Probleme de algebră, geometrie și ecuații diferențiale [PDF]

Zitiervorschau

MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI ÎNVATAMÎNTULUI Constantin Udrişte

Constantin Radu

Constantina Dicti

Odetta Mălăncioiu

PROBLEME DE ALGEBRĂ, GEOMETRIE kjJL JZ/V-^ LJ i \ J. A A

DIFERENŢIALE

\&t

P/V

EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ BUCUREŞTI 1981

Referent ştiinţific: Prof: dr. doc. Radu Miron

Redactor: Iliescu Gabriela Tehnoredactor: Veîcovici Constantina

PREFAŢĂ >

Această carte se adresează studenţilor de la institutele de învă­ tămînt superior tehnic, în special celor de la profilul mecanic, şi cadrelor didactice de specialitate. De asemenea ea mai poate fi folosită şi de către studenţii şi cadrele didactice de la alte forme de învătămînt superior, materialul conţinînd următoarele capitole de matematici: algebră liniară şi geometrie analitică, geometrie analitică în spaţiul cu trei dimensiuni, geometrie diferenţială şi ecuaţii diferenţiale. Lucrarea are la bază cărţile [63], [58], [59], [51] pe care le com­ pletează substanţial prin idei noi sugerate de întreaga bibliografie şi de problemele lucrate cu studenţii. Faţă de culegerile de probleme de profil apropiat, prezenta se deosebeşte prin probleme originale elaborate de autori în cadrul activităţii din Institutul politehnic Bucureşti, prin modul de îmbinare a noţiunilor de algebră, geometrie şi analiză potrivit actualei pro­ grame analitice precum şi prin finalizarea soluţiilor unor probleme numerice cu scheme logice şi programe FORTRAN. Testele făcute cu studenţii din Institutul politehnic BucureŞti şi discuţiile metodice purtate în cadrul colectivului Catedrei matematici I au arătat că această manieră de prezentare este impusă de nevoile actuale şi de perspectivă ale învăţămîntului superior tehnic. Mulţumim profesorului dr. docent Radu Miron de la Universi­ tatea din Iaşi şi profesorului dr. Valter Olariu de la Institutul politehnic Bucureşti pentru observaţiile deosebit de utile făcute asupra manuscrisului. august 1981

Autorii

CUPRINS

Capitolul § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

§ § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

I. Algebră liniară şi geometrie analitică

','

Matrice şi determinanţi Spaţii vectoriale Transformări liniare Valori şj vectori proprii Forme biliniare şi pătratice Spaţii punctuale euclidiene Capitolul 2. Geometrie analitică în E3

7 25 52 72 98 112 ,

122 130' HO 146 155 164

Capitolul

1 6S

3. Geometrie diferenţială

§ 1. Funcţii diferenţiabile § 2. Curbe i. Curbe în R" ii. Curbe în plan iii. Curbe plane în coordonate polare iv. Curbe în J î 3 § 3. Suprafeţe § 4. Subvarietăţi ale lui Ra § 5. Algebră şi analiză tensorială § 6. Forme diferenţiale şi formule integrale Capitolul § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

122

Vectori liberi Dreapta şi planul Schimbări de repere carteziene Conice Cuadrice Coordonate polare şi semipolare

4. Ecuaţii diferenţiale

168 177 177 183 193 200 207 229" 238 248.

257

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior Sisteme diferenţiale liniare de ordinul întîi Linii de cîmp şi sisteme simetrice Hipersuprafeţe de cîmp şi ecuaţii liniare cu derivate parţiale Hipersuprafeţe ortogonale liniilor de cîmp şi ecuaţii Pfaff

257 267 280 299* 304 316

Bibliografie

326-

CAPITOLUL 1

ALGEBRĂ LINIARĂ SI GEOMETRIE ANALITICĂ

§ 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI

1.1. Fie I m > a = {{i, j)\ i — 1,2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). Orice funcţie A definită pe Im> n se numeşte matrice de tip mX n. Valorile A(i,j) = at} se numesc elementele matricei şi ele sînt dispuse într-un tabel dreptunghiular cu m linii şi n coloane «ii 21

