Semi-Conducteur3 SBG [PDF]

Zitiervorschau

Ecole Mohammadia d’Ingénieurs Département Génie Electrique

Semi-conducteurs Première année Génie Electrique

Marouane SEBGUI 2017 - 2018

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1ère Année G. Électrique

Chap. 1. Introduction aux semi-conducteurs I.

Introduction

Les semi-conducteurs ont permis la révolution électronique et numérique qu’on vit aujourd’hui. Ils sont aujourd’hui utilisés au cœur de toutes les technologies modernes. Ils ont pu remplacer la mécanique et l’électrique dans plusieurs domaines. Mais ils ont surtout permis la révolution numérique par le passage au calcul numérique. On peut dire que l’histoire de ces semi-conducteurs commence avec Michael Faraday en 1833.

1. Histoire des Semi-Conducteurs En 1833, Michael Faraday (qui travaille sur le Sulfure d’Argent) remarque que pour certains « métaux » le pouvoir conducteur augmente avec la température, contrairement aux métaux classiques dont la résistivité augmente avec la température (c’est-à-dire que le pouvoir conducteur diminue avec la température). Cette découverte restera à ce stade et n’aura aucune suite avant 1903. Entre temps les tubes à vide se développent plus rapidement et s’intègrent à la technologie de l’époque. En effet en 1883 Thomas Edison dépose le brevet du phénomène de l’émission thermoïonique. Ce phénomène à base de la création du tube à vide, permettra à John Fleming de concevoir la diode à vide en 1903 et en 1907 à Lee De Forest d’inventer la triode à tube. En 1903, Greenleaf Whittier Pickard qui travaille sur les récepteurs télégraphiques invente le détecteur cristal à base de Silicium, cette invention n’est brevetée qu’en 1906. S’en suit une époque de modélisation et d’approche théorique durant laquelle en 1931, Alan Herries Whilson établit la théorie des bandes et la notion du gap. En 1935, Walter H. Schottky et Nevill Francis Mott développent un modèle mathématique pour la barrière de potentiel et caractérisent la jonction Métal Semi-conducteur (communément appelé la diode Schottky). L’année 1947 connait un grand exploit dans le domaine des semi-conducteurs. Cette année l’équipe John Bardeen, William Shockley et Walter Brattain (Groupe de recherche au sein des Bell Labs) découvre l'effet transistor, ce qui permet de créer le transistor bipolaire. Ces travaux seront couronnés par un prix Nobel de physique en 1956.

Figure 1.1 : De gauche à droite, John Bardeen, William Shockley and Walter Brattain M. SEBGUI

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En 1958 Jack Kilby réalise le premier circuit intégré. Et en 1971 Intel lance son premier microprocesseur 4004 (2300 transistors) déclenchant la nouvelle ère du numérique. Cette dernière va connaitre une évolution exponentielle, cette évolution est décrite par la loi de Moore.

2. La loi de Moore La loi de Moore est une loi qui traite de l’évolution des semi-conducteurs en termes de complexité et de puissance de calcul. Cette loi qui a été énoncée en 1965 par Gordon E. Moore qui est un des co-fondateurs d'Intel a constitué une prédiction quasi exacte de l’évolution des semiconducteurs. Gordon E. Moore, en observant l’évolution des produits d’Intel et de ses concurrents, constate que la « complexité des circuits semi-conducteurs proposés en entrée de gamme » doublait tous les ans à coût constant depuis 1959. Cette loi est dite « première loi de Moore » parce qu'elle a été réajustée par Moore lui-même, en distinguant les microprocesseurs des circuits intégrés simples formés de composants indépendants. En effet, Moore énonce sa deuxième loi en 1975, affirmant que « le nombre de transistors des microprocesseurs sur une puce de silicium double tous les deux ans à coût constant ». Cette prédiction s'est révélée étonnamment exacte. De 1971 à 2001, la densité des transistors a doublé chaque 1,96 année. En conséquence, les machines électroniques sont devenues de moins en moins coûteuses et de plus en plus puissantes. Cette loi trace une évolution tellement énorme, que Bill Gate a eu l’idée de décrire son importance en la comparant à l’évolution des voitures. Lors d’une exposition d’informatique COMDEX (COMputer Dealer's EXhibition) Bill Gates déclare que si les voitures de General Motors avaient évolué de la même vitesse que les ordinateurs, on roulerait dans des voitures de 25$, qui consommeront 1litre pour 425km. Cette plaisanterie à laquelle GM n’a pas manqué de répondre, permet de voir à quel point l’évolution des semi-conducteurs est exceptionnelle. Le tableau Tab. 1.1 relève cette évolution entre 1945 et 1990 (suite à une étude l’ENIAC). 1945 ENIAC

==>

1990 : Pentium 68040

18 000 tubes

x 100

1 200 000 transistors

200 m3

x 10 -8

2 cm3

150 opérations /s

x 10 5

20. 106 opérations /s

10 kW

x 10 -4

1W

Coût

1 000 000 $

x 10 -3

1000 $

Fiabilité

Qlq heures

x 1000

Qlq années

Complexité Encombrement Vitesse Consommation Enrg

Tab. 1.1 : Evolution des caractéristiques des ordinateurs.

II.

Les semi-conducteurs sur le tableau de Mendeleïev

Les semi-conducteurs peuvent être définie comme étant des matériaux qui ont les caractéristiques électriques d'un isolant, mais qui peuvent dans certaines conditions se comporter M. SEBGUI

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en conducteur. Quoique leur conductivité reste faible en comparaison aux conducteurs, ils présentent d’autres avantages électriques. Les semi-conducteurs les plus évidents sont ceux qui appartiennent à la colonne 4 du tableau de Mendeleïev (Figure 1.2). Ils se caractérisent par le fait d’avoir 4 électrons en couche de valence et qui ont une structure cristalline. Cette description correspond au Carbone (C), Silicium(Si), Germanium(Ge) et à l'étain (Sn). Toutefois l’appartenance du Carbone et de l’étain à la famille des semi-conducteurs est à prendre avec précaution. En effet, L’étain gris (α-Sn) qui constitue une structure cristalline de l’étain (structure cubique) est une forme rare de l’étain. L’étain gris change au-dessus de 13,2°C en étain blanc (β-Sn) qui est la forme usuelle de l’étain. Quant au carbone, il ne présente de caractéristique semi-conducteur que lorsqu’il est à l’état cristallin c’est-à-dire sous forme de diamant. Plus encore, sa bande de gap (un aspect qui sera traité plus loin dans ce document) est de 5,4eV ce qui dépasse la limite de 2eV. Le diamant n’est valable en tant que semi-conducteur que pour les grandes puissances et en haute température (Electronique de puissance). Hélium Nombre Atomique =2

Silicone Nombre Atomique =14

Figure 1.2 : Tableau de Mendeleïev Les éléments de la 4ème colonne ne constituent pas les seuls semi-conducteurs possibles. Des combinaisons d’éléments des colonnes 3 et 5 permettent aussi d’obtenir des matériaux semiconducteurs qu’on appelle semi-conducteurs composites en opposition aux semi-conducteurs simples, qui sont constitués d’un seul élément. De même la combinaison entre les éléments de la colonne 2 et 6 permet le même résultat, ainsi que d’autres combinaisons plus complexes. Le tableau Tab. 1.2 illustre quelques exemples de différents semi-conducteurs utilisés. Pour la suite de ce document on s’intéressera à la famille des semi-conducteurs simples du groupe 4 à savoir le Silicium(Si) et Germanium(Ge). Ces deux matériaux ont constitué pendant longtemps la grande part des semi-conducteurs commercialisés.

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Exemples

Groupe 4

Groupe 3-5

Diamant(C), Silicium(Si), Germanium(Ge), l'étain gris (α-Sn), Carbure de silicium (SiC), Silicium-germanium (SiGe) Nitrure de bore (BN), Phosphure de bore (BP), Arséniure de bore (BAs), Nitrure de gallium (GaN), Arséniure de gallium(GaAs) Nitrure de gallium-aluminium (AlGaN), Nitrure de gallium-indium (InGaN)

Groupe 2-6

Sulfure de cadmium (CdS), Séléniure de cadmium (CdSe), Tellurure de cadmium (CdTe), Sulfure de mercure (HgS), Tellurure de mercure-cadmium (HgCdTe), Tellurure de zinc-mercure (HgZnTe) Chlorure de cuivre(I) (CuCl), Tellurure de bismuth (Bi2Te3), Phosphure de zinc (Zn3P2), Iodure de plomb(II) (PbI2)

Autre

Tab. 1.2 : Structure semi-conducteurs

III. Les caractéristiques des semi-conducteurs Les semi-conducteurs ont deux caractéristiques qui font d’ailleurs leur importance. Qui sont la structure cristalline et la faible énergie de gap.

1. La structure cristalline Les semi-conducteurs s’organisent en structure cristalline stable. Ainsi chaque atome est en relation de covalence avec 4 autres atomes voisins (comme le montre la Figure 1.3-a). Ces relations de covalence sont réalisées par la mise en covalence d’1 électron par chaque atome. Ainsi, comme le montre la Figure 1.3-b, chaque atome se retrouve avec 8 électrons sur leurs bandes de valence atteignant une stabilité qui forme la structure cristalline du semi-conducteur. Cette structure est représentée de façon plane dans la Figure 1.3-c.

