Scritti di Leonardo Pisano. Volume I. Il Liber abbaci [PDF]

Zitiervorschau

lllcl/)il libel' A!Jaci C'omposilllS fl leonardo filio Bml(lcij Pisano In A1l1w. JP CC" 'l."

en [PSISTis

mihi dominc mi magister l\IielJacl Scotte, smnme pllilosophe, vt liLrum de nnmero, quem t.lnduTIl composni, nohis trallscriLel'cm: vndc ucstrae obsenmdans po~tlllati(Jlti, ipslllll slIllliljori jlcrscrulalls Indagitle ad lIestrum llOllorcm ct alioI"lnIl nml-

S

lonun utjIitaleIll corrc,i. III cnins COlTCctiOllC (!uc

[iunt

70

70

5 6

4

70

'20

I""""(J"i,,,.rii

i

flunt

:100

I

et

I

rncil'im,tm"itipli"lItia"cs

80

i

t40

t50

90

20

I4

80

90

HI

8

et 4flunt

60

60

lO~fluut 20

2060

4

130

:l6!

18

to

:13

I.II"'"'luaferna,'U

fluut 120

70

f7

4

5

60

60

-70

et 9 {funt :18

6

60 et

f4

9 10

la/Hill tel'"arii

et 3 flunt

sectc,wrii

1

]8

10

64

'I,

72

•

80

I !

IS

De Jlc1/erwrio

21 8

I lUees . 9

9

9

10

De q"~ter"a.rio

4 wees

fltllnt

81 90

-------,,--~-

4/iUllt :16

I1

Dc deceIHl/'io

4

5

20

4

6

24

110 uices:lo fillnt

8

110 .._.2: _ _ 200

9

2S 32 36

to

40

4 4 .{. 4

1

,

tOO

I

\EXl'lid"''' """"'''''''''''':_\

PRCscl'iptas itaque in tabulis iunctiones et multiplicationes in manibus addiscendo semper utantur colligcrc, vt animus pariter cum manibus in additationihus et multiplicationibus quorumlibet numerorum expcditior fiat. Incipit capitulum secundum de 1nultiplicatione integrorum numerorum. CApitulum secundum de multiplicationibus integrorum numerorum in octo partes diuidimus, ut differentie atque proprietates carum melins intelligantur. Quarum prima pars crit de multiplicationc duanlffi figurarum contra duas, atque unius figure contra pluJ'cs. Secunda de multiplicatione tnurn figurarum contra tres, atque duarum figuraTum in tribus. Tertia de multiplicatione quattuor figurarum contra quattuor, etiam et duarum figurarllm et triurn in quattuor figuris. Quarta de multiplicacione quinque fi~ gurarum in quinque. Quinta de rnultiplicatione plurium figurarurn quam quinque, qualiter rnultiplicentur ad inuicem. Sexta de multiplicationc numerorum secnndi gradlMl per numeros eiusdem gradus, hoc est duarllffi figurarum per duas, atque uuins figure contra plures, qualiter cordetenus in manibus multiIllicentur. Septima de mnltiplicationc triurn figurarurn per tres similiter qualiter in manibus cordetenus multiplicentur. Octana de rnultiplicationc omnium numerornm alium modum. Incipit pars prima de muliiplicatione duarum figurarum contra duas. Nvrnerus se illsurn rnultiplicare dicitur, quando similis per similcm multiplicatur, ut t2 per t2, uel 26 per :26. Numerus numerum multiplicarc dicitur, quando nnmeri se inuicern multiplicantes fuerint ad inuicem inequales, ut 12 reI' 37 et 46 et per S9 : dc~ nique nos primurn numeros secundi gradus lit promisimus, scilicet a to usque in cen~ tum in seme tipsos multiplicarc doccamus. Cum autem uis multiplicare aliquem numerum secundi gradus per aliquem numcrum eiusdem gradus, siue equales sint numeri, siue inequalcs, scribes numcrum sub nurnero, ita ut similis grad us sit sub sirnili gradu; ct 8i numeri sunt inequales, sit maior sub minore, et incipiat multiplicationem a primo gradu numerorurn in tabula prescriptorum. Siquidcm multiplicet figuram primi gradus superioris uumeri in tabula prescripti per figuram primi gradns subterioris, et scrihantur unitates super primum gradum numerorum prescriptorum, ct per unam f{Uamque decenam rctineat in manu sinistra unum: deinde multiplicct figm'am primi gradus superioris numeri per figuram secundi gradus, per ultimam silicet snbterioris numeri, ct ccontra: figura primi gradlis subterioris multiplicetur per ultimam figuram superioris, et addantur in manu cum scruatis decenisj ct iterum unitatcs scribantur super secundum gradum, ct retineantur in manu decene. Item multiplicetur ultima figura superioris oumeri per ultimam subterioris, ct quod ex multiplicatione euenerit cum sernatis aecenis in manu super addatur, et unitatcs in tertio gradu, ct aecene super fuerint in quarto ponantur, ct hahebitnr multiplicatio quorumlibet numerorum a decem usque in ccntum. Verbi gratia: ut si IIuesicrit multiplicationem de t2 in 12, scrihantur :12 his in tabula dcalhata in qua littere leuiter deleantur, sicuti in hac margine scriptum cernitur, primus gradus suhterioris Dumeri sul) primo sllperilJris, hoc cst figura binarii sub figura biliani, et secunuus gradus suhterioris sub secundo superioris, scilicet figura unitatis sub figur:' unitatis, et multiplicct binarium per hinarium. cruut 4, que ronat super utrumqu.€ blnariuID ut in prima descriptione posita sunt. Itcrum multiplicentur superiora 2 qUI est in secundo gradll inferioris Humeri, enmt 2 que serucntur in manu, et multiplicet ite-

"t:O]H,h (l"al),.td .. ,.di~imll', ['t"

(fol.4,'crso,lill,2:i-S:ii\>:IK' 7, Ijn.37~pajl;.8.lin, ~),

, dc~criptio prima I

4 12 12

1

Secunda

I ,

,H 12 12

--------:

:

~I

Vltima

144

g

I !

-,

•

Q.~

1fIUll.il'li"al.i". ,. "."hipl;_ de. (roL 5 ,.e('t~, lin. pall. S, lin, t7 -36).

,·~I;Ol,i

:~- D;

prima

9 37 37 (E)

secunda

37 37 t3G9

prolJa cst.1.

