Résumé de Maths Bac-Sx by Prof Smail Bouguerch - 2 PDF [PDF]

Zitiervorschau

Royaume du Maroc Ministère de l’éducation national

Résumé du cours de

Mathématiques Deuxième année du cycle de baccalauréat

 Section sciences expérimentales   

Branche science de vie et de terre Branche science physique Branche science agriculture

 Section sciences et technologies industrielles  

Branche sciences et technologies mécaniques Branche sciences et technologies électriques

Réalisé par : Prof. Mohamed ELKAYAL Traduit par : Prof. Smail BOUGUERCH

SOMMAIRE Chapitres

Pages

Signe d’un binôme - Signe et factorisation d’un polynôme

2

Identités remarquables - Domaine de définition d’une fonction numérique

3

Limites

4

Continuité

6

Dérivabilité

8

Axe de symétrie – Centre de symétrie - Point d’inflexion

10

Les branches infinies

11

La fonction réciproque

12

La fonction racine d’ordre n – la racine n-ème (n ϵIN*) - Les puissances radicales

14

Les suites numériques

16

Les fonctions primitives

18

L’intégrale

20

Les fonctions logarithmiques

22

Les fonctions exponentielles

24

Les nombres complexes

26

Les équations différentielles

29

La géométrie dans l’espace

30

Le dénombrement

32

Les probabilités

34

Calcul trigonométrique (Rappel)

36

Signe d’un binôme Signe et factorisation d’un polynôme

Signe du binôme ax

Prof. Smail BOUGUERCH

 b ; a  0  :





x ax  b

Discriminant

0

0

2



| 0 |

Signe de (-a)

Signe et factorisation du pôlynome ax

b a Signe de (a)

 bx  c ;  a  0  :

Solution de l’équation :

Factorisation de

Signe de P (x )

P (x )  0 x 

P (x )





S 

x P (x )

 b  S    2a 

x



P (x )

Signe de a

Signe de a

b a



| 0 |

Signe de a



  b 2  4ac

Impossible à l’aide De deux polynômes

b   P (x )  a  x   2 a 

S  x 1; x 2 

x2 

| 0 |

P (x )  a  x  x 1  x  x 2  de a

| 0 |

 Signe

b   2a

x2 Signe

P (x )

x1 de –a



x

de a

b   2a

Signe

0

x1 

(Supposons que x 1  x 2 )

Si x 1 et x 2 sont solutions de l’équation : ax 2  bx  c  0 ; x  et  a  0  Alors on a : x 1  x 2 

2

b c et x 1  x 2  a a

Identités remarquables Domaine de définition d’une fonction numérique

Prof. Smail BOUGUERCH

Identités remarquables:

Pout tous réels a et b

(a  b )2  a 2  2ab  b 2 (a  b )2  a 2  2ab  b 2 a 2  b 2  (a  b )(a  b) (a  b )3  a3  3a 2b  3ab 2  b 3 (a  b )3  a3  3a 2b  3ab 2  b 3 a3  b 3  (a  b )(a 2  ab b2 ) a3  b 3  (a  b )(a 2  ab b2 )

Domaine de définition de certaines fonctions numériques:

f est une fonction à variable réelle x définie par f (x )  P (x )

f (x ) 

P (x ) Q (x )

Domaine de définition de f

Df  

Df  x   / Q (x )  0

f (x )  P (x )

Df  x   / P(x )  0

f (x ) 

P (x ) Q (x )

Df  x  / Q(x )  0

f (x ) 

P (x )

Df  x   / P(x)  0etQ(x )  0

f (x ) 

Q (x ) P (x ) Q (x )

  P(x) D f  x   /  0etQ(x )  0 Q (x )  

3

Limites

Prof. Smail BOUGUERCH

Limites des fonctions

(n  * )x  x n et x  x et leur inverses:

lim x n  0

lim x  0

x 0

x 0

x  

lim

x 

lim

1 0 xn

lim

1 0 xn

x 

1 0 x

lim

x 

x 

Si n est pair

Si n est impair

lim x n  

lim x n  

x 

x 

lim x n  

lim x n  

x 

lim

1   xn

lim

1   xn

x 0

x 0

x 

lim

1   xn

lim

1   xn

x 0

x 0

Limites des fonctions polynômiales et des fonctions rationnelles au voisinage de  et  : La limite d’un polynôme au voisinage de

 et  est la limite de son terme de plus grand degré

La limite d’une fonction rationnelle au voisinage de

 et  est la limite du

quotient de ses termes de plus grand degré

Limite des fonctions trigonométriques:

lim x 0

sin x 1 x

Limites des fonctions de type :

lim x 0

tan x 1 x

x 0

1  cos x 1  x2 2

x  u (x)

lim u (x )

x x 0

lim u (x )

x x 0

l 0

l





Ces limites sont toujours valables lorsqu’on les traite soit à droite ou à gauche de

4

lim

x 0 ou bien au voisinage de  ou 

Limites et ordre:

 u(x )  f(x)  v(x)   lim u (x )  l f (x )  l   xlim x x 0 x 0  lim v (x )  l  x x 0 

f(x )  l  u (x)    lim f (x )  l lim u(x )  0  x x 0  x x 0 

f(x )  v(x)

u(x )  f (x)

   lim f (x )   lim v (x )    x x 0 x x 0  

   lim f (x )   lim u(x )    x x 0 x x 0  

Ces limites sont toujours valables lorsqu’on les traite soit à droite ou à gauche de

x 0 ou bien au voisinage de  ou 

Operations sur les limites: Limite de la somme de deux fonctions:

lim f (x )





l

x x 0

limg(x )

l













lim f(x)  g(x )

l l





F.I.





F.I.



0

x x 0

x x 0

Limite du produit de deux fonctions:



lim f (x )

l

limg(x )

l



















lim f(x)  g(x )

l l 

















F.I.

x x 0

x x 0

x x 0

l 0

l 0

Limite du quotient de deux fonctions:





lim f (x )

l

limg(x )

l  0



0

0

0

0

0

0

0

0

 f(x)  lim  x  x 0 g( x )   

l l

0

















x x 0

x x 0

l 0

l 0

Ces limites sont toujours valables lorsqu’on les traite soit à droite ou à gauche de

0



0

 F.I.

x 0 ou bien au voisinage de  ou 

5

Continuité

Prof. Smail BOUGUERCH

La continuité en un point: Définition :

f continue en x 0  lim f (x )  f (x 0 ) x x 0

La continuité à droite – à gauche – en un point:

f continue à droite en x 0  lim f (x )  f (x 0 ) x x 0

f continue à gauche en x 0  lim f (x )  f (x 0 ) x x 0

f continue en x 0  f continue à droite et à gauche en x 0 La continuité sur un intervalle:

f continue sur un intervalle ouvert a;b  , si f est continue en tous points de cet intervalle f continue sur un intervalle fermé a; b  , si f est continue sur l’intervalle ouvert a;b  , et continue à droite en a , et à gauche en b Operations sur les fonctions continues:

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel quelconque 

Les fonctions : f  g ; f  g ; k  f sont aussi continues sur I



Si on a  x  I  ; g (x )  0 alors les fonctions

1 f et sont continues sur I g g

Résultats:

 

Tout polynôme est continu sur  Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition

 

La fonction x  x est continue sur   Les fonctions x  sin x et x  cos x sont continues sur 



La fonction x  tan x est continue sur son domaine de définition   

   k  / k   2 

La continuité d’un composé de deux fonctions:

Si f est continue sur un intervalle I et g est continue sur un intervalle J tel que f (I )  J alors g  f est continue sur I Image d’un intervalle par une fonction continue:

6



L’image d’un segment (intervalle fermé) par une fonction continue est un segment



L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle

Cas particulier:

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Le tableau suivant montre la nature de l’intervalle f (I ) L’intervalle f (I ) f strictement croissante sur I f strictement décroissante sur I

L’intervalle I

 lim f (x ); lim f (x )  x   x   f (a); f (b )

 lim f (x ); lim f (x )  x   x   f (b); f (a)

f (a ); lim f (x)    x b   lim f (x); f (b)    x a 

 lim f (x); f (a)   x b   f (b); lim f (x)   x a  

a; 

 lim f (x); lim f (x)   x b   x a  f (a ); lim f (x)  x     lim f (x ); lim f (x )  x   x a  

 lim f (x); lim f (x)   x a   x b   lim f (x); f (a)   x    lim f (x ); lim f (x )  x a   x  

;a 

 lim f (x); f (a)   x  

f (a ); lim f (x)  x   

;a

 lim f (x ); lim f (x )  x a   x  

 lim f (x ); lim f (x )  x   x a  



a ; b  a ; b  a;b 

a;b  a; 

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):

Si f est une fonction continue sur un intervalle a; b  , alors pour tout réel  compris entre f (a ) et

f (b ) , il existe au moins un réel  dans l’intervalle a; b  tel que : f ( )   Résultats:

Si f est une fonction continue sur un intervalle a; b  et f (a)  f (b )  0 Alors l’équation f (x )  0 admet au moins une solution  sur l’intervalle a; b  Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a; b  et f (a)  f (b )  0 Alors l’équation f (x )  0 possède une et une seule solution  sur l’intervalle a; b  Méthode de dichotomie:

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a; b  et f (a)  f (b )  0 Et soit  l’unique solution de l’équation f (x )  0 sur l’intervalle a; b  Si f a   f  a  b   0  2 

Alors a    a  b et cette encadrement a une 2

capacité qui vaut: b  a , on refait la même chose 2

avec l’intervalle a; a  b  pour obtenir une  2 

meilleure précision de l’encadrement de 

Si f b   f  a  b   0

 2  a  b Alors    b et cette encadrement a une 2 capacité qui vaut: b  a , on refait la même chose 2

avec l’intervalle  a  b ;b  pour obtenir une  2



meilleure précision de l’encadrement de 

Remarque : et ainsi de suite jusqu'à obtention de la précision d’encadrement demandée

7

Dérivabilité

Prof. Smail BOUGUERCH

Dérivabilité en un point:

f (x )  f (x 0 ) est finie x x0 Cette limite est nommée le nombre dérivé de la fonction f en x 0 et on écrit : f (x 0 ) On dit qu’une fonction f est dérivable en un point x 0 si la limite : lim

x x 0

Equation de la tangente à la courbe d’une fonction – la fonction affine tangente à la courbe d’une fonction:

Soit f une fonction dérivable en x 0 

L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x 0 est :



y  f (x 0 )(x  x 0 )  f (x 0 ) La fonction u définie sur  par : u (x )  f (x 0 )(x  x 0 )  f (x 0 ) est la fonction affine tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse x 0 et c’est une approche de la fonction f au voisinage de x 0

Dérivabilité à droite – à gauche, en un point:

f (x )  f (x 0 ) est finie x x 0 x x0 Cette limite est nommée le nombre dérivé de la fonction f à droite en x 0 et on écrit : f d (x 0 ) f (x )  f (x 0 ) On dit que f est dérivable à gauche en x 0 si la limite : lim est finie x x 0 x x0 Cette limite est nommée le nombre dérivé de la fonction f à gauche en x 0 et on écrit : f g (x 0 ) On dit que f est dérivable à droite en x 0 si la limite : lim

On dit qu’une fonction f est dérivable en un point x 0 si elle est dérivable à droite et à gauche en x 0 , et f d (x 0 )  f g (x 0 ) La dérivabilité et la continuité:

Si une fonction f est dérivable en x 0 , alors f est continue en x 0 Tableaux des dérivées de quelques fonctions usuelles:

f (x )

f (x )

k

0

x

1 1 x2

1 x

xr

x

8

rx r 1 1 2 x

(x  )

 r    1 *

Opérations sur les fonctions dérivables:

(u v )  u  v  (uv )  u v  uv 

(u v )  u  v 

(k  );(k u )  ku 

(u n )  nu u n 1

 1  v     2 v  v

u  v

 u v  uv    v2 

La dérivée du composé de deux fonctions – la dérivée de la fonction racine carré:

 u   2u u

u v   v   u  v  La dérivation et les variations d’une fonction:

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I x  I ; f (x )  0  f (x )  0   f est croissante (strictement croissante) sur l’intervalle I

x  I ; f (x )  0



x  I ; f (x )  0  f (x )  0 



f est constante sur l’intervalle I f est décroissante (strictement décroissante) sur l’intervalle I

La dérivation et l’interprétation géométrique:

La limite

f (x )  f (x 0 ) lim  a;(a  0) x x 0 x x0

f (x )  f (x 0 ) 0 x x0 f (x )  f (x 0 ) lim  a;(a  0) x x 0 x x0 f (x )  f (x 0 ) lim 0 x x 0 x x0

Déduction

f est dérivable en x 0

lim

x x 0

lim

x x 0

f (x )  f (x 0 )   x x0 f (x )  f (x 0 )   x x0

f (x )  f (x 0 )  a;(a  0) x x 0 x x0 f (x )  f (x 0 ) lim 0 x x 0 x x0 lim

f (x )  f (x 0 ) lim   x x 0 x x0

lim

x x 0

f (x )  f (x 0 )   x x0

Une tangente au point A (x 0 ; f (x 0 )) de coefficient directeur a Une tangente horizontale au point

