Praktische Maschinenakustik [1 ed.] 3540200940, 9783540200949 [PDF]

Zitiervorschau

Franz Gustav Kollmann · Thomas Franz Schösser · Roland Angert Praktische Maschinenakustik

Franz Gustav Kollmann · Thomas Franz Schösser Roland Angert

Praktische Maschinenakustik Mit 166 Abbildungen

Prof. em. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Franz Gustav Kollmann Technische Universität Darmstadt Fachgebiet Mechantronik und Maschinenakustik Magdalenenstr. 4 64289 Darmstadt

Dr.-Ing. Thomas Franz Schösser TFS Technische Akustik Friedrichstr. 23 64293 Darmstadt

Prof. Dr.-Ing. Roland Angert Fachhochschule Darmstadt Fachbereich Maschinenbau Schöfferstr. 3 64295 Darmstadt Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet unter abrufbar.

ISBN-10 3-540-20094-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-20094-9 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: PTP-Berlin Protago-TEX-Production GmbH Einbandgestaltung: Struve & Partner, Heidelberg Herstellung: PTP-Berlin Protago-TEX-Production GmbH Gedruckt auf säurefreiem Papier 68/3020/Yu - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Grundlage des vorliegenden Buches ist eine rund zwanzig Jahre dauernde Forschung auf dem Gebiet der Maschinenakustik im Fachgebiet „Maschinenelemente und Maschinenakustik“ des Fachbereiches Maschinenbau der Technischen Universität Darmstadt. Dieses Fachgebiet wurde von 1982 bis 2000 von dem Erstautor Franz Gustav Kollmann (FGK) geleitet. Die beiden Koautoren Thomas F. Schösser (TFS) und Roland Angert (RA) waren wissenschaftliche Mitarbeiter für Maschinenakustik am Fachgebiet. Beide Koautoren haben umfangreiche Erfahrungen in der eigenen Praxis gesammelt - TFS als Inhaber eines Ingenieurbüros für Technische Akustik und RA in veschiedenen Industriepositionen vor dem im März 2005 erfolgten Wechsel als Professor an die Fachhochschule Darmstadt. Der Seniorautor FGK hat 1993 (1. Auflage) und 2000 (2. Auflage) ein wissenschaftlich orientiertes Buch „Maschinenakustik“ verfaßt. Dieses Buch wendet sich vorwiegend an Wissenschaftler in Forschung und Industrie sowie an Studierende an Universitäten. Das vorliegende Buch weist schon in seinem Titel „Praktische Maschinenakustik“ darauf hin, daß es eine andere Zielgruppe als das Buch „Maschinenakustik“ von FGK ansprechen will. Aufgabe dieses Buches ist es, die auf praktische Probleme anwendbaren Ergebnisse der Maschinenakustik so darzustellen, daß der in der industriellen Praxis tätige Ingenieur sie rasch finden und umsetzen kann. Kern des Buches sind Unterlagen für ein zweitägiges Seminar, das FGK und TFS vom Jahr 2000 bis zum Jahr 2003 an der Technischen Akademie Esslingen abgehalten haben. Gegenüber dem Buch „Maschinenakustik“ von FGK weist dieses Buch die folgenden wesentlichen Unterschiede auf: – Es werden die wichtigen Formeln der Maschinenakustik unter bewußtem Verzicht auf mit mathematischen Aufwand verbundene Herleitungen angegeben. – Die Kapitel 10 und 11 zur akustischen Meßtechnik sind infolge ihrer großen praktischen Bedeutung wesentlich umfangreicher gehalten als die entsprechenden Kapitel im Buch „Maschinenakustik“. – Am Ende wichtiger Abschnitte werden die wesentlichen Ergebnisse in Zusammenfassungen angegeben. Diese Zusammenfassungen sind mit einem Grauton hinterlegt, damit sie der Leser rasch auffinden kann. Die Autoren hoffen, daß dadurch die an den anwendungsorientierten Ergebnissen interessierten Leser sich rasch einen ersten Überblick verschaffen können. Das Lesen der Zusamenfassungen ersetzt selbstverständlich nicht das Studium der zugehörigen Abschnitte des Buches. Das vorliegende Buch beschränkt sich auf die sog. indirekte Schallabstrahlung. Daher werden Probleme der Strömungsakustik nicht behandelt. Hierfür gibt es zwei Gründe. Zum einen verfügen die Autoren auf dem Gebiet der Strömungsakustik nicht über eigene Expertise. Zum anderen würde durch eine Berücksichtigung der Strömungsakustik der Umfang des Buches unangemessen groß werden.

VI

Vorwort

Der Leser des Buches muß sich deutlich machen, daß die Maschinenakustik ein komplexes Gebiet darstellt, dessen Beherrschung nicht ohne eigene Anstrengungen möglich ist. Dies liegt daran, daß Schwingungs- bzw. Wellenausbreitungsvorgänge in zwei verschiedenen Aggregatszuständen miteinander bei der Abstrahlung von Schall durch Maschinen gekoppelt sind. In der Maschine liegt primär Körperschall vor, der die Abstrahlung von Luftschall verursacht. Demgemäß sind die Anforderungen an die Mitarbeit der Leser in den verschiedenen Kapiteln unterschiedlich. Die höchsten Anforderungen werden in den Kapiteln 8 und 9 gestellt, die eine knappe Darstellung der modernen numerischen Verfahren für die Berechnung von Körperschall- und Luftschallfeldern enthalten. Leser, die an einer vertieften Darstellung interessiert sind, werden auf die zweite Auflage des Buches „Maschinenakustik“ von FGK und die dort angegebene Spezialliteratur verwiesen. Auch der Abschnitt 11.5, in dem das Verfahren der Experimentellen Modalanalyse behandelt wird, erfordert intensive Mitarbeit des Lesers. Schließlich haben die Autoren einigen Personen und Institutionen zu danken, die zu diesem Buch beigetragen haben. An erster Stelle ist hier der Springer-Verlag zu nennen, der mit großem Verständnis auf erhebliche Terminverzögerungen reagiert hat. Unseren ganz besonderen Dank sagen wir Herrn Thomas Lehnert, der im Springer-Verlag unser Buch betreut hat. Er war ein immer verständnisvoller und uns konstruktiv unterstützender Partner. Herr Professor Dr.-Ing. habil. Gunther Knoll, Universität Gh Kassel hat uns die Vorlagen zu den Abbildungen 8.6 mit 8.8 zur Verfügung gestellt. Der Forschungsvereinigung Verbrennungskraftmaschinen e.V. danken wir für die freundliche Genehmigung zum Abdruck einiger Abbildungen aus dem Bericht [35]. Das Manuskript des Buches wurde mit dem Textverarbeitungssystem LATEX erstellt. Auf Veranlassung des Springer-Verlags wurde dieses Manukript hinsichtlich des Layouts von der Firma PTP-Berlin Protago-TEX-Production GmbH überarbeitet. Für die dadurch erzielte Verbesserung des Layouts danken wir dem Springer-Verlag und der Firma PTP-Berlin Protago-TEX-Production GmbH verbindlich. Herr Luzius Schneider, Siglisdorf (www.luziusschneider.com) hat freundlicher Weise das Programm TxtEdit als Freeware zur Verfügung gestellt, in welches das für LaTeX einsetzbare Rechtschreibprüfprogramm Ispell integriert ist.

Im Juni 2005 München Darmstadt Pfungstadt

Franz Gustav Kollmann Thomas F. Schösser Roland Angert

Inhaltsverzeichnis

1

Grundlegende maschinenakustische Begriffe 1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Direkte und indirekte Schallabstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Pegelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Grundzüge der physiologischen Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Admittanz und Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Berechnungen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Effektivwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4 9 12 14 17

2

Frequenzanalyse von Zeitsignalen 2.1 Frequenzanalyse harmonischer Zeitsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fourier-Reihen periodischer Zeitsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Eigenschaften der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 23 27 31 33

3

Dämpfung von Körperschall 3.1 Physikalische Dämpfungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Das Kelvin-Voigt-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Einfaches, eindimensionales Kelvin-Voigt-Modell . . . . . . 3.2.2 Verallgemeinerung für kontinuierliche Körper . . . . . . . . . . 3.3 Dämpfende Beläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Platte mit dämpfendem Belag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Eingezwängte Beläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 40 40 44 46 46 48

4

Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen 4.1 Der Einmasseschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Freie Schwingungen des Einmasseschwingers . . . . . . . . . . 4.1.2 Erzwungene Schwingungen des Einmasseschwingers . . . 4.2 Biegeschwingungen von Rechteckplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Freie Schwingungen der gedämpften Platte . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Erzwungene Schwingungen der gedämpften Platte . . . . . . 4.3 Das Körperschallmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Das Körperschallmaß einer Rechteckplatte . . . . . . . . . . . . 4.4 Abschätzverfahren für das Körperschallmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Glatte Rechteckplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Ähnlichkeitsgesetze für das Körperschallmaß . . . . . . . . . . 4.4.3 Platte mit vorgeschalteter Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Auswirkung von Rippen auf das Körperschallmaß . . . . . . . . . . . . .

55 56 57 61 65 70 77 79 81 83 83 87 92 94

VIII

Inhaltsverzeichnis

5 Abstrahlung von Luftschallwellen 5.1 Luftschallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Der Abstrahlgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Der Kugelstrahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Die Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Die Abstrahlung rechteckiger Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Physikalische Betrachtungen zur Abstrahlung von Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Berechnung des Abstrahlgrads rechteckiger Platten . . . . . 5.5.3 Ähnlichkeitsgesetze für die Abstrahlung von Platten . . . . .

99 99 100 102 105 107 107 110 115

6 Abkopplung von Körperschall 123 6.1 Maschinendynamisches Modell der Abkopplung . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2 Maschinenakustisches Modell der Abkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7

Maschinenakustische Grundgleichung

131

8

Finite Elemente für die Berechnung von Körperschallfeldern 8.1 Grundlagen der Finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Das Verfahren der Numerischen Modalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Ein Beispiel für eine FEM-Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 135 145 150

9

Numerische Berechnung abgestrahlter Luftschallfelder 9.1 Grundlagen des äußeren Abstrahlproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Akustische Finite Elemente Methode für endliche Außengebiete . . 9.3 Infinite ellipsoidale Elemente nach Burnett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Randelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Vergleich von Methoden zur Berechnung von Abstrahlproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153 153 156 159 168

10 Grundlagen der maschinenakustischen Meßtechnik 10.1 Zielsetzungen maschinenakustischer Messungen . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Maschinenakustisch relevante Meßgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Die allgemeine maschinenakustische Meßkette . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Luftschallsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Körperschallsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Kraftsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.4 Drucksensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.5 Drehwinkelsensoren für Drehzahlen und Drehschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.6 Schnittstellenstandards für Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Grundlagen der Filtertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 179 179 179 182 183 184 191 207 209 211 211 214 214

Inhaltsverzeichnis

10.6

10.5.2 Funktionsweise von Frequenzanalysatoren . . . . . . . . . . . . . 10.5.3 Praktische Aspekte der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4 Meßfunktionen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . Fehlerursachen maschinenakustischer Messungen . . . . . . . . . . . . . .

11 Meß- und Auswerteverfahren 11.1 Schwingungsanregung technischer Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Anregungssignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Geräte für die Schwingungsanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Impulsanregungsgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Elektromagnetische Schwingerreger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Elektrohydraulische Schwingerreger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Ordnungsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Zeitbasierte Frequenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Drehwinkelbasierte Frequenzanalyse mit variabler Abtastfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Drehwinkelbasierte Frequenzanalyse mit konstanter Abtastfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Weitere Analyseverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Experimentelle Modalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Auswahl des Meßobjekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Festlegung der Randbedingungen für die Lagerung . . . . . 11.4.3 Diskretisierung des Meßobjektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.4 Wahl der Anregungspunkte und Ausführung der Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.5 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.6 Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.7 Darstellung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.8 Vergleich der Experimentellen und der Numerischen Modalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Betriebsschwingformanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Betriebsschwingformanalyse im Zeitbereich . . . . . . . . . . . 11.5.2 Betriebsschwingformanalyse im Frequenzbzw. Ordnungsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Meßmethoden für die Luftschalleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 Grundlagen der Messung von Luftschall . . . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Schalldruckverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.3 Schallintensitätsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX

219 224 230 238 241 243 243 249 249 253 256 258 258 260 262 262 268 270 270 270 273 275 278 281 283 286 287 287 288 289 293 298

12 Methoden für die Entwicklung lärmarmer Maschinen 307 12.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 12.2 Anforderungen an konstruktive Maßnahmen zur Lärmminderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

X

Inhaltsverzeichnis

12.3 12.4 12.5 12.6

Werkzeuge für die Entwicklung lärmarmer Maschinen . . . . . . . . . . Methodisches Vorgehen beim Ableiten und Umsetzen von Maßnahmen zur Lärmminderung . . . . . . . . . . . Allgemeine Maßnahmen für die Lärmminderung von Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regeln für die Minderung von Schall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.1 Beeinflussung der Erregerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.2 Beeinflussung des Körperschallmaßes . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.3 Beeinflussung des Abstrahlgrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Ableitung von Maßnahmen zur Minderung von Geräuschen 13.1 Anforderungen an konstruktive Maßnahmen zur Minderung von Geräuschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Schallentstehungskette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Reduktion der Schallanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Körperschallquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Flüssigkeitschallquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Luftschallquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Reduktion der Schallübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Schalldämmung und Schalldämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Eigenschwingungsverhalten der Übertragungselemente . . 13.5 Reduktion der Schallabstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Ein einfaches, systematisches Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6.1 Untersuchte Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6.2 Ergebnisse der durchgeführten Schalleistungsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7 Typische Anregungs- und Resonanzfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . .

309 313 317 319 319 321 323 327 328 329 330 330 333 334 335 335 336 338 338 339 341 349

Literatur

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Sachverzeichnis

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1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe Zielsetzung und Inhalt dieses Kapitels: – Einführung grundlegender maschinenakustischer Begriffe (Abschn. 1.1) – Unterscheidung zwischen direkter und indirekter Schallabstrahlung von Maschinen (Abschn. 1.2) – Einführung in das Rechnen mit Pegeln (Abschn. 1.3) – Grundzüge der physiologischen Akustik (Abschn. 1.4) – Admittanz und Impedanz in der Akustik (Abschn. 1.5) – Ausführung von Berechnungen mit komplexen Zahlen (Abschn. 1.6) – Einführung von Effektivwerten (Abschn. 1.7)

1.1 Allgemeines In der Maschinenakustik werden die Entstehung, Übertragung und Abstrahlung von Schall in bzw. durch Maschinen behandelt. Um den zu behandelnden Stoff einzuschränken wird im folgenden nur die Abstrahlung von Luftschall in einen Außenraum behandelt. Die Schallabstrahlung in geschlossene Innenräume (z.B. Fahrgastkabinen von Fahrzeugen) ist nicht Gegenstand dieses Buchs. Eine Schall abstrahlende Maschine stellt ein „Schallquelle“ dar. Um das akustische Verhalten von Schallquellen zu beschreiben und zu beeinflussen, ist eine genaue Kenntnis der physikalischen Mechanismen erforderlich, welche für die Entstehung und Ausbreitung von Schall und für seine Abstrahlung verantwortlich sind. Auf Grund dieser Kenntnisse können dann Maßnahmen zur Verminderung der Schallabstrahlung von Maschinen getroffen werden. Die Reduktion der von Maschinen in die Umgebung abgestrahlten Schallenergie heißt Lärmminderung. Dabei wird zwischen aktiver und passiver Lärmminderung unterschieden. Bei der aktiven Lärmminderung wird versucht, die Funktionen und/oder die stofflich-geometrische Gestaltung einer Maschine so festzulegen, daß eine möglichst geringe Geräuschemission erreicht wird. Bei der passiven Lärmminderung wird die Emission des schallabstrahlenden Objektes als gegeben hingenommen. Es wird dabei versucht, durch sekundäre Maßnahmen die von der Maschine abgestrahlten Schallwellen von der Umgebung fernzuhalten. Passive Lärmminderung besteht daher in erster Linie in der Kapselung von Maschinen. In diesem Buch werden die physikalischen Grundlagen der Maschinenakustik behandelt. Aus diesen Grundlagen werden Maßnahmen zur aktiven Lärmminderung abgeleitet. Wesentlich für die Akustik ist der Begriff der Schwingung. Nach Klotter [37] ist eine Schwingung ein Vorgang, bei dem sich eine kennzeichnende Größe x = x(t) so mit der Zeit t ändert, daß bestimmte Merkmale wiederkehren. Dabei gibt es keine allgemeinverbindliche Definition darüber, wie oft einzelne Merkmale wiederkehren müssen, damit eine Schwingung vorliegt. Von besonderer Bedeutung sind die pe-

2

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

riodischen Schwingungen, bei denen sich ein Vorgang nach Ablauf der Schwingoder Periodendauer T vollständig wiederholt. Eine periodische Schwingung liegt vor, wenn die folgende Periodizitätsbedingung gilt x(t + T) = x(t) :

(1.1)

Als Schall werden allgemein mechanische Schwingungen im Frequenzbereich zwischen 16 und 16000 Hz (Hörbereich des gesunden menschlichen Ohrs) bezeichnet. Je nach dem Medium, in dem die periodische Schwingung auftritt, wird zwischen Luftschall, Flüssigkeitsschall und Körperschall unterschieden, wobei letzterer in festen Körpern auftritt. In der Maschinenakustik können alle drei Arten von Schall auftreten. Nahezu immer finden sich sowohl Körper- als auch Luftschall. Flüssigkeitsschall ist nur in solchen Maschinen zu beobachten, deren Arbeitsmedium in der flüssigen Phase vorliegt. In diesem Buch wird Flüssigkeitsschall nicht behandelt. Im allgemeinen hängen die akustischen Kenngrößen (z.B. Leistung, Schnelle, Schalldruck) sowohl von der Zeit t als auch den Ortskoordinaten x ab. Im Sinn der mathematischen Physik liegen dann zeitabhängige Felder1 vor. Eine wichtige Aufgabe der Maschinenakustik besteht in der rechnerischen und experimentellen Bestimmung von Schallfeldern (vgl. hierzu Abschnitt 4.2 und Kapitel 5). Es folgt noch eine sehr wichtige Vorbemerkung. Für grundlegende Betrachtungen werden häufig zeitlich harmonische Vorgänge vorausgesetzt. Ein zeitlich harmonischer Vorgang liegt immer dann vor, wenn sich sein zeitlicher Anteil durch eine reine Sinus- und/oder Cosinusfunktion darstellen läßt gemäß f(x;t) = g(x)h(t) ; ⎧ ⎪ ⎪ sin !t ; ⎪ ⎨ h(t) = cos !t ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ a sin !t + b cos !t :

(1.2)

(1.3)

In (1.3) stellen die Funktionen g(x) und h(t) die orts- bzw. zeitabhängigen Anteile dar und ! ist die Kreis- oder Winkelfrequenz, die mit der Frequenz
gemäß ! = 2
zusammenhängt. Die Größen a und b sind beliebige, i.a. reelle Konstanten. Der zeitliche Ansatz in (1.3) läßt sich wie folgt rechtfertigen. In der Maschinenakustik interessieren meistens nur zeitlich periodische Vorgänge. Diese lassen sich immer2 in eine aus Sinus- und Cosinusgliedern bestehende Fourier-Reihe entwickeln. Dies wird ausführlich in Kapitel 2 (vgl. insbesondere Abschn. 2.2) behandelt. Daher genügt es bei zeitlich periodischen Vorgängen nur ein Glied der betreffenden FourierReihe zu betrachten, da das Ergebnis für die gesamte Untersuchung im Rahmen der linearen Akustik stets durch Überlagerung (Superposition) der Beiträge der einzelnen Fourier-Terme gewonnen werden kann. Insofern stellt bei zeitlich periodischen Vor1

In der mathematischen Physik werden physikalische Größen, die Funktionen der Ortskoordinaten sind, als Felder bezeichnet. 2 Voraussetzung hierfür ist, daß gewisse Stetigkeitsforderungen erfüllt sind, was in der Praxis stets gewährleistet ist.

1.2 Direkte und indirekte Schallabstrahlung

3

gängen die Beschränkung auf zeitlich harmonische Vorgänge keine Einschränkung der Allgemeingültigkeit der Untersuchungen dar.

1.2 Direkte und indirekte Schallabstrahlung In der Maschinenakustik wird zwischen direkter und indirekter Abstrahlung unterschieden. Nach Abb. 1.1 werden bei der direkten Abstrahlung die Teilchen der die Maschine umgebenden Luft unmittelbar zu Schwingungen durch Strömungsvorgänge (z.B. in Gebläsen, Abgasanlagen) angeregt. In diesem Buch wird auf die direkte Schallabstrahlung nicht eingegangen.

Abb. 1.1. Direkte und indirekte Abstrahlung

Die indirekte Schallabstrahlung von Maschinen erfolgt mittels der folgenden physikalischen Mechanismen. Innerhalb einer Maschine wirken in einem oder mehreren Punkten oder in abgegrenzten Teilflächen dynamische3 Erregerkräfte. Die dynamischen Kräfte hängen ihrer Natur nach nicht nur von den Ortskoordinaten sondern explizit von der Zeit als unabhängiger Variablen ab. Die Betriebskräfte besitzen daher in der Regel einen statischen (von der Zeit unabhängigen) und einen dynamischen Anteil. Im folgenden werden als Erregerkräfte nur die dynamischen Anteile der wirkenden Kräfte berücksichtigt. Diese Erregerkräfte regen die gesamte Maschine zu mechanischen Schwingungen in Form von Körperschall an. Zur Schallabstrahlung trägt nur der sich auf der äußeren Oberfläche ausbreitende Körperschall bei. Alle mit der schallabstrahlenden Oberfläche unmittelbar in Verbindung stehenden Teile der Maschine werden im folgenden als „Maschinenstruktur“ oder einfach als Struktur bezeichnet. Grundsätzlich ist im wesentlichen der Biegeanteil des auf der Oberfläche 3

Das Wort „dynamisch“ bedeutet, daß im Sinne der Technischen Mechanik die Trägheitskräfte bei der Berechnung dieser Kräfte berücksichtigt werden müssen.