37

37

8

Q

rum 2 subtcrioris Humeri per 1 superioris, crunt 2; que addat emn (luobus supcrius seruatis, crunt 4, que ponat super unitatcm utl'amque faeient ipsa ..t sccumluIll gru(lum, IJos t ·priora posita .4 que fecerant primum gradum, ut in secunda descriptione descrihituf; ct adhuc multiplicetur "1 de $upcriori llumero pCI' unum de snhtcriori, faciet 1; (IUUll 1 scrihatur in tertio grudu, scilicet post 44 dcscripta, ut in tertia ct ultima dcscriptiulW ostenditur. £t in tot ascendit multiplicatio de 12 in se ipsa, scilicet 144. lrCTIlm nt lucidius clarescat, 37 per 37 multiplicentuT. Scrihantur fluidcm 37 sub 31, ut superius de 12 diximus, et multiplicentur 7 per 7, enmt 49: })()uantur itaquc 9 Sllper utrumque 7 ut in prima descriptione ostenditur, et pro quatltHH' (le (lecenis, (Iuc sunt in .49,SenlentUI' 4 in manu, ct rnultipliccntliT '1 de sllpcriori numero per 3 de inferiori, et 7 de inferiori per 3 de ,'Iupcriori, ct iungantur insimul, Cl11I1t Jj2~ ql1iLus ad(litis cum 4 superil1s seruatis, erullt 46: scrihantur unitatl's de 46, que sunt 6 supcr utrumque 3, ut in secunda dcscl'iptione denotatur. Et .4 pro (IuaUuor deceilis que snnt in 46 I in manu seruentur, ct udhuc rnultiplicentur 3 dc sltperiori numel'O pel' 3 de inferiori, crunt 9; que adde cum .4 modo in manu seruatis, ernut 13: ponantur 3 de t3 in tertio gradu et 1 in quarto, ut continctur in tertia et ultima descriptione. Qve multiplicatio, si recta cst, ita cognoscitur. Iungantur quidcm figurc que sunt in supel'iorihus 31, scilicet 3 cum 7, erunt to, de quibus dcmaLur 9, remancbitl, (luod sel'netur. Eodemflue modo colligantur figure de 31 infl~l'ioriJJUs, et tlemantllf iwle 9, rcmanehit similiter 1: multiplicetul' ergo 1 (plOd reruansit de superiorihus 37 per1 quod remansit de inferioribus, faciet 1, quod uocetur pensa ucllJortio, et seruetnr in tabula super ipsam multiplicatiuncm, 111 in tertia Jescriptione ccrnitur: postca colligantur figure que sunt in summa muhiplieationis, et de collc(~ta ({uantitate demantur f) IIuuticns potuel'itj et si f remanchit sienLi pro pensa scrllatulll eSl, recta ntiquc Cl'it IUuhipJicatio. Ver]Ji gratia: ut 5i iunximus figuras que sunt in summa multiplicationis, scilicet t et :1 et 6 ~t. 9, et erunt 19, tie qtlihus e:xtrahc his nouenarium, remanehit t, ut pro pcnsa prcdlXImus cum dchere remanere: uel de dictis 19 dele D (Iue suut in primu gl'a(ln ipSOTIlm, remanehit similiter t, £t nota cum adllitis figul'is de 37, scilicet 3 cum 7, tunc, diuidis 37, p.er 9, de (Iua diuisiollc rcmanet t, sient l'cmansit ex 10 (ptC procrcata fUCI'lIlt ex ml~lClIone 3 e~ :' Cum ex cis CXll'acta fneruat !J: nam residuum f{tlOd remanet ex quoUls numero Jlll1Sa per 9, cst Summa que ponitnr ex additatione omniulll fi?~raru~ facielltium ipsum numel'um. Et notandum rursus~ cum ali({uis numcms dimdltur 1ll pattcs, et una (luc(rne partium nmltiplicatur per aliquem T1tUllCmm, sunt ill c multiplicatiollcs in nnum collecte efjuah:s multiplicationi tOlins numeri diuisi in numcrum, in quem IJll.dt~plieate fuer~lHt omnes partes ipsillS. Ergo multiplicatiollcs de 30 p(~r 31, et de 1 .per 37 III unum conmllcte, equantur multiplicationi de 37 in 37. Sed ex multipl.icatione de 36 i~ 37 proucnit numerus qui c..catus est cx aliqua multitudinc notlcn~~orum~ c~m 3G smt concreta ex Ilouenariio;. Quare numerus snrgells ex 30 in 37, si dllllSUS f~lCf1t per 0, nichil ex eo remallehit indiuisihilc, Item multiplicatio de 1 in Ji est c~uahs sUlllm~ multiplicati~n.is de 1 in 30 ct de 1 in f. Sed ex multiplication; ~e i 1Il. J.u prOllcmt ntlm~ru~ ~U,l ~1L.tegraliter diuiditllr per!) : lllulliplicatio ergo de 1 1O 1, sCIhcet t, remanct. lUdnusllnhs per 9. Ergo de 31 in 3i diuisa per 9 rem..m ct t, (plOd hahctur ex collcctlOIle fignranllu omnium (lue sunt in ,summa de 37 in 37, ut Sll-

perius inuenimus: nel ex dicta summa prohice B, remanehunt i36, de quibus dcme 3 et () cum coniunta faciant 9, remanebit similiter i indiuisibiles de i369 diuisis per 9. hem .'Ii multiplicare uis 98 per 98, scribantur ut predixi 98 sub 98 et multiplicentur 8 per 8, erunt 64: ponantur 4 super utrumque 8, et seruentur pro decenis in manu 6, et multiplicentur 8 per 9, erunt 72; et iterum econtra multiplicentur 8 de inferiori per 9 de superiori, erunt similiter 72, ({ue iungantur cum aliis 72 et cum 6 in manu seruatis, erunt 150; et cum non sit unitas in predictis t50 , ponendum est zephyrum su~ per utrumque 9, et sementur pro dccenis in manu 15, et multiplicentur 9 per 9, erunt 81, que addantur cum i5 in manu seruatis, crunt 96, de quihus 96 scribantur 6 in tertio gradn et 9 in quarto, ut in hac descriptionc cernitur. ~'1odo uideamus si hec multiplicatio recta est: iungantnr figure de superiori 98, scilicet 9 cum 8, et dematur 9, remanebunt 8. Iterum iHud idem fiat de inferioribus 98, remanebunt similiter 8; ct multiplicentur 8 per S, erunt 64, de quibus extrahantur omnes nouene IIue sunt in eisdem 64, remanehit pro pensa t, uel aliter: iungantur figure que sunt in predicti~ 6.4, scilicet ti cum 4, erunt to, de (Iuihus demantur 9, rcmanebit similiter 1, postea col1igantur figure, que sunt in summa multiplicationis, -scilicet 9 et 6 et 0 et 4- tamen non est nccesse ut figura nouenarii colligatur in aliqua persimili probatione, cum nouenarius semper erit, ut extral.i precipiatur unde colligantur 6 et 0 et 4, erunt 10, de quibus demantur 9, remanehit 1 pro pensa, sicuti remancre oportebat. Cum autem uolueri" multiplicare a1iquem numerum de ~ecundo gradu in se non habentem unitatcs, uci in primo gradu, lIt in 10 et 40 uel 90, in quorum capitiLus zelJhyrum semper esse nccesse cst, sic erit faciendum: scribarum (sic) numerum hoc ut supra dixi; et mul6plicabitur secunuus gratlus per secundum tantum, et ponatul' ante SUffime duo zephyra, ct sic Ilahe]Jimus summam cuiuslihet dictarum mllltiplicationum. Vt 110te si queratur multiplicatio de 70 in 70, scrihantur ilaque utraque 70 supraJicto modo, et multiplicetur figura septenarii que est in secundo gradu sUIJcriori (sic) Humeri per 7 inferioris, crunt 49, ante quell! numcrum ponantur duo zephyra, scilicet 111'0 his que sunt ante ntraque 7, faciunt 4000, que sunt summa quesitc IDllltiplicationis, scilicet queratur I de 31 in 49, sCl'ihantur 49 sub :17, scilicet maior numerus suh minori,et similis gradus suh simili gradu, ut in hac margine cernitur; et multiplicentur 7 per 9, erunt 63; IJonantur 3 super 7, et pro decenis seruentur in manu 6, et multiplicentur 7 per 4- in cruce, erullt 28, que addantur cum 6 in manu seruatis, erullt 34_ Item multipliccntur 9 per 3, erunt 27, (Iue adclantur cum 34, erunt 61: ponatur 1 su.per 3 et pro decenis seruentur in manu 6, et multiplicentur 3 per ", crunt 12, IIue addat cum 6, erunt 18, que ponat post 13 superius posita~ egredientur pro Summa dicte multiplicationis 1813, ut hie ostenditur. ET si multiplicatio recta est, ita cognoscitur: diuidantnr 37 per 9, hoc est, addantur figure de 37, scilicet 3 cum 7, erunt fO, de qui bus deroantur 9, remanebit 1, quod seruet; similiter a(ldantur figure de .49~ scilicet 4 cum 9, eruut t3, de quibus demantur 9, remanehunt 4, que multiplicet cum 1 seruato, erunt .4-, que seruet pro pensa, et col1igantur figure fJue sunt in summa multiplicationis, scilicet 1 et 8 ct 1 et 3, erunt 13, de qnihus (lemantur 9, remanebunt 4, ut oportet pro peusa rcmanerc. PRocedit hic modus multiplicandi ex his que dixi superius de numero in partes diuiso, et mult-iplicato in alium quem nis numerum. Nam multiplicatio de 37 in 49, 2

• Hem'; lae olc;C!";plioll" {r"i. Ii "ecto, lin 23-28; P"~

9, lin. 3-[(1),

proba l'st ,1 g604

98 OS

,rgl'aduut""l'Ollalltur>(f"l.:l ,·eclo,lill.35-S8;p"l':,9,lill. 20-21, Hn. i1).

