli ifadelerde sayı ile harf arasına çarpmayı belirten . işareti genellikle konulmaz. Örneğin, 2.x yerine 2x kullanımı yaygındır. Ayrıca, farklı iki harfli ifade arasında veya bir sayı ile harfli ifade arasında toplama ve çıkarma işlemleri yapılamaz. Örneğin; 4x + 2x = 6x
2k + 5m
5a2 + 3a2 – 4a2 = 4a2
4x2 + 3x
3ab + 2 –2ab + 7 = (3ab–2ab) + (2+7) = ab + 9
5a –b + 1 ifadeleri arasında
2k + 5m + 4k – 4m = (2k + 4k) + (5m–4m) = 6k+m
toplama-çıkarma yapılamaz.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. 3 + a –4 + 2a
=
2. 8x–6x
=
12. 3xy –5xy + 8xy
=
3. –5y + 4y
=
13. 4x –5a + 16x + 7a
=
4. 12x2 – 9x2
=
14. a + 4c –5b + 2c + 3a + 5b
=
5. –3k+7k+2k
=
15. –6k2 + 12 + 8k2 – 15 + 2
=
6. –2c–4c+6c
=
16. 30ac –15ab + 14ab–29ac
=
7. 4a2 – 6a2 + a2
=
8. 2x –4x + 6x – 5x
=
18. 11a + 6b –4c –5a –8b + 3c
=
9. 3a + 7b –2a –5b
=
19. 5x2 – 8xy + 3x2 + 4xy
=
10. –8x+11y–4y+6z
=
20.
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
1. 2a + 3a
17. 7x3 + 4x3 – 2x3 – 6x3 =
–24xy4 + 16xy –12xy + 25xy4 =
1) 5a
2) 2x
3) –y
4) 3x2
5) 6k
11) –1 + 3a
12) 6xy
13) 20x + 2a
14) 4a + 6c
15) 2k2–1
6) 0
7) –a2
8) –x
9) a + 2b
10) –8x + 7y + 6z
16) ac–ab
17) 3x3
18) 6a–2b–c
19) 8x2 –4xy
20) xy4 + 4xy
19
Temel Bilgiler
12
Harfli İfadelerde Çarpma İşlemi
Bir sayı ile harfli ifadeyi çarpmak için, yalnızca sayıları kendi arasında çarparız. Örneğin; 2.3a = 6a
,
–3.4x = –12x
,
5a.2+3.4a = 10a + 12a = 22a
Harfli iki ifadeyi çarparken hem sayıları hem de harfleri kendi arasında çarparız. Harfli ifadenin önünde sayı yoksa önündeki sayının 1 olduğu düşünülerek işlem yapılır. Örneğin; 2x.4y = 8xy
,
–3a.2b.c = –6abc
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
,
–x.2y.z+2x.y.3z = –2xyz+6xyz = 4xyz
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. 2x. (–3y).4z
=
2. –1. 7a
=
12. 4x.5a.b–3x.6a.b
=
3. 4k.(–5)
=
13. –a. (–2b). (–3c)+abc
=
4. 3.4a – 2.5a
=
14. 4a.3b+2a.5b–6a.2b–9a.b
=
5. –6x. 3+ 6.4x
=
15. –3a.2b. (–3c).(–d)
=
6. –1.3.2k+4.2k
=
16. –4a2 . 3b3 + 7a2 . 2b3
=
7. 4.4b + 3.5b–6.5b
=
17. 3ab . 2c2 – (–4ab) . (3c2)
=
8. 2a. (–3b) + 3a. 2b
=
18. 6x.5y + 5 –3x.8y
=
9. 4x .5y –6x.3y
=
19. 4 –2.3x + 4.2x–3
=
10. 3x2 . 2y + 4x2 . y
=
20. 10x.5y (–2z) + 100xyz
=
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. 5.3x
1) 15x
2) –7a
3) –20k
4) 2a
5) 6x
6) 2k
7) b
8) 0
9) 2xy
10) 10x y
20
2
11) –24xyz
12) 2xab
16) 2a
17) 18abc
2 3
b
2
13) –5abc
14) ab
15) –18abcd
18) 6xy+5
19) 1 + 2x
20) 0
Temel Bilgiler
13
Çarpmanın Parantez İçine Dağılması
Bir sayı veya harfli ifade ile parantezli bir ifadeyi çarpmak için, parantezin dışındaki sayı veya harfli ifadeyi, parantezin içindeki her terim ile ayrı ayrı çarparız. Örneğin; 2(x + 4) = 2.x + 2.4 = 2x + 8
–4a(b–2c) = –4a.b –4a.(–2c) = –4ab + 8ac
–(x + 2y –3z) = –1.(x+2y–3z) = –x –2y + 3z
3.[x – 2.(x + 1) –4] = 3.[x –2x –2 –4] = 3.(–x–6) = –3x–18
14243 1. işlem 14442443 2. işlem 14444424443
3. işlem
ALIŞTIRMALAR
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. 5(x+1) =
11. 2(x + y – 3z) – x2 + 6z
=
2. –3(x–y)
=
12. –4(–a + 2b) –4(a –2b)
=
3. 2(a + 3)–2a
=
13. 3(a –7) –7(3 –a) +20
=
4. – (x + y) + 2x–y
=
14. 5(2x –4) + 3(3x + 1)
=
5. 2(m + 4) –3(m–1)
=
15.
15 (x 1) = 5 +
6. –7(x–1) –5(1–x)
=
16.
–24 36 (x + y) + (x – y) = 12 9
7. 4(2x + y) –3(x–2y)
=
17.
–6 (x –3) + 3 (2x – 5) = –2–1
8. 2a(3 + b) –6(a + ab)
(3– 5) x + (15 – 13) x = 18. = 3 (x + 1)
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
2
9. –1–5 (a–1) + 4(–2 + a) =
19. 2–[1 + 3 (x–2)]
=
10. 7xy –7x(y + 1) + 5x
20. [7(x + 4)–5 (5 + x)–3] +2
=
=
1) 5x + 5
2) –3x + 3y
3) 6
6) –2x+2
7) 5x+10y 8) –4ab
4) x–2y
5) –m + 11
11) x2+2y
12) 0
13) 10a–22
14) 19x – 17
15) 3x + 3
9) –a–4
10) –2x
16) 2x – 6y
17) –1
18) 0
19) –3x+7
20) 2x + 2
21
Temel Bilgiler
14
Parantezli İfadelerin Çarpımı
Parantezli iki ifadeyi birbiriyle çarpmak için, ilk parantezdeki terimlerin her birini sırasıyla ikinci parantezdeki terimlerle çarparız. Sayılar ve benzer harfli ifadeler arasında işlem yaparak sonuca ulaşırız. Örneğin; (x + 3).(y–1) = x.y + x. (–1) + 3.y + 3.(–1) = xy –x + 3y–3 Örneğin; (a –3b) (2x + 5y) = a.2x + a.5y–3b.2x–3b.5y = 2ax + 5ay–6bx–15by Aynı türden harfli ifadelerin çarpılması durumunda, x . x = x2 , x.x.x = x3, …… , özelliğini kullanırız. (Üslü sayılar konusunda daha geniş bir şekilde ele alacağız.)
x.x.x … x = xn 14243 n tane
Örneğin; (x + 2)(x–1) = x.x + x. (–1) + 2.x + 2.(–1) = x2 – x + 2x – 2 = x2 + x – 2 Örneğin; (2x–3) (x–4) = 2x.x + 2x. (–4)–3.x–3.(–4) = 2x2 – 8x – 3x + 12 = 2x2 – 11x + 12
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11.
(x + 1) (x – 1) – x2
=
2. (a + 4) (b–3)
=
12.
(–x + 2) (2 + x) – 4 + 2x2
=
3. (x–1) (y–1)
=
13. (2a+3b)(a–b)+a (4a–b)
=
4.
=
14. (5x+4y)(3x–2y)+2xy
=
5. (–x–7)(4 + x)
=
15.
=
6. (2 + x) (2–x)
=
7. (3 + k)(4–m)
=
8. (–2a + 1) (3a –4)
(2x + 3)(x + 5)
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. (x–2)(x + 1)
(–a–2b)(–2a+3b)
16. 2[(x+y)(x+y)]–2[(x–y)(x–y)]
=
17. 4+(m+3)(m–4)–8+m
=
=
18. – [7–(1 + a)(a–2)]
=
9. (5 +3a) (4–3a)
=
19. (x–1)(2x + 1) + (2x–1)(x + 1) + 2 =
10. (a + 2y)(x–6b)
=
20. –2[(3x + 5)(–x–2)–4]
=
1) x2–x–2
2) ab–3a +4b–12
3) xy–x–y+1
4) 2x2+13x+15 5) –x2–11x–28
11) –1
12) x2
13) 6a2–3b2
14) 15x2+4xy–8y2
15) 2a2+ab–6b2
6) 4–x2
7) 12-3m+4k–km
8) –6a2+11a–4
9) 20–3a–9a2
16) 8xy
17) m2–16
18) a2–a–9
19) 4x2
20) 6x2+22x+28
22
10)
ax–6ab+2xy–12by
Temel Bilgiler
15
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Bir ifadeyi oluşturan terimlerin her birinde ortak bir çarpan bulunuyorsa, ifadeyi bu ortak çarpanın parantezine alarak yazabiliriz. Örneğin;
3x
3 ün katı 3 ün katı
–
6y = 3.x – 3.2y = 3(x–2y)
↓
↓
Örneğin; 10xy + 2x = 2x.5y + 2x.1 = 2x(5y + 1) ↓
↓
2x in katı
2x in katı
Örneğin; 91.15 – 91.13 = 91(15 – 13) = 91.2 = 182 ↓
↓
91 in katı
91 in katı
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
1. 4a–8
=
11. x – x
=
2. 5a+15b
=
12. 2x2 + 4x – 10
=
3. 6x+8y
=
13.
=
4. 7a+7b
=
14. 3(x + y) –2(x + y)
=
5.
20m + 10n
=
15. 13.24 –10.24
=
6.
