Optikk [PDF]

Zitiervorschau

Georg 0. André og K. Jostein Knutsen

OPTIKK

UTGÅTT AV TØNSBERG OG NØTTERØY BIBLIOTEK.

TAPIR FORLAG 1970

TØNSBERG BIBLIOTEK

Forord

Det har fra forskjellig hold vært ytret ønske om å få en norsk lærebok i fysikk som går noe

lenger enn pensumet til eksamen artium.

Denne lille bok er et forsøk på å tilfredsstille

dette ønske for optikks vedkommende. Det har derfor vært nødvendig å gi fremstillingen en relativt elementær matematisk utform­

ing.

Bare på noen ganske få steder kreves kunnskaper i matematikk større enn dem til­

svarende artiumspensumet på reallinjen. I enkelte tilfeller er utledningen av lover sløyfet,

da en mer besværlig matematisk prosedyre faller utenfor intensjonene med denne kort­

fattede lærebok. Vi takker konstruktør Lars Hellesvik for vel utførte tegninger.

Vi vil også gjeme takke

fru Vera Almar-Næss som har satt teksten i boken fra et delvis dårlig skrevet manuskript.

Trondheim i januar 1970

G. André

K. J. Knutsen

Ill

INNHOLD

Innledning Geometrisk optikk

1

1. Grunnleggende begreper 1.1 Størrelsessymboler og fortegnsdefinisjoner 1.2 Krav til et optisk system 1.3 Avbøyning i et prisme — Dispersjon

3 3 5 5

2. Avbildning i kuleflate og speil 2.1 Brytning mellom to medier begrenset av kuleflate 2.2 Lateralforstørrelse — Lagranges og Helmholtz lov — Abbes sinusbetingelse 2.3 Kuleflatens aplanatiskepunkter 2.4 Dybdeforhold, vinkelforhold ved brytning i enkel kuleflate 2.5 Sfærisk speil

7 7

9

3. System med flere brytende flater 3.1 Avbildning ved system med tosfæriske grenseflater 3.1.1 Samme brytningsindeks for medium i objekt- og billedrom 3.1.2 Optisk medium med forskjellig brytningsindeks i objekt- og billedrom 16 3.2 Tykt linsesystem — Hovedplan 3.3 Relasjon mellom fokalavstander og brytningsindekser i et tykt linsesystem 3.4 Knutepunkter 3.5 Bestemmelse av knutepunkter i en tykk linse 3.6 Bestemmelse av de resulterende hovedplan og fokalavstander for et sammensatt optisk system 4. Blenderteori 4.1 Aperturblende, inngangs- og utgangspupille 4.2 Hovedstråle 4.3 Feltblende, inngangs- og utgangsvindu 4.4 Telesentriske systemer 4.5 Relativ apertur og fokalforholdet

11 12 13

14 14 14

16 18 19 21 23 25 25 28 28 30 31

IV

5. Speil og linseaberrasjoner 5.1 Innledning 5.2 Sfærisk aberrasjon 5.3 Koma 5.4 Astigmatisme og billedfeltkrumning 5.5 Forlegning 5.6 Kromatisk aberrasjon 5.7 Interrefleksjonslys (Flare)

34 34 34 36 38 41 43 43

6. Fotometri 6.1 Definisjoner og betegnelser 6.2 Lamberts cosinuslov 6.3 Luminans ved optisk avbildning

48 48 49 50

7. Optiske instrumenter 7.1 Øyet 7.2 Angulær forstørrelse 7.3 Lupe 7.4 Mikroskop 7.5 Okularer 7.6 Mikroskopbelysning (Køhlers metode) 7.7 Kikkerter 7.8 Refleksjonskikkert 7.9 En vanlig optisk oppstilling 7.10 Oppløsningsevne for instrumenter

52 52 52 53 54 56 57 58 60 60 61

63

Fysikalsk optikk 8. Oscillasjoner og bølger 8.1 Harmonisk bevegelse 8.2 Sammensetning av to harmoniske bevegelser som er vinkelrette på hverandre 8.3 Bølger 8.4 Superponeringav bølger

8.5 8.6

9. Lysbølger 9.1 9.2 9.3 9.4

64 64 65 67 69

Koherens Bølgetog

72

Lysbølger - Poynting vektor Huygens prinsipp Dispersjon Fermats prinsipp

77 73 73 31

V

10. Interferens 10.1 Youngs eksperiment med to spalter 10.2 Interferens ved flere spalter 10.3 Refleksjon og brytning av lysstråler i'grenseflaten mellom to medier 10.4 Interferens ved refleksjon fra tynne hinner 10.5 Newtons ringer 10.6 Antireflekshinne

83 83 85 89

91 93 94

11. Diffraksjon 11.1 Fraunhofer diffraksjon ved en spalt 11.2 Fraunhofer diffraksjon ved to spalter 11.3 Fraunhofer diffraksjon fra mange spalter -Diffraksjonsgitter 11.4 Fresnels diffraksjon — Sirkulær spalt

95 95 99 101 104

12. Polarisasjon 12.1 Plan-, sirkulær og elliptisk polarisasjon 12.2 Polarisasjon ved refleksjon 12.3 Lysutbredelse i krystaller — Enaksede krystaller 12.4 Lys gjennom krystalIplater 12.5 Dikroismer — Polaroider 12.6 Kromatisk polarisasjon 12.7 Optisk aktivitet

107 107 108 110 113 116 117 118

Kvanteoptikk 13. Termisk stråling 13.1 Plancks lov 13.2 Wiens forskyvningslov 13.3 Stefan-Boltzmanns lov 13.4 Absorbsjon, refleksjon og emisjon av stråling— Kirchhoffs lov 13.5 Varmeoverføring ved stråling 13.6 Impuls og dreieimpuls for fotoner — Lystrykk 13.7 Materiebølger

120

121 123 124 125 125 127 128 129

Litteratur

130

Register

131

INNLEDNING

Optikken deles i tre områder: geometrisk optikk, fysikalsk optikk og kvanteoptikk.

I den

geometriske optikk beskrives utbredelsen av lyset ved hjelp av lysstråler, som kan oppfattes som normaler til lysbølgeflaten.

Den geometriske optikken kan gi tilfredsstillende for­

klaringer på mange fenomener når lyset beveger seg gjennom optiske systemer, men kom­

mer til kort når man skal forklare bøynings- og interferensfenomener.

fysikalsk optikk.

Til dette trenges

Kvanteoptikken forklarer de fenomener hvor det er nødvendig å be­

trakte lyset som bestående av partikler.

GEOMETRISK OPTIKK

-3-

1. GRUNNLEGGENDE BEGREPER

1.1. Størrelsessymboler og fortegnsdefinisjoner

Man velger her å bygge den geometriske optikk opp på brytnings- og refleksjonslovene. (Den kunne også bygges opp på Fermats prinsipp.) Disse forutsettes kjent. For å komme frem til formler som ikke trenger en lang forklaring for å kunne brukes, er det viktig at

man velger fornuftige fortegnsregler og symboler.

Ved utledning av formler velger man her for fortegnenes vedkommende å benytte det så­ kalte kartesiske system (som f.eks. benyttes av Martin & Welford: Technical Optics). For

symbolenes vedkommende benyttes stort sett de som er foreslått av J. Morgan: Introduc-

tion to Geometrical and Physical Optics. Systemet kalles her system I. Da flere systemer er i bruk, har man også funnet det riktig å føre opp enkelte formler med de fortegnsregler og symboler som f.eks. er benyttet av T. Bjerge: Lyslære; her system II. For disse form-

lenes vedkommende sløyfes utledningen. Ved hjelp av fig. 1-1, hvor man har brytning mellom to medier begrenset av en kuleflate, innføres de viktigste størrelser og regler i sys­

tem I. Lysretningen er fra venstre mot høyre.

n /n

Fig. 1-1

-4-

Kuleflatens sentrum betegnes med C og dens radius med R.

