(Sciences Sup.) Schwartz, Lionel-Algèbre 3e Année - Cours Et Exercices Avec Solutions-Dunod (2003) [PDF]

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Licence 3^ année

ALGEBRE 3‘ ANNÉE 2" édition

Lionel Schwartz

DUNOD

ALGEBRE 3« ANNÉE

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ALGEBRE 3» ANNÉE Cours et exercices avec solutions

Lionel Schwartz Professeur à l'université de Paris-Nord (Paris 13-Villetanneuse)

Préfacé par

M ichel Zisman Professeur émérite de l'université Paris 7 - Denis Diderot

2° édition

DUNOD

D ans

la même collection

► Cours de Mathématiques^filières M l AS, MASS et SM (4 volumes) Analyse,

année

Algèbre,

année

Analyse, 2^ année Algèbre et géométrie, 2^ année François Liret et Dominique Martinais

Cours de Mathématiques pour la 5®année de licence (4 volumes) Algèbre, Lionel Schwartz Fonctions analytiques, Pierre Vogel Topologie et analyse, Georges Skandalis Calcul différentiel et calcul intégral, Marc Chaperon

Illustration de couverture : Lionel Auvergne

Ce pictogramme mérite une explication. établissements d'enseignement supérieur, Son objet est d'alerter le lecteur sur provoquant une baisse brutale des achats la menace que représente pour l'avenir de livres et de revues, au point que la de l'écrit, particulièrement dans possibilité même pour les auteurs le domaine de l'édition tech­ de créer des œuvres nouvelles et DANCER de les faire éditer correctement nique et universitaire, le dévelop­ pement massif du photo­ est aujourd'hui menacée. copillage. Nous rappelons donc que Le Code de la propriété toute reproduction, partielle ou LEPH Ö TÖ CÖ PILUG E totale, de la présente publication intellectuelle du 1®^ juillet 1992 TUELELIVRE est interdite sans autarisation du interdit en effet expressément la photocopie à usage collectif Centre français d'exploitation du sans autorisation des ayants droit. Or, droit de copie (CFC, 20 rue des Grandscette pratique s'est généralisée dans les Augustins, 75006 Paris).

© Dunod, Paris, 2003 ISBN 210 007057 6 Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite selon le Code de la propriété intellectuelle (Art L 122-4) et constitue une contrefaçon réprimée par le Code pénal. • Seules sont autorisées (Art L 122-5) les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, ainsi que les analyses et courtes citations justifiées par le caractère critique, pédagogique ou d’information de l’œuvre à laquelle elles sont incorporées, sous réserve, toutefois, du respect des dispositions des articles L 122-10 à L 122-12 du même Code, relatives à la reproduction par reprographie.

Préface C'est avec ce cours d'Algèbre que les éditions Dunod ont initié une série d'ouvrages destinés aux étudiantes et étudiants préparant la L icence de Mathématiques. Cette série, de même que le cours des deux premières années de L icence de François Liret et Dominique Martinais dans la même collection, a pour vocation de présenter à ses lecteurs les théories classiques qui constituent le fond usuel des programmes des premières années d'études universitaires fécondées par l'esprit des idées et des connaissances provenant des recherches contemporaines. Les théories les plus abstraites sont riches d'applications concrètes importantes récemment découvertes que l'on peut maintenant présenter parfois dans un cours de ce niveau, non seulement pour illustrer sur des exemples les méthodes et les théorèmes généraux, mais surtout pour montrer explicitement aux étudiants et étudiantes la profonde unité de la science et son impact sur la vie moderne. Le cours d'Algèbre de Lionel Schwartz, premier de la série, se devait de prouver que cet objectif pouvait être atteint. La richesse et la densité de son texte, sa présentation de la cryptographie à clés publiques, aujourd'hui couramment utilisée comme application de la théorie des corps finis, ainsi que d'autres applications aussi intéressantes sinon aussi spectaculaires, dans un ouvrage dont la vocation reste élémentaire et qui distingue soigneusement le niveau L icence de celui du Master , tout cela montre qu'il y a parfaitement réussi.

Michel Zisman Professeur émérite de l'université Paris 7 - Denis Diderot

Table des matières

Chapitre 0.

Rappels

1. Rappel de théorie des ensembles 2. Rappels sur l'anneau Z des entiers relatifs et son corps des fractions Q 3. Topologie de 4. Le corps des nombres complexes C 5. Espaces vectoriels et algèbre linéaire 6. Matrices, déterminants, systèmes linéaires

Chapitre 1.

1 2 4 4 5 8

Groupes. Groupes quotients Groupes obéliens de type fini

1. Groupes, générateurs, groupes monogènes 12 2. Relations d'équivalence dans un groupe, groupes quotients 22 3. Décomposition primaire des groupes abéliens finis 33 4. Structure des groupes abéliens de type fini, définitions, énoncés, structure des groupes libres 36 5. Structure des groupes abéliens de type fini de torsion 41 Exercices 44

Chapitre 2.

d B Í 1C 1 S a S a> ■p, 8

1

Actions de groupes Groupes symétriques

1. Actions de groupes, exemples 2. Orbites, ensembles transitifs, décomposition en orbites 3. Théorèmes de Sylow 4. Groupes symétriques, classes de conjugaison 5. Groupes symétriques, générateurs, simplicité du groupe alterné Exercices

Chapitre 3.

51 56 61 64 72 77

Anneaux, idéaux, polynômes et séries formelles

1. Anneaux, idéaux, anneaux quotients 2. Anneaux principaux 3. L'anneau Z/nZ 4. Cryptographie à clé révélée

85 96 103 105

( 0 Q

®

ALG ÈBRE

VII

5. Anneaux de polynômes et de séries formelles 6. Polynômes en plusieurs indéterminées, polynômes symétriques 7. Anneaux factoriels et applications 8 Zéros des polynômes 9. Compléments sur les séries formelles Exercices

.

Chapitre 4.

110

116 122 127 133 135

Extensions des corps. Applications

1. Définitions, caractéristique d'un corps, applications 150 2. Éléments algébriques dans un corps et extensionsalgébriques des corps 153 3. Corps de rupture d'un polynôme 158 4. Corps algébriquement clos, clôture algébrique 160 5. Structure et classification des corps finis 162 6. Applications arithmétiques 167 7. Racines de l'unité, polynômes cyclotomiques 169 8 . Théorème de Wedderburn 172 9. L'algorithme de Berlekamp 174 10. Les codes correcteurs d'erreurs 178 Exercices 191

Chapitre 5.

Réductions des endomorphismes Structure du groupe linéaire

1. Polynôme minimal d'un endomorphisme 204 2. Théorème de Cayley-Hamilton 210 3. Triangularisation des matrices et réduction de Jordan 214 4. Applications topologiques de la diagonalisation etde la triangularisation 220 5. Générateurs du groupe linéaire 225 Exercices 234

Chapitre 6. Formes bilinéaires et sesquilinéaires Groupes orthogonaux et unitaires 1. Formes bilinéaires et sesquilinéaires 2. Structure du groupe orthogonal euclidien 3. Les quaternions, les groupes SO(3) et SO (4) 4. Structure du groupe unitaire Exercices

245 255 264 273 276

Bibliographie

283

Index

285

VIII ALGÈBRE

Avant-Propos Vous avez entre les mains la seconde édition d'un cours d'algèbre de L icence . Cette édition arrive au moment où les cursus universitaires sont en cours de refonte, pour passer du système « DEUG, L icence , Maîtrise , DEA » au système dit « L icence , Master , Doctorat ».

Ce livre s'adresse aux étudiants de troisième année, c'est-à-dire l'ac­ tuelle, et la fin de la future. L icence . Comme il se place à un moment charnière dans les études de mathématiques, il a vocation à intéresser au-delà de ce public, les étudiants qui, après la L icence , iront pré­ parer le CAPES, ou ceux qui poursuivront en Master (quelle qu'en soit l'orthographe !), puis passeront 1' A grégation. Le programme officiel de la L icence de Mathématiques est très vague, et les traditions sont variées d'une université à l'autre. Nous avons voulu rester dans un équilibre raisonnable, en tenant compte du fait que l'algèbre est une discipline fondamentale du programme de troisième année, mais que certaines théories (telle que la théorie de Galois, par exemple) relèvent plutôt du programme de Master . Nous ne prétendons certainement pas que tout le contenu du livre doit être fait en L icence mais que l'on peut y faire des choix en fonction de ce qu'on souhaite faire au-delà. L'algèbre, tout comme la géométrie, sont des matières que les pro­ grammes des lycées ont une fâcheuse tendance à négliger (quand bien même on assiste à un modeste retour). Ceci entraîne des retards qu'il est important de corriger. Les prérequis consistent ici en de solides bases d'algèbre linéaire et de géométrie euclidienne, qui relèvent des deux premières années de la future L icence . Un premier contact avec les groupes est, lui aussi, souhaitable. Il y a trois notions centrales dans ce cours. D'abord, la structure des groupes et les actions de groupes, en insistant particulièrement sur les groupes symétriques. Puis viennent les anneaux, avec la ques­ tion de la divisibilité sous ses divers aspects. Enfin, les extensions de corps, sans la théorie de Galois, en s'attardant plus spécialement sur les corps finis. Certains énoncés ne sont pas centraux et peuvent être réservés à une seconde lecture. Par exemple, les théorèmes de Sylow, ou bien la démonstration des théorèmes de structure des groupes abéliens de type fini.

Les quatre premiers chapitres sont consacrés à la présentation de ces différentes notions. Les deux derniers sont, quant à eux, des com­ pléments sur la réduction des endomorphismes et sur les formes quadratiques. Un certain nombre de théorèmes plus avancés sont abordés dans les exercices (deux étoiles « ** » après un numéro d'exer­ cice indiquent une difficulté plus grande). On accorde aussi une place privilégiée aux propriétés topologiques des groupes classiques. Enfin, l'ouvrage introduit des applications classiques de ces mathé­ matiques (parmi d'autres !) : la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs, qui sont deux prolongements naturels de ce cours. Si les techniques utilisées dans ce cadre ne sont pas plus difficiles, voire sont plus simples, que les autres développées dans ce livre, leur enchaînement rend l'approche du problème plus délicate. Dans la mesure où ce livre reflète tout à la fois des choix personnels, associés à des contraintes de temps et d'espace, mentionnons un cer­ tain nombre de sujets qui auraient pu être abordés. Le choix de faire une étude des actions de groupes en liaison beaucoup plus étroite avec la géométrie n'a pas été retenu ici. Le lecteur pourra se référer à [Be] sur ce point. D'autre part, l'étude des séries formelles en liaison avec la combinatoire pouvait fournir d'autres développements, qui sont exposés plus précisément dans [Co]. Ces sujets peuvent trouver, évidemment, leur place en Master . Ce cours peut déboucher, ainsi qu'on l'a dit plus haut, sur des ap­ plications « concrètes », ou tout au moins sur d'autres cours qui, eux, y donnent accès. Les mathématiques ont toujours eu des liens étroits, explicites ou implicites, avec d'autres activités, même si ces liens ne sont pas toujours apparents. La figure ci-dessous est, un peu simpli­ fiée, la trame d'un zellige des tombeaux saadiens à Marrakech. Cet entrelacs présente des symétries internes par rapport à des groupes diédraux d'ordres 32 et 16, et est également invariant par diverses ac­ tions de translation. On y retrouve le savoir-faire des artisans et des artistes arabes. Et ici, on se souviendra du rôle crucial des savants arabes dans la transmission et le développement des mathématiques. Il convient enfin de dire deux mots sur les différences par rapport à la première édition. D'abord, on a apporté des précisions et des cor­ rections, je tiens ici à remercier les collègues et tout particulièrement les étudiants qui m'ont signalé tel ou tel point à corriger ou préciser. Ensuite, quelques ajouts ont été faits : en cryptographie, codes cor­ recteurs et sur les sous-groupes finis SO(3). Enfin, on a ajouté des exercices et complété des corrections.

X AVANT-PROPOS

Je remercie encore une fois Michel Zisman de m'avoir proposé d'écrire ce cours, Alberto Arabia, pour son soin, sa superbe mise en pages, et les figures qu'il a faites. Je remercie enfin Anne Bourguignon, pour son suivi dans l'édition de cet ouvrage.

?

I

>3 I TQJ

P rin cip a le s no tations u tilisées ensemble des entiers naturels ensemble des entiers relatifs ensemble des nombres rationnels ensemble des nombres réels

c Fpn

ensemble des nombres complexes corps fini à

éléments

groupe des classes de congruences modulo m ^ {E ) ©n G L {E ), G L nik) SL {E ), SLn{k) 0 { E ), 0(n )

groupe des permutations de l'intervalle d'entiers naturels [l,n] groupes linéaires groupes spéciaux linéaires groupes ortogonaux

V {E )

groupe unitaire

Z(G)

centre d'un groupe G

C g (x )

centralisateur d'un élément x du groupe G

(p{d)

indicateur d'Euler

k[X]

anneau des polynômes sur k

k[[X]]

anneau des séries formelles sur k

4^n

polynôme cyclotomique

l^n

racines n-ièmes de Tunité

[ E :F ] Id£ Card A

XII NOTATIONS

groupe des permutations de l'ensemble E

degré d'une extension application identité de l'ensemble E cardinal de l'ensemble fini A

chapitre 0

Rappels On rappelle ici quelques notions nécessaires à la lecture du cours. Elles sont suppo­ sées avoir été vues durant les deux premières années de L icence ou des C lasses P réparatoires . Il s'agit d'abord de rappels élémentaires de théorie des ensembles, puis sur l'anneau Z et le corps Q, ensuite de notions de topologie de et enfin des bases d'algèbre linéaire. Ces rappels sont brefs et doivent être lus avec le soutien d'un manuel de première et seconde année. Ils seront l'occasion de fixer un certain nombre de notations.

1. Rappel de théorie des ensem bles Dans ce livre, on utilisera souvent le résultat de factorisation des applications exposé ci-après. Rappelons d'abord que, si X désigne un ensemble et ^ une relation d'équi­ valence sur X , l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation considérée constitue une partition de X . C'est-à-dire que la réunion de ces classes est égale à l'ensemble X tout entier, et que deux classes disjointes sont d'intersection vide.

'M

L'ensemble des classes d'équivalence est appelé l'ensemble quotient de X par la re­ lation et est noté X j ^ . On appellera l'application tt, qui à un élément associe sa classe d'équivalence, application canonique.

Théorème* Soit f : X

I I

.s §O ■

Y une application telle que xâ^ y

f{x ) = f { y ) .

Il existe alors une unique application f : Xj0i^ -> Y telle que f = f o n . Démonstration* Soit c une classe d'équivalence dans X . L'application f est définie par f{c) = f{x), où x est un élément quelconque de la classe c. ■

I

I

Q ®

0.1 - R A P P E L DE T H É O R IE DES EN SEM BLES 1

Remarque On peut choisir comme exemple de relation d'équivalence celle définie par : x si et seulement si f{x) = f{y).

y

Les propositions 1 et 2 seront fréquemment utilisées.

Proposition 1• Soient f \X composée

go

Y et g :Y ^ Z, deux applications. Alors si l'application f est surjective, l'application g l'est aussi.

Proposition 2. Soit S un ensemble fini, et soit f une fonction de S dans N, alors la fonction f atteint son maximum et son minimum.

2. Rappels sur l'anneau Z des entiers relatifs et son corps des fractions Q L'anneau Z est muni de la division euclidienne :

Proposition 1• Pour tous entiers n ,k e Z il existe deux entiers uniques q et r tels que : ► n = qk-\-r, ► 0 ^ r < fe. L'entier r est le reste de la division de n par q. Si n est non nul, quand le reste est nul on dit que k divise n, on le note k |n. Une conséquence fondamentale, qui sera redémontrée dans le chapitre 1 est que tous les sous-groupes de Z sont de la forme : kZ = {ku I U G Z } . Dans l'anneau Z, un élément a une décomposition en facteurs premiers, qui est unique à l'ordre près. Ceci permet de définir le plus grand commun diviseur (pgcd), et le plus petit commun multiple (ppcm) de deux entiers, et plus généralement d'une famille d'entiers. L'identité de Bézout permet de définir le pgcd d'une autre façon :

Proposition 2« Soient a, 6 g Z, et soit d leur plus grand commun diviseur. Alors il existe u^v G Z tels que d = ua + bv. Plus généralement soient a i, . . . , an G Z, soit d leur plus grand commun diviseur. Il existe г¿l,... ,an, tels que ÜiUi -[-•••+ CLnUn^ d .

2 RAPPELS - C hap. 0

L'algorithme d'Euclide permet de calculer le pgcd de deux entiers a et 6, on en déduit aussi un algorithme pour calculer les coefficients de la formule de Bézout. Supposons que 0 < a < 6 et que bi est le reste de la division de b par a on constate que : ► soit 6i = 0 et le pgcd cherché est a, ► soit le pgcd de a et 6 est aussi celui de a et 6i . Dans le second cas on peut itérer le processus et faire la division de a par b\ et obtenir un reste a\ < a car bi < a. Encore une fois on a deux cas possibles : ► soit ai = 0 et le pgcd est b\, ► soit le pgcd de a et b\ est aussi celui ai et b\. On définit ainsi itérativement a^ et bk tels que le pgcd de ak et 6^+1/ ainsi que celui de ak et bk, est celui de a et 6. Dans ce processus on arrive, soit à un moment où an divise bn et an est le pgcd, soit bn divise an-i et bn est le pgcd. Si on arrive à an = 1 ou 6n = 1 les entiers a et b sont premiers entre eux. Rappelons maintenant qu'une loi interne sur un ensemble A est une application de A x A dans A, Passons à la construction du corps Q des fractions de Z.

Construction du corps Q . On considère l'ensemble Z x Z* et on le munit de la relation d'équivalence suivante : (a, b) = (a, v) si et seulement si av = bu. On définit deux lois internes, addition et multiplication, par : ► ( a , b) +

(a ,

v) = {av +

► (a , 6) X (a , a ) =

6a,

bv),

(a a ,6 a ).

On vérifie aisément que la classe d'équivalence de la somme et du produit de deux éléments ne dépend que des classes d'équivalence des deux éléments. Ceci permet de définir l'addition et la multiplication sur l'ensemble quotient. Les deux lois sont évidemment commutatives. La multiplication est distributive par rapport à l'addition. C'est-à-dire que : ( a , a ) X ( ( a , 6) + ( a ', 6 ') ) =

( a , a)

x

( a , 6 ) + ( a , a)

x

( a ', 6 ') .

Par ailleurs l'ensemble des classes d'éléments de la forme (fc, 1) est isomorphe à Z et la classe de l'élément (1,A;), k ^ 0 , est un inverse pour la multiplication de la classe de {k, 1).

I 'V O Q

®

Le corps Q est l'ensemble de ces classes d'équivalence de Z x Z* muni de ces deux lois internes.

0.2 -

R A P P E L S SUR Z E T Q

3

3 . Topologie de Rappelons d'abord les propriétés fondamentales de

R.

Théorème 1• Le corps Q est dense dans le corps

R

de Cauchy convergent dans

R

et

est complet : toutes les suites

R.

Théorème 2. Les sous-espaces connexes de

R

sont les intervalles, c'est-à-dire les sous-

espaces convexes.

Théorème 3. Les sous-espaces compacts de

R

sont les ensembles fermés et bornés.

Ce résultat se généralise à R^ :

Théorème 4. Les sous-espaces compacts de R^ sont les ensembles fermés et bornés. On dit qu'un espace topologique X est connexe par arcs si pour toute paire de points x,y e X , il existe une application continue, / de [0,1] dans X telle que /(0) = x et /(1) = y. Un espace topologique connexe par arcs est toujours connexe. Le résultat inverse est, en général, faux, mais on a le résultat suivant :

Théorème 5« Les ouverts connexes de R^ sont connexes par arcs. Pour terminer ce type de rappel mentionnons aussi l'équivalence des normes sur les espaces vectoriels réels de dimension finie [LA].

4 . Le corps des nom bres com plexes C Le corps des nombres complexes C est construit comme suit. Il est défini en tant qu'ensemble comme étant R internes, addition et multiplication, suivantes : ► (a, 6) + (г¿, v) = (a +

► (a , b)

X

x R,

que l'on munit des deux lois

6 + v),

(г¿,v) = (au —bVjav + bu).

L'élément (a, b) est noté comme d'habitude a + bi, avec i = (0 ,1), et bien entendu ¿2 = - l = ( - l , 0 ) .

Ces deux lois sont commutatives, associatives. La multiplication est distributive par rapport à l'addition. L'élément 0 = (0,0), est élément neutre pour l'addition, alors que l'élément 1 = (1, 0) l'est pour la multiplication. Le conjugué d'un élément z = a-\-bi, noté z, est a —6г. Le module |г| de l'élément G C est

a?

4 RAPPELS - C hap. 0

et \z\^ = zz. L'inverse d'un élément non nul .г est

kl

.

Étant donné un nombre complexe 2; l'exponentielle, notée comme étant la somme de la série absolument convergente ; n^O n!

de z est définie

’

On a pour tous z,z' e C la formule Enfin on a :

Proposition 1. Soit Z un nombre complexe, les deux conditions suivantes sont équivalentes : -

= 1,

► il existe k e Z tel que z = 2k'Ki. Notons que l'application exponentielle est un homomorphisme de C muni de l'ad­ dition dans C* muni de la multiplication. La proposition précédente en décrit le noyau.

Corollaire. Soit z un nombre complexe. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : ^ z^ = 1,

2k'ni

Z= e n

pour un certain entier k.

5. Espaces vectoriels et algèbre linéaire Le but de cette section est de rappeler les résultats fondamentaux en algèbre li­ néaire. Ceux-ci ont été vus le plus souvent en DEUG (désormais L icence 1™et 2® année ) ou C lasses P réparatoires dans le cadre des espaces vectoriels réels ou complexes. Il ne se passe absolument aucun changement pour les résultats rap­ pelés ci-dessous si on remplace M ou C par un corps k quelconque. C'est-à-dire que les démonstrations sont mot pour mot les mêmes en substituant à M ou C le corps k.

I

Dans la mesure où le lecteur peut ne pas avoir manié d'autres corps que R ou C, ni même avoir rencontré la définition générale d'un corps, nous lui proposons de substituer dans les énoncés qui suivent fc à R ou C. Puis, dès qu'il sera plus familier avec la notion de corps et qu'il aura à l'utiliser, ce qui se produira à partir du chapitre 3, de faire un retour en arrière, de prendre un manuel de première et deuxième années et de vérifier les énoncés pas à pas en procédant à la substitution inverse. Bien souvent dans les manuels de première et seconde année les énoncés commencent par : « Soient A; = R ou A: = C, ... ». Il suffit d'oublier cette phrase. Commençons par la définition. Soit donc k un corps et soit E un groupe abélien.

"O 8 3

Q

©

0.5 -

e s p a c e s v e c t o r ie l s e t

ALGEBRE LINEAIRE 5

On dit que E est un espace vectoriel sur k si on a une application (aussi appelée loi externe ou opération) : k x E — >E , (X,v) I— ^Xv, telle que : ► Iv = V, ► A(î; + = Aî; + Xw, ► (/X+ X)v = pv-}- Xv, - iJiiXv)) = {ll\)v, ceci pour tous v,w e E et X^p e k. Les conditions ci-dessus impliquent que pour tout v e E , on a : 0 X

î;

=

0.

On a la notion de sous-espaces vectoriels. C'est un sous-groupe (donc non vide) H c E tel que pour tous v e H et X e k on ait Xv e H. L'intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Étant donné un sous-ensemble A d'un espace vectoriel E l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A est appelé le sous-espace vectoriel engendré par A. C'est le plus petit espace vectoriel qui contient A, Soit E un espace vectoriel sur k, soit {vi), i e I une famille d'éléments de E indexée par un ensemble I non nécessairement fini. De même manière soit (Ai) une famille d'éléments de k indexée par /. On dit que les éléments d'une telle famille sont presque tous nuis s'ils sont tous nuis sauf un nombre fini d'entre eux. Si la famille (Ai) est constituée d'éléments presque tous nuis, on peut définir la somme iel En effet, seuls un nombre fini d'éléments sont non nuis. Une telle somme est appelée une combinaison linéaire à coefficients dans k des vecteurs Vi. ► Une famille (vi) d'éléments de E est génératrice sur fc, ou constitue un système de générateurs sur k, si le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant tous les vi est E lui-même. Si E a au moins un élément non nul ceci équivaut à dire que pour tout v e E il existe une famille d'éléments, presque tous nuis, de k indexée par I, soit (Ai) telle que V = XiVi.Si E est réduit au vecteur nul la partie vide est génératrice.

6 RAPPELS - C hap. 0

► Une famille (vi) d'éléments de E est libre sur k si la relation = 0, (Ai) désignant une famille d'éléments de k, presque tous nuis, indexées par I, n'a lieu que si tous les éléments Ai sont nuis. ► Une famille qui est génératrice et libre est appelée une base de E sur le corps k. Il en résulte que, si £" a une base sur k, tout élément de v e E s'écrit d'une manière et d'une seule comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.

Théorème 1• Un espace vectoriel E sur un corps k a au moins une base. Toutes les bases ont même nombre d'éléments, appelé la dimension de l'espace. On remarquera que l'espace vectoriel {0} admet pour base l'ensemble vide et est de dimension zéro. Rappelons le théorème de la base incomplète :

Théorème 2. Soit E un espace vectoriel sur un corps k, et soit (vi), i e l une famille libre. Alors il existe au moins une autre famille libre (wj) telle que la réunion des deux familles constitue une base de E. La démonstration fait un usage crucial de la possibilité de trouver un inverse pour les éléments non nuis de k. On appelle hyperplan d'un espace vectoriel de dimension n un sous-espace de dimension n - 1, plan un sous-espace de dimension 2 et droite un sous-espace de dimension 1. On précise parfois droite vectorielle, plan vectoriel, . . . , pour distinguer de la situation affine. Soient deux espaces vectoriels E et F sur un corps k, une application f de E dans F est dite linéaire (A;-linéaire si on tient à rappeler le corps) si : ► / est un homomorphisme de groupes abéliens, c'est-à-dire que f{v -\-w) = f{v) -h f{w) pour tous v,w e E , ► f{Xv) = Xf{v) pour tous X e k et V e E. L'ensemble des applications fc-linéaires de E dans F est lui-même un espace vectoriel sur k, il sera noté ^k{E,F). Quand le choix du corps k ne sera pas ambigu l'indice k sera omis, ce sera souvent le cas quand k = C. Si E = F 3^k{E,E) sera noté SBk{F).

r

I

La composition des applications détermine une structure d'anneau sur cet es­ pace vectoriel. On signale deux notations concurrentes, de plus en plus en plus fréquentes, H o m k { E , F ) pour ^k{E^F) et E n d k iE ) pour S^k{E).

i

Q 0.5 - ESPACES VECTORIELS ET ALGEBRE LINEAIRE 7

Le dual d'un espace vectoriel E sur un corps k est k) et est noté E * . Rap­ pelons qu'étant donnée une application linéaire f : E ^ F on peut définir son application duale /* : F* —>E* et que { f o g y = g * o f * dès que la formule a un sens. Étant donné un espace E on définit une application linéaire de E dans le bidual E** par X X, où X est donnée par ¿(A) = A(a:). Cette application est linéaire et est un isomorphisme si et seulement si E est de dimension finie. Si a est une forme linéaire non nulle l'ensemble des v Çl E tels que a{x) = 0 est un sous-espace de dimension n —1 de F (si F est de dimension n). C'est un hyperplan de F , a est appelé une équation de l'hyperplan. Nous introduisons maintenant brièvement la notion d'espace vectoriel quotient. Celleci devra être relue, par exemple, après l'étude des groupes quotients. Elle ne jouera de rôle que dans les chapitres 5 et 6. Soit F un espace vectoriel et F un sous-espace. On définit sur F une relation d'équivalence par v si et seulement si v - w e F . Une classe d'équivalence est un sous-ensemble de la forme v + F = { v - \ - f \ f G F } . On munit l'ensemble des classes d'équivalence d'une structure d'espace vectoriel sur k par les formules : ► {v + F) (w F) = V ► X(v “h F ) = \v + F .

w

F,

Cet espace est appelé l'espace vectoriel quotient de F par F et est noté F/F. On vérifie que l'application v

F de E vers F/ F est une surjection linéaire.

Enfin, si on restreint cette application à un supplémentaire F ' quelconque de F dans F , l'application de F ' dans F / F est un isomorphisme. En particulier l'image d'une base de F ' est une base de F/ F et la dimension de F est la somme de la dimension de F ' et de celle de F/F. Le sous-ensemble de e) = (i{e,g) = g , pour tout g e G il existe un élément g' E G tel que =M5'.P) = e, pour tous g,hyk E G on a fj,{g, fi{h, k)) = fjL{fj,{g, h),k). Dans la suite un groupe sera noté (G,//). S'il n'y a pas lieu d'avoir une notation particulière pour la loi interne celle-ci sera omise dans la notation, le groupe sera seulement noté G et p{g^ h) sera simplement noté gh. L'élément e est appelé l'élément neutre. L'élément g' est appelé l'inverse de g et est noté g~^. La dernière condition s'appelle l'associativité de la loi interne. La première condition implique l'unicité de e. En effet, soient deux éléments e et e' satisfaisant à la première condition. On a ee' = e et ee' = e' donc e = e'. La dernière condition implique elle l'unicité de g~^. En effet soient et gi satisfaisant à la deuxième condition, on a = ^o(^^i) = {9o9)gi = 9i-

I

Définition 2

Un groupe (G, p) est dit abélien ou commutatif si pour tous x et y éléments de G on a p{x,y) = p{y,x).

Dans la suite, par convention quand on utilisera la terminologie « abélien » la loi interne sera notée -h , et l'élément neutre 0. Sinon, que le groupe soit commutatif où non elle sera notée multiplicativement et l'élément neutre sera noté 1 ou e. Dans le cas abélien, si n est un entier positif, la somme x + •- + x^ sera notée nx. n fois

Son élément opposé sera noté -n x . Dans le cas éventuellement non commutatif, les mêmes éléments seront notés x'^ et x~^. On a donc x^ = x x ••• x x. n fois

► Le premier exemple de groupe est celui des entiers naturels Z muni de l'addition.

12 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - Chap. 1

de même, l'ensemble Q des nombres rationnels, celui R des nombres réels, celui C des nombres complexes, tous munis de l'addition, sont des groupes, un ensemble à deux éléments notés 0 et 1 est muni d'une structure de groupe en déclarant que 0 est l'élément neutre et que 1 est son propre inverse. La table d'un groupe G est le tableau dont les colonnes et les lignes sont indexées par les éléments de G. La valeur ¡i{g^ h) est portée à l'intersection de la ligne indexée par g et de la colonne indexée par h. La table du groupe précédent est : 0 : 1: 0

0

1

0

Il s'agit là évidemment du groupe Z/2Z.

Définition 3 Un sous-groupe d'un groupe (G, p) est un sous-ensemble non vide i î de G tel que l'application p restreinte a H x H soit à valeurs dans H, et détermine une loi de groupe sur H, La première condition nous dit que p définit une loi interne pour H, On en conclut que P est associative. En effet, les relations à satisfaire le sont dans G, donc par restriction dans H, La seconde condition est réalisée dès que tout élément de H a son inverse dans JT. Ces conditions sont équivalentes aux suivantes : ► l'élément neutre appartient à H ► pour tous X ei y dans H p{x^y~^) appartient à JT. En effet, partons du second groupe de conditions. Si on remplace x par e dans la seconde, on voit que si y G JT alors G JT. Si on y remplace y~^ par y, on obtient la première puis la seconde du premier groupe. Inversement, si JT est un sous-groupe, les conditions du second groupe sont satisfaites. À partir de groupes ou de sous-groupes, un certain nombre de constructions permettent de construire de nouveaux groupes, en voici quelques unes :

Proposition 1. Soit Hi i e I une famille de sous-groupes de G, alors DiJT^ est un sous-groupe de G.

S O.

cd

On applique, par exemple, les critères suivants la définition 3. Le premier est im­ médiat ; pour le second on observe que si a; et y sont dans Hi pour tout i alors p{x^y~^) G Hi pour tout i, et donc p{x,y~^) G C\iHi,

Q

©

1.1 - GROUPES, GÉNÉRATEURS, GROUPES MONOGÈNES 13

Produits, produits restreints, et sommes directes de groupes Étant donnés une famille de groupes Gi, l'indice i décrivant un ensemble I considérons le produit

n°< iel

on en note les éléments par {gi)iei- On définit un produit par la formule : {9 i)iel

X {9 i)iel = {9 i9 i)iei

où 9i, g[ sont éléments de Gi, On considère aussi le produit restreint. On le définit comme étant le sous-ensemble du produit !!< ? »

iei

constitué par les éléments (^i, ••., Pi >•••) tels que pour tout i, sauf un nombre fini, l'élément gi est égal à l'élément neutre de G i. C'est un sous-groupe du produit. Si l'ensemble d'indice I est fini, produit et produit restreint coïncident. Si les groupes sont abéliens, le produit restreint est appelé la somme directe et est noté : © O i. iel

Les groupes sont importants tant pour eux-mêmes que pour les relations qu'ils ont entre eux. Celles-ci s'expriment par les applications d'un groupe dans un autre, compatibles aux lois à la source, et au but, plus précisément :

Définition 4 On appelle homomorphisme de (G,/x) dans {G\pl) une application (j) de G dans G' telle que pour tous x ei y dans g on ait 4>{fJ'{x,y)) ^ n'i^{x),(i>{y)). On observe que l'image de l'élément neutre de G est l'élément neutre de G '. En ef­ fet (f){x) = (j){p{x^e)) = p!{(¡)(x)^(j){e)) pour tout x G G, en multipliant à gauche par l'inverse de 0(x), on obtient 0(e) = e' (avec les notations évidentes). Un homomor­ phisme bijectif est appelé un isomorphisme. On notera que l'application réciproque d'un homomorphisme bijectif est un homomorphisme. Si G = G', un homomor­ phisme est appelé un endomorphisme, un isomorphisme est appelé un automorphisme. Si 0 est un homomorphisme de G dans i f et 0 un homomorphisme de H dans K , alors 0 O0 est un homomorphisme de G dans K .

14 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

Ces définitions donnent de nouveaux moyens de construire des groupes :

Définition 5

I

L'image d'un groupe G par un homomorphisme (¡) dans un groupe H est l'ensemble des éléments de la forme (l>{x), lorsque x décrit G, on la note lm(0).

Proposition 2 . L'image d'un homomorphisme de G dans H est un sous-groupe de H, Dém onstration* On applique les critères suivant la définition 3. Soient {x) et (/){y) des éléments de lm(0 ), alors (f>{y)~^ = (l>{y~^) et (t>{x)^{y~^) = (l>{xy~^) e lm(0), le résultat suit. ■

Définition 6 On appelle noyau d'un homomorphisme (j) : G G ' l'ensemble des éléments x de G tels que (¡>{x) = e', e' désignant l'élément neutre de G'. On le note Ker(0).

Proposition 3« Le noyau d'un homomorphisme \G -^ G ' est un sous-groupe de G'. D ém onstration. On applique les critères suivant la définition 3. Soient x et y des éléments de Ker(0), on a alors 4>{x) = {y)~^ = é et 4>{xy

= 4>{x)iy) ‘ = e',

le résultat suit. On vérifiera qu'un homomorphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre.

I

Les groupes apparaissent en mathématiques dans une grande variété de situa­ tion. Les exemples qui suivent sont fondamentaux en algèbre, en géométrie, en combinatoire.

Classes de congruences modulo n Définirion 7 On dit que deux entiers k et l sont congruents modulo n si et seulement si la différence k —l est divisible par n. I

§ P

®

1.1 - GROUPES, GÉNÉRATEURS, GROUPES MONOGÈNES 15

La relation de congruence est une relation d'équivalence sur les entiers. La classe d'équivalence d'un entier k est l'ensemble des entiers de la forme k + an, a G Z quelconque, on la notera {k + nZ}. Ces classes d'équivalence constituent une partition de Z. On note Z/nZ l'ensemble des classes d'équivalence dans Z pour la relation de congruence modulo n. Définissons une loi interne, notée +, sur cet ensemble par : { A i + n Z j - + {Ai^ + nZy = {A i +

1

Proposition 4. Cette loi définit sur Z/nZ une structure de groupe. De plus l'application P : Z —>Z/nZ qui à un entier associe sa classe d'équivalence est un homomorphisme. Étant donné un entier a on notera â sa classe de congruence modulo n.

Groupes de permutations Soit S un ensemble, l'ensemble ^ {S ) des applications bijectives, ou permutations, de S dans lui-même est un groupe pour la composition des applications. La loi est interne car la composée de deux bijections est une bijection, elle est associative car la composition des applications l'est. L'élément neutre est l'application identité de X , notée Idx définie par ldx{x) = x pour tout x e X. L'inverse est l'application réciproque. Voici un exemple particulier de sous-groupe de permutations. Soit E un espace vec­ toriel sur un corps K . L'ensemble des applications linéaires inversibles forme, pour la composition des applications, un groupe noté GL(J5). C'est un sous-groupe de ^ { E ) . Si E est de dimension finie n, et si on a choisi une base, le groupe GL(i?) est isomorphe au groupe G L n(ii) des matrices inversibles (n,n) à coefficients dans K.

Éléments inversibles dans un anneau Étant donné un anneau A, l'ensemble A* des éléments inversibles pour la multiplication est un groupe pour cette loi. Par exemple Z* = {-f-l, - 1}, K* = K —{0} si K est un corps. De même l'ensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe pour la multiplication, cela résulte de la relation \zz'\ = \z\\z'\. On le note U. Donnons maintenant deux exemples de sous-groupes, dont le premier en particulier est fondamental. Il en sera donné une généralisation dans la section 4.

16 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

Sous-groupes de Z Proposition 5. Soit H un sous-groupe de Z. Alors, soit H est trivial c'est-à-dire réduit à l'élément neutre, soit H est de la forme aZ = {au \u G Z}, pour un entier a non nul, bien défini au signe près. D ém onstration. On suppose qüe H n'est pas réduit à {0}. Le groupe H con­ tient forcément des éléments positifs non nuis, en effet il contient des éléments non nuis, et étant un sous-groupe il contient leurs opposés. Soit a le plus petit élément positif non nul de H. Montrons'que tout élément de H est multiple de a. Il suffit de le montrer pour des éléments positifs. Soit h e H, /i > 0, faisons la division euclidienne de h par a : h = aq + r, 0 ^ r < a. L'élément r = h —aq appartient à H, en effet h et aq sont éléments de H. Comme a est le plus petit élément positif non nul de H on a r = 0, donc H = aZ. Si a est non nul, l'application Z — ^(zZ, k I— >ak est un isomorphisme, on en déduit donc que tout sous-groupe de Z est soit trivial, soit isomorphe à Z. n

Automorphismes, automorphismes intérieurs Étant donné un groupe G, l'ensemble des automorphismes de G forme un groupe pour la loi de composition des applications. Il sera noté Aut(G). Si on considère un élément x e G l'application ix : G ^ Gy

g i— ^ xgx~^

est un automorphisme de G, En effet pour tous a^b e G on a : ix(cib) = xabx~^ —xax~^xbx~^ = ix{o)ix{b) , notons aussi que {ix)~^ = ix-\. On dit que ix est un automorphisme intérieur de G, Le sous-ensemble Int (G) C Aut(G) constitué par les automorphismes intérieurs est un sous-groupe. En effet on observe que l'on a ix о iy-i = i^y-i.

I I

I

s §■ I s T3 §3

L'application de G dans Aut(G) qui à x associe ix est un homomorphisme. Cela résulte de la formule i^oiy = i^y. L'image est le sous-groupe Int(G). Un élément x est dans le noyau de cet homomorphisme si pour tout y e G, xyx~^ = X, soit xy = yx. Ce qui veut dire que x commute à tout élément de G. Ce sous-groupe est appelé le centre de G, et est noté Z (G), par définition il est commutatif.

P

1.1 - GROUPES, GÉNÉRATEURS, GROUPES MONOGÈNES 17

L'exemple qui suit doit, de préférence, être lu après le chapitre 3. Il s'agit de la description des automorphismes du groupe des classes de congruence modulo n. Il est déterminé par :

il y a un isomorphisme entre le groupe A u t( Z /n Z ) et le groupe (Z /n Z )* Notons E n d (Z /n Z ) l'ensemble des endomorphismes de Z /n Z . C'est un groupe, car la somme ( / + g) de deux endomorphismes / et ^ donnée par ( / + ^)(u ) = f( u ) + g(u) est un endomorphisme. Anticipons les résultats sur la structure d'anneau de Z /n Z du chapitre 3 auquel le lecteur est invité à se reporter. On observe qu'un homomorphisme / : Z / n Z —>Z /n Z est déterminé par l'Image de la classe de congruence de 1. En effet si on a / ( î ) = â on a f ( x ) = â X . Autrement dit l'application : E n d (Z /n Z ) — >

f

^

m

est une bijection. Plus précisément c'est un isomorphisme de groupes. Si / est un automorphisme montrons que â est inversible dans Z /n Z . Soit g l'automorphisme réciproque de f .O n a g o f( ï) = ï,s o \ \ g {â )= g ( i)â = ï. Ce qui veut dire que â est inversible. Ceci démontre en fait que l'application A u t( Z /n Z ) — > (Z /n Z )* ,

/

^

/(I)

est un isomorphisme de groupes. La loi à gauche étant la composition des applications, celle à droite la multiplication.

