Osnove učinske elektronike, II. dio - Dinamika i upravljanje [1st ed.] 978-953-6647-25-5 [PDF]

Zitiervorschau

UDŽBENICI SVE UČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA U NIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIE NSIS

Naslov izvornika Martin F. Schlecht,

John G. Kassakian, George C. Verghese Massachusetts Institute of Technology Principles of Power Electronics

Copyright © 1991 by Addison-Wesley Publishing Company, Ine.

Copyright ©

za hrvatsko izdanje: GRAPHIS, Zagreb

Nakladnik Graphis d.o.o., Maksimirska 88, Zagreb Tel./faks 01/2322-975, www.graphis.hr Urednik Prof. dr. se. Zvonko Benčić Recenzenti Prof. dr. se. Željko Jakopović Prof. dr. se. Zdenka Kovačić Prof. dr. se. Miro Milanović Preveo s engleskog Prof. dr. se. Zvonko Benčić Lektorica Dr. se. Milica Mihaljević Grafička priprema i crteži Graphis Za nakladnika Elizabeta Šunde Objavljivanje ovog udžbenika odobrio je Senat Sveučilišta u Zagrebu, rješenjem klasa: 032-01/06-01/57; ur. br. 380-02/6-06-2 od 14.11.2006. ISBN 978-953-6647-18-7 (cjelina) ISBN 978-953-279-002-3 (Dio 2)

CIP zapis dostupan u računalnom katalogu Nacionalne i sveučilišne knjižnice u Zagrebu pod brojem 653263.

Tiskana u Hrvatskoj.

John G. Kassakian Martin F. Schlecht George C. Verghese

OSNOVE UCINSKE ELEKTRONIKE V

II.

dio: Dinamika i upravljanje

ZAGREB

Našim obiteljima

SADRŽAJ

Predgovor autora Predgovor prevoditelja

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

IX XIII 1

11.1. Struktura upravljačkog sustava

2

11.2. Izbor modela

7

1 1.2.1. Nužnost dinamičkih modela 11.3. Izgradnja dinamičkih modela usrednjavanjem strujnog kruga

11.3.1. 1 1 .3.2. 1 1 .3.3. 11.3.4. 1 1.3.5.

Trenutačna srednja vrijednost varijable Usrednjavanje strujnog kruga Trenutačna srednja vrijednost sklopne funkcije Usrednjavanje sklopke Poopćenje: trenutačna w-komponenta

11.4. Linearizirani modeli

1 1.4.1 . Linearizacija 1 1.4.2. Linearizacija strujnog kruga 1 1.4.3. Linearizacija usrednjene sklopke 11.5. Upravljanje s povratnom vezom

1 1.5.1. 1 1 .5.2. 1 1 .5.3. 11.5.4.

Klasična LV N-struktura upravljačkog sustava Nazivna stabilnost Nazivne karakteristike Robusnost

Bilješke i literatura

12. MODELI U PROSTORU STANJA 12.1. Svojstva modela u prostoru stanja

12. 1.1. Varijable stanja, ulazne i izlazne varijable 12.2. Vremenski kontinuirani modeli

8 10 11 12 16 19 23 24 25 25 27

30 31 35 38 42 45 49 50 51 51

VIII

SADRŽAJ

12.3. Modeli električnih krugova u prostoru stanja 12.4. Značajke rješenja

12.4.1. Svojstva određenosti varijabla stanja 12.4.2. Numeričko rješenje 12.4.3. Svojstva neprekinutosti varijabli stanja

53 58 58 59 61

12.5. Vremenski diskretni ili uzorkovni modeli

63

12.6. Označivanje 12.7. Uopćeni modeli u prostoru stanja

70

12.8. Modeli upravljačkih sklopova i reguliranih sustava Bilješke i literatura

13. LINEARNI I IN TERVALNO-LINEARNI MODELI 13.1. Linearizacija

66 75 76 79 79

13.2. Linearizacija vremenski kontinuiranih modela

80

13.3. Analiza vremenski kontinuiranih LVN modela

84

13.3.1. Rješenje u području transformata 13.3.2. Rješenje u vremenskom području

84

13.4. Intervalni LVN modeli 13.5. Linearizacija vremenski diskretnih modela

89 95 99

13.6. Analiza vremenski diskretnih LVN modela

103

13.6.1. Rješenje u vremenskom području 13.6.2. Rješenje u području transformata 13.6.3. Prijenosne funkcije i frekvencijski odziv Bilješke i literatura

14. PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA S POVRATNOM VEZOM 14.1. Klasična projektiranje upravljanja

14.1.1. 14. 1.2. 14.1.3. 14.1 .4.

Nyquistov kriterij stabilnosti Pristup projektiranju Uporaba Bodeovih krivulja Projektiranje Bodeovih krivulja pojačanja petlje

14.2. Upravljanje s više povratnih veza

14.2. 1. Strujni način upravljanja 14.3. Povratna veza po stanju

14.3.1. Smještaj polova kod LVN povratne veze po stanju 14.3.2. Nelinearna povratna veza po stanju 14.4. Digitalno upravljanje Bilješke i literatura

Kazalo

104 104 109 113 117 118 119

121 122 125 132 133 143 143 147 149 153 155

PREDGOVOR AUTORA (preveden 2000. godine)

Ovaj tekst smo posebice prilagodili učenju energetske elektronike. Premda je gradivo opsežno, teme smo razradili dovoljno duboko da bismo razotkrili

temeljna

načela, zamisli, postupke, metode i spojeve prijeko potrebne za razumijevanje i pro­ jektiranje sustava energetske elektronike; za toliko različite primjene kao što su 5 megavatni pretvarači u sklopnom načinu rada i 500 megavatna krajnja postrojenja istosmjemog veleprijenosa. Tradicionalno, energetska elektronika se razmatrala i tumačila kao skup zaseb­ nih disciplina, primjerice elektromotorni pogoni, istosmjerni pretvarači ili statički ispravljački sustavi. Gotovo nezaobilazno studenti su se susretali samo s jednim aspektom energetske elektronike, ovisno o koncepciji knjige ili nastavnika. Štoviše, oni koji su stekli razumijevanje energetske elektronike »na poslu« obično imaju ograničen uvid u energetsku elektroniku. Međutim, sve primjene energetske elek­ tronike dijele zajedničke osnove; zato smo pokušali na tu činjenicu jasno ukazati u ovoj knjizi. Knjiga se sastoji od četiriju dijelova. Na početku svakog dijela nalazi se pre­ gledno poglavlje koje je okosnica preostalih poglavlja u njemu. T i su pregledi toli­ ko važni da su smješteni u odvojena poglavlja. To je učinjeno i zbog nekih peda­ goških razloga. Prvi dio. »Pregled: topologije i funkcije pretvarača« okosnica je ove knjige. U tom dijelu objašnjavamo vezu između topologije energetskih spojeva i funkcije koju oni obavljaju. Uvode se zajednička obilježja spojeva koji obavljaju osnovne funkci­ je pretvorbe - ispravljanje, izmjenjivanje, istosmjernu pretvorbu i izmjeničnu pre­ tvorbu. No, zbiljska je namjena I. dijela objašnjenje načina razmišljanja o sklopovi­ ma energetske elektronike i vizualiziranje njihova ponašanja. Sve se to može proširi­ ti na nove okolnosti, pa može poslužiti kao polazište i za sintezu i za analizu. U drugom dijelu »Dinamika i upravljanje« razmatramo važne probleme mode­ liranja i upravljanja sustava energetske elektronike. Objašnjavamo analitičke pristu­ pe modeliranju dinamičkog ponašanja sustava energetske elektronike i pokazujemo kako se ti pristupi primjenjuju u projektiranju i pri vrednovanju ostvarenih uprav­ ljačkih sustava s povratnom vezom. Zbog potencijalne važnosti analitičkih pristupa

X

PREDGOVOR AUTORA

u projektiranju i njihove uloge pri vrednovanju stabilnosti potpuno digitalnih upravljačkih sustava, u II. su dio također uvrštene napredne teme u svezi s diskret­ nim modeliranjem i upravljanjem. U trećem dijelu »Komponente« raspravlja se o ponašanju i karakterizaciji kom­ ponenata od kojih su sastavljeni sklopovi energetske elektronike. Bitni dio III. dijela posvećen je poluvodičkim komponentama; nadilaze se idealni modeli poluvodičkih sklopki koji su zadovoljavali potrebe u I. i II. dijelu. Vjerujemo da je isticanje polu­ vodičkih komponenata ispravno, ne samo zato što energetska elektronika zahvalju­ je glavninu svojeg tehnološkog napretka novim poluvodičkim komponentama ili znatnom poboljšanju karakteristika konvencionalnih komponenata, već i zato što će se široka primjena energetske elektronike i u budućnosti uvelike temeljiti na nepre­ kidnim inovacij ama poluvodičkih komponenata. Usto, u III. je dio uvršten potpuni ali razumljivo kratak pregled magnetike. Zato što se magnetske komponente goto­ vo uvijek susreću u primjeni, cilj je poglavlja o magnetskim komponentama dati praktične osnove za projektiranje magnetskih komponenata koje se upotrebljavaju u sklopovima energetske elektronike. U četvrtom dijelu »Pomoćni dijelovi« sabrani su različiti važni dopunski sklo­ povi koje je potrebno poznavati pri projektiranju svakog sustava. Objašnjavaju se pobudni stupnjevi upravljačke elektrode i baze, prigušni članovi, komutacijski kru­ govi te toplinsko modeliranje i odvođenje topline s pomoću rashladnog tijela. Knjiga se može koristiti u nastavi energetske elektronike na nekoliko načina. Temelj naprednog predmeta dodiplomskog studija ili osnovnog predmeta posli­ jediplomskog studija može biti u cijelosti I. dio i pregledna poglavlja u II., III. i IV. dijelu. Može se uvrstiti i 22. poglavlje (Pobudni stupnjevi upravljačke elektrode učinskih poluvodičkih komponenata). Napredniji predmet poslijediplomskog studi­ ja može sadržavati pregled I. i II. dijela (iscrpno). Ostali predmeti mogu se sastavi­ ti u skladu s potrebama, izborom poglavlja iz II., III. i IV. dijela. Svako poglavlje u I., III. i IV. dijelu relativno je samostalno. Izbor iz II. dijela može se učiniti na naj­ odsječaka 14. poglavlja (Projektiranje povratne veze) mogu se zajedno uvrstiti u

manje dva načina. 11. poglavlje (Dinamika i upravljanje: pregled) i prvih nekoliko predmet kojem je naglasak na upravljanju sustavima energetske elektronike. 12. po­

glavlje (Modeli u prostoru stanja), 13. poglavlje (Linearni i intervalno linearni mo­ deli) i zadnji odsječci 14. poglavlja (naprednije teme u svezi s modeliranjem, vred­ novanjem stabilnosti i upravljanjem) mogu se uvrstiti u napredniji predmet posli­ jediplomskog studija. U knjizi se uvelike upotrebljavaju primjeri za ilustriranje zamisli ili postupaka obrazloženih u tekstu i za usvajanje načina razmišljanja, metoda analize i aproksi­ mativnih postupaka pri rješavanju zadataka. Primjeri su, usto, osnova mnogih zada­ taka na kraju poglavlja, a kreativni nastavnik može ih upotrijebiti za stvaranje do­ datnih vježba, novih zadataka ili novih primjera. Zadaci na kraju svakog poglavlja koncipirani su tako da potiču razmišljanje o gradivu sadržanom u pripadajućem poglavlju. Dakle, zadaci nisu namijenjeni uvjež­ bavanju uporabe pojedinih jednadžba. Ć esto se uvode novi spojevi, zamisli ili meto­ de rješavanja zadataka; pri tome su prethodne rasprave u tekstu polazište za razma­ tranje novoga gradiva. Nadalje, dajemo varijante spojeva koje se primjenjuju u praksi.

PREDGOVOR AUTOR A

XI

Bilješke i literatura na kraju svakog poglavlja ukazuju na odabrane članke iz znanstvene literature te na knjige koje podržavaju, dopunjuju ili proširuju gradivo Glavnina ovog teksta upotrebljavala se niz godina na MIT-u u obliku bilješki za

toga poglavlja. Ta literatura, međutim, nije iscrpna.

dodiplomske predmete iz energetske elektronike i upravljanja električnim strojevi­ ma. Zato je tekst znatno poboljšan prijedlozima, kritikama i recenzijama mnogih naših studenata i kolega. Toliko je mnogo onih koji su nam pomogli da ih sve ne mo­ žemo poimenice spomenuti, no svakom od njih smo veoma zahvalni. Osobito nas je zadužio prof. Malik Elbuluk s University of Akron i prof. David Torrey s Worcester Polytechnic Institute. Svaki od njih pomno je ocijenio ovaj rad i iz perspektive stu­ naldu J. Bosacku (Northern Illinois University), W. Gerardu Hurleyju (University of denta i iz perspektive nastavnika. Hvala svim ostalim recenzentima rukopisa: Do­

Limerick), J. Benu Klaasensu (Delft University of Technology), Philipu

J. Kreinu

(University of Illinois at Urbana), Davidu Luchacou (Lutron Electronics Com­ national Corporation), F. Luisu Pagoli (Universidad Pontificia Comilla) i Rudyju pany), Danielu M. Mitchellu (Colins Defense Comrnunications, Rockwell Inter­

Severnsu (Springtime Enterprises), koji su pomogli idejama i vrijednim savjetima. Larry Silva s MIT-a ustupio nam je fotografiju na temelju koje je izrađena slika na koricama, te mu zahvaljujemo što nam je to omogućio. Zahvalni smo članovima Upravnog odbora tvrtke MIT /Industry Power Electronics Collegium na potpori i poticanju. Na kraju, zahvaljujemo timu u Addison-Wesleyju zaduženom za izradu ove knjige. Pisanje ove knjige bio bi mnogo teži zadatak bez njihove strpljivosti, vo­ đenja i fleksibilnosti.

Cambridge, MA

John G. Kassakian Martin F. Schlecht George C. J1!rghese

PREDGOVOR PREVODITELJA

Svakim se prijevodom, pa i onim na hrvatski jezik, uvijek nešto gubi. Nastajao sam shvatiti autorovu misao i tu misao što vjernije napisati na hrvatskom jeziku. Tamo gdje je bilo prijeko potrebno neko dodatno objašnjenje, stavio sam ga u bi­ lješku ispod teksta i istaknuo da je to primjedba prevoditelja. Vodio sam računa da tih bilježaka na dnu stranice ne bude previše da ne odvuku pozornost čitatelja. Nisam ispravljao, tumačio ili dopunjavao izvorni tekst. To ne bi bilo korektno prema autorima. No, katkada, u svrhu postizanja jasnoće, jednu rečenicu rastavljao sam u dvije rečenice ili sam dvije rečenice spajao u jednu. Prevodio sam misli, a ako nisam bio siguran u autorovu misao, provjeravao sam u literaturi. Svaku formulu provjeravao sam izvodom. Poseban problem bilo je nazivlje. S jedne strane, u engleskom izvorniku za je­ dan pojam upotrebljavane su različite riječi ili sintagme. Bilo je i posebnih naziva, osebujnih za Massachusetts Institute of Technology (MIT ), kojima je tek trebalo ot­ kriti značenje. S druge strane, i u našoj inženjerskoj zajednici za jedan pojam pos­ toji više sinonimnih riječi ili sintagmi, pa se trebalo odlučiti za jednu inačicu. Prevodeći, uvjerio sam se da je naše jezično blago dovoljno bogato da se svaka tehnička misao jasno napiše hrvatskim riječima; treba samo dobro poznavati svoj materinski jezik. Osim toga, engleski je jezik netočniji od hrvatskog jezika: engleski je jezik analitički, a hrvatski sintetički (kao npr. latinski i francuski). U analitičkim jezicima riječi su nepromjenjive, a gramatički odnosi dobivaju se dodavanjem dru­ gih riječi. U sintetičkim jezicima riječi su promjenjive, a gramatički odnosi dobivaju se mijenjanjem strukture riječi (npr. riječ volim istodobno znači prvo lice jednine, prezent, aktiv i indikativ). Udžbenik potiče na studiranje. Gotovo ga je nemoguće čitati bez olovke u ruci. Vrvi idejama te potiče čitatelja na postavljanje pitanja i traženje vlastitih odgovora. Namijenjen je u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike i računarstva u Zagrebu (FER-a), za kolegije koji proširuju gradivo osnovnog kolegija iz učinske elektronike. Nadam se da će poslužiti i studentima Tehničkog fakulteta u Rijeci te studentima ostalih fakulteta u Hrvatskoj.

XIV

PREDGOVOR PREVODITELJA

Zahvaljujem recenzentima knjige prof. dr. se. Željku Jakopoviću, prof. dr. se. Zdenku Kovačiću s Fakulteta elektrotehnike i računarstva u Zagrebu te prof. dr. se. Miri Milanoviću s Fakulteta za elektrotehniko, računalstvo in informatika u Mari­ boru. Zahvaljujem lektorici dr. se. Milici Mihaljević na njezinim jezičnim savjetima. Posebno zahvaljujem prof. dr. se. Željku Jakopoviću i prof. dr. se. Viktoru Šundi na raspravama u vezi s nazivljem. Zagreb, rujna 2007.

Zvonko Benčić

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

U I. dijelu proučavali smo topologije i funkcije glavnih porodica sklopova učin­ ske elektronike. Naš je cilj bio pokazati kako se kod svake porodice ostvaruju želje­ ne funkcije učinske pretvorbe odgovarajućom topologijom komponenata i odgova­ rajućim sklapanjem sklopki. U prethodnim poglavljima razmatrali smo rad u naziv­ nim radnim uvjetima, tj. rad u idealnim radnim uvjetima za koje je sklop projekti­ ran i pri kojima obavlja temeljnu pretvaračku funkciju. Budući da je kod većine sklo­ pova učinske elektronike nazivni rad* rad u periodičkom ustaljenom stanju, pozor­ nost smo posvetili slučajevima kod kojih su rad i ponašanje sklopa jednaki od peri­ ode do periode. Sada se treba suočiti s posljedicama neizbježnih poremećaja ili kvarova uslijed kojih rad sklopa odstupa od nazivnog. Pod poremećajima podrazumijevaju se pro­ mjene i kolebanja u napajanju, teretu i parametrima sklopa, odstupanja ili pertur­ bacije sklopnih trenutaka te događaji kao što su pokretanje i zaustavljanje. Vre­ menski tijek odstupanja od nazivnog ponašanja uslijed poremećaja naziva se dina­ mičko ponašanje sklopa. Ukoliko takva odstupanja imaju beznačajne posljedice, što je rijetkost, korisnik može sa zadovoljstvom dopustiti rad sklopa bez korekcijskog djelovanja. Najčešće se otkloni od nazivnih radnih uvjeta moraju spriječiti odgovarajuće projektiranim upravljanjem. U ovom poglavlju navest ćemo nekoliko primjera sklo­ pova koji se bez takva upravljanja ne vraćaju u početno stanje ili im je povratak u početno stanje manjkav ili spor. Upravljački sklop ili kontroler ili kompenzator mora prvo omogućiti korisniku jednostavan i udoban izbor nazivnih radnih uvjeta i drugo, automatski održavati nazivne radne uvjete prethođenjem ili kašnjenjem uklopnih i isklopnih trenutaka sklopki. Zato ćemo u ovom poglavlju započeti izgra* Nazivni rad opisuju nazivne karakteristike. (Prim. prev.)

2

11.1. STRUKTURA UPRAVL.JAĆKOG SUSTAVA

đivati temelje analize dinamičkog ponašanja učinskih sklopova te temelje za projek­ tiranje i primjenu upravljačkih sklopova za reguliranje ovoga dinamičkog ponaša­ nja. Regulirati dinamičko ponašanje znači održavati rad sklopa u blizini nazivnog, bez obzira na poremećaje ili kvarove. U ovom II. dijelu pozornost je posvećena analizi i projektiranju upravljanja uporabom odgovarajućih dinamičkih modela. Taj pristup omogućuje predviđanje ponašanja sklopa u različitim radnim uvjetima, zamišljanje mogućih struktura i pa­ rametara upravljačkog sklopa, planiranje simulacijskih istraživanja, razumijevanje ispitnih rezultata, prepoznavanje načina rada koji zahtijevaju daljnje istraživanje itd. Takav je pristup posebice važan u učinskoj elektronici jer je razvoj sklopova muko­ trpan i jer dosta košta, čak i na razini rasutog modela, k tome još treba pribrojiti tro­ škove (a da se ne spominju opasnosti i katkad dim!) u slučaju stradavanja kompo­ nenti. Analitička istraživanja moraju se, naravno, kombinirati s inženjerskim is­ kustvom i intuicijom, ispitivanjima te ostalim sastavnim dijelovima projektnog pro­ cesa da bi razvoj završio uspjehom.

11.1.

STRUKTURA UPRAVLJAČKOG SUSTAVA

Svako upravljanje zasniva se, eksplicitno ili implicitno, na modelu kojim se predviđa djelovanje poremećaja i upravljanja na ponašanje sustava. Predviđanje je uvijek u stanovitoj mjeri netočno zbog nesavršenosti modela. Upravljanje učinskim sklopovima obuhvaća definiranje željenih nazivnih radnih uvjeta te potom ostvare­ nje upravljačkog sklopa kojim se učinski sklop održava u blizini tih nazivnih radnih uvjeta unatoč poremećajima i nesavršenosti modela. Kod jednostavnog upravljanja bez povratne veze upravljački sklop tijekom rada ne dobiva nikakve informacije o sustavu, no može se projektirati na osnovi prethod­ nih informacija ili modela. Kod upravljanja bez povratne veze, ali s unaprijednom vezom, upravljački sklop dobiva iz mjernih pretvornika podatke o nekim poreme­ ćajima koji djeluju na sustav. Uporabom unaprijedne veze upravljački sklop može pokušati poništiti anticipirana* djelovanje mjerenih poremećaja. Ipak, unaprijedna veza najčešće nije dovoljna za postizanje zadovoljavajućih karakteristika sustava sa sklopovima učinske elektronike. Bolja strategija upravljanja sastoji se u tome da se, osim podataka putem una­ prijedne veze, upravljačkom sklopu dovedu još i oni mjereni podaci koji otkrivaju trenutačno ponašanje sustava. Upravljački sklop tada može procijeniti veličinu ot­ klona od željenog ponašanja te u skladu s tim djelovati na sustav tako da se brzo i pouzdano vrati u nazivni rad. Ta strategija bit je upravljanja s povratnom vezom. Ako upravljački sklop mijenja svoju strukturu na osnovi mjerenih podataka, onda je adaptivni. Model upravljačkog sklopa na kojem se zasniva izbor takvog adaptivnog upravljačkog djelovanja isto tako se naziva adaptivni. Blokovska shema na slici 11. 1 prikazuje tipično rješenje. Svaka veza između blokova predočuje jedno ili više djelovanja, mjerenja ili informacijskih tokova. Vrh strelice pokazuje prema bloku na koji se utječe, a kraj strelice od kojeg se utječe. * anticipirati: predvidjeti/predviđati buduće događaje, očekivati.

3

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

poremećaji

željeni nazivni radni uvjeti

upravljački drugi r-- _ _ ...- _ _ .... ulazi r--'-- - _ . mljivi zani -""""' �. i '" upr avljačk.i učinsk.... izlazi sklop sklop

G

tlja povratne

�

mjereni izlazi mjerni šum

povratna veza

Slika 11.1. Tipična struktura upravljačkog sustava

Petlja na slici 11.1 često se naziva petlja povratne veze. Mjerenje izlaznih veličina daje upravljačkom sklopu informaciju o ponašanju sustava, tj. o varijablama koje se upravljaju. Na slici 11.1 prikazane su veličine koje izravno djeluju na sustav, tj. upravljački ulazi i poremećaji. Slika još prikazuje unaprijednu vezu mjerljivih poremećaja. Ne­ mjerljivi ili nemjereni poremećaji, kao i pogreške modela, uzrok su nepredviđenih djelovanja upravljačkog sklopa. Izlazne mjerene veličine koje se dovode uprav­ ljačkom sklopu iskvarene su tzv. mjernim ili senzorskim šumom. Taj šum, zajedno s nemjerenim poremećajima i pogreškama modela, uzrok je netočnosti vrednovanja mjerenih veličina.

Razmotrimo uzlazno-silazni (tj. neizravni) istosmjerni pretvarač čiji je učinski sklop izgrađen prema nadomjesnoj shemi na slici 11.2. Pretvarač radi s frekvencijom 50kHz, tj:sklopna perioda Tiznosi 20 µs. Neka su:R=2 Q, C=220 µF iL=0,25mH. (Takve smo spojeve proučavali u 6. poglavlju.) Želimo održati srednju vrijednost izlaznog napona (v0) unutar 5 % nazivne ili referentne vrijednosti Vref= -9 V, unatoč skokovitog pada ulaznog napona vin od nazivne vrijednosti Vln=12 V do neke manje vrijednosti, tako niske kao što je Jlin = 8 V. Za ostvarenje namisli ovog primjera pret­ postavimo da u krugu nema drugih neidealnosti ili neodređenosti, posebice da su id

-

vin

c

+

vc

R

+

vo

Slika 1 1.2. Shema učinskog sklopa uzlazno-silaznog pretvarača

4

11.1. STRUKTURA UPRAVL.JAČKOG SUSTAVA

tranzistor i dioda idealne sklopke. Uvidjet ćete da odziv izlaznog napona na pad ulaznog napona ne zadovoljava, čak i ako se ponašanje sklopa može opisati ovim idealiziranim modelom. Podsjetite se iz 6. poglavlja sljedeće: Ako tranzistor periodički uklapa i radi s faktorom vođenja D te ako pretvarač radi u neisprekidanom načinu rada pri vin= �n' tada je (v0)=-Vi0D/D', gdje je D' =1-D. Taj izraz dobro aproksimira sred­ nju vrijednost izlaznog napona v0• (Uočite promjenu polariteta napona između ula­ za i izlaza.) Zato, da bi se dobio željeni izlazni napon u nazivnim uvjetima, faktor vođenja treba namjestiti na nazivnu vrijednost, tj. na D = Vref /(Vref- v;0)= 0,43. Slika 11.3.a) prikazuje odziv idealiziranog modela na skokoviti pad ulaznog napona od 12 V na 8 V. Valni oblik prije trenutka

ta odgovara radu u periodičkom

ustaljenom stanju pri ulaznom naponu od 12 V i pri faktoru vođenja od 0,43. Očeki­

vano, do trenutka ta idealizirani model na izlazu daje ispravnu srednju vrijednost na­ pona. U trenutku

ta ulazni napon padne na 8 V. Model prolazi kroz znatne prijelaz­

ne titraje i na kraju se smiri na pogrešnoj vrijednosti izlaznog napona, naime na

-6V. Ponašanje u ustaljenom stanju može se potpuno objasniti opisanim statičkim modelom, dok se titrajna ponašanje u prijelaznom stanju može objasniti tek nakon modeliranja i upoznavanja s rezultatima modeliranja u odsječku 11.3.

-8

-5

-6 > -;;,."'

-

-8

',

-9

-

10

to

2

--o -8,6 ;;,.

3

a) Slika 11.3.

>

-8,8

-9

�T�

4

vrijeme/ms

5

,

- 8,4

:::-�

-7

82

-9,2

6 vrijeme/ms b)

a) Odziv idealiziranog modela uzlazno-silaznog pretvarača na skokovi­ ti pad ulaznog napona vin od 12V na 8V. b) Odziv na isti skok, samo uz postojanje unaprijedne veze

Prirodna je ideja da se, u cilju postizanja boljeg odziva na promjene ulaznog napona

vin' uvede unaprijedna veza. Ako se D mijenja u skladu s izmjerenim prom­

jenama ulaznog napona vin (umjesto da je konstantan i određen nazivnom vrijed­

nošću v;0) tako da je-vi0DJD' jednak Vref' tada v0 poprima točnu srednju vrijednost

(v) bez obzira na promjene ulaznog napona. Taj pristup putem modulacije širine

impulsa zahtijeva da je D= Vref/(Vref-vi0). Rezultirajući odziv na skokovitu pro­

mjenu ulaznog napona prikazuje slika 11.3.b). Izlazni napon idealiziranog modela s unaprijednom vezom u tom se slučaju ustali na točnoj srednjoj vrijednosti izlaznog napona, unatoč skokovitoj promjeni ulaznog napona. Nadvišenje odziva znatno je

11. DINAMIKA I UPRAVUANJE: PREGLED

5

manje, ali i dalje izvan dopuštenih

5 %. Titraji se, međutim, smiruju jednako dugo

kao i u slučaju bez unaprijedne veze. Prijelaznu pojavu iz primjera 11.1 objasnit ćemo nakon što izgradimo dinamički model uzlazno-silaznog pretvarača u odsječku 11.3 (pogledajte posebno primjer 11.7). Unaprijedna veza u primjeru 11.1 kompenzira učinke poremećaja ulaznog na­ pona u ustaljenom stanju, ali uopće ne preinačuje tijek prijelazne pojave. Ako kom­ ponente kruga nisu idealne, samo s unaprijednom vezom ne može se točno uspo­ staviti čak ni ustaljeno stanje. Za dobivanje znatno boljeg ponašanja nije dovoljna samo unaprijedna veza. Na pretvarač u primjeru 11.1 vraćat ćemo se još nekoliko puta da bismo ilustrirali različite pristupe modeliranju dinamičkog ponašanja i pro­ jektiranju upravljanja.

Shema kruga na slici 11.4.a) prikazuje nezavisno uzbuđeni istosmjerni motor, napajan

iz fazno upravljivoga mosnog usmjerivača (takve upravljive pretvarače pro­ 5. poglavlju). Napon je napajanja usmjerivača vac i sinusnog je valnog

učavali smo u

d' a struja armature s id. Valne

oblika. Napon na četkicama motora označen je s v oblike, očekivane prema analizi nazivnog rada u

5. poglavlju, prikazuje slika 11.4.b),

uz pretpostavku da je struja armature neisprekidana tijekom cijele periode i da su komutacijske reaktancije zanemarive. Slika 11.4.b) prikazuje utjecaj kuta upravlja­ nja a na valni oblik izlaznog napona-s ak označen je kut upravljanja u k-toj perio­ di.

Nazivni rad elektromotornog pogona odgovara periodičkom ustaljenom sta­ nju. U periodičkom ustaljenom stanju kut je upravljanja konstantan, tj. ak=a, a struja armature periodički varira s dvostrukom frekvencijom napona vac· Cilj je ku­

tem upravljanja, uz uporabu povratne veze, regulirati srednju vrijednost struje ar­ mature

(i) oko bilo koje (u nekom području) odabrane referentne vrijednosti. Re­

ferentnu vrijednost struje armature

/ref daje nadređeni regulator brzine ili momen­

ta. Srednja vrijednost struje armature

(id) određuje srednju vrijednost momenta na

osovini motora. Ako je mehanička vremenska konstanta motora znatno veća od pe­ riode napona izvora, brzina vrtnje motora u ustaljenom stanju ima vrlo malu valo­ vitost i u biti ovisi samo o

(id).

