Regelungstechnik für Ingenieure : Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen ; mit 77 Beispielen und 34 Aufgaben [12., korrigierte und erw. Aufl] 9783834800183, 383480018X, 9783834895042, 3834895040 [PDF]

Zitiervorschau

Manfred Reuter | Serge Zacher Regelungstechnik für Ingenieure

Aus dem Programm

Automatisierungstechnik

Vieweg Handbuch Elektrotechnik herausgegeben von W. Böge und W. Plaßmann Formeln und Tabellen Elektrotechnik herausgegeben von W. Böge und W. Plaßmann Sensoren für die Prozess- und Fabrikautomation von S. Hesse und G. Schnell Bussysteme in der Automatisierungs- und Prozesstechnik herausgegeben von S. Hesse und G. Schnell Regelungstechnik I und II Zustandsregelungen, digitale und nichtlineare Regelsysteme von H. Unbehauen Automatisieren mit SPS Theorie und Praxis von G. Wellenreuther und D. Zastrow Automatisieren mit SPS Übersichten und Übungsaufgaben von G. Wellenreuther und D. Zastrow Steuerungstechnik mit SPS von G. Wellenreuther und D. Zastrow Lösungsbuch Steuerungstechnik mit SPS von G. Wellenreuther und D. Zastrow Übungsbuch Regelungstechnik von S. Zacher

www.viewegteubner.de

Manfred Reuter | Serge Zacher

Regelungstechnik für Ingenieure Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen 12., korrigierte und erweiterte Auflage Mit 388 Abbildungen, 77 Beispielen und 34 Aufgaben STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1972 2., durchgesehene Auflage 1975 3 Nachdrucke 3., neubearbeitete Auflage 1981 4., durchgesehene Auflage 1983 5., überarbeitete und erweiterte Auflage 1986 6., durchgesehene Auflage 1988 7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1989 8., verbesserte Auflage 1991 Nachdruck 1992 9., überarbeitete und erweiterte Auflage 1994 10., vollständig neubearbeitete Auflage 2002 11., korrigierte Auflage 2004 12., korrigierte und erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Reinhard Dapper Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0018-3

V

Vorwort zur 1. Auflage

Das vorliegende Buch stellt eine Einführung in die Grundlagen der Regelungstechnik unter besonderer Berücksichtigung der Laplace-Transformation dar und ist für Studenten an Fachhochschulen gedacht. Die zum Teil sehr ausführliche Darstellung soll, wenn nötig, auch ein selbständiges Einarbeiten in das Stoffgebiet ermöglichen. Zur Untersuchung der einzelnen Regelkreisglieder werden die klassischen Methoden wie: Differentialgleichung, Sprungantwort, Frequenzgang, Ortskurve und BodeDiagramm angewandt. Diese sind die Voraussetzung für die in der modernen Regelungstheorie benutzten Verfahren der z-Transformation und der Betrachtung im Zustandsraum. Nach der Einführung der Grundbegriffe der Steuerung und Regelung in Kapitel 1, wird in Kapitel 2 die mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder erörtert. Ausgehend vom Zeitverhalten der Grundtypen von Regelkreisgliedern in Kapitel 3, werden in Kapitel 4 die Regelstrecken ausführlich behandelt. Für jede Streckenart werden sowohl elektrische als auch für den Maschinenbauer geeignete Beispiele durchgerechnet. Zur Ermittlung des charakteristischen Verlaufs der einzelnen Sprungantworten wird abwechselnd je ein Beispiel nach der klassischen und eines mittels Laplace-Transformation gelöst. Bei der Behandlung der Regeleinrichtungen (Kapitel 5) wird gleichzeitig deren typisches Verhalten an einfachen Regelstrecken untersucht. Über den Störfrequenzgang und die entsprechende Differentialgleichung werden deren Vor- und Nachteile, z. B. der Einfluß der einzelnen Reglerparameter auf die bleibende Regelabweichung und die Dämpfung aufgezeigt. Die für den Regelungstechniker wichtige Darstellung im Bode-Diagramm ist in Kapitel 6 zusammengefaßt. Zur Stabilitätsbetrachtung von Regelkreisen (Kapitel 7) werden die Kriterien von Hurwitz, Nyquist, die Behandlung im Bode-Diagramm und das Zweiortskurvenverfahren abgeleitet und an Beispielen ausführlich erläutert. Das Zweiortskurvenverfahren dient ferner der Behandlung von Nichtlinearitäten mittels der Methode der harmonischen Balance in Kapitel 9. Für verschiedene Nichtlinearitäten werden die Beschreibungsfunktionen abgeleitet. Anschließend werden in Kapitel 10 Zwei- und Dreipunktregler ohne und mit Rückführung erläutert. Das abschließende Kapitel 11 behandelt kurz die Wirkungsweise des Analogrechners. Ferner wird auf die Programmierung der wichtigsten Regler und Regelstrecken eingegangen. Den Anhang (Kapitel 12) bilden eine kurzgefaßte Ableitung der Laplace-Transformation sowie zusammenfassende Tabellen. Zum Schluß möchte ich mich bei meinen Kollegen, den Herren Dipl.-Ing. E. Böhmer, Dipl.-Ing, W. Mengel und Dr.-Ing. W. Zimmermann bedanken, die mir durch Ratschläge und Anregungen geholfen haben. Ferner danke ich dem Verlag Friedr. Vieweg & Sohn und seinen Mitarbeitern, insbesondere Herrn A. Schubert für die stets gute Zusammenarbeit. Siegen, im Januar 1972

Manfred Reuter

VI

Vorwort zur 12. Auflage

Seit vier Jahrzehnten leistet Reuter seinen wesentlichen Beitrag zur Ausbildung von Diplom-Ingenieuren im Bereich Regelungstechnik. Über Suchmaschinen im Internet kann man feststellen, dass viele Professoren-Kollegen das Buch als Empfehlung für Studenten oder als Bestandteil der Modulbeschreibung für neue Bachelor/MasterStudiengänge aufgenommen haben. Zum Buch greifen Studenten, wenn ein Problem bei der Diplomarbeit entsteht, Ingenieure von renommierten Autoherstellern verwenden es zur Lösung von betrieblichen Aufgabenstellungen. Durchaus positiv haben sich mehr als hundert Rezensenten und Leser zur letzten 11. Auflage geäußert. „Das Standardwerk zur Ergänzung meiner Vorlesung!“ − schrieb ein Kollege in seiner Buchbeurteilung. Für Hinweise, Anregungen und Kritik gilt unser bester Dank. Inzwischen liegt Regelungstechnik für Ingenieure in der 12. Auflage vor. Was hat sich hier gegenüber der vorherigen Auflage geändert? Im Sinne des globalen Übergangs zum Bachelor/Master-System ist das Buch mit einem kleinen deutsch-englischen Fachwörterbuch und einem englisch-deutschen Formelzeichenverzeichnis ausgestattet. Weiterhin findet der Leser hier die aktualisierte Literaturliste. Natürlich wurden die Druckfehler der vorherigen Auflage korrigiert. Die häufig auftretenden Änderungswünsche von unseren Rezensenten wurden in drei Gruppen aufgeteilt und folgendermaßen berücksichtigt: 1. „Dem Lehrbuch eine CD mit Beispielen als Anhang zum Buch beilegen.“ Alle Zusatzmaterialien wie Beispiele, Lösungen, Programme usw. sind unter dem OnlinePlus-Service des Verlags www.viewegteubner.de zum Download ausgestellt. Die Unterlagen findet man auch unter www.szacher.de. 2. „Mehr Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen aufnehmen.“ Ein komplettes Buch im Vieweg Verlag mit 120 Aufgaben mit Lösungen und MATLABBeispielen liegt nun zu diesem Zweck vor: S. Zacher „Übungsbuch Regelungstechnik“, ISBN 978-3-8348-0236-1, 262 Seiten, 2007 3. „Einige Kapitel ausführlicher darstellen und das Buch mit einem neuen Kapitel Zustandsregelung ergänzen.“ Nach Diskussionen mit dem Verlag wurde entschieden, an der bereits etablierten Struktur und an dem Konzept des einbändigen Buches nichts zu ändern. Aus diesem Grund wurde die Einführung in die Zustandsregelung als Anhang in die vorliegende Auflage eingefügt. Besonderer Dank gilt den beteiligten Mitarbeitern des Vieweg+Teubner Verlags, in erster Linie Herrn Reinhard Dapper, für die freundliche Atmosphäre und jederzeit konstruktive Zusammenarbeit. Wiesbaden, im März 2008

Serge Zacher

VII

Inhaltsverzeichnis Formelzeichen ......................................................................................................... XII 1

Einleitung (von M. Reuter und S. Zacher).............................................................1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2

Mathematische Behandlung von Regelkreisen (von M. Reuter).................15 2.1 2.2 2.3

2.4

2.5 2.6

3

Das Prinzip der Regelung ................................................................................3 Darstellung im Wirkungsplan ..........................................................................5 Gerätetechnische Ausführung eines Regelkreises ...........................................7 Das Prinzip der Steuerung ...............................................................................8 Beispiele für einfache Regelkreise ..................................................................9 Beispiele für vermaschte Regelkreise............................................................12

Beharrungszustand und Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes.....................15 Das Aufstellen der Diffenrentialgleichung....................................................17 Lösung der Differentialgleichung..................................................................19 2.3.1 Spezielle Eingangsfunktionen.............................................................19 2.3.2 Lösung der Differentialgleichung bei sprunghafter Verstellung der Eingangsgröße.....................................................................................21 2.3.3 Lösung der Differentialgleichung durch Trennen der Veränderlichen..............................................................................22 2.3.4 Lösung der Differentialgleichung durch geeigneten Ansatz ..............23 2.3.5 Lösung mittels Laplace-Transformation. Die Übertragungfunktion ..25 2.3.6 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Eingangsgröße.30 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich....................................34 2.4.1 Der Frequenzgang ...............................................................................34 2.4.2 Die Ortskurve......................................................................................36 2.4.3 Beziehung zwischen Ortskurve und Sprungantwort ...........................39 2.4.4 Das Bode-Diagramm...........................................................................41 Beschreibung von Regelkreisen mit Übertragungsfunktionen ......................42 2.5.1 Verbindungsmöglichkeiten von Regelkreisgliedern...........................42 Behandlung des statischen Verhaltens...........................................................44 2.6.1 Statische Kennlinien ............................................................................45 2.6.2 Statischer Regelfaktor.........................................................................47 2.6.3 Linearisierung mit analytischen Verfahren.........................................48 2.6.4 Linearisierung mit grafischen Verfahren............................................50

Regelstrecke (von M. Reuter) ..............................................................................51 3.1 3.2

P-Strecken ohne Verzögerung............ ...........................................................53 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung.......................................................53

VIII 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung.......................................................59 Strecken höherer Ordnung.................. ...........................................................70 Schwingungsfähige P-Strecken 2. Ordnung ..................................................75 I-Strecken ohne Verzögerung.................................................. ......................83 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung........................................................86 Strecken mit Totzeit Tt...................................................................................92 Regelstrecken mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung ..............................96

Regeleinrichtungen (von M. Reuter) .................................................................99 4.1 4.2

4.3

5

Inhaltsverzeichnis

Elektronische Regler mittels Operationsverstärker .....................................101 Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Regelkreises ....................104 4.2.1 Führungsübertragungsfunktion .........................................................104 4.2.2 Störübertragungsfunktion .................................................................106 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen ...................................................106 4.3.1 P-Regeleinrichtung............................................................................106 4.3.1.1 P-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-T1-Strecke.........108 4.3.2 I-Regeleinrichtung ............................................................................112 4.3.2.1 I-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-T1-Strecke..........114 4.3.2.2 I-Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke ................117 4.3.3 PI-Regeleinrichtung ..........................................................................118 4.3.3.1 PI-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-T1-Strecke........120 4.3.3.2 PI-Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke..............124 4.3.4 D-Verhalten.......................................................................................125 4.3.5 PD-Regeleinrichtung.........................................................................127 4.3.5.1 PD-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-T2-Strecke ......131 4.3.6 PID-Regeleinrichtung .......................................................................135 4.3.6.1 PID-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-T2-Strecke.....140

Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren (von M. Reuter) ...143 5.1

5.2

5.3

Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge................................................143 5.1.1 Bode-Diagramm eines P0-Gliedes ....................................................144 5.1.2 Bode-Diagramm eines I-Gliedes.......................................................144 5.1.3 Bode-Diagramm eines D-Gliedes .....................................................146 5.1.4 Bode-Diagramm eines P-Gliedes mit Verzögerung 1. Ordnung.......147 5.1.5 Bode-Diagramm eines PI-Gliedes.....................................................148 5.1.6 Bode-Diagramm eines PD-Gliedes ...................................................150 5.1.7 Bode-Diagramm eines P-T2-Gliedes.................................................152 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm ..................153 5.2.1 Konstruktion des Amplitudenganges mittels Amplitudenlineal .......156 5.2.2 Konstruktion des Phasenganges mittels Phasenlineal ......................158 Numerische Berechnung des Bode-Diagramms ..........................................163

Inhaltsverzeichnis

6

Stabilitätskriterien (von M. Reuter) ................................................................167 6.1 6.2

6.3

6.4

7

Stabilitätskriterium nach Hurwitz................................................................168 Stabilitätskriterium nach Nyquist ................................................................174 6.2.1 Graphische Ermittlung der Ortskurve bei gegebener PolNullstellenverteilung ........................................................................175 6.2.2 Ableitung des Nyquist-Kriteriums ....................................................178 6.2.3 Anwendung des Nyquist-Kriteriums ................................................180 Stabilitätsuntersuchung nach Nyquist im Bode-Diagramm.........................185 6.3.1 Vereinfachtes Nyquist-Kriterium .....................................................190 6.3.2 Stabilitätsgüte und Phasenrand .........................................................191 Stabilitätsuntersuchung mittels Zweiortskurvenverfahren ..........................195 6.4.1 Konstruktion der negativ inversen Ortskurve der Strecke................197

Das Wurzelortskurvenverfahren (von M. Reuter).......................................201 7.1 7.2

8

IX

Analytische Berechnung der Wurzelortskurve ............................................203 Geometrische Eigenschaften von Wurzelortskurven...................................213

Entwurf von linearen Regelkreisen (von S. Zacher)....................................221 8.1 8.2

8.3 8.4

8.5

8.6

8.7

Gütekriterien des Zeitverhaltens ..................................................................221 Praktische Einstellregeln..............................................................................224 8.2.1 Grob approximierte Strecke..............................................................224 8.2.2 Fein approximierte Strecke ...............................................................228 Integralkriterien............................................................................................233 Einstellregeln im Frequenzbereich ..............................................................236 8.4.1 Betragsoptimum ................................................................................236 8.4.2 Symmetrisches Optimum ..................................................................238 Entwurf von Regelkreisen mit instabilen Strecken......................................243 8.5.1 Instabile P-T1-Glieder .......................................................................243 8.5.2 Instabile P-T2-Glieder .......................................................................245 8.5.3 Beispiele von instabilen Regelstrecken ............................................248 Vermaschte Regelung ..................................................................................251 8.6.1 Regelung mit Hilfsregelgrößen.........................................................251 8.6.2 Kaskadenregelung.............................................................................252 8.6.3 Begrenzungsregelung .......................................................................254 8.6.4 Störgrößenaufschaltung ....................................................................256 Mehrgrößenregelung....................................................................................258 8.7.1 Regelstrecken mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen...................258 8.7.2 Strukturen der Mehrgrößenregelung.................................................261 8.7.3 Entwurf eines Diagonalreglers..........................................................262 8.7.4 Stabilität der Zweigrößenregelung....................................................265 8.7.5 Entwurf eines Entkopplungsreglers ..................................................265

X

Inhaltsverzeichnis

9

Nichtlineare Glieder im Regelkreis (von M. Reuter) ...................................271 9.1 9.2

9.3

Harmonische Balance ..................................................................................275 Ermittlung spezieller Beschreibungsfunktionen ..........................................276 9.2.1 Beschreibungsfunktion eines Gliedes mit Sättigung ........................277 9.2.2 Beschreibungsfunktion eines Gliedes mit toter Zone .......................279 9.2.3 Beschreibungsfunktion eines Gliedes mit Hysterese........................282 9.2.4 Beschreibungsfunktion eines Dreipunktreglers ohne Hysterese ......285 Stabilitätsuntersuchungen an nichtlinearen Regelkreisen ...........................287 9.3.1 Dreipunktregler mit nachgeschaltetem Stellmotor ...........................288 9.3.2 Untersuchung eines Regelkreises mit Ansprechempfindlichkeit .....292

10 Unstetige Regelung (von M. Reuter)................................................................295 10.1 10.2 10.3

Idealer Zweipunktregler an einer P-Strecke höherer Ordnung ...................296 Zweipunktregler mit Hysterese an einer P-Strecke 1. Ordnung .................300 Zweipunktregler mit Rückführung..............................................................303 10.3.1 Zweipunktregler mit verzögerter Rückführung ...............................304 10.3.2 Zweipunktregler mit verzögert-nachgebender Rückführung ...........309 10.4 Dreipunktregler ...........................................................................................312 10.4.1 Dreipunktregler mit Rückführung....................................................313

11 Digitale Regelung (von S. Zacher) ...................................................................315 11.1 Abtastregelung .............................................................................................315 11.1.1 Wirkungsweise von digitalen Regelkreisen.....................................316 11.1.2 Beschreibungsmethoden ..................................................................319 11.2 Digitale Regeleinrichtungen ........................................................................321 11.2.1 Mikrorechner als digitale Regler .....................................................322 11.2.2 Digitalisierung analoger Regelalgorithmen .....................................326 11.2.3 Programmierung von Regelalgorithmen ..........................................330 11.2.4 Konfigurierung digitaler Industrieregler..........................................336 11.3 Quasikontinuierliche Regelung....................................................................341 11.3.1 Wahl der Abtastperiode ...................................................................341 11.3.2 Praktische Einstellregeln..................................................................341 11.4 Beschreibung von Abtastsystemen im Zeitbereich......................................344 11.4.1 Differenzengleichungen...................................................................344 11.4.2 Lösung mittels Rekursion ................................................................344 11.4.3 Homogene und partikuläre Lösung..................................................345 11.4.4 Stabilitätsbedingung für Abtastsysteme...........................................348 11.5 Beschreibung von Abtastsystemen im z-Bereich.........................................350 11.5.1 Digitale Übertragungsfunktionen von einzelnen Elementen ...........350 11.5.2 Digitale Führungsübertragungsfunktion ..........................................355 11.5.3 Stabilitätskriterien für digitale Regelkreise .....................................357

Inhaltsverzeichnis

XI

12 Intelligente Regelung (von S. Zacher) .............................................................361 12.1 PC-gestützte Regelungstechnik....................................................................361 12.2 Regelkreisanalyse mit MATLAB / Simulink...............................................362 12.2.1 Grundlagen der MATLAB-Programmierung ..................................363 12.2.2 Grafik mit MATLAB .......................................................................368 12.2.3 Control System Toolbox ..................................................................373 12.2.4 Bode-Diagramm mit MATLAB.......................................................376 12.2.5 WOK mit MATLAB........................................................................379 12.2.6 Einführung in MATLAB / Simulink................................................385 12.3 Modellbasierte Regelung .............................................................................391 12.3.1 Kompensationsregler .......................................................................391 12.3.2 Smith-Prädiktor................................................................................393 12.3.3 Regler mit endlicher Einstellzeit......................................................395 12.4 Fuzzy-Regler ................................................................................................399 12.4.1 Funktionsweise und Aufbau eines Fuzzy-Reglers ...........................399 12.4.2 Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen ................................400 12.4.3 Regelbasis und Inferenz...................................................................402 12.4.4 Defuzzifizierung...............................................................................403 12.4.5 Fuzzy Logic Toolbox von MATLAB ..............................................405 12.5 Neuro-Regelung ...........................................................................................409 12.5.1 Grundmodell eines künstlichen Neurons .........................................409 12.5.2 Mehrschicht-KNN und Backpropagation ........................................412 12.5.3 Entwurf eines KNN mit MATLAB / Simulink................................414 12.5.4 Regelkreisstrukturen mit KNN ........................................................416

Anhang ............................................................................................................ 421 Lösungen der Übungsaufgaben (von M. Reuter und S. Zacher).................................421 Hinweise zur Zustandsregelung (von S. Zacher) ........................................................447 Rechenregeln der Laplace-Transformation (von M. Reuter) ......................................465 Korrespondenztabelle (von M. Reuter).......................................................................466 Sätze der Laplace- und z-Transformation (von M. Reuter).........................................467 Tabelle der Laplace- und z-Transformation (von M. Reuter) .....................................468 Tabelle der wichtigsten Regelkreisglieder (von M. Reuter) .......................................470

Literaturverzeichnis (von S. Zacher) ............................................................... 476 English-German Symbols Directory (von S. Zacher) ..................................... 483 Fachwörter Deutsch-Englisch (von S. Zacher) ............................................... 491 Sachwortverzeichnis....................................................................................... 505

XII

Formelzeichen A A1, A2... AR a0, a1...

Fläche, Querschnitt, Schwingungsamplitude, Gewindesteigung Koeffizienten der charakteristischen Gleichung P(w) Betragsreserve (Amplitudenreserve) Koeffizienten der Differentialgleichung, der Fourier-Zerlegung, der zÜbertragungsfunktion, Beiwerte der Eingangsgröße und deren Ableitungen b Dämpfungskonstante b0, b1... Koeffizienten der Differentialgleichung, der Fourier-Zerlegung, der zÜbertragungsfunktion, Beiwerte der Ausgangsgröße und deren Ableitungen C Kapazität, Kondensator, Integrationskonstante, Konzentration Koppelfaktor, Koeffizient C0 c Federkonstante, spezifische Wärme D Dämpfungsgrad, Determinante d Dicke, Sollwert eines Neuronausgangs E Fehler eines künstlichen neuronalen Netzes e Regeldifferenz bleibende Regeldifferenz e(t) bei t o f e(f) F Kraft f Funktion, Frequenz G Erfüllungsgrad einer Fuzzy-Regel, auch Matrix Frequenzgang G(jZ) _G(jZ)_dB Amplitudengang in dB G(s) Übertragungsfunktion G(z) z-Übertragungsfunktion Ggesch(s) Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises GH(s) Übertragungsfunktion des Haltegliedes GHS(z) z-Übertragungsfunktion Halteglied/Strecke G0(s) Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises GM(s) Übertragungsfunktion des gewünschten Regelverhaltens GR(s) Übertragungsfunktion der Regeleinrichtung GS(s) Übertragungsfunktion der Regelstrecke Gvorw(s) Übertragungsfunktion des Vorwärtszweigs Gw(s) Führungsübertragungsfunktion Gz(s) Störübertragungsfunktion g Gewichtsfunktion, Erdbeschleunigung H Höhe, Füllstandshöhe, magnetische Feldstärke h Abstand, Höhe (Abweichung vom Arbeitspunkt), Übergangsfunktion I Einheitsmatrix i Strom

Formelzeichen ia ie J j K KD KI Kkr K0 KP KPR KPr KPS KPw KPSy KPSz KS k L L[...] l M m N N(s) n ni nl nr P P(w) P(z) Pe p Q Qabs QITAE Qlin Qqrs

Ankerstrom Erregerstrom Massenträgheitsmoment 1 imaginäre Einheit j Übertragungsbeiwerte, Koeffizienten, Konstante Differenzierbeiwert Integrierbeiwert kritischer Proportionalbeiwert Kreisverstärkung Proportionalbeiwert Proportionalbeiwert des Reglers Proportionalbeiwert des Smith-Prädiktors Proportionalbeiwert der Strecke Proportionalbeiwert des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten) Proportionalbeiwert der Strecke beim Stellverhalten Proportionalbeiwert der Strecke beim Störverhalten Übertragungsbeiwert der Strecke Wärmedurchgangszahl, Konstante Leistung, Induktivität, Länge Laplace-Transformierte von [...] Länge Masse, Moment Ordnung des Zählerpolynoms der Übertragungsfunktion, Masse Windungszahl einer Wicklung Nennerpolynom, N ( xˆe ) - Beschreibungsfunktion Drehzahl, Anzahl von Halbwellen, Ordnung der Übertragungsfunktion Anzahl der Pole auf der imaginären Achse Anzahl der Pole in der linken s-Ebene Anzahl der Pole in der rechten s-Ebene Leistung, Druck Polynom der charakteristischen Gleichung im w-Bereich Polynom der charakteristischen Gleichung im z-Bereich elektrische Heizleistung Druck, Polstelle Wärmemenge, Durchflüßmenge, Güteindex Betrag der linearen Regelfläche zeitgewichtete Betragsfläche lineare Regelfläche quadratische Regelfläche

XIII

XIV q R RF r S0, S1... s sN sP T TA Tan Taus TE Te Tg TI Tn TR Tt Tu Tv t ta te tw t10, t50 U u uD V V(s) v W w w0 X Xh x x(t)

Formelzeichen Durchfluss elektrischer bzw. magnetischer Widerstand, Gaskonstante statischer Regelfaktor Radius Schnittpunkte der Ortskurve bzw. des Bode-Diagramms komplexe Variable s=V+jZ Nullstellen Polstellen Zeitkonstante, Periodendauer Abtastzeit Anregelzeit Ausregelzeit Ersatzzeitkonstante Schwingungsperiode Ausgleichszeit Integrierzeit Nachstellzeit Verzögerungszeitkonstante des Reglers Totzeit Verzugszeit Vorhaltzeit Zeit Ausschaltzeit Einschaltzeit Koordinate des Wendepunktes Zeitpunkte für die Regelgröße von 10%, 50% stationäres Wertes Spannung zeitlich veränderliche Spannung (Abweichung vom Arbeitspunkt) Differenzspannung des Operationsverstärkers Ventil, Volumen, Verstärkungsgrad Übertragungsfunktion einer Mehrgrößenstrecke in V-kanonischer Struktur Geschwindigkeit, Ausgang verdecktes Neurons Gewicht eines Neurons Führungsgröße, Sollwert, Operator der bilinearen Transformation Höhe des Sollwertsprungs Regelgröße, Weg Regelbereich Regelgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Weg Sprungantwort

Formelzeichen

XV

x(f) xa xˆ a

Beharrungswert bei t o f Ausgangsgröße (allgemein) Amplitude der Ausgangsgröße

xB xE xe xe0 xˆ e

Sättigungszone Endwert Eingangsgröße (allgemein) Eingangssprung Amplitude der Eingangsgröße

2xL xMA xm 2x0 xr xs xt x50 Yh Y0 y yR Z Z [...] Z(s) Z0 z z0

Hysteresebreite Mittelwertabweichung Überschwingweite Schwankungsbreite Rückführgröße Sollwert tote Zone Zeit-Prozentkennwert Stellbereich Stellgröße im Arbeitspunkt Stellgröße Stellgröße am Ausgang der Regeleinrichtung Impedanz z-Transformierte von [...] Zählerpolynom Störgröße im Arbeitspunkt Störgröße, komplexe Variable bei z-Transformation, Nullstelle bei Matlab Höhe des Störsprungs

D

Abklingkonstante, Aktivierung, Konstante der Korrespondenztabelle, Skalierungsfaktor, Winkel, Winkelposition Kennkreisfrequenz, Kreisfrequenz des ungedämpften Systems, Zeitskalierungsfaktor, auch Aktivierung eines Neurons spezifisches Gewicht Kennzeichnung von Größenänderung Impulsfunktion, Nadelimpuls Zähigkeit von Gasen, Lernschrittkonstante Temperatur Wurzel der homogenen Differentialgleichung, Wärmeleitfähigkeit Zugehörigkeitsfunktion Dichte Einheitssprung

E J ' G K O P (...) U V

XVI

W X ĭ

M MRd M (Z) Z Zd ZE Ze Zkr

Formelzeichen Zeit, Maschinenzeit Anzahl der Schnittpunkte der Ortskurve bzw. des Phasengangs Wärmestrom, Fluss, Erregerfluss Winkel, Phasenverschiebungswinkel Phasenreserve Phasengang Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit Durchtritts(kreis)frequenz Eck(kreis)frequenz Eigenkreisfrequenz kritische Kreisfrequenz

Indizes A a akt C D G HT M m.R. n 0 o.R. p TG W

AnkerAbfluss- , Ausbreitungaktueller Wert Feder- , KondensatorDämpfer- , DifferenzierGewichtHöher-Tiefer Motor- , Moment„mit Regler“-Verhalten negativ Anfangspunkt-, Arbeitspunkt-, aufgeschnittener (offener) Kreis, Leerelauf „ohne Regler“-Verhalten positiv TachogeneratorWasser-

Formelzeichen

1

1 Einleitung Die Regelungstechnik gehört zu den Grundlagenfächern der Ingenieurwissenschaften, die sich mit der selbsttätigen Regelung einzelner Arbeitsvorgänge sowie geschlossener Produktionsabläufe befasst. Die zunehmende Automation ist durch die rapide Verbreitung von Regelungssystemen und durch eine Expansion ihres Anwendungsbereiches gekennzeichnet. Mit Hilfe von Prozessrechnern werden auch komplexere Regelalgorithmen digital realisiert. Durch die Bustechnologie und die Vernetzung ist es heute möglich kompliziertere Systeme zu regeln, als dies mit den klassischen Regeleinrichtungen möglich war. Das Wesentliche einer Regelung besteht in einem Rückkopplungszweig, der dazu dient, die zu regelnde Größe (die Regelgröße) von Störeinflüssen unabhängig zu machen, so dass sie stets einen vorgegebenen Wert beibehält. In technischen Anlagen sind die zu regelnden Größen physikalischer Natur, so z. B. Druck, Temperatur, Drehzahl, Durchfluss, Flüssigkeitsstand, Strom, Spannung usw. Der Beginn der Regelungstechnik lässt sich nicht genau datieren. Bereits 1765 hat Polsunow einen Regler zur Wasserstandsregelung in einem Kessel über Schwimmer und Absperrklappe erfunden. Eine größere Bedeutung erlangte der 1788 von James Watt erfundene Zentrifugalregulator, der zur Drehzahlregelung von Dampfmaschinen benutzt wurde. Wie Bild 1.1 zeigt, besteht der Zentrifugalregulator aus zwei Massen 1, die durch die Arme 2 pendelnd gelagert sind. Bei Rotation der Welle 3 werden die beiden Massen infolge der Zentrifugalkraft nach außen bewegt. Diese Kraft wirkt über das Gestänge 4 auf die Muffe 5. Als Gegenkraft ist die Feder 6 wirksam, die der durch die Zentrifugalkraft auf die Muffe ausgeübten Kraft das Gleichgewicht hält. Einer bestimmten Federspannung entspricht eine ganz bestimmte Drehzahl. 2

6

1 4

5 3

Dampf Bild 1.1 Zentrifugalregulator

2

1 Einleitung

Nimmt aus irgendeinem Grund die Dampfzufuhr zu und damit die Drehzahl, so wird infolge der größeren Zentrifugalkraft die Feder stärker gespannt, die Muffe angehoben und das Ventil etwas geschlossen. Dadurch wird die Dampfzufuhr gedrosselt, bis die ursprüngliche Drehzahl wieder erreicht ist. Sinkt nun infolge einer höheren Belastung die Drehzahl ab, so würde bedingt durch die Rückkopplung das Ventil so weit geöffnet, bis der durch die Feder eingestellte Sollwert wieder erreicht wird. Der Mensch ist immer bestrebt, empirisch Gefundenes theoretisch zu konsolidieren. Die erste vollständige Theorie des Regelkreises gelang (1868) Clerk Maxwell und (1877) Wyschnegradski. Ein weiteres Problem besteht darin, dass in einem Regelsystem, bedingt durch den Rückkopplungszweig, beim Auftreten einer äußeren Störung eine unerwünschte Erscheinung auftreten kann, die gegebenenfalls zur Zerstörung der Anlage führt und als Instabilität bezeichnet wird. Diese Erscheinung trat erstmals bei der Regelung von Wasserturbinen auf und wurde zuerst von Routh (1877) und Hurwitz (1895) theoretisch gelöst. Später wurde eine weitere Zahl von Stabilitätskriterien entwickelt, mit deren Hilfe es möglich ist, die Bedingungen festzustellen, die zur Instabilität führen und welche Maßnahmen zu treffen sind, um dies zu beseitigen. Diese Entwicklung wurde stark von der Elektrotechnik geprägt, da die Regeleinrichtungen aus analogen Bauelementen wie Operationsverstärker bestanden. Mit Konrad Zuse, der den ersten freiprogrammierbaren digitalen Computer der Welt fertig stellte, fängt der Umbruch der Regelungstechnik an. 30 Jahre später kommt der erste Mikroprozessor auf den Markt (1971) und revolutioniert die Technik von analog zu digital mit einer wachsenden Anzahl von Anwendungen. Heute sind Automatisierungssysteme ohne Mikroprozessoren, Computer und speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) undenkbar. Ein Produktionssystem lässt sich als Pyramide, wie im Bild 1.2 gezeigt, darstellen. In der Feld- und Prozessebene findet man alle Komponenten des Regelkreises: Regelstrecke, Messfühler (Sensoren), Regler, Steller. Betriebsleitbene .

