PdM5 SN Guide Corrige Vrac [PDF]
CORRIGÉ du cahier TEST DIAGNOSTIQUE Page 1 1. b) 2. c) 3. d) 4. d) 5. d) 6. b) 7. b) Page 2 8. c) 9. d) 10. a
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CORRIGÉ
du cahier
TEST DIAGNOSTIQUE Page 1 1. b)
2. c)
3. d)
4. d)
5. d)
6. b)
7. b)
Page 2 8. c)
9. d)
10. a)
11. d)
12. b)
13. a)
14. a)
Page 3 15. a)
16. d)
17. c)
18. c)
19. a)
20. d)
21. b)
22. d)
Page 4 24. a) 29. d)
25. d) 30. c)
26. d)
27. a) 3)
b) 3)
c) 3)
28. a) 3)
b) 1)
Page 5 31. a) 23x 5(3x 7) 1 12x 35 1 12x 36 x3 y337 2 (3, 2)
b)
23. b) c) 2)
c) 3x2 5x 7 2x 1 2 3x 3x 6 0 32 4 x 3
4x 6y 8 (4x y 26) 7y 14 y2 2x 3 2 4 x 21 (21, 2)
2
3
6
3
81 x1 3 6 1 y1 2 1 1 1
81 x2 3 6 22 y2 2 22 1 25 (1, 1) et (22, 25).
32. a)
b)
y
4
y
4
4
2
2
0
2
4
x
4
0
2
2
4
2
2
4
b) Pente : 20,25 Ordonnée à l’origine : 5 20,25 4 b b6 Équation : y 20,25x 6
Page 6 34. a)
b)
72 52 62 2 5 6 cos z 25 60
cos
1
36
cos z
0,2 z z 78,46°
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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50 sin 75°
x
2
33. a) Pente : 4 Ordonnée à l’origine : 544b b 211 Équation : y 4x 11
49
4
30 sin z
0,58 sin z z 35,42°
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TEST DIAGNOSTIQUE
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c)
d) z2 82 112 2 8 11 cos 44° z 185 176 cos 44° 7,64 cm
z sin 40°
9 sin 30°
z 11,57 dm
35. a) Pente : a 2 0
1 2
b) Plusieurs réponses possibles pour les paramètres h et k. Exemple : Coordonnées d’un point plein : (0, 22), donc h 0 et k 22. Distance verticale entre deux segments consécutifs : 1, donc |a| 1. 1 Longueur d’un segment : 2, donc : 2 b
1,5 Ordonnée à l’origine : 22 Règle : f (x) 1,5x 2
|b| 0,5 Le graphique est décroissant et les points pleins sont à gauche des segments, donc a 21 et b 0,5. Règle : g (x) 2[0,5x] 2 Page 7 36. a) ( 2x
3y )( 2x 3y ) ( 2x 3y ) 2 2x 3y 2x 3y
b)
37. f (x) a(x 2,5)2 2,25 La courbe passe par le point A de coordonnées (3, 22) : 22 a(3 2,5)2 2,25 22 a 0,25 2,25 1 a f (x) (x 2,5)2 2,25 0 (x 2,5)2 2,25 2,25 (x 2,5)2 1,5 x 2,5 x1 1, x2 4
9x 2 16 x 12x 36
x2 9x 2
2
( 3x (x
4 )( 3x 6 )2
( 3x 4 )( x ( x 6 )( 3x
4)
(x
36 24x 16
6 )( x 6 ) ( 3x 4 ) 2
6) 4)
Les zéros sont 1 et 4. –7 38. a) x 4
x x –5 1 x
6 b) x–4
2
x3 x –12
x
3
c) x 4 x6 x4 6 3 x13
x10x15 x10 15 x25
x5 1
x –3
x6 Page 8 39. a) d (A, B) ( 3 26 5,1 u
2)2
(4
5)2
40. a) 1) Temps (en jours). 2) Température (en °C).
b) d 1 )2 (C, D) ( 4 125 11,18 u b) 1) [0, 10] jours
(7
3 )2
c) d (E, F ) ( 8 0 )2 73 8,54 u
(3
6 )2
2) [28, 8] °C 3) Croissante sur [0, 3] [6, 8] [9, 10] ; décroissante sur [0, 1] [3, 6] [8, 9]. 4) Positif sur [2, 5] [7, 8,5] ; négatif sur [0, 2] [5, 7] [8,5, 10].
41. a) cos 65° 7 x
x
7 cos 65°
16,56 cm
b) tan x 11 12
c) tan A 15
( 12 )
x tan1 11
42,51°
22
34,29°
sin 34,29°
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TEST DIAGNOSTIQUE
( 22 )
A tan1 15 x 22
x 22 sin 34,29° 12,39 cm
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CHAPITRE 1 Optimisation Inéquation et système d’équations
RAPPEL Page 9 1. a)
2
1
0
1
2
3
4
5
2
1
0
1
2
3
4
5
4
3
1
0
1
2
3
c) e)
2
b) 2
2
d)
f )
2. a) x 32, où x représente l’âge de Loïc. c) x 87, où x représente la moyenne de Léa (en %). Page 11 3. a) 1) x : quantité d’eau (en ml ) y : quantité d’hydroxyde de sodium (en ml )
2
1
0
1
2
3
4
5
1
0
1
2
3
4
5
1
0
1
3
4
5
b) x 7, où x représente le pH de l’eau de la rivière. d) x 800, où x représente la hauteur de la tour (en m).
b) 1) x : nombre de tables à 8 personnes y : nombre de tables à 12 personnes
2) x y 250
2
c) 1) x : quantité de charbon (en kg) y : quantité de pétrole (en L ) 2) 30x 45y 500
2) 8x 12y 800 4. a) y 2x 2 6
b)
d) 0,5y 20,25x 1 9 y 20,5x 1 18 2 g) 0,4x 1,8 y y 20,4x 1,8 Page 12 5. a)
e) 3x 2 9 . 2y y . 23x 1 9 h) y 5x 8 3
y 15x 24 b)
y
4
4
2
2
2
4
x
0
2
2
4
4
d)
4
2
2
2
4
x
4
0
2
2
2
4
4
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4
x
2
4
x
y
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2
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4
2
y
4
c)
y
4
0
2
c) 2y 0,5x 1 8 y . 0,25x 1 4 f ) 210y 28x 1 40 y 0,8x 2 4 2 i ) 4y 23x 9 y 0,75x 2,25
6y 23x 1 12 y 0,5x 2 2
2
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CHAPITRE 1
611
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6.
15x 2 3y 1 9 0 23y 215x 2 9 y 5x 1 3
Secteur touché par un feu de forêt y
Réponse : Les maisons M3 et M4 sont situées dans le secteur touché.
M4
4 M1
M2 2
4
0
2
2
4
x
2 M3
4
Page 13 7. a) a 2 2 24
b) a 2 2 1,2
12 3
3,9 2 1,5
2 4
0,8 2,4
20,5
1
2
2 c) a 5 2 1
129 26 8 2
0,75
3
2 d) a 1 2214
e) a 20 2 5
9 2 21 2 15 30
10 2 6 15 4
2 f ) a 8 22 4
0 2 0,5 12 0,5
3,75
20,5 2 213,3 g) a 15,2 21,9 2 23,8 2 1,9 1,9 2
h)
3
24
4 5 2 5 2 5 7
a 10
2
i )
11
21
10
11 35
4
2 9 1 2 2 3 3 2 9 1
a 9
2
22 9
23,5 Page 14 8. a) y 22x 6 y 20,5x 5
b) y 20,4x 3 y 20,5x 3,5
c) y 0,75x 2 y 22x 10
Page 15 9. a) 23x 10 4x 4 27x 14 x 22
b) x 5 22x 8 3x 3 x 1
c) x 2(x 4) 2 3x 26 x 22
y 1 5 6 (1, 6)
y 23 22 10 24 (22, 24) d) 3x 2(4x 3) 5 25x 11 x 22,2 y 4 22,2 3 25,8 (22,2, 25,8) g) 22x 5 4x 9 26x 214 x 7 3
y 22 7 5 1 3
3
( ) 7 1 , 3 3
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e)
x 2y 3 (x y 4) y 21 x 21 4 x 5 (5, 21)
h) 2x 3(4x 2,5) 15 11x 7,5 15 11x 7,5 x 15 22 15 y 4 2,5 22
115
(
22
15 115 , 22 22
CHAPITRE 1
)
y 22 4 2 (22, 2) f ) 2x 2y 6 (2x 3y 35) 25y 229 y 5,8 x 5,8 3 x 8,8 (8,8, 5,8) i )
2x 6y 7 0 (2x 12y 20 0) 218y 27 0 218y 227 y 1,5 2x 6 1,5 7 0 2x 2 0 x1 (1, 1,5)
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10. a) 1) x : premier nombre y : deuxième nombre
2) x 5 2y 1 8 x 5 4y 2 12
3) 2y 1 8 5 4y 2 12 x 5 2 3 10 1 8 20 5 2y 5 28 y 5 10 Le premier nombre est 28 et le second est 10. Page 16 b) 1) x : nombre d’abonnements pour enfants vendus y : nombre d’abonnements pour adultes vendus
2) x 1 y 5 350 5x 1 10y 5 2500
3) 5x 1 5y 5 1750 x 1 150 5 350 2 (5x 1 10y 5 2500) x 5 200 abonnements pour enfants 25y 5 2750 y 5 150 abonnements pour adultes Au cours de la dernière année, 200 abonnements pour enfants et 150 abonnements pour adultes ont été vendus. c) 1) x : quantité de chlore (en kg) 2) x y 40 y : quantité d’algicide (en kg) 15x 12y 540 3) 15x 12(40 x) 540 3x 480 540 3x 60 x 20 kg
20 y 40 y 20 kg
Christian devra acheter 20 kg de chlore et 20 kg d’algicide. 11. Équation de la droite qui supporte le segment AB : a 5 9 2 1
1 5 2 4 3 7 1 b
127 5 2 4 3 y 5 2 4 x 1 31 3 3
3
b 5 31 3
Équation de la droite qui supporte le segment CD : a 5 6 2 2
2 5 4 3 1 1 b
821 5 4 7 y 5 4 x 1 10 7 7
7
b 5 10 7
Résolution du système d’équations : 24
3
x 1 31 5 4 x 1 10 3
7
7
x 5 4,675 y 5 2 4 3 4,675 1 31 3
3
5 4,1 Réponse : Les coordonnées du point représentant la pompe sont (4,675, 4,1).
SECTION 1.1
Système d’inéquations
Page 17 1. a) 0 24 0 0 24 est vrai. 0,3 0 0 6 0 6 est faux. Non.
b) 0 22 0 4 0 4 est vrai. 0302 0 2 est vrai. Oui.
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c) 0 2 0 4 0 4 0 est vrai. 0 0 0 0 0 est faux. Non.
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CHAPITRE 1
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Page 18 2. a)
b)
y
4
4
4
2
2
0
2
2
x
4
4
4
d)
4
2
2
0
2
x
4
4
0
2
2
2
4
4
f )
4
2
2
2
x
4
4
x
2
4
x
2
4
x
y
4
0
2
2
y
4
2
0
2
2
y
4
e)
4
2
y
4
c)
y
4
0
2
2
4
2
L’ensemblesolution est vide.
4
Page 19 3. a) Équation des droites frontières
b) Équation des droites frontières
Pente : a 5 2 2 0
Pente : a 5 21 2 0
Pente : a 5 24 2 1
Pente : a 5 20 2 3
5 21 Ordonnée à l’origine : 2
5 0,5 Ordonnée à l’origine :
5 20,75 Ordonnée à l’origine : 1
5 1,5 Ordonnée à l’origine : 3
y 5 2x 1 2
2
y 5 20,75x 1 1
y 5 1,5x 1 3
022
2
121
1 5 0,5 3 21 1 b 1 5 20,5 1 b b 5 20,5
420
220
2
y 5 0,5x 2 0,5 y x12 y 0,5x 2 0,5 2
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CHAPITRE 1
y 20,75x 1 1 y 1,5x 1 3
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d) Équation des droites frontières
c) Équation des droites frontières Pente : a 5 3 2 0 022
Pente : a 5 4 2 0 022
y 5 21,5x 1 3
y 5 2x 2 4
5 21,5 Ordonnée à l’origine : 3
Pente : a 5 25 2 1
2
y 5 20,8x 1 1 y 20,8x 1 1 y.3
y . 21,5x 1 3 y , 2x 2 4 Page 20 ? 4. a) 0 2 0 3 0 23 ? 0 23 0 4 04
y 5 3
520
5 20,8 Ordonnée à l’origine : 1
5 2 Ordonnée à l’origine : 24
? b) 0 0 5 05 ?2 0 204 0 24
y 2x 3 y 23x 4
? c) 0 0 2 0 22 ? 0203 03 ? 04050 50
xy5 y 22x 4
yx2 y 2x 3 x 4y 5 0 5. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : A(2, 23), B(3, 0) et C(4, 21) 6. a) B b) A et C.
b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y 2x 5 et y 2x 2 c) C d) D
7. a)
b)
2
Page 21 8. a) 1) x : quantité de fer (en kg) y : quantité de carbone (en kg) 2) x y 50 x 95y b) 1) x : nombre de panneaux photovoltaïques y : nombre de panneaux thermiques 2) x y 500 x 2y 100 c) 1) x : nombre de conifères y : nombre de feuillus
9. P1 2000t 1 40 000 P2 6000t 1 24 000, où P1 et P2 représentent respectivement les quantités de protéines (en mg) par millilitre de sang dans le premier et le second projet et t, le temps écoulé (en h). Quantité de protéines (mg) 60 000
Quantité de protéines dans le sang Projet 2
48 000
2) x y 4000 x 3y 300 d) 1) x : largeur du complexe (en m) y : profondeur du complexe (en m) 2) 2x 2y 2500 x y x 0,5y
Projet 1
36 000 24 000
e) 1) x : nombre de nuits à l’hôtel y : nombre de nuits en camping 2) x 5 120x 65y 850 y4 Page 22 10. Variables x : nombre de déclarations des sociétés y : nombre de déclarations des particuliers
4
12 000
0
2
4
6
10 Temps écoulé (h)
8
Système d’inéquations x0 y0
Vérification 800 0 800 0
800 . 800 1 800
x 1 y 1250 y. x1y
800 1 800 1250 1600 1250 est vrai.
800 . 2 3 800 2 300
3
x . 2y 2 300
3
800 . 533,3 est vrai. 800 . 1300 est faux.
Réponse : Il est impossible pour la firme de réaliser 800 déclarations de chaque type.
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CHAPITRE 1
615
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11. Variables x : nombre de pièces de 1 $ y : nombre de pièces de 2 $
Production de pièces de monnaie
Nombre de pièces de 2 $
Système d’inéquations x 1 y # 5000 x 1 2y 6500
8000
6400
4800
3200
1600
0
Page 23 12. Les choix pour l’investisseur correspondent à tous les couples de coordonnées entières situées entre les deux droites et sur celles-ci. Les choix sont des solutions des inéquations x 0, y 0, x 1 y 10 et x 1 y 20, où x est le nombre de maisons individuelles et y, le nombre de maisons jumelées. Par exemple, l’investisseur peut construire 12 maisons individuelles et 8 maisons jumelées ou 13 maisons jumelées et 4 maisons individuelles.
1600
Nombre de maisons jumelées 20
3200
4800
6400
Nombre de pièces de 1 $
8000
Possibilités de constructions
16 12 8 4
0
13. Équations des droites formant chaque côté du trapèze
4
y
Droite qui passe par AB :
Droite qui passe par CD :
Pente : a 5 1 22
Pente : a 5 8 20,75
14
Ordonnée à l’origine : 1 22 5 b b 11 Équation : y 22x 11
Ordonnée à l’origine : 8 20,75 9 b b 14,75 Équation : y 20,75x 14,75
12
Droite qui passe par BC :
Droite qui passe par AD :
Pente : a 8 5 0,5
Pente : a 5 1 0,5
6
Ordonnée à l’origine : 5 0,5 3 b b 3,5 Équation : y 0,5x 3,5
Ordonnée à l’origine : 5 0,5 13 b b 21,5 Équation : y 0,5x 1,5
4
35
93
13 9
13 5
8
12
16
20
Nombre de maisons individuelles
Représentation d’un trapèze
10 C(9, 8)
8
B(3, 5)
D(13, 5)
2 0
A(5, 1) 2
4
6
8
10
12
14
x
On déduit les quatre inéquations : y 22x 11, y 0,5x 3,5, y 20,75x 14,75 et y 0,5x 1,5 Réponse : y 22x 11, y 0,5x 3,5, y 20,75x 14,75 et y 0,5x 1,5.
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CHAPITRE 1
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Polygone de contraintes
SECTION 1.2 Page 25 1. a) 1)
b) 1)
y
4
A
4
4
2
2
0
2
2
x
4
4
A
0
2
2
2
4
4
2) Le polygone est non borné.
2
4
x
2) Le polygone est non borné.
3) A( 2, 2) 2
y
3) A(2, 2)
2
c) 1)
d) 1)
y
4
y
B
4 B
2
4
A 0
2
2
C
2
x
4
4
2
0 A
2
2
4
4
2
4
x
C
2) Le polygone est borné.
2) Le polygone est borné.
3) A(0, 0), B(2, 4) et C(4, 2).
3) A(0, 21), B(4, 3) et C(1, 23).
Page 26 2. a) Coordonnées du sommet A : A(0, 0) Coordonnées du sommet B : B(0, 9) Coordonnées du sommet C : 2x 0,5x 9 y 0,5 3,6 2,5x 9 1,8 x 3,6 C(3,6, 1,8)
b) Coordonnées du sommet A : y 20,75 3 10 7,75 A(3, 7,75) Coordonnées du sommet B : 20,75x 10 2x 4 22,75x 214 x 56 11
y 2 56 4 68 11 56 B , 68 11 11
(
11
)
Coordonnées du sommet C : C(3, 2)
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 617
c) Coordonnées du sommet A : A(0, 3) Coordonnées du sommet B : 2x 6 0,4x 3 1,6x 9 x 5,625 y 2 5,625 6 5,25 B(5,625, 5,25) Coordonnées du sommet C : x 2(2x 6) 6 5x 12 6 x 3,6 y 2 3,6 6 1,2 C(3,6, 1,2)
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 1
617
18-06-26 1:48 PM
Page 27 3. a) y # 2x 1 2 y 22x 1 15 y 20,5x 1 5 b) 3,56 # 2 3 2,87 1 2 3,56 # 7,74 est vrai.
y 2x 2 10 B
8
6
3,56 22 3 2,87 1 15 3,56 9,26 est vrai.
A 4
3,56 20,5 3 2,87 1 5 3,56 3,565 est faux. Les coordonnées du point D ne vérifient pas l’inéquation y 20,5x 1 5. Ce point ne fait donc pas partie de la région-solution du système d’inéquations. 4. a) y # 0,8x 1 4,6 y # 20,5x 1 10,5 4x 2 3y # 23 x 2 7y # 29 y . 22x 1 7
D(2,87, 3,56) 2
C
y 0,5x 5
y 2x 15 0
2
4
6
8
x
10
b) Les sommets B, C et D font partie de la régionsolution, car les droites qui les forment sont tracées d’un trait plein. Les sommets A et E ne font pas partie de la région-solution, car une des droites qui les forment est tracée d’un trait pointillé.
Page 28 5. a)
b)
A- 2 , B- 3 , C- 4 , D- 1
A- 3 , B- 1 , C- 4 , D- 2
c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : yx7 xy5
b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y 20,5x 7 xy5 3x 7y 27
6. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : yx7 y 20,5x 7 29x y 39 Page 29 7.
2x 5 21,5x 6
y 2 22 5 7
3,5x 11
9
x 22
1,29
7
7
3,14
Les coordonnées du point qui se trouve le plus près du sommet C et appartenant à la région-solution sont (3, 2). Vérification : 2235 2 21,5 3 6 2 1 est vrai. 2 1,5 est vrai. 8. a) Contraintes x0 y0 yx3 y 2x 2x 2y 45 b) Pour la largeur, déterminer l’ordonnée du sommet B : 2x 2 2x 45 6x 45 x 7,5 hm y 2 7,5 15 hm Pour la longueur, déterminer l’abscisse du sommet C : 2x 2(x 3) 45 4x 6 45 x 9,75 hm Réponse : La longueur maximale possible du terrain est de 9,75 hm et sa largeur maximale, de 15 hm.
618
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 1
2 20,5 3 5 2 3,5 est vrai.
Largeur du terrain (hm) 30
Dimensions possibles d’un terrain rectangulaire
24 18
B C
12 6
0
A
6
12
18
24
30
Longueur du terrain (hm)
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Page 30 9. Variables x : température maximale (en °C) y : température minimale (en °C)
Températures requises pour une culture
Température minimale (°C) 20
Contraintes x0 y0 xy4 x 16 y7
16 B
12
Réponse : Plusieurs réponses possibles. Exemple : Trois combinaisons de températures maximales et minimales possibles pourraient être 14 oC et 8 oC, 14 oC et 9 oC ainsi que 15 oC et 8 oC.
8 A 4
0
10. Variables x : quantité d’acide (en L ) y : quantité d’eau (en L )
C
4
8
12
16
20 Température maximale (°C)
Solution acide
Quantité d’eau (L) 5
Contraintes x0 y0 x 0,5(x y) ⇔ x y x 0,84(x y) ⇔ x 5,25y x y 1,5 xy3
4
3
2
L’ordonnée du sommet C correspond à la quantité maximale d’acide nécessaire à la production. 5,25y y 3 6,25y 3 y 0,48
B 1
A C
x 0,48 3 x 2,52 2,52 L 2520 ml 2520 ml 100 ml/flacon 25,2 flacons, soit 26 flacons.
0
D 1
2
3
4
5 Quantité d’acide (L)
Réponse : Vingt-six flacons d’acide sont nécessaires.
SECTION 1.3 Page 33 1. a)
Couple
Résolution de problèmes
z 3x 2y
b)
Couple
z 5x 3y
(5, 22)
z 3 5 2 22 11
(1, 6)
(22, 3)
z 3 22 2 3 0
(22, 23)
(4, 1)
z3421 14
(1, 1)
z5131 2
(22, 0)
z 3 22 2 0 26
(5, 2)
z5532 19
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z5136 213 z 5 22 3 23 21
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 1
619
18-06-26 1:48 PM
c)
Couple
d)
z 2x y 4
Couple
z 24x 9y 2
z 2 23 0,5 4 21,5
(22, 5)
z 24 22 9 5 2 55
(21, 7)
z 2 21 7 4 9
(4, 3)
z 24 4 9 3 2 13
(5, 0)
z2504 14
(0, 7)
z 24 0 9 7 2 65
(2, 24)
z2244 4
(12, 29)
(23, 0,5)
Page 34 2. a) zA 2 0 3 3 9 zB 2 2 3 8 28 zC 2 7 3 4 26 zD 2 4 3 0 8 1) D(4, 0)
z 24 12 9 29 2 2127
c) zA 2 1 4 9 5 229 zB 2 9 4 6 5 21 zC 2 0 4 0 5 5
b) zA 21 24 4 22 24 zB 21 21 4 3 13 zC 21 4 4 24 220 1) C(4, 24)
1) A(1, 9)
2) B(21, 3)
C(0, 0) 2)
2) B(2, 8) 2) zA 5 4 3 2 1 4 3 5 3. a) 1) zA 5 2 3 2 1 4 3 7 zB 5 2 3 8 1 4 3 4 zB 5 4 3 5 1 4 3 2 5 32 5 32 5 28 5 28 zD 5 2 3 4 1 4 3 6 zF 5 4 3 4 1 4 3 3 zE 5 2 3 6 1 4 3 5 zG 5 4 3 3 1 4 3 4 5 32 5 32 5 28 5 28 b) Lorsque la solution optimale peut être obtenue à l’aide des coordonnées de plusieurs points du polygone de contraintes, ces points forment généralement un côté du polygone. Page 35 4. a) z 150x 190y
b) z 220x 350y 5. a) x : nombre de caisses de 3 m3 par wagon y : nombre de caisses de 5 m3 par wagon Nombre de caisses b) Maximiser le profit P par chargement (en $). de 5 m3 par wagon c) P 15x 20y 50 d) x 0 3x 5y 132 y 0 x 2y e) Coordonnées du sommet A : A(0, 0) Coordonnées du sommet B : 3 2y 5y 132 x 2 12 11y 132 24 y 12 B(24, 12) Coordonnées du sommet C : 3x 5 0 132 3x 132 x 44 C(44, 0) f )
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Volume maximal de chargement
40 30 20 B 10 A 0
Solution optimale Sommet du polygone P 15x 20y de contraintes P 15 0 20 0 A(0, 0) 0 $ P 15 24 20 12 B(24, 12) 600 $ P 15 44 20 0 C(44, 0) 660 $
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
c) z 70x 160y
CHAPITRE 1
C 10
20
30
40
50 Nombre de caisses de 3 m3 par wagon
Réponse : Puisque les coordonnées du point C permettent de maximiser les profits, l’entreprise doit charger 44 caisses de 3 m3 et aucune caisse de 5 m3, ce qui générera un profit maximal de 660 $ par wagon, soit un total de 6600 $ pour les 10 wagons.
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Page 36 6. Variables x : temps pour la conception des plans (en h) y : temps pour la surveillance du chantier (en h)
Temps pour la surveillance du chantier (h) 200
Objectif visé Maximiser le montant M de l’offre de service (en $).
Offre de service d’architecture A
160 D 120
Règle de la fonction à optimiser M 5 55x 1 45y
B
80
Contraintes x0 y0 x 1 y 132 x 1 y # 180 y 2x
C
40 0
40
80
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : Coordonnées du sommet C : 0 1 y 5 180 x 1 2x 5 132 y 5 180 3x 5 132 A(0, 180) x 5 44 Coordonnées du sommet B : x 1 2x 5 180 3x 5 180 x 5 60
120 160 200 Temps pour la conception des plans (h)
44 1 y 5 132 y 5 88 C(44, 88) Coordonnées du sommet D : 0 1 y 5 132 y 5 132 D(0, 132)
60 1 y 5 180 y 5 120 B(60, 120) Solution optimale Sommet du polygone de contraintes
A(0, 180) B(60, 120) C(44, 88) D(0, 132)
M 5 55x 1 45y
Les coordonnées du sommet B permettent de maximiser la fonction à optimiser.
M 5 55 3 0 1 45 3 180 5 8100 $ M 5 55 3 60 1 45 3 120 5 8700 $ M 5 55 3 44 1 45 3 88 5 6380 $ M 5 55 3 0 1 45 3 132 5 5940 $
Réponse : L’architecte doit prévoir 60 h pour la conception des plans et 120 h pour la surveillance du chantier, pour un montant maximal de 8700 $. Page 37 7. Variables x : quantité de solvant A (en ml ) y : quantité de solvant B (en ml ) Contraintes de la situation x 10 x # 20 y8 y # 25 x 1 y 20 x 1 y # 40 Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : A(10, 25)
Conception d’un litre de peinture Quantité de solvant B (ml) 28
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B
24
A
Contraintes de l’ingénieure
C
20 16 12 F
8
D
E
4 0
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Région qui traduit l’ensemble des contraintes
4
8
12
16
20
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
24
28
Quantité de solvant A (ml)
CHAPITRE 1
621
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Coordonnées du sommet B : x 1 25 5 40 x 5 15 B(15, 25)
Coordonnées du sommet E : x 1 8 5 20 x 5 12 E(12, 8)
Coordonnées du sommet C : 20 1 y 5 40 y 5 20 C(20, 20)
Coordonnées du sommet F : 10 1 y 5 20 y 5 10 F(10, 10)
Coordonnées du sommet D : D(20, 8) Contraintes de l’ingénieure 0,04x 1 0,03y 1,2 1,2x 1 1,1y 40
Graphiquement, on constate qu’il existe une région qui traduit l’ensemble des contraintes. Réponse : L’ingénieure a raison, il est possible de créer une peinture dont l’indice de résistance est supérieur à 1,2 et dont le coût du solvant par litre de peinture produite est inférieur à 40 $. Page 38 8. Variables x : superficie ensemencée de maïs (en km2) y : superficie ensemencée de soya (en km2) Objectifs visés Maximiser les revenus R (en k$) Minimiser la quantité Q d’engrais (en kl )
Superficie ensemencée de soya (km2) 20 16 12
Règle des fonctions à optimiser R 5 25x 1 50y Q 5 20x 1 25y Contraintes x 0 y 0 x y
0
Solution optimale relativement aux revenus
B(6, 10) C(7,6, 7,6) D(7, 7)
B D
4
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : 4x 1 8(14 x) 5 104 24x 5 28 x 5 2 y 5 14 2 5 12 A(2, 12) Coordonnées du sommet C : 140x 1 100x 5 1840 x 5 7,6 y 5 7,6 C(7,6, 7,6) Coordonnées du sommet D : D(7, 7)
A(2, 12)
A
8
x 1 y 14 140x 1 100y 1840 4x 1 8y 104
Sommet du polygone de contraintes
Ensemencement de terres
R 5 25x 1 50y R 5 25 3 2 1 50 3 12 5 650 k$ R 5 25 3 6 1 50 3 10 5 650 k$ R 5 25 3 7,6 1 50 3 7,6 5 575 k$ R 5 25 3 7 1 50 3 7 5 525 k$
4
C
8
12
16
20
Superficie ensemencée de maïs (km2)
Coordonnées du sommet B : 140x 1 100y 5 1840 35(4x 1 8y 5 104) ⇔ 140x 1 280y 5 3640 140x 1 100y 5 1840 (140x 1 280y 5 3640) 2180y 5 21800 y 5 10 4x 1 8 3 10 5 104 x 5 6 B(6, 10) Solution optimale relativement à la quantité d’engrais Sommet du polygone de contraintes
A(2, 12) B(6, 10)
Q 5 20x 1 25y Q 5 20 3 2 1 25 3 12 5 340 kl Q 5 20 3 6 1 25 3 10 5 370 kl
Les coordonnées du point A minimisent la quantité d’engrais.
Les coordonnées des points A et B maximisent les revenus. Réponse : L’agriculteur doit ensemencer 2 km2 de maïs et 12 km2 de soya.
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CHAPITRE 1
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MÉLI-MÉLO Page 39 1. b) 2. d)
3. c)
Page 40 8. c) 9. b)
10. c)
Page 41 11.
4. c)
5. d)
Solution optimale
Sommet du polygone de contraintes
z 3x 4y z3145 217 z3549 221 z3844 8 z3241 2
A(1, 5) B(5, 9) C(8, 4) D(2, 1)
12. a) 1) 2x 4(2x 7) 4 26x 28 4 26x 224 x4
6. c)
Le sommet C maximise la fonction à optimiser, mais il ne fait pas partie de l’ensemble-solution. Vérifier les points de coordonnées (7, 4) et (7, 5), qui sont des points de coordonnées entières situés près de ce sommet et qui font partie de la région-solution. Pour (7, 4) : Pour (7, 5) : z 3 7 4 4 z 3 7 4 5 5 1 Les coordonnées du point qui maximisent la fonction z 3x 4y sont (7, 4). b) 1)
y247 1 (4, 1)
b)
y
4
4
2
2
2
4
x
4
0
2
2
2
4
4
4
4
2
2
0
2
2
4
x
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4
0
2
2
2
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2
4
x
Ensemblesolution vide
y
d)
y
4
c)
y
4
0
2
6x 9y 24 (6x 4y 16) 5y 8 y 1,6
2x 3 1,6 8 x 1,6 (1,6, 1,6) 2) Oui.
2) Non. 13. x : nombre d’hélicoptères du modèle affaires y : nombre d’hélicoptères du modèle économique x 0, y 0, x y 12, 4x 7y 63 Page 42 14. a)
7. c)
2
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
4
x
CHAPITRE 1
623
18-06-26 1:48 PM
e)
f )
y
4
4
4
2
2
0
2
y
2
4
2
x
4
4
0
2
2
4
2
4
x
Région-solution Région-solution
Page 43 15. a) 1) Non.
b) 1) Non.
c) 1) Non.
2) Non.
2) Non.
2) Non.
3) Oui. 16. a) zA 2 2 3 8 28 zC 2 9 3 1 21 1) B(8, 6)
3) Non. zB 2 8 3 6 34 zD 2 5 3 3 19
2) D(5, 3) 17. a) x 0 y0 yx11 y 0,5x 2 1 y # 2x 1 4
3) Oui. b)
zA 5 2 1,5 8 22 zC 5 9 1,5 1 43,5 1) C(9, 1) 2) A(2, 8)
b) y x 1 1 x 2 8y 222 4x 1 3y # 52
Page 44 18. x : nombre de places commanditées y : nombre de places régulières x 0, y 0, x 40, x 1 y 150, x 1 y # 250, y # 2x, 85x + 55y 15 050 19. Objectif visé Minimiser le coût C de conception du logiciel (en $).
c) y 0 y # 0,5x 2 1 y 2x 1 4 4x 1 3y # 52
Temps consacré à la conception graphique (h) 10
Conception d’un logiciel
D
8
B(9, 9) E
6
Règle de la fonction à optimiser C 5 25x 1 45y Représenter graphiquement la nouvelle contrainte. Évaluer la fonction à optimiser pour tous les sommets avant et après l’ajout de la nouvelle contrainte.
A
4
C
2
0
4
8
Solution optimale Avant (Le polygone de contraintes est ABC.) Sommet du polygone de contraintes
zB 5 8 1,5 6 31 zD 5 5 1,5 3 20,5
C 5 25x 1 45y
12
16
20
Temps consacré à la programmation (h)
Après (Le polygone de contraintes est ADEC.) Sommet du polygone de contraintes
C 5 25x 1 45y
A(4, 4)
C 5 25 3 4 1 45 3 4 5 280 $
D(8, 8)
C 5 25 3 8 1 45 3 8 5 560 $
B(9, 9)
C 5 25 3 9 1 45 3 9 5 630 $
E(10, 8)
C 5 25 3 10 1 45 3 8 5 610 $
C(14, 4)
C 5 25 3 14 1 45 3 4 5 530 $
Réponse : Puisque le coût minimal de conception du logiciel reste 280 $, l’ajout de la nouvelle contrainte n’a pas d’impact sur celui-ci.
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CHAPITRE 1
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Page 45 20. Variables x : nombre de toiles à l’acrylique y : nombre de toiles à l’huile
Nombre de toiles à l’huile 20
Objectif visé Minimiser les dépenses D (en $).
12
4 0
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : 5(19 2 y) 1 8y 5 140 95 2 5y 1 8y 5 140 3y 5 45 y 5 15 x 1 15 5 19 x 5 4 A(4, 15) Coordonnées du sommet C : 0,2x 1 0,16 3 0 5 4 x 5 20 C(20, 0) Solution optimale
B(12, 10) C(20, 0) D(19, 0)
B
8
Contraintes x0 y0 0,2x 1 0,16y # 4 5x 1 8y # 140 x 1 y 19
A(4, 15)
A
16
Règle de la fonction à optimiser D 5 25x 1 30y
Sommet du polygone de contraintes
Production de toiles
D 5 25x 1 30y D 5 25 3 4 1 30 3 15 5 550 $ D 5 25 3 12 1 30 3 10 5 600 $ D 5 25 3 20 1 30 3 0 5 500 $ D 5 25 3 19 1 30 3 0 5 475 $
4
8
12
D 16
C 20 Nombre de toiles à l’acrylique
Coordonnées du sommet B : 25(0,2x 1 0,16y 5 4) ⇔ 5x 1 4y 5 100 5x 1 4y 5 100 2 (5x 1 8y 5 140) 24y 5 240 y 5 10 5x 1 8 3 10 5 140 5x 5 60 x 5 12 B(12, 10) Coordonnées du sommet D : x 1 0 5 19 x 5 19 D(19, 0) Les coordonnées du sommet D permettent de minimiser la fonction à optimiser.
Réponse : L’artiste doit peindre 19 toiles à l’acrylique et aucune toile à l’huile, ce qui générera une dépense minimale de 475 $. Page 46 21. Variables x : nombre de sacs d’engrais printanier y : nombre de sacs d’engrais estival
Objectif visé Minimiser le coût C de production (en $).
Contraintes x 0 y 0 10x 1 6y # 4650
Règle de la fonction à optimiser C 5 6x 1 5y Coordonnées des sommets du polygone Nombre de sacs de contraintes d’engrais estival Coordonnées du sommet A : 500 4x 1 7(490 2 x) 5 3100 23x 5 2330 400 x 5 110 300 y 5 380 200 A(110, 380)
6x 1 5y # 3000 4x 1 7y # 3100 x 1 y 490
Production d’engrais B
A
C
100 D 0
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100 200 300 400 500 Nombre de sacs d’engrais printanier
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CHAPITRE 1
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Coordonnées du sommet B : 4(6x 1 5y 5 3000) ⇔ 24x 1 20y 5 12 000 6(4x 1 7y 5 3100) ⇔ 24x 1 42y 5 18 600 24x 1 20y 5 12 000 2 (24x 1 42y 5 18 600) 222y 5 26600 y 5 300
Coordonnées du sommet D : 10x 1 6(490 2 x) 5 4650 4x 5 1710 x 5 427,5 y 5 62,5 D(427,5, 62,5) Solution optimale
6x 1 5 3 300 5 3000 x 5 250 B(250, 300)
Sommet du polygone de contraintes
C 5 6 3 110 1 5 3 380 5 2560 $ C 5 6 3 250 1 5 3 300 5 3000 $ C 5 6 3 375 1 5 3 150 5 3000 $ C 5 6 3 427,5 1 5 3 62,5 5 2877,50 $
A(110, 380)
Coordonnées du sommet C : 5(10x 1 6y 5 4650) ⇔ 50x 1 30y 5 23 250 6(6x 1 5y 5 3000) ⇔ 36x 1 30y 5 18 000 50x 1 30y 5 23 250 2 (36x 1 30y 5 18 000) 14x 5 5250 x 5 375
C 5 6x 1 5y
B(250, 300) C(375, 150) D(427,5, 62,5)
Les coordonnées du sommet A permettent de minimiser la fonction à optimiser. 110 1 380 5 490 sacs d’engrais
10 3 375 1 6y 5 4650 y 5 150 C(375, 150)
Réponse : L’entreprise doit produire un nombre maximal de 490 sacs d’engrais. Page 47 22. Variables x : nombre de modèles téléguidés y : nombre de modèles conduits manuellement
Nombre de modèles conduits manuellement 100
Objectif visé Maximiser le profit P (en k$).
Production de sous-marins
80 60
Règle de la fonction à optimiser Profit d’un modèle téléguidé : 320 250 70 k$ Profit d’un modèle conduit manuellement : 525 450 75 k$ P 70x 75y
40
B
C
20 D
A 0
20
40
Contraintes x 25 y 15 x y 75 250x 450y 24 550
Coordonnées du sommet D : y 15
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : A(25, 15)
x 15 75 x 60 D(60, 15)
Coordonnées du sommet B : x 25
(
B 25, 122 3
)
A(25, 15)
3
(
B 25, 122
Coordonnées du sommet C : 250 (75 y) 450y 24 550 18 750 200y 24 550 y 29 x 29 75 x 46 C(46, 29)
80
100 Nombre de modèles téléguidés
Solution optimale Sommet du polygone de contraintes
250 25 450y 24 550 y 122
60
3
)
C(46, 29) D(60, 15)
P 5 70x 1 75y P 70 25 75 15 2875 k$ P 70 25 75 122 3 4800 k$ P 70 46 75 29 5395 k$ P 70 60 75 15 5325 k$
Les coordonnées du sommet C permettent de maximiser la fonction à optimiser.
Réponse : Puisque l’entreprise peut réaliser un profit maximal annuel de 5 395 000 $, ce qui est supérieur à 5 000 000 $, la direction a raison.
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 1
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Page 48 23. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Contraintes Variables x0 x : nombre de pièces A y0 y : nombre de pièces B 12x 1 30y # 1200 Objectif visé 16x 1 20y # 1200 Maximiser le profit P 9x 1 15y # 690 quotidien (en $).
Production quotidienne de pièces d’aluminium
Nombre de pièces B 50
A
40 30
B
20
Règle de la fonction à optimiser P 5 150x 1 250y
10
C
D
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes E 0 20 40 60 80 100 Nombre Coordonnées du sommet A : de pièces A 12x 1 30y 5 1200 Coordonnées du sommet C : 12 3 0 1 30y 5 1200 3(16x 1 20y 5 1200) ⇔ 48x 1 60y 5 3600 y 5 40 4(9x 1 15y 5 690) ⇔ 36x 1 60y 5 2760 A(0, 40) Coordonnées du sommet B : 2(9x 1 15y 5 690) ⇔ 18x 1 30y 5 1380 12x 1 30y 5 1200 2 (18x 1 30y 5 1380) 26x 5 2180 x 5 30 12 3 30 1 30y 5 1200 30y 5 840 y 5 28 B(30, 28) Coordonnées du sommet D : 16x 1 20y 5 1200 16x 1 20 3 0 5 1200 x 5 75 D(75, 0) Coordonnées du sommet E : x 5 0 y50 E(0, 0)
48x 1 60y 5 3600 2 (36x 1 60y 5 2760) 12x 5 840 x 5 70 16 3 70 1 20y 5 1200 y 5 4 C(70, 4) Solution optimale Sommet du polygone de contraintes
P 5 150x 1 250y P 5 150 3 0 1 250 3 40 5 10 000 $ P 5 150 3 30 1 250 3 28 5 11 500 $ P 5 150 3 70 1 250 3 4 5 11 500 $ P 5 150 3 75 1 250 3 0 5 11 250 $ P 5 150 3 0 1 250 3 0 5 0 $
A(0, 40) B(30, 28) C(70, 4) D(75, 0) E(0, 0)
Les coordonnées des sommets B et C permettent de maximiser la fonction à optimiser.
Réponse : L’entreprise devra produire 30 pièces A et 28 pièces B, car pour un profit égal à une production de 70 pièces A et 4 pièces B, la première production nécessite moins d’aluminium. Page 49 24. Profit P Pour une table A : P 5 175 2 (70 3 40 1 35 3 30 1 40 3 20) 4 60 5 97,50 $ Pour une table B : P 5 125 2 (70 3 30 1 35 3 40 1 40 3 10) 4 60 5 60 $ Variables x : nombre de tables du modèle A y : nombre de tables du modèle B Objectif visé Maximiser le profit P quotidien (en $). Règle de la fonction à optimiser P 5 97,5x 1 60y Contraintes 40x 1 30y # 54 000 30x 1 40y # 59 820 20x 1 10y # 24 000
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Nombre de tables du A modèle B 1500 1200
Production de tables d’extérieur
B
900 600
C
300 E 0
D 300 600 900 1200 1500 Nombre de tables du modèle A
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CHAPITRE 1
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18-06-26 1:49 PM
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : 30x 1 40y 5 59 820 30 3 0 1 40y 5 59 820 y 5 1495,5 A(0, 1495,5)
Coordonnées du sommet C : 2(20x 1 10y 5 24 000) ⇔ 40x 1 20y 5 48 000 40x 1 30y 5 54 000 2 (40x 1 20y 5 48 000) 10y 5 6000 y 5 600
Coordonnées du sommet B : 4(40x 1 30y 5 54 000) ⇔ 160x 1 120y 5 216 000 3(30x 1 40y 5 59 820) ⇔ 90x 1 120y 5 179 460 160x 1 120y 5 216 000 2 (90x 1 120y 5 179 460) 70x 5 36 540 x 5 522 40 3 522 1 30y 5 54 000 30y 5 33 120 y 5 1104 B(522, 1104) Coordonnées du sommet D : 20x 1 10y 5 24 000 20x 1 10 3 0 5 24 000 x 5 1200 D(1200, 0)
40x 1 30 3 600 5 54 000 x 5 900 C(900, 600) Solution optimale Sommet du polygone P 5 97,5x 1 60y de contraintes P 5 97,5 3 0 1 60 3 1495,5 A(0, 1495,5) 5 89 730 $ P 5 97,5 3 522 1 60 3 1104 B(522, 1104) 5 117 135 $ P 5 97,5 3 900 1 60 3 600 C(900, 600) 5 123 750 $ P 5 97,5 3 1200 1 60 3 0 D(1200, 0) 5 117 000 $ P 5 97,5 3 0 1 60 3 0 E(0, 0) 5 0 $
Les coordonnées du sommet C permettent Coordonnées du sommet E : de maximiser la fonction à optimiser. Toutefois, x 5 0 123 750 130 000. y 5 0 E(0, 0) Réponse : Puisque le profit maximal sera de 123 750 $, ce qui est inférieur à 130 000 $, le chargé de projet a tort.
D
2000
2000 0
B C
10 000
4000
A
8000
6000
6000
8000
Règle de la fonction à optimiser P 5 5x 1 4y 2 1350 Contraintes x0 y0 x 1 y 5000 x 1 y 8000 xy x 2000 Coordonnées des sommets du polygone de contraintes A(2000, 6000) D(2000, 3000) Coordonnées du sommet B : y 1 y 5 8000 2y 5 8000 y 5 4000 x 5 4000 B(4000, 4000) Coordonnées du sommet C : x 5 5000 2 x 2x 5 5000 x 5 2500 y 5 2500 C(2500, 2500)
Impression d’un roman
Nombre de romans en format standard 10 000
4000
Page 50 25. Variables x : nombre de romans en format de poche y : nombre de romans en format standard Objectif visé Maximiser le profit P (en $).
Nombre de romans en format de poche
Solution optimale Sommet du polygone de contraintes A(2000, 6000) B(4000, 4000) C(2500, 2500) D(2000, 3000)
P 5 5x 1 4y 2 1350 P 5 5 3 2000 1 4 3 6000 2 1350 5 32 650 $ P 5 5 3 4000 1 4 3 4000 2 1350 5 34 650 $ P 5 5 3 2500 1 4 3 2500 2 1350 5 21 150 $ P 5 5 3 2000 1 4 3 3000 2 1350 5 20 650 $
Les coordonnées du sommet B permettent de maximiser la fonction à optimiser. Puisque ce sommet se trouve sur une droite frontière en pointillé, il ne fait pas partie de la régionsolution. Le couple (3999, 4001) peut alors être considéré. P 5 5 3 3999 1 4 3 4001 2 1350 5 34 649 $ Réponse : L’imprimerie peut prévoir un profit maximal de 34 649 $.
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CHAPITRE 1
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Pages 51-52 26. Variables x : nombre de voyages par camion y : nombre de voyages par wagon
Transport des matières nocives
Nombre de voyages par wagon
Objectif visé Maximiser le coût C de transport (en $).
40 36
Règle de la fonction à optimiser C 900x 1600y
32
Contraintes x0 y0 3x 8y 190 4x 7y 202 2x 9y 200
28
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : 2x 9y 200 2 0 9y 200 y 22,2 A(0, 22,2) Coordonnées du sommet B : 3(2x 9y 200) ⇔ 6x 27y 600 2(3x 8y 190) ⇔ 6x 16y 380 6x 27y 600 (6x 16y 380) 11y 220 y 20 2x 9 20 200 x 10 B(10, 20) Coordonnées du sommet C : 4(3x 8y 190) ⇔ 12x 32y 760 3(4x 7y 202) ⇔ 12x 21y 606 12x 32y 760 (12x 21y 606) 11y 154 y 14 3x 8 14 190 x 26 C(26, 14) Coordonnées du sommet D : 4x 7y 202 4x 7 0 202 x 50,5 D(50,5, 0)
12
24 A 20
B
16
C
8 4 D 0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
Nombre de voyages par camion
Solution optimale Sommet du polygone de contraintes A(0, 22,2) B(10, 20) C(26, 14) D(50,5, 0)
P 5 900x 1 1600y P 900 0 1600 22,2 35 555,55 $ P 900 10 1600 20 41 000 $ P 900 26 1600 14 45 800 $ P 900 50,5 1600 0 45 450 $
Puisque les coordonnées du point C engendrent le coût de transport le plus élevé, il faudra prévoir un budget d’au moins 45 800 $. Si l’option la plus coûteuse est adoptée, il faudra alors effectuer 26 voyages par camion et 14 voyages par wagon. Capacité restante de chacune des zones après 26 voyages par camion et 14 voyages par wagon Matière radioactive : 3 26 8 14 190 tonnes (zone remplie au maximum de sa capacité) Huiles usées : 4 26 7 14 202 tonnes (zone remplie au maximum de sa capacité) Terre contaminée : 2 26 9 14 178 tonnes zone remplie à 178 89 % de sa capacité
(
200
)
100 % 89 % 11 % Réponse : Le coût de transport maximal associé à la capacité de ce site d’entreposage est de 45 800 $ pour 26 voyages par camion et 14 voyages par wagon. À la suite de ces transports, les zones réservées à la matière radioactive ainsi que celles réservées aux huiles usées seront remplies au maximum de leur capacité, alors qu’il restera 11 % de capacité d’entreposage à la zone réservée à la terre contaminée.
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CHAPITRE 1
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Pages 53-54 27. Variables x : nombre de sorties pour l’étude des poissons y : nombre de sorties pour l’étude du plancton
Étude de la vie aquatique dans l’estuaire du Saint-Laurent
Nombre de sorties pour l’étude du plancton 400
Objectif visé Maximiser le nombre de sondes P.
360 320
Règle de la fonction à optimiser P 10x 12y
A
280
Contraintes x0 y0 yx 20x 28y 8400 0,5x 0,4y 135
B
240 200 160
C
120
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : 20x 28y 8400 20 0 28y 8400 y 300 A(0, 300) Coordonnées du sommet B : 40(0,5x 0,4y 135) ⇔ 20x 16y 5400 20x 28y 8400 (20x 16y 5400) 12y 3000 y 250 0,5x 0,4 250 135 x 70 B(70, 250) Coordonnées du sommet C : y x 0,5x 0,4y 135 0,5x 0,4x 135 0,9x 135 x 150 y 150 C(150, 150) Coordonnées du sommet D : D(0, 0)
80 40 D 0
40
80
120 160 200 240 280 320 360 400 Nombre de sorties pour l’étude des poissons
Solution optimale Sommet du polygone de contraintes A(0, 300) B(70, 250) C(150, 150) D(0, 0)
P 5 10x 1 12y P 10 0 12 300 3600 sondes P 10 70 12 250 3700 sondes P 10 150 12 150 3300 sondes P 10 0 12 0 0 sonde
Les coordonnées du sommet B permettent de maximiser la fonction à optimiser. 20 70 28 250 8400 k$.
Réponse : Pour maximiser le nombre de sondes, on doit effectuer 70 sorties pour étudier les poissons et 250 sorties pour étudier le plancton. La somme dépensée pour ces sorties est de 8,4 millions de dollars. Pages 55-56 28. Variables x : nombre d’autobus fonctionnant au propane y : nombre d’autobus fonctionnant au gaz naturel Contraintes de la situation x0 y0 y 2x x y 30 40x 48y 528 Contraintes des dirigeants 5x 3y 90 400x 600y 10 000
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CHAPITRE 1
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Achat d’autobus
Nombre d’autobus fonctionnant au gaz naturel 40 36 32
Zone respectant les contraintes de la situation
A
28 24
B
20
Contraintes des dirigeants
16 12 D
Zone respectant les contraintes des dirigeants
F
8 C
4
G 0
4
8
16 E 20
12
24
28
32
36
40
Nombre d’autobus fonctionnant au propane
Graphiquement, on constate qu’aucune région ne traduit l’ensemble des contraintes. Réponse : Les dirigeants n’ont pas raison, il est impossible de renouveler la flotte d’autobus à un coût inférieur à 10 M$ tout en diminuant les émissions de gaz à effet de serre d’au moins 90 tonnes par année.
CHAPITRE
Réciproque, fonction, paramètres et propriétés
RAPPEL Page 58 1. a) Non. 2. a) 1) x
2 Fonctions réelles
10
2
y
2
2
10
22
b) Non. b) 1) x
0
1
3
6
y
2
2
2
2) Oui. 3. a)
9 5
2
3
2
0
2
18
1
0
1
3
y
2
2) Non. 3x y 12 y 3x 2 12 g21(x) 3x 2 12
y
y 0,2x 1,8 f (x) 0,2x 1,8
9
13
2
2
1
2
17
2
21
2
3
4
25
2
5
2) Oui. c) La réciproque n’est pas une fonction. x 27
y x 4 3
b)
x 5y 2 9 x 9 5y x
18
c) Oui. c) 1) x
21
Page 59 4. a)
10
b)
y
8
6
4
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
2 0 2
2
4
6
8
10
x
10
8
6
4
2 0 2
4
4
6
6
8
8
10
Cette réciproque est une fonction. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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y
2
4
6
8
10
x
10
Cette réciproque n’est pas une fonction. PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 2
631
18-06-26 1:49 PM
Page 61 5.
