Perhitungan Tegangan Dengan Fungsi Tegangan Airy - Mekanika Bahan [PDF]

Zitiervorschau

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

Soal 9.5 Sistem struktur dalam Gambar 1 adalah balok berupa pelat tipis dengan bentang L dan tinggi 2b, dengan ujung kiri dijepit sempurna dan ujung kanan diberi perletakan rol. Gaya luar adalah berupa tekanan merata q pada tepi atas balok. Tentukan tegangan-tegangan yang terjadi dalam balok.

Gambar 1

Struktur balok Soal 9.5

PENYELESAIAN Fungsi tegangan Airy dengan metode solusi Neou menggunakan orde ketiga: 3

F ( x, y ) 

3

  Amn x m y n m 0 n 0

dengan komponen tegangan yang dicari:

 xx   xx'   yy   yy

'

3 3  2 F ( x, y )  n(n  1) Amn x m y n2   2 y m  0 n 0

3 3  2 F ( x, y )     m(m  1) Amn x m2 y n 2 x m  0 n 0

 xy   xy ' 

3 3  2 F ( x, y )    mnAmn x m1 y n1 xy m 0 n 0

Komponen tegangan tersebut dapat ditulis kembali menjadi:

1

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

 xx ( x, y )  2(2  1) A02 x 0 y 22  3(3  1) A03 x 0 y 32  2(2  1) A12 x1 y 22  3(3  1) A13 x1 y 32 2(2  1) A22 x 2 y 22  3(3  1) A23 x 2 y 32  2(2  1) A32 x3 y 22  3(3  1) A33 x3 y 32  yy ( x, y )  2(2  1) A20 x 22 y 0  2(2  1) A21 x 22 y1  2(2  1) A22 x 22 y 2  2(2  1) A23 x 22 y 3 3(3  1) A30 x32 y 0  3(3  1) A31 x32 y1  3(3  1) A32 x32 y 2  3(3  1) A33 x32 y 3  xy ( x, y )  1  1  A11 x11 y11  1  2  A12 x11 y 21  1  3  A13 x11 y 31  2  1  A21 x 21 y11 2  2  A22 x 21 y 21  2  3  A23 x 21 y 31  3  1  A31 x31 y11  3  2  A32 x31 y 21 3  3  A33 x31 y 31 atau dapat diringkas menjadi:

 xx  2 A02  6 A03 y  2 A12 x  6 A13 xy  2 A22 x 2  6 A23 x 2 y  2 A32 x3  6 A33 x3 y  yy  2 A20  2 A21 y  2 A22 y 2  2 A23 y 3  6 A30 x  6 A31 xy  6 A32 xy 2  6 A33 xy3  xy  A11  2 A12 y  3 A13 y 2  2 A21 x  4 A22 xy  6 A23 xy 2  3 A31 x 2  6 A32 x 2 y  9 A33 x 2 y 2

♠ Kondisi Batas I Bidang sisi atas dan sisi bawah balok adalah bidang yang bebas dari tegangan geser atau dapat dinyatakan sebagai berikut.  xy ( x, b)  0 dan  xy ( x, b)  0

Dengan demikian fungsi tegangan  xy ( x, y ) menjadi: A11  2 A12b  3 A13b 2  2 A21 x  4 A22 xb  6 A23 xb 2  3 A31 x 2  6 A32 x 2b  9 A33 x 2b 2  0 . . . (1) dan A11  2 A12b  3 A13b 2  2 A21 x  4 A22 xb  6 A23 xb 2  3 A31 x 2  6 A32 x 2b  9 A33 x 2 b 2  0 . . . (2)

Penjumlahan dari pers. (1) dan (2): 2 A11  6 A13b 2  4 A21 x  12 A23b 2 x  6 A31 x 2  18 A33b 2 x 2  0 atau (2 A11  6 A13b 2 )  (4 A21  12 A23b 2 ) x  (6 A31  18 A33b 2 ) x 2  0

Pengurangan pers (1) dan (2): 4 A12 b  8 A22 bx  12 A32 bx 2  0

Dari pejumlahan dan pengurangan di atas haruslah: 2

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

2 A11  6 A13b2  0 . . . (3) 4 A21  12 A23b2  0 . . . (4) 6 A31  18 A33b2  0 . . . (5) A12  0 A22  0 A32  0 Dengan demikian telah diketahui tiga koefisien fungsi tegangan Airy untuk kondisi batas ini yaitu A12 , A22 , dan A32 .

