Priručnik za proračun armiranobetonskih konstrukcija [PDF]

Zitiervorschau

1. OPĆENITO O BETONU 1.1. Uvod 1.2. Naponska stanja i vrste sloma 2. OSNOVE PRORAČUNA 2.1. Granična stanja i pročunske situacije 2.2. Djelovanja 2.3. Svojstva gradiva 2.4. Granična stanja nosivosti 2.5. Granična stanja uporabljivosti 2.6. Beton 2.7. Betonski čelik (armatura) 2.8. Zaštitni sloj 2.9. Proračunski rasponi greda i ploča 3. GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI 3.1. Proračun elemenat napezanih savijanjem 3.1.1. Jednostruko armirani presjek 3.1.1.1. Dimenzioniranje pravokutnog presjeka 3.1.1.2. Dimenzioniranje T-presjeka 1

3.1.2. Dvostruko armirani presjek 3.1.3. Najmanji i najveći postotak armiranja 3.2. Proračun elemenat napezanih tlačnom silom 3.2.1. Centrični tlak 3.2.2. Ekscentrični tlak 3.2.2.1. Postupak Wuczkowski 3.2.2.2. Dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije 3.2.3. Najmanji i najveći postotak armiranja 3.3. Proračun elemenata napezanih vlačnom silom 3.3.1. Centrični vlak 3.3.2. Ekscentrični vlak 3.3.2.1. Vlačna sila djeluje između obiju armatura (mali ekscenticitet) 3.3.2.2. Vlačna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscenticitet) 3.3.2.2.1. Postupak Wuczkowski 3.3.2.2.2. Dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije 3.4. Proračun elemenata napezanih poprečnom silom 3.4.1. Uvod 3.4.2. Postupak dimenzioniranja na poprečnu silu 3.4.3. Elementi bez proračunski potrebne poprečne armature (VSd < VRd1) 3.4.4. Elementi s proračunski potrebnom poprečnom armaturom (VRd1 1

- izvanredna proračunska situacija (ako nije drugačije određeno)

∑γ

GA, j

Gk , j + Ad + ψ 1,1 Qk ,1 + ∑ψ 2,i Qk ,i i >1

Gk,j - karakteristične vrijednosti stalnih djelovanja Qk,1 - karakteristična vrijednost prevladavajućega promjenljivoga djelovanja Qk,i - karakteristične vrijednosti drugih (ostalih) promjenljivih djelovanja Ad - proračunska vrijednost (utvrđena vrijednost) izvanrednoga djelovanja γG,j - parcijalni koeficijent sigurnosti za stalno djelovanje γGA,j - kao i γG,j ali za izvanredne proračunske situacije γQ,j - parcijalni koeficijenti sigurnosti za promjenljivo djelovanje ψ0, ψ1, ψ2 -koeficijenti Kombinacije izvanrednih proračunskih situacija obuhvaćaju, ili određeno izvanredno djelovanje A (npr. udar, potres) ili se odnose na stanje koje nastupa poslije izvanrednoga događaja (A=0). Ako nije drugačije navedeno, može se primijeniti γGA=1. Parcijalni koeficijenti sigurnosti sigurnosti za djelovanja na konstrukcije za stalne i prolazne proračunske situacije dani su u tablici 2.3.

2

Tablica 2.3.Parcijalni koeficijenti sigurnosti za djelovanja za stalne i prolazne situacije

U različitim naprijed određenim kombinacijama potrebno je uvesti ona stalna djelovanja koja pojačavaju učinak promjenljivih djelovanja (djeluju nepovoljno) s gornjim vrijednostima. Nasuprot tome, za ona djelovanja koja slabe učinak promjenljivih djelovanja (djeluju povoljno) mjerodavne su donje vrijednosti, mora se primijeniti ili gornja ili donja proračunska vrijednost (koja je nepovoljnija) za cijelu konstrukciju. Ako su rezultati provjere na različitim mjestima u konstrukciji u velikoj mjeri ovisni o oscilacijama veličine stalnog djelovanja, treba promatrati nepovoljne i povoljne udjele tih stalnih djelovanja kao samostalna djelovanja. To naročito vrijedi za dokaz statičke ravnoteže. U naprijed navedenim slučajevima potrebno je rabiti različite vrijednosti za γG. Ako se povoljni i nepovoljni udjeli stalnoga djelovanja trebaju promatrati kao samostalna djelovanja prema točki, treba povoljnom udjelu pridružiti koeficijent γG,inf=0.9 a nepovoljnom γG,inf=1.1.

3

Stalna i prolazna proračunska situacija kombinacija) može se zamijeniti izrazima:

(osnovna

- za proračunske situacije s jednim promjenljivim djelovanjem Qk,1 ∑ γ G , j Gk , j + 1.5 ⋅ Qk ,1 - za proračunske situacije s dva ili više promjenljivih djelovanja Qk,i

∑γ

G, j

Gk , j + 1.35 ⋅ ∑ Qk ,i i ≥1

Mjerodavna je nepovoljnija vrijednost, tj. ona koja daje veće naprezanje, odnosno veću armaturu. Parcijalni koeficijenti sigurnosti za gradiva dani su u tablici 2.4. Tablica 2.4. Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva gradiva

4

2.5. GRANIČNA STANJA UPORABLJIVOSTI Treba dokazati da je: Ed ≤ Cd gdje je: Cd - nazivna vrijednost koja se odnosi na promatrane proračunske učinke ili funkcija određenih svojstava gradiva Ed - proračunska vrijednost učinka opterećenja jedne od kombinacija koje slijede. Mjerodavna kombinacija određuje se u poglavlju u kojem se provjerava uporabljivost. Tri kombinacije djelovanja za granična stanja uporabljivosti definiraju se ovim izrazima: Rijetka kombinacija:

∑G

k, j

(+ P ) + Qk ,1 + ∑ψ 0,i Qk ,i i >1

Česta kombinacija:

∑G

k, j

(+ P ) + ψ 1,1 Qk ,1 + ∑ψ 2,i Qk ,i i >1

Nazovistalna (kvazistalna) kombinacija:

∑G

k, j

(+ P ) + ∑ψ 2,i Qk ,i i ≥1

1

Ako su granična stanja uporabljivosti obuhvaćena točnijim proračunima, mogu se kod zgrada primijeniti pojednostavnjeni izrazi. Rijetke kombinacije djelovanja mogu se kod zgrada pojednostaviti ovim izrazima, koji se mogu primijeniti i za česte kombinacije: - proračunske situacije sa samo jednim promjenljivim djelovanjem Qk,1 :

∑G

k, j

(+ P) + Qk ,1

- proračunske situacije s dva ili više promjenljivih djelovanja Qk,i

∑G

k, j

( + P ) + 0.9∑ Qk ,i i ≥1

Treba odabrati onu kombinaciju koja daje veću vrijednost. Ako u posebnim točkama nije drugačije određeno, vrijedi γM = 1.0.

2

2.6. BETON Obični je beton koji ima gustoću nakon sušenja (pri 105 °C) veću od 2000 kg/m3, ali najviše 2800 kg/m3. Za gustoću običnoga betona može se uzeti: - ρ = 2400 kg/m3 za nearmirani beton - ρ = 2500 kg/m3 za armirani i prednapeti beton s uvriježenim postotkom armiranja. Tlačna čvrstoća betona zasnovana na karakterističnoj tlačnoj čvrstoći valjka fck, definiranoj kao čvrstoća ispod koje se može očekivati 5 % svih mogućih rezultata ispitivanja čvrstoće danoga betona. Pravila dimenzioniranja temelje se isključivo na karakterističnoj tlačnoj čvrstoći valjka (promjera 15 cm i visine 30 cm), fck, starosti 28 dana. Tlačna čvrstoća kocke, fck,cube (15x15x15 cm) navodi se samo kao druga mogućnost.

Slika 2.2. Normalna krivulja raspodjele tlačne čvrstoće betona fck - karakterističnoj tlačnoj čvrstoći betonkog valjka starog 28 dana 1

fck,cube - karakterističnoj tlačnoj čvrstoći betonke kocke stare 28 dana Srednja tlačna čvrstoća betonskog valjka fcm dobije se iz: fcm = fck + 8

(N/mm2)

Ako nema točnih vrijednosti, može se srednju i karakteristične vrijednosti vlačne čvrstoće betona za dimenzioniranje uzeti prema formulama: f ctm = 0.30 f ck2 / 3 f ctk ,0.05 = 0.7 f ctm f ctk , 0.95 = 1.3 f ctm

fctm - srednja vlačna čvrstoća fctk,0.05 - donja granična karakteristična vlačna čvrstoća (5 %-tna fraktila) fctk,0.95 - gornja granična karakteristična vlačna čvrstoća (95 %-tna fraktila) Tablica 2.5. Razredi betona i čvrstoće

2

Beton se dijeli na razrede prema tlačnoj čvrstoći valjka fck ili kocke fck,cube. U tablici 2.5. dane su karakteristične čvrstoće fck i odgovarajuće vlačne čvrstoće za različite razrede betona. Razrede betona ispod C12/15 ili iznad C50/60 dopušteno je primjenjivati u građenju armiranim i prednapetim betonam samo onda kad je njihova primjena dostatno utemeljena. Ako nema odgovarajućih vrijednosti ili se ne zahtijeva visoka točnost, za zadani razred betona mogu se uzeti srednje vrijednosti sekantnog modula Ecm prema tablici 2.6. Vrijednosti u ovoj tablici vrijede od σc = 0 do σc = 0.4 fck (σc - tlačno naprezanje betona).