Valeur des paramètres
Règle de la fonction transformée
a) f (x) 2(x 2 6) 2 9 2
b) g (x) 3|4x 2 8| 1 7
2( x
4)
b
h
2
1
6
4
3
2
2
c) h ( x )
a
5
d) i (x) 4(10 2 x)2 6 e) j (x) 26 sin (2(x 1)) 2 3
7
2
4
2
2 1
10
f ) k (x) [ 5 10x] 2 1
1 2
10
1 2
2 2 g) l (x) 7( 6x 9) 2
7 3
6
3 2
2
3
6. a) Le paramètre h.
1
4
2
2
9
2
2 2
6
2
k
5
2
6
1
3
2
2
b) Le paramètre a.
2
1
2
2 3
c) Le paramètre k.
Page 62 7. a) 8.
C
F
b)
c)
B
d)
Fonction transformée selon la possibilité A : g (x) 210x 2 55
E
e)
A
f )
D
Fonction transformée selon la possibilité B : h (x) 25(2(x 4)) 2 15 25(2x 8) 2 15 210x 2 40 2 15 210x 2 55
g (x) h (x) Réponse : La représentation graphique sera la même selon les deux possibilités. Page 64 9. a) 1) [23, 6] 2) [24, 4] 3)
b) 1) ]2, 6] 2) [29, [
3, 0, 3 et 6.
2
4) 0 5) 24 6) 4
3)
2
4)
2
5)
2
c) 1) R 2) ]2, 21] 3) Aucun. 4) 24
1 et 5. 5
5) Aucun. 6) 21
9
6) Aucun.
10. a) 1) Positif sur [ 8, 7] ; négatif sur [27, [. 2) Décroissante sur [28, [.
b) 1) Positif sur ], 27] [1, [ ; négatif sur [27, 1]. 2) Croissante sur ]23, [ ; décroissante sur ]2, 23].
c) 1) Positif sur [28, 8] ; négatif sur ], 28]. 2) Croissante sur ]2, 8] ; décroissante sur [23, 8] ; constante sur [23, 8].
11. a) 20 h
b) 11 m
c) 8 m sous le niveau de la mer.
e) [210 h, 22 h] [2 h, 10 h]
f ) [29 h, 10 h]
2
2
d) 9 h avant le lever du soleil.
SECTION 2.1 Page 65 1. a) 210 e)
5
2
2. a) Vrai. e) Faux. Page 67 3. a) f (x) |x| e) 0
632
Fonction valeur absolue b) 17,5
c) 0
d)
2
f ) 39,1
2 g) 2 3
h)
2
b) Faux. f ) Vrai.
c) Faux. g) Vrai.
d) Faux. h) Faux.
b) R f ) Positif sur R ; négatif à {0}.
c) [0, [
d) 0
g) Décroissante sur ]2, 0] ; croissante sur [0, [.
h) Minimum de 0.
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CHAPITRE 2
0,75
2
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:49 PM
4. a)
b) La réciproque n’est pas une fonction puisque pour toutes les valeurs de la valeur indépendante du domaine (sauf pour 0), il y a deux valeurs possibles de la variable dépendante.
y 4 2
4
0
2
2
4
2
2)
x
b) 1) (218, 232) 2) 27 et 7.
5. a) 1) (9, 11) 2
4
4,3 et 4,3.
c) 1) (24, 6) 2) 20,75 et 0,75.
d) 1) (21, 27) 2) 21,2 et 1,2.
Page 68 b) 1) R
6. a) 1) R 2) [ 9, [
2) ]2, 22]
3)
2
3) Aucun.
4)
2
2
4 et 8.
4)
6
3
2
5) Positif sur ] , 4] [8, [ ; négatif sur [ 4, 8].
5) Négatif sur R.
6) Croissante sur [2, [ ; décroissante sur ], 2].
6) Croissante sur ]2, 4] ; décroissante sur [4, [.
7) Minimum de 9.
7) Maximum de 22.
2
2
2
7. a)
b)
f(x)
40
40
4
20
2
0
20
20
40
x
4
0
2
20
40
g(x)
2
4
x
2
4
Page 70 y2 x2
3 y1 4 x1
9 21,2 9
8. a) S(23, 5) f (x) a|x 2 h| k 29 a|4 3| 5 214 a|7| 214 7 a a 22 f (x) 22|x 3| 5
b) a1
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 633
a2 1,2 y a1x b1 9 21,2 29 b1 b1 21,8 y 21,2x 2 1,8 21,2x 2 1,8 1,2x 2 4,2 2,4 2,4x x1
y a2x b2 3 1,2 6 b2 b2 24,2 y 1,2x 2 4,2 y 21,2 1 2 1,8 23 g (x) a|x 2 h| k 1,2|x 2 1| 2 3
CHAPITRE 2
633
18-06-26 1:49 PM
9. a)
a
y2 x2
95 y1 19 x1
55 8 14
b)
S(9, 15) f (x) a|x 2 h| k 8|x 2 9| 15
a1
y2 x2
17 8 y1 3 5 2 x1
a 2 23 y 3x 2 y 23x 2 10 3x 2 23x 2 10 12 26x x 22 y 3 22 2 24 g (x) a|x 2 h| k 3|x 2| 2 4
c) À l’aide de la table de valeurs, on déduit que les coordonnées du sommet de la courbe sont (3, 6). a
y2 x2
y1 6 2 24 6 4 x1
h (x) a|x 2 h| k 24|x 2 3| 6
Page 72 10. a) 8|x 11| 15 39 8|x 11| 24 |x 11| 3 x 11 3 x 11 23 x 28 x 214
b) 5|x 2 8| 18 12 5|x 2 8| 26 |x 2 8| 21,2 La résolution ne peut se poursuivre car 21,2 0.
c)
2
2
10|4x 7| 6 6 210|4x 7| 0 |4x 7| 0 4x 7 0 4x 27 x 21,75
Aucune solution dans R. d)
11. a)
2|3x 9| 19 13 22|3x 9| 26 |3x 9| 3 3x 9 3 3x 9 23 x 22 x 24
e) 3|x 2 5| 2 28 27 3|x 2 5| 21 |x 2 5| 7 x257 x 2 5 27 x 12 x 22
f )
0 2|x 2 10| 2 14 14 2|x 2 10| 7 |x 2 10| x 2 10 7 x 2 10 27 x 17 x3
b)
c)
2
0 24|x 2 1| 10 10 24|x 2 1| 2,5 |x 2 1| x 2 1 2,5 x 2 1 22,5 x 3,5 x 21,5
2
6|x 2 3| 2 11 220 26|x 2 3| 29 |x 2 3| 1,5 x 2 3 1,5 x 2 3 21,5 x 4,5 x 1,5
0 3|x 4| 6 6 3|x 4| 22 |x 4| La résolution ne peut se poursuivre car 22 0. 2
Aucun zéro. d)
|7x 6| 8 0 |7x 6| 8
2
7x 6 8 x2 7
7x 6 28 x 22
e) 1,5|x 2 12| 4,5 0 |x 2 12| 23 La résolution ne peut se poursuivre car 23 0. Aucun zéro.
f )
2
2x 1 50 2
|22x 1| 10 2x 1 210 x 5,5
2
2x 1 10 x 24,5
2
Page 73 12. a) 2|x 3| 16 30 2|x 3| 14 |x 3| 7 x37 x 3 27 x4 x 210
b) 8|x 2 5| 11 9 8|x 2 5| 22 |x 2 5| 20,25 La résolution ne peut se poursuivre car 20,25 0. Aucune solution dans R.
x ], 210[ ]4, [ d)
2|5 2 x| 218 |5 2 x| 9 52x9 5 2 x 29 x 24 x 14 2
x ]2, 24] [14, [
634
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 634
e)
5|4x 7| 212 |4x 7| 2,4 4x 7 2,4 4x 7 22,4 x 21,15 x 22,35 2
x [22,35, 21,15]
CHAPITRE 2
c) 3|x 2 1| 13 19 3|x 2 1| 6 |x 2 1| 2 x212 x 2 1 22 x 21 x3 x [21, 3] f ) 10|2x 6| 211 |2x 6| 21,1 L’inéquation |2x 6| 21,1 est toujours vraie. x R.
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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13. Règle de la fonction : x : temps écoulé (en jours) f (x) : quantité de neige accumulée (en cm) S(50, 125) f (x) a|x 2 h| k 77 a|10 2 50| 125 248 a|240| 248 40 a a 21,2 f (x) 21,2|x 2 50| 125
Résolution de l’inéquation : 1,2|x 2 50| 125 89 21,2|x 2 50| 125 89 21,2|x 2 50| 236 |x 2 50| 30 x 2 50 30 x 2 50 230 x 80 jours x 20 jours
2
x [20, 80] jours 80 2 20 60 jours
Réponse : La quantité de neige accumulée a été d’au moins 89 cm pendant 60 jours. Page 74 14. N (0) 20,85|0 2 4| 5,1 20,85 4 5,1 23,4 5,1 1,7 m
N (3) 20,85|3 2 4| 5,1 20,85 1 5,1 20,85 5,1 4,25 m
Puisque le maximum est 5,1 m après 4 h, il n’a pas été atteint et donc la variation est : 4,25 2 1,7 2,55 m Réponse : La variation du niveau de l’eau a été de 2,55 m au cours des trois premières heures. 15.
0,9|t 2 7| 9 7,5 0,9|t 2 7| 9 7,5 20,9|t 2 7| 21,5 |t 2 7| 1,6 2 t 2 7 1,6 t 2 7 1,6 t 5,3 h t 8,6 h t [5,3, 8,6] h La mise en garde est émise à 6 5,3 11,3, soit 11 h 20, et est retirée à 6 8,6 14,6, soit 14 h 40. 2 2
Réponse : La mise en garde est retirée à 14 h 40. 16.
2 2
1,1|x 2 120| 424,6 374,66 1,1|x 2 120| 424,6 374,66 21,1|x 2 120| 249,94 |x 2 120| 45,4
x 2 120 45,4 x 165,4 min
x 2 120 245,4 x 74,6 min
x [74,6, 165,4] min 165,4 2 74,6 90,8 min Réponse : L’alimentation du moteur a été coupée pendant 90,8 min.
SECTION 2.2
Fonction racine carrée
Page 76 1. a)
3
5
15
b)
35 7
c)
5
144 2
d)
72 36
21
15
9
35
3 35
2
6 2 2. a) 7 5 5
5
7 5 5
b) 4 2
c) 2 6
4 2 2
12
22 2
2 3
2
2
6
6
d) 1
6
3 3
3 3
3 3 3
6
3 3
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 2
635
18-06-26 1:49 PM
e)
5 19
(
5
11
19
11
19
11
)
19 19
13
5 11
7 7
13
7
g)
7
13
11
5 19
13
13
11
13
1
f )
2 3
5
3 3
5 5
5) 2( 3 3 5
7
2( 3
7 6
8
10
h)
6 10
5) 2
32 5
x
e) 0
2 5
15
5 2
d) 0
f ) Positif sur [0, [ ; négatif à {0}.
g) Croissante sur [0, [.
h) Minimum de 0.
b) 1) (26, 4) 2) Négatif.
c) 1) (3, 2) 2) Négatif.
3) Positif.
3) Négatif.
5. a) 1) [ 4, [
b) 1) ] , 4]
2) [23, [ 3)
2
2
c) [0, [
3) Négatif.
2
2
10
b) [0, [
Page 78 4. a) 1) (8, 28) 2) Positif. 2
2
6
4
Page 77 3. a) f (x)
6 6
2 15
6
2
2) ], 18]
3
3)
77
2
4) 3
4) 14
5) Positif sur [23, [ ; négatif sur [24, 23].
5) Positif sur [277, 4] ; négatif sur ], 277].
6) Croissante sur [24, [.
6) Croissante sur ], 4].
7) Minimum de 3.
7) Maximum de 18.
2
Page 79 6. a) f(10 )
d) f( 3)
7 10
6
7 4 27
13
b) g( 20 )
13
3
6
7
9
13
e) g(0 )
13
16
23
3
(0
4)
f )
23
h(13)
23
16
8
8
0
8
8
16
x
8
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 636
16
0
8
16
CHAPITRE 2
6 2
7
11
6 9 29
11
6 13
7
11
6 20
11
6 4
5
12 5
11
11
g (x)
16
636
3
c) h( 2)
23
b)
f (x)
16
4)
3 4 29
Aucune solution dans R.
( 20
Aucune solution dans R.
7
7. a)
3
8
16
x
8
16
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c)
d)
h(x)
16
i(x)
16
16
8
8
0
8
8
x
16
16
0
8
8
16
8
x
16
8
16
Page 80 8. a) f ( x)
a x
h
33
a 5
20
25 a f ( x)
k
b) g ( x)
a
(x
h)
19
a
(2
18 )
24 a
a 16 6
8
a 25 5 5 x 20
8
g ( x)
6
(x
18 )
9
5
27
4 2x
9
32
2x
9
8
k 5
5
c) h ( x)
a
(x
h)
k
5
a
(2
11)
7
12 a
a 9 4
h ( x)
4
(x
11)
11 18
10
7
Page 82 9. a) 5
3
(x
7)
3
3
(x
7)
(x
1
2
b) 4 2x
7)
La résolution peut se poursuivre car 8 0. Restriction : 2x 9 0 2x 29 x 9
La résolution peut se poursuivre car 1 0. Restriction : 2(x 2 7) 0 x 2 7 0 x 7 1
(
1 x
(x 6
2
d)
(x
28 25
2
7)
)
(
2x 2x
(6 7)
12) 2
30 25
( x 12) 6 ( x 12) La résolution peut se poursuivre car 6 0. Restriction : 2(x 12) 0 x 12 0 x 212 2
)
)
e)
6 x
11
8
x
11
4
La résolution ne peut se poursuivre car 24 0. Aucune solution dans R.
9
)
2
9 2x x
82 64 55 27,5
)
27,5 9
15 4 13 6 x 15 9 x 15 21,5 La résolution ne peut se poursuivre car 21,5 0. Aucune solution dans R. 2
2
62 ( x 12) 36 2(x 12) x 248 (248 212)
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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2 x
2
2
7)
(x
c) 2 x
2
2
) f ) 14 3 8 x 2 12 3 8 x 4 8x La résolution peut se poursuivre car 4 0. Restriction : 8x 0 x0 42
)
)
2
8x
16 8x x 2 (2 0)
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 2
637
18-06-26 1:49 PM
Page 83 10. a)
0
3
(x
2)
4,5
3
(x
2)
(x
1,5
4,5
b)
(
4 x
5
12
4 x
5
3
x
2)
( x − 2)
)
c)
12
d) 0 4
10
2 6
x
(
0 20,5
(2 x
3) 1
1 0,5
(2 x
3)
e) 2
2
)
)
x
6 x 19
(219 6)
0 7 5 x 2 17,5
f )
17,5 7 5 x 2,5 5 x La résolution peut se poursuivre car 2,5 0. Restriction : 5x 0 x0 2 2,52 5 x 6,25 5x x 1,25 (1,25 0)
2 (2 x 3) La résolution peut se poursuivre car 2 0. Restriction : 2(2x 3) 0 x 21,5 2 22 (2 x 3) 2 4 (2x 3) x 23,5 (23,5 21,5)
)
10
x
6
25 19 x
( x 6) La résolution peut se poursuivre car 4 0. Restriction : 2(x 2 6) 0 x 6 2 42 ( x 6) 16 2(x 2 6) x 210 (210 6)
)
x
5
2
6) 2 4
(x
2 6
La résolution peut se poursuivre car 5 0. Restriction : 62x0 2x 26 x 6 2 52 6 x
( x − 2) x−2 0,25 (20,25 2)
2,25 2,25 x
0
5
La résolution ne peut se poursuivre car 23 0. Aucun zéro.
La résolution peut se poursuivre car 1,5 0. Restriction : 2(x 2 2) 0 x 2 2 0 x 2 1,52
0
)
)
)
Page 84 11. a)
22 x 29
2 11
b) 3
29 27
x
2 11
)
7)
33
42
3
(x
7)
9
(x
7)
3
x 1
11
La résolution peut se poursuivre car 1 0. Restriction : 11 2 x 0 2x 211 x 11
(
(x
c) 18
5 x
1
15
5 x
1
3
(
2
(x
7)
)
2
32
( x 7) x 7 x
1
La résolution ne peut se poursuivre car 23 0. Toutefois, le radical doit être supérieur ou égal à 23. Restriction : x210 x1 x [1, [
La résolution peut se poursuivre car 3 0. Restriction : 2(x 7) 0 x70 x 27
11 x 12 11 2 x 1 x 10 x ], 10[
x
3
9 9 16
x ], 216] d)
7
3
(x
6)
12
3
(x
6)
(x
4
5
6)
638
(
16 16 x
( x 6) x 6 10
(x
6)
4 x
8 4 x
)
13 5
14 2 x
14 18
x 14 9 La résolution peut se poursuivre car 9 0. Restriction : x 14 0 x 214
(
x
14
)
2
92
x 14 81 x 67 x [214, 67[
x [210, 6]
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 638
2 x
8 20
x 8 5 La résolution ne peut se poursuivre car 25 0. De plus, le radical doit être inférieur à 25, donc il n’y a pas de solution possible dans R.
2
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
f )
19 1 2
La résolution peut se poursuivre car 4 0. Restriction : 2(x 2 6) 0 x260 x6 42
e)
CHAPITRE 2
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:49 PM
Page 85 12. a) V(0)
15 000 0
b) V (n) 150 000 2 75 000
150 000
150 000 $
Réponse : 150 000 $
V (n)
15 000 n
150 000
75 000
15 000 n
150 000
75 000 15 000 n 75 000 15 000 n 5 n 5 résolution n 2 se poursuivre car 5 0. La peut 52 2 n 2 5 n n 25 mois n 25 mois
( )
( )
Réponse : L’investisseur devra vendre ses actions 25 mois après leur achat. 13. a)
10 t
350
5 10 t
50
4 10 t
V1 V2 b)f(15,625)
300
)
350
Réponse : La valeur des propriétés sera de 362,5 k$ ou de 362 500 $.
La résolution peut se poursuivre car 12,5 0. (12,5 )2
(
156,25 t
10 t 15,625 ans
10 t
15,625
362,5 k$
10 t
12,5
10
2
Réponse : Les deux propriétés auront la même valeur après 15,625 ans. Page 86 14. a) 234 cm 2,34 m t
b)
2,34 4,9
3,2
Réponse : Le temps de chute est d’environ 0,69 s.
⎛
15. 100 4,8 t 4
⎞
3,22 ⎜ d ⎟ ⎝ 4,9 ⎠ 10,24
d
1,2 . 4,9
2
d 4,9
100 4,8 t 4 d 50,176 m Réponse : L’objet est tombé 96 4,8 t d’une hauteur de 50,176 m. t La20résolution peut se poursuivre car 20 0. 202
96 4,8 t
( t)
2
t 400 s
t
( )
t
La résolution peut se poursuivre car 3,2 0.
0,69 s
20
c) La règle est
d 4,9
Réponse : 202 Le t drone devient un danger après 400 s. La résolution peut se poursuivre 16. (t) P (t) 6,8 : s 5,4 : t P 400 7 1,2 t 4 5,4 1,2 4 6,8 t car 0. 6 1,2 t 1,4 1,2 t 2,8 2 2 t 14 t7 t 7 2
6
( )
(6)
t 49 h 36
( t)
( 146 )
2
t 196 h 36
6
Durée :
La résolution peut se poursuivre car 14 0. 6
Réponse : Les conditions de prolifération étaient optimales pendant environ 4,08 h.
SECTION 2.3
2
196 49 – 147 36 36 36
4,08 h
Fonction rationnelle
Page 88 1. a) 1) f (x) 1 2) R\{0}
x
6) Positif sur ]0, [ ; négatif sur ]2, 0[.
3) R\{0}
7) Décroissante sur R\{0}.
4) Aucun.
8) Aucun.
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b) f 21(x) 1
5) Aucune.
x
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Page 89 2. a)
9 1( x 6) x 6 x 6 x 15 x 6
b) g (x)
x21 8
8x 9 2 (8x 2 8) 17
f (x) 17 8 x
x 7 4x x 7
x
e)
7
6x 1 2 (6x 15) 214 (4 x
5 ( x 13) 32 x 13 x 13
h)
5x 33 x 13
9
6 5)
6
m (x) 1,5 x
b) R\{2}
3. a) R\{23}
2 1,5 x 5 6
2
5 6
2 d) 2
1
2
3
f ) Croissante sur R\{23}.
0
4
4
8
( 5,5, 0) x
8
c)
4
8
8
8 (0, 0,75)
0
8
8 ( 0,6, 0)
8
x
16
x
(0, 2,75)
(2,5, 3) 16
x
8
16
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4
i(x)
8
640
4
16
( 4, 5) 16
16
d)
h(x)
0
4
( 4, 2)
g) Aucun.
g (x)
(2, 3)
(2 13, 0)
4
122 35
8
(0, 3,5) 8
3x x
n (x)
8
17 3 ( x 35) x 35 x 35
16 10 (3x 5) 3x 5 3x 5 30 x 66 3x 5
i )
6x 2 5 2
b)
f (x)
4
k (x)
c)
e) Positif sur ], 23[ [21, [ ; négatif sur ]23, 21]. Page 90 4. a)
74 18 x 8
3,5 1,5 2,5
x
12x 2 1 2 (12x 2 10) 9 (6 x
f )
4x 10 1,5
x8 18
h (x)
14 4 1,5 3,5 1,5 10) 4 x 2,5
j (x)
18x 70 2 (18x 144) 274
1
d) i (x) 28 4( x 7)
g) l (x)
c)
16
0
8
(0, 15 )
CHAPITRE 2
8
8
( ) 1, 0 6
16
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5. a) 1) x 27 et y 29. 2) (27, 29)
b)
x5 4
4x 2 3 2 (4x 20) 223 g (x)
x
c)
12x 5 2 (12x 2 6) 11
23 4 5
11 6 2x 1
h (x)
1) x 25 et y 4.
2) (25, 4)
2x – 1 6
11 2 6 (2 x 1) 2
5,5 6 0,5
x
1) x 0,5 et y 6. 2) (0,5, 6) Page 91 a
6. a) f (x)
x a
5
2
4
b) g (x)
k
h
6
3
2
a 12 x
h a
5
1
k
c) h (x)
24
0,5
a 28
12
f (x)
a x
g (x)
3
4
a x
h
k
a 7
6
a 0,5
8 x
1
h (x) 0,5
24
x
6
Page 93 7. a)
32 x
2
32 x
2
e)
5
2
6 9
5
b)
c)
4
8x 2 4 16 8x 20 x 2,5 Restriction : 2x 2 1 0 2x 1 x 1
4 x
9
– 7 211 4
x
9
24
4x 2 36 24 24x 32 x 28 Restriction : x90 x 29 2
f )
16 24 2x 1 16 4 2x 1
0
9
5x 45 26 25x 251 x 10,2 Restriction : x290 x9 2
3,5
3x 2 28 3 x
6 x
2
8x 2 24 3x 2 5x 2 24 2 5x 26 x 5,2 Restriction : 32x0 2x 23 x3
2
x
15 19
8x 2 14 2 8x 16 x2 Restriction : 2x 2 3,5 0 2x 3,5 x 1,75
10x 15 7x 12 3x 15 12 3x 23 x 21 Restriction : 2x 3 0 2x 23 x 23 0
3,5 2x
7x 12 5 2x 3
8. a)
2x
16
16x 2 32 32 16x 64 x4 Restriction : x220 x2 d)
2
b)
9 25
14x 4x
13 6 1
24x 2 6 14x 2 13 10x 2 6 213 10x 27 x 20,7 Restriction : 4x 2 1 0 4x 1 x 1 4
c)
0
3x 11 7x 5
0 3x 2 11 11 3x x 11 3
Restriction : 7x 5 0 7x 25 x 25 7
2
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Page 94 d)
0 2
1
2 3x
1
0 x
e)
1
5x x 21,5 5x
2 3x
1
3x 1 22 x1 Restriction : 3x 2 1 0
x 23 Restriction : 5x 2 8 0 x 1,6
x
36 82 4 36 26 x 4
b)
8 6
x
7
x
6x 2 6 7 6x 13
1
13
3
22
5
15x 2 20 10x 1 5x 2 20 1 5x 21 x 4,2 Restriction : 3x 2 4 0 x 4 x⎤
⎦⎥
3
e)
2
x
6
3 6
3 5x 30 x 26,6 Restriction : x60 x 26 x ]2, 26,6[ ]26, [
6
9x
3 5
9x 5 2x 2 3 7x 28
5
2
Restriction : x210 x1
3 4 ⎡ ]4,2, [ , 3 ⎣⎢
1 2x
f )
5 10
x
1
x 13
x 2 8 7
Restriction : 9x 5 0 x 2 5 9
x ⎡⎢ 8 , 5 ⎡⎢ ⎣ 7 9⎣
x ⎤⎥1, 13 ⎤⎥ ⎦
10x 1 5 3x 4
c)
64 3
17 27 4 17 4
x 2 4
3 22x 10 27 22x x 3,5 Restriction : x250 x5 x ], 3,5] ]5, [
6x 2 24 236 26x 212 x2 Restriction : x40 x 24 x ]24, 2] d)
5
x
2
7
3 x
3x 6x 7 3x
21x 28 6x 2 17 15x 245 x 23 Restriction : 3x 4 0
2
x 1 3
0 6x
f )
7,5x 12 2x 0,5 26,5x 211,5
2
9. a)
0,5 1,5 8 0,5 8
6⎦
Page 95 10. T2
P2 (T1
273) P1
2 273
225( 25 273) 2 273 124
267,73 °C
Réponse : La température finale du gaz est d’environ 267,73 °C. 11. a)
15n 2 350 2 15n 2350
n 15
P (n) 350 15 n
b)
P (n)
h 0, k 15
Réponse : Les asymptotes sont x 0 et y 15. Elles représentent d’une part le nombre d’articles vendus qui ne peut pas être égal à zéro et d’une autre part, le profit moyen par article qui n’atteindra jamais 15 $. 12. n : nombre de t-shirts commandés au-dessus de 20 C(n) : coût moyen de chaque t-shirt (en $)
6,25
15n
350 n
15n
350 n
6,25n 15n 2 350 8,75n 2350
2
n 40 articles
Réponse : Marianne doit vendre 40 articles. C(n) 6 n
n 6 12 n n
336 20 336 20
12n 240 6n 336 6n 96 n 16 t-shirts 16 20 36 t-shirts Réponse : Trente-six t-shirts doivent être commandés pour que le coût moyen par t-shirt soit de 12 $.
642
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CHAPITRE 2
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Page 96 13. n : nombre d’élèves participant à l’activité C(n) : coût par élève (en $) n0 C(n) 550 35
50 550 35
n 50 550 35 n
n
15 550 n
15n 550 n 36,6 Donc, 37 élèves. 37 48 Réponse : Au moins 37 élèves doivent participer à l’activité pour que le coût soit d’au maximum 50 $ par élève. 14. a) CV C2 1 1 Concentration d’une solution x V 1
Concentration finale (mol/L)
2,8 250 2,1 x 250
450
2,1x 525 700 2,1x 175 x 83,3 ml b)
300
Réponse : Il faut ajouter 83,3 ml de solvant. Asymptotes : CV C2 1 1 x 2500 x V1 y 0 0,25 500 x 500 Centre de l’hyperbole : (2500, 0) 125 x
150
750
600
450
300
500
Puisqu’une concentration ne peut pas être négative, seule la branche de l’hyperbole située dans la partie positive de l’axe des ordonnées est tracée.
0
150
150
300
Quantité de solvant ajouté (ml)
450
Fonction définie par parties
SECTION 2.4 Page 98 1. a) 1) ], 18]
b) 1) [216, 14]
2) [ 8, [
2) [212, 13]
2
3 et 8.
3)
2
8
4)
2
3)
2
4)
2
11 et 8. 7
5) Positif sur ], 23] [8, 18] ; négatif sur [23, 8].
5) Positif sur [216, 211] {8} ; négatif sur [211, 14].
6) Croissante sur [216, 24] [0, 18] ; décroissante sur ], 0] [14, 18] ; constante sur [216, 24] [14, 18].
6) Croissante sur [23, 8] ; décroissante sur [216, 4] [8, 14] ; constante sur [23, 4].
7) Minimum de 28 ; aucun maximum.
7) Minimum de 212 ; maximum de 13 .
2. a)
b) 1) [218, [
f (x)
2) ], 18] 3) 12
16
4) 12
16
8
5) Positif sur [218, 12] ; négatif sur [12, [.
0
6) Croissante sur [218, 24] [0, 8] ; décroissante sur [218, 212] [24, [ ; constante sur [218, 212] [0, 8].
8
8
16
x
7) Aucun minimum ; maximum de 18.
8
16
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CHAPITRE 2
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Page 99 3. a)
c)
4.
1 ], 212]
2 [212, 2]
3 [2, 10]
4 [10, 16[
1 [212, 28]
2 [28, 0]
3 [0, 8]
4 [8, [
b)
1 ], 212]
2 [212, 26]
3 [ 6, 4]
4 [4, [
1 [220, 210]
2 [210, 26]
3 [26, 10[
4 [10, [
2
d)
1 f1(x) 26 si x ], 210] 2 f2(x) 0,5(x 6)2 2 14 si x [210, 0] 3 f3(x) 3 x
4 si x [0, 16]
4 f4(x) 16 si x [16, [
Page 100 5. a) Les plus grands profits sont de 90 k$ ou de 90 000 $. b) L’entreprise a généré des pertes durant 16 mois, soit du 4e au 20e mois, car c’est le moment où le graphique de la fonction se situe sous l’axe des abscisses et que les valeurs des ordonnées, qui correspondent aux profits, sont négatives. c) Les profits de l’entreprise ont été strictement croissants pendant 9 mois, soit du 15e au 24e mois, car dans cette situation, on ne doit pas tenir compte du moment où les profits ont été constants, soit du 9e au 15e mois. 6.
Règle de la troisième partie : y a(x 2 h)2 k y 2 y1 24 12 12 a 1,5 30 a(22 2 28)2 12 8 x 2 x1 12 4 18 a(26)2 24 1,5 12 b a 0,5 b6 y 0,5(x 2 28)2 12 y 1,5x 6 0,5(32 2 28)2 12 1,5 16 6 0,5(4)2 12 30 m P1(16, 30), P2(22, 30) 20 m Règle de la deuxième partie : y 30 P3(32, 20) Réponse : La distance entre le cycliste et le sol est de 20 m. Règle de la première partie, de la forme y ax b :
Page 101 7.
Fonction racine carrée : f ( x) a x h k 14
a 16
6 a
a 16 1,5
f ( x)
1,5 x
0
8
8
12 1,5 x 8 f4( x) 1,5 1,5 x x 8 1,5 812 x x 8 3
4 1,5 x 2 2 peut se La 8 résolution 8 xx 3 poursuivre car 8 0. 3
() () 8 3
( )
2
( x)
Fonction valeur absolue : f (x) a|x 2 h| k 14 a|16 2 20| 24 210 a|24| 210 4a a 22,5
f(x)
f (x) 22,5|x 2 20| 24 12 22,5|x 2 20| 24 4,8 |x 2 20| x 2 20 4,8 x 2 20 24,8 x 24,8 x 15,2 À rejeter.
28 24 20 16 12
(?, 12)
(?, 12)
8
3
4
2
0
x 64
4
8
12
16
20
24
28
x
9
Écart entre les abscisses : 24,8 2 64 796 17,68 u 9
45
Réponse : L’écart entre les abscisses des deux points est de 17,68 u.
644
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CHAPITRE 2
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8.
Niveau de fatigue initial : f (0) 21,4|0 2 40| 80 24 Sommet de la 2e fonction : f (60) 21,4|60 2 40| 80 52 Règle de la 2e fonction : f ( x)
a x
32
a 85
60
52
20 a 5 a 24 f ( x) 4 x
60
52
h
Temps de récupération : f ( x)
4 x
24
4 x x
7
60
52
60
52
60
La résolution peut se poursuivre car 7 0.
(
)
2
72 x 60 49 x 2 60 x 109 min Écart entre les niveaux de fatigue : 109 2 40 69 min
k
2
Réponse : L’athlète retrouvera son niveau de fatigue musculaire initial 69 min après la fin de l’activité. Page 102 9. a)
Distance parcourue par une participante
Distance parcourue (m) 5600 4800
(52, 4500)
4000 (27, 3250)
3200 2400
(22, 2000) 1600 (8, 1000) 800 0
(12, 1000)
8
16
b) C(8, 1000)
24
32
40
48
56
Temps écoulé (min)
D(12, 1000)
Fonction polynomiale du second degré : d(t) a(t 2 h)2 k 2000 a(22 2 12)2 1000 1000 a(10)2 a 10 d(t) 10(t 2 12) 1000 t 12 15 27 min 2
d(27) 10(27 2 12)2 1000 10(15)2 1000 3250 m E(27, 3250)
Fonction racine carrée : d(t) a t h k 4500 a 52 27 3250 1250 a 25 a 250 d(t) 250 t 27 3250 4750 250 t 27 3250 1500 250 t 27 t 27
6 62
(
t 27
)
2
La résolution peut se poursuivre car 6 0.
36 t 27 t 63 min Réponse : Elle a effectué le parcours en 63 min.
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CHAPITRE 2
645
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Opérations sur les fonctions
SECTION 2.5 Page 104
1. a) g f 5|3x 15 2 9| 8 5|3x 6| 8 15|x 2| 8
4( 3x 15) 1 8( 3x 15) 3
b) i (f (x))
c) h (i (x)) 6 4x 1 11 19 8x 3
12x 59 24x 123
12x 59 2 (12x 61,5) 22,5
4x 1 11( 8x 3) 6 19 8x 3
24x 123 0,5
6
23x 8 19 8x 3 Restrictions : x 2 3 et x 2 8 . 8 23
12
Restriction : x 2 41 8 2,5 i (f (x)) 0,5 24 x 123
(
)
d) f h 3 6 x 11 19 15 18 x 11 57 15 18 x 11 42
92x 32 19 8x 3
e) f (g (x)) 3(5|x 2 9| 8) 15 15|x 2 9| 24 15 15|x 2 9| 39
f )
h f 6 3 x 15 11 19 6 3 x 26 19 Restriction : x 2 26 3
Restriction : x 211 2. a) k (x) 6x2 2 5x 2 56 2 (2x 2 7) 6x2 2 7x 2 49
8 2 3 2x 2 7 x4 8 (2x 10)(x 4) x4 2 8 2x 2x 40 x4 2 2x 2x 32 x4
c) k (x) (6x2 2 5x 2 56) ÷ (2x 2 7)
b) k (x)
6x2 2 5x 2 56 2x 2 7 2 (6x2 2 21x) 3x 8 16x 2 56 2 (16x 2 56) 0 k (x) 3x 8 Restriction : 2x 2 7 0 x 3,5 k (x) 3x 8 pour x 3,5.
Restriction : x 24
Page 105 ⎛ d) k (x) (2x 2 7) ⎜ 8
⎝ x 4
⎞ ⎠
3⎟
8
e) k (x)
8 ( 2x 7 ) 2 3(2x 2 7) x 4 16x 56 3 ( 2x 7)( x 4 ) x 4 16x 56 3 ( 2x 2 x 28 ) x 4 16x 56 6x 2 3x 84 x 4 6 x 2 13x 28 x 4
4
8
( 6x 2
8 6x 3
2 3 6x2 2 5x 2 56
x
6x 3
5x 59)( x x 4 5x 2
19x 2 x
59x 24x 2 x 4 79x 4
4) 20x 236
f ) k (x) (6x2 2 5x 2 56)(2x 2 7) 12x3 2 10x2 2 112x 2 42x2 35x 392 12x3 2 52x2 2 77x 392
228
Restriction : x 24
Restriction : x 24 3. a)
x 4y 2 5 x 5 4y x 5 4 x 5 21 f (x) 4
y
b)
x
y
7 2
2x y 7 y 2x 2 7 g21(x) 2x 2 7
c)
x 0,25( y 2 6)2 12 x 2 12 0,25( y 2 6)2 4(x 2 12) ( y 2 6)2 � 4( x � 12) �
( y � 6)2
� 2 x � 12 � y � 6 y � � 2 x � 12 � 6 Cette réciproque n’est pas une fonction.
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x y
d)
7 15
x 2 15 y
7
(
)
e)
x x 11
2
(x 2 15)2 y 7 (x 2 15)2 y 2 7 y (x 2 15)2 7
13 y
9
2 11
x 8 0,5 y 1
13 y
9
2( x 8 )
(x 11)( y 9) 13
(
)
y 1
2
4(x 8)2 y 1 y 4(x 8)2 2 1 Pour la fonction : x10 x 21 Donc, pour la réciproque de la fonction : 21 4(x 8)2 2 1
Pour la réciproque : x 11 0 x 211 13 21 j (x) 29 x
y 1
(2( x 8 ))2
13 y9 x 11 13 y 29 x 11
Pour la fonction : x270 x7 Donc, pour la réciproque de la fonction : 7 (x 2 15)2 7 0 ( x 15)2 15 x i21(x) (x 2 15)2 7 pour x [15, [.
x 0,5 y 1 8
f )
11
0 ( x 8)2 8x k21(x) 4(x 8)2 2 1 pour x [8, [. 2
Page 106 g) h
b ( 72) 4 2a 2 9
h)
k l (h) l (4) 210
y
y 9(x 2 4)2 2 10 x 9( y 2 4)2 2 10 x 10 9( y 2 4)2 1 (x 9
6x 2 37 2 (6x 2 42) 5
(y
10)
1 ( x 10) 9 1 x 10 3
4)2
(y y
4)2
2
d)
(5 ( 2,8 )
2 14
2
2 16 5
3
4) 3
12 28 5( 3) 4 7 12 2 8 11 7
2 132
6
3
(
5 7 x26
4
12 2 8 2 (5(21) 2 4) 1 7
b)
12 2 8 2 (29) 6
12 2 8 5(5) 2 4 5 7 12 2 8 21 12
14
c)
(2 (2
10 4
6 3
)
8 8
) 8
8
8 7 3
7 3
3
)
( 5 ( 6)
4)
26
Aucune solution dans R.
3 e)
3x 7 8
2
11 3x 7 11 7 3 x 3 11 3 7 x 3 11 3 x 7 y 3 11 3 11 x 8 7 y3 x 73 y 11 3 3 11 y x3 8 x 8 7 Restriction : y 3 x 28 11 y 3 n21(x) x 8
Cette réciproque n’est pas une fonction et x 210.
4. a)
24x 2 45 2 (24x 2 56) 11 2
y
6
x27 x 5 6 y27 x26 5 y27 y 5 7 x26
m21(x) 10
i )
Restriction : x 6
4 1 x 3
y
5
x27 6
f ) 5(5(7) 2 4) 2 4 5(35 2 4) 2 4 5(31) 2 4 151
18
2 22 3
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CHAPITRE 2
647
18-06-26 1:49 PM
Page 107 5. a)
(f h)(x) 7(21x2 22x 2 8) 2 2 147x2 154x 2 58 k (x) 147x2 154x 2 58 2 (8x 3) 147x2 146x 2 61
b) (f i )(x) 7x 2 2 8x 3 15x 1 k (x) 26|15x 1 4| 2 9 26|15x 5| 2 9
|
2 c) h 21x
f
22 x 2
8
21x2 22x 2 8 7x 2 2 2 (21x2 2 6x) 3x 4 28x 2 8 2 (28x 2 8) 0 k (x) 3x 4 8x 3 11x 7 Restriction : 7x 2 2 0
|
290 x 1 2 9 3
7x
x2 7
k (x) 11x 7 pour x 2 . 7
6. Plusieurs réponses possibles. Exemples : a) g( x)
3 x
4
b) g ( x)
h (x) 2x 5 7. a) Dom f : R Dom h : R Dom k : R
3 2x
b) Dom i : R\ Dom f : R
c) g (x) 3 h (x) 2x
{ }
Dom k : R\ d) Dom g : [23, [ Dom h : R Dom k : [23, [ \ {0, 4}
5
h (x) 4 9 2
{
3
c) Dom g : [23, [
{ 2}
Dom i : R\ 9
9 5 , 2 3
e) Dom g : [23, [ Dom f : R Dom k : [23, [
524
}
Dom k : [ 3, [ 2
f ) Dom h : R Dom f : R Dom k : R
Page 108 8. a) La règle permettant de calculer la TPS est S (x) 0,05x, où S (x) est la TPS à payer (en $). La règle permettant de calculer la TVQ est Q (x) 0,095x, où Q (x) est la TVQ à payer (en $). c) Avant 2013 : S (35 000) 0,05 35 000 1750 $ Q (S (35 000) 35 000) Q (1750 35 000) Q (36 750) 0,095 36 750 3491,25 $ P (x) S (x) Q (S (x) x) x P (35 000) 1750 3491,25 35 000 40 241,25 $ Réponse : La différence est de 166,25 $.
b) 1) La règle est P (x) S (x) Q (S (x) x) x, où P (x) est la somme totale à débourser (en $). 2) La règle est P (x) S ( x) Q (x) x. Après 2013 : Q (35 000) 0,095 35 000 3325 $ P (x) S (x) Q (x) x P (35 000) 1750 3325 35 000 40 075 $ Différence : 40 241,25 2 40 075 166,25 $
Page 109 9. a) 1) La règle est S (n) 0,05n 350.
b) R (S (n)) 0,001n 7 16 0,001n 7 9 0,001n n 9000 $
2) La règle est R (x) 0,02x. 3) R (S (n)) 0,02(0,05n 350) R (S (n)) 0,001n 7
Réponse : Le montant des ventes hebdomadaires d’Éric est de 9000 $.
La règle est R (n) 0,001n 7.
1 9
10. a) K C 273,15
b) K (5F 2298,35)
5 (F 2 32) 273,15
1 9
9
(5 104 2298,35)
5 F 2 160 273,15 9
1 9
9
(2818,35)
5 F 2298,35 9 9 1 9 (5F 2298,35)
313,15 K Réponse : La température est de 313,15 K.
1 Réponse : La règle de la fonction est K 9 (5F 2298,35).
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Page 110 11. Règle représentant le total des économies : P (t) : valeur totale des placements (en $) P (t) P1(t) P2(t) 300t 15 000 450t 12 000 750t 27 000
Temps nécessaire pour économiser 52 000 $ : P (t) 750t 27 000 52 000 750t 27 000 25 000 750t t 33 1 mois 3
Réponse : Le couple pourra acheter une maison dans 33 1 mois. 3
d 4,9
12. a) tTerre tLune
d
d 0,81
b) tLune 0,81 tTerre
10 10 d d 9 7
(
(
10 7
10 d 9
9 10 70 d 63
Réponse : La règle est tTerre tLune
d 4,9
d 0,81
4,9 0,81
9 10 70 d. 63
4,9 d
7 10 9
2,46
Réponse : Le rapport est de
7 10 . Il signifie que le 9
temps de chute libre d’un objet est environ 2,5 fois plus grand sur la Lune que sur la Terre.
MÉLI-MÉLO Page 111 1. c) 2. a)
3. b)
4. a)
5. d)
6. a)
7. b)
Page 112 10. c) 11. a)
12. d)
13. b)
14. c)
15. d)
16. b)
8. c)
9. d)
Page 113 17. a) 9 2 2
b) 2 15 5 5
2
9 2 2
c) 20 3 3
5
2 15 5 5 23 5
3
60 3
4 15 3
2 15 3
d)
5 2 2
2 2
e)
5 2 2 2
10 7
4 10 7 4
(
10 7
10 7
)
10 7 4 10 4 7 3
f )
15 6 5
6 5
6 5 15 6 15 5 6 5 90 75 1
9
10
25
3
3 10 5 3 4( x 9) 18. a) f (x) 16 x 9 x 9
b)
4x 20 x 9
7x 15 2 (7x 21) 26
4x 20 x 9
g (x)
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2x 6 3,5
6 2x
6 3
x
3
3,5
c) h (x)
23 2x
5
12x 2x
53 5
12x 2x
53 5
6( 2x 5) 2x 5
3,5
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CHAPITRE 2
649
18-06-26 1:49 PM
d)
x7 15
15x 6 2 (15x 105) 299 i (x)
x
18 6(4x 12) 4x 12 4x 12 24x 54 4x 12
e) j (x)
99 15 7
2
3x 2 7 2 (3x 2) 29
f )
9
12 0,25 0,75 0,25 2 8) 12 x 3 k (x) 0,75 0,25 2 x 3
12x 27 2x 6
(12 x
Page 114 19. a) f (7,2) 8|7,2 2 4| 1 8|3,2| 1 8 3,2 1 26,6 23 26 05 2326 5
d) h (0)
26,6 20. a) f (x)
a x
h
b) h (22)
3 2
5
326 3
27
k
x
8
g( 6 )
2
5 14
11
11
5
6
2
5
4
11
11
Aucune solution dans R.
b) g ( x)
a
(x
h)
8
a
( 2
14 )
20
a 25 f (x)
f )
e) f (29) 8|29 2 4| 1 8|213| 1 8 13 1 105
5
5
5 12 29,71
1a
2
c) g(12)
26
a 4 3 8
3
12x 8 0,25
k 12
a 16
a
5
g ( x)
5
i ( x)
a x
h
9
a 9
16
15 a
a 25 3
i ( x)
3 x
(x
14 )
12
4
Page 115 c) h (x) a|x 2 h| k 28 a|0 12| 16 224 a|12| a 22 h (x) 22|x 12| 16
21. a)
0 4
2
8 x
1
4
8 x
1
4x 4 8 24x 4 x 21 Restriction : x210 x1 2
d)
b)
3,5 x
0
12
14
14 3,5 x 12 0 3,5 x 12 14 4 x 12 14 3,5 x 12 2 La peut se 42résolution x 12 4 12 x poursuivre car 4 0. 16 x 12 2 42 x 4 x 12 16 x 12 4 x
(
(
)
k
16 c)
6
6 0 2|4x 5| 2 6,8 6,8 2|4x 5| 3,4 |4x 5| La résolution peut se poursuivre car 3,4 0. 3,4 4x 5 1,6 4x x 20,4 x {22,1, 20,4}
)
2
3,4 4x 5 8,4 4x x 22,1
2 2
Restriction : x 12 0 x 212 (4 212) 22. a) k (x) 3(24|x 6| 2 11) 2 212|x 6| 2 33 2 212|x 6| 2 31
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b) k (x) 2(3x 2)2 5(3x 2) 2 1 2(9x2 12x 4) 15x 10 2 1 18x2 24x 8 15x 9 18x2 39x 17
CHAPITRE 2
c) k (x) 2x2 5x 2 1 3x 2 2x2 8x 1
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Page 116 b) 1) R\{240}
23. a) 1) R 2) [26, [
2) R\{230}
3)
2
5 et 3.
3)
2
4)
2
4,5
4)
2
35 25
6) Croissante sur [21, [ ; décroissante sur ], 21].
5) Positif sur ]240, 235] ; négatif sur ], 240[ [235, [.
7) Minimum de 26.
6) Décroissante sur R\{240}.
5) Positif sur ] , 5] [3, [ ; négatif sur [ 5, 3].
2
2
7) Aucun. c) 1) [236, [
d) 1) ], 45]
2) [240, [
2) [220, [
20
3) 5 et 31.
3)
2
4) 20
4) 10
5) Positif sur [220, [ ; négatif sur [236, 220].
5) Positif sur ], 31] ; négatif sur {5} [31, 45].
6) Croissante sur [ 36, [.
6) Croissante sur [5, 20] [35, 45] ; décroissante sur ], 5] [20, 45] ; constante sur [35, 45].
2
7) Minimum de 240.
7) Minimum de 220. Page 117 24. a)
16
b)
f (x)
c)
g(x)
h (x)
16
8
8
8
4
4
0
8
8
16
x
8
0
4
4
8
x
8
0
4
8
4
4
16
8
8
25. a) Dom g : [3, [ Dom h : R\{7} Dom k : [3, [ \ {7}
b) Dom h : R\{7} Dom f : R
26. a) 7| x 2 11| 14 42 7| x 2 11| 28 | x 2 11| 4 La résolution peut se poursuivre car 4 0. x 2 11 4 x 2 11 24 x 15 x7
b)
{5 }
Dom k : R\ 9 , 7 8 2x
5
21 23 8
2x
5
2
4x 2 10 8 4x 18 x 4,5 Restriction : 2x 2 5 0 x 2,5
4
8
x
c) Dom f : R Dom g : [3, [ Dom k : [3, [ c) 3 x
6 17 3 x 6
20 3
1 x 6 3 x 6 23 La résolution x 6 peut12 1car 1 0. x 6 se poursuivre 1 x 6 2 2 1 x 6 7 x
(
(
)
)
x
6 x
1 7
Restriction : x260 x 6 (7 6)
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CHAPITRE 2
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18-06-26 1:49 PM
Page 118 27. a) x 4( y 10)2 6 x 2 6 4( y 10)2 x
6
6
x28
( y 10 )
4 x
6 2
3
x
17 5
x 5 (x
g21(x)
x
0,2 y
4
3
0,2 y
4
y
3)
(
2
(5 ( x
3 ))
25 ( x
3)
3
4
y
4
2
y
y
25( x
)
2
4 2
3)
4
h (x) 25(x 3) 2 4 pour x [23, [. 2
21
17 5 x 8
6 2 10
2
7
y
c)
y 17 5 x 8
Cette réciproque n’est pas une fonction et x 6. y1 x
17 8 5
y 2 5 17 x 8
6 2 10
x
y
(x 2 8)( y 2 5) 217
2
y 10
y1 2
28.
x
( y 10)2
4 x
b)
7 1,5| x 5| 2 7 14 1,5| x 5|
20 4 10
28 x 5 3
20 x 10
x 5 28 3
3(x 10) 20 3x 30 220 3x 250 2
3
2
2 x
3
1
x
12
(
x 2 43
1 x
x 4
3
3
3
2 x
x 5 2 28 3
x 13
x 2 50
7
5
3
x
3
)
2
3
À rejeter puisque 13 [215, 3]. 3
Les coordonnées des points sont 29. a)
4 5
2
6 x
2
( 503 , 7), ( 433 , 7) et (4, 7).
9
6 x
2
5x 10 6 25x 24 x 0,8 Restriction : x220 x2 x ], 0,8] ]2, [ 2
b)
5| x 11| 4 19 25| x 11| 15 | x 11| 23 L’égalité est impossible, mais l’inéquation est toujours vraie. R 2
c)
6 2 x
5 12
6 2 x
5
2
3
x
5
La résolution peut se poursuivre car 3 0.
(
32 x 5 9x5 x4 Restriction : x 5 0 x 25 x ]4, [
Page 119 30. a) S(7,5, 10,5) P(15, 0)
)
2
4 25
b) S(h, 11,9) P(0, 0)
H (t) a|t 2 h| k 0 a|15 2 7,5| 10,5 a 21,4
a 21,4
H (t) 21,4|t 2 7,5| 10,5 Réponse : La règle est H (t) 21,4|t 2 7,5| 10,5.
H (t) a|t 2 h| k 0 21,4|0 2 h| 11,9 h 8,5 Ici, la valeur h 28,5 est rejetée à cause du contexte. H (t) 21,4|t 2 8,5| 11,9 8,5 2 17 min Réponse : Un cycle complet dure 17 min.
652
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 652
CHAPITRE 2
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18-06-26 1:49 PM
Page 120 31. a) Au moment du bris (h 0), la température interne du congélateur est de 210 °C (k 210). b)
t 19 y 2 10
c)
4 19 t 2 10 ou
5
t 10 19 5
(
5 (t 10) 19
5 (t 19
10 )
)
2
5
14 19 5
y
70 19
y
( y)
361
25 (14)2
t
361
25 196
t
361
La résolution peut
2
f 21(4) 25 (4 10)2
13,57 h
se poursuivre car 70 0.
y 25 (t 10)2 361
( )
19
2
70 ( t )2 19 4900 t 361
Restriction : Pour f (t), on a t 0. Donc, pour f 21(t) : 25 (t 10)2 0
t 13,57 h
t 210
Réponse : Les aliments peuvent être conservés au maximum environ 13,57 h.
