Scorpan Introducere Teoria Axiomatica Multimilor 1996 [PDF]

Zitiervorschau

ALEXANDRU SCORPAN

INTRODUCERE ÎN TEORIA AXIOMATICĂ A MULŢIMILOR

EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

-1996-

BTBLrOTF:mm1te' chiar dac.ă este vorba desprnt. din a. Uai precis, fie mtt.lţimea a x {O}. Rt, Jaţia de ordine dată d --< < ')', l) > = T < î' va bine ordona ac.Past.ă. mulţime ast.fi,l îucît. v-, înseamnă că i1 < i2 sau că i1 = iz, şi k 1 < k 2 . În cazul că i 1 < ii, avem desigur i 1 = O şi 'b). = 1, deci k1 < n şi f (< k1, i1 >) = k 1 , iar pe de altă parte f (< k2, i2 >) = n + k2 care este mai mare decît k 1 • În celălalt caz, cit~ci cînd i 1 = iz. şi k 1 < k 2 , dacă i 1 = i 2 = O, atunci f (< k,, i1 >) = k1 < k2 = f (< k2, iz,>), iar dacă i1 = 'b). = 1, atunci f (< k1, i1 >) = n + k 1 < n + k2 = f( < k2, i2 > ). În concluzie, f este strict monotonă. Pentru a înch a, cum (3 =/. O am avea o: = {3 • u + p ~ {3 • u > (3 • a. Avem (3 • a ~ a, deci în concluzie a > a, ceea ce nu este posibil.

44 TEOREMĂ : Produsul de ordinale finite este un ordinal finit. D emonstmtie : Fie m şi n ordinale finite. Demonstrăm prin m · n este finit. Dacă n = O, atunci m · n = O E w. Dacă n

inducţie după

=/.

n pe w că O, atunci presupunem 51

https://biblioteca-digitala.ro / https://unibuc.ro

5. OtrntNAu: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - că

pentru orie + ;;,, ... , w ' w -t- 1 ' ... 'w W·~5 + 45 ' ... w 'w

O, 1, 2, 3, ... , w, w 0

O

. J,J

W

W ·W

W ·W

Ac.este ext.ind(•ri ale opmaţiilor u:wale a}P mmH'relor natural•~ la îutreaga ordinalele constituie într-adevăr o bună genera.liza.re a conn'ptului de nu este singura..

arată că

10

clasă

O 11 11m Darr

număr.

O reprezentare, încă mai completă, va fi dată în capitolul 6, folosind cardinalele.

54 • i

https://biblioteca-digitala.ro / https://unibuc.ro

6. Cardinale

Continuăm exp1rnrIW/NfR(','1' C,IJWINAJ,Hl.OR

î11s,1. J (:r.) ·1= y, cmn f estStt> incomod. 1wntru a compara cardinalt•lt> a douil mul Urni. mai înr îi să stabilim bijecţiile ~i ordinall că vom pn•zenta un mijloc comod d1• a compara mai din•ct 'măsnrilt,' a două mulţimi oarecare. Pentru aceasta avem nevoie de urmatoarea lt.•mă:

59 LE1\-1Ă : Fie o 1111 ord;,rn/ om·ccar,· şi fie b C o o $11hn111/(i111r narr,·an-. Cum b este bine ordonată de ordinea de pe o. e.ristă un ordinal f l similar cu < b. E >. Atunci avem 3 ::; o. Demonstratie : Fief : b--+ .J isomorfismul dt> multimi ordonatt:• care stahile~t.-t-rJ=card((>. x {0})U(71x-{l})). Cum mulţimea(>. x {O} )U('TJX {1} ), ordonată corespunzător, este similară cu ordinalul >. + 11, putem de asemenea scrie >. 'TJ =card(>.+ 11).

+

N este p1·ima literă a alfabetului ebraic. :i O a.lUi notaţie frecventă pentru N0 este w0 • Aceasta din urmă este de obicei preferată cînd N0 este evidenţiat ca ordinal. 2

65 https://biblioteca-digitala.ro / https://unibuc.ro

6. CA/WINAU, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Dacă mulţimile

a şi b, respectiv v şi w sînt disjuncte, şi a este echipotentă cuv şi b este echipotentă cu w, atunci aUb va fi echipotentă cu vUw. Într-adevăr, cum există bijecţiile f : a -+ v şi g : b -+ w şi cum rnulţinwa f U g este o funcţie bijectivă dc ·la a U b pe v U w, adevărul afirmaţi1•i este evident.

