Oppgaver i sannsynlighetsregning og statistisk metodelære [5 ed.] 8251906334 [PDF]

Zitiervorschau

LIV OG ARNLJOT HØYLAND

OPPGAVER I SANNSYNLIGHETSREGNING OG STATISTISK METODELÆRE

5. utgave

B Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket

TAPIR

ISBN 82-519-0633-4

Utdrag av forord ti! 1. utgave. For å ha fullt utbytte av et innføringskurs i sannsynlighetsregning og matematisk stati­ stikk er det nødvendig for de fleste å løse oppgaver samtidig med at teorien leses.

Der­

ved får leseren prøvet om han har forstått innholdet av de begreper som er innført, og

samtidig blir teorien belyst ved eksemplene. Ved første gangs lesning av teorien trenges små øvingsoppgaver i direkte tilknytning til

de enkelte avsnitt.

Senere vil leseren ha mer utbytte av å løse oppgaver som spenner

over flere avsnitt. Denne oppgavesamlingen inneholder oppgaver såvel av den førstnevnte type (avsnitt 1.1

og avsnitt 2.1) som av den sistnevnte (avsnitt 1.2, 1.4, 2.2 og 2.4). Trondheim i oktober 1969 Liv og Arnljot Høyland

Forord ti! 2. utgave. Dette er en revidert og sterkt utvidet utgave av LIV OG ARNLJOT HØYLAND:

Oppgaver i sannsynlighetsregning og matematisk statistikk.

Tapir 1969.

Foruten eksamensoppgaver fra Universitetet i Trondheim, NTH og NLHT, inneholder samlingen en del oppgaver fra tidligere utgitte oppgavesamlinger: ARNLJOT HØYLAND: Oppgaver i sannsynlighetsregning og statistikk, /. Universitetsforlaget, Oslo 1960, og

ARNLJOT HØYLAND: Matematisk statistikk.

Eksamensoppgaver med løsninger.

Tapir 1967.

For å hjelpe dem som ønsker å sette seg inn i fagområdene ved selvstudium, inneholder samlingen enkelte oppgaver med skisse til løsning.

Disse oppgavene er samlet i avsnitte­

ne 1.2 og 2.2, med løsninger henholdsvis i 1.3 og 2.3.

Dessuten inneholder samlingen

et appendix med nøkketsvar ti! de fleste øvrige oppgaver.

Trondheim i november 1974 Liv og Arnljot Høyland

Forord ti! 3. utgave. 3. utgave av oppgavesamlingen er noe utvidet i forhold til 2. utgave, idet en del

eksamensoppgaver i matematisk statistikk ved Universitetet i Trondheim, NTH, fra årene 1974, 1975 og 1976 er kommet til. Noen trykkfeil er dessuten rettet opp.

Trondheim i juni 1977 Liv og Arnljot Høyland

Forord ti! 4. utgave. 4. utgave av oppgavesamhngen er noe utvidet i forhold til 3. utgave, idet eksamensopp­

gavene gitt i kursene for matematisk statistikk, sannsynlighetsregning og statistikk / og // ved Universitetet i Trondheim, NTH, fra årene 1977 ti! 1981 er tatt med.

Trondheim, mars 1982 Liv og Arnljot Høyland

Forord ti! 5. utgave. 5. utgave av oppgavesamlingen er noe utvidet i forhold til 4. utgave, idet endel eksamens­ oppgaver i sannsynlighetsregning og matematisk statistikk ved Universitetet i Trondheim,

NTH for årene 1982 ti! 1984 er tatt med. Noen trykkfeil er dessuten rettet opp. Trondheim, september 1984

Liv og Arnljot Høyland

INNHOLD

SANNSYNLIGHETSREGNING Øvingsoppgaver .............................................. Eksamensoppgaver med skissetil løsning .. Løsninger til oppgavene 81 -92 .............. Eksamensoppgaver ........................................

1 24 30 42

II

STATISTISK METODELÆRE Øvingsoppgaver .............................................. Eksamensoppgaver med skisse til løsning .. Løsninger til oppgavene 147 - 153 .............

59 75 81

Eksamensoppgaver i sannsynlighetsregning og statistikk

.........

91

Facit ................................................................

233

DEL I OPPGAVER SANNSYNLIGHETSREGNING

Oppgave 1 - 4

1.1. Øvingsoppgaver

Oppgave 1 Ta for deg en bok med norsk tekst. Slå opp på side 17 og noter de absolutte og relative hyppigheter for bokstavene a, b, ..., æ, d, å i de forste 100 bokstaver tekst.

Slå dernest opp på side 25 og gjenta forsoket, men nytt denne gang de 200 forste bokstaver

på siden.

Slå så opp på side 29 og gjenta forsoket med de 500 forste bokstaver fra og med forste linje

på denne siden. Slå til slutt opp på side 51 og gjenta forsoket med 1000 bokstaver.

Noter resultatene i en tabell. Finner du noen statistisk lovmessighet?

Oppgave 2 Ta for deg en bok med engelsk tekst. Gjenta det forsok som er beskrevet i oppgave 1.

Er det noen forskjell på de lovmessigheter du finner her og de du fant i oppgave 1?

Oppgave 3

Angi utfallsrommet for et eksperiment som består i ett kast med én terning og ett penge­

stykke.

Oppgave 4

Vi kaster med to terninger og observerer resultatet. Hendelsen A betyr: »Sum øyne et odde

tall», og hendelsen B betyr: »Minst én ener.» Hva betyr hendelsene B *,

AAB, AUB, AAB , *

*UB, A

AB *?

Oppgave 5 - 7

-2-

Oppgave 5 En eske inneholder 100 gjenstander som kan ha defekter av 3 typer: type A, type B og type

C. 54 av gjenstandene har én eller flere defekter, og en vet at

20 har type A defekt

30 har type B defekt 14 har type C defekt 5 har type A og type B defekt

4 har type A og type C defekt 3 har type B og type C defekt 2 har både type A, B og C defekt.

mens

En velger ut en gjenstand tilfeldig fra esken. Angi et naturlig utfallsrom S for dette forsøket.

La A være hendelsen at en trekker en gjenstand med type A defekt, la B være hendelsen at en trekker en gjenstand med type B defekt, og

la C være hendelsen at en trekker en gjenstand med type C defekt. Tegn opp det tilhørende Venn-diagram, og forklar hva som menes med følgende hendelser:

AOBAC,

*, AOBOC

nC AAB *

Sett opp uttrykk for hendelsene «minst én type defekt», »bare én type defekt» og »minst to typer defekt».

Finn antall elementer (enkeltutfalI) i de nevnte hendelser. Vis at Venn-diagrammet kan deles opp i 8 disjunkte hendelser, som er definert ved hjelp av

A, B og C og deres komplementer.

Oppgave 6 Anta at P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 og P(AAB) = 0.2. Beregn sannsynligheten for hendelsene:

a. A, men ikke B.

b. B, men ikke A. c. Hverken A eller B.

Oppgave 7 En kaster med to terninger. Hva er sannsynligheten for å få: a. Sum øyne =12?

c. Odde antall øyne i sum?

b. Sum øyne =11?

d. Sum øyne > 9?

- 3-

Oppgave 8-11

Oppgave 8 En komité av tre skal velges blant fem personer A, B, C, D og E. Bestem utfallsrommet og la hvert av elementene få samme sannsynlighet. Hva er sannsyn­

ligheten for:

a. B blir valgt?

b. A og B blir valgt? c. Enten A eller B eller begge blir valgt?

d. Hverken A eller C blir valgt?

Oppgave 9 10 like kuler nummerert fra 0 til 9 ligger i en urne.

En kule trekkes, nummeret noteres, og kulen slippes opp i urnen for ny trekning foretas.

Idet vi lar resultatet av 1. trekning være 1. siffer, resultatet av 2. trekning være 2. siffer osv., danner vi oss ved 5 slike trekninger et 5-sifret tall.

Hva er i dette tilfelle sannsynligheten for å få:

a. Et 5-sifret tall der sifferet 0 mangler? b. Et 5-sifret tall der både 0 og 1 mangler?

c. Dann et k-sifret tall ved ovennevnte fremgangsmåte. Hvor stor må k være for at sannsynligheten for å få et k-sifret tall der 0 mangler hdyst skal være 0.10?

Oppgave 10 En bygning på 12 etasjer haren heis. 5 personer går inn i heisen i 1. etasje, og forlater hei­ sen i de enkelte etasjer uavhengig av hverandre. Videre antar en at sannsynlighetene for at en bestemt person skal gå av henholdsvis i 2., 3.,... 12. etasje er like store.

Hvor stor er sannsynligheten for at de 5 personer går av i hver sin etasje? Hvor stor er sannsynligheten for at minst 2 av de 5 går av i samme etasje?

Oppgave 11

I en gruppe på 30 studenter vet 18 svaret på et visst spørsmål, mens 12 ikke kan svare.

Oppgave 12-15

-4-

a. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt student av de 30 kan svare på spørsmålet?

b. Hva er sannsynligheten for at ingen av 2 tilfeldig utvalgte studenter kan svare

på spørsmålet? c. Hvis 4 studenter velges tilfeldig ut, hva er da sannsynligheten for at akkurat 2

av dem kan svare på spørsmålet?

Oppgave 12

I en knivskuff ligger det 20 kniver. 10 har hvitt skaft og 8 har rustfritt blad, mens 6 ikke har

noen av disse egenskaper. 4 kniver velges tilfeldig ut. Hvor stor er sannsynligheten for at a. Alle 4 har både hvitt skaft og rustfritt blad? b. Akkurat én kniv har både hvitt skaft og rustfritt blad, mens akkurat 2 har hver­

ken hvitt skaft eller rustfritt blad?

Oppgave 13 Ved siden av en boligblokk er det opparbeidet en parkeringsplass med seks parkeringsfelter

ved siden av hverandre. De seks familiene A, B, C, D, E og F i blokken fordeler plassene seg

imellom ved loddtrekning. Hvor stor er sannsynligheten for at A og B får parkeringsplass ved siden av hverandre?

Oppgave 14 Hva er sannsynligheten for at en bridgehånd (13 kort tilfeldig valgt blant 52) skal inneholde 4 spar, 3 hjerter, 3 ruter og 3 klover? Hva er sannsynligheten for at en bridgehånd skal ha

fordelingen 4 : 3 : 3 : 3 (4 av en farge og 3 av de ovrige)?

Oppgave 15

En bridge-spiller og hans makker har alle sparene så nær som K, 3, 2. Hva er sannsynligheten for at de skal være fordelt med K på en hånd og 3, 2 på den annen hånd?

-5-

Oppgave 16-19

Oppgave 16

I en by med 30 000 innbyggere er det 3 aviser A, B og C. Ved en undersokelse har en brakt

på det rene at 12 000 leser A,

7 000 leser A og B,

8 000 leser B,

4 500 leser A og C,

6 000 leser C,

1 000 leser B og C,

500 laser A, B og C. a. Hvor stor er sannsynligheten for at en vilkårlig valgt innbygger skal lese minst én

av avisene? b. Hvor stor er sannsynligheten for at han skal lese bare én av avisene? c. Hvor stor er sannsynligheten for at han, hvis han leser A, også skal lese B?

Oppgave 17 En mann har 4 lodd i Pengelotteriet. Sannsynligheten for at et enkelt lodd skal komme ut med gevinst, antar vi er 1/10. Hva er da sannsynligheten for at han vinner på minst ett lodd?

Oppgave 18 I en rekke på 10 trær lider 4 trær på rad av en bestemt sykdom, mens de øvrige 6 er friske. For å avgjøre om det er grunn til å tro at sykdommen er smittsom, beregnes sannsynligheten

p for at 4 syke skal komme på rad dersom sykdommen ikke er smittsom og slår ned »på

slump». Hvor stor er p?

Hvis sykdommen ikke er smittsom og slår ned »på slump», hvor stor er da sannsynligheten for at to syke trær alltid er adskilt av minst ett friskt tre?

Oppgave 19 Det er planer om å bygge et felles garasjebygg for beboerne i to boligblokker, blokk A og

blokk B.

I blokk A bor det

= 20 familier, og 16 av disse familiene har bil.

I blokk B bor det Ng = 15 familier, og 9 av disse familiene har bil.

Oppgave 20 - 22

-6-

For å lodde interessen for garasjehus velger man tilfeldig ut 4 familier fra hver av de to blok­

kene, og spør disse om de er interessert i garasjeplass. a. Hva er sannsynligheten for at det forekommer akkurat 1 bileier blant de spurte

i blokk A? b. Hva er sannsynligheten for at det i begge utvalgene ikke forekommer noen bil­

eiere? c. Hva er sannsynligheten for at det blant de 8 spurte forekommer minst 2 bileiere?

Oppgave 20

Vis at det er mer sannsynlig å få minst én ener ved 1 kast med 4 terninger enn det er å få akkurat én dobbel ener ved 24 kast med 2 terninger.

Oppgave 21

I en hylle er det lagt 4 mapper adressert til 4 forskjellige personer. Hvis de 4 personene vil­

kårlig tar en mappe hver, hvor stor er da sannsynligheten for at minst én får sin egen mappe? Hvor stor blir denne sannsynligheten hvis en har n personer og n mapper?

Hvilken verdi går denne sannsynligheten mot når n øker?

Oppgave 22

Regn ut sannsynligheten for å få følgende hender inngitt i poker (En korthånd består av 5

kort av en vanlig kortstokk.): a. Ett par

(2 kort med samme verdi samt 3 kort med 3 forskjellige

andre verdier.) b. To par.

(2 kort med én verdi, 2 kort med en annen verdi samt

ett kort med en tredje verdi.) c. Tress.

(3 kort med samme verdi samt 2 kort med 2 forskjellige

andre verdier.)

d. Straight.

(5 kort med verdier i rekkefolge uansett kortfarge.)

e. Flush.

(5 kort i samme farge.)

Oppgave 23 - 27

f.

Fullt hus.

(Ett par og tress.)

g.

4 lange.

(4 kort med samme verdi.)

h.

Straight flush.

(5 i rekkefølge i samme farge.)

i.

Royal straight flush.

(Straight flush med Ess som høyeste kort.)

Oppgave 23

Sannsynligheten for at en mann på 90 år skal dd innen ett år antas være 0.248. Sannsynlig­ heten for at en mann på 91 år skal dd innen ett år antas være 0.258. Hva er da sannsynlig­ heten for at en 90 år gammel mann skal dd for han er 92 år?

Oppgave 24 En kaster 3 terninger. Hvis en får vite at ingen viser samme antall dyne, hva er da sannsyn­ ligheten for at de viser minst en ener?

Oppgave 25 Du får vite at ett kast med 10 terninger har resultert i minst én ener. Hva er da sannsynlig­

heten for to eller flere enere?

Oppgave 26 I en befolkning av like mange menn og kvinner er 5 % av mennene og 0.25 % av kvinnene

fargeblinde. En tilfeldig utvalgt person viser seg å være fargeblind. Hva er sannsynligheten for at vedkommende person er en mann?

Oppgave 27 I en boltfabrikk produseres 25 % av boltene i maskin A, 35 % i B og 40 % i C. I det lange løp har det vist seg at: A lager 5 % defekte bolter,

B lager 4 % defekte bolter, og C lager 2 % defekte bolter. Ut av et større produksjonsparti trekkes tilfeldig én defekt bolt. Hva er sannsynligheten for

Oppgave 28 -31

-8-

at den skriver seg henholdsvis fra A, B og C?

Oppgave 28 Craps er et terningspill som spilles med to terninger. Spilleren kaster med begge terningene,

og sum øyne noteres. Hvis han får 7 eller 11 øyne, har han vunnet; får han derimot 2,

3

eller 12 øyne, har han tapt. Hvis han får 4, 5, 6, 8, 9 eller 10 øyne, fortsetter han å kaste

inntil han får enten 7 øyne eller det tall han oppnådde i første kast. Får han 7'eren først,

taper han; i motsatt fall vinner han. Hvor stor sannsynlighet har han for å vinne spillet?

Oppgave 29

La A, B og C betegne tre hendelser, og anta at P(A) = P(B) = P(C) = —, P(AAB) = P(AAC) = P(BAC) = 1-, P(AABAC) = Beregn følgende sannsynlicjheter:

a. P(AUBUC), b. P(AUB|C), c. P(A|BUC),

d. P(A|BAC).

Oppgave 30 Av 2 mynter har den ene »krone» på begge sider, mens den annen er ordinær. En av myn­

tene velges tilfeldig ut og kastes (uten at en er oppmerksom på hvilken mynt det er) to

ganger. La A betegne at 1. kast resulterer i »krone» og B betegne at 2. kast resulterer i »krone». Er hendelsene A og B uavhengige? Begrunn svaret.

Oppgave 31 A, B og C er tre hendelser. A og (BAC) er uavhengige. Likeledes er B og C uavhengige. Er da A, B og C uavhengige?

-9 -

Oppgave 32 - 37

Oppgave 32

La D betegne absoluttverdien av differansen mellom antall øyne som oppnås ved to kast med en terning. Utled sannsynlighetsfordelingen til D.

Oppgave 33

En person kaster 4 terninger. La X være det antall seksere han får på de 4 terningene. Finn fordelingen til X.

Oppgave 34

En person kaster en terning og holder på til han første gang får et resultat han har fått før. La X betegne antall kast og finn fordelingen til X.

Oppgave 35 En skytter skyter en treskuddserie mot en blink. Sannsynligheten for at han bommer i r'te skudd i treskuddserien er p/r, r = 1, 2, 3, og resultatene av de enkelte skudd antas være uav­

hengige hendelser. La X betegne antall bom i treskuddserien. Bestem sannsynlighetsfordel­ ingen til X og finn forventningsverdi og varians til X.

Oppgave 36

A har 2 kroner, B 1 krone. De kaster »mynt og krone» (med innsats 1 krone hver gang) til en av dem har alle 3 kronene. Hva er sannsynligheten for at

a. A vinner etter akkurat x kast?

b. B vinner etter akkurat x kast?

Oppga w 37 Hvor stor er sannsynligheten for å få 7 eller flere ganger »Krone» ved 10 kast med et penge­

stykke?

Oppgave 38 - 40

- 10-

Oppgave 38

En fabrikk driver masseproduksjon av en bestemt artikkel. I det lange løp har det vist seg at sannsynligheten for at en vilkårlig produsert artikkel skal være i orden er 0.9.

Hva er sannsynligheten for at a.

et tilfeldig utvalg på 10 artikler ikke skal inneholde noen defekte?

b.

et utvalg på 10 artikler skal inneholde akkurat 9 artikler som er i orden?

c.

et utvalg på 10 skal inneholde minst 9 artikler som er i orden?

Oppgave 39

I en eske ligger 9 lyspærer, hvorav 4 er defekte. 5 lyspærer tas ut tilfeldig. La X betegne

antall defekte i utvalget. Hva blir fordelingen til X? Finn forventningsverdi og varians til X. Hva er sannsynligheten for at det fins 2 eller flere defekte i utvalget?

Oppgave 40

Antall tankskip X som ankommer til en bestemt havn i løpet av en dag har vist seg å være Poissonfordelt med punktsannsynlighet 2X p(x) = — e 2 *, * * *x = 0, 1,2,..... x!

= 0 ellers.

Havnen kan maksimalt betjene 3 tankskip pr. dag. De tre først ankomne blir ekspedert, eventuelle øvrige blir omdirigert til annen havn.

a.

Hvilke(t) antall tankskip har størst sannsynlighet for å ankomme en bestemt dag7

b.

Hvor stor er sannsynligheten for at det en bestemt dag må dirigeres tankskip

til andre havner?

c.

Hvor stor kapasitet må havnen bygges ut til for med minst 95% sannsynlighet å kunne betjene samtlige skip som ankommer en gitt dag?

-11-

Oppgave 41 - 44

Oppgave 41 Anta at X er Poissonfordelt med parameter Å, og betegn punktsannsynligheten [9! P(X = x) ] med p(x). Studer forløpet av p(x) for forskjellige gitte Å ved å betrakte forholdet mellom p(x + 1) og p(x).

Oppgave 42 Ved et spill er sannsynligheten for å vinne lik 0 og sannsynligheten for å tape (1-0). En spiller bestemmer seg for å spille inntil han vinner første gang. Anta at X betegner det nød­

vendige antall spill for å oppnå dette. Finn fordelingen til X. Bestem E(X) og Var(X).

Anta at betingelsene er de samme som ovenfor, men at spilleren bestemmer seg for å spille inntil han har vunnet akkurat s ganger. La Y være antall spill for å oppnå dette. Finn for­ delingen til Y. Hva blir E(Y) og Var(Y)?

Oppgave 43

En masseprodusert enhet leveres i esker a 8 stk. En grossist som kjøper et større parti slike

esker, betinger seg rett til følgende stikkprøvekontroll ved mottakelsen: Av hver eske velges 2 enheter tilfeldig. Er begge i orden, godtas esken uten videre og passerer

kontrollen. Hvis ikke begge er i orden, kontrolleres samtlige enheter i vedkommende eske, og alle defekte enheter i esken byttes ut med kontrollerte enheter, hvoretter esken passerer

kontrollen. a. Beregn sannsynligheten p(d) for at stikkprøven fra en eske med akkurat d defek­

te skal være feilfri. Skisser p(d). b. Anta at samtlige esker ved ankomsten inneholdt akkurat d defekte hver. La Z

betegne antall defekte i en eske som er tilfeldig valgt blant dem som har passert kontrollen. Finn sannsynlighetsfordelingen for Z, og bestem E(Z) og Var(Z).

Hvilke(n) verdi(er) av d er minst gunstig for grossisten?

Oppgave 44

X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet

f(x) = nxn-1 = 0

00 ,

0>0 .

Skisser sannsynlighetstettheten når ø = 1 og a er henholdsvis 1 og 2. Beregn P(X>1) for disse to verdisett av (a,0).

Oppgave 48 La sannsynlighetstettheten for X være gitt ved — °° D2nD3) =P1p2p3.

-32-

Løsning til oppg. 84

b.

La for j = 1, 2, 3

1 hvis artikkel A- er defekt Y = J Aj 0 ellers Da er E(Xp = Pj, Var(Xp = Pj( 1 -Pj), og Z =

3 S X; j= 1 1

hvor X'ene er uavhengige.

AltsåerE(Z) =

3 S Pj, j=1 J

Var(Z) =

3 S pUl-pJ. j=1 J J

Oppgave 84 P(X = x) = (") px (1p)nX

a.

=

bn(x; p) .

Når p = 0.05, skal en ha at c- 1 P(X > c) = 1 - P(X < c - 1) = 1 - g b20(x;0.05) < 0.08.

