Probabilites [PDF]

Zitiervorschau

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Probabilités. I.

Vocabulaire 1) Exemple 1 : Lançons un dé. A l’arrêt, sa face supérieure porte l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si le dé est non truqué (on dit encore bien équilibré ou parfait), nous sommes incapables de prévoir quelle face va apparaître. Nous sommes en présence d’une expérience aléatoire. 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont les résultats ou les cas possibles ou les issues ou les éventualités. L’ensemble des éventualités est l’univers Ω . Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Un événement est une partie de l’univers. Par exemple, l’événement « obtenir un nombre entier strictement supérieur à 4 » est l’événement {5, 6}. Le nombre d'éléments d'un événement A s'appelle son cardinal. On le note card A. Card Ω = 6. L’événement {4} (« obtenir 4 ») ne contient qu’une seule éventualité : c’est l’événement élémentaire. L’événement « obtenir 7 » est l’événement impossible ( C’est l’ensemble vide ; ∅). L’événement « obtenir l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 » est l’événement certain ( C’est l’univers Ω tout entier ). Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou disjoints) lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun, c'est-à-dire A ∩ B = ∅ A : « Obtenir un nombre pair » et B : « Obtenir 3 ou 5 » sont incompatibles. L’événement contraire de A est le complémentaire de A dans Ω . ; on le note A . Si A : « Obtenir un nombre pair », alors A :« Ne pas obtenir un nombre pair », c'est à dire « Obtenir un nombre impair » et A = {1 ; 3 ; 5 }.

2) Exemples : L’expérience aléatoire « lancer une pièce de monnaie » a deux issues : P et F ( Pile et Face). L’univers est Ω = {P, F}. Les événements élémentaires sont {P} et {F} ( « On obtient pile », « on obtient face »). On lance deux pièces de monnaie : Ω = { PP ;PF ; FP ; FF } On lance deux dés : Ω = {( i, j ) où 1 ≤ i ≤ 6 et 1 ≤ j ≤ 6 }

II. Calcul des probabilités 1) Loi des grands nombres Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une éventualité tend vers une valeur « idéale » : on l’appelle probabilité de l’événement élémentaire associé à l’éventualité considérée. C’est un nombre compris entre 0 et 1. On le note P({a}), a étant l’éventualité observée. Exemples : • On lance une pièce de monnaie. La probabilité d’obtenir « face » est 0,5. 1 1 • On lance un dé. La probabilité d’obtenir le nombre 3 est égale à . P({3}) = . 6 6

2) Loi de probabilité Définition : Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité P sur Ω = {e1 ; e2 ; ……. ; en} , c’est associer, à chaque événement élémentaire ei un nombre pi appartenant à l’intervalle [0 ; 1] tel que la somme des pi fasse 1. Les nombres pi sont appelés probabilités. On note pi = P({ei}) Principe fondamental : La probabilité P(A) d’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. Si A = {a1, a2, a3, …, ak), alors P(A) = P({a1}) + P({a2}) + P({a3}) + …+ P({ak}).

Propriétés : • P( ∅) = 0 ( la probabilité de l’événement impossible est nulle ) • P( Ω ) = 1 ( la probabilité de l’événement certain est égale à 1 ). • 0 Â P(A) Â 1 • La somme des probabilités de tous les événements élémentaires de Ω est égale à 1. • P ( A ) = 1 – P ( A) Exemples :

3) Equiprobabilité Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité ou que les événements élémentaires sont équiprobables. Expressions qui signifient qu’il y a équiprobabilité : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On lance une pièce parfaitement équilibrée. On jette un dé non pipé. Les jetons ou les boules sont indiscernables au toucher…

Propriété : Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour 1 probabilité où n est le nombre d’éventualités. n m Si A est événement contenant m éventualités, alors P(A) = . n nombre de résultats favorables card(A) On écrit parfois P(A) = = nombre de résultats possibles card(Ω)

Exemple 1 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Chaque tirage est équiprobable. 1 La probabilité de tirer le roi de trèfle est . 52

La probabilité de tirer un trèfle est de

13 1 = . 52 4

Exemple 2 : On lance un dé. Chaque face a la même probabilité d’apparaître :

1 . 6

Soit A l’événement « obtenir un nombre impair ». 1 1 1 1 + + = . P(A) = P({1}) + P({3}) + P({5}) = 6 6 6 2