4900

I

70

_______. -":_JI

fol. 5 ~

.Ie 31 ,.. ostenJilur " il·,,]' 5 vet'."', lin. 1-6 ; p~g. 9, lin 28-35).

IR13 -:

proha. est

.~.

37 49

tt

'0

elluatUI' collectioni multiplicationum de 7 in 4ll ct de 30 in .49. Sed multiplicatio de 7 in "9 equatur coniullcto muitilllicationum dc -; in 7 ct dc 7 in 40, ct mulliplicalio rursus de 30 in 49 equatur multiplieationihus de 30 in 9 ct de 30 in AO. Ergo multipJicatio de- 3j in 49 cquatur quattuor multiplicationibus que sunt 7 in 9 ct 7 in 40 ct 30 in 9 et 30 in 40. Que .1iI1.or multiplicationcs accepte sunt super I1CT ordinem: mnltiplicauimus primum 7 per 9, et posuimus unitates super prirnum gradumj quia primus gradus (Iuemcumque gradum multiplieat, ipsum gradum faeit, ueI terminante in ipso. Secundn multilllicauimus 7 per 4; tertio 9 per 3, et harum multiplicationum accepimtu; summam, (le qua posuimus unitatcs in secundo gmdu; (luiu cum primus gradus secundum mnltiplicat, secundum gradum faeil. £t hoc fuit multiplicare 7 peL' 40 et 9 pel' 30; postca ad ultimum multiplieauimlls 3 per 4, scilicet secundum gradum per secundum. Et ex ipsa multiplicatiollc addita cum dceenis scruatis posuimns uuitates in tcrtio gradn, ~t deccnas que super fucrunt in quarto; et hoc fuit multiplicarc 30 per 40, quia sccundus gracins quemcnmque multiplicat, secundum gradum faeit post ipsum quem multiplical. Similiter tertius gracius Humeri quemcumque gradum multiplicat, tertium gradum faeit post ipsnm qucm multilllicat. Et quartus facit quaTtum pust ipsum quem multiplicat, et (plintus quintum, et est. Significahn itaque, quid est dicere primum gradum qucmcumque multiplicat~ ipsmn faeit, aut faeil numenllu tCl'Juinantem injpso. Cum multiplicatnr figura per figtu'am, et ex multiplicationc non prouenit ultra. Itcm multiplicatio ilIa faeit iPSUlll gradllmj et cum ex multiplicatione caden! pranenit numerus seculldi gradus, ut 20 uel 30, aut compositus ex sceUlulo ct }Jrimo ut i5 ct 28j tune facit numel'lll11 terminanlem in ipso gracln quem primus gradns multiplicatj et ideo Cum multiplicauimus Ilrimum gradum per aliqucm gradum ponirilUs unitates iUius multiplicationis super ipsum gradum et dccenas seruamns ad sc(!ucnlem gr,u]U1n: hoc idem intdligas (Ie multiplieatione reli(luorulll gradnum.

De 1nultiplicatione unius figure contra plures. " ;"[",·j,,,.i, .... egl"e,t"'1llllr pro; ~ (I'"l.!i""1".'n,lill. 2.7)'''1;' U,

Jill.41-p_g.n.lill,4).

152310025 1 2 :1 4 1) t 2 3 4 5

16

17

gradus ad tertium, ita quartns ad quintum. Deinde multiplic3nt~r tertie per quil~ta~ ct quarta per quartam, et prouenit seIJins gradus; quia cum tertlUs grallns mulhphcat fluintum, facit tertium gradum ad quinto, silieet septimum: dcinde multiplicantur quarte per quintas, que faeiunt octauum gradum. Ad ultimum multiplicantur quinta per quintam que faeit nonum gradum; et sic habetur summa dicte multiplicationis. Post hce cuim que de multiplicatione dicta sunt, quilibet ingeniosus potest per supradictam doctrinam multiplicandi habere: lamen lit rudes hie perfectarn habeant doctrinam !' multiplicationi octaui gradus ostenJere procuraui.

ad inuicem describantur, secundum quod supra dictum est, et multilllicet 8 per 1, erunt s, que ponat; et 8 per 2 et 1 per 7 crunt 23, ponat 3 et retincat 2, et 8 per 3 ct 1 per 6 et 7 per 2, ct addantur cum 2 seruatis erunt .46, IJOnat (i ct retineat 4, et 8 per 4 ct t per 5 ct 7 per 3 et 2 per {j erunt 74, ponat "et retineat 7, et 8 per 5 et 1 per" et 7 per 4 et 2 per 5 ct 6 pel' 3 ernut 107, ponat 7 et retilleHlltur 10, et 811er 6 et I per :1 ct 7 per 5 et 2 per 4 et 6 per 4 et:: per 5 erunt 143, ponantur :1 ct retincantur J4, et 8 per 7 et I per 2 ct 7 per 6 et 2 per :1 ct {l per 5 et 3 per 4 ct 5 per 4 Crullt tR2, ponalllur 2 et retineantur IS, et 8 per S el 1 per t et 7 per 7 et 2 11er 2 et 6 per ti et :J per 3 ~t 5 per 5 ct 4 per ..( erunt 222, ponat 2 ct retineat 22, et 7 per 8 et 2 pCI' 1 et 6 per 7 ct 3 per 2 et 5. per (i et .4 per :1 ct ..( per 5 crunt 190, ponat 0 ct l'Ctineat 19, et (; per 8 et 3 1Jer 1 et 5 per 7 ct .4 per 2 ct " per 6 ct 5 pCI' J crunt 152, ponat 2 et retineat tS, ct 5 per 8 ct 4 per 1 et " per 7 ct 5 per 2 et 3 per 6 crunt 115, ponat 5 ct retineat U, ct 4 per 8 ct .'i per :I et 3 per 7 et 6 per 2 erunt 81, ponat 1 cl retineat 8, ct :: per 8 et 6 per 1 et 2 per 7 crunt 52, ponat 2 et rclineat .a, et 2 per 8 et 7 per 1 crunt 28, ponat 8 ct retincat 2, et 1 IJer 8 erunt 10, (IUC ponautu['; et sic habrhitur summa dictc multiplicationis. UErum si in quorumlibet capitihns numCl'Orum uphyra fnerit demantur de lpsi,., HUmeris omnia zephyra (lue in capitibus ex.titerint, et rcliqnas figuras insirnul multiplicct, ct lllultiplicationi dempta zephyra, ante ponat, et hahcbit ipsorum numerorum multiplicrttioncm, ut in secundi et tertij, et quarti gradus rnl11tiplilcationcl; dcnotauimus, ct si pel' supradictas mnltiplicationum demonstrationes fluis lllllltiplicationcm paucarum figurarum contra plures scire non poterit, clescribat numeros, sed maiorcm sU]J minori, hoc cst numerum plurium figurarum sub ipso numcro paucarum, coUocans primum gradum unius ,-mI. llrimo alterius, et dcinceps, ut supra diximus, alios gnulus 56, quorum pensa que est 8, ostendit ipsa carere ~ et ~. Et quia ex numel'O duarum figurarum ipsorum capitis, idest 56 in 8 diuisu, remanet o. Et quia figura tertii grad us, idest 5, impar existit, nuIlam regulam de paribus numeris posse haberi maiorem quam 4 ostenditnr. Deniflue f556 Iler 4. diuisis, exeunt 389, que regula cal'ere predictis ostensionibus reperillIllur. Yode habctur }lro regula de 15500, ut ]lic dcnotatur, ~OS9' hem si regulam de 32600 reperire UOIUCI1t, cum in ipsarum prima gradu sit 0, dehet in ipsorum regulam pro eadem zephyl'o To habere. Et ipso 0 de uumero demptOt remanet 3260. In quorum primo gradu similiter est 0, pro quo habendum est iterum f~. Et dempta ipso de nUfficro, remanent 326, quorum pensa, que cst 2, negat ipsa t uel ~ in suam habere posse compositionem. Nam 26, que sunt numerus duarum figul'arum capitis de 326, si per 8 diuidatur, remanent 2: quare 326 per aliquem pal'eID numerum, preterl}uam per hinarium, non posse diuidi cognoscimus. Vnde iPSL'i 326 diuisis per 2 exeunt t03, flue cum careant regula pro ipsa de 32600, haLetur ~0O"lh. ET si cam de 7546000 rcperire uoluerit, demptis de ipso nUIDero lrillw; ze])hyri5, et pro ipsis ha1ita -/~-A, remanet 7546. Quorum pensa que est .4 negat ipsa posse habere -i uel t in sua compositione. Nam si 46. qui sunt iu capite de 7546, per 8 diuiserit, remanent OJ (luure Hullum alium parem numerum, preter 2, post se habere cognoscetur: que scilicet 7546, si per 2 diuiserit, exibullt 3773. Quorum regula, si secundum parium numerorum doctrinarn repe11re siuduerit, ipsam ~ ~ ~ lOt fore J"cperiet. Quam 5i cum rcpcrta superius regula, scilicet cumf-To--t°-o-fo optime in uirgula coaptauerit pro regula de 754(';000, lmhebitur -~ ~ ~ tOO t°o) tTtt·