Ako se želi sustav u potpunosti prikazati blokovskom shemom upravljanja, u

svrhu usporedbe s općom strukturom upravljačkog sustava na slici 11.1 treba prei­ načiti shemu na slici 11.4.a) u shemu na slici 11.4.c). Postojanje komutacijske re­ aktancije uvelo bi u tu blokovsku shemu povratnu vezu po struji

id prema fazno d

upravljivom usmjerivaču jer u tom slučaju napon napajanja motora v ovisi o struji . *

ld.

*Ta povratna veza nije prikazana u blokovskoj shemi upravljanja na slici 11.4.c). (Prim. prev.)

6

11.1. STRUKTURA UPRAVUAĆKOG SUSTAVA

vd fazno upravljivi usmjerivač

a

upravljački sklop

a)

-

upravljački sklop

b)

a

elektromehanička .......- - -1 pretvorba I I E! I "' I vd armaturni id _JI fazno upravljivi usmjerivač !-----=+ krug

id

c) Slika 11.4. a) Shema elektromotornog pogona s fazno upravljivim usmjerivačem. b) Valni oblici napona vd i struje id kod kuta upravljanja ak u k-toj peri­ odi. c) Blokovska shema upravljanja elektromotornim pogonom Na slici 11.4.c) model istosmjemog motora podijeljen je na dva podsustava, oni predočuju armaturni krug i krug elektromehaničke pretvorbe. Time je model susta­ va prikazan na finijoj razini, s više detalja nego na slici 11.4.a). Veze prema elektro­ mehaničkom podsustavu i od njega prikazane su crtkanim linijama jer se protuelek­ tromotorna sila

E,

koja djeluje u armaturnom krugu, najčešće smatra sporo pro­

mjenjivim vanjskim poremećajem. Opravdanost tretiranja protuelektromotorne si­ le E sporo promjenjivim poremećajem zasniva se na tome što je za promjenu brzine vrtnje motora, a time i E, uslijed promjene struje motora, najčešće potrebno mnogo perioda.

U tom primjeru treba projektirati upravljački sklop za održavanje srednje stru­ je armature na određenoj vrijednosti unatoč sporim promjenama poremećaja

E.

Uočite da smo pitanja dinamičkog modeliranja pretvaračkih sklopova već povezali s pitanjima projektiranja upravljanja, čak i prije nego što smo počeli razvijati kvan­ titativne

ili analitičke modele pretvaračkih sklopova.

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

7

Jedno prilično zadovoljavajuće i naširoko upotrebljavana rješenje upravljanja takvim sustavima zasniva se na proporcionalno-integracijskom (PI) regulatoru. Nje­ gova je srž proporcionalni dio. Djelovanje proporcionalnog dijela u skladu je s jed­ nostavnim razmišljanjem: treba promijeniti kut upravljanja od nazivne vrijednosti za vrijednost koja je proporcionalna pogrešci /ref-(id). Kada je pogreška pozitivna, proporcionalni dio regulatora smanjuje kut upravljanja jer se na taj način srednja vrijednost napona, a time i srednja vrijednost struje povećava - tako se smanjuje po­ greška. Kada je pogreška negativna, proporcionalni dio regulatora djeluje suprotno. On povećava kut upravljanja razmjerno vrijednosti pogreške. Integralni dio regula­ tora djeluje na integral pogreške. On radi sporije i smanjuje pogrešku u ustaljenom stanju nastalu zbog kolebanja parametara i konstantnih poremećaja. Umjesto PI-regulatora može se uporabiti proporcionalno-integracijsko-deri­ vacijski (PID) regulator. PID-regulator nastaje dodavanjem PI-regulatoru dijela ko­ ji ovisi o derivaciji pogreške ili o derivaciji izlazne veličine (u tom se slučaju naziva derivacijska povratna veza). Tako se ubrzava odziv PI-regulatora. Na PI, PID i srod­ ne upravljačke strukture, kao što su kompenzatori s kašnjenjem, prethođenjem te kašnjenjem i prethođenjem, nailazi se svugdje u upravljačkim krugovima. Primjer 11.2 ilustrira strukturu upravljačkog sustava jedne primjene učinske elektronike. Vidi se kakva je povezanost blokova i signala tipičnog sustava na slici 11.1 s blokovima i signalima na slici 11.4 istosmjernoga elektromotornog pogona. Sustavu iz ovog primjera vratit ćemo se kasnije, još u ovom poglavlju. Velika pozornost u II. dijelu knjige usmjerena je na petlju povratne veze, prika­ zanu na slici 11.1. Ta je petlja ključna u rješavanju upravljanja s povratnom vezom. Povratna veza može ubrzati odziv sustava na zahtijevane promjene, može ubrzati povratak u nazivni rad nakon neočekivanih poremećaja i smanjiti osjetljivost radnih karakteristika na promjene u sustavu. Međutim, ako upravljački sklop neodgovara­ juće reagira na signale povratne veze, sustav koji je s otvorenom petljom stabilan i neosjetljiv na poremećaje, zatvaranjem petlje može postati osjetljiv na poremećaje, spor pri povratku u nazivni rad ili čak potpuno nestabilan; djelovanje upravljačkog sklopa može pogoršati odstupanje od nazivnog rada umjesto da ubrza povratak u njega. Drugim riječima, da bi se ostvarile prednosti upravljanja uporabom povratne veze, treba pažljivo projektirati i izvesti povratnu vezu.

11.2.

IZBOR MODELA

Uporaba odgovarajućeg modela ili niza modela središnja je odluka u procesu projektiranja upravljanja. U različitim fazama ili na različitim razinama projekti­ ranja mogu biti potrebni različiti modeli. Čak i u određenoj fazi projektiranja vjero­ jatno ima nekoliko mogućih modela koji se razlikuju po jasnoći, složenosti, točnosti, području definicije, prilagodljivosti, raspravljivosti itd. Očito, u izbor modela uple­ tena je nekoliko tehničkih i komercijalnih kompromisa. Primjerice, model koji dobro simulira ponašanje učinskog sklopa bez povratne veze ne mora biti dobro polazište za projektiranje upravljačkog sklopa sustava s povratnom vezom. Složenijim modelom učinskog sklopa može se objasniti opaženo

8

11.2. IZBOR MODELA

ponašanje sustava bez povratne veze, ali složeniji model može biti analitički nepri­ kladniji, nekorisniji za stvaranje idejnih rješenja upravljačkog sklopa i možda neplo­ donosniji za dobivanje upravljačkih sklopova koji poništavaju promjene u sustavu. S druge strane, jednostavnijim modelom mogu se izgubiti ključne značajke ponašanja sustava, što može dovesti do nezadovoljavajućih upravljačkih sklopova. U praksi treba raditi s više modela, ispitujući predviđanja dobivena na jednom modelu s onima dobivenim na drugom i uspoređujući ih s eksperimentalnim opaža­ njima. Spoznaje dobivene takvim postupkom uporabljuju se za iterativna usavršava­ nje modela i konačno za izradu projekta sustava upravljanja. Zato se trebate upoz­ nati s različitim pristupima modeliranju sklopova učinske elektronike i pripadaju­ ćih upravljačkih sklopova! Raspravu o pristupima modeliranju započet ćemo u odsječcima 11.3 i 11.4 iz­ gradnjom usrednjenih modela. Usrednjeni modeli dobro opisuju usrednjeno pona­ šanje nekih porodica učinskih sklopova. U 12. i 13. poglavlju bavit ćemo se modeli­ ma u prostoru stanja. Modeli u prostoru stanja pružaju daleko više od usrednjenih modela. Veću pozornost posvetit ćemo posebnim ali važnim linearnim vremenski nepromjenjivim (LVN) modelima. Ovdje treba naglasiti da za razvoj upravljačkih sklopova učinskih sklopova tre­ ba napustiti statičke modele učinskih sklopova, tj. modele koji opisuju ustaljeno sta­ nje. To treba naglasiti zato jer smo u I. dijelu uložili izvanredno mnogo truda u raz­ matranje nazivnog rada u ustaljenom stanju.

11.2.1. Nužnost dinamičkih modela Jednostavno prosuđivanje u primjeru 11.2 može dovesti barem do proporcio­ nalnog dijela PI-regulatora. Uz izvjesno ugađanje, proporcionalni regulator sam može osigurati stabilan rad u velikom području radnih točaka (premda, vjerojatno, s neprihvatljivo velikom pogreškom u ustaljenom stanju). U tom pogledu, elektro­ motorni pogon s usmjerivačem benigni je sustav jer se prihvatljivi regulator može izvesti iz modela koji nije mnogo sofisticiraniji od onoga u primjeru 11.2. Međutim, može se upasti u nevolje ako se radi po zdravom razumu ili ako se upotrebljavaju pretjerano jednostavni modeli pri projektiranju upravljačkih sklo­ pova s povratnom vezom. Primjerice, upravljački sklop zasnovan isključivo na razu­ mijevanju statičkih radnih karakteristika, ignoriranjem dinamičkih pojava, može za­ vršiti strašnim neuspjehom.

Zahtjev za boljim dinamičkim karakteristikama uzlazno-silaznog pretvarača u primjeru. 11.1 od onih koje se mogu dobiti upravljanjem s unaprijednom vezom, ali bez povratne veze, vodi na razmatranje rješenja s povratnom vezom. Sada je potreb­ no izmjeriti odstupanje srednje vrijednosti izlaznog napona od željene vrijednosti Vref = -9 V te n� osnovi tog �sklada promijeniti faktor vođenja od nazivne vrijed­ nosti D na D + d . Korekcija d ovisi o polaritetu i o veličini odstupanja napona.

9

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

Ispitivanje (invertirajuće) statičke karakteristike pretvarača (v0)=-vi0D/D' navodi na sljedeći zakon upravljanja: ako je pogreška v0 = (v0)-Vref negativna, pokazujući da je (v0 ) previše negativan, treba smanjiti faktor vođenja. Slično, ako je pogreška pozitivna, treba povećavati faktor vođenja. Na taj prirodni zakon modu­ lacije širine impulsa (PWM) navodi statička karakteristika.

1 I I I Vref--._�

r-----------

kompenzator unaprijedne veze

upravljački sklop pojačan"ah

( ) uzlazno-silaznii----..-v-;o .,. pretvarač

+·

faktor .__ vođenja

__.

___

a)

-

8

-

- 9+-+T�F"l�-+t--tt-+vrijeme I ms

-10

-

-

8, 4

8,6

-t--t-e--P-..;;;:f::::;;...t-�+-;;;__vrij me/ms

8, 8

_9

1

b)

2

3

4

5

c)

Slika 11.5. a) Blokovski dijagram sustava upravljanja uzlazno-silaznim pretvara­ čem s proporcionalnom povratnom i unaprijednom vezom. b) Ponaša­ nje odziva idealnog kruga na skokovit pad napona napajanja u ovisno­ sti o porastu negativnog pojačanja. c) Ponašanje odziva idealnog kruga na skokovit pad napona napajanja u ovisnosti o porastu pozitivnog po­ jačanja

Jedno je ostvarenje opisanog zakona upravljanja sustav upravljanja s propor­ cionalnom povratnom vezom, prikazan blokovskim dijagramom na slici 11.5.a). Naziv potječe odatle što su zahtijevane promjene faktora vođenja proporcionalne izmjerenom odstupanju srednje vrijednosti izlaznog napona (v0). Konstanta pojačanja h mora biti negativna da bi se dobilo korekcijska djelovanje u skladu sa statičkom karakteristikom. Taj blokovski dijagram još pokazuje da se povratna veza može uporabiti zajedno s prethodno spomenutom unaprijednom vezom. Slika 11.5.b) prikazuje odziv idealnog sklopa s novouvedenom povratnom vezom i zadržanom prethodno uvedenom unaprijednom vezom na jednaki skokovi­ ti pad ulaznog napona kao u primjeru 11.1. Vidi se kako djeluje povećavanje pro­ porcionalnoga negativnog pojačanja h. Očito je da povećavanje negativnog pojača­ nja h dovodi do oscilatornijeg odziva i da sustav postaje nestabilan prije nego što h postane jako negativan. Suprotni intuitivni izbor pozitivnog pojačanja h ne dovodi

10

11.3. IZGRADNJA DINAMIĆKlH MODELA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

odmah do katastrofe kakva se može očekivati na osnovi statičke karakteristike. Valni oblici na slici 11.5.c) pokazuju da odziv može biti stabilan i u području pozi­ tivnih vrijednosti

h.

Očito, naše razumijevanje sustava zasnovano na statičkoj karak­

teristici vodi nas pogrešnim putom. Valni oblici prikazani u primjeru 11.3 dobiveni su računanjem srednje vrijed­ nosti vremenski ovisnih sklopnih valnih oblika u intervalu jednakom sklopnoj peri­ odi pretvarača. (Formalna definidja dana je kasnije, u odsječku 11.3.1 jer za sada o tome ne treba znati više. *) Tako izračunana srednja vrijednost odnosi se na jedan trenutak i mijenja se od trenutka do trenutka te se zato naziva trenutačna srednja vrijednost. Dobiveni valni oblik trenutačne srednje vrijednosti, tzv. usrednjeni valni oblik, sporo se mijenja od periode do periode. Tako je iz vremenski ovisnog sklop­ noga valnog oblika uklonj ena sklopna valovitost. Dva su razloga zašto se uvode usrednjeni valni oblici. Prvi je razlog: uzlazno­ -silaznim pretvaračem regulira se srednja vrijednost izlaznog napona, a ne trenutač­ na vrijednost; tj. detalji u svezi valovitosti nisu toliko zanimljivi ako je valovitost do­ voljno mala. Drugi je razlog: usrednjeni se valni oblici za tu vrstu strujnih krugova lakše izračunavaju ili simuliraju nego trenutačni valni oblici ako se uporabe usred­ njeni modeli. Usrednjeni modeli strujnih krugova opisani su u sljedećem odsječku 11.3. Primjer 1 1 .3. pokazuje da statički model nije katkad dostatan za projektiranje upravljačkog sklopa s povratnom vezom. Zbog toga se moraju potražiti modeli koji utjelovljuju i dinamičke pojave. Jasnij a slika pojava koje se događaju u uzlazno­ -silaznom pretvaraču prikazanom na slici 11.5 dobit će se nakon izgradnje njegova dinamičkog modela za analiziranje odziva izlaznog napona na promjene faktora vođenja (vidi posebice primjer 11.9 u odsječku 11.4 i primjer 11.11 u odsječku 11.5. ).

11.3.

IZGRADNJA DINAMIČKIH MODELA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

Golema većina modela učinskih sklopova sastoji se samo od krugova s idealnim sklopkama i linearnim i vremenski nepromjenjivim (LVN) elementima. Analiza takvih krugova za svako sklopno ili topološka stanje+ jednostavna je, kao što je i jed­ nostavna analiza LVN-kruga. Za rješavanje bilo kojeg sklopnog stanja mogu se upo­ rabiti različite pogodne metode, primjerice impedancijske metode* * . Problemi nas­ taju pri spajanju rješenja uzastopnih sklopnih stanja, posebice ako su trenutci prije­ laza iz jednoga sklopnog stanja u drugo ovisni o strujno-naponskim odnosima.

* Trenutak za koji se računa srednja vrijednost podudara se sa završetkom intervala u kojem se računa srednja vrijednost. (Prim. prev.) + Topologiju sklopa predočuje linearni graf njegove električne mreže. Sklopno ili topološka stanje električne mreže određuje stanje sklopka (vođenje ili nevođenje) u pojedinim ka­ rakterističnim intervalima rada mreže. (Prim. prev.) * * Impedancijske metode temelje se na rješavanju diferencijalnih jednadžba strujnih krugo­ va Laplaceovom transformacijom. (Prim. prev.)

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

11

Pored tih trenutačnih modela za analiziranje sustava s povratnom vezom po­ trebni su modeli koji opisuju dinamičko ponašanje upravljačkog sklopa zajedno s di­ namičkim ponašanjem učinskog sklopa. No, metode modeliranja strujnih krugova često su neprikladne ili neprimjerene za modeliranje upravljačkih sklopova. Ti raz­ lozi upućuju na studij općenitijih modela, od kojih su najvažniji modeli u prostoru stanja. Ipak, dinamičko ponašanje mnogih vrsta učinskih sklopova može se analizirati uporabom usrednjenih modela. Time se ostaje na metodama analize strujnih kru­ gova, na metodama koje su vrlo raširene među inženjerima elektrotehnike. Ideja usrednjavanja strujnih krugova dovoljno je jednostavna za razvoj jezgrovitih, a ipak vrlo korisnih modela nekih važnijih porodica učinskih sklopova. Zato je u ovom poglavlju metoda usrednjavanja strujnih krugova okvir rasprave o dinamičkim modelima i o upravljanju. Na temelju te odluke ne trebate zaključiti da je usrednjavanje nužno glavni ili najbolji pristup izgradnji dinamičkih modela svih vrsta sklopova učinske elektronike. Izgradnju modela u prostoru stanja za prou­ čavanje dinamičkog ponašanja bilo kakvih učinskih sklopova odgodit ćemo za 12. i 13. poglavlje. Usrednjeni modeli tradicijski su poglavito razvijeni za visokofrekvencijske isto­ smjerne pretvarače; najčešće usrednjavanjem modela u prostoru stanja. Ovdje ćemo se pak koristiti bazičnijim pristupom, pristupom koji polazi izravno od sheme učin­ skog sklopa i ima širu primjenu nego tradicijski pristup. Pokazat ćemo kako izgra­ diti nelinearne krugove koji opisuju usrednjeno ponašanje različitih učinskih sklo­ pova i kako izvesti pripadajuće linearne krugove koji približno opisuju njihovo po­ našanje za male signale.

11.3.1. 'Irenutačna srednja vrijednost varijable Kod mnogih sklopova učinske elektronike, ako je valovitost dovoljno mala, pr­ vo nas zanimaju srednje vrijednosti napona i struja, a tek onda njihove trenutačne vrijednosti. Tuko je, kod uzlazno-silaznog pretvarača u primjerima 1 1 . 1 i 11.3, cilj regulacije održavanje srednje vrijednosti izlaznog napona na nekoj određenoj vri­ jednosti, pod pretpostavkom male valovitosti izlaznog napona. Kod istosmjemoga elektromotornog pogona napajanog iz usmjerivača u primjeru 11.2 jedini je cilj re­ gulacije upravljanje srednjom vrijednošću istosmjerne struje armature motora; naime, zbog velikih vremenskih konstanti mehaničkih dijelova sustava, pulzacije struje oko srednje vrijednosti imaju minorne učinke na vrtnju motora. Nešto profinjeniji primjer daje tipični visokofrekvencijski izmjenjivač s modu­ lacijom širine impulsa za izmjenične elektromotorne pogone, poput onoga o kojem se raspravlja u odsječku 8.3. U tom je slučaju cilj regulacije održavanje trenutačne srednje vrijednosti izlazne struje oko sinusne reference. Frekvencija sinusne refe­ rence mnogo je manja od sklopne frekvencij e. Pretpostavlja se da j e valovitost stru­ je oko sinusne reference mala. Primjeri poput ovih navode nas na postavljanje uvjeta na trenutačne srednje vrijednosti varijabla kruga. Naš je cilj pronaći takav pristup analizi strujnih krugova koji omogućuje analizu trenutačnih srednjih vrijednosti varijabla strujnog kruga; čak i tijekom prijelaznih, neperiodičkih, stanja.

12

11.3. IZGRADNJA DINAMIČKIH MODELA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

Uvodi se sljedeća definicija trenutačne srednje vrijednosti varijable: -

x(t) =

1 ft -T x(r)dr T t

(11.1)

Interval T, u kojem se računa srednja vrijednost, konstantnog je trajanja. (Potpuniji simbol bio bi primjerice .XJ..t), no budući da je iz surječja jasno značenje T, ne treba gomilati oznake.) Ta se trenutačna srednja vrijednost u svakom trenutku računa za protekli interval trajanja T. Zato je vremenska funkcij a .X(t) glađa od funkcije x(t) . Usto je i neprekinuta funkcija, čak i ako x(t) sadrži impulse. Važna je posljedica izraza (11.1): derivacij a trenutačne srednje vrijednosti varijable jednaka je trenutačnoj sred­ njoj vrijednosti njezine derivacije; to se može jednostavno provjeriti. Potrebno je odabrati prikladni interval usrednjavanja T. Da bi se dobili upotre­ bivi rezultati, za svaku određenu primjenu odabire se T. Gotovo se uvijek za T oda­ bire najkraći regularni sklopni interval učinskog sklopa. U posebnom slučaju, ako je x(t) periodična funkcija, odabire se T jednak periodi; tada je .X(t) upravo uobičajena srednja vrijednost veličine - konstanta koju smo označivali s (x ). Taj je poseban slu­ čaj, naravno, vrlo važan za učinsku elektroniku jer su u tipičnim učinskim sklopo­ vima valni oblici u ustaljenom stanju doista periodični.

11.3.2. Usrednjavanje strujnog kruga Treba poći od uvjetnih jednadžba na trenutačne vrijednosti varijabla strujnog kruga; to su Kirchhoffov zakon napona (KZN) i struje (KZS). Usrednjavanjem tih uvjetnih jednadžba proizlazi da identične uvjetne jednadžbe vrijede za trenutačne srednje vrijednosti varijabla. Razlog je u tome što su Kirchhoffove uvjetne jed­ nadžbe na trenutačne vrijednosti struje i napona linearne i vremenski nepromjenji­ ve (LVN), pa im se usrednjavanjem struktura ne mijenja. Prema tome, rezultati koji proizlaze iz uvjetnih jednadžba na trenutačne vrijednosti struje i napona, kao što je zakon očuvanja energije i njegovo poopćenje u Tellegenovu teoremu, vrijede i za trenutačne srednje vrijednosti. Slično, usrednjavanjem uvjetnih jednadžba na prilazne napone i prilazne stru­ je LVN elemenata proizlazi da su trenutačne vrijednosti i trenutačne srednje vrijed­ nosti LVN elemenata spregnute identičnim uvjetnim jednadžbama. Primjerice, za LVN otpor, usrednjavanjem jednadžbe vR (t)=RiR (t) dobiva se: (11.2)

Ili, za LVN induktivitet, usrednjavanjem jednadžbe:

dobiva se: (11 .3 )

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

13

Te jednadžbe omogućuju izgradnju usrednjenog kruga sljedećim postupkom. Sve trenutačne vrijednosti napona i struja zamjenjuju se trenutačnim srednjim vri­ jednostima. LVN elementi ostaju nepromijenjeni. Međutim, nelinearni ili vremen­ ski promjenjivi elementi ne mogu se zamijeniti jednakim elementima u usrednje­ nom krugu. Primjerice, sklopke se zamjenjuju elementima koji na svojim prilazima istodobno imaju i srednju vrijednost napona i srednju vrijednost struje - to znači da sklopke iz trenutačnog kruga više nisu sklopke u usrednjenom krugu. Unatoč činjenici da su iz trenutačnog kruga ostali nepromijenjeni samo LVN elementi, pretvorba u usrednjeni krug često je vrlo korisna. Dijelovi usrednjenog kruga, ako već ne i cijeli krug, mogu se analizirati istim metodama kojima se ana­ liziraju LVN krugovi. Primjerice, mogu se uporabiti impedancijske metode, metoda superpozicije ili zamjena prema Theveninu ili Nortonu - što je često dovoljno za dobro razumijevanje ponašanja sklopa. Čak ako se egzaktan usrednjeni krug teško analizira ili ako se uopće ne može analizirati, neke aproksimacije daju dobre uvide. Primjerice, možda se može približ­ no okarakterizirati neki usrednjeni nelinearni ili vremenski promjenjivi element pomoću uvjetnih jednadžba na trenutačne srednje vrijednosti prilaznih varijabla. U slučaju sklopke te uvjetne jednadžbe obično još ovise o upravljačkim varijablama. Rezultat takve karakterizacije novi je usrednjeni element. Ta prijeporna pitanja oprimjerena su kasnije na visokofrekvencijskim istosmjernim pretvaračima.*

Slika 11.6.a) prikazuje model armaturnog kruga reguliranoga elektromotornog pogona napajanog iz usmjerivača iz primjera 1 1 .2. Otpor R i induktivitet L označuju armaturni otpor i induktivitet, a E protuelektromotornu silu motora. Valni oblik narinutog napona vd prikazuje slika 11.4.b). Želi se upravljati srednjom vrijedn�šću armaturne struje. Prema novom načinu označivanja ta se varijabla označuje s iAt). U tom primjeru, prirodno je za interval usrednjavanja T odabrati periodu napona vd (koja je jednaka poluperiodi sinusnoga naponskog izvora). U ustaljenom su stanju vd i ld konstantni i jednaki (vd) i (id). Slika 11.6.b) prikazuje rezultat usrednjavanja učinskog kruga sa slike 11.6.a). Usrednjeni upravljivi ispravljač jednostavno je prikazan naponskim izvorom, to je moguće zato jer je vd potpuno definiran upravljačkom varijablom, tj. kutom uprav­ ljanja a. Upotrebljivost usrednjenog kruga može se ilustrirati razmatranjem odziva sus­ tava bez povratne veze na skokovitu pobudu, tj., razmatranjem prijelaza iz jednoga ustaljenog stanja u drugo. Skokovita promjena 11':-uta upravljanja a od jednoga do drugoga uzastopnog okidanja prouzročuje prijelaz trenutačne srednje vrijednosti iz­ laznog napona vd iz ustaljenog stanja prije pobude u ustaljeno stanje nakon pobude u vremenu ne duljem od jedne poluperiode mrežnog napona. Iz razmatranja usred­ njenog kruga proizlazi da se nakon prve periode struja Td približava novoj ustaljenoj vrijednosti eksponencijalno s vremenskom konstantom L/R. Prva je perioda obično . *Pogledajte npr. primjer 1 1 .5. (Prim. prev.)

14

11.3. IZGRADNJA DINAMIČKIH MODEIA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

I l

id

i

�

+

vac

+

fazno upravljivi , usmjerivač

d

�

R

R

vd

vd

+

E

a)

b)

Slika 11.6. 'Ifenutačni krug a) i usrednjeni krug b) učinskog sklopa reguliranoga elektromotomog pogona napajanog iz usmjerivača mali dio trajanja prijelazne pojave. Tipična vrijednost vremenske konstante

LIR

može biti oko 40 ms; tako prijelazna pojava traje oko 120 ms, a interval usrednjava­ nja

T za napojnu mrežu frekvencije

60 Hz iznosi samo 8,33 ms* (za šestopulsni us­

mjerivač napajanim iz trofazne mreže interval usrednjavanja T iznosi 2,78 ms). Služeći se usrednjenim krugom, uspjeli smo lako predvidjeti osnovne značajke odziva na skokovitu pobudu dovoljno iscrpno za većinu primjena. Primjeri 1 1 . 10 i 1 1.12 u odsječku 1 1.5 pokazuju da usrednjeni krug može biti polazište za projektira­ nje jednostavnoga upravljačkog sklopa s povratnom vezom za upravljanje srednjom strujom armature.

Točna analiza usrednjenog ponašanja postaje daleko složenija ako je bilo koja početna pretpostavka iz primjera 1 1.2 neispunjena, tj. neprekinutost vođenja i zane­ marivost komutacijskih reaktancija. Razlog je tome što

vd tada ovisi o valnom obli­

ku struje motora, pa se u usrednjenom krugu ne može predočiti naponskim izvo­ rom. Ipak, približna analiza usrednjenog ponašanja često je i dalje moguća i koris­ na. Naravno, u primjeru 11.4 mogli smo intuitivno predvidjeti osnovne značajke od­ ziva sustava na skokovitu pobudu. Međutim, tek analiza pouzdano potvrđuje naša in­ tuitivna predviđanja.

Razmotrimo ponovno uzlazno-silazni pretvarač pretpostavimo da je otpor

iz primjera 1 1 . 1 i 1 1.3, no sada

R tako velik da je pretvarač u isprekidanom načinu rada.

Odgovarajuće valne oblike struje induktiviteta i diode prikazuje slika 1 1.7.a). Treba izgraditi usrednjeni krug. Za interval usrednjavanja odabrat ćemo sklopnu periodu

T. * Radi se o dvopulsnom usmjerivaču. (Prim. prev.)

15

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

IP

= VinDT L t

T

DT id

l p

t

�

t i;; = f(vo, J/in, D) C

�

+

vo

R

b)

T

DT

a)

Slika 11.7. a) Valni oblik struje induktiviteta i diode uzlazno-silaznog pretvarača u isprekidanom načinu rada. b) Izlazni dio usrednjenog kruga Pobrinemo li se da je napon napajanja konstantan tijekom sklopne periode, tije­ kom vođenja tranzistora struja induktiviteta raste linearno od

O do lp=VjnDT/L. Na­

kon toga struja pada na nulu; na slici 11.7.a) prikazano je da struja pada na nulu po pravcu. No u stvarnosti, kada tranzistor isklopi a dioda provede, struja pada na nulu ne po pravcu već po valnom obliku prigušenog titraja; naime, isklapanjem tranzis­ tora nastane paralelni RLC krug. Ipak, ako se izlazni napon znatno ne mijenja tije­ kom sklopne periode, zanimljiv dio valnog oblika prigušenog titraja može se vrlo do­ bro aproksimirati pravcem. Određenije, ako se izlazni napon može dobro aproksi­ mirati svojom trenutačnom srednjom vrijednošću (tj. ako je valovitost izlaznog na­ pona mala), struje induktiviteta i diode padaju gotovo linearno brzinom

vo/L.

Uporabom te linearne aproksimacije lako se može, gledajući valni oblik na slici 11.7.a), izračunati srednja vrijednost struje diode tijekom jedne sklopne periode:

(11.4)

-v;,, id i Ta svi pozitivni.) Pretpostavljajući da v;,, Vin i D sporo mijenjaju, (11.4) vrijedi za svaki t, a ne samo u trenutku �sred­ njavanja (trenutak završetka sklopne periode). Uočite nelinearnu ovisnost iit) o (Prisjetite se da je v0 negativan, tako su

se

-

v;,, vin, i D .

Sada se može nacrtati izlazni dio rezultirajućega usrednjenog kruga, slika 11.7.b).

Struju diode zamjenjuje naponski upravljani strujni izvor. Ta se struja katkad nazi­ va injektirana struja. Dobiveni nelinearni krug može se upotrijebiti za proučavanje dinamičkog ponašanja v0, ako su Vin i D konstantni ili ako se sporo mijenjaju.*

* Pogledajte primjer 1 1.8. (Prim. prev.)

16

11.3.

IZGRADNJA DINAMIČKIH MODELA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

Upravljačke varijable u primjerima 11.4 i 11.5 kut su upravljanja a i faktor uprav­ ljanja D. Za te upravljačke varijable tipično je da se mijenjaju od periode do periode, poprimajući vrijednosti ak i dk u k-toj periodi. Međutim, analiza upravljanja i projek­ tiranje upravljanja uporabom modela koji istodobno opisuju i vremenski kontinu­ irane i vremenski diskretne veličine je nespretna. Kod uzorkovnih modela ta je za­ preka zaobiđena uporabom uzoraka vremenski kontinuiranih valnih oblika, tj. is­ ključivom uporabom vremenski diskretnih nizova. Uzorkovni modeli raspravljeni su u preostalim poglavljima ovog dijela knjige. Kod usrednjenih modela prirodnija je suprotna strategija; naime da se diskretne veličine ak i dk zamijene vremenski konti­ nuiranim veličinama.