Prozessleitebene .

. .. Server

Regler .. . . .. .. . ...

SPS ....................

SPS ............

Feldebene

Feldbus Sensor Steller Strecke

Bild 1.2 Produktionssystem als Automatisierungspyramide

Prozess

1.1 Das Prinzip der Regelung

3

Erst im 20. Jahrhundert entdeckte man, angeregt durch die Erfolge der Regelungstechnik, dass die Prinzipien der Regelung nicht allein auf technische Vorgänge beschränkt sind, sondern ebenso im biologischen und sozialen Bereich auftreten. Betrachten wir z. B. den menschlichen Körper, so werden Blutdruck, Blutzuckergehalt, Körpertemperatur usw. ständig durch messende und regulierende Organe in engen Grenzen konstant gehalten. Auch im Zusammenleben verschiedener Lebewesen finden wir regelnde Gesetzmäßigkeiten. So fressen z.B. die Haie die Schollen. Gibt es aus irgendeinem Grund zu viele Schollen, so sind die Lebensbedingungen der Haie besonders günstig. Sie vermehren sich also. Eine größere Anzahl von Haien bedeutet eine Verminderung der Anzahl der Schollen und damit eine Verschlechterung der Lebensbedingungen der Haie, die sich dann ebenfalls wieder reduzieren. Nach einigen Pendelungen stellt sich ein stabiles Gleichgewicht ein bis eine neue Störung auftritt. All diese, in den verschiedensten Wissensgebieten, wie Technik, Biologie, Psychologie, Soziologie, Ökonomie usw. auftretenden analogen Probleme und Gesetzmäßigkeiten legen eine übergeordnete Wissenschaft nahe, für die Norbert Wiener (1948) den Begriff Kybernetik prägte. Die Kybernetik, als verbindende Brücke zwischen den Wissenschaften gedacht, hat sich nicht als eine selbständige, übergeordnete Disziplin durchsetzen können. Nur in der Biologie versuchte die Bio-Kybernetik die im menschlichen Gehirn stattfindenden Vorgänge durch Modelle zu simulieren und zu erklären. 1962 veröffentlicht Frank Rosenblatt sein Konzept der Neurodynamik. 12 Jahre später wurde der erste computergesteuerte Roboter entwickelt. Wenn diese und die nachfolgende Rechenautomaten auch partiell leistungsfähiger sind, so ist die Analogie mit den Regelvorgängen in der Biologie doch nur unvollkommen. Die Verhältnisse in der Biologie sind weit komplizierter, weil an der Regelung einer einzigen Größe sehr viele Faktoren beteiligt sind und eine gegenseitige Abhängigkeit vieler Regelkreise besteht. Heute werden die Untersuchungen in diesem Bereich von Computational Intelligenz oder Soft-Computing übernommen. Darunter versteht man Fuzzy-Logik, künstliche neuronale Netze, genetische Algorithmen, Data Mining, Image-Prozessing und andere Methoden, mit dem Bestreben, Regelalgorithmen zu finden, deren Funktionen dem menschlichen Verhalten immer ähnlicher werden.

1.1 Das Prinzip der Regelung Die Wirkungsweise und die Begriffe der Regelung sollen an einem einfachen, oft zitierten Beispiel behandelt werden. Raumtemperaturregelung Es soll die Temperatur ϑ ist in einem Raum auf einem vorgegebenen Wert ϑ soll (dem Sollwert) gehalten werden. Die Wärmezufuhr erfolgt durch Dampf oder Heißwasser über einen Radiator. Ohne Regler müsste man zunächst ein Thermometer in den Raum bringen, um festzustellen, ob die gewünschte Temperatur ϑ soll vorhanden ist. Liegt der Istwert ϑ ist

4

1 Einleitung

unterhalb des Sollwertes ϑ soll dann wird man das Heizkörperventil mehr aufdrehen. Im umgekehrten Fall entsprechend zudrehen, bis die gewünschte Temperatur vorhanden ist (ϑ ist = ϑ soll). Die Differenz zwischen Soll- und Istwert nennt man Regeldifferenz ϑ e, d. h. (ϑ e = ϑ soll − ϑ ist). Diese Art der Regelung, bei der der Mensch tätig ist, bezeichnet man als manuelle Regelung oder Handregelung. Es ist nun zu untersuchen, weshalb an einem einmal richtig eingestellten Heizkörperventil überhaupt noch nachträglich Verstellungen zur Aufrechterhaltung der gewünschten Temperatur notwendig sind. Man erkennt leicht, dass sich z. B. die Außentemperatur ändern kann. Nehmen wir an, die Außentemperatur ϑ a sinkt, so wird das Wärmegefälle (ϑ ist − ϑ a) größer und damit die Wärmeabgabe durch die Wände und Fenster; die Temperatur ϑ ist fällt. Ferner kann es vorkommen, dass der Energiegehalt des Wassers oder des Dampfes schwankt und somit einer bestimmten Ventilstellung keine konstante Energiemenge pro Zeiteinheit zugeordnet werden kann. Weitere störende Einflüsse können entstehen durch das Öffnen von Fenstern oder durch Veränderung der Anzahl der im Raum befindlichen Personen. All diese Einflüsse, die eine Abweichung von der geforderten Temperatur ϑ soll verursachen, nennt man Störgrößen. Da diese Störgrößen nicht konstant sind, ist eine Regelung erforderlich, die sofort eingreift und die Wirkung der Störung beseitigt. Um die Raumtemperatur von Hand auf den Sollwert ϑ soll zu regeln, hatten wir folgende Funktionen auszuführen: 1. Messen der zu regelnden Größe 2. Vergleichen der Regelgröße mit dem Sollwert 3. Erzeugen eines geeigneten Stellbefehls 4. Verstellen des Stellorgans. Um die Raumtemperatur selbsttätig zu regeln, müssen die erwähnten vier Funktionen einer Regeleinrichtung übertragen werden, wie in Bild 1.3 schematisch gezeigt ist.

ϑist

R ϑa

ϑsoll MF

y z STV

Bild 1.3 Raumtemperaturregelung

Wärmeenergie

MF R STV y z

Messfühler Regler Stellventil Stellgröße Störgröße ϑ ist Temperatur-Istwert ϑ soll Temperatur-Sollwert ϑa Außentemperatur

1.2 Darstellung im Wirkungsplan

5

Hierbei ist jedoch der Begriff des Messens allgemeiner zu fassen. Die Messgröße muss geeignet sein, als Eingangssignal der Regeleinrichtung zu dienen. Ist dies nicht der Fall, so muss die Messgröße erst in einem Messumformer entsprechend umgeformt werden. Beispielsweise verwendet man zur Durchflussmessung von Gasen oder Flüssigkeiten den Differenzdruck an einer Blende; oder zur Messung der Drehzahl die Spannung, die von einem Tachogenerator erzeugt wird. Der eigentliche Regler besteht meistens aus einem Verstärker und einer Einrichtung zur Erzeugung des gewünschten Zeitverhaltens. Je genauer geregelt werden soll, desto empfindlicher muss der Regler auf eine Regeldifferenz reagieren. Die Energie der Regeldifferenz am Eingang des Reglers muss so verstärkt werden, dass am Ausgang genügend Energie zum Betätigen des Stellventils zur Verfügung steht. Unter dem Zeitverhalten eines Reglers versteht man die Reaktion des Reglers beim plötzlichen Auftreten einer Regeldifferenz, d. h. ob die Stellgröße sofort erzeugt wird oder erst nach einer gewissen Verzögerungszeit usw. Verfolgt man nun die einzelnen Stufen des Regelvorganges, so stellt man fest, dass es sich um einen geschlossenen Kreis handelt, dem sogenannten Regelkreis, denn das Stellen wirkt immer wieder auf das Messen zurück. Der Rückkopplungszweig, der durch die Regeleinrichtung gebildet wird und den Messort mit dem Stellort verbindet, ist das wesentliche Merkmal einer Regelung.

1.2 Darstellung im Wirkungsplan Die einzelnen Glieder des Regelkreises werden nach der DIN 19226 durch rechteckige Kästchen, Block genannt, symbolisiert (Bild 1.4a). Die Ein- und Ausgangssignale werden durch Wirkungslinien dargestellt, deren Pfeilspitzen die Wirkungsrichtung angeben. Zur genaueren Kennzeichnung wird in einem Block symbolisch angegeben, wie die Ausgangsgröße bei plötzlicher Änderung der Eingangsgröße reagiert. Außerdem werden die Stellen, an denen mehrere Signale zusammentreffen, durch eine Additionsstelle (Bild 1.4b) und Punkte, an denen eine Verzweigung eines Signals stattfindet, durch eine Verzweigungsstelle (Bild 1.4c) dargestellt. Der gesamte Regelkreis lässt sich als Aneinanderreihung von Blöcken wiedergeben. Diese Darstellung, welche die wirkungsmäßigen Zusammenhänge zwischen den a) xe

b) xa

xe1

+ −

c) xa

−x+

e2

Bild 1.4 Elemente des Wirkungsplanes: a) Blocksymbol b) Additionsstelle xa = ± xe1 ± xe2 c) Verzweigungsstelle xa1 = xa2 = xe

xe

xa2

xa1

6

1 Einleitung ϑa ϑsoll

+

ϑe

y Regler

−

ϑ*ist

ϑist

Stellglied

Raum

Messumformer

Bild 1.5 Wirkungsplan des Temperaturregelkreises

Signalen wiedergibt, wie in Bild 1.5 gezeigt, ohne gerätetechnische Einzelheiten zu berücksichtigen, wird nach der DIN 19226 als Wirkungsplan bezeichnet. Generell kann man nun den Regelkreis in zwei Bereiche unterteilen. Der 1. Bereich ist durch die Anlage gegeben, in dem eine physikalische Größe geregelt werden soll, die sogenannte Regelstrecke. Der 2. Bereich ist der Teil, der dazu dient, die Regelstrecke über das Stellglied so zu beeinflussen, dass die Regelgröße den gewünschten Wert innehält, die sogenannte Regeleinrichtung. Zur Regeleinrichtung zählen also der Messfühler, der Messumformer, bei Bedarf der Vergleicher, der Regler und das Stellglied. Das Stellglied lässt sich sowohl der Regelstrecke als auch der Regeleinrichtung je nach Zweckmäßigkeit zuordnen (Bild 1.6). Die Störgrößen können nun an verschiedenen Stellen des Regelkreises auftreten. In Bild 1.6 ist nur eine Störgröße gezeichnet, die zusammen mit der Stellgröße der Regeleinrichtung yR am Eingang der Strecke angreift. Dies ist aus folgendem Grund erlaubt: Sinkt die Störgröße z (Außentemperatur ϑ a) und demzufolge die Regelgröße x (Innentemperatur ϑ ist), so registriert der Messfühler eine Temperaturabnahme, kann aber nicht entscheiden, ob die Außentemperatur gesunken ist oder ob das Stellventil mehr zugedreht wurde. Ebenso registriert der Temperaturfühler eine Temperaturabnahme, wenn die zugeführte Wärmemenge pro Zeiteinheit abnimmt. Auch in diesem Fall kann der Messfühler nicht feststellen, ob der zugeführte Energieinhalt pro Zeiteinheit sich geändert hat oder das Stellventil verstellt wurde. Es ist also möglich, alle Störgrößen an den Stellort zu transformieren und als eine einzige Störgröße z zusammen mit der Stellgröße yR am Eingang der Strecke angreifen zu lassen. z e

w

+

−

Regeleinrichtung

yR

+

+ −

yS

Regelstrecke

Bild 1.6 Vereinfachter Wirkungsplan eines Regelkreises

x

1.3 Gerätetechnische Ausführung eines Regelkreises

7

Einheitsbezeichnungen Die in der Regelungstechnik zu regelnden Größen können sehr unterschiedlicher physikalischer Natur sein. Zur Vereinheitlichung werden die Regelgröße mit xist, der Sollwert mit xsoll, die Differenz zwischen xsoll und xist als Regeldifferenz e und die Stellgröße mit y bezeichnet, gleichgültig, ob es sich bei der zu regelnden Größe um die Temperatur in einem Glühofen, die Geschwindigkeit eines Walzgutes oder den pHWert einer Säure handelt. Ferner wird die Regelgröße xist einfach als x bezeichnet und anstelle des Sollwertes xsoll wird die Bezeichnung Führungsgröße w angewandt. Wie wir noch sehen werden, interessieren bei einer Regelung weniger die Absolutwerte, sondern die Änderungen der Größen. Diese Änderungen werden im Gegensatz zu den Absolutwerten durch kleine Buchstaben gekennzeichnet.

1.3 Gerätetechnische Ausführung eines Regelkreises Es gibt viele Möglichkeiten zur praktischen Verwirklichung der Regelung. Davon soll eine anhand der Positionsregelung einer Antenne behandelt werden (Bild 1.7). Der aktuelle Winkel αx wird durch ein Potentiometer gemessen und in die Spannung Ux umgewandelt. Durch einen Vergleich mit dem Sollwert Uw wird die Spannungsdifferenz Ue = Uw − Ux gebildet. Ist Uw = Ux bzw. Ue = 0, bleibt der Motor stehen. Vergrößert sich der Winkel αx, so vergrößert sich die Spannung Ux. Da die Sollwertspannung Uw konstant ist, entsteht dabei eine negative Spannung Ue. Diese Spannung verstärkt durch zwei Verstärkungsstufen (Regler, Leistungsverstärker) ergibt die Ansteuerung des Motors UA. Der Motor bewegt die Antenne und den Gleitkontakt des Potentiometers bis Uw = Ux bzw. der Winkel αx dem Sollwert αw gleich ist. Istwert PotentiometerMessfühler − Getriebe

LeistungsVerstärker

ωx +

x(t)

Motor ωM

UA

αx

Ux PotentiometerSollwertgeber −

Uy Regler

Uw

+

αw

Sollwert

Bild 1.7 Gerätetechnische Ausführung der Positionsregelung einer Antenne

8

1 Einleitung

1.4 Das Prinzip der Steuerung Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich eine Größe auch durch Steuern auf einem vorgegebenen Wert, der konstant oder zeitlich veränderlich sein kann, halten. Betrachten wir hierzu als Beispiel die Konstanthaltung der Winkellage einer Antenne durch Steuern unter der vereinfachenden Annahme, dass als einzig maßgebende Störgröße z die Schwankung der Windstärke auf die Antenne wirkt (Bild 1.8). Zunächst sei das Steuergerät so eingestellt, dass der Antennenwinkel αx gleich dem vorgegebenen Sollwert αw ist und die Ansteuerungsspannung des Motors gleich Null ist. Tritt nun eine Zunahme der Windgeschwindigkeit (Störgröße z) auf, so würde ohne Steuergerät die Winkelposition der Antenne geändert. Mit Steuergerät wird die Zunahme der Windgeschwindigkeit durch den Messfühler dem Steuergerät sofort gemeldet und von diesem der Motor angesteuert. Die vorhandene Änderung der Position wird dadurch ausgeglichen und der Antennenwinkel konstant gehalten. Im Gegensatz zur Regelung handelt es sich um eine offene Wirkungskette (Bild 1.9). Der Nachteil der Steuerung gegenüber der Regelung besteht darin, dass nicht alle Störgrößeneinflüsse eliminiert werden, sondern nur der, dessen Größe vom Steuergerät gemessen wird. Ferner ist Voraussetzung, dass das Verhalten der Strecke zahlenmäßig genau bekannt ist. Als Vorteil gegenüber der Regelung ist hervorzuheben, dass infolge des fehlenden Rückkopplungszweiges keine Instabilität auftreten kann. Im Idealfall wird der Sollwert genau eingehalten, während bei einer Regelung, beim Auftreten einer Störgrößenänderung, zumindest eine vorübergehende Abweichung der Regelgröße vom Sollwert auftritt. Störgröße z

Messfühler Steuergerät (SPS)

αx Istwert

UZ

ωx

Getriebe UA

x(t)

ωM Motor

Bild 1.8 Steuerung der Winkellage einer Antenne Uz

z Messfühler

Steuergerät

y = UA

Bild 1.9 Wirkungsplan einer Steuerung

x = αx Strecke

1.5 Beispiele für einfache Regelkreise

9

1.5 Beispiele für einfache Regelkreise Temperaturregelung Die Raumtemperartur x soll mittels pneumatischer Regeleinrichtung geregelt werden (Bild 1.10). PV Vordrossel Federbalg

PSt = y Düse

x

zum Radiator w

Bild 1.10 Gerätetechnische Ausführung einer Raumtemperatur-Regelung

Die Temperartur wird durch ein Flüssigkeitsausdehnungsthermometer gemessen. Bei Temperaturzunahme vergrößert sich das Flüssigkeitsvolumen und expandiert in den Federbalg. Dieser dehnt sich aus und drückt den Hebelarm entgegen der Federkraft, an welcher der Sollwert eingestellt werden kann, nach unten (Vergleichsstelle). Das rechte Ende steuert die Düsenöffnung zu und der Druck PSt in der Steuerleitung steigt an. Infolge des Druckanstiegs steigt auch die Kraft auf dem Membranteller PSt⋅A, die die Ventilspindel um einen Weg s nach unten bewegt bis die Federkraft gleich der Membrankraft ist. Der Verstärker arbeitet nach dem Düse-Prallplatte-System. Bei geschlossener Düse wird der Steuerdruck PSt gleich dem Vordruck PV. Wird der Abstand Düse-Prallplatte vergrößert, so vermindert sich der Austrittswiderstand, während der Widerstand der Vordrossel konstant bleibt. Zwischen dem konstanten Vordruck PV und dem äußeren Atmosphärendruck besteht ein Druckgefälle, das entsprechend den Drosselwiderstand aufgeteilt wird. Druckregelung in einer Rohrleitung In einer Rohrleitung soll der Luftdruck unabhängig von Belastungsschwankungen auf einem konstanten Wert gehalten werden. Die Freistrahldüse ist in Punkt 1 drehbar gelagert (Bild 1.11). Der Sollwert xs wird durch die Schraube und Feder eingestellt. Ist die Regelgröße x gleich dem Sollwert xs, dann befindet sich das Strahlrohr in einer symmetrischen Lage zu den beiden gegenüberliegenden Kanälen. Der Druck auf der Unterseite des Steuerkolbens ist gleich dem auf der Oberseite, der Kolben bleibt in

10

1 Einleitung

P=x

1

⋅

Öl

xs

Bild 1.11 Luftdruckregelung in einem Windkanal

Ruhe und ebenso die Drosselklappe. Bei geringerem Verbrauch steigt der Druck P und die Membrankraft bewegt die Düse entgegen der Federkraft nach unten. Dadurch wird der untere Kanal mehr beaufschlagt als der obere und der Kolben bewegt sich nach oben. Die Verstellung der Klappe bewirkt eine Druckabnahme in der Rohrleitung und das Strahlrohr bewegt sich nach oben bis es den beiden Kanälen symmetrisch gegenüber steht und der Druck P gleich dem Sollwert xs ist. Ist umgekehrt der Verbrauch zu groß, dann sinkt der Druck, die Düse bewegt sich nach oben, der Kolben nach unten und die Drosselklappe wird mehr geöffnet. Sendeleistungsregelung eines Mobiltelefons Ein Handy kann unter Vereinfachungen aus zwei Teilen dargestellt werden: einem Register und einem Sender (Bild 1.12). Die Sendeleistung Lh des Mobiltelefons wird während der Freiraumausbreitung gedämpft. Dadurch wird die Empfangsleistung List der Zentrale geschwächt, d. h. List = Lh – La. Mobilstation

Feststation LSoll

−

+

List

Lh

+

Empfangsleistung

−

Sender

Sendeleistung

La

Le

Dämpfung bei Ausbreitung Höher-Tiefer -Taster

Register Höher-Tiefer-Signal SHT

Bild 1.12 Sendeleistungsregelung eines Handy

1.5 Beispiele für einfache Regelkreise

11

In der Feststation (Zentrale) soll die Empfangsleistung List mit Hilfe eines HöherTiefer Tasters (Regler) auf die gewünschte konstante Leistung Lsoll gebracht und in Form eines Höher-Tiefer-Signals SHT an das Handy gesendet werden.

Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors Der Gleichstrommotor, dessen Drehzahl geregelt werden soll, hat eine konstante Fremderregung, während die Klemmenspannung UA von einem Thyristor-Stromrichter geliefert wird (Bild 1.13). Die zu regelnde Drehzahl n wird durch einen Tachogenerator TG gemessen, der eine der Drehzahl proportionale Spannung UTG erzeugt. Diese wird durch das nachgeschaltete Tiefpass-Filter geglättet und mit der am Potentiometer einstellbare Spannung Uw (Sollwert) verglichen. Die Differenzbildung erfolgt am Eingang des Drehzahlreglers (Operationsverstärker), dessen Beschaltung mit Widerständen und Kondensator das gewünschte Zeitverhalten erzeugt. Zur Ansteuerung des Thyristor-Stromrichters wird die Ausgangsgleichspannung des Reglers vom Steuersatz in Zündimpulse umgewandelt. Die Phasenlage der Zündimpulse bestimmt den Zündzeitpunkt der Thyristoren und damit den Mittelwert der Motorklemmenspannung. Bei Übereinstimmung von Istdrehzahl und Solldrehzahl, d. h. Ue = Uw – UTG = 0, ist die Ausgangsspannung des Reglers konstant. Die vom nachfolgenden Steuersatz abgegebenen Zündimpulse bewirken, dass die Ausgangsklemmenspannung des Thyristor-Stromrichters auf einen Wert eingestellt wird, der zur Deckung des erforderlichen Drehmoments notwendig ist. Wird das Lastmoment vergrößert, so fällt zunächst die Drehzahl n und damit die Tachometerspannung UTG. Die Regeldifferenz Ue = Uw – UTG wird größer, was zu einer größeren Aussteuerung des Verstärkers führt. Infolgedessen werden die Zündimpulse Sollwertgeber

DrehzahlRegler

Uw Ue

Gleichstrommotor

Zündimpulssteuersatz

− +

UA Thyristorstromrichter

Ux

Tiefpassfilter

Bild 1.13 Drehzahlgeregelter Gleichstromantrieb

M IA

UTG = K⋅ n

n MA

Tachogenerator

− TG +

12

1 Einleitung

so verschoben, dass der Zündwinkel kleiner und damit der Mittelwert der Ankerspannung größer wird. Die Drehzahl steigt so lange an bis Ue = 0 ist. Wird der Motor entlastet, so steigt die Drehzahl n und entsprechend UTG. Die Regeldifferenz wird negativ, was zur Verringerung der Ausgangsspannung des Reglers führt bis schließlich bei Ue = 0 die Solldrehzahl wieder erreicht ist. Die Tatsache, dass der Regler auch eine Spannung abgibt, wenn die Summe der Eingangsspannungen Null ist, hängt mit der Beschaltung zusammen, die integrierend wirkt und in Kapitel 4 behandelt wird. Tatsächlich ausgeführte Gleichstromantriebe enthalten einen zusätzlichen Stromregelkreis zur Beschränkung des zulässigen Ankerstromes. Der Ausgang des Drehzahlreglers wirkt dann nicht wie in Bild 1.13 auf den Steuersatz, sondern dient als Sollwert des Stromreglers, der seinerseits den Steuersatz ansteuert. Zur Erfassung des Stromistwertes im Ankerkreis dient ein Stromwandler oder ein Shunt.

1.6 Beispiele für vermaschte Regelkreise Die bisher behandelten Regelkreise waren einläufige Regelkreise, bei denen nur eine Regelgröße mit Hilfe einer Stellgröße eingeregelt werden soll. Derartige einfache Regelkreise sind am häufigsten. Bei schwieriger zu regelnden Strecken ist es oft notwendig, mehrere Regelgrößen auf entsprechenden Sollwerten zu halten. Dabei geht man vom einläufigen zum vermaschten Regelkreis über.

Festwert-Verhältnisregelung Es soll die Temperatur in einem gasbeheizten Glühofen geregelt werden (Bild 1.14). Außerdem ist das Verhältnis von Gas und Luft konstant zu halten, damit eine optimale Verbrennung stattfindet.

xsoll

Regler 1 .. .. .. ..

xist Gas Mess 1 w Glühofen

Bild 1.14 Temperaturregelung in einem Glühofen

Mess 2

Regler 2 .. .. .. .. Luft

1.6 Beispiele für vermaschte Regelkreise

13

Die Temperatur xist im Ofen wird von einem Thermoelement gemessen und in der Regeleinrichtung Regler 1, mit dem Sollwert xsoll verglichen. Ist die Temperatur xist kleiner als xsoll, so wird das Ventil 1 mehr geöffnet. Der dadurch erhöhte Gasdurchsatz verursacht an der Messblende Mess 1 einen größeren Differenzdruck, der als Führungsgröße W des Reglers 2 dient. An der Messblende Mess 2 wird der Luftdurchsatz gemessen, in Regler 2 mit w verglichen und das Stellventil so verstellt, bis das gewünschte Verhältnis des Gas-Luft-Gemisches erreicht ist. Hierbei dient zur Regelung der Ofentemperatur eine Festwertregelung und gleichzeitig wird die Gas-LuftZusammensetzung durch eine Verhältnisregelung vorgenommen

Kaskadenregelung In einem chemischen Reaktor soll die Temperatur geregelt werden (Bild 1.15). Die Wärmezufuhr erfolgt durch Warmwasser, das in einem Wärmeaustauscher erzeugt wird. Der Wärmeaustauscher wird mit Dampf beheizt. Eine Verstellung am Dampfventil wirkt verzögernd auf die Wassertemperatur und diese nochmals verzögernd auf die Kesseltemperartur. Durch die Verzögerung mehrerer Strecken würde ein einziger Regler, der die Regelgröße xist durch die Dampfzufuhr regelt, diese nur sehr ungenau einhalten. Man verwendet zusätzlich einen Hilfsregler, der die Schwankungen der Warmwassertemperatur xhilf erfasst und über das Dampfventil wesentlich schneller ausregelt. Dadurch wird die dem Reaktionskessel zugeführte Wärmemenge konstant gehalten und nur bei Temperaturschwankungen im Reaktionskessel verändert. Reaktionskessel Wärmeaustauscher

Pumpe

xist

xsoll

Dampf Hauptregler Warmwasser xhilf w Hilfsregler

Bild 1.15 Temperaturregelung in einem Reaktionskessel

y

14

1 Einleitung

xsoll

+ −

e

Hauptregler

w

+

Hilfsregler

− Folgeregelkreis

Teilstrecke

xhilf

Teilstrecke

xist

Führungsregelkreis

Bild 1.16 Wirkungsplan der Kaskadenregelung

Der Hilfsregler bildet zusammen mit der Teilstrecke (Wärmeaustauscher) einen Regelkreis (Bild 1.16), der vom Hauptregler als eine Teilstrecke behandelt und zusammen mit der zweiten Teilstrecke (Reaktionskessel) in einem übergeordneten Regelkreis geregelt wird. Nach der DIN 19226 wird der Hauptregler als Führungsregler und der Hilfsregler als Folgeregler bezeichnet.

Mehrgrößenregelung Das Stoffgemisch von zwei Produkten wird durch einen Molekularfilter getrennt (Bild 1.17). Der Molekularfilter besteht aus Hohlfaser-Membranen, die zu Hunderten in einer Plastikpatrone zusammengefasst sind. Das Stoffgemisch fließt quer zur Filtermembran und verursacht eine Druckdifferenz pist, welche den Durchfluss qist durch den Filter bestimmt. Die Änderung des Durchflusses beeinflußt die Konzentration der Lösung, die ihrerseits die Filtratsrate und folglich die Druckdifferenz pist beeinträchtigt. Die Regelung des Durchflusses erfolgt mit dem Stellventil Vq. Die Druckdifferenz pist wird mit Hilfe von zwei Geräten vor und nach dem Filter gemessen und mit dem Stellventil Vp geregelt. Die MehrgrößenreProdukt A Ventil Vq gelung wird mit zwei gekoppelten Reglern Rp qist + . . . . und Rq realisiert. Die qsoll ... . Rpq − gegenseitige Wirkung Regler Rq Produkt B .. .. .. . von qist und pist wird . mit Hilfe von Entkopp.. .. .. .. Regler R lungsblöcken Rqp und − p pist + Rqp Filter .. .. .. .. Rpq kompensiert. Durch psoll + + Ventil Vp die Entkopplung wird eine bessere Regelgüte Stoffgemisch als mit zwei getrennten einschleifigen Regelkreisen erreicht. Bild 1.17 Mehrgrößenregelung einer verfahrenstechnischen Anlage mit dem Molekularfilter

15

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen Von den Praktikern wird die genaue Beschreibung einer Strecke gern etwas geringschätzig bewertet mit dem Argument, dass die mathematischen Methoden kompliziert sind und an der Realität vorbeigehen. Jedoch lassen sich die Kennwerte einer Strecke, z. B. eines chemischen Prozesses, experimentell ermitteln und mit Hilfe der Theorie sinnvoll einordnen. Anliegen der Regelungstheorie ist es, die Zusammenhänge im Regelkreis zu erfassen und gegebenenfalls gezielt einzugreifen. Man kennt im voraus die Wirkung eines Regelparameters, ohne auf bloßes Probieren angewiesen zu sein.

2.1 Beharrungszustand und Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes Wir haben in den vorangegangenen Betrachtungen gesehen, dass wir den Regelkreis im Wirkungsplan darstellen können und haben diesen in zwei Hauptblöcke unterteilt: •

Die Regelstrecke

•

Die Regeleinrichtung.

Jeder dieser Blöcke lässt sich nun wieder in einzelne rückwirkungsfreie Glieder zerlegen. Jedes dieser gerichteten Glieder hat einen Ein- und einen Ausgang. Rückwirkungsfrei bedeutet, dass das Signal das Glied nur vom Eingang zum Ausgang durchlaufen kann, nicht in umgekehrter Richtung (Bild 2.1). xe

xa

Bild 2.1

Blocksymbol eines Regelkreisgliedes

Man unterscheidet zwischen dem Beharrungszustand (statisches Verhalten) und dem Zeitverhalten (dynamisches Verhalten). Ist der Eingang Xe konstant, so ist bei proportionalen Systemen das Ausgangssignal Xa auch konstant. Nach einer Änderung der Eingangsgröße stellt sich normalerweise nach einer bestimmten Zeit auch eine konstante Ausgangsgröße ein, wie beispielsweise im Bild 2.2 gezeigt ist. Möglich ist es auch, dass ein Beharrungszustand überhaupt nicht erreicht werden kann. Dann ist das Regelkreisglied ohne Ausgleich bzw. instabil. Xe

Xa xe

xa

Xe0 0

Bild 2.2

Xa0

t0

t

0

t0

t

Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes

16

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Die Zusammenhänge zwischen den Signalen im Beharrungszustand werden mit Hilfe von statischen Kennlinien bzw. Funktionen Xa = f (Xe) beschrieben. Die stationären Ein- und Ausgangsgrößen im Arbeitspunkt eines Regelkreisgliedes werden als Xe0 und Xa0 bezeichnet. Bei der Untersuchung des statischen Verhaltens werden wir uns auf kleine Abweichungen ΔXe und ΔXa von einem Arbeitspunkt beschränken, da ein betriebsfähiger Regler nur kleine Abweichung in einem Regelkreis zulässt. Dabei ist es zweckmäßig, die kleinen Abweichungen ΔXe und ΔXa einfach durch die kleinen Buchstaben xe und xa zu bezeichnen. Die Augenblickswerte setzten sich damit aus den stationären Arbeitspunktwerten und den zeitabhängigen Abweichungen zusammen: X e (t ) = X e0 + x e (t ) X a (t ) = X a0 + xa (t ) . Im Weiteren werden wir lediglich die Kleinschreibung benutzen, da die Untersuchungen nur für die Abweichungen von einem Arbeitspunkt durchgeführt werden. In einem Regelkreis spielt neben dem statischen Verhalten das dynamische Verhalten eine wesentliche Rolle, somit auch das dynamische Verhalten der einzelnen Glieder. Maßgebend sind hierbei die Augenblickswerte xe(t) und xa(t) sowie deren zeitliche Ableitungen x e (t ); xe (t ) ... und x a (t ); xa (t ) ... Gleichungen, die den statischen und dynamischen Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße beschreiben, sind gewöhnliche, lineare Differentialgleichungen von der allgemeinen Form:

... + a3 xa (t ) + a 2 xa (t ) + a1 x a (t ) + a 0 xa (t ) = b0 x e (t ) + b1 x e (t ) + b2 xe (t ) + b3 xe (t ) + ...

