Phep Nghich Dao Full [PDF]
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi PHÉP NGHỊCH ĐẢO Lê Anh Dũng. Giáo viên trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang.
54 1 2MB
![Phep Nghich Dao Full [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/phep-nghich-dao-full.jpg)
- Author / Uploaded
- Louis James
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
PHÉP NGHỊCH ĐẢO Lê Anh Dũng. Giáo viên trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang. Ngoài phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn, còn một phép biến hình khác với những tính chất rất thú vị. Đó là phép nghịch đảo. Phép nghịch đảo cũng có thể biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn, nhưng có thể biến một đường thẳng thành một đường tròn, còn một đường tròn thành một đường thẳng. Đặc biệt hơn là nó bảo toàn góc giữa hai hình. Như vậy, phép nghịch đảo là một công cụ mạnh để chuyển các bài toán sang một mô hình khác mà ở đó các đối tượng dễ khảo sát hơn. Ngoài ra nó cũng là một công cụ mạnh để phát hiện các tính chất hình học thông qua phép nghịch đảo và vì vậy trong các năm gần đây, cùng với phép vị tự quay, phép nghịch đảo được khai thác rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các nước. I. ĐỊNH NGHĨA Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k là quy tắc biến mỗi điểm A khác O thành A' sao cho OA.OA ' k . Hay N Ok ( A) A ' OA.OA ' k A
O
A'
Rõ ràng, N Ok ( A) A ' thì N Ok ( A ') A II. TÍNH CHẤT PHÉP NGHỊCH ĐẢO N Ok Tính chất 1. Phép nghịch đảo N Ok , biến A thành A’ ; B thành B’ thì hai tam giác OAB đồng dạng tam giác OA’B’. Đồng thời A ' B '
k . . AB ; OA ' B ' OBA OA.OB
B
B' O A' A
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |1
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Tính chất 2. Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng qua tâm O thành chính nó d'≡d
O
Tính chất 3. Qua phép nghịch đảo tâm O biến đường thẳng d không đi qua tâm O thành đường tròn đi qua tâm O. Với các tính chất sau: d M M'
O
A
A'
I'
O
I'
I d
I đối xứng với O qua d; I' là ảnh của I
i) Đường thẳng nối tâm O và tâm đường tròn thì vuông góc với đường thẳng d. ii) Đường kính O A ' của đường tròn ảnh: A’ là ảnh của A qua phép nghịch đảo, trong đó A là hình chiếu của tâm nghịch đảo O trên
iii) Tâm đường tròn I’ : là ảnh của I qua phép nghịch đảo, trong đó I đối xứng với tâm O qua đường thẳng d. iv) Bán kính của đường tròn: r
đường thẳng d. (Ảnh của A là A'; Ảnh của M là M')
k 2 d ( O ,d )
Tính chất 4. Qua phép nghịch đảo tâm O, đường tròn qua tâm O biến thành đường thẳng vuông góc với đường nối tâm O và tâm đường tròn. ảnh của (I)
A O
A'
I
I'
Tâm I biến thành I’ đối xứng với O qua l với l là ảnh của (I). Tính chất 5. Ảnh của một đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo là một đường tròn.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |2
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
A' A
O
B
B'
Tính chất: i) A biến thành A’ ; B biến thành B’ (Ảnh của tâm đường tròn này không là tâm đường tròn kia). ii) (C') là ảnh của (C) qua N Ok thì (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số
k PO,(C )
.
Tính chất 6. Qua phép nghịch đảo, góc định hướng giữa hai đường tròn; góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và đường tròn không thay đổi về độ lớn nhưng thay đổi về hướng. Nhắc lại khái niệm góc giữa hai đường tròn; góc giữa đường thẳng và đường tròn: d2
d
d1
d'
O O2
O1
Góc giữa hai đường tròn (C1), (C2) là góc Góc giữa đường thẳng d và đường tròn (C) giữa d1 , d 2 với d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến là góc giữa d ' với d trong đó d ' là tiếp với (C1), (C2) tại giao điểm của hai đường tuyến với (C) tại giao điểm của d và (C). tròn này. Hay, (C1 ),(C2 ) d1 , d 2
(C1 ),(C2 ) d1 , d 2
Trong một bài toán hình học thì dấu hiệu nào cho ta biết sử dụng phép nghịch đảo? Tâm phép nghịch đảo nằm ở đâu, ảnh của các đối tượng dựng như thế nào? Chúng ta sẽ tìm hiểu dần thông qua một số bài tập rèn luyện từng kĩ năng sau: III. LUYỆN TẬP KĨ NĂNG DỰNG ẢNH 1) Kĩ năng 1: Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |3
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
I
B'
A'
A
A B
A
B
P
D
O O
B'
C
D
A'
1) Phép nghịch đảo tâm I, Qua phép nghịch đảo tâm P, 2) Phép nghịch đảo tâm O phương tích k PI /(O ) . phương tích k PP,(O) thì (cũng là tâm của đường Đường tròn (O) giữ nguyên. Điểm A biến thành A'; B biến thành B'.
2 ảnh của B là B’ ; ảnh của C tròn), phương tích k R .
là B’ mà đường thẳng A ' B ' Mọi điểm trên đườn tròn biến thành chính nó.
song song với CD.
Đường thẳng AB biến thành đường tròn (IA'B'). 3) Phép nghịch đảo có tâm là giao điểm 4) Phép nghịch đảo tâm I (điểm thuộc của các đường.
đường kính vuông góc với đường thẳng d) phương tích k IB.IH biến (C) thành d (giữ nguyên hình gồm (C) và d). O A' A
Ảnh của hai đường tròn tiếp xúc tại O qua phép nghịch đảo tâm O là hai đường thẳng
I
B
O
H
song song. (C)
d
Bài 1. (IMO Shortlist 1995) Cho A, B, C, D là bốn điểm phân biệt trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC, BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt CB tại Z. Gọi P là đường thẳng trên XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại C và M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại B và N. Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy. Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |4
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Xét phép nghịch đảo có tâm P, phương tích là k PX .PY . P
A' X N
A
M
B
Z
C
D
Y
Gọi A' là giao điểm của PA với đường tròn đường kính AC. Qua thì: + Ảnh của A là A'; ảnh của M là C. Do đó ảnh của AM là đường tròn (PA'C).
nên (PA'C) đi qua Z. ' P 900 PZC Mặt khác, do AC là đường kính nên CA + Tương tự, ảnh của DN cũng là một đường tròn đi qua Z. Ảnh của XY đi qua tâm nghịch đảo P là đường thẳng XY đi qua Z. + Ảnh của 3 đường thẳng AM, DN, XY có một điểm chung Z khác tâm nghịch đảo P nên các đường thẳng AM, DN, XY đồng quy. (đpcm). Bài 2. (Thổ Nhĩ Kì TST 2015) Cho tam giác ABC cân tại A ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E lần lượt là điểm chính giữa cung AC, AB. Đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F; đường thẳng AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF tại G. Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECG. A
E
D
G
F B
C
2
Xét phép nghịch đảo N AAB . Qua phép nghịch đảo này thì B, C cố định; (ABC) biến thành
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |5
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
BC; do đó ảnh của D là F; ảnh của E là giao điểm Q ' của AE và BC. Do tính chất ảnh, suy ra FDEG’ nội tiếp. Suy ra G ' G . Theo định nghĩa, ta có
AE. AG AB 2 AC 2 . Suy ra AC là tiếp tuyến của (CEG).(đpcm). Bài 3.(Centro American Math Olympiad) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AB < CD. P là giao điểm của AD và BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD cắt đường thẳng AB tại các điểm Q và R. Gọi S, T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ P đến (ABCD). Chứng minh rằng Q, R, S, T cùng nằm trên đường tròn. P R A T Q
B S
C
D
Ta có, PA.PD PB.PC PS 2 PT 2 = k Xét phép nghịch đảo N Pk . Qua phép này ảnh của C là B; ảnh của D là A; S, T giữ nguyên. Ảnh của (PCD) là đường thẳng AB. Suy ra ảnh của các giao điểm của AB và (PCD) là chính nó. Vậy PQ2 PR 2 PS 2 PT 2 k . Suy ra Q, R, S, T cùng nằm trên đường tròn tâm P. (đpcm). Bài 4. (TST Hồng Kông 2016) Cho (T) là đường tròn đường kính AB. L là một đường thẳng không có điểm chung với đường tròn và vuông góc với AB. Gọi X, Y là hai điểm trên l. Nếu X ', Y ' là hai điểm trên l sao cho AX , BX ' cắt nhau tại một điểm trên (T) và
AY , BY ' cắt nhau tại một điểm trên (T). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AXY và AX ' Y ' cắt nhau tại một điểm trên (T) khác A hoặc ba đường tròn này tiếp xúc nhau tại A.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |6
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi X U V
A
Y
H
B
M X' N
Y'
Đặt AX BX ' U ; V AY BY ' .
AX ', AY ' lần lượt cắt (T) tại điểm thứ hai N, M. Mô hình này là mô hình ảnh của đường tròn, đường thẳng qua phép nghịch đảo. Có 2 phép nghịch đảo tâm A, B biến (T) thành l. Do đó, suy ra ngay U, V, X, Y; U, V, X’, Y’; M, N, Y’, X’ . . . cùng nằm trên đường tròn. Xét phép nghịch đảo tâm A biến B thành H. Khi đó ảnh của (T) là đường thẳng l; ảnh của (AXY) là đường thẳng UV; ảnh của (AXY) là đường thẳng MN. Ta chứng minh UV, MN và X’Y’ liên hợp (song song hoặc đồng quy). Điều này là đúng vì UV, MN , X’Y’ là trục đẳng phương của (T) và hai đường tròn (UVX’Y’), (MNX’Y’). (đpcm). Một trong những tác dụng mạnh của phép nghịch đảo là chuyển mô hình bài toán qua các bài toán khác với hình đơn giản hơn nhiều. Ta xét các bài toán sau: Bài 5. (IMO shortlist 2003) Cho 4 đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) sao cho (O1) tiếp xúc ngoài với (O3) tại P; (O2) tiếp xúc ngoài với (O4) tại P. Giả sử (O1) và (O2) ; (O2) và (O3); (O3) và (O4); (O4) và (O1) cắt nhau tại A, B, C, D. Chứng minh
PB 2 AB.BC . PD 2 AD.DC
- Ta dùng phép nghịch đảo để chuyển mô hình từ nhiều đường tròn phức tạp sang mô hình mới đơn giản hơn. Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |7
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
- Vì P là điểm chung của các đường tròn nên ta chọn P là tâm nghịch đảo. Xét phép nghịch đảo N Pk ( k 0 ). Qua N Pk các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) lần lượt biến thành các đường thẳng d1 , d 2 , d 3 , d 4 . Do (O1) tiếp xúc ngoài với (O3) tại P nên d1 song song với d3 . Do (O2) tiếp xúc ngoài với (O4) tại P nên d 2 song song với d 4 . Qua N Pk , A là giao của (O1 ), (O2 ) biến thành A ' d1 d 2 . Tương tự ảnh của B, C, D qua N Pk lần lượt là B ' d 2 d 3 ; C ' d 3 d 4 ; D ' d 4 d1 d1 A'
d4
B'
D'
d2
C'
d3
Ta có AB
A ' B '.PA.PB B ' C '.PB.PC C ' D '.PD.PC A ' D '.PA.PD ; BC ; CD ; DA k k k k
AB.BC PB 2 A ' B '.B ' C ' Suy ra . AD.DC PD 2 C ' D '. A ' D '
Do d1 / / d 3 ; d 2 / / d 4 nên A ' B ' C ' D ' là hình bình hành nên A ' B ' C ' D '; C ' B ' A' D ' . AB.BC PB 2 A ' B '.B ' C ' PB 2 Suy ra . (đpcm). AD.DC PD 2 C ' D '. A ' D ' PD 2
Bài 6. (Israell 1995) Cho (T) là nửa đường tròn đường kính PQ. Đường tròn (I) tiếp xúc trong với (T) và tiếp xúc với PQ tại C. A là điểm thuộc (T), B là điểm thuộc đoạn CQ sao cho AB vuông góc với PQ và AB tiếp xúc với (I). Chứng minh rằng AC là phân giác góc . PAB
Theo tính chất 1, góc có 1 cạnh đi qua tâm nghịch đảo biến thành góc có một cạnh sẽ xét đi qua tâm nghịch đảo bằng nó. Do đó để chứng minh AC là phân giác góc PAB
phép nghịch đảo tâm C. Tâm này là phù hợp để dùng phép nghịch đảo, vì nó là tiếp điểm
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |8
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
của đường tròn và đường thẳng PQ. Xét phép nghịch đảo N Ck ( k 0 ). Qua phép nghịch đảo này, ảnh của B, A, Q, P lần lượt là B’, A’, Q’, P’. A d A' chuyển mô hình bài toán
Q
B
C
P
B'
Q'
C
P'
Ảnh của nửa đường tròn đường kính PQ là nửa đường tròn đường kính P’Q’. Ảnh của AB là đường tròn (A’B’C), do BC vuông góc AB nên B’C là đường kính của đường tròn này. A thuộc AB và nửa đường tròn đường kính PQ nên A’ là giao hai nửa đường tròn đường kính P’Q’ và B’C. Ảnh của đường tròn (I) là đường thẳng d. Do IC vuông góc với PQ nên d//CB’. Cũng do (I) tiếp xúc với AB, và nửa đường tròn đường kính PQ nên d cũng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn này. Suy ra hai đường tròn đường kính P’Q’ và B’C là bằng nhau. Suy
ra
A' B 'C A' P 'C .
