Regelungstechnik 1, 15. Auflage 3834804975, 9783834804976 [PDF]

Zitiervorschau

Heinz Unbehauen Regelungstechnik I

Heinz Unbehauen

Regelungstechnik I Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer kontinuierlicher Regelsysteme, Fuzzy-Regelsysteme 15., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 205 Abbildungen und 25 Tabellen STUDIUM

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1982 2., durchgesehene Auflage 1984 3., durchgesehene Auflage 1985 4., durchgesehene Auflage 1986 5., durchgesehene Auflage 1987 6., durchgesehene Auflage 1989 7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1992 8., überarbeitete Auflage 1994 9., durchgesehene Auflage 1997 10., vollständig überarbeitete Auflage 2000 11., durchgesehene Auflage 2001 12., durchgesehene Auflage 2002 13., verbesserte Auflage 2005 14., verbesserte und aktualisierte Auflage 2007 15., überarbeitete und erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Reinhard Dapper Der Vieweg +Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0497-6

Vorwort zur 10, Auflage In den letzten fast zwanzig Jahren seit dem Erscheinen der ersten Auflage der „Regelungstechnik I" hat sich dieses Buch als begleitender Text zu vielen einflihrenden Vorlesungen in dieses Fachgebiet an zahlreichen Hochschulen gut eingeflihrt und bewahrt, was nicht zuletzt die bisher erschienenen neun Auflagen beweisen. Viele FachkoUegen und Studenten haben sich anerkennend liber die zweckmaBige Stoffauswahl geauBert, so dass ich darin bestarkt wurde, den Inhalt der vorhegenden 10. Auflage nicht wesenthch zu kiirzen. Vielmehr wurde auf vielfache Anregung ein weiteres Kapitel iiber Grundlagen der Fuzzy-Regelung erganzend einbezogen. So prasentiert sich die neue „Regelungstechnik I" als eine griindhch iiberarbeitete und erweiterte Fassung des bewahrten Stoffes, der im Rahmen der vorhegenden 10. Auflage unter Verwendung des Textverarbeitungssystems ET^X neu gestaltet wurde. Dabei best and die Gefahr, dass sich durch die Neugestaltung des Satzes neue Schreibfehler einschleichen. Doch hoffe ich, dass dem Leser mit dieser 10. Auflage eine ansprechende und weitgehend fehlerfreie Darstellung zur Verfiigung gesteflt wird. Obwohl die „Regelungstechnik I" bereits zahheiche Rechenbeispiele enthalt, best and die urspriinghche Absicht, bei der Herausgabe einer neuen Auflage dieselbe in einem Anhang durch eine umfangreiche Aufgabensammlung mit detaihierten Losungen zu erweitern. Ich habe mich aber vom Verlag liberzeugen lassen, dass bei dem Volumen dieser Aufgabensammlung ein getrennter klernerer Zusatzband „Aufgaben zur Regelungstechnik I" zweckmaBiger ist, der dann erstmals 1992 erschien. Die Regelungstechnik stellt heute ein Grundlagenfach fiir die meisten Ingenieurwissenschaften dar. Wahrend frtiher das Prinzip der Regelung in den einzelnen ingenieurwissenschaftlichen Fachern anhand spezieller Anwendungsbeispiele oder geratetechnischer Funktionen abgeleitet und erlautert wurde, hat sich heute weitgehend die Behandlung der Regelungstechnik als methodische Wissenschaft durchgesetzt, die unabhangig vom Anwendungsgebiet ist. Die Methodik besteht i.a. darin, Regelsysteme aus unterschiedlichen Anwendungsbereichen in einheitlicher Weise darzustellen, zu analysieren und zu entwerfen, wobei aber auf die jeweilige physikalisch-technische Interpretation nicht verzichtet werden kann. Im vorhegenden Buch, dem ersten Band eines dreiteiligen Werkes, werden die wichtigsten Methoden der bewahrten klassischen Regelungstechnik systematisch dargestellt. Die Behandlung beschrankt sich in dieser einflihrenden Darstellung auf lineare kontinuierliche Regelsysteme, entsprechend einer einflihrenden Vorlesung in die Regelungstechnik. Dabei wendet sich das Buch an Studenten der Ingenieurwissenschaften und Ingenieure der industriellen Praxis, die sich flir regelungstechnische Methoden zur Losung praktischer Probleme interessieren. Es ist zum Gebrauch neben Vorlesungen auch zum Selbststudium vorgesehen. Flir die Darstellung weiterflihrender Methoden, z.B. zur Behandlung von nichtlinearen Regelsystemen, von Abtastregelsystemen und flir die Darstellung und die Synthese von Regelsystemen im Zustandsraum muss auf den Band „Regelungstechnik 11" verwiesen werden. Im Band „Regelungstechnik III" werden statistische Verfahren zur Analyse von Regelsystemen sowie der Entwurf adaptiver und optimaler Regelsysteme behandelt. Es gibt zwar zahheiche einflihrende Blicher liber Methoden der Regelungstechnik, den-

VI

noch versucht das vorliegende Buch, eine Liicke zu schlieBen. Wahrend in vielen einfiihrenden regelungstechnischen Werken ein grofies Gewicht auf die klassischen Verfahren zur Stabilitatsanalyse gelegt wird, kommen meist die Syntheseverfahren zum Entwurf von Regelsystemen zu kurz. Daher war es mein Ziel, Synthese- und Analyseverfahren mindestens gleichgewichtig darzustellen. Dabei entstand ein umfassendes Kapitel iiber die wichtigsten bewahrten Syntheseverfahren zum klassischen Entwurf hnearer kontinuierhcher Regelsysteme. AuBerdem enthalt das Buch ein ausfiihrhches Kapitel iiber deterministische Verfahren zur experimentellen Analyse von Regelkreisgliedern, die besonders flir die praktische Anwendung von Bedeutung sein dlirften. Nach einer Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik, die im Kapitel 1 anschaulich anhand verschiedener Beispiele durchgeflihrt wird, werden im Kapitel 2 die wesentlichen Eigenschaften von Regelsystemen vom systemtheoretischen Standpunkt aus dargestellt. Im Kapitel 3 werden die wichtigsten Beschreibungsformen fiir lineare kontinuierliche Systeme im Zeitbereich eingefiihrt. Die allgemeine Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich schliefit sich im Kapitel 4 an. Nachdem damit die notwendigen Grundlagen zur Behandlung von linearen kontinuierlichen Regelsystemen geschaffen sind, konnen nun im Kapitel 5 das dynamische und stationare Verhalten von Regelkreisen sowie die gebrauchlichen linearen Reglertypen besprochen werden. Eine der bedeutendsten Problemstellungen flir den Regelungstechniker stellt die im Kapitel 6 behandelte Stabilitatsanalyse dar. Die wichtigsten Stabilitatsbegriffe werden definiert und algebraische sowie grafische Stabilitatskriterien eingefiihrt. Als Ubergang zu den Syntheseverfahren, aber gleichermaBen fiir die Stabilitatsanalyse von Bedeutung, wird im Kapitel 7 das Wurzelortskurvenverfahren dargestellt. Im sehr umfangreichen Kapitel 8 wird eingehend die Problemstellung beim Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme mit klassischen Verfahren behandelt. Dabei werden neben den Giitemafien die wichtigsten Syntheseverfahren im Zeit- und Frequenzbereich vorgestellt. Weiter wird auch auf den Reglerentwurf fiir Fiihrungs- und Storverhalten eingegangen und schlieBlich wird gezeigt, wie durch Verwendung vermaschter Regelsysteme eine Verbesserung des Regelverhaltens erzielt werden kann. Kapitel 9 enthalt eine Reihe bewahrter deterministischer Verfahren zur experimentellen Identifikation von Regelsystemen. Hier wird auch auf die Methoden zur Transformation der Identifikationsergebnisse zwischen Zeitund Frequenzbereich eingegangen. Das abschlieBende Kapitel 10, das die Grundlagen der Fuzzy-Regelung enthalt, wurde neu aufgenommen. Damit soil dieser in den letzten Jahren aufkommende neue Zweig der Regelungstechnik auch in der regelungstechnischen Grundausbildung gebiihrend beriicksichtigt werden, zumal je nach der speziellen regelungstechnischen Problemstellung sich diese eventuell einfacher mit einem Fuzzy-Regler losen lasst. Bei der Darstellung des Stoffes wurde weitgehend versucht, die wesentlichen Zwischenschritte deutlich zu machen und alle Ergebnisse sorgfaltig zu begriinden, so dass der Leser stets die einzelnen Gedanken selbstandig nachvollziehen kann. Fiir das Verstandnis des Stoffes geniigen die Kenntnisse iiber Analysis, Differentialgleichungen, lineare Algebra sowie einige Grundkenntnisse der Funktionentheorie und Mengenlehre, wie sie gewohnlich die mathematischen Grundvorlesungen fiir Ingenieure vermitteln. Zum weiteren Verstandnis des Stoffes wurden zahlreiche Rechenbeispiele in den Text eingeschlossen. Beziiglich weiterer Rechenbeispiele sei auf den Zusatzband „Aufgaben zur Regelungstechnik I" verwiesen. Bei den verwendeten Symbolen und Benennungen konnte nicht voUstandig die Norm DIN 19226 verwendet werden, da diese nicht mit der international

