Pratique Du BAEL 91 Cours Avec Exercices [PDF]

Zitiervorschau

Pratique du BAEl

1·

Cours avec exercices corriges

Jean Perchat Jean Roux

EYROlLES

Pratique du BAEL 91

Cours avec exercices corriges

Quatrieme edition

Jean Percbal Jean ROIn

Cette quatrierne edition est enrichie partir des lois classiques de par: la Resistance des Materiaux, Odes formules plus precises pour el apres I'etude des methodes les pourcenlages minimaux de calcul propres 11 chaque d'arrnatures en flexion simple et sollicilation€Iementaire (effort cornposee, basees sur des valeurs normal, effort tranchant, plus realistes des bras de levier moment flechissant, moment des forces elastiques, de torsion) et au flambement, une formule approchee du Ie dimensionnement des moment limite ultime eu-dels elements de base d'une duquel des armatures structure (tirant, poteau, cornprimees sont necessalres dans poutre, datle). les sections rectangulaires, en flexion simple, valables pour des Chaque chapitre comporte betons de resistance un rappel de cours suivi d'un caracteristique allant jusqu'a ou plusieurs exercices 60 MPa, d'application traites en detail. 0 des complements portant sur les II Y est tenu compte des effets de I'effort trenchant nouvelles regles de prise en permettanl de mieux compte de la fissuration apprehender les prescriptions des definies par les Regles BAEl Regles BAEl 91 rnoditiees 99, 91 modifiees 99 apphcables 0 la distinction entre torsion depuis Ie 15 fevrier 1999. les d'equilibre et torslon de exercices sont accompaqnes cornpatibihte definissanlles cas de nombreuses informations ou une elude de la torsion des utiles pour les calculs. elements en beton arrne esl necessalre. Pratique du BAH 91 presente,

11

o

Jean Perchat, ingenieur ECP, 0, pendon: plus de trente an: porticipe oaivement; au sein de commissions nationote: ou

uuemouonotes, a/a reoocuon

des textes normali(s re/otds au belon arme, et enseigr1etes methodes de calwl qui en decoulent. Jean Roux, ingel1leur ETP CHEBAP pratique te calwl des structures en beton sous une double approche du fait de ses acllvites d'iflgenieur 10SNCF et de proiesseu: a rES TP.

a

Code edrteur :G11049 ISBN: 2-212-11049·9

Cet ouvrage est exlrait du cours de l'Ecole spectate des travaux publics (ESTP) prolesse lusqu'a ces dernieres annees par lean Perchat et repris depuis par lean Roux. IIs'adresse aux etudiants en batlment et genie civil, aux technlclens, ingenteurs et projeteurs desireux d'acquerir les mecanlsmes et ordres de grandeur couramment praliques en calcul des ossatures en beton arme ou de mettre a jour leurs connaissances dans ce domaine, ~-_I

...\ljJl..." .. _~~

mpatibles avec In geometric du runnel pour un gabarit de vehicule donne, de reduire consi'rablement les COOlS de « mise au gabarit » des tunnels de In SNCF. e retour au Departemcm des Ouvrages d' Art en 1983, il devieru responsable deli etudes techqucs et inforrnatiques de la Division des Tunnels, dans un dornaine Oll la Resistance des ateriaux ei la Mecanique des Sols sont si ctroitemcnt confrontees.

AVANT-PROPOS

a

on experience et ses compeiences lui valent plusieurs missions l'eiranger pour des projets e renovation de tunnels. auxqucls it apporte routes 5CS connaissances techniques et econoiques. tegre a In SNCF dans une solido equipc d'Ingenieurs erneritcs, leis que J. Gandil, . Trufandicr, J. Eyraud, A. Roziere. Jean Roux garde Ie contact avec J'Ecole Speciale des ravaux Publics en rant que Maitre assistant puis Professeur de heron arrne, II est. aussi rofesseur de Resistance des Materiaux au Centre des IIautes Etudes de In Construction depuls 983. e present ouvrage a trois objcctifs :

- il est d'abord un vade-mecum de l'ingenleur pur Ie rappel constant des bases de In Resistance des Materiaux, fonderneru logique de toute reflex ion sur la construction; - il est aussi l'Irnage vivante d'un cours agreablc. Ccrtes il faut y irouvcr lu trame de l'expose theorique et la rigueur de It! formule car il s'agit bien Iii de regles et de n0n11eS, rnais l'cxercicc applique ct cxplique y ajoutc l'cxcmplc, l'utile et le concret ; - il est enfin un recours pour l'Ingenieur confirme, en lui preseruant les dernieres evolutions, qui relevent d'cxperirnentations ou de dispositions reglerncntaircs dans une dynamique d'actualite ct de progreso 1 0"-+--+--

hb2

• D'ou, compte tenu de la definition des aires er des moments d'inertie : a5=N

I1If;'dL ff;2 ez-

a ..1!. 5

-Mz •• )

'Y

8.4. SOLLICITATrONS PARTICULIERES

My

-My

1'=-Iy

8.4.1. Compression et traction simple • Le systeme des forces de gauche se reduit, au centre de gravite de la section droite. 11un

• On obtient done :

effort normal : • positif pour une compression, • negatif pour une traction.

• La contrainte normale. due a In flexion composee device. dans une section droite homogene et elastique Ii plan moyen vaut :

N Hz. v Hy.z 0=-+----5 Iz Iy

• Dans ces conditions, la contrainte nonnale et Ie deplacement dus a la compression ou a la traction simple. dam. une section droite d'une poutre hornogene er elastique. valent:

N

0=5 dl

5=aire de la section drolte. Iy=moment d' inertie/Gy. { Iz=moment d' inert ie/Gz

a

N

dx =-"£=--E5-

8,4,2, Flexion simple • Lc systerne des forces de gauche ..e reduu, au centre de gra\ itc de la section droite

a UII

moment flechissant M, d'axc G/ . • Dans ccs conditions, la contrainte normale due

a la flexion

simple, dans une section droi.

tc hornogene ct elastique. vaut :

• Pour unc section rectangularre, sur les fibres extremes

(y

= ± h/2) ; v

'1'

• D'apres la loi de Hooke. la deformation relative de la fibre d'ordonnee y \ aut:

La rotation relative dw entre lcs deux sections est. dw=-

dl }'

M,

= EI,

dx

=

dx R

• D'ou 13 valeur de 1.1 courbure de la ligne moyenne : b • Pour deux sections droitcs (L,) ct (1.:2), infiniment voisincs, distantes de dx et sournises l'uction d'un moment llechissaru M, :

a 8.4.3. Flexion deviee • Le systerne des forces de gauche sc reduit, au centre de gravite de 13 section droitc, un moment Ilechissam M) d'axe G}" un moment Ilectussaru M, d'uxe Gz.

a:

• Dans ces conditions. In corurainte normale et les deplacements device. dans une section droitc bomogene et elastique, valent:

relatifs dus ~ la flexion

_ VA et MA = elements de reduction des forces de gauche en (LA)' _ Va et MD = elements de reduction des forces de droite en (La).

VA

p.

x'1.

1.

MB

MA

Mz y My z

o=-y;--r;-

--E

d8y ~ dx .. EIy

}

® U::A)

..

x

d8z Mz dx = EIz

1

VB • Les sens positifs sont ceux figurant ci-dessus . • Pour une section rectangulaire, sur les fibres extremes (y

= ± h12 et z = ± b/2) :

y

+

9.2. ELEMENTS DE POUTRE

DE REDUCTION

DANS TOUTE SECTION

(L) DU TRON RA ;:: P (I

v} ~

R•.

• Reactions d'appui :

MI:I= 0 => RA .1- P (/-

P

(L)

tB'-VB

x 1

• Reactions d'appui :

- ~)

~ . I - pi I = 0 => RA = pi 2 2 RA

• Sollicitations :

+ RR = pi => RII

= pi -

RA

=> RB = pi 2

• Solhcitaticns : (forces dc gauche)

f M(X)

uSxSI: ( Vex)

= Ra (I - x.) =

P (I -

a =- Rs =- p-

\ Vex) = RA I

'2 -_oM

l

"

1

~p~i

px x -- pi x - px' _- px (/ - x)2

2

px = P (~

x)

~M.PI2

pI

®

: X -

(forces de drone)

p

®

I'

x) a

I a

x - Rv

A1( .) -

--

v

8

2

2

.On pose:

• C,,' palticulter des couples sur appuis :

c) Cas d'un couple concentre d'axe perpendiculuire au plan

mOY('11

Pour O!=l :r--Ma· • Reactions d'appui : => RA . ( +

r=0

.

=> R.,

M(x)=MaT Ma

= r/

~ V(x)= - 1

• Solhcitations : M(X) OS:\SO:

= RA x = - r x

/

\V(X)=R~ =-

(

i

(forces de gauche) 9.3.4, Element, de reduction dans un troncon de poutre

M(X>=RBCI-X)=r(I_X) oSxS/: V(x)

\

= Rij =-

r

/

(forces de droite)

• Les elements de reduction dans un troncon de poutre peuvent, d'aprex ce qui precede. eIre thalue, a partir de.. elements de rcducuon de la travee IM),wuque avsociee, en operant par superposruon :

/ p(x)

M V

Tz-cncon de poutre

Travee de reference soumise aUK m~mes charges(ou travee 1sostatique assoc1ee)

9.-'. APPLICATION AUX POUTRES CONSOLES • En dissociant les deux consoles de In travee centrale. on obtient la decomposition des efforts suivante :

M(X) =J.'(x) dJ.' ~

V(x)= dx(x)

fft!

Travee de reference soumise a Mit: ~M(X)=MA(l-

f)

~ Vex) =_ Mit

MA=moment de A. Ma Ma=moment de a.

1

1 • D'ou Ie diagramme des moments:

Ma Travee de reference soumise a Ma:

~~T t ~

)x

1

J~B l

~ M(x) =Ma ~ ~V(X)=Ma

1

"

• D'ou par superposition: V= dJ.' + Ma-MA dx 1 M=J.'+MA (l-t)+Ma

t

a

gauche

a

droite

II. FORMULAIRE

POUR POUTRES ISOSTATIQUES

J. CONVENTIONS Les sens posuifs adoptes pour les forces, les clements de reduction et les dt!r()rmatJon~ sont les suivants. J)~t'ORMATIONS 1_ neche.

FORCES APPLlQUEES P = charge appliquee

(I) :::

conccntree,

rotation.

= charge appliquee repartic, R Ro = reaction); d'uppui. p

A•

r 2. FORMULAIRE ~:LEMENTS DE REDUCTION • M V

= moment

= effort

SCHEMA RdK

FORKUlES

Ilechissant,

tranchant,

N = effort normal.

~1__ V+

~ wit--wa-5p14

f.-3"84E!

flb-r-e----fi-b-r:-----~~v+ Dl.agraJIIllles

tendue forces de gauche

tendue forces de drolte

-.M --:V • Lcs efforts tranchants a gauche w pour oue ..r. indice e pour est)

CL

a droite

d'un appui I soru notes respecuvernern (uulicc

p13 24E1

SCHEMA

RdM

FORMU1ES

SCHEMA RdM

p

FORMUlES

P MO=Pa(l-~) VA-P(l-

~)

a

Va =-P~

Oiagram.l1\es

Chargelllent·

P

a (l-a)(21-a) 1

WA

--ill

W

z-'!:_ a(l-a)(l+a)

a 6EI

f .. -

0}-....",===;::~==::::=~ (I) If

MA--PI VA-P PI3 f----

3EI

1

1

Pa2(1-a)2

3Ell

-M --:V M a"2b:c ..--

V

1

3EI

M(K)=M,\(l-t) V(K)=-T

pa2 MA·Ma=--2-

MA

wA :-aM,A

p12 MO·-S-

Wa= bMA

Mt • MO+M.\,

M 12 16EI

pI VAe·-Vaw=""2

f=--L

01agralllllles

VAw"-VBe=-pa pI2(5I2-24a2)

faChargemen t .

pa(l3_6a21-3a3)

p12 M,A:--2-

01 agra.J!lJlles .

Yp-_

0~----=-®

-M --

V

M,\

3B4EI

f1 -

24EI

VAcpl f=-p14

BEl

pl(12+6a2)

-:M --:V

wA--Wg=-

24EI

SCHEMA RdM

FORMULES

Chargelllen t :

rf1tt':rrw.~2~f___~ r ~ ®i:-(lf1 RA

RB

....---

--.M --

P

MA-MS-Ht--Pa

Mt(x)·MS ~

VA-VBW-~

VAe;VSw-O f-+--

Pa12

Vee-P

BEl Pa2(4a+31)

f1 =_

12El

W A-_ wB-_

PIa

2El

V

® -

VAe

-

~~ l-

__

MA

14t

VB'll

®~

I-

'V Me

VA'll

Chargemen t ,

MS·-Pa

VAw=-VSe--P

V8e

D1agral1\1les

FORKU1ES

SCHEMA RdM

pa2 MS"--2-

J.' < x ) - .:_P_K..:..< 1_-_K....:..> 2

T

Mt(K) =J.'( x )+MS Dlagrallllles'

pl Me VAlST+T pl

MS

VBw"-T+T VBe=pa

CHAPITRE 2

BETON ARl\1E

,

"

: GENERALITES

I. RAPPELS DE COURS t. UNlTES Longueurs en metres (m). Sous-multiple : J cm 102m.

=

Forces en newtons (N). Multiples: I leN = 10' N (kilonewron), 1 MN Remarque : I MN

= I()6N (megancwton).

=

I ()5 daN (decanewion)

=

lOs kg (kilogramme)

= 100 L (tonne).

Pressions, contraintes en pascals (Pa) : I Pa = I N/m2•

= 1()6 Pa (megapascal) = I N/mm2• : I MPa = 10 daN/cm2 = 10 bars 10 kg/em! = 100 tlm2•

Multiple: 1 MPa Remarque

«

2. ACTIONS ET SOLLICITATIONS 2.1. TERMINOLOGIE ACTION

= toute cause

produisant un etat de contrainte dans la construction.

- Actions permanentcs : • poids propre, • poids des superstructures, • poussees des remblais, • etc,

- Action), variables : • charges d'cxplcitation,

_ pc:rtt! d'equlHbre statique.

. . _ rupture de sections par deformation excessive. . tabilite de forme (flambemcnt). _ IIl~ , . _ tran,,'ronnatioo de la structure en lin mecamsrne.

• charges appliquee ...ell COllI'S d'execuuon, • action de la temperature. • vent. neigc, • etc

Cnteres de calcul . _ddormations relatives (ou courbure) limucs, _ calcul de type « rupture» avec IOI~cornramtes-deformauons

- Actions uccrdcrucllcs :

• chocs de vehicules rouuers ou de bateaux sur appuis des porus, • seisrnes, • etc.

des materiaux.

b) EmtJ-limite.s de service (c.L.S.)

lls sontties aux conditions normalcs d'explonation et de durabilite,

SOLLICITATIONS = forces et moments produits par les actions dan« les clement!. d'une construction: - effort norma I : N, - effort tranchant : V, - moment Ilcchissant : M. - couple de torsion: T.

lis correspondent aux phenomenes suivants : _ ouverturcs excessives des fissures. _ compression excessive du bcton, _ deformations excessives des clemcnts porteurs, _ vibrations exccssives et/ou inconfortables, - perte d'etanchelte,

2.2. VALEURS DES ACTIONS

- ctc. Criteres de calcul : - contraintes (ou deformations) hrnites, - calculs de type elastique (Ioi de Hooke. cocfficrent d'equivalence ....).

La variabi!ite des actions ~lgis~antsur une structure est prise en compte en dcfinissant pour chacune d elles des VALEURS REPRESENTATIVES determinees : - par exploitation statistique des donnees neccssaires existantes, - par estimation fondec sur l'experience, La VALEVR DE CALCUL d'une action est obtenue par muluplication de sa \ alcur representative a l'aidc d'un COEFFICfENT DE PONDERATION ydestine a couvnr : -Ies incertitudes resultant de la connaissance imparfaite des donnees de base. - limprecision des hypotheses de calcul. -Ies imperfections de l'exccuiion.

2.3.3. Verifications (I)

Euus-limltes ultimes (E.LU.) La SOLLICIT ATION AGlSSANTE. 01:. CALCVL est obtenue pour une combinaison d' actions F, : Y i = coefficient de securite partiel S [I:Y . \jI .. F] avec pour faction i : I j

2.3. ET ATS-LIM1TES

,

,

\jI F = valeur representative (cf. 2.2 et2.4.1.) { 0/, = I s'il s'agit d'une action permanente ,

,

2.3.1. Definition Un ETAT-LlMITE est lin ctat particulier dans lequeJ line condition requisc pour une construction (ou l'un de ses elements) est strictement satisfaite et cesserait de I'~trc en cas de modification dcfavorable d'une action.

La SOLLICITATION RESISTANTE est cellc pour laquelle I'un des materiaux constitutlfs de la structure aueint soit une deformation limite. soit une resistance limite:

2.3.2. Differents etats-Iimites oj Efals-/imitl's ultimes (E.£.. U.) lis meuent en jell 13 securite des biens et des personnes.

Us correspondent a l'aueinte du maximum de la capacite portante de l'ouvrage ou de run de scs elements avant depasserncnt par : ~

oil : fe• fCJet f IJ--

resistances caracteristiqucs des matenaux acier et beton en compression et en traction. coefficients de securite parnels au moins egaux a I pour I'acier et le beton.