2 + 4a–6b
=
16. 22.49 + 10.49 –32.49
=
17. 98.100 –99.98
=
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
2
5a2 + 25a
7. 100a + 100c
=
8. 15x–6y
=
18. 25(a–3b) –26(a–3b)
=
9. 11x–11y + 11z
=
19. 33.50+100–30.50
=
10. 4a + 3ab
=
20. 20xy + 30xz–40x2 =
1) 4(a–2)
2) 5(a + 3b)
3) 2(3x + 4y) 4) 7(a+b)
6) 2(1+2a–3b)
7) 100(a + c)
8) 3(5x–2y)
5) 10(2m+n)
9) 11(x–y+z) 10) a(4 + 3b)
11) x(x–1)
12) 2(x2+2x–5) 13) 5a(a+5)
14) x+y
15) 72
16) 0
17) 98
19) 250
20) 10x(2y+3z–4x)
18) –a + 3b
23
Temel Bilgiler
16
Eşitlikte Karşıya Geçme
Bir eşitlikte, eşitliğin herhangi bir tarafında bulunan sayı ya da harfi ifadeler, eşitliğin diğer tarafına geçerken işaret değiştirir. Örneğin;
x–5 = 2 –b
Örneğin;
⇒ x=2+5
⇒ x=7
+5
a+4=b+7
⇒
a–b =7–4 ⇒
a–b = 3
–4
Eşitlikte karşıya geçirme işlemini tamamladıktan sonra elde edilen harfli ifadenin önünde çarpım durumunda bir sayı varsa, eşitliğin her iki tarafını o sayıya bölerek işlemi tamamlarız. 2x + 1 = 5 ⇒
Örneğin;
2x = 5–1
⇒
2x = 4 ⇒
4a –2 = a + 7 ⇒ 4a –a=7 + 2 ⇒ 3a = 9
⇒
–a
⇒
3a 9 = ⇒a=3 3 3
ALIŞTIRMALAR
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR –x + 6 = –2x + 9 ⇒
x=
9.
x=
10. a –3 = b + 8 ⇒
a–b =
3. 2a–2= 6 ⇒ a=
11. x + 4= 2y + 3 ⇒
x-2y =
4. 3x + 4 = –5 ⇒ x=
12. 5k+m= 2m–13 ⇒
5k–m =
13. 6x–4y + 12= y + 2 ⇒
5y–6x =
14. 2x + 4 = 2y+10 ⇒
x–y =
2. x–1= –3 ⇒
D Do o kk tt rr ii n n Y Y aa yy ıı n n ll aa rr ıı
1. x + 4 = 8
⇒x=2
–1
+2
Örneğin,
2x 4 = 2 2
x=
5. 5a+6=3a–8 ⇒
a=
6. 4–2x= x+1 ⇒
x=
7. y + 4 = 2y–1 ⇒
y=
15. 4–6x = 25 + 3y ⇒
2x + y =
8. 4x–11= 3x ⇒
x=
16. 3a + b–c + 1 = 4b + 2c–5 ⇒
a–b–c =
24
1) 4
2) –2
3) 4
4) –3
9) 3
10) 11
11) –1
12) –13
5) –7
6) 1
7) 5
8) 11
13) 10
14) 3
15) –7
16) –2
Temel Bilgiler
17
İçler Dışlar Çarpımı
Bir eşitliğin bir veya her iki tarafında kesirli ifade bulunuyorsa, çaprazdaki terimleri birbiriyle çarparak kesir çizgilerinden kurtulmuş bir eşitlik elde ederiz. a c Yani = ⇒ a.d = b.c olur. b d Örneğin;
5 x = 6 2
2x = 5.6 & 2x = 30 &
&
2x 30 = 2 2
& x = 15
Eşitliğin yalnızca bir tarafında kesirli ifade varsa, diğer tarafına da kesir çizgisi çekilerek paydasına 1 yazılır. 3x + 1 4 = 4 1
Örneğin;
3x + 1 =4 4
Örneğin;
x–1 x = ⇒ 3.(x–1) = 2x ⇒ 3x–3 = 2x 2 3
&
⇒
3x + 1 = 4.4 ⇒ 3x + 1= 16 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒
3x–2x = 3
⇒ x=3
ALIŞTIRMALAR
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
x 1 = 8 4
⇒
x=
9.
2x + 1=
5x + 1 ⇒ 2
x=
2.
2x =6 ⇒ 3
x=
10.
3x + 8 =x+3 ⇒ 2
x=
3.
1 1 x=5
x=
11.
3k –2 k + 2 5 = 3
k=
4.
x +2 1 = ⇒ 4 2
x=
12.
–x + 4 –2x + 9 = 7 3
5.
3 2 = ⇒ a –1 a
a=
13.
10 12 = 2x + 1 3x
6.
x–3 4 x =7 ⇒
x=
14.
a – 12 –5 = a – 6 ⇒
7.
x x–1 = 5 6
x=
15. 2x – 8 = –1 ⇒ x+3 3
8.
–x + 3 =x–6 ⇒ 2
x=
16.
⇒
⇒
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
1.
⇒
⇒
⇒
–10x + 45 = x–3 ⇒ 5
x=
x=
a=
x=
x=
1) 2
2) 9
3) 5
4) 0
9) 1
10) –2
11) 4
12) 1
5) –2
6) 7
7) 6
8) 5
13) 2
14) 7
15) 3
16) 4
25
Temel Bilgiler
18
Toplama-Çıkarma Durumunda Sadeleştirme
Toplama-çıkarma işlemlerinde, birbirinin zıt işaretlisi olan iki sayı veya harfli ifade sadeleşir. Örneğin;
4x –5 + 2y + 5 = 4x + 2y
2a + 3b –2a + 4 = 3b + 4
3ab + 2a –5a –3ab = 2a –5a = –3a
1 1 1 1 1 1 7 + – – 7 = – 3 2 3 2 (Bu son işlemin nasıl yapılacağını Rasyonel Sayılar konusunda detaylı bir şekilde anlatacağız.)
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
=
11. 4ac –4ac + 7ab–6ab
=
2. –7a + 6 + 7a–7b
=
12. a(b + c) –9ab + 3ab–a(b + c)
=
3. –2x + 5y –4 + 2x
= 13.
4. 10 + 3c–3c–11
=
14. –[20–5(x + y) + 5(x + y)]
=
5. 2(a + b)–2(a + b)
=
15. 13(2x + y).(x + y)–13(2x + y)(x + y)
=
16. –6k(m–n) + 4 + 6k(m–n)–8
=
17.
a–4(2b + 7c) + 3a + 4(2b + 7c) –a
=
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. 3x + 4y–3x
6. –8ab + 2a + 2 + 8ab–2a =
10 –16 a + 5 a + 8 = 8
7. 24–10x + 5z–5z
=
8. 11abc–16 + 2abc + 16
=
18.
100 (x – 3y) – 9x2 – 10(x –3y) 10
=
9. –(x + y + z) + x + y + z
=
19. 25a2b – 12ab + 4a + 12ab – 25a2b
=
y y 10. x – + – 10 = 2 4 4
1) 4y 6) 2
26
2) 6–7b 7) 24–10x
3) 5y–4 8) 13abc
4) –1 9) 0
20.
5) 0 x
10) 2
–10
4 3 4 3 + – 1+ 5 – – = 9 2 9 2
11) ab
12) –6ab
16) –4
17) 3a
13) 8 2
18) –9x
14) –20
15) 0
19) 4a
20) 4
Temel Bilgiler
19
Eşitlik Durumunda Sadeleştirme
Toplama-çıkarma işlemleri bulunduran bir eşitlikte, eşitliğin her iki tarafında aynı olan ifadeler sadeleşir. Bunun nedeni, bu ifadelerin eşitliğin diğer yanına geçerek işaret değiştirmeleridir. Örneğin; 2x + y = 2x + 10 eşitliğinde 2x lerin herhangi birini eşitliğin diğer tarafına –2x olarak gönderdiğimizde,
2x + y = 2x + 10
⇒
⇒ y = 10 olur.
2x + y –2x = 10
–2x
Bu mantıktan hareketle, eşitliğin diğer tarafına göndermeye gerek kalmadan şu işlemleri yapabiliriz: Örneğin;
2x + y = 2x + 10 ⇒ y = 10
Örneğin;
–5ab + 4c = 8 –5ab ⇒ 4c = 8 ⇒ c = 2
Örneğin;
x + 1 x–2 x + 1 + 7 = –4 & 3 3
x – 2 –4 7 = 1
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
⇒ x–2 = –28 ⇒ x = –26
ALIŞTIRMALAR ALIŞTIRMALAR
SORULAR
b=
11. x + 2y –3z = 2y + 5 –3z ⇒
2. a –2b = 6 –2b ⇒
a=
12. –x2 + 2z = 10 – x2 ⇒ z=
3. 3x + 4y = 3x –24 ⇒
y=
13. 7(a –c)–15 = 5b + 7(a–c) ⇒
b=
4. –6k + 12 = –6k + n ⇒
n=
14.
1 4 4 1 k + .m + 2n = .m + . k ⇒ 8 3 3 8
n=
15.
3a2 + 2bc = 3a2 + 8
16.
–100 99 1 99 ⇒ a= a + b = + b
17.
a a.b a.b – =– +6 2 3 3
5. 5xy + 3x = 9 + 5xy ⇒ x=
6. 2(x + y) + 4z = 2(x + y) + 28 ⇒
z=
7. 10y + 3x = 3x + 40 ⇒
y=
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
1. x + b = x + 3 ⇒
⇒
b.c =
⇒ a=
8.
–2 4 5 4 2 x + y + z = y– x–5 ⇒
4x 4x 5xy – – 2xy = – + 15 y= 18. 11 11
9.
ax b ax 6 ⇒ + = + 3 3
b=
10.
x + 1 x–1 x–1 + = +4 ⇒ 2 3 3
2 2 a – 7b + 3c – 5 = –7b – 5 + 3c + 2 x= 20.
19.
x=
⇒
x.y =
2x –3xy + 4y = –8 –3xy + 2y ⇒
x–y =
⇒ a=
1) b=3
2) a = 6
3) y=–6
4) n=12
5) x=3
11) x=5
12) z = 5
13) b=–3
14) n=0
15) bc = 4
6) z =7
7) y = 4
8) z=–1
9) b=6
10) x = 7
16) a=–100 17) a=12
18) xy=5
19) x–y =–4
20) a = 2
27
Temel Bilgiler
20
Kesirli Sayılarda Sadeleştirme
Pay ve paydasında ortak sayı bulunan kesirli bir ifadeyi sadeleştirebiliriz. Bunun için kesrin hem payını, hem de paydasını ortak sayıya bölmemiz gerekir. 12 4 .3 3 12 = = sadeleştirilebilir bir kesirdir ve sadeleşmiş şekli tür. 16 4 .4 4 16 Kesirli bir ifadeyi sadeleştirirken, daima en sade haline ulaşmaya çalışırız. Örneğin;
Örneğin ;
6 12 2 .6 6 = = olur. 8 16 2 .8 8
kesrinin de pay ve paydasında 2’ler ortak olduğundan yeniden 2’ye bölmemiz gerekir.
6 2 .3 3 = = olur. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz: 8 2 .4 4
Bu durumda, 6 .1 1 6 = = 18 6 .3 3
,
15 5 .3 3 = = 25 5 .5 5
44 4 .11 11 45 3 .15 15 5 .3 = = = = , 75 = 48 4.12 12 3 .25 25 5 .5
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
45 15 .3 3 = veya 75 = 15 .5 5
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
10 = 14
11.
48 = 96
2.
24 = 12
12.
75 = 100
3.
18 = 15
13.
42 = 82
4.
12 = 28
14.
10 = 200
5.
30 = 50
15.
240 = 24
6.
15 = 35
16.
55 = 66
7.
14 = 35
17.
100 = 125
8.
40 = 48
63 18. 77 =
9.
45 = 36
19.
13 = 39
10.
16 = 56
20.
