Prueba de Hipotesis [PDF]

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PRUEBA DE HIPOTESIS Hipótesis Estadística.- Afirmación relativa a un parámetro de la población sujeta a verificación. Prueba de Hipótesis.- Procedimiento basado en evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Hipótesis Nula (𝑯𝟎 ). Es una suposición tentativa acerca del parámetro poblacional. También se define como un enunciado relativo al valor de un parámetro poblacional formulado con el fin de probar evidencia numérica. Hipótesis Alterna o Alternativa (𝑯𝟏 ).-Describe lo que se concluirá si se rechaza la hipótesis nula. También se le conoce como hipótesis de investigación. La hipótesis alterna se acepta si la información de la muestra ofrece suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula. Formas para la Hipótesis Nula y Alterna 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0

𝐻0 : 𝜇 ≥ 𝜇0

𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0

𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0

𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0

𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0

Ejemplo.- Con base en una muestra de las piezas de un pedido recibido, el inspector de control de calidad tiene que decidir si acepta el pedido o si lo regresa al proveedor debido a que no satisface las especificaciones. Suponga que una especificación para unas piezas determinadas sea que su longitud media deba ser de dos cm. Si la longitud media es menor o mayor a dos cm, las piezas ocasionarán problemas de calidad en la operación de ensamblado. En este caso, las hipótesis nula y alternativa se formulan como sigue. 𝐻0 : 𝜇 = 2 𝐻1 : 𝜇 ≠ 2 Nivel de Significancia (𝜶).- Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Errores tipo I y II Las hipótesis nula y alterna son afirmaciones opuestas acerca de la población. Una de las dos, ya sea la hipótesis nula o la alterna es verdadera, pero no ambas. Lo ideal es que la prueba de hipótesis lleve a la aceptación de 𝐻0 cuando la 𝐻0 es verdadera y al rechazar la 𝐻0 cuando la 𝐻1 es verdadera. Como la prueba de hipótesis se basa en una información muestral debe tenerse en cuenta que existe la posibilidad de error. Error tipo I (𝛼).- Rechazar la hipótesis nula, cuando es verdadera. Error tipo II (𝛽).- Aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.

Tabla 1. ERRORES Y CONCLUSIONES CORRECTAS EN LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS Situación en la población 𝑯𝟎 verdadera Se acepta la 𝑯𝟎 Conclusión correcta (1 − 𝛼)

Decisión

Se rechaza la Error tipo I

Error tipo II (𝛽) Conclusión correcta

(𝛼)

𝑯𝟎

𝑯𝟏 verdadera

(1 − 𝛽)

ESTADÍSTICO DE PRUEBA.- Valor determinado a partir de la información de la muestra, para determinar si se rechaza la hipótesis nula.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL 1. CUANDO SE CONOCE LA DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL (σ) A. PRUEBA BILATERAL 5. Región de aceptación y región crítica a nivel de 1.Hipótesis: 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 confianza 1 − 𝛼 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 2.Nivel de significación 𝛼 3.Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇0 𝑍= 𝜎 ~𝑁(0, 1) √𝑛 4.Valor crítico para el nivel 𝛼 : 𝑍𝛼 2

Si 𝒁 ∈ (−𝑍𝛼 , 𝑍𝛼 ) se acepta la 2

2

Ho. En caso contrario se rechaza la Ho. B. PRUEBA UNILATERAL: COLA A LA IZQUIERDA

a) 1. Hipótesis 𝐻0 : 𝜇 ≥ 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 b) 2. Nivel de significación 𝛼 c) 3. Estadístico de prueba 𝑍=

𝑥̅ −𝜇0 𝜎 √𝑛

5. Región de aceptación y región crítica a nivel de confianza 1 − 𝛼

~𝑁(0, 1)

d) 4.Valor crítico para el nivel 𝛼: 𝑍𝛼 Criterio de decisión: 𝑍 > −𝑍𝛼 se acepta la 𝐻0 𝑍 < −𝑍𝛼 se rechaza la 𝐻0 C. PRUEBA UNILATERAL: COLA A LA DERECHA 5. Región de aceptación y región crítica a nivel de 1. Hipótesis: 𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0 confianza 1 − 𝛼 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0 2. Nivel de significación 𝛼 3. Estadístico de prueba 𝑍=

𝑥̅ −𝜇0 𝜎 √𝑛

~𝑁(0, 1)

4. Valor crítico para el nivel 𝛼: 𝑍1−𝛼 Criterio de decisión: 𝑍 > 𝑍1−𝛼 se rechaza la 𝐻0 𝑍 < 𝑍1−𝛼 se acepta la 𝐻0

RESUMEN: PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL CON DESVIACION ESTANDAR O TIPICA CONOCIDA

1. Hipótesis

2. Nivel de Significancia 3. Estadístico Prueba

Prueba de la cola Prueba de la cola Prueba de dos colas a la izquierda a la derecha 𝐻0 : 𝜇 ≥ 𝜇0 𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 𝛼

