Pseudo-Convexité, Convexité Polynomiale et Domaines d'Holomorphie en Dimension Infinie 9780720427035, 0720427037, 9780080871141 [PDF]

Zitiervorschau

PSEUDO-CONVEXITE, CONVEXITE POLYNOMIALE ET DOMAINES D’ HOLOMORPHIE EN DIMENSION INFINIE

A JACQUELINE

NORTH-HOLLAND MATHEMATICS STUDIES

3

Notas de Matem6tica (48) Editor: Leopoldo Nachbin Universidade Federal do Rio de Janeiro and University of Rochester

Pseudo-Convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d' Holomorphie en Dimension Infinie

PHlLlPPE NOVERRAZ Universitb de Nancy I

1973

NORTH- HOLLAN D PUB LlSH ING COMPANY, AMSTERDAM- LON DON AMERICAN ELSEVIER PUBLISHING COMPANY, INC. - NEW YORK

0 NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY - AMSTERDAM - 1973 All Rights Reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of the Copyright owner.

Library of Congress Catalog Card Nummer : 72-93494 ISBN North-Holland 0 7204 2703 7 ISBN American Elsevier 0 444 10419 4

PUBLISHERS:

NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY - AMSTERDAM NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY, LTD. -LONDON SOLE DISTRIBUTORS FOR THE U.S.A. AND CANADA:

AMERICAN ELSEVIER PUBLISHING COMPANY, INC. 52 VANDERBILT AVENUE NEW YORK, N.Y. 10017

PRINTED IN THE NETHERLANDS

FOREWORD Volumes 1 through 6, volume 7 and volumes 8 through 47 of the series NOTAS DE MATEMATICA were published in Rio de Janeiro, Brasil since 1948 by Faculdade Nacional de Filosofia, Centro Brasileiro de Pesquisas Fisicas and Instituto de Matematica Pura e Aplicada, respectively. Starting from volume 48, the series is being published by North-Holland, Amsterdam, Netherlands. I wish to express my thanks to Einar Fredriksson for his interest in the continuation of the series.

LEOPOLDO NACHBIN

This Page Intentionally Left Blank

I N T R O D U C T I O N

Ces notes ont k t k rkdigkes & l a s u i t e d'un cours donnk & 1 ' I n s t i t u t o de Matemgtica Piira e Aplicada (IMPA) de Rio de J a n e i r o durant l ' k t k 1971. Elles ont k t k complktkes ultkrieurement pour t e n i r compte d'amkliorations obtenueo ; c ' e s t a i n s i q u ' a k t k ajoutk l e c h a p i t r e 6 q u i renforce notablement les r k s u l t a t s du c h a p i t r e 5 que nous avons nkanmoins conserve c a r l e s techniques sont d i f f k r e n t e s e t peuvent s e r v i r & rksoudre d ' a u t r e s problhmes. Les espaces v e c t o r i e l s topologiques que nous considkrons i c i seront toujours complexes e t , en gknkral, localement convexes bien que c e t t e condition ne s o i t pas toujours nkcessaire. I1 f a u t cependant f a i r e a t t e n t i o n au f a i t que, dans un espace non localement convexe, l'ensemble des f o n c t i o n s analytiques peut &re r k d u i t aux c o n s t a n t e s ; c e t t e s i t u a t i o n se produit lorsque l ' e s p a c e e s t 2 dual nu1 ( c o m e , par exemple, l e s espaces de suites &p, 0 C- p 4 1 ) ; e l l e ne peut pas se prksenter, grgce au thkor'eme d'Hahn-Banach, dans un espace localement convexe. Aussi lorsque nous parlerons d'espace v e c t o r i e l topologique ( e v t ) il s e r a toujours sous-entendu que E' f { O f Nous avons c e n t r e n o t r e expose s u r l e s notions de pseudo-conv e x i t k , de convexitk polynomiale e t de domaine d'holomorphie, kcart a n t a i n s i p l u s i e u r s domaines qui f o n t actuellement l ' o b j e t de nomb r e w travaux. Ces domaines portent s u r : - l ' k t u d e d e s espaces k t a l k s , - l ' k t u d e d e s propriktCs topologiques e t bornologiques de l ' e s pace d e s f o n c t i o n s analytiques s u r un ouvert d'un espace de Banach ou, p l u s gknkralement, d'un e l c , - l ' k t u d e d e s opkrateurs de convolutions, - l ' k t u d e de l a notion d ' a p p l i c a t i o n analytique en bornologie.

.

A l a f i n de c e s notes, l e l e c t e u r trouvera une l i s t e k peu pr'es complete des travaux rkcents r e l a t i f s b l ' a n a l y t i c i t k e t b l a p l u r i sousharmonicitk en dimension i n f i n i e .

Le c h a p i t r e 0, i n t r o d u c t i f , rassemble d i v e r s r e s u l t a t s c l a s s i ques s u r l e s espaces v e c t o r i e l s topologiques e t s u r l e s f o n c t i o n s analytiques e t plurisousharmoniques en dimension f i n i e .

Dans l e c h a p i t r e I nous introduisons l e s f o n c t i o n s plurisousharmoniques e t l e u r s p r i n c i p a l e s propridtds, en p a r t i c u l i e r l e t h h rkme de convergence e t l e lemme de Hartogs, p u i s nous ktudions

VII

Introduction

VIIl

l e s f o n c t i o n s G-analytiques a i n s i que l e u r s d i v e r s e s p r o p r i k t k s q u i sont kquivalentes l o r s q u ' i l s ' a g i t d ' a p p l i c a t i o n s e n t r e espaces norF m k s . Les p r o p r i k t k s d e s f o n c t i o n s G-analytiques f : U C E peuvent se rksumer c o m e suit :

+

f bornee s u r t o u t compact

f:E + ( F , p ) continue V p

--

e -

V l

E mktrisable F norm6

f

continue

semi-norme continue s u r F

___f

= {x 6 ~,p(x-a) < r j . P Soient donnds, E et (Ei)i I des espaces vectoriels sur et pour tout i de I une topologie localement convexe Ti sur Ei et une application linkaire fi : E +E.,1 on appelle topologie pro-

jective (ou initiale) T sur E relative B la famille ( E ~ , T ~ , ~ J ~ la moins fine (plus faible) des topologies qui rendent continues toutes les fi. Cette topologie est localement convexe et si u est une application linkaire de E dans F elc, F ktant munie d'une topologie limite projective de (F.,T.,f.), alors u est continue si et 1

1

1

seulement si, pour tout i, l'application fio u : E +(F~,T~) est continue. Voici quelques exemples de topologie projective qui interviendront frkquemment : a) tout elc E peut &re

consider6 c o m e muni de la topologie

projective du systbe (Ei,Ti,fi) oc, si (pi)i6I

ddsigne une famil-

le filtrante de semi-normes d4finissant la topologie, on a posh E. = E, T. la topologie engendrge par p et fi l'application 1 1 i identique. b ) Soit

(Ei,Ti) une famille d'elc et E = n E i l'espace vec-

toriel produit des Ei, c'est-b-dire l'ensemble des familles OG x.1 t Ei' i. On munit l'espace E de la topologie (xi)i G I projective du systkme (E.,T.,fi) oh fi : E +Ei est la projec1 1

a

tion sur E En particulier si Ei = pour tout i on note i' = ( &" dans le cas dgnombrable).

c1

c) Soit E un elc E' son dual topologique ; la topologie (T

(E,E') est la topologie projective du systhme

(6,u)uCE' '

c'est la topologie la moins fine laissant continue tous les klkments de E'. Soit maintenant un ensemble I d'indice muni d'une relation

Espaces vecroriels topologiques et fonctions complexes

d ' o r d r e note d t o u t couple

. Considkrons une f a m i l l e

( i ,j ) t e l que

3

I d ' e l c e t pour

(Ei)ie

i 6 j , une a p p l i c a t i o n l i n k a i r e continue

: E . 3 E i . On a p p e l l e l i m i t e p r o j e c t i v e de l a famille ( E i , f i j ) , fij j notke l i m f . . E . , l e sous-espace E de 7-r Ei formk des x = (x,) + 1J 1 1 t e l s que x = f . .(x.) pour t o u t ( i , j ) , i < j . L a topologie de E i 1J J n ' e s t a u t r e que l a topologie p r o j e c t i v e de l a f a m i l l e (E. , f . ) oh 1

fi

est l a restriction b E

1

de l a p r o j e c t i o n de

E . sur E Les J i' exemples a ) e t b ) sont d e s exemples de limite p r o j e c t i v e mais non c )

c a r il n ' y a pas de r a i s o n s pour que

E'

s o i t f i l t r a n t . De a ) on

peut dkduire que t o u t e l c (complet) e s t isomorphe & un sous-espace (fermk) d'un produit d'espaces de Banach. f . . sont de p l u s ouvertes (c'est-&1J d i r e l'image d'un ouvert est ouvert) nous d i r o n s que l ' o n a une Lorsque d e s a p p l i c a t i o n s

u-

t e pro.iective ouverte (ou limite N-projective).

Voici un c a s p a r t i -

c u l i e r : Nous d i r o n s qu'un e l c posskde l a propri6tk ( C ) ( e s t une limite p r o j e c t i v e ouverte d'espaces semi-nomks) s I i1 e x i s t e une famil( p . , i E I) de semi-nomes s a t i s f a i s a n t aux c o n d i t i o n s

l e filtrante

1

kquivalentes suivantes : 1 ) La topologie de

E

est l a topologie p r o j e c t i v e de

oh E~ = ( E , ~ ~ ) / ~ Y ' ( of i) , e s t l ' a p p l i c a t i o n canonique

(Ei,fi)

E *E~

et

est supposge ouverte. p., f . . est 2 ) E = l i m ( f . . , E ~ )oh, pour t o u t couple pi< J 1J 1J l ' a p p l i c a t i o n canonique ( ~ , p ~ ) / p ; l ( o+) ( E , ~ ~ ) / ~ Y ' ( o )e t est supposke ouverte. Tout espace produit d ' e l c semi-nomks, t o u t e l c muni de sa topologie f a i b l e posshde l a propriktd ( C ) . Dans un e l c propriktk

(c)

E

posskdant l a

il ne peut e x i s t e r une nome continue sans que l ' e s p a c e

s o i t norm&. Pour d ' a u t r e s exemples v o i r au c h a p i t r e 2. La notion de limite inductive est p l u s d k l i c a t e c a r il f a u t fai-

re a t t e n t i o n & l a catkgorie dans l a q u e l l e on se place. Les r k s u l t a t s d i f f b r e n t en g6neral si on se place dans l a c a t e g o r i e des e v t ou dans c e l l e des e l c . Nous nous placerons i c i dans l a seconde. Soient un ensemble

I

d'indices

E, Ei

des espaces v e c t o r i e l s e t pour t o u t i

Espaces vt?ctoriels topologiqu es et fonctions complexes

4

de

une a p p l i c a t i o n l i n k a i r e e t Ti

I , f i : Ei --fE

lement convexe s u r E

topologie loca-

On a p p e l l e topologie inductive ( f i n a l e ) , sous

i'

entendu localement convexe, du systbme

( E . , T . ,f i ) l a topologie loca1

1

lement convexe l a p l u s f i n e ( l a p l u s f o r t e ) q u i rende continues toutes les

u :E 3F

fi. S i

(Ei,Ti,fi),

muni d'une topologie inductive e t seulement s i pour t o u t dans

E

e s t m e application linkaire e t

i

de

alors

est continue s i

u

I l'application

est

uof.

Ei

de

1

F est continue. Voici des exemples de topologie inductive : a) S i

E, la topologie de

F e s t un sous-espace d ' u n e l c

p l i c a t i o n canonique E b) S o i t

et

f

est 1 ' a p

i

3 E/F.

une f a i l l e d ' e l c e t CB Ei

(Ei,Ti)

Ei

(algbbrique) de

OL E 1 . = E

(Ei,fi)

est l a topologie inductive de

E/F

f o m k des

x = (x.) 1

l e sous-espace

t e l s que

xi = 0 sauf

pour un nombre f i n i d'indices. La topologie s o m e d i r e c t e localement convexe e s t la topologie inductive pour l e s i n j e c t i o n s

Ei 3 @ E i .

l-l-E i'

C ' e s t une topologie p l u s f i n e que l a topologie i n d u i t e p a r

6

En p a r t i c u l i e r s i Ei =

pour t o u t

i

Q

on note

ou

(1) ~ ( 1 )L'espace . complet pour t o u t

6

i. Un sous-ensemble

seulement s i il existe p r o j e c t i o n de n& dans E .

1

E

est complet s i e t sedement si Ei

Ei

sur

pour t o u t

J fini, J C I Ei i

on a i t de

B

de

0

est

est borne si e t

Ei

t e l que s i on note

f,

la

I

fi(B) = { O j

Vi&

J

et

fi(B)

bor-

J.

Remarque : S i l ' o n prend s u r @ E.

1

l a topologie l a plus f i n e de

t o u t e s l e s topologies d ' e v t ( e t non seulement localement convexe) rendant continues l e s i n j e c t i o n s

Ei -QEi

on o b t i e n t en gkneral

une topologie strictement p l u s f i n e que l a topologie somme d i r e c t e localement convexe qui n ' a aucune raison d ' & t r e localement convexe. Sur

Q

(I) par exemple, c e s deux topologies sont localement convexes

( e t donc identiques) si e t seulement s i Une a p p l i c a t i o n l i n g a i r e

u : E +E

I est dgnombrable.

e s t une p r o j e c t i o n s i

uou = u (ou, ce q u i e s t kquivalent, s i l a r e s t r i c t i o n de est llidentitk). S i

E = E, @ E

2)

u

B u(E)

s o m e d i r e c t e de d e n sous-espaces

Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes

fermks,tout plication

x de E

ce fermk

F

sous-espace

E

de G

= x1

+

x2 ; l ' a p -

) est une projection. un sous-espae s t d i r e c t ( a un suppldmentaire) s'il e x i s t e un

(resp. x *x

x +xl

x

s ' g c r i t de manibre unique

S

fermk de

E

2

Fa G = E.

t e l que

Dans un e l c t o u t

sous-espace de dimension f i n i e e s t d i r e c t . Un espace de Banach dans l e q u e l t o u t sous-espace fermk e s t d i r e c t est un isomorphe h un espace de H i l b e r t .

un ensemble f i l t r a n t e t pour t o u t c a t i o n s continues algkbrique , f i

d ' e l c oh

(Ei)irI

Soient maintenant donnks une f a m i l l e

I

est

(i,j ) , i 6 j , me f a m i l l e d ' a p p l i -

: Ei + E .. Notons Ji J l ' i n j e c t i o n canonique de f .

E =@E

l a some directe

Ei

E

i dans

et

F

le

sous-espace engendrk par l e s images des a p p l i c a t i o n s fi-f. o f . J Ji' i ,C j , de Ei dans E. S i F est f e d (ou ce qui est Qquivalent si

E/F e s t skpark) l ' e s p a c e

E/F, not6

inductive localement convexe d e s

est appelk l i m i t e

lim f . . E

4 j i i' ( E . ,f . . ). La s i t u a t i o n suivante se 1 J1

pr6sente souvent naturellement : (E . ) . . est une famille f i l t r a t e 1 It-I pour l ' i n c l u s i o n de sous-espaces de E , Ei f E . si i f j e t t e l l e J que E = 0 E i ; s u r chaque Ei est donnke me topologie localement convexe skparke

t e l l e que pour t o u t

Ti

une topologie moins f i n e que

et

f..

31

sur E

T . . On note

l ' i n c l u s i o n continue relative &

EiCEj,

1

E. - S E

(E.,Ti,fi) 1

que l a limite inductive r e l a t i v e

1

j'

Tj

induit sur

l'inclusion

f.

1

Ei + E

S i l a topologie inductive

e s t skparke a l o r s

(E,T)

T

n'est autre

( E . , T . , f . , ). Deux c a s particu1

1

J1

l i e r s importants : 1 ) Une limite inductive de sous-espaces e s t s t r i c t e s i :

a) les

E~

f o m e n t pour l t i n c l u s i o n me s u i t e c r o i s s a n t e ,

b ) Tn+l

i n d u i t sur En

l a topologie

Tn.

Dans ce c a s l a topologie inductive T e s t sgparke e t i n d u i t Tn sur chaque de

E

sont complets il en e s t de m&me En e s t borne dans E s i e t seulement s i il

En ; de p l u s s i l e s

e t un ensemble

B

est contenu e t born6 dans un En. L'espace

a

(U)

des f o n c t i o n s

indkfiniment dgrivables h support compact dans un ouvert e s t un exemple de t e l espace.

U de

Rn

Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes

6

2) Un e l c E

e s t de S i l v a s ' i l e s t l i m i t e inductive s t r i c t e

d'espaces de Banach En

de norme

l'injection

b)

pn

t e l s que :

e s t compacte.

En -En+,

Dans un t e l espace pour qu'un ensemble

A

s o i t ouvert il f a u t

e t il suffit gue AnEn s o i t ouvert dans En pour t o u t n. L'espace H(K) des germes de f o n c t i o n s analytiques s u r un compact K de e s t un exemple d'espace de S i l v a : sur l ' e s p a c e des fonct i o n s analytiques au voisinage de K on d k f i n i t l a r e l a t i o n d'kquivalence suivante : s o i t U,

et

et

U2

f2cH(U2) par d k f i n i t i o n f , m f ,

de K

H(K)

espaces de Banach En

w

W

fl = f

(Un)

dkcrois-

En

l'espace

d'adhkrence compacte e t not6

des fonctions continues dans f

et

o& l ' o n a considkrk me s u i t e

sante de voisinage de K cations

s ' i l e x i s t e un voisinage

s u r W. L'espace quotient 2 e t m u n i de l a topologie limite inductive s t r i c t e d e s

t e l que W C U, A U 2

est note

K, f l c H(U,)

des voisinages de

U

e t analytique dans Un ; l e s applin sont l e s r e s t r i c t i o n s de H(U) + H ( U ) pour V c U.

