Ralihalizarajulliard ESPA ING 06 [PDF]

Zitiervorschau

REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA Tanindrazana – Fahafahana – Fandrosoana

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE 2004 – 2005

DEPARTEMENT BATIMENTS ET TRAVAUX PUBLICS Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme d’ingénieur

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS MATLAB : Application au calcul des structures

Présenté par : RALIHALIZARA Julliard Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo Date de soutenance : 17 Novembre 2006

REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA Tanindrazana – Fahafahana – Fandrosoana

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE 2004 – 2005

DEPARTEMENT BATIMENTS ET TRAVAUX PUBLICS Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme d’ingénieur

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS MATLAB : Application au calcul des structures

Président : Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo Examinateurs : Monsieur RABENATOANDRO Martin Monsieur RAKOTO David Monsieur RANDRIANTSIMBAZAFY Andrianirina Madame RAVAOHARISOA Lalatiana

REMERCIEMENTS

A cette occasion, nous tenons à adresser nos vifs remerciements à : - Dieu qui nous a illuminés durant toute la période de réalisation de ce mémoire ; - Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin, Directeur de l’école Supérieure Polytechnique d’Antananarivo sans l’aval de qui, ce mémoire n’a jamais été soutenu ; - Monsieur RABENATOANDRO Martin, Maître de conférences à l’Ecole Supérieure Polytechnique d’Antananarivo, et Chef du département Bâtiments et Travaux Publics qui a accepté la tenue de ce mémoire ; - Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo, Maître de conférences à l’Ecole Supérieure Polytechnique d’Antananarivo, qui nous a encadrés durant l’élaboration de ce mémoire. Il est vrai que les tâches sont moins écrasantes lorsque l’on est épaulé par un géant comme vous ; - Tous les honorables membres du jury, qui malgré leurs responsabilités, ont bien voulu accepter d’examiner ce mémoire ; - Tous les enseignants de l’Ecole Supérieure Polytechnique, qui ont contribué à notre formation durant ces cinq dernières années ; - toute la famille, particulièrement mes deux sœurs qui ne se sont pas ménagées pour me soutenir ces derniers temps ; -

Tous les amis à la polytechnique, particulièrement ceux du département télécommunication pour leurs aides généreuses.

NOTATIONS [C] : matrice de rigidité [E] : le module d’élasticité {F} : le vecteur des sollicitations nodales |J| : Le déterminant du jacobien [Ke] : la matrice de rigidité élémentaire [K] : la matrice de rigidité après assemblage L : longueur des poutres [N] : la matrice des fonctions d’interpolation U : énergie de déformation V : potentiel des forces nodales W : potentiel de déformation ui, vi, wi : déplacements nodaux dans les directions de x, y et z {un} : le vecteur des déplacements nodaux

δ : opérateur variationnel { ε } : le vecteur déformation { σ } : le vecteur des contraintes

υ : coefficient de Poisson Π : la fonctionnelle d’un problème

Sommaire INTRODUCTION. Partie I : Théorie de la méthode des éléments finis Présentation Historique Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis.

Partie II : Applications aux calculs des structures élastiques Elément barre à une dimension Elément poutre dans le plan Elément poutre dans l’espace Elément triangulaire Elément quadrilatéral Etude des plaques Elément hexaédrique à huit nœuds

Partie III : Présentation de Matlab Introduction Matlab comme outil pour la simulation Pourquoi Matlab ? Présentation du programme

Partie IV : Applications Introduction Portique spatial Etude des consoles courtes Plaque avec ouverture Hypothèse de la bielle comprimée Conclusion Bibliographies Annexe

INTRODUCTION La méthode des éléments finis est devenue aujourd’hui une méthode très à la mode. Elle se prête bien à la programmation sur ordinateur. De ce fait, les procédures numériques peuvent être rendues automatiques et modulaires. Elle peut prétendre, pouvoir apporter solutions à des problèmes de physique que l’Homme n’a pas pu résoudre par les méthodes classiques.

D’une autre part, le monde de l’informatique ne cesse de nous émerveiller par son évolution fulgurante. Maintenant, le grand public a accès à des ordinateurs de plus en plus puissants qui peuvent traiter des informations complexes. Les techniques de programmation suivent aussi cette évolution. Avec la nouvelle génération de langage de programmation très puissante : le langage orienté objet, l’art de programmer s’est revêtu d’un aspect nouveau. Parmi eux se trouve Matlab, qui est reconnu mondialement comme la plus puissante en matière de simulation.

Nous allons créer et développer un environnement de calcul et d’analyse des structures par la méthode des éléments finis sous Matlab. Il sera enrichi pour être capable de recevoir des cas de problèmes variés.

Le premier chapitre de cet ouvrage est une présentation de la méthode des éléments finis. Les bases théoriques ainsi que les outils mathématiques de la méthode y seront exposés, après un bref historique.

Le deuxième chapitre est une application de la théorie à des modèles physiques. Les éléments linéaires, planes est enfin les éléments volumiques seront traités successivement.

Matlab n’apparaît qu’au troisième chapitre. Les points forts de ce logiciel seront mis en exergues, suivi d’une présentation du programme.

Dans le dernier chapitre, Nous allons voir le programme à l’œuvre pour des vérifications de quelques théorèmes de la RDM classique. Nous allons prendre ROBOBAT comme référence pour les résultats numériques.

Chapitre – I:

« THEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINIS »

-

Présentation

-

Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis

-

Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis.

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

I-1. Présentation La méthode des éléments finis est une approche numérique pour les problèmes de Physique. Actuellement, l’Homme est souvent conduit à réaliser des projets de plus en plus audacieux et complexes. Pour des raisons de sécurité et économiques, il lui est nécessaire de modéliser ses ouvrages le plus fidèlement possible. Il lui est indispensable de prévoir le comportement réel des systèmes qu’il étudie. Pourtant, les lois de comportements se traduisent, dans la plupart des cas, par des équations aux dérivées partielles complexes. La méthode des éléments finis offre des solutions pour contourner ces genres d’équations.

L’histoire de la méthode des éléments finis n’a commencé que vers les années 1940. C’était lorsque les ingénieurs en aéronautique américains cherchaient à obtenir des modèles mathématiques fidèles pour calculer les fuselages d’avions. Les avions modernes commençaient en cette période, à avoir des formes de plus en plus complexes. Il était alors impossible de prévoir le comportement d’une pièce lorsqu’elle est soumise à différentes sollicitations. Le problème consistait à déterminer la rigidité d’une structure composée de poutres et de plaques métalliques. Obtenir la rigidité des poutres était une chose facile mais, ce n’était pas le cas pour les plaques. En 1941, un ingénieur américain A. Hrennikoff, a proposé d’assimiler les plaques à un ensemble de plusieurs poutres de rigidité connus. Les résultats obtenus étaient satisfaisants pour les pièces rectangulaires mais médiocres pour les autres formes. Alors, en 1956, quatre américains : Turner, Clough, Martin et Topp, ont présenté ensemble, une méthode pour résoudre le cas des pièces triangulaires et quadrilatérales. Parallèlement, l’américain S.Levy (1953) et deux britanniques, J.Argyris et S.Kalsey (1960) ont perfectionné la méthode d’analyse matricielle des structures assistée par ordinateur. Ils ont notamment travaillé sur la résolution des systèmes d’équations linéaires. Il faut dire que sans le développement de l’informatique, la méthode des éléments finis, aussi efficace soit-elle, n’aurait pas son succès actuel. Elle conduit toujours à la résolution de systèmes de plusieurs équations linéaires qui sont difficiles à résoudre sans l’aide d’un ordinateur.

2 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

D’un autre côté, l’illustre mathématicien allemand Richard Courant a publié en 1943, un article qui propose des solutions numériques aux problèmes variationnels par les méthodes d’approximations de Ritz et Galerkin. Pourtant, il faut attendre 1965 pour que les conceptions mathématiques de Courant se transforment en solutions numériques pratiques, plus facilement solvables par ordinateur. Mieux encore, O.C.Zienkevitch et Y.K.Cheung (1965), ont remarqué que la méthode peut aussi résoudre d’autres problèmes régis par la même forme de fonctionnelle que les problèmes d’élasticité. La parution de leur article marque le début de l’expansion de la méthode des éléments finis vers d’autre domaine autre que la mécanique des structures. Depuis, la méthode n’a cessé de gagner du terrain et elle est aujourd’hui considérée comme une méthode d’analyse standard.

La

méthode

des

éléments

finis

trouve

application

dans la

thermodynamique, la mécanique des fluides, l’acoustique, la médecine, la sismologie, et dans bien d’autres.

La suite de cette première partie va nous introduire dans la méthode des éléments finis proprement dite. Il sera question de la fondation mathématique de la méthode.

