Semigruppi di Trasformazioni Multivoche [1 ed.] 978-3-540-04620-2, 978-3-540-36143-5 [PDF]

Zitiervorschau

Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z0rich

101 G. P. Szeg6 9 G. Treccani Universitb degli Studi di Milano, Milano, Italy

Semigruppi di Trasformazioni Multivoche

$ Springer-Verlag Berlin. Heidelberg. New York 1969

PREFAZIONE

Questa mpnografia

~ dedicata

di trasformazioni

multivoche,

senza unicit~. stemazione

Questo

astratta

rie con soluzioni

allo

dei semigruppi

ossia di sistemi

studio

dells

studio

fra l'altro

equazioni

estendibili

dinamici

fornisce

una si-

differenziali

ordina-

sull'intera

retta reale,

ma senza unicit~. A1 lettors

pub essere

dei sistemi

dinamici

ze fra questi ma questa

una conoscenza

ordinari

ed i semigruppi

per apprezzare

I risultati

le differenmultivoche,

alia com~rensione

qua presentati.

presentati

col Prof.

mo per gli utili Questo lavoro

della teoria

di trasformazioni

conoscenza non ~ essenziale

dei risultati

Bhatia

utile

sono

stati discussi

E. Roxin e col Prof. suggerimenti

col Prof.N.P.

J. Yorke ringrazia-

e discussioni.

~ svolto nell'ambito

del C.N.R.,

comitato

per le scienze matematiche.

Gli autori.

INDICE

Oo

INTRODUZI ONE ........................................

1

1.

I S I S T E M I D I N A M I C I G E N E R A T I DA U N ' E Q U A Z I O N E A U T O N O M A .

7

2.

SISTEMI

3.

SEMIGRUPPI DINAMIOI

.

ORDINARI ...........................

DI T R A S F O R M A Z I O N I

GENERALIZZATI

MULTIVOCHE

20

IN UN S I S T E M A

GENERALI ZZATO ..............................

IL SISTEMA DINAMICO GENERALIZZATO

12

0 SISTEMI

0 SENZA U N I O I T A ' . D E F I N I Z I O N I . .

I L C O N O DI T R A I E T T O R I E E LE T R A I E T T O R I E DINAMICO

.

DINAMICI

26

GENERATO DALLA

E Q U A Z I O N E A U T O N O M A ~ = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

INVARIANZA .........................................

#0

7.

INSIEMI

Zl.6

8.

~ROLONGAZIONI

9.

INSIEMI MINIMI .....................................

'75

10.

S T A B I L I T A ' DEGLI

INSIEMI

CON[PATTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

'76

11.

A T T R A Z I ONE DEGLI

INSIEMI

COMPATTI ..................

81

12.

STABILITA'

13.

OLASSIFICAZIONE

o

L I M I T E . . ...... ... ..... E INSIEMI

ASINTOTICA

L I M I T E P R O P O R Z I O N A L I ........

DEGLI

INSIEMI

CON[PATTI . . . . . . .

DEL F L U S S O N E L L ' I N T O R N O

65

88

DI UN I N S I E M E

COMPATTO F O R T E M E N T E I N V A R I ~ N T E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

14.

FUNZIONI

97

15 9

RI SULTATI L O C A L I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

16.

TEOREMI

DI E S T E N S I O N E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

17.

S T R U T T U R A D E L L E C U R V E DI L I V E L L O . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

DI L I A P U N O V P E R F L U S S I

SENZA U N I C I T A ' ......

VI

18.

CONDIZIONI CON LE D E R I V A T E S E M I D E F I N I T E . . . . . . . . . . . . . . .

135

19.

TEOREMI

DEL TIP0 DI R O L L E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

20.

APPE~DICE .............................................

158

BIBLIOGRAFIA.. .............................................

165

1-

0.1

~ZIO~E 0 0.1

INTRODUZIONE.

I~ teoria matematiea fine del 17 ~ secoIo Poioh~

la legge

ferenziale

fra "forze"

trasformate

di Newton

costituiti

in sistemi

9

di tipo dif-

si possono

costrui m

si applica,

da equazioni

dei

differenzia-

che possono

di equazioni

verso la

9 Lie~itz.

un legame

di Newton

di un certo ordine,

essere

differenziali

del

ordine.

Per due secoli

il maggiore

mi fu la rieerca differenziali. equazioni

I risultati

to nel secolo

scorso

esplicite

furono

della

delle

equazioni

scarsi perch~ poche

integrate

differenziali.

La teoria moderna ziata quasi

essere

il problema

equazioni

lavoro nella teoria dei siste-

di soluzioni

potevano

ch~ si pose delle

~ cominoiata

e "posizioni"

cui la legge

matematici

li ordinarie

primo

con i lavori

di Newton esprime

re per i sistemi modelli

dei sistemi

esplicitamente,

esistenza

sic-

di soluzioni

Questo problema

fu risol-

da Cauchy.

delle equazioni

simultaneamente

differenziali

da A.M.Liapunov

fu ini-

e da H.Poin-

car~. L'idea generale

comune

ai loro lavori

~ quella

di studia-

-2-

re il comportamento

O.2

qualitativo ossia le propriet~ generali

godute dalle soluzioni di equazioni differenziali

senza ri-

cercarne esplicitamente la soluzione. Tuttavia il concetto di propriet~

qualitativa ~ differente

nei lavori di Liapunov e di Poincar~. Le propriet~ qualitative considerate da Poincar~ carattere essenzialmente

topologico,

mentre la propriet~

qualitativa studiata da Liapunov ~ la stabilitY, originariamente meccanico,

sono di

concetto

derivato da quello di Lagrange.

In realt~ in questo ultimo mezzo secolo si ~ riusciti ad unificare

questi contributi

sistemi dinamici astratti,

in una teoria unica,

quella dei

che pub in questo senso definir-

si come una analisi topologica delle propriet& qualitative dei sistemi,

e quindi anche della stabilitY.

In questa teoria il punto di vista assiomatico, largo spazio in questo lavoro,

~ importante,

perch~ il con-

cetto di sistema dinamico astratto ha acquistato di modello matematico to da certi parametri, relazions

di un sistema meccanico non necessariamente

differenziale,

cui daremo

il valore

caratterizza-

legati da una

la cui evoluzione temoorale soddi-

sfa ad un ristretto numero di postulati. Indubbiamente

il concetto di sistema dinamico con unicit~,

cui accenneremo,

~ il pih ricco di significato fisico;

tut-

-3-

o.3

tavia per alcune applicazioni di carattere geometrico pig utile il concetto di sistema dinamico senza unicit~, che noi svilupperemo,

e che rappresenta una generalizzazio-

ne del primo. Anche il concetto di stabilitY, originario di Liapunov, logico:

pur derivando da quello

ha acquistato un significato topo-

stabilit~ ed attrazione vengono,

sistemi dinamici astratti, di un opportuno

riferite ad un generico i n s i e m e

spazio topologico,

priet~ geometriche

nella teoria dei

ed appaiono come pro-

delle traiettorie del sistema nell'in-

torno di quell'insieme. Liapunov non si limit~ a definire i concetti di stabilit~ ed attrazione, di Liapunov)

ma propose un metodo

per decidere,

senza integrare esplicitamente

una equazione differenziale, possedessero

(il "secondo metodo"

se certe particolari

soluzioni

o no determinate propriet~ di stabilitY.