P l u s gknkralement t o u t espace dual de Frkchet nuclkaire (

)

e s t un espace de S i l v a . P a m i l e s propri6tks c a r a c t k r i s t i q u e s des espaces n u c l k a i r e s nous choisirons c e l l e - c i come d k f i n i t i o n : un e l c skpark e s t nuclk-

a i r e si

sa topologie peut etre d k f i n i e p a r une f a i l l e

mi-normes prkhilbertiennes, c'est-&-dire que pour t o u t

(pi) i

de se-

l'espace

(E,pi)/pY1 ( 0 ) e s t p r k h i l b e r t i e n . Voici quelques propriktks de stab i l i t k d e s espaces nuclkaires : t o u t sous-espace fermk, t o u t e limite p r o j e c t i v e , l i m i t e inductive dknombrable d'espaces nuclkaires e s t nuclkaire. Un e l c s E

est nuclkaire s i e t seulement s i son complktk

l ' e s t ; un espace de Frkchet ou un dual de Frkchet, e s t n u c l e a i r e si e t seulement s i son dual est nuclkaire ( l ' e s p a c e

cI

avec

I non

dknombrable e s t un exemple d'espace nuclkaire dont l e dual n ' e s t pas n u c l k a i r e ) . Tout Frechet nuclkaire e s t de Schwartz donc separable, l'espace

H(U)

des fonctions analytiques dans U

muni de l a topo-

Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes

7

l o g i e de l a convergence compacte e s t un exemple de Frkchet nuclk-

e::t

H(K)

aire e t

uIi

JIFJ

espace

(x,)

est un e l c s , on d i r a qu'une s u i t e

Si E

de

E

convere

x -0 pour t o u t e s u i t e (,\ n ) de n n s c a l a i r e s . Cela Qquivaut h d i r e que pour t o u t e semi-norme continue p

trks fortement v e r s 0

si

( p ( x n ) ) est n u l l e h p a r t i r d'un c e r t a i n rang. S ' i l e x i s t e

l a suite

une s u i t e convergeant trks fortement v e r s

E

s u r un e l c

0 donc il

n ' e x i s t e aucune norme continue ; l a rkciproque e s t v r a i e s i l ' e s p a ce e s t mktrisable. Exemple de t e l s espaces : t o u t produit i n f i n i d'espaces semi-normks,

Rn),

Lfloc(

f o i s continues dans un ouvert

l'espace

Cp(U)

des f o n c t i o n s p

U d'un espace complktement r k g u l i e r

e t muni de l a topologie de l a convergence compacte. Propriktks d'approximation e t d e n s i t k .

de

(eiliE I d'kldments

est linbairement indkpendante s i pour t o u t e sous f a m i l l e f i -

E

nie

un espace v e c t o r i e l , une f a m i l l e

E

Soit

I

de

J

> . e . = 0,

l a condition

rj ca

,

entrafne

jtJ

. =

J

0,

vj E J. Dans t o u t espace v e c t o r i e l il e x i s t e , p a r l e lernme

de Zorn une f a m i l l e lin6airement indkpendante e t maximale pour l ' i n 1

x de E

clusion ; t o u t

s ' k c r i t de manikre unique come combinai-

Une t e l l e f a m i l l e s ' a p p e l l e base de Hamel (ou bai' se algkbrique), t o u t e s l e s bases algkbriques d'un espace v e c t o r i e l son f i n i e des

e

ont mQme c a r d i n a l qui s ' a p p e l l e dimension (algkbrique) de 1'espace.

S i maintenant l ' e s p a c e v e c t o r i e l e s t muni d'une topologie, une famille

de p o i n t s est topologiquement l i b r e s i pour t o u t

(e.) 1

l'adhkrence du sous-espace engendrk p a r l e s pas

i

( x ~ ) ~ +ne c o n t i e n t

x

Une famille topologiquement l i b r e e s t lineairement ind6peni' dante, l a rkciproque n ' e s t pas v r a i e . On a p p e l l e

base dans

un e v t une f a m i l l e dknombrable

l6ments t e l l e que pour t o u t

x de E

(en)

d'6-

il e x i s t e une s u i t e unique de

z

I1

scalaires

(x,)

t e l l e que n

cation

x -7

xiei, i= 1

En

x . e . = x. On note u l'appli11 n n i=l l e sous-espace engendr6 par e, , ,en

lim

. ..

Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes

8

et

l e sous-espace fermk engendrk p a r

En

('i)i>n+l

*

S i toutes l e s

s o n t c o n t i n u e s on d i t que l ' o n a une base de Schauapplications u n d e r . Dans un e l c tonnelk ( c ' e s t l e c a s d e s espaces de Banach e t de

-

Frkchet) t o u t e base est de Schauder. L ' a p p l i c a t i o n

u

a l o r s c o m e p r o j e c t i o n s u r En e t l ' o n a

En algkbrique-

E = E CD n

s'interprkte

n

urn o un = uid(m , n ) ' Lorsque l ' e s e s t de Banach l e s a p p l i c a t i o n un s o n t uniform6ment bornke;

ment e t topologiquernent, de p l u s pace

E

on dkmontre a l o r s que l ' a p p l i c a t i o n kquivalente

B

x +s2p

l[un(x)ll e s t une norme

l a n o m e i n i t i a l e , c ' e s t pourquoi il e s t t o u j o u r s pos-

11 unit

s i b l e de supposer

S1

pour t o u t

n. Tout espace h base e s t sk-

p a r a b l e rnais il existe d e s e l c non normks s k p a r a b l e s s a n s base. La n o t i o n de base e s t s u r t o u t u t i l i s k e s dans l e s espaces de Banach. Exemples de Banach h base : l e s espaces de s u i t e s

C([O,l]) d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s s u r

l'espace ces

Lp( LO, I])

,

1$ p
O .

sup. est une fonction scs.

'p est une fonction convexe croissante telle

v

.

= lim

\p(t) t = -00 d) la limite dkcroissante d'une suite (v ) si cette limite O(n est $--a PROPOSITION 1.1.8.Soient E u n evts, U un ouvert de E , ~ ( - 0 0 )

-

.

un espace topologique localement compact muni d'une mesure

T

de Radon p positive b support compact mktrisable et

f

fonction dkfinie s u r

U x T B valeurs rkelles et semi-conti-

nue supkrieurement. A l o r s , la fonction F

,

-

dkfinie sur

U par

F(z) = Jf(z,t) d F ( t ) est scs ou -a. Lorsque E est mktrisable, la dkmonstration est simple et baske sur le lemme de Fatou. Dans le cas gknkral, nous utiliserons sans dkmonstration les rksultats suivants (voir, par exemple, Dieudonnd I1E16mentsd'analyse II", Gauthier Villars) : I) Soient X un espace localement compact mktrisable et s6parable,

p une

f une fonction p -

mesure de Radon positive et

mesurable. A l o r s pour tout compact K existe une partie compacte K'

de K

telle que la restriction de f B. K'

et pour tout f ? 0 il

telle que p ( K - K ' )
I

t

)f(X+hs)( =

IM

,

soit

; ona :

t

l\hs\l =

03

+

1

,

)

E ,O s termes

Pour t o u t sup

B(X, f donne e t

( 2 P 2 )" - 1 ----------2pt

,

+CO

-

I

on a u r a :

.

B(X,k ) 2 ) Le thdorkme 1 .3.1. n ' e s t pas v r a i s i . E

e s t un espace

norm6 non complet. Exemple : L'espace

E = Coo

d e s s u i t e s n u l l e s s a u f un nombre

f i n i de termes m u n i de la norme par

f(x)

=

z n>o

E

,

sup

et

f

soit

h S

6

. Ddfinir

f

xnx c ' e s t une f o n c t i o n G-analytique dans o n *

localement born6e donc c o n t i n u e dans

mais

F =

u

= {x E E

,

lxol< 1 )

n ' e s t pas c o n t i n u e a u p o i n t X = ( l , O , ...). En e f f e t , 1 0, ...) on a Ilh,\\ = 1 et =(---I

o,...,o, --Js'

J' B

---

d;s

Fonctions plurisousharmoniques

1

1

f(X+hs) = ( l + - ) C ( l + i ) s

F P \F

.

tend vers

+oo

33

avec

,

s

d'ob le r6sul-

tat puisque f(X) = I 3 ) Le th6orkme 1.3.1. n'est pas vrai si E est m e limite inductive stricte d'espaces de Banach. Exemple : E = Co ((xn),(yn))

et F est le dual de

le point courant de

f(x,y) =

yp fp(x)

P 20

ExF et posons

c o m e dans l'exemple I ) , on a posd

. C'est une fonction G-analytique car analyti-

(xpx )"

fP (x) = que en x

,

ob

6(h/, notons

0 0

et lindaire en y et, de plus, on a If(x,y)\ < 4 dks 1 2 et P q l < 24 donc f est continue au voisinage

que lxpl de l'origine. Montrons que f n'est pas bornge, donc n'est pas

continue, au voisinage du point

U un voisinage de ce point, V = (x,y) xo = 2, Ixils arbitraire, choisir d'abord Po M tel que (2 t ) ----

C I

">

.

(X,O)

pour

( a l , b l ) eV

i3 1

,

et

5., .

Jb.1 5 E j

po tel que 2 t 7 1 Enfin, si l'on dkfinit

M

Pour

puis 90 (al,bl)

,...,0, 1. ,O ,...),

b' = (0 *

I

q

If(a',b')\ > M et donc dans U

et

pas bornde dans V

= (2,0,...). Soit

OJ

0, C ,O ,...) par a t = (2,O p 0 +1 termes

on a

X

il contient un ensemble de la forme

PO

,...,

ob

.

0

termes

qui montre que

f n'est

1.4. MYON DE CONVERGENCE D'UNE APPLICATION ANALYTIQUIJ --Dans tout ce chapitre, E Banach,

B(x,r)

et F ddsignent des espaces de

B(x,r) l a boule ferm6e. DEFINITION 1.4.1 .- Soit f

: U C E

. s F

r 7 0 tels que la sdrie f(x+h) = uniformdment dans la boule B(x,r).n

R(x)

< R(xl) +

x

et IIx

XI

- xlII

de

U

,

,

m e application est le sup des

analytique, le rayon de convergence Rf(x)

Pour tout

de rayon r

la boule ouverte centrde en x

.a,..

(x;h) converoe

la ddfinition entrafne que

d'ob, en permutant x

et

XI

,

Fonctions plurisousharmoniques

34

IR(x)

- R(xt)l
o . THEOmME 1.4.2.-

, de

x + Rf(x)

est donc

plus, en tout point de U

Soit

f : U C E ->.F analsrtique, alors -Log Rf est une fonction plurisousharmonique dans U oh -03. DQmontrons dlabord le leme suivant : LEMME I .4.3.- Soit g(x> = Zen(x) une sdrie convergeant en tout point d'une boule centrde en 0 oh les 4n sont des applications polynorniales homoabnes de dear6 n Le rayon de converrence de la s6rie est &gal h la borne. supdrieure des soit b o d e sur B(O,r). r 0 tels que la famille D6signons par R Is rayon de convergence et par R' le sup des r tels que les fn soient uniform6ment borndes sur

.

(en)

>

B(O,r). Pour tout

pour tout

r < R' llhll 4 r

n \~g(x)t~~Z.~~ n (X>II M < +a r & R , d t o h Rf 6 R R , la s6rie converge uniformdment et


P RQciproquement, si r

.

Z-(it)

m6me de la famille d$ D'oh R 6 R ' 2i n 4

---

.

I

DBmonstration du th6or'eme : Montrons que 1 = lim sup 11 I1 n' n nco I 11 slensuivra que -Log R(X) = lim sup 5 Logl),t(x)/l avec l a notation IIen(x)$ = sup /I en(x,h)ll Come la fonction

. .

.

llhll =1

est analytique, la fonction -Log R est de classe x +cn(x,h) M ; or, on sait qulelle est continue, cfest donc une fonction 0 , sup 11 &(x)lI,C M

donc

(R- t )"

sup llhU =I

11

llNl 6 R-€

tn(h)ll ,

Rkciproquement, pour tout une infinit6 dlindice n

&-dire

(R+f

In

/lcnll>/

O , C

Dour tout U-born6

dg(u)

,

Pour tout compact K & U

B de U

, d@pb(u)

d

>0,

,[U)

04 A

u =Uui, u ~ c u ~, +ui~ = {vi(

,

O)

, [ U )

v i est une

fonction plurisousharmonique dans un voisinage de

-

ui

.

La demonstration se fait suivant le schema suivant :

2)+=$. 2)==+

3) par l e lemme 2.1.5. 1) car -log d = sup 112'11

- l o g dU

est m e fonction psh

dtant un

-log d

= 1

de

sup de fonctions psh

z

U

( 2 , ~ ) ) ;

donc si

pour tout

et de plus

z,

scs, est

,

-log d

psh.

.

1) = = j7) il suffit de prendre v = - l o g d - n n 7)==-3 il suffit de considdrer, pour tout sous-espace

7

dimension finie, la restriction des v

i

B

F de

F et d'appliquer

,

Notion d e pseudo-convexit6

46

le resultat connu en dimension finie.

5)==+ finie

.

3) il suffit de considerer des compacts de dimension 5) car Pc(U)

4 ) -

4) et

c P(U) , donc

6) se dkmontrent exactement de la meme manihre. Par exemple, pour l)=+ 6), soit B un ensemble A on a -log d(z) & sup - l o g d U-brnk, pour tout z de B B Pb(U) car -log dePb(U) , 51 stensuitque d(z) ?sup d pour tout z A B de B , ctest-8-dire que d(g,lU) )/d(B,l U)> 0 1) ==$

1J ==$

.

REMARQUE 2.2.2. On peut, dans 1'6nonc6 du th6or&me, remplacer les inkgalites des conditions 41, 5)et 6)par l'kgalitk de la distance h la fronti'ere des ensembles K ou B et de leurs enveloppe

par exemple

, [u)

d(%(u)

= d ( ~,

CU) 1

. De plus,

en remarquant que - l o g u appartient 8 Pb (u) pour tout u de E t et en se servant du leme 3.1.2., on peut remplacer les conditions 4), 5), suivantes :

4')%

C

(u)

6) par les conditions kquivalentes

est pr6compact dans U pour tout compact K de KJ It

A

6 t )BPb(U)

11

I1

It

.

est U-bornk pour tout ensemble U-born4 B

Dans 4') (resp. 51) , K sera compact (resp. relativement compact) si E est un espace de Banach ou, plus gkn6ralement, si l'enveloppe convexe fermks d'un compact est compacte. REMARQUE 2.2.3. Lorsque l'espace est ¶ble, on peut construire une fonction plurisousharmonique dans U non bornke au

.

.

voisinage de tout point de U On part de la condition 6) Soit (x ) une suite dense de points de U telle que chaque n

,

Notion d e pseudo-convexitd

47

terme apparaisse une infinite de fois, on dkfinit une suite d'ouverts :

-

.

Pour tout n , il U-born6s tels que U n C Un+, ,V Un = U existe vn dans Pb(U) et zn dans U tels que 6 En ajoutant une constante z E U Un et vn(zn)> sup vn n

-

u-

.

I1

puis en multipliant vn par un scalaire positif, on se ramkne . . au cas oh vn(zn) = n et sup v \< o Posons TT " n ) et ~ ( z ) =zun(z) La fonction s est un = sup(vn ' -2 n c o m e limite d6croissante de plurisousharmonique ou

.

'

.

-

sf

telles fonctions (les somes partielles). Or pour tout z

de

U1

tion S est donc psh avec n

,

, on a

-2

1 -2

: S(z)>

et S(zn) = n

kfn

d'o6 le resultat.

>-*o

k2

- 90

car,

. La fonc-

tend vers

+!p

2.3. Cas d'un elc non semi-normd. _ I L I _

Si p

est m e semi-norme continue sur E

,

on notera par

(E,p) l'espace E muni de la topologie engendrke par la seule semi-norme p

et par E~ = ( ~ , p )/ p-'(o>

associk. Un ouvert de

-

E sera dit uniformement ouvert (ou

p-ouvert)s'il existe une semi-norme p vert dans

(E,p)

llespace norm6

.

telle qulil soit ou-

Considgrons une classe dlespaces qui g6neralise la classe

des espaces produits d'espaces semi-norm6s.

DEFINITION 2.3.2.-&

JKUAQL

P AS

dit au'un

elc

N-wojectif) U e

-e

r

DOSS8de

la propri6te

(C)

sa toDolotzie est definie Day s c o w e s telles a=,

T , L'aDDucation

: E-El

est ouverte,

ce

qui 6quYvaut h dire gue la topologie initiale tie E et la topologie engendree par la semi-norme p induisant des topologies

Notion d e pseudo-convexit6

48

,

kquivalentes sur

ceci pour tout p

de

Exemples de tels espaces : a) E E~ oh les Ei sont des espaces semi-norm6s.

=n

(X ; L) , espace des applications continues sur x complktement rkgulier (come, par exemple,RTR" ou C" ) B valeurs dans un espace norm6 L et muni de la topologie de la b) E =

.

convergence uniforme sur les parties compactes de X P + 06 , espaces des applic) E = L loc (X ,p , L) , 1 \< p cations h. valeurs dans un espace norme L de p-ikme puissance localement p-intkgrables sur X

localement compact avec une

mesure de Radon p>,0 et munis de la convergence en

p -moyenne d'ordre p (avec l'interprktation habituelle pour p = + a

) .

E , alors E si et seulement stil est normk. Nous

REMARQUE : S'il existe une norme continue sur

posskde la propriktk

(C)

verrons plus loin qu'en dehors du cas normk il y a deux classes d'espaces o h lton peut obtenir des rksultats intkressants, ce sont les espaces nuclkaires et les espaces poss6dant la propri-

.

ktk (c) PROPOSITION 2.3.3.E est un elc poss6dant la propridt6 (C) , tout domaine pseudo-convexe de E est uniform6ment ouver t , Cette proposition est une conskquence du theoreme 2.1.7. car alors E/pTA) d E p Dans de tels espaces, la proposition permet de se ramener au cas norm6 pour dtudier la pseudo-convexit6

.

2), 3 ) , 4), 5) et 7) du th6orkme 3.2.1. sont kquivalentes. En particulier dans un elc avec et, alors, les condition

propriktk

(C) la pseudo-convexit6 est 6quivalente b la

convexitk par rapport aux fonctions plurisousharmoniques continues. La proposition ci-dessus ne se gdnkralise pas B n'importe quel espace car on peut donner dans un espace de Fr6chet ne poss6dant pas la proprikt6

(C)

, un

exemple de domaine

49

Notion de pseudo-convexiti

pseudo-convexe, qui nlest pas uniform6ment ouvert. LEMME 2.3.4.- Un ensemble p-ouvert

U & P(U)-convexe si et

seulement si il est P (U)-convexe OG Pp(U) P ble des Ql6ments p-continus de P(U)

d6signe l'ensem-

.

n

fi

En effet P (U) cP(U)

P

donc

5

.

( u) 3 I$(u) R6ciproquement si

%. .

kJ

U est P(U)-convexe il est pseudo-convexe et le reste lorsqu'on considitre U

comme un ouvert de

(E,p)

. C'est

donc un ouvert

P (U)-convexe car on est dans le cas semi-normk. P Soit maintenant p une semi-norme continue sur E d6finit la p-distance 'a un ensemble A dp(z,A)

,

on

par :

.

inf p(z-y) Cette distance satisfait 'a Y e A p(z-zt) ; de plus d (z,A) = 0 si et (dp(z,A) - dp(zl,A)l P seulement si z est dans l'adh6rence de A dans (E,p) =


,

,

[U

51

n'appartient pas 8. l'adhkrence

zo

c'est-&-dire

[Up

,

et ensuite que

1 ; l'inkgalitk ktant vraie pour tout

z

.

A

0

de

A

K

K + B ( 0 , l ) est contenu dans U D'ob le P P resultat puisque K est contenu dans l'enveloppe convexe de K Si, pour tout espace F de dimension finie, on applique 8. chaque restriction U r\ F les rksultats coilnus en dimension finie, on constate que la reunion d'une famille filtrante croissante d'ouverts pseudo-convexes est pseudo-convexe et qu'un ouvert localement pseudo-convexe (c'est-L-dire, tout point de 'aU admet un voisinage V pseudo-convexe tel que U n V soit on en deduit que

A

.

pseudo-convexe) est pseudo-convexe. Par contre, dans le cas non semi-normk, on ne sait pas montrer qu'un ouvert P(U)-convexe est Pc(U)-convexe

; on sait seulement que :

,

PROPOSITION 2.3.8.- Dans un elc

tout ouvert pseudo-convexe

est reunion d'une famille filtrante croissante d'ouverts

(Up)

gui sont pC ( Up)-convexes. En effet, par la proposition 2.3.5., pour toute semi-norme p

telle que U

contienne une

tkrieur de U dans donc, (E,p)

(E,p)

p-boule de rayon non nul, l'in-

, notk

, est

B tant semi-normk ,

pseudo-convexe et

-convexe par le lemme

2.3.4.

