Repeta - Matek 3 9638534192 [PDF]

Zitiervorschau

SCOLAR GB KIADÓ

Dr. G e rö c s L á s z ló

REPETA - MATEK 3 F ő is k o la i, e g y e te m i fe lv é te lir e , é re tts é g ire k észü lők n ek

S C O L A R K I A D Ó , B U D A P E S T , 1997

Lektorálta: É rsek N á n d o r

A könyv ábráit készítette: S za b ó B é la A borítót készítene: N a g y P é te r A borítón látható grafikát készítene: G ra p h id ea S tú d ió - K o v á c s T ib o r , P o z s o n y i J ó z s e f

© Dr. Gerőcs László, 1997

ISBN: 963 85341 9 2 Kiadja a SCOLAR KIADÓ Felelős kiadó és szerkesztő: Érsek Nándor A könyv formátuma: B/5. ívtcíjcdelmc: 12 Betücsaíád: Times New Román CE Nyomta a Kner Nyomda Rt. Dürer Nyomda és Kiadó Kft, Gyula

Bevezető Harmadik évfolyam ának vége he z érkezett a televízió R E P E T A - M A T E K című műsorsorozata. Ahogyan ezt az első két évfolyam végén is tettük, ez évben is összegyűjtöttük eg y kötet­ ben az év során kitűzött és m egoldott feladatokat. Ezt a kötetet tartja kezében az olvasó, és reméljük, ugyanolyan hasznos lehet számára, mint amilyen az első két kötet volt. A k i követte a T V e műsorát, tapasztalhatta, hogy bár szerkezetében, időtartamában, stílusá­ ban némiképpen m egváltozott a korábbi évekhez képest, ami változatlan maradt, az a segítőszándék, m ellyel a műsor készítői támogatni igyekeztek az egyetem i, főiskolai felvételire és általában a felsőfokú tanulmányokra önállóan készülő diákokat. Ennek m egfelelően ez évben is hetente egy-egy feladatsort tűztünk ki az érdeklődőknek, m ely feladatsorokat aztán egy hét múlva a műsorban - ahogyan időnk engedte - részletesen kifejtettünk. E z évben 29 feladatsor fért a Repeta idejébe. Ezt a 29 feladatsort találhatja m eg az olvasó a kötet elején, majd ezt kővetően azok teljes, részletes m egoldásait Ezután következnek az 1997, évi egyetem i felvételi feladatsorok, m elyek ugyancsak nagy tanulsággal szolgálhatnak a ké­ sőbbi években ilyen vizsgára készülőknek. A kitűzött feladatsorok végén - már hagyomány szerűen, a könyv jo b b áttekinthetősége ér­ dekében - zárójelben egy-egy számot talál az olvasó. E z arra utal, hogy a kérdéses feladatsor megoldása hányadik oldalon található a kötetben. Végezetül e helyen szeretnék újólag is köszönetét mondani sok-sok segítőmnek: elsősorban dr. Somogyi László és Kovács K ároly tanároknak barátaimnak szakmai tanácsaikért; Varga Zs. Csaba rendezőnek, Sípos P á l stúdióvezetőnek és Stodulka Pé te r szerkesztőknek, valamint a Magyar Televízió Közművelődési Stúdiója valamennyi dolgozójának a műsorsorozat nagyszerű lebonyolításáért, a L I C H T B O G E N ¿?r-nek anyagi támogatásáért, valamint a S C O LA R K JAD Ö nak precíz, gondos és gyors munkájáért. K öszönöm ! Dr. G eröcs László Budapest, 1997. május

Feladatsorok

1*1*

Legyen b > 1 valós szám! Oldja meg az alábbi egy enletet a valós számok halmazán: l°862s(20-25sin’£ + 1) = lóg 2 ^ — 1 v é sm,r

1*2.

A z / : x » - » / ( x ) = x 2 + bx + 5 ( x e R ) másodfokú függvény grafikonjának szimmet*

riatengelyével alkotott metszéspontja, valamint az x -tengellyel alkotott metszéspontjai szabá­ lyos háromszöget alkotnak. Határozza m eg a b paraméter értékét! 1*3*

Bizonyítsa be, hogy !99®

1*4*

+ l9% - f l" # Í 6 > l” tf6 + t99^ 8 + '" # 1 2

A z A B C D E négyzet alapú egyenes gúla alapja az a oldalú A B C D négyzet. E négyzet

képpontja a g középpontja gúla oldaléléitől - ^ j- s z o r olyan távol van, mint az oldallapoktól. Számítsa ki a gúla térfogatát! 1.5*

Legyen ek p > s > z prímek! E gy dobozban elhelyeztünk p A db piros, s4 db sárga és

z 4 db zöld golyót. Legyen k az a legkisebb pozitív egész szám, ahány golyót ki kell vennünk a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három különböző, n az a legkisebb szám, ahány golyót ki kell vennünk a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három egyform a, összesen hány go ly ó van a dobozban, ha k + « + 5 ugyancsak prím$2ám?(27)

2*1*

O ld ja m e g a következő egyenletet a valós számok halmazán: ló g ] X - 201og4 JC+ 2 9 = — 5--------ü ----------lo g 4x - 5 1 o g 4;r + 9

2.2,

Határozza m eg azt az abed négyjegyű számot, amelynek szám jegyeire 4 ab + 20 = c d

2.3.

a + b + c + d = 25

M e ly 0 < x < 2 n t fl < >> < 2rc valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget: 2sín* - ' f i +*>'-1-1

2*4.

és

^!2sJ\nx-'j2 -xy-\ _ 26

Adott az jc2 + y 2 —6x —4 y - 12 = 0 kör és a belsejében a P ( l , 3 ) , 0 (5 , 6 ) pontok.

Határozza m eg az A B C derékszögű háromszög csúcspontjainak koordinátáit úgy, hogy a há­ rom szög köré írható köre az adott kör legyen és P az egyik, Q a másik befogóra illeszkedjen! 2*5*

Egy O csúcspontú he gyes szög egyik szárán felvettük az A pontot. A z A pont merőle­

ges vetülete a másik szögszáron legyen B . B tükörképe O -ra legyen D t D m erőleges vetülete O A egyenesen pedig legyen C. Bizonyítsa be, hogy az AB2+ BC2+ CD2+ P A 2 BDAC kifejezés értéke független az A pont választásától, és mindig nagyobb, mint 2!

(3 1 )

9

3,1.

A z A B C D négyzet A B oldalának felezőpontja F. A D csúcsból F C -re állított merőle­

ges talppontja T. Bizonyítsa be, hogy ZX4T háromszög egyenlő szárú! 3.2.

Egy számtani sorozat ¿?-cdik elem e p ^ f q , q -adik elem e q^~p. Határozza m eg a soro­

zat p + q -adik elemét! 3,3.

Legyenek n és k pozitív egészek. M ely x, y y z valós számokra teljesül az alábbi

egyenletrendszer ( x y y > I ) : lo g t x ny k + lo g v y nx k = 4 \fnk

3.4.

és

A z A B C szabályos háromszög A, B cs C csúcsaiból indul a háromszög belseje fele az

a, b , ill. c félegyenes úgy, hogy az a félegyenes AB oldallal, b félegyenes B C oldallal, c fé l­ egyenes CA oldallal ugyanakkora a < 30°-os szöget zár be. E félegyenesek eg y olyan három­ szöget határoznak meg, melynek területe az A B C háromszög területének a fele. Határozza meg a értékét! 3.5.

Egy négyzetes hasáb élei cm-ben mérve egész számok. A hasáb befestéséhez ponto­

san 1 liter piros festéket használtunk fel. Ezután a testet lapsíkjaival párhuzamos síkok men­ tén 1 cm élű kis kockákra vágtuk fel, majd e kis kockák minden olyan lapját, m ely festetien, befestettük zöldre. A felhasznált zöld festék 4,5 liter. Határozza meg a hasáb térfogatát!

4.1.

(36)

Egy kerékpáros ugyanazt a távolságot állandó sebességgel szokta megtenni. Egy al­

kalommal a táv p % - i t a szokásos sebességnél p % -k a l kisebb sebességgel, a hátralevő utat szokásos sebességénél p % -k a l nagyobb sebességgel tette meg, és így szokásos menetideje nem változott. Határozza m e g p értékét! 4.2.

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

és ( V T ) 5410*3' s in (x + y ) = sin x - sin>> 4.3.

E gy r sugarú körbe beírtuk az A B C D négyzetet, valamint az A E F szabályos három­

szöget. Számítsa ki a négyzet és a háromszög közös részének területét! 4.4.

Legyen a > 2 valós szám. Bizonyítsa be, hogy ekkor < lo gu ( a + 1) + logu+|a

4.5,

Egy egyenlő szárú háromszög magasságpontja illeszkedik a háromszög beírható kö­

rére. Mekkorák a háromszög szögei?

10

< 3

(4 0 )

5.1.

Határozza m eg jc értékét úgy, hogy az alábbi A, B és C mennyiségek ebben a sor­

rendben egy mértani sorozat egymást követő elemei legyenek:

A = 27 2 ~ 2 7 3 + ) ,

5.2.

5 = s in x + c o sx ,

C = [ í ' 08' ^ + ( s i n ^ ) ' 6] 2

M elyek azok az ab kétjegyű számok, m elyek szám jegyeire (a + b y = a ( a + b)

5.3.