Mà
tính
chất
phép
nghịch
đảo,
ta
có
CAB hay CA là phân giác của góc BAP CB CP CAB ' A '; CAP ' A ' nên CAP (đpcm). Bài 7. (IMO shortlist 2002) Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp đường tròn (I), (I) tiếp xúc với BC tại K. Gọi AD là đường cao đỉnh A của tam giác ABC. M là trung điểm AD. N là điểm chung thứ hai của KM và (I). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN và (I) tiếp xúc nhau. Gọi (C) là đường tròn qua BC và tiếp xúc với (I). Chứng minh S, M, K thẳng hàng. Ta
BKS . Ta tính tan BKM theo 3 cạnh của tam giác. chứng minh hai góc BKM
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
Trang |9
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi A
S M I
B
D
C
K
Không mất tổng quát giả sử AC AB . tan BKM
DM AD ; DK 2 BK 2 BD
2 BD 2c.cos B
a 2 c2 b2 ; 2BK a c b a
a (c b) (c 2 b 2 ) (c b)(b c a) 2 BK 2 BD a a
Suy ra tan BKM
S ABC a. AD (b c)(b c a) (b c)( p a)
: Sử dụng phép nghịch đảo tâm K, phương tích là t + Tính tan BKS KB.KC để chuyển
mô hình hai đường tròn tiếp xúc.
Xét phép nghịch đảo tâm K, N Kt với t KB.KC . S
I r B
K
chuyển mô hình C
K
C'≡B
(C)'
J
B'≡C
d
S' d
Qua N Kt , ảnh của (C) là chính nó. Ảnh của S là S’. Ảnh của đường tròn nội tiếp (I) là đường thẳng d. Do (I) tiếp xúc với (C) nên d tiếp xúc với (C). Cũng theo tính chất dựng ảnh của đường tròn thì IK vuông góc với d nên d song Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 10
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
song với BC. Suy ra hình chiếu của S’ trên BC là trung điểm BC. Theo tính chất ảnh đường tròn ta có r Suy ra S ' J d ( K ,d )
t 2d ( K ,d )
KB.KC ( p b)( p c ) p( p b)( p c) S ABC S 2r 2S ABC 2( p a) 2 ABC p
S 'J KB.KC S ABC tan S tan BKS ' KJ KJ ( p a )(b c ) 1 2 BC BK r 2
tan BKM nên K, M, S thẳng hàng (đpcm). Vậy tan BKS 2) Kĩ năng 2: Gọi lại tính chất 4: Qua phép nghịch đảo tâm O, đường tròn qua tâm O biến thành đường thẳng vuông góc với đường nối tâm O và tâm đường tròn. ảnh của (I)
A O
A' I'
I
Để ý, tâm I biến thành I’ đối xứng với O qua l với l là ảnh của (I). Đây là một dấu hiệu cho ta cách chọn tâm nghịch đảo và dựng ảnh của trung trực. Dấu hiệu: Tam giác ABC, cân tại C; hoặc có trung trực của của đoạn AB. Ta chọn A làm tâm phép nghịch đảo.Qua phép nghịch đảo N Ak : B
B'
A
C'
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
C
T r a n g | 11
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Ảnh của C là C'; ảnh của đường trung trực của BC là đường tròn tâm C' bán kính C'A. Ảnh của B là B'. Bài 8. (Trung Quốc 2012) Cho tam giác ABC, có góc A là góc lớn nhất. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy D, E lần lượt là điểm chính giữa cung ABC , ACB . Gọi c1 là đường tròn qua A, B và tiếp xúc với AC tại A; c2 là đường tròn qua A, E và tiếp xúc với
. AD tại A. c1 , c2 cắt nhau tại A, P. Chứng minh rằng AP là phân giác góc BAC Ta chuyển mô hình bài toán qua phép nghịch đảo N Ak . Kí hiệu X’ nói chung là ảnh của X qua phép nghịch đảo này. Ảnh của đường trung trực của AC, AE lần lượt là đường tròn tâm C’, B’ và qua A. Ảnh của đường tròn (ABC) là đường thẳng B ' C ' . Ảnh của đường tròn qua AB và tiếp xúc AC là đường thẳng qua B’ và song song với AC’. Ảnh của đường tròn qua AE và tiếp xúc AD là đường thẳng qua E’ và song song với AD’.
' AC ' . Ta chỉ cần chứng minh AP ' là phân giác của B D B
P
B'
P'
E
D' A
R
C
qua nghịch đảo
E' A
C'
Do B ' P '/ / AC '; E ' P '/ / AD ' nên tam giác B ' P ' E ' đồng dạng với tam giác C ' A D ' .
'B'E ' B 'C ' A . Suy ra tam giác B ' P ' E ' cân tại B ' và P B ' P ' B ' E ' B ' A nên tam giác B ' P ' A cân tại B ' .
1800 AB ' P ' 1800 AB ' C ' AC ' B ' B ' AC ' B ' AP ' (đpcm). 2 2 2 Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 12
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Bài 9. (Trung Quốc 2012) Cho tam giác ABC có góc A là góc lớn nhất. Trên đường tròn
ABC và E là điểm chính giữa ngoại tiếp tam giác ABC, gọi D là điểm chính giữa cung ACB . Đường tròn c1 đi qua A, B và tiếp xúc với AC tại A. Đường tròn c2 đi qua A, cung E và tiếp xúc với AD tại A. Hai đường tròn c1 , c2 cắt nhau tại A, P. Chứng minh rằng AP
. là phân giác của BAC Xét phép nghịch đảo tâm A, phương tích k. Kí hiệu X ' là ảnh của X qua phép nghịch đảo này. Ảnh của đường trung trực của AB là đường tròn tâm B’ và bán kính B’A; ảnh của (ABC) là đường thẳng B’C’. Do đó, ảnh của E là điểm E’ trên tia C ' B ' sao cho B ' E ' B ' A . Tương tự, D’ là điểm trên tia B ' C ' sao cho C ' D ' C ' A . Đường tròn c1
biến thành đường thẳng qua B’ và song song với AC ' ; đường tròn c2 biến thành đường thẳng qua E’ và song song với AD ' . A
A D
qua nghịch đảo
E
E'
B' C'
P B
D'
C
P'
B 'P'E ' C ' AD ' C ' D ' A (góc có cạnh tương ứng vuông góc). B 'E 'P'
(so le trong)
Suy ra B ' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AE ' B ' .
' AP ' B 'P' A P ' AC ' Suy ra B ' AC ' (đpcm) . Vậy AP ' là phân giác của góc B Bài 10. (Trung Quốc TST 2015) Cho tam giác ABC cân tại A với A B A C B C . Gọi D là một điểm trong tam giác ABC sao cho DA DB DC . Giả sử đường phân giác
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 13
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
cắt đường trung trực của A B tại P và đường phân giác ngoài của ngoài của ADB A DC cắt đường trung trực của A C tại Q. Chứng minh rằng B, C, P, Q đồng viên. của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD; Q là Để ý P là điểm chính giữa cung BDA
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Đây là dấu hiệu cơ điểm chính giữa cung CDA bản để ta có thể nghịch đảo, Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k lớn. Kí hiệu X ' là ảnh của X qua phép nghịch đảo này. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD biến thành A’B’; đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biến thành A’C’. Do đó, Q’ là chân đường phân giác ngoài đỉnh D của tam giác A’DC’; P’ là chân đường phân giác ngoài đỉnh D của tam giác A’DB’.