,

U et U' deux ouverts de E , U C U ' et U' pseudo-convexe. On dit que U est pseudo-convexe par rapport Ut U est kgal & la limite 0 ) ob les croissante dtouvc?rts Un dkfinis par Un ={vn< v sont des fonctions plurisousharmoniques dans U' n DEFINITION 2.3.9.- Soient E un elc

.

2.4. ----Cas des espaces Qtalks. -DEFINITION 2.4. I

.- Yn espace Qtalk (ou surface de Riemann) est

la donn6e dtun triplet

!X ,

IJ

F ~ L - - - c - cet 1,1,.i9~~-.i'~,irltxe, 7 bSU1L

, E) hi

& 4

:

X

--

X est un espace topoE ;ui hl&omrphlsme

52

Notion dr pseudo-convexitt!

E t a n t donnee une p a r t i e

XI

l e f a i t que donnds z

eX ,

LEMME 2.4.3.-

u

, E)

f : X-

v

u(Xf)

u(A)

.

et

IA

Soient

y

X"AJ

u ( X ' ) n u(A)

, x'n

u(X")

X1uX"

e s t dans

n ' e s t a u t r e que DEFINITION 2.4.5.-

N

P

, X'

ouverconne-

, il

xt

suffit

si

x

alors

e s t dans

deux o u v e r t s de X"

et

. Come

u(A)

un p o i n t de l ' a d h k r e p c e ,

y

f pl &

u ( X 1 ) U u(Xtl)

avec

u(X'

n A),

t e l s sue

X

U ( x l ) n

u(xq

. sur

u

x t t dans

XI

u

XI XIt

V

.

XIt

, le

u ( X ' ) n u(Xtt) q u i , p a r l e lemme precedent

u(X1n

XI1)

Pour t o u t

pOSe: d (x) = SUP

t e l l e que

n u(A)

u ( X t r \ A ) = u(Xl)

& X"

X'

u ( x l ) = u(xtl) = y

point

v

u(Xl)

I1 s u f f i t de v e r i f i e s l ' i n j e c t i v i t e de

Si

de

x

v , ~ u ( v ) et

psh)

.

. En e f f e t ,

on a : u l x ( y ) = u - l ( y )

connexe. Alors,

F

A W ~ ( X ' ) ~ ~ ( A )

-1

N U(X'>

j

g x j R , ) gera

t e l que

(resp. v

de montrer q u ' i l est ferme. S o i t

X'

r

(resp. v : x

,AN

e s t o u v e r t dans

LEMME 2.4.4.-

, I ~ 0

. On a x

donc

x'

& X et

= u

a

-1 \x'n xll(Y)

& E - {O]

t e l s q u ' i l e x i s t e un o u v e r t

= x".

, on "r

Notion de pseudo-convexirk

contenant x

tel que

XIr

d(x,xl) = sup des r Xttr

,

wBP(u(x)

>0

53

r) ,

tels qu'il existe un ensemble

.

tel que X" ~ D ~ , ( u ( x ), r)

contenant x

r

Par le lemme 2.4.4. l'ouvert

est unique et croissant

XIr

. On le note

B (x,r) et l'appelle, par abus de lanP gage, "p-boule dans X de centre x et de rayon r t l . On montre sans peine que la fonction d est p-continue et vdrifie P On peut monlocalement Idp(x) - dp(xI)IQ pp(x) - u(xt)] trer aussi que Xttr est unique pour tout r et croissant avec r ; de plus, d est semi-continue supdrieurement sur X x(E et d ( x ) = d(x,x') pour tout x de X P

avec r

.

.

to\)

Si A

X

,

dp(A) = inf x e A

on pose

.

dp(x)

DEFINITION 2.4.6.- On appelle "marmite vide" le compact de

2

d6fini par : No =

LIZ, I d

1

8

z2 =

oju(p,= I

La marmite*pleine" est ddfinie par M1

=

{pl 16 1

9

z2 6 [WJf

9

22

i0,Ij).

:

.

La marmite'lpleine au niveau t I' sera alors ddfinie par :

M~

= fizll

d' 1

,

~o,tjjc, { l z l l

22e

= 1

22

ro,l]\.

Le thkor&me suivant introduit la notion de pseudo-convexit6 dans les espaces 6tal6s. THEOREME

2.4.7.- 2 (X

, u , E)

dessus d'un espace de Banach E

est un domaine 6tal6 au-

, les

conditions suivantes

sont Qquivalentes : 1 ) - l o g d(z)

sur -

X

.

est une fonction plurisousharmonique continue

2 ) - l o g d(z,zl)

est une fonction psh

sur X x(E-{O$).

3 ) X est finiment pseudo-convexe. 4) toute application analgtique dlun voisinage de la marmite vide 'a valeurs dans X se prolonge analgtiquement

Notion de pseudo-convexiti

54

la marmite pleine.

5) pour tout compact K & X

,

fi

d($(X))

>0

.

Un espace ktalk posskdant ces propriktks est dit pseudoconvexe

.

REMARQUE : La condition 4), qui en dimension finie n'est autre que le "Continuitatsataft, entraine que la notion de pseudoconvexitk ne depend pas de 1'6talement choisi. La demonstration du thkorkme se fait selon le schema suivant :

Rappelons qu'un espace X est finiment pseudo-convexe si sa restriction au-dessus de chaque sous-espace vectoriel

F de dimension finie de E est pseudo-convexe. 2&=$

3

et

2J=*

nition de d(z,z')

.

1)

sont consequence immediate de la dkfi-

5J se montre de la m6me manikre que pour les ouverts = d(K) d'un espace de Banach ; de plus, IJ=+

d(2)

.

?==+ ?/

3) se montrent en considerant, dans le et 4)=+ premier cas, les compacts de dimension finie et, dans le deuxihme cas, les applications analytiques B valeurs dans un F ' * dim F < + m et en appliquant les resultats connus en dimension finie. I)==+

4).

Supposons -log d

plurisousharmonique et soit f

une application analytique d'un voisinage de la marmite vide Mo dans X ; il faut montrer que f se prolonge analytiqueCome f(Mo) est compact, il existe E 0 tel ment B M

.

>

.

>

que d(f(l~lo)) 3 I, 0 En d Lmension finie toute Yonctiox, L ~ : ~ t a lytique au vo I - I I E ~ E ' de se prclonge h MI , ce qui entralMo ne, par UH resdltat qsle nous dPasLtrerons plue loin (th. 3.7.).

Notion de pseudo-eonvexitt!

55

qu'il en est de mQme des applications analytiques h valeurs dans un espace de Banach. C'est le cas pour u G f ; l'appliu cation prolongee, notde u c f , est uniformgment continue sur

M,

-

et lton peut donc choisir 1

entrafne

-IIU o

f(x)

-

d

u

>0

f(y)II 4~

tel que 11 x

.

-

yl\< 27

Supposons que

f se

rJ

h valeurs dans X , au voisinage ft de la marmite Mt remplie au niveau t La fonction -log d o f est donc plurisousharmonique dans un voisinage de t Mt , or Mt est contenu dans l'enveloppe P(U) -convexe de MO d'oc d [ft(Mt)]>/ d [ft(Mo)] 3 t 0 Pour tout x de M t il r6sulte, de ce qui preckde et de la definition de 7 , que 2 se prolonge analytiquement dans la boule de 6: , de ft centre x et de rayon q , et que tous ces prolongements se recollent. I1 s'ensuit que ft se prolonge analytiquement au voisinage de M , d'oh le r6sultat. t+rl Lorsque l'espace E est un elcs sequentiellement complet non norm&, on peut encore donner plusieurs conditions dquivalentes de pseudo-convexit&. La dgmonstration, que nous laissons au lecteur le soin de faire, stinspiredu paragraphe 2.3.

prolonge en une fonction

.

> .

(X , u , E ) est un espace eta16 au-dessus sgquentiellement complet, les conditions suivantes

THEOREME 2.4.8.-

d'un

elc E

sont Qquivalentes : 1 ) -log d(z,z')

est une fonction plurisousharmonique sur

.

X x ( E -{Of ) 2) X est finiment pseudo-convexe.

3 ) x satisfait b un t~ContinuitatsatzI1. 4) Pour tout K compact, il existe une semi-norme continue p

E telle que dp(/;ip(X))

>

O

*

REMARQUES :

a) Si le domaine est tel que les fibres de u soient finies, on peut remplacer la dernikre condition des thgorkmes 2.4.7. et 2.4.8. par la condition suivante : "Pour tout compact

Notion de pseudo-convexiti

56

K

x

de

X

, llenveloppe

A

K

P(X)

e s t r e l a t i v e m e n t compactedans

",

b ) Les c o n d i t i o n s I / ,

2)et V r e s t e n t e q u i v a l e n t e s s i l l o n

r e t i r e l ' h y p o t h k s e de complktion s u r c ) Les theorbmes 2.4.7.

e t 2.4.8.

E

.

peuvent s t 6 n o n c e r pour

l e s espaces non connexes en c o n s i d e r a n t chaque composante conne-

xe de 1' espace.

Notes : L a n o t i o n de

convexit6 par r a p p o r t & une f a m i l l e de f o ct i o n s e s t bien connue en dimension f i n i e ( v o i r , par exemple (457). En dimensi n ' n f i n i e , l a pseudo-convexit6 a 6 t 6 Btudige p Bremermanny113 dans l e s espaces de Banach, p u i s par CoeurkTl5) e Banach. Le th6odans l e s espaces Qtales au-des us d t u n espa rbme 2.1.7. e s t db & Dineen(267 e t Noverraz, 2.1.11 montre que, l o r s q u e l t e s p a c e e s t semi-norm&, t o u t e s l e s n o t i o n s de pseudo-convexit& ou de convexit6 plurisousharmonique ue l ' o n peut i n t r o d u i r e coiincident Les r e s u l t a t s du c a s g e n e r a l qparagraphe 2.3.) se trouvent en (76j e t montrent, e n t r e a u t r e s , que l a d i s t a n c e r e l a t i v e a une d i r e c t i o n remplace l a d i s t a n c e e du cas normk. La c o n d i t i o n ( C ) a B t k i n t r o d u i t e p a r 70) ; dans l e s espaces possedant c e t t e p r o p r i e t k , l e s domaines pseudo-convexes a i n s i que l e s f o n c t i o n s o n t , grbce au theoreme 2.1 . I . , d e s p r o p r i e t e s de f a c t o r i s a t i o n q u i permettent de s e ramener au c a s norm&. Le theorkme 2.4.7. complete un r g s u l t a t de Coeurk(l5) t u t i l i s e l a n o t i o n de "marmite" i n t r o d u i t e p a r Hirschowitz(467

.

.

C H A P I T R E

I11

NOTION D'ENVELOPPE DtHOLOMORPHIE _--_Nous construisons l'enveloppe d'holomorphie d'un espace Cette enveloppe posohde connexe ktalk au-dessus d'un elc E une propriktg de convexitk holomorphe et les fonctions analytiques &parent les points de l'enveloppe. En outre, lorsque E est un espace de Banach, l'enveloppe ne depend pas de l'ktalement choisi. Nous etudions aussi le prolongement des applications analytiques.

.

Dhs que l'on essaie de prolonger une fonction ou une application analytique en dehors d'un ouvert d'un elc , apparait en general un phgnomhne d'ktalement -exactement le m&me qu'en dimension finie- et la fonction initiale et son prolongement peuvent ne pas coEncider en tout point de l'ouvert. Le cas de figure suivant est bien connu :

Si l'on suppose que 1'616ment

f de

H(U)

admet un prolon-

gement hors de U , c'est-&-dire qu'il existe deux ouverts connexes U, et U2 tels que : a)

6 f u2 CU, r \ u

U, 4

u

P

f 2 ! H(U ) qui coIncide avec f sur U 2 2 A Les fonctions f et f coYncident s u r la composante conneb ) il existe

xe de U,

qui contient U2 mais il n'y a aucune raison pour

qu'elles coYncident sur les autres composantes connexes de U,

nU . C'est

pourquoi, bien que nous ne soyons pas directement

intkressQ ici par les espaces Qtalds, il est necessaire de

Notion d'enveloppe d 'holomorphie

58

prouver l'existence de l'enveloppe d'holomorphie dans ce cadre gkn6ral. Nous montrerons au chapitre suivant que si un ouvert d'un

elc posskde la propriktk de Runge, son enveloppe est

"vraifldomaine. Dans tout ce chapitre, les espaces

(X , ' f )

Un

Qtal6s au-

dessus dlun elcs E seront toujours supposes connexes et munis de la structure analytique complexe induite par celle de E Si

.

(X

,y )

et

,9 ' )

(XI

sont deux espaces &tales sur un meme es-

pace E , un morphisme (dfespace&tale) entre (X , I f ) et (XI , y ' ) est la donnee d'un isomorphisme analytique local

y

: X-XI

.- Soit

DEFINITION 3.1

.

y=

tel que

(X

,y )

un espace 6talk sur E

.

) sur un espace eta16 (XI , y ' ) era si toute fonction anadit une extension analytique & (X ,'f) lytique sur X se factorise de facon unique b travers u (c'est-&-dire, pour tout f de H(X) il existe f' unique dans morphisme u

de

(X

,y

.

H(X1) tel que f = f' 0 u) Un espace &talk (X , y ) sera appele domaine d'holomorphie si toute extension est un isomorphisme. DEFINITION 3.2.- On appelle enveloppe d'holomorphie d'un espace

&tale (X , \ p )

la donnee d'un espace &tale

(';f

u , -

,?)

et d'une

extension analvtique u : (X , '4) j ( x , Y ) maximale en ce sens qu'elle se factorise analstiquement 'a travers toute extension analytique de

(X , 'f)

.

L'enveloppe d'holomorphie n'est autre que le domaine maximal de prolongement simultand relatif b la famille de toutes les fonctions holomorphes sur (X , y ) , Elle est unique b un isomorphisme prks. Toute enveloppe d'holomorphie est un domaine d'holomorphie. THEOREME 3 . 3 . - Tout espace Qtal6 au-dessus d'un

elcs admet une

enveloppe d'holomorphie unique b un isomorphisme p r k s .

Notion d 'enveloppe d'holomotphie

59

Rappelons que si F = \\Fi est un produit d'elc it1

,

f une

. et si l'on note f = (fi) , application d'un elc E dans T F 1 sont les applications coordonnes E-F. , alors o b les fi 1 l'application f est analytique si et seulement s'il en est de m&me de chaque fi

(ce rksultat ne serait pas vrai si, dans la

definition de l'analyticite, nous avions pris la condition "localement born6e" au lieu de "continue").

I l'ensemble des fonctions

DEMONSTRATION du theoreme : Notons

X , 8 ,le faisceau des germes de fonctions holomorphes s u r E et @E,a l a fibre du faisceau au-dessus , , c'estdksignera d'un point a de E au-dessus de V Posons &-dire l'ensemble des sections de X' ={(a , (hi)) ; a t E , (hi)tn @E,a tel qu'il existe un tels voisinage V de a dans E et des gi dans

holomorphes s u r

.

uE(V)

r ( V ex)

%

.

VE(V)

,

i de I

que, pour tout point

(gi)a = hi].

5. I , on dkfinit le germe de Soit f = (fi) : X(fi)i e 1 en a c o m e suit : on dira que (fi) et (gi) sont s'il existe un voisinage U de a

Qquivalentes en a dant de

i tel que, pour tout

et

gi soient holomorphes s u r

de

(fi) en a

d'kquivalence de

, not6

I , les applications fi

.

U et f.

,

= g sur U Le germe i i n'est autre que la classe

(f.) pour la relation qui vient d'btre dkfi1

nie et l'ensemble XI ble des couples

(fi)a

i de

indkpen-

(a

,

dkfini plus haut n'est autre que l'ensem(fi)a)

,

oh

germe d'une famille (fi) en a

a t: E

et

(fi)a

est un

(ceci suppose bien que, dans

chaque famille, les fonctions fi soient toutes dkfinies dans un m&me voisinage de a)

.

V de E et pour tout (gi) d e 7 BE(V), posons N(V , (gi)) ={(a , (gi)a) , a & V). Les ensembles N(V , (gi)) engendrent sur XI une topologie plus fine que la topologie produit, donc skparke. (XI ,'f") est alors un espace Pour tout ouvert

6talk o b

'p' est dkfini par

'f' (a

,

(hi)) = a

,

Notion d 'enveloppe d'holomorphie

60

Dkfinissons une application u1 : X-X'

de la manikre

suivante : soit x dans X , il existe un voisinage U de x tel que yIu soit un homkomorphisme de U sur '4 (U) ; pour

, le germe o ('f : 1 ) ) y(x), ne

toute fonction analytique sur X f

(

o

.pi;')

nage U

,

note

(f

choisi mais seulement du point

(fix)

est alors definie par : ul(x)=

en

depend pas du voisi-

x , L'application u'

iCfi 0

9

(x) de

y-lj

~(x)}i~~)~xt*

Compte tenu des definitions ae u et de la topologie de XI , l'application u' est continue et est un morphisme d'espaces &tales. Comme X est connexe, il en est de m8me de ul(X)

. On note

XI

X la composante connexe de XI II

ul(X) et u la restriction de u1 & .v

dans

d

X

qui contient

. La restriction 'p

'v

de

, qui n'est

'f"

X fait de

W

(% ,'p )

autre que l'application (a , (hi))a , un espace &tale au-dessus de E et u un mor-

.

w v y

phisme de (X ,\p) dans (X ,'f ) I1 reste B verifier que toute fonction f holomorphe sur X se prolonge & X (c'est-&-dire W

.-./

d

qu'il existe une application unique f , holomorphe sur X et 'v h / ? / telle que f = f 0 u) et que (X , q ) se factorise B travers toute extension analytique de

(X

, notons

Soit donc f holomorphe sur X f

-'

c

au point

.

'fJ-v(x)

.

,y )

I

fx le germe de

N

et

f(x)

la valeur de ce germe en

(x) La fonction f est le prolongement cherche de f car elle est analytique sur X et, par construction de u , on a rv

f = f

c

w

u

. Cette fonction est unique car toute autre fonction

4

N

f, sur X satisfaisant b.

u(X)

,

f = fl d

qui est un ouvert de X

N

o

u

, donc

colnciderait avec f sur

dans X tout entier, par

prolongement analytique. Soit, maintenant, une extension analytique

v : (X , '4 )isomorphe B f de H(X)

-

x' -UXI , -de f une

(x , 7 ) . L'ensemble

est canoniquement H(X) ; designons par 1'Qldment correspondant B par cet isomorphisme. On va definir une application

dans XI

H(X)

comme pr6c8demment. Soient x un point de

-

fonction analytique sur X et

U un voisinage de x

Notion d 'enveloppe d%olomorphie

'91

tel que

-

ul(x)

=

[

U sur

soit un isomorphisme de

, -

\p(x)

t L F~

o~-']

'f (x)\)

61

(U) ; on pose

et on vkrifie, c o m e pr8-

. Comme X

ckdemment, que u1 est continue, qu'elle est un morphisme d'es-

-

pace ktalk et que u1 = u 1 o v

-

,

est de m&me de u'(?>

-

alors u

-

-

.

