Osnove robotike 953-6647-29-X [PDF]

Zitiervorschau

UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

l·

Urednik Prof.

dr.

se. Zvonko Benčić

Tehnički urednik Žarko Pavunić

Recenzenti

Prof. dr. se. Mladen Cmeković Doc.

dr.

se. Joško Petrić

Dr. se. Željko Ban

Lektorica Branka Romer, prof.

Naslovna stranica Željko Kozarić

Objavljivanje ovog sveučilišnog udžbenika odobrio je Senat Sveučilišta u Zagrebu, odlukom br. 02-850/4-2000. od 11. 7. 2000.

ISBN 953-6647-29-X

CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica - Zagreb UDK 62-5:004.896>(075.8) KOVAČIĆ, Zdenko Osnove robotike I Zdenko Kovačić, Stjepan Bogdan, Vesna Krajči. - Zagreb : Graphis, 2002. (Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis) -

=

Bibliografija. - Kazalo. ISBN 953-6647-29-X I. Bogdan, Stjepan 2. Krajči, Vesna

I. Robotika -- Udžbenik

420312016

Tisak: M&D, Zagreb

ZDENKO KOVAČIĆ STJEPAN BOGDAN VESNA KRAJČI

OSNOVE ROBOTIKE

SADRŽAJ

PREDGOVOR 1.

2.

XI

OPĆENITO O ROBOTIMA 1.1. Definicije robota 1.2. Podjela robota 1.2.1. Vrste pogona 1.2.2. Geometrija radnog prostora 1.2.3. Načini upravljanja kretanjem 1.3. Karakteristike robota 1.3 .1. Broj osi 1.3.2. Nosivost i brzina 1.3.3. Dohvat i hod 1.3.4. Orijentacij a alata 1.3.5. Ponovljivost, preciznost i točnost 1.3.6. Radna okolina 1.3.7. Primjer: Školski robot RHINO XR-3 1.4. Primjena robota Pitanja za provjeru znanja

2 3 3 3 7 7 7 7 8 8 9 10 10 12 14

DIREKTNA KINEMATIKA 2.1. Skalarni i vektorski produkti 2.2. Koordinatni sustavi 2.3. Rotacije 2.3.1. Osnovne rotacije 2.3.2. Složene rotacij e 2.4. Homogene koordinate 2.4.1. Sustavi homogenih koordinata

15 16 17 18 18 19 20 20

1

VI

SADR.2:AJ

2.4.2. Translacije i rotacije 2.4.3. Složene homogene transformacije 2.4.4. Složene homogene rotacije i orij entacij a alata

a) Orijentacija alata pomoću skretanja, poniranja i valjanja b) Orij entacija alata pomoću zavrtanja, nagibanja i zakretanja (Eulerovi kutovi) 2.4.5. Transformacije koordinata kod spiralnog gibanja 2.5. Kinematički parametri 2.5.1. K.inematički parametri zgloba 2.5.2. K.inematički parametri članka

24 25 25 25 26

2.6. Denavit-Hartenbergova metoda

26

2.7. Jednadžba manipulatora (ruke) 2.7.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (direktna kinematika) 2.7.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (direktna

27 30

kinematika)

2.7.3. Primjer: Četveroosni robot tipa SCARA-RRT (direktna kinematika) 2.7.4. Primjer: Četveroosni robot tipa SCARA-RTR (direktna kinematika)

3.

22 22 23 23

31 33 34

Pitanja za provjeru znanja

36

INVERZNA KINEMATIKA: RJEŠAVANJE JEDNADŽBE MANIPULATORA

37

3 .1. Vektor konfiguracije alata

37

3.2. Problem inverzne kinematike 3.2.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (inverzna kinematika) 3.2.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (inverzna

39 40

kinematika) 42 3.2.3 Primjer: Četveroosni robot tipa SCARA-RTR (inverzna kinematika) 44 Pitanja za provjeru znanja 46

4.

DINAMIKA MANIPULATORA 4.1. Lagrangeova jednadžba 4.2. Kinetička energija 4.2.1. Tenzor inercije članka 4.2.2. Jacobijeva matrica članaka 4.2.3. Tenzor inercije manipulatora 4.3. Potencijalna energija (gravitacija) 4.4. Poopćena sila 4.4.1. Aktuatori 4.4.2. Trenje 4.5. Lagrange-Eulerov dinamički model 4.5.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (dinamika) 4.5.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (dinamika) 4.6. Direktna i inverzna dinamika

47 47 48 49 50 52 52 53 53 53 55 57 61 64

SADRŽAJ

Pitanja za provjeru znanja

64 64 65 67 67 70

PLANIRANJE TRAJEKTORIJE

71

4.7. Newton-Eulerov dinamički model 4.7.1. Newton-Eulerove jednadžbe s računanjem »prema naprijed« 4.7.2. Newton-Eulerove jednadžbe s računanjem >>Unatrag« 4.7.3. Rekurzivne Newton-Eulerove jednadžbe 4.7.4. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot

5.

5.1. Putanja i trajektorija

Pitanja za provjeru znanja

71 72 73 74 75 76 77 77 78 81 82 82 83 92 101

POGONI U ROBOTICI

102

5.2. Gibanje manipulatora od točke do točke 5.2.1. Planiranje trajektorije za gibanje od točke do točke 5.2.2. Primjer planiranja trajektorije gibanja robota od točke do točke 5.3. Gibanje manipulatora kontinuirano po putanji 5.3.1. Primjer planiranja trajektorije za gibanje kontinuirano po putanji 5.4. Interpolirana kretanje 5.4.1. Interpolacija kubnim polinomima 5.5. Pravocrtno gibanje 5.5.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (trajektorija) 5.5.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (trajektorija) 5.6. Interpolacija polinomima trećeg i četvrtog stupnja 5.6.1. Ho-Cookova metoda 5.6.2. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (Ho-Cookova metoda)

6.

VII

6.1. Vrste i karakteristike električnih strojeva i elektromotornih pogona u robotici

6.1.1. Istosmjerni motori za primjenu u slijednim sustavima robota 6.1.2. Elektronički komutirani istosmjerni motori za primjenu u

103 105

slijednim sustavima robota - sinkroni motori s permanentnim magnetima

6.1.3. Prijenos pomoću reduktora 6.2. Načini upravljanja slijednim sustavima robotskih mehanizama 6.2.1. Sustavi upravljanja zglobom robota uz upravljanje momentom 6.2.2. Upravljačka petlja po momentu s kompenzacijskim proširenjem 6.2.3. Robusno i adaptivno upravljanje položajem uz upravljanje po momentu

6.2.4. Hsiaova metoda 6.2.5. Prikaz sheme robusnog upravljanja u obliku sheme adaptivnog upravljanja

6.2.6. Praktična realizacija Hsiaova regulatora 6.2.7. Sustavi upravljanja zglobom robota uz upravljanje brzinom vrtnje 6.2.8. Regulacijske petlje robotskih sustava CNC tipa Pitanja za provjeru znanja

109 113 114 116 119 123 123 125 127 128 131 133

VIIl 7.

SADRŽAJ UPRAVLJANJE SILOM DODIRA MANIPULATORA

135

7.1. Upravljanje silom dodira robotskog mehanizma s jednim stupnjem slobode gibanja Pitanja za provjeru znanja

137 140 145

FLEKSIBILNI PROIZVODNI SUSTAVI

146

8.1. Osnovne strukture fleksibilnih proizvodnih sustava 8.1.1. Tekuće proizvodne linije 8.1.2. Višeulazne proizvodne linije 8.1.3. Proizvodne linije koje sadrže operaciju sklapanja 8.1.4. Proizvodne linije sa slobodnim odabiranjem operacija 8.2. Sustavi s diskretnim događajima 8.3. Elementi fleksibilnog proizvodnog sustava 8.4. Petrijeve mreže 8.4.1. Primjer: Petrijeva mreža i njezin graf 8.4.2. Pravilo okidanja Petrijeve mreže 8.4.3. Primjer: Promjena vektora stanja izazvana okidanjem prijelaza

147 147 147 148 148 148 151

7 .2. Sinteza regulatora brzine vrtnje i sile dodira

8.

8.5. Jednadžba prijelaza stanja Pertijeve mreže 8.5.1. Primjer: Jednadžba prijelaza stanja Petrijeve mreže 8.6. Osnovna svojstva Petrijevih mreža 8.6.l. Dohvatljivost 8.6.2. Ograničenost 8.6.3. Živost 8.6.4. Reverzibilnost 8.6.5. Jednoznačnost 8.7. Strukturna svojstva Petrijevih mreža 8.7.1. Sifon 8.7.2. Zamka 8.7.3. p-invarijanta 8.8. Modeliranje FPS-a Petrijevim mrežama 8.8.1. Primjer: Modeliranje FPS-a Petrijevim mrežama 8.9. Analiza FPS-a primjenom Petrijevih mreža 8.9.1. Konflikt 8.9.2. Zaglavljenje 8.10. Upravljanje FPS-om uz pomoć Petrijevih mreža 8.10.1. Onemogućavanje konflikta 8.10.2. Onemogućavanje zaglavljenja 8.10.3. Određivanje kritičnog sifona u MRFl 8.10.4. Uvjet stabilnosti MRFl sustava 8.10.5. Primjer: Određivanje kritičnog sifona u MRFl 8.10.6. Primjer: FBFS i LBFS algoritmi upravljanja Pitanja za provjeru znanja

152 154 154 155 156 156 158 158 158 158 158 159 159 159 159 160 160 161 162 162 163 164 165 166 169 170 171 172 173

SADRŽAJ

9. MATRIČNI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA 9.1. Matrice fleksibilnog proizvodnog sustava 9.2. Matrične jednadžbe fleksibilnog proizvodnog sustava 9.2.1. Primjer: Logičko množenje 9.3. Studijski primjer određivanja matričnih jednadžbi FPS-a 9.4. Upravljanje fleksibilnim proizvodnim sustavom zasnovano na matričnim jednadžbama

IX

175 175 177 177 178 182

9.4.1. Primjer: Određivanje upravljačke matrice i strukture upravljačkog vektora

9.5. Određivanje strukturnih svojstava MRFl sustava pomoću matrica 9.5.1. Određivanje kružnih čekanja 9.5.2. Primjer: Određivanje kružnih čekanja pomoću string-algebre 9.5.3. Određivanje kritičnih sifona 9.6. Veza između matričnog modela i modela s Petrijevom mrežom Pitanja za provjeru znanja

