Regulatoare [PDF]

Zitiervorschau

1. Bucla de reglare şi regulatorul proporţional 1.1. Prezentare teoretică Funcţionarea sistemelor de reglare automată SRA se bazează pe aplicarea reacţiei negative RN (engl. feedback). Topologia unui SRA este prezentată în fig. 1. e =u -y

u

c

e

1 U

EE -1 0 ...+1 0

R

u

2 s2 +2 s+1 P

y y

Da te u B u cl a d e re a cti e T im p

t

e

ee

Da te t

Da te e

Da te e e

Da te y

Fig. 1. Topologia unui SRA Elementele care alcătuiesc SRA sunt următoarele: - U: blocul valorii impuse u; în continuare se va utiliza deseori cazul semnalului treaptă unitate 1(t - 1), care comută de la o la 1 în momentul t = 1. - R: regulatorul care realizează legea de reglare; legea de reglare se materializează prin mărimea de comandă c, elaborată pornind de la eroarea de reglare e = u – y, unde y este mărimea de la ieşirea procesului condus P. Pentru început R va fi considerat unitar: R(s) = KP = 1; - P: procesul condus, în cazul prezentat în fig. 1 este de ordin II, având funcţia de transfer HP(s) = 2 / (s2 + 2·s + 1). Mărimea de ieşire a procesului y, este comparată cu u, bucla de reglare fiind traseul prin care y se reîntoarce înspre intrare, pentru comparare. În cazul curent bucla este unitară, transmiţând la intrare ieşirea nemodificată. - EE: elementul de execuţie se interpune între R şi P, având rolul de a adapta semnalul de comandă la natura fizică şi la nivelul de energie al procesului. În cazul curent EE va fi realizat printr-un bloc de saturaţie, care va limita valorile comenzii c între -10 şi +10. În cazul unor aplicaţii reale acest bloc trebuie astfel realizat încât să respecte datele tehnice ale procesului: de exemplu, în cazul unui motor de automobile având puterea maximă de 70kW, limitele vor fi 0 şi 70kW. Legea de reglare este astfel concepută încât să tindă să anuleza în orice moment eroarea e, astfel încât mărimea reglată y să urmeze cât mai fidel valoarea impusă u. Pentru memorarea datelor produse pe durata simulărilor se utilizează blocurile Date de tip to workspace, care vor genera în workspace următorii vectori de date: t = timp, u = valoare impusă, ee = mărime de executie, e = eroare şi y = ieşire.

1.2. Simulări Partea practică a lucrării are rolul de a evidenţia rolul buclei de reacţie. Se vor efectua următoarele simulări, de tipul răspuns indicial: Simularea 1: o simulare cu bucla de reacţie deschisă; Simularea 2: o simulare cu bucla de reacţie închisă; Simularea 3: simulări prin care să se evidenţieze rolul regulatorului.

1

2 1.8 y 1.6 1.4

u&y

1.2 1 0.8 u

0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5 t [s]

6

7

8

9

10

Fig. 2. Simularea 1: Răspunsul indicial fără reacţie Răspunsul SRA în buclă deschisă, prezentat în fig. 2, este identic cu răspunsul căii directe, a cărei funcţie de transfer FT este Hd(s) = R(s) · HP(s). Valoarea finală spre care tinde y este y(∞) = 2. Când bucla de reacţie se închide FT devine HSRA(s) = Hd(s) / [1+ Hd(s)]. În cazul general, dacă calea de reacţie are FT notată cu G(s), FT a SRA este: HSRA(s) = Hd(s) / [1+ G(s) · Hd(s)]

(1)

Transformata Laplace a erorii este în acest caz: E(s) = U(s) / [1+ G(s) · Hd(s)]

(2)

Pentru exemplul nostru U(s) = 1 şi G(s) = 1 şi eroarea devine E(s) = 1 / [1+ Hd(s)]

(3)

Răspunsul indicial în cazul R(s) = 1 este prezentat în fig. 3. Se remarcă modificarea valorii spre care tinde ieşirea la y(∞) = 2 / 3 = 0,(6). Eroarea staţionară este prin urmare foarte mare: est = e(∞) = 1 - 2 / 3 = 0,(3).

2

1 u

u&y

0.8

0.6 y 0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5 t [s]

6

7

8

9

10

Fig. 3. Simularea 2: Răspunsul indicial cu bucla de reacţie închisă şi R(s) = KP = 1.