3 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

I-2. Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis Cette partie a pour but de jeter les bases théoriques de la méthode des éléments finis. Nous allons notamment voir la formulation variationnelle d’un problème et les méthodes d’approximations. I-2-1. Relation déformation-déplacement en mécanique du milieu continu D’après les théories de la mécanique du milieu continu, en considérant les déformations et les déplacements comme petits, les composants de la matrice de déformation sont obtenus d’après l’équation matricielle :  ∂ εX   ∂X          0 ε Y           εZ   0   [ε ] =   =   ∂   γ   XY   ∂Y       0  γ YZ         ∂   γ   ZX   ∂Z

0 ∂ ∂Y 0 ∂ ∂X ∂ ∂Z 0

 0    0    ∂  ∂Z    0    ∂  ∂Y   ∂   ∂X 

u       . v      w  

Où u, v et w sont les composantes des déplacements dans les directions des axes X, Y et Z. I-2-2. Relation contrainte-déformation

Figure 1 : Les composantes des contraintes dans l’espace

4 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

La relation entre contrainte {σ} et déformation {ε} s’appelle loi de comportement. Pour un problème d’élasticité, elle représente la loi de Hooke généralisée :

{σ } = [D] ⋅ {ε } Où [D] est la matrice des coefficients élastiques. Pour les contraintes planes nous avons :

[σ ]

ν

 σ X         E    = σY  = 2  −   1 ν     τ   XY  

1

0

0

ν

0

0

    0    1−ν 2 

εX       .  εY      γ   XY 

    0    1 − 2ν  2 

ε   X      εY      γ   Xy 

0

: le coefficient de Poisson.

E : module d’élasticité d’young.

Pour les déformations planes :

[σ ]

σ X      E   = σ Y  = (1 − ν )(1 − 2ν )     τ   XY 

 1 −ν    0     0

0 1−ν 0

0

Nous allons trouver la solution (déplacement-contrainte) de la mécanique du milieu continu qui est à la fois cinématiquement et statiquement admissible. Celle qui vérifie les équations de compatibilité des déformations et d’équilibre. Pour ce faire, nous allons adopter l’approche cinématique.

I-2-3. Approche cinématique Nous cherchons une formulation énergétique à l’aide du champ de déplacements. Elle est basée sur le « principe » des travaux virtuels.

5 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

Soit un corps solide en équilibre sous l’action des forces de volume

f (M) et

des forces de surface F ( p) , dans un champ de déplacements virtuels

δu

cinématiquement admissible. Nous avons la formule :

∫ F( p) δ u dσ + ∫ f (M) δ u dv = ∫ σij v

Sσ

v

∂ui dv ∂x j

Figure 2 : Milieu continu

Le premier terme de la dernière équation exprime le travail virtuel des forces externes. Le deuxième terme est l’expression du travail des forces internes. Nous pouvons transformer cette relation en admettant l’existence d’un potentiel de déformation W, tel que :

σ ij = ∂W ∂ε ij Il vient alors, par symétrie du tenseur des contraintes que :

∫ σ ij v

∂W ∂u i dv = δ ε ij ∫ σ ij δ ε ij dv = ∫ ∂x j v v ∂ε ij

= ∫ δ W dv = δ ∫ W dv v

v

Alors la formulation du « principe »du travail virtuel devient :

U = ∫ Wdv= ∫ F(P) δ u dσ + ∫ f (M) δ u dv v

Sσ

U = ∫ W d v : énergie de déformation. v 6 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

En élasticité, nous apprenons que l’énergie de déformation U s’obtient par : 1 { ε }T {σ } dv Ω2

U= ∫

Or, {σ } = [ D ] {ε }

L’énergie de déformation peut alors, prendre la forme : 1 Ω2

U= ∫ Si nous

{ε }T [D] {ε } dv .

admettons que les forces de volume et les forces de surface

dérivent des potentiels suivant :

f = −∇ g

F = −∇G D’où : 



∫ f δ u d v + ∫ F δ u d σ = − δ  ∫ gdv + ∫ Gd σ   v

s

v

s



= −δ V

Avec V le potentiel des forces externes. En introduisant la fonctionnelle énergie potentielle totale ∏ , nous avons d’après toujours le « principe » des travaux virtuels :

δ ∏ = δ (U + V) = 0 Ainsi, pour un corps solide en équilibre, l’énergie potentielle totale est stationnaire. Inversement, cette propriété de stationnarité implique que les conditions d’équilibre sont satisfaites suivant la première variation de l’énergie potentielle totale.

δ ∏ = δ ( ∫ Wdv − ∫ f δ u dv − ∫ F ⋅ δ u d σ ) v

∑

v

D’après l’expression de la variation du potentiel de déformation W :

δ ∏ = - ∫ ( div σ + f ). δ u d v + ∫ (T ( p , n ) − F ( P ) δ u ) d σ v

s 7

ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

T ( p, n) est le vecteur des contraintes.

La stationnarité de Π implique que :

div σ + f = 0 : équation d’équilibre. T ( p, n) − F ( P) = 0 : conditions aux limites sur S σ . Par ailleurs, nous montrons que la seconde variation de Π ( δ 2 Π ) est positive. En résumé, nous avons le théorème de l’énergie potentielle qui est la base de la méthode des éléments finis en mécanique des structures :

« De toutes les configurations géométriques possibles que puisse prendre un système, la seule qui est probable et qui vérifie l’équilibre, c’est celle qui minimise la valeur de l’énergie potentielle totale Π .» En termes de calcul variationnel (Cf. Annexe) nous pouvons dire que les équations d’équilibre appelées équations d’Euler avec condition aux limites sont le problème d’extremum de la fonctionnelle énergie potentielle totale Π suivant : Π = ∫ Wdv − ∫ f u dv − ∫ F ( p ) δ u dσ v

sσ

Avec u = u sur Su.

I-2-4. Méthodes d’approximations de Ritz Lorsqu’une forme variationnelle d’un problème existe (c’est-à-dire que la fonctionnelle Π existe), une solution peut être obtenue en choisissant une fonction u(x) qui va minimiser la fonctionnelle. u(x) comporte des coefficients arbitraires que nous pouvons ensuite ajuster. Par exemple, si nous prenons comme fonction d’essai n

u(x) = ∑ c i ⋅ ϕ i ( x) i =1

8 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

Où

ci : les coefficients inconnus.

ϕ i : fonctions tel que u(x) est cinématiquement admissible. Les constantes sont déterminées en cherchant l’extremum de la fonctionnelle par rapport à chacune d’elles, c’est-à-dire :

∂Π

∂c1

= 0,

∂Π

∂c2

= 0 ,…………,

∂Π

∂c n

=0

Retenons que u(x) est une solution approximative. Une minimisation de la fonctionnelle donnera une solution qui va satisfaire l’équation différentielle dans toute la région.

I-2-5. Méthode des Résidus pondérés : Méthode de Galerkin La méthode des résidus pondérés est une alternative à la méthode variationnelle. Lorsque la fonctionnelle n’existe pas, nous adoptons cette méthode. Nous allons présenter dans ce paragraphe les principes généraux de celle-ci. Soit un opérateur différentiel D qui transforme une fonction inconnue u en une fonction p : D(u) = p. La solution générale de cette équation serait une fonction qui satisfait l’équation différentielle sur tout le domaine ainsi que sur la frontière. Nous allons chercher une solution u(x) solution de cette équation différentielle. Elle doit vérifier l’équation différentielle aux frontières mais pas nécessairement dans le domaine d’intégration : c ‘est le principe de la méthode des résidus pondérés. La méthode des résidus pondérés implique la « création » d’une fonction solution approximative qui satisfait les conditions aux limites : la fonction de base. Elle comporte des paramètres ajustables a n , initialement inconnus, que nous pouvons modifier pour minimiser les erreurs dans le domaine d’intégration.

Une fonction de base a la forme suivante : u(x) = ∑ a i G i ( x)

i = 1,2,…..,n. 9

ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

Où

u ( x) = G1

u ( x) = G x

 a1        a 2    Gn      ...      a n 

...

G2

{a n}

- Les ai sont des coefficients ajustables. - Gi : des fonctions connues linéairement indépendantes. - n est le nombre de coefficients.

Nous pouvons aussi utiliser l’approximation nodale telle que :

u ( x) = N 1

N2

u ( x) = N

...

 u1        u 2   Nn      ...      u n 

{u n}

Les paramètres ui sont les valeurs exactes de u(x) aux points xi. Ils sont aussi appelés variables nodales. Les fonctions N(x) sont les fonctions d’interpolation déterminées par :

N ( x) = G x

[G n]−1

Tel que :

{u n} = [G n] {a n} L’erreur commise lors de l’approximation ou résidu est la différence : E(x) = D(u) – p 10 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

La méthode des résidus pondérés requiert que l’intégrale du produit de l’erreur avec une certaine fonction appelée fonction poids W soit égale à zéro.

∫ W i E ( x) dx = 0 ,

i = 1,2,…..,n.

xi

Nous remarquons que le nombre de fonctions poids est égal au nombre de coefficients ai. Si les fonctions poids sont judicieusement choisies, nous aboutissons à n équations avec n inconnues dont les solutions sont les coefficients ai. Selon les fonctions poids utilisées, la méthode des résidus pondérés se subdivise encore en :

- Méthode de collocation : Cette méthode utilise une famille de fonction de Dirac : les fonctions delta, comme fonction poids.