iiblichen Darstellungsweise libereinstimmt. Dieses Buch entstand aus einer einfiihrenden Vorlesung in die Grundlagen der Regelungstechnik, die ich seit 1976 fiir Studenten der Elektrotechnik an der Ruhr-Universitat Bochum halte. Meine ehemaligen und jetzigen Studenten und Mitarbeiter sowie viele kritische Leser haben mir wahrend der letzten Jahre zahlreiche Anregungen flir die Uberarbeitung der friitieren Auflagen unterbreitet. Ihnen alien mochte ich fiir die konstruktiven Hinweise und Verbesserungsvorschlage danken. Mein besonderer Dank gilt vor allem meinen beiden Mitarbeiterinnen, Frau Daniela Trompeter fiir das Schreiben des Manuskriptes und Prau Andrea Marschall flir das Erstellen der Bilder und Tabellen. Beide haben mit groBer Geduld und Sorgfalt ganz wesentlich zur aufieren Neugestaltung dieser vollig uberarbeiteten und erweiterten 10. Auflage dieses Buches beigetragen. Meinem wissenschaftlichen Mitarbeiter, Herrn Dipl.-Ing. Torsten Knohl, danke ich fiir die tatkraftige Unterstiitzung in der Endphase der textlichen Neugestaltung. Dem Vieweg-Verlag sei fiir die gute Zusammenarbeit und das bereitwillige Eingehen auf meine Wlinsche gedankt. AbschlieBend danke ich auch meiner Frau, nicht nur flir das griindliche Korrekturlesen des neu geschriebenen Textes, sondern vor allem flir das Verstandnis, das sie mir bei der Arbeit an diesem Buch entgegenbrachte. Hinweise und konstruktive Kritik zur weiteren Verbesserung des Buches werde ich auch von den zuklinftigen Lesern gerne entgegennehmen.

Bochum, Juli 2000

H. Unbehauen

Vor wort zur 13. Auflage Die sehr positive Resonanz und grofie Nachfrage, die die grlindlich neu gestaltete und erweiterte 10. Auflage sowie die durchgesehenen 11. und 12. Auflagen der „Regelungstechnik I"bei Studenten und Fachkollegen fanden, erforderten eine weitere Neuauflage. In der vorliegenden 13. Auflage habe ich verschiedene Anregungen meiner Leser aufgenommen und eine Anzahl kleiner Anderungen, Erweiterungen und Verbesserungen durchgeflihrt. Dem ofter geauBerten Wunsch einer Kurzeinflihrung in die Programmsysteme MATLAB und Simulink konnte ich jedoch nicht nachkommen, da dies den Rahmen dieses Buches wesentlich liberschreiten wlirde und auch nur wenige der hier behandelten Rechenbeispiele besser damit beherrscht werden konnten. Diesbezliglich sei vielmehr auf die bereits existierende umfangreiche Spezialliteratur wie z.B. [MAT05], [SIM05], [Bod98], [Tew02] u.a. verwiesen.

Bochum, Februar 2005

H. Unbehauen

Vorwort zur 14. Auflage Wie die zahlreichen Buchbesprechungen der FachkoUegen ergeben, wird die „Regelungstechnik I" inzwischen als ein „Klassiker" des Fachgebietes sehr geschatzt. Aufgrund der erfreulich groBen Nachfrage war eine Neuauflage erforderlich. In der vorliegenden 14. Auflage wurden einige kleinere Korrekturen und die Aktualisierung des Liter at urverzeichnisses durchgefiihrt. Inbesondere den studentischen Lesern wiinsche ich viel Erfolg beim Einstieg in unser faszinierendes Fachgebiet.

Bochum, Dezember 2006

H. Unbehauen

Vorwort zur 15. Auflage 25 Jahre nach ihrem erstmaligen Erscheinen liegt nun die 15. Auflage der „Regelungstechnik I" in leicht verbesserter und etwas erweiterter Form vor. Ganz herzlich mochte ich mich bei einigen sehr aufmerksamen Lesern bedanken, die mit ihrer konstruktiven Kritik auf weitere Verbesserungsmoghchkeiten hingewiesen haben. Gerne habe ich auch die Anregung aufgenommen, das Kapitel 8 durch Hinweise auf den Smith-Pradiktor und den IMC-Regler sowie auf „hohere Regelalgorithmen" zu erweitern. Dadurch erfuhr auch das Literaturverzeichnis eine entsprechende Erweiterung. Natiirhch muss in diesem Zusammenhang aber erwahnt werden, dass die Entwurfsverfahren flir digitale Regler und Zustandsregler erst im Band „Regelungstechnik 11" ausfiihrhch behandelt werden. Fiir konstruktive Kritik und eventuehe Verbesserungsvorschlage bin ich meinen aufmerksamen Lesern auch klinftig dankbar.

Bochum, Februar 2008

H. Unbehauen

Inhalt

1

Inhaltsiibersicht zu Band II und Band III

xvii

Liste der wichtigsten Notationen und Formelzeichen

xviii

Einfiihrung in die Problemstellung der Regelungstechnik

1

1.1

Einordnung der Regelungstechnik

1

1.2

Systembeschreibung mittels Blockschaltbild

2

1.3

Steuerung und Regelung

5

1.4

Prinzipielle Punktionsweise einer Regelung

7

1.5

Die Grundstruktur von Regelkreisen

11

1.6

Einige typische Beispiele fiir Regelungen

13

1.7 2

1.6.1

Spannungsregelung

13

1.6.2

Kursregelung

14

1.6.3

Ftillstandsregelung

15

1.6.4

Regelung eines Warmetauschers

15

Historischer Hintergrund

16

Einige wichtige Eigenschaften von Regelsystemen

21

2.1

Mathematische Modelle

21

2.2

Dynamisches und statisches Verhalten von Systemen

22

2.3

Systemeigenschaften

23

2.3.1

Lineare und nichtlineare Systeme

23

2.3.2

Systeme mit konzentrierten oder verteilten Parametern

28

2.3.3

Zeitvariante und zeitinvariante Systeme

29

2.3.4

Systeme mit kontinuierlicher oder diskreter Arbeitsweise

29

2.3.5

Systeme mit deterministischen oder stochastischen Variablen . . .