1.2 u 1

u&y

0.8 y 0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5 t [s]

6

7

8

9

10

Fig. 4. Simularea 3: Răspunsul indicial cu bucla de reacţie închisă şi R(s) = KP = 5.

3

Cauza acestui comportament constă în insuficienţa acţiunii regulatorului. Din teorie se cunoaşte că eroarea staţionară est depinde de amplificarea căii directe: cu cât amplificarea este mai mare, eroarea este mai mică. Din acest motiv vom încerca să amplificăm acţiunea regulatorului, de exemplu cu valoarea R(s) = KP = 5 unde KP se numeşte constanta de proporţionalitate. est scade, ajungând sub 10%, dar caracterul răspunsului se schimbă, devenind oscilant. Repetând simularea 3 pentru diferite valori ale lui KP se confirmă faptul că KP nu poate fi crescut orcât de mult, întrucât se produc oscilaţii. Regulatoarele care au ca funcţii de transfer valori reale se numesc proporţionale, realizând legea de reglare: c(t) = KP · e(t)

(4)

Regulatoarele proporţionale pot fi aplicate numai în situaţii în care performanţele - cele dinamice (viteză de răspuns, suprareglări şi oscilaţii) cât şi cele statice (eroare staţionară) nu sunt critice. Funcţionarea mai detaliată a SRA cu regulator proporţional, cu evoluţia erorii şi acţiunea EE asupra procesului, se poate observa în fig. 5. 5

4 ee

3

e, ee & y

2 y

1

0 e -1

-2 0

1

2

3

4

5 t [s]

6

7

8

9

10

Fig. 5. Evoluţiile mărimilor de eroare e, execuţie ee şi ieşire y Valoarea maximă a ee apare în momentele în care eroarea e este şi ea maximă, adică pe durata regimurilor tranzitorii. Cu cât acţiunea EE este mai puternică, viteza SRA creşte şi regimul tranzitoriu se scurtează. Pe de altă parte când ee se saturează, durata regimurilor tranzitorii se prelungeşte. Dacă de exemplu EE ar fi limitat la ±1,5 regimul tranzitoriu realizat în aplicaţia noastră va fi cel prezentat în fig. 6.

4

1.6

1.4 ee 1.2 y 1

e, ee & y

0.8

0.6

0.4

0.2

0 e -0.2

-0.4 0

1

2

3

4

5 t [s]

6

7

8

9

Fig. 6. Evoluţiile mărimilor de eroare e, execuţie ee şi ieşire y, cu ee limitată la ±1,5

5

10

2. Regulatorul proporţional-integrativ PI 2.1. Prezentare teoretică Soluţia fundamentală pentru anularea erorii staţionare este utilizarea regulatoarelor care au o componentă integrativă. Cunoscând teorema valorii finale din calculul operaţional, din formula 3 rezultă ca putem anula eroarea staţionară dacă Hd(0) = ∞, adică prin introducerea în FT a căii directe a unui pol în origine, respectiv a unui element de integrare. Intrucât în principiu un regulator fără o componentă proporţională nu are sens, se ajunge la regulatorul proporţional-integrativ PI, care realizează legea de reglare: t ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 c PI (t) = K P ⋅ ⎜ e(t) + ⋅ e(τ ) ⋅ dτ ⎟ TI ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠

∫

(5)

FT a regulatorului PI este prin urmare: ⎛ 1 H PI (s) = K P ⋅ ⎜⎜1 + ⎝ s ⋅ TI

⎞ KP K ⎛ 1 ⎟⎟ = ⋅ (1 + s ⋅ TI ) = P ⋅ ⎜⎜ s + s ⎝ TI ⎠ s ⋅ TI

⎞ ⎟⎟ ⎠

(6)

Pe lângă constanta de proporţionalitate KP care caracterizează efectul proporţional, regulatorul PI mai prezintă un parametru: constanta de timp de integrare TI. Un subsistem Simulink bazat pe ecuaţia 5 este prezentat în fig. 7.

