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German Pages 213 Year 1998
Martin R. Zirnbauer
Elektrodynamik 3. Juli 1998
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest
Inhaltsverzeichnis
0. Mathematische Grundlagen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20
Euklidischer Raum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Linearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Alternierende Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A u eres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Inneres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Zuruckholen alternierender Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : Hodgescher Sternoperator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dichten... : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Vektorfelder und 1-Formen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cartan-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Poincaresches Lemma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Pullback : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kurvenintegrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Flachen- und Volumenintegrale im E3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Integration von Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Allgemeiner Satz von Stokes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Lie-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Stromformen und Stromlinien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Laplace-Operator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1 3 6 9 11 13 14 16 17 22 24 28 30 33 38 44 47 50 52 58
1. Prinzipien des Elektromagnetismus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
1.1 Mathematischer Rahmen und Ma system : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung : : : : : : : : : : : : : : : 64 1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen MaxwellGleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 1.6 Flu linienbild : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 1.7 Axiom 4: Materialgesetze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80 1.8 Energiesatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 1.9 Anschlu bedingungen an Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86
VI
Inhaltsverzeichnis
1.10 Elektrodynamik in Materie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 1.11 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98
2. ElektroMagnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101
2.1 Elementare Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102 2.1.2 Magnetostatik: Messung von 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104 2.2 Poisson-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107 2.2.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109 2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 2.3.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114 2.4 Randwertaufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.1 Die Greenschen Identitaten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem : : : : : : : : 117 2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastrome : : : : : 122 2.5 Energiebetrachtungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.1 Kapazitatskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 2.5.2 Induktionskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128
3. Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133
3.1 k-Komplexe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133 3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.1 Kapazitives Netzwerk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 3.2.2 Resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140 3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.1 Homogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144 3.3.2 Inhomogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.3.3 Materialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 3.4 Flu linien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147 3.5 Dynamik (diskret) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151
4. Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157
4.1 Wellengleichungen fur B , D, H und E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 4.2 Ebene Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.1 Ein Beispiel fur Pulserzeugung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 4.2.2 Skin-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161 4.2.3 Brechung an ebenen Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 162 4.2.4 Losung der inhomogenen Wellengleichung : : : : : : : : : : : 162 4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.1 Losung der homogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164 4.3.2 Abruptes Abschalten eines Kreisstroms : : : : : : : : : : : : : : 168 4.3.3 Losung der inhomogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : 169
Inhaltsverzeichnis
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
VII
Elektrische Dipolstrahlung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170 Strahlung einer beschleunigten Punktladung : : : : : : : : : : : : : : : 173 Beugungsphanomene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Symmetrien und Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Das Feynmansche Paradoxon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Geometrische Optik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178
5. Relativistisch kovariante Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179
Der Minkowski-Raum M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179 Die Poincare-Gruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180 A u erer Kalkul auf M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Kovariante Formulierung der Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : 183 Anschauliche Deutung mittels Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : 183 Altes relativistisch aufgewarmt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184 Transformationsverhalten der Felder und Strome : : : : : : : : : : : 186 5.8.1 Transformation des Viererstroms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186 5.8.2 Transformation der Felder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187 5.8.3 Aharonov-Casher-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188 5.9 Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8
6. Wirkungsprinzip f ur klassische Feldtheorien : : : : : : : : : : : : : : 191 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik : : : : : : : : : : : : : : : 193 Erhaltene Strome : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 194 Ginzburg-Landau-Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195 Abelsches Higgs-Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 199 Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung : : : : : : : : : : : : 202
A. Kleine Formelsammlung f ur das Rechnen mit Di erentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 205
0. Mathematische Grundlagen
0.1 Euklidischer Raum Perspektive. Zur Formulierung der Elektrodynamik benotigen wir ein mathematisches Modell der physikalischen Raum-Zeit. In der ersten Halfte dieser Vorlesung behandeln wir die Zeit separat vom Raum und modellieren den physikalischen Raum durch den dreidimensionalen Euklidischen Raum E3 . In der zweiten Halfte werden wir dann zum Zweck der relativistisch kovarianten Formulierung der Elektrodynamik zu einer einheitlichen Beschreibung von Raum und Zeit ubergehen und die physikalische Raum-Zeit durch den vierdimensionalen Minkowski-Raum M4 modellieren. (Wir wollen hier nur erwahnen, ohne darauf weiter einzugehen, da das MinkowskiModell adaquat ist, solange die raumkrummenden Eekte der Gravitation vernachlassigt werden konnen.) Beiden Modellen, E3 und M4 , liegt der Begri eines anen Raumes zugrunde. Der n-dimensionale ane Raum An . Der Begri des "Vektorraumes\ (oder linearen Raumes) wird als bekannt vorausgesetzt, und wir erinnern nur daran, da die "Vektoren\ genannten Elemente eines solchen Raumes addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden konnen. Per Denition besteht nun ein aner Raum nicht aus Vektoren, sondern aus Punkten, und die letzteren lassen sich nicht sinnvoll addieren. Ein aner Raum ist also kein Vektorraum, obwohl er zu einem solchen in enger Beziehung steht. Jedem Paar von Punkten a und b eines anen Raumes ist namlich in eindeutiger Weise ein Vektor zugeordnet. Au erdem ist es moglich, zu einem Punkt a eines anen Raumes einen Vektor v zu addieren, was einen neuen Punkt b = a + v zum Resultat hat. Die Operation des Addierens von Vektoren zu Punkten ist assoziativ und fuhrt einen Punkt nur dann in sich uber, wenn der hinzugefugte Vektor der Nullvektor ist. Diesen Sachverhalt fassen wir in der folgenden Denition zusammen: ein aner Raum A ist ein Tripel (M V +), bestehend aus einer Punktmenge M , einem reellen Vektorraum V und einer Addition + : M V ! M , (a v) 7! a + v mit den Eigenschaften (1) a + (v + w) = (a + v) + w (a 2 M v w 2 V ) (2) a + v = a () v = 0 (a 2 M v 2 V ) (3) zu jedem Paar a b 2 M existiert ein v 2 V mit b = a + v :
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0. Mathematische Grundlagen
Der nach (2) eindeutige Vektor v von (3) hei t der "Dierenzvektor\ von a und b und wird mit b ; a bezeichnet. Fur V = Rn ist A = (M V +) der n-dimensionale ane Raum An . Aufgabe 0.1.1. Gegeben sei ein Tripel von Punkten a b c 2 M . Deduzieren Sie aus den Axiomen (1)-(3) die Beziehung c ; a = (c ; b) + (b ; a). Unter der Geraden durch a in Richtung von v versteht man die Menge von Punkten der Form a + sv mit beliebigem s 2 R. Der von m Vektoren v1 :::Pvmm aufgespannte Spat mit Basispunkt p ist die Punktmenge faja = p + i=1 ti vi g fur 0 t1 ::: tm 1. Fur m = 2 sprechen wir auch von einem Parallelogramm. Ein anes Koordinatensystem ist eine Gesamtheit (o e1 e2 ::: en ), bestehend aus einem ausgewahlten Punkt o 2 M ("Koordinatenursprung\) P und n linear unabhangigen Elementen e1 ::: en von V . Die durch a ; o = ni=1 xi ei einem Punkt a 2 M zugeordneten Zahlen x1 ::: xn hei en ane Koordinaten von a bezuglich (o e1 ::: en ). Eine ane Abbildung : M ! M bildet Geraden auf Geraden ab. e2 a 2
x
x1 o
e1
Abbildung 0.1.
Anes Koordinatensystem (o e1 e2 ) und ane Koordinaten x1 , x2 eines Punktes a 2 A2 .
Aufgabe 0.1.2. Zeigen Sie, da jede ane Abbildung sich in der Form (p) = (o) + L(p ; o) ausdrucken la t, wobei o ein beliebig gewahlter Referenzpunkt und die Abbildung L : V ! V linear ist. Euklidischer Vektorraum. Der Dierenzvektorraum V eines anen Raumes hat zu wenig Struktur, als da es moglich ware, Langen von Vektoren oder von Vektoren eingeschlossene Winkel zu messen. Diese Moglichkeit wird erst durch die Einfuhrung eines positiv deniten Skalarprodukts h i eronet. Ein Vektorraum V mit positiv denitem Skalarprodukt h i hei t Euklidischer Vektorraum p . Die Lange jvj eines Vektors v ist in diesem Fall erklart durch jvj = hv vi und der Winkel (u v) zwischen zwei Vektoren u und v durch cos (u v) = hu vi=jujjvj.
0.2 Linearformen
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Der n-dimensionale Euklidische Raum En . Unter einem Euklidischen Raum E versteht man einen anen Raum A, dessen Dierenzvektorraum V die zusatzliche Struktur eines Euklidischen Vektorraums hat. Der Abstand d(a b) zweier Punkte a b 2 M wird durch d(a b) = jb ; aj erklart. Der ndimensionale Euklidische Raum wird mit En bezeichnet. Ein kartesisches Koordinatensystem von En ist ein anes Koordinatensystem (o e1 ::: en ) mit der zusatzlichen Eigenschaft, da die Vektoren e1 ::: en eine Orthonormalbasis bilden: hei ej i = ij (i j = 1 ::: n) : Hierbei ist ij Kroneckers Delta-Symbol, d.h. ij = 1 fur i = j , und ij = 0 fur i 6= j . Sind xi und yi die Koordinaten von a 2 M und b 2 M bezuglich eines solchen Systems, dann gilt:
v u n n X uX d(a b) = j(b ; o) ; (a ; o)j = (xi ; yi )ei = t (xi ; yi )2 : i=1
i=1
Da d(a b)Pvon der Wahl des Koordinatensystems unabhangig ist, folgt dasselbe fur ni=1 (xi ; yi )2 . Euklidische Bewegungen. Sei E ein Euklidischer Raum und : E ! E eine ane Abbildung. Wir nennen eine Euklidische Bewegung, wenn fur jedes Paar a b 2 E gilt j(a) ; (b)j = ja ; bj : Euklidische Bewegungen lassen also den Abstand zwischen Punkten ungeandert. Aus der Behauptung von Aufgabe 0.1.2 folgt, da jede Euklidische Bewegung in der Form (a) = (o) + R(a ; o) ausgedruckt werden kann, wobei die lineare Abbildung R : V ! V der Orthogonalitatsbedingung hRv1 Rv2 i = hv1 v2 i unterliegt. Der Spezialfall R = id hei t Translation, fur (o) = o liegt eine Rotation mit Fixpunkt o vor.
0.2 Linearformen Hier und im folgenden bezeichne V immer einen Vektorraum der Dimension n uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine Linearform auf V ist eine lineare Abbildung, die jedem Element von V eine reelle Zahl zuweist. In Formeln schreiben wir :V !R v 7! (v) d.h. wir bezeichnen die v 2 V durch zugewiesene Zahl mit (v). Linearitat der Abbildung bedeutet, da fur alle u v 2 V und x y 2 R gilt:
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0. Mathematische Grundlagen
(xu + yv) = x(u) + y(v) : Linearformen lassen sich wie Vektoren in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren: ( + )(v) := (v) + (v) (x)(v) := x(v) : Sie bilden also ihrerseits einen linearen Raum, den sogenannten "Dualraum\ von V , den wir mit L(V R) oder kurzer mit V bezeichnen. Man sieht leicht, da V die gleiche Dimension wie V hat. Damit ist schon alles gesagt, was es an dieser Stelle uber Linearformen zu wissen gibt, und wir konnten jetzt im Prinzip sofort zu Abschn. 0.3 ubergehen. Fur manche Zwecke ist es aber hilfreich, mit dem abstrakten Begri der Linearform eine anschauliche Vorstellung verbinden zu konnen. Graphische Veranschaulichung. Nach obiger Denition setzt der Begri der Linearform einen reellen Vektorraum V voraus und sonst nichts. Um den Begri der Linearform graphisch zu veranschaulichen, ist es jedoch gunstig, V als den Dierenzvektorraum eines anen Raumes A = (M V +) zu interpretieren, was wir hier tun wollen. Ein Vektor v 2 V la t sich dann als ein Pfeil auassen, der zwei Punkte von M miteinander verbindet. Addition zweier Vektoren u und v erfolgt in diesem Bild dadurch, da man den Schaft des Pfeils von v durch Parallelverschiebung an die Spitze des Pfeils von u setzt.1 Der Summenvektor u + v ist dann derjenige Pfeil, der vom Schaft von u zur Spitze von v zeigt. Dieser nutzlichen Veranschaulichung des Vektorbegris und der Addition von Vektoren entspricht eine Vorstellung von Linearformen, die in Abb. 0.2 illustriert ist. +3 +2
a f o α
e
+3 +2
b v
+1 0 -1 -2
+1 0 -1 -2
o α
Abbildung 0.2. Anes Modell einer Linearform
α(v)= 2,69
Abb. 0.2 entsteht auf die folgende Weise. Wir geben uns einen Punkt o und einen Vektor e vor und zeichnen die Gerade durch o in Richtung von e. Diese Gerade nennen wir die "Nullgerade\. Nun nehmen wir einen zweiten, von e linear unabhangigen Vektor f , bringen den Schaft von f durch Parallelverschiebung auf irgendeinen Punkt (z.B. o) der Nullgeraden und zeichnen die Gerade durch die Spitze von f in Richtung von e. Dann schieben wir 1 Parallelverschiebung beruht auf der algebraischen Relation b + v = a + v +(b ; a).
0.2 Linearformen
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den Schaft von f auf einen Punkt der so entstandenen "Einsgeraden\ und legen durch die Spitze von f wiederum eine Gerade in Richtung von e. Diesen Proze setzen wir fort und produzieren auf diese Weise eine Schar durchnumerierter und paralleler Geraden, die wir mit bezeichnen (Abb. 0.2a). Nach dieser vorbereitenden Konstruktion wahlen wir nun irgendeinen Vektor v 2 R2 und bringen seinen Schaft (wiederum durch Parallelverschiebung) auf die Nullgerade (Abb. 0.2b). Die Spitze von v wird dann im allgemeinen nicht auf einer der gezeichneten Geraden liegen, sondern auf einer gedachten Zwischengeraden, deren "Nummer\ durch lineare Interpolation bestimmbar ist in Abb. 0.2b ware dies ungefahr die Gerade 2,69. Durch die Geradenschar wird also dem Vektor v die reelle Zahl 2,69 eindeutig zugeordnet. Eine solche Zuordnung existiert oensichtlich nicht nur fur v sondern fur jedes Element des R2 . Die Geradenschar deniert folglich eine Abbildung von R2 nach R, und diese Abbildung ist per Konstruktion von linear. Mit anderen Worten, die Geradenschar von Abb. 0.2 veranschaulicht in graphischer Weise ein Element von L(R2 R). Ganz analog kann man sich die Elemente von L(R3 R) als Scharen paralleler Ebenen im dreidimensionalen anen Raum, und allgemein die Elemente von L(Rn R) als Scharen von (n ; 1)-dimensionalen Hyperebenen im n-dimensionalen anen Raum, vorstellen.
v
Abbildung 0.3. Modell einer Linearform 3 α
2 L(R R). Der Wert von (v) wird festgestellt, indem man die von v durchstoenen Ebenen von abzahlt und linear interpoliert. Der Pfeil von legt die positive Zahlrichtung fest.