Q' A
P' qua nghịch đảo
A' P
Q
D B
C
Ta có DA DB DC
B'
k k k DA ' DA ' 1 DA ' DB ' DC ' DB ' DC '
Mà theo tính chất chân đường phân giác, ta có Suy ra,
C'
D
DA ' P ' A ' D ' A ' Q ' A ' ; DB ' P ' B ' D ' C ' Q ' C '
P ' A' Q ' A' A' C ' , suy ra Q’B’ song song với P’C’. 1 P'B' Q 'C ' Q 'C '
Vậy B’Q’P’C’ là hình thang, ta chỉ cần chứng minh B’Q’P’C’ nội tiếp. Hay chứng minh B’Q’P’C’ là hình thang cân. Ta có 1
AB k . A ' B ' DA '. DC ' A ' B ' DC ' . . . AC k . A ' C ' DA '. DB ' A ' C ' DB '
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 14
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
DB ' P ' B ' A ' B ' DB ' DA ' P ' A ' P ' B ' Q ' A ' . Hay . A ' C ' DC ' DC ' Q ' C ' P ' A ' Q ' C ' DA ' Q ' A ' Theo Talet ta có,
P ' B ' Q 'C ' A' B ' Q ' A' nên , suy ra A' B ' Q ' A' . . P ' A' A'C ' A'C ' A'C '
Suy ra B’Q’P’C’ là hình thang cân (đpcm). 3) Kĩ năng dựng ảnh dựa vào tính chất chuyển góc. Một tính chất đẹp của phép nghịch đảo là 'chuyển đổi đỉnh của góc' (Phép nghịch
). Tính chất này hay dùng trong ' B ' OBA đảo NOk , biến A thành A’ ; B thành B’ thì OA các bài toán về tổng, hiệu các góc. Ví dụ: Cho tam giác ABC, H là chân đường cao đỉnh C. Ảnh của B, C qua phép nghịch
' H ' 900 . đảo tâm A là B', C' thì ảnh của H là điểm H’ trên đường thẳng AB’ sao cho AC A
A
H
B
B'
qua nghịch đảo
C'
C
H'
Bài 11. (IMO 1996) Cho tam giác ABC và P là điểm nằm bên trong tam giác ABC sao
APC ABC . Gọi D, E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác APB, APB ACB cho APC. Chứng minh AP, BD, CE đồng quy. Yêu cầu cần chứng minh :
BA CA (Do tính chất tỷ lệ của đường phân giác) BP CP
Ta dùng phép nghịch đảo để chuyển góc về chung đỉnh, và do đó có thể trừ hai góc được. Xét phép nghịch đảo tâm A, tỉ số k > 0. Gọi B’, C’, P’, C’ lần lượt là ảnh của B, C, P, C qua phép nghịch đảo này.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 15
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
AB ' P AB ' C ' AC ' P ' AC ' B' Giả thiết về góc có thể viết lại thành A
A
qua nghịch đảo
E
D P
B' C' C
B
P'
' B 'C ' P ' C ' B ' , suy ra P ' B ' P ' C ' . Hay P Theo công thức độ dài ảnh, ta được
k k BA CA . . BP . PC hay AB. AP AC . AP BP CP
Suy ra AP, BD, CE đồng quy. (đpcm). Bài 12.(Croatia TST 2016) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm E, F được chọn trên đoạn OB, OC sao cho OE = CF. Gọi M, N lần lượt là điểm chính
FMO 2BAC . , AOF . Chứng minh rằng ENO giữa cung AOE BOC . Ta dùng phép nghịch đảo tâm O, chuyển góc về trên cạnh OB, OC. Để ý: 2BAC có thể kiểm tra bằng điều kiện song ' , F ' bằng BOC Khi đó, điều kiện tổng hai góc E song: M ' E '/ / N ' F ' . A M'
N'
M
O
E E'
F'
B
O F
C
Ta xác định cấu trúc của M, N để xác định ảnh của M, N. 1 sñ AOE 1 (1800 AOE ) OAB , suy ra Ta nhận thấy OM//AB. Thật vậy, AOM 2 2
OM//AB. Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 16
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Tương tự, ON//AC. Xét phép nghịch đảo tâm O, phương tích k OA 2 , kí hiệu X ' là ảnh của X qua phép nghịch đảo này. Qua phép này, B, C giữ nguyên. Ảnh của đường tròn (AEO) là đường thẳng AE’ nên M’ thuộc AE’ và OM’//AB. Tương tự N’ thuộc AF’ và ON’//AC. N'
M'
A
O B
C F'
E'
FMO E ENO ' ON ' F ' OM ' hay chứng minh E’N’//M’F’. ' ON ' F ' OM ' 2BOC Ta chứng minh E Thật vậy, ta có
AN ' OC AF ' CF '
R 2
R .CF OC.OF
OF CF
R2 BE AE ' BE ' OB.OE BE OF AM ' OB R OE CF
Suy ra
AN ' AE ' nên E ' N '/ / F ' M ' (đpcm). AF ' AM '
CDA 900 . Gọi H là Bài 13. (IMO Shortlist 2014 G5) Cho đa giác lồi ABCD có ABC chân đường vuông góc hạ từ A đến BD. Các điểm S, T tương ứng nằm trên cạnh AB, AD
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 17
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
CSB 90 0 ; THC DTC 90 0 . Chứng minh sao cho H nằm trong tam giác SCT và CHS
rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác SCT. Ta dùng phép nghịch đảo xác định cấu trúc của S. Xét phép nghịch đảo tâm C. Kí hiệu X’ là ảnh của X qua phép nghịch đảo này.
CSB 900 cho ta CS ' H CB ' S 900 . Điều kiện này có được khi Từ điều kiện CHS tiếp tuyến của (S’B’C) tại S’ vuông góc với S’H’. Vậy AB vuông góc với tiếp tuyến tại S của đường tròn ngoại tiếp tam giác CSH (AB trực giao với (SCH)). Tương tự, AD vuông góc với tiếp tuyến tại T của đường tròn ngoại tiếp tam giác CTH. Xét phép nghịch đảo N Hk , kí hiệu X’ là ảnh của X qua phép nghịch đảo này. A
H'
qua nghịch đảo
T
A'
S'
O
C
B'
M
N S B
D
H
H B'
S'
D' T'
C C'
Ảnh của AB là đường tròn (A’B’H) có tâm là trung điểm N của A’B’. Ảnh của (SHC) là đường thẳng C’S; do AB trực giao với (SHC) nên S’C’ trực giao với (A’B’H), suy ra S’ là giao của C’N và (A’B’H). Tương tự, T’ là giao của C’M và (A’D’H). Cũng do AC trực giao với (ABD) nên (HA’C’) trực giao với (A’B’D’), suy ra đường tròn (A’HC’) có tâm O là giao điểm của tiếp tuyến tại A của (A’B’D’) và trung trực của A’H (là MN). NC ' NS ' NA . Điều này MC ' NC ' MA tương đương với chứng minh (A’HC’) là đường tròn Appollonius chia MN theo tỷ số
(STH) tiếp xúc BD khi và chỉ khi S ' T '/ / B ' D ' hay
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 18
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
NA . Tức là chứng minh A’O là tiếp tuyến của (A’MN). Điều này là đúng vì MA
A MAO ' B' D' A ' NM . (đpcm)
IV. CÁC ĐIỂM TRONG TAM GIÁC – TÂM NGHỊCH ĐẢO. 1) Trực tâm: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Các đường cao CE, BF. D là trung điểm của BC. HD cắt (O) tại U, V với D ở giữa HV. BF cắt (O) tại điểm thứ hai F'. Từ tính chất cơ bản của trực tâm: F là trung điểm HF'; D là trung điểm của HV. Thường ta sử dụng ba phép nghịch đảo hữu dụng sau: F' A
F
U E
H
C
B D
V
i) Phép nghịch đảo tâm H, phương tích HB. HF . ii) Phép nghịch đảo tâm H, phương tích HB. HF ' . 2 iii) Phép nghịch đảo tâm là trung điểm D của một cạnh (ví dụ BC) và phương tích DB .
Qua phép nghịch đảo này thì E, F, B, C giữ nguyên và H biến thành U. (do tính chất trực tâm nên D H D V . Vì vậy DH .DU DU . DV DB.DC DB 2 ) Bài 14. (Canada 2016) Cho ABC là tam giác nhọn với AD và BE là hai đường cao cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH cắt nhau tại P, Q trong đó P cùng phía với
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 19
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
A so với CH. Chứng minh rằng các đường thẳng ED, PH và MQ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A
P M
E H
B
Q
D
V
C
L
Đường tròn (MDE) là đường tròn Euler của tam giác ABC. Xét phép nghịch đảo tâm H, phương tích HA .HD . Qua phép này ảnh của A là D; ảnh của B là E ; ảnh của C là chân đường cao đỉnh C. Do đó, ảnh của đường tròn (MDE) là (ABC); ảnh của (HAB) là DE. P là một giao điểm của (MDE) và (AHB) nên ảnh của P là L là giao của DE và (ABC). Vậy P, H, L thẳng hàng hay PH cắt DE tại một điểm trên (ABC). 2 Xét phép nghịch đảo tâm M, phương tích MA . Qua phép này các điểm A, B, E, D
giữ nguyên. H là V. Do đó, ảnh của đường tròn (MDE) là DE; ảnh của (HAB) là (ABC). P là một giao điểm của (MDE) và (AHB) nên ảnh của Q là giao của DE và (ABC) là Q. Vậy Q, M, L thẳng hàng. Vậy đường thẳng ED, PH và MQ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (đpcm). Bài 15.(IMO 2015 Shortlist G6), IMO 2015 bài 3 Cho tam giác nhọn ABC với AB AC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và F là chân đường vuông góc 900 ; K là điểm hạ từ A. Gọi M là trung điểm của BC; Q là điểm trên (O) sao cho HQA
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 20
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
90 0 . Giả sử rằng A, B, C, K, Q là các điểm khác nhau. Chứng trên (T) sao cho HKQ
minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác KQH, FKM tiếp xúc nhau. Trực tâm, trung điểm, chân chiều cao, có các tính chất cơ bản : điểm đối xứng của H qua M là điểm đối xứng của A qua O ; điểm đối xứng của H qua F nằm trên (O). Do đó, dễ dàng nhận thấy Q, H, M, Q’ thẳng hàng. Xét phép nghịch đảo N Hk , phương tích k PH ,(O ) (phương tích của H với (O)). Qua phép nghịch đảo này : ảnh của Q là Q’. Đường tròn (ABC) giữ nguyên. Ảnh của M là M’ đối xứng với H qua Q (do M là trung điểm HQ’). Ảnh của F là điểm F’ đối xứng với H qua A. Ảnh của K là K’ thuộc (ABC). Ảnh của đường tròn (HQK) là đường thẳng Q’K’ vuông góc với đường kính QH. Ảnh của (FKM) là (F’M’K’). Ta chỉ cần chứng minh (F’M’K’) tiếp xúc với Q’K’. F'
A A M'
Q O
Q
H
K B
O
qua nghịch đảo H
F
K'
C
M
M
L
Q' Q'
Vì AQQ’K’ là hình chữ nhật và A là trung điểm F’H nên AK’ là trung trực của M’F’. Mà AK’ vuông góc Q’K’ nên Q’K’ tiếp xúc với (K’M’F’) (đpcm). 2) Điểm chính giữa của cung.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 21
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Gọi I, IA, IB, IC lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC không chứa A và N là điểm chính giữa cung BC chứa A. Khi đó: i) MB = MC =MI = MIA; NB = NC = NIB = NIC. ii) (ABC) là đường tròn đi Euler của tam giác IAIBIC. IC N A IB
O I C
B M
IA
2
Từ tính chất này, thường người ta hay chọn các phép nghịch đảo N MMB ; N NNB
2
trong các bài toán liên quan đến chúng. Bài 16.(NUSAMO Mock Olympiad 2016) Cho tam giác ABC, X là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI và G là hình chiếu của X trên BC. Đường tròn đường kính AX cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai P. Chứng minh rằng M, G, P thẳng hàng. A P I G B
C
D M
X
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 22
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI thì M là trung điểm IX và M là điểm chính giữa cung BC. Xét phép nghịch đảo tâm M, phương tích MB 2 MC 2 MI 2 . Qua phép nghịch đảo này thì B, C, I, X giữ nguyên; ảnh của (ABC) là đường thẳng BC; ảnh của P là G ' MP BC . Ảnh của A là D. Do đó, đường tròn đường kính DX là ảnh của đường tròn đường
kính AX. Suy ra DG ' X 90 0 , do đó G ' G hay M, G, P thẳng hàng. (đpcm) Bài 17. (TST Hồng Kông 2017) Cho tam giác ABC có A B A C . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I, tiếp xúc với BC tại D. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam
. giác ABC tại điểm thứ hai M. Đường thẳng MD cắt (ABC) tại điểm thứ hai P. Tính API Ta đã biết tính chất quen thuộc của M là MI = MB = MC. A
P I
B
D
E
C
M
Xét phép nghịch đảo tâm M, phương tích MI 2 . Qua phép nghịch đảo này thì B, C, I giữ nguyên. Ảnh của BC là (MBC) cũng là (ABC). Do đó, ảnh của các điểm trên BC: D là P, ảnh của E là A.