+:0

Diuisio de

749

per

75.

Nota si(Iuidem rcgularum numerorum inuentione 5 uoluerit fluis diuidel'e 749 per 75, r(1)erta regula de 75, que cst H%, diuidat 749 per 3, exibunt 249, ct remanent 2; que 2 ponat super 3 de uirgula in parte se1'uata, et tlinidat 2~9 per 5, 11cl' ea scilicet que antecedunt 3 in uirgula, exeunt -1-9 cl remanent 4; quc 4- ponat super eadem 5, et .49 diuidat itcrum per 5, per ea que sunt in fine uirgule, exeunt 9 et remanent "; !Jue .Iponat super ipsa 5, et !) ponat ante ipsam uirbrulam; et sic hahebit ex qucsita dil1isione, ut hie ostenditur, -rrk·

Diuisio de

67898

per

1i60.

UErum si 67898 per 1760 diuidere uoluerit, reperta regula de 1160, que est ~ ~ tOO lOt' diuidat 67898 per 2, exibunt 33949, et remanet 0 ; quod 0 ponat super 2 , ct dinidat 6

33 f 5 560

•

3890 ,

0

0

TI0389

4.

f~t. 18 ..~rso·

per s, cxibunt 4243, et r remanet 5; que 5 ponat super 8 de uirgula, et diuidat -12.13 per 10, exibunt 424 et remanet 3, hoc est ut dematur figura primi gradus de 4243; que .424 diuidat per it, exihunt 38 et remanent 6, que 6 ponat super it de uirgula, et 38 ponat a,ute uirgulamj et sic bahehit pro quesita diuisione ~ : l~O tel 38. Probatio suprascriple diuisionij·. Qvam diuisionem, si per pcnsam de 13 prohare uoluerit, diuidat prescrilJta 67898 per 13, remanent '12, que habcantur pro pensa. I)05t hce diuidat 38 ante uirgam posita per 13, remanent 12, que multilJlicct per i:1 de nirgula, et de super addat 6, que sunt super H, erunt f:lS; que diuidat per 13, remanent 8; que multiplicet per to de uirgula, et de snper addat :I que sunt super to, cruut 83; que diuidat pCI' t3, remanent 5; que multiplieet per 8 de uirgula, et de super atldat ti, que sunt per 8, erunt 45; que diui(lat per t3, remanent 6; clue multiplieet I1CT 2 de uirgula, erunt :12, ut superius pro pensa sel'uatum est. Et cauendum est uequis aliquam diuisionem per aliquam pensam alicnius numen existentis sub uirgula diuisiollis nunquam proharc consuescat: ideo quia leuiter per eam posset esse deceptusj quare in hac diuisione prohibetur per H prohart'; (luia superfluo quod remaneret de 38, uel ex quolibet alio numero in it, que sunt sub uirgula multiplicato, ct per 11 de pcnsa dilliso, nil supcraret: unde si ipsa 38 recta non essent, nOll llossellt per pl'ohationem de it cognosci. Et seiat (Iuia in diuisionibus numerorum alia restal doclrilla, scilicet cum numerus diuidclldus aliquam habet comunitatcm cum diuisore, seili~eL (plOd diuidendus IlumenlS diuidatur illtegralitcr per aliqllem numerum, uel llumeros qui sint ex regula tliuisoris. Tunc primum diuidatur numeru~ per numerUill compositionjs quam in uirgule diuisori~ ipse diuidendus habnel'it> siue maior in uirgula sit, uel minor: ideo quiq cum ipsum pel' il)8um diuiserit, nihil ex diuisione remanebit. Et ut hee aIlCrtius intelligantnr, ea cum numeris in scquentiblls de mOIlstrentur. Diuisio de StMO per 8i90. UT si 8t540 pel' 8f90 diuidcre uoluerit, reperiatur diuisori~ regula, (Iue est .~ ~ 10V tVa; t~t cum in regula de 81540 sit To, propter 0 quod est in primo gradu i}lSOI'Um, quamuis -to non sit in capite uirgule; Lamen per 10 primitus 81;:)40 sunt cliuidenda, hoc est quod dematur 0 de ipso numero, rcmanebunt 8154 que restant diuidendam, cxtracto To de uirgula, per {-~-fii· hem St54 per !l (liuiditur, ideo quia 0 est pcnsa ipsorum per noucnarium. Ylldc «illidat ipsa per 9 de nirga, exibunt 906, que restant diuidenda per : ifJS: uerum 906 per 7 diui"is, exeunt 129 et remanent 3; que 3 ponat super 7. Et 129 per 13 diuioat, exeunt Q et remanent t2, que 12 ponat super t3, et exeuntia 9 ponat ante uirgarn, ct habchil pro qucsita diuisione ~ :: 9. NAm si prcseripta diuisione prohare uoluerit, ponenda erunt 10 ct 0 (Iue extracta fueruut de uirga sub eadem uirga post 7, et super ipsa ponenda sunt zepliyra, ut in hac uil'gula remitur, fO~ ~ ~ ~;: postea poteI'it ea probare secundum prescriptum probandi ordinem. Vcl aliter haheantur 906 pro Dumero diuiso et ~ 1°8 pro diujsorc, et secundum lIce proLarc studeas per moduro supradictum. Salis cnim de diuisionihus numerOfilm per compositos numeros dictum esse uideretur, nisi in corum compositionibus numCl'urn trium figurarum uel pillrium existerent. Sed ut in hoc opusculo expleta doctrina di33049

4a

uidclldi contineatur, numeros diuidere in eis, qui sunt trium figllrarum ucl}lIurium, ill sequentibus ostendantur.