30

2.3.6

Kausale und nichtkausale Systeme

31

2.3.7

Stabile und instabile Systeme

31

2.3.8

Eingrofien- undMehrgroJBensysteme

31

X 3

Inhalt Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich

33

3.1

33

3.2

3.3

4

Beschreibung mittels Differentialgleichungen 3.1.1

Elektrische Systeme

33

3.1.2

Mechanische Systeme

35

3.1.3

Thermische Systeme

37

Systembeschreibung mittels spezieller Ausgangssignale

42

3.2.1

Die Ubergangsfunktion (Sprungantwort)

42

3.2.2

Die Gewichtsfunktion (Impulsantwort)

43

3.2.3

Das Faltungsintegral (Duhamelsches Integral)

45

Zustandsraumdarstellung

47

3.3.1

Zustandsraumdarstellung fiir Eingrofiensysteme

47

3.3.2

Zustandsraumdarstellung fiir MehrgroBensysteme

49

Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich

51

4.1

51

Die Laplace-Transformation 4.1.1

Definition und Konvergenzbereicti

51

4.1.2

Die Korrespondenztafel fiir die Laplace-Transformation

53

4.1.3

Haupteigenschaften der Laplace-Transformation

55

4.1.4

Die inverse Laplace-Transformation

60

4.1.5

Die Losung von linear en Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation

64

Laplace-Transformation der Impulsfunktion S{t)

69

4.1.6 4.2

4.3

Die Ubertragungsfunktion

71

4.2.1

Definition und Herleitung

71

4.2.2

Pole und Nullstellen der Ubertragungsfunktion

72

4.2.3

Das Rechnen mit Ubertragungsfunktionen

73

4.2.4

Herleitung von G{s) aus der Zustandsraumdarstellung

76

4.2.5

Die Ubertragungsfunktion bei Systemen mit verteilten Parametern

78

4.2.6

Die Ubertragungsmatrix

80

4.2.7

Die komplexe G-Ebene

80

Die Frequenzgangdarstellung

83

4.3.1

Definition

83

XI

4.3.2

Ortskurvendarstellung des Erequenzganges

85

4.3.3

Darstellung des Erequenzganges durch Prequenzkennlinien (BodeDiagramm)

86

Die Zusammenstellung der wichtigsten Ubertragungsglieder . . . .

89

4.3.4.1

Das proportional wirkende Ubertragungsglied (P-Glied) .

89

4.3.4.2

Das integrierende Ubertragungsglied (I-Glied)

90

4.3.4.3

Das differenzierende Ubertragungsglied (D-Glied)

4.3.4.4

Das Verzogerungsglied 1. Ordnung (PTi-Glied)

91

4.3.4.5

Das proportional-differenzierend wirkende Ubertragungsglied (PD-Glied)

95

4.3.4.6

Das Vorhalteglied (DTi-Glied)

95

4.3.4.7

Das Verzogerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied und PT2SGlied)

98

4.3.4

5

Weitere Ubertragungsglieder

106

4.3.4.9

Bandbreite eines Ubertragungsgliedes

106 . . . 110

Systeme mit minimalem und nichtminimalem Phasenverhalten . . I l l

Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme

117

5.1

Dynamisches Verhalten des Regelkreises

117

5.2

Stationares Verhalten des Regelkreises

119

5.3

6

90

4.3.4.8

4.3.4.10 Beispiel fiir die Konstruktion des Bode-Diagramms 4.3.5

....

5.2.1

Ubertragungsfunktion Go(s) mit verzogertem P-Verhalten

121

5.2.2

Ubertragungsfunktion Go(5) mit verzogertem I-Verhalten

122

5.2.3

Ubertragungsfunktion Go{s) mit verzogertem l2-Verhalten

122

Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen

124

5.3.1

Das Ubertragungsverhalten

124

5.3.2

Vor- und Nachteile der verschiedenen Reglertypen

127

5.3.3

Technische Realisierung von linearen kontinuierlichen Reglern . . . 130 5.3.3.1

Das Prinzip der Rlickkopplung

130

5.3.3.2

Elektrische Regler

132

5.3.3.3

Pneumatische Regler

135

Stabilitat linearer kontinuierlicher Regelsysteme

139

6.1

139

Definition der Stabilitat und Stabilitatsbedingungen

xii

Inhalt 6.2

Algebraische Stabilitatskriterien 6.2.1

Beiwertebedingungen

141

6.2.2

Das Hurwitz-Kriterium

144

6.2.3

Das Routh-Kriterium

147

6.3

Das Kriterium von Cremer-Leonhard-Michailow

149

6.4

Das Nyquist-Kriterium

152

6.4.1

6.4.2 7

8

141

Das Nyquist-Kriterium in der Ortskurven-Darstellung

153

6.4.1.1

Anwendungsbeispiele zum Nyquist-Kriterium

157

6.4.1.2

Anwendung auf Systeme mit Totzeit

157

6.4.1.3

Vereinfachte For men des Nyquist-Kriteriums

162

Das Nyquist-Kriterium in der Frequenzkennlinien-Darstellung . . . 163

Das Wurzelortskurven-Verfahren

169

7.1

Der Grundgedanke des Verfahrens

169

7.2

Allgemeine Regeln zur Konstruktion von Wurzelortskurven

172

7.3

Anwendung der Regeln zur Konstruktion der Wurzelortskurven . . . .

181

Klassische Verfahren zum Entwurf linearer kontinuierlicher Regelsysteme 185 8.1

Problemstellung

185

8.2

Entwurf im Zeitbereich

188

8.2.1

8.2.2

GiitemaBe im Zeitbereich

188

8.2.1.1

Der dynamische Ubergangsfehler

188

8.2.1.2

Integralkriterien

189

8.2.1.3

Berechnung der quadratischen Regelflache

190

Ermittlung optimaler Einstellwerte eines Reglers nach dem Kriterium der minimalen quadratischen Regelflache 8.2.2.1 8.2.2.2

8.2.3

193

Beispiel einer Optimierungsaufgabe nach dem quadratischen Glitekriterium

194

Parameteroptimierung von Standardreglertypen fiir PTn-Regelstrecken

198

Empirisches Vorgehen

206

8.2.3.1

Empirische Einstellregeln nach Ziegler und Nichols . . . .

206

8.2.3.2

Empirischer Entwurf durch Simulation

208

Xlll

8.3

Entwurf im Frequenzbereich 8.3.1

Kenndaten im Frequenzbereich 8.3.1.1

8.3.1.2

8.3.2

8.3.3

8.3.4

8.4

8.5

210 210

Kenndaten des geschlossenen Regelkreises im Frequenzbereich und deren Zusammenhang mit den GtitemaBen im Zeitbereich

210

Kenndaten des offenen Regen—o

4c U-, =

Ucy =

-J(t^-gdt

F = — I {u^ ~ iy2)dt

"1

o ^

K,iy-

^ ^ - ^

-o ^

U

o

F = d{Ty^ - u^)

•—o

«I'

i

l»

"2

I

*

o

u = R{i^ — 1^)

F = i

F, u

ly = u

F = u

ly = i

A n den Tor en entsprechen sich: mechanischer Leerlauf:

F = 0

elektrischer Leerlauf:

1= 0

elektrischer Kurzschlufi:

^ = 0

mechanischer Kurzschlufi:

n = 0

elektrischer Kurzschlufi:

u = 0

elektrischer Leerlauf:

z= 0

Analoge Schaltungen:

