Schema Lui Horner [PDF]

Zitiervorschau

Împărțirea la X - a. Schema lui Horner Teorema restului: Restul împărţirii unui polinom f ≠ 0 prin binomul X – a este egal cu valoarea f (a). Obs: Această teoremă ne ajută să găsim restul împărţirii unui polinom oarecare prin binomul X – a fără a mai face împărţirea. Exemple: 1) Restul împărţirii polinomului f =

prin X – 2 este f (2) =

.

2) Să se determine parametrul real m ştiind că restul împărţirii polinomului Rezolvare: Punem condiţia f (-1) = 5. Obţinem 4 + m = 5 de unde rezultă m = 1.

prin X + 1 este 5.

Exerciţii propuse: 3) Să se determine parametrul real m astfel încât polinomul împărţit la X + 2 să dea restul 4. 4) Să se determine parametrii a şi b astfel încât polinomul f = X3 + aX2 + bX + 1 împărţit la X – 1 să dea restul 1 şi împărţit la X + 1 să dea restul – 5. Observaţie: Teorema restului nu ne spune nimic despre câtul împărţirii lui f prin binomul X – a . Acest lucru se rezolvă prin procedeul numit “schema lui Horner”. Acesta constă în alcătuirea unui tabel din care vom “citi” câtul şi restul împărţirii. SCHEMA LUI HORNER Exemple: 5) Utilizând schema lui Horner, să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = 2 X 4 − 5 X 3 − 8 X +1 prin binomul

X −2 .

2

X X2 X0 −8 0 1 0 + 2 ( − 1 ) = − 2 − 8 + 2 ( − 2 ) = − 12 1 + 2(−12) = −23 −5 + 2 ⋅ 2 = −1

b3

b2

X4 2

2

X3 −5

r

b0

b1

Rezolvare:

Deci câtul şi restul împărţirii sunt q = 2 X 3 − X 2 − 2 X −12 şi r = −23 . 6) Folosind schema lui Horner aflaţi câtul şi restul împărţirii polinomului Rezolvare:

2

la

X4

X3

X2

X1

X0

1

0

-3

5

4

1

0 + 2·1 = 2

-3 + 2· 2 = 1

5 + 2·1 = 7

4 + 2· 7 = 18

1

2

1

7

r = 18

Din ultima linie a tabelului, rezultă:

şi r = 18.

Exerciţii propuse: A.(uşoare) Folosind schema lui Horner, să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la g dacă: 1

.

7)

şi g = X – 1 ;

8)

şi g = X –2 ;

9)

şi g = X + 1 ; 4

2

10) f = 2X +4X +X şi g = X – 1 ;

11) f = X4+X2+x-3 şi g = X –2 ; 12) f = X4+4X2+3x-3 şi g = X + 1 . B.(nivel mediu) 13) Aflati polinomul de grad cât mai mic astfel încât împărţit la X + 1 să dea restul –1 şi împărţit la X – 1 să dea restul 1. C.(dificile) Să se determine restul împărțirii acestuia prin X - a, dacă a =

14) Fie polinomul

TEST DE EVALUARE 15) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = X 5 − 5 X 4 − 2 X 2 + 3 X −1 prin polinomul schema lui Horner). 16) Împărţind polinomul f

, f=

X − 2 (folosind

la X+1 si X+2 se obtin resturile 2 și respectiv 4.Să se afle

a,b∈R .

Divizibilitatea polinoamelor . Teorema lui Bézout Din teorema împărțirii cu rest: ∀f, g ∈C[X], g ≠0, ∃ q, r ∈C[X], f = q ⋅ g + r , cu grad r < grad g. Definiție: Spunem că f se divide prin g sau f este divizibil prin g ( f g ) sau g divide polinomul f ( g / f ) , dacă r = 0 , sau, altfel spus, dacă există un polinom h ∈C[X], astfel încât f = g ·h . Exemplu: Polinomul

se divide prin polinomul

deoarece există polinomul

astfel

încât . 2 Exercițiu: Polinomul f = X - 9 se divide prin polinomul f = X + 3 ? De ce? Ex. rezolvat: 1) Să se determine parametrul real m, astfel încât polinomul

să se dividă prin

polinomul . Rezolvare: Vom pune condiţia ca restul împărţirii polinomului f la g să fie 0. Cum polinomul g este de tipul X – a , cu a = – 1, vom calcula restul pe baza Teoremei restului, adică r = f (-1) = 4 + m . Din ecuaţia 4 + m = 0 rezultă m = - 4. Observatie:

În probleme, este util să folosim că valoarea a este de fapt rădăcina (soluția) polinomului g.