(a) (b) (c) Figure 1.3 : Représentations de la structure cristalline d’un semi-conducteur

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Ainsi donc, le semi-conducteur tel que décrit par sa structure cristalline ne dispose pas d’électron libre. On pourrait en conclure que, ne disposant pas de porteur de charge libre, le semi-conducteur est un isolant. Toutefois ceci n’est vrai qu’à la température de 0°K, et ceci est lié à la deuxième caractéristique.

2. Le faible gap énergétique Origine du gap énergétique Dans ce document on se place dans un cadre de mécanique quantique. Il faut comprendre qu’en quantique (contrairement aux anciens modèles planétaires de l’atome), on ne considère plus que les électrons d’un atome sont en orbite autour du noyau, mais qu’ils occupent de manière probabiliste certaines régions de l’espace autour du noyau. Ainsi la mécanique quantique explique de façon détaillée la structure d’un atome isolé en se basant sur le principe de la « quantification » des niveaux d’énergie des électrons dans un atome. Autrement dit, l’énergie d’un électron ne peut prendre que certaines valeurs. On parle des niveaux de l’énergie autorisés pour les électrons. On ne s’intéresse donc plus à la position de l’électron par rapport au noyau (qui est très peu connue) mais de son niveau d’énergie. De plus le nombre des électrons sur une couche est limité : deux électrons sur la première couche (niveau d’énergie le plus bas), huit sur la deuxième, dix-huit sur la troisième etc... Toutes les couches ne sont pas nécessairement remplies. Toutefois, les électrons remplissent les couches à partir de la couche à énergie la plus faible. La Figure 1.4 représente un exemple des états énergétiques des électrons sur un diagramme des énergies. Il faut bien comprendre qu’il ne s’agit pas de la position spatiale des électrons mais d’une carte de l’espace des énergies, l’électron peut aussi, sous certaines conditions, se déplacer dans cet espace (comme le montre la Figure 1.4). Il s’agit d’une acquisition d’énergie de l’électron sans avoir une précision quant à ses coordonnées spatiales.

Figure 1.4 : Niveaux d’énergie quantique dans un atome isolé Lorsque les atomes sont associés dans un réseau cristallin d’un corps solide, l’interaction entre les atomes modifie la distribution des états autorisés pour les électrons. Il est donc nécessaire d’apporter une modification des états énergiques, c’est ce que propose Wolfgang Ernst Pauli en se M. SEBGUI

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basant sur le principe d’exclusion. Ainsi, dans un système composé de plusieurs atomes, les états d’énergie se séparent pour former des états multiples plus ou moins rapprochés. Ce phénomène, représenté par la Figure 1.5, dépend de la distance atomique (noté d). Si le système est composé d’un très grand nombre d’atomes (ce qui est le cas de tous les cristaux de dimensions macroscopiques), les niveaux individuels se transforment en zones énergétiques avec un très grand nombre d’états très rapprochés. On parle, donc d’un continuum énergétique.

1/d

1/d

Figure 1.5 : Effet de la distance atomique d sur la formation des continuums énergétiques Dans un corps solide, qui a une distance atomique connue (représentée par da dans la Figure 1.6), on se retrouve avec des bandes d’énergie qui sont possibles pour la présence d’électrons et d’autres qui sont interdites. En particulier, on s’intéresse aux deux bandes supérieures : la bande de conduction et la bande de valence. -

-

-

La bande de conduction : c’est la première bande totalement vide en absence d’apport énergétique (c’est-à-dire à la température T=0°K). Elle représente les énergies des électrons qui échappent à l’attraction atomique et qui devient « libres ». La bande de valence : c’est la dernière bande occupée par les électrons (totalement ou partiellement) en absence d’apport énergétiques. Elle contient donc, des électrons liés avec le réseau cristallin. Les bandes sont séparées par une zone énergétique interdite : c’est la plage des énergies que les électrons ne peuvent pas posséder. Cette zone s’appelle gap énergétique. C’est un paramètre propre au matériau.

0

Bande de Conduction

0

Bande de Valence

0 0

0 0

Gap Energétiqu e

1/da Figure 1.6 Bandes énergétiques dans un corps solide Les électrons des couches inférieures sont très fortement liés au noyau de l’atome. Ils ne peuvent pas se déplacer dans le réseau cristallin. Les électrons de la bande de valence sont eux qui assurent M. SEBGUI

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la liaison entre les atomes pour former le réseau cristallin. Ils sont moins liés au noyau de l’atome. Un apport d'énergie plus au moins faible peut les libérer de l'attraction du noyau et en faire des électrons libres qui peuvent se déplacer et créer un courant électrique. Le gap énergétique Le gap énergétique est important du fait qu’il s’agit de l’énergie minimale nécessaire à un électron pour passer de la bande de valence à la bande de conduction. Plus cette énergie est faible plus ils ont de chances de la franchir et devenir libres. Comme le représente la Figure 1.7, dans le cas des conducteurs, la bande de conduction et la bande de valence chevauchent et donc l’énergie de gap est absente, elle est par contre très grande pour les isolants, et dans le cas des semi-conducteurs cette énergie est assez faible (sauf pour le diamant).

Figure 1.7 : Gaps énergétiques pour les différents types de solides Le tableau Tab. 1.3 représente les énergies de gap pour certains semi-conducteurs. On peut remarquer qu’elles restent souvent inférieures à la valeur de 2eV. On peut aussi remarquer que cette énergie dépend de la température (ainsi que d’autres paramètres d’ailleurs). Toutefois dans la suite de ce document nous supposerons qu’elle est constante.

Tab. 1.3 : Gaps énergétiques de quelques semi-conducteurs usuels

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IV.

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Comportement des Semi-Conducteurs

Les caractéristiques vues précédemment font que les semi-conducteurs ont un comportement commun par rapport à la température et à la conduction du courant électrique

1. Effet de la température Les semi-conducteurs sont des matériaux dont les caractéristiques électriques dépendent fortement de la température. En effet, à température 0°K tous les électrons de la bande de valence forment la liaison covalente du cristal. La moindre agitation thermique (c’est-à-dire toute température > 0°K) est suffisante pour libérer des électrons. Ceci est dû à leurs faibles énergies de gap. En effet, comme le montre la Figure 1.8, l’agitation thermique entraine la libération d’un certain nombre d’électrons qui échappent à l’attraction atomique et qui deviennent libres pour être mobiles dans le cristal. Cette libération entraine aussi un manque de charge au niveau de la liaison qui a perdu l’électron. Il s’agit d’une charge positive qu’on appelle un trou.

Figure 1.8 : Création de la paire électron-trou par effet de température. Par conséquent, un semi-conducteur qui n’est pas à la température 0°K, contient un certain nombre de paires électron-trou. L’existence de ces porteurs de charge mobiles permet donc de transporter la charge électrique au sein du semi-conducteur. Conclusion le semi-conducteur devient conducteur au-dessus de la température 0°K. Plus encore, la conductivité du semi-conducteur augmente avec la température. En effet, plus la température augmente plus le nombre de porteurs libres augmente, et plus la conductivité augmente. Il s’agit là de l’effet observé en 1833 par Michael Faraday, sans pouvoir l’expliquer à l’époque. N.B. : Il est évident que le nombre de trou est exactement égal au nombre d’électrons. Ainsi le semi-conducteur reste neutre. La libération d’électrons à juste un impact sur sa conductivité.

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2. La conductivité d’un semi-conducteur Lorsqu’un semi-conducteur est soumis à un champ électrique, les porteurs libres (électrons et trous) peuvent se déplacer sous l’effet du champ créant ainsi un courant électrique. Le courant dans un semi-conducteur est le résultat de deux déplacements différents : -

Le déplacement des électrons dans le sens opposé du champ électrique. Il s’agit d’un déplacement de façon libre et sans être capturé par un trou. Le déplacement des trous dans le même sens que le champ. En effet, quoi qu’un tel déplacement ne soit pas intuitif, les trous sont des porteurs de charge mobiles. Ils se déplacent lorsqu’un électron s’arrache d’un atome et vient remplacer un trou dans un autre, laissant derrière lui un autre trou. On a la disparition d’un trou et la réapparition d’un autre ailleurs. On peut conclure que le trou s’est déplacé vers la nouvelle position.

-

En réalité les deux déplacements sont des déplacements d’électrons. Le déplacement de trou est, en fait, un déplacement d’électron avec changement de niveau énergétique. Le déplacement de l’électron est accompagné d’un passage de la bande de conduction à la bande de valence. Conventionnellement, on parle de courant de trous et courant d’électrons.

Champ électrique Figure 1.9 : Déplacement des électrons et des trous sous l’effet d’un champ électrique

V.

Dopage des semi-conducteurs

On a jusqu’ici présenté les semi-conducteurs intrinsèques. Où il est supposé que le semiconducteur n’est composé que d’atomes purs. Ceci est non seulement impossible mais aussi pas très intéressant. Un cristal de semi-conducteur contient inévitablement des impuretés, qui sont d’abord due aux processus de fabrication, mais qui sont le plus souvent intentionnellement injectées dans le semiconducteur pour un but de dopage. Ceci entraine la modification des caractéristiques électriques du semi-conducteur. En effet ces atomes injectés, n’ayant pas le même nombre d’électrons en bande de valence, ils ne pourront pas offrir aux atomes voisins la liaison stable précédemment présentée. Ils sont toutefois minoritaires et ils seront quand même contraints à rentrer dans la structure

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cristalline du semi-conducteur. Ce qui aura pour conséquence de déséquilibrer le nombre de trous et d’électrons. Il existe deux types de dopage : –

Dopage N : L’action, représentée dans la Figure1.10-a, qui consiste à injecter des atomes donneurs (c’est-à-dire des atomes de la colonne 5 comme le phosphore, l’arsenic…).