184 185 185 186 187 188 189

LITERATURA

191

KAZALO POJMOVA

193

POPIS PRIMIJENJENIH OZNAKA

198

PREDGOVOR

Robotika je višedisciplinama znanstvena grana koja objedinjuje mnoga sustav­ ska znanja iz područja mehanike, elektronike, računarstva i automatike, a zbog svog velikog značenja u postindustrijskom društvu, zadire i u područja medicine, ekono­ mije, sociologije i filozofije. Robotika je istodobno vrlo privlačna, izazovna i maštovita disciplina. Ona naj­ češće kao svoj zadatak ima plemenit cilj - na primjer, zamijeniti čovjeka pri obav­ ljanju zamornih i jednoličnih, odnosno opasnih i po zdravlje štetnih poslova. Robotika je razmjerno mlada tehnička grana, ali koja već ima svoju bogatu tra­ diciju. Pokazalo se da su roboti, baš kao i ljudi, prolazili generacijske cikluse. Svaka nova generacija robota dobivala je naprednija obilježja u odnosu na prethodnu, što se prije svega odnosilo na ostvareni stupanj inteligencije, prateću računalsku moć, poboljšane dinamičke pokazatelje i naprednije algoritme upravljanja. U ovisnosti o konstrukciji robota i njegovoj krajnjoj namjeni, robotika se obič­ no dijeli na industrijsku i mobilnu robotiku, ali pritom ne treba zaboraviti rastući značaj mikrorobotike i osobito robotike u medicini. U ovoj knjizi najviše će biti riječi o industrijskoj robotici, čije osnove mogu poslužiti kao polazna točka za izučavanje i rješavanje tehničkih problema iz svih ostalih područja robotike. U sadržaju je također posvećena posebna pažnja modeli­ ranju i upravljanju fleksibilnih proizvodnih sustava, čiji značaj sve više raste. Ova knjiga nastala je kao rezultat dugogodišnjeg rada u ovom području u uvje­ tima koji su bili sve samo ne stimulativni. Dok su samo vrlo rijetki pojedinci sporili značaj robotike kao pouzdanog pokazatelja tehnološke razvijenosti neke sredine, ipak je prema robotici ustrajno njegovan specifičan odnos kao prema elitnoj, ali za Hrvatsku nepotrebnoj tehničkoj disciplini. Tome je u mnogo čemu kumovao izosta­ nak razvoja hrvatske automobilske industrije te već kronične poteškoće u radu hrvat­ skih brodogradilišta.

XII

PREDGOVOR

Proces globalizacije, usprkos rastućem broju njegovih protivnika, donio je mo­ gućnost da se i u manjim zemljama robotika razvija istim tempom kao i u razvije­ nim zemljama. Nove infonnacijske tehnologije mijenjaju u potpunosti način lokal­ nog djelovanja, jer omogućavaju brz prijenos znanja i tehnologija. Radeći tijekom vremena na sve većim i značajnijim robotičkim projektima, pokazalo se da je i u hrvatskom društvu potreba i želja za znanjima iz područja robo­ tike velika. Osnovana su granska društva kao što je npr. Hrvatsko društvo za robo­ tiku, organiziraju se škole robotike za učenike osnovnih i srednjih škola, sve je više studenata koji robotiku doživljavaju kao priliku za dokazivanje svojih sposobnosti. Ova je knjiga namijenjena prije svega studentima svih tehničkih fakulteta koji u svojim programima imaju zastupljenu robotiku. Ovu knjigu mogu također koristiti inženjeri projektanti, nastavnici na školama i svi potencijalni i stvarni zaljubljenici u robotiku. Želimo istaknuti da se tijekom pisanja rukopisa knjige, pazilo da svaka obrađena nastavna cjelina završi s jasno definiranim izrađenim primjerima i algorit­ mima pripremljenim za moguću praktičnu izvedbu. Da bi to bilo moguće, mnogo je suradnika i studenata Fakulteta elektrotehnike i računarstva u Zagrebu, smjera Automatika, u tome svojim radom na seminarskim i diplomskim zadacima pripomoglo pa im zbog toga od srca zahvaljujemo. Želimo istaknuti posebnu zahvalnost recenzentima koji su svojim prijedlozima

i konkretnom pripomoći omogućili da ovaj rukopis bude što ažurniji i kvalitetniji. Posebno priznanje odajemo ljudima iz nakladne kuće Graphis, koji su svojim trudom i znanjem učinili da ovaj rukopis bude ispravan i oku privlačan. Posebnu zahvalu upućujemo tvrtkama koje su novčano poduprle ovo izdanje i omogućile da cijena svakog primjerka knjige bude pristupačna svim čitateljima. I na kraju zahvala našim najdražima, članovima naših obitelji bez čije ustrajne podrške ništa ne bi bilo niti tako lako, niti tako jednostavno. Ugodno čitanje! Zagreb, listopada

2001.

Autori

1. OPĆENITO O ROBOTIMA

Najčešće se pod pojmom robota razumije industrijski robot, koji se još naziva robot­ ski manipulator ili robotska ruka. Primjer industrijskog robota prikazan je na slici 1.1. Robot, odnosno robotska ruka može se modelirati u obliku lanca krutih članaka, koji su međusobno povezani pokretljivim zglobovima. Tako se kod robota s rotacijskim zglobovi­ ma može uočiti naglašena sličnost s građom ljudske ruke, pa se takvi roboti nazivaju arti­ kulirane robotske ruke. Pojedini članci takvih robota odgovaraju ljudskim grudima, nad­ laktici i podlaktici, a zglobovi ramenu, laktu i ručnom zglobu.

Sl. 1.1.

Industrijski robot Are Mate (Fanuc Ltd.)

2

1. OPĆENITO O ROBOTIMA

Sl. 1.2.Različiti oblici završnili mehanizama za poslove paleti­ zacije (Euroirnpianti s.p.a.)

završni mehanizam, slika 1.2., koji se još naziva alat, prihvatnica ili šaka. Prihvatnica najčešće ima dva prsta ili više prstiju, koji se otvaraju i za­ Na kraju robotske ruke nalazi se

tvaraju.

1.1.

DEFINICIJE ROBOTA Riječ robot (češki

robota

-

rad) prvi je uveo pisac K. Čapek te je pomoću nje opisao

sljedeći stroj: »Stroj vješt u radu, a ponaša se slično čovjeku te ponekad ispunjava funkcije čovjeka.«

Manipulator (lat. manipulus

-

šaka; lat.

manus

-

ruka) najčešće je stroj za obavljanje

pomoćnih operacija, koje se odnose na promjenu položaja materijala pri obradi i montaži.

Općenito je prihvaćena da suvremeni manipulatori vuku porijeklo od izuma G.

C. Devola iz 1954. godine, koji je primijenio nov koncept upravljanja strojem za manipulaciju materi­

jalima, zasnovan na učenju manipulacijskog zadatka u početnoj fazi te uzastopnom ponav­ ljanju naučenog zadatka u fazi eksploatacije.

U automatiziranim proizvodnim sustavima

pod manipulatorom se razumije industrijski robot. Osim najčešće korištenih industrijskih robota često se upotrebljavaju i

medicinski ro­

botski uređaji, hodajući strojevi te roboti za podmorska, svemirska i ostala istraživanja.

1.2.

PODJELA ROBOTA

3

Postoji mnogo različitih definicija robota, ovisno o mjestu i načinu primjene. U Sjedi­ njenim Američkim Državama robot se najčešće definira kao automat prilagođen složenoj okolini koji obavlja ili dopunjava jednu radnju ili više radnji čovjeka, dok se u Japanu pod robotom razumije automat s promjenljivim programom koji se koristi za automatizaciju ručnih operacija. Robot se u općem slučaju može definirati kao tehnički uređaj sa svrhom obavljanja nekih kretanja i funkcija koje obavlja čovjek, pri čemu se odlikuje određenom samostal­ nošću, lj. autonomnošću u radu. U tom smislu može se koristiti i ova, nešto konkretnija definicija robota [1]: Robot je programski upravljan mehanički uređaj koji se koristi sen­ zorima za vođenje jednog završnog mehanizma ili više njih po unaprijed određenoj puta­ nji u radnoj okolini s ciljem manipuliranja fizičkim objektima. 1.2. PODJELA ROBOTA

Manipulatori se mogu podijeliti s obzirom na vrstu pogona, geometriju radnog pro­ stora i načine upravljanja kretanjem. 1.2.1. Vrste pogona

Za pogon većine današnjih robotskih manipulatora koriste se električni motori isto­ smjerni, izmjenični i koračni, jer su relativno jeftini, s velikom brzinom i točnosti, i u njih je moguća primjena složenih algoritama upravljanja. -

Kod specifičnih primjena (npr. rukovanje užarenim čelikom ili sastavljanje dijelova automobila), kada se zahtijeva manipulacija velikim teretima, češće se koriste roboti s hidrauličkim pogonima. Takvi pogoni imaju zadovoljavajuću brzinu rada, a zbog nestlači­ vosti ulja moguće je mimo održavanje položaja. Glavni nedostatci tih motora njihove su visoke cijene i onečišćavanje okoline zbog buke i mogućeg istjecanja ulja. Treća vrsta pogona jesu pneumatski pogoni koji imaju relativno nisku cijenu i veliku brzinu rada a ne onečišćuju okolinu pa su pogodni za laboratorijski rad. Takvi pogoni nisu pogodni za rad s velikim teretima, jer je zbog stlačivosti zraka nemoguće mimo održavati željeni položaj. Uz to su bučni a potrebno je i dodatno filtriranje i sušenje zraka zbog nepo­ željne prašine i vlage. Ako se zahtijeva samo otvaranje i zatvaranje prihvatnice, tada se u završnom meha­ nizmu koristi pneumatski motor da se grubim stiskom ne bi oštetio lomljiv predmet. U najnovije vrijeme javljaju se rješenja koja se koriste pneumatskim pogonima za realizaciju pneumatskih mišića pogodnih za operacije savijanja. 1.2.2. Geometrija radnog prostora

Radni prostor robota jest skup točaka u trodimenzionalnom prostom koje se mogu dohvatiti ručnim zglobom robota na koji je pričvršćen završni mehanizam. Veličina radnog prostora robota ovisi o broju i tipu zglobova robota, duljinama članaka te o postojećim fizičkim ograničenjima, koja su neposredno povezana s konkretnom građom i izgledom robota. Na slici 1.3. prikazan je primjer radnog prostora industrijskog robota Euroimpianti Skilled 504.

4

I. OPĆENITO O ROBOTIMA

Osi prvih triju zglobova robota određuju položaj ručnog zgloba, a osi preostalih triju zglobova utvrđuju orijentaciju alata. Tako tipovi zglobova upotrijebljenih za prve tri osi određuju geometriju radnog prostora robota. Kod industrijskih robota koriste se dva osnov­ na tipa zglobova: rotacijski i translacijski. Rotacijski zglob rotira oko osi, a translacijski se linijski giba po osi.

_.---

//

//

(.:f " r

.

-.._ .„ __

.

I

\ I', MAXAXESSPEED AlUS{A)(l-r11hllion:l·UO�/-.

.·

if ,.

· -- ·

4XISC8,{HrticllJ„l,%m/$9 v2) najjef-

1.4.

PRIMJENA ROBOTA

13

cijena jednog proizvoda fiksna automatizacija

ručna proizvodnja fleksibilna automatizacija isplativi roboti o Sl. 1.16.

Vt V2 volumen proizvodnje (broj proizvoda)

V

Ručna proizvodnja, fiksna i fleksibilna automatizacija

tinije je koristiti se fiksnom automatizacijom. Kako roboti postaju sve složeniji i jeftiniji, granice područja isplativosti primjene robota se pomiču, tj. volumen proizvodnje v1 se sma­ njuje, a

v2

povećava.