A (x 0 ; f (x 0 ))

x x 0

lim

Interprétation géométrique la courbe C f  admet :

f est dérivable à droite en x0

f n’est pas dérivable à droite en x 0

f est dérivable à gauche en x0

f n’est pas dérivable à gauche en x 0

Une demi-tangente à droite du point A (x 0 ; f (x 0 )) Une demi-tangente horizontale au point A (x 0 ; f (x 0 )) Une demi-tangente verticale à droite au point A (x 0 ; f (x 0 )) dirigé vers le bas Une demi-tangente verticale à droite au point A (x 0 ; f (x 0 )) dirigé vers le haut Une demi-tangente à gauche du point A (x 0 ; f (x 0 )) Une demi-tangente horizontale au point A (x 0 ; f (x 0 )) Une demi-tangente verticale à gauche au point A (x 0 ; f (x 0 )) dirigé vers le haut Une demi-tangente verticale à gauche au point A (x 0 ; f (x 0 )) dirigé vers le bas

9

Axe de symétrie – centre de symétrie Point d’inflexion

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Axe de symétrie:

La droite d’équation cartésienne x  a est un axe de symétrie de la courbe C f

 si les deux

conditions suivantes sont réalisées :   x  D f  ;(2a  x)  Df 

 x  Df  ;f(2a  x)  f(x)

Cas particulier : si

a  0 ; f est une fonction paire

Centre de symétrie:

Le point I(a; b) est un centre de symétrie de la courbe C f

 si les deux conditions suivantes sont

réalisées :   x  D f  ;(2a  x)  Df 

 x  Df  ;f(2a  x)  f(x)  2 b

Cas particulier :

si a  b  0 ; f est une fonction impaire

Concavité – convexité – point d’inflexion:

La courbe d’une fonction est dite concave sur un intervalle si elle se situe au-dessous toutes ces tangentes sur cet intervalle Si  x  I  ;f (x)  0

Alors (Cf ) est concave sur l’intervalle I La courbe d’une fonction est dite convexe sur un intervalle si elle se situe au-dessus toutes ces tangentes sur cet intervalle Si  x  I  ;f (x)  0

Alors (Cf ) est convexe sur l’intervalle I Le point d’inflexion d’une courbe est le point en lequel change la concavité de cette courbe Si f  s’annule en x 0 en changeant de signe, alors (Cf ) admet un point d’inflexion d’abscisse x 0 Si f  s’annule en x 0 sans changer de signe, alors (Cf ) admet un point d’inflexion d’abscisse x 0

10

Les branches infinies

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lim f (x )  a

lim f (x )  (ax  b )  0

x 

lim f (x )  ax   b

x 

f (x )  a;(a  0) x  x lim

Une branche parabolique Dirigée vers la droite d’équation y  ax au voisinage de 

au voisinage de 

f (x ) 0 x  x lim

lim  f (x )  ax   

Une asymptote Oblique D’équation y  ax  b au voisinage de 

y a

f (x )   x  x lim

x 

(C f ) Admet:

Une asymptote Horizontale D’équation

x a

x 

(C f ) Admet:

(C f ) Admet:

lim f (x )  

lim f (x )  

x 

(C f ) Admet: Une branche parabolique Dirigée vers l’axe des ordonnées au voisinage de 

(C f ) Admet: Une branche parabolique Dirigée vers l’axe des abscisses au voisinage de 

(C f ) Admet: Une asymptote Verticale D’équation x a

11

La fonction réciproque

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Propriété:

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Alors f admet une fonction réciproque définie sur l’intervalle f (I ) vers l’intervalle I Résultats:



f 1 ( y )  x f ( x )  y    x  I  y  f (I )  x  I  ;  f 1  f  (x )  f 1  f(x)   x



 y  f



(I )  ;  f  f

1

 (y)  f  f

1

(x)   y

Détermination de la formule de la fonction réciproque:

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Soit x un élément de l’intervalle f (I ) et y un élément de l’intervalle I trouve ainsi la formule de f

1

1

(x )  y  x  f ( y ) et en cherchant y en fonction de x on (x ) pour tout x de f (I )

En utilisant l’équivalence suivante : f

Continuité de la fonction réciproque:

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Alors la fonction réciproque f 1 est continue et strictement monotone sur l’intervalle f (I ) , de même sens de monotonie que f Dérivabilité de la fonction réciproque:

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Soit x 0 un élément de l’intervalle f (I ) et y 0  f (x 0 ) Si f est dérivable en x 0 et f (x 0 )  0 Alors la fonction réciproque f

1

  ( y

est dérivable en y 0 et on a : f

1

0

)

1 1  1 f (x 0 ) f (f (y0 ))

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Si f est dérivable sur l’intervalle I et sa fonction dérivée f  ne s’annule pas sur cet intervalle I Alors la fonction réciproque f 1 est dérivable sur l’intervalle f (I )

  (x)  f 

Et on a :  x  f (I )  ; f

1

f

1 1

(x) 

Monotonie de la fonction réciproque:

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I La fonction réciproque f 1 est aussi strictement monotone et de même monotonie que la fonction f

12

La représentation graphique de la fonction réciproque:

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Les représentations graphiques des fonctions f et f 1 dans un repère orthonormé sont symétrique par rapport à la première bissectrice (la droite d’équation : y  x ) du repère. Remarques importantes:

La courbe (C f )

La courbe (C f ) 1

A (a; b)  (C f )

A (b;a)  (C f 1 )

Admet une asymptote verticale d’équation : x  a Admet une asymptote horizontale d’équation :

Admet une asymptote horizontale d’équation : y  a Admet une asymptote verticale d’équation : x  b

y b

Admet une asymptote oblique d’équation : y  ax  b

Admet une tangente (ou une demi-tangente) verticale Admet une tangente (ou une demi-tangente) horizontale

Admet une asymptote oblique 1 a

d’équation : y  x 

b a

(qu’on détermine à partir de la relation x  ay  b ) Admet une tangente (ou une demi-tangente) horizontale Admet une tangente (ou une demi-tangente) verticale

13

La fonction racine d’ordre n { la racine n ième }(n ϵIN*)

Les puissances radicales

Prof. Smail BOUGUERCH

Propriété et définition:

La fonction x  x n définie sur   admet une fonction réciproque nommée la fonction racine d’ordre n ou racine n ième et qui est notée :

n

n

:    x nx

(x ; y )  2 ; n x  y  x  y n Cas particuliers:

x  2 x (racine carrée) Le nombre 3 x s’appelle la racine cube de x

 

Propriétés:

(x ; y )  2 ; (m ; n)   * 

(x ; y )  2 ;  n  * 

xn x

n



 x



n



n

n

n

x

x n y x  y

x n y  n x y



n



 x n

x n y x y

n



n



2

m

n xm

x x  n ;y  0 y y

n m

x  n m x

Remarque importante (le conjugué):

x  y 

x y x  y

3

x 3 y 

x y 3

x2 3 x 3 y 3 y2

Domaine de définition:

La fonction f est définie comme suit :

Son domaine de définition D f est :

f (x )  n x

D f  0; 

f (x )  n u (x )

Df  x   / x  D u et u (x )  0

Les limites:

lim u (x )

x x 0

l 0  Ces limites sont toujours valables lorsqu’on les traite soit à droite ou à gauche de

14

lim n u (x )

x x 0

n

l  x 0 ou bien au voisinage de  ou 

La continuité:

La fonction x  n x est continue sur   Si u est une fonction positive et continue sur un intervalle I , alors la fonction x  n u (x ) est continue sur l’intervalle I La dérivabilité:

La fonction x  n x est dérivable sur l’intervalle 0;  Et on a : x  0;  ;

 x   n

1

n

n

x n 1

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I , alors la fonction

x  n u (x ) est dérivable sur l’intervalle I Et on a : x  I ;



n



 u (x ) 

Résolution de l’équation x

u (x ) n n u (x )

n 1

 a avec ( x   ) et ( a   ):

n

n est pair



n est impair



S 

 a

a0

S  n a; n a

a0

S  0

S  0

a0

S 

S   n a

n





Les puissances radiculaires d’un réel strictement positif:

Soit r 

p un nombre rationnel non nul tel que : p * et q  * q x  0;  ; x r  x q  x p  p

q

 x q

p

Remarques:



x  0;  ; n x  x n



Si f est une fonction numérique à variable réelle x définie comme suit : (r  * ); f (x )  u (x )

1

r

Alors son domaine de définition est : D f  x   / x  Du et u (x )  0 ¨ 



n



 

1 1 1  1  u (x )  u (x )  n  u (x )  u (x ) n n

Pour tout x et y de * et pour tout r et r  de *

x r  x r   x r r 

x  y   x r  y r r

1  x r r x

x  r

r

 x r r    x r  

r

r

x  xr    r y y  r x  x r r  r x 15

Les suites numériques

Prof. Smail BOUGUERCH

La suite arithmétique – la suite géométrique: D’une suite arithmétique

D’une suite géométrique

Définition

u n 1  u n  r ( r est la raison)

u n 1  q u n ( q est la raison)

Le terme général

u n  u p  (n  p )r ( p  n )

u n  u p q n p ( p  n )

La somme de termes successifs

 u un  u p  ...  u n   n  p  1   p   2 

 q n  p 1  1  u p  ...  u n  u p     q 1 

a et b et c trois termes successifs

2b  a  c

b 2  a c

La suite majorée – la suite minorée: Soit u n nI une suite numérique   

 n  I  ;u n  M  n  I  ;u n  m u n nI est bornée

 u n nI est majorée par M

 u n nI est minorée par m

 u n nI majorée et minorée

La monotonie d’une suite numérique: Soit u n nI une suite numérique   

 n  I  ;u n 1  u n (u n 1  u n )  u n nI est décroissante (strictement décroissante)  n  I  ;u n 1  u n (u n 1  u n )  u n nI est croissante (strictement croissante)  n  I  ;u n 1  u n  u n nI est constante

Remarque:

Soit u n nI une suite numérique dont le premier terme est : u p  

16

Si u n nI est décroissante, alors :  n  I  ;u n  u p Si u n nI est croissante, alors :  n  I  ;u n  u p

Limite d’une suite:

  avec   :

Limite de la suite n



*

 0

0 lim n   0

lim n   

n 

n 

  avec q   :

Limite de la suite géométrique q

n

q 1

q 1

1  q  1

q  1

lim q n  

lim q n  1

lim q n  0

Pas de limite

n 

n 

n 

Critères de convergence:  

Toute suite croissante et majorée est une suite convergente Toute suite décroissante et minorée est une suite convergente

 v n  un w n   lim v n  l   lim u n  l x  x   lim w n  l  x  

un v n

   lim u n   x  lim v n     x  

u n  l  v n    lim u  l lim v n  0  x  n x  

un v n

   lim u n   x  lim v n     x  

Suite de type u n 1  f (u n ) : Considérons la suite u n  définie par :

u n  a  u n 1  f (u n ) Avec f une fonction continue sur un intervalle I tel que f (I )  I et a un élément de I Si u n  converge, alors sa limite l est la solution de l’équation : f (x )  x

17

Les fonctions primitives

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Les fonctions primitives d’une fonction continue sur un intervalle: Définition:

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I On dit que F est une fonction primitive de f sur l’intervalle I Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :  F est dérivable sur l’intervalle I   x  I  ; F (x )  f (x ) Propriétés:

Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I Si F est une fonction primitive de f sur l’intervalle I , alors toutes les fonctions primitives de f sont définies sur l’intervalle I comme suit : x  F (x )  k ; (k  ) Soit f une fonction numérique qui admet une fonction primitive sur un intervalle I Et soit x 0 un élément de I et y 0 un réel quelconque de  Il existe une unique fonction primitive F de f sur l’intervalle I qui vérifie la condition initiale:

F (x 0 )  y 0 Les primitives de f  g et kf :  k    Propriété:

Soit f et g deux fonctions numériques définies sur un intervalle I et k un réel Si F et G sont deux primitives de f et g successivement sur l’intervalle I alors :  F  G est une fonction primitive de f  g sur l’intervalle I  kF est une fonction primitive de kf sur l’intervalle I

18

Tableau des primitives de quelques fonctions usuelles:

F (x ) ax  k 1 2 x k 2 1 k x

f (x ) a  x

1 x2 1

2 x k

x

x r ; ( r  *  1 )

sin x cos x 1  tan 2 x 

1 cos 2 x

1 x ex

x r 1 k r 1  cos x  k sin x  k

tan x  k ln x  k ex  k

Utilisation des formules de dérivée pour la détermination de quelques primitives:

f (x )

F (x )

u (x ) v (x ) au (x ) ; ( a   ) u (x )  v(x)  u (x ) v (x ) v (x )

u (x )  v (x )  k au (x ) u (x ) v (x )  k

 v(x )

2

u (x ) v (x )  u (x ) v (x )

1 k v(x )

 v(x )

u (x ) k v (x )

u (x ) u (x )

