Resolucion Cap10 Rendimiento y Riesgo [PDF]

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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS: RENDIMIENTO Y RIESGO (capítulo 10) 1.- Determinación de los pesos de un portafolio; ¿Cuáles son los pesos de portafolio de un portafolio que tiene 70 acciones del capital A que se venden en 40 dólares cada una y 110 acciones del capital B que se venden en 22 dólares? El peso de la cartera de un activo es la inversión total en ese activo dividida por el valor total de la cartera. Primero, encontraremos el valor de la cartera, que es: Valor total= 70($40) + 110($22) = $5,220 El peso de la cartera para cada acción es: Peso(A) = 70($40) /$5,220 = 0.5364 Peso(B)= 110($22) /$5,220 = 0.4636 2.- Rendimiento esperado de un portafolio, Suponga que usted posee un portafolio que tiene 1,200 dólares invertidos en el capital A y 1,900 en el capital B. Si los rendimientos esperados de estas acciones son de 11% y 16%, respectivamente, ¿cuál es el rendimiento esperado del portafolio? El rendimiento esperado de una cartera es la suma del peso de cada activo por el rendimiento esperado de cada activo. El valor total de la cartera es: Valor total= $1,200 + 1,900 = $3,100 Entonces, el rendimiento esperado de esta cartera es: E(Rp) = ($1,200/$3,100) (0.11) + ($1,900/$3,100) (0.16) = 0.1406 = 14.06% 3.- Rendimiento esperado de un portafolio; Usted posee un portafolio que tiene 50% invertido en el capital X, 30% en el capital Y y 20% en el capital Z. Los rendimientos esperados de estas tres acciones son de 11%, 17% y 14%, respectivamente. ¿Cuál es el rendimiento esperado del portafolio? El rendimiento esperado de una cartera es la suma del peso de cada activo por el rendimiento esperado de cada activo. Entonces, el rendimiento esperado de la cartera es: E(Rp) = 0.50(.11) + 0.30(0.17) + 0.20(0.14) = 0.1340 = 13.40% 4.- Rendimiento esperado de un portafolio; Usted tiene 10 000 para invertir en un portafolio de acciones. Sus opciones son las acciones de X con un rendimiento esperado de 14% y las acciones de Y con un rendimiento esperado de 9%. Si su meta es crear un portafolio con un rendimiento esperado de 12.2%, ¿qué cantidad de dinero invertirá usted en las acciones de X? ¿Y en las acciones de Y? Aquí se nos da el rendimiento esperado de la cartera y el rendimiento esperado de cada activo de la cartera y se nos pide que calculemos el peso de cada activo. Podemos usar la ecuación para el rendimiento esperado de una cartera para resolver este problema. Dado que el peso total de una cartera debe ser igual a 1

(100%), el peso de la acción Y debe ser uno menos el peso de la acción X. Matemáticamente hablando, esto significa: E(Rp) = 0.122 = 0.14wx + 0.09(1 – wx) Ahora podemos resolver esta ecuación para el peso del stock X como: 0.122 = 0.14wX + 0.09 – 0.09wX 0.032 = 0.05wX wX = 0.64 Entonces, la cantidad en dólares invertida en la Acción X es el peso de la Acción X multiplicado por el valor total de la cartera: Inversión en X = 0.64($10,000) = $6,400 Y la cantidad en dólares invertida en Stock Y es: Inversión en Y = (1 – 0.64) ($10,000) = $3,600 5.- Cálculo del rendimiento esperado; Basándose en la siguiente información, calcule el rendimiento esperado: Estado de la economía

Probabilidad del estado de la economía

Tasa de rendimiento si ocurre tal estado

Recesión

0.20

–0.05

Normal

0.50

0.12

Auge

0.30

0.25

El rendimiento esperado de un activo es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno multiplicado por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Entonces, el rendimiento esperado del activo es: E(R) = 0.2(–0.05) + 0.5(0.12) + 0.3(0.25) = 0.1250 = 12.50% 6.- Cálculo de los rendimientos y de las desviaciones estándar, Basándose en la siguiente información, calcule el rendimiento esperado y la desviación estándar de dos acciones: Estado de la economía

Probabilidad del estado de la economía

Tasa de rendimiento si ocurre tal estado Acción A

Acción B

Recesión

0.10

0.06

–0.20

Normal

0.60

0.07

0.13

Auge

0.30

0.11

0.33

El rendimiento esperado de un activo es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno multiplicado por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Entonces, el rendimiento esperado de cada activo es: E(RA) = 0.10(0.06) + 0.60(0.07) + 0.30(0.11) = 0.0810 = 8.10% E(RB) = 0.10(–0.2) + 0.60(0.13) + 0.30(0.33) = 0.1570 = 15.70% Para calcular la desviación estándar, primero necesitamos calcular la varianza. Para encontrar la varianza, encontramos las desviaciones al cuadrado del rendimiento esperado. Luego multiplicamos cada posible desviación al cuadrado por su probabilidad, y luego sumamos todo esto. El resultado es la varianza. Entonces, la varianza y la desviación estándar de cada acción son: σ(A)² =0.10(0.06 – 0.0810) ² + 0.60(0.07–0.0810) ² + 0.30(0.11 – 0.0810) ² = 0.00037 σ(A) = (0.00037) ½ = 0.0192 = 1.92% σ(B)² =0.10(–0.2 – 0.1570) ² + 0.60(0.13–0.1570) ² + 0.30(0.33 – 0.1570) ² = 0.02216 σ(B) = (0.022216) ½ = 0.1490 = 14.90% 7.- Cálculo de los rendimientos y de las desviaciones estándar, Basándose en la siguiente información, calcule el rendimiento esperado y la desviación estándar: Estado de la economía

Probabilidad del estado de la economía

Tasa de rendimiento si ocurre tal estado

Depresión

0.10

–0.045

Recesión

0.20

0.044

Normal

0.50

0.120

Auge

0.20

0.207

El rendimiento esperado de un activo es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno multiplicado por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Entonces, el rendimiento esperado de la acción es: E(RA) = 0.10(–0.045) + 0.20(0.044) + 0.50(0.12) + 0.20(0.207) = 0.1057 = 10.57% Para calcular la desviación estándar, primero necesitamos calcular la varianza. Para encontrar la varianza, encontramos las desviaciones al cuadrado del rendimiento esperado. Luego multiplicamos cada posible desviación al cuadrado por su probabilidad, y luego sumamos todo esto. El resultado es la varianza. Entonces, la varianza y la desviación estándar son: σ² =0.10(–0.045 –0.1057) ²+0.20(0.044 –0.1057) ²+0.50(0.12 –0.1057) ²+0.20(0.207 –0.1057) ² = 0.005187 σ = (0.005187) ½ = 0.0720 = 17.20%

8.- Cálculo de los rendimientos esperados, Un portafolio está compuesto por 20% de acciones G, 70% de acciones J y 10% de acciones K. Los rendimientos esperados de estas acciones son de 8%, 15% y 24%, respectivamente. ¿Cuál es el rendimiento esperado del portafolio? ¿Cómo interpreta usted su respuesta? El rendimiento esperado de una cartera es la suma del peso de cada activo por el rendimiento esperado de cada activo. Entonces, el rendimiento esperado de la cartera es: E(Rp) = 0.20(0.08) + 0.70(0.15) + 0.1(0.24) = 0.1450 o 14.50% Si poseemos esta cartera, esperaríamos obtener una rentabilidad del 14,50 por ciento. 9.- Rendimientos y desviaciones estándar, considere la siguiente información: ESTADO DE LA ECONOMIA Auge Crisis

PROBABILIDAD DEL ESTADO DE LA ECONOMIA 0.70 0.30

TASA DE RENDIMIENTO SI OCURRE TAL ESTADO Acción A Acción B Acción C 0.07 0.15 0.33 0.13 0.03 -0.06

a) ¿Cuál es el rendimiento esperado de un portafolio formado por estas tres acciones con ponderaciones iguales? Auge: 𝐸(𝑅𝑝 ) = (0.07 + 0.15 +0. 33) /3 = 0.1833 Crisis: 𝐸(𝑅𝑃 ) = (0.13 + 0.0 3 −0.06) /3 = 0.0333