PI

e =u -y

u

e

U

c

e 2

5

Kp

c

s2 +2 s+1

u Kp

1

Da te u

Ti

Ti

EE -1 0 ...+1 0

P y

B u cl a d e re a cti e

T im p

t

e

ee

Da te t

Da te e

Da te e e

1 1

e

1 s In te g ra to r

3 Ti

1 /u

P ro d u ct P ro d u ct1

Fcn

2 Kp

Fig. 7. SRA cu regulator PI

6

c

Da te y

2.1. Simulări Următoarea simulare este executată pentru KP = 5 şi TI = 1.

1.6 y 1.4

1.2 u 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

5

10

15

Fig. 8. Răspunsul indicial al SRA cu regulator PI Rezultatul scontat prin introducerea efectului integrator, anularea erorii staţionare este plătit plin apariţia unui suprareglaj de 60% şi a unor oscilaţii extrem de puternice. În funcţie de combinaţiile de valori ale parametrilor de reglaj KP şi TI alese pentru ajustarea regulatorului, comportarea sistemului evoluează între răspunsuri fără suprareglaje şi oscilaţii dar foarte lente, ca în fig. 9a, şi răspunsuri tot mai oscilante, ajungânduse până la instabilizarea totală, ca în fig. 9b. Regulatoarele PI se recomandă pentru procese lente.

7

1

0.9

0.8

0.7

u& y

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

2

4

6

8

10 t [s ]

12

14

16

18

20

14

16

18

20

a) KP = 1.5 şi TI = 5 4

3

u& y

2

1

0

-1

-2 0

2

4

6

8

10 t [s ]

12

b) KP = 4 şi TI = 0.4 Fig. 9. Răspunsuri tip PI

8

În fig. 10, graficul a prezintă răspunsul generat de regulatorul KP = 5 şi TI = 1 în cazul în care constantele de timp ale procesului cresc: HP(s) = 2 / (s2 + 5 · s + 1). Graficul b prezintă un caz în care regulatorul PI oferă răspunsuri foarte bune: cazul în care procesul condus este de ordin I. În cazul reprezentării din fig. 10 procesul este HP(s) = 2 / (s + 1).

a 1.2 b 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

5

10 t [s]

Fig. 10. Răspunsuri pentru un proces mai lent (a) şi pentru un proces de ordin I (b)

9

15

3. Regulatorul proporţional-integrativ-derivativ PID 3.1. Prezentare teoretică Pentru compensarea dezavantajelor regulatoarelor PI, efectului integrativ i se poate adăuga efectul complementar: cel derivativ. Rezultă o structură de reglare fundamentală: regulatorul proporţional-integrativ-derivativ liniar PID, cu legea de reglare: t ⎛ ⎞ ⎜ de(t) ⎟ 1 c PID (t) = K P ⋅ ⎜ e(t) + ⋅ e(τ ) ⋅ dτ + TD ⋅ ⎟ TI dt ⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠

∫

(7)

FT a regulatorului PID este prin urmare:

)

(

⎛ ⎞ K 1 H PID (s) = K P ⋅ ⎜⎜1 + + TD ⋅ s ⎟⎟ = P ⋅ TI ⋅ TD ⋅ s 2 + TI ⋅ s + 1 = ⎝ TI ⋅ s ⎠ TI ⋅ s =

K P ⋅ TD ⎛ 2 s 1 ⎞ ⎟ + ⋅ ⎜⎜ s + s TD TI ⋅ TD ⎟⎠ ⎝

(8)

Cei trei parametri de ajustare ai regulatoarelor PID sunt: constanta de proporţionalitate KP, constanta de timp de integrare TI şi constanta de timp derivare TD . Un subsistem Simulink bazat pe ecuaţia 7 este prezentat în fig. 11.

1 e

1 s

1

In te g ra to r 3 Ti

1 /u Fcn

P ro d u ct

c

P ro d u ct1

De ri va ti ve d u /d t

4 Td

P ro d u ct2

2 Kp

Fig. 11. Regulator PID Structura PID este fundamentală, întrucât ţine cont în acelaşi timp: • de istoria sistemului, prin componenta integrativă I; • de situaţia prezentă, prin componenta proporţională P; • de estimarea evoluţiei viitoare, prin componenta derivativă D. Răspunsul indicial produs de un regulator PID (KP = 5, TI =1 şi TD =0,3) este prezentat în fig. 12. Prin comparaţie cu cel din fig. 8 (de tip PI) se remarcă reducerea suprareglajului şi rejectarea oscilaţiilor.