'v

le morphisme restriction de u1 5 X

(2 ,y3)-(X (? ,?)

U : que

ce qui entrafne

est connexe, il en (2) C 'j; Notons

J

4

,y)

avec u = U

o

v

,

, d'oh

ce qui prouve bien

est m e enveloppe d'holomorphie.

L'unicitk de l'er-veloppe d'holomorphie se dkmontre aiskment:

(? , y )

soit

r

v

N

(XI ,y')

et

deux enveloppes ; en appliquant la

condition de maximalit6 & chacune de ces enveloppes on obtient Y

deux morphismes

r or gent B

G

et

= iduCxZ et N

x

et XI

, ce

N

entre X et X1 , qui sont tels que 606'= idul(X) ; ces identitks se prolon6'

qui prouve que

(5 , y )

et

(5 ,?)

sont isomorphes.

Nous montreronsplus loin que pour les espaces ktalks audessus d'un espace de Banach, l'enveloppe d'holomorphie ne dkpend pas de l'ktalernent.

PROPOSITION 3 . 4 . -

(X , y ) est un domaine d'holomorphie, &

fonctions analytiques &parent

les points de X

.

DEMONSTRATION : Un domaine d'holomorphie coEncide avec son enveloppe d'holomorphie. Soient x

1

et x,

deux points de X

tels

(x,) (le cas oh y (x,) f 'p (x,) est trivial) Si, pour toute fonction f analytique sur X , on avait f(x,) = f(x2) , on en dkduirait, en Qcrivant les ddveloppements de f en x1 et x , que les germes de f en x, et x, 2 dkfinissent le meme germe en (xi) , grdce aux propriktks des polynbmes dkrivks de f La construction de l'enveloppe d'holo-

que

'p (x,)

=

.

Notion d'enveloppe d 'holomorphie

62

morphie e n t r a i n e a l o r s que

= x2 Les dornaines dlholomorphie possedent l a p r o p r i d t 6 de conve-

x i t k suivante :

Soit

THEOREME 3.5.dessus d'un

elc E

semi-norme

,

(X

)

. Pour t o u t

p

E

un domaine d'holomorphie Q t a l k au-

t e l l e que

d

k

K

compact

(2) =

dp(K)

P l l e n v e l o p p e holomorphiquernent convexe de

DEMONSTRATION : S o i t

>

d (K) =

k

p y) 4

6 ,

p

. Pour

0

X

.

K

une semi-norme de

t o u t p o i n t fix6 y

, il ,&

t e l l e que

E

de

s a t i s f a i s a n t 8.

E

Ky = 'f (K) + { A y , l X l 4 6 , Y s i s s o n s un v o i s i n a g e W convexe e t k q u i l i b r 6 de

l f l KY

d

€

le


0 t e l que, s i l ' o n pose \ , on a i t d p ( y ( K ) ) > 0 , p u i s

choisissons

J

e x i s t e une h

de

choi-

t e l que

0

H(X)

,

on a n o t 6

K h t r a v e r s laquelY A e s t un p o i n t quelconque de K , on a

l a f o n c t i o n holomorphe a u v o i s i n a g e de f

se,factorise. S i

pour t o u t

Mais

\r(x)

, 1x1 6 1

de

+

x

>, /\y+ h ,

w

et

w

de

W :

K + 6, W Y

appartient h

e n t r a l n e que :

C e t t e i n k g a l i t 6 a y a n t l i e u pour t o u t tout

w de W

, on

x

de

/-

K

,

,

ce q u i

IXl,(l

,

et

en dQduit :

w t w q u i prouve que pour t o u t

x

de

h

K la s6rie

converge localement uniformgment pour t o u t

2 tn(\p(x) ,'p(z)) z

de

B (0 P

e t d Q f i n i t une f o n c t i o n a n a l y t i q u e q u i posshde pour t o u t

,c,) x de

Norion d 'enveloppe d'holomorphie

63

. La boule

Bp(O , i l ) ne dependant pas de la fonction f considdrde, il s'ensuit que A On en tout dldment de H(X) se prolonge b K + B ( 0 , P conclut, puisque X est un domaine d'holomorphie, que

K le mbme ddveloppement de Taylor que f

cl) .

COROLLAIRE : Tout domaine d'holomorphie dtald au-dessus d'un

elc E

est pseudo-convexe.

(X , \ p )

I1 n'est pas difficile de voir que, si

est tel que

les fibres de 'p

sont finies, tout domaine d'holomorphie est P est pr6comholomorphiquement convexe, c'est-&-dire que

.

%(x)

pact dans X pour tout compact K de X Etudions maintenant le prolongement des applications analytiques. DEFINITION 3.6.- On appelle couple de prolongement tout triplet

, u , X 2 ) , & X1 dessus d'un elc E et (X,

X,*X2

et X2

-

sont des espaces dtalds au-

u une application analstique ouverte

, gui

est telle que toute fonction analstisue sur X, se factorise analstiquement b travers u

.

X est associ6 canoniquement le P u , X) d6crit dans le thdorkme 3.3.

EXEMPLE : a tout espace dtald couple de prolongement (X THEOREME 3.7.-

Soit

(X1

,

, u , X2)

un couple de prolongement

au-dessus d'un espace de Banach et F un espace de Banach ; alors, toute application analstique sur X1 se factorise b travers u

.

b valeurs dans F

DEHONSTRATION : Soient F, le produit de droite obtenu en compldtant F-F1

F pour sa topologie faible, i

et f = i o f . Cornme 1

l'injection canonique

(xl , u , x2 )

est un couple

de prolongement, il existe m e application analytique f1 = f2 0 U ' Notons X l'intdrieur de l'ensemble des points de X 2 dont l'image par f2 appartient B i(F) Cet ensemble contient u(X,) ; en effet,

f2 : X2--,F1

telle que

.

Notion d 'enveloppe d'holomorphie

64

f2

o

u(x) = i af(x) i

et, c o m e

XI

de

i est W

f" : X-

injective, il existe que

x

pour tout

F tel que

f2IX = i

o

f

. Dire

rc,

o

f est analytique Qquivaut h dire que, pour toute forme

linkaire continue 1 s u r

F

,

-4

la fonction 1

est analytique, ce qui entrafne

o

f :

xI 6

(thdorkme 1 . 2 . 1 1 ) que

N

f : X-F

est analytique. La dkmonstration du thdorkme se ter-

minera en montrant que X est fermk dans X2 point de la frontikre de X dans X2 cale au voisinage de x 0

il existe un Blkment 1 de (x,)

,

x

0

x0

un

choisit une carte lo-

et on considere une suite

points de U convergeant vers point de la suite

, on

. Soit

(x,)

de

. Dlaprks le thdorkme 1.4.5.,

tel que

f ait, en tout le m&me rayon de convergence que f F1

1

o

.

Le triplet (X1 , u , X2) Qtant un couple de prolongement, le rayon de convergence de toute fonction analytique g s u r X est

>

inf R (x ) 0 , ce qui entraine que f se prolonge R g n analytiquement au voisinage x Le point x0 appartient B X 0 tel que

.

,

qui est donc fermk. Nous pouvons maintenant prouver que l'enveloppe dlholomorphie

est independante de l'dtalement choisi lorsque l'espace de base est un Banach. THEOREME 3.8.- Soient

(X1

,' P I )

(X2

Qtalds au-dessus d'un espace de Banach E

x,

.

, \p2)

deux domaines & u un isomorphisme N

&

de varietd analvtique entre & x* x, & x2 g&pent les enveloppes d'holomorphie de X, & X2 , il existe un Y N isomorphisme de variQtQ analvtique u , entre

dant commutatif le diapramme suivant :

65

Notion d 'enveloppe d 'holornorphie

I

I

I U

2

x2

Y

U

N

.x2

DEMONSTRATION : Par le theorbme precddent, \f2

rise B travers u1 ; montrons que l'application

\p2

", seddfinie factoy2

u = 'pi o u, est un dtalement (c'est-&-dire, un w homdomorphisme local). Le fibre tangent 2 X I peut &tre idenrv tifie, au moyen de yl , au produit X, x E , ce qui permet 4 de considkrer 1'application linkaire tangente B 'f ' c o m e une Y application analytique g de XI dans l'espace de Banach par

o

.

E Comme \F2 D u est un homkomorphisme local, l'application lin6aix-e g c ul(x) est inversible pour tout x ; son inverse definit m e application -1 (g o u l ) analytique de XI dans L(E) qui se factorise B tel que travers u Soit donc m 1 L(E)

des endomorphismes continus de

1

.

.

I-

La composition ktant une applica(g 0 u,) o u, = (g 0 u, )-' tion bilineaire continue (donc analytique) de L(E) x L(E) , les

entrafnent, par prolongement analytique, que g(y)

est inversi-

ble dans L(E) pour tout. y et donc, par le thgorkme des fonctions implicites, que Yl2 est un dtalement. Maintenant,

u1

-1

u est une extension analytique de au-dessus de E ?I x2 P a r definition de X 2 , il existe u : X1---5 X tel que 2 rJ -1 ; l'application u Qtant ouverte et X, u = u o u u u 0

V

Y

2

,

N

1

Iv

.

Notion d 'enveloppe d'holomorphie

66

U

ktant connexe, l'application u est unique. En faisant la m8me -1

construction B partir de u1 = u , on obtiendrait m e applicaY ' v N d tion unique u1 : x2 j x 1 Les applications u et u"( sont

.

inverses l'une de l'autre, ce qui rksulte du prolongement aaalytique des identitks suivantes :

(GI

0

Z)(ul(x))

= ul(x) et

(?i c %l)(u2(x))

= u2(x)

.

On ne peut pas gendraliser le thdorkme 3.7. h n'importe quel espace et il semble nkcessaire de faire des hypothkses de compld-

.

F C'est ce que montre l'exemple suivant : soient V un espace vectoriel de dimension 2 , t le point courant de V et Vl le dual de V , de point courant z Soient K un compact de V , d'interieur non vide et F l'espace des fonctions n hi e ( z i ~ t o h z, z sur V de la forme t+ n i=l tion s u r

.

,...,

.

V' On munit F de la topologie de la convergence uniforme sur K et on considkre le couple de prolongement (V' - {O) , u, V t ) , ob u d6signe l'injection dans canonique. Soit f l'application analytique de V' - {O\

sont des elements non nuls de

F dkfinie par

.A

f(t) = e'fPt'

cause des propridtks d'indd-

pendance des exponentielles, F ne contient pas les constantes, ce qui empgche f de se factoriser B travers u

.

THEOREME 3.9.- Soient (X, , u , X2) un couple de prolongement au-dessus d'un espace de Frdchet E & F m elc sdquentiellement complet. A l o r s , toute application analytique de X, F se factorise B travers u

.

DEMONSTRATION : Le fait que E soit un espace de Frdchet ndcessite, lorsque F est un espace de Banach, la modification suivante de la fin de la demonstration du theoreme 3.7. : pour tout = {t 4 F' tels que n et toute semi-norme p fixes, soit A n9P R (x = R (X ; c'est un ensemble de deuxiitme cat&gorie, p,eof n P,f n c'est-&-dire de compldmentaire maigre. I1 en est de m8me de l'intersection dtant prise pour tout n de N

)j

Notion d'enveloppe d 'holornorphie

61

et pour une famille dknombrable de semi-normes engendrant la topologie de E

. L'ensemble

tient 'a A

, pour

norme

telle que

est donc non vide ; si

A

t appar-

.

(X )=R (X ) f n p,f n Come toute fonction analytique se prolonge, il existe une semi-

PO

tout n

>

et

p

on a : R

p,

(x,) inf R n Pet (@f ce qui prouve que

e,

> o . 11 stensuit que

f se prolonge au voisi(x ) o, inf R n Po9f n nage de x Voyons le cas o c les applications sont 'a valeurs dans un es-

.

pace non normk. Le thkorkme 3.7. entrafne que toute application analytique f de X, dans un espace produit de Banach F =VFq se factorise 'a travers X2 En effet, toute application analyti-

.

que : f :X, -r[ F9 kquivaut 'a la donnke d'une famille : X1

d'applications analytiques f

F4

. I1 suffit de prendre alors , qui est analytique et telle que f = f u . Ser-

'a travers u N

4

(fq ) qui se factorisent

par

Y

f, = fq

q

u

n/

N

) 9 vons nous maintenant du fait que tout elc F peut &tre considkrk come eous-espace d'un produit d'espaces de Banach f = (f

0

F1

Notons i l'injection canonique Fanalytique X2*

F1

qui prolonge i

o

,

F1

N

'

f l'application

f et

X l'intdrieur 'v

de l'ensemble des points h i(F) C o m e X2 est il suffit de prouver que Soient x un point

.

de

X2 dont l'image par

connexe et c o m e X

f appartient

contient u(X,)

X est fermk dans x2 * adherent 'a X et U un voisinage de 0 x0 tel que U et y , (U) soient homkomorphes. Si x t U n X rJ les polynbmes derives de f en 'p,(x) se calculent au moyen de la formule de Cauchy. L'espace

, ,

F ktant skquentiellement

complet, et l'intkgrale sur un cercle pouvant dtre approchke par une suite de somes de Riemann, il s'ensuit que les polynames sont 'a valeurs dans

et que la fonction prend ses valeurs dans i(F) en tout point oh la sdrie de Taylor en x converge. Soit V un voisinage convexe Qquilibrk en 0 tel que x0 + 2 V C U et soit x un point de X tel que x & xo + V A l o r s x + V contient xo et est contenu dans U , La sdrie de i(F)

.

Notion d 'envrloppr d %olomorphie

68

N

f en x converge dans x + V et il stensuitque L'ensemble X est donc fermd dans X2 , dloh le r d x + V C X sultat puisque x2 est connexe et x # j4 Terminons en remarquant que, &me dans le cas o h l'espace

Taylor de

.

.

est ktalk au-dessus d'un Banach, on ne sait pas si, pour un domaine dlholomorphie, le rksultat suivant est vrai :

(X ,Y ) telle que d(xn) 9 0 et (x,) converge, il existe une fonction analytique sur non bornke sur la suite". h e rkponse positive relkve d'un thdorkme du type CartanttPour toute suite

(x,)

de

x

Thullen. Pour l'instant, on se contentera d'une rdponse positive dans le cas o h X

est un ouvert possddant la propridtd de Runge.

Nous montrerons, au chapitre 5 que, dans des espaces de Banach possddant une propridtd dlapproximation (qui sera prdcisde), tout ouvert polynomialement convexe poss'ede la propridtd citde plus haut. Remarquons que, du fait de la convexitd polynomiale il ne s'introduit pas de phknom'enes d'espaces dtalds (voir aussi le paragraphe 4 du chapitre 4). Notes : Les rdsultats de ce chapitre sont dus h Hirschowitz(46) pour les espaces dtalds au-dessus dlun espace de Banach. Plusieurs de ses ddmonstrations se ghdralisent sans rdelles modifications 21 des espaces de base plus gdn6raux. Antdrieur m nt, des rk ul ats partiels avaient ktd obtenus par AlexanderTlT et Coeurk 7 1 5 j qui, pour construire l'enveloppe dlholomorphie, tentaient d'util'ser la mkthode du spectre, Un travail recent de Schottenlohert28) rdsoud ce probl'eme, retrouve certains des r d sultats dIHirschowitz et donne une prdsentation unifide.

CHAPITRE

IY

CONVEXITE POLYNOMIALE Pour Q t u d i e r l a convexitk polynomiale, nous introduisons une proprikt6 d'approximation (PAF) que possedent des c l a s s e s important e s d'espaces de Banach a i n s i que l e s espaces nuclkaires. Nous mont r o n s que dans de nombreux c a s , un ouvert e s t polynomialement convexe s i e t seulement s ' i l e s t finiment polynomialement convexe. Nous prouvons a u s s i des theorkmes d'approximation (Runge, Oka-Weil) Enf i n , nous montrons que s i U e s t un ouvert de Runge d ' u n e l c quelconque, il e x i s t e un ouvert olynomialement convexe V contenant U t e l que t o u t Qlement de H ( U se prolonge h V.

.

P

4.1.-

PropriktQ d'approximation

Un ouvert

DEFINITION 4.1.1.-

mE

des pol.vnbmes continus s u r E

l'ensemble U.

Un ouvert

U

t o u t compact tout

e s t dense dans

pour l a topolonie' de l a convergence uniforme s u r l e s compacts

H(U)

de

U d'un elcs E e s t d i t de Runge &

de

f

d'un e l c s

K

TI-,

de

5.

E

e s t d i t pol.ynomialement convexe s i , pour

U, l'ensemble

=

{ xtU,

( f ( x ) l $ l f l K pour

est prkcompact dans U. L'enveloppe

j o u r s contenue dans l'enveloppe convexe fermke de Un ouvert

K.

U s e r a d i t finiment de RunEe ( r e s p . finiment polynomiale-

ment convexe) s i , pour t o u t sous-espace l'ouvert

e s t tou-

F de dimension f i n i e de E,

U n F e s t de Runge ( r e s p . polynomialement convexe).

Nous ne considkrons, dans ce c h a p i t r e , que l e s polyn6mes continus. DEFINITION 4.1.2.-

On d i r a qu'un e l c s E

proximation f o r t e (P.A.F.)

posskde l a proDriktk d ' a p

TE de pro.iec-

s ' i l e x i s t e une f a m i l l e

t i o n s continues de rang f i n i , ( u ( E ) ) ~ ~ F Q t a n t f i l t r a n t e croissant e pour l ' i n c l u s i o n , ~ u posskde i l a propriktk suivante : Pour t o u t compact u

K

FE t e l que

& E e t t o u t voisinage u(x)-xcv

pour t o u t

V

& 0,

x

il e x i s t e

K.

Cette propriQtk d'approximation e s t p l u s r e s t r i c t i v e que c e l l e de Grothendieck qui ne suppose pas que l e s klkments de

f

sont d e s

p r o j e c t i o n s n i que l a famille des images est f i l t r a n t e . Donnons quelques exemples d ' e l c s avec PAF : 1 ) L'espace de Banach

p

(K) des f o n c t i o n s continues s u r un com-

70

Convexit6 polynomiale

K h v a l e u r s complexes (ou plus gknkralement dans un espace

pact

n o d ) muni de l a norme sup. Les klkments de JE sont a l o r s l e s a p p l i c a t i o n s 'p + u(y) = i~I 'p(ci)ai, pour t o u t e p a r t i t i o n f i n i e

.z

(ai,Ci)ieI de

ci

et

K

Notons que

Soit

et X

1

€PO

7

un point de (supp ai)-

a . (C.) = 1). 1

K ( i . e . (ai)i

pointee de

nie

luU 61

'e(K),

X

(supp a . ) t e l que J

FE.

u de

pour t o u t

un compact de

d'Q16ments de

j i

est m e p a r t i t i o n f i n i e

il e x i s t e une f m i l l e f i P

Xci= u1 B(xi, f ).

telle

ConsidGrons

l a p a r t i t i o n f i n i e de K t e l l e que l ' o s c i l l a t i o n de chaque J J=1 € s u r l e support de chaque a .( i . e . V i = l , . , , p x s o i t infkrieure h i 3 J et j = I , . , , q on a : sup Ixi( t')-xi( t)l & Pour t o u t j c h o i s i r 3' t , t ' ksupp a j ( supp ad. A l o r s , pour un point 5 . dans (supp a . ) J J (a,)n

-

.