Questo metodo ~ fondato sulla costruzione di opportune funzioni reali,

dette funzioni di Liapunov le cui superfi-

ci di livello hanno certe propriet~ topologiche.

Dall'esi-

stenza di queste funzioni seguono le propriet~ di stabilit~ volute.

-4-

0.4

In questo lavoro verr~ sviluppata una teoria dei sistemi dimamici da un punto di vista strettamente geometrico: il sistema dinamico astratto viene studiato come gruppo monoparametrico di trasformazioni di uno spazio metrico in sA e la teoria della stabilit~ come analisi delle propriet~ topologiche delle ipersuperfici di livello di opportune fuazioni reali. Nella prima sezione di questo lavoro ~ esposto un breve riepilogo delle condizioni sufficienti perch~ l'equazio@

ne vettoriale autonoma x = g(x) abbia soluzioni che generano ua gruppo di trasformazioni univoche o multivo che dello spazio R

n

in s~.

Nella seconda sezione riassumeremo molto brevemente i principali concetti della teoria dei sistemi dinamici ordinari, cio~ dei gruppi ds trasformazioni univoche, per quella parte almeno che interessa la teoria topologica della stabilitA degli insiemi compatti. Nelle sezioni successive viene esposta una teoria originale dei semigruppi di trasformazioni multivoche e viene sviluppata la teoria topologioa della stabilit~ per insiemi compatti.

-5-

O. 2

NOTAZIONI.

Elenchiamo in questo R

0.5

ora le p r i n c i p a l i

notazioni

che verranno

lavQro.

insieme

dei numeri

reali

R+

.

,,

,

,,

non n e g a t i v i

Rm

,

,,

"

"

non p o s i t i v i

Rn

spazio

X

spazio m e t r i c o

I

gruppo

i+

euclideo

a n dimensioni completo

dei h u m e r i

interi

11

I!

01

I!

non negativi

It

11

11

tl

non positivi

T

spazio

G

gruppo

Con lettere ni

usate

topologico

latine

o cono

di t r a i e t t o r i e

minuscole

si denotano

i vettori

(eccezio-

minuscole

si denotano

gli

si denotano

gli insiemi.

: t , u, v, w).

Con lettere

greche

scalari

~r&ie~orie (ecceziome ~, ~ ). C o n lettere

latine

maiuscole

e

-6-

0.6

Sia M un insieme di uno spazio topologico. M

~ la chiusura di M M

~ la frontiera di

(M) ~ l'internodi M M~N

~ l'insieme differenza di M e N

(M) ~ il complementare di insieme vuoto. Sia M c

~ spazio metrico con metrica p e s i a ~

=

x :

o

}

H (M,o() La norma di Se { xn~ r X n

x --, x G X

x 6 X , ~ xjl, A definita c o m e ~ ( x ,

x).

una successione di punti, con la notazione vogliamo scrivere che lim

Jlxn- x II = o

n~§

0.3 Bibliografia e commenti sulla Sezione O. Accenni allo sviluppo storico della teoria dei sistemi dinamici si trovano in V.V.Nemijtski~1~ e in G.D.Birkhoff ~ I ~ . Una messa a fuoco delle origini 9 della evoluzione della

,,[,?

teoria si trova in N.P.Bhatia e G.P.Szego

-7SEZIONE

1.1

I

I SISTEMI DINAMICI GENERATI DA UN'EQUAZIONE AUTOKOMA.

Purse

la teoria dei sistemi dinamici generalizza-

ti, che costituisce astratta,

l'oggetto

di questo lavoro,

cio~ non si applica necessariamente

stema descritto da un'equazione via importante,

differenziale,

per le applicazioni

ad un si~

tutta-

che ne fareme, preci-

sare sotto quali condizioni un'equazione differenziale tonoma, 1.1.1

au-

cio~ del tipo: x = g(x)

xs

n

genera un sistema dinamico ordinario o generalizzato. Diciamo soluzione della IJ.1 ogni funzione vettoriale x(t) definita per t - ~ t ~ t + tale che x(o) =x e x(t)=gCx ( t ~ per ogni t del suo intervallo di definizione. Ci occuperemo

sempre di soluzioni non prolungabili,

cio~ tali che l'intervallo reale in cui sono definite sia il pih grande possibile. Le proprist~

fondamentali

di cui pu~ godere una solu-

zione della 1.1.1 sono le seguenti: 1.2.1Esistenza.

Esiste almeno una soluzione,

riamo non prolungabile, punto x E R n.

che conside-

della 1.1.1 in un intorno de~

-8-

1.2

1.2.2 Estendibilit~. L'intervallo di definizione di ogni soluzione (non prolungabile) ~ - ~ < t

< +~.

1 9 2.3 Continuit~ rispetto ai dati iniziali. Sia A ~ R supponiamo che ~ x ~ A

n

e

ogni. soluzione x(t) sia defini-

ta almeno per a ~ t ~ b . Sia p o i l x n 3 c A e sialxn(t) I una successione di soluzioni. Allora s e x

n

-~ xE A,

esiste una soluzione x(t) tale che x n ( t ) - ~ x ( t )

uni-

formemente per a-~ t ~ b +. 1.2.4 Unicit~. La soluzione ~ unica. Come vedremo, perch~ l'insieme delle soluzioni della 1.1.1 d e f i n i s c a u n sistema dinamico generalizzato, bisogna che ciascuna soluzione goda delle propriet~ 1.2.1,1.2.2,e 1.2.3, mentre non ~ richiesta l'unicit~. Inoltre le propriet~ richieste devono essere globali, cio~ valere per tutti i punti x m R n. Invece perch~ il sistema dinamico generato dalla sia ordinario, occorre anche la propriet~

1.1.1

1,2.4.

La letteratura sulle condizioni sufficienti da imporre alla g(x) perch~ le soluzioni godano delle propriet~ enunciate ~ vastissima, a partire dai risultati di Cauchy e dal classico teorema di Peano. Un lavoro moderno e completo al riguardo ~ la memoria di A.Strauss e J. Yorke

I citata nella bibliografia.

1.3

-9-

In quella memoria le condizion• riguardano il caso pih generale di una equazione non autonoma, cio~ del tipo: x = g(x,t)

x~

R n.

Noi enunceremo senza dimostrazione i principali risultati, nel caso particolare di equazioni del tipo 1.1.1e di propriet~ globali. O

1.3.1

Sia g(x) di classe ~

in R n, cio~ g(x) sia continua

in ogni punto x c R n. Allora valgono globalmente le propriet~ di esistenza e continuit~ rispetto ~

dati iniziali.

Si osservi che non viene richiesta la derivabilit~ rispetto ai dati iniziali. 1.3.2 Esista K > o

tale che:

g(x)ll < K

II xll

~ xs

Rn

Allora tutte le soluzioni godono della propriet~ di estendibilit~. 1.3.3

Sia g(x) localmente Lip~h~ziana,

cio~ ~ x a R n esi-

sta un intorno U (x) e una costante k ~ o tale che IIg(x') -g(x")II ~ k II x' -x'ql

per x',x"~

Allora vale la propriet~ di unicit~ per ogni

U (x).

x ~ R n.

