Polinoame Teorie PDF [PDF]

Zitiervorschau

Polinoame 1) Forma algebrică a unui polinom Prin forma algebrică sau forma canonică înţelegem n

f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 . Prescurtat putem scrie f   ak X k . k 0

    

a0 , a1 ,..., an sunt coeficienţii polinomului cu an  0 , an se numeşte coeficient dominant şi an X n termen dominant an  1 atunci polinomul se numeşte monic sau unitar a0 termen liber . a0 , a1 ,..., an   polinomul este cu coeficienţi complecşi şi scriem f    X 

, unde   X  este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.  a0 , a1 ,..., an   polinomul este cu coeficienţi reali şi scriem f    X  , unde   X  este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali. 

a0 , a1 ,..., an   polinomul este cu coeficienţi raţionali şi scriem

f   X  ,

unde   X  este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi raţionali .  a0 , a1 ,..., an   polinomul este cu coeficienţi întregi şi scriem f    X  , unde   X  este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi întregi .   X    X    X    X  . 2) Gradul unui polinom Dacă f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 şi an  0 atunci spunem că polinomul f are gradul n . Notaţie grad  f  sau gr  f   Dacă f  a0 atunci polinomul se numeşte constant şi grad  f   0 .  Dacă f  0 atunci polinomul se numeşte nul şi grad  f    . 3) Egalitatea polinoamelor Fie f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 şi g  bm X m  bm 1 X m 1  ...  b1 X  b0 . Polinoamele f şi g sunt egale şi scriem f  g dacă n  m şi ai  bi , i  1, n adică au grade egale iar coeficienţii corespunzători egali. 4) Valoarea unui polinom Fie f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 şi    . Numărul f    an n  an 1 n 1  ...  a1  a0 se numeşte valoarea polinomului în α şi se obţine din calculul înlocuirii nedeterminatei X cu α.  Dacă f    0 atunci numărul α se numeşte rădăcină a polinomului f  Suma coeficienţilor se obţine calculând valoarea polinomului în 1 adică f 1  an  an 1  ...  a1  a0

1

 Termenul liber a0 se obţine calculând valoarea polinomului în 0 adică f  0   a0

5) Operaţii cu polinoame n

m

i 0

j 0

Fie f , g  [ X ], f   ai X i şi g   b j X j , n  m . n

f  g   ck X k , unde

Suma polinoamelor f şi g este polinomul definit prin:

k 0

ak  bk , k  m şi grad( f  g )  max grad  f  , grad  g  . ck   ak , m  k  n

 Suma se efectuează prin adunarea termenilor(monoamelor) asemenea Produsul polinoamelor f şi g este polinomul definit prin: unde c k   ai b j , k  0, n  m. f  g  cn  m X n  m  ...  c1 X  c0 ,

şi

i  j k

grad( f  g )  grad  f   grad  g  .

 produsul se efectuează prin desfacerea parantezelor şi apoi prin reducerea termenilor(monoamelor) asemenea Împărţirea polinoamelor f şi g se efectuează aplicând algoritmul pentru aflarea câtului şi a restului.  Nu este indicat să aplicăm algoritmul la împărţirea cu binomul X    Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X   este egal cu valoarea polinomului în  adică f ( ) deci reţinem că r  f    Câtul şi restul împărţirii unui polinom f prin binomul X   se pot afla cu schema lui Horner Teorema împărţirii cu rest. Oricare ar fi polinoamele f , g  [ X ], grad  f   grad  g  , g  0, există şi sunt unice polinoamele q, r  [ X ] care au proprietăţile: f  g  q  r; şi grad  r   grad  g  . Avem evident că grad  q   grad  f   grad  g   Dacă efectiv nu putem aplica algoritmul la împărţirea cu  X    X    atunci determinarea restului se va face astfel: Aplicăm T.I.R şi obţinem f   X    X     q  mx  n Calculăm f   şi f    în două moduri şi obţinem un sistem în m şi n