Roboti se najčešće koriste kod jednostavnih i dosadnih zadataka te poslova koji se ponavljaju, kao što je donošenje i odnošenje materijala za druge strojeve. Također su koris­ ni pri radu u onečišćenoj okolini, npr. kod bojenja ili rukovanja radioaktivnim materijalom. Prema podacima IFR-a (International Federation

ofRobotics) za 1997. godinu, u SAD % ) i rukovanje materijalom (28 % ).

se većina industrijskih robota koristi za zavarivanje ( 54

(3 %) i sastavljanje mehaničkih i elektro­ (5 %), a sve se više koriste za pakiranje i paletizaciju proizvoda, kontrolu i testiranje, sortiranje i označavanje te transport (10 %).

Često se primjenjuju za bojenje, strojnu obradu ničkih dijelova

Medicinski robotski uređaji zamjenjuju (proteze) ili pokreću (ortoze) dijelove tijela, pri čemu se koriste motorne funkcije čovjeka ili dodatna elektrostimulacija. Hodajući strojevi konstruiraju se ovisno o obliku terena: za ravan teren koriste se vozi­ la s četiri kotača, za neravan teren povoljna su vozila s više od četiri kotača ili s gusjenica­ ma, dok se na terenu s velikim neravninama ili preprekama koriste hodajući strojevi s nogama. Pri tome je problem mehanička konstrukcija i upravljanje takvim strojevima, tj. najveći problem kod dvonožnih hodajućih strojeva jest stabilnost pri stajanju i hodu, dok je kod hodajućih strojeva s više nogu najteže koordinirati kretanje tih nogu. Robotima se postavljaju različiti zahtjevi ovisno o načinu i mjestu njihove primjene. Industrijski roboti koji obavljaju zadatke posluživanja moraju imati veliku preciznost (točnost pozicioniranja). Kod robota za bojenje tolika točnost nije potrebna. Pri točkastom zavarivanju traži se određena preciznost pozicioniranja, a pri šavnom zavarivanju tom se zahtjevu dodaje točnost trajektorije (putanje i brzine) gibanja. Za industrijske robote koji se koriste pri montaži bitna je točnost pozicioniranja a pri tome mora postojati sustav za prepoznavanje oblika jer su predmeti najčešće različitog oblika i položaja.

14

I.

OPĆENITO O ROBOTIMA

PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA

1.

Što se razumije pod pojmom industrijskog robota?

2.

Kako se nazivaju osnovni članci, a kako zglobovi robotske ruke?

3. Koje su najčešće primjene robota?

4.

Koje su osnovne konfiguracije robota i od kojih tipova zglobova se sastoje? Kakav im j e

radni prostor?

5 . Koji su osnovni načini kretanja završnog mehanizma?

6.

Koliki broj stupnjeva slobode gibanja određuje položaj , a koliki orij entaciju završnog mehanizma?

7. 8. 9.

Koji oblici gibanj a određuju orijentaciju alata i kako su definirani u prostoru? Kako su definirani pojmovi ponovljivost, preciznost i točnost kod robota? Koje su osnovne karakteristike školskog robota

RHINO

XR-3?

1 O. Kakva j e uloga robota u fleksibilnoj automatizaciji proizvodnje?

2. DIREKTNA KINEMATIKA

Robotski manipulator može se modelirati kao

lanac krutih tijela - članaka, koj i su me­ baza robota na­

đusobno povezani zglobovima, kako je prikazano na slici 2. 1 . Nepomična

lazi se na početku lanca, a završni mehanizam ili alat nalazi se na kraju lanca. Takav robot može obavljati poslove krećući se u trodimenzionalnom prostoru, pri čemu je nužno uprav­ ljati položajem i orijentacijom alata. Da bi se to moglo, potrebno je odrediti vezu između

varijabli zglobova problem.

robota te položaja i orijentacije alata, tj. riješiti

direktni kinematički

Definicij a problema direktne

Ako je zadan vektor va­ rijabli zglobova robotskog manipu­ latora, tada treba odrediti položaj i orijentaciju alata u odnosu prema koordinatnom sustavu pridruženom bazi robota. kinematike:

članak ------. -----

alat zglob

Za rješavanje direktnog kine­ matičkog problema

potrebno j e

baza

uvesti neke matematičke pojmove i

vektore, rotacije i

transformacije vezane uz

koordinatne sustave translacije [l].

te

Sl. 2.1.

Prikaz manipulatora u obliku lanca člana­ ka povezanih zglobovima

16

2. DIREKTNA KINEMATIKA

2.1. SKALARNI I VEKTORSKI PRODUKTI Vektori u n-dimenzionalnom prostoru Rn jesu orijentirane dužine čiji početak može biti u istom ishodištu, kako je prikazano za n = 3 na slici 2.2. Za takve vektore može se defmirati skalarni produkt (rezultat je skalar) i vektorski produkt (rezultat je vektor). Defmicija 2.1 . 1 . (skalarni produkt): Skalarni produkt vektora x i y u Rn definira se kao:

n

x ·y � �:XkYk · k=l

(2. 1)

Skalarni produkt dvaju vektora mjera je orij entacije između njih. Da bi se to moglo pokazati, potrebno je definirati ortogonalnost i normu vektora. Defmicij a 2.1 .2. (ortogonalnost): Vektori x i y u Rn jesu ortogonalni ako i samo ako je X · y = 0. Defmicija 2.1 .3. (potpunost): Skup ortogonalnih vektora je ako i samo ako iz y · xk = O, za I s; k s; n, slijedi y == O.

{xl, x2,

.„ ,

xn} u Rn potpun

Broj vektora potrebnih za stvaranje potpunog skupa u prostoru vektora naziva se

dimenzija prostora.

Duljina ili norma proizvoljnog vektora u Rn može se definirati pomoću skalamog pro­ dukta. Defmicija 2.1 .4. (norma): Norma vektora x u Rn označava se sa !!xii i defmira na slje­ deći način: (2.2)

Skup ortogonalnih jediničnih vektora naziva se ortonormirani skup. Na slici 2.2. prikazan je desno orijentirani orto­ normirani koordinatni sustav, što se može provjeriti

j3

na sljedeći način: kada prsti desne ruke rotiraju od vektora i1 prema vektoru i2 (tj. u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu), tada palac pokazuje u smjeru vektora i3 . j2

Iz definicija 2. 1.1. i 2.1.4. proizlazi da s e pomo­ ću skalarnog produkta i norme vektora x i y može na sljedeći način odrediti kut () između tih vektora: X . Y = llxll llYll COS (} ·

ji

Sl. 2.2. Ortonormiran koordinatni sustav u R3

(2.3)

Tako skalarni produkt može poslužiti kao mjera orijentacije između dvaju vektora.

17

2.2. KOORDINATNI SUSTAVI

Definicija 2. 1 .5. (vektorski produkt): Vektorski produkt dvaju vektora u i v u R3 jest vektor w = u x v, koji je ortogonalan i desno orijentiran u odnosu prema vektorima u i v te se definira na sljedeći način:

·2

.3

I

I

U2

U3 V3

V2

1] l ] U2V3 - U3 V2 = U3 V1 - U1V3 Ul V2 - U2 Vl

Takav vektorski produkt vektora u i v prikazan je na slici 2.3.

(2.4)

•

uxv

Slično kao i kod skalarnog produkta, duljina vek­ torskog produkta u x v ovisi o kutu (} između vektora u i v na sljedeći način:

llu x v ll = llull llv ll sin (}

·

V

(2.5)

Tako i rezultat vektorskog produkta može poslu­ žiti kao mjera orijentacije između dvaju vektora.

u

Sl. 2.3. Vektorski produkt vektora uiv

2.2. KOORDINATNI SUSTAVI Skalarni produkt vektora može se iskoristiti pri definiranju koordinata vektora dobi­ venih projekcijom tog vektora. Definicija 2.2. 1 . (koordinate): Neka je p vektor u Rn i neka je X = {xl, x2, . „ , xn } pot­ pun ortonormiran skup za Rn . Koordinate vektora p u odnosu prema skupu X označavaju se sa [ p ]X i definiraju na sljedeći način: (2.6) Potpun ortonormiran skup X naziva se ortonormirani koordinatni sustav ili ortonormi ­ rana baza za prostor Rn . Kada su osi koordinatnog sustava ortonormirani vektori, tada se koordinate vektora u odnosu prema tom koordinatnom sustavu mogu izračunati pomoću poučka 2.2. 1 . Poučak 2.2. 1 . (ortonormirane koordinate): Neka je p vektor u Rn i neka su [p]X koordi­ nate vektora p u odnosu prema ortonormiranom koordinatnom sustavu X = { xl, x2, „ . , xn} . Tada je k-ta koordinata vektora p u odnosu prema X: (2.7) Iz poučka 2.2. 1. može se vidjeti da je k-ta koordinata vektora p u odnosu prema orto­ normiranom koordinatnom sustavu X skalarni produkt vektora p i k-tog člana skupa X.

18

2. DIREKTNA KINEMATIKA

Rješenje problema direktne kinematike traži prikaz položaja i orijentacij e pokretnog alata u odnosu prema koordinatnom sustavu pridruženom nepokretnoj bazi.

= {fl, f2, f3}

{ml, m2, m3}

Neka su F i M= ortonormirani koordinatni sustavi, pri čemu je F pridružen nepokretnom članku, a M pokretnom članku. Ako je vektor u Rn, tada prema poučku 2.2. 1 . postoje dva skupa koordinata vektora

p:

p

[p] M = [p·m 1 , p·m2, p · m3] , [Pt = [p·f1 , p·f2 , p . f3 ] . Sada se postavlja problem transfmmacije koordinata, tj. kako odrediti koordinate vek­ tora u odnosu prema nepokretnom koordinatnom sustavu F, ako su zadane koordinate vektora p u odnosu prema pokretnom sustavu M. Pri rješavanju tog problema može se upotrijebiti poučak 2.2.2.

p

Poučak 2.2.2. (transformacija koordinata): Neka su F = { fl, f2, ... , rn} i M = { ml, m2, ... , mn } koordinatni sustavi u Rn, pri čemu je F ortonormiran. Neka je matrica A dimenzije n n definirana kao: A1g = fk ml Tada za koordinate vektora p u Rn vrijedi: x

•

(2.8) Matrica koja povezuje ili transformira koordinate pokretnog u koordinate nepokret­ nog sustava naziva se matrica transformacije koordinata.

A

Ako postoji matrica transformacije koordinata koja povezuje relativne koordinate dvaju koordinatnih sustava i ako je potrebno promij eniti koordinate u suprotnom smjeru, tj. iz­ vršiti inverznu transformacij u koordinata, može se koristiti poučak 2.2.3. Poučak 2.2.3 . (inverzna transformacija koordinata): Neka su F i M dva ortonormirana koordinatna sustava u Rn koja imaju isto ishodište i neka je matrica transformacije koor­ dinata, koja M koordinate transformira u F koordinate, kako je navedeno u poučku 2.2.2. Inverzna matrica transformacije koordinata koja koordinate sustava F transformira u koor­ dinate sustava M označava se sa pri čemu vrijedi:

A

A-1 ,

A-1 = AT.