(2.1)

Die Ein- und Ausgangsgrößen sowie die konstanten Beiwerte a0, a1, ... , an und b0, b1, ... , bm sind im Allgemeinen dimensionsbehaftet. Die DGL der allgemeinen Form kann in die regelungstechnische Normalform gebracht werden, indem man: •

Die Ausgangsgrößen bzw. deren Ableitungen auf die linke DGL-Seite stellt

•

Die Ausgangsgröße bzw. deren 0. Ableitung koeffizientfrei lässt.

Als Beispiel ist unten eine DGL 2.Ordnung gezeigt a 2 xa (t ) + a1 x a (t ) + a 0 x a (t ) = b1 x e (t ) + b0 xe (t ) , die durch Division mit a0 auf regelungstechnische Normalform gebracht wird: b a2 a b xa (t ) + 1 x a (t ) + x a (t ) = 1 x e (t ) + 0 x e (t ) . a0 a0 a0 a0

2.2 Das Aufstellen der Differentialgleichung

17

2.2 Das Aufstellen der Differentialgleichung Bei der Aufstellung der Differentialgleichung eines Systems muss man die physikalischen Gesetze anwenden, denen das System unterliegt, so z. B. die mechanischen, hydraulischen, pneumatischen, elektrischen Gesetze usw. •

Beispie1 2.1 xe A C

x1 m

l

U

R xa

b

Bild 2.3

Elektropneumatischer Wandler

Die Eingangsgröße xe eines elektropneumatisches Wandlers (Bild 2.3) ist der Luftdruck über dem Membranteller mit der Fläche A. Dieser erzeugt eine Kraft

F = A xe . Infolge dieser Kraft wird die Kolbenstange um x1 nach unten bewegt. Dadurch wird die Feder um x1 zusammengedrückt und erzeugt die Gegenkraft Fc = c x . Außerdem ist eine Dämpfungseinrichtung vorgesehen. Bewegt sich der Kolben nach unten, so muss er die unter dem Kolben befindliche Ölmenge über die Umweg-Leitung mit dem Drosselventil nach oben fördern. Die Kraft, die dazu notwendig ist, ist proportional der Geschwindigkeit, mit der sich der Kolben nach unten bewegt:

Fk = b x1 . Ferner sind die bewegten Teile mit einer Masse m behaftet, so dass eine weitere Gegenkraft entsteht: Fm = m x1 . Nun muss in jedem Augenblick die Summe aller Kräfte gleich Null sein. Daraus folgt:

m x1 + b x1 + c x1 = A xe .

(2.2)

Zwischen x1 und xa besteht die Proportionalität

l U xa , daraus folgt x1 = xa . = l x1 U

(2.3)

18

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Setzen wir Gl. (2.3) in Gl. (2.2) ein, so erhalten wir

c ⋅l b⋅l m⋅l xa + x a = A xe . x a + U U U

(2.4)

Durch Vergleich mit der allgemeinen Form der DGL (2.1) finden wir die Beiwerte:

b0 = A in [cm2], a 0 =

c ⋅l b⋅l m⋅l in [N/V], a1 = in [Ns/V], a 2 = in [Ns2/V]. U U U

Dividiert man Gl. (2.4) durch den Faktor c⋅l /U, so folgt eine andere Art der Darstellung

A ⋅U b m xa (t ) + x a (t ) + xa (t ) = xe (t ) , c ⋅l c c bzw. mit den Abkürzungen:

K=

A ⋅U ; c⋅l

b T1 = ; c

T22 =

m ; c

T22 xa (t ) + T1 x a (t ) + xa (t ) = K xe (t ) .

(2.5)

T1 und T2 haben die Dimension einer Zeit und sind die so genannten Zeitkonstanten.

•

Beispiel 2.2

i

xe

R

L

uR

uL

C

xa

Bild 2.4

Reihenschwingkreis

Eingangsgröße des in Bild 2.4 gezeigten Reihenschwingungskreises ist die Spannung xe und Ausgangsgröße ist die Spannung über dem Kondensator xa. Nach dem 2. Kirchhoffschen Satz ist die Summe aller Spannungen in einer Masche gleich Null.

xe = u R + u L + xa .

(2.6)

Der Spannungsabfall am Widerstand ergibt sich zu uR = i R. Nach dem Induktionsgesetz ist uL = L di/dt. Ferner ist der Ladestrom i proportional der Spannungsänderung am Kondensator i = C dxa/dt. Diese Beziehungen in die Gl. (2.6) eingesetzt ergibt:

xe (t ) = xa (t ) + R C x a (t ) + L C xa (t ) . 2

Auch hier können wir die folgenden Zeitkonstanten einführen: T1 = R C und T2 = L C. Somit folgt:

T22 xa (t ) + T1 x a (t ) + x a (t ) = x e (t ) .

(2.7)

Man erkennt leicht, dass der Aufbau der beiden DGL (2.5) und (2.7), abgesehen vom Faktor K, übereinstimmt. Beide Systeme verhalten sich analog.

2.3 Lösung der Differentialgleichung

19

2.3 Lösung der Differentialgleichung Mit der gefundenen Differentialgleichung kann man noch nicht allzuviel anfangen. Es interessiert der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße xa(t), wenn die Eingangsgröße xe(t) einen bestimmten zeitlichen Verlauf annimmt. Um die Differentialgleichung mit der Störfunktion xe(t) lösen zu können, muss diese genau bekannt sein. Als Eingangsfunktionen benutzt man spezielle Signale, die leicht realisierbar und vergleichbar sind. Die Eingangsfunktionen werden auch in der Praxis zur experimentellen Ermittlung des zeitlichen Verlaufs des Ausgangssignals angewandt. Ist das Übergangsverhalten für eine spezielle Eingangsfunktion bekannt, so lässt sich daraus das Zeitverhalten bei jeder beliebigen Eingangsfunktion ermitteln.

2.3.1 Spezielle Eingangsfunktionen a) Die Sprungfunktion Sowohl für theoretische Untersuchungen als auch als praktische Testfunktion hat die Sprungfunktion als Eingangserregung eine große Bedeutung. Sie ist definiert durch

­ 0 für t < 0 x e (t ) = ® ¯ x e0 = const für t > 0. Der Verlauf einer solchen Sprungfunktion ist in Bild 2.5 wiedergegeben. Vielfach wird die Höhe des Eingangssprungs auf den Wert Eins normiert und als Einheitssprung σ(t) bezeichnet: ­0 ¯1

σ (t ) = ®

für t < 0 für t > 0.

Wegen der einfacheren Schreibweise wird im Folgenden die Sprungfunktion durch xe (t ) = xe0 ⋅ σ (t ) ausgedrückt. In Bild 2.5 (links) sind der ideale und der technisch realisierbare Verlauf (gestrichelt) gezeigt. xe

xe xe0

Ke0⋅t t

Bild 2.5 Sprungfunktion (links) und Anstiegsfunktion (rechts)

t

20

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Eine ideale Sprungfunktion, d. h. eine physikalische Größe, die sich zum Zeitpunkt t = 0 in unendlich kurzer Zeit um einen endlichen Betrag ändert, ist technisch nicht realisierbar. Mit den elektronischen Bauelementen kommt man zu Anstiegszeiten, die kleiner als eine Nanosekunde sind. Bei anderen physikalischen Größen (Druck, Temperatur usw.) liegen die Zeitkonstanten z. T. wesentlich höher.

b) Die Anstiegs- oder Rampenfunktion Wie Bild 2.5 (rechts) zeigt, steigt xe(t) bei Null beginnend, linear mit der Zeit an für t < 0 ­ 0 xe (t ) = K e0 ⋅ t ⋅ σ (t ) = ® ¯ K e0 ⋅ t für t > 0, dxe (t ) die konstante Änderungsgeschwindigkeit des Eingangssignals ist. dt Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße bei einer Anstiegsfunktion am Eingang wird als Anstiegsantwort bezeichnet. wobei K e0 =

c) Die Impulsfunktion (δ-Funktion) Die ideale Impulsfunktion zeigt zum Zeitpunkt t = 0 einen Sprung ins Unendliche und ist gleich Null für t ≠ 0 (Bild 2.6, links). ­ 0 xe (t ) = δ (t ) = ® ¯ ∞

für t ≠ 0 für t = 0.

Diese Funktion kann man sich aus einem rechteckförmigen Impuls der Breite ε und der Höhe 1/ε für ε → 0, mit der Zeitfläche 11, entstanden denken. Zwischen der δ-Funktion und dem Einheitssprung σ(t) besteht der Zusammenhang

δ (t ) =

dσ (t ) . dt

Der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals bei einer Impulsfunktion am Eingang ist die Impulsantwort oder die Gewichtsfunktion g(t). ∞ ´ x dt = 1 ¶ e 0

xe

xe

^x e

1

ε ε

t t

T

Bild 2.6 Impulsfunktion (links) und Sinusfunktion (rechts) 1

Für praktische Untersuchungen, z. B. mit einem Impulsgenerator, hat die Impulsfläche die Dimension der Amplitude multipliziert mit der Zeit (Vs, As usw.).

2.3 Lösung der Differentialgleichung

21

Technisch kann die Impulsfunktion nur mit endlicher Dauer und Höhe realisiert werden. Die Anwendung einer Sprungfunktion über einen längeren Zeitraum stellt einen massiven, manchmal unzulässigen Eingriff dar. Ein kurzzeitiger Impuls hat den Vorteil, dass die durch ihn verursachte Beeinträchtigung verhältnismäßig gering ist.

d) Die sinusförmige Eingangsgröße Neben der Sprungfunktion zur Untersuchung von Regelkreisgliedern hat die Methode durch sinusförmige Eingangserregung eine große Bedeutung. Die Sinusschwingung (Bild 2.6, rechts) hat den zeitlichen Verlauf  xe (t ) = xe sin ω t ,  wobei x e die Schwingungsamplitude und ω = 2π f die Kreisfrequenz ist, mit f als Frequenz. Die Schwingungsperiode ist T = 1/f.

e) Die stochastische Eingangsgröße Der Vollständigkeit halber sei eine weitere Zeitfunktion erwähnt, die allerdings im Rahmen dieses Buches keine Berücksichtigung findet. Die unter a) bis d) genannten deterministischen Eingangssignale sind vielfach zur Identifikation ungeeignet. Man benutzt statt dessen die immer vorhandenen stochastischen, d. h. regellos verlaufenden, Störsignale (Bild 2.7), wie z. B. das Rauschen in elektronischen Geräten oder die Stromschwankungen in einer der Elektroden eines Lichtbogenofens während des Einschmelzvorganges. xe t

Bild 2.7 Typischer Verlauf eines stochastischen Signals

Meistens sind die stochastischen Signale klein gegenüber den Betriebswerten. Die Beurteilung, Verknüpfung und Auswertung der Ein- und Ausgangssignale erfolgt mittels statistischer Methoden. Stochastische Signale mit einer Gaußschen Amplitudenverteilung spielen vergleichsweise eine ähnlich fundamentale Rolle, wie sinusförmige Signale bei deterministischer Betrachtungsweise.

2.3.2 Lösung der Differentialgleichung bei sprunghafter Verstellung der Eingangsgröße Die am häufigsten in der Regelungstechnik angewandte Eingangsfunktion ist die Sprungfunktion. Setzt man die Sprungfunktion als Störfunktion in die Differentialgleichung ein und löst die DGL nach xa(t) auf, so erhält man mit xa(t) die so genannte Sprungantwort.

22

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

In den Beispielen 2.1 und 2.2 hatten wir folgende DGL gefunden: T22 xa (t ) + T1 x a (t ) + xa (t ) = K xe (t ) . Vereinfachend wollen wir annehmen, dass die Zeitkonstante T2 sehr klein sei, und damit das Glied T22 xa (t ) vernachlässigbar. Dies wäre z. B. der Fall, wenn die Masse m im Beispiel 2.1 bzw. die Induktivität L in Beispiel 2.2 sehr klein bzw. Null wäre. Die so erhaltene Differentialgleichung 1. Ordnung T1 xa (t ) + xa (t ) = K xe (t )

(2.8)

bzw. für t > 0 T1 x a (t ) + x a (t ) = K x e0

(2.9)

wollen wir nun auf verschiedene Arten lösen.

2.3.3 Lösung der Differentialgleichung durch Trennen der Veränderlichen Aus Gl. (2.9) findet man durch Umstellen nach dxa /dt dxa dxa 1 dt = . = (K xe0 − xa ) und K x e0 − xa T1 dt T1 Durch Integration beider Seiten folgt: dxa

dt

³ K xe0 − xa = ³ T1

bzw.

− ln (K xe0 − x a ) + C =

t . T1

(2.10)

Unter der Annahme, dass die Ausgangsgröße xa(t) des Systems für t = 0 Null ist, ergibt sich die Integrationskonstante C aus (2.10) mit der Anfangsbedingung xa(0) = 0. Dies wiederum in Gleichung (2.10) eingesetzt, ergibt − ln (K xe0 − x a ) + ln( K xe0 ) =

t T1

bzw.

§ xa ln¨¨1 − K xe0 ©

· t ¸¸ = − T 1 ¹

und nach xa aufgelöst: t

− xa 1− = e T1 , K xe0

xa (t ) = K xe0 (1 − e

−

t T1

).

(2.11)

Der Eingangssprung und die Sprungantwort haben dann den in Bild 2.8 dargestellten zeitlichen Verlauf.

2.3 Lösung der Differentialgleichung xe

23

xa

xa(∞) = K xe0

xe0 t

t

T1

Bild 2.8 Sprungfunktion und Sprungantwort

Die Kurve xa(t) hat für t = 0 die größte Steigung. Legt man an die Kurve xa(t) zum Zeitpunkt t = 0 die Tangente, so schneidet diese den Beharrungswert xa(∞) für t = T1. Der Verlauf der Sprungantwort ist durch die Zeitkonstante T1 und den Übertragungsbeiwert K eindeutig bestimmt.

2.3.4 Lösung der Differentialgleichung durch geeigneten Ansatz Die vorangegangene Lösungsmethode bestand darin, dass die Veränderlichen getrennt und anschließend integriert wurden. Dieser Weg ist nur bei DGL 1. und 2. Ordnung möglich. Bereits bei einer DGL 2. Ordnung ist der Aufwand ziemlich umfangreich, weil zunächst die Ordnung reduziert werden muss.

a) Lösung der homogenen Differentialgleichung Bei der Lösung der Differentialgleichung (2.8) T1 x a (t ) + xa (t ) = K xe (t ) nach der jetzt zu besprechenden Methode, wird zunächst die homogene Differentialgleichung gelöst, d. h. das Störglied K xe(t) wird Null gesetzt: T1 x a (t ) + xa (t ) = 0 .

(2.12)

Unabhängig von der Ordnung der DGL macht man nun generell den Ansatz: xa (t ) = e λ t . Es wird deshalb eine e-Funktion gewählt, weil die Ableitung einer e-Funktion ebenfalls wieder eine e-Funktion ergibt. Wir setzen nun xa (t ) = e λ t und xa (t ) = λ e λ t in die Gl. (2.12) ein und bestimmen den

λ-Wert so, dass die Gleichung erfüllt ist: λ eλ t T1 + eλ t = 0 und dann (λ T1 + 1) e λ t = 0. Dies ist der Fall für (λ T1 + 1) = 0, bzw. λ = −

1 . Daraus folgt, dass der gewählte T1

Ansatz mit λ = −1/ T1 eine Lösung der homogenen DGL ist.

24

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Wie man sich leicht durch Einsetzen überzeugen kann, erfüllt auch der Ansatz xa (t ) = C1 e λ t

(2.13)

die homogene Differentialgleichung. Nun ist aber die zu lösende Differentialgleichung (2.8) nicht homogen, sondern mit einem Störglied K xe(t) behaftet.

b) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch die Methode der Variation der Konstanten nach Lagrange Die Methode der Variation der Konstanten besteht darin, dass die Konstante C1, in der Lösung der homogenen Differentialgleichung (2.13) durch eine Funktion C1(t) ersetzt wird. Setzt man den modifizierten Ansatz xa (t ) = C1 (t ) e

−

t T1

(2.14)

in die inhomogene Differentialgleichung (2.8) ein, so folgt: t t § − − ¨ 1 T1 T1  T1 ¨ C1 (t ) e − C1 (t ) e T1 ¨ ©

T1 C1 (t ) e

−

t T1

t · − ¸ T1 = K xe (t ) bzw. ¸ + C1 (t ) e ¸ ¹

= K x e (t ) .

Nach C1 (t ) aufgelöst ergibt: t

+ K x e (t ) e T1 . C1 (t ) = T1

Durch Integration zwischen den Grenzen τ = 0 und τ = t erhält man: t

³ 0

τ

t

K C1 (τ ) dτ = x e (τ ) e T1 dτ . T1

³ 0

Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ist τ

t

K xe (τ ) e T1 dτ C1 (t ) − C1 (0) = T1

³

bzw.

0

t

τ

K C1 (t ) = C1 (0) + xe (τ ) e T1 dτ . T1

³ 0

(2.15)

2.3 Lösung der Differentialgleichung

25

(2.15) in (2.14) eingesetzt, führt zu xa (t ) = C1 (0) e

−

t T1

τ −t

t

K + x e (τ ) e T1 dτ . T1

³ 0

Unter Berücksichtigung einer allgemeinen Anfangsbedingung xa(0) für t = 0 folgt xa (0) = C1 (0) . Somit lautet die vollständige Lösung: xa (t ) = x a (0) e

−

t T1

τ −t

t

K + xe (τ ) e T1 dτ . T1

³ 0

Die Ausgangsgröße setzt sich aus zwei Termen zusammen. Der erste Term berücksichtigt die Abhängigkeit von der Anfangsbedingung, der zweite Term ist die Reaktion der Ausgangsgröße auf die Eingangsgröße. Wählen wir wieder die Anfangsbedingung xa(0) = 0 und als Eingangsgröße die Sprungfunktion

­ 0 für t < 0 xe (t ) = ® ¯ xe0 = const für t > 0, so wird t

− K xa (t ) = xe0 e T1 T1

t

³e

τ T1

dτ

0

und damit xa (t ) = K xe0 (1 − e

−

t T1

).

(2.16)

Dieses Ergebnis ist identisch mit dem zuvor gefundenen (2.11).

2.3.5 Lösung mittels Laplace-Transformation. Die Übertragungsfunktion

Bei linearen Systemen ist es vorteilhaft, die Lösung von Differentialgleichungen nicht im Zeitbereich, sondern mittels Laplace-Transformation vorzunehmen. Gemäß der Laplace-Transformation erhält man für die einzelnen DGL-Glieder unter der Voraussetzung, dass die Anfangsbedingung Null ist, folgende LaplaceTransformierten:

26

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen L [ x(t )] = x( s) L [ x (t )] = s ⋅ x( s ) L [ x(t )] = s 2 ⋅ x( s) ...

...

³

...

L [ x(t )dt ] =

1 ⋅ x( s ). s

Beispielsweise treten in der DGL (2.8) an die Stelle der Glieder im Zeitbereich nun die Ein-/Ausgangsgrößen im Bildbereich:

T1 xa (t ) + xa (t ) = K xe (t )  

 

 

T1 ⋅ s ⋅ xa ( s ) + xa ( s) = K xe ( s). Die Laplace-Transformierte stellt damit eine algebraische Gleichung dar und lautet: (1 + sT1 ) x a ( s ) = K x e ( s) .

(2.17)

Allgemein ist das Verhältnis der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße zur Laplace-Transformierten Eingangsgröße als Übertragungsfunktion G(s) definiert, deren enge Beziehung zum Frequenzgang noch besprochen wird. Für die Gl. (2.17) gilt: x (s) K . G(s) = a = xe ( s ) 1 + sT1 Für die Sprungfunktion xe(t) am Eingang (Bild 2.5) ist die Laplace-Transformierte L [ x e (t )] = x e ( s ) =

1 xe0 . s

Setzt man diese in die Gleichung (2.17) ein, so folgt xa ( s ) =

K K 1 x e ( s) = ⋅ xe0 . 1 + sT1 1 + sT1 s

Aus der letzten Beziehung sind die Polstellen, d. h. die Nullstellen des Nenners s (1 + sT1 ) = 0 mit s1 = 0 und s 2 = −

1 ersichtlich. T1

Die Rücktransformation in den Zeitbereich kann mittels Partialbruchzerlegung, Residuenzsatz oder Korrespondenztabelle erfolgen. Mit α = 1/T1 folgt aus der Beziehung 5 der Korrespondenztabelle (s. Anhang) sofort xa (t ) = K xe0 (1 − e

−

t T1

),

die mit den zuvor gefundenen (2.11) und (2.16) identisch ist.

(2.18)

2.3 Lösung der Differentialgleichung

27

Im weiteren Verlauf des Buches wird zur Lösung von Differentialgleichungen ausschließlich die Methode der Laplace-Transformation benutzt. •

Beispiel 2.3

i(s)

ue(s)

R

uR(s)

sL

uL(s)

1 sC

uC(s) = ua(s)

Bild 2.9 Darstellung eines Reihenschwingkreises im Bildbereich

Die Spannungen ue und ua eines Reihenschwingkreises (Bild 2.9) werden als Eingangs- und Ausgangsgrößen betrachtet. Es soll der Einschaltvorgang ermittelt werden, wenn die Eingangsspannung bei t = 0 von 0 auf ue0 sprungförmig geändert wird. Zur Berechnung von Einschaltvorgängen in elektrischen Netzwerken ist es nicht nötig, die DGL wie in Beispiel 2.2 aufzustellen, vielmehr kann man die aus der Theorie der Wechselstromlehre bekannten Regeln in modifizierter Form als Übertragungsfunktionen anwenden. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt für Bild 2.9 im Zeit- und Bildbereich

u R (t ) = R ⋅ i(t )

c−−¦

u R ( s) = R ⋅ i ( s ) .

(2.19)

An der Induktivität (Bild 2.9) sind die Beziehung zwischen zeitlichen und LaplaceTransformierten Strom und Spannung wie folgt gegeben:

u L (t ) = L ⋅ i(t )

c−−¦

u L (s) = s ⋅ L ⋅ i(s) .

(2.20)

Die Verhältnisse an der Kapazität C im Zeit- und Bildbereich sind:

i(t ) = C ⋅ u C (t )

c−−¦

i( s) = s ⋅ C ⋅ u C ( s ) bzw. i( s) = s ⋅ C ⋅ u a ( s ) .

(2.21)

Für die Ausgangsspannung folgt die Laplace-Transformierte aus dem 2. Kirchhoffschen Satz:

u e ( s ) = u R ( s ) + u L ( s ) + u a ( s) .

(2.22)

Setzen wir nun die Gln. (2.19) und (2.20) in die Gleichung (2.22)

u e ( s ) = R i ( s ) + s L i( s) + u a ( s) und ersetzen wir den Strom i(s) aus der Gl. (2.21) durch ua(s), so ergibt sich

u e ( s ) = s R C u a ( s ) + s 2 L C u a ( s) + u a ( s ) L C ⋅ s 2 u a (s) + R C ⋅ s u a (s) + u a (s) = u e (s) .

(2.23)

Aus letzter Gleichung folgt nach der Differentiationsregel der Laplace-Transformation die DGL

L C ua (t ) + R C u a (t ) + u a (t ) = u e (t ) . Zur Ermittlung des zeitlichen Verlaufs der Ausgangsgröße bei gegebenem Eingang ist die DGL nicht erforderlich, sondern wird direkt aus Gln. (2.23) in den Zeitbereich zurücktransformiert.

28

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Die Übertragungsfunktion stellt das Verhältnis der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße zur Laplace-Transformierten Eingangsgröße dar:

u (s) 1 . G(s) = a = 2 ue (s) s L C + s R C + 1

(2.24)

Mit den Abkürzungen T22 = L C und T1 = R C ergibt sich die Normalform der 2. Ordnung

u (s) 1 G(s) = a = . 2 2 u e ( s ) T2 s + T1 s + 1

(2.25)

X Aufgabe 2.1 Eine Kettenschaltung von zwei gleichartigen Vierpolen mit Ein- und Ausgangssgrößen ue(s) und ua(s) ist im Bild 2.10 gezeigt. i1(s)

i2(s)

R1

ue(s)

R2

ua1(s)

C1

1. Vierpol

C2 ua(s)

Bild 2.10 Kettenschaltung von zwei Vierpolen

2. Vierpol

Gegeben ist die Übertragungsfunktion der Kettenschaltung

u (s) 1 G(s) = a = , 2 u e ( s ) s T1T2 + s (T1 + T2 + T3 ) + 1 mit folgenden Zeitkonstanten:

T1 = R1C1

T2 = R2 C 2

T3 = R1C 2 .

Ermitteln Sie ua(t) bei dem für t = 0 gegebenen Eingangssprung von der Höhe ue0 mit C1 = 20 μF R1 = 50 kΩ C2 = 10 μF (Lösung im Anhang) R2 = 100 kΩ

•

Beispiel 2.4

Es soll die Übertragungsfunktion eines Feder-Masse-Dämpfer Systems (Bild 2.11) ermittelt werden. KD x F

Bild 2.11 Mechanisches System m KC

2.3 Lösung der Differentialgleichung

29

Die Eingangsgröße ist die Kraft F(t), die Ausgangsgröße ist der Weg x(t) der Masse m. Die Wegstrecke x(t) ist von der Federkraft FC(t) und der Dämpfer-Widerstandskraft FD(t) abhängig:

FC (t ) = K C x(t ) und FD (t ) = K D x (t ) ,

(2.26)

worin KC und KD die Federkonstante und die Dämpfungskonstante sind. Aus dem Kräftegleichgewicht

m x(t ) = F (t ) − FC (t ) − FD (t )

(2.27)

erhält man die Differentialgleichung des mechanischen Systems, indem man die Gleichungen (2.26) in die Gl. (2.27) einsetzt:

m x(t ) = F (t ) − K C x(t ) − K D x (t ) . Nach Laplace-Transformation folgt daraus mit den Abkürzungen

T22 =

K 1 m , T1 = D und K = KC KC KC

die Übertragungsfunktion 2. Ordnung, die mit Gl. (2.25) identisch ist:

G(s) =

x( s ) K . = F ( s ) T22 s 2 + T1 s + 1

X Aufgabe 2.2 Gegeben sind das in Bild 2.12 gezeigte Netzwerk mit R-, C- und L-Elementen sowie die das System beschreibende Übertragungsfunktion:

u (s) s 2 T1T2 − 1 sT1 1 . bzw. G ( s ) = G(s) = a = − (1 + sT1 )(1 + sT2 ) u e ( s ) 1 + sT1 1 + sT2

R1

R2

ua(s)

ue(s) sL

Bild 2.12 RCL-Brückenschaltung (Allpaßglied)

1 sC

Die Zeitkonstanten sind durch die folgenden Abkürzungen bezeichnet:

T1 =

L und T2 = R2 C . R1

Die Anfangsbedingungen sind Null. Es ist mit C = 0,2 μF R1 = 1 kΩ L=1H R2 = 100 kΩ zu ermitteln:

30

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

a) Die Ausgangsspannung ua(t) nach einem Einheitssprung der Spannung ue(t) = ue0⋅σ(t). b) Die Werte von ua(t) für t = 0 und t = ∞. Hinweis: Zur Rücktransformation in den Zeitbereich geht man am zweckmäßigsten von dem partialbruchzerlegten Ausdruck aus.

2.3.6 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Eingangsgröße Wie ist der Verlauf der Ausgangsgröße, wenn die Eingangsgröße eine sinusförmige Schwingung ist? Diese Frage soll für das in Bild 2.13 gezeigte lineare System beantwortet werden. R

ue(t)

Bild 2.13 Zuschalten einer sinusförmigen Spannung auf ein RC-Glied

ua(t)

C

Die Übertragungsfunktion entspricht den Gln. (2.24) und (2.25) mit T1 = RC und ohne Induktivität L bzw. mit T2 = 0: u ( s) 1 1 . = = G(s) = a u e ( s ) 1 + s ⋅ RC 1 + sT1

(2.28)

Die Anfangsbedingung ist Null. Für die sinusförmige Eingangsfunktion bei t > 0 ue (t ) = uˆe sin (ω t + α ) = uˆe

e j (ω t +α ) − e − j (ω t +α ) 2j

ist die Laplace-Transformierte, gemäß der Beziehung 4 der Korrespondenztabelle uˆ ª e jα e − jα º uˆ e ( s + jω ) e jα − ( s − jω ) e − jα ue (s) = e « . − ⋅ »= 2 j ¬« s − jω s + jω ¼» 2 j ( s − jω )(s + jω )

(2.29)

Mit (2.29) in (2.28) folgt: ua (s) =

uˆ e ( s + jω ) e jα − ( s − jω ) e − jα ⋅ ⋅ 2 jT1 ( s − jω )(s + jω )

1 s+

1 T1

.

In dieser Form sind die drei Pole mit s1 = jω

s2 = − jω

s3 = −

1 T1

bekannt. Die Rücktransformation in den Zeitbereich erfolgt am zweckmäßigsten mittels des Residuensatzes:

2.3 Lösung der Differentialgleichung ua ( t ) =

31

uˆe ⋅ [Res ( s1 ) + Res ( s2 ) + Res ( s3 )] 2 jT1

(2.30)

Für die ersten zwei Pole ergeben sich die Residuen Res ( s1 ) =

T1 e jα e jω t 1 + jω T1

Res ( s2 ) = −

T1 e − jα − jω t , e 1 − jω T1

die sich wie folgt zusammenfassen lassen: Res ( s1 ) + Res ( s2 ) = T1

(1 − jω T1 ) e j (ω t +α ) − (1 + jω T1 ) e − j (ω t +α ) 1 + (ω T1 ) 2

bzw. durch trigonometrische Funktionen ausgedrückt: Res ( s1 ) + Res ( s2 ) =

2 jT1 [sin (ω t + α ) − ωT1 cos (ω t + α )] . 1 + (ω T1 ) 2

(2.31)

Das Residuum des dritten Pols

§ 1 · § 1 · ¨¨ − + jω ¸¸ e jα − ¨¨ − − jω ¸¸ e − jα − t T ¹ © T1 ¹ e T1 Res ( s3 ) = © 1 § 1 ·§ 1 · ¨¨ − − jω ¸¸ ¨¨ − + jω ¸¸ © T1 ¹ © T1 ¹ wird vereinfacht t

(1 − jω T1 ) e jα − (1 + jω T1 ) e − jα − T1 Res ( s3 ) = −T1 e 1 + (ω T1 ) 2 und auch durch trigonometrische Funktionen ausgedrückt: t

− 2 jT1 T1 Res ( s3 ) = − [ sin α − ω T cos α }] e . 1 2 1 + (ω T1 )

(2.32)

(2.31) und (2.32) in (2.30) eingesetzt, ergibt: t ª − º T «sin (ω t + α ) − ω T cos (ω t + α ) − (sin α − ω T cos α ) e 1 » . ua ( t ) = 1 1 » 1 + (ω T1 ) 2 « ¼ ¬

uˆe

32

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Da die Summe bzw. Differenz einer Sinus- bzw. einer Cosinusfunktion, bei gleicher Frequenz, stets wieder eine Sinusschwingung ergibt, kann man für die ersten beiden Terme in der eckigen Klammer schreiben: sin (ω t + α ) − ω T1 cos (ω t + α ) = A sin (ω t + α + ϕ ) . Hierin ist A die Schwingungsamplitude und ϕ der Phasenverschiebungswinkel der resultierenden Schwingung. Mit Hilfe der Additionstheoreme findet man: sin (ω t + α + ϕ ) = sin (ω t + α ) ⋅ cos ϕ + cos (ω t + α ) ⋅ sin ϕ und somit sin (ω t + α ) − ω T1 cos (ω t + α ) = A [sin (ω t + α ) ⋅ cos ϕ + cos (ω t + α ) ⋅ sin ϕ ] . Setzt man die Glieder mit sin (ω t + α ) bzw. cos (ω t + α ) beider Seiten gleich, so ergibt sich : A cos ϕ = 1 A sin ϕ = −ω T1 . Durch Division beider Gleichungen erhält man tan ϕ = −ω T1

(2.33)

und durch Quadrieren und Addieren beider Gleichungen A2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = 1 + (ω T1 ) 2 bzw. A = 1 + (ω T1 ) 2 . Somit ergibt sich die endgültige Lösung t ª − º uˆe « T1 » . ua ( t ) = sin (ω t + α + ϕ ) − sin (α + ϕ ) ⋅ e » A « ¬ ¼

−

t T1

Nach einer Zeit t = 5 T1 ist das Glied mit dem Faktor e nahezu Null und vernachlässigbar, d. h. der Einschwingvorgang (Bild 2.14) ist abgeschlossen und die Ausgangsgröße ist dann eine ungedämpfte Sinusschwingung mit dem zeitlichen Verlauf ua (t ) = uˆa sin (ω t + α + ϕ ) .