Ecm = 9.5 ( f ck + 8)

1/ 3

(Ecm u kN/mm2 i fck u N/mm2)

Tablica 2.6. Sekantni modul elastičnosti Ecm

3

Slika 2.3. Radni dijagram betona Dopušteno je u proračunu uzeti da je Poissonov omjer (koeficijent) pri elastičnim deformacijama jednak 0.2. Ako je pri vlačnim naprezanjima u betonu dopuštena pojava pukotina, može se uzeti da je Poissonov omjer jednak nula. Kad je toplinska deformacija od malog značenja, dopušteno je u proračunu uzeti veličinu 10 x 10-6 K-1. Beton koji stvradnjava na zraku smanjuje volumen, tj. on se skuplja, a pod vodom beton povećava svoj voluen, tj.buja. Puzanje se može definirati kao povećanje deformacije pri konstantnom naprezanju.

4

Slika 2.4. Razvoj deformacije betona s vremenom Puzanje i skupljanje betona ovise uglavnom o vlažnosti okoliša, dimenzija konstrukcijskog elementa i sastava betona. Na puzanje utječe još i stupanj zrelosti betona (starost betona) kod prvog nanošenja opterećenja kao i trajanje i veličina opterećenja. Kod procjene koeficijenta puzanja φ(t, t0) i osnovne deformacije od skupljanja εcs treba te utjecaje uzeti u obzir. Ako se ne traži posebna točnost, mogu se rabiti vrijednosti za konačnu vrijednost koeficijenta puzanja φ(∞, t0) i za konačnu vrijednost deformacije od skupljanja εcs∞ za obični beton navedene u tablicama 2.7. odnosno 2.8. Vrijednosti su primjenljive za tlačna naprezanja ne veća od 0.45fck kod starosti t0 na početku opterećenja. Konačna vrijednost koeficijenta puzanja φ(∞, t0) iz tablice 2.7. odnosi se na Ecm iz tablice 2.6. Vrijednosti navedene u tablici 2.7. i 2.8. vrijede temperaturu betona između 10 °C i 20 °C. dopuštene oscilacije temperature ovisne o dobima između -20 °C i +40 °C. Istodobno su

za srednju Stoga su godišnjim dopuštena 5

odstupanja od relativnih vlažnosti zraka iz tablica 2.7. i 2.8. između RH = 20 % i RH = 100 %. Tablica 2.7. Konačne vrijednosti koeficijenta puzanja Φ(∝,t0)

Tablica 2.8.Konačne vrijednosti deformacije od skupljanja

εcs∝

Pri dimenzioniranju presjeka prednost se daje idealiziranom dijagramu naprezanje-deformacija u obliku parabola-pravac prikazanom na slici 2.5. U tom dijagramu uzeto je εcu=0.0035 kao najveća deformacija (apsolutna vrijednost). Tlačna naprezanja i tlačne deformacije uvrštavaju se s negativnim predznakom.

6

Slika 2.5. Računski dijagram betona (parabola-pravac) Proračunska čvrstoća betona fcd dobije se iz: f cd =

f ck

γc

I drugi idealizirani dijagrami naprezanje-deformacija mogu se rabiti ako su istovrijedni dijagramu parabola-pravac u odnosu na oblik tlačnoga područja presjeka (npr. bilinearni dijagram prema slici 2.6.).

7

Slika 2.6. Računski dijagram betona (bilinearni) Proračunski dijagram dobiven je iz idealiziranoga tako što je ordinata naprezanja idealiziranoga dijagrama pomnožena faktorom α/γc gdje je: - γc - parcijalni koeficijent sigurnosti za beton - α - koeficijent manji od jedinice kojim se uzima u obzir učinak dugotrajnih djelovanja na tlačnu čvrstoću i druga nepovoljna djelovanja koja proizlaze iz načina nanošenja opterećenja. Za koeficijent a pri tlačnom naprezanju može se uzeti vrijednost 0.85. Smije se rabiti i dijagram s pravakutnam raspodjelom naprezanja (kao na slici 2.7.). Vrijednost za koeficijent α=0.85 ne vrijedi ako se širina tlačnoga područja smanjuje približavanjem rubnam vlaknu s najvećom tlačnom deformacijom. Tada za α treba uzeti 0.80.

8

Slika 2.7. Pravokutnik naprezanja

Slika 2.8. Računski dijagram betona (parabola-pravac)

9

2.7. BETONSKI ČELIK (ARMATURA) Vlačna čvrstoća (ft), granica popuštanja (fy), omjer vlačne čvrstoće i granice popuštanja (ft/fy), deformacija pri najvećoj sili (εu) i svedena ploština rebara (fR) moraju biti navedeni u odgovarajućim normama i moraju se dokazati normiranim ispitnim postupcima. Za čelike prema ovoj normi treba granicu popuštanja, vlačnu čvrstoću, omjer vlačne čvrstoće i granice popuštanja, deformaciju pri najvećoj sili i svedenu ploštinu rebara navesti kao karakteristične vrijednosti; te se veličine označavaju s fyk, ftk, (ft / fy)k, εuk, fRk.

Slika 2.9. Radni dijagram armature Definiraju se dva razreda duktilnosti: - visoka (razred H) - normalna (razred N) 1

Prema prionjivosti čelici se dijela na: - rebrasti čelik visoke prionljivosti - glatki čelik umjerene prionljivosti.

Slika 2.10. Radni dijagram armature Dopušteno je računati s ovim srednjim vrijednosti: - gustoća 7850 kg/m3 - toplinski koeficijent: 10 x10-6 K-1 Za dimenzioniranje dopušteno je uzeti primjerenu sposobnost deformacije, kad proizvodi ispunjavaju ove zahtjeve duktilnosti: (ft / fy)k > 1.08 - visoka duktilnost: εuk > 5 % - normalna duktilnost: εuk > 2.5 % (ft, / fy)k > 1.05 Tu εuk označava karakterističnu deformaciju pri najvećoj sili. 2

Dopušteno je uzeti srednju vrijednost modula elastičnosti od 200 kN/mm2. Za proračun unutarnjih sila može se rabiti idealizirani bilinearni dijagram prema slici 2.11. Ovaj dijagram vrijedi za temperature od -20 °C do 200 °C.

Slika 2.11. Računski dijagram armature Slika 2.11. može se preinačiti, npr. položenijom ili horizontalnom gornjom crtom za lokalne (mjesne) dokaze i za dimenzioniranje presjeka.

3

Slika 2.12. Računski dijagram armature B-500 Proračunske vrijednosti dobivene su iz idealiziranoga karakterističnoga dijagrama tako što su podijeljene s parcijalnim koeficijentom sigurnosti γs za betonski čelik. f yd =

f yk

γs

fyd - proračunska granica popuštanja armature fyk - karakteristična granica popuštanja armature γs - parcijalnim koeficijentom sigurnosti γs za armaturu Za dimenzioniranje presjeka može se rabiti jedna od ove dvije pretpostavke: - horizontalna gornja crta dijagrama iz slike 2.11., tj. naprezanje armature ograničuje se na fyk/γs a deformacija se čelika εs ne ograničuje iako u nekim slučajevima može biti svrhovito da se ona ograniči na 0.020 (20 promila) 4

- nagnuta gornja crta s ograničenom deformacijom čelika od 0.01 (10 promila).

Slika 2.13. Razne vrste armature

5

2.8. ZAŠTITNI SLOJ Prema EC2 ovisno o uvetima okoliša definirani su razredi izloženosti. Tablica 2.9. Razredi izloženosti

Zaštitni se sloj proteže između vanjske plohe armature (uključujući i spone) i najbliže vanjske betonske plohe. Najmanja debljina zaštitnog sloja treba biti takva da se osigura: - siguran prijenos sila prionjivošću - da ne dođe do odlamanja betona - propisana zaštita od požara 1

- zaštita čelika od korozije

Slika 2.14. Zaštitni sloj Prvo se mora odrediti najmanja debljina zaštitnog sloja (cmin) zbog zaštite armature od korozije. Ona se treba povećati za određenu veličinu (∆h), koja ovisi o veličini i vrsti elementa, o vrsti konstrukcije, o izvedbi i provjeri kakvoće, kao i o razradbi pojedinosti. Rezultat je nazivna veličina zaštitnog sloja (cnom), koja mora biti dana u nacrtima armature. cnom = cmin + ∆h

Najmanja debljina zaštitnog sloja do spona (cmin) ne treba za mjerodavne razrede izloženosti prema tablici 2.9. biti manja od odgovarajućih vrijednosti danih u tablici 2.10. Za predgotovljene elemente dodatak debljine zaštitnog sloja iznosi općenito [0 mm < ∆h < 5 mm], ako se te vrijednosti mogu jamčiti u okviru provjere pri izradbi i ako je to potvrđeno u okviru provjere kakvoće. Za izvedbu na mjestu dodatak iznosi [5 mm < ∆h 75 mm. Za beton koji se lijeva na uređenu površinu zemlje (uključujući i betonsku podlogu) najmanja debljina zaštitnog sloja treba biti veća od c > 40 mm. Osim provjere nazivne debljine zaštitnog sloja (cnom) zbog zaštite armature od korozije, potrebno je dovoljan zaštitni sloj betona za siguran prijenos sila prionjivošću s armature na beton. Za siguran prijenos sila prionjivošću te za osiguranje propisane zbijenosti betona debljina zaštitnog sloja promatranih šipki ili natega ne smije biti manja od: kada je dg 32 mm 3

gdje je: - φ - promjer betonskog čelika, natega ili cijevi (naknadno napinjanje) - φn - usporedni promjer snopa šipki - dg - nazivna vrijednost najvećeg zrna agregata.