R regnes positiv for den del

av kuleflaten som ligger til venstre for C, mens den regnes negativ for den del som ligger

til høyre for C.

(Denne del av kuleflaten er ikke tegnet inn på figuren.)

Brytningsindeks

for mediet på venstre side er n, og brytningsindeks på høyre side er n'.

Gjennom kuleflatens sentrum legges en akse for det optiske system, og denne skjærer kule­ flaten i punktet 0 som kalles verteks. I verteks legges aksens nullpunkt (origo),

slik at av­

stander til høyre regnes som positive, mens avstander til venstre regnes som negative.

En lysstråle som er reell på den ene side av begrensningsflaten, kan dersom den forlenges rettlinjet gjennom flaten, betraktes på den andre siden som en såkalt virtuell stråle. For å skjelne mellom koordinater som karakteriserer strålens gang før og etter at den er

brutt, benyttes de samme størrelses-symboler, uten merke for de størrelser som gjelder den ubrutte stråle, og med merke for de tilsvarende størrelser for den brutte stråle. Koordinaten for den ubrutte stråles skjæringspunkt P med systemets akse betegnes med s, og størrelsen s må regnes positiv eller negativ alt etter som P faller på den positive eller ne­

gative side av verteks.

Tilsvarende benyttes s' som koordinat for den brutte stråles skjæringspunkt P' med aksen, og s' er likeledes positiv eller negativ alt etter som P' faller på den positive eller negative si­ de av verteks.

På fig. 1-1 er punktet P virtuelt, fordi den ubrutte stråle er virtuell på det sted den skjærer aksen, mens punktet P' er reelt. De tilsvarende koordinater s og s' er begge positive. De

vinkler strålen danner med aksen før og etter brytningen, betegnes med henholdsvis o og o', og vinkelen mellom aksen og radien til punkt M betegnes med (p. Disse vinkler regnes posi­

tive dersom strålen må dreies i positiv omløpsretning (mot urviserne) for å falle sammen

med aksen. Det er hensiktsmessig å definere fortegn for innfallsvinkelen e og brytningsvinkelen e' på motsatt måte, slik at en vinkel regnes positiv dersom strålen må dreies i negativ retning

(med urviserne) for å falle sammen med innfallsloddet. Avstandene fra M til P og P' betegnes med henholdsvis p og p', og regnes positive dersom

P og P' faller til høyre for verteks.

Faller P og P' til venstre for verteks, blir p og p' å reg­

ne som negative.

Det optiske system er rotasjonssymmetrisk om aksen P - P'. Under den geometriske be­ handling av strålegangen er det imidlertid vanlig å legge et plan gjennom symmetrjaksen,

-5-

og i dette planet er det hensiktsmessig å regne avstander fra punkter over aksen og til ak­

sen som positive, mens avstander fra punkter under aksen og til aksen regnes som negative. I system II brukes symbolene a i stedet for-s og b i stedet for s'.

I stedet for R brukes r.

Vinkler reg­

nes alltid positive.

1.2. Krav til et optisk system For å få et bilde av et objekt må lysstrålene som går ut fra dette, på en eller annen måte

bringes til skjæring med hverandre. For å få tilfredsstillende avbildning med et optisk system må to hovedbetingelser være opp­ fylt: Fokuseringsbetingelsen: Divergerende stråler fra ett og samme objektpunkt skal konverge­

re såvidt mulig i ett og samme billedpunkt. Kravet om fortegningsfrihet: Billedpunktenes innbyrdes geometriske beliggenhet skal såvidt

mulig være den samme som de tilsvarende objektpunktersjnnbyrdes geometriske beliggenhet. En flate som oppfyller fokuseringsbetingelsen, kalles aplanatisk flate, og det tilsvarende sett

av objekt- og billedpunkter kalles aplanatiske punkter.

Som eksempel på aplanatiske punkt­

er kan nevnes fokalpunktene i en ellipsoide belagt med en speilende flate. Det er alltid mu­

lig å konstruere en aplanatisk flate mellom et gitt objekt- og billedpunkt. Denne flaten vil i alminnelighet ikke være sfærisk, og vil derfor være brysom å konstruere. I praksis renon­

serer man litt på kravet til fokusering til fordel for sfæriske flater, da disse er enklere å kon­ struere.

1.3. Avbøyning i et prisme — Dispersjon

For en stråle som går i et plan vinkelrett på prismets brytende kant, er avbøyningen D = (e1 - e^') + (e2' - e2)

(1-1) (e1 +e2') - (e^ + e^

Dersom brytningsindeksen for prismet er n' og for det omgivende medium n, fås nsine^ = n'sine-|'

(1-2)

n sine2' = n' sin62

(1-3)

-6-

Videre er

7 = ef + e2

(1-4)

slik at avbøyningen blir:

D =

+ e2 - 7

(1-5)

Når den innfallende strålebunt inneholder flere bølgelengder, vil avbøyningen bli forskjellig

for de forskjellige bølgelengder. Brytningsindeksen er nemlig avhengig av bølgelengden.

Med dispersjon forstår man den vinkelforskjell dD som det blir mellom de forskjellige bøl­ gelengder. Når n* = kan avbøyningen for et tynt prisme skrives D = (n* - 1)7

(1-6)

dD = 7 ■ dn *

(1—7)

og

dn er forskjellen i brytningsindeks for de bølgelengdene man betrakter. Forholdet dD

D

_

dn*

(1-8)

n*-1

kalles dispersjonsevne.

Med vinkeldispersjonen for en bølgelengde Å forstås dD dÅ

(1-9)

-7-

2. AVBILDNING I KULEFLATE OG SPEIL

2.1. Brytning mellom to medier begrenset av kuleflate

Strålegangen i et optisk system foregår ofte ved brytning eller refleksjon i kuleflater. Den lovmessighet som gjelder for en stråles brytning ved overgangen mellom to medier begren­

set av en kuleflate, danner derfor grunnlaget for en stor del av den geometriske optikk.

Fig. 2-1 Av APMC fås - p sinø

_

- s i- R sine

Av AP'MC fås p' sinø

_

s' - R sine'

Ved divisjon av likn. (2-1) med likn. (2—2) fås

p p'

_

-s 4- R s' - R

sine' sine

(2-3)

Ved å benytte Snellius'brytningslov nsine = n'sine' fås

- s + R _ s' - R

P . J2_' p' n

(2—4)

-8-

Dersom man regner med stråler som danner en liten vinkel med aksen, såkalt paraksial

strålegang, kan likn. (2—4) skrives: - s + R

_

s

rf

som ved kryssmultiplikasjon og divisjon med ss'R gir

n(l - 1) R s

= n'(l - 1) R s

Uttrykket n(1/R - 1/s) kalles Abbes invariant.