On dolt verifier:

:: charges rouli~res de caractere particulier Qrp

s[ ~

• '" Y.· 0/.. FJ• ~ R[fc-: fcj-;- ft.JJ • Y, Yb 'Yb b) Etats-timires de service (LLS.) On doit montrer que la scllicuution de calcul agissante ne provoque pas lc depas~ement lirnites de I' E.L.S. considere :

w

- pour les contralOles :

S = M et/ou N

- pour la neche:

T

0' ACTIONS

On designe par: Gm;u ensemble des actions pcnnanentes defavorables, Gmm ensemble des actions permanentes favorables,

= =

FA

0' ACTIONS. il faut :

- prendre la cornbinaison la plus defavorable pour leffet recherche. n'intervenant au plus qu'une seule fois dans la combinarson, - les valeurs entre CrOChCL\([ ... 1) ne sont generalement pas

a prendre

en compte,

2.4.2. Etats.limites ultimes (E.L,U.)

accidentclle.

= valeur probable d'une charge permanente, = charges d'execution connues (en grandeur et en position), = charges d'cxecution aleatoires, = charges routieres sans caractere particulier (sysremes annexes, charges de trottoirs) obtenues par multiplication Fasciculc 61-lilre IT par: ·1,07 nux E.L.U., • 1,20 aux E.L.S., • 1,00 aux E.L.S. pour charges de trottoirs.

une rneme action

- choisir une (ou aucune) action parmi celles se trouvant derriere une accolade (l).

a) Combinaison/ondamelllaie

On notc :

G

=

6.9 = gradient thermique prcscrit par le marche (rapport de la difference 6.9 de h temperature entre les deux faces d'un clement a l'epaisseur h de celui-ci), effei des variations de temperature sur les porus-rails :

Dans ce qui suit. pour les COMBINA1S0NS

= action variable de base (valeur caracteristique. 'JI = I), = action variable daccornpagnemem (ic-I) : o/Ui·Q, = valeur de cornbinaison, 'JIh·Q. = valeur frequerne, 'JI2i·Q, = valeur quasi pennanente.

= action

tion IT (Regles N 84), = variations uniformes de la temperature.

- dilatation des longs rails soudes, - gradient de temperature. - variation de temperature.

2.4.1. Notations

QI Q,

de la

SNCF, =aclion du vent defirue : _ par le Fascrcule 61 -litrc lJ pour les porus-routes, _ par tes Regles NV 65 pour les autres constructions. les valeurs du vent normal elant multipliees par : • 1.20 aux E.L.U., • 1,00 aux E.L.S., = action du vent sur les penis-rails 1\ vide, action du vent sur les porus-rails en cours d'exploitation, action de la neigc pour les batimems definie par Ie Fascicule 61 - titre IV, sec-

=

M +N

Qe 2.4. COMBINAISONS

(I)

= =

S = V etlou T

S =Mou

(convois militaires er exceptionnels)

definies au Fascicule 61-titrc IT. :: charges d'exploitation des bfltimerus, :: charges dexploitauon ferroviaires definies par Ie livret 2.01 du CPC

• Formulation symbolique :

A. B et leurs effets des charges figurant au

• Cas des porus-routes : -=-:ituation d'execution : (I) Cahkr des prescriptions communes applicable» au.t marches de travaux d'ouvrages d'an:

I.S (

'Iualion d'exploitation :

f J ,0 W

~ru

-51

+ 1.3, 1.0Qr.d \ [O.61ST+O.30ll0]

1.35[TJ

1.35

+ U{[0.615T+0.50

o, + U 'Q" + 1.3 {0.6IS . Qa

1.35 0 1lU.' + 0 nun+

/Qh

IS . \ QfI -1>iIUalion d'exploitation : b) COIII/Jinoisons accidentelfej

Qr

1,5 { W

Qrp

• formulation symbolique : + 1.3 {[O,6is T + 0.50 ll0

I

I,3S { [T]

• Cas des bfuimonts : - situation d'cxccution : combinaison identique - situation d'cxploitation

a celle des porus-routes.

Oil : 'l'1I.Ql

= valeur

Q T2i' i

= valeur quasi

,II

:

frequerue d'unc acuon variable, permancnte d'unc autre action variable.

• Cas des ponts-routes : 0,6 \ O.77.W 0.77 . Sn

135 . G rnav + 0 min +

+1.3

1,35 [T]

G

'l'o·Qa 0.77. W+'I'O.QB

G max

+

F min

+ .

+ 1.3 {O,615T

0.77. So + '1'0' Qa 0,77. W +0.77. s,

A

f

f

pont de I re cJasse

o,~J Q r pour \ pont de 2: classe 0,_

\ pont de J classe

+ \ 0.2 W O.5T 0.5ll0

• Cas des batiments : O,75.QB '1'0 = coefficient ddfini dans I'annexe

a la norme

G

NFP 06-00 1.

m....

• Cas des pours-rails :

f

020.W { + G rmm + F'II + \ 0, 15 . S n + (0.65. QIl + 1jI,_1 • T

si le C.P.S.

0,50. T

- situation d'cxecution : • Cas des porus-rails :

f

1,35. Q" + 1.5 . Q",

1.35 (Om"" + Qpr

10%. r-r-.

4 ~(mm) 3 3.5 4.5 5,5 7 5 6 8 9 10 12 14 16 20 25 32 40 Section (cm2) 0,071 0,096 0,126 0,159 0.196 0,238 0,283 0,385 O,SO {),636 0,79 1.13 1,54 2,01 3.14 4.91 8.04 12.57 Poids 0,056 0,076 0,099 0,125 0,154 0,187 0,222 0,:302 0,395 0,499 0,616 0,888 1,208 1,579 2,466 3,854 6,313 9,864 (kglm) Ronds IIsses et barres HA Rls HA(l) Treillis soudes

I ,00 pour les combinaisons accidentelles avec' y - { . s1.15 dans les autres cas

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • L-L-

(1) . diam91res 7 el 9 mm pour armalures prelabrlquees seuJement

3.2.4.Caracteres d'adherence

3.2.2. Caracterlstiques mecaniques fe = LIMITE D'ELASTICI'ffi

GARANTJE (resistance caracteristique).

0)

Coefficient de fissuration T}

f 1.0 pour ronds lisses er fils trefiles lisses eo treillis soudes

00 distingue :

11= \ 1.3 pour fils HA < 6 rnm

- des ronds lisses : FeE 215

fe= 215 MPa

Fe E 235

fe = 235 MPa

- des barres

a haute

1.6 pour barres HA et fils HA ~ 6 mm

b) Coefficient de

adherence (HA) :

Fe E 400

r, = 400 MPa

Fe E 500

fe = 500 MPa

scetlement

\jIs

1.0 pour ronds lisses \jI, = {

1.5 pour barres

et fils HA

- des fils trefiles HA et des treillis soudes formes de ces fils (TSHA) : Pe TE 400

r,= 400 MPa

: fils HA

3.3.BETONS

Fe TE 500 Fe = 500 M Pa : fils HA et TSHA - des fils trelites lisses qui sont assembles en treillis soudes (TSL) : TSL 500 fc= 500 M Pa

3.3.J. Resistances

fas:: resistance caracteristique faa

3.2.3. Diagramme contraintes-deformations Le diagrarnme de calcul se deduit du diagramme caracteristique parallele a la droitc de Hooke et de rapport I/ys'

(ideaiise) par une affinite

= resistance

caracteristique

a la compression, a la traction,

soil, dans les cas courants :

Cl en fon~lioo de In durce

t

d'applicanon

de la combinaison d'uctions coru,idcree :

1.00: I> 24 heures 'C28 (MPa)

't28(MPa)

25

2.10 2.40 2.70

'--

-

1--30 35

~

I---40

e = J 0,90:

\ 0,85: l< I hcure

o..a. Retrait

3.00

3.3.2, Modules de deformation Instantanee

a j jours

1 \ _ I -,

d'fige (avec J $ 28) :

i.

E1J = 11 000 3v-::;

A long

I heure $ l $ 24 heures

i

du betOD

1.5. 10- ~ dans les chrnats Ires hurrudes 2.0, 10

sec, tel que te quart sud-est de la France metropolitaine

I0 ~ en cbmat chaud et sec

\ 5.0. 10

terme :

en chrnat hurnide, ce qUi est le cas de In France metropolitaine sauf dans Ie quart sud-est

3,0. 10 4 en climallcmpere

I 4,0

(MPa)

4

4

en climat Ires sec ou desertique

E .. 3

F---.!! "J -

4. HYPOTHESES ET DONNEES POUR LE CALCUL DU BETON ARME Pour J > 28 jours et

fd8

$ 4() MPa, on UdOPIC(cf. § 3.4.2. chapitrc « Etal limite de service

vis-a-vis des deformations » de I'ouvrage MOltrise du BAEL 91 et des DTU CI.\.HJci!fs) :

3.3,3. Diagramme contraintes-ddformations

s - - - - - - ~--------.

O'S = para hole du 2e degre tangcnte en 'ion sommct S

l'horizontale.

3,5%. fbu

= 0,85

Ebe

a

-&.1. HYPOTHESES SUPPLEMENTAJRES Gt~ERALES

POUR TOUS LES ETATS-LiMITES Au cours de lu deformation,

les sections droiics restent planes et conservent leurs dirnen'Ion)' (principe de Navier-Bernoulli). La r6.lStance du beton tcndu est consideree cornme nulle. Par adherence, les deformations relatives de racier et du beton au contact sont les memes.

e. Yb

4.2, HYPOTH~:SE SUPPLf:MENTAIRE POUR LES E.L,S. En venu lie lu loi de Hooke, le:-.contruirues

= { J, 15 : combmaisons b

1,50 . autres cas

\ \L\BLES

fclll

avec:

'Y

(armatures ct beton) :

- etats-limites de service (E.L.S.) utteints : • par compression excesvive du beton, • par ouverturc excesvi ve de!'. fissures . • par deformation excessi vc.

:

2%.

pour le dimensionnernent

- etals-limlles ultimes (E LV.). • de resistance, • de stablhlc de forme,

I~'J= 1.1 . f!:2x

Diagrumrne parabole-rectangle

00 distingue deux types d'etats-lirnites

SOOI

uccidentelles

proportionnellcs 61

O=E.E=E.

J

V...

0.77. W

1.35 . G 11111' + G mill

PI L - Pa . / + PI

I)'oil :

A L'E.L.U.

La formulc gcncrale des combmaisons dacrions

v.~. L == PI . L -

,

+ 1.3 {O,615 T

0,77 . So

Ellc conduit 11 deux combinaixons d'uctions lorsque l'on prend Qo cornme action

3.2. REACTION

0' APPUI MAXIMALE

I

8

l " ---,-I

1t . 2

@FB(2 FA)

lAB

)

Fa=A.f,,=

)

2

=> 1t.

f =0+11:.."[

4

= 't 'u 1;\8 = I ~

l

d'ou :

--7)

f"

t,

"

.l-L... dF = 1t . Cl> • t ~ .dx

Is

$

pour

d'ou par integration:

'lis - 1.5

30

35

40

45 I 50

S5

--

Fe E 4()() 41

35

31

27

2S

22

21

19

18

Fe E 500 SI

44

39

34

31

28

26

24

22

20

- r-

-

Remarque: si Areel > Acalcule, on substituc ~I/~ la longueur d'ancrage In definie par :

as ce qui conduit ~ :

ANCRER une barre, soumisc dans une section B a un effort de traction Fs axial, C'CSI assurer, a partir de ccuc section, la transmission integrale de cet effort au beron par adherence.

60

._25-

,- I-

=I

I

d'ou :

Ii

A cal

~

10 . 4>

'ArM

dF-Jl.d9 ( F+-

que 1'00 ecrit :

n..r.'t)

Jl~

dF

3.5. ADHERENCE

DES BARRES COURBF..8

-----=

!)Oil:

n. . r.'t,u

=0

Jl. de

F+----

Considerons UI1 troncon de barre courbe tendue, infinirncru petit, represente par sa lignt! moyenne AB d'ouvenurc de.

J..l Pout un tron'to n co urbe de barre AS dansle ~

au centre 0 et

soumrs

a ses exuemues

nux

efforts FA et Fs (~ F,).

@) par integration entre A

Lc troncon AS est soumis : - aux forces de traction F en A et F + dF en B avec dF > 0, - a ia force due a I"adherence sur l'arc AB = r.de : dT, - a la reaction transversale du beton : dR. Par projection des forces sur Ie rayon OB :

n.cl>.r.t Fs+

et B. il

vrent :

,u

J..l -F.

sin de-dT.

sin dO+dR. cos dO=0 2 2

soil puisque dOCI dT son 1 des infinirnem petits : dR

= F.dO

En designant par ~l Ie coefficient de frottement acier sur beton. I'effort dR developpe une force tangentielle : ).l.dR = !-l.F.dO de sens oppose au sens du glissement de la barre. Par projection des forces sur la tangente en B a la barre :

n..r.'t FA+--!-l--

s.ou

n . . r. de . t so = 0

n..f.'t

n

J..l

.u

expressionque l'on ecrU :

avec.

VI~e1-L8 e p.8 -1

VI-1

=--

dO F + dF F. cos de- u . F. dO- dT . cos 2 = 0 dF - Jl . F . de -

: Fo = F, . e'': 9 +

I-L I-L =0,4

J1.

..u

[

9

]

ell. - I

Remarque:

_I~ .. ancrages a 60° » (6 = 120

ft)

:

Certe formule est a rapprocber de celie concernant les ancrages des barres droites isolee la formule pour les ancrages courbes s'en deduisant : S. I) en multipliant FA par ",. 2) en multipliant n:··'tsu·1AB par 3) en faisant

LAB

'.lr

'1" •

(

'(T 0 =120·

3~

= r.

~_

...2.RAYONS DE COURBURE DE L'AXE DES BARRES Ib resultent :

4. ANCRAGE DES BARRES

I) des conditions de faconnage des barres en posant r

4.1. TYPES D'ANCRAGES D'EXTREl\UTE

r

p =~

On utilise Ie plus couramment :

- les « crocbets normaux

» :

(1)

= p . ¢:

I

Roods lisses

BarresHA

p~3 p;:::2

p > 5,5 p~3

Barres longiLudinales Armatures transversales

2) de 1a condition de non-ecrasement du beton : r r 2.

0.20

Os

-

fcj

-Ies

«

(1+ -

) 11

er

avec : o, contrainte I'origine de la courbure sous sollicitation ultime. e, =distance du centre de courbure de la barre a la paroi la plus proche,

=

retours d'equerre » :

v=

a

1+2m 3 COUPE 1_A

-les « ancrages

a 45°

» (6 = 135°) :

(I)

les Illaodrins de cimrage re\pectl(\ ont des diametres 0 ~ 5 cl 0 ~ 10 pour les barres Jongirudmale»et 0 ~ 3 et 0 ~ 5 POUT les armatures trunsversales.

= nornbrc tic lils courbes simultanernent. fCl = resistance caructeristique a la compression

m

3) tics condition" proprcs

du beton 11J jours.

11certaines formes tie barres ou d'uncragcs :

rei

- courbes sur toute leur longueur,

- constuuant Ic' boucles de jonction de barres tendues (cpmgles

fc( I + 2.n.

d'un point A ~itue ~ 30

= l7,60em

/1) Non-ecrasemelU du beton

» :

Enrobage: e, c = Max , {

I em.

Rayon de courbure (en fait. la verification est inutile si done Ie calcul qu'a Litred'exernple) :

• Materiaux : - beton : fd8 25 MPa. f,2g = 2,10 MPa. - acier : Fe E 500, r 2: 5.5..

=

• Enrobage des acicrs : e

3 em c = 3,2 cm = Max 3,2 em ( lcm

l

= 3 em.

• On se propose de determiner les caracreristiques geometriques de l'ancrage (longueur, retour d'un crochet a 45° si necessaire).

-I· v e,

avec : o, = comrainte

a I' origine

de la courbure sous sollicitauon ultime,

-CORRIGE-

1. TYPE D' ANCRAGE Contrainte limite d'adherence : 't.u = 0.6.

I:

respecte r 2: 5.5.00 ne fait

r2: 0.20 (J f' I + CJ

\j1~= { 1,5:

00

1.52.2,10

ronds lisses, barresHA

= 2,84 MPa

i

d'ou :

as = f~

1t . .

0.20.:\.2

A 1 . '," r 2:

A

fsoo -

3~2 (30-3,2 - 3;2 2.84}(1

25 _ 0.8 2.84 (I + 0) I

+ 0) I -

2

.

A

'OIL pursque

=

1t.

~

c) Ketfll/(

r = 17.60 em

= Max

17,60 em { 11.60cm

avec: 2.2. LONGUEUR

=

I A.. OU RETOUR

RECTlLIGNE

O'EXTREMITE

A

I'

='I-c-

2 -r

fer

e, = distance du centre de courbure de la barre V=

a la paroi la plus

= 25

MPu

epaisseur de la \ .

=> e, infini et piece mfiruc c,

I

voisine.

1+2111

v

=

= ()

1

3

avec: 111 = nornbrc de O'ou:

lilS

courbes sirnultanement.

Fe - 4 r ? 0.20 . .

II

I

]- r ~-

c

ICI'

+,-O.2U qUI

donne:

( S. cadres 8 HA : S I = 20 em

5.2. ZONE COURANTE => cadres 8 HA : SI = 20 em

2. ELANCEMENT 2.1. LONGUEURS

DE

FLMmEMENT Ir

6. SCHEMA DE FERRAILLAGE

- EI.EV.lTIOB -

14 HA

/

;-, ED \

.,t

20 ca

l

'"

I

/

62

62

ClI

T

1

,I

1

/._

7 Tcadres 4> 8 HA St-20

7

ca

14>14H1 T'

'1"

I'

I.

