Podstawy elektromagnetyzmu [3 ed.] 9788372075253, 8372075255 [PDF]

Zitiervorschau

::>-

:l

Q)

Q)

Y

l-

.....o

E

c: C) c

E N .....c >c ..... "' Q) o

n c :s: c

c:::: ..::::.::::

>-

c:

ł....

C1)

::E:

-------

------------------

o.~

L.f"'l·-

C'-1

C

~

o..:.::

N

c c 3: N c ~

~:s:

~~ Q,)

-==.......

o

.:E N

c

C.~

= :s:

>-

c -c c

3:

=

o

>....... .:.;:::

,~......,.'rlmfl!l

Publil

naładowanego

't

- 4 sina. de

a cosede

=

- -'-

4nea

EY

= -' -

E

=

z

= 2n,

= - 't

. 2 a sm • y sm

( 1.28)

_r_ sin 2 a cosa 4n e a

( 1.29)

4nea

w okrąg, to podstawiając wyznaczymy odpowiednio:

.

2e

Sllla

'

Ex

=

( 1.27)

sin 2 a. (l- cosy)

przekształcimy

(1.27)-(1.29) y

Wyznaczmy potencjał i składowe wektora natężenia pola elektrycznego w punktach położonych na osi cienkiego przewodu, naładowanego równomiernic ładunkiem o gęstości liniowej 1:, ukształtowanego w kształcie łuku o promieniu R (rys. 1.8 a) i długości y R. W tym celu, zorientujmy przestrzeń układem współrzędnych prostokątnych tak aby oś z pokrywała się z osią łuku. Posłu­ gując się oznaczeniami pokazanymi na rysunku, oraz wykorzystując pierwszą z całek (1.23) stwierdzamy, że elementarna wartość potencjału w punkcie o współrzędnej z, wywołana elementarnym ładunkiem dq = 1:R de wynosi:

Stn

w granicach od O do y wyznaczymy:

potencjału

1.3.3. Potencjał i natężenie pola elektrycznego w osi przewodu o kształcie łuku

• 2

4nea

dE_ = --'- sin 2 a cosa de ' 4n e a

( 1.24)

lR(r)dS(r')

1g(r') lR(r)dV(r') 4ne v lr-r'i 2

= -

't

dEY

lR(r)dl(r')

Ey

=

O,

w

wyrażeniach

E = - ' - sin 2 a cosa z 2ea

( 1.30)

Natężenie

pola elektrycznego osi

(1.25) z

1tE

z O, 707 R

zaś potencjał: Y

f-'sin a. de 4ne 0

Rozkładając

wektor dE na

dE

22

- 4nea 2

4ne

składowe określamy:

1:Rde sina sine X

_!_l sin a.

- - - ' - sin 2 a sin e de

4nea

( 1.26) Y

Rys. 1.8. Natężenie pola elektrycznego od ładunku liniowego rozło7.onego na łuku (a), zmienność wartości potencjału i natężenia poła wzdłuż osi (b)

Wyznaczanie analityczne rozkładu potencjału i wektora natężenia pola w punktach leżących poza osią z jest złożone, gdyż wyrażenia, które należy calkować są całkami eliptycznymi - nie wyrażającymi się przez funkcje elementarne. 23

wielkości

1.3.4. Potencjał i natężenie pola elektrycznego w osi naładowanej tarczy

zależności

Jako kolejny przykład wykorzystania w obliczeniach zależności całkowych ( 1.23) i ( 1.24) rozpatrzmy układ składający się z naładowanej ładunkiem elektrycznym tarczy (rys. 1.9). Wyznaczmy potencjał i natężenie pola elektrycznego w punktach położonych na osi tarczy po obu jej stronach. Przyjmijmy, że promień tarczy jest równy R, a ładunek jest rozłożony po obu jej stronach z gęstości = -sin a = P da 2e 2ecos 2 a dE

=E {z)1 1

1

z

. • a cos a = -~ sm . a = -dr:- sm~

2e

2er

da

przy czym uwzględniono, że: dr: = dqj2rr.r = aP2rr.rdrj2rr.r = aPdr, r = z tga. Stąd dr = z dafcos 2 a. Całkując powyższe wyrażenia w granicach od O do p wyznaczymy: (z)

E(z)

wykorzystać

=

a 2

: (a- z),

E,(z)

=

aP 2e

(t-~)· a '

az

=

Rz

+

zz

(1.31)

Na powierzchni krążka, po obu jego stronach, potencjał jest równy i wynosi (O) = aPRJ2e. Natomiast wektor natężenia pola zmienia zwrot przy zachowaniu tej samej wartości liczbowej równej E,(O) = apf2e. Na rysunku 1.9 b jest pokazana zmienność wartości potencjału i natężenia pola elektrycznego po obu stronach tarczy.