A d ja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, melyen az aláb­

bi kifejezés értelmezhető (a szögletes zárójel a valós szám egcszrészét je lö li);

V ~ [lo g ^ (x 2 - 4 ) f + 9 [Io g ^ (* 2 - 4 ) ] - I 4 x4 - 18x2 + 56 5.4,

A z A B C D konvex négyszög A B oldalának felezőpontja E, C D oldalának felezőpont­

ja F . Bizonyítsa be» hogy az A B F és C D E háromszögek területének összege egyenlő az A B C D négyszög területével! 5.5.

Az y = -x

2

+n

2

( w e N ) parabola és az x tengely által közbezárt tartományban és

annak határán összesen 299 olyan pont található, melyeknek mindkét koordinátája egész szám. Határozza meg n értékét!

6.1.

Oldja m eg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán; 2x + , j x ~ 2 y + 3 ~ 4 ( l + y ) ,

6.2.

(4 6 )

x 2 + 2 y 2 ~ x y = 46

Határozza m eg az ay b , c szám jegyeket úgy, hogy az a b y ba, cOc számok egy szám­

tani sorozat egymás utáni elem ei legyenek! 6.3.

A z A B C derékszögű három szög átfogója AB. A z A C befogó felezőpontja F . A B F

súlyvonal egyenese a három szög köré írható körét P-ben metszi. Mekkorák a három szög szö­ gei, ha F F egyenlő az átfogó negyed részével? 6.4.

írja föl annak a körnek az egyenletét, am elyik érinti az y = 4 egyenest, áthalad a

P ( 0, 2) ponton és amelynek területét a 2y-\-x = 2 egyenes felezi! 6.5.

Három házaspár - a férfiak; János, G y ö rg y és Béla, a nők; Luca, Kati és Zsuzsa - el­

mentek vásárolni egy szupermarketbe. A vásárlás befejeztével mind a hat szem ély azt találta, hogy az általa vett áruk (tallérban vett) átlagértéke m egegyezik az általa vett áruk számával. János 27-tel több darab árut vett, mint Kati, és G yörgy áruinak átlagértéke 9 tallérral ma­ gasabb volt, mint Lucáé. Véletlenül úgy adódott, hogy minden félj 75 talérral többet költött, mint felesége. M e ly ik férfinak m elyik no a felesége?

(5 1 )

11

7.1.

A z A , B , C számokra fennállnak az alábbi egyenlőségek. Á llítsa nagyság szerint nö­

vek vő sorrendbe az A, B y C mennyiségeket: A = (1 9 9 6

Hfí81rc 4 y w w is i“ + B -C

B = (s m - m 4

+cosm f _ A 4

C = A + B - logJ3_v-j6i (13 + V I 6 8 )

7.2.

A z A B C három szög oldalai a = 8, b = 6 és s in (a + (5) =

Számítsa ki az A és B

csúcsokból induló magasságok talppontjainak távolságát! 7.3.

Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán: V3'082Jr-2 \ / 3 '082Jr- 1 + V 3logJ 1 + 8 - 6a/S10*2"1 - 1 = 8 ^ 5 - 4

7.4.

Az

x l g a + y l g ö = lgű£

és

x l g & + j > l g a = 2 lga£ egyenesek (a cs 6 egymástól és 1-től különböző pozitív valós paraméterek, valamint a b * 1) az y = - 2 x egyenesen metszik egymást. Határozza m eg a metszéspontok koordinátáit! 7.5.

A z A B C D paralel logramma C hegyes szögű csúcsából az A D , Ül A B oldalegyene­

sekre állított m erőlegesek talppontjai Q és P, Bizonyítsa be, hogy A D - A Q + AB- A P = A C 1

8.1.

(55)

Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: log^ c„ -C a ,

összeg «-tő i független legyen? A djon egy konkrét példát ilyen sorozatokral

(69)

11.1. A-b ó ) fí-be az utat egy szem élyvonat állandó sebességgel szokta megtenni. U gyanezt az utat egy gyorsvonat kétszer akkora sebességgel szokta megtenni, mint a szem élyvonat, és így éppen 5-ben szokta utol cm i a személyvonatot. Egy alkalommal a szem élyvonat a2 út 3/4 részének megtétele után műszaki hiba miatt eredeti sebességének felével folytatta útját, így a gyorsvonat már 24 km-rel B előtt utolérte. M ekkora az A és B helységek távolsága? 11.2. Oldja meg az alábbi egye ni etrend szert a valós számok halmazán:

á ^ H logx l y i '

w

2 = 2* 2

11.3. Mekkora annak az origó középpontú körnek a sugara, am elyik belülről érinti az x 2 + y 2 —sinot-x -c o s tx y —

— 0 kört, ahol 0 < ct < y ?

11.4. Bizonyítsa be, hogy 19971" 7— I995l" s+ 1994 osztható 1996-tal! 11.5. A z A B C D négyzet A B oldalának tetszőleges belső pontja E . £-ben A B - re, £-ben B D re állított m erőlegesek metszéspontja legyen F . A z F pont B C egyenesre eső merőleges vetülete G . Legyen M a D F és A G egyenesek metszéspontja. Bizonyítsa be, hogy D Á M B húr­ négyszög!

(7 3 )

12.1. Oldja m eg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán, ahol a második egyenlet bal oldalán egy-egy 9, ill. 8 alapú számrendszerben felírt kétjegyű szám szerepel! 3|x-2| + 5|_y-l| = 36

és

xy9 - xy g = y - 3

12.2. Egy osztályban minden tanuló minden tanulónak készít karácsonyra egy ajándékot, emellett még az osztályban tanító 11 tanár is készít az osztálynak egy-egy ajándékot. Ezután úgy döntenek, hogy nem tartják meg az ajándékokat, hanem igazságosan (egyen lő számban) elosztják azokat a szomszédos árvaház 15 kis lakója között Vajon megtehetik-e? 12.3. Lészen az A B C D egyvalam ely ortogonális négyszeglem ény (téglalap). Lészen emen­ nek O pontja em ez kvadrátum A C D háromszegieményének beltzirkulátziójának czentrálisa (beírható körének középpontja). Em ez O ponton által állíttassanak ortogonális ( merőleges) léniák az négyszeglem ény A B , B C léniáira. Lészen em ez merőlegesek támasztéka (talppont­ j a ) F és Q. M ily mértékű az A B C D kvadrátum terjedéke (területe), ha az létrejött O P B Q négyszeglem ény terjedőkének mértéke kettő híján éppen 1000? 12.4. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget, ahol ct * h í . 2 x c o s o t - 2 jr + c o s a 2 x - 2xcosa + l 12.5. Hundred-food-ot a Százlábú R obotot üzemi baleset érte. Lábfejeit - m elyek libasor­ ban egymás után helyezkednek el - egy fogaskerék elforgatta ugyanabba az irányba 3 0 °-k a i Ezután egy második fogaskerék elforgatta minden második lábfejét az elő ző v e l m egegyező irányba 3 0 °-kai. Eztán egy harmadik fogaskerék minden harmadik lábfejét, egy negyedik fo ­ gaskerék minden negyedik lábfejét, és így tovább (a £-adik fogaskerék minden i-a d ik lábfe­ jét; k < 100) elforgatta mindig ugyanabba az irányba 3 0 °-kai. A mérnöki konzílium m egálla­ pítása szerint a százlábúnak minden olyan lábfejét cserélni kell, amelyik nincs olyan állásban, mint amilyenben eredetileg volt. M e ly lábfejeit nem kell cserélni Hundred-food-nak?

14

(77)

13.1. Oldja m eg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán: 3u« f * - w ' í + 16^ 4

x2-

w

1 = 18i

4 y2 = x - y 2

2

13.2. Határozza m eg az ^-tengelynek azt a pontját, m elyből az x + y - 4 * - 4 y - t - 7 = 0 kör^ 2 2 höz húzott érintők ugyanakkora szöget zárnak be egymással, mint az x + y —1 2 x - 8 y + 4 8 = ü körhöz húzott érintők! 13.3. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alapja az A B C D E F a oldalú szabályos hatszög, ( A hasáb oldaléléi AA)y BB]t

F F t .) Mekkora a test térfogata, ha az A C tB } há­

rom szög területe 2 a 1 V3 ? 13.4. Határozza meg az összes olyan négyjegyű számot, m elynek háromszorosához 2000-t hozzáadva az eredeti szám szám jegyeinek felcserélésével adódó négyjegyű számot kapjuk! 13.5. A z A B C egyenlő szárú háromszögben A B = A C , a szárak szöge B A C Z = 20°. A z AB szárra ^ -b ó l kiindulva felmérjük az A P = B C szakaszt. M ekkora a B P C szög?

(8 2 )

14.1. Határozza m eg a következő kifejezés értelmezési tartományát: V l 2 { s } 2 - 8{ x } + l V —jc2 + 5 -sin2 x ahol a { i zárójel a valós szám törtrészét jelenti! 14.2. A z 1, 2, 3,

1996 pozitív egész számokat szeretnénk két csoportba osztani úgy,

hogy minden szám szerepeljen valam elyik csoportban, minden szám csak eg y csoportban szerepeljen és az egyik csoportban levő számok szorzata egyenlő legyen a másik csoportban levő számok szorzatával. H ogyan lehet ezt megtenni? 14.3. Egy nem egyenlő szárú derékszögű háromszög a és P hegyesszögeire s in (a + 2P ) = c o s ( a - 2 p ) Bizonyítsa be, hogy ekkor a háromszög átfogója az átfogóhoz tartozó magasság 2 V 2 szöröse! 14.4. Határozza m eg a k * 0

és m paraméter értékét úgy, hogy ha az alábbi másodfokú

egyenletnek léteznek valós gyökei, akkor azok négyzetösszege /»-tol független legyen: x + k ( m - 1) * -i- m k 3- 2 m k 3 - 0 14.5. A z A B C D A i B ^ D ] kocka egyik oldala az A B C D egységnyi oldalú négyzet. Legyen H a D D { él £>,-hcz közelebbi negyedelő pontja, O a B C C XBX lap középpontjai M ekkora tér­ fogatú részekre vágja szét e kockát az A O H háromszög síkja?