–

Dopage P : L’action, représentée dans la Figure1.10-b, qui consiste à injecter des atomes accepteurs (c’est-à-dire de la colonne 3 comme le bore, l’aluminium, le gallium…)

(a) (b) Figure 1.10 : Dopage des semi-conducteurs par des atomes accepteurs et donneurs On obtient donc un déséquilibre dans le nombre de porteurs puisqu’on aura plus d’électrons dans le cas N et plus de trou dans le cas P. Toutefois, il faut faire attention au fait que le semiconducteur reste neutre. Il n’y a pas ici lieu de création de charge supplémentaire. L’excèdent de charge négative dû aux électrons en surplus dans le cas N est compensé par la même charge positive des ions positifs (le même raisonnement peut s’appliquer aux semi-conducteurs dopés P). La Figure 1.11, représente pour un semi-conducteur du type N, la répartition de charges dans le cristal. -

Électrons dus à l’effet T

Électrons dus au dopage Porteurs de charge libres (mobiles)

Trous dus à l’effet T

Ions positifs dus au dopage

+ Figure 1.11 : La répartition de charges dans un semi-conducteur type N

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A température nulle le nombre d’électrons dus au dopage est exactement égal au nombre d’ions positifs présents dans le solide. Lorsque la température augmente, il y a création d’une nouvelle quantité d’électrons mais une même quantité de trous est aussi créé. La somme des charges positives (trous + ions positifs) est donc exactement égale à la charge négative d’où la neutralité du semi-conducteur. Il faut noter que les ions positifs ne sont pas mobiles, ils sont liés à la structure du cristal. Ils ne peuvent donc pas transporter la charge et créer un courant électrique. Il y a donc un déséquilibre dans les charges mobiles (libres). Il y a en effet beaucoup plus d’électrons que de trous, on dit alors que les électrons sont les porteurs majoritaires. Le raisonnement inverse permet de conclure qu’il y a, dans un semi-conducteur de type P, plus de trous que d’électrons. Tout en étant dans un état de neutralité, les porteurs majoritaires dans le semi-conducteur type P sont les trous.

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Chap. 2. Conductivité des semi-conducteurs I.

Introduction

Bien que les semi-conducteurs soient de très mauvais conducteurs, leur conductivité reste un paramètre très important à étudier. Comme vu précédemment, le courant électrique dans un semiconducteur peut être véhiculé par les électrons et par les trous. D’où l’importance d’étudier la concentration des porteurs de charge.

II.

Effet de la température sur les semi-conducteurs

1. La distribution de Fermi-Dirac A température non nulle. La probabilité d’occupation d’un niveau d’énergie E n’est plus discrète, mais devient continue. La distribution de la probabilité d’occupation (la probabilité qu’un niveau (E) soit occupé par un électron) est exprimée par Fermi par l’équation (2.1). Ici k est la constante de Boltzmann, T est la température et EF est le niveau de Fermi. Le niveau de Fermi est un niveau d’énergie fictif qui se trouve dans la bande interdite du gap (il n’est pas exactement au milieu, mais il est au voisinage du milieu). 𝐹(𝐸) =

1

(2.1)

𝐸−𝐸𝐹

1+𝑒 𝑘𝑇

En traçant la distribution de Fermi-Dirac. En retrouve la Figure 2.1. On peut remarquer que : -

-

-

-

La probabilité d’occupation est faible (tend vers 0) lorsque E-EF est positive, c’est-à-dire lorsque le niveau d’énergie E est supérieur au niveau de Fermi. L’interprétation de ceci est que plus on s’approche de la bande de conduction, plus la probabilité d’occupation diminue, c’est-à-dire qu’on a moins de chance de trouver un électron dans ce niveau d’énergie. La probabilité d’occupation est grande (tend vers 1) lorsque E-EF est négative, c’est-à-dire lorsque le niveau d’énergie E est inférieur au niveau de Fermi. Ce qui veut dire que plus on s’approche de la bande de valence, plus la probabilité d’occupation augmente, c’est-à-dire qu’on a plus de chance de trouver un électron dans ce niveau d’énergie. A température nulle (T=0°K), on a une courbe sous forme d’échelon. Ce qui veut dire qu’à cette température on est sûr que tous les électrons sont dans la bande de valence et qu’aucun électron n’est passé à la bande de conduction. Ce qui coïncide exactement avec ce qui a été dit précédemment. Le semi-conducteur est donc isolant à 0°K. Lorsque la température augmente, les électrons peuvent passer vers les niveaux supérieurs proches de la conduction. Ceci exprime qu’à température non nulle, certains électrons peuvent échapper à la bande de valence et devenir libres. Il est à noter que plus la température est importante plus le passage est facile.

La probabilité de non occupation d’un niveau d’énergie est 1-F(E) exprimée dans l’équation (2.2).

1 − 𝐹(𝐸) =

1 𝐸𝐹 −𝐸

(2.2)

1+𝑒 𝑘𝑇

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Figure 2.1 : Distribution de la probabilité d’occupation selon la distribution de Fermi-Dirac

2. Semi-conducteur non-dégénéré On appelle un semi-conducteur non dégénéré, s’il vérifie les conditions de l’équation (2.3). En opposition, lorsque le semi-conducteur est dégénéré (soit parce que son Eg est faible, ou lorsque la température est suffisamment élevée), il y a une importante libération d’électrons et on aboutit à un comportement plutôt conducteur.

𝐸 − 𝐸𝐹 ≫ 𝑘𝑇 { 𝑐 𝐸𝐹 − 𝐸𝑣 ≫ 𝑘𝑇

(2.3)

Les conditions de l’équation sont valables pour la plupart des semi-conducteurs à température ambiante. A titre d’exemple à 300°K : kT=25meV alors que le germanium est à Eg =660 meV. Lorsque le semi-conducteur est non-dégénéré, il peut être démontré que l’approximation de l’équation (2.4) est possible. (Il faut faire attention au signe de la soustraction qui change) 1 𝐸−𝐸𝐹 1+𝑒 𝑘𝑇

≈𝑒

𝐸𝐹 −𝐸 𝑘𝑇

(2.4)

III. La concentration des porteurs de charge La concentration d’électrons dans un semi-conducteur n(T) peut être définie par l’équation (2.5). Ici Ec est le niveau le plus bas de la bande de conduction et F(E) est la probabilité d’occupation du niveau d’énergie E. De même la concentration de trous dans un semi-conducteur p(T) peut être définie par l’équation (2.6). Ici Ev est le niveau le plus haut de la bande de valence ∞

(2.5)

𝐸𝑣

(2.6)

𝑛(𝑇) = ∫𝐸𝑐 𝐷𝑐 (𝐸). 𝐹(𝐸). 𝑑𝐸 𝑝(𝑇) = ∫∞ 𝐷𝑣 (𝐸). (1 − 𝐹(𝐸)). 𝑑𝐸

Dc(E) et Dv(E) sont les fonctions densité d’état respectivement dans la bande de conduction et la bande de valence M. SEBGUI

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1. La densité d’état Pour un niveau d’énergie E, la densité d’Etat Dc(E) dans la bande BC et la densité d’Etat Dv(E) dans la bande BV peuvent être approximées par l’équation (2.7). Dans cette équation ℏ est la constante de Planck réduite, Mc et Mv sont respectivement le nombre de minimas équivalent de la BC et la BV, et finalement mde et mdh sont respectivement les masses effectives de l’électron et du trou suivant les 3 axes. 1 (2.𝑚𝑑𝑒 )3/2

𝐷𝑐 (𝐸) = 2.𝜋2

ℏ3 1 (2.𝑚𝑑ℎ )3/2

{ 𝐷𝑣 (𝐸) = 2.𝜋2

ℏ3

𝑀𝑐 |𝐸 − 𝐸𝑐| 𝑀𝑣 |𝐸 −

1⁄ 2

1 𝐸𝑣 | ⁄2

(2.7)

Il est surtout à retenir que les premiers termes de ces deux densités peuvent être pris pour constants. Les densités dépendent du niveau d’énergie E. Dans la Figure 2.2 on représente ces deux fonctions ainsi que leur produit. Les concentrations des porteurs données dans les équations (2.5) et (2.6) peuvent être déduites dans les surfaces hachurées. Il est à observer que : -

-

Les densités d’état Dc et Dv ne dépendent pas de la température. Les concentrations de porteurs de charge (n et p) sont dépendantes de la température T. Ceci vient du fait que F(E), la probabilité d’occupation d’un niveau d’énergie E, est dépendante de la température. Le niveau de Fermi n’est pas exactement localisé au milieu du gap. Si la seule source de création de porteurs est la température (ce qu’on appellera par la suite semi-conducteur intrinsèque), alors le nombre de trous est égal au nombre d’électrons. Les deux surfaces hachurées sont donc égales. On découvrira plus loin dans ce document que ceci n’est pas toujours vrai.