4

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

der Struktur wirkenden Körperschalls für die Abstrahlung von Luftschall maßgeblich. Denn nur diejenigen Geschwindigkeitskomponenten einer Maschinenstruktur, die senkrecht zu ihrer Oberfläche stehen, können die umgebende Luft zu Schwingungen anregen. Gegenstand dieses Buches sind die Grundlagen der indirekten Schallabstrahlung sowie daraus ableitbare Regeln für die Gestaltung lärmarmer Maschinen.

1.3 Pegelrechnung Die maschinenakustischen Größen (wie z.B. Schalldruck, Schalleistung, Geschwindigkeit usw.) können in der Praxis sehr unterschiedliche Größenordnungen annehmen. So kann das menschlich Ohr beispielsweise bei der Frequenz 1000 Hz einen Schalldruck von 2
105 Pa gerade noch wahrnehmen (Hörschwelle). Bei der gleichen Frequenz setzt bei einem Schalldruck von 20 Pa Schmerz ein (Schmerzschwelle). Der zwischen der Hör- und Schmerzschwelle liegende Hörbereich erstreckt sich also über 6 Dekaden. Um eine einfache Behandlung derartiger, in weiten Bereichen schwankender Daten zu ermöglichen, wird in der Akustik die Pegelrechnung verwendet. Nach DIN 5493 wird zwischen Energie- und Feldgrößen unterschieden. Größen, welche der Energie proportional sind, heißen Energiegrößen (z.B. Energie, Energiedichte, Leistung, usw.). Größen, deren Quadrate der Energie proportional sind, werden Feldgrößen genannt (z.B. Schalldruck). Ein Pegel ist das logarithmierte Verhältnis einer Energie- oder einer Feldgröße G, bei der im Nenner des logarithmierten Ausdrucks eine festgelegte Bezugsgröße G0 steht. Diese Bezugsgröße wird als Referenzwert bezeichnet. Dem logarithmierten Verhältnis wird bei der Pegelbildung eine Konstante K vorangestellt, deren Wert davon abhängt, ob der Pegel einer Energie- oder Feldgröße gebildet wird G LG := K logb : G0 Grundsätzlich läßt sich ein Pegel durch die Angabe der Basis b des verwendeten Logarithmus’, der Konstanten K und des Referenzwertes G0 definieren. In der Akustik wird ausschließlich der Zehnerlogarithmus4 mit der Basis b = 10 verwendet. Für die Konstanten wird gesetzt: Energiegröße: K = 10

Feldgröße: K = 20

Die Maßeinheit für den so definierten Pegel ist das Dezibel, das mit dem Kurzzeichen dB hinter den Logarithmus gesetzt wird. Ein Pegel wird durch das Symbol L gekennzeichnet. Diesem wird als Index das Symbol derjenigen Größe angehängt, deren Pegel gebildet wird. Wenn beispielsweise P die Leistung bezeichnet, so ist also LP der Leistungspegel. Im folgenden werden die Definitionsgleichungen für die wichtigsten in der Maschinenakustik verwendeten Pegel angegeben. Hierbei wird berücksichtigt, daß Pegel im allgemeinen von der Frequenz
abhängen. Diese Definitionen sind in DIN EN 21683:1994 genormt. Die Definition eines Pegels enthält einen Bezugswert. Bevorzugte Bezugswerte finden sich ebenfalls in DIN EN 4

Gemäß DIN 1302 wird der Zehnerlogarithmus mit dem Symbol lg gekennzeichnet.

1.3 Pegelrechnung

5

21683. Diese Bezugswerte werden im folgenden bei den einzelnen Pegelgleichungen angegeben. Bei akustischen Größen werden üblicherweise die Pegel aus deren Effektivwerten (vgl. Abschn. 1.7) gebildet. Grundlegend ist die Definition des Leistungspegels5 LP (
) = 10
lg

P(
) dB : P0

(1.4)

Hierin sind P(
) die Leistung bei der Frequenz
und P0 = 1
1012 W die Referenzleistung. Ferner werden die Pegeldefinitionen für die folgenden Feldgrößen angegeben: 1. Schalldruckpegel Lp (
) = 20
lg

p(
) dB : p0

(1.5)

Hierin sind p(
) der Schalldruck bei der Frequenz
und p0 = 2
105 Pa der zugehörige Referenzwert in Luft. Bei anderen Medien außer Luft gilt p0 = 1
106 Pa . 2. Schnellepegel In der Akustik treten meistens Geschwindigkeitsfelder auf, die sich als Produkt aus einem rein orts- und einem rein zeitabhängigen Anteil darstellen lassen (v(x;t) = vl (x) vt (t)). Der ortsabhängige Anteil vl (x) der Geschwindigkeit wird als „Schnelle“ bezeichnet. Der Einfachheit halber wird im folgenden die Zeitabhängigkeit unterdrückt und die Geschwindigkeit gleich der Schnelle gesetzt (v = vl ). Für den Schnellepegel gilt v(
) Lv (
) = 20
lg dB : (1.6) v0 Hierin sind v(
) die Schnelle bei der Frequenz
und v0 = 1
109 m/s der Referenzwert der Schnelle. 3. Beschleunigungspegel a(
) La (
) = 20
lg dB : (1.7) a0 Es sind a(
) die Beschleunigung bei der Frequenz
und a0 = 1
106 m/s2 ihr Referenzwert. 4. Kraftpegel F(
) LF (
) = 20
lg dB : (1.8) F0 Es sind F(
) die Kraft bei der Frequenz
und F0 = 1
106 N ihr Referenzwert. 5

Die Bezeichnung der Leistung erfolgt nach DIN 1304 mit dem Symbol P. Die Definitionsgleichung nach DIN EN 21683 schreibt auf der linken Seite LW . Jedoch ist auch das Formelzeichen LP zulässig. Es wird in diesem Buch verwendet, da dann linke und rechte Seite der Definitionsgleichung (1.4) konsistent sind.

6

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

Tabelle 1.1. Referenzwerte akustischer Größen für Pegelrechnung

Größe Schalleistung P0 Schalldruck p0 in Luft Schnelle v0 Beschleunigung a0 Kraft F0

DIN EN 21683 1
1012 W 2
105 Pa 1
109 m=s 1
106 m=s2 1
106 N

Alt

Norm

5
108 m=s 
107 m=s2 1N

DIN 45630 T.1 DIN 45630 T.1

Neben den in DIN EN 21683:1994 festgelegten Bezugswerten für Pegel existieren in älteren nationalen Normen noch andere Definitionen der Bezugswerte. Daher werden in Tabelle 1.1 neben den Bezugswerten nach DIN EN 21683:1994 auch diese älteren Bezugswerte in der mit „Alt“ bezeichneten Spalte angegeben. Sofern in Tabelle 1.1 diese Spalte leer ist, stimmen die alten Werte mit denen von DIN EN 21683:1994 überein. Die Verwendung der in DIN EN 21683:1994 genormten Referenzwerte führt bei der Verwendung der maschinenakustischen Grundgleichung zu Problemen, auf die in Kapitel 7 eingegangen wird. Wenn in diesem Buch mit Pegeln gerechnet wird, werden immer die Bezugswerte explizit angegeben. Im folgenden werden Umrechnungsgleichungen für die mit den alten (in Tabelle 1.1 als „Alt“ bezeichneten) Referenzwerten gebildeten Pegel auf die mit den Referenzwerten nach DIN EN 21683 gebildeten Pegel angegeben. Dabei bezieht sich der Index „a“ auf die alten Referenzwerte und der Index „n“ auf die Referenzwerte nach DIN EN 21683. Lv;n = Lv;a + 20 lg

vv0a 5
108 = Lv;a + 20 lg = Lv;a + 34 dB : vv0n 1
109

(1.9)

LF;n = LF;a + 120 dB ;

(1.10)

La;n = La;a  10 dB :

(1.11)

Aus (1.9) ist die Bildung des Korrekturterms zu ersehen, der bei der Umrechnung des mit dem alten Referenzwert gebildeten Schnellepegels auf den mit dem Referenzwert nach DIN EN 21683 gebildeten anzuwenden ist. Bei den anderen Umrechnungen ist entsprechend zu verfahren. Es folgen zwei einfache Beispiele zur Pegelrechnung. Bei diesen beiden Beispielen stimmen die neuen und die alten Referenzwerte überein und daher auch die Pegel. Beispiel 1.1 Gegeben: Schalldruckpegel Lp = 95 dB ; p0 = 2
105 Pa : Gesucht: Schalldruck p : Lösung: Aus (1.5) folgt durch Auflösen nach dem Schalldruck p p = p0
10(Lp =20) = 2
105
10(95=20) Pa = 1;125 Pa :

1.3 Pegelrechnung

7

Beispiel 1.2 Gegeben: Schalleistung P = 1 mW : Gesucht: Pegel der Schalleistung LP : Lösung: Aus (1.4) folgt mit dem Referenzpegel der Leistung P0 = 1
1012 W LP = 10 lg

P 1
103 dB = 10
lg dB = 90 dB : P0 1
1012

Strahlen n Schallquellen die Leistungen Pi (i = 1; : : : ;n) ab, so addieren sich diese Leistungen zu einer Gesamtleistung Pges . Gemäß (1.4) gilt für die Berechnung des Summenpegels: n 

LPges = 10
lg

Pi

i=1

P0

dB = 10
lg

 n 

 10LPi =10

dB :

(1.12)

i=1

Gleichung (1.12) ist keine Größen- sondern eine Zahlenwertgleichung. Daher müssen die Pegel LPi in dB eingesetzt werden. Der Übersichtlichkeit halber wird darauf verzichtet, die Maßangabe dB in die Exponenten in (1.12) aufzunehmen. Bei Feldgrößen sind weitergehende Überlegungen erforderlich. Mehrere Schallquellen sind i.a. nicht kohärent, d.h. die abgestrahlten Schallwellen liegen nicht in Phase. Daher muß eine Addition der Leistungen erfolgen. Wird vorausgesetzt, daß n Strahler vorliegen, die jeweils ebene Wellen aussenden, oder für n Kugelstrahler (vgl. Abschn. 5.3) die Fernfelder betrachtet werden, so können deren Intensitäten (das sind die auf die Fläche bezogenen Schalleistungen) addiert werden und daher gilt unter Verwendung der effektiven Schalldrücke6 jges =

n  i=1

1 p2 :  0 cL i

Hierin sind 0 die Ruhedichte der Luft und cL deren Schallgeschwindigkeit (vgl. hierzu Abschn. 5.1). Für den resultierenden Schalldruck pges gilt jges =

n  p2ges 1 = p2 0 c L i 0 c L i=1

und daher p2ges =

n 

p2i :

i=1

6

Der Einfachheit halber wird hier die Tilde für die Kennzeichnung der effektiven Drücke weggelassen.

8

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

Tabelle 1.2. Korrekturpegel
LPkor in Abhängigkeit von LP1  LP2 (LP1  LP2 )

LP1  LP2
LPkor

0 3

1 2,5

2 2,1

3 1,8

4 1,5

5 1,2

6 1,0

7 0,8

8 0,6

9 0,5

10 0,4

dB dB

Durch Pegelbildung folgt hieraus 10 lg

pges p0



2 = Lpges = 10 lg

2 n  pi i=1

p0

dB :

Da andererseits 2 pi = 10Lpi =10 p0 ist, folgt schließlich für den Summenpegel des Drucks   n  10Lpi =10 dB : Lpges = 10 lg

(1.13)

i=1

Wie bei (1.12) handelt es sich bei (1.13) wieder um eine Zahlenwertgleichung, so daß die Pegel Lpi ebenfalls in dB einzusetzen sind. Strahlen zwei Schallquellen genau die gleiche Leistung P ab, so folgt aus (1.12) LPges = 10 lg

2P dB = LP + 3 dB : P0

Der Summenpegel erhöht sich also bei der Zusammenfassung von zwei Schallquellen bei gleicher Leistung um 3 dB gegenüber deren Einzelpegel. Bei der Addition von zwei einzelnen leistungsbezogenen Pegeln LP1 und LP2 folgt aus (1.12) LPges = LP1 +
LPkor mit



 1


LPkor = 10
lg 1 + 10

LP LP 1 2 10

dB :

(1.14)

Der Summenpegel läßt sich aus einem der beiden Einzelpegel durch Addition eines Korrekturterms gewinnen, der nach (1.14) berechnet wird. Tabelle 1.2 zeigt eine Auswertung von (1.14) für den Fall LP1  LP2 . Bei einer Pegeldifferenz von 10 dB beträgt der Korrekturterm nur noch 0,4 dB. Dieser und noch kleinere Korrekturpegel können in der Praxis vernachlässigt werden. Abschließend folgt ein Beispiel zur Pegeladdition [46].

1.4 Grundzüge der physiologischen Akustik

9

Beispiel 1.3 Gegeben: Ein kompaktes Pumpenaggregat besteht aus 3 Zahnradpumpen verschiedener Förderleistung. Die einzelnen Zahnradpumpen weisen folgende Leistungspegel auf: LP1 = 75 dB ; LP2 = 78 dB ; LP3 = 80 dB : Gesucht: Summenpegel der Leistung. Lösung: Aus (1.12) folgt LPges = 10
lg(1075=10 + 1078=10 + 1080=10 )dB = 82;9 dB :

Zusammenfassung Beim Rechnen mit Pegeln sind folgende Regeln zu beachten: 1. Grundsätzlich muß ein Referenzwert angegeben werden. Eine Angabe eines Pegels ohne Referenzwert ist sinnlos. Genormte Referenzwerte für die bisher eingeführten Pegeldefinitionen finden sich in Tabelle 1.1. Für die Referenzwerte der Größen Schnelle, Beschleunigung und Kraft sind grundsätzlich die „alten“ Pegelwerte zu verwenden. 2. Auf der rechten Seite einer der Pegelgleichungen (1.4) bis (1.8), welche die Vorfaktoren 10 bzw. 20 enthält, muß stets die Maßeinheit dB angegeben werden, weil es sich nicht um eine Größen-, sondern um eine Zahlenwertgleichung handelt. 3. Die Pegel sämtlicher Energiegrößen (z.B. Schallintensität) werden mit dem Vorfaktor 10 berechnet (vgl. z.B. für die Leistung (1.4)). 4. Die Pegel aller Feldgrößen, deren Quadrate zur Energie proportional sind, werden mit dem Vorfaktor 20 berechnet (vgl. z.B. für den Schalldruck (1.5)). 5. Beim Leistungspegel (bzw. bei von der Leistung abgeleiteten Pegeln, z.B. Schallintensität) bedeutet eine Pegeländerung von ˙3 dB eine Verdoppelung bzw. Halbierung der Leistung. 6. Bei Feldgrößen bedeutet eine Pegeländerung von ˙6 dB eine Verdoppelung bzw. Halbierung der entsprechenden Größe.

1.4 Grundzüge der physiologischen Akustik Die physiologische Akustik behandelt den Aufbau und die Funktionsweise des menschlichen Ohres. In diesem Buch wird nur auf diejenigen physiologischen Funktionen eingegangen, deren Kenntnis für maschinenakustische Anwendungen erforderlich ist. Das menschliche Ohr ist ein außerordentlich leistungsfähiges Organ.

10

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

Abb. 1.2. Hörfeld (nach Kinsler u.a.)

Beim jungen Menschen spricht das gesunde Ohr im Frequenzbereich von 16 Hz bis 16 kHz an. Bei der Frequenz von 1kHz kann ein Schalldruck von 2
105 Pa = 2
107 mbar wahrgenommen werden. Die mittlere Auslenkung der Luftmoleküle beträgt dabei 0,1 ª= 1
105 m. Die kleinste wahrnehmbare Frequenzänderung beträgt bei einem Schalldruck von 70 dB und bei Frequenzen bis zu 500 Hz etwa 1,8 Hz. Bei höheren Frequenzen können relative Frequenzunterschiede von rund 0,35 % noch wahrgenommen werden. Als Hörschwelle wird derjenige Schalldruck bezeichnet, den ein Beobachter bei einer ihn genau von vorne treffenden Schallwelle gerade noch akustisch wahrnimmt. Die Hörschwelle ist frequenzabhängig und erreicht bei einer Frequenz von 4 kHz ihr Minimum. Für rein sinusförmige Signale ist sie in Abb. 1.2 als untere gestrichelte Kurve eingezeichnet. Abbildung 1.2 wird als Hörfeld bezeichnet. Auf der Ordinate ist der Pegel der Schallintensität (vgl. Abschnitt 5.3) und auf der Abszisse die Frequenz (ebenfalls in logarithmischer Teilung) aufgetragen. Nach oben wird das Hörfeld durch die Schmerzschwelle von 140 dB begrenzt. Bei einer Schallintensität von 120 dB kann der Schall mittels des Tastsinns von der Haut empfunden werden (Fühlschwelle). Dauernde Schädigungen des Innenohrs können jedoch (selbst bei kurzzeitigen Impulsen) bereits bei Intensitäten unterhalb von 100 dB auftreten.

1.4 Grundzüge der physiologischen Akustik

11

Abb. 1.3. Bewertungskurven für Schalldruckpegel

Das subjektive Empfinden der Lautstärke ist innerhalb des Hörfeldes von der Frequenz abhängig. Als Maß für die Stärke der subjektiven Wahrnehmung eines Schallvorganges dient der Lautstärkepegel . Der Lautstärkepegel LS wird nach DIN 4563 (Blatt 1) in Phon angegeben. Der Lautstärkepegel eines Schalls beträgt n Phon, wenn von einem normal hörenden Beobachter der Schall als gleich laut beurteilt wird wie ein reiner Sinuston der Frequenz 1000 Hz, der als ebene, fortschreitende Schallwelle genau von vorne auf den Beobachter trifft und dessen Schalldruckpegel n dB beträgt. In Abb. 1.2 sind Kurven gleicher Lautstärke LS eingezeichnet, die für reine Sinustöne gelten. Einerseits ist bei der Frequenz 1000 Hz der Schalldruckpegel Lp immer gleich dem Lautstärkepegel LS . Andererseits weist ein Sinuston mit einem Schalldruckpegel von Lp = 80 dB und einer Frequenz von 31,5 Hz den gleichen Lautstärkepegel – nämlich 50 Phon – auf wie ein Ton von 4 kHz Frequenz und einem Schalldruckpegel von Lp = 45 dB. Geräusche sind aus einer Vielzahl von Frequenzen zusammengesetzt. Bei ihnen, die bei technischen Anwendungen fast immer vorliegen, wird der bewertete Schalldruckpegel gemessen. Die Bewertungskurven nach Abb. 1.3 ahmen die Empfindlichkeit des menschlichen Ohres nach. Nach DIN 45 634 sind 3 Bewertungskurven (A,B,C) möglich. Diese Bewertungskurven werden in kommerziellen Schalldruckmessern mittels eingebauter Filterketten nachgefahren. Der bewertete Schalldruckpegel wird durch Hinzufügen des eingeklammerten Kennzeichens der verwendeten Bewertungskurve zur Maßeinheit dB angegeben. Beispielsweise wird bei einer Bewertung mit derA-Kurve die gemessene undA-bewertete Größe in dB(A) angegeben. International wird empfohlen, vorzugsweise die A-Bewertung zu verwenden.

12

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

1.5 Admittanz und Impedanz Von erheblicher Bedeutung für maschinenakustische Untersuchungen sind die Begriffe Admittanz und Impedanz. Eine sehr allgemein gehaltene Definitionen der Admittanz und der aus ihr abgeleiteten Impedanz findet sich in [40]. Für übliche Anwendungen in der Maschinenakustik genügt der Spezialfall, daß auf den Rand eines Körpers in einem beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor xe eine senkrecht zur Tangentialebene stehende, zeitlich veränderliche Kraft Fn einwirkt, die als Normalkraft bezeichnet wird, weil sie in Richtung des Normalenvektors wirkt. Abbildung 1.4 zeigt schematisch einen dreidimensionalen Körper. Es bezeichnet x den Ortsvektor7 eines beliebigen Punktes. An der Stelle xe wird eine Normalkraft Fn (xe ;t) mit der Amplitude8 F^ n eingeleitet. Wie bereits in Abschnitt 1.1 festgelegt wurde, werden für das folgende zeitlich rein harmonische Vorgänge betrachtet (vgl. hierzu (1.3)). Daher ist es erforderlich, nicht nur die Amplituden der betrachteten Größen sondern auch deren Phasenlagen zu betrachten (vgl. hierzu Abschnitt 4.1.2). Zur Beschreibung der Amplitude und der Phasenlage eignen sich komplexe Größen besonders gut (vgl. hierzu Abschnitt 1.6). In diesem Buch werden komplexe Größen durch Unterstreichen gekennzeichnet. Da es stets nur auf den Phasenunterschied zwischen Schnelle und anregender Kraft ankommt, kann die anregende Kraft Fn als reell angesetzt werden. Durch die anregende Kraft wird auf der Oberfläche des Körpers ein Schnellefeld v^ (x) verursacht, dessen Komponente in Richtung des Normalenvektors mit v^ n bezeichnet wird.