Rezolvăm m

sistemul

f  a   f b af  b   bf  a  , n , ab a b a b

şi

obţinem

6) Divizibilitatea polinoamelor Fie f , g  [ X ] . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dacă există un polinom q  [ X ] astfel încât f  g  q . Notăm f  g sau g | f .  f  g dacă şi numai dacă f împărţit la g dă restul 0 2

 f  g dacă f împărţit la g nu dă restul 0  Dacă f  g atunci grad  f   grad  g   Dacă f  g dacă şi numai dacă rădăcinile lui g sunt şi rădăcini pentru f.  f  g dacă o rădăcină a lui g nu este rădăcină şi pentru f. 7) Rădăcinile polinoamelor Numărul α este rădăcină pentru polinomului f dacă şi numai dacă f    0 . Teorema lui Bézout. Fie f  [ X ] un polinom nenul şi    . Polinomul f este divizibil cu binomul X   dacă şi numai dacă f    0 adică a este rădăcină.  Dacă α este rădăcină pentru polinomul f atunci f  ( X   )  Dacă α şi β sunt rădăcini pentru polinomul f atunci f  ( X   ) şi f  ( X   )  Dacă f  ( X   ) şi f  ( X   ) atunci f  ( X   )  ( X   ) Spunem că    este rădăcină multiplă de ordin p pentru polinomul f  [ X ] , dacă f  ( X   ) p şi f  ( X   ) p 1 . Dacă p  2 atunci α se mai numeşte rădăcină dublă pentru polinom, iar dacă p  3 atunci α se mai numeşte rădăcină triplă pentru polinom. 

 f    0     este rădăcină dublă pentru polinomul f  [ X ] , dacă  f l    0  f ll    0 

adică α este rădăcină pentru f, pentru f l şi nu e pentru f l l 

 f    0  l  f    0    este rădăcină triplă pentru polinomul f  [ X ] , dacă  ll  f    0  f lll    0 

adică α este rădăcină pentru f, pentru f l , pentru f l l şi nu e pentru f l l l .  Polinomul care are o infinitate de rădăcini este polinomul nul 8) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi reali Fie f  [ X ] şi numerele   a  bi , b  0 respectiv   a  bi , a, b    Dacă f are rădăcina complexă   a  bi , b  0 atunci şi   a  bi este rădăcină şi amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate.  Dacă f are rădăcina complexă   a  bi , b  0 atunci f  ( X   )  ( X   ) .  Numărul rădăcinilor din  \  adică pur complexe ale polinomului f este par.  Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are cel puţin o rădăcină reală  Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are un număr impar de rădăcini reale.

3

 Dacă gradul lui f este par atunci polinomul are un număr par de rădăcini reale sau deloc  Dacă f  a   f  b   0 atunci polinomul f are cel puţin o rădăcină reală în intervalul  a, b  , a, b  , a  b 9) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi raţionali f  [ X ] şi numerele respectiv Fie   a  b d ,d  0, d    a  b d , a , b, d  

 Dacă f

are rădăcina iraţională   a  b d , d  0 , d   atunci şi   a  b d este rădăcină şi amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate.  Dacă f are rădăcina iraţională   a  b d , d  0 , d   atunci f ( X   )  ( X   ) . 10) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi întregi p unde p, q   ,  p, q   1 q p Dacă f are rădăcina fracţia ireductibilă   atunci p a0 şi q an adică q

Fie f  [ X ] şi numărul   

p divide termenul liber şi q divide coeficientul dominant.  Rădăcinile întregi sunt divizori ai termenului liber  Un polinom nu admite rădăcini întregi dacă valorile polinomului în divizori întregi ai termenului liber sunt nenule.  Dacă f este monic(unitar) atunci rădăcinile raţionale sunt numai întregi  Un polinom monic nu admite rădăcini raţionale dacă nu are nici întregi. 11) Descompunerea în factori Fie f    X  , f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 cu rădăcinile distincte x1 , x2 ,..., xn . Formula de descompunere este : f  an  X  x1  X  x2   ...   X  xn 

 Dacă rădăcinile nu sunt distincte atunci: p p p f  an  X  x1   X  x2   ...   X  xk  unde p1 , p2 ,..., pk 1

2

k

sunt

ordinele

de

multiplicitate a rădăcinilor x1 , x2 ,..., xk  Orice polinom de grad n  1 cu coeficienţi reali poate fi descompus într-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficienţi reali.  Pentru descompuneri căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber aplicând schema lui Horner.  Dacă cunoaştem rădăcinile x1 , x2 ,..., xn putem afla polinomul desfăcând parantezele an  X  x1  X  x2   ...   X  xn  .  În formula de descompunere f  an  X  x1  X  x2   ...   X  xn  putem da valori particulare pentru nederminata X şi vom obţine diverse relaţii. 12) Polinoame reductibile-ireductibile 4