10

1.2

1

u& y

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

5

10

15

t [s]

Fig. 12. Răspuns indicial al unui regulator PID pentru procesul HP(s) = 2/(s2+5·s+1) Principial regulatorul PID are potenţialul de a conduce cu performanţe foarte bune majoritatea tipurilor de procese lineare de ordin redus, dar pe de altă parte acordarea celor trei parametri KP, TI şi TD este deseori foarte dificilă din cauza interdependenţei dintre efectele lor iar în cazul proceselor neliniare acordarea corectă poate fi obţinută numai pentru zone limitate din domeniul în care procesul poate evolua. În fig. 13 se prezintă răspunsurile indiciale ale regulatorului PID pentru câteva procese, astfel alese încât să aibă un pol multiplu (de valoare –1) de ordin II, III respectv IV: • ordin II: HII(s) = 2 / (s2 + 2 · s + 1) • ordin III: HIII(s) = 2 / (s3 + 3 · s2 + 3 · s + 1) • ordin III: HIII(s) = 2 / (s4 + 4 · s3 + 6 · s2 + 4 · s + 1) Acordarea regulatorului este aceeaşi: KP = 5, TI =1 şi TD =1. Se remarcă faptul că procesul de ordin IV nu poate fi controlat.

11

2

1.5 III II 1

0.5

0

IV -0.5

-1 0

5

10

15

t [s]

Fig. 13. Răspunsuri produse de regulatorul PID cu procese de ordin II, III şi IV

4. Regulatorul proporţional-derivativ PD 4.1. Prezentare teoretică În cazurile în care precizia (eroarea staţionară) este subordonată altor obiective regate de comportarea dinamică a SRA, cum ar fi viteza şi calitatea regimurilor tranzitorii, robusteţea faţă de acţiunea perturbaţiilor, programe impuse cu variaţii rapide şi dese, etc. se poate renunţa la componenta integrativă, păstrându-se în schimb cea derivativă, rezultând regulatorul proporţional-derivativ liniar PD, cu legea de reglare:

⎛

c PD (t) = K P ⋅ ⎜ e(t) + TD ⋅ ⎝

de(t) ⎞ ⎟ dt ⎠

12

(9)

FT a regulatorului PID este prin urmare: ⎛ 1 ⎞ ⎟ H PD (s) = K P ⋅ (TD ⋅ s + 1) = K P ⋅ TD ⋅ ⎜⎜ ⋅ s + TD ⎟⎠ ⎝

(10)

În fig. 14 se prezintă un răspuns tip PD (KP = 5, TD =1) în comparaţie cu unul PID (KP = 5, TI =1 şi TD =1), pentru procesul HIII(s) = 2 / (s3 + 3 · s2 + 3 · s + 1).

3.5 P ID 3

2.5 u 2

1.5 PD 1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 0

10

20

30 t [s]

40

50

60

Fig. 14. Comparaţie între răspunsurile de tip PD şi PID Se remarcă eroarea staţionară mică dar şi tendinţa de suprareglare a răspunsului de tip PID şi eroarea staţionară nenulă dar şi lipsa ruprareglărilor la răspunsul de tip PD. Parametrii de ajustare ai regulatoarelor din fig. 14 au fost păstraţi la valorile utilizate în exemplele anterioare, pentru a putea identifica mai uşor particularităţile fiecărui tip de răspuns. La ajustări mai precise ale regulatoarelor diferenţele dintre ele tind să se atenueze, după cum se observă în fig. 15.

13

2.5 P ID

u 2 PD 1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 0

10

20

30 t [s]

40

50

Fig. 15. Comparaţie între răspunsurile de tip PD şi PID

14

60

5. Caracteristici de frecvenţă şi locuri de transfer ale regulatoarelor liniare 5.1. Regulatorul P Pentru o bună înţelegere a funcţionării precum şi a unora dintre metodele de proiectare a regulatoarelor este utilă cunoaşterea comportării lor în frecvenţă. Din acest punct de vedere regulatorul P poate fi echivalat cu un amplificator ideal de curent continuu şi de bandă foarte largă, având caracteristicile Bode din fig. 16 şi locul de transfer din fig. 17. În fereastra de comenzi Matlab obţinerea caracteristicilor de frecvenţă, atât sub forma diagramelor Bode cât şi sub forma locurilor de transfer (diagrame Nyquist) este imediată, prin utilizarea instrucţiunilor bode respectiv nyquist. În acest capitol, fiecare regulator va fi analizat atât în frecvenţă, cât şi în timp, prin prisma răspunsului său indicial. Corelarea celor două metode este utilă deoarece ele oferă perspective complementare asupra performanţelor SRA-urilor. Analiza în frecvenţă este esenţială pentru o explicare comprehensivă a particularităţile răspunsurilor în timp. În fereastra de comenzi Matlab răspunsul indicial rezultă prin comanda step.