(8 7 )

15.1.

M ekkora legyen a C mennyiségben szereplő x értéke, hogy’ az A> fl, C mennyiségek

semmilyen elrendezésben ne lehessenek egy számtani sorozat egymást követő elemei: „2 A = 2 lo g2 [(sin 7 5 °+ c o s 7 5 0) 2 + j ] ,

B=

,,

64 2 - 643

,

3 3 — 3-------- 2 ~ + 1

C = s in ^ + sin2jr

64 2 + 6 4 3 15.2. M elyek azok a különböző p ly p 2, p 3 prímek, amelyekre P if h + P Í3P1 = M P Í 15.3. Á brázolja egy koordinátarendszerben a sík azon P ( x ; y ) pontjainak halmazát, mely pontokra x 3 + 9 x + \x\y > 0 15.4* L egyen O i az O középpontú félkör A B átmérőjének A - hoz közelebbi negyedelő­ pontja! Rajzoljuk m eg az A O, ill. O B átmérőjű félköröket az eredeti félkör belsejébe, és le­ gyen 0 2 annak a körnek a középpontja, m ely az előbbi félköröket kívülről, az eredeti félkört belülről érinti! Végül legyen 0 3 annak a körnek középpontja, m ely az Ü ] és

középpontú

köröket kívülről, az eredeti félkört belülről érinti. Bizonyítsa be, hogy 0 \ 0 0 2( \ téglalap! 15.5* Geobestia, a gonosz varázsló birodalmában három féle test él: 24 gömb, 20 kocka és 30 tetraéder. A varázsló megtiltotta, hogy a különböző típusú testek találkozzanak egymással. Ha azonban két különböző típusú test m égis találkozott, akkor a varázsló büntetésből mind­ kettőt a harmadik testté változtatta. Egy idő után már csak egy fajta testek éltek a birodalom ­ ban. M ilyen testek lehetnek ezek?

16.1.

(9 2 )

A z alábbi A kifejezésben a szögletes zárójel az egészrészt, £-ben a kapcsos zárójel a

törtrészt jelenti. M elyik szám nagyobb: A , vagy B -2

¿ = [(1 + sin J S f Z * ) 2]u«J S 17

B

76 ^2 i 182 + ) 8 2

16.2, A z A B C a oldalú szabályos háromszög AB oldalának felezőpontja F. A z A F és F B szakaszokra, mint átmérőkre olyan félköröket emeltünk, m elyeknek van közös része a három­ szög belsejével. M ekkora annak a körnek a sugara, m ely e félköröket kívülről érinti és érinti még a háromszög A C és B C oldalait? 16.3. M e ly x, y (0 < x < 2 n , 0 < y < 2 n ) valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget:

sin2* + cos2x + sin2y = ^ ~ yj4sin2x - sin2^+4(cosxsiny- 1) 16.4, E gy négyjegyű négyzetszám szám jegyeit fordított sorrendben felírva az eredetinél nagyobb négyzetszámot kapunk, m égpedig az eredeti négyzetszám egészszámszorosát. M ely számról van szó? 16.5. A z A B C háromszög B C oldalának felezőpontja F. A z A F súlyvonalat felosztottuk 1000 egyen lő részre; legyen P az A csúcshoz legközelebbi osztópont! A B P egyenes A C ol­ dalt £-ben metszi. Legyen H az E F szakasz felezőpontja; B H egyenes A C oldalt G-ben met­ szi. M ilyen arányban osztja két részre G pont a háromszög A C oldalát?

16

(9 5 )

17.1. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: {6 4 I + (sin 2- ^

) ‘ 5} I

cos2x = 343T l" 8v'T2

17.2. A dott két pont A ( 4 ;2 ), Z?(8; yQ). Határozza meg y 0 érteket úgy, hogy létezzen két olyan derékszögű háromszög, melynek átfogója A B és derékszögű csúcsa az x = - 2 egye­ nesre illeszkedik! 17.3. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: ^sinx

¿jcosx _ 2 Í+^2sin2x

17.4. M ely ek azok az abed < 4000 prímszámok, m elyek az alábbi két tulajdonsággal ren­ delkeznek: a) első két számjegyük olyan kétjegyű prím, melyben a szám jegyek szorzata I -tői kü­ lönböző négyzetszám, b) második két számjegyük olyan kétjegyű prím, m ely szám jegyeinek szorzatát fordított sorrendben felírva ismét négyzetszám ot kapunk. 17.5. Egy A B C a oldalú szabályos háromszög alakú papír­ lapot összehajtogattunk az 1. ábrán látható módon úgy, hogy a háromszög A csúcsa a B C oldal C-hez közelebbi H harmado­ lópontjába kerüljön. M ily en hosszú a P Q szakasz?

(100)

^

^

18.1. Oldja m eg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 4 } ( i - x ) 2 + y \ - x2 = V(\ + x f 18.2. I latározza m eg az összes olyan f ( x ) = ax + bx + c másodfokú függvényt, am elyek­ re V * € R esetén / ( * +1997) = / ( - * ) 18.3, M ilyen (nem feltétlenül azonos) szám jegyeket írhatunk az A'-ek helyébe, hogy helyes szorzást kapjunk: 1

X

XX

XX XXX X X X 0 18.4. M e ly x ,y , z egész számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget 4 - x 2 + 8* - 1 5 +

18,5.

l . ^ .......... = ló g v( x + y - z ) ^ j - y 2 +1 %y - 77

A z A B C nem szabályos h á r o m s z ö g e s oldalának harmadolópontjai Au A2> B C o l­

dalának harmadolópontjai fij, 52, CA oldalának harmadolópontjai C]f C2. A z A] A2, B ^ , CjCj szakaszokra emeljük a háromszög belseje felé az A] A1P , B lB2Q y C }C2R szabályos há­ romszögeket. Bizonyítsa be, hogy a P Q R háromszög ugyancsak szabályos!

(105)

19.1. M elyek azok az ötjegyű természetes számot, m elyek négyzetszámok és egyben köb­ számok is! 19.2. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: > °S a- 3( * + 9 0 ) ■! ° g í V x - 3

= |

19.3. M e ly x , y valós számok elégítik ki az alábbi egyenetrendszert: V 9 c o s 4 x + 24 sin2

- 8 + ^ 9 sin4_y + 2 4 cos2 x - 8 = 5, l ó g J 7 7 + ló g 2 V * = 4

*

y

/

19.4. A z A B C D téglalap AB oldalának felezőpontja F , A D oldalának D-h.cz közelebbi ne­ gyedelőpontja N, M ilyen arányban osztják egymást a D F é s C N szakaszok? 19.5. A budapesti és a veszprémi állatkertbe érkezett Afrikából összesen 257 papagáj: sár­ gák, pirosak, fehérek és kékek. Tudjuk, hogy nincs közöttük 5 különböző korú, azonos színű papagáj. Bizonyítsa be, hogy valam elyik állatkertben lesz legalább 9 azonos S2ínű és azonos korú papagáj!

( 111)

20.1. M ely x Ty, z valós számok elégítik ki az alábbi egyenletrendszert: x + 2y +

3z = 1000

4y2+ z (z + 2 x ) = 2 x ( 2 y - x ) 29.2. E gy autókereskedő Audi és B M W

kocsikkal kereskedik. Egy Audin 40%, egy

B M W -n 60% haszna van (azaz a vételár 40 ill, 60%-ával drágábban adta el). Ha ugyanannyi Audit adott volna cl, mint B M W -t, akkor 48% haszna lett volna, de 50%-kal több B M W -t adott el, mint Audit. Hány % haszna lett a kereskedőnek? 20.3. Táblázat és szám ológép használata nélkül állítsa növekvő sorrendbe az alábbi A , B , C mennyiségeket: A = lo g 2 3,

B - lo g35,

C ~ lo g2 3• lo g3 5■ lo g52

20.4. E gy a oldalú szabályos háromszög alakú zárt vasúti pálya egyik csúcsából egyszerre indul egy irányba egy szem élyvonat és eg y gyorsvonat; mindketten egy kört tesznek meg. A gyorsvonat sebessége a szem élyvonat sebességének kétszerese. a) Hányszor és milyen helyzetben lesz a két vonat között a távolság (légvonalban) 0,5«? b) A m ik or a szem élyvonat a kiindulási ponttal szemközti oldalon halad, m ely helyzet­ ben lesz a két vonat között a távolság (légvonalban) minimális? 20.5. A d ott 1996 db pozitív egész szám. Tudjuk róluk, hogy bárhogyan is választunk ki közülük néhányat (akár csak egyet, akár mindet), a kiválasztott számok összege nem osztható 1997-tel. Bizonyítsa be, hogy az eredeti 1996 db S2á m közül bármely kettő különbsége oszt­ ható 1997-tel!

18

(115)

21.1. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: l ° g j _ 4 +lo g4 2X >* +f 2* 21.2. Egy nem állandó számtani sorozat első, második és ötszázegyedik elem e eg y mértani sorozat egymást követő elemei. M ilyen «-re teljesül, hogy e számtani sorozat első, harmadik cs »-edík elem ei ugyancsak egy mértani sorozat egymást követő elemei?