361
Réponse : La règle est f 21(t) 25 (t 10)2, 361 où t 210 °C. Ici, t représente la température interne (en °C) et f 21(t), le temps écoulé (en h) depuis le bris. Page 121 32.
4
2
33. 4,5 20,6| x 2 8| 6,9
a 15 h
4,5 20,6| x 2 8| 6,9 2,4 20,6| x 2 8| 4 | x 2 8| La résolution peut se poursuivre car 4 0.
4(15 2 h) a a 260 4h
2
2
2
2
a 5
h
2(5 2 h) a a 210 2h
2
2
4x28 x 12
10 2h 260 4h 210 260 2h 50 2h h 25
x ]4, 12[ 12 2 4 8 h 8 2 16 h
a 210 2h 210 2 25 40 f (x)
x
4x28 x4
2
Réponse : Les travaux doivent être interrompus 16 h par jour.
40 25
Réponse : La règle est f (x)
x
40 . 25
Page 122 34. a) La règle est S (n)
85 000 n 125 000 . n 1
b)
89 000
85 000 n 125 000 n 1
89 000(n 1) 85 000n 125 000 9 000n 89 000 85 000n 125 000 8 4000n 89 000 125 000 4000n 36 000 n 9 directeurs adjoints 35. Oiseau A : t
7 t t
5 2 2
t4s
Réponse : L’entreprise compte 9 directeurs adjoints. Oiseau B : 2|t 2 3| 9 5 2|t 2 3| 24 |t 2 3| 4 La résolution peut se poursuivre car 4 0. t 2 3 24 t234 t 21 s t7s À rejeter.
Réponse : L’oiseau A rejoindra la proie le premier. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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CHAPITRE 2
653
18-06-26 1:49 PM
Pages 123-124 36. Ville A x : temps écoulé depuis le début de l’étude (en années) f (x) : nombre d’habitants de la ville A (en milliers) Recherche de la règle, de la forme f (x) a x S(0, 20) P(4, 28)
h k :
28 a 4 0 20 28 a 4 20 28 2a 20 a 4
Ville C x : temps écoulé depuis le début de l’étude (en années) h (x) : nombre d’habitants de la ville C (en milliers) Recherche de la règle, de la forme h (x) a|x 2 h| k : S(10, 45) P(0, 15) 15 a|0 2 10| 45 15 10a 45 230 10a a 23
f (x) 4 x 20 Population dans 15 ans : f (15) 4 15 20 35,492
h (x) 23|x 2 10| 45 Population dans 15 ans : h (15) 23|15 2 10| 45 30
35,492 1000 35 492 habitants Ville B x : temps écoulé depuis le début de l’étude (en années) g (x) : nombre d’habitants de la ville B (en milliers) a
Recherche de la règle, de la forme g (x) k : x h 2 x 10, y 35 P(0, 31)
30 1000 30 000 habitants Écart de la population entre la ville la plus populeuse et la ville la moins populeuse dans 15 ans : 35 492 2 30 000 5492 habitants
a 35 0 10 24 a 10
31
a 240 g (x)
x
40 35 10
Population dans 15 ans : g (15)
15
40 35 10
33,4
33,4 1000 33 400 habitants Réponse : L’écart de la population entre la ville la plus populeuse et la ville la moins populeuse 15 ans après le début de l’étude sera de 5492 habitants. Pages 125-126 37. Vitesse du son à 25 °C :
Friction de l’air :
vs 331,3 1
T 273,15
va
2F 1,293
331,3 1
25 273,15
1038,39
2F 1,293
346,13 m/s
1 078 248,82
Vitesse de l’avion : Ma 3
va vs
2F 1,293
F 697 087,86 N
va 346,13
va 1038,39 m/s Réponse : La friction de l’air exercée sur cet avion est d’environ 697 087,86 N.
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CHAPITRE 2
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Pages 127-128 38. L 125 cm 1,25 m Mercure : M 3,3 1023 kg r 2440 km 2,44 106 m
g
6,67 6,67
10 –11 r2
M
P 2p L
10 –11 3,3 1023 ( 2,44 106 ) 2
2,2011 1013 5,9536 1012
g 2p 1,25 3,7
2p 0,58 3,65 s
3,7 m/s2 Mars : M 6,4 1023 kg r 3389 km 3,389 106 m
g
Vénus : M 4,9 1024 kg r 6052 km 6,052 106 m
6,67
10 –11 r2
M
6,67
10 –11
6,4
( 3,389
P 2p L
g
1023
106 ) 2
2p 0,58 3,64 s
4,2688 1013 1,148 532 1 1013
3,72 m/s2 g
6,67
10 –11 r2
6,67
10 –11 (6,052
M
P 2p L
g
4,9 1024 106 )2
2p 1,25
8,92
2p 0,37 2,35 s
3,2683 10 3,662 670 4 1013 14
Jupiter : M 1,9 1027 kg r 69 911 km 6,9911 107 m
2p 1,25 3,72
8,92 m/s2 g
6,67
10 –11 r2
M
6,67
10
1,9
–11
P 2p L
g
10
27
2p 1,25
25,93
( 6,9911 107 ) 2
2p 0,22 1,38 s
1,2673 1017 4,887 547 921 1015
25,93 m/s2 Réponse : Selon les calculs effectués, il y a des raisons de croire que l’astronaute a tort. Elle s’est probablement échouée sur Vénus.
CHAPITRE RAPPEL
3 Vecteur
Trigonométrie et géométrie analytique
Page 130 1. a) cosinus
b) sinus
Page 131 a b sin A sin B
2. a)
5 m AC sin 45° sin 94° 5 sin 94 ° m AC sin 45 °
b)
b2 a2 c2 2ac cos B (m AC)2 42 3,42 2 4 3,4 cos 112° m AC 42 3,42 2 4 3,4cos 112° 6,14 cm
7,05 cm
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CHAPITRE 3
655
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a c sin A sin C 5,3 2,4 sin 26° sin A sin A 5,3 sin 26° 2,4
c)
d)
75,48°
e)
⎠
2,4
2
⎝
104,52°
f )
a b c 2bc cos A 52 5,42 6,242 2 5,4 6,24 cos A 25 68,0976 67,392 cos A 2
2
sin 38 ° ⎞ ou m ∠ A 180° 54,1° ⎟⎠ 3,8
m ∠ A sin1 ⎛⎜ 5
m ∠ A sin1 ⎛⎜ 5,3 sin 26° ⎞⎟ ou m ∠ A 180° 75,48° ⎝
a c sin A sin C 3,8 5 sin A sin 38° 5 sin 38 ° sin A 3,8
54,1°
125,9°
c a b 2ab cos C 2 (m AB) 42 4,72 2 4 4,7 cos 47° 2
2
2
42 4,72 m AB 3,53 cm
cos A 43,0976 67,392
2
4,7 cos 47°
4
m ∠ A cos1 ⎛⎜ 43,0976 ⎞⎟ ⎝ 67,392 ⎠
50,24°
Page 133 3. a) d( A, B )
( x2 (8 22
x1 )
2
( y2
6 )2
( 1
y1 )
2
b) d ( A, B )
9 )2
2
( 10 )
104
2 26 u
aCD 0
aEF 33
12
15
225
3 )2 + ( 17
02
( 38) 2
aCD
(7
0 )2
72
142
y1 ) 2
( y2 ( 21
7)2
245 7 5 u
c) aAB 29 8
aGH 3
2
13 16 15 7 12 18
15 16
aAB aEF 16
aAB aGH 16 15 1
Les droites sont parallèles.
Les droites sont sécantes et perpendiculaires.
15
16
b) Si les droites AB et CD sont perpendiculaires, le produit de leurs pentes est 1.
2 5 2 8 1 y −1 7 8
aAB 17 aCD
2 5 2 8 2 y −1 y 1 1− 7 8
aAB aCD 1 y 1 5 1 2 8 5( y 1) 1 16 16 y 1 5 11 y 5
40 2y 2 y 21
Page 134 6. Mesure du côté AB :
656
x1 ) 2
( x2
21)2
15
y −1 5 2 8
c) d ( A, B)
aAB aCD
d( A, B )
2
17 16 3 15
5. a) Si les droites AB et CD sont parallèles, elles ont la même pente. 2 y 1
y1 )
15
Les droites sont sécantes, mais non perpendiculaires.
aAB 17
( y2
(3
8− 7
aAB aCD 16 7 112 15
2
b) aAB 29 − 13 16
15
7 7 3 15
18
x1 )
1444 38 u
4. a) aAB 29 − 13 16 8− 7
( x2
Mesure du côté BC :
( x2
x1 )
( 10
6 )2
42
( 3 )2
2
( y2 ( 2
y1 )
d(B, C )
2
1)2
25 5u
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CHAPITRE 3
( x2
x1 ) 2
( y2
(14
10 )2
(1
42
32
y1 ) 2 2) 2
25 5u
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Mesure du côté CD : d( C, D )
Mesure du côté AD :
( x2
x1 )
(10
14 )2
( 4 )2
32
( y2
2
y1 )
(4
2
d( A, D )
1 )2
25 5u
( x2
x1 ) 2
( 10
6 )2
42
32
y1 ) 2
( y2 1)2
(4
25 5u
Puisque ses côtés sont isométriques, le quadrilatère ABCD est un losange. Pente de la droite passant par les sommets A et B : aAB
2 10
1 6
3 4
Pente de la droite passant par les sommets B et C : aBC 1
2 3 10 4
14
Produit des deux pentes : aAB aBC 3 3 9 9 1 4
4
16
16
Puisque le produit des pentes des droites passant par les points A et B et par les points B et C n’égale pas 1, ces droites ne sont pas perpendiculaires. Puisque les côtés du quadrilatère ABCD sont isométriques, c’est un losange. Toutefois, puisqu’au moins deux de ses côtés adjacents ne forment pas un angle droit, ce n’est pas un carré. 7.
B
m AB m CD 7 m m ∠ D 180° m ∠ A 180° 66° 114°
(m AC)
C 7m
(m AD) (m CD) (m AD) (m CD)
2
2
m AC
4,22 72 9,52 m
2
( ) 2 (m AD ) (m CD ) cos D
2 (m AD ) m CD cos D
2
2
2
4,2
7m A
7 cos 114°
66°
114°
4,2 m D
Réponse : La tige de métal mesure environ 9,52 m.
SECTION 3.1
Introduction aux vecteurs
Page 135 1. b) c) f ) Page 138 2. a) a 138 cos 39° 107,25
b) a 27 cos 168° 26,41
c) a 48 cos 330° 41,57
b 138 sin 39° 86,85
b 27 sin 168° 5,61
b 48 sin 330° 24
AB (107,25, 86,85)
AB (26,41, 5,61)
AB ( 41,57, 24)
d) a 507 cos 210° 439,07
e) a 31 cos 30° 26,85
f )
a 415 cos 140° 317,91
b 507 sin 210° 253,5
b 31 sin 30° 15,5
b 415 sin 140° 266,76
AB ( 439,07, 253,5)
AB ( 26,85, 15,5)
AB (317,91, 266,76)
g) a 38 cos 245° 16,06 b 38 sin 245° 34,44 AB (16,06, 34,44)
h) a 87 cos 311° 57,08 b 87 sin 311° 65,66 AB (57,08, 65,66)
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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i ) a 180 cos 39° 139,89 b 180 sin 39° 113,28 AB (139,89, 113,28)
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 3
657
18-06-26 1:49 PM
3.
y 12 t 8 u 4
(12, 2,93)
0
4
4
8
4
8
12 300° v
16
x
20 120°
w (10, 7,46)
12
Page 139 4. a) AB (11, 5)
b) AB (6, 8)
c) a x2 x1 2 5 7
d) a x2 x1 2 5 7
b y2 y1 12 1
AB (7, 1) 5. a)
u
u tan
1
(())
12
u
u
17 et θ uu u 312,37
75,96°.
tan
tan
() 5 7
35,54°
c)
92
u
()
9
9 4
u
66,04°
u 180° 113,96°
e)
( 5)2
tan
5
u tan
u
1
u 180° 215,54°
u
( )
15
2) CB et DA .
12
72
(7)
45°
u
7
tan1 7
7
u 180° 135°
u
75,96°
u 712,37 2 et 135°. u
θu
b) BC et EF .
c) CD et AF ; AB, ED, CF ; BC et EF.
7. a) 1) DC
u
7 2° θ u 75,96
5
75,96°
6. a) AB et ED ; CD et AF .
θu 75,96°2 ( 7) u 12,37
18,43°
θu
18
13 et u 326,31°. u 612,37
10 et 18,43°. u 512,37
u 12,37 74 et u 215,54°.
12 55 18 77
u 360° 326,31°
f )
5 15
(())
( 12 ) 2
33,69°
4
θu 75,962 ° u 12,37 15 52 θ 75,96 5 10° u
7
182 6 13 1
97 et u 113,96°. u 12,37
74 ° θ u 75,96 1
( 4)2 97 1
75,96°
u 12,37 ( 7)2
θu Page 140
u
12,37 3
θu d)
b)
12 55 737
75,96°
AB (7, 7)
32 122 3 17
b y2 y1 4 3 7
b) 1) Ces vecteurs sont opposés.
75,96° d) Il n’y a pas de vecteurs orthogonaux.
3) Ces vecteurs sont équipollents.
2) Ces vecteurs sont équipollents.
4) Ces vecteurs sont opposés.
Page 141 8.
Composantes de AB : a x2 x1 3 5 2 b y2 y1 12 8 4 AB (2, 4)
Composantes de w :
Composantes de v : 326,31° 3,61
v
a 3,61 cos 326,31° b 3,61 sin 326,31° 3 2 (3, 2) v
w 7,07
171,87°
a 7,07 cos 171,87° b 7,07 sin 171,87° 7 1 w (7, 1)
t et AB, u et v, w et CD.
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CHAPITRE 3
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9.
Orientation de chaque vecteur : a :
b :
a 1
c : b
7
a 0°
5
a tan
1
d :
3
c
a tan
()
1
7 5
1
e
54,46° b 180° 125,54°
35
49
( 49 )
f tan1 35
e tan 3 71,57° 1
18,43°
f
9 3
d 90°
( 31)
f :
e :
d 1
35,54°
c 360° 341,57°
Vecteurs qui forment un angle droit entre eux : b et f : 125,54° 35,54° 90° a et d : 90° 0° 90°
c et e : 341,57° 71,57° 270°
b et f , c et e, a et d. 10. 9,7 m/s 0,0097 km/s 0,0097 3600 34,92 km/h Après une heure, la distance entre le bateau et la côte correspond à la composante verticale b du vecteur déplacement colinéaire au vecteur n et dont la norme est de 34,92 km et l’orientation est de 150o. b 34,92 sin 150o 17,46 km Réponse : Le bateau se trouve à une distance de 17,46 km de la côte. Page 142 11. a) a 10 cos 53,13° 6 b 10 sin 53,13° 8
b) a 5 cos (90° 53,13°) 4 b 5 sin (90° 53,13°) 3
Réponse : u (6, 8)
y
Traits de découpe
12 10
Réponse : v (4, 3)
v
8
u
6 4
53,13°
2 0
2
4
6
8
10
x
12
12. Composante horizontale de la force exercée par chacune des personnes Ariane : Mathis : a0 a0 a 206 cos 14° 199,88
a 215 cos 36° 173,94 | 173,94| 199,88
Réponse : Puisqu’en valeur absolue la composante horizontale du vecteur associé à Ariane est plus grande que celle du vecteur associé à Mathis, c’est Ariane qui devrait remporter l’épreuve.
SECTION 3.2
Projection d’un vecteur, addition et soustraction de vecteurs
Page 143 1. a)
A
b)
B'
d
c)
B
d
B'
A A B'
B
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B
d
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Page 144 2. a) 1) 2)
u' 28 cos (180° 112°) 10,49
u' 28 cos (112° 90°) 25,96 u' 145 cos (360° 340°) 136,26
d) 1)
u' 145 cos (340° 270°) 49,59
2)
c) 1) 2) 3.
b) 1) 2)
u' 47 cos 41° 35,47
u' 47 cos (90° 41°) 30,83
u' 1814 cos (196° 180°) 1743,73
u' 1814 cos (270° 196°) 500,01
Norme de la projection orthogonale f ' sur le plan incliné : f ' 218 cos 35° 178,58 N
Mesure de l’angle entre f et le plan incliné : 56° 21° 35°
Réponse : La norme de la force contribuant efficacement au déplacement de ce corps est d’environ 178,58 N. Page 146 4. a) AD (relation de Chasles) c)
MC ( AM
AM
b) AB (relation de Chasles)
MC)
d)
BC
CD (vecteurs opposés)
BD (relation de Chasles)
AC (relation de Chasles) Page 147 e)
DM
BA (vecteurs opposés)
MB
BA (DM
f )
MB)
MA (relation de Chasles)
BC
DA (vecteurs opposés)
BC
CB (DA
CB)
BB (relation de Chasles) 0
g)
AC
DA
MD (vecteurs opposés)
MD
DA
AC (commutativité)
MA
AC (relation de Chasles)
h)
MC (relation de Chasles)
BC
MB
CM (DM
MB)
MB
BC
CM (commutativité)
MC
CM (relation de Chasles)
MM (relation de Chasles) 0
5. a)
b)
z w
v w z
u v
u
c)
d)
c
a b
d a
c d e e
b
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Page 148 6. a) z (1 5, 8 4) (6, 4)
b) z (5 3, 4 7) (8, 3)
c) z (3 1 5, 7 8 4) (7, 5)
e) z (1 5 3, 8 9 7) (3, 8)
f )
z (5 5 1 1, 9 9 8 8) (12, 2)
h) z (5 1 5 1, 4 8 4 8) (0, 0) b) 34 5 b b 39
i )
z (5 3 3 5, 4 7 7 4) (10, 8)
c)
7 21 a a 14 5 32 b b 37
d) a 5 3 a 2
e) b 18 0 b 18
f )
a 40 60 a 100 b 7 94 b 87
g) 36 a 31 a 67
h) 42 b 74 b 32
i )
61 a 103 a 42 75 b 83 b8
d)
z (5 5, 9 9) (10, 18)
g) z (1 5 3 5, 8 4 7 9) (2, 6) 7. a) 2 4 a a6
Page 149 8. a) m ∠ ABC 180° 110° 32° 102° u
v
42 7,02
52
2
4
b) m ∠ ACB 180° 114° 38° 104° 5 cos 102° C B
5 7,02 sin A sin 102° 5
u
⎝
A
sin 102° ⎞ ⎟⎠ 7,02
sin A 4
110°
u
v
⎝
110° 44,14° 65,86°
v
32 8,74
v u v sin C sin A 7 8,74 sin A sin 116°
sin A 7
72
u
2
3
⎝
v
sin 116° ⎞ ⎟⎠ 8,74
127° 46,03° 173,03°
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127°
u A
46,03° u
127° C
v
sin 116° 8,74
m ∠ A sin1 ⎛⎜ 7
5
4 cos 104° B v
114°
38°
C u 38°
sin 104° ⎞ ⎟⎠ 7,12
A
38° 33,04° 71,04°
v
d) Composantes du vecteur u : a 5 cos 64° b 5 sin 64° 2,19 4,49 Composantes du vecteur v : a 3 cos 297° b 3 sin 297° 1,36 2,67
7 cos 116° 191°
B
2
33,04°
c) m ∠ ACB 180° 191° 127° 116° u
42
sin 104° 7,12
m ∠ A sin1 ⎛⎜ 4
44,14°
52 7,12
v u v sin C sin A 7,12 4 sin 104° sin A
110° v 32°
sin 102° 7,02
m ∠ A sin1 ⎛⎜ 5
v
u v v sin A sin B
sin A
u
u
v
u u
v
v
( a1 a2, b1 b2) (2,19 1,36, 4,49 2,67) (0,83, 7,17) 0,832 7,21
7,172
tan1 ⎛⎜ 7,17 ⎞⎟ ⎝ 0,83 ⎠
83,39°
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CHAPITRE 3
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Page 150 f ) Composantes du vecteur u : a 5 cos 73° b 5 sin 73° 1,46 4,78 Composantes du vecteur v : b 9 sin 345° a 9 cos 345° 8,69 2,33
e) Composantes du vecteur u : a 6 cos 53° b 6 sin 53° 3,61 4,79 Composantes du vecteur v : a 3 cos 155° b 3 sin 155° 2,72 1,27 Composantes du vecteur w : a 6 cos 45° b 6 sin 45° 4,24 4,24 u
v
w
u
v
( a1 a2 a3, b1 b2 (3,61 2,72 4,24, 4,79 1,27 4,24) (10,57, 7,77)
w
u
v
w
10,572 13,12
u
b3 )
v
u u
( a1 a2, b1 b2 ) (1,46 8,69, 4,78 2,33) (10,16, 2,45)
v v
( 10,16)2 ( 2,45)2 10,45 180° tan1 ⎛⎜ 2,45 ⎞⎟ ⎝ 10,16 ⎠
193,58°
7,772
tan1 ⎛⎜ 7,77 ⎞⎟ ⎝ 10,57 ⎠ 36,3°
9. Hypothèses
• ABCD est un parallélogramme. • M est le milieu de la diagonale BD. • N est le milieu de la diagonale AC.
Conclusion
Les diagonales AC et BD se rencontrent en leur milieu.
B
Affirmation
A
D
Justification
1. MN
MB
BA
AN
Par la relation de Chasles
2. MN
MD
DC
CN
Par la relation de Chasles
3. MN
MN
MB
BA
AN
MD
DC
CN
Énoncé 1 énoncé 2 MD
BM
DC
AB
4. 2MN
MB
MD
BA
DC
AN
CN
Par la commutativité de l’addition vectorielle
5. 2MN
MB
BM
BA
AB
AN
NA
MD BM, DC équipollents. DC AB CN
6. 2MN 7. MN
0
0
C
MD
BM
AB et CN
NA. Ce sont des vecteurs
NA
CN sont NA des vecteurs opposés. Ce
0
0
8. Les diagonales AC et BD se rencontrent en leur milieu.
M et N sont confondus (énoncé 7).
Page 151 10. a) h ((7, 0) 0) k (0, (0, 5)5)
b) h (29, ( 7, 0) 0) k (0, (0, 65) 5)
c) a 41 cos 51° 25,8 b 41 sin 51° 31,86 h ( ( 7,25,8, 0 ) 0) k (0, (0, 5)31,86)
d) a 231 cos 209° 202,04 b 231 sin 209° 111,99
662
e) a 618 cos 281° 117,92 b 618 sin 281° 606,65
f ) a 239 cos 157° 220 b 239 sin 157° 93,38
0) h ( 0) ( 7,202,04,
0) h ( 0) ( 7,117,92,
h ( 0 ) 0) ( 7,220,
k (0, (0, 5)111,99)
k (0, (0, 5)606,65)
k (0, (0, 5)93,38)
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Page 152 11.
ABCD est un parallélogramme. AB BC BC AB
Hypothèse Conclusion
B
C
A
D
Affirmation
1. AB BC AC
Justification
Par la relation de Chasles
2. AD DC AC
Par la relation de Chasles
3. BC DC AD AC DC AC
AD BC Ce sont des vecteurs équipollents.
4. BC AB BC AC DC AC
DC AB Ce sont des vecteurs équipollents.
5. AB BC BC AB
Par transitivité de l’énoncé 1 sur l’énoncé 4
12. Norme et orientation de d, représentant le déplacement effectué par un avion volant de l’aéroport A à l’aéroport B : d 6200 d 90° 72° 18° Norme et orientation de AB, représentant la vitesse d’un avion se rendant de l’aéroport A à l’aéroport B en 9 h : 6200 ÷ 9 688,8 km/h AB
688,8
AB 18° Composantes de AB : a 688,8 cos 18° 655,17 b 688,8 sin 18° 212,88
Composantes de v, représentant la vitesse du vent. a 40 b0 Composantes de u, représentant la vitesse de l’avion pour qu’il se rende de l’aéroport A à l’aéroport B en 9 h. u v AB (a, b) (40, 0) (655,17, 212,88) a 40 655,17 a 615,17 b 0 212,88 b 212,88 u (615,17, 212,88) Norme et orientation de u : u
615,172 212,882 650,96 km/h
tan u 212,88 615,17
u tan1 ⎛⎜ 212,88 ⎞⎟ ⎝ 615,17 ⎠
19,09° Réponse : La norme et l’orientation de la vitesse de l’avion doivent respectivement être d’environ 650,96 km/h et d’environ 19,09°. Page 153 13. La vitesse c du courant et celle v du vent sont des grandeurs vectorielles. L’effet de ces deux vitesses sur le ballon s’additionne. Puisque v et c sont orthogonaux, la norme du vecteur résultant de v v
c
v
2
c
c est de :
2
3,32 1,4 2 3,58 m/s
c
d 3,58 60 5 1075,41 m
v
Réponse : Au bout de 5 min, le ballon aura parcouru environ 1075,41 m.
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CHAPITRE 3
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14. a) Pour que le vecteur résultant soit vertical, la composante horizontale doit être nulle. Ainsi, la composante horizontale, a2, de la force appliquée par le treuil B doit annuler la composante horizontale, a1, de la force appliquée par le treuil A. Composante a1 de la force appliquée par le treuil A : a1 328 cos 51° 206,42
cos a 206,42
206,42 a2 0 a2 206,42
Mesure de l’angle inconnu : 427
(
a cos1 206,42 61,09°
427
)
Réponse : La mesure de l’angle a doit être d’environ 61,09°. b) Composantes de la force appliquée par le treuil A : a1 206,42 b1 328 sin 51° 254,9 Composantes de la force appliquée par le treuil B : tan a tan 61,09°
Composantes de la force résultante, r : ( 206,42, 254,9) ( 206,42, 254,9) ( 206,42, 373,79) r (0, 628,7)
( 206,42, 373,79)
b2 a2
b2 206,42
b2 206,42 tan 61,09° 373,79 Réponse : La force résultante est d’environ 628,7 N et elle est orientée vers le haut. Page 154 15. Composantes de m : a 20 sin 15° b 20 cos 15° 5,18 19,32 m ((5,18, 19,32) 19,32) Pour m v c : a 5,18 9,34 5,62 1,46 b 19,32 3,58 13,91 1,83 m v c ((1,46, 1,46, 1,83) 1,83) Norme de la somme vectorielle m m
v
c
( 1,46) 1,83 2,34 km/h 2
Composantes de v : a 10 cos 21° b 10 sin 21° 9,34 3,58
Composantes de c : a 15 sin 22° b 15 cos 22° 5,62 13,91
v (9,34, 3,58) (9,34,3,58)
13,91)) c ((5,62, 5,62, 13,91
Orientation de la somme vectorielle m v c : tan a 1,83 m v c 180° 1,46 a tan1 ⎛⎜ 1,83 ⎞⎟
128,62°
⎝ 1,46 ⎠
v
c :
2
51,38° Norme du déplacement au bout de 30 min : d 0,5 2,34 1,17 km
Réponse : L’embarcation aura parcouru une distance d’environ 1,17 km selon une orientation d’environ 128,62°. 16. Norme et orientation de u, représentant le déplacement de la plaque sud-ouest : u 2,17 u 90° 39° 51° Composantes de u : a 2,17 cos 51° b 2,17 sin 51° 1,37 1,69 u 1,37, 1,69) 1,69) ((1,37, Norme et orientation de v, représentant le déplacement de la plaque sud-est : v
2,23
v 180° (180° (80° u )) 180° (180° (80° 51°)) 131°
N u
80°
39° u u
v v
Composantes de v : a 2,23 cos 131° b 2,23 sin 131° 1,46 1,68 ((1,46, v 1,46, 1,68) 1,68 ) Composantes de r, représentant le déplacement u de l’archipel : a 1,37 1,46 b 1,69 1,68 0,1 3,37 Norme et orientation de r : r
( 0,1)2
3,372
3,37 cm/année
v
AB
r 180° tan1 ⎛⎜ 3,37 ⎞⎟ 91,66°
⎝ 0,1 ⎠
Réponse : L’archipel se déplace d’environ 3,37 cm par année selon une orientation d’environ 91,66°.
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CHAPITRE 3
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Multiplication d’un vecteur par un scalaire
SECTION 3.3 Page 156 3u |3| 54 u
1. a)
1 1 uu u 5 5
b)
3 18 54 r 54 et r 51°.
d)
– 3 u
180°
c)
0,25 u |0,25| 6,25 u 0,25 25 6,25 r 6,25 et r 37°.
1 600 5
120 r 120 et r 215°. 2 u = 342 uu 3 3 2 51 3
e)
3u 51 3 u 3 17 51
f )
34 – 3 u 180° 75° 255° – 2 u = 318° − 180° = 138 75° 255° – 8°u 3 ° = 138° r 51 et r 255°. – 23 u = 318° − 180 r 34 et r 138°.
2. a) Composantes de u : a 72 cos 47° b 72 sin 47° 49,1 52,66 5u 5(49,1, 52,66) (5 49,1, 5 52,66) (245,52, 263,29)
8u 40 8 u 85 40 270°
– 8 u 270°
180°
90°
° 180 90° r 40 et r 90°.
b) Composantes de u : c) Composantes de u : a 38 cos 139° b 38 sin 139° a 218 cos 216° b 218 sin 216° 28,68 176,37 128,14 24,93 2 u 2( 28,68, 24,93) 1 1 (176,37, 128,14) u 2 2 (2 28,68, 2 24,93) (57,36, 49,86) 1 176,37, 1 128,14
(2
)
2
(88,18, 64,07) d) Composantes de u : a 229 cos 62° b 229 sin 62° 202,19 107,51
e) Composantes de u : a 27 cos 8° b 27 sin 8° 26,74 3,76 33 4(26,74, 3,76) 4 u ( 107,51, ) ) 202,19 ( 107,51,202,19 44 (4 26,74, 4 3,76) 33 3 3 107,51, 202,19 107,51, 202,19 (106,95, 15,03)
33 uu 44
(( 44
f ) Composantes de u : a0 b 227 5 u 5(0, 227) (5 0, 5 227) (0, 1135)
) )
4 4
( ( 80,63, ) ) 80,63, 151,65 151,65 Page 157 b)
3. a) 7 u 7(5, 3) (7 5, 7 3) (35, 21)
9 u 9(2, 8) (9 2, 9 8) (18, 72)
1 1 (45, 16) u 2 2 1 45, 1 2 2
c)
(
16
(22,5, 8) 1 u 3
d)
1 (4, 36) 3
( 31 4, ( 4 , 12) 3
e) 1 3
36
)
1442
b) 9 u (144, 45) (144, 45) 2042
12 433
a 0, b 0 → 1er quadrant 12 u
tan1
204 ( 144 )
54,78°
r 12 433 et r 54,78°.
9u
f )
(5
1
200, 1 × 90 5
)
1442
2 2 3,2) u (6,4, 6,4 ( 3,2)2 5 2 u 6,42 ( 3,2)2 5
c) ( 45)2
9 281
a 0, b 0 → 4e quadrant
( ) 45 144
9 u 360° tan 342,65° r 9 281 et r 342,65°.
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1 1 (200, 90) u 5 5
(40, 18)
4. a) 12 u (144, 204 ) (144, 204) 12 u
2 u 2(3, 7) (2 3, 2 7) (6, 14)
)
1
51,2
a 0, b 0 → 4e quadrant 3,2 – 2 u 360° tan1 ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ 6,4 5 333,43° r 51,2 et r 333,43°.
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 3
665
18-06-26 1:49 PM
2 36) 3 u (63, ( 63) ( 36)2
d)
3u
( 63)2
2 1,25) 0,25u (2,5, ( 2,5) ( 1,25)2
e)
0,25u
( 36)2
9 65
a 0, b 0 → 3 quadrant e
( 63 )
– 3 u
180° tan1 36
209,74°
r 9 65 et r 209,74°.
( 2,5)2
( 1,25)2
33 uu 55
7,8125
a 0, b 0 → 3e quadrant – 0,25 u 180° tan
1
3 (4,2, 5,4) u ( 4,2) 2 5
f )
(( 4,2) 4,2)22
5,4 2 5,4 5,422
46,8
a 0, b 0 → 2e quadrant
⎛ 1,25 ⎞ ⎜⎝ ⎟ 2,5 ⎠
3 u 180° tan1 ⎛⎜ 5,4 ⎞⎟
206,57° r 7,8125 et r 206,57°.
5
⎝ 4,2 ⎠
127,87°
r 46,8 et r 127,87°.
Page 158 5. a)
m1v1 m2 v 2 m1v '1 m2 v '2 b) 3(6, 5) 1(3, 21) 3(3, 3) 1(a, b) (18, 15) (3, 21) (9, 9) (a, b) 18 3 9 a a 12 15 21 9 b b 3
m1v1 m2 v 2 m1v '1 m2 v '2 5(9, 3) 12(3, 1) 5(a, b) 12(4,5, 1,5) (45, 15) (36, 12) (5a, 5b) (54, 18) 45 36 5a 54 a 5,4 15 12 5b 18 b 1,8
1,8 ) Réponse : v'1 (5,4, (5,4, 1,8)
3) Réponse : v'2 (12, (12, 3)
c)
d)
m1v1 m2 v 2 m1v '1 m2 v '2 75( 3, 12) 250(10, 40) 75(a, b) 250(0, 0) (225, 900) (2500, 10 000) (75a, 75b) 225 2500 75a a 30,3
m1v1 m2 v 2 m1v '1 m2 v '2 35(4, 81) 19( 7, 18) 35(45, 36) 19(a, b) (140, 2835) (133, 342) (1575, 1260) (19a, 19b) 140 133 1575 19a
a 1568 19
900 10 000 75b b 121,3
Réponse : v'1
2835 342 1260 19b b 1917
( 30,3, 121,3 )
19
Réponse : v'2
1568 , 1917 100,89 ) (( 82,53, 19 19 )
Page 159 6. a) d ( 18 45, 18 (63, 79) d ( 63, 79) v v
61)
tv 40 v ( 1,575, 1,975)
( 1,575)2
b) d ( 21 6, 21 (15, 3) d tv (15, 3) 7 v 15 3 v , 7 7
(
v
( 1,975)2
6,381 25 m/s
(647, 813)
)
v
2
3 7
2
v
3 26 m/s
a 0, b 0 → 3e quadrant
v 180° tan1 ⎛⎜ 1,975 ⎞⎟ ⎝ 1,575 ⎠ 231,43°
a 0, b 0 → 1er quadrant
Réponse : v 6,381 25 m/s et v 231,43°.
7
(5)
v tan1 1 11,31° Réponse : v v 11,31°.
666
d
( ) ( ) 15 7
47, 800 ( 600 c) d (647, 813)
18 )
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 3
3 26 m/s et 7
13 )
tv 70 v 647 , 70
(
( 647 ( 70 ) 2
813 70 813 70
)
)
2
1 079 578 m/s 70
a 0, b 0 → 4e quadrant
( )
v 360° tan1 813 647 308,51°
Réponse : v 1 079 578 m/s 70
et v 308,51°.
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7.
Composantes du vecteur v représentant la vitesse (en m/s) de l’avion : a 6 cos 216° 4,85 b 6 sin 216° 3,53 v
216°
( 4,85, 3,53)
Le vecteur d représentant le déplacement se définit comme d où t est le temps (en s). 3 min 60 3 180 s d
y
O
v
tv,
x
180 ( 4,85, 3,53)
(873,74, 634,81) Réponse : On devrait récupérer l’avion aux coordonnées ( 873,74, 634,81). Page 160 8.
Composante de la force contribuant au déplacement horizontal lorsqu’une seule personne tire sur la charge : a 278 cos 27° Norme de la force lorsque trois personnes tirent avec une force de 278 N : 3 f 3 =f |3| 3 = f3 f 3 278 Composante a' de la force contribuant au déplacement horizontal lorsque trois personnes tirent sur la charge : a 3 278 cos 27° 3 (278 cos 27°) 3a Réponse : La composante de la force contribuant au déplacement horizontal de la charge est effectivement triplée lorsque deux personnes s’ajoutent et tirent avec la même force que la première personne.
9. a) Norme du vecteur a :
b) m 0,5 99,9 49,95 kg Puisque f m a : a 0,71) f 49,95(2,19, ( 218,74, 71,07 ) (109,39, 35,47) f 109,392 35,472 115 N
m|| a || 2,19 0,71
f
2
2
5,3002 m/s2 Masse de l’objet : ff m maa 230 N 5,3002 m
f tan1 ⎛⎜ 35,47 ⎞⎟
m 99,9 kg
⎝ 109,39 ⎠
17,96°
Réponse : La masse de l’objet est d’environ 99,9 kg.
Réponse : La norme de la force nécessaire est de 115 N et son orientation est d’environ 17,96°.
Coordonnées d’un point de partage
SECTION 3.4 Page 162
b) 1) 4 : 3
c) 1) 2 : 5
2) 2
2) 4
2) 2
d) 1) 1 : 1
e) 1) 3 : 7
f ) 1) 1 : 2
1. a) 1) 2 : 3 5
7
2) 1
2)
2
2. a) 3 : 5 3. a) c)
(7 (6
b)
3 10
2) 1 3
4 15
)
1 3
(5
7 ), 6
1 3
(0
4 5
(9
6) , 9
4 5
(1 − 9) 5 (6, 2,6)
6 ) 5 (23, 4)
)
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7
c) 1 : 1 b) d)
(7 (10
5 12
(5
7 ), 2
5 12
(7
)
2 ) 5 (22, 1,75)
) (
)
1 1 ( 1 2 10 ), 3 ( 7 2 3 ) 5 8, 5, 11 3 6 6
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 3
667
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Page 163 b) Soit x, la fraction de la longueur du segment AB. (( 44 xx ((11 44),), 55 xx ((55 55)))) 5 (2, 1) ( 4 5x, 5 10x) 5 (2, 1) 4 5x 5 2 5x 5 2
4. a) Soit x, la fraction de la longueur du segment AB. x ( 15 7 ), 10 x ( 1 10 ) ) 5 (11, 5,5) ( 7 (7 8x, 10 9x) 5 (11, 5,5) 7 8x 5 11 8x 5 4 x 5 4
x 5 2
Le point C est situé aux 2 de la longueur 5 du segment AB.
8 51 2
5
Le point C est situé à la 1 de la longueur 2 du segment AB.
b) Composantes du vecteur AB : (3 21, 15 12) (24, 3)
5. a) Composantes du vecteur AB : (3 7, 8 5) (10, 3) 1
AB (10, 3) k 4 (10, 3), P(x, y)
(7
1 4
10, 5
1 4
3
)
(
24, 12
3
)
3
)
25
AB (16, 3) k 2 ( 24,87),
)
(
P(x, y) 2
(8 6,5, 16 12,5) (1,5, 3,5)
3
2 3
2 3
16, 3
(2 32 , 3 58) 3
5
(
P(x, y) 0
3 5
30, 0
3 5
68
)
(0 18, 0 40,8) (18, 40,8)
f ) Composantes du vecteur AB : (5 10, 10 5) (15, 15)
e) Composantes du vecteur AB : (18 2, 90 3) (16, 87)
2
1 2
(
1 10
(21 2,4, 12 0,3) (18,6, 12,3)
25), AB ((13, 25 ) k 1 13, 16
10
P(x, y) 21 1 10 1 1 24, 12 10 10
(21
d) Composantes du vecteur AB : (5 8, 9 16) (13, 25) 1 2
AB ((30, 68), 68 ) k 3
1 AB ((24, 3), 3) k
(7 2,5, 5 0,75) (4,5, 5,75)
P(x, y) 8
c) Composantes du vecteur AB : (30 0, 68 0) (30, 68)
87
)
AB ((15, 24, 15), 3) k 1
(10
(
P(x, y) 10 1 5
15, 5
1 5
5
1 5
15, 5 15
)
1 5
15
)
(10 3, 5 3) (7, 2)
(12,6, 61) Page 164 6. a) Hypothèses
Conclusion
• ABC est un triangle. • M est le milieu du côté AB. • N est le milieu du côté BC.
B M A
MN MN//// // AC AC Affirmation
C
Justification
Par la relation de Chasles
1. MN
MB
2. MN
1 AB 2
1 BC 2
Par hypothèse et par l’énoncé 1
3. MN
1 AB 2
(
BC)
Par la distributivité de la multiplication par un scalaire sur l’addition vectorielle
4. MN
1 AC 2
BN
Par la relation de Chasles
5. MN MN//// // AC AC b) Il a été démontré en a) que MN 7.
N
Puisque ku et // u sont colinéaires. 111 1 m AC . Par conséquent, m m mMN MN5 2 m mAC AC, puisque ku 2 22
Puisque le point P se trouve au quart du vecteur AB, AB AB 4( 4 (2, 2, 1) 1) ((8, 8, 4) 4) Coordonnées du point B : (3 8, 8 4) (5, 12)
k
u .
4 AP.
Les coordonnées du point B sont (5, 12). 8.
Puisque le point P se trouve aux 2 du vecteur AB, AB 3 AB 3 (12, 6) (18, 9)
3 AP . 2
2
Coordonnées du point A : (7 18, 5 9) (11, 14) Les coordonnées du point A sont (11, 14).
668
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 3
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Page 165 9.
B
• ABCD est un quadrilatère. • M, N, O et P sont les milieux respectifs des côtés AB, BC, CD et AD.
Hypothèses
M
Affirmation
C
P
Le quadrilatère MNOP est un parallélogramme.
Conclusion
N
A D
O
Justification
Par la relation de Chasles
1. MN
MB
2. MN
1 AB 2
1 BC 2
3. MN
1 AB 2
(
BC)
4. MN
1 AC 2
BN
Par hypothèse et par l’énoncé 1 Par la distributivité de la multiplication sur l’addition vectorielle Par la relation de Chasles Par la relation de Chasles
5. PO
PD
6. PO
1 AD 2
1 DC 2
Par hypothèse et par l’énoncé 5
7. PO
1 AD 2
(
DC)
Par la distributivité de la multiplication sur l’addition vectorielle
8. PO
1 AC 2
Par la relation de Chasles
9. MN
PO
Par transitivité de l’énoncé 4 sur l’énoncé 8
DO
10. MN ////PO MN// PO et m MN
Par les propriétés des vecteurs équipollents
m PO
11. MP
MA
12. MP
1 BA 2
1 AD 2
13. MP
1 BA 2
(
AD )
14. MP
1 BD 2
15. NO
NC
16. NO
1 BC 2
17. NO
1 BC 2
18. NO
1 BD 2
Par la relation de Chasles
19. MP
NO
Par transitivité de l’énoncé 14 sur l’énoncé 18
Par la relation de Chasles
AP
Par hypothèse et par l’énoncé 11 Par la distributivité de la multiplication sur l’addition vectorielle Par la relation de Chasles Par la relation de Chasles
CO 1 CD 2
(
CD
Par hypothèse et par l’énoncé 15
)
20. MP MP//// //NO NO et m MP
Par la distributivité de la multiplication sur l’addition vectorielle
Par les propriétés des vecteurs équipollents
m NO
21. Le quadrilatère MNOP est un parallélogramme.
Ses côtés opposés sont parallèles et isométriques.
Page 166
(
)
? 2a 1 2 5 8 0,5a 1 5 5 14 a ) 5 (8, 14) 2a 5 6 0,5a 5 9 ? (4 1 2a 2 2, a 1 5 2 0,5a) 5 (8, 14) a 5 3 a 5 18 3 18 ? (2a 1 2, 0,5a 1 5) 5 (8, 14) Puisque la valeur associée à la variable a n’est pas la même, le point C(8, 14) n’est pas le point milieu du segment AB.
10. 4
1 2
(4a
4 ), a
1 2
( 10
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 3
669
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11. Coordonnées du point B :
(1
Coordonnées du point C :
(4
)
1 1 ( 13 2 1), 10 ( 1 2 10 ) 5 (4, 7,75) 4 4
)
4 4 ( 13 2 4 ), 7, 75 ( 1 2 7, 75 ) 5 (8, 4,75) 9 9
Coordonnées du point F : (4, 1)
Coordonnées du point E : (8, 1)
Longueur du renfort BF : 7,75 2 1 5 6,75 m
Longueur du renfort CE : 4,75 2 1 5 3,75 m
Réponse : Le renfort BF mesure 6,75 m et le renfort CE, 3,75 m. Page 167 12. Soit x, la fraction de la longueur du segment AB. x ( 60 40 ), 80 x ( 30 80 )) 5 (44, 70) ( 40 (40 20x, 80 50x) 5 (44, 70)
40 20x 5 44 20x 5 4 x 5 4
20
51
5
Isabelle est située au 1 de la longueur du trajet AB, donc un rapport de 1 : 4. 5
Réponse : Sa position sépare le trajet AB dans un rapport de 1 : 4 à ce moment. Coordonnées de la moitié M du parcours 13. Coordonnées de l’endroit S d’où provient le signal Composantes du vecteur PD : de détresse Soit les coordonnées du port de départ P(276, 321) et (380, 230) et k 1 2 les coordonnées du port de destination D(104, 91). 1 1 M 276 380, 321 230 Composantes du vecteur PD : 2 2 (104 276, 91 321) (380, 230) et k 0,4 (276 190, 321 115) S (276 0,4 380, 321 0,4 230) (86, 206) (276 152, 321 92) (124, 229)
(
)
Réponse : La zone de recherche est délimitée par les points S(124, 229) et M(86, 206). Page 168 14. a) La vitesse (en km/jour) peut être représentée par le vecteur v dont les composantes sont : b 100 sin 319° a 100 cos 319° 75,47 65,61 Le déplacement d (en km) peut être représenté par d 18 v . d 18 ( 75,47, 65,61) ( 1358,48, 1180,91) Le signal des balises est perdu à partir du moment où 15 % de la migration a été effectué : p 0,15 (1358,4, 1180,91) ( 203,77, 177,14 ) Le point de départ de la migration se trouve aux coordonnées (216, 321). Le point P à partir duquel le signal des balises est perdu est situé approximativement aux coordonnées (216 203,77, 321 177,14) (12,23, 143,86). Le signal des balises réapparaît au moment où 23 % de la migration a été effectué. ( 312,45, 271,61) r 0,23 (1358,4, 1180,91) Le point de départ de la migration se trouve aux coordonnées (216, 321). Le point R à partir duquel le signal des balises réapparaît est situé approximativement aux coordonnées (216 312,45, 321 271,61) (96,45, 49,39). Réponse : Le signal des balises est perdu à partir du point P( 12,23, 143,86) et réapparaît à partir du point R( 96,45, 49,39). b) La portion du déplacement pendant lequel le signal des balises est perdu peut être représentée par le vecteur PR : PR
12,23, 49,39 ( 96,45 (108,68, 94,47 )
143,86 )
PR
108,682 144
( 94,47)2
Réponse : Le signal des balises est perdu sur une distance de 144 km. c) PR
k v , où PR correspond à la portion du déplacement (en km) pendant lequel le signal des balises est
perdu, v correspond à la vitesse (en km/jour) du groupe et k correspond au scalaire représentant le temps pendant lequel le signal des balises est perdu : (108,68, 94,47) k(75,47, 65,61) k 1,44 jour Réponse : Le signal des balises est perdu pendant 1,44 jour.
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 3
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Combinaison linéaire
SECTION 3.5 Page 170 1. a) Composantes de u : a 77 cos 23° 70,88 b 77 sin 23° 30,09 u (70,88, 30,09) Ainsi, u
70,88 i
b) Composantes de u : a 440 cos 112° 164,83 b 440 sin 112° 407,96 u (164,83, 407,96) 30,09 j .
Ainsi, u
c) Composantes de u : a 1511 cos 328° 1281,4 b 1511 sin 328° 800,71 u (1281,4, 800,71) Ainsi, u
1281,4 i
d) Composantes de u : a 98 cos 71° 31,91 b 98 sin 71° 92,66 u (31,91, 92,66)
800,71 j .
Ainsi, u
16,16 i
92,66 j .
31,91i
f ) Composantes de u : a 11 cos 235° 6,31 b 11 sin 235° 9,01 u (6,31, 9,01)
e) Composantes de u : a 27,5 cos 126° 16,16 b 27,5 sin 126° 22,25 u (16,16, 22,25) Ainsi, u
407,96 j .
164,83 i
22,25 j .
Ainsi, u
6,31i
9,01 j .
Page 171 2. a) w 2(9, 21) 5(24, 36) (18, 42) (120, 180) (102, 138) d) w 1 (9, 21) (24, 36) 3
(3, 7) (24, 36) (21, 29) 3. a)
w k1u k 2 v (33, 31) k1(6, 2) k2(3, 5) 33 6k1 3k2 31 2k1 5k2 k1 2, k2 7 w
2u
b) w 4(9, 21) 4(24, 36) (36, 84) (96, 144) (132, 228)
c) w 7(9, 21) 2(24, 36) (63, 147) (48, 72) (111, 219)
e) w (9, 21) 0,25(24, 36) (9, 21) (6, 9) (15, 30)
f )
w 2 (9, 21) 1 (24, 36) 3 2 (6, 14) (12, 18) (18, 32)
b)
c)
w k1u k 2 v (96, 120) k1(7, 8) k2(31, 22) 96 7k1 31k2 120 8k1 22k2 k1 4, k2 4
7v
w k1u k 2 v (1035, 1953) k1(180, 201) k2(315, 270) 1035 180k1 315k2 1953 201k 270k 1 2 k1 3, k2 5 w
d)
e)
w k1u k 2 v ( 66, 44) k1( 18, 26) k2( 7, 7) 66 18k 7k 1 2 44 26k1 7k2 k1 2,5, k2 3
w
2,5 u
3v
w
4u
4v
5v w k1u k 2 v
f )
( 596,1, 95,7) k1(118, 11) k2(31, 22) 596,1 118k 31k 1 2 95,7 11k1 22k2 k1 4,5, k2 2,1
w k1u k 2 v (286,7, 775) k1(181, 218) k2(27, 57) 286,7 181k1 27k2 775 218k 57k 1 2 k1 2,3, k2 4,8
w
w
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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3u
4,5 u
2,1v
2,3 u
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
4,8 v
CHAPITRE 3
671
18-06-26 1:50 PM
Page 172 4. a) Composantes de u : a 2,24 cos 57° b 2,24 sin 57° 1,22 1,88 Composantes de v : a 3,16 cos 115° b 3,16 sin 115° 1,34 2,86 Composantes de w : a 2,83 cos 322° b 2,83 sin 322° 1,74 2,23 w k1u k 2 v (2,23, 1,74) k1(1,22, 1,88) k2(1,34, 2,86) 2,23 1,22k1 1,34k2 1,74 1,88k 2,86k 1 2 k1 0,68, k2 1,05 w
0,68 u
1,05 v
w
c) Composantes de u : b 22,4 sin 334° a 22,4 cos 334° 20,13 9,82 Composantes de v : b 90 sin 80° a 90 cos 80° 15,63 88,63 Composantes de w : a 22,4 cos 212° b 22,4 sin 212° 19 11,87 w k1u k 2 v (19, 11,87) k1(20,13, 9,82) k2(15,63, 88,63) 19 20,13k 15,63k 1 2 11,87 9,82k 88,63k 1 2 k1 0,77, k2 0,22 w
0,77 u
b) Composantes de u : a 361 cos 123° b 361 sin 123° 196,61 302,76 Composantes de v : a 424 cos 46° b 424 sin 46° 305 294,54 Composantes de w : a 224 cos 56° b 224 sin 56° 185,7 125,26 w k1u k 2 v (125,26, 185,7) k1(196,61, 302,76) k2(294,54, 305) 125,26 196,61k1 294,54k2 185,7 302,76k1 305k2 k1 0,11, k2 0,5
0,22 v
0,11u
0,5 v
d) Composantes de u : b 141 sin 212° a 141 cos 212° 119,57 74,72 Composantes de v : b 158 sin 116° a 158 cos 116° 69,26 142,01 Composantes de w : a 320 cos 63° b 320 sin 63° 145,28 285,12 w k1u k 2 v (145,28, 285,12) k1(119,57, 74,72) k2(69,26, 142,01) 145,28 119,57k1 69,26k2 285,12 74,72k1 142,01k2 k1 1,82, k2 1,05 w
1,82 u
1,05 v
Page 173 5. a) Composantes du vecteur u, représentant le premier déplacement : a 8 cos 136° 5,75 b 8 sin 136° 5,56 u
5,75 i
6.