-

tout

x

9

K on peut trouver un

de

t e l que :

j

4 l~u(x)-u(xj)ll +-/lu(xj)-xjll + IIx.-x1 J

Ilu(x)-XI1

5

IIUII

I I X - x .11 + J

2-a j

l/aj(ti)-xj

Lp(X, p, F), 1 ,< p

2 ) Les espaces

= ZA j ( x ) e . Zcx i :e

pour t o u t u=u' ovou P P' 4.2. Ouvert

i

=

J

=

J

L, > J. ( el. )eJ

puisque

u

de

x J. ( e1. > eJ . = x

i

car

est une p r o j e c t i o n e t

v

j

polmomialement convexe

Dans un e l c avec PAF, on posera tout

i,j

E

= Imu

U

sE, ce qui donne une decomposition

et

E

U

= Ker u, pour

E=EU C 3 EU ( s o m e

d i r e c t e topologique) ; l ' a p p l i c a t i o n identique de E

e s t adhdrente

h f: pour l a topologie de l a convergence compacte. S i A e s t une f a m i l l e de fonctions d k f i n i e s sur un ouvert A ( U n E ) l'ensemble des f o n c t i o n s U

U

f=fru, oh f

U

de

E, on notera

d k f i n i e s s u r ( U n E U ) 0 EU p a r

f

e s t un 61kment de A(UOEU). Tout klkment

i n d u i t un Blkment

f

de AU(UnEU)

par

f

de A ( U )

f = ( f l U f i E U ) ou, rnais l a

reciproque n l e s t pas toujours v r a i e ( e l l e sera v r a i e , p a r exemple, si U=E, ce qui est l e cas pour l e s polyn8mes).

Nous supposerons toujours dans ce c h a p i t r e gue E

posskde l a P.A.F.

On peut a l o r s approcher uniformkment sur t o u t compact l e s fonctions continues par des f o n c t i o n s ne dkpendant que d'un sous-espace de d i mension f i n i e . De faCon p l u s p r e c i s e : PROPOSITION 4.2.1.-

E

e s t un e l c avec P.A.F.&

une fonction continue ( i . e . f t

'Qu)),

f:U

E +

il e x i s t e , pour t o u t compact

& 2, t e l sue f o u t r u ( U A Q ) e t If(x)-fou(x)l < c pour t o u t x & K. De plus, s i f est ana-

K

-

& U et

e 7 0 , un element

u

l v t i a u e . uol.vnomiale ou plurisousharmonisue continue. il en est de

meme de f ou. En e f f e t , come

e >O, E

tout

est uniformkment continue sur K, Btant donnk

il e x i s t e un voisinage

x-x'e V, x et ce

f

0

il e x i s t e

de K, ce qui entrafne

COROLLAIRE 4.2.2.-

de

x1 dans K+V entrafinent

k t a n t avec P.A.F., x

V

a) L'esDace

u t

t e l que K + V C U If(x)-f(x')l

,F t e l que

Ifou(x)-f(x)l< e


0

x

; il e x i s t e un voisinage

- ytV u g

F,

et

x, y

t e l que

K

u(x)

e s t compact dans U f \ E U

+ -

V

compact

de

0,

entralnent

V

v

x

pour t o u t

qui e s t polynomiale-

ment connexe e t il e x i s t e par l e thGor&me de Runge en dimension f i n i e , un polynbme p \f(x)

\f(x)

- P(x)l 4 5 . Posons P = Pou. On o b t i e n t - P ( x ) ( 4 I f ( x ) - f o u ( x ) ) + ) f o u ( x ) - Pou(x)(

-2 .

sup I f ( y ) u(K)

-

-2 E

x

de

et le

(Oh-Weil) Dans un e l c s avec p r o p r i e t e d'approxima-

5

soit filtrant

fonction analytiaue au voisinaae d'un compact convexe ( i . e . K = %)

.

P

toute

K pol.momialement

un compact,

E>

une fonction analytique dans K

e x i s t e uri polynbme

,

s'approche uniformkment s u r K p a r des poly-

DQmonstration : Soient f i x e s K et f

pour t o u t

P ( y ) J q u i e s t a u s s i plus p e t i t

t i o n f o r t e t e l l e que de plus l'ensemble

0

on a i t

u(K)

u, l e premier terme e s t p l u s p e t i t que

E

THEOREME 4.3.2.-

de

de

R/

second, plus p e t i t que

names

x

U'd

K ; par choix de

que

t e l que pour t o u t

sur E

t e l que

0, V

+ V.

I f ( x ) - P(X) I < E

un voisinage

Montrons q u ' i l .uniform6ment

s u r K. On peut trouver u 6 F t e l que 0

pour t o u t

x

u0(K) C K

+

V

etlf(x)-fouo(x)l < e

de K. On ne peut pas a l o r s appliquer l e thkor&me d6jh

connu en dimension f i n i e , c a r il n ' y a aucune raison pour que

uo(K)

s o i t polynomialement convexe. On d o i t a l o r s u t i l i s e r l e lemme suivant :

LEMME 4.3.3.-

uo

Qtantf i x & . on a

u0 (K) =

ConvexitP polynomiale

fU

Pour s i m p l i f i e r l ' d c r i t u r e , notons K

=na,

I1

. Par hypothkse,

k

pour

T

U

donc, uo(K) c n u o ( i u ) . Rdciproquement, s o i t

pour t o u t

u

iu,t e l

X €

F, il e x i s t e

de

U

l a p r o j e c t i o n sur EU, parallelement &

u'

-

u' = 1%

u. Pour t o n t

u

f ,

de

n

que

E

U'

xe/-)uo(iu),

x = u ( X ). S o i t o u c'est-&dire

u'(K) est compact e t ut-'out(K)=

E ~ @ ~ ' ( K ;) posons a l o r s K ' = k u1-I o u ! ( ~ ) . La f a m i l l e u u est une f a m i l l e de compacts dont l ' i n t e r s e c t i o n e s t dgale

(K;)

i , de

A

p l u s on a : u(KU ) = u ( k i ) . En e f f e t ,

K i = [u(K) Q E U ] n i E U

compact ; d ' a u t r e p a r t ,

avec u'(K)

a i n s i que :K = Pour t o u t

u

U(K)

de

CK: Cku, d'o;,

f , il

XA

e x i s t e un point U

(XA), convergeant v e r s un point

pothkses sup

u, l a famille

est continue, l a f a m i l l e

0

u

0

0

x

0

uo ( X u ) uo(K)

de

u(x;)

e t comme

0

K. Par l e s hy-

=

U(X

U

), on en

= x

pour t o u t

0

u (K),

c a r p a r d d f i n i t i o n des

0

u.

est c h o i s i e t f i x 4 t e l

S u i t e de l a ddmonstration du thdorkme : u que

0

Xo e t comme uo converge v e r s uo(Xo). Or, dks

U

o u = u

o u x = u (X ), c'est-&-dire pue on a

X

u (X ) converge v e r s u (X ). On en conclut a l o r s que

ddduit que 0

KL, t e l que

u ( X t ) converge v e r s U

u ou(Xt)

u ~ ( E ) c u ( E ) , on a

de

nKljl,

on peut e x t r a i r e une sous-famille

(XI),

U

notee encore

que

K =

o u!(K).

u ( X t ) = u(X ). De l a f a m i l l e U

K

ut(KjJ

@

CK+V

0

A

et

(uo(Ku)L cs e s t une f a m i l l e f i l t r a n t e dd-

c r o i s s a n t e pour l ' i n c l u s i o n de compacts, dont l ' i n t e r s e c t i o n e s t 6gale B

u (K). 11 e x i s t e donc un

u

0

t e l que

u

(i )c:K + v

0

U r V

et

peut toujours &re suppos6 t e l que

E u o C EU. S o i t

Bgale B l a r e s t r i c t i o n de

EU, c'est-&-dire q u i co'incide

avec

x

+

f

sur Euof7 (K+V) pour t o u t

(EU 0 Euo)

fouo B

EU, t e l que

x

peut s ' d c r i r e 4

pose

de

P = POU. Ce polynbme

E

(K+V).

up\

u(ku) = u(K)

E l l e est d d f i n i e e t q u i est un compact poly-

TTU

U

N

: il existe donc un polyn8me P dans

- f(x)l < 5 d \P(x) - f(x)l < 5

ry

lP(x)

l a fonction

e t qui est constante s u r l e s f i b r e s

analytique au voisinage de nomialement convexe dans E

f

u,

pour t o u t

x de u ( i

), ce qui T U

pour t o u t

, OG

x de

l'on a

X U

P e s t l e polyname cherchd, en e f f e t :

Convexit6 polynomiale

78

n/

if(x) - P ( ~ I) 6 I f ( x ) - f ( x ) I + I%> e t , pour t o u t I?(x,

-

x de K,

If(x) N

P(x)(

$

sup I f ( x )

P(X)I

ry

-

f(x)l

=

If(x) e

- P(x)l< 7 .

,

- fou(x)),< 5

et

iz,

U

-

EMARQUE 4.3.4.

Lorsque l a f a m i l l e

plus l a propriktk que si u1

< u2,

F

de projection posshde de

a l o r s u o u = u20 u1 = u, ce 1 2 qui est l e c a s lorsque l ' e s p a c e e s t & base, l e s techniques prdckdent e s permettent de retrouver l e lemme c l a s s i q u e de Arens-Calderon.

4.4.- Prolongement simultank s u r un ouvert de Runae S o i t U un ouvert connexe d'un e l c , nous avons vu au c h a p i t r e 3, que l e phknomkne de surface de Riemann s ' i n t r o d u i t naturellement lorsque l ' o n essaye de prolonger en dehors de U a l l o n s v o i r que ce n ' e s t pas de c a s s i U

l e s dldments de

H(U).

Nous

e s t un ouvert connexe de

V e t polynomialement convexe t e l que t o u t e fonction analytique SLU U se prolonge & V. D'une manibre Runge e t q u ' i l e x i s t e un ouvert

plus precise : THEOREME 4.4.1.-

A t o u t ouvert de Runm c o n e x e U

peut a s s o c i e r un ouvert

connexe V

d'un elc E,

on

a u i posskde l e s propriktds sui-

vantes : 1 ) Toute fonction analytique s u r

t i o n de r e s t r i c t i o n

U

H(V) -H(U)

se prolonge &

V

e t l'applica-

e s t un isomorphisme pour l a topo-

l o g i e de l a convergence compacte (on d i t a l o r s aue V

est un prolon-

gement analvtique normal de U). 2)

v

e s t maximal a u sens suivant : t o u t prolongement analvtiaue nor-

mal de U

3)

v

contenant V

est identique

?iV.

e s t polsmomialement convexe.

Ddmonstration : S o i t ouverts de E

l'ensemble ordonne pour 1'inclusion des

qui sont des prolongements normaux de U. Pour t o u t e

chalne ordonnde

(Va)a

A

d'616ments de

est un prolongement normal de

contenu dans un V que d i r e que

P

que l'enveloppe

a0

c a r t o u t compact de

U

c/ Vor

est

qui e s t un prolongement normal de U. Notons

: H(V) *H(U)

H(V)

? , l'ensemble aU C AVa

est un isomorphisme kquivaut h d i r e

- convexe de

t o u t compact de

V

e s t contenue

Convexiti polynomiale

19

dans l'enveloppe H(U)-convexe

d'un compact de U. Par le lemme de Zorn, l'ensemble contient un dldment maximal V satisfaisant h 1 et 2 dont il reste montrer qu'il est polynomialement convexe (ou,

?

ce qui revient au meme puisque V est de R u n g e , qu'il est holomorphiquement convexe). Si l'ouvert V nlktait pas H(V)-convexe, il existerait un compact KO de V et une famille (xa ) contenue dans et adhkrente B un point x de V. En reprenant mot h mot 0

[

A

%(V)

(cp ktant alors l'identitk) la dkmonstration du thkorkme 3.5. on voit

qu'il existe un voisinage V;

+ V'0 C V et tel = ixo\ + V; en me

de 0 tel que KO

que tout dlkment f de H(V) se prolonge h Vo Deux cas peuvent alors se presenter : fanction

F.

M

I ) Les fonctions f et f prennent les memes valeurs sur

v (7v0,

c'est-b-dire que le prolongement est univalent. Nous allons montrer qu'alors

Vu(

Vo)

est un prolongement de V, ce qui contredit

V ) , 4 0 on peut kcrire : K C K1 (xo4 + K2), o~ K, est un compact de V et K2 un compact kquilibrk en 0 tel que )xoj + C Vo. En adaptant la dkmonstration du thgorkme 3.5. on montre que K2 (Ko K2)H(U)' Llensemble K0 + K2 est un compact de la maximalitk de V. En effet, soit K un compact de V c/ ('

-

u

+

c

5

+

U et K, est, par dkfinition, contenu dans llenveloppe H(U)-convexe dlun compact K: de U. I1 s'ensuit pour tout f de H(U) :

ce qui prouve que tout compact de V

u,1

Vo

est contenu dans l'enve-

loppe convexe d'un compact de U, c'est-&-dire que V

u i Vo

est un

prolongement normal de U et contredit la maximalitk de V.

2) Si, pour une fonction f de H(U), il existe 5 t V n V o tel que f(c) f f " ( 5 ) on construit la surface de Riemann de f au-dessus de U et l'on note

le point du deuxikme feuillet au-dessus de 1 existe une suite de polyn8mes 'TT tels que V,(E)

+f(c)

TT,(t;,)-?(cl).

h s polyn8mes

n,

c.

I1

et ktant univalents, on a pour

Convexire polynomiale

80

tout

n : q n ( 0 ,

tel que (d+l)a < t . Pour tout x de 1 K , il existe 2 et y dans E , tels que (Iy XI/ < a . Les En effet, soit a

-

2

2

boules B(y,a) forment un recouvrement de K dont on peut exL o , tel que tous les centres traire un recouvrement fini, Soit (la famille de sousdes boules soient dans un sous-espace E Lo

espaces est filtrante pour l'inclusion). Pour tout x de K

, tel que 11 x -

existe donc y 6 E

, il

yII 4 a ; alors, c o m e

70

P

(y)=y,ona:

IIP

(X)

-

1

Y = 11 P

IIP

11

(X-Y)II

7-0

IJx- Y \I< c t a

, d'oh,

0

(x)

-XI\*

(4+1)a

L E

.

20

Aussi, dans un espace P.A.P., un ouvert V est polynomialement convexe si et seulement si ses intersections avec tout sous-espace de dimension finie le sont.

Dans un espace norm6 avec P.A.P. on peut, au besoin en remplaFant

u

par

, affaiblir la condition

1

. C'est ce que montre

la proposition suivante : PROPOSITION 5.1.4.- Soit E un espace normk

.(

- P.A.P.

et

q''>o(

.

11 existe elors w e famille ( G ~ , r) ' g T' filtrante croissante de sous-espaces de dimension finie telle que : 1) E =

VGzl

2) Pour tout

t'

,

il existe une projection P I

.

z'

: E - G ~ ,

telle que I I P ' ~ , I I Q 4 ' La proposition est kquivalente au fait que tout ensemble fini est contenu dans un sous-espace de dimension finie G , (xi):=, I tel qu'il existe une projection sur G , de norme plus petite que 7. On peut supposer les (xi) lingairement indgpendants. I1 existe donc une constante M telle que pour tout (

ai) c an, on ait

ThPorPme d e Cartan- Thullen-Oka et complition holomorphe

n i=1

n MII) i=1

Jail'

ti xil).

q u i c o n t i e n t des points

E

y

sous-espace engendr4 par l e s

6

(y.) 1

qui e s t de norme plus p e t i t e que

C

de

//xi

,

,..., n

i = 1

- yill$l

,

E

,...,

i = 1

e s t a s s e z p e t i t . Noter

P

et

E

l a p r o j e c t i o n de

. Choisir des points

n

u

n

le

C

e t (zj) (yi) s o i t une base de E J m n s ' k c r i t de manikre unique x = o(. z , + j=1 J J i=l

P(z.) = 0

t e l s que x

il e x i s t e un sous-espace

(xi)

= Pr

i lingairement indgpendants e t t e l s que

ce qui e s t toujours possible si

,

0

Soit E 7

83

sur

(z.)m J J=I'

. Tout

6,

yi

n

2 ti yi . De plus, i=1 I1

e t on a

P(x) =

na :

n

I I pi~ Yi i=1

si n

IIZ i=1

T pi

Yi

1-M2

€

2 M

i=1

(xi)?=,

114p i xiit

,

on

, d'oh

1=

X i M

M E 11 7pi -----1

-

ME

m

n

j=1

i= 1

sur l e sous-espace

E

de norme i n f g r i e u r e I?

y,llC

1

-----I

i=l

est assee p e t i t l ' a p p l i c a t i o n

p r o j e c t i o n de et

,Z ipils n

n

7 gi i= 1

Mn'i' - ------

Si

11 ,c t

y. J

,

t M C 1

bi

n

xi

i=1

-

p a r hypothkse sur l e s

llxji e t

-Mz

I -

#'

d g f i n i e par :

m

engendrk par ( z ,)

Gz,

+t'

M

i

M

et

n

J j=1 ne d6pendent

e t G t i dkpendent a u s s i d e l l . que de (xi)?=l , t a n d i s que E Z On peut a l o r s c h o i s i r f assez p e t i t pour que l a p r o j e c t i o n 0Pz de

E

sur

G

2'

s o i t de norme plus p e t i t e que

M f

5.2. Thdor&me de Cartan-Thullen-Oka.

THEOREME 5.2.1 , (Cartan-Thullen-Oka) , Dans m espace norm4 separable avec P.A.P.

t o u t ouvert polynomialement convexe e s t l e domaine

d ' e x i s t e n c e d'une fonction a n a l s t i q u e .

,

ThPorPme de Cartan- Thullen-Oka et complition holomorphe

84

COROLLAIRE.-

Soit U un ouvert finiment de Runge d'un espace norm6

¶ble avec P.A.P., les conditions suivantes sont gquivalentes : 1) U est pseudo-convexe. 2) U

3) sup n

v

est holomorphiquement convexe. (xn) u , xn 3 xo 6 [ u , il existe f 6 H(U)

c

I = + 30

If(Xn)

tel que

.

4) 11 nlexiste pas deux ouverts connexes U1 & U,- tels que: a)dfu2cu,~u,ul$-u9

, 3 f, C

f & H(U)

b)

5) I1 existe f

- f = f2

H(UI)

U2 '

tel qu'il n'existe pas deux ouverts U1 & U2- & f2 H(U2) tels W e :

a> 6 f

H(U)

u , c ~ , A, u~1 4 u

b) f 2 = f

U

2

(autrement dit : U est le domaine d'existence d'une fonction analytique). Le corollaire est conskquence du fait que 4) thhorkme 3.5. et que trivialement 5) =+ 4) , 3

=+ 3) par le =+ 2) ==+ 1 ) .