Beispiel 0.2.1. In den Kursen fur Physik-Anfanger wird die physikalische Gro e "Kraft\ ublicherweise als Vektor eingefuhrt. In der Tat ist in einem Euklidischen Raum jedem Kraftfeld eindeutig ein Vektorfeld zugeordnet. Jedoch la t sich der Begri "Kraft\ bereits auf einem anen Raum, d.h. vor Einfuhrung eines Skalarprodukts mit Sinn erfullen. Ein konservatives Kraftfeld wird namlich vollstandig charakterisiert durch die Arbeit, die aufzubringen ist, um einen Korper von einem Punkt zu einem anderen zu transportieren. Fur ein homogenes Kraftfeld hangt diese Arbeit nur vom Dierenzvektor der beiden Punkte ab, nicht aber von ihrer individuellen Position. Bewegt man den Korper zunachst von a nach b und dann von b nach c, so setzen sich die Arbeiten linear zusammen. Ein homogenes Kraftfeld la t sich also als eine lineare Abbildung auassen, die jedem (Verschiebungs-)Vektor die Arbeit zuordnet, die beim Verschieben eines Korpers vom Schaft bis zur Spitze des
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0. Mathematische Grundlagen
betreenden Vektors aufzubringen ist. Kurz gesagt, ein homogenes Kraftfeld ist eine Linearform. Beispiel 0.2.2. Es sei hier betont, da die Denition des Begris der Linearform kein Skalarprodukt erfordert. Fur dieses zweite Beispiel wollen wir aber den Vektorraum V dennoch mit einem Skalarprodukt h i versehen. Auf V lassen sich dann Linearformen dadurch erzeugen, da man in das erste (oder das zweite) Argument des Skalarprodukts permanent einen fest gewahlten Vektor einsetzt: = hv i. Ist speziell v = e ein Vektor der Lange Eins, dann entspricht die Linearform = he i fur V = R2 einer Geradenschar im E2 mit der Eigenschaft, da die Geraden der Schar auf e senkrecht stehen und Abstand Eins haben. Basisdarstellung. Sei e1 e2 ::: en eine Basis von V . Die sogenannte \Dualbasis" 1 2 ::: n von V wird eindeutig festgelegt durch die Forderung i (ej ) = ji (i j = 1 ::: n) wobei ji Kroneckers Delta-Symbol ist. Fur den Fall n = 2 werden Basis und zugehorige Dualbasis in Abb. 0.4 graphisch veranschaulicht.PSind ein Vektor v und eine Linearform in Basisdarstellung durch v = i vi ei und = P i i i gegeben, so folgt aus der Denition der Dualbasis sofort
(v) =
n X i=1
i vi : θ1
+2 +1
e1
0 -1 -2
θ2
e2
-1
0
+1
+2
+3
Abbildung 0.4. Basis und Dualbasis
0.3 Alternierende Multilinearformen In Abschn. 0.2 haben wir Linearformen als lineare Abbildungen eines Vektorraums in die reellen Zahlen kennengelernt. Solche Abbildungen konnen
0.3 Alternierende Multilinearformen
7
wir uns auch als \Maschinen" vorstellen, die einen Eingabeschlitz fur Vektoren haben und auf die Eingabe eines Vektors mit der Ausgabe einer reellen Zahl antworten. Wir nehmen nun eine Verallgemeinerung vor und betrachten Maschinen mit nicht nur einem sondern k Eingabeschlitzen (k 1) fur Elemente eines n-dimensionalen Vektorraumes V . Wie zuvor seien die Maschinen so konstruiert, da sie die Eingabe von k Vektoren v1 v2 ::: vk mit der Ausgabe einer reellen Zahl quittieren. Den von der Maschine ausgegebenen Wert bezeichnen wir mit (v1 v2 ::: vk ). Wir stellen zwei zusatzliche Forderungen an unsere Maschinen. Erstens sollen sie in allen Argumenten linear sein. In Formeln hei t das: (xu + yv w :::) = x(u w :::) + y(v w :::) (u xv + yw :::) = x(u v :::) + y(u w :::) usw: (Hierbei sind u v w 2 V und x y 2 R.) Zweitens verlangen wir die Eigenschaft des Alternierens\, d.h. wenn wir die Eingabe durch Austausch zweier Argumente" abandern, dann soll die ausgegebene reelle Zahl dem Betrag nach gleichbleiben aber ihr Vorzeichen wechseln. In Formeln: (::: u ::: v :::) = ;(::: v ::: u :::) : Nichttriviale Maschinen mit der zweiten Eigenschaft existieren nur fur k n. Abbildungen vom beschriebenen Typ hei en alternierende Multilinearformen vom Grad k oder etwas kurzer "alternierende k-lineare Formen\. Solche Abbildungen lassen sich in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Sie bilden also ebenfalls einen linearen Raum, den wir mit Altk (V ) bezeichnen. Beispiel 0.3.1. Wir bezeichnen die Komponenten eines Vektors u in V = R3 bezuglich einer fest gewahlten Basis e1 e2 e3 mit ui (i = 1 2 3) und die Komponenten der Vektoren v w entsprechend mit vi bzw. wi . Die durch 0 u1 v1 w1 1
(u v w) = Det @ u2 v2 w2 A u3 v3 w3 denierte Abbildung ist 3-linear und alternierend und ist folglich ein Element von Alt3 (V ). Beispiel 0.3.2. Die xy-Ebene durch den Koordinatenursprung des dreidimensionalen Euklidischen Raums werde von zwei orthonormalen Basisvektoren ex und ey aufgespannt. ! sei die alternierende 2-lineare Form, die jedem Paar von Vektoren u und v in R3 die reelle Zahl !(u v) = hex uihey vi ; hex vihey ui zuweist. Der Absolutbetrag von !(u v) ist dann die Flache der Projektion eines von u und v aufgespannten Parallelogramms auf die xy-Ebene. Aufgabe 0.3.1. Weisen Sie nach, da der Raum Altk (V ) fur maximalen Grad k = dimV eindimensional ist.
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0. Mathematische Grundlagen
Orientierung. Sei e1 ::: en eine fest gewahlte, geordnete Basis von V . Die Anwendung eines von Null verschiedenen Elements 2 Altn (V ) auf e1 ::: en resultiert in einer reellen Zahl (e1 ::: en ), die entweder positiv oder negativ ist. Auf diese Weise wird der eindimensionale Raum Altn (V ) in zwei A quivalenzklassen eingeteilt, eine positive und eine negative Klasse. Umgekehrt legt die Wahl eines Elements 2 Altn (V ) ( 6= 0) eine Einteilung in positive und negative Systeme von Basisvektoren e1 ::: en fest. Diese Einteilung hangt nur von der enthaltenden A quivalenzklasse ab, nicht aber von selbst. Durch die Entscheidung fur eine der beiden A quivalenzklassen wird, wie man sagt, eine Orientierung bestimmt. Im R3 xiert man die Orientierung ublicherweise durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel. Danach hei t ein System von linear unabhangigen Vektoren u, v, w rechtshandig oder positiv orientiert, wenn sich die Vektoren mit Daumen, Zeigenger und Mittelnger der rechten Hand (in der angegebenen Reihenfolge) zur Deckung bringen lassen. Andernfalls hei t das System linkshandig oder negativ orientiert. Graphische Veranschaulichung. Nach Abschn. 0.2 lassen sich Linearformen 2 L(R3 R) als Scharen paralleler Ebenen im anen Raum A3 darstellen. In analoger Weise konnen wir auch alternierende Multilinearformen hoheren Grades veranschaulichen. Zum Beispiel dient als anes Modell eines Elements ! 2 Alt2 (R3 R) eine homogene Schar paralleler Geraden mit Schraubensinn (Abb. 0.5a). Um den Wert !(u v) auf zwei Vektoren u und v zu ermitteln, zahlen wir ab, wieviele Geraden der Schar ein Parallelogramm mit den Basisvektoren u und v schneiden (der Basispunkt des Parallelogramm ist beliebig) und interpolieren linear. Die Schnittpunkte zahlen wir als positiv (bzw. negativ), wenn der Schraubensinn der Geraden mit der Orientierung der Vektoren u, v ubereinstimmt (bzw. nicht ubereinstimmt). Durch die Berucksichtigung des Schraubensinns wird gewahrleistet, da der Wert !(u v) unter Austausch von u und v sein Vorzeichen wechselt.
a v
ω
b
ω
w
ρ
ρ u ω
ω
ρ
ρ
ρ v
ρ
ρ u
Abbildung 0.5. Modelle ... Modelle
ρ
0.4 A ueres Produkt
9
Im Falle einer alternierenden 3-linearen Form 2 Alt3 (R3 R) verwenden wir zur Veranschaulichung ein System von Gitterpunkten. Die Punkte sind nicht strukturlos, sondern tragen eine Orientierung. Der Absolutwert von (u v w) wird der Zahl der in einem Spat mit Kantenvektoren u, v und w bendlichen Gitterpunkte gleichgesetzt. (Auch hier mu linear interpoliert werden, und die genaue Position der Basis des Spats ist dann wieder irrelevant). Stimmt die Orientierung der Punkte mit der Orientierung des Systems von Vektoren uberein, so ist das Vorzeichen von !(u v w) positiv, andernfalls negativ.
0.4 A ueres Produkt Perspektive. In den folgenden Abschnitten werden wir vier mathematische Operationen kennenlernen, die auf dem Raum der alternierenden Multilinearformen agieren: das au ere Produkt, das innere Produkt, das Zuruckholen von Formen, und den Hodgeschen Sternoperator. Die ersten drei Operationen setzen keine metrische Struktur voraus. Au eres Produkt von Linearformen. Gegeben seien zwei Linearformen 2 L(V R). Unter ihrem au eren Produkt ^ verstehen wir die Abbildung ^ : V V !R (u v) 7! ( ^ )(u v) := (u) (v) ; (v) (u) : Diese Abbildung ist oensichtlich linear in beiden Argumenten und alternierend. Folglich gilt: ^ 2 Alt2 (V ). Beispiel 0.4.1. Wir betrachten den Euklidischen Vektorraum V = (R2 h i) mit Orthonormalbasis e1 e2 und Flachenform !(u v) = he1 uihe2 vi ; he1 vihe2 ui = u1v2 ; v1 u2 : Mit der Denition2 #i = hei i (i = 1 2) konnen wir schreiben ! = #1 ^ #2 . Aufgabe 0.4.1. Zeige, da der Ausdruck #1 ^ #2 unter eigentlichen Drehungen von V invariant ist. Visualisiere Linearformen im dreidimensionalen Raum als Ebenenscharen. Das auere Produkt der Linearformen entspricht dann der Schnittmenge der Ebenenscharen (einer Schar von Geraden).
2
In einem Euklidischen Vektorraum mit Orthonormalbasis ei gilt #i (ej ) = hei ej i = ij = i (ej ) (wie immer sind i die Elemente der Dualbasis). Dagegen ist in einem nicht-Euklidischen Vektorraum wie z.B. dem Lorentzraum der speziellen Relativitatstheorie zwischen #i und i zu unterscheiden.
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0. Mathematische Grundlagen
Au eres Produkt alternierender Multilinearformen. Allgemein versteht man unter dem au eren Produkt zweier Elemente 2 Altk (V ) und 2 Altl (V ) (k l 1) die durch ( ^ )(v(1) : : : v(k) v(k+1) : : : v(k+l) ) = 1 X sign() (v((1)) ::: v((k)) ) (v((k+1)) ::: v((k+l)) ) k !l !
denierte Abbildung ^ 2 Altk+l (V ), wobei die Summe uber alle Permutationen der Indexmenge 1 2 ::: k + l lauft und sign() das Signum von ist. Das so denierte Produkt hat die Eigenschaften (1) ^ = (;1)kl ^ (2) ( ^ ) ^ = ^ ( ^ ) : Aufgabe 0.4.2. Beweise die Super-Kommutativitat (1) und die Assoziativitat (2) des au eren Produkts! Eine sofortige Konsequenz von (1) ist ^ = ; ^ = 0 fur 2 Alt2l+1 (V ). Fur den Spezialfall v(1) ::: v(k) 2 V und (1) ::: (k) 2 V gilt: 0 (v(1)) : : : (v(k) ) 1 (1) (1) CA : . .. . . . ((1) ^ ::: ^ (k) )(v(1) ::: v(k) ) = det B @ . . . (k) (v(1) ) : : : (k) (v(k) ) Es ist zweckma ig, das au ere Produkt ^ auch fur den Fall zu erklaren, da und/oder reelle Zahlen sind. Wir vereinbaren, da ^ in diesem Fall mit der gewohnlichen Multiplikation zusammenfallt. Zum Zweck der bequemen Notation spater einzufuhrender Operatoren denieren wir Alt1 (V ) = V und Alt0 (V ) = R. Beispiel 0.4.2. Im orientierten E3 sei eine alternierende 3-lineare Form
dadurch erklart, da einem Tripel von Vektoren u v w das Volumen eines von ihnen aufgespannten Spats zugewiesen wird. Hierbei zahlen wir das Volumen positiv (bzw. negativ), wenn u v w ein rechtshandiges (bzw. linkshandiges) System bilden. hei t Volumenform. Wenn wir wie oben eine Basis von Linearformen #i auf R3 durch #i = hei i (i = 1 2 3) erklaren, dann ist
= #1 ^ #2 ^ #3 . Basisdarstellung. Sei e1 e2 ::: en eine Basis von V und entsprechend 1 , 2 , ..., n die Dualbasis von V . Die Gesamtheit der au eren Produkte i1 ^ i2 ^ ::: ^ ik fur 1 i1 < i2 < ::: < ik n bildet eine Basis von Altk (V ), d.h. jedes Element ! von Altk (V ) ist darstellbar als geordnete Summe X != !i1 :::ik i1 ^ ::: ^ ik : 1i1 2 ti ei ) wird in fuhrender Approximation durch (Dp !)(se1 ) genahert. Nach dieser Naherung sind die Integrale uber t2 ::: tk+1 trivial, und ihre Ausfuhrung ergibt
Z
1 + 1
;
! = sk+1 (Dp !)(e1 ) (e2 ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : 0
Das Integral von ! uber j + j 0 fur j 2 f2 ::: k + 1g wird analog berechnet. Aufsummieren aller Randintegrale fuhrt zu dem Zwischenergebnis
Z
@
!=
kX +1 Z
j =1 j + j 0
!=
kX +1 ; k +1 s (;1)j;1 (Dp !)(ej ) (e1 ::: ej;1 ej+1 ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : j =1
Der Ausdruck auf der rechten Seite la t sich, wie man durch Vergleich mit der Denition der au eren Ableitung in Abschn. 0.11 sieht, auch folgenderma en schreiben: Z ! = sk+1 (d!)p (e1 ::: ek+1 ) + O(sk+2 ) : @
Damit ist Satz 0.2 bewiesen, denn die rechte Seite der letzten R Gleichung ist gerade gleich der fuhrenden Approximation fur das Integral d!.
0.18 Lie-Ableitung Gegeben sei auf einem Gebiet U An ein Vektorfeld X : U ! Rn a 7! X (a) : Der Flu des Vektorfeldes, : U R ! U , (a s) 7! s (a) wird bestimmt durch die Dierentialgleichung 1. Ordnung d (a) = X ( (a)) s ds s mit der Anfangsbedingung s=0 = id. Insbesondere gilt d (a) = X (a) : ds s s=0
0.18 Lie-Ableitung
Beispiel 0.18.1.
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In der klassischen Mechanik hat man das Hamiltonsche Vektorfeld H = ( )q ( ) p . Die Gleichung _ t ( ) = ( t ( )) ist in diesem Fall eine andere Schreibweise f ur die kanonischen Bewegungsgleichungen _= und _ = . Der Flu (mit gleich der Zeit ) beschreibt dann die dynamische Zeitentwicklung. F ur den harmonischen Oszillator = ( 2 + 2 ) 2] ist = q und p t ist eine Drehung in der -Ebene (Phasenraum) um den Drehwinkel 2 ( ist die Oszillatorperiode).
X
q @H=@p H qp
p
@H=@p @ ; @H=@q @
a
p @H=@q
q =
X p@ ; q@
s
X a
t
t=T T Denition 0.9 (Lie-Ableitung). Ist ! eine k-Form und s der Flu des Vektorfeldes X , dann wird die Lie-Ableitung LX ! von ! deniert durch d ! : LX ! := ds s s=0 Interpretation. ``Fischer-Ableitung''... Die Lie-Ableitung einer Funktion f fallt mit der Richtungsableitung: zusammen: d f = d ;f = (df )(X ) = (i d)f : LX f = ds s s=0 X s s=0 ds
Satz 0.3 (Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung).
LX = iX d + d iX : Beweisskizze. 1. Man zeigt zunachst, da LX eine Derivation der Algebra von Dierentialformen ist, d.h. der Leibnizregel genugt: d ( ^ ) LX ( ^ ) = ds s s=0 d = ds (s ^ s ) s=0 = (LX ) ^ + ^ (LX ) : 2. Dann beweist man durch explizites Rechnen und Anwenden der Produktregeln fur die Cartan-Ableitung und das innere Produkt, da iX d + diX ebenfalls eine Derivation ist. 3. Wegen 1. und 2. genugt der Nachweis des Hauptsatzes fur Funktionen f und 1-Formen dg: a) iX f := 0 ) LX f = iX df = (iX d + diX )f : b) d (dg) = d d ( g) LX (dg) = ds s=0 ds s s=0 s = d (iX dg) = (d iX ) (dg) = (diX + iX d) (dg) : Beispiel 0.18.2. Ein Geschwindigkeitsvektorfeld v mit Flu ft g beschreibe eine zeitunabhangige Stromung, die elektrische Ladungen mit sich tragt und auf diese Weise eine Stromdichte j bewirkt: Es folgt eine Relation fur die Ladungsdichte :
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0. Mathematische Grundlagen D φt,p (u3 ) D φt,p (u2 )
Fluss u2
u3
φt (p) p u1
D φt,p (u1 )
Abbildung 0.24.
;
p (u1 u2 u3 0) = t (p) Dtp (u1 ) : : : t ; oder kurz p (: : : 0) = t p (: : : t). Dierenzieren nach der Zeit ergibt d @ 0 = @t t=0 + dt t t=0 oder _ + Lv = 0. (In dieser dierentiellen Form ist die Gleichung auch fur zeitabhangige Vektorfelder und beliebige Zeiten gultig.) Mit Lv = (div + iv d) = d(iv ) und iv = j (Stromdichte) folgt dann die Kontinuitatsgleichung _ + dj = 0 (siehe Abschn. 1.2). Beispiel 0.18.3.
