Pract. 02 - Aritmetica Con Claves [PDF]

Zitiervorschau

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO NUMERACIÓN Y CUATRO OPERACIONES

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

CEPU CICLO II-2021

la cantidad de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad de orden inmediato superior.

SISTEMA DE NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas y principios que nos van a servir para una buena lectura y escritura de los números.

Ejemplo: PRINCIPIOS BÁSICOS (1)

Representar 12 unidades en base 10; base 5. 12(10)

ab ( n ) ; base(n)

 n≥2 (2) Cuando la base es mayor que 10: = a = 10  = b = 11  = c = 12

22(5) Luego tenemos que: 12 = 22(5) 

Principales sistemas de numeración Base Sistema Cifras Disponibles 2 Binario 0, 1 3 Ternario 0, 1, 2 4 Cuaternario 0, 1, 2, 3 5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4 6 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5 7 Heptanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 8 Octanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 9 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 11 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ,  ⋮ ⋮ ⋮



En forma práctica puede decirse que la base de un sistema de numeración indica de cuanto en cuánto se están agrupando las unidades simples en dicho sistema de numeración. Para que un numeral esté correctamente inscrito, es necesario que las cifras sean valores no negativos menores que la base.

Ejemplo: Representa 18 unidades en las bases 9; 7; 5; 4 y 3. 18 = 22(8) = 24(7) = 33(5) = 102(4) = 200(3) 

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

En donde observamos que a mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numeral aparente le corresponde la mayor base. PROPIEDADES DE LA NUMERACIÓN

1. DEL ORDEN: Toda cifra que forma parte de un numeral posee un lugar y un orden. El lugar se lee de izquierda a derecha a partir de uno; y el orden de derecha a izquierda a partir de cero. En el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.

Toda base es mayor que cualquiera de sus cifras. 0 ≤ 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 < 𝑏𝑎𝑠𝑒 Ejemplo: 4a 2b (8) ; Siempre: a8

Lugar Numeral Orden

1º 1 4

2º 7 3

3º 8 2

4º 9 1

Si un número se expresa en dos sistemas distintos en la igualdad, se notará que aquel miembro que tenga el “numeral mayor” le corresponderá la “base menor” y viceversa: Ejemplo: Si abc (n)  xy (m)

Ejemplo:

4 8 3 6 orden

Del numeral abc  xy  Las bases: ny

2. DE LA BASE: Todo sistema de numeración posee una base que es un numero entero y mayor que la unidad, el cual nos indica

Si aob (8)  boa (7 ) como en las bases: 8>7 1

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Práctica 02

 aob  boa a35768 = 191810

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA POR BLOQUES

NUMERAL CAPICUA

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ abab = ̅̅̅ ab x102 + ̅̅̅ 𝑎𝑏 = 101𝑎𝑏 2 31435 = 315 𝑥5 + 435 4545456 = 456 𝑥64 + 456 𝑥62 + 456 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑛 = ̅̅̅ 𝑎𝑏𝑛 𝑥𝑛2 + ̅̅̅ 𝑎𝑏𝑛

Es aquel número que visto y leído de derecha a izquierda y viceversa nos representa el mismo numeral.

CAMBIOS DE BASE EN LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Somos, Radar,

Capicúas que expresan alguna

reconocer; oso

palabra con sentido se le denomina PALINDROMAS

1er Caso:

Ejemplo:

ana, abba

De Base n a Base 10 Se hace la descomposición polinómica. Ejemplo: Convertir 2434(5) al sistema decimal  2434(5) = 2(5)3 + 4(5)2 + 3(5) + 4 = 250 + 100 + 15 + 4  2434(5) = 369

2do Caso:

A los numerales

Numeral capicúa de 2 cifra, aa Numeral capicúa de 3 cifra, aba , aaa

De Base 10 a Base n

Numeral capicúa de 4 cifra, abba , aaaa NUMERAL DE CIFRAS MÁXIMAS

Al número dado se le hacen divisiones sucesivas entre la base a la cual se va a transformar. Ejemplo: Convertir 70 base 3