a

12 ^22

O matrice de tipul m X n se mai numeşte şi matrice dreptunghiulară şi pre­ scurtat se notează prin A = [atj]. O matrice de tipul m X 1 se numeşte matrice (vector) coloană, iar o matrice de tipul 1X n se numeşte matrice (vector) linie. Dacă ?ra = w, atunci matri­ cea A se numeşte matrice pătratică, iar n se numeşte ordinul matricei. 1.2. Matricea care se obţine din A prin schimbarea liniilor în coloane (sau a coloanelor în linii) se numeşte matricea transpusă a lui A şi se notează cu 'A. 1.3. Fie K unul dintre cîmpurileR sauC, iar §\lmxn(K) mulţimea matricelor de tipul mx n cu elemente din K. Adunarea matricelor şi respectiv înmulţirea cu scalari se definesc astfel: dacă A = [ai}] şi B = [btj] aparţin dui aRCmxn(K), atunci A + B = \at} + btj] şi respectiv kA = [kai}], keK. Adunarea matricelor are proprietăţile A+ B= B+ A (A + B) + C = A + (B + C) A+ 0 = A A + ( - A ) = O, unde O este matricea zero, iar ,, — A" este matricea opusă lui A. Produsul dintre un scalar şi o matrice are proprietăţile 1A = A (kl)A = k(lA) (k + l)A = kA + lA k(A + B) = kA + kB Precizare. în cele ce urmează matricele au elemente din K. 7

1.4. Dacă A = [ai}] este o matrice de tipul mx n, iar B = [bjk] este o matrice de tipul nx p, atunci prin produsul celor două matrice se înţelege matricea AB = de tipul m>

E

înmulţirea matricelor are proprietăţile (AB) C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (B + C) D = BD + CD

Matricele X şi Y cu proprietatea XY = YX vor fi numite matrice comutabile. 1.5. O matrice pătratică A pentru care A = eA(A = — *Â) se numeşte simetrică (antisimetricăj. Orice matrice pătratică poate fi scrisă în mod unic ca suma dintre o matrice simetrică şi o matrice antisimetrică. 1.6. O matrice pătratică A = [ai}] care are proprietăţile ai} = 0, i # j şi 3/ aşa ca an # 0 se numeşte matrice diagonală. O matrice diagonală în care au = 1, / = 1, 2, ..., n, se numeşte matrice unitate şi se notează cu I, Avem IA = AI = A. 1.7. O matrice pătratică care satisface condiţia 'AA = I se numeşte matrice ortogonală. 1.8. Dacă A este o matrice pătratică, atunci puterile naturale ale lui A se definesc inductiv: A° = I, A" = AA"- 1 pentru » = 1, 2, ... 1.9. Fie mulţimea / „ = {a 1; a2, ..., a B }. O aplicaţie bijectivă se numeşte permutare a mulţimii /„ şi se notează prin

a:Jn-*Jn

\

«î

a2 ... cf.n

a (cei)

a(a 2 ) ... cr(aB)J

Signatura unei permutări a se defineşte prin 1, dacă a este o permutare pară 1, dacă cr este o permutare impară. 1.10. Simbolul lui

Kronecker, S} =

1, dacă i = j 0, dacă i =£ _;'.

1.11. Presupunem, că indicii i^ i 2 , ..., i„ şi j\,j2, •••,jn iau valori din mul­ ţimea {1, 2, ..., m, unde w > n). Definim simbolul lui Kronecker generalizat: ' 0, dacă întregii (ilt i2, ..., in) sau (jx, j 2 , ...,jn) nu sînt distincţi, 0, dacă întregii (ii,H,...,in) şi (?\,/ 2 , . . . , y j sînt distincţi dar mulţimile {ilt i2, ..., in} şi {ji, jz, ...,jn} nu sînt egale %?h'---Tn={ sCT, dacă întregii (iu i2, ..., in)_ şi (juj2, ...,jn) sînt distincţi, iar mulţimile {iy i2, ..., in} şi {ji,j2, •••,j^ sînt egale, unde

vii i2...yj 8

1.12. Cu ajutorul simbolul e:

simbolului lui Kronecker generalizat .;,),...

şi se constată că ~!lio...!« -

»«l»2—'u

1.13. Fie A = [ai}] o matrice patratică cu elemente din cîmpul K (numere reale sau complexe). Elementul din K definit prin detA= se numeşte determinantul

V;

shh-hava2h

... anln

matricei A şi tradiţional se notează prin | ai} | sau an

a12...

&zi

fl-zz...