Diuisio 1lumerorum per numeros aslt.am tertii gradlls. Cvrn autem quemlibet numerum cuiuslibet gradus per quemlibet numemm trium

figurarum, boc est tertii gradus, quis diuidere uoluerit, ponat similem gradum ipsiu5 numeri trium figurarum sub simili gradu diuidendi numeri, ct prouideat si numerus trium figuralum ultimarum diuidendi numeri maior diuisore existerit : si euim maior uel equalis fuerit, incipicndus erit ultimus gradus exeuntis numeri suh tertia figuTa aL ultima; ct si millor, iucipicndus erit sub antecedente. boc est sub ({uarla ab ultima. Et posita figura sub qualibet predictarum quam talem esse conuenit, (p-lOd IDultiplicata ipsa in numenlm diuisorem, scilicet in cum, ill quo numerus maior diuiditur, faeiant numerum trium figurarum, uel quattuor ultimarum, uel ita fere, ut non remaneat iude numerus diuisoris uel ultra. Et tunc multipliect earn per ultimam figuram diuisoris numeri. Et multiplicationcm de numcro ultime figure, si patens, extrahat. Et si non, earn extraltat de numero duarum figurarum ultimarum, et superfluum ponat super eundem gradum de quo superfuerit. Et muhiplieet iterum. eandem positam figuram per antecedentem I ultime diuiSOl'is numeri, scilicet per cam que est in ipsius secundo gradu; et uenientem SWl1mam extrahat de suprascripto superlluo cum antecedente figura in maiori uumero copulato : et 5i superfluum fuent, ponat primum gTadum ipsius super eandem auteccndentem figurarum, et reliquos uero post ipsos dcl(~ndo scilicet, uel dampnandu aliud primum positum supcrfluum. Et adhuc multiplieet eandem positam figuram per figuram primi gradus eiusdem diuisoris numeri, et summarn multiplicationis extrahat de copulatione secundi superflui cum antecedente figura maiOJ-ls llUmel-l; et primum gradum ipsius superflui ponat super ipsam antecedentem figuram; rcliquos uero post ipsum uelenda, scilicet uel dampnando alium secundum dictum snperfluum. Post hee studeat pon~re aliam talern figuram sub alia antecedente figura maim'is numeri, idest ante primam positam figuram,que multiplicata in prescriptum diuisorcm numerum, faciat copuJationem tertii sllperflui, et antecedentis figure ue! fere, cum qua uadat multiplicando pel' 01'dinem per figuras diuisoris numeri, sicut in prima posita figura docetur, sernller supcrflua per Ol'dinem super ponendo; et deinceps in reli(luis figuris, usque ad fJnem procedcmltJ, similiter studeat operari. Si uero ex aliqllo superJluorum supradictorum et anlecedente figul'a prucreabitul' numerus minor diuisore, tUlle ponat zephyrum sub ipsa alllcccdcntc figura; et copula bit eidem antecedenti figure, et superfluo aliam antecedentcm figuram, sub qua ante predictum zephyrum erit utique ponenda figura : et si iterum numerus cupulationis superflui, et duarum antecedentium figurarum, minor diuisore fueI'lt, erit iterum ante predictum zephyrum aliud 0 ponendum, et copulaLis dicto superfluo, et dictis duabus figllris aliam cis antecedentem figuram suh qua ponat talem figuram, que multiplicata in diuisori numero faciat fere numelUffi copulationis superflui, et trium ei antccedentium figurarum; ct habebis quorumlibet similium diuisioncs: et ut que dicta sunt liquidius exponantur, ea cum numeris ostendantur. liT si uoluerit diuidere t349 per 257, descrihat 257 suL 349 de t349. Et quia numerus trium figurarum ultimarum diuidendi numeri, idest 134, minor est de 257 .,scilicet de diuiso-

r,,1, 19

reNo

• UF.rllm .... I '1110.1 • (ftll. 19

rectQ,Jill.2:i.39;l'aK··U,lin. 13-35).

4

30749 307 , 00

m

iOO

~'~~:~; I I

5 (j 3 i 02 i

I

ill

1021

H

H

re numeM, ideo sub quarta figura ipsiu$; diuidendi nurneri, que primum occupat gradum, idest sub 9, fignra exeuntis numeri erit ponendaj et talis que multjplicata in 251, faciat fere 1349 que erit 5j quibus positis sub 9,multiplicet ipsam per ultimam figuram diuisoris Humeri, scilicet per 2, erunt iO, que cxtrahat de i3, scilicet de nnmero duarurn ultimarum figurarum numeri diuidendij cum non possint ea de numero ultimc figure extrahere, remanent 3, que copulanda sunt cum anteccdentihus 4, faciunt Hj de qllilms extrahat multiplicationem positorum 5 in 5 diuisoris numeri, remanent 9, que ponat Ruper -4 et multiplieet eadem posita 5 per 7, eruut 35, que extrahat de 99, scilicet de copulatione 9 pl'imi gradus diuidendi numeri, remanent 64; que ponat super uirgam supradiclorum 9 cum de 257 seorsum descriptam. Et exuntia 5 ponat ante ipsam uirgam, et lIahehit l1ro quesita diuisione --i-li 5.

super 7, et multiplicet 2 per 6 diuisol'is fiunt 12; que extrahat diuisoris, finnt 5, que extrahat de 6, T('manet 1: deleat ipsa 6 et ronat ihidem t; et mnltiplicet 1 per 6, fiunt 6j que extrahat de 7 remanet i: deleat 7 et ponat iLi il)SlIm lj et multiplicct i per:1 diuisoris, finnt 3, que extrahat de ItO, remanent 107, que ponat super uirgulam de 503 ct ante ipsam ponat exeulltia 1021,11t in hac descriptione describitur.

Diuisio de

30749

per 301.

Unum si 30749 per 307 diuidcre uoluerit, describat 307 sub 749j et quia 307, qui. est numerus trium figurarum ultimarum diuidendi numeri, equalis est diuisori numero, po~ nenJum cst 1 sub primo gradu numeri preJictarum trium figurarum, scilicet sull 7 que sunt in tertio gradu diuidcndi numcrij et multiplieet ipsum 1 per 3 diuiSOl'is, faeillnt 3, pro quibl1S reliquantur 3 que sunt in ultimo gradu diuidendij et multipliect iterl1ffi eundem 1 per 0 diuisoris, faciet OJ pro quo rclinrp.lat ipsum 0 qnod est indiuidendi numerOj et itel'um multiplieet eundem i per 7,faciunt 7,pro rp.libus relinquat ipsa 1qucsuntindiuidendi ~umero. Nam t~rt~ns gradus (lllcmcumque gradum multiplicat, tertium gt'adum facit ah IpSO quem multlphcat. Ergo cum multiplicat tertium, quintum gradum faeitj et cum multiplicat secundum, faeit quartulllj et cum multiplieat primum, faeit tertium. Et quia 4, que antceedunt 7 indiuidendi numcro, minus sunt de 307, scilicet diuisore, ponerHlum cst 0 suh ipsis 4-j et iterum quia .w eiusdem diuidendi numeri minus sunt eisdem 307, l)Qnend~m erit 0 suh 9, scilicet in primo gradu exeuntis numerij et predicta A9 ponat supel' mrgnlam de 307 ex parte seruata, et exeuntia 100 ponat ante uirgulamj et hal1chis ~ tOO pro qncsite diuisioni (sic). . J~em si proposueri~ ~iuid.ere 57~---

6""in

:,5

l\-'--ii ii ':I

., .

II=~ .!. :'!.

,~

TT,--,-1

-,-,--

1

+7i- ":-1: j;'

IQ

Tt"li

t~~ TTi

Ii:.:

:

++~ +¥--Pl-' io 6' TO

~

tT~-i2--

±~-n---

}~~

++-i , , .

t

TT---75----

++----

I

i"

g

'6

'9

TT'-,-,---

TT

~i

~-'i-'--'

Ti,T ~'~-.,--

i,t,-,--II ' S ' i

,"

29

f1

T~-c-~-,--

T~~ t---

T ~I-'--,- , - T,""T'-----

:,:;;

'il

T;:~~--'-­

,

Itltlr""

1i ;;;

Ii

5'"-.- -,-,,---

T~

t

+!+I ~

57-,,---

I

-"-"di

iI

T~~ Ty~---

it f-i% l T-i--'--, t

~

....!!......