♠ Kondisi Batas II Komponen tegangan  yy pada bidang sisi atas sama dengan beban merata q dan mengalami tekan, sedangkan komponen tegangan ini pada bidang sisi bawah balok adalah nol. Dengan kata lain:  yy ( x, b)   q dan  yy ( x, b)  0

Dengan demikian fungsi komponen tegangan  yy ( x, y ) menjadi: 2 A20  2 A21b  2 A22b 2  2 A23b3  6 A30 x  6 A31 xb  6 A32 xb 2  6 A33 xb3   q . . . (6) 2 A20  2 A21b  2 A22 b 2  2 A23b3  6 A30 x  6 A31 xb  6 A32 xb2  6 A33 xb3  0

. . . (7)

Penjumlahan pers. (6) dan (7): (4 A20  4 A21b 2 )  (12 A30  12 A32 b 2 ) x   q

Pengurangan pers. (6) dan (7): (4 A21b  4 A23b3 )  (12 A31b  12 A33b3 ) x   q

Sehingga haruslah:

4 A20  4 A22 b2  q 2

12 A30  12 A32 b  0

. . . (8) . . . (9)

4 A21b  4 A23b3   q . . . (10) 12 A31b  12 A33b3  0 . . . (11) Dengan mensubstitusikan nilai

A22  0, A32  0, 4 A21  12 A23b 2 , yang diperoleh dari

kondisi batas I, masing-masing ke pers. (8), (9), dan (10) sehingga menghasilkan: 3

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

4 A20  4(0)b 2   q A20 

q 2

12 A30  12(0)b 2  0 A30  0 (12 A23b2 )b  4 A23b3   q 12 A23b3  4 A23b3   q 8 A23b3   q A23 

q 8b3

4 A21  12 A23b 2  q   12  3  b 2  8b  3q A21  8b

Mensubstitusikan pers. (5) ke pers. (11) menghasilkan:

6 A31  18 A33b2  0 6 A31  18 A33b2 2(18 A33b2 )b  12 A33b3  0 36 A33b3  12 A33b3  0 A33  0 6 A31  18 A33b2 6 A31  18(0)b2 A31  0 Berdasarkan pers. (3) diperoleh hubungan:

2 A11  6 A13b 2  0 6 A13b2  2 A11 A13 

2 A11  A11  6b2 3b 2

4

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

Berdasarkan nilai-nilai koefisien fungsi tegangan Airy yang telah diketahui, komponenkomponen tegangan diringkas menjadi:  xx ( x, y )  2 A02  6 A03 y 

2 A11 3q xy  3 x 2 y 2 b 4b

q 3q q  y  3 y3 2 4b 4b A 2 3q 3q  xy ( x, y )  A11  11 y  x  3 xy 2 2 4b b 4b

 yy ( x, y ) 

Peninjauan kondisi batas I dan kondisi batas II menyisakan tiga koefisien fungsi Airy yang belum diketahui yakni A02 , A03 , dan A11. Diperlukan kondisi batas lain untuk menghitung koefisien-koefisien ini.

♠ Kondisi Batas III Pada tumpuan atau perletakn rol pada struktur balok , tidak terjadi momen lentur serta terjadi keseimbangan gaya pada arah horisontal. Dengan demikian haruslah:

 xx ( L, y)  0 Berdasarkan syarat tersebut, fungsi tegangan  xx ( x, y ) berubah menjadi:

2 A02  6 A03 y 

2 A11 3q Ly  3 L2 y  0 2 b 4b

atau 2 A02  (6 A03 

2 A11 3q L  3 L2 ) y  0 2 b 4b

sehingga haruslah: A02  0 2 A11 L 3qL2 6 A03  2   0 . . . (12) b 4b3 Hingga peninjauan kondisi batas ini, terdapat dua koefisien lagi yang belum diketahui yaitu A03 dan A11.