Systèmes de générateurs Nous définissons maintenant la notion de système de générateurs pour un groupe.

Définition 8

I

Étant donné un groupe G et un sous-ensemble P de G, on appelle sous-groupe engendré par P l'intersection de tous les sous-groupes de G contenant P.

L'ensemble ainsi défini est un sous-groupe (proposition 1). Par définition, tout sous-groupe de G contenant P contient ce sous-groupe. Soit P = {xi,X2, ... ,Xn} une famille finie d'éléments de G. On notera {æi,X2,...,Xn} le sous-groupe engendré par P . Les éléments Xi sont appelés les générateurs. L'ensemble P = { x i , X2, . . . , Xn } est un système de générateurs. Il n'y a évidemment pas unicité des systèmes de générateurs.

Définition 9

I

On dira que G est engendré par n éléments s'il existe n éléments dans G tels que le sous-groupe engendré par ces éléments soit G lui-même.

18 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

Considérons par exemple le groupe abélien . Soit un entier i tel que l ^ i ^ n et soit 6i G l'élément (0,0,..., 1,0,... ,0), l'élément 1 étant situé en ¿-ième position. Les éléments e i, 62, . . . , forment un système générateur de Z^ car (Ai, . . . , An) = Al Cl + A262 + •••+ AnCn • En fait on peut caractériser les groupes abéliens engendrés par n éléments à partir de Z^.

Proposition 6« Soit G un groupe abélien. Les deux conditions suivantes sont équiva­ lentes : ► G est engendré par n éléments, ► il existe un homomorphisme surjectif de Z^ sur G.

Démonstration. Soit { x i , . . . , X n } un système de n générateurs. Soit (/> l'appli­ cation : Z^ - ^ G , (Al, . . . , An) ' ^Al Xi -[-••• + AnXfi. Comme G est abélien c'est un homomorphisme de groupes. En effet, on a I^iXiXi + 'EiPiXi = pi)xi. L'image de l'homomorphisme est un sous-groupe, c'est le groupe G tout entier puisqu'il en contient un système de générateurs, donc (j) est suqectif. Inversement, soit (f) un homomorphisme surjectif de Z^ sur G, et soit { e i , ... ,Cn} le système de générateurs de Z^ introduit plus haut. Notons d'abord que la surjectivité de (f) implique que G est abélien. En effet, soient x^y G G, il existe x\y' e Z^ tels que (¡){x') = x et (¡>{y') = y. Donc xy = (l>{x')(t){y') = 0 (x'y') = (piy'x') = (j){y')(l){x') = y x .

I i

,a>

8 S

Nous n'avions donc pas besoin de l'hypothèse G abélien pour cette partie de l'énoncé. Prenons maintenant la notation additive pour G. Posons Xi = (¡){ei), on montre que { x i, . .. ,X n } est un système de générateurs pour G, soit que tout élément de G peut s'écrire sous la forme SiA^Xi, pour Ai,. . . , An G Z^. En effet l'ensemble des éléments de la forme précédente est un sous-groupe de G ainsi qu'on l'a vu plus haut. Comme c'est l'image de 0 et que (j) est surjective, il est égal à G. Le résultat suit. ■ Le cas des groupes engendrés par un élément mérite une attention particulière. On remarque que ces groupes sont tous commutatifs. En effet si x désigne le généra­ teur le sous-ensemble {x^ |n G Z} du groupe est un sous-groupe qui s'identifie au groupe par hypothèse. Il est clair que x^ commute à x^ pour tous m et n.

I

Q 1.1 - GROUPES, GÉNÉRATEURS, GROUPES MONOGENES 19

D é f in it io n 1 0 Un groupe est dit monogène s'il admet un système générateur réduit à un élément. Un groupe monogène fini est appelé un groupe cyclique. Les groupes Z^, avec n > 1, ne sont pas monogènes. Introduisons maintenant : D é f in it io n 1 1 Soit G un groupe et soit x un élément de G. On appelle ordre de x, s'il existe, le plus petit entier positif non nuUtel que = e. Si un tel entier n'existe pas on dit que l'élément est d'ordre infini. Un élément d'ordre fini est aussi dit de torsion. Par exemple dans Z/nZ la classe de 1 est d'ordre n. Dans le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 l'élément i est d'ordre 4, l'élément j est d'ordre 3, l'élément ~ j est d'ordre 6, et l'élément ij est d'ordre 12. P r o p o s i t i o n 7 . Soient G un groupe et x un élément de G d'ordre n. Alors tout entier k non nul tel que x^ = e est divisible par n. D é m o n s t r a t i o n . Soit k tel que x^ = e. Faisons la division euclidienne de k par n : k = an-\-r, 0 < n . On a donc e = x^ = donc x^ = e. Comme 0 < r < n on a par définition de n r = 0. ■

I

D é f in it io n 1 2 Le cardinal ou nombre d'éléments d'un groupe G est aussi appelé son ordre. On le note # G,

Nous allons décrire les groupes monogènes. Observons d'abord qu'un groupe monogène infini est isomorphe à Z. Si x désigne un générateur l'isomorphisme est donné par l'application qui à n associe . Cette application est surjective car x est un générateur, injective car x est d'ordre infini, c'est un isomorphisme. P r o p o s i t i o n 8 . Un groupe cyclique G d'ordre n est isomorphe à luIriL. D é m o n s t r a t i o n . Soit x un générateur de G, n son ordre. Ainsi qu'on l'a vu plus haut, G est abélien et faisons choix de la notation additive pour la loi de G, Considérons l'homomorphisme (j) de Z dans G qui, à l'entier A associe l'élément Ax de G,

20 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

Puisque n est l'ordre de x, le noyau de (j> est nZ. Deux éléments ont même image si et seulement si ils sont congrus modulo n. Une classe de congruence modulo n est donc envoyée sur un élément de G. Soit 0 l'application ainsi déterminée. Deux classes distinctes sont envoyées sur des éléments distincts. En effet, si on a (f){k) = (¡){i), on a (¡){k - /) = 0. Donc k —l est dans le noyau de 0, donc k et l sont congrus modulo n. En conclusion, l'ensemble des classes de congruence modulo n s'envoie bijectivement par 0 sur le groupe G. L'application ainsi définie est un homomorphisme de groupes. En effet l'équation 0 (â + 6) = ÿ(â) + ^(6). résulte de (a + h)x = ax-\-hx,

■

Corollaire. L'ordre d'un élément est égal au cardinal du sous-groupe qu'il engendre. D é m o n s t r a t i o n . Supposons que l'ordre de l'élément est fini, soit n. Alors la démonstration précédente montre que le cardinal de {x) est n. Si l'ordre de x est infini le groupe engendré par x, soit (x), est isomorphe à Z d'où le résultat. Pour montrer cela, il suffit de reprendre la démonstration précédente, en observant que le noyau de 0 est trivial. Le. réduit à {0}. ■ Voici un exemple de calcul de l'ordre d'un élément, le corollaire sera utilisé dans la dernière section du chapitre. P r o p o s i t i o n 9 . Soit â e

. L'ordre de a est égal à : n ^ pgcd(a, n)

D é m o n s t r a t i o n . L'ordre de a divise n

p g c d ( a ,n )

, en effet

n a pgcd(a, n)

l'entier a ----^— r est donc nul modulo n. Inversement, si k est l'ordre de a p g c d ( a ,n )

l'entier n divise ka. Écrivons a sous la forme a'pgcd(a,n), en particulier a' est premier à n. L'entier divise ka\ donc divise k, d'où le résultat. p g c d (a , n )

Corollaire. Soit x e

, et soit d un diviseur de n. Il existe y e Ijjnlj tel que dy = X si et seulement si ^x = 0. I s

d

P 1.1 - GROUPES, GÉNÉRATEURS, GROUPES MONOGÈNES 21

D é m o n s t r a t i o n . Soit x = a, l'ordre de x est ---- ^7— T. Supposons que - x = Q, p g c d ( a ,n )

^

a

ce qui signifie que n pgcd(a, n) soit d I pgcd(a, n ) . On a donc

=
{9) = ^^ors il existe un unique homomorphisme xp de G /H dans G tel que = ' 0 o p , où p est Vhomomorphisme canonique. D é m o n s t r a t i o n . On définit 'll; par la formule 'ipigH) = (p{g). Pour vérifier que cette formule a un sens il faut montrer que, si g H = g'H, on a (^) = ^^^i résulte de ce que g~^g' G H implique = 0 (p ')* D ^ vérifier que est un homomorphisme. On a ^P(gHg'H) = i^igg'H) = {gg') = {g)M) = '^{gH)^{g^H) , car H est distingué, le résultat suit. «3 I TJ

Pour l'unicité il suffit d'observer que, si on a 0 = ^ op, ceci implique que 0(p) ='ipo p{g) = 'ip{gH). Donc la formule proposée est la seule possible.

I

Q 1.2 - RELATIONS D’ÉQUIVALENCE DANS UN GROUPE 25

Nous allons donner maintenant un certain nombre de conséquences classiques de cette construction : la décomposition canonique des homomorphismes et les théorèmes d'isomorphismes. C o r o l l a i r e * Soit (j) : G ^ H un homomorphisme. Notons p l'application canonique de G dans G/Ker(0), i l'inclusion canonique de lm(0) dans H. Il existe un unique iso­ morphisme 0' de G/Ker(0) dans lm(0) tel que (f>= i o (j)^ o p. Autrement dit, on a Un diagramme « commutatif » comme suit : ^ ->H G/Ker((^)-

'

►Itn()) = 9o)ifi,9i)){f2,92) = {foT{9o)ifi),9o9i){f2,92) — • • • =

ifor{9o)ifi)r{9o9i){f2),9o9i92 )

,

et { f o , 9 o ) { { f i , 9 i ) { f 2 , 9 2 ) ) = i f o , 9 o ) i f i ' r { 9 i ) { f 2 ) , g i g 2 ) = ■■■

••■= i f o T { g o ) { f i T { g i ) { f 2 ) ) , g o g i g 2 ) ,

mais on a r{go)ifi)r{go9i){f2) = r(5o)(/i)r(5o)(r(5i)(/2)) = T {go)ifiT {gi){f 2) ) , puisque r est un homomorphisme de G dans Aut(P’). Le résultat suit. Pour ce qui est de l'inverse de (/, g) on résout l'équation : { f,9 ) { f ,9 ' ) = {M g ){f'),g g ') = (1,1), ce qui donne gg' = 1 soit g' = g~\ et f T { g ) { f) = 1 soit T {g ){f) = /"L Comme l'application réciproque de T{g) est T{g~^) ceci donne f = r{g~^){f-^). On vérifie que i f ,g ' ) i f ,g ) = (1, 1). La démonstration de la première condition se fait en observant que l'ensemble considéré est un sous-groupe de F G et l'application qui à 5 e G associe (l,p) est un isomorphisme. La démonstration de la seconde condition est analogue. Il faut montrer en plus que F est distingué. Le produit (/,5)(/'>1)( t (5“^)(/"^),5"^) est égal, tous calculs faits, à ifT {g){f')f~ ^ ,e), ce qui doiine le résultat. La troisième condition est vérifiée par construction. Pour ce qui est de la quatrième, on commence par remarquer que l'application qui à (/, g) associe g est un homomorphisme surjectif du produit semi-direct vers G. En effet H i f ,9 ) i f ,9 ' ) ) = =Tg o Tg> car '^99' =

(i{9) i { 9 ' ) j { f ) i{9'~^)i{9~^)]

- r ' - ( * ( 5)

=

{i{9')3{f)i{9'~'^))) i{9~^))

(i{g)j{Tg- (/))

= Tg (Tg> (/)) .

On remarquera que '^gif) = r H i { 9 ) j { f ) i { 9 ) ~ ^ ) ■

Construisons maintenant un homomorphisme du produit semi-direct vers L on le définit par la formule suivante : if,9) = i{9)j{rg-i (/)) = j{ f ) i { 9 ) ■ On doit vérifier que : j { f ) i { 9 ) j { f ) i{9') = jif r g if ' ) ) 1(99'),

I

pour tous g, g', f , f . Or le premier terme se réécrit

I

a> I

Ie X --------- -üJy —^ . V a a / C'est un isomorphisme, l'inverse est donné par l'application G ^

(z/î ^) '— >y +

.

Donc G est isomorphe à Ker(Tr) fl G 0 Z qui est lui-même isomorphe via 0 0 Id à 17'^^, r' + l < n . Montrons maintenant que l'entier r est bien déterminé. Cela résulte du : L e m m e 1 • Si on a un isomorphisme cl) entre 17 et l7 alors r = t.

38 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

Démonstration du lemme« Considérons IT comme sous-groupe de et 1 } comme sous-groupe de L'isomorphisme cf) «s'étend» en un isomorphisme $ d'espaces vectoriels sur Q de dans . Ce qui implique que r = t par unicité de la dimension. Il nous reste à construire Soit {xi^... ,Xr) G , on peut trouver un entier ¡1 tel que i i { x \ , . . . , X r ) G il suffit pour cela de prendre un multiple du p p c m m des dénominateurs des Xi mis sous forme de fractions irréductibles. Définissons ^ par : (j){^^X\, . . . , fXXr) ^ X u ...,X r ) IJ' La valeur ne dépend pas du choix de ¡jl car le terme de droite est toujours égal à (f){mxi^... ,mxr) m On vérifie que $ est une application linéaire d'espaces vectoriels sur Q. Elle est injective car (/>(771X1, . ••,7nXr) = 0 m implique (/>(772x1, •••^rnxr) —0, s o i t ( ttixi , . . . , m x r ) = 0 p a r in je c t iv it é d e (/>, d o n c ( x i , . . . , x^.) = 0 . E l le e s t s u r j e c t i v e : s i o n a ( 7/1 , . . . ,7 /i) ^

^ ' ( 2/1 , . . . ,7/t) G

I l e x i s t e ( x i , . . . , x ^ ) G Z^

t e l q u e (/>(xi, . . . , X r ) = 7 7 i ' ( y i , . . . , 7/t). E n f i n o n v é r i f i e q u e

........

Démonstration du théorème 2» Soit L un groupe abélien de type fini ayant un système de m générateurs, L est donc un quotient de Z^ via un homomorphisme p. Considérons un système ( x i, ... ,Xn) d'éléments de L tels que : ► si on a une relation AiXi H-------h A^Xn = 0 tous les A^ sont nuis, ► il n'existe pas de familles de ce type comportant plus d'éléments. La première condition équivaut à dire que ( x i, ... ,Xn) est isomorphe à 1/^. On dira qu'une telle famille est un système libre maximal.

4 cd

Des familles satisfaisant à la première condition et ayant un cardinal non nul exis­ tent dès que le groupe n'est pas un groupe de torsion. En effet, il suffit de prendre la famille réduite à un élément qui n'est pas de torsion. L'existence d'un système libre maximal est garantie par la proposition précédente.

I

§ Q

®

1.4 - STRUCTURE DES GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI 39

En effet, si G est un quotient de et si { x i,...,X n } est une famille de G satisfaisant à la première condition, on va montrer que n Soit tt l'appli­ cation canonique de dans G. L'inégalité résulte de l'observation suivante : soient G Z^ tels que n{x^^) = x i. Le système formé par les x\ satisfait à la pre­ mière condition, il engendre un groupe isomorphe à Z^, donc n ^ m d'après la proposition 2. Soit {x\ ,...,X n } une famille satisfaisant aux deux conditions. Considérons un sys­ tème de générateurs {?/i, . . . , 2/m} de L, puis le système {a;i, . . . , Xn, 2/j } •Pour tout 1 ^ j ^ m II existe des entiers , l ei ¡ij non tous nuis tels que A l J 2^1 H“ • * * “h ^ n , j ^ n "1“ l ^ j U j ~ 0

d'après la seconde condition. La première condition implique que fij ^ 0 . Notons F le sous-groupe de L engendré par { x i, ... ^Xn}, il est isomorphe à Z^. Soit t = les relations précédentes montrent que pour tout j on a tyj G F , donc tL c F , puisque les yj engendrent L. Il en résulte que le sous-groupe tL de F est isomorphe à Z^, k ^ n . Par ailleurs, comme t^ O donc L est isomorphe à tL via l'application qui a x G L associe tx. Cet homomorphisme est surjectif par définition, il est injectif parce que le groupe est sans torsion. On en conclut que L est isomorphe à Z^. Comme F = Z^ est un sous-groupe de L = on a forcément n ^ k, donc k = n. Enfin, on notera que deux systèmes libres maximaux ont même cardinal. Soient en effet {yi, . . . , yn } et { yj , . . . , y'^,} deux tels systèmes, F et F ' les sous-groupes qu'ils engendrent. L'argument précédent montre que tF' c F donc que n ^ n'. On montre de manière similaire l'inégalité n' ^ n, et donc n = n '. si Démonstrafrion du th éorèm e Le quotient de G par son sous-groupe de torsion T est un groupe libre L car il est sans torsion et de type fini. Le groupe G est isomorphe à L 0 T. Ceci résulte du lemme suivant : L e m m e 1 • Soit n un homomorphisme surjectif d'un groupe abélien sur Z^. Il existe un homomorphisme s:Z ^ ^ G tel que l'homomorphisme composé n o s soit l'identité de Z^. S3ém@imstrati©iTi du lernime« Soient e i , . .. ,en les générateurs canoniques de Z^. Soient e'i, . . . , des éléments de G tels que pour tout i = 1, . . . , n, . L'application qui à l'élément AiCi H------ associe l'élément Aie'j H---------------- h A^e^ est un homomorphisme de Z^ dans G qui satisfait à la condition requise. b On revient à la démonstration du théorème. Le groupe L est isomorphe à Z^ pour un certain entier n. Soit s un homomorphisme de L dans G tel que n o s soit l'identité de L, où n : G ^ L est la projection canonique. Pour tout x G G l'élément x —s{n{x)) est dans le sous-groupe de torsion. Il suffit de vérifier que

40 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

7t ( x

-

so

7t( x ) )

= 0, mais on a

7t( x — s o 7t( x )) = 7t( x ) — ( tT O s )(7 t( x ) ) = 7t( x ) — 7t( x ) =

0.

Considérons alors l'homomorphisme de G dans L 0 T qui à X I---- > (7t ( x ) , X — s (7t( x ) ) ) .

C'est un isomorphisme car il admet pour inverse l'homomorphisme qui à (x^y) associe s(x) -hy. Démontrons maintenant que si on a deux décompositions on a forcément L = V et T = T '. Les groupes T et T' sont nécessairement tous les deux isomorphes au sous-groupe de torsion de G, donc ils sont isomorphes, les groupes L et L' sont eux tous les deux isomorphes au quotient de G par son sous-groupe de torsion. Ils sont donc tous les deux isomorphes. m Voici un exemple de sous-groupe de . On considère le sous-ensemble T des (x , y yz , t) tels que a:-h 2y + 3z = 0 et 2y + 5 i = 0. Les éléments e = (3 ,0 ,—1,0) et e' = ( —1 0,5,0,—2) sont dans T . Cest un système générateur libre de T . Soit en effet v = (x , y, z , t) G T , de la seconde équation on déduit que 5 1y et 2 1 En particulier w = v — - e ^ es\ encore dans T . 5

^

Soit w est de la forme (rr', 0 ,2:', 0), x ' est divisible par 3 et est égal à — e. Le sous-groupe est isomorphe à Z ^.

0

5. Structure des groupes abéliens de type fini de torsion Dans cette section nous allons étudier le cas des groupes de torsion. La formulation proposée est due à A. Liuleviçius. Voici l'énoncé principal : T h é o r è m e 1 • Soit G un groupe abélien fini, c'est-à-dire un groupe égal à son sous-groupe de torsion. Il existe une unique suite d'entiers strictement supérieurs à 1, (mi,... ,mn), tels que : ► pour tout i, 1 ^ i < n —1, rrii+i I mi ; ► le groupe G est isomorphe à Z jm iZ x •••x Les entiers mi sont appelés les facteurs invariants du groupe. Avant d'entamer la démonstration de ce théorème énonçons et démontrons un lemme.

I «3 I

HJ

Lemme 1 • Soit G un groupe abélien fini dont l'ordre de tous les éléments divise un entier n donné. Soit H un sous-groupe de G, et soit : i/ —>Z/nZ un homomorphisme. Il existe un homomorphisme 'ip : G Ijjn lj tel que 'ip restreint à H soit égal à (p.

§P Q

®

1.5 - STRUCTURE DES GROUPES ABELIENS DE TYPE FINI DE TORSION 41

D é m o n s t r a t i o n d u l e m m e . Supposons d'abord que G soit engendré par H et un élément x e G. Ceci signifie que tout élément de G s'écrit sous la forme h + Xx, pour h e H et A e Z. Cette écriture n'est pas nécessairement unique. Si on a h X x = h' A'x, on a /i - /i' = (A' - X)x e H n {x ). Le sous-groupe {x) est isomorphe à Z/fcZ, k désignant l'ordre de x, par hypothèse k\n. Le sous-groupe H n {x) de (x) est cyclique et admet pour générateur un multiple de x de la forme Ix avec 11k (corollaire 2, section 2). Considérons maintenant la valeur y =

(тг(х), X — v {x )) .

C'est un isomorphisme, car il admet pour isomorphisme réciproque : {x,y)

I— >

i{x)-V y.

On peut alors faire une récurrence, car l'ordre des éléments de Кег(тг) divise m\ et soit donc Ш2 l'ordre maximal d'un élément de Кег(тг) ... On va maintenant démontrer l'unicité des m i. Supposons que l'on ait un isomor­ phisme de G avec %jm\L x •••x Z/rrinZ et avec Ъ1т[Ъ x •••x Z/m^,Z avec les conditions requises sur les rrii et sur les m '. Soit p un nombre premier divisant гпп- L'ensemble des éléments d'ordre p de • • • X L/rrin^

et donc de G est isomorphe au produit de n copies de Z/pZ, et a donc p^ éléments. Supposons que n' < n alors Z / m ' i Z X • • • X Z / m '^ / Z

a au plus éléments d'ordre p. On en déduit que n —n' et que tout nombre premier divisant run divise m!^. Faisons alors une hypothèse de récurrence sur l'ordre de G. Et soit p divisant rrin et . Le sous-groupe pG de G est isomorphe à '^ Z x . P et à

X I ji /ГПп / P

fm'Tl r Г77 — Z X •••xZ / / P ' V

On en déduit par récurrence que, pour tout i, on a ~

résultat, s

I Voici un exemple : Soit le groupe

G=

I a 0) ‘a

rappelons que l'on a :

G^

ce

Z /2 Z X Z /8 Z X Z /3 Z x Z /3 Z x Z /7 Z x Z /1 9 Z .

ce qui se réécrit :

G^

8

I

X Z /3 8 Z X Z /2 1 Z ,

(Z /2 Z X Z /3 Z ) X (Z /8 Z x Z /3 Z x Z /7 Z x Z /1 9 Z ) ,

soit G ^Z/6ZxZ/3192Z.

I

Q 1.5 - STRUCTURE DES GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI DE TORSION 43

H H nnH H nH BB

Exercices

bw w b m w m

— i^ ^

Certains exercices font appel à des définitions énoncées au chapitre 2. Entre autres celle du groupe symétrique, le lecteur, au cas il ne saurait pas cette définition, s'y reportera. I.

G é n é r a lit é s

1. a) Soit G un groupe dont tous les éléments, distincts de l'élément neutre, sont d'ordre 2. Montrer qu'il est commutatif.

b) Montrer

que si G est fini son cardinal est une puissance de 2, on pourra raisonner par récurrence sur l'ordre de G,

c) Montrer que G est isomorphe au groupe {Zf2Z)‘^. 2. Écrire la table de tous les groupes à 4 et 6 éléments. 3. Soit P un nombre premier, montrer que tout groupe d'ordre 2p contient un élément d'ordre P, on utilisera l'exercice 1. 4. Pour quelles valeurs de n l'entier

—2n + 7 est-il divisible par 3, 5 et 7 ?

5. Trouver les solutions entières de : (5x-\-3y = l \ x + 2y = 4 pour la relation de congruence modulo 3, respectivement pour la relation de congruence modulo 7. 6. Supposons donnés un groupe abélien G, un sous-groupe H, et un homomorphisme fp à e H dans Q. On suppose de plus que G est engendré par H et par un élément X. Montrer qu'il existe un homomorphisme ^ de G dans Q, qui restreint à H, est égal à p. On fera attention à ce que l'intersection du sous-groupe engendré par X avec H n'est pas nécessairement réduite à {0}. 7. Montrer que les matrices

0 1 1 0

0 1 1 1

-1

0

0

-1

forment un système générateur de G L2(Z). II.

S o u s - g r o u p e s d is t in g u é s , g r o u p e s q u o tie n t s

1. Soient G un groupe et H un sous-groupe tel que l'ensemble G /H ait deux éléments. Montrer que H est distingué dans G.

44 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

**' 2. a) Soit G un groupe, on appelle commutateur un élément de G de la forme xyx~^y~^, x,y e G. On appelle groupe dérivé de G et on note D{G) le sousgroupe engendré par les commutateurs. Montrer que D{G) est distingué dans G. Montrer que le groupe quotient G/D{G) est commutatif. b) Montrer que tout homomorphisme de G dans dans un groupe abélien A factorise au travers de G/D{G). On appelle G/D{G) l'abélianisé de G. c) Calculer D{G) pour 6 3 , 6 4 . 3. a) Montrer que le groupe Q/Z a un sous-groupe à n éléments et un seul, b) Montrer que le quotient de Q/Z par un sous-groupe fini est isomorphe à 4. Déterminer tous les homomorphismes de Q/Z dans Z. 5. On considère le groupe quotient Q/Z. Supposons donnés un groupe abélien G, un sous-groupe H, et un homomorphisme cp de H dans Q/Z. On suppose de plus que G est engendré par H et un élément supplémentaire æ. Montrer qu'il existe un homomorphisme ^ de G dans Q/Z qui restreint à H est égal à (p. 6. a) Soit P un nombre premier. On note Z/p^ le sous-ensemble de Q/Z constitué par les classes des fractions fc G Z. Montrer que c'est un sous-groupe. b) Déterminer l'ensemble des homomorphismes de Z/p^ dans lui même : on montrera que c'est un groupe G pour l'addition; puis qu'il existe un homomorphisme surjectif pn : G Z tel que pour tout n on ait Pn^Pn = P n -i/ où Pn est la surjection canonique pn : Z/p^ Z/p^“^. On montrera enfin qu'un homomorphisme g est déterminé par la suite des Pn{g)7. Soit G un groupe. Montrer que le centre Z (G) de G est un sous-groupe distingué. ^

Montrer que pour tout automorphisme -0 du groupe G on a 'ijj{Z{G))

C

Z(G).

8. Soit G un groupe, montrer que, si le groupe quotient GjZ{G) est cyclique, le / groupe G est abélien. 9 . a) (Voir [Del]) Montrer que si G/Z(G) est fini il en est de même de D{G) (exercice 3). On commencera par montrer que l'ensemble des commutateurs de paires d'éléments de G est fini et stable par les automorphismes intérieurs. Majorer le cardinal t de cet ensemble en fonction du cardinal n du groupe quotient. On notera £ ce cardinal.

a cd

b) Montrer que si 7 est un commutateur sont des commutateurs un produit de P -f g commutateurs comportant 7 au moins p fois peut se réécrire sous la forme où U est un produit de q commutateurs.

I

Q

EXERCICES 45

c) Montrer que l'on a la relation : [ x , y ^ ] [ y x y ~ ^ = [æ,î/]"+‘ , pour tout X et y, on rappelle que [x^y] = xyx~^y~^. Montrer jfinalement qu'on peut ramener tout produit de commutateurs à au plus nê termes. 10. Soient G un groupe et üT et K deux sous-groupes. Montrer que l'ensemble H K est un sous-groupe si et seulement si il est égal au sous-ensemble K H . 11. Soient G un groupe ei H et K des sous-groupes. Monter que si les cardinaux de G /H et de G /K sont finis et premiers entre eux alors G = H K . 12. Montrer que 63 est un produit semi-direct. Montrer que le groupe orthogonal 0(2) est le produit semi-direct de Z/2Z et de 5 0 (2 ). 13. Calculer le centre des groupes Og et Q. Calculer les groupes quotients. De même rechercher les groupes dérivés D{G) pour Og et Q et déterminer les groupes abélianisés. 14. a) Montrer que tous les sous-groupes du groupe quaternionien Q sont distingués. Montrer que le groupe Q n'est pas le produit semi-direct d'un groupe d'ordre 2 par un groupe d'ordre 4. b) Identifier Q à un sous-groupe de GL2(C). 15. Décrire tous les groupes d'ordre 8. On commencera par décrire tous les groupes abéliens, puis on passera au cas non abélien. III.

G r o u p e s a b é lie n S / g r o u p e s a b é lie n s d e t y p e f in i

1. a) Montrer que Q n'a pas de système générateur libre. b) Montrer que tout sous-groupe de Q ayant un nombre fini de générateurs est isomorphe à Z. c) Le résultat précédent reste t'il vrai si on remplace Q par M. ? 2. Écrire la décomposition primaire des groupes suivants : X X X Z /4 8 Z X Z /5 4 Z X

3. Trouver les facteurs invariants des groupes suivants X

I- Z/27Z

X X

Z/15Z Z/24Z Z/48Z

X X

Z/55Z,

X

46 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

4. On dit qu'un élément x dans un groupe abélien G est infiniment divisible si pour tout entier n non nul il existe un élément de G tel que ny = x. Montrer que le groupe quotient contient des éléments non nuis infiniment divisibles. On rappelle que Z^^ est l'ensemble des suites d'entiers, et que Z^ est l'ensemble des suites d'entiers nuis, sauf pour un nombre fini d'entre eux. 5. Soit î; = (ai, . . . , an) G Z^. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : ► il existe un homomorphisme ¡i: Z^ ^ Z tel que ii{v) = 1, ► les entiers a i, . . . , an sont premiers entre eux dans leur ensemble, ► il existe une matrice (n, n) à coefficients entiers de déterminant égal à 1 dont la première colonne est v. 6. Montrer que les automorphismes de (resp. (Z/4Z)^) sont en bijection avec les matrices (2,2) à coefficients dans Z/2Z de déterminant non-nul (resp. les matrices (2,2) à coefficients dans Z/4Z de déterminant inversible). 7. a) Décrire le groupe des automorphismes de (Z/2Z)^. Montrer qu'il est isomorphe au groupe symétrique 6 3 .

b) Décrire

le groupe des automorphismes de (Z/2Z) x Z/4Z : construire un homomorphisme dans le groupe des automorphismes de (Z/2Z)^. Déterminer l'image et le noyau de cet homomorphisme. Calculer le cardinal du groupe et l'identifier.

c) Décrire le groupe des automorphismes de (Z/4Z)^ : en construire un quotient isomorphe au groupe des automorphismes de (Z/2Z)^. Expliciter le noyau de l'application quotient.

Quelques réponses ou indications G é n é r a lit é s T3

1. a) Utiliser la relation {xy^ = 1 : x y x y = 1 implique x y = y~^x~^, soit xy = yx , car x = x~^ et y = y-^. b) c) On considère un élément d'ordre 2, le sous-groupe qu'il engendre, le quotient de G par ce sous-groupe et on fait une récurrence. 2. Pour ce qui est des groupes d'ordre 4, selon que le groupe a ou n'a pas un élément d'ordre 4 on a à considérer les groupes Z/4Z ou Z/2Z x Z/2Z. Pour ce qui est des groupes d'ordre 6, on montre que si le groupe est abélien il est isomorphe à Z/2Z x Z/3Z et que s'il est non-abélien il l'est au groupe symétrique 6 3 . En effet, en utilisant l'exercice 1 on montre qu'il y a au moins un élément d'ordre 3. Puis on montre qu'il y a au moins un élément d'ordre 2 par un argument de comptage car les

Q

®

EXERCICES 47

é lé m e n ts c d 'o r d r e 3 v o n t p a r p a ir e (c e t c^). L e g r o u p e 6 3 e s t is o m o r p h e à D 3 , v o ic i s a tab le e n n o ta n t c u n é lé m e n t d 'o r d r e 3 e t r u n é lé m e n t d 'o r d r e 2 :

e

TC"

TC

Tc2

e

e

c

c

c

c

C2

e

C2

c2

e

c

TC

r

r

TC

rc2

e

TC

TC

rc2

r

c2

C

rc2

r

TC

c

e

^^2

3.

TC

TC

TC TC

c

T

C2

O b s e r v e r q u e le s é lé m e n ts d istin c ts d e l'é lé m e n t n e u tre so n t d 'o r d r e 2 o u p , p u i s m o n tre r à l'a id e d e l'e x e rc ic e 1 q u 'il y e n a a u m o in s u n d 'o r d r e p .

6 . S o it ip l'e x te n s io n ch erch ée. S i l'é lé m e n t x e s t d e to rsio n o n p o s e c o n sid è re le p l u s p e tit e n tie r p o s it if n o n n u l tel q u e n x

e H

= 0. S in o n o n

et o n p o se

n

D a n s le s d e u x c a s q n d o it v é rifie r q u e ceci d é te r m in e b ie n u n h o m o m o r p h is m e . 7. S o it

H

GZ ,

le s o u s - g r o u p e e n g e n d r é p a r le s m a tric e s c o n sid é ré e s. M o n tre r q u e le s m a tric e s

âo n t d a n s H . P u is, e n u tilisa n t la d iv is io n e u c lid ie n n e , m o n tre r q u 'e n m u ltip lia n t à

g a u c h e et à d r o ite p a r d e s m a tric e s d e

H

u n e m a tric e

A

q u e lc o n q u e , o n p e u t a n n u le r u n

co efficien t.

II. S o u s - g r o u p e s d is t in g u é s , g r o u p e s q u o t ie n t s 2. a) b) O b s e r v e r q u e le g r o u p e d é riv é e s t c o n te n u d a n s le n o y a u d e to u t h o m o m o r p h is m e d e

G

v e r s u n g r o u p e a b é lie n et a p p liq u e r la fa c to risa tio n c a n o n iq u e .

c) O n tro u v e le s g r o u p e s a lte rn é s tjé'z et

.

3. a) Il s 'a g it d u s o u s - g r o u p e c o n stitu é p a r le s c la s s e s d 'é lé m e n ts d e la fo rm e

a v e c a en tier.

b) S i n e s t l'o rd re d u g r o u p e p a r le q u e l o n q u o tie n te c o n sid é re r la m u ltip lic a tio n p a r n d e Q / Z d a n s lu i m ê m e . 4. D a n s Q / Z t o u s le s é lé m e n ts s o n t d e to rsio n , il n e p e u t d o n c y a v o ir d 'h o m o m o r p h ism e n o n triv ia l d a n s u n g r o u p e s a n s é lé m e n ts n o n triv ia u x d e to rsio n . 5. O n r e p re n d la d é m o n s tr a tio n d u le m m e 2 d e la d e rn iè re se c tio n d u c h a p itre . L e p o in t fo n d a m e n ta l e s t d e r e m a rq u e r q u e p o u r to u t

x GQ / Z

e t to u t n n o n n u l, il e x iste y

tel q u e n y = x .

48 GROUPES GROUPES QUOTIENTSXGROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

G'

6 . b) É ta n t d o n n é u n h o m o m o r p h is m e o n o b s e r v e q u e s a re stric tio n a u s o u s - g r o u p e p r e n d v a le u r s d a n s Z/p^^Z. 8 . C h o isir et

Z {G )

un

re lè v e m e n t

e n g e n d re n t

du

G.

g é n é r a te u r

D onc

to u t

g

de

é lé m e n t

o b se rv e r

G IZ {G ),

s 'é c r it

g^z,

que

ce

re lè v e m e n t

On

z € Z {G ).

a

a lo rs

G.

C 'e st-

g ^ z g ^ z ' = g ^ z z ' g^'- = z z ' g ^ g ^ = z' g^'^zg^.

9.

a) O n c h o isit u n s y stè m e (fin i !) d e r e p r é s e n ta n ts d u g r o u p e q u o tie n t d a n s à -d ire q u 'o n c h o isit p o u r c h a q u e é lé m e n t d u q u o tie n t u n é lé m e n t d e l'im a g e .

P u is

on

m o n tre

q u 'il

s u ffit

de

p ren d re

le s

c o m m u ta te u r s

G

d o n t il e st

et p r o d u it s

de

c o m m u ta te u r s d e c e s é lé m e n ts p o u r a v o ir t o u s le s c o m m u ta te u r s . P u is o n u tilise q u e zxyx

^z ^ = z x z

^zyz~

^zx ^z ^zy

b ) O n é c rit l'é lé m e n t c o n s id é r é x i . . . U k j x fa is a n t a p p a r a îtr e la p r e m iè r e o c c u rre n c e d e 7 . L 'é lé m e n t x e s t d o n c p r o d u it d e p - \ - q — l — k te r m e s e t fa it a p p a r a îtr e 7 p - 1 fo is. O n p e u t a p p liq u e r u n e h y p o th è s e d e ré c u rre n c e . P o u r la d é b u te r o n re m a r q u e q u e ti7 = 7 7 “ ^U7 . c) P o u r d é m o n tre r la fo rm u le o n u tilis e l'h y p o th è s e : s i u e s t u n c o m m u ta te u r

est d a n s

le cen tre. 10. In tr o d u ire le s o u s - g r o u p e H n l < e t c o m p a r e r d iffé r e n ts in d ic e s e n u tilis a n t la c o n d itio n d e p rim a lité . 11. A p p liq u e r la c a r a c té r isa tio n d e s p r o d u it s se m i-d ir e c ts a u s o u s - g r o u p e s d u g r o u p e affin e c o n stitu é s d 'u n e p a r t p a r le s t r a n s la tio n s e t d 'a u t r e p a r t p a r le s t r a n s fo r m a tio n s lin é a ire s. 12. A p p liq u e r la c a r a c té r isa tio n d e s p r o d u it s s e m i- d ir e c ts a u x s o u s - g r o u p e s d e 0 ( 2 ) c o n stitu é s d 'u n e p a r t p a r S O { 2 ) e t d 'a u tr e p a r t p a r

(-)

( - “0 -

13. O n tro u v e d a n s le s d e u x c a s Z / 2 Z c o m m e c e n tre e t Z / 2 Z x Z / 2 Z c o m m e q u o tie n t. L e g r o u p e d é r iv é e st le cen tre d a n s le s d e u x c a s. 14. a) U tilise r la tab le o u l'e x e rc ic e 1. b) S e re p o rte r a u c h a p itre 6 et à la se c tio n s u r le s q u a te r n io n s . 15. P o u r le s g r o u p e s a b é lie n s u tilis e r le th é o r è m e g é n é ra l. P o u r le s g r o u p e s n o n -a b é lie n s, o n m o n tre q u e G e s t is o m o r p h e a D g o u a Q . P o u r d is tin g u e r le s c a s o n p o u r r a d is c u te r en fo n c tio n d u n o m b re d 'é lé m e n ts d 'o r d r e 4. O n m o n tre ra é g a le m e n t q u 'il y a to u jo u rs u n s o u s - g r o u p e d 'o r d r e 4 , q u e l'o n a p p e lle r a H . O n d is tin g u e r a s u iv a n t le s c a s s e lo n q u e la p ro je c tio n

tt

: G

G f H a d m e t u n h o m o m o r p h is m e ré c ip r o q u e s (i.e. s o n = I d c / h ) à

g a u c h e o u n on .

III. G r o u p e s a b é lie n s , g r o u p e s a b é lie n s d e t y p e fin i 1. M o n tre r e n p a rtic u lie r q u 'il n 'y a p a s d e s y s t è m e s lib r e s à 2 é lé m e n ts, p u is q u e p o u r q u e ls q u e so ie n t le s ra tio n n e ls n o n n u is a et 6 o n p e u t t o u jo u r s tro u v e r u n e n tie r k tel q u e k a 4 - k b = 0. P o u r la se c o n d e q u e s tio n o n fe ra u n e ré c u rre n c e s u r le n o m b re d e g é n é ra te u r s.

P o u r la d e rn iè re la ré p o n se e st n o n , o n c o n s id é r e r a le s o u s - g r o u p e e n g e n d r é p a r 1 e t \ / 2 . 4.

C o n sid é re r la s u ite ( 1 , 2 !, 3 ! , . . . , n ! , . . . ) .