2.3. ROTACIJE Rotacijsko gibanje postoji kod većine robotskih manipulatora, bilo pri gibanju prvih trij u osi (iznimka je pravokutna konfiguracija) ili pri gibanju dodatnih osi za upravljanje orijentacij om alata. Za određivanje orijentacije pokretnog alata pomoću koordinata u nepo­ kretnom sustavu pridruženom bazi robota potrebne su transformacije koordinata, koje se nazivaju rotacije.

2.3.1. Osnovne rotacije Neka pokretni koordinatni sustav M rotira oko jednog jediničnog vektora nepokretnog koordinatnog sustava F. Tako dobivena matrica transformacij e koordinata naziva se matri­

ca osnovne rotacije.

2 .3. ROTACIJE

fl

19

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri različite osnovne rotacije, kako je prikazano

2.4. Neka pokretni koordinatni sustav M najprij e rotira oko vektora nepokretnog F i neka se takav pozitivni kut rotacije označi sa ep, kao što je prika­ zano na slici 2.5. Iz te slike može se vidjeti da tada vrijedi: kut između vektora i i f2 i te f3 i je rc/2; kut između f2 i te i je ep; kut između f2 i je rc/2 + ep, dok kut između f3 i iznosi -rc/2 + ep . na slici

koordinatnog sustava

m2, fl m3, ml m3

ml

fl = ml; m2 f3 m3

m2

fl

f3

m2

e

Sl. 2.5. Rotacija pokretnog koordinatnog sustava M oko vektora f1 za kut rp

Sl. 2.4. Osnovne rotacije u R3

] [l

Ri(O).

l

2.2.2., može dobiti matrica prve osnovne rotacije:

Sada se, uz upotrebu poučka

f1m3 f2 m 3 = f 3m 3

O

O

O

cos cp

- sin cp

o

sin cp

COS ____[_. L

.v::1._ J ·. '' __� 1 �

� .zo. ..:.: tL.::.2l FT.73 .: .•·.·.> ; ., ILZ2:J

tlill:iW .

� .:·,.! li

Kružno blokiranje u uskoj je vezi sa strukturnim svojstvom Petrijevih mreža Sl. 8.29. Primjer kružnog blokiranja na vrlo koje se naziva sifon i koje je definirano u prometnim ulicama poglavlju 8.7. 1 . Naime, kao što je rečeno, resursi u kružnom blokiranju su nedostupni. U Petrij evoj mreži, koja predstavlja model FPS-a, nedostupnost resursa znači da u mjestu kojim je on predstavljen ne postoji oznaka. Ako takvih resursa ima više i ako oni ne mogu ponovno postati dostupni, znači da oni više ne mogu primiti oznaku, a upravo je svojstvo sifona da kad jednom izgubi oznake, više ih ne može primiti. Možemo zaključiti da su resursi koji se nalaze u kružnom blokiranju dio praznog sifona. Takav sifon koji sadrži kružno čekanje naziva se kritični sifon. Nakon svega, može se kazati: ako kritični sifon koji postoji u fleksibilnom proizvod­ nom sustavu postane prazan, resursi u kružnom čekanju prelaze u stanje kružnog blokira­ nja, što je ekvivalentno zaglavljenju. Ovim zaključkom zapravo se definira problem stabilnosti određene klase sustava s diskretnim događajima, ali se istodobno upućuje i na rješenje problema zaglavljenja naime, algoritam upravljanja fleksibilnim proizvodnim sustavom mora osigurati da kritični sifoni u sustavu ne postanu prazni. Zato je, kao prvi korak sinteze algoritma upravljanja, potrebno identificirati i definirati sve kritične sifone u sustavu.

Analitički postupak za određivanje sifona općenite Petrijeve mreže ne postoji. U lite­ raturi se može naći čitav niz algoritama koji se mogu svesti na različite metode rekurzivnog pretraživanja Petrijevih mreža iz kojih se zaključuje posjeduje li određeni skup mjesta svoj­ stvo sifona. Međutim, ako se na Petrijeve mreže postave neki zahtjevi, tada se mogu odre­ diti analitički postupci koji vrij ede za određene klase Petrij evih mreža. Sljedećom defini­ cijom određuje se klasa Petrij evih mreža nazvana MRFl (engl. multireentrantjlow Zine I), za koju će se pokazati analitički postupak određivanja kritičnih sifona. Definicij a 8 . 10.4. (MRFJ): Fleksibilni proizvodni sustav pripada klasi sustava MRFl ako njegova Petrijeva mreža ima ova svojstva: a) ' O,

a(i)= l

ako

a(i)

(9.3)

X1 = ( 1 t\ Va ) V ( 0 A Vb ) V ( 0 t\ Vc ) V ( 0 t\ ra ) V (1 t\ rb ) V ( 1 t\ fc)

Jednadžba (9.2) samo djelomično opisuje fleksibilni proizvodni sustav jer predstavlja samo uzročni dio pravila. Naime, zadovoljenje nekih uvjeta pokreće određene događaje. Jednadžba (9 .2) govori samo koji su uvjeti zadovoljeni, a ne govori ništa o događajima koji se moraju pokrenuti nakon zadovoljenja tih uvjeta. Kako bi se obuhvatio i taj dio pravila, potrebno je napisati i preostale jednadžbe sustava koje opisuju posljedični dio pravila:

178

9.

MATRIČNI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

- jednadžba pokretanja operacija, (9.4) - jednadžba otpuštanja resursa, (9.5) - jednadžba izlaza predmeta, (9.6) Imaju li se na umu veze između vektora operacija i vektora resursa, usporedbom j ed­ nadžbe

(9.2) s matričnim jednadžbama (9.4) i (9.5) može se donijeti zaključak o dimenzi­

Sr Broj redaka pojedine matrice S jednak je broju stupaca odgovarajuće F. Broj redaka matrice SY j ed­ nak j e broju izlaznih mjesta. Jasno je da je broj stupaca svih S matrica isti.

jama matrica Sv i

matrice F, dok je broj stupaca od S jednak broju redaka od Jednadžbe

(9.2), (9.4)-(9.6) potpuno opisuju statički model fleksibilnog proizvodnog

sustava. Budući da je osnovni razlog određivanja matričnog modela bio što jednostavnij e simuliranje FPS-a, taj model možemo razviti tako da poprimi rekurzivni karakter pogodan za simulaciju. Ako sa k označimo korak proračuna, tada se rekurzivni matrični model može zapisati kao:

(9.7)

mk = :'Dk-l + [s r - Fr xk .

gdje j e

sr= [SJ' SJ S{ S{] i F

=

(9.8)

[Fu Fv Fr Fy]. Matrice Su i Fy nemaju fizikalni smisao, S i F i time omogu­

već su ukomponirane u matrični model kako bi se zadržao red matrica ćile matrične operacije. Rješavanjem jednadžbi

(9.7) i (9.8),

koje potpuno opisuju statički model FPS-a, u

svakom se koraku zna: a) stanje pravila, b) broj predmeta koji čekaju obradu (ili se obra­ đuju) i c) stanje resursa (obavljaju li operacij e ili su slobodni).

9.3.

STUDIJSKI PRIMJER ODREĐIVANJA MATRIČNIH JEDNADŽBI FPS-a Na primjeru fleksibilnog proizvodnog sustava prikazanog na slici

9. 1 .

pokazuj e se

određivanje matričnih j ednadžbi. Na slici

9. 1 .

iscrtkana linija pokazuje gibanje predmeta obrade kroz fleksibilni

proizvodni sustav. Redoslij ed operacij a je kako slijedi: robot uzima predmet iz ulaznog mjesta i postavlja ga na transporter I , koji ga nosi do klipa 1 . Klip 1 prazni transporter i

2, koji ga zatim smješta u spremnik B. Nakon toga robot uzima predmet iz spremnika i prenosi ga do transportera 2. Po dolasku pred klip 3 predmet se pre­ mješta na transporter 3, koji ga nosi do izlaznog mjesta, nakon čega ga robot izvlači iz postavlj a predmet pred klip

proizvodne linij e. U FPS-u se može identificirati

8 operacij a prikazanih u tablici 9.1.

9.3.

STUDUSKI PRIMJER ODREĐIVANJA MATRIČNIH JEDNADŽBI FPS-a

�- ---------,

I I

I I I I ' I I �--� . I - - - - - -i - - ..,I i I I

IHlr---�-II --: li l I

lmfll i

"' �

M t:: .... o

i :_

:: . : ,

ii

--m-r

______

i!

N

'--

� t::

----

o o.

_,

-+ -

i-

t

"'

a

· -- ,

! l mmj �

'C/ l .1 I Q I =:l�::.:;-1

l_ _ J

l„-- „-

B t Ilii.

'--

l ..... ! � -�----

i

_________

j

mii-„-

:

--

-'

o o.

"'

a

i

ji

j

I I I I I I

t::

t ___

179

�

!Ili

SI. 9.1. Fleksibilni proizvodni sustav Tablica 9.1.

Operacije FPS-a sa slike 9.1

Broj operacije

Oznaka

1

RP l

Prijenos predmeta od ulaznog mjesta do transportera 1

2

TlP

Nošenje predmeta

3

KlP

Izvlačenje predmeta s transportera 1

4

BP

Ubacivanje predmeta u spremnik B

5

RP2

Prij enos predmeta iz spremnika na transporter 2

6

T2P

Nošenje predmeta

7

T3P

Izvlačenje predmeta s transportera 2 i nošenje predmeta

8

RP3

Prij enos predmeta s transportera 3 na izlazno mjesto

Opis

Nakon tako defmiranih operacij a vektor v može se odrediti kao: v = [RP l

TlP

KlP

BP

RP2

T2P

T3P

RP3

f.

(9.9)

Matrica Fv može se formirati korištenjem defmicije njezinih komponenti preko redo­ slijeda operacija. Naime, jasno je da operacija TlP (nošenje predmeta) ne može započeti dok nije završena operacija RPl (prijenos predmeta od ulaznog mjesta do transportera 1). To znači da RPl sudjeluje u tvorbi pravila kojim se pokreće operacija TlP. Nadalje, ope­ racija KlP (izvlačenje predmeta s transportera 1) ne može započeti ako operacija TlP nij e završena. To pak znači da TlP sudjeluje u tvorbi pravila kojim se pokreće operacija KlP. Tako nastavljajući može se dobiti sljedeći oblik matrice Fv:

180

9.

MATRIČNI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

RPI TIP KIP BP RP2 T2P T3P RP3 RPI TIP KIP BP Fv =RP2 T2P T3P RP3 z

o

I o o o o o o o

o o

I

o o o

o o o o o o

I

o o o o

o o o o o

I o o o o

o o o o o

I o o o

o o o o o o

I o o

o o o o o

I

o o o o o o o o

o

I

o o

(9. 10)

Sa Z označen je redak koji pripada izlaznom mjestu. Prema broju redaka može se zaključiti da FPS iz primjera ima 9 pravila. Iz slike

9. 1 . može se definirati vektor resUfsa kao r=[RA TlA T2A T3A KlA K2Af.