12,75 i
u 8m 136° O
5,56 j
b) Composantes du vecteur v, représentant le second déplacement : a 7 5,75 b 9 5,56 12,75 14,56 v
y
14,56 j
Composantes du vecteur u, représentant les tunnels rouges : a 7,28 cos 16° b 7,28 sin 16° 7 2,01 u (7, 2,01)
x
c) Composantes du vecteur w, représentant le troisième déplacement : a07 b 0 9 7 9 w 7i 9 j Composantes du vecteur v, représentant les tunnels verts : a 9,43 cos 122° b 9,43 sin 122° 5 8 v (5, 8)
Combinaison linéaire permettant d’exprimer le vecteur w (13, 32) tel que : w = k1 u k2 v : (13, 32) k1 (7, 2,01) k2(5, 8) 13 7k1 5k2 32 2,01k1 8k2 k1 4, k2 3 w 4u 3v Réponse : Un joueur doit utiliser 4 tunnels rouges et 3 tunnels verts.
672
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 672
CHAPITRE 3
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18-06-26 1:50 PM
Page 174 7.
Composantes du vecteur OA : a 134,63 cos (66,19° 92°) 124,99 b 134,63 sin (66,19° 92°) 50,02 Composantes du vecteur OB : a 185,81 cos 66,19° b 185,81 sin 66,19° 75,01 170
Composantes du vecteur résultant r : b 833,38 sin 95,16° a 833,38 cos 95,16° 74,95 830 r k1OA k 2 OB (74,95, 830) k1(124,99, 50,02) k2(75,01, 170) 74,95 124,99k 75,01k 1 2 830 50,02k1 170k2 k1 3, k2 4
Réponse : Trois personnes doivent tirer au point A et quatre doivent tirer au point B pour que la force résultante soit de 833,38 N et soit orientée selon un angle de 95,16°. 8.
Composantes du vecteur vB : Composantes du vecteur vA : a 65 cos 45° a 75 cos 124° 45,96 41,94 b 65 sin 45° b 75 sin 124° 45,96 62,18 Quantité de mouvement des deux véhicules coincés ensemble : (22 546,04, 160 423,43) 3000 v t 3000(7,52, mA v A mB53,47) vB
Composantes du vecteur vt : a 54 cos 82° 7,52 b 54 sin 82° 53,47
3000 v t mA v A mB vB (22 546,04, 160 423,43) mA(45,96, 45,96) mB(41,94, 62,18) 22 546,04 45,96mA 41,94mB 160 423,43 45,96mA 62,18mB mA 1698,89 kg, mB 1324,25 kg Réponse : La masse du véhicule A est d’environ 1698,89 kg et celle du véhicule B, d’environ 1324,25 kg. Page 175 9.
Soit u et v, deux vecteurs unitaires associés à chaque série de moteurs. u 1, u 15° v 1, v 105° Composantes de u : a cos 15° b sin 15° 0,97 0,26 Soit w, représentant le courant marin. w
2,5, w 300°
Composantes de w : a 2,5 cos 300° 1,25 b 2,5 sin 300° 2,17
Composantes de v : a cos 105° 0,26
b sin 105° 0,97
Pour que la plateforme reste immobile, les moteurs doivent annuler l’effet du courant marin. Ainsi, k1u k 2 v w 0 , où k1 et k2 représentent la vitesse devant être fournie par chacune des séries de moteurs. k1(0,97, 0,26) k2(0,26, 0,97) (1,25, 2,17) (0, 0) 0,97k1 0,26k2 1,25 0 0,26k1 0,97k2 2,17 0 k1 0,65, k2 2,41
Réponse : On doit fixer la vitesse du moteur u à environ 0,65 km/h dans le sens du vecteur rouge et celle du moteur v à environ 2,41 km/h dans le sens du vecteur bleu. 10. Soit OA et OB, deux vecteurs unitaires associés à la force appliquée par chacun des élévateurs. Composantes de OA : Composantes de OB : a cos 67° a cos 54° b sin 54° b sin 67° 0,59 0,81 0,39 0,92 Soit r , le vecteur résultant nécessaire pour soulever la pièce. r 5000 N, r 90° r (0, 5000) Soit k1 OA et k2 OB, les forces appliquées par chacun des élévateurs. Pour que la pièce soit soulevée, il faut que r k1OA k 2 OB . (0, 5000) k1(0,39, 0,92) k2(0,59, 0,81) 0 0,39k1 0,59k2 5000 0,92k1 0,81k2 k1 3428,65 N, k2 2279,2 N Réponse : L’élévateur situé en A doit appliquer une force d’environ 3428,65 N et celui situé en B doit appliquer une force d’environ 2279,2 N. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 3
673
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SECTION 3.6
Produit scalaire
Page 177 1. a) u • v
u
v
cos
d) u • v
u
v
cos
u•v a1 a2 b1 b2 8 2 6 28 184
u
cos
v
c) u • v
4 8 cos 49° 20,99
e) u • v
5 2 cos 100° 1,74
a1 a2 b1 b2 g) u • v 2 7 16 1 2 j)
b) u • v
7 6 cos 53° 25,28
u
cos
v
f )
3 5 cos 133° 10,23
u
v
cos
3 3 cos 131° 5,9
u•v
u
v
cos
5 4 cos 75° 5,18
a1 a2 b1 b2 h) u • v 6 21 7 11 49
i )
u•v a1 a2 b1 b2 19 7 21 5 28
a1 a2 b1 b2 k) u • v 6 18 24 18 324
l )
u•v a1 a2 b1 b2 12 16 45 9 213
u v cos b) u • v 12 7 6 cos 73,4°
c) u • v
cos
f ) u • v
Page 178 2. a) u • v
u
v
cos
27 u 6 cos 34° u 5,43 u v cos d) u • v 13 3 6 cos 43,76° 3. a)
t
t
d)
u (2, 6) • (8, 20) 2 8 6 20 104
•
•
4 u (2, 6) • 4(8, 20) (2, 6) • (32, 80) 2 32 6 80 416
e) u • v
u
v
e)
v
•
cos
v 5,97 u
v
cos
5,3 5 v cos 122°
u 5,49 •
v
17 7 v cos 66°
27 u 6 cos 145°
b) 2 t
u
v 2
3 u 2(2, 6) • 3(8, 20) 2 3((2, 6) • (8, 20)) 2 3(2 8 6 20) 6 104 624 w (a, b) • (c, d) acbd ac bd
c)
1t 2
•
2 u 1 (2, 6) • 2(8, 20) 2
(1, 3) • (16, 40) 1 16 3 40 104 f )
kv
•
sw k(a, b) • s(c, d) k s(a c b d ) ks(ac bd)
Page 179 4. a) W f
•
d
f
•
f d cos 321 6 cos 36° 1558,17 J
5. a) u ((xx 3, 3, yy 8)8 ) u ⊥ v ⇔ u•v 0 (x 3, y 8) • (7, 5) 0 7x 21 5y 40 0 7x 5y 61 0 d) u ((xx 5, 3, yy 0)8 ) u ⊥ v ⇔ u•v 0 (x 5, y) • (3, 8) 0 3x 15 8y 0 3x 8y 15 0
674
b) W
d
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609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 674
f
•
d
• d f d cos 426 3 cos 135° 903,68 J
b) u ((xx 0, 3, yy 0)8 )
c) u ((xx 7, 3, yy 9)8 ) u ⊥ v ⇔ u•v 0 (x 7, y 9) • (4, 2) 0 4x 28 2y 18 0 4x 2y 10 0
u ⊥ v ⇔ u v 0 (x, y) • (3, 4) 0 3x 4y 0 3x 4y 0 •
e) u ((xx 5, 3, yy 15) 8) u ⊥ v ⇔ u•v 0 (x 5, y 15) • (2, 12) 0 2x 10 12y 180 0 2x 12y 190 0
CHAPITRE 3
f
f )
u ((xx 4, 3, yy 5)8 ) u ⊥ v ⇔ u•v 0 (x 4, y 5) • (7, 8) 0 7x 28 8y 40 0 7x 8y 68 0
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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Page 180 6.
v (a, ( a, b)b) (a, b) • (4, 18) 0 4a 18b 0 4a 18b
3 u ⇔
v
a2 b 2 3 ( 4)2 a2 b2 3060
( 9b2 )
2
182
b2 3060 85b2 3060 4
a 9b 2
b2 144 b 12 12 a 9 12 99 a12 9 12 2
v (54, , b)12). ( a, b12) ) ou v ((a54, 7. a) u • v
u
Si u • v 0 : 0 u v 0 cos cos1 0 90° 8.
cos
v
Si u ⊥ v : u•v u
cos
22
2
54
u 0
v
cos 90°
v
0
54
b) u • v
u
v
cos
u
u
u
cos 0°
u
1
•
u
u
u
2
ABC est un triangle rectangle en C.
Hypothèse
2
AB
Conclusion
AC
2
CB
A
2
C
Affirmation
1. AB
AC
3. AB 4. AB 5. AB 6. AB
( AC
22
2
Par la relation de Chasles
CB
( AC
2. AB • AB
2
CB)
2
AC
2
2
AC
( AC
•
) • ( AC CB BC
CB)
AC • CB AC • CB 0
0
Par le produit scalaire
CB )
2
AC • AC
2
B
Justification
AC • CB AC • CB
CB
AB
AB • AB
2
AC
BC
2
Par la distributivité du produit scalaire sur l’addition vectorielle
CB • CB CB
22
2
AC • AC
AC
2
et CB • CB
Par hypothèse AC ⊥ CB ⇔ AC • CB
2
CB
2
0
Page 181 9.
Hypothèse
ABCD est un losange.
Conclusion
AC ⊥ BD
B A
C D
Affirmation
Justification
1. AC
AB
BC
Par la relation de Chasles
2. BD
BC
CD
Par la relation de Chasles
3. BD
BC
BA
CD
4. BD
BC
AB
BA
5. AC • BD
( AB
BC)
6. AC • BD
AB • BC
AB • AB
7. AC • BD
AB • BC
AB • BC
8. AC • BD
0
9. AC • BD
0
BC
2
•
(BC
BC
AB)
2
10. AC ⊥ BD © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 675
AB
Par le produit scalaire et les énoncés 1 et 4
BC • BC BC
BA
2
AB • BC AB
2
Par la distributivité du produit scalaire sur l’addition vectorielle BC • BC BC
AC • BD
BC
2
et AB • AB
AB
2
AB par hypothèse
0 ⇔ AC ⊥ BD
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 3
675
18-06-26 1:50 PM
10.
A
ABC est un triangle.
Hypothèse
2
c
Conclusion
a
2
2
b
2
a
b
c B
b
cos C
a
C
Affirmation
Justification
1. b
c
a
Par l’addition vectorielle
2. c
a
b
Par l’addition vectorielle
3. c
•
4.
c
5.
c
6.
c
7.
c
c 2
2
(a
b)
•
(a
b)
Par le produit scalaire de deux vecteurs
(a
b)
•
(a
b)
c
a•a
2
a
2
a
2
a•b
a•b
2a • b
b
2
b
2
b
c
c
2
Par la distributivité du produit scalaire sur l’addition vectorielle
b
2
a
2
•
•
b
cos C
a•a
a
a•b
a
2
et b b
•
b
b
2
cos C
Page 182 11. a) Si 0°, alors f
•
d 400 f 13 d cos 0° cos 5200 N
d
f
d
cos
5200
f
13
cos 20°
f
•
f 425,67 N
Réponse : La force nécessaire est d’environ 425,67 N.
b) Pour que le travail soit maximal, la force agissant sur un objet doit avoir la même orientation que le déplacement. 12. Travail effectué pendant le déplacement AB : W f AB cos 218 5 cos (53,13° 45°) 1079,05 J Travail effectué pendant le déplacement BC : W
f
BC
cos
218 4,47 cos (45° (360° 333,43°)) 308,07 J Travail effectué pendant le déplacement CD : W
f
CD
cos
218 5,83 cos (59,04° 45°) 1232,97 J Somme du travail effectué : W 1079,05 308,07 1232,97 2620,09 J Composantes de AB : a 5 cos 53,13° b 5 sin 53,13° 3 4 AB (3, ( 3, 4)4 )
Composantes de BC : a 4,47 cos 333,43° b 4,47 sin 333,43° 4 2 BC (4, 2) Composantes de CD : a 5,83 cos 59,04° b 5,83 sin 59,04° 3 5 CD (3, 5) Composantes de AD : AD AB BC CD (3, 4) (4, 2) (3, 5) (10, 7) Composantes de f : a 218 cos 45° b 218 sin 45° 154,15 154,15 f (154,15, 154,15) W
AD • f (10, 7) • (154,15, 154,15) 10 154,15 7 154,15 2620,09 J
Réponse : L’affirmation est vraie, puisque la somme du travail effectué en trois déplacements est égale au travail effectué en un seul déplacement.
MÉLI-MÉLO
Page 183 1. c)
2. a)
3. c)
4. d)
5. b)
6. c)
7. a)
8. c)
9. a)
11. a)
12. d)
13. d)
14. a)
15. c)
16. c)
17. c)
18. c)
Page 184 10. b)
676
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 3
19. d)
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:50 PM
Page 185 b) (27, 9) 1 (12, 18) (8, 16)
20. a) (27, 9) 2(12, 18) (27, 9) (24, 36) (27 24, 9 36) (3, 45)
3
(27, 9) (4, 6) (8, 16) (27 4 8, 9 6 16) (15, 1)
d) 2 (27, 9) 2(8, 16)
e) (8, 16) (27, 9) (12, 18) (8 27 12, 16 9 18) (47, 7)
3
(18, 6) (16, 32) (18 16, 6 32) (2, 26)
b) a 58 cos 122° 30,74 b 58 sin 122° 49,19
21. a) a 239 cos 55° 137,08 b 239 sin 55° 195,78 u (137,08, 195,78)
u (30,74, 49,19)
u (2011,22, 1875,5)
f ) (12, 18) • 2((27, 9) 2(8, 16)) (12, 18) • ((54, 18) (32, 64)) (12, 18) • (54 32, 18 64) (12, 18) • (22, 46) 12 22 18 46 1092 c) a 73 cos 213° 61,22 b 73 sin 213° 39,76 u (61,22, 39,76)
e) a 145 cos 14° 140,69 b 145 sin 14° 35,08
d) a 2750 cos 317° 2011,22 b 2750 sin 317° 1875,5
c) (8, 16) • (12, 18) 8 12 16 18 192
f ) a 47 cos 200° 44,17 b 47 sin 200° 16,07
u (140,69, 35,08)
u (44,17, 16,07)
Page 186 22. a) Composantes de v : a 320 cos 131° b 320 sin 131° 241,51 209,94 Composantes de u : a 400 cos 101° b 400 sin 101° 392,65 76,32 v u (209,94, 241,51) (76,32, 392,65) (209,94 76,32, 241,51 392,65) (133,62, 151,14) v
u
v
u
( 133,62)2 + ( 151,14)2 201,74
180° tan 151,14 ⎞ ⎝ 133,62 ⎠ 1 ⎛
⎜
228,52°
2v
360° tan1 ⎛⎜ 6,51 ⎞⎟ 351,55°
⎝ 43,79 ⎠
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⎟
c) Composantes de u : a 17 cos 56° b 17 sin 56° 9,51 14,09 Composantes de v : b 20 sin 329° a 20 cos 329° 17,14 10,3 u 2 v (9,51, 14,09) 2(17,14, 10,3) (9,51, 14,09) (34,29, 20,6) (9,51 34,29, 14,09 20,6) (43,79, 6,51) u 2v 43,792 ( 6,51)2 44,27 u
b) Composantes de u : a 12 cos 106° b 12 sin 106° 11,54 3,31 Composantes de v : a 8 cos 207° b 8 sin 207° 3,63 7,13 ( u v ) ((3,31, 11,54) (7,13, 3,63)) (3,31 7,13, 11,54 3,63) (3,82, 15,17)
(u − v )
( u( u vv) )
( 3,82)2 + ( 15,17)2 15,64
(( )) 15,17
15,17 180 tan 180°° tan tan111 3,82 3,82 255,86°
d) Composantes de u : a 2250 cos 112° b 2250 sin 112° 2086,16 842,86 Composantes de v : b 2500 sin 111° a 2500 cos 111° 2333,95 895,92 Composantes de w : a 2250 cos 42° b 2250 sin 42° 1672,08 1505,54 3 u 2 v w 3(842,86, 2086,16) 2(895,92, 2333,95) (1672,08, 1505,54) (2528,59, 6258,49) (1791,84, 4667,9) (1672,08, 1505,54) (2528,59 1791,84 1672,08, 6258,49 4667,9 1505,54) (2648,36, 12 431,94) 3u 2v w ( 2648,36)2 12 431,942 12 710,9 1 ⎛ 12 431,94 ⎞ tan1 3u 2v w 180° tan ⎜⎝ ⎟ 2648,36 ⎠ 102,03°
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CHAPITRE 3
677
18-06-26 1:50 PM
Page 187 23. a) Composantes de w : a 618 cos 322° 486,99 b 618 sin 322° 380,48 w (486,99, 380,48) Ainsi, w
380,48 j .
486,99 i
5,46 i
Ainsi, w
c) Composantes de w : a 421 cos 131° 276,2 b 421 sin 131° 317,73 w (276,2, 317,73) 9,96 j .
8,36 i
e) Composantes de w : a cos 298° 0,47 b sin 298° 0,88 w (0,47, 0,88)
d) Composantes de w : a 8 cos 47° 5,46 b 8 sin 47° 5,85 w (5,46, 5,85) Ainsi, w
b) Composantes de w : a 13 cos 230° 8,36 b 13 sin 230° 9,96 w (8,36, 9,96)
5,85 j .
g) Composantes de w : a 78 cos 150° 67,55 b 78 sin 150° 39 w ( 67,55, 39) Ainsi, w 67,55 i 39 j.
Ainsi, w
Ainsi, w
317,73 j
f ) Composantes de w : a 0,75 cos 253° 0,22 b 0,75 sin 253° 0,72 w (0,22, 0,72)
0,88 j .
0,47 i
276,2 i
Ainsi, w
0,22 i
0,72 j .
h) Composantes de w : a 66 cos 32° 55,97 b 66 sin 32° 34,97 w (55,97, 34,97) Ainsi, w 55,97 i 34,97 j.
i ) Composantes de w : a 24 cos 305° 13,77 b 24 sin 305° 19,66 w (13,77, 19,66) Ainsi, w 13,77 i 19,66 j.
b) w k1u k 2 v (302, 214) k1(10, 26) k2(39, 30) 302 10k1 39k2 214 26k1 30k2 k1 1, k2 8
c) w k1u k 2 v (186, 498) k1(10, 8) k2(3, 27) 186 10k1 3k2 498 8k1 27k2 k1 12, k2 22
Page 188 24. a) w k1u k 2 v (65,2, 167,2) k1(1, 50) k2(28, 28) 65,2 k1 28k2 167,2 50k 28k 1 2 k1 2, k2 2,4 w
2u
d) w k1u k 2 v (60,8, 246,4) k1(19, 50) k2(0, 36) 60,8 19k1 246,4 50k1 36k2 k1 3,2, k2 2,4 w
w
u
8v
w
12 u
22 v
2,4 v
3,2 u
2,4 v
e) w k1u k 2 v (45,5, 66,7) k1(25, 47) k2(49, 16) 45,5 25k1 49k2 66,7 47k 16k 1 2 k1 2,1, k2 2 w
u v cos 25. a) u • v 17 20 cos 92° 11,87 d) u • v a1 a2 b1 b2 16 23 8 7 424
2,1u
f ) w k1u k 2 v (40,8, 81,6) k1(39, 10) k2(42, 18) 40,8 39k1 42k2 81,6 10k1 18k2 k1 2,4, k2 3,2
2v
w
2,4 u
3,2 v
u v cos b) u • v 200 180 cos 66° 14 642,52
u v cos c) u • v 2500 2225 cos 112° 2 083 749,18
e) u • v a1 a2 b1 b2 218 18 145 7 2909
f )
b) u • v
c) u • v
u•v a1 a2 b1 b2 321 47 212 45 24 627
Page 189 26. a) u • v u v cos 42,24 4,9 11,6 cos 42° d) u • v
u
v
cos
6,26 5,9 5,1 cos 102,01°
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u
v
cos
29,03 u 10,1 cos 64,6°
e) u • v
u
v
cos
15,69 u 4,1 cos 122,1°
u 7,2
CHAPITRE 3
v
cos
11,82 3,5 v cos 123°
u 6,7
u
v 6,2
f ) u • v
u
v
cos
25,61 5 v cos 51,9°
v 8,3
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Page 190 27. Composantes de m : a 25 cos 112° 9,37 b 25 sin 112° 23,18 m (9,37, 23,18)
Composantes de c : a 12 cos 57° 6,54 b 12 sin 57° 10,06 c (6,54, 10,06)
v (9,37, 23,18) (6,54, 10,06) (5,8, 3,91) (2,97, 37,16) Distance parcourue en 5 h : m
d
Composantes de v : a 7 cos 34° 5,8 b 7 sin 34° 3,91 v (5,8, 3,91)
c
5( m
c
v ) 5(2,97, 37,16) (14,87, 185,79)
d 14,872 185,792 186,38 km
185,79
d
14,87
(tan ( ) ) 185,79 1 185,79 d 14,87 14,87
85,42°
Réponse : La distance parcourue en 5 h par le voilier est d’environ 186,38 km selon une orientation d’environ 85,42°. 28. Travail : W f •d
f
Mesure de l’angle formé par f et d si le travail est doublé : W f •d d cos
2 324,43 f d cos 648,87 218 3,17 cos cos 0,94 cos1 0,94 20,13° Si la force est orientée de façon à être au-dessous du plan incliné : f 11° 20,13° 9,13° ou 350,87°
218 3,17 cos (73° 11°) 324,43 J Si la force est orientée de façon à être au-dessus du plan incliné : f 11° 20,13° 31,13°
Réponse : L’orientation de la force devrait être d’environ 31,13° ou d’environ 350,87°. Page 191
Composantes de v 2 : Composantes de v'1 : a 4,8 cos 141° a 3,2 cos 116° 3,73 1,4 b 4,8 sin 141° b 3,2 sin 116° 3,02 2,88 v 2 ( 3,73, 3,02) v'1 (1,4, 2,88) m1 v1 m2 v 2 m1 v '1 m2 v '2 0,03(4,46, 2,27) 0,025(3,73, 3,02) 0,03(1,4, 2,88) 0,025(a, b) (0,13, 0,07) (0,09, 0,08) (0,04, 0,09) (0,025a, 0,025b) (0,08, 0,06) (0,025a, 0,025b) a 3,3 et b 2,29 v'2 3,32 2,292 v'2 (3,3, 2,29) 4,02 m/s 2,29
29. Composantes de v1 : a 5 cos 27° 4,46 b 5 sin 27° 2,27 v1 (4,46, 2,27)
3,3
v'2
tan1 ⎛⎜ 2,29 ⎞⎟ ⎝ 3,3 ⎠
34,8°
Réponse : Après la collision, l’objet 2 se déplace à environ 4,02 m/s selon une orientation d’environ 34,8°. 30. Composantes de OA : a 720 cos 153° 641,52 b 720 sin 153° 326,87 OA (641,52, 326,87)
Composantes de OB : a 810 cos 63° 367,73 b 810 sin 63° 721,72 OB (367,73, 721,72)
Déplacement d (0, 3,5) Force résultante f : f OA OB (641,52, 326,87) (367,73, 721,72) (273,79, 1048,59) W
f •d (273,79, 1048,59) • (0, 3,5) 273,79 0 1048,59 3,5 3670,06 J
Réponse : Le travail effectué par la force résultante agissant sur la charge est d’environ 3670,06 J.
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CHAPITRE 3
679
18-06-26 1:50 PM
Page 192 31. Soit OA' et OB' , deux vecteurs unitaires associés à chacun des treuils. Composantes de r , un vecteur de 1200 N Composantes de OA' : Composantes de OB' : orienté à 175° : a cos 142° a cos (142° 64°) a 1200 cos 175° 0,79 0,9 175° 1195,43 b sin 142° b sin (142° 64°) O b 1200 sin 175° 0,62 0,44 104,59 OB' (0,9, 0,44) OA' (0,79, 0,62) r (1195,43, 104,59) Soit k1 et k2, deux scalaires représentant respectivement la norme de la force appliquée par les treuils A et B. r k1OA k 2 OB (1195,43, 104,59) k1(0,79, 0,62) k2(0,9, 0,44) (1195,43, 104,59) (0,79k1, 0,62k1) (0,9k2, 0,44k2) 1195,43 0,79k 0,9k 1 2 104,59 0,62k1 0,44k2 k1 687,64, k2 727,16 Réponse : Le treuil A doit tirer avec une force d’environ 687,64 N et le treuil B doit tirer avec une force d’environ 727,16 N. 32. Composantes de OA :
Composantes de OB :
OA 725 N
OB 785 N
OA 18° 98° 116°
OB 18° a 785 cos 18° 746,58 b 785 sin 18° 242,58
a 725 cos 116° 317,82
b 725 sin 116° 651,63
OA (317,82, 651,63)
Composantes de la force résultante r : r 2275 N r 90° a0 b 2275 r (0, 2275)
OB (746,58, 242,58) Combinaison linéaire r k1OA k 2 OB , où k1 et k2 représentent le nombre minimal de personnes devant tirer aux points A et B : (0, 2275) k1(317,82, 651,63) k2(746,58, 242,58) 0 317,82k1 746,58k2 2275 651,63k1 242,58k2 k1 3,01, k2 1,28 Réponse : Pour déplacer la caisse, au moins quatre personnes doivent tirer au point A et au moins deux personnes au point B. Page 193 Déplacement u après la panne :
33. Déplacement v avant la panne : v 1,5 44 66 km v 125° a 66 cos 125° 37,86 b 66 sin 125° 54,06 v (37,86, 54,06) Déplacement résultant r :
u 17 7 km u 175° a 7 cos 175° 6,97 b 7 sin 175° 0,61 u (6,97, 0,61)
r v u (37,86, 54,06) (6,97, 0,61) (44,83, 54,67) r
( 44,83)2
54,672
70,7 km
Réponse : Le navire se trouve à environ 70,7 km du port.
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CHAPITRE 3
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34. vA i (0, 1,2) pA i mA vA i
( )
18,8(0, 1,2) (0, 22,56) vBi (0, 0) pBi mB vBi 17,5(0, 0) (0, 0)
pt pA i pBi (0, 22,56) (0, 0) (0, 22,56) Composantes de vBf : a 1,78 cos 47,29° 1,21 b 1,78 sin 47,29° 1,31 vBf (1,21, 1,31)
( )
pBf mB vBf 17,5(1,21, 1,31) (21,13, 22,89) pt pA f pBf (0, 22,56) pA f (21,13, 22,89) pA f (21,13, 0,33)
pA f mA v A f
( 21,13, 0,33) 18,8 v A f
v A f (1,12, 0,02) v A f ( 1,12)2 ( 0,02)2 1,12 m/s
vAf
180° tan1 ⎛⎜ 0,02 ⎞⎟ ⎝ 1,12 ⎠ 180,89°
Réponse : La norme de la vitesse de la pierre A après la collision est d’environ 1,12 m/s et son orientation est d’environ 180,89°. Page 194 35. Composantes de f :
Force résultante : r f v (0, 1512) (217,33, 58,23) (217,33, 1570,23)
Composantes de v : 195°
270°
a0 b 1512 f (0, 1512) Nouvelles composantes de v :
a 225 cos 195° 217,33 b 225 sin 195° 58,23 v (217,33, 58,23) Force résultante : r f v (217,33, 1570,23) (a, b) (84,52, 181,26) (a, b) (132,81, 1751,5)
Nouvelles norme et orientation de f : 132,81
1751,5
115°
a 200 cos 115° 84,52 b 200 sin 115° 181,26 v (84,52, 181,26)
f
f
( 132,81) 2 1756,52 N 180°
( 1751,5)2
tan 1 ⎛⎜ 1751,5 ⎞⎟
265,66°
⎝ 132,81⎠
Réponse : La norme de la force doit être d’environ 1756,52 N et son orientation, d’environ 265,66°. Pages 195-196 36. Vitesse initiale : vi 5 km/h vi 1,38 m/s 121° vi a 1,38 cos 121° 0,72 b 1,38 sin 121° 1,19 vi (0,72, 1,19)
Vitesse finale : v f 8 km/h
vf
v f 2,2 m/s 346° vf a 2,2 cos 346° 2,16 b 2,2 sin 346° 0,54 0,54) v f v(2,16, i
Force requise pour effectuer le changement de vitesse : m 45 g 0,045 kg
vi (2,16, 0,54) (0,72, 1,19) (2,87, 1,73)
f
m ( v f vi ) Δt
0,045 ( 2,87, 1,73) 0,5
(0,26, 0,16)
Combinaison linéaire des vecteurs i et j : f k1 i k 2 j (0,26, 0,16) k1(1, 0) k2(0, 1) k1 0,26, k2 0,16 f
0,26 i
0,16 j
Réponse : La combinaison linéaire des vecteurs i et j qui permet d’obtenir la force nécessaire pour effectuer ce changement de vitesse est f 0,26 i 0,16 j . © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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CHAPITRE 3
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Pages 197-198 37. Force totale déployée par les moteurs pour maintenir une vitesse de 1 km/h Moteur de bâbord : Moteur de tribord : b 177,61 N t 124,55 N b 180° 18,3° t 180° 26,6° 161,7° 206,6° b 177,61 sin 161,7° a 124,55 cos 206,6° a 177,61 cos 161,7° b 124,55 sin 206,6° 168,63 55,77 111,37 55,77 b (168,63, 55,77) t ( 111,37, 55,77) f b t (168,63, 55,77) (111,37, 55,77) (279,99, 0) Force impartie par chacun des moteurs Moteur de bâbord : b 297,81 N b 90° 5° 18,3° N 66,7° 18,3° 5° a 297,81 cos 66,7° 117,8 b 297,81 sin 66,7° 66,7° 273,52 b (117,8, 273,52)
Moteur de tribord : t 3078,42 N t 90° 5° 26,6° 111,6° a 3078,42 cos 111,6° 1133,24 b 3078,42 sin 111,6° 2862,24 t (1133,24, 2862,24)
N
26,6° 5°
111,6°
f b t (117,8, 273,52) (1133,24, 2862,24) 3135,77 (1015,44, 3135,77) 2 2 ⎞ ⎛ f ( 1015,44) 3135,77 f 180° tan11 3135,77 ⎟ ⎝ 1015,44 ⎠ 1015,44 3296,08 N 107,94° La vitesse du bateau étant proportionnelle à la somme des forces de ses moteurs, la vitesse impartie au bateau par ses moteurs est 3296,08 279,99 11,77 km/h et son orientation est la même que celle de la somme des forces de ses moteurs. ⎜
La vitesse réelle v du bateau correspond à la somme de la vitesse c du courant et de la vitesse m impartie au bateau par ses moteurs. Vitesse du courant : Vitesse impartie au bateau par ses moteurs : c 5 km/h m 11,77 km/h N c 90° 60,9° m 107,94° 29,1° a 11,77 cos 107,94° a 5 cos 29,1° 60,9° 3,63 4,37 b 5 sin 29,1° b 11,77 sin 107,94° 2,43 11,2 m (3,63, 11,2) c (4,37, 2,43) Vitesse du bateau en eau calme : v (3,63, 11,2) Pour que le bateau puisse maintenir sa vitesse et son cap actuels, il faut que m c v. Ainsi, (a, b) (4,37, 2,43) (3,63, 11,2), où (a, b) représentent les composantes de la nouvelle vitesse impartie par les moteurs du bateau. a 4,37 3,63 b 2,43 11,20 a 8 b 8,77 m (8, 8,77) Puisqu’une force totale de 280 N est nécessaire pour que le bateau se déplace à une vitesse de 1 km/h, on a f 280 m . f 280(8, 8,77) (2238,73, 2454,96) Soit b et t , deux vecteurs unitaires représentant une force de 1 N déployée respectivement par les moteurs de bâbord et de tribord, k et s, deux scalaires représentant les normes respectives des forces déployées par les moteurs de bâbord et de tribord. b sin 66,7° b sin 111,6° b 90° 5° 18,3° t 90° 5° 26,6° 0,92 0,93 111,6° 66,7° b (0,4, 0,92) t (0,37, 0,93) a cos 111,6° a cos 66,7° 0,37 0,4
682
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 682
CHAPITRE 3
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18-06-26 1:50 PM
f k b st (2238,73, 2454,96) k(0,4, 0,92) s(0,37, 0,93) 2238,73 0,4k 0,37s 2454,96 0,92k 0,93s k 1668,59, s 4288,62
Réponse : Afin que le bateau maintienne sa vitesse et son cap, la force déployée par le moteur de bâbord doit être d’environ 1668,59 N et celle déployée par le moteur de tribord, d’environ 4288,62 N.
Pages 199-200 38.
• ABCD est un parallélogramme. • E et F sont les milieux respectifs des côtés AB et BC.
Hypothèses
• AB DC a • AD BC b • AG GH HC
Conclusions
E
GE
EA
2. k1 AC
k 2 DE
3. k1 ( AB
BC) b)
5. k1 a
k1 b
6. k1 a
1k a 2 2 1 k 2 2
(
7. a k1
1k 2 2
8. k1
0
k 2 (DA
)
)
1 BA 2
( )
1 a 2 1 a 0 2
1k a 2 2
1a 2 1 2
Par les propriétés des vecteurs colinéaires et par hypothèse
AE )
1 a 2
k2 b
k1 b
k2 b
b ( k1
k2 )
0
0
Par la distributivité de la multiplication par un scalaire sur l’addition de vecteurs
0
Par la commutativité de l’addition vectorielle
0
Par la distributivité de la multiplication sur l’addition de scalaires
1 = k − k = 0 1 2 2
Puisque a et b ne sont pas colinéaires Puisque k1 k2 0
1k 1 0 1 2 2 1 3 1 AC 3
11. k1 12. AG 13. CH
HF
FC
Par la substitution de k2 par k1 Par la résolution de l’énoncé 10 Puisque AG 0
1 BC 2
k 4 DF
15. k 3 (CD
DA )
k 4 (DC
16. k3 ( a
b)
(
17. k3 a
k3 b
18. k3 a
k4 a
19. a ( k3
(
1 2
1 BC 2
( b ))
1k b 4 2 1k b 1b 4 2 2 1 1 b k4 2 2
1k 4 2
Par les propriétés des vecteurs colinéaires et par hypothèse
CF)
k4 a
k4 ) k4
0
1 2
k4 a
k3
1b 2
0 0
0
Par la distributivité de la multiplication par un scalaire sur l’addition vectorielle
k3 b
0
Par la commutativité de l’addition vectorielle
k3
)
0
0
k3
0
23. k3 1
Par la distributivité de la multiplication sur l’addition de scalaires Puisque a et b ne sont pas colinéaires
Par la substitution de k4 par k3 Par la résolution de l’énoncé 22
3
24. CH
Par hypothèse
Puisque k3 k4 0
1 2
2
Par la relation de Chasles
1b 2
21. k3 k4 22. 1 k3
k1 AC
Par la relation de Chasles
14. k3CA
20. k3
Par la relation de Chasles Par hypothèse
9. k1 k2 10. k1
D
Par la relation de Chasles
1 BA 2
k2 b
G
Justification
0
(
4. k1 ( a
C
A
Affirmation
1. AG
F H
1 AC 3
• AG
B
1 CA 3
25. AG GH HC AC 26. 1 AC GH 1 AC AC 3 3 27. GH AC 1 AC 1 AC 1 AC 3 3 3 28. GH 1 AC AG HC 3
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609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 683
Puisque CH
k3 CA
Par la relation de Chasles Par la résolution des énoncés 12 et 24 Par la résolution des énoncés 12 et 24 Par la résolution des énoncés 12 et 24 PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 3
683
18-06-26 1:50 PM
CHAPITRE
4 Fonctions exponentielle et logarithmique
Exposant
RAPPEL Page 202
b) 2 3 22 5 2 3 7 23 27 32 5 7
1. a) 36 55 73 c) 2 22 2 3 23 2 5 22 3 24 214 32 5
d) 50 52 54 53 54 513
2. a) a 64
b) a 1
c) a 1
d) a 0
e) a 1
f ) a 4
g) a 3
h) a 1
j ) a 2
k) a 2
l ) a 0
b) 125
c) 157,464
d) 1
f ) 5 0,625
g) 27 3,375
h) 16
j )
k) 1
l ) 625
o) 25 4,16
p) 1225
1 2
i ) a 3. a)
9
1 0,027 36
e) 0 i )
9 7
m) 1 0,02 45
8 8 343
8
n) 192
6
Page 203 4. a) Vrai.
b) Faux.
c) Faux.
5. a) 5 59
243
d) Vrai. b) 4 42 12 4 1 4
()
–4 d) 6 –5
6 67 2 6
3
8
0
7
67 2 65
(7) 3 ( ) 7
g) 3
–2
6
4
j ) a4 7b3 7c2 7 a28b21c14
e) Faux.
3 0 1
2
e) (28 5 )3 (23 )3 23 3 29
h) c4 3 1 c8
f ) Vrai.
g) Vrai.
h) Faux.
i ) Vrai.
c) 7 7 76 72 76 2 74 32
1 2
f ) 5 (5–4 3 )–2 5 (5–7 )–2 5(5)7 2 5(5)14 51 14 515 i ) a2 5 a3 4 a10 12 a2
k) b7 3 b0 2 b4 b2 b4 2 b2
5 l ) m –3
n) a5 7
o)
2
n
2
m–6
10
n
m10n6
Page 204 m) c7 4 d
–2 –2
a
2
1
0
3
–14 c –8
8 a10
8 d14
a8 10 a2
a
d
c
12 a 6. a)
684
1
d) 1 8 g)
81
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 684
b) 1
⎛ 3 ⎝ b5 1
⎛ b5 ⎞ ⎝ ⎠ 1
b5 b5
⎞ ⎠
25
25
25
c) 1 7
e)
1 4
f ) 8a2
h)
1 7 7 7
i ) 1
CHAPITRE 4
2 5
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18-06-26 1:50 PM
7. a) 2x 24 x4
b) x3 23 x2
e) 17x 170 x0
f )
( 2)
x2 1
2
x 1 2
i )
( 31) 31 ( 31) ( 31) x
j )
4
x
d) 5x 53 x3
g) (52 ) x 51 52x 51 2x 1
h) (23 ) x 21 23x 21 3x 1
x 1
( 21) 2 x
k)
3
4
c) x4 54 x 5
2x 23 x 3 x 3
x4
x
2
( 61 ) 6 x
l )
1
2
1 3
( 31 ) 31 x
2
32x 31 2x 1
62x 61 2x 1 x 1
x 1
2
2
Page 205 8. a)
3
7
b)
e)
4
25
f )
4
3
c)
5
6
d)
53
g)
7
42
h)
9. a) (52 )3 52 3 56
d) 63 (62 )3 (63 )–2 63 62 3 63 2 63 66 66 63 6 6 63
3 4 e) (52 )3
7 2 4 3 f ) (23 )5 (2 6)
(5 )
3 52 5
4 23 2
3
3 5
7 2 2 6 2
56
14 215 2 6
512 6 56
212 15 214 6 23 28 23 8 25
12
5
3
2
(2 )
4
12
g) (72 )3 a 2 (73 )4 a 3 72(3a 2) 73(4a 3) 76a 4 712a 9 76a 4 12a 9 718a 5
115
c) (23 )2 (22 )5 (24 )3 23 2 22 5 24 3 26 210 212 26 10 12 228
6
(6)
6
b) (32 )4 (33 )3 (34 )2 32 4 33 3 34 2 38 39 38 38 9 8 325
13 1
53
h)
(52 )5 n 5n 1
10n 5n
5
2
2
4 5m (23 )3m (2 5) m (22 )2 m (2 ) 2 4 5m 23 3 m 2 2 m 25 m 2
2
i )
4 1
29m 4m 220m 5m 25m 15m 220m
510n 4 (n 1) 59n 3
Page 206 1
1
3
10. a) 13 2
b) 15 3
(5)
() ( 2) 3
1
c) 6 2
d) (35 ) 4 3
e) 3
1 6
7
f ) ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠
1 5
g) (42 ) 4
23
7 5
2
1 3
(23 )
1 5
5 4
5 h) (33 )
(9 )
3
25
1 2 1 4
5
2 33
29 15
32
3 11. a) 1) 100 km
2) 50 km
b) Distance à parcourir après 7 h : 200 0,57 1,5625 km
3) 25 km Distance parcourue : 200 1,5625 198,4375 km
Réponse : Après 7 h, cette personne a parcouru 198,4375 km. c) Non. En se déplaçant de cette façon, il lui restera toujours une distance à parcourir, puisque chaque heure, seule la moitié de la distance restante est parcourue.
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 4
685
18-06-26 1:50 PM
Volume d’une boîte :
12. Volume d’un camion : 32
16
(3 ) 22 3
2 3
3 125
–2
3
25
15
1 4 2
2
(2 )
5
3
22
5 2
22 2 7
6
3
3 53
–2
22 22
36 2 510 3 53
3 3
5 53
4
15 2 3
(5 )
(22 )2
53
4 25 81 52
34
4 2
2 1 4 2
(3 )
10
53
25
55
52 5
34
2
34
32
52
(25 32 53) cm3 Nombre de boîtes transportées par camion :
(25 33 57) cm3
25 25
33 32
57 3 54 boîtes 53
Donc, 5 3 54 (3 55) boîtes. Réponse : Lors d’un déplacement des cinq camions, (3 55) boîtes seront livrées.
Fonction exponentielle
SECTION 4.1 Page 209 1. a) f (x) cx 81 c4 1 1 (34 ) 4 (c4 ) 4 3c f (x) 3x
( 3)
2. a) g (x) 1
b)
1 c 2 f (x) 1 2
()
x
3. a) f (8) e8 2980,96
c)
f (x) cx 8 c3 1 –1 3 –3 (2 ) (c –3 ) 3 21 c
f (x) cx
3
125 c 4 4
( ) 3
x
( 3)
c) g (x) 5x
d) g (x) 2
b) g (5) 7e5 1038,89
c) h (6) 3e6 6 3e0 3
d) i (3) e3(3 2) 5
4
Page 210 c)
1 2 1 e3 5 2
1000
200
800
150
600
100
400
50
200
0
2
2
x
4
4
4
2
d)
0
4
4
2
2
4
x
4
0
2
4
2
8
4
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CHAPITRE 4
2
4
x
i (x)
8
0
2
5,02
g (x)
250
h(x)
686
b)
f (x)
x
b) g (x) 4x
4. a)
4 3
(53 ) 3 c 4 54 c 625 c f (x) 625x
2
4
x
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5. a) 1) R 2) ]5, [
b) 1) R 2) ], 6[
c) 1) R 2) ], 2[
3) Décroissante. 4) y 5
3) Croissante. 4) y 6
5) f (x) 3 1
5) f (x) 2 3
(4) 5 1 1 3 ( ) ( ) 5 4 4 1 3 (4) 5 16 x
(7) 6 ⎛ 3 ⎞ 2 ⎜ ( ) ⎟ 6 ⎝ 7 ⎠ 81 2 ( 6 2401)
2
x
3) Croissante. 4) y 2
4x
4
2
–(x
4)
–1 x
x
x
( 52 ) 2 ⎛ 5 ⎞ 2 ⎜⎝ ( 2 ) ⎟⎠ ( 52 ) 2 ( 52 ) ( 52 ) 2 625 2 ( ) 2 16 5
5) f (x)
x
x
4
x
4
–4
x
6. a) c f ( x
f(x
642
322
2) 1)
f ( x 1) f( x)
b) c f ( x
2)
f(x
322 162
605,25
176,5
320
428,75
2
3,5
160
1)
f ( x 1) f( x) 176,5 54
122,5
Page 213 7. a)
169x 13 (132 ) x 131 132x 131 ⇔ 2x 1 x
b) 3,1x 5 9,61
c)
16x 1
1
3,1x (3,12 ) 5
(24 ) x
2 5
3,1x 3,1 ⇔ x 2
1 2
1
1 8 1 23
24x 4 23 ⇔ 4x 4 3
5
x 8. a) 76 x 492x 13 76 x (72 )2x 13 76 x 74x 26 ⇔ 6 x 4x 26 5x 20 x 4
b)
( 31) 9 ( 31) (3 ) x
c)
10x 1
x
2 10x
⎛ 21 ⎞ ⎝5 ⎠
1
3x 320x 2 ⇔ x 20x 2 21x 2 x
d)
85x 8 42x 2(16)x 7 15x 24 2 24x 4(2)4x 28 15x 24 2 28x 32 ⇔ 15x 24 8x 32 7x 56 x8
9. a) 5(2)x 3 160 0 5(2)x 3 160 2x 3 25 ⇔x35 x8
( 5)
( 3)
b) 15 2
x
2
( 3) ( 23 )
15 2
x
2
x
2
1
1253x (53)3x
1(x
1)
59x ⇔ 1 (x 1) 9x 2 x 1 18x 19x 1 x
( 2) ( 21)
f ) 5 1
–2x
7
–2x
7
1 19
80(2)x 1 24(2)x 1
22x 7 2x 3 ⇔ 2x 7 x 3 x 10 c)
( 52 )
10
x
52
9 14
10 0
1
2 21
e) 12(36)2x 1 2(216)6x 2 6(6)4x 2 618x 6 64x 3 618x 6 ⇔ 4x 3 18x 6 14x 9 x
x
1 4
2 3
x
2
625 0 16
( 52 ) ( 52 )
x
2
x
2
( 2) ( 2) 5 5
4
–4
⇔ x 2 4 x 6
⇔x21 x3 Page 214 d) 0,3(0,75)x 5 0,3 0 0,3(0,75)x 5 0,3 0,75x 5 1 0,75x 5 0,750 ⇔x50 x5
e) a 8,5 et 8,5 0. k 17 et 17 0. Donc, aucun zéro.
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f )
4,25(e)x 7 4,25 0 4,25(e)x 7 4,25 ex 7 1 ex 7 e0 ⇔x70 x 7
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 4
687
18-06-26 1:50 PM
10. a)
3(2)x 4 5 7 3(2)x 4 12 2x 4 4 2x 4 22 ⇔x42 x6
Esquisse du graphique :
b)
(5)
3 2
f (x)
x
1
(5) ( 52 ) ( 52 ) ( 52 )
3 2 f (x) 3(2)x 4 5
y 5
x ] , 6[
4 14,75
x
0 (x, 7)
y 7
x
1
x
1
25 4
x
1
5
x
1
18,75
( 2) ( 2) 5
Esquisse du graphique : f(x) (x, 14,75)
y 14,75
( 5)
f(x) 3 2
2
–2
x 1
4
x
0
⇔ x 1 2 x 3
y 4
x [3, [ 11. a) On veut f (x) 0. Donc : 4x 3 16 0 4x 3 16 4x 3 42 ⇔x32 x 1
b) On veut g (x) 0. Donc :
Esquisse du graphique : f (x)
()
1 3
(x, 0)
y 16
2)
( 3) ( 31) ( 31)
– (x
2)
– (x
2)
– (x
2)
y 81
81 34
( 3)
1
–4
(x, 0)
0
x
⇔ (x 2) 4 x24 x2
Positif sur [1, [ ; négatif sur ], 1].
g (x)
81 0
1
x
0
– (x
Esquisse du graphique :
Positif sur ], 2] ; négatif sur [2, [. Page 217 12. a) Base c : f (x) acx 8 ac2 128 ac4 128 ac 2 8 ac 4
16 c c4
2
1 2
16 6
2 Paramètre k : f (x) 5(2)x k 6 5(2)1 k 6 10 k k 4
(5) 15 a ( 1 ) 5
f (x) a 1
Règle :
c
Paramètre a : f (x) a(2)x k 16 a(2)2 k (6 a(2)1 k) 10 2a a5 Règle : f (x) 5(2)x 4
15 5a a 3
ac
Règle : f (x) 3 1
1 5
(5)
f ( x 2) f ( x 1) c f ( x 1) f ( x ) 247 47
–1
b) Base c :
x
25 c2
14. a) Paramètre k : k 5 Paramètre a : 13 a(3)2 5 Base c : 3 3 49 ac 5 ⇒ 54 ac 18 9a a2 13 ac2 5 ⇒ 18 ac2 Règle : f (x) 2(3)x 5 54 ac3 2 18
Paramètre a :
375 ac –1 15 ac
1 2
f ( x 2) f ( x 1) c f ( x 1) f ( x ) 36 16
a
b) Base c : f (x) acx 375 ac3 15 ac1 –3
f (x) (4)x
13. a) Base c :
Paramètre a : f (x) a(4)x 8 a(4)2 8 16a
47 7
5 Paramètre k : f (x) 2(5)x k 7 2(5)1 k 7 10 k k3 b) Paramètre k : k 4 Paramètre a : a valeur initiale k 34 1
x
Paramètre a : f (x) a(5)x k 47 a(5)2 k (7 a(5)1 k) 40 20a a 2 Règle : f (x) 2(5)x 3
Base c : g (x) cx 4 4 c3 4 8 c3 c 0,5 Règle : g (x) (0,5)x 4
c3
688
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 4
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Page 218 15. x : temps écoulé depuis le début de l’expérience (en h) N (x) : nombre de bactéries N (x) 10(2)4x N(5) 10(2)4(5) 10 485 760 bactéries
16. x : temps écoulé depuis le placement (en années) C(x) : capital accumulé (en $) C(x) 4000(1,045)x C(7) 4000(1,045)7 5443,45 Donc, 5443,45 $. Réponse : Le capital accumulé sera de 5443,45 $ dans 7 ans.
Réponse : Il y aura 10 485 760 bactéries après 5 h.
17. x : temps écoulé depuis la publication de la photo (en jours) N (x) : nombre de personnes voyant la photo au cours d’une journée N (x) 54(1,22)x 1 N(15) 54(1,22)15 1 54(1,22)14 873,84 Donc, 873 personnes. Réponse : Il y aura 873 personnes qui verront la photo la 15e journée. 18. De 2005 à 2017 : m : temps écoulé depuis 2005 (en années) P1(m) : population de la ville P1(m) 115 000(0,97)m En 2017, m 12. P1(12) 115 000(0,97)12 79 791,87 Donc, 79 791 habitants.
Depuis 2017 : n : temps écoulé depuis 2017 (en années) P2(n) : population de la ville P2(n) 79 791(1,015)n En 2025, n 8. P2(8) 79 791(1,015)8 89 883,97 Donc, 89 883 habitants.
Réponse : En 2025, la population de la ville sera de 89 883 habitants. Page 219 19. Ballon A : n : nombre de rebonds H A (n) : hauteur du rebond (en m)
( 3) 3 (8) 40 ( 5 )
H A (n) 40 5 HA
n
Ballon B : n : nombre de rebonds H B (n) : hauteur du rebond (en m) c f(x
2) f ( x 1) f ( x 1) f ( x ) 12,288 19,2 19,2 30
8
H C (n) 35(0,62)n H C (8) 35(0,62)8 0,78 m
0,64
0,67 m
Ballon C : n : nombre de rebonds H C (n) : hauteur du rebond (en m) 13,54 35c2 0,39 c2 c 0,62
H B (n) 30(0,64)n H B (8) 30(0,64)8 0,84 m
Réponse : Le 8e rebond du ballon B est le plus haut. 20. Intérêts capitalisés tous les mois :
(
C(x) C0 1
(
5000 1
r n
)
nx
0,06 12
Intérêts capitalisés tous les 3 mois : Écart : 9096,98 9070,09 26,89 $ r nx C(x) C0 1 +
(
)
12 x
5000(1,005)12x C(10) 5000(1,005)12(10) 9096,98 Donc, 9096,98 $.
n
(
5000 1
)
0,06 4
)
4x
5000(1,015)4x C(10) 5000(1,015)4(10) 9070,09 Donc, 9070,09 $.
Réponse : L’écart entre les capitaux accumulés est de 26,89 $.