Si osservi che in questo caso k dipende da x, mentre nel caso precedente ne era indipendente. Una condizione sufficiente (evidentemente non necessa-

-

1.4

10-

ria) perch& g(x) sia localmente Lipse~i~ziana ~ che sia di classe ~I in R n, cio& che le sue componenti abbiano derivate prime continue rispetto alle variabili. Nelle applicazioni geometriche che noi faremo dei teoremi di estensione si considerer~ di frequente un'equazione differemziale del tipo = f (If grad~(x)~)

grad ~ (x)

dove ~ (x) ~ una funzione reale differenziabile

in R n

ed

f ~ funzione reale di variabile reale. Da quanto detto in precedenza segue che perch~ un'equazione di questo tipo generi un sistema dinamico generalizzato basta c h e ~ ( x )

sia di classe ~ I

in R n, c h e f

sia con-

tinua sull'asse reale e che valga una disuguaglianza del tipo:

f(ll ad (x>ll )ll ad (x>

Uxll

con k indipendente da x. Perch~ •

sistema generato sia ordinario basta •

che, oltre alle condizioni precedenti, mente differenziabile Naturalmente,

sia f ( ~ ) continua-

sull'asse reale e ~ (x) di c l a s s e ~

~ bene ancora sottolinearlo,

2.

tutte que-

ste condizioni sono sufficienti, ma non necessarie.

-

1.4 Bibliografia 9 r

ii

sulla

-

1.5

Sezione I.

I risul~ati di questa sezione 9 le relative dimostrazioni si trovano in A. Strauss 9 J. Yorke 11]" Questi autori utilizzano a loro volta opere di Coddington e Levinsonil],

-

12-

2.1

SBZlO~E 2

SISTEMI DINAMICI 0RDINARI E' utile, per comodit& di confronto, vemente le principali definizioni dei sistemi dinamici ordinari,

riassumere bre-

e concetti della teoria

o con unicit&.

Infatti la

nostra teoria dei sistemi dinamici senza unicit& rappresenta una generalizzazione

di quella, che cerca di mantenere

inalterate le principali propriet& di invarianza,

stabilit&

ed attrazione degli insiemi compatti. 2.1

DEFINIZIONE

Un sistema dinamico ordinario ~ una terna (X,R, N ) dove X ~ uno spazio metrico completo, R ~ l'insieme dei numeri reali, consider~to e ~ 2.1.1

~ una applicazione X ~ R-~X che soddisfa agli assiomi: Assioma di Identit&: (x,o)

2.1.2

come gruppo topologico additivo

x

= x

Assioma di 0meomorfismo: xEX

~E?~(x, tl), t2]= ~(x, t1+t 2) 2.1.3

Assioma di Continuit&:

~ continua. O s s i a s ~ x n l c x , l t n l C R , xn-~ x, t ~ t , ~l (xn, t n)

allora :

~-~ ~ (x,t) .

,tle t 2 @ R

.

-

13

-

2.2

Nella teoria dei sistemi dinamici ordinari re la terminologia

abbraviata

7T(x,t) ~ e analogamente, se A c R ,

:

x t

se M ~ X ,

x A =~y

Mt =I yr X; y = xt con

~ X ; y = x t

M A = ly ~ X; y = x t, con La applicazione

~

con

x~M

genera,

t~AI,

, t~A~

La transizione

2.1.5

Ii movimento

t

N VT

x~M~ e infine

.

quando si fissi una delle

due variabili x 9 t,due nuove applicazioni 2.1.4

si pub usa-

= X--~X

: R -~X

e precisamente:

cos~ definita: N t ( x ) =

E(x,t).

cos~ definito:

X

l~x(t) = L'insieme

~

(x,t).

delle transizioni

?~

t

metro t ~ un gruppo di omeomorfismi, biunivoche

e bicontinue.

evidentemente

~

-t

dipendente

cio~ di trasformazioni

La transizione

inversa di ~ t

.

Questa propriet~ ~ molto importante ni topologiche

per le applicazio-

della teoria dei sistemi dinamici ordinari.

Si osservi che non ~ necessario, ma dinamico ordinario,

per definire un siste-

che X sia uno spazio metrico:

essere soltanto uno spazio topologico.Perb qualitative

dal para-

vanno perdute

Ugual discorso

pub

molte propriet~

se non si fa quella ipotesi.

si pub fare per altre propriet~ dello

spazio X : compattezza locale e connessione

locale,

ad esem-

-

14

-

2.3

pio. E' invece importante notare che al posto della retta reale R si puS, negli assiomi 2ti, considerare un generico gruppo topologico. 2.2

DEFINIZIONE.

S e x E X la traiettoria, la semitraiettoria positiva, la semitraiettoria negativa uscenti da x sono rispettivamente gli insiemi 2.2.1

~(x) =

(x t : t ~ R 1

2.2.2

+(x) =

{x t = t CR+I

2.2.3

y-(x) =

Ix t : t a R - I

Invece dei simboli ~ , ~ - e ~+ si pomsono usare i simboli 2.3

xR, xR + e x R-.

DEFINIZIONE.

Si dice punto di equilibrio, o critico, un punto x E X tale c h e : (x)

2.4

= x

DEFINI ZI ONE.

Si dice invariante, positivamente invariante negativamente invariante un insieme M ~ X 2.4.1

~(M)

= ~

= M

2.4.2

+ (m) = m~+= 'm

2.4.3

-

(m)

= m-=

m.

tale che, rispettivamente:

-

2.4

15-

2.5 DEFINIZIONE.

Si dice insieme limite positivo di x 2.5.1

A+(x)

, xt n _.~ y

= lyg x :5 Itn~cR+,t n--~ + ~

Si dice insieme limite negativo di x 2.5.2

A-(x)

:{ys

~ { t n I C R - , tn

X l'insieme:

,-~

X l'insieme: x tn-~ y}

.

2.6 IL~FINIZI ONE. Si dice prima prolongazione positiva di x D+(x)= {y E X 2.7

:7 { tnJ C R+,~ x nJC X

xn -->x

X l'insieme:

, xn tn_ ~ y J

.

Si dice insieme limite prolongazionale positivo di x ~ X

1 'insieme: J+(x)={y~X

-.3{tn~CR + ,{xn~cx , xn-~x , tn-~+~;

Xntn --~ y 2.8

.

Riportiamo o r a i principali risultati sulla stabilit&

degli insiemi compatti. Per tali insiemi il concetto di stabilit& e quello di stabilit& uniforme vengono a coincidere. 2.9

DEFINIZIONE. Si dice che Mr-X, compatto, ~(uniformemente)positiva-

mente (negativamente) stabile se per ogni intorno U (~) si pub determinare un intorno V(U) tale che, rispettivamente 2.9.1

~ +(V) C U Si dice the ~ c X ~

,

~ -(V)C

U.

&nmtabile se non ~ stabile.

