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RÉUSSIR SES ÉTUDES EN HYDRAULIQUE
Mécanique des Fluides Séries d’exercices avec corrigés Poussée D’Archimède Cinématique des fluides Théorème de Bernoulli Théorème de quantité de mouvement
Préparé par Amirouche TiGhilt de Groupe HYD-6 6
2ème Année ST Hydraulique Section “R” 2014/2015
Veuillez trouver les cours, TDs, TPs, TPs, les exercices corrigés ainsi que les sujets d'examens sur: http://rsee-hydraulique.blogspot.com/ hydraulique.blogspot.com/ Bon courage !
FGC/USTHB 2ème Année ST GC Hydraulique Série d’exercices Poussée D’Archimède Exercice 1 : Un morceau de granite de masse 1.5 kg plonger dans l’eau, il pèse 8.83 N. Déterminer son Volume Vgr et sa masse volumique ρgr. Exercice 2 : On pèse dans l’eau un objet en forme de parallélépipède (20×20×40 cm3), à une profondeur de 50 cm et on trouve 5 kg. Quel est son poids dans l’air et sa densité ? Exercice 3 : Un solide de masse volumique ρc = 900 kg/m3 se trouve entre l’eau et l’huile. La masse volumique de l’huile est ρh = 850 kg/m3. Déterminer la fraction de volume de ce corps est immergé dans l’eau. Exercice 4 : Un morceau de bois de densité 0.651 a une section carrée de 7.50 cm de côté et 1.50 m de long. Combien de kg de plomb, de poids spécifique 11200 kg/m3 doit on attaché a l’une de ses extrémité pour qu’il flotte verticalement en dépassant de 30 cm de la surface d’eau ? Exercice 5 : On envisage le transport par flottation d’un radier de pile de pont en béton armé, qui a la forme d’un parallélépipède : L = 10m, l =5m, H = 5m, pour une masse de 300 tonne. 1. Le radier flottera-t-il dans une eau de masse volumique ρ = 1000 kg/m3 ? 2. Quel volume d’air minimal supplémentaire serait nécessaire pour assurer sa flottation ? 3. On décide de disposer tout autour de radier 50 caissons étanches de 2 m3 chacun et de poids propre négligeable. En supposant que tous les caissons sont immergé, calculer la hauteur de la partie radier immergé.
Exercice 6 : De combien s’enfonce dans l’eau douce un tronc de 2.4m de diamètre et de 4.5m de longueur et de densité 0.425.
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Exercice 1 : 1) le volume immergé
+ = ∑ = 0 ⇒ + 0 – = 0 ⇒ m.g = T + .g.Vgr – Vgr =
. .
AN : Vgr =
..
= 6.17 m3
2) La masse volumique :
# =
$ = 2431.11 )*/$, %
Exercice 2 : 1) Le poids dans l’air :
+ = + 0 T+F–P=0
⇒ P=T+F
50cm
P = M.g + ρ.vp.g AN : P = (5.10) + (0.016.104) = 210 N.
2) La densité : Remarque : la densité d’un objet dans l’eau : P = m.g -
m = = 21 )* 21
./#01 = = 1312.5 )*/$, 0.016
3 =
/45
#6#7.
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 d=
,8.
= 1.31
Exercice 3: •
1
La fraction de volume immerge dans l’eau :
∑ = 0 1 + 2 – = 0
Huile
. *. %9: + . *. %9: = . . *. %.