.1'

'1'14>14 HA 1~14

""24>14

ell

IlA

cadres 8 HA cadres ~ 8 HI. s. m20 ca

cadres ~ 8 HA 1St- 20

1St- 20

HA

c.

ell

l(2~K1

~

encas-. treJlent

K21.K1!z:>0.7.1 ==>071 K..1..K1 0 .. 0 "

dans 1a fondatl.on Sl.non 10

2.2. ELANCEMENT COUPE A_A 2.2.1. Cas general

If •

~

•

0

L:lJ

-#------HI----{

1

avec: i

=

J ~=

• rayon de giration de la section transversale

• -1...____

o

?lL.....

r = moment d'inenie de Ia section transversale (beton seul) dans Ie plan de Ilarnbemcnt, B = aire de la section transversale.

_,Q)

Q)=barre prise en compte ~=barre

non prise en compte

Le plan de flarnbernent mentionne plus loin est celui pour lequel A = t.,nw(" Si A> 35, souls sont il prendre cn compte les aciers augrnentant le plus efficacernent la rigidilc dans Ie plan de flambernent (pochees en noir sur la figure ci-dessous).

2.2.2. Cas particuliers

a) Section rectangulaire

~ 11 taut normalernent cnvisager les deux possibilites : Ilambemcnt dans Ie plan parallele au petit cole et flambemeru dans Ie plan parallele au grand cC>le. En dcsignant par Ira et/fb les longueurs de flambement correspondant nux liaisons d'extremite dans Ies sens a (parallele l:\ la dimension a) et b (parallele a la dimension b), on reiicndra :

rn} ~

~ .. Max

fafU

ltbV12 b

•

•

12

1

S-ba : ia_b_l V12

•

0

•

a

0

0

(!"ba3 . Saba . i·_a_l 12 . V12 (!_ab3

0

--,f
A"'-

l'etat-limite ultirne, Ie raccourcissement du beton sous compression centree est limite a 2/1 000. Lc diagrammc des deformations correspond a la verticale du pivot C (voir paragraphes 3.3.3. eI4.3. chapitre 2 « BETON ARMf - G(.:N~RALrn":.S »). d'ou :

a

( Allongement "Raccourcissement )

B==--

T ®

4

• =~y., 3. ARMATURES LONGITUDTNALES '--

3.1. INTRODUCTION

- HYPOTHESES

TOUle ban-e longitudinalc de diamcire 1 non mairuenue pur des armatures transversales tclles que ~I $ 15.1 n' est pas prise en compte dans lcs calculs de resistance.

•

• -

__..J__

Section

fbu

3,5%.

== /©-======IOSC2 ---

-------_

o

_

°sc2

2%.

Deformat10ns

Contra1ntes

L'etfort normal limite theorique

est : Nullm

lh

= B.fbu

Les aciers doivem equilibrer :

+ A'0''oC2 k . ~ . Nu N ~=- 0.85

L' effort normal resistant est obtenu par correction de la formule theorique avec. - Br= section redulte de beton pour tenir compte de la sensibilite au," defauts d'ex~uti()n notnmment pour lcs poteau x de faiblc section transversale. • - 9/(0.9.0.85) Iacteur majoratcur de la part de I'effort limite theonque relative au belon

=

pour tenir compte de In rnaturite de ce dormer a l'agc de sa mise en charge. - ::::2.50 rn, • Enrobage des armatures: 3 COl.

Dans la pratique, on assure un leger depassement (2environ) des extrernitcs des barrcs arretees par rapport ------f bu 0,85 f --+-ed 0,9 100 Remarque : on pcut chcrchcr a aueindre A. = 35 pour que routes les armatures participent il la resistance. Dam. ce cas : ~ = 1,20.

U

= 0.85.

255= 14.2 MFa

I . I,

1.2. ACIERS l~d= 500 = -D5 MPa

1.15

c.

JI. EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES l\tfINIMALES

4.2. EN ZONE COURANTE

C'est-a-dire hors rccouvrerncnts : St .iM~n

j

154>

. (-- pour A2.Am~n

-ENONCE-

hlln

a+10cm 40cIII

(-- auplus pet~te d~mension transversale dans le plan de f lambemen t

COUPE A_A -,i~20 em

4.3. EN ZONE DE RECOUVREMENT ~

~

A

(-- cas eourants,

a

(-- pleces soumises

l

des ehoes.

60 em

= I 200

...L

kN de duree ~ 2..J.heures.

• Moins de la moitie des charges agir avant 90 jours.

4.3.2. Armatures transversales Dans les zones ou il y a plus de la moitie des barres en recouvrernent :

eu _~~.

A

" • SolJicitations : Nu

.'t~!,__

I}o

I

10=2.50m

4.3.1. Longueur de recouvrement

• Materiaux : - beton : r~28= 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

'.

• Longueur de Ilambement .

II

= I" = 2,50

111.

• Enrobage des armatures: 3 em. Dans la pratique, on assure un leger depassement (24) environ) des cxtrernites des barres arretees par rapport aux nappes extremes. Rernarque : si l, est tIOPgrand (ce qui est Je Cal. lorsque l, = I, et non 0.61).on pcut avoir un espacernent s', ~ " courant. ce qui nesi pas acceptable. A cc moment la. prevoir 4 nappes et non 3 sur Ir•

• On se propose: 1) de determiner les armature'> longitudinales, 2) de determiner les armature .. transversales.

5. COFFRAGE

-CORRIGE-

La formule de l'effort normal ultime limite donne: k . ~.Nu Br~ f--bu

I. CARACTERISTIQUES

0.9 + 0.85 B r

1.1. BETON

fed

On peut adopter par exemple : AIBr= 1 % : Br

-> -:------£

DES MATERIAUX

A

~,u =0,85.

I ~~.5= 14,2 MPa

k.,8.Nu

_bu_ + _0_, _8_5 fed 0,9 100

Remarque : on peui chercher a atteindre A = 35 pour que toutes les armatures participent La resistance. Dans ce cas: p = 1.20.

J.2.ACIERS i)

red

=

500 U5

= 435 MPa

em

2. ARMATURES LONGfTUDINALES J.

CJlOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES ~.l. Armalure minimale :=.)on peut se contentcr d'un cadre general :

2.1. SECTION CALCULEE Elancement pour

section rcctangulaire :

UIlC

Al~..MATURES TRANSVERSALES EN ZONE COURANTE

A = 250 (12 = 43.30 20 Coefficient ~ :

x s 50:=.) ~ = 1 + 0.2 (3~

r

~l A I + 02(43.30)2 ...= . 35 = 1.31

~

~

L::::======l===c ~l J{

Le beton equilibre :

a..

N _ (0,60 - 0,02) (0,20 - 0,02) 14.2 b0,9

Nb = 0,9

12 = 4 mrn :s; 12 HA

- COupE M

I~u= 0,85. 1 ~~.s= 14.2 MPa

-

2'" 12 HJ.

f 60c:a ~')

.

2 ¢ 12 HA

I-

(,¢ 12 HA

200a

1.2. ACIERS

1j 1

rcd=

cadrel1jl6 HA s~·30c",

.rA

3 CAdres 4> 6 HO\ £d>12

HA

J.

.

au

=

4 3 5 MPa

A

tt~ +1-

•

2. SECTION MINTMALE D'ARMATURES

ca

=

u = 2(a + b) perirnetrc (rn) B a.b = airc beton (cmt)

=

- 25c:.

l.r

=

A nun Max

m. EXERCICE

500 1.15

f

4em~/m de perimetre B

I

u = 2.2.0.30 = 1.20 m B = 30.30 = 900 em-

f 4 . 1.20 = 4.80 em 2 Amo =Max \ I

0,2 900 100 = 1.80 em"'

\ 0.2 100

N° 2 : FORCE PORT ANTE D'UN POTEAU

;:) A

= 4 . 2,01 = 8.04 cm2 > Amln = 4,80 cm2

-ENONCE4 , ~ ~ 16 = 5.3 mm }

:::)

cJ),

= 6 mm

,::;;12mm

,.£7

5.40JII

• Actions SOU'i plancher niveau 11.00 m : - perrnanentes : No = 2 355 kN - variables: NQ = 534 kN - plus de la moiue des charges appliquee avant 90 jours • Matenaux : - beton : (2S 25 MPa. - aciers : Fe (- 500 HA. - enrobagc des armatures = 3 cm.

".2. ESPACEMENT 15 . , min si A>Allun SI s Min 40cm { a+IOcm

( 15 . 1.6 = 24 cm car A > A nun -.s Min \ 40 cm pO + 10 = 40 cm :::)cadres 6 )IA '" = 24 em

• On se propose: I) de dimensionner Ie poteau. 2) de calculer lcs armatures lcngitudinales ct transversalcs.

=

-CORRIGE-

Sollicilation agissante corrigee :

k.l3· 1. CARACTERISTIQUES

=

k 1.10 car plus de In moine des charges est appliquee avant 90 jours.

Nu

DES MATERIAUX

k.

s. Nu = 1.10.

Nb

= 7.30 MN > 4,93 MN = k , ~.

Conclusion

1.1. BETON

Nb>< f

bu

08

= ,

5. I 25 . 1.5

k·13

Nu

= 14.2 MPa

= 4.93

MN

Nu

~ b = est la grande dimension du poteau.

1.3. DIMENSJONNEMENT

1.2. AClERS

1.125.3.98

00 b = 70 em > a

DANS L'H\ POTHESE

Equation dormant a :

500

f~d= 1,15 =435 MPa

IrY 12

1..=--a 2. SOLLICITATION

A L'ETAT-LIMITE

N,,= 1,35. No+ 1.5. NQ

~ 13 = 1 + 0,2 ( 3~

ULTJME

Nu = 1,35 . 2 355 + 1,5 . 534

Nu = 3 980,25 kN

= 3.98

==)

MN

Br~

r

k·I3·Nu rr ~

085

1.10·13·3.98 f.I. -= 0,2248 . p 14.2 435 -+085-

ed

0,9

0,9 + , - 100 soil avec: B, == (a - 0,02)(b - 0,02) m2

3. COFFRAGE 3.1. DIMENSION

IMPOSEE

Epahscur de la poutre du plancher

En panam de A = 35. nous

Si l'on adoptun un poteau cam! de 0.70 m de armatures, serau :

cote. Ia charge

N b

qu'il pourrau supporter. sans

= 0.68 2 . 14.2 _ 0.9

A - 560 -

carree

r

0']0

--

0,02

+ 0.02

a=

I, \ 12

""i

= 0,33 . 13 + 0,02

If

== 10' d'ou Ie tableau de calcul par approxima-

0,56 0,415 0,468 0,443 0.453 0.449

fi2 _ -27.7

A. =5.60\

~ = I + 0.2 (:s

12 a

l.196 l.357 1.281 1,313 1.299 1.305

34,64 46,75 41,45 43.79 42.82 43,20

70

p:

A s 50 ~ ~ = I + 0.2 (3~

U\(lI1S

a (rn)

- 7.30 MN

If=11.00-5.40=5,60m

section}

0.2248·13

tions successives (rnais voir remarque ci-upres) :

Longueur de flambement : eo supposant le poteau plus raide que les pouires du pJancher : ,lr=/(l Elancemeni :

a~

+ 0,02

m

b=0.70

3.2. INTRODUCTION

Coefficient

= b _ 0.02

100

:

Bf

a

'

Retenu: 27,7)1 ~= 1+0,2 ( 35 = 1.I25

--

Poteau 45

.__

--

-----. X 70

)!

a = 0,33 . 13 + 0,02 0,4l5 0,468 0.443 0.453 0.449 0,451

Remarque

: Ie dimensionn.ement

que nous venons ~'effectucr

repose sur In formule du §

s

...3. SECTIONS EXTREMEs

des rappels de cours etablie pour un pourcentage d armatures AlBr = I %. En adoptam pourcentage d'armatures plus faible, on aboutit a une section de beton plus grande ~ meilleure solution est celie conduisant au conr minimal de l'elemeni.

4 cm2 1m AmiD

= Max

[

de perirneire

A

rmn

= Max

4. 2 (0,70 + OA5) == 9.2 cm! 45 70 ~ { 02-'-=630 , 100 ,em ~

\0.21~

4. ARMATURES LONGITUDINALES

A

max

=5-

4.1. EFFORT NORMAL ULTIME

= =

Charges sur plancher mveau 11,00 m : Poids proprc poteau : 1,35(25 kN/m.l ,0,70.0,45 .4,20)

3980,25 kN 44,65 kN

B 100

A rna .. = 5

45 70 100

_

,

= 1:>7,5em"

Amm == 9,20 cm! ~ A = 157,5em!

= 30.71 cm! ~ Amax

JA.RETENU 4.4.91 == 19,64 em2

Nu = 4 024,90 kN => Nu = 4,02 MN

4.3,14 = 12.56 cm!

30,71 ern? < A = 32,20 cm2 4.2. SECTION RESISTANTE Elancemem :

m

sccuon } => A.= I t rcctangulaire a

=

A. 560

S. ARMATURES TRANSVERSALES

fi2 = 43' 11

45

S.l. CROIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

Coefficient ~ :

A.> 35 => on nc prend cn compte que lcs aciers longuudinaux augmentant Ie plus efficace-

A.~50=>P=

rnent la rigidite dans Ie plan de uambemenr. done touies Ics armatures puisqu'il n'y a pas de barres intermediaires sur les pouts coles:

I +O'2(3~r

__,

Le beton equilibre : Nb

=

n.. ti,u

Nb

= (0.70-

0,9

E

0,02) (0,45 - 0.02). 14.2 0,9

Les aciers cquilibrclll : N,

=

k . p. Nu - Nb 0,85

k = 1.10 car plus de la moitlc des charges est appliquee avant 90 jours. N - 1.10. 1,30.4,02 - 4,613 s0,85

ed

1,336

A = 435

•

..l e j,

= I•..33':\) MN

~ 2 10 = 30.71 ern c1.1

c ct

• a=4S ell

D'ou Icur section :

A=,. N"

•

ft'

~.

..l e ..l

I----,~

a-50 em

= 8,3 mm}

~I

2: ~ 25

. < 12mm

I

=>

~=IOmm I

. {..Jocm

c et c' ~ 40 em == MID (45 + 10)em

Suivant b pour 3 em d'enrobage avec 2 9 25 + 2 4> 20 : - 6" 70 - 2 . 5.62

'3

.), z cm ~ c=-

-::: L9,6cm

6.

scHEMA

DE FERRAILLAGE ELEVATION -

-

-

I

c:::

.

19 cm < 40 ern

I

Suivant a pour 3 em d'enrobage avec 2 4> 25 :

./

;-/

5.62 em => c' :::45 2.5,62::: 33.8 em c' :::33 em < 40 em

S.2. ESPACEMENT

110

2

EN ZONE COURANTE

2.2

cp 25 cp

:1

CIl

-:

.

:?

2 cadres

"

cp 10

tous les 30

HA

HA CIl

20 HA 2 25 Hit

15 .4>lmm si A> A,li,n SI'::;;

Min

40cm { a + 10 cm

slSMin

=>

L5. 2::: 30 em 40 em { 45 + 10:::55 ern

I cadre

5 60 rn

~

~

13

~,5

.\

10 HA s,::: 30 c~ 3.2

cadres 10 HA

22

5.3. ZONES DE RECOUVREMENT

66cIIl

53

--,'

CII

On arrete tous Lesaciers longitudinaux dam. Larneme section.

2.2 20 HA

Longueurs de recouvrement :

I r-- 0 .. 6 I, comprimes

I

4> 20 HA: Ir= 0,6.88::: 53 em

COUPE TRANSVERSALE -

Nappes sur recouvrements :

I

=> recouvrement des 4> 20 : 3 (2 cadres 4> I 0 HA): I

soit:

1>',:::

53 - 2 .2 . 2.0 = 22.5 em 2

Is',::: 22 em ! s, en zone courante

it'

t, (41 25) > Ir 20) => On conserve Ie meme I'

I

cement que pour les 4> 20 : soit:

I s~:::22 cmJ

0

•

20

HA

4

cp 25

HA

-.~ a=45cm

2 cadres

cp 10

HIt

•

=> recouvrernent des a = 1.25 (I -/1

"

DeforMatlons

d

Equations d' equilibre : Fhc=

- 2 . Ilbu )

Mscf

(e, O',=F.d

=> '"

Forces

Yu

=> a ~ 0,259 => Pi VOl A => e, = 1011 000 => a> 0,259 => Pivot B => €bc= 3,5/1 000 I- a

=>

Contralntes

0', = 15 O'h, •

U

YI YI

7-61

=U

YI 3

J

Ainsi. lorsque flbu S; Illu' on est assure que:

Mo;er

puis

~cr=--

I) la contrainte limite de compression du beton en service (0.6 [clS) n'est pas arteinte,

lvl . 0, du « moment limite ul1ime» rend inutile Ie calcuJ de

Mais en pratique, la consideration Ase)"O comme on va le voir ci-apres.

2) la contrainte des aciers tendus est egale ~ la resistance de calcul (fed)' La valeur numerique du moment reduit limite

a

cises de Il,u' On dispose cgalement de formules approchees (cf. paragrapbe 2.3.2.).

