PENDULE COUPLES (Ecoles) [PDF]

Zitiervorschau

Ecole Superieure En Sciences Appliquées De Tlemcen

« Travaux pratiques-3- » «Département d’électrotechnique»  TP N°03 :

« Montages fondamentaux utilisant l’amplificateur μ A741 »  Présenté par :

 Mehadji Nesrine  Taouli Souad

A.N  : 2020/2021

Pendules Couplés (Couplage par inertie)

1-Introduction : Un pendule couplé est un système qui permet d’étudier le coefficient de couplage (la variation du couplage notée K), et le phénomène de Battement entre les deux pendules.

2-Objectif de l’expérience :  Etude de la variation de couplage K (coefficient de couplage).  Déterminer et ajuster la fréquence caractéristique du pendule non couplé.  Déterminer les facteurs de couplage pour différentes longeurs de couplage en utilisant : a. les constantes de l’appareil. b. les pulsations de vibration en phase et en oppositions de phase. c. les pulsations en mode de battement .  Vérifier la relations linéaire entre le carré des longueurs de couplage et : a. les pulsations particulières du mode de batemment b. le carré de la fréquence de vibration  Déterminer la pulsation caractéristique du pendule a partir des modes de vibrations aves couplage et a comparer cela aves la pulsation caractéristique du pendule non couplé

3. Matériels utilisés :

Le système mécanique est composé de :            

2 pendules avec connexion pour enregistreur. Ressort hélicoidal Tige a crochet porte poids pour poids a fente 2 Condensateur électrique Corba3 unité de base ,USB Alimentations 12 V/2A Logiciel cobra3 enregistreur universel 2 Pince de table PASS 2 Tige carrée PASS 2 noix double PASS Décamètre 4 Fil de connexion, fiche 4mm ,32 A ,rouge ,l=100cm

4. Travail théorique :

Considérons deux pendules ( une tige de longueur réglable a laquelle est attachée une masse m=1kg ) de meme pulsation propre ω 0❑

sont couplés a travers un ressort . a l’équilibre les tiges des ressort sont dans la position verticale. différentielle de mouvement des masses (pour de faible oscillations ) : 1.

La démonstration de système d ’ équilibre

Ec=1/2 mv2

; v2=r 2 θ˙2

Ec=1/2mr2θ˙2 =1/2 Iθ˙2 Ec=1/2 Iθ˙21+1/2Iθ˙22

Epm =-mgL(1-cosθ 1 )-mgL(1-cosθ 2 )=-mgL(θ 12/2 +θ 22/2) Eph=1/2 k(L sin θ 1 –L sin θ 2)2 =1/2 k (L

θ 1 –L θ 2)2

d δα δα ¿( =0 dt δ θ˙1 δθ 1

Iθ¨ 1+mgLθ 1-KL2 ¿ 2-θ 1)=0

d δα δα ¿( =0 dt δ θ˙2 δθ 2

Iθ¨ 2+mgLθ 2-KL2 ¿ 1-θ 2)=0

2. La solution : Ona : Iθ¨ 1+mgLθ 1-KL2 ¿ 2-θ 1)=0

*(1/I)

Iθ¨ 2+mgLθ 2-KL2 ¿ 1-θ 2)=0

*(1/I)

θ¨ 1+ω 02θ 1-Ω 2 ¿ 2-θ 1)=0

θ¨ 1+ω 02θ 1=Ω 2 ¿ 2-θ 1)

θ¨ 2+ω02θ 2-Ω 2 ¿ 1-θ 2)=0

θ¨ 2+ω02θ 2=Ω 2 ¿ 1-θ 2)

3.Les solutions générales sont : Iθ¨ 1=-mgLθ 1-KL2 ¿ 1-θ 2) …..(1) I θ¨ 2=-mgLθ 2+KL2 ¿ 1-θ 2)

…..(2)

(1)+(2) I (θ¨ 1+ θ¨ 2)=-mgL¿ 1+θ 2) (1)-(2) I (θ¨ 1−θ¨ 2)=-2KL2¿ 1-θ 2) -mgL¿ 1-θ 2)  On pose A=θ 1+θ 2 et B=θ 1-θ 2 A’’ =θ¨ 1+ θ¨ 2 et B”=θ¨ 1−θ¨ 2 I A”=-mgLA I A”+mgLA=0 I B”=-(mgL+2KL2)B I B”+(mgL+2KL2)B =0 A”+mgL /I A=0 B”+(mgL+2KL2)/I B =0  Les solutions pour les deux équations différentielles sont :