EXERCICES 49

5. É crire la fo r m e g é n é r a le d 'u n h o m o m o r p h is m e d e IP- d a n s Z e t u tilis e r B é z o u t et le d é v e lo p p e m e n t d u d é te r m in a n t. 6. E x p r im e r le s i m a g e s d e s g é n é r a te u r s p a r u n a u to m o r p h is m e c o m m e c o m b in a is o n lin é a ire s d e s g é n é r a te u r s . P u is p r o c é d e r c o m m e d 'o r d in a ir e e n a lg è b r e lin é a ire e n v é rifia n t s o ig n e u s e m e n t le s é ta p e s . 7. a) S e r e p o rte r a u c h a p itre 2, é tu d ie r l'a c tio n d u g r o u p e d e s a u to m o r p h is m e s s u r Z / 2 Z x Z / 2 Z et m o n tre r q u 'il la is s e in v a r ia n t le s o u s - e n se m b le d e s é lé m e n ts n o n n u is, e t d o n c e n in d u it u n e p e r m u ta tio n , o r ce t e n s e m b le a 3 é lé m e n ts. b) O n c o n s id è r e le s o u s - g r o u p e d e Z /4 Z X Z /2 Z

Z /2 Z x Z /2 Z

d e Z / 4 Z x Z / 2 Z . À u n a u to m o r p h is m e

o n a s s o c ie s a re stric tio n à ce s o u s - g r o u p e . C 'e s t u n a u to m o r p h is m e

d e Z / 2 Z X Z / 2 Z . O n m o n tre ra q u e l'im a g e e s t d 'o r d r e 2 e n c o n s id é r a n t l'a c tio n s u r le s g é n é r a te u r s d e Z / 4 Z x Z / 2 Z : o n o b s e r v e r a q u 'o n o b tie n t d e s m a tric e s t r ia n g u la ir e s s u p é r ie u r e s. L e n o y a u e s t is o m o r p h e a u g r o u p e d e s a u to m o r p h is m e s d e Z / 4 Z x Z / 2 Z la is s a n t fix e Z / 2 Z x Z / 2 Z : le s a u to m o r p h is m e s d e Z / 4 Z , s o it Z /2 Z . c) O n c o n sid è re le s o u s - g r o u p e Z / 2 Z x Z / 2 Z d e Z / 4 Z x Z /4 Z . À u n a u to m o r p h is m e d e Z / 4 Z X Z / 4 Z o n a s s o c ie s a re stric tio n à ce s o u s - g r o u p e . O n m o n tre ra d a n s ce c a s q u e l'h o m o m o r p h is m e e st s u r je c tif e n f a is a n t u n e c o n str u c tio n e x p lic ite : u n a u to m o r p h is m e d e Z / 2 Z X Z / 2 Z e s t d o n n é p a r u n e m a tric e (2 ,2 ) à c o e ffic ie n ts d a n s Z / 2 Z d e d é te r m in a n t n o n -n u l, u n a u to m o r p h is m e d e Z / 4 Z x Z / 4 Z e s t d o n n é p a r u n e m a tric e (2 ,2 ) à c o e ffic ie n ts d a n s Z / 4 Z d e d é te r m in a n t in v e rsib le . D o n c é ta n t d o n n é e u n e m a tric e ( 2 , 2 ) à c o e ffic ie n ts d a n s Z / 2 Z d e d é te r m in a n t n o n -n u l o n tr o u v e r a u n e m a tric e (2 ,2 ) à c o e ffic ie n ts d a n s Z / 4 Z d e d é te r m in a n t in v e rs ib le d o n t la ré d u c tio n m o d u lo 2 e s t la m a tric e in itiale . P o u r ce q u i e s t d u n o y a u m o n tre r q u 'il e s t is o m o r p h e à Z / 2 Z x Z /2 Z e n c o n s id é r a n t le s m a tric e s (2 ,2 ) à c o e ffic ie n ts d a n s Z / 4 Z la is s a n t fix e Z / 2 Z x Z / 2 Z C Z / 4 Z x Z / 4 Z

50 GROUPES GROUPES QUOTIENTS GROUPES ABÉLIENS DE TYPE FINI - C hap. 1

chapitre 2

Actions de groupes Groupes symétriques Ce chapitre est consacré à l'étude des actions de groupes sur des ensembles. Les groupes apparaissent le plus souvent dans ce contexte et non pour eux-mêmes. C'est le cas en géométrie : par exemple les groupes laissant invariants des polyèdres ou tout autre figure géométrique. L'action d'un groupe sur lui-même par conjugaison est un outil puissant pour comprendre sa structure. On le verra à l'occasion de l'étude des théorèmes de Sylow. De ce point de vue, c'est également une méthode utile pour classifier les «petits» groupes finis à isomorphisme près. On donnera des exemples dans le cours, et d'autres dans les exercices. Enfin, le groupe symétrique mérite une étude à part, à cause de la grande variété de situations où il apparaît, et à cause de ses liens avec la combinatoire. On en décrira les classes de conjugaison, ainsi que des systèmes de générateurs.

1. Actions de groupes, exem ples Commençons par introduire les définitions de base, soient G un groupe et S un ensemble.

I

D é f in it io n 1 On appelle action à gauche de G sur S une application (j):G x S

S telle que :

► l'application s 0(l,s) est l'application identité de S, ► pour tous g,g' e G, s e S on a : s I 73 ®

{99\s ) = {g' , s ) ) .

2.1 - ACTIONS DE GROUPES, EXEMPLES 51

Pour alléger les notations on écrira la plupart du temps g.s ou gs à la place de Ф{д,8). On peut aussi définir aussi des actions à droite, ce ne sera pas utile ici et comme dans la suite on considérera uniquement le cas des actions à gauche on dira simplement « action ». On va donner maintenant une définition équivalente à la définition 1. Considérons donc une action d'un groupe G sur un ensemble 5. Soit g e G , définissons une application фд : S - y S par фд(з) = ф{д, s ) . Observons d'abord que l'application фд est une bijection. On sait que ф\ est l'identité. La seconde condition de la définition 1 où l'on substitue à l'élément g' l'élément g~^ montre que фд о фд-i est l'identité de E . De même on montre que фд^ Oфд = Ф1. Donc les applications фд et фд-\ sont réciproques l'une de l'autre. Proposition 1. L'application д ^ ф д est un homomorphisme de G dans 9^{S). On l'appellera /Ъomomorphisme associé. Démonstration. On observe que la deuxième condition de la définition 1 se réécrit фдд! =фд Oфд! . Св qu'on a en déjà utilisé dans le cas où g' =g~^. Détaillons un peu, soit s G 5 on a : Фдд' (s) = Ф(99', «) = Ф{9уФ{9'у8)) = фд{фд> (s) ) . ce qui est bien le résultat cherché.

и

Considérons maintenant la situation réciproque : soient de nouveau G un groupe et S un ensemble. Supposons donné un homomorphisme ф de G dans ^ { S ) . La formule ф{д,з) = ф{д){з) détermine une action à gauche de de G sur S. En effet on a : ф{ 1,з) = (l)(5 ) = Id 5 (5 ) = S et

s) = H99'){s) = (I>{9){i9'){s)) = (/){gy

s) ) ,

pour tous g, g' e G et s e S. Nous allons maintenant décrire des exemples fondamentaux. Soit S un ensemble ; le groupe ^{S ) agit sur S par l'application ^{S ) x S donnée par (0, s)i— >(¡>{s) 0 G ^ (5 ), se S. L'homomorphisme associé est l'identité de ^ {S ).

52 ACTIONS DE GROUPES GROUPES SYMÉTRIQUES - C hap. 2

S

Soit G un sous-groupe de ^ (5 ). L'application ^ {S ) x S ^ S restreinte a G x S détermine une action de G sur 5. L'homomorphisme associé de G dans ^ (5 ) est l'inclusion de G dans ^ (5 ). On dit que l'on restreint l'action à G. Par exemple si K est un corps et si S = E est un K-espace vectoriel, on peut se restreindre au sous-groupe GL(£?) de ^ (5 ) constitué par les bijections K-linéaires. De même, si K = M et si E" est muni d'un produit scalaire, on peut se restreindre au sous-groupe 0 { E ) des transformations orthonormales. Un autre exemple capital est celui de l'action des groupes symétriques sur les polynômes en plusieurs variables. Soit IK[Xi,... ,Xn] l'algèbre des polynômes en n variables sur K. Soient 6n le groupe symétrique, a G 6 n , et P G K [X i, . . . , Xn]. Posons

Cette formule détermine une action à gauche de 6n sur K[X\, . . . , . Les éléments fixes de cette action seront décrits au chapitre 3.

Action par translation Soit G un groupe, on le fait agir sur lui-même par translation à gauche, en définis­ sant Ф : G X G ^ G par ф{д, h) = gh. L'application фд est donnée par фд{Н) = gh. Cette action s'appelle l'action de translation à gauche de G sur lui-même. L'homomorphisme ainsi déterminé de G dans ^ {G ) est injectif. En effet si on a фд = l à c , c'est-à-dire фд{Ь) = h pour tout h e G cela entraîne que g = e. Supposons G fini et soit ^ G = n. Le groupe ^ (G ) est isomorphe au groupe symétrique 6n (voir section 4). On obtient : T h é o r è m e 1 ( C a y l e y ) . Tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique.

I

I î 'eu 8O -» J яO.

Démonstration. En effet on a démontré qu'il existait un homomorphisme injectif de G dans ^ {G ) = 6n ; le groupe G est isomorphe à son image. h On peut généraliser la construction précédente de la manière suivante. Soient G un groupe et H un sous-groupe. L'application de G x G IH ^ G f H , {g,g'H )\ -^gg'H détermine une action de G sur G /H . Soit 4>h l'homomorphisme associé de G dans ^ {G /H ).

Q

©

2.1 - ACTIONS DE GROUPES, EXEMPLES 53

Il est intéressant dans ce cas d'étudier le noyau de l'homomorphisme associé :

Proposition 2» Le noyau de l'homomorphisme associé o / o 0 “^ admet pour réciproque g i-> (j)~^ C'est donc une bijection. C'est un homomorphisme car : {(f>o f O(f)~^) O(0 O O0 “^) = (f) Of Og O(¡)~^ .

m

Le premier résultat important sur le groupe symétrique est le calcul de son cardinal : T h é o r è m e 1 • Le groupe symétrique de l'ensemble à n éléments a n\ éléments, DémonsfraHoHo La démonstration se fait par récurrence sur n. Si n = 1 le groupe symétrique 6 i a un seul élément. Supposons donc le résultat connu pour n —1. Considérons le sous-groupe de 6n constitué par les éléments a tels que a(n) = n. Il est isomorphe à 6 n- i, il a donc (n - 1)! éléments par hypothèse de récurrence. On construit alors une bijection entre 6^ et [n] x &n-\ comme suit. À la permutation a, on associe Dans cette formule r7i,a(n) désigne l'unique permutation qui échange n et a{n) et qui est fixe sur les autres éléments. Le second terme peut être identifié à un élément de 6n-i car = n ei l'ensemble des permutations de &n sa­ tisfaisant à cette propriété est un sous-groupe qui s'identifie à 6n-i- Admettant que l'application est une bijection la démonstration se termine en calculant le nombre d'éléments [n] x 6 n - i, soit n x (n —1)! = n!. Revenons sur la bijectivité, et construisons une application réciproque. Considérons un élément i e [?i] et une permutation quelconque (f) G &n-\ •Soit ri^n la permutation qui échange i et n et qui laisse les autres éléments fixes. On vérifie que : [ti ]

> O

x

txj

(^) 0 ) '

^

est l'application réciproque de celle définie plus haut.

m

Un élément a de &n sera noté I

1, . . . , n a(l), (j(n)

)■

On va maintenant étudier certains éléments particuliers du groupe &n. Introduisons d'abord une définition :

0 'â н T h é o r è m e 3 . Soit a e&n- U existe une famille, unique à l'ordre près, de k-cycles Ci, г = 1,... i telle que : ► СГ = Cl O C2 O • • • O Ci ;

pour tous i^j on a Ci O Cj = C j о a ; ► les supports des cycles Ci sont deux à deux disjoints. ►

Cette décomposition est appelée la décomposition canonique en cycles de a. 1 S Q ®

Dans la pratique on dira décomposition en cycles, sauf s'il y a ambiguïté.

2.4 - GROUPES SYMÉTRIQUES, CLASSES DE CONJUGAISON 67

D ém onsfration. Soit a la permutation considérée, et soit H = (a) le sous-groupe qu'elle engendre. Considérons la décomposition en orbites de l'ensemble {1,... ,n} sous l'action de H, soient ,..., les orbites non réduites à un élément. Dé­ finissons le cycle Ci comme étant égal à a sur l'orbite et l'identité sur le complémentaire. C'est un cycle d'ordre # 0 i . On a besoin du lemme suivant dont la démonstration est laissée au lecteur. L e m m e 1 • Deux cycles dont le support est disjoint commutent. De cela il résulte que la permutation a est le produit des arbitraire.

q

pris dans un ordre

Inversement, soit une permutation a qui s'écrit comme produit de cycles com­ mutant deux à deux. Les orbites des éléments de n}, non réduites à un élément, sous l'action de (a) sont les supports des cycles considérés. Les cycles Ci sont donc uniquement déterminés comme étant les permutations qui sont res­ trictions de a aux orbites de (cr), non réduites à un élément et l'identité sur le complémentaire de l'orbite. m C o r o l l a i r e . Deux permutations a, a ' e &n sont conjuguées si et seulement si, dans leur décomposition canonique en cycles, apparaissent le même nombre de k-cycles pour tout entier k, 2 ^ k ^ n . Démonstration« Supposons que les deux permutations a et cr' soient conju­ guées par 0, conjuguons alors la décomposition de l'un d'eux. Rappelons que le conjugué d'un A;-cycle est un A;-cycle. Rappelons aussi que, si on conjugue par un même élément deux éléments qui commutent, les éléments conjugués commutent encore. Ceci implique que si cr = ci o C2 o •••o est la décomposition en cycles de CT et si cr' = 0 O cr O . alors a ' = { ( / ) o a o 0 “ ^) o ( o C2 o 0 “ ^) o •••o ( 0 o ct o (j)~^ ) est la décomposition en cycles de cr'. Considérons maintenant l'implication réciproque. Soient ,..., les orbites non réduites à un élément de (cr), soient les orbites non réduites à un élé­ ment de (cr'). Observons d'abord qu'il y en a autant, c'est-à-dire que t = t', ceci résulte du fait qu'il y a autant de cycles dans les deux décompositions. Comme pour tout A;, il y a autant de A:-cycles dans les deux décompositions quitte à réor­ donner, on peut supposer que pour tout i. On définit alors 0 de la manière suivante : pour tout i, c'est une bijection de 0i dans définie comme dans la démonstration du théorème 2, et c'est une bijection quelconque du com­ plémentaire de vers le complémentaire de VJi&'i. La vérification est alors la même que dans la démonstration du théorème 2. ^

68 ACTIONS DE GROUPES GROUPES SYMETRIQUES - C hap. 2

On va maintenant relier ceci à une donnée purement combinatoire : D é f in it io n 3 On appelle partition d'un entier n toute suite décroissante d'entiers positifs non nuis (Al, . . . , A/i) telle que Al + •••+ A/i = n . On remarquera qu'une partition de n comporte au plus n entiers. Voici toutes les partitions de 5 : (5)

(4,1)

(3,2)

(3,1,1)

(2,2,1)

(2,1,1,1)

(1,1,1,1,1).

On fera attention à ne pas confondre la notion de partition d'un entier n avec celle de partition de l'ensemble { ! , . . . , n}. C'est-à-dire avec avec la donnée d'une fa­ mille de sous-ensembles Ai, i e I de sous-ensembles de { 1,... ,n} dont la réunion est égale à .{1,... ,n} et qui sont disjoints deux à deux. En fait si on a une telle partition la famille des entiers # Ai est une partition de l'entier n. Mais on véri­ fiera aisément que deux partitions distinctes de { 1, .. . ,n} peuvent créer la même partition de n. C'est le cas pour les partitions {1 },{2,3} et {1 ,2},{3} de [3]. P r o p o s i t i o n 3 * Le nombre de classes de conjugaison du groupe &n est le nombre de partitions de l'entier n. D é m o n s t r a t i o n , Soit a une permutation, et soit les orbites non ré­ duites à un élément de {1,... ,n} sous l'action de (a). Quitte à réordonner, on peut supposer que les cardinaux décroissent. Associons à cr la partition de n suivante ( # ^ i , . . . , # ^ t , l , . . . , l ) où il y n - ^ - # 0 i fois 1 à la suite de ( # ^ i , . . . , #^t). On a bien là une partition de n, qui ne dépend que de la classe de conjugaison de (7, d'après la décomposition en cycles des permutations et la caractérisation des classes de conjugaison. On a donc une application de l'ensemble des classes de conjugaison vers les partitions.

I I

I

i-î

Inversement si on a une partition de n, soit (Ai,. . . , A^) avec Al, . . . , A^ ^ 1 et A^_^i = •••= A^ — 1 on lui associe la classe de conjugaison de la permutation suivante donnée par le produit de V cycles de longueur respective Ai, . . . , A^ à supports disjoints. Les supports peuvent être choisis disjoints car Ai H------ h A^ ^ n. m

I

Q 2.4 - GROUPES SYMÉTRIQUES, CLASSES DE CONJUGAISON 69

Signature d'une permutation La fin de cette section est consacrée à l'étude de la signature d'une permutation. Définition 4 Soit cr G 6n/ et soient z, j G { 1 ,. .. ,n} tels que i < j. On dit que a présente une inversion en { i j ) si a{i) > a{j). On appelle nombre d'inversions de a, et on note u{a), le nombre de couples ( i j ) , i < j, tels que cr présente une inversion en Définition 5 Soit (7 G 6 „ , on appelle signature de a , et on note e(a), l'entier suivant égal à 1 OU - 1 : ]^cr(i) - a O ) i< j

i< j

Cet entier est aussi égal à Proposition 4* L'application signature e : &n ^ { + 1 , - 1 } est un homomorphisme de groupes, l'ensemble { + 1 , - 1 } étant muni de la multiplication. D é m o n s t r a t i o n . Calculons £:(cror). On a : Y[(TO T{i) - a o r { j )

i j ) dans luimême par la formule T{{i,j)) = (r(z),r(j)) si r(i) > r ( j) et T ((z,j)) = (T0'),r(i)) si r(i) < T { j ) , on note P'^ le premier sous-ensemble de P, P~ le second ainsi

70 ACTIONS DE GROUPES GROUPES SYMÉTRIQUES - C hap. 2

déterminés. On a : J J a o r ( i ) -(XOT{j)

JJ

a OT{i) - a Or{j)

(i< i)€P +

i/•

Q 3.4 - CRYPTOGRAPHIE A CLE REVELEE 107

qu'il est seul à pouvoir effectuer. Il obtient donc ainsi un message composé d'éléments de Z/n^Z qu'il réinterprète comme un message composé d'une suite d'éléments (^1,^2, ••• •••) dans Z/n^^Z. Il applique alors la transformation publique : (^1 ) ^2 ) •••> ) •••) ' ^(^1 ) ^2 >•••) 9j^ )•••)• Si ce message n'a pas été transmis par le correspondant x, mais par un autre cor­ respondant utilisant une autre clé de cryptage, le résultat sera incompréhensible. Il ne peut être compréhensible que s'il a été transmis par IV. On parlera alors de message signé. Décrivons maintenant le processus sur un exemple. Supposons que l'on veuille transmettre le mot cryptage. On commence par le diviser en paquets de 2 lettres successives. On obtient donc la suite cr, yp, ta, ge. Choisissons = 19 et Qy = 4 3 . On a Uy =8 1 7 et (p(ny) = 756. Supposons avoir choisi une application /3 ¿e ,où A est l'alphabet usuel dans (Z /817Z )* . C'est possible, il suffit de comparer les cardinaux. Supposons avoir P {cr) = 2, /3{yp) = 11, P ita) = 3, et Pige) = 8. OA choisit maintenant Cy = 11 et à l'aide de l'algorithme d'Euclide, trouve dy = 275. IV connaît la valeur de Cy et donc considère la suite suivante ( 2 l^ lll^ 3 '^ 8 l^ ) , il la réduit modulo 817, et obtient (414,64,675,677) et transmet. OA applique alors la transformation suivante : (414,64,675,677) 1- ^

, 64^^®, 675^'^^, 677^’^^) ,

il est le seul à pouvoir la faire, étant le seul à connaître d y . Il retrouve (2 ,1 1 ,3 ,8 ). Le lecteur vérifiera à titre d'exercice les calculs et calculera également le message signé, au sens défini plus haut, avec Px = 23, Qx = 37, Cx = 5 , dx = 317. Il choisira une fonction a .

Le système du sac à dos On passe maintenant au problème dit du sac à dos. Ce problème donne un autre moyen de crypter des informations. On va dans ce cas comparer brièvement les nombres d'opérations à effectuer pour décrypter un message selon que l'on dispose de la clé ou non. Pour nous, «nombre d'opérations» signifiera nombre d'addi­ tions, multiplications, divisions, et non d'opérations sur un ordinateur. Ceci n'est donc qu'une approximation très grossière (et dangereuse) du problème, car chaque opération joue elle-même un grand rôle selon l'algorithme qui sert à l'exécuter sur ordinateur. Il convient d'ailleurs de rappeler que l'on effectue les calculs en base 2. On renvoie à [Ko] pour une analyse plus détaillée ainsi qu'à l'exercice 24, section 1. Nous la faisons simplement pour attirer l'attention sur son importance pratique.

108 ANNEAUX, IDÉAUX, POLYNÔMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

On se donne une suite d'entiers positifs ou nuis {v\^V2,- " 0) — 0 • Voici le théorème fondamental de cette section : T h é o r è m e 1 . Soit P e A [X i,... ^Xn]- Supposons que P soit symétrique. Alors il existe un polynôme Q en n indéterminées à coefficients dans A et un seul tel que : P (X i,...,X n ) = Q(Ei,...,En). D é m o n s t r a t i o n . La démonstration de l'existence se fait par une double récur­ rence. D'abord sur le nombre d'indéterminées, dans le cas n = 1 il n'y a rien à démontrer, puis sur le degré total du polynôme. Nous supposerons donc le théo­ rème démontré jusqu'au degré fc - 1 pour les polynômes en n indéterminées et passons au degré k. Soit donc P un polynôme symétrique de degré k. Considérons le polynôme en n - 1 indéterminées P {X i, . . . , X n -i,0). Il est symétrique, pour l'action de & n - i •H existe donc par hypothèse de récurrence un polynôme Q en n —1 indéterminées tel que : P {X \, . . . , X fi-i, 0) = ) •••) ^n-i,n-i ) • Considérons alors le polynôme en n indéterminées : P ' = P {X i, . . . , Xn) - g( Ei.n ,. . . ,

.

Il est symétrique en tant que polynôme en n indéterminées. Si, à la variable Xn, on substitue zéro le polynôme obtenu est nul. Ceci implique que le coefficient d'un monôme où Xn n'apparaît pas est nul. Soit 2 < n, et soit r la transposition échangeant i et n. On a rP ' = P ', donc rP'(X i,...,X n-i,0) = 0 par définition de r, P '{X i, . . . , X i- i, 0, ,..., = 0. Ce qui implique que le coefficient d'un monôme où Xi n'apparaît pas est nul. S

%

,0)

I

I 09

Puisque ceci est vrai pour tout i (2 = 1,... ,n) le coefficient d'un monôme où tous les Xi n'apparaissent pas (c'est-à-dire qu'au moins l'un d'entre eux a pour expo­ sant zéro) est nul. Donc chaque monôme ayant un coefficient différent de zéro est divisible par On peut donc poser P' = En,nP/ le degré de R est strictement inférieur à celui de P ' et donc de P . Il est symétrique ; en effet, pour une permutation quelconque s

I

I

Q

®

3.6 - POLYNÔMES EN PLUSIEURS INDÉTERMINÉES, POLYNÔMES SYMÉTRIQUES 119

on a P' = s{P') = s{En,nR) = s i ^ n M R ) = Sn,n5(iî) . Soit ^n,n{R

^{R)) —

Si l'anneau A est intègre le résultat suit, l'anneau de polynômes en n indétermi­ nées l'étant aussi. Le résultat est vrai sans hypothèses sur A, l'équation ci-dessus impliquant l'égalité des coefficients des polynômes R et s (R). En effet, si on a i J =

l'équation ^n,nR —0 )

équivaut à

E Soit

....i „ x r + ' . . . x ^ « = o .

= 0 pour tout multi-indice, soit i f = 0.

Il nous faut maintenant démontrer l'unicité de Q. On doit donc montrer qu'un polynôme i f en n indéterminées, tel que if(Ei,n,---,Sn,n) = 0, est nul. Faisons une récurrence sur le nombre d'indéterminées. Pour n = 1 la propriété est vraie. Admettons le résultat pour n - 1 indéterminées. Puis faisons une récurrence sur le degré total. À l'indéterminée Xn substituons 0. Le polynôme >•••, ^n,n-i, 0), est nul. Donc par récurrence le polynôme en n —1 indéterminées

est nul, autrement dit, if(Ei,n,. ••, Sn,n) = T.n,nRÇ^i,n, •••, ^n.n)* Comme le degré total de if ' est strictement inférieur à celui de H on peut conclure par une récurrence sur le degré total. ■

Formules de Newton On va maintenant démontrer des relations qui expriment certains polynômes symé­ triques à l'aide des polynômes symétriques élémentaires. Il s'agit des polynômes : Nk = ^ X ^ . i

Le plan de la démonstration est donnée, les détails sont laissés en exercice au lecteur.

120 ANNEAUX, IDÉAUX, POLYNÔMES ET SÉRIES FORMELLES - Chap. 3

Théorèm e 2« On a les formules suivantes : n,

► s/ 0 < i < n ■

- iVi_2S2,„ + •••+

Ni =

+ ( -l )'iE i,

^ si i > Tir — N i-iT ii^ n — N i- 2 ^ 2 ,n + * •* + ( “ l ) ”” ^ -^ г^ -l-n S n -l,n + ( “ 1)^

»

Dém onstration* Dans la démonstration on utilisera la dérivation formelle des polynômes en plusieurs variables qui est définie dans la section 8. Le lecteur est invité à s'y reporter. En fait, il suffit de savoir que les propriétés algébriques standards sont vérifiées. Le|nme 1 • Soit A un anneau et considérons Vanneau de polynômes en une indéterminée T sur A [X i,... ,Xn]- Soient les polynômes symétriques élémentaires par rapport aux indéterminées Xi. On a : n

f{T )=

2= 1

( -ir S i.n T " -^

{T -X i)=

, . ..,n

j= 0 , . . . , n

D ém onstration. Par convention So,n = 1. La démonstration consiste à vérifier la définition des polynômes symétriques élémentaires. b On dérive alors cette relation par rapport à la variable T et on obtient la formule suivante : i j^i

j= 0 , . . . , n

On a {T - Xi) X ~ ^ j) = î {'!')• Faisons la division euclidienne de / par T - Xi on obtient la formule : l[(T -x j)=

1Tl

E (E

Puis on somme sur l'indice i, on obtient

2=

E №-^i)= E ( E l,...,n j y i

J = 0 ,...,n - 1

fjin-j-l '

En comparant à la formule obtenue par dérivation, on identifie les coefficients de T ^ , 0 ^ j ^ n —l d e chaque côté, et on obtient la première partie du théorème.

i s I @

Pour ce qui est de la seconde, on fait simplement T = Xi dans l'équation du lemme 1. On multiplie l'équation obtenue par X^ et on somme sur i de 1 à n. Les termes se regroupent et font apparaître les Ni pour k ^ i ^ k + n. m

3.6 - POLYNÔMES EN PLUSIEURS INDÉTERMINÉES, POLYNÔMES SYMÉTRIQUES

121

7. A nneaux factoriels et applications Nous passons maintenant à Tétude des anneaux factoriels. On suppose donné un anneau A commutatif, et soit Xi, г G I un système de représentants des éléments irréductibles (définition 2 et suite, section 2 ). Rappelons encore une fois ce que Гоп entend par là : d'abord deux éléments irré­ ductibles X et y sont dans la même classe d'équivalence si et seulement il existe un élément inversible и tel que x = yu. Alors un système de représentants est un ensemble d'éléments irréductibles Xi, avec i G I, auquel appartient un élément de chaque classe et un seul. Il n'y a pas bien évidemment un seul système de repré­ sentants. On passe d'un système de représentant à un autre en multipliant chaque élément par un élément inversible approprié. Définition 1 On dit que l'anneau A est un anneau factoriel si : ► il est intègre, ► tout élément non nul x G A peut s'écrire sous la forme : X = u x Y [ x ^ \

ai

g

N,

i

OÙ U G A* et les entiers ai sont presque tous nuis, ► cette décomposition est unique. L'unicité de la décomposition signifie la même chose que dans le cas des anneaux principaux. Si on a :

wXII a;?' = î»XJ1 æf‘ , i

i

OÙ seuls un nombre fini d'exposants sont non nuis, alors u = v et a i = Pi pour tout i G L Ainsi qu'on l'a vu plus haut, les anneaux principaux sont factoriels. La réciproque n'est pas vraie. Dans un anneau factoriel on a, comme d'habitude, la notion de divisibilité d'un élément par un autre. On rappelle donc que a divise b s'il existe cG A tel que b = ac et qu'on le note a |b. On peut déterminer, à partir des décompositions en produit d'éléments irréduc­ tibles, quand un élément non nul x divise un élément non nul y. Soit x = uxY\.x^^ et y = V X Y\- x f\ U,V G A*, alors : Proposition 1 • L'élément x divise l'élément y si et seulement si pour tout i G I on a ^ P i-

122 ANNEAUX, IDEAUX, POLYNÔMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

Démonstrationv Commençons par rappeler que dans les formules précédentes seuls un nombre fini d'exposants sont non nuis. Si on a. x = u et y = î; X riz et si y = xz, alors nécessairement on a z = vu~^ x Hi et les exposants Pi - a i sont positifs ou nuis. Inversement si on a Pi ^ a i posons 2: = vu~^ x H-

, on a bien y = xz.

■

On définit le pgcd et le ppcm de deux éléments non nuis x et y par les mêmes formules que dans un anneau principal. Soient x = u x x f * e t y = v x Yiiei les décompositions de x et y. Alors, par définition : pgcd{x,y) = J J iel

,

par définition le pgcd d'un élément non nul x et de zéro est x. ppcm(x,y) = JJ i€l

.

En particulier, si le pgcd de deux éléments est 1 on dit qu'ils sont premiers entre eux. Les formules ci-dessus s'étendent au pgcd et au ppcm de n éléments non nuis. Dans le cas du pgcd on peut étendre à une famille d'éléments quelconques, par définition leur pgcd est celui des éléments non nuis de la famille. On a pour une famille d'éléments non nuis :

ou

pgcd(ai, . . . , a„) = JJ iel

«i =■ “i XIJ iel

,

■

On remarquera que le pgcd et le ppcm sont déterminés par le choix du système d'éléments irréductibles. En modifiant ce système on modifie pgcd et ppcm par un élément inversible de l'anneau. Si bien que la modification n'est pas significative. La différence avec les anneaux principaux est que l'on n'a pas l'identité de Bézout. Par contre on a le lemme de Gauss : Lemme 1 • Soit A un anneau factoriel et soient a soit premier à b alors a divise c.

I

I

I

A, Supposons que a\bc et que

D ém onstration. Elle résulte de la proposition 1 en écrivant les décompositions en facteurs irréductibles des éléments considérés. ■ Le principal théorème de cette section est le suivant : Théorèm e 1. Soit A un anneau factoriel alors Vanneau A[X] est factoriel

I TS I Q ®

3.7 - ANNEAUX FACTORIELS ET APPLICATIONS 123

Le corollaire suivant est immédiat : C o r o l l a i r e ( G a u s s ) * Soit A un anneau factoriel, par exemple un corps ou un anneau principal Vanneau des polynômes en n indéterminées A[Xi^. . . ,Xn] est factoriel Introduisons une définition : D é f in it io n 2 Soit P = J2i=o,...,n pgcd(iio ) •••ï CLn).

I

eA [X ], le contenu de P, noté cont(P), est par définition

Venons en à la démonstration du théorème, précisons l'énoncé par un lemme : L e m m e 2 * Les éléments irréductibles de A[X] sont : ► les éléments irréductibles de A, ► les polynômes à coefficients dans A qui sont irréductibles comme polynômes à coefficients dans le corps des fractions K de A, et qui sont de contenu égal à 1. L e m m e 3 ( G a u s s ) . Soient P,Q e A[X], on a cont{PQ) = cont(P) cont(Q). Démonstration. Commençons par supposer que cont(P) = cont((5) = 1 et mon­ trons que cont(PQ) est inversible. Supposons qu'un élément irréductible p divise cont(PQ). Posons P = ao + aiXH------ ha^X'^ et Q = bo+ b\ X -]------ \-bnX'^. Comme le contenu de P est 1 on peut supposer que p divise ao,ai,... ,afc mais pas a/^+i (qui est donc différent de zéro). De même, comme le contenu de Q est 1, on peut supposer que p divise 6o,ai,... ,6^ mais pas 6^+i (qui est donc différent de zéro). On sait que p divise tous les coefficients du polynôme PQ. Mais ce n'est pas pos­ sible, supposons en effet qu'il divise le coefficient du terme de degré fc -f- ^ + 2 qui est ÛoÎ^fc+^+2 + -----1" 0>kbe-\-2 + 0,k+lbe-\-l + 0>k+2bi + -----h afc+£+2Î>0 • Tous les termes, à l'exception du terme central, sont divisibles par p à cause des hypothèses. Le terme central ak+ibe+i devrait donc l'être aussi, or c'est contraire aux hypothèses et au lemme d'Euclide. Le contenu de PQ n'étant divisible par aucun élément irréductible est nécessairement inversible (rappelons qu'un élément inversible n'est pas irréductible). La définition du pgcd force alors le contenu à être égal à 1. Faisons la démonstration dans le cas général. Écrivons P et Q sous la forme cont(P)P' et cont(Q)Q'. Les polynômes P ' et Q' sont à coefficients dans A car le contenu de P (resp. de Q) divise tous les coefficients de P (resp de Q), Les polynômes P ' et Q' sont par construction de contenu 1.

124 ANNEAUX, IDEAUX, POLYNOMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

On obtient donc PQ = cont(P) cont(Q)P'(3'. Le résultat suit en calculant le contenu du membre de droite, c'est cont(P) cont(Q) car on vient de montrer que le pgcd des coefficients de P'Q' est 1, et le pgcd des coefficients de cont(P) cont(Q)P'Q' est donc cont(P) cont(Q). ■ Démonstration du lemme 2. Un élément irréductible dans l'anneau A l'est encore dans A[X] car A est intègre : le produit de deux polynômes dont l'un, au moins, est de degré différent de zéro est un polynôme de degré différent de zéro et ne peut donc s'identifier à un élément de A. Considérons maintenant un polynôme de degré différent de zéro et supposons qu'il soit irréductible. Son contenu doit être égal à 1. En effet on peut l'écrire cont(P)P' et il est réductible si son contenu n'est pas égal à 1. Supposons qu'il soit réductible en tant que polynôme à coefficients dans le corps des fractions K de A. Soit P = UV, où a priori U et V sont à coefficients dans le corps des fractions K . Multiplions par le ppcm r des dénominateurs des coefficients de U et par le ppcm s des dénominateurs des coefficients de V. On obtient rsP = (rU){sV) = cont(ri7) cont(sV' )— tA ‘ ^ ^ ^ ^ ^ ^cont(ri/) cont(sF) Les polynômes rU et sV sont à coefficients dans A. Les polynômes rU cont(rC/) et

sF cont(sF)

sont à coefficients dans A et de contenu 1 par construction. Calculons le contenu des deux côtés, il est cont(rC/)cont(sV') à droite et rs à gauche, ces deux quantités sont égales, on peut diviser à gauche et droite et obtenir : P =

I

rU sV cont(rf/) cont(sy)

Donc P est réductible comme polynôme à coefficients dans A, ce qui est contraire à l'hypothèse. Inversement, un polynôme P à coefficients dans A de contenu 1 et irréductible comme polynôme à coefficients dans K l'est comme polynôme à coefficients dans A. En effet, la seule possibilité serait qu'il s'écrive UV avec, par exemple, U de degré zéro donc constant, donc égal à un élément de A non-inversible. Mais cela serait en contradiction avec le fait qu'il est de contenu 1 si cet élément n'est pas inversible. h

I

>3 I 'a

Démonstration du théorème 1« Choisissons donc un système de représen­ tants d'éléments irréductibles de A[X], Il est constitué par un système d'éléments

Q

3.7 - ANNEAUX FACTORIELS ET APPLICATIONS 125

irréductibles de A, soit ai, i e I et une famille de polynômes Pj, j ^ J satisfai­ sant aux propriétés du lemme 2. Les polynômes P j constituent un système de représentants des éléments irréductibles de K[X]. Soit donc P Çl A[X] et soit a x IlP f sa décomposition en éléments irréductibles dans K[X], où a e K . Écrivons a sous la forme - avec p,q e A. On a donc Q qP = p Y [ P ’ ‘ . je J

ces deux polynômes sont à coefficients dans A. En calculant le contenu des deux T^U côtés on obtient gcont(P) = p u , avec uç. A *. Donc l'élément ® “ de K est, en fait, élément de A. Si a = v x H»

/ v e x4*, est la décomposition de a on a

P = »xn af i

j^ j

Il reste à démontrer l'unidté de la décomposition. Mais si on a deux écritures P = v X Hi û f X r i j 67

, et P = d'X Hi

contenus on obtient H»

= Ili

x

j P j' en écrivant l'égalité des pour tout indice i. Il reste P = v x

rijGJ ^ 'XH je J ^* Considérant cette identité dans K[X] on en déduit que a j = a' pour tout indice j . D'où le résultat. ■ Pour terminer cette section nous donnons un critère qui permet de déterminer si certains polynômes sont irréductibles. Il s'agit du critère d'Eisenstein, P r o p o s i t i o n 2 ( c r i t è r e d ' E i s e n s t e i n ) . Soit A un anneau factoriel et soit p un élément irréductible de A, Soit P = a^^ a-iX H------ h OnX^, an ^ 0, un polynôme à co­ efficients dans A, Supposons que cÔnt(P) = /l et que p divise ao,... ,an-i mais que p ne divise pas an et que p^ ne divise pas ao- Alors le polynôme P est irréductible dans A[X]. D é m o n s t r a t i o n . On raisonne par l'absurde et on écrit P = QR, Q = bQ-\-b\X -V -----h bpX^ et R = cq ciX H------ h CqX^, avec bp et Cq différents de zéro. On a do =boCOf par hypothèse p divise ao et ne divise pas ao donc p divise bo ou co mais ne divise pas les deux. Supposons qu'il divise 6o. Comme p divise aussi di = boci +6iCo il divise 6iCo, et comme il ne divise pas co, il divise 6i. Suppo­ sons par récurrence qu'il divise b o ,.,, ,b k-i, il divise a^ = 6fcCo H------ hboCfc- Donc il divise bkCo et donc 6^. On vient de démontrer par récurrence que p divise tous

126 ANNEAUX, IDÉAUX, POLYNÔMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

les coefficients du polynôme Q. L'élément p divise donc le coefficient an = bp Cq, ce qui est contraire à l'hypothèse. ■ Par exemple si p est un nombre premier le polynôme X'^ —p est irréductible dans Z[X], Voici une application classique : P r o p o s i t i o n 3 . Soit p un nombre premier. Le polynôme 1 + X -\------ h X^~^ est irréductible dans Z[X]. D é m o n s t r a t i o n . On applique le critère d'Eisenstein en faisant le changement de variables X = Y + 1. On a

1 + X + --- +

- \ _ {Y+ X -l

et

-l Y

(F + 1)P - 1

Le coefficient binomial C® est égal à p, par ailleurs

pi

et est donc divisible par p si 0 < i
0 et a < a. En déduire que toutes les solutions sont au signe près puissance de 3 -f- 2 V^. c) En corollaire on décrira tous les entiers k pour lesquels parfait.

138 ANNEAUX, IDÉAUX, POLYNÔMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

est un carré

22. a) ** Soit

n un entier. Soit n = X)i=i,...,A; l'écriture de n en base 2. Calculer la plus grande puissance de 2 divisant n! à l'aide des a i . On commencera par se ramener au cas où n = 2", en démontrant que

n! J J 2“M i

est premier à 2.

b) Traiter le même problème

pour un nombre premier p quelconque.

c) En déduire l'ordre d'un p-sous-groupe de Sylow du groupe symétrique 6n •

23. Achever l'exemple donné dans la section sur la cryptographie. En donner d'autres. 24. Soit n un entier positif. Donner un équivalent, en fonction de de son écriture en base 2.

n

de la longueur

a) On appelle opération élémentaire pour sommer deux entiers en base 2 le fait

d'exécuter : soit la somme de deux 0 apparaissant comme les coefficients d'une même puissance de 2 dans les écritures en base 2, soit faire la somme d'un 0 et d'un 1 apparaissant de manière analogue, soit encore et dans la même situation si on a la somme de deux 1 effectuer une retenue, soit enfin si on a la somme de deux 1 et une retenue effectuer une retenue conserver un 1. Pour une formulation plus précise on renvoie à [K]. Donner une borne supérieure au nombre d'opérations élémentaires à effectuer pour sommer deux entiers en base 2 ayant des développements de longueur k et £ en base 2 (la longueur du développement est l'exposant de la puissance maximale de 2 qui y apparaît à laquelle on ajoute 1).

b)Donner

une borne supérieure au nombre d'opérations élémentaires à effectuer pour sommer n entiers (en base 2) ayant des développements de longueur ki en base 2.

c) En utilisant les opérations précédentes donner une borne supérieure au nombre

d'opérations élémentaires à effectuer pour multiplier deux entiers ayant ayant des développements de longueur k et £. d) Donner une borne supérieure au nombre d'opérations élémentaires à effectuer pour calculer n! en base 2. e) Donner une borne supérieure au nombre d'opérations élémentaires à effectuer pour calculer le pgcd de deux entiers a et 6 avec a ^ b , dont les développements en base 2 sont respectivement de longueur k et £. ► J I ’X ) O 03 Q ®

f) Donner une borne supérieure au nombre d'opérations élémentaires à effectuer pour écrire un nombre, donné par un développement en base 2, en base 10.

EXERCICES 139

II.