72 = 60
5
1) 7 3
6) 7
28
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1.
6
2) 2
3) 5
2
8) 6
7) 5
5
3
4) 7 5
9) 4
3
5) 5 2
10) 7
1
11) 2 5
16) 6
3
12) 4 4
17) 5
21
13) 41 9
18) 11
1
14) 20 1
19) 3
15) 10 6
20) 5
Temel Bilgiler
21
Harfli Kesirli İfadelerde Sadeleştirme
Pay ve paydasında ortak sayı veya ortak harfli ifade bulunan kesirler sadeleştirilebilir. Bunun için kesrin hem payını, hem de paydasını ortak sayı veya harfli ifadeye böleriz. Örneğin;
4x 2 .2x 2x = = 3 6 2 .3
2a 2a .1 1 = = 8a 2a .4 4
,
,
4 .3. x .x 12x 2 = = 3x 4x 4.x
Pay ve paydasında toplama-çıkarma durumunda ifadeler içeren bazı kesirlerde, sadeleştirme yapabilmek için ortak çarpan paratezine almak gerekir. Örneğin;
2x + 4 2. (x + 2) = =2 x+2 x+2
a.x + a.y a. (x + y) a = = b.x + b.y b. (x + y) b
,
,
4a–8 4 (a–2) = = a–2 4 4
a–b ve b–a, x+y ve –x–y gibi ifadeler birbirlerinin zıt işaretlisi olduğundan, bölme durumunda sadeleştiğinde –1 elde edilir.
Örneğin;
a–b – (b– a) = = –1 b–a b– a
2x + 3y 2x + 3y 1 = =– –4x–6y –2 (2x + 3y) 2
,
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ALIŞTIRMALAR
SORULAR
5x = 10x
11.
3 = 3a–3b
2.
x2 = 3x
12.
8a–12 = 24
3.
6a = 14a 2
5x–35yx–35yx–3y 13. = 3x – 3 5xy – 3 5xy – 5y
4.
8xy = 2x
14.
–x + 2y = –2x + 4y
5.
20abc = 15ac
15.
7x – 6y = –7x + 6y
6.
3x–6 = x–2
7.
x+5 = 2x + 10
8.
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1.
16. 10a – 5c = –2a + c
17.
4a + 3b = –8a – 6b
12 + 6x = 3
18.
10x + 20y = 10
9.
2x–8 = 3x–12
19.
35x + –21y = –5x + 3y
10.
10x + 10y = 6x + 6y
20.
2a + 4b – 6c = a + 2b – 3c
1
1) 2 6) 3
x
2) 3 1
7) 2
3
3) 7a 8) 4+2x
4) 4y 2
9) 3
4b
5) 3
5
10) 3
1
11) a–b 16) –5
2a–3 6 1 17) – 2
12)
13) –1 18) x+2y
1
14) 2 19) –7
15) –1 20) 2
29
TEMEL KAVRAMLAR
Temel Kavramlar
1
Rakam
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarına rakam denir. Rakamlar, sayıları ifade etmemize yarayan sembollerdir.
Örneğin; İki rakamın toplamı en çok kaçtır? Bu iki rakam birbirine eşit olabileceğinden, toplamları en çok 9 + 9 = 18 olur.
Örneğin; Birbirinden farklı iki rakamın toplamı en çok kaçtır? Bu iki rakam birbirine eşit olamayacağından, toplamları en çok 9 + 8 = 17 olur.
Örneğin; İki rakamın toplamı 14 ise, bunların en büyüğü en çok kaçtır? En büyük rakam 9 olduğundan, toplamları 14 olan iki rakamın en büyüğü en çok 9 olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. a ve b birer rakamdır.
1. a ve b birer rakamdır.
a + 2b
4a + b
toplamının en büyük değeri kaçtır?
toplamının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
a ve b rakamları birbirine eşit olabileceğinden, aynı rakamları kullanabiliriz.
Bu durumda a + 2b = 9 + 2.9 = 9 + 18 = 27 bulunur.
3a + 4b
toplamının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
a ve b birbirine eşit olamayacağından, en büyük değeri bulmak için 9 ve 8’i kullanmalıyız. Katsayısı büyük olana en büyük değeri vermeliyiz. O halde,
3a + 4b = 3.8 + 4.9 = 24 + 36 = 60 olur.
B) 41
C) 43
D) 44
E) 45
D) 14
E) 20
D) 25
E) 36
2. a ve b birbirinden farklı rakamlardır.
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2. a ve b birbirinden farklı rakamlardır.
A) 39
6a + 8b
toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 0
B) 6
C) 8
3.
a ve b birer rakamdır.
3. a ve b birbirinden farklı rakamlardır.
7a + 3b
toplamının en küçük değeri kaçtır?
19a + 17b
toplamının en küçük değeri kaçtır?
Çözüm:
a ve b birbirine eşit olamaz. En küçük değer için 0 ve 1 i kullanmalıyız.
Katsayısı büyük olana en küçük değeri vermeliyiz.
Bu durumda 7a + 3b = 7.0 + 3.1= 3 elde edilir.
A) 0
1
B) 17
E
C) 19
2
B
3
A
31
Temel Kavramlar
2
Doğal Sayılar
N = {0, 1, 2, 3...} kümesine doğal sayılar kümesi, bu kümenin elemanlarına da doğal sayılar denir. En küçük doğal sayı 0 (sıfır) dır. N+ = {1, 2, 3,...} kümesine sayma sayıları kümesi, bu kümenin elemanlarına da sayma sayıları denir. En küçük sayma sayısı 1 dir.
Örneğin; İki basamaklı iki doğal sayının toplamı en çok kaçtır? Bu iki doğal sayı birbirine eşit olabileceğinden, toplamları en çok 99+99 = 198 olur.
Örneğin; Birbirinden farklı, iki basamaklı iki doğal sayının toplamı en az kaçtır? Bu iki basamaklı doğal sayılar, birbirine eşit olamayacağından, toplamları en az 10+11= 21 olur.
ÇÖZÜMLÜ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ÖRNEKLER
SORULAR SORULAR
1. İki basamaklı, birbirinden farklı üç doğal sayının toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
Sayılar iki basamaklı ve birbirinden farklı olduğundan, toplamları en az
1.
İki basamaklı üç doğal sayının toplamı en az kaçtır?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 33
E) 35
10 + 11 + 12 = 33
bulunur.
Çözüm:
Sayılar iki basamaklı ve rakamları farklı olduğundan, toplamın en büyük değeri
98 + 98 = 196 bulunur.
3. Üç basamaklı, rakamları farklı en büyük doğal sayı ile, iki basamaklı en büyük sayma sayısının farkı kaçtır?
Çözüm: 987
2. İki basamaklı en büyük doğal sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2. İki basamaklı, rakamları farklı iki doğal sayının toplamı en çok kaçtır?
A) 99
B) 100
C) 101
D) 109
E) 110
3. Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük doğal sayı ile iki basamaklı, rakamları farklı en büyük sayma sayısının farkı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3 E) 4
99
– 8 8 8 bulunur.
1
32
B
2
D
3
E
Temel Kavramlar
3
Tam Sayılar
= {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...} kümesine tam sayılar kümesi, bu kümenin elemanlarına da tam sayılar denir. + = {1, 2, 3, ...} ⇒ Pozitif tam sayılar kümesi – = {..., –3, –2, –1} ⇒ Negatif tam sayılar kümesi 0 (sıfır) sayısı ne pozitif, ne de negatiftir.
Pozitif iki sayının toplamı pozitif, negatif iki sayının toplamı negatiftir.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitif, zıt işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir. = – ∪ {0} ∪ +
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR 1.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
A) –4
4–(–5 + 6) + 3 = 4 –1 + 3
= 3 + 3
= 6 dır.
2. –3–(–8)–4
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
–3–(–8)–4 = –3 + 8–4
= 5–4
= 1 dir.
2.
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
–6–(–4) + 2
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
D) 0
E) 1
D) 1
E) 2
–2.(–5) + 4.(–3)
işleminin sonucu kaçtır?
A) –5
3.
3. 4[3–2(–3 + 5)]
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. 4–(–5 + 6) + 3
B) –4
C) –2
[–3.(4–7)–10] + (–4):(–2)
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
4[3–2(–3 + 5)] = 4(3 –2.2)
= 4(3 –4)
= 4.(–1)
= –4 olur.
1
C
2
C
3
D
33
Temel Kavramlar
4
Tam Sayılar (En Az - En Çok Soruları)
Sayı doğrusu: –∞
∞ …… –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 …… 14442443 14442443 Negatif tam sayılar
Pozitif tam sayılar
Sayı doğrusu üzerindeki sayılar soldan sağa doğru gidildikçe büyür, sağdan sola doğru gidildikçe küçülür. Yani negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürken, pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür. Örneğin; Bir basamaklı tam sayılar kümesi {–9, –8, –7, . . . , –2, –1, 0, 1, 2, . . . , 7, 8, 9}
Bir basamaklı en küçük tam sayı –9, en büyük tam sayı 9 dur.
Bir basamaklı en büyük negatif tam sayı –1, en küçük negatif tam sayı –9 dur.
Örneğin; İki basamaklı tam sayılar kümesi {–99, –98, . . . ,–11, –10, 10, 11, . . . , 98, 99}
İki basamaklı en küçük tam sayı –99, iki basamaklı rakamları farklı en küçük tam sayı –98 dir.
İki basamaklı en büyük tam sayı 99 dur.
İki basamaklı en büyük negatif tam sayı –10 dur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. İki basamaklı üç negatif tam sayının toplamı en çok kaçtır?
Çözüm:
Sayılar iki basamaklı olduğundan ve birbirine eşit olabileceğinden, toplamları en çok
1. İki basamaklı, birbirinden farklı üç negatif tam sayının toplamı en çok kaçtır?
A) –43
B) –40
C)–37
D) –33
E)–30
–10 + (–10) + (–10)= –30
2. İki basamaklı birbirinden farklı iki tam sayının toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
Sayılar iki basamaklı ve birbirinden farklı olduğundan, toplamları en az
–99 + (–98) = –(99+98) = –197
bulunur.
3. Üç basamaklı en küçük pozitif tam sayı ile iki basamaklı, rakamları farklı en küçük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
bulunur.
2. İki basamaklı, rakamları farklı en küçük tam sayı ile, üç basamaklı, rakamları farklı en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Çözüm:
100 + (–98) = 100–98 = 2
A) –2
1
34
B) 0
C) 2
D) 3
E) 4
3. Üç basamaklı en büyük negatif tam sayı ile iki basamaklı en büyük tam sayının toplamı kaçtır?
A) –1
B) –1
D
2
C) 0
D) 1
E
3
E) 2
B
Temel Kavramlar
5
Toplamı Verilen İki Sayının Çarpımı
Toplamı verilen iki sayının çarpımının,
En büyük değerini bulmak için birbirine en yakın iki sayı seçilir.
En küçük değerini bulmak için birbirinden en uzak iki sayı seçilir.