(9.1 1)

Nakon što je određen vektor operacij a v i definiran vektor resursa r, potrebno je svakoj operaciji pridijeliti resurs kako bi se mogli odrediti elementi matrice Fr Resursi su priđijeljeni kako je pokazana u tablici 9.2. Tablica 9.2. Pridjeljivanje resursa operacijama

Resurs

Operacije

Robot (RA)

RPI, RP2, RP3

Transporter 1 (TlA)

TlP

Transporter 2 (T2A)

T2P

Transporter 3 + klip 3 (T3A)

T3P

Klip 1 (KIA)

KIP

Klip 2 (K2A)

BP

Iz tablice se može vidjeti, kao što je već rečeno i u opisu sustava, da robot obavlja tri operacije, dok svi ostali resursi obavljaju po jednu operaciju. Zanimljivo je primij etiti da su zbog karaktera operacije dva resursa (transporter 3 i klip 3) spojena u matričnom mode­ lu u jedan resurs, T3A, koji obavlja jednu operaciju. Takvim definiranjem resursa željelo se pokazati da postoje situacij e u kojima svaki pojedini fizički stroj u sustavu ne mora nuž­ no predstavljati jedan resurs u modelu.

9.3.

STUDIJSKI PRIMJER ODREĐIVANJA MATRICNIH JEDNADŽBI FPS-a

181

Nakon pridjeljivanja resursa operacijama može se odrediti matrica Fr: RA TlA T2A T3A KlA K2A

o

RPl 1 TIP o KIP o BP o Fr = RP2 1 TIP o T3P o RP3 1 z

o o o o o o o 1

o

o o o 1

o o o

o o

o o o o o o

o o o o o

o o o o o o 1

o o 1

o o o o o 1

(9.12)

Kako FPS iz primjera ima samo jedno ulazno i jedno izlazno mjesto, ulazni i izlazni vektor poprimaju oblik skalara, u = u1 i y ;= y1, dok ulazna i izlazna matrica postaju vektori: Fu = [1 Sy =[O

o o o o o o o of, o o o o o o o I] .

(9.1 3)

Matrice pokretanja operacija i otpuštanja resursa imaju ovaj oblik:

o o o o o o o 1

sV =

sr =

o o o o o o

o o 1 o o 1 o o o o o o o o o o o o o o o 1

o o o o o„ o o o o o o o 1 o o o o 1 o o o D 1 o o o o 1 o o o o

o o 1 o o o o o o 1 o o

o o o o o 1

o o o o o o o 1

o o o o o o o o

o o 1 o o o o o 1 o o o o 1 o o o o o o o o o

(9. 1 4)

1

(9. 1 5)

182

9. MATRIĆNI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

Uvrštavanjem dobivenih matrica i vektora u jednadžbu sustava dobiva se matrična jednadžba stanja: Xl X2

X3 X4 X5

x6 X7 Xg X9

=

o o o o 1 o o o o 1 o o o o 1 o o o o 1 o o o o o o o o o o o o o o o o

o o o o o

o o o o o 1 o o 1 o o o o

o o RPl o o TlP o o KlP o o BP o o ® RP2 o o T2P o o T3P 1 o RP3 o 1

1

o

EĐ

o o

1 o o

1 o

o o 1 o o o o o o o o 1 o o o o o o

o o o o o o RA o 1 o TlA o o 1 T2A o o o ® T3A o o o KIA 1 o o K2A o o o o o o

1 o

EĐ

o o o ® ui . o o o o

(9.16) 9.4. UPRAVLJANJE FLEKSIBILNIM PROIZVODNIM SUSTAVOM ZASNOVANO NA MATRIČNIM JEDNADŽBAMA Rješavanjem matričnih jednadžbi fleksibilnog proizvodnog sustava moguće je u sva­ kom trenutku odrediti stanje pojedine operacij e i pojedinog resursa u sustavu. Dobiveni rezultati pokazuju statička svojstva FPS-a. Budući da je prije rečeno da statička svojstva sustava ovise o njegovoj strukturi (redoslijed operacija i pridjeljenost resursa), a matrice F i S opisuju upravo strukturu FPS-a, može se zaključiti da sam oblile matrica sustava daje dovoljno informacija i da nij e potrebno rješavati jednadžbe matričnog modela kako bi se saznalo može li, na primjer, u sustavu doći do konfliktnih situacija odnosno zaglavljenja. Postoje li konfliktne situacije, potrebno je uvesti upravljačke signale. U nastavku će se po­ kazati kako se upravljački signali uključuju u matrični model FPS-a. Sada se razmatra matrica zahtjeva za resursima Fr. Prema njezinoj definiciji, svakom mjestu (i,j) za koje vrij edi da je raspoloživost resursa j nužna da bi pravilo i bilo ispunjeno, bit će pridjeljena vrijednost 1 . To znači da na neki način resurs j sudjeluje u operaciji koja započinje nakon što je pravilo i ispunjeno. Dakle, broj jedinica u stupcu matrice Fr jednak je broju operacij a odgovarajućeg resursa. Nužan uvjet za postojanje konflilcta u FPS-u jest postojanje višeradnog resursa, a uvid u broj jedinica u pojedinom stupcu pokazuje je li riječ o višeradnom ili jednoradnom resursu. Iz matrice (9 1 2) može se vidjeti daje robot RA višeradni resurs. Odgovarajući stupac ima tri jedinice, pa stoga robot sudjeluje o obavljanju triju operacija. Spoznaja da u sustavu može doći do konflikta zahtijeva da se u postojeća pravila uključe dijelovi koji će dodatno uvjetovati ispunjenje određenog pravila. Ti novi uvjeti za­ pravo predstavljaju upravljačku logiku. Kako se u ovom poglavlju razmatra matrični model FPS-a, za razliku od modela s Petrijevom mrežom, gdje je upravljačka logilca bila uvede­ na u obliku dodatnih mjesta, upravljanje se u sustav uvodi u obliku dodatne matrice Fn, .

9.4. UPRAVLJANJE FLEKSIBILNIM PROIZVODNIM SUSTAVOM ZASNOVANO NA MATRIČNIM JEDNADŽBAMA

183

koja se naziva upravljačka matrica, i dodatnog vektora u0, koji se naziva upravljački vek­ tor. Time matrična jednadžba poprima sljedeći oblik:

(9. 17) Kao i ostale matrice i vektori sustava, F0 i u0 također imaju logičke komponente. Di­ menzije upravljačke matrice i upravljačkog vektora određene su dimenzijama i strukturom matrice Fr Kako bi bilo moguće izvesti matrične operacije, broj redaka matrice F0 jednak je dimenziji vektora pravila x, dok je za svaku operacij u višeradnog resursa potrebno uprav­ ljačkoj matrici dodati po jedan stupac. Svi elementi tog stupca jednaki su O, osim elementa koji se nalazi u retku u kojem se nalazi odgovarajuća operacij a. Taj je element jednak 1 . Da bi se odredili elementi matrice F0, potrebno j e najprij e odrediti konfliktna pravila:

(9. 1 8) gdje je i:d vektor konfliktnih pravila, a rv vektor višeradnih resursa (ima 1 na mjestu više­ radnog resursa, a ostali su elementi O). Matrica Fr dobije se tako da se iz matrice Fr isključe svi redci vezani uz izlazna mjesta (redci koji sadrže samo nule). Nakon što je poznat vek­ tor konfliktnih pravila iz izraza:

{

±

. . = l akoje xd (i) = l l\ j = k�l xđ (k) fd (l, J ) inače O

(9. 19)

mogu se izračunati komponente upravljačke matrice F0. Vektor � dobije se iz vektora i:d tako da se u vektor � na mjesta koja se odnose na nu1-retke matrice Fr umetne vrijednost O. Broj redaka upravljačkog vektora u0 jednakje broju stupaca matrice F0. Komponente vektora u0 određene su algoritmom upravljanja. U općem slučaju, upravljački vektor može se prikazati u obliku: (9.20) odnosno u0 ovisi o trenutnom stanju operacija i resursa i ostalim parametrima koji su sadržani u vektoru y. Ti parametri opisuju karakteristike i utjecaje na FPS, koji nisu obu­ hvaćeni matričnim modelom (npr. ekonomske parametre proizvodnje). Funkcij a /jest algo­ ritam vođenja FPS-a, odnosno procedura po kojoj se određuju komponente upravljačkog vektora. Budući da je matrična jednadžba sustava proširena upravljačkom komponentom, matrice F i S također se proširuju i poprimaju oblik ST = [S[ SJ S[ st Srf] i F = [Fu Fv Fr Fy F0]. Matrica S0 sastoji se od nul-redaka, a dimenzije joj ovise o broju pravila i o redu vek­ tora upravljanja u0. Ako je upravljački vektor povezan s posljedičnim dijelom pravila =

(situacija koja odgovara invarijantnom upravljanju kod Petrijevih mreža), tada komponente matrice S0 ovise o tome u kojim su pravilima sadržane komponente vektora upravljanja.

184

9. MATRIĆNI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

Promatrajmo matricu Fr iz primjera 9.3. Prvi stupac ima više (tri) jedinica:

[1 O O O 1 O O 1 O] T. To znači da će matrica FD imati tri stupca. Vektor rv = [ 1 O O O O O] T. Uvrštavanjem matrice Fr i vektora rv u izraz (9.1 8) mogu se odrediti konfliktna pravila: o o o o o

o

1 o o o o

1

o

1 o

o

o

o

o

o o o o Fr

=

o o o o o

1

o

� id = 1

o o o

o

o

o o

o

o

o o o o o ,

1

o o

1

o o o

1

1

1

1

rV

=

1 o o o o o

1

o o o

� xd =

1

(9.2 1 )

o o

1 o

Vidi se da je iz matrice Fr brisan zadnji redak, a u konačnici se vektoru konfliktnih pri­

jelaza � dodala

O

na mjestu tog zadnjeg retka. Imajući

(9. 1 9), odrediti komponente upravljačke matrice:

xd, mogu se korištenjem izraza

o o

1

o o o o o o o o o

Fn = o I o

(9.22)

o o o o o o

1

o o

o o o dok će struktura upravljačkog vektora biti:

no =

l

0

1

un2 •

U 03

]

·

(9.23)

9.5. ODREĐIVANJE STRUKTURNIH SVOJSTAVA MRFI SUSTAVA POMOĆU MATRICA

185

9.5. ODREĐIVANJE STRUKTURNIH SVOJSTAVA MRFl SUSTAVA POMOĆU MATRICA Određivanje konfliktnih prijelaza, uz pomoć kojih se proračuna matrica F0 i struktu­

ra upravljačkog vektora u0, tek je prvi korak u sintezi algoritma upravljanja fleksibilnog

proizvodnog sustava. Kod upravljanih Petrijevih mreža pokazano je da određivanje staaja upravljačkih mjesta ovisi o strukturnim svojstvima sustava.

U tu svrhu bilo je potrebno

pronaći kružna čekanja, kritične sifone i ostale strukturne tvorevine upravljanog FPS-a.

Budući da matrice F i S opisuju topologiju sustava, valja očekivati da će se preko njih moći

odrediti tražena svoj stva.