I-j-,--

I.L _4_1_"_ _ ,

~~

{I;

+f=l~~:

-:;-----:--,--'s"

iI

-8'

lO

I

i

~

1T;-·. ~-4",-ii

t]

Notis itafIue ]lfcscriptis uirgularum attationilms; et ]ITOponantur multiplicarc tt per ~ ~ 22: mulliplicabis i tt per -h 22. Similiter 5i uis multiplicare f, t 12 per ~ {23, adde primum -} cum ~, erunt f? I, hoc est -Ht; quod adde cum 12, erulll t3: similiter adde ~ i, erunt f : ergo multiplicalJis ~ ~ t3 per i 23; el sic intelligas ill similihus.

*

1• .1

0:1".,,·, ..

/llcipit pars quarfa.

uis multiplicare 17 ct quinque octauas et dimidias octaue et duas nODas et'luintam none per 28 quattuoT undecimas et tres octaua.'\ .XI. c , ct 'luintam et duas lluintas ({uinte, scribe numerus, ut in margine ccrnitur; et multiplica 17 per quam })rimam uirgam, scilicet per 8, et adde 5; quod totum per 2 et ad de t, erunt 283; que multilJlica per numeros (lui sunt suh secunda uirga, scilicet per 9; et illud totum per 5, erunt 12735: nunc proha si reete muItiplicasti, scilicet pensam de 17, '1uc cst 3, per septenarium muhiIllica [)(~r 81

t 2 II 1 1

n:H.!jt

~

Hr-h llH

:

~ l~~J

2

/()

J 1,'i14

;;(j

,1

C.... ru'"

....

"n:tD,

lin. 16-29; "ag.

1'i'(.Iml·C

•

If"l. 1-l ~6, Ii"

12-30)

JJ83290

~ ~ ~ ~ ~ t~O

1U

G

~i "i, ... '1"'''5''''''· ,,(·etD,IiIl,31"381['''I:. 32-42).

J

30

7

~ ~ ~ 21 1

n 1)

cr 5, erunt 32j (luorum pensa, flue est 4, multiplica per 3 de lllrguh., ct sUllCr additur I, (Iuod cst sUller 3, faciunt f3, quorum pCIIsa cst 8, ut 111'~ !Jcnsa .serl1~tum est. Et sic semper cum qunrumlibet similium questionum pensam acclpere Holuens, secundum quod uadis multiplicanclo, ita studca." ire pCI' quamlihet l~cnsnm p~'ol~an~o, ~unec ad ultimam multiplicationcm dcueneris: et acccpta pensa ultIme multlpll(:at~omS'"eam pr~ IJCnsa summc diuisionis serua; ct quod (le pensa hoc dictum est, saliS lH alns {IuestlOnihus credimus sufficere. De centum Goriorllm. , S.I, cO l'i i1 tOO ualent ,'ibras i, ~ 83; (luantum uaJent coria 32: dcscrihe numeros, et mult s t,lphL8 \I i 83 per 32 : Ideo .qu,Ja ponuntur ex aduerso, et diuide muhiplicationem eoHIm per 100, hoc cst multlphca 83 pCI' suas uirgulas, erunt 3767; que pone super !.! 83 et proha ea per quamlibet IlCnsarum preteI' quam per 9: deinde multiplica 3767 I:e~ 32' :~t. 12,0544, que ~iuildeo per 100 elt pCI' l~' et apta, cos lit habeas in capite uirgul; i2 ~,Q,' SIC de 100. f~c SfO' ct d~ J fac j et acclpe unam illorum, et multipli~ calm; eam ~)er .4, Ideo ; que pone sU11cr 23, et proha cam per pensarn, si recta sint: deinde multiplica 64 per suam uil'gulam, cruut 4t77j ct multiplica ipsa per 655, eruut 2i35!J35, que optimc prohare non neglignsj et diuide ipsum per numcrum 100, et per fractioncs utrorumque numerormu, qui positi sunt ex aduerso, optimc insimul ui(lelicet aplcr tOo ct pCI' 20 de uirgula: scd cum 12 in uirgula diuisionis nos habere oparteat, ut haueIDus in una multiplicationc Jihras, et soldos, et denarius, multiplica i061!J 0 per illsam 12, et diuidc per tOO et per -G-"2/Jo' hoc est per i\ tOO t 2 iiil exihunt lihre j8 ,'2 1'Z~ ~60 5 pro pretio (lictorum Rotulorum 37, (luorum IJcnsa est 6 per nouenarium, 0 0 De centum pmmOrllln, hem canne 100 pannorum ualcnt liln'as t5j (Iuantum ualent ergo canne -i 27, hoc est canne 2i ct IJr3chia 42 : dcscripta itaquc qucstionc, multiplica 15 pCI' 20, et addc tt, cruul soldi 311, quos pone super 15. Item multiplica 27 per 8, et aJt1c 51 crunt 221j (lue pone super 27, ct multiplica 3ti per 221, cntnt 08i:l1, que deJJemus mu]tiIlliC"flrc Il('r 12, ut haheamus ea in uirgula, nisi (luia hahemus in diuisione 8, scil~cet ea que sunt suI) uirg1l1a post cannas I 2i, quorum r('gula est ~i: (plare triplicahimlls 4, ct hal)('himus t2 in dinisiolle. Vmle mulliplicentul' ipsa 68731 per 3; quia cum triplicatur diuisor, triplicandus est numcnlS diuidemlu.s, erunt 200193; que diuide per 2, (lue remnnent de regula de R, cxtractis niddicet inde 4, et per JOO, et per 12, ct per 20, hoc est pcr ·~-fo-tQ lO~ ~~, exilnmt lihre ~-fo--?o :~--io 4, quornm pcnsa per septenarium cst t, ut ill llac descriptione ccrnitur, De centum piperis, hem centum pipcrjs ualet libras !ott; quantum ualent ergo libre ill 46, hoc cst lihl'C 46, et unce 1- 5: descrihe questionem, ct multi plica it per 205, et adde !J, erunt 229,

*

*"

'2

lOG .... P"llC 'll!,~r • (f,,1 36va,'Q,lin.32-31;1',;;.8\!, 1;11.23-32).

• I'rr

• 151T~m .... ,·.,nn" •

(I",]'

36

.'ersQ,liu,3R-39,p"1:. 89,lill. 33.36),

r"I.J7rectn

"

que pone super 11. Item ffiulliplica -t6 1)cr 12, cl adac 5; que per -t, ct acIde I, ('nUlL 2220; (Itle pone snper 46, et IllllItiplica 229 per 2229, crunl 5iOH1; que diuidc per tOo ct per 20, ct per : t2' hoc cst per ~-toiOo t02--fo, cxiJrunt }ihrc ~\I l1J2----!o.'i pro prctio iUarum librarulll {----t%- ..to, quorum IJC'nsa per septenarium cst f. Item centum ualet lihras 12, et soldos 13, ct denarios 5, hoc cst lihras i~--~6' 12; fluautum uaIet ergo uncia ~ 5: fluamnis in hac questione sillt ex gencre mercis libre 100 et uncia ~ 5, tamen non sint lUlins pOlldcris; IIuia 100 sunt Jihrc, ct ~- i 5 sunt llllCic: quare de libris 100 faciclloe suut uncie, erunt 1200; et tUIlC crunt ambc similf's: et crit tunc talis questio, uidelicet quod nude 1200 ualent lih1'as iT-H- 12; quid uaknt ergo uncie ; 'i' a: quam questionem, ut docuiums, scribe, ct muhipllca per suam ui\'gulam, erunt denarii 3041, quos pone super lih1'as '12. Item multiplica 5 pCI' suas uirgulas, erunt 2H, que pone super t~,); ct multiplica 211 per JO..U , erunt 6.H65f; flue diuide per f200, et per 4, et 1)('1' 9, et per -h.--!o opfime in una uirgula aptata, exibit 2 : ~ : -150 180 1 3 210 pro pretio quesitarum uncearum, ut in l1ac deseriptione ccrnitur.

t

De calltare.