(2-6)

Likn. (2—6) skrives ofte på en mer hen­

siktsmessig måte

=

- - + s s

n' ~ n R

(2—7)

Likn. (2—7) kalles den geometriske optikks hovedlikning. Ved å sette s = - °° fås fokalavstanden f' i objektrommet f' =

Ved å sette s' - 00

(2-8)

-^-5n' - n

fås fokalavstanden f i objektrommet

f =------- — n - n

(2-9)

Likn. (2—8) dividert med likn. (2—9) gir

f

= - n

(2-10)

Det skal senere vises at denne relasjon har en langt mer almengyldig betydning. Ved å innføre uttrykkene for fokalavstandene i likn. (2—7) fås

=1

1 + s s

(2-11)

Også denne relasjon har en mer omfattende gyldighet. Likn. (2—11) kan gjøres logaritmisk ved å innføre x = s - f,

x' = s' - f'

(2—12)

Man får da: xx'

ff'

(2-13)

-9-

Også likn. (2—13) har en mer omfattende gyldighet. System 11 Ved å sette s = - a, s' = b, nl

n = n^, n2

ab

og R = r fås for den geometriske optikks hovedlikning

n' = n nl

n2

r

2.2. Lateralforstørrelse — Lagranges og Helmholtz lov — Abbes sinusbetingelse

På fig. 2-3 avbildes et objekt PQ = y, og man får et bilde P'Q' = y'. Forholdet mellom y' og y kalles lateralforstørrelse og betegnes med m.

Fig. 2-3

•10-

Av fig. 2-3 fås y' CP' s' - R — = - —- = - ---- ——y CP -s + R

m -

(2-14)

Om man forutsetter paraksial strålegang, fås

m =

n s' — ■ — n s

(2-15)

Ved å benytte sinusproporsjonen på fig. 2-3 fås

-s + R

=

sine sino

R

(2-16)

og

s' - R R

_

sine' sino'

Disse uttrykkene innsatt i likn. (2—14) gir

y' sine' sino m = — = — • — y sine sino

=

n sino — • —;--- ; n sino

(2-17)

eller nysino = n'y'sino'

(2-18)

Dette er Lagranges lov, og den gjelder for en lysstråle som passerer et vilkårlig antall me­

dier med vilkårlig brytningsindeks, forutsatt at mediene er begrenset mot hverandre med

kuleflater, og at kulenes sentrer alle ligger på samme akse. Uttrykket nysino kalles La­ granges invariant. Fokuseringsbetingelsen krever at lateralforstørrelsen skal være uavhengig av vinkelen ø. Det

betyr ifølge likn. (2—17) at sino/sino' må være uavhengig av sonevinkelen ø. Kravet sino/sino' = konst. kalles Abbes sinusbetingelse.

På fig. 2-3 kan ikke Abbes sinusbetingelse være oppfylt, da

sino/sino' = p'/p

(2—19)

og det er lett å innse at forholdet p'/p varierer med ø. For paraksiale stråler vil likn. (2-18) gå over til

nyo = n'y'07 Dette er Helmholtz lov, og uttrykket nyo kalles for Lagrange-Helmholtz invariant.

(2—20)

-11-

2.3. Kuleflatens aplanatiske punkter

For å finne kuleflatens aplanatiske punkter går man i alminnelighet ut fra at trekantene

CPM og CMP' er ensformet (fig. 2-4).

Man stiller så kravet om at Abbes sinusbetingelse skal være oppfylt

sino si no'

P i — = konst. P

(2-21)

altså uavhengig av vinkelen o. Det synes imidlertid å være mindre kunstig omvendt å finne den tilhørende brytende flate til to aplanatiske punkter P og P'.

Av fig. 2-5 og likn. (2—21) fås P' = P

c

(2-22)

som ved kvadrering fører til likningen for en sirkel

(x .

p

c" - 1

+ /

= (

>2

c2 - 1

(2-23)

-12-

Når sirkelen tenkes dreiet om aksen P-P' (fig. 2-5), fremkommer en kuleflate med radius „ cd। 2 . , . c d n R = ------og med sentrum i —----- , U c2 - 1 c2 - 1

Herved er det også samtidig vist at kuleflaten er den eneste brytende flate med et aplana­ tisk punktpar. For avbildning i en kuleflate gjelder som før vist

-s + R = s' - R

(2-24)

_ P . _n' p' n

eller med s - R = u og s' - R 53 v

u V

=

p n' 77 ‘ 77

(2-25)

I punktet Q (fig. 2-4) deler kuleflaten linjestykket PP' innvendig i forholdet c, og i 0 deles

det samme linjestykket utvendig i forholdet c. Denne betingelse sammen med likn. (2—25)

gir u =

— R n

og

v =

n

R

(2-26)

hvor u og v angir avstandene fra de aplanatiske punkter til sirkelens sentrum.

2.4. Dybdeforhold, vinkelforhold ved brytning i enkel kuleflate

Uttrykket for lateralforstørrelsen likn. (2—15) skrives ofte på flere forskjellige måter

-13-

Når objektpunktet P forskyves langs systemets akse, vil også billedpunktet P' forskyves.

Forholdet mellom denne forskyvning av billedpunkt og objektpunkt kalles dybdeforholdet. k

ff x2

dx' dx

x'2 ff"

(2-28)

Forholdet mellom den vinkel som lysstrålen danner med aksen i billedrommet og den til­ svarende vinkel i objektrommet, kalles for vinkelforholdet.

Fig. 2-6

2.5. Sfærisk speil

Ved a betrakte refleksjon som et spesialtilfelle av brytning kan de formler som er utledet

for brytning i en kuleflate lett overføres til å gjelde for refleksjon i en kuleflate.

For brytning gjelder ifølge Snellius'brytningslov sine' =

^sine

(2-30)

Ved refleksjon er e' = - e, slik at

sine' = -sine =

sine

(2-31)

og følgelig n' = - n. Ved å erstatte n' med - n i de formlene som ble utledet for bryt­

ning i en kuleflate, vil man få relasjoner som gjelder for sfærisk speil. For den eksakte likn. (2-4) får man

-s + R s'~ R

p P'

(2-32)

-14-

og den geometriske optikks hovedlikning går over til

1s + s1=2 R

(2-33)

f' =

(2-34)

som gir f =

y

for fokalavstandene. De andre nødvendige likninger kan utledes på tilsvarende måte. System II Ved å sette s = a, s' = b, f' = f og R = r fås følgende likning for avbildningen:

1 + 1=1 a b f

Og for lateralforstørrelsen fås

I system II har reelt bilde positiv lateralforstørrelse.

3. SYSTEM MED FLERE BRYTENDE FLATER Et vanlig optisk system vil i alminnelighet bestå av flere medier som er adskilt ved sfæriske grenseflater, hvis sentra alle ligger på en og samme linje, det optiske systems akse. Vil man beregne strålegangen i et sammensatt system, kan man beregne brytningen i hver enkelt

grenseflate i rekkefølge, ved at man hver gang betrakter det billedpunkt som oppstår ved

brytning i den ene flate som objektpunkt for brytning i neste flate.

3.1. Avbildning ved system med to sfæriske grenseflater

3.1.1.Samme brytningsindeks for medium i objekt- og billedrom På fig. 3-1 avbildes punkt P i første kuleflate i punkt P^', og punkt P-j' avbildes i annen flate i punkt P'.

For første avbildning gjelder

n + n" S sl'

_

n" - n R1

(3-1)

-15-

For andre avbildning gjelder

_

n" Si' - a

+ s'

=

n —(3-2) F?2

Ved addisjon av likn. (3—1) og likn. (3—2) fås _ n s

+ H + J21'------- = (n" - n)( 3 - ^-) s Sf sa lysets bølgenatur.