Eau
VcT = VCIhuile + VCIeau ⤇ VCIhuile = VcT – VCIeau
2
. %9: + . %. − %9: = . . %9 %9: . − + . %9 = 9 . %9
.@AB %:9 900 − 850 50 = = = = 0.33.100 = 33% %9
@AB 1000 − 850 150 VCI = Volume de corps immergé
Exercice 5 : 1. Pour que le corps flotte F ≥ G ∑ = 0
+ = 0 = $. * = 300. 10, . 10 = 3. 10H = . *. %=#é#J=# F = 1000.10. 10.5.5 = 25. 10 P > F donc le radier ne flotte pas dans l'eau 2. Pour assuré sa flottation : P=F
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 $ = %.: + %=# $ = %9: + %=# $ − %9: %=# =
300. 10, − 1000.250 %=# = = 50 $, 1000 3. La parti de radier immergé : ∑ = 0
2
1
1 + 1 + 2 = 0 F1 + F2 = P = . *. %:K = 1000.10. %9:K 8 = . *. %:9 = 1000.10.100 = 10H L = $. * = 3. 10 L H
AN : 10M . %:K + 10H = 3. 10H ⇒ %:K = 3. 108 − 108 = 200 $, N:K =
200 = 4 $ 50
Exercice 6 : O = 0 + = 0 − + 0 ⇒ + $. * = . *. %4 $. * = 0.425.1000.10. %9: = R=#é . S R: = R − R8 R T
2P → PV 8 X 2W → R
P. Q8 . 4.5 = 86.49. 10, L 4
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Y = V sin W X R = 2 YZ ⇒ [ 8 Z = V cos W
R8 = V 8 . cos W . sin W R: = WV² − V² cos W sin W P=F 86.49×103 = 103×10(SI×l) W − cos W sin W =
86.49 × 10, 4.5 ×
10M
1 8 × c2d
1.33 = W − cos W Par approximation W = 83° Donc : Z = V cos W = 1.2 cos 83 = 1.46 $ H = R – b = 1.2 – 0.14 = 1.06 m
= 7.688
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Série d’exercices Cinématique des fluides Exercice 1 : Soit le champ de vitesse suivant : = 2x² t + 3xy² + 2xz Trouver l’accélération dans les directions x, y, z au point (1, 2, 2) à t=1s Exercice 2 : Le champ de vitesse d’un écoulement permanent bidimensionnel, incompressible, est = (0.5 + 0.8x) + (1.5 + 0.8y) Défini par : Déterminer s’il y a un point de stagnation dans la conduite. Exercice 3 : Un champ de vitesse est définie par : = 10x – 10y L’écoulement est il i-rotationnel ? Exercice 4 : La fonction potentielle des vitesses d’un écoulement est donnée par Φ = Déterminer l’équation de continuité Calculer la fonction de courant Ψ ? Exercice 5 : Un écoulement est définie en variable d’Euler par : (t)=
= = +
a, b, c étant des constantes. 1. 2. 3. 4.
Quelle est la nature de Mouvement ? Déterminer les lignes de courants. Déterminer les lignes de courants. Déterminer les trajectoires.
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Exercice 6 : d’un écoulement bidimensionnel. Soit les composantes u et v de la vitesse = +
= + ² ² ² ²
Calculer le rotationnel de Trouver les composante de l’accélération ax et ay de l’écoulement stationnaire, on prendra a=0 et b=1
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Corrigés série Exercices Cinématique
Exercice 1 : 1. L’accélération ax :
= 2 ² + 2 4 = 2² + 8 ² 2. L’accélération ay :
= 2 3 + 3 6 = 6²² + 18² 3. L’accélération az :
= 2 2 + 2 2 = 4 + 4
Au point (1,2, 2) t = 1s : ax = 10m/s² ay = 168m/s² az = 16m/s² Exercice 2 :
1. Détermination de points de stagnation :
= 0
0.5 + 0.8 + 1.5 − 0.8 = 0 0.5 + 0.8 = 0 ⇒ =
−0.5 0.8
1.5 − 0.8 = 0 ⇒ = #.$ !."
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Exercice 3 :
Exercice 4 : 1. Equation de continuité :
Φ =
&' &(
= 0 (Équation de continuité) + )*+,
= *+,
-. -, -/ + + - - -
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 .=
,=
= .
&0 &
/=
&0 &
&0 &
= . = 0.