Örneğin; a ve b tam sayıları için a + b = 10 ise a.b çarpımının en büyük değeri
a.b = 5.5 = 25 olur.
Örneğin; a ve b pozitif tam sayıları için, a + b = 8 ise a.b çarpımının en küçük değeri
a.b = 1.7 = 7 olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
Bu sayıların çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
a + b = 16 olmak üzere
a = 7 ve b = 9 olarak seçmeliyiz. (a ve b birbirinden farklı olduğundan a = 8 ve b = 8 seçemeyiz.)
Bu durumda a.b = 7.9= 63 bulunur.
2. İki pozitif tam sayının toplamı 25 tir.
Bu sayıların çarpımının en küçük değeri kaçtır?
Çözüm:
a + b = 25 olmak üzere, a.b çarpımının en küçük değerini bulmak için sayıları birbirinden en uzak seçmeliyiz.
O halde, a = 1 ve b = 24 olup a.b = 24 bulunur.
3. Toplamları 18 olan birbirinden farklı üç pozitif tam sayının çarpımı en az kaç olabilir?
Çözüm:
Birbirinden farklı üç pozitif tam sayı a, b ve c olsun.
a + b + c = 18 olduğundan, a.b.c çarpımının en küçük değerini bulmak için a = 1, b = 2 ve c = 15 olarak seçeriz.
O halde, a.b.c = 30 bulunur.
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1. Birbirinden farklı iki tam sayının toplamı 16 dır.
1.
Toplamları 13 olan iki tam sayının çarpımının en büyük değeri kaçtır?
A) 35
2.
Birbirinden farklı iki pozitif tam sayının toplamı 19 dur.
Bu sayıların çarpımı en az kaçtır?
A) 18
B) 36
C) 42
B) 19
C) 20
D) 48
D) 21
E) 49
E) 22
3. Birbirinden farklı üç pozitif tam sayının toplamı 30 dur.
Bu sayıların çarpımının en küçük değeri kaçtır?
A) 33
1
B) 42
C
C) 48
2
A
D) 51
3
E) 54
E
35
Temel Kavramlar Temel Kavramlar
6
Çarpımı Verilen İki Sayının Toplamı
Çarpımı verilen iki sayının toplamının,
En büyük değerini bulmak için birbirinden en uzak iki sayı seçilir.
O
En küçük değerini bulmak için,
Sayıların pozitif olduğu belirtilmişse, birbirine en yakın iki sayı seçilir.
Sayıların pozitif olduğu belirtilmemişse, birbirinden en uzak negatif iki sayı seçilir.
O
Örneğin; a ve b tam sayıları için a.b = 24 ise a + b toplamının
En büyük değeri: a + b = 1 + 24 = 25
En küçük değeri: a + b = –1 + (–24)= –25
Örneğin; a ve b pozitif tam sayıları için a.b = 35 ise a + b toplamının
En büyük değeri: a + b = 1 + 35 = 36
En küçük değeri: a + b = 5 + 7 = 12
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR
Çarpımları 78 olan iki tam sayının toplamı en çok kaçtır?
1.
Çözüm:
Çarpımları 42 olan iki pozitif tam sayının toplamı en az kaçtır? A) 12
B) 13
C) 16
D) 18
E) 21
a ve b tam sayılar, a.b = 78 olmak üzere a ve b sayılarını birbirinden en uzak seçmeliyiz. O halde a = 1 ve b = 78 olup, a + b = 1 + 78 = 79 bulunur.
Çarpımları 36 olan iki pozitif tam sayının toplamı en az kaçtır? Çözüm: a ve b pozitif iki tam sayı, a.b=36 olmak üzere, a ve b yi birbirine en yakın seçmeliyiz. Bu durumda, a = 6 ve b = 6 olup, a + b = 6 + 6 = 12 bulunur.
3.
2.
a ve b tam sayılar ve a.b = 12
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2.
olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır? A) –13
B) –12
C) –7
D) –5
E) 0
a ve b tam sayıları için (a + 3).(b + 2) = 16 olduğuna göre, a+b toplamı en çok kaçtır? Çözüm: a + b toplamının en büyük değerini bulmak için a ve b sayıları birbirinden en uzak seçilmelidir.
3.
a ve b tam sayılar ve a.b = 35 olduğuna göre, a + b toplamı en çok kaçtır?
a + 3=16 ⇒ a =13 b + 2 = 1 ⇒ b = –1
A) 42
B) 40
C) 38
D) 36
E) 35
Buna göre, a + b = 13 –1 = 12 dir.
11
36
BB
22
AA
33
DD
Temel Kavramlar
7
Toplamı Verilen Sayıların Değerini Bulma
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, a ve b yi içeren harfli ifadelerin toplamı verildiğinde, a nın en büyük değerini bulmak için b en küçük seçilir. Tersine, a nın en küçük değerini bulmak için b en büyük seçilir. Bir değişkenin değeri daima diğer değişkene değer vererek bulunur. Örneğin; a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a + 2b = 13 koşulunu sağlayan kaç tane b değeri vardır?
a + 2b = 13 eşitliğinde a ya 1 den itibaren değer vererek, karşılık gelen b değerlerini bulalım.
a = 1
için
a=2
için b tam sayı olmaz. Bu durumda a hiçbir çift tam sayı değerini alamaz.
b=6
a = 3
için
b=5
a = 5
için
b=4
a = 7
için
b=3
a = 9
için
b=2
a = 11
için
b=1
Böylece, b nin alabileceği 6 farklı değer vardır. Burada dikkat edilirse a sayısı 2 artarken, b sayısı 1 azaldı. Bu durumda genelleme yapacak olursak, a sayısı b nin katsayısı kadar artarken, b sayısı a nın katsayısı kadar azalacaktır.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
1. a ve b pozitif tam sayılar ve
3a + 5b = 33
olduğuna göre b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
3a + b = 18
eşitliğini sağlayan kaç tane b değeri vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3a + 5b = 33
↓
↓
1
6
5 arttı
3 azaldı
6
3
a = 11 olması durumunda b = 0 olup, pozitif tam sayı olma koşulunu sağlamaz. O halde b nin alabileceği değerler toplamı 6 + 3 = 9 olur.
2. a ve b pozitif tam sayılardır.
4a + 3b = 49
olduğuna göre b nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
2. x ve y pozitif tam sayıları için
4x + 7y = 60
olduğuna göre x.y çarpımı en çok kaç olabilir?
A) 8
B) 16
C) 24
D) 30
E) 32
4a + 3b = 49 ↓
↓
1
15
4
11
7
7
10
3
3'er arttı
4'er azaldı
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
a nın en büyük değeri için b en küçük değerini alır. Yani a = 10 iken b = 3 olur.
3. a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere
5a + 2b = 50
eşitliğini sağlayan en büyük b değeri kaçtır?
A) 18
1
B) 20
C
C) 23
2
E
D) 24
3
E) 25
B
37
Temel Kavramlar Temel Kavramlar
8
Pozitif-Negatif Sayılar a sayısı b sayısından küçük ise a < b a sayısı b sayısından büyük ise a > b
şeklinde gösterilir.
+ a < 0 gösterimi, a sayısının 0 (sıfır) dan küçük, yani negatif olduğunu belirtir. + a > 0 gösterimi, a sayısının pozitif olduğunu belirtir. + 3R]LWLIELUVD\ÔQÔQoLIWYHWHNWPNXYYHWOHULSR]LWLIWLU Pozitif bir sayının çift ve tek tüm kuvvetleri pozitiftir. (+)ÇÇ = (+) , (+)TT = (+) + Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. negatiftir. (–)ÇÇ = (+) , (–)TT = (–) –2, –a5 5 ve a3 3 sayılarının pozitiflik-negatiflik durumunu inceleyelim. a negatif olduğundan, işlem Örneğin; a < 0 olsun. Sırasıyla, a–2 sırasında (–) ile gösterelim. –2 = (–)Ç Ç = (+) O a–2
O
O
–a55 = –(–)TT = –(–) = (+) a33 = (–)TT = (–)
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1.
a > 0 olmak üzere I.
(–a)4
a bir pozitif sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
II. –a3 III. a–1
A) a5
B) –(–a)3
C) a–1
D) –a4
E) (–a)–6
ifadelerinden hangileri pozitiftir? Çözüm: I.
(–)Ç = (+)
II. –(+)T = –(+) = (–) III. (+)T = (+) Buna göre I ve III pozitiftir.
2.
a bir pozitif sayı olmak üzere I.
(–a)3
II. a–2
a negatif bir sayı olmak üzere I.
(–a)8
II. (–a)–3 III. –(–a)4
D D oo kk tt rr ii nn Y Yaa yy ıı nn ll aa rr ıı
2.
III. –(–a)2 ifadelerinden hangileri pozitiftir? A) Yalnız I
B) Yalnız II D) II ve III
C) I ve II E) I, II ve III
IV. a–7 ifadelerinden hangileri negatiftir?
3.
a < 0 olmak üzere
Çözüm:
I.
a negatif olduğundan (–a) pozitiftir. Buna göre,
II. –a2
I.
III. (–a)3
(+) = (+) Ç
II. (+) = (+) T
III. –(+)Ç = –(+) = (–)
a–4
ifadelerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
IV. (–)T = (–) olup III ve IV negatiftir.
A) +, +, +
B) +, +, – D) –, +, –
1 1
38
D D
C) +, –, + E) –, –, –
2 2
B B
3 3
C C
Temel Kavramlar
9
Pozitif-Negatif Sayılar 2
İki sayının çarpımının ve bölümünün işareti incelenirken
Çarpımın sonucu 0 ise sayıların biri 0 dır.
Çarpımın veya bölümün işareti pozitif ise sayılar aynı işaretlidir.
Çarpımın veya bölümün işareti negatif ise sayılar zıt işaretlidir.
Örneğin; a.b < 0 ise
a → +, b → –
veya
a → –, b → + olmalıdır.
a → + , b → + veya
a→ –, b → – olmalıdır.
a.b > 0 ise
Sayıların herhangi bir kuvvetinin alınarak çarpıldığı ve bölündüğü durumlarda işaret incelenirken
Çift kuvvete sahip sayı daima + işaretlidir. O yüzden bu sayıyı göz ardı ederiz.
Tek kuvvete sahip sayının kuvvetini göz ardı ederiz.
Örneğin; a2 . b3 > 0 ⇒ a2.b3 > 0 ⇒ b > 0
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR
x>0
1.
a 0
x .y.z > 0 2
olduğuna göre x, y ve z nin işaretlerini bulunuz.
Çözüm:
x > 0 ise x → +
x.y < 0 ise x ve y zıt işaretlidir.
O halde y → –
b2 . c < 0
olduğuna göre a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, +, +
B) –, +, –
D) –, –, +
C) +, –, –
E) –, –, –
x2.y.z > 0 ise y ve z aynı işaretlidir.
O halde z→ –
Böylece (x, y, z) → (+, –, –)
2.
x y >0
x2 . y . z4 > 0 x . z3 < 0
olduğuna göre x, y ve z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, +, –
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2.