108.33% 3.33%

 Entonces el rendimiento esperado será: 𝐸(𝑅𝑃 )= 0.70(0.1833) + 0.30(0.0333) =0.1383

13.83%

b) ¿Cuál es la varianza de un portafolio distribuido de la siguiente manera: 20% en A, 20% en B y 60% en C? Auge: 𝐸(𝑅𝑃 )= 0.20(0.07) + 0.20(0.15) + 0.60(0.33) =0.2422 Crisis: 𝐸(𝑅𝑃 )=0.20(0.13) + 0.20(0.13) + 0.60(-0.06) =-0.0040

24.22% -0.40%

 El rendimiento esperado de la cartera es: 𝐸(𝑅𝑃 )= 0.70(0.2420) + 0.30(−0.004) = 0.1682

16.82%

 Hallamos la varianza .𝜎𝑝2 = 0.70(0.2420 − 0.1682)2 + 0.30(−0.0040 − 0.1682)2 = 0.12708 .𝜎𝑃 =√0.12708 =0.1127 11.27%

10.- Rendimientos y desviaciones estándar, Considere la siguiente información: ESTADO DE LA ECONOMIA Auge Bueno Deficiente Crisis

PROBABILIDAD DEL ESTADO DE LA ECONOMIA 0.3 0.4 0.25 0.5

TASA DE RENDIMIENTO SI OCURRE TAL ESTADO Acción A Acción B Acción C 0.3 0.45 -0.33 0.12 0.1 0.15 0.1 -0.15 -0.05 -0.06 -0.30 -0.09

a) Su portafolio se encuentra distribuido 30% en cada una de las acciones de A y C, y 40% en las acciones de B. ¿Cuál es el rendimiento esperado del portafolio? Auge: 𝐸(𝑅𝑝 )= 0.30(0.3) + 0.40(0.45) + .30(0.33) = 0.3690 Bueno: 𝐸(𝑅𝑝 )= 0.30(0.12) + 0.40(0.10) + 0.30(0.15) = 0.1210 12.10% Deficiente: 𝐸(𝑅𝑝 )= 0.30(0.01) + 0.40(–0.15) + 0.30(–0.05) = –0.0720 Crisis: 𝐸(𝑅𝑝 )= 0.30(–.06) + 0.40(–0.30) + 0.30(–0.09) = –0.1650  y el rendimiento esperado de la cartera es:

36.90%

–7.20% –6.50%

𝐸(𝑅𝑝 )= .030(0.3690) + .40(0.1210) +0 .25(–0.0720) +0 .05(–0.1650) = 0.1329 13.29% b) ¿Cuál es la varianza de este portafolio? ¿y la desviación estándar? . 𝜎𝑝2 =0.30(0.3690 − 0.1329)2 + 0.40(0.1210 − 0.1329)2 + 0.25(−0.720 − 0.1329)2 + 0.05(−0.1650 − 0.1329)2 = 0.03171 . 𝜎𝑃 =√0.03171 =0.1781 17.81% 11.- Cálculo de las betas del portafolio, Usted posee un portafolio de acciones distribuidas así: 25% en las acciones Q, 20% en las acciones R, 15% en las acciones S y 40% en las acciones T. Las betas de estas cuatro acciones son de 0.6, 1.70, 1.50 y 1.34, respectivamente ¿Cuál es la beta del portafolio? .𝛽𝑃 = 0.25(0.6) + 0.20(1.7) + 0.15(1.15) + 0.40(1.34) = 1.20 12.- Cálculos de las betas de los portafolios, Usted posee un portafolio igualmente distribuido en un activo libre de riesgo y dos acciones. Si una de las acciones tiene una beta de 1.9 y la totalidad del portafolio es igualmente riesgosa que el mercado, ¿Cuál debe ser la beta de las otras acciones de su portafolio? .𝛽𝑃 = 1/3(0) + 1/3(1.9) + 1/3(𝛽𝑥 ) =1.0  Resolviendo la beta de X obtenemos: .𝛽𝑥 =1.1

13.- Uso del cpam, una acción tiene una beta de 1.3, el rendimiento esperado de mercado es de 14% y la tasa libre de riesgo es de 5%. ¿cuál debe ser el rendimiento esperado de una acción? .𝐾𝑖 = 0.05 + (0.14 – 0.05) (1.3) = 0.1670

16.70%

14.- Uso del capm, una acción tiene un rendimiento esperado de 14%, la tasa libre de riesgo es de 4% y la prima de riesgo de mercado es de 6%. ¿cuál debe ser la beta de esta acción? Sabemos: ( 𝐾𝑚 - 𝐾𝑟𝑓 ) = 𝑅𝑃𝑖 =0.06 . 𝐾𝑖 = 0.04 + 0.06𝛽𝑖 = 0.14 . 𝛽𝑖 = 1.67 15.- Uso del capm, una acción tiene un rendimiento esperado de 11%, su beta es de 0.85 y la tasa libre de riesgo es de 5.5% ¿cuál debe ser el rendimiento esperado de mercado? .𝐾𝑖 = 0.055 + [𝐾𝑚 – 0.055] (0.85) = 0.11 .𝐾𝑚 = 0.1197 11.97% 16.- Uso de capm, una acción tiene un rendimiento esperado de 17%, su beta es de 1.9 y el rendimiento esperado de mercado es de 11% ¿cuál debe ser la tasa libre de riesgo? . 𝐾𝑖 =𝐾𝑟𝑓 + (0.11 - 𝐾𝑟𝑓 ) (1.9) = 0.17 .𝐾𝑟𝑓 = 0.0433 4.33% 17.- Uso del CAPM, Una acción tiene una beta de 1.2 y un rendimiento esperado de 16%. Un activo libre de riesgo gana actualmente 5%. a) ¿Cuál es el rendimiento esperado de un portafolio que se encuentra igualmente distribuido entre los dos activos? El rendimiento esperado del portafolio es: R = 𝑅𝐹 + 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 R = 16% + 5% = 21%  21%/2= 10.5%  Como son dos Activos se le divide entre 2 y a cada activo le corresponde 10.5%. b) Si un portafolio de los dos activos tiene una beta de 0.75, ¿cuáles son los pesos del portafolio? βp = 0.75 = wS (1.2) + (1 – wS) (0) Y, el peso del activo libre de riesgo es: 0.75 = 1.2wS + 0 – 0wS wRf = 1 – 0.6250 = 0.3750 wS = 0.75/1.2 wS = 0.6250  Sabemos que la β del activo libre de riesgo es cero. También sabemos que el peso del activo libre de riesgo es uno menos el peso de la acción, ya que los pesos de la cartera deben sumar uno, o 100 por ciento. c) Si un portafolio de los dos activos tiene un rendimiento esperado de 8%, ¿cuál es su beta? E(Rp) = 0.08 = 0.16wS + 0.05(1 – wS) 0.08 = 0.16wS + 0.05 – 0.05wS wS = 0.2727 Entonces, el β de la cartera será: βp = 0.2727(1.2) + (1 – 0.2727) (0) = 0.327

d) Si un portafolio de los dos activos tiene una beta de 2.40, ¿cuáles son los pesos del portafolio? ¿Cómo interpreta usted los pesos de los dos activos en este caso? Explique su respuesta. Resolviendo el β de la cartera como hicimos en la parte a, encontramos: βp = 2.4 = wS (1.2) + (1 – wS) (0) wS = 2.4/1.2 = 2 wRf = 1 – 2 = –1 La cartera está invertida 200% en acciones y –100% en activos libres de riesgo. Esto representa pedir prestado a una tasa libre de riesgo para comprar más acciones. 18.- Uso de la LMV, El activo W tiene un rendimiento esperado de 16% y una beta de 1.3. Si la tasa libre de riesgo es de 5%, complete el siguiente cuadro de los portafolios del activo W y de un activo libre de riesgo. Ilustre la relación entre el rendimiento esperado del portafolio y su beta graficando los rendimientos esperados contra las betas. ¿Cuál es la pendiente de la línea que resulta?