A=Max/Au

En principe, il faudrait retenir :

lAser

TABLEAIT

Mais, en pratique. les calculs montreat que I'on a Au> Aser tant que le moment agissant ultirne reste inferieur a une certaine limite M,u (soit fl,u en valeur reduite), obtenue pour Au::: Aser et qui depend de :

s

~

-fc2S• -fe•

Fe E 215

Mu -Y=-

Mse.r

- a = facteur

de duree d'application des charges. La valeur numeriquc de fllll est elle-meme bornee la valeur flsl pour laquelle I'allongement de I'acier tendu anoint (dans Ie cas du diagrarnme bilineaire de racier vise par les Regles BAEL) csi feJEs' car pour s, < ElOl' on aurait o, < fed et l'acier tendu serait mal utiliit I' E.L.U. Pour obtenir cette borne. il suffit de calculer : flsl = O,8a~/(1 - 0,4CXs1),avec :

a

Fe E 400

=

ex

= M,Jbo.d2·fbu depend des parametres

fe'

fc:28 et 9y et ne resulte pas d'un calcul simple. II existe des tables dormant les valeurs pre-

2.1.3. Notion de moment limite

se

lilu

=E sf

Cbc

he

+E

sJ

= 3,5

3.5/1000 11000 + (' lisl

(

Os fed

Fe E 500 TS

s,

500

l libu.i lisl

1

Fe E 400 Cis1

lisl

Fe E 215

0,789

0.4321

Fe E 400

0.668

0.3916

Fe E 500

0.617

0.3717

Fe E 500 TL 500

104J.tlu

0.90

1.00

y

20

25

30

20

25

30

20

25

30

1. 35 L 40 1,45 1.50

2763 2909 3057 3207

2960 3110 3262 3416

3106 3259 3413 3569

2940 3097 3256 3417

3149 3311 H74 3640

3304 3468 3634 3802

3303 3483 3666 3854

3538 3723 3912 4106

3710 3899 4091 4288

1. 35 1. 40 1.45 1.50

2139 2265 2393 2523

2372 2506 2643 2782

2557 2697 2839 2984

2275 2410 2548 2688

2524 2668 2815 2964

2721 2871 3024 3180

2554 2708 2865 3025

2835 2999 3168 3340

3056 3229 3404 3584

1.35 1.40 1.45 1.50

1903 2019 2138 2258

2139 2265 2393 2523

2330 2463 2598 2735

2024 2H8 2275 2404

2275 2410 2548 2688

2479 2621 2767 2914

2270 2412 2556 2704

2554 2708 2865 3025

2784 2947 3113 3283

Y

-

MOMENTS REDITITS

0,85

DES MOMENTS REDITITS 104J.Llu

e Fe E 215

ce qui conduit aux valeurs suivantes :

e

TABLEAU

)

d

ACIERS

n

DES

0,85

1. 00

0.90 60

40

50

60

1.35 1.40 1.45 1.50

3307 3439 "34623595 3619 3752 3777 3910

3531 3687 3844 4002

3517 3683 3851 4021

3655 3822 3991 4161

3752 3919 4087 4258

1.35 1.40 1.45 L50

2829 2977 3126 3277

3020 3171 3324 3479

3160 3313 3469 3625

3010 3169 3329 3492

3213 3375 3539 3706

3361 3526 3692 3861

1. 35 1.40 1. 45 1.50

2620 2762 2906 3053

2829 2977 3125 3277

2986 3137 3289 3444

2788 2940 3095 3253

3010 3169 3329 3492

3134 3339 3503 3669

40

Les valeurs grisees correspondent

50

a ).1'u = !lsI'

40

50

60

2.1.4. Conclusion

2.2.1. HJpotbeses

=

Si J.lbu~ J.l/u on a A Au calculi! it I'etat-limite ultimo cornrne indique au paragraphe 2.1.1. avec: CJ, f~. Ie calcul de E, etant alorv inutile.

=

La :-occtionest consideree comme resultant de la superposition de deux sections fictives (i) et~ :

Si Jlbu> J.l/u il faut : - ou changer lex dimensions de la Mher

ret! lorsque

Cas OU la section A ' des aciers comprimes II 'est pus imposee La section A' strictement necessarre est determinec par la relation 16].

(1.1/

puis de

L'equilibre des forces de 1Cr

asc

Compte tenu de r II cr [21. lcs deux premiers termes des deux relations dormant Au ei A'ltr etant idcntiques : MI

A=

L"/'

U

A ~I=

a..:u

!...+A'

fed

MOM lu _ + A' '''I'

f""" ed

.

= f~d'mars.

que la valeur

A

= __Mol I_u_ + A' Zbl • fcd

~

fed

peut neanmoins etre retenue pour une estimation raprde de la section d'aciers tendus, b) CCIl oi; la section des aciers comprimes est imposee Soit

A~I ceue section. La section A' a introduire dans les calculs n'cst pas necessairement egale

re"

u

0"

\C,SeI"

0"" >


_

YI

=J5.0",--.

ClO

Soit une equation du second degre en y, (Y~ Sy t + P P YI.y' 1< 0 => deux racines y, er Y'\ de signe, contraires. r'(YI) = bo> 0 => conca vile vers les f{YI) > O. D'ou, pour une section en T. on commence par regardcr si cllc sc com porte ou non commc une section rccrangulaire de largcur b (equulion des moments xtauques de la section

b().d :

- ~'f"d'---!2f-

Y I-d'

t

L'cquation dequilibre des forces secrit alors : I Y -d'

f(y,)=

7.1. POSITION DE ))AXE NEUTRE 7.l.1. Section rectangulaire Considerons une section

)

qui trnduit I'egalilc dc~ moments statique« par rapport a l'axe neutrc de la zone cornprimee d'une part ei des aciers tcndus de l'auire ou. SI l'on prefere, que l'axc neutre passe par Ie centre de gravite de 101section homogene rcduue. Pour cette raison, l'equanon precedente e~l appelee s EQUATION DES MOMENTS STATIQUES,.

par :

6.2.4. Remarques

Zb

+

en sccuon rcciangulaire de largcur b.

Section Section en '1' rectangulaire

bd

7.2. CALCUL

8. QRGANIGRAMMES RECAPITULATIFS pOUR LE DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES

DES CONTRAJNTES

7.2.1. Cas des sections

110< YI et section

en T avec f(ho) < 0

8.1.SECTION RECTANGULAlRE - DIl\tENSIONNE~tENT

en T.

L 'axe ncutre est d~lini par :

A L'E.L.U.

"Solhel!allons Mu•

Mser

,

I

bo,Y, ,,2 I + I (h - bo) hI)+ n (A + A')] YI - [b - ho) n + nAd + nA' d . = 0 2 2

P'u linl des tableaux du

Le moment d'inertic par rapport II l'axe neuire (zone comprimee consrderee comrne difference de rectangles ayant toux lin c6tc commun avec I'axe neutre) vaut ,

(I)

9213

< Methode - slmphfiee

O'OLI lcs comrainrcs en posant : K_M",r

Pas de verification de Amtn ft28 Verrfier Aser> Amln=O,23-f-bO FIN

d

8.4. SECTION EN T - DlMENSIONNEMENT

A

VE.L.S.

II. EXERCICE N° 1 : FISSURATION PEU PREJUDICIABLE _ SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS COMPRIMEs -ENONCE-

*Solhcltatlon Mser

COUPE U.

3cm

·Matenaux· °bc' os' f t28=o,6~,(E.fc28'

h '0 MTser=.:1--b hO 30 (d-hO)

d-f 2

18cm • Actions uniformement repanics lie durec 0.275 => Formules exacte-,

'1

=> a/ = 1.25(I -

/

I - 2 . ).1/ u )

'/J-' Y1=1-K

= 1.25(I - \' I - 2 . 0.2138)

0./

.

a/ = 0,436

=>

'hi =

=> A

d( I

=

0,4.0./)

M, U

'b/'

+ A'

n

----

bO"18c. d-55ca d'-3c. A-12.'36c.2 A'52.26c.2 n-15

7'b/=0,55( I - 0.4 . 0.436) Lb/= 0,454 m

:J_j

Owe

- 0,223. 10-1 2"6 '288 _ 1287 A - ~ 435 + ,- 411 - . c~

o '"

fed

.

°o:/. - - .-

En adoprant la Iorrnule approchec : A

M/u

= --

+ A'

Zhl . fed

owe

2

bo . Yl + n (A + A') YI n (Ad + A' d .) = 0 2 18 Y;' + 15 (12.96 + 2,26) Yl 2

15 (12,96,55 + 2.26. 3 ) = 0

• on uurait rrouvd

fed

~ = 663.85

=

12.79 cm2 (mais l'ccan peut Btre plus important).

A

_ - 228.30 + 663.85 - ., , "0 em Yl----+.2.9.00

4.4, CONCLUSION En prenant trois file ...vcrticalex 2 25 HA + I 20 HA : A = 2 . ~,91+ 3,14 = 12,96 cm2

o

S.2. MOMENT O'INERTJE J

I,

24>12 HA o :+3cm

, 9.00. yj + 228.30 . YI- 10793.70 = 0

= b/1

11=

+ nA' (YI- d 3

1824.20 3

f + nA. [d

)'1) 2

, + 15 2.26(24.20-J):!+

60cm

I,

15. 12.96(55-24.20)~

= 284

687 crrr'

5.3. CONTRAlNTES K=

M,cr

K

I,

).1bu

= 0.'288 >

A>

Amm sans

AlUm'

0.03 qu'il soil necc ...xuire de culcuh:r

0,= n.K(d - Yl) o",=n.K(YI-d·) NOla' on rernarque que 'Y o rormulc approchee.

0.17596 284687 . 10

= 61.81 MN/m3 8

ohc=61.81 .0,2420= 14,96 Obc= 14,96 MPa < 15 MPa O.K. c = 15.61.81(0.55 0.242) = 286 MPa 0.,= 15.61.81(0.242 ·0.03)= 197MPa

011< 0,01

=


os",Max

~

v:;;;

Zb = 0,64

'"

f

',. t)

(MFa)

(Js=200 MPa

=0

0.529) ( 1- -3 - = 0,527 m

0.4.500=200 MFa

0.4. fe

as

< 0,218 = f..lrt, ~ A'

3.3. CALCUL DES ACIERS TENDUS

1.2.ACIERS f iss'U;1'ation tres pre)'Ucil.ciable

= 0.122 . 15

°s=Max ~

8a~1.6,2.10=161

Mser

0.225 4 A~er 0,527 . 200 10

=--

A

MFa

ser

=

Zb' ~

= 21.35

2

em

Remarque : en adoptant la fo.rmuJe de la methode sirnplifiee du § 8.3. page 145. on trouve f..l,. 0.00916. Zbl 0.857 d 0,549 m et A'Ser 20,50 em- (rneilleure approximation).

=

=

=

=

v EXERCICE

3.4. CONCLUSION En prenant irois files vcnicales Fissuration tres} 8 ... ,I' • hi ~ ;:: mm prejuuicra C

Prenons

(J) 11110

N° 4 : FISSURATION PEU PREJUDICIABLE - SECTION EN T (Mu > MTh)

= 20 mm > 8 mm -ENONCE-

lit 1 : 2 2S HA + J 20 HA : 2 4.91 + 3.14 = 12.96 CJl1l lit 2 : 3 20 HA :

• On considere la section en T d'une poutre representee ci-dessous :

1 0.510 mMN = MTu

Mu>< MTu

= 2,40 MPu

fas = 0.6 + 0.06 . 30

MTu

II>

2_U. Armatures

Nous dtkomposon~ de la section reelle en deux sections Iictivcs : 1.2. ACIERS

r

fcd --

r _

c

cr

t;

500 _ . 1.15 - 435 MPa

2. CAS DE CHARGE N° I 2.1. SOLLICITATIONS 2.1.1. Etat-lirnite

DE FLEXION

SECTION

I

0

G~ - -3100 9

-

1~2KS 30 MPa :

urI . Il/u =.1"''''0 -- . I . 14"5+51 .-

IMP,,)

=> Calcul en section en T : Fh< 0,275 ~

~ a= ~

1,25[1 -

z" = d [I

Methode

V

I - 2 . J..lbu J

0..+.0:]

f (h 0)

(J) !lb"

= 0,351

> 0,275 ~

a = 1,251 LZb

v J - 2.0.351

= 0,55 [I - 0,4 . 0,5681

Formulcs exactes

j = 0.568

= 0.425

m

= -2-

+ n (A + A') h0 - n (A . d + A' d') > < f(ho)

= ;0

°

102 + 15.32,25.

f (ho> = - 18 769 em3 < 0 ~ A.N. dans la nervure

10-15.32,25.55

.l.1.2. Etat-limite de service M..,r= Mo + MQ 15 , [ 2 Y~+H5.JO+15.32.25IYI-45

flYI) =0

IO~

2 +IS.l2.25.551::0

7.5 Y~+ 933.75 YI- 28856,25 = 0

y=

-933.75 + J 318.17 ? 7 .. ) -=25.63em

=

_l

II 60 25.63

3 II = 696 73 I em 4

0.784

v= 0.550 = 1.425 A

L'E.L.U.

3.3.1. Type de section

2.4.2. Moment d'inerUe YI1 (YI-hi 11 =b 3 -(b bo> 3 -+nA(d-YI)

Mu M..er

3.3.DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE

-

= 0.550 m~N

3.2.COEFFICIENT 'Y

A= 1318.172

YI=

Miler= 0.275 +0.275

2

Section en T avec M > 0

~

MTu = Fix;.

MTu = 0,510 mMN (cr. § 2.3.1.)

7b

Mu >< MTu

Calcul en section en T :

Mu = 0.784 mMN > 0.510 mMN = Mlu ~ La zone comprimee a une forme de T et rA.N. tombe dans la nervure.

(25.63 - 10)3 45 -'-3-+ 15.32.25 (55 - 25.63)2 3.3.2.Armatures

Nou ...decornposons de In section reelle en deux sections fictives :

2.4.3. Contraiotes K=

M",r

0.458 -696731.10

II

K =-

.: = 0,3717 = Ilsl => O's < fed' "'bu

Ncus devons donc prcvoir des aciers comprimes dans In section reclangulaire l.

• Fissuration prejudiciublc. Pas de reprise de betonnage.

• Materiaux : - beron : fc28 = 25 M Pa, fl28 = 2.10 M Pa,

3. ARMATURES D' AME

- aciers : Fe E 500 HA.

3.1. ARMATURES

• On se propose : I) de calculer les armatures d'ame. 2) de verifier les abouts de la poutrelle lorsque la poutre est ...olidaire d'un poteau de 30 eJ11 de largcur mesuree parallelernem a sa ponec ella jooction hourdis-ncrvurc,

4MPa

CALCULEES A f«:1>_ r u - 0.3 . k__ . fll _!.-. b(). ~I • Y,- 0,9 (sin IX + cos IX)

D' AME DROlTES

avec: I

56,82

, ESPACEMENTS U. TABLEAU DES I 2: _}_ O.K. 22,23 56,82 St 3.3. DlAMETRE DES ARMA TURES D'AME nombre theorl.que

25 mm

t

s 22 mm = Min 850135 = 24,3

~ prenons t d'ou pour deux files d'armalures longitudinal.es :

=

{ 220/10 8 mm

= 22

nombre de repetitl.ons abscisses

0

(em)

At ==2 . 0,50 = J ,00 em2 ~

Stn

cUlIIule

nollbre arrondl.

1 cadre 22 (0,28-0,3. SI

J .2.10)

AC3I

500

_

1= A-

0,9. 1,15

=:)

reel

~_-- 22 . 0,4

-

SI

A,

-_

=

6,74_1,= 2.4,91

1=0,69

~.

_-

2

=O,OIScm/em

=

BETON DE LA BlELLE D'ABOUT Largeur dappui : 30 em Enrobage : e = 3 em

500

min

2" 0,50

00 == ,2S > 0,018 O.K.

cl=3cm=Max bn= 22 em a 30 _ 2 - 3

d) Espacement maximal M'LO

{D.9. 40cm

d

= 75,9 em

I 75.9 em > 30 em de largeur d' appui ~ Crochet.

40

S I __

2.5

0.69. I,

= 40 em a 112 convient,

c) Pourcentage minimal

bn.

1

I,~ lOel>

Fe E 500 =:) l; '" -Met> (voir exercice chapitre « TRACTION SIMPLE" § 5. La)

I

SI

r~l2! 0,4 MPa

tiles de 3 25 HA en travcc, on garde :

ancres au-dela du nu d'appui pour:

AI

Al

.. -r

""

435

Vu

u

I

1201

4.40

TENDUES SUR APPUI D'ABOUT

b) Armatures d 'dllle culculees 't

I

5. VERIFICATIONS O' ABOUT

Charges pcrmanentex } Vg Charges variables

1

I

S; == 40 em (cf, paragraphe s, = 40 em

= 5. O.K.

=

1A.)

25mm 3em \ lern

= 25 em

ill. EXERCICE N° 2 : POUTRE

On doit verifier: 0"1>115 . l3 = 32/3 = 10.7 mrn)

A I

bo·

--O.K. 2.5 16,67

=

4.4. DIAMETRE DES At

,s 32 mm

= Min

~ prenons /3 = 3213

d'ou pour 7 files darmatures

= 10.7 rum)

longiiudinalc .. :

cadres + 1 etrier cP12HIt

I

3 cadres+l etrler

! 0

0

0

l8 l8 8

12H! b) Ripurtirioll des armatures horizontaies associees

4>

la

= 8.

J.l3 = 9.04 cm2 ~s,=9.04. 1.77= 16.00cm retenons : 3 cadres + I etrier 12 HA s'o= 16 em At

d) Espacemeut maximal

s,=Min

0.9d 40cm \ 15 ' Im,n ,i A'

On arretera Ie double systemc darmatures tIl = 'IIm(a 90' )

=

a l'abscisse x, depuis Ie nu dappui.

ou :

d'ou:

Vu = 2.5 .0.75 . 1.85 = 30469 MN

Vu = '1'un . boo d • Diagramrne de l'cflon uanchant :

0.9.185= St$,wcm=MIO 'II! 0

(

40cm

166cm

• pour 0 $ x

$a

-

E

x = a:

",0= 16 cm < 40 em = s,

= 4,277 \iN (cr. ~ 1.1.) Vu = 4.277 -0.0518.3.00 = ·unM~

x = 0: Vu O.K.