Ex. rezolvat: 2) Să se gasească parametrul real m, astfel încât polinomul 4X2 +m să se dividă cu polinomul X + 2. Rezolvare: Se pune condiţia ca r, restul împărţirii polinomului f la g să fie 0. Cum polinomul g este de tipul X – a , cu a = – 2, vom calcula restul pe baza Teoremei restului, adică r = f (-2) = 16 + m . Din ecuaţia 16 + m = 0 rezultă m = - 16. Teorema lui Bézout:

Daca f(a)=0 atunci polinomul f este divizibil prin X-a.

Exerciţii propuse: A.(uşoare) 3) Să se arate că polinomul

se divide prin X – 1 . (Indicație: calculez restul împărțirii la X - 1.) 4) Să se demonstreze că polinomul 2X4+4X2+4x-2 se divide prin X + 1. 5) Să se determine parametrul m , astfel încât polinomul X4+4X2+3mX - 3 să se dividă la polinomul X + 2.

2

6) Să se determine parametrul m , astfel încât polinomul

să se dividă prin X – 2.

B.(nivel mediu) să se dividă prin. X3 − 3X2 +2X.

7) Să se determine a , b, c astfel încât polinomul TEST DE EVALUARE:

8) Să se determine m ∈ R pentru care polinomul f = X 3 − ( m + 2) X 2 + (2m − 3) X + 1 se divide prin

X +1

(folosind teorema restului).

Fișă de lucru - Divizibilitatea polinoamelor 1) Se considera polinomul f= a) Aratati ca f(1)=0

X 3 − 2 X 2 +1

b) Determinati catul si restul impartirii polinomului f la polinomul

g = X 2 − 2 X + 1 (BAC 2013)

2) Aratati ca polinomul

f = X 2 − 2 X + 1 este divizibil cu X − 1 . Aflati catul impartirii.

3) Aratati ca polinomul

f = X 3 − 9 X 2 − X + 9 este divizibil cu X 2 − 1 .

4) Se considera polinomul

f = X 3 − 4 X −1

a) Calculati f(0)+f(1) b) Aratati ca f+1 este divizibil cu

X2 −4 5) Se considera polinomul f = X 3 + 2 X 2 − X − 2 a) Calculati f(0)+f(1) b) Aratati ca f este divizibil cu

X 2 −1 6) Aflati a ∈ R pentru care polinomul f = X 2 + a este divizibil cu X + 2 7)

Aflati

m ∈ R pentru care polinomul f = X 3 + mX 2 + 4 este divizibil cu X − 2

f = X 3 + 2X 2 − 5X + m a) Aflati m ∈ R pentru care polinomul f este divizibil cu X − 1 b) Pentru m = 2 aflati catul impartirii lui f la X − 1

8) Se considera polinomul

f = X4 + X3 + X2 + X −4 a) Aratati ca f este divizibil cu X − 1 b) Calculati f (1) ×f (2) ×... ×f (2014)

9) Fie

10) Fie

f = ( X − 1) 2014 + ( X − 2) 2014 . Aratati ca f nu este divizibil nici cu X − 1 , nici cu X − 2 .

3

Rădăcinile polinoamelor. Relațiile lui Viète Definiţie: Fie f un polinom nenul cu coeficienţi complecşi. Un număr complex, α ∈ C se numeşte rădăcină a polinomului f dacă f (a) = 0 Exemple 1.

Numărul 2 este rădăcină pentru polinomul

2.

Numărul i este rădăcină pentru polinomul

Observaţie:

pentru că f (2) = 0. pentru că

.

Pentru a afla rădăcinile unui polinom f se rezolvă ecuaţia f (x) = 0.