Abb. 1.4. Zur Definition von Admittanz und Impedanz 7 8

Vektoren werden in diesem Buch durch kursiven Fettdruck gekennzeichnet. Amplituden werden durch ein Hütchen ^ gekennzeichnet.

1.5 Admittanz und Impedanz

13

Zwischen der komplexen Schnelle in Normalenrichtung v^ n an der Stelle x0 und der Amplitude der sie am Ort xe anregenden Normalkraft F^ n besteht bei einem linear elastischen Körper9 der Zusammenhang v^ n (x0 ) = h(xe ;x0 )F^ n (xe ) :

(1.15)

Durch Umstellen folgt aus (1.15) h(xe ;x0 ) :=

v^ n (x0 ) : F^ n (xe )

(1.16)

Die in (1.16) eingeführte Größe h heißt Admittanz. Gleichung (1.16) läßt sich physikalisch interpretieren. Sie gibt die Normalenschnelle v^ e (x0 ) an der Stelle x0 an, wenn der betrachtete Körper an der Stelle xe mit einer in Normalenrichtung wirkenden Einheitskraft angeregt wird. Eine weitere anschauliche Deutung besagt, daß die Admittanz ein Maß für die Schwingbereitschaft eines Körpers ist. Bei zeitlich harmonischen Schwingungen hängt die Admittanz von der Frequenz
bzw. der Kreisfrequenz ! ab. Sie kann dann als Übertragungsfunktion gedeutet werden. Es ist möglich, (1.15) nach der anregenden Kraft aufzulösen v^ (x0 ) F^ n (xe ) = n h(xe ;x0 ) Die Größe 1=h(xe ;x0 ) wird als Impedanz bezeichnet. Für sie wird das Symbol Z eingeführt. Die Definitionsgleichung für die Impedanz lautet Z(x0 ;xe ) :=

F^ n (xe ) v^ n (x0 )

(1.17)

Die Impedanz ist ein Maß für den Schwingwiderstand des betrachteten Körpers. Aus Gln. (1.16) und (1.17) folgt sofort h(xe ;x0 ) =

1 Z(x0 ;xe )

(1.18)

Fallen die Orte der Krafteinleitung und der Ermittlung der Schnelle zusammen, so wird die Eingangsimpedanz gebildet ZE (xe ) :=

F^ n (xe ) : v^ n (xe )

(1.19)

Der Index E weist auf die Eingangsimpedanz hin. Der Einmasseschwinger (vgl. Abschn. 4.1) nimmt im Raum nur einen Punkt ein. Daher entfällt die Angabe der Ortsvektoren xe bzw. x0 . Entsprechend sind Impedanz und Eingangsimpedanz beim Einmasseschwinger identisch.

9

Metallische Körper verhalten sich bei den in der Maschinenakustik wirkenden Spannungen immer linear elastisch.

14

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

Gemäß (1.18) ist die Eingangsadmittanz gleich dem Kehrwert der Eingangsimpedanz hE :=

1 : ZE

Die Admittanz hat im internationalen Maßsystem die Dimension m/(Ns). Impedanzen lassen sich anschaulich als Maße für den Widerstand deuten, den Strukturen der Anregung von Schwingungen durch Kräfte entgegensetzen. Admittanzen können als Maße für die Schwingbereitschaft von Strukturen interpretiert werden. Zusammenfassung 1. Die durch (1.17) definierte Impedanz ist ein Maß für den mechanischen Schwingwiderstand einer Struktur. Dabei wird die Struktur durch eine an der Stelle xe wirkende Kraft F^ n (xe ) angeregt, die senkrecht zur Oberfläche wirkt. Die komplexe Schnelle v^ n (x0 ) senkrecht zur Oberfläche wird an der Stelle x0 gemessen. Komplexe Größen werden verwendet, um nicht nur die Beträge sondern auch die Phasenlagen der betrachteten Größen zu erfassen. 2. Sofern die Orte der Kraftanregung und der Messung der Schnelle zusammenfallen (xe = x0 ), wird die Eingangsimpedanz bestimmt (vgl. hierzu (1.19)). 3. Der Kehrwert der Impedanz nach (1.16) heißt Admittanz. Die Admittanz läßt sich anschaulich als ein Maß für die Schwingbereitschaft einer Struktur oder - sofern die Admittanz von der Frequenz abhängt - als Übertragungsfunktion deuten. 4. Der Kehrwert der Eingangsimpedanz ist die Eingangsadmittanz.

1.6 Berechnungen mit komplexen Zahlen Ein sehr wichtiges Hilfsmittel in der Maschinenakustik sind Berechnungen mit komplexen Zahlen. Dies läßt sich damit begründen, daß in der Maschinenakustik häufig nicht nur der Betrag einer Größe sondern auch ihre Phasenlage von Wichtigkeit sind. Dies soll im folgenden veranschaulicht werden. Es sei eine beliebige zeitlich harmonisch verlaufende Größe x(t) = a cos(!t + ')

(1.20)

gegeben, wobei t die Zeit, a die Amplitude, ! die Kreisfrequenz p (oder Winkelgeschwindigkeit) und ' der Phasenwinkel sind. Ferner ist i = 1 die imaginäre Einheit und es bezeichne exp(i ) die komplexe Exponentialfunktion des Argumentes i . Dabei ist ein beliebiger, im Bogenmaß gemessener Winkel. Dann gilt die Eulersche Formel exp(i ) = cos

+ i sin :

(1.21)

1.6 Berechnungen mit komplexen Zahlen

15

Mit Hilfe der Eulerschen Formel (1.21) läßt sich die zeitlich harmonische Funktion (1.20) auch durch a (1.22) x = fexp[i(!t + ')] + exp[i(!t + ')]g 2 darstellen. Mit der komplexen Zahl x = a exp(i!t) ; a = a exp(i') sowie der zu ihr konjugiert komplexen Zahl x = a exp(i') exp(i!t) = a exp(i!t) ergibt sich 1 (x + x ) : 2 Dabei ist x=

(1.23)

a = a exp(i') : Die komplexe Amplitude a enthält als Information sowohl die reelle Amplitude a als auch den Nullphasenwinkel '. Der Phasenwinkel ' wird als Nullphasenwinkel bezeichnet, weil er sich in der komplexen Zahlenebene zur Zeit t = 0 einstellt. Sehr anschaulich ist die Darstellung komplexer Größen in einem Zeigerdiagramm nach Abb. 1.5, das vor allem in der Elektrotechnik angewendet wird. Dazu werden alle

Abb. 1.5. Komplexe Schwingungen und Zeigerdiagramm

16

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

komplexen Größen in der komplexen Zahlenebene als zweidimensionale Vektoren oder Zeiger aufgetragen. Die komplexe Amplitude a ist um den Nullphasenwinkel ' im positiven Sinn gegen die reelle Achse gedreht, die zu ihr konjugiert komplexe Größe a um den Winkel '. Die komplexen Größen x und x drehen sich im mathematisch positiven bzw. negativen Sinn mit wachsender Zeit t. Sie werden daher Drehzeiger genannt. Die reelle harmonische Größe x(t) ergibt sich durch Projektion eines der beiden Drehzeiger x oder x auf die reelle Achse. Es sei eine komplexe Zahl z = x + iy gegeben. Die Größen x und y heißen Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl z. Aus ihnen lassen sich der Betrag jzj sowie der Phasenwinkel ' berechnen. Es gilt

x2 + y2 = zz ; (1.24) jzj = ' = arctan

y : x

(1.25)

Hieraus ist zu erkennen, daß die komplexen Zahlen immer Informationen sowohl über ihren Betrag als auch über ihren Phasenwinkel enthalten. Schwingungsberechnungen (vgl. Abschn. 4.1.2) vereinfachen sich sehr, wenn anstelle von reellen harmonischen Zeitfunktionen komplexe gemäß a(t) = a^ exp(i!t)

(1.26)

eingeführt werden. Bei den Schwingungsberechnungen treten zeitliche Ableitungen komplexer Exponentialfunktionen auf. Für diese gilt d exp(i!t) = i! exp(i!t) ; dt   d2 d d exp(i!t) = !2 exp(i!t) ; exp(i!t) = dt2 dt dt

(1.27)

d3 exp(i!t) = i!3 exp(i!t) : dt3 Das Muster, nach dem höhere zeitlicheAbleitungen der Exponentialfunktion gebildet werden, ist aus (1.27) leicht zu erkennen. Zusammenfassung Die Berechnung mit komplexen Zahlen bietet gegenüber der Rechnung mit reellen Zahlen folgende Vorteile: 1. Bei Schwingungsrechnungen enthalten die Ergebnisse die Information sowohl über den Betrag als auch die Phase der Schwingung.

1.7 Effektivwerte

17

2. Bei stationären Schwingungen wird der Zeitanteil durch eine komplexe Expontialfunktion exp(i!t) angegeben, wobei ! die Kreisfrequenz darstellt. Bei der Rechnung sind zeitliche Ableitungen komplexer Exponentialfunktionen von mindestens zweiter Ordnung zu bilden. Bei der Bildung dieser zeitlichen Ableitungen tritt gemäß (1.27) immer nur die ursprüngliche Exponentialfunktion mit Vorfaktoren auf. 3. Sofern erzwungene Schwingungen berechnet werden sollen (vgl. Abschn. 4.1.2 und 4.2.2), müssen bei der Rechnung mit reellen Größen die Sinus- und Cosinusterme getrennt behandelt werden. Bei der Rechnung mit komplexen Größen werden diese Terme in der komplexen Exponentialfunktion (vgl. hierzu (1.21)) zusammengefaßt.

1.7 Effektivwerte In der Maschinenakustik interessieren vor allem zeitlich stationäre Vorgänge. Dies sind zeitlich periodische Vorgänge. y(t) = y(t + T)

8t 2 IR

Hierin10 ist y(t) eine beliebige, zeitlich periodische, physikalische Feldgröße mit der Periodendauer T. Einer solchen periodischen Größe soll ein „mittlerer“, sie kennzeichnender Wert zugeordnet werden. Es ist zunächst naheliegend, diesen mittleren Wert durch eine zeitliche Integration der Größe y(t) über die Periodendauer T zu ermitteln. Da sich aber jeder zeitlich periodische Vorgang durch eine Fourier-Reihe (vgl. Kap. 2) darstellen läßt, ist sofort zu erkennen, daß die zeitliche Integration den Mittelwert Null liefert. Deshalb werden in derAkustik häufig Effektivwerte nach DIN 5483 verwendet, die grundsätzlich durch eine über das Symbol gesetzte Tilde ( ~ ) gekennzeichnet werden. Allgemein wird der Effektivwert y~ einer beliebigen, zeitlich periodischen Feldgröße11 y(t + T) = y(t) mit der Periodendauer T definiert durch     T  1 y2 (t) dt : y~ =  T  0 Bei rein harmonischem Verlauf der Größe y(t) folgt hieraus y^ y~ = p : 2 10 11

Der Ausdruck 8t 2 IR bedeutet „für alle t in der Menge der reellen Zahlen IR“. Zum Begriff der Feldgröße vgl. Abschnitt 1.3.

(1.28)

(1.29)

18

1 Grundlegende maschinenakustische Begriffe

Hinsichtlich des Effektivwertes der Leistung sind weiter führende Betrachtungen erforderlich. Beispielhaft wird hier die Leistung eines Einmasseschwingers betrachtet, der eine erzwungene Schwingung ausführt (vgl. hierzu Abschn. 4.1). Die Erregerkraft betrage F(t) = F^ cos(˝t + ') ;

(1.30)

wobei F^ die Amplitude der Kraft, ˝ die Kreisfrequenz und ' der Nullphasenwinkel sind. Diese Kraft verursacht eine erzwungene Schwingung des Massenpunktes mit der Geschwindigkeit x(t) _ = x^_ cos(˝t + ' + 2 )

(1.31)

mit der Amplitude x^_ und dem Phasenwinkel 2 gegenüber der erregenden Kraft. Für die augenblicklich vom Einmasseschwinger aufgenommene (positives Vorzeichen) bzw. abgegebene (negatives Vorzeichen) Leistung gilt ~_ P(t) = F~ xfcos 2 + cos[2(˝t + ') + 2 ]g

(1.32)

oder P(t) = P + S cos[2(˝t + ') + 2 ] ;

(1.33)

P = F~ x~_ cos 2 ;

(1.34)

S = F~ x~_ :

(1.35)

Die augenblickliche Leistung P(t) schwankt mit der Amplitude S und der doppelten Erregerkreisfrequenz 2˝ um einen Durchschnittswert P. In (1.33 und 1.34) ist zu beachten, daß ' der Nullphasenwinkel der Kraft und 2 der Phasenwinkel zwischen Schnelle und Kraft sind. In Anlehnung an den Sprachgebrauch der Elektrotechnik (vgl. auch DIN 40110) heißen P Wirkleistung und S Scheinleistung . Die Wirkleistung hängt von der Phasendifferenz zwischen Kraft und Schnelle ab. Anders als Feldgrößen kann die Leistung P(t) nach (1.33) über eine Schwingungsperiode T = (2)=˝ zeitlich integriert werden, weil diese nach (1.33) neben dem oszillierenden Anteil S cos[2(˝t + ') + 2 ] die zeitlich konstante Wirkleistung P enthält. Durch die Integration ergibt sich

1 Pm = T

T  P(t)dt = P :

(1.36)

0 Die zeitlich über eine Periodendauer gemittelte Leistung ist gleich der Wirkleistung. In der Maschinenakustik interessiert grundsätzlich die Wirkleistung. In den weiteren Kapiteln wird daher unter „Leistung“ stets die Wirkleistung verstanden. Die Wirkleistung ist gleichzeitig die effektive Leistung. Abschließend wird noch eine wichtige Beziehung für die Berechnung der Wirkleistung P aus den komplexen Effektivwerten von Kraft und Schnelle angegeben.

1.7 Effektivwerte

19

Die komplexen Effektivwerte von Erregerkraft und Schnelle sind ~ = F~ exp(i ') ; F x~_ = x~_ exp[i(' + 2 )] : Für die Wirkleistung gilt12 ~ x~_  g ; P = Re fF

(1.37)

und unter Beachtung von (1.29) folgt

P=

1 ^ x^_  g : Re fF 2

(1.38)

~ Re fx~_  g ist, wie durch Nachrechnen leicht ~ x~_  g 6= Re fFg Zu beachten ist, daß Re fF bestätigt werden kann. Gleichung (1.37) führt auf P = F~ x~_ cos 2 ; was mit (1.34) übereinstimmt.

Zusammenfassung 1. Bei zeitlich periodischen Feldgrößen geben Effektivwerte nach (1.28) zeitlich konstante, „mittlere“ Kennwerte an. Die Effektivwerte zeitlich rein harmonischer Feldgrößen lassen sich nach (1.29) berechnen. 2. Der Effektivwert der Leistung ist gleich der Wirkleistung nach (1.34). 3. In der Maschinenakustik wird. i.a. mit Effektivwerten gerechnet.

12

Re{z} bedeutet die Bildung des Realteils, Im{z} des Imaginärteils der komplexen Zahl z.

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen Zielsetzung und Inhalt dieses Kapitels: – Darstellung maschinenakustischer Größen im Zeit- und Frequenzbereich (Ganzes Kapitel) – Frequenzanalyse harmonischer Funktionen (Abschn. 2.1) – Fourier-Reihen periodischer Funktionen (Abschn. 2.2) – Kontinuierliche Fourier-Transformation allgemeiner, nichtperiodischer Funktionen (Abschn. 2.3) – Diskrete Fourier-Transformation für die digitale Signalverarbeitung (Abschn. 2.4) – Eigenschaften der kontinuierlichen und der diskreten Fourier-Transformation (Abschn. 2.5)

Alle für die Maschinenakustik relevanten Signale können als Funktionen der Zeit betrachtet werden. Typische Beispiele für derartige Zeitsignale sind der Schalldruck, die Schnelle an der Oberfläche einer schallabstrahlenden Struktur oder die Schalleistung. Um die Formulierung der Zusammenhänge zu vereinfachen, werden häufing rein harmonische Zeitsignale nach (1.3) (reelle Darstellung) oder (1.26) (komplexe Darstellung) vorausgesetzt. In den wenigsten maschinenakustischen Problemstellungen treten jedoch rein harmonische Zeitsignale, sondern allgemeine Zeitsignale auf. Diese besitzen zwar häufig dominante periodische Anteile, doch sie erfüllen die Periodizitätsbedingung (1.1) nicht. Die Analyse von solchen allgemeinen Zeitsignalen kann relativ aufwendig und die Darstellung dieser Signale im Zeitbereich wenig anschaulich sein. Daher ist es vorteilhaft, eine Abbildung der Signale aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich durchzuführen. In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, daß durch Anwenden der Fourier- Reihenentwicklung bzw. der FourierTransformation eine vereinfachte Analyse und eine anschaulichere Darstellung von Signalen im Frequnezbereich möglich ist. Dies wird durch eine Darstellung des allgemeinen Zeitsignals als eine gewichtete Superposition von harmonischen Funktionen unterschiedlicher Frequenz und unterschiedlicher Phasenlage erreicht.

2.1 Frequenzanalyse harmonischer Zeitsignale Zunächst soll auf die in Abschnitt 1.6 eingeführte komplexe Darstellung harmonischer Signale zurückgegriffen werden, um deren Darstellung im Frequenzbereich zu erläutern. Es sei daran erinnert, daß die Exponentialfunktion exp[i(!t + ')] in der komplexen Ebene als ein mit der Winkelgeschwindigkeit ! rotierender Einheitsvektor beschrieben werden kann. Zur Zeit t = 0 schließt dieser Vektor mit der positiven reellen Achse den Nullphasenwinkel ' ein (vgl. Abb. 2.1).

22

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen

Abb. 2.1. Rotierender Einheitsvektor

Entsprechend (2.1) kann eine harmonische Zeitfunktion der Kreisfrequenz !1 und der Amplitude a durch zwei in der komplexen Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit !1 bzw. !1 rotierende Vektoren beschrieben werden a g(t) = a0 +a cos(!1 t+') = a0 + fexp[i(!1 t+')]+expf[i(!1 t+')]g :(2.1) 2 In Abb. 2.2 wird dieser Zusammenhang grafisch dargestellt. Der stationäre Signalanteil wird mit a0 bezeichnet. Alternativ läßt sich (2.1) mit !k = k!1 als g(t) =

1 

G(!k ) exp(i!k t)

(2.2)

k=1

schreiben, wobei die Größen a a G(!1 ) = exp(i') ; G(!0 ) = a0 ; G(!1 ) = exp(i') : 2 2 als Fourier-Koeffizienten bezeichnet werden.

(2.3)

Abb. 2.2. Darstellung harmonischer Funktionen als Summe gegenläufig rotierender Vektoren

2.2 Fourier-Reihen periodischer Zeitsignale

23

2.2 Fourier-Reihen periodischer Zeitsignale Im nächsten Schritt werden beschränkte Zeitsignale betrachtet, die der Periodizitätsbedingung nach (1.1) genügen. Die Darstellung dieser Zeitsignale durch FourierReihen kann anhand eines anschaulichen Gedankenexperiments erläutert werden. Es wird ein Zeitsignal g(t) der Periodendauer T1 = 1=
1 betrachtet, das als eine gewichtete Superposition harmonischer Signalanteile dargestellt werden soll. Dann müssen diese gesuchten harmonischen Signalanteile notwendigerweise eine Frequenz
k = k
1 besitzen, um die Periodizitätsbedingung erfüllen zu können. Der Parameter k ist dabei Element der Menge der ganzen Zahlen. Der harmonische Signalanteil der Kreisfrequenz !k = 2
k kann ermittelt werden, indem das Zeitsignal mit einem rotierenden Zeiger der Kreisfrequenz !k multipliziert und das Integral 1 G(!k ) = T1

T 1 =2

g(t) exp(i!k t) dt

(2.4)

T1 =2

über eine Periodendauer gebildet wird. Falls das Signal g(t) eine mit der Kreisfrequenz !k rotierende Komponente besitzt, wird diese Rotation durch eine Multiplikation von g(t) mit dem entgegengesetzt rotierenden Einheitsvektor kompensiert. Das Integral über eine Periodendauer T1 ergibt den komplexen Fourier-Koeffizienten G(!k ). Die Komponenten aller anderen Frequenzen erfahren durch die Multiplikation eine Verschiebung ihrer Kreisfrequenz um !k . Wesentlich ist jedoch, daß die resultierenden Kreisfrequenzen wiederum ganzzahlige Vielfache der Grundkreisfrequenz !1 = 2
1 sind. Eine Integration dieser Komponenten über die Periodendauer ergibt deshalb den Wert Null. Als Gegenpart zur Hintransformation nach (2.4) kann die Rücktransformation durch eine komplexe Fourier-Reihenbildung erreicht werden. Jeder der FourierKoeffizienten G(!k ) wird dazu mit dem zugehörigen rotierenden Einheitsvektor der Kreisfrequenz !k multipliziert. Die Superposition der gewichteten Vektoren ergibt das Zeitsignal g(t) =

1 

G(!k ) exp(i!k t) :

(2.5)

k=1

In Abb. 2.3 werden Fourier-Koeffizienten exemplarisch dargestellt. Die Darstellung einer zeitabhängigen Funktion im Frequenzbereich wird als Spektrum dieser Größe bezeichnet. Es ist festzustellen, daß zu jedem Fourier-Koeffizient des positiven Frequenzbereiches ein konjugiert komplexer Partner im negativen Frequenzbereich existiert G(!k ) = G (!k ) :

(2.6)

Diese Symmetrie besteht jedoch nur unter der Voraussetzung, daß g(t) ausschließlich reelle und keine komplexen Werte besitzt, was für physikalische Signale zutrifft. Bei

24

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen

Abb. 2.3. Exemplarische Darstellung komplexer Fourier-Koeffizienten

symmetrischen Spektren wird im Rahmen der maschinenakustischen Interpretation üblicherweise nur der positive Frequenzbereich betrachtet. Eine anschauliche Darstellung einer Fourierschen Reihenentwicklung gibt Abb. 2.4, Das zugrunde liegende Zeitsignal läßt sich als Superposition eines zeitlich konstanten Signals mit rein harmonischen Signalen unterschiedlicher Frequenz, Amplitude und Phase deuten. Es ist zu beachten, daß (2.4) und (2.5) den Zusammenhang zwischen einer kontinuierlichen, periodischen Zeitfunktion und deren diskreten Darstellung im Frequenzbereich beschreiben. Da das Zeitsignal g(t) nicht als Bandpaßgefiltert vorausgesetzt wird, muß die Summation in (2.5) über eine unendliche Zahl von Summanden erfolgen. Gleichung (2.2) stellt dagegen die zu (2.5) analoge, wegen des harmonischen Zeitsignals auf die Grundfrequenz begrenzte Formulierung dar.