B) +, –, –
D) –, –, +
C) –, +, + E) +, –, +
a2.b3 < 0
a.c4 < 0 a.b2.c3 > 0
olduğuna göre a, b ve c nin işaretlerini bulunuz.
Çözüm :
a2 . b3 < 0
ise b → –
a . c4 < 0
ise a → –
a . b2 . c3 > 0
O halde c → –
Böylece (a, b, c) → (–, –, –)
a . b2 < 0 c a.b.c>0
a . c4 > 0
olduğuna göre a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, +, +
3.
ise a ve c aynı işaretlidir.
1
B) –, +, –
D) –, –, +
E
2
C) +, –, –
E) –, –, –
A
3
C
39
Temel Kavramlar
10
Tek-Çift Sayılar
Ç = {..., –4, –2, 0, 2, 4, ..., 2n, 2n + 2, ...} kümesine çift sayılar kümesi, bu kümenin elemanlarına da çift sayılar denir. T = {..., –3, –1, 1, 3, 5, ..., 2n+1, 2n + 3, ...} kümesine tek sayılar kümesi, bu kümenin elemanlarına da tek sayılar denir. Tek ve çift sayılarla yapılan işlemlerin sonucunun teklik-çiftliği aşağıda verilmiştir.
Toplama-Çıkarma
Çarpma
Kuvvet Alma
Ç ± Ç = Ç
Ç. Ç = Ç
Çn = Ç (n ∈ N+)
T ± T = Ç
Ç. T = Ç
Tn = T (n ∈ N+)
Ç ± T = T
T . T = T
İçinde en az bir çift sayının bulunduğu çarpma işlemlerinde sonuç çift sayıdır.
Sayının kuvveti, teklik-çiftliği değiştirmeyeceğinden, işlem sırasında kuvvet göz ardı edilir.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. Aşağıdakilerden hangileri çift sayıdır?
1. a bir tam sayı olduğuna göre , aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?
I. 3 + 5
II. 4 – 1
III. 100 . 99 – 49 . 48
Çözüm :
I. 3 + 5
II. 450 – 1 → 4 – 1 → 3 → T
III. 100 . 99 – 49 . 48
11
15
50
11
15
A) a3 – 1
B) a2 + 2
D) 2a –1
C) a2 – a
E) a + 4
→ 3+5→ 8→ Ç
. T – T . Ç Ç 123 123
Ç
–
Ç
→ Ç
2. a ve b tam sayıları için 2a + 3b = 17 olduğuna göre
O halde I ve III çift sayıdır.
2. a pozitif bir tek tam sayı ise
I. a2 – 1
II. a5 + 7
III. 3a – 4
IV. a3 + a2 + a
ifadelerinden hangileri tek sayıdır?
Çözüm:
a tek sayı olduğundan a → T yazalım.
I. a2 – 1 → T2 – 1 → T – T = Ç
II. a5 + 7 → T5 + 7 → T + T = Ç
III. 3a – 4 → T . T – Ç → T – Ç = T
IV. a3 + a2 + a → T3 + T2 + T = T
III ve IV tek sayıdır.
I. a çift sayıdır.
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
II. b tek sayıdır.
III. b sayısı, a sayısından büyüktür.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
D) II ve III
C) I ve II E) I, II ve III
3. Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) 29 + 64
B) 30 + 36
D) 411 + 76
1
40
B) Yalnız II
C
2
C) 55 + 510
E) 1 + 1111
B
3
D
Temel Kavramlar
11
Tek-Çift Sayılar 2
Kesirli olarak verilen ifadelerde teklik-çiftliği belirlemek için, içler dışlar çarpımı yaparak kesir çizgisinden kurtuluruz. Bunu yaptıktan sonra, istenen harfli ifadenin teklik-çiftliği ile ilgili yorum yapmak daha kolay olacaktır. Örneğin; a ve b birer tam sayı olmak üzere a + 2 =
a+2=
3b ⇒ 3b = 4.(a + 2) 4 ⇒ 3b = Ç
(4 ün katı)
⇒ b kesinlikle çift sayıdır.
3b eşitliği verilmiş olsun. Buna göre 4
a + 2 çift veya tek sayı olabileceğinden, a çift veya tek sayı olabilir.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. a ve b tam sayılar olmak üzere
1.
a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere 27 b c a = + ise, aşağıdakilerden hangisinin sonucu çift sayıdır?
2a + 5 =b 3
ise a ve b nin teklik-çiftliği ile ilgili ne söylenebilir?
Çözüm: 2a + 5 = b & 3b = 2a + 5 3 6 5 T Ç
⇒ 3b = T
⇒ b kesinlikle tektir.
2a sayısı, 2 çarpanından dolayı daima çift olup, a nın tek veya çift olmasından etkilenmez. Dolayısıyla a tek veya çift sayı olabilir.
2.
1+ a.b =c 4
olduğuna göre a, b ve c nin teklik-çiftlik durumunu inceleyiniz. Çözüm : 1+ a.b = c & 1 + a.b = 4.c 4 5 7 T
Ç
⇒ T + a.b = Ç
⇒ a.b = T olmalıdır.
⇒ a ve b kesinlikle tektir.
B) a.b+c
D) a.c+b
C) a+b.c E) a.c+b.c
2. a, b ve c doğal sayılar ve
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
A) a+b+c
4a + 2 = 3b + c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
A) a+b
B) a.c
D) b+c
C) b.c
E) a.b.c
3. a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere a + 3b + 1 =c 2
ise aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?
A) a+b
B) b+c
C) a.b
D) b.c
E) a.c
4c çift sayı olup, c tek veya çift olabilir.
1
A
2
D
3
C
41
Temel Kavramlar Temel Kavramlar
12 12
Asal Asal Sayılar Sayılar
1 ve ve kendisinden kendisinden başka başka böleni böleni olmayan olmayan pozitif pozitif tam tam sayılara sayılara asal asal sayı sayı denir. denir. 1 Örneğin; Örneğin; 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 11, 11, 13, 13, 17, 17, 19, 19, 23, 23, ... ... +
En En küçük küçük asal asal sayı sayı 2 2 dir. dir.
+
2 2 hariç hariç tüm tüm asal asal sayılar sayılar tektir. tektir.
+
Tüm Tüm asal asal sayılar sayılar pozitiftir. pozitiftir. Negatif Negatif asal asal sayı sayı yoktur. yoktur.
ÇÖZÜMLÜ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ÖRNEKLER 1.
SORULAR SORULAR
a ve b asal sayılar olmak üzere a.b=21 ise a+b toplamını bulunuz.
1.
a ve b asal sayılar, a + b = 16 olduğuna a.b çarpımı çarpımının aşağıdakilerden olduğuna göre, göre a.b kaçdeğeri olabilir? hangisi olabilir?
Çözüm: a . b = 21
A) 28
↓ ↓
B) 33
C) 36
D) 55
E) 60
3 7 a + b = 3 + 7 = 10 bulunur.
2.
a, b ve c asal sayılar olmak üzere 2a– b = c ise
Çözüm: 2 nin kuvvetlerinden, yalnızca 21 asal sayı olduğundan a–b = 1 ve bu durumda c = 2 olmalıdır. Aynı zamanda a ve b de asal sayı olduğundan a–b =1 ise a = 3 ve b = 2 dir. O halde a.b.c = 3.2.2 = 12 olur.
3.
DDookkt trri inn YYaayyı ınnl laarrı ı
a.b.c kaçtır? 2.
a bir asal sayı olmak üzere, a = 7b olduğuna göre a + b toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 13
E) 16 D)
D) 21
E) 22
a ve b doğal sayılar olmak üzere (a + b). (a – b) = 19 olduğuna göre a.b nin değeri kaçtır? Çözüm: 19 asal sayı olduğundan çarpanları 1 ve 19 dur. (a + b). (a – b) = 19 ⇒
a + b = 19
3.
a ve b doğal sayılar olmak üzere (a + b). (a–b) = 41
+a– b=1 2a = 20
olduğuna göre b kaçtır?
a = 10 olur. a nın değerini bu iki denklemin birinde yerine yazarsak
A) 18
B) 19
C) 20
a + b = 19 ⇒ 10 + b = 19 ⇒ b = 9 bulunur. O halde a.b = 90 olur.
42 42
1 1
D D
2 2
A A
3 3
C C
Temel Kavramlar
13
Aralarında Asal Sayılar
İki veya daha fazla pozitif tam sayının 1 den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin; 5 ve 9 aralarında asal iki sayıdır. Çünkü bu sayıların 1 dışında ortak böleni yoktur. Benzer şekilde, 6, 7 ve 8 aralarında
asal üç sayıdır.
Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır.
İki veya daha fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal olması gerekmez.
a ile b, m ile n aralarında asal sayılar ve
a m = ise a = m ve b = n olur. b n
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. a ve b aralarında asal, 15 ten büyük iki tam sayıdır.
1.
a ve b aralarında asal, 11 den küçük iki tam sayıdır.
Buna göre a + b toplamı en az kaçtır?
Buna göre a.b çarpımı en çok kaçtır?
Çözüm :
a + b nin en az olması için a ve b en küçük seçilmelidir. Bu durumda a = 16, b = 17 olup a + b = 16 + 17= 33 bulunur.
A) 72
olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm:
a + b = 17
+ a–b= 5
2a = 22
a = 11
3. a + 2b ile a – 2b aralarında asal sayılar ve a + 2b 42 ise a ve b yi bulunuz. = a – 2b 10
Çözüm:
42 ve 10 aralarında asal olmadığından dolayı önce sadeleştirme yaparız.
a + 2b 42 21. 2 21 = = = 5 a – 2b 10 5. 2
A) 26
3.
2a+b ile 2a–b aralarında asal sayılar ve
a + 2b = 21 +
a –2b = 5
2a = 26
D) 100
E) 109
2. x + y ve x – y aralarında asal sayılar ve x+ – y 22 olduğuna göre x.y çarpımı kaçtır? x+ – y = 30
C) 90
a + b 17 = 5 a–b
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2. a+b ile a–b aralarında asal sayılar ve
B) 88
B) 34
C) 42
D) 48
E) 52
2a + b 13 = 2a – b 3
olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
A) 12
a = 13
a nın değerini bu iki denklemin birinde yerine yazarsak,
13 + 2b = 21 ⇒ 2b = 13 –21 = 8
⇒
b = 4 bulunur.
1
B) 14
C
C) 15
2
A
D) 18
3
E) 20
E
43
Temel Kavramlar
14
Ardışık Sayılar
Artış miktarı sabit olan sayılara ardışık sayılar denir. Ardışık tam sayılar : ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... Ardışık çift tam sayılar: ..., –4, –2, 0, 2, 4, ... Ardışık tek tam sayılar: ..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ...
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. Ardışık üç tam sayının toplamı 45 tir.
1. Ardışık beş tek tam sayının toplamı 85 tir.
Buna göre ortadaki sayı kaçtır?
Buna göre ortadaki sayı kaçtır?