φn = φ ⋅ n - n - broj šipki u snopu Za prethodno napete elemente najmanja debljina zaštitnog sloja ne smije biti manja od 2φ, gdje je φ nazivni promjer natege. Kada se rabe rebraste žice, najmanja debljina zaštitnog sloja ne smije biti manja od c≥ 3φ. Za naknadno napete elemente najmanja debljina zaštitnog sloja ne treba biti manja od vanjskoga promjera cijevi. Za pravokutne cijevi zaštitni sloj ne smije biti manji od manje stranice ili polovice veće stranice cijevi.

4

2.9. PRORAČUNSKI RASPONI GREDA I PLOČA Proračunski raspon (leff) elementa računa se kako slijedi: leff = ln + al + a2 pri čemu je ln svijetli otvor između ležajeva. Vrijednosti a1 i a2 na svakom kraju polja određuju se iz pripadajućih vrijednosti ai prema slici 2.15.

Slika 2.15. Proračunski raspon leff 1

3. GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI 3.1. PRORAČUN ELEMENAT NAPEZANIH SAVIJANJEM 3.1.1. Jednostruko armirani presjek 3.1.1.1. Dimenzioniranje pravokutnog presjeka Kod određivanja granične nosivosti presjeka, rabe se ove pretpostavke: - ravni presjeci ostaju ravni - deformacije armature spregnute s betonom u vlačnom i tlačnom području betonskoga presjeka jednake su deformaciji betonskog vlakna koje se nalazi u istoj razini - vlačna čvrstoća betona se zanemaruje - raspodjela tlačnih naprezanja betona odgovara proračunskom dijagramu naprezanje - deformacija - naprezanja u betonskom čeliku ili čeliku za prednapinjanje izvode se iz proračunskog dijagrama naprezanje - deformacija - treba uzeti u obzir prethodne deformacije kod utvrđivanja naprezanja u nategama u graničnom stanju nosivosti - za presjeke naprezane samo uzdužnom silom tlačna deformacija betona ograničava se na -0.002 - za presjeke koji nisu po cijeloj visini naprezani na tlak tlačna deformacija betona ograničava se na -0.0035. Za prijelazno područje uzima se takav dijagram raspodjele deformacija da se tlačna deformacija od -0.002 nalazi na udaljenosti 3/7 visine presjeka od vanjskoga tlačnog ruba.

1

Slika 3.1. Dijagram deformacija u graničnom stanju nosivosti

Slika 3.2. Dijagram deformacija u graničnom stanju nosivosti Za dimenzioniranjem ravnoteže:

presjeka

koristiti

ćemo

uvjet

M Sd = M Rd MSd - računski moment savijanja MRd - računski moment nosivosti presjeka 2

M Rd = Fc ⋅ z M Rd = Fs1 ⋅ z

Slika 3.3. Jednostruko armirani pravokutni presjek b - širina presjeka h - visina presjeka d - statička visina As1 - površina vlačne armature Iz sume horizontalnih sila izlazi: Fc = Fs1 Fc = 0.85 ⋅ f cd ⋅ α v ⋅ x ⋅ b - računska tlačna sila u betonu Fs1 = As1 ⋅ σ s1 - računska vlačna sila u armaturi σ s1 = ε s1 ⋅ Es ≤ f yd - naprezanje u armaturi Koeficijent punoće (αv) i koeficijent položaja tlačne sile (ka) za računski dijagram parabola+pravac dobije se: -za 0< ε c 2 1 (d u m) 5

As1 - ρ1= ≤ 0.02 - koeficijent armiranja uzdužne armature bw d koja je usidrena od promatranog presjeka za najmanje d+lb,net - As1 - ploština vlačne armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza promatranoga presjeka (vidi sliku 3.21.) - lb,net - proračunska duljina sidrenja - bw - najmanja širina poprečnoga presjeka unutar proračunske (statičke) visine

σcp= NSd / Ac - NSd - uzdužna sila u presjeku od opterećenja i prednapinjanja (pozitivna ako je tlačna) Tablica 3.3. Vrijednosti za τRd (MPa)

Osim provjere (VSd < VRd1) treba provjetiti proračunsku nosivost na poprečnu silu koja se može preuzeti bez otkazivanja tlačnih štapova (VRd2):

VSd ≤ VRd 2 U presjecima bez proračunski potrebne poprečne armature nosivost na poprečne sile VRd2 dobiva se prema jednadžbi:

VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d 6

gdje je:

ν = 0,7 −

f ck ≥ 0.5 200

(fck u N/mm2)

Kad je element naprezan uzdužnom silom, treba VRd2 umanjiti prema jednadžbi:

VRd 2,red = 1.67 ⋅ VRd 2 (1 − σ cp ,eff / f cd ) ≤ VRd 2 3.4.4. Elementi s proračunski potrebnom poprečnom armaturom (VRd1 VRd1 u nastavku dana su dva postupka dimenzioniranja: - normirani postupak - postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova a) Normirani postupak Kod ovog postupka α=900 za spone, α=450 za kosu armaturu i θ=450. Nosivost na poprečne sile presjeka s poprečnom armaturom dana je jednadžbom: VRd3 = Vcd + Vwd gdje je: - Vcd - doprinos betona nosivosti na poprečne sile koji je jednak nosivosti VRd1 , dakle Vcd =VRd1 - Vwd - doprinos poprečne armature nosivosti na poprečne sile Doprinos poprečne armature okomite na os nosača (spone) proračunava se prema jednadžbi: Vwd

Asw = 0.9 d f ywd s

gdje je: - Asw - ploština presjeka poprečne armature - s - razmak spona - fywd - proračunska granica popuštanja poprečne armature 9

Doprinos nagnute (kose) poprečne armature dobije se prema jednadžbi: Vwd =

Asw 0.9 d f ywd (1 + cot α ) sin α s

- s - razmak armature mjeren uzduž osi elementa (vidi sliku 3.22.). Za dokaz nosivosti tlačnih štapova izračunava se VRd2 prema jednadžbi: VSd ≤ VRd 2 VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d (1 + cot α )

Za okomite spone ili kombinaciju okomitih spona i kosih šipki uzima se ctgα=0 (α=900). Sile u uzdužnoj armaturi grede računaju se prema jednadžbi: Td =

M Sd 1 + VSd (cot θ − cot α ) z 2

s tim da se uzima ctgθ=1.0 (α=900), gdje je približno z=0.9d. b) Postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova

10

Primijenjene oznake dane su na slici 3.22. Odabir kuta θ između tlačnih štapova i uzdužne osi ograničen je na: - 0.4 < ctgθ < 2.5 (21.800 32 mm ovi razmaci ne smiju biti manji od dg + 5 mm. Kod rasporeda šipki u odvojenim horizontalnim slojevima šipke svakog sloja treba postaviti jednu iznad druge, a među prostor između redova šipki mora omogućiti pristup vibratoru. Dopušteno je da se šipke koje se preklapaju dodiruju na duljini preklopa. 5.2.1.2. Dopustivi promjeri savijanja Najmanji promjer trna za savijanje šipki mora se tako odrediti da se isključi cijepanje betona ili drobljenje u području savijanja te pukotine u šipki kao posljedica savijanja. 1

Najmanji promjer trna za savijanje šipki i žica ne bi trebao biti manji od vrijednosti navedenih u tablici 5.1. Tablica 5.1. Najmanji promjeri trna za savijanje U tablici briše se 4. red koji se odnosi na čelik s oznakom S220. U prvom stupcu posljednjeg retka umjesto oznaka S400 i S500 stavlja se oznaka B500 (NAD).

Za zavarenu armaturu i mreže koje se savijaju nakon zavarivanja vrijede najmanji promjeri trna za savijanje prema tablici 5.2. Tablica 5.2. Najmanji promjeri trna za savijanje zavarene armature

2

5.2.2. Prianjanje Kakvoća prianjanja ovisi o strukturi površine šipke, izmjerama elementa, kao i o položaju i kutu nagiba armature za vrijeme betoniranja. Za obični beton uvjeti prianjanja smatraju se dobrim za: a) sve šipke s nagibom od 450 do 900 prema horizontali za vrijeme betoniranja (vidi sliku 5.1.a) b) sve šipke s nagibom od 00 do 450 prema horizontali za vrijeme betoniranja koje su: - ugrađene u elemente čija debljina ne premašuje 250 mm u smjeru betoniranja (slika 5.1.b) ili ugrađene u elemente debljine veće od 250 mm nakon betoniranja - u donjoj polovini elementa (vidi sliku 5.1.c) ili udaljene najmanje 300 mm od svoje gornje plohe (vidi sliku 5.1.d) Sve ostale uvjete prianjanja treba smatrati umjerenim.

3

Slika 5.1. Određivanje uvjeta prijanjana 5.2.2.2. Naprezanje prianjanja u graničnom stanju nosivosti Proračunska nosivost prianjanja mora se tako odrediti da pod uporabnim opterećenjem ne nastupi bitan pomak između čelika i betona te da postoji dovoljna sigurnost prema otkazivanju prianjanja. Za dobre uvjete prianjanja u tablici 5.3. navedene su osnovne vrijednosti za proračunsku čvrstoću prianjanja fbd. Za sve ostale slučajeve moraju se vrijednosti iz tablice 5.3. množiti koeficijentom 0.7. Tablica 5.3. Proračunska čvrstoća prianjanja fbd

4

Te vrijednosti su dobivene iz ovih formula s γc = 1.5 : f bd = (0.36

f ck ) / γ c

- rebraste šipke: f bd = (2.25 f ctk 0,05 ) / γ c Ako djeluje poprečni tlak p (poprečno na moguću ravninu cijepanja), mogu se vrijednosti iz tablice 5.3. povećati za 1/(1-0.04 p) 1200 mm2/m i ako se radi o unutarnjoj mreži (kod višeslojnog armiranja). Nastavke višeslojnih armatura treba razmaknuti za 1.3 ls As ,req ≥ l s ,min ) u uzdužnom smjeru. ( l s = α 2 lb As , prov Duljina preklopa određuje se ovako:

l s = α 2 lb

As ,req As , prov

gdje je:

1.0 ≤ α 2 = 0.4 + - lb =

∅ f yd

≥ l s ,min

As / s ≤ 2,0 800

uz primjenu fbd za rebraste šipke

4 f bd - As,req i As,prov označavaju potrebnu, odnosno stvarnu 14

- As/s i mm2/m - ls ,min = 0.3 α 2 lb ≥ 200 mm ≥ st - sl - razmak zavarenih uzdužnih šipki - st - razmak zavarenih poprečnih šipki Dodatna poprečna armatura nije potrebna u području preklopa. 5.2.4.2.2. Nastavci poprečne armature Ukupna poprečna armatura može se nastavljati na jednom mjestu. Najmanje duljine preklopa navedene su u tablici 5.4. Najmanje dvije poprečne šipke moraju se nalaziti unutar nastavaka na preklop (jedno okno).