67 LEMĂ : Da.că mulţimile a şi b sînt disjuncte, atunci avem card(a U b) = card(a)

+card(b).

Demonstraţie

: Ohservînd că mulţimile a şi card(a) x {O}, respectiv b şi card(b) x {1}, sîut echipotente, aplicăm observaţia de mai stL'i şi remarcăm că card((card(a) x {O}) U (card(b) x {1})) = card(a) + card(b), din care va rezuita imediat egalitatea

dorită. □

Proprietăţile adunării c.ardinalelor care se demon'itrează imediat sînt asociativit.at.Pa 6 -t 11) = (6 -t--\) 17 şi comutativitatea 77+--\ = ,\ 77. Cum adunarea ordinalelor nu este comutativă, se vede că operaţiile + şi + sînt. diferite (coincid doar în cazul ordinalelor finite). Avem de asemenea,\+ O= A. Se arată imediat că, atunci cînd ,\ 1 S A2 şi b1 S b2, avem A1 -t 61 S A2 62. Dacă adunarea a două cardinale a fost definită d1-' Cantor în. 1887, adunarea oridtor cardinale a fost introdusă în 1902 de Whitehead astfel: fiind dat (-\ 0 ) 0 < 17 un şir de cardinale, definim smna gener. -t- >. = 2 :- >., dar, în general, este adevărată relaţia .Ă 7rJ d(•finiţic

~

= I:rk,., ĂfJ, unde >..11 = >. .

Această rdaţie desigur poate fi considNată ca o altă

a 1>r()(iusul11i ca.rdina]P]or.

Aşa cum am clf'finit suma. gmwra.lizată a 111111i şir de cardinal.. De asemenea, pentru orice ordinale >.., 11 şi 8, este adevărat că (>. ~ 11 ) :- (K 6)

c.,\-6) :-c1r6) = c>.. :- 11r6

şi

(>.~ryr6

= >.-(,..,:6) .

= >.~( 11+6)

Se poate arăta că, atunci cînd >.. 1 ::: >.. 2 şi '5 1 ~ 82, atunci .Ă 1 ~6• ~ Az ~f>.i. Sînt adevărate relaţiile de tipul >.. ~ 2 = .Ă :- >.. ; >. ~ 3 = (>.. :- .Ă) :- >.. etc., dar, mai mult, Whitehead a demonstrat că exponenţierea cardinalelor este un produs repetat: astfel avem relaţia

Ă-6

=II Ă /3 I x E a I\ ( n = 1 H x E u) /\ ( n ·= O H x (ţ u)} c.are asociază fiecărei părţi u C a ceea ce se numeşte funcţia caracteristică x( u) (sau X u ) a acelei părţi, adică funcţia X u : a - t 2 dată de

şi funcţiile

x)x) = Se vede

uşor că funcţia

X: P(a)

-t

0

1; { O;

2 este

dacă x E u; dacă x (ţ u.

bijectivă .

a 67

https://biblioteca-digitala.ro / https://unibuc.ro

6.~. C , IIWINA I R - - - - - - - - - - - - -- - - - -- -.

- - - - - - - - - -- -

Cum, J) fJ.

2~:~ 1

de-

-În conluzie, şi cardinalele se constituie ca o bună extindere a conceptului de număr natural, avînd însă îu plus avantaj ni de a put.,\a fnlosi la o 'numărare' efectivă a elenu,ntelor oricărei mulţimi şi avînd adunarea şi îmnultin!a comutative.

6.5

MUL]'IMI INFINITE

Cardinalele finite sînt ordinalele finite. Am arătat că operaţiile aritmetice ale ordinalelor, au argumente finite, vor da mereu ca rezultat ordinale finite, şi acela.~i lucru este valabil şi pentru cardinale finite. (Adică, dacă am awa la dispo:1.iţie doar mulţimi finite, nu. am putea construi prin mijloacele date şi fie S,,, segmeutul initial modulo această pereche. Pentru ca o pereche < a,{l > oarecare să fie în Su,, «•ste necesar să avem snp{f\',/3}S sup{no.flo} . Notînd cu 6 ordinalul sup{oo,/10} = noU /-1,i, deducem că este necesar să avem a~ b şi /J S: b, adică să avem< n./3 >E (6 + 1) x (b' + 1 ), de unde rezultă prin compre hensimu~ că Sw corP-spuude unei mulţimi. Fie acum o multime nevidă x ale cărei elt.•meute sînt toate în iJt. Cum. multinwa { o U {3 I< o.,{3 >E x} este cuprinsă în On, deducem că arf> un vrim element h'o . Fie

R determinat de

mnlţimea 6

Neformal, am putea scrie iJt = On x On.

