PLANIMETRIA GENERATOR Test Z Widoczna Punktacja [PDF]

Zitiervorschau

Grupa

A

Klasa ....................

Liczba punktów ...... / 224 p.

Imię .................................................................................. 6. PLANIMETRIA GENERATOR 1

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 126∘ . Oblicz miary pozostałych kątów tego

( ... / 1 p.)

trójkąta. 2

Sprawdź, czy istnieje trójkąt o kątach: 45∘ , 56∘  i 89∘ . Odpowiedź uzasadnij.

( ... / 1 p.)

3

Kąty: α, β , γ są kątami trójkąta, przy czym α  =  111∘ , a γ  =  22∘ . Wyznacz miarę kąta β.

( ... / 1 p.)

4

Kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta ma miarę 120∘ , a jeden z kątów tego trójkąta – 70∘ . Oblicz miary

( ... / 1 p.)

pozostałych kątów tego trójkąta. ( ... / 2 p.)

5

Oblicz miary kątów: α, β , γ i δ.

6

( ... / 3 p.)

Wyznacz miary kątów trójkąta przedstawionego na rysunku, wiedząc, że γ  =  5α.

7

W trójkącie ABC jeden kąt jest trzy razy mniejszy od drugiego i pięć razy mniejszy od trzeciego kąta. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

8

Miary kątów trójkąta wynoszą: α, α + 10∘ , α + 20∘ . Miara największego kąta tego trójkąta jest równa: A. 150∘ ,

9

B. 70∘ ,

C. 60∘ ,

( ... / 2 p.)

( ... / 1 p.)

D. 50∘ . ( ... / 1 p.)

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym ∣AC ∣ =  ∣BC ∣, kąt przy podstawie jest równy 40∘ . Z wierzchołka C tego trójkąta poprowadzono wysokość. Jaki kąt tworzy ta wysokość z ramieniem trójkąta ABC ? A. 100∘

10

B. 90∘

C. 50∘

D. 40∘ ( ... / 3 p.)

W trójkącie ABC , w którym ∣∢BAC ∣ =  58∘ , a  ∣∢ABC ∣ =  59∘ , poprowadzono wszystkie wysokości. Znajdź miary kątów: α, β , γ , δ zaznaczonych na rysunku.

Grupa

A

| strona 1 z 13

11

( ... / 1 p.)

Suma miar kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi 1620∘ . Wynika stąd, że jest to: A. dwunastokąt,

B. jedenastokąt,

C. dziesięciokąt,

D. dziewięciokąt. ( ... / 2 p.)

12

Wierzchołki trójkąta ABC leżą na okręgu o środku S (jak na rysunku). Oblicz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta, wiedząc, że ∣∢ASB ∣=  154∘ , ∣∢BSC ∣=  30∘ .

13

Czy z trzech odcinków o podanych długościach można zbudować trójkąt? Zapisz działania uzasadniające odpowiedź.

( ... / 3 p.)

a) 4 cm, 6 cm, 8 cm        b) 0, 2 dm, 3 cm, 5 cm        c) 2 cm, 0, 4 dm, 0, 07 m 14

Dane są odcinki: AB , CD, EF , GH o długościach: ∣AB ∣ =  0, 36 dm, ∣CD∣ =  4, 4 cm, ∣EF ∣ =  66 mm, 

( ... / 1 p.)

∣GH ∣ =  8 cm. Z których trzech spośród nich nie można zbudować trójkąta? A. AB , CD i EF 15

C. CD, EF i GH

D. AB , EF i GH

Zaznacz parę trójkątów przystających. I.

16

B. AB , CD i GH

II.

( ... / 1 p.)

III.

IV.

( ... / 1 p.)

Trójkąty równoramienne P RS  i T UW  są przystające. Podstawą trójkąta P RS  jest bok RS , a podstawą trójkąta T UW  – bok T U . Jaką miarę ma kąt TW U ?

A. 52∘

B. 64∘

C. 128∘

D. 116∘ ( ... / 2 p.)

17

Wykaż, że trójkąty ABC i DEF są przystające.

Grupa

A

| strona 2 z 13

18

19

Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Odpowiedź uzasadnij. a)

c)

b)

d)

( ... / 4 p.)

Wskaż parę figur, które nie są przystające.

( ... / 1 p.)

A. dwa odcinki takiej samej długości B. kwadrat o polu 4 i kwadrat o przekątnej √8 C. trójkąt równoboczny o boku długości 1 i trójkąt równoboczny o wysokości 

√3 2

D. dwa dowolne trójkąty równoramienne o polu 12 20

( ... / 1 p.)

Dwa boki trójkąta mają długości 5 cm i 8 cm. Trzeci bok może mieć długość: A. 13 cm,

B. 8 cm,

C. 3 cm,

D. 2 cm.

21

Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeśli: A. mają dwa boki równej długości, B. mają dwa kąty o takiej samej mierze, C. mają po jednym kącie ostrym o takiej samej mierze i równej długości boki leżące naprzeciwko tych kątów, D. mają równe pola.

( ... / 1 p.)

22

Czy można zbudować trójkąt, którego boki mają długości:

4 a) 5, 9, 11,                                          b) 6, 3 − √5,  ? 3 − √5

( ... / 3 p.)

23

Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, którego dwa boki mają długości 8 cm i 17 cm.

24

Dwa sąsiednie boki równoległoboku mają długość 13, 5 cm i 8, 5 cm. Uzasadnij, że suma długości obu

( ... / 2 p.) ( ... / 3 p.)

przekątnych tego równoległoboku jest mniejsza niż 44 cm. 25

( ... / 1 p.)

Proste zawierające ramiona AD i BC trapezu ABCD przecinają się w punkcie S odległym od wierzchołków C i D odpowiednio o 6 cm i 12 cm. Oblicz długość ramienia AD trapezu, jeżeli ramię BC ma długość 8 cm.

Grupa

A

| strona 3 z 13

26

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D, a na boku BC – punkt E w taki sposób, że odcinek DE jest

( ... / 1 p.)

równoległy do odcinka AC . Oblicz długość odcinka AD, jeżeli ∣BD∣ =  3, ∣BE ∣ =  2, ∣BC ∣ =  10. 27

Oblicz długości odcinków: BC, IJ, OM.

28

Oblicz długości odcinków BC, LN.

( ... / 3 p.)

( ... / 2 p.)

( ... / 2 p.)

29

Sprawdź, czy proste a i b oraz proste c i d są równoległe.

( ... / 3 p.)

30

Oblicz długości odcinków SA i SF , jeśli ∣SC ∣ =  43, 2, ∣DA∣ =  14, 4, ∣SE ∣ =  15, ∣EB ∣ =  12.

Grupa

A

| strona 4 z 13

( ... / 3 p.)

31

Dla jakiej wartości a proste k i m są równoległe?

( ... / 3 p.)