SECTION 4.2
Propriétés des logarithmes
Page 221 1. a) log4 64 3
b) log6 36 2
c) ln 1 0
d) log 10 000 4
1 e) log121 11 2
f ) log 1 1 5 32 2
g) log 1 625 4
h) log7 343 m
i ) log15 t s
j ) ln a b
k) log 2 p r
l ) log 1 u w
9
v
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5
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 4
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b) 102 0,01
c) e5,3753 216
d) 70 1
e) 103 1000
f ) 92 92
g) 61 1
h) e5 e5
i ) 10a 0,08
j ) r q p
k) es r
l ) a c
3. a) 3
b) 6
c) 2
d) 2
e)
f ) 1
g) 4
h) 1
i ) 0
j )
k) 1
l )
m) 0
n) 1
o) 9
p)
2. a) 34 81
2
6
2
3
Page 223
()
4. a) 2 5 4 3 4 10 d) 4 4(0) (3)2 13 5. a)
log 7 log 5
e) 2(4) 13 1 8
f ) 6 3 4(5) 4 2
e)
0,2925
( 1)
20
log 125 log 6
c)
log 9 ln 5 log 20
c) loga 38
log9 (3 10) log9 (2 6) log9 30 log9 12
f )
g)
log12 30
d) logt s
( ) ( )
12 log7 4 10 log7 5 log7 3 log7 2
h) log3 8 log3 3 log3 (8 3) log3 24
log2 3
Page 224 7. a) log 4 3 log4 2
6 9
d) log 3 5(2)
4
g) log5 ((x 2)(x 1) ) 4
)
e) log log4 x log4 3
f ) log2 ((x 1)3(5)) log2 x2 log log2 5( x
h) log 7 ( x (x
5)3 4)2
i )
2 log logc x (x
(x
d) log aa 20 5
loga 20 loga 5 1,28 0,69 0,59
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)
2
log25 5 2 c) log
log logc 8. a) loga (3 5) loga 3 loga 5 0,47 0,69 1,16
1
1
b) log5 24 log5 33 log5 42 log5 (16 27 16) log5 6912 y log log4 x 3y
7 log log3 80 7
log 5 6 log 3 4
f ) ln 188 3,3187
b) log5 36
e) logv u3
log 55 log 2
5,7814
0,876
6. a) log2 7
2
()
2,6947
log 4
3
c) 23 3 1 3 2 9,5
b)
log 2 3
1 b
b) 2(0) 3(2) 4(2) 6 1 2 1
1,2091 d)
1
73
1)3 x
2
2 log (x 1)3 c 1)2 2 x 2 1)2 ( x 1)3
b) loga (3 52) loga 3 loga 52 loga 3 2 loga 5 0,47 2 0,69 1,85
c) loga (32 a3) loga 32 loga a3 2 loga 3 3 2 0,47 3 3,94
e) log a 3
f ) log logaa 3
20 5
loga 3 loga 20 loga 5 0,47 1,28 0,69 1,06
CHAPITRE 4
2
63
20 5 a4
loga 32 loga 20 (loga5 loga a4) 2 loga 3 loga 20 loga 5 loga a4 2 0,47 1,28 0,69 4 2,47
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Page 225 9. a) logc (3 5) logc 3 logc 5 xy d) logc 3 logc 2 xw
b) logc (22 5) logc 22 logc 5 2 logc 2 logc 5 2w y
c) logc (32 52 c2) logc 32 logc 52 logc c2 2 logc 3 2 logc 5 2 2x 2y 2
e) log logc 2 5
f ) log c 23
2
logc 5 (logc 22 logc 3) logc 5 2 logc 2 logc 3 y 2w x
10. a) log2 3 log2 82
32 c3
5
3
logc 2 logc 32 (logc 53 logc c3) logc 2 2 logc 3 3 logc 5 3 w 2x 3y 3
b) log8 52 log8 35 log8 24 2 log8 5 5 log8 3 4 log8 2
c) log3 5 log3 x2 log3 5 2 log3 x
d) log6 652 log6 74 2 log6 65 4 log6 7
e) log 9 7 log9 63 log9 52
f ) log5 (x 2) log5 (x 3)4 log5 (x 2) 4 log5 (x 3)
g) log4 (x 5)3 log4 (x 4)2 3 log4 (x 5) 2 log4 (x 4)
h) x(log2 p log2 q log2 r) x log2 p x log2 q x log2 r
1 2
log9 7 3 log9 6 2 log9 5
i ) loga b2 loga cd3 2 loga b (loga c loga d3) 2 loga b loga c 3 loga d
Fonction logarithmique
SECTION 4.3 Page 227
1. a) f (x) logc x 2 logc 9 ⇔ c2 9 1 1 (c2 ) 2 (32 ) 2 c3 f (x) log3 x
c) f ( x) logc x
b) f (x) logc x 4 log 81 ⇔ c4 81 c –1 –1 (c – 4 ) 4 (34 ) 4 c 31
–3 3 1 1 logc ⇔ c 2 2 27 27
(c ) –3 2
1 3
f (x) log 1 x
–2 3
(3–3 ) c 32 9
–2 3
f (x) log9 x
3
Page 228 2. a) g (x) log 1 x
b) g (x) log3 x
c) g (x) log 1 x
4
d) g (x) log 1 x
10
b) g ( 3) 4 ln ( 3) 4 ln 3 4,3944
3. a) f (7) log 7 0,8451
e
c) h (9) 2 log5 (9 5) 1 2 log5 4 1 2 log 4 1 log 5
2,7227 4. a)
b)
f (x)
g (x)
2
8
1
4
0
2
4
6
8
10
x
8
0
4
1
4
2
8
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d) i ( 8) 3 ln 2(8 12) 6 3 ln 2(4) 6 3 ln 8 6 0,2383
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4
8
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x
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c)
d)
h(x)
8
8
8
4
4
0
4
i (x)
4
8
x
8
0
4
4
4
8
8
4
x
8
Page 229 b) 1) ], 0[ 2) R
5. a) 1) ]4, [ 2) R
c) 1) ], 3[ 2) R
3) Décroissante. 4) x 0
3) Croissante. 4) x 4
3) Croissante. 4) x 3
Page 231
log2 x 3 ⇔ x 23 8
4 log3 (2x 5) 2 6 4 log3 (2x 5) 8 log3 (2x 5) 2 ⇔ 2x 5 32 2x 14 x7
d) Restriction : 2x 3 0 et x 1,5 Donc, x 1.
x10 x1
log (2x 3) log (x 1) 1 log (2x 3) log (x 1) 1 log 2 x x
⇔
2x x 2x x
31 1
3 101 1 3 10 1
2x 3 10x 10 8x 13 13 x 8
7. a) Restriction : 3x 13 0 x 4,3 log (3x 13) 0 ⇔ 3x 13 100 3x 13 1 3x 12 x4
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c) Restriction : 16(x 11) 0 x 11
b) Restriction : 2x 5 0 x 2,5
6. a) Restriction : x0
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2 log1 16( x log1 16( x
CHAPITRE 4
( 2)
⇔ 16(x 11) 1
–6
x 11 4 x 15
log6 (x 2) 1 log6 (x 3) log6 (x 2) log6 (x 3) 1 log6 (x 3)(x 2) 1 log6 (x2 x 6) 1 ⇔ x2 x 6 61 x2 x 12 0 (x 4)(x 3) 0 x 4 0 ou x 3 0 x 4 ou x 3 À rejeter. x3
3 log2 (x 4) 9 0 3 log2 (x 4) 9 log2 (x 4) 3 ⇔ x 4 23 x48 x 12
11) 6
2
e) Restriction : x 2 0 et x 3 0 x 2 x 3 Donc, x 2.
b) Restriction : x40 x4
11) 12
2
f ) Restriction : x 6 0 et x 2 0 x 6 x 2 Donc, x 6. ln (x 6) 2 ln (x 2) ln (x 6) ln (x 2) 2 ln x ⇔
x x
6 e2 2
x
62 2
x 6 7,39x 14,78 6,39x 20,78 x 3,25 Puisque 3,25 6, il n’y a aucune solution.
c) Restriction : 3 2x 0 x 1,5 ln (3 2x) 0 ⇔ 3 2x e0 3 2x 1 2x 2 x1
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Page 232
2 log4 8(x 5) 4 0 2 log 8(x 5) 4 4 log4 8(x 5) 2 ⇔ 8(x 5) 42 8(x 5) 16 x 5 2 x3
log 5(x 4) 2 0 log 5(x 4) 2 log 5(x 4) 2 ⇔ 5(x 4) 102 5(x 4) 100 x 4 20 x 24
8. a) Restriction : x30 x3 2 log 2 ( x 3
2 log 2 ( x
3) 4
f(x)
3) 2
x 3
3
( 3)
⇔x3 2
(x, 9) x
–2
9 x3 4 21 4
Esquisse du graphique : f(x)
2 log4 (8x 48) 8 2 2 log4 (8x 48) 6 log4 (8x 48) 3 ⇔ 8x 48 43 8x 64 48 x 2
y 9
0
b) Restriction : 8x 48 0 8x 48 x 6
3
log 2 ( x
4 ln (3x 3) 8 0 4 ln (3x 3) 8 ln (3x 3) 2 ⇔ 3x 3 e2 3x 7,39 3 3x 10,39 x 3,46
Esquisse du graphique : 3) 5 9
f ) Restriction : 3x 3 0 x 1
e) Restriction : 5(x 4) 0 x4
d) Restriction : 8(x 5) 0 x 5
f(x) 2 log 2 (x 3) 5
x ], 2]
3
x 6
(x, 2) 0
x y 2
f(x) 2 log4 ( 8x 48) 8
x ⎤ 3, 21⎤ ⎥⎦
4 ⎥⎦
Esquisse 9. a) Restriction : 4x 40 0 du graphique : 4x 40 f(x) x 10 On veut f (x) 0. Donc : 3 log (4x 40) 18 0 (x, 0) 2 3 log (4x 40) 18 0 2 log2 (4x 40) 6 ⇔ 4x 40 26 x 10 4x 24 x6
x
Esquisse b) Restriction : 20(x 9) 0 du graphique : x90 g(x) x9 On veut g (x) 0. Donc : 6 log 20(x 9) 12 0 6 log 20(x 9) 12 0 (x, 0) log 20(x 9) 2 x 9 ⇔ 20(x 9) 102 x 9 5 x4
Positif sur ]10, 6] ; négatif sur [6, [.
x
Positif sur [4, 9[ ; négatif sur ], 4].
Page 234 10. a) Paramètre h : h 4 Paramètre b : 1 14
b) Paramètre h : h 1 Paramètre b :
c) Paramètre h : h 8 Paramètre b :
3,5 1 1
b b 1 3
4 18
b b2 5
Base c :
b
b 1 4
Base c :
2 log c 1 (8 3
4)
2 logc 4 ⇔ c2 4 c2 Règle : f (x) log2 1 ( x + 4) 3
Base c :
1 log logc 2 (6
5
4
1 logc 2 ⇔ c1 2 c
1 2
Règle : g (x) log 1 2 ( x
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8)
1 logc 10 ⇔ c 10
2
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1 logc 1 ( 32
1)
Règle : h (x) log 1 ( x 4
8)
1)
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CHAPITRE 4
693
18-06-26 1:50 PM
Page 235
c –2 c –3
3b 9b
c
c3 c2
1 3
Paramètre b : 2 log 1 b (1 − 4)
( 3)
3 2 log 1 3b ⇔ 3b 1
3
25b 2,5b
–2
c2 2,56
1
1
(c2 ) 2 2,56 2 c 1,6 Paramètre b : 2 log1,6 b(1,8 5) 2 log1,6 3,2b ⇔ 3,2b 1,62 b 0,8 Règle : k (x) log1,6 0,8(x 5)
4)
3
11. a) 1) N(15) 50 log8 (15 1) 40 26,67 Donc, 26 personnes.
8,192b 3,2b
c4 c2
c 10 Paramètre b : 3 log b(20 5) 3 log 25b ⇔ 25b 103 b 40 Règle : j (x) log 40(x 5)
b 3
Règle : i (x) log 1 3( x
f ) Paramètre h : h 5 Base c : 4 logc b(3,192 5) 4 logc 8,192b ⇔ c4 8,192b 2 logc b(1,8 5) 2 logc 3,2b ⇔ c2 3,2b
e) Paramètre h : h 5 Base c : 3 logc b(20 5) 3 logc 25b ⇔ c3 25b 2 logc b(2,5 5) 2 logc 2,5b ⇔ c2 2,5b
d) Paramètre h : h 4 Base c : 2 log b(1 4) c 2 log 3b ⇔ c2 3b c 3 log b(5 4) c 3 log 9b ⇔ c3 9b c
2) N(20) 50 log8 (20 1) 40 33,21 Donc, 33 personnes.
Réponse : 26 personnes sont guéries.
Réponse : 33 personnes sont guéries.
b) 1) 10 50 log8 (t 1) 40 50 50 log8 (t 1) 1 log8 (t 1) ⇔ t 1 81 t 7 jours
2) 40 50 log8 (t 1) 40 80 50 log8 (t 1) 8 8 log8 (t 1) ⇔ t 1 8 5 5
Réponse : Elles sont guéries après 7 jours.
8
t 85 1 26,86
Donc, 27 jours.
Réponse : Elles sont guéries après 27 jours. Page 236 12. a) 1) T(1) 30 log 1 (1 2
2) T(40) 30 log 1 (40
3) 100
90,97 min
Réponse : Le temps prévu est d’environ 90,97 min. b) 1)
70 30 log 1 ( n
3) 100
30 30 log 1 ( n
3)
2
2
1 log 1 ( n 2
3) 100
2
60,03 min
Réponse : Le temps prévu est d’environ 60,03 min. 2)
60 30 log 1 ( n
3) 100
40 30 log 1 ( n
3)
2
2
1 4 log ( n 3) 2 3 4 1 ⇔ (n 3) 10 3 2
3)
1 2
⇔ (n 3) 10 n 3 20 n 17 entraînements
n32
4
10 3 4
Réponse : Le temps prévu est de 70 min après 17 entraînements.
n 2 10 3 3 40,09 Donc, 41 entraînements.
Réponse : Il devrait atteindre son objectif après 41 entraînements. 13. a) 1) L(15) log7,5 (15 50) 5 6,76 cm
2) L(20) log7,5 (20 50) 5 7,11 cm
3) L(35) log7,5 (35 50) 5 7,2 cm
Réponse : La longueur est d’environ 7,11 cm.
Réponse : La longueur est d’environ 7,2 cm.
Réponse : La longueur est d’environ 6,76 cm. b)
L(t) log7,5 (t 50) 5 7,15 log7,5 (t 50) 5 2,15 log7,5 (t 50) ⇔ t 50 7,52,15 t 26,1 °C
c) Non, car si t 50, l’argument du logarithme est nul, ce qui n’est pas possible.
Réponse : La température est d’environ 26,1 °C.
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CHAPITRE 4
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Page 237 14. a) (158 397, 5) et (202 762, 15) Base c : A(v) logc bv 15 logc b(202 762) ⇔ c15 202 762b A(v) logc bv 5 logc b(158 397) ⇔ c5 158 397b
202 762b c15 c5 158 397b 202 762 c10 158 397
Paramètre b : A(v) log1,03 bv 5 log1,03 b(158 397) ⇔ 158 397b 1,035
1
⎛ 202 762 ⎞ 10 c⎜ ⎝ 158 397 ⎟⎠
5 b 1,03
158 397
0,000 007 143 A(v) log1,03 0,000 007 1v
1,03
Réponse : La règle est A(v) log1,03 0,000 007 1v. b) L’équation de l’asymptote est x 0, ce qui signifie qu’une maison ne peut pas valoir 0 $, ni moins de 0 $. c) 1) A(250 000) log1,03 0,000 007 1(250 000) 23,48 ans
2) A(300 000) log1,03 0,000 007 1(300 000) 30,86 ans
Réponse : Une maison vaut 250 000 $ environ 23,48 ans après sa construction.
Réponse : Une maison vaut 300 000 $ environ 30,86 ans après sa construction.
d) 1) A(v) log1,03 0,000 007 1v 0 log1,03 0,000 007 1v ⇔ 0,000 007 1v 1,030 v 139 999,71 Donc, 140 000 $.
2) A(v) log1,03 0,000 007 1v 20 log1,03 0,000 007 1v ⇔ 0,000 007 143v 1,0320 v 229 406,85 Donc, 229 407 $.
Réponse : La valeur d’une maison à sa construction est de 140 000 $.
Réponse : La valeur d’une maison construite il y a 20 ans est de 229 407 $.
e) A(100 000) log1,03 0,000 007 1(100 000) 13,63 ans Réponse : La technicienne obtiendra un résultat négatif, soit environ 13,63 ans. Ceci signifie qu’une maison vaut 100 000 $ environ 13,63 ans avant sa construction, ce qui n’a pas de sens ; dans ce cas, la règle ne s’applique donc pas. En effet, cette règle est valide seulement pour des maisons valant au moins 140 000 $.
SECTION 4.4
Situations exponentielles et logarithmiques
Page 239 1. a) f 1(x) log x d)
x 3(2)y 4 7 x 7 3(2)y 4
b) g1(x) log2 x
(5) x 6 2 ( 3 ) 5 1 (x 6) 3 (5) 2
e)
x 2 3
1 (x 7) 2y 4 3 1 3 1 y log2 (x 7) 4 3
c) h1(x) ln x
⇔ y 4 log2 (x 7)
4( y
4( y
4( y
1)
1)
1)
⇔ 4( y 1) log 3 1 ( x 2
5
1 3
y 1 1 log3 1 ( x
i1(x) log2 (x 7) 4
4
2
5
y 1 log3 1 ( x 4
5
j1(x) 1 log3 1 ( x 4
2. a) f1(x) 3x
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(4)
b) g1(x) 1
5 x
2
f )
6
2
6) 6) 6) 1
6) 1
x 3(6)
– 1( y 2
4)
x 5 3(6)
– 1( y 2
4)
5
– 1 ( y 4) 1 (x 5) 6 2 3 1 1 ⇔ ( y 4) log6 (x 5) 2 3 1 y 4 2 log6 (x 5) 3 1 y 2 log6 (x 5) 4 3 1 k1(x) 2 log6 (x 5) 4 3
c) h1(x) ex
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CHAPITRE 4
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d)
x 4 log2 ( y 3) 5 x 5 4 log2 ( y 3) 1 (x 5) log2 ( y 3) 4 1
⇔ y 3 24
1
y 24 1
i1(x) 2 4
(x
(x
5)
(x
5)
5)
e)
x log 2( y 1) 4 x 4 log 2( y 1) (x 4) log 2( y 1) ⇔ 2( y 1) 10(x 4)
f )
3
4) 2
3 4 x 2 1 log5 3 ( y 4) 3 4 3(x 2) log5 3 ( y 4) 4 3 ⇔ ( y 4) 53(x 2) 4 4 y 4 (5)3(x 2) 3 4 y (5)3(x 2) 4 3
1 (10)(x 4) 2 1 y (10)(x 4) 1 2
y1 3
x 1 log5 3 ( y
j1(x) 1 (10)(x 4) 1 2
4 3
k1(x) (5)3(x 2) 4 Page 240 3. a) 2x 12 ⇔ x log2 12 log 12 log 2
3,58
b) 42x 5 21 0 42x 5 21 ⇔ 2x 5 log4 21 2x
c) 6(7)x 1 10 2 6(7)x 1 12 7x 1 2 ⇔ x 1 log7 2
log 21 5 log 4
x
log 21 x 5 2 log 4 2
d) 2
5 ⇔ log 2x 1 log 5x (x 1) log 2 x log 5 x log 2 log 2 x log 5 x log 2 x log 5 log 2 x (log 2 log 5) log 2 x1
x
x
0,64
1,4
e) 2
3 ⇔ log 22x 1 log 3x 1 (2x 1) log 2 (x 1) log 3 2x log 2 log 2 x log 3 log 3 2x log 2 x log 3 log 3 log 2 x(2 log 2 log 3) log 3 log 2 2x 1
x1
log 2 log 2 log 5
0,76
log 2 1 log 7
x
4. a) t : temps écoulé depuis 1999 (en années) C(t) : coût d’une boîte de sirop d’érable (en $) C(t) 4,95(1,05)t t 2009 1999 10 ans C(10) 4,95(1,05)10 8,06 Donc, 8,06 $.
f ) 5(6)x 8(7)x ⇔ log 5(6)x log 8(7)x log 5 log (6)x log 8 log (7)x log 5 x log 6 log 8 x log 7 x log 6 x log 7 log 8 log 5 x(log 6 log 7) log 8 log 5
log 3 log 2 2 log 2 log 3
x
1,41 b)
log 8 log 6
log 5 log 7
3,05
C(t) 4,95(1,05) 20 4,95(1,05)t t
20 1,05t ⇔ t log1,05 20 4,95 4,95 20 log 4,95 log 1,05
28,62 ans 1999 28,62 2027,62 Donc, en 2027.
Réponse : Une boîte de sirop d’érable coûtait 8,06 $ en 2009.
Réponse : Une boîte de sirop d’érable coûtera 20 $ en 2027. Page 241 5. a)
7,2 % 0,6 % 12
b)
t : temps écoulé depuis 2015 (en années) C(t) : capital accumulé (en $) C(t) 3000(1,006)12t C(8) 3000(1,006)12(8) 5327,55 Donc, 5327,55 $. Réponse : Après 8 ans, le capital accumulé sera de 5327,55 $.
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CHAPITRE 4
C(t) 3000(1,006)12t 9000 3000(1,006)12t 3 1,00612t ⇔ 12t log1,006 3 t
log 3 12 log 1,006
15,3 Donc, dans 15 ans et 4 mois, puisque les intérêts sont capitalisés tous les mois. 2015 15,3 2030,3 Réponse : Le capital accumulé atteindra 9000 $ en 2030.
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6. a) t : temps écoulé depuis le début de l’observation (en jours) N(t) : nombre de bactéries
t
b)
N(t) 100 ( 2) 4 t
100 000 100 ( 2) 4 t
t log2 1000 4 4 log 1000 t log 2
1000 2 4 ⇔
t
N(t) 100 ( 2) 4 18
N(18) 100 ( 2) 4 2262,74 Donc, 2262 bactéries.
Réponse : La culture comptera 100 0000 bactéries dans environ 39,86 jours.
Réponse : Après 18 jours, il y aura 2262 bactéries. b)
7. a) x : nombre de mises S(x) : somme misée (en $) S(x) 2(3)x 1 S(7) 2(3)7 1 1458 $
39,86 jours
S(x) 2(3)x 1 35 000 2(3)x 1 17 500 3x 1 ⇔ x 1 log3 17 500 x Donc, la 10e mise.
Réponse : La 7e mise devrait être de 1458 $.
log 17 500 1 log 3
9,89
Réponse : La 10e mise sera d’au moins 35 000 $. Page 242
(7) 100 650 ( 6 ) 7 100 ( 6 ) ⇔ t log 650 7
b) M(t) 650 6
8. a) t : temps écoulé (en années) M(t) : masse du sel (en g)
t
() M(8) 650 ( 6 ) 7 M(t) 650 6 7
t
t
8
t
189,38 g
Réponse : Dans 8 ans, il restera environ 189,38 g de ce sel.
6 7
2 13
2 13 6 log 7
log
12,14 ans
Réponse : Il restera 100 g de ce sel dans environ 12,14 ans.
(7) m 650 ( 6 ) 7 m 6 ( ) ⇔ T(m) log 650 7
c) M(t) 650 6
t
T(m) log 6 m
d)
7
T (m )
650
T(100) log 6 100
T (m )
6 7
7
m 650
Réponse : La règle est T(m) log 6 7
650
2 log 13 6 log 7
m . 650
12,14 ans
Réponse : Il restera en effet 100 g de ce sel dans environ 12,14 ans. 9. a) 1) pH log [H] log ( 5,01 104) 3,3
2) pH log [H] log ( 6,30 108) 7,2
Réponse : pH 3,3
Réponse : pH 7,2
3) pH log [H] log ( 7,94 106) 5,1 Réponse : pH 5,1
b) pH log [H] pH log [H] ⇔ [H] 10pH Réponse : La règle est [H] 10pH.
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CHAPITRE 4
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Page 243 c) 1) [H] 10pH 107 1 107 mol/L
2) [H] 10pH 104,1 7,94 105 mol/L Réponse : 7,94 105 mol/L
Réponse : 1 107 mol/L 10. a)
3) [H] 10pH 102,5 3,16 103 mol/L Réponse : 3,16 103 mol/L
b) E 133 269,84(31,5)m 133 269,84(31,5)5 4,13 1012 J
E acm a(31,5)m 4,198 106 a(31,5)1 4,198 106 a 31,5
Réponse : L’énergie libérée par un séisme de magnitude 5 est d’environ 4,13 1012 J.
a 133 269,84 E 133 269,84(31,5)m Réponse : La règle est E 133 269,84(31,5)m. c)
E 133 269,84
E 133 269,84(31,5)m
d) m log31,5
E 31,5m 133 269,84 E ⇔ m log31,5 133 269,84
1,292 log 31,5 31,5
E . 133 269,84
Réponse : La règle est m log31,5
1017 133 269,84
8 Donc, 8.
Réponse : La magnitude d’un tel séisme est de 8 sur l’échelle de Richter.
11. 100 % 2,5 % 97,5 % t : temps écoulé (en jours) Q(t) : quantité d’eau dans la piscine (en L) Q(t) 80 000(0,975)t 80 000 15 000 65 000 L 65 000 80 000(0,975)t 0,8125 0,975t ⇔ t log0,975 0,8125 log 0,8125
log 0,975
8,2 jours Réponse : Il faudra environ 8,2 jours pour que 15 000 L d’eau s’évaporent. Page 244 12. a) 1) Q Q0 e
b)
–
t 8000
2) Q Q0 e
– 1000
–
t 8000 12 500
Q0 e 8000 Q0(0,8825) 88,25 % Q0
Q0 e 8000 Q0(0,2096) 20,96 % Q0
Réponse : Il devrait rester environ 88,25 % de la quantité initiale de carbone 14.
Réponse : Il devrait rester environ 20,96 % de la quantité initiale de carbone 14.
Q Q0 e Q e Q0
–
t 8000
– t 8000
⇔
c) t 8000 ln Q
Q0
t ln Q 8000 Q0
8000 ln 0,55 Q0 Q0
t 8000 ln Q
8000 ln 0,55 4782,7 Donc, environ 4783 ans.
Q0
Réponse : La règle est t 8000 ln Q . Q0
Réponse : L’âge de la momie est d’environ 4783 ans.
d) t 8000 ln Q
e) t 8000 ln Q
Q0
Q0
8000 ln 0,5 Q0 Q0
8000 ln 0,1Q0 Q0
698
–
8000 ln 0,1 18 420,68 Donc, environ 18 421 ans.
8000 ln 0,5 5545,18 Donc, environ 5545 ans.
Réponse : La mort de la tortue remonte à environ 18 421 ans.
Réponse : La demi-vie du carbone 14 est d’environ 5545 ans.
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CHAPITRE 4
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Page 245 13. Valeur de la voiture : 100 % 14 86 %
Valeur du condominium :
t : temps écoulé depuis l’achat (en années) V(t) : valeur de la voiture (en $)
t : temps écoulé depuis l’achat (en années) C(t) : valeur du condominium (en $)
V(t) 25 000(0,86)t
C(t) 250 000(1,045)t
Temps pour que la valeur atteigne 10 000 $ : 10 000 25 000(0,86)t 0,4 0,86t ⇔ t log0,86 0,4
Valeur du condominium dans environ 6,08 ans : C(6,08) 250 000(1,045)6,08 326 645,56 Donc, 326 645,56 $.
log 0,4 log 0,86
6,08 ans
Réponse : Lorsque la valeur de la voiture sera de 10 000 $, celle du condominium sera de 326 645,56 $. 14. Option A : t : temps écoulé depuis le placement (en années) C A (t) : capital accumulé (en $) C A (t) 7000(1,065)t 10 000 7000(1,065)t
Option B : t : temps écoulé depuis le placement (en années) C B (t) : capital accumulé (en $) C B (t) 7000(1,031)2t 10 000 7000(1,031)2t
10 1,065t 7 ⇔ t log1,065 10 7 10 log 7 log 1,065
10 1,0312t 7 ⇔ 2t log1,031 10 7 10 log 7 2 log 1,031
5,6638 Donc, dans 6 ans, puisque les intérêts sont capitalisés annuellement. C A (6) 7000(1,065)6 10 214 Donc, 10 214 $. Avec l’option A , dans 6 ans, le capital accumulé sera de 10 214 $.
5,8415 Donc, dans 6 ans, puisque les intérêts sont capitalisés tous les 6 mois. C B (6) 7000(1,031)2(6) 10 097,22 Donc, 10 097,22 $. Avec l’option B , dans 6 ans, le capital accumulé sera de 10 097,22 $.
Réponse : Avec les deux options, il faut 6 ans pour amasser un capital accumulé d’au moins 10 000 $. Cependant, Marie-Pier devrait choisir l’option A puisque le capital accumulé, soit 10 214 $, sera plus élevé que celui obtenu avec l’option B , soit 10 097,22 $. Page 246 15. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le modèle de la fonction exponentielle est T acp k. Paramètre k : k 12 Alors, T ac p 12. Base c : On peut utiliser les points suivants : (30, 10,8) et (50, 11,25). 10,8 ac30 12 1,2 ac30 11,25 ac50 12 0,75 ac50 30 1,2 ac50 0,75 ac
Paramètre a : On peut utiliser le point (30, 10,8). 10,8 a(0,98)30 12 1,2 a(0,98)30 a 2,43 Alors, T 2,43(0,98)p 12.
1,6 c20 – 1 20
(1,6)
– 1
(c – 20 ) 20 c 0,98 Alors, T a(0,98)p 12. Réponse : La règle est T 2,43(0,98)p 12.
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CHAPITRE 4
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b) T 2,43(0,98)90 12 11,71 V Réponse : Lorsque la batterie est chargée à 90 %, sa tension est d’environ 11,71 V.
d) Il faut calculer la tension de la batterie lorsque son pourcentage de charge est 0. V 2,43(0,98)0 12 9,57 V
c) Lorsque la batterie sera complètement chargée, la charge sera alors de 100 %. T 2,43(0,98)100 12 11,77 V Réponse : Lorsque la batterie sera complètement chargée, sa tension sera d’environ 11,77 V.
Réponse : Cette affirmation est fausse. En effet, cette batterie complètement déchargée a une tension d’environ 9,57 V.
MÉLI-MÉLO Page 247 1. c)
2. d)
3. b)
4. a)
5. a)
6. b)
7. c)
12. a)
13. b)
14. d)
15. d)
16. b)
17. c)
8. a)
9. d)
10. c)
Page 248 11. d) Page 249
( 3)
18. a) 1) f (4) 2 1
4
6
( 3)
2) f (6) 2 1
7
2(9) 7 25
6)
6
9
3) g (26) 2 log7 (2(26) 3) 4 2 log7 49 4 2(2) 4 8
x 2log 3 4( y
1)
5
x 6 2log 3 4( y 5 1 (x 6) log 3 4( y 2
6)
8
65
b)
5
5 f 1(x) log3 1 ( x 5
( 3) 7 2 ( 1 ) 7 9
3) f (8) 2 1
7
2) g (5) 2 log7 (2(5) 3) 4 2 log7 7 4 2(1) 4 6
x 5(3)y 4 6 x 6 5(3)y 4 1 (x 6) 3y 4
⇔ y 4 log3 1 ( x
6
2(1) 7 9
b) 1) g (2) 2 log7 (2(2) 3) 4 2 log7 1 4 2(0) 4 4 19. a)
6
6
1) 1)
5
(5) y 1 1 ( 3) 4 5 g (x) 1 ( 3 ) 4 5
⇔ 4( y 1) 3
4
1
1 (x 2
6)
1 (x 2
6)
1 (x 2
6)
1
20. 2 log7 9 log5 8 2(1,13) 1,29 3,55 Page 250 21. a) 1) R 2) ]0, [
b) 1) R 2) ], 5[
c) 1) ]0, [ 2) R
d) 1) ], 2[ 2) R
22. Asymptote de f (x) : y 4 Asymptote de g (x) : x 2 Coordonnées du point d’intersection des asymptotes : (2, 4)
( 3)
23. a) g (x) 1
( 2)
x
b) g (x) 7
24. a) g (x) log3 x
b) g (x) log 1 x
2
25. a)
(2 x
700
5
4x 410 ⇔ x 10 x 10
26. log4
3)( x x
x
1)
b) 32x 1 33 ⇔ 2x 1 3 2x 4 x2
c) 5x 6 52 ⇔ x 6 2 x 8
log4 (2x 3)(x 1) log4 x log4 (2x 3) log4 (x 1) log4 x
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CHAPITRE 4
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27. a) log3 2x 2 ⇔ 2x 32 x 4,5
b) log5 (3 x
c) log 1 (2 x
2) 0
6
(6)
⇔ 3x 2 5
4) 2
4
0
(4)
⇔ 2x 4 1
–2
2x 16 4 x6
3x 3 x1 Page 251 28. a)
b)
f(x)
4
29. a)
8
8
4
4
0
2
2
4
x
4
4
0
2
4
4
8
8
b)
f(x)
g (x)
4
4
2
2
4
x
4
x
2
4
x
g (x)
8
0
2
2
4
0
2
4
2
8
4
1
30. a) 2 1 4 1 4
b) 2 2 5 1 0
c) 3(4) 8(0) 12 2 9
d) 13 6 0 2 5
b) log4 35
c) logt r logt t logt rt
d) log5 x6 3 log5 2y
b) x 1
c) x 2
d) Aucun zéro.
f ) x 5
g) x 3
h) x 1
Page 252 31. a) log2 5
log4 15
log15 35 32. a) x 2 e) x 1
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1 3
log5 x2 log5 23y3 log5 8x2y3
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CHAPITRE 4
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33. a) 1) R 3) Croissante.
( ) 4 1 2 ( 5 ) 4
1 5) f (0) 2 5
2(0
2) ], 4[ 4) y 4
2) R 4) x 3
b) 1) ]3, [ 3) Décroissante.
1)
5) g (0) 5 log8 2(0 3) 2 5 log8 6 2 2,31
2
3,92
( 1) 1 2 (5)
6) 0 2 5
2( x
2( x
1)
6)
4
1)
0 5 log8 2(x 3) 2 0,4 log8 2(x 3) ⇔ 80,4 2(x 3)
80,4 3x 2
⇔ log 1 2 2(x 1)
x 1,85
5
x 1,22 34. L’étang sera complètement couvert de nénuphars dans 1 jour, c’est-à-dire la 31e journée. En effet, si la superficie couverte par les nénuphars double tous les jours et que la moitié de l’étang est couverte au 30e jour, c’est donc le lendemain que l’étang sera complètement couvert, après que la superficie des nénuphars ait doublé une fois de plus. Page 253 6
35. 44 log log aa a 2 5a0 6(2) 7(1) 4(3) 5(1) 12 7 36 36. Restriction : x 2 0 et x 4 0 x 2 x4 Donc, x 4. Résolution : log (x 2) log (x 4) log 2 log 3,5 log (x 2)(x 4) log 2 (3,5) log (x2 2x 8) log 7 ⇔ x2 2x 8 7 x2 2x 15 0 (x 3)(x 5) 0 x 3 0 ou x 5 0 x 3 x5 x5
37. log77 ( x
3)2 x log7 x4 1
log7 (x 3)2 log log7 x 2 4 log7 x 2 log7 (x 3)
1 log7 x 4 log7 x 2
2 log7 (x 3) 3,5 log7 x
À rejeter.
Page 254 38. a) La règle est C(t) 250(1,02)t. b)
c)
C(t) 250(1,02)t C(10) 250(1,02)10 304,75 Donc, 304,75 $. Réponse : Elle devra débourser 304,75 $.
Réponse : Oui, dans 35 ans, le coût de l’épicerie sera de 499,97 $. e) La règle serait C(t) 250(0,982)t.
d) La règle serait C(t) 250(1,035)t. 39. a) 1)
C(t) 250(1,02)t C(35) 250(1,02)35 499,97 Donc, 499,97 $.
t
2) t 2015 2000 15
0 30
N(t) 9000(2) 30
N(t) 9000(2) 30
t
N(0) 9000(2) 9000 Donc, 9000 habitants.
15
N(15) 9000(2) 30 12 727,92 Donc, 12 727 habitants.
Réponse : La population était de 9000 habitants.
Réponse : La population était de 12 727 habitants.
b) La population de cette municipalité double tous les 30 ans. t
t
c) 1) La règle serait N(t) 9000(3) 50 .
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2) La règle serait N(t) 9000(0,75)10 .
CHAPITRE 4
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Page 255 40. Si k a, on a : f (x) acb(x h) a acb(x h) a Zéro : acb(x h) a 0 acb(x h) a a cb(x h)
⇔ b(x h) logc 1 b(x h) 0 xh0 xh
a
cb(x h) 1
Réponse : Oui, il est vrai d’affirmer que la fonction aura toujours un zéro dont la valeur sera égale à celle du paramètre h. 41. Règle de la fonction g :
(4)
g (x) 2 3
x
5
6
Règle de la réciproque de la fonction g :
(4) x 6 2 ( 3 ) 4 1 3 ( x 6) ( ) 4 2 x 2 3
y
y
5
y
5
⇔ y 5 log 3 1 ( x 6)
6
4
2
y log 3 1 ( x 6) 5 4
5
2
g1(x) log 3 1 ( x 6) 5 4
Réponse : g (x) log 3 1 ( x 6) 5 2 4
2
1
42. t : temps écoulé depuis 2010 (en années) N(t) : nombre d’articles vendus en ligne t 2030 2010 20 ans N(t) 4672(1,07)t N(20) 4672(1,07)20 18 079,17 Donc, 18 079 articles. Réponse : En 2030, 18 079 articles seront vendus. Page 256 43. Distance à une intensité de 40 lm :
Distance à une intensité de 80 lm :
Rapport des distances :
i 130 40 D(40) 170 log 130
i 130 80 D(80) 170 log 130
35,85 0,41 87,02
D(i ) 170 log
87,02 m
D(i ) 170 log
0,41 0,5
35,85 m
Réponse : Non, on ne peut pas dire que si l’intensité des phares double, la distance à laquelle se trouve la voiture venant en sens inverse a diminué de moitié, puisque cette distance est plus petite que la moitié. 44. t : temps écoulé depuis le 1er janvier 2005 (en années) N(t) : nombre d’habitants t 2015 2005 10 ans N(t) act N(t) 325 000ct 373 500 325 000c10 373 500 c10 325 000
( 650 )
c 747
t 2025 2005 20 ans N(20) 325 000(1,014)20 429 237,69 Donc, 429 237 habitants.
1 10
1,014 N(t) 325 000(1,014)t Réponse : La population de cette ville sera de 429 237 habitants.
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CHAPITRE 4
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45. 1re expression : 2 2 log 5x3 log 2 log 8x2 log 5x3 x log (8x2)2
()
x
log 10x2 log 64x4
2e expression : log 2x log 5 3 log 4x log 2x(5) log (4x)3 log 10x log 64x3 10 x 64 x 3 5 log 2 32 x
log
10 x 2 64 x 4 5 log 2 32 x
log
Réponse : Béatrice a raison, ces deux expressions sont équivalentes. Page 257 46. Capital initial :
Capital accumulé après 50 ans : c 500 c 50 log1,055 500 c ⇔ 1,05550 500
T(c) log1,055 c c0
T(c) log1,055
2 log1,055 556,51 ⇔ 1,0552 556,51 c0
c0
c0 556,51 1,0552 Donc, 500 $.
c 500(1,055)50 7270,98 Donc, 7270,98 $.
500
Réponse : Quand son fils fêtera ses 50 ans, le capital accumulé du placement sera de 7270,98 $. 47. Taux d’augmentation de 2000 à 2007 t : temps écoulé depuis le 1er janvier 2000 (en années) V(t) : valeur de l’action de 2000 à 2007 (en $) V(t) act 19,66 14,35c7 19,66 c7 14,35
c 1,046 Donc, 1,046. Le taux d’augmentation est de 4,6 % par année.
Année où l’action vaut 12,27 $ Le taux de diminution est de 4,6 % par année. u : temps écoulé depuis le 1er janvier 2007 (en années) W(u) : valeur de l’action à partir de 2007 (en $) W(u) acu 12,27 19,66(0,954)u 12,27 12,27 0,954u ⇔ u log0,954 19,66 19,66 12,27 log 19,66 log 0,954
10,01 ans 2007 10,01 2017,01 Donc, en 2017.
Réponse : Cette action vaut 12,27 $ en 2017. Page 258 48. Demi-vie du plutonium 239 :
Quantité de plutonium 239 après 100 000 ans :
( 21) 86,5537 100 ( 1 ) 2 0,865 537 ( 1 ) ⇔ 5000 log v 2
Q(t) Q0
( 21) 1 Q(100 000) 100 ( 2 )
t v
Q(t) 100
5000 v
5000 v
1 2
0,865 537
t 24 000
100 000 24 000
5,57 g
5000 log 0,865 537 v 1 log 2
v Donc, environ 24 000 ans.
1 2 log 0,865 537 5000 log
24 000,08
Réponse : Après 100 000 ans, il restera environ 5,57 g de plutonium 239.
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CHAPITRE 4
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49. Fraction de la lumière visible transmise avec un niveau d’obscurcissement 5 :
Fraction de la lumière visible transmise avec un niveau d’obscurcissement 10 :
N(v)
68 log v 1 29
N(v)
68 log v 1 29
5
68 log v 1 29
10
68 log v 1 29
–4
29
29
log v ⇔ v 10 68 4 68 0,019 684
29
–
9
29
log v ⇔ v 10 68 9 68 0,000 145
Rapport : 0,019 684 194 135,63 0,000 145 133
Réponse : La quantité de lumière transmise par un masque de niveau d’obscurcissement 5 est environ 135,63 fois plus grande que celle transmise par un masque de niveau d’obscurcissement 10. Pages 259-260 50. Durée de fabrication du fromage : t : temps écoulé (en semaines) N(t) : nombre de bactéries N(t) 100 000(1,412 35)t 50 000 000 100 000(1,412 35)t 50 000 000 1,412 35t ⇔ t log 1,412 35 500 100 000 log 500 log 1,412 35
Donc, 18 semaines.
18
Durée du prêt de 40 000 $ : 18 3 21 semaines 21 7 147 jours
Recettes de la vente du fromage : 500 150 75 000 $ Profit de la vente du fromage : 75 000 62 129,40 12 870,60 $ Capital accumulé du placement : t2 : temps écoulé depuis le placement (en années) C2(t2) : capital accumulé du placement (en $) C2(t2) 12 870,60(1,016)4 t2 C2(10) 12 870,60(1,016)4(10) 24 285,50 Donc, 24 285,50 $.
Somme à rembourser : t1 : temps écoulé (en jours) C1(t1) : capital accumulé du prêt (en $) C1(t1) 40 000(1,003)t C1(147) 40 000(1,003)147 62 129,40 Donc, 62 129,40 $. Réponse : Le capital accumulé de ce placement sera de 24 285,50 $. Pages 261-262 51. Règle pour déterminer la quantité d’iode 131 : t : temps écoulé depuis le 11 mars 2011 (en jours) Qiode : quantité d’iode 131 (en becquerels) Qiode 1,4 1017(c)t 1,4 1017 2 7 1016 Comme la demi-vie de l’iode 131 est de 8 jours, on a le point suivant (8, 7 1016). 7 1016 1,4 1017(c)8 0,5 c8 1
1
(c8 ) 8 0,5 8 c 0,92 Donc, la règle est Qiode 1,4 1017(0,92)t.
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Durée pour que l’iode 131 cesse d’être nocif : 1,4 1017 16 8,75 1015 Qiode 1,4 1017(0,92)t 8,75 1015 1,4 1017(0,92)t 0,0625 0,92t t log 0,0625 log 0,92
32 jours L’iode 131 cesse d’être nocif après 32 jours. Lorsque la centrale sera démantelée, 40 ans après l’accident, il ne restera pas de traces significatives d’iode 131.
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CHAPITRE 4
705
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Règle pour déterminer la quantité de césium 137 : s : temps écoulé depuis le 11 mars 2011 (en années) Qcésium : quantité de césium 137 (en becquerels) Qcésium 9 1015(c)s 9 1015 2 4,5 1015 Comme la demi-vie du césium est de 30 ans, on a le point suivant (30, 4,5 1015). 4,5 1015 9 1015(c)30 0,5 c30 1
1
Durée pour que le césium 137 cesse d’être nocif : 9 1015 16 5,625 1014 5,625 1014 9 1015(0,98)s 0,0625 0,98s s log 0,0625 log 0,98
120 ans Le césium 137 cesse d’être nocif après 120 ans. 120 40 80 ans
(c30 ) 30 0,5 30 c 0,98 Donc, la règle est Qcésium 9 1015(0,98)s. Réponse : Lorsque la centrale sera démantelée, il ne restera pas de traces significatives d’iode 131, alors que le césium 137 continuera d’être présent dans l’atmosphère à des quantités nocives pour encore 80 ans. Pages 263-264 m n
52. 1. logc (m n) logc m logc n Soit c 2, m 4 et n 4.
4. logc
logc m logc n
Soit c 5, m 125 et n 5.
logc (m n) log2 (4 4) log2 8 3 logc m logc n log2 4 log2 4 2 2 4 Puisque 3 4, la propriété n’est pas vraie. Donc, logc (m n) logc m logc n.
m 125 log5 25 2 n 5 3 log c m log 5 125 3 1 log c n log 5 5
logc log5
Puisque 2 3, la propriété n’est pas vraie.
2. logc (m n) logc m logc n Soit c 2, m 8 et n 4.
m n
Donc, logc
logc (m n) log2 (8 4) log2 4 2 logc m logc n log2 8 log2 4 3 2 1 Puisque 2 1, la propriété n’est pas vraie. Donc, logc (m n) logc m logc n.
log c m . log c n
5. logc mt (logc m)t Soit c 3, m 3 et t 4. logc mt log3 34 4 (logc m)t (log3 3)4 14 1
3. logc (m n) logc m logc n Soit c 3, m 3 et n 9.
Puisque 4 1, la propriété n’est pas vraie. Donc, logc mt (logc m)t.
logc (m n) log3 (3 9) log3 27 3 logc m logc n log3 3 log3 9 1 2 2 Puisque 3 2, la propriété n’est pas vraie. Donc, logc (m n) logc m logc n. Réponse : En effet, aucune de ces propriétés n’est vraie.
CHAPITRE RAPPEL
5 Cercle trigonométrique et fonctions trigonométriques
Rapports trigonométriques et factorisation
Page 266 40 41 9 2) cos A 41 40 3) tan A 9
21 29 20 2) cos A 29 21 3) tan A 20
1. a) 1) sin A
2. a)
m∠A
c) 1) sin A
0°
30°
45°
60°
90°
sin A
0
0,5
0,7071
0,866
1
cos A
1
0,866
0,7071
0,5
0
tan A
0
0,5774
1
1,7321
N’existe pas.
b) 1) augmente
706
12 37 35 2) cos A 37 12 3) tan A 35
b) 1) sin A
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2) diminue CHAPITRE 5
3) égales © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:50 PM
Page 267 3. a) tan B 4. a)
b) sin B ou cos A. sin 67°
2,9 mAB
b)
m AB sin 67° 2,9 m AB 5. a)
c) sin A ou cos B. cos 58°
mAB 15,2
d) tan A c)
m AB
m AB 8,05 dm
3,15 m sin B
23 42
b)
( 42 )
tan A
23 mAB
m AB tan 41° 23
15,2 cos 58° m AB
2,9 sin 67°
tan 41°
42,5 30,7
c)
23 tan 41°
26,46 cm cos B
6,8 25,3
m ∠ B sin1 23
m ∠ A tan1 ⎛⎜ 42,5 ⎞⎟
m ∠ B cos1 ⎛⎜ 6,8 ⎞⎟
33,2° m ∠ A 90° 33,2° 56,8°
54,16° m ∠ C 90° 54,16° 35,84°
74,41° m ∠ C 90° 74,41° 15,59°
⎝ 30,7 ⎠
⎝ 25,3 ⎠
Page 269 6. a) 5(4x 9)
b) b(a b)
c) 5ab(3a 2 b) 5ab(3a b 2)
d) pq2(p4q pq2 1)
e) 3x2y(x2yz 2x 4z)
f ) 2abc(4ab 2a2c 5c) 2abc(2a2c 4ab 5c)
g) ( y 7)(x 3)
h) (u 5)(5u 3)
i ) ab(x y)(a b)
b) b(a 7) 2(a 7) (a 7)(b 2)
c) uv 3u 5v 15 u(v 3) 5(v 3) (v 3)(u 5)
d) 10xy 2y 15x 3 2y(5x 1) 3(5x 1) (5x 1)(2y 3)
e) 5b(4a 7) 8(4a 7) (4a 7)(5b 8)
f ) 5a(3a 2b) (3a 2b) (3a 2b)(5a 1)
g) 2x(3x 8y) 4(3x 8y) (3x 8y)(2x 4) 2(3x 8y)(x 2)
h) 2x( y 7) 6y( y 7) ( y 7)(2x 6y) 2( y 7)(x 3y)
i ) 6x(4u v) 10y(4u v) (4u v)(6x 10y) 2(4u v)(3x 5y)
b) a2 102 (a 10)(a 10)
c) (5u)2 112 (5u 11)(5u 11)
d) (4u)2 (6v)2 (4u 6v)(4u 6v)
e) (3x2)2 (4y)2 (3x2 4y)(3x2 4y)
f ) 4a12 25b8 (2a6)2 (5b4)2 (2a6 5b4)(2a6 5b4)
g) (3 x)2 ( 7)2 (3 x 7)(3 x 7)
h) x2
7. a) y(x 5) 3(x 5) (x 5)( y 3)
Page 270 8. a) x2 42 (x 4)(x 4)
4 9
36 2 y 49
( 3 ) ( 67 y ) 6 2 (2 x y x 3 7 )( 3 2x
2
( 6 ) ( 89 b ) 8 5 (5 a b a 6 9 )( 6
i ) 5 a2 2
2
2
6 y 7
)
3
3
2
2
8 3 b 9
)
9. Plusieurs réponses possibles. Exemple : a) 3x2y(8xy2 15x2 12y) Réponse : Les dimensions possibles sont 3x2y m et (8xy2 15x2 12y) m.
b) 3x(11y 13) 5(11y 13) (11y 13)(3x 5) Réponse : Les dimensions possibles sont (11y 13) m et (3x 5) m.
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684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 707
c) (7x2)2 (11y)2 (7x2 11y)(7x2 11y) Réponse : Les dimensions possibles sont (7x2 11y) m et (7x2 11y) m.
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 5
707
18-06-26 1:50 PM
Fonctions et phénomènes périodiques
SECTION 5.1 Page 272
1. a) Oui, c’est une fonction périodique. 1 p 4 et f . 4
d) Oui, c’est une fonction périodique. 1 2
p 2 et f . g) Oui, c’est une fonction périodique. 1 3
p 3 et f . 2. a) 0
b)
b) Non, ce n’est pas une fonction périodique.
c) Non, ce n’est pas une fonction périodique.
e) Non, ce n’est pas une fonction périodique.
f ) Oui, c’est une fonction périodique.
h) Non, ce n’est pas une fonction périodique.
i ) Non, ce n’est pas une fonction périodique.
1 4
p 4 et f .
c) 0
6
d)
6
Page 273 3. a)
x f (x)
c)
x h (x)
4
3
3
4
5
5
2
4. a) 1)
0
4
5
1
3
5
1
1
2
3
0
1
2
3
2
3
b)
1
7
1
5
x
d)
x i (x)
9
2
3
4
5
6
7
8
12
10
12
11
13
10
12
11
0,3
0
0,1
0,5
0,75 0,95
5
3
2
1
g(x)
4
1
1
2
1
0,75 1
0,5
3
b) 1)
f (x)
( 32 , 2,5)
4
2
2
( 4,5, 1) 4
0
2
( 3,5, 1,5)
5
3
g (x)
4
2
x
4
4
2
0
2
2
4
4
2) f (9) 1 f (11,5) 1
2
4
x
2) g (10) 3 g (12) 4
c) 1)
d) 1)
h(x)
i (x) x 2,25
4
( 0,5, 4) 4
4
2
2
2
0
2
4
x
6
3
0
2
2
4
4
2) h (14) 1 h (12,5) 4
708
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 708
x 5,25
3
6
x
(0,75, 0)
2) i (16,5) 1 i (9) 1
CHAPITRE 5
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:50 PM
Page 274 5. a) La période est de 250 ns, soit 250 109 s. b) f
1 1 4 000 000 p 250 10 –9
Réponse : La fréquence de cette onde est de 4 000 000 d’oscillations par seconde. c) Oui, cette onde ultrasonore peut être celle d’un échographe. 6. a) La période est de 0,4 s. Elle représente le temps nécessaire pour que la roue fasse un tour. b) f
1 1 2,5 p 0,4
Réponse : La fréquence de ce graphique est de 2,5. Elle représente le nombre de tours faits par la roue en une seconde. c) 2,5 60 150 tours Réponse : La roue fait 150 tours en une minute.