Tablica 5.4. Preporučljiva duljine preklopa u poprečnom smjeru

5.2.5. Sidrenje spona i poprečne armature

15

Spone i poprečna armatura moraju se općenito sidriti s pomoću kuka ili s pomoću navarene poprečne armature. Rebraste šipke ili žice mogu se također sidriti s kutnim kukama. Unutar kuke ili kutne kuke treba predvidjeti poprečnu šipku. Za dopušteni najmanji promjer trna za kuke i kutne kuke vrijede vrijednosti navedene u tablici 5.1. Sidrenje se općenito smatra zadovoljavajućim: - ako se na zakrivljeni dio kuke ili kutne kuke nastavlja ravni komad čija duljina nije manja od - 5∅ ili 50 mm ako se priključuje na kut od 1350 ili više (vidi sliku 5.7.a)) - 10∅ ili 70 mm ako se priključuje na kut od 900 (vidi sliku 5.7.b)) - ako su blizu kraja ravne šipke položene - ili dvije navarene poprečne šipke (vidi sliku 5.7.c)) - ili jedna poprečna šipka čiji promjer nije manji od 1.4-strukog promjera spona (vidi sliku 5.7.d)).

Slika 5.7. Sidrenje spona 16

5.2.6. Dodatna pravila za rebraste šipke nazivnoga promjera većeg od 32 mm 5.2.6.1. Oblikovanje Primjena šipki profila ∅>32 mm dopuštena je samo u elementima čija je najmanja debljina veća od 15∅. Kod primjene velikih promjera šipki treba ograničiti raspucavanje postavljanjem potpovršinske armature (vidi točku 5.4.2.4), ili treba provesti odgovarajući dokaz. Najmanji zaštitni sloj treba biti c ≥∅. Svijetli razmak (horizontalno ili vertikalno) između pojedinih paralelnih šipki ili horizontalnih slojeva usporednih šipki ne smije biti manji od najvećega promjera šipki ili dg+5 mm, pri čemu je dg nazivni promjer najvećeg zrna agregata.

5.2.6.2. Prianjanje Kod promjera šipki ∅>32 mm treba vrijednosti fbd iz tablice 5.3. množiti koeficijentom (132 - ∅)/100 (∅ u mm). 5.2.6.3. Sidrenja i nastavci

17

Šipke velikih promjera moraju se sidriti kao ravne šipke ili s posebnim sidrima. Ne smiju se sidriti u vlačnim područjima. Nisu dopušteni nastavci na preklop u elementima koji su naprezani na tlak ili na vlak. Odredbe koje slijede dopunjavaju podatke iz točke 5.2.3. Kod greda i ploča u području sidrenja gdje nema poprečnoga tlaka potrebna je dodatna poprečna armatura. Kod ravnih sidrenja (za oznake vidi sliku 5.8.) ne smije dodatna poprečna armatura biti manja od navedenog: - dodatna poprečna armatura u smjeru usporedno s donjom stranom elementa Ast = n1 0.25 As - dodatna poprečna armatura u smjeru okomito na donju stranu elementa Asv = n2 0.25 As gdje je: - As - ploština presjeka usidrene šipke - n1 - broj slojeva armature koja je sidrena u istom presjeku - n2 -broj armaturnih šipki koje su sidrene u svakom sloju. Dodatna poprečna armatura treba biti raspoređena jednolično po području sidrenja na razmacima koji približno odgovaraju 5-strukom promjeru šipki uzdužne armature. 18

Za potpovršinsku armaturu vrijedi točka 5.4.2.4. Presjek potpovršinske armature ne smije ipak biti manji od 0.01 Act,ext u okomitom smjeru, te ne manji od 0.02 Act,ext usporedno sa šipkama većih promjera (oznake vidi na slici 6.6.).

Slika 5.8. Dodatna poprečna armatura u području sidrenja bez poprečnog tlaka za promjer šipki > 32 mm 5.2.7. Snopovi od rebrastih šipki 5.2.7.1. Općenito Ako nije drugačije određeno, za snopove vrijede ista pravila kao i za pojedinačne šipke. U jednom snopu moraju sve šipke imati isti promjer i ista svojstva (vrsta i razred čvrstoće). Za dimenzioniranje se snop šipki zamjenjuje istovrijednom šipkom jednake ploštine presjeka i s istim težištern. Istovrijedni se promjer ∅n dobiva iz ∅ n = ∅ nb ≤ 55 mm 19

gdje je: - nb - broj armaturnih šipki jednog snopa s ovim grani čnim vrijednostima: nb ≤4 za vertikalne šipke naprezane na tlak te za šipke koje se nastavljaju na preklop nb ≤3 za sve ostale slučajeve. Promjer najvećeg zrna dg agregata treba tako odabrati da se osigura zadovoljavajuće zbija nje u području armature. Svijetli razmak računa od vanjskog obrisa snopa. Zaštitni sloj snopa šipki mora biti c > ∅n . 5.2.7.2. Sidrenja i nastavci Sidrenja i nastavci na preklop snopa šipki moraju se izvesti sidrenjem ili preklapanjem svake pojedine šipke. Dopuštena su samo ravna sidrenja šipki; moraju se postaviti izmaknuto. Za snopove s 2, 3 ili 4 šipke mora uzdužno sidrenje iznositi 1.2-, 1.3- ili 1.4- struku duljinu sidrenja pojedinačne šipke. Šipke treba pojedinačno preklapati. Ni u kojem slučaju ne smije se više od 4 šipke nalaziti u jednom presjeku. Za snopove s 2, 3 ili 4 šipke mora duljina preklopa iznositi 1.2, 1.3- ili 1.4- struku duljinu sidrenja pojedinačne šipke.

20

5.3. NATEGE 5.3.1. Raspored natega Kod prethodnog napinjanja natege moraju biti razmaknute. Kod naknadnog napinjanja snopovi natega općenito nisu dopušteni. Dopuštena je primjena parova natega koje su položene vertikalno jedna iznad druge ako su predviđene primjerene mjere kod napinjanja i injektiranja. Kod dvostruko zakrivljenih natega potrebna je osobita pažnja. 5.3.2. Zaštitni sloj Zaštitni sloj izmedu unutarnje površine oplate i natega, kod prethodnog napinjanja ili cijevi mora se odrediti uz uzimanje u obzir veličine natega ili cijevi. Najmanja veličina zaštitnog sloja mora odgovarati vrijednosti danim kod opisa zaštitnog sloja. 5.3.3. Horizontalni i vertikalni razmak Razmaci cijevi ili natega moraju se odrediti tako da se omogući pravilna ugradba i zbijanje betona te da se postigne dostatno prianjanje između betona i natege. 5.3.3.1. Prethodno napinjanje Horizontalni i vertikalni svijetli najmanji razmak pojedinih natega prikazan je na slici 5.9. 1

Slika5.9. Svijetli najmanji razmak natega pri predhodnom napinjanju 5.3.3.2. Naknadno napinjanje Uz iznimku usporedno položenih cijevi, svijetli razmak između cijevi treba iznositi: - horizontalno: dduct ili 40 mm - vertikalno: dduct ili 50 mm gdje dduct označava promjer cijevi. 5.3.4. Sidra i spojke natega Sidra koja se primjenjuju kod natega s naknadnim napinjanjem i duljine sidrenja natega s prethodnim napinjanjem moraju biti tako proračunane da se može preuzeti cjelokupna proračunska sila natege, pri čemu treba uzeti u obzir ponavljane učinke brzih promjena djelovanja. Spojke natega moraju se rasporediti uzimanjem u obzir mogućih, njima izazvanih smetnji tako da to nema utjecaja na nosivost elementa te da se mogu pravilno izvesti privremena sidrenja u fazi izgradnje. 2

Proračun lokalnih utjecaja na beton i proračun poprečne armature treba provesti u skladu s točkom 2.5.3.7.4 (EC2). Spojke se općenito moraju nalaziti podalje od unutarnjih ležajeva. Mora se izbjegavati raspored spajanja s 50% ili više spojki natega u jednom presjeku.