(2.34)

Wie aus Gl. (2.34) ersichtlich, hat die Ausgangsgröße ua im stationären Zustand die gleiche Kreisfrequenz wie die Eingangsgröße mit der Schwingungsamplitude uˆ a uˆa =

uˆe 1 + (ω T1 ) 2

.

2.3 Lösung der Differentialgleichung

33

Die Amplitude uˆ a ist eine Funktion von ω und nimmt mit zunehmendem ω ab. xe

x^e t

xa

ϕ

Bild 2.14 Einschwingvorgang beim Einschalten eines sinusförmigen Eingangssignals

^x a

t T1

Der Phasenverschiebungswinkel ϕ, den man aus der Gl. (2.33) erhält:

ϕ = −arc tan (ω T1 ) ist stets negativ und ebenfalls eine Funktion von ω. Mit zunehmender Kreisfrequenz wird der negative Phasenverschiebungswinkel ϕ größer. Das ist auch aus dem Systemaufbau zu erkennen. Mit zunehmender Frequenz kann die Ausgangsspannung, infolge der durch die Zeitkonstante RC festliegenden Trägheit, der Eingangsspannung nicht mehr folgen. Das behandelte Beispiel, dass zu einer DGL 1.Ordnung führte, hat gezeigt, dass bei einer sinusförmigen Eingangserregung am Ausgang ebenfalls eine sinusförmige Schwingung gleicher Frequenz entsteht. Allgemein gilt bei einem linearen System, das zu einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung führt, dass eine harmonische Schwingung am Eingang am Ausgang ebenfalls eine harmonische Schwingung erzeugt. Sinusförmige Eingangssignale werden nicht nur zur Untersuchung elektrischer Regelkreisglieder, sondern auch für pneumatische und andere Systeme angewandt. Diese Methode hat besonders bei schnellen Systemen Vorteile gegenüber der Sprungfunktion. Vielfach erfolgt die Anwendung nur theoretisch, wie bei Stabilitäts- und Optimierungsproblemen. X Aufgabe 2.3 Wie müsste der Phasenwinkel der Eingangsfunktion ue (t ) = uˆe sin (ω t + α ) gewählt werden, damit der stationäre Schwingungszustand direkt (ohne Einschwingvorgang) erreicht wird?

34

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich 2.4.1 Der Frequenzgang Die Rechnung bei sinusförmiger Eingangsgröße wird besonders einfach, wenn man die Sinusschwingung

xe (t )

xˆe sin Z t

(2.35)

aus einem, um den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene rotierenden Zeiger entstanden denkt, der auf die imaginäre Achse projiziert ist (Bild 2.15). Im

x^e˜cos Z t1

Z t1

xe

x^e

x^e˜sin Z t1 Re t1

t 1 T= f

Bild 2.15 Zusammenhang zwischen Linien- und Zeigerdarstellung

Der Zeiger ist durch die beiden Komponenten xˆe cos Z t und j ˜ xˆe sin Z t eindeutig festgelegt: xe (t )

xˆe (cos Z t  j ˜ sin Z t ) .

Nach der Eulerschen Gleichung ist: cos Z t  j ˜ sin Z t

e jZ t .

Damit wird: xe (t )

xˆe e jZ t .

(2.36)

Das heißt, wir betrachten nicht nur die imaginäre Komponente des rotierenden Zeigers, sondern wir nehmen noch die reelle Komponente hinzu. Anstelle von (2.35) schreibt man nun (2.36). Wird ein lineares System am Eingang mit einer Sinusschwingung xe(t) erregt, dann wird, wie im vorherigen Abschnitt abgeleitet, auch die Ausgangsgröße xa(t) im eingeschwungenen Zustand einen sinusförmigen Verlauf haben. Bei gleicher Frequenz haben Amplitude und Phasenlage von Ein- und Ausgangsgrößen im Allgemeinen verschiedene Werte. Die Ausgangsgröße xa(t) ist gegenüber der Eingangsgröße xe(t) um den Phasenwinkel M verschoben, wie Bild 2.14 zeigt.

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich

35

Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße ist somit: xa (t )

xˆa (sin Z t  M ) .

Betrachten wir die Ausgangsgröße entsprechend der Eingangsgröße als rotierenden Zeiger, so können wir schreiben:

xa (t )

xˆa e j (Z t M ) .

(2.37)

Das Verhältnis der Zeiger von Ausgangs- zur Eingangsgröße bezeichnet man als Frequenzgang. Dieser ist, wie wir später sehen werden, nicht mehr eine Funktion der Zeit, sondern von jZ G ( jZ )

xa (t ) xe (t )

xˆa e j (Z t M ) xˆe e jZ t

xˆa e jM . xˆe

(2.38)

Bei elektrischen Systemen gewinnt man den Frequenzgang mittels der Methoden der Theorie der Wechselströme. In diesem Abschnitt soll der Frequenzgang, wie bei nichtelektrischen Systemen üblich, aus der Differentialgleichung abgeleitet werden. Dafür stellen wir zuerst die zeitlichen Funktionen (2.36) und (2.37) der Ein- und Ausgangsgrößen xe(t) und xa(t) im Frequenzbereich als Funktionen von jZ dar: xe ( jZ )

xˆe e jZ t

(2.39)

xa ( jZ )

xˆa e j (Z t M ) .

(2.40)

Unter Beachtung der Ableitungsregeln der Exponentialfunktionen d jZ t e dt

jZ ˜ e jZ t

erhalten wir die zeitlichen Ableitungen der Eingangsgröße der Gl. (2.39) wie: xe ( jZ )

jZ ˜ xˆe e jZ t

bzw. x e ( jZ )

jZ ˜ x e ( j Z )

xe ( jZ ) ( jZ ) 2 ˜ xˆe e jZ t bzw. xe ( jZ ) ( jZ ) 2 ˜ xe ( jZ ) xe ( jZ ) ( jZ )3 ˜ xˆe e jZ t bzw. xe ( jZ ) ( jZ ) 3 ˜ xe ( jZ ) usw. Ähnlich ergeben sich die zeitlichen Ableitungen (2.40) der Ausgangsgröße zu:

x a ( jZ )

jZ ˜ x a ( jZ )

xa ( jZ ) ( jZ ) 2 ˜ x a ( jZ ) xa ( jZ ) ( jZ ) 3 ˜ x a ( jZ ) usw. Nach Gl. (2.1) lautet die allgemeine Form der Differentialgleichung:

36

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

...  a3 xa (t )  a 2 xa (t )  a1 x a (t )  a 0 x a (t ) b0 x e (t )  b1 x e (t )  b2 xe (t )  b3 xe (t )  ... Setzen wir xe(jZ) und xa(jZ) sowie deren Ableitungen in diese allgemeine Differentialgleichung ein, so wird:

...  a3 ˜ ( jZ ) 3 x a ( jZ )  a 2 ˜ ( jZ ) 2 x a ( jZ )  a1 ˜ ( jZ ) x a ( jZ )  a 0 ˜ xa ( jZ ) b0 ˜ x e ( jZ )  b1 ˜ ( jZ ) x e ( jZ )  b2 ˜ ( jZ ) 2 x e ( jZ )  b3 ˜ ( jZ ) 3 x e ( jZ )  ... Auf der linken Seite der Gleichung lässt sich der gemeinsame Faktor xa(jZ) und auf der rechten Seite xe(jZ) herausziehen. Bildet man nach der Gl. (2.38) das Verhältnis xa(jZ) zu xe(jZ), so folgt der Frequenzgang G(jZ) G ( jZ )

x

x a ( jZ ) x e ( jZ )

b0  b1 ˜ ( jZ )  b2 ˜ ( jZ ) 2  b3 ˜ ( jZ ) 3  ... a 0  a1 ˜ ( jZ )  a 2 ˜ ( jZ ) 2  a3 ˜ ( jZ ) 3  ...

.

Beispiel 2.5

Gegeben ist die Differentialgleichung

T22 xa (t )  T1 x a (t )  x a (t )

K x e (t )

(siehe Beispiele 2.1 und 2.2). Zu ermitteln ist der Frequenzgang G(jZ). Setzt man die Ein- und Ausgangsgrößen xe(t) und xa(t) als Funktionen von jZ in die DGL ein, so ergibt sich:

T22 ˜ ( jZ ) 2 xa ( jZ )  T1 ˜ ( jZ ) xa ( jZ )  xa ( jZ )

K x e ( jZ ) .

Daraus folgt:

G ( jZ )

x a ( jZ ) x e ( jZ )

K T22

2

˜ ( jZ )  T1 ˜ ( jZ )  1

.

2.4.2 Die Ortskurve

In Abschnitt 2.3.6 wurde gezeigt, dass eine Sinusfunktion als Eingangsgröße eine Sinusschwingung gleicher Frequenz am Ausgang zur Folge hat. Die Amplitude und die Phasenlage der Ausgangsschwingung sind abhängig von der Frequenz. Um das Verhalten eines Regelkreisgliedes durch sinusförmige Erregung beurteilen zu können, genügt es nicht, die Schwingung der Ausgangsgröße bei nur einer Frequenz zu ermitteln, sondern es müssen die Amplitude und die Phasenlage bezogen auf die

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich

37

Eingangsgröße für alle Frequenzen von Z = 0 bis Z = f bekannt sein. Die Eingangsgröße xe(t) hat immer die gleiche Amplitude xˆ e . In Bild 2.16b und d sind die Sinusschwingungen für Ein- und Ausgangsgröße für zwei verschiedene Frequenzen Z1 und Z2 dargestellt, wobei Z1 < Z2 ist. Verwendet man anstelle der Linienbilder die Zeigerbilder, so gelangt man zu der in Bild 2.16a und c gezeigten Darstellung. xe , xa1

Im

Z=Z1 ^x e

^x e

M1 a)

Zt

Re

M1

x^a1

b)

xe , xa2

Im

^x e

^x e

M2 c)

^x a1

^x a1

Z=Z2 ^x a2

Zt

Re

M2 d)

Bild 2.16 Ein- und Ausgangsgröße bei verschiedenen Frequenzen im Zeiger- und Linienbild

Im Zeigerbild bleibt die Länge und die Lage des Zeigers xˆ e für alle Frequenzen gleich. Lediglich die Länge und Lage des Zeigers xˆ a ändert sich in Abhängigkeit von der Frequenz. Normiert man die Eingangsgröße auf den Wert xˆ e0 = 1, dann wird die Ausxˆ gangsgröße a . Für verschiedene Frequenzen Z ergeben sich dann verschiedene xˆ e ˆx a -Werte mit jeweils verschiedenen Phasenwinkeln M zu xˆ e0 = 1. xˆ e xˆ Zeichnet man die bei den verschiedenen Frequenzen erhaltenen Ausgangszeiger a xˆ e in ein Schaubild, wie in Bild 2.17 gezeigt ist, und verbindet die Endpunkte der Zeiger durch einen geschlossenen Kurvenzug, so stellt dieser die Ortskurve des Frequenzganges dar. Zur Beschreibung eines Regelkreisgliedes genügt die Ortskurve mit dem Frequenzmaßstab. Ist sie bekannt, so kann daraus der Frequenzgang, die Differentialgleichung und die Sprungantwort ermittelt werden.

38

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder Im

Z=0

Z=f M1

Re

Z9 Z=Z1 Z3

Z4

Bild 2.17 Ortskurve des Frequenzganges

Z=Z2

Will man die Ortskurve aus dem Frequenzgang ermitteln, so wird der komplexe Ausdruck in Real- und Imaginärteil zerlegt und für verschiedene Frequenzen in die Gaußsche Zahlenebene eingetragen. Die Ermittlung der Ortskurve aus dem Frequenzgang soll nun an einem Beispiel gezeigt werden. x

Beispiel 2.6

Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung

G (s)

xa (s) xe (s)

K mit K = 10 und T = 0,1s. 1  sT

Es ist der Verlauf der Ortskurve zu ermitteln. Der Frequenzgang ergibt sich aus der Übertragungsfunktion, indem wir die komplexe Variable s durch jZ ersetzen.

G ( jZ )

xa ( jZ ) xe ( jZ )

K . 1  jZ T

Der Frequenzgang G(jZ) ist eine komplexe Größe, die sich in der Gaußschen Zahlenebene darstellen lässt. Zur Trennung von G(jZ) in Real- und Imaginärteil wird G(jZ) mit dem konjugiert komplexen Ausdruck des Nenners erweitert:

G ( jZ )

K 1  jZ T ˜ 1  jZ T 1  jZ T

K (1  jZ T ) 1  (Z T ) 2

Re (G )  j ˜ Im (G ) .

Daraus ergibt sich:

Re (G )

K 1  (Z T )

2

und Im (G )

KZT . 1  (Z T ) 2

Variiert man nun Z = 0 bis Z = f, so ergibt sich für jeden diskreten Z - Wert je eine reelle und eine imaginäre Komponente, die zusammen einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene ergeben.

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich

39

In der folgenden Tabelle ist das für verschiedene Z -Werte in sec Ortskurve in Bild 2.18 wiedergegeben.

Z Re(G ) Im(G)

0 10

2 9,6

0

4 8,6

6 7,35

8 6,1

1,92 3,44 4,41 4,88

1

durchgeführt und als

10 5

15 3,07

20 2

30 1

40 0,59

f 0

5

4,6

4

3

2,36

0

Im K

2

Z=f

2

4

6

8

Z=0

M = 45° K

Re

2

2

Bild 2.18 Ortskurve eines Gliedes 1.Ordnung

Z /s 1 4

ZE = 1 s 1 T

Die Ortskurve ist ein Halbkreis im vierten Quadranten. Der Frequenzgang G(jZ) lässt sich in Betrag ~G(Z)~ und Phasenwinkel M (Z) zerlegen:

G (Z )

Re 2 (G )  Im 2 (G )

M (Z ) arctan

Im (G ) Re (G )

K 1  (Z T ) 2

 arctan (Z T ).

Bemerkenswert ist, dass für die so genannte Eckfrequenz Z = Z E = 1/T der Realteil von G(jZ) gleich dem negativen Imaginärteil von G(jZ) ist, d. h. Re(G) = – Im(G) =K/2. Oder anders K gegenüber dem Betrag K für Z = 0. ausgedrückt, der Betrag ~G(Z)~ ist für Z E nur noch 2 Die Phasenverschiebung beträgt bei dieser Frequenz gerade – 45°.

2.4.3 Beziehung zwischen Ortskurve und Sprungantwort

Betrachtet man eine Differentialgleichung 1. Ordnung des Typs

T x a (t )  xa (t )

K xe (t )

mit dem Eingang xe0 = 1 und vergleicht die Sprungantwort (Bild 2.7) mit der Ortskurve (Bild 2.17), so kann man bestimmte Wechselbeziehungen erkennen (Bild 2.19): x

Für t = 0 hat die Sprungantwort den Wert xa(0) = 0. Diesen Wert finden wir aus der Ortskurve für Z = f mit ~G(f)~= 0. Daraus folgt xa(jZ) = xa(jf) = 0.

x

Für t = f nimmt die Sprungantwort den Wert xa(f) = K xe0 an. Den gleichen Wert x hat die Ortskurve für Z = 0, a K . xe

40

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder Im

xa K

Z=f xa(f) = K˜ xe0

0,63˜xa(f)

M K

2

~G

Re ~

t

T

Z=0 Z /s 1

1 T

Bild 2.19 Sprungantwort und Ortskurve eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung

Die Sprungantwort und Ortskurve nehmen die gleichen Werte an für t = 0 und Z = f, sowie für t = f und Z = 0. Diese Wechselbeziehung gilt allgemein und erklärt sich aus den Grenzwertsätzen:

lim xa (t )

t o0

lim xa (t )

t of

lim s ˜ xa ( s)

(2.41)

lim s ˜ xa ( s ) .

(2.42)

sof

so0

Für einen Eingangssprung (siehe Abschnitt 2.3.1, Bild 2.5) ist x e ( s ) xa (s) G ( s) ˜ xe ( s)

xe0 und somit s

G(s) ˜ x e0 bzw. s ˜ x a ( s ) G ( s ) ˜ x e0 . s

Setzt man nun die letzte Gl. in die Gln. (2.41) und (2.42), so wird die Beziehung zwischen Zeit- und Frequenzbereich wie folgt formuliert: lim xa (t )

t o0

lim xa (t )

t of

lim G ( s ) ˜ xe0

sof

lim G ( s) ˜ xe0 .

so0

Ein weiterer charakteristischer Wert ist die Zeitkonstante T : x

Bei t = T erreicht die Sprungantwort 63% des Beharrungszustandwertes xa(f)

x

Für Eckfrequenz Z E

1 gilt M (Z E ) 45q . T

X Aufgabe 2.4

Auf ein System, das durch die Übertragungsfunktion G ( s )

xa ( s) xe (s)

KP

1  sTv beschrie1  sT1

ben wird, wirkt ein Eingangssprung. Es ist xa(t) für t = 0 und t = f im Bildbereich mittels Grenzwertsatz zu bestimmen und mit den entsprechenden Punkten der Ortskurve zu vergleichen.

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich

41

2.4.4 Das Bode-Diagramm

Bei der Ortskurvendarstellung in Abschnitt 2.4.2 wird der Frequenzgang G(jZ) in Real- und Imaginärteil zerlegt und in einem einzigen Diagramm in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Die Darstellung im Bode-Diagramm erfolgt in zwei getrennten Diagrammen, indem der Frequenzgang in Betrag ~G(Z)~ und Phasenwinkel M (Z) zerlegt und als Funktion der Kreisfrequenz Z dargestellt wird. Charakteristisch ist, dass ~G(Z)~ und Z im logarithmischen Maßstab (in Dezibel und in Dekaden), M (Z) im linearen Maßstab aufgetragen wird. In Kapitel 5 wird das Bode-Diagramm ausführlich behandelt und die Vorteile dieser Darstellungsart besprochen. x

Beispiel 2.7

Der in Beispiel 2.6 als Ortskurve dargestellte Frequenzgang G ( s )

xa ( jZ ) xe ( jZ )

K 1  jZ T

mit K = 10 und T = 0,1s, soll nun im Bode-Diagramm dargestellt werden. Wie in Beispiel 2.6 ermittelt, sind:

K

G (Z )

1  (Z T ) 2

und M (Z )

 arctan (Z T ) ,

indem der Betrag in Dezibel umgerechnet wird: ~G(Z)~dB = 20 lg~G(Z)~. Variiert man Z von 0 bis f, so erhält man für jeden diskreten Z - Wert je einen Wert des Betrags und des Phasenwinkels M (Z ), die in Bild 2.20 als Bode-Diagramm dargestellt sind. G

dB

40 dB

Asymptoten

20 dB K

20˜lg K

Z=

1 T

0 dB

— 2

0,1

1

10

100

0° 0,1

1

10

100

MZ 45°

Z= 1 T

Z /s 1

Z /s 1

 90°

Bild 2.20 Bode-Diagramm eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung

42

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

2.5 Beschreibung von Regelkreisen mit Übertragungsfunktionen 2.5.1 Verbindungsmöglichkeiten von Regelkreisgliedern

In Kapitel 1 wurde gezeigt, dass man den Regelkreis im Wirkungsplan darstellen und dabei in zwei Hauptblöcke unterteilen kann, in die Regelstrecke und die Regeleinrichtung. Um die mathematische Beschreibung des Regelkreises als Gesamtheit zu vereinfachen, zerlegt man jeden der beiden Hauptblöcke in einzelne, rückwirkungsfreie Glieder, die sich nun besser theoretisch erfassen lassen. Ist die Abhängigkeit zwischen Ausgangsgröße xa und Eingangsgröße xe sämtlicher zur Regelstrecke bzw. zur Regeleinrichtung gehörenden Glieder bekannt, so lässt sich eine Aussage über die Abhängigkeit zwischen Eingang und Ausgang der Regelstrecke, der Regeleinrichtung und schließlich über das Verhalten des geschlossenen Regelkreises machen. Zur Beschreibung von Regelkreisgliedern gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie die in den vorangegangenen Abschnitten gezeigten Differentialgleichung, die Sprungantwort, die Übertragungsfunktion, sowie Frequenzgänge, Ortskurven und BodeDiagramme. Ist die Übertragungsfunktion G(s) bekannt, so gibt diese das Verhältnis der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße xa(s) zur Laplace-Transformierten Eingangsgröße xe(s) durch die Beziehung: xa (s) G ( s) ˜ xe ( s) wieder. Die Darstellung erfolgt dann wie in Bild 2.21 gezeigt. xe(s)

xa(s)

G(s)

Bild 2.21 Blockdarstellung im Bildbereich

Bei der rückwirkungsfreien Kopplung mehrerer Übertragungsglieder ergeben sich besonders einfache Beziehungen. Als rückwirkungsfrei bezeichnet man ein System, dessen Signalfluss nur vom Eingang zum Ausgang erfolgt. Im Folgenden werden drei Grundformen der Kopplung von zwei Regelkreisgliedern mit den Übertragungsfunktionen G1(s) und G2(s) beschrieben. a) Reihenschaltung

Der Ausgang des ersten Gliedes ist, wie Bild 2.22 zeigt, mit dem Eingang des zweiten Gliedes verbunden. xe1(s)

G1(s)

xa1(s) = xe2(s)

G2(s)

xa2(s)

Bild 2.22 Reihenschaltung von Regelkreisgliedern

Betrachtet man die einzelnen Glieder, so ergibt sich:

xa1 ( s ) G1 ( s) ˜ xe1 ( s ) und xa2 ( s ) G 2 ( s ) ˜ xe2 ( s ) .

2.5 Beschreibung von Regelkreisen mit Übertragungsfunktionen Ferner ist: xa1 ( s )

43

xe2 ( s ) . Daraus folgt:

x a2 ( s ) G 2 ( s ) ˜ x e2 ( s ) G 2 ( s ) ˜ G1 ( s ) ˜ x e1 ( s ) bzw. die Gesamtübertragungsfunktion G (s)

x a2 ( s ) x e1 ( s )

G 2 ( s ) ˜ G1 ( s ) .

Bei Reihenschaltung von n Gliedern mit den Übertragungsfunktionen G1(s), G2(s),... Gn(s) ist die Übertragungsfunktion des gesamten Systems gleich dem Produkt der einzelnen Übertragungsfunktionen G ( s ) G1 ( s ) ˜ G 2 ( s ) ˜ ... ˜ G n ( s ) . b) Parallelschaltung

Das Eingangssignal xa(s) verzweigt sich und wirkt gleichzeitig auf die beiden Eingänge der Glieder mit den Übertragungsfunktionen G1(s) und G2(s) (Bild 2.23). Die beiden Ausgangssignale xa1(s) und xa2(s) werden in einer Additionsstelle addiert. G1(s)

xe(s)

G2(s)

xa1(s)

+ xa2(s)

xa(s)

Bild 2.23 Parallelschaltung von Regelkreisgliedern

+

Für das erste und für das zweite Glied gilt: x a1 ( s ) G1 ( s ) ˜ x e ( s ) und x a2 ( s ) G 2 ( s ) ˜ x e ( s ) . Ferner ist: xa ( s)

xa1 ( s)  xa2 ( s ) .

Daraus folgt: xa (s)

>G1 (s)  G2 ( s)@ ˜ xe (s)

bzw. die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems: G (s)

xa ( s) xe (s)

G1 ( s )  G 2 ( s ) .

Schaltet man n Glieder mit den Übertragungsfunktionen G1(s), G2(s),... Gn(s) parallel, so ist die Übertragungsfunktion des gesamten Systems gleich der Summe der einzelnen Übertragungsfunktionen G ( s ) G1 ( s )  G 2 ( s )  ...  G n ( s ) .

44

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

c) Rückführungsschaltung

Wie Bild 2.24 zeigt, wird die Ausgangsgröße xa(s) des ersten Gliedes G1(s) über ein zweites Glied mit G2(s) auf den Eingang von G1(s) zurückgeführt und zu der Eingangsgröße xe(s) addiert (Mitkopplung) oder von der Eingangsgröße subtrahiert (Gegenkopplung). xa(s)

xe(s)

+

G1(s)

+  xa2(s)

Bild 2.24 Rückkopplungsschaltung

G2(s)

Für den oberen Block gilt: xa ( s ) G1 ( s ) ˜ [ xe ( s ) r xa2 ( s )] und für den unteren Block (im Rückführzweig): x a2 ( s ) G 2 ( s ) ˜ x a ( s ) . Setzt man xa2(s) in die obere Gleichung ein, so erhält man:

xa ( s ) G1 ( s ) ˜ [ xe ( s ) r G2 ( s ) ˜ xa ( s)] bzw. xa ( s ) ˜ [1 # G1 ( s ) G2 ( s )] G1 ( s ) ˜ xe ( s ) . Daraus folgt die Übertragungsfunktion der Rückführschaltung: G (s)

xa ( s) xe ( s )

Mitkopplung Gegenkopplung

G1 ( s ) , 1 # G1 ( s ) G 2 ( s ) ˆ negatives Vorzeichen ˆ positives Vorzeichen.

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens Ein Regelkreis befindet sich unter der Wirkung von Eingangsgrößen, die man mittels Führungs- bzw. Störverhalten abwechselnd untersuchen kann. Der Regler soll den aktuellen Wert der Regelgröße X(t) ständig dem vorgegebenen Arbeitspunkt der Regelstrecke X0 anpassen. Dies erfolgt durch die Ansteuerung der Stellgröße Y(t), die im Arbeitspunkt einen bestimmten Wert Y0 annimmt. Von ausschlaggebender Bedeutung für die Aussage über die Güte der Regelung sind die Abweichungen vom Arbeitspunkt, die wir im Abschnitt 2.1 durch Kleinbuchstaben x(t) und y(t) bezeichnet haben. Zum Beispiel gilt für den in Bild 2.25 gezeigten Regelkreis: X(t) = X0 + x(t)

Y(t) = Y0 + y(t)

Z(t) = Z0 + z(t).

(2.43)

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens z(s)

e(s)

w(s)

+

GSz(s)

+

y(s) GR(s)

45

GSy(s)



x(s)

Bild 2.25 Wirkungsplan eines Regelkreises mit Führungs- und Störgröße

+

Im stationären Zustand soll keine Abweichung der Regelgröße vorkommen, d. h. bei t = f soll x(t) = 0 und X = X0, um das Verhältnis Istwert = Sollwert beizubehalten. 2.6.1 Statische Kennlinien

Wie in den Abschnitten 2.1 und 2.2 gezeigt wurde, kann das dynamische Verhalten einzelner Regelkreisglieder sowie des gesamten Regelkreises durch gewöhnliche, lineare Differentialgleichungen in allgemeiner Form beschrieben werden. Die Beschreibung des statischen Verhaltens kann man aus der Differentialgleichung des dynamischen Verhaltens erhalten, indem man alle zeitlichen Ableitungen gleich Null setzt. x

Beispiel 2.8

Aus einer DGL der Regelstrecke für das dynamische Verhalten

(t )  a X (t )  a X (t )  a X (t ) b Y (t )  b Y (t )  c Z (t ) a3 X 2 1 0 0 1 0

(2.44)

entsteht die folgende Beschreibung des statischen Verhaltens:

a0 X

b0 Y  c 0 Z .

(2.45)

In der Gl. (2.45) bewirkt eine Veränderung der Stellgröße oder der Störgröße eine proportionale Veränderung der Regelgröße, somit handelt es sich um eine lineare Regelstrecke. Die Gl. (2.45) soll auch für den Arbeitpunkt gelten, d. h.

a0 X 0

b0 Y0  c 0 Z 0 .

(2.46)

Subtrahiert man die Gl. (2.46) von Gl. (2.44) und berücksichtigt dabei die Gleichungen (2.43), so entsteht die DGL der Regelstrecke für das dynamische Verhalten von kleinen Abweichungen vom Arbeitspunkt (Kleinbuchstaben):

a3 x(t )  a 2 x(t )  a1 x (t )  a 0 x(t ) b0 y (t )  b1 y (t )  c0 z (t ) . Bei realen Regelstrecken liegen jedoch oft Nichtlinearitäten vor, wie z. B. bei Ventilen, die einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Ventilhub und dem Volumenstrom besitzen. Dabei entstehen nichtlineare Beschreibungen, wie folgende Beispiele mit multiplikativen oder nichtlinearen Funktionen und mit konstanten Koeffizienten K1 und K2 zeigen: X

K1 ˜ Y 2  K 2 ˜ Z

X

K1 ˜ Y ˜ Z

X

K1 ˜ Y  K 2 ˜ sin Z .

46

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

Das statische Verhalten kann grafisch abgebildet werden. Da in einem geschlossenen Regelkreis beim Störverhalten die Ausgangsgröße des Reglers gleichzeitig Eingangsgröße der Regelstrecke ist, wie in Bild 2.26 gezeigt, können die statischen Kennlinien der Regelstrecke und des Reglers in ein Diagramm eingetragen werden. Z W=0

+

X

Y Regler

X

Regelstrecke



Bild 2.26 Wirkungsplan eines Regelkreises beim Störverhalten

In Bild 2.27 ist das nichtlineare Kennlinienfeld X = f (Y, Z) einer Regelstrecke und die Kennlinie eines linearen Reglers Y = KPR X mit der Steigung KPR = 'Y / 'X dargestellt, wobei KPR der Proportionalbeiwert des Reglers ist. Die Werte im Arbeitspunkt A sind X0, Y0 und Z0. Das statische Verhalten des Regelkreises wird durch Einzeichen der Kennlinie des Reglers in das Kennlinienfeld der Regelstrecke, und zwar mit dem Vorzeichenumkehr, dargestellt, wie es beispielsweise in Bild 2.28 für das Störverhalten gezeigt ist. Z

X

Y KPRo f

Z0 A

KPR=

X0 Y0

Y0

A

X0

Y

dY dX

X

Bild 2.27 Kennlinienfeld einer Regelstrecke (links) und Kennlinie eines Reglers (rechts)

B

X xo.R.

C xm.R.

Z2 Z1 Z0

A

X0

KPRo f KPR= Y0

dY dX

Y

Bild 2.28 Zusammenwirkung von Regler und Regelstrecke beim Störverhalten

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens

47

Nehmen wir zuerst an, dass der Regler unwirksam ist. In diesem Fall wird eine Veränderung der Störgröße z. B. von Z0 auf Z2 bei der konstanten Stellgröße Y0 zum Wechsel des Arbeitspunktes führen, nämlich vom Punkt A zum Punkt B. Wirkt der Regler im Regelkreis, so entspricht die Stellgröße der Reglerkennlinie (Punkt C). Die Steigung der Reglerkennlinie des Reglers muss also entgegengesetzt zur Steigung der Kennlinien der Regelstrecke sein, um die Abweichung xm.R. („mit Regler“) gegenüber der Abweichung xo.R. („ohne Regler“) zu minimieren. Je größer der Proportionalbeiwert KPR des Reglers bzw. die Steigung der Reglerkennlinie im Bild 2.27 wird, desto flacher liegt die Gerade im Bild 2.29 und desto kleiner wird die Abweichung der Regelgröße xm.R. im geregelten Zustand. Außerdem folgt aus dem Bild 2.28, dass in diesem Kreis ein proportionaler Regler im geregelten Zustand eine Abweichung xm.R. vom Arbeitspunkt X0 bzw. vom Sollwert W hinterlässt. 2.6.2 Statischer Regelfaktor

Nachdem die Regelgröße einen Beharrungszustand

x (f )

lim x(t )

t of

eingenommen hat, kann der Erfolg der Regelung, wie im Bild 2.29 gezeigt, durch einen Vergleich der bleibenden Regeldifferenzen „mit Regler“ em.R.(f) und „ohne Regler“ eo.R.(f) ausgedrückt werden. lim x(t ) lim s ˜ x( s ) lim s ˜ w( s ) ˜ G w ( s ).

t of

s o0

Für w(t) = w0 = const ist w( s )

w0 und somit s

w lim x(t ) lim s ˜ 0 ˜ G w ( s ) s t of s o0

x(t)

w0 ˜ lim G w ( s ) .

z=0

(2.48)

s o0

x(t) w

xo.R.(f) = 0

(2.47)

s o0

z

xm.R.(f) xm.R.(f) t

w=0

xo.R.(f) t

Bild 2.29 Sprungantworten beim Führungsverhalten (links) und Störverhalten (rechts)

48

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

Es wird der so genannte reelle bzw. statische Regelfaktor RF eingeführt RF

e m.R. (f) eo.R. (f)

und unter Beachtung von e(f) = w  x(f) in folgende Form gebracht: RF

w  x m.R. (f) . w  x o.R. (f)

Dadurch wird angegeben, wie stark die Änderung einer der Eingangsgrößen des Regelkreises (Störgröße oder Führungsgröße) durch die Regelung beseitigt wird. Je kleiner der Regelfaktor ist, desto weniger wirkt die Störgröße auf die Regelgröße und desto effektiver ist der Regler. Abhängig von Eingangsstörung wird der Regelfaktor nach zwei verschiedenen Formeln, wie im Bild 2.29 angedeutet, berechnet: Führungsverhalten

RF

w  x m.R . (f) w0

Störverhalten

w  x m.R. (f) w

RF

0  x m.R. (f) 0  x o.R. (f)

 x m.R. (f)  x o.R. (f)

Der statische Regelfaktor kann durch die Kreisverstärkung V0 ausgedrückt werden. Sind beispielsweise im Regelkreis (siehe Bild 2.25) der Regler und die Teilstrecke mit Proportionalbeiwerten KPR und KPSy enthalten, so gilt für den statischen Regelfaktor:

RF

1 1  V0

1 1  K PR K PSy

.