P o ly n ô m e s

l.On considère l'anneau des polynômes à coefficients dans Q. Pour un entier n donné on pose X ( X - l ) “ - ( X - n + l) En{X) = n\ a) On définit un sous-anneau E de Q[X] par £7 = {P G Q[X] |VA; G Vérifier que c'est un sous-anneau. b) Soit

P e E,

Z P {k ) G

montrer qu'il existe une unique famille finie d'entiers

Z}.

tels que

P = E i A ,P i.

c) Sur l'ensemble des polynômes à coefficients dans Q, on définit une opération A par A (P )(X ) = P { X + 1) - P (X ). Calculer A(Pn). 2. ** On conserve les notations de l'exercice précédent. Soit p un nombre premier. On considère l'anneau quotient P/(p). Montrer que cet anneau contient un sous-anneau En isomorphe à l'anneau quotient

et que E /{p) est réunion des En3. a) Soit P G R[x] de degré n - 1. Démontrer que tout polynôme de degré ^ n peut se mettre sous la forme a o P { X ) + a i P ( X + 1) + • • • + a n - i P { X + n -

1

1 ).

b) En déduire que le déterminant suivant est nul : P{X ) P {X + 1)

P (X + 1) P {X + 2)

••• P {X + n) ■■■ P {X + n + l)

P {X + n) P (X + n + l) ■■■ P {X + 2n) 4. a) Montrer que les polynômes irréductibles dans R[X] sont de degré 1 ou 2, les caractériser. Décrire la factorisation en éléments irréductibles dans R[X], b) Montrer que tout polynôme à coefficients réels qui ne prend que des valeurs positives sur la droite réelle peut s'écrire P^ -hQ^/ où P et Q sont des polynômes à coefficients réels. On étudiera d'abord le cas des polynômes irréductibles. 5. ** ([J]) Soit P un polynôme à coefficients réels, et soit [a, b] un segment. Soit P = Po, P i , . . . , Pfi une suite de polynônaes telle que : - P(a)P(6) ^ 0, ► Ps n'a pas de zéros sur [a, 6], ► si c G [a, b] est un zéro de P j, 0 < j < s alors Pj_i(c)Pj+i(c) < 0,

140 ANNEAUX, IDÉAUX, POLYNÔMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

► si P{c) = 0, ce]a,6[ il existe ci < c et C2 > c tels que pour x g ]ci , c[ P o{x)P i{x)< 0 et pour X e ] c , C2[

P q{ x ) P i { x )

> 0.

Une telle suite, si elle existe est appelée une suite de Sturm sur [a, 6] pour P, a) Montrer que si P a une suite de Sturm sur [a, b] il n'a que des zéros simples

sur [a,b]. b) Étant donnée une suite de réels différents de zéro (ti,Î2j •••

on définit le

nombre de changements de signe de la suite comme étant le nombre d'entiers i avec 1 ^ i ^ k - 1 et UU^i < 0. Étant donné x e [a, 6], on note V{x) le nombre de changements de signe de la suite obtenue à partir de la suite P o{x),P i{x)^.,. ,Pfi(x), en éliminant les termes nuis. Montrer que le nombre de zéros de P dans [a, 6] est égal à V{x) —V{y) . 6 . ([J]) Soit P un polynôme de degré s à coefficients réels qui n'a que des zéros

simples dans [a, 6]. Montrer que la suite définie par Pq = P , P\= P', et Pk est l'opposé du reste de la division de Pk~2 par Pk-\ est une suite de Sturm pour P sur [a, 6]. 7. Appliquer le résultat précédent à la recherche du nombre de zéros entre 0 et 15 du polynôme

+ 2^^ + X - 5 et

+ X® - 6X^ +

- X + 1.

8 . Soit A un anneau, on se place dans l'anneau A[X]. Démontrer la formule de

Leibniz pour la dérivation des polynômes. Établir la formule de dérivation pour un polynôme de la forme P{Q {X )), 9. Soit P un nombre premier. Soit le corps Z/pZ, et soient % v,w des éléments

différents de zéro de Z/pZ. Montrer que l'équation en

: ux"^ +vy^ = w admet

au moins une solution. On comptera le nombre d'éléments de la forme ux^^ et w —vy^^ quand a; et y décrivent I

10.

** ([FS]) Montrer que le polynôme ~ deux à deux distincts est irréductible dans

“ 1 oh les

n rij

sont des entiers

11. (Lemme de Lazard) Montrer que les polynômes homogènes de degré n, H en 2 variables X et y , à coefficients dans Q,*tels que H (X ,Y ) = H {Y ,X ), üT(X,0) = 0 et que 8 S

P (X , Y) + H {X + Y,Z) = H {Y, Z) + P (X , Y + Z ), sont de la forme j{ { X + Y)^ - X^ - y^), 7 G Q.

I O § Q ®

EXERCICES 141

12. ** (Lemme de Lazard pour Fp) Soit p un nombre premier. Montrer que les coefficients du polynôme (à coefficients entiers) {{X +

)

sont divisibles par p et pas par

Dans la suite, la notation (~ ((^ +

-

XP°^ —yp"" )) désignera la réduction modulo p du polynôme à coefficients entiers. Montrer que les polynômes homogènes de degré n , H e n 2 variables X et y , à coefficients dans Fp, tels que H {X ,y ) = H {y ,X ), H{X,G) = 0 et que H {x , y ) + H { x + y, Z) = H {y, Z) + H {x , y + Z ) , sont de la forme 7 ((X + y)^ - X'^ - y^), 7 G Fp si n n'est pas une puissance de p, et de la forme 7 ( - ( ( ^ + P

)) sinon.

~

13. (Formule d'Euler) Soit P un polynôme en n variables, X i , ... ,Xn, ne comportant que des monômes de degré total m. Montrer que : X^P'x, +--- + X„P^„ = m P . 14. Exprimer les polynômes suivants à l'aide des fonctions symétriques élémentaires : + X2y3 ^2^3 ^3^2 y3^2 ^ y2^3^ -

+ X^Y^ +

+ X^Z^ + Y^Z^ + Y^Z^.

15. a) Exprimer les polynômes symétriques suivants à l'aide des sommes de Newton :

- Ew

b) Soit le déterminant 2X Y Z -Z^ -y 3 -Z^ -2 X Y Z -X ^ A= _y3 _ ;^ - 3 2X Y Z X Y Z

X Y Z 0

Montrer que A est homogène de degré 8, puis qu'il est symétrique en X^, Y^, Z"^. Le calculer. A est-il divisible par X + Y + Z 7 16. Calculer le discriminant du polynôme X ” + p X + q. 17. Soit P e fc[X] un polynôme de degré n. Supposons qu'il ait toutes ses racines dans k, soient Ai, . . . , A„. Montrer que Dis(P) = ( - i r

n

142 ANNEAUX, IDÉAUX, POLYNÔMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

18. On garde les hypothèses de l'exercice précédent. Montrer que

Dis(P) = ( - i r n " a ” I I ( A i - A , ) . i^j 19. (D'après agrégation 1993) On considère l'anneau C[X^Y]. Soit / une fonction

holomorphe sur le plan complexe. Déterminer pour / = e^, / = ze^, et f = sin(z) l'idéal de C[X,Y] constitué par les polynômes P tels que P (/ ,/') = 0. On pose la même question en remplaçant C [X ,F] par C[X^Y^Z], pour / = xe^, et f = cos(2;), et les polynômes P tels que P(/, /', /”) = 0. 20. (théorème de Gauss-Lucas) Soit P eC [X ]. Montrer que les zéros de P' sont dans l'enveloppe convexe des zéros de P .

21. Soit k un corps ayant un nombre infini d'éléments. Soit P e k [ X i,... ,Xn]. a) Soit P qui prend la valeur zéro pour tout élément appartenant à un ensemble

de la forme Ai x •••x où chaque Ai est un sous-ensemble de k de cardinal infini. Montrer que P est nul. b) Soit k = C ou k = R. Montrer qu'un polynôme P sur un ouvert de est nul.

G

k[X i, . . . , Xn]f qui s'annule

22. Montrer qu'un polynôme homogène en 3 variables de degré 2 sur un corps fini a toujours une solution (a,^, 7 ) non triviale. Généraliser à 4 variables en degré 3. III.

S é r ie s f o r m e lle s

1. Montrer que l'anneau des séries formelles à coefficients dans un corps est un anneau local (pour la définition voir l'exercice 17 de la section I. 2. Notons p(n) le nombre de partitions d'un entier naturel n donné. Donner un sens au produit infini suivant :

TT \ —T^ 11 n^l g

§

Montrer qu'il est égal à :

3. Montrer que la série formelle : rpn

^ I

n 2 = 1 ,...,n

est égale à $(T ).

EXERCICES 143

4. (Partitions p-régulières) On garde les notations de 2 et 3. Soit p un nombre premier

et soit 7Tp(n) le nombre de partitions de

n

en somme d'entiers premiers à

p.

Soit

= E n 7Tp(n)T". Montrer que % {T ) = 5. a) (Formules de Newton)

Le but de cet exercice est de donner une seconde démonstration des formules de Newton. On se place dans l'anneau fc[Xi,.. .,Xn][[T]], k étant un corps. On utilisera la dérivation des séries formelles. On considère la série formelle : .

l-X iT '

Montrer que : 2 = 1 ,... ,n

b)

%

Montrer que la série formelle précédente est égale à l'opposée de la dérivée par rapport à T de la série suivante : | .lo g (n (l-X ,r)). dT %

c) On note Ei les fonctions symétriques élémentaires des X i. Montrer que :

- E l + 2E2T + •••+ ( - l) " n E „ T " - i ,T + --- + ( - l ) " E „ T " d

) En identifiant, établir les formules de Newton.

Q uelques réponses ou indications I.

A n n e a u x q u o tie n t s , id é a u x

1. D a n s le s c a s à 2 e t 3 é lé m e n ts o n tro u v e Z / 2 Z e t Z / 3 Z . D a n s le c a s d 'u n e n se m b le à 4 é lé m e n ts c o m m e n c e r p a r é tu d ie r la str u c tu r e c o m m e g r o u p e a d d itif. P u is d is c u te r s u iv a n t q u e l'a n n e a u e s t u n c o r p s o u n o n . 2. b) O n m o n tre la c o m m u ta tiv ité à l'a id e d e (x +

= a: + y . Il y a u n n o m b re fin i d 'id é a u x

m a x im a u x c a r ce s o n t d e s s o u s - e n se m b le s d e .B. S i

e st m a x im a l, l'a n n e a u

est

a u s s i u n e a lg è b r e d e B o o le. S i c 'e st u n c o r p s c o m m u ta tif, c o m m e to u t é lé m e n t y e s t z é r o de d)

- X , il n e p e u t a v o ir q u e d e u x é lé m e n ts 0 et 1. M o n tre r q u e l'in te rse c tio n d e s id é a u x m a x im a u x e s t ré d u ite à { 0 } . P u is u tilise r le L e m m e

C h in o is et l'a p p lic a tio n d e B d a n s l'e n se m b le d e s fo n c tio n s d e S p e c ( B ) d a n s k q u i à a G B a s s o c ie à : S p e c ( B ) —> k d o n n é e p a r â (e ^ ) = 0 si a G

et à { ^ ) = 1 si a ^ e / .

144 ANNEAUX, IDÉAUX, POLYNOMES ET SÉRIES FORMELLES - C hap. 3

3. M o n tre r q u e la m u ltip lic a tio n p a r u n é lé m e n t d o n n é d iffé re n t d e z é r o d é te r m in e u n e a p p lic a tio n in jectiv e, d o n c b ije c tiv e , c a r l'e n se m b le e s t fin i. 4. M o n tre r q u e la m u ltip lic a tio n p a r u n é lé m e n t d o n n é d iffé re n t d e z é r o d é te r m in e u n e a p p lic a tio n e st lin éa ire in je c tiv e d o n c b ije c tiv e c a r l'e s p a c e v e c to rie l e s t d e d im e n s io n fin ie. 5. b) O n ra iso n n e p a r l'a b s u r d e . O n s u p p o s e q u e avec

et

^

c o n c lu re q u e

A lo r s ( e ^ ,a ) et

n 'e s t p a s u n id é a l p re m ie r. S o it ab e

6) c o n tie n n e n t c h a c u n u n e p u is s a n c e d e x . E n

c o n tie n t u n e p u is s a n c e d e x , ce q u i e st im p o s s ib le .

7. a) R a iso n n e r p a r ré c u rre n c e s u r n e n te n a n t c o m p te d u fa it q u e le c o e ffic ie n t b in o m ia l e s t d iv is ib le p a r p (p re m ier) si 0 < i < p . O n p o u r r a re d é m o n tre r ce fa it o u s e re p o rte r a u c h a p itre 5. 8. U tilise r le fa it q u e l'o rd re d 'u n é lé m e n t d iv is e l'o r d r e d u g r o u p e et q u e (/>(n) e s t l'o r d r e d e

10. b) L e s é lé m e n ts in v e rsib le s s o n t 1, - l , z , - L c)

on

É ta n t d o n n é z , u e Z[z],

p o in ts d e Z[z] le p lu s p ro c h e d e 13. a) Si o n a P = z u , a v e c

c o n sid è re ^ G C . O n d é fin it q c o m m e é ta n t l'u n d e s M o n tre r q u e s { z - u q ) < 5 (îi).

irr é d u c tib le o n a a u s s i p = z ü . D o n c z d iv is e a u s s i p . M a in te n a n t,

o n a d o n c u n e d é c o m p o sitio n d u ty p e p = O i

a v e c le s Zi irr é d u c tib le s. O n é c rit d o n c

p^ = U i k. i p . D isc u te r s u iv a n t q u e Zi e s t d a n s Z o u n o n .

P a r e x e m p le 5 = (2 + b) S i o n a p =

î)(2

- z).

+ 6^, o n o b tie n t le r é s u lta t p a r ré d u c tio n m o d u lo p d e cette fo rm u le et

a p p lic a tio n d u critère. P u is o n m o n tre q u e p

GZ

p r e m ie r e s t irr é d u c tib le d a n s Z[z] s i et se u le m e n t si il n 'e s t p a s

so m m e d e d e u x c a rré s d 'e n tie rs. c) E n fin o n m o n tre q u e p

GZ

e s t irr é d u c tib le , s i e t se u le m e n t si —1 e s t u n c a rré m o d u lo

p , e n d é m o n tra n t q u e Z [ i ] / { p ) = Z [ X ] / ( p ,X ^ + 1) = F p [ X ] / ( X ^ + 1). P u is, o n u tilis e le fa it que p

GZ

p r e m ie r e st irr é d u c tib le d a n s Z[z], s i e t s e u le m e n t s i Z[z] e s t in tè g re .

14. P a r e x e m p le ch erch er à e x p r im e r le m o d u le d e 9 +

î

a u c a rré c o m m e p r o d u it d e so m m e

d e d e u x carré s. O n a 82 = 2 x 41 = (1 + 1) x (25 + 16). D o n c 9 + z = (1 + z)(5 - 4z). Il fa u t v é rifie r q u e le s é lé m e n ts s o n t irr é d u c tib le s o u p o u r s u iv r e la d é c o m p o sitio n .

I

15. Id e n tifie r k [ X ^ Y ] / { X Y - l ) a u s o u s - a n n e a u d e k { X ) d e s é lé m e n ts d e la fo rm e P

Gk [ X ]

et

GZ

où

à l'a id e d e l'h o m o m o r p h is m e q u i, à P ( X , F ) , a s s o c ie P ( X , ;^ ) . P u is

é tu d ie r cet a n n e a u , e n u tilis a n t le fa it q u 'il c o n tie n t k [ X ] . 18. D 'a p r è s la d é c o m p o sitio n

X- Z e t X Z, i\ d iv is e

= { z — x ) { z -\- x ) s i u n n o m b re p r e m ie r im p a ir d iv is e d o n c

2 x e t 2 z , d o n c x e t 2?, d o n c a u s s i

D e m ê m e s i 4 d iv is e x - z e t x + z

on

x-\- z = 2 p , a e t ¡3 p r e m ie r s e n tre e u x . A lo r s l'é q u a tio n

I »3 TO 3

y

ce q u i e s t e x c lu p a r h y p o th è se .

d é d u it q u e 2 d iv is e y . O n p o s e a lo r s z — x = 2 a et

y“^ =

[ z — x ) { z -h x ) m o n tre q u e a

e t P s o n t d e s c arré s. E n g é n é ra l s i d e s t le p g c d d e x ,

y et

z o n tro u v e x = d{u^ —

), y = 2 d u v et z = d{u^ +

).

I

Q EXERCICES 145

20. O n m o n tre ra i y / 2 e s t p r e m ie r d a n s Ij[iy/2\, o n p r o c é d e r a c o m m e il a é té fa it p o u r le s e n tie rs d e G a u s s . É crire a lo r s u n e d é c o m p o sitio n e n fa c te u r s p r e m ie r s d e l'id e n tité —iy /2 ) =

. M o n tre r q u 'u n n o m b re p r e m ie r (irré d u c tib le ) d e I \ i y /2 ] q u i d iv is e

{ x - [ - i ^ У 2 ) e t { x — i \ / 2 ) e s t n é c e s s a ir e m e n t i y / 2 . e n d é d u ir e q u e i y / 2 n e d iv is e p a s x .

E n u tilis a n t la d é c o m p o sitio n e n fa c te u r s p r e m ie r s d a n s Z [ i y / 2 ] e n c o n c lu re q u e { x - \ - i \ /2 ) e s t u n c u b e d a n s Z [ i : (a 4-

= x - \ - i y / 2 e n id e n tifia n t m o n tre r q u e S a ^ b - 26^ = 1.

21. a) b) c). O n é c rit (a + 6 \ / 2 ) ^ = (a ^ + bn ^ /2 ) et (a - b y / 2 ) ^ = {ün - bn y / 2 ) a v e c an et bn e n tie rs. O n o b s e r v e q u e s i a^ — 26^ = (a + 6 \ / 2 ) ( a - b ^ /2 ) = 1 a lo r s (a + 6 \ / 2 ) ^ (a —

= (an 4-

bnV^){o>n — b n V ^ ) = 1- L 'e n tie r n é ta n t q u e lc o n q u e d a n s Z . P o u r la d e rn iè re q u e s tio n o n

se ra m è n e ra à l'é q u a tio n p r é c é d e n te . O n o b s e r v e r a le s s o lu tio n s s u r le g r a p h e c i-d e ss o u s .

22.

a) L a p lu s g r a n d e p u is s a n c e d e 2 d iv is a n t 2 ^ ! e s t 2^” “ ^.

24. O n tro u v e n,

C{ki),

O n a le s m a jo r a n ts s u iv a n t s C 'n ^ ln ^ (n ), et

Csup{k,i), Csup{ki),

la c o n sta n te d é p e n d d e

Ck^. II.

P o ly n ô m e s

1. b) P o u r m o n tre r q u 'il e x iste u n e u n iq u e fa m ille fin ie d 'e n tie r s

te ls q u e P = Y^i K E i o n

é v a lu e r a le p o ly n ô m e P e n d e s e n tie rs b ie n c h o isis. c)

ù .{E n ) = E n - i .

2. P o u r d é fin ir E n , c o n sid é re r le s o u s - a n n e a u e n g e n d ré p a r E * !,

. . . , Epn .

4. a) L a fa c to risa tio n e st, e n p o ly n ô m e s d e d e g r é 1, et e n p o ly n ô m e s d e d e g r é 2 à ra c in e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s. b) U tilise r la d é c o m p o sitio n e n fa c te u r s irr é d u c tib le s et l'e x e rc ic e 11 c i-d e ssu s.

146 ANNEAUX. IDEAUX, POLYNOMES ET SERIES FORMELLES - C hap. 3

5. a) U tilise r le s critère s d u c o u rs. b) É tu d ie r le c o m p o rte m e n t d e la fo n c tio n V ( x ) q u a n d x d é c rit le se g m e n t. E n p a rtic u lie r é tu d ie r le c o m p o rte m e n t lo r s d u fr a n c h isse m e n t d 'u n d e s z é r o s d e la s u ite d e p o ly n ô m e s. 7. P o u r m o n tre r q u e le s p o ly n ô m e s n 'o n t q u e d e s ra c in e s sim p le s , o n ré d u ir a m o d u lo 2 o u 3, et o n u tilise ra le d isc rim in a n t. 8. S e ra m e n e r a u c a s d e m o n ô m e s. 9. C o m p te r le n o m b re d 'é lé m e n ts d e la fo rm e ux^ M o n tre r q u e c h a c u n d e s e n s e m b le s a

et

w — vy^ q u a n d x

et

y d é c riv e n t

Z/pZ.

é lé m e n ts. C o n s ta te r q u e le s d e u x e n s e m b le s s o n t

d 'in te r se c tio n n o n v id e . 10. R a iso n n e r p a r l'a b s u r d e , et é crire

P = QR, L e s v a le u r s p r is e s p a r Q e t jR e n le s rrij s o n t Q e s t d iffé r e n t d e c e lu i d e R m o n tre r q u e Q ou R

n é c e ssa ir e m e n t 1 o u - 1 . S i le d e g r é d e

p r e n d la m ê m e v a le u r (1 o u - 1 ) u n n o m b re d e fo is s u p é r ie u r à s o n d e g r é . S i le d e g r é d e

Q

e st é g a l à c e lu i d e i î et si la c o n d itio n p r é c é d e n te n 'e s t p a s ré a lis é e e n c o n c lu re q u e

et

R

Q

so n t o p p o s é s . C o n c lu re .

11. É crire le p o ly n ô m e ch erch é

H

s o u s la fo rm e

H=

J2i

. C a lc u le r le s c o e ffic ie n ts

d e p ro c h e e n p ro c h e à l'a id e d e s re la tio n s. 12. O n p r o c é d e r a c o m m e p lu s h a u t, e n p r e n a n t s o in d e v é rifie r q u e le s c o e ffic ie n ts b in o m ia u x u tilis é s n e s o n t p a s n u is m o d u lo p . 15. E x p rim e r le s p o ly n ô m e s s y m é tr iq u e s s u iv a n t s à l'a id e d e s s o m m e s d e N e w to n :

► NaNb —Na-{-b/ ►

faire a p p a r a îtr e N a N b N c a in si q u e d e s p r o d u it s d e la fo rm e Na-\-bNc.

16. D a n s le d é te rm in a n t, s o u s tr a ir e le s n — 1 p r e m iè r e s c o lo n n e s a u x n — 1 d e rn iè re s. O n tro u v e nnqrt-i _ i)n -ip n ^ 17. O n se p la c e d a n s l'a n n e a u d e s p o ly n ô m e s k [X ^ T i , . . . , T^] = k [ X i , . . . , X n ] [ T ] . O n c o n sid è re le p o ly n ô m e Y l i ( X — T i ) . O n c a lc u le le d is c r im in a n t d e ce p o ly n ô m e . M o n tre r q u e c 'e st u n p o ly n ô m e s y m é triq u e d e k [ T i , . . . , T n ] . M o n tre r q u 'il e s t d iv is ib le p a r Ti - T j , P u is p a r {Ti - T j Y , p o u r ce d e rn ie r p o in t, o n u tilis e r a la sy m é trie . C o m p a r e r le s d e g r é s p o u r c o n c lu re q u 'a u s ig n e p r è s le p r o d u it

d isc rim in a n t. E n fin

re m p la c e r le s Ti p a r le s A i. 18. A p p liq u e r l'e x e rc ic e p ré cé d e n t.

I

19. D a n s le p r e m ie r c a s o n tro u v e l'id é a l e n g e n d r é p a r par

X

{X - Y),

d a n s le s e c o n d , c e lu i e n g e n d r é

+ y ^ - 1. P o u r le q u a tr iè m e , o n se ra m è n e à u n a n a lo g u e d u s e c o n d e n a d jo ig n a n t

— Z. P o u r le tro isiè m e , o n c h e rc h e ra u n e é q u a tio n d iffé re n tie lle d u s e c o n d o rd re . P u is

o n c h e rch e ra à d é te rm in e r si la fo n c tio n p e u t s a tisfa ir e u n e é q u a tio n d u p r e m ie r o rd re . 20. É crire la d é c o m p o sitio n e n é lé m e n ts s im p le s d e la fra c tio n ra tio n n e lle ^ .

I «5

III.

S é r ie s f o r m e lle s

1. S o it A:[[Ar]], m o n tre r q u e le s e u l id é a l m a x im a l e s t (A ”). L e s a u tr e s id é a u x s o n t d e la fo rm e

(X-).

I

TJ §

Q

EXERCICES 147

2. Pour donner un sens au produit infini :

n 1— n^l

’

o n o b s e r v e q u e le s c o e ffic ie n ts d e

n r^ ’ et

n l^i^n+l 1-T^ c o ïn c id e n t ju s q u 'e n d e g r é n . E n e ffe c tu a n t le d é v e lo p p e m e n t o n m o n tre q u e le c o e ffic ie n t d u te rm e d e d e g r é n e s t p { n ) . 3. M o n tre r q u e le co e ffic ie n t d u te rm e d e d e g r é k d a n s le d é v e lo p p e m e n t d e rpn

0^=1....n ( i - r ' ) e s t le n o m b re d e p a r titio n s d e k , e n a u p lu s n e n tie rs. 4. P r o c é d e r c o m m e e n 1, e n m o d ifia n t ce q u 'il fau t. 5. a) É crire le d é v e lo p p e m e n t. b) C a lc u le r la d é riv é e c o m m e à l'o rd in a ir e . c)

e t d ) O n re c o n n a ît le s fo n c tio n s s y m é tr iq u e s e n d é v e lo p p a n t le p r o d u it

P u is, o n id e n tifie à l'e x p r e s s io n à l'a id e d e s N h , et o n m u ltip lie d e s d e u x c ô té s p a r le d é n o m in a te u r. E n fin , o n id e n tifie le s c o e ffic ie n ts d e

.

148 ANNEAUX, IDEAUX, POLYNOMES ET SERIES FORMELLES - C hap. 3

chapitre 4

Extensions des corps Applications

Ce chapitre est consacré à la théorie des corps. Sauf dans la section 8 tous les corps considérés seront supposés commutatifs. On commencera par définir la notion de caractéristique d'un corps, on en donnera quelques conséquences, par exemple la formule de Newton en caractéristique p. Après ces généralités on passera à l'étude des éléments algébriques sur un corps et du corps de rupture d'un polynôme. On ne fera pas une étude détaillée du corps de décomposition et l'existence et l'unicité de la clôture algébrique sera admise. On passera après à la description des corps finis. L'étude des racines primitives de l'unité et des polynômes cyclotomiques sera faite, avec en perspective, le théorème de Wedderburn et un premier aperçu sur les extensions cyclotomiques.

I

I

I

On reviendra dans les deux dernières sections sur les corps finis en décrivant l'al­ gorithme de factorisation des polynômes sur un corps fini dû à Berlekamp. Enfin on donnera une courte introduction à la théorie des codes correcteurs d'erreurs, elle sera basée sur l'étude d'un code B C H . Le matériel décrit dans ces sections n'est pas plus difficile que celui des sections précédentes, mais dans la mesure où elles mettent en jeu de longs enchaînements d'arguments, leur lecture n'est pas conseillée dans une première approche. Par ailleurs leur côté introductif peut aussi rendre leur lecture plus difficile. Leur présence est cependant nécessaire dans ce livre dans la mesure où elles abordent des sujets riches en applications. Pour ces questions on renvoie à [LN] et [MS] dont ont été tirés certains énoncés et exercices.

I

73

I

Q 149

1. Définitions, caractéristique d'un corps, applications On rappelle la définition d'un corps :

Définition 1

I

On appelle corps, un anneau dans lequel tout élément non nul, c'est-à-dire distinct de l'élément neutre de la loi additive, a un inverse pour la loi multiplicative.

L'élément neutre de la multiplication sera comme d'habitude noté 1 pour tous les corps considérés. On aura soin en lisant le texte de bien vérifier à quel corps (ou éventuellement anneau) appartient cet élément. La multiplication sera toujours supposée commutative, sauf dans la section 6 où on démontrera le théorème de Wedderburn. Voici trois exemples fondamentaux de corps : ► le corps Q des nombres rationnels dont la construction est donnée dans les rappels, ► le corps des fractions rationnelles Q(X), ► enfin si P est un nombre premier l'anneau quotient Z/pZ qui est un corps et que l'on note Fp.

Définition 2 Étant donné un corps k on appelle homomorphisme caractéristique, l'homomorphisme d'anneaux, c : Z k, défini par : ► c(m) = 1 + •- + 1 = m.l pour m ^ 0, m fois

► c(m) = —c{—m), pour m < 0. On rappelle que 1 désigne l'élément neutre de la loi multiplicative du corps. Considérons I le noyau de cet homomorphisme, c'est un idéal. Comme le quotient de Z par I est un sous-aimeau d'un corps, il est intègre. Ceci implique que I est, soit trivial, c'est-à-dire réduit à {0 }, soit premier. ■- S'il est premier, il est maximal et constitué par les multiples d'un nombre premier p puisque Z est principal. S'il est trivial le corps est dit de caractéristique zéro, si l'idéal est constitué par les multiples d'un nombre premier p le corps est dit de caractéristique p. Le corps Q est de caractéristique 0, le corps Fp est de caractéristique p. Observons maintenant qu'un corps k contient toujours tm plus petit sous-corps, c'est l'intersection de tous les sous-corps contenus dans k.

150 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

Proposition 1. Si le corps k est de caractéristique 0 il contient comme plus petit sous-corps un sous-corps isomorphe à Q. Si le corps k est de caractéristique p il contient comme plus petit sous-corps un sous-corps isomorphe à Fp. Dans chaque cas ce sous-corps est appelé le corps premier. D é m o n s t r a t i o n * Dans le second cas il suffît d'observer que l'image de l'homomorphisme caractéristique est isomorphe à Fp. Et que par ailleurs cette image est contenue, par construction, dans tout sous-corps de k, en effet un sous-corps contient l'unité et donc tous les éléments dans l'image de l'homomorphisme ca­ ractéristique. Pour ce qui est de la première affirmation on constate que l'image de l'homomorphisme est isomorphe à Z, et que le plus petit sous-corps de k contenant cette image est isomorphe à Q. ■ Le résultat suivant est juste une reformulation de la définition de la caractéristique, son importance fait qu'il mérite d'être dégagé.

Proposition 2« Soit k un corps de caractéristique p. Pour tout x e k on a X H---------- h X = p.x = 0. p fois

D é m o n s t r a t i o n . Il suffit d'observer que X + •y + x = p.x - (p.l)x = 0.

■

p fois

Dans la suite on notera n.x simplement nx. Voici une autre propriété capitale de la caractéristique p : T h é o r è m e 1 . Soient a et b deux éléments d'un corps k de caractéristique p. Alors pour tout n on a : (a + 6)P” +6P” . D é m o n s t r a t i o n * Rappelons que k est supposé commutatif. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour le cas n = 1 on commence par écrire la formule de Newton : (a + 6 f = ¿ ( ^ a * 6 P - ^ 0

donc on a :

p-i

(a + b f = aP + ' ^ C;a^bP-^ + le coefficient binomial î

S

est égal à

,

. Pour 0 < i < p i e nombre premier p

apparaît au numérateur et n'apparaît pas au dénominateur. On a donc i\Cp = pq,

I

I

Q

©

4.1 - CARACTÉRISTIQUE D’UN CORPS, APPLICATIONS 151

avec q entier. Comme p ne divise pas i\ il divise C^. Les coefficients binomiaux sont donc divisibles par p et donc nuis modulo p pour les valeurs de i considérées. Ceci implique donc que (a + h y = aP , Passons au cas général et raisonnons par récurrence. Supposons le résultat établi pour n —1. On a alors : (a +

= ((a + by^~" y =

+ 6^"'' y = aP^ +

,

la première égalité est déduite de l'hypothèse de récurrence, la seconde l'est du cas n = 1. ■ Donnons un exemple de calcul modulo 2. Si on veut calculer (a + 6)^, où a et 6 sont éléments d'un corps de caractéristique 2 on écrit :

(a + 6)^ = (a +

b ) {a

+ 6)® = (a + é)(a® + 6®) = a^ + a®6 +

.

Voici deux applications très classiques de ce qui précède. Le petit théorème de Fermat (théorème 2) et le Théorème de Wilson (théorème 3). T h é o r è m e 2 . Soit p un nombre premier, et soit n un entier. Alors nP est congru à n modulo p. D é m o n s t r a t i o n , Il suffit de montrer que les classes résiduelles modulo p de nP et n sont égales. ► Si n est divisible par p les deux classes sont nulles modulo p. ► Sinon, comme Fp est un corps, il suffit de montrer que pour tout élément non nul X G Fp on a = 1. Autrement dit, il suffit de montrer que Tordre de tout élément dans le groupe multiplicatif F* est un diviseur de p —1. Mais ceci résulte de ce que Tordre de ce groupe est p —1. ■ T h é o r è m e 3 . Le produit ( p - 1)! est congru à - 1 modulo p. D é m o n s t r a t i o n , On supposera que p ^ 3. Classons les éléments du groupe F* selon qu'ils sont égaux à leur inverse ou non. Un élément x égal à son inverse est tel que x = x~^, donc que x^ = 1. Un élément est égal à son inverse si et seulement si il est zéro du polynôme à coefficients dans Fp —1. Ce polynôme a pour zéro 1 et —1. Les autres éléments de F* se groupent par paires d'éléments distincts 1 ^ ^^ l'autre : XiPi = 1. On a donc, en identifiant un entier à sa classe résiduelle modulo p :

(p - 1)! = 1 X (-1) X

JJ i 0. Ce qu'on vérifie facilement.

I I ^ I

Le résultat précédent donne une autre démonstration de l'existence d'un corps fini à p^ éléments. En effet on vient de montrer qu'il existe au moins un polynôme irréductible de degré n.

s

4.5 - ST R U C T U R E E T CLASSIFICATION DES C O RPS FINIS

b

165

Unicité des corps finis Voici en corollaire de ce qui précède un énoncé plus précis sur l'unicité à isomor­ phisme près des corps finis : T h é o r è m e 3 * Soient L et L' deux corps finis, de caractéristique p, ayant le même nombre d'éléments alors L et L' sont isomorphes. De plus, si f est un poly­ nôme irréductible de degré n à coefficients dans ¥p, alors ils sont isomorphes au corps F p W /(/)Autrement dit, étant donnée une puissance d'un nombre premier p, soit un corps et un seul, à isomorphisme près, ayant p^ éléments.

il y a

Le corps fini à p^ éléments sera noté Fpn, respectivement si la puissance de p est écrite sous la forme q le corps fini à q éléments sera noté F^. La terminologie « le corps fini à p^ éléments » est bien entendue abusive et doit être comprise comme il est précisé plus haut D é m o n s t r a t i o n . Soit un polynôme / irréductible de degré n, à coefficients dans Fp, / divise le polynôme - X et a donc (corollaire, section 2) une racine a dans L . Donc l'homomorphisme d'anneaux de ¥p[X] dans L qui à P associe P[a) a pour noyau l'idéal engendré par /. On a donc un homomorphisme de corps de ¥p[X]/{f) dans L. Les cardinaux de ces deux corps sont égaux, c'est donc un isomorphisme. On fait le même travail avec L' et on en conclut que L et V étant tous les deux isomorphes à un même corps sont isomorphes. b Nous concluons par l'étude des automorphismes du corps fini Fpn. On a : P r o p o s i t i o n 4 . L'application F de F p n dans lui-même qui à l'élément x associe est un automorphisme de Fpn. L'ensemble des automorphismes de Fpn est un groupe cyclique d'ordre n dont F est un générateur. D é m o n s t r a t i o n . Le fait que F est un homomorphisme est une conséquence de la formule de Newton en caractéristique p. C'est un homomorphisme injectif. En effet le seul élément tel que F{ a ) = 1 est l'unité car le polynôme X'^ + 1 est égal à {X + . Donc F est surjectif car c'est une application injective d'un ensemble fini dans lui-même. C'est donc un automorphisme. L'ensemble des automorphismes est un sous-groupe du groupe des permutations de Fpn pour la composition des applications. Notons maintenant que l'ordre de F divise n, c'est une reformulation de la généralisation du théorème de Fermat car on a F'^{x) = . L'ordre de F est exactement n. En effet on ne peut avoir pour tout x e Fpn l'égalité F^{x) = x, c'est-à-dire x^"^ = x que si d = n. Car l'équation X^"^ - X = 0 a au plus p^ solutions et il y a p^ éléments dans Fpn. Pour achever la démonstration on montre que l'ensemble des automorphismes de Fpn a au plus n éléments. Comme il y en a déjà n le résultat suit. On procède

166 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

comme suit. Soit P un polynôme irréductible de degré n, soit a une racine de P dans Fpn, donc P est polynôme minimal de a , soit enfin a un automorphisme de Fpn . Le polynôme minimal de l'élément cr(o') est également P . Il suffit de montrer que a{a) est racine de P . Or si P = avec üi e Fp, on a = 0. Donc on a aÇEiaio') = 0, donc E¿cr(a¿)í7(a)^ = 0. Mais on a a{u) = u pour tout u G Fp, car a {l) = 1, et il en est de même pour tous les éléments de Fp qui sont de la forme 1 + »- + 1. En conclusion on a m

fois

E¿a¿cr(a)^ = 0. soit P(cr(û')) = 0. Étant donné un automorphisme a, l'élément a{a) est donc ra­ cine de l'équation P = 0. Il ne peut donc prendre au plus que n valeurs, les racines de l'équation. On vient donc de construire une application du groupe des auto­ morphismes vers un ensemble à n éléments. On va montrer que cette application est injective. Pour cela on observe qu'un automorphisme a est déterminé par sa valeur sur a. En effet les éléments de l , a , ... constituent une base de l'espace vectoriel Fpn sur Fp, donc si on connaît la valeur de cr en a on la connaît sur toute puis­ sance de a J^ a is un élément x G Fpn s'écrit x = ao + ai a H------- h Un-i , a¿ G Fp . Et donc on a a{x) = ao + aicr(a) H-------h Si on a donc a et cr' tels que a{a) = a(a') on a a{x) = (j'(x) pour tout x. L'application est donc injective et le groupe des automorphismes de Fpn a au plus n éléments. ■

6 . Applications arithm étiques On va dans cette section donner quelques applications arithmétiques de ce qui précède. P r o p o s i t i o n 1 • Soit P un nombre premier impair. Un élément x dans F* est un carré a

p -i

si et seulement si x

=1.

'X3

§3 Q 4.6 - APPLICATIONS ARITHMÉTIQUES 167

Démonstration« L'application de F* dans lui-même qui à x associe est un ho­ momorphisme de groupes. Son noyau est constitué par les éléments 1 et - 1 , car il est constitué par les solutions de l'équation —1 = 0. Son image consiste en l'ensemble des éléments de F* qui sont des carrés, elle a donc

éléments. Cette

image est contenue dans l'ensemble des solutions de l'équation X 2 - 1 = 0. En p-i effet, un élément de la forme est tel que (2/^) 2 = = l. Mais l'équation ^

X 2 - l = 0 a a u plus P —1

—

p - 1 Z

solutions, puisqu'il y a

p - 1 Z

carrés elle en a exactement

et donc les carrés sont l'ensemble des solutions de cette équation.

■

En particulier on en conclut que : C o r o l l a i r e . Soit p un nombre premier différent de 2. L'élément - 1 est un carré modulo P, si et seulement si p est congru à 1 modulo 4. Démonstration« Un nombre premier impair est soit de la forme 4k —1, soit de p-1 la forme 4fe + 1. Il suffit alors d'appliquer le critère, (—1) 2 est égal à 1 modulo p si et seulement si p est de la forme 4A: + 1. h Voici une conséquence : T h é o r è m e . Il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4A: -h 1. Démonstration« On raisonne par l'absurde. Supposons qu'il y ait un nombre fini de nombres premiers de la forme considérée, soient Considérons alors l'entier N = 4{pi •••pn)^ + 1- Soit p un nombre premier qui divise cet entier, p est nécessairement impair et distinct de pi,...,Pn* Si on réduit modulo p on constate que —1 est égal au carré de 2pi •• donc p est congru à 1 modulo 4. m Ce résultat est un cas particulier du théorème de Dirichlet qui affirme que si a et b sont deux entiers premiers entre eux il existe une infinité de nombres pre­ miers de la forme a + Ce théorème se démontre par des méthodes entièrement différentes. Donnons rapidement à titre d'exemple à quelle condition sur p (p premier impair) une extension de Fp qui contient une racine de l'équation + 1 = 0, soit ^ une telle racine. Considérons alors x = C + • On a a;^ = 2 + = 2 + C~^(C^ + 1) = 2. On doit déterminer à quelle condition l'élément X est dans le corps Fp. Ceci a lieu si et seulement si = x. O r un nombre premier impair est de la forme Sk + 1, Sk — 1, Sk -\-3 ou 8k — 3. On a dans le premier cas xP=C^-\= x . O n vérifie de manière analogue que la même équation a lieu si p = 8A: — 1. Par contre on vérifie qu'il n'en est pas ainsi dans les deux autres cas. 2 est un carré modulo p . Soit K

168 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - Chap. 4

7 . Racines de l'unité, polynôm es cyclotom iques Dans cette section nous allons étudier les racines de Tunité dans un corps. On introduira les polynômes cyclotomiques, leur irréductibilité. D é f in it io n 1 Soit ( un nombre complexe, on dit que c'est une racine n-ième de l'unité s'il existe un entier n tel que = 1. On note pn l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité. Cette définition s'étend évidemment au cas d'un corps quelconque. P r o p o s i t i o n 1 • L'ensemble pn ^st un groupe pour la multiplication. Il a n éléments et est isomorphe à Z/nZ. D é m o n s t r a t i o n . Pour ce qui est de la première assertion on observe que si = 1 et = 1 on a = 1, donc pn est bien un groupe pour la multiplication. Pour ce qui est de la seconde assertion l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est l'ensemble des solutions complexes du polynôme - 1 . Comme ce polynôme n'a pas de zéros communs avec son polynôme dérivé l'équation X ‘^ —1 = 0 2ni

a n zéros dans C. L'élément e n est dans pn et est d'ordre n. On en conclut que le groupe est isomorphe à Z/nZ. b On observera que si d divise n, pd est un sous-groupe de p n .

a'0) T3

D é f in it io n 2 On appelle racine primitive n-ième de l'unité un élément de pn qui est d'ordre n, c'est-à-dire un générateur de p n . On note p*^ l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité, cet ensemble est de cardinal ^{n), où on rappelle que est la fonction d'Euler. D é f in it io n 3 On appelle polynôme cyclotomique

le polynôme

il est de degré I

P r o p o s i t i o n 2 . Le polynôme cyclotomique

est à coefficients dans Z.