= & 1 + & 1 + 0 = 0 (Écoulement incompressible) *+,
-) =0 -
&
&
2. fonction de courant :
&3 =. & -Ψ = .- 6 ⇒ 4 . 2&3 -Ψ = −,- = −, &
7
Ψ = 8 .- Ψ = 8 - 6 ⇒ 7 . Ψ = 8 −,- Ψ = 8 −-
2 2
Ψ! =
Ψ =
9! =
1² + 91 6 ⇒ 1² + :1 + 9
:1² ⇒ 1² 9 =
Ψ =
9! =
:1² +
9 .
1² 1² − .6
Exercice 5 : 1. Nature de mouvement :
= 4
= *+,
.= 6 , = ; + <
-. -, -/ - - ; + < + + = + +0=0 - -, - - -
(Écoulement incompressible) 2. Les lignes de courant : * * * = = . , /
* * = ⇒ = ,* = = .* . ,
; + < + 9! = + 9
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 =
; + < + 9 ; + < 9 = +
3. La trajectoire :
* * = = * . ,
* * A = = = * = * 6 ⇒ 6 >. * * @ = = * = = * ? ; + < ,
= + 9! 6 < ² 2 = ; + + 9 2 Exercice 6 :
FGC/USTHB 2ème Année ST GC Hydraulique Série d’exercices Théorème de Bernoulli Exercice 1 : L’entrée E d’un tuyau se trouve à 10m sous la surface libre d’un réservoir d’eau de grande dimension et la sortie à 30m en dessous de cette même surface libre (voir figure 1) Le tuyau a un diamètre D=8cm. Il se termine par une courte tuyère T de diamètre D=4cm. 1) Quelle est la valeur de la vitesse VT à la sortie de la tuyère ? 2) Quel est le débit d’eau qui s’écoule ? 3) Quelle est, dans le tuyau, la valeur de la pression statique en E, ainsi que dans une section S située juste en amont de la tuyère de sortie. 4) Tracer les lignes de charge et piézométrique de l’installation. On prendra g=10m/s² M A E
A
VT T Fig 1 Fig 2 S Exercice 2 : Un siphon permet l’écoulement de l’eau d’un réservoir de grandes dimensions.il est constitué par un tuyau de 0.10 m de diamètre et dont la ligne centrale se trouve à 4m au dessus du niveau de la surface libre. 1) Quel débit maximal peut-on espérer obtenir avec ce dispositif sans qu’il se produise de cavitation. 2) Quelle doit être la cote de sortie S ? 3) Tracer les lignes de charge et piézométrique de l’installation. On prendra G=10m/s² et on admettra que la tension de vapeur de l’eau est négligeable dans les conditions expérimentales. Exercice 3 : Une conduite, de différents diamètres, est branchée à un réservoir de grandes dimensions contenant de l’eau. 1) Quelle doit être la hauteur d’eau dans le réservoir pour assuré un débit de 22l/s. 2) Tracer soigneusement la ligne de charge et la ligne piézométrique. d1=20mm d2=15mm d3=10mm
H
d1
d2 d3 Fig 3
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Exercice 4 : Un liquide est en écoulement permanent dans une conduite horizontale de différents diamètre, D1=0.2m, D2 0.15m, D3=0.175m. La canalisation est munie d’un tube de venturi, d’un manomètre à mercure et d’un tube de piton (figure 4). On donne la pression : P1=0.8 bar, P2=0.75 bar et Hs=0.697 m 1. Calculer Hv. 2. Calculer le débit Qv. 3. Calculer P3, Zb puis Hd.