21.3. Egy a P ( 6 ; 2 ) ponton áthaladó e egyenes az y = ^ x egyenest tf-ben, az y-tengelyt 0-ban metszi. Határozza meg az e egyenes egyenletét, ha tudjuk, hogy az R Q O háromszög területét az ^-tengely felezi ( O a koordináta-rendszer kezdőpontja)! 21.4. M e ly ik az a háromjegyű szám, am elyik egyenlő szám jegyei köbének összegével, és amelyről elmondható még, hogy a nála eggyel nagyobb szám ugyanilyen tulajdonságú? 21.5. A z A B átmérőjű, O középpontú félköríven felvettük a C és D pontokat úgy, hogy C A B Z = 20°, továbbá D O m erőleges legyen A C -rc. Legyen A C és B D szakaszok metszés­ pontja M [ Bizonyítsa be„ hogy ekkor C M C A = B C -4 A M 2- C M 2

(119)

22.1. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: logj_ ^ 5 ló g i [49 n

7

+ l o g l (c t g * c o s jr + s i n j t ) ] > 0 V2

22.2. M e ly k természetes számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget:

J k + V F = 1S12 22.3. A z A B C egyen lő szárú háromszögben A C = AB. Legyen O a háromszög beírható körének középpontja, F á z B C oldal felezőpontja, továbbá T az A F magasságnak és a beírható körnek az F-től különböző metszéspontja. Mekkorák a három szög szögei, ha B T szakasz fe ­ lezi az A B O szöget? 2 ♦ 22.4. A z / ; x —> x + a x + 2a másodfokú függvény grafikonjának zérushelyei, valamint tengelypontja eg y 7] területű háromszöget határoz meg. A g : x —> x 2- 2 a x - a

másodfokú

függvény esetében e három szög területe T2, Határozza m eg az a paraméter értékét, ha 7] = 2 V 2 • T2

22.5. Egy téglalap oldalainak és átlójának mérőszáma egész. Bizonyítsa be, hogy ekkor a téglalap területének mérőszáma osztható 12-vel!

(125)

19

23.1. O ldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán: ^ ,--- Ü (lo g ^ 8 + lo g ^ 0 ,5 )- v = 2 4 3 - {V 3 ' ) * .

1 1 (5 X) ' = 5 [ ( 0 , 2 r ' ] y

23.2. Egyszerre indult /í-ból £-be és fl-böl /í-ba egy-egy jármű. M íg az ,4-ból induló jármű megtette az út p % -á t, addig a tf-ből induló jármű megtette az /l-bói induló járm ű végső helyzete és B közötti távolság 2 p % -át. íg y a két jármű közti távolság a teljes út 8% -a. Hatá­ rozza meg p értékét! 23.3. A z A B C egységnyi oldalú szabályos háromszög A csúcsán áthalad - a háromszögön kívül - egy e egyenes, m ely az A B oldalegyenessel 15°-os szöget zár be. A háromszöget kör­ beforgatjuk az e egyenes körül. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? 23.4. N yuszi Húsvétra ajándékot készített valamennyi üzletfelének és Zsebibabának. Nyu­ szi üzletfelei ugyancsak ajándékot készítettek Zsebibabának, Nyuszinak és természetesen egymásnak is. A z összes ajándékot a 100 holdas Pagony közepén álló nagy Bükkfa tövébe hordták, ahol M icim ackó és Róbert G ida összeszámlálta őket. Eztán így fordult Róbert Gida M icim ackóhoz: -

Lám, az ajándékok száma eg y olyan 200-nál nagyobb háromjegyű szám, m elynek min­

den szám jegye p ozitív négyzetszám. M ondd m eg kedves buksi medvém, hány üzletfele van Nyuszi barátunknak? 23.5. M e ly x,y\ z valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőséget: — + 7 * 2- 1 5 * + 26 = - J - x 2 + U x - 18 + c o s V •( - z 2 + 3xz + x + 1) sin xy

(131)

24.1. E gy 1000 literes tartályt három csövön keresztül töltünk meg folyad ék k al A z első csövön át 12 liter/perc sebességgel 2 4 % -o s oldat, a második csövön keresztül 16 liter/perc sebességgel 1 8% -os oldat fo lyik a tartályba. A harmadik csövön át fo lyó oldat 2 0 % -os, a folyás sebességét pedig magunk választhatjuk meg. Mekkorára válasszuk c sebességet, ha azt akarjuk, hogy amikor m egtelik a tartály, az oldat éppen 20,4 % -o s legyen? 24.2. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A (\ g y fx\ \ g 4 2 x)t

B (]g 2 y [x ;\ g > Í2 x ),

C (lg V 8 x ;lg 2 V x )

Mekkora a háromszög legnagyobb szöge? 24.3. Három prímszám szorzata egyenlő összegük 1997-szeresével M elyek ezek a prímek? 24.4. A z A B C derékszögű háromszögbe beírtuk a P Q C szabályos háromszöget úgy, hogy P és Q pontok a háromszög A B átfogójára illeszkednek. M ekkorák az A B C háromszög szö­ gei, ha a C Q A háromszög területe a B P C háromszög területének kétszerese? 24.5. Adott az f :x \ -> a x + b függvény, valamint egy nem állandó an számtani sorozat. Tudjuk, hogy minden pozitív egész ¿-ra « * + / (< * * ) + / < / ( « * ) ) »3 9 9 4 Határozza meg a z / függvényt!

(136)

25.1. O ldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

!og 2 "

25

log 2 7 = !°82 lo g 2

^2x2+3y-

0,2

25*2. Egy háromszög egyik oldala egységnyi; a rajta fekvő szögek a. = 15Ö, p = 30°. Szögftlggvények használata nélkül bizonyítsa be, hogy a kérdéses oldalhoz tartozó m magasság:

_

V3 _

1

25.3. O ldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: 2 sin2* + ^ 4 + sin x - 2 cos2* = 1+ V 3 - s i n x 25.4. Jelölje m ( n ) az

xy + x + y = n

(n € N )

egyenlet megoldásainak számát a pozitív egészek körében [pl. m ( 7 ) = 2, mert « = 7 esetén a fenti egyenletnek két ( * ; y ) megoldása van: (1 ;3 ) és ( 3 ; l ) ] . M e ly ik az a legkisebb pozitív egészé, m elyre m ( k ) = 1997? 25.5. F g y 33 tagú katonai alegység katonáit A B C sorrendbe írták, majd 1-től 33-ig sorszá­ mozták őket. M inden nap egy katona látta el az ügyeleti teendőket. A z első cs a második na­ pon kisorsolták, hogy ki legyen az ügyeletes, a további napokon pedig a következő szabályt alkalmazták: a soron következő ügyeletes az a katona lesz, akinek száma egyenlő az előtte le­ vő két ügyeletes sorszámának összegével» ha ez az összeg nem haladja m eg a 33-at, am enynyiben meghaladja, akkor az a katona lesz ügyeletes, akinek sorszáma m egegyezik az előző két ügyeletes sorszámának 33-mai csökkentett összegével. Lehetnek-e Kelemen, Kovács és Kiss honvédek ebben a sorrendben egymás utáni napokon ügyeletesek?

(141)

26.1. E gy helységből elindult egy szem élyvonat 60 km/h sebességgel. E gy idő múlva utá­ na indult egy gyorsvonat 80 km/h sebességgel. A gyorsvonat indulása után 3 órával három­ szor akkora v o lt a két vonat között a távolság, mint a gyorsvonat indulása után 5 órával. M i­ kor indult a gyorsvonat? 26.2. A z Á B C D egységnyi oldalú négyzet C D oldalára kifelé emeltük az C D E szabályos háromszöget. E három szög C E és D E oldalaira ugyancsak kifelé emeltük a C E F y HL D E G szabályos háromszögeket. M ekkora az A yB , F t G pontokra illeszkedő körnek a sugara? 26.3. E gy ötszög minden oldala egységnyi hosszúságú, és bármely négy szögének koszi­ nuszának szorzata 0. M ekkora az ötszög területe? 26.4. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

26.5. E gy egyenes út mentén valam ely pontból kiindulva egymástól 10 m-es távolságra pontosan 10 m magas fákat ültettek. András, Béla, Csaba és Dani egy-egy fa tövéből m eg­ mérte a legelső fa látószögét. Miután mérési eredményeiket egyeztették, András csodálkozva felkiáltott: „Jé, a Csaba és D ani által m éri szögek összege pontosan megegyezik a Béla által mért szöggel, valamint a Béla és Csaba által mért szögek összege pontosan megegyezik az általam mért szöggel/" Hanyadik fa tövében mért Béla, Csaba és Dani, ha András a nyolca­ dik fa tövében végezte a mérést, és Dani mért legtávolabb az első fától?

(146)

21

27.1, Egy konvex sokszöget elvágtunk valam ely átlója mentén úgy, hogy a keletkezett két konvex sokszög egyikének kétszer annyi oldala van, mint a másiknak. A keletkezeti két sok­ szög átlóinak száma, valamint az eredeti sokszög átlóinek száma egy számtani sorozat szom­ szédos elemei. Hány oldalú az eredeti sokszög, és hány oldalú sokszögekre vágtuk szét? 27.2, A z alábbi kifejezés értelmezési tartománya pontosan egy pozitív prímet tartalmaz. Határozza m eg az a paraméter értékét!

j

r-1 9 9 7 *

—x +(¿7 + 2 ) * - 2 a

27,3.