I

1

Q ®

4.7 - RACINES DE L’UNITÉ, POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES 169

D é m o n s t r a t i o n * On commence par observer que l'on a la formule suivante : X " - 1 = П Фй. d \n

Les ensembles pour d \n, constituent une partition de { 1 , . . . , n}. En effet, soit une racine n-ième de l'unité d'ordre d dans le groupe /in/ cet ordre divise n. Par définition elle appartient à /ij, si et seulement si son ordre est d. On a donc :

^

d\n

la formule annoncée en résulte. La formule utilisée dans la démonstration mérite d'être énoncée à part : P r o p o s i t i o n 3 . On a pour tout entier n : X ” - 1 = n Ф^ . d In On remarquera que si on calcule les degrés des polynômes de chaque côté on retrouve la formule : n= ^p{d). d \n

Terminons maintenant la démonstration de la proposition 2. On procède par récur­ rence sur n. On suppose donc le résultat établi pour les polynômes cyclotomiques Ф^, avec d < n . On observe aussi que tous les polynômes cyclotomiques sont uni­ taires. On a donc une relation : X'^ - 1 = x Д, où Д G Z[X] et Д est unitaire. On peut alors (théorème 2, section 5, chapitre 3) faire la division dans ЩХ], le résultat suit. ■ Donnons quelques exemples. Soit p un nombre premier, on a : ф р ( Х ) = Х Р - ' + Х Р - 2 + ... + 1, car on a —1 = Фр{Х){Х —1). Ce polynôme est irréductible comme polynôme à coefficients dans Z par application du critère d'Eisenstein effectuée en substituant X + 1 à X dans le polynôme (proposition 3, section 7, chapitre 3). On vérifiera en exercice que : Ф4(Х) =

х

2 + 1,

et

Фб(Х) = Х ^ - Х + 1 ainsi que Фп{Х) = Х^ - X ^ + 1.

170 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

On vérifie aisément qu'ils sont irréductibles. On renvoie aux exercices pour d'autres calculs. La démonstration du théorème suivant est sensiblement plus difficile. Elle est faite dans les exercices. T h é o r è m e 1 . Le polynôme cyclotomique

est irréductible dans Z[X].

En voici une application : C o r o l l a i r e . Soit Ç une racine primitive n-ième de l'unité. Le corps Q(C) est de degré y>{n) sur Q. Cette extension est appelée l'extension cyclotomique de degré n. Pour terminer cette section nous allons faire une brève incursion du côté des ra­ cines de l'unité dans un corps fini. Observons d'abord que tout élément non nul dans un corps fini к est une racine de l'unité. En effet on sait que si к est un corps fini à q éléments pour tout x e k* on a = 1. On peut définir comme il a été fait pour C des racines primitives. Nous n'allons pas faire une étude détaillée. Contentons nous de mentionner (exercice) que si l'on réduit modulo p un polynôme cyclotomique sa réduction n'est pas en général irréductible. Nous donnerons aussi une de leur propriété comme corollaire du théorème qui suit. T h é o r è m e 2 . Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. D é m o n s t r a t i o n . Soit F le corps fini, soit q l'ordre de F, et soit F* son groupe multiplicatif. Donc q - l est le cardinal de F *. Tout élément x G F* satisfait à ordre divise ^ - 1. Il faut montrer qu'il y a un élément d'ordre q —1. Soit d un diviseur de ç —1, les éléments d'ordre d sont solutions de l'équa­ tion - 1 = 0. Soit cette équation a une solution qui est un élément d'ordre d. Dans ce cas l'ensemble des solutions de l'équation constitue un sous-groupe mul­ tiplicatif qui est isomorphe à Z/dZ et il y a autant d'éléments d'ordre d que de générateurs, soit \q —l\^ l. On en déduit que si n > 1 on a |$n(ç)| > k - 1| si n > 1, ce qui est impossible puisque l'entier ^n{q) divise q - l . Donc on a n = 1 ce qui veut dire que k = Z{k) et donc que k est commutatif. h

9 . L'algorithme de Berlekam p Dans cette section, nous présentons un algorithme, dit de Berlekamp , de décom­ position des polynômes en produit de facteurs irréductibles. Il est bien clair que le problème de factoriser un polynôme sur un corps fini est fini, comme celui de factoriser un entier. Il suffit en effet par récurrence de donner la liste de tous les polynômes irréductibles de degré inférieur ou égal. Mais nous allons présenter un algorithme plus rapide, pouvant être programmé efficacement sous certaines hypo­ thèses. Par ailleurs, cet algorithme est conceptuellement intéressant. Il se présente en fait comme une succession d'applications des techniques déjà étudiées. Pour cette section et la suivante, on trouvera une masse énorme d'informations sup­ plémentaires dans [De], [MS], et tout spécialement à [LN] dont on s'est fortement inspiré. Soit k = ¥q un corps fini de caractéristique p, et soit P un polynôme à coefficients dans fc. Soit P = ... p p sa décomposition en produit de facteurs irréductibles. L'algorithme qui va être décrit permet de décomposer un polynôme en produit de puissances de polynômes irréductibles. Mais il ne permet pas de décomposer une puissance d'un polynôme irréductible. Cette dernière opération peut se faire à l'aide de l'algorithme d'Euclide. Cependant il est plus économique de partir d'emblée d'un polynôme dont les facteurs irréductibles sont simples. C'est-à-dire au cas où dans la décomposition ci-dessus tous les ai sont égaux à 1. Ceci est obtenu en remplaçant le problème initial par celui de la factorisation d'une famille de polynômes. Deux cas peuvent se présenter : ► Soit le polynôme P est une puissance p-ième. C'est-à-dire qu'il est de la forme Q{X^) et la factorisation de P se ramène à celle de Q qui est de degré \P\/p, On est ramené à factoriser Q. ► Soit que le polynôme P n'est pas une puissance p-ième, auquel cas le po­ lynôme dérivé P ' est non nul. On calcule alors le pgcd Dq de P et P' par l'algorithme d'Euclide. Tous les facteurs irréductibles du polynôme Qo = P /D q sont simples. L'algorithme décrit ci-dessous s'appliquera donc à Qo-

174 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

Il reste alors à factoriser Dq et on recommence ce qui a été fait plus haut pour P. On détermine d'abord si £>o est ou n'est pas une puissance p-ième. Si Dq est une puissance p-ième, c'est-à-dire de la forme R{X^) on analyse R. Sinon on calcule le pgcd D \ du polynôme Dq et de son polynôme dérivé D q . Tous les facteurs irréductibles de la décomposition de Qi = Dq/ D i sont simples et on lui applique l'algorithme ci-dessous. Il reste alors à factoriser D i . Comme le degré des polynômes considérés décroît strictement le processus s'achève après un nombre fini d'itérations. On doit donc décomposer un polynôme dont tous les facteurs irréductibles sont simples. Ainsi qu'on l'a dit, l'algorithme donne en fait la décomposition d'un polynôme quelconque en puissances de polynômes irréductibles. Voici le résultat essentiel : Proposition 1. Soit H un polynôme à coefficients dans к tel que H'^ —H est divisible par P. Alors on a : P = l[pgcdiP ,H -X ). X ek

D ém onstration. Le membre de droite divise P . En effet les termes du produit sont premiers entre eux deux à deux et divisent tous P , donc leur produit divise P . Deux termes distincts sont premiers entre eux car ils sont diviseurs, disons de H —X et H —X' avec Л ^ Л'. Et comme ces deux derniers polynômes sont premiers entre eux, deux diviseurs de ces polynômes le sont aussi. Montrons maintenant que le polynôme P divise le produit. Observons que s'écrit (en substituant H a X dans X^ —X = Пл

—H

Х ек

mais on sait que P divise

—H Al divise donc

pgcd(P, HO - H) = pgcd (p,

П(^ - ^)) = П X ek

T3

^

•

X ek

La dernière égalité résulte de ce que les polynômes H —X sont premiers entre eux deux à deux (on a en tous cas une relation de divisibilité, qui nous suffit). ■ Définition 1 On dit qu'un pçlynôme H est un polynôme réducteur pour le polynôme P si la factorisation associée est non-triviale.

8O

Cette proposition a lieu sans supposer que le polynôme P ait tous ses facteurs irréductibles simples. À partir du moment où Ton a pu trouver un polynôme H

I

•O

i

Q ®

4.9 - L’ALGORITHME DE BERLEKAMP 175

tel que P divise —H et que |Я| < |P| elle permet d'écrire P comme produit de polynômes premiers entre eux deux à deux. Pour que ce produit comporte au moins deux termes il faut et suffit que le polynôme H ne soit pas une constante. Les termes du produit ne sont pas nécessairement irréductibles. Mais s'il y a au moins deux termes dans le produit, on a ramené la factorisation du polynôme initial à celle de polynômes de plus bas degré. La prochaine proposition montre que l'on peut trouver un polynôme réducteur de degré non nul si et seulement si le polynôme P n'est pas puissance d'un polynôme irréductible. Avant de l'énoncer il nous faut expliquer comment déterminer des polynômes H réducteurs pour P . On réduit ce problème à la résolution d'un système d'équations linéaires. Soit N le degré de P , et pour un entier j fixé soit

le reste de la division de par P . Considérons la matrice {N, N) A{P) = (a^j) (on indexe lignes et colonnes de 0 à Я - 1 ) . Pour que le polynôme H = à coefficients dans к soit tel que - H soit divisible par P , il faut et suffit que : ^ ao \

/ Qo \

\ O iN -l )

\ O iN -l /

A{P)

On s'est donc bien ramené à la résolution d'un système linéaire. On a : Proposition 2 . Le rang de ce système est égal a N - i, où N est le degré de P et £ est le nombre de facteurs irréductibles apparaissant dans la décomposition de P. Ce système a toujours comme solution les polynômes constants. Mais ceux-ci donnent des décompositions triviales de P. Comme corollaire de ce résultat on a : C orollaire. Si le système linéaire précédent n'admet pour solutions que les polynômes constants, P est la puissance d'un polynôme irréductible. Ceci justifie la démarche suivie plus haut. Passons à la démonstration de la proposition 2. D ém onstration de la proposition 2 . On utilise le lemme chinois pour cons­ truire des polynômes réducteurs pour P . Si P = P f ‘ •••P^^ est la décomposition de P en facteurs irréductibles et si (ai,...,a£) est un élément de k^ le lemme chinois implique qu'il existe un polynôme H tel que H est congru à ai modulo Pf"^ pour tout 1 ^ 2 < Si de plus nous imposons que le degré de H soit stricte­ ment inférieur inférieur à celui de P alors le polynôme est uniquement déterminé (exercice !).

176 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

Réciproquement, soit Я un polynôme réducteur pour P avec \H\ < |P|. La dé­ composition -H = П (Я -А ) \ek est en facteurs premiers entre eux deux à deux. Donc, à i fixé, le facteur P “* divise l'un des termes du produit, et un seul. Il existe donc un élément (ai, . . . , a^) e tel que H est congru à ai modulo pour tout i. ш On vient d'établir une correspondance bi-univoque entre les éléments de et les polynômes H tels que —H soit divisible par P et |Я| < |P|. Cette correspon­ dance est une application linéaire entre l'espace des solutions du système linéaire considéré plus haut et k^, La dimension du sous-espace des solutions est donc égal à i. Reformulons le résultat, en gardant les notations précédentes : Proposition 3« Le nombre de facteurs indécomposables divisant le polynôme P est égal à N - Q, où g est le rang de la matrice B{P) = A{P) —I^. Voici deux exemples d'application sur le corps ¥ 2 . On considère le polynôme P = X® + X® +

Ч- X® +

-h X H-1.

Sa dérivée P ' est X® + + 1. Calculons le pgcd de P et P ' . Le reste P i de la division de P par P ' est X® + X ^ ^ -X ^ , celui de la division de P ' par P i est P 2 = X "* + 1 , celui de P i par P 2 est P 3 = X ^ , enfin celui de P 2 par P 3 est 1. Le polynôme n'admet donc pas de facteurs multiples dans sa décomposition et est produit de facteurs indécomposables deux à deux distincts. La matrice A{P) considérée s'écrit / 1 0 0 0 0 1 0 0 14

' 0 0 0 0 0 0 1 0 1 '

010001000 000001011 001001000 000001100 000100001 000001010,

I

\ 0 0 0 0 1 1 0 0 1/ / 0 0 0 0 0 1 0 0 14

I

I 0)

't

I

010000101

la matrice B (P)

=

A{P) —Ig s'écrit :

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0

1 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0

\0 0 0 0 1 1 0 0 0/

I

-d о 4.9 - L’ALGORITHME DE BERLEKAMP 177

son déterminant est évidemment nul. Le rang de cette matrice est 8. Le polynôme considéré est donc irréductible. Voici le second exemple. Soit P = + 1, sa dérivée est Par l'algorithme d'Euclide on montre que le pgcd de P et P ' est + X + 1).

.

On va donc appliquer l'algorithme au polynôme : Q = P / { X^ + A" + 1) =

+ X + 1

qui n'a que des facteurs simples dans sa décomposition.

/ 0 0 0 0 0 1 1 1 1\

La matrice B { Q ) associée à Q est :

0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0

1 1 1 0 1 1

000000001

\0 0 0 0 1 1 1 0 0 / Elle est de rang 6, les polynômes 1, X® + X® + du noyau et sont réducteurs pour Q. On a donc :

et

H- X® + X^ constituent une base

P = pgcd(P, X® + X® + X 2 ) X pgcd(P, X® + X® +

+ 1),

ce qui donne; après application de l'algorithme d'Euclide :

Q = (X^-]-X-\- 1){X^ +

+ 1).

On vérifie facilement que X"^ -\-X^ -\-l est irréductible. Pour ce qui est de P = X® + X + 1 , on peut écrire la décomposition directement ou recommencer l'algorithme. La matrice B { R ) associée est :

'0 0 0 0 0 \ 0 10 10 1111

0

0 0 0 1 0

.0 0 1 0 0 / Cette matrice est de rang 3. Les polynômes suivants forment une base du noyau 1, X^ X . On obtient donc :

X"^

X^ - \ - X + ! = ••• . . . = pgcd(X" + X + 1,X^ +

+ X ) X pgcd(X" + X + 1,

+ X + 1),

soit X® + X + 1 =

+ X + 1)(X® +

+ 1).

Finalement

F = (X^ + X + l)^(X® + X* + 1)(X^ + X® + 1).

10. Les codes correcteurs d'erreurs La théorie des codes correcteurs d'erreurs fournit une application de la théorie des corps finis aux télécommunications. Le problème est de savoir comment, à partir de données qui sont partiellement erronées, reconstituer les données exactes. Ce problème se pose lors de la transmission de données, celles-ci peuvent être altérées

178 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

à la suite d'erreurs dans la transmission. Pour résoudre ce problème l'idée est de transmettre l'information de telle manière que l'on puisse à partir de données plus ou moins altérée rétablir l'information originelle. Les corps finis fournissent des moyens, effectivement mis en oeuvre, de le faire. Encore une fois cette section est une introduction à ces techniques, on renvoie à [De], [MS], et en particulier à [LN] ainsi qu'on l'a dit plus haut, pour une étude plus générale. Encore une fois précisons que la difficulté tient à ce que l'on a une longue chaîne d'arguments classiques. Soit donc dans toute la suite K un corps fini à q éléments de caractéristique p. Sur on introduit la fonction suivante, dite distance de Hamming : D é f in it io n 1 Soient ж = (xi, . . . , Жп), 2/= (2/1) •••î 2/n) des éléments de . La fonction de Ham­ ming h{x,y) entre x et y est le nombre d'indices i, avec 1 < г ^ n, tels que Xi ^ y i . Le poids de Hamming w{x) est par définition /i(x,0). La proposition suivante justifie que l'on ait avant la définition appelée cette fonction distance de Hamming : P r o p o s i t i o n 1 • La fonction de Hamming est une distance sur

.

On emploiera donc la terminologie « distance de Hamming » pour cette fonction. La démonstration est triviale. Seule l'inégalité triangulaire mérite un commentaire. Si к coordonnées de ж et y diffèrent et si £ coordonnées de y et z diffèrent, les vecteurs x et z ont au plus к -\-£ coordonnées distinctes. Supposons que l'on ait à transmettre des données, et que ces données soient expri­ mées comme une suite de h éléments de K. On appellera cette suite l'information initiale. Lors du processus de transmission des erreurs peuvent se produire. La question qui se pose est de reconstituer l'information initiale à partir des don­ nées reçues. À cette fin on commence par adjoindre des données supplémentaires à l'information initiale, on peut y ajouter n —h éléments de K, déterminés par la suite initiale. On peut par exemple répéter le message deux ou trois fois ! De fa­ çon plus générale on peut déterminer une suite, plus longue, de n éléments de K à partir de la suite initiale. Celle-ci n'apparaît pas nécessairement explicitement dans la suite finale qui doit satisfaire à certaines relations. On appellera cette suite les données transmises.

i ci

Comme elles sont déterminées par l'information initiale, elles doivent satisfaire à certaines relations. Dans l'exemple donné, il doit y avoir répétition des suites de symboles. S'il y a erreur durant la transmission les données reçues différent des données transmises. Ceci se détecte en observant si les données reçues satisfont ou non aux relations mentionnées plus haut.

Q

4.10 - LES CODES CORRECTEURS D’ERREURS 179

C'est ici qu'intervient la distance de Hamming. On considère la différence entre les données transmises et celles qui ont été reçues. Supposons que le nombre d'erreurs soit petit, disons inférieur à un entier fixé t. Les données transmises se trouvent à distance (pour la distance de Hamming) moins que t des données reçues. Si dans une boule de rayon t autour des données reçues il y a un seul élément qui satisfait aux relations imposées on a reconstitué les données transmises. Dans le processus décrit on a donc à la source un espace correspondant à l'information initiale, à l'arrivée un espace correspondant aux données trans­ mises et reçues, une application / de dans correspondant au processus de transmission théorique (sans altération).

I

Définition Le sous-ensemble C

C

image de / est appelé le code.

Enfin on a une autre application g de dans IK^ correspondant au processus de transmission réel, dans lequel il y a altération. La question est de savoir quand on peut déterminer / à partir de g.

I

Définition 2

L'ensemble C est par définition le code, un élément de C est un mot. L'entier h est la dimension du code, l'entier n est la longueur du code.

Définition 3 Un code est dit linéaire si l'ensemble C est un sous-espace vectoriel de K” , on le supposera de dimension h. Une matrice (h,n) à coefficients dans K dont les vecteurs lignes engendrent le code sera appelée une matrice génératrice du code, on la notera G. Une matrice (n —h,n) à coefficients dans K dont les vecteurs lignes constituent un système d'équations pour le code sera appelée une matrice de parité du code, on la notera H. Supposons que le processus de transmission réel g fasse au plus t erreurs. Soit x un élément de . S'il n'y a qu'un point du code dans la boule de centre g{x) et de rayon t, ce point est f{x ). Ce sont nécessairement les dormées transmises. On dit alors que le code C peut corriger jusqu'à t erreurs. Précisons comment ceci peut être assuré.

Définition 4 On appelle distance minimale du code C la quantité :

180 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

Dans le cas d'un code linéaire le code est un sous-espace vectoriel de dimension h de K^, Dans ce cas la distance minimale est le poids minimal d'un élément non nul. Pour le montrer il suffit de faire une translation : pour x ,y e C on a h{x,y) = w { x - y ) . Les exemples suivants montrent que la distance minimale dépend du choix que l'on fait. Si on prend pour sous-espace c K^, le sous-ensemble des vecteurs dont les n - h dernières coordonnées sont nulles la distance minimale est 1. Prenons main­ tenant n = 2h ei choisissons pour sous-espace le sous-espace diagonal : celui formé par les vecteurs {x\ ) •••} Xn, X\, . . . , Xfi ) . Dans ce cas, si on a deux vecteurs distincts dans le code, ils ont nécessairement deux composantes distinctes, donc leur distance est au moins 2. La distance mi­ nimale de ce code est donc 2. De façon plus générale, on peut choisir n = ah ei définir le code comme le sous-espace diagonal dans . La distance minimale de ce code est a.

Proposition 2. Si la distance minimum ôc d'un code C est inférieure ou égale à 2 i + 1 le code yeut corriger jusqu'à t erreurs. Démonstration. La condition dit que dans une boule fermée de rayon t il y a au plus un élément du code. Donc si on a transmis des données, et qu'au plus t erreurs ont été commises, l'inégalité triangulaire montre que dans la boule qui a pour centre les données reçues et de rayon i, il y a un élément du code et un seul. Ce sont les données transmises. ■ Il est possible de donner pour la distance minimale d'un code linéaire une borne supérieure, ceci sera fait en exercice. Le résultat suivant caractérise la distance minimale à partir de la matrice de parité.

Proposition 3« Un code linéaire de matrice de parité H est de distance minimale ô supérieure ou égale à d + 1 si et seulement si tout système de d colonnes de la matrice de parité H est linéairement indépendant. Démonstration. Puisque le code est linéaire il suffit d'évaluer le poids minimal d'un vecteur non nul du code. Dire que la distance minimale ô est supérieure ou égale à d + 1 équivaut donc à dire qu'il n'existe pas de vecteur non nul dans le code qui appartienne à la boule de centre 0 et de rayon d. Soit qu'il n'existe pas de vecteurs non nuis dans le code ayant au plus d coordonnées non nulles.

I

Les vecteurs lignes de la matrice de parité sont les coefficients des formes linéaires définissant le code. Dire qu'il y a un élément non nul du code qui a au plus d

4.10 - LES CODES CORRECTEURS D’ERREURS 181

coordonnées non nulles équivaut donc à dire que Гоп peut trouver une relation linéaire non triviale entre d colonnes de la matrice de parité. Les coefficients de cette relation linéaire sont les coordonnées du vecteur considéré. Donc dire que la distance minimale est supérieure ou égale à d + 1 équivaut à dire que tout système de d colonnes de la matrice de parité est libre. н On va dans la suite décrire deux types de code, et ce dans un des cas jusqu'au dé­ codage. Cela permettra d'illustrer des techniques diverses d'algèbre, aucune n'est compliquée en elle-même, c'est leur succession qui rend le problème délicat. D é f in it io n 5 On dira qu'un code C de longueur n est cyclique si et seulement si (û-l J . . . , Q>n ) G C — ^ {fln ) ^1 ) • • • J û n - l ) G C .

On va donner une interprétation multiplicative des codes cycliques. Considérons l'anneau quotient K[X]/(X^ —1), l'application linéaire K[X]/{X^ - 1), (ai, . . . , CLfi) '— >ai -h Ü2X -f •••+ CLnX^ ^, est bijective. P r o p o s i t i o n 4 . Soit C un code dans K^, C est cyclique si et seulement si V^(C) est un idéal. D é m o n s t r a t i o n . En effet, si la classe d'un polynôme P est dans le code, vu comme idéal de —1), il en est de même pour la classe X P . Ce qui veut exactement dire que si ( a i an) G C il en est de même pour (an, a i , . . . , an-i). Inversement, cette dernière condition, interprétant cette suite comme la classe d'un polynôme P , signifie que si P est dans le code, il en est de même pour X P et plus généralement pour RP, où R est un polynôme quelconque. Le résultat suit.

L e m m e 1 . Soit P un polynôme quelconque à coefficients dans k. Tout idéal dans K[X]/(P) est principal, c'est-à-dire admet un générateur. D é m o n s t r a t i o n . Soit un idéal dans ЩХ], et soit тг l'application canonique de K[X] vers K [X ]/^ . L'idéal de K[X] est principal, il admet un générateur, soit R. Alors, 7г(Д) est un générateur pour и Soit C un code cyclique, que l'on identifie à l'idéal de l'anneau quotient K[X]/(X^ - 1) auquel il correspond. On appellera polynôme générateur de C un polynôme G de plus bas degré dont la classe modulo X'^ - 1 engendre C. Le polynôme générateur est bien défini à multiplication par un scalaire non nul près.

182 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

L e m m e 2 * Le polynôme G divise X'^ - 1 . D é m o n s t r a t i o n « En effet, par définition de G, la classe du pgcd de G et X'^ —1 est dans l'idéal de l'anneau quotient de K[X]/{X^ - 1 ) engendré par G. Ce pgcd doit donc être du degré de G, donc égal à G à un scalaire près. Notons que la dimension du code h est égale n - |G|.

■

D é f in it io n 6 On appellera polynôme de parité du code le polynôme :

X^ - 1 G{X) ■ La façon la plus classique pour coder l'information initiale dans ce cas précis est la suivante. On interprète les données initiales comme un polynôme à coefficients dans K, soit D, les données transmises sont la classe du produit GD dans l'anneau quotient.

Étude d'un code B C H Une façon commode de déterminer un idéal dans K[X] est de le construire comme ensemble des polynômes qui ont pour racines certains éléments d'une exten­ sion algébrique L de K. Puis on peut considérer l'image dans l'anneau quotient 1K[X]/(X’^ - 1), comme l'application est surjective c'est un idéal. Si les éléments considérés dans L sont des racines n-ièmes de 1, la valeur prise par un élément d'une classe modulo X'^ - 1 ne dépend que de la classe et non de l'élément. On peut donc directement définir un idéal dans K[X]/{X‘^ —1) comme étant l'ensemble des classes prenant la valeur 0 sur certaines racines n-ièmes de 1. Choisissons donc une racine primitive n-ième de 1, soit /x dans un corps L de caractéristique P, on suppose évidemment que n est premier à la caractéristique p. Pour que L contienne des racines primitives n-ièmes de l'unité il faut et il suffit que n divise g —1. Considérons l'idéal des classes de polynômes s'annulant sur On suppose que ces racines sont deux à deux distinctes, c'est-à-dire que l'on suppose que l'ordre n de P dans le groupe multiplicatif L* est supérieur ou égal à d.

I

»3 I T3

On peut évidemment aussi considérer les polynômes nuis sur ces racines, ce sont ceux divisibles par le ppcm des polynômes minimaux des b ^ i^ b -\ -d —2, qui est le polynôme générateur du code. Un code déterminé par un idéal de ce type est appelé un code BGH (pour Bose, Chauduri, Hocquenghem). À cause de la proposition suivante on dit qu'il est de distance prescrite d.

Q 4.10 - LES CODES CORRECTEURS D’ERREURS 183

Proposition 5« Un code BC H est de distance minimale au moins d. Si d = 2t-\-l il peut donc corriger jusqu'à t erreurs. D é m o n s t r a t i o n . En effet, on doit vérifier qu'il n'y a pas, dans le code, de vec­ teurs non nuis ayant moins de d coordonnées non nulles. Identifions un vecteur à un polynôme non nul P = a\ ü2X H------ h On doit vérifier que les équations = 0, avec b ^ i ^ b + d —2 ont lieu si le polynôme a au moins d coefficients non nuis. On a d —1 équations à n inconnues et la matrice du système linéaire est la suivante : /1 1 \1

...

fJL^

\

...

b-\-cL—2

(b+d-2)(n-l)

Si on sélectionne d - 1 colonnes quelconques, on reconnaît, à un facteur multipli­ catif près, un déterminant de Van der Monde qui est non nul. Si bien que d —1 colonnes quelconques de cette matrice sont linéairement indépendantes. Donc un élément non nul dans le code doit avoir au moins d coordonnées non nulles. Donc si P n'a que d - 1 coefficients éventuellement non nuis, il est nul. ■

Algorithme de décodage Venons en maintenant au processus de décodage. Supposons que l'on ait le code BC H de longueur n et de distance minimale au moins égale à d = 2t -h 1 défini plus haut. Supposons que le processus de transmission des données fasse au plus t erreurs, si bien que le code peut corriger ces erreurs. Soit R e K[X]/(X^ —1) les données reçues, cherchons à déterminer les données transmises. Considérons la différence, que l'on appellera le polynôme d'erreur, E = R —T entre les données transmises T et les données reçues R. On va procéder en deux étapes, d'abord on va déterminer en quels emplacements se sont produites les erreurs, puis on les déterminera. Les valeurs Rifjd’) pour Ь ^ г ^ Ь + d - 2 sont connues, par construction on a E{pj) = R{ii^) pour 6 < i < 6 + d - 2 . Les coefficients de E sont donc solutions d'un système linéaire de d —1 équations et n inconnues (les coefficients du polynôme E). Il y a au moins une solution par hypothèse, mais en général il y en a plusieures. Pour déterminer la bonne on procède comme suit. Établissons d'abord un lemme. Considérons un entier г¿ ^ t un entier, et un polynôme : F= i= 0,...,u —1

184 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

où les exposants sont a' deux à deux distincts et strictement inférieurs à n. Les coefficients f i E K n e sont pas nécessairement non nuis. Posons yj = n

(X -y ^ )=

j= i,...,u

et posons :

< X u -eX ‘ . e = 0 j...,u

Si, dans ce polynôme, on substitue la valeur yj à la variable X , on obtient : Y

a u -e y j^ O .

£ = 0 ,...,u

Multiplions cette équation par fjy^ , pour + d —2, et sommons sur j , nous obtenons, par définition de F , la relation suivante : + •.. +

= 0.

On obtient donc un système de d —1 équations linéaires en les u inconnues a j . L e m m e 3 « Le système linéaire précédent admet une solution unique seulement si les coefficients de f j de F sont tous non nuis. D é m o n s t r a t i o n . Nous ne discutons pas ici l'existence mais seulement Tunicité de la solution. Pour étudier cette question, sélectionnons les u premières équations parmi les d - 1 équations données. On obtient comme matrice du système : f

...

F{fi^)

y^(^6+u-l)

...

^(^6+2u-l)y

Or cette matrice est égale au produit suivant VDV^ où on a ( v =

1 yi

1 y2

U r ' i/2

I î V ïO

. .. 1 \ . •• yu •• 2/ rV

ih y r ^ ,

et

0

D— i,

0 /22/2“" '

0

...

0

\

0 0 0 /u2/rv

Donc le déterminant de la matrice du système est égal à :

Comme les racines yi sont supposées deux à deux distinctes ce déterminant est non nul si et seulement si tous les coefficients f j sont non nuis. ■

I

Q ©

4.10 - LES CODES CORRECTEURS D’ERREURS 185

Appliquons ces résultats au polynôme d'erreur E , supposons que r erreurs aient été commises, avec r et soit enfin u Considérons le déterminant :

Du =

On a : C o r o l l a i r e * Le déterminant Du, u = r.

est nul dès que u > r , il est non nul pour

Pour déterminer le nombre d'erreurs commises on doit donc calculer ces détermi­ nants et calculer la plus grande valeur inférieure ou égale à t pour laquelle il est non nul. On calcule alors le polynôme d'erreurs comme suit. Posons E= avec r 6i e K * et les entiers deux à deux distincts et strictement inférieurs à n. Les entiers ai correspondent aux emplacements où se sont produites les erreurs. Posons Xi = et considérons le polynôme à coefficients dans L :

n

(X -X i)=

Si, dans ce polynôme on substitue à la variable X la valeur xi, puis si on somme sur i on obtient comme précédemment un système linéaire : TrEiij!^) +

+ •••+

+ £?(/+’■) = 0,

pour A:= 6 ,.. .,6 + r* —1. On peut donc calculer la valeur des ri qui sont, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires des Xi, Précisément ( - l) V i est la i-ième fonction symétrique élémentaire des racines Xi, si bien que l'on obtient ces racines en résolvant l'équation : -\---- + T r = 0 . Notons que l'on peut toujours résoudre une telle équation, quitte à tester tous les éléments du corps fini L ! Enfin, on calcule les coefficients

en résolvant le système linéaire :

Y, l< i< r

186 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

Donnons un exemple, prenons pour K le corps F 2 . Choisissons pour ¡i une racine primitive de 1, qui a pour polynôme minimal X® + + 1. Puis choisissons b = 1 e\ d = Notons que, pour 1 ^ ^ 5 sont bien deux à deux distinctes. Voici les polynômes minimaux de + l'est aussi pour et . Celui de fj,^ est 1, pour le vérifier on élève au cube l'équation /lx®+ = ^ . Celui de

Celui de /x, c'est-à-dire

^

/X® est X® 4H- X H-1, pour le vérifier on écrit que /x® + 1 = )Lx^ et on élève l'équation à la puissance 5. Il faut bien entendu vérifier que tous ces polynômes sont irréductibles. Le polynôme générateur est donc de degré 15, et est égal au produit (X® +

+ 1 )(X® 4.

+ ^2 +

1

){X^ +

+ X 2 H- X + 1 ) .

Il est égal à ;

1 -f Z + X2 +

+ X® +

.

Considérons le code BCH associé de dimension 16, il est de longueur 31, il peut corriger jusqu'à deux erreurs, supposons donc qu'au plus deux erreurs se soient produites. Considérons le cas où les données reçues sont le polynôme : 1 + X 4- X® + X ^ + X ^ + X ^ ° + X^2 + X^® + X^*^ + X^® + X ^^ . Le polynôme d'erreur ce sont dans l'ordre :

E

prend les mêmes valeurs que ce polynôme en // pour 1 ^ x ^ 5, , /x® + /x^ + 1, /x® + /x^ + 1, /x® + /x2 + /x, /x"^ + /x® 4- + 1.

Le déterminant

/X^

)LX®4-

+ 1

/X® + /x2 + 1 )LX®4- ^2 + /X est nul. Donc seulement une erreur s'est produite. Le polynôme E est donc de la forme X ^ , comme il prend en /x la valeur /x^ il est égal à X "^. Le polynôme transmis était donc :

1 + X 4- X® + X ^ + X*^ 4- X ^ + X^o + X^2

Xi^ 4.

;^ i8

x ^^ .

Pour obtenir les données initiales il faut diviser par le polynôme générateur. On obtient : 1 + X 2 + X® 4- x ^ . Supposons maintenant que les données reçues soient : 1 + X 4- X 2 + X ^ + X® 4- X ^ + X® + X ^ 4- X ^ ° + X ^^ + X^® + X 2 ° . Le polynôme d'erreur E prend les mêmes valeurs que ce polynôme en ¡i^ pour 1 ^ x ^ 5, ce sont dans l'ordre /x2, /x^, /x"^ + /x 4 - 1, /x® + /x2 + 1, /x® + ^ 4 - 1. Le déterminant

I

fjb^ 4- /X + 1 est non nul et égal à ^x® H- /x + 1 . Donc seulement deux erreurs se sont produites. Le polynôme E est donc somme de deux termes, c'est-à-dire de la forme X® i 4- X®2 . Les quantités tq = fjL°'^■‘■ “2 Tl = 4sont solutions du système : T i^2 4. _ ^4 _j_ ^

Ti/x"^ + To(/X^ + /X + 1) = /X® 4- /x2 + 1 On obtient

I

To = IjT

jjr

fJL

T l = fjL^

I

-o

I

Q ®

4.10 - LES CODES CORRECTEURS D’ERREURS 187

Donc

et fjL^^ sont solutions de l'équation du second degré ¡J? X -{• iJ?

fj, = 0 .

Les zéros sont /1 ^ et /jl^^. Les données transmises étaient donc, comme dans le cas précédent :

1+

+ x^'^ +

+ x^^.

On notera dans ce cas que le déterminant :

/jl"^ //^ + //+1 //4 /i^ + //+ 1 /i®+ //2 + 1 /X^ + /i + 1 + /¿^ + 1 /X®+ /X+ 1 est nul.

Codes de Goppa Dans ce paragraphe on étudie une autre classe de codes, les codes de Goppa. Par comparaison au cas précédent les codes de Goppa sont construits de manière à avoir une distance minimale supérieure à une valeur prescrite à l'avance. Nous donnerons dans ce cas seulement les définitions, le calcul dune matrice de parité et des propriétés de base du code. Encore une fois, un des intérêts de cette étude, outre les applications, est la mise en oeuvre de techniques de base d'algèbre li­ néaire ainsi que de la théorie de corps finis. Nous commençons par introduire quelques notations et un lemme. Soient ¥q un corps fini, m un entier positif non-nul, G G F^m [X], et soit enfin L = { a i , ... ,an} une famille d'éléments de F^m qui ne sont pas des racines du polynôme G. Le polynôme X est donc par hypothèse premier avec G. On commence par observer que la classe de X —ai est un élément inversible dans l'anneau quotient F^m [X]/(G). C'est une conséquence de l'identité de Bezout. Soient en effet U et V deux polynômes tels que f/(X - a^) + FG = 1. En réduisant modulo G on obtient i7(X - a^) — 1 modulo G. D é f in it io n 7 Le code de Goppa P associé à G et L est le sous-espace de F^ constitué par les vecteurs ( a i, ... ,an) tels que l'élément de l'anneau quotient F^m [X]/(G) : ai

E

soit nul. Si le polynôme G est irréductible le code est dit irréductible. P r o p o s i t i o n 6 « Le code T est un code linéaire de longueur n, de dimension k telle que |G|. En fin la distance minimale d de T est telle que d'^ |G| -h 1.

188 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - Chap. 4

La première propriété est conséquence immédiate de la définition. La seconde et la troisième doivent être démontrées. Pour ce qui est de la seconde on considère une base de F^m comme espace vectoriel sur F^, F^m est de dimension m sur ¥q ; soit donc {v\^.., ^Vm} une telle base. Posons r = \G\, l'anneau quotient ¥qm[X]/{G) est lui de dimension r comme espace vectoriel sur F^m, de base { 1 , X , ... L'équation de définition du code P se reécrit comme suit :

Y, a,( Y où (X —a j) “* = Yyj=o

=0

r-i

encore se réécrire

ZI OÙ ]Cfc=i ...m dans la base des Vk.

X) Z

^ij,k ^

’^i,},k^kX^)

=

0

6st la décomposition de l'élément Uij de F^m

La nullité de l'élément

53

53

se traduit par la nullité des coefficients de

Y

0,iUij

, 0

j ^ r —1, soit

=0, O ^ j ^ r - 1 .

2 = l,...,n

Puis on écrit que ces éléments de F^m sont nuis, c'est-à-dire que leurs coefficients dans la base des Vk le sont. Soit ... ^ ciii^ij.k = 0 , a j et k fixés. On a donc m r équations à coefficients dans ¥q. Le code est donc de dimension au moins n —mr. Pour ce qui est du second point il faut montrer qu'un point non nul du code a au moins r -f 1 coordonnées non nulles. C'est un exercice que de vérifier que l'élément {X - ai)~^ est, dans l'anneau quotient ¥^[X]/{G), égal à

I

X

Oii

Il en résulte que a = (a i,•••,an) G P si et seulement si l'élément de l'anneau quotient : G —G {ai) . I «

!s

E

est nul. Cet élément étant en tant que polynôme de degré inférieur ou égal à r —1 cette condition d'annulation peut être prise indifféremment dans l'anneau de polynômes.

I

4.10 - LES CODES CORRECTEURS D’ERREURS 189

Posons G = ÇrX^ + ... + po/ on a :

On écrit alors que les coefficients de ,■■■,! dans l'élément ci-dessus sont nuis et on obtient la matrice de parité dont le terme p ij est égal à (^r+i-i +

O ijg r + 2 -i

+ •••4-0'^*

G {o ij)

^

.

soit la matrice : 5,G (ai)-i (Pr-i+o:iÿr)G(ai)“'

\ {9 i + a i 9 2 + - + o c '[ V ) G ( a i )

9rG{a2) * (5r-i+0!igr)G(a2)“^

9r9ian)-^ \ {9r-i+Oi\9r)G{an)~^

‘ {9 i+ - + a '^ 2 ~ ^ g r )G {a 2 )- ^ -

(p i+ - + a rV )G (a „ )- i;

La terminologie matrice de parité est dans ce cas abusive, car chacune des équa­ tions obtenues à partir d'une ligne (un coefficient du polynôme) est une équation à coefficients dans F™ et non dans F , . En décomposant comme il a été dit plus haut on obtient pour chaque ligne m équations linéaires à coefficients dans F , . La matrice qui précède est égale au produit (dans l'ordre) des deux matrices suivantes : f 9r 0 Qi— 1 9r

1

51

92 93 ■■■ G{a2)~^

a iG {a i) ^

0

...