Figure 2.2 : La fonction densité des porteurs en fonction du niveau d’Energie M. SEBGUI

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On peut simplifier l’étude de l’équation (2.5), on peut faire le développement suivant : ∞

𝑛(𝑇) = ∫𝐸 𝐷𝑐 (𝐸). 𝑒

𝐸𝐹 −𝐸 𝑘𝑇

𝐶

. 𝑑𝐸 = 𝑒

𝐸𝐹 −𝐸𝐶 𝑘𝑇

∞

− ∫𝐸 𝐷𝑐 (𝐸). 𝑒

𝐸−𝐸𝐶 𝑘𝑇

𝑐

. 𝑑𝐸 = 𝑒

𝐸𝐹 −𝐸𝐶 𝑘𝑇

(2.8)

𝑁𝑐 (𝑇)

Ainsi on se retrouve avec deux termes. Un terme dépendant exponentiellement du niveau de Fermi et un terme noté Nc(T) qui ne dépend que de la température. De même nous obtenons l’expression de p(T) exprimée dans l’équation (2.9) en fonction de Pv(T) 𝐸𝑣

𝑝(𝑇) = ∫∞ 𝐷𝑣 (𝐸). 𝑒

𝐸−𝐸𝐹 𝑘𝑇

. 𝑑𝐸 = 𝑒

𝐸𝑣 −𝐸𝐹 𝑘𝑇

𝐸

∫∞𝑣 𝐷𝑣 (𝐸). 𝑒

𝐸 −𝐸 − 𝑣 𝑘𝑇

. 𝑑𝐸 = 𝑒

𝐸𝑣 −𝐸𝐹 𝑘𝑇

(2.9)

𝑃𝑣 (𝑇)

2. Concentration des porteurs de charge dans un semi-conducteur intrinsèque Il est important, pour la compréhension du comportement électrique des semi-conducteurs, d’étudier l’évolution des expressions de la concentration des porteurs libres, (i.e. les équations (2.8) et (2.9)). Ces expressions restent complexes et nécessitent une simplification. Concentration des électrons Pour simplification, l’approximation de l’équation (2.4) est utilisée sur les expressions de Nc(T). On a donc : 3

∞

𝑁𝑐 (𝑇) = ∫ 𝐷𝑐 (𝐸). 𝑒

𝐸−𝐸𝐶 𝑘𝑇 . 𝑑𝐸

𝐸−𝐸𝐶 1 (2. 𝑚𝑑𝑒 )2 ∞ = . ∫ (𝐸 − 𝐸𝐶 )1/2 𝑒 − 𝑘𝑇 . 𝑑𝐸 2 3 2. 𝜋 ℏ 𝐸𝐶

1

3

−

𝐸𝐶

(𝑘𝑇)2 (2. 𝑚𝑑𝑒 )2 ∞ 𝐸 − 𝐸𝐶 1/2 − 𝐸−𝐸𝐶 = ∫ ( ) 𝑒 𝑘𝑇 . 𝑑𝐸 2. 𝜋 2 ℏ3 𝑘𝑇 𝐸𝐶 1

≈

3

(𝑘𝑇)2 (2.𝑚𝑑𝑒 )2 ∞ 𝐸−𝐸𝐶 1/2 ∫𝐸 ( 𝑘𝑇 ) 2.𝜋2 ℏ3 𝐶

En utilisant le changement de variable suivant l’équation (2.11). 3

𝑁𝑐 (𝑇) ≈

1 𝐸−𝐸𝐶

(2.10)

. 𝑑𝐸

1+𝑒 𝑘𝑇

t=(E-Ec)/kT {avec dE=kTdt} en peut retrouver

3

(𝑘𝑇)2 (2.𝑚𝑑𝑒 )2 ∞ 𝑡 1/2 ∫𝐸 1+𝑒 𝑡 . 𝑑𝑡 2.𝜋2 ℏ3 𝐶

(2.11)

Cette expression est sous la forme de l’intégrale de Fermi-Dirac (équation (2.12)) pour le cas particulier de j=1/2 et pour x=0. 1

∞

𝐹𝑗 (𝑥) = 𝛤(𝑗+1) ∫0

𝑡𝑗 𝑑𝑡 1+𝑒 𝑡−𝑥

en particulier

𝐹1/2 (𝑥) =

2 ∞ 𝑡 1/2 𝑑𝑡 ∫ √𝜋 0 1+𝑒 𝑡−𝑥

(2.12)

Ce qui permet de conclure que : 3

1 2.𝑘𝑇𝑚𝑑𝑒 2 ) 𝜋ℏ2

(2.13)

𝑁𝑐 (𝑇) ≈ 4 ( Finalement

3

𝑛(𝑇) =

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1 2.𝑘𝑇𝑚𝑑𝑒 2 ( 𝜋ℏ2 ) 4

𝑒

𝐸𝐹 −𝐸𝐶 𝑘𝑇

(2.14)

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L’équation (2.14) permet donc de comprendre la tendance de n(T) en fonction de la température T. La valeur de n(T) subit deux évolutions : la première est en T3/2 et la deuxième est en e1/T. Concentration des trous De la même façon on applique l’approximation des semi-conducteurs non-dégénérés (de l’équation (2.4)) à l’expression de Pv(T). Ainsi on a : 𝐸

𝑃𝑣 (𝑇) = ∫∞𝑣 𝐷𝑣 (𝐸). 𝑒 −

𝐸𝑣 −𝐸 𝑘𝑇

(2.15)

. 𝑑𝐸

Par même raisonnement on peut aboutir au fait que : 3

1 2.𝑘𝑇𝑚𝑑ℎ 2 ) 4 𝜋ℏ2

(2.16)

𝑃𝑣 (𝑇) = ( D’où on peut conclure que :

3

𝑝(𝑇) =

1 2.𝑘𝑇𝑚𝑑ℎ 2 ( 𝜋ℏ2 ) 4

𝑒

𝐸𝑣 −𝐸𝐹 𝑘𝑇

(2.17)

Les équations (2.14) et (2.17) montrent que les deux concentrations ont la même tendance. Il est à noter que les deux termes (Ev-EF) et (EF-Ec) ont le même signe algébrique. Valeurs numérique Le tableau Tab. 2.1 donne des exemples de valeurs pour Nc et Pv. Nc (300°K)

Pv (300°K)

Si

2,7 .1019cm-3

1,1 .1019cm-3

Ge

1,0 .1019cm-3

0,5 .1019cm-3

Tab. 2.1 : Valeurs numériques des Nc et Pv pour le Silicium et le Germanium

3. Loi d’action des masses En développant le produit n(T).p(T) donné par l’équation (2.18), on peut remarquer que ce produit ne dépend que de T et de Eg (tous les autres termes sont constants). 𝑛(𝑇)𝑝(𝑇) = 𝑁𝑐 (𝑇)𝑃𝑣 (𝑇)𝑒

𝐸𝑣 −𝐸𝐶 𝑘𝑇

3 𝐸𝑔 1 𝑘√𝑚𝑑𝑒 𝑚𝑑ℎ 3 − 𝑘𝑇 ) 𝑇 𝑒 2 𝜋ℏ2

= (

≝ 𝑛𝑖2 (𝑇)

(2.18)

Contrairement à la concentration des électrons(n(T)) et celle des trous(p(T)), le produit est indépendant de la position du niveau de Fermi (qui est d’ailleurs difficile à déterminer). Ce produit est une caractéristique du semi-conducteur. Il s’agit d’une loi d’équilibre thermodynamique dit loi d’action de masses. En particulier dans le cas intrinsèque on a la concentration des électrons (qu’on note ni(T)) est égale à la concentration des trous (qu’on note pi(T)). D’où la relation de l’équation (2.19). 𝑛(𝑇)𝑝(𝑇) = 𝑛𝑖 (𝑇)𝑝𝑖 (𝑇) = 𝑛𝑖2 (𝑇)

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(2.19)

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Attention cette loi n’est vraie que pour les semi-conducteurs non-dégénérés. Toutefois elle est vraie pour le cas intrinsèque et aussi pour les semi-conducteurs extrinsèques (dopés). C’est-à-dire que pour un semi-conducteur dopé pour une température T, le produit n(T).p(T) est connu, il est égal au carré de la concentration des électrons du semi-conducteur s’il n’était pas dopé. Ainsi donc, pour une température connue si la densité des électrons n(T) est connue celle des trous p(T) peut être déduite (et inversement).

4. Concentrations des porteurs de charge dans un semi-conducteur extrinsèque Pour étudier le cas d’un semi-conducteur dopé (que ce soit N ou P), on définit la Δn(T) comme étant la différence entre la concentration d’électrons et celle des trous. Cette valeur n’est pas absolue mais algébrique. Elle est positive dans le cas du dopage N et négative pour un dopage P.