Induktion in einer bewegten Schleife
0.19 Stromformen und Stromlinien Motivation. In der Physik begegnen wir zuweilen Funktionen und Dierentialformen, die Singularitaten aufweisen. Zum Beispiel ist die elektrische Flu dichte eines punktformigen geladenen Teilchens singular am Ort des Teilchens. Die Cartan-Ableitung einer solchen Dierentialform ist a priori nicht deniert, was den unangenehmen Eekt hat, das Rechnen recht beschwerlich zu machen. Beim Integrieren geht man typisch so vor, da man eine Umgebung der Singularitat aus dem Integrationsgebiet herausschneidet, was im Falle einer nachfolgenden Anwendung des Satzes von Stokes zu Randtermen fuhrt, die dann sorgfaltig diskutiert werden mussen. (Mehrere Beispiele solchen Vorgehens nden sich im Kapitel uber ElektroMagnetostatik.) Die hier anzukundigende gute Nachricht lautet, da derlei Umstandlichkeiten vermieden werden konnen, indem man den mathematischen Rahmen wie unten beschrieben erweitert. Die Erweiterung hat noch einen zweiten wichtigen Zweck: sie suggeriert die Idee, Dierentialformen durch Ketten zu approximieren, was fur die Visualisierung des elektromagnetischen Feldes sehr hilfreich ist. Insbesondere werden wir in die Lage versetzt, die magnetische und elektrische Flu dichte im dreidimensionalen Raum durch magnetische bzw. elektrische Flu linien
0.19 Stromformen und Stromlinien
53
veranschaulichen zu konnen. Im Unterschied zu den \Feldlinien" klassischer Texte zeichnen sich Flu linien durch eine invariante und metrikfreie Bedeutung aus, die auch der U bertragung zur relativistischen Formulierung im Minkowski-Raum standhalt. Distributionen. An den Anfang stellen wir eine kurze Skizze des mathematischen Hintergrundes. In einem n-dimensionalen Raum (bei unseren limitierten Vorkenntnissen hat dies der Rn oder An zu sein, allgemeiner wurde man eine n-dimensionale dierenzierbare Mannigfaltigkeit zugrundelegen) betrachten wir die Menge der Funktionen, die unendlich oft dierenzierbar sind und zudem kompakten Trager haben, d.h. au erhalb eines beschrankten Gebiets identisch verschwinden. Der reelle Vektorraum solcher \Testfunktionen", wie sie hei en, wird (in einer bestimmten, hier nicht naher spezizierten Topologie) mit D bezeichnet. Der Fokus richtet sich nun auf den Dualraum D0 , namlich den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen D ! R. Die Elemente von D0 hei en Distributionen. Als prominentes Beispiel fur eine Distribution sei die Abbildung angefuhrt, welche jeder Testfunktion f ihren Funktionswert im Punkt p zuweist: (p) : f 7! f (p) =: (p) #f ] : Sie hei t nach ihrem Physiker-Ernder die Diracsche -Distribution bzgl. p. Der Kalkul mit Distributionen wurde von dem franzosischen Mathematiker L. Schwartz initiiert und entwickelt. Er zeigte, da sich fast alle in der Analysis gebrauchlichen Operationen auf Funktionen in sinnvoller Weise auf Distributionen ubertragen lassen. Zum Beispiel wird die partielle Ableitung einer Distribution T : f 7! T #f ] durch @ i @xi T #f ] := ;T #@f=@x ] sinnvoll erklart. Wir werden dieses Thema hier nicht elaborieren. Die fur die Elektrodynamik benotigten Objekte sind ja die Dierentialformen (anstelle der Funktionen), denen wir uns nun zuwenden. Stromformen. Die Erweiterung der Schwartz'schen Theorie zu den Dierentialformen wurde von de Rham vorgenommen. Ihm folgend bezeichnen wir den Vektorraum der \Testformen", d.h. jener Dierentialformen, deren Koezienten Testfunktionen sind, wieder mit D (beachte die A nderung der Bedeutung des Symbols). Der Vektorraum D wird durch den Grad k der Dierentialformen graduiert: D = nk=0 k , d.h. k ist der Vektorraum der k-Formen in D. Wenden wir uns nun wieder dem Dualraum D0 zu. Dieser besteht aus den stetigen linearen Abbildungen T : D ! R, ! 7! T #!]. Durch die Graduierung von D und die Paarung von D mit D0 wird naturlich eine Graduierung D0 = nl=0 l induziert. Per Konvention ordnet man den Grad in D0 so zu, da T 2 n;k auf dem Komplement von k in D Null ist oder, anders ausgedruckt, n;k ist mit k gepaart. Sollten diese abstrakten Begrisbildungen nicht auf Anhieb einleuchten, werden die folgenden Beispiele
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0. Mathematische Grundlagen
helfen. (Bedeutungswechsel von k (U ) gegenuber fruher?) Beispiel 1: eine k-Kette c. Wie wir ja inzwischen gut verstehen, lassen sich k-Formen uber eine k-Kette c integrieren, was eine stetige lineare Abbildung c : k ! R,
Z
c#!] := ! c
also ein Element c 2 n;k , deniert. Beispiel 2: eine (n ; k)-Form . Wir konnen eine k-Form ! 2 k nehmen, das au ere Produkt mit bilden und die resultierende n-Form uber den gesamten n-dimensionalen Raum integrieren. (Die Existenz des Integrals wird durch die Kompaktheit des Tragers von ! guarantiert.) So bekommen wir wieder eine stetige lineare Abbildung : k ! R, durch
Z
#!] := ^ ! : Dem Leser konnte aufgesto en sein, da wir den Elementen von n;k noch keinen Namen gegeben haben. Nun, de Rham nennt sie \Strome" (franz. \courants") vom Grad n ; k. Er denkt dabei an den physikalischen Prototypen der ersten Beispielklasse fur k = 1, namlich die 1-Kette der elektrischen Stromlinien eines bewegten Systems von Punktladungen. Vom Standpunkt des Physikers, insbesondere des Elektrodynamikers, ist diese Wortwahl etwas unglucklich, da der Name \Strom" bereits an eine spezielle physikalische Gro e vergeben ist. Aber gegen den \Strom" der etablierten Nomenklatur anzuschwimmen ist aussichtslos, und wir mussen uns deshalb mit dem Kompromi Stromformen abnden. Au erer Kalkul mit Stromformen. Kurz gesagt lassen sich praktisch alle fur Dierentialformen erklarte Operationen auf die Stromformen ubertragen: das innere Produkt mit einem Vektorfeld, das au ere Produkt mit Dierentialformen, die Operation des Zuruckholens mittels einer Abbildung, der Hodgesche Sternoperator und die Cartan-Ableitung. In allen Fallen geschieht die U bertragung durch naturliche Transposition von D nach D0 , und zwar mit derjenigen Wahl des Vorzeichens, welche die resultierende Operation fur den Spezialfall einer Dierentialform (anstelle einer allgemeinen Stromform) genau so wirken la t wie gehabt. Es genuge die Illustration dieses Prinzips am Beispiel der au eren Ableitung. Fur jede Dierentialform ! 2 n;k;1 und eine k-Form gilt
Z
d ^ ! = ;(;1)k
Z
^ d! :
Der sonst beim partiellen Integrieren entstehende Randterm fehlt hier infolge des kompakten Tragers von !. Dementsprechend erklart man die CartanAbleitung eines beliebigen Elementes T 2 k durch dT #!] := ;(;1)k T #d!] :
0.19 Stromformen und Stromlinien
55
Da d : n;k;1 ! n;k wohldeniert ist, bekommt man auf diese Weise eine sinnvolle Operation d : k ! k+1 . Was ergibt nun letztere auf einer (n ; k)-Kette c 2 k ? Die Antwort folgt aus dem Satz von Stokes,
Z
dc#!] = ;(;1)k c#d!] = (;1)k+1 d! = ;(;1)k c
Z
@c
!
und sie lautet dc = ;(;1)k @c. Fassen wir also eine (n ; k)-Kette als Stromform in k auf, so ist die au ere Ableitung der Kette (bis auf k + 1 Minuszeichen) gleich ihrem Rand. ...Andere Operationen: T #!] := T #!] (Transformationsverhalten unter Abbildung ) T ^ #!] := T # ^ !] (Dachprodukt mit Dierentialform ) ?T #!] := (;1)deg(T )(n;deg(T )) T #?!] (Sternoperator) iv T #!] := ;(;1)deg(T ) T #iv !] (inneres Produkt mit Vektorfeld v) Beispiel 0.19.1. Als einfaches und doch instruktives Beispiel mu nochmal (a) , die Raumwinkel-2-Form bzgl. a 2 E3 , herhalten. Im Punkt a ist (a) nicht dierenzierbar (auf E3 n fag ist (a) bekanntlich geschlossen, doch die Koezienten der Dierentialform divergieren bei Annaherung an a wie das inverse Quadrat des Abstandes), weshalb (a) sicher nicht in 2 (E3 ) liegt. Da R aber das Integral (a) ^ ! fur alle ! 2 1 (E3 ) wohldeniert ist, konnen wir den Raumwinkel problemlos als Stromform (a) 2 2 (E3 ) ansehen und als solche auch sinnvoll dierenzieren! Was ist nun in diesem wohlverstandenen Sinn die Cartan-Ableitung d (a) 2 3 (E3 )? Eine kurze Rechnung enthullt die Antwort: Z Z @f ( a ) ( a ) d #f ] = ; ^ df = ; @r dra ^ (a) a 1 Z2Z 0Z1 @F @ =; (ra a 'a )dra A sin a da d'a 0 0 0 Z2Z
= f (a)
0 0
@ra
sin dd' = 4f (a) = 4(a) #f ] :
Was auf der rechten Seite entstanden ist, erkennen wir als die Dirac--Distribution bzgl. a, aufgefa t als Stromform (a) 2 3 (E3 ). Dieses Resultat, d (a) = 4(a) ist insbesondere in der Elektrostatik von einigem Nutzen. Veranschaulichung der Operationen auf Differentialformen (nicht nur Cartan-Ableitung, sondern auch inneres und aueres Produkt, und Sternoperator) durch die entsprechenden Operationen auf Ketten. Das auere Produkt ist nat urlich wieder der Durchschnitt der Ketten, beim inneren Produkt ben utzt man das einzusetzende Vektorfeld, um den Grad der Kette zu
56
0. Mathematische Grundlagen
erh ohen (aus Linien werden Fl achen usw.), und der Sternoperator angewendet auf eine Fl ache produziert die orthogonalen ``Haare'' der Fl ache usw.
Regularisierung. Die Einsicht, da k-Ketten und (n ; k)-Formen Elemente ein und desselben Vektorraums D0 sind, schuf die Grundlage fur de Rhams zelebrierte Beweisarbeit zur Theorie dierenzierbarer Mannigfaltigkeiten und ihrer topologischen Invarianten. Uns suggeriert sie die Idee, Ketten durch Formen zu approximieren und umgekehrt. Da ein solches Bestreben Aussicht auf Erfolg hat und k-Ketten durch glatte (n ; k)-Formen tatsachlich beliebig gut angenahert werden konnen, davon uberzeugt man sich anhand einiger Beispiele. Lassen Sie uns die xy-Ebene, die z -Achse und den Koordinatenursprung im E3 als Stromformen 2 1(E3 ) bzw. 2 2 (E3 ) bzw. o 2 3 (E3 ) auassen. Die folgenden drei Grenzwerte fur f 2 0 (E3 ), 2 1 (E3 ) und ! 2 2 (E3 ) pruft man leicht nach:
Z
;83;1 fe;px2 +y2+z2=dx ^ dy ^ dz o#f ] := f (o) = lim !0
#] := #!] :=
Z
z;Achse
Z
;1 = lim !0 ()
xy;Ebene
Z
e;(x2+y2 )=dx ^ dy ^
Z = ! = lim !0 2 + z 2 dz ^ ! :
Charakteristisch fur die Integranden auf der rechten Seite ist das Auftreten einer durch parametrisierten Familie von Funktionen (hier vom Exponential, Gau - bzw. Cauchy-Typ), deren \Trager" im Limes ! 0 auf die Spur (definiert?) der entsprechenden Kette zusammenschrumpft. Die -abhangigen Normierungsfaktoren wurden so gewahlt, da die (3 ; k)-dimensionale, zur Spur der k-Kette transversale Integration in jedem Punkt der Spur genau Eins ergibt. Auf diese Weise konvergiert fur ! 0 das Raumintegral auf der rechten Seite gegen das k-dimensionale Integral uber die k-Kette. Wir sagen, die Familie von approximierenden Dierentialformen sei eine Regularisierung der als Stromform aufgefa ten Kette. Eine solche Regularisierung existiert immer. (Jede Kette, und allgemeiner jede Stromform, kann durch innitesimales \Verschmieren" glatt gemacht werden. Diese Behauptung wurde in einem mathematisch sauber denierten Sinn von Schwartz und de Rham bewiesen.) Die Regularisierung ist oensichtlich nicht eindeutig, wie durch die unterschiedliche Wahl der regularisierenden Familie von Funktionen in den Beispielen illustriert wird. Eindeutig ist lediglich der Limes (die Stromform), gegen den die Approximation fur ! 0 konvergiert. Diskretisierung. Oben haben wir \Diskretes" durch \Kontinuierliches" approximiert: durch die Ma nahme der Regularisierung wurde aus einer k-Kette (oder allgemeiner: einer Stromform T 2 n;k ) eine kontinuierliche Dierentialform. Interessant ist auch der umgekehrte Weg (\Diskretisierung") von
0.19 Stromformen und Stromlinien
57
der glatten Dierentialform zur \diskreten" Kette. Zum Beispiel konnen wir eine kontinuierliche Ladungsdichte im E3 durch eine Verteilung von Punktladungen Qi and Orten pi (i = 1 ::: N ) annahern. Dazu plazieren wir in Raumbereichen mit hoher Ladungsdichte viele (oder gro e) Punktladungen, in Raumbereichen mit geringer Ladungsdichte wenige (oder kleine). Das Integral von gegen eine Testfunktion 2 0(E3 ) wird dann durch
Z
= #] '
Z N X i=1
Qi
pi
:=
N X i=1
Qi (pi )
P
approximiert. Der 3-Form entspricht also die 0-Kette i Qi pi . Um die Approximation zu verbessern, machen wir N gro er und verfeinern das System von Punktladungen entsprechend. Ganz ahnlich konnen wir versuchen, eine kontinuierliche Stromdichte j im E3 durch eine Verteilung von Stromen Ii langs Stromlinien i (i = 1 ::: N ) zu beschreiben. Wo die Stromdichte hoch ist, plazieren wir wieder viele Stromlinien (oder wahlen die Strome gro ), wo die Stromdichte niedrig ist, dorthin legen wir wenige Stromlinien (oder kleine Strome). Das Integral von j gegen eine 1-Testform A wird dann durch
Z
j ^ A = j #A] '
N Z X i=1
Ii
i
A
P
ersetzt. Der 2-Form j entspricht also die 1-Kette i Ii i . Um die Approximation zu verbessern, machen wir wieder N gro er und verfeinern das System von Stromlinien. Allgemeiner konnen wir auf die beschriebene Weise jede n-Form im ndimensionalen Raum durch eine 0-Kette approximieren, jede (n ; 1)-Form durch eine 1-Kette usw. Eine solche Diskretisierung ist fur didaktische Zwecke nutzlich, weil 1-Ketten sich leichter visualisieren lassen als (n ; 1)-Formen. Beispiel 0.19.2. Wir wollen uns uberlegen, wie die Veranschaulichung der auf den Koordinatenursprung o bezogenen Raumwinkel-2-Form durch eine 1Kette aussieht. In Kugelkoordinaten r ' haben wir R= sin d ^ ' und ^ = ^ r dr ( 2 1 (E3 )). Das Integral #] = ^ testet also nur die Radialkomponente r von . Folglich haben die \Stromlinien" der Stromform in Radialrichtung zu liegen. Als Randpunkt fur die Stromlinien kommt wegen d = ;@ = 4(o) nur der Koordinatenursprung o in Frage. Unter Berucksichtigung des richtigen Vorzeichens sind die Stromlinien von dann Halbachsen oder Strahlen i , die im Punkt o beginnen und sich bis ins Unendliche erstrecken. Da = r;2 @r (dx ^ dy ^ dz ) drehinvariant ist, sind die Strahlen (so gut sich das bei einer endlichen Anzahl einrichten la t) isotrop anzuordnen. Damit der Rand richtig herauskommt (@ = ;4(o)), bekommt jeder Strahl das Gewicht 4=N : N X 4 ' N i : i=1
58
0. Mathematische Grundlagen
Abbildung: Veranschaulichung der Raumwinkel-2-Form als isotrope Schar von Strahlen, die im Ursprung beginnen und sich bis ins Unendliche erstrecken. Jeder der Strahlen tr agt das Gewicht 4 .
o N =N Aufgabe 0.19.1. Zeige, da das Integral von uber eine Flache S im Stromlinienbild durch 4=N mal der Zahl der S durchsto enden Strahlen approximiert wird.
0.20 Laplace-Operator Laplace-Operator auf Funktionen und 1-Formen im E3 . Der Laplace-Operator 4 auf den Funktionen im dreidimensionalen Raum wird in kartesischen Koordinaten x y z bekanntlich durch 2
2
2
4f = @@xf2 + @@yf2 + @@zf2
dargestellt. In der Elektrodynamik haben wir es hauptsachlich mit Dierentialformen zu tun. Man wu te daher gerne, wie der Laplace-Operator im au eren Kalkul aussieht. Von einer nutzlichen Verallgemeinerung z.B. auf 1-Formen im E3 wird man verlangen 4 (Ax dx + Ay dy + Az dz ) = (4Ax)dx + (4Ay )dy + (4Az )dz : Die Frage ist nun, ob ein solcher Operator existiert und in sinnvoller, d.h. koordinatenunabhangiger Weise deniert werden kann. Die Antwort lautet ja. Dazu bringen wir zunachst den Ausdruck fur 4 : 0 (E3 ) ! 0 (E3 ) in koordinatenfreie Form. Eine kleine Rechnung, @f @f @f ? d ? df = ? d @x dy ^ dz + @y dz ^ dx + @z dx ^ dy @2f @2f @2f = @x2 + @y2 + @y2 ? (dx ^ dy ^ dz ) = 4f zeigt, da 4 auf den Funktionen im E3 mit ? d ? d ubereinstimmt. Wahrend die au ere Ableitung d den Grad einer Dierentialform um Eins erhoht, hat die Verkettung ?d? die Eigenschaft, den Grad um Eins zu erniedrigen: ? 2;k (E ) ;! d 3;k ? k (E ) : k+1 (E3 ) ;! (E3 ) ;! 3 3 Im nachsten Schritt untersuchen wir die Wirkung des Dierentialoperators ? d ? d auf den 1-Formen im E3 . Die Operatoren d und ? sind linear und drehinvariant, weshalb es ausreicht, 1-Formen von der speziellen Gestalt f dx zu betrachten. In diesem Fall nden wir @f ? d ? d(f dx) = ? d @f @z dy ; @y dz
@ 2 f dz ; @ 2 f dx ; @ 2 f dx + @ 2 f dy : = @x@z @z 2 @y2 @x@y
0.20 Laplace-Operator
59
Zu dem fur den Laplace-Operator erwarteten Resultat fehlt oenbar noch etwas. Was hier fehlt, ist nicht schwer zu sehen es ndet sich in d ? d ? (f dx) = d ? @f d x ^ d y ^ d z @x 2 @ 2 f dy + @ 2 f dz : = @@xf2 dx + @y@x @z@x Durch Substraktion der Gleichungen nden wir (; ? d ? d + d ? d ? ) (f dx) = (4f )dx wie gewunscht. Insgesamt haben wir also die beiden folgenden Formeln fur den Laplace-Operator: 4 auf Funktionen im E3 : 4 = ? d ? d 4 auf 1-Formen im E3 : 4 = ; ? d ? d + d ? d ? : Wir sehen, da in die koordinatenfreie Formulierung des Laplace-Operators die metrische Struktur des Raumes in wesentlicher Weise eingeht. Es ist nun zweckma ig, einen Operator : ! 7! (;1)k ? d ? ! einzufuhren, der k + 1Formen auf k-Formen abbildet. Dieser Operator hei t kurz die Ko-Ableitung. Mit ihm konnen wir den Laplace-Operator in der einheitlichen Form 4 = d + d schreiben. (Der zweite Term in 4 verschwindet auf den Funktionen f wegen f 2 0;1 (E3 ) = 0.) Aufgabe 0.20.1. Im dreidimensionalen Euklidischen Raum existiert neben dem Gradienten (grad) und der Divergenz (div) auch der Vektordierentialoperator der Rotation (rot) siehe Abschn. 0.11. Drucke hiermit den LaplaceOperator auf Funktionen bzw. 1-Formen folgenderma en aus: 4 auf 0(E3 ) : 4 = div grad 4 auf 1(E3 ) : 4 = I (;rot rot + grad div) I ;1 : Allgemeine Formel fur die Koableitung. Der Dierentialoperator hat die folgende allgemeine Bedeutung. Sei U An ein n-dimensionales Gebiet mit Sternoperator ? : k (U ) ! n;k (U ). Wir denieren das Skalarprodukt zweier k-Formen !1 und !2 auf U durch (!1 j!2 )U =
Z
U
!1 ^ ?!2 :
Dieses Skalarprodukt ist symmetrisch, (!1 j!2 )U = (!2 j!1 )U , und in beiden Argumenten linear. (Unter Vorgabe einer Euklidischen Struktur auf U En ist es auch noch positiv denit, worauf es hier aber nicht ankommt.) Nun ist es bequem, den Raum der Dierentialformen vorubergehend dadurch einzuschranken, da ihr Verschwinden auf dem Rand @U verlangt wird. Fur eine k-Form und eine (k ; 1)-Form folgt dann durch partielle Integration
60
0. Mathematische Grundlagen
Z
;( jd)U = ; d ^ ? U
= (;1)k;1
Z
^d? =
Z ; (;1)k;1 ?;1 d ? ^ ?