√

mgL I

√

2 kL+ mg L2 I

A(t)=a1 cos (ω1t+φ 1)

avec ω1=

B(t)= a2 cos (ω2t+φ 2)

avec ω2=

θ 1(t)+θ 2(t)=

a1 cos (ω0t+φ 1)

θ 1(t) -θ 2(t)=

a2 cos (ω2t+φ 2)

=ω0

θ 1(t)

=a1 /2 cos (ω0t+φ 1) + a2 /2 cos (ω2t+φ 2)

θ 2(t)

=a2 /2 cos (ω0t+φ 1) - a2 /2 cos (ω2t+φ 2)

θ 1(t)

=a11 cos (ω0t+φ 1) + a12 cos (ω2t+φ 2

θ 2(t)

=a11 cos (ω0t+φ 1) - a12 cos (ω2t+φ 2)

3.Selon les conditions initiales suivant mq : a\ en cas d’oscillations en phase θ 1 =

θ 2= θ A

on a θ 1(0)=

=a11 cos (φ 1) + a12 cos (φ 2)= θ A

θ 2(0)

=a11 cos (φ 1) - a12 cos (φ 2) =θ A

θ 1(0) +θ 2(0)=

2a11 cos (φ 1) =2θ A

θ 1(0) -θ 2(0)=2

a12 cos (φ 2) =0

(1) (2)

Et on a : θ 1’(0)=-a11ω 1 sin (φ 1)

- a12ω2 sin (φ 2)=0

θ 2’(0)=-a11ω1 sin (φ 1)

+ a12ω2 sin (φ 2)=0

θ 1’(0)+θ 2’(0)=-2

a11ω1 sin (φ 1) =0

sin (φ 1) =0 φ1

(1)Deviant :2 a11 cos (0)= 2θ A θ 1(t)

=0

a11 = θ A ; a12=0

= θ 2(t) =θ Acos¿gt ) = θ Acos¿0t )

b.en cas d’oscillations en oppositions de phase θ 1 = θ 1(0)= θ 2(0)

=a11 cos (φ 1) + a12 cos (φ 2)= θ A

=a11 cos (φ 1) - a12 cos (φ 2) =−θ A

θ 1(0) +θ 2(0)=

2a11 cos (φ 2) =0

θ 1(0) -θ 2(0)=2

a12 cos (φ 2) =2

θA

θ 1’(0)

-a11ω1 sin (φ 1) - a12ω2 sin (φ 2)=0

θ 2’(0)

-a11ω1 sin (φ 2) + a12ω2 sin (φ 2)=0

θ 1’(0)−θ 2’(0)=2

a12ω2 sin (φ 2) =0

φ 2=0

θ 1’(0)+θ 2’(0)=-2

a11ω1 sin (φ 1) =0

φ 1=0

θ 2= θ A

On remplace dans (1): a12=θ A ; a11=0

θ 1(t)=θ A cos (ω2t) θ 2(t)=−θ A cos (ωct)

Avec : 2 ω2= mgL + 2 h L I I

√

=ωc

ωc=√ ω+2 Ω

c.En cas d’oscillations en mode de battement : θ 1 = θ A ;θ 2=0 ;θ 1 - θ 2= θ A θ 1(0)= θ 2(0)

=a11 cos (φ 1) + a12 cos (φ 2)= θ A

=a11 cos (φ 1) - a12 cos (φ 2) =0

θ 1(0) +θ 2(0)=

2a11 cos (φ 1) =

θA

θ 1(0) -θ 2(0)=2

a12 cos (φ 2) = θ A

θ 1’(0)

=-a11ω1 sin (φ 1) - a12ω2 sin (φ 2)=0

θ 2’(0)

=-a11ω1 sin (φ 2) + a12ω2 sin (φ 2)=0

θ 1’(0)−θ 2’(0)=-2

a12ω2 sin (φ 2) =0

θ 1’(0)+θ 2’(0)=-2

a11ω1 sin (φ 1) =0

θ 1(t)=

θA ω 2 {cos ( 1t)+

cos (ω2t)}

θ 2(t)=

θA ω 2 {cos ( 1t)-

cos (ω2t)}

On a :