N  (x  1)(x  1)

 x k 1

(x )

70 3 (1) 23 3 (2) 7 3 (1) 2

k cifra

Ejemplo: 99999 … .99 = 10𝑘 − 1 ⏟

 70 = 2121(3) 3er Caso:

K cifras

De Base n a Base m

777778 = 85 − 1

El número dado se lleva al sistema decimal (10) y luego al sistema pedido. Ejemplo: Convertir 251(7) a base 4 A Base 10 251(7) = 2(7)2 + 5(7) + 1 = 134

NUMERAL DE BASE SUCESIVA:

̅1𝑎 ̅̅̅̅̅̅̅ 1𝑏1𝑐 ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 1𝑑 ⋱1𝑥𝑛

A Base 4 134 4 (2) 33 4 (1) 8 4 (0) 2 2

= 𝑛 + 𝑥⋯+ 𝑑 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑎

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Práctica 02 La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. Ejemplo

7 manzanas  2 manzanas  5 manzanas Minuendo

Sustraendo

Diferencia

NÚMERO CAPICÚA Es aquel cuya lectura se puede hacer de derecha a izquierda y viceversa.

Ejemplo:

17121315

12𝑘

=𝑘+2+5+3+2+7

Así: aa , aba , abba , abcba, etc.

CANTIDAD DE NUMERACIÓN CON CIERTA CANTIDAD DE CIFRAS

COMPLEMENTO ARITMÉTICO Se llama complemento aritmético de un número, a lo que le falta a éste número para formar una unidad del orden inmediato superior. Trataremos dos formas para calcular el complemento aritmético:

EN GENERAL: Si 𝑁(𝑏) tiene K cifras, se limita de siguiente forma: 𝑏 𝐾−1 ≤ 𝑁𝑏 < 𝑏 𝑘

I. Método tradicional:

CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS AVALES

C A ( ab.....c )  1 0....0

UNA BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10

"n " cifras

Ejemplos:

Descomposición polinómica. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 …𝑛 = + 2 + 3 + 4 + ⋯ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

C A(3 )  10  3  7 C A(14 )  100  14  86 C A(512 )  1000  512  488 C A(5427 )  10000  5427  4573

OBSERVACIONES ADICIONALES:

II. Método práctico: Se resta de la primera cifra significativa de la derecha de la base en la que está el número y las demás cifras de la base menos uno.

̅̅̅̅̅ abcn

 0, ̅̅̅̅̅ abcn = 1000

n

̂n=  0, abc

 ab.....c

"n " ceros

"n " cifras

̅̅̅̅̅ abcn

Ejemplos:

(n−1)(n−1)(n−1)n

1)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ −abc ̅̅̅̅̅ abcde

n n ̂n =  0, ̅̅̅̅̅ abcde (n−1)(n−1)000

9 9 9 9 9 9 10 C A ( 1 4 6 2 0 4 7 ) 8 5 3 7 9 5 3

n

a

a

a

a

 0, ân = n + n2 + n3 + ⋯ ∞ = n−1

2) 6 6 6 6 7

CUATRO OPERACIONES

CA ( 2 0 5 1 4

0 0 (7 ) )  5 7

2 6

3 0 0 (7 )

ADICIÓN O SUMA La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo MULTIPLICACIÓN 7 manzanas  2 manzanas  9 manzanas Sumandos

La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan paréntesis. Por ejemplo

Suma Total

SUSTRACCIÓN O RESTA 3

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Práctica 02 Donde:

Producto total

D d q  1 rex 

AB  P

Multiplicando

Multiplicador

A los términos A y B, también se les llama factores.