På figur 10-1 faller lyset inn mot en skjerm med en lang spalt

ned bredde a som er liten i forhold til lysets bølgelengde X. En skjerm med to identiske

Fig. 10-1 spalter S2 og Sg er plassert parallelt med den første skjerm. Ifølge Huygens prinsipp blir

spaltåpningen

kilde til sekundære kulebølger. Samme bølgeflate når spaltene S2 og Sg

samtidig, slik at disse blir synkrone kilder. Bølgene fra kildene interfererer, og på en tred­ je skjerm kan man iaktta vekselvis lyse og mørke striper som svarer til steder med henholds­

vis konstruktiv og destruktiv interferens. I praksis er det mer hensiktsmessig å sende inn plane bølger mot en skjerm A med to paral­ lelle spalter S-j og $2 , vist på figur 10-2.

For enkelthets skyld er bølgeflatene parallelle

-84-

med skjermen. Avstanden mellom spaltåpningene er d og avstanden fra skjermen A til skjermen B hvor interferensen iakttas, er x. Nå er x » d, som betyr at AS^S2E = AQCD = 9.

Forskjellen i optisk veilengde mellom bølgene fra

og S2 i punktet Q blir

A = r1 - r9 = d sinØ = — Aø 1 z 2-tt

(10—1)

der Aø er faseforskjellen mellom de to bølger. Man får derfor konstruktiv interferens i punktet Q når

dsinØ = — 2m7F - mÅ 2tt

m = 0, ±1, ±2, . . .

(10—2)

Man får destruktiv interferens når

d sinØ = — (2m+ 1 )rr = (m + —)tt; m - 0, ±1, ±2,. . .(10—3) 271 2 og S2 er tilnærmet like EQ^.

Amplitudene for bølgene i punktet Q fra

a = EQ^ og ø-j - 02 = Aø

Etter ligning (8—25) får man idet A = E

Eo = 2En1 co&—— o 01 2

(10-4)

Aø = — d sinØ X

(10—5)

Nå er

Intensiteten I i punktet Q er proporsjonal med EQ2. Dette gir

I = lcos2(^) = I ocos2P u Å , 1 x fl n o trd sinØ hvor lQ er intensiteten for 9=0 og p = ——— . Intensitetsfordelingen I er vist på figur 10-3.

I

Fig. 10-3

(10-6)

-85-

Punktene med maksimal intensitet svarer til

71

~ myr

e||er

d sinØ = mX etter lign. 10—2

og intensiteten er konstant for de vinklene 9 som tilfredsstiller ligningen.

Punktene hvor intensiteten er null svarer til = (m +

eller

dsinØ = (m + ^-)X etter lign. 10—3.

10.2. Interferens ved flere spalter

Antallet spalter i Youngs forsøk kan økes fra to til et stort antall N. Spaltene er identiske, og bredden er meget mindre enn bølgelengden Å. I praksis oppnår man dette ved et gitter.

Det kan være en glassplate med innrissede parallelle ekvidistante streker. Strekene fylles med et ikke transparent medium.

Fig. 10-4 Figur 10-4 viser et gitter med N = 5. Parallelt lys faller inn mot gitteret. Mellom gitteret og skjermen er plassert en linse som samler de parallelle stråler fra spaltene. Avstanden mellom spaltene er d, og linsens fokalavstand er f'.

Av figuren finner man et maksimum i punktet Q når forskjellen i den optiske veilengde

-86-

mellom to nabostråler er d sin# = mÅ

m = 0, ±1, ±2, . . .

(10—7)

Disse maksima, kalt hovedmaksima , er uavhengige av spaltantallet N.

Faseforskjellen mellom to nabostråler er den samme som ved to spalter O-TT

△ø =

— dsinØ Å

(10-8)

Amplituden Eqj for bølgene fra hver spalt er den samme.

For å finne intensiteten i punktet Q må man beregne summen av intensitetene for hver

kilde. Dette kan gjøres ved hjelp av roterende visere. Man må konstruere et N-sidet poly­ gon og finne resultanten av denne, figur 10-5. Da kildene er like, har polygonet et sentrum

0 og radius p. AAOB = Aø og AAOC = NAø.

Resultantamplituden er EQ = AC. Av figur 10-5 ses at AC = 2AD, og da AAOD =

^-AAOC =

NAø, fås

Eq = 2psin^-NAø

(10-9)

-87-

Fra AAOB får man Eol = 2psin^-Aø

(10-10)

Ved divisjon av ligningen (10—9) med (10—10) fås i sin — NAø Eo = Eo1 ------sin — Aø

(10-11)

Intensiteten I er proporsjonal med EQ2

i

sin—NAø

2

(10-12)

1 = 'o sin —Aø

hvor i0 er intensiteten fra hver kilde proporsjonal med EQ^2.

Ved innsetning av Aø lign. (10—8) sjn Nnd sin^ I

Når

sinfl

=

°

2

(10-13)

(---------- - ------ ) . trdsine sin—r-----

blir I et »null-nultedels» uttrykk, idet teller og nevner hver blir null.

. NtrdsinØ sin---- r-----Imidlertid er lim ------- —;— . trdsine sin —-----Dette gir at intensiteten I = lQN2

hvor m = 0, ±1, ±2, . . .

, . n

= N

for

A

= rrrø

for de vinkler 9 som tilfredsstiller ligningen dsinØ = mX

Disse maksima kalles hovedmaksima og m er deres ordenstall.

Som tidligere nevnt er beliggenheten av disse maksima uavhengig av N. I = 0 når Ntrd sinØ _ e||er sjn^ _ rn X m' g§r fra j tj| Å N N - 1 og fra N + 1 til 2N - 1 og så videre, m' - 0, N, 2N, ... gir som nevnt mak­ Intensiteten

simum intensitet. Mellom to minima må det være et maksimum. I tillegg til alle hoved­ maksima er det derfor N - 2 bimaksima mellom to suksessive hovedmaksima. Intensite-

tene for bimaksima er imidlertid små særlig når N er stor. Figur 10-6 viser intensitetsfordelingen for gittere med N lik 2, 4, 8 og mange spalter.

-88-

N = 2

-2-1

0

1

2

m

AaaÅaaAaaAaaA 0

1

2

m

-2-10

1

2

m

-2-1

N meget stor

-2-10

Fig. 10-6

1

2

m

-89-

Når N øker, øker antallet bimaksima, mens deres intensiteter avtar. Når N er blitt meget stor, kan intensitetene av disse settes ut av betraktning.

10.3. Refleksjon og brytning av lysstråler i grenseflaten mellom to medier Når lysbølger kommer inn mot grenseflaten mellom to dielektriske medier, blir bølgen som tidligere nevnt (pkt. 9.4 ) delvis reflektert og delvis brudt. Dersom det ikke er elektriske

ladninger på grenseflaten, er tangensialkomponentene av E og H og normalkomponentene av D og B kontinuerlige. Av disse grensebetingelser sammen med Maxwells ligninger for

optisk transparente medier kan man utlede refleksjonsloven og brytningsloven samt uttrykk

for amplituden i den reflekterte og brudte bølgen. Den elektriske vektor E dekomponeres i en komponent parallell med innfallsplanet med amplitude E0|j

og en annen komponent

vinkelrett på innfallsplanet med amplitude EQp

Fig. 10-7 Figur 10-7 viser en bølge med den elektriske vektor i innfallsplanet. De tre angitte retning­ er er positive. Den reflekterte amplitude blir

=

E r11

tg(e -e') E tg(e + e') 011

(10-14)

Den transmitterte amplitude

E

_

111

2 sine'cose sin(e+e')cos(e-e')

011

Dette tilfelle kalles transversal magnetisk (TM) polarisasjon.