(2.49)

Der Regler muss also mit dem Einstellparameter KPR so ausgelegt werden, dass bei stabiler Funktionsweise ein möglichst kleiner Regelfaktor entsteht. In nachfolgenden Kapiteln wird gezeigt, dass ein Regler mit integrierender Wirkung keine bleibende Regeldifferenz e(f) hinterlässt und damit einen statischen Regelfaktor von RF = 0 besitzt. 2.6.3 Linearisierung mit analytischen Verfahren

Das nichtlineare Kennlinienfeld einer Regelstrecke kann durch die Tangente im Arbeitspunkt (X0, Y0, Z0) linearisiert werden. Dabei wird die Funktion X = f (Y, Z) durch das Differential dX

§ wX ¨ © wY

· § wX ¸ ˜ dY  ¨ ¹0 © wZ

· ¸ ˜ dZ ¹0

(2.50)

beschrieben. Der Index 0 steht für die Arbeitpunktwerte X0, Y0 und Z0. Die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt bezeichnet man durch die Koeffizienten KPSy und KPSz

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens § wX ¨ © wY

K PSy

· ¸ ¹0

K PSz

§ wX ¨ © wZ

49

· ¸ . ¹0

(2.51)

Bezeichnet man dX, dY und dZ in Gl. (2.50) unter Beachtung der Gl. (2.43) durch kleine Abweichungen x, y und z vom Arbeitspunkt, so ergibt sich aus Gln. (2.50) und (2.51) die linearisierte Beschreibung des statischen Verhaltens x

K PSy ˜ y  K PSz ˜ z .

Das Prinzip der Linearisierung ist in Bild 2.30 verdeutlicht. Die Variablen X, Y, und Z (Großschreibung) beschreiben die ursprüngliche nichtlineare Regelstrecke. Die linearisierte Regelstrecke wird durch die Abweichungen x, y, und z (Kleinschreibung) vom Arbeitpunkt A definiert und besteht aus zwei getrennten Teilstrecken für Stellund Störsignale, deren Ausgänge addiert werden. z KPSz

Z Y Regelstrecke

+

y

X

KPSy

x

+

x = KPSy˜ y + KPSz˜ z

X = f (Y, Z)

x X

Z0 X0

X0

A

Y0

Y

A

y

Y0

Bild 2.30 Eine nichtlineare Regelstrecke vor (links) und nach (rechts) der Linearisierung

x

Beispiel 2.9

Eine Regelstrecke, die durch die Differentialgleichung

T22 ˜ X (t )  T1 ˜ X (t )  X (t ) 3 ˜ Y 2 (t )  5 ˜ Z (t ) beschrieben wird, soll im Arbeitspunkt Y0 = 2 und Z0 = 4 linearisiert bzw. in der Form x

K PSy ˜ y  K PSz ˜ z dargestellt werden.  Für das statische Verhalten sind X (t ) 0 und X (t ) 0 . Aus der Gl. (2.51) ergibt sich X

3˜Y 2  5 ˜ Z .

Die gesuchten Proportionalbeiwerte sind partielle Ableitungen im Arbeitpunkt:

(2.51)

50

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder K PSy

§ wX ¨ © wY

· ¸ ¹0

2 ˜ 3 ˜ Y 0

2 ˜ 3 ˜ Y0

K PSz

§ wX ¨ © wZ

· ¸ ¹0

§ 1 ¨¨ 5 ˜ © 2 Z

5˜

· ¸¸ ¹0

12

1

1,25 .

2 Z0

2.6.4 Linearisierung mit grafischen Verfahren

Wenn das nichlineare Verhalten der Regelstrecke nur im Form eines Kennlinienfeldes gegeben ist, lassen sich die Proportionalbeiwerte KPSy und KPSz grafisch als die Steigung der Tangente zu Kennlinien X = f (Y) und X = f (Z) bestimmen (Bild 2.31). x

Beispiel 2.10

Das Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist in Bild 2.32 gegeben. Die Regelstrecke soll im Arbeitspunkt Y0 = 4 und Z0 = 4 linearisiert werden. 3,0

X

Z 3,5

B

N

4,0

4

4,5

3

A 5,5

2 C M 1

Bild 2.31 Kennlinienfeld einer Regelstrecke

0

2

4

6

8

Y

Die Steigung der Tangente zur Kennlinie X = f (Y) ergibt sich mit Hilfe von zwei beliebig gewählten Punkten M und N:

K PSy

§ 'X ¨ © 'Y

· ¸ ¹0

XM  XN YM  Y N

1,6  4 0  6,9

0,35 .

Um die Kennlinie X = f (Z) für die Ermittlung der Steigung der Tangente KPSz nicht gesondert zu skizzieren, wählen wir die Punkte B und C, die vom Arbeitpunkt Z0 = 4 gleichermaßen um r 'Z = 0,5 entfernt sind. Damit wird die Steigung der Sekante berechnet, die sich von der Tangente für kleine Abweichungen 'Z nur gering unterscheidet:

K PSz

§ 'X · ¸ ¨ © 'Z ¹ 0

XB  XC ZB  ZC

4  1,8 3,5  4,5

2,2 .

Das gesuchte statische Verhalten der linearisierten Regelstrecke im Arbeitspunkt ist: x = 0,35 y  2,2 z.

51

3 Die Regelstrecke Die Regelstrecke ist derjenige Teil einer Anlage, in dem die zu regelnde physikalische Größe (Regelgröße x) durch die Regeleinrichtung beeinflusst wird. In den meisten Fällen ist sie fest vorgegeben und in ihren Kennwerten nur wenig veränderbar. Während die Kennwerte der Regeleinrichtung vom Hersteller rechnerisch oder experimentell ermittelt und bekanntgegeben werden, sind die Kennwerte der Strecken vor der Projektierung der Regelung fast immer unbekannt. Bei der Projektierung einer zu regelnden Anlage sind zunächst die Kennwerte der Regelstrecke experimentell zu ermitteln, die dann eine Einordnung ermöglichen. Mit den so gefundenen charakteristischen Daten lässt sich dann der Regelkreis weiter mathematisch untersuchen, so z. B. auf seine Stabilität oder auf sein optimales Regelverhalten. Bei schwierigen Regelstrecken wird diese zusammen mit der Regeleinrichtung auf einem PC simuliert. Nur in den seltensten Fällen ist die Berechnung von Regelstrecken durch Aufstellen und Lösen von Differentialgleichungen möglich. Die in diesem Kapitel theoretisch behandelten einfachen Grundtypen von Regelstrecken sollen nur dazu dienen, das Zustandekommen der charakteristischen Kenngrößen zu erklären und sollen kein Anreiz zur Berechnung von Regelstrecken sein. Der Wirkungsplan des Regelkreises wurde in Bild 1.6 dargestellt. Ihm entnehmen wir den in Bild 3.1 gezeigten Wirkungsplan der Regelstrecke. Eingangsgröße der Regelstrecke ist y, die Summe aus der Stellgröße yR und der Störgröße z. Ausgangsgröße ist die Regelgröße x. GS(s) ist die Übertragungsfunktion der Strecke.

z(s) yR (s)

+ Bild 3.1

+

y(s)

x(s) GS (s)

Wirkungsplan der Regelstrecke

Die Einteilung der Regelstrecken erfolgt nicht nach den zu regelnden physikalischen Größen, sondern nach ihrem zeitlichen Verhalten. Dabei ist es unwichtig, ob es sich um die Drehzahl einer Turbine, die Temperatur in einem Glühofen oder den Druck in einem Behälter handelt. Auch das Zeitverhalten der Regelstrecken kann in den meisten Fällen durch gewöhnliche lineare Differentialgleichungen von der allgemeinen Form beschrieben werden: ... + a3 x(t ) + a 2 x(t ) + a1 x (t ) + a 0 x(t ) = y (t )

(3.1)

... + T33 x(t ) + T22 x(t ) + T1 x (t ) + x(t ) = K PS ⋅ y (t ) .

(3.2)

bzw.

Die höchste Ordnung dieser DGL kennzeichnet die Ordnung der Strecke. Eine Strecke mit den Beiwerten a0 und a1 bezeichnet man als eine Strecke 1. Ordnung, eine solche mit den Beiwerten a0, a1 und a2 als eine Strecke 2. Ordnung usw.

52

3 Die Regelstrecke

Ferner unterteilt man die Regelstrecken in:

•

Strecken mit Ausgleich und

•

Strecken ohne Ausgleich.

Man spricht von einer Strecke mit Ausgleich, wenn nach einer sprunghaften Verstellung der Eingangsgröße y(t) die Ausgangsgröße x(t) (Regelgröße) für t → ∞ wieder einen neuen Beharrungszustand x(∞) annimmt, wie Bild 3.2 zeigt. Für t → ∞ wird der Beharrungszustand erreicht, x ist dann konstant, d. h. es findet keine zeitliche Änderung von x mehr statt, folglich sind alle Ableitungen x (t ), x(t ), x(t ) usw. Null.

2. Ordnung (gedämpft schwingend)

x 0. Ordnung

2. Ordnung

Im Beharrungszustand wird also aus Gleichung (3.1) a 0 x (∞ ) = y 0 , x(∞) = K PS y 0 .

x (∞ ) =

1 y0 , a0

x(∞)

1. Ordnung t

Bild 3.2

(3.3)

Sprungantwort einer Regelstrecke mit Ausgleich

Hierin ist y(t) = y0 = konstant der Eingangssprung. Strecken mit Ausgleich bezeichnet man auch als proportionale oder kurz P-Strecken, weil im Beharrungszustand die Ausgangsgröße proportional der Eingangsgröße ist, gemäß Gl. (3.3). Bei Strecken ohne Ausgleich wird bei einer Sprungfunktion am Eingang die Regelgröße x keinen Beharrungswert annehmen, sondern monoton anwachsen, wie in Bild 3.3 gezeigt.

I-Strecke x

I-Strecke 2. Ordnung (gedämpft schwingend)

In der Differentialgleichung (3.1) drückt sich das so aus, dass der Beiwert a0 = 0 ist. ... + a3 x(t ) + a 2 x(t ) + a1 x (t ) = y (t )

I- Strecke 1.Ordnung t

Bild 3.3

Sprungantwort einer Regelstrecke ohne Ausgleich

bzw.

³

... + a3 x(t ) + a 2 x (t ) + a1 x(t ) = y (t ) dt .

(3.4)

Strecken ohne Ausgleich werden wegen der in Gl. (3.4) gefundenen Beziehung auch integrale oder kurz I-Strecken genannt.

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung

53

3.1 P-Strecken ohne Verzögerung Eine Regelstrecke, die zur folgenden Gleichung führt a 0 x(t ) = y (t ) bzw. x(t ) = K PS ⋅ y (t ) , mit K PS =

1 , a0

in der also die Glieder mit der 1. bis n-ten Ableitung fehlen, bezeichnet man als eine Strecke 0. Ordnung. Gibt man auf den Eingang einer solchen Strecke eine Sprungfunktion, so wird die Ausgangsgröße sich ebenfalls sprunghaft ändern, die Ausgangsgröße folgt ohne zeitliche Verzögerung proportional der Eingangsgröße (Bild 3.4). y

x

Bild 3.4 Eingangssprung (links) und Sprungantwort (rechts) einer Strecke 0. Ordnung

x (∞) = KPS⋅ y0

y0

t

t

Solche Strecken sind höchst selten, man findet sie näherungsweise in rein ohmschen Netzen oder in hydraulischen Systemen, in denen keine nennenswerte Kompressibilität auftritt.

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung Diese Strecken bzw. die Hintereinanderschaltung solcher Strecken ist die am häufigsten in technischen Anlagen vorkommende. • mw

Beispiel 3.1

Warmwasserbehälter (Bild 3.5)

= 1200 kg

Masse des Wassers

Wh

/kg K

cw

= 1,163

mb

= 200 kg

cb

= 0,134

A

= 7,8 m2

d

= 3 mm

λ

= 0,052

ϑa

= (273 + 15) K

ϑ0

= ϑa

spezifische Wärme des Wassers

ϑa ϑ

Masse des Behälters

Wh

/kg K

W

/mK

spezifische Wärme des Behälters Oberfläche des Behälters Dicke der Isolationsschicht Wärmeleitfähigkeit der Isolationsschicht Außentemperatur Anfangstemperatur des Wassers

∼ Bild 3.5 Elektrisch beheizter Warmwasserbehälter

Elektrische Heizleistung Pe0 = 10 kW

54

3 Die Regelstrecke

Der Behälter ist mit Wasser gefüllt, das erwärmt werden soll. Regelgröße x ist die Wassertemperatur ϑ; Eingangsgröße ist die elektrische Heizleistung Pe. Die über die Heizspirale zugeführte elektrische Energie

³ Pe (t ) dt erwärmt einmal das Wasser und den Behälter, ferner wird infolge der nichtidealen Isolation eine von dem Temperaturgefälle ϑ − ϑa abhängige Wärmemenge nach außen abgeführt. Der gesuchte Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße ergibt sich durch Gleichsetzen der pro Zeiteinheit dt zugeführten und aufgenommenen Wärmeenergie. Die pro Zeiteinheit zugeführte Wärmeenergie ist

dQzu = Pe (t ) . dt

(3.5)

Die vom Wasser gespeicherte Wärmeenergie ist

Qw = m w c w (ϑ − ϑa ) . Daraus findet man:

dQ w dϑ = mw c w . dt dt

(3.6)

Entsprechend ergibt sich für die vom Behälter aufgenommene Wärmeenergie (bei der vereinfachenden Annahme, dass der Behälter die gleiche Temperatur annimmt wie das Wasser)

Qb = m b c b (ϑ − ϑa ) bzw.

dQb dϑ = mb c b . dt dt

(3.7)

Analog zu den Verhältnissen zwischen Strom und Spannung an einem ohmschen Widerstand ist der nach außen abgeführte Wärmestrom Φ proportional der Temperaturdifferenz ϑ − ϑa und umgekehrt proportional dem Wärmewiderstand R w der Isolation. Der Wärmewiderstand ergibt sich analog zum ohmschen Widerstand zu

Rw =

d . λA

Somit ist der Wärmestrom

Φ=

ϑ − ϑa Rw

=

λA d

(ϑ − ϑa ) .

(3.8)

Andererseits ist der Wärmestrom Φ gleich der zeitlichen Änderung der nach außen abgeführten Wärmemenge

Φ=

dQ v . dt

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung

55

Die dem System zugeführte Wärmemenge ist gleich den gespeicherten bzw. abgeführten Wärmemengen

Qzu = Q w + Qb + Q v oder

dQzu dQw dQb dQ v = + + . dt dt dt dt Setzt man die Beziehungen (3.5), (3.6), (3.7) und (3.8) in die letzte Gleichung ein, so erhält man

mw cw d⋅

dϑ (t ) λ A dϑ (t ) (ϑ − ϑ a ) = Pe (t ) bzw. + mb c b + dt d dt

m w c w + m b c b dϑ (t ) d ⋅ + ϑ (t ) = ⋅ Pe (t ) + ϑa . λA λA dt

Mit den Abkürzungen:

0,003 m K = 0,0074 W W 0,052 ⋅ 7,8 m 2 mK

K PS =

d = λA

T1 = d ⋅

m w c w + mb cb = 10,53 h λA

und

folgt

T1

dϑ (t ) + ϑ (t ) = K PS Pe (t ) + ϑa . dt

(3.9)

Die gefundene Differentialgleichung 1. Ordnung besagt, dass die vorliegende Strecke eine PStrecke mit Verzögerung 1. Ordnung oder kurz eine P-T1-Strecke ist. Der zeitliche Verlauf der Sprungantwort ϑ(t) ergibt sich, wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Schalter geschlossen wird und die elektrische Leistung Pe(t) = Pe0 konstant ist, d. h.

Pe (t ) = Pe0 ⋅ σ (t ) .

(3.10)

Bei der Laplace-Transformation von (3.9) ist zu beachten, dass bei der Anwendung des Differentiationssatzes die Anfangsbedingung im vorliegenden Fall nicht Null, sondern ϑ(0) = ϑa ist. Damit folgt aus (3.9) durch Laplace-Transformation, unter Beachtung von (3.10)

P Pe ( s ) = e0 s und

P ϑ T1 (s ϑ ( s) − ϑ a ) + ϑ ( s ) = K PS e0 + a , s s nach ϑ (s) aufgelöst

56

3 Die Regelstrecke

ϑ ( s ) = ( K PS Pe0 + ϑ a )

1 1 . + T1 ϑ a s (1 + sT1 ) (1 + sT1 )

Mit den Beziehungen 4 und 5 der Korrespondenztabelle folgt sofort

ϑ (t ) = ( K PS Pe0 + ϑ a )(1 − e ϑ (t ) = ϑ a + K PS Pe0 (1 − e

−

−

t T1

t T1

) + ϑa e

−

t T1

bzw.

).

(3.11)

Der zeitliche Verlauf der Sprungantwort ist im Bild 3.6 dargestellt. Für t = 0 ist ϑ(0) = ϑa und für t = ∞ ist ϑ(∞) = ϑa + KPS Pe0 = (288 + 74) K = 362 K. Die Endtemperatur ϑ(∞) wird bei der gewählten Eingangsleistung erst nach t = (3 ... 5) ⋅ T1 erreicht. Durch Vergrößerung der Eingangsleistung kann der Erwärmungsvorgang wesentlich beschleunigt werden. So wird z. B. für Pe0 = 50 kW die Anfangssteigung

K dϑ (t ) = Pe0 PS dt T1

ϑ K

ϑ (t) für Pe0 = 50 kW

fünfmal größer. Durch eine entsprechende Regeleinrichtung (die später besprochen wird) kann eine Erwärmung des Wassers über den Siedepunkt verhindert werden.

ϑ (∞) KPS⋅ Pe0

Bild 3.6 Sprungantwort einer

ϑa

P-T1-Strecke

273

t

T1

Bei der Ermittlung des Frequenzganges GS(jω) aus Gl. (3.9) ist zu beachten, dass das konstante Glied ϑa entfällt, da bei sinusförmiger Eingangsgröße auch die Ausgangsgröße ϑ(t) sich sinusförmig ändert und nur die Änderungen (keine Absolutwerte) ins Verhältnis gesetzt werden. Man ermittelt zunächst aus Gl. (3.9) die Übertragungsfunktion der Strecke ohne Vorgeschichte, d. h. für ϑ(0) = ϑa = 0.

GS ( s ) =

ϑ ( s) Pe ( s )

=

K PS . 1 + sT1

In dem man s durch jω ersetzt, folgt daraus der Frequenzgang

GS ( jω ) =

K PS ϑ ( jω ) . = Pe ( jω ) 1 + jωT1

Die zugehörige Ortskurve ergibt, wie in Beispiel 2.6, einen Halbkreis im 4. Quadranten mit KPS als Durchmesser.

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung •

57

Beispiel 3.2

Eingangsgröße ist die Erregerspannung y und Ausgangsgröße ist die Verbraucherklemmenspannung x eines fremderregten Gleichstromgenerators (Bild 3.7).

Ra i2 i

R

L x

G

Rb

n

y

Bild 3.7 Fremderregter Gleichstromgenerator

Die Antriebsdrehzahl des Generators n ist konstant. Die Induktivität des Läufers sei vernachlässigbar. Für den Erregerkreis gilt:

y (t ) = i (t ) ⋅ R + L

di(t ) . dt

(3.12)

Der Strom i erzeugt in der Erregerwicklung den Fluss Φ . Bedingt durch die Magnetisierungskurve ist die Funktion

Φ = f (i ) nichtlinear. Vereinfachend soll hier angenommen werden, dass die Magnetisierungskurve unterhalb der Sättigung durch eine Gerade ersetzt und der magnetische Widerstand Rm als konstant aufgefasst werden kann. Der magnetische Fluss ergibt sich dann zu

Φ (t ) =

θ (t ) Rm

=

N i(t ) , Rm

(3.13)

mit

θ elektrische Durchflutung N Windungszahl der Erregerwicklung. Die vom Generator erzeugte Leerlaufspannung ist

u 0 (t ) = c n ⋅ Φ (t ) .

(3.14)

Der Ankerstrom ergibt sich aus

i2 (t ) =

u 0 (t ) Ra + R b

und damit die Spannung am Verbraucher

x(t ) = i 2 (t ) ⋅ Rb =

Rb u 0 (t ) . Ra + R b

Gln. (3.13) und (3.14) in Gl. (3.15) eingesetzt, ergibt

(3.15)

58

3 Die Regelstrecke Rb N ⋅c⋅n⋅ ⋅ i (t ) = K1 ⋅ i (t ) , Ra + R b Rm

x(t ) = mit

K1 =

Rb N . ⋅c⋅n⋅ Ra + Rb Rm

Nach i(t) aufgelöst, folgt

i(t ) =

1 x (t ) K1

und nach einmaliger Differentiation

di(t ) 1 dx(t ) . = ⋅ dt K1 dt i(t) und di(t)/dt in (3.12) eingesetzt, führt zu

L dx(t ) R + x(t ) = y (t ) bzw. K1 dt K1 K L dx(t ) + x(t ) = 1 y (t ) . R dt R Mit der Zeitkonstanten des Erregerkreises T1 = L/R und dem Übertragungsbeiwert KPS = K1/R folgt die endgültige Form der Differentialgleichung

T1

dx(t ) + x(t ) = K PS y (t ) . dt

(3.16)

Gl. (3.16) ist der in Beispiel 3.1 gefundenen Gl. (3.9) (bis auf den Anfangswert ϑ(0) = ϑa) analog. Entsprechend erhält man die Lösung durch Laplace-Transformation von (3.16) (für t = 0 sei x(0) = 0)

T1 ⋅ s x( s ) + x( s) = K PS y ( s ) bzw. x( s ) =

K PS y ( s) . 1 + sT1

Wählen wir als Eingangsgröße wieder die Sprungfunktion

y (t ) = y 0 ⋅ σ (t ) , y so folgt mit y ( s) = 0 s

x( s ) = K PS y 0

1 . s (1 + sT1 )

Unter Verwendung der Beziehung 4 der Korrespondenztabelle erhalten wir im Zeitbereich

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung x(t ) = K PS y 0 (1 − e

−

t T1

59

).

X Aufgabe 3.1 Ermitteln Sie den Verlauf der Ortskurve des im Beispiel 3.2 durch Gl. (3.16) beschriebenen Systems für T1 = 0,1 s und KPs = 10.

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung Regelstrecken, die durch die Hintereinanderschaltung von zwei P-Strecken 1. Ordnung entstehen, werden durch eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben. Im Gegensatz zu in sich gekoppelten Zweispeichersystemen, die in Abschnitt 3.5 behandelt werden, können sie nur aperiodische Schwingungen ausführen. Als Beispiel soll das im Bild 3.8 gezeigte System 2. Ordnung behandelt werden, das aus zwei hintereinandergeschalteten Gleichstromgeneratoren besteht und als Verstärkermaschine bezeichnet wird. •

Beispiel 3.3

Das Erregerfeld des zweiten Generators wird von dem ersten Generator erzeugt. Die Rotorwellen beider Generatoren sind gekoppelt und werden mit der Drehzahl n angetrieben. Eingangsgröße ist die Spannung y am ersten Erregerkreis, Ausgangsgröße ist die Verbraucherspannung x.

i1 Ra1 a i

R1

L1

G

u1

n

y

ix

i2 Ra2 R2

L2

u2

G

Rb x

n b

1. Vierpol

2. Vierpol

3. Vierpol

Bild 3.8 P-T2 -Strecke, gebildet aus zwei hintereinadergeschalteten Gleichstromgeneratoren

•

Ermittlung der Übertragungsfunktion

Um die Übertragungsfunktion der in Bild 3.8 dargestellten P-T2-Strecke

GS ( s ) =

x( s ) y(s)

60

3 Die Regelstrecke

zu ermitteln, kann man ebenso vorgehen wie in Beispiel 3.2. Im Ankerkreis liegt dann anstelle von Rb (Bild 3.7) (R2 + sL2) (Bild 3.8). Der Ankerstrom i1 ist dann gleich dem Erregerstrom des 2. Generators und bestimmt den Fluss Φ 2 usw. Im Folgenden soll eine andere Methode Anwendung finden. Wie Bild 3.8 zeigt, kann die Verstärkermaschine als Kettenschaltung von drei Vierpolen aufgefasst werden. Der Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass die den 1. Vierpol beschreibende Kettenmatrix in ihrem Aufbau völlig identisch mit der des 2. Vierpols ist und sich nur durch die Indizes unterscheidet. Betrachten wir zunächst den 1. Vierpol bei aufgetrennten Klemmen a und b, so wird dieser durch die folgenden Gleichungen beschrieben (s.a. Beispiel 3.2):

y ( s) = i ( s ) ⋅ ( R1 + sL1 )

(3.17)

N1 ⋅ i(s) Rm1

(3.18)

Φ1 =

c n N1 u o1 ( s ) = c1n ⋅ Φ1 ( s) = 1 ⋅ i(s) Rm1

(3.19)

u1 ( s) = u o1 ( s ) − i1 ( s) ⋅ Ra1 .

(3.20)

Die Beziehung des Eingangsvektors [y, i] und des Ausgangsvektors [ul, il ] lautet:

§ y ( s ) · § A11 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © i ( s ) ¹ © A21

A12 · § u1 ( s) · ¸⋅¨ ¸ A22 ¸¹ ¨© i1 ( s ) ¸¹ .

(3.21)

Durch Umformung der Gln. (3.17) ... (3.20) sollen nun die beiden in (3.21) enthaltenden Gleichungen gebildet werden. Aus Gl. (3.20) folgt

u o1 ( s ) = u1 ( s ) + i1 ( s ) ⋅ Ra1 .

(3.22)

Setzen wir (3.22) in (3.19) ein und lösen nach i(s) auf, so entsteht die zweite Gl. der Kettenform

i( s) =

1 [u1 ( s ) + i1 ( s) ⋅ Ra1 ] , K1

(3.23)

c n N1 mit der Abkürzung K1 = 1 . Rm1

Die erste der gesuchten Gleichungen ermitteln wir mit (3.23) in (3.17) zu

R y ( s) = 1 (1 + sT1 )[u1 ( s ) + i1( s ) ⋅ Ra1] , K1 mit der Bezeichnung T1 = L1/R1. Die Gln. (3.24) und (3.23) lassen sich nun nach (3.21) zusammenfassen

(3.24)

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

61

§ y ( s ) · 1 § R1 (1 + sT1 ) Ra1 R1 (1 + sT1 ) · § u1 ( s) · ¨¨ ¸¸ ⋅ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ = 1 Ra1 © i ( s ) ¹ K1 © ¹ © i1 ( s ) ¹ .

(3.25)

Ganz analog ergibt sich für den 2. Vierpol

§ u1 ( s ) · 1 §¨ R2 (1 + sT2* ) Ra 2 R2 (1 + sT2* ) ·¸ § u 2 ( s) · ¸ ¨¨ ¸¸ = ⋅¨ ¸ ¨© i 2 ( s ) ¸¹ . Ra 2 1 © i1 ( s ) ¹ K 2 ¨© ¹

(3.26)

Für den 3. Vierpol (Querwiderstand) ist

§ u 2 (s) · § 1 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © i 2 ( s ) ¹ ©1 / R b

0 · § x( s) · ¸⋅¨ ¸ 1 ¸¹ ¨© i x ( s ) ¸¹ .

(3.27)

Setzen wir die Gl. (3.27) in Gl. (3.26) ein und das Ergebnis wiederum in Gl. (3.25), so folgt

§ y( s) · 1 ¨¨ ¸¸ = i s ( ) © ¹ K1 K 2

§ A11 ¨¨ © A21

A12 · § B11 ¸⋅¨ A22 ¸¹ ¨© B21

B12 · § C11 C12 · § x( s ) · ¸⋅¨ ¸⋅¨ ¸ B22 ¸¹ ¨© C 21 C 22 ¸¹ ¨© i x ( s) ¸¹ .

Hierin sind Aik, Bik und Cik die Elemente der 1., 2. und 3. Vierpolmatrix. Die Multiplikation der drei Matrizen, unter Beachtung der Reihenfolge, ergibt die Produktmatrix

§D D = A ⋅ B ⋅ C = ¨¨ 11 © D21

D12 · ¸ bzw. D22 ¸¹

§ A11 B11 + A12 B21 D = ¨¨ © A21 B11 + A22 B21

A11 B12 + A12 B22 · § C11 C12 · ¸⋅¨ ¸ A21 B12 + A22 B22 ¸¹ ¨© C 21 C 22 ¸¹ .

Im vorliegenden Fall ist ix(s) = 0. Zur Berechnung der gesuchten Übertragungsfunktion brauchen daher nicht alle vier Elemente der Produktmatrix D berechnet zu werden, es genügt vielmehr die Ermittlung von D11. Die Übertragungsfunktion ist dann

GS ( s) = mit

x ( s ) K1 K 2 , = y ( s) D11 ( s )

D11 = ( A11 B11 + A12 B21 ) ⋅ C11 + ( A11 B12 + A12 B22 ) ⋅ C 21 .

Mit den entsprechenden Termen für Aik, Bik und Cik aus (3.25), (3.26) und (3.27) ergibt sich

D11 ( s) = [ R1 R2 (1 + sT1 )(1 + sT2* ) + Ra1 R1 (1 + sT1 )] + [ Ra 2 R1 R2 (1 + sT1 )(1 + sT2* ) + Ra1 Ra 2 R1 (1 + sT1 )] ⋅ Nach einigen Umformungen gelangt man zu

1 . Rb

62

3 Die Regelstrecke · § R R2 ¸. D11 ( s) = 1 ( Rb + Ra2 )( R2 + Ra1 )(1 + sT1 )¨¨1 + sT2* Rb R2 + Ra1 ¸¹ ©

Mit den Abkürzungen

K PS =

K1 K 2 Rb ( Rb + Ra2 )( R2 + Ra1 ) R1

und

T2 = T2*

R2 L2 = R 2 + Ra1 R2 + Ra1

folgt schließlich die Übertragungsfunktion der Strecke

GS ( s ) =

K PS x( s ) . = y ( s ) (1 + sT1 )(1 + sT2 )

(3.28)

Die Differentialgleichung des Systems finden wir aus (3.28) durch Anwendung des Differentiationssatzes der Laplace-Transformation

T1T2 x(t ) + (T1 + T2 ) x (t ) + x(t ) = K PS y ( s ) .

(3.29)

Es handelt sich somit bei dem vorliegenden System, wie in Abschnitt 3 definiert, um eine Strecke mit Verzögerung 2. Ordnung bzw. eine P-T2-Strecke.