C£1(20) o.O5x OS520 x > 0.92. 0

x

* il~ * bn^x,p^:

Vi får, idet vi benytter bn(x+p;p) = 2

S (20 )‘0.05x« 0.95 20 “x 0 x

Altså

=

0.9246.

c = 3

b. Når p = 0.20 , blir

P(X > 3) = 1 - P{X < 2 = 1 = 1 - 0.206

2 S b9n (x;0.20) = 0 ZU

= 0.794

□ : 79.4 % sannsynlighet for at det oppdages ved kontrollen.

Løsning til oppg. 85 - 86

-33-

Oppgave 85 a. Sannsynligheten p^for at k—te delprøve er uten defekte er

k = 1,2, 3,4.

Sannsynligheten for at alle 4 prøver er uten defekte , blir

P i ' P2 ' P3 ' P4 4

og den søkte sannsynlighet

(1)

1

|

-

|

pk .

k=1

b. La A - betegne at det er »akkurat j defekte blant de n uttatte». Da er den søkte

sannsynlighet lik

1 - P(A0) - P(At)

(2)

La videre A. 1, betegne »akkurat »j» defekte i k—te delprøve», k = 1,2, 3, 4, JK og ingen i de andre. Da er 4 P(Aj) = P(AnU A12UA13UA14) = S P(Alk),der k=1

(3)

> 4 k = 1,2, 3, 4.

(4)

Den søkte sannsynlighet fåes nå ved å innsette (4) i (3) , hvoretter (3) og (1) innsettes i (2) .

Oppgave 86

(log x-a)2 1 e

a. fx(x)

202

X Y

= log X,

X = eY

x>0

Løsning oppg. 87

-34(y-g)2 1 e' &

'

f (y) =

V?? b. a = 0,

o:

e

Y er N(a, Ø2).

0=1.

P(KX = (y)pv(1-p)x-y

y = 0, 1, 2, . .

X.

Den simultane punktsannsynlighet for X og Y blir

P[(X=x)n(Y=y)] = (x)pV(1-p)x-V •— e~X. y x! Herav følger

P(Y=y) =

y = 0, 1, 2, . x x = 0, 1, 2,. .

oo \X , S (x)py(1-p)x"y e~X = x=y y x!

pye~X

~

y!

x=y

d-p)x-y Xx (x-y)l

Innføres nå ny summasjonsvariabel v = x-y,fåes:

p(Y=y) = Xy pY e X y!

= ^2^

S ^2^ \v = p=0

e-pX ,

f!

e“X y!

y = 0, 1, 2, . . .

y! dvs. Y er Poissonfordelt med parameter Åp.

e(1_p>X

Løsning til oppg. 92

-40-

Oppgave 92 a. Sett sannsynligheten for at en bestemt pakke skal være undervektig lik p:

i = 1 , 2 ,.. . , 20 .

P(X. < 0.990) = p

Sannsynligheten for at ingen av de 20 pakker skal være undervektige blir da (1 - p) 20 , og vi ønsker p bestemt slik at 1 - (1-p)20 < 0.01

(1 - p)20 > 0.99 p = 0.0005

Vektene Xj , X2 , ..., X2o antas uavhengige og normalfordelte (m; 0,01 2 ) .

X: - m 0 99 - m Herav følger at 0.0005 = P(X- < 0.990) = P (—-------- < ——----------) 0.01 0.01

=

. 0.99 - m . = ø (--------------- )

0.01

0.99 - m 0.01

= - 3.2905 9: m = 1.0229

m må velges lik 1.0229 kg

b. La oss betegne sannsynligheten for unødig juster i ngsstans med q. Da er

q = P[

15 Z (X- - m)2 > c | a < 0.01) , og c ønskes bestemt slik at q < 0.05 . i=1 1

Siden X, , X2 ,. .. , X j 5 er uavhengige og normalfordelte (m , a2) , er 15 Z (X;- m)2 / o2 i=1 1

X2 —fordelt med 15 frihetsgrader. Derfor er

P(S(Xj- m)2 > c) =

P(Z(Xj- m)2 / a2 >

-^-) = a2

1 - ri5(^- ) a2

der rv(z) betegner den kumulative fordelingsfunksjon for X2—fordelingen med

v frihetsgrader. fv (z) er en voksende funksjon av z. Derfor er

-41 -

q=i-r,s(^)1) soldater ad gangen, disse blodprøver blandes og blandingen analyseres. Dersom blandingen gir negativ reaksjon, be­ høver blodprøvene fra disse k soldater ikke analyseres ytterligere. Gir den imidlertid positiv

reaksjon, tas nye blodprøver av de k, og prøvene analyseres enkeltvis. a. Bestem sannsynligheten for at en blanding av k blodprøver skal gi positiv reak­

sjon.

Oppgave 117

- 54-

b. Soldat A får beskjed om at hans k-gruppe har vist positiv reaksjon. Hvor stor er da sannsynligheten for at han er positiv? c. La T betegne antall blodprøver som må analyseres før militaeravdelingen er fer­ dig kontrollert. Anta at n = k • m . Vis at

E(T) =

(1 - q k + 1-) •

n ,

der q = 1 - p ,

m er et helt tall.

K

d. Av økonomiske grunner ønskes k valgt slik at E(T) blir så liten som mulig. Hvor

stor bør k være dersom p = 0.1 ? e. For hvilke verdier av p er den benyttede fremgangsmåte å foretrekke fremfor å

analysere blodprøvene enkeltvis med én gang?

Oppgave 117 (NLHT, S0, høsten 1968) Hos maisplanter finnes bl.a. følgende arveegenskaper;

Grunnbladene er enten helt grønne eller helt hvite.

I)

11)Grunnbladene inneholder enten stivelse eller sukker, men ikke begge deler.

Maisplanter kan derfor inndeles i 4 typer: type 1:

planter med grønne, stivelsesholdige grunnblad,

»

2

planter med grønne, sukkerholdige grunnblad,

»

3

planter med hvite, stivelsesholdige grunnblad, og

»

4

planter med hvite, sukkerholdige grunnblad.

Fra en populasjon av maisplanter trekkes en plante tilfeldig, og vi betegner sannsynligheten for å trekke en plante av type i med Pj, i = 1,2, 3, 4,

L Pj = 1. i

a. Bestem sannsynligheten — uttrykt ved Pj , ..., p4 — for at den plante som

trekkes skal ha sukkerholdige grunnblad. b. Anta at den plante som er trukket, viser seg å ha grønne grunnblad. Hvor stor er da sannsynligheten for at den da skal ha stivelsesholdige grunnblad? c. Vi gjør nå de vanlige Mendelske forutsetninger. Ser vi på nedarving av grunn-

bladfarge, vil det da fremkomme tre genotyper, nemlig (Ai A]), (A, at) og

(aj aj). Aj viser seg å være dominant slik at (ai

) representerer planter med

hvite grunnblad, mens (Aj A!) og (A! a!) begge er grønne.

-55-

Oppgave 118

På samme måte vil en, når det gjelder den annen arveegenskap, finne tre geno-

typer (A2 A2), (A2 a2 ) og (a2a2), der A2 er dominant, (a2 a2 ) representerer de sukkerholdige, mens de øvrige har stivelsesholdige grunnblad. Vi utfører nå et forsøk med selvbestøvning av heterozygoter (genotype (Aj a! A2 a2)). Vis at dersom de to nevnte arveegenskaper I og 11 nedarves uav­

hengig av hverandre, vil Pi, . . ., p4 måtte være gitt slik: 9 16

P1

'

P1

3 16 '

P3

1 16

P4

Oppgave 118 (NLHT, SO, våren 1970) Ved en boligundersøkelse av en bestemt type har det vist seg at antall (X) barn i en familie og antall (Y) rom (bortsett fra kjøkken) som samme familie disponerer, har følgende forde-

ling:

x

0

1

2

3

4

1

0.12

0.05

0.02

0.00

0.00

2

0.08

0.10

0.05

0.02

0.00

3

0.08

0.12

0.20

0.05

0.01

4

0.01

0.01

0.05

0.02

0.01

V

P[ (X = x) A (Y = y) ] a. Utled de marginale fordelinger for X og for Y, og bestem E(X), E(Y), Var(X)

og Var(Y). b. Hvor stor er sannsynligheten for at en vilkårlig valgt familie som viser seg å ha 3 barn, skal disponere 4 rom?

c. Bestem E(Y IX = 3) og fortolk resultatet. d. Bestem til slutt Cov (X,Y) og korrelasjonskoeffisienten p(X,Y).

DEL II OPPGAVER STATISTISK METODELÆRE

Oppgave 119

-59-

2.1. Øvingsoppgaver

Oppgave 119 En »roulette» har den egenskap at alle retninger har samme sjanse for å bli pekt ut når roulettpilen stanser. Etter at en har valgt et nullpunkt på periferien, kan ethvert periferipunkt karak­

teriseres ved sin «avstand» langs periferien (og med urviseren) fra det valgte nullpunkt. Om­ kretsen av rouletten er a cm.

En har latt pilen rotere og stoppe 10 ganger, hver gang notert »avstanden» fra 0 til det punkt pilen har pekt på, og derved oppnådd observasjonene 16.5, 3.7, 30.0, 23.2, 32.8, 49.6,

25.8, 7.0, 30.4, 33.2 (alt i cm). A og B får nå som oppgave å anslå a ut fra kjennskap til dette observasjonsmaterialet, som

betegnes med X j , X2 , . . . , X A resonnerer slik:

X =

1 — n

n S X: i=1 1

a vil ha tendens til å falle i nærheten av — . _ 2

tig anslagsverdi må derfor fremkomme ved å fordoble X . a,=

2X

En fornuf-

A foreslår derfor

= - S X.

B innvender mot denne anslagsverdi at A derved kan komme til å få a! mindre enn en eller flere av observasjonene; og ettersom jo a må være større enn samtlige observasjoner, vil et slikt estimat være meningsløst. Han foreslår istedet å nytte den største av observasjonene

som anslagsverdi, dvs. az =

max X; .

Undersøk først om de to estimatorene er forventningsrette. I tilfelle de ikke er det, er en enig om å forsøke å korrigere denne skjevheten, slik at A s og B s estimatorer begge blir

forventningsrette.

-60-

Oppgave 120 - 121

Undersøk dernest (etter eventuell korreksjon) hvilken av de to estimatorer som er best ved å sammenligne deres varianser.

Nytt til slutt det foreliggende tallmateriale til å anslå a ved de to estimatorer.

Oppgave 120 Anta at en stokastisk variabel X har sannsynlighetstetthet

f(x)

1 i----- x = — e a a

;

x > 0 ;

a > 0 .

Det er foretatt n uavhengige målinger Xj ,... , Xn av denne variable.

Estimer a på grunnlag av det foreliggende observasjonsmaterialet. Drøft estimatoren. Finn fordelingen for den. Vis hvorledes en kan finne et 95 % konfidensintervall for a ved hjelp

av tabellene for kji-kvadratfordelingen. Vi har foretatt 4 målinger av X og fikk følgende resultat: 2.3, 1.2, 0.9 og 3.2. Estimer a,

og finn et 95 % konfidensintervall for a i dette tilfellet.

Oppgave 121 Ved en taufabrikk ønsker en å undersøke strekkstyrken for en bestemt tautype. En foretar

strekkprøver på tauet på en slik måte at et tau belastes med 5 kg s lodder inntil tauet brister. Høyeste belastning før tauet brister, noteres. Ved taufabrikken tas ut prøver fra 10 tilfeldig valgte taukveiler av vedkommende tautype.

Hvert tau utsettes for belastningsprøven, og resultatet av prøvene er: (Xj) 275 kg, 280 kg, 240 kg, 270 kg, 285 kg, 270 kg, 230 kg, 230 kg, 250 kg og 280 kg.

Belastningsvektene Xlf X2 , .. ., X10 antas uavhengige og normalfordelte (£, a2) der £ er ukjent og o erfaringsmessig kan settes = 20 kg. a. Bestem på dette grunnlag et konfidensintervall for £ med konfidenskoeffisient

0.90. b. Hvor mange prøver måtte en minst ha tatt for at lengden av konfidensintervallet

ikke skulle oversteget 5 kg?

-61 -

Oppgave 122 - 124

Oppgave 122

En skytter skyter en treskuddserie mot en blink. Resultatet av hvert skudd registreres som treff eller bom. Sannsynligheten for at han bommer i r-te skudd i treskuddserien er 2. ;

r = 1, 2, 3, og resultatene av de enkelte skudd antas være uavhengige hendelser. La X be­ tegne antall bom i treskuddserien. a. Utled fordelingen for X , og bestem forventningsverdi og varians i denne. b. Anta at skytteren i løpet av et skytterstevne får anledning til å skyte i alt n slike

treskuddserier, og at forutsetningene ovenfor har gyldighet for alle disse. La X betegne anA tall bom i treskuddserie nr. j. p skal estimeres, og en estimator av formen p= kS X; er

i=i

foreslått.

Bestem k slik at estimatoren blir forventningsrett, og beregn deretter variansen for p. Hvil ken innvending kan reises mot denne estimatoren?

Oppgave 123

Xi , X2 ,.. ., Xp er uavhengige, og

X-

er for i = 1,2, .. ., n X2-fordelt med Vj frihets­

grader. Bestem sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for o, og utled dennes fordeling.

Utled deretter et konfidensintervall for o med konfidenskoeffisient 0.90 når n=8; og Vj=v2 = . #

=v8= 1. Beregn intervallet numerisk når observasjonsmaterialet er:

0.64, 2.32, 0.60, 2.28, 2.72, 0.04, 0.30, 4.80.

Oppgave 124 Anta at X! ,X2 ,... ,X

er uavhengige og identisk normalfordelte med kjent forventnings-

verdi Mo = 100 og ukjent varians o . • A2 x 2 Bestem sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren o tor u . Utled et konfidensintervall for o2 basert på a2. Bestem dette numerisk når n = 6, konfi

denskoeffisienten skal være 0.90, og observasjonsmaterialet er 99.1, 103.7, 101.2, 97.2, 101.9 og 100.3.

-62-

Oppgave 125 - 128

Oppgave 125 X1 , X2 , . . . , Xn

er n uavhengige observasjoner av en Poissonfordelt variabel med punkt-

sannsynlighet

—• e x !

p(x) =

A,

x = 0, 1, 2,. ..

Utled sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for Å basert på X, ,. .. , Xn , og studer dens egenskaper.

Oppgave 126 Xi , x2 ,

Xn

er n uavhengige observasjoner av en variabel X som er kontinuerlig

fordelt med sannsynlighetstetthet

= 1 ;

0 2) = P(22)

-----------

La Z betegne vekt av en tilfeldig valgt, ikke frasortert prøve.

- lz 1 -lz |e 4 =b2‘ 4 ■ P(X>2) E(Z)

4

4

= /°°zf2(z)dz = 6 2 ---

l(X;x! ,x2......... xn> = Ar e A

X

Sxj In l(Å;x! ,x2,. . . , xn) = -nlnX- ----X 9 In I(X) _ n ^xi 9 X ' X X2 S.M.E. for X blir altså

* 2Xi X*(Xi,X2..........XJ = ------ - = n n - = X, E(X)

X2 Var(X)=A.. 50

X.

-83-

Løsning til oppg. 148 forts.

X-X __ । d. Siden —— y5Q tilnærmet er N (0,1), får en at

Numerisk løsning:

a = 0,05 og X = 5.2 gir følgende, tilnærmet riktige 95%-konfidensintervall (4.07, 7,19)

e-fy(y) - fx(|vl i^l -le’5.

y>0.

X er X2-fordelt med 100 frihetsgrader, er

f. Siden

A X 4. h. (3(X) = P(X>k I X)

= P(ioox>^k | X) = ! _r100(122 k) A

A

A

(der rn(x) er fordelingsfunksjonen for x2-fordelingen med n frihetsgrader).

-84-

Løsning til oppg. 149

0(7)

1 -r1Oo (71)

Siden Zq gg -|qq = 70.1 vil

(3(7) « 0,99

Oppgave 149

< 2) =

a. P( I X-p I > 20) = 1 -P(-2
20) = 1-P(------ ^=- 1000.

mot H,:

Rimelig test: Forkast Ho når X > k. Ønskes nivå = a = 0.05 og maksimal teststyrke, må k bestemmes slik at P(X> k lp = 1000) = 0.05,

o:

I vårt materiale er X = 1002.7, og dette gir altså ikke grunnlag for forkastning av Ho.

Hvis forutsetningen om at a = 10 var gal, og o var lik 15, blir det faktiske signi­ fikansnivå:

P(X> 1005.20 lp = 1000) = P( X~1000x/l0> ^Vl0)= 1-4>( 1.094) = 15 15

= 1 -0.863 = c. p = p0 = 1000.

Da er

"

f(xi, X2, . . . , xn, Po, o ) =

In l(po, o2 ; Xi,. . . , xn) =

Z1*

n

’

Slxj-Mo)2

(2tr) 2(o2)

2e 2(7

r>

S(Xj-Po)2 Inlo2)------- -----------

n

ln(2tr)

4 o2 =-S(X;-po)2. n J

/X

A

S.M.E.foro2:

E(o2) = o2>

0.137.

dvs. a2 er forventningsrett. o-_4

Var(a2) =----n

.

Dette medfører at a2 er konsistent, a2

Av P(zi_ k, der k bestemmes slik at testen får det ønskede signifi-

Qo

(s-1)

kansnivå a, o: slik at

p( Qi

(n-s)

k I Ho) < a

Løsning til oppg. 153 forts.

-90-

Qi (n-s) Når Ho er riktig, vil------------- være F-fordelt med henholdsvis (s-1) og Qo (s-1)

(n-s) frihetsgrader. Vanlig resonnementsmåte leder da til at k må velges lik (s-1),(n-s)’

Numerisk løsning;

Her er s = 4, nt = 8, n2 = 7, n3 = n4 = 5.

a skal velges lik 0.01 og vi finner k = fg g^ 3 21 = 4.87. Ved beregning av F kan en utnytte at F er invariant overfor lineærtransforma-

sjon av de stokastiske variable. Hvis en innfører nye variable Yira(Xjrb), Qj

(s-D

Qo

(n-s)

_

er_

SnjtX.j-X)2 (s-1)

_

Snj(Y.j-Y..)

KXjj-Xj)2

’

S(Yjj - Y.j)2 ?n^)

(S-1)

Vi velger her å innføre

Yjj = 100(Xj--83.00) og får da Yi,

Yh

9 4

1

2

1

-4

-1 4

3

10 5 4

0

8

-4

6 4

Yi3

-1

-2 5

Yi4

1

-3

3 5

-1

8Y.!= 34

7Y.2= -5

5Y3=29

5Y4= 1

25Y. .= 59

8Y.j2= 144.5

7Y.2= 3.5

5Y.2= 168.2

5Y4 = 0.2

25Y..= 139.2

Zn-Y.-2 = 316.5 j J J_

25Y..2 = 139.2

LSY..2 = j '

493.0

Q, = Sn-fY..-Y.)2 = Sn-Y:2 - 25Y..2 = 316.5 - 139.2 = 177.3 j J J i J J Qo = SKY» - Y.)2 = SSY..2 - Sn-Y..2 =493.0-316.5= 176.5 j i J J j i J j J

Herav fåes

177.3 176.5

21 3

7.03.

Observasjonsmaterialet tyder altså på at Ho ikke er riktig, dvs. at de 4 leger­

inger ikke har samme Cu-innhold.

-91 -

Oppgave 154 - 155

2.4. Eksamensoppgaver

Oppgave 154 (NTH, Ma 2, avd. II, V, våren 1969) Strålingsintensiteten hos et radioaktivt stoff skal undersøkes. Tidsavstanden (X) mellom ut­ sendelse av en partikkel og den neste antas kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet

x

f(x)

for x > 0 ,

=

1. e X

=

0

for x < 0.

a. Hvor stor er sannsynligheten for at tidsavstanden mellom en partikkel og den

neste er lengre enn 2X. Beregn E(X) og Var(X). b. X er ukjent og skal estimeres på grunnlag av n uavhengige observasjoner av X:

X1 , X2 , .... XR . Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for Å, studer dennes egenskaper. c. Hvis n er stor, kan gjennomsnittet av observasjonene X -

1 n — S Xj

antas

å være tilnærmet normalfordelt. Finn ut fra dette et tilnærmet 100(1 - a)% konfidensintervall for X, og beregn intervallet når n = 100, X = 10.5 og a =0.10.

Oppgave 155 (NTH, Ma 2, avd. II, V, august 1969)

I en kjemisk prosess benyttes en oppløsning som skal ha en gitt pH-verdi. pH-verdien bestem­

mes ved en metode med følgende egenskaper: Dersom den benyttes på tilfeldige prøver fra en

oppløsning med pH lik n , blir måleresultatene uavhengige og normalfordelte (p, 0.052). a. Hvor stor er sannsynligheten for at en enkelt bestemmelse av pH-verdien skal av­ vike mer enn 0.10 fra den sanne pH-verdi (g)?

b. Hvor stor er sannsynligheten for at forskjellen mellom to slike pH-bestemmelser

av tilfeldige prøver fra samme oppløsning skal være større enn 0.10? c. Den gunstigste pH-verdi for prosessen er 7.50. En har tatt 4 prøver av oppløsning­

en og fått følgende pH-verdier: 7.58, 7.49, 7.62 og 7.55. Gir dette grunnlag for å betvile at pH-verdien i oppløsningen er 7.50? Velg signifikansnivå 5 %.

Oppgave 156 - 157

-92-

Oppgave 156 (NTH, Ma 2B, avd. II, V, våren 1971)

Når en bestemt målemetode nyttes ved bestemmelse av pH-verdien (m) i et vassdrag, kan

enkeltmålingene oppfattes som uavhengige og normalfordelte med forventningsverdi m og varians o02 = 0.0025. a. Hvor stor er sannsynligheten for at en enkeltmåling skal avvike mer enn 0.05 fra m?

b. Anta at pH-verdien anslåes ved gjennomsnittet av to slike (parallelle) enkeltmålinger. Hvor stor er da sannsynligheten for at anslått pH-verdi skal avvike mer enn 0.05 fra m? Hvor stor er sannsynligheten for at to slike anslagsverdier

skal avvike mer enn 0.05 fra hverandre? c. Anta nå at pH-verdien m skal anslåes på grunnlag av n slike (parallelle) enkelt-

målinger Xj, X2,..., Xn> Utled at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren w . . — 1 ri for m, m , blir lik X = — S X: , og angi estimatorens egenskaper. n j=i J d. Utled et konfidensintervall for m med konfidensgrad 0.90 på grunnlag av mål­ ingene i e. Hvor stor må n minst være for at lengden av intervallet ikke skal overstige 0.05?

e. Det har vært påstått at pH-verdien i vassdraget er lik 5.60. Vil du avvise denne påstanden og påstå at pH-verdien er mindre enn 5.60 på grunnlag av følgende fire enkeltmålinger:

5.51, 5.57, 5.51, 5.53?