(10-15)

-90-

Når n' > n, har både Er

ning som Eo||

og Et ](

samme retning i forhold til bølgens forplantningsret­

for vinkel e = 0 inntil en viss verdi e

medienes brytningsindeks.

polarisasjonsvinkelen, avhengig av

For vinkler større enn denne blir Ef|J

negativ i forhold til EQ||.

Fasen for bølgen har da endret seg med 180°.

Fig. 10-8 Figur 10-8 viser en bølge med den elektriske vektor svingende vinkelrett på innfallsplanet. Den reflekterte amplitude blir

sin(e- e')

Erl

(10-16)

sin(e+e')

Den transmitterte amplitude blir

2 sin6'cose sinfe+c')

£

(10-17)

Dette tilfelle kalles transversal elektrisk (TE) polarisasjon. Når n' > n, har E^ motsatt retning i forhold til bølgens forplantningsretning som EQp Fasen for bølgen har endret seg 180°. Derimot har E^ samme retning som EQp

I tilfelle indre refleksjon n' < n er fasen for E vinkler e> p har Er r li.. samme u u fase som E_„ sjon. For vinkler e > 6i,k er E_„ r ii = E_„. o ii

forskjøvet 180° i forhold til EQ||.

inntil den kritiske vinkel 6i. ved totalreflekk

Ved indre refleksjon er fasen for Erj_ den samme som for EQp For vinkler 6 > Efl " Eol’

For

er

-91-

Figur 10-9 viser forholdet mellom reflektert amplitude og innfallende amplitude som funk­ sjon av innfallsvinkelen e. Kurven angitt med E^

metisk polarisasjon, mens kurven med

gjelder forholdet ved transversal mag-

gjelder forholdet ved transversal elektrisk pola­

risasjon. Venstre del av figuren er i tilfelle n' > n og høyre del n > n'.

10.4. Interferens ved refleksjon fra tynne hinner Man betrakter en stråle av monokromatisk lys med bølgelengde Å som faller inn på en hin­

ne (glassplate etc.) med tykkelse d og med parallelle sider, fig. 10-10. Hinnens brytnings­

indeks er n' og er plassert i et medium med brytningsindeks n på begge sider.

Lysstrålen

blir delvis reflektert på hinnens overflate og delvis brutt. Den brutte stråle blir delvis re­ flektert fra hinnens bakside og delvis brutt. Man ser bort fra ytterligere refleksjoner.

-92-

Den optiske gangforskjell for den første reflekterte stråle (AD) og den andre reflekterte

stråle (ABC) er (10-18)

△ = n' (AB + AC) - n(AD) △ =

2° d cose'

(10—19)

_ 2ndtge'sine

Nå er

nsine = n'sine'

(9—23)

som ved innsetning gir

△ =

2rVd___ 2n'dsir|2e' = cose' cose'

2n'd cose'

(10-20)

Etter kapittel 10.3 må det være en faseforskjell på 180° for strålene reflektert ved første

og andre flate. De parallelle utgående stråler ved D og C interfererer,og betingelsen for

konstruktiv interferens er

2n'd cose' = (m+ ^-)X

(10—21)

og for destruktiv interferens er

2n'd cose' = mX

(10-22)

der m = 0, 1, 2, . . . For tilnærmet loddrett innfall er cose' ~ 1.

Dersom hinnens tykkelse varierer, vil konstruktiv interferens oppstå i enkelte deler av hin­

nen, mens de andre deler vil ha destruktiv interferens.

-93-

Interferensstripene vil være fargete når hvitt (akromatisk) lys faller inn mot hinnen.

Gjentatte refleksjoner i hinner kan komme på tale ved måling av hinnetykkelser eller ukjent bølgelengde for lys: Fabry-Pérot interferometer og Lummer-Gehrke platen.

10.5. Newtons ringer

En plankonveks linse med krumningsradius R hviler med den konvekse side på en plan glassplate, fig. 10-11. Parallelt lys med bølgelengde Å faller vinkelrett inn mot linsen. Mel­

lomrommet mellom linsen og glassplaten er fylt av et medium med brytningsindeks n og

Fig. 10-11 kan betraktes som en hinne med variabel tykkelse. Det reflekterte lys fra denne vil inter-

ferere. Ifølge pkt. 10.4 er betingelsen for konstruktiv interferens 2nd = (m+

1)Å 2

og for destruktiv interferens

2nd = mX

(10-23)

m = 0, 1, 2, . . . (10-24)

Interferenslinjene blir sirkler med radius r.

Av fig. 10-11 finner man r2

= d (2R - d) = 2Rd - d2

(10-25)

-94-

Da d2 « 2Rd, blir r2

(10-26)

= 2Rd

Ved innsetning av d og ved kvadratrotutdragning blir radien for stripene

r =

\/ (m +

)XR

(10-27)

for konstruktiv interferens og

(10-28) for destruktiv interferens, hvor m = 0, 1, 2......... m_„ v llldA

10.6. Antireflekshinne

Ofte blir linser belagt med tynne hinner av transparent medium som f.eks. MgF2 med bryt­ ningsindeks 1.38, for å redusere refleksjon fra glassflaten, fig. 10-12.

Fig. 10-12

Lysgangen for de reflekterte stråler er den samme som tilfellet med planparallell hinne, pkt. 10.4. Man betrakter loddrett innfall. Da brytningsindeksene n > n' > n", vil lys-

strålene reflektert ved overflaten luft/MgF2 og lysstrålene reflektert ved overflaten MgF glass ha samme fase. Betingelsen for destruktiv interferens blir da

2n'd = (m+ ^-)X

(10—29)

hvor m = 0, 1, 2, . . . Ved å velge tykkelsen d etter formelen oppnås at alt lys går inn i linsen. Imidlertid er be­

tingelsen bare eksakt oppfylt for en bestemt vinkel og en bestemt bølgelengde, men inten­ siteten for det reflekterte lys er liten over et meget stort vinkelområde og bølgelengdeom-

råde.

-95-

11. DIFFRAKSJON Interferensfenomenene ved lys gjennom spalter skyldes lysets bøyning eller diffraksjon. Man må skjelne mellom to tilfeller. Står lyskilden nær spalten, og/eller er skjermen bak

spalten i liten avstand fra spalten, blir ikke bølgeflatene parallelle inn mot skjermen. Dette er Fresnels diffraksjon. For store kildeavstander og/eller store avstander mellom spalt og skjerm blir bølgeflatene parallelle inn mot skjermen. Man får en Fraunhofer diffraksjon.

Imidlertid er det en kontinuerlig overgang fra den ene diffraksjonstype til den andre.

11.1. Fraunhofer diffraksjon ved en spalt

Spalten er rektangulær med bredde a, og den innfallende bølge kommer vinkelrett inn mot spalten.

Fig. 11-1 Spalten deles i infinitisimale deler med bredde dx i avstand x fra A som vist på fig. 11-1.

Etter Huygens blir spaltebredden dx en sekundærkilde med amplitude dEQ. Faseforskjel­

len mellom strålen fra A og strålen fra det infinitisimale element dx (B) blir △ø =

BD = A

hvor Å er lysets bølgelengde.

^xsinØ A

(11-1)

-96-

For å finne amplituden når vinkelen er 0, kan man summere amplitudene for de forskjelli­

ge bølgene ved hjelp av roterende visere som antydet på fig. 11-2.

Da alle amplitudene er infinitisimale og faseforskjellen øker proporsjonalt med x, må viser­ ne falle langs buen PQ på en sirkel med sentrum i 0 og radius p på figur 11-2.