Egy egységnyi oldalú négyzet O középpontja körül kört raj­

zoltunk a 2. ábrán látható módon. Mekkora az a -va l jelzett szög, ha a pontozott és satírozott területek egyenlők? 27.4. Határozza meg annak a legnagyobb körnek az egyenletét, melynek bármely P ( x ; y ) pontjának koordinátáira sin (x + y ) > c o s (x —y ) ,

ahol Ö < jr < 2 7 t, 0 < y < 2rc.

27.5. A z A B C hegyesszögű három szög A, fi, C csúcsaiból induló magasságainak talppont­ ja i rendre A [y B ]y C { . Bizonyítsa be, hogy CA, - B C l • A B [ = Al B{ • fi,C, * C, Aí

(152)

28.1. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán: 2 7 *S v -3 M 2 5 y

-y+1

,*+1

44

9 " - 5 ' + 3" *2 5 ' 28.2. A z A B C derékszögű három szög A B átfogójának felezőpontja F y a B C b efogó C-hez közelebbi harmadoló pontja H . Bizonyítsa be, hogy B A fíZ = C F H Z 28.3, A z A B C háromszög egyik csúcspontjának koordinátái: .4 (2 ;2 ). A háromszög A -\al szemközti oldala illeszkedik az y = 5 egyenesre, súlypontja pedig az x 2 + / - 10; t - ] 0j> + 2 s = 0 körre. Határozza meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, ha a háromszög területe 12 területegység! 28.4, Egy 1 5 x 1 5-ös négyzetháló négyzeteibe balról jobbra, fe­ lülről lefelé haladva beírtuk az 1, 2t 3.......225 számokat. Ezután a négyzetháló négyzeteit (m indig ötöt) letakartuk a 3. ábrán látható kereszt alakú síkidommal minden lehetséges módon. Hányszor és m ilyen helyzetben lesz a letakart öt négyzetben levő számok Öszszege négyzetszám? 28.5. Legyen P az A B C derékszögű háromszög AB átfogójának

3. ábra

egy tetszőleges belső pontja. Bizonyítsa be, hogy ekkor ( PA ■B C ) 2 + ( P B - A C f = ( P C - A B ) 7

(157)

29.1, M elyek azok az 1000 és 2000 közé eső prímek, amelyek számjegyeinek összege olyan kétjegyű szám» melynek mindkét szám jegye páros és összegük 8? 29.2. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán: ¡2 y + n

J3,y + rc

V x + H

\2y + n

í

x-h y

_ 10

\ x + y + ny

3

2 V 4 + 7í ’

29.3. A z A B C derékszögű háromszög A B átfogójának felezőpontja F. A C csúcsból induló magasság talppontja T. M ekkorák a háromszög szögei, ha a B T C , TCF, F A C háromszögek területeinek mérteke ebben a sorrendben egy mértani sorozat egymást követő elemei? 29.4. Legyenek / ( * ) és g ( x ) a valós számokon értelmezett függvények:

Határozza meg az a paraméter értékét úgy, hogy az f ( x ) = g ( x ) egyenletnek pontosan három megoldása legyen! 29.5.

A z A B C D trapéz párhuzamos oldalai A B > C D . A z A C és B D átlók metszéspontja

M Legyen E a B C és A D szárak egyeneseinek metszéspontja. Mekkora az E C D (ún, kiegé­ szítő) háromszög területe, ha az A B M és C D M háromszögek területe rendre T és /?

(161)

Megoldások

Az 1. feladatsor megoldása 1.1.

Mindenekelőtt alakítsuk át a megoldandó

u in*

t o fe s (2 0 - 2 5 “ “ + l ) = log il

I

egyenlet jo b b oldalát: sinjt — í— ) ¿>sinx )

Iov

lo g b2b - ™ x = \o%b b

s in *

2

Ezzel a megoldandó egyenlet így alakul: lo g 62S(2 0 .2 5 sm* + l )

s in *

Innen a logaritmus definíciójának következményeként kapjuk: sin* 2

20-25sm>: + 1= 625

25'

0 )

Vezessük most be a 25i,nx = a új ismeretlent; ezzel az (1 ) egyenlet így írható: 1

20a+ 1

azaz

20a + a - J = 0 Innen

a L2 —

~ I ± V l + 80 40 I 4*

A negatív gyök nyilván nem jöhet számításba, így kapjuk: i 25 = 25

ahonnan

s.n * = ~ ~ íg y az eredeti egyenlet megoldásai: 7 x ^ j r K + lk K ,

1.2.

11 x2= - ^ K + 2rm

(k ,n G Z )

A feladat feltételeiből következik, hogy az jc2 + Z w + 5 = 0

másodfokú egyenletnek van két különböző valós gyöke, azaz diszkriminánsa £> = ¿2 - 20 > 0 Készítsünk egy fiktív ábrát (Id. 4. ábra)í Ha * 2 > * j , akkor az ábra P X ] X 2 háromszögének szabályos­ ságából következik, hogy (X2 -X | )-V 3

2

xt + x 2 /(

(2 ) 27

x2

~ x ) “et könnyen meghatározhatjuk a m egoldóképlet segítségével:

A z / ( ^’ 2 ^

20

-b + 4 f?

x2 - X i

20

(3)

4 b2 - 20

meghatározásához használjuk fel a gyökök és együtthatók közötti is­

mert összefüggést!

/I

4 “

2 +5

4 +5

(4)

M ost (3)-at és (4 )-et (2)-be helyettesítve kapjuk: ,2

20

=

+ 5

2

20 = —

Innen ¿> - 20 > 0 miatt:

20

M ost ylb2 - 2 0 í6 0 -va l egyszerűsítve kapjuk V 3 _ v/ 7

20

azaz

ö2 - 2 0 4

16

ahonnan

’

b 1 = 32, tehát a keresett 6 paraméter értéke:

|i| = V 32 = 4i/2

A feladat ellenőrzését innen a kedves m egoldókra bízzuk! 1.3.

Az

+

+

+

egyenlőtlenségben a négyzetgyökök alatt szereplő mennyiségek azt sugallják, hogy érdemes­ nek látszik bevezetni az alábbi jelöléseket: Legyenek

w$ 2 = a ,

w $ 3 = b,

m* ß = c

Ekkor az alábbi egyenlőtlenséget kell belátnunk: + c > ab + a c + b c , 2

2

a +b + c

2

azaz

- a b -a c -b c > 0

Szorozzuk meg ez utóbbi egyenlőtlenség mindkét oldalát 2-vel! 2a2+ 2b2+ 2 c 2 - 2 a b - 2 a c - 2 b c > 0, vág}' másképpen

a2+ a 2-\-b2-\-b2+ c 2 + c 2 - 2ab —2ac —2bc > 0

Innen már. könnyen felfedezhetjük, hogy az egyenlőtlenség bal oldalát teljes négyzetek összegeként is feírhatjuk (a - í> )2 + ( a - c ) 2 + ( * - e )2 > 0 M ivel a * b y a * c és b * c, ezért ez utóbbi egyenlőtlenség nyilván teljesül, így az eredeti egyenlőtlenség is igaz.

28

1.4.

Készítsük el a feladat szövege alapján a szük­

séges ábrát (5. ábra)! A feltételek szerint

'

f i

M ivel jc és y egy-egy derékszögű háromszög átfogó­ jához tartozó magassága, ezért fejezzük ki általában a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasságát a befogók segítségével! A derékszögű háromszög terü­ letét kétféleképpen is felírhatjuk: cm. , _ ab •c

2 =

ab

ahonnan

2 y ab

Ezt felírva az 5. ábra m egfelelő derékszögű három­ szögei re: m

42

x —

t i így írhaljuk:

42

5. ábra

+m

-\-m

ñ

m

m

m

V égezzük el a m egfelelő algebrai átalakításokat, kapjuk: 1 V + 3 m2, 4

a2 + 2 m 2

azaz

tehát

Tehát a gúla Ktérfogata: 2

F =

¿i m

M egjegyzés* Érdemes m egfigyelni, hogy a gúla magassága az alapnégyzet oldalának ép­ pen a fele, amiből következik, hogy a gúla szemközti oldallapjai m erőlegesek egymásra. 1.5.

Legelőször azt próbáljuk kideríteni, hogy mennyi lehet a feladatban szereplő k és n

számok értéke! Ha kiveszünk a dobozból p 4-\-sA darab golyót, akkor még nem biztos, hogy lesz közöttük három különböző, hiszen lehetséges, hogy éppen a p 4 darab pirosat és az s4 darab sárgát vettük ki. Ha azonban m ég egyet kiveszünk a dobozból, akkor - lévén, hogy már csak zöld golyó van a dobozban - már biztosan lesz három különböző színű kivett golyó. Ezek szerint k értéke k = p 4 + j 4 +1

29

N ézzü k most, hány golyót kell kivennünk a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett go­ lyók között három egyform a színű! Ha kiveszünk 6 golyót, akkor nem biztos, hogy lesz kö­ zöttük három egyform a, hiszen lehetséges, hogy a kivett golyók között két piros, két sárga és két zöld található. Ha azonban kiveszünk m ég eg y hetedik go lyó t is, akkor ez a hetedik már bármilyen színű lehet, a kivett golyók között biztosan van két ugyanolyan színű. Ezek szerint n értéke

n =l A feladat feltételei szerint

n-\-k+

5 = prím szám,

tehát

p 4 4- s4 +1 + 7 + 5 = p 4 + s4 +13 = prímszám Most gondoljuk meg a következőket: bármely háromtól különböző prímszám négyzete há­ rommal osztva csak I maradékot adhat. Ugyanis, ha a p prím p = 3k±\