∫ δ ( x − xi ) E dx = 0

i = 1,2,…..,n.

xi

Cette méthode permet de forcer le résidu à être nul pour certains points de la région. - La méthode des sous-régions : La fonction poids est égale à l’unité ;

∫ E ( x) dx = 0 ,

i = 1,2,…..,n.

xi

- La méthode de moindre carrés La fonction poids Wi = ∂E , i = 1,2,…..,n.

∂ai

Donc,

∂ 2 ∫ E dx = 0 . ∂ai x i - La méthode de Galerkin La fonction poids serait : Wi = ∂u = Gi,

∂ai

i = 1,2,…..,n.

11 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

Donc,

∫ G i E ( x)dx = 0 ,

i = 1,2,…..,n.

xi

I-2-6. Concept de discrétisation Les deux derniers paragraphes ont montré comment trouver la fonction de déplacement u(x) par la formulation variationnelle, après minimisation de la fonctionnelle. L’idée est assez simple mais pour les problèmes réels, la chance de trouver une fonction qui va vérifier l’équation différentielle sur tout le domaine d’intégration est plutôt mince. Comme alternative à la modélisation de la région en entière avec une seule et complexe fonction, la méthode des éléments finis propose de subdiviser la région en plusieurs éléments. Pour chaque subdivision, la fonction de déplacement s’écrit d’une manière plus simple ; C’est le principe de la discrétisation.

I-2-7. Milieux continus discrets Dans le cadre de la méthode des éléments finis, nous étudions un modèle discret du domaine continu. Il est subdivisé en sous-régions de forme géométrique simple appelés « éléments finis ». Les subdivisions sont interconnectées en des points remarquables appelés « nœuds ». De plus, nous définissons dans chaque élément une approximation nodale adéquate de la solution, uniquement en fonction des valeurs nodales attachées à l’élément Ve considéré.

u ( x) = N 1 ( x)

N 2 ( x)

...

 u1        u 2    N n ( x)      ...      u n  12

ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

u ( x) = N

BTP

{u en}

Nous pouvons classer les différents types d’éléments suivant leur géométrie : 1. Les éléments unidimensionnels (1D) : barres, poutres. 2. Les éléments bidimensionnels (2D) : élasticité plane, plaque en flexion, coques. 3. Les éléments tridimensionnels (3D).

Figure 3 : Système discrétisé en éléments finis L’énergie potentielle totale est la somme des énergies potentielles élémentaires. N

Π = ∑ Πe e =1

N : nombre total d’éléments. Sa variation est : N

δΠ = ∑ δ Π e = 0 e =1

En élasticité, la variation de l’énergie potentielle pour un élément de volume V e est:

∂π e = ∫ < ∂ε > [D] {ε} dv − ∫ < ∂u > { f } dv − ∫Se < ∂u > {F} dv f Ve

Ve

Soit sous la forme discrétisée :

13 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

∂π =< ∂u e

e

BTP



{ }



> ∫ [ B] [ D] [ B] dv Vne − < ∂une >  ∫ {N } { f } dv − ∫ {N } {F } dσ   e  Ve S ef V  T

Où, - S ef est la surface frontière appartenant à l’élément Ve - [B] est tel que : < N >  u           ∂u   ∂N   ∂x   ∂x   une   =      .... ....                ....   .... 

{}

{}

= [ B ] une

En posant - [ K e ] = ∫ [B ] [D] [ B] dv : La matrice de rigidité élémentaire. T

{ }

ve

- F e = ∫ {N }{ f }dv − ∫ {N }{F } dσ : Le vecteur élémentaire des Ve

S ef

sollicitations. Nous avons l’expression matricielle de π e discrétisée qui est la formule de la méthode des éléments finis.

( [ ]{ } )

π e = < ∂une > Ke une − Fe

Nous obtenons la même forme de We discrétisée si la fonctionnelle n’existait pas. Mais en calcul des structures, nous pouvons l’avoir directement après discrétisation et à l’aide du « principe » des travaux virtuels.

I-2-8. Principe d’assemblage L’assemblage de ces divers éléments se déduit, - Soit de la stationnarité de l’énergie potentielle totale globale : 14 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

N

∂π = ∑ ∂π e = 0 , e =1

- Soit de la forme intégrale globale : N

W = ∑ we = 0 , e =1

- Soit de l’équilibre de chaque nœud avec continuité des déplacements en calcul des structures. Ainsi l’opération consiste à construire la matrice globale [K] et le vecteur global des sollicitations [F] à partir des matrices éléments [Ke ] et {Fe } par expansion de ces matrices élémentaires. Par suite nous avons : [K] {un } = {F} N

- [ K ] = ∑ [K e ]

: Matrice globale de rigidité

e =1

e - {F } = ∑ {F } e =1 N

: Vecteur global des sollicitations

- {un } : Vecteur global des variables nodales du problème Avec le principe d’assemblage, nous terminons cette partie concept mathématique de la méthode des éléments finis. La partie suivante concerne les outils mathématiques utilisés par la méthode.

15 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

I-3. Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis Dans ce paragraphe, nous allons voir les éléments mathématiques qui vont essentiellement avec la méthode des éléments finis. Ce sont des outils mathématiques qui complètent la théorie.

I-3-1. Systèmes de référence : Nous avons à utiliser trois types de systèmes de référence :

– Le système de référence global : C’est le repère le plus courant. Il est constitué par un système d’axes fixes. L’unité de mesure est l’unité de longueur. Tout point du système a ses coordonnées par rapport à ce repère ( les coordonnées globales).

– Le système de référence local : C’est le repère attaché au système, l’orientation des axes dépend du mouvement du système. L’unité de mesure est encore l’unité de longueur.

Figure 4 : Système de coordonnées locales et globales

16 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

– Le système de référence naturel ou intrinsèque C’est une manière de repérer les points indépendamment de la taille ni de la forme du système considéré. Un point A d’un triangle sera repéré à partir des trois côtés ( côté 1, 2 et 3) de celui-ci. Le point A aura trois coordonnées L1, L2, L3. Les coordonnées naturelles peuvent être considérées comme le quotient des surfaces intérieures issues du point A et la surface totale du triangle. Si S est l’aire totale du triangle et, S1, S2, S3 les surfaces des domaines montrés par la figure 5, nous avons comme coordonnées du point A : L1 =

S 1 , L = S 2 et L = S 3 . 2 3 S S S

Par exemple, les coordonnées de chacun des sommets du triangle sont : (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Figure 5 : Repère naturel pour le triangle Une autre manière de concevoir le système de coordonnées naturel, pour un triangle, c’est de raisonner en distance. Prenons, par exemple le côté n°1, il sera l’origine des L1, (tous les points appartenant à ce côté auront comme L1 égale à zéro). Ensuite, le sommet opposé à elle aura pour coordonnée L1 égale à l’unité. Les points intermédiaires sont donc à une fraction de l’unité, à partir du côté 1 (Figure 6). Ainsi de suite pour les deux autres coordonnées (L2, et L3).

17 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

Figure 6 : Repère naturel pour le triangle Nous

constatons

alors

qu’en

système

de

référence

naturel,

les

coordonnées d’un point ne dépassent jamais l’unité. Et, la somme des coordonnées d’un point dans un tel repère est toujours égale à l’unité. Autrement dit, les coordonnées appartiennent toujours dans l’intervalle [-1 , 1]. Ceci rend ce mode repérage très intéressant pour la méthode des éléments finis. Plus tard, nous allons voir que les calculs des matrices de rigidité impliqueront des intégrations dans une certaine région. Les calculs sont nettement faciles lorsque les intégrations se font de –1 à +1. Des méthodes d’approximations numériques existent pour calculer ces genres d’intégrales. .

I-3-2. Eléments de référence Dans le calcul de la matrice de rigidité élémentaire [Ke ], il est judicieux de faire ce calcul sur un élément de référence invariable Vo au lieu de Ve . La transformation qui fait passer de l’élément Vo à l’élément Ve est définie par : π

o

( xr 0 )

→

M

(xr i ,

r r x j , x k ,...

)

18 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

Explicitement,

r       s →     t   

Où,

(

      x =             y =             z =     


     

r x1    r x j    r  xk     r  y1    r y j    r  yk     r  z1    r z j    r  zk    

                                  

)

r r r - xi , x j , x k ,... sont les coordonnés des nœuds de l’élément Ve.

- (r, s, t) sont les coordonnées locales liées à l’élément - Les fonctions N sont les fonctions de transformation géométrique. Si les fonctions N sont identiques ( N =N), alors les éléments sont dits isoparamétriques. Dans ce cas le calcul intégral fait intervenir le jacobien [J] de la transformation.