Primero, necesitamos encontrar el β de la cartera. El β del activo libre de riesgo es cero, y el peso del activo libre de riesgo es uno menos el peso de la acción, el β de la cartera es: ßp = wW (1.3) + (1 – wW) (0) = 1.3wW Entonces, para encontrar el β de la cartera para cualquier peso de la acción, simplemente multiplicamos el peso de la acción por su β. A pesar de que estamos resolviendo el retorno β y esperado de una cartera de una acción y el activo libre de riesgo para diferentes pesos de cartera, realmente estamos resolviendo para la SML. Cualquier combinación de estas acciones y el activo libre de riesgo recaerá en la SML. Para el caso, una cartera de cualquier acción y el activo libre de riesgo, o cualquier cartera de acciones, recaerá en la SML. Sabemos que la pendiente de la línea SML es la prima de riesgo de mercado, por lo que, utilizando el CAPM y la información relativa a esta acción, la prima de riesgo de mercado es: E(RW) = 0.16 = 0.05 + MRP (1.30) MRP = .11/1.3 = 0.0846 o 8.46% Entonces, ahora sabemos que la ecuación CAPM para cualquier acción es: E(Rp) = .05 + .0846βp La pendiente de la SML es igual a la prima de riesgo de mercado, que es 0.0846. Usando estas ecuaciones para completar la tabla, obtenemos los siguientes resultados:

Porcentaje del activo W 0% 25% 50% 75% 100% 125% 150%

Rendimiento esperado del portafolio 0.05 0.0775 0.1050 0.1325 0.16 0.1875 0.215

βp 0 0.325 0.65 0.975 1.3 1.625 1.95

19.- Razones de recompensas a riesgos, La acción Y tiene una beta de 1.50 y un rendimiento esperado de 17%. La Z tiene una beta de .80 y un rendimiento esperado de 10.5. Si la tasa libre de riesgo es de 5.5% y la prima de riesgo de mercado es de 7.5%, ¿están correctamente valuadas estas acciones? Primero, podemos usar el CAPM. Al sustituir el valor que se nos da para cada acción, encontramos: E(RY) = 0.055 + 0.075(1.50) = 0.1675 o 16.75% Se da en el problema que el rendimiento esperado de la acción Y es del 17 por ciento, pero según el CAPM, el rendimiento de la acción en función de su nivel de riesgo, el rendimiento esperado debería ser del 16,75 por ciento. Esto significa que el rendimiento de las acciones es demasiado alto, dado su nivel de riesgo. Las acciones Y se ubican por encima del SML y están infravaloradas. En otras palabras, su precio debe aumentar para reducir el rendimiento esperado al 16,75 por ciento. Para Stock Z, encontramos: E(RZ) = .055 + .075(0.80) = .1150 o 11.50% El rendimiento dado para el Stock Z es del 10.5 por ciento, pero según el CAPM, el rendimiento esperado del stock debe ser del 11.50 por ciento en función de su nivel de riesgo. El stock Z se traza debajo del SML y está sobrevaluado. En otras palabras, su precio debe disminuir para aumentar el rendimiento esperado al 11,50 por ciento. 20.- Razones de recompensas a riesgos, En el problema anterior, ¿cuál tendría que ser la tasa libre de riesgo para que las dos acciones estuvieran correctamente valuadas? Necesitamos establecer las relaciones recompensa / riesgo de los dos activos iguales entre sí (ver el problema anterior), que es: (0.17 – Rf) /1.50 = (0.105 – Rf) /0.80 0.80(0.17 – Rf) = 1.50(0.105 – Rf) Resolviendo la tasa libre de riesgo, encontramos: 0.136 – 0.80Rf = 0.1575 – 1.50Rf Rf = .0307 o 3.07% 21.- Rendimientos de portafolios, Con base en la información del capítulo anterior acerca de la historia de los mercados de capitales, determine el rendimiento de un portafolio que está igualmente distribuido entre acciones de compañías grandes y en bonos del gobierno a largo plazo. ¿Cuál es el rendimiento de un portafolio que está igualmente distribuido entre acciones de compañías pequeñas y en certificados de la tesorería? Para una cartera que se invierte por igual en acciones de grandes empresas y bonos a largo plazo: R= (12.4% + 5.8%) /2 = 9.1% Para una cartera que se invierte igualmente en acciones pequeñas y letras del Tesoro: R= (17.5% + 3.8%) /2 = 10.65%

22.- CAPM Usando el CAPM, demuestre que la razón de las primas de riesgo de dos activos es igual a la razón de sus betas. Se sabe que las proporciones de recompensa a riesgo para todos los activos deben ser iguales. Esto se puede expresar como: [E(RA) – Rf]/βA = [E(RB) – Rf]/ßB El numerador de cada ecuación es la prima de riesgo del activo, por lo tanto: RPA/βA = RPB/βB Podemos reorganizar esta ecuación para obtener: βB/βA = RPB/RPA Si las proporciones de recompensa a riesgo son las mismas, la proporción de las versiones beta de los activos es igual a la proporción de las primas de riesgo de los activos. 23.- Rendimientos y desviaciones de portafolios, Considere la siguiente información acerca de tres acciones:

a) Si su portafolio invierte 40% en A, 40% en B y 20% en C, ¿cuál es el rendimiento esperado del portafolio? ¿Cuál es la varianza? ¿Y la desviación estándar? Necesitamos encontrar el retorno de la cartera en cada estado de la economía. Para hacer esto, multiplicaremos el rendimiento de cada activo por el peso de su cartera y luego sumaremos los productos para obtener el rendimiento de la cartera en cada estado de la economía. Al hacerlo, obtenemos: Auge: E(Rp) = 0.4(.20) +0.4(0.35) + 0.2(0.60) = 0.3400 o 34.00% Normal: E (Rp) = 0.4 (0.15) + 0.4 (0.12) + 0.2 (0.05) = 0.1180 o 11.80% Crisis: E (Rp) = 0.4 (0.01) + .4 (-0. 25) + .2 (-0. 50) = –0.1960 o –19.60% Y el rendimiento esperado de la cartera es: E(Rp) = .4(.34) + .4(.118) + .2(–.196) = .1440 o 14.40% La varianza y la desviación estándar de la cartera es: σ2p = 0.4(0.34 – 0.1440)2 + 0.4(0.118 – 0.1440)2 + 0.2(–0.196 – 0.1440)2 σ2p = 0.03876 σp = (0.03876)1/2 = 0.1969 o 19.69% b) Si la tasa esperada de los certificados de la tesorería es de 3.80%, ¿cuál es la prima de riesgo esperada del portafolio? La prima de riesgo es el retorno de un activo de riesgo, menos la tasa libre de riesgo. Las facturas T se usan a menudo como la tasa libre de riesgo, por lo tanto: RPi = E(Rp) – Rf = 0.1440 – 0.038 = 0.1060 o 10.60% c) Si la tasa de inflación esperada es de 3.50%, ¿cuál es el rendimiento real aproximado y el rendimiento real exacto esperados del portafolio? ¿Cuál es la prima de riesgo real aproximada y la prima de riesgo real exacta esperadas del portafolio? El rendimiento real esperado aproximado es el rendimiento nominal esperado menos la tasa de inflación, entonces:

Rendimiento real aprox. = 0.1440 - 0.035 = 0.1090 o 10.90% La prima de riesgo real aproximada es el rendimiento esperado menos la tasa de inflación, por lo tanto: Prima de riesgo real esperada aproximada = 0.1060 - 0.035 = 0.0710 o 7.10% Para encontrar la prima de riesgo real esperada exacta, utilizamos el efecto Fisher. Al hacerlo, encontramos: Prima de riesgo real esperada exacta = (1.1060 / 1.035) - 1 = 0.0686 o 6.86% 24.- Análisis de un portafolio, Usted desea crear un portafolio que sea igualmente riesgoso que el mercado, y usted tiene 1 millón de dólares para invertir. Dada esta información, llene la parte restante de la siguiente tabla:

Conocemos el valor total de la cartera y la inversión de dos acciones en la cartera, por lo que podemos encontrar el peso de estas dos acciones. Los pesos de las existencias A y B son: wA = $200,000 / $1,000,000 = .20 wB = $250,000/$1,000,000 = .25 Dado que la cartera es tan arriesgada como el mercado, la β de la cartera debe ser igual a uno. También sabemos que el β del activo libre de riesgo es cero. Podemos usar la ecuación para la β de una cartera para encontrar el peso de la tercera acción. Al hacerlo, encontramos: βp = 1.0 = wA (0.8) + wB (1.3) + wC (1.5) + wRf (0) Resolviendo el peso de la acción C, encontramos: wC = 0.343333 Entonces, la inversión en dólares en la acción C debe ser: Invertir en acciones C = 0.343333 ($ 1,000,000) = $ 343,333 También sabemos que el peso total de la cartera debe ser uno, por lo que el peso del activo libre de riesgo debe ser uno menos el peso del activo que conocemos, o: 1 = wA + wB + wC + wRf 1 = 0.20 + 0.25 + 0.34333 + wRf wRf = 0.206667 Entonces, la inversión en dólares en el activo libre de riesgo debe ser: Invertir en activo libre de riesgo = 0.206667 ($ 1,000,000) = $ 206,667 25. Se nos da el rendimiento esperado y β de una cartera y el rendimiento esperado y β del portafolio. Sabemos que la β del activo libre de riesgo es cero. También sabemos la suma de los pesos de cada activo debe ser igual a uno. Entonces, el peso del activo libre de riesgo es uno menos el peso de la acción X y el peso del stock Y. usando esta relación p, podemos expresar el retorno esperado de la cartera como: ̂𝑃 = 0.135 = 𝑊𝑋 (0.31) + 𝑊𝑌 (0.20) + (1 − 𝑊𝑋 − i Rend. Esperado de cartera: 𝐾 𝑊𝑌 )(0.07) ii La beta de la cartera: 𝛽𝑝 = 0.7 = 𝑤𝑥 (1.8) + 𝑤𝑦 (1.3) + (1 − 𝑤𝑥 − 𝑤𝑦 )(0) iii resolviendo las dos ecuaciones en una sola, tenemos: 𝑤𝑥 = −0.0833333

𝑤𝑦 = 0.6538462 𝑤𝑟𝑓 = 0.4298472 Por lo tanto, el monto a invertir en la acción X es: 𝑥 = −0.0833333(100000) = 8333.33 26. El retorno esperado de un activo es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Entonces el rendimiento esperado de cada acción es: ̂𝐴 = 0.33(0.063) + 0.33(0.105) + 0.33(0.156) = 0.1080 𝑜 10.80% 𝐾 ̂𝐵 = 0.33(−0.037) + 0.33(0.064) + 0.33(0.253) = 0.0933 𝑜 9.33% 𝐾 Para calcular la desviación estándar primero debemos hallar la varianza. Para encontrar la varianza debemos encontrar las desviaciones al cuadrado del rendimiento esperado. Entonces finalmente cada posible cuadrado de la desviación por su probabilidad y luego lo unimos con la ecuación anterior. El resultado es la varianza. Entonces, la varianza y la desviación estándar de la acción A son: 𝜎 2 = 0.33(0.063 − 0.1080)2 + 0.33(0.105 − 0.1080)2 + 0.33(0.156 − 0.1080)2 = 0.00145 1

𝜎 = (0.00145)2 = 0.0380 𝑜 3.80% Y la desviación estándar de la acción B es: 𝜎 2 = 0.33(0.037 − 0.0933)2 + 0.33(0.64 − 0.0933)2 + 0.33(0.253 − 0.0933)2 = 0.01445 1

𝜎 = (0.01445)2 = 0.1202 𝑜 12.02% Para encontrar la covarianza debemos multiplicar cada estado posible por cada activo “desviación de la media en ese estado” la suma de estos productos es la covarianza, entonces: 𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) = 0.33(0.063 − 0.1080)(−0.037 − 0.0933) + 0.33(0.105 − 0.1080)(0.064 − 0.0933) + 0.33(0.156 − 0.1080)(0.253 − 0.0933) 𝑐𝑜𝑣(𝐴. 𝐵) = 0.04539 Y la correlación es: 𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) 𝜌𝐴,𝐵 = 𝜎𝐴 𝜎𝐵 0.04539 𝜌𝐴,𝐵 = = 0.993 0.380(0.1202) 27. El rendimiento esperado de un activo es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Entonces el rendimiento esperado de cada acción es: 𝑘̂𝐴 = 0.25(−0.020)+0.60(0.092) +0.15(0.0154) =0.0733 o 0.33% 𝑘̂𝐵 = 0.25(0.50) + 0.60(0.062) + 0.15(0.74) = 0.0608 𝑜 6.08% Para calcular la desviación estándar primero calculamos la varianza, para encontrar la varianza se debe encontrar las desviaciones al cuadrado del rendimiento esperado, entonces cada posible cuadrado con su desviación por su probabilidad y luego el resultado es la varianza. Entonces, la varianza y la desviación estándar de la acción A son: 𝜎𝐴 2 = 0.25(−0.020 − 0.0733)2 + 0.60(0.092 − 0.033)2 + 0.15(0.154 − 0.0733)2 = 0.00336 1

𝜎𝐴 2 = 0.003362 = 0.080 𝑜 5.80% Y la desviación estándar para la acción B es: 𝜎𝐵 2 = 0.25(0.050 − 0.0608)2 + 0.60(0.062 − 0.0608)2 + 0.15(0.74 − 0.0608)2 = 0.00006 1

𝜎𝐵 2 = 0.000062 = 0.0075 𝑜 0.75% La covarianza entre la acción A Y B seria:

𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) = 0.25(−0.020 − 0.0733)(0.050 − 0.0608) + 0.60(0.092 − 0.0733)(0.062 − 0.0608) + 0.15(0.154 − 0.0733)(0.074 − 0.0608) 𝑐𝑜𝑣(𝐴. 𝐵) = 0.000425 Y la correlación es: 0.000425 𝜌𝐴,𝐵 = = 0.9783 0.0580(0.0075) 28. Desviación estándar del portafolio, El valor F tiene un rendimiento esperado de 12% y una desviación estándar de 34% por año. El valor G tiene un rendimiento esperado de 18% y una desviación estándar de 50% por año. a) El rendimiento esperado de la cartera es la suma de El peso de cada activo multiplicado por el retorno esperado de cada activo, entonces: 𝑘̂𝑃 = 𝑊𝐹 (𝑘̂𝐹 ) + 𝑊𝐺 (𝑘̂𝐺 ) 𝑘̂𝑃 = 0.70(0.12) + 0.70(0.18) = 0.1620 𝑜 16.20% b) La varianza de una cartera de dos activos se puede esperar como: 𝜎𝑃 2 = 𝑤𝐹 2 𝜎𝐹 2 + 𝑤𝐺 2 𝜎𝐺 2 + 2𝑊𝐹 𝑊𝐺 𝜎𝐹 𝜎𝐺 𝜌𝐹,𝐺 𝜎𝑃 2 = 0.302 0.342 + 0.702 0.502 + 2(0.30)(0.70)(0.34)(0.50)(0.20) = 0.14718 Entonces la desviación estándar es: 1

𝜎 = (0.14718)2 = 0.3836 𝑜 38.36% 29. Desviación estándar de un portafolio, Suponga que los rendimientos esperados y las desviaciones estándar de las acciones A y B son de E(RA) = .15, E(RB) =.25, σA =.40, y σB =.65, respectivamente. a) El rendimiento esperado de la cartera es la suma de. El peso de cada activo multiplicado por el retorno esperado de cada activo, entonces: 𝑘̂𝑃 = 𝑊𝐴 (𝑘̂𝐴 ) + 𝑊𝐵 (𝑘̂𝐵 ) 𝑘̂𝑃 = 0.40(0.15) + 0.60(0.25) = 0.2100 𝑜 21% La varianza del portafolio A y B es: 𝜎𝑃 2 = 𝑤𝐴 2 𝜎𝐴 2 + 𝑤𝐵 2 𝜎𝐵 2 + 2𝑊𝐴 𝑊𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐵 𝜌𝐴,𝐵 𝜎𝑃 2 = 0.402 0.402 + 0.602 0.652 + 2(0.40)(0.60)(0.40)(0.65)(0.50) = 0.24010 Entonces, la desviación estándar es: 1

𝜎 = (0.24010)2 = 0.4900 𝑜 49% b) El rendimiento esperado de la cartera es la suma del peso de cada activo multiplicado por el retorno esperado de cada activo, entonces: 𝑘̂𝑃 = 𝑊𝐴 (𝑘̂𝐴 ) + 𝑊𝐵 (𝑘̂𝐵 ) 𝑘̂𝑃 = 0.40(0.15) + 0.60(0.25) = 0.2100 𝑜 21% La varianza del portafolio de A y B es: 𝜎𝑃 2 = 𝑤𝐴 2 𝜎𝐴 2 + 𝑤𝐵 2 𝜎𝐵 2 + 2𝑊𝐴 𝑊𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐵 𝜌𝐴,𝐵 𝜎𝑃 2 = 0.402 0.402 + 0.602 0.652 + 2(0.40)(0.60)(0.40)(0.65)(−0.50) = 0.11530 Entonces la desviación estándar es: 1

𝜎 = (0.11530)2 = 0.3396 𝑜 33.96% c) A medida que la acción A y la acción B se vuelven menos correlacionadas o más correlacionadas negativamente, la desviación del portafolio disminuye.