/

alakú, akkor

= (3/c ± J)2 = 9 k 2 + U + \

Innen persze a?, is következik, hogy bármely háromtól különböző prímszám negyedik hat­ ványa hárommal osztva ugyancsak 1-et ad maradékul. Ha a

p 4 + s4 +13 =prímszám

kifejezésben szereplő p és s prímek egyike sem 3, akkor mindketten 3-mai osztva egyet ad­ nak maradékul, így /

+ / + 13 = 3 , V + 1 + 3 K + 1 + 13 = 3(/V +

K )

+ 15 = p r í m s z á m

adódna, ami lehetetlen, hiszen ez osztható lenne 3-mai, így nem lehetne prím. Ezek szerint p 4 + s 4 +13 csak úgy lehet prímszám, ha p és .s valam elyike éppen 3. De p nem lehet 3, hiszen $ és z p-nél kisebb különböző prímek, márpedig 3-nál kisebb prím csak egy van, a 2. Ebből következik, hogy csak s - 3 lehetséges, és persze ez azt is jelenti, hogy csak z = 2 lehet. Ezek szerint p A+ s 4+ 13 = p 4+ 34+ I3 = p 4+ 9 4 = prímszám Tudjuk, hogy minden nem 5-re végződ ő különböző páratlan szám negyedik hatványa 1-re végződik. (E zt egyébként könnyen ellenőrizhetjük, ha az 1, 3, 7, 9 számokat negyedik hat­ ványra em eljük.) M ivel p páratlan prím, így ha p nem 5-re végződik, akkor negyedik hatvá­ nya 1-re végződik, de ekkor p 4+ 9 4 eg y 5-re végződő szám lesz, ami osztható 5-tel, tehát nem lehet prím. Ezek szerint p 4+ 9 4 csak úgy lehet prím, ha p 5-re végződik, azaz csak p = 5 jöhet számításba. Ekkor p* + 9 4 = 625 + 94 = 719 M iv e l 719 valóban prím (ennek egyszerű meggondolását a feladatmegoldókra bízzuk), így a feladat feltételeinek kizárólag a p = 5,

s - 3,

z - 2

prímek tesznek eleget, tehát eredetileg a dobozban levő golyók száma: />4 + s4 + z4 = 625+81 + 16 - 7 2 2

30

A 2. feladatsor megoldása 2.1.

A megoldandó

lo g 2 x —2 0 lo g 4 x + 29 = ---- ^------— lo g4* - 5 1 o g 4 x + 9

egyenlet bal oldalának első tagját alakítsuk át a logaritmus azonosságainak fclhasználásávai, úgy, hogy 4-es alapú logaritmus legyen! (ló g 2 x ) 2 = (lo g 4 x 2 ) 2 = (2 lo g4 x ) 2 = 4 lo g4 x Ezzel az eredeti egyenlet így alakul: 4 lo g 4 x - 20 lo g4 x + 29 = -— ^------ —----------lo g 4* - 5 1 o g 4 x + 9 azaz a bal oldal első két tagjából 4-et kiem elve:

4 ( l o g | ^ - 51og4

+ 29 = — ^------- ------------ló g j x - 5 1 o g 4 x + 9

(5)

A z egyenletnek ebből az alakjából már tisztán látszik, érdemes bevezetni az a = log 4 x - 5 ío g4 a: új ismeretlent, így (5 )-b ől kapjuk: 4 a + 29 =

azaz

4 a 1 + 65^ + 250 = 0 Innen _ _ -6 5 ± V 6S2 - 4000

8 10,

02=- f

Ezek után a

tehát

1og4x - 51og4* = -10,

és

log4 a* - 5 log4 x = —^ ,

2 lo g4 * - 5 1 o g 4 ;c + 10 = 0,

és

2 23 Iog4 x - 5 l o g 4 x + - ^ - = 0

másodfokú egyenleteket kell megoldanunk. A z első egyenletből azonnal látszik, hogy diszkriminánsa: D = 2 5 —40 < 0 , tehát ennek nem lehet valós megoldása. A második egyenlet bal oldala viszont teljes négyzet: (lo g 4 x - -|)2 = 0 ,

iog4x = | ,

ahonnan

így:

5

x = 4 2 = 2S = 32 Tehát az eredeti egyenlet egyetlen megoldása: x = 32 A z ellenőrzést a felhasználókra bízzuk.

31

2.2.

A megadott

4 •a b + 2 0 = cd, a + b-\-c + d = 25

feltételek közül érdemes először az elsőt vizsgálnunk. Észrevehetjük, hogy ha a értéke 2, vagy 2-nél nagyobb, akkor ennek 4-szere se legalább 80, íg y ehhez m ég 20-at hozzáadva már legalább 100-at kapnánk» tehát nem lehetne kétjegyű szám. Ebből következik, hogy csak a - l lehet. E zzel a két feltétel így írható: 4 - { I 0 + 6 ) + 20 = IOc' + í/

és

b + c + d = 24

(6)

Most az első egyenletből kapjuk: 60 + 4b = 10c + d Ez utóbbi egyenlőség bal oldala páros, tehát a job b oldalnak is, s így d -nek is párosnak kell lennie. De d értéke nem lehet 6-nál kisebb, ha ugyanis d < 4 lenne, akkor ( ó ) második egyenlőségéből következne b + c > 2 0, ami nyilván lehetetlen, hiszen két pozitív egész egyjegyű szám összege biztos kisebb 20-nál. Tehát csak d = 6 , vagy d = 8 lehetséges. Ha d = 8, akkor ( 6) második egyenlőségéből ¿>+ c = 16. Ez viszont csak akkor lehetséges, ha b = c = 8 , vagy pedig b és c egyike 9, másika 7. A b = c = 8 esetet ( 6) első egyenlőségébe helyettesítve a 6 0 + 32 = 88 ellentmondáshoz jutunk. Hasonlóképpen ellentmondáshoz jutunk, ha b és c egyikére 9-et, a másikra 7-et helyettesí­ tünk, így tehát a d = 8 eset nem ad megoldást. Ha d = 6 , akkor ( 6 ) második egyenlőségéből ¿>+ c = 18, ami csak úgy lehetséges, ha

b= c= 9

Ezt ( 6) első egyenlőségébe helyettesítve kapjuk: 6 0 + 4 *9 = 10*9 + 6 = 96, vagyis ebben az esetben mindkét egyenlőség teljesül. M indent egybevetve az egyedüli lehetséges szám jegyek:

és

c o s * > -^y-

Fi gye lembe véve a megengedett intervallumot, ez azt jelenti, hogy az egyenletnek csupán egyetlen * értékre van értelme:

Ezt visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe, kapjuk:

= 2$

32

Vezessük most be az

új ismeretlent;

ezzel utóbbi egyenletünk így alakul;

azaz

5a2 - 26a + 5 = 0. 26±V262 -IQ 0 _ 26±24 ÍÖ ö i= j.

10 «2 = 5 ahonnan

Első esetben

Ez azonban nem lehet megoldás, hiszen ez az érték nem esik a megengedett intervallumba. ahonnan tehát y = 0< Összegezve: az eredeti egyenlet egyetlen megoldása:

A z ellenőrzést a felhasználókra bízzuk. 2*4»

Legelőször alakítsuk át a kör egyenletét úgy, hogy a kör ábrázolható legyen! Kapjuk:

(* - 3)2 + (y - 2)2 - 25, tehát a kör középpontja 0 ( 3 ; 2 ) , sugara r = 5 ( 6. ábra). Ezek után gondoljuk meg a követke­ zőket: ha a P és Q pontok illeszkednek egy-egy befogóra, akkor a P Q szakasz Thalész-körén rajta kell lennie a keresett háromszög derékszögű csúcsának. M ivel e csúcs az adott körre is illeszkedik, ezért e csúcsot a P Q szakasz Thalész-köre fogja kimetszeni az adott körből. Ki kell tehát számítanunk az adott kör és P Q Thalész-körének közös pontjait. A P Q szakasz F felezőpontja;

így P Q szakasz Thalész-körének egyenlete:

y

ű 0(3,2)

X

vagy másképpen: x 2 + y 2 - 6 x - 9 y + 23 = 0.

6. ábra

A két kör közös pontjainak meghatározásához az x 2 + y 2 - 6 x - 9 y + 23 = 0 x2 + y 2 - 6 x - 4 y - \ 2 = Ü kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert kell megoldanunk. A két egyenlet különbsége: 5y = 35,

ahonnan

y = 7, Ezt visszahelyettesítve valam elyik (pl. az e lső ) egyenletbe, kapjuk: x 1 + 4 9 - 6 x - 6 3 + 23 = 0, x2 -

azaz

6 x +9 = 0

( x - 3) 2 = 0

tehát

x = 3. Látjuk tehát, hogy a két kör érinti egymást, m égpedig az A (3 ; 7 ) pontban; ez a pont lesz nyilván a keresett derékszögű háromszög derékszögű csúcsa (Id. 6. ábra). A három szög egy másik csúcsát megkapjuk, ha felírjuk először valam elyik b efogó (pl. am elyik a P pontra il­ leszkedik) egyenletét, és megkeressük e b efogó egyenesének és az adott körnek az A csúcstól különböző metszéspontját. A z A P egyenes egy irányvektora v A* i i; 2 ), tehát e befogó egyenlete:

2 x - y = - 1,

ahonnan

y = 2 * + l. Ezt az eredeti körbe helyettesítve: JC2 + ( 2jf + 1)2 - 6jc- 4(2jc + 1) - 12 = 0 , e lvég ezve a m egfelelő műveleteket a következő másodfokú egyenlet adódik: x 2 — 2 x —3 = 0 Innen

x l2 = ~ 2 ± ^ 4 + 12_ = X] = 3,

x2 = -1

A z x = 3 érték nem lep m eg minket, hiszen ez éppen az A pont első koordinátája. A z jr = —1 értéket az egyenes egyenletébe helyettesítve y = - 1 adódik, tehát a három szög egy másik csúcsának koordinátái ő ( - l ; - l ) . A harmadik csúcshoz már egyszerűen is eljuthatunk, ha a most kapott B csúcsot tükrözzük a kör középpontjára, hiszen a háromszög átfogója a körnek átmérője. A B csúcs tükörképe az 0 (3 ; 2 ) pontra C (7 ;5 ). Tehát a háromszög csúcspontjainak koordinátát!: A ( 3 ;7 ), 2.5.