Exercice 5 : Une pompe est traversée par un débit Q. sa conduite d’aspiration a un diamètre de 0.30 m et sur l’axe rège une pression P1. Sa conduite de refoulement horizontale a un diamètre de 0.20 m et sur son axe situé à 1.22 m plus haut que le précédent règne une pression P2. En supposant que le rendement de la pompe est de 80%, quelle puissance mécanique doit-on lui fournie ? Q = 9000l/mm, p1 - p2 = 0.972 * 105 Pa
P2
P2
1.22 m
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Corrigés série d’exercices Théorème de Bernoulli
Exercice 1 : 1) La valeur de la vitesse a la sorti de la tuyère : Bernoulli entre A et T : Z +
V² P V² P + = Z + + 2g ρg 2g ρg
= 0 = −30 = = 0 / ; = = ? = =
² = −30 + + !" 2" !"
² = 30 × 2" ⇒ = %30 × 2" = 24.5 / 2)
calcule le débit qui s’écoule :
3)
La pression statistique en E :
) = . * = 24.5 × +,0.02-. = 0.03 / / Bernoulli entre A et E : +
² 0² 0 + = 0 + + 2" !" 2" !"
0 = −10 = 0 ) 0.03 = = 1 = 0 / ; 2 = 10 = / *0 + × 4² = 0 = ? 105 ,5.99-² 0 = −10 + + 6 6 10 20 10
105 ,5.99-² 0 + 10 − = 6 6 10 20 10 0 = 1.82 × 105 9:
4) La pression dans la section S située en amont de la tuyère de sortie :
Bernoulli entre A et S :
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² ;² ; + + = ; + + 2" !" 2" !"
; = −30 > ) 0.03 = 5.99 / * = ; = = * + × ,0.04-² = ; = ?
) ) Q . = / Q I = / *. ; 9NOP 2 ∶ *I 9NOP 1 ∶ . = 0.75. 105 9: = = 0.8 × 105 9: = I Q Q 0.015² Q
Q
) . ) . 5 5 R S R S 0.031 + 0.08. 10 = 0.017 + 0.75. 10 20 20 20 106 ) . ,52.03 − 173.01- = 7.5 − 8
) = 0.06
/
3) La pression P3 : Bernoulli entre 2 et 3 : . +
.² . /² / + = / + + 2" !" 2" !"
T ∶
,3.56-. 0.75. 105 ,2.62-. 9/ + = + 6 6 20 10 20 10
. = 0 / = 0 > ) > Q == = 0.06 = 3.76 / ; 9NOP 3 ∶ / = ) = 2.62 / 9NOP 2 ∶ . * +. R0.15S */ = = 52 Q < / = ? 5 < . = 0.75. 10 9: / = 0.76. 105 9:
4) Calcule de Hd : • La ligne isobare entre PB et PB’ :
U = !KL . ". ?; +
UJ = !GH . ". U + / NV : ∶ U = UJ
T ∶ U = 11.80 •
ligne isobare entre PC et PC’ :
W = !KX . ". ?Y + 6
ZJ = !GH . ". Z + 5
2ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Calcule P5 : Bernoulli entre 1 et 5 :
I = 0 5 = 0 > ) NOP 1 : I = = 2.06 / ; 9NOP 2 ∶ 5 = 0 ,\O]^ _^ 9`\N\- *I = 5 = ? < I = 0.8. 105 9: 2.06. 0.8.105 5 + = 6 6 20 10 10
T ∶
5 = 0.8. 105 9:
W = WJ Donc : ?Y =
5 − 6 = 0.031 ",!KL − !KL -
Exercice 5 : Puissance mécanique doit-on lui fournir : a=
^V^P"`^ bNOPV`^ = 80% ^V^P"`^ :]NP]é^
2. b = !. ". ). 2
2. :] = 9O`:Ve^ ée:V`fO^
On applique Bernoulli entre 1 et 2 pour calculer énergie fournie : I +
I² I .² . + + 2 = . + + 2" !" 2" !"