Spre exemplu, pentru a afla rădăcinile polinomului rădăcinile polinomului

vom rezolva ecuaţia

şi găsim

.

Teorema lui Bézout se poate utilize și sub forma: Fie f ≠0 un polinom nenul. Numărul

este rădăcină a polinomului f dacă şi numai dacă X – a divide f .

Exemplu Polinomul

având rădăcinile

Definiţie: Fie f ≠0 un polinom nenul şi pe f şi

se va divide atât prin X – 1 cât şi prin X – 2.

o rădăcină a lui f . Numărul natural m

1 cu proprietăţile că

divide

nu divide pe f se numeşte ordinul de multiplicitate al rădăcinii a. Dacă m = 1, atunci rădăcina se numeşte

rădăcină simplă, dacă m

2, atunci a se numeşte rădăcină multiplă de ordinul m .

Observaţie: Dacă m = 2 rădăcina se mai numeşte rădăcină dublă iar dacă m = 3 se mai numeşte rădăcină triplă. Observatie: a are ordinul de multiplicitate n, pentru polinomul f, daca: f(a)=f'(a)=...=f(n-1)(a)=0 si f(n)(a)este nenul. Exemple: 1) X −1 / f

( X −1) 2 nu divide f ⇒ X = 1 este rădăcină de ordin de multiplicitate 1(răd. simplă). 2)

f = ( X −1) 3 ( X +1)( X 2 +1) . Descompunând în factori ireductibili peste C vom obţine: f = ( X −1) 3 ( X +1)( X − i )( X + i ) , unde: 1= rădăcină de ordin de multiplicitate 3;

3) Polinomul

i,-i,-1= rădăcini de ordin de multiplicitate 1

se mai poate scrie şi deci se divide prin

dublă pe 1, dar se mai divide şi prin

sau dacă vreţi prin

Altfel spus prin rezolvarea ecuaţiei

ceea ce înseamnă că are rădăcină

şi deci va avea rădăcină triplă pe 0. obţinem rădăcinile 4

şi

.

Teorema de descompunere în factori ireductibili(primi):

Fie f ≠0 un polinom nenul. Dacă a0, a1, …, ar sunt rădăcini ale lui

f având ordinele de multiplicitate atunci polinomul Obs: Singurii factori ireductibili(primi) în C[X] sunt polinoamele de gradul I. Exemplu: 4) Să se arate că polinomul Rezolvare: Cum două rădăcini.

se divide prin

se mai scrie

divide pe f.

.

deci având rădăcinile 1 şi – 1 vom arăta că şi polinomul f are aceste şi

, de unde

rezultă că 1 şi - 1 sunt rădăcini ale lui f . Atunci din teorema rezultă că (X – 1)(X + 1) divide pe f adică Consecinţa 1: Orice polinom f de grad n egal cu ordinul său de multiplicitate).

1 are n rădăcini (nu neapărat distincte; o rădăcină se repetă de un număr de ori

2 n Consecinţa 2: Fie f = a0 + a1 X + a 2 X + ... + a n X un polinom cu an ≠0, n ≥1. Dacă

atunci

divide pe f .

sunt rădăcinile lui f ,

.

Observaţie: Această formulă am mai întâlnit-o la trinomul de gradul II:

.

Exerciţii propuse A. (uşoare) 5) Să se determine rădăcinile polinomului ştiind că are rădăcina 6) Să se determine ecuaţia de gradul cel mai mic ştiind că are rădăcină dublă pe 1 şi rădăcini simple 2 şi – 3. 7) Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinii 2 pentru polinomul B. (nivel mediu) 8) Să se determine parametrii a şi b ştiind că polinomul

are rădăcină dublă

.

9) Să se determine ordinul de multiplicitate al rădăcinilor 1 şi – 1 pentru polinomul

.

Relaţii între rădăcini şi coeficienţi (formulele lui Viète) 2 n Fie f = a0 + a1 X + a 2 X + ... + a n X un polinom de grad n . Dacă

sunt rădăcinile lui f , atunci:

. Invers, dacă numerele complexe

satisfac relaţiile de mai sus, atunci ele sunt rădăcinile polinomului f .