Velg signifikansnivå 0.025. Skisser til slutt styrkefunksjonen for den test du har nyttet.

Oppgave 157 (NTH, Ma 2B, avd. II, V, våren 1972) En potetmelfabrikk kjøper poteter, levert i standardsekker. Av forskjellige grunner vil vek­

ten av en sekk poteter variere fra sekk til sekk. Vi antar her at vekten (X) av en tilfeldig valgt sekk poteter kan betraktes som en normalfordelt stokastisk variabel med forventnings­

verdi m og standardavvik o. Videre antar vi at vektene av forskjellige sekker kan betraktes

som stokastisk uavhengige.

-93-

I

Oppgave 157 forts.

Anta først at m = 50.5 kg og a = 1.0 kg. a. Hvor stor er da sannsynligheten for at én tilfeldig valgt sekk skal veie mindre enn 50.0 kg?

b. Hvor stor er sannsynligheten for at totalvekten av 25 tilfeldig valgte sekker skal

overstige 1250.0 kg? c. Hvor stor er sannsynligheten for at minst en av tre tilfeldig valgte sekker skal veie mindre enn 50.0 kg?

11

Anta dernest at m er ukjent, mens o = 1.0 kg.

d. Det påstås at m = 50.5 kg. Hvordan vil du gå frem om du på grunnlag av vekte­ ne Xt.... Xg av ni tilfeldig valgte sekker skal ta stilling til denne påstanden, når alternativet er at m < 50.5 kg?

e. Hva blir din konklusjon dersom de ni sekkene veide henholdsvis (i kg): 50.9 , 49.8, 50.8, 48.7, 48.6, 50.0, 50.4, 49.8 og 49.1, og signifikansnivået

skal velges lik 0.05? f. Hvor mange observasjoner måtte testen vært basert på for at teststyrken i alter­ nativet m = 50.0, minst skulle vært 0.90? (Signifikansnivået skal fortsatt være

0.05.) 111

Ved potetmelfabrikken mener en å vite at det stort sett er «lineær sammenheng mel­

lom poteters egenvekt og stivelsesinnhold» og vil undersøke dette forhold litt nærmere. En

velger ut 7 poteter hvis egenvekter er funnet henholdsvis lik Uj, u2,. .. , u7, og bestemmer

stivelsesinnhold (i %) i hver av disse. Stivelsesinnhold i den potet som har egenvekt Uj, be­ . , Y7 antas uavhengige og normalfordelte med samme stan-

tegnes Yj, j = 1, . . . , 7. Yj, dardavvik r = 0.7%, mens

E(Yp = a + 0(Uj-u) ,

j = 1........... 7

1 7 der a og P er ukjente konstanter, og u = — S Uj. / j=i J

g. Vis at minste-kvadratsums-estimatorene henholdsvis for a og P blir * a

= 1 SYj

og

Sfuj-uJYj S(uj-U)2

h. Vis at * a og * P begge er forventningsrette, og bestem deres varianser. i.

Tegn opp den estimerte regresjonslinje når observasjonsmaterialet var:

Oppgave 158

-94-

1

2

3

4

5

6

7

uj

1.07

1.08

1.09

1.10

1.11

1.12

1.13

Yi

12.3

13.3

15.8

18.7

19.6

23.1

24.3

j

Anslå stivelsesinnholdet i en potet med egenvekt 1.115. j.

Gjør til slutt rede for hvordan du vil gå frem ved bestemmelse av et konfidens-

intervall for 0.

Oppgave 158 (NTH, Ma 2B, avd. II, V, våren 1973)

Ved en sjokoladefabrikk brukes en maskin til fremstilling av to typer sjokoladeplater, A og B. Vekten (X gram) av en tilfeldig valgt sjokoladeplate av type A har vist seg å være normal­ fordelt med forventningsverdi mA og standardavvik o, mens vekten (Y gram) av en tilfeldig valgt sjokoladeplate av type B har vist seg å være normalfordelt med forventningsverdi mg

og samme standardavvik som for type A, dvs. o. Vektene av de enkelte sjokoladeplater an­ tas å være uavhengig av hverandre.

I

Anta først at standardavviket o er kjent og lik 4 gram. a. Hvor stor er sannsynligheten for at vekten av en plate avviker mer enn 2.7 g fra sin forventningsverdi?

b. Sjokoladeplater av type A (A-plater) legges i pakninger med 10 plater i hver pakke. Det samme gjøres med sjokoladeplater av type B (B-plater). Hvor stor

er sannsynligheten for at vekten av en 10-pakning avviker mer enn 27 g fra sin forventede vekt?

c. La Z betegne det antall plater i en 10-pakning som avviker mer enn 2.7 g fra sin forventningsverdi.

Hvilken fordeling får Z? Begrunn svaret.

d. Foreslå en punktestimator for mA-mg når estimatorene skal baseres på vektene

av nA A-plater og ng B-plater. Hvilke egenskaper har estimatoren? e. Angi et 95% konfidensintervall for mA-mB, når en tilfeldig valgt 10-pakning med A-plater viste seg å veie 1015 g og en 10-pakning med B-plater veide 802 g.

II

I det etterfølgende skal vi anta at mA og mg er kjente, mens o er ukjent.

mA = 100 g, mg = 80 g. På grunnlag av vektene av nA A-plater og ng B-plater skal vi

-95-

Oppgave 159

undersøke o2. f. Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for o2 er

nA , S (X; - 100)2 +

nB S (Y; - 80)2

s2 = -^1—!________________ nA + nB

g. På grunnlag av vektene av 5 A-plater og 5 B-plater skal en ta stilling til om det er grunn til å tro at o2 er større enn 16 g2.

Formuler problemet som et problem i hypotesetesting og angi en egnet test ba­ sert på S2. Hva blir konklusjonen hvis signifikansnivået er 1% og observasjons­

materialet er

X:

101

104

112

96

93

Y:

82

89

79

72

71

h. Angi styrkefunskjonen for testen i g. i.

Finn tilnærmet styrken når o2 = 100 g2.

En alternativ fremgangsmåte til testen i g. vil være å telle opp hvor mange av

de n^ + ng plater som i vekt avviker mer enn 2.7 g fra sin forventningsverdi,

og basere testen på dette antallet. Hvordan blir testen? Hva blir konklusjonen når observasjonsmaterialet er det samme som i pkt. g. og signifikansnivået skal være ca. 1%? j. Angi styrkefunksjonen for testen i pkt. i.

Finn tilnærmet styrken når o2 =

100 g2. Sammenlign de to testmetoder.

Oppgave 159 (NTH, Ma 2, avd. IV og VII, våren 1968)

Motstanden i to typer metalltråd A og B skal sammenlignes. 8 like lange trådutsnitt velges

tilfeldig fra hver trådtype, og motstandene bestemmes for hvert utsnitt. Resultatene fra tråd­ type A og B betegnes henholdsvis:

Alle xij

A:

xn, X2l........... x81,

B:

Xt2• x22, .. . , X82.

i = 1, 2,..., 8; j = 1, 2, antas uavhengige og normalfordelte med samme varians

= 0.0004 og forventningsverdier EfXjJ = pt2, E(Xj2) = #2. i =1.2............ 8.

På grunnlag av observasjonsmaterialet skal en ta stilling til om pt - p 2 eller om p j ¥= p2.

-96-

Oppgave 160 - 161

Et rimelig testkriterium er åpenbart å forkaste hypotesen = /z2 når I Xt - X2 I > k, der 1 8 X; = -5 S Xii( j = 1, 2, og k er en passende valgt konstant. J o i=i u a. Bestem k slik at testen får signifikansnivå 0.10 og gjennomfør testen når obser­

vasjonsmaterialet er: A: 0.161, 0.159, 0.159, 0.159, 0.161, 0.163, 0.161, 0.160 B: 0.159, 0.158, 0.161, 0.160, 0.158, 0.158, 0.160, 0.159

b. Bestem styrkefunksjonen for testen som funksjon av 6 = jLq - M2, °9 skisser styrkefunksjonen.

Oppgave 160 (NTH,Ma 2,avd. IV, VI og VII, august 1968) Motstanden X i ohm hos en bestemt type elektriske resistorer (motstander) antas være nor­ malfordelt med forventningsverdi n ohm og standardavvik o = 2 ohm.

a. Bestem k slik at P(M-k < X < p+k) =

0.90

b. En resistor er ubrukbar for et bestemt formål dersom X < 98.3 eller X > 101.7.

Beregn sannsynligheten for at det blant 10 tilfeldig valgte resistorer skal være høyst en som er ubrukbar når p. = 100 ohm.

c. Anta at p. er ukjent. Utled et 95 % konfidensintervall for p basert på motstan­

dene X1 , X2..... Xs i 5 tilfeldig valgte resistorer. Beregn intervallet når ob­ servasjonene er henholdsvis 101.3, 102.7, 99.3, 99.8 og 100.9 (ohm).

Oppgave 161 (NTH, Ma 2, avd. IV, VI og VII, januar 1969)

For å anslå størrelsen av tyngdens aksellerasjon, g, utføres et eksperiment der en lar en kule falle fritt og måler distansen S kulen faller i løpet av et gitt tidsintervall tQ. Eksperimentet gjentas n ganger. De observerte verdier St , S2 , ...,

Sn

antas uavhengige og normal­

fordelte (^-gtQ2,a2).

a. Utled sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for g, og studer estimatorens egenskaper.

-97-

Oppgave 162

b. Anta først at o2 er kjent og lik o02. Utled et konfidensintervall forg basert på Si,

med konfidenskoeffisient 0.90. Hvis t0 = 2, hvor stor må da

S

minst n være for at lengden av intervallet høyst skal bli 1/2 o0? c. Anta dernest at a2 er ukjent. Utled under denne forutsetning et konfidensin­ tervall for g basert på Sj,. .., S .

Oppgave 162 (NTH, Ma 2, avd. Ill, IV, VI og VII, våren 1969) Strålingsintensitetene hos to radioaktive kilder Kj og K2 skal studeres. Tidsrommet (T) mellom utsendelse av en partikkel og neste (for Kj) antas kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet t

f(t;XJ

1

=

e

\ 1

= 0

,

t > 0,

,

t < 0 .

Tilsvarende tidsrom (U) for K2 antaes analogt være kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet

u

g(u;ÅJ

=

1 v-e Å2

=

0

^2

,

u > 0,

,

u < 0 .

Åj og X2 er to ukjente positive konstanter. Observasjonsmaterialet består av (m+n) uavheng­ ige observasjoner, Tlf T2, ..., Tm, Up..., Un, henholdsvis av T og U.

a. Beregn E(T) og Var(T) og vis at Z = ^— er x2-fordelt med 2 frihetsgrader M £ (dvs. har sannsynlighetstetthet h(z)

=

1 e 2 —

,

z > 0).

b. Xj skal estimeres på grunnlag av Tj, T2, ..., Tm. Bestem sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for Åj og studer dens egenskaper. Utledet d-7) konfi­ densintervall for Xj.

c. Det er av interesse å finne ut om det er grunnlag for en påstand om at X2 er mer enn dobbelt så stor som Xj. Forklar hvordan en kan ta stilling til påstanden på

grunnlag av observasjonene TJf T2, ..., Tm, Up ..., Up. Hva blir konklu­

sjonen dersom signifikansnivået velges lik 5 % og observasjonsmaterialet er

Kx:

(T)

3,7,13,5

K2:

(U)

13,17,5,25,15?

Oppgave 163 - 164

-98-

Oppgave 163 (NTH, Ma 2, avd. II, III, IV, V og VII, våren 1970)

Masseproduserte metall-ledd som senere skal settes sammen til kjeder, har vist seg å ha en bruddstyrke X som er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x,X) = ^xe

x>0

A

der Å er en ukjent positiv konstant som karakteriserer bruddstyrkekvaliteten.

Når n slike tilfeldig valgte ledd med bruddstyrker henholdsvis Xj,..., X

settes sammen

til en kjede, antas bruddstyrken (Y) av kjeden vaere lik den minste av X'ene. 2X2 a. Vis at Z = —— X

het h(z) = 2 e

i er X -fordelt med 2 frihetsgrader (dvs. har sannsynlighetstettz_

'

z > 0.

Utled deretter fordelingen for bruddstyrken (Y) av en slik kjede, og vis at også

er X2-fordelt med 2 frihetsgrader. A

b. Konstanten X skal estimeres på grunnlag av X!, ... , Xq. Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren blir X = jj- S Xj2, og sammenlign den med estimato-

ren X = nY2. c. Anta at en ønsker et konfidensintervall for X med konfidenskoeffisient (1-a).

Utled slike intervaller på basis av X og X, og sammenlign de forventede lengder av intervallene. Kommenter resultatet. Hvor stor må n være for at den forven*

tede lengde av intervallet basert på X høyst skal bli 2X, når a = 0.10?

Oppgave 164 (NTH, Ma 2, avd. II, III, IV, V, VI og VII, august 1970) 2 metoder A og B til bestemmelse av pH-verdi i en oppløsning skal sammenlignes. Det har

vært fremsatt en påstand om at B gjennomgående gir høyere verdier enn A, og en er inter­ essert i å finne ut om det er grunnlag for en slik påstand.

På hver av 9 forskjellige oppløsninger gjøres 2 uavhengige pH-bestemmelser, én med hver metode. pH-verdiene en bestemmer for oppløsning nr. j ved metodene A og B betegnes

henholdsvis Xj og Yj, j = 1, 2, . . . , 9. Differensene Dj = Yj - Xj, j = 1,2,. . ., 9; kan er­

faringsmessig antas uavhengige og normalfordelte (8,0.16) der 8 > 0, men forøvrig er ukjent. a. La Z betegne antall differenser Dj som er større enn 0. Vis at Z er binomisk fordelt;

P(Z = z) = ($) Øz (1-0)9’z

der 0 er avhengig av 8.

for z = 0, 1......... 9;

-99-

Oppgave 165

b. Gjør rede for at det er naturlig å behandle den foreliggende situasjon som en

hypotesetestingssituasjon der en tester

Ho:

6 = 0 mot 6 > 0.

c. To testmetoder er foreslått brukt: LDj > kj

Testmetode I :

Forkast Ho når D =

Testmetode II:

Forkast Ho når Z > k2.

Bestem k, og k2 slik at hver av testene får signifikansnivå 0.09.

Leder de to testmetoder til samme konklusjon dersom resultatet av forsøket

er som angitt nedenfor?

d. Finn teststyrken for metode I og II når 8 = 0.34.

Skisser styrkefunksjonene. Hvilken av testmetodene vil du anbefale brukt i den­ ne situasjon og hvorfor? 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Metode A: Xj

8.14

7.22

6.75

7.65

7.00

6.98

7.58

6.31

7.53

Metode B: Yj

7.89

7.46

7.29

7.63

7.37

7.41

7.92

6.59

7.49

Oppløsning nr. j

Oppgave 165 (NTH, Ma 2, avd. Ill, IV, VI og VII, våren 1971)

En bedrift som skal produsere en bestemt type fjærvekter, har fått de tilhørende skruefjærer fra en underleverandør. Dersom en tilfeldig valgt skruefjær belastes med v (gram), vil for­ lengelsen X (mm) av fjæren kunne oppfattes som en normalfordelt variabel med forvent­

ningsverdi /3• v (mm) og varians a2 (mm2).

For å kunne fremstille kraftskalaen må bedriften skaffe seg informasjon om størrelsen av (5. a. Anta at bedriften vil gjøre dette ved å belaste hver enkelt av 5 tilfeldig valgte fjærer med et 10 grams lodd, og estimere (3 på grunnlag av de tilhørende målte

forlengelser: Xlf X2, .. ., Xs. A

5

.

a

S Xj der konstanten k er slik at 0 blir forventj=1 1 A ningsrett. Bestem k, og finn variansen til 0 uttrykt ved o .

Som estimator velges j3 = k

b. Anta at bedriften istedenfor å gå frem som i a. belaster de 5 tilfeldig valgte fjærer med lodd som henholdsvis veier Vi, v2,. . ., vs og betegner de tilhøren­

de forlengelser Yt, Y2,. . . , Ys. (Ylr Y2,. . ., Ys antas altså uavhengige og

normalfordelte der E(Yj) = /3vj,

Var(Yj) = a2; j = 1,2,. .., 5.)

- 100-

Oppgave 166

Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren i dette tilfelle blir

Hvilken av estimatorene foretrekker du hvis Vj =6, v2 = 8, v3 = 10, v4 = 12 og v5 =14? c. Underleverandøren har også undersøkt skruefjærene og påstår at /3 = 0.5 og o2 = 0.15. Bedriften godtar at o2 =0.15, men vil undersøke om det er grunn

til å betvile påstanden om at j3 = 0.5. De utfører det forsøk som er beskrevet

i b. med de angitte verdier av vlf . . . , vs. Still opp en passende test og velg

signifikansnivå 5%. Skisser styrkefunksjonen for denne testen. Hva blir konklusjonen dersom forsøksresultatene er:

Belastning i gram (Vj):

6

8

10

12

14

Forlengelse i mm (Yj):

3.5

4.5

5.1

5.8

7.2

Finn på grunnlag av dette forsøket et 95% konfidensintervall for den forvente­ de forlengelse av en fjær som belastes med et 9-gramslodd.

Oppgave 166 (NTH, Ma 2, avd. Ill, IV, VI og VII, august 1971) Alkoholinnholdet i blod kan bestemmes ved en analysemetode med følgende egenskaper:

Dersom den virkelige alkoholkonsentrasjon er pt o/oo, kan analyseresultatet X oppfattes som en normalfordelt variabel med forventningsverdi n (promille) og varians 0.052 (pro­

mille2 ). Analyseresultater av forskjellige prøver kan videre antas uavhengige. Dersom fører av motorvogn har større alkoholkonsentrasjon i blodet enn 0.5 o/oo, regnes

han for å være påvirket av alkohol, dvs. skyldig i promillekjøring.

På en person som er mistenkt for promillekjøring tas to blodprøver som analyseres ved

nevnte metode. Måleresultatene betegnes Xi ogX2. a. Anta først at Domstolen fastslår at vedkommende er skyldig i promillekjøring Xj + Xn dersom X = ----- - ------

> kj , der kt er bestemt slik at en person med alkohol­

konsentrasjon < 0.5 o/oo får en sannsynlighet på høyst 0.01 for å bli kjent skyldig. Hvor stor er kj ?

b. Betegn det minste av resultatene Xj og X2 med Y. (Dvs. Y = min Xj, j = 1,2.)

- 101 -

Oppgave 167

Finn den kumulative fordelingsfunksjon for Y uttrykt ved den kumulative for-

delingsfunksjon for X. c. Anta at Domstolen i stedet for å gå frem som i a., fastslår at vedkommende er

skyldig dersom Y > k2, der k2 er bestemt slik at en person med alkoholkonsen­

trasjon < 0.5 o/oo får en sannsynlighet på høyst 0.01 for å bli kjent skyldig. Hvor stor er k2 ? d. Formuler Domstolens oppgave som et hypotesetestingsproblem der signifikans-

nivået velges lik 0.01, og etabler testene basert på henholdsvis X og Y.

Hvilken fortolkning får styrkefunksjonen her?

Skisser styrkefunksjonen for de to tester.

Oppgave 167 (NTH, Ma 2, avd. Ill, VI og VII, våren 1972) I et laboratorium har en to instrumenter A og B til måling av metallers hardhet. En vet at

A er mer nøyaktig enn B.

For å undersøke hardheten (p) av en legering, foretas n målinger med instrument A. En får observasjonene Xr, X2, .. ., X • • 2 ventning p og varians o .

som en antar er uavhengige, normalfordelte med for-

Dessuten foretas n målinger med instrument B. Disse observasjonene, Yj, Y2,..., Yn an­ tas uavhengige, normalfordelte med forventning p og varians 2o2. (De er også uavhengige av X'ene.) a. p skal estimeres på grunnlag av disse 2n observasjoner, og det blir foreslått å

bruke estimatoren g=|(X4-Y).

(X=lsXj,

Y=lSYj.)

Hva blir forventning og varians til denne estimatoren? Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for p blir

= * p

1 (2X4- Y)

og sammenlign denne estimatoren med p. b. Anta først at a2 er kjent og lik 0.62. En skal teste hypotesen Ho:

g = 60.0

mot

Hx:

p>60.0

Foreslå en testmetode, og skisser styrkefunksjonen for denne test når n = 6 og

signifikansnivået velges lik 1%. Hva blir konklusjonen dersom observasjonsmaterialet er:

- 102-

Oppgave 168

Xp

60.0

60.1

60.8

61.4

60.7

60.6

Yp

59.9

61.5

60.4

59.2

60.5

60.3

c. Anta nå at o2 er ukjent. Innfør Sj2 = —■* — n-1

S22 = —L- I (Y; - Y)2 n-1 i=1 1

S (X--X), i=1 1

Finn ved hjelp av kjente setninger fordelingen til Utled et 90% konfidensintervall for

ny-(S12+ |S22).

n

Beregn intervallet når observasjonsma­

terialet er som angitt i b.

Oppgave 168 (NTH, Ma 2, avd. Ill, VI og VII, august 1972)

To fabrikanter A og B produserer samme type kobbertråd. En er interessert i å undersøke

om det er noen forskjell på bruddstyrken på kobbertråd fra de to fabrikanter og har derfor målt bruddstyrken for et tilfeldig utvalg fra A's og B's produksjon. La Xlf X2,, . . , Xm

betegne bruddstyrke for et tilfeldig utvalg fra A's produksjon og Y,, Y2, . . ., Yp betegne bruddstyrke for et tilfeldig utvalg fra B's produksjon.

En antar at Xj, X2......... Xm,

Yj, Y2,. . . , Yn alle er uavhengige og normalfordelte og

at

E(Xj)=pA,

Var(Xj) = oA2,

i =1,2........... m

E(Yj)=MB,

Var(Yj) = Og2,

j = 1, 2...........n.

En skal undersøke differensen mellom de forventede bruddstyrker, dvs. 6 = a - - i m -in a. Visat6 = X-Y hvor X= — S X-ogY=- S Y- er en forventningsrett estim j=i 1 n j=i I mator for 6 og finn variansen til denne estimatoren. Hvordan ville du gå frem

for å finne et konfidensintervall for 6 hvis aA og Oq var kjente størrelser? b. Anta at aA2og Og2 er ukjente. En skal teste Ho :

aA2 = Oq2

mot

Hj :

oA2 + Og2.

Hva blir konklusjonen hvis testen skal ha signifikansnivå 5% og observasjons­

materialet er som angitt til slutt? c. Anta at oA2 = Og2, men ukjent. Hvordan ville du gå frem hvis du skulle under­

søke om det er noen grunn til å anta at kobbertrådene fra A har større brudd­ styrke enn kobbertrådene fra B? Foreta testen når signifikansnivået er 5% og observasjonsmaterialet er:

- 103 -

Oppgave 169

Fra A (Xj):

5110

5090

5120

5115

5105

5060

5075

Fra B (Yj):

5080

5050

5040

5045

5065

5090

5050.