(2.20)

Δn(T)=n(T) - p(T) Cas général Selon la loi d’action de masses énoncée dans l’équation (2.18) on a : 𝑝(𝑇) =

𝑛𝑖2 (𝑇) 𝑛(𝑇)

(2.21)

On peut donc écrire : 𝛥𝑛(𝑇) = 𝑛(𝑇) − 𝑝(𝑇) = 𝑛(𝑇) −

𝑛𝑖2 (𝑇) 𝑛(𝑇)

(2.22)

Donc on aboutit à une équation du deuxième degré :

(2.23)

𝑛2 (𝑇) − 𝑛(𝑇)𝛥𝑛(𝑇) − 𝑛𝑖2 (𝑇) = 0

En se mettant dans le cas extrinsèque (Δn(T)#0), l’équation (2.28) présente deux solutions dont l’une est négative. L’autre est : 1

2

1

(2.24)

𝑛(𝑇) = 2 𝛥𝑛(𝑇) + 2 √(𝛥𝑛(𝑇)) + 4𝑛𝑖2 (𝑇) Ceci nous permet de déduire la concentration des trous : 1

1

2

𝑝(𝑇) = 𝑛(𝑇) − 𝛥𝑛(𝑇) = − 2 𝛥𝑛(𝑇) + 2 √(𝛥𝑛(𝑇)) + 4𝑛𝑖2 (𝑇)

(2.25)

Semi-conducteur type N Pour un semi-conducteur type N fortement dopé (Δn>>ni). On peut faire l’approximation 𝑛(𝑇) ≈ 𝛥𝑛(𝑇) , ce qui revient à supposer que les électrons sont presque tous issus du dopage et qu’on ignore les électrons issus de l’agitation thermique. Cette supposition est souvent très valable. Dans ce cas on peut déduire plus facilement la concentration des trous qui est : 𝑛2 (𝑇)

𝑖 𝑝(𝑇) = ∆𝑛(𝑇)

(2.26)

Si on suppose que la quantité d’atomes donneurs qu’on a injecté (à une concentration ND) a été totalement ionisée on peut donc conclure que :

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𝑝(𝑇) =

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𝑛𝑖2 (𝑇) 𝑁𝐷

(2.27)

La supposition de l’ionisation totale n’est normalement pas toujours vraie. En réalité, dans un semi-conducteur à température non nulle il est possible que ce soit les atomes du semi-conducteur, et non ceux du dopant (donneur dans ce cas), qui libèrent leurs électrons. Quand un semiconducteur est exposé à une énergie, on ne peut décider pratiquement de la façon par laquelle celleci sera réparti. Toutefois il est a noté que l’énergie d’ionisation des atomes du dopant est très faible, il y a donc beaucoup plus de chance que les atomes dopants s’ionisent en premier lieu. Ainsi à température ambiante, La grande majorité des atomes du dopant sont polarisés. Semi-conducteur type P Pour un semi-conducteur de type P fortement dopé (|Δn|>>ni). On peut, de même, faire l’approximation que (𝑇) ≈ −𝛥𝑛(𝑇) , ce qui revient à supposer que les trous sont presque tous issus du dopage et qu’on ignore les trous issus de l’agitation thermique. On peut donc déduire n(T) : 𝑛(𝑇) =

𝑛𝑖2 (𝑇) −∆𝑛(𝑇)

(2.28)

Si on suppose que la quantité d’atomes donneurs qu’on a injecté (à une concentration NA) a été totalement ionisée on peut donc conclure que : 𝑛(𝑇) =

𝑛𝑖2 (𝑇) 𝑁𝐴

(2.29)

5. Le niveau de Fermi Le niveau de Fermi intrinsèque Dans le cas d’un semi-conducteur intrinsèque (pas d’impureté), les trous sont générés par la libération d’électrons et donc on a : 𝐸𝑔

𝑛(𝑇) = 𝑝(𝑇) = 𝑛𝑖 (𝑇) = √𝑁𝑐 (𝑇)𝑃𝑣 (𝑇)𝑒 − 2𝑘𝑇

(2.30)

Or par définition de l’équation (2.8), on a : 𝑛𝑖 (𝑇) = 𝑁𝑐 (𝑇). 𝑒

𝐸𝐹𝑖 −𝐸𝐶 𝑘𝑇

= 𝑃𝑣 (𝑇). 𝑒

𝐸𝑣 −𝐸𝐹𝑖 𝑘𝑇

(2.31)

En combinant les deux équations (2.30) et (2.31). On peut déduire le niveau de Fermi donné par : 𝐸𝐹𝑖 = 𝐸𝑐 −

𝐸𝑔 2

+

𝑘𝑇 𝑃 (𝑇) 𝑙𝑛 ( 𝑣 (𝑇)) 2 𝑁𝑐

= 𝐸𝑐 −

𝐸𝑔 2

+

3𝑘𝑇 𝑚 𝑙𝑛 ( 𝑑ℎ ) 4 𝑚𝑑𝑒

(2.32)

De l’équation (2.32) on peut comprendre que : -

Pour un semi-conducteur intrinsèque, à température T=0°K, le niveau de Fermi se trouve exactement au milieu du gap. Sachant que mde ≈ mdh le terme ln(mdh/mde) tends vers 0. Donc, dans un semi-conducteur intrinsèque, à température non nulle, le niveau de Fermi est légèrement décalé vers le Bas. Ceci peut être confirmé par l’application numérique du tableau Tab. 2.2

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Nc (T)

Pv (T)

𝑘𝑇 𝑷𝒗 (𝑻) 𝑙𝑛 ( ) 2 𝑵𝒄 (𝑻)

Eg

Si

2,7 .1019cm-3

1,1 .1019cm-3

-0,01160679 eV

1,1 eV

Ge

1,0 .1019cm-3

0,5 .1019cm-3

-0,00895962 eV

0,66eV

T=300°K

Tab. 2.2 : Application numérique pour l’énergie de Fermi intrinsèque Le niveau de Fermi dans un semi-conducteur dopé Pour étudier les semi-conducteurs dopés, l’utilisation des équations (2.8) et (2.9) nécessite la détermination du niveau de Fermi (niveau d’énergie fictif). On essaye quand même, dans l’équation (2.33), d’introduire le niveau de Fermi intrinsèque qui est le niveau connu (par l’équation 2.32).

{

𝑛(𝑇) = 𝑁𝑐 (𝑇)𝑒

𝐸𝐹 −𝐸𝐶 𝑘𝑇 𝐸𝑣 −𝐸𝐹 𝑘𝑇

𝑝(𝑇) = 𝑃𝑣 (𝑇)𝑒

𝐸𝐹𝑖 −𝐸𝐶 𝐸𝐹 −𝐸𝐹𝑖 𝑘𝑇 𝑘𝑇

= 𝑁𝑐 (𝑇)𝑒

𝑒

(2.33)

𝐸𝑣 −𝐸𝐹𝑖 𝐸𝐹𝑖 −𝐸𝐹 𝑘𝑇 𝑘𝑇

= 𝑃𝑣 (𝑇)𝑒

𝑒

Or le premier terme n’est autre que la concentration des électrons dans le cas intrinsèque qu’on a défini par ni (voir l’équation (2.31)), on aboutit donc à l’équation (2.34).

{

𝑛(𝑇) = 𝑛𝑖 (𝑇). 𝑒 𝑝(𝑇) = 𝑛𝑖 (𝑇). 𝑒

𝐸𝐹 −𝐸𝐹𝑖 𝑘𝑇

(2.34)

𝐸𝐹𝑖 −𝐸𝐹 𝑘𝑇

On peut dire, à partir de l’équation (2.34), que le dopage déplace le niveau de fermi de la position intrinsèque vers le haut dans le cas du dopage N, et vers le bas dans le cas du dopage P. Ceci est représenté dans la Figure 2.3. Pour déterminer le niveau de Fermi dans le cas extrinsèque on combine l’équation (2.34) avec les équations (2.24) et (2.25). Tout calcul fait on obtient :

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𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 =

𝐸𝑔 2

−

3𝑘𝑇 𝑚 𝑙𝑛 ( 𝑑ℎ ) − 4 𝑚𝑑𝑒

𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 =

𝐸𝑔 2

+

3𝑘𝑇 𝑚 −𝛥𝑛(𝑇) 𝑙𝑛 ( 𝑚𝑑ℎ ) − 𝑘𝑇𝑙𝑛 ( 2𝑛 (𝑇) + 4 𝑑𝑒 𝑖

𝑘𝑇𝑙𝑛 (

𝛥𝑛(𝑇) + 2𝑛𝑖 (𝑇)

2

√( 𝛥𝑛(𝑇) ) + 1 ) (𝑇) 2𝑛𝑖

2

√( 𝛥𝑛(𝑇) ) + 1 ) 2𝑛 (𝑇) 𝑖

(2.35) (2.36)

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𝐸

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𝐸

𝐸

Même surface n(T)=p(T)=ni(T) 𝑛(𝑇)

𝑛(𝑇) 𝐸𝑐

𝐸𝑐

𝐸𝑐 𝐸𝑔

𝐸𝐹 𝐸𝐹𝑖 𝐸𝐹 𝐸𝑣

𝐸𝑣

𝐸𝑣

𝑝(𝑇)

𝑝(𝑇)

Le produit des surfaces reste le même n(T)p(T)=ni²(T)

(a) intrinsèque (b) dopage N (c) dopage P Figure 2.3 : Concentration des porteurs de charge dans les trois types de semi-conducteurs

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Chap. 3. Mécanismes de transport de charges I.

Introduction

Comme expliqué précédemment, les semi-conducteurs sont capables de transporter le courant électrique. Bien qu’ils ne soient pas de bons conducteurs, ils disposent de suffisamment de porteurs de charge libres qui font leurs conductivités. En effet le courant dans un semi-conducteur est le résultat de deux déplacements. Celui des électrons, dans la bande de conduction, dans le sens opposé du champ appliqué, qui s’additionne à celui des trous qui se déplacent dans la bande de valence, dans le même sens que le champ. De plus le courant dans un semi-conducteur peut être causé par deux phénomènes. Soit comme expliqué précédemment par un déplacement résultant d’un champ électrique externe appliqué, on parle alors de courant de conduction. Soit par le déplacement causé par un gradient dans la distribution des porteurs de charge dans le semi-conducteur, on parle alors de courant de diffusion.