900 (đpcm) MPA MPI MED MID IDE Theo tính chất góc ta có IPA . V. PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỐI XỨNG. Sau đây ta tìm hiểu về phép nghịch đảo đối xứng. Nó là một công cụ mạnh để giải quyết các bài toán về đường tròn, đặc biệt có yếu tố phân giác hoặc đối xứng qua phân giác.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 23
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Cho tam giác ABC, d là phân giác trong góc A. Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích A B . A C rồi sau đó đối xứng qua đường thẳng d. Qua phép biến hình :
A
i)Ảnh của B là C, ảnh của C là B; ii)Ảnh của BC là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
O C
B
Do tính chất của các đường thẳng chứa đường cao đỉnh A
A
và đường kính AF đối xứng nhau qua đường phân giác đỉnh A nên:
O
iii) Ảnh của F là F'.
B
C
F'
iv) Ảnh của O là O' đối xứng với A qua BC.
F
O'
Gọi I, IA, IB, IC lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, bàng
IB
tiếp góc A, B, C của tam giác ABC. Do hai tam giác AIB , ACI A đồng dạng; hai tam giác AI C B và ACI B đồng
dạng nên AI . AI A AB. AC ;
A IC
AI C . AI B AB. AC . Vậy:
v) Ảnh của I là I A .
I
O
B
C
vi) Ảnh của I B là I C . IA
Bài 18. (IMO Shortlist 2013 G4) Cho tam giác ABC có AC AB . Gọi P, Q là hai điểm
QBA ACB và A nằm giữa P và C. Giả khác nhau trên đường thẳng AC sao cho PBA sử tồn tại một điểm D nằm trên đoạn QB sao cho PD = PB. Tia AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai R. Chứng minh rằng QB = QR.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 24
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm B, phương tích BA.BC , sau đó đối xứng qua đường phân giác trong góc B. Kí hiệu X' nói chung là ảnh của X qua phép biến hình này. P
D'
R'
d
Q'
A
Q'
A
Q D
qua nghịch đảo C
B
O C
B
R P'
P'
Qua thì A biến thành C, C thành A và AC biến thành (ABC) nên P' thuộc (ABC); R' thuộc AC; D' thuộc BQ'. Bài toán tương đương với bài toán: R là giao điểm của đường tròn tâm Q bán kính QB và đường tròn (ABC). Khi đó, A, D, R thẳng hàng.
' BC PBA ACB nên BP'//AC. Suy ra, ABP'C là hình thang cân. Ta có P Q ' BC QBA ACB nên ABCQ' là hình thang cân.
+ D nằm trên đường tròn tâm P bán kính PB nên D' nằm trên trung trực của BP'. Suy ra, OD' là trung trực của AB. + R nằm trên đường tròn tâm Q bán kính QB nên R' nằm trên trung trực của BQ'. Suy ra, OR' là trung trực của BQ'. Do AQ'CB nhận trung trực của BC làm trục đối xứng nên D', R' đối xứng nhau qua trung trực này. Suy ra, BCD'R' là hình thang cân. Suy ra, BCD'R' nội tiếp được. Do đó, A, D, R thẳng hàng (đpcm). Bài 19. (IMO 2010) Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và (O) là đường tròn ngoại tiếp. AI cắt (O) tại điểm thứ hai D. Gọi E là điểm trên cung BDC, F là điểm
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 25
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
CAE 1 BAC . Gọi G là trung điểm của IF, chứng minh trên đoạn BC, sao cho BAF 2
rằng giao điểm của 2 đường thẳng EI và DG nằm trên (O). Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB.AC , sau đó đối xứng qua đường phân giác trong góc A. A L
I G B
C
F D
E
IA
Gọi I A là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Ta đã biết D là trung điểm của II A suy ra GD / / FI A . I A là ảnh của I ; E là ảnh của F qua phép biến hình .
. AI A F AEI Suy ra, IDG Suy ra A, E, D, L cùng thuộc đường tròn. (đpcm) Bài 20. (TSTST 2015) Cho tam giác không đều ABC. Gọi K a , La , M a lần lượt là chân
và trung điểm của BC. Đường tròn đường phân giác trong, phân giác ngoài của BAC ngoại tiếp tam giác AK a La cắt AM a tại điểm thứ hai X a . Định nghĩa X b , X c một cách tương tự. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác X a X b X c nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 26
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi L'a A A F Xa E La
qua nghịch đảo
H
Ka B
Ka Ma
B
C
C
F' K'a
X'a
E'
Phân tích: Gọi H, G lần lượt là trực tâm, trọng tâm tam giác ABC, ta nhận thấy 0 0 AX a H 90 hay HX a G 90 . Tương tự cho X b , X c . Như vậy, nếu chứng minh được 0 AX a H 90 thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác X a X b X c là trung điểm của GH. Ta
chứng minh X a thuộc đường tròn đường kính AH. Tức đường tròn (AEF) với E, F là chân đường cao đỉnh C, B của tam giác ABC. Ta thực hiện phép biến hình T là hợp của phép nghịch đảo N AAB. AC , sau đó đối xứng qua đường thẳng AK a . Kí hiệu X’ là ảnh của X qua phép biến hình này. Khi đó, qua T thì ảnh của B là C; ảnh của C là B; ảnh của K a BC là giao điểm của AK a và đường tròn (ABC); ảnh của La BC là điểm L 'a là giao của La A và (ABC) cũng là
. điểm chính giữa cung BAC Ảnh của AM a là đường đối trung d của AM a , nên X a' d K a' L'a . F thuộc AC và
AFB 900 nên F’ là điểm thuộc AC mà F ' BA 900 ; tương tự, E’ là điểm thuộc AB mà E ' CA 900 . (đpcm) Bài 21. (ELMO 2016) Cho tam giác ABC với AB AC . Đường tròn nội tiếp tam giác
cắt ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường phân giác trong góc BAC Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 27
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
DE, DF lần lượt tại X, Y. Gọi S, T là các điểm khác nhau trên BC sao cho
XTY 900 . Gọi ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. XSY a) Chứng minh rằng ω tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AST. b) Chứng minh rằng ω tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. a) Quan sát, ta thấy CY , BX AI . Đây là cơ sở cho phép dựng ảnh qua phép nghịch đảo. Ta chứng minh điều này. 1 FIE FIA nên 4 điểm F, I, X, D nằm trên đường tròn. Suy ra BX AI , Do FDX 2
tương tự CY AI .
A
E
F I X T B
S
D
C
Y
Ta thực hiện phép biến hình T là hợp của phép nghịch đảo N AAB. AC , sau đó đối xứng qua đường thẳng AI . Kí hiệu K’ là ảnh của K qua phép biến hình này. A
O
B
C
Y'
M
Q X'
Khi đó, qua T thì ảnh của B là C; ảnh của C là B .
AXB 900 nên X ' thuộc AI và X ' CA 900 . X thuộc AI và
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 28
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
' CA 900 . Tương tự thì Y’ thuộc AI và Y S’, T’ là giao điểm của đường tròn đường kính X’Y’ và (ABC). Ta chỉ cần chứng minh BC//S’T’ Để chứng minh điều này, ta chứng minh trung điểm của X’Y’ là điểm chính giữa cung BC (vì khi đó ST vuông góc OQ) Gọi M BY ' CX ' , Q là giao điểm thứ hai của AI và (ABC). 900 AM là đường kính nên AQM
' BAC ;Y 1 BAC 1 Y BMX ' MQ BAQ ' MX ' 2 2
Suy ra tam giác MX ' Y ' và Q là trung điểm X’Y’.
' AT ' , cũng là phân giác của góc b) Theo câu a thì S’T’// BC do đó AI là phân giác của S
. Suy ra đường tròn (SAT) đi qua trung điểm J của XY. SAT A
E F
I X
B
T S
D
J
C
Y 2
Xét phép nghịch đảo N JJT , ảnh của (SAT) là ST. Mà ST tiếp xúc với (I) nên ta chỉ cần chứng minh qua phép nghịch đảo này thì (I) giữ nguyên. Điều này tương đương với việc chứng minh (I) trực giao với XY hay chứng minh
IX .IY r 2 ID2 . Ta chỉ cần chỉ ra hai tam giác IXD , IDY đồng dạng. Điều này là rõ ràng vì 5 điểm B, F, I, X, D cùng thuộc đường tròn đường kính BI. Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 29
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Bài 22. (USA TST 2016) Cho tam giác ABC không đều, nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC tại D. Đường phân giác trong góc A cắt BC và (O) lần lượt tại E, F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt đường tròn bàng tiếp góc A lần lượt tại S1 , S 2 và cắt (O) tại T khác F. Chứng minh rằng AT đi qua S1 hoặc S 2 . Liên quan đến hai tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp, ta có bổ đề quen thuộc sau: Bổ đề về đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với BC tại D. Gọi DK là đường kính của đường tròn này. L là điểm tiếp xúc của đường tròn bàng tiếp góc A và cạnh BC. Khi đó, A, K, L thẳng hàng và LC = BD.
A
K I B
L
C
D
J
Chứng minh:
Xét phép vị tự V tâm A, biến I thành J. Biến (I) thành đường tròn bàng tiếp góc A; K biến thành K’ trên (J). JL / / IK nên theo tính chất phép vị tự thì L là ảnh của K qua V. Suy ra A, K, L thẳng hàng. Dễ kiểm tra LC
BA BC AC BD 2
Phân tích: Quay trở lại bài toán, AT cắt (DEF) tại S. Bài toán yêu cầu ta chứng minh S thuộc đường tròn bàng tiếp (J, IL). Qua sát ta thấy S, L đối xứng nhau qua AE. Điều này có nghĩa ta sẽ chứng minh L là ảnh của T qua phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB .AC AE .AF , rồi sau đó đối xứng qua phân giác AF. Để chứng minh điều này ta phải chứng minh AF là phân giác góc T AL .
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 30
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
A
O
I D
B
E
L C
T S
F
J
Gọi I, J lần lượt là tậm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A của tam giác ABC.
, TD cắt (O) tại Trước hết, ta nhận thấy, IT cắt (O) tại điểm chính giữa N của cung BAC M là điểm đối xứng của A qua ON. N
A
M K O I
B
X D E
P
L
C
R F
Bổ đề 2: Các đường thẳng NI cắt (O) tại điểm thứ hai R. Khi đó R, D, M thẳng hàng và R L. thuộc đường tròn (DEF). A F là phân giác góc RA
Theo bổ đề trên thì CL = BD, do đó D và L đối xứng nhau qua NF. Suy ra DM, AL, NF đồng quy tại X. Do NF là trung trực của DL nên IXWD là hình chữ nhật.