Çözüm:
A) 15
Sayılar sırasıyla n, n + 1, n + 2 olsun.
n + n + 1 + n + 2 = 45
C) 19
D) 21
E) 23
⇒ 3n + 3 = 45
⇒ 3n = 42
⇒ n = 14
B) 17
O halde ortadaki sayı; n + 1 = 14 + 1 = 15 bulunur.
Bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır?
Çözüm:
Ardışık dört çift sayı sırasıyla
n, n+2, n+4, n+6 olsun.
n + n + 2 + n + 4 + n + 6 = 92 ⇒ 4n + 12 = 92
⇒ 4n = 80
⇒ n = 20
O halde sayılar sırasıyla 20, 22, 24 ve 26 dır.
En büyük ve en küçük sayıların toplamı 20 + 26= 46 dır.
3. a, b ve c ardışık tek tam sayılar ve a < b < c olduğuna c–a göre kaçtır? b–a
Çözüm:
Ardışık tek tam sayılar arasındaki fark 2 olduğundan ve
a < b < c olduğundan b = a + 2, c = a + 4 tür. c – a a + 4 –a 4 = = 2 bulunur. = b – a a+2– a 2
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2. Ardışık dört çift tam sayının toplamı 92 dir. 2. Ardışık dört tam sayının toplamı –42 dir.
Buna göre en büyük sayı kaçtır?
A) –14
C) –11
D) –10
E) –9
3. a, b, c ardışık tam sayılar ve a < b < c dir. (c – b) . (c – a) Buna göre, kaçtır? b–a
A) –1
1
44
B) –12
B) 0
C) 1
B
2
E
D) 2
3
E) 3
D
Temel Kavramlar
15
Ardışık Sayılar 2
1 den n ye kadar ardışık tam sayıların toplamı:
Terimleri arasında sabit fark olan sayı dizilerinde
Terim Sayısı =
(Son Terim) – (İlk Terim)
Artış Miktarı
Terimler Toplamı =
1+2+3+...+n=
n . (n + 1) 2
+1
(Ortanca Terim) . (Terim Sayısı)
⇓
Son Terim + İlk Terim
2
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. 2 + 4 + 6 +....+ 38 + 40 = ?
Çözüm:
2 + 4 + 6 +....+ 38 + 40
= 2(1 + 2 + 3 +...+ 20) 20.21 = 2. 2 = 20.21
= 420
1.
5 + 10 + 15 + ... + 40 + 45
işleminin sonucu kaçtır?
A) 175
B) 195
C) 210
D) 225
E) 240
2. A = 3.10+4.11+5.12+...+10.17+11.18 eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, A–B farkı kaçtır?
Çözüm:
B toplamını (–) ile çarpıp A ile toplayarak A – B yi bulalım. A = 3.10+4.11+5.12+...+10.17+11.18 + –B = –3.9–4.10–5.11–...–10.16–11.17
A–B = (3.10–3.9)+(4.11–4.10)+(5.12–5.11)+...+(11.18–11.17) = 3(10–9)+4(11–10)+5(12–11)+...+11(18–17)
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
B = 3.9+4.10+5.11+...+10.16+11.17
2. 13 ile 101 arasında kaç tane çift sayı vardır?
A) 43
B) 44
C) 45
D) 46
E) 47
D) 108
E) 110
= 3 + 4 + 5 +...+ 11
1 den 11 e kadar olan sayıların toplamı: 11. 12 = 66 2 Ancak A – B farkında 1 ve 2 sayıları bulunmadığından bunları çıkarırız. Böylece sonuç 66–1–2= 63 bulunur. 3. A = 5.20 + 6.21 + 7.22 +...+ 15.30 B = 5.19 + 6.20 + 7.21 +...+ 15.29
3. 23 + 26 + 29 +...+ 62 + 65 toplamını bulunuz.
Çözüm:
Terim Sayısı =
65 – 23 42 + 1= + 1= 15 3 3 65 + 23 88 = = 44 Ortanca Terim = 2 2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre A–B farkı kaçtır?
A) 98
B) 100
C) 104
Terimler Toplamı= 44 . 15 = 660 olur.
1
D
2
B
3
E
45
Temel Kavramlar Temel Kavramlar
16 16
Faktöriyel Faktöriyel
0! 0! 1! 1!
= =1 1 = =1 1
1 den den n n ye ye kadar kadar olan olan doğal doğal sayıların sayıların çarpımına çarpımına n n faktöriyel faktöriyel denir denir ve ve n! n! şeklinde şeklinde gösterilir. gösterilir. 1
2! 2! 3! 3!
= = 2.1 2.1 = = 3.2.1 3.2.1
NOT: NOT: Faktöriyelli Faktöriyelli gösterimlerde, gösterimlerde, sayıyı sayıyı 1 1 er er azaltırken azaltırken istediğimiz istediğimiz sayıda sayıda durup durup yanına yanına !! işaişareti koyabiliriz. reti yazabiliriz.
4! 4! = = 4.3.2.1 4.3.2.1
Örneğin; Örneğin;
5! = = 5.4! 5.4! = = 5.4.3! 5.4.3! 5! n! = n.(n–1)! n! = n.(n–1)! = = n.(n–1).(n–2)! n.(n–1).(n–2)! Bu özelliği bilhassa faktöriyelli sayıların kesirli kesirli olarak olarak verildiği verildiği durumlarda Bu özelliği bilhassa faktöriyelli sayıların durumlarda kullanarak kullanarak sadeleş- sadeleştirme yapacağız. tirme yapacağız.
n! n! = = n.(n n.(n –1).(n –1).(n – – 2) 2) …3.2.1 …3.2.1
ÇÖZÜMLÜ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ÖRNEKLER
SORULAR SORULAR
6! + 7! =? 5! – 4!
1.
1.
Çözüm:
6! 15! 0! – + 4! 14! 1! işleminin sonucu kaçtır?
2
1.6! + 7.6! 6! (1+ 7) 8.6! 8 . 6! = = = 5.4! – 1.4! 4! (5 – 1) 4.4! 4 .4!
A) 15
B) 16
C) 20
D) 24
E) 30
2.6.5. 4! = 4! = 60
Çözüm: (n–2) ! (n–2) . (n–3) ! (n–2) . (n–3) ! = = =8 3. (n–3) ! 3. (n–3) ! 3. (n–3) ! n–2 & =8 3 & n–2 = 3.8 = 24 & n = 26
DDookkt trri inn YYaayyı ınnl laarrı ı
(n–2) ! = 8 ise n kaçtır? 3. (n–3) !
2.
2.
(n + 4) ! n! = 18 + (n + 3) ! (n–1) ! olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
(n + 3) ! + (n + 2) ! =? ( n + 2) !
3.
Çözüm: (n + 3) ! + (n + 2) ! (n + 3) . (n + 2) ! + 1. (n + 2) ! = (n + 2) ! (n + 2) ! =
(n + 2) ! .(n + 3 + 1) (n + 2) !
=n+ 4
3.
n! + (n–1) ! = 37 (n–1) ! olduğuna göre n kaçtır?
A) 36
B) 37
1 1
46 46
B B
C) 38
2 2
D D
D) 40
3 3
A A
E) 41
Temel Kavramlar
17
Faktöriyel 2 x ≥ 0, k asal sayı, a ve n pozitif tam sayılar olmak üzere x! = kn . a ifadesinde n nin en büyük değerini bulmak için x sayısı sürekli k ya bölünür ve elde edilen bölümler toplanır.
Örneğin; a ve n pozitif tam sayılar olmak üzere 10! = 2n . a eşitliğinde n sayısının en çok kaç olabileceğini bulalım.
10! = 2n . a
10
2 5
eşitliğinde 2 asal sayı olduğundan, 10 sayısı sürekli 2 ye bölünür ve bölümler toplanır.
2 2
2 1
5 + 2 + 1 = 8 olup n nin en büyük değeri 8 dir.
Faktöriyelli olarak verilen bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğu sorulduğunda, verilen faktöriyelli sayı sürekli 5 e bölünür ve elde edilen bölümler toplanır.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere
a ve m pozitif tam sayılar olmak üzere
6! = 3m.a
19! = 3x.y
eşitliğinde m en büyük değerini aldığında a sayısı kaç olur?
ise, x in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
A) 6
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3m.a
2.
81! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 16
↓
↓
↓
↓
↓
3
. 2
3.2 .5. 2.2.
6! = 5.32 . 24 = 3m . a
m en çok 2 olur. Bu durumda a = 5. 24 = 5.16 = 80 bulunur.
2. 6! sayısı aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpılırsa sonuç bir tam sayının karesine eşit olur?
A) 2
B) 3
C) 4
Çözüm:
Bir sayının, bir tam sayının karesi olması için o sayının içindeki tüm sayıların kuvveti çift olmalıdır.
6! = 6.5.4.3.2.1= 5 . 32 . 24 olup 5 in kuvveti tek sayı olduğundan, 6! sayısı 5 ile çarpılmalıdır.
D) 5
E) 6
Doğru Seçenek D
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
B) 17
C) 18
D) 9
E) 10
D) 19
E) 20
sonuç bir tam sayının karesine eşit olur?
Çözüm :
C) 8
3. 11! sayısı aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpılırsa
3. 100! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
B) 7
A) 77
B) 65
C) 55
D) 42
E) 11
100 5 20
5 4
20 + 4 = 24 basamağı sıfırdır.
1
C
2
D
3
A
47
TEMEL KAVRAMLAR KONU TESTİ 1.
5.
Birbirinden farklı iki tam sayının toplamı 24 tür. Bu sayıların çarpımının en büyük değeri kaçtır? A) 128
B) 135
C) 140
D) 143
E) 144
a, b, c ve d asal sayılar olmak üzere,
a . b = 21
c . d = 22
olduğuna göre a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) 23
B) 30
C) 39
D) 47
E) 55
2. a ve b pozitif tam sayılar ve
2a + 3b = 51
olduğuna göre b nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 13
C) 15
D) 16
E) 17
a, b ve c reel sayıları için
a3 . b4 < 0
a.c>0
b.c c dir.
1 1 a ile b aynı işaretli olmak üzere a < b ise a > dir. b 1 1 Örneğin; 2 < 3 & > 2 3
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
SORULAR
1. 1 – 2x < 7
1. 2 – 3x ≥ 8
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Verilen eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkaralım.
A) (–∞, –2)
1 – 2x – 1 < 7 – 1
–2x < 6 olur.
Şimdi her iki tarafı –2 ile bölelim.
–2x 6 ⇒ x > –3 olur. > –2 –2
O halde Ç.K = (–3, ∞) bulunur.
Çözüm x –5 < –2 eşitsizliğinin her iki tarafını –5 ile çarpalım. x (–5) . –5 > (–5) .(–2) x > 10 olup, x in en küçük tam sayı değeri 11 dir.
C) (–∞, 2] E) [2, ∞)
2. 1 ≤ 5 – 2x < 11
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
x 2. –5 < –2 eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır?