- pour a + £ ~ x ~ I Vu

= VuntllJt -

1,35 g

x - 1,5 Q x = a : Vu = 4,277 - 0,0518 . 3.00 - 5,288 x

= l:

Vu

= 4,277

- 0,0518.

12,00 - 5.288

=-

=-

1,166 MN 1,633

-1/2 COUPE AA

MN

@ 2,05m

¢20HA sh = 20

3 cadres+l

¢20HA

etr1er

soit en tenant compte des sections A ct A' d' armatures:

= 0,8 . b

F

bc_ loh -

f MA = N . eA = A' 0,,, . I." + FI'K:. zt, t= FIc' I~

o,,-A.

a,

d'ou par identification, il vient :

et la sccuon est particllcrncnt tendue tam que Y« ~ h c'est-a-dirc rant que: J.lbu =

avec:

= moment

MUA

, ~J.lB('=0,8. bo' d . rhu

h(

d 1-0,4.

h)

d

par rapport aux aciers tendus (merne La nappe d'acicrs n'cst effcctivemcnt tcndue que si : Yu ~ d => J.lbu~ J.lsn= O.8( I - 0,4) = 0.480 MuA

h) Nu ctaru une

eo =

flechissant ulurne

signe

que

2,2.2. Technique du calcul MuG ). (t

traction (Nu < 0) => C est ~ l'exterieur des traces des armatures (dam, co cas :

LYj MJGu ;t C(hcr

a moins

que les

MjOu

• Calculer Ie moment M" (MuA OU M,cr\) par rapport aux acier .. tendus. => en deduirc par le calcul en flexion simple les sections A et A . des armatures. => revenir a la flexion composec avec les section ...d'aciers : A' =A' N

ct les N, ne proviennent d'une nction unique

{ A=t\-

LYI NI

auquel cas eo = Ctkcr)' 2.2, CALCUL DES ARMATURES 2.2,1. Methode de calcul On se place dans Ie cas ou l'unc au morns des nappes d'armatures ext tcndue .

oll: N (Nu ou N,er) en valeur uugmentauon de ceue section. Nest une

compression

Faire bien attention que c'est Ie moment MA acier...Fe E 500 et fc28 ~ 35 MP" Iigurcru dans l'anncxe .3 en lin d' ouvrage.

Ncces1>Jlc d'acrcrs com primes : • ;)J'(:.I..U 'MIIA~Mlu --=> A' 0 • a I'I.:..L.S. : M,crA ~ Mro => A' ()

avec:

done:

I

MuA

\Nu

= 0,8

. bll . Yu . fhu (d

= (l,R . bn • Yu . thu + (b

0.4

) ( ) ho· ( ~.n)..

Yu + b

bll) Itt, . thu

bl)

A.

0,

fbu d

,

MUR

et en posam :

{

NuR

= MUA -

= Nu -

MUR ~ { NUR -

il vient :

[b - bo) ho·

fbu (d-

~)

[b - bo) ho . fhu

0,8 . bo . Yu . fbu [d - 0,4 . Yu) 0.8 . bo· Yu . fbu - A . a,

soii les equations d'equilibre d'une section reciangulaire bod sournise Done calcul en section rectangulaire bo d sou mise _ MuR-MuA -(b-bO)

a M uRet NuR·

a:

Nr Nr· eo' v Nl· eo' v a I B - --'--r""::"_B I avec: avec : NrO Co< 0 (meme signe que Nl;eT) eo> 0 (merne signe que Nwl

hO

N(

T)

.hO fbu(d-

=

a =---I

NuR = Nu -(b-bO)hO'

cas ou Nr< 0

cas ou Nr> 0

fbu

II faur prendre garde de bien retrancher de A la quantite NuR/a, (NuR en valeur algebrique) D'ou :

et non pas NJa,.

2,3. SECTION MINIMALE

D' ARMATURES ~

La sollicitation provoquaru Ia fissuration du beton (o, = fl) de la section supposee armee et non fissurec doit entrainer dans les aciers tendus de In section reelle une contrainte au plus egale a f~.

l

=

Nf

B. 1. f'J

-

B.eo·v-l T P =_,= rendement de B.v.v \

,

~ N =_P,_v_B

r

la section

eo-p.v·

IL___--=-

.

f. IJ oJ

Lc diagramme des contraintes est suppose lineaire. Le point de passage de la resultante des coruraintes normales est suppose identique

a celui

de la sollicitation de service la plus defavorable.

superieure

du

noyau

I eo' vI, (limite B--1- >0 ~ eo < B.\ =p ...

central).

D'ou les cas li considerer :

2.3.1. Cas des sections en T Caracteristiques geometriques de la section non fissuree er non armee : \.

Nf Nr· eo v en rernarquant que al = S1 >0 ~

b

It

r-g_M' ~U~v

u

B=bo h+(b-bO)ho If'= bo·h2+(b-bO)~ 28 v=h-v'

3

3

I=bo ~ +(b-bO) ~ -8.v·2

Les excentricites eo ei eA ont le rnerne signe que Nser (et que Nr), ce signe a ete precise en 1.1. page 217. Nous avons.Jorsque Meo> 0 :

I) cas

ou Co > 0 (N..er est une compression) : a} si 0 < Co ~ P . v', la section est entieremenr comprirnee : la condition de non fragilite n'inrervient pas et II faut prevoir, pour la section totale des armatures. la valeur minimaIe requise pour les pieces comprirnees (cf. § 4.3), b) si eo> p . v'; la section est partiellement tendue et on determine AmID en ecrivant que pour Nr excentre de Co, la contraime des aciers tendus atteint la limite d' elasticite, soit :

I

~J

Co

= c " u

Amin B f" • 09.1

B'

Y'+O,I.dJ

. co'-_ v

avec Code rnerne signe que N....,r·

I

Amlfl est positif et n' u done de sens que si eA ~ Zh ou Co ~ v' _ 0,1 d.

soit en admeuant que d ... 0,9 . h :

" Dans le cas contraire. on pourrait. theoriquernent. prendre Alliin = O.

2) cas ou eo < 0 (N..c, cst unc traction) . a) si eo ~ - (d v'), la ..ection est partiellemcnt tendue : on sc rarnene done au cas., I , b CI" dessus avec eo < 0, b si (d _ v') ~ Co < 0, la section cst eniiercmem tenduc : il Iaut prevoir deux nappes d'armatures tendues, On applique les forrnules du § 3.3. moment negatif. il suffit dintervcrtir v et v' dan, les formules precedcntes, conservant la convention: l'excemncitc c(I a le meme signe que N."". SOUl.

0,9

,

en

gcomctriqucs de In section non Iissurec et non armec :

= bu. h \' = v , :: 2h

= 0) :

,i e(l tend vers l'mfini, A,liin ~ 0,23

A N h--

b(l.h

.A.:.l!'.,I 0 et CA > d, on a c < 0 (C est ~ l'cxierieur de lu section), si N~cr> 0 et eA < d, on a c > (C est a linterieur de 13 section), si N~r < O. on a toujours c > 0 (C e~t ~ I'interieur Oll a l' extericur de la section),

°

La resolution de cellC equation donne Y« : ~h Slnon VOlr S2 4.2. avec bO-b _a> Yo _a> y -v +c z 0 c 1 c (section rectangulalre de largeur b) [

I

II luut verifier que la section componc bien line nappe daciers tendus, c'est-a-dirc :

y, = Y« + c ~ d Moment d'inenie

=-r-b'13

3

(b-b ) ('1 -hO)

o

11 C)o

1

3

+nA'('1 -d')

1

2 2 +nA(d-Yl)

Calcul des contramtes En ccrivant que le moment des forces internes par rapport

a l'axc

neutre vaut :

= N""r' Yt il vient : M"'r/AN

© Compression

Compression Nscl' > 0

N,cr> 0 Yc>O

cO

Nsct < 0 YcO

c>O

M

l(= ser/

I

0bc=l('11~abc dans t.aus les cas 0s=n K(d-Yl) ~ as Sl la f lssuratlan est prejud1c1able au t.res prejudiciaz/C

0sc=n.K('1l-dO)

M/C

--c 3

a

1 2 V1-hO deduire -2(b-bO)( Yl-hO) -3-+hO-C

b-bO 2 Yc+c+2h (y +c-h ) [ 0 -c l 2 c 0 3

---

2.4.2. Cas de Ia section rectangulaire Pour b booles equalions precedenies s'ecrivent : Position de I'axe neulre

=

A'

n A'(yI-d ")

dO-c

n. A 0 (yc+c-d0)( dO-c)

Y~+p·yc+q=O

ll.

-n A(d-Yl)

d-c

n 11 (yc+c-d)(d-c)

2 6nA0, p=-3c +----(d bO

L2=

Ll=~

6nA (d ) -c)+--b--c

bO

En ccrivant E, = Mit = 0, on obrient I'equation du lroisieme degre en Yc:

b +3(--1)(c-hO) bO

2

_ b q--2-c bO

3

b +2(--1)(c-hO) bO

3

6IlA' +--(d bO

60A' ---(d bO

0

,

6nA -c)+--(d-c) bO

2 6nA -c) ---(d-c) bO

6~A (d_c)2

0

11faut verifier que la section comporte bien une nappe d' acicrs tendus, c' est-a-dire : >, = Yc + c ~ d

3

Yc+p Yc+q=O 2

0

M/C=O

q=_2c3_ 6nA' (d'-c)2-

b p=-3-c bO

bie

1 2 v +c 2 b(yc+c)[~-c]

VI

..1.bV2 1 2

b Yl

Nser'Yc

Les coruraintes valent alors :

= Yc + c

N/J
K>

11

Position de l'axe neutrc Section

AN

Moment dinertie 2

CalcuJ des contraintex

).3. SECTION MINIMALE

I

Lorsque MOil> 0,

l(= lfser/AN ..=>Il(: Nser '51c

II

.

II.

f 0bC'l( '51~ 1abc dans tous Les cas Os"'n l«d-Yl)

~ as si

0sc=n l«'511-d')

\

Ia f l.Ssurat10n est prejudl.clable ble

ou tres

prejudl.cia-

Nf=

nous avons (cf. § 2.3.1)

B . I. f.J B.cn.v

P . v'

= --. I cn-p·v

:

B . f.J

P = _I .' = rcnderneru de la xecuon (31pour une section rectangulairej B. V. \-

On dctermine Alllon en ecrivant que pour Nr excentre de eo 'cr' la corurainte des aciers tendus Iltlcinlla limite d'clastlche. D'ou les conditions a verifier:

3. SECTIONS ENTfEREMENT TEN DUES

A I >A -

111111

-

A 2 ->A

nun z

I - (e

3.1. DOMAINE D'APPLICATION

A

I'E.L.V. com me U I'E.L.S. la section csr cntierement tcnduc si :

IN est une traction

NI·eu AI

+ e A2 ) f e

Nf.eA~

,= (e -+e AI

A2

)

fe

(N < 0),

\ C tornbe entre les armatures. 3.2. CALCUL DES ARMATURES

Sou.. moment negatif, il suffit d'intervcnir v et v" d'unc part puis AI, eAI ct A!, eAl d'auire part dans les forrnules precedentes, lout en conservant la convention : Co < 0 lorsque N_ est une traction. On rcmarquera que A2 est la section la plus tenduc dans tous Ie!.cas. Rcmarque : dans lc cas de la traction simple:

et on retrouve 1:.1 section minimale en traction simple (cf. § 5. Chapitre 5

« T!u\CTION StMPLE»).

4. SECTIONS ENTIEREMENT COMPRrMEES L'cquilibre des moments par rapport aux armatures donne:

4.1. DOMAINE D' APPLlCA TION La section est enuercment comprirnee si. la section A' des armatures les plus comprimees etant supposee connue (eo ca."contraire, faire A' = 0 dans les formules qUI sui vent). on veri fie les condition" ci-apres. 4.1.1.

Solution economique : avoir le centre de gravite des armatures en C, d'ou : calcul a I'E.L.U. : p'IVOt A ~ i: A .dj -0 ==>GO ..centre de gran 1 J armatures Aj.

5.2.2.Cas

te des

ou y est egaJ a plus I'infini

Le diagrarnme des deforrnations est constituc par la verticale du pivot C. On est done en COMPRESSION SIMPLE. Dans le reperc orthonorme plan (OM. ON). le point PI de coordonnces M.(y) et Nlly) decrit, lorsque y varie de 00 U+ 00, un arc de courbe generalcment convexe (rl). appcle : COURBE D'INTERACTION.

e . = 211000;;;:;> cr 'J

=

=

E .e 2 . 105 • 2 . 10 3 = 400 MPa 'J "J La contrainte cr'i nc peut done cxceder certe valeur:

= 400 MPa = fed Fe E 500 : o'J = 400 MPa < fed

- pour les aciers Fe E 400 : o 'J

N COMPRESSION

_ pour les acicrs o c.; = fbu quel que soit

1;.

Le point correspondanl de la courbe d'interaClIon est le point Pc defini par : n Ml(+OO)=UC=fedtA)

~

dj

Nl (+00) =NC=B fbu+fed

n (au MC=400tAJ.dj)

r

n n t AJ (au NC=B.fbu+400 Aj )

On rernarque que: n Ml (+oo)=MC=O ==>i:A' .dj=O ==>GO=centre de gravite 1 J armatures Aj.

5.2.3. Cas ou N, = 0 Pour une certaine position de l'uxe neutre, definie par TRACTION

position PFI definie par :

YFI'

Ie point

PI

des

oceupe sur lr.) In

v

=B

N f .

On est alors en FLEXION SIMPLE corrcspondant au sens de flexion eonsidere.

B

= aire totale de la secuon j.I.

5.2.4. Cas de 18 flexion inverse h

{Yn} = MF2 d! sens

: moment

n'"echiissant re(d'uu en G0

• bu

= hauteur totale de la section dans le plan de flexion

(.

Pour ~nc ~.cnaine po~iti~n de I'axe neutre definie par YI-'2'Ie point representatif oceupe sur (r2) la position Pndefinic par (bras de levier v - ~ au lieu de v' -~) :

de beton seul

= B Mh,ouf .

En changeant le sens des moments, on decrit l'arc de courbe (L2) limite par les poi t P P mrs ret

M2

: effort normal reduit bu

p

=

(LA).

fed

BJ f -

: pourcentage mecanique 1.1'armatures.

• bu

pour une position fixec des armatures a l'interieur de la section. si I'on fait varier p - par pas de 0.1 par exemple (p 0; 0,) ; 0.2 ; OJ ...) - on obtient dans Ie repere orthonorrne redui: ru.v) un reseau de courbes Cp (Co; CI ; C2 ; C3 .. ·) appele DIAGRAMME D'INTERACTlON.

=

contraire i\ Mn

{N2 (YI'2) = 0

5.5.PROPRlETES DES DIAGRAMMES D'lNTERACTION 5.3. COURSE D'JNTERACTION L'cnscmble des deux courbes, (L) et (L2)' constitue un contour continu et ferme (C ) appcle : COURBE D'rNTERACTION. P Si la section presente un centre de symetrie : -Ies points PT ei Pc sont situes sur l'axe ON, -Ies deux courbes (Ll) et (r2) sont syrnetriques par rapport

Pour la section sans armatures on a :

a eet axe.

Le contour ferme (Cp) constitue la frontiere du « DOMAlNE DE SECURITE » de la sec. ctu ~ d'Ice, S • lion Illume de ses armatures de section lola Ie LAj. Le point rcpresentatif de la sollicitation ultime agissante (de coordonnees MUG' Nu) doit se trouvor i\ l'jnterieur ou sur la frontierc du domainc de securite. 0 Si la section ne comporte aucune armature: PT=

Les valeurs de p sont uniformement reparties (intervallc constant entre deux valeurs sueccssives) suivani lcs droitcs « rayonnantes » correspondant a y = Cste (c'est-a-dire a un couple donne de deformations Ell

dhl

= 0.10

f" = 500 M Pa

I~

A TIEi'o'110N • 1':1fed"' 1,::& e Yo pour r ..IE.c' vOIr§ 5.5.

~ P ... ::

I:

I

f.d

::>

~...

bh X fed


n'prc"lolI» 11)82Consuuction Pre", Ell

bhlf.:d 0.5

--

,-t

i-t-

lI'-t-' -t-TI++-H I-+I-+-+I~;;':¥-V++-JIW-l-+-W ~ ~ -I I I I I I S

~ ~

I

I

I

I

I I I I

1

r.

II. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

1.2.AClERS (I) Resistance de calcul

Fe.!=

fCd=l

-ENONCE-

--500

1,15

y,

== 435 MPa

oj Contrainte limite a f'E.LS. E 1 a = 6. 0 am

• Sollicitations rarnenecs au centre de gravite du beton seul : - permanentes : Ng = 85 kN, Mg = 90 mkN - variables de duree dapplication superieure 11 24 heures : Nq = 75 kN, Mq = 80 mkN, avec '1'2 = O. • Fissuration peu prejudiciable.

COUPE AA

vD1 l l

22crn

K

55011\

• Materiaux : - beton : fc28 == 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

fissuration peu } prejudiciable

2. SOLLlCITATIONS EN PIED DE POTEAU 2.1. ETAT-LIMITE ULTIME a) SollicitatiOlls de calcul

:EYJMJGo = 1,35.90 + 1.5 . 80 = 241,5 mkN r.Y,N, == 1,35.85 + 1.5.75 = 227.25 leN

:E~MjGO == 1.35 Mg + 1,5 Mil :EYiN, = 1.35 Ng + 1.5 Nq ea=

...

o, en service

pas de limitation de =:)

Max {211250 ern

e, = 2.4 em

• On se propose de calculer les armatures en pied de poteau.