11.3.3. 'ftenutačna srednja vrijednost sklopne funkcije Shema na slici 1 1.8.a) obuhvaća takve pretvarače kao što su silazni pretvarač (v. poglavlje) i PWM izmjenjivač (v. odsječak 8.3). Kod tih pretvarača između isto­ smjernoga naponskog izvora �n i linearnog trošila nalazi se upravljiva sklopna mreža. Na slici 11.8 linearno je trošilo nadomještena Nortonovom mrežom. Napon je na izlazu iz sklopne mreže q(t)Vin; s q(t) označena je sklopna funkcija - to je mo­ dulacijska funkcija napona naponskog izvora. Primjerice, sklopnu funkciju q(t) od­ ređuju faktori vođenja sklopka sklopne mreže. Tako napon na trošilu usrednjenog kruga na slici 11.8.b) iznosi q(t)Vin' 6.

+

sklopna mreža

a) Slika 11.8.

b)

Usrednjavanjem moduliranog napona istosmjernog naponskog izvora dobiva se istosmjerni ili izmjenični izvor upravljan faktorom vođenja: a) sklopna mreža, b) usrednjeni krug, sa d(t) označen je q(t)

Točna analiza usrednjenog ponašanja može se provesti, ako je q(t) posve odre­ đen upravljačkim varijablama i (eventualno) trenutačnom usrednjenom strujom trošila T(t). Pod tim uvjetima napon trošila usrednjenog kruga može se modelirati naponskim izvorom (eventualno strujno upravljanim). Čak i ako ti uvjeti nisu ispu­ njeni, često je moguća približna analiza usrednjenog ponašanja. Isto tako približna je analiza moguća ako napon izvora nije potpuno istosmjeran nego gotovo isto­ smjeran, u smislu da se malo mijenja u intervalu usrednjavanja T. Sklopna funkcija q(t) obično poprima vrijednosti iz konačnog niza vrijednosti: 1 i O kod silaznog pretvarača ili 1, O i -1 kod PWM izmjenjivača. Trenutke promjene sklopne funkcije od jedne do druge vrijednosti određuje upravljački sklop. U takvim

11. DINAMIKA I UPRAVLlANJE: PREGLED

17

slučajevima trenutačna srednja vrijednost sklopne funkcije q(t) naziva se kontinu­ irani faktor vođenja i označuje se s d(t). Razlozi odabira tog naziva navedeni su u primjeru 11.6. Vremenski interval T u kojem se računa trenutačna srednja vrijed­ nost neki je regularni sklopni interval određen taktom sustava. Uočite da d(t) može biti vremenski promjenjiv, pa i negativan. Međutim, ako je q(t) periodična funkcija i ako je T njezina perioda, tada je d(t) konstantan. Sada se može s d(t) �n označiti vrijednost naponskog izvora u usrednjenom krugu na slici 1 1.8.b). Taj izraz pokazuje sljedeće. Ako se d(t) mijenja obrnuto proporcional­ no �n' iz usrednjenog kruga potisnuti su učinci promjena ulaznog napona. Zato se takva unaprijedna veza po ulaznom naponu uvelike upotrebljava u sklopovima nado­ mjesne sheme prema slici 1 1.8. Treba primijetiti da takva unaprijedna veza uklanja učinke promjena ulaznog napona u ustaljenom i prijelaznom stanju, a ona kod uzlaz­ no-silaznog pretvarače iz primjera 11.1 samo u ustaljenom stanju. I za mnoge druge učinske pretvarače uporaba sklopne funkcije q(t) i njezine trenutačne srednje vrijednosti i[(t) =d(t) razumljiva je i prikladna za analiziranje i projektiranje upravljanja. U mnogim slučajevima upravljački sklop obrađuje veliči­ ne koje su usko povezane s d(t) i na taj način upravlja srednjim vrijednostima vari­ jabla pretvaračkog sklopa.

Čest je slučaj kod kojega sklopka uklapa kada je q(t)= l, a isklapa kada je q(t)=O. Sklop za generiranje takve sklopne funkcije prikazuje shematski slika

11.9.a). Sklopna funkcija dobiva se na izlazu iz spremnika stanja. Davač takta pos­ tavlja izlaz spremnika stanja na 1 svakih T sekundi, definirajući time početak peri­ ode. Izlaz komparatora prvotna je nizak, ali tijekom periode postaje visok, ponovno postavljajući spremnik stanja na nulu. Pilasti napon sinkroniziran s impulsima davača takta dovodi se na pozitivni ulaz komparatora. Kreće od O svakih T sekunda i linearno raste do vrijednosti K. Modu­ lacijski signal m(t) dovodi se na negativni ulaz komparatora i poprima vrijednosti 0:5m(t):5K. Prema tome, izlaz je komparatora nizak na početku svake periode i po­ staje visok kada pilasti napon postane veći m(t). Faktor vođenja k-te periode dk jed­ nak je omjeru m(t)/K. Taj faktor vođenja odnosi se na trenutak u kojem pilasti na­ pon prvi put u periodi siječe m(t). Na taj način modulacijski signal m(t) upravlja fak­ torom vođenja. Konstantni faktor vođenja može se dobiti ili održavanjem m(t) konstantnim ili njegovim mijenjanjem točno na sklopnoj frekvenciji. Te dvije mogućnosti ukazuju na dva načina dobivanja sporih promjena faktora vođenja: ili sporim mijenjanjem m(t) ili njegovim mijenjanjem na frekvenciji bliskoj sklopnoj frekvenciji. U drugom se slučaju faktor vođenja mijenja na frekvenciii treptaja*. Obje se metode upotrebljavaju u praksi. Staviše, obje se metode upotrebljava­ ju istodobno kod visokofrekvencijskih istosmjernih pretvarača u sklopnom načinu rada s tzv. strujnim načinom upravljanja. Jedna komponenta m(t) dobiva se iz sred* Ako se omjer frekvencija ne može izraziti racionalnim brojem, treptaj je neperiodičan. (Prim. prev.)

18

1r

11.3. IZGRADNJA DINAMIČKIH MODELA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

-------

učinski krug

h o 0[1

S

R

L----1

I

I I I

�

t

upravljački referentne sklop vri"ednosti

1

-

d(t)

T

2T

3T

t

3T

kontinuirani faktor vođenja4

komparator ._____, '-------' m(t)

brojač takta

T

pilasti napon

2T T q(t) "'1 opna funkcija

q(t)

--.L-- T spremnik stanja

�j,r ht2� O I I[

m

mjereni signal

L---:=

.,___....__,

Ktvvt, T

t

t

dk

2T

T

3T

1t

t k=O : k = l : k=2 : 2T

T

a)

3T

t

b)

Slika;. ll.9. a) Generiranje sklopne funkcije q(t). Faktor vođenja određuje modulacijska funkcij a m(t). b) Odnosi između m(t), dk i d(t) nje vrijednosti izlaznog napona pa sadrži niskofrekvencijske komponente (tj. m(t) se mijenja na niskoj frekvenciji), a druga iz trenutačne struje induktiviteta ili sklopke pa sadrži niskofrekvencijske komponente i komponente čije su frekvencij e blizu sklopne frekvencije. U slučaju strujnog načina upravljanja, iz razloga objašnjenih u 13. poglavlju, pilasti se napon naziva stabilizacijski pilasti napon ili kompenzacijski

pilasti napon. U sljedećim razmatranjima pretpostavljat će se da se m(t) sporo mije­ nja.

Ako se m(t) tijekom periode značajno ne mijenja, tj. ako se znatne promjene m(t) događaju na frekvencijama znatno nižim od polovice sklopne frekvencije*, tada u svakom trenutku omjer m(t)/K dobro aproksimira potreban faktor vođenja. Uprav­ ljački krug mijenja vrijednost m(t) oko nazivne vrijednosti u skladu s potrebom po­ većanja ili smanjenja faktora vođenja. To mijenjanje m(t) određuju signali povratne veze koji mjere odstupanje rada učinskog sklopa od nazivnog. Očito, širina frekven­ cijskog pojasa kruga povratne veze takvog sustava može biti znatno manja od polo­ vice sklopne frekvencije. Ili drugim riječima, vrijeme u kojem se upravljani sustav vraća u nazivni rad znatno je duže od dvostruke sklopne periode.

Slika 1 1.9.b) prikazuje međusobne odnose modulacijske funkcije m(t), sklopne

funkcij e

q(t),

kontinuiranog faktora vođenja

d(t)

i diskretnog faktora vođenja

dk.

d(t) dobro aproksimira potreban diskretni faktor vo­ dk, ako se dk od periode do periode sporo mijenja. A dk se sporo mijenja jer

Kontinuirani faktor vođenja đenja

* Najveća frekvencija mijenjanja faktora vođenja dk jednaka je polovici sklopne frekvencije.

(Prim. prev.)

19

1 1 . DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

se

m(t)

sporo mijenja. Usto, funkciji

moguća promjena

dk nastaje

d(t)

svojstveno je da se sporo mijenja. Najbrža

kada naizmjence poprima velike i male vrijednosti od

d(t) tada iznosi 2T. d(t) nema nikada frekvenciju osnovnog harmonika veću od polovice sklopne

jedne do druge uzastopne periode. Odgovarajuća perioda od Stoga

Uočite da se za mijenjanje faktora vođenja može upotrijebiti i K. Unaprijedna

frekvencije.

upravljanje koje kompenzira promjene napona napajanja obično radi na tom nače­ jedna veza može se ostvariti tako da se K učini proporcionalnim Vin- Vref (podsjetite

lu. Primjerice, u uzlazno-silaznom pretvaraču iz primjera 11.1 i 11.3, željena unapri­

se da je Vref negativan). U silaznim i drugim pretvaračima nadomjesne sheme poput

one na slici 11.8 učini se K proporcionalnim Vin. Prepuštamo čitatelju da provjeri te navode. Naši usrednjeni modeli obično otkrivaju dinamičku ovisnost usrednjenih valnih

oblika u učinskom krugu o d(t). Međutim, za projektiranje upravljačkih krugova za­

nimljivija je ovisnost o nekom stvarnom modulacijskom upravljačkom signalu, kao što je m(t) u primjeru 11.6. Za spore promjene modulacijskog signala m(t) vrijedi d(T)"""m (t)/K, pa su usrednjeni modeli svrhoviti. No, ako se promjene modulacijskog signala m(t) odigravaju na frekvencijama većim ili čak blizu polovice sklopne frekvencije, odziv usrednjenih modela na promjene d(t) nije ujedno i odziv na pro­ mjene m(t).

11.3.4. Usrednjavanje sklopke Iako smo obuhvatili veliko bazna područje, nismo iscrpno razmotrili trenu­ tačno usrednjavanje prilaznih varijabla sklopke, pa je sada trenutak da to učinimo. Usrednjavanje sklopke posebno je plodonosno kod visokofrekvencijskih pretvarača ili P W M pretvarača. Naime, usrednjena sklopka učinskih sklopova visokofrekven­ cijskih pretvarača ili P W M pretvarača može se približno okarakterizirati isključivo pomoću (upravljački ovisnih) uvjeta na svoje trenutačno usrednjene prilazne varija­ ble. Zato se sklopka u trenutačnom krugu može zamijeniti odgovarajućim elemen­ tom u usrednjenom krugu. Ostali elementi trenutačnog kruga najčešće su

LVN ele­

menti, pa se usrednjavanjem ne mijenjaju. Prema tome, usrednjavanje učinskog kru­ ga takvih pretvarača jednostavno je i svodi se na zamjenu sklopka njihovim usred­ njenim modelima. Prirodno je krenuti od općega sklopnog elementa sa slike 6.7, prikazanog još jednom, zbog lakšeg snalaženja, na slici 11.10.a). Za interval usrednjavanja uzima se i ovaj put sklopna perioda

T.

Pretpostavke koje su potrebne za dobivanje usred­

njenog modela mogu se izraziti na različite načine. Ovdje ih navodimo ovako.

yz(t) ( =vc) i struja ix(t) ( =iL) u trenut­

1. Pretpostavka male valovitosti: napon v

ku t približno su (dovoljno točno) jednaki svojoj trenutačnoj srednjoj vrijed-

nosti

2.

v;/t) i �(t).

Pretpostavka sporih promjena: trenutačne srednje vrijednosti znatno se ne promijene od t - T do

_

v;/t) i ix(t)

t (za bilo koji trenutak t), tj. frekvencija

njihova mijenjanja bitno je manja od polovice sklopne frekvencije.

20

11.3.

IZGRADNJA DINAMIČKIH MODELA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

_c� +

vc

-

-

+

vc z

z

y

q(t)

i y

q

X

t

dvyz

dtx X

i TL

iL

a)

b)

c)

Slika 11.10. a) Opći sklopni element visokofrekvencijskih pretvarača u sklopnom načinu rada. b) Približno usrednjeni opći sklopni element za slučaj ne­ isprekidanog rada pri faktoru vođenja d zasnovan na upravljivim izvo­ rima. c) Približno usrednjeni opći sklopni element za slučaj neispreki­ danog rada pri faktoru vođenja d (d' = l-d) zasnovan na idealnom transformatoru

Obje pretpostavke uglavnom su zadovoljene u dobro projektiranim visokofrekven­ cijskim sklopnim pretvaračima* u neisprekidanom načinu rada. Uzmimo da se sklopka na slici 11.10.a) upravlja sklopnom funkcijom q(t) koja poprima vrijednosti O i 1; takva sklopna funkcija opisana je u primjeru 11.6. Neka se faktor vođenja d(t) odnosi na y-položaj kontakta. Budući da je iy =qix, vrijedi =qix· Na temelju gornjih pretpostavka dopušteno je ix(r) u intervalu usrednjavanja t-T5'. r =5 t smatrati konstantnim i iznosa Tx(t), pa je:

�

Slično, vxz =qvyz' pa je:

(11.5) (11.6)

Dobivene željene uvjetne jednadžbe (11.5) i (11.6) približno karakteriziraju usrednjenu sklopku (element s trima prilazima potpuno je karakteriziran s dvjema uvjetnim jednadžbama koje određuju odnose između prilaznih varijabla). Te uvjetne jednadžbe određuju odnose između trenutačno usrednjenih prilaznih varijabla. Uočite da uvjetne jednadžbe ovise o kontinuiranom faktoru vođenja d(t). Zato se, za te uvjetne jednadžbe, kaže da su to upravljačko-ovisni uvjeti. Na osnovi te karakterizacije mogu se izvesti dva strujna kruga, slike 11.10.b) i 11.10.c). Iako su oba kruga međusobno ekvivalentna, krug s upravljivim izvorima pogodniji je za rješavanje zadataka koji se rješavaju metodom linearizacije; to će se * Viskofrekvencijski pretvarači u sklopnom načinu rada skraćeno se nazivaju visokofrekven­ cijski sklopni pretvarači. (Prim. prev.)

21

1 1 . DINAMIKA I UPRAVlJANJE: PREGLED

kasnije razmatrati. Krug s idealnim transformatorom koristan je za rješavanje zada­ taka kod kojih je faktor vođenja konstantan. Topologije pretvaračkih sklopova visokofrekvencijskih pretvarača iz 6. i 7. po­ glavlja imaju opći sklopni element, a svi ostali elementi linearni su i vremenski nepro­ mjenjivi. Za sve te pretvaračke sklopove usrednjeni se krug dobiva jednostavnom za­ mjenom općega sklopnog elementa njegovim usrednjenim modelom.

Na osnovi znanja stečenog izgradnjom neizravnoga sklopnog pretvarača u od­ sječku 6.4, u topologij i uzlazno-silaznog pretvarača na slici 11.2 može se prepoznati opći sklopni element. Uočite da u tom slučaju napon vyz na slici 11.10 iznosi vin-vc , a n e vc - D a bi s e dobio usrednjeni krug, opći sklopni element treba zamijeniti usred­ njenim sa slike 11.10.c), tj. diodu i tranzistor sa slike 11.2 treba zamijeniti idealnim transformatorom - jedan namot ima broj zavoja d'(t), a drugi d(t). Usto, sve trenu­ tačne vrijednosti treba zamijeniti njihovim srednjim vrijednostima. Rezultat tih za­ mjena prikazan je na slici 11.11.

+

+

+

c

Slika 11.11. Usrednjeni krug uzlazno-silaznog istosmjemog pretvarača

Na tom usrednjenom krugu mogu se zasnovati i druge vrste analitičkih modela, primjerice modeli u prostoru stanja. Osim toga, taj usrednjeni krug mogu izravno prihvatiti mnogi standardni paketi za simulaciju električnih sklopova. Uočite da je usrednjeni krug nelinearan, naime strujne i naponske varijable kruga nelinearno ovise o upravljačkoj varijabli d(t). Metoda linearizacije koja je uvedena u odsječku 11.4 jedna je od metoda rješavanja takvih nelinearnosti. Ako je faktor vođenja d(t) konstantan, usrednjeni krug na slici 11.11 linearan je i vremenski nepromjenjiv, pa je analiza u tom slučaju jednostavna. Primjerice, taj se krug može odmah upotrijebiti za dobivanje srednjih vrijednosti struja i napona u nazivnom ustaljenom stanju pri Vin=Vin i d(t)=D. U nazivnom ustaljenom stanju srednja vrijednost napona na induktivitetu i srednja vrijednost struje kroz kapacitet jednaki su nuli, te činjenice vode do sljedećih jednadžba za srednju ustaljenu struju kroz induktivitet /L :

22

11.3 . IZGRADNJA DINAMIČKIH MODELA USREDNJAVANJEM STRUJNOG KRUGA

i srednji ustaljeni izlazni napon

V0 (ili

napon na kapacitetu

Vc): (11.7)

Te su jednadžbe u skladu s rezultatima dobivenim u odsječku 6.4.

11.1. U tom primjeru istraživao se odziv izlaznog napona v0( =v c) na skokovi­

Usrednjeni krug uz to daje podloge za razumij evanje rezultata dobivenih u pri­ mjeru

tu promjenu ulaznog napona vin uz otvorenu povratnu vezu i konstantan d(t) =D . Prijenosna funkcija od trenutačne srednje vrijednosti ulaznog napona do trenutačne srednje vrijednosti izlaznog napona tog usrednjenog kruga ima oblik:

1 -D D --

-

s) vin ( s)

v ( o --

'

=

LC

(11.8)

1 1 s2 + - s + D'1 -

RC

LC

Ta prijenosna funkcija u elektroakustici naziva se audiosusceptibilna prijenos­ na funkcija. Ako se ulazni napon

vi0(t) skokovito proinijeni, trenutačna se srednja Vj0(t) se promijeni od početne

vrijednost ulaznog napona Vj0(t) ne mijenja skokovito;

do konačne vrijednosti u vremenu jednakom trajanju intervala usrednjavanja T. Ti­ jekom tog vremena aproksimacija

(11.6) je

slaba. Međutim, kako je trajanje inter­

vala usrednjavanja T mnogo manje od vremenskih konstanta usrednjenog modela, promjena

Vj0(t)

može se smatrati skokovitom. Zato se prijenosna funkcija

(11.8)

usrednjenog modela može upotrijebiti za računanje odziva na skokovitu promjenu ulaznog napona. Proračuni potrebni za dobivanje odziva usrednjenog modela na skokovitu po­

13.3, u svezi s rješavanjem općih LVN modela. Za sada (11.8). U slučaju prigušenih titraja rješenja A. 1 i A. kompleksna su i konjugirana: 2

budu skicirani su u odsječku

se treba podsjetiti da tijek odziva uvelike određuju polovi prijenosne funkcije

;,.1

= ;,.*2 = - 2RC + JW D 1

.

(ll.9a)

gdje je:

D2 '

1

LC

( l l .9b)

Zvjezdica označuje konjugirano kompleksna rješenje. Odabrani parametri u primjeru

srednje vrijednosti izlaznog napona iz ustaljenog stanja prije skokovite promjene

1 1.1 odgovaraju slučaju prigušenih titraja. Stoga izraz koji opisuje prijelaz trenutačne

ulaznog napona u ustaljeno stanje nakon te skokovite promjene ima oblik:

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

23

t c1eA.1t + c;e A.it = ce-2RC sin w n f + e

(

)

(11.10)

c 1' c i e konstante su određene početnim uvjetima prije skokovite promjene ulaznog napona (treba se pozvati na neprekinutost struje kroz induktivitet i na neprekinutost napona na kapacitetu). Za iscrpniju analizu pogledajte odsječak 9.1 u kojem je anali­ zirana vrlo slična pojava. Detaljni proračun koji polazi od (11.8) vrlo dobro objašnjava, ne samo kvalita­ tivno već i kvantitativno, ponašanje trenutačno usrednjenog odziva izlaznog napona na slici 11.3.a) - podsjetite se: to je odziv kruga bez povratne veze na skokovitu pro­ mjenu ulaznog napona. Vremenska konstanta 2RC iznosi 880 µs ili 44 sklopne perio­ de, a perioda 211;/wD iznosi 2924 µs ili 146 perioda. Istovrsni proračun može se provesti i uz postojanje unaprijedne veze da bi se objasnilo ponašanje trenutačno usrednjenog odziva izlaznog napona na skokovitu promjenu ulaznog napona na slici 11.3.b). Međutim, tu se mora uzeti u obzir da se, pored vin i D skokovito mijenjaju na vrijednost koju određuje vin nakon svoje skoko­ vite promjene. U primjeru 1 1.9 izvedena je prijenosna funkcija za računanje odziva na (male) promjene D.

Katkad je otpor kapaciteta općega sklopnog elementa znatan; tada se modeli­ ra ekvivalentnim serijskim otporom (ESR). U tom slučaju napon v na slici 11.10.a) .rz više ne zadovoljava pretpostavku male valovitosti na kojoj se zasmva aproksimacija (11.6). No, usrednjeni model općeg sklopnog elementa može se poboljšati te razvi­ ti usrednjeni model koji ne zanemaruje ekvivalentni serijski otpor. Alternativni je pristup usrednjavanju putem prostora stanja (odsječak 12.3), taj pristup omogućuje sustavno bavljenje tim problemima. Usrednjeni model sklopke na slici 1 1.10 ne vrijedi za isprekidani način rada (odsječak 6.7). Preklopka osnovnoga sklopnog elementa u slučaju isprekidanog na­ čina rada zauzima treći položaj, tj. kontakt nije ni u položaju y ni u položaju z. Po­ lazeći od činjenice da je srednja vrijednost napona na induktivitetu približno jedna­ ka nuli, može se još uvijek izvesti usrednjeni model sklopke. Međutim, analiza koju ilustrira primjer 11.5. obično je jednostavnija. Usrednjavanje sklopke učinkovito je i za srodnu porodicu istosmjernih pretva­ rača, naime za tzv. kvazirezonantne istosmjerne pretvarače. Energetski krug tipič­ nog predstavnika kvazirezonantnih istosmjernih pretvarača raspravljen je u primje­ ru 9.6. Potrebni proračuni nešto su složeniji od prethodnih. Usrednjavanje polazi od činjenica da su srednja vrijednost napona na rezonantnom induktivitetu i srednja vrijednost struje na rezonantnom kapacitetu približno jednaki nuli. Rezultirajući usrednjeni model sklopke i ovaj put pokazuje upravljački ovisne uvjete; oni približ­ no ograničuju srednju vrijednost prilaznih varijabla sklopke. 11.3.5. Poopćenje: trenutačna m-kompon�nta Raspravu o usrednjavanju strujnih krugova započeli smo izjavom da nas u mno­ gim sklopovima učinske elektronike zanimaju srednje vrijednosti varijabla. Naša de­ finicija trenutačne srednje vrijednosti omogućila nam je proučavanje dinamičkog ponašanja srednjih vrijednosti varijabla strujnih krugova.

24

11.4. LINEARIZIRANI MODELI

Međutim, u pretvaračkim sklopovima rezonantnih izmjenjivača iz 9. poglavlja zanima nas komponenta sklopne frekvencije izlaznih varijabli, a u pretvaračkim sklopovima rezonancojskih istosmjernih pretvarača komponenta sklopne frekvenci­ je rezonantnih varijabla i srednja vrijednost izlaznih varijabla. 1tenutačna w-komponenta (komponenta frekvencij e w) varijable x(r) u trenutku t dobije se poopćenjem trenutačne srednje vrijednosti varijable (11.1)*:

(11.11) Prema toj definiciji i načinu označivanja trenutačna srednja vrijednost trenutačna je O-komponenta: x(t)=x0(t). Odabir T i w obično je povezan. Kod rezonancijskih pretvarača odabire se T jed­ nak sklopnoj periodi, te se uzima w =2n/T. Tim odabirom u ustaljenom je stanju.Xw(t) kompleksna amplituda osnovnog člana Fourierova reda periodičke varijable x(i'). Iz­ raz (11.11) proširuje pojam w-članova Fourierova reda na neperiodičke varijable. Za proučavanje dinarničkog ponašanja varijable.Xw(t) potrebno je poznavati nje­ zinu derivaciju:

(11.12) jw je w-komponenta derivacije dx(r)/dr. Brižljivom čitatelju prepuštamo da sagleda važnost (11.12) za dobivanje w-komponentnih krugova iz polaznih trenutačnih sklopnih krugova i da istraži uporabu tog poopćenja na učinske krugove rezonancijskih pretvarača 11.4.

LINEARIZIRANI MODELI

Statičke karakteristike sklopova učinske elektronike često nelinearno ovise o upravljačkim varijablama. Dinamičke karakteristike o njima ovise čak još češće. S li­ nearnom ili s nelinearnom povratnom vezom, tipičan je sustav s povratnom vezom nelinearan. Procjenjivanje stabilnosti te projektiranje i vrjednovanje upravljačkih sklopova uporabom nelinearnih modela obično je mukotrpno. Najuobičajeniji, sustavan i ponaj­ češće uspješan pristup tim zadaćama je linearizacija. Linearizacijom se dobivaju line­ arni modeli koji približno opisuju poremećaje ili mala odstupanja sustava od nazivnog rada. Linearni su modeli, dakako, daleko jednostavniji za analizu od nelinearnih. Linearizirani modeli, nazivaju se i modeli za male signale, ključni su za prosuđi­ vanje stabilnosti u nazivnim radnim uvjetima. Stabilnost lineariziranog modela u na­ zivnim radnim uvjetima pokazuje da je rad sustava, barem za male poremećaje, sta­ bilan u nazivnim radnim uvjetima. Stoga je prvi zadatak kod projektiranja upravlja­ nja postizanje stabilnosti lineariziranog modela. Ta je zadaća daleko lakša od posti­ zanja stabilnosti nelinearnog modela. Osnove linearizacije dane su u osnovnim crtama u ovom poglavlju, a iscrpnije u 13. poglavlju. O primjeni dobivenih linearnih modela za prosuđivanje stabilnosti i pro­ jektiranje upravljanja govorit će se u odsječku 11.5 te u 13. i 14. poglavlju. * Pogledajte: Đuro Švarc, Električni titrajni krugovi, Tehnička knjiga, Zagreb, 1959. (str. 51)

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

25

11.4.1. Linearizacija Postupak linearizacije vremenski kontinuiranih* i vremenski diskretnih dina­ mičkih modela započinje od nazivnog rješenja. Nazivno rješenje određuju nazivni radni uvjeti. U većini slučajeva nazivno rješenje opisuje ustaljeno stanje dinamičkog modela. U ustaljenom stanju tipičnoga dinamičkog modela učinskog sklopa varijable su prije periodički promjenjive nego konstantne. Primjerice, ustaljeno stanje vremen­ ski kontinuiranog modela uzlazno-silaznog pretvarača određuje periodična sklopna funkcija te su valni oblici periodični. Ako se želi dobiti konstantno ustaljeno stanje umjesto periodičnoga ustaljenog stanja, treba napustiti vremenski kontinuirane mo­ dele učinskih sklopova i prijeći na, primjerice, njihove vremenski diskretne modele. Vremenski diskretni modeli zasnivaju se na uzorkovanju sklopovskih varijabla jed­ nom tijekom svake periode. Razlog rada s vremenski diskretnim modelima postat će jasan proučavanjem 12. i 13. poglavlja. Konstantno ustaljeno stanje, tj. stanje u kojem su trenutačno usrednjene vari­ jable konstantne, mogu iskazivati i usrednjeni modeli. Usrednjeni model na slici 1 1 . 1 1 iskazuje konstantno ustaljeno stanje, ako je faktor vođenja d(t) konstantan. Međutim, kod usrednjenih modela visokofrekvencijskih PWM izmjenjivačkih sklo­ pova (opisani su u odsječku 8.3) u ustaljenom stanju trenutačno se usrednjene vari­ jable periodički mijenjaju i nisu konstantne. Mala odstupanja od nazivnih vrijednosti mogu se opisati razvojem svih neline­ arnih elemenata modela u Taylorov red oko svojih nazivnih vrijednosti. Zadržava­ njem samo članova prvog reda dobiva se linearni model, tzv. linearizirani model, koji približno spreže mala odstupanja Parametri lineariziranog modela ovise o nazivnom rješenju jer o njemu ovise koeficijenti Taylorova reda. Ako je polazni nelinearni model vremenski nepromje­ njiv i ako nazivno rješenje određuju konstantne vrijednosti varijabla, linearizirani je model uvijek linearan i Vremenski nepromjenjiv (LVN)**.

11.4.2. Linearizacija strujnog kruga Postupak je linearizacije modela predočenog nelinearnim strujnim krugom jed­ nostavan, tj. putem jednostavnih koraka iz nelinearnog se strujnog kruga dobiva li­ nearizirani strujni krug. Postupak i opravdanje postupka linearizacije analogni su onima u pododsječku 11.3.2 u kojem je iz trenutačnog modela strujnog kruga dobi­ ven usrednjeni. Argumenti postupka bi, primjerice, trebali biti poznati još iz analize tranzistorskih pojačala za male signale. Najprije se svaki napon u nelinearnom strujnom krugu zamijeni svojim odstu­ panjem od nazivnog. T im korakom dobiju se odstupanja napona koja zadovoljava­ ju Kirchhoffov zakon napona (KZN). KZN je zadovoljen zato jer i perturbirani niz napona i nazivni niz napona zadovoljavaju iste linearne jednadžbe i jer je svako od­ stupanje napona razlika perturbiranog i nazivnog napona. Slično, sv.aka struja zami* Vremenski kontinuirani model naziva se i trenutačni model (Prim. prev.) * * Pogledajte u primjeru 1 1.8 jednadžbu (11.14). (Prim. prev.)

26

11.4. LINEARIZIRANI MODELI

jeni se svojim odstupanjem od nazivne. Tim korakom dobivaju se odstupanja struja koja zadovoljavaju Kirchhoffov zakon struje (KZS). Zadnji je korak zamjena svakog nelinearnog elemenata svojom lineariziranom inačicom. (Linearne elemente ne treba zamijeniti jer postavljaju jednake uvjete na odstupanja kao i na ukupne vrijednosti varijabla.) Linearizacija nelinearnog ele­ menta provodi se razvojem njegovih karakterističnih jednadžba u Taylorov red do uključujući člana prvog reda. Linearizirani element postavlja linearne uvjete na ma­ la odstupanja prilaznih varijabla i na mala odstupanja ma koje upravljačke varijable elementa. Rezultat svih tih pretvorbi linearni je krug koji približno određuje mala odstupanja varijabla od nazivnih vrijednosti. Prije opisani usrednjeni krugovi bili su nelinearni i vremenski nepromjenjivi. Njihovom linearizacijom dobiva se LVN krug. Obično nas je zanimalo nazivno rje­ šenje za konstantno ustaljeno stanje. U slučaju usrednjenih modela PWM izmjenji­ vačkih sklopova iz odsječka 8.3, zanima nas nazivno rješenje za periodičko ustalje­ no stanje. Njihovom linearizacijom dobiva se periodički promjenljivi krug.