B ( - 1 ;-1 ),

C (7 ;5 ).

Készítsük el a feladat szövege alapján a 7. ábrát, melyen a -va l jelöltük a hegyesszög

mértékét, x-szel az A pont és az O csúcs távolságát! Tervünk a következő: az O A B és O C D derékszögű háromszögekből x és a segítségéve] ki­ fejezhetjük az AB, C D y OA és O C szakaszokat, majd az O C B háromszögből meghatározhat' juk koszinusztétellel a CB szakaszt. A z O AB háromszögből

A B = x sin a OB = x cosa

34

M ivel a tükrözés miatt DO = OB, ezért

D O = x cosa,

és így O C D háromszögből C D = x c o s a sin a O C - x c o s 2 (x

7. áb ra

Ííjuk most fö l a C O B három szög CB oldalára a koszinusztételt, kapjuk: B C 2 = x 2 cos2 a + x 2 cos4 a - 2 x 2 cos3a c o s ( 180°- a ) A co s (l 8 0 °- a ) = - c o s a azonosságot felhasználva, x 2-et kiem elve és a m egfelelő össze­ vonásokat e lvég ezve kapjuk: B C 2 = x 1 ( cos2 a + 3 cos4) Szükségünk van m ég A D szakaszra. Megtehetnénk, hogy a2 O A D háromszögre ugyancsak felírjuk a koszinusztételt, de egyszerűbben is megkaphatjuk A D értékét. M ivel az A D szakasz B és C pontokból egyaránt derékszögben látszik, ezért az A B C D négyszög hűmé gy szög. F.bbői következik, hogy C B D és C A D szögek egyenlők (azonos húron nyugvó kerületi szögek), vagyis CBOZ = OADZ Ez viszont azt jelenti, hogy C B O és D A O háromszögek hasonlók, hiszen két-két szögük (az Ö-nál csúcsszögek vannak) egyenlők. A hasonlóság aránya - összehasonlítva az egymás­ nak meg te le lő O C és O D szakaszokat - cos a , vagyis

ahonnan - felhasználva B C 2 előbb kapott értékét: A D 2 = x 20 + 3co$2 a ) Ezzel megkaptuk a bizonyítandó állításban szereplő Összes szakasz hosszát x-szel és a -va l kifejezve, hozzákezdhetünk ezek felhasználásához:

BDAC

2 x cos a -( x + x cos2ct)

M ivel a nevezőből és a számlálóból x 2 egyaránt kiemelhető, és egyszerűsíthetünk vele (nyilván nem 0), ezért a feladat első részével már készen is vagyunk, hiszen a kérdéses kifejezés független lesz x-től, azaz az A pont választásától. A z átalakítást úgy folytathatjuk, hogy felhasználjuk a számlálóban a .2 2 , sin cx + cos ex = I közismert azonosságot, kapjuk A B 2 + B C 2 + C D 2 + P A 2 _ 1+ 3cos4 a + cos2 a ( 1- cos2 a ) + l + 3 cos2 a BDAC

2 c o s a (l +cos2 a ) 1+ cos^ a + 3 cos4 a + cos2 a - cos4 a + 1+ 3 cos2 ex 2

2 co sa(l + cos a )

2 + 2 cos4 a + 4 cos2 a _ 1 + cos4 a + 2 cos2 a 2 cos 2 B D •A C co sa

Ezzel a feladat állítását teljes egészében beláttuk.

A 3. feladatsor megoldása 3.1.

D Készítsük el a feladat szövege alapján a szüksé­

ges ábrát (ld. 8. ábra)! Húzzunk egy párhuzamost az A ponton keresztül C F szakassza; e2 a C D oldalt annak E fe­ lezőpontjában metszi. M iv e l C F m erőleges D T - re, ezért A E is m erőleges D T - re, amiből következik, hogy A E a D A T háromszögnek egy magasságvonalára illeszkedik. A C D T háromszögben viszont E e g y felezőpont, s m ivel EA párhuzamos CT-vel, ezért EA e háromszögnek egy közép­ vonalára illeszkedik, vagyis felezi D T - 1. Arra jutottunk, hogy a D A T háromszög egy magassága felezi a szemközti oldalt, így e háromszög csak egyenlő szárú lehet; a két egyenlő szár:

8. ábra

AD = AT 3.2.

Jelöljük a kérdéses sorozat első elem ét a,-gyei, differenciáját d~vel és legelőször ír

juk ki a feltételi egyenlőségeket! ap - d \ + ( P ~ \ ) d = Pyfq

(?)

aq ~ a\ + ( « - i y = í V p M ost megtehetjük, hogy az ú,-re és ¿-re kapott elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszert megoldjuk, majd a { és d ismeretében kiszámítjuk a sorozat p + q -adik elemét. (7 ) egyenleteket kivonva egymásból, kapjuk: d ( p - 1) - d { q - 1) = p ^ [q - q ^ f p , =

p

4 < Í- $ * []? '

azaz ahonnan

J = p ji-< iJ p p -q Hozzuk m ég egyszerűbb alakra ezt a törtet: a nevezőt szorzattá alakítva, a szám lálóból pe­ d ig y f p q - t kiem elve írhatjuk:

( a/ p - V

36

í k

V

p

+V?)

A p = q eset nyilván érdektelen számunkra» így :

Jp < i

d=

J p + 4 1 tetszőleges, 3.4.

z = 1996

Legelőször készítsük el a feladat szövege alapján a 9. ábrát, melyen a kiindulási A B C

háromszöget egységnyinek véltük - ez nyilván nem csorbít az általánosságon

valamint P -

vel, Q - \ al, /?-rel jelöltük a keletkezett három szög oldalait. Ú gy próbálunk majd az a szögre következtetni, hogy megkíséreljük felírni a trigonomet­ rikus területképlettel az A B Q háromszög területét, majd a benne szereplő sincc-ra kapott egyenletet megoldjuk, Először is megmutatjuk, hogy P Q R háromszög is szabályos. A z ABQ, B C R y C A P három­ szögek m indegyikének egyik oldala 1, az ezen fekvő szögek pedig mindhárom háromszögben a , ill. 60° - a , következésképpen e három háromszög egybevágó. Ebből következik, hogy A P = B Q = CR = y ,

azaz

P Q = Q R = RPy tehát a P Q R háromszög valóban szabályos; jelöljü k oldalait jc-szel! M iv e l hasonló alakzatok területének aránya a ha­ sonlóság arányának négyzetével egyenlő, és jelen leg a két szabályos háromszög területének aránya ^ , eb­ ből következik, hogy x = V2 A z A B Q háromszög területe az eredeti A B C háromszög területének hatod része, hiszen ha elvesszük az A B C háromszögből a P Q R háromszöget - azaz a felét - , akkor a megmaradó há­ rom háromszög mint láttuk egybevágó, így Ta b q -

TAa„ B C,

V3 24

Számítsuk most k i y - t az A B Q háromszögre felírt sinustétel segítségével: sin a s ín l2 0 o>

y=

38

2 sin a v/3

ahonnan

Ezek után már számolhatjuk az A B Q háromszög területét a trigonometrikus területképlettel: _

1•(.* + y ) 's i n q _ 2

1abq

J3 24

Felhasználva x é s y fentebb kapott értékeit: ^ (/_ 1 +, _2 sinou r ) . sm a _ v _

^£0

2

24 *

E lvégezve a szükséges algebrai átalakításokat az alábbi másodfokú egyenlethez jutunk: 8^8 sin2a + 4 V 4 - s in o t - V 2 = 0 Innen

s in a 12 = 1,2

j-16V2

-

y— 16 V I

f— 4v2

A sin a -ra adódó negatív érték nyilván nem jöh et számításba, így: sin a =

» 0,1615 4 n/2

Tehát a keresett szög: a ** 9 ,2 9 ° 3.5.

Jelöljük a négyzetes hasáb alapnégyzetének oldalát «-n el, magasságát A-val! Ekkor a

piros festékkel festett felület két db n oldalú négyzet és 4 db egybevágú téglalap, melynek ol­ dalai n és kytehát a befestett felület - cm2 -ben m érve 2 w2 + 4 nk y s a feltételek szerint erre 1 liter festék használódik fel. Számítsuk most ki a zöld festékkel festett felületet, szintén cm -ben mérve. Ezt a legegy­ szerűbben a következőképpen számolhatjuk ki: miután a hasábot szétvágtuk 1 cm élű kis kockákra, keletkezett n k db kis kocka. Ezek mindegyikének 6 lapja van, tehát ez összesen 6n2k négyzeüapot jelent. Ebből azonban le kell vonnunk azokat a lapokat, m elyeket már befestet­ tünk pirosra, így a zöld festékkel befestett négyzetlapok száma 2

f> n k -2 n

2

- 4 nk,

s e z 4,5 liter.