900 IXF nên tứ giác IRFX nội tiếp. Ta có, NRF AFN NRM , suy ra R, X, M thẳng hàng hay R, D, M thẳng hàng. Suy ra IRX FEC (do ) nên tứ giác RDEF nội tiếp. AB MC Rõ ràng, DRF Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 31
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Vậy R T .
RNF IAX (do tứ giác AIXN nội tiếp). Mặt khác, RAF . Vậy AF là phân giác của RAL N A
M
O
I D
B
E
L C
T S
Quay trở lại bài toán.
F
J
Ta cũng có, tam giác ABE đồng dạng với tam giác AFC, suy ra AB.AC AE.AF . Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB.AC AE.AF , rồi sau đó đối xứng qua phân giác AF. Qua thì B biến thành C; C thành B; (ABC) thành BC. Qua phép nghịch đảo N AAE . AF , biến T thành S; qua thì T ( ABC ) biến thành điểm L . Suy ra, S, L đối xứng nhau qua (do L trên đường thẳng BC mà AF là phân giác của TAL
AF. Suy ra S thuộc đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. (đpcm)
Bài 23. (ELMO 2014) Cho tam giác nhọn ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O, trực tâm là H. Gọi 1 , 2 lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, BHC. Giả sử đường tròn đường kính AO cắt 1 tại điểm thứ hai M, đường thẳng AM cắt 1 tại điểm thứ hai
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 32
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
X. Tương tự, đường tròn đường kính AH cắt 2 tại điểm thứ hai N, đường thẳng AN cắt
2 tại điểm thứ hai Y. Chứng minh MN song song với XY. Phân tích: Chứng minh hai đường thẳng song song MM//XY, ta có thể dùng hợp của hai phép nghịch đảo tâm A và phép đối xứng qua đường phân giác góc A( biến M thành Y và N thành X). Ta tìm hiểu cấu trúc của M, X; các đường tròn qua M để tìm ảnh của M. A
A
E H
N
M
B
C
O
C
B
Y
X
900 nên MX là đường kính của (OBC). Suy ra OCX OBX 900 , do đó X là Do AMO giao điểm của hai tiếp tuyến với (O) tại B, C. Vậy CX là đường đối trung đỉnh A của tam giác ABC.
900 nên HY là đường kính của (BHC). Do đó HC CY , suy ra Theo giả thiết HNY AB//CY. Tương tự, BY//AC. Vậy ABYC là hình bình hành và do đó AY là đường trung tuyến của tam giác ABC. Mà do AX là đường đối trung nên AX và AY đối xứng nhau qua đường C. phân giác góc BA
Đang cần chứng minh M biến thành Y, mà Y là giao của hai đường thẳng CY//AB và BY//AC nên M là giao điểm của hai đường tròn tiếp (AMB) tiếp xúc AC; (ACM) tiếp xúc AB và C biến thành B. Điều này cho ta biết phép biến hình và phải chứng minh
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 33
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
(ABM) tiếp xúc AC; (ACM) tiếp xúc AB. Lập luận tương tự, ta cũng phải chứng minh (ANC) tiếp xúc với BC và (ANB) tiếp xúc với BC.
900 OCA ABC MBC ABC MXC ABC 1800 MAC Ta có MBA
ABC OCA 900 MAC MAC Vậy (ABM) tiếp xúc với AC. Tương tự đường tròn (AMC) tiếp xúc với AB.
NHE NCB (do AHNE, BHNC nội tiếp) Ta có NAC Vậy (ANC) tiếp xúc với BC. Tương tự (ANB) tiếp xúc với BC A
M N C
B
X Y d
Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB. AC sau đó đối xứng qua đường phân giác d. Qua : B biến thành C, (ABM) tiếp xúc với AC biến thành đường thẳng qua C và song song với AB; (ACM) tiếp xúc với AB biến thành đường thẳng qua B và song song với AC. Do đó M biến thành Y. Qua : BC biến thành (ABC); (ANC) tiếp xúc với BC biến thành đường thẳng qua B và tiếp xúc với (ABC); (ANB) tiếp xúc với BC biến thành đường thẳng qua C và tiếp xúc với (ABC). Suy ra N biến thành X.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 34
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Vậy qua , thì M biến thành X, N biến thành Y nên AM . AY AN. AX hay
AM AN . AX AY
Suy ra NM//XY (đpcm). Bài 24. (IMO Shortlist 2014 G7) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Một đường thẳng qua I và vuông góc với CI cắt đoạn BC và cung BC (không chứa A) của (T) lần lượt tại U, V. Đường thẳng qua U và song song với AI cắt AV tại X, và đường thẳng qua V và song song với AI cắt AB tại Y. Gọi W, Z lần lượt là trung điểm của AX, BC. Chứng minh rằng nếu I, X, Y thẳng hàng thì I, W và Z cũng thẳng hàng. Phân tích 1: Trước hết, ta khảo sát một số tính chất xem Y, X, I thẳng hàng ta được gì? Hai đối tượng khảo sát là góc và tỷ số. Về tỷ số:
NX YX XV XU , suy ra NX=XU. (1) AI YI AV IA
BAI BNU BYV 900 A nên BIU Về góc: BIC 2
nên NI = IU Suy ra các tứ giác BYIV, BNIU nội tiếp, mà BI là phân giác NBU
(2)
Suy ra, XI NU hay YI AI . A
N I
X Y
B
U
C
V
Phân tích 2: Tâm đường tròn nội tiếp và trung điểm, cho ta nhớ đến bổ đề về đường kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 35
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Z, I, W lần lượt là trung điểm của DL, DK, AX do đó để chứng minh W, I, Z thẳng hàng
XAS , điều này tương ta chứng minh I là trung điểm của XS hay AI là phân giác của đương với việc chứng minh L là ảnh của V qua phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo N AAB. AC rồi sau đó đối xứng qua phân giác AI. Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.
1 ACJ ACI ICJ ACB 900 AIB . Ta có 2 A
A
I K
Y L
W
B
S
C
X I
Y
Y'
V B
D
Z
L
C
V
J
Suy ra tam giác AIB đồng dạng với tam giác ACJ, do đó AI . AJ AC. AB .
AIY 900 biến thành Y ' trên AC Vậy qua , I biến thành J; B thành C. Y trên AB thỏa AY ' C 900 ; đường tròn (BYIV) biến thành đường tròn (CY’J). Suy ra V là giao của thỏa (BYIV) và (ABC) biến thành giao điểm của (CJY’) và BC là L. (đpcm). VI. VMO VÀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO Trong mục này, chúng ta vận dụng phép nghịch đảo để giải quyết một số bài toán thi VMO và TST. Bài 25. (VMO 2011) Cho đường tròn (O) đường kính AB. P là một điểm trên tiếp tuyến của (O) tại B; (P khác B). Đường thẳng AP cắt (O) lần thứ hai tại C. D là điểm đối xứng
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 36
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
với C qua O. Đường thẳng DP cắt (O) lần thứ hai tại E. Chứng minh rằng AE, BC, PO đồng quy tại M. +) Xét phép nghịch đảo f tâm P phương tích k = PP,(O). Khi đó qua f thì A biến thành C, E thành D; giữ nguyên B; ảnh của AE là (PCD); ảnh của BC là (PAB). +) Ta có: OA.OB = OC.OD nên PO là trục đẳng phương của hai đường tròn (PCD), (PAB). +) Gọi M là giao điểm của đường thẳng AE với BC, gọi M' là ảnh của M qua f suy ra M' là giao điểm thứ hai (khác P) của hai đường tròn (PCD) và (PAB) suy ra M' nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn này là PO. P
C M
E
A O
B
D
+) Mà M' nằm trên PO suy ra M cũng nằm trên PO hay ba đường thẳng AE, BC, PO đồng quy tại M. (đpcm). Bài 26. (VMO 2014) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi I là trung điểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK = IC. Đường thẳng BK cắt (O) tại D (D khác B) và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC tại F. 1 (a) Chứng minh rằng EF BC . 2
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 37
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
(b) Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) tại P (P khác B). Chứng minh rằng đường thẳng PK đi qua trung điểm đoạn thẳng AD. a) A
D
K F
E
C
B
I
Nhận thấy AI là trung trực của BK; ID là trung trực của KC.
IKC (tam giác IKC cân) ICK 180 0 A BC (tứ giác nội tiếp)
Suy ra, A BI A KI . Do đó, AI là trung trực của BK.
A DCK B D (cùng chắn AD)
(do AI là trung trực của BK) AKB = DK C Suy ra, ID là trung trực của KC.Vậy EF là đường trung bình của tam giác KBC nên 1 EF BC 2
P' A
b)
G
D
K
E
F M
B
N
C
P I
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 38
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Ta nhận thấy (BINK) tiếp xúc với AC.
MCK (ID là trung trực của KC) MKC CA D (so le trong) (cùng chắn DC) DBC Xét phép nghịch đảo tâm K, phương tích k KB .KC . Đường tròn (BKI) biến thành đường thẳng P’D, AC giữ nguyên. Suy ra P ' D / / A C . Mà K là trực tâm tam giác ADI nên trung P’ đối xứng K qua trung điểm của AD. Hay PP’ đi qua trung điểm AD. Bài 27. (VMO 2016 bài 6) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (với tâm O) có các góc ở đỉnh B và C đều nhọn. Lấy điểm M trên cung BC không chứa A sao cho AM không vuông góc với BC. AM cắt trung trực của BC tại T. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT cắt (O) tại N (N khác A).
a) Chứng minh rằng BA M CA N b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và G là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. AI; MI ; NI cắt (O) lần lượt tại D; E; F. Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của DF với AM và DE với AN. Đường tròn đi qua P và tiếp xúc với AD tại I cắt DF tại H (H khác D); đường tròn đi qua Q và tiếp xúc với AD tại I cắt DE tại K (K khác D). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC. A
O T
S C
B N
D
M
T'
O'
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 39
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
CAN tức ta chứng minh AM biến thành AN qua phép biến hình : Chứng minh BAM thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB.AC sau đó đối xứng qua AD phù hợp. Kí hiệu K’ là ảnh của K qua phép này.
thay đổi B, C và biến BC thành (ABC). O’ là điểm đối xứng với A qua BC. AM cắt BC tại S. Theo tính chất về góc qua phép nghịch đảo, ta có
(O ' A, O 'T ') ( AT , OT ) ( AT , AO ') . Suy ra O 'T ' đi qua S. Vậy N là giao của (AOT) và (ABC) nên N ' là giao của O’T’ và BC.
CAN . Suy ra N ' S , suy ra BAM b) Như ta đã biết DI = DB = DC nên D là tâm nghịch đảo thích hợp. Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích DI 2 DB 2 DC 2 . F A
E
Q
H P
I K G
B
C N
M D
Qua phép này thì B, C, I cố định. G trên BC biến thành A trên (ABC); K thành Q; H thành P; (GHK) thành (AQP). Như vậy ta cần chứng minh (APQ) tiếp xúc (ABC) cũng là (AMN). Hay chứng minh QP//MN.