Avant de dkmontrer le th6oAme prouvons la proposition suivante : PROPOSITION 5.2.2.-

2 U est

un ouvert connexe d'un espace norm6

¶ble, les conditions suivantes sont 6quivalentes : a) U est le domaine d'existence d'une fonction analgtique. b) U & (Vn ) est une famille croissante d'ouverts tels que, pour tout n , d ( T , CU) 0

=Gn

>

.

DEMONSTMTIOI'T :

a)+

b) Soit f

la fonction analytique dont U est le domai-

ne d'existence. Pour tout x

de U

il existe un nombre rdel ax>O

tel que f soit born6 s u r l a boule fermge B(x et de rayon 2a La famille ( B ( x , 2ax))xcU X

.

, 2aX )

de centre x

est un recouvrement

de U dont on peut extraire un recouvrement denombrable puisque E

TIiPorPme de Cartan- Ttiullen - 0 k a et completion holomorphe

est ¶ble.

.u

On pose B

n

,

B(x

=

an)

. La famille des ouverts

B. posshde les qualitgs requises. Pour cela montrons V = n i ~ 1 n que si l'on pose b = inf a la fonction f se prolonge en n i' i,c n une fonction analytique dans Vn + B(O , b n ) i puisque U est le

,

domaine d'existence de U

,[

h

c'est-&-dire

d(Vn

il s'en suivra Vn U) >bn > O

.

+

= I f 11 , pour tout x de Vn v, Cauchy entrafnent IIP (x;h)/J+ M~ pour tout h n Posons M n

B(O , bn) C U ,

les in6galitgs de

'I

en(,

Les applications x

,

(x;h)ll$Mn
0

telle que d(qn , U)

Bn est

i d n

.

pour tout n

u

proposition

Si cela n'ktait pas vrai, il existerait une suite ( ym) de points de U convergeant vers un point f o de U et telle que, pour un n

0 '

sup m

If(

on ait (

5m)l

CP

.D

de la norme

qui est un sous~

cet S exemple on se

sait pas caractkriser E On ne connait pas d'exemple d'espace norv n mk non complet tel que E = E , Par contre on connaft des classes u importantes d'espaces norm& tels que E = E De tels espaces sont -complets. Exemple : dits holomorphiquement complets ou coo muni d'une norm , 1 < p 6 + @ , Plus gknn6ralement :

.

THEOREME 5.3.3.-

D a m tout espace de Banach skparable avec P.A.P., V on peut trouver un sous-espace Eo propre, dense tel que E = Eo 0

DEMONSTRATION : I1 est toujours possible, par la proposition 5.1.4., de supposer que E est rkunion d'une famille filtrante pour l'in-

.

Thkorsme de Carton- Thullen-Oka et complition holomorphe

clusion de sous-espaces E,

89

de dimension finie avec, pour tout t ,

une projection de norme plus petite que 4 de E sur E,

. On

peut aussi toujours extraire de cette famille, une suite croissante, notke (En ) , dont la rkunion est dense dans E , noter Pn chaque = posshde les propriprojection correspondante. L'espace EO n ktks requises : E~ f E par un argument de RAE33 et pour montrer que

WE

V

E = E il suffit de montrer que pour tout a de E - Eo , il 0 0 ' existe une suite x + a , (xn)c E~ , et une fonction analytique m dans un voisinage de Eo qui contient la suite,telle que Soit I l'application identique SLW E ; l a sup If(xm)l =

.

+&J

m

famille de fonctions (Pn - I) est localement bornge, car

11 Pn(x) - I(x) fl 4

+.() II xll et pour tout x de E , Pn(x) - x -0 Le thkorkme de VITAL1 (ou aussi le lemme de HARTOGS) entrafne que pn - I 4 0uniformkment s u r tout compact, donc aussi localement. Tout point admet donc un voisinage V , tel qu'h partir d'un certain Nv , /lPn(x) - x I[,< 1 sur V Notons que (1

.

.

pour tout x de En

2n

pour

, Pn,(x) - x

>/ 0 , la fonction

= 0

,

ft n'

2n

v d6finie par

.

-

Z e n log

et consid6rons

/lPn(x) x 11 pour tout x de E Les sommes n partielles sont plurisousharmoniques et v localement limite d'une

v(x) =

suite d6croissante de telles fonctions ; c'est donc une fonction plurisousharmonique ou &

-

03

- 00 . La fonction ne sera pas

, si on choisit les

de plus, v(hx)$ L'ouvert

I$

En

tels que

identique

log~/Pn(a~a\b-~

pour tout lhldl et E o < { x e E , v(x)=----. E , v(x)< v(a)). est disqu4 en 0 , conne= ix

v(x)

aa

.

xe, contient E et a est adhkrent 'a -rL De plus, est 0 a a polynomialement convexe, car son intersection avec tout sous-espace de dimension finie l'est. On peut donc appliquer le theorhe 5.2.1. qui entrafne que pour toute suite xn 3 a

-

, (x,) CAa , il exis-

-

te une fonction analytique dans d a donc analytique dans EO telle que sup I f(xn)/ = + go , d'oh le r6sultat. n Rappelons que l'on dit qu'un ensemble A est polaire dans un ouvert connexe U s'il existe une fonction v plurisousharmonique

ThiorPme de Carton- Thullen-Oka et complition holomorphe

90

dans U telle que A C{v = - m j

. Un ensemble polaire est d'intk-

rieur vide, et, s'il est fermk, de complkmentaire connexe (proposition 1.1.15). Dans la demonstration prkckdente, nous avons utilisk le fait que ktait polaire dans E Le raisonnement utilisk permet de montrer

.

Eo que, si E est un espace de Banach avec P.A.P. et Eo un sousv espace dense et polaire de E , alors E; f E (En fait, le thkorbme est PO6.3. du chapitre 6 montre qu'il suffit de supposer que Eo laire dans un ouvert U de E) Rkciproquement, si Eo est un sousv espace dense de E tel que Eo f E , il existe une fonction analy-

.

.

tique sur Eo qui ne se prolonge pas h E d'existence, la fonction -log %(z dans U x(E

- {Of)

,

z')

U son domaine est plurisousharmonique

et on peut trouver un point de z 0' de Eo

tel que la fonction z -3 -log %(z , 2); h - go sur U On peut donc gnoncer :

.

PROPOSITION 5.3.4.-

. Soit

- 10s.

ne soit pas identique

Soit

E un espace de Banach skparable avec v soit tel que Eo f E P.A.P., Pour qu'un sous-espace dense Eo faut et il suffit qu'il soit polaire.

,

La notion d'ensemble polaire est utile en dimension infinie car elle permet, en l'absence de thkorie de la mesure (donc d'ensemble de mesure nulle), de mesurer la "petitesse" de certains ensembles et d'obtenir des rksultats come par exemple celui-ci : soit A un ensemble polaire fermk dans U dans U

-A

,

toute fonction plurisousharmonique

localement bornke au voisinage de tout point de A

se

prolonge de fapon unique en une fonction plurisousharmonique dans U , Voici quelques exemples d'ensembles polaires : les ensembles analytiques (c'est-&-dire, l'ensemble des zeros d'une famille finie de fonctions analytiques), tout sous-espace fermk (en prticulier, tout hyperplan) et dans un espace de Banach separable ou rkflexif, toute reunion denombrable de sous-espaces fern&

(en particulier, de sous-

espaces de dimension finie). En effet, pour ce dernier exemple, si En est une suite croissante de sous-espaces fermks de E et si

91

T h b r e m e de Carton-Thullen-Oka et complCtion holomorphe

x

-

E

0

WEn , h t o u t n

il e x i s t e , p a r Hahn-Eanach, une forme

u sur B t e l l e que un(x) = o s u r E n n ' IIunII = I e t un(xo) f o Come l ' e s p a c e e s t skparable, on peut e x t r a i r e une sous-suite l i n d a i r e continue

.

(u ) n

notke encore

q u i converge faiblement v e r s

z

f n l o g 1 un(x)l

d6finie oar v(x) = n 2 l

v

-m

tout entier e t

que dans E

f n l o g \un(xo)\ > - @

t e l s que

0

. La fonction

e s t plurisousharmoni-

s i l ' o n a choisi l e s

t 3 0

. I1 en ddcoule que

n

5.3.5.- Tout espace normd de dimension (alnkbrique) dknom-

THEOIiEME

brable e s t holomorphiquement complet. D6montrons d'abord l a proposition suivante : PROPOSITION 5.3.6.ble e t

Soit A

un point de E

y

un espace norm6 de dimension dknombra-

E

-E

. On Deut trouver un espace de Banach .A

h base F e t w e a p p l i c a t i o n l i n g a i r e continue u & E tels que U(E) = F u ( y ) # F@

.

@

Rappelons que l ' o n note

Fn

premiers klkments de l a base e t

l e sous-espace engendrk par l e s

E ; par hypothese

y

n

.

Fp= UE n

DEMONSTRATION de l a proposition : S o i t que de

F

(xnlnc

n'appartient

?A

,N

l a base algkbri-

aucun sous-espace engen-

x , Notons [ A ] l e sous-espace engendrk n Posons y1 = x e t choisissons u n supplkmentaire topoI & [yl] @ [y] dans E On peut k c r i r e :

drd par un nombre f i n i de h

par A C E logique de E = [Y1]

sur

>

.

8 [y

.

- Y,]

8 El

. Soit

- Y,]

C y l l parallhlement b [y

A

,(x)

l a p r o j e c t i o n de

@ El ; on a

e s t w e fonction continue. Dans r y

- -

- y,]

bl(y) = 1

8 E,

x6 E et

l e s vecteurs

et Y y1 y2 sont lindairement inddpendants. Y2 = x2 - h 1 ( X 2 ) Y , Dksignons par E2 un f a c t e u r d i r e c t de c y 2 ] d r y y1 y2] d m s [y

- y;]@

X =

>

n

El

e t , pour t o u t

Y1 +

Y2

x

de

E

- -

, posons

+ c.)2(x) avec

h 2 ( x ) 6 [y

- y1 - y2] @

E2.

ThtorPme d e Cartan- Tltullen-Oka et complition holomorphe

92

A

Par recurrence, on d 6 f i n i t me base algkbrique A

x

que t o u t

con t i n u

de

s ' k c r i t , pour t o u t

E

,

n

.

(y,)

de

telle

E

d e manibre unique

A

Soit

u

l ' a p p l i c a t i o n l i n g a i r e de

E

dans

4'

d d f i n i e par

00

. C ' e s t une a p p l i c a t i o n continue c a r llu(x)ll

Ix n(x)I --------

=

1- . Par

4 \\x112 2n

II >nII 2n

1 u ( E ) ={(x

n

,

) 6

xn = 0

construction

sauf un nombre f i n i de termes

f

et

-D'montrons maintenant l e thkorkme 5.3.5. I1 s u f f i t de montrer que s i (an)

e s t m e s u i t e d'618ments de

existe

f

H(E)

t e l que :

t i o n s de l a p r o p o s i t i o n 5.3.6.

.

sup n

E

convergeant v e r s

I f ( a n )[ = +

cw

(u(an))ntM/C

F

+ go

6E

il

. Avec l e s notaa0

et

Par l e thkorkme 5.3.3., F O3 u ( a n ) -3 u ( y ) t F - F* morphiauement complet e t il e x i s t e g t H(F-) t e l que sup I g ( u ( a n ) ) ( = n

y

e s t holo-

d ' o h l e r k s u l t a t en prenant l a f o n c t i o n

f = g o u .

Le theorbme s u i v a n t g d n 6 r a l i s e l e thkorkme 5.3.5. e t permet de c p n s t r u i r e des exemples d ' e s p a c e s q u i s o n t (ou ne s o n t p a s ) holomorphiquement complets. THEOREME 5.3.7.-&elcAE

m e t r i s a b l e de dimension denombrable e s t ho-

lomorphiquement complet s i e t seulement s ' i l e x i s t e s u r E me norme continue.

93

T h e o r h e de Cartan-Thullen-Oka et complktion holomorphe

et notons E

DEMONSTRATION : Soit p une norme continue s u r E

P l'espace E norm6 par p ; c o m e H(E~)C H ( E ) , il s ' ensuit que V

u

v

4

E CEH(E) cEH(E ) ' d'oh E = EH(E) P

)

= *H(E

puisque

par le

P

thkorhme 5.3.5.. Rhciproquement, supposons qu'il n'existe s u r E

aucune norme continue ou, ce qui est 6quivalent puisque la topologie de E eat mktrisable, qu'il existe une suite (x,) convergente vers 0" (c'est-&-dire,

rnxn .-+

O

"tri?s fortement pour toute suite

) de nombres complexes). Pour toute semi-norme p , il existe n un entier N tel que p(x ) = o pour tout n + N La suite P n P (yn ) dgfinie par y = x1 +...+ xn Aest alors une suite de Cauchy qui converge vers un point y de E ; la suite (y ) peut touo r , n jours &tre choisie telle que y E - E , par exemple en choisis()t

.

0

sant, pour tout n , x dans En+l - E~ , oh ( E ~ ) est une fan mille croissante de sous-espaces de dimension finie dont la r6union est &gale &

E

. Nous allons montrer que

x

0

est contenu dans l'in-

tersection des ouverts pseudo-convexes qui contiennent E , ce qui v entrafnera que x est un point de E et prouvera le thGor&me. Si 0

U est un ouvert pseudo-convexe contenant E et p une semi-norme telle que Bp(O, 1

)cu

il existe

w?

entier N

,

d4pendant de p ,

.

>

tel que p( xn) = 0 pour tout n N , donc aussi p( x +. .+x ) = 0 n m pour m), n a N L'ouvert U dtant pseudo-convexe et connexe con-

.

tenant B (0,l), il s'ensuit par le th&orkme 2.1.7. que

u+

.

,

on a y, = yN + %+, +...+ x n' donc yn appartient au sous-espace f e m k yN + p-1 (0) pour tout p-l~oj'cu Pour tout n 2 N

n a N ainsi que sa limite y

0 '

d'oh le r&sultat puisque

On a donc des exemples et des conditions pour que : soit E = E

Z

soit E V

soit E

&

A

E

.

I1 est int6ressant de caractkriser l'enveloppe holomorphiquev

ment complete E h partir de l'espace E

. On peut montrer que

E

Thkorsme d e Cartan- Thullen-Oka et romplbtion holomorphe

94

est kgal & l'intersection de tous les ouverts pseudo-convexes de

??

qui le contiennent. On peut aussi montrer, ce qui est plus interessant peut-Qtre, que E est kgal k. l'intersection de tous les ensemfi

pour toutes les fonctions v plurisousbles {x 6 E , v(x) = - W sur harmoniques dans un voisinage de E qui sont egales B -

El3.

Donnons maintenant un exemple d'espace E mktrisable de dimension dknombrable dont l'enveloppe holomorphiquement complete est kgale au complkt6. D'aprks le thko&me 5.3.7., la topologie de E doit &tre telle qu'il n'existe aucune norme continue sur E

. Pre-

nons l'espace E des suites nulles sauf un nombre fini de termes

*

muni de la topologie produit (donc E =

IN

6. )

6.''

2.3.3.,

. Par la proposition

tout domaine pseudo-convexe de est de la forme et o& U est le domaine pseudo-convexe de 6 Un x 6 n Tout des suites N-n dksigne l'espace > n * N-n x 6: domaine d'existence qui contient E est de la forme9 ce qui entrafne que U = et donc qu'il n'existe pas de domaih nA 4 ne pseudo-convexe U f E contenant E ; ceci prouve que E = E .

d'e cn

c

i',

&"

Cet exemple donne aussi un renseignement sur les ensembles polaires. En effet, il a ktk prouvk que dans un espace de Frkchet, toute &union dknombrable d'ensembles strictement polaires dans U (c ' est-h-dire, dkfinis par une fonction plurisousharmonique negative dans U) est strictement polaire. I1 n'en est pas de meme pour les IN est polaire dans 6 pour ensembles polaires : en effet,

cn

tout n

, mais

ctn

LJ

n'est pas polaire c a r toute fonction v

plurisousharmonique dans un ouvert qui contient B

-

00

sur

6,"

est

identique k.

-

00

uc .

Qtant dgale

Terminons ce paragraphe par quelques resultats sur les espaces holomorphiquement complets et les applications h valeurs M a c h . h

PROPOSITION 5.3.8.- Soient E un espace norm&, E f E & U un ou/r

vert connexe de E

. Pour tout

f

& H(U)

a f(U)

= f ( U nE)

Autrement dit toute fonction analytique sur U ne prend sur n

U n(E - E) que des valeurs dejh prises sur U A E

. En appliquant

.

Theorime de Carton-Thullen-Oka el complition holomorphe

95

, il s'ensuit que la fonction f ne prend

ceci b f t H ( E )

que des valeurs dkjb prises s u r E

sur

.

Montrons que si f n'annule en un point x

0

de U

uf

a($- E )

elle s'annule en au moins un point de U f l E . Soit D une droite A

complexe de E contenant x

0'

sur laquelle f n'est pas identique-

U 3 + yoeie , 0 d & 2a) et tel que x0 soit le seul z6ro de f dans le disque unit6 fern&. Approchons x et yo par des suites 0 (x,) et (yn) contenues dans E nU ; les fonctions ment nulle, on peut choisir un point y

0

bo

de U tel que

Yn(z) = f(xn + zyn ) sont d6finies et analytiques dans le disque et tend vers yo uniformkment. La suite unit6 de

Yn

c

A

=-J,

\p',Cz) dz

1

2 i ~ z(= 1 est un entier

yo en

>1

converge donc vers une limite qui

IPn'z) car cette limite n'est autre que la multiplicitk

. Chaque

gtant un entier, la suite est stationnaire b partir d'un certain rang, c'est-&-dire qu'il existe des

de

z= 0

points an de U f \ E

An

tels que f(an) = 0

.

Remarquons que nous avons introduit la notion de complktion holomorphe b partir des fonctions analytiques. En utilisant le th6orkme 1.4.4. et en examinant les dkmonstrations de ce paragraphe on s'aperGoit qu'on peut remplacer la notion de fonction par celle d'application analytique b valeurs dans un espace de h a c h et que l'on obtient la m&me notion d'ensemble holomorphiquement complet ainsi que le resultat suivant : PROPOSITION 5.7.9.-

analgtique de

E

est un espace norm6, toute application

B valeurs dans un espace de Banach se prolonae de manikre unique en une fonction 1(. : i *F E

.

Dans le cas d'un espace F norm6 holomorphiquement complet mais non complet on peut dnoncer :

PROPOSITION 5.3. 0.- si E & F sont d e w espaces norm& v d E F E et F = F , toute application analytique f : E *F

tels que se pro-

Theoreme de Cartan-Thullen-Oka et completion holomorphe

96

v

v

longe de manihre unique en une application analytique f : E d F

.

h

Soit j l'injection F +F

; grgce

la proposition 5.3.8.,

f se prolonge en une fonction analytique v v v f :E . I1 reste B montrer que f(E) C F c'est-'a-dire que si LI U est un domaine d'existence d'une fonction analytique, F C U C F , v u Y-I on a : F(E) C U L'ensemble V = f (U) est un ouvert connexe de l'application j *

v

-;

.