Resultant­

amplituden E er korden PQ. Vinkelkoeffisienten ved ethvert punkt på buen PQ er bestemt av faseforskjellen

A , AØ =

27rxsinØ —

(11-2)

Ved Q er x = a og vinkelen

a

27tasinØ X

(11-3)

Av fig. 11-2 sees at Z.POQ = a. Resultantamplituden blir

= 2p sin( 7ra^'n^ )

E = korden PQ = 2p sin 2

(11—4)

A

—>

For 9 = 0 er alle vektorene dE0 parallelle og resultanten EQ er lik summen av deres leng­

der som igjen er lik buelengden fra P til Q. Eo = buen PQ = pa = p 27rasing A

(11-5)

-97-

Ved divisjon av lign.(11— 4) med ligning (11—5) fås

. .rrasinØ sin (—— E r ------------A----° trasinØ Å

(11-6)

Intensitetene er proporsjonale med kvadratet av amplitudene

. , rrasinØ . sin (—r----- )

l ।______ A____ p = i r ®!I!X p nasinØ

OL

ol

J

7

(11-7)

Å

hvor 7

7ia sinØ X

I = 0 når 7 = m7T

eller

(11-8)

asinØ = mX hvor m = ±1, ±2, . . . For å finne maksimum intensitet deriveres I

dl d7

sin7 + co 57 _ 72 7

q

som gir betingelsen for maksima

(11-9)

tg? = 7

Den transendente ligning løses grafisk ved å sette y = tg7 og y = 7.

En løsning er

7 = 0 som igjen korresponderer ti! 6=0. Fig. 11-3 viser intensitetsfordelingen bak spalten som funksjon av m

a sinØ X

Betingelsen for minimum var

m = ±1 definerer grensene for den sentrale intensitetstopp.

Dette gir

sinØ 4 = •

Når a -* X, vil vinkelen 0-,

±— a

(11-10)

y- . Lyset vil i praksis bli spredt i alle retninger.

-98-

Når a vokser, avtar vinkelen Øp Den sentrale intensitetstopp blir smalere. Blir a » Å, får man den geometriske optikks skyggegrense, idet intensiteten for de mindre lysmaksima

kan settes ut av betraktning. Det første minimum tilsvarer vinkelen

0 ~ sinØ

X

(11-11)

Lord Rayleigh har definert en spalts oppløsningsevne som den minste vinkel to innfallende bølger kan danne med hverandre for at deres diffraksjonsbilder skal kunne skilles fra hver­

andre.

Fig. 11-4 Figur 11-4 viser to bølger som kommer inn mot en spalt. Vinkelen mellom dem er 0. De to diffraksjonsbilder kan såvidt atskilles når det sentrale maksimum fra den ene faller sam­

men med første minimum fra den andre.

Vinkelen

0 = — a kalles Rayleighs kriterium. For sirkulær spalt er Rayleighs kriterium 0 =

.

-99-

11.2. Fraunhofer diffraksjon ved to spalter

Planparallelt lys kommer vinkelrett inn mot en skjerm med to spalter, fig. 11-5. Resultantamplituden for en spalt er

E

1

. , rrasinØ sm(—r— - e [______ A ° na sinØ Å

(11-12)

Da spaltene er like, må resultantamplituden for begge spalter være like.

Mellom korresponderende stråler, strålene fra A og B, er det en konstant faseforskjell

tbc

2tt6 sin# Å

(11-13)

hvor d er avstanden mellom spaltene.

Resultantamplitudene

fra de to spalter danner altså vinkelen Aj3 med hverandre. Resul­

tantamplituden E blir derfor fig. 11-6.

-100-

Fig. 11-6

E =

+ 2E1E1 cosA/3 = 2E1cos^ (11-14)

>/

som nevnt i lign. (8—25)

E = 2Eol

. , trasinØ sm( —-— A 7ta sinØ

-i , 7rd sinØ ] cos( —r----A

(11-15)

t2 2 / 7td sinØ ] COS2 ( ----- r------

(11-16)

Intensiteten blir . i trasinØ sm( —r---[ ---------- - ---° TtasinØ Å

Denne intensitet er altså lik den intensitet man får ved interferens fra to spalter modulert

med den intensitet man får ved diffraksjon fra en enkelt spalt.

-101-

Figur 11-7 viser intensiteten som funksjon av vinkelen. Diffraksjonsbildet blir omhylningskurven for interferensbildet. Intensiteten er nå ikke konstant, uavhengig av vinkelen.

11.3. Fraunhofer diffraksjon fra mange spalter— Diffraksjonsgitter

Transmisjonsgitteret har N spalter, med spaltåpning a og spaltavstand d. Lyset kommer planparallelt inn mot gitteråpningene, fig. 11-8.

Ved vinkelen 0 får man intensitet som skyldes de N spaltåpninger modulert med intensitet

som skyldes diffraksjon fra en spalt. Begge faktorer er utledet tidligere, lign. (10—13) og

(11-7).

-102-

Intensiteten ved gitteret er . , 7ta sinØ > . , Nrrd sinØ . sm( —- -----) sin (------ ------- ) [ ---------- *------- 1 2 [ ----------- *_____ 0 trasinØ . , rrd sinØ . —r---sin( —r----- )

1 2 J

(11-17)

Hvis antall spalter N er stort, består bildet av en serie lyse striper som korresponderer til hovedmaksima for interferensbildet m = 0, ±1, ±2, . . .

dsinØ = mÅ

(11 — 18)

Imidlertid er intensiteten for disse modulert av intensiteten som skyldes diffraksjon.

Fig. 11-9 Figur 11-9 viser intensiteten som funksjon av vinkelen. Diffraksjonsbildet er omhylningskurven for interferensbildet. I gitteret kalles avstanden d mellom spaltene for gitterkonstanten. Refleksjonsgitteret består av en speilende flate, hvor det er risset inn parallelle striper. Lysstråler som blir reflektert fra et slikt gitter, interfererer, og man får interferens- og diffrak­ sjonsbilder som ved transmisjonsgitteret.

Et gitters dispersjon D er definert som

D

dg dÅ

(11-19)

-103-

Ved derivasjon av dsinØ = mX fås

, a dØ d cosØ — = m dÅ som gir

d

= _m_ d cosØ

(11-20)

Jo høyere ordens diffraksjon, desto større er dispersjonen. For å atskille lysbølger med bølgelengder Å og X+AX meget nær hverandre, må hovedmak­

sima ved disse bølgelengder være smale. Gitteret må ha størst mulig oppløsningsevne R =

(11-21)

tv-

For bølgelengden Å har man for m-te og (m+1)te ordens hovedmaksima fig. 11-10

(m+1)X

mX

Fig. 11-10

Mellom disse to hovedmaksima er det som tidligere nevnt N-2 bimaksima og N-1 minima. Første minimum etter mX må derfor ha en forskjell i optisk veilengde lik

mX + A-

Etter Rayleighs kriterium må man ha m(X + AX) = mX +

(11-22)

Dette gir for oppløsningsevnen

R = 77- = △A

Nm

(11-23)

Det sentrale hovedmaksimum med m = 0, må ha oppløsningsevnen R = 0, hvilket stem­

mer med at alle bølgelengder blir ubrutt ved denne orden.