Abb. 2.4. Anschauliches Beispiel einer Fourier-Reihenentwicklung

2.2 Fourier-Reihen periodischer Zeitsignale

Beispiel 2.1 Gegeben: Rechteckfuntion gemäß Abb. 2.5 Gesucht: Fourier-Koeffizienten nach (2.4) Lösung Die Periodendauer der Funktion g(t  t0 ) beträgt T1 (vgl. Abb. 2.5). Ferner ist die Funktion gegenüber dem zeitlichen Ursprung (t = 0) um das Zeitintervall t0 verschoben. Sie weist die Amplitude ga auf und besitzt den Mittelwert g0 . Die Funktion ist für eine Periodendauer wie folgt definiert: g(t  t0 ) = g0 + ga

fur 0  t < T1 =2 ;

g(t  t0 ) = g0  ga

fur  T1 =2  t < 0 :

Bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten bleibt die Zeitverschiebung zunächst unberücksichtigt (t0 = 0). Gemäß (2.4) ergeben sich für k 6= 0 die Fourier-Koeffizienten zu 1 G(!k ) = T1

T 1 =2

g(t) exp(i!k t) dt T1 =2

⎡ ⎤  T1 0 2   g 1 ⎣ g0 + ga g 0 a = exp(i!k t) + exp(i!k t) ⎦ : T T1 i!k i! k  1 0 2

Unter Verwendung der Eulerschen Formel (1.21) folgt hieraus mit der Beziehung !k = 2
k = 2k
1 =

Abb. 2.5. Rechteckfunktion

2k T1

(2.7)

25

26

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen

für die gesuchten Fourier-Koeffizienten G(!k ) =

iga [cos(k)  1] : k

(2.8)

Aus (2.8) ist zu erkennen, daß für geradzahlige Parameter k = ˙2n; n = 1; 2; : : : die Fourier-Koeffizienten verschwinden. Für ungeradzahlige Parameter k = ˙2n  1; n = 1; 2; : : : resultieren rein imaginäre FourierKoeffizienten. Für k = 0 nimmt in (2.4) wegen (2.7) die Exponentialfunktion den Wert 1 an und es gilt 1 G(!0 ) = T1

T 1 =2

g(t) exp(i!0 t) dt T1 =2

⎡ ⎤  T1 0 2  1 ⎣ = (g0 + ga ) t + (g0  ga ) t ⎦ = g0 : T T1  1 0 2

Im nächsten Schritt wird der Einfluß der Zeitverschiebung berücksichtigt. Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich jetzt aus 1 G(!k ) = T1

T 1 =2

g(t  t0 ) exp(i!k t) dt : T1 =2

Mit der Substitution s = t  t0 folgt 1 G(!k ) = T1

T 1 =2

g(s) exp[i!k (s + t0 )] ds T1 =2

1 = exp(i!k t0 ) T1

T 1 =2

g(s) exp(i!k s) ds : T1 =2

Aus (2.9) folgt, daß die Zeitverschiebung eine Drehung der FourierKoeffizienten in der komplexen Ebene um den Winkel k = !k t0 bewirkt. Mit Hilfe der Eulerschen Formel (1.21) und von (2.8) ergibt sich für k 6= 0   2kt0 2kt0 ga [1  cos(k)] : G(!k ) = i cos  i sin T1 T1 k Für k = 0 gilt wieder G(!0 ) = g0 : Nachfolgend werden die Fourier-Koeffizienten der Rechteckfunktion nach Abb. 2.5 für k  0 mit t0 = T1 =20 und g0 = (3=4)ga grafisch dargestellt.

2.3 Fourier-Transformation

27

Abb. 2.6. Betrag-/Phasen-Darstellung der Fourier-Koeffizienten der Rechteckfunktion

Abbildung 2.6 zeigt das Amplituden- und Phasenspektrum (Darstellung von Beträgen und Phasen), wobei das Amplitudenspektrum durch  ga  jG(!k )j = 1  cos(k) k und das Phasenspektrum durch    Im(G(!k ))  2kt0 k = arctan =   !k t0 =   Re(G(!k )) 2 2 T1 gegeben sind. Die alternative Darstellung der Real- und Imaginärteile der Fourier-Koeffizienten zeigt Abb. 2.7 auf Seite 28. Die Darstellungen nach Abb. 2.6 bzw. 2.7 heißen Spektren. Allgemein ist ein Spektrum die Darstellung eines Signals oder eines seiner Anteile über der Frequenzachse.

2.3 Fourier-Transformation Die Formulierungen (2.4) und (2.5) sind auf periodische Signale beschränkt, doch kann die Fourier-Transformation auch auf allgemeine, nichtperiodische Signale angewendet werden. Prinzipiell kann dabei genauso verfahren werden, wie im Gedankenexperiment des vorherigen Abschnitts erläutert. Der wesentliche Unterschied besteht darin, daß der Grenzübergang T1 ! 1 bzw.
1 ! 0 vollzogen werden muß. Dies führt dazu, daß die Beschreibung der

28

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen

Abb. 2.7. Real-/Imaginärteil-Darstellung der Fourier-Koeffizienten der Rechteckfunktion

Zeitfunktion im Frequenzbereich nicht mehr durch diskrete Fourier-Koeffizienten, sondern durch eine kontinuierliche, komplexe Funktion 1 G(!) =

g(t) exp(i!t) dt

(2.9)

1

erfolgt. Die Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt sich zu 1 g(t) = 2

1 G(!) exp(i!t) d! :

(2.10)

1

Es ist zu beachten, daß Gln. (2.9) und (2.10) den Zusammenhang zwischen der kontinuierlichen, allgemeinen Zeitfunktion g(t) und der kontinuierlichen, komplexen Fourier-Transformierten G(!) beschreiben. Prinzipiell ist die FourierTransformation auf reelle und komplexe Zeitfunktionen g(t) anwendbar, die jedoch nach [12] folgende Bedingungen erfüllen müssen: – Die Zeitfunktion muß stückweise glatt sein und darf nur endlich viele Sprungstellen aufweisen. – Das Integral über g(t) exp(i!t) muß existieren. Die Gln. (2.4) und (2.5) für periodische Signale sowie (2.2) für harmonische Signale können als Sonderfälle der Fourier-Transformation interpretiert werden. Ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel stellt in der Maschinenakustik die Diracsche Delta-Funktion dar, die im folgenden als ı-Funktion bezeichnet wird. Die

2.3 Fourier-Transformation

29

Abb. 2.8. Übergang vom Rechteckimpuls zur ı-Funktion (nach Föller)

eindimensionale ı-Funktion wird formal definiert durch ı (t  t0 ) = 0 fur alle t 6= t0 ;

(2.11)

1  ı (t  t0 ) dt = 1 :

(2.12)

1 Diese formale Definition1 läßt eine anschauliche Interpretation zu. Die DeltaFunktion ı(t) kann entsprechend Abb. 2.8 als Rechteckimpuls mit unendlich kurzer Impulsdauer dt ! 0, unendlich große Amplitude und endlichem Flächeninhalt (S = 1) beschrieben werden. Die Funktion eignet sich beispielsweise als idealisierte Beschreibung für die in der Maschinenakustik gebräuchlichen Impulsanregung einer Struktur. Dabei ereignet sich der Impuls zum Zeitpunkt t0 . Die ı-Funktion ist keine Funktion im klassischen Sinn sondern eine sogenannte Distribution [55]. Dem Gebrauch der theoretischen Physik folgend werden nachstehend Operationen mit der ı-Funktion in einem rein formalen Sinn durchgeführt, wobei auf die (mögliche) mathematische Rechtfertigung nicht eingegangen wird. Eine Veranschaulichung der ı-Funktion liefert Abb. 2.8. Danach kann die ı-Funktion als Rechteckimpuls gedeutet werden, dessen Impulsbreite
t gegen Null 1

Sie ist mathematisch nicht sauber!

30

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen

und dessen Impulshöhe gegen 1 gehen, wobei der Flächeninhalt den konstanten Wert 1 beibehält. Daraus folgt die Darstellung: ⎧ 1 ⎪ t0  t  t0 +
t ; ⎨ lim
t!0
t ı (t  t0 ) = ⎪ ⎩ 0 t 6= t0 sonst : Als nächstes wird eine für die Anwendungen sehr wesentliche Eigenschaft der ı-Funktion angegeben. Es sei f(t) eine beliebige, an der Stelle t0 beschränkte und stetige Funktion. Dann existiert an der Stelle t0 das Riemannsche Integral  f(t) dt = F(t) : Somit gilt 1  f (t) ı(t  t0 ) dt

1 = lim
t!0
t

1

t0 +
t  f (t) dt t0

(2.13)

F (t0 +
t)  F (t0 ) = f (t0 ) :
t Durch die Integration über das Produkt f(t)ı(t  t0 ) wird also gerade der Funktionswert f(t0 ) an der Stelle t0 herausgegriffen. = lim


t!0

Beispiel 2.2 Gegeben: Delta-Funktion ı(t) Gesucht: Fourier-Transformierte F(!) der Delta-Funktion ı(t). Lösung: Aus (2.9) folgt unter Berücksichtigung von (2.13) 1  F(!) =

ı(t) exp(i!t) dt = 1 :

(2.14)

1 Die Fourier-Transformation der Delta-Funktion ı(t) liefert also als Ergebnis die gleichförmige Spektraldichte F(!) = 1. Es läßt sich leicht zeigen, daß dieses Ergebnis invariant gegen eine Zeitverschiebung t  t0 ist. Die Fourier-Transformation der einen Einzelpuls darstellenden Gl. (2.14) hat eine wichtige Bedeutung für die praktische Lärmminderung von Maschinen. Gl. (2.14) zeigt nämlich, daß im Zeitbereich stoßartig wirkende Kräfte im Frequenzbereich immer zu einer sehr breitbandigen Anregung führen. Je kürzer die Stoßdauer einerseits

2.4 Diskrete Fourier-Transformation

31

und je größer die Stoßamplitude andererseits sind, desto mehr entspricht die stoßartig wirkende Kraft im Zeitbereich einem ı-Impuls und desto breitbandiger ist ihr Spektrum im Frequenzbereich. Dies hat zwei praktische Konsequenzen. Zeitlich stoßartig wirkende Kräfte verursachen im Frequenzbereich immer eine sehr breitbandige Anregung. Daher sind stoßartige Anregungen nach Möglichkeit zu vermeiden. Sofern andererseits Strukturen zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden sollen (vgl. zum Begriff der erzwungenen Schwingung Kapitel 4, insbesondere Abschnitte 4.1.2 und 4.2.2), ist es sehr vorteilhaft, im Frequenzbereich möglichst breitbandig anzuregen, weil damit eine große Anzahl von Eigenschwingungen angeregt werden kann. Eine mögliche Technik besteht daher darin, mit Hilfe eines Hammerschlages im Zeitbereich einen ı-Impuls anzunähern, der im Frequenzbereich zu einem breitbandigen Spektrum mit annähernd konstanter Spektraldichte führt. Bei der Erfassung und Verarbeitung von Meßdaten sowie bei numerischen Berechnungen werden nahezu ausschließlich diskrete Zeit- und Frequenzdaten verarbeitet. Dabei ist eine Integration über unendliche Zeitintervalle nicht praktikabel. Daher ist die Fourier-Transformation gemäß (2.9) und (2.10) aber auch die FourierReihenentwicklung nach Gln. (2.4) und (2.5) für die praktische Anwendung nicht relevant.

2.4 Diskrete Fourier-Transformation Um den Anforderungen der digitalen Signalverarbeitung gerecht zu werden und um numerische Auswertungs- bzw. Berechnungsverfahren anwenden zu können sollen die Transformationsgleichungen der diskreten Fourier-Transformation (DFT) besprochen werden. Auch die DFT kann als Sonderfall der kontinuierlichen FourierTransformation angesehen werden. Sie stellt eine Approximation der kontinuierlichen Fourier-Transformation dar. Dabei werden folgende Forderungen an das Zeitund Frequenzsignal gestellt: – Sowohl die Zeit- als auch die Frequenzfunktion sind äquidistant diskret und periodisch. Im allgemeinen wird die diskrete Zeitfunktion g(tn ) durch eine Abtastung des kontinuierlichen Zeitsignals g(t) gewonnen (siehe Abb. 2.9). g(t) ! g(tn )

mit tn = n
t :

(2.15)

Das Zeitintervall
t wird dabei als Quotient aus der Periodendauer T und der Zahl der Abtastungen N berechnet T
t = ; N wobei N endlich und Element der natürlichen Zahlen ist. – Das Zeitsignal muß bandbegrenzt sein, die Abtastfrequenz
s = N=T muß mindestens doppelt so groß sein wie die höchste in g(t) enthaltene Frequenz. Diese Bedingung entspricht dem Shannonschen Abtasttheorem. Insbesondere die Bedingung der Periodizität innerhalb des Abtastintervalls ist bei den in der Maschinenakustik auftretenden Zeitsignalen in der Regel nicht zu erfüllen. Ein Verstoß gegen die Periodizitätsbedingung führt zu sogenannten Leckeffekten

32

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen

Abb. 2.9. Abtastung eines kontinuierlichen Zeitsignals

(leakage). Es treten dabei zusätzliche, dem diskreten Zeitsignal nicht zuordenbare Frequenzkomponenten auf. Eine Verminderung des Leckeffektes kann durch die Verwendung von sogenannten Fensterfunktionen erzielt werden, die durch eine zeitabhängige Gewichtung des Zeitsignals die Periodizität erzwingen. Aus einem Verstoß gegen das Abtasttheorem resultieren Bandüberlappungseffekte (aliasing), die zu einer Verfälschung der Darstellung im Frequenzbereich führen. Im Rahmen der meßtechnischen Anwendung können Bandüberlappungseffekte durch eine analoge Tiefpaß-Filterung des Zeitsignals und die Wahl einer geeigneten Abtastfrequenz vermieden werden. Näheres zu diesem Thema findet sich z.B. in [7]. Ausgehend von der komplexen Fourier-Reihe nach Gl. (2.5) ergibt sich nach einer Substitution des Zeitparameters t durch diskrete Zeitpunkte tn die Gleichung der Rücktransformation g(tn ) =

N1 

G(!k ) exp(i!k tn ) =

k=0

N1 

G(!k ) exp(i

k=0

2kn ): N

(2.16)

Die Hintransformation erhält man aus (2.4) ebenso durch Einführen diskreter Zeitpunkte tn , wobei die Integration über die Periodendauer aufgrund der diskreten Form des Zeitsignals durch eine Summation über die Zahl der Abtastungen zu ersetzen ist

G(!k ) =

1  1  2kn ): g(tn ) exp(i!k tn ) = g(tn ) exp(i N N N N1

N1

k=0

k=0

(2.17)

Die Summationsgrenzen werden hierbei entsprechend der üblichen Zählweise für die Abtastschritte gewählt. Dies ändert jedoch nichts an der Tatsache, daß die im allgemeinen komplexen Frequenzkomponenten G(!k ) unter der Voraussetzung eines reellen Zeitsignals die bei der Fourier-Reihe und der kontinuierlichen FourierTransformation erwähnte Symmetrieeigenschaft gemäß (2.6) besitzen.

2.5 Eigenschaften der Fourier-Transformation

33

Aufgrund der diskreten Zeit- und Frequenzbereichsdarstellung wird die DFT den aktuellen Anforderungen der digitalen Datenverarbeitung gerecht. Allerdings erkennt man aus (2.17), daß für eine Berechnung von N Fourier-Koeffizienten aus N abgetasteten Zeitwerten N2 komplexe Multiplikationen erforderlich sind. Mit der schnellen Fourier-Transformation (Fast Fourier Transform, FFT) steht ein Werkzeug zur Verfügung, das die Berechnung der N Fourier-Koeffizienten mit nur N log 2N komplexen Multiplikationen ermöglicht. Unter der Voraussetzung, daß die Zahl der komplexen Multiplikationen für die Rechenzeit bestimmend ist, ergibt sich aus der Anwendung der FFT gegenüber der DFT ein Rechenzeitverhältnis V von 2N ; (2.18) V=  wobei N = 2 ist. Für eine übliche Abtastzahl N = 8192 = 213 resultiert z.B. eine Rechenzeitersparnis um den Faktor V = 1260. Die Methode der schnellen Fourier-Transformation ist z.B. in [7] dargestellt. Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß für die Ergebnisinterpretation der FFT keine besondere Kenntnis des Algorithmus erforderlich ist. Dies ist dadurch zu erklären, daß die FFT nichts anderes ist als ein Verfahren für eine schnelle Auswertung der DFT.

2.5 Eigenschaften der Fourier-Transformation Abschließend sollen noch einige ausgewählte Eigenschaften der FourierTransformation erläutert werden, die teilweise eine vereinfachte Analyse der Zeitsignale ermöglichen. Tabelle 2.1 enthält eine Zusammenstellung wichtiger Eigenschaften für kontinuierliche Signale (Integralform der Fourier-Transformation) und für diskrete Signale (DFT, FFT). – Aus der Linearitätseigenschaft folgt, daß aus einer gewichteten Überlagerung von Zeitsignalen auch eine gewichtete Überlagerung der zugeordneten Spektren resultiert. Diese Eigenschaft ist für die Auswertung von Spektren von fundamentaler Bedeutung. – Aus einer Zeitverschiebung des Zeitsignals resultiert eine Phasenverschiebung der Fourier-Transformation. Dabei bleibt der Betrag der Fourier-Transformierten unverändert. – Eine nützliche Vereinfachung der Analysis durch die Fourier-Transformation resultiert für die Differentiation oder Integration von Zeitsignalen. Dies ist in der Maschinenakustik interessant, da der häufig mit Beschleunigungsaufnehmern gemessene Körperschall in Schnellen umgerechnet werden muß, um ihn z.B. als Randbedingung für die numerische Berechnung des abgestrahlten Luftschalls (vgl. Kapitel 9) oder für die Bestimmung des Abstrahlgrades (vgl. Kapitel 5, insbesondere (5.5)) nutzen zu können. – Aus dem Parsevalschen Theorem geht hervor, daß der Energieinhalt des Zeitsignals und des Frequenzsignals gleich ist.

34

2 Frequenzanalyse von Zeitsignalen

Tabelle 2.1. Wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation

Eigenschaften Linearität Zeitverschiebung

Kontinuierliche Signale

Diskrete Signale

a1 g1 (t) + a2 g2 (t) , a1 G1 (!) + a2 G2 (!) g(t  t0 ) , G(!) exp(i!t0 )

a1 g1 (tn ) + a2 g2 (tn ) , a1 G1 (!k ) + a2 G2 (!k ) g(tn  m
t) , 2km ) G(!k ) exp(i N –

dn g(t) , (i!)n G(!) dtn

Differentation im Zeitbereich

t

Integration

g() d ,

1

G(!) i!

–

Parsevalsches Theorem

1

jg(t)j2 dt =

1

1 1

jG(!)j2 d!

N1  n=0

jg(tn )j2 =

N1 1  jG(!k )j2 N k=0

(Energiegleichheit)

Zusammenfassung 1. Die Frequenzanalyse basiert auf der Transformation von Zeitsignalen in den Frequenzbereich. Dabei erfolgt eine Darstellung des Zeitsignals als eine gewichtete Superposition von harmonischen Funktionen unterschiedlicher Frequenz und Phasenlage. Die Darstellung im Frequenzbereich wird als Spektrum bezeichnet. 2. Das Ziel der Frequenzanalyse besteht in einer Vereinfachung der Analysis und in einer anschaulicheren Darstellung gegenüber dem Zeitbereich. Das Erkennen harmonischer Signalanteile ist für die maschinenakustische Analysis von wesentlicher Bedeutung. 3. Jedes periodische, beschränkte Signal läßt sich durch eine Fourier-Reihe nach (2.4) beschreiben. Aus einem kontinuierlichen Zeitsignal ergibt sich durch Bildung der Fourier-Reihe ein diskretes Frequenzsignal über den Bereich von 1 bis +1. 4. Für den allgemeinen Fall nichtperiodischer, kontinuierlicher Signale wird durch Anwendung der Integralform der Fourier-Transformation ein kontinuierliches Frequenzspektrum über den Bereich von 1 bis +1 erhalten. 5. Aufgrund der Anforderungen der digitalen Signalverarbeitung hat sich ein Transformationsverfahren durchgesetzt, das auf Zeitsignale anwendbar ist, die sowohl diskret als auch periodisch und bandbegrenzt sein können. Das Verfahren wird als diskrete Fourier-Transformation (DFT) bezeichnet. Es liefert als Ergebnis diskrete, periodische Spektren. 6. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) stellt ein Verfahren zur beschleunigten Auswertung der DFT dar.