φ 2=φ 1=0

Cos (ω A +ω B)=cos(ω A)cos(ω B)-sin (ω A)sin(ω b) Cos (ω A −ω B)=cos(ω A)cos(ω B)+sin (ω A)sin(ω b) On a : ω A+ω B¿ ω

1

ω

A

=

ω 1+ω 2 2

ω A−ω B¿ ω

2

ω

B

=

ω 1−ω 2 2

Avec: ω

ω

=

A

=

B

mgL 2kL+ mg L2 + I I 2

ω 0+ √ ω 0 2+2 Ω2 = 2

mgL 2 kL+mg L2 − I I 2

−ω 0+ √ ω 0 2+ 2 Ω2 = 2

√ √

√ √

donc: θ 1(t)=θ A

cos (ω1t) cos (ω2t)

θ 2(t)=−θ A

cos (ω1t) cos (ω2t)

ω0 : pulsation propre des pendules envisagés indépendamment ( sans couplage). K : coefficient de couplage. [K ≤ 1] θ1et θ2

angles des pendules en

mouvement avec la verticale.

Les résolutions du système ci-dessus fait apparaitre que pendules peuvent osciller : Soit en phase ou en opposition de phases correspondant à 2 modes propres de pulsation : 2 1

2

ω =ω0 ( 1−K )

2

T0 2 T0 2 K=( ) −1=1−( ) T2 T1

2

ou ω 2 =ω0 ( 1+ K )

Soit avec un phénomène de battement de pulsation : Ω=

ω 2−ω 1 2

;

ω=2

π T

5. Travail expérimental : 1°/ Le couplage étant enlevé : On mesure les périodes T01 et T02 pour les 2 pendules : On prend (n = 20)  Le temps t1 de 20 oscillations correspondant au 1 er pendule est : t1 = 33.17 s

 Le temps t2 de 20 oscillations correspondant au 2éme pendule est: t2 = 33.28 s

Application numérique :  T1 = t1/n = 33.17/20 = 1.66 s  T2 = t2 /n = 33.28/20 = 1.66 s

Donc : T0 = T01 = T02 = 1.66 s

2°/ Les extrémités du fil portant la petite masse étant remonté aux crochets forme le couplage : Pour chaque réglage de D ou de L on obtient un couplage différent.

Détermination expérimentale de T1  T1

est la période du mode d’oscillation lorsque les pendules oscillent en phase avec la même amplitude. On écarte simultanément, d’un petit angle, les pendules du même côté de la verticale et on les lâche au même instant. On mesure le temps t1 de n = 20 oscillations.

T1 = t1/n

On a :

D (cm)

30

60

L (cm)

30

40

50

60

30

40

50

60

t1

31.40

32.20

32.28

32.62

32.26

32.46

32.65

32.76

N

T1

20

1.57

1.61

1.614 1.631 1.613 1.623 1.632 1.638

Détermination expérimentale de T2  T2 est la période du mode  d’oscillation lorsque les pendules oscillent en opposition de phase avec la même amplitude. On écarte simultanément, d’un petit angle, les pendules de part et d’autre de la verticale et on les lâche au même instant. On mesure le temps t2 de n = 20 oscillations.

T2 = t2/n

On a :

D (cm)

30

60

L (cm)

30

40

50

60

t2

31.92

31.24

30.74

30.32

30

40

30.22 30 .02

50

60

29.78

29.56

N

20

T2

1.596 1.562 1.537 1.516 1.511 1.501 1.489 1.478

Détermination expérimentale de T On écarte l’un des pendules de sa position d’équilibre tandis que l’autre, on le laisse vertical et on lâche. Le système oscille en battement. On mesure le temps T, période de battement, séparant 2 arrêts consécutifs d’un même pendule choisit.

T = t/n

On a :

D (cm)

30

60

L (cm)

30

40

50

60

30

40

50

60

T

34.06

32.16

32.27

30.24

33.33

31.80

30.9

30.20

N

20

T

1.703 1.608 1.613 1.512 1.650 1.590 1.545 1.510

50

 On regroupe les mesures obtenues dans le tableau suivant : D (cm) L (cm)

ω 1=2 π /T 1 ω 2=2 π /T 2 Ω=2 π / T

K= ( T 0 /T 2 )2−1

30 30

40

4.002 3.90 2 3.936 4.02 2 3.689 3.90 7 0.081 0.12 9

60 50

60

3.892 3.85 2 4.087 4.14 4 3.895 4.15 5 0.166 0.19

30

40

50

3.895 3.871 3.849

60

3.83

4.158 4.186 4.220 4.251 3.807 3.951 4.066 4.161 0.207 0.223 0.243 0.261

le tableau obtenu nous donne les correspondances entre les L, les K, Les ω 1 , les ω 2et lesΩ.