Observaţie: Pentru polinomul de gradul III

, 5

cu rădăcinile

, relaţiile lui Viète sunt:

Observaţie: Pentru polinomul de gr IV avem pentru relaţiile lui Viète următoarea scriere:

Exemplu

1).

Care

x + x3 x1 + x3 x1 + x 2 E= 2 + + , x1 x2 x3

este

,

valoarea

expresiei:

unde x1 , x 2 , x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei X 3 − 6 X 2 + X + 2 ? Rezolvare:

 x1 + x2 + x3 = 6   x1x3 + x1x2 + x2 x3 = 1 x x x = −2 123 1 6 − x1 6 − x2 6 − x3 6 6 6 1 1  + + = −1 + −1 + − 1 = 6 + +  − 3 x1 x2 x3 x1 x2 x3  x1 x2 x3   x x + x1x3 + x2 x3  1   − 3 = 6 = 6 1 2  − 3 = −3 − 3 = −6  x1x2 x3 −2   E=

Exemplu 2). Să se determine parametrul m şi apoi să se afle rădăcinile polinomului

X 3 − 6 X 2 + 8 X + m ştiind că are

rădăcina x = 2.

Rezolvare:

f ( x) = X 3 − 6 X 2 + 8 X + m f (2) = 8 − 24 + 16 + m = 0 ⇒ m = 0 f (X ) = X 3 − 6X 2 + 8X = 0

 x1 + x2 + x3 = 6 x x + x x + x x = 8  1 2 1 3 2 3  x1 x2 x3 = 0 ⇒ x3 = 4   x1 = 2 Utilizăm relaţiile lui Viete:   x2 = 0  x1 = 0 Deci  x2 = 2  x3 = 4 Exemplu 3). Să se determine rădăcinile polinomului este egal cu 4. Aflaţi în aceste condiţii şi parametrul a .

,

6

, ştiind că produsul a două rădăcini

Rezolvare: Relaţiile lui Viète în acest caz sunt: Știind că

, din

vom avea că

.

Cum – 2 este rădăcină a lui f rezultă că f(-2) = 0 adică Pentru a afla celelalte două rădăcini avem două metode:

. Metoda I. (relaţiile lui Viète)

Înlocuim

în prima relaţie, vom avea sistemul ale cărui soluţii vor fi . Metoda II. (Horner) Cum - 2 este rădăcină a lui f rezultă că (X + 2) divide pe f . Cu schema lui Horner aflăm câtul împărţirii lui f la (X + 2) şi polinomul se va scrie descompus f =

. Rezolvând ecuaţia

Exemplu 4). Fie ecuaţia X1 + X2 = X3 .

.

. Să se determine rădăcinile X1, X2, X3 ale ecuaţiei, ştiind că:

Soluţie: Scriem relaţiile lui Viete: Cum

, atunci din prima relaţie avem că

Din

, obţinem

şi deci

.

.

Formăm apoi sistemul:

, care dă rădăcinile

şi

Exemplu 5). Să se determine parametrii reali m, n astfel încât ecuaţia se rezolve ecuaţia dată.

.

x4-x3-mx2-x+n=0 să aibă rădăcină dublă x=1 şi să

Metoda 1. Dacă x=1 este rădăcină dublă a polinomului x4-x3-mx2-x+n, atunci acesta se divide prin (x-1)2 şi deci restul împărţirii celor două polinoame este polinomul nul. Efectuând împărţirea avem egalitatea X4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+x+1-n) - 2mx+n+m-1 Restul fiind polinomul nul, adică –2mx+n+m-1=0 dă m=0 şi n+m-1=0, adică m=0 şi n=1.

x 3,4 =

−1± 3 2 .