(2)

20"7 I.

:-i;-{-% 2J !pensa

i

~cr 11

'"

3127 ,

I

~

183241

I",nsa pee 71 II)

0

I·

~2ot3

I"

il~J~

CD

"

,: 12

30611

I~ 0[

~90 153

I

I-CO)

100

I

~o !J6~)

Ip('flsapr)'7)

,

I

100

~ ~ 172431 -------,

'(i)

I

R)

Mill.

tooo

~ (3) 227

13781

.R).

I

hem canlare ualet libms }--:~ ~~ 2f; et queratur quantum ualeant Rotlili ~ ~ i".t3, h~c est HotuE 43, ct uncie~, ~ 7. Multipliea igitur question em «escripta 2f I~e~ ~~uam mrgulam, crunt 20957. Item multiIJlica Rotulos 43 per 12, ct adde 7; quc per 5, ct udJe 2; qne 1)('1' 7, ct adde multiplicatiunem de uno, quod cst super 7, in 5, erunt fS32.tj (lue multi plica 11cr 20n;i7, eruut 384016068; que diuide PCI' 100 ct pCI' fl'actioncs, que sunt suh uiI'~ulis amhOI'UI~ a~iorum numerorum,optimc scilicet aptatas,exihunt i++-/uPoH- j\ ~o~n, ut m hac dcscnptlOne c{~rnitllr, (plOrum pcnsa pel" it cst 7. De canlare uelldito pro libris et denariis. hem eanlal"e ualet libras 13, et {lcnarios 7, hoc cst lihras -h-!ii 13; (!'wntnm ualet ergo cantaria 7, et Rotuli ~3, hoc est Rotuli 43: describe qucstiancm, ct multiplica 1~ ~cr 20; que pCI' f2, ct a{lde 7, erunt 3127; que multiplica per 743, cruat 23233G1; que (11Ul{1(~ llCI' toO, et per 1\ 2°0' hoc est per --/0---& -i.~--io, cxilJUnt -/7J16~---¥i 96 pro pretia illoruffi Hotulomm 7·'3. - -

ne miliario uentlito pro libris ct so/dis. hcm miliarium lIariorum ucnclilur pro lihris f53 ct saldis 9, hoc est pro libl'is -#0 j~3; ¥1antum ualellt ergo lWlia 227 : descrihe questiollem, et multiplica 153 pCI' suan; uirgul~m, cnUlt 30flf!; ffl.1C muItiplica per 227, crunt 690663; que mulLiplica per 12 ut halwas ea lrL uirgnla dinisionLS, crunt 835!J956; (Iue diui{le pCI' regulam de :1000 et per ~, hoc es1 pCI' -I'o-----£-u lO~~, e:xilmnt lihrct~i9()1i2-~~ :)4 pro prctio quesitorum uario;u;. De eodem pro lib"is et soldis et denariis. h~m ~otuli 1000 l~endlllltUI' pro libris 15~ 280 57; quantum uulent ergo ROlllli ~ 87 : UCSCLlpta )taq~e ~lucstlOllL', multiplica 57 llcr suam uirgulam, ('fuut 13781, que pone super 57. lt~~ multlpltca 87 pCI' 6, ct aclde 5, emut 527j que multil1lica per f37Sf, crunt 7202387; riue cluude 11e1' 1000, ct pCI' fractioncs rcliquorum numerorum, hoc cst pCI' 1_!l------.iJ_..i..-.-...0-.Q.. exilnmt lihrc ~-/O-----iO--I\-----i~ 200 5. 6 to lO 10 J2 to' De pondere casei pisano. j)omlus easei, (lund l~ensat ccntum. 22, hoc e.st lihras 2200, ucndituI' pro lilJris :Hj "plCritur quantum ualcHt IdJre 86: descnhe questlOnem, ct multi plica 24 per 86, crunt 2064;

91

r'11%-0-i tamen fae 10 de ~ ,00' ut hallcarnus ipsam in llil'gula sie t\ tnl :0: et t11111 non haheamus 12 in hac dinisionc, multiplicctur 20M l)cr :12, ct iungatllr f2 snh 1tirga diuisionis. Quia cum mlduntur 12 sub uirga diuisionis, tunc mnltiplicatur diuh()l' l'el' 12: '"Inare rnultipl1candus est similiter diuidemlus numerus per 12 , ut pl'0pOJ'tio dil1idctldi ad diuisorcm fiat eadem, que

que djuide pCI' rcgulam de 2200, hoc (1St pcr

I

erat 11rin8 ex his

}o/t

r"I.37,·.·,·,w 's"Id""or""t ,ood" r""i""" ,(1,,1. 31 ,,~,·so, Ii". 5-15; p.g.!lt,lin.t2-30).

192+~·

1)e (odell>.

CD

H

hem pondus casei, hoc cst libre 22001 t1;;tlont 1i11' tOO.

lin.t3-20).

+

'00

10\

et adele t, erunt 9, que pone super 2: dcindc multiplica 14 per suam uirgam, crunt 205, que pone super tLt. (tern multiplica 7 per suas, crunt 33R, que pone snper 7. ItC'm I1mltiplica 17 per suos ruptos, erunt 501; que pone super:l1, ct multiplica 338 per 501; (Iue per ruptos, qui sunt superius, scilicet per 2, ('t pel' 7, et per 4; et diuides llf~r 9 et per regulam 205, et per reliqu os ruptos, uidclic-et per ++~-%; et euilabis ea que euilari poteris. Et pro pretio illorum Rotulomm ltal)chis tarenos :;::~ ~,{O 4. Explicatis ({uidem demonstrationibus in uenditionibus mertium, in quilms illucniuntur pretia mertiun1; nunc uero rcuertamus ad eas(lem uenditiones, in quibus reperiuntur mel'CL'S posi torum preliorum, secundum dil1ersitates uenditionum ipsarum, reucrtelltcs ({uidem ad ucnditiones cantar~um. De cantare cum uenditur pro libri,',j et queritur Ratulus de libris. 51 cantare cuiuslibet mereis uenditur pm 1i1ris 13; et qucratur quot Rutnios quis pro liLri8 ;j halJUerit r describe, ut pTCdiximus in precedcntihus positionibus in pri. rna ucnditione, scilicet Rotulos 100; deinde in eadem lineationc l'etro pone pretium illorum Rotulorum, uidelicet IihIas 13; deinde pone 1ibras 5 sull 13: ideo quia sunt unins generis et unius qual1titati'i, scilicet pretii; ct dcseriptis Ilumcris, ut hie ostcnoituI', multiplieabis numeros, qui sunt ex aduerso, uidclicet 5 per too, crunt 500; que diuides 1)er 13, cxibunt Roluli -l:; 38, ut in hae deserilltiollc cerniturj el tot Rotnlos habuerit Fro lihris 5 dcscriptis: nam 5i de i~i unius Rotuli uncias faeere uolueris, mnltir1ica G, que sunt sUller 13, per 12; ideo quia unuslluisque Hotulns ponderat uncias 12, erunt 72; que diui(le per J3, exibuut uncle ia 5; de fluihus fa unius un(;ie possumus eodem modo faccl'c partes unius uncie, secundum partes que fuerint illsius uncie, siue pisani Rotuli, aut libre, uel alieuius alterins Rotuli: et ut mclius intclligatur, ponamus (plOd ipse fa sint de uncia pisane libre: unde si uoluerimus cognosccre ex cis quot denarii sint de cantare; ideo quia uncia eiusdem lilJrc ponderat denarios 25 de cantarc, multiplicalJis 7, quc sunt super t3 per 25, et diuides per t3; et sie intelligc de (JUihuslihet unciis. .l,

I

r~

65 l.