5085

Oppgave 169 (NTH, 00514, avd. Ill, IV, VI og VII, desember 1972) En brødfabrikk fremstiller en bestemt type brød. Vektene av tilfeldig valgte brød har vist seg å kunne oppfattes som uavhengige og normalfordelte variable med forventningsverdi n gram og varians 100 gram2, p vil avhenge blant annet av steketid og av hvordan den maskin som sørger for deigporsjonering, er innstilt.

Ifølge forskriftene skal et brød som selges, veie minst 750 gram. Veier brødet mindre, be­ tegnes det som undervektig.

a. Anta først at p. = 760 gram. Hvor stor er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt brød skal være undervektig?

En husmor kjøper to brød. Hvor stor er sannsynligheten for at det tyngste av

disse skal veie mer enn 780 gram? Hvis en tenker seg at brødfabrikken har frasortert de undervektige brødene før brødene leveres til utsalg, hvor stor er da

sannsynligheten for at det tyngste av de to brødene veier mer enn 780 gram? b. Hvor stor må p minst være hvis sannsynligheten for at et tilfeldig valgt brød skal være undervektig, høyst skal være 0.001 ? c. Bedriften ønsker et intervallanslag for den ju-verdi en vil få med en gitt steke­ tid og en bestemt innstilling av porsjoneringsmaskinen.

La Xi, X2, . . . , Xn betegne vektene av n tilfeldig valgte brød, produsert un­

der de nevnte betingelser, og utled et 95% konfidensintervall for p. basert på disse vektene.

Hvilket intervall kommer en frem til dersom n = 4 og de 4 brødene veier hen­ holdsvis 765 gram, 786 gram, 788 gram og 783 gram?

Hvor stor må n minst velges for at konfidensintervallets lengde ikke skal over­

stige 7 gram? d. Prismyndighetene skal fra tid til annen føre kontroll med at brødene holder

den «foreskrevne» vekt. En er kommet overens om at produksjonen er tilfreds­ stillende bare hvis n > 780 gram. Som kontrollprosedyre er det foreslått at en bestemmer vektene Xlf X2,. . ., X5 av 5 tilfeldig valgte brød. På grunnlag av observasjonene skal en teste

Ho:

fl = 780

mot

Hi :

/^ o2.

Utled testen.

Hva blir konklusjonen hvis signifikansnivået er 5% og observasjonsmaterialet er som angitt i a.? c. Hva blir den tilnærmete styrke for testen når r2 = 32o2 ?

d. Gjør kort rede for hvilke modifikasjoner du ville gjøre ved løsning av probleme­

ne ovenfor hvis n var ukjent.

Oppgave 172 (NTH, 00514, avd. II og IV, våren 1974. Oppg. 1) Når prøver fra et og samme sted i en sølvåre analyseres med hensyn på sølvinnhold, fåes

analyseresultater som vi skal anta er uavhengige og normalfordelte med forventningsverdi

H (g/tonn) og varians o02 = 6400 (g/tonn)2. a. La X betegne én slik måling. Hvor stor må n være for at P(X>500) >0.25?

La Xj og X2 være to slike målinger. Hvor stor er sannsynligheten for at disse

skal avvike fra hverandre med minst 80 g/tonn? Nevnte sølvåre er ca. 40 m lang og rettlinjet. Prøver tatt på forskjellige steder langs åren

indikerer at sølvinnholdet i store trekk øker lineært fra den ene ende av sølvåren til den

andre. For å studere dette forhold nærmere, tar en ialt 11 prøver på forskjellige steder langs sølvåren og bestemmer sølvinnholdet i hver av disse. La Yj betegne målt sølvinnhold i den prøve som er tatt Sj meter fra den ende av åren der sølvinnholdet er lavest, j = 1,2, . . ., 11. Måleresultatene Yt,.. . , Yj j antas uavhengige og normalfordelte med samme varians

- 106-

Oppgave 172 forts.

(j02 = 6400 (g/tonn)2 og forventningsverdi

j = 1........... 11

E(Yp=Øo+ØiSj,

der j30 og fa er ukjente konstanter. b. Vis at bruk av minste kvadratsums prinsipp leder til estimatorene

Øo = Y-01S der s betegner-yy Ssj og Y = — SYj

Hvorfor vil bruk av sannsynlighetsmaksimeringsprinsippet i dette tilfelle lede til de samme estimatorer

og fa?

c. Beregn estimatene og fremstill den estimerte regresjonslinje grafisk når resulta­

tene av de 11 målingene er som angitt til slutt i oppgaven. d. Vis at 0! er forventningsrett og at VarfØ!) = a02 / S(s- - s )2.

e. Utled et konfidensintervall for fa med konfidenskoeffisient 0.90.

f. Angi en test for Ho:

fa = 15

mot

Øt > 15

basert på 3i • Velg signifikansnivå 0.10. Hva blir konklusjonen når resultatet av de 11 målingene er som angitt til slutt

i oppgaven? g. Utled og skisser styrkefunksjonen for testen i f.

Resultat av de 11 målingene:

prøve nr. j • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Til hjelp for regningen oppgis:

avstand s;

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

sølvinnhold Yj 19 22 16 40 194 369 274 335 365 512 698

s = 20, S(Sj-s)2 = 1760, SYj = 2844, SSjYj = 85166.

- 107 -

Oppgave 173 - 174

Oppgave 173 (NTH, 00514, avd. II og IV, våren 1974. Oppg. 2)

X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet fx(x) = e" (x-0) ,

x>0>0

= 0

ellers.

a. Vis at den momentgenererende funksjon til X er p0t Mx(t) = x 1 -t dert0 ellers

= 0

c. Vis videre at Z = 2n(Y-0) er X2-fordelt med 2 frihetsgrader, (dvs. at sannsyn__z lighetstettheten for Z er

1

e

"9

,

z>0).

Bestem E(Y) og Var(Y). d. 6 er ukjent og skal estimeres. Følgende estimatorer er foreslått: ■A I e = X - 1, 6 = Y - l. n

Hvilken av estimatorene foretrekker du, og hvorfor?

Utled til slutt sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 0 *

for 0.

Oppgave 174 (NTH, Ma 2B, avd. V, våren 1974)

Produsenten av en bestemt type medisinske tabletter merker tablettene med et tall

som

angir den mengde aktivt stoff hver tablett skal inneholde.

På grunn av ukontrollerbare variasjoner i produksjonsprosessen vil imidlertid det eksakte

innhold aktivt stoff i en tilfeldig valgt tablett ikke vaere Mo, men må oppfattes som en sto­ kastisk variabel X som er normalfordelt med (kjent) forventning Mo °9 ukjent varians a2.

Dersom det eksakte innhold av aktivt stoff i en tablett avviker mer enn O.1Mo fra Mo, ansees tabletten som »defekt». I motsatt fall ansees den som »i orden».

Det viser seg imidlertid ikke mulig å bestemme det eksakte innhold (X) av aktivt stoff i en tablett siden analysemetoden er beheftet med en målefeil Y som kan antas normalfordelt

- 108-

Oppgave 174 forts.

med forventningsverdi 0 og kjent varians r02 = 0.04. Om en betegner det målte innhold

aktivt stoff i en vilkårlig tablett med Z, vil en således ha at

Z= X +Y der X og Y oppfattes som uavhengige variable.

a. Beregn sannsynligheten for at tallverdien av målefeilen Y overstiger 0.2.

b. Anta at en velger en tablett tilfeldig og utfører to målinger av mengden aktivt stoff. Betegn målefeilene Yj og Y2 og gå ut fra at de er uavhengige.

Hvor stor er sannsynligheten for at gjennomsnittet av de to målefeilene i tall­ verdi skal overstige 0.2?

Hvis måleresultatene er Zj og Z2, hvorfor er da Zj - Z2 = Yj - Y2 ? c. Begrunn at Z blir normalfordelt og bestem E(Z) og Var(Z) = r?2.

d. La p, betegne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt tablett er »defekt». Be­ stem Pj, uttrykt ved

o og fordelingsfunksjonen

for en standard normal­

fordelt variabel.

e. En kontrollmetode går ut på å klassifisere en tablett som «defekt» hvis og bare

hvis målt innhold Z avviker mer enn 0.1/i0 fra Mo- La p2 betegne sannsynlighe­

ten for at en tilfeldig valgt tablett ved denne prosedyren vil bli klassifisert som «defekt». Bestem p2, uttrykt ved n0, o

og fordelingsfunksjonen 4>. Sammen­

lign pj og p2. Har du noen kommentar til hvordan denne klassifikasjon av tab­ lettene vil virke? f. Mengden aktivt stoff i n tilfeldig valgte tabletter måles, og analyseresultatene

betegnes Zx,. . ., ZR. En ønsker å anslå Var(Z) = r?2. Vis at bruk av sannsynlighetsmaksimeringsprinsippet leder til estimatoren

(t?2)* =

1 £ (Zj-Mo)2 n j=i 1

g. Hvordan kan en ved hjelp av (172 * ) estimere o2 ? Angi et konfidensintervall

for a2 med konfidenskoeffisient 1-a. h. Ved mottakelse av et stort parti tabletter skal det utføres en kvalitetskontroll som tar sikte på å vrake partiet dersom o2 > 0.05. Vis at det å teste

Ho':

ct2

= 0.05

mot

H/:

o2>0.05

Ht:

t?2>0.09.

er ekvivalent med å teste

Ho:

172 = 0.09

mot

La Zj, . . . , Z, 0 betegne målte mengder aktivt stoff i 10 tilfeldig valgte tablet-

Oppgave 175

- 109 -

ter fra partiet. Angi en test for Ho mot Hi basert på

10 S (Zj-go) • Velg sigm-

fikansnivå 0.01.

i.

La oss tenke oss at g0 = 2.025. Innfør p = P( IZ-g0

La N betegne antall observasjoner blant Zlf. . . , Z10 som i absoluttverdi avvi­ ker mindre enn 0.1 g0 fra MoHvilken fordeling har N?

Vis at det å teste Ho':

a2 = 0.05

mot

H/:

o2 > 0.05

: * H,

px a P(Xj=x) = — e , x!

x = 0,1,2..........

X=E(Xj)).

b. Verdien av Å er ikke kjent, men forsikringspremien er fastsatt ut fra antakelsen

at det blir gjennomsnittlig 6 utbetalinger pr. år. På grunnlag av verdien til X! vil en avgjøre om selskapet har grunnlag for å hev­

de at Å > 6. Sett opp nullhypotese og alternativ hypotese, og foreslå et testkriterium. Velg signifikansnivå 5%. Hva blir konklusjonen hvis Xj =11?

c. Beregn teststyrken i punktet Å = 10 for den oppsatte test. Skisser styrkefunk­

sjonen. d. La nå Xj betegne antall utbetalinger det j'te år (j = 1, 2, . . . , n). Anta at alle

X- er uavhengige og Poissonfordelte med samme forventning Å. Finn et rimeJ — 1 n lig testkriterium for hypotesen i b. basert på X = S Xj.

Bruk tilnærmelsen til normalkurven for å anslå hvor stor n må være for å opp­ nå en teststyrke på minst 0.90 for Å = 10.

(Hint: Var(Xj) = Å,

j = 1, 2........... n.)

Oppgave 210 (NLHT, S0, våren 1973. Oppg. 1)

Et bygningsfirma ønsker å sammenligne den lydisolerende evne til to typer lettvegger, A og B. Forsøket utføres med en støykilde som benyttes på ialt 8 forskjellige lydnivåer. For

hvert lydnivå observeres styrken av lyden som har trengt gjennom lettveggen. Dette skjer

for begge typer lettvegger, og de observerte verdier (i desibel) er: 1

2

3

4

5

6

7

8

Lydstyrke passert A

10.0

21.0

22.0

25.0

31.0

28.5

36.0

45.5

Lydstyrke passert B

9.5

22.5

17.0

27.0

23.5

31.5

29.0

41.0

Nivå

På grunnlag av tekniske vurderinger av veggene er det rimelig å anta at type B ikke har dår­

ligere isolasjonsevne enn A. Gir observasjonene grunnlag for å påstå at type B gjennomgående har bedre isolasjonsevne

enn A?

- 129 -

Oppgave 211 - 212

Formuler situasjonen som et hypotesetestingsproblem, hvor både hypotese, alternativ og testmetode stilles opp. Bruk signifikansnivå 10% på testen.

Oppgave 211 (NLHT, SO, våren 1973. Oppg. 2) En kunde blir tilbudt et vareparti på ialt 10 artikler. Det er fare for at enkelte av artiklene er defekte, og kunden er interessert i å kjøpe partiet bare hvis det inneholder færre enn 4

defekte artikler. Det er nokså tidkrevende å kontrollere hver enkelt artikkel. Kunden tar derfor en stikkprø­

ve på 4 artikler, og nøyer seg med å kontrollere disse. a. La r være antall defekte artikler i hele varepartiet, og la X betegne antall defekte artikler i stikkprøven. Hvilken sannsynlighetsfordeling har X?

Finn E( X) når r = 4. b. Kundens problem kan formuleres som et hypotesetestingsproblem, hvor man skal teste Ho :

r=4

mot alternativet:

r < 4.

Hvis hypotesen forkastes, vil kunden kjøpe varepartiet. Foreslå en test for Ho basert på X. Bestem testens kritiske verdi når det kreves et signifikansnivå på

10%. Kommer kunden til å kjøpe partiet hvis han finner 1 defekt artikkel i stikkprø­

ven? c. Hva er sannsynligheten for at kunden skal kjøpe et parti som inneholder akkurat

2 defekte artikler?

d. Skisser testens styrkefunksjon. e. Anta kunden bestemmer seg for å kjøpe partiet bare hvis han ikke finner noen defekte artikler i stikkprøven. Hvor stor måtte stikkprøvestørrelsen, s, velges

hvis han ønsket signifikansnivå 5% på testen?

Oppgave 212 (NLHT, SO, våren 1973. Oppg. 3) Ved en bedrift fremstilles en type apparater. Hvert apparat er sammensatt av to enkeltkom­ ponenter, og apparatet virker tilfredsstillende hvis og bare hvis begge komponentene er i or­

den. Ved produksjon av enkeltkomponenter antas alle komponentene å ha den samme sann­

synligheten, p, for å være defekt. Videre antas kvaliteten av komponentene å være uavhengig av hverandre.

Oppgave 213

- 130-

a. Hva er sannsynligheten for at et apparat skal virke tilfredsstillende?

b. Et apparat ble testet, og det viste seg at apparatet ikke fungerte tilfredsstillende.

Hva er nå sannsynligheten for at bare én av de to komponentene er defekt? c. Betrakt n apparater, og la X være antall av disse som ikke fungerer tilfredsstill­

ende.

Hvilken sannsynlighetsfordeling har X? Finn forventning og varians for X.

d. La U være antall av de n apparatene som inneholder bare en defekt komponent, og la V være antall apparater hvor begge komponentene er defekte.

Hva er simultanfordelingen til U og V? e. Anta at en undersøker 4 apparater og finner at ett apparat har en defekt kom­

ponent og ett apparat har begge komponentene defekt. Hva er sannsynligheten for dette resultatet hvis p = 0.2? f. Anta at 2 av de 4 apparatene er defekt. Hva er den betingede forventning til U

gitt X = 2?

Oppgave 213 (NLHT, SO, våren 1973. Oppg. 4) a. La T være en stokastisk variabel og 6 en konstant. Vis at E(T-Ø)2 = Var(T) +(ET -Ø)2.

b. La situasjonen være som i oppgave 212, og anta at bedriften er interessert i å

estimere defektsannsynligheten, p, for enkeltkomponentene. Anta at n apparater kontrolleres og at X betegner antall av disse som ikke fun-

gerer tilfredsstillende. Man kan da benytte estimatoren: A_ P

X 2n

Er p forventningsrett for p? Finn estimatorens varians.

c. E(p-p)2 kalles bruttovariansen til p og betegnes Brvar(p). I dette tilfellet vil

Brvar(p) være et bedre mål enn Var(p) på usikkerheten ved bruk av estimatoren p for p. Hvorfor? Gi en kort begrunnelse. Benytt pkt. a. til å finne Brvar(p).

d. Anta p < 0.2 og n = 100. Hva er da den største verdien Brvar(p) kan anta?

Oppgave 214-215

- 131 -

e. Det kommer også forslag om at man skal studere nærmere de apparatene (X) som viser seg å være defekte. Hvert av disse apparatene utsettes for 2 nye kon­ troller, en av hver enkeltkomponent.

La Y være antall defekte enkeltkomponenter man finner ved denne kontrollen. Vis ved direkte resonnement at Y er binomisk fordelt (2n,p), og benytt dette

til å finne forventning og varians for estimatoren

2n r»

Hva er Brvar(p)? Beregn den største verdien Brvar(p) kan anta når p0.2.

a. Anta at n = 10 artikler produseres, og la X være antall av disse som blir klassifi­

sert som B-kvalitet. Hvilken sannsynlighetsfordeling har X? b. Foreslå en test for Ho basert på X. Bestem testens kritiske verdi når det kreves et signifikansnivå på 10%. Vil bedriften konkludere med at p > 0.2 hvis den ob­

serverer X = 4?

c. Anta at p har øket til 0.4. Hva er sannsynligheten for å oppdage dette når vi bruker testkriteriet under pkt. b.?

Skisser testens styrkefunksjon.

Oppgave 218 (NLHT, S0, våren 1974. Oppg. 1)

I et lotteri er det ialt 100 lodd , hvorav 10 lodd

gir gevinst.

a. En person kjøper ett lodd i dette lotteriet. Hva er sannsynligheten for at loddet skal gi gevinst?

b. Anta personen kjøper 3 lodd. Hva er sannsynligheten for at han skal vinne på

Oppgave 219

- 134 -

minst ett av loddene? c. Finn sannsynligheten for at akkurat 1 av de 3 loddene skal gi gevinst.

d. Anta at personen vant på akkurat 1 av de 3 loddene. Hva er da sannsynligheten for at det var det første loddet han kjøpte som ga gevinsten?

Oppgave 219 (NLHT, SO, våren 1974. Oppg. 2)

Til bestemmelse av pH-verdien i oppløsninger benyttes målemetoder som er beheftet med

usikkerhet. Det kan også tenkes at målemetoden systematisk gir for høye eller for lave ver­

dier. To målemetoder, A og B, skal sammenlignes idet man tviler på at de gjennomgående gir samme verdier.

Man har ialt 15 forskjellige oppløsninger. På hver av disse foretas 2 pH-bestemmelser, en med hver metode. Man får dermed observasjonsresultatet:

oppi, nr

pH-verdi metode A

pH-verdi metode B

5.20

5.25

5.90

5.82

5.83

6.00 6.50

5

6.23 6.30

6 7

6.42 6.88

8

7.20 7.05

6.90

10 11 12

7.08

7.20 7.55

13 14

7.92 8.10

8.42

15

8.25

8.70

1 2

3 4

9

7.22 7.85

6.70 6.40 6.64 7.02

8.20

7.72

Man har på forhånd ingen formening om hvilken av de to metodene som eventuelt gir høy­ est verdier, og vil derfor teste hypotesen H: A og B gir gjennomgående de samme verdier mot alternativet A: Metode B gir gjennomgående enten høyere eller lavere verdier enn meto­ de A.

Benytt en Wilcoxontest til å teste H. Gir observasjonene grunnlag for å forkaste H på 10%-nivået?

Oppgave 220 - 221

- 135 -

Oppgave 220 (NLHT, SO, våren 1974. Oppg. 3)

I en større befolkning foretas en meningsmåling med sikte på å finne ut hvor stor andel av befolkningen som er tilhengere av en bestemt reform. Anta at befolkningen består av N

stemmeberettigede personer, og at den faktiske andelen tilhengere blant disse er 9. I alt n personer velges tilfeldig og spørres. La X betegne antall tilhengere av reformen blant disse. a. Hvilken sannsynlighetsfordeling har X?

Hva blir E(X)?

b. Hvilke krav må være oppfylt for at sannsynlighetsfordelingen for X kan tilnærmes til en binomisk fordeling? Anta i resten av oppgaven at disse kravene er oppfylt. A

c. Foreslå en forventningsrett estimator, 9, for 6. Hva blir estimatorens varians? A

d. Meningsmålingsinstituttet ønsker at standardavviket til 9 skal være høyst lik 0.05 uansett hvilken verdi 9 har. Hvor mange personer, n, må da spørres?

e. Man regner med at en del av befolkningen ikke har tatt standpunkt til reform­

en. Ved meningsmålingen har man derfor tre svarmuligheter: tilhenger, mot­ stander og vet ikke. La Y betegne antall motstandere blant de spurte, mens X

fortsatt betegner antall tilhengere. La videre ø være andelen av den stemmebe­

rettigede befolkning som er motstandere av reformen. Finn simultanfordelingen for X og Y.

f. På grunnlag av denne meningsmålingen er man interessert i å anslå differensen

8 =0 -ø. Foreslå en forventningsrett estimator for 8. Finn estimatorens varians (uttrykt ved n, 9 og ø).

Oppgave 221 ( NLHT, SO, våren 1974. Oppg. 4) La X betegne antall trafikkuhell pr. måned på en bestemt veistrekning. Det har vist seg ri­ melig å anta at X er Poissonfordelt med forventningsverdi 7.

a. Hva er sannsynligheten for at det en måned ikke skal forekomme noen trafikk­

uhell på denne veistrekningen? Finn sannsynligheten for at X skal være større enn 4.

Myndighetene synes at antall trafikkuhell på denne veistrekningen er urimelig høyt. Det

- 136-

Oppgave 222

settes derfor i verk tiltak (lysregulering, skilting osv.) med sikte på å bedre trafikksikker­

heten. En stund etterat tiltakene er gjennomført, observeres antall trafikkuhell i løpet av en må­ ned. Det viser seg da å forekomme ialt 4 trafikkuhell.

b. Anta fortsatt at antall trafikkuhell er Poissonfordelt, nå med ukjent forvent­

ningsverdi Å. En vil undersøke om det observerte antallet gir grunnlag for å påstå at Å< 7. Formuler problemet som et hypoteseprøvingsproblem, og still opp hypotese,

alternativ og testmetode. c. Utfør testingen under pkt. b. når signifikansnivået er a = 0.10.

Hva blir testens kritiske verdi?

Hva blir signifikanssannsynligheten når observert verdi er 4? d. Anta at tiltakene har ført til at Å nå er lik 5. Hva er da sannsynligheten for at

man ved denne testen skal oppdage at Å har sunket?