///./////////////

////////////////

n / ij n I

^i

f F, u

In

V

fTTmT /777777

Bild 3.1.3. Elektrische und mechanische Analogien

3.1 Beschreibung mittels Differentialgleichungen

39

• die Warmeleitungs- und Warmeiibertragungsgesetze. Als Beispiel hierfiir soil nun nachfolgend das mathematische Modell des Stoff- und W a r m e t r a n s p o r t s in einem dickwandigen, von einem Fluid durchstromten Rohr gemaB Bild 3.1.4 betrachtet werden [Pro62]. Zunachst werden die folgenden vereinfachenden Annahmen getroffen: • Die Temper at ur, sowohl im Fluid, als auch in der Rohrwand, ist nur von der Koordinate z abhangig. • Der gesamte W a r m e t r a n s p o r t in Richtung der Rohrachse wird nur durch den Massetransport, nicht aber durch Warmeleitung innerhalb des Fluids oder der Rohrwand hervorgerufen. • Die Stromungsgeschwindigkeit des Fluids ist im ganzen Rohr konstant und h a t nur eine Komponente in z-Richtung. • Die Stoffwerte von Fluid und Rohr sind iiber die Rohrlange konstant. • Nach auBen hin ist das Rohr ideal isoliert.

dK. -Isolierung Ijlohrwand

^3

.1

'^ dz Bild 3.1.4.

I-

1..

^ -dVr.

D.

D^

Ausschnitt aus dem untersuchten Rohr

Mit folgenden 'd{z^t) 9{z,t) m L WY pYj PR cp, CR a Di, Dg,

-Fluid

|da ' ^da

da.

Bezeichnungen Fluidtemperatur Rohrtemperatur Fluidstrom Rohrlange Fluidgeschwindigkeit Dichte (Fluid, Rohr) spezifische W a r m e (Fluid, Rohr) Warmeiibergangszahl F l u i d / R o h r innerer und aufierer Rohrdurchmesser

sollen nun die Differentialgleichungen des mathematischen Modells hergeleitet werden. Betrachtet wird ein Rohrelement der Lange dz. Das zugehorige Rohrwandvolumen sei d^R, das entsprechende Fluidvolumen sei d^p- Die Herleitung des mathematischen Modells dieses thermischen Systems erfolgt nun in folgenden Stufen:

40

3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich a) Wahrend des Zeitintervalls dt flieBt in das Volumen (IVF die Warmemenge dQi =CFi^mdt

(3.1.17)

hinein. Gleichzeitig flieBt die Warmemenge dQ2 = CF f ^ + — d z j mdt

(3.1.18)

aus dem Volumenelement dVp wieder heraus. b) Warme gelangt in das Rohrwandvolumen dVR voraussetzungsgemaB nur durch Warmelibergang zwischen dem Fluid und der Rohrwand. Die zwischen Rohrwand und Fluid im Zeitintervall dt ausgetauschte Warmemenge (Warmelibergang) betragt dQs = a{^ - 6) nDidz dt. (3.1.19) c) Wahrend des Zeitintervalls dt andert sich im Fluidelement dVp die gespeicherte Warmemenge um dQp = ppdVpCp^dt ot = PF-D^dzcF-g-dt,

(3.1.20)

wodurch sich die Temperatur 'd ebenfalls andert. d) Nun lasst sich die Warmebilanzgleichung ftir das Fluid im betrachteten Zeitintervall dt angeben: dQp = dQi - dQ2 - dQs. (3.1.21) Setzt man hier die Gin. (3.1.17) bis (3.1.20) ein, so erhalt man -Dpppcp-—d^dt = cprhi?dt-cp h?-h-—d^

4

at

\

oz

mdt-

(3.1.22)

J

-a{d-e)iTDidzdt. e) Fiir die Warmespeicherung im Rohrwandelement dVR folgt andererseits im selben Zeitintervall (ahnlich wie unter c) 30 dQR = PRdyRCR—dt

(3.1.23)

= PRj(Z)^-D,2)d.cR|^dt. f) Damit lasst sich nun die Warmebilanzgleichung fiir das Rohrwandelement angeben. Es gilt dOR^dQs, (3.1.24) da nach den getrofFenen Voraussetzungen an der RohrauBenwand eine ideale Warmeisolierung vorhanden ist. Nun setzt man die Gin. (3.1.19) und (3.1.23) in Gl. (3.1.24) ein und erhalt

3.1 Beschreibung mittels Differentialgleichungen ^^^2

r.2^

41

99

[Di - Df) P R C R — d ^ dt = a(i9 ~ 0) nDidz dt.

(3.1.25)

Mit den Abkiirzungen

K^ = ^2 =

IDfpFCp awDi TI-F:^—F^N

l{Dl-Df)pKCn

gehen die Gin. (3.1.22) und (3.1.25) nach einigen einfachen Umformungen iiber in ^

+ ^F^=i^i(^-^)

(3.1.26)

-=K,{d-e).

(3.1.27)

und

Diese beiden partiellen Differentialgleichungen stellen die mathematische Beschreibung des hier betrachteten technischen Systems dar (System mit ortlich verteilten Parametern). Zur vollstandigen Losung wird auBer den beiden (zeitlichen) Anfangsbedingungen i^{zfi) und 0{zfl) auch noch die (ortliche) Randbedingung

benotigt. Als Spezialfall soil nun das diinnwandige Rohr behandelt werden, bei dem dQs = 0 wird, da die Speichereigenschaft der Rohrwand vernachlassigbar klein ist. Ftir diesen Fall geht Gl. (3.1.26) liber in ^+^.^^=0.

(3.1.28)

Bei Systemen mit ortlich verteilten Parametern muss die EingangsgroBe Xe{t) nicht unbedingt in den Differentialgleichungen auftreten, sie kann vielmehr auch in die Randbedingungen eingehen. Im vorliegenden Fall wird als EingangsgroBe die Fluid-Temperatur am Rohreingang betrachtet: ^{0,t)=Xe{t)

t>0.

(3.1.29)

Entsprechend wird als AusgangsgroBe die Fluid-Temperatur am Ende des Rohres der Lange L definiert: ^{L,t)=x^{t). (3.1.30) Mit dem Losungsansatz i}{z,t) = f(t-—)=f{T)

(3.1.31a)

42

3 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich

erhalt man die partiellen Ableitungen

M__dl

^ ^ ^ f

dt

dz

dr

L

dr \

WY

die die Gl. (3.1.28) erfiillen, wie man leicht durch Einsetzen dieser Beziehungen erkennt. AuBerdem liefert dieser Losungsansatz unmittelbar d{{),t) =

f(t)=x,{t)

und i^(L,t) =f(t-—\= V ^¥ J

x,{t).

(3.1.31b)

Man erhalt somit als Losung von Gl. (3.1.28) Xa(t) = Xe(t - Tt)

mit

Tt = — .

(3.1.32)

WY

Diese Gleichung beschreibt den reinen Transportvorgang im Rohr. Die Zeit Tt, um die die AusgangsgroBeXa(t) der Eingangsgr6fieXe(t) nacheilt, wird als Totzeit oder Transportzeit bezeichnet.

3.2

3.2.1

Systembeschreibung mittels spezieller Ausgangssignale Die Ubergangsfunktion (Sprungantwort)

Fiir die weiteren Uberlegungen benotigt man den Begriff der Sprungfunktion (auch Einheitssprung) ,, f l flirt > 0 , , ^^ [0 flir t < 0. ^ ^ Nun lasst sich gemaB Bild 3.2.1 die sogenannte Sprungantwort definieren als die Reaktion Xs, {t) des Systems auf eine sprungformige Veranderung der EingangsgroBe Xe(t) = XQa{t)

mit

XQ = const.

