Résumé Intervalle de Confiance PDF [PDF]

Zitiervorschau

Intervalle de confiance de la variance σ 2 m est connue m est inconnu La statistique est : La statistique est : 2 (n − 1)S 2 → Khi − deux(n − 1) nσˆ → Khi − deux ( n ) 2 2

Intervalle de confiance de la moyenne m

σ est connu

σ est inconnu

La statistique est : Xn −m T= → Normle(0,1)

La statistique est : Xn −m T= → Student ( n − 1) S n

σ

n

P(T < t ) = 1 − α

P(T < t ) = 1 − α

P (− t < T < t ) = 1 − α

P (− t < T < t ) = 1 − α

    X n −m  < t = 1−α P − t <   σ   n  

    − X m n  P −t < < t = 1−α   S   n  

 σ σ   = 1 − α P X n − t < m < X n +t n n 

 S S  P X n − t < m < X n +t  = 1 − α n n 

  σ σ  P  m ∈  X n − t ,X n +t  = 1−α n n    

  S S  , X n +t P  m ∈  X n − t  = 1−α n   n  

 σ σ  IC1−α (m ) =  X n − t , X n +t  n n 

 S S  IC 1−α (m ) =  X n − t ,X n +t  n n 

1 X n = ∑ in=1 X i n n : taille de l ' échantillon σ : écart type de la population t tel que P (T < t ) = 1 − où T → N (0,1)

α 2

  nσˆ 2 P χ a2 < 2 < χ b2  = 1 − α σ  

  2 (n − 1)S 2 P  χ a < < χ b2  = 1 − α 2 σ  

 nσˆ 2 nσˆ 2  P 2 < σ 2 < 2  = 1 − α χa   χb

 (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 2 σ P  < < 2 χ a2  χb

  nσˆ 2 nσˆ 2   P σ 2 ∈  2 , 2   = 1 − α  χb χa    nσˆ 2 nσˆ 2  IC1−α (σ 2 ) =  2 , 2   χb χa 

)

χ tel que P (χ < χ

2 a

α

χ tel que P (χ < χ

2 b

1 S= ∑ Xi − X n n −1 t tel que P (T < t ) = 1 −

σ

2

2

où T → Student(n − 1)

si n > 30 alors T ≈ N (0,1)

2 a

2 b

χ 2 → χ 2 (n )

2

2

  = 1 − α 

  (n − 1)S 2 (n − 1)S 2   P  σ 2 ∈  ,   = 1 − α 2 2 χ χ b a     (n − 1)S 2 (n − 1)S 2  IC1−α (σ 2 ) =  , 2 χ χ a2  b 

(

1 n ∑ i =1 X i − X n n −1 n : taille de l ' échantillon S2 =

2 1 σˆ 2 = ∑ in=1 ( X i − m ) n n : taille de l ' échantillon

1 X n = ∑ in=1 X i n n : taille de l ' échantillon

(

σ

χ a2 tel que P (χ 2 < χ a2 ) =

α

)= 2

α

)= 1− 2

)

2

α 2

χ b2 tel que P (χ 2 < χ b2 ) = 1 −

α 2

χ → χ (n − 1) 2

2

si n > 30 alors 2 χ 2 ( n ) − 2n − 1 ≈ N (0,1)