Nelinearni usrednjeni model učinskog sklopa uzlazno-silaznog pretvarača u isprekidanom načinu rada izveden je u primjeru 1 1.5, slika 11.7.b). Izvod modela pokazuje da se faktor vođenja i ulazni napon smiju sporo mijenjati, tj. da ne mora­ ju biti konstantni. Zato se u izraz (11.4) smije uvrstiti d(t) umjesto D i VJn(t) umjesto Vin. OznakeD i �n isključivo označuju konstantne nazivne vrijednosti. Nazivno rješenje opisuje ustaljeno stanje. Određuju ga konstantne vrijednosti trenutačno usrednjenih veličina, posebice: Tit)=ld i v0(t)=V0• Kapacitet usred­ njenog kruga u ustaljenom stanju prestavlja prekid, pa se s pomoću slike 1 1.7.b) uvi­ đa da je: (11.13)

�

Sređivanjem i računanjem drugog korijena dobiva se:

V = -V D o

m

RT 2L

(U skladu s dogovorom o predznacima ispred drugog korijena predznak je minus.) Neka se sada promijeni faktor vođenja od D na d(t) =D+d(t). Pretpostavimo, jednosta�osti radiL da je ulazni napon konstantan i da iznosi Vin' U skladu s time neka su: iit) =ld+i it) i vJt)=� +v0(t). Tilda (znak -) označuje promjenu vrijed­ nosti varijable u odnosu na njezinu nazivnu vrijednost*. Linearizacijom strujnog iz* Dosljedno bi trebalo označiti npr. v0(t), no budući da je prešutno jasno značenje il;,(t), ne treba gomilati znakove. (Prim. prev.)

27

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

vora usrednjenog kruga razvojem u Taylorov red do uključujući člana prvog reda (član prvog reda još se naziva linearni član), dobiva se:

(11.14)

Parcijalne derivacije u (11.14) računaju se u nazivnoj točki. Pojednostavnjenjem (11.14) s pomoću (11.13) dobiva se:

id (t) ""' v0 (t) + Vin '{rrr RLd(t) R

-

1

(11.15)

Dobiveni linearizirani usred.njeni krug prikazuje slika 11.12.

R

c

Slika 11.12. Linearizirani usrednjeni krug uzlazno-silaznog pretvarača u ispreki­ danom načinu rada

11.4.3. Linearizacija usrednjene sklopke Već je pokazana kako se usrednjava učinski krug visokofrekvencijskoga sklop­ nog istosmjemog pretvarača. Osnovno je znati usrednjiti preklopku općega sklop­ nog elementa. Nesklapni elementi najčešće se modeliraju LVN elementima, pa se zato usrednjavanjem ne mijenjaju. Slično, ključni korak u linearizaciji nelinearnoga usrednjenoga kruga takvog pretvarača Iinearizacija je usrednjenog modela preklopke. Ako su ostali nesklapni elementi LVN elementi, oni se linearizacijom ne mijenjaju. Linearizacija usrednjenog modela preklopke prikazane na slici 11.10.b) provo­ di se Iako. U tu svrhu označimo nazivne vrijednosti velikim kosim slovima, a odstu­ panja tildom iznad maloga kosog slova, kao u primjeru 11.8. Nazivno rješenje naj­ češće opisuje konstantno ili periodičko ustaljeno stanje, no poznavanje nazivnog rje­ šenja za sljedeću linearizaciju nije potrebno. Može se napisati:

d(t) = D + d(t) d'(t) = D' d(t) -

(11.16)

28

11.4. LINEARIZIRANI MODELI

i slično za ostale varijable. Sada se varijable izvora d(t)1x(t) i d(t)v;,z(t) na slici 11.10.b) razviju, glede odstupanja, do uključivo člana prvog reda, tj. do uključivo linearnog člana. Prema tome zanemaruju se kvadratni članovi i umnošci malih odstupanja. Dobivaju se sljedeća odstupanja prvog reda varijabla izvora:

d(t)�(t) - Dlx Dtx (t) + lxd(t) d(t)vyz - D Vyz Dvyz (t) + Vyzd(t) �

�

y

(11.17)

z

a)

y

z

Ixd D'

b) Slika 11.13. a) Linearizirani usrednjeni model općega sklopnog elementa. b) Al­ ternativni prikaz modela na slici a)

29

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

Rezultate tog računa predočuje linearizirani krug na slici 1 1 .13.a) i ekvivalentni li­ nearizirani krug na slici 1 1 .13.b).

Još jednom se vratimo na uzlazno-silazni pretvarač iz primjera 1 1 . 1, 1 1.3 i 1 1.7 i potražimo linearizirani usrednjeni model koji opisuje mala odstupanja od nazivnoga ustaljenog stanja u ne.isprekidanom načinu rada. Linearizirana inačica usrednjenog modela sa slike 1 1 . 1 1 dobiva se zamjenom svih struja i svih napona njihovim odstupanjima od nazivne vrijednosti i zamjenom usrednjenog modela općega sklopnog elementa njegovom lineariziranom inačicom zbog toga se linearizacijom ne mijenjaju. Rezultat prikazuje slika 1 1 . 14; s v in ozna­ prikazanom na slici 1 1 .13.b). Svi ostali elementi pretvaračkog kruga linearni su i

čeno je odstupanje trenutačne srednje vrijednosti ulaznog napona od svoje nazivne istosmjerne vrijednosti.

lL d D'

vin

li

I I I I I L r

t

+

L

I I I I I _J

I

+ -

(Vin - vo)J D'

+

c

R

vo

F'L

Slika 11.14. Linearizirani usrednjeni model uzlazno-silaznog pretvarača Dakle, linearizirani model za nazivno konstantno ustaljeno stanje je

U takvom je

LVN krug.

slučaju pronalaženje vrijednosti svih varijabla kruga jednostavno (pri­

mjerice uporabom impedancijskih metoda). Za projektiranje upravljanja mora se znati prijenosna funkcija između odstu­

d

napona v0• Stavljanjem vin =0 te jednostavnim računom dobiva se za strujni krug na

panja faktora vođenja

(to je ulazna upravljačka veličina) i odstupanja izlaznog ·

slici 1 1 . 14, prijenosfta funkcija:

vo(s) d(s)

=

�n s - -LIL IL C 2 + -1- + '2 s Ds RC LC

( 1 1 . 18)

30

11.5. UPRAVLJANJE S POVRA1NOM VEZOM

(Uporabom jednadžba

(11.7),

koje opisuju ustaljeno stanje, pojednostavnjena je

11. 7 u 11.1. Ona je usto dobro po­

konstanta u brojniku.) Ta prijenosna funkcija spomenuta je na kraju primjera svezi određivanja učinka unaprijedne veze u primjeru

lazište za tumačenje utvrđenog ponašanja kruga s proporcionalnom povratnom ve­ zom (v. sliku

11.5) u primjeru 11.3 . O tome ćemo još raspravljati u primjeru 11.11.

Proračun prijenosne funkcije u primjeru

11.9 ilustrira probitke LVN električ­

nog modela sklopa u istraživanju dinamike učinskih sklopova. Tukvi modeli omogu­ ćuju preuzimanje obimnog niza poznatih pojmova i metoda iz analize

LVN mreža

za proučavanje odstupanja učinskih sklopova od nazivnog rada. Ti pojmovi i metode uključuju metodu superpozicije, impedancijske metode, Nortonov i Theveninov teorem i poopćenje tih teorema na višeprilazne mreže, metode s međupovezivanja mreža, teoriju osjetljivosti itd. Primjerice, pored prijenosne funkcije izračunane u primjeru

11.9, može se izračunati izlazna i ulazna impedancija ili admitancija i drugi

različiti relevantni prijenosni omjeri. Ti prijenosni omjeri važni su za opisivanje utje­ caja karakteristika izvora i tereta, parametara učinskog sklopa i projekta upravlja­ nja na dinamičko ponašanje. Model sklopa, osim što je polazište za rješavanje zadaća u svezi analize stabil­ nosti i projekta upravljanja, može katkad izravno upućivati na rješenje upravljanja. Razmotrimo, primjerice, još j ednom strujni krug na slici

11.12 koji je dobiven line­

arizacijom usrednjenog modela uzlazno-silaznog pretvarača u isprekidanom načinu rada. Očito, ako se paralelno kapacitetu doda otpor, poveća se prigušenje te odstu­ panje v0 pada brže prema nuli. Razumljivo, ne smije se dodati fizički otpor jer se time smanjuje djelotvornost pretvarača. No, učinak fizičkog otpora može se u pot­ punosti oponašati s pomoću upravljanja. Uočite sljedeće. Ako se uporabom proporcionalne povratne veze iznudi

d (t)=hv/t), gdje je h

konstanta, učinak je isti kao da se strujni izvor na slici

zamijenio otporom vodljivosti h �n

11.12

.J2T/RL . Proporcionalno-integralno upravljanje

ima isti učinak kao zamjena strujnog izvora paralelnim spojem otpora i induktivite­ ta. Taj je induktivitet uzrok da j e ustaljena vrijednost v0 jednaka nuli, čak i u slučaju netočnih parametara ili konstantnih poremećaja (npr. odstupanje induktiviteta pre­ tvarača ili konstantno odstupanje ulaznog napona od njihovih nazivnih vrijednosti). Prema tome, model sklopa često omogućuje dublji uvid u projekt upravljanja, pri­ mjerice u idejnoj fazi projekta ili u fazi tumačenja projekta.

11.S.

UPRAVLJANJE S POVRATNOM VEZOM

Pokazali .smo kako se dobivaju i linearni i nelinearni modeli nekih vrsta učin­ skih sklopova. Ti modeli poslužili su za proučavanje dinamike trenutačno usred­ njenih varijabla. Kako se ti modeli uporabljuju za analiziranje i projektiranje uprav­ ljanja s povratnom vezom? Uporabom nelineamog modela ponajčešće je teško procijeniti stabilnost susta­ va s povratnom vezom. Isto je tako teško projektirati ili vrjednovati shemu uprav­ ljanja s povratnom vezom. Zato ćemo se u ovom odsječku usredotočiti na

LVN

modele, poput onih koji smo dobili linearizacijom u odabranoj radnoj točki. Ako

31

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

postoji LVN model, tada za proučavanje upravljanja s povratnom vezom imamo na raspolaganju opsežan niz sustavnih analiza* i projektnih pristupa. Upravljački sklo­ povi projektirani uporabom LVN modela najčešće su isto tako LVN. Za upravljačke sklopove izvedene iz lineariziranih modela ne može se jamčiti zadovoljavajući rad pri velikim odstupanjima od nazivnog rada, čak i ako se očekuje dobar rad pri malim odstupanjima. Nadalje, kod projektiranja upravljačkih sklopo­ va potrebno je računati s činjenicom da se linearizirani model Inijenja s Inijenjanjem radnih uvjeta. Pa ipak, većina upravljačkih sklopova za upravljanje učinskim sklopo­ vima projektira se na osnovi lineariziranih modela. Upravljački sklop zasnovan na modelu koji daje lineariziranom modelu učinskog sklopa zadovoljavajuće karakteri­ stike vjerojatno će održavati rad učinskog sklopa blizu nazivnog i učinit će da je nje­ gov rad relativno neosjetljiv na male poremećaje i kvarove. Stoga se opravdano oče­ kuje da nelinearnosti imaju samo sekundarno djelovanje, osim ako su poremećaji

ili dopunama jezgre LVN upravljačkog sklopa.

veliki. Učinci nelinearnosti najčešće se rješavaju razradom detalja, modifikacijama Zbog navedenih razloga u ovom pregledu ograničit ćemo se na razmatranje pi­ tanja projektiranja kla�ičnog upravljanja s povratnom vezom vremenski kontinuira­ nih LVN modela. To omogućuje uporabu jednostavnih izračuna prijenosne funkci­ je, ali još uvij ek daje velike mogućnosti procjenjivanja mogućih prednosti i zamka upravljanja s povratnom vezom. Daljnja razmatranja projektiranja upravljanja na osnovi takvih modela, kao i modela u prostoru stanja i vremenski diskretnih mode­ la, ostavljena su za

14.

poglavlje. Velik dio

nakon proučavanja ovog

14.

poglavlja može se razumjeti odmah

11. poglavlja.

11.5.1. Klasična LVN-struktura upravljačkog sustava Priličan uvid u ono što se može postići povratnom vezom, kao i razumijevanje opasnosti uvođenja povratne veze, može se dobiti razmatranjem sustava sastavlje­ nog od vremenski kontinuiranih LVN podsustava s jednim ulazom i jednim izlazom,

1 1.15. Ta jednostavna struktura s povratnom vezom jednaka je onoj na slici 11.1 i u osnovi je svakoga klasičnog projekta upravljanja. Znanja koja ćete steći raz­

slika

matranjem te strukture možete izravno priinijeniti za upravljanje dinamičkim pona­ šanjem mnogih učinskih sklopova za male signale. Suvremeni pristupi projektiranju upravljanja imaju podrijetlo u metodama u prostoru stanja, razvijenim u ranim šezdesetim godinama. Služe za rješavanje opće­

12., 13. i 14. poglavlju ne možemo ništa više učiniti nego nagovijestiti te relativno nove domašaje. Međutim, za jednostavnu strukturu na slici 11.15, klasični pristup projek­

nitih problema, primjerice međupovezanih sustava s više ulaza i više izlaza. U

tiranju upravljanja izdržao je ispit vremena i postao zahtjevna norma današnjeg pri­ stupa projektiranju upravljanja. Funkcija upisana u svaki blok na slici

11.15 prijenosna je funkcija. Ona povezu­ je izlaz bloka s njegovim ulazom u Laplaceovu području (ili u frekvencijskom ili im­ pedancijskom području). Ako nije drukčije navedeno, pretpostavlja se da su sve pri­ jenosne funkcije omjeri polinoma od s, tj. da su racionalne funkcije od s. Taj slučaj

* Sustavna je analiza analiza koja se provodi prema određenom planu. (Prim. prev.)

32

11.5. UPRAVLJANJE S POVRA1NOM VEZOM

b

poremećaj referenca r

upravljački .. sklop +'--...:.---' h(s) 10

upravljački ---signal nazi.vni u .__ __ _.... model

izlaz y

_ _

g(s)

neodre­ đenost modela

i(s)

senzor

p (s) šum n

Slika 11.15. Blokovska shema klasične strukture linearnog i vremenski neovisnog sustava s povratnom vezom

je najvažniji u projektiranju upravljanja. Katkad se moraju uporabiti neracionalne prijenosne funkcij e. To je primjerice kod bloka s vremenskim kašnjenjem između ulaznog i izlaznog signala - vremensko kašnjenje 'f/ daje u Laplaceovom području neracionalnu prijenosnu funkciju e-rJs. Da bi se zadržala učinkovitost označivanja, kadgod je nužno da se jasno iskaže područje, signali se pišu zajedno s argumentom, primjerice signal u na slici 1 1 . 15 u vremenskom je području u(t) , a u Laplaceovu je području u(s). Međutim, taj dogo­ vor o označivanju može zavesti jer se u(s) ne dobiva zamjenom slova t sa s u izrazu za u(t) (nedvosmislena označivanje bilo bi primjerice u (s), no takvo je označivanje nespretno jer je grafički nespojivo s našim označivanjem srednjih vrijednosti, pore­ mećaja i sl.). No, obično je iz suriječja jasno o kojem se području radi. Prijenosne funkcije, kao što je g(s), uvijek se pišu zajedno s argumentom. Slika 1 1 . 15 prikazuje sustav s upravljanjem. Prijenosna je funkcija procesa g(s) + g(s) i ona povezuje izlazni signal y s upravljačkim ulaznim signalom u. U tom slučaju g(s) opisuje nazivni model procesa, a g(s) neodređenost nazivnog modela. Na funkciji g(s) zasniva se projekt upravljanja. Neodređenost nazivnog modela mo­ že biti, primjerice, posljedica nepoznavanja trošila i ostalih parametara kruga ili uči­ njenih pojednostavnjenja, aproksimacija i kompromisa tijekom modeliranja. Poremećaji koji djeluju na pogon opisuju se njihovim učincima na izlazu pogo­ na y s pomoću signala b. Jednostavnosti radi uzimamo da se ni jedan poremećaj ne može mjeriti te da zato nije moguća unaprijedna veza. Signal povratne veze dobiva se mjerenjem izlaznog signalay sustava. Izlazni signal prolazi kroz senzor prijenosne funkcij e p(s) 1 pogoršan je mjernim šumom n. Signal povratne veze uspoređuje se s vanjskim signalom r. Vanjski je signal r referentna vrijednost (ili željena vrijednost ili signal naredbe) za izlazni signal y. Idealno se želi da je r =y. Rezultat je usporedbe tih dvaju signala signal pogreške s . Da bismo razmatranje zadržali jednostavnim, ne ćemo razmatrati dinamiku senzora, tj. uzet ćemo p(s) = l. Upravljački signal po­ gona u dobiva se iz LVN upravljačkog sklopa ili kompenzatora na koji djeluje signal pogrješke s . Prijenosna je funkcija upravljačkog sklopa h(s).

33

1 1 . DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

Upravljačka struktura elektromotomog pogona s usmjerivačem na slici 11.16 za­ sniva se na proporcionalno-integracijskom (PI) regulatoru. O takvom se regulatoru raspravlja u primjerima 11.2 i 11.4. Prijenosna funkcija armatumog kruga 1/(sL+R) povezuje usrednjene signale armaturnog kruga - to je jednostavno ulazna admitan­ cij a usrednjenog kruga na slici 11.6.b) iz primjera 11.4. »Poremećaj« E mogli bismo modelirati dodajući ga izravno na ulaz pogona. Umjesto toga, opisali smo ga doda­ vanjem ekvivalentnog signala na izlaz pogona da bi strukture na slikama 11.15 i 11.16 izgledale slično. E -1

±

inverzna PI regulator karakteristika

Slika 11.16.

sL + R

usmjerivač

upravljački sklop

�

statička karakteristika kašnjenje

a

armaturni krug

vd -1-T

b

1

l + s2

Upravljanje s povratnom vezom elektromotornog pogona s usmjeri­ vačem

Srednja vrijednost struje Ta(t) obično se u praksi dovoljno točno dobiva filtrira­ njem struje ia(t) niskopropusnim filtrom prijenosne funkcije 1/(1 +s T/2)*. Ta sred­ nja vrijednost struje uspoređuje se s referentnom strujom Jref" Ovisno o razlici, re­ gulator određuje vrijednost kuta upravljanja a usmjerivača. S time je određen valni oblik izlaznog napona usmjerivača va(t), a odatle i njegova srednja vrijednost va(t). Iz 5. poglavlja znamo da je veza između kuta upravljanja a i srednje vrijednos­ ti izlaznog napona va(t) u ustaljenom stanju dana izrazom (id) = (2V/7t)cos a, gdje je V amplituda napona sinusnoga naponskog izvora. Prijelazna stanja srednje vrijed­ nosti izlaznog napona, međutim, ovise na složeniji način o promjenama kuta uprav­ ljanja. Primjerice, kada ste razmatrali odziv otvorene petlje na skokovitu promjenu kuta upravljanja u primjeru 1 1.4, već ste uočili da je za promjenu srednje vrijedno­ sti napona od početne na konačnu vrijednost potreban interval trajanja do jedne pe­ riode T. * Nije prikazan na slici 11.16.

T

je perioda mrežnog napona. (Prim. prev.)

34

11.5. UPRAVLJANJE S POVRATNOM VEZOM

Ove spoznaje vode na približni nazivni model, kakav se obično uporabljuje za prikazivanje dinamike fazno upravljivog pretvarača. Model je kaskada bloka koji opisuje statičku karakteristiku pretvarača i bloka koji opisuje srednje vrijeme kaš­ njenja u pretvaraču (iznosi T/2). Takva aproksimacija dinamike pretvarača je ra­ zumna, ako se signali u sustavu znatno ne mijenjaju u intervalima trajanja T. Takvi se modeli često izgrađuju u slučajevima kod kojih je potrebno učinke uzorkovanja približno opisati vremenski kontinuiranim modelima. Međutim, katkada je aproksi­ macija tako gruba da ne omogućuje zadovoljavajuću analizu sustava, te je jedini iz­ bor prelazak na uzorkovni model. Vremensko kašnjenje opisali smo racionalnom prijenosnom funkcijom 1/(1 +sT/2). Ta prijenosna funkcija aproksimacija je neracionalne eksponencijalne pri­ jenosne funkcije e-sT/2. Može se uporabiti i bolja aproksimacija: (1-sT/4)/(1 +sT/4). Međutim, takvo navođenje detalja vjerojatno nij e opravdano ako nije praćeno od­ govarajućim iscrpnim opisom ostalih dijelova modela. Osnovna je namjena upravljačkog sklopa mijenjanje srednje vrijednosti izlaz­ nog napona vit) u skladu sa signalom pogrješke t: . Signal pogrješke izražava razliku između željene i stvarne vrijednosti armaturne struje. Traži se linearna veza između srednje vrijednosti izlaznog napona vit) i signala pogrješke t:. Takvu vezu može dati upravljački sklop koji se zasniva na kaskadi LVN bloka koji opisuje dinamičke ka­ rakteristike upravljačkog sklopa i bloka koji opisuje statičku nelinearnost - inverznu statičku karakteristiku upravljivog pretvarača. Takav pristup, koji je spomenut u pri­ mjeru 5.1, omogućuje analizu i projektiranje sveukupnog sustava uporabom LVN modela. LVN je blok upravljačkog sklopa PI regulator. Pojačanje je proporcional­ nog dijela PI regulatora hl' a integracijskog dijela h • Taj se upravljački sklop jedno­ 2 stavno ostvaruje uporabom operacijskih pojačala. Prijenosne funkcije između pobudnih signala r, b i n i izlaznog signala y naziv­ nog sustava (g(s) =O), slika 1 1.15 mogu se lako izračunati uporabom veza upisanih u blokove. Rezultat se izražava s pomoću nazivne prijenosne funkcije petlje (prije­ nosna funkcij a petlje umnožak je prijenosnih funkcij a oko petlje povratne veze; tj. u općem je slučaju l(s) =p(s)g(s)h(s) , a u našem je slučaju l(s) =g(s) h(s), jer je p(s) = l). Lako se dobiva: y=

1 l(s) b+ (r - n) l + l(s) l + l(s)

(11.19)

Jednadžbu (11.19) je još jednostavnije napisati definiranjem tzv. funkcije osjetljivo­ sti µ(s) i komplementarne funkcije osjetljivosti µ ' (s) = l -µ(s): 1 1 + l(s) l(s) µI(s) = 1 + l(s) µ(s) =

(11.20)

Uočite da je µ ' (s) upravo prijenosna funkcija od r do y, zato se još naziva prijenos­ nom funkcijom. sustava. Jedan je od razloga zašto je funkciji µ(s) dan poseban naziv

35

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

i taj što mala relativna promjena prijenosne funkcije sustava zbog male relativne promjene prijenosne funkcije petlje iznosi:

dl(s) dµ'(s) = µ(s) l(s) µ'(s)

(11.21)

To se može jednostavno provjeriti. Sada se izraz (11.19) može napisati ovako: y

= µ(s)b + µ'(s)(r - n)

(11.22)

Ti se izrazi uporabljuju za procjenjivanje triju međusobno preklapajuće karak­ teristike sustava s povratnom vezom, takvih sustava kakvi su prikazani na slikama 11.15 i 11.16. Te su karakteristike: nazivna stabilnost, nazivne karakteristike ili na­ zivne performance i robustnost. Robustnost, i glede stabilnosti i glede karakteristi­ ka, razmatra se uz postojanje pogrješaka modeliranja. Nazivna stabilnost i nazivne karakteristike razmatraju se za g(s) =O, dok se robustnost odnosi na održavanje sta­ bilnosti i karakteristika za g (s) #0. Povratna veza ima tu moć da nestabilni sustav učini stabilnim. Štoviše, karak­ teristike sustava sa povratnom vezom mogu biti osjetno bolje od karakteristika sus­ tava bez povratne veze. No, isto je tako moguće da se, u slučaju nepažnje, pogorša­ ju karakteristike stabilnog sustava bez povratne veze ili da se čak učini nestabilnim. Zbog toga, kod projektiranja i ostvarenja upravljanja s povratnom vezom treba biti posebno pažljiv. 11.5.2. Nazivna stabilnost LVN sustav s jednim ulazom i jednim izlazom stabilan je ako, polazeći iz sta­ nja mirovanja amplitudno ograničeni signali na ulazu uvijek uzrokuju amplitudno ograničene signale na izlazu. Takva stabilnost naziva se BIBO stabilnost. Nužan je dovoljan uvjet BIBO stabilnosti da se svi polovi prijenosne funkcije sustava nalaze u otvorenoj lijevoj poluravnini* (što je jednako iskazu da impulsni odziv** opada prema nuli). Kratkoće radi u ovom se slučaju kaže da je prijenosna funkcija sustava stabilna. Pol koji se striktno nalazi u lijevoj poluravnini naziva se stabilni pol. Sustav sastavljen od LVN podsustava unutarnje je stabilan ako, polazeći iz sta­ nja mirovanja, amplitudno ograničeni vanjski signali na ulazu ·svakog podsustava uvijek prouzročuje amplitudno ograničene signale na njegovu izlazu. Nužan je do­ voljan uvjet unutarnje stabilnosti da su prijenosne funkcije svih podsustava stabilne. Kada se u preostalom dijelu tog odsječka raspravlja o stabilnosti, misli se na unu­ tarnju stabilnost sustava sa zatvorenom petljom na slici 11.15. (Suptilnosti poveza­ nosti unutarnje stabilnosti, koja se dokazuje s obzirom na ulazni i izlazni signal, i asimptotske stabilnosti, koja se dokazuje odzivom na početne uvjete, ostavljene su za odsječak 13.3.)

* To znači da je isključena imaginarna os. (Prim. prev.)

* * Impulsni je odziv odziv na jedinični impuls ili na Diracovu o-funkciju. (Prim. prev.)

36

11.5. UPRAVLJANJE S POVRA1NOM VEZOM

Prethodni kriterij stabilnosti kaže da je nazivni sustav (tj. g(s) =O) s povratnom vezom na slici 11.15 (uz p (s) = l ) stabilan onda i samo onda ako su funkcijeµ(s)h(s), µ(s)g(s) i µ' (s) stabilne. Lako se može provjeriti da su navedeni uvjeti ispunjeni ako su istodobno ispunjena sljedeća dva uvjeta. (1) Funkcija osjetljivosti µ(s) stabilna je (ili, što je istovrijedna, njezina je kom­ plementarna funkcija µ ' (s), tj. prijenosna funkcija sustava, stabilna). (2) Ni jedan pol prijenosne funkcije nazivnog procesa g(s) ili prijenosne funk­ cije upravljačkog sklopa h(s) u zatvorenoj desnoj poluravnini (tj. uključujući imaginarnu os) ne poništava se s nulama h(s) ili g(s). Polovi od g(s) koji se poništavaju s nulama od h(s) ili polovi od h(s) koji se po­ ništavaju s nulama od g(s) nazivaju se skriveni polovi nazivnog sustava. To su oni po­ lovi prijenosne funkcije nazivnog procesa g(s) i prijenosne funkcije upravljačkog sklopa h(s) koji nisu polovi prijenosne funkcije petlje. Stoga povratna veza ne utječe na skrivene polove. Zato se uvjet (2) može izreći i ovako: ne postoje nestabilni skri­ veni polovi. Odabir h(s) ovisi o projektantu, pa je prema tome uvjet (2) lako ispuni­ ti. Od sada uzimat ćemo da je uvjet (2) ispunjen. Uvjet se stabilnosti stoga svodi na uvjet (1), naime na stabilnost funkcije osjetljivosti (ili prijenosne funkcije sustava). Uočite, ako struktura na slici 1 1.15 nema povratnu vezu, stabilnost nazivnog sustava određuju polovi od g(s). Nazivni sustav s povratnom vezom može biti stabi­ lan čak i ako je nazivni proces nestabilan, i obrnuto, što se može provjeriti na jedno­ stavnim primjerima. To je jedna od potencijalnih prednosti, ali i opasnosti, uprav­ ljanja s povratnom vezom. Routh-Hurwitzov kriterij klasičnog upravljanja omogućuje jednostavnu pro­ vjeru stabilnosti racionalne prijenosne funkcije, kao što je g(s) ili µ(s), bez izračuna­ vanja polova. Provjera zahtijeva samo jednostavna računanja s koeficijentima poli­ noma nazivnika. Bolji je kriterij provjere stabilnosti sustava s povratnom vezom Nyquistov krite­ rij. Njega ćemo proučiti u odsječku 14.1. Zasniva se na pojačanju petlje l(jw) - to je frekvencijski odziv prijenosne funkcije·petlje. Nyquistov je kriterij posebno pogodan u slučajevima kod kojih je proces karakteriziran vrijedećim mjerenim frekvencij­ skim odzivom, no dometi tog kriterija daleko su veći. Na njemu se zasnivaju mnoge metode projektiranja upravljanja, on daje zasnovanu prosudbu blizine nestabilno­ sti, a osnova je i računanja kasnije spomenute robustne stabilnosti. Položaj polova funkcije µ(s) daje važne informacije o stupnju stabilnosti, nai­ me, položaj polova određuje brzinu odvijanja prijelazne pojave. Polovi funkcijeµ(s), zajedno sa svim skrivenim polovima, određuju niz prirodnih frekvencija sustava. Broj prirodnih frekvencija naziva se red sustava. Ako nema skrivenih polova, naziv­ nik funkcije µ(s) naziva se karakteristični polinom sustava. Korijeni karakterističnog polinoma nazivaju se karakteristični korijeni ili prirodne frekvencije sustava. Prirodna frekvencija A. 1 = a1 +jw 1 daje član oblika c 1e' 11 = c1ea11eiw 11 u odzivu sus­ tava. Odziv opada na nulu ako je a1 < O, tj. ako je A.1 striktno u lijevoj poluravnini. Što je a negativniji, to odziv ima brži pad odnosno veće prigušenje. Što je w1 veći, 1 to je odziv oscilatorniji. U klasičnom upravljanju postoje različita pravila koja omogućuju brzo grafičko traženje odgovora na pitanje kako promjene parametara upravljačkog sklopa ili na-

37

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

zivnog modela procesa mijenjaju položaj prirodnih frekvencij a u kompleksnoj ravni­ ni. Tako je geometrijsko mjesto karakterističnih korijena velika pomoć pri razumi­ jevanju utjecaja promjena parametara upravljačkog sklopa ili nazivnog modela pro­ cesa na ponašanje sustava. Isto tako, dragocjena su pomoć pri sintezi mogućih struk­ tura upravljačkog sklopa.

Sada raspolažemo informacijama potrebnim za objašnjenje rezultata iz pri­ mjera 11.3, u kojem smo pokušali ostvariti regulaciju uzlazno-silaznog pretvarača uporabom proporcionalne povratne veze. Unaprijedna vođenje u blokovskom dija­ gramu na slici 11.5.a) ne utječe na dinamiku i nema veze s raspravom o stabilnosti. Ako se ne uzme u obzir unaprijedna veza, preostali dio blokovske sheme može se prikazati shemom na slici 11.17.a). To je uobičajeni oblik blokovske sheme sa slike 11.15.