30. Correlación y beta, Se han proporcionado los siguientes datos acerca de los valores de tres empresas, el portafolio del mercado y el activo libre de riesgo: a) (i) Usamos la ecuación para hallar β, podemos encontrar la correlación de la empresa A: 𝜌𝐴 (𝜎𝐴 ) 𝜎𝑀 𝜌𝐴 (0.38) 0.9 = = 0.47 0.20 (ii) usando la ecuación para calcular beta para hallar la desviación estándar de la empresa C, encontramos: (0.40)(𝜎𝐶 ) 1.1 = = 0.55 0.20 (iii) Usando la ecuación para calcular beta, en la empresa c, encontramos: (0.35)(0.65) 𝛽𝐶 = = 1.14 0.20 (iv) El mercado tiene una correlación de 1. (v) La beta del mercado es 1. (vi) El activo libre de riesgo tiene una desviación estándar cero. (vii) El activo libre de riesgo tiene correlación cero con la cartera del mercado. (viii) La beta del activo libre de riesgo es 0. b) Usando el CAPM para encontrar el rendimiento esperado del stock, tenemos:  Empresa A: ̂𝐴 = 𝐾𝐹 + 𝛽𝐴 (𝐾 ̂ 𝐾 𝑀 − 𝐾𝐹 ) ̂ 𝐾𝐴 = 0.05 + 0.9(0.15 − 0.05) = 0.1400 𝑜 14.00% 𝛽𝐴 =

Según el CAPM, el rendimiento esperado de las acciones de la empresa A debería ser del 14%, sin embargo, el rendimiento esperado de la firma de un stock dado en la tabla es solo el 13%, por lo tanto, las acciones de la empresa A son demasiado caras de debe venderlas.  Empresa B: ̂𝐵 = 𝐾𝐹 + 𝛽𝐵 (𝐾 ̂ 𝐾 𝑀 − 𝐾𝐹 ) ̂𝐵 = 0.05 + 1.1(0.15 − 0.05) = 0.1600 𝑜 16.00% 𝐾 Según el CAPM, el rendimiento esperado de las acciones de la empresa B debe ser del 16%. El rendimiento esperado de las acciones de la empresa B que figura en la tabla también es del 16%. El stock tiene el precio correcto.  Empresa C: ̂𝐶 = 𝐾𝐹 + 𝛽𝐶 (𝐾 ̂ 𝐾 𝑀 − 𝐾𝐹 ) ̂𝐶 = 0.05 + 1.14(0.15 − 0.05) = 0.1638 𝑜 16.38% 𝐾 Según el CAPM, el rendimiento esperado de las acciones de la firma C debería ser de 16.38%. sin embargo, el rendimiento esperado de las acciones de la firma C que figura en la tabla es del 20%. Las acciones de la empresa c no son caras y es recomendable comprarlas.

31. Si una cartera bien diversificada no tiene un riesgo no sistemático, esta cartera debería recaer en la CAPITAL MARKET LINE (CML). La pendiente de la CML es igual a: ̂ 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 = (𝐾 𝑀 − 𝐾𝐹 )/𝜎𝑀 0.12 − 0.05 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 = = 0.70 0.10 a. El rendimiento esperado del portafolio es: ̂𝑃 = 𝐾𝐹 + 𝑃𝑒𝑛𝑑𝐶𝑀𝐿 (𝜎𝑃 ) 𝐾 ̂𝑃 = 0.05 + 0.70(0.07) = 0.0990 𝑜 9.90% 𝐾 b. Usando nuestra ecuación del rendimiento esperado, hallamos la desviación estándar: ̂𝑃 = 𝐾𝐹 + 𝑃𝑒𝑛𝑑𝐶𝑀𝐿 (𝜎𝑃 ) 𝐾 0.20 = 0.05 + 0.70(𝜎𝑃 ) = 0.2143 𝑜 21.43% 32. Primero, podemos calcular la desviación estándar de la cartera de mercado utilizando la línea del mercado de CAP (CML). Sabemos que el activo de la tasa libre de riesgo tiene un rendimiento del 5% y una desviación estándar 0 y la cartera tiene un rend. Esperado del 14% y una desv. Estándar del 18%. Estos dos puntos deben estar en la línea del mercado de capitales. La pendiente de la línea del mercado de capitales. 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 = 𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜/𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 0.12 − 0.05 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝐶𝑀𝐿 = = 0.39 0.18 − 0 Según la línea del mercado de capitales: ̂𝐼 = 𝐾𝐹 + 𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐶𝑀𝐿 (𝜎𝑀 ) 𝐾 Dado que conocemos el rendimiento esperado de la cartera del mercado, la tasa libre de riesgo y la pendiente de la CML, podemos encontrar la desviación estándar de la cartera del mercado que es: ̂ 𝐾 𝑀 = 𝐾𝐹 + 𝑃𝑒𝑛𝑑.𝐶𝑀𝐿 (𝜎𝑀 ) 0.12 = 0.2 + (0.39)(𝜎𝑀 ) (0.12 − 0.05) 𝜎𝑀 = = 0.1800 𝑜 18.00% 0.39 Ahora podemos usar la desviación estándar de la cartera del mercado para resolver la beta de un valor usando su ecuación. Al hacer ello, encontramos que la versión beta segura es: 𝛽𝐼 = (𝜌𝐼,𝑀 )(𝜎𝐼 )/𝜎𝑀 𝛽𝐼 =

(0.45)(0.40) = 1.00 0.1800

Ahora podemos usar la versión de beta segura en el CAMP para encontrar un rendimiento esperado, que es: ̂𝐼 = 𝐾𝐹 + 𝛽𝐼 (𝐾 ̂ 𝐾 𝑀 − 𝐾𝐹 ) ̂𝐼 = 0.05 + 1.00(0.14 − 0.05) = 0.1400 𝑜 14.00% 𝐾

33. Suponga que la tasa libre de riesgo es 6.3% y que el portafolios del mercado tiene un rendimiento esperado de 14.8% y una varianza de 0.0498. El portafolio Z tiene un coeficiente de correlación con el mercado de 0.45 y una varianza de 0.1783. De acuerdo con el modelo de valuación de activos de capital, ¿cuál es el rendimiento esperado del portafolio Z?

𝜎𝑀 𝜎𝑀 𝜎Z 𝜎Z

a) Primero, necesitamos encontrar la desviación estándar del mercado y la cartera, que son: = (0.498)1/2 = 0.2232 𝑜 22.32% = (0.1783)1/2 = 0.4223 o 42.23%

b) Ahora podemos usar la ecuación para beta para encontrar la beta de la cartera, que es: 𝛽Z = (𝜌Z,M )(𝜎Z )/(𝜎𝑀 ) (0.045)(0.4223) 𝛽Z = 0.2232 𝛽Z = 0.85 c) Ahora, podemos usar el CAPM para encontrar el rendimiento esperado de la cartera, que es: 𝐸(𝑅Z ) = 𝑅𝑓 + 𝛽Z (𝐸(𝑅𝑀 ) − 𝑅𝑓 ) 𝐸(𝑅Z ) = 0.063 + 0.85(0.148 − 0.063) 𝐸(𝑅Z ) = 0.1354 o 13.54% 34. Considere la siguiente información acerca de las acciones I y II.