-4

E contenant E ; il est de plus fermd. En effet si x est adhkrent b V et (x,) une suite de points de E A V convergeant vers x , dans F ; de plus, p o w tout g de H(U)

la suite f(xn)-f(x)

,

. I

f(x ) ) est bornke car x € E entrafne que g c f n est analytique au voisinage de x La suite (f(xn)) est un ensemla suite (g

I,

.

U qui est un domaine d'existence, sa limite f(x) n'est donc pas un point frontikre de U ce qui entraPne que v x appartient 'a V , Par connexitk V = E c'est-&-dire que

ble

@-born4

de

V

:(i)cu . NOTES. La pro riktk d'approximation projective a ktk introduite par LindenstraussP61) ; la proposition 5.1.4. s ' inspire d'un rksultat de (61) et en rectifie la dkmonstration. Le premi r b avoir dkmontrd un th6orhme de type Cartan-Thullen est Dineenr2). Dans un espace de Banach b base, il a montrk, avec Hirschowitz(28), que tout ouvert finiment de Runge et pseudo-convexe est un ouvert d'holomorphie ; puis, nous montrons(75) que ce thkorhme est encore valable dans les especes de Banach avec P.A.P. et qu'alors l'hypothkse kquivaut b 1 c nvexitk polynomiale de l'ouvert. Ultkrieurement, Dineen 'a montrkT26y qu'un ouvert polynomial.ement convexe dans un espace de Frechet b base est le domaine d'existence d'une fonction analytique. Dans le cas nf;2T8parable, un contre-exemple ?I ce thkorbme est dtl h Hirschowitz La not'on de complktion holomorphe a 6tk introduite par Xirschowitzt46) , qui a donnk un exemple d'espace non holomorphiquement complet. Des exemples d'espaces holomorphiquement com lets ont &6 donnks dans(75) (thkorkme 5.3.3.) puis par Dineen(27) Ptheorhme

.

Thkor6me d e Carton-Thullen-Oka et complktion holomorphe

5.7.4. e t 5 .6.). Les r k s u l t a t s de l a f i n de ce chapitre se trouvent dans(4h7.

91

C H A P I T R E VI THEOREME DE LEVI-OKA Dans un espace de Banach separable posskdant l a propriktk d'approximation de Banach nous montrons que t o u t ouvert pseudo-convexe e s t un domaine d'existence, ce q u i renforce l e thkorkme de CartanThullen-Oka. La notion de polpbme qui k t a i t a u centre d e s c h a p i t r e s prdckdents nous a pennis de prouver que, d a m un espace de Banach ¶ble avec PAP, t o u t ouvert polynomialement convexe e s t l e domaine d ' e x i s t e n c e d'une fonction analytique (thdorhme de Cartan-Thullen-Oka). Un rksult a t beaucoup plus f o r t a k t k rkcemment dkmontrk dans l e s espaces de Banach h base o h l ' o n prouve que t o u t ouvert pseudo-convexe est un domaine d'existence (thkorhme de Levi-Oh).

I1 e s t de p l u s possible,

en u t i l i s a n t un rksultat recent de Pezczyiiski, de remplacer l a notion de base p a r une propriktk d'approximation p l u s gdnkrale. On o b t i e n t a i n s i , pour h peu prks l e s m&mes espaces, un thdorhme p l u s f o r t que c e l u i du c h a p i t r e prkckdent. I1 nous a paru ndanmoins i n t d r e s s a n t de dormer l e s d e w ddmonstrations c a r l e s techniques employkes sont d i f f d r e n t e s peuvent @treu t i l i s d e s dans d ' a u t r e s problhmes. DEFINITION 6.1.-

On d i t uu'un espace de Banach separable

l a propriktd d'approximation de Banach (P.A.B.)

E

posskde

s i1 e x i s t e une s u i t e

d'opdrateurs de ran0 f i n i uui converge en t o u t point v e r s l ' a w l i c a t i o n identique. Le thkorhme de Banach-Steinhaus e n t r a f n e a l o r s que l a f a m i l l e

(u,)

e s t bornke. Certains auteurs, p l u t b t que de propridtk d'approximation de Ehnach, p a r b n t de propriktk

d'approximation bornde ce qui est

j u s t i f i d par l e f a i t que, pour un espace de Banach sdparable, l e s conditions suivantes sont dquivalentes: ( un ) d'opkrateurs de rang f i n i t e l s que lim un(x) = x pour t o u t x de E. noo b) il e x i s t e une famille (u,) bornde ( e t q u i peut toujours @tresupa ) il e x i s t e une suite

poske ddnombrable) d'opkrateurs de rang f i n i t e l s que pour t o u t e ) O

e t t o u t compact K de E

il e x i s t e un

n

t e l que \lun(x)

- xn < E

ThPorPtne de Levi- Oka

pour t o u t

x

99

K.

de

La proprikte d'approximation de Banach est donc intermediaire e n t r e l a p r o p r i e t e d'approximation de Grothendieck qui ne suppose pas que

( IIunII ) est bornke e t l a p r o p r i e t e d'approximation met r i q u e qui suppose que lJunI1 S 1 pour t o u t n. Cette propriktd e s t l a famille

plus f a i b l e (formellement) que l a PAP e t l a PAF bornke c a r l e s applic a t i o n s q u i interviennent dans l a d e f i n i t i o n ne sont pas necessairement des projections. Exemple d'espaces de Banach ¶bles avec propriktk d'approximation de Banach, : 1 ) l e s espaces de Banach h base.

LP( x,p),

2 ) les espaces

I

i p

c

+3o

avec

x

localement compact e t

p mesure de Radon p o s i t i v e .

C(K), avec

3) l e s espaces

K

compact mktrisable.

Le l i e n e n t r e l e s espaces de Banach b base e t l e s espaces de Banach separablesavec PAB est donne p a r l a proposition suivante dont le lec-

teur trouvera l a demonstration en (77): PROPOSITION 6.2.-

Un e s w c e de Banach separable posskde l a p r o p r i Q t e

d'approximation de Banach s i e t seulement s i il est ( h u n isomorphis-

me p r h s ) sous-espace d i r e c t d'un espace de Banach h base. On peut maintenant dgmontrer l e theorkme suivant :

THEOREME 6.3.-

(Levi-Oka) Dans un espace de Banach separable E

avec

un ouvert est pseudo-convexe s i e t seulement si il e s t l e do-

P.A.B.

maine d'existence d'une fonction analytique. COROLLAIRE.-

Soit

un ouvert d'un espace de Banach separable avec

U

l e s conditions suivantes sont kquivalentes :

P.A.B., 1) U

e s t pseudo-convexe,

2) U

est holomorphiquement convexe,

3)

Y (xn) c U, xn /xo

t

C U,

il e x i s t e

sup \f(xn)I = + o o 9 n 4) il n ' e x i s t e pas deux ouverts connexes U1 a)

Id f

U , C U ~ A Uu1,

b) v f t H(U),

du

3 f l 2 H(U1)

5 ) il e x i s t e f G H(U)

f 6 H(U)

& U2

t e l que

t e l s me :

t

avec

f =

f2

s u r U2 ,-

t e l q u ' i l n ' e x i s t e pas deux ouverts connexes

TIiPorPme de Levi-Oka

100

u2 e t f 2 t H(u~) t e l s Que : Bfu2cu1nu, uldu

u1 a) b)

f2

=

U2

f

Remarquons que dans l e thkorkme on peut remplacer "fonction a n a l y t i quell par a p p l i c a t i o n analytique

? vi aleurs

dans un espace de Banach.

Avant de dormer l a ddrnonstration nous avons besoin de quelques rdsult a t s de dimension f i n i e dont on trouvera La dkmonstration dans l e liv r e de Hbrmander ( l a rkfkrence & l a numkrotation du l i v r e e s t i n d i quke e n t r e parenthhses).

Soit U

un domaine pseudo-convexe de 6 alors : a ) Pour t o u t e forme d i f f 6 r e n t i e l l e en dBi, notee f , b c o e f f i c i e n t s LEMME 6.4.-

-

dans ? (U) l'kquation

3u = f

a une s o l u t i o n u

dans

E

(U).

( C o r o l l a i r e 4.2.6. ). b)

a

e s t un comDact de U

K

t e l que),($i

= K, t o u t e fonction

a n a l s t i q u e au voisinage de K peut &re approchge uniformkment s u r

H(U).

K p a r des fonctions de

(thkorkme 4.3.2.)

K e s t un compact de U, a l o r s c) Dans ce lemme nous avons ~ o s d:

3

=

2 i=l

'3 2zi

diZi e t not6

g(u) $(u). =

?J(U)

(th8orkme 4.3.4)

l ' e s p a c e d e s fonctions

indkfiniment dkrivables dans U. La d6monstration se f a i t d'abord dans les espaces de Banach b base

se gknkralise aux espaces de Banach

puis, p a r l a proposition 6.2.) avec P.A.B. (en):

l e sous-espace engendrk par W n et u : E -+En .el, e la projection 2 x e - 5 x . e . . L'hyI j j 1 J J n n pothhse sur U veut d i r e que x +-log d(x, C U ) est plurisousharNotons

une base de

E, En

...,

monique dans U oil d(x, de U

[ U)

= i n f ( II x-y 1 I ; y Q U) ; l a t r a c e

sur E

e s t p a r conskquent un ouvert pseudo-convexe, n d'holomorphie. On u t i l i s e r a l a n o t a t i o n Kn =.{x

U ;//XI/

Unn {x c u

pour m, n 7 0, pose

L~ =

6 n e t d(x,

[ U) 3

Un

donc

l/n] ; Km est un compact de Runge de Un. Enfin on 1 ; I I U ~ ( X ) xi1 ,< 2 d(x, [ u ~ f . .

-

ThPor@rnede Levi-Oka

Notons que

101

e s t un compact de Runge de LI1-l f e t c e t ensemble n ' e s t a u t r e que

Unn Km Q

Un ; en ef-

Km ; -log d(x,[U) + l o g / x n / 5 - l o g ( 2 / l e n l l

{x (2 U n "

Ceci k t a n t dorink on a l e lemme s u i v a n t :

LEMME 6.5.- Soit ( b n ) y une s u i t e de p o i n t s de

.

[

(

U t e l l e que

I1 e x i s t e une s u i t e ( f n ) y de f o n c t i o n s bn t Unn Kn A En-l holomorphes f g , H ( U ) t e l l e que l a r e s t r i c t i o n de f n n n 'n- I s o i t fn-l' f n ( b n ) I b n9 et I f n ( x ) fn,l (Un-I ( X H l 4 2-" si

-

-

I

x 6 Un/'I Kn /I Ln-,

tion

Un-l ( x ) 6 Un - ). Chaque fonc-

(on n o t e q u ' a l o r s

f n p e u t &re c h o i s i e de facon clue

U,

s o i t son domaine g-

turel. D h o n s t r a t i o n : Prockdons p a r r e c u r r e n c e e t supposons que fl

,* ..,fn-1

a i e n t k t k trouvkes. Posons

uill (Un-l)

x E Un A

pour

et

h = [pg

(UnA KnA Ln

a u v o i s i n a g e de

- )u

g(xl,.

ou

-

..,xn)=fn-,

5

.

( x l , . ,x*~)

x v 'p 6 (Un) vaut 1 n Un,l e t vaut 0 a u voisinage de

(ce s o n t deux fermks d i s j o i n t s de Un ). A l o r s h -1 g > ' p , e t c e t t e & q u a t i o n admet une holomorphe kquivaut b v = x n solution v f (Un) (lemme 6.4.a). Come v e s t holomorphe dans un

U n n u ~ ~ l ( E n \-Ul )

5

Knn

on p e u t t r o u v e r ouvert contenant l e compact d e Rurige UnA Ln -n-2 w 4 H(Un) t e l l e que Iv - w l Q 2 /sup IxnI dans ce compact x c Kn

(lemme 6 . 4 . b ) . A l o r s , dans d i f f h r e de

f n-

un

-

,

Unn Kn n Ln - , F = h+xnw=rpg-x n (v-w) 2-n-2

que p a r

ne

a u p l u s . E n f i n on prend

x G + E x H oh G 6 H(U ) e s t t r k s grande e n module a u n n n bn mais t r k s p e t i t e sur U n / I K n (lemme 6 . 4 . c ) on peut l a -n-2 c h o i s i r t e l l e que IF(bn) + bn G(bn)) 3 n + 1 mais I x,G(x)/S 2

f

= F

n point

pour

+

x C Un

r\

Kn. Pour

H

on prend une f o n c t i o n holomorphe dont Un

e s t l e domaine n a t u r e l ; on peut c h o i s i r F

+

IE

xnG

+

E

xnH

pour

de fa$on que

c o m e domaine n a t u r e l e t

a i t encore Un

xn H(x)( ,< 2'n'2

E

x E

(UnnKn) { b n j . La f o n c t i o n

fn

s a t i s f a i t donc b t o u t e s l e s c o n d i t i o n s du lemme. Dhmonstration du theorkme : E (b ) n

de p o i n t s dans

U

k t a n t & p a r a b l e , il e x i s t e une s u i t e

q u i admet chaque p o i n t d e l a f r o n t i k r e de U

ThiorPme de Levi-Oka

102

comme point d'accumulation. Evidemment on peut supposer que

r\ [En-, ,

bn 6 Unn [Kn

e t c ' e s t pour c e t t e s u i t e que nous construi-

sons l a s u i t e de fonctions pour t o u t point

6 >O

respond

u

a

r 7O

il e x i s t e

e >O

t e l qu'b t o u t

cor-

t e l que

I fn(x)-fm(y) 1 ,< E B(b,l)

du lemme 6.5. On va montrer que

(f,)

x t U,,

si

Y

c

Um,x,y t B(b,S) e t b c B ( a , r ) ,

ktant l a boule ouverte de centre

b

. Ceci

6

e t de rayon

montrera l ' e x i s t e n c e e t l a continuitk d'une fonction f(x)=lim f j-

oh

(xj)

LU

x

e s t une s u i t e quelconque de p o i n t s dans WEn

; on v e r r a meme que

e s t localement unifome

/IUnll

e t I1 u n ( a )

et

lim f o u n n e x i s t e . Come l a convergence f s e r a analytique. On peut supposer que

u n ( B ( a , r ) ) C . B ( u n ( a ) , r ) n En, Choisisgo 2-n=2'nO< no> max( IIal\ + 1,2/d(a, [ U ) ) t e l que 4 no+1 1

- all 6

[U)

$(a,

0

n > n 0-1 ; c e l a est possible 1 r ,< r ( a ) = min( d(a,[U);I), B ( a , r )

pour tout

-a

u ( a ) tend v e r s a. S i n u n ( B ( a , r ) ) seront contenues dans Kn"

L'inkgalitk du lemme 6.5. n

ment continue dans

nKno,il e x i s t e fno(uno(Y)) I ,< 5 si

Uno

pour

m

E j=n +1 0

d

2

\fj(uj(y))

5

< r(a)

n,m ),no,

u_(x) I1

; come

fno

?t

0'

p a r t i r de

e s t uniformk-

6 , O < s,< r ( a ) X,Y

n2 n

pour t o u t

Ln-l

est donc valable pour

x 6 B ( a , r ( a ) ) . Prenons r

si

'4

tendant v e r s

= 1 ; il s ' e n s u i t que

sons d'abord

car

(xj) nj

6 B(a,Hg )

- r,

tel

et

on a :

- f j - 1 ( u ~ - ~ ( Y ) ) I + I fno(un0(x)) - fno(uno(Y)\

f-J+?S&,

j=n + I 0

si

x

Si

f

point

C Un, y C

n'admet pas

U

comme domaine nature1 c ' e s t q u ' i l e x i s t e un

a 6 U, un nombre rkel

Fc H ( B ( a , R ) ) t e l s que t r i c t i o n de

fn

) e t b C B(a,r).

Um,x,y C B(b,6

h En"

F

R

et

B(a,r)

f

> r = d ( a , [U)

e t une fonction

coencident dans

B ( a , r ) . La res-

peut donc e t r e prolongke h

TheorPme de Levi-Oka

E n A B(a,R)

pour t o u t

I03

f n , c e l a veut

n ; vu l a construction des

E A B(a,R) est contenu dans Un. Donc f e t F corncin dent dans E n r \ B(a,R) e t non seulement dans E n n B ( a , r ) . Prenons

d i r e que

b t B ( a , R ) n 2U ; il e x i s t e une sous-suite que

b

On s a i t que

>,

If(bnj)l

n j ; come

(b,)

telle

)=f(b,.) J j a s s e z grand c e c i e s t impossible, c o n t r a d i c t i o n qui dkmontre

"j

pour

+b.

( b n j ) de F(b

"j

bien l e theoreme lorsque

E

e s t un espace ?i base.

Supposons maintenant que

E

est un espace de Banach skparable qui

posskde l a propriktk d'approximation de Banach. Par l a proposition

6.2. il e x i s t e u n espace de Banach h base isomorphisme prks, sous-espace d i r e c t de

E

mentaire de

pseudo-convexe dans

E

( b t n ) une suite de point de

f r o n t i k r e de

U de E

U x G est E

adhgrente h t o u t point de l a

U

( b ) q u i conn e t qui s o i t adhkrente ?i t o u t point de l a fron-

(b;)

pace ae Banach ?i base

F

G

de

g

h E

f

non bornde s u r l a suite exactement l ' o u v e r t

e s t pseudo-convexe dans l'es-

il e x i s t e , par l a demonstration qui precede

analytique dans U x G

f

La r e s t r i c t i o n

un ouvert

un ouvert pseudo-convexe de

U

U x G dans F. Come U x

une fonction

un supplk-

dans E; on peut trouver une s u i t e

U

tienne l a s u i t e t i e r e de

G

s i e t seulement s i l ' o u v e r t

F. S o i t donc

s o i t , & un

E

t e l que

F ; notons

F. Par l e thkorkme 2.1.7.

dans

e s t pseudo-convexe d a m

et

F

non bornke s u r l a s u i t e (bA

est une fonction analytique dans U

(bh) ; son domaine d ' e x i s t e n c e e s t donc

U. Le thkorkme 6.3. e s t bien dkmontrk.

Remarquons que nous avons obtenu l e r e s u l t a t suivant :

PROPOSITION 6.6.Banach

E

Soit

U

separable avec

un ouvert pseudo-convexe d'un espace de PAB

et

F

un sous-espace de

mension f i n i e . Alors l ' a p p l i c a t i o n de r e s t r i c t i o n

est s u r j e c t i v e

de di-

H(U/) F)

.