Die Ubergangsfunktion stellt dann die auf die Sprunghohe XQ bezogene Sprungantwort h{t) = ^Xa(t) XQ

dar, die bei einem kausalen System die Eigenschaft h{t) = 0 fiir t < 0 besitzt.

(3.2.2)

3.2 Systembeschreibung mittels spezieller Ausgangssignale

l]

43

m] -r^

lineares System

Xe(t)

m

FaW 9{t)

t Bild 3.2.1.

3.2.2

zu '

Zur Definition der Ubergangsfunktion h{t) und Gewichtsfunktion g{t)

Die Gewichtsfunktion (Impulsantwort)

Die Gewichtsfunktion g{t) ist definiert als die Antwort des Systems auf die Impulsfunktion (Einheitsimpuls oder Dirac-„StoB") S{t). Dabei ist 6{t) keine Funktion im Sinne der klassischen Analysis, sondern muss als verallgemeinerte Funktion oder Distribution [Unb98] aufgefasst werden. Der Einfachheit halber wird S{t) naherungsweise als Rechteckimpulsfunktion (l/e iuiO0

(4.L2)

c-joo

ermoglicht, wobei f{t) = 0 ftir t < 0 gilt. Die GroBe c muss so gewahlt werden, dass der Integrationsweg in der Konvergenzhalbebene langs einer Parallelen zur imaginaren Achse im Abstand c verlauft, wobei c groBer als die Realteile samtlicher singularer Punkte von F(s) sein muss. Fiir diese inverse Laplace-Transformation wird ebenfalls eine Operatorschreibweise in der Form benutzt. Es ist zu beachten, dass Gl. (4.1.2) an einer Sprungstelle t = tg den arithmetischen Mittelwert der links- und rechtsseitigen Grenzwerte [/(ts+) + /(tg—)]/2, speziell im Nullpunkt t = 0, den Wert [/(0+) + / ( 0 - ) ] / 2 = / ( 0 + ) / 2 liefert. Die Laplace-Transformation ist eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Originalfunktion und Bildfunktion. Daher braucht in vielen Fallen das Umkehrintegral gar nicht berechnet werden; es konnen vielmehr Korrespondenztafeln verwendet werden, in denen fiir viele Funktionen die oben genannte Zuordnung enthalten ist [Doe85]. Eine derartige Korrespondenztafel stellt Tabelle 4.1.1 dar. Bei der inversen Laplace-Transformation wird einfach von der rechten Spalte auf die linke Spalte dieser Tabelle Bezug genommen, wobei eventuell auch noch einige der nachfolgend angegebenen Rechenregeln der Laplace-Transformation angewandt werden miissen.

54

4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich Tabelle 4.1.1: Korrespondenzen zur Laplace-Transformation Nr.

Zeitfunktion / ( t ) , / ( t ) = 0 fiir t < 0

L-Tranformierte

1

J-Impuls (5(t)

1

2

Einheitssprung (j(t)

1 5

3

t

4

e

5

n!

6

g-at

7

te-^^

1 (5 + a)2

8

t^e ^^

2 (s + a)3

9

t^e-^*

n! {s + a)^+i

10

1 - e-^*

11

- ^ ( e - ^ ' - l + at)

12

(l-at)e-^^

s (5 + a)2

13

sinc^o^

c^o 52 + a;§

14

COSUJQt

15

e~^^ SVHUOQI

LJQ (s + a)2+cc;g

16

e~^^ cosujot

5+ a (5 + a)2+cc;g

2 1 1 5+ a

17

a

\aj

e-'f{t)

18 19

1

f(t -a) 0

fiir fiir

a 5(5 + a) 1 5^(5 + a)

5

s^+u;^

F ( a 5 ) (a > 0) F{s - a)

t> a>0 t < a

e-^^F(5)

F{s)

4.1 Die Lap ace-Transformation

55

Portsetzung von Tabelle 4.1.1 20

-tfit)

21

i-trf{t}

dF[s) ds d"F{s) ds" c+joo

22

h{t)f2{t)

-p)dp c-joo

4.1.3

Haupteigenschaften der Laplace-Transformation

a) Uberlagerungssatz: Fiir beliebige Konstanten ai, a2 gilt: i^ {ai/i(t) + a2/2(t)} = aiFi(5) + asFsl^).

(4.1.3)

Die Laplace-Transformation ist also eine lineare Integraltransformation. b)

Ahnlichkeitssatz: Fiir eine beliebige Konstante a > 0 gilt y{/(ai)} = i F Q .

(4.1.4)

Dieser Zusammenhang folgt aus Gl. (4.1.1) mit der Substitution r = at. c) Verschiebesatz: Fiir eine beliebige Konstante a > 0 gilt y { / ( i - a ) } = e—F(s).

(4.1.5)

Dieser Zusammenhang folgt mit der Substitution r = t—a unmittelbar aus Gl. (4.1.1). d)

Differentiation: Da bei einer kausalen Zeitfunktion / ( t ) , deren Differentialquotient fiir t > 0 existiert, auch mit Sprungstellen fiir t = 0 gerechnet werden muss, wird als untere Integrationsgrenze fiir Gl. (4.1.1) der Wert 0+ gewahlt, um damit den Punkt t = 0 aus dem Integrationsintervall herauszunehmen. Dies andert den Wert des Integrals nicht, sofern man sich auf klassische Funktionen (also keine Distributionen) beschrankt. Damit erhalt man durch partielle Integration

e '*^Mdt=[e-^*/(t)] dt

0+

oder

sje 0+

0+

*/(t)dt

4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich

56

(4.1.6) Bei mehrfacher Differentiation folgt entsprechend (4.1.7) 2=1

^

t=o+

e) Integration: Aus oo

t

t

I I / ( r ) d r I = 1 1 / ( r ) dr e-^*dt 0

0

0

erhalt man durch partielle Integration t

t

OO

i'|y/(r)dr|=-i[|/(r)dr 0

e-"Mt

0 oo

e-^Mt 0 t

^||/(T)dr|=iF(5).

(4.1.^

f) Faltungssatz im Zeitbereich: Die Faltung zweier Zeitfunktionen /i(t) und /2(^), dargestellt durch die symbolische Schreibweise fi{t) * /2(^), ist definiert als z

fi{t)^f2{t) = I

fi{r)f2{t-r)dr.

(4.1.9)

Wie man leicht durch Vertauschen der Variablen nachweisen kann, steht die Faltung eine symmetrische Operation dar, denn es gilt /l(i)*/2(t) = /2{t)*/lW oder J / i ( r ) /2(t - r) dr = I Mr) h{t - r) dr. Nachfolgend soil nun gezeigt werden, dass der Faltung zweier Originalfunktionen die Multiplikation der zugehorigen Bildfunktionen entspricht, also

^{h{t)*h{t)}=F,{s)F2{s).