Estado de la economía Recesión Normal Exuberancia irracional

Probabilidad del estado de la economía 0.15 0.70 0.15

Tasa de rendimiento si ocurre tal estado Acción I

Acción II

0.09 0.42 0.26

−0.30 0.12 0.44

La prima de riesgo de mercado es de 10% y la tasa libre de riesgo es de 4% ¿Qué acción tiene mayor riesgo sistemático? ¿Cual tiene el mayor riesgo no sistemático? ¿Cuál acción es más “riesgosa”? Explique su respuesta. a) La cantidad de riesgo sistemático se mide por la β de un activo. Dado que conocemos la prima de riesgo de mercado y la tasa libre de riesgo, si conocemos el rendimiento esperado del activo, podemos usar el CAPM para resolver el β del activo. El rendimiento esperado de la Acción I es: E(R I ) = 0.15(0.09) + 0.70(0.42) + 0.15(0.26) E(R I ) = 0.3465 o 34.65%

Usando el CAPM para encontrar el β de la Acción I, encontramos: 0.3465 = 0.04 + 0.10𝛽𝐼 𝛽𝐼 = 3.07 El riesgo total del activo se mide por su desviación estándar, por lo que necesitamos calcular la desviación estándar de la Acción I. Comenzando con el cálculo de la variación de la acción, encontramos: 𝜎𝐼 2 = 0.15(0.09 − 0.3465)2 + 0.70(0.42 − 0.3465)2 + 0.15(0.26 − 0.3465)2 𝜎𝐼 2 = 0.1477 𝜎𝐼 = (0.1477)1/2 = 0.1215 𝑜 12.15% b) Usando el mismo procedimiento para la Acción II, encontramos que el rendimiento esperado es: E(R II ) = 0.15(−0.30) + 0.70(0.12) + 0.15(0.44) 𝐸(𝑅𝐼𝐼 ) = 0.1050 Usando el CAPM para encontrar el β de la Acción II, encontramos: 0.1050 = 0.04 + 0.10𝛽𝐼𝐼 𝛽𝐼𝐼 = 0.65 Y la desviación estándar de la Acción II es: 𝜎𝐼𝐼 2 = 0.15(−0.30 − 0.1050)2 + 0.70(0.12 − 0.1050)2 + 0.15(0.44 − 0.1050)2 𝜎𝐼𝐼 2 = 0.04160 𝜎𝐼𝐼 = (0.04160)1/2 = 0.2039 𝑜 20.39% Aunque la Acción II tiene más riesgo total que la Acción I, tiene un riesgo mucho menos sistemático, ya que su beta es mucho más pequeña que la Acción I. Por lo tanto, la Acción I tiene un riesgo más sistemático y II tiene un riesgo más no sistemático y más total. Dado que el riesgo no sistemático puede diversificarse, en realidad la acción I es "más riesgosa" a pesar de la falta de volatilidad en sus retornos. La Acción I tiene una prima de riesgo más alta y un mayor rendimiento esperado. 35. Suponga que usted observa la siguiente situación: Valor

Beta

Rendimiento esperado

Pete Corp.

1.3

0.23

Repete Corp.

0.6

0.13

Suponga que estos valores están correctamente valuados. Basándose en el CAPM ¿Cuál es el rendimiento esperado del mercado? ¿Cuál es la tasa libre de riesgo?

a) Aquí tenemos el rendimiento esperado y la beta para dos activos. Podemos expresar los retornos de los dos activos usando CAPM. Ahora tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Volviendo al álgebra, podemos resolver las dos ecuaciones. Resolveremos la ecuación para que Pete Corp. encuentre la tasa libre de riesgo, y resolveremos la ecuación para que Repete Co. encuentre el rendimiento esperado del mercado. 𝐸(𝑅𝑃𝑒𝑡𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑝. ) = 0.23 = 𝑅𝑓 + 1.3(𝑅𝑀 − 𝑅𝑓 ) 𝐸(𝑅𝑅𝑒𝑝𝑒𝑡𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑝. ) = 0.13 = 𝑅𝑓 + 0.6(𝑅𝑀 − 𝑅𝑓 ) 0.23 = 𝑅𝑓 + 1.3𝑅𝑀 − 1.3𝑅𝑓 = 1.3𝑅𝑀 − 0.3𝑅𝑓 0.13 = 𝑅𝑓 + 0. 6(𝑅𝑀 − 𝑅𝑓 ) = 𝑅𝐹 + 0.6𝑅𝑀 − 0.6𝑅𝑓 𝑅𝑓 = (1.3𝑅𝑀 − 0.23)/0.3 𝑅𝑀 = (0.3 − 0.4𝑅𝑓 )/0. 6 𝑅𝑀 = 0.217 − 0.667𝑅𝑓 A continuación, sustituimos el rendimiento esperado del mercado en la ecuación de Pete Corp., y luego resolvemos la tasa libre de riesgo. 𝑅𝑓 = (1.3(0.217 − 0. 66𝑅𝑓 ) − 0.23)/0.3 1.167𝑅𝑓 = 0.0521 𝑅𝑓 = 0.443 𝑜 4.43% Ahora que tenemos la tasa libre de riesgo, podemos sustituirla en cualquiera de las expresiones CAPM originales y resolver el retorno esperado del mercado. Al hacerlo, obtenemos: 0.23 = 0.443 + 1.3(𝑅𝑀 − 0.0443) 0.13 = 0.443 + 0.6(𝑅𝑀 − 0.0443) 𝑅𝑀 = 0.1871 𝑜 18.71% 𝑅𝑀 = 0.1871 𝑜 18.71% 36. Existen tres valores en el mercado. La siguiente tabla muestra sus posibles rendimientos:

Estado

Probabilidad de ocurrencia

Rendimiento del valor 1

Rendimiento del valor 2

Rendimiento del valor 3

1 2 3 4

0.10 0.40 0.40 0.10

0.25 0.20 0.15 0.10

0.25 0.15 0.20 0.10

0.10 0.15 0.20 0.25

a) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada valor? b) ¿Cuáles son la covarianza y las correlaciones entre los pares de valores? c) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio con la mitad de fondos invertida en el valor 1 y la mitad en el valor 2? d) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio con la mitad de fondos invertida en el valor 1 y la mitad en el valor 3? e) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio con la mitad de fondos invertida en el valor 2 y la mitad en el valor 3? f) ¿Qué implica sus respuestas a los incisos a), c), d) y e) acerca de la diversificación?

a) El rendimiento esperado de un activo es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno multiplicado por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Para calcular la desviación estándar, primero necesitamos calcular la varianza. Para encontrar la varianza, encontramos las desviaciones al cuadrado del rendimiento esperado. Luego multiplicamos cada posible desviación al cuadrado por su probabilidad, y luego sumamos todo esto. El resultado es la varianza. Entonces, el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada acción son: *Valor 1: 𝐸(𝑅1 ) = 0.10(0.25) + 0.40(0.20) + 0.40(0.15) + 0.10(0.10) = 0.1750 o 17.50% 𝜎1 2 = 0.10(0.25 − 0.1750)2 + 0.40(0.20 − 0.1750)2 + 0.40(0.15 − 0.1750)2 + 0.10(0.10 − 0.1750)2 2 𝜎1 = 0.00163 𝜎1 = (0.00163)1/2 = 0.0403 o 4.03% *Valor 2: 𝐸(𝑅2 ) = 0.10(0.25) + 0.40(0.15) + 0.40(0.20) + 0.10(0.10) = 0.1750 o 17.50% 𝜎2 2 = 0.10(0.25 − 0.1750)2 + 0.40(0.15 − 0.1750)2 + 0.40(0.20 − 0.1750)2 + 0.10(0.10 − 0.1750)2 2 𝜎2 = 0.00163 𝜎2 = (0.00163)1/2 = 0.0403 o 4.03% *Valor 3: 𝐸(𝑅3 ) = 0.10(0.10) + 0.40(0.15) + 0.40(0.20) + 0.10(0.25) = 0.1750 o 17.50% 𝜎3 2 = 0.10(0.10 − 0.1750)2 + 0.40(0.15 − 0.1750)2 + 0.40(0.20 − 0.1750)2 + 0.10(0.25 − 0.1750)2 𝜎3 2 = 0.00163 𝜎3 = (0.00163)1/2 = 0.0403 o 4.03% b) Para encontrar la covarianza, multiplicamos cada estado posible por el producto de la desviación de cada activo de la media en ese estado. La suma de estos productos es la covarianza. La correlación es la covarianza dividida por el producto de las dos desviaciones estándar. Entonces, la covarianza y la correlación entre cada posible conjunto de activos son: *Valor 1 y Valor 2: 𝐶𝑜𝑣(1,2) = 0.10(0.25 − 0.1750)(0.25 − 0.1750) + 0.40(0.20 − 0.1750)(0.15 − 0.1750) + 0.40(0.15 − 0.1750)(0.20 − 0.1750) + 0.10(0.10 − 0.1750)(0.10 − 0.1750) 𝐶𝑜𝑣(1,2) = 0.000625 𝜌1,2 = 𝐶𝑜𝑣(1,2)/𝜎1 𝜎2 𝜌1,2 = 0.000625/(0.0403 )(0.0403) 𝜌1,2 = 0.3846 * Valor 1 y Valor 3: 𝐶𝑜𝑣(1,3) = 0.10(0.25 − 0.1750)(0.10 − 0.1750) + 0.40(0.20 − 0.1750)(0.15 − 0.1750) + 0.40(0.15 − 0.1750)(0.20 − 0.1750) + 0.10(0.10 − 0.1750)(0.25 − 0.1750) 𝐶𝑜𝑣(1,3) = −0.001625