Ti

upravljački sklop

O

h

-

Slika

11.17.

imaginarni �--��-� dio uzlazno-silazni 4 000 pretvarač h>O

�

�')

� _:� -

- 4 000

- 2 100 - 1 500

- 900

a) Linearizirani model uzlazno-silaznog pretvarača s proporcional­ nom povratnom vezom. b) Mjesto prirodnih frekvencija za h O

g(s)

Prijenosna funkcija od d do v0 dana je izrazom (11.18), a slučaju jednostavno pojačanje Funkcija osjetljivosti ima oblik:

h.

1 D'2 2 -s -s µ(s) = 1 +D'RC2 + LI C s2 + RC s + LC + h c s - L�:

(

s

- 300 o realni dio

l ( l V

L

h(s) je u ovom (11.23 )

Oba su korijena nazivnika u lijevoj poluravnini onda i samo onda ako su i koefici­ jent od i konstantni član pozitivni. Nula u desnoj poluravnini prijenosne funkcije onemogućuje da taj uvjet vrijedi za sve pozitivne Da bi se ispunio taj uvjet sta­ bilnosti, vrijednost mora biti u intervalu:

g(s)

h

h.

38

11.5.

UPRAVLJANJE S POVRATNOM VEZOM

(11 .24) Alternativni je izraz za donju granicu: -D' 2/(V;_JJ). Korijeni nazivnika izraza. (11.23) ujedno su prirodne frekvencije sustava. Slika 11.17.b) prikazuje geometrijsko mjesto (lat. loci) prirodnih frekvencija za pozitivne i negativne vrijednosti h. Uočite da s rastom h prema negativnim vrijednostima opada prigušenje; prirodne se frekvencije približuju imaginarnoj osi i njihovi imagi­ narni dijelovi rastu. Te su promjene potpuno u skladu s odzivom u vremenskom po­ dručju prikazanom na slici 1 1.5.b). S rastom h prema pozitivnim vrijednostima, pri­ rodne se frekvencije najprij e odmiču od imaginarne osi i prigušenje raste, a zatim kod većih pozitivnih vrijednosti korijeni postaju realni i jedan od njih možda prelazi u desnu poluravninu. I te su promjene u skladu s 9dzivom u vremenskom području prikazanim na slici 11.5.c). 11.5.3. Nazivne karakteristike Nakon što se jednom zatvaranjem petlje povratne veze osigura stabilnost na­ zivnog procesa, dolazi na red razmatranje ostalih karakteristika. Procjena nazivnih karakteristika znatno je složenija od procjene nazivne stabilnosti. Neke željene ka­ rakteristike najbolje se objašnjavaju i procjenjuju u vremenskom području, a druge se najlakše iskazuju u frekvencijskom području. Katkad je teško donijeti kompro­ misnu odluku. Od karakteristika u vremenskom području, u prvome nas redu zanima odziv sustava na brzu promjenu ulaza. Njega određuju prirodne frekvencije. Što je realni dio prirodne frekvencije A. 1 negativniji, to brže opada pridruženi eksponencijalni član c1el11. Često je poželjno da je odziv brz. Međutim, sam položaj prirodnih fre­ kvencija ne sadrži informacije o takvim značajkama kao što je, primjerice, vršna vri­ jednost sustavskih varijabla tijekom prijelazne pojave. Takve značajke mogu biti pre­ sudne kod procjenjivanja karakteristika, posebice kod procjenjivanja karakteristika učinskih sklopova. Simulacije ponašanja sustava u vremenskom području pomažu vrjednovanju karakteristika, kao što je npr. vršno nadvišenje izlaznih i unutarnjih varijabla. Pomažu čak i onda ako su zasnovane na linearnim modelima. Za sustave drugog reda poznata je mnogostrana povezanost odziva s položajem polova i nula. Primjerice, brz odziv s malim nadvišenjem tipičan je za kompleksne polove čiji su realni i imaginarni dio približno jednaki. Veliko nadvišenje ukazuje na postojanje nule. Probitak je takvih spoznaja kod projektiranja upravljanja sustavima višeg reda. Naime, upravljanje sustavima višeg reda često se projektira tako da se uvođenjem povratne veze dobiva sustav koji se uglavnom ponaša kao sustav drugog reda. To se postiže smještajem para polova osjetno bliže imaginarnoj osi od svih os• talih polova. Karakteristike koje je zgodno izraziti u frekvencijskom području analiziraju se uporabom (11.22). Nazivne karakteristike sustava s povratnom vezom na slici 1 1.15 u prvome se redu ocjenjuju prema kriteriju koliko se dobro kod nazivnog sustava podudara izlazni signal y s referentnim signalom r unatoč poremećaju b i mjernom šumu n. Iako je referentni signal r obično konstantan ili sporo promjenjiv, signale b

39

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

i n najbolje je zamišljati vremenski promjenjivim, ali ograničenim čiji se utjecaj pro­ teže u nekom frekvencijskom području. Jednadžba (11.22) navodi da presudnu ulogu ima frekvencijski odziv funkcije osjetljivosti µ(jw) ili, što je jednakovrijedna frekvencijski odziv pojačanja petlje l(jw) Zbog kasnije usporedbe, najprije uočite da se u sustavu bez povratne veze po­ remećaj b pojavljuje bez slabljenja jer je y= g (s)u + b. Čak ako je prijenosna funk­ cij a nazivnog procesa g(s) stabilna i ako se u može odabrati tako da je g (s) u =r, dobi­ li bismo y-r = b. Mjerni šum ne treba razmatrati u slučaju bez povratne veze jer ne­ ma mjerenja. Za sustave s povratnom vezom izraz (11.22) pokazuje da se može postići y ::.:: r više ili manje jednoliko u nekom frekvencijskom području ako je: (1) lµ(jw) I ::.:: O ili jednakovrijedna izražena I l(jw) I » 1 u frekvencijskom područ­ ju u kojem su r i b znatno utjecajniji od n i (2) lµ(jw) I ::.:: l ilijednakovrijedno izražena l l(jw) I « 1 u frekvencijskom područ­ ju u kojem je n znatno utjecajnij i od r i b. Uvjet (1) zahtijeva veliku amplitudu pojačanja petlje u frekvencijskom po­ dručju u kojem referentni signal r i poremećaj b imaju relativno velik utjecaj. Uvjet (2) zahtijeva malu amplitudu pojačanja petlje u frekvencijskom području u kojem mjerni šum ima relativno velik utjecaj. U frekvencijskom području u kojem je utje­ caj r i b usporediv s utjecajem n teško je postići zadovoljavajuće karakteristike, ba­ rem sa strukturom prikazanom na slici 11.15. Amplituda pojačanja petlje fizičkog sustava prirodno opada prema malim vri­ jednostima s porastom frekvencije. Zato su najbolje okolnosti za ostvarenje uprav­ ljanja ponajčešće onda kada su referentni signal r i signal poremećaja b niske fre­ kvencije, a mjerni šum n isključivo visoke frekvencije. Prema tome, prijenosna funk­ cija upravljačkog sklopa h(s) odabire se računom i pokusima tako da je amplituda pojačanja petlje velika na niskim frekvencijama i da se smanjuje na višim frekvenci­ jama. Naravno, pri tom oblikovanju pojačanja petlje treba voditi računa o tome da se ne naruši stabilnost sustava s povratnom vezom. Nyquistov je kriterij posebno ko­ ristan jer povezuje stabilnost i pojačanje petlje. U odsječku o robusnosti 11.5.4 raspravit ćemo dodatne uvjete na pojačanje pet­ lje. U 14. poglavlju ukazat ćemo na to kako klasični pristup projektiranju upravlja­ nja razrješava sva ta pitanja. Srodni proračuni u svezi s projektiranjem upravljačkog sklopa najbolje se provode uporabom Bodeova dijagrama za pojačanje petlje. Bode­ ov dijagram obuhvaća ovisnost amplitude pojačanja petlje I l(jw) I o frekvenciji u log-log mjerilu i ovisnost faze pojačane petlje Ll(jw) o frekvenciji u lin-log mjerilu. Amplituda pojačanja petlje u Bodeovu se dijagramu iskazuje u decibelima (dB), a prema definiciji iznosi 20 log10 I l(jw) I · Frekvencija na kojoj amplituda pojačanja petlje padne na 1 (ili O dB) naziva se presječna frekvencij a pojačanja i označuje se s wc· Iz (11.20) vidi se da je amplituda frekvencijskog odziva sustava na frekvenciji wc veća ili jednaka 1/2, tj. I µ ' (jw) I � 1/2. Taj iznos frekvencijskog odziva sustava na frekvenciji wc još je uvijek usporediv s iz­ nosom na niskim frekvencijama (iznosi približno 1 ) , pa stoga sustav još uvijek dobro reagira na frekvenciji wc· Stoga je frekvencija wc neka mjera propusnog pojasa sus­ tava. (U strogom smislu propusni pojas definira frekvencija kod koje amplituda fre­ kvencijskog odziva sustava padne na li.Ji svoje niskofrekvencijske vrijednosti.) .

_,

40

11.5. UPRAVLJANJE S POVRA1NOM VEZOM

Time smo saželi tradicionalan pristup projektiranju upravljanja. No, morate biti svjesni da se tradicionalnim pristupom ne mogu razriješiti sve pojavnosti upravljanja. Postoje pojave koje zahtijevaju drukčiji pristup. Primjerice, mnoga praktična pravila* koja se često uporabljuju u projektiranju upravljanja korisna su samo onda ako pona­ šanje sustava pretežno određuje jedan par kompleksnih polova, pa se ne mogu upora­ biti ako proces ima polove ili nule u desnoj poluravnir.i. Sada je očito da upravljanje s povratnom vezom može dati bolje karakteristike od upravljanja bez povratne veze. Međutim, također mora biti jasno da loš odabir upravljačkog sklopa može povećati osjetljivost na poremećaje i mjerni šum, te da sustav s povratnom vezom može imati lošije karakteristike od sustava bez povratne veze. Možda odabrani upravljački sklop ne može raditi dobro kod bilo koje kombi­ nacije parametara. Naime, teško je zadovoljiti istodobne zahtjeve na prijenosnu funkciju petlje nametnute poremećajima, šumovima i stabilnosti. U tom slučaju tre­ ba potražiti alternativnu strukturu upravljačkog sklopa. Takav je slučaj, primjerice, d uzlazno-silaznog pretvarača iz primjera 11.3 i 11.11 - ovdje zahtjevi na stabil. nost ograničuju amplitudu pojačanja petlje na -1. Unaprijedna veza u primjeru 1 1.3 smanjuje učinak promjena napona napajanja, no utjecaj ostalih poremećaja i kvaro­ va može biti znatan zbog male amplitude pojačanja petlje.

�

Prijenosna je funkcija petlje modela reguliranoga elektromotornog pogona iz primjera 11.10:

l(s) =

lzis + hi s (1 + s�) (sL + R)

(11.25)

Uzmimo da je T = 1/120 s = 8,33 ms, R = 0,1 Q i LIR = lO T = 83,3 ms. Bodeovi dija­ grami na slici 11.18.a) prikazuju amplitudu i fazu pojačanja petlje /(jw) za predlo­ žene vrijednosti upravljačkog sklopa: h 1 = 0,35 i h2= 10,5. Amplituda pojačanja pet­ lje velika je na niskim frekvencijama zahvaljujući integratoru, a presječna je fre­ kvencija pojačanja oko 50 rad/s. Bodeovi dijagrami na slici 11.18.b) prikazuju fre­ kvencijski odziv prijenosne funkcije sustava s povratnom vezom µ ' (jw ), tj. od refe­ rence Iret do usrednjene armaturne struje zJ(t). Polovi su sustava s povratnom vezom: -193,0 i -29,5 ±j26,4. Kompleksni je par polova dominantan, a realni je pol posljedica odabranoga matematičkog opisa vre­ menskog kašnjenja usmjerivača. Realni i imaginarni dio kompleksnog para polova približno su jednaki, pa se očekuje dobar vremenski odziv. Vremenska konstanta tog odziva reda je vrijednosti 34 ms ( = 1/29,5), što je znatno duže od periode T. Prema tome, projekt pogona u skladu je s pretpostavkama na kojima je zasnovan usrednjeni model usmjerivača. * Tzv. pravila »palac puta oko«. (Prim. prev.)

41

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

5:� 0,1 ll 1 10 100 ll±HlddllLl �=�t0,1 111111�1 1111111101 I lll'E 100 i=:�r--T'"T-1l0,1 I I l� lll1ffil: TTTT l10 I l l� TTJr----.-r100lEB �-100l0,1 I lllli1 I lllllOI 10 100J �

�

frekvencija I (rad/s) a)

'I

�

O r--T""l'"TTTl.,,,.-....,.,..._. . .._=-r-,-,-rn.-n ,-,

frekvencij a I (rad/s) b)

Slika 11.18. Bodeovi dijagrami pojačanja petlje a) i frekvencijskog odziva prijenos­ ne funkcije sustava b) reguliranoga elektromotornog pogona napaja­ nog iz usmjerivača

Slika 11.19 prikazuje odziv usrednjene armaturne struje na skokovitu promje­ nu Jref sustava s povratnom vezom. Prikazani odziv dobiven je simulacijom, upora­ bom modela na slici 11.16. Uočite da je u ustaljenom stanju Tit) jednak Jref' To je is­ punjena unatoč djelovanju nepoznatoga konstantnog poremećaja opisanog protu­ elektromotornom silom E. Razlog što je u ustaljenom stanju pogrješka jednaka nuli treba tražiti u integratoru PI regulatora. Integrator unosi u prijenosnu funkciju pet­ lje pol pri s=O; dakle pojačanje petlje pri w=O beskonačno je, pa je zato sustav neo­ sjetljiv na konstantni poremećaj. Do tog zaključka možete doći i na drugi način. Uočite: stabilni LVN sustav pobuđen konstantnim poremećajem u konstantnom je ustaljenom stanju, ako je izlazni signal integratora konstantan. Izlazni je signal inte­ gratora konstantan ako je njegov ulazni signal jednak nuli. Stoga je u ustaljenom stanju Tit) = Jref' I detaljnje simulacij e dobro se podudaraju s predviđanjima koja se dobivaju uporabom usrednjenog modela. Td!A

1,2 l1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

i---+------";:a..-----------

o

0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30

vrijeme I s

Slika 11.19. Odziv usrednjene armaturne struje Td na skok reference Jref sustava sa zatvorenom petljom povratne veze

42

11.5. UPRAVLJANJE S POVRA1NOM VEZOM

11.5.4. Robusnost

Zahtjev za robusnošću svodi se na zahtjev za očuvanjem stabilnosti i drugih ka­ rakteristika u nekim granicama neodređenosti modela procesa g(s). Robusna sta­ bilnost stvarnog sustava postignuta je ako je:

IT(jw)I < 11 + l(jw)I

(11.26)

Uočite da stabilnost stvarnog sustava proizlazi iz stabilnosti nazivnog sustava. Ne­ jednadžba (11.26) vrijedi pod uvjetom da nazivna prijenosna funkcij a petlje /(s) i stvarna prijenosna funkcij a petlje /(s) +T(s) imaju jednak broj nestabilnih polova i da nemaju nestabilnih skrivenih polova (kao što je definirano u odsječku 11.5.2). Ukazuje da je sustav posebno osjetljiv na pogrešku ili nepoznavanje pojačanja pet­ lje kod frekvencija za koje je l(jw) :::::: -1. Dokaz nejednadžbe (11.26) zasniva se na Nyquistovu kriteriju i skiciran je u odsječku 14.1.1. Ako je razlika stvarne prijenosne funkcije petlje od nazivne prijenosne funkci­ je petlje isključivo posljedica neodređenosti modela, onda je l(s)=h(s)g(s). Pri­ mjenjujući (11.26) na taj slučaj, dobiva se sljedeći dovoljan uvjet robusne stabilno­ sti: 1 lg(jw) -I < �-� lg(jw)I Iµ' (jw)I

(11.27)

ako nazivna prijenosna funkcija procesa g(s) i stvarna prijenosna funkcij a procesa g(s)+g(s) imaju jednak broj nestabilnih polova. Ponovno uočite da stabilnost stvar­ nog sustava proizlazi iz stabilnosti nazivnog sustava. Obično ne možete provjeriti takav uvjet jer je neodređenost modela loše opisa­ na funkcijom g (s). No, iznimka je ako g (s) opisuje dijelove podrobnijeg modela koji su namjerno zanemareni u cilju pojednostavnjenja projekta nazivnog upravljačkog sklopa. Često se ne možete ograničiti čak ni na to da jeg(s) racionalna funkcija. Ne­ ke informacije o g (jw) na niskim frekvencijama mogu se dobiti mjerenjem frekven­ cijskog odziva stvarnog procesa, ako je stvarni proces bez povratne veze stabilan. Međutim, i te su informacij e nesigurne zbog, primjerice, kolebanja ili starenja proiz­ vodnog procesa. Zbog svih se tih razloga upravljački sklop mora projektirati za neki raspon mogućih g(s). Razumna je pretpostavka da postoji gornja granica g(s), tj. (3(w)� lg(jw) I . Sukladno tome, ispitni uvjet (11.27) može se zamijeniti uvjetom: (3 (w_ )

_ _

lg(jw

)I Iµ'

1 (jw)I

< ��

(11.28)

ali i dalje ostaje zahtjev da stvarni proces ima jednak broj nestabilnih polova kao i nazivni. (Uvjet (11.28) je i nužan uvjet robusne stabilnosti ako se pretpostavi da je frekvencijski odziv bilo koje očekivane funkcije g(s) ograničen s (3(w)). Primijetite da je zgodnije povezivanje uvjeta (11.28) s frekvencijskim odzivom bilo koje očeki­ vane funkcije g(s), nego s frekvencijskim odzivom određenog niza funkcija g(s).

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

43

Uvjet (11.28) zahtijeva da je amplitudaµ ' (jw) (frekvencijalnog odziva nazivnog sustava s povratnom vezom) mala u frekvencijskom području u kojem je možebitna relativna pogrješka modela procesa velika. Primjerice, na frekvencijama na kojima se ništa ne zna o fazi g(jw) (frekvencijskog odziva procesa), lijeva je strana jednad­ žbe (11.28) � 2. Zato se traži da je lµ'(jw) I < 1/2, što znači da se treba nalaziti iznad presječne frekvencije pojačanja. Rezonantna nadvišenja u frekvencijskom odzivu sustava µ' (jw) ukazuju na frekvencijska područja u kojima je posebno kritična toč­ nost modela. Na frekvencijama na kojima je relativna neodređenost modela mala, I l(jw) I može biti velik. Na frekvencijama na kojima je relativna pogreška modela velika, l l(jw) I mora biti mali, ali ne blizu -1. To se uočava svođenjem (11.28) na uv­ jete izražene nazivnim pojačanjem petlje. Kod klasičnog upravljanja obično se udaljenost l(jw) od -1 procjenjuje kutom sigurnosti faze* . Kutom sigurnosti faze mjeri se za koliko kut prijenosne funkcije petlje L l (jw) na presječnoj frekvenciji pojačanja wc prekoračuje -180° . Kut sigur­ nosti faze pokazuje koliko je još dodatnoga faznog kašnjenja oko petlje potrebno da bi se dobilo l(jwJ = -1. Smatra se da je kut sigurnosti faze od 45 ° dovoljan ako je točnost modela oko presječne frekvencije pojačanja relativno velika. Za predloženi regulator u primjeru 11.12 kut sigurnosti faze iznosi 60 °. Uz kut sigurnosti faze va­ žan je i faktor sigurnosti pojačanja**. Faktorom sigurnosti pojačanja procjenjuje se za koliko puta treba povećati pojačanje petlje na presječnoj frekvenciji faze w0 da bi nastupila nestabilnost, tj. da bi se dobilo l(jw0) = -1. Prema tome, faktor sigurnosti pojačanja iznosi 1/ I l(jw0) 1 - Podsjetimo se da je na presječnoj frekvenciji faze fazni kut pojačanja petlje l(jw) jednak -180° . Glavna možebitna prednost povratne veze postizanje j e robusne stabilnosti ne­ stabilnog ili nedovoljno stabilnog sustava. Međutim, evidentno je da se robusna sta­ bilnost ne može promatrati odvojeno od dobrih nazivnih karakteristika. Oba cilja postavljaju uvjete na pojačanje petlje, a ti uvjeti mogu biti sasvim proturječni. Naj­ povoljnije je ako je model netočan na višim frekvencijama, ako su referentni signal r i poremećaj b niske frekvencije, a mjerni šum n visoke frekvencije. U tom slučaju može se namjestiti veliko pojačanje na niskim frekvencijama i smanjiti ga na viso­ kim. U ostalim slučajevima projektiranje kvalitetnoga upravljačkog sklopa može biti mnogo teže. U učinskoj elektronici nastoji se razviti dobre modele na niskim frekvencijama (primjerice: usrednjeni modeli). Takvi modeli postaju netočni na višim frekvencija­ ma, ali nižim od frekvencije šuma. Tada točnost modela, a ne mjerni šum, određuje od koje se frekvencije mora smanjiti modul pojačanja petlje. Primjerice, model pre­ tvarača upravljanoga elektromotornog pogona iz primjera 1 1.10 to je netočniji što je frekvencija bliža polovici sklopne frekvencije jer je razvijen pod pretpostavkom da se varijable malo mijenjaju od jedne do druge sklopne periode. Ta realnost mo­ dela navodi da treba smanjiti amplitudu pojačanja petlje kod frekvencij e koja je znatno manja od frekvencije mjernog šuma (npr. valovitost mjerne struje sklopne frekvencije). Drugim riječima, amplitudu pojačanja petlje treba smanjiti prij e nego * Naziva se i fazno osiguranje ili fazna rezerva ili fazna pričuva. (Prim. prev.) * * Naziva se i amplitudno osiguranje ili amplitudna rezerva ili amplituda pričuve. (Prim. prev.)

44

11.5. UPRAVLJANJE S POVRATNOM VEZOM

što mjerni šum postane znatan. U tom pogledu predloženi upravljački sklop iz pri­ mjera 11.12 možda nije dovoljno konzervativan. Važno je spoznati da se pojačanje petlje ne može oblikovati po volji. Kod stvarnog upravljačkog sklopa može se namještati samo određen, konačan, broj para­ metara. Usto, zahvat u jednom frekvencijskom području djeluje i na druga frekven­ cijska područja. Primjerice, može se pokazati da µ(s) stabilnog sustava s povratnom vezom ispunjava uvjet: (11.29) Tu je p konstanta čija vrijednost ovisi o l(s). Ako /(s) ima najmanje dva pola više ne­ go što ima nula, tada je p zbroj realnih dijelova nestabilnih polova prijenosne funk­ cije petlje /(s). Ako /(s) ima jedan pol više nego što ima nula i ako je prijenosna funk­ cija petlje l(s) stabilna, tada je p =- !00/2, gdje je /00 limes od sl(s) ako s_,,. oo . Uvjet (11.29) sili na kompromise između zahtjeva u različitim frekvencijskim područjima. Na frekvencijama na kojima je potreban dobar odziv na upravljački sig­ nal r i dobro potiskivanje poremećaja b nastoji se održavati µ(jw ) =O. Na frekvenci­ jama na kojima je senzorski šum n i točnost modela mala nastoji se održavati µ(jw)=1. Na visokim frekvencijama nužno je µ(jw )=1 jer s povećanjem frekvencij e sigurno opada pojačanje petlje stvarnog sustava. Te zahtjeve treba platiti održava­ njem lµGw) I 1, ili ekvivalentna Iµ' (jw) I 1, ili ekvivalentna l(jw) = -1 u pre­ ostalim frekvencijskim područjima (taj zaključak slijedi iz uvjeta stabilnosti sustava s povratnom vezom (11.29)). Stoga, u preostalim frekvencijskim područjima na re­ zultate analize stabilnosti sustava kritično utječu i male netočnosti modela. Strogost uvjeta (11.29) i složenost kompromisa s njim u vezi povećava se s p . Što je, primjerice, sustav bez povratne veze nestabilniji, to j e problem regulacije teži. Nule /(s) u desnoj poluravnini daju slične uvjete, što još više usložnjuje kompromise. Osiguranje robusnosti karakteristika još je složenije od osiguranja robusnosti stabilnosti. Jednadžba (11.21) ukazuje, barem za male netočnosti modela, da se frekvencijski odziv sustava s povratnom vezom mnogo ne mijenja na frekvencijama na kojima je funkcija osjetljivosti µ(jw) mala. Još na ovom mjestu spomenimo: ako nazivne karakteristike zadovoljavaju, stvarne su karakteristike pogoršane, ali ne i uništene, sve dok netočnost modela s dovoljnom sigurnosnom granicom zadovolja­ va izraze (11.26) ili (11.28). Pored toga važno je i proučavanje robusnosti stabilnosti sustava i robusnosti karakteristika sustava glede nelinearnosti modela. U učinskoj elektronici jedna zna­ čajna nelinearnost potječe od uvjetnih jednadžba na upravljačke varijable. Ta ogra­ ničenja uvode zasitljive nelinearnosti u petlju povratne veze. Učinak zasitljivih ne­ linearnosti u LVN analizi može se katkad aproksimirati smanjenjem pojačanja pet­ lje. Većinom se učinci nelinearnosti upravljačkog sustava projektiranog LVN meto­ dama proučavaju simulacijama na podrobnijim modelima, podrobnijim od onih koji su upotrebljeni u početnom projektu upravljačkog sklopa. Simulacijama se ispituje raznolikost očekivanih radnih uvjeta, uključujući i one koji su zanemareni u počet­ nom projektu. Takve simulacij e pomažu vrjednovanju projekta upravljanja i razot­ krivanju problema koji proistječu iz različitih pretpostavka modela i upotrijebljenih

>>

>>

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

45

projektnih metoda. Simulacije mogu poslužiti i za detaljiranje početnog projekta upravljačkog sklopa.

Bilješke i literatura Usrednjavanje je česta tema u svezi s modeliranjem i analizom sklopova učin­ ske elektronike, pogotovo kod visokofrekvencijskih pretvarača u sklopnom načinu rada (npr. kod PWM pretvarača). Naše bavljenje usrednjavanjem kruga u odsječku 11.3 potaknuta je analizama takvih pretvarača u [1 ), no mi smo s našim razvojem otišli korak dalje. Usrednjavanje osnovnog sklopnog elementa u odsječku 11.3.4 zasniva se na [1] i [2, dio I.]. Preinake nužne za uvažavanje nadomjesnoga serijskog otpora kondenzatora (ESR) opisane su u [2]. Sveobuhvatnija perspektiva metode usrednjavanja strujnih krugova visokofrekvencijskih pretvarača u sklopnom načinu rada dana je u [3]. Proširenje postupka usrednjavanja sklopke na sklopku u isprekidanom načinu rada naći ćete u [2, dio II.]. U toj referenci opisana je ponašanje usrednjenog mode­ la sklopke. Pokazana je da zamjena usrednjenog induktiviteta kratkim spojem uglavnom ne utječe na ponašanje modela na frekvencijama dosta nižim od polovice sklopne frekvencije. Zaista, u izvodu modela sklopke, pretpostavljeno je da je sred­ nja vrijednost napona na induktivitetu u isprekidanom načinu rada približno jedna­ ka nuli. Rezultati objavljeni u [2, dio II.] sugeriraju da zadržavanje induktiviteta na frekvencijama do polovice sklopne frekvencije znatno povećava sklad s eksperimen­ talnim rezultatima. Uvjerljiva teorijska potvrda još nedostaje, ali će možda »hibrid­ ni« modeli spomenuti u napomenama 13. poglavlja dati zadovoljavajuće tumačenje. Postupak usrednjavanja sklopke kvazirezonantnih pretvarača iznesen je u [4]. I u ovom slučaju zamjena rezonantnog induktiviteta kratkim spojem, a rezonantnog kapaciteta otvorenim spojem uglavnom ne utječe na ponašanje usrednjenog mode­ la na nižim frekvencijama. Pristup usrednjavanju uporabom strujnog izvora (tj. injektirane struje), ilustri­ ran primjerom 11.5, opisan je u [5]. Daljnji primjeri dani su, primjerice, u [6]. Oni usto ističu vrijednost svađenja lineariziranog modela pretvarača na upravljivu mrežu s dvama prilazima. Za dodatne reference glede metode usrednjavanja pobri­ nuli smo se u 12. poglavlju, u svezi s usrednjavanjem u prostoru stanja. Uporaba trenutačne komponente frekvencije w , definirane u odsječku 11.3.5, proučava se u [7]. U ovoj referenci spominje se i povezanost s analizom uporabom opisnih funkcija*. Srodna ideja opisana je u [8). Stvaranje dinamičkih modela i projektiranje upravljanja za istosmjerne i izmje­ nične elektromotorne pogone dobro su objašnjeni u [9]. Posebno, naći ćete prilično iscrpnu raspravu o fazno upravljivim pretvaračima za istosmjerne elektromotorne pogone koji su spomenuti u nekoliko primjera ovog poglavlja. Knjiga također objaš­ njava uklapanje strujne povratne veze fazno upravljivog pretvarača u veći uprav­ ljački sustav za regulaciju brzine vrtnje ili pozicije motora. Na ta proširenja osvrnut

* engl.: describing function

46

11.5. UPRAVLJANJE S POVRATNOM VEZOM

ćemo se u odsječku 14.2. Ostale korisne reference u svezi s primjenom učinske elek­ tronike u elektromotornim pogonima dane su u [15] i [16]. Postoje mnogi prikladni udžbenici za osnovni predmet iz upravljanja, no [10] je posebno dobar. Vrijednu komponentno bazu za proučavanje upravljanja s povrat­ nom vezom čine operacijska pojačala; to je pokazano u [11 ]. Naš kratki prikaz osno­ va i ciljeva projektiranja upravljanja u odsječku 1 1.5 zasniva se na neoklasičnim i postmodernim gledištima, kao što je dano u [12], [13] i [14]. Mnogi zadatci u poglavljima 1 1-14 podrazumijevaju posjedovanje odgovaraju­ ćih računalnih alata. Postoji niz javnih i komercijalnih programa za analizu sklopo­ va i sustava; neki su posebno razvijeni za učinsku elektroniku. Budući da nismo pro­ veli ozbiljnu usporedbu programa, ne ćemo navoditi pojedine programe. Međutim, zgodno je primijetiti da su svi proračuni i simulacije u poglavljima 11-14 provedeni s pomoću programa MATRIXx i SystemBuild. Ti programi služe za projektiranje upravljačkih sustava na računalu, a razvila ih je tvrtka Integrated Systems, Ine. (San­ ta Clara, Califomia). [1]

[2]

G. W Wester i R. D. Middlebrook, »Low Frequency Characterization of Switched DC-DC Converters«, u IEEE Power Processing and Electronic Specialists Conference (Atlantic City, May 1972). V. Vorperian, »Simplified Analysis of PWM Converters Using the Model of the PWM Switch: Parts I and II«, u IEEE Trans. Aerospace and Elec­ tronic Systems 26: 490--505 (May 1990).

[3]

S. R. Sanders i G. C. Verghese, »Synthesis of Averaged Circuit Models for

[4]

V.