Oppgave 222 (NLHT, S1, gammel ordning, våren 1971. Oppg. 1)

I forbindelse med en kjemisk prosess observeres en tilfeldig variabel Y med sannsynlighetstetthet fY(Y)=2“^' 6

0 x)

b. I løpet av bussens oppholdstid på stasjonen ankommer ytterligere Y personer.

Anta at Y er geometrisk fordelt med parameter Finn E(Y) og Var(Y), og beregn den kumulative fordelingsfunksjon til Y.

c. Vi skal i det etterfølgende anta at X og Y er uavhengige. Under hvilke beting­ elser kan en slik antakelse synes å være realistisk? Vis at antall ankommende

personer mellom to etterfølgende bussavganger er geometrisk fordelt med pa­ rameter p.

d. En har n uavhengige observasjonspar av X og Y. La M betegne antall av disse

Oppgave 224

- 138 -

observasjonspar der X + Y > 0. Hvilken fordeling har M?

En foreslår følgende to estimatorer for p: A

1

Pi =

2 Y., n j=i ।

r)

& 4 M.

Hvilken av disse to estimatorer bør foretrekkes? e. En vil på grunnlag av ett observasjonspar (X,Y) teste nullhypotesen H o:

p < 0.6

mot

Ht:

p>0.6.

Følgende to testmetoder er foreslått:

Metode 1:

Forkast Ho når Y > 1 og samtidig X > kj.

Metode 2:

Forkast Ho når X + Y > k2.

Bestem k, og k2 slik at begge metoder får nivå 5%. Finn styrkefunksjonene, skisser disse, og kommenter resultatet.

f. Anta at ankomsten av personer til holdeplassen følger en Poissons punktpro-

sess med parameter Å. La videre bussens oppholdstid på holdeplassen, T, ha sannsynlighetstetthet

h(t) = pe"^,

t>0.

Vis at fordelingen til Y i så fall blir som angitt i punkt b., når en setter

Oppgave 224 (NLHT, S1, gammel ordning, desember 1972. Oppg. 1)

Det settes i verk en intervjuundersøkelse for å få rede på hvor stor andel, d, av den norske

befolkning som driver med hjemmebrenning. Spørsmålet man ønsker å stille lyder: »Har De i løpet av det siste året drevet med hjemmebrenning?» Imidlertid regner man med at mange personer vil svare benektende til tross for at det sanne svaret er ja. Derfor benyttes

følgende fremgangsmåte. Intervjueren har med en rettferdig terning hvor det er skrevet

Ja på fire av sidene og Nei på de to andre. Intervjupersonen blir bedt om å kaste terningen og svare på om resultatet av terningkastet er det samme som det riktige svaret på spørsmå­

let ovenfor. Siden ingen andre enn intervjupersonen får se resultatet av terningkastet, reg­

ner man med at intervjupersonen svarer korrekt på dette spørsmålet (om overensstemmelse eller ikke).

a. La 9 være sannsynligheten for at en vilkårlig person skal drive med hjemme-

- 139-

Oppgave 225

brenning. Vis at sannsynligheten for at det skal bli overensstemmelse mellom resultatet på terningkastet og svaret på spørsmålet, er lik

+ø) b. Hva er sannsynligheten for at personen driver med hjemmebrenning hvis han

svarer at det er overensstemmelse? c. Hvis personen foretar 3 kast som alle resulterer i overensstemmelse, hva er da

sannsynligheten for at han driver med hjemmebrenning? d. Av befolkningen velges tilfeldig ut n husstander og alle blir intervjuet på den

beskrevne måten. La X være antall personer som svarer at terningkastet resul­ terer i overensstemmelse. Under hvilke forutsetninger kan man gå ut fra at X

er (tilnærmet) binomisk fordelt?

Anta forutsetningen i punkt d oppfylt. e. Foreslå en forventningsrett estimator for 9. Bestem estimatorens varians. Har

du noen innvendinger mot estimatoren? f. I stedet for den beskrevne terningen kan man benytte en terning med Ja på fem av sidene og Nei på den sjette. Foreslå en forventningsrett estimator for 0 i det­ te tilfellet. Hvilken av disse to terningene bør man benytte ved intervjuunder­ søkelsen?

Oppgave 225 (NLHT, S1, gammel ordning, desember 1972. Oppg. 2) Kvaliteten av en masseprodusert artikkel kan angis ved en størrelse X. Alle artikler med

X < a frasorteres som defekte, og fordelingen til X blant de brukbare artikler er gitt ved

P(X a >0

a. Produsenten utvelger seg en verdi b > a, og samler alle artikler med X > b i en

gruppe (A-kvalitet), mens de øvrige artikler (med a < X < b) sies å være av Bkvalitet. Finn fordelingen til X i begge grupper.

b. Fra et stort parti med A-kvalitet trekkes tilfeldig n artikler. De observerte kva­ liteter på disse: Xj, X2, . . . , Xn kan oppfattes som uavhengige og identisk for­

delte. La Y være den minste av X-ene. Vis at Y har sannsynlighetstetthet

fY(y) =

3nb3n y3n *i '

y > b.

Mottakeren av partiet vil estimere b på grunnlag av disse observasjonene. Som estimator bruker han

- 140-

Oppgave 226

b= (1 - —)Y. 3n

Vurder egenskapene til denne estimatoren. c. Mottakeren påstår b = 1. Gir stikkprøven grunnlag for å påstå b > 1, hvis n = 3

og Xj = 1.4, X2 = 1.3 og X3 = 1.7? Bruk nivå 5%, og skisser styrkefunksjonen. Produsenten ønsker en sannsynlighet på minst 95% for å påstå b> 1 hvis b =1.1. Hvor mange observasjoner må da stikkprøven bestå av?

d. Konstruer et (1 -e)-konfidensintervall for b.

Oppgave 226 (NLHT, S1, gammel ordning, desember 1972. Oppg. 3) De 2n observasjonene Xy, i = 1, 2; j = 1, 2,. . . , n antas alle uavhengige og normalfordelte. Vi har

EXij =

+

og var X- = o2. Her er tj, t2,. . . , tp kjente tall; mens a, (3 og a2 er ukjente parametre.

Regresjonslinjen for X m.h.p. t skal estimeres og det er foreslått to metoder: Metode I:

Beregn Xj = ^(Xij + X2j), og bestem linjen ved å minimere

Q. = S (Xj -a-/3(t- -t) )2 1 j=1 J J

Metode II: Bestem linjen ved å minimere O2 =

n 2 _ 2 2 (Xji-a-fltj-t) )2 j=1 i=1 IJ J

a. Vis at begge metodene fører frem til den samme linjen.

b. Foreslå forventningsrett estimator for o2 -

- én basert på metode I og én basert på metode 11. Hvilken av disse bør man benytte?

c. Hvordan kan man finne et (1 -e) konfidensintervall for $•?

- 141 -

Oppgave 227 - 229

Oppgave 227 (NLHT, S1, våren 1974. Oppg. 1) a. Hvilke krav må en stille til hendelsene Aj, A2, A3 og B for at

P(B) = P(BlA1)-P(A1)4-P(BlA2)-P(A2)4-P(BlA3)P(A3). Bevis setningen under disse forutsetninger.

b. Anta at en vet at P(B IA) = 0.5 og * P(BIA ) = 0.2. Vis at da er 0.2 < P(B) < 0.5.

c. Hvor stor er P(AlB) dersom en i tillegg til opplysningene i b. får vite at P(A) = 0.4?

Oppgave 228 (NLHT, S1, våren 1974. Oppg. 2) På en skole er det 3 sjetteklasser. Klasse 6A har 12 elever, 6B har 12 elever og 6C har 10 elever. Et elevutvalg på 3 medlemmer velges tilfeldig blant de 34 elevene.

a. Hva er sannsynligheten for: i)

Alle tre kommer fra 6A.

ii)

To kommer fra 6A og én fra 6B.

iii)

Det kommer én fra hver klasse.

b. La X være antall elever fra 6A og Y antall elever fra 6B. Finn den simultane sannsynlighetsfordeling for X og Y.

c. Hva blir de marginale fordelinger for X og for Y? Finn E(X), E(Y) og Cov(X,Y).

d. Bestem de betingede fordelinger for X når Y = y og bestem E(X IY = y). Bestem E(E(XlY) ) og sammenlign med E(X). Kommenter resultatet.

Oppgave 229 (NLHT, S1, våren 1974. Oppg. 3)

En maskin lager kuleformete glassperler. Diameteren (D) av kulene antas normalfordelt med forventing 2.0 cm og standardavvik 0.5 cm. Størrelsen på en kule er uavhengig av

størrelsen på de andre.

a. i)

ii)

Hva er sannsynligheten for at en kules diameter er mindre enn 1.5 cm? Hva er sannsynligheten for at forskjellen mellom to kulers diametre er mer

enn 0.5 cm?

Oppgave 230

- 142 -

b. De kuler som har diameter mindre enn 1.5 cm betegnes som defekte. Hva er sannsynligheten for at en eske som inneholder 100 kuler har mer enn

11 defekte? (Bruk tilnærming til normalfordelingen.) c. Hvis en kasserer de kuler som er defekte, hva er sannsynligheten for at en ikkekassert kule har diameter mindre enn 2.1 cm? Hvis en tilfeldig velger ut 15

blant de ikke-kasserte kuler, hva er sannsynligheten for at akkurat 8 av disse

har diametre som er mindre enn 2.1 cm? d. Vekten av en kule V (gram) kan uttrykkes v.h.a. kulens radius R (cm) og ma­ terialets egenvekt som vi antar 2.39 (g/cm3). Vi har da at

V = 2.39 | 7tR3. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kule veier mer enn 10 gram når

diameteren har samme fordeling som i begynnelsen av oppgaven?

Oppgave 230 (NLHT, Sl, våren 1974. Oppg. 4)

En forretning er interessert i å undersøke salget av en bestemt artikkel. En antar at antall

artikler (X) som blir solgt pr. dag er Poissonfordelt med parameter 2, dvs. 2X

-2

px(x) = £_ e 2

for

x = 0, 1, 2,. ..

En antar også at salget en dag er uavhengig av salget de andre dagene. a. Hva er sannsynligheten for at forretningen en dag selger mer enn 2 artikler ? Hva er sannsynligheten for at det gjennomsnittlige salg i løpet av 3 dager er mindre enn 2 artikler?

b. En antar at en artikkel som blir solgt en dag har samme sannsynlighet for å bli solgt når som helst i forretningstiden som er fra kl. 9°° til 17°°. La Y betegne tiden (i timer) fra kl. 9°° til artikkelen blir solgt. Hva blir sannsyn­

lighetstettheten til Y? c. Anta at antall artikler X(>0) som blir solgt en dag er gitt og la T være tiden fra 9°° til den første artikkel blir solgt. Hva blir sannsynlighetstettheten til

T under denne betingelse? d. La X ha samme fordeling som i pkt. a., og sett T = 8 hvis ingen artikler blir solgt. Finn fordelingen til T under disse forutsetninger.

Oppgave 231

- 143 -

Oppgave 231 (NLHT, S2, desember 1973. Oppg. 1)

For å sammenligne nøyaktigheten av to måleinstrumenter A og B skal det foretas gjentatte målinger av en kjent størrelse pi. Måleresultatene med A betegnes Xj,. . ., Xm, måleresul­

tatene med B betegnes Yi, . . . , Y . Erfaringen tilsier at samtlige måleresultater kan antas uavhengige og normalfordelte, E(Xj) = p,

Var(Xj) = o2,

i=1,...,m

E(Yp=M,

Var(Yj)=r2,

j=1......... n

a2 og r2 tas som uttrykk for de respektive målenøyaktigheter og er ukjente. a

1 Begrunn at — a2

m S (X: - m) i=1 1

n . J_ mS(Yj-M)2 °

er x2-fordelt med m frihetsgrader og videre at

er F-fordelt med henholdsvis m og n frihetsgrader.

b. Benytt resultatet i a. til å utlede et konfidensintervall for — o2

med konfidens-

koeffisient (1 -a). Bestem intervallet numerisk når m = 5, n = 4, p = 2 og ob­

servasjonsmaterialet er: X-:

2.06,

2.02,

1.97,

2.01,

Yp

1.86,

2.10,

2.00,

2.12

1.95

Velg konfidenskoeffisient lik 0.95.

c. Gjør rede for hvordan du vil gå frem for å teste

Ho:

o2 = r2

mot

Hj:

a2 :

27100,

24600,

25100,

20300,

21400

P2:

24500,

17900,

18400,

19900,

20100.

Velg signifikansnivå lik 0.05.

Oppgave 233 (NLHT, S2, desember 1973. Oppg. 3)

Xi, . . ., Xn antas være uavhengige og kontinuerlig fordelte med sannsynlighetstetthet f (x) =

,

= 0

x>0

ellers

6 er ukjent og skal estimeres.

a. Vis at bruk av momentprinsippet leder til estimatoren a -i n — 0 = - Z X- - 1 = X -1 n J=i J

b. Vis at bruk av sannsynlighetsmaksimeringsprinsippet leder til estimatoren * 0

= U, der U er den minste av X'ene, dvs. U = min X-. A j J

c. Undersøk egenskapene for 0 og 0 .*

d. Hvis estimatorene ikke er forventningsrette, skal en søke å korrigere skjevheten. Hvilken av de to (eventuelt korrigerte) estimatorer vil du foretrekke, og hvorfor?

e. Bestem et konfidensintervall for 0 med konfidenskoeffisient (1-a).

-145-

Oppgave 234

Oppgave 234 (NTH, 00514, 00515, 00516, desember 1974. Oppg. 1)

En fabrikk har to pakkemaskiner A og B. La X1; X2,..., Xm betegne vektene av m

tilfeldig valgte pakker fra A, mens Ylr Y2,..., Yn betegner vektene av n tilfeldig valgte pakker fra B.

X!,..., Xm,..., Yn antas uavhengige og normalfordelte med samme varians a2. a. Anta at E(Xj) = 1 kg, i = 1,.., m, E (Yj) = 2 kg, j = 1,..., n. o2 = 0.0016 (kg2).

Hva er sannsynligheten for at:

en pakke fra A veier mindre enn o.95 kg?

forskjellen i vekt mellom en pakke fra A og en fra B er mer enn 0,9 kg? I punktene b), c) og d) er det gjort følgende forutsetninger: E(Xj) =n, i = 1,2,..,m, E(Yj) = 2jU, j = 1..... n og o2 =0.0016.

p er ukjent og skal estimeres ved hjelp av X],..., Xm Yj,..., Yn. b. Som estimator for n er foreslått M = 1(X+Y).

Vis at estimatoren er forventningsrett og finn dens varians.

c. Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren * )for (/t

Hvilke egenskaper har

*?

p.

Hvilken av estimatorene /u og p * vil du foretrekke

hvis m=n? Begrunn svaret.

d) Utled et 95% konfidensintervall for /2. e) Sett nå E(Xj) = m, i = 1,...,m og E(Yj) =p2, j = 1.... n. Anta at både Mi og

grunn til å hevde at

er ukjente og at en skal undersøke om det er noen

er forskjellig fra 2^i. Formuler problemet som et

problem i hypotesetesting. Angi en rimelig test og vis hvordan du vil utføre

testingen når a2 = 0.0016 og signifikansnivået er 5%. f) Anta at situasjonen er den samme som i e) bortsett fra at o2 er ukjent.

Hvordan ville du da gå frem ved testing av hypotesen? Hva blir konklusjonen dersom resultatet av forsøket er:

Xj:

1.04

1.02

1.00

1.06

0.98

Yp

2.02

1.98

2.03

1.94

1.98

Bruk 5% signifikansnivå.

Oppgave 235 - 236

- 146-

Oppgave 235 (NTH, 00514, 00515, 00516, desember 1974. Oppg. 2)

Som et ledd i en trafikkundersøkelse teller en opp antall personer som en vanlig hverdag ankommer til en bussholdeplass mellom kl. 8.00 og 8.15. Dette antall, X, antas være

Poissonfordelt med parameter Å. Antall personer som ankommer i nevnte tidsrom en dag er uavhengig av antall som ankommer andre dager.

a. Anta først at Å = 3. Hva er sannsynligheten for at høyst 2 personer ankommer

i nevnte tidsrom på én dag? Hva er sannsynligheten for at høyst 4 ankommer hvis en har registrert at det kommer minst 3 personer?

b. Utled en test for hypotesen

(1)

Ho :X 3 basert på

én observasjon, X. Bruk signifikansnivå 5%.

Hva blir konklusjonen hvis X = 6? Finn teststyrken for Å = 8 og skissér

styrkefunksjonen. c. La Xj betegne antall personer som kommer til bussholdeplassen mellom 8.00

og 8.15 på dag i, i = 1,2,3,4,5. Utled en test for hypotesen (1) basert på Xi,..., Xs. Hva blir konklusjonen hvis tellingene ga følgende resultat: X,: 6,3,5,4,7. Bruk samme signifikansnivå som i b).

d. Finn tilnærmet styrke for denne testen når Å = 8 (bruk tilnærming til

normalfordelingen).

Sammenlign

denne

teststyrke

med

den tilsvarende

teststyrke i punkt b). Oppgave 236 (NTH, 00514, mai 1975. Oppg. 1) 2 metoder A og B til bestemmelse av nikkelinnholdet i stål skal prøves på en bestemt

ståltype. En foretar 4 analyser med metode A og antar at resultatene Xi,..., X4 er uavhengige, normaltfordelte, E(Xj) = Mi og Var (Xj) = 0.0008 , i = 1,2,3,4. Deretter foretar en 5 analyser med metode B. Resultatene Ylf...f Ys er uavhengige,

normalfordelte, E(Yj)

°g Var (Yj) = 0.0010 , j = 1,2,3,4,5.

Mi og M2 er ukjente. a. Foreslå en forventningsrett punktestimator for Mi — M2 •

Hva er dens varians?

- 147 -

Oppgave 237

b. En er interessert i å undersøke om metode A gjennomgående gir høyere

verdier enn B. Formuler problemet som et hypotesetestingsproblem og utled en testmetode. c. Hva blir konklusjonen når signifikansnivået er 0.05 og observasjonsmaterialet er:

Metode A:

%Ni

(XJ

3.26

3.30

3.28

3.32

Metode B:

%Ni

(Yj)

3.22

3.27

3.25

3.23

3.28

d. Finn styrkefunksjonen for testen og skisser denne, når signifikansnivået er

0.05. e. En antar nå at Var(Xj) = a2,i = 14 og Var(Yj) = r2, j = 15 hvor a2 og r2 er ukjente. Utled et 95% konfidensintervall for forholdet o2/r2.

Hva blir den numeriske verdi av dette intervallet for observasjonsmaterialet i

pkt. c)? Oppgave 237 (NTH, 00514, mai 1975. Oppg. 2)

En betrakter utsending av partikler fra et radioaktivt stoff. En sirkulær skive med radius r

er plassert slik at den oppfanger de utsendte partikler. La X være avstanden fra en partikkels treffpunkt til skivens sentrum. Anta at X er en

stokastisk variabel med følgende fordelingsfunksjon: 2

Fx (x) = P(X < x) =

irr

2

r

for 0 < x < r.

a. Bestem E(X) og Var(X).

r skal estimeres ut fra n observasjoner Xi, X2,...,Xn, og en antar at X-ene er uavhengige med fordelingsfunksjon som ovenfor. _ i n b. En estimator r = k X hvor X = — X n j = 1

X;, er foreslått, J

Hvilken verdi må k ha for at estimatoren skal bli forventningsrett? Finn for denne verdi av k estimatorens varians.

La Y betegne den største av de n observasjonene, dvs. Y = Max Xj

Oppgave 238

-148-

c. Finn fordelingen til Y og bestem E(Y). d. Lag en forventningsrett estimator for r basert på Y. Ville du foretrekke denne estimator fremfor estimatoren i b). Begrunn svaret.

e. Hva blir sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (S.M.E.) for r? Oppgave 238 (NTH, 00522, august 1975. Oppg. 1) Bremseegenskapene ved en bestemt type biler skal undersøkes, og forsøkene gjøres slik at resultatene for forskjellige biler blir uavhengige.

En forutsetter at en tilfeldig valgt bil av ovennevnte type som kjører med en fart av 10 - r

km/time, har en bremselengde på Y meter, hvor Y er en stokastisk variabel med følgende

egenskaper:

(1)

_2

Y er normalfordelt, E(Y) = 2 r2, Var(Y) = (^æ)2.

a. Hva er sannsynligheten for at en bil av denne type som kjører 60 km/time (dvs. r=6), har en bremselengde på mer enn 17 meter?

b. Hvis én bil kjører med 60 km/time og en annen bil med 40 km/time, hva er da sannsynligheten for at den første har mer en dobbelt så stor bremselengde som den andre?

En tviler på om modell (1) er realistisk og vil derfor undersøke om den forventede bremselengde for biler som kjører med 60 km/time, er forskjellig fra 18 meter. En foretar

prøver med 9 forskjellige biler med denne hastighet, og en antar at bremselengdene Ylr

Y2,..., Y9 er uavhengige og normalfordelte. Observasjonene blir: Y,:

18.4

17.6

18.9

18.3

19.3

17.7

18.1

19.0

18.3

c. Anta at Var(Y) = 0.92. Gir da disse observasjonene grunn til å tro at den forventede bremselengde er forskjellig fra 18 meter? Bruk en test med 5% signifikansnivå. d. Skisser styrkefunksjonen for testen i pkt c).

e. Hvis en antar at både E(Y) og Var(Y) er ukjente, hvordan kan en da lage et

95%

konfidensintervall

for

Var(Y)?

Hva blir den

numeriske verdi av

intervallet for observasjonsmaterialet ovenfor? f. Vi antar nå at modellen i (1) er riktig. For en bil av ovennevnte type har vi

målt en bremselengde på 35 meter.

- 149 -

Oppgave 239 - 240

En vil teste om det er grunn til å tro at bilen hadde en fart som var større enn 80

km/time.

Hva blir

konklusjonen hvis en skal

ha en test med 1%

signifikansnivå? Oppgave 239 (NTH, 00522, august 1975. Oppg. 2) For å undersøke hvor stor del av sykkelparken som er utstyrt med lykt, kontrolleres 10

tilfeldig valgte sykler. La Z betegne antall sykler av de 10 som har lykt.

a.