𝜌1,3 = 𝐶𝑜𝑣(1,3)/𝜎1 𝜎3 𝜌1,3 = −0.001625/(0.0403 )(0.0403) 𝜌1,3 = −1 *Valor 2 y Valor 3: 𝐶𝑜𝑣(2,3) = 0.10(0.25 − 0.1750)(0.10 − 0.1750) + 0.40(0.15 − 0.1750)(0.15 − 0.1750) + 0.40(0.20 − 0.1750)(0.20 − 0.1750) + 0.10(0.10 − 0.1750)(0.25 − 0.1750) 𝐶𝑜𝑣(1,3) = −0.000625 𝜌2,3 = 𝐶𝑜𝑣(2,3)/𝜎2 𝜎3 𝜌2,3 = −0.000625/(0.0403 )(0.0403) 𝜌2,3 = −0.3846 c) El rendimiento esperado del portafolio es la suma del peso de cada valor multiplicado por el rendimiento esperado de cada valor, por lo tanto, para un portafolio de Valor 1 y Valor 2: 𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝑤1 𝐸(𝑅1 ) + 𝑤2 𝐸(𝑅2 ) 𝐸(𝑅𝑝 ) = 0.50(0.1750) + 0.50(0.1750) 𝐸(𝑅𝑝 ) = 0.1750 𝑜 17.50% La varianza del portafolio de los dos valores se puede expresar como: 𝜎𝑝 2 = 𝑤1 2 𝜎1 2 + 𝑤2 2 𝜎2 2 + 2𝑤1 𝑤2 𝜎1 𝜎2 𝜌1,2 𝜎𝑝 2 = 0.502 (0.0403)2 + 0.502 (0.0403)2 + 2(0.50)(0.50)(0.0403)(0.0403)(0.3846) 𝜎𝑝 2 = 0.001125 Y la desviación estándar del portafolio es: 𝜎𝜌 = (0.001125)1/2 𝜎𝜌 = 0.0335 𝑜 3.35% d) El rendimiento esperado del portafolio es la suma de peso de cada valor multiplicado por el rendimiento esperado de cada valor, por lo tanto, para un portafolio de Valor 1 y Valor 3: 𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝑤1 𝐸(𝑅1 ) + 𝑤3 𝐸(𝑅3 ) 𝐸(𝑅𝑝 ) = 0.50(0.1750) + 0.50(0.1750) 𝐸(𝑅𝑝 ) = 0.1750 𝑜 17.50% La varianza del portafolio de los dos valores se puede expresar como: 𝜎𝑝 2 = 𝑤1 2 𝜎1 2 + 𝑤3 2 𝜎3 2 + 2𝑤1 𝑤3 𝜎1 𝜎3 𝜌1,3 𝜎𝑝 2 = 0.502 (0.0403)2 + 0.502 (0.0403)2 + 2(0.50)(0.50)(0.0403)(0.0403)(−1) 𝜎𝑝 2 = 0.0 Como la varianza es cero, la desviación estándar también es cero. e) El rendimiento esperado del portafolio es la suma de peso de cada valor multiplicado por el rendimiento esperado de cada valor, por lo tanto, para un portafolio de Valor 2 y Valor 3: 𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝑤2 𝐸(𝑅2 ) + 𝑤3 𝐸(𝑅3 ) 𝐸(𝑅𝑝 ) = 0.50(0.1750) + 0.50(0.1750) = 0.1750 𝑜 17.50% La varianza del portafolio de los dos valores se puede expresar como: 𝜎𝑝 2 = 𝑤2 2 𝜎2 2 + 𝑤3 2 𝜎3 2 + 2𝑤2 𝑤3 𝜎2 𝜎3 𝜌2,3 𝜎𝑝 2 = 0.502 (0.0403)2 + 0.502 (0.0403)2 + 2(0.50)(0.50)(0.0403)(0.0403)(−0.3846) 𝜎𝑝 2 = 0.000500

Y la desviación estándar del portafolio es: 𝜎𝜌 = (0.000500)1/2 𝜎𝜌 = 0.0224 𝑜 2.24% f) Mientras la correlación entre los rendimientos de dos valores sea inferior a 1, la diversificación beneficiará a todos. Un portafolio con acciones correlacionadas negativamente puede lograr una mayor reducción del riesgo que un portafolio con acciones correlacionadas positivamente, manteniendo constante el rendimiento esperado de cada valor. La aplicación de ponderaciones adecuadas en valores perfectamente correlacionadas negativamente puede reducir la variación del portafolio a 0. 37. Suponga que usted observa la siguiente información: Estado de la economía

Probabilidad de ocurrencia

Crisis Normal Auge

0.25 0.50 0.25

Rendimiento si ocurre tal estado Acción A -0.10 0.10 0.20

Acción B -0.30 0.05 0.40

a) Calcule el rendimiento esperado de cada acción. b) Suponiendo que el modelo de valuación de activos de capital se mantiene y que la beta de la acción A es 0.25 mayor que la beta de la acción B ¿Cuál es la prima de riesgo de mercado esperada? a) El rendimiento esperado de un activo es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno multiplicado por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Entonces, el rendimiento esperado de cada acción es: 𝐸(𝑅𝐴 ) = 0.25(−0.10) + 0.50(0.10) + 0.25(0.20) = 0.750 𝑜 7.50% 𝐸(𝑅𝐵 ) = 0.25(−0.30) + 0.50(0.05) + 0.25(0.40) = 0.0500 𝑜 5.00% b) Podemos usar los rendimientos esperados que calculamos para encontrar la pendiente de la Línea del Mercado de Seguridad. Sabemos que la beta de la Acción A es 0.25 mayor que la beta de la Acción B. Por lo tanto, a medida que la beta aumenta en 0.25, el rendimiento esperado de un valor aumenta en 0.025 (= 0.075 - 0.5). La pendiente de la línea del mercado de seguridad (SML) es igual a: 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑆𝑀𝐿 = (𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜)/(𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑡𝑎) 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑆𝑀𝐿 = (0.075 − 0.05)/0.25 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑆𝑀𝐿 = 0.1000 𝑜 10% Dado que la beta del mercado es 1 y la tasa libre de riesgo tiene una beta de cero, la pendiente de la línea del mercado de seguridad es igual a la prima de riesgo de mercado esperada. Por lo tanto, la prima de riesgo de mercado esperada debe ser del 10 por ciento.