32

Wyraź sumę x + y za pomocą n, gdzie n  >  0.

( ... / 3 p.)

33

Oblicz długości x i y, jeśli a  =  9, b  =  6, c  =  7, 2, d  =  4, 2, e  =  8, 4.

( ... / 3 p.)

34

Oblicz długości odcinków AB i AD, jeśli a  ∥  b i c  ∥  d oraz ∣BC ∣ =  4, ∣CE ∣ =  6, ∣EF ∣ =  8, ∣F D∣ =  6.

35

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty: A (0, 16), B (12, 0), C (27, 0), D (0, 36). Czy proste AB i 

( ... / 3 p.)

CD są równoległe? Odpowiedź uzasadnij.

Grupa

A

| strona 5 z 13

( ... / 4 p.)

36

Oblicz długości: a, b, c, d, jeśli proste: p, q , r, s są równoległe i  ∣OY ∣ =  30.

37

( ... / 1 p.)

Dane są kwadraty  K 1 o boku 8 cm i  K 2 o obwodzie 12 cm. Skala podobieństwa

kwadratu  K 2 do kwadratu  K 1 jest równa: 2 A. , 3

38

3 B. , 8

3 C. , 2

4 D. . 3

Oceń prawdziwość każdego z poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. 1.

Każde dwa prostokąty są podobne.

P

F

P

F

( ... / 1 p.)

Romb, którego jeden z kątów ma miarę 30∘ , jest podobny do rombu, którego 2. ∘

jeden z kątów ma miarę 150 . 39

( ... / 3 p.)

Wielokąt  W 1 jest podobny do wielokąta  W 2 w skali k  =  7. Suma obwodów tych wielokątów jest równa  84 cm. Oblicz obwód każdego z nich.

40

( ... / 1 p.)

Prostokąt  P 1 o wymiarach 18 cm i 24 cm jest podobny do prostokąta P 2 o wymiarach 40 cm i 30 cm.  Oblicz skalę podobieństwa:

a) prostokąta P 1 do prostokąta P 2 ,                    b) prostokąta P 2 do prostokąta P 1 .

41

Równoległobok R1 ma boki długości 16 cm i 36 cm. Równoległobok R2 jest podobny do równoległoboku  1 R1 w skali 1 . Obwód równoległoboku R2 jest równy: 4 A. 57, 6 cm,

42

B. 83, 2 cm,

C. 104 cm,

( ... / 1 p.)

D. 130 cm.

W prostokącie P 1 przekątna ma długość 25 cm, a krótszy bok – 15 cm. W prostokącie P 2 przekątna ma

( ... / 3 p.)

długość 30 cm, a dłuższy bok – 24 cm. Czy te prostokąty są podobne? Odpowiedź uzasadnij. 43

Trójkąt T 1 o bokach długości: 3 cm, 5 cm, 6 cm jest podobny do trójkąta T 2 , którego jeden z boków ma

( ... / 3 p.)

długość 30 cm. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta T 2 do trójkąta T 1 . Rozważ wszystkie możliwości. 44

Obwód działki, na której ma być zbudowany parking, na planie w skali 1  :  2000 ma długość 20 cm. Jaką

( ... / 2 p.)

długość miałby na planie w skali 1  :  2500?

Grupa

A

| strona 6 z 13

45

Prostokąt P 1 , którego dłuższy bok ma długość 8, 4 cm, w skali k1   =  6 jest podobny do prostokąta P 2 o 1 krótszym boku długości 0, 5 cm. Prostokąt P 2 jest podobny do prostokąta P 3 w skali k2   =   . Oblicz obwód 4

( ... / 3 p.)

prostokąta P 3 . 46

( ... / 3 p.)

W prostokącie P 1 jeden z boków ma długość 80 cm. Prostokąt P 2 jest podobny do prostokąta P 1 , a jego obwód jest o 85% krótszy niż obwód P 1 . Oblicz skalę podobieństwa P 1 do P 2 .

47

Trójkąt równoboczny T 1 o boku 8 cm rozcięto wzdłuż prostej na trapez oraz trójkąt T 2 podobny do trójkąta

( ... / 3 p.)

T 1 , o obwodzie 6 cm. Oblicz obwód trapezu. 48

Na planie w skali 1  :  300 budynek jest zaznaczony jako prostokąt o wymiarach 5 cm i 20 cm. W jakiej skali

( ... / 2 p.)

sporządzono plan, na którym ten budynek jest przedstawiony jako prostokąt o wymiarach 1, 5 cm i 6 cm? 49

Oceń prawdziwość każdego z poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

1.

Sześciokąt foremny o polu równym 36 jest podobny do sześciokąta foremnego

P

F

P

F

( ... / 1 p.)

o polu równym √2. 2.

Dwa wielokąty o takiej samej liczbie boków są podobne, jeśli miary kątów jednego z nich są takie same, jak miary kątów drugiego.

50

Uzasadnij, że każde dwa spośród narysowanych trójkątów są podobne.

( ... / 3 p.)

51

Wśród trójkątów przedstawionych na rysunku wskaż pary trójkątów podobnych. Uzasadnij swój wybór.

( ... / 2 p.)

Grupa

A

| strona 7 z 13

52

( ... / 2 p.)

Wojtek chciał zmierzyć szerokość rzeki. Stanął na jej brzegu, przy kamieniu K , naprzeciwko drzewa D rosnącego na brzegu przeciwległym. Odmierzył krokami  15 m wzdłuż brzegu, a punkt P , do którego dotarł, zaznaczył gałązką. Przeszedł jeszcze 5 m i wbił patyk w punkcie R. 

Odwrócił się tyłem do rzeki i prostopadle do jej nurtu przeszedł 4, 5 m. Dotarł do punktu W leżącego na tej samej prostej, na której leżą punkty D i P .

Wykonaj zadanie Wojtka – oblicz szerokość rzeki. 53

( ... / 2 p.)

Trójkąty różnoboczne T 1 i T 2 są podobne. Najdłuższy bok trójkąta T 2 ma długość odpowiadającą 80% długości najdłuższego boku trójkąta T 1 . Oblicz skalę podobieństwa trójkąta T 2 do trójkąta T 1 .

54

( ... / 1 p.)

W trójkącie ABC , w którym ∣∢BAC ∣ =  90∘ , a ∣∢ABC ∣ =  75∘ , na boku AC obrano punkt X tak, że trójkąt ABX jest podobny do trójkąta ABC . Miara kąta BXC jest równa: A. 105∘ ,

55

B. 115∘ ,

C. 120∘ ,

D. 135∘ . ( ... / 1 p.)

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta równoramiennego T 1 ma miarę 40∘ . Trójkąt T 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali k  =  2.

Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

56

1.

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta T 2 ma miarę 80∘ .

P

F

2.

Suma miar pewnych dwóch kątów trójkąta T 2 jest równa 140∘ .