-

2.10

2.5

16-

§

Si dice regione di attrazione debole

di un insieme compatto M C X 2.10.I

I y~X

: ^+(y)

A ~ (M)

l'insieme:

~

, ^+(y) D M At(M) di un insieme

Hi dice regione di attrazione compatto M C X l'insieme :

2.10.2 { y~

X :

A+(y) ~ " ,

4+

(y) c

Si dice regione di attrazione uniforme A + (M) di un insieme compatto

M C X l'insieme:

U

2.10.3(yEX:J+(y) 2.10.4

~ ,

Si dice che M C X

J+(y)~M} compatto ~ un attrattore debole

§

se A ~ ( M ) 2.10.5

~ un interne di M.

Si dice che M C X

compatto ~ un attrattore

se A + (M) ~ un interne di M. 2.10.6

Si dice che M C X

compatto ~ un attrattore uniforme

se A +u (M) ~ un interne di M. 2.10.7

Se M ~ X

compatto ~ un attrattore uniforme ~ un at-

trattore, se ~ un attrattere ~ un attrattore debele. Si noti che un attrattore uniforme M C X

pub essere tale

che Au(M) C A(M) e non sia Au(M) = A(M). 2.11

DEFINIZIONE. Si dice che M C X ~ positivamen~e asimteticamemte sta-

bile me

~ positivamemte stabile e d ~ um at~rattere positive.

-

Si dice che M d X

17

2.6

-

A nega~ivamente asimtetieameR~e sta-

bile se ~ negativamente stabile ed ~ un attrattore negativo. Assumiamo che X sia localmente compatto. 2.12

TEOREMA. MCX

2.1 3

solo se D+(M)=M.

TEOREMA. M cX

see

eompatto ~ pos. stabile s e e

compatto ~ positivamente asintoticamente stabile

solo se M ~ positivamente invariante ed ~ un attrattore

uniforme. 2.1 4 TEOREMA. Sia M C X compatto un attrattore. Allora il contorno della sua regione di attrazione ~ invariante. 2.1 5 PUNZIONI DI LIAPUNOV. Si dicono funzioni di Liapunov per il flusso generato dall'equazione autonoma x = g(x), le funzioni reali ~ (x) e ~

(x), definite in un intorno N(M) di un insieme compat-

to M CX,

ii)

iii)

che godono delle proprietY:

= j k J k

J(/(x, tk)- )~(x,o)

Allora:

(tk)= J(tk).

, g (x)]

tk

~[(~k(x,[ tk) - (D(x,

t k)

tk

tk

+

.

][

ll6~x:~[to (x, tk), 60 (x,t k) + ~ tk~[

~
o tale che:

M2 =,O"

e quindi, a maggior ragione:

S (G1,s Percib f(x,t) = G l U G 2 stulato

3.2.1

G2 = ,,~ non sarebbe connesso, contro il po-

Q.E.D.

-

44

6.5

-

Analoga dimostrazione vale per invarianza negativa e per l'invarianza. 6.9

COROLLARI0 Se M chiuso, debolmente positivamente invariante e sia

~(M)

pure debolmente positivamente invariante. Allora B

M

debolmente positivamente invariante. 6.10

COROLLARIO Se M ~ fortemente invariante, ~ M ~ debolmente invarian-

te. Dimostrazione: Se M ~ fortemente invariante, evidentemente (M) ~ debolmente invariante, quindi tanto M

che ~ ( M )

sono debolmente invarianti. Ora essendo M U ~(M) =X fortemente invariante ed essendo ~ M = M ~ 6.11

~-~),

dal teorema 6.8

segue l'asserto.

OSSERVAZIONI ll teorema 6.6

(e quindi anche

6.5

~ valido an-

che per Roxin 5 ~ Perch~ valga il teorema

6.8

~ necessario invece che

f (x,t) sia connesso: perci6 abbiamo aggiunto la connessione a• postulati che definiscono il sistema dinamico generalizzato.

-

45

-

6.6

Eorke dimostra questo teorema, per il sistema generato dalla 3.1.1

facendo uso del concetto di sottotangenzialitA:

in questo modo il teorema di Kneser diviene un corollario. Noi occupandoci del sistema dinamico in modo astratto, non legato ad una equazione differenziale, l'invarianza alla sottotangenzialit~

non vogliamo legare

e pertanto dobbiamo

postulare la tesi del teorema di Kneser. I1 corollario

6.9

~ piuttosto importante nello

studio delle propriet~ dells regioni di attrazione di attrattori compatti. A questo riguardo ha minore importanza il corollario

6.9

; infatti,

come si vedr~, la regione

di attrazione di un attrattore compatto e un insieme fortemente positivamente fortemente

invariante,

ma non, necessariamente,

invariante.

6.12 Bibliografia e commenti sulla Sezione 6.

I concetti di invarianza debole e forte sono discussi da tutti gli autori the hanno scritto sulle trasformazioni multivoche.

Tra questi si veda Roxin ~11

In particolare per trasformazioni differsnziali,

@

generate da equazioni

il concetto di invarianza debole ~ equiva-

lente a quello di

II

sottotangenzialit~

II

discusso da J.A.Yorke E2 ~ 9

-

46

-

7.1

SEZIONE 7

INSIEMI LIMITE

7.1

N RoDuzIo E con

ESE

IO.

Sia Barbashin[1]ehe Yorke[1,2] definiscono l'insieme limite di una traiettoria. Yorke definisce anche l'insieme limite, di un insieme di traiettorie e l'insieme limite di un punto. Secondo la definizione di Yorke, perch~ l'insieme limite di un punto x E X non sia vuotoT basta che esista ~n(x,R)}

e ItnlcR + , t n -~ + ~ , t a l i

cheyn(x, t n ) ~ y e 5.

L'osservazione fondamentale che noi facciamo ~ questa: delle traiettorie uscenti da un certo punto, alcune possono avere classe limite vuota e altre no. Diciamo che una traiettoria~(x,R)

ha classe limite

non vuota se esiste{t n } ~ R +, tn--~ +~tale che ~ ( x , t n) convergente. Per illustrare questo fatto ci appoggeremo ad un esempio monodimensionale

(X=R) molto semplice. Quello citato

di Sell non ~ adatto allo scopo, perch~ in realt~ definisce un semisistema dinamico (vedi Roxin[1]e Bhatia[1~ ). Consideriamo pertanto l'equazione differenziale: 7.1.1

x = x 2/3

x reale.

Le soluzioni passanti per l'origine sono :

-

I

O,

47

7.2

-

per o ~ t

(t 1

(t-tl)3,per t l ~ t < + ~

7.1.2

27

'~(o,t)= 0,

per ~

(t-t2)3,per

t~o -~o o tale che per ogni n abbastanza grande S(y,~ ) ~ X ( x , tn)= ~

e che quin-

(tn~ T),

,il che ~ assurdo se ~(x, tn)-~ y .

Dimostriamo ora che se A+(x)=~secondo la 7.5 , A+(x) = ~ s e c o n d o la 7.4 7.4

) Per ogni traiettoria

Fissato k esiste I tn]k' tkn~ k --~

§

~

intero positivo, yEUX(x,t) per ogni n tale che

e dunque

X(x, tk)-~y per

.