2 u (x )  k

2

u (x )  u (x ) ; ( r

r  *  1 ) u (x ) k u (x ) u (x ) eu ( x ) cos(ax  b ) ; ( a  0 ) sin(ax  b ) ; ( a  0 )

u (x )

r 1

r 1

k

ln u (x )  k eu ( x )  k

1 sin(ax  b )  k a 1  cos(ax  b )  k a

19

L’intégrale

Prof. Smail BOUGUERCH

Intégral d’une fonction continue sur un segment: Soit f une fonction continue sur un intervalle a; b  et F une primitive de f sur a; b  L’intégral de la fonction f entre a et b est le nombre réel :



b

a

f (x )dx   F (x )a  F (b )  F (a ) b

propriétés:



a

a



f (x )dx  0

b

a

a

f (x )dx   f (x )dx b

La linéarité:

 k    ; a kf b

 f (x )  g(x)dx  

b

(x )dx  k  f (x )dx a

b

b

a

a

b

f (x )dx   g(x )dx a

Relation de Chasles:



b

a

c

b

a

c

f (x )dx   f (x )dx   f(x )dx

Intégral et comparaison: Si : Alors :

x  a;b  on a f (x )  0



b

a

Si :

f (x ) dx  0

Alors :

x  a;b  on a f (x )  g (x )



b

a

b

f (x ) dx   g(x ) dx a

La valeur moyenne: Soit f une fonction continue sur un intervalle a; b  La valeur moyenne de la fonction f sur le intervalle a; b  est le réel défini par :

1 b f (x )dx b  a a

Intégration par partie: Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle a; b  à condition que f  et g  soient continues sur l’intervalle a; b 

 f (x )  g (x )dx  f (x )  g (x )   f (x )  g (x )dx b

b

b

a

a

a

Calcul de l’aire algébrique d’un domaine plan:



Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; i; j) L’unité de surface (u.a.): est la surface d’un rectangle défini par le point O (origine du repère) et les deux

  vecteurs i et j   1u .a.  i  j

20

 j o

1u.a.

 i

Soit f une fonction continue sur un intervalle

Soit f et g deux fonctions continues sur un

L’aire algébrique délimitée par la courbe C f  ,

L’are algébrique comprise entre la courbe C f  ,

a ; b 

l’axe des abscisses, et les droites d’équation x  a et x  b est représentée par :



b

a



intervalle a; b 

 

la courbe C g , et les droites d’équation x  a et x  b est représentée par :



f (x ) dx u .a.

b

a



f (x )  g(x) dx u .a.

Cas particulier:

La représentation

Remarques

Aire algébrique du domaine plan gris dans la représentation

f positive sur a; b 

  f (x )dx u .a.

f négative sur a; b 

   f (x )dx u .a.

 

b

a

b

a

f positive sur a ; c 

  f (x )dx    f (x )dx u .a.

f négative sur c; b

(C f ) se situe audessus de (C g ) sur

a

c

b

a

(C f ) se situe audessus de (C g ) sur a; c 



b

  f (x )  g(x)dx u .a.

a ; b  

c

(C f ) se situe audessous de (C g )

  f (x )  g(x)dx   g(x )  f (x)dx u .a. c

b

a

c

sur  c; b  Calcul d’un volume:

Le volume du solide engendré par un tour complet, de la courbe (C f ) , autour de l’axe des abscisses dans un intervalle a; b  est :

b 2 V      f (x )  dx  u .a.   a

21

Les fonctions logarithmiques

Prof. Smail BOUGUERCH

La fonction logarithme népérien: Définition :

La fonction logarithme népérien, notée ln (ou loge ), est la primitive de la fonction x  sur l’intervalle 0;  qui s’annule en 1

1 définie x

Déductions et propriétés:

x  0;  et y  0;  ln xy  ln x  ln y ln x r  r lnx ;  r  

ln e  1 ln1  0 x  0;  et y  0;   ln x  ln y  x  y  ln x  ln y  x  y

1   ln y y x ln  ln x  ln y y ln

x  0;  et y   

ln x  y  x  e y





Si n est pair, alors x  * ;lnx n  n ln x Le Domaine de définition:

Son domaine de définition est :

La fonction f est définie comme suit :

f (x )  ln x

D f  0; 

f (x )  ln u (x)

Df  x   / x  Du et u (x )  0

Les limites:

Limites principales

Déductions

lim u (x )    lim ln u (x )   

lim ln x  

x 

x x 0

lim u (x )  0  lim ln u (x )   

lim ln x  

x 0

x x 0

lim

ln x 0 x  x n

n   

lim x n ln x  0

n   

x  0

*

*

ln u (x )

0

u (x ) n lim u (x )  0  lim u (x ) ln u (x )   0 x x x x

x x 0

ln(x  1) 1 x 0 x

x x 0

n

x x 0

0

x x 0

lim

x x 0

lim u (x )    lim

ln x 1 x 1 x  1

lim

x x 0



0

lim u (x )  1  lim

x x 0

lim u (x )  0  lim

x x 0

ln u (x )

1 u (x )  1 ln u (x )  1 u (x )

1

Ces limites sont toujours valables lorsqu’on les traite soit a droite ou a gauche de

22

x 0 ou bien au voisinage de  ou 

La continuité:

La fonction x  lnx est continue sur l’intervalle 0;  Si u est strictement positive et continue sur un intervalle I alors la fonction x  ln u (x ) est continue sur l’intervalle I La dérivabilité:

La fonction x  lnx est dérivable sur l’intervalle 0;  et on a :

Si u est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction x  ln u (x ) est

1 x  0;  ;  ln x   x

dérivable sur l’intervalle I et on a :

La représentation graphique:

u (x ) x  I ;  ln  u(x )  u (x ) signe de ln :

0

x

1



ln x

| 0 |

 

* La fonction logarithme de base a avec a     1 :

Définition:

La fonction logarithme de base a est la fonction notée : loga tel que :  x  0;  ; loga x  Cas particulier: la fonction

ln x ln a

log10 est la fonction logarithme décimal et on la note log

Déductions et propriétés:

 x  0;  et y  0;  et r 

loga 1  0

loga xy  loga x  loga y

loga a  1

loga x r  r loga x

 x  0;  et r  loga x  r  x  a r

1 loga     loga x x  x  loga    loga x  loga y y 

Limites et inéquations:

a 1 loga x  loga y  x  y

0  a 1 loga x  loga y  x  y

lim loga x  

lim loga x  

x 

x 

lim loga x  

lim loga x  

x 0

x 0

La dérivée:

 x  0;  ;  loga x  

1 x ln a

23

Les fonctions exponentielles

Prof. Smail BOUGUERCH

La fonction exponentielle népérienne: Définition :

La fonction exponentielle népérien, notée e x (ou exp(x) ), est la fonction réciproque de la fonction x  ln x , et qui est définie sur  Déductions et propriétés:

x  e x  0 ln e x  x x  0;  e ln( x )  x

x  et y   e x e y  e x  y

e  x

x  et y    ex ey  x  y  ex ey  x  y

 e rx ;  r  

1  e x ex ex  e x y y e

x  et y  0;  

r

e x  y  x  ln y





Si n est pair, alors x  * ;lnx n  n ln x Le Domaine de définition:

La fonction f est définie comme suit :

Son domaine de définition est :

f (x )  e

x

Df  

u (x )