Donde: 32  Dividendo 9  divisor 4  cociente por exceso 4  residuo por exceso

Dividendo divisor cociente por exceso residuo por exceso

Algoritmo de la división:

Algoritmo de la división:

32  9 4  4 

D  d  ( q  1 )  rexc

DIVISIÓN División, es una operación opuesta a la multiplicación, en la que consiste averiguar las veces que una cantidad llamada dividendo contiene a otra cantidad llamada divisor; para la cual se utiliza el signo " : , ÷ , ó / " ; existen dos tipos de división:

LEYES FORMALES DE LA DIVISIÓN I. El residuo (por defecto o por exceso) es un número que es mayor que cero y menor que el divisor: 0  residuo  divisor

II. El residuo máximo en cualquier división es siempre una unidad menor que el divisor:

I. DIVISIÓN EXACTA: Se llama división entera a la división que no tiene residuo, y éste residuo se representa por el cero: D  Dividendo Donde: d  divisor q  cociente

D 0

residuo máximo  divisor  1

III. El residuo mínimo en cualquier división es siempre uno: residuo mínimo  1

d q

IV. La suma del residuo por defecto más el residuo por exceso siempre es igual al divisor: residuo por defecto  residuo por exceso  divisor

Dd q

Algoritmo de la división:



EJEMPLOS II. DIVISIÓN INEXACTA: Se llama división inexacta a la división que deja un residuo, además existen dos tipos de divisiones inexactas: División inexacta por defecto. División inexacta por exceso.

(2𝑎)𝑏(𝑎+𝑏) = ̅̅̅ O1.- Si ̅̅̅̅̅̅̅̅ 1𝑏 , calcule 𝑎 × 𝑏. A) 6

d q

Donde:

D  Dividendo d  divisor q  cociente rd  residuo por defecto Algoritmo de la división: D  d  q  rd

9 3

32  Dividendo 9  divisor 3  cociente 5  residuo por defecto





1

4

1

02.- Si el número ̅̅̅ 𝑎𝑏 es “n” veces la suma de sus cifras, ̅̅̅ si el numero 𝑏𝑎 “x” veces la suma de sus cifras. Calcular “n+x”

Algoritmo de la división:

A) 11

32  9 3  5

B) 9

C) 14

D) 10

E) 12

RESOLUCION

ab  n(a  b )   sumando 11(a  b )  ( n  x )(a  b) ba  x (a  b ) Simplificando (a+b)  n  x  11

Ejemplo :

32 4



 ab  4

Donde:

B) DIVISIÓN INEXACTA POR EXCESO: Es la división en la que al aplicar el algoritmo de la división el producto del divisor y el cociente, menos el residuo resulta el dividendo.

d q 1

E) 5

(a  b)( 2a )  b  10  b (a  b)( a )  5



D rex

D) 8

(2a )b ( a  b )  1b

Ejemplo : 32 5

C) 4

RESOLUCION

A) DIVISIÓN INEXACTA POR DEFECTO: Es la división en la que al aplicar el algoritmo de la división el producto del divisor y el cociente, más el residuo resulta el dividendo. D rd

B) 3

9 4

O3.- Si 𝑎𝑎 ̅̅̅̅ + ̅̅̅ 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ̅ = ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 , hallar 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. A) 12 B) 15 C) 23 D) 18 E) 16 RESOLUCION 4

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Práctica 02

aa 

RESOLUCION

bb

abc  245  2CAabc

cc abc

3abc  1755  abc  585

abc  245  21000  abc

unidades: a  b  c  1c

̅̅̅̅̅(9) , halle (𝑎 + 𝑏) 07.- Si ̅̅̅̅̅ 7𝑎1(𝑛) = 60𝑏

decenas: 1  a  b  c  ab

A) 6

analizando: a  1  b  9  c  8

RESOLUCION

10

10

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

Por propiedad: 7  n  9  n  8

 a  b  c  18

Aplicando la descomposición polinómica:

̅̅̅̅̅ ) + 𝐶𝐴(𝑏𝑎 ̅̅̅) = 328. 04.- Se cumple que 𝐶𝐴(𝑎𝑏𝑐 Calcule 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 si 𝑎 ≠ 𝑐 A) 17 B) 16 C) 18 RESOLUCION