Ora fissato ~ V

~(x,R) esiste un punic y ~ X

U ~ (x,t)" t~u

~OR +

tale che y~

n

Sia A+(x) ~ ( d e f i n i z i o n e

I k

, si pub determinare n tale che,

n,m ~n, sia simultaneamente. X (x,t),

k

'

~

(x'tkn)'

(x,t~) 4 k

Prendendo come sottosuccessione dilt~quella che ha come ( E)

52

-

7.7

-

primo elemento n, le due disuguaglianze valgono per ogni n, m e k. Dunque: ~(x,

k yl.< tk), P{ 2 k

Dunque Percib

--~

n ~(x, tk), ')(/(x'tk)I + ~ I

~ (x'tk)' Y)

o per k -~ + ~ .

(x,t)-~y, m a t k > k e dunque tk--~ + ~ . /~+(x)#~(definizione

7.5 ~ essendo

~(x,R) arbi-

traria. Ne deduciamo che /~+(x)

=~(definizione

solo se A+(x) = ~ (definizione Sia ora A + (x) J ~ ,

7.4 )see

7.5 ).

e vediamo che le due definizioni

sono equivalent• $ia ~n(x, tn)--~y,

n(x, o) = x, tn - ~ e

supponiamo

per assurdo che sia : y/

~R+ ~

~ ~ ( x , o ) =x

U t~

~ (x,t)

Allora esiste T > o tale che :

C; YlX(x,oU =x t~,~ Sia

(x,t)

{ n] n z C X una qualunque suceessione tale che z -~ y .

Non pub es~ere allora :

c.

G

I zn) ")((x,o) =x

e quindi non possono esistere (t n) ~T zn= ~n(x,t n) ;

(x,t)t

U

t ~T

dunque non pub e s s e r e

n

e '~' (x,R) tali che ( x , t n}

~ y,

53

-

yc

contro l'ipotesi. Percib

+

~r Viceversa sia

yE

+

Tr R

7.8

-

U ~ (x,o):x

U X(x,~

U t~K

U tT,

Fissato k intero positivo, deve essere y ~ ~(x,o)=x

Percib esiste

{Zk}C~(x~U)=x

t~.k~(x't) tale che Zk -~y per

n - - ~ + ~ .Allora si ha : zkn =

nk (x'tk);

n

tk

>i k, ~ n

Col ragionamento usato in precedenza si trova c h e l a successione diagonale{ tk} ~ tale che per k_~+oo.

7.6

e ~ kk (x, tk)_~ yeX Q.E.D.

OSSERVAZIONE Se ~+(x) / ~

7.5

tk~ +~

,la definizione che risulta dal teorema

~ quella di Yorke: la

7.4

ne ~ una versione pura-

mente geometrica, non legata ad una equazione dif~renziale. 7.7

OSSERVAZIONE La condizione necessaria ~ sufficiente p e r c h ~ A + ( x ) ~

che ogni traiettoria uscente da x abbia classe limite non vuota, cio~ esista t n - , + ~ o tale che (~(x, t n ~

una succes-

sione convergente. n +(x) non ~ perb l'unione di queste classi limite (l'unione di infini~insiemi chiusi pub essere aperta), m a n e contiene la chiusura. Vale infatti il seguente teorema.

-

7 98

54

-

7.9

TEORE~A Be h+(x) )~)0" ,A+(x) = ~ R

+ T

x,

Dimostrazione. 8eA+(x)% ~

,dalla dimostrazione del teo-

r ema

s

7.5

~ evidente chey

U ~(x,o)=x

TC) e R + UX(x,t) t~

se e solo se esitono ~(x,R) e tn--~ +ootali che ~(x, tn)-~YCon il solito procedimento della successione diagonale ~ facile vedere che, essendo, { y ~ X ; 3 ~{

~ (x,R), tn-~ +~; X (x, tn) --~ Y~

y ~ X;~if(x,R))

C

, --~ +~; ( x , t n)--~ y , tn ~m 1

l'insieme al primo membro ~ ugaale a quella al secondo membro a

~R+

f

(x,t)

, quindi:

(x,t) ~(x,o)=x

~s §

t ~,~

T~ R +

7.90SSERVAZIONE

Un esempio molto semplice chiarirh che pub essere A+(x) =

Si consideri l'esempio all'inizio del capitolo, modificato in modo che ciascuna ~(o,t) converga ad I (per difetto) per t---~+~.

55 E' chiaro c h . ~ ( o )

7.10

- [ 0 , 1 ] ,~ compatto, mentre l ' t m i o n e

delle classi limite delle Craiettorie uscenti dall'origine ~ eostituita dai pumti 0 9 1, che ~ un insieme ehiuso 9 non connesso. X(O,tj

tI

7 9 10

t

OSSERVAZ IONE

La definizione :

quella che formalmente generalizza la definizione valida per i sistemi dinamici ordinari. Come gi~ si ~ detto,

la differenza notevole tra i si-

stem• ordinari e generalizzati "all'infinito"

sta nel diverso comportamento

delle traiettorie uscenti da un medesimo Dun-

to.

7.11

TEOREMA +

A

(x) ~ chiuso e debolmente

Dimostrazione.

Supponiamo

invariante.

A+(x) %

~

,altrimenti la tesi

banale. Che A+(x)

sia chiuso ~ evidente,

essendo l'intersezione

-

56

7.11

-

di insiemi chiusi. Sia ora

n

yEA+(x)e

sia ~ X n

(x,t)->y con t n - ~ + ~ . S i a Poniamo zn

~

(x,R) I tale che R arbitrario.

= ~n(x, tm) e C0 n( zn, t) = ~ n( x, tn+t)

per ogni t E R .Per il teorema BoB~ toria uscente da zn , ed ~ n Allora S ---~ ~

m

~

m (y,R) tale che (AJm(zl T )

I ~ m ( zm ,R)

(x, ~C ) dove

m

(zn, o) = zn --~ y .

una traiettoria

successions dil COn

zn ,R) ~ una traiet-

~ una opportuna sotto-

(zn'R)l" Si ha dunque :

(z ,~) =

~m

m

(x, t

+~)~-~ @ (y ,~)

Ora si pub scegliere la I tnl iniziale in modo che tm--~ + ~ : m anche t +T --~+~ e perci6 ~ (y,~C) E ~+(x). Ne deduciamo che per ogni e quindi, per la condizione

t, f (y,t) ~

Q.E.D. TEOREMA

Se

A +(x) ~ compatto, ~ connesso.

Dimostrazione. Fissiamo

~ ~ o arbitrario; lo spazio X

localmente compatto, sicch~ S IA+(x),~ Essendo esiste T~ T~

,

3.5.4 , ~+(x) ~ debolmente in-

variants. 7.12

~ +(x)~ ~

A +(x) ~ ~

tn-~ + ~@ tale che = Sup

t

~

compatto.

,fissata arbitrariamente ~(x,t n)

tale chs

~ finito, perch~ se fosse T

~

~ (x,R),

--~ y~ ~+(x). Diciamo: (x,t)

= + ~,

~

H ~A +(x),~J

esisterebbe tn--~ + ~

57

-

patto, e perci~ esisterebbe X(x,t n)

--~

y'

p

y ~ H [

assurdo

Ancora se fosse T =

,che ~ com-

A + (x),gJ

tale che

9

Dunque, per ogn• t >/ T X 0ra poniamo T = Sup X(x, o)=x

7 . 1 2

A § (x) , r.. "~

~(x,t "n) E H [

tale che

-

y

,

(x,t)

S [A+(x), ~]

T x.

