Rapport de TP Scilab [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITE LE HAVRE NORMANDIE UFR SCIENCES ET TEHNIQUES

Master 1 Energie UE Méthodes numériques 1

R A P POR T DU T P N ° 1 R ES OL U TI ON D E L ’ E QU A TI ON DE C HA L EU R 1 D

Rédigé par : BEN BELKACEM Yasmine BOUMEZRAG Mounir

Octobre 2019

But du TP : Dans ce TP nous proposons de résoudre numériquement l’équation de diffusion de la chaleur 1D grâce à la méthode des différences finies. Nous allons réaliser et étudier une approximation de la dérivée seconde, à l’aide d’un script, en fonction d’une discrétisation dans l’espace et des conditions aux limites. Nous évaluerons également l’erreur entre la solution exacte et la valeur numérique calculée par le logiciel.

1. Présentation de l’équation à résoudre et son approximation 𝑑2𝑇 ) = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑇(0) = 0 𝑇(1) = −𝑒

(−

{ 

La valeur exacte de cette équation du second ordre Pour (𝑥) = −𝑒 𝑥 + 2 , la solution exacte est: 𝑻(𝒙) = −𝒆𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝟏



𝑑2 𝑇

Approximation de la dérivée seconde 𝑑𝑥 2

En utilisant le développement de Taylor jusqu’à l’ordre 2 nous aurons : 𝜕𝑇 ∆𝑥 2 𝜕²𝑇 𝑇(𝑥𝑖+1 ) = 𝑇𝑖+1 = 𝑇𝑖 + ∆𝑥 ( )𝑖 + ( ) + 𝑜(∆𝑥 2 ) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥² 𝑖 𝜕𝑇 ∆𝑥 2 𝜕²𝑇 𝑇(𝑥𝑖−1 ) = 𝑇𝑖−1 = 𝑇𝑖 − ∆𝑥 ( )𝑖 + ( ) + 𝑜(∆𝑥 2 ) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥² 𝑖 Nous sommons les deux expressions ci-dessus : ∆𝑥 2 𝜕²𝑇 𝑇𝑖+1 + 𝑇𝑖−1 = 2𝑇𝑖 + 2 ( ) + 𝑜(∆𝑥 2 ) 2 𝜕𝑥² 𝑖 𝜕²𝑇 𝑇𝑖+1 + 𝑇𝑖−1 − 2𝑇𝑖 = ∆𝑥 2 ( ) + 𝑜(∆𝑥 2 ) 𝜕𝑥² 𝑖 𝝏²𝑻 𝑻𝒊+𝟏 − 𝟐𝑻𝒊 + 𝑻𝒊−𝟏 ( )𝒊 = + 𝒐(∆𝒙𝟐 ) ∆𝒙𝟐 𝝏𝒙² 𝐿

Sachant que : ∆𝑥 = 𝑁−1 = ℎ (



𝝏²𝑻 𝑻𝒊+𝟏 − 𝟐𝑻𝒊 + 𝑻𝒊−𝟏 )𝒊 = + 𝒐(𝒉𝟐 ) 𝒉𝟐 𝝏𝒙²

Pour un modèle par différences finies à 5 éléments, le système précèdent peut se mettre sous la forme matricielle.

𝑖=1

𝑇1 = 0 𝑇3 − 2𝑇2 + 𝑇1 = 𝑓2 ℎ2 𝑇4 − 2𝑇3 + 𝑇2 = 𝑓3 ℎ2 𝑇5 − 2𝑇4 + 𝑇3 = 𝑓4 ℎ2 𝑇5 = −𝑒

𝑖=2 𝑖=3 𝑖=4 𝑖=5

En négligeant o(h²) , soit la matrice dont la résolution permet d’obtenir une approximation 𝑣𝑖 = 𝑇(𝑥𝑖 ): 1

0 2

−1

ℎ2

ℎ2

ℎ2

−1

0 0 [0

0

0 0

−1

2

−1

ℎ2

ℎ2 −1

ℎ2 2

ℎ2

ℎ2

0

0

0 0

0 0

𝑇1 𝑇2 0 * 𝑇3 𝑇4 −1 2 ℎ (𝑇5 ) 1]

=

0 𝑓2 𝑓3 𝑓4 (−𝑒)

2. Code de calcul : Approximations à l’aide de boucles  Description du script

On réalise une discrétisation de l’intervalle 𝑥 ∈ ]0,1[ 1

Avec un pas ℎ = 𝑁−1 A l’aide de la boucle « for i=… end», on introduit dans le script du logiciel la matrice des éléments précédents et le vecteur de charge des éléments connus (0, 𝑓𝑖=2,3,4 , −𝑒)

-La commande « inv .. » nous a permis de retrouvé le vecteur inconnu caractérisant les valeurs numériques approchée de la température (T1, T2 …) -La commande « plot / plot2D .. » nous a donnée les graphes comparatifs des deux valeurs exacte et numérique



Interprétations