III. Paramètres d’une loi de probabilité On suppose que les issues x1, x2, … , xn sont des nombres réels et qu’une loi de probabilité est définie sur E. L’espérance mathématique de la loi de probabilité est le nombre µ défini par µ = p1x1 + p2x2 + …… + pnxn. Exemple : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} 1 . 6 1 1 1 1 1 1 µ = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = 3,5. 6 6 6 6 6 6

p1 = p2 = p3 = p4 =p5 =p6 =

La variance est le nombre V défini par V = p1 (x1 - µ)²+p2 (x2 - µ)²+…… +pn (xn - µ)² =

n

n

i=1

i=1

∑ pi (xi − µ ) 2 = ∑ xi2 pi − µ 2

L’écart-type est le nombre σ = V

IV. Evénement « A ∩ B », événement « A ∪ B ». 1) Evénement « A et B » Définition : On appelle événement « A et B », l’événement constitué des éventualités qui appartiennent à A et à B simultanément. Remarque : L’événement « A et B » est l’intersection de deux événements . L’événement « A et B » est noté A ∩ B. Ω

A B

A et B

Définition : On dit que deux événements sont incompatibles si « A et B » est l’événement impossible (leur intersection est alors l’ensemble vide). Remarque : Si A et B sont incompatibles alors P(A ∩ B) = P( ∅) = 0.

A

B Ω

Exemple : On lance un dé. Soit A l’événement « obtenir un nombre impair ». A = { 1 ; 3 ; 5 } Soit B l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 ». B = { 1 ; 2 } Soit C l’événement « obtenir un nombre multiple de 3 ». C = { 3 ; 6 } « A et B » est l’événement « obtenir un nombre impair inférieur ou égal à 2 ». « A et B » : A ∩ B = {1}. Les événements B et C sont incompatibles. En effet B ∩ C =Ø.

2) Evénement « A ou B » Définition : On appelle événement « A ou B », l’événement constitué des éventualités qui appartiennent à A ou à B. Remarque : L’événement « A ou B » est la réunion de deux événements . L’événement « A ou B » est noté A ∪ B. Ω

A B

A ou B

Pour calculer P(A ∪ B), on peut calculer séparément P(A) et P(B), puis les ajouter. Mais les éventualités qui appartiennent simultanément à A et à B sont alors comptabilisées deux fois. On obtient donc la probabilité cherchée en retranchant P(A ∩ B). Propriété : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Si A et B sont incompatibles alors, P(A ∩ B) = 0 on obtient donc : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Exemple : On lance un dé non pipé. Soit A l’événement « obtenir un nombre impair ». A ={1 ; 3 ; 5}. Soit B l’événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 ». B ={1 ; 2}. Soit C l’événement « obtenir un nombre multiple de trois ». C ={3 ; 6}. A ∪ B est l’événement « obtenir un nombre impair ou inférieur ou égal à 2 ». A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 5} A ∩ B est l’événement « obtenir un nombre impair inférieur ou égal à 2 ». A ∩ B = {1} 3 2 1 2 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = + = . 6 6 6 3 B et C sont incompatibles donc : 2 2 2 P(B ∪ C) = P(B) + P(C) = + = . 6 6 3

V.

Variables aléatoires 1) Loi de probabilité On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 2 fois de suite. L’univers Ω = { PP ; PF ; FP ; FF }. 1 Chaque résultat a une probabilité de . 4 A chaque résultat, on associe le nombre de piles obtenus. PP : 2 PF : 1 FP : 1 FF : 0 Définition : Définir une variable aléatoire X sur Ω , c’est associer à chaque éventualité de Ω un unique nombre réel. On note (X = k ) l’événement constitué des éventualités de Ω qui ont pour image k par X. Exemple : ( X = 0 ) = { FF } ( X = 1 ) = { PF , FP} ( X = 2 ) = { PP } La loi de probabilité de la variable X est définie par le tableau suivant : k

0

1

2

(X=k)

1 4

1 2

1 4

2) Espérance, variance, écart-type d’une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω . On suppose que X prend les valeurs x1, x2, ……, xn avec les probabilités p1, p2, … , pn. On appelle espérance mathématique de X le nombre : n

E(X) = p1x1 + p2x2 + …… + pnxn =

∑ pi xi i=1

E(X) = 0 ×

1 1 1 + 1 × + 2 × = 1. 4 2 4

On appelle variance de X le nombre : V(X) = p1 (x1 – E(X))²+p2 (x2 – E(X))²+…… +pn (xn – E(X))² = L’écart-type est le nombre σ(X) = V(X)

V(X) = 0²×

σ(X) =

1 2

1 1 1 1 1 + 1²× + 2²× − 1² = + 1 + 1 = 4 2 4 2 2

∑ pi (xi − E(X))2 = ∑ xi2 pi − E(X) 2