+ ~

n

esisterebbe ~ (x,R) e T - , + ~

P tall che:

{

)I "[^§

"E^+(x)'

e quindi perci6

;sarebbe

y '~A+(x), assurdo.

Dunque per t ~T , ogni e T dipende solo da

p1

Sia A+(x) non connesso. Allora A+(X)= PI U P2' dove p2 e sono insiemi chiusi tall che PI/~P2 = ~ .

Sia ~ > o tale che S [PI'6] (~

S [P2,E]= %~. Si pub

determinare T! tale che per ogni t>/T I ,

~(x,t) ~

Fissato

6 S [P2,~]

S[A + (x),~ 1

~ >/ T

Y2(x,R) tale che

X (x,R) e per ogni .

non possono esistere

Xs(x' ~-) E S [ PI,6] altrimenti f(x, I: ) C

sarebbe connesso, contro il postulato Supponiamo dunque che per t

Yl(X,R) e e ~2(x, T )

S [ A +(x),~ ] non

3.2.1

.

= "C ,per ogni

~ (x,R)

-

sia ~

(x,q5) E.

58

~PI' t~] .Per

S

temente essere ancora f ( x , t ) C

-

ogni t ?/I~ dovr~ evidenSIPI,~ ~

sarebbe vuoto. Se fosse infatti z~P2, sioni tn --~ +aoe

{)~,

(x,R

)~

que per n abbastanza grands, possiamo supporre tn~%,

7.1.3

;allora

P2

esisterebbero succes-

tall che ~nn (Xn ,tn)-~z e dun~=(tm)ES E z,~U C

S[P2, EI ;

il che contraddice l'ipotesi fatta. Q.E.D.

Dalla dimostrazione segue subito che: 7.13

PROPRIETA' Se A+(x) ~ compatto e non vuoto, per ogni

~ (x,t)__~ A+(x) per t-~+oo, Vale •

~(x,R),

la propriet&

+

pig forte c h e s e

A

[f (x,t) 8i osservi

(x) & non vuoto e comoatto: ,A +

(x)] ~

o

per t ~

+~o

il cazmttere globale di questa proprie-

t~, che ~ pig forte di quella relativa ad una traiettoria singola.

7.14

TEOREMA Se A+(x) non ~ compatto, nessun suo componente ~ compat-

to.

Dimostrazione~ Ricordiamo che lo spazio X ~ localmente compatto ed ~ di Hausdorff. Consideriamo la compattificazione di Z mediante l'ag-

-

59

-

7 . 1 4

giunta di un solo punto improprio,

denotiamolo conu~; lo

spazio risultante denotis~molo con X = X ~ {~I" Si pub estendere il sistema dinamico generalizzato (X,R, f) su X a l

sistema (X,R,f) su X, ponendo

f(x,t) = f(x,t)

per

f (~o,t)= ~J

per ogni t a R

Se x EX, allora

A+(x)

x(X

:

e ts

e A + (x) & il suo insieme limite positivo, = A + ( x ) ~JI~J,

se x ~ X

e~+(x)

non ~ compat-

to. Ma

~V(x) ~ compatto,

perch~ X lo ~, e per il teorema

precedente ~ anche connesso. Perci~

A+(x)

~ un continuo di

Nausdorff. Esiste un teorema to~ologico che dice c h e s e un continuo di Hausdorff e U ~ il complementare

S

in S di

un insieme chiuso, mentre C ~ un componente di U ,allora U\ U

contiene un punto di accumulazione In questo caso A +(x)

\

di C.

A +(x) = { ~ s

quindi ogni

componente C di A+( x )contiene 05 : quanto a dire che, in X, nessun componente di ~+(x) 7.15

TEOREMA: ~+(x)

Dimostrazione.

~ compatto.

~ com~atto s e e

Q.E.D.

solo se T+(x) ~ comoatto.

La condizione ~ sufficiente.

Sia T+(x) compat-

to e sia ~ (x,R) una qualunque traiettoria uscente da x e Itn} C R + tale che tn --~ + ~

.Allora

~ ( x , tn) E f

(x,t n)

60 e dunque

~X

(x, t n ) I C T + ( x ) ~ T + ( x ) e d

te. Dunque A + (x) ~ ~ Ora T+ If

7.15

)~

(x,~

U t ~o

~ percib convergen-

.D'altra parts A+(x) = ~ R ~

T+[f(x,~ )~.

f[f(x,T. ) ' t],con ~a R+ ' percib

T+~f (x,T)]=

~ t~o

f(x,t +~)C T+ (x) Dunque T+~f (x,~')]C T+(x)

per ogni ~

R + e percib anche ~ + ( x ) C

T + (x) ; quind•

~+(x) ~ compatto. La condizione b necessaria. Sia A+(x)~

%~,

A+(x) compatto. Per la propriet~ 7.1~ fissato ~)o si pub determinate ~

o tale che, per t ~ g

Dunque anche T+[f (x,q5)] C e quindi

T+[f

, f (x,t) C

S[A+(x)

~I/~+(x),~]

,~]

.

che ~ compatto,

(x, ~C )] ~ compatto.

Ora T+(x) = T~ (x, [ o,~] ) ~ T+[f

Entramb• quest• •177

(x, qT)] =T+ (x,[ o,~])

sono compatti, quindi T+(x)

compatto.

Q.E.D.

7.16 DSSERVAZIONE. L'esemo•

riportato all'iniz•

sezione mostra chese non si usa la definizione

7.4

della , pub

dare• che l'insieme limite d• un ~unto non sia vuoto, mentre ogni traiettoria uscente da quel punto ~ divergente e non oscillante. Si osservi perb che in quell'esemp• Yorke non ~ compatto.

il A+(o)

secondo

-

Ci si

61

7.16

-

porre la domanda: se ~+(x) seeondo Yorke

pu~

che denoteremo con A +(x) ~ compatto, definizione 7.4

A +(x) secondo la

pu~ essere vuoto ? La risposta & negativa

come mostra il seguente teorema. 7 917

TEOREMA Se l'insieme ~(~):

~}x, tn)--, yl Dimos~razione.

~X :~

x,R

~ compatto, T + ( x ) ~

CR + , t--~ n +~ compatto.

Sia ~+(x) compatto e sia T+(x) non

compatto. Ci~ significa che fissato ~ ~ ehe, per ogni t~/~,

f(x,t)~

o

esiste ~

~ { sL~+(x), ~

Altrimenti esisterebbe tn --~ +~tale che f(x,t n)C sic~h~ ~+(x)

tale

o

~. S [~+( x),~

non sarebbe vuoto e A+(x) = A+(x) compatto,

da cui, per il teorema precedente T+(x) compatto. D'altra parte poich~ ~+(x)

non ~ vuoto, esiste tn

tale che f(x,t)t% S[A +(x),s

/ ~

9 4A

Combinando questi risultati segue che esiste ~--~+ ~o tale che f(x,t) (~ +

y 6

H [~+ (x) , ~

~9~

e peroi~ esisterebbe

+

(x), y r H

(x),

,

assurdo. Q.E.D.