1 1 sd sd AIF sd ND AF sd MD AF APF Ta có 2 2 Suy ra, AIPF nội tiếp. Suy ra APQ AFI AMN , do đó PQ//MN. (đpcm)
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 40
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
B AC Bài 28. (TST Việt Nam 2016) Cho tam giác nhọn ABC có A . CB A BC A CB 2 1 Lấy D thuộc cạnh BC sao cho A DC A CB BA C . Tiếp tuyến với đường tròn ngoại 2 tiếp tam giác ABC tại A cắt BC tại E. Phân giác A EB cắt AD và cắt ( A DE ) tại G và F. DF cắt AE tại H.
a) Chứng minh các đường tròn đường kính AE, DF, GH có một điểm chung.
b) Trên phân giác ngoài BA C và trên tia AC lần lượt lấy các điểm K và M sao cho C và trên tia AB lần lượt lấy các điểm L và N K B K D K M , trên phân giác ngoài BA sao cho LC LD LN . Đường tròn đi qua M, N và trung điểm I của BC cắt BC tại P ( P I ) . Chứng minh rằng BM, CN, AP đồng quy.
1 a) Dựng hình: A DC A CB BA C = A R B (R là chân đường phân giác góc A) 2
Quan sát ta thấy, A F BC tại S. H A
J
C
F G
S
D
B
E
Nếu có điều này thì đường tròn đường kính FD, AE lần lượt là đường tròn (FSD), (ASE). Áp dụng định lý Brocard cho tứ giác nội tiếp AFDE ta được: Hai đường tròn (FSD), (ASE) cắt nhau tại điểm thứ hai J thì J trên HS và GJ HS do đó J nằm trên đường tròn đường kính HG. Vậy các đường tròn đường kính AE, DF, GH có một điểm chung. Ta chứng minh điều quan sát này: Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 41
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
B A C A BC A CB A CB A B C B AC FA D A DS FED A DS A CB 90 0 2 2 2 b) 1) Trước hết ta tách cấu trúc hình ra. Rõ ràng, nếu MB, CN, AP đồng quy thì có tứ
giác toàn phần. Như vậy, ( C , B , P , X ) 1 mà I là trung điểm BC nên theo hệ thức Maclaurin thì X P .X I X B .X C mà X P .X I X M .X N do đó X M .X N X B .X C hay BCMN nội tiếp. B'
A A
M
M
N
I
P
N O R
C
C
K
I
P D
B
X
B
2) Dữ kiện KM KB KD rất khó sử dụng, ta thay đổi giả thiết này? AK là phân giác ngoài, nên ta đối xứng B qua AK ta được B’: B’ thuộc AC và KB’=KB=KD=KM hay tứ 1 MB giác MDBB’ nội tiếp. Vậy BDC ' B MAB MAR do đó MADR nội tiếp và 2
ACB 1 BAC 1 BAC ACB . MDA ADC MDC 2 2 B'
A
M C R
N'
D
B
D' R' M'
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 42
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Xét phép biến hình ω : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB.AC sau đó đối xứng qua A. Kí hiệu X’ là ảnh của X qua phép này. Các tứ giác MADR, NACD nội tiếp nên D ', R ', M ', N ' thẳng hàng.
' R ' ADM ACB , suy ra tứ giác N ' MNM ' nội tiếp (đpcm) Theo tính chất góc thì BM Bài 29. (TST Việt Nam 2015) Cho đường tròn (O) có dây BC cố định và không phải đường kính. Xét điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và A B A C . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của cạnh BC, trực tâm tam giác ABC. Tia IH
cắt đường tròn (O) tại K, đường thẳng AH cắt đường thẳng BC tại D và đường thẳng KD cắt lại đường tròn (O) tại K. Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC cắt AI tại điểm N. a) Chứng minh rằng điểm N luôn thuộc đường tròn cố định khi A thay đổi. b) Đường tròn tiếp xúc với AK ở A và đi qua N cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi J là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng đường thẳng AJ luôn đi qua một điểm cố định. a) Nhận thấy N thuộc đường tròn (HBC) là đường tròn đối xứng với (O) qua BC. Như vậy ta cần chứng minh N, M đối xứng qua BC. A
E K H
J
N I
B
C
D Q M
A'
IH cắt (O) ở Q. Khi đó I là trung điểm HQ. AK cắt BC tại J. Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 43
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Suy ra, IH .IK IK . IQ IB. IC IB2 IE 2 do đó K thuộc đường tròn đường kính AH.
900 , suy ra H là trực tâm tam giác AJI. Suy ra AKH 2
Xét phép nghịch đảo N IIB tâm I, phương tích IB 2 IH .IK ID.IJ . Qua phép nghịch đảo này, H biến thành K; D thành J. (ABC) thành (HBC); M thành giao hai đường tròn (JHI) và (HBC). Ta đã biết (HBC), (HIJ) đi qua P đối xứng với A qua BC (Tính chất trực tâm) nên I, M, A’ thẳng hàng. Suy ra M, N đối xứng qua BC. (đpcm) b) M, N đối xứng qua BC nên IN .IA IM .IA ' do đó A là ảnh của N qua phép nghịch đảo. A
P
K
J N
O
Q
H S
B
D
C
I
I (cùng chắn AN) Đường tròn (APNQ) tiếp xúc với AK cho ta A QN SA
(tính chất phép nghịch đảo) NDI Vậy DNQC nội tiếp. Quan sát ta thấy QD là tiếp tuyến của (APNQ).
NCI (cùng chắn ND) Thật vậy, NQD IA C (tính chất phép nghịch đảo) Tương tự DP là tiếp tuyến của (APNQ). Suy ra AD là đường đối trung đỉnh A của tam giác APQ. Suy ra, JA Q DA P HA C (tính chất đường đối trung) Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 44
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
=OA C (tính chất trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp) Suy ra AJ qua điểm cố định O. (đpcm) Bài 30. (TST Việt Nam 2016 bài 3, ý a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có B, C cố định, A chuyển động trên cung BC của (O). Các phân giác AD, BE, CF giao nhau tại I. Đường tròn qua D tiếp xúc với OA tại A cắt (O) tại G. GE, GF giao (O) lần thứ hai tại M, N. BM cắt CN tại H. Chứng minh AH đi qua một điểm cố định. Ta nhận thấy H AD EF và do đó theo tính chất tứ giác toàn phần thì
( A, I , H , D) 1 BM AD H ' , ta sẽ chứng minh ( A, I , H ', D) 1 và là xong.
( A, I , H ', D) B( A, I , H ', D) ( A, E , S , C ) M ( A, E , S , C ) M A, G, B, C Vậy ta chỉ cần chứng minh A, G , B , C 1 M
A S
N F
H'
E O I
B
K
D
G
C
L
Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB.AC sau đó đối xứng qua AD. Đường tròn qua AD tiếp xúc với AO biến thành đường thẳng qua L và song song với đường cao đỉnh A (là OL). Suy ra ảnh của G là K. Do đó, AG là đường đối trung đỉnh A và do đó A, G , B , C 1 . Tương tự, CN đi qua H’. Vậy H ' H . AH đi qua L. (đpcm)
BÀI TẬP TỔNG HỢP Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 45
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Bài 31. (IMO shortlist 1997) Cho A1A2A3 là tam giác không cân, ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đặt Ci là đường tròn nhỏ qua I và tiếp xúc với AiAi+1 và AiAi+2. Gọi Bi là giao điểm thứ hai của Ci+1 và Ci+2. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác A1B1I, A2B2I, A3B3I thẳng hàng. Do 3 đường tròn đã chung nhau 1 điểm I nên yêu cầu bài toán là chứng minh 3 đường tròn có thêm một điểm chung J. A1
B3
B2 I B1 A3
A2
Để ý, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1 A2 A3 nên d I , A1A2 d I , A3 A2 d I , A1A3 . Như vậy, qua phép nghịch đảo tâm I, ba đường thẳng A1 A2 , A2 A3 , A3 A1 sẽ biến thành 3 đường tròn có bán kính bằng nhau. Đây là tính chất đẹp, ta có được khi chuyển mô hình qua phép nghịch đảo này. Xét phép nghịch đảo tâm I, phương tích k > 0. Kí hiệu Bi' , Ai' lần lượt là ảnh của Bi , Ai qua phép nghịch đảo này. Ảnh của ba đường thẳng A1 A2 , A2 A3 , A3 A1 sẽ là 3 đường tròn tâm Q, M, P có bán kính bằng nhau qua I và đường tròn IAi'1 Ai'2 tiếp xúc với Bi' Bi'1 và Bi' Bi'2 .
B'1
M A'3 A'2 I P
Q
A'1
B'2
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
B'3
T r a n g | 46
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP và A1' đối xứng với I qua PQ ; A2' đối xứng với I qua MQ. Do đó, A1' A2' song song với MP, nên nó cũng song song với B1' B2' . Tương tự, suy ra tam giác A1' A2' A3' có 3 cạnh song song với ba cạnh của tam giác B1' B2' B3' . Suy ra A1' B1' , A2' B2' , A3' B3' đồng quy tại tâm vị tự của hai tam giác này. Vậy ba đường tròn A1B1I, A2B2I, A3B3I có 2 điểm chung I, J nên tâm của chúng thẳng hàng. (đpcm). Bài 32. (Hàn Quốc 2014) Cho AB là dây cung nhưng không là đường kính của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A, B đến (O) cắt nhau tại C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB. Một đường tròn qua C và tiếp xúc với (O) cắt đường thẳng MN tại P, Q. Chứng
CAB . minh rằng PCQ Xét phép nghịch đảo tâm C, phương tích k CA 2 CB 2 . Q'
M'
N'
O
A
B Q
P
N
M P'
C
Qua , M biến thành M’ đối xứng với M qua A; N biến thành N’ đối xứng với N qua B; MN biến thành (CM’N’) do đó P biến thành P’ , Q biến Q’ mà Q’, P’ thuộc (CM’N’). (O) biến thành chính nó; (CPQ) biến thành P’Q’ nên P’Q’ tiếp xúc với (O). (CM’N’) có tâm O. Hai dây cung P’Q’ và CM’ cùng tiếp xúc với (O) nên dO ,CM ' dO ,P ' Q ' và do đó CM ' P ' Q ' .
P CAB (đpcm). Suy ra PCQ ' CQ ' M ' N ' C CBA Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 47
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Bài 33.(Iran 2015 vòng 3) Cho tam giác ABC. P là điểm trong tam giác ABC. Gọi R, Q lần lượt là điểm đối xứng của P qua AB, AC. Gọi T là giao điểm của RQ và BC. Chứng
khi và chỉ khi APB APC APT 900 . minh rằng Các bài toán “không có đường tròn” đôi khi rất khó liên kết các đối tượng về góc. Ta làm ngược lại, nghịch đảo để xuất hiện đường tròn. Xét phép nghịch đảo ω tâm P, phương tích k. Kí hiệu X’ là ảnh của X qua phép nghịch đảo này.