2.5 Eigenschaften der Fourier-Transformation

7. Ausgehend von reellen Zeitsignalen ergeben sich bei der Anwendung der Frequenzbereichstransformation im Allgemeinen komplexe, zur Ordinate symmetrische Spektren. In der Maschinenakustik ist es üblich, sich auf die Betrachtung des positiven Frequenzbereiches zu beschränken.

35

3 Dämpfung von Körperschall Zielsetzung und Inhalt dieses Kapitels: – Grundlegende Dämpfungsmechanismen in der Maschinenakustik und ihre quantitative Beschreibung durch den Verlustfaktor (Abschn. 3.1) – Das Dämpfungsmodell von Kelvin und Voigt (Abschn. 3.2.1) – Analogie zwischen Kelvin-Voigt Modell und viskoelastischem Dehnstab (Abschn. 3.2.2) – Einführung des komplexen Elastizitätsmoduls zur Berücksichtigung der Dämpfung (Abschn. 3.2.2) – Dämpfende Beläge (Abschn. 3.3) Unter Dämpfung wird die Umwandlung mechanischer Energie in Wärme verstanden. Einem schwingenden mechanischen System wird daher durch Dämpfung mechanische Energie entzogen, so daß die Amplituden freier Schwingungen mit zunehmender Zeit exponentiell abnehmen bzw. die der erzwungenen Schwingungen auch in der Resonanz endlich bleiben. Die Dämpfung stellt daher in der Maschinenakustik einen grundsätzlich erwünschten Effekt dar. Zu unterscheiden ist zwischen der Dämpfung von Luft- und Körperschall. Für maschinenakustische Untersuchungen ist ausschließlich die letztere von Bedeutung. Die Dämpfung der von einer Quelle abgestrahlten Luftschallwellen wird in diesem Buch nicht behandelt, da sie für die Maschinenakustik bedeutungslos ist. Eine Einführung in dieses Thema bietet [36]. Der Einfluß der Dämpfung auf Wellen und Schwingungen wird von Gaul in einem Übersichtsartikel [21] dargestellt.

3.1 Physikalische Dämpfungsmechanismen In Maschinen erfolgt die Dissipation mechanischer Schwingungsenergie in Wärme im wesentlichen mittels der beiden folgenden physikalischen Effekte: – Innere Dämpfung innerhalb eines Werkstoffs ist auf mikrophysikalische Effekte, wie z.B. Gleitungen an Kristallebenen, Wandern von Versetzungen und Umordnungen im atomaren oder molekularen Bereich zurückzuführen. Sie ist bei Metallen im akustischen Frequenzbereich klein. Bei Kunststoffen und Gummi erreicht sie größere Werte. – Maschinen weisen im allgemeinen konstruktionsbedingte Fugen (z.B. WelleNabe-Verbindungen, Sitze von Wälzlagerringen, Teilfugen von Gehäusen) auf. Bei schwingender Beanspruchung treten in derartigen Konstruktionsfugen oszillierende Mikrobewegungen auf, die infolge von Reibung zu Fugendämpfung führen. Die Fugendämpfung liefert den weitaus größten Beitrag zur Dämpfung von Körperschall in Maschinen

38

3 Dämpfung von Körperschall

Abb. 3.1. Kraft-Weg-Diagramm bei Dämpfung

Bei Maschinen überwiegt stets die Fugendämpfung gegenüber der inneren Dämpfung. Die Dämpfung wird durch die dissipierte Energie gekennzeichnet. Das einfachste Modell stellt der gedämpfte Massenpunkt dar. Dieses Modell kann durch einen Massenpunkt realisiert werden, der sich unter einer Normalkraft geradlinig auf einer Ebene bewegt, wobei die Normalkraft senkrecht zu der Ebene steht. Der Ausschlag des Massenpunkts aus seiner Ruhelage werde mit x(t) bezeichnet, wobei t die Zeit ist. Infolge der Reibung wirkt eine der geradlinig vorausgesetzten Bewegung des Massenpunkts entgegengesetzt gerichtete Reibkraft F(t) zwischen dem Massenpunkt und der unterstützenden Ebene. Dem Massenpunkt wird eine periodische Bewegung x(t) mit der Periodendauer T aufgezwungen. Damit die periodische Bewegung aufrecht erhalten wird, muß die Reibungskraft zu jedem Zeitpunkt t überwunden und daher die inkrementelle Energie dWv = F(t) dx zugeführt werden. Durch Integration über eine Periode ergibt sich die Dämpfungsarbeit 1  Wv :=

F(t) dx :

(3.1)

Die anschauliche Darstellung von (3.1) in einem Kraft-Auslenkungs-Diagramm zeigt Abb. 3.1. Es ergibt sich während einer Periode eine geschlossene Kurve, die 1

Die Dämpfungsarbeit Wv wird auch als Verlustarbeit bezeichnet, was physikalisch nicht korrekt ist, da nach dem Energiesatz Energie nicht verloren gehen kann. Gemeint ist, daß mechanische Energie durch Dissipation in Wärme umgewandelt wird und damit dem System nicht mehr als mechanische Energie zur Verfügung steht.

3.1 Physikalische Dämpfungsmechanismen

39

als Kennlinie bezeichnet wird. Die von der Kennlinie umschlossene Fläche ist der Dämpfungsarbeit Wv proportional. Die Dämpfungsarbeit ist jedoch keine geeignete Größe zur Messung der Dämpfung, da sie vom Schwingungsausschlag abhängt. Daher wird die relative Dämpfung eingeführt. Diese ergibt sich, indem die Dämpfungsarbeit Wv auf die maximale elastische Formänderungsenergie U des Schwingers bezogen wird. Es seien xmax = x2 der maximale Schwingungsausschlag und F2 die zu diesemAusschlag gehörige Kraft (vgl. Abb. 3.1). Für die Formänderungsenergie U gilt 1 F 2 x2 : 2 Die relative Dämpfung ist damit gleich

(3.2)

U :=

:=

Wv : U

(3.3)

In der Maschinenakustik wird im allgemeinen mit dem Verlustfaktor  :=

2

=

Wv 2U

(3.4)

gerechnet. Eine Begründung für den Einschluß des Faktors 2  in den Nenner von (3.4) wird in Abschnitt 3.2 gegeben (vgl. insbesondere S. 43). Anhaltswerte für den Verlustfaktor W infolge innerer Dämpfung sind für die wichtigsten Metalle in Tabelle 3.1 zusammengestellt. Tabelle 3.2 enthält Richtwerte für den Verlustfaktor R infolge der Fugendämpfung . Es wurde bereits erwähnt, daß die Fugendämpfung (vgl. S. 37) der wichtigste Dämpfungsmechanismus in der Maschinenakustik ist. Die rechnerische Erfassung der Fugendämpfung ist allerdings nicht einfach. Bohlen und Gaul [6] haben ein aus parallel geschalteten Federn, viskosen Dämpfern und Coulombschen Reibelementen Tabelle 3.1. Verlustfaktor W infolge innerer Dämpfung für Metalle (nach Müller u.a.)

Werkstoff

Al

St

GGG

GGL

Messing

Zn

W

1
104

1
104

1
103

2
103

1
103

2
103

Tabelle 3.2. Verlustfaktoren R infolge von Fugendämpfung für Maschinen (nach Müller u.a.)

Konstruktionsart

Verlustfaktor R 3

Metallkonstruktionen aus wenigen dicken Teilen (Schiffsaußenhaut)

3
10 1
103

Metallkonstruktionen aus vielen dicken oder wenigen dünnen Teilen (Motor, Auto)

1
102

Metallkonstruktionen aus vielen dünnen Teilen (kleine, komplizierte Maschinen)

5
102 1
102

< 0,5 >1

kHz kHz

< 0,5 >1

kHz kHz

40

3 Dämpfung von Körperschall

bestehendes Modell eines überlappten und verschraubten Stoßes zweier Bleche aufgestellt. Die Parameter dieses Modells wie Federsteifigkeiten, Dämpfungskonstanten und Reibkraft der Fügestelle können nicht theoretisch vorherbestimmt, sondern müssen experimentell identifiziert werden. Hierzu wurde eine einfache Vorrichtung entwickelt. Ein Vergleich zwischen gemessenen und berechneten Amplitudengängen des Ausschlags zeigte eine gute Übereinstimmung. Das einfache eindimensionale Modell wurde auch auf ebene Fügestellen erweitert, wie sie z.B. in ebenen gefügten Rahmen oder Scheibenstrukturen vorkommen. Dieses Modell weist drei FederReibelemente auf und läßt Längs-, Quer- und Drehrelativbewegungen der beiden gefügten Partner zu. Es eignet sich zur Ankopplung an Finite Elemente (vgl. Kapitel 8). Der Aufwand für die experimentelle Identifikation der Modellparameter und die numerische Berechnung wird hier gegenüber dem eindimensionalen Modell entsprechend größer. Auch hier zeigte sich eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Versuchsergebnissen und Rechnung. Viele Maschinenstrukturen werden aus Blechkonstruktionen ausgeführt. Dünnwandige Blechkonstruktionen können in weiten Frequenzbereichen zu Schwingungen angeregt werden. Daher kommt einer Verminderung des Körperschalls von Blechwänden durch geeignete Dämpfungsmaßnahmen für die maschinenakustische Praxis besondere Bedeutung zu. Eine (teuere) Möglichkeit besteht darin, die Bleche mit hochviskosen Stoffen (z. B. Bitumenmatten) zu beschichten. Außerdem ist der Temperaturbereich beschränkt, in dem derartige Konstruktionen eingesetzt werden können. Eine Abhilfe stellt die Verwendung geschichteter Blechkonstruktionen dar, bei denen zwei dünwandige Bleche durch einzelne Punktschweißungen oder Niete verbunden werden. Zum akustischen Verhalten derartiger Blechkonstruktionen hat Bernhardt [4] eine umfangreiche Untersuchung vorgelegt. Es stellt sich heraus, daß die zwischen den beiden Blechplatten eingeschlossene Luftschicht eine sehr wirkungsvolle, breitbandig wirkende Erhöhung des Verlustfaktors bewirkt. Abbildung 3.2 zeigt den Verlustfaktor verschiedener am Rand und teilweise in der Mitte vernieteter Bleche. Es zeigt sich, daß der Verlustfaktor in einem großen Frequenzbereich (ca. 100 bis 4 000 Hz) weitgehend unabhängig von der Frequenz ist und in der Größenordnung von 0,04 liegt.

3.2 Das Kelvin-Voigt-Modell Die grundlegenden Eigenschaften des Kelvin-Voigt-Modells werden für den eindimensionalen Fall angegeben. Sodann wird gezeigt, wie die diesem Modell inhärente Dämpfung durch Einführen eines komplexen Elastizitätsmoduls auf kontinuierliche Körper erweitert werden kann. 3.2.1

Einfaches, eindimensionales Kelvin-Voigt-Modell

Zur rechnerischen Behandlung der Dämpfung werden Dämpfungsmodelle benötigt. Sie können ein-, zwei- oder dreidimensional sein und sich linear oder nichtlinear verhalten. Die einfachsten Modelle bestehen aus Kombinationen von elastischen

3.2 Das Kelvin-Voigt-Modell

41

Abb. 3.2. Verlustfaktoren geschichteter Bleche (nach Bernhardt)

k F

F c

Abb. 3.3. Kelvin-Voigt-Modell

Federn und viskosen Dämpfern, bei denen die Dämpferkraft der Geschwindigkeit proportional ist (lineare Dämpfer). Der Einbau Coulombscher Reibelemente führt zu nichtlinearem Verhalten. Hier soll nur das einfache Kelvin-Voigt-Modell besprochen werden, das aus einer Feder mit der Federkonstanten k und einem dazu parallel geschalteten, linearen viskosen Dämpfer mit der Dämpferkonstanten c besteht (vgl. Abb. 3.3). Die Feder-Dämpfer-Kombination nach Abb. 3.3 werde einer Verformung mit der Auslenkung x aus der Gleichgewichtslage und der Geschwindigkeit x_ unterworfen. Dann stellen sich in der Feder die Federkraft Fk = k x

(3.5)

und im Dämpfer die Dämpferkraft Fc = c x_

(3.6)

ein. Für die gesamte am Kelvin-Voigt-Modell wirkende Kraft gilt aus Gleichgewichtsgründen F = Fc + Fk = c x_ + k x :

(3.7)

42

3 Dämpfung von Körperschall

Abb. 3.4. Kraft und Auslenkung des Kelvin-Voigt-Modells in der komplexen Ebene

Wird dem Kelvin-Voigt-Modell eine komplexe harmonische Bewegung x = x^ exp(i !t)

(3.8)

aufgeprägt, so muß die sich einstellende Kraft die gleiche Zeitabhängigkeit aufweisen. Aus Gln. (3.7 und 3.8) folgt für diese Kraft F = (k + i c !) x = (k + i c !) x^ exp(i!t)

(3.9)

und damit für deren komplexe Amplitude F^ = (k + i c !) x^ :

(3.10)

Gl. (3.9 und 3.10) legen es nahe, eine komplexe Steifigkeit des Modells einzuführen k = (k + i c !) : Der Betrag dieser komplexen Steifigkeit  k^ = k2 + (c !)2

(3.11)

(3.12)

heißt absolute Steifigkeit . Aus (3.10) geht hervor, daß die komplexe Kraft F dem komplexen Ausschlag x um den Winkel ' voreilt mit c! tan ' = : (3.13) k Die komplexe Kraft F kann in Komponenten Fk bzw. Fc nach dem komplexen Ausschlag x und einer dazu in der komplexen Ebene senkrecht stehenden Komponente ^ F^ k und F^ c die Beträge der Amplituden der zerlegt werden (vgl. Abb. 3.4). Es seien F, komplexen Kraft F bzw. ihrer Komponenten nach Abb. 3.4. Dann folgt aus Abb. 3.4 für die Beträge der Amplituden der beiden Kraftkomponenten 1 ; F^ k = F^ cos ' = k^ x^ 1 + tan2 '

3.2 Das Kelvin-Voigt-Modell

43

tan ' : F^ c = F^ sin ' = k^ x^ 1 + tan2 ' Unter Berücksichtigung von Gln. (3.12 und 3.13) ergibt sich hieraus k F^ k = k^ x^ = k x^ ; 2 k + (c !)2

(3.14)

(c!=k) k F^ c = k^ x^ = c ! x^ ; k2 + (c !)2

(3.15)

was direkt auch aus Gln. (3.5 und 3.6) abgeleitet werden kann. Als nächstes wird die durch den Dämpfer dissipierte Dämpfungsarbeit berechnet. Sie kann durch zeitliche Integration der in den Dämpfer eingespeisten Leistung über einer Periode bestimmt werden T  Wv =

F(t) x(t) _ dt :

(3.16)

0 Für die Kraft F(t) ist in diesem Fall die am Dämpfer wirkende Kraft Fc einzusetzen. In komplexer Schreibweise gilt zunächst Fc = c x_ ; woraus unter Berücksichtigung von (3.8) für den Realteil der Dämpferkraft Fc = c x^ ! sin !t folgt. Mit der Periodendauer 2 =! ergibt sich aus (3.16) nach kurzer Zwischenrechnung Wv = c ! x^ 2 :

(3.17)

Die Formänderungsenergie folgt aus der Federkraft zu 1 k x^ 2 : 2 Damit wird nach (3.4) der Verlustfaktor c! : (3.18) = k Der Vergleich mit (3.13) zeigt, daß der Verlustfaktor gleich dem Tangens des Phasenwinkels zwischen Kraft und Ausschlag ist. Dies ist der Grund dafür, daß in der Definitionsgleichung (3.4) der Faktor 2  im Nenner aufgenommen wurde. Schließlich wird nach (3.17) die Verlustarbeit U=

Wv =  k  x^ 2 :

(3.19)

Gleichung (3.18) zeigt, daß die in der Maschinenakustik sehr häufig getroffene Annahme eines konstanten Verlustfaktors problematisch ist. Schon bei dem sehr

44

3 Dämpfung von Körperschall

Tabelle 3.3. Analogie zwischen Kelvin-Voigt-Modell und viskoelastischem Dehnstab

Kelvin-Voigt-Körper F x k c!

Viskoelastischer Dehnstab

E E#!

einfachen Kelvin-Voigt-Körper ist der Verlustfaktor proportional zur Frequenz. Dies ist physikalisch unmittelbar einleuchtend. Die Dämpferkraft des einfachen viskosen Dämpfers steigt mit der Geschwindigkeit linear an, die zur Frequenz proportional ist. In der Praxis stellt sich heraus, daß gemessene Verlustfaktoren i.a. eine mehr oder weniger ausgeprägte Abhängigkeit von der Frequenz aufweisen. Dennoch wird (auch in diesem Buch) immer wieder mit konstanten, von der Frequenz unabhängigen Verlustfaktoren gerechnet. Derartige Rechnungen ermöglichen in relativ einfacher Weise grundsätzliche Einsichten in das Wirken der Dämpfung. Durch das Rechnen mit der komplexen Steifigkeit k nach (3.11) wird in einer sehr einfachen Weise die Dämpfung in den Rechnungsgang eingeschlossen. Die komplexe Steifigkeit faßt die Federsteifigkeit k und die Steifigkeit c ! des viskosen Dämpfers zusammen. Sie enthält zusätzlich eine Information (vgl. (3.13)) über die durch die Dämpfung verursachte Phasenverschiebung zwischen Kraft und Ausschlag (vgl. Abb. 3.4). Bei der Kreisfrequenz Null entartet die komplexe Steifigkeit zu der reellen Steifigkeit der Feder. Mit zunehmender Kreisfrequenz wird die komplexe Steifigkeit mehr und mehr durch das Verhalten des viskosen Dämpfers bestimmt. Aus (3.13) folgt, daß für sehr große Kreisfrequenzen der Phasenwinkel zwischen Kraft und Ausschlag gegen 90ı geht. Ein Werkstoff, der sich wie das Kelvin-VoigtModell verhält, gehört zur Klasse der linear viskoelastischen Stoffe. Die meisten Kunststoffe zeigen bei kleinen Spannungen derartiges rheologisches Verhalten. 3.2.2 Verallgemeinerung für kontinuierliche Körper Als nächstes wird gezeigt, wie die Dämpfung bei der Berechnung von Schwingungen eines Kontinuums berücksichtigt werden kann. Das Kelvin-Voigt-Modell läßt sich auf einen Dehnstab mit konstantem Querschnitt übertragen. Dazu werden in Gln. (3.5–3.7) die Kraft F durch die Spannung , der Ausschlag x durch die Dehnung

, die Federkonstante k durch den Elastizitätsmodul E und die Dämpfungskonstante c durch E # ersetzt, wobei die zunächst noch unbestimmte Größe # die Dimension einer Zeit aufweist. Aus (3.7) wird mittels dieser Substitutionen _ : = E( + # )

(3.20)

Gleichung (3.20) stellt ein (besonders einfaches) eindimensionales viskoelastisches Stoffgesetz dar. Dieses viskoelastische Stoffgesetz läßt sich in zweifacher Hinsicht verallgemeinern. Einmal können zusätzliche „Federn“ und „Dämpfer“ eingebaut werden, um komplexeres viskoelastisches Verhalten zu modellieren. Zum anderen kann es auf zwei- und dreidimensionale Kontinua erweitert werden ([5]).

3.2 Das Kelvin-Voigt-Modell

45

Der Einbau des viskoelastischen Stoffgesetzes nach (3.20) z.B. in die Bewegungsgleichung der biegeschwingenden Platte (4.34) führt im allgemeinen Fall zu erheblichen mathematischen Schwierigkeiten. Diese können vermieden werden, wenn nur zeitlich harmonische Vorgänge2 zugelassen werden. In Analogie zu (3.8) wird daher angesetzt

= ^ exp i !t : Damit folgt aus (3.20) = E (1 + i # !) :

(3.21)

Ein Vergleich mit (3.9) ergibt die Analogie nach 3.3. Für die auf das Volumen bezogene durch Dämpfung dissipierte Energie des viskoelastischen Dehnstabes folgt nach einfacher Rechnung Wv = E # ! ^2 ;

(3.22)

wobei ^ die Amplitude der Dehnung ist. Ein Vergleich von Gln. (3.19 und 3.22) liefert den Zusammenhang zwischen der noch unbestimmten Größe # und dem Verlustfaktor  = !# :

(3.23)

Für die Anwendungen ist es zweckmäßig, einen komplexen Elastizitätsmodul einzuführen E := (1 + i) E :

(3.24)

Die Einführung eines komplexen Elastizitätsmoduls nach (3.24) bewährt sich sehr, wenn geschlossene Lösungen (vgl. 4.3.1) ermittelt werden. In der Methode der Finiten Elemente (vgl. Abschnitt 8.2) erweist sich eine andere Formulierung für die Berücksichtigung der Dämpfung oft als vorteilhaft, die als Rayleigh-Dämpfung bezeichnet wird. Sie wird zunächst für den Einmassenschwinger vorgestellt. Nach Rayleigh wird für die Dämpfungskonstante c in der Bewegungsgleichung (4.1) folgender Ansatz eingeführt c = am + bk ;

(3.25)

wobei a und b Konstante sind. Die Dämpfungskonstante c setzt sich also additiv aus zwei Anteilen zusammen, von denen der eine proportional zur Masse m und der andere proportional zur Federkonstanten k ist. Abschließend soll noch auf eine erhebliche Schwierigkeit bei der Anwendung aller Dämpfungsmodelle in der maschinenakustischen Berechnungspraxis hingewiesen werden. Alle bekannten Dämpfungsmodelle sind rein phänomenologischer Natur. Dies bedeutet, daß bei ihrer Anwendung immer Parameter aufgrund von Messungen identifiziert werden müssen. Abgesehen davon, daß Dämpfungsmessungen 2

Für maschinenakustische Berechnungen stellt dies keine Einschränkung dar, da in erster Linie periodische Vorgänge interessieren, die nach Abschnitt 2.2 durch Fourier-Reihen dargestellt werden können.