[5]

M. Clique i A. J. Fossard, »A General Model for Switching Converters«, IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems 13: 397-400 (July 1977).

[6]

A. S. Kislovski, »Controlled-Quantity Concept in Small-Signal Analysis of Switching Power Cells«, IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems 19: 438-446 (May 1983).

[7]

S. R. Sanders, J. M. Noworolski, X. Z. Liu i C. G. Verghese, »Generalized Averaging Method for Power Conversion Circuits«, u IEEE Power Elec­ tronics Specialists Conference (PESC) (San Antonio, June 1990), 333-340.

[8]

[9]

Switched Power Converters«, u IEEE International Symposium of Circuits and Systems (ISCAS), (New Orleans, May 1990), 679-683.

Voperian, R. Tymerski i F. C. Lee, »Equivalent Circuit Models for Resonant and PWM Switches«, in IEEE Trans. Power Electronics 4: 205-214 (April 1989).

C. T. Rim i G. H. Cho, »Phasor Transformation and its Application to the DC/AC Analyses of Frequency Phase-Contro11ed Series Resonant Converters (SRC)«, IEEE Trans. Power Electronics 5: 201-211 (April 1990). W. Leonhard, Control of Electrical Drives (Berlin: Springer-Verlag, 1985).

[10] G. F. Franklin, J. D. Powell i A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1986).

47

11. DINAMIKA I UPRAVLJANJE: PREGLED

[11] J. K. Roberge, Operational Amplifiers: Theory and Practice (New York: John Wiley, 1975). [12] M. Morari i E. Zafiriou, Robust Process Control (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1989). [13] J. M. Maciejowski, Multivariable Feedback Design (Workingham, England: Addison-Wesley, 1989).

[14] J. C. Doyle, B. A Francis i A Tannenbaum, Feedback Control Theory (New York: Macmillan, 1991 )

[15] J. M. D. Murphy i F. G. Tumbull, Power Electronic Control ofAC Motors (Oxford: Pergamon, 1988). .

[16] B. K. Bose, Power Electronics and AC Drives (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1986). Prevoditelj još preporučuje: [17] N. Perić i J. Petrović, Automatsko upravljanje (Sveučilište u Zagrebu, Fakultet elektronike i računarstva, Zagreb, 2004. ). [18] Z. Vukić i Lj. Kuljača, Automatsko upravljanje - analiza linearnih sustava (Kigen, Zagreb, 2005.).

12. MODELI U PROSTORU STANJA

Dinamičke modele sklopova učinske elektronike dobivene usrednjavanjem strujnih krugova upoznali ste u 11. poglavlju. Dobiveni modeli sklopova opisuju ponašanje usrednjih varijabla nekih porodica učinskih sklopova. U slučaju da su ti modeli sklopova nelinearni, pokazana je kako se lineariziraju. Tako se dobivaju line­ arni modeli koji su, pod određenim uvjetima, uz to i vremenski nepromjenjivi. Time je utrt put uporabi pojmova i metoda iz projektiranja upravljanja sustavima i iz ana­ lize linearnih vremenski nepromjenjivih strujnih krugova (tzv. LVN analize) na učinske sklopove. Iako se pristupom putem usrednjavanja može puno postići, taj pristup ne daje potpuno rješenje glede analize dinamike i upravljanja dinamikom učinskih sklopova. Neke razloge tog nedostatka vrijedi uočiti. Prvo, ne zanima nas uvijek usrednjeno ponašanje varijabla strujnih krugova, pa su usrednjeni krugovi irelevantni. U nekim slučajevima uporaba modela zasnova­ nih na trenuta noj w-komponenti (definiranoj u odsječku 11.3.5) omogućuje proši­ renje metode usrednjavanja na rješavanje problema kod kojih nas interesira osnov­ na harmonička komponenta. Ta mogućnost zavređuje daljnje istraživanje, no ogra­ ničenja metode usrednjavanja ostaju. Drugo, lako upotrebljivi usrednjeni modeli (ili modeli zasnovani na trenutačnoj w-komponenti) ne postoje za mnoge učinske sklopove ili se dobivaju tek nakon ra­ zličitih aproksimacija. Pretpostavke ili uvjeti na kojima se zasnivaju aproksimacije katkad su neprihvatljive u za nas zanimljivim slučajevima. Uobičajena je pretpostav­ ka kod usrednjenih modela da se valni oblici sporo mijenjaju od jedne do druge rad­ ne periode. Ta pretpostavka ne mora biti ispunjena u nekim važnim, pa čak i pre­ sudnim, slučajevima. Primjerice, kod mnogih učinskih sklopova može se pojaviti ne­ stabilnost valovitosti, tj. alteriranje varijabla sustava između velike i male vrijedno­ sti od periode do periode. Model zasnovan na pretpostavci sporog mijenjanja vari­ jabla možda nije pogodan za analiziranje takve nestabilnosti. Treće, usrednjeni modeli strujnih krugova nisu katkad prikladni za opisivanje upravljačkih sklopova za regulaciju učinskih sklopova. To je posebno izražena kod digitalnih ili mikroprocesorskih upravljačkih sklopova, kod kojih se radi s uzorkova­ nim valnim oblicima.

�

50

12.L

,SVOJSTVA MODELA U PROSTORU STANJA

Modeli u prostoru stanja daju općenitije i moćnije osnove za dinamičko mode­ liranje. Oni obuhvaćaju trenutačne i usrednjene modele strujnih krugova kao po­ sebne slučajeve, te su zato sveobuhvatniji. Oni su važni kod analiziranja, simulira­ nja i upravljanja; i glede ustaljenog stanja i glede poremećaja iz ustaljenog stanja. Cilj je ovog i 13. poglavlja pokazati kako se sustavno razvijaju i analiziraju dinamički modeli u prostoru stanja za sklopove učinske elektronike i njihove upravljačke sklo­ pove. (Dio 14. poglavlja posvećen je projektiranju upravljanja s povratnom vezom uporabom modela u prostoru stanja, dok se ostatak tog poglavlja može razumjeti i bez čitanja 12. i 13. poglavlja) U ovom poglavlju opisani su nelinearni modeli u prostoru stanja, i uporabom vremenski kontinuiranih i uporabom vremenski diskretnih varijabli, te je uveden sažeti matrični način označivanja za opisivanje tih modela. Vremenski diskretni mo­ deli za nas su posebno važni. Naime, prirodno je da se modeli učinskih sklopova, zbog periodičkog rada sklopka, zasnivaju na uzorcima varijabla učinskog sklopa uzetim jednom u periodi. Dano je nekoliko primjera modela u prostoru stanja iz učinske elektronike, uključujući i usrednjene modele u prostoru stanja i vremenski diskretne ili uzorkovne modele. U 13. poglavlju pokazano je kako se lineariziraju modeli u prostoru stanja, te kako se analiziraju i vremenski kontinuirani i vremenski diskretni LVN modeli u prostoru stanja. Nadalje dane su osnove prikazivanja intervalnih LVN modela u prostoru stanja. Time su obuhvaćeni najčešći modeli u učinskoj elektronici jer oni opisuju krugove s LVN elementima i idealnim sklopkama. 12.1.

SVOJSTVA MODELA U PROSTORU STANJA

Postoji nekoliko razloga za sve veću uporabu modela u prostoru stanja u učin­ skoj elektronici. Najvažniji je što se modeli u prostoru stanja usredotočuju na one varijable koje su ključne za procjenjivanje dinamičkog ponašanja sustava. Zato ćemo rezultate znanstvene discipline koja se bavi modeliranjem u prostoru stanja is­ koristiti za modeliranje učinskih sklopova u prostoru stanja. Tako postaju jasnije va­ rijable na koje se treba usredotočiti, međuzavisnosti koje treba istražiti pa i putovi analize koje treba prijeći. Pristup preko prostora stanja usto omogućuje da se neli­ nearni i vremenski ovisni modeli razmatraju na isti način kao i LVN modeli. Nada­ lje, formalizam vrijedi i za vremenski kontinuirane i za vremenski diskretne ili uzor­ kovne sustave. Modeli u prostoru stanja još su udobno polazište za tako različite za­ datke kao što su izračunavanje ustaljenog stanja, lineariziranje, procjenjivanje sta­ bilnosti, projektiranje upravljanja i simuliranje. Model u prostoru stanja nekog LVN električnog kruga može se dobiti sustavno, pa prema tome i automatizmom uporabom računala, iz sheme kruga. Dobiveni LVN model, kao i ostali LVN modeli dobiveni na koji drugi način, primjerice line­ arizacijom, mogu se analizirati dobro poznatim metodama, uključujući impedancij­ ske ili transformacijske metode. Te zamisli mogu se proširiti i na intervalne LVN krugove koji se sastoje od LVN elemenata i idealnih sklopka. Ni jedan drugi pristup nema toliko dobrih svojstava i prednosti kakve daju mo­ deli u prostoru stanja. Nadalje, neki nedostatci katkada svojstveni modelima u pro­ storu stanja najčešće nisu previše važni kod sklopova učinske elektronike. Odrede-

12. MODELI U PROSTORU STANJA

51

nije, model u prostoru stanja možda ne pokazuje rijetkost međuveza među kompo­ nentama sustava. Iako je rijetkost međuveza kod velikih energetskih sustava ili slo­ ženih analognih sklopova sa stotinama ili tisućama varijabla veoma važna, kod tipič­ nih sklopova učinske elektronike ona nije važna jer je u igri daleko manji broj vari­ jabla. Uostalom, opći modeli u prostoru stanja, koje ćemo upoznati kasnije, mogu se uporabiti za iskazivanje rijetkosti međuveza ako je to bitno. 12.1.1. Varijable stanja, ulazne i izlazne varijable

Ključne su varijable modela u prostoru stanja varijable stanja. Skup njihovih vrijednosti definira stanje sustava. Varijable stanja sažiril.aju one značajke prošlosti o kojima ovise pojave u budućnosti. Prema tome, to su varijable čije početne vri­ jednosti određuju daljnje ponašanje sustava. Zato je tipično da su povezane s me­ morijskim mehanizmima ili mehanizmima pohrane energije sustava. Fizikalne vari­ jable stanja električnih krugova struje su ili magnetski tokovi u prigušnicama te na­ poni ili naboji na kondenzatorima. Kod digitalnoga upravljačkog sklopa fizikalne varijable stanja sadržaji su njegovih memorija. Za opisivanje dinamike sustava, osim varijabla stanja, zanimljive su još neke va­ rijable. Na ulazima u sustav vanjski su signali, primjerice naponi i struje naponskih i strujnih izvora za napajanje učinskog sklopa i modulacijski signali za upravljanje njegovim sklopkama. Na nekim ulazima upravljačke su varijable koje su pod nadzo­ rom, dok su na drugim ulazima varijable koje nisu, primjerice poremećaji. Navođe­ nje početnih vrijednosti ulaznih varijabli zajedno s početnim vrijednostima varijabla stanja određuje daljnje ponašanje varijabla stanja u skladu s njihovim evolucijskim pravilima. Ta su evolucijska pravila utjelovljena u modelu u prostoru stanja. Na izlazima su sustava ili mjerene veličine ili druge zanimljive veličine, čak ako se ne mjere. Razmatrane su izlazne varijable u svakom trenutku funkcije varijabla stanja (tj. stanja sustava) i ulaznih varijabla. Kod električkih krugova tipične su iz­ lazne varijable naponi, struje ili gubitci odabranih elemenata.

12.2.

VREMENSKI KONTINUIRANI MODELI

Uzmimo da želimo modelirati neki sustav od n varijabla stanja xi, i= l , . . . n koji ima m ulaza u j = 1, . . . m. Vremenski kontinuirani model u prostoru stanja tada je t skup povezamh, nelinearnih, vremenski ovisnih diferencijalnih jednadžba prvog reda:

dx1 = x. 1 (t) = fl Xi (t), x2 (t), ... , xn (t), Ui (t), ... um (t), t ( ) dt dx2 . ili = x2 (t) = Ji (Xi (t), x2(t), ... , xn(t), Ui (t), ...um(t), t)

dxn = Xn (t) = fn Xi (t), x2 (t), ... , xn(t), Ui (t), ... um (t), t ili ( ) ·

(12.1)

52

12.2. VREMENSKI KONTINUIRANI MODELI

Jednadžbe daju trenutačnu brzinu promjene svake od n varijabli stanja u ovisnosti o navedenim argumentima, tj. o trenutačnim vrijednostima svih varijabla stanja, svih ulaznih varijabla i o vremenu t. Za model se kaže da je n-tog reda jer ima n varijabla stanja. Funkcije fl· ) mogu biti prilično složene, čak i za jednostavne učinske sklopo­ ve, u što ćemo se uvjeriti u navedenim primjerima. Uz model u prostoru stanja (12.1) idu i izlazne varijable yz(t), l = 1, . . . p. Razma­ tramo samo takve modele sustava kod kojih se izlazne varijable mogu napisati u obliku: y1 (t) = g1 x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), Zli (t), . . . um , t

(

)

(12.2)

U tom slučaju izlazne su varijable u svakom trenutku jasno određene vrijednostima varijabla stanja i vrijednostima ulaznih varijabla. Ukoliko početni oblik izlaznih va­ rijabli nije takav, može ga se dovesti u taj oblik pogodnim definiranjem dodatnih va­ rijabla stanja. Slika 12.1 prikazuje model u prostoru stanja zasnovan na (12.1) i (12.2). Izlazi integratora varijable su stanja, a međuveze osiguravaju da se model sustava ponaša u skladu s (12.1) i (12.2).

� ...., ..

ft(·)

i X1(Q)

dri dt

1- fn(-)

dxn dt

X1

,...+

j xm(O) -

Y1

gl(-)

....._...,.

xn

-

-

g/·)

Yp

�

i

Slika 12.1. Prikaz vremenski kontinuiranog modela u prostoru stanja zasnovan na ( 12.1) i ( 12.2) Linearnost i vremenska neovisnost. Model (12.1) vremenski je neovisan ako ni jedna funkcija J;O ek�plicitno ne ovisi o t, tj. ako je: •

(12.3) za svaki i. Model (12.1) vremenski je neovisan i linearan, ako su sve funkcije J;O li­ nearne funkcije varijabla stanja i ulaznih varijabla, tj. ako je:

Ji(· ) = ail (t)x1 (t) + ai2 (t)x2 (t) +

+ ain (t)xn (t) +bil (t)Ui (t) + ··· + bim (t)um (t) ···

(12.4)

53

12. MODELI U PROSTORU STANJA

Najvažnij i je posebni slučaj linearni i vremenski nepromjenjiv model. Model je vre­ menski nepromjenjiv i linearan, ako su koeficijenti aip) i bik(t) konstantni, tj. ako je:

Ji( ·) = ailx1 (t) + ai2 x2 (t) + ··· + ainxn (t) +bil lli (t) + · ·· + bimum (t)

(12.5)

Kriteriji linearnosti i/ili vremenske neovisnosti za izlazne jednadžbe (12.2) na­ ravno su isti kao i za jednadžbe (12.1) koje opisuju model u prostoru stanja. Moguće je da su jednadžbe koje opisuju model u prostoru stanja LVN, a da izlazne jed­ nadžbe nisu, no moguće je i suprotno. Prije nego što istaknemo neke važne razlikovne karakteristike modela u pro­ storu stanja, dat ćemo primjere takvih modela iz područja električnih sklopova, po­ sebice iz područja sklopova učinske elektronike. 12.3.

MODELI ELEKTRIČNlli KRUGOVA U PROSTORU STANJA

Započet ćemo načelnim opisom postupka sustavnog dobivanja opisa u prostoru stanja nekog modela električnog kruga. Model smije imati nelinearne i/ili vremen­ ski ovisne induktivitete (dopušteni su i međuinduktiviteti), kapacitete, nedinamičke elemente (kao što su otpori, idealni transformatori i idealne sklopke) i izvore (neza­ visne i zavisne). Naziv »nedinamički« odnosi se na elemente čije uvjetne jednadžbe sadrže samo trenutačne vrijednosti napona i struja na njihovim prilazima, ali ne i . njihove derivacije, integrale ili vremenske pomake. U slučaju LVN krugova (tj. krugova s fiksnim međuvezama LVN elemenata) može se uporabiti standardna računalna rutina za dobivanje opisa u prostoru sta­ nja, polazeći od specifikacije kruga. Rezultirajući model u prostoru stanja je također LVN, što ne iznenađuje. Ista se rutina može uporabiti i za automatsko dobivanje modela u prostoru stanja nekih vrsta nelinearnih i vremenski ovisnih krugova. Fizikalne varijable stanja nekog kruga, kao što je prije spomenuto, struje su ili magnetski tokovi u prigušnicama te naponi ili naboji na kondenzatorima. Za dobi­ vanje opisa u prostoru stanja potrebni su izrazi za derivacije tih fizikalnih varijabla, iskazani isključivo u ovisnosti o samim tim varijablama, o varijablama izvora i o ulaz­ nim upravljačkim varijablama. I izlazne se varijable moraju izraziti u tom obliku. Razmotrimo za početak krug u kojemu ne postoje međuinduktiviteti. Poznato je: ako je struja kroz induktivitet L jednaka iv napon je na induktivitetu d(LiL )/dt; ako je napon na kapacitetu C jednak vC ' struja je kroz kapacitet d(Cvc)fdt. Ti izrazi sugeriraju način iskazivanja derivacija varijabli stanja u željenom obliku: napon na induktivitetu određuje se u ovisnosti o struji kroz induktivitet, o naponu na kapaci­ tetima, o varijablama izvora i o upravljačkim varijablama; struja kroz kapacitet odre­ đuje se u ovisnosti o naponu na kapacitetu, o struji kroz induktivitete, o varijablama izvora i o upravljačkim varijablama. Nakon toga se lako dobiva opis u prostoru sta­ nja. Radi lakšeg razumijevanja postupak ćemo podijeliti u sljedeća tri koraka. U prvom koraku zamisli se da su induktiviteti zamijenjeni strujnim, a konden­ zatori naponskim izvorima. Izvorni krug i izmjene ilustrirane su shematski na slici

12.3. MODELI ELEKTRIČNIH KRUGOVA U PROSTORU STANJA

54

� +

L

nedinamički

nedinamički

�

+

�

��

q(t)

�0--0-

c

izlazne varijable Slika 12.2. Dobivanje opisa kruga u prostoru stanja: a) shematski prikaz izvornog kruga, b) induktiviteti i kapaciteti zamijenjeni su naponskim i strujnim izvorima

12.2. Utjecaj upravljačkih ulaza na sklopku prikazan je pridruženom sklopnom funkcijom q(t). U drugom koraku riješi se dobiveni nedinamički krug za komplementarne vari­ jable* tih zamjenskih izvora. Drugim riječima, nađu se naponi na strujnim izvorima (induktivitetima) i struje kroz naponske izvore (kapacitete). Važno je da se izraze isključivo s pomoću upravljačkih varijabla i varijabla izvora (uključujući i varijable zamjenskih izvora). Sve ostale zanimljive varijable električnog kruga, kao što su iz­ lazne varijable y1 i y2 na slici 12.2, također se nađu u ovom koraku. U ovom drugom koraku uvijek se može naći eksplicitno rješenje za »pristojne« LVN modele kao i za mnoge nelinearne i vremenski ovisne modele strujnih krugo­ va. Za modele sklopova učinske elektronike rješenje mora odražavati nelinearnost sklopka, tj. njihovu vremensku promjenjivu narav. Prirodni je put dobivanja anali­ tičkih izraza uvođenje odgovarajućih sklopnih funkcija, kao što je nagovješteno she­ matskim prikazom na slici 12.2. Za taj je slučaj, rezultat drugog koraka: ·

vL = f� (iv vc, vs, is, q, t) ic = f�(iv vc, vs , is, q, t) Y1 = gl (iv vc, vs, is, q, t) Y2 = gz (iv vc, vs, is, q, t)

(12.6)

* Komplementarna varijabla strujnog izvora napon je na njegovim prilazima, a komplemen­ tarna varijabla naponskog izvora struja je kroz njegove prilaze. (Prim. prev.)

55

12. MODELI U PROSTORU STANJA

Za modele su sklopova učinske elektronike koji se sastoje od LVN elemenata i ide­ alnih sklopki potrebni izračuni, u ovom drugom koraku, jednostavni. Ti su modeli linearni i vremenski neovisni za svako topološka stanje sklopka, pa se nazivaju inter­ valni LVN modeli. U trećem koraku izraze se naponi na induktivitetima s pomoću derivacij a nji­ hovih struja i struje kroz kapacitete pomoću derivacij a njihovih napona. Uvrštenjem tih izraza u jednadžbe izračunate u drugom koraku, te njihovim sređivanjem, dobi­ ju se željene jednadžbe za derivacije varijabla stanja. Ako su induktiviteti i kapacite­ ti LVN, treći je korak jednostavan. Primjerice, uz oznake kruga kao na slici 12.2, že­ ljene jednadžbe za diddt i dvcfdt dobiju se uvrštenjem vL =L(diddt) i ic=C(dvcfdt) u jednadžbe (12.6). Nakon sređivanja slijedi:

(12.7)

U sveobuhvatnijem slučaju nelinearnih i vremenski ovisnih induktiviteta L(iv kapaciteta C(v0 t) treba uvrstiti:

( (

) )

diL . aL VL - L + z.L -aL+ -at azL dt zL ac ac dvc . zc _ - C + vc -- -- + vc avc dt at

t) i

(12.8)

Ako postoje međuinduktiviteti, napon na induktivitetu ovisi o derivacijama struja svih induktiviteta koji su s njim u induktivnoj vezi. Postojanje međuindukti­ viteta uvodi dodatni korak u postupak dobivanja modela u prostoru stanja. Nakon iskazivanja napona na svakom induktivitetu u ovisnosti o derivacijama struja svih re­ levantnih induktiviteta, potrebno je naći svaku pojedinu derivaciju. U detalje ne ćemo ulaziti. Postoje neke iznimke za odabir svih struja kroz induktivitete i svih napona na kapacitetima za varijable stanja. Ako c kapaciteta tvori petlju u kojoj ne postoje drugi elementi osim nezavisnih naponskih izvora, Kirchhoffov zakon napona kaže da samo c-1 napona na kapacitetima može imati nezavisne početne uvjete; prema tome za varijable stanja može se odabrati samo c-1 napona na kapacitetima. Slično vrijedi i za njemu dualni element: ako čvor spaja samo induktivitete i strujne izvore, Kirchhoffov zakon struje kaže da zbroj struja čvora mora biti jednak nuli. Iako je nekoliko puta naglašena da su struje kroz induktivitete i naponi na kon­ denzatorima logičan odabir varijabla stanja, te varijable nisu jedina mogućnost. Mo­ že se odabrati bilo koja druga skupina varijabla koje daju ekvivalentne informacije. Primjerice, za krug na slici 12.2 može se odabrati niz KiL - vc i KiL + v0 konstanta K bilo je koja konstanta različita od nule.

56

12.3. MODELI ELEKTRIČNIH KRUGOVA U PROSTORU STANJA

Razmotrimo uzlazno-silazni pretvarač na slici 12.3. Taj pretvarač uvelike smo uporabljavali u primjerima u 11. poglavlju. Jedina je razlika u tome što je u seriju s kapacitetom dodan njegov nadomjesni otpor Rc- .Zbog jednostavnosti pretpostav­ lja se da u svakom trenutku vodi ili tranzistor ili dioda. Ta pretpostavka isključuje is­ prekidani način rada; način rada u kojemu su oba ventila isklopljena tijekom jednog dijela periode. Neka sklopna funkcij a q(t) opisuje stanje sklopke; funkcija ima vri­ jednost q(t) = l kada je tranzistor uklopljen i vrijednost q(t) =O kada je isklopljen. Neka q' (t) označuje funkciju 1 -q(t).

Rc c ic t

+

VC

+

R vo

Slika 12.3. Učinski krug uzlazno-silaznog pretvarača

Model u prostoru stanja ovog sklopa dobiva se uočavanjem onih varijabla čije su početne vrijednosti bitne za određivanje daljnjeg ponašanja sustava za zadani napon izvora i tablice karakterističnih intervala rada. Kao što je ranije spomenuto, fizikalni odabir varijabla stanja jesu struja kroz induktivitet iL i napon na kapacite­ tu vc- Fizikalne su ulazne varijable napon izvora vin i upravljački signal q(t). Kada je q(t) = l, onda je: vL (t) = L

di

cf; = vin(t)

dvc . = ic(t) = C

dt

-1 vc(t) R + Rc

(12.9)

a kada je q(t) =0, onda je:

(12.10)

Združivanjem (12.9) i (12.10) uvođenjem funkcije q(t), te preuređenjem u oblik (12.1) dobiva se željeni model u prostoru stanja: di -1:..

dt

=

R 1 ( )[ -Rcq'(t)iL (t) + q'(t)vc(t)] + - q(t)vin (t) L L R + Rc

(12. 1 1 . a)

57

12. MODELI U PROSTORU STANJA

dt =

dvc

-

-1 [Rq,(t) i. (t) + vc (t) ( ) L J C R + Rc

(12.11.b)

Na vama je da nađete izlaznu jednadžbu u obliku (12.2), izražavajući izlazni napon u ovisnosti o varijablama stanja i o ulaznim varijablama. Uočite: ako se q(t) fiksira ili na O ili na 1, opis (12.11) je LVN; zato je za opis (12.11) opravdan naziv intervalni LVN opis. Ako se q(t) smatra upravljačkom ulaz­ nom varijablom, opis je nelinearan, ali vremenski neovisan. Međutim, ako se q(t) smatra unaprijed definiranom vremenskom funkcijom (npr. sustav bez povratne veze u kojem i trenutak uklapanja i trenutak isklapanja sklopke određuje samo takt­ ni signal), tada se q(t) jednostavno ponaša kao vremenski promjenjivi parametar sustava, a ne kao ulazna varijabla. U tom je slučaju model u prostoru stanja linea­ ran, ali vremenski ovisan. Konačno, u upravljanom sustavu s povratnom�Vezom, poput onoga na slici 1 1.9, q(t) određuju i varijable stanja i taktni signal, te je dobive­ ni opis nelinearan i vremenski ovisan. v0

l

_&i� _

.

3.. 2

L

'™1i '.iiiWi]

�™®it:lG)l§;f��-'%'J@i%:1iut]J�!CZ.����

Usrednjavanje modela električnih krugova u prostoru stanja. Upravo opisa­ nim postupkom mogu se izgraditi modeli u prostoru stanja usrednjenih krugova razvijenih u 11. poglavlju. Alternativni postupak izgradnje usrednjenih modela u prostoru stanja za proučavanje usrednjenog ponašanja učinskih sklopova zasniva se na usrednjavanju trenutačnog kruga u prostoru stanja. Takvo usrednjavanje u pros­ toru stanja može biti jednostavnije od izravnog usrednjavanja kruga jer postupak izgradnje modela kruga u prostoru stanja usustavljuje neke nužne proračune.

Usrednjavanjem obiju strana svake jednadžbe u (12.11), uz privremeno izostav­ ljanje vremenske varijable radi pojednostavljenja pisanja, dobiva se:

(12.12)

Te dvije jednadžbe još uvijek ne tvore model u prostoru stanja jer desne strane jed­ nadžba nisu isključivo izražene u ovisnosti o usrednjenim varijablama stanja TL i Te i o usrednjenim ulaznim varijablama q =d i vin· Sada pretpostavimo da se iL može dobro aproksimirati trenutačnom srednjom vrijednošću unutar bilo kojeg intervala trajanja T, a to isto pretpostavimo i za vc i vin" (Te su pretpostavke istovjetne onima iz odsječka 11.3.4 glede usrednjavanja sklopke.) Nakon toga može se srednja vri­ jednost umnoška q'vc i q iL izraziti umnoškom srednjih vrijednosti pojedinih fakto­ ra te (12.12) aproksilnirati s: '

58

12.4. ZNAČAJKE RJEŠENJA

�

d

dt

-

dt

dvc

R

""" """

L (R + Rc;

(

) [-Rcd'(t)iL (t) + d'(t)vc (t)J + -Ll d(t)Vin

-1

C R + Rc;

-

) [Rd'(t)� (t) + vc (t)J

(12.13)

Taj par jednadžba željeni je usrednjeni model u prostoru stanja. Pretpostavke koje su omogućile dobivanje tog modela kod dobro su projektiranih sklopnih pretvarača ponajčešće zadovoljene. Uočite da je jedina razlika između usrednjenog modela u prostoru stanja (12.13) i trenutačnog modela u prostoru stanja (12.1 1 ) u tome što su trenutačne veličine zamijenjene srednjima. Svaka izlazna jednadžba vezana uz tre­ nutačni model u prostoru stanja (12. 11) može se usrednjiti na slični način. Ako je Rc = O, sklop na slici 12.3. u svemu je jednak sklopu na slici 1 1.2 kojeg smo usrednjili u primjeru 1 1.7. Zato ne iznenađuje što se uvrštenjem Rc = O u usred­

njeni model u prostoru stanja (12.13) doJ?iva usrednjeni model u prostoru stanja usrednjenog kruga na slici 1 1 . 1 1 iz primjera 1 1.7. Izravno usrednjavanje kruga, koje je objašnjeno u 11. poglavlju, obično je jed­ nostavnije i poučnije od usrednjavanja u prostoru stanja. Ipak, usrednjavanje u pros­ toru stanja katkad je dragocjeno; primjerice, ako se nadomjesni serijski otpor ka­

paciteta u uzlazno-silaznom pretvaraču ne može zanemariti. U tom slučaju napon RcC-grane ima znatnu valovitost (čak i ako napon na kapacitetu C ima malu valovi­ tost) pa ne vrijedi pretpostavka male valovitosti koja je uporabljena pri usrednjava­

nju općega sklopnog elementa na slici 1 1 . 10.a). Zato se ne može, bez dorade, upo­ trijebiti usrednjeni krug na slici 1 1 . 10.b) i c). Kod usrednjavanja u prostoru stanja nadomjesni serijski otpor nije problem; to pokazuje primjer 12.2. Ako želite, mo­ žete izvesti električni krug koji opisuje usrednjeni model u prostoru stanja (12. 13).

12.4.

ZNAČAJKE RJEŠENJA

Proučimo sada dvije važne značajke rješenja vremenski kontinuiranog modela u prostoru stanja: svojstvo određenosta varijabla stanja i svojstvo neprekinutosti varijabla stanja. To proučavanje prilika je da se rasprave i neke značajke numeričkog rješenja takvih modela.