U U wobei wegen @U = 0 = @U kein Randterm entstand. Wir denieren jetzt
den Operator als die Abbildung : k (U ) ! k;1 (U ) ! 7! ! = (;1)k;1 ?;1 d ? ! Die Motivation fur diese allgemeine Denition ist, da mit ihr die Relation ;( jd)U = ( j)U gilt, d.h. ist bzgl. des Skalarprodukts (mit der geforderten Randbedingung) zu ;d adjungiert. Aus d d = 0 folgt = 0. Im E3 , wo ? mit seinem Inversen ?;1 zusammenfallt, reduziert sich die allgemeine Denition von auf die anfangs gegebene. Denition 0.10. Der Laplace-Operator 4 : k (U ) ! k (U ) ist erklart durch 4=d+d : Aufgabe 0.20.2. Zeige die folgenden Eigenschaften des Laplace-Operators: (1) 4d = d4 (2) 4 = 4 (3) ? 4 = 4? (4) (!1 j4!2)U = (4!1j!2 )U + Randterme: Satz 0.4. Sei dx1 ::: dxn eine Basis von Koordinatendierentialen mit
(dxi dxj )p = gij
unabhangig von p. Dann gilt fur die Wirkung des Laplace-Operators auf eine k-Form ! mit Koordinatendarstellung X ! = !i1 :::ik dxi1 ^ ::: ^ dxik die Formel X 2 1:::lk l1 lk 4! = gij @@x!il@x j dx ^ : : : ^ dx :
Beweisskizze. Mit der Dualbasis der Vektorfelder ei = @i (p) sind uns P Projektoren i (i = 1 ::: n) auf den Vektoren durch i v = i j vj ej = vi ei gegeben. Hiermit denieren wir Operatoren di : k (U ) ! k+1 (U ) durch
(di !)p (v(0) ::: v(k) ) =
k X j =0
(;1)j (Dp !)(i v(j) ) (v(0) ::: v^(j) ::: v(k) ) :
0.20 Laplace-Operator
61
Diese Operatoren P antivertauschen miteinander (di dj = ;dj di), und ihre Summe ergibt i di = d (au ere Ableitung). Auf die k-Form ! mit der angegebenen Koordinatendarstellung wirken sie wie folgt: X@ i l1 lk di ! = ! i l1 :::lk dx ^ dx ^ ::: ^ dx : @x l1 :::lk
Der zu ;di (formal) adjungierte Operator i : k (U ) ! k;1 (U ) ist i = (;1)k;1 ?;1 di ? (i = 1 ::: n). AuchPdiese Operatoren antivertauschen (i j = ;j i ), und ihre Summe ergibt i i = . Ihre Wirkung in Koordinatendarstellung ist X@ ;1 i l1 lk i ! = ! i l1 :::lk I (dx ) (dx ^ ::: ^ dx ) @x l1 :::lk wie sich mit der Behauptung von Aufg. 0.7.5 P verizieren la t. Mit Hilfe der Formeln fur di und i und mit I ;1 (dxi ) = j gij @j zeigt man ohne Muhe X X 2 1:::lk l1 lk (i dj + dj i )! = gij @@x!il@x j dx ^ ::: ^ dx : ij
Andererseits gilt X (i dj + dj i ) = d + d = 4 ij
womit die Behauptung des Satzes folgt.
62
0. Mathematische Grundlagen
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
1.1 Mathematischer Rahmen und Masystem Ziel dieses ersten Kapitels ist es, { im Stile Sommerfelds1 { das elektromagnetische Feld einzufuhren, die fundamentalen Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zu formulieren und Vorschriften anzugeben, wie sich die Feldgro en zumindest im Prinzip (d.h. per Gedankenexperiment) messen lassen. Dabei wird vieles notgedrungen unvollstandig bleiben. Einige Gleichungen werden wir ohne weitere Erlauterung einfach postulieren. Die Richtigkeit der Postulate folgt aus den Konsequenzen fur experimentell beobachtbare Gro en, die wir in den darauolgenden Kapiteln aus den Grundgleichungen ableiten. Den Kap. 1-?? liegt der dreidimensionale Euklidische Raum E3 als Modell fur den physikalischen Raum zugrunde. Der Zeit wird in diesen Kapiteln eine Sonderrolle zugewiesen, was die volle Schonheit und relativistische Kovarianz der elektromagnetischen Theorie zwar verschleiert, aber den didaktischen Vorteil eines intuitiveren und leichteren Zugangs fur den Studenten hat. Wir fassen kurz die wichtigsten Strukturen, Bezeichnungen und Rechenregeln zusammen, von denen wir dann im folgenden ausgiebig Gebrauch machen werden. Der Raum der Dierentialformen k-ten Grades (k = 0 1 2 3) auf E3 hei t k (E3 ). Hier sind auch die ungeraden Differentialformen zu erw ahnen. Auf dem Dierenzvektorraum von E3 ist ein Skalarprodukt h i erklart. Hierdurch wird ein kanonischer Isomorphismus I bestimmt, der Vektorfelder auf 1-Formen abbildet. h i induziert ein Skalarprodukt ( ) : k (E3 ) k (E3 ) ! 0 (E3 ). E3 wird in der konventionellen Weise durch die Rechte-Hand-Regel fur Tripel von Vektoren orientiert, was in Verbindung mit ( ) einen Sternoperator ? : k (E3 ) ! 3;k (E3 ) bestimmt. ? ist unter Euklidischen Bewegungen invariant. Die Wahl eines kartesischen Koordinatensystems (o e1 e2 e3) zeichnet drei Koordinatenformen dx = dx1 , dy = dx2 und dz = dx3 aus. ? wirkt auf sie { wie auch auf jede andere lokal orthonormale und rechtshandige Basis { in der folgenden Weise: ?dx = dy ^ dz , ?dy = dz ^ dx und ?dz = dx ^ dy. Da die Zeitvariable t in den Kap. 1-5 separat behandelt wird, meint "d\ hier immer die "raumliche\ 1
A. Sommerfeld, Elektrodynamik (Vorlesungen uber theoretische Physik, Band III), Dietrich'sche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden 1948
64
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Cartan-Ableitung. Die partielle Zeitableitung einer Dierentialform ! wird mit !_ = @!=@t bezeichnet.
Eine detaillierte Einf uhrung in die hier ben otigten mathematischen Grundlagen wird in Abschn. 0.1 bis 0.15 gegeben.
Zum Ma system. Fur die quantitative Buchfuhrung bei der Beschreibung rein mechanischer Vorgange reicht ein Ma system aus, das auf den fundamentalen Einheiten von Masse (Kilogramm), Lange (Meter) und Zeit (Sekunde) beruht. Mit der Erweiterung auf elektromagnetische Phanomene kommt als neue und unabhangige Qualitat physikalischer Korper ihre elektrische Ladung hinzu. Es ist unter Theoretikern beliebt, die Ladung zu \mechanisieren\ und sie in den Einheiten von Masse1=2 Lange3=2 Zeit;1 anzugeben. Dieser Praxis konnen wir uns nicht anschlie en. Wir folgen dem im Jahre 1948 von einer internationalen Kommission empfohlenen Standard ("SI-Ma system\), nach dem Ladungen in Einheiten von Coulomb gemessen werden. Die Ladungseinheit Coulomb wird im SI-Ma system aus der Stromeinheit Ampere = Coulomb/Sekunde als der grundlegenden elektromagnetischen Einheit abgeleitet.
1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung Die Erfahrung zeigt, da elektrische Ladungen in der mikroskopischen Welt von Atomen und subatomaren Teilchen stets als ganzzahlige Vielfache einer Elementarladung auftreten. So haben das Proton und das Elektron, die zwei Bausteine des Wasserstoatoms, eine dem Betrag nach gleiche und im Vorzeichen verschiedene Ladung von e = 1:602 10;19 Coulomb. Wir beschreiben diesen Sachverhalt mit der Aussage, die elektrische Ladung sei "quantisiert\.2 Die Quantisierung der Ladung macht das Bestimmen des Ladungszustandes zu einer im Prinzip sehr einfachen Aufgabe: um die gesamte Ladung Q(V ) in einem Gebiet V zu ermitteln, mussen wir lediglich die in V enthaltenen positiven und negativen Elementarladungen abzahlen, die Dierenz bilden und mit dem Ladungsquantum e multiplizieren. Nach dem gegenwartigen Stand unseres Wissens haben elementare Ladungstrager wie Elektronen oder Quarks keine raumliche Ausdehnung. Ein treues mathematisches Modell mu te demnach ein System von Ladungen als System strukturloser Punkte beschreiben { jedenfalls solange die Heisenbergsche Unscharferelation der Quantenmechanik au er acht gelassen werden kann. Fur das Thema dieser Vorlesung, namlich elektromagnetische Phanomene der makroskopischen Physik, ist die Punktformigkeit der Ladungen jedoch nicht wesentlich. Wir werden uber die diskrete und punktformige Natur 2 Quarks, die Konstituenten des Protons und anderer Hadronen, tragen 1=3 oder 2=3 der Elementarladung e. U brigens hangt die elektrische Ladung nach den Erkenntnissen der Quantenfeldtheorie als laufende Kopplungskonstante von der Beobachtungsskala ab. Fur die klassische Theorie, die es hier zu entwickeln gilt, hat diese Tatsache aber keine wesentlichen Konsequenzen.
1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung
65
der elektrischen Ladungen meist hinwegsehen und ihre raumliche Verteilung als kontinuierlich betrachten. Ladungsdichte. Wie modellieren wir nun eine kontinuierliche Ladungsverteilung auf mathematisch und physikalisch angemessene Art? Diese Frage fuhrt uns zur elektrischen Ladungsdichte, die wir mit dem Symbol bezeichnen. Sie wird durch die Forderung erklart, da ihr Integral uber ein Gebiet R V mit der in V enthaltenen Gesamtladung Q(V ) ubereinstimmt: Q(V ) = V . Der mathematische Formalismus sagt uns, da die naturlichen Kandidaten furs Integrieren unter den Dierentialformen zu suchen sind. Da die Gesamtladung durch Integration uber dreidimensionale Gebiete zu berechnen ist, konnte ein erster Vorschlag lauten, die Ladungsdichte als 3-Form zu modellieren. Dieser Vorschlag ist akzeptabel, solange wir nicht auf die Orientierung achten (oder Invarianz der Formulierung nur unter orientierungstreuen Transformationen verlangen). Bei sorgfaltigem Hinsehen fallt uns aber auf, da das Integral einer 3-Form die Eigenschaft hat, mit der Orientierung des Gebiets V das Vorzeichen zu wechseln, wogegen die in V enthaltene Gesamtladung von der Orientierung des Gebiets unabhangig ist { sie wird wie gesagt ganz einfach durch Abzahlen der Elementarladungen ermittelt. Um diese Diskrepanz zu beheben, modellieren wir die Ladungsdichte als ungerade 3-Form oder 3-Dichte. Das Integral der Ladungsdichte ist dann automatisch von der Orientierung des Gebiets unabhangig (und la t sich sogar fur nichtorientierbare Gebiete erklaren).3 (a)
(b) S V
Q(V) = ρ V
I(S) = j S
Abbildung 1.1. Zur denierenden Mevorschrift fur (a) die Ladungsdichte und (b) die Stromdichte j . Die positive Stromrichtung ist durch einen Normalenvektor der Flache S gegeben. 3
Traditionell meint man mit dem Begri "Ladungsdichte\ nicht die Dierentialform
an sich, sondern die ihr durch eine Basis von Koordinatenformen dx1 dx2 dx3 zugeordnete skalare Komponente 123 . Als koordinatenfrei denierte Groe ist fundamentaler und nutzlicher als 123 . Wir setzen uns deshalb uber die Tradition hinweg und ubertragen den Namen Ladungsdichte von 123 auf . Eine analoge Bemerkung gilt fur die elektrische Stromdichte j und ihre Komponenten j12 j23 j31 .
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1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Stromdichte. Die pro Zeiteinheit durch eine Flache S stromende Ladungsmenge hei t der Strom durch S und wird mit I (S ) bezeichnet. Zur quantitativen Beschreibung einer kontinuierlichen Stromverteilung bedient man sich der elektrischen Stromdichte j . Erklart wird sie durch die ForderungR der Gleichheit von I (S ) mit dem Integral von j fur beliebiges S : I (S ) = S j . Da das Integrationsgebiet S zweidimensional ist, ware es mathematisch am naturlichsten, j als Dierentialform zweiten Grades zu denieren. Eine solche Denition fuhrt aber wieder zu Widerspruchen, sobald orientierungsandernde Abbildungen zugelassen werden. Zum Beispiel andert der elektrische Strom unter Raumspiegelung seinen Richtungssinn, wahrend eine gewohnliche 2Form unter derselben Abbildung ihr Vorzeichen beibehalt. Wie schon bei der Ladungsdichte ist auch hier der physikalisch korrekte Ansatz, die Stromdichte als Dierentialform vom ungeraden Typus zu erklaren. Wir modellieren j also als ungerade 2-Form. Das anschauliche Bild fur j besteht dann aus Stromlinien, die mit einem Richtungssinn versehen sind (Abb. 1.1). Man beachte, da es zur Integration der ungeraden 2-Form j keines Orientierungssinnes der Flache S bedarf, sondern lediglich der Angabe einer positiven Stromrichtung (z.B. durch einen Normalenvektor). Koordinatendarstellung und physikalische Dimension. In Koordinatendarstellung schreiben wir = 123 dx1 ^ dx2 ^ dx3 und j = j12 dx1 ^ dx2 + j23 dx2 ^ dx3 + j31 dx3 ^ dx1 : Die Komponenten 123 und j12 j23 j31 sind Funktionen : Raum Zeit ! R. Sie haben die physikalische Dimension # 123 ] = Ladung/Volumen und #j12 ] = #j23 ] = #j31 ] = Strom/Flache. Da die Koordinaten-1-Formen dxi (i = 1 2 3) die Dimension einer Lange tragen, haben wir fur und j die "absoluten\ physikalischen Dimensionen
# ] = Ladung und #j ] = Strom : Da und j von der Wahl der Langeneinheit unabhangig sind, folgt unmittelbar aus ihrer Denition. Betrachten wir zum Beispiel die denierende GleiR chung Q(V ) = V . Die linke Seite wird (auf mikroskopischer Ebene) durch Abzahlen von Elementarladungen berechnet, die rechte Seite verwendet Einsetzen von Vektoren in alternierende Multilinearformen und Berechnung von Riemannschen Summen. Keine dieser Operationen erfordert Langen- oder Winkelmessung. ist also, wie wir sagen, metrikfrei erklart. Das gleiche gilt fur j . Kontinuitatsgleichung. Es ist eine Erfahrungstatsache, da elektrische Ladung nicht plotzlich aus dem Nichts auftaucht oder ins Nichts verschwindet. Zwar konnen in elementaren Prozessen Ni Teilchen in Nf andere Teilchen umgewandelt werden, aber dies geschieht immer so, da gleich viel positive wie negative Ladung erzeugt oder vernichtet wird. Wir sagen daher, Ladung
1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen γ e+ eγ
Abbildung 1.2. In der Quantenelektrodynamik konnen Paare von Elektronen (e; ) und Positronen (e+) aus einem Photon ( ) erzeugt werden oder sich unter Bildung eines Photons vernichten. Die elektrische Ladung bleibt dabei erhalten.
sei erhalten. Ihren mathematischen Ausdruck ndet diese Gesetzma igkeit in der sogenannten Kontinuitatsgleichung: Z Z @ Axiom 1 : @t + j = 0 : V @V Sie besagt in Worten, da die zeitliche A nderung der in einem Gebiet V enthaltenen Ladungsmenge mit einem dem Betrag nach gleichen und im Vorzeichen umgekehrten Stromu durch den Rand von V einhergehen mu . Wir konnen diesen Sachverhalt auch als dierentielles Gesetz formulieren. Der Stokessche Satz R gestattet uns, das Flachenintegral von j uber @V in das Volumenintegral V dj umzuformen. Da V beliebig ist, folgt _ + dj = 0 oder in Koordinatendarstellung 23 @j31 @j12 _123 + @j @x1 + @x2 + @x3 = 0 : Wir haben das Gesetz der Ladungserhaltung diesem Kapitel vorangestellt, weil es am Anfang der historischen Entwicklung der Elektrizitatslehre steht und, wie wir gleich sehen werden, die Form der inhomogenen MaxwellGleichungen festlegt. Aufgabe 1.2.1. Die lokale Stromungsgeschwindigkeit in einem einkomponentigen Plasma, z.B. einem Elektronengas, werde durch ein Vektorfeld v : Raum Zeit ! R3 beschrieben. Zeigen Sie, da in diesem Fall zwischen Ladungsdichte und Stromdichte j der Zusammenhang j = (v) besteht.