♠ Kondisi Batas IV Hubungan nilai momen lentur pada tumpuan jepit Mi terhadap parameter L dan q ditentukan menggunakan metode slope-deflection. 5

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Gambar 2

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

Penentuan momen di perletakan jepit dengan metode slope-deflection

Jika Mi dan θi masing-masing adalah momen lentur dan rotasi di join i dan Mj dan θj masingmasing adalah momen lentur dan rotasi di join j maka menurut metode slope-deflection, berlaku: (E = modulus elastisitas bahan dan I = momen inersia penampang) 2 EI (2i   j )  FEM ij L 2 EI Mj  (2 j  i )  FEM ji L Mi 

Karena perletakan struktur balok pada join i adalah perletakan jepit maka, Mi ≠ 0 dan θi = 0 sedangkan perletakan struktur balok pada join j adalah perletakan rol maka, Mj = 0 dan θj ≠ 0 Nilai FEM (fixed-end moment) untuk beban merata q adalah:

FEM ij  

qL2 qL2 dan FEM ji   12 12

Berikut adalah penentuan Mi dalam parameter q dan L:

2 EI (2i   j )  FEM ij L  qL2  2 EI  (2(0)   j )    L  12 

Mi 

2 EI qL2  j  L 12

6

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

2 EI (2 j L 2 EI 0 (2 j L 4 EI 0 j  L 4 EI qL2 j   L 12 qL3 j   48 EI Mj 

 i )  FEM ji  0) 

qL2 12

qL2 12

substitusikan  j ke pers. M i : Mi 

2 EI L

 qL3  qL2    48EI  12

 qL3 qL2  24 L 12 qL2 Mi    arah momen M i berlawanan arah putaran jarum jam 8 

Karena terjadi kesetimbangan momen di join i, maka momen lentur yang diakibatkan tegangan  xx di join i harus sama dengan Mi tetapi berlawanan arah. Dengan demikian haruslah: b



 xx (0, y ) ydy  

b

qL2 8

Sehingga akan diperoleh: b

2 A11 3q 2  qL2   6 A03 y  b2 xy  4b3 x y  ydy  8 b  b



6 A03 y 2 dy 

b

qL2 8

qL2 2 A03 y  b 8 qL2 2 A03b3  (2 A03b3 )  8 qL2 A03  32b3 3b





7

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

Substitusikan nilai A03 ke pers. (12) akan diperoleh: 6 A03 

2 A11 L 3qL2  0 b2 4b3

 qL2  2 A11 L 3qL2 6  2  0 3  3 32 b b 4 b   3qL2 3qL2 2 A11 L   16b3 4b3 b2 2 2 A11 L  3 12  qL   16 16  3  b2   b 15qL  2 A11 16b 15qL A11  32b Semua koefisien fungsi tegangan Airy telah berhasil ditentukan. Jadi fungsi komponen tegangan untuk struktur balok adalah:

2 A11 3q xy  3 x 2 y 2 b 4b  15qL  2  2  qL   32b  xy  3q x 2 y  6 y  3  b2 4b3  32b 

 xx ( x, y )  6 A03 y 

3qL2 15qL 3q yxy + 3 x 2 y 3 3 16b 16b 4b 2 3qL   xx (0, b)  16b 2 3qL2   xx (0, b)   16b2

σ xx (x, y) =

-q 3q q y + 3 y3 2 4b 4b   yy ( x, b)   q

σ yy (x, y) =

  yy ( x, b)  0

8

Lie, Hendri Hariwijaya 25013020

Tugas Mekanika Bahan Lanjut

A11 2 3q 3q 2 y  x  xy 4b b2 4b3  15qL    3q  15qL   32b  2 3q   y  x  3 xy 2  2 4b b 4b  32b  15qL 15qL 2 3q 3q   y  x  3 xy 2 3 32b 32b 4b 4b -15qL 15qL 2 3q 3q σ xy (x, y) = + y + x - 3 xy 2 3 32b 4b 32b 4b 15qL   xy (0, 0)  32b 9qL   xy ( L, 0)  32b

 xy ( x, y )  A11 

Gambar 3

Tegangan-tegangan yang terjadi pada struktur balok Soal 9.5

9