II.

Courant de conduction

En absence de champ, les porteurs libres dans le semi-conducteur sont animés par un mouvement aléatoire, causé par les collisions multiples, qu’on peut assimiler à celui des molécules d’un gaz dans une enceinte. Ces déplacements (comme représenté dans la Figure 3.1-a) induisent une distribution de mouvement isotrope, d’où la conclusion que le mouvement d’ensemble est nul. Sous l’effet d’une force (champ Electrique) les électrons sont animés par un mouvement aléatoire (à cause des collisions) mais orienté (à cause du champ). Ce déplacement induit un déplacement global, représenté par le déplacement 1-8 dans la Figure 3.1–b, et qui est dans le sens opposé du champ.

1

8

8

7

1

2

2 5

4 3

7

6

5

4 3

6

(a) (b) Figure 3.1 : Effet du champ électrique sur le déplacement des porteurs de charge La vitesse moyenne d’un porteur sous l’effet d’un champ électrique𝜉⃗ est donnée, selon le modèle de Drude, par l’équation (3.1) 𝑞𝜏

𝑣̅ = 2𝑚𝐶∗ 𝜉

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(3.1)

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Ici q est la charge du porteur, m* sa masse effective, et τC le temps moyen de collision. Ce temps dépend de :   

La température La concentration totale d’impuretés (donneurs et accepteurs) La densité d’état.

On définit la mobilité d’un porteur µ comme étant la vitesse moyenne du porteur par unité de champ électrique. Il s’agit d’une valeur positive exprimée en cm²/V.s et qui reflète la capacité du porteur à se déplacer sous l’effet d’une force électrique. On distingue, comme exprimé dans les équations (3.2), la mobilité des électrons µn et la mobilité des trous µp. Ces derniers sont moins mobiles que les électrons comme on peut l’observer à travers les valeurs numériques du tableau Tab. 3.1.

{

𝜇𝑛 =

−𝑞𝑛 𝜏𝐶 2 𝑚𝑒 𝑞𝑝 𝜏𝐶

(3.2)

𝜇𝑝 = 2 𝑚

ℎ

T=300°K

µn (T)

µp (T)

Si

1 350 cm2/V.s

480 cm2/V.s

Ge

3 600 cm2/V.s

1 800 cm2/V.s

Tab. 3.1 : Valeurs de mobilité de porteurs pour le silicium et le germanium On définit donc la densité du courant de diffusion 𝐽⃗⃗⃗𝑐 , par l’équation (3.3). Ici qp=-qn=e est la charge élémentaire et σn et σp sont respectivement la conductivité des électrons et la conductivité des trous : 𝐽⃗⃗⃗𝑐 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑐𝑛 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑐𝑝 = (−𝑞𝑛 𝑛𝜇𝑛 + 𝑞𝑝 𝑝𝜇𝑝 )𝜉⃗ = (𝜎𝑛 + 𝜎𝑝 )𝜉⃗

(3.2)

Il est à noter que σn et σp sont toutes les deux positives d’où l’addition des courants de trous et d’électrons. On définit alors la conductivité du semi-conducteur σ la somme des deux conductivités précédentes, ce qui permet d’aboutir à l’équation (3.3) qui n’est autre que la loi d’ohm généralisée. 𝐽⃗⃗⃗𝑐 = (𝜎𝑛 + 𝜎𝑝 )𝜉⃗ = 𝜎𝜉⃗

(3.3)

III. Courant de diffusion Si les porteurs libres ne sont pas distribués uniformément dans le semi-conducteur, ils sont soumis au processus de diffusion. Leur mouvement, représenté dans la Figure 3.2, s’effectue dans un sens qui tend à uniformiser leur distribution spatiale. Ce mouvement introduit un courant qu’on appelle courant de diffusion.

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Figure 3.2 : Déplacement des porteurs de charge par effet de diffusion Selon la 1ère loi de Fick, le flux des porteurs est proportionnel au gradient de la concentration des porteurs. Ceci peut être exprimé par les équations (3.4), où Dn et Dp sont des coefficients positifs, appelés constantes de diffusion. Les signes (-) dans les deux équations sont dû au fait que les deux déplacements des porteurs sont dans le sens opposé du gradient. Ici les deux courants (de trous et d’électrons) ont un sens opposé puisque qp=-qn=q. {

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑑𝑛 = −𝑞𝑛 𝐷𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑛) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑑𝑝 = −𝑞𝑝 𝐷𝑝 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝)

(3.4)

La relation d’Einstein, exprimée dans l’équation (3.5) permet de mettre en relation les deux constantes de diffusion, les deux mobilités ainsi que la tension thermique VT. 𝐷𝑛 𝜇𝑛

IV.

𝐷

= 𝜇𝑝 = 𝑝

𝑘𝑇 𝑞

= 𝑉𝑇

(3.5)

Le courant total

De façon général le courant total qui peut parcourir un semi-conducteur est sous la forme :

𝐽⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑐𝑛 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑐𝑝 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑑𝑛 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑑𝑝

(3.6)

Ce qui donne explicitement : 𝐽⃗ = (−𝑞𝑛 𝑛𝜇𝑛 + 𝑞𝑝 𝑝𝜇𝑝 )𝜉⃗ − 𝑞𝑛 𝐷𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑛) − 𝑞𝑝 𝐷𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝)

(3.7)

On peut organiser l’équation (3.7) soit sous la forme de somme de courant de conduction et courant de diffusion comme dans l’équation (3.8), soit sous forme de somme de courant d’électrons et courant de trous comme dans (3.9).

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𝐽⃗ = (𝜎𝑛 + 𝜎𝑝 )𝜉⃗ − 𝑞𝑛 𝜇𝑛 𝑈𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑛) − 𝑞𝑝 𝜇𝑝 𝑈𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝) = 𝐽⃗⃗⃗𝑐 + ⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑑

(3.8)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑝)) − 𝑞𝑛 𝜇𝑛 (𝑛. 𝜉⃗ + 𝑈𝑇 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑛)) = ⃗⃗⃗⃗ 𝐽⃗ = 𝑞𝑝 𝜇𝑝 (𝑝. 𝜉⃗ − 𝑈𝑇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐽𝑝 + ⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑛

(3.9)

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Chap. 4. Mécanismes recombinaison I.

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de

génération-

Introduction

A température absolue non nulle, on a déterminé la concentration des porteurs libres dans le semi-conducteur. Il faut comprendre que même si cette concentration des porteurs, et par conséquent le nombre des porteurs, sont des valeurs constantes et définies pour un semiconducteur pour une température donnée, le semi-conducteur est continuellement animé par deux processus.  

La recombinaison d’électron-trou (disparition de la paire par émission d’énergie) La génération d’électron-trou (création de la paire par consommation d’énergie)

Ces deux mécanismes sont continuellement présents au sein d’un semi-conducteur. Il n’y a point de semi-conducteur sans qu’il y ait de GR qui l’anime. Dans ce chapitre on essaye de se focaliser sur ces deux mécanismes qui permettent de réguler les caractéristiques d’un semi-conducteur.

II.

Généralité

Cette partie introduit quelques notions prérequis pour l’étude des mécanismes de générationrecombinaison.

1. Type de génération-recombinaison On distingue deux types de mécanisme génération-recombinaison. -

La transition directe (génération ou recombinaison) se passe lorsque l’électron passe directement de la bande de valence à la bande de conduction

Figure 4.1 : Génération et recombinaison direct -

La transition indirecte (dite aussi par niveau-relais ou par piège) est causée par la présence d’impuretés dans un semi-conducteur. Si ces impuretés présentent un niveau d’énergie Et permis qui se situe dans la bande de gap du semi-conducteur, ils peuvent alors constituer un relai pour les processus de génération et de recombinaison. Le niveau Et est dit piège ou centre de recombinaison

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Figure 4.2 : Génération et recombinaison indirect

2. L’équilibre thermodynamique Lorsque le semi-conducteur est à l’équilibre thermodynamique on a n.p=ni²=cte qui ne dépend que de la température. Donc le nombre de porteurs générés est égal au nombre de porteurs recombinés. On définit : -

g r U

: taux de porteurs générés par s par cm3 : taux de porteurs recombinés par s par cm3 : taux net de porteurs recombinés par s par cm3

Avec :

(4.1)

U= r - g Pour définir l’équilibre thermodynamique on a : d'ou

𝑈 =𝑟−𝑔 =0 →

𝑟=𝑔

(4.2)

Lorsque la concentration des porteurs n’est pas celle de l’équilibre, c’est-à-dire que n.p≠ni². Les mécanismes RG qui existent déjà dans le semi-conducteur s’accentuent de façon à faire disparaitre l’excès ou le défaut. Attention cette rupture d’équilibre n’a rien à voir avec le dopage des semiconducteurs. Dans un semi-conducteur dopé la règle n.p=ni² est bien vérifiée.