-104-

Fig. 11-11

En punktkilde P på figur 11-11 sender ut lys med bølgelengde Å i form av kulebølger. Et­ ter en tid vil bølgeflaten S være i avstand x fra P. For å beregne diffraksjonsbildet i P' de­

ler man bølgeflaten S i sirkulære soner, såkalte fresnelske soner, med sentrum AQ på aksen PP'. Den sentrale sone har utstrekning til A^, hvor avstanden fra P' til sonen er

r1 = A^' = ro + y Den neste sone går fra A^ til

(11-24)

slik at avstanden fra P' til sonen er

r2 = a2P' = ri + y = ro+ X

(11-25)

Tilsvarende for sone n rn = V = rn-1 + T = ro + nT

|11-26)

Hvert punkt på bølgeflaten S kan betraktes som en kilde for bølger. Forskjellen i optisk veilengde mellom bølger fra nabosoner i punktet P' er altså y som korresponderer til en faseforskjell på 7T. Amplituden i punktet P' for nabobølger er tilnær­

met den samme (amplituden er proporsjonal med — ). Man får derfor tilnærmet destrukr

-105-

tiv interferens mellom bølger fra nabosoner. Kalles amplituden i P' fra n'te sone Eon, blir resultantamplituden fra alle soner E_O =

~ - E oJ~ 01 + E 02

OO

■

(11-27)

Er bølgeflaten S plan og uendelig stor, blir

E„ = o

4 2

(11-28) oo

For plan bølgeflate S blir radien i den n-te fresnelske sone, fig. 11-12,

Hvis n ikke er for stor, får man idet Å« rQ Rn2

(11-30)

= n\r0

som viser at alle fresnelske soner har samme areal. La lysbølgene fra kilden P falle inn mot en skjerm med sirkulær spalt med radius a. Man antar at kilden er plassert så langt borte fra skjermen at bølgeflaten inn mot hullet er plan.

Fig. 11-13

-106-

En annen skjerm er plassert på den andre siden av spalten i avstand r

fig. 11-13.

Når punktet P' er i avstand rQ slik at

a2

= År0

med n = 1

(11-31)

vil bare en sone passere spalten. Amplituden i P' er Eoo. Diffraksjonsbildet har et lyst

sentrum.

Er avstanden rQ slik at a2

= 2År0

med n = 2

(11-32)

passerer to soner spalten. Amplituden i P' er EQ0 - Eq1. Diffraksjonsbildet har mørkt sentrum med en lys konsentrisk ring omkring.

Er avstanden rQ slik at a2

= 3Åro

med n = 3

(11—33)

passerer tre soner spalten. Amplituden i P' er EQ0 - EQ^ 4- E^. Diffraksjonsbildet består av et lyst sentrum med mørk konsentrisk ring rundt og tilslutt en lys konsentrisk ring.

På lignende måte for andre verdier av n.

Fresnels diffraksjon får man også ved andre typer spaltåpninger. For store rQ går Fresnels diffraksjon over i Fraunhofer diffraksjon.

-107-

12.

POLARISASJON

12.1. Plan-, sirkulær og elliptisk polarisasjon

All elektromagnetisk stråling består av transversale elektromagnetiske bølger. Svingeretningen både for den elektriske vektor E og den magnetiske vektor B står vinkelrett på bølgeretningen. E og B kan svinge i plan som står vinkelrette på hverandre, fig.. 12-1.

Fig. 12-1

—> Alle E vektorene er parallelle med hverandre for alle punkter i bølgen. Planet gjennom bøl—> geretningen og alle E vektorene kalles svingeplanet, og bølgen er da planpolarisert eller line—>• ært polarisert. Dersom E dreier seg med konstant amplitude fremover i bølgeretningen, sies

bølgen å være sirkulært polarisert (fig. 12-2). Hvis amplituden ikke er konstant, blir bølgen • — elliptisk polarisert (fig. 12-3). Dreies vektoren E i positiv omløpsretning, (mot urviseren) i forhold til bølgens forplantningsretning, er bølgen venstre polarisert. Bølger med dreieretning i negativ omløpsretning, er høyre polarisert.

Fig. 12-2

Fig. 12-3

Som nevnt i kapittel 8.2 fremkommer både sirkulær og elliptisk polarisasjon som superposisjonen av to planpolariserte oscillasjoner vinkelrett på hverandre. For sirkulær polarisa­

sjon er amplituden for begge den samme, mens amplitudene for de to oscillasjoner er for­ skjellige ved elliptisk polarisasjon.

-108-

I alminnelighet er ikke lys polarisert. Hver enkelt bølge som lyset inneholder, har hvert sitt svingeplan. Totalbølgen vil derfor ikke ha noen foretrukket retning for E-vektoren,

fig. 12-4.

Fig. 12-4

Bølgene fra lyskilder som ikke er punktformede, stammer fra elementære molekylære dipoler med vilkårlige retninger i forhold til hverandre. Upolarisert lys kan dekomponeres i to ikke koherente planpolariserte bølger med svinge­

plan som danner vinkelen

med hverandre. Intensiteten av de to planpolariserte bølgene

er hver halvparten av den totale intensitet av den upolariserte bølge. To planpolariserte bøl­ ger som er kom ponenter av en upolarisert bølge, kan aldri interferere selv om svingeplanene skulle være dreiet slik at de faller sammen.

Man kan også betrakte upolarisert lys som elliptisk polarisert der ellipsen hele tiden forand­ rer både form og orientering.

12.2. Polarisasjon ved refleksjon

I kapittel 10.3 er det gjort rede for forholdene ved refleksjon og brytning av lys på grense­

flaten mellom to dielektriske medier. Som nevnt kan upolarisert lys dekomponeres i to ikke koherente planpolariserte bølger. Amplitudene for hver av de reflekterte komponen­

ter er gitt av lign. (10—14) og lign. (10—16). Refleksjonsevnen for lyset med svingeplanet i innfallsplanet er gitt ved

= "

hvor lr

= 'o||

tg2|e-e') tg2(e + e')

(12—1)

er intensiteten for det reflekterte lyset, og lQ y er intensiteten for det innfallen

de lyset. Refleksjonsevnen for lys med svingeplanet vinkelrett på innfallsplanet er

-109-

sin2 (e - e') sin2 (e 4- e')

*rl iZ

ri

(12-2)

hvor ।rj_ er intensiteten for det reflekterte lyset, og lQ| er intensiteten for det innfallende

lyset.

Disse to uttrykk for refleksjonsevnene kalles Fresnels formler.

Hvis det innfallende lys er upolarisert med intensitet lQ, må I

o ||

= I

ol

=

— I 2 °

(12-3)

Den totale refleksjonsevne blir da r = — = L t92 (e-e') + 1 sin2 (e-e') l0 2 tg2(e+e') 2 sin2(e+e')

(12-4)

hvor lr er intensiteten av det reflekterte lyset.

Ved vinkelrett innfall e - 0 og n = 1 finner man ved hjelp av Snellius brytningslov r =

r = l0

n + 1

(12-5)

Amplituden for den reflekterte stråle som svinger i innfailsplanet er etter lign. (10—14)

F

=

tg(e-e') F tg(e+e')

Hvis en upolarisert lysstråle kommer inn mot mediet under en vinkel e slik at

e + e' =

(12-6)

vil man ikke få reflektert lys som har den elektriske vektor (Eq!! ) svingende i innfallsplanet, da tg — = 00 og Er

= 0. Lyset som reflekteres fra overflaten må derfor være

planpolarisert med svingeplan vinkelrett på innfailsplanet. Vinkelen e ~ ep kalles polarisasjonsvinkelen. Av

n sinep

n' sine'

ep+e'

7T 2

får man ,9€p

n' n

Brewsters lov.