Hvilke forutsetninger må en gjøre for at Z skal være binomisk fordelt?

b. Anta at forutsetningene i a) er oppfylt. Hvis sannsynligheten for at en

vilkårlig valgt sykkel skal ha lykt er 0.7, hva er da sannsynligheten for at

minst 8 av 10 sykler skal ha lykt? c. Finn den momentgenererende funksjon til Z og bestem ut fra denne E(Z) og

Var(Z). Oppgave 240 (NTH, 00514, 00515, 00516, desember 1975. Oppg. 1)

Trafikktettheten på vei A skal undersøkes. Tiden mellom to etterfølgende bilpasseringer betegnes X (i sek.). Når en begrenser seg til vanlige hverdager mellom kl. 12.00 og 14.00 har en erfaring for at sannsynlighetstettheten til X vil være gitt ved

(1) fy ;x) = x (i

e

x 0 for x > 0.

a. Vis at Z er 2X er x2 -fordelt med 4 frihetsgrader, (x2). Bruk dette til å finne

E(X) og Var(X). Forklar hvorfor det er rimelig å si at trafikktettheten er

omvendt proporsjonal med j3. b. Vi har foretatt n observasjoner, Xi, X2,...,Xn. Disse antas å være uavhengige med fordeling (1). Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (S.M.E) for

(i. Betegn denne med */J og undersøk dens egenskaper. c. Anta først at vi har så mange observasjoner at * 0 kan antas å være tilnærmet normalfordelt. En skal teste hypotesen

Ho:0> 15mot Hj :0< 15 Bruk 1 % sign.nivå. _ Hva blir konklusjonen hvis n = 200 og X =

i zUU

200 S Xj ~ 24? j = 1

d. Beregn styrkefunksjonen for testen i c) (bruk normaltilnærmelsen) og skisser

denne for n = 200.

Oppgave 241

- 150-

e. Anta nå at en bare har 6 observasjoner av X og at det derfor ikke er grunnlag for å tilnærme til normalfordelingen. Finn et eksakt 95% konfidensintervall

for 3- Hva blir intervallet når en har flg. observasjoner Xj:

20

64

8

26

5

43.

f. En er interessert i å undersøke om trafikktettheten på vei A er større enn på

en annen vei B. La Y være tiden mellom to etterfølgende bilpasseringer på vei B i tidligere nevnte tidsrom og anta at Y har sannsynlighetstetthet

(

y

y(vI

=

-Y

e

for y >

En har foretatt 5 uavhengige målinger på denne veien og fått flg. observasjoner Yj:

36

58

27

58

127.

Gir disse 5 målinger samt de 6 målinger i e) grunnlag for å påstå at

trafikktettheten er større på vei A enn på vei B? Velg 5% signifikansnivå for testen.

Oppgave 241 (NTH, 00514, 00515, 00516, desember 1975. Oppg. 2) En eske inneholder 10 lyspærer hvorav 2 er defekte. En kunde velger tilfeldig ut to lyspærer. (En ad gangen, uten tilbakelegging).

a. La Aj betegne hendelsen at den første han velger er defekt, og A2 betegne

hendelsen at den andre han velger er defekt. Finn PfAj og P(A2). Er A] og A2 uavhengige? Begrunn svaret.

b. Hvis kunden bare vil kjøpe esken når begge lyspærene han velger ut er iorden, hva er da sannsynligheten for at han kommer til å kjøpe esken?

c. Istedenfor å velge to lyspærer fra samme eske, tar kunden en lyspære fra hver av to esker. Før han rekker å prøve pærene oppdager han feiltagelsen og

legger pærene tilfeldig tilbake, en i hver eske. Hva er sannsynligheten for at

hver eske inneholder det samme antall defekte som før, hvis det opprinnelig var 2 defekte og 8 ikke-defekte i hver eske?

- 151 -

Oppgave 242

Oppgave 242 (NTH, 00514, 00517, mai 1976) La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet gitt ved

(1)

:x>0

0 p og r er reelle tall, r > 0, og In x betegner den naturlige logaritme til x.

Dersom en i et bestemt distrikt tar n uavhengige jordprøver, hver på én kg, og betegner det målte nikkelinnholdet angitt i mg i de respektive prøvene med Xi, X2,..., Xn, har det

vist seg at Xi, X2,..., Xn kan oppfattes som uavhengige og identisk fordelte med sannsynlighetstettheten (1).

I a. Vis at når X er fordelt med sannsynlighetstettheten (1), er Y = In X

normalfordelt med forventningsverdi v = E(Y) og varians t2 = Var(Y). b. Vis at Fx (x) = P(X < x) =

(---X-~P) 7

der 4> betegner fordelingsfunksjonen for normalfordelingen (0,1).

(Innfører en Yj =

In Xj, j = 1,2,...,n, blir altså Y], Y2,..,Yn uavhengige og identisk

normalfordelte, N(p,72).) c. Anta at v = 1.0 og r = 0.8. Bestem P(Xi < 1) og P(Xj -X2 < 1).

d. Anta fortsatt at p = 1.0 og 7 = 0.8 samt at n = 5. Hvor stor er da

sannsynligheten for at målt nikkelinnhold i minst 4 av de 5 jordprøver skal være mindre enn 2.72 mg? e. Vis at

H = E(X) = e V 4 7 7 ,

p - 2a. I alt k flasker tas ut. Hva er sannsynligheten for at den av disse flaskene som har lavest C-innhold, har C-innhold større enn n — 2a.

b.

Det oppgis at M = 34 mg/dl og at a = 1,2 mg/dl.

Produsenten leverer saftflaskene i kartonger med n flasker i hver. Mottakeren av et parti slike kartonger har betinget seg rett til å kontrollere C-innholdet i to tilfeldig valgte flasker i hver kartong og bare godta kartongen dersom C-innhold i begge flasker overstiger 31,6.

Hva blir sannsynligheten for ved en slik kontroll å godta en kartong der antall flasker med C-innhold over 31,6 er akkurat s?

c.

La S betegne antall flasker med C-innhold over 31,6 i en vilkårlig valgt kartong. Hvilken fordeling får S?

d. Nytt resultatene i b) og c) til å vise at sannsynligheten for at mottakeren ved denne kontrollen skal akseptere en vilkårlig kartong, P(A), blir p2. Angi også hvordan dette resultatet kunne vært insett direkte.

Finn til slutt et uttrykk for P(A) som funksjon av n, idet o fortsatt tenkes være lik 1,2 mg/dl.

Oppgave 244 (NTH, 00515, 00516, 00517, august 1976. Oppg. 2) En vet at forventet C-vitamininnhold i saft avtar med tiden under lagring og vil undersøke

om fargen på flaskene kan ha betydning for denne prosessen. m nummererte porsjoner saft tilberedes. Fra hver porsjon fylles én liter på en mørk flaske

og én liter på en lys flaske. Flaskene lagres under like forhold en viss tid, og så bestemmes C-innholdene i de enkelte flasker. La Xj og Yj betegne C-innholdet etter lagring

henholdsvis i mørk og lys flaske fra porsjon nr. j, j=1,...,m. Differensene Zj=Xj-Yj, j=1,...,m, antas uavhengige og normalfordelte (A,r2), der A og r2 er ukjente.

a.

Bestem sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren * A for A.

Hvilke egenskaper harA * b.

Utled et 95%-konfidensintervall for r2.

Oppgave 245

-154-

I det følgende antas r kjent og lik 2 mg/dl.

c.

En vil undersøke om forsøksresultatene gir grunnlag for å påstå at △ > 0. Angi

passende nullhypotese og alternativ, og utled en testmetode for problemet. d) Hva

blir de numeriske svar på spørsmålene i a)

og b)

når m=6 og

observasjonsmaterialet er:

Zj:

2,4;

4,3;

0,6;

2,1;

-0,9;

1,7?

Hva blir konklusjonen på testingen i c) dersom signfikansnivået skal velges lik

0,05? e.

Bestem styrkefunksjonen for testen i c), og skisser denne, (m settes lik 6 og signifikansnivået er 0.05).

f.

Hva ville konklusjonen ha blitt om en hadde anvendt Wilcoxons test for parsammenligning på problemet i c) og nyttet observasjonsmaterialet i d)?

Oppgave 245 (NTH, 00515, 00516, 00518, desember 1976. Oppg. 1)

Et apparat inneholder bl.a. en komponent A, som består av to "elementer” koblet i parallell. A funksjonerer hvis og bare hvis minst ett av de to elementene er iorden.

Sannsynligheten for at et element ikke funksjonerer er 0. Alle elementene funksjonerer uavhengig av hverandre. En undersøker n apparater trukket tilfeldig fra den løpende

produksjon. På X av disse apparatene funksjonerer ikke A.

a.

Begrunn at X er binomisk fordelt (n,p) der p = 02. Foreslå en estimator for p

basert på X og undersøk estimatorens egenskaper. b.

Foreslå en test for

Ho : p < 0.25 mot H i : p > 0.25. Sett n = 16 og finn den kritiske verdi for testen når signifikansnivået skal være 0.01. Hva blir konklusjonen hvis X = 9?

-155 -

Oppgave 246

c. Skisser styrkefunksjonen for testen.

d. Alternativt kan en undersøke alle 2n elementene i de uttrukne apparater. La Y betegne det antall elementer som ikke funksjonerer. Hvilken fordeling får

Y? Begrunn svaret.

e. Vis at hypotesen i b) ekvivalent kan formuleres som en hypotese om 6. Bruk dette til å foreslå en test basert på Y med signifikansnivå 0.01. Bruk at Y er

tilnærmet normalfordelt for å fastlegge testkriteriet og bestem (tilnærmet)

styrkefunksjonen. Skisser styrkefunksjonen når n = 16 og sammenlign med

resultatet i c). Oppgave 246 (NTH, 00515, 00516, 00517, desember 1976. Oppg. 2)

En er interessert i å undersøke flytegrensen for stål etter at stålet har gjennomgått en viss

behandling. 8 ferdigbehandlete stålstenger velges ut. En tar en del av hver stang og finner

flytegrensen for de 8 delene. Resultatene blir: 12345673

Stang nr.

(1)

Flytegrense (NeVVt°r) (X) mm

x=270,

255

230

270

225

300

330

290

260

S (Xj-x )*2 =8850.

Vi antar i pkt. a), b) og c) at Xlf X2,...,Xn er uavhengige og normalfordelte. E(Xj) = n, Var(Xj) = o2, i = 1,2,...,n, hvor p og o2 er ukjente.

a. Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for a2 blir 2

R 2 Hvorfor brukes vanligvis S

S(Xi-X)2 =------ ------- . n S(Xj-X)2 , . _ = —-—-— som estimator for u istedet for R ?

b. Vis hvordan en kommer fram til et 95% konfidensintervall for fi, og finn dette

når observasjonsmaterialet er som ovenfor.

c. Hvis generelt 0 er en estimator for parameteren 6, (estimatoren behøver ikke være forventningsrett), er bruttovariansen til 9 definert som E(0—0)2.

Sammenlign bruttovariansen til

estimatorene

R2

og S2 og kommentér

resultatet. d. Det finnes en enklere metode (II) til bestemmelse av flytegrensen for stål. En

er interessert i å undersøke om resultatene ved denne metode gjennomgående blir høyere enn resultatene i (I). En tar derfor nye deler av de samme 8 stålstengene og måler flytegrensen etter metode II. Resultatene blir:

Oppgave 247

- 156-

1

Stang nr.: Flytegrense (

Newton ) (Y): mm

2

280 270

3

255

4 260

5 320

6

7

320

330

8

355

Vi vil ikke lenger forutsette at X'ene og Y'ene er normalfordelte, men vil

sammenligne metodene v.h.a. en Wilcoxontest. Hva blir konklusjonen når signifikansnivået er 5%? Oppgave 247 (NTH, 00514, 00517, mai 1977. Oppg. 1)

Et firma vil vurdere belastningen på sitt sentralbord, og registrerer antall påbegynte sam­ taler-, X, i tidsrommet 12.00 - 12.30. En har erfaring for at X er Poisson-fordelt med

parameter Å. a. Vis at momentgenererende funksjon til X blir M(t) =eX(et“l)

Bruk dette til å beregne E(X) og Var(X). oo X (Hint: bruk ey = Z . ) x=0 x! b. Anta at Å = 15. Hva blir sannsynligheten for at X er høyst lik 20? Hvilken

sannsynlighet får denne hendelsen hvis det er gitt at det påbegynnes minst

12 samtaler?

c. En skal teste hypotesen Ho : Å >15

mot

H^ Å 0,

2Åte fT(t) =

0

ellers

der Å er en ukjent positiv parameter. a. Finn fordelingsfunksjonen, FT(t) til T. Finn P(202) tilfeldig valgte komponenter. Disse levetidene antas uavhengige og identisk fordelte med sannsynlighetstetthet fT(t). Vis at sannsynlighetsmaksi-

meringsestimatoren for Å blir *Å = —— .

d. La X være x2-fordelt med 2n frihetsgrader (n > 2). Vis at da er E(X 1) = —-----2(n —1)

å avgjøre om Å *

og E(X 2) =-------------------a 4(n-1)(n-2)

og bruk dette til

er forventningsrett eller ikke. Om nødvendig skal denne esti­

matoren korrigeres slik at den blir forventningsrett. Finn den forventnings­ rette estimatorens varians. e. Utled et (1 - a) - konfidensintervall for Å.

Bestem intervallet numerisk når a = 0.05, n = 5 og de observerte levetidene er: 23,63

35.97

18.65

18.18

11.59.

f. En dag viser det seg at det har vært en feil med produksjonsprosessen. Kom­ ponentene blir derfor holdt tilbake til en har fått undersøkt om feilen kan ha

- 163 -

Oppgave 254 forts.

medført kortere levetid. En velger 5 komponenter tilfeldig fra dagsproduksjonen og undersøker levetida for disse. På grunnlag av disse observasjonene

vil en teste: Ho:

mot

1.5 • 10'3

H,: Å > 1.5 • W3

Foreslå en test med nivå 0.05. Gjennomfør testingen når observasjonene er:

12.06

18.02

19.86

16.60

9.36

ooo OOO ooo

Komponentene blir pakket i kasser med 5 komponenter i hver kasse. Fabrikken garan­ terer at alle komponentene i en kasse har levetid på minst a uker.

Fabrikken får reklamasjon på en kasse hvis én eller flere av de 5 komponentene i kassen har kortere levetid enn a uker.

g. Hvis Å = 1.5 • 10 3, hvor stor bør da fabrikken velge a for at sannsynligheten

for reklamasjon skal bli lik 0.05? h. La a og Å være som i g og anta at fabrikken i et visst tidsrom selger 1000

kasser. La U være antall kasser som det blir reklamert på.

Hvilke forutsetninger må en gjøre for at U skal være binomisk fordelt? Anta at disse forutsetningene er oppfylt og finn P(U < 60) ved å bruke til­ nærming til normalfordelingen.

i.

La levetidene til komponentene i en kasse være Tlf T2, . ..,TS (uavhengig og identisk fordelte) og la V = min Tj. Finn fordelingen for V, og sammenlikn denne med fordelingen til T.

j. Fabrikken får en kasse i retur der alle 5 komponentene ennå funksjonerer etter å ha vært i bruk i 2 uker. Fabrikken selger kassa på nytt og gir samme

garanti som før, dvs. at alle komponentene skal funksjonere i minst a uker fra kassa blir solgt på nytt.

Finn sannsynligheten for reklamasjon når a og Å er som i g.

ooo OOO ooo

Oppgave 255

- 164 -

Oppgave 255 (NTH, 00518, desember 1978. Oppg. 1)

Forurensningsgraden av et vassdrag skal undersøkes, og en foretar observasjoner ved 3 målestasjoner. Målepunkt 2 ligger t km nedenfor målepunkt 1, og målepunkt 3 ligger t km nedenfor målepunkt 2. På de 3 målestasjonene observeres bl.a. pH-verdi i elvevannet.

En dag gjøres n målinger hvert sted. De 3n målingene antas alle uavhengige og normal­ fordelte med samme varians o2. Observasjonene ved stasjon j, X^, X2j, ■ ■. , Xnj, har for­ ventning /ij (j = 1, 2, 3). Videre antas at forventet pH-verdi øker lineært nedover vass­

draget. Vi kan derfor sette Mi = a-t/3,

(1)

M2 =o-.

M3 = a + t3, der a og 3 er to ukjente konstanter.

a. Vis at minste kvadratsumsestimatorer (MKE) for a og 3 blir 6 = |(Xt +X2 +X3) = X, 3 J

(X:= 1 SXjj), ni=1 ’

u = i (X3 - x, >. Vurder estimatorenes egenskaper. b. Følgende estimator er foreslått for a2

Vurder egenskapene til denne estimatoren. Har du noe annet forslag til esti­ mator for a2 i denne modellen? Sammenlikn eventuelt med S2. c. Utled et 90% konfidensintervall for a2.

d. Anta at o = 0.04. Foreslå en test for Ho: 3 = 0

mot

ØfO.

Utled et testkriterium som gir nivå 0.01. e. Anta at n = 2 og t = 1, og at vi har fått følgende observasjoner

1. målestasjon:

2. :

5.90,

6.07,

3. -»-

5.94, 5.95,

:

6.08,

6.00.

Beregn punktestimatorene for a og 3 og intervallestimatet for o2. Avgjør også om dette tallmaterialet gir grunnlag for forkasting av nullhypotesen i d.

Oppgave 256 - 257

- 165 -

f. Utled styrkefunksjonen for testen i d, og skisser denne når n = 2 og t = 1.

g. Anta at den som gjennomfører undersøkelsen likevel ikke vil akseptere antak­ elsen (1). Nå vil han derfor teste

Ho: gi=M2=M3

(mot at ikke alle

er like). 3

-

“2

Vis hvordan man kan utlede et rimelig testkriterium basert på V = S (X: - X) j=1 J

når o = 0.04. Hva blir konklusjonen hvis nivået velges lik 0.01, og observa­ sjonene er som i e? Hva blir testkriteriet hvis o er ukjent (tallregning ikke

nødvendig)? Oppgave 256 (NTH, 00518, desember 1978. Oppg. 2)

Et produkt veies automatisk og pakkes i kasser som inneholder 20 pakker. Vi tar en stikk­ prøve på n pakker fra en slik kasse (trekking uten tilbakelegging). La X betegne antall undervektige i utvalget. Totalt antall undervektige i kassen er r.

a. Finn sannsynligheten for at X høyst er lik 1 når n = r = 5. Hva er sannsynlig­

heten for denne hendelsen når det er gitt at utvalget inneholder undervektige? b. Hvilken fordeling vil X få, etter at vi har observert at den først uttrukne pak­

ke er undervektig?

c. Foreslå en test for Ho :

r>5

mot

H, :

r < 5.

Hvor stor vil du velge n for å få et rimelig testkriterium med nivå 10%?

Hva blir kritisk verdi?

Oppgave 257 (NTH, 00514,00516,00517, mai 1979. Oppg. 1) Ved produksjon av plater av plastråstoffet polymetylmetakrylat forekommer det av og

til uønskede ujevnheter (såkalt "stippenbildung”). Disse vil se ut som prikker på platens overflate. Vi lar ujevnhetene være symbolisert ved punkter i planet. Vi antar at ujevnhetene dannes tilfeldig. Da vil antall punkter på en vilkårlig valgt flate

med areal A være Poissonfordelt med parameter Å = yA, der y betegner feilintensiteten for stoffet. Videre antar vi at dannelsen av ujevnhetene på forskjellige plater er uavhengige

hendelser. a. En plate med mer enn 10 ujevnheter pr. m2 blir betraktet som ubrukbar og

kassert. Hva er sannsynligheten for å kassere en plate med areal A = 1 m2 når

7 = 7 m ’2 ?

Oppgave 257 forts.

- 166 -

Vi undersøker 10 tilfeldig valgte plater av denne typen. Hva er sannsynlig­ heten for at høyst én av disse blir kassert? b. Vi velger ut n plater med areal henholdsvis A!, A2,. . . , An. La Xj være an­

tall ujevnheter på platen med areal Aj, i = 1,2, . . . , n. Punktsannsynligheten

for X: er da

X

*)(yA -y A P(Xj = x) = pv.(x) ~ '— e * 1 Ai x!

for x = 0, 1,2, . . .

Vis at den momentgenererende funksjon til Xj er 7Aj(et-l)

Mx.(t) = e

i = 1,2,. . . , n

n og bruk denne til å vise at S Xj er Poissonfordelt. i= 1

c. Feilintensiteten 7 skal estimeres. Som estimator er foreslått n 7 = k - SXj. i= 1

Bestem k slik at estimatoren blir forventningsrett.

Finn estimatorens varians. d. Ved en tidligere brukt produksjonsmetode vet vi at 7 = 4 m-2. Det blir på­

stått at en ny metode gir lavere feilintensitet. Vi ønsker å undersøke denne påstanden. Formuler dette som et hypotesetestingsproblem, og begrunn val­

get av nullhypotese og alternativ. Foreslå en rimelig test for hypotesen, og gjennomfør testingen når n = 10 og A, = A2 = . . . = A10 = 1 m2. Hva blir konklusjonen hvis signifikansnivået er 5% og vi har observert tilsammen 28

ujevnheter på de 10 platene? (Bruk tilnærming til normalfordelingen.) e. Vi tenker oss nå en uendelig stor plate med de samme egenskaper som i inn­ ledningen. La Q være et vilkårlig valgt punkt på platen, og la Y betegne av­

standen fra Q til nærmeste ujevnhet. Vis at sannsynlighetstettheten til Y blir -77Ty

277tye

2

for y > 0

fY(y) =

0 (ir

ellers

3.14)

(Hint: Betrakt en sirkel om punktet Q med radius y.)

-167-

Oppgave 258

Oppgave 258 (NTH, 00514, 00516, 00517, mai 1979. Oppg. 2)

La situasjonen være den samme som i oppgave 1. Anta at vi har observert avstanden (Y) fra et punkt Q til nærmeste ujevnhet på n forskjellige plater. Vi forutsetter at avstandene

Y1,Y2,...,Yner uavhengige og identisk fordelte med sannsynlighetstetthet: „

277tye

-77TY

for y > 0

fY(y) =

0

ellers

der feilintensiteten 7 er ukjent og n

3.14.

a. Vis at Z = 277rY2 er y1 -fordelt med 2 frihetsgrader. b. Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren, SME, for 7 basert på

Yi, Y2......... Ynblir *■y '

=

n n o 7T ZY;2

i=1

(Forventning og varians til 7 *

kreves ikke.)

c. Finn et 95% konfidensintervall for 7 når observasjonene er: Yj:0.22

0.36 0.61

0.24 0.26 0.32 10

0.41

0.19

0.27

0.43

->

Kvadratsummen av disse er: S Y;2 = 1.24. i=1

d. Produksjonsprosessen som ligger til grunn for dataene i pkt. c blir endret. Fra

den nye produksjonen velger vi ut 8 plater tilfeldig, og måler avstandene fra et punkt Q til nærmeste ujevnhet. Avstandene W,, W2, . . . , W8 antas uav­

hengige og identisk fordelte med sannsynlighetstetthet -7? 77 W 2

2777rwe

Om W > 0

fyy(w) =

0

ellers

der 77 er feilintensiteten ved den nye produksjonsmetoden. Vi får her observasjonene:

0.63 0.72 8 , Kvadratsummen av disse er: S W. = 2.65

Wj: 0.38

0.47

0.62

0.57

0.65

0.49

i=1

Gjør rede for hvordan vi på grunnlag av observasjonene Yt, Y2, . . . , Y10,

Wi, W2,. . . , W8 kan teste Ho: 7 = 77

mot

Hj: 7^77

- 168 -

Oppgave 259 - 260

og utfør testingen når dataene er som ovenfor og signifikansnivået er 5%.

e. Skriv opp uttrykket for styrkefunksjonen, og finn ved hjelp av tabellene test­ styrken (tilnærmet) når r? = 67 og når 7 = 617.