 ∂x  ∂r   [J ] =  ∂y  ∂s   ∂z  ∂t

∂x ∂r ∂y ∂s ∂z ∂t

∂x   ∂  ∂r   ∂r     ∂y   ∂   =   < x, y , z > ∂s   ∂s     ∂z   ∂  ∂t   ∂t 

19 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

    [J ] =      

∂N   ∂r    ∂N   = {x } ∂s   n   ∂N    ∂t 

{y n}

BTP

   {z n}   

La dérivée par rapport à x ( ∂x ) est liée à la dérivée par rapport à x0 ( ∂x0 ) par la relation :

{∂x} = [ j] ∂x0 Avec [j] =[J]-1 tout ceci se résume par l’organisation des calculs de N, [J] et [Ke ] suivante :

20 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

I-3-3. Transformation de coordonnées Dans les calculs en éléments finis, il est préférable d’exprimer la matrice de rigidité dans le système de coordonnées locales (X, Y). Dans le cas d’éléments linéaires (poutres) les expressions de [Ke] (la matrice de rigidité) se font à partir des transformations de coordonnées. Soit [P] la matrice de passage du repère local (X,Y) au repère global (x, y) ;  cos(α )   [P] = − sin(α )     0

sin(α ) cos(α ) 0

0   0    1

Figure 7 : Repère local (X, Y) et repère global (x, y) pour une barre Alors les variables nodales se transforment de la façon suivante :

{u n} = [ P] {u n}

Et la matrice de rigidité en :

 K 11  e =   K     K 21

K 12 

   K 22

dont •

T K 11 = P K 11 P

•

Les autres sous-matrices sont de la même forme 21

ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

I-3-4. Formules d’intégrations numériques : Pour calculer les matrices de rigidité des éléments, nous sommes conduits à évaluer des intégrales le long d’une ligne ou à travers une surface ou encore dans un volume. Dans le cas d’une ligne, les fonctions sont facilement intégrables, ce qui n’est pas le cas pour les deux autres. Nous allons donc évaluer les intégrales numériquement. Pour ce faire, nous allons utiliser des formules d’intégration de Gauss. Le but est d’évaluer une intégrale définie, sans faire l’intégration et avec un minimum d’erreur. Soit l’intégrale

•

I = ∫−+11 f(x) dx .

Dans le cas où f(x) est une fonction linéaire ( de la forme ax + b).

Figure 8 : Intégrale d’une fonction linéaire L’intégrale peut s’évaluer exactement par :

f (− 1 ) + f (1 )  I = 2   2  C’est le produit de la valeur moyenne de la fonction entre +1 et -1 avec la largeur de l'intervalle d’intégration. I = f (−1) + f (1) = − a + b + a + b

I = 2b Nous pouvons dire alors que l’intégrale est égale à la somme de certaines constantes multipliées par une valeur particulière de la fonction :

I = w1 f ( x1) + w2 f ( x 2) 22 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

Les facteurs wi représentent ce que nous appelons « facteurs poids » •

Dans le cas d’une fonction du troisième degré, les facteurs poids et les points particuliers sont solution du système d’équation suivant :  W 1 + W 2 − 2 = 0    x1 W 1 + x 2 W 2 = 0   2  2 2 W 1 x1 + W 2 x2 = 3   W 1 x13 + W 2 x32 = 0 

Elles sont :

W1 = W 2 = 1 x1 = − x2 = −

1 3

Dorénavant, nous n’avons plus à faire l’intégration pour calculer l’intégrale d’une fonction cubique, il suffit d’utiliser la formule :

I a = W 1 f ( x1) + W 2 f ( x2) Avec les valeurs de x1, x2,W1, et W2 déjà obtenues. NOTES - Pour les polynômes du deuxième degré, les résultats sont identiques à ceux obtenus pour les polynômes du troisième degré. - Le principe reste le même pour les polynômes de degré supérieur. - Cette formule de Gauss ne marche plus lorsque les bornes d’intégration ne sont plus –1 et +1.

23 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

I-3-5. Changement de variable d’intégration : le Jacobien Le calcul d’intégrale avec changement de variable d’intégration s’écrit : I = ∫∫ f ( x, y, z ) dx dy dz = ∫∫∫ g (r , s, t ) J dr ds dt v

v0

|J | est le jacobien.

I-3-6. Matrices creuses, matrices bandes et matrices symétriques : Lors des manipulations des matrices de rigidité par la méthode des éléments finis, nous allons remarquer que :


Ces matrices de rigidité sont des matrices creuses c’est-à-dire qu’elles contiennent plusieurs éléments nuls.




Les matrices de rigidité sont des matrices bandes : les éléments qui se trouvent loin de la diagonale sont nuls.




Enfin les matrices sont symétriques.

Nous allons tirer avantage de ces trois caractéristiques pour optimiser notre programme. Plus la taille d’une matrice est grande, plus il va occuper de l’espace mémoire et, plus le temps de traitement sera long. Pour rendre les matrices de rigidité moins encombrantes; 1. Nous n’allons enregistrer que leur moitié, l’autre moitié s’obtiendra par symétrie. Les matrices ne seront remplies que lorsqu’elles sont utiles pour un calcul. 2. Nous n’allons stocker que les éléments non nuls des matrices.

Les effets de ces techniques peuvent paraître minimes pour les matrices de petite taille. Mais les différences commenceront à se sentir lorsque nous sommes en train de manipuler des matrices de grande taille, qui sont fréquentes dans la méthode des éléments finis. Enfin, notons aussi que plus la somme des numéros des nœuds pour un élément est grande, plus les éléments de la matrice de rigidité sont dispersés. Une matrice est dispersée lorsque des éléments non nuls apparaissent loin du diagonal. Ceci augmente aussi le temps de traitement des matrices. Les deux 24 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

solutions sus-citées vont nous éviter ce genre de problème. Plus tard nous allons aussi voir qu’il est possible de réorganiser ces types de matrices en rendant les éléments plus proches du diagonal.

I-3-7. Classification des traitements Nous pouvons traiter les problèmes de calcul de structure par analyse statique et analyse dynamique. Les problèmes statiques consistent à déterminer les déplacements et contraintes sur l’impulsion de charges statiques ou à variation lente. Pour les structures à comportement linéaire, nous nous ramenons à la résolution du système linéaire : [K] {un } = {F} Pour les structures non linéaires, nous appliquons les méthodes incrémentales avec itération ou non. Par ailleurs, les problèmes dynamiques se ramènent : •

Soit à la recherche des modes propres de vibration, c'est-à-dire à un problème aux valeurs propres.

[ [K ] − λ [M ] ] {U

}= 0

Où, [M] : la matrice de masse,

λ : mode propre de vibration. •

Soit à la détermination de la réponse dynamique en résolvant l’équation :

[M ]{U&&n} + [C]{U& n} + [K ]{Un} = [F (t)] Où [C] est la matrice d’amortissement par la méthode de superposition modale, ou la méthode d’intégration directe pas à pas.

25 ESPA . 2004-2005

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments finis

BTP

I-3-8. Condition de convergence de la solution

La méthode des éléments finis fournit une solution approchée qui converge vers la solution exacte lorsque la taille des éléments diminue. Les erreurs tendent vers zéro en tout point du milieu (V), ainsi que sur les frontières si ; 1. Les erreurs sur u(x) et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n tendent vers zéro. Condition satisfaite si l’approximation de u contient un polynôme complet d’ordre n. 2. u(x) est continue sur les frontières entre éléments, ainsi que ses dérivées. Et nous pouvons écrire :

W = ∑ We

Dans le cas où les conditions de continuité sur les frontières entre éléments ne seraient pas satisfaites, nous avons :

W = ∑ We + Wd Wd est un terme dû aux discontinuités entre éléments. Il faut alors vérifier que les discontinuités n’empêchent pas les erreurs de tendre vers zéro. La technique du « pach test » permet de s’assurer que W d est nul.

Nous montrons que les erreurs commises pour un élément linéaire sont : u − u ex

∂ ' u ex ≤ l Max ( ) 2

8

∂x

∂ ' u ex ∂u ∂ u ex ) − ≤ l Max ( ∂x ∂x 2 ∂x

l est la dimension maximale de l’élément.

Nous avons terminé avec cette première partie mathématique de la méthode des éléments finis. Le chapitre suivant nous emmènera vers des applications

sur

des

systèmes

physiques

de

ces

théories 26

ESPA . 2004-2005

.

Chapitre – II :

« APPLICATIONS DE LAMETHODE DES ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES STRUCTURES ELASTIQUES »

- Elément barre à une dimension - Elément poutres dans le plan - Elément poutre dans l’espace - Elément triangulaire - Elément quadrilatéral - Etude des plaques - Eléments hexaédriques à huit nœuds

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-1. Elément barre à une dimension Ce deuxième chapitre est une application de la théorie de la méthode des éléments finis au calcul des structures. Sachant que nous pouvons prendre en compte différents types de loi de comportement des matériaux, nous allons nous limiter, pour notre étude, dans le domaine élastique.

Pour cette première application, nous allons étudier le cas d’une barre élastique à une dimension. La barre subit des sollicitations et des déformations seulement suivant l’axe des s (repère intrinsèque ou naturel).