(4.1.10)

4.1 Die Laplace-Transformation

57

Die Laplace-Transformierte von Gl. (4.1.9) ist gegeben durch t

«^ {/iW */2(i)} = i? II/i(r)/2(t - r) drj 0 oo

t

= j y e-^Vi(T)/2(t-T)drclt. t=Or=0

Die Substitution a = t — r bzw. da = dt liefert dann mit der hier erlaubten Ausdehnung der oberen Integrationsgrenze nach r ^ oo oo

i'{/i(i)*/2(t)}=

(30

J

y'e-^(-+-)/i(r)/2(a)dTda.

cr= —r r = 0

Da aber beide Funktionen /i(t) und f2{t) fiir t < 0 die Werte Null besitzen, gilt unter Berlicksichtigung der unteren Integrationsgrenze oo

oo

0

0

Die rechte Seite dieser Gleichung stellt gerade das Produkt ^1(5)^2(5) dar, womit der Faltungssatz gemaB Gl. (4.1.10) bewiesen ist. Wendet man diesen Satz auf das im Abschnitt 3.2.3 abgeleitete Faltungsintegral an, Gl. (3.2.7), dann folgt Y{s)=G{s)U{s), (4.1.11) wobei offensichtlich der Laplace-Transformierten von g{t) die Funktion G{s) entspricht. Diese Funktion bezeichnet man gewohnlich als Uhertragungsfunktion des entsprechenden Systems. Die tjbertragungsfunktion G(5) = | g |

Oder

G{s)=£{g{t)}

(4.1.12)

ergibt sich also entweder aus dem Verhaltnis der Laplace-Transformierten des Ausgangssignals y{t) und des Eingangssignals u{t) des betrachteten Systems oder direkt als Laplace-Transformierte der zugehorigen Gewichtsfunktion g{t). Ist G{s) gegeben, dann lasst sich damit flir jede gegebene EingangsgroBe U{s) die entsprechende AusgangsgroBe Y{s) direkt berechnen. Faltungssatz im Frequenzbereich: Wahrend die bisherigen Uberlegungen sich auf die Faltung zweier Zeitfunktionen beschrankten, soil nachfolgend auch noch die Faltung im Frequenzbereich c+joo

cTi bzw. Res > cr2 folgt durch Laplace-Transformation von f{t)

(4.1.15) 0

Mit dem Umkehrintegral gemaB Gl. (4.1.2) c+joo

/: (i) = ^

/

^i(P)«''*dP

(4.1.16)

cXTi

C-JOO

ergibt sich durch Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (4.1.15) oo

ns)

r

= j h{t)e~^A^^

c+joo

J

Fi(p)e^Mp

dt.

(4.1.17)

Durch das hier erlaubte Vertauschen der Reihenfolge der Integration (sofern die Integrale die Konvergenzbedingungen erfiillen) erhalt man dann c+joo

i^(5) = ^

/

^i(P)dp//2(t)e-(»-P)*dt,

(4.1.18)

C-jOO

wobei das zweite Integral durch

F2{s -P) = J /2 W e-(^-^^ Mt = ^ {e^'f2{t)}

(4.1.19)

0

ersetzt werden darf. Dieses Integral das - nebenbei bemerkt - den Verschiebesatz im Frequenzbereich darstellt, konvergiert fiir Re(5 — p) > G2- Durch Einsetzen der Gl. (4.1.19) in Gl. (4.1.18) ist somit Gl. (4.1.13) bewiesen. In Gl. (4.1.19) muss demnach der Realteil von p so grofi gewahlt werden, dass sich die Konvergenzbereiche von Fi(p) und ^2(5 — p) teilweise tiberdecken, d.h. die Abszisse c der Integrationsgeraden muss im gemeinsamen Konvergenzbereich von Fi(p) und ^2(5 — p) liegen und somit gilt G\ < C < R e 5 — 0+

(4.1.20)

s—^oo

sofern lim f{t) existiert. Zum Beweis [Fol77] bildet man von £^0

CO

{fit)} = / fii) e-''dt = s Fis) - /(0+) 0+

den Grenzwert fiir 5 ^ oo:

lim [ f{t)e-'^dt=

lim [5^(5) - / ( 0 + ) ] .

s—>oo J

s—»oo

0+

Da hierbei die Integration unabhangig von 5 ist, diirfen Grenzwertbildung und Integration unter der Voraussetzung, dass das Integral gleichmaBig konvergiert, vertauscht werden. Da vorausgesetzt wird, dass i? [f{t)] existiert, gilt somit lim f{t)e-'^

= 0.

Damit erhalt man schlieBlich lim 5F(5) = / ( 0 + ) . s—>co

Mit Hilfe des Satzes vom Endwert lasst sich das Verhalten von f{t) fiir t —> 00 aus F{s) bestimmen, sofern wiederum fit) und f{t) eine Laplace-Transformierte besitzen und der Grenzwert lim f{t) auch tatsachlich existiert. Dann gilt: /(oo) = lim f{t) = limsF(5). t^oo

(4.1.21)

s—5-0

Zum Beweis [Fol77] bildet man den Grenzwert lim f me-^'dt

= limlsFis)

- /(0+)].

0+

Auch hier darf unter der Voraussetzung der Konvergenz des Integrals die Reihenfolge von Grenzwertbildung und Integration vertauscht werden. Dies liefert f{t)dt=lim[sF{s)-f{0+)], s—>0

0+

und nach Ausftihren der Integration folgt / ( o o ) - / ( 0 + ) = lim[5F(5)-/(0+)] / M = limsF(s).

60

4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich Man beachte, dass sich lim f{t)

oder

lim f(t)

aus der zugehorigen Laplace-Transformierteni? {/(t)} durch Anwendung der Grenzwertsatze nur berechnen lasst, wenn a priori die Existenz des entsprechenden Grenzwertes im Zeitbereich gesichert ist. Zwei Beispiele sollen dies verdeutlichen: Beispiel ^.i.5 fit) = e^'(a > 0) c>^F{s) = — ^ s~ a Der stationare, asymptotische Endwert lim e"* existiert hier offensichtlich nicht. Daher t—»oo

darf der Endwertsatz nicht angewandt werden.

•

Beispiel 4-1-6 f{t) = cosa;ot o—^F{s) =

^^ 2 S

-\-

UJQ

Der Endwert lim COSCJQ^ existiert hier ebenfalls nicht, und daher darf dieser Grenzwertsatz wiederum nicht angewandt werden. • Anhand dieser beiden Beispiele ist leicht ersichtlich, dass folgende allgemeine Aussage gemacht werden kann: Besitzt die Laplace-Transformierte F{s)^ abgesehen von einem einfachen Pol im Nullpunkt 5 = 0, auf der imaginaren Achse oder in der rechten sHalbebene Pole, dann kann der Satz vom Endwert nicht angewandt werden.

4.1.4

Die inverse Laplace-Transformation

Die inverse Laplace-Transformation wird durch Gl. (4.1.2) beschrieben. Wie bereits im Abschnitt 4.1.2 erwahnt wurde, ist in vielen Fallen eine direkte Auswertung des komplexen Umkehrintegrals nicht erforderlich, da fiir die wichtigsten elementaren Funktionen Korrespondenztabellen entsprechend Tabelle 4.1.1 zur Verfligung stehen. Ist jedoch fiir eine kompliziertere Funktion F{s) die entsprechende Korrespondenz nicht in einer solchen Tabelle zu finden, dann muss diese Funktion in eine Summe einfacher Funktionen von s F{s) = Fi(s) + F2{s) + ... + Fn{s) (4.1.22) zerlegt werden, deren inverse Laplace-Tranformierten bereits bel n, dann wird zweckmafiigerweise Z{s) durch N{s) geteilt, wodurch eine Funktion in s sowie als Rest eine gebrochen rationale Funktion entsteht, deren Zahlerpolynom Zi (5) eine niedrigere Ordnung als n besitzt. 1st z.B. m = n + 2, dann wird

wobei Grad{Zi(5)} < n ist und /co,/ci und /c2 konstante GroBen darstellen. Nun lasst sich eine gebrochen rationale Funktion F{s) gemaB Gl. (4.1.24) durch Anwendung der Partialbruchzerlegung in einfachere Funktionen, wie in Gl. (4.1.22) angedeutet, zerlegen. Dazu muss bekanntlich das Nennerpolynom N(s) faktorisiert werden, so dass man die Form F{s) =

^^']