3

6. KONSTRUKCIJSKI ELEMENTI 6.1. STUPOVI, TLAČNI ELEMENTI Stupovi jesu oni elementi, čiji raspon ili duljina nije manja od dvostruke visine poprečnog presjeka. Zid bi trebao imati horizontalnu duljinu od najmanje četverostruke debljine. Ako je nema, smatra se stupom. Ova točka obrađuje stupove čija veća izmjera b ne prekoračuje četverostruku manju izmjeru h (b1

M Sd = M G ⋅ γ G + M Q ,1 ⋅ γ Q ,1 + M Q , 2 ⋅ψ 0, 2γ Q , 2 M Sd = 120 ⋅1.35 + 70 ⋅1.5 + 60 ⋅ 0.7 ⋅1.35 = 323.7 kNm

Razmak l0 između nul točaka momenata za prostu gredu: l0=leff=8.0 m

4

Proračunska (sudjelujuća) širina ploče uz unutarnje rebro uzima se: beff = bw + 0.20 l0 < b beff = 30 + 0.20 800=190 cm< b=300 cm beff =190 cm Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

µ Sd =

M Sd 32370 = = 0.0513 < µ Rd .lim = 0.252 2 2 beff ⋅ d ⋅ f cd 190 ⋅ 56 ⋅1.06

i iz tablica se očita: εc2=-0.0021, εs1=0.020,ξ= 0.095 , ζ=0.964 i µSd=0.053 x = ξ ⋅ d = 0.095 ⋅ 56 = 5.32 cm < h f = 8cm Dokazano je da neutralna os pada u ploču.

M Sd 32370 = = 28.73 cm 2 0.964 ⋅ 56 ⋅ 20.87 ζ ⋅ d ⋅ f yd Odabire se 6∅25 (29.45 cm2). As1 =

PRIMJER 4. (Poglavlje 3.1.1.2. slučaj 2a)

Dimenzionirati T-presjek, sve je isto kao i primjer 3, samo je MSd=650 kNm. Gradivo: C 16/20, GA 240/360. d=56 cm f 16 f cd = ck = = 10.6 MPa γ c 1.5 5

240 = 208.7 MPa γ s 1.15 = 650.0 kNm

f yd = M Sd

f yk

=

Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

µ Sd =

M Sd 65000 = = 0.103 < µ Rd .lim = 0.252 2 2 beff ⋅ d ⋅ f cd 190 ⋅ 56 ⋅1.06

i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.018,ξ= 0.163 , ζ=0.932 i µSd=0.105 x = ξ ⋅ d = 0 .163 ⋅ 56 = 9 .12 cm > h f = 8 cm Neutralna os siječe rebro, dakle gornja pretpostavka ne vrijedi.

Za vitke T-presjeke koji ispunjavaju uvjet beff/ bw>5 i da je hf 5 30 bw h f = 8 cm < 0.330 ⋅ d = 0.330 ⋅ 56 = 18.48 cm Vrijede obje pretpostavke. beff

=

8 = 52 cm 2 2 M Sd 65000 As1 = = = 59.89 cm 2 (d - h f /2) ⋅ f yd 52 ⋅ 20.87 Odabire se 10∅28 (61.58 cm2). z=d−

hf

= 56 −

6

Srednje tlačno naprezanje u ploči treba zadovoljiti uvjet: M Sd σ cd = ≤ 0.85 ⋅ f cd (d - h f /2) ⋅ beff ⋅ h f 65000 kN kN σ cd = = 0.82 2 ≤ 0.85 ⋅ f cd = 0.85 ⋅1.06 = 0.90 2 52 ⋅190 ⋅ 8 cm cm PRIMJER 5. (Poglavlje 3.1.1.2. slučaj 2a)

Dimenzionirati T-presjek, naprezan momentima savijanja MG=4000 kNm i MQ=4000 kNm. Gradivo: C 25/30, RA 400/500. d=200 cm

25 = 16.6 MPa γ c 1.5 f 400 f yd = yk = = 347.8 MPa γ s 1.15 M Sd = M G ⋅ γ G + M Q ⋅ γ Q = 4000 ⋅1.35 + 4000 ⋅1.5 = 11400 kNm f cd =

f ck

=

7

Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

µ Sd =

M Sd 1140000 = = 0.086 < µ Rd .lim = 0.252 2 2 beff ⋅ d ⋅ f cd 200 ⋅ 200 ⋅1.66

i iz tablica se očita: εc2=-0.0032, εs1=0.020,ξ= 0.138 , ζ=0.943 i µSd=0.088 x = ξ ⋅ d = 0.138 ⋅ 200 = 27.6 cm > h f = 20 cm Neutralna os siječe rebro, dakle gornja pretpostavka ne vrijedi.

Za vitke T-presjeke koji ispunjavaju uvjet beff/ bw>5 i da je hf 5 - ne zabovoljava bw 400 h f = 20 cm < 0.286 ⋅ d = 0.286 ⋅ 200 = 57 cm - zadovoljava beff

=

Postupak moramo raditi po postupku kada je beff/bw µ Rd . lim = 0.252 2 2 b ⋅ d ⋅ f cd 25 ⋅ 40 ⋅ 1.66 Presjek treba dvostruko armirati. M Rd ,lim = µ Rd ,lim ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f cd = 0.252 ⋅ 25 ⋅ 40 2 ⋅1.66 = 16732.8 kNcm

Armatura u vlačnoj zoni:

M Rd ,lim M Sd − M Rd ,lim As1 = + ζ lim ⋅ d ⋅ f yd ( d − d 2 ) ⋅ f yd

As1 =

16732.8 20100 − 16732.8 + = 17.56 cm 2 0.813 ⋅ 40 ⋅ 34.78 (40 − 5) ⋅ 34.78

Tlačna armatura:

M Sd − M Rd ,lim 20100 − 16732.8 As 2 = = = 2.77 cm 2 (d − d 2 ) ⋅ σ s 2 (40 − 5) ⋅ 34.78

ε s 2 = −0.0035

ξ lim − d 2 / d - deformacija u tlačnoj armaturi ξ lim

ε s 2 = −0.0035

ξ lim − d 2 / d ξ lim

ε s 2 = −0.0035

0.813 − 5 / 40 = −0.00296 0.813

σ s 2 = ε s 2 ⋅ E s ≤ f yd - naprezanje u tlačnoj armaturi

10

σ s 2 = − 0.00296 ⋅ 200000 = 592 MPa ≤ f yd = 347.8 MPa σ s 2 = 347.8 MPa PRIMJER 7. (Poglavlje 3.2.1. i 3.2.2.2)

Proračunati armaruru za pravokutni stup b=30 cm i h=30 cm, naprezan centričnom tlačnom silom NG=700 kNm i NQ=800 kNm. Gradivo: C25/30, RA 400/500.

25 = 16.6 MPa γ c 1.5 f yk 400 f yd = = = 347.8 MPa γ s 1.15 N Sd = N G ⋅ γ G + N Q ⋅ γ Q = 700 ⋅1.35 + 800 ⋅1.5 = 2145 kN f cd =

f ck

=

a) direktno N Sd = Ac ⋅ 0.85 ⋅ f cd + As ⋅ f yd ⇒ površina armature

As =

N Sd − Ac ⋅ 0.85 ⋅ f cd 2145 − 30 ⋅ 30 ⋅ 0.85 ⋅1.66 = = 25.16 cm 2 34.78 f yd

Odabire se 4∅19+4∅22 (45.24 cm2). b) dijagram interakcije koeficijent β=As2/ As1=1 - usvajamo simetričnu armaturu

11

M Sd - bezdimenzionalna vrijednost momenta 2 b ⋅ h ⋅ f cd savijanja za djelovanje

µ Sd =

ν Sd =

N Sd - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile b ⋅ h ⋅ f cd

za djelovanje β=As2/ As1=1 M Sd µ Sd = =0 2 b ⋅ h ⋅ f cd

ν Sd =

2145 = 1.435 ⇒ iz dijagrama interakcije (slika 30 ⋅ 30 ⋅ 1.66

3.12.) očita se ω=0.29 As1 = ω

f cd 1.66 b ⋅ h = 0.29 30 ⋅ 30 = 12.46 cm 2 f yd 34.78

As 2 = β ⋅ As 2 = 1 ⋅ 12.46 = 12.46 cm 2

Ukupna armarura: As1 + As1 = 12.46 + 12.46 = 24.92 cm 2

Odabire se 4∅19+4∅22 (45.24 cm2). PRIMJER 8. (Poglavlje 3.2.2.1. i 3.2.2.2)

Proračunati armaruru za pravokutni stup b=30 cm i h=60 cm, naprezan tlačnom silom NG=500 kN i NQ=600 kN, te momentima savijanja MG=120 kNm i MQ=180 kNm. Gradivo: C25/30, GA 240/360. d=56 cm, d2=4 cm. 12

f cd = f yd =

f ck

γc

f yk

γs

25 = 16.6 MPa 1.5 240 = = 208.70 MPa 1.15

=

N Sd = N G ⋅ γ G + N Q ⋅ γ Q = 500 ⋅1.35 + 600 ⋅1.5 = 1575 kN M Sd = M G ⋅ γ G + M Q ⋅ γ Q = 120 ⋅1.35 + 180 ⋅1.5 = 432 kNm

a) postupak Wuczkovski Računski moment savijanja s obzirom na težište vlačne armature biti će: M Sds = M Sd + N Sd ⋅ z s1 = 432 + 1575 ⋅ (0.30 − 0.04) = 841.5 kNm

µ Sds =

M Sds 84150 = = 0.539 > µ Rd .lim = 0.252 2 2 b ⋅ d ⋅ f cd 30 ⋅ 56 ⋅1.66

Budući da je µSds>µRd,lim presjek se dvostruko armira, osim vlačne armature (As1) potrebna je i tlačna armatura (As2). M Rd ,lim = µ Rd ,lim ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f cd = 0.252 ⋅ 30 ⋅ 56 2 ⋅1.66 = 39355.5 kNcm

13

As1 =

M Rd ,lim M − M Rd ,lim N Sd + Sds − ζ lim ⋅ d ⋅ f yd f yd (d − d 2 ) ⋅ f yd

As1 =

39355.5 84150 − 39355.5 1575 + − = 7.23 cm 2 0.813 ⋅ 56 ⋅ 20.87 (56 − 4) ⋅ 20.87 20.87

M Sds − M Rd ,lim 84150 − 39355.5 As 2 = = = 41.28 cm 2 (d − d 2 ) ⋅ σ s 2 (56 − 4) ⋅ 20.87