Figure 9 : Forces nodales et déplacements nodaux pour la barre (avec leur sens positif)

F i et F j sont les sollicitations extérieures appliquées aux nœuds i et j, ui ,uj sont les déplacements des nœuds.

II-1-1- fonction de déplacement. La raison de la discrétisation de la région en plusieurs petits éléments c’est de pouvoir utiliser des fonctions de déplacement simples pour chaque élément. Nous évitons le cas d’une solution unique mais complexe, sur toute la région. Nous remarquons que seule la dérivée première de la fonction de déplacement existe dans le fonctionnel pour les problèmes d’élasticité. Et la solution doit satisfaire la continuité des déplacements. Nous pouvons donc utiliser une fonction qui possède une première dérivée continue.

ESPA . 2004-2005

28

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Le cas le plus simple de fonction qui satisfait ces conditions est la fonction linéaire.

Figure 10 : Repère local pour la barre La fonction de déplacement est donc de la forme (dans le repère local) : u(X) = a + b X Les conditions aux limites donnent ( pour les nœuds i et j) ui = a uj = a + bL Nous obtenons alors l’approximation nodale des déplacements,

u( X ) = N 1

ui    N2     u j 

{ }

u ( X ) = N u en

II-1-2- Calcul du déplacement et de l’énergie de déplacement. D’après la définition de la déformation, nous avons pour le cas de la barre : du

ε X = dX L’expression de la déformation devient :

dN ε X = dX 1

ESPA . 2004-2005

dN 2 dX

{u en}

29

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Avec, - N1 ( X ) = - N 2 (X ) =

Xj− X L X − Xi L

D’où,

ui    1]     u j 

{ε X } = 1 [− 1 L

{ }

= [B ] u en

Maintenant, nous allons utiliser la formule de l’énergie de déformation :

EA X 2

Ue = ∫

ε X {ε X} dX

Après avoir fait le calcul matriciel et l’intégration, ce terme devient :

Ue =

EA u 2L i

Ue =

1  uj  − 1 

− 1   1 

u i        u j 

[ ] {u}

1 T u Ke 2

Tel que 1 EA  [Ke] = L  − 1 

− 1  . 1 

II-1-3- Calcul des énergies potentielles des forces extérieures. L’énergie potentielle des forces nodales est le produit des forces avec leur déplacement respectif. Nœud i : Vi = - Fi ui

ESPA . 2004-2005

30

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Nœud j : Vj = - Fj uj Sous la forme matricielle: Ve = -     F j 

Nous allons sommer l’énergie de déformation et l’énergie potentielle que nous venons de calculer pour obtenir la fonctionnelle. Πe =Ue + Ve Πe =

1 e un 2

Sa première variation est :

[K e] {uen} −

([ ]

e

{ }

un F e

)

e δΠ e = δ u en = K {u en} − {F e}

Maintenant, il ne reste plus qu’à assembler les éléments, puis résoudre l’équation matricielle qui en découle pour trouver les inconnus du problème.

Cette première application nous a montré les démarches essentielles qu’il faut entreprendre pour résoudre un problème d’élasticité linéaire. Notre but principal est de trouver la matrice de rigidité de l’élément barre pour que nous puissions procéder à l’assemblage et à la résolution des problèmes. Pour éviter trop de répétition, nous n’allons plus détailler les étapes pour les éléments qui suivent. Sachant que les mêmes démarches seront empruntées. Nous allons nous contenter de présenter l’élément et sa matrice de rigidité qui sont essentiels pour la programmation. Le cas suivant concernera les poutres dans le plan.

ESPA . 2004-2005

31

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-2. Elément poutre dans le plan Le cas de figure se présente comme suit :

Figure 11 : Les charges pour l’élément poutre

Figure 12 : Les déplacements nodaux pour l’élément poutre Les deux dernières figures représentent les déformations et les déplacements nodaux avec leur sens positif respectif. Chaque nœud peut subir trois déplacements indépendants. L’élément poutre a donc six degrés de liberté. Forces nodales :

 Fi    Fe =     F j 

{ }

ESPA . 2004-2005

32

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Avec,  F ix       {F i} = F iy      M   i

Fix : Forces suivant X, Fiy : Forces suivant Y, Mi : Couple autour de Z. Les forces directement appliquées à la poutre sont ramenées en forces nodales externes. Déplacements nodaux :

{} e qn

 qi    =   q   j 

Avec, u i        qi =  vi      θ   i

{} ui : Déplacement suivant X. vi : Déplacement suivant Y.

θ i : Rotation autour de Z. La matrice de rigidité [Ke] s’écrit :

 [K ii ]  Ke =    K ji

[ ]

ESPA . 2004-2005

[K ij ]   K jj 

[ ] [ ]

33

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Avec,  AE   L  [K ii ] =  0    0 

12

−6

[ ]

[ ]

0

EI

L

 AE   L  K jj =  0    0 

 −   K ij =     

    EI  −6 2 L  EI  4  L 

0

AE L

3

EI

L2 0 EI

12

L

3

EI

6

L2 0

− 12

0

−6

    EI  −6 2 L  EI  2  L  0

EI

L 0

 0    EI  6 2 L  EI  4  L

3

EI

L2

[ ] [ ]T

et K ji = K ij Où, A : La section la poutre I : Le moment d’inertie. L : la longueur de la poutre E : Le module d’élasticité

Dans le paragraphe suivant, nous allons augmenter le degré de liberté de l’élément en travaillant dans l’espace.

ESPA . 2004-2005

34

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-3. Elément poutre dans l’espace L’élément poutre avec les sollicitations nodales est montré par la figure suivante :

Figure 13 : Poutre dans l’espace

Nous avons comme sollicitations :

Fi    {F e} =     F j Et si, FiX : L’effort longitudinal ( traction ou compression), FiY : L’effort tranchant suivant la direction de y, FiZ : L’effort tranchant suivant la direction de z, MiX : Le Moment de torsion (moment suivant la direction de x), MiY : Le Moment fléchissant dans le plan de (x, z),

ESPA . 2004-2005

35

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

MiZ : Le moment fléchissant dans le plan de (x, y). Nous avons :

F i = F iX

F iY

F iZ

M iX

M iY

M iZ

Les déplacements nodaux sont :  qi    qe =   q   j 

{} Et si,

ui : Désigne le déplacement suivant X. vi : Désigne le déplacement suivant Y. wi : Désigne le déplacement suivant Z

θ i :Désigne les rotations autour de X, ou Y ou Z. Nous avons,

qi = u i

vi

θ iX

wi

θ iY

θ iZ

Chaque nœud possède six déplacements indépendants, ce qui fait que l’élément a 12 degrés de liberté. La matrice de rigidité [Ke] s’écrit de la façon suivante :

 [K ii ]  Ke =    K ji

[ ]

[K ij ]   K jj 

[ ] [ ]

Avec,

[K ji ] = [K ij ]T

ESPA . 2004-2005

36

Chapitre - II : Applications en CDS

 AE  L    0     0 [K ii] =   0    0     0   AE  L    0     0 K jj =   0    0     0 

0 12

EI Z

L

[ ]

ESPA . 2004-2005

0

0

0

0

0

0

EIY

12

L 0

GI P

L +6

EI Z

L 0 12

EI Y

L

3

0

12

0 6

0

0

0

0

EI Z

0

L

EI Y

L 0 − 12

0

EIZ

L3

4

0

− 6

0

EI Y L

0

0

4

0

0

0

0

0

3

−6

EIY

L 0

0

0

0

6

EIY

L 0

−6

EIZ

L

2

0

L −

0

2

GI P

0

2

0

L 0

L2

0

0

EIY

EI Z

0

2

0

− 12

0

0

2

0

EI Y

L

0

2

6

GI P

L EI Z

0

0

3

2

EIY L

0

0

0

4

0

L

− 6

0

0

2

EIY

0

L 2

   EI  +6 Z 2 L    0     0    0   EI  4 Z  L  0

L

EIY

−6

−6

0

3

0

0

AE L 0

3

0

[ ]

 −        K ij =          

BTP

2

EIY L 0

EI Z L

                   

 0   EI  6 Z L2    0    0    0   EIZ  2  L 

37

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Où : A : la section la poutre L : la longueur de la poutre IY : Le moment d’inertie suivant Y IZ : Le moment d’inertie suivant Z Ip : Le moment d’inertie polaire E : Le module d’élasticité G : Le module d’élasticité transversale

Jusqu’ici, nous n‘avons vu que des applications de la méthode des éléments finis sur des éléments linéaires. Dans les applications suivantes, nous allons ajouter une dimension à l’élément, en abordant le cas des éléments plans.

ESPA . 2004-2005

38

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-4. Elément triangulaire : Le système que nous allons développer dans cette partie est élastique, homogène et isotrope. Le milieu est d’abord subdivisé en éléments triangulaires comme le montre la figure suivante.

Figure 14 : Discrétisation du système en éléments triangulaires.