z

E,;,,,

b)

1.4. INDUKCJA ELEKTRYCZNA, PRAWO GAUSSA Posługiwanie się wektorem natężenia pola elektrycznego pozwala wyjaśnić i opisać tylko niektóre z obserwowanych w polu elektrycznym zjawisk. Istniejq natomiast takie zjawiska, których jakościowe i ilościowe objaśnienie wymaga zdefiniowania nowego wektora. Do zjawisk tych przede wszystkim należy zaliczyć elektryzowanie się środowisk przewodzących i polaryzację dielektryków. Zjawiska polaryzacji i elektryzacji omówimy szczegółowo w punktach 2.2 i 3.4. Tu ograniczymy się jedynie do zdefiniowania nowego wektora, dzięki któremu jest możliwe pogłębienie wiedzy o polu elektrycznym i skutkach jego oddziaływania na środowiska materialne. Wektorem tym jest wektor indukcji elektrycznej, który definiujemy wyraża­ j 2 (r)

= - -'t"- In r 2n E 2

+

C2

OP

~

o,

Z porównania powyższych zależności wynika, że na granicy rozdzielającej dielektryczne D 1(R) = D 2 (R) oraz E 1 (R) P E 2 (R); E 1 (R) > E 2 (R). Odnośnic potencjałów należy przyjąć; że 1(R) = 2 (R). Gdybyśmy nic uczynili takiego założenia to oznaczałoby, że między przylegającymi do siebie warstwami występuje napięcie. Taka ewentualność w analizowanym układzie nic znajduje fizycznego uzasadnienia. By wyznaczyć stale całkowania C 1 i C 2 trzeba, obok warunku ci jest równoległa do linii zewnętrznego pola elektrycznego E można założyć zależność 0 potencjału elektrycznego i wektorów pola jedynie od współrzędnych r i El. Pole elektryczne wewnątrz kuli i jej otoczeniu opisują równania Laplace'a. I tak, wewnątrz kuli potencjał elektryczny 1(r,El) powinien spełniać równanie: V2 1(r,El) = O, a na zewnątrz potencjał 2(r,El) - równanie V 2 2(r,El) = O. Dla tych równań możemy sformułować następujące warunki brzegowe: l. Dla r = oo potencjał 2 = - E 0 z = - E0 rcos8; Er e E 0 . 2. Dla r = R istnieje granica nieciqgłości materiałowej, na której ze względu na brak ładunków powierzchniowych spełnione muszq być warunki ciągłości składowych normalnych wektorów indukcji i składowych stycznych wektorów natężenia pola elektrycznego. Wiedzqc, że w układzie sferycznym sługiwać się układem

l

Wyprowadziliśmy więc wzory określające wartość i znak ładunków punktowych, które rozmieszczone w sposób pokazany na rysunkach 2.6 b i c okreś­ lają pole w badanym układzie. Na rysunku 2.6d pokazano przykładowe obrazy pola odpowiednio dla E l > E2 i E l < E2 . Zaproponowaną wyżej metodykę postępowania oraz wyprowadzone zależ­ ności można bezpośrednio wykorzystać do wyznaczania obrazu pola od ładun­ ków liniowych, umieszczonych równoległe do granicy nieciągłości. Należy w tym celu zastąpić w odpowiednich wzorach ładunki q ładunkami 1:.

E (r,El)

D 1 r(R,El)




ł:2

--

r~s--., -

Rys. 2.7. Kula dielektryczna w równomiernym polu elektrycznym (a), obrazy pola wektora E w kuli i jej otoczeniu gdy e 1 < e 2 (b), gdy e 1 > e 2 (c)

56

o

aq>l

a0

a z ar

E-

2

=

i r =

R

(2.34)

a21

a0

r=R

ar

ar

+

1

a (sm . El -a4>1- ) = O

,.z sin El -ae

ae

(2.35)

Równanie tego rodzaju jest dogodnie rozwiqzać metodq rozdzielenia zmiennych. Korzystając z tej metody, otrzymujemy odpowiednio dla obu opisywanych stref następujqce rozwiązania:

--~----;_

c)

t:,

l

Rozpisujqc np. pierwsze z równar1 Laplace'a, otrzymujemy:

,.z

b)

a r ae

- _!_ r

Ela-;

= Ew(R,El)

a1) - 1 -a ( r z -

---

l

a1

= D 2 r(R,El)

E 10 (R,El)

a)

~-- ----

- aq> ar

warunki te zapiszemy w postaci:

2.3.3. Kula dielektryczna w równomiernym polu elektrycznym Zbadajmy jakie zmiany w równomiernym rozkładzie pola spowoduje umieszczenie w nim dielektrycznej kuli (rys. 2.7 a).