Celelalte rădăcini ale ecuaţiei sunt soluţii (câtul egal cu zero) ale ecuaţiei x2+x+1=0, adică Metoda 2 (schema lui Horner): În schema lu Horner cerem ca x=1 să fie rădăcină dublă:

1 1

x4

x3

x2

1 1 1

-1 0 1

-m -m 1-m

x

x0

-1 -m-1 -2m=0

n -m+n-1=0

Deci –m+n-1=0 şi –m=0 dau m=0 şi n=1, iar celelalte rădăcini ale ecuaţiei date coincid cu ale câtului x 2+x+1=0. Metoda 3 (metoda identificării): Dacă x=1 este rădăcină dublă a ecuaţiei atunci trebuie să avem egalitatea: x4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+αβ+β). Efectuăm înmulțirile și prin identificare rezultă sistemul:

7

−1 = α − 2 − m = β − 2α + 1 − 1 = α − 2β n=β Din prima şi a treia ecuaţie rezultă α=1, β=1. Acum din celelalte ecuaţii se obţine m=0, n=1. Acum ecuaţia se scrie (x2-2x+1)(x2+x+1)=0.

2

Celelalte două rădăcini sunt date de rădăcinile ecuaţiei x +x+1=0, adică

x 3,4 =

−1+ i 3 2 .

Metoda 4. (relaţiile lui Viéte). Din enunţ x1=x2=1. Având o relaţie între rădăcini vom asocia acesteia relaţiile lui Viéte pentru o ecuaţie şi avem

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x x + (x + x )(x + x 0 = 1  1 2 1 2 3 4  (x 1 + x 2 )x 1 x 2 + x 1 x 2 (x 3 + x 4 ) = 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = n

x 3 + x 4 = −1 x x = 1 − m  3 4  x 3 x 4 = 1 x 3 x 4 = n

sau

Din relaţiile a doua şi a treia rezultă 1-m=1, adică m=0, iar din a doua şi a patra n=1-m=1. Pentru a găsi rădăcinile x3, x4 se rezolvă sistemul x3+x4=-1, x3x4=1, adică ecuaţia x2+x+1=0

și găsim

x 3,4 =

−1± i 3 2 .

Exemplu 6). Fie ecuaţia mX 3 + X 2 + ( m − 1) X + 3 = 0 ,

m ∈ R * fiind parametru. Mulţimea valorilor lui m pentru care

2 2 2 x1 + x 2 + x3 ≤ 0 este:



a. m ∈ −∞; 

 1 − 3  1 + 3 ;+∞  ∪ ;b. 2   2 

Soluţie:

 1− 3  −∞ ;  ;c.  2  

 1+ 3  0; ;  2  

d.

1− 3 1+ 3  ;   \ { 0} . 2   2

mX 3 + X 2 + (m − 1) X + 3 = 0, m ∈ R * . 2

 1  m −1  x12 + x2 2 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) 2 − 2( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) =  −  − 2 =  m  m  1 2( m − 1) = 2 − ≤ 0 ⇔ 1 − 2m( m − 1) ≤ 0 m m

⇔ 2 m 2 − 2m − 1 ≥ 0 ∆ = 4 + 8 = 12 ⇒ ∆ = 2 3 ⇒ m1 = 

−∞; Deci m ∈  

2 + 2 3 1+ 3 = 4 2

⇒ m2 =

2 −2 3 1− 3 . = 2 2

 1 − 3  1 + 3 ;+∞ . R:a).  ∪  2    2  

Exerciţii propuse A. (uşoare) 7) Fie polinomul

. Să se determine rădăcinile polinomului ştiind că

.

8) Să se rezolve ecuaţia ştiind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică. 9) Se consideră polinomul f = X3 – 9X2 – X + 9, cu rădăcinile x1, x2 , x3 ∈ C. Verificaţi că: x13 + x23 + x33 = 9(x12 + x22 + x32 ) – 18. 8

10) Se consideră polinomul f = X3 -3X2 + X + 1, având rădăcinile x1, x2, x3

x1

x2

x3

x2 x3

x3 x1

x1 . x2

∈ C. Calculaţi determinantul

D=

B. (nivel mediu) 11) Să se determine parametrii a şi b ştiind că polinomul

are rădăcină dublă

12) Să se determine m astfel încât suma a două rădăcini ale ecuaţiei

.

să fie egală cu 1.

13) Să se determine m astfel ca o rădăcină a ecuaţiei să fie dublul altei rădăcini. 3 2 14) Să se determine m ∈ R , ştiind că ecuaţia X + mX − X − 3 = 0 are rădăcinile în progresie aritmetică. 15) Să se rezolve ecuaţia mediei aritmetice a celorlalte două.