9r / ...

c ■

aiG {a2) ^ ••• aiG {an ) ^

\

V a ï-'G (a i)-i a r 'G ( a 2 ) - ' ... < - 'G ( a n ) - V Comme la première matrice est inversible {gr ^ 0) la seconde matrice est encore, par définition, une matrice de parité. Le calcul du déterminant de Van der Monde montre alors que r colonnes quelconques sont linéairement indépendantes (les ai étant supposés deux à deux distincts). Le calcul de la distance minimum en résulte. On va préciser ce résultat dans le cas où g= 2. Soit un élément du code a = (ai, •••, ). Supposons que exactemeent t scalaires ai soient non-nuls : a0(i), •••, a 1. Montrer que

(X) =

(X^).

8 .Soit h un entier impair. Montrer que ^ 2h {^ ) = 9. Indépendance linéaire des caractères. Soit K un corps. Soient c i , ... ,Cn, n homomorphismes deux à deux distincts de Z dans le groupe multiplicatif K*, de tels homomorphismes sont aussi appelés des caractères. Supposons que pour certains éléments ai e K on ait une relation de la forme : ^O iC i(m ) = 0, pour tout entier m e Z. Montrer alors que les ai sont tous nuis. On pourra soit faire une récurrence sur n, soit utiliser un déterminant de Van der Monde. 10. Symbole de Legendre. Soit P un nombre premier impair. Définissons le symbole = 1 si X G (F p ^ par a)

pour x G F* par

= - 1 sinon.

** Montrer que l'application de F* dans (1, - 1 ) est un homomorphisme, montrer

que :

E (i)=o192 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - Chap. 4

b) Soit n une racine primitive p-ième de l'unité dans C. Posons : (!> * ■ Montrer que :

Puis écrire que : » '=

E

(?>"•'*■> + E

( t )-

En conclure que c) Soit d un entier. Montrer que le corps Q('\/ci) est un sous-corps d'un corps cyclotomique. n.Soit P un nombre premier, considérons la réduction modulo p du polynôme cyclotomique $n •Montrer que cette réduction n'est pas, en général, irréductible. 12. Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q. Soit le polynôme cyclotomique, et soit p un nombre premier ne divisant pas n. Soit p une racine primitive n-ième de de l'unité. a) Soit Pi - Pjfc la décomposition de en facteurs irréductibles dans Z[X], Supposons que p soit racine de Pi et que p^ soit racine de P2* Montrer que p est une racine de P2(^^) et que donc P\ divise P2(^^)- En déduire que la réduction modulo p des polynômes P\ et P2 ont un facteur commun. b) En utilisant les résultats du chapitre 3 montrer que la réduction modulo p du polynôme cyclotomique n'a que des facteurs simples dans sa décomposition. En déduire que si p est racine de P i, p^ est aussi racine de P i. On utilisera la question précédente. c) En conclure que si p est racine de P\ toutes les racines primitives n-ièmes le sont et que est irréductible.

I

13. a) (Construction à la règle et au compas) L'objet de cet exercice est de donner un aperçu sur le problème des constructions géométriques à la règle et au compas. On s'en tiendra aux aspects algébriques, renvoyant à [A] et [Pe] pour les liens avec la géométrie. Soit K un sous-corps de M. On dira qu'un réel a, algébrique sur Q, est constructible si il existe une suite de corps Fi tels que : Q

I

C

Pi

C

P2

C

•••C Q(a)

C

R,

pour tout i le corps Fi est obtenu à partir de de P^-i par adjonction de racines carrés d'éléments positifs de F i - i .

Q

EXERCICES 193

Montrer que l'ensemble des éléments contructibles est un sous-corps de K. b)

Montrer que le degré d'un élément constructible est une puissance de 2.

c) Montrer que cos(|) n'est pas constructible. d)

Montrer que 23 n'est pas construcible. Ces deux dernières questions montrent l'impossibilité de la trissection de l'angle et de la duplication du cube à la règle et au compas.

e) Montrer que cos(^ ) est constructible.

14. En utilisant la formule de Newton en caractéristique 2, dormer une condition nécessaire et suffisante pour que le coefficient binomial C* soit divisible par 2. II.

C o r p s f in is

1. Démontrer que les polynômes suivants, à coefficients dans F2, sont irréductibles :

^ P i = X ’ + X + 1, ^ P 2^ X ^ +X ^ + 1. Trouver un générateur du groupe multiplicatif du corps F2[X]/(Pi), z = 1,2. 2. Démontrer que les polynômes suivants à coefficients dans F3 sont irréductibles : ► Pi = X» + 2X + 1,

^ P 2 = X ^ + X ^ + 2, Pi =X^^ +X^ + 2. Trouver un générateur du groupe multiplicatif du corps F2[X]/(Pi), z = 1,2,3. 3. Factoriser les polynômes suivants à coefficients dans F2 :

^ X^^+X’^+ X ^ + X + 1, ^ x ^^ +X ^ + X ’ + X ^ + X ^ + X + 1, - Xio + x ^ - t - X ^ + X + l, - X^‘^+ + ^6 + 1, ^ X^^ + X'^ + X^ +X'^+X + 1. 4. Montrer en faisant des réductions modulo un nombre premier p bien choisi que les polynômes suivants à coefficients entiers sont irréductibles : ► X« + 2X7 ^ 3^6 + x ^ + 4X* + 3X + 1, X» + X7 + 2X® + 3X^ + 3X^ + 1, - X7 + 3X® + 4X'* -h X2 -I- 2X + 2, X ® + X 3 + X 2 + l.

194 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

5. a) Déterminer tous les automorphismes de Fpnm laissant fixe le sous-corps Fpn .

b) Soit

m.

k = ¥pn et soit P un polynôme irréductible à coefficients dans k de degré Montrer que le corps de rupture de P sur k est isomorphe à Fpnm.

c) Donner une formule analogue à celle du cours pour calculer le nombre de

polynômes unitaires, de degré

m, irréductibles,

à coefficients dans Fpn.

6. Soit P un nombre premier supérieur ou égal à 3. Soient %v^w des éléments de Fp non tous nuis. Montrer que l'équation, en les inconnues x,y, ux^ =w a au moins une solution non nulle. On comptera le nombre d'éléments de la forme et le nombre d'éléments —w, x et y décrivant Fp. 7. Soit P £ k[X], où K = ¥q est un corps fini à q éléments. Supposons P irréductible. On appelle exposant de P le plus petit entier e tel que P divise —1. Soit k le degré de P. a) Montrer que P est scindé en facteurs de degré 1 dans ¥gk et que d'une racine quelconque de P dans le groupe multiplicatif F*^.

b) Montrer que e divise

-1 .

c) Montrer qu'un polynôme irréductible P d'exposant

seulement si

e est l'ordre

e divise d.

e

divise X^ - l

si et

8. Calculer les exposants des polynômes suivants, dont on vérifiera qu'ils sont irréductibles, à coefficients dans F2 -

-

+ 1,

+ ^2 + 1,

- X ^ + X ^ + l. 9. a) ** Soit k = ¥q un corps fini de caractéristique p. Soit n un entier premier à p. On suppose que k contient toutes les racines n-ièmes de l'unité, c'est-à-dire que le polynôme - 1 a n racines dans k. Comme dans le cas de C on appelle racine primitive n-ième de l'unité une racine dont l'ordre dans le groupe multiplicatif k* est n. On notera p* (fc) l'ensemble des racines primitives n-ièmes de k. Soit “ C) ^ k[X], Démontrer les propriétés correspondant à celles des polynômes cyclotomiques •En particulier montrer que ^ [X].

b) Montrer

que la réduction modulo p de

est égale à

c) Montrer que la réduction modulo p du polynôme cyclotomique

en un produit de

se factorise

polynômes irréductibles à coefficients dans fc, où d est

l'ordre de q (le cardinal de k) dans le groupe (ZlnZ)*. 10. Soit P un polynôme irréductible de degré n, à coefficients dans Fp. Soit d un

i

diviseur de n, moi montrer que P factorise en ^ polynômes irréductibles de même degré dans Fpd [X]

Q ®

EXERCICES 195

n . ** On reprend la terminologie de l'exercice 7. Soit fc = Fp, p premier, calculer le nombre de polynômes irréductibles de degré n, unitaires et d'exposant e. On commencera par étudier la décomposition de la réduction modulo p du polynôme cyclotomique ^ e{X ). 12. Soit V un espace vectoriel de dimension fini d sur un corps fini k. Soit (ei, . . . , e^) une base de V. Soit v e V , et soit (a i,... ,ad) les coordonnées de v dans cette base. a) L'élément v étant fixé, montrer qu'il existe un polynôme à coefficients dans k en d variables qui prend la valeur 1 en (ai ,... ,ad), et la valeur 0 partout ailleurs. b) Soit de façon plus générale / une application de V dans k. Montrer qu'il existe un polynôme P en d variables tel que, pour tout v e V , o n ait f{v) = P (a i, .. ., a^ ). c) Le polynôme précédent est-il unique ? 13. Soit k un corps fini à q éléments de caractéristique p. Soit a £ k . Montrer que le polynôme X'P - X - a est irréductible sur k si et seulement si il n'a pas de racines dans k. 14. Fonction d'Euler. Soit k un corps fini à q éléments, de caractéristique p. Étant donné P e k[X] on définit (P) comme étant le nombre de polynômes de degré inférieur à celui de P et premiers avec P. a) Calculer - $ A :(X P -1 )) Si fc = Fp,

►

{PQ) si P et Q sont premiers entre eux.

b) Soit Pi^ •••P^^ la décomposition d'un polynôme P de degré n en facteurs irréductibles. Montrer que i OÙ Ui

est le degré de

P i.

15. Théorème de Kônig-Rados.

Soit k un corps fini à q éléments. Soit P un polynôme à coefficients dans k, P = ao + aiX-\-------hag_2X^“^. Montrer que le nombre des racines dans k de l'équation P {X ) = 0 est égal à çr - 1 —r, où r est le rang de la matrice : / ao ai ai a2 y ü q -2

a i

a^-2 ao . . .

ü q -2

196 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

/

16.

(Clôture algébrique des corps finis) Soit P un nombre premier, et soit kn le corps ¥pn\. a) Montrer que qu'il y a un sous-corps de kn isomorphe à kn-i et un seul. On notera in-i l'inclusion de kn-i dans knb) On pose 6 n = k n - i n - i {k n- i ) - Posons l n = ¥ p U (Ui=2 ,...,n ei). Montrer que In à

une structure de corps, et qu'il est isomorphe à kn. c) Montrer que Z= Fp U (U2^i

est un corps et est une clôture algébrique de Fp. III.

1.

C o d e s lin é a ir e s

On appelle code de Hamming tout code de longueur n = 2^ —1, m ^ 2 et de dimension 2^ - m - 1 , dont les colonnes de la matrice de parité sont les coefficients de la décomposition en base 2 des entiers 1 , . . . , 2^^ —1. Démontrer que les codes de Hamming corrigent jusqu'à 1 erreur, c'est-à-dire que leur distance minimale est 3.

2. Borne de Plotkin. Soit K un corps fini à q éléments, et soit C un code de longueur n et de dimension /i. Soit 5c la distance minimale du code. Démontrer que 5c ^

n q ^ -\ q -\ ) q ^ -l

3. Borne de Gilbert-Varshamov. Soit K un corps fini à q éléments. Démontrer qu'il

existe un code linéaire de longueur n et de dimension h de distance minimale supérieure ou égale à un entier d donné dès que :

2=0

4. Étude d'un code B C H .

Soit P une racine du polynôme Montrer que son ordre est 31.

+ 1 dans une extension du corps F2.

a) On considère le code B C H de longueur 31 déterminé par les racines /x, Quelle est sa distance minimale ? Calculer son polynôme générateur et son polynôme de parité. b) On considère le code B C H déterminé par les racines /i,

,. .. ,

.

. . . , . Quelle est

sa longueur, sa distance minimale ? Calculer son polynôme générateur et son polynôme de parité. c) Dans le cas de la question 4.a) on considère le message suivant qui a été reçu : ^7 ^10 ^11 ^ js^i3 _|_ ^16 _i_ ^Quelles étaient les données initiales ? Même question avec 1

X^ -\-X^

X^^

X^^ + X^^ +

+ ^2^.

I

T3 Q EXERCICES 197

5. Étude d'un code cyclique. Soit )L¿ une racine du polynôme 1 dans une extension du corps F2. Montrer que son ordre est 21. a) On considère le code cyclique de longueur 10 déterminé par les racines Quelle est sa distance minimale ? Calculer son polynôme générateur et son polynôme de parité. b) Calculer les données initiales à partir des données reçues suivantes : x +

+

+

x + x^ + x ^ ^

6. (Étude d'un code de Goppa) On considère le polynôme G =

+ X + 1 et le corps L = ¥ s , a désigne un générateur du groupe multiplicatif dont le polynôme minimal est + X + 1. a) Montrer que G est irréductible sur L. b) Calculer la matrice de parité du code de Goppa de longueur 8 sur F2 déterminé par G et l'ensemble des éléments de L. L'exprimer sur le corps F2. Calculer sa dimension et sa distance minimum. c) Montrer que ce code est cyclique. d) Faire le même travail avec G = X ^ + X + 1 et L = Fi6.

Quelques réponses ou indications mmmam I.

E lé m e n t s a lg é b r iq u e s / P o ly n ô m e s c y c lo t o m iq u e s

1. O n c o m m e n c e p a r c a lc u le r le d e g r é d u p o ly n ô m e . O n tro u v e 4, 4, 8 et 10. P o u r c a lc u le r c e s d e g r é s o n u tilis e le le m m e d e la b a s e té le sc o p iq u e . P u is, p a r e x e m p le d a n s le p r e m ie r c as, o n p o s e a = \ /2 +

a/ t ,

s o it a - y /2 = y / l . D o n c ( a - v ^ ) ^ = 7, e t

- 5 = 2 a e t

o n é lè v e cette d e rn iè re re la tio n a u carré. 2. U tilise r la fo rm u le d o n n a n t la s o m m e d e s n p r e m ie r s te r m e s d 'u n e p r o g r e s s io n g é o m é triq u e . 3. O n c o n sid é re ra la d iffé re n c e

P {^)-P {a). E n a p p liq u a n t le th é o r è m e d e s a c c r o isse m e n ts fin is o n o b tie n t

P (f)-P (a ) = (f-a)F'(^). S i ^ e st a s s e z p ro c h e , et d iffé re n t d e a , P ( | ) e s t n o n n u l. P a r a ille u r s P { ^ ) e s t n o n n u l e t p e u t s'é c r ire s o u s la fo rm e ^

o ù c e st u n e n tie r n o n n u l. O n a d o n c ^

a ) P 'W .

O n o b tie n d r a l'in é g a lité s u r u n v o is in a g e d e a e n m a jo r a n t |P '( ^ ) |, p o u r ce fa ire o n m o n tre ra q u e P ' ( a ) e s t n o n n u l.

198 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

4. N o m b re d e L io u v ille . M o n tre r q u e le réel

s a t is fa it p a s a u critère p r é c é d e n t. O n m a jo r e ra le re ste d e

la sé rie . E n c o n c lu re q u 'il e st tra n sc e n d a n t. 5. D a n s le p r e m ie r c a s o n u tilis e ra la fo rm u le

n

d I n, d ^ l

et u n ra iso n n e m e n t p a r ré c u rre n c e . O n d is tin g u e r a é g a le m e n t s u iv a n t q u e n e s t p u is s a n c e d 'u n n o m b re p r e m ie r o u n on . S i p e s t u n n o m b re p r e m ie r o n tro u v e ^pk ( 1) = p , et o n tro u v e la v a le u r 1 si n e st d iv is ib le p a r a u m o in s d e u x n o m b re s p r e m ie r s d istin c ts. O n a d a p t e r a p o u r le s e c o n d c as. E n p a rtic u lie r o n m o n tre ra q u e ¿ 2 ( - l ) = 0, ^ 2^» ( ~ 1 ) = 1 si > 1, = l , k im p a ir, et q u e ( ~ 1) = 1 si p e s t p r e m ie r im p a ir. 6,7. P o u r le s p o ly n ô m e s c y c lo to m iq u e s ^ 9 , ^ 2 7 / le r é s u lta t ré su lte d e l'e x e rc ic e 7. C e t e x e rcice se d é m o n tre à p a rtir d e la fo rm u le :

X " - l = n M X), a p p liq u é e d a n s le c a s n = p ^ . O n o b s e r v e r a q u e ^ p h - i ( X ) e s t fa c te u r d e

- 1.

8 . A p p liq u e r la d é fin itio n , c 'e st-à -d ire c o m p a r e r l'e n se m b le d e s ra c in e s p r im itiv e s 2/c-l- 1 -iè m e s à l'e n se m b le d e s ra c in e s p r im itiv e s 2 (2 A:-f l)- iè m e s . 9. D 'a b o r d , d is o n s q u 'il y u n e re la tio n lin é a ire e n tre le s h o m o m o r p h is m e s m G- o n a

q

si, p o u r to u t

^aiCi(m ) = 0. S i le s co e ffic ie n ts Oj s o n t n o n t o u s n u is , o n d ir a q u e la re la tio n lin é a ire e s t n o n -triv ia le . Il fa u t m o n tre r q u 'il n 'y a p a s d e re la tio n s lin é a ire s n o n -triv ia le s. S i o n p r o c è d e p a r réc u rre n c e s u r le n o m b re d 'h o m o m o r p h is m e s , o n s u p p o s e le r é s u lta t d é m o n tré p o u r n - 1 h o m o m o r p h is m e s . P u is o n r a iso n n e p a r l'a b s u r d e , o n s u p p o s e a v o ir u n e re la tio n lin éa ire n o n -triv ia le e n tre n h o m o m o r p h is m e s . O n fix e a lo r s u n e n tie r /1, et so it m u n e n tie r q u e lc o n q u e . O n c o n sid è re a lo r s le s re la tio n s o b te n u e s e n é v a lu a n t la re la tio n lin éa ire e n h , et e n m -h /1 . E n m u ltip lia n t la p re m iè r e p a r u n é lé m e n t a d é q u a t et e n la s o u s t r a y a n t à la se c o n d e o n o b tie n d r a u n e re la tio n lin é a ire n o n -triv ia le e n tre n - 1 h o m o m o r p h is m e s et d o n c u n e c o n tra d ic tio n . S in o n e n u tilis a n t u n d é te r m in a n t d e V an d e r M o n d e b ie n c h o isi o n m o n tre ra q u e le s c o e ffic ie n ts d 'u n e re la tio n lin é a ire s o n t s o lu t io n s d 'u n s y stè m e lin é a ire h o m o g è n e d e r a n g m a x im a l, d o n c s o n t n u is. 10. a) Il y a P — 1 é lé m e n ts q u i s o n t d e s c a r ré s d a n s F * e t p — 1 é lé m e n ts q u i n e le s o n t p a s . b) C a lc u le r le c a rré :

E

x,zeF* P u is p o s e r Z = x y ~ ^ . P u is m o n tre r q u e le p r e m ie r te rm e d e la s o m m e :

E

0

1 J

(l)^ *(.+ i)+ E

(f),

xew*

e s t n u l. U tilise r l'e x e rc ic e 2.

I

§

Q ©

EXERCICES 199

11. C h e rc h e r d e s c a s m o d u lo 2, 3, . . . 12. a) b) U tilise r e n tre a u tr e s le critère u tilis a n t la d é r iv a tio n p o u r te ste r l'e x iste n c e d e r a c in e s m u ltip le s. c)

M o n tre r q u 'e n é le v a n t à d e s p u is s a n c e s d e n o m b re s p r e m ie r s b ie n c h o is is o n p r o u v e q u e

to u te s le s ra c in e s p r im itiv e s s o n t ra c in e s d e P i . O n p e n s e r a a u x g é n é r a te u r s d u g r o u p e m u ltip lic a tif d e Z / n Z . 13. a) b) U tilise r le th é o r è m e d e la b a s e té le sc o p iq u e . c)

d) É crire le s p o ly n ô m e s m in im a u x d e s é lé m e n ts c o n c e rn é s. O n tro u v e S X ^ - 6 X — 1 e t

X ^ — 2 . O n v é rifie ra q u 'ils s o n t ir r é d u c tib le s s u r Q .

e)

M o n tre r q u e l'o n s e ra m è n e à l'é q u a tio n X ^ + X ^

X^

+ 1 = 0 qu i se ram èn e à u n e

é q u a tio n d u s e c o n d d g r é p a r le c h a n g e m e n t d e v a r ia b le s Y = X + ^ • 14. M o n tre r q u e le c o e ffic ie n t e s t p r e m ie r à 2 s i e t se u le m e n t to u te s le s p u is s a n c e s d e 2 q u i a p p a r a is s e n t d a n s la d é c o m p o sitio n e n b a s e 2 d e A: a p p a r a is s e n t a u s s i d a n s ce lle d e n . O n é c rira la fo rm u le d e N e w t o n c o m m e su it, s i k = 2^^ H------- f- 2®^‘ :

{X + y)* = JJ (X +

= JJ

i

).

i

II.

C o r p s fin is

1. D a n s ce c as, o n v é rifie l'irré d u c tib ilité e n v é rifia n t q u e le s p o ly n ô m e s e n q u e s tio n n e s o n t p a s d iv is ib le s p a r d e s p o ly n ô m e s ir r é d u c tib le s d e d e g r é 1, 2, e t 3. Il s u ffit d e c o n n aître la liste d e c e s p o ly n ô m e s : X , X + 1,

+ X + 1,

+ x + 1 et

+ ^ 2 + 1.

P o u r ce q u i e s t d e tro u v e r u n g é n é ra te u r, d a n s le p r e m ie r c a s o n d o it tro u v e r u n g é n é r a te u r d 'u n g r o u p e c y c liq u e d 'o r d r e 63, il s u ffit d o n c d e tro u v e r u n é lé m e n t q u i n e s o it n i d 'o r d r e 7 n i d 'o r d r e 9. D a n s le s e c o n d o n d o it tro u v e r u n g é n é r a te u r d 'u n g r o u p e d 'o r d r e 127, 127 e st p r e m ie r d o n c to u t é lé m e n t d iffé re n t d e l'é lé m e n t n e u tre e s t g é n é ra te u r. 2. L 'ex e rc ice e s t a n a lo g u e a u p r é c é d e n t m a is e n c a r a c té r istiq u e 3. 4. O n tra v a ille r a a v e c p = 2 et p = 3. 5. a) M o n tre r q u e s o n t le s a u to m o r p h is m e s d e la fo rm e ( F ^ ) ^ . b) U tilise r le s r é s u lta ts g é n é r a u x s u r le s c o r p s fin is. c) P o so n s q = p'^. Si 'ipq (m ) e st le n o m b re d e p o ly n ô m e s u n ita ire s, d e d e g r é m , irr é d u c tib le s, à c o e ffic ie n ts d a n s ¥ q m o n tre r q u e :

Y , #?("») = 9™ •

dIm

6. O n c o m p te le n o m b re d 'é lé m e n ts d e la fo rm e г¿a;^, et le n o m b re d 'é lé m e n ts et y d é c riv a n t F p . Il y e n a

—w ,x

. E t o n m o n tre q u e l'in te rse c tio n d e s d e u x e n s e m b le s e s t

n o n -v id e . 7. a) b) A p p liq u e r la d é fin itio n et le s p r o p r ié té s d e l'o rd re d 'u n é lé m e n t d a n s u n g r o u p e , c) O n r a p p e lle q u e X® - 1 d iv is e X ^ - 1 si et se u le m e n t s i e d iv is e / . 8. 255, 9 et 127.

200 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - C hap. 4

9.

a) et b) O n c o m m e n c e ra p a r m o n tre r q u e Г о п a la re la tio n

- 1=

^

.

c) O n m o n tre ra q u e le d e g r é d u p o ly n ô m e m in im a l d a n s к d 'u n e ra c in e p r im itiv e n -iè m e d e 1 e s t l'e n tie r d d é fin i d a n s l'é n o n cé . 10. S o it H u n fa c te u r irré d u c tib le a p p a r a is s a n t d a n s la d é c o m p o sitio n d e P c o m m e p o ly n ô m e à c o e ffic ie n t d a n s Fpd . M o n tre r q u e ^ d iv is e le d e g r é d e H e n o b s e r v a n t q u e le c o r p s d e r u p tu re d e H c o n tie n t Fpn . P u is a p p liq u e r u n ré s u lta t a n a lo g u e à la p r o p o s itio n 3 d e la s e c tio n 5. 11. O n c o n sid è re la ré d u c tio n d u p o ly n ô m e c y c lo to m iq u e Ф е . O n re m a rq u e ra q u e e e s t p r e m ie r à p . O n u tilis e r a l'e x e rc ic e 9. L e n o m b re d e p o ly n ô m e s irr é d u c tib le s u n ita ire s d e d e g r é m et d 'e x p o s a n t e à c o e ffic ie n ts d a n s ¥q e st

si m e st l'o rd re d e q m o d u lo e, 2 si m = e = 2, 0 sin o n .

12. a)

П ( oc^ai П № - “)) + !• 1 en ( a i , . . . , a d ) c) N o n , si к di q é lé m e n ts o n p e u t le re m p la c e r p a r s a p u is s a n c e ç -iè m e . 13. O b s e rv e r q u e si a e st ra c in e d 'u n fa c te u r irr é d u c tib le a + 1, a + 2, . . . l'e s t a u ss i. 15.

T h é o rè m e d e K ô n ig - R a d o s. C o n s id é r e r le p r o d u it d e la m a tric e in tr o d u ite p a r u n e m a tric e d e V an d e r M o n d e c o n stru ite à p a r tir d e q é lé m e n ts d istin c ts d e K .

III.

C o d e s lin é a ir e s

1. D e u x c o lo n n e s q u e lc o n q u e s d e la m a tric e d e p a r ité s o n t lin é a ire m e n t in d é p e n d a n te s. 2. M a jo re r la so m m e d e s p o id s d e t o u s le s é lé m e n ts d u c o d e , p u i s d iv is e r p a r le n o m b re d 'é lé m e n ts n o n n u is d u c o d e . E n fin la d is ta n c e m in im a le e s t a u s s i le p o id s m in im u m n o n n u l d 'u n é lé m e n t. P o u r m a jo r e r la s o m m e d e s p o i d s o n tie n d r a c o m p te d e s é lé m e n ts d u c o d e q u i s o n t s itu é s d a n s le s h y p e r p la n s d e c o o r d o n n é e s et le u r s in te rse c tio n s. 3. O n c o n stru it u n e m a tric e d e p a r ité d a n s la q u e lle d - 1 c o lo n n e s s o n t to u jo u r s lin é a ire m e n t in d é p e n d a n te s. P o u r ce faire , o n c o m m e n c e p a r c h o isir u n e c o lo n n e q u e lc o n q u e , p o u r la se c o n d e o n é lim in e to u te s le s c o lo n n e s lin é a ire m e n t d é p e n d a n te s . O n itère le p r o c e s s u s

I

e n s u p p o s a n t a v o ir c h o isi к c o lo n n e s s a t is f a is a n t à la p ro p r ié té . P o u r e n tro u v e r A; + 1 c o lo n n e s o n d o it é lim in e r to u te s le s c o m b in a is o n s lin é a ire s d e d - 2 c o lo n n e s p a r m i le s к p r é c é d e n te s. 4. V oici la liste d e s p o ly n ô m e s ir r é d u c tib le s d e d e g r é 5 s u r F 2 ; X® s e c o n d e s t le p o ly n ô m e m in im a l d e c in q u iè m e d e

, le tro isiè m e d e

e n fin le d e rn ie r d e

+1,

H-1, le q u a tr iè m e d e

le

. C e c i p e r m e t d e c a lc u le r le p o ly n ô m e

g é n é ra te u r.

яa

O n tro u v e 4 e rr e u rs d a n s le p r e m ie r c a s 1 d a n s le se c o n d . L e s d o n n é e s t r a n s m is e s é ta ie n t

I Tо3 § Q ®

EXERCICES 201

5. On vérifie que le polynôme X® +X® +X* +X^ +1 divise X^^ +1. Les polynômes minimaux de fj,, tj?, sont X® +X ® +X ^ +X 2 + l, X ® +X + l, X ^ + X + l. L e p o ly n ô m e g é n é r a te u r e s t 1 + X* + X^ + X® + X “ 5. b) Il y a 4 e r r e u r s d a n s le p r e m ie r c a s, 2 d a n s le se c o n d . L e s d o n n é e s tr a n s m is e s é ta ie n t

X + X® + X® + X® + X»2

d a n s le s d e u x c as.

6. a) b) O n tro u v e d 'a b o r d la m a tric e

f i l O? a + a 1,0 1 a + 1 +1

or

+a+1

so it :

/ 1 1 00

0 0 01 0 0 11

r)

OL a + + a + 1 a ^+ l

0 00 0\

0 1 11 1 001

0 1111111 0 0 10 1 1 0 1

\0 0 0 1 1 1 1 0 / L e c o d e e st d e d im e n s io n 2, s a d is ta n c e m in im a le e st 5 (a p p liq u e r la p r o p o s itio n 3 s e c tio n 10 e t c a lc u le r le r a n g d e la m a tric e ).

a+

D a n s le s e c o n d e x e m p le o n c h o isit u n g é n é ra te u r a d e p o ly n ô m e m in im a l

-\-X^

l ,e t

o n tro u v e c o m m e d im e n s io n 17 et d is ta n c e m in im a le e s t 7, o n re n v o ie à [M S] p o u r p lu s d e d é ta ils s u r c e s e x e m p le s.

202 EXTENSIONS DES CORPS APPLICATIONS - Chap. 4

chapitre 5

Réductions^ des endomorphismes Structure du groupe linéaire

I

I

I §0■

1 1

Ce chapitre est consacré en premier lieu à la réduction des endomorphismes. Le cas fondamental est celui où le corps de base est le corps des complexes C. Une bonne part des arguments s'étend sans problème suivant le cas, soit à un corps quelconque, soit à un corps algébriquement clos quelconque. Nous nous place­ rons donc dans ces cas. Le lecteur pourra se restreindre au cas de M ou C dans une première approche. La première section sera consacrée à l'étude du polynôme minimal, du théorème des noyaux, puis à la diagonalisation. La seconde section est consacrée à la démonstration du théorème de Cayley-Hamilton, décrit les ma­ trices compagnons et donne sans démonstration les propriétés des invariants de similitude. La troisième section expose la triangularisation et la réduction de Jor­ dan. Dans la quatrième on donne des applications topologiques des précédents résultats. En second lieu on étudiera la structure du groupe linéaire. On décrira en parti­ culier un ensemble de générateurs. On déterminera le centre, et les sous-groupes distingués.

I

I

Q

203

1. Polynôm e m inim al d'un endom orphism e Soit k un corps quelconque et soit E un espace vectoriel de dimension finie sur k. Soit / e ^ {E ) une application linéaire de E dans lui-même. Définissons xme application ev: k [ X ] - ^ ^ { E ) par : i

i

Dans la suite sera noté P(/). Dans cette formule f désigne l'iden­ tité Id. Concrètement, dans le polynôme, à la variable X on substitue l'application linéaire /. On a (proposition 2, section 5, chapitre 3) : P r o p o s i t i o n 1 . L'application ev est un homomorphisme d'anneaux. D é m o n s t r a t i o n . Refaisons brièvement la démonstration. Si P = E i

et Q = E j

ev(P + Q) =

on a : + bi)f =

-F

i

= ev(P) -|- ev(Q).

i

i

De même on calcule : ev(PQ) =

aebkf = £-\-k=i

• i

k

Ce qui montre que ev est un homomorphisme d'anneaux.

■

Notons que pour tous P et Q dans k[X] on a P { f) Q { f ) = Q {f )P {f ). Le noyau de l'application ev est donc un idéal. Comme l'anneau k[X] est principal cet idéal est engendré par un polynôme qui est uniquement défini si lui on impose d'être unitaire, (le. que le coefficient de son terme de degré dominant soit égal à 1) :

I

D é f in it io n 1 Ce pol)môme est appelé par définition le polynôme minimal de l'application linéaire /.

Le polynôme minimal de / est donc le polynôme unitaire non nul de degré minimal armulant /. Tout ce que Ton vient de dire se transcrit aussitôt au cas des matrices carrées. Soit A une matrice carrée. Considérons l'application qui à un polynôme P e fc[X], P = Y,i associe la matrice E i un homomorphisme d'anneaux de

204 RÉDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINEAIRE - C hap. 5

A:[Z] dans I'anneau des matrices carrées M „( à:). Le noyau de cet homomorphisme est un idéal principal qui admet pour générateur un polynôme que l'on appellera polynôme minimal de la matrice A. Revenons au cas d'un espace vectoriel E et d'un endomorphisme /. Si on choisit une base de de E et si A est la matrice associée à / dans cette base le polynôme minimal de / coïncide avec le polynôme minimal de la matrice A. Soit / une application linéaire de E dans E et soit P € Supposons que P s'écrive comme un produit RS où iî et 5 sont des polynômes à coefficients dans k premiers entre eux. Notons E q le noyau de l'application linéaire R{ f ) et E\ le noyau de l'application linéaire 5(/). P r o p o s i t i o n 2 . Avec les notations précédentes on a : Les sous-espaces vectoriels E q et Ei sont stables par f , i.e. f{Eo) est contenu dans Eo et f { E i ) est contenu dans E\, — le noyau de P { f ) , Ker(P(/)) est somme directe de E q et E i, - si P est le polynôme minimal de f , alors E = E o ® E i . Le polynôme minimal de la restriction de f à E q est R, et le polynôme minimal de la restriction de f à E\ est S. D ém onstration. Montrons par exemple que E q est stable par /. On doit montrer que si on a un élément x 6 P tel que P(/)(x) = 0 alors on a a aussi R{f){ f{x )) = 0. Mais on a R{f ) {f{x)) ^ f{R{f )){ x) = 0, ce qui démontre le résultat. Comme P et 5 sont premiers entre eux d'après l'identité de Bézout il existe des polynômes à coefficients dans k, soient U et V, tels que UR-\-VS = l . En substituant / à la variable X on obtient U{f)R{f) + V{ f ) S { f ) = l d. En particulier pour tout x e E on a x = U{f)R{f){x) + V{ f ) S{ f ) { x) .

I

■TO

Par ailleurs U{f)R{f){x) € Ei car on a :

S { fm f) R if) ) { x ) = U {f)R {f)S if){x) = t/(/)P(/)(x) = 0 . De même on a V{ f)S{f){x ) e Eo, ceci montre que E est somme de Eo et Ei-

5 % §

Pour montrer que la somme est directe il faut démontrer que l'intersection de Eo et El est réduite à {0}. Soit donc x e E o D E i . Considérons l'identité

Î

X = U{f)R{f){x) + V { f ) S { f ) { x ) ,

o

les deux termes de droite sont nuis. Ceci montre que x = 0 et achève cette partie de la demonstration. I

TO 3 c 5.1

POLYNÔME MINIMAL D’UN ENDOMORPHISME 205

Il reste à démontrer que le polynôme minimal de / restreint à E q (resp. E\) est égal à R (resp. S). Soit R! (resp S") le polynôme minimal de / restreint à J5q (resp. E\), Le polynôme R divise le polynôme R car R{ f) est nul sur E q par hypothèse. De même le polynôme 5' divise le polynôme 5. Comme d'un autre côté R!{f)S'{f) est nul sur E = E q ^ E\, R S divise R !R . Comme on a aussi R! S' divise R S on en déduit que R = R! et S = S', m Ce résultat est connu sous le nom de théorème des noyaux. Il se généralise comme suit : T h é o r è m e 1 . Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k, et soit f e ^k{E) une application linéaire. Soit P e k[X] un polynôme. Supposons que P = P\ •••Pi ‘ - Ph, où les polynômes Pi e k[X] sont premiers entre eux deux à deux. Soit Ki le noyau de Pi{f), alors : ► les sous-espaces vectoriels K i sont stables par /, ► le noyau de l'application linéaire P { f) , KevP{f) est somme directe des sous-espaces vectoriels K i, ► si P est le polynôme minimal de f l'espace vectoriel E est somme directe des K i, et le polynôme minimal de la restriction de f à Ki est Pi. D é m o n s t r a t i o n . Introduisons les polynômes Qi = Pj . Comme les poly­ nômes Pi sont premiers entre eux deux à deux les polynômes Qi sont premiers dans leur ensemble. D'après l'identité de Bézout il existe des polynômes U iQ i

H--------f- Uf i Qk ,

=

U i,...,U h

tels que

1.

En particulier si on substitue f a X on obtient : E ^ i T O i ( / ) = w, i

donc en particulier pour tout a; G £? on a :

i

Mais on a : P i{f)U i{f) Q i{f){x) =

U i{f)P i{f)Q i(f)(x )^ Q i{f)P {f){x )= 0 ,

donc pour tout Z on a : U i{f)Q i{f){x)

€ K e r(P i(/)) =

K i .

Ce qui implique que E est somme des sous espaces vectoriels AT». Il reste à montrer que la somme est directe. Conservant les notations précédentes notons TTi l'application linéaire U i ( f ) O A f )

206 RÉDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINÉAIRE - C hap. 5

L e m m e 1 . On я щж, =Q si гф j et -к\ = тг». D é m o n s t r a t i o n . Considérons la première assertion. On a = U i{f )Qi{f)Uj {f)Qj{f) = Ui{f)Uj{f)Q,{f)Q.(^f^. Par construction des polynômes Qi le polynôme P divise QiQ. si i ^ i Q i i f ) Q j i f ) = 0/ et donc TTiiTj = 0 .

donc

Pour la seconde relation on considère la formule Id = Y^. тг^ et on la multiplie par TTi (г fixé) : ='^ij

B

j

Montrons que le sous-espace vectoriel Ki est aussi l'image Li de l'application li­ néaire TTi. On vient de voir que L i C K i , en effet par définition de тг» on a P» о тг^= 0. Inversement si x £ K i on a x = 7Ti(x), car pour tout on a ж, ощ{х) = 0. Mon­ trons que la somme est directe. Soit que si on a 0 = Y j vj avec Vj - nj{wj) avec Wj G E, pour tout j on a Vj = 0. Si on applique à cette formule тг» pour un i donné, comme plus haut on obtient 0 = Жг{щ) = 7г|(гу*) = T^iwi) = Vi. Le résultat suit. La dernière partie du théorème se démontre comme plus haut.

■

D é f in it io n 2 Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k, et soit / une application linéaire. On dit que \Gk, est valeur propre de / s'il existe un élément non nul V € P tel que /(v) = Av. On dit que v est un vecteur propre associé à la valeur propre A si /(v) = Av. La somme de deux vecteurs propres associés à la valeur propre A est un vecteur propre associé à la valeur propre A. De même si v est vecteur propre associé à la valeur propre A, il en est de même pour av pour tout a G k. Notons que, avec cette définition, 0 est toujours vecteur propre. i TJ

P r o p o s i t i o n 3 « Soit E un espace vectoriel sur un corps fc, et soit f une application linéaire. Soit X e к une valeur propre de f . Uensemble des vecteurs propres de f associés à la valeur propre X est un sous-espace vectoriel de E appelé le sous-espace propre associé à la valeur propre X. Il est noté E\. Soient (Л1, . . . , Лп) les valeurs propres de /, et soient E\^,..., E\^ le sous-espaces propres associés.

I

L e m m e 2 « Les sous-espaces propres sont en somme directe.

Q

5.1 - POLYNÔME MINIMAL D’UN ENDOMORPHISME 207

D é m o n s t r a t i o n * En effet, supposons avoir une relation du type

= 0, l^ i^ k

est un vecteur propre associé à la valeur propre de f . Les valeurs propres Ai sont deux à deux distinctes. Il faut montrer que tous les V i sont nuis. On va montrer que si on a une relation comportant k termes non nuis on peut obtenir une relation du même type comportant A:—1 termes non nuis. Par récurrence descendante on obtiendra une contradiction. O Ù Vi

Chaque Vi est donc non nul par hypothèse. Écrivons la relation sous la forme vi = Appliquons /, on obtient Aiî ;i = En multipliant par Al la première relation et en soustrayant on obtient la relation : ^

(Ai - Ai)vi = 0 .

Chacun des termes de cette relation est non nul. Par itération on obtient : PJ

(Ai —Afc) 'üfc = 0,

W ^ k -l

donc

= 0 en contradiction avec les hypothèses.

■

D é f in it io n 3 Si la somme des sous-espaces propres est égale à l'espace E l'application linéaire / est dite diagonalisable.

I

Justifions cette terminologie. Soient E\. les sous-espaces propres de /. Si on choi­ sit une base de E qui est réunion de bases des E\. la matrice de / dans cette base est une matrice diagonale. Cette définition s'applique évidemment aussi à une matrice (n,n) identifiée à une application linéaire de dans . Le théorème suivant donne une caractérisation des applications linéaires diagonalisables. T h é o r è m e 2 « Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k, et soit f une application linéaire. ► Supposons que le polynôme minimal soit scindé sur k et que les racines soient de multiplicité 1. Alors E est somme directe des sous-espaces propres de /. Inversement si E est somme directe des sous-espaces propres de f le polynôme minimal de f a toutes ses racines dans k et elles sont de multiplicité 1.