•

Ermittlung der Sprungantwort der P-T2-Strecke

Im Folgenden soll die Sprungantwort des im Bild 3.8 dargestellten Systems für

y (t ) = y 0 ⋅ σ (t )

c−−¦

y y ( s) = 0 s

(3.30)

ermittelt werden. Lösen wir Gl. (3.28) nach x(s) auf unter Berücksichtigung von (3.30), so folgt

x( s ) = K PS y 0 ⋅

K y 1 1 Ÿ x( s ) = PS 0 ⋅ s (1 + sT1 )(1 + sT2 ) T1T2 § 1 ·§ 1 s ¨¨ s + ¸¸ ¨¨ s + T1 ¹ © T2 ©

· ¸¸ ¹

.

Die Rücktransformation in den Zeitbereich kann mittels Korrespondenztabelle, Partialbruchzerlegung oder Residuenzsatz erfolgen. Mittels letzterem erhalten wir sofort t t º ª − − « T1 T2 » K y e e » bzw. x( s ) = PS 0 «T1T2 − T1 − T2 1 1 1 1 » T1T2 « − − « T2 T1 T1 T2 »¼ ¬

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

63

t t º ª − − T1 T2 « T1 T2 » + x( s ) = K PS y 0 «1 − e e ». T1 − T2 T1 − T2 ¬« ¼»

(3.31)

Bild 3.9 zeigt die Sprungantwort für T1 = 2⋅T2. Aus (3.31) folgt für t = 0, x(0) = 0 und für t = ∞, x(∞) = KPS y0, der stationäre Endwert. Durch Differentiation von (3.31) erhält man t ª t − dx(t ) K PS y 0 « − T1 T2 = e −e dt T1 − T2 « «¬

º ». » »¼

Für t = 0 ist x (0) = 0 , d. h. die Kurve beginnt für t = 0 mit waagerechter Tangente. Der Kurvenverlauf zeigt einen charakteristischen s-förmigen Verlauf, dessen Wendepunkt sich aus t ª − t − « T1 T2 d x(t ) K PS y 0 « e e = − + 2 T1 − T2 « T1 T2 dt « ¬ 2

º » »=0 » » ¼

ergibt bzw.

tw =

T1T2 T ln 1 . T1 − T2 T2

Speziell für T1 = 2T2 wird

t w = 2 T2 ⋅ ln 2 = 1,386 T2 . x x(t) x(∞)⋅

T2 T1 − T2

⋅e

−

t T2

x(∞) = KPS⋅ y0

t

T2 T1

−x(∞)⋅

T1

T1 − T2

⋅e

−

t T1

Bild 3.9 Sprungantwort einer P-T2-Strecke mit Zeitkonstanten T1 = 2T2

64

3 Die Regelstrecke

Wird die Sprungantwort des Systems experimentell aufgenommen, so kann zur Identifikation von Strecken 2. und höherer Ordnung, wie in Bild 3.10 gezeigt, die Wendetangente durch den Wendepunkt für t = tw gelegt werden. x

Wendepunkt

Bild 3.10 Sprungantwort und Kenngrößen:

x(∞)

xw

Tu

tw Tu

Tg Ausgleichszeit x(∞) Beharrungszustand

t

Tg

Verzugszeit

Diese schneidet die Zeitachse im Punkt t = Tu und den Beharrungszustand x(∞) für t = Tu + Tg. Bei einer Strecke 2. Ordnung können aus Tu und Tg die beiden Zeitkonstanten T1 und T2 bestimmt werden.

•

Die Ortskurve der P-T2-Strecke

Aus Gl. (3.28) folgt der Frequenzgang

GS ( jω ) =

K PS x ( jω ) . = y ( jω ) (1 + jωT1 )(1 + jωT2 )

(3.32)

Zur Diskussion des Ortskurvenverlaufs zerlegen wir den Frequenzgang (3.32) in seinen Realund Imaginärteil

Re (GS ) = K PS

1 − ω 2T1T2 (1 − ω 2T1T2 ) 2 + ω 2 (T1 + T2 ) 2

Im (GS ) = − K PS

ω (T1 + T2 ) 2

(1 − ω T1T2 ) 2 + ω 2 (T1 + T2 ) 2

.

Das Vorzeichen von Re(GS) und Im(GS) wird nur durch den Zähler bestimmt, da der Nenner für beide gleich und für alle ω -Werte stets positiv ist. Variieren wir ω von 0 bis ∞, so ist der Im(GS) stets negativ. Für den Realteil ergibt sich: 2

a) für kleine ω -Werte, d. h. 1 > ω T1T2 ist Re( GS ) > 0 2

b) für ω T1T2 = 1 bzw. ω =

1

ist

T1 T2 2

Re(GS ) = 0 und Im(GS ) = − K PS

c) Für große ω -Werte, d. h. 1 < ω T1T2 ist Re( GS ) < 0 .

T1 T2 T1 + T2

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

65

Das heißt, die Ortskurve verläuft in der Gaußschen Zahlenebene im 3. und 4. Quadranten, wie in Bild 3.11 gezeigt. Weitere markante Punkte der Ortskurve ergeben sich für ω = 0 und ω = ∞ (siehe Tabelle). Im KPS

ω=∞

KPS⋅

1

ω=

ω

Re (GS)

Im (GS)

0

KPS

0

ω=0 Re

√ T1T2 T1+T2

T1 T2

ω

s −1

√T1T2

1

∞

0

0

− K PS ⋅

T1 T2 T1 + T2

0

Bild 3.11 Ortskurve einer P-T2-Strecke

•

Die Dämpfung des P-T2-Gliedes

Es soll hier gezeigt werden, dass das Übergangsverhalten eines Systems 2. Ordnung entscheidend von seiner Polverteilung abhängt. Die Übertragungsfunktion (3.28) kann wie folgt umgeschrieben werden:

GS ( s ) =

K PS 1 ⋅ . T1 + T2 1 T1T2 2 s +s⋅ + T1T2 T1T2

Mit den Abkürzungen

T + T2 1 und β 2 = , 2α = 1 T1T2 T1T2 α

Abklingkonstante Kreisfrequenz des ungedämpften Systems

ß wird

GS ( s ) = K Ps β 2

1 2

s + s ⋅ 2α + β 2

.

Eine weitere wichtige Größe ist die Dämpfung D, die wie folgt definiert ist

D=

α . β

Die beiden Pole der Gleichung (3.33) ergeben sich zu

(3.33)

66

3 Die Regelstrecke s1,2 = − α ± α 2 − β 2 s1,2 = − α ± β D 2 − 1

(3.34)

s1,2 = − β ( D ± D 2 − 1) . Daraus ist ersichtlich, dass abhängig von D folgende Fälle möglich sind: a) Für α > β ( D > 1) werden die beiden Pole negativ s-Ebene reell (aperiodischer Fall).

jω

σ

b) Für α = β (D = 1) ergibt sich eine doppelte Polstelle,

jω

mit s1 = s2 = − α (aperiodischer Grenzfall).

σ

α

jω

c) Für α < β (0 < D < 1) werden die beiden Pole konjugiert komplex

s1,2 = −α ± jβ 1 − D 2 (gedämpfte Schwingung). d) Für α = 0 (D = 0) wird der Realteil der beiden Pole

α

σ

jω

Null, d. h. die Pole werden rein imaginär s1,2 = ± jβ (ungedämpfte Dauerschwingung).

β σ β

e) Für α < 0 (D < 0) ist die Abklingkonstante negativ, die beiden Pole haben einen positiven Realteil

s1,2 = +α ± jβ 1 − D

jω

2

(aufklingende Schwingung). α

σ

Für das durch die Übertragungsfunktion (3.28) beschriebene System sind nur die Fälle a) und b) möglich (D ≥ 1), denn

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung D=

α T1 + T2 1 ª T1 = = « + β 2 T1 T2 2 «¬ T2

T2 T1

67

º ». ¼»

Mit der Abkürzung

T1 1 = bzw. a T2

a=

T2 T1

wird

D=

1 § 1· dD 1 § 1 · ¸¸ = 0 . ⋅ ¨ a + ¸ und = ⋅ ¨¨1 − 2 © a¹ da 2 © a2 ¹

Daraus folgt a = + 1 bzw. T1 = T2. Die Dämpfung des Systems ist dann

D = 1 (ein Minimum), da für a = +1 die 2. Ableitung

d 2D da

2

=

1 a3

> 0 ist.

Für T1 ≠ T2 ist die Dämpfung stets größer als Eins. Bild 3.12 zeigt die Sprungantworten eines Systems 2. Ordnung bei verschiedener Dämpfung. x(t)

4

3

w 2 1 0 0

5

t

Bild 3.12 Sprungantworten eines Systems 2. Ordnung bei verschiedenen Dämpfungen 1 - aperiodischer Fall D>1 2 - aperiodischer Grenzfall D=1 3 - gedämpfte Schwingung 0 0 und y = −1 für α < 0 betrachtet. Jeder Kombination von Eingangswerten entspricht ein bestimmtes Kriterium. Ein Kriterium kann z. B. sein, ob sich der Eingangspunkt oberhalb (Klasse A) oder unterhalb (Klasse B) einer Grenzgerade befindet, wobei der Sollwert des Neuronenausgangs für Eingangswerte aus der Klasse A d = +1 und für Klasse B d = −1 ist. x2 4

Schwellenwert (Bias)

Gewichte

W1

x1

θ α

+

W2

x2

+

nz Gre Klasse B

2 0

Transferfunktion

−

Klasse A

2

y

Aktivierung

−1

x1

6

Sollwert

f(α)

+1

4

e

α

−

Netz- + ausgang

d E Fehler

Bild 12.44 Struktur eines KNN mit binärem Ausgang

Nehmen wir an, dass die zu erkennenden Klassen durch eine Gerade getrennt sind: x2 = a⋅x1 + b,

z. B. mit a = 0,5 und b = 1.

Für das Neuron wird die Grenze zwischen Musterklassen durch die Gleichung α = 0 abgebildet, d. h. α = W1x1+ W2x2 − θ = 0 bzw. W θ . x 2 = − 1 x1 + W2 W2

(12.10)

Aus dem Koeffizientenvergleich mit der Gerade x2 = a⋅x1 + b folgt:

θ W2

=b

−

W1 =a W2

Bei θ = 2 wird die Grenze korrekt mit den folgenden Gewichten abgebildet:

θ

2 =2 b 1 W1 = − a ⋅ W2 = −0,5 ⋅ 2 = −1 W2 =

=

Die Musterklasse A ist damit durch die Aktivierung α > 0 und den Ausgang y = +1 gekennzeichnet. Für die Klasse B ergibt sich α < 0 und damit y = −1.

12.5 Neuro-Regelung •

411

Beispiel 12.14 Gegeben ist ein trainiertes KNN mit der in Bild 12.44 gezeigten Struktur. Die Kennwerte sind:

jω = x 2 sP1

6

sP5

W1 = 1

4

sP3

2 −6

−4

−2

2

0

4

6 σ = x1

sP4

−2

W2 = 0,5 θ = 1. Das KNN wurde trainiert, die Stabilität eines Kreises in der s-Ebene zu erkennen (Bild 12.45). Dafür sind die folgenden Eingänge dem KNN gesetzt: x1 = σ

−4 sP2

x2 = jω.

sP6 −6

Bild 12.45 Die Pol-/Nullstelen-Verteilung

Die stabilen Zustände sind durch einen Parameter d = − 1 und die instabilen durch d = +1 gekennzeichnet. Es soll das KNN getestet werden.

Zunächst überprüfen wir nacheinander die Eingänge nach dem Bild 12.45. Für die Polstelle sP1 ist die Aktivierung nach Gl. (12.9)

α = x1 +0,5 ⋅ x 2 −θ = (−6) + 0,5 ⋅ 5 − 1 = −4,5 . Für α < 0 folgt aus der Transferfunktion y = −1. Da auch d = −1 gilt, ist die Erkennung korrekt. Auch für Polstelle sP3 gibt das KNN die korrekte Antwort:

α = x1 +0,5 ⋅ x 2 −θ = (−3) + 0,5 ⋅ 3 − 1 = −2,5 < 0

Ÿ

y = −1

⇐

d = −1 .

Ÿ

y = −1

⇐

d = +1 .

Bei der Erkennung der Polstelle sP6 tritt jedoch der Fehler auf:

α = x1 +0,5 ⋅ x 2 −θ = 3 + 0,5 ⋅ (−4,5) − 1 = −0,25 < 0

Statt alle Eingansgwerte nacheinander zu prüfen, kann man die KNN-Gewichte in die Grenzgerade nach Gl. (12.12) umwandeln und in das Diagramm des Bildes 12.45 eintragen:

W 1 1 θ bzw. x 2 = −2 x1 + 2 . x 2 = ax1 + b = − 1 x1 + =− x1 + 0,5 0,5 W2 W2 Daraus erkennt man sofort, dass das KNN die Grenze falsch gelegt hat und soll weiter trainiert werden. In nächsten Anschnitten wird gezeigt, wie eine komplexe Grenze abgebildet wird.

Da dem KNN keine Gewichte vorgegeben werden, ist es die Aufgabe des Lernvorgangs, sie so lange zu verändern, bis die Grenzgerade korrekt abgebildet wird. Als Fehlermaß gilt dabei die Differenz E zwischen dem Ist-Ausgang y und dem SollAusgang d. Der Lernalgorithmus besteht in Änderung von Gewichten, z. B.: W1 (neu) = W1 + η⋅(d − y)⋅x1

(12.11)

W2 (neu) = W2 + η⋅(d − y)⋅x2.

(12.12)

412

12 Intelligente Regelung

Die Iterationsschrittweite (Lernschrittweite) η bestimmt die Konvergenzgeschwindigkeit. Normalerweise gilt: 0 < η < 1. Meist wird das Fehlermaß jedoch nicht nach jedem Eingangspaar berechnet, sondern über alle Ein/-Ausgangs-Paare aufsummiert, um den Gesamtfehler E zu minimieren.

12.5.2 Mehrschicht-KNN und Backpropagation Die Einteilung der Eingangsvektoren kann von einzelnen Neuronen dann durchgeführt werden, wenn die Grenze zwischen den beiden Klassen eine Gerade ist, wie es bei den logischen Verknüpfungen UND und ODER der Fall ist. Sind für die Klassenbeschreibung mehrere Geraden bzw. mehrere logische Funktionen nötig wie z. B. bei der logischen XOR-Verknüpfung, wird für jede Grenzgerade ein Neuron eingesetzt. Damit entstehen die Mehrschicht-Netze, die aus Ein-, Ausgangs- und verdeckten Neuronen bestehen (Bild 12.46). x1 x1´ x1´´

x2

y1 x3

ym

x4

xn´´ xn´

xn

Ausgangsschicht 2. verdeckte Schicht 1. verdeckte Schicht Eingangsschicht

Der Lernvorgang läuft nach Gln. (12.11), (12.12) ab, d. h. zuerst werden die Ausgänge einzelner Schichten nacheinander, von Ein- bis zur Ausgangsschicht, berechnet. Dann werden die Ausgangswerte y1, y2, ... , ym und die entsprechenden Sollwerte d1, d2, ... , dm miteinander verglichen.

Bild 12.46 Mehrschicht-KNN mit 2 verdeckten Schichten X Aufgabe 12.7 Ein Mehrschicht-KNN mit binären Eingängen x1 und x2 ist im Bild 12.47 gezeigt. Das Ausgangsneuron y hat binäre Transferfunktion. Der Ausgang des verdeckten Neurons V wird mit einer Sigmoid-Transferfunktion v =

1 1 + e −α

ermittelt und gibt die Werte 0 < v u (t )  u (0)@

³ i(W ) dW

Ÿ

1 C

u (t )

0

t

³ i(W ) dW  u(0) . 0

Für Anfangswert u(0) = 0 erhalten wir t

1 C

u (t )

³ i(W ) dW

c¦

u (s)

0

1 i( s) . sC

Aufgabe 3.7 a) Anhand von Bild 3.31 folgt sofort

Fb (t )

K [vs (t )  v a (t )] .

b) Die vom Linearmotor erzeugte Kraft dient der Beschleunigung der Masse m

m

d v a (t ) dt

Ÿ

m dv a (t )  v a (t ) K , dt

K >v s (t )  v a (t )@

Ÿ

vs (t ) Ÿ

m

dv a (t )  K v a (t ) dt

T1

dv a (t )  v a (t ) dt

K vs (t )

vs (t ) .

T1

c) Die Übertragungsfunktion folgt durch Laplace-Transformation

GS1 ( s)

va ( s) vs ( s )

1 . 1  sT1

d) Der Zusammenhang zwischen Weg x und Geschwindigkeit va ist

v a (t )

dx(t ) dt

c¦

v a ( s ) s ˜ x( s )

Ÿ

Damit erhält man

GS ( s)

x( s ) v s (s)

GS1 ( s ) ˜ GS2 ( s)

1 . s (1  sT1 )

GS2 ( s )

x( s) v a (s)

1 . s

428

Anhang v s0 s

e) Mit v s ( s ) folgt

x /m

v x( s ) GS ( s) ˜ s0 s

1 2

s (1  sT1 )

v s0 .

2

Die Rücktransformation in den Zeitbereich entspricht der Gl. (3.100)

x(t )

3

T1

1

t ª §  ¨ « T1 v s 0 «t  T1 ¨1  e ¨ « © ¬

·º ¸» ¸» . ¸» ¹¼

0 0

1

2

3

t 4 T1

Bild A.8 Sprungantwort zu Aufgabe 3.7 (I-T1-Glied für vs0 = 1 m/s) Aufgabe 4.1 a) Aus Bild 4.17 ergibt sich die Führungsübertragungsfunktion

K PR K IS s  K PR K IS

x( s) w( s )

G w ( s) Für

w( s )

w0 s

x( s)

K PR K IS w0 s ( s  K PR K IS )

folgt

Nach dem Grenzwertsatz gilt

lim x(t )

t of

lim s ˜ x( s )

so0

w0 ,

d. h. die bleibende Regeldifferenz verschwindet.

e(f) w0  x(f) 0 . b) Entsprechend folgt aus Bild 4.17 die Störübertragungsfunktion

Gz ( s)

x( s ) z(s)

Mit

z(s)

z0 s

K IS . s  K PR K IS

Lösungen der Übungsaufgaben

429

wird

K IS z0 s ( s  K PR K IS )

x( s)

und nach dem Grenzwertsatz

lim x(t )

t of

lim s ˜ x( s )

so0

z0 . K PR

In diesem Fall ist

e( f )

x (f )

z0 , K PR

da in der Störübertragungsfunktion x nicht den Absolutwert, sondern nur die Änderung infolge z darstellt. c) Bei einem Führungssprung wird der vorgegebene Wert von der Regelgröße asymptotisch erreicht, d. h. die bleibende Regeldifferenz wird Null. Dagegen wird der Einfluß eines Störsprungs mit zunehmendem KPR verringert aber nicht beseitigt. Aufgabe 4.2 Die Störübertragungsfunktion lautet

x( s ) z (s)

Gz ( s)

sK IS s 2  K IR K IS

.

Für

z (t )

z 0 ˜ V (t )

c¦

z(s)

z0 s

ist

x( s)

K IS 2

s  K IR K IS

z0

und nach Rücktransformation folgt als Sprungantwort

x(t )

z0

K IS ˜ sin( K IR K IS ˜ t ) , K IR

eine Dauerschwingung mit der Amplitude

z0

K IS K IR

um den Nullpunkt. D. h. die mittlere Regeldifferenz wird zu

e (f ) 0 .

430

Anhang

Aufgabe 4.3 R R R1

 +

R1

C

e

R2

 +

yR

R

Bild A.9 PI-Regler mittels Operationsverstärker zu Aufgabe 4.3

 + Aus dem Schaltbild folgt die Übertragungsfunktion

y R (s) e( s )

GR ( s)

R2 § 1 · ¸, ¨1  R1 © sCR ¹

R2 und Tn R1

worin K PR

CR .

Aufgabe 4.4 Für Tn = T1 erhält man aus Gl. (4.71)

sK PS

Gz ( s)

ª 2 1  K PR K PS K PR K PS º s s   « » T1 T1 «¬ »¼ T12

.

Daraus folgt mit

K PR K PS

E2

D

T12

D E

wD wK PR

; D

1  K PR K PS 2T1

1  K PR K PS 2 K PR K PS 1 3 ª º   1« 1 2 2 ( K PR K PS ) K PS  (1  K PR K PS ) ( K PR K PS ) K PS » » 2« 2 ¬ ¼

2 K PR K PS  1  K PR K PS K PR

1 . K PS

Die minimale Dämpfung beträgt

D 1.

0

0

Lösungen der Übungsaufgaben

431

Aufgabe 4.5 Der Frequenzgang des PD-T2-Reglers lautet

y R ( jZ ) e ( jZ )

GR ( jZ )

K PR

1  jZ Tv . 1  (Z T2 ) 2  jZ T1

Zur Kurvendiskussion wird GR(jZ) in Real- und Imaginärteil zerlegt

Re (GR )

K PR

1  (Z T2 ) 2  Z 2T1Tv [(1  (Z T2 ) 2 ]2  (Z T1 ) 2

Im (GR )

K PR

Z Tv [1  (Z T2 ) 2 ]  Z T1 . [(1  (Z T2 ) 2 ]2  (Z T1 ) 2 0,6

0,4

Im 10

0,2

0,8

0 -10

f

10

20

30

3 2

40

- 10

Re 50

1,0

Bild A.10 Ortskurvenverlauf zu Aufgabe 4.5 (PD-T2-Glied)

3 - 20 1,2

2,0

Z /s 1

1,4

- 30

Aufgabe 4.6 Die Führungsübertragungsfunktion des Regelkreises ergibt sich zu

G w ( s)

x( s) w( s )

K PR K IS (1  sTv ) K PR K IS  s (1  K PR K ISTv )

bzw. mit der Abkürzung

D

K PR K IS 1  K PR K ISTv

G w ( s) Für w(t )

D Tv  1

1  sTv x( s) D w( s ) s D

w0 ˜ V (t )

c¦

wird

x( s) D

Ÿ

1  sTv w0 . s(s  D )

w( s )

w0 s

432

Anhang

Nach Rücktransformation in den Zeitbereich folgt

x(t ) [1  (1  DTv )e D t ] w0 . x 1

D

w0

Bild A.11 Führungssprungantwort zu Aufgabe 4.6

w0DTv

0 0

t

Aufgabe 6.1 a) Die charakteristische Gleichung ergibt sich aus 1  G R ( s )GS ( s )

1  K PR K PS

1 (1  sT1 )3

0

bzw. s 3 ˜ T13  s 2 ˜ 3T12  s ˜ 3T1  1  K PR K PS ,

 ,  a3

0 zu

a1

a2

0.

a0

Nach Hurwitz ist ein System 3. Ordnung instabil für

9T13  (1  K PR K PS )T13  0

a1a 2  a3 a 0 bzw. K PR !

8 . K PS

b) Für K PR

K PRkr

8

x( s)

3

s [(1  sT1 )  8]

˜ w0

Mittels Grenzwertsatz folgt daraus

lim x(t )

to f

lim s ˜ x( s )

so 0

8 w0 9

bzw. die bleibende Regeldifferenz

e(f )

w0  x(f)

w0 ist s

8 und w( s ) K PS

w0 . 9

8

T13

˜

1 ˜ w0 . § 3 ·§¨ 2 3 ·¸ s ¨¨ s  ¸¸ s  T1 ¹¨© T12 ¸¹ ©

Lösungen der Übungsaufgaben

433

c) Aus Gl. (6.12) bzw. Gl. (6.13) folgt für D = 0

a0 a2

Z Z kr

a1 a3

3 T1

.

Aufgabe 6.2 a) Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises lautet

G 0 ( s ) G R ( s ) ˜ GS ( s )

K PR K PS

1  sTn sTn ( s 2T22

 sT1  1)

mit der Polverteilung

s1

0;

s2

0,1 s 1 ;

s3

0,05 s 1 .

Es ist also ni = 1 und nr = 0. Nach dem Nyquist-Kriterium (Bedingung 6.43) muss bei Stabilität die Winkeländerung

'M

(2n r  ni ) ˜

S 2



S 2

betragen. Wir diskutieren zunächst den Ortskurvenverlauf von

K PR K PS 1  jZ Tn ˜ Z Tn  Z T1  j [1  (Z T2 ) 2 ]

G0 ( jZ )

mit der Zerlegung

Re (G0 )

K PR K PS T [(1  (Z T2 ) 2 ]  T1 ˜ n 2 Tn (Z T1 )  [(1  (Z T2 ) 2 ]2

Im (G0 )

K PR K PS  Z 2TnT1  1  (Z T2 ) 2 ˜ . Z Tn (Z T1 ) 2  [(1  (Z T2 ) 2 ]2 Im

10

'M -30

-20

-10

Asymptote

G0(jZ)

Z

Re -1

10 -10

-20

-30

Bild A.12 Stabilitätsbetrachtung nach Nyquist: P-T2-Strecke und PI-Regler (instabil)

434

Anhang

Wie der Ortskurvenverlauf zeigt, beträgt die Winkeländerung des Fahrstrahls [1 + G0(jZ)]

3  S, 2

'M

d. h. der Regelkreis ist instabil. b) An der Stabilitätsgrenze muss die Ortskurve G0(jZ) durch den kritischen Punkt Pkr = 1 gehen, d. h. für

Im [G0 ( jZ

kr )]

0

Re [G0 ( jZ

kr )]

1

muss

sein. Daraus folgt

ª T2 º  K PR K PS « 2  1» «¬ Tn T1 »¼

1

K PR K PS T22 ˜ T1 1  K PR K PS

Tn

5, 5 s .

c) Durch die Hinzunahme des D-Anteils wird die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises

K PR K PS ˜

G0 ( s)

s 2Tn Tv  sTn  1 sTn ( s 2T22  sT1  1)]

.

Die Polverteilung ändert sich gegenüber a) nicht, und die Forderung !

'M 

S 2

bleibt bestehen. Die Zerlegung des Frequenzganges G0(jZ) in Real- und Imaginärteil liefert:

Re (G0 )

K PR K PS Tn [(1  (Z T2 ) 2 ]  T1 (1  Z 2TnTv ) ˜ Tn (Z T1 ) 2  [(1  (Z T2 ) 2 ]2

Im (G0 ) 

K PR K PS Z 2TnT1  (1  Z 2TnTv )[1  (Z T2 ) 2 ] ˜ . Z Tn (Z T1 ) 2  [1  (Z T2 ) 2 ]2

(A.1)

(A.2)

An der Stabilitätsgrenze muss für

Im [G0 (Z

kr )]

0

(A.3)

Re [G0 (Z

kr )]

1

(A.4)

sein. Die erste Bedingung (A.3) liefert mit Gl. (A.2)

Lösungen der Übungsaufgaben 2 (1  Zkr TnTv ) 

435

2 Zkr TnT1 . 1  (ZkrT2 ) 2

(A.5)

Gl. (A.5) in Gl. (A.1) unter Berücksichtigung der Bedingung (A.4), eingesetzt, ergibt

Re [G0 (Z

kr )]

K PR K PS 1  (Z krT2 ) 2

1

bzw.

1  K PR K PS

2 Z kr

0,03 s -2 .

T22

2 Mit Z kr in Gl. (A.5) eingesetzt, folgt

Tv

1 2 ZkrTn

2 º ª Zkr TnT1 ˜«  1» 2 »¼ «¬1  (ZkrT2 )

2, 3 s .

Für Tv ! 2, 3 s wird die Ortskurve in der in Bild A.13 gezeigten Weise verformt. Die resultierende Winkeländerung ist dann, wie bei Stabilität gefordert, 'M Im

-20

-10

Asymptote

S 2

.

10 -1

-30



G0(jZ)

Re

'M

10

-10

Bild A.13 Stabilitätsbetrachtung nach Nyquist: P-T2-Strecke und PID-Regler (stabil)

Z -20

-30

Aufgabe 8.1 Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises lautet:

G0 ( s )

K PR K PS (1  sTn ) . sTn (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Zunächst wird die größte Zeitkonstante der Regelstrecke mit der Zeitkonstante des Reglers kompensiert, d. h.

Tn = Tgrößte= T1 = 8,5 s.

436

Anhang

Da T2 t 5˜T3 gilt, werden die beiden restlichen Zeitkonstanten durch eine Zeitkonstante TE ersetzt:

TE = T2 + T3 = 7,7 s. Damit entspricht die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dem Grundtyp A. Nach dem Betragsoptimum für Grundtyp A folgt:

G0 ( s )

K PR ˜ K PSy sTn ˜ (1  sTE )

Tn 2 ˜ K PSy ˜ TE

Ÿ K PR

6,9 .

Aufgabe 8.2 Für die gegebenen Werte Tv = T1 und TR = 0 ergibt sich die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises zu

G0 ( s )

K0

1  sT1 , 1  sT1

worin K0 = KPR KPS ist. Es gilt nr = 1 und ni = 0. Um das Bode-Diagramm zu ermitteln, wird KPR = 1 bzw. 20 lgK0 = 12 dB angenommen. Die Null- und Polstelle haben gleiche Realteile, jedoch mit unterschiedlichen Vorzeichen. Dadurch kompensieren sich die positive und negative Steigungen des Amplitudengangs gegenseitig im Bode-Diagramm (Bild A.14). ~G~dB 0 dB

102

101

20 lgK0

'dB

100

Z

+20 dB/Dek 20 dB/Dek

 20 dB 1/T1 90°

M(Z) 0°  90°

102

S0

101

1  2

M1(Z)

Bild A.14 Bode-Diagramm des offenen 100

Z

M(Z)=M1(Z)+M2(Z)

Kreises G 0 ( s )

K0

1  sT1 1  sT1

M2(Z)

 180°

Die Stabilitätsbedingung nach dem vollständigen Nyquist-Kriterium (6.61) (im vorliegendem Fall Xp  Xn = 0,5) wird erst dann erfüllt, wenn die 0-dB-Linie um

'dB = 12 dB bzw. ' K = 4 nach unten verschoben wird, weil dann der einzige halbe positive Schnittpunkt (S0 = + 1/2) in Betracht kommt. Der geschlossene Kreis wird bei KPR > ' K bzw. KPR > 4 stabil. Aufgabe 9.1 Für xt = 0 ist der Regelkreis linear. Die charakteristische Gleichung folgt aus

1  1 0 bzw. G R ( s )GS ( s )

Lösungen der Übungsaufgaben

437

s 3 TI T22  s 2 TIT1  sTI  K S , , ,  a2

a3

a1

0.

a0

Nach Hurwitz muss bei Stabilität

a1a 2  a 0 a 3

TI2T1  K STIT22 ! 0

T2 TI ! K S 2 T1

0,4 s

bzw.

sein. Demzufolge ist im Fall a) (TI < 0,4 s) das System instabil und im Fall b) (TI > 0,4 s) stabil. Aufgabe 11.1

Die Differenzengleichung wird aus der Differentialgleichung nach dem Typ I für zwei Abtastschritte i = k und i = k  1 abgeleitet:

T k K PR e k  K PR A ei Tn i 1

TR

y Rk  y Rk 1  y Rk TA

TR

y Rk 1  y Rk  2  y Rk 1 TA

¦

T k 1 K PR e k 1  K PR A ei . Tn i 1

¦

Daraus bilden wir den Zuwachs der Stellgröße beim Schritt k

'y Rk

y Rk  y Rk 1

bzw.

·º ¸¸»  'y Rk ¹»¼ k 1 · T § k K PR (ek  ek 1 )  K PR A ¨ ei  ei ¸. ¸ Tn ¨© i 1 i 1 ¹

ª§ y  y Rk 1 · § y Rk 1  y Rk 2 ¸¸  ¨¨ TR «¨¨ Rk TA TA «¬© ¹ ©

¦

¦

Unter Beachtung k 1

k

¦

ei 

i 1

¦ ei

ek

i 1

und mit Bezeichnungen

'y Rk 1

y Rk 1  y Rk 2 und 'ek

ek  ek 1

ergibt sich die Lösung aus der letzten Gleichung zu

TR ('y Rk  'y Rk 1 )  'y Rk TA

T K PR 'e k  K PR A e k . Tn

438

Anhang

Aufgabe 11.2

a) Nach analogem PI-Regelalgorithmus

ª 1 K PR «e(t )  T n ¬

y R (t )

º

³ e(t )dt »¼

erreicht die Stellgröße den Wert

yR = 6 zum Zeitpunkt t = 2,0 sec, wie aus der Sprungantwort für den Eingangssprung e0 = 2 ersichtlich (Bild A.15). yR(t) 5

KPR˜e0

4

Bild A.15 Sprungantwort des analogen PI-Reglers

3 2

KPR˜e0

1 0

Tn t /s

0,5 1,0 1,5

b) Der digitalisierte PI-Regelalgorithmus lautet:

y Rk

y Rk -1  K PR (e k  e k 1 ) 

K PR TA e k 1 Tn

y Rk

ª § T y Rk -1  K PR «ek  ¨¨1  A Tn © ¬«

º · ¸¸e k 1 » . ¹ ¼»

bzw.