Ezek szerint írhatjuk az alábbi egye nietet: 6n2k - 2 n 2 —4 nk _ 9 2n2 + 4nk

2

A bal oldali törtet n * 0-val egyszerűsítve és mindét oldalt 2-vel szorozva: 6 »k -2 n -4 k s9 n + 2k &nk —2n —4k = 9n + \ük> 6nk - I \ n - 2 2 k = 0.

ahonnan a?az (9 )

Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk a pozitív egész számok halmazán. Osszuk el (9 ) egyenlet mindkét oldalát 6-tal:

nk-l±n-£-k = 0, 6 o majd a kapott egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá:

azaz

Ez utóbbi egyenlet mindkét oldalál - hogy törtmentesítsük - szorozzuk m eg 36-tal úgy, hogy a bal oldali mindkét tényezőt külön-külön 6 -tal! Kapjuk: ( 6« - 22) ( 6* - l l ) = 2 2 2-vel egyszerűsítve:

11,

(3 * -1 1 ) ( 6k - 11) = 112 = 121

Tehát 121 -et kell felbontanunk két egész szám szorzatára. M ivel 121 = 1-121-11*11, ezért a szóba jöhető lehetőségek: 3 « —11 - 1,

és

3 » - l 1 = 11,

és

3 « - l 1 = 121

és

Első esetben 3n - 12, azaz n = 4, és

6 * —11 = 121 -1 1 = 11, 6£ - l l ~ l

= 132» azaz k = 22,

M ásodik esetben 3/f —11 = 11, ahonnan 3 « = 22 adódik, de ekkor «-re nem kapunk egész megoldást. V égül harmadik esetben 3 « - 1 1 = 121, ahonnan n = 44, és 6k - 11 = 1, ahonnan k = 2. Összefoglalva: (9 ) egyenletnek két - a feltételeket kielégítő - megoldása van: n= 4

és

n = 44 Ezekkel a négyzetes hasáb térfogata:

k =22

és

vagy

k = 2

V = n 2k

Vx = 4 2 -22 = 352 cm 3,

V2 = 442 -2 = 3872 cm3

A 4. feladatsor megoldása 4.1.

Jelöljük s-sel a feladatban szereplő távolságot és v-vel a kerékpáros szokásos

sebességét! E k k ora kerékpáros szokásos menetideje v A feltételek szerint a kérdéses alkalommal az út p % - i t szokásos sebességénél p % -k a l kisebb sebességgel tette m eg, tehát ennek /, menetideje sp 100

A z út hátrelevo részét szokásos sebességénél p % -k a l nagyobb sebességgel tette meg, így ennek t2 menetideje: sp_ 100

40

A feladat feltételei szerint e z az idő azonos a szokásos m enetidővel, tehát t = tl + t 2>

azaz

sp s_

sp

100

,

*"1 0 0

v( 1+Toö)

vi [- m )

Ez utóbbi egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ~ - v e l, kapjuk: p

l QQ —/?

iT ö ö . lo o 100- p 100 + p 100

100

Innen az emeletes törtek átalakítása után kapjuk: , p t 100- p I = T 7^ f — + 7^ 7:— — , 100- p 100 + p

azaz

1 00 2 - p 2 = 1 0 0 p + p 2 + 1002 + / - 2 0 0 p ,

3 / = 100p Ez utóbbi egyenlet megoldásai: />, = 0 és p 2 = ^ 2 -. A p = 0 megoldás nem m eglepő; tulajdonkeppen ezt az eredményt már a feladat elején is megsejthettük volna, hiszen, ha a kerékpáros az út 0 % -át tette m eg sebességét 0 % -k a l csök­ kentve, akkor nyilván a hátralevő út (vagyis a teljes út) megtétele esetén éppen 0 % -k a l kell növelnie sebességét, hogy menetideje ne változzon. A második megoldás azt jelenti, hogy az út egyharmadát tette m eg szokásos sebességének kétharmadával, majd a hátralevő kétharmad utat pedig szokásos sebességet négyharmadára növelve, és így nem változott m eg a szokásos menetideje. 4.2. A megoldandó ^ [6 4 2 ]'

„ *

512x (sin-14^ ) 36 ---- ,

s m (x + j 0 és y > 0 le­ gyen. Alakítsuk át először az első egyenletet a hatványozás és a logaritmus definíciói és azo­ nosságai szerint! 1 (6 4 3 ] = 29 = 5 1 2 , tehát az egyenlet bal oldala

f - 'o f W _

1 J A jo b b o ld a lo n

S í 2*

_

512*

_ 512^

y * '" “ V s in !^ - = ~ -^ L ,

( V 3 ) 54,og3* = 318,083* = ( 3log3-r ) 18 = x

és is

41

M ivel 5 1 2 *-ne! mindkét oldal egyszerűsíthető, így: 1

V T

y É

v

**

i 18

i /s18 18 2 x

ahonnan

y " = { 2 x ) [ *. * > 0, y

=

y > 0,

de így

( 10)

2x.

Ezt az eredeti egyenletrendszer második egyenletébe helyettesítve kapjuk; sin3x = s i n x - s i n 2x íijunk most 3x helyére 2 x + x-et, ille t v e * helyére 2 x - x-et: s in (2x + x ) = s in (2x ~ x ) - s i n 2x A z addíciós tételek szerint kifejtve sin2 x cos+ cos2x sin x = sín 2* c o s - c o s 2x sin x - sin 2x 2 c o s 2 x s in x + 2 sín x cosx = 0 sin x (c o s 2 x + cos x ) = 0 Ekkor vagy s in * = 0, ahonnan X] = kn

( k > 0 egész)

y] - 2 h í

( k > 0 egész)

a m egfelelő y érték pedig ( 10) alapján

M ásik lehetőség, ha c o s 2 x + co sx = 0 cos2 x - sin2 x + co sx = 0 cos2 x - (1 - cos2 x ) + co sx = 0 2 cos2 x + co sx — 1 = 0 Ez utóbbi cosx-b en másodfokú egyenlet megoldása:

cos* - z ü4M - -d ±4 3 cosx] ^ co sx = - j ,

ill.

cosx = ^-

A c o s x = - 1 -bői adódó megoldásokat már tárgyaltuk, hiszen ekkor s in x = 0 . A másik esetben

4,3.

7T x2 = y + 2 « n ,

így

7 y7 = - ^ i z + 4 n K

x3 = - ■ j + 2/jc,

így

_y3 = - y í l + 4 / j t

(n e N ) ( / > 0 egész)

Készítsük el a feladat szövege alapján a 10 ábrátí A négyzet, illetve a szabályos

háromszög az A C átlóra szimmetrikusan helyezkedik cl, így a közös részt úgy kaphatjuk, ha a négyzet területéből levonjuk két egybevágó háromszög területét (ezt az ábrán 7J-gycl jelöltük), valamint cg}' egyenlő szárú derékszögű háromszög területét (T2 ).

A z A O B derékszögű háromszög egyen lő szárú, lehál a négyzet AB oldala

A z A O E egyenlő szárú háromszögben A O E Z . = J20°* így az y4£F szabályos háromszög oldala: A£ = rJ 3 A közös rész T területe:

r=(rV2)2-2?;-r2 A z ábra jelöléseit használva írhatjuk: tg l 5

azaz r4 l'

így

y = r 4 2 - t g l 5°,

Ti = r ^ 2 - r 4 2 - tg l 5° = r 2tg l 5 ha

logd(íi + l ) = V 2 a ^ = a +1 Ez az egyenlőség pedig - közelítő próbálgatással - körülbelül a - 2 , 3 1 esetén teljesü l 4.5.

Használjuk a l l . ábra jelöléseit! M ivel az A B C három szög egyenlő szárú, ezért an­

nak M magasságpontja illeszkedik a háromszög alapjához tartozó magasságra. Ezek szerint a háromszög magasságpontja a B C oldalhoz tartozó magasság és a beírható kör metszéspontja. A z ábrát elem ezve könnyen észrevehetjük, hogy A P M Q húrnégyszög, hiszen két szemközti szöge derékszög. így, ha A B C háromszögben az A csúcsnál levő szög cc> akkor P M Q Z = B M C Z = 180° - c t M iv e l a magasság felezi a B M C szöget, ezért

B M T/. = 9 0 ° - y , ami azt jelenti, hogy B T M derékszögű háromszögben C

M BTZ = ^

De az A B T derékszögű háromszögnek A csúcsánál ugyancsak y

nagyságú szöge van,

ezért kimondhatjuk, hogy az A B T és B T M háromszögek hasonlók. írjunk föl eg y m egfelelő aránypárt! a_ — =

ahonnan

m

2 8™ = a 2

( 11)

Ismert, hogy bármely háromszög beírható körének r sugara r -2 L K ’ ahol T a háromszög területe, K a kerülete. Jelen esetben a terület, ilL a kerület r =

K = a + 2by

r=

Ezt (11 )-be helyettesítve kapj uk

tehát

? M 2 am a + 2b a + 2b * anL , = a2,

azaz

8m2

Fejezzük m ég ki a háromszög m magasságát az oldalakkal! A z A T C derékszögű három­ szögből Pítagorasz tétele alapján 2 _ 12 ű2 _4Z>2 - ű 2 m —d — —= 4 4 tehát ( 11) így alakul tovább:

= ű

CJ*t" Zu

A z utóbbi kifejezés bal oldalán a számláló szorzattá alakítható:

^

2 (2 b + a ) p b - * ) í j + 2b 2 (2 b -a ) = a

A b- 2 a - a 4h = 3a a

4

A z A T C háromszög