ε s 2 = −0.0035

ξ lim − d 2 / d - deformacija u tlačnoj armaturi ξ lim

ε s 2 = −0.0035

ξ lim − d 2 / d ξ lim

ε s 2 = −0.0035

0.813 − 4 / 56 = −0.00319 0.813

σ s 2 = ε s 2 ⋅ E s ≤ f yd - naprezanje u tlačnoj armaturi σ s 2 = − 0.00319 ⋅ 200000 = 638 MPa ≤ f yd = 208.70 MPa σ s 2 = 208.70 MPa b) dijagram interakcije koeficijent β=As2/ As1=1 - usvajamo simetričnu armaturu 14

M Sd - bezdimenzionalna vrijednost momenta 2 b ⋅ h ⋅ f cd savijanja za djelovanje

µ Sd =

ν Sd =

N Sd - bezdimenzionalna vrijednost uzdužne sile b ⋅ h ⋅ f cd

za djelovanje β=As2/ As1=1 43200 µ Sd = = 0.240 2 30 ⋅ 60 ⋅ 1.66

ν Sd =

1575 = 0.527 ⇒ iz dijagrama interakcije (slika 30 ⋅ 60 ⋅ 1.66

3.12.) očita se ω=0.200 As1 = ω

f cd 1.66 30 ⋅ 60 = 28.63 cm 2 b ⋅ h = 0.29 20.87 f yd

As 2 = β ⋅ As 2 = 1 ⋅ 28.63 = 28.63 cm 2

PRIMJER 9. (Poglavlje 3.3.1. slučaj 1)

Za spremnik kružnog presjeka, naprezana vlačnom silom NQ=400 kN/m. Gradivo: C 25/30, GA 240/360.

15

f cd = f yd =

f ck

γc

f yk

γs

25 = 16.6 MPa 1.5 240 = = 208.70 MPa 1.15

=

N Sd = N G ⋅ γ G + N Q ⋅ γ Q = 0 ⋅1.35 + 400 ⋅1.5 = 600 kN

Monolitnost betona nije važna i u njemu mogu nastati pukotine. Pri tome sve sile vlaka preuzima armatura. Potrebna površina vlačne armature je:

N Sd 600 = = 28.75 cm 2 f yd 20.87 Odabrana armatura stavlja se u dva sloja ∅14/10 cm (30.78 cm2). As =

PRIMJER 10. (Poglavlje 3.3.1. slučaj 2) 16

Isti primjer kao i primjer 9 samo je monolitnost betona važna i u njemu nesmiju nastati pukotine. Pri tome sve sile vlaka preuzima beton i armatura. f ctm = 0.30 f ck2 / 3 - srednja vlačna čvrstoća f ctm = 0.30 ⋅ 25 2 / 3 = 2.6 MPa

γ1=1.5 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina

γF =

NG ⋅ γ G + NQ ⋅ γ Q

- srednji koeficijent sigurnosti

NG + NQ 0 ⋅1.35 + 400 ⋅1.5 γF = = 1.5 0 + 400

Ovdje se mora raditi dvostruka analiza: a) pretpostavlaja se da je beton ipak pukao. Potrebna površina vlačne armature je: N 600 As = Sd = = 28.75 cm 2 f yd 20.87 Odabrana armatura stavlja se u dva sloja ∅14/10 cm (30.78 cm2). b) traži se površina betona iz uvjeta da ne dođe do pojave pukotina u betonu. As ⋅ γ 1 f yd 20 ( − ) Ac = f ct , m γ F γ 1

Ac =

f yd i f ct , m u MPa

28.75 ⋅1.5 208.7 20 ( − ) = 2087 cm 2 2.6 1.5 1.5 17

Ac = d ⋅100 ⇒ debljina zida A 2087 d= c = = 20.87 cm 100 100 Usvajamo d=23 cm

PRIMJER 11. (Poglavlje 3.3.2.1.1.)

Proračunati armaruru za pravokutni stup b=30 cm i h=50 cm, naprezan centričnom vlačnom silom NSd=800 kN, te momentom savijanja MSd=40 kNm. Gradivo: C25/30, B500. 500 = 434.78.80 MPa γ s 1.15 M 40 e = Sd = = 0.05 m < 0.2 m - ekcentricitet sile N Sd 800 f yd =

f yk

=

e1 = 0.2 − e = 0.2 − 0.05 = 0.15 m e2 = 0.2 + e = 0.2 + 0.05 = 0.25 m 18

As1 =

N Sd e2 800 25 = = 11.50 cm 2 f yd e1 + e2 43.47 15 + 25

As 2 =

N Sd e1 800 15 = = 6.90 cm 2 f yd e1 + e2 43.47 15 + 25

PRIMJER 12. (Poglavlje 3.3.2.2.1. i 3.3.2.2.2.)

Proračunati armaruru za pravokutni stup b=35 cm i h=50 cm, naprezan vlačnom silom NG=55 kN i NQ=50 kN, te momentima savijanja MG=120 kNm i MQ=100 kNm. Gradivo: C25/30, RA 400/500. d=45 cm, d2=5 cm.

f cd = f yd =

f ck

γc

f yk

γs

25 = 16.6 MPa 1.5 400 = = 347.80 MPa 1.15

=

N Sd = N G ⋅ γ G + N Q ⋅ γ Q = 55 ⋅1.35 + 50 ⋅1.5 = 149.3 kN M Sd = M G ⋅ γ G + M Q ⋅ γ Q = 120 ⋅1.35 + 100 ⋅1.5 = 312 kNm 19

a) postupak Wuczkovski Računski moment savijanja s obzirom na težište vlačne armature biti će: M Sds = M Sd − N Sd ⋅ z s1 M Sds = M Sd − N Sd ⋅ z s1 = 312 − 149. ⋅ (0.25 − 0.05) = 282.14 kNm

M Sds 28214 = = 0.240 < µ Rd .lim = 0.252 2 2 b ⋅ d ⋅ f cd 35 ⋅ 45 ⋅1.66 i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.0045,ξ= 0.438 , ζ=0.818 i µSd=0.247

µ Sds =

Budući da je µSds1 (d u m) k=1 25

As1 - ρ1= ≤ 0.02 - koeficijent armiranja uzdužne armature bw d koja je usidrena od promatranog presjeka za najmanje d+lb,net - As1 - ploština vlačne armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza promatranoga presjeka (vidi sliku 3.21.) - lb,net - proračunska duljina sidrenja - bw - najmanja širina poprečnoga presjeka unutar proračunske (statičke) visine A ρ l = s1 ≤ 0.02 bw d 15.21 = 0.00956 ≤ 0.02 30 ⋅ 53 ρ l = 0.00956

ρl =

σcp= NSd / Ac - NSd - uzdužna sila u presjeku od opterećenja i prednapinjanja (pozitivna ako je tlačna) σcp=0 VRd 1 = (τ Rd ⋅ k (1.2 + 40 ⋅ ρ1 ) + 0.15 ⋅ σ cp )bw ⋅ d VRd 1 = (0.034 ⋅ 1.0 (1.2 + 40 ⋅ 0.00956) + 0.15 ⋅ 0)30 ⋅ 53 = 85.54 kN VRd 1 = 85.54 kN < VSd' , A = 351 kN - potrebno je proračunati poprečnu armaturu

a) Normirani postupak 26

Odabiremo dvorezne vilice (m=2) ∅10: Asw = m

φ 2 ⋅π 4

1.0 2 ⋅ π =2 = 1.57 cm 2 4

Nosivost na poprečne sile presjeka s poprečnom armaturom dana je jednadžbom: VSd =VRd3 = Vcd + Vwd

gdje je: - Vcd - doprinos betona nosivosti na poprečne sile koji je jednak nosivosti VRd1 , dakle Vcd =VRd1 - Vwd - doprinos poprečne armature nosivosti na poprečne sile Doprinos poprečne armature okomite na os nosača (spone) proračunava se prema jednadžbi: Vwd

Asw = 0.9 d f ywd s

gdje je: - Asw - ploština presjeka poprečne armature - s - razmak spona - fywd - proračunska granica popuštanja poprečne armature VSd = Vcd + Vwd Vcd = VRd 1

-iz VSd = VRd 1 + Vwd

i

Vwd =

Asw 0.9 d f ywd dobije se: s 27

Asw VSd = VRd 1 + 0.9 d f ywd ⇒ s Asw s= 0.9 d f ywd - potrebni razmak vilica VSd − VRd 1 0. 9 ⋅ d = ς ⋅ d

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/3+d) cm desno od ležaja A VSd' , A = 351 kN .