Df  x   / x  Du 

f (x )  e Les limites:

Limites principales

Déductions

lim u (x )    lim e u ( x )  

lim e   x

x x 0

x 

lim u (x )    lim e u ( x )  0

lim e x  0

x x 0

x 

ex lim   x  x n

 n  * 

lim x n e x  0

n   

x 

e 1 1 x 0 x x

lim

x x 0

*

x x 0

lim u (x )    lim

e u (x )

 

u (x ) n lim u (x )    lim u (x )  e u ( x )  0 x x x x

x x 0

x x 0

0

0

n

e u (x ) 1 1 x x 0 u ( x )

lim u (x )  0  lim

x x 0

Ces limites sont toujours valables lorsqu’on les traite soit a droite ou a gauche de

24

x 0 ou bien au voisinage de  ou 

La continuité:

La fonction x  e x est continue sur l’intervalle  u (x ) Si u est continue sur un intervalle I alors la fonction x  e est continue sur l’intervalle I

La dérivabilité:

La fonction x  e x est dérivable sur l’intervalle  et on a :

x  ; e x   e x

Si u est dérivable sur un intervalle I alors la u (x ) fonction x  e est dérivable sur l’intervalle I et on a :

x  I ; eu( x )   u (x )  e u ( x )





La représentation graphique:

* La fonction exponentielle de base a avec a     1 :

Définition:

La fonction exponentielle de base a, notée : a x , est la réciproque de loga Déductions et propriétés:

 x 

 x  et y   et r 

a x  e x ln a loga (a x )  x

ax  a y  ax y

a 

 x  0;  a loga x  x

x

r

 a rx

1  a x x a ax  ax y ay

ax  ax  x  y

 x  y  0;  a x  y  x  loga y Limites et inéquations:

a 1 a  ay  x  y

0  a 1 a  ay  x  y

x

x

lim a x  

lim a x  0

x 

x 

lim a x  0

lim a x  

x 

x 

ax 1  ln a x 0 x

lim La dérivée:

 x  0;  ;  loga x  

1 x ln a

25

Les nombres complexes

Définition:

Prof. Smail BOUGUERCH





L’ensemble des nombres complexes s’écrit :   z  a  ib / (a;b )  2 et i 2  1 L’écriture algébrique d’un nombre complexe:

 a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2 a  ib est l’écriture algébrique du nombre complexe z Le nombre a est la partie réelle de z , notée : Re(z ) Le nombre b est la partie imaginaire de z , notée : Im(z ) Cas particulier:  Si Im(z )  0 , alors z est un nombre réel  Si Re(z )  0 , alors z est un nombre imaginaire pur Soit z   

Egalité de deux nombres complexes: Soit z et z  deux nombres complexes z  z   Re(z )  Re(z ) et Im(z )  Im(z ) Représentation graphique d’un nombre complexe: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé

  (O;e1;e2 )

Soit z  a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2 On relie le nombre complexe z avec le point M (a; b) Le nombre z s’appelle l’affixe du point M et le point M s’appelle l’image du nombre z et on écrit : M (z ) Conjugué d’un nombre complexe: Soit z  a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2 Le conjugué du nombre complexe z est le complexe noté z avec z  a  ib     

z z  z z z z  z z z n  z n ( n  * ) 1 1    z  z



z z 



z  z 



z  z  2 Re(z )



z  z  2 Im(z )

z  z (z   0)    z  z



z  z   Re(z )   Im(z ) 2

Module d’un nombre complexe: Soit z  a  ib un nombre complexe avec : (a;b )  2 Le module du nombre complexe z est le nombre réel positif

z avec : z  zz  a 2  b 2 zn  z

n

; n  *

z z

26

z  z

z z   z  z 

1 1   z   0 z z

z z   z   0 z z

2

L’argument d’un nombre complexe non nul: Soit z un nombre complexe non nul et M son image L’argument du nombre complexe z est  l’un des

   

mesures de l’angle orienté e1 ;OM

On le note: arg(z ) et on écrit: arg(z )    2  La forme trigonométrique et la notation exponentielle d’un nombre complexe non nul: Soit z un nombre complexe non nul On pose : r  z et arg(z )    2  

La forme trigonométrique du complexe z est : z  r  cos   i sin     r , 



La notation exponentielle du complexe z est : z  re i 

Cas particulier:

L’écriture trigonométrique (réduite) d’un nombre réel a non nul

a0 a  a, 0

a0 a   a,  

  ai  a,   2 

  ai   a,   2 

arg(zz )  (arg(z)  arg(z))  2 

arg(z n )  n arg(z)  2 

 r ,   r ,   r  r ,    re i   r e i    (r  r ) ei (  )  r ,    r ,   re i   re i    r ,    r ,     re i   re i (  ) n n  r ,   r n , n   re i    r ne in

1 arg     arg(z)  2  z 

1 1    ,    r ,   r 

arg(z )   arg(z)  2   arg(z )    arg(z)   2 

z  arg     arg(z)  arg(z)   2  z  

 r ,     r ,       r ,   r 

k  ;  r ,  2k     r , 

 cos  i sin  

re i  r  ei (  ) i  r e r



arg (z )  k   z est un réel ( k  )



arg (z ) 

Formule de MOIVRE: n

1 1  ei  i re r

 2

 k   z est un imaginaire pur ( k  )

Formules d’EULER:

 

n   cos n  i sin n

cos  

i

e e 2

i 

et sin  

e i   e i  2i

Résolution de l’équation z 2  a (z ) avec (a  ) :

L’équation z  ; z 2  a

Ensembles de solutions





a0

S  i a ; i a

a0

S  0

a0

S  i a ; i a



 27

Résolution de l’équation z  ; az 2  bz  c  0 avec a et b et c des réels et a  0 :

L’équation

Ensembles de solutions  b  i  b  i     S  ;  2a 2a      b  S    2a 

0 z  ; az 2  bz  c  0 (   b 2  4ac )

0

  b  i  b  i    S  ;  2a 2a    

0 Notions géométriques:

La notion géométrique La distance AB

La relation complexe AB  z B  z A

I centre du segment  AB 

zI 



  

Mesure de l’angle AB ; AC



A et B et C des points alignés

A et B et C et D des points cocycliques

La relation complexe

z  z A  r ; ( r  0) z zA  z zB zC zB zC zB

zA    r ;   zA  2 zA  1;  zA

zC  z A     1;   z B  z A  2 zC  z A     1;   z B  z A  3

zA zB 2    z zA   AB ; AC  arg  C   2   zB zA  zC  z A  zB zA





z D  z A z D  zC   z B  z A z B  zC z  z A z B  zC ou D   z B  z A z D  zC

La notion géométrique AM  r M appartient au cercle de centre A et de rayon r AM  AB M appartient à la médiatrice du segment  AB  ABC est un triangle rectangle au point A ABC est un triangle isocèle au point A