ştiind că suma primelor două rădăcini este egală cu opusul

16) Fie f = X 3 − X + 3 cu rădăcinile x1 , x 2 , x 3 şi g = X 2 + X + 1 cu rădăcinile y1 , y 2 . (A) f ( y1 ) + f ( y 2 ) este:

a. 5;

b. 7;

c. 9;

d. 1.

(B) g ( x1 ) + g ( x 2 ) + g ( x3 ) este: a. 1; b. 5; c. 7; d. 3.

Rezolvarea ecuațiilor algebrice cu coeficienți în Z, Q, R, C Teorema fundamentală a algebrei:

Orice ecuaţie algebrică a n X

n

+ a n −1 X n −1 + ... + a1 X + a 0 = 0 de grad mai mare

sau egal cu 1 şi cu coeficienţi complecşi are cel puţin o rădăcină complexă. Consecinta: Orice polinom f de grad n are n radacini. Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuatia algebrica generala de grad mai mare decat patru nu poate fi rezolvata prin radicali. Z [ X ] ⊂ Q[ X ] ⊂ R[ X ] ⊂ C[ X ]

A. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi întregi n n −1 + ... + a1 X + a 0 = 0 Fie f ∈Z [ X ] şi ecuaţia f ( x ) = 0 ⇒ a n X + a n −1 X

Teoremă: Dacă f admite o rădăcină de forma x1 =

p , p, q ∈Z , atunci p / a 0 şi q / a n . Dacă a n = 1 , atunci q

x1 = p . Exemplu 1) Fie f = X 4 − 2 X 3 − 5 X 2 + 8 X + 4 = 0 care admite soluţia x1 =

p ⇒ p / 4, q / 1 . Deci q

⇒ x1 ∈{±1;±2;±4} . ”Împărţind” succesiv polinomul la posibilele radacini, obţinem: f = ( X − 2)( X + 2)( X 2 − 2 X −1) ⇒ x1 = 2; x 2 = −2; x3, 4 = 1 ± 2 ∈ R − Q

B. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi raţionali Teoremă: Fie f ∈Q[ X ] . Atunci dacă x1 = a + b este rădăcină pentru f, cu

a ∈Q,

b ∉Q,

b ∈R −Q

x2 = a − b este rădăcină pentru f şi x1 şi x2 au aceeaşi multiplicitate. 4 3 2 Exemplu 1). Găsiți rădăcinile polinomului f = X − 4 X + X + 6 X + 2 , știind că are rădăcină x1 = 1 + 2 .

Rezolvare:

x1 = 1 + 2 ⇒ x2 = 1 − 2 este rădăcină.

9

, atunci

⇒ f ( X −1 + 2 )( X −1 − 2 ) ⇒ f ( X 2 − ( x1 + x2 ) X + x1 x2 ) ⇒ f ( X 2 − 2 X −1) f = ( X 2 − 2 X −1)( X 2 − 2 X − 2) ⇒ x3, 4 = 1 ± 3

Exemplu 2). Să se rezolve ecuaţia: x3-3x2-3x+1=0 dacă are rădăcină x 1 = 2 −

3.

Rezolvare: Fiind o ecuaţie cu coeficienţi raţionali, se ştie că dacă ecuaţia admite o rădăcină x 1 = 2 − admite

şi

rădăcina

3 , atunci ea

x 2 = 2 + 3 . Deci polinomul din membrul stâng al ecuaţiei se divide prin

conjugată

2

(x − x 1 )(x − x 2 ) = [(x − 2) + 3 ][(x − 2) − 3 ] = (x − 2) 2 − 3 = x 2 − 4x + 1 . Efectuând împărţirea găsim x − 3x − 3x + 1 = (x − 4x + 1)(x + 1) . Aşadar a treia rădăcină a ecuaţiei este dată de x+1=0, adică x3=-1. Observaţie. Pentru rezolvarea acestei ecuaţii, mai simplu era dacă aplicam prima relatie a lui Viẻte x 1+x2+x3=3. Cum 3