Polinomul f cu grad  f   n, n  1 se numeşte reductibil peste mulţimea de numere M dacă există polinoamele g,h din M  X  de grade strict mai mici decât gradul lui f, astfel încât f  g  h . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste mulţimea M.  Orice polinom de grad 1 este ireductil  Orice polinom de grad 2 este reductil peste   Dacă un polinom f  M  X  este ireductibil peste o mulţime de numere M atunci nu are rădăcini în M dar invers nu adică dacă f  M  X  nu are rădăcini în M nu înseamnă că este ireductibil peste M  Polinoamele ireductibile peste  sunt de forma f  ax  b sau f  ax 2  bx  c ,   0 unde a, b, c    Un polinom f poate fi ireductibil peste o mulţime dar reductibil peste altă mulţime. 13) Relaţii între rădăcini şi coeficienţi-Relaţiile lui Viète. Fie f    X  , f  an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0 cu rădăcinile x1 , x2 ,..., xn . Relaţiile lui Viète sunt : V1  x1  x2  ...  xn  

an 1 an

a V2  x1 x2  x1 x3  ...  xn 1 xn  n  2  an 2 Cn termeni

a V3  x1 x2 x3  x1 x2 x4  ...  xn  2 xn 1 xn   n 3  an 3 Cn termeni

....; Vn  x1 x2 ...xn  (1) n 

a0 . an

 Suma inverselor rădăcinilor

1 1 1 V   ...   n 1 x1 x2 xn Vn

 Suma pătratelor rădăcinilor x12  x22  ...  xn2  V12  2V2  Dacă x12  x22  ...  xn2  0 atunci polinomul nu are toate rădăcinile reale  Dacă aplicăm definiţia rădăcini pentru fiecare în parte atunci prin adunarea relaţiilor putem obţine informaţii despre alte sume de puteri de rădăcini  Dacă cunoaştem V1 ,V2 ,...,Vn atunci ecuaţia care are soluţiile x1 , x2 ,..., xn este : x n  V1 x n 1  V 2 x n 2  ...  (1) k Vk x n  k  ...  (1) n Vn  0. 14) Teoremă. Orice ecuaţiei polinomială de grad n are exact n rădăcini complexe nu neapărat distincte. 15) Teorema fundamentală a algebrei (teorema D’Alembert – Gauss). Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puţin o rădăcină complexă. 5

16) Teorema Abel-Ruffini . Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare decât 4 nu este rezolvabilă prin radicali. 17) Rezolvarea ecuaţiilor polinomiale de forma an X n  an 1 X n 1  ...  a1 X  a0  0

 Pentru ecuaţiile de gradul I şi II avem formule de rezolvare cunoscute.  Pentru rezolvarea ecuaţiilor bipătrate de forma ax 4  bx 2  c  0 se face substituţia x 2  t  Pentru ecuaţiile reciproce adică ecuaţiile cu coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extremi, egali aplicăm algoritmul : Dacă gradul este impar atunci 1 este rădăcină şi aplicând schema lui Horner obţinem o altă ecuaţie reciprocă, dar de grad par 1 x

Dacă gradul este par atunci se face substituţia x   t , x  0 şi prin calcul se observă că x 2 +

1  t2  2 2 x

 Ecuaţiile binome de grad impar de forma  x 2 k 1  a , a  , k   au rădăcina reală x  2 k 1 a  Ecuaţiile binome de grad par de forma  x 2 k  a , a  0, k  * au rădăcinile reale x   2k a 18) Studiul rădăcinilor unei ecuaţii se poate face şi cu teoremele Darboux , Rolle. Cu ajutorul acestor teoreme se pot determina numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei precum şi intervalele în care aceste rădăcini sunt situate, dacă asociem funcţia polinomială f :    .  Consecinţă a Teoremei lui Darboux. Dacă o funcţia este continuă pe un interval I şi f  a   f  b   0, a, b  I , I   atunci ecuaţia f  x   0 are cel puţin o soluţie în intervalul (a,b).  Şirul lui Rolle. Între două rădăcini ale derivatei există cel mult o rădăcină a funcţiei. Algoritmul este: Se rezolvă ecuaţia f l  x   0  şi obţinem rădăcinile  x1 , x2 ,..., xk   Facem un tabel de forma.  x1 x2 xk  ... x l f  x 0 0 ... 0 f  x lim f  x  ... lim f  x  f  x1  f  x2  f  xk  x  x  analizăm variaţia semnului funcţiei f. Între două variaţii de semn consecutive ale funcţiei f(x) există o rădăcină a polinomului f.  

6