Asw 1.57 0.9 d f ywd = s= ' (0.9 ⋅ 53) ⋅ 43.478 351 − 85 . 84 VSd ,l − VRd 1 s = 12.28 cm Za dokaz nosivosti tlačnih štapova izračunava se VRd2 prema jednadžbi: VSd ≤ VRd 2 VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d (1 + cot α )

Za okomite spone ili kombinaciju okomitih spona i kosih šipki uzima se ctgα=0 (α=900). VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d

Faktor djelotvornosti (ν) se proračuna prema : f ν = 0.7 − ck ≥ 0.5  (fck u N/mm2) 200 30 = 0.55 ≥ 0.5 - zadovoljeno je pa je ν = 0.7 − 200 28

ν = 0.55 VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d = 0.5 ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 ⋅ 30 ⋅ 0.9 ⋅ 53 VRd 2 = 787.05 kN > VSd' , A = 351 kN - zadovoljen je i uvjet nosivosti tlačnih štapova.

b) Postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova Pretpostaviti ćemo θ=390 ctgθ=1.235. Kod elemenata s okomitom poprečnom armaturom (spone) nosivost na poprečne sile dobiva se prema jednadžbama: bw z ν f cd cot θ + tan θ A = sw z f ywd cot θ s

VRd 2 = VRd 3

VSd = VRd 3 = s=

; uz uvjet

Asw f ywd bw s

1 ≤ ν f cd 2

Asw z f ywd cot θ ⇒ s

Asw z f ywd cot θ - potrebni razmak vilica VSd

z =ς ⋅d

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/3+d) cm desno od ležaja A VSd' , A = 351 kN . 29

Asw 1.57 s = ' z f ywd cot θ = 0.9 ⋅ 53 ⋅ 43.478 ⋅ 1.235 351 VSd , A s = 11.45 cm Potrebno je kontrolirati uvjet: Asw f ywd 1 ≤ ν f cd bw s 2 f ν = 0.7 − ck ≥ 0.5 (fck u N/mm2) 200 30 = 0.55 ≥ 0.5 ν = 0.7 − 200 1.57 ⋅ 43.47 1 1 = 0.20kN / cm 2 ≤ νf cd = ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 = 0.55kN / cm 2 30 ⋅ 11.45 2 2 - uvjet zadovoljava

VRd 2 =

bw z ν f cd 30 ⋅ 0.9 ⋅ 53 ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 = = 770.10 kN cot θ + tan θ 1.235 + 0.809

VRd 2 = 770.10 kN > VSd' , A = 351 kN ⇒ zadovoljen je i uvjet nosivosti tlačnih štapova.

c) Provjera minimalne armature i razmaka vilica Izračunati ćemo minimalnu poprečnu armaturu (vilice) uz pretpostavljeni promjer vilica ∅10. Odabiremo dvorezne vilice (m=2) ∅10: Asw = m

φ 2 ⋅π 4

1.0 2 ⋅ π =2 = 1.57 cm 2 4 30

ρ w = Asw /( s ⋅ bw ⋅ sin α ) - ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom - Asw - ploština presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne spone α= 900, a sinα = 1) s = Asw /( ρ w ⋅ bw ⋅ sin α ) - potrebni razmak vilica

- za vilice α= 900, a sinα = 1 - ρw=0.0011 iz Tablice 6.1. i za B500 i C30/37 s = Asw /( ρ w ⋅ bw ⋅ sin α ) s = Asw /( ρ w ⋅ bw ) = 1.57 /(0.0011 ⋅ 30) = 47.57 cm

Najveći uzdužni razmak spona smax ili druge poprečne armature određen je ovim uvjetima: - kad je VSd ≤ 1 / 5 VRd 2 smax = 0.8 d≤ 300 mm; - kad je 1 / 5 VRd 2 < VSd ≤ 2 / 3 VRd 2 smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 2 / 3 VRd 2 < VSd ≤ 1.0 VRd 2 smax = 0.3 d ≤ 200 mm. VSd' , A 351 = = 0.44 ⇒ VSd' , A = 0.44 ⋅ VRd 2 ⇒ VRd 2 787.05 najveći uzdužni razmak spona iznosi 31

s max = 0.6 ⋅ d ≤ 300 mm s max = 0.6 ⋅ d = 0.6 ⋅ 53 = 31.8 cm ≤ 30 cm - nije zadovoljen s max = 30 cm

usvajamo minimalni razmak vilica s=30 cm. Minimalne vilice su dvorezne vilice (m=2) ∅10/30 cm. VSd , A VRd 1 = ⇒ 3.75 3.75 − x V 85.54 x = 3.75 − Rd 1 3.75 = 3.75 − 3.75 = 2.99 m VSd , A 421.87 Minimalne vilice zadovoljavaju na duljini 2.99 m do sredine raspona.

32

PRIMJER 14. (Poglavlje 3.4.)

Dimenzionirati prostu gredu s dva prepusta naprezanu jednolikim kontinuiranim opterećenjem momentima savijanja G=80 kN/m i Q=120 kN/m. Gradivo: C25/30, GA 240/360 (uzdužna armatura i vilice). Pokretno opterećenje postaviti u najnepovoljniji položaj. Širina ležaja A i B je t=30 cm.

33

25 = 16.6 MPa γ c 1.5 f 240 f yd = yk = = 208.70 MPa - uzdužna armatura γ s 1.15 f ywk 240 f ywd = = = 208.70 MPa - vilice γ s 1.15 f cd =

f ck

=

34

Slika. Utjecajne linije za M u ležaju A lijevo, M u sredini raspona, V u ležaju A lijevo za V u ležaju A lijevo, V u ležaju A desno

35

Slika. G na prepustu, dijagram V,M

36

Slika. G u polju, dijagram V,M

37

Slika. Q na prepustu, dijagram V,M

38

Slika. Q u polju, dijagram V,M

39

Slika. Q na prepustu i u polju, dijagram V,M

1.) Dimenzioniranje na savijanje Ležaj (pravokutni presjek) M G = −250 kNm M Q = −375 kNm M Sd = M G ⋅ γ G + M Q ⋅ γ Q = −250 ⋅ 1.35 − 375 ⋅ 1.5 = −900 kNm 40

Limitirajuće vrijednosti za jednostruko armiranje su: - za betone razreda čvrstoće od C12/15 do C35/45 ξlim= x/d = 0.45 , µRd,lim=0.252 i ζlim=z/d=0.813

M Sd 90000 = = 0.150 < µ Rd .lim = 0.252 2 2 b ⋅ d ⋅ f cd 40 ⋅ 95 ⋅1.66 i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.0105,ξ= 0.250 , ζ=0.896 i µSd=0.154

µ Sd =

M Sd 90000 = = 50.49 cm 2 0.896 ⋅ 95 ⋅ 20.87 ζ ⋅ d ⋅ f yd Odabire se 8∅28 (49.26 cm2). As1 =

Polje (T-presjek)

M G = 640 − 250 = 390 kNm M Q = 960 kNm M Sd = M G ⋅ γ G + M Q ⋅ γ Q = 390 ⋅1.35 + 960 ⋅1.5 = 1966.5 kNm M Sd = M G ⋅ γ G + M Q ⋅ γ Q = 640 ⋅ 1.1 − 250 ⋅ 0.9 + 960 ⋅ 1.5 = 1919kNm

- usvajamo veći moment savijanja M Sd = 1966.5 kNm

Pretpostavljamo da neutralna os pada u ploču.

µ Sd =

M Sd 196650 = = 0.114 < µ Rd .lim = 0.252 2 2 beff ⋅ d ⋅ f cd 120 ⋅ 93 ⋅1.66

i iz tablica se očita: εc2=-0.0035, εs1=0.016,ξ= 0.179 , ζ=0.926 i µSd=0.114 41

x = ξ ⋅ d = 0.179 ⋅ 93 = 16.6 cm < h f = 16 cm Gornja jednadžba nije zadovoljena. Neutralna os pada u rebro, ali zbog male razlike (0.6 cm) uzeti ćemo kao da neutralna os pada u ploču.

M Sd 196650 = = 109.41 cm 2 0.926 ⋅ 93 ⋅ 20.87 ζ ⋅ d ⋅ f yd Odabire se 18∅28 (110.83 cm2) u sredini raspona. As1 =

Provjera najmanjeg i najvećeg postotka armiranja Ploština presjeka vlačne armature ne bi smjela biti manja od: 0.6bt d / f yk ≥ 0.0015bt d

( f yk i 0.6 u N / mm 2 )

pri čemu bt označava srednju širinu vlačnoga područja. Ploštine presjeka vlačne ili tlačne armature u pravilu ne smiju biti veće od 0.04Ac uz iznimku područja nastavaka. 0.6bt d / f yk = 0.6 ⋅ 40 ⋅ 95 / 240 = 9.5 cm 2 0.0015bt d = 0.0015 ⋅ 40 ⋅ 95 = 5.7 cm 2 As , min = 9.5 cm 2

As , max = 0.04 ⋅ Ac = 0.04 ⋅ 40 ⋅ 100 = 160 cm 2 As , min = 9.5 cm 2 ≤ As1 = 49.26 cm 2 ≤ As , max = 160 cm 2 As , min = 9.5 cm 2 ≤ As1 = 110.83 cm 2 ≤ As , max = 160 cm 2 42

2.) Dimenzioniranje na poprečnu silu Debljina ležaja A i B je t=30 cm. Poprečna sila lijevo od ležaja A: VG = −200 kN VQ = −300 kN VSd ,l = VG ⋅ γ G + VQ ⋅ γ Q = 200 ⋅ 1.35 + 300 ⋅ 1.5 = 720 kN Umanjena poprečna sila na udaljenosti (t/2+d) cm lijevo od ležaja A : (t/2+d)=(30/2+95)=110 cm t VSd' ,l = VSd ,l − (G ⋅1.35 + Q ⋅1.5)( + d ) 2 0.3 VSd' ,l = 720 − (80 ⋅1.35 + 120 ⋅1.5)( + 0.95) = 403.2 kN 2 Poprečna sila desno od ležaja A: VG = 320 kN VQ = 480 kN VSd ,d = VG ⋅ γ G + VQ ⋅ γ Q = 320 ⋅1.35 + 480 ⋅1.5 = 1152 kN Umanjena poprečna sila na udaljenosti (t/2+d) cm desno od ležaja A : (t/2+d)=(30/2+95)=110 cm t VSd' ,d = VSd ,d − (G ⋅1.35 + Q ⋅1.5)( + d ) 2 0.3 VSd' ,d = 1152 − (80 ⋅1.35 + 120 ⋅1.5)( + 0.95) = 835.2 kN 2 Najprije provjeravamo da li nam treba proračunski potrebna aramtura. 43