2

2

x 1 = 2 − 3 , x 2 = 2 + 3 , atunci x3=3-4=-1. C. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali Fie f ∈R[ X ] şi ecuaţia f ( x ) = 0 . Teoremă: Dacă x1 = a + bi ∈ C − R este rădăcină pentru f, atunci x 2 = a − bi este rădăcină pentru f, iar x1 şi xx au acelaşi ordin de multiplicitate. Exemplu 3). Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve ecuaţia X 4 − X 3 + mX 2 + 2 X + 2 = 0 ştiind că admite rădăcina 1 +i . Rezolvare: Dacă f (1 + i ) = 0 ⇒ f (1 − i ) = 0 ⇒ f ( X −1 − i )( X −1 + i ) f ( X 2 − X + iX − X +1 − i − iX + i +1) ⇔ f ( X 2 − 2 X + 2)

X 4 − X 3 + mX 2 + 2 X + n

X 2 − 2X + 2

− X 4 + 2X 3 − 2X 2

X 3 + X 2 ( m − 2) + 2 X + n − X 3 + 2X 2 − 2X

X2 + X +m

mX 2 + n − mX 2 + 2mX − 2m

2mX − 2m + n

Deci

m= 0 2mX − 2m + n = 0 ⇒  n= 0

.

Dacă m = 0 ⇒ q ( x) = X 2 + X ⇒ x3 = 0, x4 = −1 ⇒ x ∈ {0;−1;1 ± i} .

10

Rezolvarea câtorva ecuaţii algebrice de grad superior (1) Ecuaţii binome: Forma ecuaţiilor binome este:

.

(2) Ecuaţii bipătrate: Forma generală a ecuaţiilor bipătrate este:

,

şi

În cazul general, rezolvarea ecuaţiei se face astfel: - se face substituţia şi obţinem ecuaţia de gradul doi Această ecuaţie se numeşte rezolventa ecuaţiei anterioare, iar rădăcinile ei sunt y 1 și y2 : Din egalitatea Ecuaţia

obţinem ecuaţiile

şi

.

are rădăcinile x1 și x2. Ecuaţia

are rădăcinile x3 și x4.

Numerele x1,x2, x3 și x4 sunt rădăcinile ecuaţiei date. Exemplu 1). Să se rezolve ecuaţia bipătrată: rezolventă sunt:

. Facem substituţia

care are rădăcinile

şi

, Folosind formulele de transformare a radicalilor dubli, obţinem:

11

şi obţinem ecuaţia . Rădăcinile ecuaţiei bipătrate

.

.

şi

Deci

,

,

,

.

Ex. Propus 2). Rezolvați ecuația bipătrată x4 − 5x2 +5 = 0.

(3) Ecuaţii reciproce: O ecuaţie de forma

,

avand proprietatea , oricare ar fi , se numeşte ecuaţie reciprocă de grad ecuaţie este reciprocă dacă coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extremi sunt egali). Observaţie: Ne interesează rezolvarea ecuaţiilor reciproce de

(altfel spus, o

.

Dacă

, obţinem forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul 3:

Dacă

, obţinem forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul 4:

,

. ,

. ,a≠

Dacă n = 5 obţinem forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul 5: 0. Proprietăţi generale ale ecuaţiei reciproce de gradul n. 1) Dacă ecuaţia reciprocă are rădăcina

, atunci ea are şi rădăcina

2) Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcină

.

.

a) Rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul III

Am văzut că forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul III este: are rădăcina rădăcinile:

,

. Atunci putem să scriem: şi

. Această ecuaţie

. Ecuaţia admite

date de ecuaţia

.

Exemplu 3). Să rezolvăm ecuaţia:

.

Rezolvare: Această ecuaţie este o ecuaţie reciprocă de gradul III. Ea se scrie: rădăcinile

şi x2, x3 care sunt rădăcinile ecuaţiei

, adică

, care are şi

.

Exemplu 4). Să se rezolve ecuaţia: 2x3+3x2+3x+2=0; Rezolvare: Să observăm că este o ecuaţie reciprocă de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuaţiei x+1=0 (când x=-1) şi a unei ecuaţii (reciproce) de gradul al doilea. Pentru a găsi coeficienţii acestei ecuaţii utilizăm schema lui Horner (coeficienţii din ultima linie, mai îngroşaţi, sunt coeficienţii căutaţi).