Vor dem Eingangssprung ist k = 0 und ek-1 = 0, yk-1 = 0. Nach dem Sprung sind die abgetasteten Werte e0 = e1 =.. . = e4 = 2. Damit ergibt sich für die Stellgröße (Bild A.16):

yR0 = 0,00 + 1,5˜(2  0,75˜0) = 3,0 yR1 = 3,00 + 1,5˜(2  0,75˜2) = 3,75 yRk

6

yR2 = 3,75 + 0,75 = 4,50

5

yR4

4 3 2 1 0

yR0

yR1

TA

yR2

yR3 = 4,50 + 0,75 = 5,25

yR3

yR4 = 5,25 + 0,75 = 6,00

4TA

t /s

Bild A.16 Sprungantwort des digitalen PIReglers mit TA= 0,5 s

Lösungen der Übungsaufgaben

439

Aufgabe 11.3

Der PID-Algorithmus ist unten aufgestellt und als Struktogramm in Bild A.17 gezeigt.

w, x einlesen,

CARRY ? ja  e = e + 1 und SGN = 1

Die Bezeichnungen sind:

e w x

T summe ˜ A Tn

Int

Int r e

IntP

nein

yp = KPR e ja

summe r e

summe

SGN = 0, SGND = 0

e =w x

CARRY ?

nein

SGN ?

nein

yp = FFFF ja summe = summe  e

summe = summe + e CARRY ?

CARRY ? ja

nein

ja y = FFFF

nein

y = 0000

x0  x

D

Int = summe ˜ TA/ Tn

T D˜ v TA

Diff IntPD y

IntP r Diff

IntPD ˜ K PR

Die Variablen zum k-Abtastschritt sind ohne Indizes geschrieben, d. h. es sind folgende Bezeichnungen vorgenommen:

w wk

x0 y yp

Int = FFFF SGN ?

ja

nein

IntP = Int  e

IntP = Int + e

CARRY = 1 ? ja

nein

ja

CARRY = 1 ? nein

IntP = 0000

IntP = FFFF

D = x0  x

ja

xk

CARRY ?

nein

SGND ?

nein

Diff = FFFF

x k 1

ja Int PD = IntP  Diff

y Rk yk

nein

CARRY ? nein ja  D = D+1 und SGND = 1 x = x0 . Diff = D ˜Tv / TA

e ek

x

CARRY ?

ja

CARRY ?

K PR ˜ e

ja IntPD = FFFF

Mit e  1 ist das Zweierkomplement bezeichnet.

Int PD = IntP + Diff CARRY ?

nein

ja IntPD = 0000

y = IntPD˜ KPR ja

CARRY ?

y = FFFF y ausgeben

Bild A.17 PID-Algorithmus

nein

nein

440

Anhang

Aufgabe 11.4

In Bild A.18 ist das Programm des PI-Reglers nach IEC-61131-Norm mit Funktionsbausteinsprache (Concept 2.6, Schneider Electric GmbH) dargestellt. Die deklarierten Variablen sind: KPR für KPR und KIR für KI. Die Störgröße ist mit STR definiert und dient zur Strukturumschaltung (Bild A.19) Der EFB MOVE soll lediglich den Eingang (Störgröße z) abzweigen. Dieser Funktionsbaustein wird als Zuweisung bezeichnet und ist für alle Datentypen einsetzbar: die erste angelegte Variable bestimmt den Datentyp des Bausteins. PIDP1

Sollwert w %3:00002 Istwert x %3:00003

Störgröße z %3:00004

MOVE

0 0

MAN HALT

INT_TO_ REAL

SP

INT_TO_ REAL

PV

INT_TO_ REAL

BIAS

0

STR

KPR

REAL_TO_INT

%4:00001

ERR

REAL_TO_INT

%4:00002 Regeldifferenz e

QMAX D_ON_X REVERSE QMIN KP

KIR

KI

0.0 t#0.0s

KD

32000.0 0.0 16000.0

Stellgröße y Y

%0:00001 %0:00002

TD_LAG YMAX YMIN YMAN

Bild A.18 PI-Regelalgorithmus mit dem Standard-PID-Funktionsbaustein. Der Differenzierbeiwert KD bzw. der Eingang KD ist auf Null gesetzt. Weiterhin gilt KI = KPR / Tn.

STR

REAL_TO_INT

GT_INT

5

BOOL_TO_REAL

MUL_REAL

ADD_REAL

KPR

4.0 NOT_BOOL 2.0

MUL_REAL

BOOL_TO_REAL MUL_REAL 0.4

Bild A.19 Strukturumschaltung bei STR > 5 bzw. STR d 5

KIR

Lösungen der Übungsaufgaben

441

Aufgabe 11.5

Der Wirkungsplan des analogen Regelkreises ist im Bild A.20 gezeigt. Der geschlossene Kreis hat den P-T1-Verhalten

K IR K PS s K IR K PS 1 s

G0 ( s ) G w ( s) 1  G0 ( s )

K IR K PS s  K IR K PS

1 1 s 1 K IR K PS

mit der Zeitkonstante

1 K IR K PS

Tw

1 2s

1

0,0625 s ˜8

und dem Proportionalbeiwert KPw = 1. Beim Eingangsprung w0 =2 erreicht die Regelgröße den Beharrungszustand x(f) = KPw ˜w0 = 2, wie die Kurve in Bild A.21 zeigt. Wird der analoge Regler durch einen digitalen I-Regler ersetzt, kommen die Differenzengleichungen in Betracht: x

Regler:

yk

e  e k 1 y k 1  K IR ˜ TA ˜ k 2

x

Additionsstelle: e k

wk  x k

x

Regelstrecke:

xk

K PS ˜ y k

w

+

x k 1 , K PS

yk

KIR

y

KPS x



Bild A.20 Wirkungsplan des analogen Regelkreises

Ersetzt man yk1 und yk durch xk1 und xk

y k 1

e

xk , K PS

so ergibt sich die Gleichung des geschlossenen Regelkreises zu

xk K PS

x k 1 e  ek 1  K IR ˜ TA ˜ k 2 K PS

x k 1 w  x k  wk 1  x k 1  K IR ˜ TA ˜ k . 2 K PS

Unter Beachtung wk1 = wk für den Eingangssprung findet man schließlich die rekursive Formel für die abgetastete Regelgröße:

xk

1  0,5 ˜ K IR ˜ K PS ˜ TA 2 ˜ K IR ˜ K PS ˜ TA ˜ x k 1  ˜ wk 1 1  0,5 ˜ K IR ˜ K PS ˜ TA 1  0,5 ˜ K IR ˜ K PS ˜ TA

Daraus folgt für die Kennwerte des Regelkreises:

xk

1  0,5 ˜ 2 s 1 ˜ 8 ˜ 0,05 s 1  0,5 ˜ 2 s 1 ˜ 8 ˜ 0,05 s

˜ x k 1 

bzw.

xk

0,43 ˜ x k 1  0,57 ˜ wk 1

2 ˜ 2 s 1 ˜ 8 ˜ 0,05 s 1  0,5 ˜ 2 s 1 ˜ 8 ˜ 0,05 s

˜ wk 1

442

Anhang

Die Sprungantwort wird berechnet, angefangen von x0 = 0 und w0 = 2. Daraus ergibt sich das P-T1-Verhalten (Bild A.21): x1

0,43 ˜ 0,00  0,57 ˜ 2 1,14

x2

0,43 ˜1,14  0,57 ˜ 2 1,63

x3

0,43 ˜1,63  0,57 ˜ 2 1,84

x4

0,43 ˜1,84  0,57 ˜ 2 1,93

x5

0,43 ˜1,93  0,57 ˜ 2 1,97

x6

0,43 ˜1,99  0,57 ˜ 2 1,99

x(t)) x(t 2,0 1,0 0

2TA

4TA

6TA

t/s

Bild A.21 Sprungantworten zu Aufgabe 11.5

Aufgabe 12.1

Das MATLAB-Skript zum Erstellen eines Zufallsvektors: » % Programm zur Analyse von Elementen eines Zeilenvektors » z = rand (1, 20); » wertmax = max (z); » wertmin = min (z); » mittelwert = mean (z); » wertsumme = sum (z); » s = sort (z) » subplot (211); bar (z, ‘w’ ); » subplot (212); plot(s, ‘w’ );

Aufgabe 12.2

Die Sprungantwort des Kreises

G ( s)

K0 , ( s  s P1 )( s  s P2 )

mit K0 = 0,041, sp1 =  0,29, sp2 =  0,11 ist nach dem folgenden Programm simuliert (Bild A.22): » z = [ ]; » p = [  0.29 0.11 ]; » k = 0.041; » [ num, den ] = zp2tf ( z, p, k ) ; » step ( num, den, ’k’ )

Bild A.22 Sprungantwort eines P-T2-Gliedes mit sp1 =  0,29 und sp2 =  0,11

Lösungen der Übungsaufgaben

443

Aufgabe 12.3

Nach MATLAB-Anweisungen » pol = [ 0.1

0.6 1];

» roots(pol)

werden die Polstellen des Nennpolynoms ermittelt ans =

3.0000 +1.0000i 3.0000 1.0000i

und in das folgende Programm eingesetzt. » z = [ ]; » p = [3.0000+1.0000i

3.0000 1.0000i ];

» k = 0.4; » [ num, den ] = zp2tf ( z, p, k) ; » step( num, den )

Aufgabe 12.4

Zunächst wird die Übertragungsfunktion des PID-Reglers GR(s), wie in Beispiel 5.3. gezeigt, in zwei PD-Glieder G1(s), G2(s) und ein I-Glied G3(s) zerlegt:

G R ( s ) G1 ( s ) ˜ G 2 ( s ) ˜ G3 ( s )

K PR

(1  sTnc )(1  sTvc ) . sTn

Die Zeitkonstanten sind:

Tnc

7,24 s ; Tvc

2,76 s , Tn

Tnc  Tvc

10 s .

Die Berechnung des Amplituden- und Phasenganges erfolgt nach folgenden Formeln:

absG1 20 lg G1 ( jZ )

20 lg K PR  10 lg [1  (ZTnc ) 2 ]

M1 arctan ZTnc

absG 2 20 lg G 2 ( jZ )

10 lg[1  (ZTvc ) 2 ]

M2

arctan ZTvc

absG 3 20 lg G3 ( jZ )

20 lg(ZTn )

M3

S / 2 .

Der Verlauf des ermittelten Bode-Diagramms ist im Bild 12.23 gezeigt. Die mit MATLABEditor manuell eingetragenen Asymptoten lassen die Ergebnisse auswerten. Der Z -Bereich von 10 teilt:

2 1

s

bis 10

1 1

s

ist durch Eckfrequenzen Z E1 und Z E2 (Variablen omn, omv) unter-

Z E1 = 1/ T’n = 0,138 s1

Z E2 = 1/ T’v = 0,362 s1. 1

Der Amplitudengang des I-Gliedes soll die Z -Achse für KI0 = KPR/Tn = 2 s KPR-Wert kann aus 20˜lg (KPR) = 26 dB ermittelt werden. Für M (Z 0 )

Z0

1 Tn Tv

0,223 s -1 und G R ( jZ 0 )

K PR .

schneiden. Der

0q wird

444

Anhang

Das MATLAB-Programm ist unten gezeigt. K = 20;

% Eingabe von Parametern

Tn = 7.24; Tv = 2.76; 2 1

w = logspace(2,1);

% Z-Bereich 10

omn = w*Tn;

% Z Tn

omv = w*Tv;

% Z Tv

omnv = w*(Tn+Tv);

% Z (Tn + Tv)

s

1 1

bis 10 s

absG1 = 20*log10(K)+10*log10(1+omn.*omn) ; % Berechnung des Amplitudengangs absG2 = 10*log10(1+omv.*omv); absG3 = -10*log10(omnv.*omnv); absG = absG1 + absG2+absG3; subplot(211);

% Das erste Fenster öffnen

semilogx(w, absG); grid;

% Ausgabe des Amplitudengangs

subplot(212);

% Das zweite Fenster öffnen

phi1= atan(omn);

% Berechnung des Phasengangs

phi2=atan(omv); phi3=-pi/2; phi = phi1+phi2+phi3; semilogx(w, phi*180/pi); grid;

Z E1

% Der Phasengang (in Grad)

K Io

Z0

Z E2

Bild A.23 Bode-Diagramm eines PID-Gliedes mit K PR

20 ; Tnc

7,24 s ; Tvc

2,76 s

Lösungen der Übungsaufgaben

445

Aufgabe 12.5

Der Entwurf des Kompensationsreglers erfolgt nach Gl. (12.2):

GR ( s)

GM (s) 1 ˜ 1  G M ( s ) GS ( s )

GR ( s)

K M (1  sT1 ) K PS (1  sTM  K M )

1 1 1 GM (s)

˜

1  sT1 K PS

1  sT1 1 ˜ 1  sTM K PS 1 KM

bzw.

MAN HALT X GAIN LEAD LAG YMAN

Y

1  sT1 . TM 1 s 1 KM

Der Kompensationsregler wird wie ein PD-T1Glied (Bild A.24).ausgelegt:

LEAD_LAG1 0 0 temp_istt temp_is 0.3125 t#2.0s t#0.0625s 16000.0

KM ˜ K PS (1  K M )

stellwert

Bild A.24 PD-T1-Regler mit dem FBD LEAD-LAG1 der Bibliothek CONT_CLC von Concept

GR ( s)

K PR

1  sTv . 1  sTR

Die Kennwerte des Reglers sind:

KM K PS (1  K M )

K PR

Tv

T1

TR

TM 1 KM

0,3125

2s 0,0625 s .

Aufgabe 12.6

Das MATLAB/Simulink-Programm des Regelkreises mit dem PI-Regler ist in Bild A.25 gezeigt. Der Regler hat gleiche Einstellung wie der Smith-Prädiktor in Bild 12.25.

Bild A.25 MATLAB/Simulink-Programm des Regelkreises mit dem „klassischen“ PI-Regler

446

Anhang Mit dem Befehl plot (t, y) wird die Sprungantwort ausgegeben, die in Bild A.26 dargestellt ist. Der Sprung der Führungsgröße w0 = 1 erfolgt zum Zeitpunkt t = 5 s. Aus dem Bild A26 folgt, dass der Regelkreis mit dem PIRegler instabil ist.

Bild A.26 Sprungantwort des Kreises mit PI-Regler zu Aufgabe 12.6 Aufgabe 12.7

Es werden alle vier Eingangswerte (0, 0), (0, 1), (1, 0) und (1, 1) nacheinander dem KNN vorgegeben. Die Netzantwort y = 1 wird zur Klasse A und y = 0 zur Klasse B zugeordnet. Die Lösung ist im Bild A.27 gezeigt. Daraus erkennt man sofort, dass das KNN die logische Funktion XOR gelernt hat. Charakteristisch für die Mehrschicht-KNN ist die Klassifizierung mit Hilfe von mehreren Geraden. Das entsprechende MATLAB-Programm ist unten gezeigt.

Bild A.27 Klasseneinteilung des trainierten KNN

x1 = 1; x2 = 1;

% Eingabe für Punkt (1, 1)

Av =  6.4 * x1  6.4 * x2 + 2.2;

% Aktivierung des verdeckten Neurons

v = 1 / (1 + exp ( Av) );

% Ausgang des verdeckten Neurons

Ay = 4.2 * x1 4.2 * x2  9.4 * v + 6.3;

% Aktivierung des Ausgangsneurons

if Ay > 0

% Transferfunktion y = 1;

% Klasse A

plot (x1, x2, ‘x’);

% Graphische Darstellung mit „x“-Zeichen

elseif Ay < 0

end hold on

y = 0;

% Klasse B

plot (x1, x2,’o’);

% Graphische Darstellung mit “o”-Zeichen % Ende der if-Blocks % Die Grafik im Fenster halten

447

Anhang

Hinweise zur Zustandsregelung Die Zustandsregelung wurde in diesem Buch bereits an drei Stellen implizit erwähnt: •

Auf der Seite 273 wurde eine Differentialgleichung 2. Ordnung, die einem nichtlinearen System entspricht, durch Einführen der Zustandsvariablen umgeformt und mittels Trajektorien in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet. Mit Hilfe dieser Trajektorien bzw. Zustandskurven kann man die Stabilität des Systems bestimmen.

•

Auf der Seite 386 wurden die Zustandsrückführungen simuliert, welche die Regelung des Doppel-I-Gliedes im geschlossenen Kreis ermöglichen.

•

Auf der Seite 266 wurden die Begriffe der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit eines Mehrgrößensystems eingeführt, die auch für den Entwurf von Zustandsregelungen sehr wichtig sind.

Diese Methoden in einem Kapitel zu beschreiben ist unrealistisch. Nachfolgend werden nur die Grundlagen der Zustandsregelung kurz erläutert, um den Einstieg in die weiterführende Literatur, z. B. [28], [34], [81] und [135], zu erleichtern. Einfaches Beispiel: Zustandsrückführung Die Methoden der Zustandsregelung sind besonders effektiv für nichtlineare Strecken und Mehrgrößenstrecken. Wir beginnen jedoch die Einführung in die Zustandsregelung von einem linearen Beispiel (s. Seite 386), um zu zeigen, dass die Zustandsregelung auch ohne spezielle Kenntnisse für einfache Regelstrecken erfolgen kann. Gegeben ist eine Strecke (Bild A.28), die aus zwei I-Gliedern mit KIS1 = KIS2 = 1 s-1 besteht. Die Strecke hat messbare Zustandsvariablen x und x1. Nach einem Einheitssprung der Stellgröße u(t) soll die Regelgröße von x(0) = 0 zu einem gegebenen Endwert, z. B. x(∞) = 1 gebracht werden, und zwar so, dass sich der Dämpfungsgrad zwischen ϑ = 0,3 und ϑ = 0,4 befindet. Die dafür benötigten Polstellen p1 und p2 des geschlossenen Kreises sind unten gegeben. Solche Verfahren nennt man Polzuweisung bzw. Pole Placing. Die Aufgabe besteht also in einer geeigneten Wahl der Proportionalbeiwerten k1 und k2. KIS1 u

k

+

− +

x1

KIS2 x

p1 = −1 + 2 j

k1

+ k2

Bild A.28

Die gewünschten Polstellen:

Regelung eines Doppel-I-Gliedes mit Zustandsrückführungen

p 2 = −1 − 2 j

448

Anhang

Bestimmen wir zuerst die Übertragungsfunktion des ersten, inneren Kreises

1 1 1 1 1 / k1 s Gw1 ( s ) = = = = , wobei Tw = ist. 1 k sT s + k + 1 § · 1 1 1 w 1 + ⋅ k1 k1 ¨¨1 + s ¸¸ s k1 ¹ © Dann wird die Übertragungsfunktion des zweiten, äußeren Kreises bestimmt:

1 1 1 ⋅ ( 1 + k s sTw ) 1 1 s Gw ( s ) = = = 2 1 1 1 ⋅ k1 s + k1s + k 2 1 + Gw1 ( s ) ⋅ ⋅ k1 1 + ⋅ s k1 s (1 + sTw ) Gw1 ( s ) ⋅

Laut Aufgabenstellung ist die gewünschte Übertragungsfunktion GM(s) mit den gegebenen Polstellen wie folgt gegeben:

GM ( s ) =

1 1 1 = 2 = 2 ( s − p1 )(s − p2 ) s − s( p1 + p2 ) + p1 p2 s + 2s + 5

Aus der Bedingung

Gw ( s ) = GM (s ) folgt die Lösung:

s 2 + k1s + k 2 = s 2 + 2s + 52

­ k1 = 2 ® ¯k 2 = 5

Ÿ

Um den Beharrungswert x(∞) nach dem Einheitssprung u0 = 1

x(∞) = lim k ⋅ Gw ( s ) ⋅ u0 = lim s →0

s →0

k 2

s + 2s + 5

⋅ u0 =

k 5

an den gegebenen Wert x(∞) = 1 anzupassen, wird k = 5 eingestellt. Zustandsebene Die vorherige Aufgabe wurde nicht wie gewöhnlich formuliert und gelöst. Die Stellgröße wurde nicht wie üblich mit y, sondern mit u bezeichnet. Anstelle eines Reglers wurden zwei Zustandsrückführungen k1 und k2 eingesetzt. Im Wirkungsplan fehlt die Führungsgröße, sie ist in der Aufgabenstellung als die Bedingung x(∞) = 1 enthalten. Zwar wurde die Aufgabe mit gewöhnlichen Methoden gelöst, ist die Lösung nur für einfache Strecken mit zwei-drei Zustandsvariablen möglich. Um das Verfahren zu verallgemeinern, soll der Wirkungsplan der Strecke anders als bisher dargestellt werden. Man sagt, die Strecke soll im Zustandsraum beschrieben werden. Kehren wir dafür zur Seite 273 zurück, jedoch betrachten wir diesmal eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung:

d 2 x(t ) dt

2

+ a1

dx(t ) + a0 x(t ) = k ⋅ u (t ) bzw. x + a1 x + a0 x = k ⋅ u dt

Die freie, ungezwungene Bewegung des Systems bei u = 0 wird wie folgt beschrieben:

x + a1 x + a0 x = 0

Hinweise zur Zustandsregelung

449

Fügen wir neue Variablen ein, nämlich:

x1 = x x2 = x Unter Beachtung x = x1 und x = x2 sowie x = x2 , wird die letzte Differentialgleichung der freien Bewegung des Systems umgeschrieben:

­ x 2 + a1 x2 + a0 x1 = 0 ® ¯ x1 = x2

­ x 2 = −a1 x2 − a0 x1 ® ¯ x1 = x2

bzw.

Der Vorteil dieser Darstellung besteht einerseits darin, dass die DGL 2. Ordnung durch die DGL 1. Ordnung ersetzt wurde; andererseits folgen daraus die Gleichungen x2 = f (x1) von Trajektorien in der Zustandsebene. Um die Trajektorien zu bilden, dividieren wir die obere Differentialgleichung des letzten Gleichungssystems durch die untere

­ dx2 ° dt = −a1 x2 − a0 x1 ® dx ° 1 = x2 ¯ dt

t=0

x1 = x

Bild A.29

Ÿ

und eliminieren wir daraus die Zeit: dx2 x = − a1 − a0 1 dx1 x2

•

x2 = x

0

dx2 dt = − a1x2 − a0 x1 dx1 x2 x2 dt

Aus der letzten DGL kann man unter bestimmten Bedingungen die Trajektorien (Isoklinen) bestimmen (s. Seite 274), wobei jedem Zeitpunkt t ein Punkt der Zustandebene (x1, x2) entspricht (Bild A.29). Die Zusammensetzung von allen Punkten, angefangen von t = 0 bis zum Endwert bei t = ∞, stellt grafisch die freie Bewegung des Systems dar.

Zustandsebene

Wenn die Zustandskurve bei t = ∞ den Wert x2 = 0 erreicht, wie im Bild A.30 gezeigt ist, wird das geschlossene System stabil. In der letzten Gleichung handelt es sich um eine Singularität x1 . Es gilt dabei x1 = 0 bzw. x1 = const, wie es aus der Gleichung x1 = x2 folgt. Gleichzeitig 0 ergibt sich aus der Gleichung x2 = −a1x2 − a0 x1 die folgende Bedingung für Ruhelage: •

x2 = x

x 2 = −0 − a0 x1 = 0

x2 = x

Ruhezustand im Koordunatenanfang 0

− a0 x1 = 0

Ruhelage auf der x - Achse

Somit sind zwei Fälle für eine stabile Ruhelage möglich:

0 x1 = x

x1 = x

a) x1 = 0 (Bild A.30 links) b) −a0 = 0 (Bild A.30 rechts)

Bild A.30

Beharrungszustände von stabilen Systemen

450

Anhang

Stabilitätsuntersuchung in der Zustandsebene Betrachten wir die Gleichung der Zustandskurve

dx2 x = − a1 − a0 1 dx1 x2 und nehmen wir an, dass x2 und x1 miteinander linear verbunden sind:

x2 = K ⋅ x1 Dies entspricht einer Geraden mit der Steigung

dx2 =K. dx1 Die Zustandsgleichung wird damit zu einer quadratischen Gleichung umgewandelt und gelöst:

dx2 x = K = −a1 − a0 1 dx1 x2

Ÿ

K 2 + a1K + a0 = 0

Ÿ

K 2 = −a1K − a0

K1,2 = −

a1 ± 2

a12 − 4a0 4

Abhängig vom Vorzeichen des Terms a12 − 4a 0 entstehen unterschiedliche Zustandskurven. Die typischen Zustandskurven und die Sprungantworten sind in der Tabelle A.1 gezeigt. In der Tabelle A.2 sind gesondert die Trajektorien einer DGL 2. Ordnung bei a1 = 0 oder a0 = 0 zusammengefasst:

x + a1 x = k ⋅ u Tabelle A.1 Verlauf der Zustandskurven bei Bedingungen a12 > 4a0 I

II

a1 > 0

a0 > 0

a1 < 0

III a0 > 0

x2

a1 > 0

a0 = 0

x2 x1

x1 t

0

x1

Knotenpunkt instabil

x1

a0 < 0 x2

0

0

Knotenpunkt stabil

a1 > 0

x2 x1

0

IV

Wirbelpunkt

Sattelpunkt

x1 t

x1

x1 t

t

Hinweise zur Zustandsregelung

451

Tabelle A.2 Zustandskurven bei a0 = 0 oder a1 = 0 a0 = 0

a1 = 0

dx2 = −a1 dx1

x2 dx2 = −a0 x1dx1 x22 x2 + 1 =1 a0C C

x2 = −a1x + C I

II

III

IV

a1 > 0

a1 < 0

a0 > 0

a0 < 0

x2

x2 x1

0

x1

stabil

x2

x2

0

x1

instabil

Wirbelpunkt

x1

Asymptotisch instabil

Insgesamt sind folgende drei Fälle möglich: •

Fall 1:

a12 < 4a0

imaginäre Polstellen

•

Fall 2:

a12 > 4a0

komplexe Polstellen (die weiteren Optionen sind in der Tabelle A.3 zusammengefasst)

•

Fal 3

a12 = 4a0

reelle Polstellen

Tabelle A.3 Knotenpunkte bei der Bedingung a12 > 4a0 I

II

III

IV

a1 > 0

a0 > 0

a1 < 0

a0 > 0

a1 > 0

a0 < 0

K1 < 0

K2 < 0

K1 > 0

K2 > 0

K1 > 0

K2 < 0

x2

a1 < 0

a0 < 0

K1 < 0

K2 > 0

x2

x2

x1

0 x1

0

stabil

a0 < 0

K1 = − K2

x2

x2 x1

a1 = 0

V

instabil

0

x1

instabil

0

x1

instabil

0

instabil

452

Anhang

Zustandsrückführung eines nichtlinearen Systems Zeigen wir nun, wie man mit Hilfe der Zustandsebene einen Kreis für die Regelung des Doppel-I-Gliedes mit einem Zweipunktregler entwerfen kann. Das Stellsignal u wird zwischen zwei Werten umgeschaltet: u = +1 and u = −1. Die Differentialgleichung der Strecke mit dem Integrierbeiwert KI ist gegeben:

x = K I ⋅ u Wie oben beschrieben, werden neue Variablen

x1 = x x2 = x eingefügt und ein Gleichungssystem gebildet:

­ x 2 = K I ⋅ u ® ¯ x1 = x2 Weiterhin wird die obere Gleichung durch die untere dividiert:

dx2 dt = K I ⋅ u dx1 x2 dt Es ergibt sich eine DGL 1. Ordnung mit folgender Lösung:

dx2 K I ⋅ u = dx1 x2

x2 ⋅ dx2 = K I ⋅ u ⋅ dx1

Ÿ

Ÿ

x22 = K I ⋅ u ⋅ x1 + C 2

Die Lösung stellt sich in der Zustandsebene eine quadratische Parabel dar:

x22 = 2 K I ⋅ u ⋅ x1 + C Nehmen wir an, dass KI = 1 ist. Die entstehenden Parabelscharen sind in Tabelle A.4 gezeigt. Tabelle A.4 Zustandskurven der Regelstrecke (Doppel-I-Glied) bei zwei Stellwerten u = ± 1 u = +1

u = −1

x22 = 2 x1 + C

x22 = −2 x1 + C

x2

x2

C=0

C=0 0

x1

0

x1

Hinweise zur Zustandsregelung

453

Der Zweipunktregler schaltet ein und ab, wenn die Regeldifferenz e=w−x den Wert e = 0 erreicht. Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass w = 0 ist. In diesem Fall wird e= −x=0 bzw. die Zustandsvariable − x1 = 0. Somit liegt die Schaltlinie direkt auf der Ordinatenachse x1 = 0, wie in Bild A.31 links gezeigt ist. Daraus ist ersichtlich, dass ein Grenzzyklus bzw. eine Dauerschwingung mit konstanter Amplitude entsteht. Die Trajektorien nähern sich nicht dem Ursprung, sondern durchlaufen eine geschlossene Kurve. x2

x2

α x1

x1

Schaltlinie x1 = 0

Bild A.31

Schaltlinie x2 = −k1x1

Zustandskurven des Regelkreises und Schaltlinien des Zweipunktreglers

Aus der Betrachtung der beiden Parabelscharen stellt man fest, dass eine nach links geneigte Schaltlinie, wie im Bild A.31 rechts gezeigt ist, den Grenzzyklus in eine Spirale umwandelt. Nach jeder Umschaltung wird die Amplitude kleiner, so dass die Trajektorie nach endlich vielen Umschaltungen den Koordinatenanfang bzw. die Ruhelage erreichen wird. Die Schaltlinie x2 = − k1 x1 mit der Steigung k1 kann in Regelkreis eingebaut werden, indem man die negative Rückführung des Kreises mit einer zusätzlichen Rückführung, wie im Bild A32 gezeigt, erweitert. Die Schaltlinie x2 = − k1 x1 wird mit dem Koeffizient k1 > 0 erzeugt:

x2 = −k1 x1

x2 + kx1 = 0

Ÿ

1 x2 + x1 = 0 k1 ,

Ÿ

Ÿ

k 2 x2 + x1 = 0

k2

u=±1

+

KIS1 u

w

•

x2 = x

KIS2 x1 = x

− +

k2

+

Bild A.32

Stabilisierende Rückführung des Kreises mit dem Doppel-I-Glied

454

Anhang

In Wirklichkeit erreicht jedoch die Spirale nicht den Ursprung, sondern endet auf der Schaltgeraden. Danach rutscht der Arbeitspunkt geradlinig zum Ursprung entlang der Schaltlinie. Es wird empfohlen, die Steigung der Schaltgeraden k1 = tan α möglichst groß oder möglichst klein zu wählen. Bei großen k1 hat der Rückführkoeffizient k2 einen kleinen Wert, und folglich wird die Zeitkonstante klein. Aber mit dem Winkel α ≈ 90° steht die Schaltgerade fast senkrecht, und die Schwingungen werden erst nach mehreren Umschaltungen abklingen. Bei kleinen k1 dagegen hat die Schaltgerade sehr starke Neigung, große Schwingungsperiode, aber wenige Schnitte mit der Schaltgeraden. Im Bild A.33 ist der oben behandelte Regelkreis mit k2 = 0,045 bzw. k1 = 22,2 und α ≈ 88° simuliert (große Steigung der Schaltgeraden). Nach 9 Umschaltungen landet die Spirale auf den Schaltgeraden und rutscht in Ursprung.

Bild A.33

Simulation eines nichtlinearen Regelkreises mit Zustandsrückführung

Zustandsraum Die grafische Darstellung der Zustandsebene lässt viele Aufgaben effektiv lösen, ist jedoch für Systeme mit mehr als zwei Variablen ungeeignet. Für solche Fälle sollen Matrizen und Vektoren als Beschreibungsfunktionen einbezogen werden, wie es bereits im Abschnitt 8.7 für den Fall der Mehrgrößenregelung gezeigt wurde. Der Wirkungsplan einer Mehrgrößenstrecke ist im Bild A.34 gezeigt. Die Struktur ähnelt sich dem Bild A.28, jedoch ist . hier die Regelgröße x nicht x y u x messbar. Sie wird über den ´ B C ¶ Block C als Signal y auf+ genommen. Der Block A gehört nicht zur Regelung, A wie im Bild A.28, sondern zur Streckenstruktur. Bild A.34

Wirkungsplan einer Strecke mit Zustandsvariablen

Die Zustandsgleichungen der Mehrgrößenstrecke lauten:

x = A x + B u

Zustandsgleichung (state equation)

y =Cx

Beobachtungsgleichung (observation equation)

Hinweise zur Zustandsregelung

455

Die in diesen Gleichungen und in dem Wirkungsplan vorkommenden Signale sind: x Zustandsvektor

Dimension (n × 1)

u Stellgrößenvektor (Eingang)

Dimension (m × 1)

y Regelgrößenvektor(Ausgang)

Dimension (r × 1), wobei r = n + m.