i an\

a

nZ

aln\ a.in

•••

a

nn

Vectorii [atv aa, ..., ain], i = 1, 2, ..., n, poartă numele de liniile determi­ nantului, iar vectorii %av, aVl, ..., anj] j = 1, 2, ..., n, poartă numele de coloa­ nele determinantului. Numărul n se numeşte ordinul determinantului. 1.14. Dacă A este o matrice pătratică şi 'A este transpusa sa, atunci det A = det 'A. De aceea orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adevărată şi pentru coloane. 1.15. (1) Dacă elementele unei linii (coloane) sînt respectiv sume de cîte doi termeni, atunci determinantul se descompune într-o sumă de doi determinanţi. (2) Dacă elementele unei linii ^(coloane) se multiplică cu te.K, atunci determinantul se multiplică cu t. în general det f A) = tn det A, unde n este ordinul lui A şi te,K. (3) Dacă într-un determinant se schimbă două linii (coloane) între ele, atunci se schimbă şi semnul determinantului. Consecinţe: (i) Un determinant este nul dacă: are două linii (coloane) egale sau are două linii (coloane) proporţionale sau una din linii (coloane) este o combinaţie liniară de alte linii (coloane), (ii) Valoarea unui determinant nu se schimbă dacă: schimbăm liniile în coloane de acelaşi ordin sau la ele­ mentele unei linii (coloane) adăugăm combinaţii liniare formate cu elementele din celelalte linii (coloane). 1.16. (Dezvoltările lui Laplace). Fie determinantul \ai}\ de ordinul n ataşat matricei A = [ai}]. Determinantul de ordinul n — 1 care se obţine suprimînd linia i şi coloana / din | atj | se numeşte minorul elementului at] şi se notează cu minor atj. Numărul cof % = {—\)i+i minor ai} se numeşte complementul algebric sau cofactorul elementului a{}. Avem n

n

a

co a

J2 pi f u (= 1

=

S

Ϋ

det A

-

5 3 akP cofakq = Bpq det A. A=l

1.17. Matricele pătratice A pentru care det A ^ 0 (det A , = 0) se numesc matrici nesingulare (singulare). 9

1.18. Fie A o matrice pătratică. Matricea A - 1 care satisface condiţiile AA = A - 1 A = I se numeşte matrice inversă lui A. O matrice pătratică A posedă o inversă dacă şi numai dacă det A ^ ()• Această matrice inversă se poate determina astfel: se calculează det A ^ 0; se face matricea transpusă, 'A, şi matricea reciprocă A + ( = matricea ale -1

cărei elemente sînt cofactorii elementelor lui ' A ) ; A - 1 =

A+. det A

Matricea inversă unei matrice are proprietăţile: ('A)" 1 = '(A- 1 ), (A" 1 )- 1 = A, (kA)-1 = 1 Ar1, unde ke K - {0}, (AB)- 1 = B-^A"1. Cu ajutorul matricei inverse se definesc puterile întregi, negative, ale unei matrice nesingulare: A-n = (A-1)'8,

n = 1, 2, ...

1.19. Fie A = [aiS] o matrice de tipul « x n şi p un număr natural < m i n { w , n}. Prin suprimarea în matricea A a (m — p) linii şi (n — p) coloane, se obţine o matrice pătratică de ordinul p al cărui determinant se numeşte minor de ordinul p al matricei A. Dacă matricea A posedă un minor nenul de ordinul p, iar toţi minorii de ordinul p + 1 sînt nuli sau nu există, atunci numărul p se numeşte rangul matricei A. Rezultă rang A = rang 'A, rang AB < min (rang A, rang B), iar dacă B este o matrice pătratică nesingulară, atunci rang AB = rang BA = rang A. 1.20. Fie A = [a y ] o matrice de tipul « X n. Următoarele operaţii se numesc transformări elementare. (1) Schimbarea a două linii (coloane) între ele. (2) înmulţirea elementelor unei linii (coloane) cu un număr nenul. (3) Adunarea la elementele unei linii (coloane) a elementelor corespondente din altă linie (coloană) înmulţite cu acelaşi număr nenul. Matricele obţinute din matricea A prin transformări elementare au acelaşi rang ca şi matricea A. Mai mult, în cazul în care A este o matrice pătratică nesingulară, matricea inversă A""1 poate fi obţinută cu ajutorul transformărilor elementare. 1.21. Fie A = [ai3] o matrice de numere reale sau complexe, de tipul mx n, şi b-i, b2, ..., bm nişte numere reale sau complexe date. O mulţime de ecuaţii de forma

se numeşte sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute x}. Printr-o soluţie a sistemului se înţelege orice n — uplu (xx, x2, ..., xn) care verifică toate ecuaţiile sistemului. Matricea A se numeşte matricea coeficienţilor sistemului. 10

Fie B = *[&1( b2, ..., bm] şi X = t[x1, xs, ..., xn]. Sistemul (*) este echivalent cu ecuaţia matriceală (**) AX = B. Matricea [A/B] se numeşte matricea extinsă a sistemului. 1.22. Sistemul (*) este compatibil dacă si numai dacă rang A = rang [A/B]. Dacă A este o matrice pătratică nesingulară, atunci (**) are soluţia X = A- X B.