P

F

A. 3, 5, 6 57

C. 5,

15 , 10 2

D. 4, 7, 10

B. 3,

C. 4,

12 18 i , 5 5

B. 12 i 18,

C. 15 i

( ... / 1 p.)

D. 9.

Trójkąt ABC o bokach długości: 5, 6, 9 jest podobny do trójkąta DEF , którego najkrótszy bok ma długość 1 12 . Długości pozostałych boków trójkąta DEF wynoszą: 2 A.

59

B. 5, 5, 9

Dwa trójkąty prostokątne są podobne. Suma ich obwodów jest równa 180 cm, a różnica wynosi 90 cm. Skala podobieństwa większego trójkąta do trójkąta mniejszego jest równa: A. 2,

58

( ... / 1 p.)

Dany jest trójkąt T o bokach długości: 2, 3, 4. Wskaż długości boków trójkąta podobnego do trójkąta T .

45 , 2

D.

( ... / 1 p.)

15 i 45. 2

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty: A (−4, 2), B (−4, − 1), C (3, − 1), D (9, 10), E (3, 10), 

( ... / 1 p.)

F  (9, − 4). Sprawdź, czy trójkąty ABC i DEF są podobne.

Grupa

A

| strona 8 z 13

60

Trójkąt A′ B ′ C ′ jest podobny do trójkąta ABC w skali 3. Dwa z boków trójkąta A′ B ′ C ′ mają długości 6 i 12.

( ... / 3 p.)

Oblicz długości boków trójkąta ABC , wiedząc, że jego obwód jest równy 9. 61

( ... / 3 p.)

Trójkąty ABC i DEF są podobne. Oblicz długości boków trójkąta ABC , wiedząc, że jego obwód jest równy 4, a długości boków trójkąta DEF wynoszą: 5, 6 i 7.

62

( ... / 1 p.)

Prostokąt P 1 jest podobny do prostokąta P 2 w skali k  =  4. Pole prostokąta P 2 jest równe 64 cm2 .

Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zadanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

63

1.

Pole prostokąta P 1 jest równe 256 cm2 .

P

F

2.

Przekątna prostokąta P 1 jest 4 razy dłuższa od przekątnej prostokąta P 2 .

P

F ( ... / 2 p.)

Od prostokąta P o polu 243 cm2 odcięto prostokąt o polu 216 cm2 . Pozostała część jest prostokątem podobnym do prostokąta P . Ustal skalę podobieństwa.

64

Na planie w skali 1  :  1500 pole boiska wynosi 8 cm2 . Jakie jest jego rzeczywiste pole powierzchni?

( ... / 2 p.)

65

Trójkąt prostokątny równoramienny T 1 jest podobny do trójkąta T 2 . Pole trójkąta T 1 jest równe 32 cm2 , a

( ... / 2 p.)

najdłuższy bok trójkąta T 2 ma długość 8 cm.

Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. 1.

Skala podobieństwa trójkąta T 1 do trójkąta T 2 jest równa 2.

P

F

2.

Jeden z boków trójkąta T 1 ma długość 8√2 cm.

P

F ( ... / 3 p.)

66

Oblicz pole trapezu BDIG przedstawionego na rysunku.

Grupa

A

| strona 9 z 13

67

( ... / 1 p.)

Przekątna kwadratu K 1 jest 9 razy dłuższa niż przekątna kwadratu K 2 . Ile razy pole kwadratu K 1 jest większe od pola kwadratu K 2 ? A. 3

68

B. 9

C. 36

D. 81

1 Trójkąt równoboczny T 1 jest podobny do trójkąta równobocznego T 2 w skali k  =   . Pole trójkąta T 2 jest o  5

( ... / 1 p.)

120 cm2 większe od pola trójkąta T 1 . Pole większego z tych trójkątów jest równe: A. 600 cm2 ,

B. 480 cm2 ,

C. 240 cm2 ,

D. 125 cm2 . ( ... / 3 p.)

69

Dane są dwa wielokąty podobne. Pierwszy z nich ma obwód 20 i pole 24, a pole drugiego jest równe 6.  Oblicz obwód drugiego wielokąta.

70

Stosunek długości odpowiadających sobie boków dwóch wielokątów podobnych to 5  :  7. Pole mniejszego z

( ... / 3 p.)

wielokątów jest równe 50 cm2 . Oblicz pole większego wielokąta. 71

Obwody dwóch wielokątów są równe 36 cm i 48 cm, a ich pola wynoszą odpowiednio 72 cm2  i 96 cm2 .

( ... / 3 p.)

 Czy te wielokąty mogą być podobne? Odpowiedź uzasadnij. 72

Długości boków prostokąta o polu równym 20 cm2 zwiększono o 20%. Ile obecnie wynosi jego pole?

( ... / 2 p.)

73

5 Stosunek długości odpowiadających sobie boków dwóch prostokątów jest równy . Oblicz pole każdej z tych 3

( ... / 3 p.)

figur, wiedząc, że pole jednej jest o 48 m2 większe od pola drugiej. 74

Dany jest trójkąt ABC , w którym ∣AB ∣ =  17, 5 cm, a ∣AC ∣ =  10, 5 cm. Z wierzchołka A wyprowadzono

( ... / 1 p.)

dwusieczną, która przecięła bok BC w punkcie D. Podaj w postaci ułamka nieskracalnego stosunek długości odcinka BD do długości odcinka CD. 75

( ... / 2 p.)

Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 24 cm, a dwusieczna kąta między tymi

bokami dzieli trzeci bok trójkąta na odcinki o długości 3 cm i 5 cm.  Podaj długości

najkrótszego i najdłuższego boku trójkąta.

76

W trójkącie o bokach długości: 8 cm, 12 cm, 15 cm poprowadzono dwusieczną, która podzieliła najdłuższy bok na dwa odcinki. Oblicz ich długość.

77

W trójkącie poprowadzono dwusieczną kąta wyznaczonego przez jego boki o długości 15 cm i 25 cm.

( ... / 2 p.)

( ... / 3 p.)

 Podzieliła ona trzeci bok na dwa odcinki, których długości różnią się o 5 cm. Oblicz obwód tego trójkąta. 78

( ... / 3 p.)

W trójkącie o kątach: 30∘ , 60∘ , 90∘ najkrótszy bok ma długość 8 cm. Dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki. Oblicz różnicę ich długości.

79

( ... / 2 p.)

W prostokącie ABCD poprowadzono dwusieczne kątów ABC i CDA, które podzieliły

przekątną AC o długości 18 cm na trzy równe części. Oblicz obwód tego prostokąta.

Grupa

A

| strona 10 z 13

80

Dany jest trójkąt ABC o polu 30, w którym ∣AB ∣ =  8, a ∣AC ∣ =  12. Dwusieczna kąta BAC  przecina bok 

( ... / 3 p.)