7 9 18 TEOREMA Per egni traietteria~(x,R +) vale la proprietY:

mentre se

A+Cx)/ ~

:

,

-

62

7.17

-

f(x,t

(x)

+

per ogni t ~ R

7.19

.

Bibliografia

Per le definizioni oltre a B a r b a s h i n ~ ] e

e commenti sulla Sezione 7. di insieme limite positivo si vedano, a Roxin[1],

le memorie di J.A. Yorke

I e~2, 9 di J.A.Yorke 9 A. Strauss [I]. Nella sezione 7 si tenta di definire l'insieme limite positivo di u n p u n t o

in modo c h e l a

sua struttura implichi

proprieth globali del cono di traiettorie

simili a

quelle

della traiettoria nel caso con unicith. Probabilmente

sarebbe necessaria una definizione pih for-

te, cio~ che limiti ulteriormente limite ~ non vuoto;

i casi in cui l'insieme

ci~ comporterebbe per~ delle difficolt~

nella definizione di attrattore.

-63-

8.1

SEZIONE 8. PROLONGAZIONI

I1 concetto stato

affatto

e discusso

L'insieme

sistema

T(x,R)

dinamico,

T(x,R)

e di cono di traiettorie

in dettaglio

~ definito

certe propriet&

altre.

propriet&

rie ad esso vicini. poter definire torie

Per superare

propriet&

in un certo

godute

intorno

per un

possono

di x.

essere usa-

del sistema,

godute

ma non necessariamente

pre-

dato e non dipende

e A-(x)

ti per caratterizzare

torie T(x,R),

sezioni

del sistema nell'interno

e quindi A+(x)

In particolare

nelle

univocamente,

dal punto x,X,

dalle propriet~

Pertanto

LIMITE PROLONGAZIONALI.

di traiettoria

introdotto

cedenti. dato

ED INSIEMI

ma non

da un cono di traiet-

dai coni di traietto-

queste limitazioni da tutti

si ~ introdotto

e

i coni di traietil concetto

di

prolongazione.

8.1

DEFINIZIONE

Si dice

DI PROLONGAZIONE.

(prima)

prolongazione

(positiva)

l'insieme: §

8.1.1

D ( x ) = /'~ 8~' o

+

T

(S(x, ~ )).

di x g X

-

64

-

8.2

ossia 8.1.2

§

D

U

D (x) : ~ o

8.2

TEOREMA

8.2.1

D+(x)=

U

y~S(x,~ ) ~((y,o) : y

ygX

: esiste

, n(xn,R

esiste

t C

C X, ~ :

8.1

implica la

D+(x) ossia y~ T+(S (x, ~ )), per ogni ~ o .

Allora, fissati ~ > o e ~

x ,o)--~x ;

(x , n) --~ Y

Dimostrazione: Dimostriamo prima c h e l a 8.2.1. S i a y

7

o,tali che

e ~>o

~(p,~ )

esistono p ~ S ( x , ~ z g

=

T+

), X ( p , R +)

(S (x, 8 )) , z~ S(y,E ).

Fissate quindi due successionii~

n

I CR+

'

~-,0 {~ ICR + n ' n '

n --~ o si possono determinare le successioni f~ n~~ : p ( x& , S~ n I~n(p n ,R+ }) e {17n} C R +, tall che

p n ~-~x

n)

e ~n (pn,~yn)_~y

il che verifica la8.2.1. Dimostriamo ora che Ia8.2.1

implica la 8.2.1. Si sup-

ponga per questo che esista un punto ya X che soddisfi la 8.2.1, ma tale che

Y~o

che oer ~ $ ~

T+(S (x, ~

, y~

T t(S

). Esiste allora ~ > o ,

tale

(x, ~ )). Sia allora { ~n(xn,R +)#

la particolare successione che verifica la 8.2.1. Allora per n n + n n tn n abbastanza grande x E S (x ,'17/2) e per ogni t ~ R , ~ (x , ) T+(S (x, ~/2)). Ma l'insieme T+(S (x, ~ /2)) ~ chiuso e percib y 6 T

+(S

(x, ~ /

2 )) contro l'ipotesi. Q.E.D.

- 65

dalla definizione 8.1.1

Essendo

8.3

-

D+(x) intersezione di in-

siemi chiusi, evidentemente 8.3

PROPRIETA' +

D (x) ~ un insieme chiuso 8.4

TEOR~4A +

Se M ~ X ~ un insieme compatto D (M) ~ ch• Dimostrazione: ed y n- , y , tale che

Si deve dimostrare c h e s e (yn~cD+(M)

y a D+(M) . Infatt• se I y zl C D+(M) es• Ixn CM, n y ~ D+(xn). Essendo M compatto si pub supporre

n

che x --~x e M tale che, dato ~> o esista N, tale che oer tutti

gli n ~ N

si ha S (xn ~/2) C S (x, ~) 9

Allora per n ~ N

sar~ :

T+(S (xn, ~ / 2 ) ) C T + (S Ma siccome

Y n s D + (xn)= ~ o

n

y ~ T+(S (x, ~/2))

9

C

(x,~)) T + (S (xn, ~ )) per n ~ N

T+(S (x, J

si ha

)), che ~ un s

chiuso indipendente da n, quindi sar~ anche y g T+(S(x, ~ )), per ogni S T o. Dunque y s [~

T+(S (x, ~ )) = D+(x) .

Q.E.D.

6)0

8.5

TEOREMA Se M ~ fortemente invariante,

D+(M) ~ debolmente

invariante. +

Dimostrazione:

Sia

Y6 D (M), esiste allora un punto xE ~4,

-

66

8.4

-

tale c h e y ~ D+(x) . Per la definizione 8.2.1 esiste quindi una successione di traiettorie~n(xn,R)}cX ed una suceessione Sia

t

con f(xn, o)__~x

C R +, tali che ~n(xn, tn)=y--) y.

O"(yn, t) = f ( x n , tn+t ).Per la propriet~

O(yn ,R)

4.12

~ una traiettoria, tale the 0 n (yn ,o)= f (xn,tn)~y.

Per il teorema 4.14

esiste allora una traiettoria

O (y, R), tale che, per ogni intervallo compatto I C R ,

{~

esiste una successione O k

tale che Onk-)~uniforme -

mente in I. Fissato ~ @ R arbitrario si avr~ dunque una nk sottosuceessione(e I tale the : nk n k ~ nk n n O ( Y ,~)= ~ (x k , t k +'C) "-> O (Y ,~) D'altra parte esiste una sottosuccessione ed una traiettoria

6 (x,R) tale che

~X-)c~k~

x,I) -~ 6 ( x , T

perchb M b invariante. Allora posto:

(xr, t +~C) = gr[~r(xr,~ ) , t~ si ha

g

g

rEf

(xr,-C) , o

(xr,~),

--) 6 (x, -C ) ~ M,

=~(x , t + c)-~e(y,~)

dunque essendo {tr}c {tnk}c{tn~c_ 8.6

e

R +, 0 (y, ~5 ) ~

D+(M) .

TEOR~A D+(x) ~ positivamente debolmente invariante.

Dimostrazione: n ~n(x , o ) =

n x ~

Sia x,

y a D+(x). Sia{~n(xn,R) } tale che

xn( xn ,tn)

= y.=) y.