SECTION 5.2
Cercle trigonométrique
Page 276 1. a) 953° 360° 2,65 C’est-à-dire 2 tours et environ 65 % d’un tour dans le sens anti-horaire. 0,65 360° 233° 180° 233° 270° 3e quadrant.
b)
1207° 360° 3,35 C’est-à-dire 3 tours et environ 35 % d’un tour dans le sens horaire. 0,35 360° 127° 90° 127° 180° 3e quadrant.
c) 12 295° 360° 34,15 C’est-à-dire 34 tours et environ 15 % d’un tour dans le sens anti-horaire. 0,15 360° 55° 0° 55° 90° 1er quadrant.
d) 16 (2p) 2,55 C’est-à-dire 2 tours et environ 55 % d’un tour dans le sens anti-horaire. 0,55 360° 196,73° 180° 196,73° 270° 3e quadrant.
e)
20 (2p) 3,18 C’est-à-dire 3 tours et environ 18 % d’un tour dans le sens horaire. 0,18 360° 65,92° 0° 65,92° 90° 4e quadrant.
f )
2.
L (cm)
27
16
22,3
50 (2p) 8,3 3
C’est-à-dire 8 tours et un tiers de tour dans le sens anti-horaire. 1 360° 120° 3
90° 120° 180° 2e quadrant.
42
50,33
32,4 11 2,95
(rad)
2,25
7
2,97
14
9 5
r (cm)
12
2,29
7,5
3
17 6
Page 277 3. a)
2,5 rad n° 180° rad
n 2,5
b)
3 rad n° 180° rad
180°
450° 4. a) 300 m 0,3 km
n3
rad rad 135° 180° 3 4 rad
180°
171,89°
Lr 16,8 0,3
b)
1°
180°
n 56
180
rad
180°
3208,56°
120°
rad rad
5. a) L r 7 19,1 133,7 cm
b) 180°
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 709
rad rad
d) 180°
56 rad n° 180° rad
16,8 0,3
56 rad
1°
135° 180°
c)
120° 180° 2 rad 3
Lr
2 19,1 3
40 cm
CHAPITRE 5
709
18-06-26 1:50 PM
b) La petite aiguille fait un tour dans le sens horaire (2p rad) en 12 h. De 3 h à 4 h 30, il y a 1,5 h.
6. a) La grande aiguille fait un tour dans le sens horaire (360°) en 60 min. De 3 h à 4 h 30, il y a 90 min. 360° x 60 min 90 min
x 2 1,5 h 12 h 2 1,5 x 12
360° 90 60
x
540°
4 rad
Page 279 b) Vérifier si x2 y2 1.
7. a) Vérifier si x2 y2 1.
( ) ( ) 3 5
2
4 5
2
( ) ( )
9 16 25 25
2 5
2
9 10
2
25 25
( ) y 2
2
b)
1,13 c)
( ) 1 3 5
1 4
2
3 4
2
y2 1
9 25
y2 1
x
3 2
16 25
y
4 5
9. a) P 4
4 4
)
20 29
4 3
b) P 3
⎞
⎛ 1
2 2 ⎝⎜ 2 , 2 ⎠⎟
4 3
)
)
( 59 ) P ( 606 6 ) P (10 6) P ( 6 ) 11 P ( 6 )
c) P 6
3⎞ 2 ⎠⎟
⎝⎜ 2 ,
400 841
( 28 ) P ( 243 P (8 4 P ( 3 )
)
441 841
400 841
3 4
⎛
( )
16 25
y
( 25 ) P ( 244 P (6 P ( 4 )
x2 y2 1
21 29
x2 1
Page 280
113 100
Non.
x2 y2 1 x2
1
y2 1
22
Non.
x2 y2 1
1 2
2
0,97
Oui. 8. a)
49 16 ( 107 ) ( 4545) 100 25
97 100
1
c) Vérifier si x2 y2 1.
4 81 25 100
⎛
⎞
3 1 ⎝⎜ 2 , 2 ⎠⎟
10. a)
3 2
b)
c)
e)
2 2
f )
1 2
g)
k)
7 sin 7 4 tan 7 4 cos 4
i )
sin 0° tan 0 cos 0°
j )
1 2
tan
0 1
0
( cos ( 4
24 31 cos 6 6
11. a) cos
7 6 7 6
)
)
3
sin cos
3 3
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3 2
h)
l )
tan
3
1
( sin ( 10
40 37 sin 4 4
b) sin
3 4
sin
3 2
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
d)
7 6
710
3 2
3 2 1 2
cos
CHAPITRE 5
2 2
) 3 4 )
3 4
2 2 1 2
5 sin 5 6 5 6 cos 6 1 2 3 2
2 2 2 2
3 3
c) tan 17p tan (16p p) tan p
sin cos
0 1
0
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18-06-26 1:50 PM
Page 281 12. a) d)
2 6 7
b)
6 11
x2 y2 1
13. a)
( 23 )
5 9
5 3
y2 1
14. a)
y
2
y2 1
4 9
x2 y2 1
x
33 49
33 7
16 x2 1 49
b) 1)
On a alors y
2
x2 7 1
7
sin B cos B
4 6 11 4 6 5 5 11
3 , le côté terminal de l’angle 2
trigonométrique est situé dans le 3e quadrant.
3
f ) tan B
Comme p
2)
(4)
5
5 . 3
5 9
2
b) 1)
c)
5 sin A 5 6 e) tan A 7 cos A 12 2 6 7
4
5 11
5 3
3) tan Comme
2
sin cos
5 3 5 2 2 3
p, le côté terminal de l’angle
trigonométrique est situé dans le 2e quadrant. On a alors x
33 . 7
33 49
33 7
sin 3) tan cos
4 2) 7
4 7 4 33 33 33 7
Fonction sinus
SECTION 5.3 Page 283 1. a)
b)
f (x)
c) [ 2p, -p] [0, p] {2p}
1
3 3 ⎤ d) ⎡⎢⎣ 2 , 2 ⎤⎥⎦ ⎡⎢ , ⎣ 2 2 ⎥⎦
0,5
2
0
2
x
0,5
2.
2p, -p, 0, p et 2p.
1
Règle a) f (x) 5 sin px 1 b) g (x) 2 sin (x 3) 1
(
c) h (x) 3 sin 2 x
2
)4
1 2
d) i (x) sin (3x p) 7
( 2x ) 3
e) j (x) p sin
Période
Amplitude
2
5
2p
2
p
3
2 3
1 2
4
p
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684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 711
Minimum
Maximum
Déphasage
4
6
0
3
1
1
7
15 2
2 3
13 2
3
2
4 3
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
3
2
CHAPITRE 5
711
18-06-26 1:50 PM
Page 284 3. a)
b)
f (x)
g (x) 2
4
0
2
2
4
0
2
2
2
x
2
x
4
4
6
8
2
4
1) R
1) R
2) [2, 4] 3) x ⎢⎡ 1 ⎣2 4) x ⎡ 1 ⎢⎣ 2
2) [7, 1] 2n, 3 2 2n, 1 2
2n⎤⎥, où n Z.
3) x ⎣⎢⎡0
2n⎥⎤, où n Z.
4) x ⎡⎢
⎦
⎦
5) 2
p
5)
n,
n⎥⎤, où n Z. ⎦
2
n, 0
⎣ 2
n⎥⎤, où n Z. ⎦
4
Page 286 4. a) p
2 3
b) p
14 sin 3(x p) 7 sin 3(x p) 0,5 3(x p) arc sin 0,5 3(x p) 3(x p) p 6
7 6 7 xp 18 11 x 18
18 19 x 18
x
{ 1918
2 sin 7(x 2p) 3 sin 7(x 2p)
2 n 11 , 3 18
7(x 2p)
}
2 n , où n Z. 3
{ 3121 , 3221 , 3721 , 3821 }
2(x 4p) 0,8481 x 4p 0,424 x 12,1423
5p(x 2) p (0,3047) 5p(x 2) 3,4463 x 2 0,2194 x 2,2194 x { 1,9806 0,4n, 2,2194 0,4n}, où n Z.
3
2(x 4p) p 0,8481 2(x 4p) 2,2935 x 4p 1,1468 x 11,4196
x { 5,1364, 5,8592} f )
2 sin2 x sin x 0 sin x(2 sin x 1) 0 p 2p
2 sin2 x sin x 1 0 (sin x 1)(2 sin x 1) 0 p 2p
sin x 0 x arc sin 0 x 0 x p
2 sin x 1 0 sin x 0,5 x arc sin 0,5 x x p 6
712
2 3 2 x 2p 21 44 x 21
7(x 2p)
d) p p 3 sin 2(x 4p) 2,25 sin 2(x 4p) 0,75 2(x 4p) arc sin 0,75
5p(x 2) 0,3047 x 2 0,0194 x 1,9806
{
7(x 2p) p
3
21 43 x 21
c) p 0,4 0,65 sin 5p(x 2) 0,195 sin 5p(x 2) 0,3 5p(x 2) arc sin 0,3
x 0, , 5 , 6 6
3 2
x 2p
x
e)
3 2
7(x 2p) arc sin
6
3(x p)
x p
2 7
,2
}
x
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 712
6
sin x 1 0 sin x 1 x arc sin 1 x 2
x p x p p
5 6
6
x
CHAPITRE 5
2 sin x 1 0 2 sin x 1 sin x 0,5 x arc sin 0,5
{ 56 ,
6
,
2
}
6
x 7p 6
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:51 PM
Page 287 g)
h) 4 sin2 x 2 0 4 sin2 x 2
2 sin2 x 7 sin x 6 0 (sin x 2)(2 sin x 3) 0 p 2p
sin2 x
sin x 2 0 sin x 2 x{}
2 sin x 3 0 2 sin x 3 sin x 1,5 x{}
1 2
sin x
2 2
p 2p sin x
2 2
x arc sin
sin x 2 2
x arc sin
x x p
x 5p
3 x 4
4
4
4
{
}
17 19 21 23 x 4 , 4 , 4 , 4
x
b) p
{
2 n, 5
x 6
6
4
2 3
2 sin 3x 3 0 2 sin 3x – 3
xp
6
2 2
x p x p p 4
5. a) p 2p sin x 0,5 0 sin x 0,5 x arc sin 0,5
2 2
5 6
sin 3x –
6
3 2
3x arc sin –
3 2
3x p 3x p p
}
2 n , où n Z.
3
3
x p 3x 4p 9
3
x 4p
x d) p
c) p 2 4 sin -p(x 2) 3 0 4 sin -p(x 2) 3 sin -p(x 2) 0,75 -p(x 2) arc sin 0,75 -p(x 2) 0,8481 -p(x 2) p 0,8481 x 2 0,2699 -p(x 2) 2,2935 x 2,2699 x 2 0,7301 x 2,7301 x { 2,7301 2n, 2,2699 2n}, où n Z.
{
8 , 7 , 9 9
9 , 4 , 5 9 9 9
2 , 9
}
2 5
8 sin 5(x 3) 3 0 8 sin 5(x 3) 3 sin 5(x 3) 0,375 5(x 3) arc sin 0,375 5(x 3) 0,3844 x 3 0,0769 x 3,0769
5(x 3) p 0,3844 5(x 3) 2,7572 x 3 0,5514 x 3,5514
x { 2,2948, 3,0769, 3,5514, 4,3335, 4,8081}
Page 288 6. a) p 4p 2 sin 0,5 x
(
)
2
( 0,5 ( x
sin 0,5 x
(
0,5 x
2
)
p
4 p x 2 2
x0
b) p 4 1,5 sin (x 3) 0,5
20
) 2 arc sin 2 2) p 0,5 ( x 2) 0,5 ( x 5p 2) 4 2
sin (x 3) 2
x
2
5p 2
x 3p x ]3p 4pn, 4p 4pn[, où n Z.
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2
2 2
2 p
4
2
1 3 1 3
(x 3) arc sin
(x 3) 0,3398 x 3 0,2163 x 3,2163
2 2
(x 3) p 0,3398 (x 3) 2,8018
x 3 1,7837 x 4,7837 x [ 0,7837, 3,2163] [ 4,7837, 6]
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 5
713
18-06-26 1:51 PM
Page 290 7. Plusieurs réponses possibles. Exemple : a) Le début d’un cycle est (0, 0), donc h 0 et k 0.
b) Le début d’un cycle est (0, 4), donc h 0 et k 4.
L’amplitude est de 5, donc a 5 selon le cycle identifié.
L’amplitude est de 2, donc a 2 selon le cycle identifié.
La période est de 12, donc b .
La période est de 6p, donc b .
La règle est donc f (x) 5 sin x.
La règle est donc g (x) 2 sin x 4.
6
1 3
6
c) Le début d’un cycle est
( 8 , 4), donc h 8 et k 4.
d) Le début d’un cycle est
)
, 2 , donc h
et k 2.
4 4 1 1 L’amplitude est de , donc a selon le cycle 2 2
L’amplitude est de 4, donc a 4 selon le cycle identifié.
identifié.
La période est de , donc b 4. 2
(
1 3
2 3
La période est de 3p, donc b .
(
La règle est donc h (x) 4 sin 4 x
8
) 4.
La règle est donc i (x)
(
1 2 sin x 2 3
4
) 2.
Page 291 8. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : t : nombre de jours écoulés depuis le solstice d’hiver D(t) : durée du jour (en h) Le début d’un cycle est (273,75, 12), donc h 273,75 et k 12.
L’amplitude est de 4,5, donc a 4,5 selon le cycle identifié. La période est de 365, donc b
2 . 365
2 (t 273,75) 12. 365
Réponse : La règle est D(t) 4,5 sin
b) 1) Au 1er janvier, il s’est écoulé 11 jours depuis le solstice d’hiver, donc t 11.
2) Donc, t 314. 9,13 h
7,58 h
Réponse : Pour la journée de l’Halloween, la durée du jour est d’environ 9,13 h.
Réponse : Pour la journée du 1er janvier, la durée du jour est d’environ 7,58 h. c)
2 (314 273,75) 12 365
D(314) 4,5 sin
2 D(11) 4,5 sin (11 273,75) 12 365
2 (t 273,75) 12 14 365
4,5 sin
p 365
2 (t 273,75) 12 14 365
4,5 sin
2 4 (t 273,75) 365 9
sin
2 4 (t 273,75) arc sin 365 9 2 (t 273,75) 0,4606 365
2 (t 273,75) p (0,4606) 365
t 273,75 26,7543 x 246,9957 Donc, 246e jour.
t 273,75 209,2543 t 483,0043 Donc, 484e jour. 484 365 119 La durée du jour au 484e jour est équivalente à celle du 119e jour.
Nombre de jours : 246 119 1 128 jours Réponse : Durant une année, la durée du jour est d’au moins 14 h pendant 128 jours. Page 292 9.
7 3
p
20 sin t 75 70
7 3 7 t arc sin 0,25 3
sin t 0,25
7 t 0,2527 3
t 0,0345 s
714
0,8571 s
7 t p 0,2527 3
2,8889 t 0,3941 s
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684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 714
2 7 3 6 7
CHAPITRE 5
Comme la période est d’environ 0,8571 s, on obtient les temps suivants : 0,0345 s, 0,3941 s, 0,8916 s, 1,2512 s, 1,7488 s, 2,1084 s, 2,6059 s et 2,9655 s.
Réponse : Lors des trois premières secondes de l’expérience, l’objet s’est trouvé à une hauteur de 70 cm à huit reprises, soit à 0,03 s, 0,39 s, 0,89 s, 1,25 s, 1,75 s, 2,11 s, 2,61 s et 2,97 s. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:51 PM
10. a) À partir du graphique, on peut déterminer que la période est d’environ 12 jours. Pour les 92 jours de l’été, il y aura : 92 12 7,6 cycles. On peut en déduire que l’indice d’inflammabilité sera de 0 pendant huit jours. Réponse : Au cours des 92 jours de cet été, l’indice d’inflammabilité sera de 0 pendant huit jours. b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : t : nombre de jours écoulés depuis le 21 juin I (t) : indice d’inflammabilité Le début d’un cycle peut être (4, 2,5), donc h 4 et k 2,5. L’amplitude est de 2,5, donc a 2,5 selon le cycle identifié. La période est de 12, donc b . 6
La règle est donc I (t) 2,5 sin (t 4) 2,5. 6
Moments où l’indice d’inflammabilité est de 4 : 2,5 sin (t 4) 2,5 4 6
sin (t 4) 0,6 6 6 6
(t 4) arc sin 0,6
(t 4) 0,6435 t 5,229 jours
6 6
(t 4) p 0,6435 (t 4) 2,4981 t 8,771 jours
Nombre de jours où l’indice d’inflammabilité est d’au moins 4 : Nombre de jours par cycle : 8,771 5,229 3,542 jours Pour 7,6 cycles, on aura alors : 7 3,542 8 5,229 27,565 jours. Réponse : Au cours de cet été, le danger d’incendie sera très élevé durant environ 27,57 jours.
Fonction cosinus
SECTION 5.4 Page 294 1. a)
3 5 et . 2 2 2 2 3 5 ⎤ ⎡ 2 , 3 ⎤ ⎡ c) ⎢⎣ ⎢⎣ , ⎦⎥⎤ ⎡⎢⎣ , 2 ⎦⎥ 2 2 2 2 ⎦⎥
f (x)
b)
1
2
0
, , ,
2
3 x
0,5
2.
2
d) [2p, p] [0, p] [2p, 3p]
0,5
3
1
Règle
Période
Amplitude
a) f (x) 3 cos px 2
2
3
b) g (x) 4 cos 2(x 1) 3
p
4
2p
3
2 3
3 2
4
p
(
c) h (x) 3 cos x
3
)2
3 2
d) i (x) cos (3x p) 5
(2 x
e) j (x) p cos
2
) 5
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Minimum
Maximum
Déphasage
5
1
0
1
7
1
1
5
7 2
13 2
6 5
4 5
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
3
3
4
CHAPITRE 5
715
18-06-26 1:51 PM
Page 295 3. a)
b)
f (x)
g (x)
8 6 6 4 4 2 2
0
1
1
2
3
4
x
4
x
2
2
2
1) R
1) R
2) [1, 5]
2) [1, 5]
3) x [1 2n, 2 2n], où n Z.
3) x ⎡⎣⎢ 8
4) x [2 2n, 3 2n], où n Z.
4
5)
0
2
n , 2 8 n 3 , 2 8
4) x ⎡⎣⎢ 8
1
n⎤ , où n Z. 2 ⎦⎥ n⎤ , où n Z. 2 ⎦⎥
p 8
5) Page 297 4. a) p
2 5
b) p
9 cos 5(x p) 4,5 cos 5(x p) 0,5 5(x p) arc cos 0,5
4 cos 3(x p) 2 3
cos 3(x p)
5(x p)
2 3
5(x p)
xp
2 15
x p
x x
{1315
2 15
17 15 2 n 17 , 5 15
x
}
5 6
3(x p)
xp
5 18
x p
2 n , où n Z. 5
d) p
p 2p
{
3 5 x 0, 2 , 2 , 2 , 2
716
}
cos x 1 0 cos x 1 x arc cos 1 x0
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13 18
{ 2518 ,
23 , 13 , 18 18
23 18
x 11 18
}
2
4(x 3p) 0,6435 4(x 3p) 0,6435 x 3p 0,1609 x 3p 0,1609 x 9,2639 x 9,5857 x { 12,7272, 12,4055, 11,1564}
f )
cos2 x cos x 0 cos x(cos x 1) 0
2
5 18
6 cos 4(x 3p) 4,8 cos 4(x 3p) 0,8 4(x 3p) arc cos 0,8
8p(x 4) 1,7722 8p(x 4) 1,7722 x 4 0,0705 x 4 0,0705 x 3,9295 x 4,0705 x { 4,0705 0,25n, 3,9295 0,25n}, où n Z.
2
5 6
x
cos x 0 x arc cos 0 x x
3 2
3(x p)
13 15
c) p 0,25 0,15 cos 8p(x 4) 0,03 cos 8p(x 4) 0,2 8p(x 4) arc cos 0,2
3 2
3(x p) arc cos
2 3
x
e)
2 3
2 cos2 x cos x 3 2 cos2 x cos x 3 0 (2 cos x 3)(cos x 1) 0 p 2p 2 cos x 3 0 cos x 1,5 x{}
cos x 1 0 cos x 1 x arc cos 1 x p x p
x {3p, p}
CHAPITRE 5
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Page 298 g)
h) 4 cos2 x 3 0
2 cos2 x cos x 1 0 (2 cos x 1)(cos x 1) 0
cos2 x
p 2p 2 cos x 1 0
cos x 1 0 cos x 1 x arc cos 1 x0
1 2
cos x
1 x arc cos 2 2 2 x x 3 3
x
cos x
cos x
x x
5. a) p 2p cos x 0,5 0 cos x 0,5 x arc cos 0,5 2 3
x
{ 23
b) p
{
23 , 6
3 2
19 , 6
3 2
x arc cos
3 2
x x 17 , 6
}
13 6
6
6
2 cos 5x 2 0 2 cos 5x 2 cos 5x
}
2 2
5x arc cos
2 n , où n Z. 5x x x d) p
c) p 2 8 cos p(x 3) 6 0 8 cos p(x 3) 6 cos p(x 3) 0,75 p(x 3) arc cos 0,75 p(x 3) 2,4189 x 3 0,7699 x 3,7699
cos x
2 5
2 3
3
3 2
5 5 x 6 6
x 2 n, 2
3 2
p 2p
x arc cos
{ 23 , 43 }
x
3 4
2 2
5x
4
4
x
20
{ 920 ,
7 , 20
,
20 20
, 7 , 9 20
20
20
}
2 3
7 cos 3(x 2) 4 0 7 cos 3(x 2) 4
cos 3(x 2)
p(x 3) 2,4189 x 3 0,7699 x 2,2301
x { 2,2301 2n, 3,7699 2n}, où n Z.
4 7 4 7
3(x 2) arc cos
3(x 2) 0,9626 3(x 2) 0,9626 x 2 0,3209 x 2 0,3209 x 1,6791 x 2,3209 x { 3,7735, 2,3209, 1,6791, 0,2265, 0,4152}
Page 299 6. a) p 6
) 30 cos ( x 1 ) 3 3 2 2 1 ( x arc cos 3 3 2 2) 5 ( x 1 ) ( x 1 ) 3 3 6 2 2
3
(
4
cos (x 2) 0,4 4
1 5 2 2
4 cos (x 2) 1,6
x
b) p 8
1 2
2 cos x
x
x 3
4 5
1 5 2 2
x2
6
4
(x 2) arc cos 0,4
(x 2) 1,1593 x 2 1,476 x 0,524
4
(x 2) 1,1593 x 2 1,476 x 3,476
x [6, 3,476] [ 0,524, 4,524]
x ]2 6n, 3 6n[, où n Z.
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CHAPITRE 5
717
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Page 301 7. Plusieurs réponses possibles. Exemple : b) Le début d’un cycle est (1,5, 3).
a) Le début d’un cycle est (0, 4). L’amplitude est de 4, donc a 4 selon le cycle identifié. On en déduit alors que h 0 et k 0.
L’amplitude est de 3, donc a 3 selon le cycle identifié. On en déduit alors que h 1,5 et k 0.
La période est de 8, donc b .
La période est de 4, donc b .
La règle est donc f (x) 4 cos x.
La règle est donc g (x) 3 cos (x 1,5).
4
2
4
2
( )
d) Le début d’un cycle est 2 , 5 .
c) Le début d’un cycle est (0,75, 1). L’amplitude est de 1, donc a 1 selon le cycle identifié. On en déduit alors que h 0,75 et k 2.
L’amplitude est de 2, donc a 2 selon le cycle identifié. On en déduit alors que h et k 3.
La période est de 2, donc b p.
La période est de 4p, donc b .
La règle est donc h (x) cos p(x 0,75) 2.
1 2
(
1 2
La règle est donc i (x) 2 cos x
2
2
) 3.
Page 302 8. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : t : temps écoulé (en s) V(t) : volume d’air dans les poumons (en ml)
On en déduit alors que h 1,3 et k 2650. La période est de 4, donc b . 2
Le début d’un cycle est (1,3, 2900). L’amplitude est de 250, donc a 250 selon le cycle identifié.
La règle est donc V(t) 250 cos (t 1,3) 2650. 2
Réponse : La règle est V(t) 250 cos (t 1,3) 2650. 2
b) La période de 4 s correspond à une respiration complète, soit une inspiration et une expiration. c) p 4 250 cos (t 1,3) 2650 2700 2
250 cos (t 1,3) 2650 2700 2
cos (t 1,3) 0,2 2 2 2
(t 1,3) arc cos 0,2
(t 1,3) 1,3694
2
t 1,3 0,8718 t 2,1718 s
(t 1,3) 1,3694 t 1,3 0,8718 t 0,4282 s
Durée : 2,1718 0,4282 1,7436 s Donc, environ 1,74 s. Réponse : Lors d’une respiration, il y a au moins 2700 ml d’air dans les poumons pendant environ 1,74 s. Page 303 9. a) Extrémité gauche :
Extrémité droite : H (41) 0,25 cos (41) 1,9 2 1,9 m
H (0) 0,25 cos (0) 1,9 2 2,15 m
Réponse : La hauteur de cette clôture est de 2,15 m à l’extrémité gauche et de 1,9 m à l’extrémité droite. b) 0,25 cos d 1,9 2 2
cos d 0,4 2
2 2
d 1,1593 d 0,738 m
d arc cos 0,4 2
d 1,1593 d 0,738 m
Comme la période est de 4 m, on obtient les distances suivantes pour une hauteur de 2 m de la clôture : 0,738 m, 3,262 m, 4,738 m, 7,262 m, 8,738 m, 11,262 m, 12,738 m, 15,262 m, 16,738 m, 19,262 m, 20,738 m, 23,262 m, 24,738 m, … Parmi ces distances, l’endroit qui est le plus près du centre de la clôture (20,5 m) est à environ 20,738 m de l’extrémité gauche.
Réponse : L’arbuste a été planté à environ 20,74 m de l’extrémité gauche.
718
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CHAPITRE 5
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10. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : t : temps (en s) H (t) : hauteur de la bouée (en cm) Le début d’un cycle correspond au point de coordonnées (0, 125). L’amplitude est 75, donc a 75 selon le cycle identifié. Donc, h 0 et k 200, car k a 125. La période est d’environ 8, donc b . 4 La règle est donc H (t) 75 cos t 200. 4
Hauteur de la bouée après 45 s : H (45) 75 cos (45) 200 4
253,03 cm Réponse : La hauteur de la bouée après 45 s sera d’environ 253,03 cm. b)
75 cos t 200 260
4
cos t 0,8 4 4 4
t arc cos 0,8
t 2,4981 t 3,1807 s
4
t 2,4981 t 3,1807 s
Comme la période est de 8 s, on obtient les temps suivants pour que la bouée soit à une hauteur de 260 cm : 3,1807 s, 4,8193 s, 11,1807 s, 12,8193 s, … Réponse : La bouée atteint une hauteur de 260 cm pour la quatrième fois après environ 12,82 s.
Fonction tangente
SECTION 5.5 Page 305 1. a)
2.
b)
f (x)
3
2
4
3 ⎡ ⎡ ⎡0, ⎡ ⎡ , 3 ⎡ ⎡⎢⎣ , c) ⎡⎢⎣ 2 , ⎢⎣ ⎢⎣ 2 ⎢⎣ 2 ⎢⎣ 2 ⎢⎣ 2 ⎢⎣
2
5 , 3 ⎢⎡ ⎤⎥ 3 , d) ⎤⎦⎥ ⎣ ⎦ 2
0
2
4
Règle a) f (x) 2 tan x 1
(
Période
Déphasage
p
0
x
x
3
c) h (x) 2 tan p(x 1) 4
1
(
d) i (x) 3 tan
x 2
3
2
)2
e) j (x) 8 tan (2x p) 5
2
2
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2
2
⎡⎤ , ⎡⎤ , 3 ⎡ ⎥⎦ 2 2 ⎣⎢ ⎥⎦ 2 2 ⎣⎢ 2 ⎣⎢
2 x
)2
b) g (x) tan 3 x
2p, p, 0 et p.
3
1
1
2
Asymptotes
2
6
x
{2
n , où n Z.
{6
n , où n Z. 3
pn, où n Z.
R\
n , où n Z. 3
R\
3 n, où n Z. 2
x 2n, où n Z.
x
Domaine
3 n , où n Z. 4 2
}
}
{ 2 n}, où n Z.
R\ 3
R\ {2n}, où n Z.
{4
R\ 3
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}
n , où n Z. 2
CHAPITRE 5
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18-06-26 1:51 PM
3. a)
b)
f (x)
4
g(x)
8
2
4
1
0
2
2
4
x
0
2
4
1
8
2
2
x
n
3
1) x 8 2 , où n Z.
1) x 3 2n, où n Z. 2) R\{3 2n}, où n Z.
{8
}
n , où n Z. 2
2) R\ 3
3) R
3) R
Page 307 b) p p
4. a) p 2p
( tan ( x tan ( x
6 tan 1 (x p) 2 3 2
1 2
tan (x p)
) 2) 2)
3 3 tan x
3 3
1 3 (x p) arc tan 2 3
2
1 (x p) 6 2
x
xp
x
3 4 x 3
{3
3
arc tan 3
3 5 6
{
c) p 3
d) p
8 tan (x 2) 2 4 3
7
(
3
}
) 1,5 5 2 tan 7 ( x 3 ) 6,5 2 3 3,25 tan 7 ( x 2 ) 7 ( x 3 ) arc tan 3,25 2 3 7 ( x 1,2723 2 ) 3 2
2 tan 7 x
8 tan (x 2) 6
tan (x 2) 3
3
3 3
7 13 19 x 6, 6 , 6 , 6
2 n , où n Z.
3
2
x
}
x 4
2
9
3 4
3 4
(x 2) arc tan
(x 2) 0,6435 x 2 0,6145 x 2,6145
x
x { 2,6145 3n}, où n Z.
3 0,1818 2
x 4,5306 x { 3,1842, 3,633, 4,0818, 4,5306} f )
e) tan2 x 1 0 tan2 x 1 tan x 1 pp tan x 1 x arc tan 1 x
720
tan x 1 x arc tan 1
tan x 0 x arc tan 0 0
4
{ 54 ,
tan2 x tan x 0 tan x(tan x 1) 0 pp
3 , 4
4
,
4
}
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4
x
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{
2 ,
5 , 4
tan x 1 0 tan x 1 x arc tan 1 ,
4
}
,0
4
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Page 308 h)
g) 3 tan2 2x 9 tan2 2x 3 tan 2x 3 p
2
tan 2x 3 2x arc tan 3 2x
tan 2x 3 2x arc tan 3 2x
x
1 2
{56 , 76 }
0,4636
{4
b) p 4
(
2 tan x
3 tan x 3
3 3
x arc tan
5,8195
)
1 20 2 2 tan x 1 2 4 2 tan x 1 1 4 2 x 1 arc tan 1 4 2 x 1 4 4 2 1 x 1 2 3 x 2 11 3 5 13 x 2 , 2, 2, 2
3 tan x 3 0
{6
}
x 7 ,
tan x
3 3
6
}
n , où n Z.
4
( ( ( (
) ) ) )
{
c) p
4
1 2
x arc tan
6
6
tan x 1 0 tan x 1 x arc tan 1
tan x
x
5. a) p p
x
2 tan x 1 0 2 tan x 1
3
3
x
2 tan2 x 3 tan x 4 3 2 tan2 x 3 tan x 1 0 (2 tan x 1)(tan x 1) 0 pp
1 2
}
d) p 2p
)30 1 2 tan ( x 3 2 2) 1 3 tan ( x 2 2 2) 1 3 x arc tan 2( 2 2) 1 x 0,9828 2( 2) 1 2
4 tan 2p(x 1) 3 0 4 tan 2p(x 1) 3
(
2 tan x
3 4
tan 2p(x 1)
3 4
2p(x 1) arc tan
2p(x 1) 0,6435 x 1 0,1024 x 0,8976
x { 0,8976 0,5n}, où n Z.
2
x
2
1,9656
x 0,3948
x { 12,1716, 5,8884, 0,3948} Page 309 6. a) p 2p 1 2
(
6 tan x
) 2 3 0 ( 3 ) 33 1 3 x arc tan 2( 3 3) 1 x 6 2( 3)
3 1 tan x 2
b) p
7 3 3 7
5 tan (x 1) 2 4
3 7
tan (x 1)
3
x
3
7
2 Équation des asymptotes : x 2pn, où n Z. 3 ⎦⎥ 3
2 n, 2
3
2 n⎤⎥, où n Z. ⎦
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(x 1) 0,3805 7
x 1 0,2826 x 0,7174
3
2 3
x⎤ 4
3
x
2 5
(x 1) arc tan
2 5
Équation des asymptotes : x x⎤ ⎥⎦
0,7174, 13 ⎢⎡ ⎤⎥ 6⎣
⎦
13 7n , où n Z. 6 3
3,0507, 9 ⎡⎢
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
2⎣
CHAPITRE 5
721
18-06-26 1:51 PM
Page 311 7. Plusieurs réponses possibles. Exemple : a) Le point milieu d’un cycle est (0, 2). On en déduit que h 0 et k 2.
b) Le point milieu d’un cycle est (5, 0). On en déduit que h 5 et k 0.
La période est de 2, donc b .
La période est de 6, donc b .
Un autre point est (1,5, 0). On obtient alors en faisant les substitutions dans la règle :
Un autre point est (2,5, 4). On obtient alors en faisant les substitutions dans la règle :
2
6
0 a tan (1,5 0) 2
4 a tan (2,5 5) 0
2
2 a( 1) 2a La règle est donc f (x) 2 tan x 2.
2
c) Le point milieu d’un cycle est (1, 2). On en déduit que h 1 et k 2. La période est de 4, donc b .
6
4 a(1) 4 a La règle est donc g (x) 4 tan (x 5).
6
d) Le point milieu d’un cycle est (p, 1). On en déduit que h p et k 1. 1 2
La période est de 2p, donc b .
4
Un autre point est (4, 3). On obtient alors en faisant les substitutions dans la règle : 3 a tan (4 1) 2 4 5 a(1) 5a La règle est donc h (x) 5 tan (x 1) 2. 4
(2
)
Un autre point est 7 , 2 . On obtient alors en faisant les substitutions dans la règle : 1
(
)
2 a tan 7 1 2 2 3 a(1) 3 a 1 La règle est donc i (x) 3 tan (x p) 1.
2
Page 312 8. a) h (t) a tan b(t h) k Le point milieu d’un cycle est (8,5, 30). On en déduit que h 8,5 et k 30. La période est de 23, donc b
23
.
Un autre point est (2,75, 398). On obtient alors en faisant les substitutions dans la règle : 398 a tan (2,75 8,5) 30 368 a(1) 368 a
23
La règle est donc h (t) 368 tan ( t 8,5) 30. 23
Réponse : La règle est h (t) 368 tan (t 8,5) 30. 23
b) t 0 s h (0) 368 tan (0 8,5) 30 23
877,22 m Réponse : Lorsqu’il a commencé à suivre la trajectoire de la fonction tangente, l’avion était à une hauteur d’environ 877,22 m. c) On cherche le temps nécessaire pour que l’avion atteigne une hauteur de 50 m. 368 tan (t 8,5) 30 50
23
368 tan (t 8,5) 20
23
5 92
tan (t 8,5) 23 23 23
5 92
(t 8,5) arc tan (t 8,5) 0,0543 t 8,5 0,3975 t 8,1 s
Réponse : L’avion a suivi cette trajectoire pendant environ 8,1 s.
722
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
684-733_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P02_F.indd 722
CHAPITRE 5
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18-06-26 1:51 PM
Page 313 9. a) 200 tan t 300 90
tan t 1,5 90 90
t arc tan 1,5
t 28,155 s Réponse : Le prototype atteint une altitude de 300 m après environ 28,16 s. b) Temps à cinq secondes avant que le moteur ne soit coupé : t 28,155 5 23,155 s Altitude à environ 23,155 s : A(23,155) 200 tan (23,155)
Vitesse d’ascension moyenne lors des cinq dernières secondes : 300
Vitesse d’ascension moyenne
90
209,3607 5
18,1279 m/s
209,3607 m Réponse : La vitesse d’ascension moyenne du prototype était d’environ 18,13 m/s.
10. Plusieurs réponses possibles. Exemple : a : âge (en années) F (a) : fréquence maximale moyenne (en kHz) Le point milieu d’un cycle est (50, 12). Donc, h 50 et k 12. La période est d’environ 100, donc b . Un autre point est (15, 22). En substituant ces coordonnées dans 100 la règle, on obtient : Personnes de 18 ans : 22 a tan (15 50) 12 100 F (18) 5,0953 tan (18 50) 12 100 35 10 a tan 20,03 kHz 100 Personnes de 35 ans : F (35) 5,0953 tan (35 50) 12 100 Donc, la règle est F (a) 5,0953 tan (a 50) 12. 100 14,4 kHz Réponse : La fréquence maximale moyenne d’un son entendu par des personnes de 18 ans et de 35 ans est respectivement d’environ 20,03 kHz et d’environ 14,4 kHz. a 5,0953
Identités trigonométriques
SECTION 5.6 Page 315 1. a) sin2 x cos2 x 1
b) cosec x
( 135 ) cos x 1 2
2
1
5 13 13 5
144 cos x 169 12 13
car x ⎡⎣⎢ , 2. a) sin2 x cos2 x 1
b) sec x
2
sin2 x 4 1 sin x car x ⎡⎣⎢
c) sec x
1 cos x
d) cot x
1 cos x
12 13 13 12
1 15 16
1 4
4
15 4
c) cosec x
cos x sin x 12
1
13
5 13 12 5
⎤. ⎦⎥
2
( 1)
1 sin x
1 sin x
d) cot x
1 15 4 4 15 15
cos x sin x
1 4 15 4 15 15
3 , 2 ⎥⎤. ⎦ 2
Page 316 3. a) sec2 x tan2 x 1
( 15 ) 1
sec2 x 8
sec x
2
289 64
17 car x ⎡ , 3 ⎤. 8 ⎢⎣ 2 ⎦⎥ 8 cos x 17
sec x
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b) sin2 x cos2 x 1 sin2 x
( 178 ) 1 2
sin x
225 289
15 car x ⎡ , 3 ⎤. 17 ⎢⎣ 2 ⎦⎥
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 5
723
18-06-26 1:51 PM
4. a) sin x
1 cos x cos x sin x
b) tan2 x
1
c)
tan x
d) cos2 x
1 tan x
1 cos2 x sin2 x sin2 x
e)
cos4 x sin4 x
cot4 x
cos2 x
1 sin2 x cos2 x cos2 x 1
cos2 x sin2 x sin2 x
f )
sin2 x cos2 x
1 cos2 x sin x cos x sin2 x cos x sin x
cot x
cos2 x cos2 x
1 1 tan x sin x 1 sin x sin x cos x 1 cos x
sin x 1 cos x cos x sin x sin x 1 sin x
g)
i )
h)
sin2 x
cos2 x 1 sin2 x sin2 x cos2 x
2 cos x
1 cos2 x
cos4 x
sec x
Page 317 b) (1 sin x)2 cos2 x 1 2 sin x sin2 x cos2 x 1 2 sin x 1 2 2 sin x 2(1 sin x)
5. a) cos2 x cos2 x tan2 x cos2 x(1 tan2 x) cos2 x sec2 x cos2 x 1
1 cos2 x
d) (1 tan2 x)(1 cos2 x) sec2 x sin2 x
1 sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
f )
2 cos2 x
sin x cos x
(1
cos x )(1 cos x ) 1 cos x
1 cos x i ) cosec x sin x
h) sec2 x cosec2 x
sin2 x cos2 x
sin2 x cos x 1 cos2 x 1 cos x 1
sin2 x cos2 x
sin2 x
sin2 x cos x
sin x
sin2 x cot 2 x
cos2 x
g) sec2 x cos x cos x cos x(sec2 x 1) cos x tan2 x
1
cos x sin2 x
tan2 x
cos x
e)
c) 2 cos2 x 1 2(1 sin2 x) 1 2 2 sin2 x 1 1 2 sin2 x
1 1 2 cos2 x sin x
1 sin x sin x
sin2 x cos2 x 2 sin2 x cos2 x sin x cos2 x
1 sin2 x sin x sin x
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
1 sin2 x cos2 x
cos2 x sin x
cos x cos x sin x
sin x tan x
1
sin2 x sin x
cot x cos x j )
1 1 sin2 x cos2 x
k) cos2 x tan2 x 1 cos2 x tan2 x (cos2 x sin2 x) cos2 x tan2 x cos2 x sin2 x tan2 x sin2 x
cos x sin x 2 sin2 x cos2 x sin x cos2 x
cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x
1 sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x sin2 x 2 cos2 x cos x sin2 x sin2 x cos2 x cos2 x
1 1 cos2 x sin2 x
2
2
sec2 x cosec2 x
sin2 x (1 cos2 x ) cos2 x
l )
(
1
(( ( (
cot 2 x tan2 x 2 cot x 1 tan2 x
(
cosec x tan x cot 2 x sec2 x 2
2
(
(
⎛ 1 ⎞ ⎛ sin2 x ⎞ 2 2 ⎜ sin 2 x ⎟ ⎜ cos x ⎟ ⎜ cos x ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜⎝ ⎟⎜ ⎟ sin2 x ⎠ ⎝ cos2 x ⎠ 1 sin2 x cos2 x
sec2 x sin2 x
sin2 x sin2 x cos2 x
tan2 x sin2 x
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Page 318 cos2 x
6. a) 1
b)
sin x cos x
1
c)
1 cos x
d)
cos2 x cos x
1 sin x
b)
7. a) cot2 x(1 cos2 x)
cos2 x sin2 x sin2 x
cos x 2
1 sin2 x sin2 x cos2 x cos2 x 1
1 cos2 x 1 cos2 x
1
c)
sin2 x sin2 x cos2 x
2
{2 ,
x
3 , 2
Page 320
2
, 0,
(
3 11 sin 4 12
9. a) sin
6
2
, 3 ,2 2
12
cos2 x sin2 x sin2 x
4 sin x 4 1 sin2 x sin x 4 sin x 3 0 (sin x 1)(sin x 3) 0 p 2p 2
}
)
sin x 1 0 sin x 1 x arc sin 1
sin x 3 0 sin x 3
x p x p p 2
2
x 3p 2
x 3p 2p 7p car x [3p, 5p]. 2 2 7p x 2
(
5 13 cos 4 12
b) cos
3 3 cos cos sin 6 6 4 4
c) tan
cosec2 x sin2 x sec2 x
cos2 x
6
)
5 5 cos sin sin 6 6 4 4
sin
cos
2 3 2 1 2 2 2 2
2 3 2 1 2 2 2 2
6 2 4 4
6 2 4 4
6
2
(
)
6
tan
tan
1
4 tan
1
3 3
1
3
6 tan 4 6
3 3
1
3
(
5 tan 4 12 tan
1
1
3 3
)
tan
tan
6 tan 4 6
3 3 3 3
1
3
6
4
1
3 3
3
3
2 4
d) tan
3 3
3
6
4
tan 4
cos x 1 cos2 x 1 cos2 x
cos2 x
b)
cos x 1 0 cos x 1 x arc cos 1 x0
3 2
x x
cos2 x
1
1 sin2 x cos2 x
cos x 0 x arc cos 0
cos x 1
2 sin1 x sin2 x
cos2 x sin2 x cos2 x
8. a) 1 cos2 x 1 cos x 2 cos2 x cos x 0 cos2 x cos x 0 cos x(cos x 1) 0 p 2p
cos x sin x
1 cos2 x
e)
3 3
3 3
2 3
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3 3
3 3
2 3
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 5
725
18-06-26 1:51 PM
19 : 12
e) Commençons par déterminer sin
(
7 19 sin 4 12
sin
6
)
17 : 12
f ) Commençons par déterminer cos
(
5 17 cos 4 12
cos
7 7 cos cos sin 6 6 4 4
6
)
5 5 cos sin sin 6 6 4 4
sin
cos
1 2 3 2 2 2 2 2
1 2 3 2 2 2 2 2
6 2 4 4
6 2 4 4
6
2
2
4 19 12
On a alors : cosec
sin
1 19 12
1 6
2
6 4 17 12
1 17 12
On a alors : sec
cos
4
1 2
6 4
2 6
2 6 Page 321 10. a) sin (A B) sin A cos B cos A sin B
b) cos (A B) cos A cos B sin A sin B
5 11 2 5 3 6 3 6
10 55 18 18
55 10 18
2 11 5 5 18 18
( 2)
3
⎛ ⎜⎝
5⎞ 3 ⎟⎠
5 6
2
4 5 9 9 1 9 tan A tan B 1 tan A tan B
12 5 1 12 5
253 120 84 1 120
2 11 18
d) sin 2B 2 sin B cos B
2
11. a) tan (A B)
5 5
c) cos 2A cos2 A sin2 A 2
2 11 5 5 3 6 3 6
10 11 36
5 11 18
b) tan (A B)
7 24
7 24
tan A tan B 1 tan A tan B
12 5 12 1 5
323 120 84 1 120
253
323
120
120
204 120 253 204
11 6
7 24
7 24
36 120 323 36
Page 322 c) tan 2A
1
2 tan A tan2 A
d) tan 2B
12 5 2 12 1 5 24 5 144 1 25
2
( )
24 5 119 25 120 119
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2 tan B tan2 B
2
7 24 7 2 24
( )
1
7 12 49 1 576 7
12
726
1
527 576 336 527
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12. Hauteur de la tour : tan n
h h 1
Si l’angle d’élévation double, on a alors tan 2n. tan 2n 2h
1
1
2 tan n tan2 n
1
2h h2
2h h2
Réponse : Il est faux d’affirmer que la hauteur de la tour doublerait si l’angle d’élévation doublait ; la hauteur 2h de la tour serait plutôt équivalente à . 2 1
h
MÉLI-MÉLO Page 323 1. c)
2. c)
3. b)
4. a)
5. a)
6. d)
7. b)
8. c)
9. d)
10. c)
14. c)
15. a)
16. d)
17. c)
18. d)
19. a)
20. d)
Page 324 11. b)
12. a)
13. a)
21. c)
22. d)
23. b)
Page 325 24. a) Fonction périodique où p 5. d) Fonction périodique où p 10. 25. a) 3 rad est compris entre rad et p rad.
b)
e) Fonction non périodique.
f ) Fonction non périodique.
b) sec A
1 cos A
c) cosec A
21
3 5 7 2 7 3 5 2
d)
c) 23 (2p) 3,66, c’est-à-dire 3 tours et environ 66 % d’un tour. Donc, dans le 3e quadrant.
4 rad est compris 3 entre p rad et . 2 Donc, dans le 2e quadrant.
2
sin A cos A
c) Fonction périodique où p 15.
Donc, dans le 2e quadrant.
26. a) tan A
b) Fonction non périodique.
51
(2p) 6,375,
4
c’est-à-dire 6 tours et 37,5 % d’un tour. Donc, dans le 3e quadrant.
1 sin A
d) cot A
1 3 5 7 7 5 15
2 7 3 5 7 2 5 15
7 7 2
cos A sin A
Page 326 27. a) f
( 4 ) 4 sin 3 ( 4 3 ) 1 7 4 sin 3 ( 12 ) 1
b) g
( 3 ) 7 cos ( 3
) 21
( 6 ) 7 tan 3 ( 56 34 ) 19 7 tan 3 ( 12 )
c) h 5
5 1 6 2
7 cos
7 1 4
4 sin 4
2
7
2 1 2
(7
3 1 2 2
19 4
7 tan
1)
3 2
3 4
7 tan
7 1 7
2 2 1 28. a)
b)
f (x)
2
h(x)
4
4
6
2
2
4
0
c)
g(x)
2
x
2
0
1
2
4
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2
1
2
2
x
0
4
2
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2
x
2
CHAPITRE 5
727
18-06-26 1:51 PM
d)
e)
i(x) 10
f )
j(x)
k (x)
8
8
4
4
8 6
4
2
0
1
1
x
2
0
2
4
4
8
8
x
2
2
8
0
4
4
x
8
Page 327 29. a)
x
f (x)
8
6
6
5
30. a) 1) 2 4) 2 7) 5
4
4
0
2 5
2
6
4
5
3) 1
5) R
6) [3, 7]
8) 3
9) 7
{4
}
où n Z.
7)
6
9
12
15
18
11
10
12
11
13
10
12
11
2)
1
3)
8)
9)
13
3
2) 1 4) x
{ 2 n},
5) R\ 9
9 n, où n Z. 2
6) R 8) Aucun.
où n Z.
6) R
p
6) [13, 3]
5) R
13
3) 4
5 n , 4 2
où n Z.
7) 5
3
d) 1) 1
4) x
n , 2
5) R\ 5
0
b) 1) p 4) 5
2) 2
c) 1) 2 3) p
18
g (x)
2) 0,5
x
4
4
b)
12
7) 3
8) Aucun.
9) Aucun.
9) Aucun. Page 328 31. Plusieurs réponses possibles. Exemple :
(
( )
)
a) Le début d’un cycle est 2 , 3 , donc h et k 3.
b) Le début d’un cycle est 8 , 6 . L’amplitude est de 4, donc a 4 selon le cycle identifié. On en déduit alors que h 8 et k 2.
2
L’amplitude est de 3, donc a 3 selon le cycle identifié. La période est de 4p, donc 1 b .
La période est de , donc b 4.
2
La règle est donc 1 f (x) 3 sin x 2
(
2
La règle est donc
) 3.
(
g (x) 4 cos 4 x
2
8
) 2.
c) h (x) a tan b(x h) k Si le point milieu d’un cycle est (1, 3), on en déduit que h 1 et k 3. La période est de 6, donc b . 6
Un autre point est (8,5, 1). En substituant ces coordonnées dans la règle, on obtient : 1 a tan (8,5 1) 3 6
2 a(1) 2 a La règle est donc h (x) 2 tan (x 1) 3.
6
32. a) sec x
1 cos x
b) sin2 x cos2 x 1
1 1 5
( 1)
c) cosec x
2
sin2 x 5 1
5
2 6 5
sin x
728
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3 , 2 ⎥⎤. ⎦ 2
CHAPITRE 5
1 2 6 5 5 2 6
d) cot x
cos x sin x
1 5 2 6 5
24 sin x 25
car x ⎡⎣⎢
1 sin x
5 6 12
1 2 6
6 12
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Page 329 33. a) cos A cos B sin A sin B
b) sin A cos C cos A sin C
12 5 3 2 10 13 13 7 7
15 24 10 91 91
5 5 12 11 13 6 13 6
24 10 91
12 11 78
1
2 tan C tan2 C 2
25 12 11 78 78
15
c)
1
25
11 5 2 ⎛ 11⎞ ⎜⎝ 5 ⎟⎠
2 11 5 14 25 5 11 7
cos x sin x
34. a) sin x
b)
cos x
sec2 x sec2 x
c) sin2 x
1
1 cos2 x cos x sin2 x
cos x
sin x
d) sin x
cos x 1 cos x
1 sin x
e) cos x
f ) sec2 x sin2 x
1 cos x
1 sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
sin x
sin2 x cos2 x 1
tan2 x Page 330 35. a) p
2 5
b) p 4 4 sin (x 4) 3 0 2
4 sin 5x 2 3 0
sin (x 4)
3 sin 5x 2
2
5x arc sin 5x
2
5x p
3
15
{ 15
4 3 4 x 15
3
2
5x
x
x
3 2
}
2 n 4 , + 2 n , où n Z. 5 15 5
(x 4) 0,8481
x x
cos (x 2) 4
x
e) p p
(
}
8
n , où n Z.
8
)10 1 tan ( x 2 ) 3 3 tan ( x 2 ) 3
3 tan x
2
3 x arc tan 2 3
x
x
{ 23
}
2
6 2 x 3
n , où n Z.