208 REDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINÉAIRE - C hap. 5

► Pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable il faut et suffit qu'il soit annulé par un polynôme scindé en produit de facteurs du premier degré et ayant toutes ses racines simples. D ém onstration. Commençons par la seconde partie. C'est une application im­ médiate du théorème des noyaux. Soient les racines du polynôme scindé en facteurs du premier degré, ayant toutes ses racines simples qui annule /. On peut alors lui appliquer le théorème des noyaux. L'espace vectoriel E est somme directe des sous-espaces Ker(/ Id). Si A^ est une valeur propre le noyau Ker(/ - Ai Id) est le sous-espace propre E \ .. Il est nul si Ai n'est pas valeur propre. Le résultat suit. Réciproquement supposons / diagonalisable. Soient Ai, . . . , An les valeurs propres de /. Soit v g E, par hypothèse v peut s'écrire sous la forme v = où Vi G E\^. Montrons que l'endomorphisme Ylj (/ —Xj Id) est nul. On l'applique à z;, on a n ( / - A j l d ) { v i ) = H ( / - A,- I d ) ( / - Ai I d ) ( t ;i ) = 0 .

j Le résultat suit. La première partie du théorème suit aussitôt en prenant pour P le polynôme minimal. ■ Ce résultat se transcrit immédiatement aux matrices. Soient / et ^ deux applications linéaires diagonalisables, le résultat suivant indique quand ces applications sont simultanément diagonalisables. P r o p o s i t i o n 4 * Soit E un espace vectoriel sur un corps k. Soient f et g deux appli­ cations linéaires qui commutent : fg = g f. Supposons que f et g soient diagonalisables, alors elles sont diagonalisables dans une base commune. Démonstration* Notons E\ les sous-espaces propres de /. On va montrer qu'ils sont stables par g. Soit en effet v G Ex, on a alors f{g{v)) = g(f{v)) = g{Xv) = Xg{v), soit g{v) G Ex. Montrons maintenant que la restriction de g a Ex est diagonalisable. Comme g est diagonalisable elle est annulée par un polynôme ayant toutes ses racines dans le corps de base, celles ci étant de multiplicité 1. Ce polynôme annule aussi la restriction de ^ à S a qui est donc diagonalisable. On peut aussi facilement démontrer que Ex est somme directe des S a flF^, où les S^ sont les sous-espaces propres de g. ■ Q ®

5.1 - POLYNÔME MINIMAL D’UN ENDOMORPHISME 209

C orollaire. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps fc, et soient f i, i e I un ensemble d'applications linéaires qui commutent deux à deux : f i f j = f j f i , pour tout i et tout j . Supposons que les applications linéaires fi soient diagonalisables, alors elles sont diagonalisables dans une base commune. D ém onstration. Supposons avoir démontré le résultat pour un ensemble de n applications linéaires commutant deux à deux. Démontrons maintenant le résul­ tat pour un ensemble de n + 1 applications linéaires /1, . . . , fn+i commutant deux à deux. L'espace vectoriel E est somme directe des sous-espaces propres de /n+i. Ceux-ci sont stables par /1, . . . ,/n/ on peut donc appliquer l'hypothèse de récur­ rence à la famille /1, . . . , /n sur chacun de ces sous-espaces propres. Notons que chaque fi est diagonalisable sur un sous-espace propre de /n+i à cause du même argument que plus haut. On trouve une base de chacun des sous-espaces propres de /n+i où chaque f i, l ^ i ^ n a une matrice diagonale. Le résultat suit car /n+i a bien évidemment une matrice diagonale dans cette base. Le résultat s'étend à une famille infinie d'applications linéaires pourvu que l'on suppose E de dimension finie (exercice). ■

2.

Théorème de Cayley-Ham ilton La section précédente n'a pas donné de moyens de calculer les vecteurs propres. C'est ce que l'on va rappeler maintenant. Introduisons une définition. On rappelle que le polynôme caractéristique d'une ma­ trice de taille (n,n), M, est le déterminant det{M —XIn)- C'est un élément de k[X]. Dans cette formule In est, comme d'habitude, la matrice unité, diagonale (n, n) avec des 1 sur la diagonale. Soit / une application linéaire et M la matrice de / dans une base B. On appelle polynôme caractéristique de /, le détermi­ nant det(M - XIn ). Ce polynôme ne dépend pas de la base choisie. En effet si on effectue un changement de base de matrice de passage P le nouveau polynôme est det(p-^M P - X I n ) = det(p-^) det(M - X In) det(P) = det(M - X I n ) . On le notera donc det(/ - Xl d ) e k[X]. Définition 1 Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k, et soit / une application linéaire. On appelle polynôme caractéristique de / le polynôme d e t ( / - X I d ) G k[X]. Le degré du polynôme caractéristique est la dimension de l'espace E.

210 RÉDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINEAIRE - C hap. 5 .

On a : P r o p o s i t i o n 1 * Soit E un espace vectoriel sur le corps k, et soit f une application linéaire de E dans E, Un élément X G k est valeur propre de f si et seulement si il est racine du polynôme caractéristique de /. D é m o n s t r a t i o n * Un élément X e k est valeur propre de / si et seulement si l'application linéaire / —AId n'est pas injective. Autrement dit si et seulement si det(/ —Aid) est nul. Donc si et seulement si A est racine du polynôme caractéristique det(/-XId). ■ Comme tout polynôme non constant a au moins une racine dans un corps algébriquement clos on a : C o r o l l a i r e « Soit E un espace vectoriel de dimension finie, non nulle, sur un corps k algébriquement clos. Une application linéaire de E dans lui-même a toujours au moins une valeur propre. Soit / une application linéaire d'un espace vectoriel sur un corps k, de dimension finie sur k, dans lui-même. Si elle a toutes ses valeurs propres dans le corps k et deux à deux distinctes, le polynôme caractéristique est égal au polynôme minimal. Cette propriété a lieu dès que les racines du polynôme caractéristique dans une clôture algébrique du corps de base sont deux à deux distinctes. Les commentaires précédents peuvent être démontrés directement ou être vus comme une conséquence du théorème de Cayley-Hamïlton qui suit : T h é o r è m e 1 « Soit f e S^{E). Le polynôme minimal de f divise le polynôme caracté­ ristique de f . D é m o n s t r a t i o n « Notons A ( A T ) le polynôme caractéristique de / : det(/ — X ld ). Choisissons une base pour E . Soit A la matrice représentant / dans la base choisie. Nous allons travailler dans les matrices à coefficients dans l'anneau des polynômes k[X]. I

Notons B{X) la comatrice (à coefficients dans A:[X]) de la matrice A - X In , où n est la dimension de E. Le terme bj^i de la matrice B{X) est obtenu comme suit : on enlève la ¿-ième colonne et la j-ième ligne à la matrice A - Xln, on calcule le déterminant de cette matrice de taille (n - l,n —1) et on le multiplie par (— . Les formules de Cramer pour l'inverse d'une matrice expriment que : { A - X I n ) B { X ) = A{X)In. Le degré des coefficients de la matrice B{X) en tant que polynômes à coefficients dans k est au plus n - 1. En effet, en considérant une matrice obtenue à partir de A - X l n en enlevant une ligne et une colonne on obtient une matrice dont au plus

5.2 - THÉORÈME DE CAYLEY-HAMILTON 211

n - 1 termes sont des polynômes en X de degré 1. Tous les autres termes sont constants. Les termes de plus haut degré que l'on peut obtenir en développant sont produits de n —1 polynômes de degré 1, donc de degré n —1. Le déterminant comme polynôme est donc de degré au plus n —1. Écrivons donc B {X ) sous la forme Bo + X B i + - - - + X ^ -^ B n -i, où les matrices Bi sont à coefficients dans k. Le polynôme caractéristique A (X) s'écrit sous la forme c o + c i X + .*. + ( - i r X ^ où les Ci sont des éléments de k. On a donc la relation suivante : (co + Cl X + •••+ CiX^ + •••+ (—

= •••

•••= (A - X \ ){B q + •••+ X^Bi + •••+

.

Ce qui donne en développant le terme de droite : ( cq +

... =

Cl

+

•••+

C iX ^ +

••• +

(—

=

•••

+ {AB^ - B^)X + ... + {ABi - Bi.i)X^ + •.. + {-B n -i)X ^ .

Les coefficients de sont dans chacun des deux termes des matrices à coefficients dans k, on peut donc les identifier. On obtient alors les relations suivantes : AB q = Colfiy

•••> ABi

•••)

B i-i = Cilfi)

~ B fi-i —

•

Substituons à B q sa valeur donnée par la seconde équation, soit ABi -c\ In , dans la première. On obtient A{AB\ —c\In) —cqI u = 0, soit J^B\ —c\A —co/n = 0. On substitue alors dans cette dernière équation la valeur de B\ donnée par AB 2 — B\ = C2In, et ainsi de suite. On obtient au ¿-ième pas l'équation suivante : A ^ B i - i — C i-iA ^ ~ ^ — C i-2 A ^ 2

_ ... _

cq

/^ =

0

,

et au dernier pas : (_l)n+l^n_c^_l^in - 1

Ci-\A

—0 .

Ceci démontre que le polynôme caractéristique s'annule quand on l'évalue sur la matrice de / dans une base quelconque, ou ce qui est équivalent sur /. h Soit E un espace vectoriel de dimension n sur un corps k algébriquement clos, et soit / une application linéaire. Soit P = {—l)^ Yli{X —Xi)^^ le polynôme caracté­ ristique de /, les Ai étant deux à deux distincts. Le théorème des noyaux implique que E est somme directe des sous-espaces Ei = Ker(/ - Ai Id )"*. Le polynôme caractéristique de la restriction de / a Ei est au signe près (X —Ai)"".

212 RÉDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINÉAIRE - C hap. 5

D é f in it io n 2 Le sous-espace Ei est par définition le sous-espace caractéristique de / associé à la valeur propre .

I

Matrices compagnons et invariants de similitude Étant donné un polynôme de degré n à coefficients dans un corps k il existe toujours une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans luimême qui admet ce polynôme comme polynôme caractéristique. P r o p o s i t i o n 2 . Soit P = ao-\- - - - - ai -\- - - - - - - h X'^ un polynôme à coefficients dans k. La matrice ( n , n ) suivante admet P pour polynôme caractéristique : /0 1

...

...

0

— ÜQ

0

...

0

- a i

0

Vo ...

\

: 1

0

0

1

—0> n-2 ^ n —1 /

Une matrice de ce type est appelée la matrice compagnon associée au polynôme P. Soit / G SBk{E), Supposons que E est de dimension finie sur k A - Xîn. Il est possible de montrer que l'on peut trouver une décomposition en somme directe de E, telle que : ► Chaque Ei est stable par f , le. f( E i) c E i, ► on peut trouver une base de Et dans laquelle la restriction de f k E{ a pour matrice une matrice compagnon de polynôme caractéristique Pi , ► le polynôme Pi divise si i < h. On a : T h é o r è m e 2 . La décomposition précédente a les propriétés suivantes :

I

Ia s I T3

► La suite des polynômes Pi est uniquement déterminée par / , autrement dit, elle est la même pour toute décomposition satisfaisant aux propriétés ci-dessus, ► le polynôme Ph est égal au polynôme minimal de f , ► le polynôme caractéristique de f est égal à П к г ^ / г ► si deux applications linéaires f et g sont conjuguées sous l'action du groupe linéaire, et si on note Pi et Qi les polynômes qui leur sont associés on a Pi = Qi pour tout i, ► inversement soient deux applications linéaires f et g, et soient Pi et Qi les poly­ nômes associés. Si on a Pi = Qi pour tout i les applications linéaires f et g sont conjuguées.

Q 5.2 - THÉORÈME DE CAYLEY-HAMILTON 213

Nous n'allons pas démontrer ce théorème. La démonstration en sera faite en exer­ cice. Notons seulement que les points deux et trois de l'énoncé sont faciles. Le troisième point résulte d'un calcul explicite, le second de la condition de divisi­ bilité portant sur les polynômes. La cinquième condition est elle aussi facilement démontrée. Les parties difficiles sont en premier lieu l'existence affirmée avant le théorème, puis l'unicité de la suite de polynômes. Tout ceci sera proposée en exercice. Les polynômes définis plus haut sont appelés les invariants de similitude de l'application linéaire. Notons enfin pour conclure l'analogue pour les matrices. Deux matrices (n,n) A et B sont semblables s'il existe une matrice inversible (n,n), soit P , telle que A = P~^BP. Identifiant les matrices à des applications linéaires de dans lui-même on peut associer à chacune une suite de polynômes avec les conditions indiquées plus haut. Alors le théorème précédent affirme que les matrices sont semblables si et seule­ ment si les deux suites de polynômes coïncident. Ceci permet donc de déterminer les classes de conjugaison du groupe linéaire.

3. Triangularisation des m atrices et réduction de Jordan On suppose dans toute cette section que l'on travaille sur un corps algébriquement clos. On pourra se restreindre au corps C. Théorèm e 1 • Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps algébrique­ ment clos. Soit f une application linéaire de E dans lui-même, alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure. D ém onstration. On raisonne par récurrence sur la dimension de E . Soit n la dimension de E . On admet que l'on a démontré le théorème pour toutes les applications linéaires sur des espaces vectoriels de dimension n - 1. Le corps de base étant algébriquement clos l'application linéaire / a au moins une valeur propre Л. Soit v e E un vecteur propre non nul associé à Л et soit F le sousespace vectoriel de dimension 1 de E engendré par v. L'espace vectoriel quotient Е / F est de dimension n —1. L'application / envoie par hypothèse le sous-espace F dans lui-même. Elle induit donc une application linéaire f : E l F ^ E j F telle que 7ГO/ = 7 O7Г, où 7Г est la projection canonique de E sur E /F . Par hypothèse de récurrence on peut trouver une base (e^,... ,e^) de E / F dans laquelle la matrice f est triangulaire supérieure, notons la B . Choisissons des

214 REDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINÉAIRE - C hap. 5

éléments ег,. . . , en ^ Æ? tels que тг(е2) = ,.. •, тг(еп) = . Montrons que le système (г;,62, . . . , en) est une base de E , Comme il est constitué de n vecteurs il suffit de montrer que c'est un système libre. Supposons que l'on ait une relation : av “h ^ ^ Oii^i

0,

г= 2,. .. ,п

en appliquant тг on obtient Q!ie-=0, ¿ = 2 , .. ., n

donc tous les coefficients nul, a est nul.

sont nuis. Il reste donc av = 0, mais comme v est non

La matrice de / dans cette base est alors de la forme souhaitée, à savoir : / A a 2 ... an \ 0

V

(B) /

En effet, on a d'un coté f{v ) = Xv. Par ailleurs pour 2 ^ г ^ n o n a /(е^) = modulo un élément de F , soit /(e^) = bj^iCj + aiV.

■

De même que l'on a étudié la diagonalisation de deux applications linéaires (ou d'une famille d'applications linéaires) qui commutent on peut étudier la triangularisation de deux applications linéaires qui commutent :

Proposition 1• Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps algébrique­ ment clos. Soient fi, i e I, une famille d'applications linéaires commutant deux à deux. Alors on peut trouver une base de E dans laquelle chacune de ces applications linéaires a une matrice triangulaire supérieure. Démonstration. Elle est proposée en exercice.

■

i

Réduction de Jordan

I

s

La réduction de Jordan est une forme particulière de triangularisation qui est très utile dans certains cas, en particulier dans des études théoriques. Nous allons nous placer uniquement sur le corps C pour faire cette étude, et procéder en deux étapes. Dans la première étape, on supposera que le polynôme minimal (ou le polynôme caractéristique, ce qui est équivalent) a une seule racine.

5.3 - TRIANGULARISATION DES MATRICES, RÉDUCTION DE JORDAN 215

Supposons donc que le polynôme minimal de / soit de la forme (A —X)^. Pour tout entier £ compris entre 1 et A; définissons un sous-espace vectoriel de E par la formule suivante : E , = {i;€£;|(AId-/)^(v) = 0}. Le sous-espace E\ est l'ensemble des vecteurs propres et par hypothèse on a Ek = E . On a la suite d'inclusion : El

C

- • C Ee c -

•C

Ek

=

E

.

Notons g pour l'application linéaire / - A id . Par définition g{Ei) est contenu dans E i-i, Choisissons un supplémentaire Fk de Ek~\ dans Ek = E . Notons que par définition g^~^ est injective sur F k . Puis, choisissons un supplémentaire de la somme Ek -2 + g{Fk) dans E k -i. En fait, il est facile de voir que la somme précédente est directe. Nous donnerons un énoncé plus général dans le prochain lemme. Par récurrence supposons avoir défini des sous-espaces vectoriels F k Cl E k ) * * * ) -Pi+i C E i^ i .

Définissons alors Fi comme un supplémentaire de

dans E i. Cette construction est justifiée car le sous-espace

E est contenu dans E i . En effet par construction pour tout £ tel que i - ^ l ^ £ ^ k le sous-espace g^~‘^{Fe) est contenu dans E i. Par définition g^~^ est injective sur Fi, et en fait sur Fi -h Lemme 1 • L'espace vectoriel E est isomorphe à la somme directe :

0 (0

l^e^k

•

D ém onstration, La démonstration consiste essentiellement à vérifier que les sous-espaces qui apparaissent dans la formule sont en somme directe.

216 RÉDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINÉAIRE - Chap. 5

Pour montrer que la somme eôt directe il nous faut établir que si on a une relation de la forme : '’e ,t = 0 , i^e^ko^t^e-1 avec Vi^t e

tous les éléments

sont nuis.

Pour montrer que E est égal à cette somme directe, il faut aussi établir que tout élément de E s'écrit sous la forme avec ^ 9^{Eî )^ Considérons d'abord la première question. Supposons donc que fc > 1 (le cas A;= 1 est clair) et appliquons à la relation. Il nous reste = 0/ tous les autres termes de la somme étant dans le noyau de g ^ ~ ^ . Or g^ ~ ^ est injectif sur F k comme on l'a dit plus haut. En effet F k a par construction une intersection réduite à {0} avec Ek-\, donc Vk^Q = 0. Appliquons maintenant g^~'^ on obtient l'équation : g^~"^{vk,\) + = 0. En effet tous les éléments Vi^j de la somme pour i ^ k —2 sont annulés par et on vient de montrer que Vk^çi est nul. Ainsi qu'on l'a dit plus haut l'applica­ tion est injective sur Fk-\ ^ g {F k ), en effet cette somme directe (qui l'est par construction) a par définition une intersection avec Ek -2 réduite à {0} car g{Fk)C^Ek-2 = {0} puis que g^~^ est injectif sur g{Fk)- Il reste donc Vk,\ +î^fc-i,o =0. Comme les sous-espaces ceci implique que Vk^\ =

Fk~\

et g { F k ) sont par construction en somme directe = 0.

Passons au cas général, soit i un entier fixé entre 0 et fc —1. Supposons avoir montré que : Vh,i = 0 pour tous h tels que h —i > i , que les sous-espaces g'^{Fh), pour h —i > i sont en somme directe, enfin que l'application g^ est injective sur

L' image du sous-espace précédent par g est aussi une somme directe :

i'O qui est par construction d'intersection réduite à {0} avec E^-i et donc par définition de on récupère la somme directe suivante

I 8*

I

0

k -i-t {F k-t). 9

sur laquelle par construction g^ ^ est injective. Appliquons g^~^ à la relation considérée plus haut. Étant donné que les vecteurs Vh^i sont nuis pour h tel que h —i > i ei que g^~^ s'annule sur les sous-espaces

5.3 - TRIANGULARISATION DES MATRICES, RÉDUCTION DE JORDAN 217

g^{Fh) pour ^ > /i - 2, on en déduit la relation : 9^ ^('i^£,0

+

••• +

Vk,k-i) =

Mais comme est injective sur éléments Vk-e+t^t sont nuis. Le résultat suit.

0 •

[Fk-t) il en résulte que tous les ■

Construisons alors une base de E comme suit. Pour chaque Fi on choisit une base que l'on notera (ei,i, . . . , e^,di ), où est la dimension de F i. Le résultat précédent montre que : Proposition 2 . Le système de vecteurs (^1, 1 ) • • • ) ^lydi ) )

(^1,1 ) • • • ) ^

(efc,i, •••,

( e^, ! ) ) ï • • • }

(efc,i) , . . . ,

, • •• ) P

) ) •••) P

( e f c . i {ek,d^ , •••, 5 ' ' " a )>•••>

i^h.dk ))

est une base de l'espace vectoriel E. C'est par définition une base de Jordan pour /. C'est-à-dire une base dans laquelle la ma­ trice f est triangulaire supérieure et ne comporte, éventuellement, comme termes non nuis au dessus de la diagonale principale que des 1 sur la diagonale qui lui est immédiatement supérieure. L'énoncé est précisé par la démonstration ci-dessous. D é m o n s t r a t i o n , Soit i tel que 1 ^ 2 ^ fc et que 1 ^ . Soit un entier t tel que 1 ^ t ^ di, soit alors Ei^i, le sous-espace engendré par les vecteurs On vient de voir que l'espace E est somme directe des sous-espaces Ei^e. Ces sous-espaces sont stables par /. On a en effet f{9^{^i,t)) = (-ff + AId)/(ei,«) =

+ Xg'^iei/).

Étant entendu que g^ {ei/) est nul si h~^i. En fait le système (ej,^),..• constitue même une base de Ei^,, et dans cette base la matrice de la restriction de / a la forme :

/A 1 O' ... 0\ OA 1 : :

V o ...

0 A 1 0 A/

218 RÉDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINÉAIRE - C hap. 5

La matrice de / est donc en fin de compte une matrice diagonale par blocs : / J\,d\ •• b *^l,d2

0

V0

... .......... ^

0 \ 0 0 /

où Ji^e est la matrice de la restriction de / au sous-espace vectoriel Ei^e. Il nous reste à traiter le cas général de la jordanisation. Soit donc f une applica­ tion linéaire d'un espace vectoriel complexe E de dimension finie dans lui-même. Puisque le corps sur lequel on travaille est C le polynôme minimal de / a toutes ses racines dans le corps et se scinde donc en produit de polynômes de la forme Appliquons le théorème des noyaux au polynôme caractéristique, il implique que l'on peut écrire E comme somme directe de sous-espaces caractéristiques Ei stables par /. Sur ces sous-espaces, la restriction de / a pour polynôme minimal un divi­ seur de {X - Xi)^^. En fait ce dernier polynôme est le polynôme minimal d'après le théorème des noyaux. On est donc ramené sur chaque Ei au cas précédent. Une base de jordanisation est alors par définition une base obtenue par réunion de bases de jordanisation sur chacun de ces sous-espaces. я Dans la fin de cette section nous allons donner des conséquences. Nous travaillerons uniquement dans un cadre matriciel.

I

D é f in it io n 1 Une matrice N G Mn(fc) est dite nilpotente s'il existe un entier i tel que iV^ = 0.

P r o p o s i t i o n 3 « Une matrice triangulaire supérieure dont tous les éléments diagonaux sont nuis est nilpotente. D é m o n s t r a t i o n . En fait si T eM n(k) désigne la matrice en question on a T^=0.b

I

D é f in it io n 2 Une matrice U G M n{k) est dite unipotente si la matrice U —In est nilpotente.

En particulier si la matrice N est nilpotente la matrice I n N

est unipotente.

Q

5.3 - TRIANGULARISATION DES MATRICES, RÉDUCTION DE JORDAN 219

T h é o r è m e 2 « Soit A une matrice (n, n) à coefficients dans un corps k algébriquement clos. Alors il existe une matrice diagonalisable D et une matrice nilpotente N telles que : ^ A = D +N , ^ DN = ND. Si de plus la matrice A est inversible alors les matrices D et N sont uniquement déterminées par ces conditions. D é m o n s t r a t i o n » On commence par trouver une base de jordanisation pour A. Il existe une base B ' et donc une matrice de changement de bases P telle que la matrice P~^AP = (ttîj) soit une réduite de Jordan. La matrice P~^AP peut donc s'écrire comme somme de la matrice A = {d ij) définie par : ( di^i = TTi^i, X d ij = 0,

si i ^ j

et de la matrice N = {riij) définie par : \ Si J = 0,

si j

La matrice N n'a de termes non nuis que sur la diagonale juste au dessus de la diagonale principale. Ces termes ne pouvant prendre que la valeur 1. Les matrices A et AT commutent, donc les matrices PAP~^ et PNP~^ répondent à la question posée. Il reste à démontrer l'unidté de la décomposition. Considérons une décomposition A = D' + N' avec les propriétés requises. Les ma­ trices A, D et N commutent ceci entraîne en particulier que les sous-espaces propres de D sont stables par A et N . Ces sous-espaces constituent une décompo­ sition en somme directe de . Ils coïncident avec les sous-espaces caractéristiques de A, ils sont donc bien déterminés et on peut se restreindre au cas où D' est une matrice diagonale. Ceci implique le résultat. m

4 . Applications topologiques de la diagonalisation et de la triangularisation Dans cette section, le corps de base sera C , sauf brièvement, à la fin, où on se pla­ cera sur M. Rappelons que sur l'espace vectoriel complexe M n ( C ) de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Dans la suite on choisira par exemple la norme donnée par \\A\\ = Y,- - |aij|. P r o p o s i t i o n 1 . L'ensemble des matrices inversibles est ouvert et partout dense dans l'ensemble des matrices.

220 REDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINEAIRE - C hap. 5

D é m o n s t r a t i o n . En effet une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Le déterminant est une application : M n (C )^ C . Cette application est donnée par une fonction polynomiale, elle est donc continue. L'ensemble des matrices inversibles Gln(C), qui est l'image inverse de l'ouvert C —{0}, est ouvert. Pour ce qui est de la densité, on considère une matrice A quelconque. Cette matrice peut être triangularisée. Il existe une matrice P inversible telle que P~^AP = T est triangulaire. La matrice T est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux, qui sont les valeurs propres de A, sont tous non nuis. Modifions T en la remplaçant par T + e in •On peut trouver des e g C de module arbitrairement petit tels que T + eIn soit inversible. En fait dès que le module de e est strictement inférieur à celui des éléments diagonaux de T et non nul la matrice T + ein est inversible. La matrice P {T + eIn)P~^ est donc inversible dès que le module de e est assez petit et non nul. Cette matrice est égale a A + ein , quand |£:| tend vers zéro cette matrice admet pour limite la matrice A. Le résultat suit. ■ Proposition 2 . Uensemble des matrices diagonalisables est partout dense dans l'ensemble des matrices. D é m o n s t r a t i o n . Comme pour le résultat précédent on commence par triangulariser la matrice A : on a T = P~^ AP pour une certaine matrice P . Mais au lieu d'ajouter à T un multiple de In on ajoute une matrice diagonale : /£i 0 ... 0 \ E =

0 0 ^ 0 ... 0 £„/

Considérons la matrice T A E , on peut trouver des valeurs de e i , ... »^n/ de mo­ dule aussi petit que l'on veut, telles que les éléments diagonaux de T E soient deux à deux distincts. Soit en effet x = {x\^... ^Xn) un vecteur dont les composantes sont deux à deux distinctes. Soit v = {v\^... ,Vn) un vecteur quelconque.

i I I Q

Montrons que le vecteur î; + ix = (?;i, . . . , Vn) + t{x\, . . . , Xn) a ses coordonnées deux à deux distinctes dès que le module de t est assez petit et non nul. Sinon on aurait une équation de la forme + txi = vj + t x j. Mais comme Xi ^ X j, si г ^ j , cette équation a une solution et une seule éventuellement nulle. Il faut qu'un nombre fini d'équations de ce type n'ait pas lieu. Il suffit donc de prendre t non nul et de

5.4 - APPLICATIONS DE LA DIAGONALISATION ET DE LA TRIANGULARISATION 221

module inférieur à celui des solutions de ces équations pour garantir que v -\-tx a ses coordonnées deux à deux distinctes. Pour ces valeurs de t la matrice T + tE est triangulaire avec des éléments diago­ naux deux à deux distincts la matrice est diagonalisable. Il en est de même de P {T + Œ)P~^ = A -{-tE . Quand t tend vers zéro cette matrice tend vers A. Le résultat suit. H P r o p o s i t i o n 3 . L'ensemble des matrices (n, n) ayant des valeurs propres deux à deux distinctes est un ouvert partout dense dans l'ensemble des matrices. D é m o n s t r a t i o n . Une matrice A a ses valeurs propres deux à deux distinctes si et seulement si son polynôme caractéristique P n'a pas de racines communes avec son polynôme dérivé P '. Cette condition s'exprime par la non nullité du discri­ minant de P (chapitre 3, section 8). Mais le discriminant de P est un polynôme en les coefficients de P , c'est une application M ,(C )— >c. C'est une fonction polynomiale en les coefficients de la matrice A, elle est donc continue. L'image inverse de l'ouvert C - {0} qui est l'ensemble des matrices dont les valeurs propres sont deux à deux distinctes est donc un ouvert de l'ensemble des matrices. Pour ce qui est de la densité l'argument donné pour la proposition 2 fonctionne à l'identique. ■ P r o p o s i t i o n 4 # Le groupe des matrices (n, n) à coefficients complexes inversibles est connexe par arcs et donc connexe. D é m o n s t r a t i o n . On va en donner deux démonstrations. La première utilise le lemme suivant : L e m m e 1 . Le plan complexe privé d'un nombre fini de points est connexe par arcs. La démonstration est laissée au lecteur. Soient A y B eG L n {C ), considérons le polynôme en la variable complexe ^ det{zA-]r {1 - z)B ). Ce polynôme a un nombre fini de racines. On peut donc trouver un chemin 1 1-> j{t) de 0 à 1 dans C tel que pour toute valeur t com­ prise entre 0 et 1 le déterminant d etj{t)A + (1 - 'y{t))B soit non nul donc que la matrice j{t)A + (1 - y{t))B soit inversible. Ce qui démontre l'assertion. La deuxième démonstration utilise la triangularisation. On commence par obser­ ver qu'il suffit pour démontrer la connexité par arcs de construire un chemin d'une matrice quelconque à la matrice identité. En effet pour construire un chemin

222 RÉDUCTIONS DES ENDOMORPHISMES STRUCTURE DU GROUPE LINÉAIRE - C hap. 5 .

d'une matrice A à une matrice B il suffira alors de mettre bout à bout un chemin joignant A à la matrice identité, puis un chemin joignant la matrice identité à B . Précisons, soit un chemin, c'est-à-dire un arc continu a : [0,1] GLn(C), de A à A' (a(0) = A, a(l) = A') et un arc continu a' : [0,1] GLn(C), de A' à Æ’ (a '(0) = ^ ', a '(l) = A”). On définit un arc continu 7 de A à A” par j{t) = a{2t) si 0 < i
1,2

On obtient q{x) = ai,2Ai(a;)A2( x ) -----j>^

i>2

ûl,2

i j 2^2 {x ) Ÿ - (-^1(2;) - ^2(2;))^)-----

-- ai,2(E ~ “2(^))(E ~ ^2(^)) + E j> 2

“ '-2

^ j> 2

i,j2< i^j

(®)“2(2;)•

La famille Ai + A2, Ai - A2, 03, . . . , a„ constitue encore une base de l'espace dual. Le déterminant de la matrice de passage est égal à 2. On peut alors dans un cas comme dans l'autre appliquer l'hypothèse de récurrence au terme de droite du membre de droite des équations. On admet donc qu'une forme qui s'écrit comme polynôme homogène de degré 2 en n - 1 formes linéaires peut s'écrire comme combinaison linéaire de carrés. Or on vient bien de se réduire à une forme qui s'exprime comme polynôme homogène de degré 2 en au plus n - 1 formes linéaires. Le résultat peut être précisé. Dans la construction ci-dessus on substitue pas à pas à la base initiale de l'espace dual une nouvelle base. On peut donc supposer que les formes linéaires A^ du théorème constituent un système libre. m Le théorème s'étend évidemment aux formes quadratiques hermitiennes. Par exac­ tement le même type d'arguments on montre qu'elles peuvent se mettre sous la forme : i

les coefficients

étant réels.

252 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINÉAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

Nous allons maintenant préciser l'étude dans le cas réel. Théorèm e 2* Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie et soit q une forme quadratique. On peut trouver une famille de formes linéaires Ai,. . . , et une famille de formes linéaires , . . . , /is telles que pour tout x e E on ait :

Si la famille { Ai, . . . , Ar, , . . . , )L¿5} est libre, Ventier r + s est le rang de la forme. Sous l'hypothèse précédente les entiers r et s sont eux aussi uniquement déterminés. La dernière propriété est connue sous le nom de loi d'inertie de Sylvester. Le couple (r, s) est la signature de la forme quadratique. D é m o n s t r a t i o n « Pour ce qui est de la première partie on commence, suivant le théorème précédent par écrire q{x) sous la forme aiAi(x)^. On suppose tous les üi non nuis et on suppose que les Ai forment un système libre. On regroupe sui­ vant le signe des a i . Supposons que les r premiers soient positifs et les s derniers soient négatifs. On peut alors réécrire q{x) sous la forme :

XI

- r+l^i^r+s X

■

Montrons l'unicité de r et s. La somme r + 5 est ainsi qu'on l'a vu bien déterminée, c'est le rang de la forme. Notons n la dimension de l'espace E . Soit donc deux décompositions :

X et

i(^)= X

X -

X

Complétons la famille constituée par les Ai et par les pj en une base de E *, notons , . . . , et les formes linéaires adjointes. On a r s + t = n. Faisons de même pour la famille constituée par les A^ et les /z'. Soient e i, . . . , les formes linéaires adjointes. On a r*' + s' + i = n. Supposons alors que r < r ' . Considérons le sous-espace F de £* d'équations Ai = 0, Z= 1 , ... , r. Il est de dimension n —r. La forme quadratique y prend des valeurs négatives ou nulles. Considérons le sous-espace F' d'équations /x' = 0, j = 1,..., s' et = 0, ^ = 1 , ... , L II est de dimension n —s' - t = r' .L a forme quadratique y I TO J a3 Q

®

6.1 - FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINÉAIRES 253

prend des valeurs positives non nulles en dehors de 0. Comme : (n — r ) + r ' = n + (r' — r ) > n

l'intersection de F et F' est de dimension au moins 1 et contient donc un vecteur non nul sur lequel q devrait être négative ou nulle, ou strictement positive. C'est impossible. La condition r < r' menant à une contradiction on en déduit que r = r' (la condition r > r' est éliminée de façon analogue) et donc s = s '. я Pour conclure rappelons qu'une forme quadratique sur un espace vectoriel réel E est appelée positive si elle ne prend que des valeurs positives ou nulles. Elle est définie positive si elle est positive et ne prend la valeur 0 que pour le vecteur nul. Si l'espace E est de dimension n elle est de signature (n,0). On définit de même les formes négatives et définies négatives. Enfin, ajoutons que ce que l'on vient de faire s'étend aux formes quadratiques hermitiennes : Théorèm e 3 . Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie et soit h une forme quadratique hermitienne. On peut trouver une famille déformés linéaires Л1, . . . , et une famille de formes linéaires pi^.. .^/is telles que pour tout x e E on ait :

q{x)= Si la famille {Л1, . . . ,

E

E

j =l y . . . j S

, . . . , //5} est libre, l'entier r

s est le rang de la forme.

Sous l'hypothèse précédente les entiers r et s sont eux aussi uniquement déterminés. On définit également des formes définies positives et négatives.

Vecteurs isotropes Définition 7 Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel E . On dit qu'un vecteur V est un vecteur isotrope si et seulement si q{v) = 0. On dit qu'un sous-espace F est totalement isotrope si tout v e F est isotrope. Voici un exemple important. Considérons l'espace vectoriel et sa base canonique { 61, 62}. Considérons la forme quadratique déterminée par la matrice

J2

0 1 10

Les vecteurs 61 et 62 sont isotropes. L'espace muni de cette forme est appelé le plan hyperbolique. Plus généralement on appelle plan hyperbolique tout espace

254 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINÉAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

de dimension 2 muni d'une forme quadratique q pour laquelle on peut trouver une base où sa matrice soit J 2. Par exemple, c'est le cas de

muni de la forme quadratique

.

Définition 8 Soit E un espace vectoriel sur un corps k, et soit q une forme quadratique sur E . On appelle sous-espace totalement isotrope maximal un sous-espace totale­ ment isotrope F tel que si F ' est un sous-espace totalement isotrope contenant F , alors F = F ' . Tout sous-espace totalement isotrope est contenu dans un sous-espace totalement isotrope maximal car E est de dimension finie. Si on considère le cas d'une forme quadratique, sur un espace vectoriel réel de di­ mension n, de signature (r, s) on montre que les sous-espaces totalement isotropes maximaux sont de dimension n —(r + s) + max(r, s ). En fait on a : Théorèm e 4 . Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k, et soit q une forme quadratique sur E. Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension. Ce résultat est un corollaire du théorème de Witt qui suit et qui sera démontré en exercice : Théorèm e 5 (Witt). Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k de caractéristique différente de 2, et soit q une forme quadratique sur E. Soient F et F' des sous-espaces vectoriels de E. Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes : ► il existe un élément u du groupe 0 {q ) tel que u{F) = F ', ► il existe une application linéaire bijective f de F sur F ' telle que pour tout v e F on ait q{v) = q{f{v)).

2. Structure du groupe orthogonal euclidien 3g

I

S

Dans cette section nous allons étudier plus en détails le cas où on a un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'une forme quadratique définie positive q. Un tel espace est appelé un espace vectoriel euclidien. La forme polaire associée b est le produit scalaire euclidien. L'application x 1-^ ||a:||= y/q{x) est alors une norme, rappelons que Ton a l'inégalité de Cauchy-Schwarz [LM], [LA].

I

Q

(§)

6.2 - STRUCTURE DU GROUPE ORTHOGONAL EUCLIDIEN 255

Notons qu'une application qui préserve la norme préserve aussi le produit scalaire et est linéaire. Une base {ei , . . . , en} de l'espace telle que q{ei) = 1 et b{ei^ej) = 0 si orthonormée.

j est dite

Le théorème 2 de la section 1 montre que l'on peut trouver une base de E dans la­ quelle la forme q s'écrit æf H------ h . On en déduit que si q et g' sont deux formes définies positives sur un même espace vectoriel de dimension n les groupes 0 {q ) et O(ç') sont isomorphes. En effet, ils sont isomorphes tous les deux au groupe de la forme H-------h qui est noté 0(n ). Une matrice de 0 (n ) est dite orthogonale. P r o p o s i t i o n 1 • Une matrice (n, n) A est orthogonale si et seulement si ses vecteurs forment une base orthonormée de ou encore si et seulement si ^AA = /n. Démonstration, Soient X et У deux vecteurs colonnes. Leur produit scalaire est égal au produit ^XY. Pour qu'une matrice A soit orthogonale il faut et suffit que pour tous X ,y on ait ^X{fAA)Y = ^XY, Ceci est équivalent à l'égalité ^AA = 7n* Cette identité exprime exactement le fait que les vecteurs colonnes de A consti­ tuent une base orthonormée de E^. En effet, si A = {o ij cette identité équivaut aux relations — Ь pour j = 1,... ,n, et = 0 si A; relations qui expriment que le système des vecteurs lignes est orthonormé. ei C o r o l l a i r e , Une matrice orthogonale est de déterminant 1 ou - 1 . Démonstration, En effet, on a det(MA) = det(^i4)det(A) = det(i4)^ =det(/n) = L D'où le résultat. m D é f in it io n 1 On appelle groupe spécial orthogonal et on note SO(n) le sous-groupe constitué par les matrices orthogonales de déterminant 1. En particulier le groupe SO (2) est constitué par les matrices

► -hc^ =6^+ = 1, ►a6 +cd =0, ►ad —6c = 1.

(-)

telles que :

De la première équation on conclut qu'il existe 9 tel que a = cos 6 et c = sin6. De la seconde et de la première on déduit que b = —sin 9 et d = cos 9 ou b = sin 9 et c = —cos 9. Enfin de la troisième on déduit que la première solution est la bonne.

256 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINEAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

La matrice est donc égale à la matrice Re suivante / cos 0 —sin 0 \ sin 6 cos 6 J Autrement dit que c'est une rotation d'angle 0, Notons que ReRe^ = Re+o' . Notons enfin que l'application z : U —>SO (2) qui à associe Rg est un isomor­ phisme de groupes. En effet, c'est un homomorphisme car on a =

R e+e< = R e R o '

•

C'est un isomorphisme à cause de la formule de Moivre, en fait cet énoncé n'est rien d'autre qu'une présentation pédante de cette formule ! Les autres éléments du groupe 0(2 ) sont de déterminants —1. L'analyse faite cidessus montre que la matrice d'un tel élément est de la forme : cos 0 sin 0 Sin0 —COS0 pour un certain réel 0, Il s'agit de la symétrie orthogonale autour de la droite û faisant un angle - avec l'axe des abscisses. Dans la section suivante on reviendra plus en détails sur le cas de SO(3) et de SO(4).

Symétries et générateurs du groupe orthogonal Soit E un espace vectoriel euclidien et b son produit scalaire. D é f in it io n 2 Soit F un sous-espace vectoriel de E. Son orthogonal est par définition l'ensemble des vecteurs v e E tels que b{x,v) = 0 pour tout x e F . On le note F-^. .-ü 'O

C'est évidemment un sous-espace vectoriel de E.

I

P r o p o s i t i o n 2 . L'espace vectoriel E est la somme directe de F et de F -^.

I I §

D ém onstrotion. En fait il faut commencer par montrer que F-^ est un sousespace. Mais si on a v^w e F^ et A G M, on a 6(x,v-\-w) = b{x,v) -hb{x,w) = 0 pour tout a; G F , et on a 6(x, Xv) = Xb{x, v) = 0. Donc v-\-w et Xv sont éléments de F-^.

I

Montrons maintenant que E est somme directe de F et . Si on a z; G F n F-*cela implique que b{v,v) = 0. Mais comme b est un produit scalaire cela implique v = 0.