,,;,;: ,foJ. in capite uirgule, multiplica summam, scilicet 42 per 30 propter trigesimam, que mi~~.'·311_38\i.", 37-41; pae:.lV. uuit nobis de ipso -..\ ~flO' erunt 1260; que diuide per k-&-~, exilmnt f'a~, hoc cst {ucr. capital. 42 1;i2 soldi 5, ct dcnal-ii 6, ct fere tertiam uHius denarii pm·tern: uel aliter secundum ulIlgarem moduro: reperta regula de 152, que est ~ to"" diuides lucrum, uidelicet libras 42 per 5, exihunt libre 5, ct soldi 5, qui sunt soldi 105; quos (liuide per 19, cxibunt soldi 5, ~ I et denarii ~ 6, ut prediximus. Nam si suprascripta ratione inuenire uolucl'is quod euenerit

'''~i

,,~

115

de ipso lucro ei, qui libras 13 in ipsa llabuerit, enticam sic facies: multiplica 13 per portionem lucri unius libre, scilicet per soldos 5, et denarius fg 6; que multiplicatio secundum uulgarem modum sic fit: multiplica primum 13 per soldos 5, crunt soldi 6!'i; cum quibus adde multiplicatiunem de denariis 6 in 13, hoc cst soldos 6, et denarios 6, crunt libre 3, et Baldi It, et denarii 6. Cum (Iuilms iterum adde multiplicationem de !9 in 13, hoc est denarios -h 4, crunt librc :3, et soldi It, ('t denarii ~ 10. UEfum si hoc idem secundum artem reperire desideras, describes questionem, ut hie ostenditur; et multi plica 13 per 42, que sunt ex aduerso, erunt 5-46; que diuidc pel' ~ i(Jnldi 5, ct parum minus oe ~ unius oenani. De eadem. [T si hoc quod accidit de suprascripto proficuo cuidam, qui in suprascripta hentiea hahucrit bizantios l'2 ~"io 13, scire uolueris; describe questionem, et multiplicahis liLms jJ ller suam uirgulam, erunt 3209; que multiplicabis per 127i; que per 2, que sunt sub uirguIa; et diuide summam per 507, et per omnes ruptos relilluorum duorum numeforum: tamen euitahis inde quod, non multiplicallis per 2, ut non diuidas pCI' 2, que iO? 2'0 3. sunt in regula de 20, exibunt libre ~ to De eadem, Item quidam 11abuit in hentica libras 713, cum quihus lucratus fuil ultra suum (Iuartum proficuum libras f~2~~- 217; ct queratur iterum quid de ipso lucro per unam~ lflwmque lihram contigerit: describe questionem, et multiplica t per 52231; que per 20, que sunt sull uirgula post 713; et diuide summum per regulam de 1427t, que est t+1-h, et per 12, et per 20, que SUftt sub uirgula lucri, exibullt : ~ ;; /1 2;'-' hoc est soldi 6, et fere dcnarii } I: et sic Iloteris faccre de quolibet luel'o, siue tarcIlorum sit, sine quorumlihet bizantiorum. Etiam et si prollOIlcretur quidam habui.'5se de (luantislihet hizantiis libras quantaslibet denariorum, uet ccontru; et quereret (Iuot ex denariis (~adit unicuique bizantio. Incipit pan' quarta octaui capituli in reuersivne unius generis ad Rotulos alterius. Sf uis scirc de (Iuotuis Rotulis pisani cantarii, quot tihre subtiles sillt, ut dicamus de Rotulo .1.; adiscas prius ex eis, in qua proportione sint: sunt coim in tali proportionc, uidelicet quot Rotuli i 00, scilicet caotani, sunt Iihre 15S: unde describe in qucstione Rotnlos 100 pro uenditione, et libras ISS pro pretia, et Rotulurn I, de quo uis fa~ere lihras, describes sub Rotulis, uidelicet sub 100, ut in hac questione ostenditul'; et multipliea 1 pCI' i5S, et diuide per iOO, hoc est triplum de 158, diuide per tripium de 100; ct hoc facies ut habeas {~ in capite uirge propter uHeias, exibit libra t+--!i I, hoc est libra 1, et uncie 7 minus :!i.

to

• ,"c

£,,"i~
oris I ct insuper 1 et t, lient 100: fIHod sic faciendum est: cxtrahc 1 de 100, scilicet illsum, fJlli superadditur annis, remanent !l9: }l0SlC8 pone, iuucnis nixisset Rllnos 12; qui 51 nixissct tantnm fplflutnm uixit, et itcrum tan tum, et -1 ~ tanti, haheret allllOS .t3. Ergo dices: pro antlis 12, IIUOS pono ut iUllClIis uixissct, ueniLmt in summa flnlli 43: rluid ponmn, ut ucniant ill summa IllIlli DV: mul~ tipliea t2 per 99, ernnt 1188; (IUC diuide per 43, exibunt ulini n27; et t.1tllum ui,xit iUllcnis ille. Illud idem est diuidere !l9 pCI' t i- 3.

*;

""",.n'.'1 ~ "'''

I

-'-'_'_'_1

*

De leone qui erat in puteo. Qvidam leo cst in quoi.lam pUleo, cuills prnfullditas est pahnis 50; et asccndit cotidie .~- lInil1s palmi, ct dcsccudit -~. Qllcritur in ([uot diellUs exierit de puteo. Pone, Ilt exil'el extra plllcum ill dicll11s 113 j ideo {{uia ill G3 ilJucllilur et ~~: ct uille (f1wntllm asceIJderi1 leo ille, si tlescendclldo in ilEs {j:l tliehlls, nscendit clJim scptimas fJ3 Ullins palmi, que sunt palmi 9; et desccudit nOUC[HlS G3, fJlJ(~ sunl palmi 7: quos extl'ahe de 0, relllanent palmi 2; et tot ascc/Jflit amplius fllwm Jescendnl ill JidJlls fj3. Yuile dices: pro (helms 63,IIuOS pono, ascend it palmas 2; fluid ponam, ut ascclldal palmus 50: muJtiplica 63 per 50, et cliuidc per 2, exibllnt dies J515j et in tot !ibet numpl'llS, lIt rlicnmus 2; que multi plica in se, faciullt .t j (pte diuide per 1, neuient 4. Modo lmlJcs lres JJUmCI'u.s, scilicet I, et 2, et 4; ex (Iuilms multiplicatis primo pl'r tertiutil, scilicet J pCI' 4, facit t~l1ltl1m quantum scculHll1s in se ipsllm, sriljeet 2 per 2. Vndc colligas 1. et 2, et 4, faciunt 7; {Jue cum uellent esse 10, dice.s: pro 1, I(uml pOliO pru primn illarum triulU partium, penteniL 7 ill carulll sUlllma: I(uill punam pro eadem, ut perueniat ill summulll 10. lIIllltipliea]lis itaque 1 per 10; qUl' ilillidcs per 7, nihit )11'0 rrnantitnte prime partls ~ J. item mllltiplicabis eadt~nHJuc rntione spcundam partclH, scilicet 2 pCI' la, erunt 20: que diuiJes itcrum per 7, c\ihunt -i 2j et tan tum cst secunda pars. Hursum multiIllicabis 4, que sunt tertia pars, per 10, crunt .to; fJlle diuides pCI' 7, cxilmnt pro tertia parte ~ 5. Multiplieatio igitur de ~ 1 in ~ 5, cst (luantum I Multiplic