Oppgave 259 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, mai 1979. Oppg. 1)

Ved produksjon av plater av plastråstoffet polymetylmetakrylat forekommer det av og til uønskede ujevnheter (såkalt "stippenbildung"). Disse vil se ut som prikker på platens

overflate. La X betegne antall prikker på en vilkårlig valgt flate med areal A. Det er her realistisk å anta at X er Poissonfordelt med parameter ÅA. Altså er P(X=x) = (XA)*

e XA .

x = 0, 1..........

x!

hvor Å betegner feilintensiteten for stoffet. Vi antar videre at antall prikker på forskjel­ lige plater av uavhengig av hverandre. a. En plate med mer enn 10 ujevnheter pr. m2 blir betraktet som ubrukbar og kassert. Hva er sannsynligheten for å kassere en plate med areal A = 1 m2 når

Å = 7 m 2? Anta at vi undersøker 5 plater av denne typen. Hva er sannsynlig­

heten for at ingen blir kassert? b. Vi velger nå ut n plater med arealer At, A2,.. . , An. La Xj være antall ujevn­

heter på platen med areal Aj, i = 1, 2, . . . , n. Vis at Xj har momentgenerer­

ende funksjon XAjte1-!) Mx.(t) = e n og bruk resultatet til å finne fordelingen til S Xj. i= 1

c. Feilintensiteten Å skal estimeres. Som estimator er foreslått n Å = k S Xj. i=1

Bestem k slik at estimatoren blir forventningsrett, og finn estimatorens varians. Oppgave 260 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, mai 1979. Oppg. 2)

På et sted i Nordsjøen skal det foretas prøveboring etter olje. Av sikkerhetsgrunner ønsker en ikke å utføre boring når signifikant bølgehøyde (SBH) er over 3.0 m. (SBH er gjennom­ snittet av den høyeste tredjepart av de målte bølgehøyder.) En sammenhengende periode

der SBH er mindre enn 3.0 m kaller vi en rolig-periode. Dens lengde betegnes T (timer).

Ut fra en stor mengde bølgedata har en kommet fram til at T har følgende fordelings­ funksjon (på det aktuelle sted og for den aktuelle årstid):

- 169 -

Oppgave 261 - 262

- Vt/28 (1)

P(T0.

a. Hva er sannsynligheten for at roligperioden er kortere enn 12 timer? Finn sannsynligheten for at lengden av roligperioden blir minst 36 timer, gitt at

den har vart i 12 timer. b. Lengden av etterfølgende roligperioder antas å være uavhengige med for­ deling (1). La Y betegne lengden av den korteste av i alt n roligperioder. Utled fordelingen til Y. Hva er medianen i denne fordeling?

c. La tQ 5 betegne medianen i fordelingen til T. Finn denne. Hva er sannsynligheten for at høyst 3 av 10 roligperioder er kortere enn tQ 5?

d. Vis at Z = 2\/t/28 er x2-fordelt med 2 frihetsgrader. Bruk dette til å finne E(T). Hva blir E(Y)?

Oppgave 261 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, mai 1979. Oppg. 3)

Når et produkt er ferdig produsert, blir det veiet. Vektene av n tilfeldige produkter be­ tegnes Xi, X2, . . . , Xn (kg), og disse antas å være uavhengige og normalfordelte med forventing p og varians o2 . a. Anta at o er kjent og lik 0.5 kg. Finn sannsynligheten for at vekten av et til­ feldig produkt avviker mer enn 1.0 kg fra p. Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittsvekten for 2 produkter avviker mer enn 1.0 kg fra p? b. Vi lar nå p være kjent og lik 10.8 kg, mens o2 er ukjent. Utled sannsynlig-

hetsmaksimeringsestimatoren (SME) for o2 basert på Xj, X2, . . . , Xn. Vur-

der egenskapene til denne estimatoren. c. Anta at produkter med vekt mindre enn 10 kg anses undervektige og fra-

sorteres. Hva blir forventet vekt for de gjenværende (ikke frasorterte) pro­ dukter? La p = 10.8 kg og a = 0.5 kg.

Oppgave 262 (NTH, 00514, 00516,00517,00518, august 1979. Oppg. 1)

Et firma produserer hermetikk i bokser. Påskrevet nettovekt er 100 g. Firmaet disponerer en maskin som fyller bokser med nettovekt X g der X kan oppfattes som en normalfor­ delt stokastisk variabel med forventing p og varians a2 = 9 g2. p kan forhåndsinnstilles

til en hvilken som helst ønsket verdi mellom 50 g og 150 g. Problemet for bedriften er å

innstille p slik at minst mulig råstoff går med, samtidig som man ønsker at den delen av

produksjonen som har nettovekt under de oppgitte 100 g, skal være liten.

- 170-

Oppgave 263

a. Hva er sannsynligheten for at en vilkårlig hermetikkboks har for lav nettovekt, d.v.s. mindre enn 100 g, når p = 103 g?

Varefaktakomitéen krever at høyst 5% av produksjonen skal ha for lav nettovekt. Hva er den minste mulige forhåndsinnstilling av g hvis dette kravet skal

oppfylles? b. Bedriften har fått avslått en søknad om dispensasjon fra den pågående pris­

stoppen. Men bedriftens ledelse har funnet ut at en i det lange løp ville kunne spare råstoff om man hadde en maskin som leverte bokser med mindre varia­ sjon i vektene. Da kunne den forventede vekt p stilles lavere enn hittil samti­

dig som kravet fra varefaktakomitéen kunne oppfylles. Vis at dette resonnementet er riktig. Finn lavest mulig innstilling av p når o2 = 4 g2 og når o2 = 1 g2.

c. Bedriften får en ny maskin til utprøving, og er interessert i å bringe på det

rene om denne gir en produksjon med mindre variasjon i vektene. Det foretas en prøveproduksjon på 25 hermetikkbokser med p innstilt på 100 g. Netto-

vektene Xj, X2, . . . , X2 5 måles, og det antas at disse er uavhengige og iden­ tisk normalfordelte med forventning 100 g og ukjent varians o2. Lag en test for hypotesen: Ho:

a2 = 9 g 2

mot

H^ o2 15?

c. Fergeselskapet beslutter å telle antall ankomster til fergeleiet i tiden 13.00 -

14.00 hver dag i n dager. La Yj være det antall biler som ankommer i den gitte timen på dag nr. j (j = 1, 2....... n). Yj......... Yn antas uavhengige med

samme fordeling som i b. Bestem sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for7 basert på Yi, . . ., Yn. Vis at denne estimatoren er forventingsrett og konsistent.

d. Selskapet har funnet ut at dersom 7 > 10, er det trafikkgrunnlag for å sette

opp en avgang til pr. dag fra fergeleiet. Som statistiker skal du bistå selskapet

med å undersøke om dette grunnlaget er tilstede. Formuler en passende hypo­ tese for problemet, og lag en rimelig test basert på observasjonene som er

tatt i løpet av 14 dager. Bruk nivå 1%. (Tilnærmelsen til normalfordelingen kan nyttes.)

Finn verdien av SME og angi konklusjonen på testen når observasjonsmate ­ rialet er:

2

3

4

Yj 12 14

9

11 16

1

5

9

10

11

12

13

14

8 10 11 12

10

13

16

16

12

6

7

8

e. Utled et tilnærmet 95% konfidensintervall for 7. Oppgave 264 (NTH, 00519 sannsynlighetsgregning, august 1979. Oppg. 1)

En skal undersøke flytegrensen for en viss legering. Det velges ut n stenger av denne legeringen, og flytegrensene Xi, X2, . . . , Xn (i MN/m2) bestemmes. Følgende modell benyttes: Xj, X2, . . . , Xn er uavhengige og normalfordelte med forventing p og kjent varians a2 = 302 MN2/m4.

a. Anta først at g = 280 MN/m2.

Finn sannsynligheten for at Xi > 250.

Hva er sannsynligheten for at den minste av 4 målinger er større enn 250 MN/m2? b. Hvor stor måtte g være for at Xi skal bli større enn 300 MN/m2 med sann­

synlighet minst 0.95?

Oppgave 265 - 266

- 172 -

c. Hva er sannsynligheten for at minst 8 av 20 stenger har flytegrense større enn p? d. Utled sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) forp (basert på Xi, X2,

...» Xn). Vurder estimatorens egenskaper. Hvor stor må n velges for at stan­ dardavviket til estimatoren skal bli høyst 10 MN/m2 ?

Oppgave 265 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, august 1979. Oppg. 2) La N betegne antall branner av en viss størrelsesorden som inntreffer i en by i løpet av

et år. Det antas at N er Poissonfordelt, og parameteren betegnes Å. a. Vis at momentgenererende funksjon for N er MN(t) = eÅ(et- 1 > Bruk dette til å finne E(N).

b. Anta at Å = 9.5. Hva er sannsynligheten for at det et år skal bli høyst 10 branner? Finn også sannsynligheten for denne hendelsen, når det er gitt at N>7.

c. La Nj og N2 være antall branner i to etterfølgende år.

Anta at disse er

uavhengige og Poissonfordelte med parameter Å. Hvilken fordeling får da Z = Nj + N2? Anta at verdiene avN, og N2 ikke er kjent, men at Z er re­ gistrert. Utled den betingete fordeling for Nj gitt Z = z. Hva kalles denne fordelingen?

(Hint: Bruk at PUNj = n) A (Z = z)) = P((Ni = n) A (N2 = z - n)).)

Oppgave 266 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, august 1979. Oppg. 3)

I pkt. a og b av denne oppgaven skal følgende setning brukes uten bevis. Setning

La Z] og Z2 være to uavhengige stokastiske variable med samme varians r2.

La også E(Zj) = r?,, i = 1,2. Da vil

E(ZiZ2) = 7?,t?2, Var (Z,Z2) = t2(t)i2 + t]22 + r2).

Et rektangel i terrenget har sider £ og p (meter). Målinger av disse lengder skal brukes til å anslå arealet 0 = £m (m ). Vi har n målinger av £, (Xi......... Xn), og også n målinger av p, (Yi,..., Yn). Følgende modell benyttes: Alle målinger antas uavhengige med E(Xj) = £, E(Yj) =p og Var(Xj) = Var(Yj) = a2, i = 1,2......... n.

- 173 -

Oppgave 267

a. Følgende estimator foreslås for 0 zs — — 1 n 6 = X • Y = (1 S X:) • ni=1 1

n S YJ nj=1 J

-i

Vurder egenskapene til denne estimatoren. b. Det blir nå foreslått å bruke estimatoren A 1 n 0 = 1 S XjY:. ni=i A

Hvilken av estimatorene 0 og 6 bør velges?

Begrunn svaret.

c. Bevis setningen gitt først i oppgaven hvis Zi og Z2 har kontinuerlige for­

delinger. Oppgave 267 (NTH, 00529 statistikk, desember 1979. Oppg. 1)

En bedrift framstiller en bestemt type panelplater. En viss andel, Pi, av de ferdige plater får så dårlig kvalitet at de kasseres; mens en annen andel, p2, må selges som B-kvalitet.

(Andelen p3 = 1 - Pi - p2 selges som A-kvalitet.) a. Av en produksjon på n plater må Xi kasseres. Hva er betingelsene for at Xi skal bli binomisk fordelt?

Anta i det følgende at disse betingelsene er oppfylt. La X2 være antall plater

av B-kvalitet blant de n. Hvilken simultanfordeling har X! og X2?

Er Xi og X2 uavhengige? Begrunn svaret. b. Finn en test for hypotesen

Ho: Pi 0.05.

Bestem kritisk verdi hvis n = 20 og nivået velges lik 10%.

Hva blir konklusjonen hvis vi får Xi = 2?

Beregn også teststyrken for Pi = 0.2.

c. Tidligere brukte bedriften en litt annen produksjonsmetode. Da måtte 5% av platene kasseres, og 8% ble av kvalitet B. En vil nå undersøke om det er

grunnlag for å hevde at dette har endret seg etter at den nye produksjons­ metoden ble innført. Sett opp en passende nullhypotese og alternativ hypo­

tese, og foreslå en test med nivå tilnærmet lik 5%. Hva blir konklusjonen hvis n = 200 og vi får Xi = 14 og X2 =21?

Oppgave 268

- 174 -

Oppgave 268 (NTH, 00529 statistikk, desember 1979. Oppg. 2) Det skal gjennomføres i alt n utmattingsforsøk for et bestemt metall. La Nj være det

observerte antall cykler til brudd oppstår når spenningsvidden er valgt lik Sj (j = 1, 2,...,

n). La videre Yj = In(Nj) og tj = ln(sj). (Her blir altså tlr t2,..., tn gitte tall.) For dette

forsøket bruker vi følgende modell: Yi,Y2,...,Yner uavhengige og normalfordelte med samme ukjente varians o2. Videre er E(Yj)=^o+3itj,

j = 1,2..........n.

der j30 ogØ! er ukjente konstanter. a. Vis at minste kvadratsumsestimatorer (MKE) for 00 og Øj blir Øi = ^( StjYj-nTY) = J-S (tj - t )Y= M j=1 J J M j=i J J

og

00 = Y -ØtT.

_ i n _ i n n n (her er t = S t: og Y=-^Yj( mens M = S (t:-T)2 = S t:2 - rit2) nj=i nj=1 > j=1 J j=1 J

b. Beregn estimatene for Øq og 0\ når n = 5, og vi har fått de observasjonene som

er gitt til slutt i oppgaven. Fremstill den estimerte regresjonslinjen grafisk.

Tegn også inn de 5 observasjonene i samme diagram. c. Vis at Øx er forventningsrett og har varians a2/M. Anta i pkt. d, e og f at o2 er kjent og lik 0.12.

d. Utled et konfidensintervall for 0! med konfidenskoeffisient 0.95. e. Konstruer en test for H0:|3i>-2.5

mot

< —2.5.

Hva blir konklusjonen med de observasjoner som er gitt til slutt i oppgaven?

Bruk nivå 5%.

f. Utled og skisser styrkefunksjonen for testen i e. Anta at vi ønsker en test for Ho med teststyrke minst 0.90 for Øt = - 2.6.

For å oppnå dette vil vi ta 2m observasjoner i tillegg til de 5 som allerede er

utført. Vi skal gjennomføre m forsøk med t = 4.7 og m forsøk med t = 5.9.

(Her er altså t lik logaritmen til spenningsvidden som en har under forsøket.) Hvor stor må m velges for å få kravet oppfylt? g. Anta nå at o2 er ukjent. Hvilken estimator vil du da bruke for a2? Utled og beregn også et 90% konfidensintervall for a2.

- 175 -

Oppgave 269

Resultat av de 5 forsøkene: Forsøk nr. j

tj (= ln(sj))

Yj (= In(Nj))

1

4.7

13.92

2

5.0

13.36

3

5.3

12.28

4

5.6

11.68

5

5.9

10.71

Oppgave 269 (NTH, 00570 statistikk 1, desember 1979. Oppg. 1) Vi skal betrakte et atom som ved et tidspunkt er i tilstand A, og ved et senere tidspunkt

går over til tilstand B og forblir der. La X (sekund) betegne tiden fram til overgangen skjer.

Reaksjonen A -> B kan f.eks. være kjernereaksjonen:

234

238

U

->

4 He

Th +

92

2

90

Det antas at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet:

(1)

f(x) =

V* a 0,

x>0 dera>0. x a)? b. Bestem en verdi m uttrykt ved a slik at P(X > m) =

1

2 ' m kalles halveringstiden for reaksjonen. For reaksjonen nevnt i oppgaven er a = 2.05 • 1017 sekund. Hvor mange år er den tilsvarende halveringstiden?

(1 gjennomsnittsår = 365.25 dager = 3.1557 • 107 sekunder.) Finn dessuten P(X > a|X > m).

c. Vis at den momentgenererende funksjon til X er gitt ved:

Mx(t) =

1 1 - at

(My(t) eksisterer for t < — ). * a

Bruk denne til å finne E(X) og Var(X). d. Anta at Xi, X2, . . . , Xn er uavhengige og identisk fordelte, alle med sann­ synlighetstettheten (1).

n Finn den momentgenererende funksjon til Y = S X:. j=! J

-176-

Oppgave 270 - 271

Er klassen av eksponensialfordelinger en lukket fordelingsklasse?

e. Det antas nå at a er ukjent og skal estimeres på grunnlag av Xi, X2,. . . , Xn. Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME), * , a for a og vurder dens

egenskaper. f.

Finn sannsynlighetstettheten til U=min(Xj), j = 1,2,. . . , n.

g. Vis at a = nU er en forventningsrett estimator for a. Hvilken estimator er å foretrekke, * a (SME) eller a ?

Oppgave 270 (NTH, 00570 statistikk 1, desember 1979. Oppg. 2) Anta at n atomer er i tilstand A ved tidspunkt 0, og at atomenes overgang til tilstand B

skjer uavhengig av hverandre. Tidene fra tidspunkt 0 og fram til overgang for de n ato­

mene, Xj, X2, . . . , Xn, er uavhengige og identisk fordelte, alle med tettheten (1). a. La Z være det antall atomer som fremdeles er i tilstand A ved tidspunkt m,

der m er halveringstiden definert i oppg. 1b. Begrunn at Z er binomisk fordelt. Hva blir E(Z) og Var(Z)?

b. Hva er det forventede antall atomer i tilstand A ved et vilkårlig tidspunkt t?

Sjekk at svaret er rimelig ved å betrakte spesialtilfellene t = 0 og t -> °°. c. Bruk tilnærmelsen til normalfordelingen til å finne P( I -- |l>6) n 2

uttrykt ved ø(u) = f —7=- e

2 dt

der Z er definert i a. Hva blir denne sannsynligheten når n = 1O20 og e = 10 1 °?

Sammenlikn resultatet med høyresiden i Tsjebysjeffs ulikhet. Oppgave 271 (NTH, 00514, 00516, 00517, mai 1980. Oppg. 1)

En type metallrør skal undersøkes. Den belastning som et tilfeldig rør fra produksjonen kan utsettes for før skade oppstår, betegnes med Z (Newton/mm2). Vi antar at Z er en

kontinuerlig fordelt stokastisk variabel med fordelingsfunksjon

Oppgave 272

- 177 -

1 _ (1 4-—)e a,

(1)

z>0

F(z) = P(Z 0. a. Finn sannsynlighetstettheten til Z, f(z). Vis at den momentgenererende funk­ sjonen til Z er gitt ved:

M-?(t) = ------ “5 . z (1 - at)

(M7(t) eksisterer for t 0

og Az > 0.

Beregn dessuten Å(z) = lim Az->0

P(Zz) Az

og skisser Å(z) for z > 0. Hvilken tolkning kan man gi Å(z) og dens forløp? c. Fra produksjonen velges n rør, og det testes hvor stor belastning hvert enkelt

rør tåler før skade oppstår. Resultatene betegnes Zi, Z2,.. ., Zn og antas å

være n uavhengige og identisk fordelte stokastiske variable, alle med fordelingsfunksjonen (1). Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for

a basert på Zi, Z2..... Zn. Undersøk om denne er forventningsrett og kon­ sistent.

d. Anta at de n rørene utsettes for samme belastning. La U betegne den belast­

ning rørene kan utsettes for inntil skade oppstår på ett av dem. Utled sann­ synlighetstettheten til U.

Oppgave 272 (NTH, 00514,00516,00517, mai 1980. Oppg. 2) Anta at n rør av den typen som er beskrevet i oppgave 1, er satt sammen i serie til et langt

vannrett rør. Rørenes innbyrdes rekkefølge er tilfeldig. To av rørene, her kalt R! og R2, har en spesiell defekt.

a. Finn sannsynligheten for at Ri og R2 ligger ved siden av hverandre. Hva er

sannsynligheten for denne hendelsen gitt at Ri har fått plass i venstre ende av det lange røret?

Oppgave 273

- 178 -

b. La W være antall rør som befinner seg mellom

og R2. Finn punktsannsyn­

ligheten til W. Løs problemet først for n = 4 og deretter for en vilkårlig verdi

av n. Oppgave 273 (NTH, 00514, 00516, 00517, mai 1980. Oppg. 3)

En ny type kunstgjødsel skal utprøves. Man er interessert i å finne ut om den nye typen (B) gjennomgående gir større kornavlinger enn den typen (A) som nå er i bruk. Fra et stort jordbruksareal tilsådd med korn velges tilfeldig 25 like store jordstykker til et for­ søk. De 12 første uttrukne jordstykkene gjødsles med type A og resten med B.

Avlingsmengdene målt i kg er henholdsvis Xt, X2, . . . , Xi2 for A og Y,, Y2,.. ., Yj 3

for B. Alle de 25 observasjonene antas å være uavhengige normalfordelte stokastiske variable med samme ukjente varians a2 og: E(Xj)=pi; Definer 6 = /z2 - Mi;

i = 1,2......... 12.

E(Yj)=p2; j = 1,2,... 13.

og /z2 er begge ukjente.

a. Foreslå en forventningsrett estimator for 9 basert på X!, X2, . . . , X, 2 og Yj, Y2,... , Yt 3. Hva er dens varians?

b. Bruk resultater fra 2c og d, side 29-30 i *tabellen )

T=

til å forklare at

Y-X-0 S V 13 + — 12

er (Student) t-fordelt med 23 frihetsgrader, der X = -rk S X;, Y = — S Y: 12 j=i 13 j=1 I

ogS2 = A-[S (Xj-X)2 + S (Yj-Y)2]. ZJ j=1 j_ i J Vis også at S2 er en forventningsrett estimator for o2, og finn dens varians. (Resultatene fra tabellen kan brukes uten bevis.)

c. Utled et konfidensintervall for 9 med konfidenskoeffisient 1 - a. Hva blir intervallet når a = 0.10 med de observasjonene som er gitt til slutt i opp­

gaven?

d. Tyder resultatene fra forsøket på at den nye gjødseltypen B gir større korn­ avlinger enn A? Formuler dette som et hypotesetestingsproblem og begrunn

valget av nullhypotese og alternativ hypotese. Velg signifikansnivå 5%, og gjennomfør testen med tallene fra tabellen på neste side.

*) 'Samseth og Thorvaldsen: Statistiske tabeller. Tapir 1977.