= -grad (r,El)

gdzie:

l

111 (A l r +A 2 ,--(lll+l))plll (cosEI)

(2.36)

2

111 (A 3 r +A 4 r -(llld)) P III (cos El)

(2.37)

symbol A z odpowiednimi indeksami oznacza stałe całkowania; m - stała rozdzielenia zmiennych (spodziewamy się, że w obu przypadkach będzie ona miała taką samq wartość); P 111 (cos El) - funkcje (wielomiany) Legendre'a. 57

\tlld&Ji~-

-~.,

że:

Z pierwszego warunku brzegowego wynika,

- E0 rcose

E 20 (r,e)

a

= (-

E0 r +

~; ) cos e

Wcwm1trz kuli, dla r = O, potencjał powinien. A 2 musi być równa zeru. Wobec tego

Pozostałe stałe

mm ic

składowych

z którego

1

A

1

rozwiązania

=

E

2

)

potencjały

A

,

1

=

R3

-E + A 4 o

(2.40)

że:

3e 2 A 1 -- -Eo e, - + 2e ' 2 A zatem

(2.39)

= A 1rcose

2 (-E - A 4 o R3

wynika,

w obu strefach

E

będą

wektora

natężenia

rcose

e 1 + 2e 2

R3) cose

E 1 -E 2

-

P = e 1E 1

(2.41)

= E0

Po (2.42)

wewnętrznej

E 2 ,(r,e) = E 0 ( l+ 58

-

e 0 E 1 = (e 1

-

3e 2

stronie powierzchni kuli

e 1 +2e 2 3e 2

e 1 +2e 2

E1 -

e1

+

E2

2e 2

= P PP

cose = 3e 0 E 0

Ładunek

cose

sin e

2R3) cose

-r3

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

r3

(2.47)

e 0 )E 1 = 3e 0 E0

e, +2e2 r3

E lO (r,e) = - Eo

R3) sme .

-

ładunek

El - Eo ---

(2.48)

e 1 + 2e 0

polaryzacji

określa

za-

leżność

pola elektrycznego - funkcjami:

E 1,(r,e)

E2

2e 2

2. Jeśli przenikalność elektryczna kuli jest większa od przenikalności w jej otoczeniu (e 1 > e 2 ), to E 1 < E0 , D 1 > D 0 . Gdy odwrotnie, to E 1 > E0 , Dt > a2

równania:

fJ·dS =O s

" In

b)

a)

cło

granicy

f E·dl =O, L

fJ·dS =O, s

fD·dS=O s

(3.19)

Pierwsze i drugie równanie całkowe jest spełnione, gdy na granicy środo­ wisk są ciągłe odpowiednio: składowe styczne wektora natężenia poła elekLif cznego i składowe normalne wektora gęstości prądu [zależności: (3.15) i (3.17)]. Warunki jakie powinny w tym przypadku spełniać składowe normalne wektora indukcji wymagają zbadania. Trzecie równanie całkowe sugerowałoby równość tych składowych, jednakże przy wymuszonym przepływie prądu są zdeterminowane wartości tylko 69

68

;i:liłillt-...._

-~flllfli1P

wektorów E i J. Wartość wektora D i jego składowe określają parametry dielektryczne środowisk i wymuszona wartość wektora E. A zatem w pierwszym środowisku D 1 = e 1E 1 , stąd D 111 = e 1E 111 , natomiast w drugim D 2 == = e 2 E2 oraz D 211 = e 2 E211 • O"p1

-1+

opl

= Dl-11

=Din

=-

= D 2 ·1 2 = D 2 = -e zJ (3.24)

el

-J",

op2

Ol

"

Oz

"

z

analizy zależności (3.22) wynika, że na powierzchniach rozgraniczają­ cych rzeczywiste dielektryki, w przypadku przepływu wymuszonego prądu, będą się zawsze gromadziły ładunki swobodne. Powoduje to skokową zmianę wektora indukcji elektrycznej. Jedynie gdy wypadkowy ładunek będzie równy zeru, a więc gdy e 1 jo 1 = e2 /o 2 , wektor D będzie ciągły. Jeśli ładunki gromadzące się na granicy środowisk są zmienne w funkcji czasu, to przy pominięciu wpływu pola magnetycznego - w przestrzeni ob~j­

O"p2

-1+ Ct0"1

przy czym w przypadku ogólnym:

F.20"2

-·+ -•+ J2;E2;D2

mującej granicę J1;E1;D1

= _~

div J(r,t)

-·+ -·+

przez granic

naładowany ładunkiem

(3.29)

div E= - _!_ ag(r,t) a at

Po przyrównaniu prawych stron obu wyrażeń mamy równanie:

w której:

s

oraz '

Q(r,t) = g 0 (r) e

s, f-v)

ag(r,t) at

Konsekwencją przyjętego uproszczenia jest możliwość założenia, że rot E .. O, co umożliwia wprowadzenie skalarnego potencjału elektrycznego i gdyby taka potrzeba istniała- sformułowania równania Laplace'a lub Poissona. Przy uwzględnieniu założenia o jednorodności materiałowej badanego obiektu (E i a są stałe) możemy odpowiednio z równm'i (3.29) wyznaczyć:

b)

D,

-

obydwa czynniki.

Załóżmy, że

a)

=

Formułując powyższy układ równm'i, należy mieć świadomość, że w rozważaniach pomija się wpływ na przebieg opisywanych zjawisk, pola magnetycznego, które jest nierozłącznie związane z każdą zmiamt w· funkcji czasu ładunku elektrycznego (patrz rozdz. 8). Uproszczenie takie jest zazwyczaj dopuszczalne wszędzie tam, gdzie wartości pól magnetycznych S(=, O) = - E0 r R na powierzchni kuli (R, e) pierwszego warunku, (r,e)

= (- E0 r

Wyznaczając z drugiego warunku A

(r,e)

=

równania

różniczkowego,

będzie miało postać:

-

E0

+

~ )cose

r

=

-a - =

ar

'

E (r e) o '

(r- ~: )cose

3

2R- ) cose E (l + o r3

= - -1 -a = - E ( l - -R3) sin e 3 r

ae

o

r

Składowa

r

=

E0 (r, e), będąca na powierzchni kuli do niej R równa zeru, co oznacza, że wektor E na powierzchni kuli

składową proslopadłą

Wynik ten jest zgodny z prawem Gaussa, gdyż przy założeniu potencjału kuli równego zeru niezrównoważony, swobodny ładunek na niej zgromadzony musi być też równy zeru. Uproszczony obraz pola w badanym układzie pokazano na rys. 3.14 a. Na rys. 3.14 b pokazano przebieg gęstości powierzchniowej ładunku elektryzacji.

3.6. POLE ELEKTRYCZNE W OTOCZENIU NAŁADOWANYCH, PRZEWODZĄCYCH OSTRZY Obserwując otaczające nas obiekty techniczne i fizyczne stwierdzamy, że wiele z nich posiada elementy przewodzące, których promienic krzywizn są relatywnie małe. Niektóre z nich możemy wręcz określić mianem ostrzy. Zbadajmy jak kształtuje się rozkład poła elektrycznego w otoczeniu takich ostrzy naładowanych ładunkiem elektrycznym, oraz jakie mogą towarzyszyć temu rozkładowi zjawiska. Jak zwykle, będą to zjawiska w jednych przypadkach korzystne czy wręcz pożądane, w innych niekorzystne, a nawet stwarzające zagrożenie dla bezpieczer'istwa pracy urządzer'i i łudzi. Problem ten jest ważny również z tego względu, że ostre krawędzie są pożądanym kształtem w licznych konstrukcjach. Konstruktorzy zatem muszą mieć odpowiednią w tym względzie wiedzę.

Er(R,e)

=

3E0 cose

której największa wartość Emax = 3E0 jest większa od wartości natężenia pola na powierzchni ekranu cylindrycznego [zależność (3.75)]. Konsekwencją tego jest większe narażenie clielektryka otaczającego ekran na przebicie. Zatem 94

(3.83)

= R 3E0 znajdujemy:

Znajomość funkcji opisującej potencjał skalarny poła umożliwia wyznaczenie wektorów natężenia i indukcji. Istotnie uwzględniając, że E (r, e) = = - grad (r, e) obliczamy:

E (re)

(3.82)

7t

f f

q= f3eE 0 cosedS = 3eE0 R 2 dq> cosesinede =O s o o

=O

Można wykazać, że rozwiązanie powyższego uwzględnieniu

3eEO cose ...