ABC est un triangle rectangle et isocèle au point A ABC est un triangle équilatéral

La représentation complexe de quelques transformations usuelles:

La transformation La translation : t u L’homothétie : h (; k) La rotation : R (; )

28

La représentation complexe  z   z  b , avec b est l’affixe du vecteur u z     k (z  ) , avec  l’affixe du point  z     e i  (z  ) , avec  l’affixe du point 

Les équations différentielles

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L’équation différentielle

La solution générale de L’équation différentielle

y (x )  e ax 

y   ay  b

b a

a  2

L’équation différentielle

y   ay   by  0

L’équation caractéristique

r 2  ar  b  0 (   b 2  4ac )

L’équation caractéristique admet :

0

Deux différentes solutions réelles r1 et r2

0

Une solution réelle r

0

Deux solutions complexes conjuguées

r1  p  iq et

La solution générale de L’équation différentielle

y (x )  e r1x  e r2x

 ;    2

y (x )  ( x   )e rx

 ;    2

y (x )   cos(qx)   sin(qx )  e px

 ;    2

r2  p  iq

29

La géométrie dans l’espace

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Dans ce chapitre du cours, l’espace est rapporté à un repère orthonormé

  (O; i; j; k)

Formule analytique du : produit scalaire-norme d’un vecteur-produit vectoriel:





Soit u (a; b;c) et v (a; b;c) deux vecteurs de  3 (l’espace vectoriel)  (Produit scalaire) u .v  aa  bb   cc 

 u  a2  b 2  c 2  i a a b b   a a  a a     u v  j b b   i  j k c c c c b b  k c c

(norme d’un vecteur)

(Produit vectoriel)

La distance: La distance entre deux points A et B est égale à :

 AB  AB 

x B  x A    y B  y A   z B  z A  2

2

2

La distance entre un point M et un plan (P ) d’équation cartésienne : ax  by  cz  d  0 est :

d  M ;(P )  

ax M  by M  cz M  d a2  b 2  c 2

  AM u  La distance entre un point M et une droite   A ;u  est : d  M ;()    u Equation d’un plan:

 (P ) : ax  by  cz  d  0  n (a; b;c) est un vecteur normal au plan (P )   Si A , B et C sont trois points non alignés, alors AB  AC est un vecteur normal au plan (ABC ) , et dans ce cas on peut déduire l’équation cartésienne du plan (ABC ) à l’aide de    l’équivalence suivante : M  (ABC )  AM. AB  AC  0





Equation d’une sphère: L’équation d’une sphère (S ) de centre (a;b ;c ) et de rayon r est : (x  a)2  ( y  b )2  (z  c )2  r 2

L’équation d’une sphère (S ) dont l’un de ces diamètres est

 AB 

peut se déterminer à l’aide de l’équivalence suivante :

  M  (S )  AM .BM  0

Remarque: dans ce cas la sphère (S ) est de centre  milieu du segment  AB  et de rayon r 

30

AB 2

Intersection d’une sphère S (; R ) et un plan (P) : ax  by cz d  0 : Soit H la projection orthogonale du centre  sur le plan (P ) On pose : d  H  d  ;(P) 

d R

d R

d R

Le plan (P ) coupe la sphère (S) selon un cercle (C ) de centre H et de rayon

Le plan (P ) est tangent à la sphère (S)

Le plan (P ) ne coupe pas la sphère (S)

r  R 2 d 2 Intersection d’une sphère S (; R ) et une droite () : Soit H la projection orthogonale du centre  sur la droite () On pose : d  H  d  ;() 

d R

La droite () coupe la sphère (S) en deux points différents

d R

La droite () est tangente à la sphère (S)

d R

La droite () ne coupe pas la sphère (S)

31

Le dénombrement

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Cardinal d’un ensemble: Définition:

Le cardinal d’un ensemble fini E est le nombre des éléments de cet ensemble et on le note : CardE Cas particulier:

Card   0

Propriété:

A et B sont deux ensembles finis Card  A  B   CardA  CardB Card  A  B  Accompli d’un ensemble: Définition :

Soit A une partie d’un ensemble fini E

L’accompli de A par rapport à l’ensemble E est l’ensemble noté A avec : A  x  E / x  A  Remarques:



A A 



A A  E



Card A  CardE CardA

Le principe fondamental du dénombrement: Si une opération globale peut se décomposer en p opérations élémentaires successives ( p  * ), ces dernières pouvant s’effectuer respectivement de n1 ; n 2 ;…; n p manières différentes, alors l’opération globale peut se faire de: n1  n 2  n3  ...  n p manières différentes. Arrangement avec répétition – sans répétition: Arrangement avec répétition:

Soit n et p deux éléments de * ( p  n ) Le nombre d’arrangement avec répétition, de p éléments parmi n , est : n p Arrangement sans répétition:

Soit n et p deux éléments de * ( p  n ) Le nombre d’arrangement sans répétition, de p éléments parmi n , est :

A np  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  p  1)   p facteurs

Cas particulier:

Tout arrangement sans répétition de n éléments parmi n éléments s’appelle une permutation de n éléments et il est égal à : Ann  n !  n  (n  1)  (n  2)  ...  2 1

32

Les combinaisons: Soit E un ensemble fini contenant n éléments Toute partie A de E contenant p éléments ( p  n ), s’appelle une combinaison de

p éléments parmi n éléments, et le nombre de ses combinaisons est : C np 

A np p!

Les nombres n! et A np et C np : ( n  * ) ;

C np 

n!  n  (n  1)  (n  2)  ...  2 1 0!  1

n! p! n  p !

C nn  1

A np  C n1  n

n!  n  p ! C nn 1  n

C n0  1

C np  C nn  p

C np  C nn  p

C np 1  C np  C np1

Nombre de possibilité d’arrangement de n éléments: Si on a, n1 éléments de type A , et n 2 éléments de type B , et n 3 éléments de type C , parmi n éléments, avec n  n1  n 2  n3 , alors le nombre de possibilité d’arranger ses éléments est :

n! n1!n 2!n 3!