(4.1.26)

bekommt. Fiir ein Nennerpolynom n-ter Ordnung erhalt man dann n Wurzeln oder Nullstellen 5 = si,52, •.. ,5^. Diese Nullstellen von N{s) sind somit auch die Pole von F{s). Fiir verschiedene Arten von Polen soil nun nachfolgend das Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung gezeigt werden. Fall 1: F{s) besitzt nur einfache Pole. Hierbei lasst sich F{s) in eine Partialbruchzerlegung der Form F{s) = ± - ^ k=i ^

(4.1.27) ^^

entwickeln, wobei die Residuen Ck reelle oder auch komplexe Konstanten sind. Mit Hilfe der Korrespondenztabelle erhalt man dann unmittelbar die zugehorige Zeitfunktion n

f{t) = J2 ^ke''-^

f^r

^ > 0-

(4.1.28)

k=i

Dabei lassen sich die Werte Ck entweder durch Koeffizientenvergleich oder mit dem Residuensatz der Funktionentheorie gemafi

fiir k = 1,2,... ,n bestimmen, wobei N\sk) = dN/ds \s=sk. kennzeichnet. Fall 2: F{s) besitzt auch mehrfache Pole. Treten die mehrfachen Pole von F{s) jeweils mit der Vielfachheit rk{k — 1,2,...,/) auf, dann lautet die entsprechende Partialbruchzerlegung

Die Riicktransformation der Gl. (4.1.30) in den Zeitbereich liefert

62

4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Frequenzbereich

k=l

iy=l

^

^'

Dabei berechnen sich die entsprechenden reellen oder komplexen Koeffizienten Cku ftir i^ = 1,2,... ,r/c gemaB dem Residuensatz zu C. = ( ^ ^

{ ^ ,

[F{s) is - . . ) - ] } ^ ^ ^ ^ .

(4.1.32)

Diese allgemeine Beziehung enthalt natiirlich auch den Fall der einfachen Pole von F{s). Die Pole diirfen reell oder komplex sein. Man beachte aufierdem, dass hierbei definitionsgemafi 0! = 1 wird. Fall 3: F{s) besitzt auch konjugierte komplexe Pole. Da sowohl das Zahlerpolynom Z{s) als auch das Nennerpolynom N{s) der Funktion F{s) rationale algebraische Funktionen darstellen, treten eventuell vorhandene komplexe Faktoren, also Nullstellen oder Pole, stets als konjugiert komplexe Paare auf. Besitzt F{s) gerade ein konjugiert komplexes Polpaar 51^2 = o-i ± jc r

^

G^{s) l + Gi(s)G2(s)

-^a

G,(5)

(4.2.15)

= y

+ I G2(s) ^ao

Bild 4.2.4. Kreisschaltung zweier Ubertragungsglieder

Da die Ausgangsgrofie von Gi{s) liber G2{s) wieder an den Eingang zuriickgefiihrt wird, spricht man auch von einer Riickkopplung. Dabei unterscheidet man zwischen positive! Rtickkopplung (Mitkopplung) bei positiver Aufschaltung von Xg^^is) und negative! Riickkopplung (Gegenkopplung) bei negative! Aufschaltung von Xg,^{s). Beispiel 4-2.1 Ftir den speziellen Fall, dass Gi{s) als reiner Verstarker mit sehr grofiem Verstarkungsfaktor K ^ oo wirkt, erhalt man bei negativer Riickkopplung G{s)

K KG2{s) K

+ G2(5)

1 G2{s)

Das gesamte Ubertragungsverhalten wird demnach hier nur von dem Riickkopplungsglied bestimmt. Auf diesem Sachverhalt beruht bekanntlich die gesamte Operationsverstarkertechnik. Dort verwendet man in einer Kreisschaltung fiir Gi{s) jeweils einen Verstarker mit K ^ oo und kann dann mit Hilfe eines geeigneten Gegenkopplungsnetzwerkes 62(5) fiir das Gesamtsystem in gewissen Grenzen jedes beliebige Ubertragungsverhalten erzeugen. •

4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Erequenzbereich

76

4.2.4

Herleitung von G{s) aus der Zustandsraumdarstellung

Wie bereits im Abschnitt 3.3.2 gezeigt wurde, kann eine lineare gewohnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung entsprechend Gl. (4.2.1) in ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung umgeformt werden. Wendet man nun auf ein solches System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung, also auf die Zustandsraumdarstellung x{t) = Ax{t)

+ bu{t)

mit

cc(0) = 0,

(4.2.16a)

die hier ein EingroBensystem mit einer Eingangsgrofie u{t) und der AusgangsgroBe y{t) = c^x{t) + du{t)

(4.2.16b)

beschreibt, die Laplace-Transformation an, so erhalt man aus Gl. (4.2.16a) sX{s)

=

AX{s)^bU{s).

Mit der Einheitsmatrix I folgt {sI-A)X{s)

=bU{s)

X{s) = {sl-

A)-^bU{s).

(4.2.17a)

Weiterhin ergibt sich aus Gl. (4.2.16b) Y{s) =c^X(s)

+ dU{s)

Y{s) - [c^ {si- A)-^ b + d] U{s). (4.2.17b) Wird auch hier die Ubertragungsfunktion G{s) = Y{s)/U{s) eingeflihrt, dann kann G{s) gemafi Gl. (4.2.17b) durch die GroBen A,6,c und d ausgedrtickt werden: G{s) = c^{s I - A)~^ b-hd.

(4.2.18)

Gl. (4.2.18) ist natiirlich identisch mit Gl. (4.2.2), sofern beide mathematischen Modelle dasselbe System beschreiben. Das soil nachfolgend anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Beispiel 4.2.2 Von einem System mit dem mathematischen Modell in der sogenannten ErobeniusStandardform oder Regelungsnormalform (flir m > 1 durch A(Lu)dB ^ 20 Ig iiT - 20 Ig —

(Endasymptote),

wobei gilt. Im Bode-Diagramm kann A{Lu)dB somit durch zwei Geraden angenahert werden. Der Verlauf der Anfangsasymptote ist horizontal, wahrend die Endasymptote eine Steigung von - 20 dB/Dekade aufweist. Der Schnittpunkt beider Geraden ergibt sich aus der Beziehung 201gK = 201gi^-201g —

94

4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich

und liefert die Frequenz

Daher wird uo = UJQ als Eck- oder Knickfrequenz bezeichnet. Wie leicht aus Bild 4.3.10a zu entnehmen ist, h a t der exakte Verlauf von A{(JO)(\-B fiir die Eckfrequenz UOQ seine groCte Abweichung von den Asymptoten. Als exakte Werte erhalt m a n 1

A{uj^) = K—=

IT

und

(^K) -

--.

Somit b e t r a g t die Abweichung des Amphtudenganges von den Asymptoten fiir cu = LUQ AA{uJe)dB = - 2 0 Ig A/2 dB ?::^ - 3 d B .