Di a g ra m a B o d e 15

1 4 .5

A (d B )

14

1 3 .5

13

1 2 .5 1

F (d e g )

0 .5

0

-0 .5

-1 10

-1

10

0

10

1

w (ra d /se c)

Fig. 16. Diagrama Bode a unui regulator proporţional ideal (KP = 5)

15

10

2

Di a g ra m a Nyq u i st 0 .1

0 .0 8

0 .0 6

0 .0 4

Im a g i n a r

0 .0 2

0

-0 .0 2

-0 .0 4

-0 .0 6

-0 .0 8

-0 .1 0

1

2

3

4

5

6

7

Re a l

Fig. 17. Diagrama Nyquist (locul de transfer) a unui regulator proporţional ideal (KP = 5) Regulatoarele reale, find inerţiale, nu pot funcţiona la frecvenţe oricât de mari. Conform condiţiei de realizabilitate fizică a sistemelor, numărul polilor excede întotdeauna numărul zerourilor. Pentru ilustrarea acestei proprietăţi, vom considera cazul unui pol care corespunde pulsaţiei 103 rad.sec.: HP(s) = 5 / (0.001 · s + 1). În termenii răspunsului indicial propriu al regulatorului, acest efect se manifestă prin întârzieri, ca şi în fig. 20. Instrucţiunile Matlab care produc diagramele din figurile 16 şi 17 sunt: bode([5], [0.001 1])

respectiv bode([5], [0.001 1])

La fel de uşor se obţin şi răspunsurile indiciale (vezi fig. 20), prin step([5], [0.001 1])

16

Di a g ra m a B o d e 15

10

A (d B )

5

0

-5

-1 0

F (d e g )

0

-4 5

-9 0 10

2

10

3

10

w (ra d /se c)

Fig. 18. Diagrama Bode a unui regulator proporţional real D i a g ra m a N y q u i st 2 .5

2

1 .5

1

0 .5 Im a g i n a r

w = -in f. 0

w= 0

w = + in f. -0 .5

-1

-1 .5

-2

-2 .5 -1

0

1

2

3

4

Re al

Fig. 19. Diagrama Nyquist a unui regulator proporţional real

17

5

4

5.5 ideal 5

4.5 real 4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025 t [s]

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Fig. 20. Răspunsuri indiciale (ideal şi real) ale regulatorului P Răspunsul indicial ideal este proporţional cu semnalul treaptă de la intrare. Faţă de acesta, răspunsul real este exponenţial, cu constanta de timp corespunzătoare polului.

5.2. Regulatorul PI Diagramele Bode şi Nyquist ale regulatorului PI sunt prezentate în fig. 21 şi 22. Vom considera regulatorul având FT din relaţia 6, cu KP = 5 şi TI = 1. Se remarcă faptul că la frecvenţe mici regulatorul PI se comportă ca un filtru trece jos ideal cu frecvenţa critică în origine: LT pentru ω = 0 tinde spre infinit, efect care se traduce în răspunsul indicial prin tendinţa spre infinit (vezi fig. 23). În cazul regulatoarelor PI reale apare efectul de saturare; de exemplu pentru regulatoarele electronice analogice saturarea apare când răspunsul indicial în tensiune se apropie de tensiunea de alimentare a circuitului, care nu are cum să mai fie depăşită. La frecvenţe mici defazajul este –900. La frecvenţe mari prevalează latura proporţională a regulatorului: defazaj nul şi răspus de tip proporţional, LT apropiindu-se de axa reală. Ca orice regulator real şi cele de tip PI prezintă efectul inerţial la frecvenţe mari, dar acest efect se poate de regulă neglija, deoarece zona de interes pentru proiectarea acestor regulatoare este cea a frecvenţelor joase.