𝛼

𝛼

𝑥̅ − 𝜇0 𝑥̅ − 𝜇0 𝑥̅ − 𝜇0 𝑍= 𝜎 𝑍= 𝜎 𝜎 √𝑛 √𝑛 √𝑛 4. Regla de rechazo: 𝑍𝛼 −𝑍𝛼 𝑍𝛼 2 Método Valor Se rechaza la Ho Se rechaza la Ho Se rechaza la Ho Critico si 𝑍 ≤ −𝑍𝛼 si 𝑍 ≥ 𝑍1−𝛼 si 𝑍 ≤ − 𝑍𝛼 o si 𝑍 ≥ 𝑍𝛼 𝑍=

2

2

EJEMPLOS: 1. Jamestown Steel Company fabrica escritorios para oficina en diferentes plantas en el oeste del estado de Nueva York. La producción semanal del escritorio modelo A325 en la planta de Fredonia tiene una distribución normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 16. Hace poco, con motivo de la expansión del mercado, se introdujeron nuevos métodos de producción y se contrató a más empleados. La cantidad media de escritorios producidos el año pasado (50 semanas, pues la planta cerro 2 semanas por vacaciones) es de 203.5. El vicepresidente de fabricación pretende investigar si hubo algún cambio en la producción semanal del escritorio modelo A325. En otras palabras, la cantidad media de escritorios producidos en la planta de Fredonia es diferente de 200 escritorios semanales con un nivel de significancia de 0.01? Información Población

de X= “Peso de un rodamiento (en g)” 𝑋~ 𝑁(𝜇, 𝜎) y 𝜇 = 200, 𝜎 = 16

Información muestral Prueba de Hipótesis

𝑛 = 50

𝜎 = 16

𝑥̅ = 203.5

𝐻0 : 𝜇 = 200 𝐻1 : 𝜇 ≠ 200 2. Nivel de significación 𝛼 = 0.01 3. Estadístico de prueba: Z calulado 1.

𝑍=

203.5−200 16 √50

=

3.5 2.2627

= 1.5468 = 1.55

4. Valor crítico 𝑍𝛼 = 𝑍0.01 = 𝑍0.005 = 2.58 2

CONCLUSIÓN

2

Como Zcal =1.55 es menor que 2.58 entonces pertenece a la región de aceptación de la hipótesis nula (Ho). La media de la población no es distinta de 200. Así, se informa al vicepresidente de fabricación que la evidencia de la muestra no indica que la tasa de producción en la planta de Fredonia haya cambiado de 200 semanales.

2. Los pesos de los rodamientos fabricados en un proceso siguen un distribución normal con media 250 g. y desviación estándar 5g. Tras reajustar el mismo, el encargado sospecha que el peso promedio ha aumentado, pero su desviación estándar muestral no ha cambiado. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 16 rodamientos, con un peso medio de 251.9 g. ¿Tiene razón el encargado? Lleva a cabo el contraste para un nivel de significación del 5%. Información Población

de X= “Peso de un rodamiento (en g)” 𝑋~ 𝑁(𝜇 = 250𝑔, 𝜎 = 5𝑔) 𝜇 = 250𝑔, 𝜎 = 5𝑔

Información muestral Prueba de Hipótesis

CONCLUSIÓN

n=16 𝑥̅ = 251.9 𝑔 1) 𝐻0 : 𝜇 ≤ 250 𝐻1 : 𝜇 > 250 2) 𝛼 = 0.05 3) Estadístico de prueba 𝑥̅ − 𝜇0 251.9 − 250 𝑍= 𝜎 = = 1.52 5⁄ √16 √𝑛 4) 𝑍1−𝛼 = 𝑍1−0.05 = 𝑍0.95 = 1.65 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑍 = 1.52 < 𝑍1−𝛼 = 1.65 se acepta 𝐻0 Los datos muestrales no proporcionan suficiente evidencia para afirmar que el peso de los rodamientos es mayor a 250 g.

Ejercicios de Aplicación N° 1 1.

Según experiencias pasadas, se sabe que en una compañía el retraso promedio por mes de sus obreros es de 64 minutos con una desviación estándar de 8 minutos. El gerente de la compañía considera que éste promedio ha aumentado sensiblemente en los últimos meses, por lo cual ordena efectuar la investigación correspondiente. Para tal fin, se toma una muestra aleatoria de n=64 obreros y se encuentra que la misma presenta una media muestral de 68 minutos. Se pide comprobar si el gerente tiene o no la razón con un nivel de significación de 0.05.

2.

La compañía Gibbs Baby desea comparar el aumento de peso en bebés que consumen su producto en comparación con el producto de su competidor. Una muestra de 40 bebés que consumen los productos Gibbs reveló un aumento de peso medio de 7.6 libras en los primeros tres meses después de nacidos. Para la marca Gibbs, la desviación estándar de la población de la muestra es 2.3 libras. Una muestra de 55 bebés que consumen la marca del competidor reveló un aumento medio en peso de 8.1 libras. La desviación estándar de la población es 2.9 libras. Con un nivel de significancia de 0.05.