Maksymalna wartość gęstości ładunków zaindukowanych na ekranie kulistym jest większa od gęstości zaindukowanej na powierzchni ekranu cylindrycznego. Ładunek zaindukowany na cał~j powierzchni kuli, jeśli uwzględnić, że jej elementarny płat dS = R 2 sin e de dq>, wynosi: 27t

-dla r - dla r

=

Naszym celem jest otrzymanie zależności analitycznych, które pozwołl

st2 4n:erl

wyrażą się zależnościami: ą2

= --

4n:er2

zgromadzonych w kulach ąl = ~ q2

Wiedząc,

Dl n

eE1n

El n

,.2

D211

eE2n

E211

,.l

z

analizy powyższych zależności można wywnioskować, że na powierzchni mniejszym promieniu gęstość powierzchniowa ładunku i tym samym wartość natężenia pola i indukcji po stronie diełektryka jest większa niż na powierzchni 0 większym promieniu. Kształtując powierzchnię przewodnika bęclącego np. elektrodjdr),

E,(r)

ap2

q1r2

2 q2r1

=

(3.88)

składowa

normalna

natężenia

pola elek-

trycznego w otoczeniu ostrza:

2 =

o

Stąd r 2 (dcj>jdr) = - const.

oraz ich stosunek: 0 p1

(3.87)

const

(3.89)

r2

r2 r1

Stałą całkowania możemy wyznaczyć zakładając, że przybliżającej

Jeśli uwzględnić, że gęstość powierzchniowa ładunku jest równa składowej normalnej indukcji elektrycznej, to

96

ostrze, skupiony jest

na

zastępczej

kuli,

ładunek 2

q 0 = k4n:r0

aP

97

d ..~.

._,...,..?'QI,

gdzie:

k

jest współczynnikiem określającym, jaka część zastępczej powierzchni kulistej jest naładowana ładunkiem o gęstości oP.

Wiedząc, że

op = Dr(r0 ) = eEr(r0 ) otrzymujemy w

const

=

qo k4ne

przybliżeniu:

(3.90)

oraz qo Er(r) "' k4n e r2

(3.91)

Istotnym wnioskiem wynikającym z przeprowadzonych rozważm1 jest to, że na powierzchniach ostrzy koncentrują się ładunki o dużych gęstościach powierzchniowych, co w konsekwencji prowadzi do silnej koncentracji pola elektrycznego w ich otoczeniu. Natężenie pola elektrycznego w pobliżu ostrzy jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalne do kwadratu zastępczego promienia . kuli je przybliżąjącej. Opisany wyżej efekt może powodować zagrożenie dla izolacji, ale jest też wykorzystywany między innymi do jonizacji gazu w celu wytworzenia strefy, w której istnieją elektrony i jony o odpowiednio znaczącej gęstości objętościowej.

Silne pole elektryczne w pobliżu elektrody ostrzowej działa przyśpieszająco na elektrony i jony znajdujące się zawsze w gazie (np. w wyniku jonizacji gazu promieniami y lub zderzeniami termicznymi). Szczegółnie duże prędkości osią­ gają elektrony, których masa jest 1840 razy mniejsza od najlżejszego jonu wodoru. Przy.~pieszone elektrony osiągają energie kinetyczne na tyle duże, że w zderzcniach wytrącają elektrony z zewnętrznych orbit cząstek gazu, powodując ich jonizację. W efekcie, w pobliżu elektrody ostrzowej wytwarza się przestrzenny ładunek, składający się ze swobodnych elektronów i jonów. Intensywność jonizacji jest zależna od wielu czynników, między innymi: . ciśnienia gazu, temperatury, emisji termicznej z elektrod, czy wreszcie od tzw. autocmisji, polegającej na wyrywaniu elektronów z materialu elektrod przez dostatecznie silne pole na ich powierzchni. Jednakże decydujące znaczenie ma warto.~ć natężenia pola elektrycznego przyśpieszającego elektrony do osiągnię­ cia przez nie energii kinetycznej wystarczającej, w przypadku zderzenia, do jonizacji. Zbyt duże wartości natężenia pola mogą przekształcić proces jonizacji w lawinowe powielanie liczby elektronów i jonów, co w efekcie doprowadzi do zjawiska zwanego wyładowaniem iskrowym (do zaistnienia wyładowa­ nia łukowego niezbędne jest podtrzymanic jonizacji przez silną emisję tcrmiczn" k =- = l '

1. KONDENSATOR ODOSOBNIONY. Wypełnienie kondensatora dicl o przenikalności e, przy niczmiennym ładunku na jego okładzinach, duje zmiany ilościowe nicktórych wielkości. Nowe wartości otrzymamy, za e 0 wstawimy e. W efekcie otrzymamy:

' (x)

=

q"

ładu

X

dl

d

122

Rys. 4.6. Kondensator plaski dwuwarstwowy i przebiegi charakterystycznych wielkości (a), schemat zastępczy (h)

123

:::~·~·-;,-

,.

·····

'. '~·

W każdej z warstw potencjał elektryczny opisują równania których rozwiązania będ.