III. La génération-recombinaison directe Dans le cas de la génération-recombinaison directe. A l’équilibre, les taux de génération et recombinaison (notés gth et rth pour taux de génération et recombinaison thermique) sont égaux. Ils sont proportionnels au produit des concentrations des porteurs qu’on note (n0 et p0). C’est-à-dire que : 𝑟𝑡ℎ = 𝑔𝑡ℎ = 𝐶𝑛0 𝑝0 = 𝐶𝑛𝑖 ²

(4.3)

Ici C est une constante en cm3.s-1, et n0 et p0 sont les concentrations des porteurs de charge à l’équilibre. Elles ne sont pas forcément égales à ni et pi. Suite à une perturbation on aura n.p≠ni² et donc U≠0. On sait que le taux net de recombinaison est proportionnel à la perturbation. C’est-à-dire que : 𝑈 = 𝑟 − 𝑔 = 𝐶(𝑛𝑝 − 𝑛𝑖2 )

(4.4)

On pose :

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{

𝑛 = 𝑛0 + 𝑛̂ 𝑝 = 𝑝0 + 𝑝̂

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(4.5)

Où n0 et p0 sont les concentrations à l’équilibre, et 𝑛̂ et 𝑝̂ sont les perturbations en terme d’électrons et de trous. On a donc : 𝑈 = 𝐶(𝑛0 𝑝̂ + 𝑝0 𝑛̂ + 𝑛̂𝑝̂ + 𝑛0 𝑝0 − 𝑛𝑖2 )

(4.6)

On sait que n0.p0 - ni=0 par définition, d’autre part le terme 𝑛̂𝑝̂ est très petit, donc négligeable devant les deux autres termes. Ce qui nous permet de déduire que : 𝑈 ≈ 𝐶(𝑛0 𝑝̂ + 𝑝0 𝑛̂) = 𝐶𝑛0 𝑝̂ + 𝐶𝑝0 𝑛̂

(4.7)

On pose : {

𝜏𝑛 = 𝜏𝑝 =

1

(4.8)

𝐶𝑝0 1 𝐶𝑛0

D’où : 𝑈=

𝑛̂ 𝜏𝑛

+

𝑝̂ 𝜏𝑝

(4.9)

La constante τn (τp) est analogue à un temps en s. Elle représente la durée de vie moyenne de l’électron (du trou) excédentaire. C’est le temps moyen qui sépare son apparition et sa disparition par mécanisme de recombinaison. Il faut faire attention que : -

Il ne s’agit pas d’une moyenne arithmétique On n’a pas forcément n0=p0 (et par la suite τn ≠ τp) sauf si on est dans un semi-conducteur intrinsèque.

IV.

La génération-recombinaison indirecte

Dans le cas de la génération-recombinaison indirecte on distingue quatre processus, 2 processus de recombinaison (représentés dans la Figure 4.2 par a et b), et 2 processus de génération (représentés dans la Figure 4.2 par c et d) On définit alors : -

Un= ra - gd le taux net de recombinaison électron-piège Up= rb - gc le taux net de recombinaison piège-trou

On admet que : -

A l’équilibre nous avons Un=0 et Up=0 Au régime permanent nous avons Un=Up

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1. Distribution des pièges La génération-recombinaison indirecte se passe lorsqu’un niveau d’énergie permis, causé par les impuretés, se situe dans la bande de gap du semi-conducteur. On définit Nt comme étant la concentration des pièges dans le semi-conducteur. A un instant donné ces pièges peuvent être soit vides soit déjà occupés par un électron. On peut donc définir Nt par l’équation (4.10) où Ntv est la concentration des pièges vides et Nto est la concentration des pièges occupés

𝑁𝑡 = 𝑁𝑡𝑣 + 𝑁𝑡𝑜

(4.10)

Soit f la probabilité d’occupation des niveaux relais. On a alors :

𝑁𝑡𝑜 = 𝑓𝑁𝑡

(4.11)

𝑁𝑡𝑣 = 𝑁𝑡 − 𝑁𝑡𝑜 = (1 − 𝑓)𝑁𝑡

(4.12)

D’où :

2. Taux de recombinaison ra et rb Selon le modèle de Shockley - Hall – Read, le taux de recombinaison du processus a noté ra est proportionnel à la concentration des électrons n et à celle des niveaux relais vides Ntv. On a donc :

𝑟𝑎 = 𝑛𝑆𝑛 𝑉𝑡ℎ𝑛 𝑁𝑡𝑣

(4.13)

Avec Vthn la vitesse thermique des électrons, et Sn la section de capture des électrons. On utilise l’équation (4.12) pour obtenir :

𝑟𝑎 = 𝑛𝑆𝑛 𝑉𝑡ℎ𝑛 (1 − 𝑓)𝑁𝑡

(4.14)

Le taux de recombinaison du processus b noté rb est lui proportionnel à la concentration des trous p et à celle des niveaux relais occupés Nto. On a donc :

𝑟𝑏 = 𝑝𝑆𝑝 𝑉𝑡ℎ𝑝 𝑁𝑡𝑜

(4.15)

Avec Vthp la vitesse thermique des trous, et Sp la section de capture des trous. On utilise l’équation (4.11) pour obtenir :

𝑟𝑏 = 𝑝𝑆𝑝 𝑉𝑡ℎ𝑝 𝑓𝑁𝑡

(4.16)

3. Taux de génération gc et gd Le taux de génération du processus c noté rc est proportionnel à la concentration des niveaux relais occupés Ntv. On a donc :

𝑔𝑐 = 𝑒𝑝 𝑁𝑡𝑣 = 𝑒𝑝 (1 − 𝑓)𝑁𝑡

(4.17)

Avec ep : la probabilité d’émission des trous de la bande de valence vers Et. Plus Et est bas plus le passage de l’électron vers le piège est favorisé. Et par conséquent plus Et est bas plus la probabilité ep est grande. Le taux de génération du processus d noté rd est proportionnel à la concentration des niveaux relais occupés Nto, On a donc :

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𝑔𝑑 = 𝑒𝑛 𝑁𝑡𝑜 = 𝑒𝑛 𝑓𝑁𝑡

(4.18)

Avec en : la probabilité d’émission des électrons de Et vers la bande de conduction. Plus Et est élevé plus la libération d’un électron qui se trouve dans le piège est favorisée. Et par conséquent plus Et est élevé plus probabilité en est grande.

4. Les taux nets de recombinaison Un et Up Le taux net de recombinaison électron-piège Un est donc défini par :

𝑈𝑛 = 𝑟𝑎 − 𝑔𝑑 = 𝑛𝑆𝑛 𝑉𝑡ℎ𝑛 (1 − 𝑓)𝑁𝑡 − 𝑒𝑛 𝑓𝑁𝑡

(4.19)

Le taux net de recombinaison piège-trou Up est défini par :

𝑈𝑝 = 𝑟𝑏 − 𝑔𝑐 = 𝑝𝑆𝑝 𝑉𝑡ℎ𝑝 𝑓𝑁𝑡 − 𝑒𝑝 (1 − 𝑓)𝑁𝑡

(4.20)

Approximation des pièges efficaces Dans le cas où le piège se situe au milieu du gap c’est-à-dire que Et=(Ec+Ev)/2, ce qu’on appelle un piège efficace. On a : en = ep = ê

(4.21)

Sous ces hypothèses on obtient :

{

𝑈𝑛 = 𝑛𝑆𝑛 𝑉𝑡ℎ𝑛 (1 − 𝑓)𝑁𝑡 − ê𝑓𝑁𝑡 𝑈𝑝 = 𝑝𝑆𝑝 𝑉𝑡ℎ𝑝 𝑓𝑁𝑡 − ê(1 − 𝑓)𝑁𝑡

(4.22)

On sait qu’à l’équilibre thermodynamique on a Un=Up=0. D’où :

{

𝑈𝑛 = 0 = 𝑛0 𝑆𝑛 𝑉𝑡ℎ𝑛 (1 − 𝑓)𝑁𝑡 − ê𝑓𝑁𝑡 𝑈𝑝 = 0 = 𝑝0 𝑆𝑝 𝑉𝑡ℎ𝑝 𝑓𝑁𝑡 − ê(1 − 𝑓)𝑁𝑡

(4.23)

Ici n0 et p0 sont respectivement les concentrations d’électrons et de trous à l’équilibre. En multipliant les deux termes des équations du système (4.22), on aboutit à l’équation (4.23) :

𝑛0 𝑝0 𝑆𝑛 𝑆𝑝 𝑉𝑡ℎ𝑛 𝑉𝑡ℎ𝑝 𝑓(1 − 𝑓) = ê²𝑓(1 − 𝑓)

(4.24)

On sait que n0.p0 = ni2 et que 0 ni >> p0

(5.7)

On peut donc écrire que : 𝑛0 𝑝̂ + 𝑝0 𝑛̂ = 𝑛0 𝑝̂

(5.8)

𝑛 + 𝑝 + 2𝑛𝑖 = 𝑛0 + 𝑝0 + 𝑝̂ + 2𝑛𝑖

(5.9)

On sait aussi que

Or 𝑝̂ est négligeable par rapport à p0 et aux autres termes. Et on sait que 𝑛𝑖 = √𝑛0 𝑝0 donc on a : 2

𝑛 + 𝑝 + 2𝑛𝑖 ≃ (√𝑛0 + √𝑝0 ) ≃ 𝑛0

(5.10)

On sait aussi que p0 est constant par rapport au temps d’où : 𝑑𝑝 𝑑𝑡

=

𝑑(𝑝̂+𝑝0 ) 𝑑𝑡

=

𝑑𝑝̂ 𝑑𝑡

(5.11)

On aboutit finalement à l’équation différentielle (5.12) 𝑑𝑝̂ 𝑑𝑡

1

= − 𝜏 𝑝̂ 𝑝

(5.12)

La solution de l’équation (5.12) donne l’évolution des porteurs minoritaires (trous) dans un semi-conducteur de type N en absence de champ. Cette solution donnée par l’équation (5.13) est représentée dans la Figure 5.2 – a. Ici 𝑝̂ 0 est la perturbation initiale injectée à l’instant t=0.