9.5.1. Određivanje kružnih čekanja Da bi se odredila kružna čekanja, potrebno je prvo odrediti relacije čekanja medu resursima. Matrica

Fr daje podatak o resursima koji sudjeluju u tvorbi svakog pojedinog

pravila, a matrica Sr govori o resursima koji se otpuštaju nakon što je pojedino pravilo ispu­ njeno. Dakle, korištenjem tih dviju matrica moguće je pronaći relacije čekanja među resur­

sima. Naime, ako resurs A sudjeluje u tvorbi pravila xi, a resurs B se otpušta nakon što je

to pravilo ispunjeno, onda je jasno da resurs B čeka resurs A, B � A. Logičkim množenjem matrica Sr i Fr dobiva se

matrica čekanja:

o.

Elementi dobivene matrice čekanja su O i (i,j) j ednak 1, inače je

(9.24)

1 . Ako resurs i čeka resursj, tada je element

Određivanje kružnih čekanja iz matrice čekanja obavlja se

tzv. string-algebrom.

String-algebra služi za manipuliranje nizovima karaktera.

c (npr. hgFkc, KOnac), neka je c (npr. cmjHbn, coca-cola) i neka je D string koji ne započinje niti ne završava karakterom c (npr. Jucra, Pel2r0). Definiramo operator mno­ ženja stringova » • «, koji ima sljedeća svoj stva: 1) množenje stringa sa O (nul-string) Ac • O = O • Ac = O . Neka je string

Ac

string koji završava karakterom

string cB string koji počinj e karakterom

2)

množenje stringa sa stringom

Ac • cB = AcB, cB • Ac = O, D • cB = O, Ac • D = O, E • (H + J) = E • H + E • J. Tako definiranim množenjem stringova dobije se npr.

KoNac • cocta = KoNacocta cocta • KoNac = O ana • (ante + jura + adolj) = ana • ante + ana • jura + ana • adolf= = anante + O + anadolf= anante + anadolf

186

9.

MATRIČNI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

Da bi se string-algebra mogla primijeniti na matricu čekanja, potrebno je učiniti odre­ đene prilagodbe. Od matrice čekanja Gw kreira se matrica stringova Z na sljedeći način: a) svakom resursu pridjeljuje se određeni znak - karakter (npr. l, a, + , Q), b) na mjesto jedinice u matrici Gw u matricu Z treba upisati string koji se sastoji od zna­ kova pridijeljenih resursima danog retka i stupca. Na mjesto nule upisati 0-string. Nakon što je kreirana matrica stringova Z, rekurzivnim množenjem oblika (9.25)

na dijagonali se pojavljuju kružna čekanja. Kružno čekanje n-tog reda, gdje n predstavlja broj resursa u kružnom čekanju, pojavljuje se na dijagonali nakon n množenja.

Matrica čekanja nekog fleksibilnog proizvodnog sustava dana je u ovom obliku: 2 M2

3 B

4

MI

1

o

o

o

1

MI

o

o

o

1

M2 2

1

o

o

B

3

o

l

o

R

4

Gw = o o

R 1

Resursima su pridijeljeni znakovi 1 , 2, 3 i 4. Matricu Z kreiramo tako da na pozicij e jedinica upišemo string koji sadrži znakove pripadajućih resursa. Tako će se na mjesto jedinice u matrici Gw, koja se nalazi na poziciji (1, 4), upisati string 14. Matrica Z popri­ ma oblile: 3 B

4

Ml

2 M2

o

o

o

14

Ml I

o

o

o

24

M2 2

o

32

o

O

B

3

o

o

43

O

R

4

1

Z=

R

Sada se može započeti s množenjem. o

o

o

14

o o 2 Z =Z • Z= o 32

o

24

o

o

o

o

43

o

•

o

o

o

14

o

o

o

24

o 32

o

o

o

43

o

o

=

o

o

143

o

o

o

243

o

o

o

o

324

o

o

o 432

9.5.

ODREĐIVANJE STRUKTURNIH SVOJSTAVA MRF l SUSTAVA POMOCU MATRICA

187

Kao što se može vidjeti, u sustavu ne postoje kružna čekanja 2. reda jer su nakon množenja elementi na dijagonali ostali

o

o

143

o

o 3 Z = Z2 • Z = o

o

243

o

o

o

324

432

o

o

o

•

O.

Sljedeće množenje daje:

o

o

o

14

o

o

o

24

o

32

o

o

o

o

43

o

=

o

1432

o

o

o

2432

o

o

o

o

3243

o

o

o

o

4324

Sada su se na dijagonali pojavili elementi koji upućuju na to da u sustavu postoji kružno čekanje 3. reda koje ima oblik M2(2) � R(4) � B(3) � M2(2).

9.5.3. Određivanje kritičnih sifona Nakon što se odrede kružna čekanja u sustavu pristupa se određivanju ostalih struk­

tura koje su važne za projektiranje algoritma kojim će se određivati stanj a komponenti

upravljačkog vektora. Ovdje se daju samo gotovi izrazi bez postupka sinteze i dokaza koji se mogu naći u literaturi navedenoj na kraju knjige. Matrica p-invarij anti dobije se iz izraza:

(9.26)

gdje je lnxn jedinična matrica, n broj resursa u sustavu. Svaki stupac tako dobivene matrice predstavlja jednu p-invarijantu. Kritični sifoni određuju se prema jednadžbi:

(9.27) gdje je ci vektor koji sadrži kružno čekanje, C..i vektor koji sadrži višeradne resurse kružnog

čekanja

c,, /\ logička I operacija element po element.

Nakon što su određeni kritični sifoni, da bi sustav bio stabilan s obzirom na zaglavlje­ nje, algoritam upravljanja treba sprij ečiti da oni postanu prazni. Kako bi se upravljanjem, osim sprječavanja zaglavljenja, omogućila i dobra iskoristivost resursa, potrebno je odre­ diti i kritične podsustave. Oni se mogu izračunati prema: (9.28) gdje je matrica sastavljena od redaka koji predstavljaju kružna čekanja, a Se matrica čiji redci predstavljaju kritične sifone.

C

188

9.

MATRIČ:Nl MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

9.6. VEZA IZMEĐU MATRIČNOG MODELA I MODELA S PETRIJEVOM MREŽOM Pokazana je da se matrične jednadžbe i Petrijeve mreže, kao dva matematička alata, mogu koristiti za modeliranje sustava s diskretnim događajima. Prirodno je pitanje postoji li između ta dva pristupa neka veza, odnosno može li model fleksibilnog proizvodnog su­ stava, dan Petrijevom mrežom, poslužiti kao izvor za određivanje matričnog modela. I obr­ nuto: Može li se

iz matrica FPS-a nacrtati graf Petrij eve mreže? Upravo to pitanje razma­

trat će se u ovom poglavlju. Kako bi se ta dva načina modeliranja FPS-a stavila u vezu, potrebno je zamisliti kom­ ponente vektora operacija v i vektora resursa

r kao skup svih mjesta, a pravila matričnog

modela kao skup svih prij elaza Petrijeve mreže. Zgodno je prisjetiti se da ulazna matrica događaja I opisuje veze od mjesta prema prijelazima, dok izlazna matrica događaja

O opi­

suje veze od prijelaza prema mjestima. Sada se može pokazati da vrij ede sljedeće relacije:

O=S r , l=F, su S S = v ' F= [Fu Fv Fr Fy ] . sr Uz korištenje izraza

(9.29)

(9.29), matrica događaja Petrij eve mreže može se odrediti kao: (9.30)

Graf Petrij eve mreže povezan je s komponentama matrica prikazano na slici

9.2.

Fv => (i,j) = 1

o---f

mjesto prij elaz (operacija1) (pravilo i)

Fr => (i,j) = 1

� �

mjesto (resurs])

F i S na način kako je

Fu => (j.,j) = 1

o---f

mjesto (ulazi)

prijelaz (pravilo i)

Sv => (i,j) = 1

J-0

mjesto prijelaz (pravilo]) (operacija i)

Sr => (i,j) = 1

(:i::µ

prij elaz (pravilo i)

Sy => (i,j) = 1

l--0

prij elaz (pravilo1)

mjesto (izlaz i)

prijelaz (pravilo1)

Sl. 9.2. Veza između grafa Petrijeve mreže i matrica matričnog modela FPS-a

PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA

„.

, .„••, „.

-,-

M•m1

189

I

PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA 1 . Za FPS iz primjera 8.8 . 1 . treba odrediti matrični model.

2. Za matrični model dan jednadžbama (9. 13) -(9. 1 6) treba nacrtati graf Petrij eve mreže i od­ rediti matricu događaja W. 3. Treba odrediti kružna čekanja i kritične sifone za sustav dobiven u zadatku 2.

4. Za zadanu matricu Gw odrediti kružna čekanja korištenjem string-algebre.

Gw =

o

1

o

o

o

o

o

o

1

1

1

o

1

o

o

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

o

o

5. Odredite vektor x ako je: x=A ® v v B ® r

[i :} B=[� �} v=[�J r=[H 1

A=

o

o

LITERATURA

[ l J R. J. Schilling, Fundamentals o/Robotics - Analysis and Control, Prentice Hall, 1 990. [2] R. P. Paul, Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Control, The Computer Control of Robot Manipulators, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1982. [3] Y. Koren, Roboticsfor Engineers, McGraw-Hill, 1985. [4] P. G. Ranky, C. Y. Ho, Robot Modelling - Control and Applications with Software, IFS (Publica­ tions) Ltd., UK, 1985. [5] T. C. S. Hsia, A New Techniquefor Robust Control ofServo Systems, IEEE Transactions on Indu­ strial Electronics, Vol. 36, No. 1, February 1989. [6] M. C. Zhou, F. Di Cesare, Petri Net Synthesisfor Discrete Event Control o/Manufacturing Systems, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1993. [7] R. David, H. Alla, Petri Nets and Grafcet, Prentice Hall, New York, 1 992. [8] R. W. Blanning, D. R. King, Current Research in Decision Support Technology, IEEE Computer Society Press, Washington, 1992. [9] T. Murata, Petri Nets: Properties, Analysis and Applications, Proc. ofthe IEE, Vol. 77, No. 4, pp. 541-580, 1989. [10] F. L. Lewis, A. Gurel, S. Bogdan, A. Doganalp, O. Pastravanu, Analysis ofDeadlock and Circular Waits Using a Matrix Modelfor Discrete Event Manufacturing Systems , Automatica, Vol. 34, No. 9, pp. 1083-1100, 1998. [ 1 1 ] H. Asada, J.-J. E. Slotine, Robot Analysis and Control, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1986. [12] Z. Qu, D. M. Dawson, Robust Tracking Conirol o/Robot Manipulators, IEEE Press, 1 996. [13] Y. Koren, Computer Control ofManufacturing Systems, McGraw-Hill, 1983. [ 14] E. Kaffrisen, M. Stephans, Industrial Robots and Robotics, Reston Publishing Company Ine. (Prentice Hall), 1 984. [15] P. Cmošija, Elementi slijednih sistema, Sveučilište u Zagrebu, Liber, 1984. [16] I. Alexander, Computer techniquefor robots, Anchor Press Ltd., 1985. [17] H. Asada, K. Youcef-Toumi, Direct-Drive Robots, TJieory and Practice, The MIT Press, Cam­ bridge, Massachusetts, 1987. [ 1 8] P. Coiffet, Robot Techno/ogy, Volume l, Modelling and Control, Kogan Page, London, 1983. [19] P. Coiffet, Robot Technology, Volume 2, Interaction with the environments, Kogan Page, London, 1983.