) M

-

Poniamo

67

8.5

-

~ n(yn, t) = ~n(xn, tn +t)

; al solito

~n( n n y ,R) & una traiettoria uscente d a y . Sia la traiettoria[teor. I C R compatto, esiste

4..14 ~ uscente d a y

~ (y, R)

tale che, fissato

{0 nk}, 0 nk -~ 0 uniformemente nk)

in I . n n tale che ~ k(y k, ~ )

Allora fissato ~) o, esiste I ~ n n n n n --~e (y,T) . ~a ~ k ( Y k , T ) = ~ k ( x kjt k +~C ) ed & I nt k + T ) C R + , ~ n k( x n k, o)__~ x

. +

Perci~

~ (y, ~

) ~ D+(x) . 0vviamente anche D (M),

M C X ~ debolmente positivamente invariante. Q.E.D.

Notevoli difficolt~ si incontrano nella definizione di insieme limite prolongazionale. Ricordiamone la definizione per i sistemi ordinari: J+(x) = t~ R

D+(x t)

o equivalentemente: J+(x) = I y ~ X t ~-~ n

: ~ ~xn~ cX, x~-~ x;~ ~ tn 1 ~ R + , n +o~ : x

n n

t --~

y

}

La nuova definizione dovrebbe soddisfare ai requisiti seguenti: a) essere una gen~ralizzazione della definizione"geometrica"

-

per i sistemi b)

68

-

8.6

ordinari.

Eesere equivalente alla definizione mediante le successieni. j+ (x).

c)

Soddisfare la relazione ~ + ( x ) c

d)

Soddisfare la relazione D+(x) = T+(x) ~ J+(x)

e)

Soddisfare il teorema,

essenziale per caratterizzare

la attrazio~eruniforme

mediante la sol~ J+(x), che,

se J+(x) A compatto, A + ( x )

non ~ vuoto e perci~ A com-

patto. Le definizioni d i ~ + ( x )

e D+(x) soddisfano ai primi due

requisiti. Nel caso di J+(x) questa possibilit~ verr~ a mancare, e in particolare non sar~ soddisfatte

il requisito(e).

E' da notare che queste difficolt~ non dipendono della particolare

definizione

scelta, ma dalla mancanza di conti-

nuit~ dei sistemi dinamici generalizzati. Ricordiamo che il sistema gode di continuit~ in un n punto x se per tutti x --~x, fissata una t r a i e t t o r i a ~ ( x , R ) , si pub determinare I oR,

compatto,

tale che

~n(xn,R)

tale che, per ogni intervallo

esiste una sua sottosucceseione

~ m ( x m , t) converge uniformemente

In questo caso si strive

X

~

a

~m(xm,R)

~ (x,t) in I.

.

Infatti ~ dalla continuit~ che dipende la verit~ della proposizione:

se

u s D+(Y)

e

y~T+(x),

ua

D+(x), che

8.7

- 69 -

vera

per

i

sistemi

dinamici

ordinari.

In figura ~ illustrata la sitmazione: ma gode solo di semicontinuit~,

se in y •

siste-

pub darsi che tutte le

traiettorie negative uscenti da yn diano luogo a successioni che non convergono alla traiettoria uscente d a y sante per x ; ci~ non ~ evidentemente possibile

e pas-

seil

si-

stema gode di continuitY. Ora dalla validit~ della proposizione pende non solo la validit~ del punto

considerata di-

(e), ma la stessa equi-

valenza di qualsivoglia definizione geometrica che generalizzi la J+(x)

= ~ D+(x t) con la definizione basata t~R + sulle successioni. La sola via che ci rimane aperta ~ perci~ quella di

definire J+(x) mediante le successioni,

con che si conserva-

no tutte le propriet~ dei sistemi ordinari, del punto 8.7

ad eccezione

(e).

DEFINIZIONE $i dice insieme limite prolongazionale positivo di x c X

70 -

8.8

i 'insieme:

J+(x)= { y~_ X

~n(xn'R)} C X, ~n(xn,o)--~ X ~ Itn} G R+, t n-=) + -- : ~ n( Xn,t n)=-~ y ]

8.8

:3 I

;

0SSERVAZIONE

Come si ~ detto, non ~ possibile dimostrare la equivalenza della definizione

8.7

basata sulla corrispondenza J+(x)

= t r/~R

D+(x t)

con una generaliz~azione, xt-~-f(x,t), della definizione

Questo non ~ vero neppure cambiando

il eampo di variabilit~ di t, considerando, per esempio al posto dell'tcR

la t~ R + .D'altra parte chiaramente pas-

sando al easo del sistema dinamico ordinario la 8.7

genera

la solita J+(x). Si dimostra facilmente la seguente 8.9

PROPOSIZIONE

J+Cx)c C~ D+Cr (x,t)). t(R Dimostrazione~ Si~ IX n~ la sucoessione della definizione 8o7-

e sia

~ n_~x.FissaZo

% ~ R esiste allora una

sottosueeessione { ~ ml tale ehe ~m(xm, tm) ..~ y) ~ m ( xm) '~t ) = zm - ~ ~ (x,t) r

Posto ora ~m(xm, t + ~m(zm, o ) - - - ~

(x,~)

r

(x, ~t).

t ) = 8 m( zm, t),si ha

"~

e g ( z m, tm- T)

= ~m(xm, tm)-~y.

-

Ma se

71

8.9

-

~tn~ era stata seelta in modo the ogni sua sottosuocessio-

Be fosse divergente, sicch~

cosa che si pub sempre fare, I tm-~}CR +,

ys D+(f (x,~)); ma ~ ~ arbitrario,

da cui l'asserto. Q.E.D.

Dalla dimostrazione ogni t esiste

z s

segue che anche se y GJ+(x) per

t) tale che y ( J + ( z )

; questa propriet~

per6 molto pig debole di quella, valida per i sistemi dinamici ordinari,

che J+(x) = J+(y) per ogni y

E

~ (x):

questa servirebbe appunto per dimostrare il punto (e) dell'introduzione. 8. I0

TEOREMA J+(x) ~ chiuso.

Dimostrazione: chey

Sia

{ yn t C

n

J+(x), y - ~

y. Dobbiamo dimostrare

~ J+(x). n n n n Sia ~ k (Xk' tk )-~ y

per k-, + ~

n con xk ---~

x

e

n

tk--> +oo per k --~ + oo . Fissiamo ~ =I/n : si determini k' tale che, oer tutt'i k>/k',

~

((~,

tk),

che, oer l'n fissato,

yn)< I/n ; si determini k" in modo n sia t k >

n per ogni k>zk".

Si determini infine k"' in modo che ~er tutt'i k j> k"': {~ (Xk , x) < Per k = k = Max

-

[k'

I/n k"

. k"

J

saranno soddisfatte

- 72 -

simultaneamente

8.10

le tre disuguaglianze.

Osserviamo

che k

dipende solo da n, sicch~ possiamo porre: , t

n x~

con

= x

n

e t

~

Sicch~

n

=~

n (x ,x)< 1/n ;

~

)

. Si avr~ allora per ogni

~ (gn( x n ,Tn ), Y) ~