46

3 Dämpfung von Körperschall

nicht einfach sind, stellt sich häufig heraus, daß die hier wiedergegebenen, einfachen Dämpfungsmodelle nur eine begrenzte Aussagefähigkeit besitzen. Häufig ist die Annahme nicht gerechtfertigt, daß die Parameter, welche die Dämpfung beschreiben (z.B. Verlustfaktor ) unabhängig von der Frequenz sind. Hier hilft in manchen Fällen das Einführen einer frequenzabhängigen Dämpfung, die aber nur aufgrund sorgfältiger Messungen identifiziert werden kann. Ferner ist es sehr schwierig, wenn nicht unmöglich, die so gewonnenen Meßwerte für andere Anwendungen zu verallgemeinern.

3.3 Dämpfende Beläge Flächenhafte Strukturen (z.B. Platten und Schalen) können sehr wirksam durch Aufbringen eines viskoelastischen Belages bedämpft werden. Grundsätzlich stellt eine mit einem dämpfenden Belag versehene dünnwandige Struktur eine Verbundkonstruktion dar. Die Wirkung solcher Verbundkonstruktionen kann mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente (vgl. Kapitel 8) erfaßt werden. Voraussetzung hierfür ist, daß das Dämpfungsverhalten des Belages hinreichend genau bekannt ist. Neben der Berechnung mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente gibt es eine Reihe von elementaren Rechenverfahren, mit deren Hilfe das dämpfende Verhalten von Belägen bei auf Biegung beanspruchten Platten sehr einfach ermittelt werden kann. Diese Rechenverfahren besitzen für die Auslegung dämpfender Beläge grundsätzliche Bedeutung, da mit ihnen wesentliche physikalische Zusammenhänge transparent dargestellt werden können. 3.3.1

Platte mit dämpfendem Belag

In Abb. 3.5 ist die aus einer metallischen Grundplatte und einem dämpfenden Belag bestehende Verbundkonstruktion dargestellt. Die zu bedämpfende Grundplatte weist die Dicke h auf und besteht aus einem metallischen Werkstoff mit dem Elastizitätsmodul Ep . Auf dieser Platte ist einseitig ein viskoelastischer, dämpfender Belag mit der Dicke s, dem Elastizitätsmodul Ed und dem Verlustfaktor d aufgebracht. Oberst [54] hat für diese Anordnung eine Theorie entwickelt, die auf folgenden Voraussetzungen beruht:

Abb. 3.5. Platte mit dämpfendem Belag

3.3 Dämpfende Beläge

47

– Die Platte wird als schmaler Plattenstreifen aufgefaßt, bei dem die Breite wesentlich kleiner ist als die Biegewellenlänge3 (b  B ). – Der Verlustfaktor des Materials der Grundplatte ist wesentlich kleiner als eins (P  1). – Die Platte führt zeitlich rein harmonische Biegewellen mit der Kreisfrequenz ! aus. – Die Dämpfung des Belages ist wesentlich größer als die Dämpfung der Grundplatte (d  p ). Hier werden nur die Formeln mitgeteilt, mit denen der Verlustfaktor res und die Biegesteifigkeit Bres der Verbundkonstruktion berechnet werden können. Dazu werden die folgenden Abkürzungen eingeführt a :=

Ed ; Ep

(3.26)

:=

s ; h

(3.27)

Ep h3 : (3.28) 12 Dabei ist Bp die Biegesteifigkeit des Plattenstreifens. Die Beziehungen für die Berechnung des Verlustfaktors und der Biegesteifigkeit der Verbundkonstruktion lauten Bp =

res 3 + 6 + 4 2 + 2a 3 + a2 4 a
= ; d 1 + a 1 + 2a(2 + 3 2 + 2 3 ) + a2 4

(3.29)

Bres 1 + 2a(2 + 3 2 + 2 3 ) + a2 4 : = Bp 1 + a

(3.30)

Es läßt sich zeigen, daß das Verhältnis res =d für sehr große Werte des Dickenverhältnisses gegen eins geht. Ferner ist zu beachten, daß der Verlustfaktor der Verbundkonstruktion dann nicht von der Frequenz abhängt, wenn der Verlustfaktor des dämpfenden Belages unabhängig von der Frequenz ist. Dies trifft allerdings für die meisten in der Praxis eingesetzten Beläge nicht zu. Jedoch ergibt sich dann für den Verlustfaktor der Verbundkonstruktion der gleiche Frequenzgang wie für den dämpfenden Belag. Abbildung 3.6 zeigt das Verhältnis res =d der Verlustfaktoren in Abhängigkeit vom Dickenverhältnis = s=h. Als Parameter wird das Verhältnis a = Ed =Ep der Elastizitätsmoduli des Belages und der Grundplatte herangezogen. Es zeigt sich, daß der Verlustfaktor der Verbundkonstruktion mit zunehmendem Dickenverhältnis zunächst ansteigt, um dann bei sehr großen Werten gegen eins zu streben. Ferner zeigt sich, daß der Verlustfaktor der Verbundkonstruktion bei kleinem Dickenverhältnis um so größer wird, je größer der Elastizitätsmodul des dämpfenden Belages ist.

3

Vgl. hierzu Abschn. 4.2.1 insbesondere Gl. (4.58).

48

3 Dämpfung von Körperschall

Abb. 3.6. Verhältnis ausVerlustfaktoren derVerbundkonstruktion und der dämpfenden Schicht

in Abhängigkeit vom Dickenverhältnis

3.3.2

Eingezwängte Beläge

In Abb. 3.7 ist ein sog. eingezwängter Belag4 dargestellt5 . Gemäß Abb. 3.7 befindet sich eine viskoelastische Schicht der Dicke s zwischen zwei metallischen Platten der Dicke h1 bzw. h2 . Diesen beiden Platten werden die Indizes 1 und 2 zugeordnet. Der dämpfende, eingezwängte Belag erhält den Index d. Wird die Verbundkonstruktion auf Biegung beansprucht, so wird die viskoelastische Zwischenschicht (Index d) im wesentlichen auf Schub beansprucht (vgl. hierzu Abb. 3.7), weil die Unterseite der oberen Metallplatte Index 2) weniger gedehnt wird als die Oberseite der unteren Metallplatte (Index 1), die im folgenden wieder als Grundplatte bezeichnet wird. Es liegt also ein anderer Mechanismus als bei der Platte mit dämpfendem Belag vor. Die von Cremer und Heckel abgeleitete Theorie gilt nur für eingezwängte Beläge. Dies bedeutet, daß die Dicke h2 der metallischen Deckschicht zwar als wesentlich kleiner vorausgesetzt wird als die Dicke h1 der Grundplatte. Jedoch ergibt sich aus der hier vorgetragenen Theorie nicht der Grenzfall der viskoelastischen Deckschicht nach Abschn. 3.3.1, wenn die Dicke h2 der abdeckenden Schicht Null gesetzt wird. Weiter wird angenommen, daß die metallischen Platten und die viskoelastische Zwischenschicht Biegeschwingungen ausführen. Die Zwischenschicht darf nicht so nachgiebig sein, daß die Verformungen der beiden außen liegenden Platten als unabhängig betrachtet werden müssen. Werden die beiden Platten als starr betrachtet und 4 5

Die folgenden Ausführungen lehnen sich an Cremer und Heckl [13] an. Da in den folgenden Berechnungen nur die Längenkoordinate x1 auftritt, wird der Index 1 weggelassen.

3.3 Dämpfende Beläge

49

Abb. 3.7. Verbundkonstruktion aus zwei metallischen Deckplatten und einer viskoelastischen Zwischenschicht

die Zwischenschicht als rein elastisch aufgefaßt, so muß die Eigenfrequenz dieses Schwingungssystems wesentlich größer als die Betriebsfrequenz sein. Es gilt daher  Ed (m1 + m2 ) ! (3.31) s m1 m2 Im weiteren wird ein eingezwängter Belag mit dünner Deckplatte betrachtet. Dann ist die Dicke der Deckplatte wesentlich kleiner als die Dicke der Grundplatte (h2  h1 ). Da der Elastizitätsmodul der Zwischenschicht wesentlich kleiner ist als derjenige der metallischen Grundplatte (Ed  E1 ), kann die Biegesteifigkeit der Verbundkonstruktion näherungsweise gleich derjenigen der Grundplatte (Bres  B1 ) gesetzt werden. Unter den getroffenen Voraussetzungen leiten Cremer und Heckl folgende Beziehung für den Verlustfaktor der Verbundkonstruktion ab res h2 a2 g(!) E2 = d B1 [1 + g(!)]2 + 2d g2 (!)

(3.32)

In (3.32) ist g(!) eine dimensionslose, von der Kreisfrequenz ! abhängende Kenngröße  B1 Gd Gd g(!) := = ; (3.33) E2 h2 sk2 E2 h2 s! m0

50

3 Dämpfung von Körperschall

die in der Literatur als Schubparameter bezeichnet wird. Die Größe Gd ist der Schubmodul der viskoelastischen Zwischenschicht. Die Massenbelegung der Verbundkonstruktion ergibt sich zu m0 = 1 h1 + d s + 2 h2 :

(3.34)

Für die Geometriegröße a folgt aus Abb. 3.7 h1 + s: (3.35) 2 Es zeigt sich, daß anders als bei der Platte mit viskoelastischer Deckschicht (vgl. Abschn. 3.3.1) der resultierende Verlustfaktor von der Frequenz abhängt. Der Frequenzgang des Verlustfaktors wird durch die Funktion g(!)=[(1+g(!))2 +2d g2 (!)] bestimmt. Es ist zweckmäßig, für die grafische Darstellung des Verlustfaktors folgende bezogenen Größen einzuführen  E 2 h2 s m 0 1 = ! w := ; g(!) Gd B1 a=

res := res

B1 : E 2 h 2 a2

Wie leicht nachzuweisen ist, sind w eine dimensionslose Kreisfrequenz und res ein skalierter Verlustfaktor. Aus (3.32) folgt w res = d : (3.36) (1 + w)2 + 2d In Abb. 3.8 sind über der skalierten Kreisfrequenz w Kurven für den Frequenzgang des skalierten resultierenden Verlustfaktors res aufgetragen. Als Parameter für die Kurvenschar dient der Verlustfaktor d der viskoelastischen Zwischenschicht. Der Frequenzgang des resultierenden Verlustfaktors weist ein Maximum auf bei der Frequenz   1 + 2d B1 G d 1 : (3.37)
opt = 2 E2 h2 s m0 Näherungsweise gilt für diese Frequenz 1 cL1 h1 Gd
opt  1 + 2 ; 22 sh2 E2

(3.38)

wobei cL1 die Schallgeschwindigkeit longitudinaler Wellen in der Grundplatte ist. Der maximale, sich bei der optimalen Frequenz
opt einstellende Verlustfaktor beträgt opt =

 E2 h2 a2 d : B1 2(1 + 1 + 2 ) d

(3.39)

Aus Abb. 3.8 ist abzulesen, daß sowohl die Frequenz
opt der optimalen Dämpfung als auch der zugehörige optimale Verlustfaktor opt mit dem Verlustfaktor d der dämpfenden Zwischenschicht ansteigen. Der Verlustfaktor nimmt in der Nähe des

3.3 Dämpfende Beläge

51

Abb. 3.8. Abhängigkeit des skalierten resultierenden Verlustfaktors einer Platte mit dämpfen-

der Zwischenschicht und dünner Deckplatte von der skalierten Kreisfrequenz

Optimums nur langsam mit der Frequenz ab. Nach Cremer und Heckl [13] beträgt die „Halbwertsbreite“ ungefähr 5 Oktaven. Der maximal erreichbare Verlustfaktor opt hängt vom Verlustfaktor der viskoelastischen Zwischenschicht nicht aber von deren Schubmodul ab, was einen weiteren Unterschied zum einseitig aufgebrachten Belag (vgl. Abschn. 3.3.1) darstellt. Ferner beeinflussen die elastischen Eigenschaften und die Dicken der Grund- und der Deckplatte den optimalen Verlustfaktor. Sofern die Grundplatte dick ist, und daher B1  E1 h31 =12 gesetzt werden darf, und wenn die beiden Deckschichten wesentlich dünner als die Grundplatte (s  h1 ;h2  h1 ) sind, vereinfacht sich (3.39) mit a  h1 =2 zu opt 

 3 E2 h2 d : 2 E1 h1 1 + 1 +  2 d

(3.40)

Für d = 2, was das Maximum praktisch erreichbarer Werte darstellt, folgt aus (3.40), daß opt  0;9

E2 h2 E1 h1

wird. Es ist also günstig, für die Deckplatte einen Werkstoff mit einem Elastizitätsmodul zu wählen, der größer als derjenige der Grundplatte ist. Die Kombination einer Grundplatte aus Aluminium oder Titan mit einer Deckplatte aus Stahl wirkt sich also vorteilhaft auf die Dämpfung der Verbundplatte aus. Sofern die Grundplatte

52

3 Dämpfung von Körperschall

aus Stahl besteht, darf die Deckplatte keinesfalls aus einem Werkstoff mit geringerem Elastizitätsmodul ausgeführt werden. In einem solchen Fall soll dann auch eine Deckplatte aus Stahl gewählt werden. Beispiel 3.1 Gegeben: Eine Verbundplatte mit Grund- und Deckplatte aus Stahl. Die Dicken betragen: h1 = 10 mm, h2 = 1 mm. Für Stahl betragen die Schallgeschwindigkeit von Longitudinalwellen 5100 m/s und der Verlustfaktor  = 0;0001. Der Verlustfaktor der Zwischenschicht von 0,2 mm Dicke beträgt d = 1 und ihr Schubmodul Gd = 71,4 N/mm2 . Gesucht: Maximal erreichbarer Verlustfaktor und zugehörige Frequenz. Lösung: Aus (3.38) ergibt sich 1 5100 m=s 0;01 m 71;4 N=mm2 = 3941Hz : 22 0;0002 m 0;001 m 210000 N=mm2 Aus (3.40) folgt 1 3 0;2 mm p opt = = 0;012 2 10 mm 1 + 1 + 1 Gegenüber dem Verlustfaktor der Grundplatte von 0,0001 wird der Verlustfaktor der Verbundplatte um den Faktor 120 angehoben.
opt =

Abschließend wird noch darauf hingewiesen, daß die Ergebnisse in den Abschn. 3.3.1 und 3.3.2 für konstanten, d.h. frequenzunabhängigen Verlustfaktor abgeleitet wurden. Bei realen viskoelastischen Belägen kann die stets bestehende Abhängigkeit des Verlustfaktors von der Frequenz durch Messungen bestimmt und anschließend in der Berechnung berücksichtigt werden.

Zusammenfassung Beläge aus dämpfenden Material stellen eine sehr wirkungsvolle Maßnahme dar, um die Dämpfung von plattenartigen, metallischen Strukturen wirkungsvoll zu erhöhen. Es wird unterschieden zwischen einfachen (auf der Grundplatte aufgebrachten) und eingezwängten Belägen. 1. Bei aufgebrachten Belägen steigt die Dämpfung der Verbundkonstruktion mit der Dicke des dämpfenden Belages an. Bei sehr großen Werten des Verhältnisses Dicke des Belags zur Dicke der Grundstruktur nimmt die Dämpfung der Verbundkonstruktion den Wert des dämpfenden Belags an. Bei kleinen Dickenverhältnissen ist die Dämpfung um so größer, je größer der Wert des Elastizitätsmoduls des dämpfenden Belags ist. Die Dämpfung der Verbundkonstruktion ist bei frequenzunabhängigem Verlustfaktor ebenfalls frequenzunabhängig. Sonst weist sie den gleichen Frequenzgang wie der Verlustfaktor des dämpfenden Belags auf.

3.3 Dämpfende Beläge

2. Bei eingezwängten Belägen, die aus einer Grundplatte, dem dämpfenden Belag und einer metallischen, dünnwandigen Deckschicht bestehen, ist der Verlustfaktor der Verbundkonstruktion auch dann von der Frequenz abhängig, wenn der Verlustfaktor des dämpfenden Belags unabhängig von der Frequenz ist. In diesem Fall läßt sich eine Frequenz
opt angeben, bei der der Verlustfaktor der Verbundkonstruktion sein Maximum annimmt. Ferner ist es vorteilhaft, für die Deckplatte einen Werkstoff zu wählen, der einen größeren Elastizitätsmodul aufweist, als die Grundplatte. Beispielsweise ist es günstig für eine Grundplatte aus Aluminium oder Titan eine Deckplatte aus Stahl anzuordnen. Sofern die Grundplatte aus Stahl besteht, darf keinesfalls eine Deckplatte mit einem Werkstoff gewählt werden, dessen Elastizitätsmodul geringer als der von Stahl ist.

53

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen Zielsetzung und Inhalt dieses Kapitels: – Grundsätzliches zur Beschreibung des Körperschallverhaltens von technischen Strukturen – Freie und erzwungene Schwingungen des gedämpften Einmasseschwingers (Abschn. 4.1) – Eigenschwingungen und erzwungene Biegeschwingungen einer gedämpften dünnen Rechteckplatte (Abschn. 4.2) – Das Körperschallmaß als Indikatorfunktion für das Körperschallverhalten von Strukturen (Abschn. 4.3) – Das Körperschallmaß einer Rechteckplatte (Abschn. 4.3.1) – Abschätzverfahren für das Körperschallmaß (Abschn. 4.4) – Abschätzverfahren für das Körperschallmaß einer Rechteckplatte (Abschn. 4.4.1) – Ähnlichkeitsgesetze für das Körperschallmaß (Abschn. 4.4.2) – Körperschallmaß einer Platte mit vorgeschalteter Punktmasse am Ort der Krafteinleitung (Abschn. 4.4.3) – Auswirkungen von Rippen auf das Körperschallmaß (Abschn. 4.5) Für die Beurteilung des Körperschallverhaltens technischer Strukturen ist es günstig, das grundsätzliche Verhalten anhand von einfachen Modellen zu analysieren. Diese Modelle können selbstverständlich nicht für die quantitative Beurteilung des Körperschallverhaltens realer Konstruktionen herangezogen werden. Mit ihnen lassen sich jedoch wichtige Aussagen über das Körperschallverhalten von Maschinen gewinnen. Insbesondere können auch die Auswirkungen von konstruktiven Änderungen zwar nicht quantitativ aber tendenziell beurteilt werden. In diesem Kapitel werden daher zwei einfache Beispiele für das dynamische Verhalten von Strukturen vorgestellt. Zunächst wird das Beispiel des gedämpften Einmasseschwingers behandelt, der zu erzwungenen Schwingungen angeregt wird. Selbstverständlich bildet sich auf einem als punktförmig vorausgesetzten Einmasseschwinger kein Körperschall aus. Jedoch gestattet dieses Modell sehr wichtige Einsichten in das Schwingungsverhalten von Körpern mit komplexerer Geometrie. Als zweites Modell wird eine dünnwandige, rechteckige Platte behandelt, die erzwungene Biegeschwingungen ausführt. Abschließend wird das Körperschallmaß besprochen, das eine wichtige Indikatorfunktion für das Körperschallverhalten von Strukturen darstellt. Das Körperschallmaß kann auch zur Beurteilung des Körperschallverhaltens komplexer Strukturen herangezogen werden. Dabei werden deren Körperschallfelder numerisch mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente (FEM) berechnet (vgl. Kap. 8 ). In Abschnitt 4.4 wird ein einfaches Abschätzverfahren angegeben, das die Berechnung eines gemittelten Körperschallmaßes für einfache Strukturen ermöglicht. Anhand von Ähnlichkeitsgesetzen können die Auswirkungen konstruktiver Maßnahmen auf das Körperschallmaß beurteilt werden.

56

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

4.1 Der Einmasseschwinger Ein Schwinger mit nur einem Freiheitsgrad heißt Einmasseschwinger. Die einfachste Anordnung eines gedämpften Einmasseschwingers zeigt Abb. 4.1. Eine Masse m ist in Reihe mit einer Feder (Federsteifigkeit k) und einem zu dieser parallel angeordneten Dämpfer mit der Dämpfungskonstante c1 geschaltet. Auf die Masse m wirkt eine im allgemeinen Fall beliebig von der Zeit t abhängende Kraft F(t). Diese Kraft heißt Erregerkraft. Der Schwinger wird als krafterregt bezeichnet. Durch Freischneiden der Masse ergibt sich deren Bewegungsgleichung x m!" Tragheitskraft

+

_ cx !" Dampfungskraft

+

kx !" Steiˇgkeitskraft

=

F(t)  !"