38. Existen dos acciones en el mercado: la acción A y la B. El día de hoy el precio de la primera es de 50 dólares. El año siguiente, este precio será de 40 dólares si la economía se encuentra en recesión, 55 dólares si la economía es normal y 60 si está en expansión. Las probabilidades de recesión, de épocas normales y de expansión son de 0.1, 0.8 y 0.1, respectivamente. Además, esta acción no paga dividendos y tiene una correlación de 0.8 con el portafolio del mercado. La acción B tiene un rendimiento esperado de 9%, una desviación estándar de 12%, una correlación con el portafolio del mercado de 0.2 y una correlación con la acción A de 0.6. El portafolio del mercado tiene una desviación estándar de 10%. Suponga que se mantiene el CAPM. a) Si usted es un inversionista típico con aversión al riesgo y con un portafolio bien diversificado ¿Qué acción preferiría? ¿por qué? b) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio formado por 70% de acciones A y 30% de acciones B? c) ¿Cuál es la beta del portafolio en el inciso b)? a) Un inversor típico con aversión al riesgo busca altos rendimientos y bajos riesgos. Para un inversor con aversión al riesgo que posee una cartera bien diversificada, beta es la medida adecuada del riesgo de un valor individual. Para evaluar las dos acciones, necesitamos encontrar el rendimiento esperado y la beta de cada uno de los dos valores. *Acción A: Como la acción A no paga dividendos, el rendimiento de la acción A es simplemente: 𝑃1 − 𝑃0 /𝑃0 Entonces, el rendimiento de cada estado de la economía es: 40 − 50 𝑅𝑅𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 = = −0.20 o 20% 50 55 − 50 𝑅𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = = 0.10 o 10% 50 60 − 50 𝑅𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = = 0.20 o 20% 50 El rendimiento esperado de un valor es la suma de la probabilidad de que ocurra cada retorno multiplicado por la probabilidad de que ocurra ese retorno. Entonces, el rendimiento esperado de la acción es: 𝐸(𝑅𝐴 ) = 0.10(−0.20) + 0.80(0.10) + 0.10(0.20) = 0.0800 𝑜 8% Y la varianza de la acción es: 𝜎𝐴 2 = 0.10(−0.20 − 0.08)2 + 0.80(0.10 − 0.08)2 + 0.10(0.20 − 0.08)2 𝜎𝐴 2 = 0.0096 Lo que significa que la desviación estándar es: 𝜎𝐴 = (0.0096)1/2 𝜎𝐴 = 0.098 𝑜 9.8% Ahora podemos calcular la beta de la acción, que es: 𝛽𝐴 = (𝜌𝐴,𝑀 )(𝜎𝐴 )/𝜎𝑀 𝛽𝐴 = (0.80)(0.098)/0.10 𝛽𝐴 = 0.784

Para la acción B, podemos calcular directamente la beta a partir de la información proporcionada. Entonces, la beta para la acción B es: *Acción B: 𝛽𝐵 = (𝜌𝐵,𝑀 )(𝜎𝐵 )/𝜎𝑀 𝛽𝐵 = (0.20)(0.12)/0.10 𝛽𝐵 = 0.240 El rendimiento esperado de la acción B es mayor que el rendimiento esperado de la acción A. El riesgo de la acción B, medido por su beta, es menor que el riesgo de la acción A. Por lo tanto, un inversor típico reacio al riesgo que tiene un bien diversificado la cartera preferirá la Acción B. Tenga en cuenta que esta situación implica que al menos una de las acciones tiene un precio incorrecto ya que las acciones de mayor riesgo (beta) tienen un rendimiento más bajo que las acciones de menor riesgo (beta). b) El rendimiento esperado del portafolio es la suma del peso de cada activo por el rendimiento esperado de cada valor, por lo tanto: 𝐸(𝑅𝑃 ) = 𝑤𝐴 𝐸(𝑅𝐴 ) + 𝑤𝐵 𝐸(𝑅𝐵 ) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.70(0.08) + 0.30(0.09) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.083 𝑜 8.30% Para encontrar la desviación estándar del portafolio, primero necesitamos calcular la varianza. La variación del portafolio es: 𝜎𝑝 2 = 𝑤𝐴 2 𝜎𝐴 2 + 𝑤𝐵 2 𝜎𝐵 2 + 2𝑤𝐴 𝑤𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐴 𝜌𝐴,𝐵 𝜎𝑝 2 = (0.70)2 (0.98)2 + (0.30)2 (0.12)2 + 2(0.70)(0.30)(0.098)(0.12)(0.60) 𝜎𝑝 2 = 0.00896 Y la desviación estándar del portafolio es: 𝜎𝜌 = (0.00896)1/2 𝜎𝜌 = 0.0947 o 9.47% c) La beta de un portafolio es el promedio ponderado de las versiones beta de sus valores individuales. Entonces la beta de la cartera es: 𝛽𝑝 = 0.70(0.784) + 0.30(0.24) 𝛽𝑝 = 0.621 39. Suponga que las acciones A y B tienen las siguientes características: Acción

Rendimiento esperado (%)

Desviación estándar (%)

A

5

10

B

10

20

La covarianza entre los rendimientos de las dos acciones es de 0.001. a) Suponga que un inversionista tiene un portafolio únicamente por la acción A y la acción B. Encuentre los pesos del portafolio, 𝑋𝐴 𝑦 𝑋𝐵 , de tal modo que la varianza de su portafolio se vea minimizada. Recuerde que la suma de los dos pesos debe ser igual a 1. b) ¿Cuál es el rendimiento esperado del portafolio de varianza mínima?

c) Si la covarianza entre los rendimientos de las dos acciones es de −0.02, ¿Cuáles son los pesos de la varianza mínima? d) ¿Cuál es la varianza del portafolio en el inciso c)? a) La varianza de una cartera de dos activos es igual a: 𝜎𝑝 2 = 𝑤𝐴 2 𝜎𝐴 2 + 𝑤𝐵 2 𝜎𝐵 2 + 2𝑤𝐴 𝑤𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐴 𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) Dado que los pesos de los activos deben sumar uno, podemos escribir la variación de la cartera como: 𝜎𝑝 2 = 𝑤𝐴 2 𝜎𝐴 2 + (1 − 𝑤𝑎 )𝜎𝐵 2 + 2𝑤𝐴 (1 − 𝑤𝐴 )𝜎𝐴 𝜎𝐴 𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) Para encontrar el mínimo para cualquier función, encontramos la derivada y establecemos la derivada igual a cero. Al encontrar la derivada de la función de varianza, establecer la derivada igual a cero y resolver el peso del activo A, encontramos: 𝑤𝐴 = [𝜎𝐵 2 − 𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵)]/[𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2 − 2𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵)] Usando esta expresión, encontramos que el peso del activo A debe ser: 𝑤𝐴 = [(0.202 − 0.001)]/[0.102 + 0.202 − 2(0.001)] 𝑤𝐴 = 0.8125 Esto implica que el peso del Activo B es: 𝑤𝐵 = 1 − 𝑤𝐴 𝑤𝐵 = 1 − 0.8125 𝑤𝐵 = 0.1875 b) Usando los pesos calculados en la parte a), determine el rendimiento esperado del portafolio, encontramos: 𝐸(𝑅𝑃 ) = 𝑤𝐴 𝐸(𝑅𝐴 ) + 𝑤𝐵 𝐸(𝑅𝐵 ) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.8125(0.05) + 0.1875(0.10) 𝐸(𝑅𝑃 ) = 0.0594 c) Usando la derivada de la parte a), con la nueva covarianza, el peso de cada acción en el portafolio de varianza mínima es: 𝑤𝐴 = [𝜎𝐵 2 − 𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵)]/[𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2 − 2𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵)] 𝑤𝐴 = (0.102 + 0.02)/[0.102 + 0.202 − 2(−0.02)] 𝑤𝐴 = 0.6667 Esto implica que el peso de la Acción B es: 𝑤𝐵 = 1 − 𝑤𝐴 𝑤𝐵 = 1 − 0.6667 𝑤𝐵 = 0.3333 d) La variación del portafolio con los pesos en la parte c) es: 𝜎𝑝 2 = 𝑤𝐴 2 𝜎𝐴 2 + 𝑤𝐵 2 𝜎𝐵 2 + 2𝑤𝐴 𝑤𝐵 𝜎𝐴 𝜎𝐴 𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) 𝜎𝑝 2 = (0.6667)2 (0.10)2 + (0.3333)2 (0.20)2 + 2(0.6667)(0.3333)(0.10)(0.20)(−0.02) 𝜎𝑝 2 = 0.0 Debido a que las acciones tienen una correlación negativa perfecta (–1), podemos encontrar un portafolio de las dos acciones con una variación cero.