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x 4 1,4601 x 2,5399
4
4
n,
(x 4) 2,2935
x { 4,5399, 5,4601}
4
2x
{8
2
(x 4) p 0,8481
5 cos (x 2) 3 0
2 2
4 8
2
x 4 0,5399 x 3,4601
2 2x arc cos 2
2x
3 4
(x 4) arc sin
d) p 8
c) p p 2 cos 2x 20 cos 2x
3 4
4
3 5 3 5
(x 2) arc cos
(x 2) 0,9273
4
x 2 1,1807 x 0,8193 x 7,1807 f ) p
9
(
(x 2) 0,9273 x 2 1,1807 x 3,1807
)20 tan 9 ( x 5 ) 2 2 9 ( x 5 ) arc tan 2 2 9 ( x 5 ) 1,1071 2
tan 9 x
5 2
x
5 0,123 2
x 7,977 x { 7,2789, 7,6279, 7,977} PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 5
729
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Page 331 36. a) sin2 x cot2 x sec2 x sin2 x 1
(
((
1 cos x sin2 x cos2 x 2
c) cos2 x(1 cot2 x) cos2 x cosec2 x
b) 1 tan2 x cos2 x
(
1
sin x cos2 x cos2 x 2
cos2 x
1 sin2x cos2 x
1 sin2 x
cos2 x sin2 x
cot2 x d)
cos x cosec x tan x cos x sin x 1 sin x cos x
e) sec x (sec2 x 1) cos x sec x tan2 x cos x
( )( )
f )
1 sin2 x cos x cos x cos2 x 1 sin2 x cos x cos x 1 sin2 x cos x cos2 x cos x
cos x 1 cos x
cos x cos x cos2 x
( 1 cotcotx x ) ( 1 tantanx x ) 2
h)
( 1 sin1 x ) ( cos1 x sin1 x ) sin x cos x sin x cos x ( cos x sin x ) ( cos x sin x ) 1 sin x cos x ( cos x sin x ) ( cos x sin x )
cos2 x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin2 x cos2 x cos4 x sin4 x
)
1 sin x cos x cos x cos x cos x sin x 1 sin2 x cos2 x cos2 x
sin2 x
1 cos x sin2 x cos2 x 1 sin2 x cos2 x
2
2
2
cosec2 x tan2 x cot 2 x sec2 x
2 2 sin 2 x cos x
2
(
tan x sec x cot x cos x
i )
2
1
2
2
2
2
1 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x (1 sin x )(1 sin x ) 2 1 sin2 x 2 cos2 x 1 2 cos2 x
2 sec2 x
cos x g) sec4 x cosec4 x (sec2 x cosec2 x)(sec2 x cosec2 x)
1
sin2 x cos2 x
tan2 x
sin2 x 1 cos2 x (1 sin2 x ) cos2 x cos2 x cos2 x
1 Page 332 37. a) 28 A
( 1201 ) 14 1 1 cos 60p ( t 2 120 ) 1 1 60p ( t arc cos 2 120 ) 1 60p ( t 3 120 )
b) 28 cos 60p t
(
)
1 3 120 1 1 t 120 180 t 1 s 360
60p t
1 1 t 120 180 1 t s 72
Réponse : L’intensité du courant atteint 14 A pour la première fois après 1 s. 360
(
c) 28 cos 60p t p
1 30
)
1 25 120
( ) cos 60p ( t ) 60p ( t ) 1 0,4671 60p ( t 120 ) 28 cos 60p t
t
1 25 120 1 25 28 120 1 arc cos 25 28 120
1 0,0025 120
t 0,0108 s
730
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Intensité du courant (A) 0,0059
Production d’une génératrice 0,0108 y 25
24 12
(
)
1 0,4671 120 1 t 0,0025 120
60p t
0
12
24
2 60
4 60
6 60
8 60
1 6
Temps écoulé (s)
t 0,0059 s CHAPITRE 5
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Pour un cycle : 0,0108 0,0059 0,005 s Il y a 30 cycles par seconde. 30 0,005 0,1487 s Réponse : Lors de la première seconde d’utilisation, l’intensité du courant a été d’au moins 25 A pendant environ 0,1487 s. Page 333 b) À 9 h, x 0.
38. a) Température maximale : 10 2 8 °C Température minimale : 10 2 12 °C Écart de températures : 8 12 4 °C
T 2 sin (0 4) 10 4
2 sin p 10 2(0) 10 10 °C
Réponse : L’écart entre les températures maximale et minimale dans le camion lors de cette journée est de 4 °C.
c) 2 sin (x 4) 10 8
Réponse : À 9 h, la température dans le camion était de 10 °C. d) 2 sin (x 4) 10 12
4
4
sin (x 4) 1
sin (x 4) 1
4 4
4
(x 4)
4
(x 4) arc sin 1
2
4
(x 4) p
4 2
2
4
(même valeur)
x42 x6h
(x 4) arc sin 1
(x 4)
2
4
3 (x 4) 4 2
x4 2 x2
Donc, 6 h après 9 h. 9 6 15 h Réponse : La température a été à sa valeur maximale dans le camion à 15 h.
(x 4) p
2
x46 x 10
Donc, 2 h après 9 h. 9 2 11 h
Donc, 10 h après 9 h. 9 10 19 h Réponse : La température a été à sa valeur minimale dans le camion à 11 h et à 19 h.
Page 334 39. a) H a cos b(t h) k Comme la grande roue fait une rotation complète en 2 min, la période est de 2 min. On en déduit alors que b p. Comme les cabines sont attachées à 15 m du centre de la grande roue, on sait que l’amplitude est de 15 m. On en déduit que a 15, car au début les cabines sont à la hauteur minimale. Dans ce cas, h 0 m. Le maximum est 32 m. On en déduit alors que k 17 m. H 15 cos pt 17
b) t 5 min H 15 cos p(5) 17 15 cos 5p 17 15(1) 17 15 17 32 m Réponse : Après 5 min, la cabine de cette personne se trouve à une hauteur de 32 m.
Réponse : La règle est H 15 cos pt 17. c) p 2 15 cos pt 17 30 15 cos pt 17 30
Hauteur d’une cabine (m) ( 0,8337, 30) 40
13 15
cos pt
13
pt arc cos
( 1,1663, 30)
32
15
pt 2,6193 t 0,8337 min
La grande roue
pt 2,6193 t 0,8337 min
y 30
24
Pour la première rotation, on a : 1,1663 0,8337 0,3325 min
16 8
Pour la durée du manège : 0 2 4 6 8 10 Temps écoulé 3 0,3325 1 min (min) Réponse : La cabine a été à une hauteur d’au moins 30 m dans ce manège pendant environ 1 min. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 5
731
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Pages 335-336 40. Règle pour déterminer la hauteur de l’extrémité de la petite aiguille selon l’heure : x : heure du jour f (x) : hauteur de l’extrémité de la petite aiguille par rapport au sol (cm) f (x) a cos b(x h) k La petite aiguille fait une rotation complète en 12 h. Sa période est donc de 12 h. On en déduit alors que b . 6
L’amplitude correspond à la longueur de la petite aiguille. On sait que l’amplitude est de 11 cm. On en déduit que a 11, car à 0 h, l’extrémité de la petite aiguille est à sa hauteur maximale. Dans ce cas, h 0. Le maximum est 161 cm. On en déduit alors que k 150 cm. La règle est donc f (x) 11 cos x 150. 6
Règle pour déterminer la hauteur de l’extrémité de la grande aiguille selon l’heure : x : heure du jour g (x) : hauteur de l’extrémité de la grande aiguille par rapport au sol (cm) g (x) a cos b(x h) k La grande aiguille fait une rotation complète en 1 h. Sa période est donc de 1 h. On en déduit alors que b 2p. L’amplitude correspond à la longueur de la grande aiguille. On sait que l’amplitude est de 14 cm. On en déduit que a 14, car à 0 h, l’extrémité de la grande aiguille est à sa hauteur maximale. Dans ce cas, h 0. Le maximum est 164 cm. On en déduit alors que k 150 cm. La règle est donc g (x) 14 cos 2px 150. Heure en notation décimale : En notation décimale, 14 h 21 min correspond à 14,35 h. Hauteur de l’extrémité de la petite aiguille à 14 h 21 min : x 14,35 f (14,35) 11 cos (14,35) 150 6
153,67 cm
Hauteur de l’extrémité de la grande aiguille à 14 h 21 min : x 14,35 g (14,35) 14 cos 2p(14,35) 150 141,77 cm Écart vertical entre les extrémités des aiguilles : 153,67 141,77 11,9 cm Réponse : L’écart entre les hauteurs des extrémités des aiguilles lorsqu’il est 14 h 21 min est d’environ 11,9 cm. Pages 337-338 41. Règle pour déterminer la hauteur du feu clignotant selon le temps écoulé : t : temps écoulé depuis le début de l’observation (en s) H : hauteur du feu clignotant par rapport au sol (en m) H a cos b(t h) k La vitesse de rotation est de six tours par minute, ce qui signifie un tour en 10 s. Sa période est donc de 10 s. On en déduit alors que b . 5
L’amplitude correspond à la longueur de la pale. On sait que l’amplitude est de 35 m. On en déduit que a 35, car au début de l’observation, le feu clignotant était à sa hauteur maximale. Dans ce cas, h 0. Le maximum est 125 m. On en déduit alors que k 90 m. La règle est donc H 35 cos t 90. 5
Temps passé à une hauteur d’au moins 105 m : 35 cos t 90 105 5
35 cos t 90 105 5
3 7
cos t 5
5
t 1,1279 5
t 1,7951 s
732
3 7
t arc cos 5
t 1,1279 t 1,7951 s
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CHAPITRE 5
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11,7951 8,2049 3,5902 s/cycle 3,5902 s/cycle 12 cycles 43,082 s Le feu clignotant est à une hauteur d’au moins 105 m pendant environ 43,082 s.
Hauteur du feu clignotant par rapport au sol (m) 150
Nombre de tours, x, faits par le feu clignotant en environ 43,082 s :
1 tour x tour 10 s 43,082 s
( 1,7951, 105)
Variation de la hauteur d’un feu clignotant sur une éolienne
( 11,7951, 105)
120 y 105 90
x 4,3082 tours Distance parcourue en un tour : C 2pr 2p(35) 219,91 m
60 ( 8,2049, 105) 30
Distance parcourue en environ 4,3082 tours : Distance parcourue 4,3082 219,91 947,42 m
0
24
Réponse : La distance parcourue par le feu clignotant pendant qu’il était à une hauteur d’au moins 105 m est d’environ 947,42 m.
48
72
96
120 Temps écoulé depuis le début de l’observation (s)
Pages 339-340 42. Pour vérifier si Laurie a raison, il faut démontrer que chaque expression est bien une identité trigonométrique. Première expression : cos 2A cos2 A sin2 A cos 2A cos (A A) cos A cos A sin A sin A cos2 A sin2 A La première expression est bien une identité trigonométrique. Deuxième expression : cos 2A 1 2 sin2 A cos 2A cos2 A sin2 A 1 sin2 A sin2 A 1 2 sin2 A La deuxième expression est bien une identité trigonométrique. Troisième expression : cos 2A 2 cos2 A 1 cos 2A cos2 A sin2 A cos2 A (1 cos2 A) cos2 A 1 cos2 A 2 cos2 A 1 La troisième expression est bien une identité trigonométrique. Quatrième expression : cos 2A (cosec2 A 1) sin2 A (sec2 A 1) cos2 A Afin de vérifier si cette expression est vraie, il peut être plus simple d’essayer de transformer le membre de droite de l’égalité afin d’obtenir le membre de gauche de l’égalité. (cosec2 A 1) sin2 A (sec2 A 1) cos2 A cot2 A sin2 A tan2 A cos2 A
sin2 A cos2 A sin2 A cos2 A cos2 A sin2 A
cos2 A sin2 A cos 2A La quatrième expression est bien une identité trigonométrique. Réponse : Laurie a raison. Les quatre expressions sont des identités trigonométriques.
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PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 5
733
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CHAPITRE
6 Coniques
Fonction polynomiale du second degré
RAPPEL Page 342 1. a) h 1 k9
b) h 8 k 3
c) h (x) 6(x2 2x 8) 6(x2 2x 1 1 8) 6(x 1)2 54 h1 k 54
2. a) h 5, k 6 f (x) a(x h)2 k 2 a(3 5)2 6 8 4a a 2 f (x) 2(x 5)2 6
b) h 4, k 1 g (x) a(x h)2 k 9 a(0 4)2 1 8 16a a 0,5 g (x) 0,5(x 4)2 1
c) h 0, k 4 h (x) a(x h)2 k 0 a(2 0)2 4 4 4a a1 h (x) x2 4
e) h 15, k 8 j (x) a(x h)2 k 19 a(12 15)2 8 27 9a a3 j (x) 3(x 15)2 8
f ) x1 5, x2 13 k (x) a(x x1)(x x2) 10 a(15 5)(15 13) 10 40a
d) h 55, k 70 i (x) a(x h)2 k 80 a(65 55)2 70 150 100a a 1,5 i (x) 1,5(x 55)2 70
a 1 4
k (x) 1 (x 5)(x 13) 4 Page 343 3. a)
f (x) a(x 7)2 21 101 a(3 7)2 21 101 16a 21 80 16a a 5 f (x) 5(x 7)2 21
b)
f (x) a(x 8)2 11 51 a(2 8)2 11 51 100a 11 40 100a a 0,4 f (x) 0,4(x 8)2 11
c) f (x) a(x 0)2 3 1 a(1 0)2 3 1 a 3 2a f (x) 2x2 3
f (x) a(x 5)2 19 64 a(0 5)2 19 64 25a 19 45 25a a 1,8 f (x) 1,8(x 5)2 19
e)
f (x) a(x 12)2 75 213 a(0 12)2 75 213 144a 75 288 144a a2 f (x) 2(x 12)2 75
f ) f (x) a(x 4)2 3 0 a(5 4)2 3 0a3 a 3 f (x) 3(x 4)2 3
f (x) a(x 9)2 680 0 a(1 9)2 680 0 100a 680 680 100a a 6,8 f (x) 6,8(x 9)2 680
h) h 2
d)
g)
14 2
i ) h 6
6, k 16
f (x) a(x 6)2 16 0 a(14 6)2 16 0 64a 16 16 64a a 0,25 f (x) 0,25(x 6)2 16
12 2
3, k 81
f (x) a(x 3)2 81 0 a(12 3)2 81 0 81a 81 81 81a a1 f (x) (x 3)2 81
Page 345 b) 2x2 20x 42 0
4. a) 9x2 3x 2 0 x 3 3
32
4 9 9
2
2
81
20
18
3
9
20
18
x1 2, x2 1 3
734
x ( 20)
3
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
734-776_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P03_F.indd 734
( 20)2 4 2 2 64
4 8 4
x1 3, x2 7
CHAPITRE 6
c) 2x2 5x 2 0 2
42
x 5 5 5
52 2
4 2
2
2
9 4 3 4
x1 2, x2 0,5
© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
18-06-26 1:51 PM
d) 4x2 24x 160 0 x 24
242 4 4 2 4
24 24
e) 2x2 10x 8 0 x ( 10 )
160
3136
10
8 56
10
8
( 10)2 2 2
14
49
5
6
x 4
0
14
4 1
1
4
9 2 3 2
i ) 12x2 60x 75 0
4 10 10
x ( 60 )
7
264
60
20
( 60)2 4 2 12
12
75
0 24
60
Aucune solution dans R.
2
52 2
x1 4, x2 1
42 2
4
2
x 5
4
h) 10x2 4x 7 0 1
8
5
g) x2 14x 49 0 4 1
2
36
x1 1, x2 4
142 2
4
4
x1 10, x2 4 x 14
f ) x2 5x 4 0
24
7
2,5
Page 346 5. a)
x 10
102 2
4 0,25 0,25
x ( 12 )
91
( 12)2 2 4
x1 1, x2 2 y1 4x 8 418 12 y2 4x 8 428 16 (1, 12), (2, 16)
x1 26, x2 14 y1 7x 92 7 26 92 90 y2 7x 92 7 14 92 6 (26, 90), (14, 6) 6.
c)
b) 4x2 8x 16 4x 8 4x2 12x 8 0
0,25x2 3x 1 7x 92 0,25x2 10x 91 0
4
x 8x 1 5x 14 x 3x 13 0 2
2
4
8
x 3 3
32
4 2
1
13
1
43 2
Aucune solution dans R.
148,85 3t 0,2t2 182,6 0 0,2t2 3t 33,75
t
3
32
4 2
0,2 0,2
33,75
t1 7,5 s (à rejeter), t2 22,5 s Réponse : La pression sera la même dans les deux contenants 22,5 s après la mise en marche de la pompe. 7.
1 (t 30)2 50 2(t 10) 18 1 2 (t 60t 900) 50 2t 20 18 t2 60 t 36 t 900 900 360 0 18 18 18 18 18 18
t 24t 360 0
2
t 24
242 2
4
1
360
1
t1 10,45 s (à rejeter), t2 34,45 s Réponse : Les deux nageurs seront côte à côte environ 34,45 s après le départ du premier nageur.
SECTION 6.1
Cercle
Page 348 1. a) r 7 d) r 225
b) r 11,4
c) r 32
e) r 1
f ) r 169
15
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1
13
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 6
735
18-06-26 1:51 PM
2. a)
b)
y
8
y
8
32
4
16
0
4
4
x
8
32
0
16
4
16
8
32
b)
3. a) r 9 x2 y2 r2 x2 y2 92 x2 y2 81
c)
x2 y2 r2 ( 33) 562 r2 1089 3136 r2 4225 r2 2 2 x y 4225
16
x
x2 y2 r2
( 143 ) 1 r 2
2
32
2
2
196 1 r2 9 205 r2 9 x2 y2 205 9
Page 349 4.
A pr2 p 102 314,16 m2
x2 y2 r2 62 82 r2 36 64 r2 r 10 m
Réponse : La superficie dont dispose la chèvre pour se nourrir est d’environ 314,16 m2. 5.
d ( x2
r2 1521 r 1521 39 m
x1 )2
(12
0)2
( y2 (35
y1 )2 0)2
37 m 39 37 2 m
Réponse : La fontaine est installée à 2 m du sentier. 6. Équation du cercle sur lequel est situé le point A : x2 y2 r2 2 13 (84)2 r2 169 7056 r2 7225 r2 2 2 x y 7225
Équation du cercle sur lequel est situé le point B : x2 y2 r2 2 ( 77) (36)2 r2 5929 1296 r2 7225 r2 2 2 x y 7225
Réponse : Les points A et B appartiennent au cercle d’équation x2 y2 7225. Page 351 7. a)
16
8
8
4
0
8
y
16
8
16
x
8
0
4
8
16
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b)
y
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4
8
x
4
8
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c)
d)
y
16
16
8
8
4
0
8
8
x
16
0
4
16
2
4
8
0
4
2
4
x
4
x
4
8
x
y
8
2
8
8
4
0
2
4
4
f )
y
4
8
e)
8
y
4
8
Page 352 8. a) r 17 x2 y2 172 x2 y2 289 x2 y2 289 d) d 42,6 r 21,3 x2 y2 21,32 x2 y2 453,69 x2 y2 453,69 9. x2 y2 r2 x2 y2 8100 r
8100 90 mm
b) r 12,8 x2 y2 12,82 x2 y2 163,84 x2 y2 163,84
c)
e)
f )
x2 y2 r2 0 (8)2 r2 64 r2 2 2 x y 64 x2 y2 64 2
x2 y2 r2 52 (12)2 r2 25 144 r2 169 r2 2 2 x y 169 x2 y2 169
x2 y2 r2 (55)2 (48)2 r2 3025 2304 r2 5329 r2 2 2 x y 5329 x2 y2 5329
Inéquation correspondant à la surface enduite de gélatine : rg 2 90
x2 y2 602
60 mm
x2 y2 3600
3
Réponse : Selon la représentation graphique, une colonie se serait développée sur la surface non gélatineuse. L’expérimentation du chercheur n’est donc pas concluante.
Surface de la boîte de Petri y 80 40
80
40 0 40
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x 2 y 2 8100
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40
80
x
80
CHAPITRE 6
737
18-06-26 1:51 PM
Ellipse
SECTION 6.2 Page 354 1. a)
b)
y
16
16
12
8
6
0
8
2. a)
y
8
x
16
12
8
0
6
16
a2 81 a9 b2 225 b 15 b2 a2 c2 225 81 c2 c 12
b)
12
x
6
12
c)
a2 2809 a 53 b2 2025 b 45 a2 b2 c2 2809 2025 c2 c 28
6
a2 676 a 26 b2 100 b 10 a2 b2 c2 676 100 c2 c 24
1) S1(9, 0), S2(9, 0), S3(0, 15), S4(0, 15)
1) S1(53, 0), S2(53, 0), S3(0, 45), S4(0, 45)
1) S1(26, 0), S2(26, 0), S3(0, 10), S4(0, 10)
2) F1(0, 12), F2(0, 12)
2) F1(28, 0), F2(28, 0)
2) F1(24, 0), F2(24, 0)
d)
a2 1600 a 40 b2 1681 b 41 b2 a2 c2 1681 1600 c2 c9
e)
f )
a2 17 a 17 b2 25 b5 b2 a2 c2 25 17 c2 c 2 2
a2 64 a8 b2 39 b 39 a2 b2 c2 64 39 c2 c5
1) S1(40, 0), S2(40, 0), S3(0, 41), S4(0, 41)
1) S1( 17, 0), S2( 17, 0), S3(0, 5), S4(0, 5)
1) S1(8, 0), S2(8, 0),
2) F1(0, 9), F2(0, 9)
2) F1(0, 2 2), F2(0, 2 2)
2) F1(5, 0), F2(5, 0)
S3(0, 39), S4(0, 39)
Page 355 3. a)
738
a 13 2a 26 u b5 2b 10 u 132 52 c2 c 12 2c 24 u
b)
a 48 2a 96 u b 73 2b 146 u 732 482 c2 c 55 2c 110 u
c)
a8 2a 16 u c 15 2c 30 u b2 82 152 b 17 2b 34 u
1) 26 u
1) 96 u
1) 16 u
2) 10 u
2) 146 u
2) 34 u
3) 24 u
3) 110 u
3) 30 u
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
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CHAPITRE 6
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18-06-26 1:51 PM
d)
e)
a 7225 85 2a 170 u b 169 13 2b 26 u 852 132 c2 c 84 2c 168 u
4.
f )
a 4225 65 2a 130 u
a 7921 89 2a 178 u
b 9409 97 2b 194 u 972 652 c2 c 72 2c 144 u
b 1521 39 2b 78 u 892 392 c2 c 80 2c 160 u
1) 170 u
1) 130 u
1) 178 u
2) 26 u
2) 194 u
2) 78 u
3) 168 u
3) 144 u
3) 160 u
37 2 74 u b a c b2 122 352 b 37 u La somme des distances est de 74 u. 2
2
2
Page 356 5. a) a 225 15 m 15 m 15 2 30 m
b) b 289 17 m
Réponse : La distance minimale est de 9 m. 7.
a2 b2 c2 48 2 96 m 5329 3025 c2 c 48 m Réponse : La distance qui sépare la chanteuse et le technicien est de 96 m.
b2 a2 c2 172 152 c2 c 8 m 17 8 9 m
Réponse : La largeur du bassin est de 30 m. 6.
17 m
a 8100 180 30 150 m 90 2a 180 m Réponse : La distance qui la sépare de l’autre juge est de 150 m.
Page 357 8. a) a 25 b 18
c) a 2
b) b 10 c6 b2 a2 c2 a2 102 62 a8
2 x2 y2 1 252 18 2 x2 y 1 625 324
( ) 12 6 23 1 22 b 1 108 1 4 b2 2
b 12
2 x2 y2 1 82 10
2 x2 y 1 144 4
2 x2 y 1 64 100
Page 358 9. a)
10.
2 x2 y2 1 132 11 2 x2 y 1 169 121
b) 74 2 37, donc a 37. 52 2 26, donc b 26. 2 x2 y2 1 372 26 2 x2 y 1 1369 676
Abh 1040 b 26 b 40 cm a 40 2 20 b 26 2 13
2 x2 y2 1 202 13 2 x2 y 1 400 169
Réponse : L’équation de la plus grande ellipse inscrite dans 2 ce rectangle est x
400
y2 169
1.
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c) b 89, c 39 b2 a2 c2 892 a2 392 a 80 2 x2 y2 1 802 89 2 x2 y 1 6400 7921
Représentation d’un rectangle y A 1040 cm2 26 cm x
0
PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER
CHAPITRE 6
739
18-06-26 1:51 PM
ec
11.
0,0934
c 2,2792
y2 x2 1 (2,2792 108 )2 (2,2692 108 )2 2 2 y x 1 5,19 1016 5,15 1016
a2 b2 c2 (2,2792 108 )2 b2 (2,1288 107)2 b 2,2692 108 km
a
108
c 2,1288 107 km Réponse : L’équation de l’orbite de Mars est
x2 5,19
1016
y2 5,15
1016
1.
Page 360 12. a)
b)
y
12
y
12
8
6
4
0
6
6
12
x
8
6
12
c)
d)
y
16
8
6
0
8
16
x
12
8
f )
4
4
4
8
x
8
0
4
4
x
8
4
8
y
8
0
4
12
8
4
x
y
12
6
16
8
6
0
6
e)
x
y
12
8
8
8
16
4
4
0
4
8
Page 361 13. a) a 5 b 18 y2 x2 1 2 5 182 2 x2 y 1 25 324
740
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b) a 72 2 36 b2 a2 c2 b2 362 772 b 85 2 x2 y 2 1 2 36 85 2 x2 y 1 1296 7225
CHAPITRE 6
c) b 6
2
⎛ 3 7⎞ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ( 18)2 1 2 a 62 324 1 7 16 a2
a 24
2 2 2 x y 2 1 x y 1 242 576 6 36 2
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14. Le point de convergence P ne doit pas être dans la région
Représentation de la lentille
2 2 correspondant à l’inéquation x y 1. 115,2 5625
y
? 2 ( 10,7)2 0 1 115,2 5625
Dessin approximatif de la lentille
? 114,49 01 115,2
Point de convergence P( 10,7, 0)
0,99 1 est vrai.
Position de l’objet
Réponse : La lentille n’est pas adaptée, puisque le point de convergence P est situé à l’intérieur de la région.
0
x
y2 x2 1 115,2 5625
Hyperbole
SECTION 6.3 Page 363 1. a)
b)
y
12
12
32
6
16
0
6
2. a)
6
x
12
32
0
16
6
16
12
32
y
b)
b 12, c 13 2c 26 u 132 a2 122 a5
c)
a 21, c 29 2c 58 u 292 212 b2 b 20
16
x
32
a 8, b 15 c2 82 152 c 17 2c 34 u
1) y 12 x, y 12 x
1) y 20 x, y 20 x
1) y 15 x, y 15 x
2) 26 u
2) 58 u
2) 34 u
d)
5
5
a 4225 65 b 5184 72 c2 652 722 c 97 2c 194 u
e)
21
21
a 2304 48 b 196 14 c2 142 482 c 50 2c 100 u
f )
8
8
a 576 24 b 324 18 c2 242 182 c 30 2c 60 u
1) y 72 x, y 72 x
1) y 7 x, y 7 x
1) y 3 x, y 3 x
2) 194 u
2) 100 u
2) 60 u
65
65
24
24
4
4
Page 364 3. a)
a 1089 33 b 3136 56 c2 332 562 c 65
b)
a 7056 84 b 169 13 c2 842 132 c 85
c)
a 576 24 b 49 7 c2 242 72 c 25
1) S1(33, 0), S2(33, 0)
1) S1(0, 13), S2(0, 13)
1) S1(24, 0), S2(24, 0)
2) F1(65, 0), F2(65, 0)
2) F1(0, 85), F2(0, 85)
2) F1(25, 0), F2(25, 0)
3) y 56 x, y 56 x 33 33
3) y 13 x, y 13 x 84 84
3) y 7 x, y 7 x
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24
24
CHAPITRE 6
741
18-06-26 1:51 PM
d)
a 121 11 b 3600 60 c2 112 602 c 61
f )
a 256 16 b 3969 63 c2 162 632 c 65
a 1225 35 b 144 12 c2 352 122 c 37
1) S1(11, 0), S2(11, 0)
1) S1(0, 63), S2(0, 63)
1) S1(0, 12), S2(0, 12)
2) F1(61, 0), F2(61, 0)
2) F1(0, 65), F2(0, 65)
2) F1(0, 37), F2(0, 37)
3) y 60 x, y 60 x
3) y 63 x, y 63 x
3) y 12 x, y 12 x
11
4. b2 441 b 21 42 u
11
y b x a
38,5 b 18
16
16
35
35
2 21 42 u
5. a 36 m
e)
36
c2 a2 b2 c2 362 772 c 85 m 85 2 170 m
38,5 b 18 36
b 77 m Réponse : La distance qui sépare les deux haltes routières est de 170 m. Page 366 6. a) a 15 y b x a
8 b 30 15
b) b 24 c2 a2 b2 252 a2 242 a7
c) b 6 y b x a
3 x 10
2 x2 y 2 1 72 24 2 x2 y 1 49 576
8 b 30 15
b4
3 6 10 a
a 20
2 x2 y2 1 152 4 2 x2 y 1 225 16
7. a) b 13 c2 a2 b2 852 a2 132 a 84 x y 2 1 842 13 2 x2 y 1 7056 169 2
2
2 x2 y 2 1 202 6 2 x2 y 1 400 36
c) b 50 2 25
b) a 24
2 x2 y 2 1 a2 b
y b x a
( ) 602 5 61 1 a2 252 2
2 x 3
3600 1 2,44 a2
2 b 3 24
a2 2500 a 50
b 16 2 x2 y2 1 242 16 2 x2 y 1 576 256
2 x2 y 2 1 502 25 2 x2 y 1 2500 625
Page 367 8. a)
b) a 33, b 56
c2 a2 b2 652 a2 562 a 33 t 33 2 66 m
2 x2 y2 1 332 56
Réponse : La mesure associée à t est 66 m.
2 x2 y 1 1089 3136
Réponse : L’équation de l’hyperbole associée 2 2 à cette situation est x y 1.
1089
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CHAPITRE 6
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9. a) Coordonnées du point B : b6
2 x2 y 1 48,76 36 2 322 y 1 48,76 36
2 x2 y 2 1 a2 b
y 6 22
2 162 152 1 a2 6
B(32, 6 22)
256 1 6,25 a2
Diamètre de l’ouverture : 2 6 22 12 6 22 56,28 cm
a2 48,76 a 6,98
Réponse : Le diamètre de l’ouverture est d’environ 56,28 cm. b) Coordonnées du point A :
Distance entre les points A et B :
2 x2 y 1 48,76 36 2 ( 16)2 y 1 48,76 36
d (A, B)
( x2
x1 )2
( y2
(32 16)2 49,77 cm
y 1 )2
(6 22
15)2
y 15 A(16, 15) Réponse : La distance qui sépare les points A et B est d’environ 49,77 cm. Page 369 10. a)
b)
y
16
16
32
8
16
0
8
c)
8
16
x
32
0
16
16
32
d)
24
16
12
16
32
x
16
32
x
12
24
x
y
32
24
0
12
16
12
32
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16
0
16
32
y
8
y
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CHAPITRE 6
743
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e)
f )
y
32
y
32
16
16
8
0
16
16
32
16
x
32
16
0
8
8
x
16
8
16
Page 370 11. a) a 12 c 20
2 x y ?1 144 256 2
c a b 202 122 b2 b 16 2
b) b 5 c 13
Prenons P(20, 0). 2
2
25 1 9
2 x2 y 1 25 144
12. Soit l’inéquation suivante associée à la partie située à l’intérieur de l’hyperbole : 2 x2 y 1 16 64
2 x2 y ? 1 36 81
18 9(12)
2 02 0 ? 1 36 81
a
2 02 ( 13) ? 1 25 144
169
25
Prenons P(0, 0).
y b x
x y ? 1 25 144
2
2 x2 y 2 1 122 5
2 x2 y 1 144 256
2 x2 y 1 144 256
2
c) b 9
2
2
c a b 132 a2 52 a 12 2
2 202 0 ?1 144 256
2 x2 y2 1 122 16
Prenons P(0, 13).
a
0 1
18 108
1
a6
2 x2 y 1 25 144
a
2 x y 1 36 81 2
2 x2 y 2 1 62 9
B(6, 8) :
2 ? 62 8 1 16 64
? 36 64 1 16 64
A(5, 6,2) :
2 ? 52 6,2 1 16 64
5 1 est faux. 4
? 25 38,44 1 16 64 0,96 1 est vrai. Le point A appartient donc à la région située entre les deux branches de l’hyperbole.
Le point B n’appartient donc pas à la région située entre les deux branches de l’hyperbole.
Réponse : La faille peut affecter la structure du pont.
Parabole et intersection de coniques
SECTION 6.4 Page 372 1. a)
b)
y
y x 1
y 6
16
16
8
8
4
0
8
744
16
x
8
0
4
8
4
16
8
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CHAPITRE 6
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x
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2. a)
h 11, k 13 4c 32 c 8
F (h c, k) F (11 8, 13) F (3, 13) Directrice : xhc 11 8 19
b)
1) x 19
c)
1) y 2
2) F(3, 13), S(11, 13)
F (h, k c) F (6, 7 5) F (6, 12) Directrice : ykc 7 5 2
h 6, k 7 4c 20 c 5
1) x 4
2) F( 6, 12), S( 6, 7)
F (h c, k) F (27 23, 15) F (50, 15) Directrice : xhc 27 23 4
h 27, k 15 4c 92 c 23
2) F(50, 15), S(27, 15)
Page 373 d)
h 3, k 1 F (h c, k) Valeur de c : F (3 4, 1) F (7, 1) xhc 1 3 c c 4 1) x 1 2) F(7, 1), S(3, 1)
3. a) k 10 4c 100 c 25
e)
Valeur de c : ykc 8 2 c c c3 k 5
f )
1) y 8
h 1, k 4 Valeur de c : ykc 6,5 4 c c 2,5 1) y 6,5
2) F(4, 2), S(4, 5)
2) F(1, 1,5), S(1, 4)
F (4, 2) F (h, k c) h 4, k 2 c
Directrice : ykc 10 25 15
F (h, k c) F (1, 4 2,5) F (1, 1,5)
x 100( y 10) 202 100( y 10) 4 y 10 y 14 Distance entre le piéton et la piste cyclable : 14 15 29 m Réponse : La distance qui sépare le piéton de la piste cyclable est de 29 m. 2
b) F(h, k c) F(0, 10 25) F(0, 35) Réponse : Les coordonnées du stationnement sont (0, 35). Page 375 4. a) h 7, k 3 1 h c 1 7 c c6 4c 24 ( y 3)2 24(x 7) d) h 9, k 11 13 k c 13 11 c c 2 4c 8 (x 9)2 8( y 11)
b) h 15, k 31 21 31 c c 10 4c 40 (x 15)2 40( y 31)
c) h 14 2 k c 12 k c k 5, c 7 4c 28 (x 14)2 28( y 5)
e) h 4, k 14 (16 4)2 4c(2 14) 122 4c(12) 144 48c c3 4c 12 (x 4)2 12( y 14)
f ) h 15, k 3 (13 3)2 4c(17 15) 162 4c(32) 256 128c c 2 4c 8 ( y 3)2 8(x 15)
Page 376 5. a) h 12, k 5 ( y k)2 4c(x h) (19 5)2 4c(5 12) 142 4c(7) 196 28c c7 4c 28 ( y 5)2 28(x 12)
b) h 31, k 9 21 k c 21 9 c c 12 4c 48 (x 31)2 48( y 9)
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CHAPITRE 6
745
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c) k 42 Foyer : 25 h c Directrice : 5 h c 25 h c (5 h c)
d) h 24, k 17 (x h)2 4c( y k) (16 24)2 4c(1 17) (8)2 4c(16) 64 64c c1 4c 4 (x 24)2 4( y 17)
5 10 c c 15 4c 60
20 2h h 10 ( y 42)2 60(x 10)
6. À l’aide de la représentation graphique, il est possible de déduire les coordonnées du sommet S(20, 12,5) et d’un point P(8, 8) de la parabole. Si S(20, 12,5), alors h 20 et k 12,5. (x 20)2 4c( y 12,5) (8 20)2 4c(8 12,5) (12)2 4c(4,5) 144 18c c 8 Réponse : La distance qui sépare le point le plus haut de l’arche et le dessus de la structure est de 8 m. Page 378 7. a)
b)
y
y
x 8,5
8
8
16
4
8
0
4
4
8
4
8
x
Directrice : x 3 3 5 c c 2 4c 8 Prenons Q(16, 0), un point appartenant à la région hachurée. (0 4)2 ? 8(16 5) (4)2 ? 8(11) 16 88 ( y 4)2 8(x 5)
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16
0
8
Prenons P(0, 4). ? (4 5)2 2(0 8) ? 1 16 : Faux Donc, le point P ne fait pas partie de la région à hachurer. 8. a) ( y k)2 4c(x h) h 5, k 4
16
x
y 10
16
Prenons P(0, 0). ? (0 2)2 12(0 7) ? 4 84 : Vrai Donc, le point P fait partie de la région à hachurer.
b) h 8, k 10 (x h)2 4c( y k) (4 8)2 4c(8 10) 144 72c c2 4c 8 Prenons Q(0, 14), un point appartenant à la région hachurée. (0 8)2 ? 8(14 10) 82 ? 8(4) 64 32 (x 8)2 8( y 10)
CHAPITRE 6
8
8
c) ( y k)2 4c(x h) h 11, k 16 Foyer : 3 11 c c8 4c 32 Prenons Q(16, 0), un point appartenant à la région hachurée. (0 16)2 ? 32(16 11) (16)2 ? 32(5) 256 160 ( y 16)2 32(x 11)
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Page 379 9. a)
b)
y
16
y
16
16
8
8
0
8 P1
8
P2
x
16
16
8
8
0
8
x
16
8
P1
P2
16
16
P1( 3, 1), P2( 6,5, 13,5)
P1( 9,5, 4), P2( 9,5, 4) Page 380 c)
d)
y
16
y
P2
32
P1
8
16 P2
16
0
8
8
x
16
32
P3 0
16
8
16
16
32
P1
P4
P1( 14, 8), P2( 8, 14)
16
32
x
P1( 36, 31), P2( 10, 2), P3( 10, 2), P4( 36, 31)
Page 381 10. a)
x2 y2 289 x2 (x 7)2 289 x2 x2 14x 49 289 2x2 14x 240 0 x1 8, x2 15 y1 x 7 (8) 7 15 y2 x 7 15 7 8 P1(8, 15), P2(15, 8)
b)
81x2 144y2 11 664 9x2 16y2 1296 9x2 16(2x 40)2 1296 9x2 16(4x2 160x 1600) 1296 9x2 64x2 2560x 25 600 1296 55x2 2560x 26 896 0 x1 16,02, x2 30,53
y1 2x 40 2 16,02 40 7,96 y2 2x 40 2 30,53 40 21,05 P1( 16,02, 7,96), P2( 30,53, 21,05)
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c)
(x 8)2 16( y 4) (x 8)2 16(0,5x 8 4) (x 8)2 16(0,5x 12) x2 16x 64 8x 192 x2 8x 128 0 x1 16, x2 8 y1 0,5x 8 0,5 16 8 0 y2 0,5x 8 0,5 8 8 12 P1(16, 0), P2(8, 12)
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11. a)
b)
12( y 32) y2 625 y2 12y 384 625 y2 12y 241 0 y1 10,64, y3 22,64
c)
x2 4( x + 30) 1 81 324
81x2 1296(x 30) 26 244 81x2 1296x 38 880 26 244 81x2 1296x 65 124 0 x1 21,46, x3 37,46
x1,2 2 12(10,64 32) 511,72 x1, 2 22,62 x3,2 4 12(22,64 32) 112,28 x3, 4 10,6
400x2 8192(x 24) 102 400 400x2 8192x 196 608 102 400 400x2 8192x 94 208 0 Aucune solution dans R.
y1,2 2 4(21,46 30) 34,15 y1, 2 5,84 y3,2 4 4(37,46 30) 269,85 y3, 4 16,43
P1( 22,62, 10,64), P2( 22,62, 10,64), P3( 10,6, 22,64), P4( 10,6, 22,64)
x2 32( x 24) 1 400 256
Il n’y a pas de point d’intersection.
P1( 21,46, 5,84), P2( 21,46, 5,84), P3( 37,46, 16,43), P4( 37,46, 16,43)
Page 382 12.
2 30 y y 1 1600 625
1600y2 18 750y 1 000 000 32y 375y 20 000 0 y1 19,82, y2 31,54 (à rejeter)
x2 30 19,82 x 24,38
2
Réponse : Les coordonnées des points d’impact possibles sont ( 24,38, 19,82) et ( 24,38, 19,82). 13. Équation de la trajectoire parabolique du poisson : h 5, k 10 Directrice : 17 k c 17 10 c c7 4c 28 (x 5)2 28( y 10)
Résolution de l’équation : (x 5)2 28 1 x 10 10 3
3
y
x2 10x 25 28 1 x 40 3
x 10x 25 2
3
28
3x2 30x 75 28x 1120 0 3x2 2x 1045 0 x1 18,3 (à rejeter), x2 19
x 1120 3 3
1 10 x 3 3 1 10 19 3 3 9 3
3 P(19, 3)
Réponse : Les coordonnées du point où l’oiseau pourrait saisir le poisson sont (19, 3). 14.
(x 40)2 20(0,5x 10 30) x2 80x 1600 10x 800 x2 90x 800 0 x1 10, x2 80 y1 0,5 10 10 15
y2 0,5 80 10 50 A(10, 15), B(80, 50) d(A, B) (80
10)2
(50
15)2
35 5 m 78,26 m
Réponse : La longueur de câble minimale requise est d’environ 78,26 m.
MÉLI-MÉLO
Page 383 1. d)
2. c)
3. a)
4. b)
5. b)
6. c)
7. b)
8. c)
11. b)
12. b)
13. c)
14. b)
15. d)
16. b)
17. d)
9. b)
Page 384 10. d)
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Page 385 18. a) a 58 2 29 b 86 2 43 2 x2 y2 1 292 43 2 x2 y 1 841 1849
19. a) a 15
b) k 39 h c 42 h c 25 h c 42 (h c 25) 2h 67 h 33,5 33,5 c 42 c 8,5 4c 34 ( y 39)2 34(x 33,5)
c) r2 x2 y2 (36)2 772 1296 5929 7225 x2 y2 7225
y 12 x
b) b 24, c 26 c2 a2 b2 262 a2 242 a 10
15
y b x
4 x 5
a
20 b (25) 15
d)
2 x2 y 2 1 482 55 2 x2 y 1 2304 3025
y 24 x
10 12 x 5
y 12 x, y 12 x
b 12
5
y 4 x, y 4 x 5
5
5
Page 386 20. a)
a2 b2 c2 9409 5184 c2 c 65 F1(65, 0), F2(65, 0)
d) Ne s’applique pas.
21. a)
b) c2 a2 b2 2601 4624 c 85 F1(0, 85), F2(0, 85)
c) h 5, k 21 h c 5 9,5 c 38 4 4,5 9,5 F(4,5, 21)
e) h 13, k 5 c 8 4 2 k c 5 2 3 F(13, 3)
f )
b)
y
8
y
8
16
4
8
0
4
4
8
c)
c2 a2 b2 576 100 c 26 F1(26, 0), F2(26, 0)
4
8
x
16
0
8
d)
y
8
16
x
8
16
y x 79
40
40
80
20
40
0
20
20
40
80
0
40
20
40
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x
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x
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Page 387 22. a) a 7, b 3 x y2 1 72 3 2 x2 y 1 49 9 2
2
b) h 4, k 15 12 k c 12 c 15 c3 4c 12 (x 4)2 12( y 15)
c) b 10 y 5 x 6 b y x a 5 10 6 a
a 12 2 x2 y 2 1 122 10 2 x2 y 1 144 100
d) r2 x2 y2 (80)2 392 7921 x2 y2 7921
e) a 4 9 10,08 1 42 b2 2
2
10,082 1 81 b2 16
10,082 65 b2
16
b5 2 x2 y2 1 42 5 2 x2 y 1 16 25
f ) k 4 h c 14 (h c 4) 2h 18 h9 9c4 c 5 4c 20 ( y 4)2 20(x 9)
Page 388 23. a) a 48 c2 a2 b2 732 482 b2 b 55 2 x2 y2 1 482 55
Prenons P(0, 0). 2 02 02 ?1 482 55
0?1 0 1 2 x2 y 1 2304 3025
d) b 21 y b x a
24 21 24
b) h 2, k 10 2 2 c c4 4c 16 ( y 10)2 16(x 2) Prenons P(0, 0). (0 10)2 ? 16(0 2) 102 ? 16(2) 100 ? 32 100 32 ( y 10)2 16(x 2)
c) b 18 a 60 2 30
e) r2 x2 y2 52 (12)2 r 13 x2 y2 169
f ) h 2, k 8 (x 2)2 4c( y 8) (4 2)2 4c(1 8) 62 36c c 1 4c 4 (x 2)2 4( y 8) Prenons P(0, 0). (0 2)2 ? 4(0 8) 22 ? 4(8) 4 ? 32 4 32 (x 2)2 4( y 8)
a
a 21 2 x2 y 2 1 212 21
Prenons P(0, 32). 2 02 322 ? 1 212 21
2,32 ? 1 2,32 1
2 x2 y 1 900 324 2 x2 y 1 900 324
2 x2 y 1 441 441
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Page 389 24. a)
b)
y
8
y
8
40
4
20
0
4
4
x
8
40
0
20
4
20
8
40
20
40
x
4 points d’intersection.
2 points d’intersection. 25. a) 4( y 16) y2 64 y2 4y 64 64 y2 4y 0 y1 4, y3 0 x1,2 2 4(4 16) 48 x1, 2 4 3 x3,2 4 4(0 16) 64 x3, 4 8
b)
(2x 6)2 8(x 15) 2 4x 24x 36 8x 120 4x2 16x 84 0 x2 4x 21 0 x1 7, x2 3 y1 2 7 6 8 y2 2 3 6 12 P1(7, 8), P2(3, 12)
P1( 4 3, 4), P2(4 3, 4), P3(8, 0), P4(8, 0)
2 10 ( y 20) y 1 16 64
c)
16y2 640( y 20) 1024 16y2 640y 12 800 1024 16y2 640y 11 776 0 y1 13,7, y3 53,7 x1,2 2 10(13,7 20) 62,95 x1, 2 7,93 x3,2 4 10(53,7 20) 737,05 x3, 4 27,15
P1( 7,93, 13,7), P2( 7,93, 13,7), P3( 27,15, 53,7), P4( 27,15, 53,7)
Page 390 26. a) c 12 2 6, b 4,5 a2 b2 c2 a2 4,52 62 a 7,5
2 x2 y 2 1 7,52 4,5 2 x2 y 1 20,25 56,25
b) Soit d, la longueur de la corde (en m). d2a 2 7,5 15 m Réponse : La longueur de la corde est de 15 m.
2 2 Réponse : L’inéquation x y 1 représente
56,25
20,25
la région dans laquelle le chien peut se déplacer. 27. Axe de symétrie : x 5 (x 5)2 16(12 3) (x 5)2 144 x 5 12 x 17 et x 7 (à rejeter) 17 5 12 u Réponse : La distance qui sépare le point de la courbe de son axe de symétrie est de 12 u. 28. a 4 2 2 cm 2 x2 y2 1 b a2
(
4 3 42 b2 22
)
2
1
b2 16 b4
y 18 2 9 2 x2 9 1 4 16
x2 24,25 x 4,92 4,92 2 9,85 cm
2 x2 y 1 4 16
Réponse : Le diamètre d’une des bases du sablier est d’environ 9,85 cm. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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CHAPITRE 6
751
18-06-26 1:52 PM
Page 391 29. a)
b) a
Orbite d’une planète
841 29
y
b
400 20 a2 b2 c2 292 202 c2 c 21
32
16
32
0
16
16
32
16
x
32
Réponse : Les coordonnées possibles du Soleil sont (21, 0) ou (21, 0).
c) Soit d, la distance maximale séparant la planète du Soleil (en millions de kilomètres). dca 21 29 50 millions de kilomètres Réponse : La distance maximale est de 50 millions de kilomètres. 30. a) h 12, k 22 16 2 8 12 8 4 P(4, 14) (x h)2 4c( y k) (4 12)2 4c(14 22) (8)2 32c c 2 4c 8 (x 12)2 8( y 22)
b) F (h, k c) F (12, 22 2) F (12, 20) Réponse : La fenêtre serait située à 20 m du sol.
Réponse : L’équation de la parabole est (x 12)2 8( y 22). Page 392 32. Les sommets du triangle doivent appartenir
31. Ellipse : a 48 2 24 b 32 2 16 Point d’ancrage :
2 2 à l’inéquation x y 1.
1089
1 sommet :
2 x y2 1 242 16
2 ? ( 190)2 335 1 1089 3136
2 18( y 16) y2 1 242 16
? 36 100 112 225 1 1089 3136
2
576y2 4608( y 16) 147 456 576y2 4608y 73 728 0 y1 16, y2 8 x12 18(16 16) x2,2 3 18(8 16) 0 432 x1 0 x2, 3 12 3 P1(12 3 , 8), P2(0, 16), P3(12 3 , 8) Réponse : Les coordonnées des trois points d’ancrage sont P1(12 3 , 8), P2(0, 16) et P3(12 3 , 8).
752
3136
er
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CHAPITRE 6
2,64 1 est vrai.
2e sommet : 2 1602 350 1089 3136 25 600 122 500 1089 3136
? 1 ? 1
15,55 1 est vrai.
3e sommet : 2 ? 282 74 1 1089 3136
? 784 5476 1 1089 3136 1,03 1 est vrai. Réponse : Les experts pourront procéder à ces fouilles, puisqu’aucun des sommets du secteur délimité par le triangle n’est situé dans la zone protégée du site archéologique.
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Page 393 33. Équation de la parabole associée à la trajectoire de l’appât : h 16, k 5 (x 16)2 4c( y 5) (20 16)2 4c(3 5) 42 8c c 2 4c 8 (x 16)2 8( y 5) Équation de la parabole associée à la trajectoire de l’orque : h 6, k 8 6kc 68c c 2 4c 8 (x 6)2 8( y 8)
Recherche du point d’intersection : (x 16)2 8( y 5) (x 6)2 8( y 8) 2 (x 16) 8y 40 (x 6)2 8y 64 (x 16)2 40 8y (x 6)2 64 8y (x 16)2 40 (x 6)2 64 x 32x 256 40 x2 12x 36 64 244 20x x 12,2 Hauteur par rapport à la surface de l’eau : (x 16)2 8( y 5) (12,2 16)2 8( y 5) (3,8)2 8( y 5) 14,44 8y 40 25,56 8y y 3,195 m 2
Réponse : L’orque attrapera l’appât à 3,195 m au-dessus de la surface de l’eau. Page 394 34. Hyperbole : 2 x2 y2 1 a2 b
( 42)2 212
(
20 3 ) 1 b2 2
1200
b2
Cercle : x2 y2 292
( 21 )
2 x2 20 x 292
x2 400 x2 841 441
3
841 2 x 841 441
b2 400 b 20
x2 441 x 21
c2 a2 b2 c2 212 202 c 29
y 20 21
y 20 21
y b x, y b x
20 (21, 20)
20 20 20 ( 21, 20) (21, 20) (21, 20)
a
a
21
21
y 20 21 21
y 20 21 21
y 20 x, y 20 x 21 21 Réponse : Les coordonnées des points d’intersection sont (21, 20), (21, 20), (21, 20) et (21, 20). 35. a) c 230,4 4 57,6 m 57,6 0,4 58 m Réponse : Le foyer du miroir est situé à 58 m de la base du télescope. b)
2,4 2 1,2 m x2 230,4( y 0,4) 1,22 230,4( y 0,4) 0,006 25 y 0,4 y 0,406 25 m 40,625 cm Réponse : La longueur de chacune des tiges verticales est de 40,625 cm.
c) h 0, k 0,4 0,22 0,406 25 0,626 25 P(1,2, 0,626 25)
x2 4c( y 0,4) 1,22 4c(0,626 25 0,4) 1,44 0,905c c 1,59 4c 6,36 x2 6,36( y 0,4) 2 Réponse : L’équation est x 6,36( y 0,4).