192

LITERATURA

[20] J. Hartley, Robots at Work, A Practical Guide for Engineers and Managers, IFS (Publications) Ltd., UK, 1983. (2 1] P. Lammineur, O. Cornillie, Industrial robots, Pergamon Press, Oxford, New York, 1 984. [22] W. E. Snyder, Industrial Robots, Computer Inteifacing and Control, Prentice Hall Ine., 1985. (23] K. S. Fu, R. C. Gonzales, C. S. G. Lee, Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, Mc­ Graw-Hill Book Company, Singapore, 1 987. [24] R. M. Murray, Z. Li, S. S. Sastry, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation , CRC Press, Boca Raton, 1994. . [25] T. Šurina, M. Cmeković, Industrijski roboti, Školska knjiga, Zagreb, 1990.

KAZALO POJMOVA

Aktivna podatnost 136

dinamički momenti 106

aktuatori 53 -, električki 102

dinamika manipulatora 47 direktna dinamika 64

-, hidraulički 102 -, pneumatski 1 02 alat 2 apsolutni davač impulsa l 02 armaturna vremenska konstanta 1 07 artikulirana robotska ruka 1 asinkroni motori 104 automatizirani proizvodni procesi 146 Baza robota 1 5

direktna k:inematika 1 5 direktni k:inematički problem 1 5 -, geometrijsko rješenje 27 dohvat 8 -, horizontalni 8 -, vertikalni 8 duljina članka 26 Elektromehanička vremenska konstanta 1 08 elektronički komutirani motori 1 04, 109 Eulerovi kutovi 9, 24 -, naginjanje 9, 24

C . A . Petri 1 52 centar mase članka 49 centrifugalna sila 47, 56 centripetalni momenti l 06 Coriolisova sila 47, 56 Coriolisovi momenti 106

Faktor skaliranja 20 FBFS postupak 172

Članci robota 1

fiksna automatizacija 1 0 fleksibilna automatizacija 1 0

-, grudi l -, nadlaktica 1 -, podlaktica 1

-, zakretanje 9, 24 -, zavrtanje 9, 24

fleksibilni proizvodni sustavi 146 FPS, v. fleksibilni proizvodni sustavi 146 funkcija raspodjele brzine 72

-, šaka 1 Denavit-Hartenbergova metoda 26 dimenzij a prostora 1 6 dinamički model robota 47, 56 -, Lagrange-Eulerov 47, 55 -, Newton-Eulerov 47, 64

G. C. Devol 2

geometrij a radnog prostora 3 gravitacija (v. sila teže) 47 Hibridno upravljanje položajem i silom 136 Ho-Cookova metoda interpolacije 83

194

KAZALO POJMOVA

hod 8 - horizontalni - vertikalni

-, desno orijentirani -, ortogonalni 1 5

8

Hsiaova metoda hvataljka

-, ortonorrnirani koračni motori 1 03 kretanje robota 7

8

homogene koordinate

20

123

1 70, 1 87 187 kružno blokiranje 1 69 kut zgloba 25

56

inercijalni momenti

1 05

inkrementalni davač impulsa

1 02

interpolacija kubnim polinomima

77

interpolacija polinomima trećeg i četvrtog

82

interpolirano kretanje 77 inverzna dinamika 64

inverzna homogena transformacija

inverzna kinematika

23

37

inverzna transformacija koordinata istosmjerni motori

1 05

Jacobijeva matrica

50

18

Karakteristike robota 7

7 7, 8 -, hod 7, 8 -, broj osi

-, dohvat

-, maksimalna brzina -, nosivost

7

7

-, ponovljivost 7,

9 9 -, radna okolina 7, 1 0 -, točnost 7 , 9

-, preciznost 7,

-, vrijeme radnog ciklusa 7 Kare! Čapek 2 kinematički parametri kinetička energija 47,

25 48

koeficijent mehaničkog prij enosa

1 13

37 konfiguracija robota 4 -, cilindrična (RTT) 4, 5 -, pravokutna (TTT) 4, 5 konfiguracija alata

-, rotacijska, laktasta, antropomorfua,

(RRR) 4, 6 (RTR, TRR, RRT) 4 -, sfema (RRT) 4, 5 konflikt 1 62, 1 65, 1 82 koordinate, homogene 20 , ortonorrnirane 1 7 koordinatni sustav 1 5 zglobna

-, SCARA

151

kritični podsustav kritični sifon 1 69,

industrijski robot I

inercija manipulatora 47 inercijalne sile

7

kriterij i za projektiranje FPS-a kritična zamka 1 70

1 77 137

ILI/I-algebra

stupnja

16

-, kontinuirano po putanji -, od točke do točke 7

2

impedancij a

16

Lagrangeova funkcija 47 Lagrangeova jednadžba 47 lanac krutih tijela 1 5 LBFS postupak 173 Manipulator 1 matrica homogene transformacij e 2 1 - manipulatora (ruke) 2 1 , 29 - osnovne homogene rotacije 22 - osnovne homogene translacije 22 - osnovne rotacije 1 8, 19 - povezivanja brzina 55 - pretvorbe homogenih koordinata 20 - rotacije 2 1 - složene homogene transformacije 23 - složenih rotacija 20 - transformacije kordinata 1 8 matrice FPS-a, izlazna matrica 177 -, matrica čekanja 185 - , matrica otpuštanja resursa 177 -, matrica pokretanja operacija 176 -, matrica slijeda operacija 1 76 -, matrica zahtjeva za resursima 1 76 -, ulazna matrica 1 76 matrična jednadžba stanja FPS-a 1 77 matrični model FPS-a 1 75 -, izlazni vektor sustava 176 -, jednadžba izlaza predmeta 1 78 -, jednadžba otpuštanja resursa 178 -, jednadžba pokretanja operacija 178 -, ulazni vektor sustava 1 76 -, upravljačka matrica 1 83 -, upravljački vektor 183 -, vektor operacija 176 -, vektor resursa 1 76 medicinski robotski uređaji 2 mehanički prijenos 1 13 model dodira robota i okolice momenti inercije 49

-

Naginjanje

9, 24

137

KAZALO POJMOVA

Ograničeno kretanje 135 orij entacija alata 4, 8, 23, 24 -, naginjanje 9, 24 -, poniranje 9, 23 -, skretanje 9, 23 -, valjanje 9, 23 -, zakretanje 9, 24 -, zavrtanje 9, 24 osnovna homogena translacija 22 osnovne rotacije 1 8 otvoreni kinematički lanac 26 Parametar tipa zgloba 28 parametričko vrijeme 85 Parkova transformacija 1 09 pasivna podatnost 1 3 5 Petrijeve mreže 1 52 -, dohvatljivost 1 58 -, graf 152 -, izlazna matrica događaja 1 52 -, izvor 1 53 -, jednadžba prijelaza stanja 1 56 -, jednoznačnost (determiniranost) 1 59 -, matrica događaja 1 56 -, matrica svih težinskih koeficijenata 1 52 -, MRF l 1 66 -, obična PM 1 53 -, ograničenost 158 -, označeni graf 1 53 -, oznaka 1 53 -, početno stanje 1 52 -, ponor l 53 -, pravilo prijelaza ili pravilo okidanja 1 55 -, prikaz stanja 1 53 -, reverzibilnost 1 58 -, skup svih mjesta 1 52 -, skup svih prijelaza 1 52 -, ulazna matrica događaja 1 52 -, usmjerene veze 1 52 -, živost 1 58 p-invarijanta 1 60 planiranje trajektorij e 7 1 pneumatski motor 3 podatnost manipulatora 136 podatnost, aktivna 1 36 podatnost, pasivna 136 pogoni 1 02 -, električki 1 02 -, električki, istosmjerni 1 03 -, električki, izmjenični 1 04 -, električki, koračni 105 -, hidraulički 1 02 -, pneumatski 1 02 položaj ručnog zgloba 4

195

poniranje 9, 23 ponovljivost 7, 9 poopćena sila 47, 53 poopćene koordinate 47 potencijalna energij a 47, 52 potenciometar 102 pozicioniranje 7 -, ponovljivost 7, 9 -, preciznost 7, 1 O -, točnost 7, 1 0 pravocrtno gibanje 78 preciznost 7, 9 pridjeljivanje resursa 147, 160 prihvatnica 2 prijelazna pojava SDD-a 1 50 prijenosna funkcija, elektronički komutiranog istosmjernog motora 1 13, 1 14 -, istosmjernog motora 1 09, 1 10 primjena robota 7, 1 2 - , bojenje 7 -, hodajući strojevi 1 1 -, kontrola i testiranje 1 1 -, lijepljenje 7 -, medicinski roboti 1 1 -, pakiranje i paletizacija 1 1 -, podizanje i spuštanje predmeta 7 -, rnk:ovanje materijalom 1 1 -, sastavljanje dijelova 1 1 -, sortiranje i označavanje 1 1 -, strojna obrada 1 1 -, šavno zavarivanje 7 -, točkasto zavarivanje 7 -, transport 1 1 primjeri robota, Euroimpianti Skilled 504 3 -, Fanuc A-520i 6 -, Fanuc Are Mate 1 -, Fanuc C-1 00 5 -, Fanuc L-1000 5 -, RHINO XR-3 1 2 -, RHINO XR-3, glavne karakteristike 12 -, troosni planarni rotacijski robot 30 problem direktne kinematike 1 5 problem inverzne kinematike 39 produkti inercije 49 profil brzine 72 prostor konfiguracije alata 37 prsti 2 putanja 7, 7 1 putanja alata 7 1 Radna okolina 7 , 1 0 reduktor 1 1 3 redundantne osi 7 relacija čekanja 167

196

KAZALO POJMOVA sustavi s diskretnim događajima 147, sustavi vođeni događajima 147, 148 sustavi vođeni vremenom 148

relacija kružnog čekanja 1 67 resursi 1 46, 1 5 1 -, jednoradni 1 5 1, 1 60 -, višeradni

svojstva rada resursa, držanje

1 5 1 , 160

RHINO XR-3 robot -, dinamika (Lagrange-Eulerov model) -, direktna kinematika 3 1

61

4

točnost 7, 9 trajektorija 7, 7 1 trajektorij a vektora stanja SDD-a

4

-, rotacijski 4 -, SCARA 4

1

transformacija spiralnog gibanja translacije 1 5 trenje 47, 53, 56, 1 06 -, dinamičko 54