B) (–∞, –2]
D) [–2, ∞)
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 3
E) 6
3. x < 2 olmak üzere,
3 – 2x
ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri
x x 5 – 3 –4 olur. Şimdi her iki tarafa 3 ekleyelim.
3 – 2x > 3 – 4
3 –2x > – 1 bulunur. 3 – 2x ifadesi –1 den büyük olup, en küçük tam sayı değeri 0 dır.
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır?
A) –16
1
B) –14
B
C) 0
2
B
D) 14
3
E) 16
B
133
Basit Eşitsizlikler Basit Eşitsizlikler
4
Tanım Aralığı Bulma Soruları
Bir eşitsizlik sorusunda değişkenlerden birinin tanım aralığı verilip, diğerinin tanım aralığı sorulursa yerine yazma işlemi yapılır. Örneğin; –1 ≤ x < 4 ve y + 3 = x olmak üzere y nin tanım aralığını bulalım. –1 ≤ x < 4 eşitsizliğinde x gördüğümüz yere y + 3 yazalım. –1 ≤ y + 3 < 4 –1 –3 ≤ y + 3 – 3 < 4 – 3 –4 ≤ y < 1 olur. Ç.K = [–4, 1) bulunur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1.
–2 < x < 1
2x – y = 6 ve –4 < y ≤ 2 ise x için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
y–x=4 olduğuna göre y nin en geniş tanım aralığı nedir? Çözüm
A) 0 < x ≤ 4
B) 1 < x ≤ 4 D) 4 < x ≤ 7
y–x=4 ⇒ y–4=x
C) 3 < x ≤ 6
E) 5 < x ≤ 8
–2 < x < 1 –2 < y – 4 < 1 –2 + 4 < y –4 + 4 < 1 + 4 2 < y < 5 olur. Ç.K = (2, 5) bulunur. 2.
x 1olur.
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
O halde; lx – 2l = –x + 2 + |1 – x| = 1 – x |x – 2| + |1 – x| = –x + 2 + 1 – x = 3 – 2x bulunur.
–3 < x < 2 olduğuna göre, |x + 3| + |x – 2| ifadesinin değeri kaçtır? Çözüm –3 < x < 2 ifadesinde her tarafa 3 eklersek, 0 < x + 3 < 5 olur. –3 < x < 2 ifadesinde her taraftan 2 çıkardığımızda, –5 < x – 2 < 0 olur. O halde; |x + 3| = x + 3 +
3.
|x – 2| = –x + 2
2.
2 < x < 5 olduğuna göre, |x – 2| + 2.|x – 5|
DDookkttrri inn YYaayyı ınnl laarrı ı
2.
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –x + 8
B) x + 8 D) 2x – 12
C) 2x – 8 E) 3x + 8
|x + 3| + |x – 2| = x + 3 – x + 2 = 5 bulunur.
a < 0 < b olduğuna göre, |a |+| b | ifadesinin değeri kaçtır? |a –b |
Çözüm a negatif, b pozitif olduğundan a – b ifadesi negatiftir. | a | + | b | –a + b = = 1 bulunur. –a + b |a – b |
146 146
3.
a < b < 0 < c olduğuna göre, ; a – b;+; c – b ; ; a–c ; ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) –2
1 E 1 E
B) –1
C) 0
2 A 2 A
D) 1
3 D 3 D
E) 2
Mutlak Değer
3
Eşitlikler
|f(x)| = a ⇒ f(x) = a veya f(x) = –a olur. Mutlak değerli ifade bir sayıya eşitse, mutlak değer içindeki ifade o sayının kendisine veya negatifine eşittir.
Örneğin; |x + 2| = 5 ise x in alabileceği değerleri bulalım.
x+2=5
veya
x + 2 = –5 olabilir.
x = 5 – 2
x = –5 – 2
x = 3
x = –7 bulunur.
Ç.K = {–7, 3} olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1.
|2x – 1| = 9
|2x + 5| = 7
eşitliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm
2x – 1 = 9
A) –6
veya
2x – 1 = – 9
2x = 9 + 1
2x = –9 + 1
2x = 10
2x = –8
x = 5
x = – 4
Toplamları 5 + (–4) = 1 bulunur.
D) 3
E) 5
|x + 4| + 5 = 6
eşitliğini sağlayan x tam sayılarının çarpımı kaçtır?
Çözüm
|x + 4| + 5 = 6
|x + 4| = 6 – 5
|x + 4| = 1 olur.
x+4=1
2.
veya
x + 4 = –1
x = 1 – 4
x = –1 – 4
x = –3
x = –5
Çarpımları (–3) . (–5) = 15 bulunur.
3.
C) 1
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2.
B) –5
||x – 3| – 6 | = 2
eşitliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
||x – 1| –2| = 3
eşitliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
Çözüm
|x – 1| – 2 = 3 veya |x – 1| –2 = –3 olduğundan
|x – 1| = 5
Bir sayının mutlak değeri negatif olamayacağından |x – 1| = –1 olamaz.
|x – 1| = 5 olduğundan,
x–1=5
5–x =3 2
3.
veya |x –1| = –1 olur.
veya
x – 1 = –5
x = 5 + 1
x = –5 + 1
x = 6
x = –4
İki farklı x değeri vardır.
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
A) –11
1
B) –5
B
2
C) 0
D) 1
E
3
E) 9
A
147
Mutlak Değer Mutlak Değer
4
Eşitlikler 2 2 Eşitlikler
H H
|f(x)| = = |g(x)| |g(x)| ⇒ ⇒ f(x) f(x) = = g(x) g(x) veya veya f(x) f(x) = =– – g(x) g(x) olur. olur. |f(x)|
Bir önceki önceki sayfada sayfada yaptığımız yaptığımız şekilde şekilde çözeceğiz. çözeceğiz. Bir
H H
Dikkat :: Bulunan Bulunan xx değerleri değerleri g(x) yazılır. Dikkat g(x) ifadesinde ifadesinde yerine yerine yazılır. Negatif yapan yapan değerler değerler çözüm çözüm kümesine kümesine dahil dahil edilmez. edilmez. Negatif
Örneğin; Örneğin;
Örneğin; |x |x + + 4| 4| = = 2x 2x ise ise xx in in alabileceği alabileceği değerleri değerleri bulalım. bulalım. Örneğin;
|x + + 3| 3| = = |2x |2x – – 1| 1| ise ise xx in in alabileceği alabileceği değerleri |x değerleri bulalım. bulalım.
+3 3 = = 2x 2x – –1 1 veya veya xx +
+3 3= = –(2x –(2x – – 1) 1) xx +
=4 4 xx =
+3 3= = –2x –2x + +1 1 xx +
|f(x)| = = g(x) g(x) ⇒ ⇒ f(x) f(x) = = g(x) g(x) veya veya f(x) f(x) = =– – g(x) g(x) olur. olur. |f(x)|
+4 4= = 2x 2x xx +
veya veya
4 4= = x x
3x = =– –2 2 3x
2 xx = –2 =– 3 3
– O Ç..K K= = (( – O halde, halde, Ç
2 2 ,, 4 4 22 3 3
4 4= = – – 3x 3x 4 4 x – –3= =x 3
4 2x ifadesinde yerine yazılırsa denklemi =– – 4 değeri xx = 3 değeri 2x ifadesinde yerine yazılırsa denklemi 3
sağlamaz. sağlamaz.
O halde halde Ç.K Ç.K = = {4} {4} olur. olur. O
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
+4 4= = –2x –2x xx +
SORULAR 1.
|3x – 1| = x denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
|x| – 3x = 12 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm 3x – 1 = x veya
A) {–6}
3x – 1 = –x
2x = 1
4x = 1
1 x= 2
1 x= 4
B) {–3} D) {3}
C) {–3, –6} E) {3, 6}
Toplamları 1 + 1 = 1 + 1 2 4 2 4 (2)
2 1 = + 4 4 3 = 4 1
2.
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
1
Not : 2 ve 4 değerleri x ifadesini negatif yapmadığı için denklemi sağlar ve çözüm kümesine dahil edilir.
2.
|2x – 7| = |x + 1| denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır? A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
|x – 2| = |x + 8| denklemini sağlayan x değeri kaçtır? 3.
denklemini sağlayan x değerleri çarpımı kaçtır?
Çözüm x–2=x+8
|2x – 4| = x + 5
veya
x–x=8+2
x – 2 = –(x + 8) x – 2 = –x – 8
0 = 10 x değeri bulunamaz.
A) –9
B) –3
C) 0
D) 3
E) 9
2x = 2 – 8 2x = –6 x = –3
O halde Ç.K = {–3} bulunur.
1
148
1
B
B
2
2
E
E
3
3
B
B
Mutlak Değer
5
Özellikler 2 (En Küçük - En Büyük Değer Bulma)
H |x.y| = |x| . |y| Örneğin; |2 . x| = |2| . |x| = 2.|x| H
a|f(x)| + b|f(x)| = (a + b) |f(x)|
Örneğin; |x + 3| + |2x + 6| = |x + 3| + |2.(x + 3)| = |x + 3| + |2|.|x + 3| = 3|x + 3| H
|x – a| + |x – b| ifadesinin en küçük değeri bulunurken kökler yerine yazılarak, küçük olan değer alınır. Bu ifadenin en büyük değerini bulmak için ise, kökler yerine yazılarak, büyük olan değer alınır.
Örneğin; |x – 2| + |2x – 6| ifadesinin en küçük değerini bulalım.
x–2=0 ⇒ x=2
2x – 6 = 0 ⇒ x = 3
Bu değerleri mutlak değerli ifadede yerine yazalım.
x = 2 için |2 – 2| + |2.2 –6| = |0| + |–2| = 2
x = 3 için |3 – 2| + |2.3 –6| = |1| + |0| = 1
Toplamın en küçük değeri 1 dir.
Not : Mutlak değerli bir ifade en az sıfır olabilir. |x – a| = 0 ise x = a olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1.
|x – 1| + |3x – 3| = 8
|x| + |2x| + |–x| = 12
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
denklemini sağlayan x değerleri çarpımı kaçtır?
Çözüm
A) –36
|x – 1| + |3x – 3| = 8
|x – 1| + |3.(x – 1)| = 8
|x – 1| + |3| . |x – 1| = 8
|x – 1| + 3.|x – 1| = 8
(1 + 3) . |x – 1| = 8
4.|x – 1| = 8
|x – 1| = 2
x–1=2
veya
x=3
Toplamları 3 + (–1) = 2 olur.
2.
D) 9
E) 36
x = –1
|2x + 6| + |x – 2|
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm
2x + 6 = 0
x–2=0
x = –3 için
|2.(–3) + 6| + |–3 –2| = |–6 + 6| + |–5|
2.
|x – 4| + |3x – 3|
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 6
E) 9
⇒ x = –3 ⇒ x=2
= |0| + |–5|
= 5 olur.
x = 2 için
|2 . 2 + 6| + |2 – 2| = |4 + 6| + |0|
= |10| + |0|
= 10 olur.
C) –6
x – 1 = –2
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
B) –9
Buna göre, x in alabileceği en küçük değer 5 olarak bulunur.