1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen Die elektrische Erregung. Als 3-Form hat die Ladungsdichte im dreidimensionalen Raum den maximalen Grad. Sie ist daher automatisch geschlossen (d = 0). Nach dem Poincareschen Lemma folgt dann sofort die Existenz eines Potentials auf jedem sternformigen Teilgebiet U des Raumes:
67
68
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
dD = : Dieses Potential D, eine 2-Form, nennen wir die elektrische Erregung, was zum Ausdruck bringt, da die Anwesenheit elektrischer Ladungen den umliegenden Raum in gewissem Sinne anregt. Da eine Dierentialform vom ungeraden Typ ist und die Cartan-Ableitung lediglich dierenziert und den Typ nicht andern kann, mu D wie ungerade sein. Wir erhalten ein zu dD = aquivalentes Gesetz, indem wir uber ein beliebiges Gebiet V integrieren und auf der linken Seite den Stokesschen Satz anwenden. Die resultierende Beziehung hei t das Gau sche Gesetz:
Z
@V
D=
Z
V
:
In Worten besagt es, da das Flachenintegral der elektrischen Erregung uber den Rand eines Gebietes V gleich der gesamten in V enthaltenen Ladung ist. Dieser Sachverhalt suggeriert die anschauliche Vorstellung von der elek-
Abbildung 1.3. Elektrische Flulinien einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung
trischen Erregung als einer elektrischen Flu dichte, d.h. der Stromdichte eines elektrischen Flusses, der aus elektrischen Ladungen herausquillt und von dort nach au en stromt. Wir sagen auch, Ladungen seien die Quellen des elektrischen Flusses. In Abb. 1.3 wird der elektrische Flu einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung durch sogenannte Flu linien bildlich dargestellt.4 Die physikalische Dimension von D ist5 4 5
Die prazise Formulierung des Flulinienbildes wird in Abschn. 1.6 gegeben. Eine Dimension Lange geht hier nicht ein. D ist ja metrikfrei erklart und folglich auch langenunabhangig.
1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
#D] = Ladung : P In Koordinatendarstellung D = i 0) benutzt wurde. Vergleich der rechten Seite mit der Koordinatendarstellung von liefert eine gewohnliche Dierentialgleichung 1. Ordnung fur f (r): 1 @ r2 f (r) = !(r)=" : 0 r2 @r Hieraus folgt durch einfache Quadratur das Ergebnis ZR f (R) = " 1R2 !(r)r2 dr : 0 0 Beispiel 2.1.1 (Kugelkondensator). Der Kugelkondensator ist eine konzentrische Anordnung zweier metallischer Kugelschalen mit entgegengesetztem Ladungszustand (Abb. 2.1). Sei Q die Ladung auf der inneren Kugelschale mit Radius R1 und ;Q die Ladung auf der R au eren mit Radius R2. Ausfuhren des Radialintegrals gibt in diesem Fall 01 !(r)r2 drR = const fur R1 < R < R2 , und Null sonst. Mit dx ^ dy ^ dz = dr ^ r2 und = 4 folgt const = Q=4 und
Q dr=r2 fur R1 < r < R2 E = 4" 0 sonst : 0
Die elektrische Spannung U des Kondensators ist deniert als das Wegintegral der elektrischen Feldstarke zwischen zwei Punkten a und b auf der inneren bzw. au eren Kugelschale. Der Wert dieses Integral hangt nur von den beiden Radien ab: Zb Q Z b dr = Q Z R2 dr = Q 1 ; 1 : U = E = 4" 4"0 R1 r2 4"0 R1 R2 0 a r2 a
104
2. ElektroMagnetostatik
R2
R1
Abbildung 2.1. Kugelkondensator im Querschnitt Unter der Kapazitat C eines Kondensators versteht man das Verhaltnis von Ladung Q zu Spannung U . Fur den Kugelkondensator resultiert C = Q=U = 4"0 R1 R2 =(R2 ; R1 ) : Aufgabe 2.1.2. (1) Berechne die im Zwischenraum enthaltene Feldenergie Wfeld . (2) Wie gro ist die Energie w(Q)Q, die man aufbringen mu , um die innitesimale Ladungsmenge Q von der inneren zur au eren Schale zu transportieren? Welche Energie Wkonf ist daher notig, um die Konguration aufzubauen? Vergleiche das Ergebnis mit Wfeld . (3) Wie andert sich die Kapazitat des Kugelkondensators, wenn der Zwischenraum von einem (nichtleitenden) Dielektrikum mit der dielektrischen Konstanten " > 1 ausgefullt wird?
2.1.2 Magnetostatik: Messung von 0 Aufgabe 2.1.3. Zylinderkoordinaten r ' z entstehen aus den kartesischen Koordinaten x y z dadurch, da man in der xy-Ebene zur Polardarstellung ubergeht: x = r cos ', y = r sin '. Zeige: (1) Die drei 1-Formen (dr d' dz ) bilden fur r 6= 0 eine rechtshandige Orthogonalbasis mit (dr dr) = 1 = (dz dz ) und (d' d') = 1=r2 . (2) Der Sternoperator wirkt wie folgt: ?(dz ^ dr) = rd', ?(dr ^ d') = r;1 dz und ?(d' ^ dz ) = r;1 dr. Magnetfeld eines unendlich langen, geraden, stromfuhrenden Drahtes. Gegeben sei in Zylinderkoordinaten r ' z die Stromdichte
2 fur r < R j = dr ^ rd' I=R 0 sonst : Sie beschreibt den homogenen Stromu eines unendlich langen, geraden und um die z -Achse zentrierten Drahtes mit kreisformiger Querschnittsache R2
2.1 Elementare Anwendungen
105
und Gesamtstrom I . 1 Wie sieht das Magnetfeld eines solchen Stromusses aus? Dazu machen wir den allgemeinsten zylindersymmetrischen Ansatz: B = f (r)dr ^ d' + g(r)d' ^ dz + h(r)dz ^ dr : (Sicherlich ist das Resultat fur B jedem Physik-Studenten aus dem Einfuhrungskurs langst bekannt, aber wir stellen uns hier \dumm" und wollen sehen, ob wir mit dem allgemeinen Ansatz zurechtkommen.) Die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke (dB = 0) erfordert g0 (r) = 0 und somit g(r) = g0 = const. Nun ist aber die 2-Form g0 d' ^ dz wegen der Unbestimmtheit der Winkel-1-Form d' auf der z -Achse r = 0 singular. (Regular ware rd' ^ dz mit einem zusatzlichem Faktor r.) Da es hier keinen Grund fur das Auftreten von Singularitaten in B gibt, folgt g0 = 0. Im nachsten Schritt ubersetzen wir die Feldstarke B mit der Materialgleichung in die Erregung H : 0 H = ?B = r;1 f (r)dz + rh(r)d' : Einsetzen dieses Ausdrucks in das Amp'eresche Gesetz liefert @ ;f (r)=rdr ^ dz + @ ;rh(r)dr ^ d' : 0 j = d(0 H ) = @r @r Durch Vergleich mit der vorgegebenen Stromdichte j folgen die Dierentialgleichungen @=@r (f (r)=r) = 0 und
1 @ rh(r) = 0 I=R2 fur r < R 0 sonst : r @r Die regularen Losungen dieser Gleichungen sind f (r) = f0 r bzw.
2 fur r < R h(r) = 20I r=R h0 =r sonst : Die Stetigkeit von H erfordert h0 = 1. Unbestimmt bleibt dagegen die Integrationskonstante f0 . Wie sollen wir das interpretieren? Hierzu ist zu bemerken, da B = f0 dr ^ rd' = f0 dx ^ dy eine Losung des homogenen Gleichungssystems d ?B = 0 = dB ist. Nun kann man zu einer Losung B von d ?B = 0 j und dB = 0 immer eine beliebige Losung des homogenen Systems hinzufugen und erhalt wieder eine Losung. Welche Losung die physikalisch richtige ist, wird erst durch die Angabe zusatzlicher Forderungen, oder Randbedingungen, festgelegt. (Diese Unterbestimmtheit bei fehlenden Randbedingungen ist eine generelle Eigenschaft linearer Dierentialgleichungen.) Wir suchen hier das Magnetfeld des stromfuhrenden Drahts und weiter nichts.2 Die fur unsere Zwecke richtige Losung wird also durch die Forderung B = 0 fur I = 0 bestimmt. Es folgt f0 = 0 und insgesamt 1
Vor dem Hintergrund der zu Anfang des Kapitels ausgesprochenen Warnung ist dieses Beispiel als schwach pathologisch einzustufen. Ein unendlich langer, gerader, stromfuhrender Draht akkumuliert Ladungen im Unendlichen. Dieses Problem lat sich dadurch umgehen, da man z = +1 mit z = ;1 identiziert. 2 Als Ursache des raumlich konstanten Magnetfeldes B = f0 dx ^ dy konnten wir uns eine kosmische Spule vorstellen, die den gesamten Raum umschliet.
106
2. ElektroMagnetostatik
2 fur r < R B = 20I dz ^ dr r=R 1=r sonst : Wie man an H = const d' (fur r > R) erkennt, fallt die magnetische Spannung langs der Koordinatenlinien des Winkels ' ab oder, anders ausgedruckt, der magnetische Flu zirkuliert um den Draht (Abb. 2.2).
B I
Abbildung
2.2. Magnetische Flulinien eines stromfuhrenden Drahtes Orientierung ist anzupassen
Festlegung von 0 . Wir kommentieren jetzt die Festlegung der empirischen Konstanten 0 im SI-Ma system. Dazu bringen wir in das eben berechnete Magnetfeld einen geraden Testdraht der Lange L. Der Testdraht sei praktisch ausdehnungslos und trage den Strom I 0 . Seine beiden Endpunkte seien mit p und p0 bezeichnet. Nach Aufg. ?? ist die Linearform der auf den Testdraht wirkenden Lorentz-Kraft K durch
K = I0
Z1 0
Bp+s(p0 ;p) ( p0 ; p)ds :
gegeben. Fur eine parallele Anordnung der Drahte (p0 ; p = Lez ) erhalten wir 0 II 0 L (dr) : K = I 0 Bp ( Lez ) = ; 2r (p) p Die Lorentz-Kraft zeigt fur II 0 > 0 radial nach innen, d.h. die beiden Drahte ziehen sich an, wenn die Strome in die gleiche Richtung ie en. Pro Lange L des Testdrahtes hat die Kraft im Abstand d = r(p) den Betrag 0 II 0 =2d. Im SI-Ma system trit man die willkurliche Festlegung 0 = 4 10;7Newton=(Ampere)2 . Hiermit folgt: Denition 2.1. 1 Ampere ist der Strom, den zwei unendlich lange, gerade, parallele Drahte tragen, wenn sie im Abstand von 1 Meter die Kraft 2 10;7 Newton pro Meter (ihrer Lange) aufeinander ausuben.
2.2 Poisson-Gleichung
107
Umgekehrt lie e sich die Naturkonstante 0 nach einer unabhangigen Festlegung der Stromeinheit durch die Messung der Kraft zwischen stromfuhrenden geraden Leitern nach obiger Formel bestimmen. Aufgabe 2.1.4. Gegeben sei die statische und quellenfreie Stromdichte j = f (x)dx ^ dy (mit irgendeiner Funktion f : R ! R). Um die RAkkumulation von Ladungen im Unendlichen zu vermeiden, verlangen wir R f (x)dx = 0 und f ( 1) = 0. Wie sieht das Magnetfeld dieser Stromdichte aus?
2.2 Poisson-Gleichung Das Gleichungssystem der Elektrostatik wie auch der Magnetostatik la t sich als Poisson-Problem auassen. Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist dieses Problem eindeutig und in geschlossener Form losbar.
2.2.1 Elektrostatik Elektrostatisches Potential. Als unmittelbare Konsequenz der Wirbelfreiheit der elektrischen Feldstarke (dE = 0) ist in der Elektrostatik das Linienintegral von E langs eines beliebigen geschlossenen Weges = @S gleich Null:
Z
E=
Z
@S
E=
Z
S
dE = 0 :
Wir sagen auch, da die elektrostatische Ringspannung langs jeder Schleife = @S verschwindet. Betrachte nun zwei Wege 1 und 2 , die den Anfangsund Endpunkt a bzw. b gemein haben. Die Dierenz der Wege ist dann eine Schleife, 1 ; 2 = @S , und 0=
Z
@S
E=
Z
1 ; 2
E ()
Z
1
E=
Z
2
E:
Eine zum Verschwinden der Ringspannung aquivalente Aussage ist also, da R die Spannung E nur vom Rand @ = b ; a abhangt, nicht aberR vom Weg selbst. Es existiert daher eine Funktion mit der Eigenschaft E = (a) ; (b) fur jede Kurve : #0 1] ! E3 mit (0) = a und (1) = b. Diese Funktion ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt und hei t ein elektrostatisches Potential. Der dierentielle Zusammenhang zwischen E und lautet E = ;d. Potential einer Punktladung. In Abschn. 2.1.1 hatten wir das elektrische Feld eines um den Koordinatenursprung o zentrierten Kugelkondensators mit Ladung q und Radien R1 und R2 berechnet. Fur die Feldstarke im Zwischenraum R1 < r < R2 ergab sich E = (q=4"0)dr=r2 . Wir schicken jetzt R2 ! 1 und R1 ! 0. Was wir dann erhalten, ist das Feld einer Punktladung q am Ort o (mit einer neutralisierenden Ladung ;q im Unendlichen).
108
2. ElektroMagnetostatik
Bendet sich die Ladung am Ort p, so ist die auf den Ursprung bezogene Abstandsfunktion r durch den Abstand von p, rp (p0 ) = d(p p0 ) = jp ; p0 j, zu ersetzen: 1 q d r q p E = 4" r2 = ; 4" d r : 0 p
0
p
Durch Integration des Dierentials entsteht die Potentialdierenz zwischen zwei Punkten, 1 1 q ; : (a) ; (b) = 4" 0 rp (a) rp (b) Hieraus erhalten wir mit der Konvention (1) = 0 die Formel = 4"q r : 0 p
Das elektrostatische Potential einer am Ort p ruhenden Punktladung ist also invers proportional zum Abstand von p. Die Gro en und E = ;d sind wohldeniert auf E3 n fpg. Poisson-Gleichung. Durch Einsetzen von D = "0 ?E = ;"0 ? d in das Gau sche Gesetz (dD = ) erhalten wir die Gleichung = ;"0 d ? d. Anwenden des Sternoperators auf beiden Seiten ergibt ?d ? d = ; ? ="0 : Mit dem Operator : k+1 (E3 ) ! k (E3 ), 7! (;1)k ?;1 d ? la t sich die linke Seite auch in der kurzeren Form d schreiben. Die Verkettung d ist eine Halfte des Laplace-Operators 4 = d + d . Die andere Halfte durfen wir wegen = 0 ( verschwindet auf den Funktionen) erganzen. Es folgt 4 = ; ? ="0 : Die Gleichung 4f = g fur eine unbekannte und eine bekannte Funktion f bzw. g hei t Poisson-Gleichung. Wir sehen, da das elektrostatische Potential einer Poisson-Gleichung genugt. Im ladungsfreien Raum ( = 0) erfullt die Laplace-Gleichung 4 = 0. Losung der Poisson-Gleichung. Mit der uns schon bekannten Formel fur das Potential einer Punktladung konnen wir die Losung der Poisson-Gleichung sofort angeben. Fur eine Anordnung von N Ladungen qi an den Orten pi entsteht durch lineare Superposition N 1 X qi : (p) = 4" 0 i=1 jp ; pi j Im Limes einer kontinuierlichen Ladungsdichte wird die Summe zu einem Integral, 1 Z (p) = 4" 0 U rp
2.2 Poisson-Gleichung
109
wobei wir voraussetzen, da alle Ladungen in einem beschrankten Raumgebiet U E3 enthalten sind. Fur eine vorgegebene Ladungsdichte ist das elektrostatische Problem hierdurch auf die Auswertung von Integralen zuruckgefuhrt und kann als im Prinzip gelost betrachtet werden. Damit ist das Thema der Elektrostatik aber mitnichten erschopft, denn die Ladungsdichte ist in vielen Fallen a priori unbekannt und mu erst berechnet werden. Beispiel 2.2.1. Die Voraussetzung der Beschranktheit von U garantiert die Existenz des Integrals. Sie la t sich abschwachen, aber nicht vollig eliminieren, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt. Betrachte einen unendlich langen, geraden, metallischen Draht mit Ladung q pro Lange `. Der Draht liege auf der z -Achse. Ohne Muhe la t sich verizieren, da die Funktion q ln R=px2 + y2 = 2`" 0
mit einer beliebigen Konstanten R > 0 ein Potential fur dieses Problem ist. Andererseits fuhrt die Anwendung der Losungsformel fur die PoissonGleichung hier auf ein divergentes Integral: Z ? q (p) = 4`" p 2 dz 2 =1: 0 R x (p) + y (p) + z 2 (Der gewunschte Ausdruck fur la t sich wiedergewinnen, indem man das z -Integral bei z = R=2 mit R2 x2 (p) + y2 (p) abschneidet.)