241,50

e 1== 227,25

= Max

2cm {6001250::: 2.4 em

+ 0.024

= 1.087 m

b) Sollicitations ultimes corrigees pou I' flambement

-CORRIGEi. CARACTERISTIQUES

Puisque Nu > 0 est une compression. Elancemenr geometrique :

DES MATERIAUX

poteau encastre dans un massif de fondation : 1.1. BETON if 0) Resistance de calcul

=

f~u 0,85.

f

c2!_

e. Yb

fbtl == 0,85 .

25

ITs == 14,2 MPa

= 0,7./0

piece chargee \

=

exceD~ee

a la traction

f128 0.6 + 0.06fc28

ft2S == 0.6 + 0,06.25 = 2.10 MPa

= 0,7 . 6 = 4,20 m

Type de ealcul :

defa~o~ b) Resistance

I,

f

1 =:)

....!: > < Max h

{ 15 20 ~ h

4,20 --= 7,64 < 15 s Max 0,55 =:)

15

el { 20

b

Calcul en flexion composee en tenant compte. de facon forfaitaire, de l'excentrtcite du second ordre,

Exccntricite

du second ordre :

M II (G +

I~

'1'2,

3. ARMATURES

Q ,)

MI

L

=90 mkN

M, =90+80=

Ct=

MI(G+QI+,:

'1'(11

QI)

_9°_0"'29

Ct- 170 -

3.l.lNTRODUCTION

170mJ...N

Moment reduit de reference ..

a I'E.L.U. :

J

Allongement. Raeeourelssement~ . 3.4.202

e2 =~01(2 +0.529.2)=0.029 10 .0.55 avec:

< P . v

.

a I'E.L.S.

ayant rnemc signe que Nr;cr: eo = CcJ..cr = 1,063 m Co

= 1,063 m > 0,09)

m

I 0,55

= 3'

2

=P . v

=> La section est partiellement tendue 0,3047 - 0,238

= (0.50 _ 0,05) . 259 10 = 5,72 cm

2

,

2 10 1.063 0,45. 0,50 Amin = 0,23 500 22. 50 1.063 0,185. O.S()

III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION SECTION ENTIEREMENT TENDUE -ENONCE-

3.4. SCHEMA DE FERRAILLAGE

3tp

16 RA

~.,

60cm

l

t

d2=5cm

55 em

30cm

L....J.--,-_,;;_3

J..p

-

-

t

d1 =5cm

'"

...:;,1,;;_6 =HA~ ~ A

• Sollicitations ramenees au centre de gravite du bcton scul : - pcrmancme v . Nt = - 200 kN, Mil = 20 mkN. variables tie duree dapplication superieure II 2~ heure s : Nq = - 200 "-N. Mq = 20 mkN • Fissuration pcu prejudiciable.

l~~

• Materiaux : - beton : f~2K = 25 MPa, - aclcrs : Fe E 500 HA .

"

• On se propose de calculer les armatures.

-CORRIGE1. CARACTERISTIQUES

DES MATERIAUX

1.1.BETON a) Resistance de calrul

. fill J"u = 0,85 . -e. Yb b) Resistance filS

a la traction

= 0.6

+ 0.06fc28

. - 0 85 • I 25 . 1.5 -- 1....- M Pa

thu -.

1',211 = 0,6 + 0,06.25

I ")

= 2.10 MPa

1.2. ACIERS a) Resistance de calcul

Ys b) Contramte limite iJ I'E.LS.

fissuration peu prejudiciablc } ~

pas tie limitation de o, en service

2. SOLLICITATIONS ULTrMES MuGo= 1,35 Mg + 1,5Mq

3.4.SECTION MlNIMALE Mu Go = 1.35 . 20 + 1.5 . 20 = 57 mkN

Nu= 1,35 Ni + 1.5Nq

f

MUGu eOu=Nu

\ Co..

Nu=-1,35.200

- 1.5 . 200 =- 570 kN

= -~~o=-O.IOm

f \

I eOu 1= 0.10 m < o,~o- 0,05 = 0,25 m

M_~o =Mg+Mq

M.cro.. =20 +20=40 mkN

N_-Ng+Nq

N -er =- 200 - 200 =- 400 kN

e = M'iO!TG~=e o N Oser

p=-

I

-

40 { eo=--=-O.IOm -400

3 I

;;;;;>

Centre de preSSiOn} entre les armatures avec N u < 0

;;;;;>

3°.30 Nr= I - 0,30.0.60.2,10 -0,10- 3°,30

\ Section enli~rement tendue

=- 0,189 MN

3 2 3 2 0,189. 0.15 " A I = . ,93 ern > I, I em = 0.50. 500 10 0.1. em 0,50 . 500 .

3.1, INTRODUCTION fissuration peu prejudiciablc}

;;;;;>

CaJcuLa fE.L.U. 3.5.SCHEMA DE FERRAlLLAGE En prenant trois files venicales :

3.2. EXCENTRICITES h

CAl

='2-d, +1

Co..

1

0.60 eAI =-2--

0

.05 +0.10=0.35 m

;;;;;> Aciers tendus inferieurs : 3 20 HA : Az 3.3,14 9,42 em2 ;;;;;> Aciers tendus superieurs : 3 14 HA : A, = 3.1,54 = 4,62 c:m2

=

0.60 e A2 = 2 -0.05 - 0.10 = 0, 15 m

Nappe superieure : (CAl

cAl

0

+eA2)

• • • . f~d

A = 0,570.0,15 104 _ 393' 2 I 0,50 . 435 -, em

A _ 0,570 . 0,35 2- 0.50.43510

Total :

0

GOem

3.3. ARMATURES

A, =-

3 14HA

1/ (/ (/ 0

Nu'

=

2

-I

=9.17cm

f' f'

J

30cm

" 3 ~20HA

J

IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION -

SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

2. SOLLICITATlONS 2.1. ETAT-LIMITE

ULTIME

Au centre de gravite du beton seul :

-ENONCE-

DJ

d2 '"Sem:t

l SOem l

"

.

- pennancntes : N,I;= - 200 kN. M" = MO mkN, - variables de duree d' apphcauon supeneure 11 24 heures : Nq = - 160 Iu~.Mq = 60 mkN. • Fissuration peu prejudiciable.

'"

+ 1.5 Nq

Nu = 1.35 Ng

ramenees au centre de gravirc du

• Sollicirations beton seul : soem

= 1,35 M g + 1.5 M q

Mu Go

\

M Uvo r: eou=-N

= 198 mkN 1.5 . 160 = - 5 IO k.N

( MUGu = 1.35 . 80 + 1.5 . 60 Nu = - 1,35 . 200 , 198 \ COu 510 = - 0.388 m

=_

u

Sollicitations ramcnecs au centre de gravne des aciers tendus :

• Materiaux : beton : fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA .

• On se propose de culculor lcs armatures longitudinales,

J e = 0,388 - 0,45 + O,~O = 0, 188 m A

\ MuA

= 5 10 . 0,188

= 96 mkN

-CORRIGE2.2. ETAT-LIM1TE

I. CARACTERlSTJQUES

DE SERVICE

Au centre de gravite du beton seul :

DES MATERIAUX

M=Go=Mg+M'I

1.1. BETON

N===Ng+Nq a) Resistance de calcul 1"0

I>u

= 0 85. •

f"8 t:rA = 360.0,189

=1 ~"'" 1-

eA =0,389 -0.45

+ 0;0 =0,189 m

= 68 mkN

a) Resistance de calcul fed

=

r,

500

fud= -

3, ARMATURES

=435 MPa

U5

3.1. INTRODUCTION b) Contrainte limite Ii "£,LS. fissuration peu prejudiciablc ] ~

A l'etar-lirnite ultime pas de limitation de

0, en

service

Nu < 0 (traction)

Nu

= - 510 kN ~

Traction

I eo.. 1= 0,388 m > Q:go -

0,05

= 0,20 m

b) Section A d'aciers tendus Iloo = 0.067 < 0,275 ~ Formules sirnplifiees

Ilbu> < 0,275 ~ Methode ~ Le centre de pression est ~ l'exterieu- des

~ zt,

= d( I -

O,6·llbu)

11>=

armatures. ~ Section partiellement tendue.

A 3.2. CALCUL EN FLEXION

0,45 (1 - 0,6.0.067)

z,,= 0.432 m 0,096. 104 . 435

= 0,432

= 5.11 em

2

SIMPLE

oj Necessifed'aciers comprimes

Moment reduit limite:

3.3, ARMATURES 96

MIII\

YM = MserA

YM = 68 = 1.412

A =A

Nu

-T

EN FLEXION

COMPOSEE A=5,11

(avec Nu

soil en rernarquant que r. dy :: 2 uQ ou dQ represcnte l'aire du triangle hachure sur la figure:

f

r dy

=2. Q

(r>

ou Q est l'aire dehmitcc par la courbe F, il vient : T = . 2 . Q = 'ti . ei . 2 . Q Si e, = Cste :: bo, on a :

3.3.JUSTIFICATION DU BETON

3. VERIFICATION DU BETON

En designant par : tuv:: contrainte tangente due 11l'effort tranchant VU' V

3.1. CAS DES SECTIONS CREUSES

'tuv

= b~ pourune

La contrainte tangente ultirne. pour des sections de forme convexe, a pour expression: t uV = 'uT=

(2bjV d

section pleine de largeurminimale b,

pour une section creuse d'epaisseur reelle de paroi bo

contrainte tangente due au couple de torsion Tu'

on doh veri tier : TuT+ "uV ~Tlilll.sections

2

2

2

TuT + "uV ~ "lim·

sectl.ons

creuses. plel.nes.

avec pour des armatures d'ame droitcs (Ies seules a utiliser en tor..ron) FISSURATION

Peu pre)UdlClable

:

r'

z. fe] 'Yb

5MPa

Prejudlclable au tres pre)UdlClable

Min

= Somme des brins darmaiures

transvervales conte nus dans l'epaisseur boo

Les armatures ainsi determinees (constuuees obligatoirerncnt raJoutcr et a combiner avec celles equilibrant l'effort tranchant.

THill

Min

Al

Nota: Al a une signification differente dans Ie chapitre effort tranchant et dans Ie cbapitre torsion. .U.2. Pourcentage

f ~ O.1S.--"l.

'Yb

de cadres fermes) sont h

minimal

Comme pour l'effort tranchunt et pour l'cnscmblc des armatures transversales (torsion + effort tranchant) :

4MPa At

bS

fet

2.0

4MPa

t

Nota: I'atle~tion est auirec sur le fait que bo n'a pas la rnerne signification dans Ie calcul de 't et dans celui de 'tu'l (voir cxercicc), uV b

= largeur

de 1 Fonnules simpliflees 1,b= 0,65 (I - 0.6.0.018) = 0.643 m

Iloo> < Illu

06'

bo)(b

Il

= b().d~.fbll ,

Mil

A =~391 104 = 1.40cm2 0.643.435

l.b • fed

fll8 = 0.6 + 0.06 . fc2H

filM

las Anun=0.23 f bo·d

A

e

= 0.6 + 0.06 25 = 2.10 MPa

min

=0.23 200,1 36.65=2.26cm2>A 5

=> Retenu : A

= 2.26 em!.

h

3.2.ARMATURES LONCITUDINALES POUR LA TORSION Calcul: tAl f _ Tu u td-2.n b

EA

I

= armatures

~

=

fissuration peu " dircia . ble } => preju

'thm

= Mill

0,20 f'J {

1'1>

'tlim

5 MPa

= Min

0.20 25 = 3.33 1.5 { 5 MPa

=> -c;;"_l= t;;" +

'tul

, > < tjont

= VO,252+ 3.092 = 3.10 MPa 'tu = 3,10 MPa < 3,33 MPa = 'tUmO.K. 'tu

=

Pourcentage rrunirnal :

rA I

. p I'} erne

102 = 23~50cm%m

rAI = 8.17 em? => Compte tenu des aciers de flexion: rAI + A 8,17 + 2,26 10,43 em2 => 7 tAl =- - -n.50

longitudmales

u = penmetre de Q

2.3. VERJFlCA nON DU BETON

I

bo' u

f ~ 0.4 MPa e

LA u

1=

I

23.50

6

I

2

>040 = em IcmO.l ,. 8.78 500

= -I

,

em-fern O.K.

34,7

= -- I

23.S0

cm2,cmI parol. b II

Sl

1

n=-

~,O()

2

2

=_.,

Espacemeru de depart : SII

2

= 23.50 =

= Is SIU

~II

= 8 em

Repartition: espacement (ell)

pour deux parois : Al

Compte tenu du faiL que Ie diagramme du moment de torsion est identique au diugramme de I'effort tranchant d'unc poutre encastrec nux deux extremites ct uniformement chargee. on appliquera la methode Caquot. lei. du fail de la concomitance du moment tie torsion, il n'y a ni terrne de reduction ni transnuwron dirccte de charges ;lUX appuis, Nombre theoriquc de repetiuons n

(voir paragraphe 3.2.) ,

11.75 em -fcm

4.3. ARMATURES TRANSVERSALES Le cumut dcs deux SYSICIl1CS d'armatures

At

AI . fel2: 0,4 MPa b . SI

4.4. REPARTITION DES ARMATURES TRANSVERSALES

4.2. ARMATURES TRANSVERSALES POUR LA TORSION Calcul :

Retcnu :

714HA

trnnsvcrsales donne:

Alii I ~ = -+ = em "kill s, 34.72 11,75 IUS ~ Pour lcs 7 14 IIA longitudinaux : I cadre 8 HA s,o = I . 8,78 = 8 em

StO -2-

nombre theorique de repetitlons nombre eumule nombre arrondi nombre de repet It ions K (CIII)

4

8

9

10

11 13

16 20

25

2

2

2

2

2

2

2

2

4

6

8

10 12 14

2

4

&

8

10 12 14 16

2

2

2

20 38 58

~ restcnt tl ml-portce . 200

2

16

,2'0 9- 200-178 25 80 106 138 178 478 2

2

2

2

=

17H 22 em

~ 4 + 2 x 8 + 2 x 9 + 2 x 1() + 2 x 11 + 2 x 13 + 2 x 16 + 2 x 20 + 22 avec un cours d'AI II mi-portee. Nota : pour s, = 25 em le nornbrc de rcpctiuons 2 ne convicnt d'alleindre le milieu de 1taible).

-'.2. METHODE SI.MPLlFIEE

:as

Dan~ Ie des poteau" articules uux deux cxtremites ou des m5t1l. l'etudc de I' ilib consls~e a rcchcrcher un point situc a J'Interieur de la zone grisee dans Ie ph (e ~~I I re la section la plus sollicitee (u mi-hauteur du poteau bi anicule 'I' an e, r pour , ... , ou a encastremcnt du mat) c est-a-dire. a verifier simultancmem ; •

.'-4. CAS DES SECTIONS RECTANGULAIRES

A DEUX NAPPES D'ARMATURES

1°) On se donne, dans la section la plus sollicitee, un diagrarnrne de deformations defin] par:

Nt"' (E, I/r) ~ NC\' {e

M nu (E, UrJ I~ J > _ I m,( f. IIr .1 =_ N IE Ifr) - CC\I-el + ,.onl

•

7t-

I'

2 ) D'apres l'hypothese de la deformation plane:

avec; MIIlI• Nex, et Nlllt dcfinis en 4. I" = longueur de flambement de la piece.

If

Ebt:

y=d.Ebc

f

£",

= Ebc•

f s = e ,I

)0) On en r

+ Es y-d' -y ~ as(: par Ie diagramme de calcul,

=> a, = f~d'

deduii la valeur de l'clfon normal interne;

soit : avec: 2

'I' = 3 puisque ron utilise In seule partie parabolique du diagramme 4°) Si

NIn' « NUl' on

reduu

€, en

gardant €Il_ ---Cl 4 2

D'oll les Iormulcs PlMEC = (I):

dimerpolation

deviennent

(en posant

lIU(E)"lIu( 2 )+[ lIu (6 }-lIu(2»)

pour vimplifier

recri

6.2•MAT DE SECTION CONSTANTE CHARGE

r

r

~

Y~-

w (E}=w(2)+[W(6)-W(2»)~

A PLUSlEURS NIVEAUX n

Pour les neches. on interpolera lineairernent,

5.5.2. Interpolation simultanee sur SIGE et PIMEC

If

l' f

2'

2'

Pour les poteaux assez elancc1>et charges avec del>excentricites moddrecs, la charge ultime cst independante de la limite d'elasticiie de racier tam que celle-ci nest pas trop Iaible, Comparons los valeurs de de PIMEC

Vu

obtenues pour deux valeurs

valum respcctivernent

r~dl

- -)txn

I

I

·I ,

W

W

I

ct fcJ2 de SIGE et des valeurs

~'12

{i} I et {i}z == {i} I . : fedt

v

SIGE=4000 PIMEC2

000 = 0.15 ..3 0b0 = 0.2

modele (cas de base)

Poteau reel

SIGE = 3000 } PIMECI =0.15

=> Vu = 0,217 ecurt I 'if

} => Vu

= 0,219

,

I ·I

x

EO=0.30 } ELG=30 ALPHA =0.75 ~ EPSU = 0.002

·I

Solllcitauons dan, 13section d' cncasircmem du poteau reel : (

n

N=LP, Par consequent, II cst inutile dam. ce cas de prendre en compte 13 valeur vraie de I.

contrairue de calcul de l'acier II ..uffu de considerer la valeur ronde la plus proche

6. CORRECTIONS DIVERSES

I

M"M, + ~P,.

1'(,-,;.:';:.)

,~ I ~ r .

= M I + ;.

7 n

(

P, I -

. '10

It.ll, ) -'-,-

6.1. INTRODUCTION Dans un certain nombre de problcrnes. on peut se rapporter au ca ...LIe base (poteau en console) et n'etudlcr l'cquihbre que dans une seule section en sc contormant au principe suivant, Les deux xectlons les plus sollicitecs (cas de base et cas reel) sont soumiscs : I) au memc effort normal N, 2)

au meme moment du premier ordre M I,

3)

au mente

moment du second ordre pour une mernc courburc,

11condition que le poteau ail une section constante (bcton ct armatures).