BC w punkcie D. Przez punkt D poprowadzono prostą równoległą do boku AB , która przecięła bok AC w punkcie E , i prostą równoległą do boku AC , która przecięła bok AB  w punkcie F . Oblicz pola trójkątów  CED i F BD. 81

W trójkącie ABC mamy ∣AB ∣ =  6, a ∣AC ∣ =  ∣BC ∣ =  12. Punkty D i E są środkami odpowiednio boków 

( ... / 3 p.)

AC i BC . Dwusieczne kątów BAC i EDC przecinają bok BC odpowiednio w punktach X  i Y . Oblicz długość odcinka XY . 82

W prostokącie ABCD, w którym ∣AB ∣ =  4, a ∣AD∣ =  3, poprowadzono dwusieczne kątów BAC  i DAC ,

( ... / 3 p.)

które przecięły boki BC i DC odpowiednio w punktach E i F . Oblicz długość odcinka EF . 83

Dany jest trójkąt ABC o polu 21 cm2 , w którym ∣AB ∣ =  8 cm, a ∣AC ∣ =  6 cm. Dwusieczna kąta BAC

( ... / 3 p.)

 przecina bok BC w punkcie D. Oblicz pola trójkątów ABD i ACD. 84

( ... / 3 p.)

Dany jest trójkąt ABC , w którym: ∣AB ∣ =  11, ∣BC ∣ =  7, ∣AC ∣ =  5. Dwusieczne kątów BAC i ABC  przecinają boki trójkąta odpowiednio w punktach D i E . Oblicz długość łamanej EABD.

( ... / 3 p.)

85

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga 3. Dwusieczna kąta między dwoma najdłuższymi bokami dzieli najkrótszy bok na dwie części. Podaj długość krótszej z tych części.

86

Wyznacz miarę kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego.

87

Wyznacz miarę kąta między wysokością trójkąta równoramiennego poprowadzoną do ramienia tego trójkąta

( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.)

∘

a jego podstawą, jeśli kąt między ramionami tego trójkąta jest równy 48 . 88

Suma miar dwóch kątów wewnętrznych pewnego trójkąta jest równa mierze trzeciego kąta. Oblicz miary

( ... / 1 p.)

∘

tych kątów, jeżeli wiadomo, że jeden z nich ma miarę 42 . 89

W układzie współrzędnych dane są punkty: A (−3, 2), B (2, − 5), C (2, 2), D (4, 8), E (−1, 1), F  (4, 1).

( ... / 2 p.)

 Sprawdź, czy trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF . 90

Dany jest trójkąt ABC , w którym ∣AB ∣ =  8 cm, a ∣BC ∣ =  13 cm. Uzasadnij, że obwód tego trójkąta jest

( ... / 3 p.)

mniejszy niż 42 cm. 91

( ... / 2 p.)

Jeden bok trójkąta ma długość 55 cm, a drugi – 46 cm. Czy trzeci bok może mieć długość:

a) 1 dm,                                                b) 1 m?

( ... / 2 p.)

92

Ramiona kąta BOD przecięto prostymi równoległymi p, m (rysunek obok). Długości odcinków OA i OC są równe odpowiednio 10 cm i 5 cm, a odcinek CD jest o 4 cm  krótszy od odcinka AB . Oblicz długości odcinków OB i OD .

Grupa

A

| strona 11 z 13

( ... / 2 p.)

93

Oblicz długość odcinka AD, jeśli ∣OA∣ =  50 cm, ∣OB ∣ =  28 cm, a  ∣OC ∣ =  7 cm.

( ... / 3 p.)

94

Sprawdź, które z prostych: a, b, c są równoległe, jeśli ∣P A∣ =  72 cm,  ∣P B ∣ =  30 cm, ∣P C ∣ =  12 cm, ∣P D∣ =  18 cm, ∣DE ∣ =  30 cm,  ∣EF ∣ =  60 cm.

95

Punkty: A (1, 2), B (4, 2), C (4, 4), D (1, 4) są wierzchołkami prostokąta podobnego do prostokąta EF GH ,

( ... / 3 p.)

w którym E (5, − 1), F  (11, − 1). Podaj współrzędne punktów G i H. Rozważ wszystkie możliwości. ( ... / 3 p.)

96

Prostokąt ABCD podzielono tak, jak na rysunku, na trzy prostokąty, z których P 1 jest podobny do P 2 i ABCD. Prostokąt  P 1 ma boki długości 2 cm i 3 cm. Oblicz długości boków prostokąta ABCD.

97

( ... / 3 p.)

Czy trójkąt o bokach długości: 5 cm, 7 cm, 10 cm może być podobny do trójkąta o obwodzie 33 cm i najdłuższym boku długości 14 cm?

98

Pionowy słupek o wysokości 90 cm rzuca cień długości 60 cm. W tej samej chwili stojąca obok wieża rzuca

( ... / 1 p.)

cień długości 12 m. Jaka jest jej wysokość? A. 18 m 99

B. 8 m

C. 9 m

D. 16 m

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D, a na boku BC – punkt E w taki sposób, że odcinek DE jest

( ... / 2 p.)

równoległy do odcinka AC . Oblicz długość odcinka AD, jeżeli ∣BD∣ =  3, ∣BE ∣ =  2, ∣BC ∣ =  10.

Grupa

A

| strona 12 z 13

( ... / 3 p.)

100

Trójkąty prostokątne ABD i CBD są podobne i mają wspólny bok długości d  =  9 cm. Oblicz pole prostokąta BCF E, w którym ∣BE ∣ =  ∣BA∣.

( ... / 2 p.)

101

Dwa prostokąty są podobne. Obwód mniejszego z nich stanowi 60% obwodu prostokąta większego. Jaki procent pola większego prostokąta stanowi pole mniejszego z nich?

102

Parking ma kształt prostokąta o wymiarach 120 m i 40 m. Na planie osiedla odpowiada mu prostokąt o polu

( ... / 2 p.)

3 cm2 . W jakiej skali sporządzono ten plan? 103

W kwadracie ABCD o boku długości 32 cm połączono środki kolejnych boków. Powstał kwadrat EF GH .

( ... / 3 p.)

W tym kwadracie również połączono środki kolejnych boków i otrzymano kwadrat IJKL.

a) Oblicz skalę podobieństwa kwadratu IJKL do ABCD.

b) Oblicz pole kwadratu IJKL. 104

W trójkącie ABC o bokach długości: ∣AB ∣ =  18 cm, ∣BC ∣ =  24 cm, ∣AC ∣ =  20 cm poprowadzono

( ... / 2 p.)

dwusieczną kąta ABC , która przecięła bok AC w punkcie D. Oblicz długości odcinków AD i CD. 105

Obwód trójkąta jest równy 77 cm. Dwusieczna jednego z jego kątów dzieli przeciwległy bok na odcinki

( ... / 3 p.)

długości 9 cm i 12 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Grupa

A

| strona 13 z 13

Grupa

B

Klasa ....................