2.2.2 Magnetostatik Vektorpotential. Auf einem sternformigen Gebiet U E3 ist die Bedingung dB = 0 durch B = dA global losbar. Die 1-Form A hei t ein Vektorpotential von B . Sie ist nicht eindeutig bestimmt, denn mit A lost auch A + d (mit einer beliebigen Funktion ) die Gleichung B = dA. Die Transformation A 7! A + d hei t Eichtransformation. Mitteilung. So wie wir das Vektorpotential eingefuhrt haben, bekommt man den Eindruck, es handle sich um ktive Hilfsgro e ohne direkte Beobachtbarkeit oder Realitat. Obwohl sich einer solchen Auassung im Rahmen der klassischen Elektrodynamik nicht ernsthaft widersprechen la t, wird man in der Quantenmechanik geladener Teilchen (z.B. durch den Aharonov-BohmEekt) eines anderen belehrt. Eine Andeutung von dieser tieferen Bedeutung gibt die Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik (Kap. ??), die auf dem Vektorpotential (oder genauer: seiner relativistischen Erweiterung, dem Eichpotential) als dem fundamentalen Feld beruht. Coulomb-Eichung. Wir setzen 0 H = ?B = ?dA in das Amp'eresche Gesetz dH = j ein und wenden auf beiden Seiten den Sternoperator an. Dann folgt: ?d ? dA = 0 ? j :
110
2. ElektroMagnetostatik
Die linke Seite ist gleich ;dA. Wahlen wir A nun so, da A verschwindet, dann haben wir ;dA = ;(d + d)A = ;4A und es folgt eine Gleichung vom Poisson-Typ fur A: 4A = ;0 ? j (falls A = 0) : Die Nutzlichkeit des Vektorpotentials besteht also darin, da es uns die Reduktion des magnetostatischen Problems auf ein Poisson-artiges Problem ermoglicht. Die Bedingung A = 0 hei t Coulomb-Eichung. In kartesischen Koordinaten (A = Ax dx + Ay dy + Az dz ) lautet sie @Ax + @Ay + @Az = 0 : @x @y @z Die Coulomb-Eichung la t sich immer erfullen. In der Tat konnen wir fur A = f 6= 0 das Dierential einer Losung der Poisson-Gleichung ;4 = f zu A addieren, und es gilt dann (A + d) = A + 4 = f ; f = 0 d.h. das eichtransformierte Vektorpotential A0 = A+d genugt der CoulombEichung. P Losung der Poisson-Gleichung. Wir schreiben ?j = k (?j )k dxk . Mit der (nur in kartesischen Koordinaten gultigen!) Relation
4
X
!
X Ai dxi = (4Ai) dxi i i
folgt dann
@2 @2 @2 4Ak = @x 2 + @y 2 + @z 2 Ak = ;0 (?j )k
(k = x y z ) :
Dies sind drei entkoppelte Poisson-Gleichungen fur die kartesischen Komponenten von A. Ihre Losung ist uns aus der Elektrostatik bereits bekannt: Z Ak (p) = 40 (?jr )k dx ^ dy ^ dz (k = x y z ) : U p U ist hier ein beschranktes Gebiet, au erhalb dessen die Stromdichte verschwindet. Vektorpotential einer Stromschleife. Die Rechnung im folgenden Beispiel
ist noch unn otig umst andlich. Besser w are es, bereits hier die Relation die f ur eine Schleife mit Strom g ultige Relation
0 Z
Ak (p) = 4
U
I Z j ^ dxk = 0 I dxk rp
4 rp
zu beweisen und zu ben utzen. (Diese Art von Relation wird im vorliegenden Manuskript bei der Berechnung des magnetischen Dipolmoments einer stromf uhrenden Schleife ausf uhrlich hergeleitet.)
2.2 Poisson-Gleichung
111
Beispiel 2.2.2. In der xy-Ebene liege eine kreisformige Leiterschleife mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung (Abb. 2.3). Es ie e der Strom I . Zu berechnen sei das Vektorpotential A in der Coulomb-Eichung A = 0. Aufgrund der Invarianz des Problems unter Drehungen um die z p
z
y R
x I
Abbildung 2.3. Skizze zu Bsp. 2.2.2
Achse bietet sich die Einfuhrung von Zylinderkoordinaten r ' z an. Leider gilt die Poisson-Gleichung nur fur die kartesischen Komponenten von A, weshalb wir kartesisch beginnen mussen. Der Strom ie t langs des Kreises C := fpjx2 (p) + y2 (p) = R2 z (p) = 0g. Da die Stromdichte linienformig ist, konnen wir das Volumenintegral fur Ax Ay Az zu einem Linienintegral langs C reduzieren. Die zu integrierende 1-Form bekommen wir dadurch, da wir die Zylinderkoordinaten z und r \ausintegrieren", d.h. das innere Produkt von rp;1 (?j )k dx ^ dy ^ dz mit den Vektorfeldern @z und @r bilden (wobei der Strom I aufgesammelt wird) und das Resultat auf C einschranken. Fur die y-Komponente erhalten wir (?j )y dx ^ dy ^ dz @r ;! @z I cos ' rd'C rp und somit (rC = R, 'C =: ): Z 2 cos d 0 Ay (p) = 4 IR h i1=2 : 0 (x(p) ; R cos )2 + (y(p) ; R sin )2 + z 2 (p) Fur die x-Komponente gilt eine analoge Gleichung, die durch die Substitution cos d ! ; sin d entsteht. Die z -Komponente Az verschwindet wegen (?j )z = jxy = 0. An dieser Stelle ist der Wechsel zu Zylinderkoordinaten (A = Ar dr + A' d') gefahrlos moglich. Die Radialkomponente Ar = Ax cos ' + Ay sin ' ergibt sich letztendlich zu Null, was seinen Grund in ?j d' hat. Fur die Winkelkomponente A' = ;Ax r sin ' + Ay r cos ' folgt nach einer Variablensubstitution ( + ' ! ) Z 2 cos d : A' = 40 IRr 0 (r2 + z 2 ; 2Rr cos + R2 )1=2
112
2. ElektroMagnetostatik
Dies ist ein sogenanntes elliptisches Integral es la t sich nicht durch elementare Funktionen ausdrucken, ndet sich aber in mathematischen Formelsammlungen tabelliert. Um hier noch weiterzukommen, spezialisieren wir zur Fernzone r2 + z 2 R2. In diesem Grenzfall durfen wir die Quadratwurzel im Nenner des Integranden Taylor-entwickeln, Rr cos 2 2 2 ; 1 = 2 2 2 ; 1 = 2 (r + z ; 2Rr cos + R ) = (r + z ) 1 + r2 + z 2 + ::: und Ausfuhren des Integrals resultiert in A = 40 IR2 (r2 + z 2);3=2 r2 d' + : : : : Einmal Dierenzieren gibt die magnetische Feldstarke ; B = dA = 40 IR2 (r2 + z 2);5=2 (2z 2 ; r2 )dr ; 3rz dz ^ rd' + : : : : B
I
Abbildung 2.4. Magnetische Flulinien einer stromfuhrenden Leiterschleife
In dieses Fernfeld bringen wir jetzt eine zweite kreisformige Leiterschleife mit Radius R0 und Strom I 0 . Wir interessieren uns fur die Kraft, die die beiden Schleifen aufeinander ausuben, wenn die zweite Schleife wie die erste zur xy-Ebene parallel liegt und um die z -Achse zentriert ist. Nach Aufg. ?? ist die z -Komponente der Lorentz-Kraft auf das innitesimale Stuck der zweiten Schleife am Ort p (r(p) = R0 ) mit Tangentenvektor @' (p) bleich Kz (p) = I 0 Bp (ez @'(p)) : Durch Auntegrieren der Beitrage erhalten wir fur die Gesamtkraft 0 2 0 02 dz Kz dz = ; 3 2 IR I R z 4 + ::: : Die anderen Kraftkomponenten mussen in diesem Spezialfall aus Symmetriegrunden verschwinden. Wir sehen, da die Kraft zwischen den Schleifen fur den Fall gleicher Stromrichtung (II 0 > 0) attraktiv ist und dem Betrag nach wie die vierte Potenz des inversen Abstands abfallt. Aufgabe 2.2.1. Wie hangt die Kraft vom Abstand ab, wenn die beiden Schleifen in der gleichen Ebene liegen?
2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)
113
2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist das Problem der ElektroMagnetostatik durch die Losung der Poisson-Gleichung auf Integrationen zuruckgefuhrt. Die exakte Berechnung der Integrale kann mitunter aufwendig sein. In der Praxis ist man jedoch oft nur am Verhalten der Losung fern von den Quellen interessiert. Wie wir schon gesehen haben, ergeben sich in diesem Grenzfall Vereinfachungen. Die Systematisierung der in Bsp. 2.2.2 verwendeten Naherung fuhrt auf eine Entwicklung nach Multipolen. Notation. Um die Notation abzukurzen, bedienen wir uns hier der im RicciKalkul ublichen Einsteinschen Summenkonvention, nach der uber jeden doppelt auftretenden, einmal hoch- und einmal tiefgestellten Index automatisch zu summieren ist. Im folgenden schreiben wir also xi xi anstelle von x2 + y2 + z 2.3
2.3.1 Elektrostatik Wir betrachten eine Anordnung von Ladungen, die in einem endlichen Raumbereich U E3 enthalten sind. Ohne Verlust an Allgemeinheit wahlen wir diesen Bereich als eine Kugel mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung, U = BR . Wir fragen jetzt, wie das elektrostatische Potential einer solchen Ladungsverteilung \in der Ferne aussieht". Dazu ist unser Ausgangspunkt die Formel 1 Z : (p) = 4" 0 BR rp Die auf den Punkt p bezogene Abstandsfunktion rp hat in kartesischen Koordinaten den Ausdruck q; ; rp () = d( p) = xi () ; xi (p) xi () ; xi (p) p = r2 () ; 2xi ()xi (p) + r2 (p) p wobei r = xi xi der Abstand vom Koordinatenursprung ist. Per Voraussetzung gilt2 R r(p), und mit der Taylor-Entwicklung (1 + x);1=2 = 1 ; x2 + 3x8 + O(x3 ) haben wir
2 i rp ();1 = r(p);1 1 + r () ; 22xi ()x (p)
;1=2
r (p) = r(1p) + r3 (p) xi () + 2 r5 (p) 3xi ()xj () ; ij r2 () + : : : : xi (p)
3
1 xi (p)xj (p) ;
Auf den tieferen Sinn der Tief- und Hochstellung von Indizes, namlich der Unterscheidung zwischen \kontravarianten" und \kovarianten" Tensoren, wie es in der alten Diktion heit, wird hier nicht eingegangen.
114
2. ElektroMagnetostatik
Wir setzen diese Entwicklung in die Formel fur (p) ein und fuhren die Integration aus. Dann resultiert 1 q(0) 1 + q(1) xi + 1 q(2) xi xj + : : : = 4" r i r3 2 ij r5 0 wobei die folgenden Gro en eingefuhrt wurden: Monopolmoment: Quadrupolmoment:
q(0) =
Z
q(1) =
Dipolmoment: i
Z; qij(2) = 3xi xj ; ij r2 :
Z
xi
Das Integral erstreckt sich in jedem Fall uber den endlichen, ladungserfullten Raumbereich U = BR . Beim Monopolmoment handelt es sich um nichts anderes als die Gesamtladung der Anordnung, und das zugehorige Potential fallt wie r;1 ab. Fur das Dipolmoment geht der Abfall wie r;2 , fur das Quadrupolmoment wie r;3 . Die angegebenen Terme sind die ersten drei in einer unendlichen Reihe, der sogenannten Multipol-Entwicklung. Das Potential des Multipolmoments l-ter Ordnung, q(l) , fallt ab wie r;l;1 . Aufgabe 2.3.1. Berechnung der Multipolmomente einiger einfacher Ladungsverteilungen... Aufgabe 2.3.2. Kraft zwischen elektrischen Dipolen...
2.3.2 Magnetostatik Auch hier gehen wir von der Losung der Poisson-Gleichung aus, Z Ak (p) = 40 (?jr )k dx ^ dy ^ dz : U p Fur den Zweck einer Multipol-Entwicklung ist es gunstig, den Integranden etwas umzuschreiben. Wir setzen = dx ^ dy ^ dz und machen folgende kleine Rechnung: (?j )k = (@k ? j ) ^ = (@k ) ^ ?j = j ^ ?(@k ) = j ^ dxk : Diese Rechnung geh ort nach oben (Poisson-Gleichung: Magnetostatik), und man sollte gleich mit der folgenden Gleichung beginnen: Hier-
mit wird die Formel fur das Vektorpotential zu Z j ^ dxk 0 Ak (p) = 4 : BR rp Jetzt spezialisieren wir wieder zur Fernzone, indem wir die Taylor-Entwicklung fur rp;1 einsetzen: Z 1 xl(p) Ak (p) = 40 + x ( ) + : : : j ^ dxk : l BR r(p) r3 (p)
2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)
115
Wegen der Stromerhaltung (dj = 0) gilt R j ^ dxder= magnetostatischen R dj ^ x = 0, so Bedingung ; da der Monopolterm hier verschwindet. Der k k nachste Term in der Entwicklung ist k l A = 40 mkl x rd3x + : : : : Hierbei bezeichnet m einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe,
Z
mkl := j ^ xk dxl = ;mlk der das magnetische Dipolmoment genannt wird. (Die Antisymmetrie folgt durch partielle Integration.) Wir sehen, da das Vektorpotential eines magnetischen Dipols wie das Quadrat des inversen Abstandes abfallt (vgl. das Potential eines elektrischen Dipols, Abschn. 2.3.1). Aufgabe 2.3.3. Gehe analog zum elektrischen Fall vor und treibe die Entwicklung bis zum magnetischen Quadrupolmoment. Aufgabe 2.3.4. Wie vergleichen sich die Felder des elektrischen und magnetischen Dipols? Sind sie identisch?
Beispiel 2.3.1. Gegeben sei eine Leiterschleife beliebiger Form mit Strom I (Abb. 2.5 illustriert den Fall, da in der xy-Ebene liegt). Was la t sich uber das magnetische Dipolmoment einer solchen Schleife sagen? (Die folgende
Rechnung wird durch die im Abschnitt uber die Poisson-Gleichung getroffene Vorbereitung redundant. Wir ben utzen sofort:)
Z
BR
j ^ xdy = I
Z
xdy :
R
Betrachte dazu speziell die xy-Komponente mxy = j ^ xdy. Wir behaupten, da fur den vorliegenden Fall einer linienformigen Stromdichte gilt
mxy =
Z
BR
j ^ xdy = I
Z
xdy :
Beim Beweis machen wir uns die Tatsache zunutze, da die Integration von Dierentialformen metrikfrei erklart ist. Wir fuhren krummlinige Koordinaten , und # mit Dierentialen d , d und d# ein und bezeichnen die Dualbasis der Vektorfelder wie ublich mit @ , @ und @ . Die Koordinaten wahlen wir so, da eine Koordinatenlinie von ist: = fp 2 E3 j (p) = 0 # (p) = #0 g : Fur einen Punkt a 2 setze u = @ (p), v = @ (p), w = @ (p) und betrachte das Parallelepiped mit Basispunkt p = a ; (u + w)=2 und Kantenvektoren u, v, w (vgl. R Abb. 2.5). Der Beitrag von diesem Parallelepiped zum Volumenintegral j ^ xdy ist
116
2. ElektroMagnetostatik
εu a
εv
y
p
x γ
Abbildung 2.5. Ein Teil der in der xy-Ebene liegenden Leiterschleife wird von dem Parallelepiped mit Basispunkt p und Kantenvektoren u, v, w uberdeckt.
Z Z 0
0
(j ^ xdy)p+su+tw (u v w)dt ds + O(2 )
= (xdy)a (v)
Z Z 0
0
jp+su+tw (w u)dt ds + O(2 )
= (xdy)a (v) I + O(2 ) : R Da die rechte Seite der entsprechende Beitrag zum Linienintegral I xdy ist, folgt die Behauptung. Dieses Resultat la t sich auf einfache Weise geometrisch deuten. Sei xy die orthogonal Projektion von auf die xy-Ebene. Der Einfachheit halber nehmen wir an, da diese Projektion auf bijektiv ist und durch = ;1 (xy ) umgekehrt werden kann. Die 1-Form xdy bleibt unter dem Zuruckholen mittels ;1 ungeandert, so da mit xy = @S (S liegt nat urlich in der xy -Ebene) und dem Satz von Stokes folgt
mxy =I =
Z
;1 ( xy )
xdy =
Z
xy
xdy =
Z
S
dx ^ dy = Flache(S ) :
Die xy-Komponente des magnetischen Dipolmoments der Schleife ist also gleich dem Strom I mal der von der Projektion von auf die xy-Ebene (im orientierten Sinn) eingeschlossenen Flache. Eine analoge Aussage gilt fur die yz - und zx-Komponenten. Zum Schlu betrachten wir noch den Spezialfall einer kreisformigen Leiterschleife mit Radius R in der xy-Ebene. Mit mxy = IR2 und myz = mzx = 0 erhalten wir i j 2 x dy ; y dx A = 40 mij x rd3x = 0 IR 4 (x2 + y2 + z 2)3=2 : Nach U bergang zu Zylinderkoordinaten stimmt dieser Ausdruck mit dem fuhrenden Term des Resultats von Bsp. 2.2.2 uberein.
2.4 Randwertaufgaben
117
2.4 Randwertaufgaben 2.4.1 Die Greenschen Identit aten In der theoretischen Physik im allgemeinen, insbesondere aber fur die ElektroMagnetostatik, sind zwei nach Green benannte Identitaten von gro em Nutzen. Sie beruhen auf der folgenden Konstruktion. Gegeben sei ein beschranktes Gebiet U . Fur jedes Paar von 1-Formen und denieren wir das reellwertige Produkt (j )U :=
Z
U
^ ? :
Dieses Produkt ist in beiden Argumenten linear und wegen ^ ? = ^ ? symmetrisch. Au erdem P ist es positiv P denit, wie man an der Koordinatendarstellung ( = i i dxi , = i i dxi ) (j )U =
Z X 3 (
U i=1
i i )dx ^ dy ^ dz
sofort sieht. Es hat also die Eigenschaften eines Skalarproduktes. Nun setzen wir speziell = df und = dg, wobei f und g zwei Funktionen auf U sind, und wenden die Produktregel fur d an: df ^ ?dg = d(f ^ ?dg) ; f d ? dg : Der zweite Term auf der rechten Seite la t sich auch in der Form ;f ? 4g schreiben. Durch Integration uber U und Anwenden des Stokesschen Satzes im ersten Term auf Z der rechtenZ Seite entsteht (df j dg)U = f ? dg ; f ? 4g (1. Greensche Identitat): @U
U
Nun tauschen wir in der 1. Greenschen Identitat f und g aus, subtrahieren die Gleichungen und verwenden die Symmetrie ( df j dg)U = ( dgj df )U . Dann resultiert: Z Z (f ? dg ; g ? df ) = (f ? 4g ; g ? 4f ) (2. Greensche Identitat): @U
U
Wir sehen, da in die Formulierung der Greenschen Identitaten die metrische Struktur des Euklidischen Raumes in wesentlicher Weise eingeht.