Asymptoten 20dB/Dekade

jImfG'l

•LO^U^

^0^)

® Bild 4.3.10. PTi-Gliedes

(a) Amplituden- und Phasengang sowie (b) Ortskurve des Frequenzganges des

Die Abweichungen fiir andere Prequenzen liegen im logarithmischen MaBstab symmetrisch zur Knickfrequenz, wie aus Tabelle 4.3.1 direkt zu ersehen ist. Damit ist eine sehr einfache K o n s t r u k t i o n des Amphtudenganges im Bode-Diagramm moglich. Eine ahnlich einfache K o n s t r u k t i o n des Phasenganges ist nicht moglich, allerdings lasst sich der P h a s e n g a n g grob durch eine Treppenkurve annahern. Wie bereits im Abschnitt 4.2.7 ausgeflihrt wurde, ergibt die Ortskurve des Frequenzganges des P T i - G l i e d e s einen Halbkreis, der fiir c 0 zu

4.3 Die Prequenzgangdarstellung

T a b e l l e 4.3.2

103

Lage der Pole in der s-Ebene und Ubergangsfunktion fiir Ubertragungsglieder

mit der Ubertragungsfunktion G{s) = 1/ [l + S2D/UJQ + (S/CJQ)^]

Dampfung

Lage der Pole

Ubergangsfunktion h{i)

^' = 0,1

{)< D

1

\

•

J^ a

\

D =0 So

2 ^-J^(

|j^

.VI^^ -1 0 als Ubergangsfunktion

h{t) =

K{l--e

- tujQ D

cosh fwo\/-C>2 - Itj +

D

sinh \UJQ\/D"^ - It

a{t). (4.3.67)

d) Fall 4: I? = 0 (ungeddmpftes Verhalten: schwingendes

died)

Aus Gl. (4.3.56) folgt fiir diesen Fall ein rein imaginares Polpaar von G{s) bei Sl,2 = ±JW0-

Mit Gl. (4.3.48) und D = 0 erhalt man die Ubertragungsfunktion K

G{s) = —

—

"2

= ^:ifv2-

(4-3-68)

Als Ubergangsfunktion h{t) ergibt sich aus Gl. (4.3.60) eine ungedampfte Dauerschwingung h{t) - K{1 - cosujot) (j{t) (4.3.69) mit der Frequenz c^oDer Parameter UOQ wird daher gewohnlich als Frequenz der ungedampften Eigenschwingung oder kurz als Eigenfrequenz bezeichnet. e) Fall 5i D < 0 {instahiles died) Im vorliegenden Fall liegen die beiden Pole von G{s) in der rechten 5-Halbebene. Sie konnen rein reell oder konjugiert komplex sein:

106

4 Beschreibung linearer kontinuierlicher Systeme im Prequenzbereich Sl,2 = ^0 1^1 =t CJOVD^ - 1

(4.3.70)

Gl. (4.3.60) gilt auch fiir diesen Fall, allerdings enthalt nun der Exponentialterm das positive Vorzeichen, so dass der Schwingungsvorgang nicht mehr abklingt, sondern sich vielmehr aufschaukelt, d.h. die Amplitudenwerte der Halbschwingungen von h{t) werden betragsmaBig exponentiell mit zunehmender Zeit anwachsen. Ein derartiger Vorgang, bei dem h{t) fiir t - ^ oo liber alle Grenzen anwachst, wird als instabil definiert.

4.3.4-8

Weitere

Ubertragungsglieder

Obwohl in den vorhergehenden Abschnitten die wichtigsten Standardiibertragungsglieder bereits besprochen wurden, die zur Konstruktion auch komplizierterer Bode-Diagramme vollig ausreichen, sei nachfolgend noch auf weitere Standardiibertragungsglieder der Regelungstechnik hingewiesen, die in Tabelle 4.3.3 zusammengestellt sind. Diese Aufstellung enthalt auch Beispiele fiir die praktische Realisierung dieser Glieder.

4-3.4'9

Bandbreite

eines

Ubertragungsgliedes

Einen wichtigen Begriff, der bisher noch nicht definiert wurde, stellt die Bandbreite eines Ubertragungsgliedes dar. Verzogerungsglieder mit Proportionalverhalten, wie z.B. P T i , P T 2 - und PT2S-Glieder sowie PTn-Glieder (Hintereinanderschaltung von n P T i - G l i e dern) besitzen eine sogenannte Tiefpasseigenschaft, d.h. sie libertragen vorzugsweise tiefe Prequenzen, wahrend hohe Frequenzen von Signalen entsprechend dem stark abfallenden Amplitudengang abgeschwacht libertragen werden. Zur Beschreibung dieses Ubertragungsverhaltens flihrt m a n den Begriff der Bandbreite ein. Als Bandbreite bezeichnet m a n die Prequenz uuh bei der der logarithmische Amplitudengang gegenliber der horizontalen Anfangsasymptote u m 3 dB abgefallen ist, siehe Bild 4.3.18.

U,

UJ^

CJ^

Bild 4.3.18. Zur Definition der Bandbreite Uh bei Ubertragungssystemen mit Tiefpassverhalten (iOr Resonanzfrequenz, LOQ Eigenfrequenz der ungedampften Schwingung; co in logarithmischem Mafistab)

4.3 Die Prequenzgangdarstellung

107

II -tTl ,tf II

^

1

^^nnJ

ki^

bO

^ ^

•+J

CD -f-J

^

rt -1

rn

:0

a

?H

(D bJU

s^ bJO

CD

9^ fe ^

CC^

^s

a ; CD bJO - d

T5

03

H

^< ^ II --j

CO

5 Das Verhalten linearer kontinuierlicher Regelsysteme

130

5.3.3

5.3.3.1

Technische Realisierung von linearen kontinuierlichen Reglern Das Prinzip

der

Riickkopplung

Die meisten technischen, analogen Regler werden unter Anwendung des Prinzips der Riickkopplung realisiert. Ein solcher Regler besteht nach Bild 5.3.5 aus einem Verstarker mit einer sehr hohen Verstarkung K und einem geeigneten Riickkopplungsglied mit der Ubertragungsfunktion Gr{s). 1

w+^i ^

> r3 ^ 1'+*C S 1

i

^

I'^R.

K

ii

Y

GAs) ^ Regler '

1

Bild 5.3.5. Realisierung eines Reglers mit Hilfe des Prinzips der Riickkopplung Ahnlicti wie im Abschnitt 5.3.1 wird im weiteren davon ausgegangen, dass die Bildung der Regelabweichung e(^) schon vor dem eigentlichen dynamischen Teil des Reglers erfolgt. Die resultierende Reglerlibertragungsfunktion ergibt sich daher aus Bild 5.3.5 zu GR(5)

Hieraus folgt mit l/K «

=

E{s)

l^KGr{s)

}_ K

(5.3.13) +

Gr(5)

\Gr{s)\

Gnis)

Gr{s)

(5.3.14)

Das Ubertragungsverhalten des Reglers wird somit nur durch das Riickkopplungsglied bestimmt. Daher lassen sich durch Verwendung verschiedener, zweckmaBig gewahlter Riickkopplungsglieder die wichtigsten linearen Reglertypen einfach realisieren, wie nachfolgend gezeigt werden soil. a) Aus einer verzogerten Ruckfilhrung mit der Ubertragungsfunktion

l + T^s

(5.3.15)

erhalt man unter Verwendung von Gl. (5.3.14) die Reglerlibertragungsfunktion (5.3.16) Diese Gleichung stellt einen PD-Regler mit der Verstarkung

5.3 Der PID-Regler und die aus ihm ableitbaren Reglertypen

131

KR = Y

(5.3.17a)

und der Vorhaltezeit TD = Tr

(5.3.17b)

dar. b) Aus einer nachgebenden Ruckfiihrung mit der Ubertragungsfunktion Gr{s) = ^ r j " ! ^

(5.3.18)

erhalt man die Reglerlibertragungsfunktion

Diese Beziehung beschreibt einen PI-Regler mit der Verstarkung KR = ^

(5.3.20a)

und der Nachstellzeit Ti = Tr.

(5.3.20b)

c) Aus einer verzogert nachgebenden Ruckfiihrung mit der Ubertragungsfunktion

«' 0 sein. b) AuBerdem muss (aia2 — astto) > 0 gelten. Mit obigen Koeffizienten folgt daraus Ti+T2-TiT2Xo>0 und durch Auflosen nach KQ T1+T2 T1T2 • Der geschlossene Regelkreis ist somit asymptotisch stabil fiir Ko