A' I Q'
A
R'
Q
T'
qua nghịch đảo
R
P
T
P B
C
C'
B'
O
Qua ω , đường thẳng AB là trung trực của PR biến thành đường tròn ( A ' B ' P ) tâm R ' ; đường thẳng AC là trung trực của PQ biến thành đường tròn ( A ' C ' P ) tâm Q ' ; T là giao của QR và BC nên T ' là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ( PQ ' R ') tâm I và
( B ' C ' P ) tâm O. Theo tính chất các đường tròn cắt nhau thì R ' Q ', OR ', OQ ' là trung trực của
PA', PC ', PB ' . APC B Do đó, APB ' PA ' C ' PA ' OR ' Q ' OQ ' R ' OR ' OQ ' . APT 900 1) Nếu
' PT ' 900 , suy ra R ' Q '/ / PT' (do Q ' R ' là trung trực của AP ' ). Suy ra, A
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 48
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Suy ra R 'P T'Q' là hình thang cân, mà O nằm trên trung trực của T ' P nên OQ ' OR ' ,
. APB APC do đó APB APC 2) Nếu
OR ' OQ ' . Suy ra, OI là trung trực của Q ' R ' . Mà IO là trung trực của T ' P nên T ' P vuông góc A ' P .(đpcm). Bài 34. (EGMO 2016) Hai đường tròn (O1 ), (O2 ) có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại X 1 , X 2 . Xét đường tròn (C) tiếp xúc ngoài với (O1) tại T1 và tiếp xúc trong với (O2 ) tại T2 . Chứng minh rằng X 1T1 , X 2T2 cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (C).
Hai đường tròn tiếp xúc, thì phép vị tự là một công cụ hay dùng để khảo sát chúng. X 1T1 cắt (C) tại K; T2T1 cắt (O1) tại L. Xét phép vị tự tâm T1 , biến (C) thành (O1), khi đó T2 K / / X 1 L . Như vậy, ta cần chứng minh T2 X 2 / / X 1 L . Hai đường tròn này bằng nhau, nên để chứng minh điều này, ta chứng minh T1T2 đi qua tâm đối xứng M (là trung điểm của O1O2 ). T2 X1
T1 M O2
O1
K
X2 L 2
Xét phép nghịch đảo N XR1 . Qua phép nghịch đảo này, ảnh của hai đường tròn (O1 ),(O2 ) lần lượt là hai đường trung trực l1 , l2 của O1 X 1 ; O2 X 2 . Ảnh của (O) là đường
tròn tiếp xúc với hai đường thẳng l1 , l2 lần lượt tại T1' , T2' . Ảnh của T1T2 là đường tròn ( X 1T1'T2' ) , đường tròn này cắt X 1 S tại N. Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 49
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
T'2 X1
O2
l1 O1
M S
I
l2
T'1
N
0 ' ' ' ' Do T 2 SX 1 T1 SX 1 và ST2 ST1 nên S là trung điểm của X 1 N . Suy ra , X 1O2 N 90 , do
đó X 1 M . X 1 N X 1O2 2 R 2 . Hay N là ảnh của M qua phép nghịch đảo này. Suy ra T1T2 đi qua M. (đpcm). Bài 35. (Trung Quốc TST 2016) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Có một đường tròn (O) tiếp xúc với phần mở rộng của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DC lần lượt tại X, Y, Z, T. (O’) là đường tròn qua A, B và tiếp xúc với (O) tại S. Chứng minh rằng SP vuông góc ST. Quan sát thấy P, Y, Z thẳng hàng; P, X, T thẳng hàng. Định lý Passcal rất hữu hiệu trong các trường hợp kiểu như bài này. Z
Y
S
D
N C P
A
T B
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
X
T r a n g | 50
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Áp
dụng
định
lý
Passcal
cho
6
điểm
YYZTTX,
ta
có
ta
có
YY TT C;YZ TX P '; ZT XY N thì N, C, P’ thẳng hàng. Áp
dụng
định
lý
Passcal
cho
6
điểm
ZZYXXT,
ZZ XX A; ZY XT P ';YX XT N thì N, A, P’ thẳng hàng. Vậy P’ thuộc AC. Chứng minh tương tự, ta cũng được P ' BD . Suy ra P ' P . Giao điểm hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp cũng hay được chọn làm tâm nghịch đảo. Xét phép nghịch đảo N Pk , k PP,(O ) , qua phép này thì (O) giữ nguyên. Kí hiệu K’ nói chung là ảnh của K qua phép nghịch đảo này. S'
O S
T P
A'
B'
Đường thẳng ABX biến thành đường tròn (A’B’T) tiếp xúc với (O) tại T. Cũng do ABCD là tứ giác nội tiếp nên A’B’//CD, suy ra A' B ' OT . Suy ra OT là trung trực của A’B’. Đường tròn (ABS) biến thành đường tròn (ABS’) tiếp xúc với (O) tại S’. Suy ra S’T là đường kính của (O). Suy ra ST PS (đpcm). Bài 36. (USAMO 2015) Cho tứ giác lồi APBQ nội tiếp đường tròn (O) thỏa điều kiện BQA 90 0 ; AP AQ BP . X là một điểm di động trên đoạn PQ. AX cắt (O) tại BPA
AXT 900 . Gọi M là trung điểm của điểm thứ hai S. T là điểm trên cung AQB sao cho ST. Chứng minh rằng M chạy trên đường tròn cố định. Phân tích: Trung điểm dây cung cho ta ngay điều quen thuộc OM vuông góc MT.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 51
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi B S
M O Q
U
X
X
P
T
I
F A
M thuộc đường tròn cố định, như vậy có 1 trung trực của đoạn có chứa M, ta liên tưởng đến hình chiếu từ A lên MT. Trung trực của MF là đường trung bình của hình thang OMFA, cắt FA ngay tại trung điểm của OA là điểm cố định. Vậy ta nghĩ đến việc chứng minh P, M, Q, F đồng viên đường tròn tâm I. Ta kiểm tra bằng hình vẽ thấy điều này đúng. Tức là chứng minh: UM.UF = UP.UQ = US.UT, điều này theo định lý Maclaurin thì (STUF) = – 1. Hàng điểm điều hòa này có được khi có tứ giác toàn phần. Gọi Y AT PQ; XT SY W 2
Xét phép nghịch đảo N AA P , qua phép nghịch đảo này P, Q giữ nguyên; đường thẳng PQ biến thành đường tròn ( O ) . Do đó, X biến thành S; T biến thành Y. Suy ra A YS A ST 90 0
B S
M
O X P
Q
U
Y
H T W F A
Suy ra T là trực tâm tam giác ASW, từ đây cho ta AFW thẳng hàng. Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 52
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Theo tính chất tứ giác toàn phần thì (STUF) = – 1. Ta đã chứng minh được điều trong phân tích, bài toán được giải quyết. (đpcm). Bài 37. (Serbia TST 2009) Cho tam giác không cân ABC ngoại tiếp đường tròn (S). (S) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Gọi M là giao điểm của QR và BC. Một đường tròn đi qua B, C tiếp xúc với (S) tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP cắt AP tại điểm thứ hai L. Chứng minh S, L, M thẳng hàng. Ta nhận thấy MS vuông góc AP; ML vuông góc AP. Chứng minh ý 1:
A
Q N R
S L
M
C
P
B
2
- Xét phép nghịch đảo N Sr , trong đó r SP . Qua phép nghịch đảo này thì ảnh của PQ là đường tròn (SPQ), cũng là đường tròn đường kính SA; ảnh của BC là đường tròn qua S, P và tiếp xúc (S) cũng là đường tròn đường kính SP. A
Q R
M
B
S
L'
P
C
Rõ ràng, đường tròn đường kính SP và đường tròn đường kính SA cắt nhau tại L ' là chân chiều cao của S trong tam giác SAP.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 53
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi 2
M PQ BC , suy ra L’ là ảnh của M qua N Sr . Suy ra SM vuông góc AP. Chứng minh ý 2: * Nhận xét : ( M , P, B, C ) 1 . RA PB QC . . 1 ). Theo RB PC QA
Thật vậy, theo định lý Ceva ta có CP, BQ, AP đồng quy (do định lý về tứ giác toàn phần thì ( M , P, B, C ) 1 .
900 , ta chứng minh NP là phân giác góc BNC . Như vậy chứng minh MNP SNP IN 'N NP cắt đường tròn tại điểm thứ hai N’. Ta có SPN N S I B
Suy ra IN’//SP, do đó IN ' BC .
C
P
N'
. Suy ra, N’ là điểm chính giữa cung BC. Suy ra NP là phân giác góc BNC Vậy, SM AP, SL AP nên S, L, M thẳng hàng. Bài 38. (Đức TST 2015) Cho tam giác nhọn ABC, A B A C . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE tại điểm thứ hai P. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE tại điểm thứ hai Q. Chứng minh rằng AP = AQ. Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích A E .A D , rồi sau đó lấy đối xứng qua đường phân giác trong góc A. Kí hiệu X’ là ảnh của X qua phép này. Qua phép này ta được: ảnh của E là D; ảnh của D là E; ảnh của B là điểm B’ là trung điểm của AE (do AB 2 AD và E là ảnh của D); ảnh của C là điểm C’ là trung điểm của AD (do AC 2 AE và D là ảnh của E)
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 54
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi A
A P
B'
D
E
C'
qua nghịch đảo
Q
P' C
B
E
Q'
D
Ảnh của (AED) là ED ; ảnh của (BCD) là (B’C’E); ảnh của (BCE) là (B’C’D) . Do đó, P’ là giao điểm thứ hai của (B’C’D) và ED; Q’ là giao điểm thứ hai của (B’C’E) và ED. Ta chỉ cần chứng minh AP ' AQ ' . Do B ' C ' DP '; B ' C ' Q ' E là các hình thang nội tiếp đường tròn nên chúng là các hình thang cân. Do đó, B ' E C ' Q '; P ' Q ' C ' D và P 'B'E Q ' C ' D (do tính đối xứng qua
trục) Suy ra ΔP ' B ' A ΔAC ' Q ' , do đó AP ' AQ ' (đpcm) Bài 39. (USAMO 2016) Cho tam giác nhọn ABC. Gọi I B , I C ,O lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi E, Y lần lượt là chân đường cao, chân đường phân giác trong đỉnh B của tam giác ABC. Gọi F, X lần lượt là chân đường cao, chân đường phân giác trong đỉnh C của tam giác ABC. Đường thẳng I B F cắt đường thẳng I C E tại P. Chứng minh rằng OP vuông góc với XY.
Phân tích: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và I A là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Rõ ràng các tứ giác I C AIB ; AICI B nội tiếp do đó I A là tâm nghịch đảo thích hợp để khảo sát các tính chất. Qua sát ta thấy, I AO vuông góc XY. Như vậy ta chứng minh 2 điều I AO vuông góc XY và P, O, I A thẳng hàng là được.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 55
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi IB
A E P
IC Y F
X I
O C
B
IA
Phân tích ý 1: Qua phép N IIAAI . I A A ảnh của I C II B là (ABC). (ABC) có tâm O, do đó I AO là đường nối tâm 2 đường tròn. Như vậy để chứng minh XY vuông góc I AO ta sẽ
chứng minh XY là trục đẳng phương của hai đường tròn này. Điều này là rõ ràng
PY ,( ABC ) YAYB . YI C .YI PY , IIC I B . Phân tích ý 2: Ta phải xác định ảnh của P, ảnh của I C là B, nhưng ảnh của E rất khó xác định. Một công cụ để xác định ảnh là góc. Giả sử cần tìm ảnh B1' của B1 trên I C E . ' Khi đó, theo tính chất góc ta có I A B1 B I A I C B1 BI C E .