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CHAPITRE 6
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Pages 395-396 36. 1349 1504 2853 Gm a 2853 2 1426,5 c 1426,5 1349 77,5 a2 b2 c2 1426,52 b2 77,52 b 1424,39
Vue de dessus de l’orbite de Saturne y Astéroïde
Saturne 5y 7x 4000 0 1349 Gm
Équation de l’ellipse :
Aphélie
y2 x2 1 1426,52 1424,392
1504 Gm F
0
Périhélie x
Soleil
y2 x2 1 2 034 902,25 2 028 896
Coordonnées des points d’intersection : 5y 7x 4000 0 y 1,4x 800 x2
2 034 902,25
y2 1 2 028 896
2 x2 (1,4 x 800) 1 2 028 896 2 034 902,25
6 017 304,41x2 4 558 181 040x 2,826 268 1012 0 x1 1161,79, x2 404,28 y1 1,4 1161,79 800 826,51 ( 1161,79, 826,51) y2 1,4 404,28 800 1365,99 ( 404,28, 1365,99) Réponse : Les coordonnées des points où les deux trajectoires pourraient se rencontrer sont ( 1161,79, 826,51) et ( 404,28, 1365,99). Pages 397-398 37. Équation de la parabole bleue : h 5, k 20 ( y k)2 4c(x h) ( y 20)2 4c(x 5) (32 20)2 4c(41 5) 122 144c c 1 4c 4 ( y 20)2 4(x 5) Équation de la parabole rouge : h 37, k 20 ( y k)2 4c(x h) ( y 20)2 4c(x 37) (26 20)2 4c(28 37) 62 36c c 1 4c 4 ( y 20)2 4(x 37) Équation de la parabole verte : h 5, k 20 9ch 9c5 c4 4c 16 ( y k)2 4c(x h) ( y 20)2 16(x 5)
Équation de la parabole jaune : h 37, k 20 41 h c 41 37 c c 4 4c 16 ( y k)2 4c(x h) ( y 20)2 16(x 37) Coordonnées du point A : 4(x 5) 4(x 37) x 5 x 37 2x 42 x 21 ( y 20)2 4(x 5) ( y 20)2 4(21 5) ( y 20)2 64 y 20 8 y1 28, y2 12 (à rejeter) A(21, 28)
Coordonnées du point B : 16(x 5) 16(x 37) x 5 x 37 2x 42 x 21 ( y 20)2 16(x 5) ( y 20)2 16(21 5) ( y 20)2 256 y 20 16 y1 4, y2 36 (à rejeter) B(21, 4) Distance entre les extrémités : 28 4 24 u
Réponse : La distance entre les extrémités A et B est de 24 u.
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CHAPITRE 6
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Pages 399-400 38. Ellipse : a 8, c 3 a2 b2 c2 64 b2 9 b2 55 b 55
Point d’impact :
Parabole de droite : h 3, k 0 c h 8 c 3 8 c 5 4c 20 y2 20(x 3)
2 x2 y 1 64 55
x2 20( x 3) 1 55 64
5x2 1280x 3840 3520 5 55x2 1280x 7360 0 x1 28,04 (à rejeter), x2 4,77 y2 20(x 3) 20(4,77 3) y 5,95 (à rejeter y 5,95) P( 4,77, 5,95)
Réponse : Oui, les ingénieurs ont raison.
BANQUE DE PROBLÈMES Page 401 1. Par symétrie, on obtient le point D(12, 5). Composantes de CD : a x2 x1 b y2 y1 12 12 5 5 24 10 CD (24, 10) CD k1OA k 2 OB (24, 10) k1(12, 5) k2(7,8, 10,4) 24 12k1 7,8k2 10 5k1 10,4k2
On doit résoudre le système d’équations suivant : 60k1 39k2 120 (60k1 124,8k2 120) 163,8k2 240 k2 400
273 400 12k1 7,8 24 273 12k1 1040 24 91 12k1 1144 91 286 k1 273
CD
286 OA 273
400 OB 273
Réponse : Noémie a raison : les valeurs de k1 et k2 sont toutes deux positives et supérieures à 1. 2. Calcul de la concentration en ions H pour un pH de 7,3 : 7,3 log C 7,3 log C C 107,3 mol/L
Calcul du temps nécessaire pour que la concentration en ions H soit de 107,3 : 107,3 10
–6
t
–6 t 10–7,3
10
19,95 jours Réponse : Le pH du lac sera de 7,3 environ 19,95 jours après l’ajout des produits chimiques. Page 402 3. Mesure du rayon : r 10 2 5m Équation du cercle : x2 y2 25 Fonction valeur absolue : Équation de la branche de droite : y 3x 9 Équation de la branche de gauche : y 3x 9 Coordonnées des points d’intersection : x2 (3x 9)2 25 2 x 9x2 54x 81 25 10x2 54x 56 0 x 54
542
4 20
10
y1 3x 9 3(4) 9 3 B(4, 3) y2 3x 9 3(1,4) 9 4,8 C(1,4, 4,8) Par symétrie, on obtient A(4, 3) et D(1,4, 4,8).
56
x1 4, x2 1,4 Réponse : L’aire de la zone d’atterrissage possible est de 42,12 m2.
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Mesures du trapèze : B 4 4 8m b 1,4 1,4 2,8 m h 3 4,8 7,8 m Aire du trapèze : A (B (8
b) h 2 2,8) 7,8 2
42,12 m2
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Page 403 ⎛
⎞
1 3 4. a) 1) Les composantes du vecteur sont ⎜⎝ 2 , 2 ⎟⎠ .
b) Le rayon étant le double, les composantes doubleraient.
2) Les composantes du vecteur sont (0, 1). c) L’extrémité du vecteur dont l’orientation est de 135° aura comme coordonnées cinq fois les
( )
⎛ ⎞ coordonnées du point P 3 . Donc, ⎜ 5 2 , 5 2 ⎟ . ⎝ 2 4 2 ⎠
5. Temps pour obtenir 12 400 bactéries : P(t) 500(1,2)t 12 400 500(1,2)t 24,8 1,2t t log1,2 24,8 t
log 24,8 log 1,2
d) Les composantes d’un vecteur ayant son origine à (0, 0) et son extrémité sur un cercle de rayon r seront (rcos , rsin ).
Température au moment où il y a 12 400 bactéries : C(t) 2 t 4 14 C(17,61) 2 17,61 4 14 2 4,65 14 4,7 °C
17,61 min
Réponse : La température maximale que peut atteindre le congélateur est d’environ 4,7 °C. Page 404 6. Variables x : nombre de contrats de courte durée y : nombre de contrats de longue durée
Signature de contrats
Nombre de contrats de longue durée 1000
Objectif visé Maximiser les revenus R (en $). 800
Règle de la fonction à optimiser R 5 125x 1 225y Contraintes x 1 y 400 x 1 y 650 x 150 y 200
600 B 400
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : 150 1 y 5 400 y 5 250 A(150, 250)
200
A
C D
0
200
Coordonnées du sommet B : 150 1 y 5 650 y 5 500 B(150, 500) Coordonnées du sommet C : x 1 200 5 650 x 5 450 C(450, 200)
600
800
1000 Nombre de contrats de courte durée
Solution optimale Sommet du polygone de contraintes
Coordonnées du sommet D : x 1 200 5 400 x 5 200 D(200, 200) Montant accumulé : t : temps écoulé depuis le placement (en années) M(t) : montant accumulé (en $) M(t) 131 250(1,03)t 131 250(1,03)10 176 389,02 Donc, 176 389,02 $.
400
R 5 125x 1 225y
A(150, 250)
R 5 125 3 150 1 225 3 250 5 75 000 $
B(150, 500)
R 5 125 3 150 1 225 3 500 5 131 250 $
C(450, 200)
R 5 125 3 450 1 225 3 200 5 101 250 $
D(200, 200)
R 5 125 3 200 1 225 3 200 5 70 000 $
Les coordonnées du sommet B optimisent la situation avec un revenu maximal annuel de 131 250 $.
Réponse : Le montant accumulé sera de 176 389,02 $.
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Page 405 7.
1
sin x sin2 x
sec2 x 1 (sin x 1)2
sin4 x cos4 x 1 tan2 x
sin x
tan x (sin x 1)2
(sin2 x
tan x
tan x (sin x 1)2
sin2 x cos2 x sec2 x
cos x
cos2 x)(sin2 x sec2 x
tan2 x (sin x 1)2
2sin2 x 1 sec2 x
(sin x 1)2 2sin2 x 1
tan2 x (sin x 1)2
(sin x 1)2 sec2 x
cosec x sin2 x
sin2 x cos2 x (sin x
1)2
cos2 x (sin x
sin2 x 2sin x 2sin2 x 1 cos2 x)
(sin x 1)2 2sin2 x 1
1
1 cot 2 x 1 cos2 x
(sin x 1)2 2sin2 x 1
cosec x sin2 x
cosec x sin2 x
cosec x sin2 x
cosec x sin2 x
1)2
cosec x sin2 x
sin2 x cosec x
Réponse : Pier-Alexis a raison. Cette expression vaut cosec x. 8. Équation de l’ellipse : Puisque la largeur du tunnel est de 32 m, a 16. Puisque la hauteur du tunnel est de 5 m, b 5. x2 162
y2 52
1
Hauteur de la paroi initiale à 10 m du centre : y 1,25 (10 16) 3,06 m Hauteur de la paroi à 10 m du centre après la réfection :
x2 256
y2 25
1
102 256
1
y 3,9 m Hauteur supplémentaire disponible : 3,9 3,06 0,84 m
Règle des fonctions racines carrées : Paroi de droite : y a ( x
y2 25
16)
La courbe passe par (0, 5) : 5 a (0 16) a 1,25 y 1,25 ( x
16)
Réponse : La hauteur supplémentaire disponible à 10 m du centre est d’environ 0,84 m. Page 406 9. Règle de la fonction associée à la concentration en acide de la solution : C 10t 40t
5 100
Règle associée à la variation de la température selon le temps : ⎛ 10 t 5 ⎞ 100⎜ ⎝ 40 t 100 ⎠⎟
T 4,5 (0,9)
⎛ 10 t 5 ⎞ 100⎜ ⎝ 40 t 100 ⎠⎟
24,5 4,5 (0,9)
25
⎛ 10 t 5 ⎞ 100⎜ ⎝ 40 t 100 ⎟⎠
⎛ 10 t
100⎜ 1 0,9 ⎝ 40 t 9
) )
20,85(40t 100) 1000t 500 834,17t 2085,43 1000t 500 t 9,56 min
0,5 4,5 (0,9)
( (
10t 5 1 100 40t 100 9 10t 5 20,85 100 40t 100
log0,9
25
5 ⎞ 100 ⎟⎠
Réponse : La concentration de la solution sera idéale environ 9,56 min après le début de la préparation. 10. Recherche de l’équation de l’hyperbole : 2 x2 y 2 1 2 a b 4,52 102 1 a2 82 4,52 36 a2 64
a2 36 2 x2 y 1 36 64
Ordonnée du point A : 2 x2 y 1 36 64 2 ( 7)2 y 1 36 64 y2 85 36 64
y2 1360 9
y 4 85 3
Composantes de AB : a x2 x1 4,5 7 11,5 b y2 y1 10 4 85 3 2,29 AB (11,5, 2,29)
Norme de AB : AB 11,52 ( 2,29)2 11,73 m Orientation de AB : 360° tan1 ⎛⎜ 2,29 ⎞⎟ ⎝ 11,5 ⎠ 348,72°
Réponse : La norme du vecteur AB est d’environ 11,73 m et son orientation, d’environ 348,72°. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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BANQUE DE PROBLÈMES
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Page 407 11. Règle de la fonction logarithmique : 7 ln (5 h) 7 0 ln (5 h) e0 5 h 15h h4 Donc, la règle est f (x) ln (x 4) 7.
Prenons les points (0, 4,5) et (5, 7). 4,5
a x
k 7
a 5
4
k
4,5 0,25a k 7ak 7 a k (4,5 0,25a k) 2,5 1,25a 2a Donc, 7 2 k et k 5. Donc, la règle est i (x) 2 5. x
k.
4
4
Règle de la fonction rationnelle : L’équation de son asymptote verticale est x 4. i (x)
a 0
4
Règle de la fonction exponentielle : L’équation de son asymptote horizontale est y 5. 7 a(2)5 5 2 32a
Il y a deux paramètres inconnus, alors il faut créer un système d’équations.
a 1 Donc, la règle est g (x) 1 (2)x 5. 16
16
Réponse : Félix-Olivier a raison : les règles des fonctions sont f (x) ln (x 4) 7, g (x) 1 (2)x 5 et i (x) 16
2 x
4
5.
Page 408 12. a) f
•
d
f
100 50 cos 5000 cos Donc, on a W 5000 cos , où est la mesure de l’angle (en rad) entre les vecteurs.
4000
b) W 5000 50 % 2500 W 5000 cos 2500 5000 cos 0,5 cos arc cos 0,5
3
3000
2000
radian
1000
Réponse : La mesure de l’angle entre les vecteurs force et déplacement est de
3
Variation du travail
Travail effectué sur un corps (J) 5000
d cos
radian.
0
10
5
3 10
2 5
2
Page 409 13. Action A : D’après les données du problème, on obtient que la règle de la fonction est V V0(1,03)t, où V0 est la valeur initiale (en $) de l’action. Si la valeur de l’action triple, le rapport
V est donc égal à 3. V0
1,03t 3 t log1,03 3
Action B : Si t 0, on obtient que V 800. La valeur initiale de l’action est donc de 800 $. Puisque la valeur de l’action triple, on doit résoudre l’équation 1,25t 2 800 2400 : 1,25t 2 800 2400 1600 1,25t 2 t 2 1280 t 35,78 mois
log 3 log 1,03
37,17 mois
Mesure de l’angle entre les vecteurs (rad)
Action C : Si t 0, on obtient que V 660,96. La valeur initiale de l’action est donc de 660,96 $. Puisque la valeur de l’action triple, on doit résoudre l’équation 500 log2 0,5(t 5) 1982,89 : 500 log2 0,5(t 5) 1982,89 log2 0,5(t 5) 3,97 23,97 0,5(t 5) 15,625 0,5(t 5) 31,25 t 5 t 26,25 mois
37,17 26,25 10,92 mois 35,78 26,25 9,53 mois Réponse : La valeur initiale de l’action C triple en premier, soit environ 10,92 mois avant celle de l’action A et environ 9,53 mois avant celle de l’action B .
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Pages 410-411 14. Variables x : temps pour la recherche (h) y : temps pour le développement (h) Objectif visé Minimiser la somme investie S en recherche et en développement (en $).
1000
Règle de la fonction à optimiser S 125x 150y
800
Contraintes x0 y0 x y 750 x y 1200 y 0,5x y 2x
600
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : x 2x 750 3x 750 x 250 x y 750 250 y 750 y 500 A(250, 500) Coordonnées du sommet B : x 2x 1200 3x 1200 x 400 x y 1200 400 y 1200 y 800 B(400, 800) Coordonnées du sommet C : x 0,5x 1200 1,5x 1200 x 800 x y 1200 800 y 1200 y 400 C(800, 400) Coordonnées du sommet D : x 0,5x 750 1,5x 750 x 500 x y 750 500 y 750 y 250 D(500, 250)
Recherche et développement
Temps pour le développement (h) 1200
B
A 400
C
D
200
0
200
400
600
800
1000
1200 Temps pour la recherche (h)
Solution optimale Sommet du polygone de contraintes
S 125x 150y
A(250, 500)
S 125 250 150 500 106 250 $
B(400, 800)
S 125 400 150 800 170 000 $
C(800, 400)
S 125 800 150 400 160 000 $
D(500, 250)
S 125 500 150 250 100 000 $
Les coordonnées du sommet D permettent de minimiser la somme investie en recherche et en développement. Règle de la fonction rationnelle qui permet de calculer le prix de vente P (en $) d’un kilogramme de médicament selon la masse m (en kg) de médicament produit : P 100 000
75
125 100 000
75
m
m
50 100 000 m
m 100 000 50
2000 kg
Réponse : L’entreprise devra produire au moins 2000 kg de médicament afin de produire chaque kilogramme au coût de 125 $ et ainsi réaliser un profit.
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Page 412 15. Équation du sentier : a2 b2 c2 1502 b2 1202 b2 8100 b 90
Coordonnées du point P de la plateforme : xp xA a (xB xA) b
90 2 (90 90) 3
90 120 30
2 x2 y2 1 1502 90 2 x2 y 1 22 500 8100
yp yA a ( yB yA) b
72 2 (72 72)
Coordonnées des extrémités de la passerelle : 2 x y 1 22 500 8100 2 x2 72 1 8100 22 500 x2 2916 8100 22 500 2
3
72 96 24 P(30, 24)
x2 8100 x 90 (à rejeter x 90) B(90, 72) 2 x2 ( 72) 1 8100 22 500 x2 2916 22 500 8100
x2 8100 x 90 (à rejeter x 90) A(90, 72) Réponse : Les coordonnées du point P où sera aménagée la plateforme sont (30, 24). Page 413 16. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Tracer les courbes les plus représentatives de chacun des nuages de points. La courbe associée à l’ordinateur A correspond à celle d’une fonction racine carrée. La courbe passe par le point de coordonnées (0, 26), qui peut correspondre au sommet, et par le point de coordonnées (16, 17). x : temps (en s) f (x) : quantité de données (en Go) f (x) a x k
6 22 ac0 30 ac
17 a 16 26 9 4a a 2,25 f (x) 2,25 x 26
c6 11 15
c 0,95
Quantité de données à télécharger après 120 s : f (x) 2,25 120 26 1,35 Go
La courbe associée à l’ordinateur B correspond à celle d’une fonction exponentielle. La courbe passe par le point de coordonnées (0, 30) et par le point de coordonnées (6, 22). x : temps (en s) g (x) : quantité de données (en Go) Base c : g (x) acx
Paramètre a : g (x) a(0,95)x 30 a(0,95)0 a 30 g (x) 30(0,95)x g (x) 30(0,95)120 0,06 Go
Réponse : Après 120 s, l’ordinateur B aura le moins de données à télécharger, soit environ 0,06 Go.
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Page 414 17. Coordonnées du point A : A(2 3, 1 1) A(1, 0) Puisque le vecteur AB partage le vecteur AC dans un rapport de 1 : 2, on a :
Règle de la fonction logarithmique ayant une asymptote en x 0 et passant par les points B(2, 1) et C(8, 3) : f (x) logc bx 1 logc 2b c 2b bc
AB 1 AC
2
3
3AB
f (x) logc bx 3 logc 8b c3 8b 3 bc
8
3 c c 2 8
bc
2
b1 f (x) log2 x
2c3 8c c2 4 c2
AC
AC 3(3, 1) (9, 3) Coordonnées du point C : C(1 9, 0 3) C(8, 3) Réponse : La règle de la fonction associée à la trajectoire de l’astre est f (x) log2 x. Page 415 18. La médiatrice du segment AB est une droite qui est perpendiculaire au segment et qui passe par le point milieu M de ce segment. Les coordonnées du point milieu M sont
( 4 2 6 , 5 2 9 ), soit (1, 7).
Les composantes du vecteur AB sont (6 4, 9 5), soit (10, 4). À l’aide des coordonnées d’un point quelconque P(x, y) situé sur la droite qui représente la rue Garnier, on trouve que les composantes du vecteur MP sont (x 1, y 7). Puisque les vecteurs AB et MP sont orthogonaux, leur produit scalaire est égal à zéro. On a donc : AB • MP 00 10 (x 1) 4 ( y 7) 0 10x 10 4y 28 0 10x 4y 38 0 Réponse : L’équation de la droite qui représente la rue Garnier est 10x 4y 38 0. Page 416 19. Réciproque de chaque fonction : x y 28 x8 y 2 (x 8)2 y 2 (x 8)2 2 y f1(x) (x 8)2 2 Pour la fonction f : x20 x2 Donc, pour la réciproque f1 de la fonction : 2 (x 8)2 2 0x8 8x Règle de h1(g1(f1(x))) : h1(g1(f1(x)))
log3 (( x
x 3y 6 x 6 3y log3 (x 6) y g1(x) log3 (x 6) et x 6 0 x6
x 3 y
5
x5 3 y
3 x −5 h1(x) 3 x −5
y
et x 5 0 x5
3 8)2 2 − 6) − 5
Valeur de h1(g1(f1(10))) : 3 log3 ((10 8)2 3 log3 0 − 5
h1(g1(f1(10)))
2 − 6) − 5
Cette composée est non définie puisque l’argument du logarithme est nul. Réponse : Emma_19 a raison : h1(g1(f1(10))) est non définie.
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Page 417 v
330,13 20 T 16,51 T T 272,46 K Étant donné que plus la température augmente, plus la vitesse du son augmente, la température doit être inférieure à environ 272,46 K, soit inférieure à 272,5 K.
20. 100 (0,35) 500 100 50 100 (0,35)
v 500
50
0,35
v 500
0,5
v log0,35 0,5 500 log 0,5 v log 0,35 500
v 330,13 m/s Réponse : Afin que l’intensité d’un son diminue d’au moins 50 % après avoir parcouru une distance de 500 m, la température doit être inférieure à environ 272,46 K, soit inférieure à 272,5 K. 21. Équation de la courbe associée à la paroi de droite dont les coordonnées du sommet sont (9, 0) et qui passe par E(0, 6) : y a ( x h) k 6 a (0 9) 6a 9 a2 y 2 ( x 9)
Coordonnées du point G :
(
G(x, y) 8 (6, 3)
1 (0 4
8), 2
1 (6 4
2)
3 (6 4
2)
Coordonnées du point F :
(
F(x, y) 8 (2, 5)
3 (0 4
8), 2
)
)
Par déduction : Puisque F(2, 5), on a D(2, 5).
Coordonnées du point H : 2 2 ( x 9) x8 H(8, 2)
Longueur de la barre DG : d(D, G) (6 2)2 (3
5)2
68 m
Réponse : La longueur de la barre DG est de 68 m. Page 418 22. Règle de la fonction sinusoïdale associée à la situation : A 18
16 2
1 Les valeurs initiales se répétant au temps 0:00 et au temps 24:00, et la température maximale étant atteinte trois fois au cours de la journée, la période p de variation de la température est de 8 h. p 2p ⇒ b 2p ⇒ b |b|
8
4
La règle peut s’écrire T cos h 17, où h est 4
le temps (en h) et T, la température (en °C). Moments où la température est de 17,5 °C : 17,5 cos h 17 4
0,5 cos h
Règle de la fonction exponentielle liée à l’augmentation des bactéries : N 2 109(1,05)2x, où N est le nombre de bactéries, et x, le temps (en h). Moment où le nombre de bactéries sera supérieur à 1,8 1010 : 1,8 1010 2 109(1,05)2x 9 1,052x 2x log1,05 9 2x
log 9 log 1,05
x 22,52 h 24 22,52 1,48 h et 1,48 h 1,5 h. Le nombre de bactéries sera d’au moins 1,8 1010 après 22,52 h, ce qui ne respecte pas le temps de 1,5 h demandé.
4
arc cos 0,5 h 4
4p p h 3
4 16 h 3
2p p h 3 4 8 h 3
16 8 8 , soit environ 2,67 h 3 3 3
2,67 h 2,75 h Réponse : Bien que la température a été supérieure à 17,5 °C pendant environ 2,67 h, le nombre de bactéries lactiques a, quant à lui, été supérieur à 1,8 1010 pendant seulement environ 1,48 h. Le lot vérifié par ce technicien ne doit donc pas être commercialisé.
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Page 419 23. Composante verticale du vecteur p : f (0,1) 5 sin 2p(0,1) 2,94 Composantes horizontales possibles du vecteur p : 52 a2 2,942 a 4,05 p (4,05, 2,94) Composante verticale du vecteur q : f (0,3) 5 sin 2p(0,3) 4,76 Composantes horizontales possibles du vecteur q : 52 a2 4,762 a 1,55 q (1,55, 4,76) Composante verticale du vecteur r : f (0,8) 5 sin 2p(0,8) 4,76 Composantes horizontales possibles du vecteur r : 52 a2 (4,76)2 a 1,55 r (1,55, 4,76)
Somme vectorielle p
q
r :
Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p
q
(4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) r (7,14, 2,94)
Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p
q
(4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) r (4,05, 2,94)
Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p
q
(4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) r (4,05, 2,94)
Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p q r (4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) (0,95, 2,94) Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p q r (4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) (0,95, 2,94) Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p
q
(4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) r (4,05, 2,94)
Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p
q
(4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) r (4,05, 2,94)
Si p (4,05, 2,94), q (1,55, 4,76) et r (1,55, 4,76) : p
q
r (4,05 1,55 1,55, 2,94 4,76 4,76) (7,14, 2,94)
Réponse : Des coordonnées cartésiennes possibles où pourrait apparaître cet objet sont bel et bien (7,1, 2,9), (4,1, 2,9), (1, 2,9), (1, 2,9), (4,1, 2,9) et (7,1, 2,9). Pages 420-421 24. Règle associée à la fonction valeur absolue : La courbe passe par le point de coordonnées (0, 0) et les coordonnées du sommet de la courbe sont (7, 7). f (x) a|x h| k 0 a|0 7| 7 a1 f (x) |x 7| 7 Abscisses des points d’intersection entre la courbe de la fonction valeur absolue et celle de la parabole : 3 |x 7| 7 4 |x 7| 4 x 7 4 x 7 x 11 x3 Équation de la parabole sous la forme (x h)2 4c( y k) : Son sommet est (7, 7) et elle passe par le point (3, 3). h 7, k 7 (3 7)2 4c(3 7) 16 16c c1 (x 7)2 4( y 7) Coordonnées du foyer : F(h, k c), soit F(7, 7 1), donc F(7, 6). Établir la largeur du fossé à la hauteur du foyer, soit quand y 6 : (x 7)2 4(6 7) (x 7)2 4 x 7 2 x1 5, x2 9 La largeur est de 9 5 4 m. © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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Aire, A, de la surface à nettoyer (en m2) : A 2 1 4 Ici, a 6 7 1 et b 4. 3
8 m2 3 Volume, V, à nettoyer (en m3) : 1 km 1000 m V 8 1000 3
8000 m3 3 Calcul des coûts : Excavation : Ce 75(0,9)V 30 8000 3
75(0,9) 30 $/m3
Transport : Ct 24 V
30
3
24 8000 3
25 3
25
25,01 $/m3 Coût total 8000 30 8000 25,01 3
3
80 000 66 690,64 146 690,64 $ Réponse : Le coût total de l’opération de nettoyage du fossé sera d’environ 146 690,64 $. Page 422 25. Foyers de l’hyperbole : c2 a2 b2 c2 9 16 c5 Donc, F1(5, 0) et F2(5, 0). Règle de la fonction valeur absolue : Sommet : (0, 15) La courbe passe par (5, 0). y a|x| 15 0 5a 15 3a y 3|x| 15 Points d’intersection entre les courbes : Les équations des branches de la fonction valeur absolue sont y 3x 15 et y 3x 15. x2 9
(3 x
15)2 16
1
9x2
90 x 16
225
1
x2 9
16x 9(9x 90x 225) 144 16x2 81x2 810x 2025 144 65x2 810x 2169 0 2
x
810
2
8102 2
4 ( 65) ( 65)
( 2169)
x1 3,9, x2 8,57 y1 3|3,9| 15 3,31 C( 3,9, 3,31) y2 3|8,57| 15 10,7 B( 8,57, 10,7) Par symétrie, on obtient A( 8,57, 10,7) et D( 3,9, 3,31). Réponse : Les coordonnées des points sont A( 8,57, 10,7), B( 8,57, 10,7), C( 3,9, 3,31) et D( 3,9, 3,31).
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Page 423 26. Composantes du vecteur OA : a 1,118 cos 116,57° 0,5 b 1,118 sin 116,57° 1 OA (0,5, 1) Les coordonnées cartésiennes de A sont donc environ (0,5, 1).
Trajectoire de corps célestes y 10 B 8
Composantes du vecteur OB : a 9,124 cos 80,54° 1,5 b 9,124 sin 80,54° 9 OB (1,5, 9) Les coordonnées cartésiennes de B sont donc environ (1,5, 9).
6
4
2 A 116,57°
Équation de la droite qui passe par les points A et B : y ax b a
9 1,5
4
2
80,54° 0
2
4
x
1 0,5
4 9 4(1,5) b b3 y 4x 3 Équation de la parabole : Vu les coordonnées des deux points de rencontre entre la droite et la parabole, l’équation de cette dernière est de la forme x2 4cy. La parabole passe par les points A et B. 1,52 4c(9) 4c 0,25 x2 0,25y Réponse : Les équations de la droite et de la parabole sont bel et bien respectivement y 4x 3 et x2 0,25y. Page 424 27. Intersection entre le cercle et la droite : x2 (2x)2 4096 5x2 4096 x2 819,2 x 819,2 28,62 (x 28,62 à rejeter) 819,2 y2 4096 y2 3276,8 y 3276,8 57,24 (y 57,24 à rejeter) A( 28,62, 57,24)
Intersection entre la parabole et la droite : x 100 1 (2x)2 360
x 100 1 4x2 360
2 x 100 x
90 2 0 x x 100 90
0 x2 90x 9000 x 90
( 90) 2 2
4( 9000)
Composantes de BA : a x2 x1 b y2 y1 28,62 60 57,24 120 31,38 62,76 BA (31,38, 62,76) BA 31,382 70,16
( 62,76)2
Orientation du vecteur BA : 360° tan1 ⎛⎜ 62,76 ⎞⎟ 296,57°
⎝ 31,38 ⎠
x1 60, x2 150 (à rejeter) y 2x 2 60 120 B(60, 120)
Réponse : La norme du vecteur BA est d’environ 70,16 milliers de kilomètres et son orientation est d’environ 296,57°.
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Page 425 28. En résolvant l’inéquation 2|2t 5| 15 7, on obtient : 2|2t 5| 15 7 2|2t 5| 15 7 2|2t 5| 8 |2t 5| 4 La résolution peut se poursuivre, car 4 0. 2t 5 4 2t 5 4 2t 1 2t 9 t 0,5 h t 4,5 h À rejeter, car 4,5 [0, 4]. On en déduit que t [0, 0,5] h. En résolvant l’inéquation 5 sin (t 4) 9 7, on obtient : 12
5 sin (t 4) 9 7
12
5 sin (t 4) 9 7
12
sin (t 4) 2 12 12
12
5
(t 4) arc sin 2 5
(t 4) 0,4115
12
t 4 1,5719 t 5,5719 Comme p 24, on a : x 5,57 24n, où n z.
(t 4) p 0,4115
(t 4) 10,4281 t 14,4281 Comme p 24, on a : x 14,43 24n, où n z.
Puisque t [4, 16], on a : t 5,57 h ou t 14,43 h On en déduit que t [ 5,57, 14,43] h. En résolvant l’inéquation 7 t 7 3
3
t
7
16 7, on obtient :
16 7
7 t
( t
7 27
2
2
7
La résolution peut se poursuivre, car 27 0. Restriction : t70 t7
( 277 ) t 7 ( 27 ) 7 27 t( ) 7 7 7)2
2
7
t 21,88 h On en déduit que t [ 21,88, 24] h.
(0,5 0) (14,43 5,57) (24 21,88), soit 11,48 h Réponse : Pendant cette journée, la profondeur du groupe de baleines a bel et bien été inférieure ou égale à 7 m pendant 11,5 h. Page 426 29. Le nuage de points représente l’épaisseur de la couche d’oxydation qui varie en fonction du temps. Cette situation peut être modélisée par une fonction racine carrée. Règle de la fonction qui permet de calculer l’épaisseur de la couche d’oxydation en fonction du temps : t : temps écoulé (en années) E a t 0,75 a 1 a 0,75 E 0,75 t
Épaisseur de la couche d’oxydation (mm) 2
Règle de la fonction qui permet de calculer la résistance en fonction du temps : R 100 cos 0,1E 100 cos 0,1( 0,75 t ) 100 cos 0,075 t
766
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BANQUE DE PROBLÈMES
Oxydation d’une poutre d’acier
1,6
1,2
0,8
0,4
0
1
2
3
4
5 Temps écoulé (années)
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Temps écoulé lorsque la résistance de la poutre sera de 75 % : 75 100 cos 0,075 t 0,75 cos 0,075 t arc cos 0,75 0,075 t 0,72 0,075 t (à rejeter) 0,72 0,075 t 9,64 t t 92,86 années Nombre d’années restantes à partir du moment de l’observation : 92,86 – 5 87,86 années 87,86 85 Réponse : L’ingénieur a raison. Selon la tendance, la poutre sera à remplacer dans environ 87,86 ans.
RÉVISION Page 427 1. b)
2. b)
3. a)
4. c)
5. d)
6. b)
8. d)
9. b)
10. b)
11. c)
12. c)
13. a)
14. a)
15. d)
18. c)
19. b)
20. d)
21. d)
22. a)
23. a)
24. b)
25. a)
27. c)
28. b)
29. a)
30. c)
31. b)
32. d)
34. b)
35. c)
36. a)
37. d)
38. a)
39. a)
40. b)
41. b)
45. c)
46. b)
47. c)
48. d)
49. a)
50. d)
51. b)
52. a)
Page 428 7. a)
16. b)
Page 429 17. c) Page 430 26. d) Page 431 33. a)
42. d)
43. b) Page 432 44. c) Page 433 53. 2 3
x
5
3
2 3
x
8
3 x 4 La résolution peut se poursuivre car 4 0.
(
)
Restriction : 32x0 x 3
2
3 x 42 3 2 x 16 x 13
x ]13, 3] 54. x 0, y 0, x y 2500, x y 5000, x 350, y 2000, y 4x 55. f (x) acx k f (x) acx 6 8 ac0 6 a2
f (x) 2cx 6 60 2c3 6 54 2c3 27 c3 c3
f (x) 2(3)x 6 56 a) 2(17, 3) 2 (6, 18) (34, 6) 2 (6, 18) (28, 24)
b) (17, 3) 3(6, 18) (17, 3) (18, 54) (35, 51)
c) ((17, 3) • (6, 18))(17, 3) (17 6 3 18)(17, 3) 48(17, 3) (816, 144)
57. Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x) 2 sin 2x 3.
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Page 434 58. a) 1 2 sin4 x 2 sin2 x cos2 x (1 2 sin2 x)(1 sin2 x) 2 sin2 x cos2 x cos2 x(1 sin2 x) 2 sin2 x cos2 x cos2 x(1 sin2x 2 sin2x) cos2 x(1) cos2 x
b)
1 tan x 1
1
1 tan x
1 tan x (1 tan x )(1 tan x ) (1 1 tan x 1 tan x 1 tan2 x 1 tan2 x
1
2 tan2 x
1
2 (sec2 x
2 sec2 x
1 tan x tan x )(1 tan x )
1) 2
22 cos2x 59. a) La réciproque de cette fonction n’est pas une fonction.
b)
7
c)
x 2(1,5)y 4 x 2 4 2(1,5)y 0,5(x 2 4) 1,5y y log1,5 0,5(x 2 4) f 1(x) log1,5 0,5(x 2 4)
e) La réciproque de cette fonction n’est pas une fonction.
f )
x ln 2( y 1) ex 2( y 1) 0,5ex 2 1 y f 1(x) 0,5ex 2 1
b) a 31 cos 33° 26 b 31 sin 33° 16,88
c) a 456 cos 212° 386,71 b 456 sin 212° 241,64
x x5 y8 y
y
8 7
y
8 7
x
5 7
x
f 1(x) 7 x
d)
x 0,5 ( y
2) 6
2(x 2 6) ( y 2) 4(x 2 6)2 2( y 2) 24(x 2 6)2 2 2 y
25
28
5 5
28
f 1(x) 4(x 2 6)2 2 2 pour x [6, [. 60. a) a 218 cos 109° 70,97 b 218 sin 109° 206,12 t (70,97, 206,12)
u (26, 16,88)
v (386,71, 241,64)
Page 435 61. f (x) 10
a x
2 a
3
2
8 8
a 10 f (x) 10 8 x
2
b) p
62. a) p 2 2 cos ( 2 x) 2 1 2 cos ( 2 x) 1
3 sin 2x 2 2 0 3 sin 2x 2
cos ( 2 x) 1
sin 2x 2
2
3
2 x arc cos 2 x 2 3 3
3
x
768
{
3
2
3
x 5p 3 x 5 3
x 1 5 1 1 5 , , , 3 3 3 3
2x arc sin 2
2
2 x
x
1
2x 0,73 2x 2 0,73 x 0,36 2x 2,41 x 1,21 x {2,78, 1,94, 0,36, 1,21}
}
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18-07-03 11:44 AM
c) p 2
d) p
6 tan 0,5(x 2 2) 3 3 6 tan 0,5(x 2 2) 6 tan 0,5(x 2 2) 1 0,5(x 2 2) arc tan 1
cos 2(x 2 ) 6 4 cos 2(x 2 ) 2 Le cosinus ne peut pas être inférieur à 1. Aucune solution dans R. x{}
0,5(x 2 2) 3
x
{ 2 , 32 }
4 3 x 2 2 2 7 x 2
x2 8x 4 1 6 10
63.
5x2 24x 12 30 5x2 24x 2 18 0 x1 0,66, x2 5,46 (à rejeter, puisque le domaine de l’ellipse est limité à ⎡⎣
y2 8x 4 y2 8(0,66) 4 9,28 y 3,05
6 ⎤⎦ )
6,
( 0,66, 3,05) et ( 0,66, 3,05). Page 436 64. a) k (x) 9x 75 2 (x 8) 8x 2 67
c) b) k (x) (9x 75)(x 8) 9x 75 x 8 9x2 147x 600 2 (9x 72) 9 3 Restriction : x 28 k (x)
65. a) 4|3 2 2x| 8 16 4|3 2 2x| 8 |3 2 2x| 2 3 2 2x 2 3 2 2x 2 2x 1 2x 5 x 0,5 x 2,5 x ]0,5, 2,5[
b)
2x 5
3 x
8
d) k (x) 9(x 8) 75 9x 72 75 9x 147
9
8 7 x
2x 8 35 2 7x 9x 27 x3 Restriction : 52x0 x5 x [3, 5[
c) 3 x
86
x 82 La résolution peut se poursuivre car 2 0. x84 x 4 Restriction : x80 x 8 x ]4, [ 66.
d) 2(4)x 64 4x 32 x log4 32 x 2,5 x ], 2,5]
y 28 24 20 16 12 8 4 0
4
8
12 16 20 24 28
x
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Page 437 67. a) f (x) 2|x 4| 3 d) f (i x(x) ) 2 x
3
b) g (x) 20 2
c) h (x) log4 2(x 2 1)
e) j (x) 0,5 tan 0,5(x 2 ) 1
f ) k (x) 3(1,5)x 2 4
x
1
6
68. a) u • v 17 3 5 8 11
b) u • v 6 21 18 11 72
c) u • v u v cos
d) u • v u v cos
118 95 cos 66° 4559,52
329 318 cos 138° 77 749,3
Page 438 2 2 69. a) x 2 y 1
36
b) (x 2 3)2 4( y 1)
64
2 70. 3 x 3 x
1,5|x 2 35| 2 10 1,5|x 2 35| 8
10 8
8 3 x 64 9
x
x
8 x
32
8 x
55
60
3
x
50
35
x 121 3
10 22
16
3
40
x 89 3
30 20
55 11
4 121 x 2 55 16 1001 x 16
x ⎡⎢ 64 , 89 ⎤⎥ ⎣9 3⎦
d) x2 y 2 25 f(x)
35 16
35 16 3
x
55 x
2 x2 y 1 100 36
c)
10 0
10
20
30
40
50
60 x
⎡ 121, 1001⎤ ⎣⎢ 3 16 ⎥⎦
Page 439 71. A : accumulation de neige (en cm) x : temps (en h) L’accumulation de neige évolue selon une fonction dont la règle est A a x h k. Au début de la tempête, l’accumulation est nulle, donc k 0, h 0 et A a x . Après 4 h, l’accumulation est de 50 cm. 50 a 4 50 a 25 A 25 x A
L’accumulation de neige atteint 20 cm lorsque 20 25 x . 20 20 25 x 4 x 5 16 x 25
x 0,64 h
Réponse : L’accumulation de neige était inférieure à 20 cm pendant 0,64 h. 72. Composantes de f1 : a 90 cos 28° 79,47 b 90 sin 28° 42,25 f1 (79,47, 42,25)
Composantes de f2 : a 110 cos 117° 49,94 b 110 sin 117° 98,01 f2 (49,94, 98,01)
Composantes de f3 : a 95 cos 215° 77,82 b 95 sin 215° 54,49 f3 (77,82, 54,49)
Composantes du vecteur résultant r : r (79,47, 42,25) (49,94, 98,01) (77,82, 54,49) (48,29, 85,77) r
( 48,29)2 98,43
85,772
85,77
180° tan1 ⎛⎜ 85,77 ⎟⎞ ⎝ 48,29 ⎠ 119,38° r
Réponse : r 98,43,
770
r
r
48,29
119,38°
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Page 440 73. Variables x : nombre d’échantillons de mycètes y : nombre d’échantillons de bacilles Objectif visé Maximiser les revenus R (en $).
Analyse hebdomadaire d’échantillons
Nombre d’échantillons de bacilles 10
Règle de la fonction à optimiser R 143x 200y
8
Contraintes x1 y0 5x 3y 30 x 3y 18
6 B
C
4
Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : A(1, 0) Coordonnées du sommet B : 1 3y 18 3y 17 5,6 B(1, 5,6) Coordonnées du sommet C : x 3y 18 ⇒ x 3y 18 5(3y 18) 3y 30 15y 90 3y 30 12y 60 y5 x 3(5) 18 3 C(3, 5) Coordonnées du sommet D : 5x 3(0) 30 5x 30 x6 D(6, 0)
2 D 0
A
2
4
6
8
10
Nombre d’échantillons de mycètes
Solution optimale Sommet du polygone de contraintes A(1, 0) B(1, 5,6)
R 143x 200y R 143 1 200 0 143 $ R 143 1 200 5,6 1276,33 $
C(3, 5)
R 143 3 200 5 1429 $
D(6, 0)
R 143 6 200 0 858 $
Les coordonnées du sommet C permettent de maximiser la fonction à optimiser. Réponse : Afin de maximiser ses revenus et gagner 1429 $ par semaine, le laboratoire doit tester 3 échantillons de mycètes et 5 échantillons de bacilles hebdomadairement. Page 441 74. Évolution de la fréquence cardiaque pour les 20 premières minutes : Fréquence cardiaque au repos : (0, 50) F a x k 50 a 0 k k 50 Fréquence cardiaque 20 minutes après le début de l’entraînement, soit 80 % de 200 BPM : (20, 160) 160 a 20 50
Moment auquel la fréquence cardiaque atteint 50 % de la FCM, soit 100 BPM : 100 11 5 x 50 50 11 5 x 50 5x 11 2500 5x 121 500 x 121
x 4,13 min
110 a 20 a 11 5 F 11 5 x 50
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Pendant les 60 minutes suivantes, la fréquence cardiaque est stable à 160 BPM, donc supérieure à 50 % de la FCM.
Moment où la fréquence cardiaque atteint 50 % de la FCM, soit 100 BPM :
Évolution de la fréquence cardiaque pour les 10 dernières minutes : F a(c)x 2 80 50 160 a(c)80 2 80 50 110 a(c)0 a 110 F 110(c)x 2 80 50
x
80
log 5
5 11
log 5 8
x
80
x
80
5 11
50
80
81,68 min La fréquence cardiaque du coureur est supérieure à 50 % de sa FCM pendant environ 81,68 2 4,13 min 77,55 min.
de la minute précédente, on a : x
80 x
8
( 85 )
80
8
minute correspond aux 5 de sa fréquence cardiaque
110
x
110
50
Puisque la fréquence cardiaque du coureur à chaque
F
5 11
( 85 ) 5 110 ( ) 8 ( 85 )
100
50
Réponse : La fréquence cardiaque du coureur est supérieure à 50 % de sa FCM pendant environ 77,55 min. Page 442 75. x : temps écoulé depuis le 21 juin (en jours) T : durée du jour (en min) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Cette fonction peut être représentée par la règle T a cos bx k. Amplitude :
max
min 2
1022
418 2
302
Durée du jour dans la ville de Dublin
Durée du jour (min) 1200 1000 800
Donc, a 302. Période : 365 jours
600
Donc, b 2 .
400
k 1022
200
365
418 2
720
T 302 cos 2 x 720
0
365
40
80
120
160
200
Moments où la durée du jour est égale à 10 h, soit 600 min : p 365
240
280
320
360
400 Temps écoulé depuis le 21 juin (jours)
600 302 cos 2 x 720 365
120 302 cos 2 x
365
60 cos 2 x 151 365
2 x arc cos 60 365 151
2 x 1,98 365
2 x 1,98 365
x 114,99 x 114,99 Au cours d’une année, c’est-à-dire dans l’intervalle [0, 365], x 114,99 et x 250,01. La durée du jour est supérieure à 10 h pendant les 115 jours suivant le 21 juin et pendant les 365 2 250 115 jours précédant le 21 juin de l’année suivante, pour un total de 230 jours. Réponse : Par année, la durée du jour est supérieure à 10 h pendant 230 jours.
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Page 443 76. Variables x : quantité de sirop de la première marque (en ml) y : quantité de sirop de la seconde marque (en ml)
Quantité de sirop de la seconde marque (ml) 12
Objectif visé Minimiser la quantité Q de sirop (en ml).
10
Règle de la fonction à optimiser Qxy
8 A 6
Contraintes x0 y0 2x 1,5y 10 1,5x 2y 11,5 0,2x 0,8y 2 Coordonnées des sommets du polygone de contraintes Coordonnées du sommet A : 2(0) 1,5y 10 1,5y 10 y 6,6 A(0, 6,6) Coordonnées du sommet B : 2x 1,5y 10 ⇒ x 0,75y 5 1,5(0,75y 5) 2y 11,5 1,125y 7,5 2y 11,5 y 4,57 x 0,75(4,57) 5 1,57 B( 1,57, 4,57) Coordonnées du sommet C : 1,5x 2y 11,5 ⇒ y 0,75x 5,75 0,2x 0,8(0,75x 5,75) 2 0,2x 0,6x 4,6 2 x 6,5 y 0,75(6,5) 5,75 0,875 C(6,5, 0,875)
Ordonnance de sirops
4
B
2 0
2
4
C 6
8
D10
12 Quantité de sirop de la première marque (ml)
Coordonnées du sommet D : 0,2x 0,8(0) 2 x 10 D(10, 0) Solution optimale Sommet du polygone de contraintes A(0, 6,6)
Qxy Q 0 6,6 6,6 ml
B( 1,57, 4,57)
Q 1,57 4,57 6,14 ml
C(6,5, 0,875)
Q 6,5 0,875 7,375 ml
D(10, 0)
Q 10 0 10 ml
Les coordonnées du sommet B permettent de minimiser la fonction à optimiser. Réponse : Afin de minimiser la quantité de sirop prescrite au jeune enfant tout en s’assurant d’un traitement efficace, le pédiatre doit prescrire environ 1,57 ml de sirop de la première marque et environ 4,57 ml de sirop de la seconde marque. La quantité totale de sirop prescrite serait alors d’environ 6,14 ml.
Page 444 77. x : temps écoulé depuis les placements (en années) C0 : capital initial (en $) Cn : capital accumulé (en $) Premier placement : Cn C0(1,032)x Au bout de 10 ans, Cn C0(1,032)10
Deuxième placement : Cn C0(1,016)2x Au bout de 10 ans, Cn C0(1,016)20
Écart entre les valeurs des deux placements au bout de 10 ans : 20 C0 (1,016)20 (1,016)10 C0 (1,032)10 (1,032)
1,0025
Réponse : Au bout de 10 ans, la valeur du deuxième placement est environ 0,25 % plus élevée que celle du premier placement.
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78. x : temps écoulé depuis le début de la fuite (en h) P : volume de produits toxiques déversés dans le lac (en dm3) P 2,5x x : temps écoulé depuis le début de la fuite (en h) L : volume du lac incluant le volume d’eau du lac et le volume de produits toxiques (en dm3) L 60 002,5x 6 000 000 Concentration C (en ppm) de produits toxiques dans le lac : C
2,5 x 1 000 000 60 002,5 x 6 000 000 2 500 000 x 60 002,5 x 6 000 000
Moment où la concentration atteint 10 ppm : 10
2 500 000 x 60 002,5 x 6 000 000
600 025x 60 000 000 2 500 000x 60 000 000 1 899 975x x 31,58 h Réponse : Les autorités ont environ 31,58 h pour colmater cette fuite. Page 445 79. Somme vectorielle : u 1 v 2 3 w (7, 5) 1 (10, 18) 2 3(2, 8) 2
2
(7, 5) (5, 9) 2 (6, 24) (18, 20) Composantes de t : a 31 cos 33° 26 b 31 sin 33° 16,88 t (26, 16,88)
Composantes de p : a 40 cos 116° 17,53 b 40 sin 116° 35,95 p (17,53, 35,95)
Combinaison linéaire : k1t
k2 p
u
1 v 2
3w
k1(26, 16,88) k2(17,53, 35,95) (18, 20) (26k1, 16,88k1) (17,53k2, 35,95k2) (18, 20) 26k1 17,53k2 18 16,88k1 35,95k2 20 k1 0,24, k2 0,67
Réponse : La combinaison linéaire des vecteurs t et p permettant d’obtenir le vecteur résultant de la somme vectorielle u 1 v 2 3 w est d’environ 0,24 t 2
0,67 p.
u
80. D’après la représentation graphique des deux paraboles, il y a deux points, A et B, où les bangs supersoniques peuvent être entendus en même temps. Résolution du système d’équations associé à la situation : (x 2 3)2 ( y 2 2) et (x 2 3)2 4( y 2 1) ( y 2 2) 4( y 2 1) y 2 4y 2 4 5y 6
y 8
y6
4
5
( 5 2)
(x 2 3)2 6
2 A
(x 2 3)2 4 5
x23 x1 15
2 5 5
2 5 5
(x 3)2 4(y 1)
6
, x2 15
0
2
2
B 2
4
6
8
x
(x 3)2 (y 2)
2 5 5
Réponse : Les coordonnées des points où on peut entendre les deux bangs supersoniques en même temps ⎛ ⎝
sont A ⎜ 15
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5
⎛ 15 2 5 6 ⎞ 2 5 6⎞ , ⎟ et B ⎜ , ⎟. ⎝ 5⎠ 5 5⎠
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Page 446 81. t : temps écoulé depuis le début du quart de travail (en h) Niveau sonore d’un atelier N : niveau sonore (en dB) de fabrication Niveau N 10 cos 4(t 0,25) 90 sonore (dB) (0,25, 100) Moments, au cours des 30 premières minutes, pendant lesquels 100 l’intensité du son atteint le seuil de 98 dB : 10 cos 4(t 0,25) 90 98 80 10 cos 4(t 0,25) 8 60 cos 4(t 0,25) 0,8 4(t 0,25) arc cos 0,8 40 4(t 0,25) 0,64 4(t 0,25) 0,64 t 0,3 h t 0,2 h 20 L’intensité du son atteint le seuil de 98 dB après environ 0,2 h jusqu’à environ 0,3 h. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Temps 0,3 2 0,2 0,1 h écoulé (h) Sur une période de 30 minutes, l’intensité du son dépasse 98 dB pendant environ 0,1 h, ce qui représente une exposition d’environ 16 0,1 1,64 h sur l’ensemble d’un quart de travail de 8 h. Réponse : Les normes de santé et sécurité ne sont pas respectées, puisque cette ouvrière est exposée à un niveau sonore dépassant 98 dB pendant environ 1,64 h par jour, ce qui excède le maximum de 1 h par jour d’exposition. 82. Paramètres de l’ellipse : a 16 2 8 b 20 2 10 2 2 Équation de l’ellipse : x y 1
64
c 100
64
100
6
Coordonnées du sommet de la parabole : (0, 6) Coordonnées du foyer de la parabole : (0, 0) et k c 0, donc 6 c 0 et c 6 Équation de la parabole : x2 24( y 6) 2 24 ( y 6) y 1 64 100
75( y 6) 2y 2 200 2y 2 75y 250 0 y1 33,8, y2 3,7 Puisque le codomaine de l’ellipse est limité à l’intervalle [10, 10], seule la valeur y 3,7 est retenue. x2 24(3,7 6), on obtient x 7,43. Les coordonnées des points d’intersection des deux coniques sont (7,43, 3,7) et (7,43, 3,7). La distance entre ces deux points est d’environ 14,87 u. Réponse : La distance séparant les deux points d’intersection entre la parabole et l’ellipse est d’environ 14,87 u.
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