18

Di a g ra m a B o d e 35

30

A (d B )

25

20

15

10

F (d e g )

0

-4 5

-9 0 10

-1

10

0

10

w (ra d /se c)

Fig. 21. Diagrama Bode a unui regulator PI

Di a g ra m a Nyq u i st

150

100

Im a g i n a r

50

w=-inf. 0

w=+ inf.

-5 0

-1 0 0

w

0

-1 5 0 -1

0

1

2

3

4

5

Re a l

Fig. 22. Diagrama Nyquist a unui regulator PI

19

6

7

1

25

efec tul integrativ

20

t [s ]

15

saturare 10

PI efectul proportional 5

u 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Fig. 23. Răspunsul indicial al regulatorului PI, ideal şi cu saturare

5.3. Regulatorul PD Diagramele Bode şi Nyquist ale regulatorului PD sunt prezentate în fig. 24 şi 25. Vom considera regulatorul având FT din relaţia 10, cu KP = 5 şi TD = 1. Regulatorul PD se comportă ca un filtru trece sus cu pulsaţia critică ωC = 1 / TD . La frecvenţe mici defazajul este nul iar la frecvenţe mai mari decât cea critică tinde spre +900. Avansul de fază (defazajul pozitiv) produs de acest regulator în regim sinusoidal staţionar (condiţia de măsurare a caracteristicilor de frecvenţă) la frecvenţe mari are ca efect în buclă închisă accelerarea răspunsurilor tranzitorii ale SRA şi a reacţiilor sale la perturbaţii. Din punct de vedere teoretic răspunsul indicial al unui regulator PD este de tip Dirac. Efectul inerţial este vizibil la regulatoarele reale prin întârzierile care afectează fronturile impulsului Dirac (vezi fig. 26). În acelaşi timp răspunsurile reale sunt limitate de saturarea circuitelor. Răspunsul din fig 26 este produs de un regulator PD având funcţia de transfer HPD(s) = 5 · (s + 1) / (0.01 · s + 1).

20

Di a g ra m a B o d e 35

30

A (d B )

25

20

15

10

F (d e g )

90

45

0 10

-1

10

0

10

w (ra d /se c)

Fig. 24. Diagrama Bode a unui regulator PD

Di a g ra m a Nyq u i st 50

w

+ inf.

40

30

20

Im a g i n a r

10

w= 0

0

-1 0

-2 0

-3 0

-4 0

w

- inf.

-5 0 -1

0

1

2

3

4

5

Re a l

Fig. 25. Diagrama Nyquist a unui regulator PD

21

6

7

1

12

ideal 10 real

8

6

4

2 u

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

t [s]

Fig. 26. Răspuns indicial al unui regulator PD real

5.4. Regulatorul PID Caracteristicile de frecvenţă ale regulatoarelor PID rezultă din superpoziţia efectelor componente.. În general frecvenţele joase sunt accentuate prin componenta I iar cele înalte prin componenta D (vezi fig. 27). Diagramele din figurile 27 şi 28 sunt oţinute prin comenzile: bode([5 5.01 5], [0.01 1 0])

şi nyquist([5 5.01 5], [0.01 1 0]);

Răspunsul indicial din fig. 29 caraterizează extrem de sugestiv regulatoarele PID, fiind prezente extrem de clar toate cele 3 efecte: - P prin treapta de valoare 5 peste care se suprapun componentele I şi D; - I prin integrarea dintre momentele t = 1 şi t = 2, care durează până la saturare; saturarea se produce în momentul t = 2, la valoarea 10; - D prin impulsul derivativ din momentul iniţial t = 1, saturat la valoarea maximă 10.

22

Di a g ra m a B o d e 60

50

A (d B )

40

30

20

10 90

F (d e g )

45

0

-4 5

-9 0 10

-1

10

0

10

1

10

2

10

w (ra d /se c)

Fig. 27. Diagrama Bode a unui regulator PID

Di a g ra m a Nyq u i st 250

200

150

100

50 Im a g i n a r

w= -inf. 0

w= 0

w= + inf. -5 0

-1 0 0

-1 5 0

-2 0 0

-2 5 0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

Re a l

Fig. 28. Diagrama Nyquist a unui regulator PID

23

450

500

3

12

10

P ID 8

6

4

2 u

0 0

0.5

1

1.5 t [s]

Fig. 29. Răspuns indicial al unui regulator PID real

24

2

2.5