I1 suffit de plonger se t e l l e que

H(U)

E

F

E

dans son espace b base e t de c h o i s i r une ba-

s o i t l e sous-espace engendrg par l e s

n

premikres

coordonnge s , Terminons ce c h a p i t r e en f a i s a n t remarquer que s i nous avons dfi u t i -

l i s e r l e r k s u l t a t de PeZczy5ski c ' e s t parce que l a famille

(u,)

des

104

Theoreme de Levi-Oka

a p p l i c a t i o n s qui interviennent dans l a d e f i n i t i o n de l a P.A.B. que dans l a P.A.P.

ainsi

n ' e s t pas nkcessairement f i l t r a n t e ce q u i empeehe

d'adapter aisement l a dkmonstration f a i t e dans l e cas d e s espaces

& base. Dans ce c a s en e f f e t l e s a p p l i c a t i o n s u sont des projecn tions e t I ' m a u o u = u. pour t o u t n e t m. n m inf(n,rn)

NOTES.-

Pour k t u d i e r l e problkme de Levi, nous avons j u s q u ' i c i s u i v i l ' i d k e de Dineen qui c o n s i s t e h se s e r v i r d e s polynames. En dimension f i n i e on s a i t que s i U e s t un ouvert pseudo-convexe e t F un sousespace, tout klkment de H(U r\ F) e s t l a r e s t r i c t i o n & F d'un 614ment de H(U). En dimension i n f i n i e lorsqu'on relkve de proche en proche d e s constantes apparaissent q u i , & p r i o r i , tendent v e r s l ' i n f i n i . Gruman (36) pour l e s espaces de H i l b e r t , puis Kieselman e t Gruman (37) pour l e s espaces de Banach & base ont r6solu ce problkme en u t i l i s a n t des techniques d'HiSrmander. I1 ne r e s t e p l u s qu'8 u t i l i s e r un r k s u l t a t de Pelczynski (77) pour ge'n6raliser ce r & s u l t a t , ce que nous avons f a i t i c i .

B I B L I O G R A P H I E

H. ALEXANDER, A n a l y t i c f u n c t i o n s on Banach s p a c e s , t h e s i s , Univ. Berkley, 1968. R.M.

ARON, The b o r n o l o g i c a l topology on t h e space of holomorphic mappings on a Banach space, C.R. Acad. Sc. t 272, 1971, p. 872-873, e t S t u d i a Math. ( 3 p a r a i t r e ) .

( 3 ) J . A . BARROSO, Topologias nos espaGos de aplicaCoes holomorfas e n t r e ropasos localmente convexos, t h k s e , 1970, Rio, Brdsil.

( 4 ) J . A . BARROSO e t L. NACHBIN, Sur c e r t a i n e s p r o p r i g t d s bornologiques des espaces d ' a p p l i c a t i o n s holomorphes, c o l l o q u e de Ligge, 1970. J. BOCHNAK, A n a l y t i c f u n c t i o n s i n Banach spaces, S t u d i a Math. t 35, 1970, P. 273-292. J. BOCHNAK e t J. SICIAK, a ) Polynomials and m u l t i l i n e a r m a p pings i n topological vector spaces, b) Analytic functions i n topological v e c t o r spaces, S t u d i a Math. t 39, 1971, p. 59-76 e t 77-112.

(7) P.J. BOLAND, Some spaces of e n t i r e and n u c l e a r l y e n t i r e funct i o n s on a Banach space, C.R. Acad. Sc. s e p t . 1972 e t J. fur r e i n e und angew. Math. (h p a r a i t r e ) . N.

BOURBAKI, Espaces v e c t o r i e l s topologiques, Hermann, ( 1 966).

€4. BOURBAKI, V a r i k t d s d i f f d r e n t i e l l e s e t a n a l y t i q u e s (RQsul-

t a t s ) , Hemann, ( 1967). H. BREMERMA", Complex convexity, Trans. AMS, t 82, 1956, p. 17-51.

H. BREMERMA", Holomorphic f u n c t i o n n a l s and complex convexity i n Banach spaces, Pac. J. Math., t 7, 1957, p. 811831.

H. BREMERMA", The enveloppe of holomorphy of tube domains i n Banach spaces, Pac. J o u r . Math., t 10, 1960, p. 1149-

1153. H. BREMERMA", Pseudo-convex domains i n t v s , i n Proc. Conf. on complex A n a l y s i s , Minneapolis, S p r i n g e r 1965.

S.B. CHAE, Holomorphic germs on Banach s p a c e s , Ann. I n s t . Four i e r , t 21, 1971, p. 107-144.

106

Bibliographie

G. COEURE, Fonctions plurisoushamoniques s u r l e s espaces vec-

t o r i e l s topologiques e t a p p l i c a t i o n s h l ' k t u d e d e s f o n c t i o n s a n a l y t i q u e s , Ann. I n s t . F o u r i e r , t 20, 1970, p. 361-432. G. COEURE, Fonctionnelles a n a l y t i q u e s s u r c e r t a i n s espaces de

Banach, Ann. I n s t . F o u r i e r , t 21, 1971, p. 15-21.

, analytique e t d i f f k r e n t i a b l e en dimension i n f i n i e , C.R. Acad. SC, t 273, 1971, p. 1 5 8 1 6 0 .

J.F. COLOMBEAU, Exemple d ' a p p l i c a t i o n G a n a l y t i q u e

J.F.

COLOMBEAU e t D. LAmT, Sur l e s theorkmes de V i t a l i e t de Monte1 en dimension i n f i n i e , C.R. Acad. Sc., t 274, 1972, p. 185-187.

M.H.

DAY, Normed l i n e a r spaces, S p r i n g e r (1962).

S. DINEEN, Holomorphy t y p e s on a Banach space, S t u d i a Math. t 39, 1971, p. 241-288. S. DINEEN, The Cartan-Thullen theorem f o r Banach spaces, Ann. Sc. Norm. Sup. ( P i s e ) , t 24, 1970, p. 667-674. S. DINEEN, Runge domains i n Banach spaces, Proc. Roy. I r i s h Acad. t 71, 1971, p. 85-89. S. DINEEN, Unbounded holomorphic f u n c t i o n s on a Eanach space, J. London Math. SOC., t 4, 1972, p. 461-465. S. DINEEN, Bounding s u b s e t s o f a Banach space, Math. A n n . ,

t 192, 1971, p. 61-70. (25)

S. DINEEN, Holomorphic f u n c t i o n s on (co,X,) Ann., t 196, 1972, p . 106-116.

- modules,

Math,

S. DINEEN, Holomorphic f u n c t i o n s on l o c a l l y convex t o p o l o g i c a l

v e c t o r spaces, C.R. Acad. Sc., t 274, 1972, p. 544546 et Ann. I n s t . F o u r i e r (h p a r a f t r e ) . S. DINEEN, Holomorphically complete l o c a l l y t o p o l o g i c a l v e c t o r

spaces, Math. A n n . ( h p a r a f t r e ) . S. DINEEN e t A. HIRSCHOWITZ, Sur le thkorkme de Levi banachique, CR. Acad. S c . , t 272, 1971, p. 1 245-1 247.

3. DINEEN, Sheafs of holomorphic f u n c t i o n s on an i n f i n i t e dimensional v e c t o r space, (h p a r a i t r e ) . A. DOUADY, Le problhme d e s modules pour l e s sous-espaces analyt i q u e s compacts d ' u n espace a n a l y t i q u e donn6, A n n . I n s t . F o u r i e r , t 16, 1966, p. 1-68. T.A.W.

DWYER, P a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n Fischer-Fock spaces f o r t h e Hilbert-Schmidt holomorphy type, Bull. AMS, t 77, 1971, p. 725-730-

Bibliographie

107

(32) A . GROTHENDIECK, Sur c e r t a i n s espaces de f o n c t i o n s holomorphes, J. FVr r e i n e und angew. Math., t 192, 1953, p. 35-64.

(33) A. GROTHENDIECK, Espaces v e c t o r i e l s topologiques, Sao Paulo, B r k s i l ( 1954). (34) A. GROTHENDIECK, Sur l e s espaces et Math., t 3, 1954, p. 57-123.

,

Summa Bras.

(35) A. GROTHENDIECK, Produits t e n s o r i e l s topologiques e t espaces n u c l k a i r e s , Mem. AMS 16 (1955) e t Sdminaire Schwartz 1953-54, P a r i s . (36) L. GRUMAN, The Levi problem i n c e r t a i n i n f i n i t e dimensional vect o r spaces, (a p a r a i t r e ) .

(37) L. GRUMAN e t C.O. KIESELMAN, Le p r o b l h e de Levi dans l e s espac e s de Banach 5 base, C.R. Acad. Sc., t 274, 1972, p. 1296-1298.

(38) D.P. GUPTA, Malgrange theorem f o r n u c l e a r l y e n t i r e f u n c t i o n s of bounded type on Banach Space. Notas de Math. no 37 ( 1 968) Rio. B r d s i l .

(39) M. HERVE, Analytic and plurisubharmonic f u n c t i o n s , Springer Lect u r e , notes 198. (40) E. HILL8 and E.G. PHILLIPS, h c t i o n n a l a n a l y s i s and semigroups, Colloquium, AMS. Edition ( 1 957).

(41) A . HIRSCHOWITZ, Remarques s u r l e s ouverts d'holomorphie d'un produit denombrable de d r o i t e s , A n n . I n s t . Fourier, t 19, 1969, p. 219-229. (42) A . HIRSCHOWITZ, a ) Bornologie d e s espaces de f o n c t i o n s a n a l y t i ques en dimension i n f i n i e , b) Diverses notions d'ouvert d ' a n a l y t i c i t k en dimension i n f i n i e , Sem. Lelong 1969-1970, Springer l e c t u r e notes 205. (43) A . HIRSCHOWITZ, Sur l e s s u i t e s de f o n c t i o n s analytiques, I n s t . Fourier, t 20, 1971, p. 403-413.

Ann.

(44) A . HIRSCHOWITZ, Sur un theoreme de Zorn,Univ. de Nice, 1970. (45) A . HIRSCHOWITZ, Convexit6 a b s t r a i t e e t espaces normds, Skm. Lelong ( 1 970-1 971 ) Springer l e c t u r e notes. (46) A . HIRSCHOWITZ, Prolongement analytique en dimension i n f i n i e , Ann. I n s t . Fourier, t 22, 1972, p. 255.

(47) H. HOGBE-NmND, Thgorie d e s bornologies e t a p p l i c a t i o n s , Springer lecture n o t e s 213.

(48) H. HOGBE-NLEND, Deux remarques sur l e s a p p l i c a t i o n s a n a l y t i en dimension i n f i n i e , Ann. Acad. Bras. Ciencias parartre).

Bibliograph ie

108

(49) L. HORMANDER, An Introduction t o complex a n a l y s i s i n s e v e r a l v a r i a b l e s , Van Nostrand ( 1 966). (50)

J. HORVATH, Topological v e c t o r spaces and d i s t r i b u t i o n s , Addison-Wesley ( 1 966). G. KOTHE, Topologische l i n e a r e E r n e , Springer

C.O.

( 1 960).

KIESELMAN, On e n t i r e functions of exponentiel type and ind i c a t o r s of a n a l y t i c f u n c t i o n a l s , Acta Math., t 117, 1967, p. 1-35.

(53) C.O. KIESELMAN, Plurisubharmonic functions i n v e c t o r spaces ( h paraftre). (54)

D. LAZET, Applications analytiques dans l e s espaces bornologiques, these 3 O cycle, Bordeaux 1972, e t C.R. Acad. SC., t 273, 1971, p. 151-153. P. LELONG, Les fonctions plurisousharmoniques, Ann. E.N.S., t 62, 1945, p. 301-338.

P. LELONG, Fonctions e n t i h r e s e t f o n c t i o n n e l l e s analytiques. SBminaire d ' k t k Montrkal ( 1 967). P. LELONG, Fonctions plurisousharmoniques dans l e s espaces vect o r i e l s topologiques, Sem. Lelong ( 1 967-1 968), Springer l e c t u r e notes no 71. P. LELONG, Fonctions plurisoushamoniques e t ensembles p o l a i r e s dans l e s espaces v e c t o r i e l s topologiques, C.R. Acad. Sc. t 267, 1968, p. 916, e t sBm. Lelong Springer l e c t u r e notes no 116.

(59) P. LELONG, Applications analytiques e t thkorhme de BanachSteinhaus polynomial, Colloque 1970 ( L i B g e ) e t skm. Lelong, Springer l e c t u r e n o t e s no 205. P. LELONG, S6minaires 1968 e t suivants: Springer l e c t u r e notes 71, 116, 205.

J. LINDENSTRAUSS, Extension of compact operators, Mem. AMS (48), 1964. A. MARTINEAU, Support des f o n c t i o n n e l l e s analytiques, skm. Lelong 1968-1 969, Springer l e c t u r e notes 1 1 0. A. MARTINEATJ, Fonctionnelles analytiques non l i n k a i r e s e t representation de Polya , skm. Lelong 1969-1970, Springer l e c t u r e s 205. J . T . MARTI, Introduction t o the theory of bases, Springer 1969.

M.C.

MATOS, Holomorphic mappings and domains of holomorphy, t h e s i s , Univ. of Rochester 1970.

Bibliographie

I09

(66) M.C. MATOS, Domains of 2-holomorphy in separable Banach spaces, CR. Acad. Sc., t 271, 1970, p. 1165-1167 et Math. Ann. ( h parartre).

(67) L. NACHBIN, Holomorphic functions, domains of holomorphy, local properties, North-Holland ( 1 970). (68) L. NACHBIN, Topology on spaces of holomorphie mappings, Springer 1969.

(69) L. NACHBIN, Convolution operators in spaces of nuclearly entire functions on a Banach space, Functional Analysis and Related Fields, Springer 1970. (70) L. NACHBIN, Uniformit6 d'holomorphie et type exponentiel, skm. LELONG, 1969-1970, Springer lecture notes 205.

(71) L. NACHBIN, Recent developments in infinite dimensional holornorphy, Bull. A.M.S. ( h paraitre).

(72) L. NACHBIN et J.A. BARROSO, voir J.A. EARROSO. (73) Ph. NOVERFLIZ, Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques, Ann. Inst. Fourier, t 19, 1969, p. 419-493.

(74) Ph.

N O V E R F U , Notions de domaines d'holomorphie dans les espa-

ces de Banach complexes, 8 O Congrks Brksilien de Mathkmatiques, 1971, ( h paraftre). (75) Ph. NOVERFLIZ, Sur le thgorkme de Cartan-Thullen-Oka en dimension infinie. Ann. Acad. Bras. Ciencias ( h paraitre).

(76) Ph. NOVERRAZ, Sur la pseudo-convexit6 et la convexit6 polynorniale en dimension infinie, C.R. Acad. Sc., t 274, 1972, p. 313-316 et Ann. Inst. Fourier ( h paraitre).

(77) A. PEeCZYkKI, Any separable Banach space with the bounded ap-

(78) (79) (80)

(81 )

proximation property is a complemented subspace of a Banach space with a basis, Studia Math., t 40, 1971, p. 239-243. D. PISANELLI, Sui funzionali interi dello spazio LN", Boll. Un. Mat. Ital, t 19, 1964, p. 106-109. D. PISANELLI, Sull'estensiones del teorema di Montel, Acc. Naz. Lincei, t 46, 1969, p. 1937. D. PISANELLI, Applications analytiques en dimension infinie, CR Acad. Sc., t 274, 1972, p. 760-763 et B u l l . Sc. Math. ( h paraitre). J.P. RAMIS, Sous-ensembles analytiques d'une vari6t6 banachique complexe, Springer 1 970.

110

Bibliographie

C.E. RICKART, Analytic functions of an i n f i n i t e number of complex v a r i a b l e s , Duke Math. Jour., t 36, 1969, p, 581-

597. C.E. RICKART, Analytic phenomena i n general function algebras, P a c i f i c J. o f Math,, t 18, 1966, p. 361-377. C.E.

RICKART, Holomorphic convexity f o r general function algeb r a s , Can. J. of Math., t 20, 1968, p. 272-290.

.

J. SEBASTSO E SILVA,Sui c e r t e c l a s s i d i spazi localmente conv e s s i , Rend. Roma, t 14, 1955, p. 383-410. J. SEBASTSO E SILVA, S u i fondamenti d e l l a t e o r i a d e i funzionali a n a l i t i c i , Port. Math,, t 12, 1953. H. SCHAEFFER, Topological v e c t o r spaces, Mac Millan 1966.

M. SCHOTTENLOHER, Analytische Fortsetzung i n Banachrallmen, thks e , Munich 1971, Math. Annalen ( b p a r a f t r e ) . L. WAELBROECK, Topological v e c t o r spaces and algebras, Springer l e c t u r e notes 230. M.A.

ZORN, Characterisation of a n a l y t i c functions i n Banach space, Annals of Math., t 46, 1945, p. 585-593.

M.A.

ZORN, Gateaux d i f f e r e n t i a b i l i t y and e s s e n t i a l boundedness, Duke Math. Jour., t 12, 1945, p. 579-583.

INDEX

................. .................... ........ .. forte .......... mdtrique ........ projective ..... hire (espace) .......................... Base algebrique (de Hamel) .............. Base de Schauder ........................ (c) propridte ............................ Cartan-Thullen (thdohe) ............... Cartan-Thullen-Oka (theorhe) ........... Complhtement rQgulier ................... ContinuitXtsatz ......................... Convergence ( theorbme) .................. Convexitd holomorphe .................... Convexitd plurisoushamonique ........... Convexitd polynomiale ................... Compact U ......................... Dimension aldbrique .................... Domaine d'existence ..................... Domaine d'holomorphie ................... Enveloppe d'holomorphie ................. Enveloppe holomorphiquement complhte .... Espace holomorphiquement complet ........ Espace Qtald ............................ Extension analytique .................... fiiment ................................ G-analytique ............................ Hartogs lemme ........................... thdo&me ........................ Inductive topologie ..................... Inductive Limite loc. convexe ........... Inductive stricte ....................... Levi-Oka (thQorbme) ..................... Localement bornde ....................... Mamite ................................. Nucldaire ............................... Oka (theorbme) .......................... Oh-Wail ( theorbme) ..................... Plurisoushamoniques (fonctions) ........ Analytique application Analytique fonction Approximation (propridt6) bornde de Grothendieck

dans

P. a, 98 P* 8 p. 69 P- 8 p. a1 P* 1 P- 7 P* 7 p. 3, 47 p. 10 p. 83

P* 1 p. 10, 55 p. 12, p. 19 p. 10 p. 12, 45 p. 69 p. 21 P* 7 p. 10 p. 9, 58 p. 58 Pa al Po fl p. 51 p. 58 p. 43 p. 22 p. 20 P* 9, 30

P* 4 Pa 5 P* 5

p. 99 p. 15 p. 53

P. 6 p. 13 p. 11, 76 p. 11, 14

112

Index

....................... ........... ................................. Polyn8me ............................... Projection ..................... Projective topologie Projective limite ........................ Projective limite ouverte ................ Prolongement (couple) .................... Pseudo-convexe (ouvert) .................. Rayon ae convergence ..................... RQgularisQe superieure ................... Runge propri6t6, th6o&me) .............. Silva t espace) ........................... Suite t&s fortement convergeant vers 0 .. Uniform6ment ouvert ...................... ........................ Vitali (th6oAme) Zorn (th6orhme) ..........................

p. 89 p. 94 p. 22

P* P. P. Pa p. p. p. p.

5 2

3 3 63 12, 41

33 16

P.

11, 76, 78

p. p. p. p. p.

6

7, 93 48 28 29