I = 0 . = 1.22 > 9000. 10h/ > Q ) g i ; 9NOP 2 ∶ . = = 4.77 / 60 NOP 1 : = ) = *. = I *I = +,0.15-² 5 Q < − I . = 0.972. 10 < I − . = 0.972. 105
,2.12-² I − . ,4.77-. + + 2 = 1.22 + 20 !" 20 2 = 2.13 j
2b = 106 . 0.15.2.13 = 31955 j
9O`:Ve^ ée:V`fO^ =
2b 3195 = = 3993.75 k:\ 0.8 a
FGC/USTHB 2ème Année ST GC Hydraulique Série d’exerciceS Théorème de quantité de mouvement Exercice 1 : Une conduite métallique (fig 1) de diamètre D et de masse m est traversé d’une façon permanente par une masse M, de débit volumique q et de pression p. la conduite est contenue dans un plan horizontal. Déterminer les composante Fx Fy Fz de la force F qu’il faudrait appliquer à la conduite pour la maintenir en équilibre. AN: D = 1 m; m = 400 kg; M = 120 kg; q = 2m3/s; P = 75 kpa; = 30° Exercice 2: Soit un tube (fig2) de section circulaire de diamètre 0.2m coudé à angle droit et posé sur un plan horizontal, il contient de l’eau à la pression moyenne de 6 bars. 1. Quelles sont en projection horizontale la résultant des forces s’exerçant sur le coude quand la vitesse d’écoulement est négligeable ? 2. Que devient cette résultante quand la vitesse d’écoulement n’est plus négligeable et correspond à un débit de 0.16 m3/s
Exercice 3 : uniforme parallèle a OX et de Un jet horizontal de liquide, supposé parfait, de vitesse débit volumique q est partiellement dévié par un obstacle (fig : 3) contenu dans le plan horizontal xOy et dont la paroi est parallèle à Oy. La partie interceptée (2) forme un jet 2 uniforme et parallèle à Oy . sortant de débit q2 et de vitesse 1 située dans le même La partie (1) non interceptée forme un jet de vitesse uniforme plan xOy. 1 et 2 en fonction de 1. Que valent les module des vitesses 2. Déterminer, sous forme vectorielle, l’expression de la force exercée par le fluide sur l’obstacle. 3. Sachant que est perpendiculairement à Oy, en déduire que le jet (1) est dévié d’un angle a que l’on calculera en fonction de q et q2. 4. Calculer F en fonction de
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Exercice 4 : Un jet en forme de lame horizontale, de diamètre d = 10 mm frappe une plaque carrée homogène de coté c = 150 mm, inclinée de = 60° et dont le poids G = 16.87 N. Trouver la vitesse du jet si la hauteur de l’axe de rotation de la plaque à l’axe du jet est de h = 50 mm.
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Corrigés série d’exercices Théorème de quantité de mouvement Exercice 3 : en fonction de Les module des vitesses •
Bernoulli entre (0,1) :
² ² + + = + + 2 2
= 0 = 0 0 ∶ = " ∶ 1 ∶ = " = ! = !
Donc : = •
Bernoulli entre (0,2) :
= 0 2 = " = !
Donc on trouve : V2 = V La forme vectorielle de exercée par le fluide sur l’obstacle :
) − + , $ %& = '( On a : – = .
+ ' − ' ⇒ = ' − ' − ' . = ' 3) par projection sur l'axe ( oy) : 0 = 0 + ' sin − ' ⇒ ' sin = ' F en fonction de 3 : on a = =
' = ' + '
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par projection sur l'axe ( oy) : ' =
' sin
= ' − '
cos cos = 6' − ' 7 sin sin
Exercice 4 : La vitesse de jet c’est h= 50 mm ) − + , $ %& = '(
' + − ' $ %& = On a : . = −
Par Projections sur l axe (oy) : −.8 = −. '. sin ⇒ .8 = . . :. sin
. . = . ² . :. sin ⇒ = ; : sin
Calcule de R : ⁄= = 0 $< ..
ℎ @. A @. A − = 0 ⇒ . = . tan
sin 2 cos
2ℎ
DE ∶ . =
16.87 × 0.15 × tan 60° 2 × 0.05
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