VSd ≤ VRd 1

Proračunska nosivost na poprečne sile VRd1 dobiva se iz: VRd 1 = (τ Rd ⋅ k (1.2 + 40 ⋅ ρ1 ) + 0.15 ⋅ σ cp )bw ⋅ d

gdje je: -τRd =(0.25 fctk0,05) / γc osnovna vrijednost za proračunsku posmičnu čvrstoću - γc - treba uzeti 1.5. Vrijednost za τRd dana je u tablici 3.3. τ Rd = 0.30 MPa - k =1 elemente kod kojih je više od 50 % armature u polju prekinuto, inače je: - k = 1.6- d >1 (d u m) k = 1.6 - d = 1.6 - 0.95 = 0.65 > 1 - nije zadovloljeno prema tome: k=1 As1 - ρ1= ≤ 0.02 - koeficijent armiranja uzdužne armature bw d koja je usidrena od promatranog presjeka za najmanje d+lb,net - As1 - ploština vlačne armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza promatranoga presjeka (vidi sliku 3.21.) - lb,net - proračunska duljina sidrenja - bw - najmanja širina poprečnoga presjeka unutar proračunske (statičke) visine A ρ l = s1 ≤ 0.02 bw d

44

49.26 = 0.013 ≤ 0.02 40 ⋅ 95 ρ l = 0.013

ρl =

σcp= NSd / Ac - NSd - uzdužna sila u presjeku od opterećenja i prednapinjanja (pozitivna ako je tlačna) σcp=0 VRd 1 = (τ Rd ⋅ k (1.2 + 40 ⋅ ρ1 ) + 0.15 ⋅ σ cp )bw ⋅ d VRd 1 = (0.03 ⋅ 1.0 (1.2 + 40 ⋅ 0.013) + 0.15 ⋅ 0) 40 ⋅ 95 = 196.08 kN VRd 1 = 196.08 kN < VSd' .l ili VSd' .d - potrebno je proračunati poprečnu armaturu

a) Normirani postupak Odabiremo četverorezne vilice (m=4) ∅8: Asw = m

φ 2 ⋅π 4

0.8 2 ⋅ π =4 = 2.00 cm 2 4

Nosivost na poprečne sile presjeka s poprečnom armaturom dana je jednadžbom: VSd =VRd3 = Vcd + Vwd gdje je: - Vcd - doprinos betona nosivosti na poprečne sile koji je jednak nosivosti VRd1 , dakle Vcd =VRd1 45

- Vwd - doprinos poprečne armature nosivosti na poprečne sile Doprinos poprečne armature okomite na os nosača (spone) proračunava se prema jednadžbi: Vwd =

Asw 0.9 d f ywd s

gdje je: - Asw - ploština presjeka poprečne armature - s - razmak spona - fywd - proračunska granica popuštanja poprečne armature VSd = Vcd + Vwd Vcd = VRd 1

-iz VSd = VRd 1 + Vwd

VSd = VRd 1 + s=

i

Vwd =

Asw 0.9 d f ywd dobije se: s

Asw 0.9 d f ywd ⇒ s

Asw 0.9 d f ywd - potrebni razmak vilica VSd − VRd 1

0. 9 ⋅ d = ς ⋅ d

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm lijevo od ležaja A VSd' ,l = 403.2 kN .

46

Asw 2.0 0.9 d f ywd = s= ' (0.896 ⋅ 95) ⋅ 20.87 403.2 − 196.08 VSd ,l − VRd 1 s = 17.2 cm

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm desno od ležaja A VSd' , d = 835.2 kN . Asw 2.0 0 . 9 d f = (0.896 ⋅ 95) ⋅ 20.87 ywd ' 835.2 − 196.08 VSd , d − VRd 1 s = 5.5 cm s=

Za dokaz nosivosti tlačnih štapova izračunava se VRd2 prema jednadžbi: VSd ≤ VRd 2 VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d (1 + cot α )

Za okomite spone ili kombinaciju okomitih spona i kosih šipki uzima se ctgα=0 (α=900). VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d

Faktor djelotvornosti (ν) se proračuna prema : f ν = 0.7 − ck ≥ 0.5  (fck u N/mm2) 200 25 = 0.575 ≥ 0.5 - zadovoljeno je pa je ν = 0.7 − 200 ν = 0.575 47

VRd 2 = 0.5ν f cd bw 0.9 d = 0.5 ⋅ 0.575 ⋅ 1.66 ⋅ 40 ⋅ 0.896 ⋅ 95 VRd 2 = 1630.4 kN > VSd' ,l = 403.2 kN VRd 2 = 1630.4 kN > VSd' , d = 835.2 kN ⇒ uvjet nosivosti tlačnih štapova.

zadovoljen je i

b) Postupak sa slobodnim odabirom nagiba tlačnih štapova Pretpostaviti ćemo θ=390 ctgθ=1.235. Kod elemenata s okomitom poprečnom armaturom (spone) nosivost na poprečne sile dobiva se prema jednadžbama: bw z ν f cd cot θ + tan θ A = sw z f ywd cot θ s

VRd 2 = VRd 3

VSd = VRd 3 = s=

; uz uvjet

Asw f ywd bw s

1 ≤ ν f cd 2

Asw z f ywd cot θ ⇒ s

Asw z f ywd cot θ - potrebni razmak vilica VSd

z =ς ⋅d

Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm lijevo od ležaja A VSd' ,l = 403.2 kN .

48

Asw 2.0 s = ' z f ywd cot θ = 0.896 ⋅ 95 ⋅ 20.87 ⋅ 1.235 403.2 VSd ,l s = 11.0 cm Potrebno je kontrolirati uvjet: Asw f ywd 1 ≤ ν f cd bw s 2 f ν = 0.7 − ck ≥ 0.5 (fck u N/mm2) 200 25 = 0.575 ≥ 0.5 ν = 0.7 − 200 2.0 ⋅ 20.87 1 1 = 0.09kN / cm 2 ≤ νf cd = ⋅ 0.575 ⋅ 1.66 = 0.47kN / cm 2 40 ⋅ 11 2 2 - uvjet zadovoljava Proračun za umanjenu poprečnu silu na udaljenosti (t/2+d) cm desno od ležaja A VSd' , d = 835.2 kN .

Asw 2.0 cot z f θ = 0.896 ⋅ 95 ⋅ 20.87 ⋅ 1.235 ywd ' 835.2 VSd , d s = 5.3 cm s=

Potrebno je kontrolirati uvjet: Asw f ywd 1 ≤ ν f cd bw s 2 f ν = 0.7 − ck ≥ 0.5 (fck u N/mm2) 200 25 = 0.575 ≥ 0.5 ν = 0.7 − 200 49

2.0 ⋅ 20.87 1 1 = 0.19kN / cm 2 ≤ νf cd = ⋅ 0.575 ⋅ 1.66 = 0.47kN / cm 2 40 ⋅ 5.3 2 2 - uvjet zadovoljava VRd 2 =

bw z ν f cd 40 ⋅ 0.896 ⋅ 95 ⋅ 0.575 ⋅ 1.66 = = 1595.3 kN cot θ + tan θ 1.235 + 0.809

VRd 2 = 1595.3 kN > VSd' ,l = 403.2 kN VRd 2 = 1595.3 kN > VSd' , d = 835.2 kN ⇒ uvjet nosivosti tlačnih štapova.

zadovoljen je i

c) Provjera minimalne armature i razmaka vilica Izračunati ćemo minimalnu poprečnu armaturu (vilice) uz pretpostavljeni promjer vilica ∅8. Odabiremo četverorezne vilice (m=4) ∅8: Asw = m

φ 2 ⋅π 4

0.8 2 ⋅ π =4 = 2.00 cm 2 4

ρ w = Asw /( s ⋅ bw ⋅ sin α ) - ρw - koeficijent armiranja poprečnom armaturom - Asw - ploština presjeka poprečne armature na duljini s - s - razmak poprečne armature (u uzdužnom smjeru elementa) - bw - širina hrpta - α - kut između poprečne i glavne armature ( za vertikalne spone α= 900, a sinα = 1) s = Asw /( ρ w ⋅ bw ⋅ sin α ) - potrebni razmak vilica 50

- za vilice α= 900, a sinα = 1 - ρw=0.0024 iz Tablice 6.1. i za S220 (GA 240/360) i C25/30 s = Asw /( ρ w ⋅ bw ⋅ sin α ) s = Asw /( ρ w ⋅ bw ) = 2.0 /(0.0024 ⋅ 40) = 20.83 cm usvajamo razmak vilca s=20 cm.

Najveći uzdužni razmak spona smax ili druge poprečne armature određen je ovim uvjetima: smax = 0.8 d≤ 300 mm; - kad je VSd ≤ 1 / 5 VRd 2 - kad je 1 / 5 VRd 2 < VSd ≤ 2 / 3 VRd 2 smax = 0.6 d ≤ 300 mm; - kad je 2 / 3 VRd 2 < VSd ≤ 1.0 VRd 2 smax = 0.3 d ≤ 200 mm. VSd' , d 835.2 = = 0.52 ⇒ VSd' , d = 0.52 ⋅ VRd 2 ⇒ VRd 2 1595.3 najveći uzdužni razmak spona iznosi smax = 0.6 ⋅ d ≤ 300 mm s max = 0.6 ⋅ d = 0.6 ⋅ 95 = 57 cm ≤ 30 cm - nije zadovoljem smax = 30 cm

Minimalne vilice su četverorezne vilice (m=4) ∅8/20 cm. Minimalne vilice zadovoljavaju na duljini:

720 VRd 1 2.5 2.5 = ⇒ x = VRd 1 = 196.08 = 0.68 m 2.5 720 x 720 51

1152 VRd 1 4.0 4.0 = ⇒ x = VRd 1 = 196.08 = 0.68 m 4.0 1152 x 1152

52