2 góc này bằng nhau, cho ta gợi đến phép nghịch đảo tâm B. IB
A IC
B'1 E
B1 O C
B
IA
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 56
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Ta xác định điểm B1' : phép biến hình quen thuộc, thực hiện N BBA. BC rồi đối xứng qua BI B hay được áp dụng trong trường hợp này. Hai tam giác I C AB và CI A B đồng dạng nên AB. AC BI B . BI A . Vậy I A là ảnh của I C ' do đó BI C E BE ' I A , vậy B1 E ' . Mà ta đã biết ảnh của E là E’ đối xứng với B qua O.
Tương tự cho C1' .
Vậy P’ thuộc B1' BI A , C1'CI A
Ta phải chứng minh P’, O, I A thẳng hàng. P’ thuộc P ' BI A , P ' CI A nên để chứng minh O P ' I A ta chứng minh O có cùng phương tích với hai đường tròn. Điều này là hiển nhiên vì OB.OB1' R 2 OC .OC1' (đpcm) Bài 40. (IMO Shortlist 2012 G4) Cho tam giác ABC có A B A C và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O. Đường phân giác góc BA C cắt BC tại D. Gọi E là điểm đối xứng qua trung điểm M của BC. Đường thẳng qua D vuông góc BC cắt AO tại X; đường thẳng qua E và vuông góc BC cắt AD tại Y. Chứng minh rằng tứ giác BXCY nội tiếp. A
N
X
O M
B
E C
D
G
Y
Phân tích: Đường tròn (BCX) cắt tại N, ta cần chứng minh Y thuộc (BNXC) hay chứng minh DN .DY DB.DC DA.DG . Mà DG AN
1 DY (do MG //EY) nên ta chứng minh 2
1 AD . 2
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 57
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Vậy ta sẽ chứng minh: trung điểm N của AD, B, C, X cùng thuộc đường tròn. Phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB.AC sau đó đối xứng qua AD phù hợp. Kí hiệu K’ là ảnh của K qua phép này. Qua , ảnh của B là C; ảnh của D là G, do đó ảnh của trung điểm N của AD là N’ đối xứng với A qua G. Ảnh của AO là đường cao đỉnh A. Ảnh của X là điểm nào? Ta không thể sử dụng XD vuông góc BC để dựng ảnh, nên ta dùng góc với tâm và một điểm biết
ảnh rồi. Quan sát thì rõ ràng tam giác AXD cân tại X: X DA HA D (so le trong) DA X (do AO, AH đối xứng nhau qua phân giác) Do đó A NX 90 0 , suy ra A X ' N ' 90 0 . A
X
N
O M
B
H
C
D
G
X'
N'
Cấu trúc của BX’N’C bây giờ là hình thang, để chứng minh nó nội tiếp ta chỉ cần chứng minh nó cân. Do tam giác GX’N’ cân tại G (do G là trung điểm AN’) nên MG là trung trực của X’N’ và BC. Vậy BX’N’C là hình thang cân nên nó nội tiếp được. (đpcm) Bài 41.(IMO Shortlist 2012 G5) Cho tam giác ABC vuông tại C, D là chân đường vuông góc đỉnh C. Gọi X là điểm trên đoạn CD. K là điểm trên đoạn AX sao cho BK BC . L là điểm trên đoạn BX sao cho A L A C . Gọi M là giao điểm của AL và BK. Chứng minh rằng MK = ML.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 58
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi N'
C M' qua nghịch đảo
X L
K
M
L'
A B
K' X' C
D
B'
D
A'
Ta thấy MK 2 B C 2 B D .B A do đó BK là tiếp tuyến của (DAK). Tương tự AL là tiếp tuyến của (BDL). Đây là dấu hiệu ta có thể dùng phép nghịch đảo. Chứng minh ML = MK tức chứng minh M nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn này. Trục đẳng phương này là đường thẳng DN. Do đó, xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích DC 2 DB .DA . Kí hiệu O’ là ảnh của O qua phép nghịch đảo này. Suy ra, A’K’ tiếp xúc với (B’DK’) ; B’L’ tiếp xúc với (A’DL’) ; K’ thuộc (DA’X’) ; L’ thuộc (B’DX’). Ta chứng minh M’ thuộc N’D hay chứng minh N’ có cùng phương tích với (B’DL’), (A’DK’) hay chứng minh N’L’ = N’K’ Hay X ' L ' X ' K ' .
X ' K ' 2 X ' L' 2 X ' A ' 2 X ' B ' 2 B ' L' 2 A ' K ' 2
DA ' 2 DB ' 2 A ' D.A ' B ' B ' D .B ' A ' 0
Suy ra X ' L ' X ' K ' .(đpcm) Bài 42. (Iran 2014 vòng 2) Điểm D di động trên cạnh BC của tam giác ABC. Gọi I , I1 , I 2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD, ACD. Gọi M, N (khác A) lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) và các đường tròn ngoại tiếp tam giác IAI1 , IAI 2 . Chứng minh rằng, khi D thay đổi thì MN đi qua một điểm cố định.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 59
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
A S
N
K I M
I1
B
I2
D
C
Nhận thấy, hai đường tròn ngoại tiếp tam giác IAI1 , IAI 2 là trực giao. Đây là dấu hiệu ta có thể dùng phép nghịch đảo tâm A. Ta chứng minh nhận xét này:
ASK I 1 ABD BAI 1 ACD CAI AI1 I AI Ta có: AKS 2 2 2
1 BAC ABC ACB 900 . 2
900 Suy ra KAS Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích AB.AC sau đó đối xứng qua phân giác AI. A
I
N'
H
M' C
B
Y IA
Ảnh của I là I A cố định; ảnh của B là C; ảnh của N thuộc (ABC) là N’ thuộc BC; ảnh của M là M’ thuộc BC. Ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác IAI1 , IAI 2 là các đường
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 60
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
thẳng I A M '; I A N ' vuông góc nhau (do hai đường tròn trên trực giao). Ta cần chứng minh MN đi qua 1 điểm cố định, hau chứng minh ( A M ' N ') đi qua một điểm cố định. Gọi H là hình chiếu của I A trên BC. AH cắt ( A M ' N ') tại điểm thứ hai Y. Do N ' I A M ' 90 0 nên HA .HY HN '.HM ' I A H 2 (không đổi). Vậy Y cố định.(đpcm)
Bài 43.(Iran TST 2015 ngày 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I B , M lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc B, điểm chính giữa cung BC của (O) (không chứa A). Đường thẳng MI B cắt (O) tại điểm thứ hai T khác M. Chứng minh rằng T B .T C I BT 2 .
TM là phân giác góc BT C , do đó chứng minh T B .T C I BT
2
tương đương chứng
minh I B biến thành chính nó qua phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm T, phương tích T B .T C . Tức chứng minh đường tròn ( BCI B ) cố định qua . IB
IB N
A
A IC
T
C
B
T
C
B
M
M
Ta xét cấu trúc của đường tròn ( BCI B ) . Như đã biết thì B ,C , I B , I C nằm trên đường tròn đường kính I C I B tâm N là điểm chính giữa cung BC chứa A. Qua thì B, C thay đổi nhau, đường thẳng TN biến thành chính nó; đường tròn tâm N đi qua B, C biến thành đường tròn tâm thuộc TN và đi qua B, C. Đường tròn này cũng có tâm N. Vậy đường tròn ( BCI B ) cố định qua . Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 61
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
Suy ra T B .T C I BT 2 . (đpcm) Bài 44.(Canada 2015) Cho tam giác nhọn ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi (I) là đường tròn với tâm trên đường cao đỉnh A, đi qua A và P, Q trên cạnh AB và AC. Giả sử rằng BP .CQ A P .A Q . Chứng minh rằng (I) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC. A
Q
P
O K
B
H
C
Ta xác định vị trí của P, Q trên AB, AC. Rõ ràng các tứ giác KHQC, KHBP nội tiếp nên A Q .A C A K .A H A P .A B .
BP .CQ A P .A Q
A P CQ AB AC BP A Q BP A Q
A P .A B A Q .A C AP Vậy, A B A C .A B 2 A C 2 BP BP A Q
AP AC 2 AP AC2 . BP A B 2 AB AC2 AB2 AQ AB2 Tương tự, AC AC2 AB2 Xét phép biến hình : thực hiện phép nghịch đảo tâm A, phương tích
1 A B .A C , sau đó 2
đối xứng qua phân giác góc A.
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 62
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi A
G F
E O
B
H
P'
D
C
Q'
Ảnh của O là H, ảnh của B là trung điểm E của AC; ảnh của C là trung điểm F của AB. Ảnh của (OBC) là đường tròn Euler (EFHD) (D là trung điểm BC). Ảnh của P là P’ trên
A B .A C A C 2 A B 2 AC sao cho A P ' ; 2A P 2A C Ảnh của Q là Q’ trên AB sao cho A Q '
A B .A C A C 2 A B 2 2A Q 2A B
Bằng Mênêlauyt dễ chứng minh P ' Q ' đi qua D. Theo tính chất thì ảnh của AH (đường thẳng qua tâm đường tròn) vuông góc với P ' Q ' nên AO vuông góc P’Q’. Mà AO song song với đường kính GD của đường tròn Euler (tính chất đường tròn Euler) do đó GD vuông góc với P’Q’. Suy ra P’Q’ tiếp xúc với (EFHD). Suy ra (I) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC. (đpcm) Bài 45. (CGMO 2015) Cho 1 , 2 là hai đường tròn ngoài nhau. Gọi A, C trên 1 và B, D trên 2 sao cho AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, CD là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. AC cắt BD tại E. F là điểm trên 1 . Tiếp tuyến với 1 tại F cắt đường trung trực của EF tại M. MG là tiếp tuyến với 2 tại G. Chứng minh rằng MF MG .
Chứng minh MG MF có nghĩa là chứng minh M thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn 1 , 2 . Mà ME MF nên M thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn: đường tròn điểm (E) và đường tròn 1 . Như vậy, cần chứng minh trục đẳng phương của hai Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 63
Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi
đường tròn 1 , 2 cũng là trục đẳng phương của hai đường tròn (E) và đường tròn ω1 . Trục đẳng phương của hai đường tròn ω1 ,ω 2 là đường thẳng XY, với X, Y là trung điểm
AEB 900 . của AB, CD, do đó cần chứng minh XE = XX = EY hay chứng minh A X B D E Y
C
G M
F
Do ω1 ,ω 2 là hai đường tròn ngoài nhau nên tồn tại một phép nghịch đảo tâm I, biến hai đường tròn ω1 ,ω 2 thành hai đường tròn ω1' ,ω'2 đồng tâm O. Kí hiệu K’ là ảnh của K nói chung qua phép nghịch đảo này. C'
Q I O
B'
A'
D'
Đường tròn ( IA ' B ') tiếp xúc trong với ω '2 và tiếp xúc ngoài với ω1' . Đường tròn ( IC ' D ') tiếp xúc trong với ω1' và ω '2 . Suy ra, C ' D '; A ' B ' lần lượt là các đường kính qua O của các đường tròn ( IC ' D '),( IA ' B ') .
' I ' D ' 900 B ' I ' A' D ' B ' cắt C ' A ' tại I ' . Ta có QB '/ / C ' A ' và QB ' D ' 90 0 nên C hay I ' thuộc các đường tròn đường kính C ' D '; A ' B ' và do đó I ' I . Suy ra, I ' cũng là
AEB A ' IB ' 900 .(đpcm). giao điểm của AC và BD nên I E và do đó Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt. Giáo viên Lê Anh Dũng
T r a n g | 64