1

1O

-, statičko

33 SCARA RTR, direktna kinematika 34 SCARA RRT; direktna kinematika -, inverzna kinematika 44

SDD, v. sustavi s diskretnim događajima

147,

148

109 16

skup neutralnih poslova 170 skup poslova sifona 1 70 skup poslova zamke 1 70 slijedni regulator 102 složena homogena transformacija 22 složene rotacije 1 9 spiralno gibanje 25 spline-funkcije 83 stabilnost SDD-a 1 50, 164, 1 68, 1 70 statički momenti 106 Stribeckova brzina 54 string-algebra 1 85 struktura FPS-a 147 -, linij e s operacijama sklapanja 148 -, linij e sa slobodnim odabiranjem operacija

1 48

-, tekuće proizvodne linije 147 -, višeulazne proizvodne linij e 147

25

54

-, viskozno 54 troosni planarni rotacijski robot -, dinamika (Lagrange-Eulerov model)

senzor sile 1 37 sifon 1 59 sila dodira 135 sila teže 56 sila trenja 53 sinkroni motori 1 10 sinkroni motori s permanentnim magnetima skalarni produkt skretanje 9, 23

150

transformacija koordinata 1 8 transformacija koordinata članka 28

robotski manipulator rotacije 1 5, 1 8 ručna proizvodnja

78

tenzor inercije članka 48, 49 tenzor inercije manipulatora 52

-, definicija 3 -, pravokutni (Kartezijski)

-, sferni 4 robotska ruka

1 66 1 66

-, međusobno isključivanj e -, predpražnjenje 166

Tahogenerator 1 02 Taylorov postupak ograničenih odstupanja

-, inverzna kinematika 42 -, planiranje trajektorij e 82 robot 1 -, cilindrični

148

-, dinamika (Newton-Eulerov model) -, direktna kinematika 30 -, inverzna kinematika 40

57 67

-, planiranje trajektorij e 8 1 -, planiranje trajektorij e (Ho-Cookova metoda) 92 Tustinov model trenja

54

Udaljenost zgloba 25 umrtvljeni resurs 1 68 upravljačka mjesta 1 64 upravljanje impedancijom 136 upravljanje položajem 1 14 -, direktno 1 14 -, kaskadno l l 5 robusno i adaptivno upravljanje momentom motora 123 -, uz upravljanje brzinom motora 128 -, uz upravljanje CNC tipa 1 3 1 -, uz upravljanje momentom motora 1 16 -, uz

-, uz

upravljanje momentom motora i

kompenzacijskim proširenjem upravljanje silom dodira 135, 137 Valjanje 9, 23 vanjski momenti 106 varijable zglobova 1 5 -, brzine SO -, položaj 28 -, ubrzanja 56

1 19

K.AZALO POJMOVA vektor 1 5 - brzina zglobova 47 - gravitacijskog djelovanja 55 - konfiguracije alata 37 - momenata zglobova 53 - perspektive 21 - pravila 175 - stanja sustava s diskretnim događajima 148, 1 49, 1 53, 160, 176 - translacije 2 1 - ubrzanja sile teže 52 - upravljanja 168 - varijabli zglobova 28 -, klizanja (pomicanja) 23 -, norma 1 6 -, okomit 23 -, ortogonalni 1 6 -, ortonormirani 1 6 -, položaja alata 2 1 -, približavanja 23

vektorski produkt 1 6 vektorsko upravljanje 1 09 vrste pogona, 3 -, električni motori 3 -, hidraulički pogoni 3 -, pneumatski pogoni 3 Zaglavljenje FPS-a 163, 166, 1 68 zakret članka 26 zakretanje 9, 24 zamka 1 59 završni mehanizam 2 zavrtanje 9, 24 zglob, rotacijski 4 -, sferni 9 -, translacijski 4 zglobovi robota l -, lakat 1, 13 -, rame 1, 13 -, ručni (zapešće) l, 13

197

POPIS PRIMIJENJENIH OZNAKA

U knjizi je proveden sljedeći način označavanja: Svi vektori označeni su malim masnim slovima, npr.

u, v, w, x,

fl, ml itd.

Sve matrice označene su velikim masnim slovima, npr. A, B, M itd. Svi skalari označeni su normalnim slovima. Sve promjenljive veličine (vari­ jable) označene su kurzivom, npr. uu, m1, Kra• U8 itd.

koordinate vektora p u odnosu prema skupu X [p] 1 k-ta koordinata vektora p u odno­ su prema skupu X A matrica transformacije koordinata skup usmjerenih veza Petrijeve A mreže a(p, t) usmjerena veza Petrij eve mreže A(q) dio Jacobijeve matrice manipulatora a(t,p) usmjerena veza Petrij eve mreže A, � matrica koja sadrži položaj zglo­ bova i vremena prelaska segmena­ ta trajektorij e ograničenje ubrzanja zglobova duljina članka (kinematički parametar) dio Jacobijeve matrice članka k element matrice A maksimalno ubrzanje referentna vrijednost ubrzanja zgloba

[p]X

B

koeficijent viskoznosti b(dq/dt) vektor sila trenja B(q) dio Jacobijeve matrice manipula­ tora matrica koeficijenata spline-funk­ Bk cija b,/...đq,/dt) sila trenja zgloba k bk(q) k-ti stupac dij ela Jacobijeve matrice manipulatora B(q) Bk(q) dio Jacobijeve matrice članka k bf dinamičko trenje statičko trenje bf bf koeficijent viskoznog trenja Bn nominalna vrijednost koeficijenta viskoznosti

Bob B ih B2.b B3k bs

C

C

koeficijenti spline-funkcij a za segment k koeficijent viskoznosti senzora sile matrica povezivanja brzina kružno čekanje

POPIS PRIMIJENJENIH OZNAKA c

C;

c� J

ck D(q) q qu

Dck dk Dk Di Dq

q

�u

s yk 0,k E e, E Ee EQ F

f

F

Fo fi F; fk

Fr

Fr Fs Fu Fv g

G Go.a Grb Gw

vektor kružnog čekanja C vektor povezivanja brzina zgloba i j-UJ. koordinabl centra mase članka k cenbir mase članka k tenzor inercije manipulatora vektor ubrzanja zglobova ubrzanje zgloba k tenzor inercije članka k oko svog centra mase udaljenost zgloba (kinematički p aramebir) tenzor inercije članka k prema L0 tenzor inercije članka k prema Lk matrica brzina zglobova u točkama trajektorij e vektor brzina zglobova brzina zgloba k profil brzine linijsko ubrzanje centra mase članka k kutno ubrzanje centra mase članka k signal razlike protuelektromotorna sila signal razlike položaja signal razlike brzine vrtnje nepokretni koordinatni susblv ukupni izlaz iz slijednog regulatora (nakon adapblcije) sila kojom se djeluje na manipulator upravljačka matrica ortonormirani vektor nepokretnog koordinatnog sustava poopćena sila na i-ti zglob manipulatora sila koja djeluje na članak k

Gzi

h h

Ha

I I

ia lam id

ik

imp iq

vektor gravitacijskog djelovanja matrica pretvorbe homogenih koordinabl jedinična matrica ulazna matrica događaja struja armature

maksimalna vrijednost struje armature d-komponenbl struje sbltora sinkronog motora ortonormirani vektor koeficijent mebaničkog prijenosa q-komponenbl struje sbltora sinkronog motora

motora

J J(C)

J(q)

skup zadablka zadaci resursa u kružnom čekanju

c

Jacobijeva matrica manipulatora

J(r)

zadaci resursa r

Jo Je

kritični podsusblv međuzglobni moment inercije

Jmaks

maksimalna vrijednost momenbl inercije minimalna vrijednost momenbl inercije

Jk(q)

Jmin JN J Q

Jr

Js

Jsr

ulazna matrica matrica slijeda operacij a

Ju

J,

graf Petrijeve mreže

Jue

prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog kruga brzine vrtnje

Jun

prijenosna funkcija regulatora brzine vrtnje

K K1

matrica čekanja

prijenosna funkcija zatvorenog regulacij skog kruga armaturne struje vremenski promjenljiva veličina koja označava sve nepoznate prorojene u sustavu

iR, is, iT struje faza smtora R, S, T vektor struje statora sinkronog is

referentna vrijednost sile dodira matrica zahtjeva za resursima izlaz iz senzora sile dodira

vektor ubrzanja zbog sile teže

199

Jacobijeva matrica članka k

skup neutralnih poslova skup poslova zamke moment inercije rotora skup poslova sifona srednja vrijednost momenbl inercije moment inercije terem ukupni moment inercij e motora i manipulatora estimirana vrijednost momenta inercije nominalna vrijednost momenta inercije konsbinbl motora koeficijent pojačanja istosmjemog motora

200

POPIS PRIMIJENJENIH OZNAKA

K2

koeficijent pojačanja istosmjemog ' motora

Ka Kb Ka Ke Ke KF KM

K0

� Kp Kq

koeficijent pojačanja armaturnog kruga koeficijent pojačanja člana po­ vratne veze brzine vrtnje

koeficijent pojačanja derivativnog dijela slijednog regulatora koeficijent krutosti objekta s ko­ jim je prihvatnica u kontaktu konstrukcijska konstanta motora koeficijent pojačanja regulatora sile dodira koeficijent pojačanja motora koeficijent pojačanja otvorenog regulacijskog kruga položaja

koeficijent pojačanja proporcio­ nalnog dijela slijednog regulatora koeficijent pojačanja strujnog ili naponskog pojačala koeficijent pojačanja armaturnog kruga (q - komponenta armaturne struje)

KR koeficijent pojačanja regulatora K�, KJ, K; adaptirani koeficijenti poja­

čanja slijednog regulatora koeficijent krutosti senzora sile koeficijent pojačanja zatvorenog regulacijskog kruga armaturne struje K-o koeficijent pojačanja KP koeficijent pojačanja duljina trajektorij e l L(q, dq/dt) Lagrangeova funkcija ukupni induktivitet armaturnog La kruga koordinatni sustav s ishodištem u Lck centru mase članka k induktivitet d-faze dvofaznog d-q Ld sustava

K8 Kzi

Lk

Lq

M

M

k-ti desno orijentirani ortonormi­ rani koordinatni sustav

induktivitet q-faze dvofaznog d-q sustava pokretni koordinatni sustav moment potreban za stvaranje sile

F

vektor stanja SSD-a m(C) broj oznaka skupa C m

m(p)

broj oznaka mjesta p

M, �

matrica koja sadrži vremena prelaska segmenata trajektorij e

početno stanje vektora stanja masa manipulatora bez prihvatnice masa prihvatnice (i predmeta koji drži) Mg, mg moment sile teže Mge estimirana vrijednost statičkog momenta (momenta sile teže) mk ortonormirani vektor pokretnog koordinatnog sustava moment motora mm nadomjesni moment u zglobu ro­ m8 bota M1s moment tereta u zglobu robota broj stupnjeva slobode gibanja n (broj osi) moment koji djeluje na članak k nk O izlazna matrica događaja P skup mjesta Petrijeve mreže vektor mjesta Petrijeve mreže p matrica p-invarijanti P mjesto Petrijeve mreže p p, p (q) vektor položaja vrha alata toplinska snaga (gubici) u motoru Pg Pi izlazna snaga motora broj pari polova Pm Ppr prijelazna snaga u motoru ukupna snaga motora Pu točka u prostom q vektor varijabli zglobova q zamka Q Qc kritična zamka varijabla i-tog zgloba u točki tra