:

(4.1)

a uere Kraft

Gleichung (4.1) läßt eine anschauliche Deutung zu. Die äußere, anregende Kraft F(t) steht zu allen Zeitpunkten im Gleichgewicht mit der Summe aus Trägheitskraft mx,  Dämpfungskraft cx_ und elastischer Rückstellkraft kx. Letztere wird auch als Steifigkeitskraft bezeichnet. Dieses Gleichgewicht aus äußerer Kraft oder äußeren Kräften mit der Summe aus Trägheits- oder Massenkraft, Dämpfungskraft und Steifigkeitskraft findet sich in allen dynamischen Problemen (vgl. hierzu auch Abschn. 4.2 und 8.1, insbesondere Gl. (8.7)). In der Maschinenakustik interessieren in erster Linie zeitlich periodische Anregungskräfte, da diese zu stationären Betriebszuständen führen. Da sich gemäß Abschnitt 2.2 jedes zeitlich periodische Signal in eine Fourier-Reihe entwickeln läßt, kann ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit vorausgesetzt werden, daß die Errergekraft F(t) rein harmonisch von der Zeit abhängt F(t) = F^ cos(˝ t + ') :

(4.2)

Hierin bedeuten F^ den Spitzenwert der Erregerkraft, ˝ die Erregerkreisfrequenz2 und ' den Nullphasenwinkel3 . Ohne Verletzung der Allgemeingültigkeit4 kann der

Abb. 4.1. Gedämpfter, krafterregter Einmasseschwinger

1

2

3

In der Mechanikliteratur werden manchmal die Federsteifigkeit mit dem Symbol c und die Dämpfungskonstante mit k bezeichnet. In diesem Buch werden Erregerkreisfrequenzen immer mit dem griechischen Buchstaben ˝ bezeichnet. Zur Definition des Nullphasenwinkels s. S. 15.

4.1 Der Einmasseschwinger

57

Nullphasenwinkel ' gleich Null gesetzt werden, was für das Weitere vorausgesetzt wird. Es erweist sich als zweckmäßig, die folgenden Abkürzungen nach DIN 1311 einzuführen  k ; !0 := (4.3) m ı :=

c : 2m

(4.4)

Die Größe !0 heißt (aus weiter unten einzusehenden Gründen) Eigenkreisfrequenz5 des ungedämpften Schwingers und die Größe ı Abklingkoeffizient . Mit den Abkürzungen nach Gln. (4.3 und 4.4) folgt aus (4.1) F^ x + 2ıx_ + !0 2 x = cos(˝ t): (4.5) m Gleichung (4.5) ist eine inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Ihre allgemeine Lösung setzt sich additiv aus der allgemeinen Lösung xh der homogenen und einer partikulären Lösung xp der inhomogenen Gleichung zusammen. Zunächst wird die Lösung der homogenen Gleichung betrachtet. 4.1.1

Freie Schwingungen des Einmasseschwingers

Die homogene Gleichung lautet x h + 2ıx_ h + !0 2 xh = 0 :

(4.6)

6

Mit dem Lösungsansatz xh = C exp(t) ;

worin C und  Konstanten sind, folgt zunächst

1;2 = ı ˙ ı2  !0 2 : Jedem der beiden Werte von  entspricht eine partikuläre Lösung von (4.6). Daher ergibt sich die vollständige Lösung zu  

(4.7) xh = exp(ıt) C1 exp( ı2  !0 2 t) + C2 exp( ı2  !0 2 t) : Es wird der Dämpfungsgrad eingeführt ı c = = p ; !0 2 km 4

5

6

(4.8)

In der Schwingungslehre kommt es stets nur auf die relative Phasenlage der „Antwort“ (z.B. Ausschlag, Geschwindigkeit, Beschleunigung) zur erregenden Ursache, d.h. im vorliegenden Fall der Kraft an. Zur Unterscheidung von Erregerkreisfrequenzen werden Eigenkreisfrequenzen stets mit dem griechischen Buchstaben ! bezeichnet. Es erweist sich als zweckmäßig im Lösungsansatz (4.6) mit einer komplexen Konstanten C zu arbeiten.

58

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

wobei für die Umformung Gln. (4.3 und 4.4) berücksichtigt wurden. Weiter läßt sich eine Beziehung zwischen dem in Kapitel 3 eingeführten Verlustfaktor , dem Dämpfungsgrad und der normierten Kreisfrequenz herstellen (4.9)

 = 2 :

Die Beziehung (4.9) spielt in der experimentellen Modalanalyse (vgl. hierzu Abschn. 11.4) eine wichtige Rolle. Bei der Durchführung der experimentellen Modalanalyse werden nämlich für die einzelnen Freiheitsgrade des Systems die modalen Dämpfungsparameter bestimmt, die in Analogie zu (4.9) definiert sind. Mit dem Dämpfungsgrad (4.8) läßt sich die homogene Lösung (4.7) schreiben als  

xh = exp(ıt) C1 exp(!0 2  1 t) + C2 exp(!0 2  1 t) : (4.10) Die Integrationskonstanten C1 und C2 sind aus den Anfangswerten zu bestimmen. Für das Weitere sind zwei Fallunterscheidungen erforderlich: > 1: starke Dämpfung, < 1: schwache Dämpfung. Wichtig für die maschinenakustische Praxis ist lediglich der Fall der schwachen Dämpfung ( < 1). Für die Behandlung der starken Dämpfung wird auf die Literatur (z.B. [37]) verwiesen. Mit der Abkürzung !2d := !20 (1  2 )

(4.11)

nimmt (4.10) wegen < 1 folgende Form an xh = exp(ıt)[C1 exp(i!d t) + C2 exp(i!d t)] :

(4.12)

Bei den Anwendungen interessiert nur der Realteil von (4.12), für den sich nach einer kurzen Zwischenrechnung xh = exp(ıt)(B1 cos !d t + B2 sin !d t)

(4.13)

ergibt. Hierin sind B1 und B2 reelle Integrationskonstanten, die aus den Anfangswerten bestimmt werden müssen. Mit den zur Zeit t = 0 geltenden Anfangswerten x0 des Ausschlags und v0 der Geschwindigkeit ergeben sich xh = exp(ıt)(x0 cos !d t +

v0 + ıx0 sin !d t) !d

(4.14)

und die äquivalente Darstellung xh = A exp(ıt) cos(!d t + 'd ) : Hierin bedeuten # A :=

x20 +



v0 + ıx0 !d

(4.15)

2 (4.16)

4.1 Der Einmasseschwinger

59

und 'd :=  arctan

v0 + ıx0 : ! d x0

(4.17)

Die Darstellung (4.15) zeigt, daß sich die Lösung der homogenen Differentialgleichung (4.6) im Fall der schwachen Dämpfung aus drei Anteilen zusammensetzt. Die Größe A stellt eine Amplitude dar. Der zweite Faktor klingt mit zunehmender Zeit t exponentiell gegen Null ab, wobei zu ersehen ist, daß der Abklingkoeffizient ı nach (4.4) das exponentielle Abklingen der Lösung steuert. Der dritte Faktor schließlich beschreibt eine mit der Schwingungsdauer Td :=

2 !d

(4.18)

periodische Schwingung. Die Größe !d nach (4.11) ist also die Eigenkreisfrequenz des schwach gedämpften Einmasseschwingers. Für verschwindende Dämpfung (ı = 0 bzw. = 0) geht sie in die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers nach (4.3) über. Die Lösung (4.15) führt zu dem für die gesamte Schwingungslehre und damit auch für die Maschinenakustik sehr wichtigen Begriff der Eigenschwingung . Gemäß Gln. (4.11, 4.3 und 4.8) hängt die Lösung der homogenen Gleichung nur von den Systemdaten m; k und c sowie den Anfangswerten x0 und v0 ab. Wird der Schwinger zur Zeit t = 0 aus der Anfangslage x0 mit der Geschwindigkeit v0 sich selbst überlassen, so führt er zu allen Zeiten t > 0 unabhängig von der Außenwelt abklingende Eigenschwingungen mit der Eigenfrequenz
d = !d =(2) aus. Die mit der Zeit exponentiell abklingende Eigenschwingung ist in Abb. 4.2 dargestellt. Der nach dem Term exp(ıt) stehende zweite Term auf der rechten Seite von (4.15) ist periodisch mit der Eigenkreisfrequenz !d des schwach gedämpften Schwingers.

Abb. 4.2. Abklingende, schwach gedämpfte Eigenschwingung

60

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

Zusammenfassung Die bisherigen Erkenntnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen: 1. Wird ein schwach gedämpfter Einmasseschwinger zu Zeit t = 0 aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt (durch Vorgabe einer Anfangsauslenkung x0 und einer Anfangsgeschwindigkeit v0 ), so führt er eine Schwingung aus, die mit der Zeit exponentiell abklingen. Ferner weist diese Schwingung einen harmonischen Anteil auf. Die gesamte Schwingung heißt Eigenschwingung. 2. Für die Kreisfrequenz der Eigenschwingung gilt Gl. (4.11).Aus ihr ergeben sich die folgenden Schlüsse: – Die Eigenkreisfrequenz hängt nur von den gegeben Systemdaten m, k und c ab. – Die Eigenkreisfrequenz !0 des ungedämpften Schwingers ergibt sich nach (4.3) aus der Quadratwurzel des Verhältnisses von Federsteifigkeit zur Masse des Einmasseschwingers. Dies läßt sich interpretieren. Werden in (4.1) die Dämpferkonstante c und die Erregerkraft F Null gesetzt, so ergibt sich die Bewegungsgleichung des freien, ungedämpften Schwingers. Die Summe aus Trägheitskraft mx und der elastischen Rückstellkraft kx der Feder muß zu allen Zeiten verschwinden. Bei der Eigenschwingung des ungedämpften Einmasseschwingers herrscht also eine ständige Konkurrenz zwischen Trägheitskraft und elastischer Rückstellkraft. – Weiter zeigt sich, daß die Eigenkreisfrequenz um so größer wird, je größer die Federkonstante k ist und um so kleiner, je größer die Masse m ist. Diese Abhängigkeit liegt auch bei komplexeren Schwingern (vgl. hierzu Abschn. 4.2) vor. Deren Eigenfrequenzen lassen sich durch Vergrößerung der Steifigkeit und/oder durch Verminderung der Masse erhöhen. – Die Dämpfung hat nach (4.11) nur einen relativ kleinen Einfluß auf die Größe der Eigenkreisfrequenz, da i.a. der Dämpfungsgrad wesentlich kleiner als 1 ist (  1). 3. Die „Amplitude“ A der Eigenschwingung hängt nach (4.16) nur von den Anfangswerten x0 und v0 sowie von den Systemparametern ab. Das Gleiche gilt auch für den Phasenwinkel 'd . Physikalisch bedeutet dies, daß ein freier Schwinger nach der Auslenkung aus seiner Gleichgewichtslage ausschließlich eine Eigenschwingung ausführen kann, die nur von den Anfangsdaten und den Systemdaten abhängt. Dieser Sachverhalt gilt in analoger Weise für beliebig komplexe Schwinger, wobei bei diesen eine Vielzahl von Eigenschwingungen auftreten (vgl. hierzu Abschn. 4.2).

4.1 Der Einmasseschwinger

4.1.2

61

Erzwungene Schwingungen des Einmasseschwingers

Bei der Ermittlung der erzwungenen Schwingungen zeigen sich die Vorteile des Rechnens mit komplexen Größen (vgl. hierzu Abschn. 1.6). Die Erregerkraft wird als komplexe Größe beschrieben F(t) = F^ exp(i˝t) ;

(4.19)

wobei voraussetzungsgemäß der Nullphasenwinkel der Kraft ' = 0 gesetzt wird (vgl. hierzu Abschnitt 4.1 S. 57). Der reellen Bewegungsgleichung (4.5) entspricht die komplexe Differentialgleichung F^ exp(i˝t) : (4.20) m Für das weitere ist es zweckmäßig, eine normierte Erregerkreisfrequenz

x + 2ıx_ + !20 x =

=

˝ !0

(4.21)

einzuführen. Die tatsächliche Erregerkreisfrequenz ˝ wird also auf die Eigenkreisfrequenz !0 des ungedämpften Schwingers bezogen. Die komplexe Amplitude des Schwingwegs der erzwungenen Schwingung läßt sich darstellen7 durch 1 F^ : (4.22) x^ = k 1  2 + i2 Wird in (4.22) die normierte Frequenz = 0 gesetzt, so ergibt sich der statische ^ Ausschlag F=k. Wird der frequenzabhängige komplexe Ausschlag x^ durch den stati^ geteilt, so ergibt sich ein dimensionsloser komplexer Ausdruck, schen Ausschlag F=k der eine Funktion der normierten Frequenz xk ^ 1 := V3 ( ) = 1  2 + i2 F^ ist. Allgemein werden bei Schwingern derartige dimensionslose Funktionen der normierten Frequenz als Vergrößerungsfunktionen bezeichnet. In (4.22) heiß t der Ausdruck V3 ( ) :=

1 1  2 + i 2

(4.23)

daher Vergrößerungsfunktion des Schwingweges. Außer dieser Größe gibt es noch zwei weitere Vergrößerungsfunktionen, die ebenfalls komplex sind. Diese sind die Vergrößerungsfunktion der Geschwindigkeit V2 ( ) := 7

i : 1  2 + i 2

(4.24)

Die Ableitungen der folgenden Beziehungen finden sich z.B. in [40, Abschn. 2.1.2].

62

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

und die Vergrößerungsfunktion der Beschleunigung V1 ( ) :=

 2 : 1  2 + i 2

(4.25)

Zwischen den komplexen Vergrößerungsfunktionen gelten die Beziehungen V1 ( )) = i V2 ( ) =  2 V3 ( ) :

(4.26)

Die komplexen Amplituden der Geschwindigkeit und der Beschleunigung berechnen sich mit Hilfe der zugehörigen Vergrößerungsfunktionen zu F^ x^_ = p V2 ( ) km

(4.27)

F^ V ( ) : m 1

(4.28)

x^ =

Für den Betrag des komplexen Schwingwegs folgt aus Gln. (4.22) und (1.24) jxj ^ =

1 F^

: k (1  2 )2 + 4 2 2

(4.29)

Entsprechend gilt für die Beträge der Geschwindigkeit und der Beschleunigung

F^ ^_ = p

; jxj km (1  2 )2 + 4 2 2 ^ = jxj

2 F^

: m (1  2 )2 + 4 2 2

(4.30)

(4.31)

Zunächst werden die Vorfaktoren der komplexen Amplituden von Ausschlag, Geschwindigkeit und Beschleunigung betrachtet. Bei der Diskussion von (4.22) wurde ^ gleich der statischen Zusammenbereits darauf hingewiesen, daß der Vorfaktor F=k drückung ist, welche die Feder des Einmasseschwingers unter der Wirkung der Kraft ^ 0 =k in (4.30) ist gleich der Geschwindigkeit eines Punktes F^ erfährt. Der Vorfaktor F! beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, wobei dieser Punkt eine harmoni^ als Amplitude und der sche Schwingung mit der statischen Zusammendrückung F=k Eigenkreisfrequenz !0 des ungedämpften Einmasseschwingers ausführt. Der Vorfak^ tor F=m in (4.31) schließlich ist gleich der Beschleunigung, welche ein Massenpunkt der Masse m unter Einwirkung der Kraft F^ erfährt. ^ i ( ) (i = 1, 2, 3) enthalten InformaDie komplexen Vergrößerungsfunktionen V tionen sowohl über den Betrag der ihnen zugeordneten Größen Beschleunigung, Schnelle und Schwingweg als auch über deren Phasenlage in bezug auf die Erregerkraft. Im folgenden werden die Beträge der komplexen Vergrößerungsfunktionen als Vergrößerungsbeträge bezeichnet. In diesem Buch wird nur die Abhängigkeit des Vergrößerungsbetrages V2 ( ) von der normierten Erregerkreisfrequenz dargestellt. Die Frequenzgänge der Vergröße-

4.1 Der Einmasseschwinger

63

Abb. 4.3. Vergrößerungsbetrag V2 für die Schnelle

rungsbeträge V1 ( ) und V3 ( ) finden sich in [40]. In Abb. 4.3 ist der Frequenzgang des Vergrößerungsbetrages V2 in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad als Parameter dargestellt. In der Nachbarschaft (  1) der Eigenkreisfrequenz !0 des ungedämpften Schwingers wird bei kleinem Dämpfungsgrad der Vergrößerungsbetrag für die Schwinggeschwindigkeit sehr groß. Für = 1 stellt sich unabhängig von der Größe des Dämpfungsgrads das Maximum des Vergrößerungsbetrages V2 ein. Es liegt Resonanz vor. Für sehr kleine Erregerkreisfrequenzen (  1) geht der Vergrößerungsbetrag mit linear gegen Null. Die Schnelle verhält sich dann näherungsweise wie ^ ^ der FeF˝=k und ist damit proportional zur statischen Zusammendrückung F=k der. Bei sehr kleinen Erregerkreisfrequenzen ˝  !0 schwingt die Masse mit der ^ mit der Kreisfrequenz ˝ der anregenden Kraft. Die TrägheitsWegamplitude F=k kraft und die Dämpfungskraft sind dabei vernachlässigbar. Es liegt quasistatisches Verhalten vor. Für sehr große Erregerkreisfrequenzen (˝  !0 bzw:  1) geht die Schnelle asymptotisch mit 1= gegen Null. Von großer Anschaulichkeit für maschinenakustische Betrachtungen ist die Darstellung des Pegels LV2 der Vergrößerungsfunktion V2 über dem Logarithmus der normierten Erregerkreisfrequenz. Dabei wird als Referenzwert für die Pegelbildung V20 = 1 gewählt. Gegenüber der üblichen Darstellung bietet sich der Vorteil, daß ein wesentlich größerer Frequenzbereich erfaßt wird. Ferner ist zu erkennen, daß in weiten Frequenzbereichen der Vergrößerungsbetrag unabhängig vom Dämpfungsgrad ist und sich im doppelt logarithmischen Maßstab als Geradenpaar darstellt. Nur p p innerhalb der Frequenzdekade 1= 10 < < 10 weicht der Vergrößerungsbetrag nennenswert von dem Geradenpaar ab und zeigt dort eine ausgeprägtep Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad . Fürpdas Weitere werden eine untere u = 1= 10 und eine obere Grenzfrequenz o = 10 eingeführt. Der Pegel des Vergrößerungsbetrages für

64

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

die Schnelle steigt unterhalb der unteren Grenzfrequenz um 20 dB pro Frequenzdekade an, oberhalb der oberen Grenzfrequenz fällt er um 20 dB pro Frequenzdekade.

Zusammenfassung Aus den Betrachtungen der erzwungenen Schwingungen des Einmasseschwingers lassen sich folgende Schlüsse ziehen: 1. Die Reaktion des Systems hängt sehr stark von dem Verhältnis der Erregerkreisfrequenz ˝ zur Eigenkreisfrequenz !0 des ungedämpften Schwingers ab. 2. Für sehr kleine Erregerkreisfrequenzen ˝  !0 geht die Schnelle asymptotisch mit ˝ gegen Null. 3. Für sehr große Erregerkreisfrequenzen ˝  !0 geht die Schnelle mit 1=˝ asymptotisch gegen Null. 4. Sofern die Erregerkreisfrequenz Werte in der Nähe der Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers annimmt, stellen sich große Werte der Schnelle ein. Der Betrag der Schnelle hängt dabei vom Dämpfungsgrad ab. Wird die Erregerkreisfrequenz gleich der Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers, so nimmt die Schnelle ein Maximum an. Es liegt Resonanz vor. 5. Für ˝ < !0 bzw. < 1 liegt unterkritischer, für ˝ > !0 bzw. > 1 überkritischer Betrieb vor. 6. In der Praxis muß der Betrieb eines Schwingers in der Nähe der Resonanz unbedingt vermieden werden, da sonst Dauerbrüche und bei komplexeren Schwingern erhebliche Geräusche auftreten. Anzustreben ist nach Möglichkeit überkritischer Betrieb. Dies bedeutet, daß bei Einmasseschwingern und Schwingern mit nur wenigen Freiheitsgraden eine möglichst tiefe Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers anzustreben ist. Nach (4.3) kann dies erreicht werden, indem entweder eine kleine Federsteifigkeit k und/oder eine große Masse m gewählt werden. Grundsätzlich läßt sich in der Regel die Steifigkeit nicht unter einen Grenzwert vermindern. Daher bleibt dann nur die Möglichkeit, die Masse zu erhöhen, was aber aus Gründen des Leichtbaus i.a. unerwünscht ist. Bei Schwingern mit vielen Freiheitsgraden sind die Verhältnisse wesentlich komplexer. Durch ein Absenken der ersten Eigenfrequenz kann sich bei überkritischem Betrieb die Anzahl der Eigenschwingungen im betrachteten Betriebsbereich vergrößern. Dadurch kann es zu einer Erhöhung der Wahrscheinlichkeit kommen, daß Resonanzen auftreten.

Schließlich wird noch die in Abschnitt 1.5 eingeführte Admittanz des Einmasseschwingers berechnet. Da beim Einmasseschwinger die Orte der Krafteinleitung und der ermittelten Schnelle zusammenfallen, ist die Admittanz mit der Eingangsad-

4.2 Biegeschwingungen von Rechteckplatten

65

Abb. 4.4. Pegel des Vergrößerungsbetrages V2 für die Schnelle

mittanz identisch, und der Index E entfällt für diese. Aus Gln. (1.16 und 4.30) folgt (wegen x0 = xe ) für die Admittanz des Einmasseschwingers i 1 h= p : 2 + i2 1 

km Unter Beachtung von (4.24) ergibt sich V ( ) h = p2 : (4.32) km Durch Pegelbildung des Betrages von (4.32) ergibt sich die Pegeldarstellung der Admittanz des Einmasseschwingers zu  

dB ; (4.33) Lh = 20 lg (1  2 )2 + 4 2 2 p wobei der Referenzwert gleich 1= km gesetzt wird. Der Pegel der Admittanz des Einmasseschwingers entspricht dem Pegel des Betrags der Vergrößerungsfunktion V2 für die Schnelle (vgl. Abb. 4.4).