Figure 15 : Les forces nodales pour l’élément triangulaire

ESPA . 2004-2005

39

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Afin de faciliter le calcul intégral pour obtenir la matrice de rigidité de l’élément, nous allons travailler dans le repère naturel. La figure 15 montre aussi que chaque nœud possède deux déplacements possibles : suivant l’axe des x et suivant l’axe des y. Au total, un élément a six degrés de liberté. Les forces extérieures sont des forces horizontales et verticales au niveau des nœuds. Comme pour les applications précédentes, notre principal objectif

est

encore de trouver la matrice de rigidité de l’élément.

II-4-1. Fonction de déplacement. La fonction de déplacement est une fonction linéaire. Elle s’écrit :

u = L1

v = L1

L2

 u1        L 3 u 2     u   3

L2

 v1        L3 v2     v   3

u et v sont respectivement les déplacements suivant l’axe de x et de y (L1+L2+L3=1) Puisque l’élément est isoparamétrique nous pouvons écrire :

X = L1

ESPA . 2004-2005

L2

 x1        1 − L1 − L 2  x 2     x   3

40

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Y = L1

L2

y   1     1 − L1 − L 2  y 2     y   3

Où, xi, yi sont les coordonnées des nœuds dans le repère global.

II-4-2. Calcul de la déformation : La relation déformation et déplacements nodaux est :

{ε } = [B1 B2 B3 ] {q n } = [B ] {q n } Où < q n >=< u1 v1 u 2 v 2 u 3 v 3 >

 ∂N i   ∂x  Bi =  0    ∂N i  ∂y 

 0   ∂N i   ∂y   ∂N i  ∂x 

Le calcul de la matrice [B] nécessite la dérivation de la fonction de déplacement par rapport aux coordonnées globales des fonctions u et v qui sont exprimées plus facilement à l’aide des coordonnées naturelles Li.

II-4-3. Déformation-Contrainte : loi de comportement D’après la relation Contrainte-déformation : {σ } = [ D]{ε } = [D] [B] {qn}

ESPA . 2004-2005

41

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Avec, 1   E  [ D] = υ 1 − υ2   0 

υ 1 0

0     0    1−υ 2 

Nous obtenons l’expression de l’énergie de déformation e U =

1 < q n > [B]T [ D][ B ]{q n}hA 2

Avec h : l’épaisseur de l’élément A : aire de l’élément Ve

Or  ∂L1   ∂L1   y 3 − y1 1   ∂L   ∂x  1  1     −1  −1     = [J ]  = J  =    ∂L1   ∂L1    2A   0  x1 − x 3   ∂y   ∂L     2  ∂L2   ∂L2   y1 − y 2 0  ∂L   ∂x  1   1       −1 −1     = [J ]  = J  =  ∂L2   ∂L2    2A   1  x 2 − x1   ∂y   ∂L     2  ∂ (1 − L2 − L3 )   ∂L3   y 2 − y 3 − 1    ∂x  ∂ L 1   1    −1  −1     = [J ]  = J  =    ∂L3   ∂ (1 − L1 − L2 )    2A   − x2  − 1 x  3   ∂y    ∂L2    

ESPA . 2004-2005

42

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Avec,

 ( y3 − y1 ) 1 [J ]−1 =  J  − ( x3 − x1 ) ( J = 2 A)

− ( y3 − y1 )   ( x2 − x1 ) 

Nous déterminons complètement la matrice [B] et matrice de rigidité [Re] [Re]=[B]T [D] [B] qhA Le potentiel des forces extérieures est défini par :

{ }

e V e = − < q n > Fn

Avec,

{Fne } : les forces nodales extérieures. Passons maintenant au cas suivant, qui est celui de l’élément quadrilatéral.

ESPA . 2004-2005

43

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-5. Elément quadrilatéral Comme dans les cas précédents, nous allons trouver l’expression de la matrice de rigidité d’élément quadrilatéral. L’élément quadrilatéral est présenté par la figure suivante.

Figure 16 : Les forces nodales pour l’élément quadrilatéral. Pour chaque nœud peut subir des forces verticales et horizontales. l’élément a alors huit degrés de liberté. L’élément est homogène isotropique et isoparamétrique. Les calculs sont faits dans le domaine élastique. L’origine du repère naturel est le centre du quadrilatéral. Les coordonnées naturelles s et t varieront donc de –1 à +1.

II-5-1. Fonction de déplacement

u ( s, t ) = N 1

ESPA . 2004-2005

N2

N3

 u1        u 2   N4     u 3     u 4

44

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

v ( s, t ) = N 1

N2

N3

 v1        v 2   N4      v3      v 4

Avec les coefficients Ni:

N1 =

(1 − s )(1 − t ) 4

N2 =

(1 + s )(1 − t ) 4

N3 =

(1 + s )(1 + t ) 4

N4 =

(1 − s )(1 + t ) 4

Puisque l’élément est isoparamétrique ;

X ( s, t ) = N 1

Y ( s, t ) = N 1

N2

N2

N3

 x1         x 2   N4      x3       x 4

N3

 y1         y 2   N4      y 3      y 4

II-5-2. La Déformation La déformation s’exprime par :

{ε } = [ B] {q n}

ESPA . 2004-2005

45

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Dans cette dernière équation,

q n = u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4

Et  ∂N 1   ∂x  [ B] =  0    ∂N 1  ∂y 

0

∂N 2

0

∂N 3

∂N 1 ∂y

0

∂N 2

∂N 1 ∂x

0

∂N 4

∂N 3

∂y

0

∂y

0

∂N 2

∂N 2

∂N 3

∂N 3

∂N 4

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

[B 2]

[B3]

∂x

[ B] = [[B1]

∂x

∂x

 0    ∂N 4  ∂y   ∂N 4  ∂x 

[B 4]]

Avec,  ∂N i     ∂x  −1   = [J ]  ∂N i   ∂y   

 ∂N i     ∂s     ∂N i   ∂t   

et  J 11 [J ] =    J 21

 − (1 − t ) 1 [J ] =  4 − (1 − s ) 

ESPA . 2004-2005

    = J 22  

J 12 

∂N  ∂s  ∂N  ∂t 

(1 − t )

(1 + t )

− (1 + s )

(1 + s )

[{xn}

{y n}]

− (1 + t )   (1 − s ) 

 x1     x2    x3     x4

y1

  y 2   y 3   y 4

46

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Avec,

[J ]

−1

− J 12   J 11 

 J 22 1  = [J ]  − J 211

Le déterminant

J = J 11 J 22 − J 12 J 21 J = yn

[a] {x n}

Où,  0    t −1  [a] = − 1  8 ( s − t )    1− s 

1− t

t−s

0

s +1

− ( s + 1)

0

s+t

− (1 + t )

s −1    − (t + s )    t +1    0 

Nous avons les entrées non nulles de la matrice [B], qui sont :

B1,1 =

1 (y24, + sY43 + ty32) = B3,2 8J

B2,2 =

1 (x42 + sx43 + tx23) = B3,1 8J

B1,3 =

1 (y31 + sy34 + ty14) = B3,4 8J

B2,4 =

1 (x13 + sx43 + tx41) = B3,3 8J

B1,5 =

1 (y42 + sy12 + ty41) = B3,6 8J

B2,6 =

1 (x24 + sx21 + tx14) = B3,5 8J

B1,7 =

1 (y13 + sy21+ ty23)= B3,8 8J

B2,8 =

1 (x31 + sx12 + tx14) = B3,7 8J

Tel que xm n = xm – xn ym n = ym – yn

ESPA . 2004-2005

47

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Ces résultants suffisent pour obtenir la matrice de rigidité de l’élément quadrilatéral donnée par :

[K e] = h ∫ [B]T [D][B] dxdy ve

En terme de s et de t :

[K e] = h ∫ [ B]T [D] [B] J dsdt ve

En résumé, nous avons les opérations nécessaires pour calculer la matrice de rigidité [Ke] de chaque élément, par intégration numérique. Pour chaque point d’intégration (s,t), elles se résument par : •

Initialiser [Ke] à zéro.

•

Calculer la matrice jacobienne [J] à partir des dérivées en (s,t) des fonctions de transformations géométriques N et coordonnées des nœuds de l’élément puis son inverse et son déterminant.

•

Calculer les dérivées des fonctions N à partir des dérivées en (s,t).

•

Construire la matrice [B] et [D].

•

Accumuler dans [Ke] le produit [B] T [D] [B] det J.

•

Enfin les forces nodales s’expriment par :

F x  T  F e = ∫ [ N ]   J dsdt   vo F y

{ }

Où Fx et Fy sont les projections des forces extérieures suivant les axes des x et y. Nous avons terminé avec l’élément quadrilatéral, l’application suivante va concerner le cas des plaques.

ESPA . 2004-2005

48

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-6. La méthode des éléments finis pour les plaques

Dans cette partie, nous allons seulement considérer les plaques minces isotropiques, qui subissent des petites déformations. Les sollicitations aux nœuds sont les efforts tranchants et les moments de flexion. Les déformations possibles sont les déflexions verticales et les rotations. Nous allons considérer l’élément rectangulaire à douze degrés de liberté.