Liczba punktów ...... / 224 p.

Imię .................................................................................. 6. PLANIMETRIA GENERATOR 1

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 136∘ . Oblicz miary pozostałych kątów tego

( ... / 1 p.)

trójkąta. 2

Sprawdź, czy istnieje trójkąt o kątach: 48∘ , 57∘  i 65∘ . Odpowiedź uzasadnij.

( ... / 1 p.)

3

Kąty: α, β , γ są kątami trójkąta, przy czym β  =  55∘ , a γ  =  66∘ . Wyznacz miarę kąta α.

( ... / 1 p.)

4

Kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta ma miarę 140∘ , a jeden z kątów tego trójkąta – 60∘ . Oblicz miary

( ... / 1 p.)

pozostałych kątów tego trójkąta. ( ... / 2 p.)

5

Oblicz miary kątów: α, β , γ i δ.

6

( ... / 3 p.)

Wyznacz miary kątów trójkąta przedstawionego na rysunku, wiedząc, że γ  =  5β .

7

W trójkącie DEF jeden kąt jest trzy razy mniejszy od drugiego i sześć razy mniejszy od trzeciego kąta. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

8

Miary kątów trójkąta wynoszą: α, α − 15∘ , α − 30∘ . Miara największego kąta tego trójkąta jest równa: A. 135∘ ,

9

B. 75∘ ,

C. 45∘ ,

( ... / 2 p.)

( ... / 1 p.)

D. 15∘ . ( ... / 1 p.)

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym ∣AC ∣ =  ∣BC ∣, kąt przy podstawie jest równy 30∘ . Z wierzchołka C tego trójkąta poprowadzono wysokość. Jaki kąt tworzy ta wysokość z ramieniem trójkąta ABC ? A. 120∘

B. 90∘

C. 60∘

D. 30∘

Grupa

B

| strona 1 z 13

10

( ... / 3 p.) ∘

∘

W trójkącie ABC , w którym ∣∢BAC ∣ =  44 , a  ∣∢ABC ∣ =  66 , poprowadzono wszystkie wysokości. Znajdź miary kątów: α, β , γ , δ zaznaczonych na rysunku.

11

( ... / 1 p.)

Suma miar kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi 1980∘ . Wynika stąd, że jest to: A. trzynastokąt,

B. dwunastokąt,

C. jedenastokąt,

D. dziesięciokąt. ( ... / 2 p.)

12

Wierzchołki trójkąta ABC leżą na okręgu o środku S (jak na rysunku). Oblicz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta, wiedząc, że ∣∢ASB ∣=  136∘ , ∣∢BSC ∣=  60∘ .

13

Czy z trzech odcinków o podanych długościach można zbudować trójkąt? Zapisz działania uzasadniające odpowiedź.

( ... / 3 p.)

a) 5 cm, 6 cm, 7 cm        b) 2 cm, 0, 4 dm, 6 cm        c) 0, 3 dm, 0, 04 m, 8 cm 14

Dane są odcinki: AB , CD, EF , GH o długościach: ∣AB ∣ =  48 mm, ∣CD∣ =  10 cm, ∣EF ∣ =  0, 52 dm, 

( ... / 1 p.)

∣GH ∣ =  6, 1 cm. Z których trzech spośród nich nie można zbudować trójkąta? A. AB , CD i EF 15

C. CD, EF i GH

D. AB , EF i GH

Zaznacz parę trójkątów przystających. I.

16

B. AB , CD i GH

II.

( ... / 1 p.)

III.

IV.

( ... / 1 p.)

Trójkąty równoramienne KLM  i NOP  są przystające. Podstawą trójkąta KLM  jest bok KM , a podstawą trójkąta NOP  – bok NO. Jaką miarę ma kąt NP O?

A. 117∘

B. 63∘

C. 126∘

D. 54∘

Grupa

B

| strona 2 z 13

( ... / 2 p.)

17

Wykaż, że trójkąty ABC i DEF są przystające.

18

19

Czy trójkąty przedstawione na rysunku są przystające? Odpowiedź uzasadnij. a)

c)

b)

d)

( ... / 4 p.)

Wskaż parę figur, które nie są przystające.

( ... / 1 p.)

A. trójkąt równoboczny o boku długości 12 i trójkąt równoboczny o wysokości 6√3 B. dwa odcinki takiej samej długości C. kwadrat o polu 16 i kwadrat o przekątnej √32 D. dwa dowolne trójkąty równoramienne o polu 15 20

( ... / 1 p.)

Dwa boki trójkąta mają długości 4 cm i 9 cm. Trzeci bok może mieć długość: A. 13 cm,

B. 8 cm,

C. 5 cm,

D. 4 cm.

21

Dwa trójkąty równoramienne są przystające, jeśli: A. kąt przy podstawie jednego trójkąta ma taką samą miarę jak kąt przy podstawie drugiego trójkąta, B. mają równe długości podstaw i równe wysokości poprowadzone do tych podstaw, C. mają ramiona takiej samej długości, D. mają równe pola.

( ... / 1 p.)

22

Czy można zbudować trójkąt, którego boki mają długości:

1 ? a) 3, 9, 12,                                          b) 5, 4 − √3,  2 − √3

( ... / 3 p.)

23

Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, którego dwa boki mają długości 7 cm i 14 cm.

24

Dwa sąsiednie boki równoległoboku mają długość 18, 5 cm i 5, 5 cm. Uzasadnij, że suma długości obu

( ... / 2 p.) ( ... / 3 p.)

przekątnych tego równoległoboku jest mniejsza niż 48 cm. Grupa

B

| strona 3 z 13

25

( ... / 1 p.)

Proste zawierające ramiona AD i BC trapezu ABCD przecinają się w punkcie S odległym od wierzchołków: A, C i D odpowiednio o: 12 cm, 10 cm i 8 cm. Oblicz długość ramienia BC trapezu.

26

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D, a na boku AC – punkt E w taki sposób, że odcinek DE jest

( ... / 1 p.)

równoległy do odcinka BC . Oblicz długość odcinka AD, jeżeli ∣DB ∣ =  4, ∣AC ∣ =  10, ∣AE ∣ =  5. 27

Oblicz długości odcinków: BC, IJ, OM.

28

Oblicz długości odcinków BC, LN.

( ... / 3 p.)

( ... / 2 p.)

( ... / 2 p.)

29

Sprawdź, czy proste a i b oraz proste c i d są równoległe.

Grupa

B

| strona 4 z 13

( ... / 3 p.)

30

Oblicz długości odcinków SA i SF , jeśli ∣SC ∣ =  14, 4, ∣DA∣ =  19, 2, ∣SE ∣ =  20, ∣EB ∣ =  16.

( ... / 3 p.)

31

Dla jakiej wartości a proste k i m są równoległe?

( ... / 3 p.)

32

Wyraź sumę x + y za pomocą n, gdzie n  >  0.