7a1( 8 )  60b ( 9 ) D) 20

E) 15

7.8 2  a.8  1  6.9 2  b 8a  37  b

CAabc  CAba  328

1000  abc  100  ba  328 72  101a  20 b  c  7

 3





5

3

a  b  8

 5

05.- Si ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 − ̅̅̅̅̅ 𝑐𝑏𝑎 = ̅̅̅̅̅̅ 𝑝𝑚4, calcule el menor valor posible de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑝 + 𝑚. A) 22 B) 18 C) 24 D) 13 E) 17

08.- A un número de tres cifras se le suma una unidad a cada una de sus cifras y queda expresado en el sistema heptanario. Calcule la suma de todos los números de tres cifras diferentes que se puedan formar con las cifras de mayor número inicial. A) 1234 B) 1572 C) 1846 D) 1667 E) 1776 RESOLUCION

RESOLUCION

abc  a  1b  1c  1( 7 )

 a  b  c  15

100a  10b  c  49a  1  7b  1  c  1 51a  3 b  57

m  9 p  5

Por propiedad de la sustracción:  

 1

ademas b  0;1;2;...;9 y como pide el minimo b  0

 2

Como pide que el número sea el mayor posible entonces c=5 Ahora formaremos todos los números posibles con las 3 cifras del número original: 125+152+215+251+512+521=1776

Como pide el menor valor posible, entonces abc debe ser mayor que 600, debemos analizar con a=7 y c=1:

09.- Si ̅̅̅̅̅ 3𝑎𝑏(𝑐) = ̅̅̅̅̅ 2𝑏𝑎(5) , calcule (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 A) 16 B) 25 C) 36 D) 49 E) 81

701 104  594 (cumple con las condiciones)

 a  b  c  p  m menor posible  22

RESOLUCION Por ley de los signos: 3  c  5  c  4

06.- Calcule el número de tres cifras si se sabe que al sumarle 245 resulta el doble de su complemento aritmético. A) 485 B) 575 C) 536 D) 585 E) 435

Aplicando la descomposición polinómica:

5

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Práctica 02

3ab ( 4 )  2ba ( 5 )

07.- Cambiar de base

3.4  a.4  b  2.5  b.5  a 3 a  4 b 2 2



2

a)



2

 a  b  c   (2  1  4)2  49 2

̅̅̅̅̅(8) ) 10.- Si ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐(8) = 2(𝑐𝑏𝑎 ̅̅̅(8) + 𝑐 en base 10. Calcule 𝑎𝑏 B) 30

C) 40

D) 49

Hallar: “ a  b  c ” a)15 b)8 c)9

E) 52



a.8 2  b.8  c  2 c.8 2  .8b  a 2 a  127 c  8 b  2

e)

 a  5  a  1 b  2 

abc ( 8 )  2cba ( 8 ) 

5

d)

09.- Si el complemento aritmético de a bc , es:

RESOLUCION Aplicando la descomposición polinómica:



c)

08.- Si a bc  cba  4 mn Además: a  c  11 Calcular: 2a  3c a)25 b)26 c)27 d)29 e)30

1

A) 26

b)

a base heptal (7).

d)10

e)13

10.- En una división inexacta el divisor es 34, el cociente 12 y el resto es máximo. ¿Cuál es la suma de las cifras del dividendo? a)9 b)10 c)11 d)8 e)7



11.- Si: aba (8)  1106(n) . Hallar “ a  b ”: a)7 b)6 c)5 d)4 e)3

 7

12.- ¿En qué sistema de numeración se efectúa la siguiente operación?

 ab ( 8 )  c  57( 8 )  2  49

63  27 = 35

EJERCICIOS PROPUESTOS

a)8

b)7

c)11

d)9

e)6

13.- Si:

O1.- ¿Cuántos números hay en base nonal (9) que sean capicúas de 5 cifras? a) 52488 b) 46656 c) 4656 d) 648 e) 749

324 (n 1)  (2n  1)2  4

Indicar el valor de “n”: a)9 b) 8 c) 7 d)6 e)5

02.- Reconstruir:

14.- ¿Cómo se representa el menor número de 3 cifras del sistema nonario en base 6? a) 312 (6) b) 231(6) c) 213 (6) d) 321(6) e) 123 (6) 15.- Sumar:

Y dar como respuesta la suma de cifras del producto. a) 17 b) 12 c) 9 d) 18 e) 25

a) 13311(5) b) 2341(5) c) 2222(5) d) 3453 (7) e) 6432 (7)

03.- ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras que no utilicen las cifras 0, 2 y 6; hay en base octal? a) 300 b) 250 c) 400 d) 125 e) 175 04.- Si: Hallar a) 4 b) 5

. Además: . c) 6

d) 3

3243 (5)  4231(5)  232 (5)

16.- Sea: N  ab un número de dos cifras y N 1  ba , si N  N1  14 y a  b  4 . Calcular: N 2 11 a)9025 b)9216 c)9409 d)9604 e)10000

. e) 2

17.- Si se cumple que:

n(n  1)n (7)  2103 (n)

05.- La suma de 2 números es 92, y el cociente de ellos es 6 dejando un residuo mínimo. Hallar el mayor de ellos. a) 89 b) 69 c) 49 d) 79 e) 59 06.- Sí a) 1 b) 2

c) 3

. Hallar: d) 4 e) 5

Hallar el valor de “n”: a)8 b)7 c) 6 d)5 e)4

.

18.- En la siguiente igualdad:

123 (n)  514 (6)  111(3)  1330 (5)

6

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA El valor de “n” es: a)4 b)5 c) 6 d)8

Práctica 02 30.-Hallar (a+b+n) en la siguiente sucesión; si tiene 28 términos:

e) 7

aa ( n) ; a(a  1) ( n) ; a(a  2) ( n) ; b0 ( n) ; ...; 100 ( n)

EJERCICIOS ADICIONALES

a) 31

19.- Sea la condición:

d) 8

e) 7

21.- La suma de dos números es 500 y el cociente de dividirlos es 3 y su residuo 11 veces más que el cociente. Hallar el mayor de ellos. a)293 b)384 c)412 d)493 e)317 Hallar

“E”

si:

E  C.A.(abc) .

Además:

C.A.(a 3b)  1c4

a)34

b)836 c)164 d)134 e)866

23.- Hallar la suma de los complementos aritméticos de los 10 primeros números naturales: a)135 b)45 c)55 d)65 e)243 24.- Si 1a5  2a   a 2a  4  . Hallar “a” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 25.- Hallar “a+b” si:

ab5  6   236  7  a) 6

b) 5

c) 8

d) 9

d) 34

e) 35

cumple a+b+c+d+x+y+z+w = 25, calcule el valor de “n”. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

20.- ¿Cuántos números capicúas existen de cinco cifras que sean múltiplos de 5 y que el producto de sus cifras siempre sea impar? a)900 b)50 c)25 d)125 e)625

22.-

c) 33

31.- Si abcd ( n)  (n 4  1)  ...xyzw ( n) , además se

abc  999  . . . 1648

Hallar: a  b  c a) 10 b) 9 c) 12

b) 32

e) 10

26.- ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras existen en base un decimal? a) 150 b) 110 c) 120 d) 160 e) 360 27.- Hallar el complemento aritmético de un número de cuatro cifras diferentes cuya suma de cifras es 27. Dar como respuesta la suma de las cifras del complemento hallado. a) 2 b) 10 c) 15 d) 21 e) 27 28.- La suma de los términos de una sustracción es 568. Además si los términos son minuendo (M), sustraendo (S) y diferencia (D). Decir cuál es el mayor y cuánto. a) 2 b) 120 c) 284 d) 132 e) 345 29.- En una división se obtuvieron como resto por defecto y por exceso 20 y 15 respectivamente y su cociente 100. Hallar el dividendo. a) 35 b) 3 200 c) 3 215 d) 1 200 e) 3 520

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