Figure 17 : Les déplacements nodaux d’une plaque

II-6-1. Fonction de déplacement La déflexion de la plaque sera approchée par la fonction polynôme à douze constates ai : w= 1

x

2

y

x

2

xy

y

x

3

2 x y

a2

a3

a4

a5

a6

a7

2

3

xy

3

3 x y

y

xy

{an}

Avec

an = a1

ESPA . 2004-2005

a8

a9

a10

a11

a12

49

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-6-2. Déformations Les autres déformations sont : - La rotation autour de x : θ x = ∂w

∂y

- La rotation autour de y :

θ y = − ∂∂w x

Les déplacements pour chaque nœud seront définis par :  wi        q i = θ ix      θ   iy 

{}

Par conséquent, l’approximation nodale de la déflexion verticale est de la forme :

w = N1

N2

N3

 q1        q 2   N4     q 3     q 4

Où

N 1 = N x1 N y1

N x1 N y3

N 2 = N x 2 N y1

N x 2 N y3

− N x 4 N y1

N 3 = N x2 N y2

N x2 N y4

− N x4 N y2

N 4 = N x1 N y 2

N x1 N y 4

− N x3 N y 2

ESPA . 2004-2005

− N x3 N y1

50

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

Avec 2 N x1 = (1 + 2s) (1 − s )

2 N y1 = (1 + 2t ) (1 − t )

2 N x 2 = s (3 − 2s )

2 N y 2 = t (3 − 2t )

2 N x3 = as (1− s)

2 N y3 = bt (1− t )

2 N x 4 = as ( s − 1)

2 N y 4 = bt (t − 1)

II-6-3. La relation contrainte-déformation La déformation est définie par :  ∂2 w  − 2   ∂x     ∂2 w  {ε } =  − 2  ∂y    2  − 2 ∂ w   ∂x∂y  

{ε } = [B] {q n} La contrainte généralisée par : h   2    M xx = ∫ z σ xx dz    h −   2     h   2   M yy = ∫ z σ yy dz  [σ ] =   h −   2     h   2    M xy = ∫ z σ xy dz    h −   2    

ESPA . 2004-2005

51

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

h étant l’épaisseur de la plaque.

II-6-4. Loi de comportement La loi de comportement élastique généralisée relie la contrainte à la déformation par :

{ε } = [D] {σ } Avec, 1   3  Eh [D] = υ 12(1 − υ 2)   0 

υ 1 0

0     0    1 − υ 2 

Où, E : le module d’élasticité h : l’épaisseur de la plaque

υ : le coefficient de Poisson. Nous obtenons ainsi la matrice de rigidité par :

[K e] = ∫∫ [ B]T [D] [B] dx dy ve

Nous allons terminer ce chapitre application de la méthode des éléments finis au calcul des structures, par l’élément hexaédrique à huit nœuds.

ESPA . 2004-2005

52

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

II-7. Elément hexaédrique à huit nœuds Ici, nous allons toujours rester dans le repère naturel (s, t, r), pour le calcul de la matrice de rigidité. L’élément hexaédrique est représenté par la figure qui suit. Les nœuds peuvent subir des déformations dans les directions de X de Y et de Z. Ils sont soumis à des forces dans ces trois directions.

Figure 18 : Repère naturel et globale de l’élément hexaédrique Avec les mêmes démarches que pour les problèmes plans, nous avons ;

II-7-1 – Fonction de déplacement Si u indique le déplacement dans la direction de s, v dans la direction de t et, w dans le sens de r. nous avons : u(s,t) = N 1

N2

{ e}

N3

N4

N5

N6

N7

N 8 un

N3

N4

N5

N6

N7

N 8 vn

N3

N4

N5

N6

N7

N 8 wn

= {uen}

v(s,t) = N 1

N2

{ e}

= {ven}

w(s,t) = N 1

ESPA . 2004-2005

N2

{ e} 53

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

= {wen} Avec,

u en = u1

u2

u3

u4

u5

v en = v1

v2

v3

v4

v5

wen = w1

w2

w3

w4

u6

u7

v6 w5

v7 w6

u8 v8 w7

w8

Similairement, puisque l’élément est isoparamétrique : x =< N > {x n} y =< N > { y n} z =< N > {z n}

Nous pouvons ensuite appliquer les différentes opérations pour avoir la matrice de rigidité [Ke].

Les fonctions d’interpolations Ni (i = 1,2,…,n) sont N1 = 1 (1-s)(1-t)(1-r) 8

N5 = 1 (1+s)(1-t)(1+r) 8

N2 = 1 (1-s)(1-t)(1+r) 8

N6 = 1 (1+s)(1+-t)(1-r) 8

N3 = 1 (1-s)(1+t)(1+r) 8

N7 = 1 (1+s)(1-t)(1-r) 8

N4 = 1 (1+s)(1+t)(1+r) 8

N8 = 1 (1+s)(1-t)(1+r) 8 II-7-2. Déformation

Ecrivons maintenant les déformations en fonction des déplacements.

{ε } = [B] {q n}

Où, =

Et les éléments non nuls de la matrice [B] sont :

ESPA . 2004-2005

54

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

 ∂N ∂N ∂N  B1,(3i − 2) = 1  a11 ∂s i + a12 ∂t i + a13 ∂r i  J    ∂N ∂N ∂N  B2,(3i −1) = 1  a21 ∂s i + a22 ∂t i + a23 ∂r i  J    ∂N ∂N ∂N  B3,(3i) = 1  a31 ∂s i + a32 ∂t i + a33 ∂r i  J  

B4, (3i − 2) = B2,(3i −1)

Avec i= 1,2,3,…7,8

B4,(3i −1) = B1,(3i − 2) B5,(3i −1) = B3,(3i) B5,(3i) = B2,(3i −1) B6,(3i − 2) = B3,(3i) B6,(3i) = B1,(3i − 2)

D = la rigidité de l’élément est donnée par :

[D] = 1 − υ    υ    υ ×   0    0    0

E (1 + υ ) (1 − 2υ )

υ

υ

0

0

1−υ

υ

0

0

υ

1−υ

0

0

0

0

1 − 2υ 2

0

0

0

0

1 − 2υ 2

0

0

0

0

   0    0    0    0   1 − 2υ  2  0

La matrice de rigidité s’obtient par :

ESPA . 2004-2005

55

Chapitre - II : Applications en CDS

BTP

[K ] = ∫∫∫ [B]

T

e

v

[ D] [ B] dxdydz

e

Puisque la matrice de rigidité [B] est fonction de s, t, r, nous pouvons effectuer un changement de variables x, y, z en s, t, r et la matrice de rigidité devient :

[K e] = ∫∫∫ [ B]T [D] [B] J dsdtdr vo

Avec l’élément hexaédrique à huit nœuds nous terminons cette partie application de la méthode des éléments finis au calcul des structures élastiques. La partie suivante concernera l’outil de simulation Matlab.

ESPA . 2004-2005

56

Chapitre – III :

« PESENTATION DE MATLAB »

-

© Mathworks

Introduction Matlab : outil de simulation Pourquoi Matlab ? Présentation du programme

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

III-1. Introduction Tout au long du deuxième chapitre, nous avons aperçu à quel point les calculs peuvent devenir compliqués au fur et à mesure que le modèle d’élément choisi est plus avancé. Les matrices augmentent aussi de taille avec le degré de liberté. Or, dans la pratique, le nombre d'éléments s’élève à des centaines voire des milliers. L’aide d’un ordinateur s’avère indispensable. Pour cette occasion, nous avons choisi d’utiliser le logiciel Matlab. Sa présentation fera l’objet de ce chapitre.

III-2. MATLAB : Outil de simulation Nous entendons ici par « outil » le langage de programmation qui va nous permettre d’arriver à nos fins : Matlab. Ce paragraphe lui est concentré. Avant d’aller plus loin, nous tenons à préciser que ceci n’est pas un tutorial de Matlab. Pour en savoir plus, il faut se référer à la liste de livres et de sites web concernant ce logiciel, à la fin de cet ouvrage ou utiliser le système d’aides de Matlab ou encore visiter le site web de MathWorks.

III-2-1 – Présentation Matlab est un logiciel interactif permettant de réaliser des calculs numériques, ainsi que des visualisations graphiques. Il possède un vaste ensemble de fonctions pré-programmées et directement utilisables par une simple instruction. Matlab est un logiciel produit par MathWorks. Il est disponible pour plusieurs systèmes d’exploitations (Mac OS, Windows, Unix, Linux).

Matlab est un outil précieux pour le scientifique puisqu’il permet - de visualiser rapidement des données en 1-D, 2-D et 3-D avec précision, - de tracer des expérimentations, - de réaliser facilement des programmes complexes ne nécessitant pas la ré-programmation des fonctions « classiques ».