( ... / 3 p.)

33

Oblicz długości x i y, jeśli a  =  10, b  =  5, c  =  15, d  =  4, e  =  10.

( ... / 3 p.)

34

Oblicz długości odcinków AB i AD, jeśli a  ∥  b i c  ∥  d oraz ∣BC ∣ =  6, ∣CE ∣ =  9, ∣EF ∣ =  12, ∣F D∣ =  9.

35

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty: A (0, 15), B (25, 0), C (55, 0), D (0, 33). Czy proste AB i 

( ... / 3 p.)

CD są równoległe? Odpowiedź uzasadnij.

Grupa

B

| strona 5 z 13

( ... / 4 p.)

36

Oblicz długości: a, b, c, d, jeśli proste: p, q , r, s są równoległe i  ∣OY ∣ =  40.

37

( ... / 1 p.)

Dane są romb  R 1 o boku 6 cm i podobny do niego romb R 2 którego obwód ma długość 16 cm. Skala podobieństwa rombu  R 2 do rombu  R 1 jest równa: 2 A. , 3

38

39

3 B. , 8

3 C. , 2

8 D. . 3

Oceń prawdziwość każdego z poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. 1.

Każde dwa trapezy prostokątne są podobne.

P

F

2.

Kwadrat o polu równym 16 jest podobny do kwadratu o polu równym 4√5.

P

F

( ... / 1 p.)

( ... / 3 p.)

Wielokąt  W 1 jest podobny do wielokąta  W 2 w skali k  =  5. Suma obwodów tych wielokątów jest równa  99 cm. Oblicz obwód każdego z nich.

40

( ... / 1 p.)

Prostokąt  P 1 o wymiarach 12 cm i 15 cm jest podobny do prostokąta P 2 o wymiarach 50 cm i 40 cm.  Oblicz skalę podobieństwa:

a) prostokąta P 1 do prostokąta P 2 ,                    b) prostokąta P 2 do prostokąta P 1 .

41

Równoległobok R1 ma boki długości 28 cm i 32 cm. Równoległobok R2 jest podobny do równoległoboku  1 R1 w skali 1 . Obwód równoległoboku R2 jest równy: 2 A. 180 cm,

42

B. 120 cm,

C. 90 cm,

( ... / 1 p.)

D. 80 cm.

W prostokącie P 1 przekątna ma długość 45 cm, a krótszy bok – 27 cm. W prostokącie P 2 przekątna ma

( ... / 3 p.)

długość 20 cm, a dłuższy bok – 16 cm. Czy te prostokąty są podobne? Odpowiedź uzasadnij. 43

Trójkąt T 1 o bokach długości: 4 cm, 6 cm, 9 cm jest podobny do trójkąta T 2 , którego jeden z boków ma

( ... / 3 p.)

długość 72 cm. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta T 2 do trójkąta T 1 . Rozważ wszystkie możliwości. 44

Obwód działki, na której ma być zbudowany parking, na planie w skali 1  :  1200 ma długość 50 cm. Jaką

( ... / 2 p.)

długość miałby na planie w skali 1  :  1500?

Grupa

B

| strona 6 z 13

45

Prostokąt P 1 , którego dłuższy bok ma długość 7, 2 cm, w skali k1   =  8 jest podobny do prostokąta P 2 o 1 krótszym boku długości 0, 8 cm. Prostokąt P 2 jest podobny do prostokąta P 3 w skali k2   =   . Oblicz obwód 3

( ... / 3 p.)

prostokąta P 3 . 46

( ... / 3 p.)

W prostokącie P 1 jeden z boków ma długość 90 cm. Prostokąt P 2 jest podobny do prostokąta P 1 , a jego obwód jest o 75% krótszy niż obwód P 1 . Oblicz skalę podobieństwa P 1 do P 2 .

47

Trójkąt równoboczny T 1 o boku 12 cm rozcięto wzdłuż prostej na trapez oraz trójkąt T 2 podobny do trójkąta

( ... / 3 p.)

T 1 , o obwodzie 9 cm. Oblicz obwód trapezu. 48

Na planie w skali 1  :  400 budynek jest zaznaczony jako prostokąt o wymiarach 4 cm i 10 cm. W jakiej skali

( ... / 2 p.)

sporządzono plan, na którym ten budynek jest przedstawiony jako prostokąt o wymiarach 0, 8 cm i 2 cm? 49

Oceń prawdziwość każdego z poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. 1.

Każde dwa równoległoboki, których przekątne przecinają się pod tym samym kątem, są podobne.

P

F

2.

Dwa wielokąty o równej liczbie boków są podobne, jeśli boki jednego z nich są odpowiednio proporcjonalne do boków drugiego.

P

F

( ... / 1 p.)

50

Uzasadnij, że każde dwa spośród narysowanych trójkątów są podobne.

( ... / 3 p.)

51

Wśród trójkątów przedstawionych na rysunku wskaż pary trójkątów podobnych. Uzasadnij swój wybór.

( ... / 2 p.)

Grupa

B

| strona 7 z 13

52

( ... / 2 p.)

Wojtek chciał zmierzyć szerokość rzeki. Stanął na jej brzegu, przy kamieniu K , naprzeciwko drzewa D rosnącego na brzegu przeciwległym. Odmierzył krokami  12 m wzdłuż brzegu, a punkt P , do którego dotarł, zaznaczył gałązką. Przeszedł jeszcze 3 m i wbił patyk w punkcie R. 

Odwrócił się tyłem do rzeki i prostopadle do jej nurtu przeszedł 2, 8 m. Dotarł do punktu W leżącego na tej samej prostej, na której leżą punkty D i P .

Wykonaj zadanie Wojtka – oblicz szerokość rzeki. 53

( ... / 2 p.)

Trójkąty różnoboczne T 1 i T 2 są podobne. Najdłuższy bok trójkąta T 2 ma długość odpowiadającą 60% długości najdłuższego boku trójkąta T 1 . Oblicz skalę podobieństwa trójkąta T 2 do trójkąta T 1 .

54

( ... / 1 p.)

W trójkącie ABC , w którym ∣∢BAC ∣ =  90∘ , a ∣∢ABC ∣ =  72∘ , na boku AC obrano punkt X tak, że trójkąt ABX jest podobny do trójkąta ABC . Miara kąta BXC jest równa: A. 108∘ ,

55

B. 112∘ ,

C. 124∘ ,

D. 136∘ . ( ... / 1 p.)

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta równoramiennego T 1 ma miarę 50∘ . Trójkąt T 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali k  =  2.

Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

56

1.

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta T 2 ma miarę 100∘ .

P

F

2.

Suma miar pewnych dwóch kątów trójkąta T 2 jest równa 130∘ .

P

F

A. 5, 6, 8 57

16 , 8 3

C. 6, 4, 5

D. 3, 5, 7

B. 4,

C. 3,

9 i 15, 2

B.