Die Matrizen sind: Steuermatrix B (n, m)

Eingangsmatrix

Systemmatrix A (n, n)

Dynamikmatrix

Beobachtungsmatrix C (r, m)

Ausgangsmatrix

Selbstverständlich entsteht sofort die Frage: Wie kann man die gewöhnlichen Übertragungsfunktionen in die Zustandsgleichungen umwandeln und umgekehrt? Die analytische Umwandlung für Systeme 2. Ordnung mit der Übertragungsfunktion

G ( s) =

k 2

a2 s + a1s + a0

bzw. mit der Differentialgleichungen

a2 x + a1 x + a0 x = k ⋅ u ist durchaus möglich. Es werden neue Variablen eingefügt

a a k ­ u ° x 2 = − 1 x2 − 0 x1 + a2 a2 a2 ® °¯ x1 = x2 und mit folgenden Bezeichnungen

−

a1 = A1 a2

−

a0 = A1 a2

k =B a2

in Vektor-Matrizen-Form umgeschrieben:

§ x2 · § A1 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © x1 ¹ © 1

A2 0

§ x1 · B· ¨ ¸ ¸¸ ⋅ ¨ x2 ¸ 0¹ ¨ ¸ ©u¹

Ÿ

§ x · x = ¨¨ 2 ¸¸ © x1 ¹

§A A = ¨¨ 1 ©1

A2 · ¸ 0 ¸¹

§ B· B = ¨¨ ¸¸ ©0¹

Daraus folgt die Zustandbeschreibung: x = A x + B u Für Systeme mit mehreren Variablen stellt der Control System Toolbox vom MATLAB die Konvertierungsbefehle zur Verfügung (Tabelle A.5). Beachten wir, dass auch die Matrix D in der Tabelle vorkommt, die in diesem Abschnitt nicht betrachtet wird. Die Durchgangsmatrix D(r, m) führt das Stellsignal u vorwärts auf das Ausgangsignal und wird mit y addiert. Man soll auch die Bezeichnungen beachten: die Stellgröße bei Zustandsgleichungen wird als u, wie es in der Literatur über Zustandsregelung üblich ist, bezeichnet. Bei Übertragungsfunktionen wird aber für die Stellgröße die Bezeichnung y, wie überall in diesem Buch, behalten.

456

Anhang

Tabelle A.5 Systembeschreibung (Konvertierung) mit MATLAB /Control Systems Toolbox

Umwandlung

Bezeichnung des Befehls

MATLABBefehl

Anwendung

Übertragungsfunktion in Zustandsgleichung

transfer function to state space

tf2ss

[A, B, C, D] = tf2ss (num, den)

Zustandsgleichung in Übertragungsfunktion

state space to transfer function

ss2tf

[num, den] = ss2tf (A, B, C, D)

Beispiel: Es soll die Zustandsgleichungen bzw. die Matrizen A, B, C und D für gegebene Übertragungs10 bestimmt werden. funktion G ( s ) = 2 s + 5s + 6 Das MATLAB-Skript sieht wie folgt aus: num = [10]; den = [ 1

5

% Eingabe des Zählerpolynoms 6 ];

% Eingabe des Nennerpolynoms

[A, B, C, D] = tf2ss (num, den)

% Konvertierung

Ausgabe:

§− 5 A = ¨¨ © 1

− 6· ¸ 0 ¸¹

§1· B = ¨¨ ¸¸ © 0¹

C = (0 10)

D=0

Das entsprechende System der Differentialgleichungen ist:

­ x1 = −5 x1 − 6 x2 + u ° ® x 2 = x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ u ° y = 0 ⋅ x + 10 x + 0 ⋅ u 1 2 ¯ Beispiel: Gegeben ist das System der Zustandsgleichungen, dass in die Übertragungsfunktion bzw. Differentialgleichung konvertiert werden soll:

­ x1 = 10 x1 + 5 x2 + 4u ° ® x 2 = 15 x1 + 3x2 + 5u ° y = x + x + 0⋅u 1 2 ¯

§10 bzw. A = ¨¨ ©15

5· ¸ 3 ¸¹

§ 4· B = ¨¨ ¸¸ ©5¹

C = (1 1)

Das MATLAB-Skript: A = [10, 5; 15, 3];

% Eingabe der Systemmatrix A

B = [4; 5];

% Eingabe der Steuermatrix B

C = [1, 1];

% Eingabe der Ausgangsmatrix C

D = 0;

% Eingabe der Durchgangsmatrix D

[num, den] = ss2tf [A, B, C, D]

% Konvertierung

D=0

Hinweise zur Zustandsregelung Ausgabe:

num = [ 0

9

23 ];

den = [ 1

−13

−45 ];

457 % Zählerpolynom % Nennerpolynoms

Die gesuchte Übertragungsfunktion und DGL des Systems mit der Eingangsgröße y(t) und der Ausgangsgröße x(t) sind somit:

9s + 23 G (s) = 2 s − 13s − 45

Ÿ

x(t ) − 13x (t ) − 45 x(t ) = 9 y (t ) + 23 y (t )

Man stellt sofort fest, dass die gegebene Strecke instabil ist, da die Koeffizienten des Polynoms 2. Ordnung negativ sind. Die Stabilitätsprüfung kann auch für Zustandsgleichungen einfach vorgenommen werden, indem man die Polstellen mit dem Befehl P = eig(A) bestimmt. Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit Die Besonderheit von Mehrgrößensystemen besteht darin, dass sich die Strecke nicht unbedingt beobachten und steuern lässt, wie es auf der Seite 266 bereits kurz angesprochen wurde. Dies betrifft Systeme, die sowohl mittels Übertragungsfunktionen, als auch mittels Zustandsgleichungen beschrieben sind. Ein Regelkreis ist steuerbar, wenn die Regelgröße von einem beliebigen Anfangszustand in einen gewünschten Endzustand mittels geeigneten Stellgrößen überführt werden kann. In der Literatur wird zwischen Steuerbarkeit und vollständiger Steuerbarkeit unterschieden, sowie der Begriff der Erreichbarkeit eingeführt. Die Beobachtbarkeit betrifft die Messbarkeit der Regelstrecke. Wenn nicht alle Zustandsvariablen messtechnisch zu erfassen sind, soll die für die Regelung erforderliche Information aus dem Ausgangsvektor y gewonnen werden. Dafür wird die Regelung über eine bestimmte Zeit beobachtet, um daraus abschließend die Zustandsvariablen zu rekonstruieren. Laut Kalman wird ein System mit der Dynamikmatrix A dann vollständig steuerbar, wenn eine speziell dafür gebildete Matrix SS der Dimension (n, n⋅m), genannt Steuerbarkeitsmatrix SS = ( B

AB

A2 B ... An − 1 B),

den gleichen Rang hat, wie die Systemmatrix A. Mathematisch heißt es: Ein System ist vollständig steuerbar, wenn es gilt:

­rang A = n ® ¯ rang S S = n Ähnlich wird die Beobachtbarkeit formuliert, nämlich: Ein System mit der Systemmatrix A ist dann beobachtbar, wenn eine speziell dafür gebildete Beobachtbarkeitsmatrix SB(r⋅n, n) SB = ( C CA

CA2 ... CAn − 1) T

den gleichen Rang hat, wie die Dynamikmatrix A bzw. wenn es gilt:

­rang A = n ® ¯ rang S B = n Die Herleitung von Matrizen SS und SB wird hier nicht diskutiert. Merken wir nur, dass die Matrix SB oben transponiert dargestellt wurde, was durch das Zeichen T angedeutet ist.

458

Anhang

Beispiel: Gegeben ist das System 2. Ordnung:

­ x1 = 2 x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ u ° ® x 2 = 3x1 − 4 x2 + 3,5u ° y = x + 0⋅ x 1 2 ¯

0· §− 2 ¸¸ A = ¨¨ © 3 − 4¹

bzw.

§ 0 · B = ¨¨ ¸¸ © 3,5 ¹

C = (1 0)

Zuerst wird der Rang des Systems bestimmt: A = [ −2, 0; 3, −4];

% Eingabe der Systemmatrix

B = [ 0; 3.5];

% Eingabe der Steuermatrix

C = [ 1, 0];

% Eingabe der Ausgangsmatrix

rank(A)

% den Rang der Matrix A bestimmen Es wird ausgegeben: rank(A) = 2

Dann werden die Steuerbarkeit (Controlability) und die Beobachtbarkeit (Observability) geprüft: Co = ctrb (A, B)

% Controllability matrix Co Es ergibt sich:

0· § 0 ¸¸ und rank(Co) = 1 Co = ¨¨ 3 , 5 − 14 © ¹ Ob = obsv (A, C)

% Observability matrix Ob Es ergibt sich:

1· § 0 ¸¸ und rank(Ob) = 1 Ob = ¨¨ © 3 − 4¹ Fazit: das System kann nicht geregelt werden. Es ist nicht beobachtbar rank(Ob) ≠ rank(A), und nicht steuerbar rank(Co) ≠ rank(A). Das kann man folgendermaßen erklären: Da die Variable x1 sich weder vom Stellsignal u, noch von der Variable x2 beeinflussen lässt, ist das System nicht steuerbar. Auch ist das System nicht beobachtbar, weil die Information über die Variable x2 im Ausgangsvektor

y = x1 + 0 ⋅ x2 fehlt. Nehmen wir an, dass der Ausgangsvektor anders gegeben wird, nämlich:

y = 0 ⋅ x1 + x2 In diesem Fall wird C = [ 0, 1 ], und das System wird beobachtbar: rank(Ob) = 2. Die fehlende Information über x1 kann aus der erfassbaren Variable x2 rekonstruiert werden.

Hinweise zur Zustandsregelung

459

Zustandsrückführung Im Bild A.35 ist der Wirkungsplan eines Systems mit Zustandsrückführungen

u=Kx dargestellt, wobei K die Matrix der Dimension (n, m) von den zu bestimmenden Rückführkoeffizienten ist. Das System ist im Zustandsraum wie folgt gegeben:

.

u

x B

+

+

−

x

´ ¶

+

y C

Die Regelung soll mit dem gewünschten Polstellenvektor erfolgen: § p1 · ¨ ¸ P = ¨ ... ¸ ¨p ¸ © n¹

A K

Bild A.35

­ x = A x + B u ® ¯y = C x

Wirkungsplan eines Systems mit Zustandsrückführungen

Unter Beachtung der Rückführung transformiert sich die Zustandsgleichung zu

x = ( A − BK ) x und die Lösung ergibt sich aus der charakteristischen Gleichung:

det( s I − ( A − BK )) = s I − ( A − BK ) = 0 Beispiel: Für das gegebene System

­ x1 = x1 + x2 + 2u ° ® x 2 = 5 x1 − 6 x2 + 5,5u ° y = 0⋅ x + x 1 2 ¯

bzw.

1· §1 ¸ A = ¨¨ 5 − 6 ¸¹ ©

§ 2 · B = ¨¨ ¸¸ © 5,5 ¹

C = (0 1)

mit gewünschten Polstellen

­ p1 = −2 + j ® ¯ p 2 = −2 − j

bzw.

§p · P = ¨¨ 1 ¸¸ © p2 ¹

soll die Matrix der Rückführkoeffizienten K = (k1 k 2 ) bestimmt werden. Mit MATLAB erfolgt die Lösung nach der Pole Placing-Methode einfach durch die Eingabe des Befehls place. A = [ 1, 1; 5, −6];

% Eingabe der Systemmatrix

B = [ 2; 5.5];

% Eingabe der Steuermatrix

C = [ 0, 1];

% Eingabe der Ausgangsmatrix

p1 = −2 + j; P = [p1; p2]

p2 = conj(p1);

% Eingabe von gewünschten Polstellen % Eingabe des Pollstellenvektors

460

Anhang rank(A);

% Rang der Systemmatrix A. Ausgabe: rank (A) = 2

Co = ctrb (A, B)

% controlability matrix Co (Steuerbarkeitsmatrix), Ausgabe: Co = [ 2, 7.5; 5.5, −23 ];

rank(Co)

% Steuerbarkeitsprüfung Ausgabe: rank (Co) = 2 bzw. das System ist steuerbar rank(Co) = rank(A)

Ob = obsv (A, C)

% observability matrix Ob (Beobachtbarkeitsmatrix) Ausgabe: Ob = [ 0, 1; 5, −6 ];

rank(Ob)

% Beobachtbarkeitsprüfung Ausgabe: rank (Ob) = 2 bzw. das System ist beobachtbar, rank(Ob) = rank(A)

K = place(A, B, P)

% Berechnung von k1, k2 nach Pole Placing-Methode Ausgabe: K = [ 1.0602 −0.5673 ];

P = eig(A − B*K)

% Lösungskontrolle. Ausgabe: p1 = −2 + j; p2 = −2 − j

Das MATLAB /Simulink-Modell mit der oben bestimmten Zustandsrückführung und die Sprungantworten vor und nach der Polzuweisung sind im Bild A.36 gezeigt.

Bild A.36

MATLAB/Simulink-Modell der Zustandsregelung einer instabilen Strecke. Links ist die Sprungantwort der Strecke ohne Zustandsrückführung gezeigt, rechts – mit Zustandsrückführung K = (1,0602 −0,5673).

Hinweise zur Zustandsregelung

461

Beobachter Im vorherigen Beispiel erfolgte die Regelung mit Hilfe der zurückgeführten Regelgröße x. Ein vereinfachter Wirkungsplan solcher Zustandsrückführung ist im Bild A.37 gezeigt, wobei das gesamte mit den Zustandsgleichungen gegebene System durch einen Block S bezeichnet ist. u

x

y

S

C

K

Bild A.37

Zustandsrückführung mit einer messbaren Regelgröße

Kann man dieses Verfahren anwenden, wenn die Regelgröße x nicht messbar ist, sondern nur die Ausgangsgröße y? Die Lösung, die als Beobachter bzw. Observer bekannt ist, wurde 1964 vom Lueneberger vorgeschlagen. Nach diesem Prinzip wird nicht die Regelgröße und auch nicht die messbare Ausgangsgröße zurückgeführt, sondern die Differenz y – yM zwischen der System-Ausgangsgröße y und der Modell-Ausgangsgröße yM, wie im Bild A.38 erklärt ist. y

x

C

S u

yM

xM

SM

CM

−

+ y − yM

L

Bild A.38

Vereinfachtes Beobachter-Prinzip

Das Model SM wird genau so gebaut, wie das System S (Bild A.39). Somit kann das Verfahren zu den im Abschnitt 12.3 beschriebenen modellbasierten Verfahren zugeordnet werden. Die Berechnung der Rückführmatrix L erfolgt wie im vorherigen Beispiel für die Matrix K, jedoch anstelle Vektors x des Systems wird der Vektor xM des Modells betrachtet. Auch die Rückführung L wird nicht zum Eingang des Blockes B geleitet, sondern zum dessen Ausgang. Das System S und sein Modell SM sind mit folgenden Zustandsgleichungen gegeben:

­ x = A x + B u ® ¯y = C x

(System S)

­ x M = A x M + B u + L (y − y M ) (Modell SM) ® ¯y = C x M

Daraus folgt die Differentialgleichung des Beobachters:

x − x M = A (x − x M ) − L (Cx − Cx M ) bzw. x − x M = ( A − LC) (x − x M )

462

Anhang .

x B

+

+

x

´ ¶

y C

A

System S

y

u

.

xM B

+

+ +

Modell SM

´ ¶

xM

A

+

yM C

− xM

+ y − yM L

Bild A.39

Struktur des Beobachters

Bezeichnet man die Differenz zwischen Zustandsvariablen des Systems x und des Modells xM als Fehler e des Beobachters

e = x − xM , so folgen daraus

e = x − x M und

e = ( A − LC) e . Die letzte Gleichung, betrachtet gemeinsam mit der Zustandsgleichung des Systems x = A x + B u und der Rückführmatrix

r = Le , führt letztendlich zur Gleichung

x = ( A − LC) x . Diese Gleichung hat für Beobachter gleiche Bedeutung, wie die Gleichung

x = ( A − BK ) x im vorherigen Fall für die messbare Regelgröße x. Die gewünschten Polstellen lassen sich in beiden Fällen mit dem MATLAB-Befehl für Eigenwerte P = eig(A − BK)

(im vorherigen Fall)

P = eig(A − LC)

(im Fall des Beobachters)

überprüfen.

Hinweise zur Zustandsregelung

463

Die Rückführmatrix L wird mit MATLAB einfach durch die Eingabe des Ackermann’s Befehls L = acker(A’, C’, P) berechnet. Die somit erhaltene Matrix L soll für die weiteren Berechnungen, z. B. für die Bestimmung der Dynamikmatrix AM des Modells nach der Formel

A M = A − LC transponiert werden. Der entsprechende MATLAB-Befehl lautet: AM = A − L’*C Beispiel: Gegeben sind die Zustandsgleichungen bzw. die Matrizen eines Systems, dessen Regelgröße nicht messbar ist:

­ x = A x + B u ® ¯y = C x

mit

1· §2 ¸¸ A = ¨¨ © 5 − 5¹

§ 2 · B = ¨¨ ¸¸ © 5,5 ¹

C = (0 1)

Die Regelung soll mit gewünschten Polstellen erfolgen:

­ p1 = −2 + j ® ¯ p 2 = −2 − j

§p · bzw. P = ¨¨ 1 ¸¸ © p2 ¹

Es sollen die Rückfuhrkoeffizienten L1 und L2 des Beobachters bestimmt werden. Prüfen wir zuerst, ob die Strecke ohne Zustandsrückführung stabil ist. Mit dem Befehl eig(A) erhalten wir die Polstellen des Systems A aus der charakteristischen Gleichung det(A) = 0:

­s1 = + 2,6533 ® ¯ s2 = −5,6533 Die Strecke ist instabil und soll mit Zustandrückführungen stabilisiert werden. Zeigen wir zuerst die analytische Lösung.

1 · § L1 · 1 − L1 · §2 §2 ¸¸ ¸¸ − ¨¨ ¸¸ (0 1) = ¨¨ A M = A − LC = ¨¨ © 5 − 5 ¹ © L2 ¹ © 5 − 5 − L2 ¹ 1 − L1 · § s − 2 § s 0· § 2 ¸=¨ ¸¸ − ¨¨ s I − A M = ¨¨ 0 s 5 − 5 − L2 ¸¹ ¨© − 5 © ¹ ©

L1 − 1 · ¸ s + 5 + L2 ¸¹

det( s I − A M ) = ( s − 2)(s + 5 + L2 ) − (−5)( L1 − 1) = s 2 + (3 − L2 ) s + (5 L1 − 2 L2 − 15) Die charakteristische Gleichung des Modells det( s I − A M ) = 0

s 2 + (3 − L2 ) s + (5 L1 − 2 L2 − 15) = 0 und des gewünschten Systems

( s − p1 )(s − p2 ) = ( s + 2 − j )(s + 2 + j ) = s 2 + 4s + 5 = 0 werden gleich gesetzt, woraus die Lösung ergibt:

464

Anhang ­ 3 − L2 = 4 ® ¯5 L1 − 2 L2 − 15 = 5

Ÿ

­ L2 = 1 ® ¯ L1 = 4,4

Wiederholen wir die Lösung mit MATLAB: A = [ 2, 1; 5, −5];

% Eingabe der Systemmatrix

B = [ 2; 5.5];

% Eingabe der Steuermatrix

C = [ 0, 1]; p1 = −2 + j;

% Eingabe der Ausgangsmatrix p2 = conj(p1);

% Eingabe von gewünschten Polstellen

P = [p1; p2]

% Eingabe des Pollstellenvektors

rank(A);

% Rang der Systemmatrix A: rank (A) = 2

Co = ctrb (A, B); rank(Co)

% Steuerbarkeitsmatrix: rank (Co) = 2

Ob = obsv (A, C); rank(Ob)

% Beobachtbarkeitsmatrix: rank (Ob) = 2

L = acker(A’, C’, P)

% Rückführmatrix nach Ackermann’s Formel Ausgabe: L = [ 4,4 1 ]

AM = A −L’ * C

% Dynamikmatrix des Modells AM Ausgabe: AM = [ 2, −3,4; 5, −6 ];

eig(A − L’*C)

% Kontrolle: Polstellen des Modells

subplot(311); plot(t, x);

% Grafische Ausgabe: Regelgröße x(t)

subplot(312); plot(t, xM);

% Sprungantwort des Modells xM(t)

subplot(313); plot(t, xe);

% Grafische Ausgabe: Fehler xe = x − xM

Im Bild A.40 ist das MATLAB/Simulink-Modell des Beobachters dargestellt. 1 s

B* u M atrix G ain1

C* u

Integrator A* u

y S ystem

M atrix G ain2

t C lo ck

T o W orksp ace

Wo =1 L* u

1 s

B* u

Integrator1 M atrix G ain5

A* u

C* u M atrix G ain6 xM M odell

Bild A.40

MATLAB/ Simulink-Modell des Beobachters

Tabellen

465

Rechenregeln der Laplace-Transformation Satz

Rechenregel ∞

Definition der LaplaceTransformation

L [ x(t )] = x( s ) = x(t ) ⋅ e − s t ⋅ dt

Linearitätssatz

L [a ⋅ x1 (t ) + b ⋅ x 2 (t )] = a ⋅ L [ x1 (t )] + b ⋅ L [ x 2 (t )]

Dämpfungssatz

L [e − a t ⋅ x(t )] = x( s + a) mit x(s) = L [ x(t )]

Differentiationssatz

³ 0

ª d n x(t ) º n L« » = s ⋅ L [ x(t )] − «¬ dt n »¼ − s n −1 ⋅ x(0) − s n− 2 ⋅ x (0) − ... − s ⋅ x ( n −2) (0) − x ( n −1) (0) ªt º 1 L « x(τ ) ⋅ dτ » = ⋅ L [ x(t )] « » s ¬0 ¼

³

Integrationssatz

L [ x(t − τ )] = e − sτ ⋅ L [ x(t )] für τ ≥ 0

Verschiebungssatz

lim x(t ) = lim s ⋅ x( s )

Anfangswertsatz

t →0

s→∞

lim x(t ) = lim s ⋅ x( s )

Endwertsatz

t →∞

s→0

t

Faltungssatz

t

³

³

L [ x1 (t )] ⋅ L [ x 2 (t )] = x1 (τ ) ⋅ x 2 (t − τ ) ⋅ dτ = x1 (t − τ ) ⋅ x 2τ ) ⋅ dτ 0

Residuensatz für eine n-fache Polstelle in s = a

[

]

0

[

1 d n −1 Res G ( s ) e st s = a = lim ( s − a ) n ⋅ G ( s) e st (n − 1)! s → a ds n −1

]

466

Anhang

Korrespondenztabelle Nr.

f(s)

1

f(t)

1

1 s 1

2 3

1

t n−1 (n − 1)!

n

s 1 s +α

4 5 6

e−α t

(

1 s (s + α )

1 1 − e−α t a

s

cos ω t

2

s +ω2

ω

7

(für t < 0 ist f (t) = 0)

­∞ für t = 0 δ (t ) = ® ¯0 für t ≠ 0

)

sin ω t

2

s +ω2

8

1 ( s + α )(s + β )

e− β t − e−α t α −β

9

1 für n > 0 (s + α )n

t n −1 ⋅ e−α t (n − 1)!

10

1 s (s + α )n

11

n −1 (α t)v 1 ª §¨ «1 − a n «¬ ¨© v = 0 v ! 1 ⋅ e s1 t − e s2 t 2w

¦

(

1 s 2 + s ⋅ 2α + β 2

1

ω

s 2 + s ⋅ 2α + β 2

β

1 2

2

s ( s + s 2α + β )

( D < 1)

)

α · § e −αt ⋅ ¨ cos ω t − ⋅ sin ω t ¸ ω ¹ © 1

13

(

2

α >1 β

D=

⋅ e − α t ⋅ sin ω t

1 ⋅ s1e s1 t − s2 e s 2 t 2w

s 12

)

· −α t º ¸⋅e » ¸ »¼ ¹

s s § · ⋅ ¨1 + 2 ⋅ e s1 t − 1 ⋅ e s2 t ¸ w w 2 2 © ¹

D=

α >1 β

( D < 1) D=

α >1 β

α 1 ª º ⋅ 1 − (cos ω t + ⋅ sin ω t ) ⋅ e −αt » ( D < 1 ) ω β 2 «¬ ¼

In den Beziehungen 10, 11 und 12 ist: w = α 2 − β 2 ; ω = β 2 − α 2 ; s 1, 2 = − α ± w = − α ± j ω

Tabellen

467

Sätze der Laplace- und z-Transformation Sätze

Kontinuierliche Systeme

Abtastung

∞

Faltung

³

y (t ) = x(τ ) g (t − τ ) dτ

y (nT ) =

z-Transformation

Laplace-Transformation ∞

f (s) =

¦ x(kT ) ⋅ g[(n − k )T ]

k =0

0

Transformation

∞

³ f (t ) e

− st

dt = L [ f (t )]

f ( z) =

³ f (s) e

st

¦ f (kT ) ⋅ z −k = Z [ x(kT )]

k =0

0

1 2πj

∞

³ f ( z) z

k-1

f (t ) =

Linearität

L [c1 f1 (t ) + c 2 f 2 (t )]

Z [c1 f1 (kT ) + c 2 f 2 (kT )]

= c1 ⋅ f1 ( s ) + c 2 ⋅ f 2 ( s )

= c1 ⋅ f1 ( z ) + c 2 ⋅ f 2 ( z )

ds

= L-1 [ f ( s )]

L [ f (t − a)] = f ( s ) ⋅ e − as Verschiebungssätze

f (kT ) =

1 2πj

Inverse Transformation

L [ x(t + a )] a

= [ f ( s) −

³

dz

= Z -1 [ f ( z )]

Z [ f (kT − nT )] = f(z) ⋅ z − n Z [ x(kT + nT )]

f (t ) e − st dt ] e as

= [ f ( z) −

n −1

¦ f (qT ) z −q ]z n

q=0

0

Dämpfungssatz

L [ f (t ) ⋅ e − st ] = f ( s + a )

Z [ f (kT ) ⋅ e − akT ] = f ( z ⋅ e aT )

Anfangswertsatz

f (+0) = lim s ⋅ f(s)

f (0) = lim f(z)

Wenn lim f (t ) existiert, dann ist

Wenn lim f (kT ) existiert, dann ist

Endwertsatz

s→∞

t →∞

lim f (t ) = lim s ⋅ f(s)

t →∞

s→0

∞

Stabilität

³

g (t ) dt < ∞

0

Alle Pole von G(s) in der linken s-Halbebene

z →∞

k →∞

z −1 f ( z) z →1 z

lim f (kT ) = lim

k →∞

∞

¦

g (kT ) < ∞

k =0

Alle Pole von G(z) im Inneren des Einheitskreises der z-Ebene

468

Anhang

Tabelle der Laplace- und z-Transformation Für t < 0 ist f(t) = 0 Nr.

Funktion im Zeitbereich f (t)

Laplace-Transformierte im Bildbereich f (s)

1

1

1 s

z z −1

t

1

Tz

2

s2

( z − 1) 2

3

t2

2

T 2 z ( z + 1)

s3

( z − 1) 3

4

t3

6

T 3 z ( z 2 + 4 z + 1)

s4

( z − 1) 4

n!

tn

5

s

n+ 1

Diskrete Laplace-Transformierte nach z-Transformation f (z)

z ∂n § ¨¨ s1→ 0 ∂ s n © z − e s1T 1 lim

− zT ⋅

· ¸¸ bzw. ¹

∂ {Z [(kT ) n −1 ]} ∂z z

6

e − at

1 s+a

z − e − aT

t ⋅ e − at

1

7

e − aT ⋅ Tz

( s + a) 2

( z − e − aT ) 2

t 2 ⋅ e − at

2

8

e − aT ⋅ ( z + e − aT ) T 2 z

( s + a) 3

( z − e − aT ) 3

n!

z ∂n § ¨ n ¨ ∂ s1 © z − e s1T

n

s1t

9

t ⋅e

10

1 − e − at

( s − s1 ) n + 1 a s ( s + a)

· ¸¸ ¹

(1 − e − aT ) z ( z − 1)( z − e − aT )

Tabellen

469

Fortsetzung Tabelle der Laplace- und z-Transformation Nr.

Funktion im Zeitbereich f (t)

LaplaceTransformierte im Bildbereich f (s)

11

at − 1 + e − at

a2

12

e − at − e − bt

Diskrete Laplace-Transformierte nach z-Transformation f (z) ( aT − 1 + e − aT ) z 2 + (1 − aTe − aT − e − aT ) ( z − 1) 2 ( z − e − aT )

s 2 ( s + a)

(e − aT − e − bT ) z

b−a ( s + a )( s + b)

( z − e − aT )( z − e − bT )

z ( a − b) + + be − at −

13

− ae − bt

ab(a − b) s ( s + a)( s + b)

( z − 1)( z − e

− aT

)( z − e −bT )

⋅

⋅ {(a − b − ae −bT + be − aT ) z + + [(a − b)e −( a +b)T − ae − aT + + be −bT ]}

ab(a − b) ⋅ t + 14

+ (b 2 − a 2 ) − − b 2 e − at +

ab(a − b)Tz

a 2 b 2 ( a − b) s 2 ( s + a )(s + b)

+ a 2 e − bt 15

sin ω t

16

cos ω t

17

e − at sin ω t

18

e − at cos ω t

e

−

b2 z z − e − aT

ω 2

s +ω s +ω

+

(b 2 − a 2 ) z − z −1 a2z z − e −bT

z ⋅ sin ωT 2

2

z − 2 z ⋅ cos ωT + 1 z ( z − cos ωT )

s 2

2

2

z − 2 z ⋅ cos ωT + 1

ω

z ⋅ e − aT ⋅ sin ωT

( s + a) 2 + ω 2

z 2 − 2 z ⋅ e − aT ⋅ cos ωT + e − 2aT

s+a

z 2 − z ⋅ e − aT ⋅ cos ωT

2

( s + a) + ω

Spezialfall: ωT = π − akT

( z − 1) 2

+

⋅ cos(ω k T ) = (−e

2

z 2 − 2 z ⋅ e − aT ⋅ cos ωT + e − 2aT z

− aT k

)

z + e − aT

470

Anhang

Tabelle der wichtigsten Regelkreisglieder Regelkreisglied

Differentialgleichung

Übertragungsfunktion x (s) G( s) = a xe ( s)

Sprungantwort

xa

xa (t ) = K P xe (t )

P

GS ( s ) = K P

KP xe0 t xa

P-T1

KP 1 + sT1

T1 x a (t ) + xa (t ) = K P xe (t )

T1 0,63 xa(∞)

KP xe0 t

T1T2 xa (t ) + (T1 + T2 ) x a (t )

KP (1 + sT1 )(1 + sT2 )

+ xa (t ) = K P xe (t ) aperiodischer Verlauf bei D ≥ 1

≈

α mit D = β

P-T2

1

β

2

xa (t ) +

2D

β

= K P x e (t ) gedämpft schwingend bei 0 < D < 1

I

xa (t ) = K I

s 2T22

=

Tu

xa

t

xm

+ sT1 + 1

KP xe0

KPβ 2 s 2 + s ⋅ 2α + β 2

KI s

³ xe (t ) dt

Tg KP xe0

KP e − sTu 1 + sTg KP

x a (t ) + xa (t )

xa

t xa KI xe0 xe0 1/KI

I-T1

T1 x a (t ) + xa (t ) = K I

³ xe (t ) dt

KI s (1 + sT1 )

1

t

xa KI xe0 T1

1

t

Tabellen

471

Ortskurve

Bode-Diagramm

Pol-NullStellenVerteilung jω

⏐G⏐dB

Im

20 lgKP

KP Re

Im ω=0

KP

ω=∞

Re ω

ωE = 1/T1

ϕ(ω) ⏐G⏐dB

s - Ebene

ω

σ

Beispiel

R1 xe

ϕ(ω)

jω

ω

20 lgKP

1/T1 -20 dB/Dek

σ

s1

xe

1 T1

D=0 0