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1ère Année G. Électrique −𝑡

−𝑡

(5.13)

𝑝̂ = 𝑝̂ (𝑡 = 0)𝑒 𝜏𝑝 = 𝑝̂ 0 𝑒 𝜏𝑝 Dans un SC type P

On suppose l’injection d’une faible quantité d’électrons 𝑛̂. Sans injection de porteurs majoritaires donc 𝑝̂ =0. Et on se met aussi dans le cas d’un fort dopage par un calcul similaire on aboutit à : 𝑑𝑛̂ 𝑑𝑡

1

(5.14)

= − 𝜏 𝑛̂ 𝑛

La solution de l’équation (5.14) donne l’évolution des porteurs minoritaires (électrons) dans un semi-conducteur de type P en absence de champ. Cette solution donnée par l’équation (5.15) est représentée dans la Figure 5.2 – b. Ici 𝑛̂0 est la perturbation initiale injectée à l’instant t=0. −𝑡

−𝑡

(5.15)

𝑛̂ = 𝑛̂(𝑡 = 0)𝑒 𝜏𝑛 = 𝑛̂0 𝑒 𝜏𝑛

(a) –type N (b) – type P Figure 5.2 : évolution d’une perturbation des porteurs minoritaires en absence de champ Ici les variables 𝜏𝑛 et 𝜏𝑝 apparaissent mieux comme des constantes de temps reflétant la durée de vie des porteurs minoritaires dans un semi-conducteur.

2. Injection de porteurs minoritaires en absence de champ – cas de la diffusion Dans ce deuxième cas d’étude on intègre le phénomène de la diffusion vu en chapitre 3. Toujours en absence de champs électrique mais cette fois on injecte des porteurs de façon continue. On a donc : 𝑑𝑛

{

𝑑𝑡 𝑑𝑝 𝑑𝑡

𝜕2 𝑝

𝜕2 𝑝

𝜕2 𝑛

𝜕2 𝑛

1 (𝑛0 𝑝̂+𝑝0 𝑛̂)

= 𝐷𝑝 𝜕𝑥 2 − 𝑈𝑝 = 𝐷𝑝 𝜕𝑥 2 − 𝜏

𝑝

𝑛+𝑝+2𝑛𝑖

1 (𝑛0 𝑝̂+𝑝0 𝑛̂)

= 𝐷𝑛 𝜕𝑥 2 − 𝑈𝑛 = 𝐷𝑛 𝜕𝑥 2 − 𝜏

𝑛

(5.16)

𝑛+𝑝+2𝑛𝑖

On injecte une faible quantité de porteurs minoritaires. Ceci permet d’utiliser l’équation (5.11) et l’approximation de l’équation (5.10), dans le cas de semi-conducteur type N, afin d’aboutir à : 𝑑𝑝 𝑑𝑡

𝜕2 𝑝

𝑝̂

𝜕2 𝑝̂(𝑥)

𝑝

𝜕𝑥 2

= 𝐷𝑝 𝜕𝑥 2 − 𝜏 = 𝐷𝑝

−

𝑝̂(𝑥) 𝜏𝑝

(5.17)

Dans le cas du semi-conducteur de type P on a :

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𝜕2 𝑛

𝑛̂

= 𝐷𝑛 𝜕𝑥 2 − 𝜏 = 𝐷𝑛 𝑛

𝜕2 𝑛̂(𝑥) 𝜕𝑥 2

−

𝑛̂(𝑥)

(5.18)

𝜏𝑛

Le fait qu’on injecte les porteurs de façon continue nous permet d’atteindre le régime permanent (c’est-à-dire lorsque le temps d’injection dépasse largement τp et τn), on peut supposer donc que la variation temporelle de la concentration des porteurs va finir par s’annuler. On a alors : 𝑑𝑝 𝑑𝑡

= 0 = 𝐷𝑛

𝑑𝑡

= 0 = 𝐷𝑝

{ 𝑑𝑛

𝜕2 𝑛̂(𝑥) 𝜕𝑥 2

−

𝜕2 𝑝̂(𝑥) 𝜕𝑥 2

−

𝑛̂(𝑥) 𝜏𝑛 𝑝̂(𝑥) 𝜏𝑝

dans un SC N

(5.19)

dans un SC P

On pose

{

𝐿2𝑝 = 𝐷𝑝 𝜏𝑝 𝐿2𝑛 = 𝐷𝑛 𝜏𝑛

(5.20)

On peut dire que les porteurs minoritaires qui sont injectés vont avoir une distribution spatiale qui répond aux équations différentielles (5.21) 𝜕2 𝑝̂ (𝑥)

{

𝜕𝑥2 𝜕2 𝑛̂ (𝑥) 𝜕𝑥2

− −

1

𝐿2𝑝 1

𝐿2𝑛

𝑝 ̂ (𝑥) = 0

dans un SC N (5.21)

𝑛 ̂ (𝑥) = 0

dans un SC P

Donc la solution s’écrit sous la forme : −𝑥

{

𝑥

𝑝̂ (𝑥) = 𝐴𝑝 . 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐿 ) + 𝐵𝑝 . 𝑒𝑥𝑝 (𝐿 ) 𝑝

𝑝

−𝑥

𝑥

𝑛̂(𝑥) = 𝐴𝑛 . 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐿 ) + 𝐵𝑛 . 𝑒𝑥𝑝 (𝐿 ) 𝑛

𝑛

dans un SC N

(5.22)

dans un SC P

Où An, Bn, Ap et Bp sont des constantes à définir en utilisant les conditions en limites. Semi-conducteur de longueur W infinie – porteurs injectés à x=0 Dans ce cas on peut dire que : -

Lorsque x tend vers ∞ on a la perturbation (𝑝̂ (𝑥) dans le cas du semi-conducteur N et 𝑛̂(𝑥) dans le cas du semi-conducteur P) qui tend vers 0. La perturbation est injectée à x=0 donc on note 𝑝̂ (𝑥) = 𝑝̂ (0) = 𝑝̂0 dans le cas du semiconducteur N et 𝑛̂(𝑥) = 𝑛̂(0) = 𝑛̂0 .dans le cas du semi-conducteur P

Inclure ces deux conditions limites dans l’équation (5.22) permet de déduire que Bn=Bp=0, Ap=𝑝̂0 et An=𝑛̂0 . D’où :

{

𝑝̂ (𝑥) = 𝑝̂0 𝑒

−𝑥 ) 𝐿𝑝

(

𝑛̂(𝑥) = 𝑛̂0 𝑒

−𝑥 ( ) 𝐿𝑛

dans un SC N

(5.23)

dans un SC P

Ces deux évolutions sont représentées dans la Figure 5.3 dans les deux cas N et P. On remarque que les distances Lp et Ln reflètent les distances que doit parcourir le porteur excédentaire dans un

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semi-conducteur avant de disparaître par effet de recombinaison. Elles sont dites longueurs de diffusion des porteurs excédentaires. En s’éloignant de la zone d’injection la perturbation décroit jusqu’à s’annuler lorsqu’on s’éloigne de plusieurs Lp (ou Ln).

(a) –type N (b) – type P Figure 5.3 : Evolution spatiale de la perturbation des porteurs minoritaires L’évolution de l’équation (5.23) représente l’évolution de la perturbation (c’est-à-dire 𝑛̂(𝑥) et 𝑝̂ (𝑥)). La concentration des porteurs ne s’annule pas, elle tend vers la concentration d’équilibre (c’est-à-dire n0 et p0) c’est ce qui est représenté sur la Figure 5.4.

(a) –type N (b) – type P Figure 5.4 : Evolution spatiale de la concentration des porteurs minoritaires Il est à noter que selon le dopage, la distribution des impuretés et la température, les longueurs Lp et Ln peuvent varier de quelque 10µm à quelques mm. Semi-conducteur de longueur W finie – porteurs injectés à x=0 Dans ce cas on suppose qu’à la limite du semi-conducteur la perturbation est nulle ceci est dû à la présence du milieu voisin (métal, air, …). On peut donc dire que : -

A x égal à W on a la perturbation (𝑝̂ (𝑥) dans le cas du semi-conducteur N et 𝑛̂(𝑥) dans le cas du semi-conducteur P) qui est égale à 0. La perturbation est injectée à x=0 donc 𝑝̂ (𝑥) = 𝑝̂0 pour un semi-conducteur N et 𝑛̂(𝑥) = 𝑛̂0 .pour un semi-conducteur P

On inclut ces deux conditions limites dans l’équation (5.22), ce qui permet de déduire que :

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𝑝̂ (𝑥) = {

𝑛̂(𝑥) =

1ère Année G. Électrique 𝑝̂0

𝑠ℎ(

𝑊 ) 𝐿𝑝

𝑛̂0 𝑠ℎ(

𝑊 ) 𝐿𝑛

𝑠ℎ (

𝑊−𝑥

𝑠ℎ (

𝐿𝑝

)

𝑊−𝑥 𝐿𝑛

dans un SC N (5.24)

)

dans un SC P

Dans le cas ou W>>Ln (ou Lp) l’équation (5.24) tend vers l’équation (5.23). Semi-conducteur de longueur W finie très petite Dans ce cas W