15 i 9, 2

C.

10 i 4, 3

( ... / 1 p.)

D. 2.

Trójkąt ABC o bokach długości: 5, 6, 9 jest podobny do trójkąta DEF , którego najdłuższy bok ma długość 1 13 . Długości pozostałych boków trójkąta DEF wynoszą: 2 A.

59

B. 4,

Dwa trójkąty prostokątne są podobne. Suma ich obwodów jest równa 20 cm, a różnica wynosi 16 cm. Skala podobieństwa większego trójkąta do trójkąta mniejszego jest równa: A. 9,

58

( ... / 1 p.)

Dany jest trójkąt T o bokach długości: 3, 4, 6. Wskaż długości boków trójkąta podobnego do trójkąta T .

( ... / 1 p.)

D. 10 i 12. ( ... / 1 p.)

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty: A (−2, 1), B (1, 3), C (1, 1), D (4, 8), E (−5, 8),  F  (−5, 2). Sprawdź, czy trójkąty ABC i DEF są podobne.

Grupa

B

| strona 8 z 13

60

1 Trójkąt A′ B ′ C ′ jest podobny do trójkąta ABC w skali . Dwa z boków trójkąta ABC mają długości 16 i 24. 4

( ... / 3 p.)

Oblicz długości boków trójkąta A′ B ′ C ′ , wiedząc, że jego obwód jest równy 15. 61

( ... / 3 p.)

Trójkąty ABC i DEF są podobne. Oblicz długości boków trójkąta ABC , wiedząc, że jego obwód jest równy 6, a długości boków trójkąta DEF wynoszą: 3, 4 i 5.

62

( ... / 1 p.)

Prostokąt P 1 jest podobny do prostokąta P 2 w skali k  =  3. Pole prostokąta P 2 jest równe 81 cm2 .

Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zadanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

63

1.

Pole prostokąta P 1 jest równe 243 cm2 .

P

F

2.

Przekątna prostokąta P 1 jest 3 razy dłuższa od przekątnej prostokąta P 2 .

P

F ( ... / 2 p.)

Od prostokąta P o polu 1024 cm2 odcięto prostokąt o polu 960 cm2 . Pozostała część jest prostokątem podobnym do prostokąta P . Ustal skalę podobieństwa.

64

Na planie w skali 1  :  1600 pole boiska wynosi 12, 5 cm2 . Jakie jest jego rzeczywiste pole powierzchni?

( ... / 2 p.)

65

Trójkąt prostokątny równoramienny T 1 jest podobny do trójkąta T 2 . Pole trójkąta T 1 jest równe 18 cm2 , a

( ... / 2 p.)

najdłuższy bok trójkąta T 2 ma długość 6 cm.

Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe. 1.

Skala podobieństwa trójkąta T 1 do trójkąta T 2 jest równa 3.

P

F

2.

Jeden z boków trójkąta T 1 ma długość 6√2 cm.

P

F ( ... / 3 p.)

66

Oblicz pole trapezu CEJH przedstawionego na rysunku.

Grupa

B

| strona 9 z 13

67

( ... / 1 p.)

Przekątna kwadratu K 1 jest 4 razy dłuższa niż przekątna kwadratu K 2 . Ile razy pole kwadratu K 1 jest większe od pola kwadratu K 2 ? A. 2

68

B. 4

C. 6

D. 16

1 Trójkąt równoboczny T 1 jest podobny do trójkąta równobocznego T 2 w skali k  =   . Pole trójkąta T 2 jest o  9

( ... / 1 p.)

80 cm2 większe od pola trójkąta T 1 . Pole większego z tych trójkątów jest równe: A. 240 cm2 ,

B. 180 cm2 ,

C. 125 cm2 ,

D. 81 cm2 . ( ... / 3 p.)

69

Dane są dwa wielokąty podobne. Pierwszy z nich ma obwód 60 i pole 64, a pole drugiego jest równe 4.  Oblicz obwód drugiego wielokąta.

70

Stosunek długości odpowiadających sobie boków dwóch wielokątów podobnych to 3  :  4. Pole większego z

( ... / 3 p.)

wielokątów jest równe 144 cm2 . Oblicz pole mniejszego wielokąta. 71

Najkrótszy bok w wielokącie W 1 ma długość 3 cm, a najkrótszy bok w wielokącie W 2 – 8 cm. Pola tych

( ... / 3 p.)

figur wynoszą odpowiednio 24 cm2  i 64 cm2 . Czy te wielokąty mogą być podobne? Odpowiedź uzasadnij. 72

Długości boków prostokąta o polu równym 40 cm2 zmniejszono o 20%. Ile obecnie wynosi jego pole?

( ... / 2 p.)

73

2 Stosunek długości odpowiadających sobie boków dwóch prostokątów jest równy . Oblicz pole każdej z tych 5

( ... / 3 p.)

figur, wiedząc, że pole jednej jest o 84 m2 mniejsze od pola drugiej. 74

Dany jest trójkąt ABC , w którym ∣AB ∣ =  7, 2 cm, a ∣AC ∣ =  16, 8 cm. Z wierzchołka A wyprowadzono

( ... / 1 p.)

dwusieczną, która przecięła bok BC w punkcie D. Podaj w postaci ułamka nieskracalnego stosunek długości odcinka BD do długości odcinka CD. 75

Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 32 cm, a dwusieczna kąta między tymi bokami dzieli trzeci

( ... / 2 p.)

bok trójkąta na odcinki o długości 6 cm i 10 cm. Podaj długości

najkrótszego i najdłuższego boku trójkąta. 76

W trójkącie o bokach długości: 9 cm, 21 cm, 24 cm poprowadzono dwusieczną, która podzieliła najdłuższy bok na dwa odcinki. Oblicz ich długość.

77

W trójkącie poprowadzono dwusieczną kąta wyznaczonego przez jego boki o długości 18 cm i 45 cm.

( ... / 2 p.)

( ... / 3 p.)

 Podzieliła ona trzeci bok na dwa odcinki, których długości różnią się o 13, 5 cm. Oblicz obwód tego trójkąta. 78

W trójkącie o kątach: 30∘ , 60∘ , 90∘ najkrótszy bok ma długość 10 cm. Dwusieczna kąta prostego dzieli

( ... / 3 p.)

przeciwprostokątną na dwa odcinki. Oblicz różnicę ich długości. 79

( ... / 2 p.)

W prostokącie ABCD poprowadzono dwusieczne kątów ABC i CDA, które podzieliły

przekątną AC o długości 21 cm na trzy równe części. Oblicz obwód tego prostokąta.

Grupa

B

| strona 10 z 13

80

Dany jest trójkąt ABC o polu 25, w którym ∣AB ∣ =  7, a ∣AC ∣ =  8. Dwusieczna kąta BAC  przecina bok 

( ... / 3 p.)