Quelques types de tirage: On tire p éléments parmi n éléments ( p  n ) et on résume les résultats dans le tableau suivant : Type de tirage

Nombre de tirages possibles p n

Simultané

C

Successif et avec remise

np A np

Successif et sans remise

Importance de l’ordre de tirage Pas important important important

33

Les probabilités

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Terminologie: Terme de probabilité Expérience aléatoire

Evénement A Evénement élémentaire Réalisation de l’événement A  B Réalisation de l’événement A  B

Son sens Toute expérience qui admet plus d’un résultat L’ensemble des événements possibles pour une expérience aléatoire A est une partie de l’univers des événements  Tout événement contenant un seul élément Si A et B sont réalisés simultanément Si A et B ou l’un des deux est réalisé

L’événement contraire de A

C’est l’événement A ( A  A   et A  A   )

A et B deux événements incompatibles

A B 

Univers des événements 

Stabilité d’un événement – probabilité d’un événement: Définition:

Soit  l’univers des événements d’une expérience aléatoire  Quand la probabilité d’un événement élémentaire i  se stabilise sur une valeur p i , on dit que la probabilité de l’événement i  est : p i et on écrit : P 

   p i

i

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités élémentaires qui le compose. C'est-à-dire, si A  1; 2 ; 3 ;...; n  est un événement de l’univers  , alors la probabilité de l’événement A est : P (A )  P

   P    P    ...  P   1

2

3

n

Propriétés:

Soit  l’univers des événements d’une expérience aléatoire  P ()  0 et P ()  1  0  P (A )  1 pour tout événement A de   Probabilité de l’union de deux événements: Pour tous événements A et B de 

P ( A  B )  P (A )  P (B )  P (A  B )  Si P (A  B )  P (A )  P (B ) , on dit que A et B sont incompatibles



Probabilité de l’événement contraire: Pour tout événement A de  : P (A)  1  P (A )

Hypothèse d’équiprobabilité: Définition:

Si tous les événements élémentaires, dans une expérience aléatoire dont l’univers des événements est  , sont équiprobables, alors la probabilité de tout événement A de  est : P (A ) 

CardA Card 

Probabilité conditionnelle – indépendance de deux événements: Définition:

Soit A et B deux événements liés à une même expérience aléatoire tel que : P (A )  0 La probabilité d’un événement B sachant que l’événement A est réalisé

 A   P PA A B 

PA  B   P B

34

est :

Résultat:

Pour tous événements A et B liés à une même expérience aléatoire tel que : P  A   P  B   0

 A   P B  P A B 

On a : P  A  B   P  A   P B Définition:

Pour tous événements A et B liés à une même expérience aléatoire P  A  B   P  A   P  B   A et B sont deux événements indépendants Propriété:

Soit  un univers d’événements d’une expérience aléatoire, et 1 et 2 deux sous-univers de  ( 1  2   et 1  2   ) Pour tout événement A de  : P (A )  p  1   p  A

 p   p A   2      1   2

Loi de probabilité d’une variable aléatoire: Soit X une variable aléatoire sur  univers d’événements d’une expérience aléatoire Pour déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X , on suit les deux étapes suivantes :  Détermination de X ()  x 1; x 2 ; x 3 ;...; x n  l’ensemble des valeurs que peut prendre X 

Calcul des probabilités p (X  x i ) pour tout i de l’ensemble 1;2;3;...; n 

L’espérance mathématique – la variance – l’écart type d’une variable aléatoire: Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est représentée dans le tableau à côté :

xi

x1

x2

x3

...

xn

p (X  x i )

p1

p2

p3

...

pn

Définitions: n

L’espérance mathématique de X

E (X )  x 1  p1  x 2  p 2  x 3  p3  ...  x n  p n   x i  p i i 1

La variance de X

n

 (X )  E (X )   E (X )     x i  2

2

i 1

L’écart type de X

 (X)   (X ) 

n

x  i 1

i

2

2

n   pi   x i  pi   i 1 

n   pi   x i  pi   i 1 

2

2

La loi binomiale: Soit p la probabilité d’un événement A dans une expérience aléatoire On répète cette épreuve n fois de suite La variable aléatoire X qui lie chaque résultat au nombre de fois que cet événement se réalise s’appelle une variable aléatoire binomiale de paramètres n et p Et on a : k 0;1;2;3;...; n  ; p (X  k )  C nk  p k  (1  p)n k Et E(X )  n  p Et  (X )  n  p  (1  p )

35

Calcul trigonométrique (Rappel)

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Tableau des valeurs habituelles et le cercle trigonométrique:

 6 1 2

 4

 3

2 2

1

3 2

2 2

3 2 1 2

0

3 3

1

3

x

0

sin x

0

cos x tan x

 2 1

0

Relations entre les Ratios trigonométriques:





x

 x

 x

sin

 sin x

sin x

 sin x

cos x

cos x

cos

cos x

 cos x

 cos x

sin x

 sin x

cos(x  2k  )  cos x sin(x  2k  )  sin x tan(x  k  )  tan x

2

x

2

x

sin x cos x 1 1  tan 2 x  cos 2 x tan x 

Equations trigonométriques essentielles:

cos x  cos a  x  a  2k  ou x  a  2k  sin x  sin a  x  a  2k  ou x  (  a)  2k  tan x  tan a  x  a  k  ;  k  

36

1  cos x  1 1  sin x  1 cos2 x  sin 2 x  1

Formules d’addition (soustraction):

cos(a  b )  cos a  cos b  sin a  sin b

cos(a  b )  cos a  cos b  sin a  sin b

sin(a  b )  sin a  cos b  cos a  sin b

sin(a  b )  sin a  cos b  cos a  sin b

tan(a  b ) 

tan a  tan b 1  tan a  tan b

tan(a  b ) 

tan a  tan b 1  tan a  tan b

Résultats:

En posant : t  tan

a 2

 cos2 a  sin 2 a  2cos2 a  1  1  2sin 2 a

cos 2a

2t 1 t 2 1t 2 cos a  1 t 2 2t tan a  1t 2 sin a 



tan 2a 

1  cos 2a 2 1  cos 2a cos 2 a  2 1  cos 2a tan 2 a  1  cos 2a sin 2 a 

Linéarisation (Formules de CARNOT)

sin 2a  2sin a  cos a 2 tan a 1  tan 2 a

Formules produit-somme:

1  tan 2 a 1  tan 2 a

Formules somme-produit (formules de SIMPSON):

p q p q ) cos( ) 2 2 p q p q cos p  cos q  2sin( )sin( ) 2 2 p q p q sin p  sin q  2sin( ) cos( ) 2 2 p q p q sin p  sin q  2cos( )sin( ) 2 2 sin( p  q ) tan p  tan q  cos p  cos q sin( p  q ) tan p  tan q  cos p  cos q Conversion de la formule a cos x  b sin x ; (a;b )  (0;0) :  a b 2 2  cos x  sin x  a cos x  b sin x  a  b  2 2 2 2 a b  a b  1 cos(a  b )  cos(a  b ) 2 1 sin a  sin b  cos(a  b )  cos(a  b )  2 1 sin a  cos b  sin(a  b )  sin(a  b )  2 1 cos a  sin b  sin(a  b )  sin(a  b )  2 cos a  cos b 

cos p  cos q  2cos(

 a 2  b 2 cos  x    Avec  un réel vérifiant : sin   

b a2  b 2

et cos   

a a2  b 2

37