Isn ecrivant ccs dilfcrcrues conditions. on arnve nux resulrats ci-apres,

Sollicitatlons dans la section d'cncastrcmem du modele:

Par Identification. Ie modele est parfaitemeot defini par :

SolliciLations dans la section d'encastrement

du modele:

N'=P' [.2

{ M'=M·I+P'.f=M'I+P'. n

1C"X'

1

£

L:: P~ (l-sin-l n

P' '" P+ 1

6.3. MAT-EFFET DU POlDS PROPRE

"2

,

I'

l'

f

I,

"2

,I

I, I,

I,

I,

,I

W

W

v x

modele (cas de base)

Poteau reel Sollicitations dans la section d'encastrement

r

glt 2

1'=1 £ £

,

1£

; . .!.

par identification, Ie modele est pnrfaitement defini par :

1)

L::p. 1

1t

du poteau reel:

6.4.PILE DE CONTREVENTEMENT Une pile de contreventement est une console encastree en pied et liee en tete par un element considere comme indeformable a n poteaux sans stabilite propre, tous de me me raideur.

r

r

--- -- -r-------O--

.

,

I, I, I,

I, I, I,

l'£

"2

I,

I,

W

,

W ,

Pl.le reelle

mocielle

(cas

Du fait de la traverse. les deplacements en tete des poteau x soot tous egaux : fj

= f quel que soit i.

de base)

L'effort

horizontal

en tele de chaque poteau vaut :

Remarque Dans Ie moment du premier ordre interviennent : I) I'excentricite additionnelle due a l'mclinaison accidentelle de 1/100 rd, 2) les deplacernents horizontaux to, en tete de chaque poteau dus au retrait et aux variations de temperature dans la traverse, d'ou. avec les indices Let C pour lcs charges de longue et de courte duree dapplication :

Poteau reel

I, ,

M

I

= (P

I

n)

J

+ L P,

Ir

.

ILL

n

+ L P, . to,

,

2

100

,

n)

If

I

n

t

CCC

~ D'ou le moment partiel du second ordre : M 12 = H"

I

M

"2'f= P, . f

= (P

6.5. POTEAUX ARTICULES SOUMIS A LEURS DEUX EXTREMlTES

Puis Ie moment total du 2e ordrc au pied de la pile:

(C

+ L PI . + L P, . to; , 2 100 ,

A DES MOMENTS DIFFERENTS

M,++H Sollicitations en pied de la pile de contreventement : N=P

M~MI+++~p;l ~M,+~(.~Ip+~p,l M' Jet M"J = moments appliques aux deux extremites, pouvant differer en signe, mais teIs que: I M"J I > 1M' J I

Sollicitations dans la section d'encastrement du modele: N' =P'

,,2 { M' =M', + P'. f=M', +P·. ~. 1t

Par identification, Ie modele est parfaitement defini par :

_!. r

Considerer un moment constant sur la longueur" : M, =0,4 M', + 0,6 M", avec M' et M" en valeur algebrique. Paire Jes verifications suivantes : J) etat-limite ullime de stabilite de forme du mal de hauteur 1,/2 soumis a M, et NIL = P, 2) verifier la resistance de la section du poteau reel la plus sollicitee (soumise a M", ct Nu= P).

n

LP,

1 ~

1+-P

7. UTILISATION DES ABAQUES DE CAPRA 7.1. DOMAINE D'APPLICATION Sections rectangulaires

a deux nappes d'armatures symetriques :

(charges diI court. durie)

I I

.....

ct.~Jb CtWl

"

bo

.... ,_ ..... l'

JC

l

-

~.....

'"

u,...

7.2. ARGUMENTS D'ENTREE DANS LES ABAQUES e, = raccourcissement ultime du beton : Eu = 211 000 : charge .. de courte duree, e, = 6/1 000 : charge .. de longue duree.

~) = excentricite hies

relative du I er ordre, excentricite addhionnellc mcluse dans

notations du present ouvrage)

eo (e11h avec

h = hauteur de la section dans Ie plan de Ilnmbcrnent (h peut designer la plus petite dimension). Nu . V b h r effort normal reduit,

=

O'

= • bu

= elancemern

lr

h

geornetrique.

7.3. Rt::SUI.TATS 6'u ••••

=

p

A . ftd

B.rllll B = b(J.h, ).l ('

,

= pourcentage

beton

~.**. h

mecanique d'armatures,

+Mu2 = MUI , = moment bl) . h" . fhu

total reduit ( I CI ct 2e ordre)

I I I I I I I

a I'E.L.U.

'du au centre de gravitc;

SClI).

7.4. EXEMPLE D' ABAQUES Lcs abaques ci-apres sont applicablcs nux sections rectangulaircs quellcs clh = O.J 25.

...yrnernques pour les-

• II II

• II II II

t T T

I

n. EXERCICE

N° 1 : DIMENSIONNEMENT DE L' ARMATURE PAR LES TABLES (CHARGES DE LONGUE DUREE) -ENONCE-COUPE

1

••••7

0

1?

•,

.7

il-

.7 4 .12 0.10

..,• .r

S

1=6,OOm

.i

Z

060

• ,

.5

.55 .5

.51 G.5 0

4'

'5 1--01-+---l---l-q U 41

IS

1\ V ,,/

'f..... /

I J 1) < Max b

2Cm ea=2.0cm=Max

{

300 = 12 250 '

c I = 0, 13 + 0,02 = 0, IS m {IS c1 20h

6,00 030=20>IS=Max , => vERIFICATION

IMPOStE.

{IS200,15=10 ~30

AU FLAMBEMENT

2. DIMENSJONNEMENT 2.1. ARGUMENTS

O'ENTREE

DE L' ARMATURE

On obtient :

POUR LES ABAQUES

Elanccmenl geometrique :

'I

6.00 =20 0.30

h

Su'" 2%.

eu= 6%.

p

0,60

0,77

J.C.G

0,330

0,385

Raccourcissement ultime du beton : 2.3. ARMATURES E -

u

u -

211 000 : courte duree { 6/1000: longue duree

interpolation

parabolique

: L

L

Resistance de calcul des armatures: fed =

Obtenues par

fe

400 fcd = ),15

"fs

= 348 MFa

MI =0

MI =0

MI=M~+'I'o·W.1

M I =0 +0,77.33,8.3.00

M~(0 + L

Effort normal rclatif :

'l'2i .

QI)

i~ I

~)Il

=0,85

fc28

e. 'Yb

fbu

= 0.85

25

T:J:5 = 14,2 MPa

0:

=M

I

(0 + Q

I

+

L

'!'OJ •

Q

i)

0:=0

12:2

Nu = 1,35 . No + 1.5 . NQ

Nu = ] .35 . 383 + 1,5 . 175

= 780 kN

D'ou Ie pourcentage rnecanique d'acicrs :

0,780 v = 0.40 . 0,30 . 14.2 = 0,458 Excentricite

A. f~ =0.6 +(0,77 -0.6) bo' h. fbtl

b=

0,15 0,30

14.2 = 29,38 cm2 A -- 06,. 30 . 40 . 348

_ = 0,)00

. 29,38

SOII-2-

2.2. VALEURS EXTRAITES

= 0.133

= 14,69 em 21"lace

3 20 HA + 3 16 HAlface :

DES ABAQUES

A

4

h = 30

,,0 =0,60

relative du I er ordre :

Co

c

=78,08 mkN

= 3 . 3,14 + 3 .2,01 = 15,45 cmz/face

= 0.125 2.4. FLECHE ULTIME

Calcul fait a Litre indicatif.

p

Moment total (I er + 2e ordre) : Mul+Mu2

Jl {

o~-------r--~~G ~G

= bo. G

Jl.G =)la

2

h . fbU (2) + [Jl.a (6) -

Jl.o

(2)] 0:

Jl G = 0,330 + [0,385 - 0,3301 0 = 0,330 =>

Mul + Mu2

= 0,330

. 0,40 . 0,30:1. 14,2

=O,169mMN

2. DTMENSIONNEMENT DE L' ARMATURE 2.1. ARGUMENTS

D'ENTREE

00 obtient :

POUR LES ABAQUES

Su2

Elancement geomctrique : If h

6,00 =20 0,30

2~.

Su= 6~.

P

0,60

0,77

J-LG

0,330

0,385

Raccourcissemeru ultirne du beton :

2.3. ARMATURES E

2/ I 000 : courte duree E u - { 6/1 000 : longue duree

u

Obtenues par interpolation parabolique : L

L

Resistance de caJcul des armatures;

f _ fC ed - 'Y

fed

~

=

400 1,15 = 348 MPa

MI =0

MI =0

MI=M7+'I'o·W,1

M I =0 +0,77 .33,8,3,00

M7(G+

Effort normal rclutif':

L

'1'21'

Oi)

12:1

= 085

f bu

'

Nu V=

f

25

,'28

a , 'Yb

fbu

= 1,35 , No + 1,5 , NQ

Nu

Nu B,

= 1.35,383

+ 1,5,175 =780 kN

0,780

rbu

V

Excemricire relative du

[er ordre

= 0,40 . 0.30 , 14,2 = 0,458

a=O

a= MI(G+OI+ L

0,)

'1'01.

i2:2

D'ou Ie pourceruage rnecanique d'aciers : -

ro=P=b

( ) r h f. =P2+ Pb-Pz Va

A, fed o·

.

bu

A --06 ,. eo == 0.15 =0500 h 0,30 '

(==

2.2. VALEURS EXTRAITES "=

rbu

= 0,6 + (0,77 -

14,2 30 , 40 . -= 348

, 29,38 2,g ou,

2

qB> 5 kN/m - les poutrcs sont associees a une dalle generale (sections cn Ten travee).

SOil

apres simplification par 6E ct en tenant compte de ce que M, _ I :::; M, +

appuis

o,

let G',+ I:

2, EVALUATION DES MOMENTS 2,1. PRINCIPE

1°e

2 .

DE LA METHODE - MOMENTS SUR APPUIS M1+1

Hi

r;

l

I",

+

r, Ie 1

__ pw~ 102

,Mj-

4

,

1°w_pe,~ 1,2 I' e ' lw 4 t,

d'ou : ~Tr •• _

reelles

Appui de rlve

11+1

APPU1

contlnu

I I

I

I ~I ~

ce qui s'ecrit : Kl.'=-[MwO

K D

~

en posant Pw,l~2

Mw=--8,5

e Travees

K

+MO (1-~») e D 2 Pe,l~ et M~=--8,5

Iw

K =w 1°

w

~ f lCtlVes

Iw et Ie -moments d 'lnertie de 1a sectlon de beton seu1

I

= 0 sur

les

Le coefficient 8,5 au lieu de 8 dans I'expression des moments de reference M' tn d . .. des . des sections de beton fissurees Je long des lravees. a uJt I,e Ifet d e vanauon es imerues

Le theoreme des trois moments applique

-

A N

r;

f r;

,M._1+

6 EI..

_3 EIw

...oil apres simplification

1 ,M.+ r,

r,

+

a I'appui

3 E~

01 s'ecrit : Pe.a.:(l'e-Ile)(2I'e:-a,,)

,M,+I=---

6 EI., .

6 Ele

par 6E el en tenant compte de ce que M, _ I

r,

= M, + I = 0 sur

les

appuls G'j _ J et G'•+ I :

En travee ~

2l~: ',':i-M

,=-

+

Sur appUl

.('-~:)(2-~:)

P,,:,!. ~.:

lltav~ '# Iappui

d'ou : b) Casparticulier Si les

Ol~ I

= Cste

I a,

M -

'--2""

travees ont Ie mcmc moment d'inertie I (section non fissuree) :

Kw=

1

r;

----o r; + r,

@.

et I'on obtient : M =_ 1

p

l'

PI

r,

1- -=- __ D "w+l'e

3

e

ce qui s'ecrit dans le cas general de charges concentrees dans les deux travees encadrant l'appui considere :

I' w

x,

( 1- ae)( 2- ac) Pe,'~,I~/Ie "e ""'ll +/'/1ee e ww

(Iw)

l

3 + Pe 1~

aw

I'w

K

M, =-[M' ~ 1

2.1.2. Cas des charges concentrees a) Cas gbu!rai 00 considere los deux iravees fictives de portees l' w (pour celJe de gauche) et I'e (pour celie de droite) detachees de part er d'autre de I'appui considere et soumises charge concentree Pc d'abscisse a, comptee depuis I'appui central.

a

I'action d'une

W

D

(Ie)

'I

'I

w W 8.5 ( 1~ + 1~)

il® £" ae

l'e

~@

l

.,

K

+M' (1-~)]

e

D

en posant: 1 ae ae ae 1 aw aw aw kw= 2 125 -1' (1--1, )(2--1, ) ; ke= 2 125 -1' (1--1, )(2--1, ) . w w w . e e e M~=2:kw·Pw,l;" et

M~=2:ke,Pe,1~

Iw K =w l'w

et D=Kw+Ke

Ie K =-e l'e

Iw et Ie =moments d' inertle

de 1a section

de be t on seul

Le coefficient 2,125 au lieu de 2 dans l'expression des coefficients kw et ke traduit l'effet de variation des inerties des sections de beton Iissurees Ie long des travees. '1

.,

'I

•

b) Cas partlculier

OIl

I = Cste

.,..

CI~

__----------~.

1.3S .G+1.5 ·QB

Si les travees ont merne moment d'inertie I (section non fissuree) :

1

Kw=_1 l~

Ke=_!_ I' cI'w

+ r,

D=I.--I'w . l'e. et

i

~ I~ -----

L'w+L'e

=> 0 1-

Ke =

o

r, r; + r,

l'on obtient :

D'ou la courbe enveloppe des moments pour des charges reparties, les cas de charge a considerer etant les memes ei conduisant a des courbes analogues, mais a points anguleux, pour des charges concentrees :

2.1.3. Cas general Lorsqu'agissent simultanement des charges reparties et des charges concentrees, on superpose les resultats precedents.

Hw

CasQ)

He

-----ea-;0--

2.2. MOMENTS EN TRA vEE Les valeurs des moments sur appuis sont obtenues comme indique ci-dessus au paragraphe 2.1.

-

Les moments en travee sont calcules en consideraut les travees reelles (de portee I et non l') chargees ou non suivani le cas er soumises aux moments sur appuis obtenus precedemment.

1,35.G+l,S.QB

ltt*t*tiI*tij.+I*I+I*Uil*~l!l!l!l*t~0 llM-lmax Ii

rlMel.

~

n

de fermeture

/

/ /'

'(b 7i'-----7X

1,35.G+l,5.QB

-:Ligne

/

Cornme. dans l'evaluation des moments sur appuis, 00 ne considere que les deux trav6eS adjaceutes a l'appui etudie, les cas de charge a envisager pour J'B.L.U. sont les suivants:

1,35.G+l,S·QB

-

_)~

Mtmax

li M (x) = J.l (x) + M w ( 1 -

;J

+ Me

;j

ax

3. EFFORTS TRANCHANTS Les efforts tranchants sont calcules en tenant compte des moments sur appuis evalues par la methode Caquot.

3.1. EFFORTS

TRANCHANTS

EXTREMES

D'apres I'allure de la ligne d'influence de I'effort trancbant en travee pour la poutre isostarique de reference associee it la travee consideree, on voir que pour un extremum de signe

SUR APPUIS

+

donne (V max ou

-

Vmu

,

),

.

la zone a charger est la rneme que pour la rravee connnue.

-~

- - ";:-~R---"""-------~~~

-_

avec: VOw et V De = efforts tranchants sur appui G, des travees de reference en valeur algebrique.

M;- I' Mj et M; + I = moments sur appuis avec leurs signes.

- --

D'ou le mode operatoire obtenu en dissociant les parts isostatique (du/dx) et byperstatique (tiMJ/j) de I'effort trancbant. I) On commence par tracer la ligne enveloppe de I'effort tranchant dans la travee de reference de _porteeIi' 2) On fait subir a Ia partie positive une translation de valeur algebriqne :

3.2. EFFORTS TRANCHANTS EN TRA vEE

6MM

3.2.1. Cas des charges reparties D'apres l'allure de la ligne d'influence de l'effort tranchant en travee, on a. en se lirnitant1 la travee consideree et aux deux travees adjacentes (necessaires pour le calcul des moments sur appuis, done de 6.MJ1) :

Travee continue Travee de reference

=

M,,-Mw

I,

avec Me et M.. obtenus en considerant Ie cas de charge: 1.35 G+1.5 0B

1.35 G+1.5 0B

tt*ftttt*t4t*t*t*U+l+~Hi*ii;nq =-"",

l

l

11

"

1

Mw ttim on peut : -lloit augmenter Ie coffragc (b()et/ou d), _ soit augmenter la resistance caracteristique fel/ldu beton

a utiliser,

_ soit incliner les armatures d'flrnc (cc qui rcvient tl augmenter

»

« EFFORT TRANCHA:-IT ».

tlin'>'

» d'ou la section critique est SUR APPUI.

II. EXERCICE N° 1 : PLANCHERMETHODE FORFAlTAlRE

2.2. METHODE DE DIMENSIONNEMENT 1J convient donc :

-ENONCE-

I) de caJculcr les moments sur appui (formules de la Resistance des Materiaux, methode forfaitaire ou methode Caquot), 2) de verifier sur appui : 7.50.

@

- si la fissuration est peu prejudiciable :

+2clII

bO·d

2

Mu

>----

JL1u' fbu 7.50.