-1

X3 2 2

X2 3 1

X 3 2

X0 2 0 12

− 1 ± i 15 − 1 ± i 15 4 4 Din schemă rezultă ecuaţia 2x2+x+2=0 cu rădăcinile . Ecuaţia dată are soluţiile : -1, . b) Rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul IV Am văzut că forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul IV este: , cu

. Cum

, ecuaţia nu admite ca rădăcină pe

şi obţinem ecuaţia

. Împărţim

sau, grupând termenii în mod convenabil,

avem: Facem substituţia

. Cum

sau Dacă

, obţinem ecuaţia în

. sunt rădăcinile ecuaţiei, atunci obţinem două ecuaţii: şi

sau

şi

Dacă x1 și x2 sunt rădăcinile ecuaţiei atunci

, iar x3 și x4 sunt rădăcinile ecuaţiei

sunt rădăcinile ecuaţiei

,

Exemplu 5). Să se rezolve ecuaţia gradul IV. Împărţim cu

şi obţinem:

. . Cum

sau Avem ecuaţiile:

, .

. Această ecuaţie este o ecuaţie reciprocă de

sau Notăm

.

, obţinem ecuaţia care are rădăcinile

şi

şi

.

Prima ecuaţie are rădăcinile Ecuaţia a doua are rădăcinile Deci

.

. . sunt rădăcinile ecuaţiei date.

Exemplu 6). Rezolvați ecuația: x4-x3-10x2+2x+4=0.

13

Rezolvare: Fără a fi o ecuaţie reciprocă de gradul patru, utilizează pentru rezolvare o tehnică asemănătoare. Se împarte

ecuaţia prin x2 şi se scrie sub forma

x2 +

4 2 2 − (x − ) − 10 = 0 x− =y 2 x x x . Se notează , etc. Ecuaţia data are soluţiile:

3 ± 17 2 , −1± 3 . c) Rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul V

Forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul V este:

,

.

Deoarece această ecuaţie este de grad impar, rezultă că rezolvarea acestei ecuaţii se reduce la rezolvarea ecuaţiei şi a unei ecuaţii reciproce de gradul IV. Exemplu7). Să se rezolve ecuaţia Rezolvare: Această ecuaţie este o ecuaţie reciprocă de gradul V. Deoarece este de grad impar, această ecuaţie admite soluţia

.

. Putem scrie

. Deci obţinem ecuaţia reciprocă de gradul IV: Împărţind cu

.

, obţinem:

.

Facem substituţia

. Obţinem ecuaţia

Din ecuaţia

obţinem

Din ecuaţia

şi

.

.

obţinem

Deci

care are rădăcinile

.

,

sunt rădăcinile ecuaţiei date.

Exemplu 8). Să se rezolve ecuaţia reciprocă: . Rezolvare: Să observăm că este o ecuaţie reciprocă de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuaţiei

şi a unei ecuaţii de gradul al doilea. Pentru a găsi coeficienţii acestei ecuaţii utilizăm schema lui Horner:

Din schemă rezultă ecuaţia Ecuaţia dată are soluţiile:

cu rădăcinile

.

.

Exemplu 9). Să se rezolve ecuaţia: Rezolvare: Este o ecuaţie reciprocă de gradul patru. Împărţim ecuaţia prin

Notăm

, iar de aici prin ridicare la pătrat

. 14

, când avem:

Ecuaţia devine

cu soluţiile

.

Revenim la substituţie şi avem ecuaţiile respectiv

,

cu soluţiile

. Ecuaţia dată are soluţiile:

şi

.

Exemplu 10). Rezolvare: Ecuaţia este reciprocă de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuaţiei ecuaţii reciproce de grad patru, ai cărei coeficienţi se determină din schema lui Horner cerând că ecuaţiei date.

Coeficienţii ecuaţiei de gradul patru găsiţi duc la ecuaţia Prin împărţire la

găsim

Punem

, iar de aici

Devine Ecuaţiile Ecuaţia dată are soluţiile:

şi a unei să fie rădăcină a

. . .

cu soluţiile

. au soluţiile

şi respectiv

.

15

.