- On trace la courbe K=f(L) : Quand on a D=30 cm

K=f(L) K (coefficient de couplage)

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 30

40

50

60

Quand on a D=60 cm

K=f(L) 0.3

0.25

0.2

a).

0.15

0.1

0.05

0 30

40

50

60

Analyse des graphes K=ƒ(L) :

Remarque : D’après les deux graphes on remarque que Chaque courbe est une droite qui ne passe pas par l’origine, mathématiquement elle est sous la forme :

Y = ax + b

- On déduit graphiquement la variation de couplage K avec L : D’après le graphe, la courbe K=f(L) quand D=30cm c’est une droite qui ne passe pas par l’origine. On a :

Mathématiquement :

Y=a*X+b K=a*L+K0

Graphiquement :

a = tg(α) = (K3-K2)/(L3-L2) = (0.166—0.129)/(50-40)10-2 = 0.37 K0 = K-a*L=0.166-0.37*50*10-2= -0.019

Ainsi,

K=0.37L-0.019

D’après le graphe, la courbe K=f(L) quand D=60cm c’est une droite qui ne passe pas par l’origine. On a :

Mathématiquement :

Y=a*X+b K=a*L+K0

Graphiquement :

a = tg(α) = (K2-K1)/(L2-L1) = (0.223—0.207)/(40-30)10-2 = 0.16 K0 = K-a*L=0.207-0.16*30*10-2= 0.159

Ainsi,

K=0.16L+0.159 On remarque que K varie proportionnellement à L.

- On trace les courbes :  

w1=ƒ1(K) w2=ƒ2(K)

(voir figure si dessous série 1) . (voir figure si dessous série 2) .

Quand on a D=30 cm : 4.02 4 3.98 3.96 3.94 Série 1 Série 2

3.92 3.9 3.88 3.86 3.84 0.08

0.13

0.17

0.19

Quand on a D=60 cm : 4.3 4.2 4.1 4 Série 1 Série 2

3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 0.21

0.22

0.24

0.26

b). Analyse des graphes ш1=ƒ1(K) et ш2=ƒ2(K) : Les graphes obtenus sont des droites parallèles aux axes des K , leur équation est de la forme :

- théoriquement :

y=b

- graphiquement : ш1 = b1 , ш2 = b2

Observation : ω 1 ≈ 3.9

# D=30cm ω2≈ 4

ω 1 ≈ 3.8

# D=60cm ω 2 ≈ 4.2

Remarque :

ω2

et

ω1

sont des constantes.

- On trace la courbe : Ω=ƒ3(K) Quand on a D=30 cm

Série 1 4.5 4 3.5 3 Série 1

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.08

Quand on a

0.13

0.17

0.19

D=60cm

4.2

Série 1

4.1 4 3.9 3.8

Série 1

3.7 3.6 0.21

0.22

0.24

0.26

c). Analyse des graphes Ω=ƒ3(K) : # D=30cm Le graphe obtenu est une droite parallèles au axe des Ω , son équation est de la forme :

- théoriquement :

y=b

- graphiquement :

Ω= K

# D=60cm

On obtient une droite croissante son équation est de la forme : - théoriquement : - graphiquement :

y = a x + y0 Ω = a K + Ω0

 a = tg(α)  Ω0 est l’intersection de la droite obtenue avec l’axe des Ω a = tg(α) = (Ω4-Ω3)/(K4-K3) = (4.161-4.066)/(0.261-0.243) = 5.28 Ω0 = 2.78

Donc,

Ω = 5.28K+2.78

Remarque On constate que Ω augmente proportionnellement aux valeurs de K

Conclusion : Dans la 1ére manipulation, on trouve que les valeurs de K sont presque nulles (K ≈ 0), donc on a un couplage lâché. Quand L augmente , en maintenant D constante , K augmente aussi pour atteindre la valeur ( K ≈ 1 ) , donc le couplage devient petit à petit serré . La pulsation du phénomène de battement augmente quand le couplage devient plus serré, et la valeur de sa période T diminue.

Merci pour votre aimable attention