2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem Fur vorgegebene Ladungsdichte wird das elektrostatische Problem durch R die Losung der Poisson-Gleichung (p) = (4"0 );1 =rp auf die Berechnung von Integralen zuruckgefuhrt. In Anwesenheit metallischer Leiter ist die Ladungsdichte jedoch keine Gro e, die wir als gegeben ansehen konnen. Sie stellt sich im Gleichgewicht genau so ein, da das elektrische Feld im Innern
118
2. ElektroMagnetostatik
U U U1 U2
Abbildung 2.6. Eine typische Konstellation fur das Randwertproblem des Leiters verschwindet. Die Problemstellung besteht in einem solchen Fall u.a. darin, die auf der Oberache des Leiters induzierte Flachenladungsdichte zu berechnen. Betrachte zum Beispiel Abb. 2.6. Gezeigt ist dort ein Gebiet U , das von der Oberache @U eines metallischen Leiters berandet wird. In U benden sich Bereiche U1 und U2 (z.B. elektrisch geladene Isolatoren) mit vorgegebener Ladungsdichte = (1) + (2) . Der Leiter sei \geerdet", d.h. er habe eine leitende Verbindung nach Unendlich, so da @U = (1) = 0. Das Problem besteht nun darin, so zu bestimmen, da die Poisson-Gleichung ;4 = ? ="0 erfullt ist und gleichzeitig auf dem Rand von U verschwindet. Denition. Die Aufgabe: \Lose fur vorgegebene Ladungsdichte die PoissonGleichung ;4 = ? ="0 auf U n @U zur Randbedingung @U = 0" hei t Poisson-Problem. Von Interesse ist auch der Fall, da die Ladungsdichte auf dem Inneren von U verschwindet und der Rand @U (der auch aus mehreren Teilen bestehen kann) auf einem festen Potential gehalten wird. Denition. Die Aufgabe: \Lose 4 = 0 auf U n @U zu vorgegebenem Randpotential @U " hei t Dirichlet-Problem. Die allgemeinste Randwertaufgabe besteht in der Losung der Poisson-Gleichung unter Vorgabe der Ladungsdichte auf dem Inneren von U und des Potentials auf dem Rand von U . Wegen der Linearitat der Poisson-Gleichung zerfallt die allgemeine Aufgabe in ein Poisson-Problem und ein DirichletProblem. Unter schwachen Voraussetzungen an U la t sich zeigen, da Poisson- und Dirichlet-Problem eindeutig losbar sind. Die Losungstheorie beruht auf dem Konzept der Greenschen Funktion.
Beachte die Komplementarit at von Poisson- und Dirichlet-Problem: im ersten wird die Ladungsdichte im Inneren von vorgegeben und
U
2.4 Randwertaufgaben
119
das Potential auf dem Rand gleich Null gesetzt, im zweiten dagegen wird die Ladungsdichte im Inneren gleich Null gesetzt und das Potential auf dem Rand vorgegeben.
Denition. Sei U ein beschranktes Gebiet.
Besser w are es, schon hier und nicht erst sp ater mit der Dirac- -Distribution zu arbeiten. Die
Greensche Funktion zu U ist eine Abbildung: U U ! R, (a b) 7! G(a b) mit den Eigenschaften (1) G(a b) ; (4ja ; bj);1 ist regular fur a = b (2) (4G)( b) = 0 auf U n (@U fbg) (3) G( b)@U = 0 : In Worten: G(a b) ist (abgesehen von einem Faktor "0 ) das elektrostatische Potential im Punkt a, das eine im Punkt b ruhende Einheitsladung verursacht, wenn der Rand @U geerdet ist. Mitteilung. Die Beschranktheit von U wird verlangt, um mathematische Pathologien auszuschlie en. Gewohnlich existiert G (und ist eindeutig) auch fur unbeschranktes U . In diesem Fall wird man verlangen, da G im Unendlichen verschwindet. Zum Beispiel ist die Greensche Funktion zu U = E3 gleich G(a b) = 4ja1; bj : Eindeutigkeit der Greenschen Funktion. Die Bedingungen (1{3) legen G(a b) eindeutig fest. Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, es gabe zwei Greensche Funktionen G1 und G2 und betrachten fur einen fest gewahlten Punkt p 2 U n @U die Dierenz g := G1 ( p) ; G2 ( p). Diese Funktion ist aufgrund von (1) im Punkt p regular. Nach (2) und (3) gilt 4g = 0 auf U n @U und g@U = 0. Hiermit liefert die erste Greensche Identitat
(dgjdg)U =
Z
U
dg ^ ?dg =
Z
@U
g ? dg ;
Z
U
g ? 4g = 0 ; 0 = 0
und die positive Denitheit des Skalarprodukts (dgjdg)U 0 erzwingt g 0. Losung des Poisson-Problems. Per Denition der Greenschen Funktion ist das Potential (a) einer am Ort b ruhenden Ladung q gleich G(a b)q="0 . Durch U bergang zum Integral erhalten wir trivialerweise
(p) =
Z
U
G(p ) ="0 :
Losung des Dirichlet-Problems.
Die folgende Rechnung ist durch Verwenden der Dirac- -Distribution abzuk urzen. Unser Vorgehen ist hier ganz a hn-
lich wie in Bsp. 2.6.1. Es sei B (p) wieder der Ball mit Mittelpunkt p 2 U n @U und Radius . Wir wenden die zweite Greensche Identitat mit f = und g = G( p) auf das Gebiet U n B (p) an. Da dort 4G( p) = 0 = 4 gilt, folgt:
120
Z
2. ElektroMagnetostatik
@B (p)
(G( p) ? d ; ? dG( p)) =
Z @U
(G( p) ? d ; ? dG( p)) :
Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet infolge der Randbedingung G( p)@U = 0. Auf der linken Seite erhalten wir (vgl. Bsp. 2.6.1) lim !0
Z
B (p)
(G( p) ? d ; ? dG( p)) = (p) :
Folglich wird das Dirichlet-Problem durch
(p) = ;
Z
@U
? dG( p)
gelost. Dieses Resultat druckt im Inneren von U durch seine Werte auf dem Rand @U aus. Symmetrie der Greenschen Funktion. Fur zwei Punkte a b 2 U n @U betrachten wir das Gebiet U n (@U B(a) B (b)) und setzen in der zweiten Greenschen Identitat f = G( a) und g = G( b). Eine analoge Rechnung wie oben fuhrt dann auf die Symmetrierelation G(a b) = G(b a) : Auch hier hilft die Dirac- -Distribution. Poisson-Kern. Die in der Losung des Dirichlet-Problems auftretende 2-Form ; ? dG( p)@U (p fest, anderes Argument variabel) hei t Poisson-Kern. Sie hat die folgende physikalische Interpretation. Wir bringen eine Ladung q an den Ort p und erden den Rand @U . Dann ist das elektrostatische Potential durch = G( p)q="0 gegeben, und es gilt D = "0 ? E = ;"0 ? d = ;q ? dG( p) : Die Verdrangung des elektrischen Feldes aus dem Metall wird durch Oberachenladungen auf mit Flachendichte-2-Form auf @U bewirkt. Die Anschlu bedingung fur die Tangentialkomponente von D auf @U lautet = ;D = q ? dG( p) : @U
@U Wir konnen also ?dG( p) @U als die durch eine Einheitsladung am Ort p auf
der metallischen Oberache @U induzierte Flachenladungsdichte auassen. (wobei @U durch die nach auen zeigende Normale orientiert wird. Bildladungsmethode. Hier ware kurz das Prinzip der Bildladungsmethode
zu erl autern. F ur den Halbraum kommt man mit einer einzigen Bildladung aus, f ur den Raum zwischen zwei parallelen Ebenen ben otigt man schon unendlich viele. Ein ber uhmtes nichttriviales Beispiel, wo mit einer Bildladung auskommt, ist die Kugel (Kelvin).
2.4 Randwertaufgaben
121
Beispiel 2.4.1. Oben haben wir gezeigt, da die Losung des Poisson- und Dirichlet-Problems durch die Greensche Funktion ausgedruckt werden kann. Unser Ziel ist daher die Berechnung der letzteren. Obwohl dies im allgemeinen die Hilfe eines Computers erfordert, gelingt in einigen Fallen mit hoher Symmetrie auch die analytische Berechnung. Ein solcher Spezialfall ist die Kugel U = BR . Ohne Verlust an Allgemeinheit legen wir den Kugelmittelpunkt in den Koordinatenursprung o. Zu berechnen ist fur einen festen Punkt a 2 BR n @BR die Greensche Funktion G( a), was sich mit dem folgenden Trick (Lord Kelvin) bewerkstelligen la t. Sei d(o a) 6= 0 der Abstand des Punktes a von o. Wir wahlen den Punkt A auf der Geraden durch o und a so, da gilt (siehe Abb. 2.7): R = d(o A) : d(o a) R p A o
a
BR BR
Abbildung 2.7. Skizze zu Bsp. 2.4.1
Zwischen den Koordinaten2 der Punkte a und A besteht dann die Beziehung xi (A) = (R=d(o a)) xi (a). Nun betrachten wir irgendeinen Punkt p auf @BR . Die beiden Dreiecke poa und poA sind einander ahnlich. (In der Tat ist ihnen ein Winkel gemein, und die Seiten haben per Wahl von A gleiche relative Langen.) Deshalb gilt die elementargeometrische Relation R=d(p a) = d(o A)=d(p A) oder aquivalent 1 = 1 d(o A) = 1 R : d(p a) d(p A) R d(p A) d(o a) Der wichtige Schlu , den wir hieraus ziehen, ist, da die Funktion g = 41 r1 ; r1 d(oR a) a A auf dem Rand der Kugel @BR verschwindet. Nun la t sich aber "0 g als das Potential zweier Punktladungen auassen: einer Einheitsladung am Ort a und einer \Spiegelladung" ;R=d(o a) am Ort A 2= BR . Als solches genugt g der Laplace-Gleichung auf BR nfag. Au erdem ist die Funktion g ; (4ra );1 am Punkt a regular. Damit erfullt g genau die an die Greensche Funktion gestellten Forderungen. Da die Greensche Funktion eindeutig ist, folgt g = G( a).
122
2. ElektroMagnetostatik
Aufgabe 2.4.1. Veriziere fur das Beispiel der Kugel U = BR die Symmetrie G(a b) = G(b a), und berechne den Poisson-Kern ;d ? G( p)@U .
2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastr ome Das magnetostatische Analogon zur Abschirmung des elektrischen Feldes durch ein Metall ist die Verdrangung des magnetischen Feldes aus einem Supraleiter.4 To be continued
2.5 Energiebetrachtungen 2.5.1 Kapazit atskoezienten Energie eines Systems von Punktladungen. Ein punktformiger Korper, der sich am Ort p1 bendet und die Ladung q1 tragt, erzeugt wie wir wissen die elektrische Feldstarke E (1) = (q1 =4"0)drp1 =rp21 . Um in diesem Feld einen zweiten punktformigen Korper mit Ladung q2 aus dem Unendlichen an die Stelle p2 zu bringen, ist die Arbeit Z 1 q1 q2 =: W ;q2 E (1) = 4" 12 0 jp1 ; p2 j erforderlich. (Fur q1 q2 < 0 ist die Arbeit negativ, d.h. es wird Energie frei.) Transportieren wir nun im elektrischen Feld der schon vorhandenen Ladungen eine dritte Punktladung q3 an den Ort p3 , so ist die Arbeit W13 + W23 zu verrichten. Wir setzen diese Prozedur fort, bis wir N Punktladungen qi an die Positionen pi (i = 1 ::: N ) gebracht haben. Die zum Aufbau der Gesamtkonguration notige Energie ist dann eine Summe uber N (N ; 1)=2 Paare, X 1 X qi qj : W = Wij = 4" 0 i 0) mit f (p 0) = 0 und f_(p 0) = 0. In volliger Analogie zu dem in Abschn. 4.2 behandelten eindimensionalen Fall zeigt man
f (p t) = c
Zt 0
hs (p t)ds
wobei hs fur t > s durch die homogene Wellengleichung hs = 0 bestimmt wird und den Anfangsbedingungen hs (p t)jt=s = 0 und 1c h_ s (p t)jt=s = g(p s) genugt. Mit Satz 4.1 konnen wir hs sofort angeben: hs (p t) = c M(p t ; s) g( s) : Einsetzen in den Ausdruck fur f ergibt:
f (p t) = c2 = c2
Zt Zt 0 0
M(p t ; s) g( s)ds
2Zt M(p s) g( t ; s)ds = 4c 0
Nun benutzen wir cs = rp Scs (p) und
Z Scs (p)
g( t ; s)p s ds :
rp drp ^ p = rp;1 dx ^ dy ^ dz =: rp;1 dV : Es folgt dann die Formel Z g; t ; rp ()=c f (p t) = 41 dV : rp () Bct (p)
Durch Hinzufugen der Losung der homogenen Gleichung bekommen wir fur die Losung der Gleichung f = g zu den allgemeinen Anfangsbedinungen f (p 0) = u(p), f_(p 0) = v(p) das Ergebnis
170
4. Elektromagnetische Wellen
@ M(p t)u + 1 f (p t) = M(p t)v + @t 4
Z g; t ; rp ()=c dV :
Bct (p)
rp ()
Wahlen wir die Anfangsbedingungen f (p t0 ) = 0 = f_(p t0 ) zur Zeit t0 ! ;1, so resultiert Z f (p t) = 41 g( t r; rp =c) dV : p E3 Interpretation. Diese Formel merken wir uns wie folgt. Wir haben uns vorzustellen, da zur Zeit t0 am Ort p0 ein spharischer Puls (\Seifenblase") mit Amplitude g(p0 t0 ) erzeugt wird. (Ist g(p0 t0 ) = 0, so wird nichts erzeugt.) Dieser Puls breitet sich (ohne seine Form zu verandern) mit Lichtgeschwindigkeit isotrop aus, wobei seine Amplitude wie der inverse Abstand abnimmt. Er trit zur Zeit t = t0 + jp ; p0j=c am Ort p ein und tragt zum Funktionswert f (p t) bei. Zur Berechnung von f (p t) ist uber alle \Quellereignisse" (p0 t0 ) zu summieren #gewichtet mit g(p0 t0 )], die auf dem Mantel (oder Rand) n o ; := (p0 t0 ) jp ; p0 j = c(t ; t0 ) @Cpt ; liegen, des ruckwarts gerichteten Lichtkegels Cpt
n
o
; := (p0 t0 ) jp ; p0 j c(t ; t0 ) : Cpt
Zeit
(p,t) Cp,t Cp,t Raum
Abbildung 4.8. Mantel des ruckwarts gerichteten Lichtkegels
4.4 Elektrische Dipolstrahlung Als konkrete Anwendung der Ergebnisse von Abschn. 4.3.3 berechnen wir das Strahlungsfeld einer raumlich lokalisierten und harmonisch oszillierenden Quelle in elektrischer Dipolnaherung. Die Strahlungsquelle bende sich innerhalb einer um den Koordinatenursprung zentrierten Kugel BR mit Radius R. Sie sei elektrisch neutral, habe aber ein endliches elektrisches Dipolmoment.
4.4 Elektrische Dipolstrahlung
171
Unser erstes Ziel wird es sein, die magnetische Erregung H zu berechnen. Sie genugt der inhomogenen Wellengleichung H = ;j = ? d ? j , deren Losung durch Z 1 Hk (p t) = 4 (? d ? j )k ( t ; rp =c) rp;1 dV BR ausgedruckt wird. Wir beginnen mit der folgenden Nebenrechnung: (? d ? j )k dV = @k (? d ? j ) dV = (@k dV ) ^ ? d ? j = (d ? j ) ^ ?(@k dV ) = d ? j ^ dxk = d (?j ^ dxk ) : Die Zeitabhangigkeit von Strom- und Ladungsverteilung sei jetzt harmonisch: j = ~j sin !t und = ~ cos !t, mit zeitunabhangigem ~j , ~. Hiermit wird die Gleichung fur Hi zu Z sin(!t ; krp) Hi (p t) = 41 d(?~j ^ dxi ) rp BR wobei k = !=c gesetzt wurde. Wir werden sehen, da = k;1 die Wellenlange der emittierten Strahlung ist. Die weitere Rechnung fuhren wir unter den Bedingungen R r(p) durch. Die Ungleichung R bedeutet den Grenzfall gro er Wellenlangen, und r(p) deniert den Bereich der Fernzone. Fur einen Punkt a 2 BR durfen wir wegen R r(p) die Taylor-Entwicklung des Abstandes rp (a) = jp ; aj nach der ersten Ordnung abbrechen: j ; rp (a) = r(p) ; xr((pp)) xj (a) + O R2 =r(p) : #Ab hier bedienen wir uns wieder der Einsteinschen Summenkonvention.] Damit gehen wir nun in den Ausdruck sin(!t ; krp )=rp : sin(!t ; krp ) = sin(!t ; kr(p)) + cos(!t ; kr(p)) xj (p) kx + : : : : rp r(p) r(p) r(p) j Die Entwicklung der Sinusfunktion im Zahler wurde nach dem ersten Korrekturglied abgebrochen. Diese Naherung eliminiert Beitrage zum Strahlungsfeld, die von hoherer Ordnung in der kleinen Gro e kR 1 sind (Langwellenlimes). Die Ersetzung von rp durch den konstanten Wert r(p) im Nenner ist zulassig in der Fernzone. Mit einer partiellen Integration folgt jetzt j (p) Z cos( kr ( p ) ; !t ) kx 4r(p) dxi ^ dxj ^ ?~j : Hi (p t) = ; r(p) BR Nach einer weiteren Nebenrechnung, dxi ^ dxj ^ ?~j = ~j ^ ?(dxi ^ dxj ) = ijk ~j ^ dxk #ijk = ;jik usw. ist der total antisymmetrische Tensor in drei Dimensionen ], la t sich das verbleibende Integral durch das elektrische Dipolmoment & der Quelle ausdrucken:
172
Z
4. Elektromagnetische Wellen
BR
dxk ^ ~j = ;
Z
BR
xk d~j = ;!