(12-7)

-110-

12.3. Lysutbredelse i krystaller — Enaksede krystaller De fleste krystaller er i sin alminnelighet elektrisk anisotrope. Når en krystall utsettes for et elektrisk felt E, begynner elektronene i mediet å oscillere om en IikevektsstilIing. Men for et anisotropt medium er ikke oscillasjonene identiske i alle retninger av krystallen. Dette kan uttrykkes ved at den resulterende elektriske polari­

sasjon P er avhengig av E ved P = eQxE , hvor susceptibiliteten x nå er en tensor med 3

komponenter for alminnelige, ikke absorberende krystaller. Dette gir 3 brytningsindekser for krystallet. De optiske egenskapene må derfor være forskjellige i forskjellige retninger. Krystaller med denne egenskap vil være såkalt dobbeltbryten.de.

Det dannes to sett Huygens elementærbølger fra enhver bølgeflate. I enaksede krystaller er det en spesiell retning, kalt den optiske akse, hvor hastigheten for de to elementærbøl-

gene er like. Da de fleste krystaller i optiske instrumenter er enaksede, blir bare disse be­

handlet her. Den ene av elementærbølgene er kulebølger og den andre ellipsoidebølger. Begge er plan-

polarisert med svingeplan vinkelrett på hverandre. Kulebølgene kalles ordinære, da strålene er bølgenormaler og tilfredsstiller brytningslovene. Ellipsoidebølgene kalles ekstraordinære. Strålene fra disse vil generelt ikke være bølgenor­

maler og tilfredsstiller ikke brytningslovene. Generelt vil den brutte ekstraordinære stråle ikke ligge i innfallsplanet. Som nevnt er fasehastigheten for de to bølger i den optiske akses retning like store. Imidlertid kan det være to typer av enaksede krystaller. Fig. 12-5 og 12-6 viser et bølgesentrum for de to typene. For positiv enakset krystall ligger ellipso-

idebølgen innenfor kulebølgen, mens for den negative enaksede krystall er kulebølgen in­ nenfor ellipsoidebølgen.

I begge tilfeller er bølgehastigheten for begge bølgeflatene den

samme i retning av den optiske akse.

Fig. 12-5

Fig. 12-6

-111-

For en lysbølge i et anisotropt medium vil ikke retningen for planene med konstant fase

(retningen for fasehastigheten v ) falle sammen med retningen for Poynting vektor. Fig. — 12-7 viser en elektromagnetisk bølge i mediet. Den magnetiske feltstyrke H står vinkelrett

Fig. 12-7

på både E og v. Strålehastigheten u har samme retning som Poynting vektor S. Planene

med konstant fase står vinkelrett på v, men beveger seg med hastighet u langs stråleretningen. Da u = v—77 , vil strålehastigheten alltid være lik eller større enn fasehastighecosØ ten. Man skal se på tre eksempler hvor den optiske akse er orientert forskjellig i forhold til den innfallende lysretning. I alle tilfellene kommer upolarisert lys vinkelrett mot over­ flaten på den negative krystall. 1. Optisk akse parallell med overflaten, fig. 12-8.

-112-

Begge bølgeflatene er plane (konstant fase). Bølgeflaten for ellipsoideflaten har størst has­ tighet.

2. Den optiske akse er vinkelrett på overflaten og har samme retning som bølgeretningen fig. 12-9.

ordinær og ekstraordinær bølgeflate Begge bølgeflater faller sammen og danner en enkelt bølgeflate med kulebølgens hastighet.

3. Bølgeretningen danner en vilkårlig vinkel med den optiske akse fig. 12-10.

-113-

Bølgeflaten for kulebølgen er som tidligere. I dette tilfelle er ikke den ekstraordinære bøl-

geflate vinkelrett på den ekstraordinære stråle. For en enakset krystall faller to av de 3 tidligere nevnte brytningsindekser sammen. Da

den ordinære bølgeflate er kuleflate, vil den ordinære strålehastighet og bølgehastighet væ­

re like og den samme i alle retninger. Denne hastighet vQ er en av de to hovedhastigheter for et enakset medium. Den ordinære brytningsindeks er

n

=

°

(12-8) vo

For positiv krystall er den minste fasehastighet vmjn for den ekstraordinære bølge mindre

enn vQ. Den ekstraordinære brytningsindeks er

(12-9)

n, =

vmin og blir derfor større enn nQ.

For en negativ krystall er den største fasehastighet vmax for den ekstraordinære bølge stør­ re enn vQ. Den ekstraordinære brytningsindeks

nc = -5t v max

(12-10)

blir derfor mindre enn nQ. NaCI er en isotrop krystall med n = 1.544. 1.544 og nE = 1.553.

Kvarts er en positiv enakset krystall med nQ =

Kalsit er en negativ enakset krystall med nQ = 1.658 og n£ = 1.486.

Den ordinære bølge og ekstraordinære bølge i en dobbeltbrytende krystall er som nevnt

planpolarisert med svingeretninger som danner vinkelen — med hverandre.

12.4. Lys gjennom krystallplater I eksempel 1 i 12.3 fant man at hvis den optiske akse er parallell med krystallens overflate,

fortsatte bølgene i den innfallende stråleretning, men med forskjellig hastighet. Er krystal­

len en planparalleiI plate, vil den ordinære og ekstraordinære bølge komme ut av platen med forskjellige faser. Hvis det innfallende lys er upolarisert, er strålene ikke koherente og vil derfor fortsatt være upolarisert. Men er det innfallende lys polarisert, vil de to bølger

være koherente. Svingningene som er vinkelrette på hverandre, kan gi planpolarisert, sirku­ lær! polarisert eller elliptisk polarisert lys. Fig. 12-11 viser planpolarisert lys vinkelrett inn

mot en plate med den optiske akse parallell med overflaten. Svingeplanet danner vinkelen

-114-

Fig. 12-11

0 med den optiske akse. Amplituden for den ordinære stråle er

sinØ og for den ekstra­

ordinære stråle E1 cosfl, og strålene er koherente. Krystallplatens tykkelse er d og bølge­ lengden for lyset i vakuum Å. Bølgelengdene for de to bølger ÅE

-

Å

>

nE

= _L ° no

(12-11)

Antall bølger av hver type i krystall en

Differensen

d XE

dn^

Ne -

d ^0

dno

No ’

T

Å

(12-12)

(12-13)

- NQ er det antall bølger som det ene bølgetog ligger foran det andre når

bolgene kommer ut av krystallen.

Dette kan også uttrykkes ved hjelp av faseforskjellen mellom den ordinære og ekstraordinæra bølge.

Den optiske veilengde gjennom krystallen er nQd for den ordinære stråle og

n^d for den ekstraordinære stråle. Faseforskjellen mellom bølgene når de forlater krystal­ len er

0 ’

277 T (no " nE)d

(12-14)

Da den ordinære og ekstraordmæra bølge er koherente, kan deres harmoniske svingninger som er vinkelrett på hverandre, settes sammen. Man tenker seg at faseforskjellen ø mel­

lom dem øker ved at tykkelsen d øker gradvis.

-115-

W 2m7T

ø=£

ø=I (2m+1/2)tr

0=^

ø=n

ø=5l

(2m+1)7i

ø=æL

ø=?E

(2m+3/2)7i

Fig. 12-12 Som nevnt i kapittel 8.2 resulterer sammensetningen av to harmoniske vinkelrette sving­

ninger generelt i elliptisk polarisasjon. Resultanten er vist på fig. 12-12 som funksjon av