BC w punkcie D. Przez punkt D poprowadzono prostą równoległą do boku AB , która przecięła bok AC w punkcie E , i prostą równoległą do boku AC , która przecięła bok AB  w punkcie F . Oblicz pola trójkątów  CED i F BD. 81

W trójkącie ABC mamy ∣AB ∣ =  9, a ∣AC ∣ =  ∣BC ∣ =  18. Punkty D i E są środkami odpowiednio boków 

( ... / 3 p.)

AC i BC . Dwusieczne kątów BAC i EDC przecinają bok BC odpowiednio w punktach X  i Y . Oblicz długość odcinka XY . 82

( ... / 3 p.)

W prostokącie ABCD, w którym ∣AB ∣ =  12, a ∣AD∣ =  16, poprowadzono dwusieczne kątów BAC  i DAC , które przecięły boki BC i DC odpowiednio w punktach E i F . Oblicz długość odcinka EF .

83

Dany jest trójkąt ABC o polu 25 cm2 , w którym ∣AB ∣ =  6 cm, a ∣AC ∣ =  9 cm. Dwusieczna kąta BAC

( ... / 3 p.)

 przecina bok BC w punkcie D. Oblicz pola trójkątów ABD i ACD. 84

Dany jest trójkąt ABC , w którym: ∣AB ∣ =  9, ∣BC ∣ =  10, ∣AC ∣ =  11. Dwusieczne kątów BAC i ABC

( ... / 3 p.)

 przecinają boki trójkąta odpowiednio w punktach D i E . Oblicz długość łamanej EABD. ( ... / 3 p.)

85

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga 7. Dwusieczna kąta między dwoma najdłuższymi bokami dzieli najkrótszy bok na dwie części. Podaj długość krótszej z tych części.

86

Wyznacz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego.

87

Wyznacz miarę kąta między wysokością trójkąta równoramiennego poprowadzoną do ramienia tego trójkąta

( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.)

∘

a jego podstawą, jeśli kąt między ramionami tego trójkąta jest równy 72 . 88

Suma miar dwóch kątów wewnętrznych pewnego trójkąta jest równa mierze trzeciego kąta. Oblicz miary

( ... / 1 p.)

∘

tych kątów, jeżeli wiadomo, że jeden z nich ma miarę 52 . 89

( ... / 2 p.)

W układzie współrzędnych dane są punkty: A (−7, 4), B (−2, 6), C (−2, 4), D (3, 3), E (4, − 2),  F  (3, − 2). Sprawdź, czy trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF .

90

Dany jest trójkąt ABC , w którym ∣AB ∣ =  15 cm, a ∣BC ∣ =  9 cm. Uzasadnij, że obwód tego trójkąta jest

( ... / 3 p.)

mniejszy niż 48 cm. 91

( ... / 2 p.)

Jeden bok trójkąta ma długość 57 cm, a drugi – 45 cm. Czy trzeci bok może mieć długość:

a) 1 dm,                                                b) 1 m?

( ... / 2 p.)

92

Ramiona kąta BOD przecięto prostymi równoległymi p, m (rysunek obok). Długości odcinków OA i OC są równe odpowiednio 15 cmi 9 cm, a odcinek CD jest o 8 cm krótszy od odcinka AB . Oblicz długości odcinków OB i OD.

Grupa

B

| strona 11 z 13

( ... / 2 p.)

93

Oblicz długość odcinka AD, jeśli ∣OA∣ =  46 cm, ∣OB ∣ =  32 cm, a  ∣OC ∣ =  8 cm.

( ... / 3 p.)

94

Sprawdź, które z prostych: a, b, c są równoległe, jeśli ∣P A∣ =  60 cm,  ∣P B ∣ =  25 cm, ∣P C ∣ =  10 cm, ∣P D∣ =  15 cm, ∣DE ∣ =  25 cm,  ∣EF ∣ =  50 cm.

95

Punkty: A (2, 5), B (4, 5), C (4, 8), D (2, 8) są wierzchołkami prostokąta podobnego do prostokąta EF GH ,

( ... / 3 p.)

w którym E (7, 4), F  (13, 4). Podaj współrzędne punktów G i H. Rozważ wszystkie możliwości. ( ... / 3 p.)

96

Prostokąt ABCD podzielono tak, jak na rysunku, na trzy prostokąty, z których P 1 jest podobny do P 2 i ABCD. Prostokąt P 1 ma boki długości 1, 5 cm i 2 cm. Oblicz długości boków prostokąta ABCD.

97

( ... / 3 p.)

Czy trójkąt o bokach długości: 8 cm, 10 cm, 14 cm może być podobny do trójkąta o obwodzie 80 cm i najdłuższym boku długości 36 cm?

98

Pionowy słupek o wysokości 80 cm rzuca cień długości 70 cm. W tej samej chwili stojąca obok wieża rzuca

( ... / 1 p.)

cień długości 14 m. Jaka jest jej wysokość? A. 20 m 99

B. 7 m

C. 9 m

D. 16 m

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D, a na boku AC – punkt E w taki sposób, że odcinek DE jest

( ... / 2 p.)

równoległy do odcinka BC . Oblicz długość odcinka AD, jeżeli ∣DB ∣ =  4, ∣AC ∣ =  10, ∣AE ∣ =  5.

Grupa

B

| strona 12 z 13

( ... / 3 p.)

100

Trójkąty prostokątne ABD i CBD są podobne i mają wspólny bok długości d  =  9 cm. Oblicz pole prostokąta BCF E, w którym ∣BE ∣ =  ∣BA∣.

( ... / 2 p.)

101

Dwa prostokąty są podobne. Obwód mniejszego z nich stanowi 80% obwodu prostokąta większego. Jaki procent pola większego prostokąta stanowi pole mniejszego z nich?

102

Parking ma kształt prostokąta o wymiarach 150 m i 30 m. Na planie osiedla odpowiada mu prostokąt o polu

( ... / 2 p.)

5 cm2 . W jakiej skali sporządzono ten plan? 103

W kwadracie ABCD o boku długości 48 cm połączono środki kolejnych boków. Powstał kwadrat EF GH .

( ... / 3 p.)

W tym kwadracie również połączono środki kolejnych boków i otrzymano kwadrat IJKL.

a) Oblicz skalę podobieństwa kwadratu IJKL do ABCD.

b) Oblicz pole kwadratu IJKL. 104

W trójkącie ABC o bokach długości: ∣AB ∣ =  24 cm, ∣BC ∣ =  15 cm, ∣AC ∣ =  21 cm poprowadzono

( ... / 2 p.)

dwusieczną kąta ABC , która przecięła bok AC w punkcie D. Oblicz długości odcinków AD i CD. 105

Obwód trójkąta jest równy 70 cm. Dwusieczna jednego z jego kątów dzieli przeciwległy bok na odcinki

( ... / 3 p.)

długości 12 cm i 16 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Grupa

B

| strona 13 z 13