4.2 Biegeschwingungen von Rechteckplatten Platten sind sehr dünnwandige, ebene Strukturen. Dabei ist die Ausdehnung der Platte senkrecht zur Ebene wesentlich kleiner als in ihr. Platten können mittels zweidimensionaler Modelle beschrieben werden. Sie sind daher ein zweidimensionales Kontinuum. Eine Platte, die Biegeschwingungen ausführt, stellt das einfachste Modell für die Ausbildung von Körperschall auf maschinenbaulichen Strukturen dar.

66

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

Alle Größen, die für Biegeschwingungen der Platte kennzeichnend sind, wie z.B. Durchbiegung (Ausschlag) und Schnelle, hängen sowohl von den Ortskoordinaten als auch von der Zeit als unabhängigen Variablen ab. Das Verhalten der Platte wird durch zeitabhängige Felder beschrieben. Auf einer Biegeschwingungen ausführenden Platte liegt ein Körperschallfeld vor. Für das Folgende wird ein kartesisches x1 ;x2 ;x3 -Koordinatensystem zugrunde gelegt. In der x1 -x2 -Ebene dieses Koordinatensystems befinde sich eine abgeschlossene, materielle Fläche, die einfach oder mehrfach zusammenhängend sein kann. Aus dieser als Mittelebene bezeichneten Fläche entsteht eine Platte, indem von jedem Punkt der Mittelebenen aus in Richtung des positiven und negativen Normaleneinheitsvektors (d.h. also in positiver und negativer x3 -Richtung) eine Strecke von der Länge h=2 mit Materie angefüllt wird. Die Länge h heißt Plattendicke. Im allgemeinen kann die Plattendicke veränderlich sein, d.h. sie hängt von den Ortskoordinaten x1 ;x2 der Mittelebene ab. Für das Folgende wird vorausgesetzt, daß die Plattendicke h konstant ist (h = const). Des weiteren werden im folgenden nur rechteckige Platten betrachtet, bei denen die Mittelebene ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b ist. Eine solche rechteckige Platte stellt also einen Quader mit den Kantenlängen a;b und h dar. Ein schwingender Quader besitzt unendlich viele Freiheitsgrade. Wird ein derartiger dreidimensionaler Körper zu Schwingungen angeregt, so bilden sich infolge der Trägheitskräfte in seinem Inneren und evtl. auf seinen Oberflächen Wellen aus. Wellen sind Auslenkungen eines Körpers aus seiner Gleichgewichtslage, die von den Ortskoordinaten und der Zeit abhängen. In der Mechanik fester Körper sind verschiedene Formen von Wellen bekannt. Die wichtigsten sind Längs- oder Dilatations-, Scher- und Biegewellen. Ist die Wandstärke h einer Platte wesentlich kleiner als die Abmessungen ihrer Mittelfläche, und wird die Platte durch senkrecht zur Mittelfläche wirkende Kräfte erregt, so treten in ihr ausschließlich Biegewellen auf. Diese Biegewellen sind für die Schallabstrahlung von grundlegender Bedeutung, da sie die Teilchen der die Platte umgebenden Luft zu Längsschwingungen anregen, die im akustischen Frequenzbereich als Schall wahrgenommen werden. Dilatations- und Scherwellen führen dagegen nicht zur Abstrahlung von Luftschall. Daher werden im folgenden ausschließlich Biegewellen von Platten behandelt. Zur Beschreibung der Biegewellen werden die Bewegungsgleichung der Platte sowie physikalisch sinnvolleAnfangs- und Randbedingungen benötigt. Für dieAbleitung der Bewegungsgleichung einer biegeschwingenden Platte wird auf die Literatur [62] verwiesen. Im folgenden wird von der Kirchhoffschen Plattentheorie ausgegangen. Die x1 -x2 -Ebene des vorausgesetzten kartesischen Koordinatensystems sei mit der Mittelebene der Platte identisch. Die x1 - und x2 -Achsen fallen mit zwei Rändern der rechteckigen Platte zusammen (vgl. Abb. 4.5). Die x3 -Achse ist dann in Richtung der positiven Normalen auf der Plattenmittelfläche (positive x3 -Richtung) orientiert. Im folgenden werden die Voraussetzungen aufgeführt, unter denen die Kirchhoffsche Plattentheorie gilt: 1. Die Platte ist dünn, d.h. ihre Wanddicke ist wesentlich kleiner als ihre flächenhaften Abmessungen (h  a;b).

4.2 Biegeschwingungen von Rechteckplatten

67

Abb. 4.5. Rechteckig berandete Platte

2. Die Platte wird nur durch eine Flächenlast p(x1 ;x2 ;t) senkrecht zu ihrer Mittelebene belastet, wobei t die Zeit ist. Es liegt Krafterregung vor. Als Sonderfall kann auch die Anregung durch eine in einem beliebigen Punkt (x10 ;x20 ) angreifende, senkrecht zur Plattenmittelfläche wirkende Einzelkraft F(x10 ;x20 ;t) behandelt werden. 3. Alle materiellen Punkte, die im unverformten Zustand auf einer Normalen (x1 ;x2 = const) zur Mittelebene liegen, befinden sich auch im verformten Zustand auf einer Normalen zur dann gekrümmten Plattenmittelfläche. Unter dieser Voraussetzung können die Querschubverzerrungen 13 und 23 vernachlässigt werden. DieseAnnahme stellt einAnalogon zur bekannten Bernoulli-Hypothese der klassischen Balkentheorie dar. 4. Die Dehnung 33 senkrecht zur Mittelebene der Platte wird vernachlässigt. 5. Die Verschiebung w in x3 -Richtung ist wesentlich kleiner als die Plattendicke h (w  h). 6. Die Normalspannung 33 in Richtung der Normalen zur Plattenmittelfläche wird vernachlässigt. Diese Annahme ist im Rahmen der allgemeinen Elastizitätstheorie nicht mit der Annahme verschwindender Querdehnung 33 verträglich. Die Kirchhoffsche Plattentheorie stellt daher nur eine, allerdings für technische Zwecke sehr brauchbare Näherung der dreidimensionalen Elastizitätstheorie dar. 7. Die Platte besteht aus einem homogenen, isotropen Werkstoff, der dem Hookeschen Gesetz gehorcht. Es seien E der Elastizitätsmodul und  die Querdehnungszahl des Werkstoffs der Platte. 8. Als Dämpfung wird nur die Werkstoffdämpfung durch den Verlustfaktor  berücksichtigt (zur Dämpfung vgl. Kapitel 3). Sonstige dämpfenden Effekte (z.B. Reibung in den Auflagern) werden vernachlässigt.

Unter den aufgeführten Voraussetzungen lautet die Bewegungsgleichung der gedämpften Platte

68

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

@2 w + h 2 = p (x1 ;x2 ;t)) : ! "   @t ! " Steiˇgkeitskraft B

w  ! "

Tragheitskraft

(4.34)

a uere Kraft

Hierin bedeuten B die komplexe Biegesteifigkeit der Platte B = (1 + i)B :=

(1 + i)Eh3 12 (1  2 )

(4.35)

mit dem Verlustfaktor . Die Größe B :=

Eh3 12 (1  2 )

(4.36)

heißt Biegesteifigkeit der ungedämpften Platte. Ferner bezeichnet
den LaplaceOperator
:=

@2 @2 + 2 : 2 @x1 @x2

(4.37)

Die Dämpfung wird in (4.34) anders als beim Einmasseschwinger nicht durch eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskraft (vgl. hierzu (4.1)) sondern durch die komplexe Biegesteifigkeit berücksichtigt. Damit (4.34) lösbar ist, müssen sowohl die gesuchte Durchbiegung w als auch die äußere Flächenlast p als komplexe Größen angesetzt werden. Damit lautet die Bewegungsgleichung in ausgeschriebener Form B(

@4 w @4 w @4 w @2 w + 2 2 2 + 4 ) + h 2 = p (x1 ;x2 ;t) : 4 @t @x1 @x1 @x2 @x2

(4.38)

In (4.34) ist durch die untergesetzten Terme angedeutet, daß wieder Gleichgewicht zwischen der äußeren Kraft und der Summe aus Steifigkeits- und Trägheitskraft bestehen muß. Hier besteht eine vollkommene Analogie zum ungedämpften Einmasseschwinger (vgl. hierzu (4.1), in der die Dämpferkonstante c = 0 gesetzt wird). Selbstverständlich ist bei einem zweidimensionalen Gebilde der Ausdruck B

w für die Steifigkeitskraft erheblich komplexer als derjenige (kx) für den einfachen Einmasseschwinger. Der Ausdruck der Trägheitskraft h@2 w=@t2 weist eine sehr weitgehende Übereinstimmung mit dem Ausdruck mx beim Einmasseschwinger auf. Bei einer Platte mit vorausgesetzter konstanter Wandstärke h und homogenen Werksstoff (ebenfalls vorausgesetzt) ist das Produkt h gleich der auf die Fläche bezogenen Masse der Platte. Dieses Produkt wird als Massenbelegung der Platte bezeichnet. Die Trägheitskraft ergibt sich also bei beiden Schwingern als Produkt aus einem Term, der gleich oder proportional zur Masse ist, und einem Beschleunigungsterm. Dies gilt grundsätzlich für jeden Schwinger. Die Bewegungsgleichung (4.34) muß durch Anfangs- und Randbedingungen ergänzt werden, damit ein sinnvoll gestelltes, lösbares, mechanisches Problem vorliegt.

4.2 Biegeschwingungen von Rechteckplatten

69

Zunächst sollen die Randbedingungen betrachtet werden. Es gibt die folgenden drei klassischen Randbedingungen: – eingespannt – frei gestützt – kräftefrei Für maschinenakustische Berechnungen sind nur die beiden zuerst genannten Randbedingungen wichtig. Platten mit allseitig kräftefreiem Rand spielen in der akustischen Meßtechnik eine gewisse Rolle, da sie sich z.B. durch Aufhängen an dünnen Nylon- oder Gummifäden relativ leicht realisieren lassen. Im folgenden werden die Randbedingungen angegeben, wobei zu deren Ableitung wieder auf die Literatur [62] verwiesen wird. Es seien @B der Rand oder ein Randstück und n eine Koordinate in Richtung des nach dem Äußeren der Platte weisenden Normaleneinheitsvektors. Dann gilt: 1. Eingespannter Rand: ⎫ ⎪ w=0 ⎬ auf @B : (4.39) @w ⎪ ⎭ =0 @n 2. Frei gestützter Rand: ⎫ ⎪ ⎬ w=0 auf @B : (4.40) ⎪ ⎭
w = 0 3. Kräftefreier Rand: ⎫ ⎪ ⎬ M=0 Q=0

⎪ ⎭

auf @B :

(4.41)

Auf dem kräftefreien Rand verschwinden das Biegemoment M und die Querkraft Q. Als Anfangsbedingungen werden im allgemeinen die Verteilungen der Durchbiegung und der Geschwindigkeit (in Richtung der Normalen zur Plattenmittelebene) zur Zeit t = 0 vorgeschrieben: w (x1 ;x2 ;0) = W (x1 ;x2 ) ; _ (x1 ;x2 ;0) = V (x1 ;x2 ) : w Hierin bedeuten W(x1 ;x2 ) und V(x1 ;x2 ) vorgegebene Funktionen der Ortskoordinaten. Diese Funktionen können nicht beliebig vorgegeben werden sondern müssen gewissen Verträglichkeitsbedingungen genügen. Der homogene Teil der Differentialgleichung (4.34), die Randbedingungen und die Anfangsbedingungen konstituieren ein Anfangs-Randwert-Problem. Dabei beschreibt das Anfangswert-Problem die transienten Vorgänge, die beispielsweise

70

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

durch eine vorgegebene Verteilung der Durchbiegung und der Schnelle zur Zeit t = 0 bestimmt werden. Diese transienten Vorgänge klingen infolge der Dämpfung i.a. schnell ab. In der Maschinenakustik interessieren meistens die stationären Schwingungen, die infolge einer zeitlich periodischen Anregung auftreten. Diese periodischen Lösungen werden sehr wesentlich durch die Lösung des Randwert-Problems8 bestimmt. Wie beim Einmasseschwinger werden daher zunächst die freien Schwingungen berechnet. Sie ergeben sich als Lösungen des Randwert-Problems. Sodann können die erzwungenen Schwingungen der Platte bestimmt werden. Diese lassen sich im Falle der periodischen Anregung aus den Lösungen des Randwert-Problems aufbauen. 4.2.1

Freie Schwingungen der gedämpften Platte

Die freien Schwingungen der biegeschwingenden, gedämpften Rechteckplatte ergeben sich aus (4.34) als Lösung der homogenen Bewegungsgleichung (p(x1 ;x2 ;t) = 0) (4.42)

B

w + hw = 0 :

Gleichung (4.42) ist eine partielle Differentialgleichung, in der nicht nur eine, sondern mehrere unabhängige Variablen - im vorliegenden Falle die Ortskoordinaten x1 und x2 sowie die Zeit t - auftreten. Wie oben erwähnt liefert die Differentialgleichung (4.42) alleine noch keine vollständige Beschreibung des Problems. Vielmehr müssen zusätzlich noch Rand- und Anfangsbedingungen vorgegeben werden. Für die Bestimmung der freien Schwingungen ist nur die Berücksichtigung der Randbedingungen erforderlich. Im folgenden wird nur der besonders einfache Fall9 einer allseits frei gestützten Platte behandelt. Die Ränder der Platte sind die vier sich schneidenden Geraden x1 = 0; x1 = a; x2 = 0; x2 = b. Die Randbedingungen (4.40) nehmen dann folgende Form an: ⎧ ⎨ 0; w(x1 ;x2 ;t) =
w(x1 ;x2 ;t) = 0 fur alle t und x1 = (4.43) ⎩ a;

w(x1 ;x2 ;t) =
w(x1 ;x2 ;t) = 0

⎧ ⎨ 0; fur alle t und x2 = ⎩ b:

(4.44)

Für die Lösung wird zunächst der Zeitanteil abgespalten. Dazu wird der Ansatz w (x1 ;x2 ;t) = w^ (x1 ;x2 ) exp(i!t)

(4.45)

eingeführt. In dem Ansatz (4.45) muß die Kreisfrequenz als komplexe Größe eingeführt werden, da sonst keine Lösung von (4.42) existieren kann. Die unbekannte 8

Das Randwert-Problem besteht aus dem homogenen Anteil der Plattengleichung und den Randbedingungen. 9 Andere Fälle werden bei Leissa [43] behandelt.

4.2 Biegeschwingungen von Rechteckplatten

71

komplexe Durchbiegung wird durch den Ansatz (4.45) multiplikativ in eine rein re^ 1 ; x2 ) der Ortskoordinaten und eine komplexe Exponentialfunktion elle Funktion w(x der Zeit t aufgespalten. Zu ermitteln ist die unbekannte Funktion w^ (x1 ;x2 ). Ferner ist die in (4.45) eingeführte komplexe Kreisfrequenz ! unbekannt. Wird für diese komplexe Eigenkreisfrequenz folgender Ansatz gewählt !2 = (1 + i)!2 ;

(4.46)

so kürzt sich aus (4.42) der komplexe Faktor (1 + i) heraus (vgl. hierzu die Definitionsgleichung (4.35) der komplexen Biegesteifigkeit) und es folgt B

w  h!2 w = 0 :

(4.47)

Dies ist aber die um den Zeitanteil reduzierte homogene Bewegungsgleichung einer ungedämpften Platte. Die Größe ! ist eine Eigenfrequenz der ungedämpften Platte. Es läßt sich zeigen [40, S. 126], daß für die Eigenkreisfrequenzen der gedämpften Platte folgende Beziehung gilt ⎧ ' arctan  ( ⎪ ⎨ 4 1 + 2 cos !mn fur beliebige  2 !dmn = (4.48) ⎪ ⎩ !mn fur   1 Für den Fall der (in der Praxis meistens vorliegenden) kleinen Dämpfung stimmen also die Eigenfrequenzen der gedämpften Platte mit denen der ungedämpften überein. Er wird für das weitere vorausgesetzt. Ferner läßt sich für diesen Fall zeigen, daß die in (4.45) eingeführte komplexe Exponentialfunktion folgende Form annimmt exp(i!t) = exp[(i  2 )!mn t] Die komplexe Exponentialfunktion läßt sich also multiplikativ in eine Exponentialfunktion mit rein imaginärem Argument und eine Exponentialfunktion mit für  > 0 stets negativem reellen Argument zerlegen. Die Exponententialfunktion mit rein imaginärem Argument beschreibt eine rein harmonische Funktion mit der Kreisfrequenz !mn der ungedämpften Platte und die Exponentialfunktion mit negativem reellen Argument einen zeitlich asymptotisch gegen Null abklingenden Vorgang. Es ergibt sich daher das typische zeitliche Verhalten einer freien gedämpften Schwingung. Gleichung (4.47) läßt sich umformen in

w^  k4 w^ = 0

(4.49)

mit dem unbekannten Parameter k4 :=

h !2 B

(4.50)

:

Für die allseits frei gestützte Rechteckplatte gilt für die Lösung von (4.49) [40] (4.51)

w^ mn (x1 ;x2 ) = wmn 'mn (x1 ;x2 ) ; mit 'mn (x1 ;x2 ) = sin

nx2 mx1 sin a b

m = 1;2;3 : : :

n = 1;2;3 : : : : (4.52)

72

4 Das Körperschallverhalten einfacher Strukturen

Hierin ist die Größe wmn eine noch unbestimmte Integrationskonstante. Durch paarweises Zuordnen von Werten aus dem Bereich der natürlichen Zahlen zu den Größen m und n entsteht eine zweifach abzählbare unendliche Menge von Lösungsfunktionen w^ mn (x1 ;x2 ). Diese Funktionen sind Lösungen der partiellen Differentialgleichung (4.49), wenn folgende Bedingung erfüllt wird ' m (2 ' n (2 ' n (4 ' m (4 +2 +  k4mn = 0 a a b b oder ' ( m 2 ' n (2 + : (4.53) kmn =  a b Die Größen kmn heißen Eigenkreiswellenzahlen der biegeschwingenden Rechteckplatte. Zwischen einer beliebigen Eigenkreiswellenzahl kmn und der zugehörigen Kreisfrequenz (vgl. hierzu (4.50)) gilt der Zusammenhang k4mn =

h !2mn B

Damit folgt für die Eigenkreisfrequenz der Ordnung m und n ' ( # m 2 ' n (2 B 2 !mn =  : + a b h

(4.54)

(4.55)

Gleichung (4.55) zeigt, daß wie beim Einmasseschwinger die Eigenkreisfrequenzen der Platte durch die Wurzel aus dem Verhältnis des Steifigkeitsterms B und der Massenbelegung h gesteuert werden. Die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Einmasseschwingers wird nach (4.3) bestimmt durch die Wurzel aus dem Verhältnis k=m. Es besteht also in dieser Hinsicht eine vollkommene Analogie zwischen den Eigenfrequenzen der Platte und der des ungedämpften Einmasseschwingers. Der flächenhafte Anteil wird bei der Platte durch den vor dem Wurzelausdruck stehenden Term bestimmt, in den die Kehrwerte der quadrierten Längenabmessungen a und b eingehen. Ferner treten die Ordnungszahlen m und n auf. Dies läßt ebenfalls eine anschauliche Deutung zu. Je größer die flächenhaften Abmessungen a und b bei festgehaltenen Ordnungszahlen (m und n) und festgehaltener Dicke h werden, desto tiefer werden die Eigenkreisfrequenzen der Platte. Bei festgehaltenen Abmessungen a; b; h steigen die Eigenkreisfrequenzen der Platte mit den Ordnungszahlen an. Es ist augenscheinlich, daß eine flächenhaft große Platte „nachgiebiger“ gegen Durchbiegungen ist als eine kleine und kompakte. Die Ordnungszahlen m und n repräsentieren die zweifach unendlich vielen Freiheitsgrade der Platte, die ein zweidimensionaler Schwinger ist. Die Funktionen 'mn (x1 ;x2 ) nach (4.52) heißen Eigenfunktionen der allseitig frei gestützten Rechteckplatte. Die Eigenfunktionen beschreiben in dimensionsloser Form alle möglichen freien oder Eigenschwingungen . Die ganzen Zahlen m und n bezeichnen die Ordnung der Eigenfunktionen. Eine perspektivische Darstellung der ersten vier Eigenfunktionen der allseitig frei gestützten Rechteckplatte zeigtAbb. 4.6.

4.2 Biegeschwingungen von Rechteckplatten

Abb. 4.6. Eigenfunktionen einer allseitig frei gestützten Platte (a : b = 1 :

73

p 3)

Die Erhebungen werden als Bäuche bzw. Täler der Eigenfunktionen bezeichnet. Bei den Eigenfunktionen höherer Ordnung (m > 1 und/oder n > 1) treten im Inneren der Platte Linien auf, an denen die Eigenfunktionen den Wert Null annehmen. Derartige Linien heißen Knotenlinien. Die Knotenlinien sind Geraden x1 = const bzw. x2 = const, die parallel zu den Rändern der Platte verlaufen. Die Lage der Knotenlinien im Inneren der Platte folgt aus den Bedingungen sin

mx1 = 0 a

)

x1 =

k a