Exerciţii şi probleme 1. Fie m u l ţ i m e a j ^ j 0 < pk < 1, E A = l | şi matricea complexă A = [ « t J ] , pătratică de ordinul n, ale cărei n

n

elemente au modulul cel mult a

egal

z

cu unu. Să se arate că 7 ^ ^ fi*Pi\ ki\ == * dacă şi numai dacă \akl\ = 1 , k=i

i=i

k, l = 1, 2, ..., n, unde \au\ înseamnă modulul numărului aa. n

n

n

n

Soluţie. Fie \au | = 1. Rezultă £ ] £ AAI««I 2 = E E PtPi = *=I J=I

*=i ;=i «

Fie

0•! + ... + yn). 16

1

19. Matricea H ale cărei elemente sînt h,

i +j

—1

se numeşte ma-

irice Hilbert. 1) Să se arate că orice matrice Hilbert este un caz particular de matrice Cauchy. 2) Să se găsească H _ 1 . Să se arate că fiecare element al inversei este un număr întreg, iar suma tuturor elementelor inversei este n2. 20. Fie A = [a(j] o matrice pătratică. Numărul S a ^ *y» se numeşte permanentul matricei A. Care este permanentul matricei lxl 2x1

1X2 ... I X » 2 x 2 ... 2 x »

?

»X 1 « X 2 ... nxn_ R: (n !)3. Există n ! termeni. Fiecare termen are cîte un factor din fiecare linie şi fiecare coloană, adică are valoarea (n !)2. 21. Se consideră matricea

Vandermonde

Ur1 xt1... n-\*.. v

1) Să se arate că det V = ŢI (xj ~

x

i)-

2) în ipoteza det V ^ 0, să se găsească V - 1 . 3) Care este suma celor n2 elemente ale lui V - 1 ? 22. Se consideră matricea

combinalorială

Vx + y y L y

y x + v ... y

y y

••• x 4- v_

n 1

1) Să se arate că det C = x ~ (x + ny). 2) în ipoteza det C # 0, să se verifice că b

n = (~y + 8' — iif = E (circuitul

AFB)

I2r -f i-i? — iii' = 0 (circuitul ADF) i2r — isr — ixr = 0 (circuitul DCF) h>' — Ui' — Hi = 0 (circuitul CFB) 26. Se consideră (vectorii) matricele ~x{

"yî ,

Y =

.*..

-}'n.

cu ajutorul cărora definim matricea A = I + X'Y. 1) Să se arate că există un polinom de gradul doi cu coeficienţi reali, P(x) = y.x2 + 3.T + v, astfel încît P(A) = ocA2 + pA + Y1 = O. 2) în ipoteza *XY = O, să se cerceteze existenţa lui A - 1 . 3) Să se rezolve sistemul BX = Y, unde B = [b(j] este dată prin

P.

* #y.

x, i = j 21

Soluţie. 1) Fie matricea P(A) = aA 2 + |3A + yl = (a + 6 + y) I + ( + (2a + P) X'Y + a (X'Y) (X Y) = (a + (3 + y) I + (2a + j3 + p) X'Y. Con­ diţiile a + (3 + y = 0, 2a + Ş + p = 0 determină coeficienţii polinomului P(x), fiind evident compatibile. 2) Se observă că 1+

xiyi

xiy-i

Xi V

Un

1 + %23'2 -

A = I + X'Y = x„\ »>i

%r, 1 + *„>'»-

şi det A = 1 + x1v1 + ... + :vBvs = 1 + 'XY. De aceea *XY = 0 implică det A = 1 şi d< deci A nesingulară 3) Matricea

B LP

p p P, a # P(l — n) şi în

este matrice nesingulară dacă şi numai dacă a acest caz

B"

a

-p

-P

a

•?>•

"P

•P -P

(a-p)[« + p(»-l)] -P - p . . .

aJ

In ipoteza a ^ p, a / p(l - »), sistemul BX = Y are soluţia unică X = B_1Y. Dacă a = p # 0, atunci sistemul BX = Y se scrie explicit sub forma a(% + ••• + %n) = }'i> •••» (%, x2r ..., xu) se numeşte sistem de coordonate pe V. 2.13. Dacă în V„ este fixată o bază B, atunci se preferă identificarea v = (xi, x-2, ..., xn). î n acest caz kv = (kx1, kx2, ..., kxn) şi dacă w = {yx, _y2, ..., yn), atunci v + w = (xx + yx, x% + y2, ..., xn + y„). 2.14. Fie V„ un spaţiu vectorial peste cîmpul K, A = [ai}] o matrice patratică cu elemente din K şi B = {elt e2, ..., ere} o bază a lui V„. Mulţimea B' =Wi =Z—/aaei> i•== ^> ^> •••• n\

es

^-e ° bază a lui V„ dacă şi numai dacă

det A # 0. Dacă B = {