Z BR
xk ~ = ;!& k :
Hier wurde fur das zweite Gleichheitszeichen benutzt, da nach der Kontinuitatsgleichung ( _ + dj = 0) gilt d~j = ! ~. Es folgt ; !t) dxi xj & k : H ( t) = k! cos(kr ijk 4r r Der Ausdruck ijk xi dxj ^ dxk =2r3 ist die kartesische Koordinatendarstellung der Raumwinkel-2-Form , so da gilt j i k j ijk dxi xr & k = ;i ijk x dx2r^ dx = i r2 : Wir fuhren die Kugelachen-2-Form dS := r2 ein und haben damit das Resultat ; !t) i dS : H = k! cos(kr 4r Hier steckt noch irgendwo ein Vorzeichenfehler.
Ausgehend von der inhomogenen Wellengleichung fur die elektrische Feldstarke, E = ; "1 d ? ; 0 ? @j @t 0 zeigt man mit dem Zwischenergebnis Z cos(!t ; krp ) ; 1 ;1d ? ~ ; 0 ? ~j dV Ei (p t) = 4 ; " 0 i rp BR durch eine ahnliche Rechnung wie fur H das Resultat ; !t) (h& @ idr ; h& i) : E = 0 !2 cos(kr r 4r Der Term h& @r i dr kommt vom Ladungsanteil der Quelle, der Term h& i vom Stromanteil. (Achtung! Fur den Ladungsanteil ist der Kosinus bis zur zweiten Ordnung in k2 zu entwickeln!) Wir legen jetzt das Dipolmoment speziell in z -Richtung (& = j& jez ) und fuhren Kugelkoordinaten r ' ein. Aus @z = cos @r ; r;1 sin @ folgt i dS = ;j& jr sin2 d' und h& i ; h& @r idr = j& j;dz ; j& j cos dr = j& j d(r cos ) ; (dr) cos = ;j& jr sin d : Fur diese Wahl der Richtung des Dipolmoments haben wir also 2 E = 40! j& j sinr cos(kr ; !t) r d sin cos(kr ; !t) r sin d' : H = k! j & j 4 r
4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung
173
Diskussion. 1. Wir ordnen der 1-Form E durch den kanonischen Isomorphismus I das Vektorfeld I (E ) = (E ) zu. Fur H verfahren wir genauso. Die nach au en gerichtete Kugelnormale @r , die die Ausbreitungsrichtung der Strahlung beschreibt, und die Vektorfelder I (E ) @ und I (H ) @' bilden dann ein rechtshandiges Orthonormalsystem. ez er
I (H) ~ eφ p o
I (E) ~ eθ
Abbildung 4.9. Zur Ausbreitung der abgestrahlten Welle
2. E und H verschwinden auf der Polarachse des Dipols (Faktor sin !) und sind in der A quatorialebene maximal. Diese Variation mit dem Sinus des Polarwinkels ist charakteristisch fur das Strahlungsfeld eines elektrischen Dipols. (Hohere Multipolmomente wurden durch die Langwellennaherung eliminiert. Sie haben ubrigens eine andere Winkelverteilung.) 3. Die zeitgemittelte Poynting-2-Form ist mit hcos2 (: : :)i = 1=2 gleich 3 2 2 hE ^ H i = 32k ! 2 "0 j& j sin : Integration liefert die gesamte abgestrahlte Leistung 0 j& j2 !4 =12c. Beachten Sie die starke Frequenzabhangigkeit! Aufgabe 4.4.1. Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolstrahlung
4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung Hier k onnte man zun achst mit Hilfe des Flulinienbildes die Bremsstrahlung einer Punktladung diskutieren (siehe Thirring). Anschlieen w urde sich dann die exakte analytische Theorie. Denkbar w are auch, diesen Abschnitt vor dem uber die elektrische Dipolstrahlung einzuschieben und auf diese Weise die dort etwas l angliche Rechnung abzuk urzen.
174
4. Elektromagnetische Wellen
4.6 Beugungsphanomene Ein ehrgeiziges Ziel w are, Sommerfelds L osung f ur die Beugung am Keil zu pr asentieren. Dazu ben otigt man aber wohl mehr Funktionentheorie und komplexe Analysis als hier zur Verf ugung steht.
4.7 Symmetrien und Erhaltungssatze In Vorbereitung des n achsten Abschnitts w are hier noch -- nach dem Skript vom Sommersemester 1993 -- die Herleitung des Impuls- und Drehimpulssatzes zu geben. Dieses Thema wird im relativistischen Kapitel wieder aufgegriffen und dort pr agnanter behandelt.
4.8 Das Feynmansche Paradoxon Feynman im Original. \Betrachte die in Abb. 4.10 gezeigte Apparatur. Eine Achse tragt in zu ihr senkrechter und konzentrischer Anordnung eine dunne, kreisformige Plastikscheibe. Die Achse ist hervorragend gelagert, soda die Scheibe ohne Reibungsverluste rotieren kann. Auf der Scheibe bendet sich ein Draht in Form einer konzentrisch zur Drehachse angeordneten Spule. Diese Spule tragt einen stationaren Strom I , der einer kleinen, ebenfalls auf der Scheibe montierten Batterie entnommen wird. In der Nahe des Scheibenrandes benden sich in gleichma iger Anordnung viele kleine Metallkugeln, die durch das Plastik der Scheibe voneinander und von der Spule elektrisch isoliert sind. Jede Metallkugel tragt die gleiche elektrische Ladung q. Alles ist stationar, und die Scheibe ruht. Nun wollen wir annehmen, da durch Zufall { oder Planung { der Strom in der Spule zum Erliegen gebracht wird, und zwar ohne irgendeine au ere Einwirkung. Solange der Strom ie t, existiert ein magnetischer Flu , der auf der Spule so ungefahr senkrecht steht. Dieser magnetische Flu mu verschwinden, wenn der Strom gestoppt wird. Es wird deshalb ein elektrisches Feld induziert, das um Kreise mit Mittelpunkt auf der Drehachse zirkuliert. Die geladenen Kugeln spuren dann ein zum Scheibenrand tangentiales elektrisches Feld. Die elektrische Kraft hat fur alle Kugeln denselben Drehsinn, was in einem an der Scheibe angreifenden totalen Drehmoment resultiert. Wir wurden aufgrund dieser Argumente erwarten, da die Scheibe mit dem Verschwinden des Stromes in der Spule zu rotieren beginnt... Wir konnten jedoch auch anders argumentieren. Da der Drehimpuls der Scheibe mit all ihrem Zubehor zu Anfang verschwindet, konnten wir unter Verwendung des Prinzips der Drehimpulserhaltung sagen, da der Drehimpuls der gesamten Anordnung fur alle Zeiten Null bleiben mu . Die Scheibe sollte also nach dem Abschalten des Stromes in Ruhe verweilen. Welches der
4.8 Das Feynmansche Paradoxon
175
beiden Argumente ist korrekt? Wird die Scheibe in Rotation versetzt oder nicht?..." (Ende des Zitats.) geladene Metallkugeln
I
Plastikscheibe
Abbildung 4.10. Die Feynmansche Anordnung (die Spule ist vereinfacht als Kreisstrom dargestellt)
Feynman fugt hinzu, da die korrekte Antwort nicht von irgendwelchen unwesentlichen Begleitumstanden wie zum Beispiel der asymmetrischen Position der Batterie abhange. Die Abgeschlossenheit des Systems, d.h. das Abschalten des Stromes ohne eine den Drehimpuls andernde au ere Einwirkung, konne man zum Beispiel durch folgende ideale Situation erreichen. Die Spule sei aus einem supraleitenden Draht gewickelt, in dem ein Strom ie e. Nachdem man die Anordnung sorgfaltig in den Ruhezustand versetzt hat, lasse man die Temperatur langsam ansteigen. Sobald die U bergangstemperatur zwischen supraleitendem und normalleitendem Zustand erreicht ist, wird der Strom in der Spule durch den Widerstand des Drahtes zum Erliegen gebracht. Wie zuvor sinkt der magnetische Flu ab, und es wird ein elektrisches Feld induziert. Abschlie end warnt Feynman den Leser, da die Auosung des Ratsels weder leicht noch ein Trick sei, sondern zur Entdeckung eines wichtigen Prinzips des Elektromagnetismus fuhre. Wir nehmen vorweg, da die erste Antwort die richtige ist: die Scheibe bendet sich nach dem Abklingen des Stromes tatsachlich in Rotationsbewegung. Unsere Aufgabe wird es demnach sein, die Drehimpulsbilanz in Ordnung zu bringen. Zunachst einmal fragt man sich, ob der mechanische Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen wesentlich sein konnte. Dazu ist zu bemerken, da der Drehsinn der durch die Wirkung des induzierten elektrischen Feldes in Rotation versetzten Scheibe vom Vorzeichen der Ladungen q auf den Metallkugeln abhangt. Deshalb wird das Dezit in der mechanischen Drehimpulsbilanz durch Hinzunahme des Drehimpulses der Elektronen entweder gro er oder kleiner gemacht, je nachdem ob q positiv oder negativ ist. Zudem konnen wir durch Vergro ern der gesamten Ladung auf den Metallkugeln das angreifende Drehmoment - und damit auch den Drehimpuls der rotierenden Scheibe { variieren, wahrend der Drehimpuls der Elektronen fest bleibt. Wir entnehmen diesen U berlegungen, da der me-
176
4. Elektromagnetische Wellen
chanische Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen einer der im Feynmanschen Sinn unwesentlichen Begleitumstande des Ratsels ist und vernachlassigt werden kann.1 Auosung des Ratsels. Um das Dezit in der mechanischen Drehimpulsbilanz zu kompensieren, werden wir den Drehimpuls im elektromagnetischen Feld heranziehen mussen. Leider ist eine quantitative Analyse des von Feynman beschriebenen Vorgangs schwierig. Wir nehmen deshalb eine Vereinfachung vor, indem wir das System unter Translationen in Richtung der Drehachse invariant machen. (Wir stellen uns zum Beispiel vor, es seien sehr viele identische Scheiben von der beschriebenen Form ubereinander gestapelt.) Insbesondere ersetzen wir die ringformige Anordnung von Metallkugeln durch einen gleichma ig mit Flachenladung bedeckten Zylindermantel. Diese Abstraktion wird nicht nur das Rechnen erleichtern, sondern auch den Blick auf das Wesentliche des Problems lenken. Wir fuhren gewohnliche Zylinderkoordinaten r ' z ein und legen die Symmetrieachse der Anordnung auf die z -Achse. Mit u 2 3 (E3 ) bezeichnen wir die Dichte der z -Komponente des Drehimpulses im elektromagnetischen Feld. Aus dem vorangehenden Abschnitt kennen wir die Formel u = ;B ^ @' D, wobei @' das durch die Gleichungen (dr)(@' ) = 0, (d')(@' ) = 1 und (dz )(@' ) = 0 bestimmte Vektorfeld ist. (@' erzeugt Drehungen um die z Achse.) Im ersten Schritt untersuchen wir die statischen Situationen vor dem Zusammenbruch des Stromes zur Zeit t = 0 und lange danach. Vorher existiert ein magnetisches Feld innerhalb der Spule und ein elektrisches Feld au erhalb des geladenen Zylindermantels. Da die Raumbereiche, wo die Fel der von Null verschieden sind, nicht uberlappen, gilt ut 0), v ein Vektorfeld, eine Abbildung zwischen oenen Teilmengen zweier aner Raume (die Bildmenge von liege in En ) und C ein geeignetes Integrationsgebiet.
A ueres Produkt f ^ = ^ f := f ^ = (;1)kl ^ Inneres Produkt ! iv f = 0 iv
n X i=1
ai dxi =
iv ( ^ ) = (iv ) ^ Auere Ableitung
(A.1) (A.2) n X
ai vi i=1 + (;1)k ^ (iv )
(A.3) (A.4)
n @f X
i (A.5) i dx @x i=1 d ( ^ ) = (d) ^ + (;1)k ^ (d ) (A.6) d d = 0 Poincare : d = 0 =) (lokal :) = d( (A.7)
df =
Pullback
f = f ( ^ ) = ( ) ^ ( ) d = d
(A.8) (A.9) (A.10)
=
(A.11)
Integration Z Z "(C )
Stokes :
Z
C
d =
C
Z
@C
(A.12)
206
A. Kleine Formelsammlung fur das Rechnen mit Dierentialformen
Sternoperator (im E3) ?? = id ? dx = dy ^ dz ? dx ^ dy ^ dz = 1 ^ ? = ^ ?
(und zyklisch) (falls k = l)
(A.13) (A.14) (A.15) (A.16)
Index
(inneres Produkt), siehe Kap. 0.5 Ableitung { partielle, 18 Alternierende Multilinearformen, 7 Ampere, 64, 106 Basis { duale, 6 Basisdarstellung { alternierender Multilinearformen, 10 Boost, 186 Cooper-Paare, 195 Coulomb, 64 Coulomb-Eichung, 110 d (Operator), 181 4 (Laplace-Operator), siehe Kap. 0.20, 185 d'Alembert-Operator , 158 Determinante, 14 Dielektrische Konstante d. Vakuums, 81, 84 Dierential { einer Abbildung, 24 { einer Funktion, 18 Dierentialform { k-ten Grades (k-Form), 22 { ersten Grades (1-Form), 19 { exakte, 28 { geschlossene, 28 { Koordinatendarstellung, 23 { top-dimensionale, 22 Dilatation, 183 Dipolmoment { elektrisches, 114 { magnetisches, 115 Dirichlet-Problem, 118 Divergenz, 27 Dualraum, 4
"0 , siehe Dielektrische Konstante d. Vakuums Eektive Masse, 202 Eichfeld, 199 Eichpotential, 193 Eichtransformation, 109 Eindringtiefe, 161, 197 Elektroschwache Theorie, 199 Energiedichte, 86 Energiestromdichte, 86 Ereignis, 179 Erregung { elektrische, 67 { { Mesvorschrift, 90 { magnetische, 69 { { Mesvorschrift, 92 Faraday-Form, 181, 182 Faradaysches Induktionsgesetz, 75 Feld { elektrisches, 82 { elektromagnetisches, 82 { magnetisches, 82 Feldgleichungen, 192, 193, 199 Feldstarke { elektrische, 71 { magnetische, 72 Fernzone (Dipolstrahlung), 171 Flachenladungsdichte, 120, 124 Flachenladungsdichte, 89 Fluslinien, 68 Flus { elektrischer, 68 { magnetischer, 73 Flusdichte { elektrische, 68 { magnetische, 73 Gradient, 21 Greensche Funktion, 119 GUT, 84
207
208
Index
~,
siehe Plancksche Konstante Hamiltonsches Prinzip, 191 Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung, 51
Induktionsgesetz, siehe Faradaysches Induktionsgesetz Inertialsystem, 179
k-Form, 22 k-Kette, 46 k-Zelle, 44
Kapazitat, 104 Kausalitatsprinzip, 164 Koharenzlange, 198 Konforme Gruppe, 183 Kontinuitatsgleichung, 52, siehe Kap. 1.2, 181 Koordinatenform, 19 Koordinatenfunktion, 18 Koordinatensystem { anes, 2 { kartesisches, 3 Kopplungskonstante, 199 Kraft { Coulomb-, 72 Kugelkondensator, 103 LX (Lie-Ableitung), siehe Kap. 0.18 Ladung, 64 Ladungsdichte { elektrische, 65 { magnetische, 75 Ladungserhaltung, siehe Kap. 1.2, 181 Ladungsneutralitat (Universum), 70 Lagrange-Dichte, 191, 193 Leistung (d. Feldes an Materie), 85 Leitfahigkeit, 161 Lenzsche Regel, 74 Lichtgeschwindigkeit, 84 Lichtkegel, 164 Linearform, 3 Linienstromdichte, 89 London-Limes, 197, 198 Lorentz-Eichung, 185 Lorentz-Gruppe, 180 Lorentz-Kraft, 72, 85, 106, 178 M (Operator), 165 0 , siehe Magnetische Permeabilitat d. Vakuums Magnetische Monopole, 83 Magnetische Permeabilitat d. Vakuums, 81
Magnetisierung, 94 Materialgesetze, 80 Materialgleichungen, 182 Maxwell-Form, 182 Maxwell-Gleichungen { homogene, siehe Kap.1.4, 181 { Inhomogene, 67 Monopolmoment (elektrisches), 114 Ober achenladung, 89 Ohmsches Gesetz, 97, 161 Orientierung, 7 Parametrisierung, 34 Permeabilitat, siehe Magnetische P. Plancksche Konstante, 196 Poisson-Kern, 120 Poisson-Problem, 118 Polarisierung (elektrische), 93 Polarkoordinaten (spharische), 102 Potential { einer Punktladung, 107 { elektrostatisches, 107 { skalares magnetisches, 130 Poynting-Form, 86 Quadrupolmoment (elektrisches), 114 Quellterm (Wellengleichung), 158 Rand { einer k-Kette, 46 { einer k-Zelle, 46 Raum { aner, 1 Raumwinkel-Form, 23 Rechte-Hand-Regel, 8 Ringspannung { elektrische, 72 Rotation, 26 Skalarprodukt { Lorentzsches, 179 Skin-Tiefe, siehe Eindringtiefe Spannung { elektrische, 72 { magnetische, 70 { statische, 103 Sternformig, 28 Stromdichte { elektrische, 66 Supraleiter, 92, 195 Tangentenvektor, 34 Temporale Eichung, 200
Index Transformation { aktive, 186 { passive, 186 Vektorbosonen, 199 Vektorpotential, 109 Vierer-Strom, 181, 182, 194 Viererpotential, 185, 199 Weinberg-Salam-Glashow-Theorie, 202 Welle (elektromagnetische), 84 Wellenoperator, 158 Weltpunkt, siehe Ereignis Winkel-1-Form, 37 Wirkungsfunktional, 192 Wirkungsprinzip, 192 Zylinderkoordinaten, 104
209