- si la fissuration est prejudiciable ou tres prejudiciable :

7.50m 3) de determiner bo CI d en tenant compte des dispositions constructives qui foumissent Ja seconde equation de coffrage :

I

O. 3 . d ~ bO ~ 0 • 5 . d

J

9.20.

9.2011

l

"

_.? DIMENSIONNEMENT DU PLANCHER

• Caracteristiques des materiaux : - beton : felS ::::25 MFa, - aciers : Fe E 500 HA.. • -

2.1. ACTIONS AU M2 DE DALl..E

Caracteristiques geometriques : bourdis : epaisseur 10 em, chape de 2 em, poteaux tous carres 30 x 30 cm2, retombee maximale admise : 50 cm.

• Actions variables de duree d'application - charge d' exploitation: q = 2,5 kN/m2•

0) Actions permanentes

Poids propre dalle : Chape de 2 cm :

g=2.9 kN/m2

Total : superieure

a 24 heures

:

• Fissuration peu prejudiciable. Reprise de betonnage sans indentations pour les poutres et poutreJles. • On I) de 2) de 3) de

25 kN/m3 • 0.10 = 2,5 kN/m2 20 kN/m) . 0,02 = 0,4 kN/m2

b) Actions variables Charges d'exploitauon :

q = 2,5 kN/m2

2.2. METHODE DE CALCUL UTILlSEE Charges: g somme cbarges permanentes, q somme charges variables,

se propose: dimensionner les poutrelles, dimensionner Ies poutres, determiner Ie ferraillage des poutrelles.

= =

9. = 2,5 = 0,86

.9..> < 5 kN/m2

-CORRIGE1.CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX

2.9

0,8 ~ -

I,

Ii + O"bc

Li

= I =I

~1,25

1'-1

=> On appliquera la METHODE FORFAITAlRE DE CALCUL DES PLANCHERS.

=0,6.25 = 15 MPa

1.2. ACIERS

2.3. DIMENSIONNEMENT DES POUTRELLES

Resistance de calcu1

f

500

fed=~

L'equarrissage des poutres et poutrelles n'etant pas connu 11ce stade de I'etude, nous raisonnerons a partir des portees entre axes (et non entre nus d'appuis).

fed = 1,15 =435 MPa

Y&

a) Charge au ml de poutrelle

a I'EL.S.

fissuration peu } prejudiciable

poutrelles : 7,50 m

J+ I

a I'E.L.S.

= 0,6 . fe28

Contrainte limite

1,25

travees (OOleSegales : poutres : 9,20 m

Transmission des charges des panneaux de dalle aux poutreUes :

Ix

=> pas de limitation de o, en service.

IV=- Les charges sont transmiscs directement des panneaux de dalle aux poutrellcs, Charge sur poutrelle 111'E.L.U. : Pu = (1.35 g + 1.5 q) t, Pu = 0.35.2.9 + 1.5.2.5) 2.30 = 17.63 kN/1ll b) Resistance iJ 10flexion

retombee : 37.9 - 10

=> POUTRELLES c) Resistance

= 27.9

< 50 em O.K.

14x 40 em2

a l'effon trenchant

Effon tranchant : - poutre de reference:

Moment dans la iravee de reference: Vau=Pu'2 17.63.7.502 M au =8-- =123.96 mkN

I

VOu

= 17.63 . 7.~O = 66.1 I kN

- poutre continue:

1 lOVOu

Moments sur appui : - section sur appui section critique. - par la methode forfaitaire :

=

)~( -1, lOVOu

I Mal2 Mau

=-

0

O. SMo

0, SMo

0

~~------------~~~----------~~~------------~~

0,5 MOil

Dimensionncment

MUll

= - 0,5.

123,96 = - 61,98 mkN

:

Muu:S;Mlu

-----Pu = 7.67 kN/m-

Mu M...,r

Pu = P\Cr =

y=

e

?9?-

-, + -.)

=1,419

I ()4

Illu

uO

.0,40

0,0671 = I 37 MPa 0.14. 0.35 .-

rq

= 3 220. I. 1,4 19 + 5 I.

= 2744

:

=> Illu = 0.274

J 0.20 \

Y

b

'1:1 lin

= 3.33 MPa =

5MPa

25 I - 3 100

. Min

25 0.20 = 3,33 1.5 ~ 5MPa

Verification:

'tun> < 'tlim

»,

'tuo

=

1.37 MPa < 'tllm = 3,33 MPa O.K.

d) Flexibilite

h 1 [> _'_ 16

= 0.469 ""47 em > 40 em

trouves en resistance (voir b). 47 - 10 37 em < 50 cm de retombee admissible.

h

d'ou pour b()= 0,4.0.9

.~

Contrainte tangente limite:

11hu = b -- d2 C 1Q4lllu = 3 220 ey + 5 J

= 72.72 k.N

1,35.2.9 + 1.5 . 2,5

1.35.g+I,5.q g+q

Contrainte tangente eonventionnellc 5h Vuo = Vu - pU' 6

- pour ne pas melt re d'aciers cornprimes :

y=

Vu= 1,10.66.11

=

h: 3

61,98. 10-3 0.4.0,93.0.274.

bo= 0,36.0,379

= 0.136

=0,379 m 14.2 m

e) Retenu

h = 45 ern compte tenu du fait que I est la portee entre nus er non entre axes et du fail que I'on a neglige le poids propre de la retombee :

POUTRELLES14x45crn2

2.4. DlMENSIONNEMENT

Dalle

Poutrelle

/

r

r

9.201l

,~

I

I,

• • !• I

'..-

=

bo 0.36.0.686 = 0.247 m or retornbee maxi = 50 em > h - 10 = 59 em :::) h 60 ern et poteau x 30 x 30 em! :::) be> = 30 cm :::)retenu poutres 30 x 60 cm1•

DES POUTRES

+

'" ~

;i

• •

,

'" Poutre

9.20.

L

rrr

9.20.

"

~

I

=

c) Resistallce

a l'effon tranchunt

Calcul de V u : Pu

"f

--------6.0n.IO·}

Pu 1 YOu = 3 2 + 1.35 (J) • b 0 . h . 2

- 3 VUu--

0,159 -:I 9.20 2 + I •35 . 25 . 10 . 0.30 . 0.60 . -2-

Vu =0.266 MN V u = 1,10 . 0.266

= 0.293

MN

a) Charges transmises par les poutrelles aux poutres Contrainte tangente conventionnelle :

Charges conccntrees : gn = poids propre rctornbec Pu = 1.1() , 2/

VOu +

1.35 gn

~

I

5 V uO = Vu - 6 Pu' h

V110 -- 0 ,-"93- - 56' 6.075. 10- 3 • 0,60

(I)

= 0.290

Pu = I. 10 , 2166.1 I + 1.35 . 25 . 0.14 . 0.35 '

=

1: utI

=159.085 kN 1,10car on s' interesse ~ la poutre constituam Ie premier appui inrermcdiaire de)' poutrelles, 2 car In poutre sert d'appui a deux travees de poutrelles. b) Resistance

Contrainte tangente limite:

{

=

fissurauon peu \ :::) 1: Mill ..(.'diicra ble f 11m PICJU

a 1(/flexion

Moment dans la truvee de reference

a I·E.L.U. :

Moment sur appui (section critique d'une poutre continue) : Muu= 0.5 Muu Mau= - 0.5 .0.731 = - 0.366 mMN

0"0....2 .- Y 5 MPah

tl

1m

En prcnant

'( = I . 419> 'Yr('cl --

h

Pu ..,. (I lds propre de P,cr par securite puisqu on a rajoute e pOI .

nervurc et qu'on II neglige cclui de In poutre:

I' 1 ~

Muu 0.4.0.9' .Illu' fhu

h~

~0

\

0,366 0.4.0.93.0.274.

< tlim

'un.

l'

tI) Flexibilite

Dimcnsionnement :

I

h>

1>< 16

.1 (!)

0.290 = 1.76 MPa 0.30 0.55

f.

Verification: 1:un>

MN

0 "0 25 = 3.33 .- 1.5 5MPa

=Min

=

I 76 MPa < 1:1im = 3.33 MPa O.K.

., 0.30 9.20- - 2 16

-

= 0,56 m < 0,60 m O.K.

Retenu

POUTRES 30 x 60 em2• ~ =0.686m 14.2 ~

pa.' confondre

V Ou (iW,llltiljuc:1

et

V uO (n!tlull).

En adoptant les memc~ dimensions pour Ics poutres et poutrelle-, de rive ui s chargecs que les poutres cl poutrelles intermediaires, on retient pour les reto!b~c~~t

IllOlQs

~ ~

b) Charges variables

+2

7.50.

~4 35

14 3~

114 ~~~

Apportees par un panneau de dalle :

14 35

(

,.....,

14 35

14 35

14 35

o~ 14 3~

~4 3~

14 35

.,-. 5 . 2.16 q v -_(I _ 0.30) 2' 2 -, - ~..'95 kNl m

_,

A

7.5011

~4 3c 1--,

9 20m

(

') q/,

7.50111

0

14 3~

J

9.2011

')

0,30- ., 2,16 tlM= 1--2 ·_,5·-2-=2,619kN/m

a.-

tlM=1--r'2

l •

gv = 6,955 kN/m

total pour V :

,--,

30'v50

14 35

sur poutrcllc : reiom bee de poutrclle :

.

5,324 kN/m 0.406 kN/m 1,225 kN/m

2.2,662= 2,9 kN/m2• 0,14 = 25 kN/rnl. 0,14.0,35 =

2 panneaux de dalle :

2.5. CONCLUSION

1

prendre en compte: 2 panneaux de dallc : sur poutrelle :

2.2,619 = 2,5 kN/m2• 0,14 =

0,350 kN/m 'lM = 5,588 kN/m

total pour M :

2.2,295 = 2.5 kN/m2. 0.14 =

2 panneaux de dalle : sur poutrelle :

3. ACTIONS ET SOLLICITATTONS DANS LES POUTRELLES

5.238 kN/m

4,590 kN/m 0.350 kN/m

qv = 4,940 kN/m

total pour V :

3.1. ACTIONS (CHARGES) 3.2.SOLLlCITA nONS

a) Charges permanentes Caracteristiques des panneaux de daJle : poutreUes 14 x 45 POUlrCS

a=

oj Remarque

~ Ix = 2.30 - 0,14 = 2,16 m

Pour la methode forfaitaire, les sollicitations hyperstatiques sont deduites des sotlicitauons isostatiques au moyen de coefficients de reduction. On ne calcuJera que les sollicitations I'E.L.U., celles I'E.L.S. s'en deduisant en multi-

~ Iy= 7,50 - 0.30 = 7,20 rn

30 x 60

Ix Iy

a

2.16

a = 7,20 = 0.30

1,35·gM+I,5·qM

Apportees par un panneau de dalle :

y=

Y

2).

gM

= ( I_~

g~x

8 kNI . m

2,16 gM= ( 1 -~.0,302) 2,9 '-2-=3,03

gv=

(I

b) Sollicitations dans la

kNI m

0,30) .2,9'2=2,662' 2,16 --2-

total pour M :

= 1,35.7,707 + 1.5.5,588 = I 413 7.707 + 5,558 •

(valabJe uniquement pour les moments, l'effort tranchant eiant eLUdie a I'E.L.U.).

travee de reference

PMu=1,35 gM+ 1,5 qM

PMu=1.35.7.707 + 1,5.5,588 = J8,786 kN/m MOu::

A prendre

en compte: 2 panneaux de dalle : sur poutrelle : retornbee de poutrellc :

a

pliantJes precedcntcs par 1/"( avec:

2.3,038 = 2,9 kN/m2• 0,14 = 25 kN/m3• 0,14.0,35

=

6,076 kN/DI 0,406 kN/m 1225 kN/DI

=7i07 ,

gM

kN/DI

PVu= 1.35gv + J,5qv I

You=Pvu'

'2

18,786.

7.202 8- = U1,73 mkN

PVu= 1,35.6.955 + 1.5.4.940 = 16.8 kN/m YOu= 16,8. 7.~0

= 60,48 kN

c) Moments sur appuis On prend les moments rninirnaux suivants (poutre

soit avec Mw = 0,15 Mo et M~= 0,5 Mo: :

...

O.SMo

.....

o 1SMO

©

@

MAu= MOu=-0,15. 0,122 = -0,018 mMN Mou = Mcu = - 0.5 . 0,122 = - 0,061 mMN

MAu= MI)u=-0,15 MOu Mou Meu 0,5 MOu

=

a plus de deux travees)

=-

d) Momem en travee courante ex=-

(0.675 + 0,3 ex)M 0 M I ~ Max { 0725 M0 ,

0.675 + 0,3.0,42 = 0.801 > 0.725 ~ Mtu ~ 0.80 I . 0,122 = 0,098 mMN

Moment minimal reglemeniaire : M,~

1.2 +0,3 ex M 2 . 0

0.801 ~

Conclusion:

qM

5,588 ex 7,707 + 5,588

gM+qM

1,2 + 0,3 . 0,42 2--='

°

663 0 K. .

retenons : Mtu = 0.098 mMN

= 0,420 fJ Efforts tranchants

Moment calcule : M w + Me M,+--2-

En faisanl abstraction de la continuite :

( (I + 0,3 ex)M0 z Max 1,05 M()

I

V

tOU )'

soit avec Mw= Me = 0,5 Mo: 0,5 + 0,3 ex) Mo M, ~ Max ( 0,55 Mo

1,10VO~

0.5 + 0,3 . 0,42

I

!

-1.10VOu

= 0,626 > 0,55 Soil:

~ Mtu ~ 0,626 . 0.122 = 0,076 rnMN

Moment minimal reglernentalre : on doit avoir :

.....

®1.2+0. 3Ci®M 2

0

MtL

©1.2+0. 2

...

@

V Au 0,061 MN I V 8gu 1-110 -, ., 0061 :0,067MN

VSda = 1.10VOu

V Bdu = 0,067 MN

3.3. SOLLICITATIONS RETENUES

3Ci M

0

1+0. 3Ci M 2 0

~

=

=

V Au YOu I Vogu I = 1,1OVOu

-

... ®

-0.061

O 0 18

y

~~~--r--~""'~------~'" .....

.u~~

0.098

®

0.j076

©

@

©

@

d'ou dans la travee centrale:

I + 0,3 ex M,~

2

Y

0,626 ~ 1 + 0,; . 0,42 = 0,563 O.K

.Mo

Conclusion : retenons : Mm = 0,076 mMN e) Moment ell travee de rive Moment calcule : Mt+

Mw + Me 2 ~ Max

{(J +0,3 ex)Mo 1 05 M ,

0

0.061

...(

-0.067

®

I

4. POUTRELLES - ARMATURES LONGITUDINALES I=bo.

4.1. SUR APPUIS INTI I ()4 ~lu= 3 220 &y + 51 elM - 3 100

0,0025 0,103

•

~ 104 500

't= lAB

d'ou pour deux files verticales : iii 1 : 2 12 HA : 2. 1.13 = Iii 2 : 2 12 HA : 2 . 1.l3 =

2

2.26 cm2 2,26 cm2 A =4,52 cm2

I

=2725 = 0,2725

=> ~Iu

4.2. EN TRA vEE DE RIVE

~bu= 0.192 < 0,2725 = ~lu => A' = 0

b) Armatures supdrieures

< 0.275 => methode 7b=d(1 -O.6~hu) Mu ~bu >

~bu= 0,192 < 0.275 => formules simplifiees zb = 0,40 (1 - 0.6 . 0.(92) = 0,354 m Au= __Q.~ 0,354.435

fed

. 104 = 3,96 cm2

-l~O--i---X~----~-l fL-,lb ----~----------~-

~

F===-:'-:"-=:':'-:'-

,

.

1()4 ~lu= 3 220. I . 1,413 + 5 1 . 25 - 3 100

Neccssitc d'aciers cornprimcs : ~hu> < ~llu

~

0,81 h

Amln= 2.80 cm < AuO.K.

(MPa)

l

0.207.0.1032

~bu= 0,06!_ =0.192 0,14 . 0,40- . 14.2

e

~

_ Amin -I 0.8J . 0,45

A_I min -

Lt. .

-

1 = 0,0025 m4

Necessite d'acicrs comprimes

Au=

+ 1,44 .°,103 3

b

M. > 0 => section en T ell travee, b-bo . -2- = Min

{lIIO

b-bo 2

1/2,

. {7.20/l0 = 0,72 m = 0.72 m = Min 2.16/2 = 1,08 m

b=2.0.72+0,14=

1,58m

b) Moment de rejerence "

b

f

It N _._

0

[?

a

(I) Largeur de table prendre en compte

._

fbu

_ __ FiP;b;")"'''''I +. ~hO.O'JYU -

d

t

It

1_ _

,I..

,L

_

__

_

zb

A

-- - - - - +J_ bo

bO

$ Fbc

0

-

Fs

S

FI>

zb:: d (I - 0,6 ~bu)

5.2. ARMATURES

:: 0,057

0,14 . 00402• 14,2

< ~Iu < 0,275 ::) methode

J.l.bu= 0,057 < 0,2725 = ~Iu ::) A' =

°

J.l.bu = 0.057 < 0,275 ::) fonnules simplifiees 7", =

10

25

Is = 3.33 ,

\ 5MPa

5 MPa

= 3,33 MPa

(0,98) 'tuo= 1,09 MPa < 3,33 ~a ::) AI droites

Armatures superieures :

J.l.bu>

"{hm -

0,20

c)Verificafion

pour encastrement partiel sur poutres de rive:

MOl

r,

_ M'

'thm

4.4. SUR APPUJ DE RIVE

a reprendre

10-3. 5. ~,45

(0.055) =0.061 MN

A =6,16cm2

Moment

. 104 = 1,07 em:!

soit deux files verticales : 2