12.4.1. Svojstvo određenosti varijabla stanja Smisao je posebnog oblika opisa (12.1) u sljedećem. Ako se znaju vrij ednosti

i=l do n u trenutku t0 i vrijednosti ulaznih varijabla u . (t) u t0 s t < tf , onda se mogu odrediti vrijednosti varijabla stanja xi (t) u inferva­ lu t0 < t str Zgodno je to svojstvo nazvati svojstvo određenosti varijabla stanja.

varijabla stanja xJt0) za intervalu

Uočite da je to svojstvo u skladu s kvalitativnim definicij ama varijabla stanja i ulaz­ nih varijabla spomenutim u odsječku 12. 1 . 1 . Svojstvo određenosti varijabla stanja postaje jasnije razmatranjem prikaza (12.1) na slici 12. 1. Taj shematski prikaz osnova je za rješavanje ili simuliranje mode-

12. MODELI U PROSTORU STANJA

59

la u prostoru stanja. Vremenski kontinuirana analogna simulacija zasnovana na pri­ kazu na slici 12.1. zahtijeva fizičko ostvarenje integratora (obično korištenjem ope­ racijskih pojačala), kao i sklopova za generiranje funkcij a J; O i gi ( .). Nakon što se postave početni uvjeti integratora, varijable sustava nastanu odzivom na ulazne vari­ jable. Varijable stanja u bilo kojem trenutku izlazni su signali integratora - to poka­ zuje da vrijedi svojstvo određenosti varijabla stanja. U praksi se za dobivanje udob­ ne simulacij e uporabljuju prikladno vremensko i amplitudno skaliranje, a rezultati se simulacije zatim inverzno skaliraju da bi se razotkrilo ponašanje zamišljenog mo­ dela. Alternativno, može se potražiti numeričko simulacijska rješenje ili digitalna simulacija. Ta metoda, umjesto analognih integratora na slici 12.1, upotrebljava ne­ ke rutine numeričke integracije. Valni oblici varijabla stanja ili trajektorije stanja računaju se u diskretnom vremenu. Thj pristup proučit ćemo detaljnije, prvo jer ra­ zotkriva podrijetlo svojstva određenosti varijabla stanja i drugo jer je numeričko rje­ šenje modela u prostoru .stanja za praksu vrlo važno .

12.4.2. Numeričko rješenje Neka je, zbog jednostavnosti označivanja, početno vrijeme t0 jednako O. Pret­ postavimo da znamo početne vrijednosti varijabla stanja xi (O) za i = 1 do n, kao i vri­ jednosti ulaznih varijabla u/t) za t ;::::; O. Nakon kratkoga vremenskog koraka c, pri­ bližna vrijednost x1(e) iz (12.1) iznosi:

(12 . 14) To je jednostavno razvoj u Taylorov red prekinut nakon linearnog člana. Oznaka dx1 (0)/dt označuje dx1 (t)/dt u trenutku t=O. Pogrješka aproksimacije reda je e2, pa što je e manji, aproksimacija je bolja. Grafička interpretacija (12.14) dana je na slici 12.4. Točka označena punim kružićem na debljoj crti u trenutku c označuje točnu vrijednost zax1(e). Točka označena kvadratićem na tanjoj crti u trenutku e označuje približnu vrijednost za x1 (c) danu desnom stranom (12.14), tj. vrijednost tangente kroz točku x1 (O) na točnom rješenju u trenutku e. Prva jednadžba u (12.1) pokazuje da se tražena derivacija u (12.14) može dobiti računanjem Ji(·) u trenutku t=O. Za računanje te derivacij e potrebne su samo vri­ jednosti varijabla stanja i ulaznih varijabla trenutku t=O; a one su poznate. Odabi­ rom dovoljno malog c može se po volji točno izračunati vrijednost x1 (e). Istim se postupkom mogu izračunati približne vrijednosti ostalih varijabla stanja u trenutku c, tj. približne vrijednosti xlc) za i = 2, . . . n. Polazeći od približnih vrijednosti svih varijabla stanja i od poznatih vrijednosti svih ulaznih varijabla u trenutku t=c, ide se na jednak način korak dalje, te se raču­ na približna vrijednost xi(2c ). Crtkana crta na slici 12.4 označuje točno rješenje za x1 od trenutka e; to točno rješenje dobilo bi se ako bi se krenulo od približne vrijed­ nosti x1 (e) koja je izračunana u prethodnom koraku. Opet se crtkana crta aproksi­ rnira tangentom.

12.4. ZNAČAJKE RJEŠENJA

60

„„ •

.. •••

.• ..

·•

••

---

točno rješenje E

2E

3 t:

Slika 12.4. Linearna unaprijedna (prednja, lijeva) Eulerova aproksimacij a trajek­ torije stanja. Debela crta označuje točno rješenje, crtkana crta točno rješenje dobiveno uporabom približne vrijednosti zaxi(t:), a točkasta cr­ ta točno rješenje dobiveno uporabom približne vrijednosti za x;(2.c)

Uzastopnim ponavljanjem tog postupka može se, u načelu, približno riješiti sustav (12.1) za t>O. Stroga analiza nakupljene pogreške dosta je složena. Ona se može provesti ako su funkcije /1 O iz (12.1) dovoljno »pristojne«, tj. ako su trajek­ torije, poput onih označenih debelom, točkastom i crtkanom crtom na slici 12.4, bli­ zu jedna drugoj. A trajektorije su blizu jedna drugoj ako je pogreška izračunanih vri­ jednosti za xJs), xJ2e ) , . . . mala Uočite da je kod ne tako stroge analize pogrješka nakon svakog koraka reda s2 1 te da je broj koraka do odabranog trenutka reda e- . Zato je nakupljena pogreška u odabranom trenutku reda s. Odavde proizlazi da se odabirom dovoljno malog s mo­ že izračunati rješenje bilo koje željene točnosti. Izneseno potvrđuje svojstvo određe­ nosti varijabla stanja iz (12.1): za određivanje trajektorije stanja dovoljno je znati početno stanje i vremensku ovisnost ulaznih varijabla (tzv. ulaznu trajektoriju). Ta metoda rješavanja u literaturi se koja se bavi numeričkim analizama naziva unaprijedna (prednja, lijeva) Eulerova metoda. Premda ta metoda razjašnjava po­ drijetlo svojstva određenosti varijabla stanja, danas se za numeričko rješavanje oda­ biru sofisticiranije metode. Primjerice, rašireni Runge-Kuttov algoritam četvrtog reda ima nakupljenu pogrješku u odabranom trenutku reda s4, no u svakom koraku treba izračunati funkcij u/1 (·) za četiri različita skupa argumenata. Ograničenje je metode Runge-Kutta i unaprijedne Eulerove metode u tome što vremenski korak s mora biti relativno malen prema najmanjoj vremenskoj konstan­ ti rješenja. Taj uvjet mora biti ispunjen čak i onda ako rješenjem, u pretežnom dije­ lu zanimljivog vremena, dominiraju članovi s mnogo većim vremenskim konstanta­ ma. Stoga se za učinkovito rješavanje sustava s dosta različitim vremenskim kon­ stantama (tzv. kruti sustav) upotrebljavaju druge metode. Jedna je od takvih metoda unazadna (stražnja, desna) Eulerova metoda. Rješa­ vanje se sastoji u zamjeni dx1(0)/dt u (12. 14) s dx1(s)/dt. Na isti način zamjenjuju se i derivacije svih ostalih varijabla stanja. Derivacije dx/s)/dt računaju se iz (12.1). Tako se, uvrštenjem, za x/e ) dobiva skup implicitnih nelinearnih jednadžba, tzv. ko­ rekcijskih jednadžba. Dobivene korekcijske jednadžbe mogu se riješiti iterativnim metodama. Prvu zamisao rješenja mogu dati eksplicitne prediktorske jednadžbe, primjerice takve kakve su kod unaprijedne Eulerove metode. Tijekom računanja može se mijenjati vremenski korak e, čime se optimira točnost i brzina računanja.

61

12. MODELl U PROSTORU STANJA

Postoje i mnoge druge mogućnosti, od kojih svaka ima svoje prednosti i nedostatke, no to ne spada u opseg ove knjige. U slučaju LVN-modela u prostoru stanja, očekujte analitičko rješenje izražena pomoću sinusnih i eksponencijalnih funkcija. U 13. poglavlju pokazana je kako se dobivaju. Intervalni LVN-modeli isto tako imaju analitičko rješenje, za nas posebno važno - to je raspravljena u 13. poglavlju. Rješenje intervalnih LVN modela zasni­ va se na svojstvu neprekinutosti varijabla stanja vremenski kontinuiranih modela u prostoru stanja. To važno svojstvo izeseno je u sljedećem odsječku. 12.4.3. Svojstvo neprekinutosti varijabla stanja

Varijable stanja neprekinute su vremenske funkcije; u to se možete uvjeriti pro­ učavanjem (12.1). Ako bilo koja varijabla stanja ima skokove, derivacij e varijabla stanja na lijevoj strani (12.1) sadrže impulse. Ti impulsi mogu se poništiti samo sko­ kovima ulaznih varijabla uif) na desnoj strani (12.1 )*. Prema tome, ako ulazne vari­ jable nemaju skokove, varijable stanja neprekinute su vremenske funkcije. Svojstvo neprekinutosti varijabla stanja koristi se kod intervalnih LVN modela za dobivanje cjelovitog rješenja. Naime, pozivanjem na svojstvo neprekinutosti spa­ jaju se analitička rješenja dobivena za pojedine LVN načine rada.

Slika 12.5.a) prikazuje učinski krug jednoga serijskog rezonantnog isto­ smjernog pretvarača. Taj tip istosmjernog pretvarača raspravljen je u 9. poglavlju. Ovdje je izostavljen i ulazni istosmjerni izvor i sklopni krug za modulaciju napona ulaznoga istosmjernog izvora. U tom primjeru zanima nas samo rezultirajući pravo­ kutni napon vin narinut na titrajni krug. Napon vin ima konstantnu amplitudu VI > a frekvencija fs je namjestiva. Kroz induktivitet, pod djelovanjem napona vin' teče pri­ bližno sinusna struja Struja ispravlja se diodnim mosnim ispravljačem i dovodi teretu. Mijenjanjem odmaka frekvencije pravokutnog napona od rezonantne fre­ kvencije titrajnog kruga f0 upravlja se amplitudom struje titrajnog kruga i ujedno srednjom vrijednošnu struje tereta. Teret je u našem primjeru istosmjerni naponski izvor vrijednosti V2• Odziv je kruga složen, čak i u slučaju konstantne frekvencije fs, zbog djelovanja mosnog ispravljača; naime, kada je napon se trošila oduzima od napona vin' a kada je zbraja. . Fizikalne varijable stanja tog kruga su, kao i prije, struja kroz induktivitet i napon na kapacitetu. Neka je nazivna frekvencija fs veća od rezonantne frekvencije f0• Tada, u ustaljenom stanju, struja kroz titrajni krug kasni za naponom na titrajnom krugu. Pretpostavimo, zbog jednostavnosti analize, da sklopne prijelazne pojave ne

iv

iL

iL < O,

iL > O,

* Varijabla stanja ima skokove, a derivacija varijable stanja ne sadrži impulse. Taj apsurd mo­ že se razriješiti samo onda ako je varijabla stanja neprekinuta vremenska funkcija. (Prim. prev.)

12.4. ZNAČAJKE RJEŠENJA

62

1

fs

-

I I

a)

E'fl

...._ .._ __ „ 'rz

1-----JO 'f3 1---------� JO 'f4

'f� ----0+------- xl =

.fiiL

b) Slika 12.5. a) Učinski krug serijskoga rezonantnog istosmjemog pretvarača. b) Po­ pratni valni oblici. c) Prikaz u ravnini stanja

iL O u trenutku kada se vin mijenja od + V1 na -V1. Razmo­

remete tu karakteristiku ustaljenog stanja; tj. da je nja od -V1 na + V1 i da je

vi n

trimo periodu koja počinje u jednom takvom trenutku.

Tipične valne oblike tijekom k-te periode, koja traje od

t==tk do t=tk+ l' prikazu­

je slika 12.5.b). Uočite da se i frekvencij a /s i naznačeni prijelomni trenuci r"

l = 1,

2, 3 i 4, mogu mijenjati od periode do periode. Iz tog razloga trebalo bi im pridijeli­

ti indeks k, no zbog jednostavnosti pisanja indeks k ćemo izostaviti. Na vama je da ga pridijelite, ako je potrebno.

Uz te pretpostavke, napon je narinut na titrajni

LC krug na početku svake peri­

ode V1 + V2 i na toj konstantnoj vrijednosti ostaje do trenutka u kojem struja

iL po­

staje pozitivna. Prema tome, tijekom tog intervala napon vc je dio sinusoide fre­

kvencije f0 i srednje vrijednosti V1 + V2. U istom tom intervalu struja ide jednake frekvencije f0, ali srednje vrijednosti jednake nuli. U trenutku r1 nakon početka k-te periode struja

slijedi dio nove sinusoide, opet Slično, struja

frekvencije f0 ,

iL je dio sinuso­

žL postaje pozitivna. Napon Vc

ali sada srednje vrijednosti VcV2.

žL slijedi dio nove sinusoide opet frekvencije f0 i srednje vrijednosti

jednake nuli, kao što je i bilo prije prijelomnog trenutka r 1 •

U trenutku -r2 nakon početka k-te periode ulazni se napon promijeni od + V1 na

-V1. Analiza tijekom druge poluperiode analogna je onoj tijekom prve, jedina je razlika u tome što svi valni oblici imaju suprotni predznak.

63

12. MODELI U PROSTORU STANJA

U trenutku r3 struja opadajuće prolazi kroz nulu, a u trenutku r4 ulazni napon opet se promijeni od -V1 na + Vi' naznačujući početak sljedeće periode. Prema to­ me, tijekom svake periode krug poprima četiri topološka stanja. Vrlo poučni pandan prikazu valnih oblika na slici 12.5.b) prikaz je trajektorija varijabla stanja u ravnini stanja ili u faznoj ravnini, slika 12.5.c). Koordinate takvog prikaza varijable su stanja. Sinusni dijelovi valnih oblika struje i napona vc rezo­ nantnog pretvarača postaju elipsoidni dijelovi trajektorija u ravnini stanja. Ako se umjesto varijabla stanja i i vc uporabe skalirane varijable stanja x1 x2=.JCv0 elipsoidni dijelovi trajektorija postaju kružni lukovi; to možete jedno­ stavno provjeriti. Takvo skaliranje pojednostavnjuje analizu, pa se do kraja ovog pri­ mjera i u primjeru 12.6 upotrebljavaju skalirane varijable stanja. Dijagram u ravni­ ni stanja na slici 12.5.c) već ima skalirane varijable. Kružni lukovi imaju središte u točkama čije koordinate određuju srednje vri­ jednosti sinusoida i v u intervalima koji pripadaju tim lukovima. Prema tome, x1 koordinata središta svakog luka ima vrijednost nula, a x2 koordinata jednu od četiri vrijednosti Je ( ± V1 ± V2). Budući da napon vc raste kada je struja pozitivna, lu­ kovi se obilaze u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, kutnom brzinom w0=21tf0• Zbog jasnoće, na slici 12.5.c) prikazana je samo jedna radna perioda. U nazivnom periodičkom ustaljenom stanju ta je trajektorija zatvorena krivulja jer je stanje na kraju periode jednako stanju na početku periode.

iL

ic c

iL

=Jl,iL

iL

Prikaz u ravnini stanja često daje vrijedan uvid u dinamičko ponašanje krugo­ va drugog reda i može biti plodonosan izvor ideja pri projektiranju upravljanja. O tome će se više govoriti u 14. poglavlju. U primjeru 12.3 opisani su detalji valnih oblika pretvaračkog sklopa tijekom jedne radne periode. Međutim, često je korisniji makromodel koji sažima ili reduci­ ra detalje unutar periode i opisuje ponašanje od periode do periode. Takvi su pri­ mjerice usrednjeni modeli, ali ti modeli imaju ograničenja spomenuta na početku poglavlja. Sada ćemo proučiti drugu klasu modela koji se uporabljuje za opisivanje po­ našanja učinskih sklopova od periode do periode, tj. vremenski diskretne modele ili uzorkovne modele u prostoru stanja. Na njima se zasniva procjenjivanje stabilnosti periodičkog rada učinskih pretvarača u ustaljenom stanju; to će se pokazati u 13. poglavlju. Usto su i polazište za projektiranje digitalnog upravljanja; to će se ilustri­ rati u odsječku 14.4. 12.5.

VREMENSKI DISKRETNI ILI UZORKOVNI MODELI

Vremenski diskretni modeli u prostoru stanja obično se dobivaju jednolikim uzorkovanjem varijabla stanja vremenski kontinuiranih modela. Budući da većina sklopova učinske elektronike radi periodički, prirodno je da se modeli zasnuju na uzorkovanju varijabla jednom u periodi. Pođimo od vremenski kontinuiranog opisa (12.1) i pretpostavimo da se uzorku­ je jednoliko svakih T sekundi. Često se piše xi[k] umjesto xlkT); k je cijeli broj koji označuje redni broj uzorka. Da bi smo dobili uporabljiv uzorkovni model, potrebno

12.5. VREMENSKI DISKRE1NI ILI UZORKOVNI MODELI

64

je pretpostaviti da su ulazne varijable up) vremenski kontinuiranog modela (12.1) u svakom intervalu uzorkovanja određene konačnim nizom diskretnih varijabla i da se točno zna kako se taj niz varijabla mijenja od periode do periode. Te tzv. deter­ minirajuće varijable uzorkovnog modela u k-tom intervalu označene su s p1[k], . . . , p7[k]. Uglate zagrade oko k podsjećaju nas da su varijable definirane u dis-kretnom vremenu, tj. da su vremenski diskretni nizovi. Primjerice, ako se ulazna varijabla u1(t) mijenja samo u trenutcima uzorkova­ nja (dok je konstantna u intervalima između uzastopnih trenutaka uzorkovanja), s p1[k] može se označiti vrijednost u1 (t) u intervalu kT-:s. t < kT+ T. Ovaj slučaj she­ matski prikazuje slika 12.6. Drugi primjer: pretpostavimo da je vremenski kon­ tinuirana ulazna varijabla u 2(t) u k-tom intervalu uzorkovanja dio sinusoide i da se parametri sinusoide mijenjaju od intervala do intervala. Tada se uz(t) u k-tom inter­ valu može prikazati s p2[k]sin(p3 [k] t+p4 [k]). Daljnje primjere naći ćete u 13. po­ glavlju, pri proučavanju intervalnih LVN modela sklopova učinske elektronike ovdje se upravlja sklopnim trenutcima, pa su sklopni trenutci determinirajuće vari­ jable funkcije fl· ).

x(t) x [k]

� � T 1

2T 2

T 1

2T 2

3T 3

4T 4

5T t 5 k

Slika 12.6. Uzorkovanje vremenski kontinuiranog sustava čije su ulazne varijable inteivalno konstantne

Svojstvo neprekinutosti varijabla stanja sustava (12.1) kaže da poznavanje vari­ jabla stanja xJk] u trenutku kT i ulaznih varijabla u/t) u intervalu kT-:S.t1 x1 [k ] , Xz [k ], ..., Xn [k ] , p1 [k] , ... , Pr [k ], k

( ) x2 [k + 1] = cp2 (x1 [k ] , x2 [ k] , . . . , xn [k ], p1 [k ], ... , p, [k ], k )

( 1 2. 1 5)

Takav se model naziva vremenski diskretni ili uzorkovni model u prostoru stanja. Sa xi označene su varijable stanja, a s Pj ulazne determinirajuće varijable modela.

65

12. MODELI U PROSTORU STANJA

Funkcije ifJi(-) u ( 12.15) obično se ne mogu izraziti jednostavnim analitičkim iz­ razima zasnovanim na polaznom vremenski kontinuiranom modelu. Iznimke su ne­ ki posebni, ali važni slučajevi. Jedan je takav slučaj onaj kod kojega je polazni vre­ menski kontinuirani model LVN ili slijed LVN modela (to su intervalni LVN mode­ li o kojima se govori u 13. poglavlju). Drugi je takav slučaj onaj kod kojega je peri­ oda uzorkovanja vrlo kratka u odnosu na interval vremena u kojem se desna strana (12.1) znatno promijeni; u tom slučaju, uporabom aproksimacije (12.14), dobiva se približni uzorkovni model. Vremenski diskretni model u prostoru stanja oblika (12.15) može se još dobiti metodama koje ne zahtijevaju izravno uzorkovanje polaznog vremenski kontinuira­ nog opisa. Bez obzira na podrijetlo vremenski diskretnog modela, njegovo je ključ­ no svojstvo da varijable stanja i pridružene ulazne varijable u sadašnjem diskretnom trenutku određuju varijable stanja u sljedećem diskretnom trenutku. Prema tome, opis (12.15) ima svojstvo »neprekinutosti varijabla stanja«, baš kao i u slučaju vre­ menski kontinuiranih modela: ako je poznat niz ulaznih varijabla tijekom kojeg in­ tervala i ako su zadane varijable stanja na početku tog intervala, model omogućuje izračunavanje slijeda stanja ili trajektorije stanja u cijelom tom intervalu. To raču­ nanje zahtijeva samo iterativnu uporabu modela u prostoru stanja.

�)

x1 (k+l)

kašnjenjt:>------

X1(k)

Y1

P,

Slika 12.7. Prikaz

vremenski diskretnog modela u prostoru stanja na temelju (12.15) i (12.16)

Definicije linearnosti i vremenske neovisnosti analogne su onima vremenski kontinuiranog modela; samo umjesto funkcija J;O iz (12.1) treba staviti funkcije ifJ;(·) iz (12.1). Također, svaka izlazna varijabla vremenski diskretnog modela u pros­ toru stanja određena je, kao i kod vremenski kontinuiranog modela, možebitno vre­ menski ovisnom funkcijom postojećeg stanja i determinirajućih ulaznih varijabla:

Yt lk] = Yt (x1 [k], .x:i [k], xn [k], P1 [k], „.,

„.,

Pr

[k], k)

(12.16)

Prikaz vremenski diskretnog modela (12.15) i (12.16), analogan onome na slici 12.1, dan je na slici 12.7. Umjesto integratora uporabljeni su elementi s kašnjenjem, a učinjene su još neke druge očite izmjene; x(t) je zamijenjen s x[k], dx/dt s x[k+ 1 ],

66

12.6. OZNAČIVANJE

a J; O i g1(-) s ta vrijedi: (12.39) B(ta- tfJ) je tzv. rotacijska matrica: (12.40)

Slika 12.10. Odnosi između dvij a točkaka kružne trajektorije u ravnini stanja

Uporabom (12.40) može se opis ponašanja kruga iz primjera 12.3 u prvoj po­ lovici k-te periode preraditi i sažeto prikazati sljedećim kvantitativnim izrazima * Model je u prostoru stanja običan ako ima samo varijable stanja i ulazne varijable. (Prim. prev.)

12.7. UOPĆENI MODELI U PROSTORU STANJA

74

(zbog jednostavnosti označivanja, i u ovom slučaju, izostavljen je argument k u vre­ menima r1(k] i r2[k]): (12.41.a) gdje je: (12.41.b)

(12.41.c) gdje je: (12.41.d) Uvrštenjem (12.41.a) u (12.41.c) eliminira se x(tk +r1) iz (12.41.c). Pri tome treba uzeti u obzir da je B(r2-r1) 3 104 l(f 106 frekvencija I (rad/s) "'

E. .s 'O

"'

4 2

o

-2

la2

11>3

104

HP

frekvencija I (rad/s)

106

Slika 13.7. Frekvencijski odziv lineariziranoga uzorkovnog modela (puna crta) i li­ neariziranoga usrednjenog modela (crtkana crta) uzlazno-silaznog pre­ tvarača

Odziv uzorkovnog modela na frekvencijama višim od ws/2 u skladu je s ranije spomenutim svojstvima simetrije i periodičnosti. Može se izračunati i odziv usred­ njenog modela na frekvencijama višim od w8/2. Međutim, on nije mjerodavan za stvarno ponašanje pretvarača - o razlozima se govori u primjeru 11.6 i neposredno nakon tog primjera. Zato odziv usrednjenog modela na frekvencijama višim od ws/2 ne ćemo izračunati. Prisjetite se da je tipični upravljački krug pretvarača u sklopnom načinu rada sličan onome na slici 11.9 iz primjera 11.6. Ono što nas zaista zanima jest odziv kru­ ga na odstupanje m(t) modulacijskog signala m(t). Može se uporabiti usrednjeni model ako su promjene m(t) spore; naime, već je dokazano da tada vrijedi d(t)=m(t)/K. Uzorkovni model nije ograničen na spore promjene m(t). Da bi spoznali učinak promjena m(t) na odziv lineariziranog uzorkovnog mo­ dela, pretpostavimo da je: (13.89) m(t) = K[D + csin(wt)] Amplituda c mala je konstanta. Slijedi da je m(t)=Kcsin(wt). Iz slike 11.9 lako se može zaključiti da je: dk = esin [w(k + D + dk)TJ (13.90) = &sin(wkT + wDT) ako je dk n/T može nastati i tako da se m(t) mijenja na frekvenciji manjoj od n/T, tj. na frekvenciji prekrivanja spektra (od­ ziv na frekvencijama w n/T). Primjerice, konstantan m(t) ima jednak učinak kao i mijenjanje m(t) na sklopnoj frekvenciji. Prema tome, mjerenje frekvencijskog odziva uporabom mrežnog analizatora može dati varljive rezultate na frekvencijama višim od n/T - mrežni analizator traži na izlazu samo komponentu ulazne frekvencije, no dominantne komponente izlaznog odziva obično su na nekoj nižoj ulaznoj frekvenciji. Prepuštamo vam da nastavite istraživanje odnosa između m(t), dk, d(t), vc(t) i vc[k] pri mijenjanju m(t) na različi­ tim frekvencijama. � � M D fiR WWWlttu&

Ui� �„„ G Ult l ftl!R!J J tlt R 8 � '.Kll@I� � ��

Primjer 13.7 ukazuje na to kako se informacij e dobivene uzorkovnim modelom mogu upotrijebiti za opisivanje polaznog vremenski kontinuiranog modela. Kad god upotrebljavate uzorkovni model, imajte na umu odnose između tih dviju klasa mo­ dela.

Bilješke i literatura U referenciji [10] iz 11. poglavlja raspravlja se o prijelaznoj matrici, upravlji­ vosti, osmotrivosti, stabilnosti i drugim temama iz 11. i 13. poglavlja (sadrži i sve pri­ mjere upravljanja opisane u 14. poglavlju.) Ipak, [1] preporučujemo za sveobuhvat­ niji studij teorije LVN sustava u prostoru stanja. Naš opis intervalnih LVN modela u odsječku 13.4 zasniva se na [2]; ova refe­ renca sadrži i mnoge druge starije reference. U [3] govori se o prijepornim temama simulacije intervalnih LVN modela u svezi s uporabom programa za rješavanje dife­ rencijalnih jednadžba. U [4] sklopke su modelirane malim ili velikim otporima, ovis­ no o njihovu sklopnom stanju, pa je problematična uporaba programa za rješava­ nje tzv. krutih jednadžba. Pristupi simulaciji u [5] i [6] zasnivaju se na LVN modelu svakoga sklopnog stanja. Jasno se izvode jednadžbe kao što su (13.43) i (13.46) i uporabljuju numerički izračunate vremenske funkcije za aproksimiranje eksponen­ cijalne (prijelazne) matrice. U [14] opisan je pristup zasnovan na usrednjenim mo­ delima i njihovom poboljšanju. Ta referenca uz to priskrbljuje dodatne reference o simuliranju učinskih sklopova. U [7] govori se o učinkovitim izračunima periodičkoga ustaljenog stanja. Reference [8] - [10] važne su starije reference o strujnom načinu upravljanja. Zamisao stabilizirajućega pilastog napona za udaranje takta valnim oblicima pre­ tvarača za faktore vođenja veće od 0,5 iznesena je već u [8]. Vremenski kontinuirani model na koji se ukazuje nakon primjera 13.4 izveden je u [11 ]. (Taj izvod kvantizira pogrešku jednog od dvaju dinamičkih modela iz [10]. U odsječku 14.2 uporabili smo drugi model iz [10], premda se naš izvod nešto razlikuje.) Pomne studije kaotičnog ponašanja učinskih pretvarača opisane su u [12]. ·

114

13.6. ANALIZA VREMENSKI DISKRE1NIH LVN MODELA

Vrijednost približnih uzorkovnih modela poput onih u primjerima 12.4, 12.5 i 13.4- 13.7 istaknuta je u [ 1 1] . Rastavljanje na spore i brze podsustave, koje jasno proizlazi iz (13.80), traži daljnje proučavanje. Možda postoje sustavni putovi izvođe­ nja »hibridnih« modela, primjerice takvih koji združuju sporo promjenjive usrednje­ ne modele s trenutačnim modelima. Referenca [7) iz 11. poglavlja ilustrira sličnu za­ misao na modelima koji združuju trenutačnu srednju vrijednost nekih varijabla s trenutačnom w-komponentom drugih varijabla. Ima članaka, u literaturi iz učinske elektronike, koji predlažu način uporabe frekvencijskog odziva segmentnih LVN modela na frekvencijama višim od Nyquist­ ove frekvencije. Izračunati odzivi dobro se slažu s mjerenjima izvršenim mrežnim analizatorom. Međutim, ti su rezultati dvojbeni zbog prekrivanja spektra opisanog na kraju primjera 13.7. Dobra rasprava o frekvencijskom odzivu uzorkovnog susta­ va može se naći u [13); to je odličan tekst o digitalnom upravljanju. [ 1] T. Kailath, »Linear Systems«, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice­ -Hall, 1980. [2] G. C. Verghese, M. E. Elbuhl.k i J. G. Kassakian, »A General Approach to Sampled-Data Modeling for Power Electronic Circuits«, IEEE Trans. Power Electronics 1:76-89 (April 1986). (3 ] R. J. Dirkman, »The Simulation of General Circiuts Containing Ideal Switches«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (Blacksburg, June 1987), 185-194. [4] R. Nilssen i O. Mo, »KREAN, A New Simulation Program for Power Electronic Circuits«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (San Antonio, June 1990), 506-511. [5] C. -C. Liu, C. H. K. Chang, T. -T. Hsiao i J. M. Bocek, »A Fast Decoupled Method for Time-Domain Simulation of Power Converters«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (Kyoto, April 1988), 748-755. [6) A M. Luciano i A G. M. Strollo, »A Fast Time-Domain Algorithm far the Simulation of Switching Power Converters«, IEEE Trans. Power Electronics 5:363-370 (July 1990). [7] Y. Kuroe, T. Maruhashi i N. Kanayama, »Computation of Sensitivities with Respect to Conduction time of Power Semiconductors and Quick Determination of Steady-State for Closed-Loop Power Electronics Systems«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (Kyoto, April 1988), 756-764. [8] C. W. Deisch, »Simple Switching Control Method Changes Power Converter Into a Current Source«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (Syracuse, June 1978), 300-306. [9] A Capel, G. Ferrante, D. O'Sullivan i A Weinberg, »Application of the Injected Current Model for the Dynamic Analysis of the Switching

13. LINEARNI I INTERVALNO-LINEARNI MODELI

115

Regulators with the New Concept of LC3 Modulator«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (Syracuse, June 1978), 135-147. S. P. Hsu, A. Brown, L. Resnick i R. D. Middlebrook, »Modelling and Analysis of Switching DC-to-DC Converters in Constant-Frequency Current-Programmed Mode«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (San Diego, June 1979), 284-301. (11] G. C. Verghese, C. A. Bruzos i K. N. Mahabir, »Averaged and Sampled­ Data Models for Current Mode Control: A Reexamination«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (Milwaukee, June 1989), (10]

484-491.

J. H. B. Deane i D. C. Hamill, >>Analysis, Simulation and Experimental Study of Chaos in the Buck Converter«, u IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC) (San Antonio, June 1990), 491-498. (13] K. J. Astrom i B. Wittenmark, »Computer Controlled Systems: Theory and Design«, (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1990). (14] P. T. Krein i R. M. Bass, »A New Approach to fast Simulation of Periodically Switching Power Converters«, u IEEE Industry Applications Society Annual Metting (Seattle, October 1990).