70 https://biblioteca-digitala.ro / https://unibuc.ro

- - - - - - - - - - - -- - - - -- - - - - -- - - -- - - - - fr .'i

{.a arc~ un prim E ( 'Y + 1) x ( 1· + 1). În concluzie, segmentul w este inclus în ( 'Y + 1) x ('Y + 1) şi prin urmare card( w) este mai mic sau egal ) ) < N1,, aciică F( < rt, /1 >) E Np, ceea ce arată că restricţia l11i F' este o funcţie injectivă de la Np: Np în Np şi încheie .. un cardina l infinit şi >.. + cardinalul său succesor. Atunci avem (,\ 1 r>- = 2>- . m Dar în gcn 11-' -am construit prin operaţiile aritmetice de p est,, On sÎllt. nunwra.hile. Îutr-a dev;ir , chiar w w"' are cardi11al11I No = w. 1:-"'olosind cardinalele, putem da o imagine ma i compl e tă a da'>ei On a ordinalelor: O, 1, 2, 3, . .. , w, w

+ l, . .. , w

+ 1, ... , w 2 , . .. , ww, ... , ww"', .. . + ww + 37, ... ' N2, N2 + 1, ... , N3, . . . 'Nw, Nw + 1, . . .

· 2, w · 2

. . . , N1, N1 + 1, ... 'N1 61 . . . , Nw + W , .•. , Nw+ t , .. . , Nw+w , . .

. ,

.

Nw-w, .. . , Nwwa 9, . . . , NN,, ... , NN.,, ..... .

(Este clar însă că înşiruira de ordinal. ~ a < Ă + } ) U {o

= card ( { a I a < >.} ) + card ( { o I Ă ~ a < ,\ + } ) =>.+card( {a. I>.~ a.+}) Deci >. + = >. + card ( { a I ,\ ~ a < infinite, deducem că

>. +} ) ,

şi folosind regulile de ad unare ale cardinalelor

card ( { a I >. ~ a < ,\ + } ) =

>. +.

■

Observînd că, p entru orice a cu >. ~ a < >. +, avem card( a) = >., putem enunţa teorema precedentă şi sub forma: Cardinalul succesor ,\ + este cardinalul mulţimii

Z(>.) 7

a tuturor bunelor ordonări mutual nesimilare ale mulţimii .,\. o

generalizare puternică a axiomei alegerii 7:J https://biblioteca-digitala.ro / https://unibuc.ro

(j _ (

'.-1 lif>/ :\'11/ , .· · - -

- - -- - - - - - - -- --

Ipoteza -continuumului Am ohţi11ut. dP_ja egalibtt.,,a car w, există un univers U în cam, pent.ru orice ecir w un ordinal

limită. Dacă

N0 este regulat, atunci

= a.

Demonstraţie : Ordinalul o fiind ordinal limită, rezultă că avem N0 = Uo NN,.,, de 1md.), atunci se vede că, dacă am porni doar de la mulţimi de cardinale mai mici decît >., folosind oricare din axiomele ZFC nu vom putea obţine o mulţime de cardinal>.. Astfel că în 1930, Tarski a numit inaccesibile (sau inaccesibile în sens t. > w care sînt regulate şi pentru care, dacă 7J < >. este un cardinal, atunci 2~ 17 < >.. · ,• · Este clar că un cardinal inaccesibil (în sens tare) va fi cu siguranţă slab inaccesibil. Căci să presupunem că N0 este inaccesibil (în sens tare). Să presupunem că n nu ar fi ,

.

..

•

! l i ,.

I

92 https://biblioteca-digitala.ro / https://unibuc.ro

. ,

j

·-

- ·- --

8 . -l I '11 .\'S /S /F.\'"('\ ///·. / .. I/"/\'.-{ . I . l\'f() ,\ fl-"f fli•: . \1 'f"1 ·1•:S //.: >. = >., {