3.
|x – 6| + |x + 7|
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 6
1
B) 7
B
C) 11
2
C
D) 13
3
E) 21
D
149
Mutlak Değer Mutlak Değer
6 H H
Eşitsizlikler Eşitsizlikler
|f(x)| ≤ ≤a a ise ise –a –a ≤ ≤ f(x) f(x) ≤ ≤a a |f(x)|
H |f(x)| |f(x)| < a a ise ise f(x) f(x) > >a a veya veya f(x)
0 –a a 0 –a a Ç.K = (–∞, –a] ∪ [a, Ç.K = (–∞, –a] ∪ [a, ∞) ∞)
–a 0 a –a 0 a Ç.K = (–∞, –a) ∪ (a, ∞) Ç.K = (–∞, –a) ∪ (a, ∞)
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1.
|x + 3| < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
|2x – 3| ≤ 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm –4 < x + 3 < 4
A) 5
–4 –3 < x + 3 – 3 < 4 – 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
–7 < x < 1 –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0 → 7 tane
2.
|2x – 1| ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm
2.
2x ≥ 4
2x ≤ –2
x≥2
x ≤ –1 –1
0
2
Ç.K = (–∞, –1] ∪ [2, ∞)
3.
|x| ≤ 5
|x + 3| –1 > 0 eşitsizliğini sağlayan x in değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2x – 1 ≥ 3 veya 2x – 1 ≤ –3
A) x > –2
B) x > 0
D) –4 < x < 0
C) x > –2 veya x < –4
E) x < –4
olduğuna göre, 2x – y = 1 koşulunu sağlayan kaç tane y tam sayısı vardır? Çözüm |x| ≤ 5 ⇒ –5 ≤ x ≤ 5 2x – y = 1 denkleminde x i yalnız bırakalım. 1+ y 2x = 1 + y ⇒ x = 2 Yukarıdaki eşitsizlikte x in yerine eşitini yazalım. –5 ≤ x ≤ 5 –5 ≤ 1+ y ≤ 5 2 –10 ≤ 1 + y ≤ 10
3.
|x| ≤ 4 olduğuna göre, x + 3y – 2 = 0 eşitliğini sağlayan kaç tane y tam sayısı vardır? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
–11 ≤ y ≤ 9 –11 –10,…, –1, 0, 1, 2, … 9 → 21 tane
150
1 D 1 D
2 C 2 C
3 A 3 A
E) 7
Mutlak Değer
7
Eşitsizlikler 2
H
a < |f(x)| < b ise a < f(x) < b veya a < –f(x) < b
H
a ≤ |f(x)| ≤ b ise a ≤ f(x) ≤ b veya a ≤ –f(x) ≤ b
Örneğin; 2 < |x – 1| < 6 ise x in tanım aralığını bulalım.
2< x–1 2 için (x – 2) + (x + 3) = 9 x–2+x+3=9 2x + 1 = 9 2x = 8 x=4 Bu aralıkta denklemi Bu aralıkta sadece sağlayan x değeri 4 değeri denklemi sağlar. yoktur.
⇒ ⇒ Ç.K = {–5, 4}
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1.
|x| + |x – 1| = 5 denklemini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
|x – 2| + |x – 3| = 11 denklemini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm x=0
,
A) –3
x–1=0
B) 0
C) 1
D) 5
E) 8
x=1 1
0 x < 0 için –x–(x–1) = 5 –x–x+1 = 5 –2x + 1= 5 –2x = 4 x = –2
0 ≤ x ≤ 1 için x–(x–1) = 5 x–x+1 = 5 1=5 Ç.K = Ø
x > 1 için x + x –1 = 5 2x – 1 = 5 2x = 6 x=3
Çözüm ,
x=0
x = –4 –4 x < –4 için –4 ≤ x ≤ 0 için –(x + 4) –[–(x)] = 4 x + 4 –[–(x)] = 4 –x –4 + x = 4 x+4+x=4 –4 = 0 2x = 0 Ç.K = Ø x=0 Ç.K = {0}
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
|x + 4| – |x| = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x+4=0
|x – 6| + |x| = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
x değerlerinin toplamı = (–2) + 3 = 1 olur.
2.
2.
A) 1
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
0 x > 0 için x + 4 –x = 4 4=4 Bu aralıktaki her sayı denklemi sağlar. Ç.K = (0, ∞)
3.
|2x – 3| + 1 = |x + 1| denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 4
B) 5
C) 6
D D
2 2
D) 8
E) 10
Ç.K = {0} ∪ (0, ∞) = [0, ∞)
1 1
152
C C
3 3
A A
TEMEL MUTLAK KAVRAMLAR DEĞER KONU KONU TESTİ TESTİ 1.
|12 – |5 – 14|| – |7 – 9| işleminin sonucu kaçtır?
x–5 n olmak üzere,
der[P(x)] = 4, der[Q(x)] = 3 olsun.
der[P(x)] ± der[Q(x)] = m
der[P(x) + Q(x)] = 4
der[P(x) . Q(x)] = m + n der
–4 tür." önermeleri veriliyor. Buna göre;
I. p + q
II. q + r
III. r + p
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
2.
B) 0, 1, 1 D) 0, 0, 1
C) 1, 0, 1
E) 1, 1, 1
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) (p + p) & 0 / 0 B) (p + 0) + p / 0 C) (p' + 1) & 1 / 1 D) (p ∧ 1) + (p v 0) / p E) (p v 1) + 1 / p'
önermelerinden hangileri çift gerektirmedir? Çözüm p / 1, q / 0, r / 1 elde edilir.
I. p + q / 1 + 0 / 0
II. q + r / 0 + 1 / 0
III. r + p / 1 + 1 / 1 olur.
3.
(p + p')' ∧ q önermesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) 0
B) 1
C) p
D) p'
E) q
Dolayısıyla sadece III. öncüldeki önerme çift gerektirme olur.
1
B
2
D
3
E
401
Mantık
10
Açık Önermeler
İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir. Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine, o açık önermenin doğruluk kümesi denir. İçerisinde x gibi tek değişken bulunduran bir açık önerme p(x), q(x), r(x), .... ile, x ve y gibi iki değişken bulunduran bir açık önerme p(x, y), q(x, y), .... biçiminde gösterilir. Örneğin; p(x): "x çift bir rakamdır." açık önermedir. Doğruluk kümesi {0, 2, 4, 6, 8} olur. Bir a sayısı p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise p(a) = 1 dir. Bir b sayısı p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı değil ise p(b) = 0 dır. Örneğin; p(x): "x çift bir rakamdır." açık kümesi için p(4) = 1, p(7) = 0 olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1.
SORULAR 1.
p(x): "3x + 5 < 17, x doğal sayı" açık önermesinin doğruluk kümesinin bulunuz.
p(x): "0 < x < 1000, x pozitif tam sayı" x
açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm 3x + 5 < 17 3x < 12
A) {1, 2, 3}
B) {0, 1, 2, 3, 4}
C) {1, 2, 3, 4}
D) {1, 2, 3, 4, 5}
E) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
x
≤
≥
Değili
7
6
≠
=
≥
≤
>
0 ise x2 – 2 ≥ 9 C) 7x2 – 2 ≥ 9 ise x!R, x > 0 D) x2 – 2 ≥ 9 ise 7x!R, x > 0 E) x2 – 2 ≤ 9 ise 6x!R, x < 0 1
B
2
D
403
MANTIK KONU TESTİ 1.
5.
I. "Bugün hava çok güzel."
II. "Negatif doğal sayı yoktur."
III. "2 + 9 = 10"
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri öner-
A) 0
medir? A) Yalnız I
2.
B) Yalnız II D) I ve III
C) p
D) p'
E) q
E) II ve III
6.
q: "(–2)3 < (–3)2"
pv(q'∧p') bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
r: "Ay, Dünya'nın uydusudur."
A) pvq'
doğruluk değeri 1 dir? B) Yalnız q
D) q ve r
C) p ve r
E) p, q ve r
B) pvq D) p∧q
C) p'vq E) p∧q'
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
Yukarıdaki önermelerden hangisi ya da hangilerinin
B) 1
C) I ve II
p: "Tüm asal sayılar tektir."
A) Yalnız p
[(1v0)v(0vp)]v(1∧q)
7.
(p v p') v (q v q) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
3.
n farklı önermenin doğruluk tablosunda 64 farklı du-
A) 0
rum olduğuna göre, n – 2 farklı önermenin doğruluk
B) 1
C) p
D) q
E) p'
tablosunda kaç farklı durum vardır? A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 32
8. 4.
p∧(q'∧r) / 1
bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden hangisi-
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p ∧ q / 1
404
(p'∧q)'∧p'
B) q ∧ r / 0
D) p' ∧ r / 1
C) p ∧ r / 0
E) q' ∧ r / 1
dir? A) p∧q'
B) p'vq D) p'∧q'
C) pvq E) p∧q
MANTIK KONU TESTİ 13. p: "Bütün pozitif doğal sayıların 3 katının 1 fazlası pozi-
9.
I. p & p' / 0
II. p & 0 / p'
tiftir."
III. p & p / 1
önermesinin niceleme sembolleriyle gösterimi aşağı-
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
dakilerden hangisidir?
A) Yalnız Iı
B) Yalnız III
D) II ve III
A) 6x!N, 3x + 1 > 0
C) I ve III
B) 6x!Z, 3x + 1 ≥ 0
E) I, II ve III
C) 6x!N+, 3x + 1 > 0 D) 7x!N+, 3x + 1 < 0 E) 7x!Z, 3x + 1 ≤ 0
10. (p & q') v r' / 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p ∧ q / 0
B) q' ∨ r' / 1
C) r & q' / 0
14. "6x!Z, x – 2 ≤ 0"
E) p' ∧ r / 1
D) p & q / 0
11. "Dinlersen anlarsın." koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
D o k t r i n Ya y ı n l a r ı
önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x!Z, x – 2 > 0 B) 7x!Z, x – 2 ≥ 0 C) 6x!Z, x – 2 > 0 D) 6x!Z, x – 2 ≥ 0 E) 7x!Z, x – 2 < 0
A) Dinlemezsen anlamazsın. B) Anlamazsan dinlemezsin. C) Dinlersen anlamazsın. D) Anlarsan dinlersin. E) Dinlemezsen anlarsın.
15. a, b ve c sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, p: a . b < 0 q: b + c > 0
12. p + 0 / 1
r: c > 0
q' + r / 0
önermeleri veriliyor.
p' + q / 1
(p∧q) & r
olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk de-
önermesi yanlış olduğuna göre, a, b ve c sayılarının
ğerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) 0, 1, 0 1
B) 0, 0, 1 D) 1, 0, 1
E
2
D
3
D
işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
C) 0, 1, 1
A) –, –, –
E) 1, 1, 1 4
B
5
B
6
A
7
B
8
C
9
B) +, –, – D) –, +, –
D 10
C 11
B 12
C) –, –, +
E) +, –, + C 13
C 14
A 15
D
405
www.doktrinyayinlari.com