(12]

14. PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA S POVRATNOM VEZOM

Sadržaj je predmeta o projektiranju upravljanja* golem. Zato se u ovom po­ glavlju ne može ništa drugo učiniti nego natuknuti, kroz primjere, kako se razvijeni dinamički modeli učinskih sklopova mogu povezati s metodama projektiranja sus­ tava, poznatim iz opće literature o upravljanju. Veći dio literature o upravljanju odnosi se na opće dinamičke modele defini­ rane prijenosnom funkcijom ili opisom u prostoru stanja. Podrobniji razvoj priklad­ nih modela određenih učinskih sklopova mogu izvršiti samo oni koji se bave s tim sklopovima. Zato smo u 1 1., 12. i 13. poglavlju uložili znatan napor za dobivanje di­ namičkih modela učinskih sklopova. Modeli iz tih poglavlja definirani su ili struj­ nim krugom ili prijenosnom funkcijom ili opisom u prostoru stanja. Kada su modeli poznati, mogu se promatrati u kontekstu velike i aktualne literature o projektira­ nju upravljanja. Tuko se otvara put prijenosu znanja iz projektiranja upravljanja na područje učinske elektronike. Početak ovog poglavlja nastavlja se na uvod u klasična upravljanje, u odsječku 11.5. Ovdje nas zanima pregled tema u svezi sa stabilnošću, karakteristikama i robusnošću, sve u kontekstu vremenski kontinuiranih LVN modela. Usto zanimaju nas i neki izvedeni uvjeti na prijenosnu funkciju petlje i prijenosnu funkciju uprav­ ljačkog sklopa. Iako se u primjerima predlažu i istražuju dobri i loši upravljački sklopovi učinskih sklopova, ipak ćemo se na kratko zadržati na klasičnom pristupu da bismo ilustrirali klasičan pristup aktualnom projektiranju dobrih upravljačkih sklopova. Odsječak 14.1 podastire osnove za široko uporabljivanu strategiju projek­ tiranja, te primjenjuje tu strategiju na isti uzlazno-silazni pretvarač koji je uporab­ ljen u nizu primjera iz 1 1., 12. i 13. poglavlja. * U ovoj knjizi pojam 'projektirati' obuhvaća ovo: stvoriti projektne podloge te zamisliti, ski­ cirati, zasnovati, izraditi početnu shemu, idejni projekt i projekt. (Prim. prev.)

118

14.1. KIASIČNO PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA

Klasična upravljanje u mnogim slučajevima, osim toga, daje alat za bavljenje sustavima s više od jedne moguće povratne petlje - to je pokazana u odsječku 14.2. Primjerice, mnogi sustavi upravljanja s više povratnih veza mogu se zadovoljavajuće projektirati slijednim projektiranjem pojedinih povratnih veza, kao što je ilustrira­ na na slučaju strujnog načina upravljanja. U primjerima projektiranja upravljanja s više povratnih veza ponovno se koristi uzlazno-silazni pretvarač. U ovom poglavlju vraćamo se na projektiranje upravljanja upotrebom modela u prostoru stanja. Razmatramo što se dobije mjerenjem svih varijabli stanja i povrat­ nom vezom po svim varijablama stanja u usporedbi s povratnom vezom samo po upravljanoj izlaznoj varijabli. U odsječku 14.3 ocrtane su neke mogućnosti projekti­ ranja upravljanja korištenjem povratnih veza po varijablama stanja, uključujući raz­ nolike nelinearne povratne veze. Metode u prostoru stanja, koje smo do sada uporabljivali u učinskoj elektroni­ ci prema smjernicama u 12. i 13. poglavlju u prvom su redu služile za modeliranje, simuliranje ili procjenjivanje stabilnosti. Očekujemo da uvidite veću korist metoda u prostoru stanja i drugih modernih pristupa projektiranju upravljanja, no sve što je više od kratkog pregleda u odsječku 14.3 je izvan namjera ove knjige. Prije zacrtana okosnica projektiranja upravljanja s vremenski kontinuiranim modelima ima prirodnu paralelu u vremenski diskretnim ili uzorkovnim modelima - to je spomenuto u odsječku 14.4. Dan je jednostavni primjer projekta vremenski diskretnog upravljanja izmjenično-istosmjernim pretvaračem karakteriziranim velikim faktorom snage. 14.1.

KLASIČNO PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA

Struktura i označivanje u ovom odsječku uvedeni su već u odsječku 11.5. Po­ novno su jednostavnij e objašnjeni na slici 14.1. U ovom odsječku pokazana je da se neke važne ciljane karakteristike mogu pretočiti u zahtjeve na nazivno pojačanje petlje /(jw)=h(jw) g (jw). Time se dalje postavljaju zahtjevi na frekvencijski odziv upravljačkog sklopa hGw) zadanog nazivnog procesa frekvencijskog odziva g(jw). Obično se traži velika amplituda pojačanja petlje na nižim frekvencijama na kojima su referentni signali i poremećaji značajni, a mala amplituda pojačanja petlje na vi­ šim frekvencijama na kojima su mjerni šum i pogrješke modeliranja veliki. Traži se i što je moguće veća presječna frekvencij a wc (frekvencija na kojoj je amplituda po­ jačanja petlje jednaka 1) da bi se dobile povoljne prijelazne karakteristike. Posao projektiranja upravljanja sastoji se u izboru upravljačkog sklopa koji zadovoljava navedene uvjete, naravno i uz održanje stabilnosti sustava s povratnom vezom. '

�+------

y

-

upravljački sklop

proces

Slika 14.1. Struktura klasičnog projekta upravljanja

119

14. PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA S POVRATNOM VEZOM

Sada, da bi nastavili sa sustavnim izlaganjem, potrebno je povezati stabilnost sustava s povratnom vezom i pojačanje petlje. Ključni je rezultat Nyquistov kriterij stabilnosti. 14.1.1. Nyquistov kriterij stabilnosti

Prisjetite se iz odsječka 11.5.2 da je za postizanje stabilnosti potrebno da funk­ cija osjetljivosti µ(s) nema ni jedan pol u zatvorenoj desnoj poluravnini. Jednako­ vrijedni zahtjev je da njezin nazivnik 1 + l(s) nema ni jednu nulu u zatvorenoj desnoj poluravnini. Nyquistov kriterij omogućuje provjeru zadnjeg uvjeta ispitivanjem po­ jačanja petlje l(jm ). Ovdje ćemo samo navesti Nyquistov kriterij, dokaz možete naći u standardnim sveučilišnim udžbenicima o upravljanju. Nas u prvom redu zanima uporaba Nyquistova kriterija u projektiranju upravljanja. imaginarni dio

50(s + so)2 l (s ) {s +1 ) {s + 1)2 + 102

[

X

imaginarni dio

600

J

o 10

-600 -400

„

-1

-50

400

o

800

1200

realni dio

realni dio

b) imaginarni dio

X

- 10

a>

2 o

\

-2

w = oo

-6 a)

= - oo

-4

realni dio

-2

o

c) Slika 14.2. a) Polovi (križići) i nule (kružići) prijenosne funkcije petlje /(s). b) Ny­ quistova krivulja lGw). c) Područje u blizini početka Nyquistove krivu­ lje u povećanoj skali

Jednostavan uvid u Nyquistov kriterij može se dobiti razmatranjem prijenosne funkcije petlje /(s) koja nema polove na imaginarnoj osi. U tom posebnom slučaju, prijenosna funkcij a petlje /(s) dobro je definirana za sve imaginarne vrijednosti od s. Zahtjev da l(s) nema polove na imaginarnoj osi isključuje neke rutinski uporab-

14. 1.

120

KIASičNO PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA

ljivane idealizirane modele, kao što su LVN krugovi bez gubitaka i idealni integra­ tori u PI regulatorima. Međutim, ako se uzmu u obzir mali, ali neminovni parazitni gubitci svojstveni takvim sklopovima ili komponentama, njezini polovi neznatno za­ laze u lijevu poluravninu. Naravno, kadgod se uvode takvi parazitni elementi u cilju dobrog definiranja pojačanja petlje na svim frekvencijama, mora se provjeriti da na kraju dobiveni zaključci pretjerano ne ovise o stvarnim vrijednostima pretpostavlje­ nih parazitnih elemenata. Nyquistova krivulja. Razmotrimo prijenosnu funkciju petlje l(s) čiji je razmještaj polova i nula prikazan na ·slici 14.2.a). Kako se s pomiče duž imaginarne osi na slici 14.2.a) od -joo do +joo , tako l(s) poprima vrijednosti duž puta označenog s l(jw) na slici 14.2.b). Taj prikaz pojačanja petlje naziva se Nyquistova krivulja. Područje bli­ zu početka Nyquistove krivulje prikazano je u uvećanoj skali na slici 14.2.c). Očito, Nyquistova krivulja dobro je definirana za bilo koju prijenosnu funkciju petlje koja nema polove na imaginarnoj osi. Krivulja je simetrična jer l(s) ima realne koefici­ jente, tj. l(-jw) = l*(jw); zvjezdica (*) označuje kompleksna konjugiranu funkciju. Zato se može najprije nacrtati l(jw) za w od O do oo, pa zatim zrcaliti tu polovičnu Nyquistovu krivulju oko realne osi da bi se dobila potpuna Nyquistova krivulja. Nyquistov kriterij stabilnosti. Pretpostavite da Nyquistova krivulja prolazi kroz

točku -1 na nekoj frekvenciji wP, tako da je l(-jwp) = -1. U ovom slučaju 1 +/(s) ima nulu pri s=jw , a sustav s povratnom vezom na tom mjestu na imaginarnoj osi pol, pa je zbog t a nestabilan. Fizikalno, uvjet l(-jwp) = -1 znači da se sinusni titraji frekvencije w sami podržavaju. Češće N quistova krivulja ne prolazi kroz točku -1. Može se pokazati da je tada broj· nestabilnih polova* sustava s povratnom vezom jednak:

dg ;

1. broju nestabilnih polova prijenosne funkcije petlje l(s) i 2. broju potpunih obilazaka Nyquistove krivulje oko točke -1 u smjeru kazaljke na satu (obilasci u smjeru suprotnom od kazaljke na satu računaju se nega­ tivnim). Moramo reći da smo za ove zaključke zahvalni Nyquistu. Iz njih neposredno sli­ jedi njegov uvjet stabilnosti. »Sustav s povratnom vezom stabilan je onda i samo on­ da ako je broj potpunih obilazaka u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko točke -1 jednak broju nestabilnih polova prijenosne funkcij e petlje l(s)«. Poseban ali važan slučaj jest slučaj kada je prijenosna funkcija petlje l(s) stabil­ na. Za taj slučaj Nyquistov kriterij kaže da je sustav s povratnom vezom stabilan onda i samo onda ako Nyquistova krivulja ni jednom potpuno ne obilazi točku -1. Taj slučaj ilustrira slika 14.2.b) i c); slika pokazuje da postoji samo jedan potpuni obilazak u smjeru kazaljke na satu i samo jedan potpuni obilazak u smjeru suprot­ nom od kazaljke na satu. Jednostavnost i općenitost Nyquistova kriterija čine ga iznimno moćnim ala­ tom. Primjerice, neposredna je posljedica zaključak koji se odnosi na robusnu sta­ bilnost, naveden u odsječku 1 1 .5.4: »Ako se pojačanje petlje stabilnog sustava s po* Pol koji se nalazi u desnoj zatvorenoj poluravnini naziva se nestabilni pol, v. također

odsječak 1 1 .5.2. (Prim. prev.)

121

14. PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA S POVRATNOM VEZOM

vratnom vezom poremeti od l(jOJ) na l(jOJ) + r(jOJ) i ako taj p_oremećaj ne promijeni broj nestabilnih polova prijenosne funkcije petlje, i ako je I l (jOJ) I < I 1 +l(jOJ) j , sus­ tav s povratnom vezom ostaje stabilan«. Nejednakost jamči da se Nyquistova krivu­ lja previše ne poremeti, tj. da se ne pr01nijeni potpuni broj obilazaka točke -1. Tako je stabilnost sačuvana.

14.1.2. Pristup projektiranju Ne možemo lako napredovati u navođenju općih smjernica za projektiranje upravljanja, a da malo ne suzimo naše područje interesa. Stoga ćemo razmotriti pro­ jektne posljedice Nyquistova kriterija samo na posebni ali važan slučaj stabilne pri­ jenosne funkcij e petlje l(s). U tu svrhu dane su pojedinosti pristupa projektiranju. No, te pojedinosti treba preinačiti jer će se razmotriti sustavi koji imaju nestabilnu prijenosnu funkciju pro­ cesa g(s) i/ili nestabilnu prijenosnu funkciju upravljačkog sklopa h(s) . Preinake su nužne, iako Nyquistov kriterij ima ključnu ulogu i nakon svake takve preinake. Do­ dajemo i jedno drugo ograničenje: uvijek se odabire upravljački sklop koji daje veli­ ko i pozitivno pojačanje petlje na niskim frekvencijama, tako da je l(O) >> 1. Svojstveno je svakom fizičkom sustavu da amplituda pojačanja petlje u konač­ nici neprekidno pada kako OJ raste prema oo . Razlog je u tome što l(s) svakog fizič­ kog sustava ima više polova nego nula. Prema tome polovična Nyquistova krivulja započinje na pozitivnoj realnoj osi za OJ = O i ima oblik sužavajuće spirale u smjeru kazaljke na satu s rastom OJ. Krivulja se asimptotski približava ishodištu pod kutom -orr,/2 rad s približavanjem w prema oo ; o je zbroj polova i nula u desnoj poluravni­ ni umanjen za broj nula u lij evoj poluravnini. Može biti mjestimičnih odstupanja kri­ vulje od toga opisanog oblika; kretanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu s rastom w oko frekvencija određenih nulama u lijevoj poluravnini te širenje, a ne sužavanje u blizini rezonantnih frekvencija. Ako je funkcij a l(s) stabilna, Nyquistov kriterij kaže da za postizanje stabilno­ sti sustava s povratnom vezom ne treba ispuniti potpuni broj obilazaka oko točke -1. Prikladna i obično vrlo uspješna strategija ispunjenja tog uvjeta osiguranje je da (polovična) Nyquistova krivulja s rastom w ulazi u jedinični krug bez obilaženja točke -1. Tako jedinični krug zatvara Nyquistovu krivulju za više frekvencije. Taj slučaj opisuje slika 14.3.a). Da bi se postigla robusnost stabilnosti, treba paziti da je točka -1 daleko od područja obuhvaćenog Nyquistovom krivuljom, tako da odstu­ panja l(jw) prouzročena pogreškama modeliranja ne pomiču Nyquistovu krivulju to­ liko da zatvori točku -1. Povećani izgled željenog oblika Nyquistove krivulje prikazuje slika 14.3.a). Na slici je označena presječna frekvencij a pojačanja wc' naime frekvencija na kojoj je amplituda pojačanja petlje jednaka jedan, l l(jOJJ I = 1 Iznos za koji Ll(jOJc) prema­ šuje -7t rad naziva se kut sigurnosti faze. Na slici je uz to naznačena presječna fre­ kvencija faze OJ0, definirana je izrazom Ll(jwc) =-7t rad. Faktor 1! l l(j0J0) I za koji je amplituda pojačanja petlje na OJ0, manja od jedan naziva se faktor sigurnosti pojača­ nja. Kut sigurnosti faze i . faktor sigurnosti pojačanja jednostavne su mjere udalje­ nosti Nyquistove krivulje od točke -1 te su zato i mjere robusnosti stabilnosti. Za .

122

14.1. KLASIČNO PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA

faktor sigurnosti pojačanja

imaginarni dio

imaginarnini dio

�

realni dio

realni dio

kut sigurnosti faze a)

b)

Slika 14.3. a) Povećani izgled željenog ponašanja Nyquistove krivulje blizu pres­ ječnih točaka. b) Složenije ponašanje blizu presječnih točaka

krivulju na slici 14.3.a) kut je sigurnosti faze oko rr./4 rad (ili 45°), a faktor sigurno­ sti pojačanja oko 2 (ili 6 dB). Tolike sigurnosti omogućuju nam da toleriramo ili do­ datno fazno kašnjenje od rr./4 rad pojačanja petlje na presječnoj frekvenciji poja­ čanja wc ili podvostručenje amplitude pojačanja petlje na presječnoj frekvenciji faze w0 • Tek kod prekoračenja navedenih granica Nyquistova krivulja obuhvati točku -1, pa sustav s povratnom vezom postane nestabilan. Tolike sigurnosti smatramo do­ voljnima ako smo potpuno sigurni u naše modele u blizini presječnih točaka. Međutim, prilike mogu biti previše zamršene, pa se ne mogu svesti samo na je­ dan par presječnih točaka. Primjerice, Nyquistova krivulja na slici 14.3.b) ima višestruke presječne frekvencije. Za svaku presječnu frekvenciju može se dati tuma­ čenje. Tuko presječna frekvencij a faze w02 pokazuje da smanjenje amplitude pojača­ nja petlje za faktor l lGw02) I dovodi do nestabilnosti sustava; kaže se da se radi o uvjetno stabilnom sustavu. (Prijelazne pojave koje dovode signale u zasićenje često prouzročuju ponašanje slično onom koje nastaje smanjenjem pojačanja petlje kod linearnog modela. Zato treba izbjegavati projektiranje uvjetno stabilnih sustava.) U ovom posebnom primjeru, međutim, čak i poznavanje svojstava svih presječnih fre­ kvencija nije dovoljno da ukaže na opasnost kobnog približavanja Nyquistove krivu­ lje točki -1 za frekvencije između wc i w03. Dakle, uvijek se ne može zaključiti na glavne osobine Nyquistove krivulje istraživanjem nekoliko točaka krivulje. 14.1.3. Uporaba Bodeovih krivulja

Podaci dani polovičnom Nyquistovom krivuljom mogu se jednakovrijedno dati parom krivulja koje prikazuju amplitudu i fazu pojačanja petlje u ovisnosti o fre­ kvenciji. Kao što je spomenuto u odsječku 11.5.3, te se krivulje nazivaju Bodeove krivulje, ako je amplituda pojačanja petlje prikazana na log-log skali, a faza pojača­ nja petlje na lin-log skali. Slika 14.4.a) prikazuje Bodeove krivulje koje su opisane rasporedom polova i nula i Nyquistovom krivuljom na slici 14.2. Amplituda pojača­ nja na logaritamskoj skali se tradicionalno izražava u decibelima (dB); tj. pojačanje

123

14. PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA S POVRATNOM VEZOM

petlje u decibelima iznosi 20 log10 I l(jw) 1 - Na frekvencijskoj osi označene su dekade,

svaka sljedeća dekada sadrži frekvencije koje su za faktor deset veće od frekvencija u prethodnoj dekadi.

Uočite da se Bodeove krivulje umnoška dvaju frekvencijskih odziva dobivaju

zbrajanjem odgovarajućih Bodeovih krivulja tih odziva. Naime, logaritmi amplituda

i logaritmi faza tih dvaju odziva zbrajaju se. Primjerice, Bodeove krivulje pojačanja

petlje l(jw) lako se dobivaju zbrajanjem odgovarajućih Bodeovih krivulja frekvencij­

skog odziva h(jw) upravljačkog sklopa s odgovarajućim Bodeovim krivuljama fre­

kvencijskog odziva g(jw) učinskog sklopa:

l

log l(jw

)I = log l h(jw)j + log lg(jw)I

(14.1) (14.2)

Ll (jw) = Lh(jw) + Lg(jw)

Bodeove krivulje od h(jw) i od g(jw) lako je skicirati jer se dobivaju sukcesiv­

nim zbrajanjem jednostavnih krivulja određenim njihovim polovima i nulama. Zbog tih svojstava i povezanosti s Nyquistovom krivuljom Bodeove su krivulje vrlo koris­

ni alat za istraživanja u fazi projekta.

Slika 14.4.b) prikazuje Bodeove krivulje nekih faktora određenim realnim i

kompleksnim polovima i nulama. Bodeove krivulje faktora koji su recipročni ovim

faktorima izvedu se j ednostavno: krivulje na slici 14.4.b) uzimaju se s negativnim

predznakom.

Uočite da je prijelomna frekvencija amplitude na slici 14.4.b) izravno određena

rasporedom polova ili nula. Osim u uskom području frekvencija oko prijelomne fre­

kvencije, nagib krivulja na frekvencijama nižim od prijelomne frekvencije gotovo je

jednak

O,

a na frekvencijama višim od prijelomne gotovo je cjelobrojni višekratnik

--

50 o-

0,1

......

1 ...

\� 10 ...

I'-

100 '*'

1000

prijelomne frekvencij e �

"O --

o

- 100

"""'"' 1

10

:;;;;;

100

frekvencija I (rad/s)

1000

Slika 14.4. a) Bodeove krivulje frekvencijskog odziva opisanog na slici 14.2. smješ­ tajem polova i nula i Nyquistovom krivuljom

124

14.1. KLASIČNO PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA

realna nula u desnoj poluravnini

realni pol u lijevoj poluravnini i-..

o -

a s +a (a > O)

- 40

O,Ola

.a

•

la

40 -

!\

20

-

10a

s-a a (a > O)

lOOa

prijelomna frekvencija o -30

ro

O,la

-

��

- 60 - 90

O,Ola

\. � la

.a

::::::� 10a lOOa

;

o ....„

O,Ola

0,la

,,,,;�

•

la

10a

lOOa

prijelomna frekvencija 180 -�

� -

150 ,__

ro

120 ....

-

90 ._ O,Ola

frekvencij a I (rad/s) O,la

I.;'

-

\. �

frekvencija I (rad/s) O,la

la

lOa

lOOa

kompleksni par polova u lijevoj poluravnini (prigušeni titraji)

� .€

g. ro

a2 + w2d . (s + a)2 + wa · (a, (J)d > o)

]

o

�

- 50 O,Olwd 0,Iwd

•

1%

� 10wd

lOOwd

prijelomna frekvencija o ,... - 100 - 200 -

,...

-

'"

frekvencija I (rad/s)

O,Olwd O,lwd

lwd

lOwd

lOOwd

Slika 14.4. b) Bodeove krivulje frekvencijskog odziva nekih faktora određenim po­ lovima i nulama

od 20 dB/dekada. Ovaj je višekratnik -1 za svaki pol, a + 1 za svaku nulu. Dakle, za kompleksni par polova ili nula višekratnik je -2 ili + 2. Podrobnije ponašanje krivu­ lje za kompleksni par polova ili nula u području frekvencija blizu prijelomne frekven­ cije određuje relativno prigušenje*. Što je manje prigušenje, oštrij a je rezonancija na prijelomnoj frekvenciji (kao što je spomenuto u odsječku 9.1.2.). Fazne krivulje imaju, isto tako, jednostavnu strukturu. Faza na niskim frekven­ cijama gotovo je O rad za realni pol ili nulu u lijevoj poluravnini, a gotovo n rad za realni pol ili nulu u desnoj poluravnini. Kompleksni parovi polova ili nula daju fazu gotovo jednaku O rad na niskim frekvencijama. Faza se promijeni za višekratnik od * Naziva se i stupanj prigušenja. (Prim. prev.)

125

14. PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA S POVRA1NOM VEZOM

;r;/2 rad kada w prijeđe prijelomnu frekvenciju. Taj cijelobrojni višekratnik je -1 za svaki pol u lijevoj poluravnini ili nulu u desnoj poluravnini, a + 1 za svaku nulu u lijevoj poluravnini ili pol u desnoj poluravnini. Mijenjanje faze događa se uglavnom dekadu ispod i dekadu iznad prijelomne frekvencij e. Za realni pol ili nulu mijenja­ nje je faze približno linearno u te dvije dekade. Za kompleksni par polova ili nula što je manje prigušenje, to je naglije mijenjanje faze oko prijelomne frekvencije. Bodeove krivulje za složenije frekvencijske odzive, kao što je onaj na slici 14.4.a), mogu se svesti na zbroj jednostavnih krivulja određenih pojedinim polovi­ ma i nulama. Između prijelomnih frekvencija određenih polovima i nulama, nagib krivulje logaritma amplitude približno je višekratnik od 20 dB/dekadi, a iznos fazne krivulje je približno višekratnik od rc/2 rad. Oko prijelomnih je frekvencij a u prije­ laznim područjima drukčije. Ako su dvije prijelomne frekvencije udaljene manje od dvije dekade, Bodeove krivulje između prijelomnih frekvencija prevladavajuće od­ ređuju svojstva l(j w )u prijelaznom području. 14.1.4. Projektiranje Bodeovih krivulja pojačanja petlje

Prethodna rasprava i proučavanje jednostavnih slučajeva poput onih na slici 14.4. pokazuju da se, podalje od prijelomnih frekvencija, na fazu pojačanja petlje kod frekvencije w može zaključiti iz nagiba Bodeove krivulje amplitude i nekih do­ punskih podataka o nulama u desnoj poluravnini. Ograničit ćemo se na slučaj sta­ bilnih l(s) i 1(0) >0. Za taj slučaj vrijede sljedeći rezultati. Pretpostavimo da nagib krivulje amplitude kod frekvencije w iznosi 20n(w) dB/dekadi. U područjima između prijelomnih frekvencija n(w) približno je cijeli broj. Ako l(s) nema nula u desnoj poluravnini čije su prijelomne frekvencij e manje od w, onda je: L l(jw) ""' n(w)

; rad

Uočite: ako je nagib krivulje amplitude približno -20 dB/dekadi, faza je približno -;r;/2 rad itd. U općenitijem slučaju, ako l(s) ima r(w) nula u desnoj poluravnini čije su prijelomne frekvencije manje od w, rezultat je: L l(jw) ""' [ n(w) - 2r(w)]

; rad

(14.3)

Odlika je približnog rezultata (14.3) jednostavnost. Rezultat je toliko jednostavan da iz njega slijede jednostavne projektne upute. Mogući upravljački sklop dobiven takvim aproksimacijama može se analizirati rafiniranijim metodama u drugom ko­ raku projektiranja. Pristup projektiranju upravljanja opisan u odsječku 14.1.2 ima dvije izravne posljedice. Kao što je naznačeno na slici 14.3.a), faza kod presječne frekvencij e wc mora biti veća od -n rad za kut sigurnosti faze. Dakle, (14.3) uključuje uvjet: n(wc) -2r(wc) >-2.

126

14.1. KLASIČNO PROJEKTIRANJE UPRAVI.JANJA

Kod presječne frekvencije

n(wJ

mora biti negativan i, ako se odluči na preko­

račenje i udaljivanje od prijelomnih frekvencija, n(wc) mora biti približno cijeli broj. Stoga mora biti

r(wc)=O i n(wJ = - 1 .

Naši su zaključci prema tome sljedeći.

1. Presječna frekvencija mora biti manja od prij elomnih frekvencija za sve nule u desnoj poluravnini. Zato nule u desnoj poluravnini postavljaju granicu na postizivu širinu frekvencijskog pojasa petlje. Proizlazi da su granice postav­ ljene nulama u desnoj poluravnini temeljne te da nisu posljedica odabranog pristupa projektiranju. 2. Nagib krivulje amplitude pojačanja petlje na presečnoj frekvenciji mora biti približno -20 dB/dekadi. Time je postavljena granica na brzinu opadanja amplitude pojačanja petlje od željenih velikih vrijednosti na niskim frekven­ cijama do potrebnih malih vrijednosti na visokim frekvencijama. Prije nego što nastavimo dalje, pojednostavnit ćemo naše nazivlje. U preosta­ lom dijelu ovog poglavlja, kadgod se spominje nagib amplitude nulte kod frekven­ cije

w,

misli se na

n(w),

a ne na nagib u dB/oktavi.

U primjerima 1 1 . 1 , 1 1 .3 i 1 1 . 1 1 i u raspravi koja je prethodila primjeru 1 1 .12. pokazano je da neki jednostavni pristupi upravljanju uzlazno-silaznim pretvaračem ne daju zadovoljavajuće rezultate. Pokušali smo upravljanje bez povratne veze i upravljanje s proporcionalnom povratnom vezom, s unaprijednim vođenjem

i

bez

njega. Sada ćemo pokušati projektirati upravo ocrtanim pristupom.

Nazivni model. Upotrijebit ćemo linearizirani model izgrađen u primjerima 1 1 .9 i 13.2. U tim primjerima izveli smo nazivnu prijenosnu funkciju g(s) između pore­ mećaja faktora vođenja i poremećaja izlaznog napona. Dijagram polova i nula i Bo­ deove krivulje pripadajućih frekvencijskih odziva prikazani su na slici 13.2 za vrijed­ nosti elemenata iz primjera 1 1. 1 . Bodeove krivulje ponovljene su na slici 14.5.a). Rezonancijski vrh amplitudne karakteristike označuje prijelomnu frekvenciju u svezi s parom kompleksnih polova. Amplitudna karakteristika počinje opadati s nagibom -2, a nakon prijelomne frekvencije s nagibom -1 u svezi s nulom u desnoj poluravnini. Fazni kut slično opadne u blizini rezonancije za n rad, a zatim još za n/2 u blizini prijelomne frekvencij e u svezi s nulom u desnoj poluravnini. Uočite da je

Lg(O) =n rad, tj. g(O) j e negativan jer smo tako izabrali polaritet u definiciji izlaznog

napona v0 • Prema tome, zahtijeva se da istosmjerno pojačanje upravljačkog sklopa

h(O) bude negativno

da bi se dobilo l(O) > O.

Projektiranje upravljačkog sklopa. U našem primjeru,

za odabrane vrijednosti ele­

menata, mali je razmak između prijelomnih frekvencija para polova i nule. Zato je projektno teško smjestiti presječnu frekvenciju u tom području. To više, takav bi projekt bio previše osjetljiv na usputna svojstva Bodeovih krivulja u tom području (kao što je oblik rezonancijskog vrha), a ta usputna svojstva dosta ovise o vrijedno­ berimo presječnu frekvenciju petlje nižu od rezonantne frekvencije.

stima elemenata i o faktoru vođenja. Zato budimo manje ambiciozni i ciljano oda­

127

14. PROJEKTIRANJE UPRAVLJANJA S POVRATNOM VEZOM

i j 111111� llllllHI � -�Dlll 1G3

12

14

1G3

Hr'

t�1 111111� llllJ r:1 111111� llllJ 101

1G3

12

frekvencija a)

14

10'

1G3

frekvencij a b)

Slika 14.5. a) Bodeove krivulje nazivnoga frekvencijskog odziva uzlazno-silaznog pretvarača. b) Bodeove krivulje pojačanja petlje pri integralnom uprav­ ljanju

Budući da je nagib prijenosne funkcije jg(jw) I ispod rezonantne frekvencije jednak O, pojačanje upravljačkog sklopa mora opadati na presječnoj frekvenciji s na­ gibom -1. Jednostavan način dobivanja velikog pojačanja petlje na niskim frekven­ cijama i opadanja pojačanja s nagibom -1 uvođenje je pola u ishodište (ili blizu isho­ dišta), u prijenosnu funkciju petlje. Tako se dobiva (približno) integralna upravljač­ ko djelovanje. Izaberimo zato h(s) =-(3/s (ili -(3/(s+E) za neki mali E > O), gdje je (3 pozitivna konstanta koju se izabire tako da se dobiva željena presječna frekvencij a. Negativni predznak funkcije h(s) potreban je da bi se postiglo h(O)