I S I T3

6.2 - STRUCTURE DU GROUPE ORTHOGONAL EUCLIDIEN 257

Pour démontrer que E est somme directe de F et F-*- il suffît maintenant de montrer que dim® (F) + dimR(F-*-) ^ dimR(F). Mais si d est la dimension de F et si ei, . . . , e, dans l'orbite de s sous l'action de H, ne dépend que de s. Cette valeur est l'ordre d'une rotation engendrant Hs Donc l'image inverse par tt de s' a aussi #iTs - 1 éléments. Il y a élé­ ments dans l'orbite de s. Soit ^ un système de représentants pour ces orbites, on obtient :

Soit finalement se^

ou encore :

2

V.

Cette identité impose des bornes aux valeurs

1 .

et

.

Comme le groupe Jï* est toujours par hypothèse de définition non trivial, la quan­ tité 1 est supérieure ou égale à en comparant à l'équation ci-dessus on en déduit que < 3. Considérons donc les cas possibles, on notera Hi pour H s dans la suite. Cas 1 :

= 1 .

En considérant l'équation ci-dessus on constate que ce cas est impossible. Cas 2 :

= 2 .

On a alors 2 - ^ = 2 - #Hl - 3#H2 ^ •On a soit 2# ifj < # i î soit = # i î , on en déduit facilement que Hi = H. Comme le groupe H laisse fixe un vecteur non-nul

270 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINÉAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

les éléments de H sont des rotations autour de Taxe déterminé par ce vecteur. Le sous-groupe H est donc un groupe cyclique constitué de rotations autour d'un axe donné. Les points fixes sont les points d'intersection de la sphère avec l'axe de rotation, ils forment deux orbites. Cas 3

= 3.

On commence par observer que le groupe est d'ordre pair 2n. La formule ci-dessus devient : 2 1 1 1 + #i/ “ #i/i ^ #ÎÎ2 #//3 ■ Considérant cette équation on observe que les trois entiers # i î i , # H 2 >et # iÎ 3 ne peuvent être tous les trois supérieurs ou égaux à 3. L'un d'eux au moins est égal à 2. Il est clair aussi que les deux autres ne peuvent être "grands" simultanément. En fait ils ne peuvent tous les deux être supérieurs ou égaux à 4. À partir de ces remarques on déduit que le cas 3 se subdivise en quatre sous-cas que l'on décrit ci-dessous en donnant leur réalisation géométrique, détaillant en particulier les ensembles de points fixes. Le premier sous-cas dépend d'un entier n : C a s 3 .1 , le s p o ly g o n e s r é g u lie r s , # H i = # i Î

2

= 2 , e f 2#H s = # i î = 2 n .

Ce cas est celui du groupe diédral d'ordre 2n (Chapitre 1, Section 2). Le groupe est engendré par les rotations d'ordre n autour d'un axe donné D, et par la symétrie autour d'un axe de symétrie d'un polygone régulier à n côtés tracé dans le plan P orthogonal à D, centré à l'origine, et inscrit sur la sphère . Les points fixes sont les sommets du polygone et les intersections des droites pas­ sant par l'origine et le milieu des côtés avec la sphère S^, ainsi que les points d'intersection de la sphère avec D. Les points d'intersection de la sphère avec D forment une orbite. La seconde est formée par les sommets d'un polygone régu­ lier, la dernière par les intersections des droites passant par l'origine et le milieu des côtés avec S^. Les sous-cas suivants ne dépendent plus d'un entier n : C a s 3 .2 , le t é t r a è d r e , # J î i = 2 , e t # J Î

2

= # H s = 3 , et # i î = 1 2 .

Le groupe des isométries directes laissant fixe un tétraèdre centré en l'origine et inscrit sur la sphère réalise ce cas. Ce groupe est isomorphe au groupe al­ terné . On renvoie à l'exercice 7 du chapitre 2. On montrera en exercice qu'un groupe qui réalise ce cas a nécessairement cette structure (voir aussi l'exercice 6 du Chapitre 2). Les points fixes sont les sommets du tétraèdre, leurs points antipodaux sur la sphère, ainsi que les points d'intersection des droites joignant les milieux des côtés opposés du tétraèdre avec S^.

6.3 - LES QUATERNIONS, LES GROUPES SO (3) ET SO (4)

271

Les sommets et leurs antipodaux constituent deux orbites à 4 éléments. Les points d'intersection des droites joignant les milieux des côtés opposés avec en constituent une à 6 éléments. C a s 3 . 3 , l e c u b e , # H i = 2 , e t #1^2 = 3 , # N 4 = 4 , e t # J Î = 2 4 . Le groupe des isométries directes laissant fixe un cube centré en l'origine, inscrit sur S^, réalise ce cas. Ce groupe est isomorphe au groupe symétrique 6 4 (voir exercice 8 Chapitre 2). Les points fixes sont les sommets du cube, les points d'intersection des droites joignant les milieux des côtés opposés avec 5^, ainsi que les points d'intersection des droites joignant les faces opposées du cube avec 5^. Les sommets constituent une orbite de points fixes à 8 éléments. Les points d'in­ tersection des droites joignant les milieux des côtés opposés avec constituent une orbite à 12 éléments. Les intersections des droites joignant les faces opposées du cube avec en constituent une à 4 éléments. On renvoie à la figure pour les détails.

2TT/3

On renvoie à l'exercice 8 du chapitre 2. On montrera en exercice qu'un groupe qui réalise ce cas a nécessairement cette structure. C a s 3 .4 , o n a # i î i = 2 , e t

= 3 ,

= 5 , et #H = 6 0 .

Ce cas est le plus difficile à réaliser. Nous ne donnerons pas les détails complets. Il est réalisé par le groupe laissant fixe un dodécaèdre (polyèdre régulier dont les faces sont des pentagones), ou un icosaèdre. Le dodécaèdre (voir figure) a 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets. On renvoie au cours de géométrie de Berger pour tous les détails. On notera les points suivants. Les orbites de points fixes sont d'abord les sommets il y en à 20 ; les points d'intersections des droites passant par les centres de faces opposées avec la sphère il y en a 12 : et enfin les points d'intersections des droites passant par les centres d'arêtes opposées avec la sphère il y en a 30. Cette orbite permet de construire un isomorphisme du groupe avec le groupe . Si on considère les droites passant par les centres d'arêtes opposées on constate qu'elles se regroupent par 3 pour former des systèmes d'axes orthogonaux (on ne tient pas compte de l'ordre des axes). Il y a 5 tels systèmes d'axes. Les isométries

272 FORMES BILINEAIRES ET SESQUILINEAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

du dodécaèdre les échangent. On peut aussi observer qu'il y a 5 cubes inscrits dans le dodécaèdre qui sont échangés par les isométries. Clairement le groupe du dodécaèdre contient des rotations d'ordre 3 et 5. Il con­ tient aussi des éléments d'ordre 2, les rotations d'angle tt autour des droites passant par les centres d'arêtes opposées. On en déduit facilement que l'homomorphisme est sur L'injectivité est facile.

Il convient enfin de vérifier que tout groupe vérifiant les conditions initiales est de ce type. Ceci est laissé au lecteur.

4 . Structure du groupe unitaire Dans cette section nous allons étudier plus en détails le cas d'un espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'une forme hermitienne définie positive /i. Un tel espace est appelé un espace vectoriel hermitien. La forme polaire associée b est le produit hermitien. L'application x ^ h { x ) est alors une norme [LM], [LA]. Une base { e i , . . . , e n } de l'espace telle que q{ei) = 1 et 6(ei,e^) = 0 si j est dite orthonormée ou hermitienne.

I î 0

i

Le théorème 3 de la section 1 montre que l'on peut trouver une base de E dans laquelle la forme h s'écrit x\^-\------ \-Xn^- On en déduit que si h et h' sont deux formes hermitiennes définies positives sur un même espace vectoriel complexe de dimension n, les groupes U(g) et U(g') sont isomorphes. En effet, ils sont isomorphes tous les deux au groupe de la forme hermitienne x \ ^ -\------ \-Xn^ qui sera noté U(n). Une matrice de U(n) est dite unitaire. Proposition !• Une matrice (n,n) A est unitaire si et seulement si ses vecteurs forment une base hermitienne de C’^, ou encore si et seulement si ^AA = In-

1 T3 ©

6.4 - STRUCTURE DU GROUPE UNITAIRE 273

D é m o n s t r a t i o n * Soient X et Y deux vecteurs colonnes. Leur produit scalaire hermitien est égal au produit ^XY. Pour qu'une matrice A soit unitaire il faut et suffit que pour tous X ,Y on ait ^X{^AA)Y = ^XY. Ceci est équivalent à l'égalité ^AA = In- Cette identité exprime exactement le fait que les vecteurs colonnes de A constituent une base orthonormée de . En effet, si ^4 = ) cette identité équivaut aux relations Yli = 1/ pour j = ly ••^n, et ü i ^ k = 0 si fc ^ relations qui expriment que le système des vecteurs colonnes est hermitien. ■ C o r o l l a i r e * Le module du déterminant d'une matrice unitaire est 1. D é m o n s t r a tio n . D'où le résultat.

En effet on a det(*AA) = det(^^)det(i4) = det(^)det(A) = 1. ■

I

D é f in it io n 1 On appelle groupe spécial unitaire et on note SU(n) le sous-groupe constitué par les matrices orthogonales de déterminant 1.

Le groupe U (l) est isomorphe au groupe U des nombres complexes de module 1.

Matrices unitaires et diagonalisation D é f in it io n 2 Soit E un espace vectoriel hermitien, et soit F un sous-espace. L'orthogonal de F est par définition l'ensemble des vecteurs v e E tels que b{x,v) = 0 pour tout X e F . On le note F-^. C'est un sous-espace vectoriel de E , P r o p o s i t i o n 2 . L'espace vectoriel E est la somme directe de F et de F -^. D é m o n s t r a t i o n . Elle est analogue à celle donnée dans le cas réel.

■

On dit que F et F-^ forment une décomposition de E en somme directe orthogo­ nale, et on note E = F ± F - ^ . On notera que l'on a (F^)-^ = F . Le lemme suivant, analogue à celui du cas réel, est très utile : L e m m e 1 . Soit E un espace vectoriel hermitien, soit f une application unitaire, et soit F un sous-espace tel que f { F ) c F . Alors on a /(F-^) c F-*-. D é m o n s t r a t i o n . L'application / restreinte à F induit un isomorphisme de F dans lui-même, étant injective et prenant ses valeurs par hypothèse dans F . Soit î; G F-*-, on a donc pour tout rc G F la relation b{f{v)^ x) = b{v, f~^ (x)) = 0, comme /“^( x ) décrit tout F on a f {v) G F-*-. ■

274 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINEAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - Ghap. 6

Nous allons maintenant montrer que les matrices unitaires sont diagonalisables. T h é o r è m e 1 • Soit E un espace vectoriel hermitien de forme quadratique h. Soit f e TJ (h). Toutes les valeurs propres de f sont de module 1. De plus il existe une base orthonormée de E dans laquelle f a une matrice diagonale. La traduction matricielle de cet énoncé est la suivante. Soit A G TJ(n), alors il existe une matrice unitaire P telle que la matrice P~^AP soit diagonale, les éléments de la diagonale étant des nombres complexes de module 1. D é m o n s t r a t i o n . On démontre d'abord que les valeurs propres sont de module 1. Si î; est un vecteur propre associé à la valeur propre A, on a f{v) = \v et b{v,v) = b{f{v)^f{v)) = b{\v,Xv) = \X\'^b{v,v). Donc on a |A| = 1. On va maintenant raisonner par récurrence sur la dimension n de E . Soit V un vecteur propre de /. Comme C est algébriquement clos il en existe. Le sous-espace vectoriel F orthogonal à v est stable par /. La restriction de / à F est unitaire, et donc on peut par hypothèse de récurrence trouver une base de F dans laquelle / a pour matrice une matrice diagonale. Dans la base de E constituée par cette base de F et v l'application / a une matrice diagonale. ■

Topologie des groupes unitaires Nous étudions ici quelques propriétés topologiques des groupes unitaires. P r o p o s i t i o n 3 « Le groupe U(n) est compact. D é m o n s t r a t i o n . Munissons l'espace vectoriel Mn(C) de la norme définie par P II = V Ë k J F / pour ^ Observons d'abord que U(n) est borné. En effet, on a 1 , .. ., n, et donc ||.A|| = n.

l®»,jP = 1' pour j —

Par ailleurs U(n) est fermé. La caractérisation des matrices unitaires nous dit que c'est l'image inverse du point 0 , . . . , 0 ) par l'application continue de n fois

n ( n - l ) / 2 fois

n (n -l)

M„(C) dans C” X C Al—

2

donnée par J = 1

.

ai.fcôi/,

■

6.4 - STRUCTURE DU GROUPE UNITAIRE 275

P r o p o s i t i o n 4 . Le groupe U(n) est connexe par arcs. D é m o n s t r a t i o n . Il suffît de relier une matrice ^ G U(n) quelconque à la matrice identité par un arc continu. Pour cela effectuons un changement de base qui mette A sous forme diagonale. Soit P la matrice de changement de base. Considérons la matrice /

\ Pour i = 0 cette matrice est égale à la matrice identité et pour t = l elle est égale à la matrice P~^ AP. En multipliant par P et P~^ on obtient un arc continu joignant In et A. ■

Exercices I.

F o r m e s b ilin é a ir e s e t q u a d r a t iq u e s

1. a ) Soit P un nombre premier impair, et soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps Fp à p éléments. Soit q une forme quadratique sur E . Montrer qu'on peut la mettre sous la forme xf H------\-xj+ , avec a G Fp. On utilisera l'exercice 6 du II du chapitre 4. b)

Montrer que i est bien déterminé, et que a est bien déterminé, à multiplication près par le carré d'un élément du corps.

2. a ) Vérifier que la formule {Aq){x^y)

=

q{ax

+

by,ex

+

dy), où A

=

est une

matrice (2, 2) de G L(F5), et où q est un polynôme homogène de degré 2 en deux variables x et y à coefficients dans le corps F5, définit une action du groupe G L(F5) sur l'espace vectoriel P des polynômes homogènes de degré 2 en deux variables x ,y a coefficients dans F5. b)

Calculer le cardinal de P , ceux de GL(Fs) et de SL(Fs). Enfin celui de G = PSL(Fs) = SL(F5)/conpSL(F5)/i) où D est le sous-groupe des homothéties de déterminant 1.

c) En utilisant l'exercice précédent montrer que l'action de G L(F5) sur P à 5 orbites, correspondant aux polynômes 0, x^, 2x^, + 22/^. Calculer les cardinaux de ces orbites. d)

En considérant l'espace projectif associé à P , c'est-à-dire le quotient de P - {0} par la relation d'équivalence qui identifie deux polynômes (homogènes de degré 2 en X et 2/ ) si ils sont multiple scalaire (non-nul) l'un de l'autre, déduire une action de G sur des ensembles à 3, 10 et 15 éléments.

276 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINÉAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

e) En identifiant entre q{x,y) et q{2x,2y) dans l'orbite à 10 éléments, déduire une action de G sur un ensemble à 5 éléments. En déduire un homomorphisme de G dans 6 5 . Montrer que G est isomorphe à . 3. Soit un espace vectoriel complexe E muni d'une forme sesquilinéaire b dont la forme hermitienne associée est définie positive. On appelle adjoint d'une application linéaire / l'unique application linéaire /* telle que pour tous x et y on ait b{x,f{y)) = b{f*{x),y). a) Montrer l'existence et l'unicité de l'adjoint. b) En donner une description matricielle. c) Une application est dite normale si et seulement si elle commute avec son adjointe. Montrer que les applications normales sont diagonalisables. 4. On considère l'espace vectoriel

. Décrire le groupe orthogonal de la forme

quadratique x^ —xl5. Montrer que l'application qui aux matrices A et B associe Tr(i4J5) est une forme bilinéaire sur Mn(M). Déterminer sa signature. 6. a) On considère un espace vectoriel complexe E muni d'une forme hermitienne définie positive h. Soit / un endomorphisme de E , hermitien, défini positif, ce qui signifie que : ► / est égal à son adjoint, ► pour tout V e E , V ^ 0, on a h {f{v )) > 0. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme hermitien défini positif g tel que = f. b) En déduire que tout élément de GL(E?) s'écrit sous la forme us, où u est un endomorphisme unitaire et s est un endomorphisme hermitien positif. Montrer que cette écriture est unique. c) Donner une traduction matricielle du résultat précédent. 7. ** On considère une forme bilinéaire symétrique b sur un espace vectoriel E sur un corps k de caractéristique différente de 2. On suppose que la forme b est non dégénérée. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Soit U le noyau de la forme b restreint à F , et soit {x \, . . . , , . . . , } une base de F , telle que {x i,...^ X k } soit une base de U. Montrer par récurrence qu'il existe des vecteurs 2/1, . . . , tels que : = 1 pour 2 = 1, . . . , fc, b{xi,yj) = 0 pour i ^ i et j = 0 pour i j = ► le système { x i , ... ,Xfc,... , Xr, ... , 2/1, . . . ,yfc} est libre, ► enfin l'intersection du sous-espace vectoriel engendré par les Xi et les yj avec F est égal à U, I

O § Q

©

EXERCICES 277

8. On considère une forme bilinéaire symétrique b sur un espace vectoriel E sur un corps к de caractéristique différente de 2. Démontrer à partir du théorème de Witt que des sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension. 9. a) ** On considère une forme bilinéaire symétrique b sur un espace vectoriel E

sur un corps к de caractéristique différente de 2. On suppose que la forme b est non dégénérée. Soit F et F ' des sous-espaces vectoriels de E . On suppose donc donnée une bijection linéaire de F vers F' respectant la forme b. En utilisant l'exercice 6 montrer que l'on peut supposer que la restriction de la forme b sur F est non dégénérée. b) On reprend les notations précédentes et on suppose la restriction de b non dégénérée sur F et F ' . Démontrer le théorème par récurrence sur la dimension de F . 10. Démontrer le théorème de Witt dans le cas général. 11. On dit qu'une forme bilinéaire b sur un espace vectoriel réel E est alternée si pour tous v^w G E on a b{v,w) = —b{w,v). On dit qu'elle est non dégénérée si b{v^w) = 0 pour tout w implique que г; = 0. On suppose que E est de dimension finie sur un corps de caractéristique différente de 2. Montrer que l'on peut en trouver une base a:i, . . . , 2/i, . . . , 2/n telle que, que : b{xi,yi) = 1, b{xi,yj) = 0, si г ^ j , II* A p p l i c a t i o n s t o p o l o g i q u e s 1. On considère l'espace vectoriel X i+ x l - xl est-il compact ?

Le groupe orthogonal de la forme quadratique

2. On se place dans Mn(C). Montrer que l'application exponentielle est un homéomorphisme de l'ensemble des matrices antihermitennes (telle que ^A = —A) vers l'ensemble des matrices hermitiennes définies positives, c'est-à-dire telle que pour tout vecteur colonne non nul X on ait ^XSX > 0. 3. On identifie le groupe SO (n —1) au sous-groupe H de SO (n) constitué par les matrices dont le terme sur la n-ième ligne et la n-ième colonne vaut 1. On considère l'action par translation de ce sous-groupe sur SO (n). Construire une application continue de SO (n) vers la sphère 5^"^ qui détermine une bijection de l'espace quotient de cette action vers 5^“^.

278 FORMES BILINEAIRES ET SESQUILINEAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

4. a) Montrer que le groupe SU(2) est isomorphe et homéomorphe au groupe des quaternions de norme 1, et est donc homéomorphe à la sphère S^, b)

On considère l'homomorphisme du groupe U des nombres complexes de module 1 vers SU(2) qui à A associe

Cet homomorphisme identifie

U avec un sous-groupe de SU(2), on considère l'action par translation de ce sous-groupe sur SU(2). Construire une application continue de SU(2) vers la sphère 5^ qui détermine une bijection de l'espace quotient de cette action vers 5^. 5. Montrer que le groupe U(n) est homéomorphe, mais n'est pas isomorphe au produit U (l) X SU(n). 6. a) Soit A e SO(3), et soit v

. Étudier l'adhérence de l'ensemble {Uv\ U G {A)},

{A) désignant le sous-groupe de SO(3) engendré par A, b)

Généraliser à SO(n). III.

G r o u p e s o r t h o g o n a u x e t u n it a ir e s

1. Montrer que le quotient de SO(4) par son centre est isomorphe à SO(3) x SO(3). Décrire les sous-groupes distingués de SO(4). 2. On considère la forme quadratique q = x\ -\----- \-x^ sur F^, p premier impair. Calculer le nombre d'éléments du groupe 0{q). 3. Montrer que tout automorphisme du corps des quaternions est de la forme x ^ q x q

où q est un quaternion de norme 1. 4. Montrer que tout automorphisme du groupe SO(3) est un automorphisme intérieur. 5. ** Déterminer le centre du groupe 0 (n ). On suppose que n ^

5

. Montrer qu'un

sous-groupe distingué de SO(n) est, soit contenu dans le centre, soit égal au groupe tout entier. 6. Dans le groupe unitaire U(n) on considère le groupe T des matrices diagonales. Soit N le sous-ensemble de U(n) constitué par les matrices A telle que ATA~^ c T. a) Montrer que N est un sous-groupe de U(n) et que T est un sous-groupe distingué de N . b)

Montrer que le groupe quotient N /T est isomorphe au groupe symétrique 6^ •

EXERCICES 279

7. a) ** Soit a un homomorphisme du groupe U des nombres complexes de module

1 vers le groupe U(n). Soit z G U, on pose Ca{z) = Tr(o'(;2:)). Montrer qu'il existe des entiers positifs non nuis ai , . . . , ait dont la somme est égale à n, et des entiers relatifs ei , . . . , tels que c{z) = Y!,i o>iZ^^ •Montrer que ces entiers sont bien déterminés. b)

Montrer que si a et ^ sont deux homomorphismes conjugués, c'est-à-dire tels qu'il existe une matrice unitaire U avec a(z) = U(3{z)U~^ pour tout z, alors les entiers üi et ei sont les mêmes pour a et P. Étudier la réciproque.

8. Montrer que toute matrice orthogonale est le produit d'au plus n réflexions. 9. ** Compléter la classification des sous-groupes finis de SO(3), (voir [A], [Ar], [Be]). 10. Le groupe de Lorentz. On considère munit de la forme quadratique + 2/^ H- 2;^ et le groupe orthogonal associé . a) Montrer que ce groupe n'est pas compact comme sous-espace des matrices (4,4)

réelles (comparer avec l'exercice 1). b)

Montrer que sa composante connexe est homéomorphe à SO(3) x R.

11. a) Déterminer l'équation des classes du groupe b)

Montrer que le groupe du dodécaèdre est simple (raisonner géométriquement). Trouver son équation des classes.

c) Montrer qu'un sous-groupe d'ordre 60 de SO(3) à la même équation des classes

que

(utiliser les cardinaux des orbites). En déduire qu'ils sont isomorphes.

Q uelques réponses ou indications I. F o r m e s b ilin é a ir e s e t q u a d r a t iq u e s 1. a) b) C o m m e n c e r p a r d é m o n tre r le r é s u lta t e n d im e n s io n 2 p o u r u n e fo rm e q u e l'o n a u r a d é jà ré d u ite c o m m e u n e c o m b in a iso n lin é a ire d e c a rré s. O n c h e rch e ra u n v e c te u r s u r le q u e l la fo rm e q u a d r a tiq u e p r e n d la v a le u r 1, p u is o n c o n sid è re u n o r th o g o n a l. P u is faire u n e ré c u rre n c e s u r la d im e n sio n . O n ra iso n n e r a en u tilis a n t la fo rm e b ilin é a ire s y m é triq u e a sso c ié e . 2. a) b) L e c a r d in a l d e de

G

P

e st 125, c e lu i d e G L ( F 5 ) e s t 4 80, ce lu i d e S L ( F 5 ) 120. E n fin c e lu i

e s t 60 c a r c e lu i d e D e s t 2 .

c) d) L 'ex e rc ice p r é c é d e n t m o n tre q u e p a r u n c h a n g e m e n t d e b a s e o n p e u t ra m e n e r le p o ly n ô m e q (la fo rm e q u a d r a tiq u e ) à l'u n d e c e u x q u i su iv e n t : 0 ,

, 2 x ^,

,

+ 2 y ^ . L e s c a r d in a u x d e s o r b ite s s o n t 1, 12, 12, 60 et 40. P o u r v é rifie r c e la il su ffit d e c a lc u le r le s o u s - g r o u p e fix a n t le p o ly n ô m e d o n n é .

280 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINÉAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - C hap. 6

2.

e) L 'e s p a c e p ro je c tif P a s s o c ié à P a 31 é lé m e n ts. O n c o n sid è re la re stric tio n d e l'a c tio n d e G L ( F 5 ) s u r P à S L ( F 5 ). P u is q u e s i o n n o te q la c la s s e d 'u n p o ly n ô m e q d a n s P a lo r s la fo rm u le A q = À q d é fin it u n e a c tio n d e S L ( F 5 ) s u r P . E n fin o n m o n tre ra q u e le s o u s - g r o u p e D a g it triv ia le m e n t, e t o n e n d é d u ir a p a r q u o tie n t u n e a c tio n d e G s u r P , O n m o n tre ra q u e le s o rb ite s o n t 3, 3, 15 et 10 é lé m e n ts. N o to n s q = q { 2 x , 2 y ) . M o n tre r q u e p o u r to u t on a

Ah =

h

d a n s l'o rb ite à 10 é lé m e n ts et p o u t A e G

A h . O n e n d é d u it q u e l'e n se m b le q u o tie n t à u n e a c tio n d e G .

L 'h o m o m o r p h is m e a s s o c ié à cette a c tio n e s t u n h o m o m o r p h is m e d e G d a n s 6 5 . O n m o n tre q u 'il e s t su rje c tif s u r

e t o n c o m p a r e le s o r d re s. P o u r m o n tre r la su rje c tiv ité o n tro u v e

d a n s G d e s é lé m e n ts d 'o r d r e 2, 3 et 5 d 'im a g e n o n n u lle . P a r e x e m p le le s c la s s e s d e s m a tric e s (

q

>' ’ ' > ( _ “ i

î)-

3. C e t e x e rc ic e e s t trè s c la s s iq u e , o n e x h ib e u n s o u s - e s p a c e p r o p r e d e / et o n c o n sta te q u e l'o r th o g o n a l e s t s ta b le p a r / . L a re stric tio n d e l'e n d o m o r p h is m e à l'o r th o g o n a l e s t e n c o re n o rm a le , o n fa it u n e ré c u rre n c e s u r la d im e n sio n . 4. O n c h e rc h e ra u n p a r a m é tr a g e à l'a id e d e s fo n c tio n s s in u s e t c o s in u s h y p e r b o liq u e s . 6. a) O n d ia g o n a lis e r a l'e n d o m o r p h is m e . C o m m e il e s t p o s it if le s te r m e s d ia g o n a u x d e la m a tric e s o n t p o s itifs . O n e n c o n sid è re le s r a c in e s c a r ré s. P o u r l'u n ic ité o n u tilis e r a le fa it q u e f e t g c o m m u te n t p a r c o n str u c tio n e t d o n c la is s e n t le u r s s o u s - e s p a c e s v e c to rie ls re s p e c tifs

sta b le s. 7. O n r a iso n n e r a p a r ré c u rre n c e s u r k. 9. b) O n fe ra u n ra iso n n e m e n t p a r ré c u rre n c e s u r la d im e n s io n d e F . S i la d im e n s io n d e F e st 1 o n c o n str u ira u n e ré fle x io n a p p r o p r ié e . P u is e n d im e n s io n su p é r ie u r e o n c h e rc h e ra à é crire F c o m m e so m m e d ire c te d e d e u x s o u s - e s p a c e s F q e t F i n o n tr iv ia u x et o r th o g o n a u x (o n a 6 (u ,v ) = 0 p o u r to u t u e F q et to u t v e F i ) . P u is o n a p p liq u e r a l'h y p o th è se d e ré c u rre n c e à F q . 11. R a iso n n e r p a r récu rren ce.

II. A p p lic a t io n s t o p o lo g iq u e s 1. N o n , v o ir l'e x e rc ic e 3. I. 2. O n p o u r r a d ia g o n a lis e r le s m a tric e s. 3. L 'a p p lic a tio n e st celle q u i à u n e m a tric e a s s o c ie s a d e rn iè re co lo n n e .

I î

4. a) b) M o n tre r q u 'u n é lé m e n t g é n é ra l d e S U ( 2 ) s 'é c r it ^ c o m p le x e s te ls q u e \u\^ +

= 1/ co n c lu re . O n id e n tifie la s p h è re

a v e c C c o m p lé té

d 'u n p o in t à l'in fin i p a r p ro je c tio n s té r é o g r a p h iq u e [Be]. P u is o n c o n sid è re l'a p p lic a tio n q u i à la m a tric e

s

o ù u et v so n t d e s n o m b re s

a s s o c ie le c o m p le x e ^ si v ^ 0, le p o in t à l'in fin i s i v = 0 . O n

é c rira la fo rm u le q u i p r e n d d ire c te m e n t v a le u r s d a n s 5 ^ .

I

P

'd

Q ®

EXERCICES 281

5. M u ltip lie r u n e c o lo n n e d e la m a tric e p a r le d é te r m in a n t p o u r o b te n ir u n e m a tric e d e d é te r m in a n t 1. 6. a) O n o b tie n t s o it u n e n s e m b le fin i d e p o in t s s i A e s t d 'o r d r e fin i, s o it u n cercle si A e s t d 'o r d r e in fin i. P o u r é tu d ie r le p r o b lè m e o n c h o isira u n e b a s e d a n s la q u e lle l'a x e d e ro ta tio n d e A e s t u n d e s a x e s d u re p ère .

III. G r o u p e s o r t h o g o n a u x e t u n it a ir e s 1. O n p o u r r a u tilis e r le c o u r s s u r le s q u a te r n io n s. 3. M o n tre r q u 'u n a u to m o r p h is m e la is s e fix e g lo b a le m e n t l'e n se m b le d e s q u a te r n io n s p u r s . 4. O n u tilis e r a le fa it q u e l'im a g e d 'u n é lé m e n t d 'o r d r e 2 e st en c o re u n é lé m e n t d 'o r d r e 2 et la d e s c r ip tio n d e s é lé m e n ts d 'o r d r e 2 d a n s le g r o u p e S O ( 3 ) . 6. O n p o u r r a m o n tre r q u e N

e st le p lu s p e tit s o u s - g r o u p e q u i c o n tie n t T et le s m a tric e s

m o n o m ia le s. 7. b) O n o b s e r v e r a q u e l'o n p e u t d ia g o n a lis e r s im u lta n é m e n t to u s le s a { z ) et o n é tu d ie r a le s é lé m e n ts d ia g o n a u x .

282 FORMES BILINÉAIRES ET SESQUILINÉAIRES GROUPES ORTHOGONAUX ET UNITAIRES - Ghap. 6

Bibliographie [A] A rtin M., Algebra, Prentice Hall, 1991. [Ar] A rnaudies J.-M ., Les cinq polyèdres de C.D.U.-S.E.D.E.S, Paris, 1969.

et leurs groupes,

[Be] B erger M., Géométrie 1 et 2, Nathan, 1990. [Co] CoMTET L., Analyse combinatoire, tomes 1 et 2, P.U.F., 1970. [De] Demazure M., Primalité, divisibilité, codes, Cassini, 1997. [Del] Delezoïde P., Exercices résolus d'algèbre du cours de mathématiques 1, Dunod 1994. [FS] Faddeev D.K., SOMiNSKY I.S., Recueils d'exercices d'algèbre supérieure,

Mir 1961, Ellipses. [Go] G odement R., Cours d'algèbre, Hermann, 1963. [J] J acobson N., Lectures in abstract algebra, Springer, 1964.

[Ko] KoBLiTZ N., A course in Number Theory and Cryptography, Springer, GTM 114, 1187. [L] L ang S., Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1965. [LA] L elong-F errand J ., M. A rnaudies J ., Cours de mathématiques,

tome 1, Dunod, 1974. [LM] L iret F ., Martinais D., Cours de DEUG, Algèbre 1’^ et 2 ® année,

Dunod, 1997. [LN] L idl R., Nied erreiter H., Finite fields. Encyclopedia of Mathematics and its applications, Addison-Wesley Publishing Company, 1983. I

[Mo] MONIER J .M ., Nouveau cours de mathématiques. Algèbre 1 et 1, Dunod, 1996. [MS] M acW illiams F .J ., Sloane N .J.A ., The theory o f error correcting codes,

North-Holland, 1977. [Pe] P errin D., Cours d'algèbre. Ellipses, 1996.

I

Q

®

BIBLIOGRAPHIE 283

Index ac tio n

cy cle, 62

à g a u c h e , 51 tra n sitiv e , 79 a lg è b r e d e B o o le, 135 a lg o rith m e

D 'A le m b e r t, 161 d é c o m p o sitio n c a n o n iq u e e n c y cle s, 67

d 'E u c lid e , 3

d é c o m p o sitio n d e s h o m o m o r p h is m e s , 26

d e B e r le k a m p , 174

d e g r é , 113

a n n e a u , 85 e u c lid ie n , 102

d 'u n e e x te n sio n , 154 d é r iv a tio n fo rm e lle , 129

fac to rie l, 122

d ila ta tio n , 225

in tè g re , 88

d im e n s io n d u c o d e , 180

p rin c ip a l, 97 a u to m o r p h is m e , 14

d isc rim in a n t, 132 d is ta n c e d e H a m m in g , 179

B e r le k a m p , 174 b o rn e d e G ilb ert-V arsh a m o v , 197

m in im a le , 180 d iv is io n e u c lid ie n n e , 114 d u a l, 8

d e P lo tk in , 197 c a r a c té r istiq u e d 'u n c o rp s, 150

a lg é b r iq u e , 155

C ay le y , 53, 211

irré d u c tib le , 97

c e n tralisa te u r, 58

e n d o m o r p h is m e , 14

c la s s e d e c o n ju g a iso n , 54

e n s e m b le tran sitif, 56, 57

clô tu re a lg é b r iq u e , 161

e n tie rs d e G a u s s , 137 E u c lid e , 3

c o rre c te u r d 'e r r e u r s , 178

E u le r

c o n ju g a iso n , 54 c o rp s, 87

î

s I

e s p a c e v e c to rie l q u o tie n t, 8

B C H , 183

lin éa ire , 181

I

tra n sc e n d a n t, 157

cen tre, 17

c o d e , 180

I

é lé m e n t

C au ch y , 4, 33, 61

fo rm u le , 142 in d ic a te u r, 103 e x te n sio n

a lg é b r iq u e m e n t clo s, 160

a lg é b r iq u e , 158

d e b a s e , 153

d 'u n c o rp s, 153

d e ru p tu re , 159

d e g r é , 154

d e s q u o tie n ts, 89 fini, 162 p re m ie r, 151 critère d 'E ise n ste in , 126 c ry p to g r a p h ie , 105

F e r m a t, 152 p e tit th é o rè m e , 58, 152 fix ateu r, 55

i

Q

®

INDEX 285

fo rm e

id é a l

b ilin é aire , 245

b ila tè re , 90

n o n d é g é n é ré e , 248

m a x im a l, 95

sy m é triq u e , 247

p re m ie r, 95

h erm itie n n e , 246

id e n tité d e B é z o u t, 2, 101

lin éa ire , 8

im a g e d 'u n h o m o m o r p h is m e , 15

q u a d r a tiq u e , 247

in d é te rm in é e , 111

s e sq u ilin é a ir e , 246

in d ic a te u r d 'E u le r, 103

fo rm u le

in é g a lité d e C a u c h y - S c h w a r z , 255

d 'E u le r, 142

in v e rsio n , 70

d e L e ib n iz , 129

iso m o r p h is m e , 14

d e M o iv re , 257 d e N e w to n , 120, 144

A;-cycle, 66

d e s c la s s e s , 59 L a p la c e , 161 G a lo is, 73

L e ib n iz , 129

G a u s s , 124, 137, 161

le m m e

g é n é ra te u r s, 18

ch in o is, 35

g r o u p e , 12

d 'E u c lid e , 100

ab é lie n , 12

d e C au ch y , 33, 62

ab é lie n libre, 37

d e G a u s s , 100

alte rn é , 71

d e la b a s e té le sc o p iq u e , 157

c o m m u ta tif, 12

d e L a z a r d , 141

cy cliq u e , 20 d e to rsio n , 36 d e ty p e fin i, 36

lo i in tern e, 3, 12 a s so c ia tiv ité , 12 lo n g u e u r d u c o d e , 180

d é riv é , 45 d ié d r a l, 30 lin éa ire , 8, 225

m a tric e c o m p a g n o n , 213

m o n o g è n e , 20

d e p a rité , 180

o r th o g o n a l, 255

g é n é ra tric e , 180

q u a te rn io n ie n , 32

tria n g u la tio n , 214

q u o tie n t, 22, 24 s p é c ia l lin éaire , 230

N e w to n , 120

sy m é triq u e , 64

n o y a u d 'u n h o m o m o r p h is m e , 15

u n ita ire , 273 o rb ite, 56 H a m ilto n , 211

o rd re , 20

h o m o m o r p h is m e , 14, 87

286

a ss o c ié , 52

p -to rsio n , 33

im a g e , 15

p a rtitio n d 'u n entier, 69

n o y a u , 15

p la n h y p e r b o liq u e , 254

IN D E X

p o ly n ô m e , 112

s u ite

c a ra c té ristiq u e , 210

d e C au ch y , 4

c y c lo to m iq u e , 169

d e S tu rm , 141

d e p a rité , 183

s u p p o r t , 65

m in im a l, 156

S y lv e ste r, 253

ré d u cte u r, 175

s y m é triq u e , 245

sy m é triq u e , 118

s y st è m e R S A , 105

p r o d u it se m i-d ire ct, 27 th é o rè m e q u a te r n io n s, 264

d 'is o m o r p h is m e s , 26 d e C ay le y , 53

racin e , 127 n -iè m e d e l'u n ité , 169 p rim itiv e , 169 r é d u c tio n d e Jo rd a n , 214 ré fle x io n , 259 re la tio n d e c o n g ru e n c e , 16 ré su lta n t, 130 re to u rn e m e n t, 259 R iv e st-S h a m ir-A d le m a n , 105 R S A , 105

d e C a y le y -H a m ilto n , 211 d e G a u s s - L u c a s , 143 d e K ô n ig - R a d o s , 196 d e L a g r a n g e , 23 d e L a p la c e -D 'A le m b e r t- G a u s s , 161 d e R o u c h é -F o n te n é , 9 d e S y lo w , 6 1 ,6 2 d e W e d d e rb u rn , 172 d e W ilson , 152 d e W itt, 255 d e s n o y a u x , 206

sé rie fo rm e lle , 111 ré c ip ro q u e , 135 sig n a tu re , 70 d 'u n e fo rm e q u a d r a tiq u e , 253 d 'u n e p e r m u ta tio n , 70 so u s-esp ace c a ra c té ristiq u e , 213 p ro p r e , 207 to ta le m e n t iso tro p e , 255 s o u s - g r o u p e , 13

to rsio n , 20 tra n s p o sitio n , 66 v a le u r p r o p r e , 207 v a lu a tio n , 113 v e c te u r iso tr o p e , 254 p r o p r e , 207 W e d d e rb u rn , 172 W ilson , 152

d e Sy lo w , 61 d e to rsio n , 37 d is tin g u é , 24 e n g e n d ré , 18 sta b ilisa te u r, 55

I X) §

Q INDEX 287

0 47057-(I)-(1,5)-O S B 80°-AU T-ABS STEDI, 1, boulevard Ney, 7 5018 Paris Dépôt légal, Imprimeur, n® 7920 Dépôt légal : avril 2003

Imprimé en France

SCIENCES SUP ir'i 2® édition

Lionel Schwartz

ALGEBRE 3' ANNÉE ‘ Prolongement du cours de 1 et 2^ année de François Liret et Dominique M artinais, ce cours de mathém atiques traite en quatre volum es le programme de la troisième année de Licence.

LIO N EL SCHW ARTZ est professeur à l'université Paris-Nord (Paris 13-Villetaneuse).

Trois notions centrales sont abordées dans ce volume d'algèbre : • la structure des groupes et les actions de groupes, avec une insistance particulière sur les groupes symétriques ; • les anneaux, avec la question de la divisibilité sous ses divers aspects ; • les extensions de corps enfin, et notamment ce qui concerne les corps finis. L'auteur revient également sur la réduction des endomorphismes, les formes quadratiques, et sur les propriétés topologiques des groupes classiques. À un niveau plus avancé, une introduction à deux applications de ces mathématiques est proposée : la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs, prolongements naturels de ce cours. Enfin, des exercices viennent compléter chaque chapitre, et permettent d'approfondir certains points essentiels ou d'aborder des résultats plus spécifiques.

MATHÉMATIQUES

PHYSIQUE

Dans cette seconde édition, des com plém ents en géométrie, codes correcteurs d'erreurs, cryptographie sont apportés. Quelques aspects complexes du cours ont été précisés et les exercices ont été renouvelés. ------------------- CO U RS DE M ATHÉM ATIQUES ------------------Ce cours de mathématiques traite en quatre volumes le programme de la troisième année de Licence. Algèbre

• Topologie et Analyse

Fonctions analytiques

• Calcul différentiel et Calcul intégral

—ü SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

9 782100 070572 ISBN

2 10 007057 6