ESPA . 2004 – 2005

58

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

Pour les calculs numériques, Matlab est beaucoup plus concis que les “vieux” langages (C, Pascal, Fortran, Basic). Par exemple, nous n’avons plus besoin de programmer des boucles pour modifier un à un les éléments d’une matrice. Nous pouvons traiter la matrice comme une seule variable. Matlab est un langage simple et très efficace, optimisé pour le traitement des matrices. D’où son nom Matlab qui est la contraction de « Matrix Laboratory »

Matlab contient également une interface graphique puissante et une grande variété d’algorithmes scientifiques. Par ailleurs, il est également possible d’enrichir Matlab en ajoutant des “boîtes à outils” (toolbox) qui sont des ensembles de fonctions supplémentaires, profilées pour des applications particulières (traitement de signaux, analyses statistiques, calculs symboliques,…). C’est sur cet enrichissement de Matlab que nous allons nous orienter pour notre travail.

III-2-2 – Bref historique Au début, Matlab a été écrit en Fortran par un professeur de mathématiques et informatique américain Cleve Moler. Parallèlement, l’ingénieur californien Jack Little développait, de son côté, des logiciels pour l’automatisme et le traitement du signal. Les deux hommes ont mis en commun leurs connaissances pour créer ensemble le logiciel Matlab. En 1984, ils décident de lui donner

une

structure

commerciale.

Ils

fondent

alors

MathWorks

au

Massachusetts. C’est l’entreprise chargée de la commercialisation et de la promotion de Matlab. Aujourd’hui MathWorks emploie plus de deux milles informaticiens et chercheurs et Matlab est devenu le numéro un de mondial en matière de simulation et de calcul scientifique. Plusieurs versions de Matlab sont déjà sorties. Les plus récentes d’entre elles sont la version 7 et la version 6.5. Pour notre programme, nous allons utiliser la version 5.3, qui est encore très performante.

ESPA . 2004 – 2005

59

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

III-2-3 – MATLAB Dans l’entreprise Pour donner une idée de l’importance de la place que Matlab occupe actuellement, nous allons citer quelques exemples d’organismes qui l’utilisent régulièrement. Aux Etats-Unis, les ingénieurs McDonnell Douglas utilisent Matlab pour mettre au point un système automatisé de détection des défauts pour les hélicoptères. Ceci permet d’éviter des inspections manuelles des pales une par une ou des tests parfois destructifs. De même, la NASA, Boeing et ‘Saab Military aircraft’ utilisent Matlab pour la conception de leurs avions. Ce sont des utilisations de Matlab en calcul des structures. Nous pouvons ainsi multiplier les exemples en citant BMW, Chrysler, Philips, Matra Marconi Space. Aux Etats Unis et en Suisse, Matlab fait partie intégrante des programmes universitaires. Et les cours d’analyse et d’algèbre en classe préparatoire, sont appliqués directement sur Matlab.

III-3. Pourquoi MATLAB ? Dire que Matlab est reconnu mondialement ne suffit pas pour justifier notre choix. Si nous retournons aux chapitres consacrés à la méthode des éléments finis, nous allons apercevoir très vite, que nous sommes amenés à manipuler des matrices. Or Matlab excelle en calcul numérique et matriciel. C’est la première raison qui nous a poussés à le choisir. Dans ce qui suit, nous allons souligner quelques instructions remarquables de Matlab. Elles nous ont été particulièrement utiles durant la conception de notre programme.

III-3-1. La commande ‘sparse ‘: Pour les matrices creuses, il est avantageux de les déclarer ‘sparse’ (clairsemé). Ceci permet d’économiser de la place mémoire et d ‘accélérer les

ESPA . 2004 – 2005

60

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

calculs. Cette instruction crée une matrice clairsemée à partir d’une matrice pleine et réciproquement. Par exemple, la session de Matlab suivante, montre une matrice pleine m tandis que s est la matrice clairsemée correspondante. La matrice pleine m occupe 72 octets d’espace mémoire tandis que la version ‘sparse’ s n’en occupe que 52. Pour cet exemple très simple, la différence peut paraître minime (20 octets) mais, elle est très signifiante lorsque la taille de la matrice augmente.

Figure 19 : Une session de Matlab

III-3-2. La commande ‘Symrcm’ et ‘Chol’ En cours d’élément finis, nous retenons aussi que pour avoir une matrice de rigidité qui se rapproche d’une matrice diagonale, il faut prendre soin que la somme des numéros des nœuds, pour chaque élément, soit le minimum possible. Matlab nous offre plusieurs commandes de décomposition et de réorganisation matricielle pour contourner ce problème. Entre-autre, nous avons les commandes ‘Symrcm’ et ‘Chol’. Elles utilisent respectivement les algorithmes de CuthillMcKee et de Cholesky pour la réorganisation d’une matrice. Le principe consiste à rassembler les éléments dispersés d’une matrice vers la diagonale. La matrice proches de la diagonale ainsi obtenue est plus facile à manipuler et prendra

ESPA . 2004 – 2005

61

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

beaucoup moins de temps pour les calculs. Dorénavant, nous n’avons plus à nous soucier de la manière dont nous allons numéroter les nœuds. III-3-3. La commande ‘Spy’ La commande ‘spy’ permet de visualiser la densité d’une matrice ; seul les éléments non nuls sont représentés par des points. Prenons l’exemple du maillage d’éléments finis autour d’une aille d’avion de la figure 20. La matrice de rigidité correspondante est montrée par la figure 21. Après réorganisation de CuthillMcKee, cette matrice de rigidité devient comme le montre la figure 22.

Figure 20 : Exemple de maillage qui vient de la Nasa, prédéfini sous Matlab (© MathWorks)

Figure 21 : La densité de la matrice de rigidité relative au maillage. (© MathWorks)

ESPA . 2004 – 2005

62

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

Figure 22 : La matrice de rigidité après transformation de Cuthill-Mckee (© MathWorks) Matlab comporte aussi des commandes pour effectuer des manipulations matricielles ordinaires et, pour effectuer des es calculs numériques. Citons -

la commande ‘det’ pour calculer le déterminant,

-

la commande ‘inv’ pour inverser une matrice,

-

« + » et « * » pour effectuer des additions et produits matriciels.

-

La

commande

« int »

qui

permet

d’effectuer

des

intégrations

numériques et symboliques. -

Enfin, nous avons aussi la « boite à outils » très efficace « guide » qui assiste lors de la création des interfaces graphiques. Avec cette « boite à outils », le programmeur n’a plus besoin d’écrire une seule ligne de code pour réaliser une interface graphique. Pendant qu’il configure la fenêtre, Matlab écrit automatiquement les codes.

Nous allons rester avec ces quelques exemples d’instructions. Pour obtenir de plus amples informations concernant ces commandes, il suffit de taper « help » suivi du nom de la commande après l’invite de Matlab. Ces instructions vont premièrement, nous aider à la programmation. En second lieu, elles vont changer notre manière d’approche d’un problème d’éléments finis.

ESPA . 2004 – 2005

63

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

IV-4. Présentation du programme Dans ce dernier paragraphe, Nous allons, en premier lieu, présenter notre programme. Nous allons voir ensuite, comment le manipuler et prendre profit de toutes ses fonctionnalités. IV-4-1. Manipulations Pour lancer le programme, il suffit de taper après l’invite le nom « cds-1 » après l’invite de Matlab.

Figure 23 : Lancement de la simulation dans l’espace de travail Matlab. Cette action permet d’ouvrir la fenêtre d’accueil de la page suivante. Elle montre le logo de Matlab surmonté des les mots « La méthode des éléments finis » en dessus. •

Le bouton « Info » affiche les aides relatives au programme.

•

« Quitter ! » : permet d’abandonner la simulation et retourner vers l’espace de travail de Matlab.

•

Le bouton « Entrer » lancera le chargement des outils nécessaires pour le programme. Le chargement peut durer quelques secondes, et un message sonore va confirmer son avancement.

Le chargement terminé, la fenêtre d’accueil va se fermer pour faire place à une nouvelle fenêtre-menu (page suivante). Pour entrer un choix, il suffit de cliquer sur un icône.

ESPA . 2004 – 2005

64

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

Figure 24 : Fenêtre d’accueil

Figure 25 : Menu Les choix disponibles sont : 1. ‘2-D’ : pour le cas des portiques dans le plan 2. ‘3-D’ : pour les portiques dans l’espace

ESPA . 2004 – 2005

65

Chapitre – III : Présentation de Matlab

BTP

3. ‘plan’ : contraintes/et déformations planes avec les éléments triangulaires ou rectangulaires 4. ‘volume’ : pour les corps massifs avec les éléments hexaédriques à huit nœuds. 5. ‘plaque’ : pour le cas des plaques.

En cliquant sur l’un des choix, une fenêtre comme celle-ci va apparaître sur l’écran (elle est commune à tous les choix) ; c’est l’espace de notre simulation.

Figure 26 : Figure 27 : Espace pour la simulation La fenêtre comporte les boutons suivants : 1. ‘