Oppgave 274

- 179 -

Målt avlingsmengde pr. jordstykke (kg): A

B

Xj

Yi

X = 100.02 Y = 102.45

102.7

90.6

103.3

103.4

78.1

97.7

i=1

85.4

99.4

91.7

101.1

13 S (Yj - Y)2 = 1385.95 j=l '

113.7

98.6

102.2

97.8

111.3

91.1

104.6

103.3

86.3

119.6

120.5

102.3

100.4

97.5

12 - , S (X; -X)2 = 1729.32

129.4

Oppgave 274 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, mai 1980. Oppg. 1)

En type metallrør skal undersøkes. Den belastning som et tilfeldig rør fra produksjonen kan utsettes for før skade oppstår, betegnes med X (Newton/mm2). Vi antar at X er en kontinuerlig fordelt stokastisk variabel med fordelingsfunksjon

(1)

Fx(x) = P(X0

om

x 0.

a. Finn sannsynlighetstettheten til X. b. Vis at den momentgenererende funksjonen til X er gitt ved:

Mx(t) = —!----- X (1-at)2 (Mv(t) eksisterer for t 0

og

Ax > 0.

Oppgave 275

- 180-

Beregn dessuten P(X 0

og skisser Å(x) for x > 0. Hvilken tolkning kan man gi Å(x) og dens forløp? 2X i d. Vis at Z = —— er x -fordelt med 4 frihetsgrader.

Fra produksjonen velges n rør, og det testes hvor stor belastning hvert enkelt rør tåler

før skade oppstår. Resultatene betegnes Xt, X2, . . . , Xn og antas å være n uavhengige og identisk fordelte stokastiske variable alle med fordelingsfunksjonen (1).

e. Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for a basert på Xi, X2,

. . . , Xn. Undersøk om denne er forventningsrett og konsistent.

f. Utled et 90% konfidensintervall for a basert på Xt, X2,. . . , Xn. Hvor stor må n være for at den forventede lengde av intervallet skal bli

høgst 2a?

g. Anta at de n rørene utsettes for samme belastning. La U betegne den be­

lastning rørene kan utsettes for inntil skade oppstår på minst ett av dem. Utled sannsynlighetstettheten til U. h. Anta at k er bestemt slik at P(X > k) = 0.90. La Y betegne antallet av de n

rørene som vil tåle belastningen k. Hvilken fordeling har Y? (Begrunn svaret.) Finn sannsynligheten for at minst 13 av 15 rør tåler belastningen k.

Oppgave 275 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, mai 1980. Oppg. 2) Anta at n rør av den typen som er beskrevet i oppgave 1, er satt sammen i serie til et langt

vannrett rør. Rørenes innbyrdes rekkefølge er tilfeldig. To av rørene, her kalt Rj og R2, har en spesiell defekt.

a. Finn sannsynligheten for at Ri og R2 ligger ved siden av hverandre. Hva er sannsynligheten for denne hendelsen gitt at Rj har fått plass i venstre ende av det lange røret?

b. La W være antall rør som befinner seg mellom R! og R2. Finn punktsannsynligheten til W. Løs problemet først for n = 4 og deretter for en vilkårlig verdi av n.

Oppgave 276

- 181 -

Oppgave 276 (NTH, 00514, 00516, 00517, 00518, august 1980. Oppg. 1) Figuren framstiller et T-formet bur, der

rotte slippes inn ved punktet A.

en

Rotta går til punkt B og må der gå enten til venstre eller til høyre. Hvis den går til høyre, finner den mat. Hvis den går til venstre, finner den ingenting. Vi antar at

en rotte som slippes inn i buret for første

gang, går til venstre og høyre ved B

med samme sannsynlighet. For en rotte som slippes inn i buret for annen gang, gjelder følgende regel: Hvis den første gang gikk til venstre, vil den neste gang

velge venstre 6g høyre med samme sann­ synlighet. Hvis den første gang gikk til høyre, vil den neste gang velge høyre

med sannsynlighet 0 og venstre med sannsynlighet 1 -0. Her er 0 < 6 < 1. Anta nå at en rotte blir sluppet inn i buret to ganger. La X være antall ganger den går

til høyre.

a. Vis at punktsannsynligheten til X er gitt ved

P(X=0)=l,

P(X=2)=|.

P(X=1)=|-^, 4

4

2

2

FinnE(X) og Var(X). b. Hva er sannsynligheten for at rotta går til høyre den andre gangen den blir sluppet? Gitt at rotta går til høyre den andre gangen den blir sluppet, hva er

sannsynligheten for at den gikk dit også den første gangen? Anta i det følgende at det samme forsøket utføres

med n rotter, og at man observerer

Xi, X2, . . . , Xn som er uavhengige og identisk fordelte stokastiske variable med samme _ i n sannsynlighetsfordeling som X. La X = — S X:. n j=i । c. Hva er forventning og varians for X? Foreslå en forventningsrett estimator

6 for 6 basert på X . Hva er dens varians?

d. Anta at man skal teste hypotesen Ho: 0 =

mot

Hj: 0 >

•

Oppgave 277

- 182 -

Følgende test er foreslått: Forkast Ho når X > c, der c bestemmes slik at tes­ ten får nivå 1%. Finn den kritiske verdi c når vi antar at X er tilnærmet nor­ malfordelt.

e. La S være antallet av Xb X2, . . . , Xn som er lik 2. Forklar hvorfor S er binomisk fordelt.

Finn en forventningsrett estimator 0 * for 6 basert på S. Hvilken av estimatorene 6 (fra c) og 0 * vil du foretrekke? Begrunn svaret. f. Foreslå en test for hypotesen i d basert på S. Tilnærmelsen til normalfor­ delingen kan nyttes, og nivået skal være 1%. Hva blir konklusjonen på testen når n = 100 og S er observert lik 40?

g. Beregn teststyrken i alternativet 6 = 0.75 for de to testene i d og f når n = 100. Oppgave 277 (NTH, 00514, 00516, 00517, 00518, august 1981. Oppg. 2)

Når en skruefjær belastes med en vekt v (gram), kan forlengelsen av fjæra Y (mm) opp­ fattes som en normalfordelt stokastisk variabel med forventning o2 (mm2) (Hooks lov). Konstanten j3 kalles fjærstivheten.

(mm) og varians

Med en fjær som har ukjent fjærstivhet /3 foretas n uavhengige veininger med kjente

vekter v j, v2,. . . , vn. Resultatene Yi, Y2,. . . , Yn antas å være n uavhengige normalfor­

delte stokastiske variable med samme varians o2 og med forventninger E(Yj) = j3vj, j = 1, 2..........n.

a. Vis at minste kvadratsums estimator (MKE) for j3 blir: n

= -ti— £vi1 i-> Forklar at (3 er normalfordelt. b. Vis at P er en forventningsrett estimator for

og finn dens varians.

c. Anta nå at 0 = 00 er kjent, og at det er a2 som skal estimeres ved bruk av

Yj, Y2, . . ., Yn. Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for o2.

Undersøk om denne er forventningsrett og konsistent.

- 183 -

Oppgave 278

Oppgave 278 (NTH,00519 sannsynlighetsregning,00570 statistikk 1,august 1980. Oppg. 1) Figuren framstiller et T-formet bur, der

en rotte slippes inn ved punktet A.

Rotta går til punkt B og må der gå enten til venstre eller til høyre. Hvis den går til

høyre, finner den mat. Hvis den går til venstre, finner den ingenting. Vi antar at en rotte som slippes inn i buret for første

gang, går til venstre og høyre ved B med samme sannsynlighet. For en rotte

som slippes inn i buret for annen gang, gjelder følgende regel: Hvis den første

gang gikk til venstre, vil den neste gang

velge venstre og høyre med samme sann­ synlighet. Hvis den første gang gikk til

høyre, vil den neste gang velge høyre

med sannsynlighet 0 og venstre med sannsynlighet 1-0. Her er 0 < 0 < 1. Anta nå at en rotte blir sluppet inn i buret to ganger. La X være antall ganger den går

til høyre. a. Vis at punktsannsynligheten til X er gitt ved P(X=0)=l 4

P(X=1)=|-£, 4 2

P(x=2)=£. 2

Finn E(X) og Var(X). b. Hva er sannsynligheten for at rotta går til høyre den andre gangen den blir

sluppet? Gitt at rotta går til høyre den andre gangen den blir sluppet, hva er sannsynligheten for at den gikk dit også den første gangen?

c. Anta at det samme forsøket utføres

med n rotter, og at man observerer

Xj, X2, . . . , Xn som er uavhengige og identisk fordelte med samme sannsyni n _ lighetsfordeling som X. La X = — S X;. Hva er forventning og varians for X? r>j=i 1

Foreslå en forventningsrett estimator for 6 basert på X. Hva er dens varians? 100 og n = 100. Finn P( S X, > 100) ved å bruke tilnærming til nor3 j=l malfordelingen. 9

d. La 0 =

Oppgave 279 - 280

- 184 -

Oppgave 279 (NTH,00519 sannsynlighetsregning, 00570 statistikk 1, august 1980. Oppg. 2)

Anta fremdeles at de stokastiske variable Xn X2, . . . , Xn er som angitt i 1c. Definer dessuten Yo, Yj og Y2 ved:

Yj = "antallet av Xj, X2,..., Xn som er lik j"

j = 0, 1,2.

a. Forklar at Y2 er binomisk fordelt. Finn P(Y2 > 10) og P(Y2 > 10| Y2 < 16) når n = 20 og 0 = 0.6. b. Hva blir den simultane punktsannsynlighet for Y! og Y2?

Er Yi og Y2 uavhengige? Begrunn svaret.

Oppgave 280 (NTH, 00519sannsynlighetsregning, 00570 statistikk 1,august 1980. Oppg.3)

Levetiden (d.v.s. tid til første svikt) for et apparat betegnes med T (time). Det antas at

T er en kontinuerlig fordelt stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet

(1)

f(t)

t3 ~ Å

3t2 Å

0 a. Vis at Z = — T

,

t>0

,

t< 0

der Å> 0.

er kjikvadratfordelt med 2 frihetsgrader.

Finn E(T3) og Var(T3). Vi lar nå (gjelder punktene b og c) n apparater funksjonere inntil feil oppstår. Levetidene

Ti, T2,. . . , Tn antas uavhengige og identisk fordelt med sannsynlighetstettheten (1). b. Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for Å basert på Ti,

T2,. . ., Tn. Hva er dens forventning og varians?

c. Utled sannsynlighetstettheten til U = min(Tj)

j =1,2,...n. d. Bedriften ønsker å prøvekjøre apparatene en tid r før de selges. Bestem t

slik at 2% av apparatene får feil i prøvetiden. Hva blir sannsynlighetstettheten

for den gjenværende levetiden for de apparatene som selges?

- 185 -

Oppgave 281

Oppgave 281 (NTH, 00570 statistikk 1, desember 1980. Oppg. 1) Ved Statens rettstoksikologiske institutt analyseres blodprøver tatt av personer som er mistenkt for promillekjøring. Måleresultatet X (°/oo) av en blodprøve som har alkohol­ innhold p (°/oo), kan etter den analysemetode som nyttes, regnes for å være en normalfordelt stokastisk variabel med forventning

og varians o2 = 0.02. Det utføres seks uav­

hengige analyser av hver innsendt blodprøve. Resultatene Xj, X2, . . . , X6 er altså uav­ hengige og identisk normalfordelte med forventning og varians som nevnt ovenfor. Der­

som: X- 0.14 0 t/\

b. Vis at fT(t) har maximum for t = t0 =

2 , og skisser fT(t).

Vis videre at en i denne modellen får

E(T) =

-7T.

Var(T) = (1 -7t/4)0.

Sammenlign E(T) med t0 og kommenter. c. En ønsker nå å estimere 0 ut fra observerte levetider, T1( T2, . . . , Tn, på n

billedrør. Disse levetidene antas altså å være uavhengige med fordeling (1).

Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for 6 og vurder esti­

matorens egenskaper. d. Finn sannsynlighetstettheten til Y = min(Tlr . . . , Tn). Kan det være prak­ tiske grunner til at produsenten gjerne vil ha en estimator for 0 basert på Y?

Finn en slik estimator og kommenter resultatet. e. Billedrørene blir gitt en garantert levetid på 5 år. Innfør nå p = P(T >5). Produsenten har utført en del "intensivforsøk", og mener at p = 0.95. Hva

er i så fall 0-verdien i fordelingen (1)? En forhandler mottar 20 fjernsyns­ apparater. Hva er sannsynligheten for at høyst 3 av billedrørene har levetid

under 5 år (forutsatt p = 0.95)?

Oppgave 303 (NTH, 00529,00571 statistikk, august 1982. Oppg. 1)

Et laboratorium har som oppgave å måle det tap av lydenergi en har gjennom ulike vegg-

konstruksjoner. Lydstyrken (i desibel) ved en gitt frekvens måles på begge sider av veggen, og ut fra disse observasjoner beregnes et såkalt reduksjonstall. For målinger foretatt ved samme frekvens antas de observerte reduksjonstall Xj, X2, . . . , X8 å være uavhengige og normalfordelte med forventning p og varians a2. Både p og a2 antas å være ukjente.

a. Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatorene (SME) for p og o2 er X =

8 8 S X: og o2 = — L (X: - X)2. Hva er forventningen til a2? 8j=1 J Bj=1 1

Finn en modifisert estimator, S2, som er en forventningsrett estimator for a2-

- 208 -

b. Vi skal teste

Ho: o2 = 0.8

H i: o2 > 0.8.

mot

Foreslå en test for hypotesen basert på S . Gjennomfør testingen og angi

konklusjon når observasjonene er som nedenfor og signifikansnivået er 5%. c. De 8 observasjonene inndeles i 4 par og deretter beregnes differensene.

Y1=X1-X2,

y3=x5-x6,

Y2=X3-X4, 4

y4=x7-x8.

SYj2

i~-1-— ?

Hvilken fordeling har

Finn ut fra dette en forventningsrett estimator, R2, for o2 basert på 2 Yj2. d. Foreslå en test for hypotesen i pkt. b) basert på R2. Utfør testen og bruk som før 5% signifikansnivå.

e. Utled styrkefunksjonene for testene i b) og d), og sammenlign de to testene. f. Finn et 99% konfidensintervall for n basert på X og S2. Finn også et 99% konfidensintervall for/a basert på X og R2.

Hvilket av konfidensintervallene vil du foretrekke?

Observasjoner: j xj

1

2

3

4

5

6

7

8

46.1

48.3

47.6

45.5

49.9

48.9

47.3

46.8

8 S x, = 380.4 , j=1

8

2 (Xj

-x)2 =14.84.

j=l'

Oppgave 304 (NTH, 00529, 00571 statistikk, august 1982. Oppg. 2)

En viss produksjonsprosess gir 5% defekte når prosessen er i ''kontroll''. Hver dag kon­ trolleres de 10 sist produserte artiklene og antall defekte (X) blant disse registreres.

a. Hvilke forutsetninger må være tilstede for at X skal være binomisk fordelt? Anta at disse er oppfylt i resten av oppgaven. La p være sannsynligheten for

at en vilkårlig artikkel er defekt. Foreslå en forventningsrett estimator for p

basert på X, og finn estimatorens varians. b. En skal undersøke om defektprosenten (100 p) er større enn 5.

Formuler problemet som en hypotesetest. Gir observasjonen X = 3 grunn til å påstå at defektprosenten er større enn 5 når signifikansnivået settes til 2%?

- 209 -

c. Beregn styrkefunksjonen for testen i b), og angi spesielt styrken når p = 0.20. d. Bedriften er tilfreds med 2% signifikansnivå, men ønsker en større sannsyn­

lighet for forkasting av nullhypotesen og dermed justering av prosessen når defektprosenten er høy. Dette kan oppnåes ved å øke antall enheter som kontrolleres hver dag. Hvor mange enheter må bedriften kontrollere for at følgende krav skal være oppfylt: i)

Sannsynligheten for justering når prosessen er i ''kontroll”, skal ikke være større enn 0.02.

ii)

Når defektprosenten i produksjonsprosessen er 20%, skal sannsynligheten

for justering være minst 0.50. iii) Antall enheter som kontrolleres hver dag, skal av økonomiske grunner være så liten som mulig. Oppgave 305 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning, 00570 statistikk 1, august 1982. Oppg.1)

I en fabrikk fylles beholdere med en blanding av 3 forskjellige væsker A, B og C. Tappemaskin 1 skal fylle 2 liter av væske A, tappemaskin 2 skal fylle 3 liter av væske B, og tappemaskin 3 skal fylle 5 liter av væske C

i hver beholder.

Tappeoperasjonene foregår uavhengig av hverandre, og volumene som tappes i hver påfylling, antas normalfordelte med forventing gj fra maskin nr. i (i = 1,2, 3) og varians cr .

Anta først at Hi = 2, g2 = 3, n3 = 5 og a = 0.1 (alle størrelser i liter). a. La V betegne påfylt væskeblanding i en tilfeldig valgt beholder. Hvilken sann­ synlighetsfordeling får V? Finn sannsynligheten for at V overstiger 10.1 2.

b. La Vj, . . . , V9 betegne antall liter væskeblanding i 9 tilfeldig valgte væske1 9 beholdere, og sett V = — S V:. Finn sannsynligheten for at V overstiger 9 i= 1 10. 1 C. Sammenlign svaret med det tilsvarende svar i a) og kommenter.

c. La Y betegne den relative andel A-væske i en tilfeldig valgt beholder. Regn ut sannsynligheten for at Y er større enn 0.2. d. La gi, g2 og o være angitt som ovenfor, men tenk deg at g3 kan innstilles

etter ønske. Hvor stor kan g3 høyst være for at sannsynligheten for at V skal overstige 10 liter skal bli 0.05 eller mindre?

-210 -

e. Anta nå at *

, p2 og M3 er som angitt først i oppgaven, men at tappenøyaktig2

heten, angitt ved o , er ukjent. Utled sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for o2 basert på innholdet Vi, . . . , Vn i n tilfeldig valgte beholdere. Vurder

estimatorens egenskaper. f. Anta til slutt at gi, p2 og er ukjente, og sett 0 = gi + ju2 + /j3 . Finn nå sannsynlighetsmaksimeringsestimatorene for 0 og a2 basert på

Vi,V2..........Vn. Oppgave 306 (NTH, 00519 sannsynlighetsregning,00570 statistikk 1,august 1982. Oppg.2)

En viss produksjonsprosess gir 5% defekte når den er i "kontroll". En kontrollprosedyre

K er som følger: Hver dag kontrolleres de 10 sist produserte artiklene, antall defekte (X) blant disse registreres, og maskinene justeres dersom X ^3.

a. Hvilke forutsetninger må være til stede for at X skal være binomisk fordelt? Anta at disse er oppfylt i resten av oppgaven. Hva er sannsynligheten for at

maskinene blir justert en dag prosessen er i kontroll? b. Hva blir sannsynligheten for justering hvis prosessen en dag er ute av kon­

troll og gjennomgående gir 20% defekte? Skisser sannsynligheten for justering som en funksjon av defektprosenten.

c. La p være sannsynligheten for at en vilkårlig artikkel er defekt. Finn en for­ ventningsrett estimator for p basert på X. Hva er dens varians?

d. Bedriften er tilfreds med at sannsynligheten for justering av maskinene er svært liten ved kontrollprosedyren K dersom prosessen er i kontroll. En ønsker imidlertid en større sannsynlighet enn den K har, for å avsløre at det trengs justering når defektprosenten er høy. Dette kan oppnås ved å øke

antall enheter som kontrolleres daglig. Finn en kontrollrutine som oppfyller

følgende 3 krav: 1.

Sannsynligheten for justering når prosessen er i kontroll, skal ikke være større enn 0.02.

2.

Når defektprosenten er 20, skal sannsynligheten for å avsløre at det trengs justering være minst 0.50.

3.

Antall enheter som kontrolleres hver dag, skal av økonomiske grunner

være så lite som mulig.

- 211 -

Oppgave 307 (NTH, 00712 statistikk I, desember 1982. Oppg. 1) Som ledd i en markedsundersøkelse har man i et av byens stormagasin omorganisert

oppstillingen av vaskemidler. De såkalt biologisk nedbrytbare vaskemidler ble forsynt

med et blikkfang som klart viste at de var biologisk nedbrytbare.

La N betegne antall kunder som en tilfeldig dag kjøper et biologisk nedbrytbart vaske­ middel. Det har vist seg at det er rimelig å anta at N er Poissonfordelt med parameter

Å>0. a. Anta i spørsmål a) at Å = 15. Hvor stor er sannsynligheten for at akkurat

14 kunder kjøper et slikt vaskemiddel denne dagen? Beregn P(N 14).

b. Vis at den momentgenererende funksjonen til N kan skrives

MN(t) =eX(et ’ 1) , og bruk dette til å bestemme forventning og varians til N.

c. I stormagasinet ble opptelling gjort hver dag i en uke (6 dager). La Nj betegne

antall kunder som kjøpte et biologisk nedbrytbart vaskemiddel på dag nr. j (j = 1, . . . , 6). N,, N2, ... , N6 antas å være uavhengige og identisk Poissonfordelte med parameter Å. La S = Nj + N2 + N3 + N4 + Ns + N6 og vis ved hjelp av momentgenererende funksjoner at S er Poissonfordelt med parameter

6Å. d. Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for Å basert på

Ni, N2, . . . , N6 og beregn estimatorens forventning og varians. Er estimato­ ren forventningsrett? e. En dag spurte man de N kundene som hadde kjøpt slikt vaskemiddel, om de også ved forrige vaskemiddelkjøp hadde kjøpt vaskemiddel som var biolo­

gisk nedbrytbart. La X betegne det antall som svarte at de også ved forrige vaskemiddelkjøp kjøpte et slikt vaskemiddel. Når N = n er gitt, antas X å

være binomisk fordelt med parametre (n,p). Vis at den marginale fordelingen til X er en Poissonfordeling. (N antas fremdeles å være Poissonfordelt med parameter Å.)

(HINT: Det kan i denne oppgaven brukes uten bevis at oo

x

S ^- = ea.) x = 0 a!

- 212 -

Oppgave 308 (NTH, 00712 statistikk I, desember 1982. Oppg. 2) Ved fremstilling av glassrør til bruk i industrien er antall feil på rørene avgjørende for

rørenes kvalitet og pris. Rørene klassifiseres i 1., 2. og 3. kvalitet.

På hvert rør, som vi her i oppgaven tenker oss er uendelig langt, måles avstanden mel­

lom påfølgende feil. La Xi betegne avstanden fra venstre ende av røret til første feil, og la Xj betegne avstanden mellom feil nr. j-1 og feil nr. j regnet fra rørets venstre ende

(j = 2, 3,. . . ). (Se figuren.) Alle avstander måles i meter.

Anta at Xi, Xj, X3, . . .

er uavhengige og identisk fordelte stokastiske variable med

fordelingsfunksjon F(x) =

0

x 0

der 6 >0 er en parameter. I spørsmålene a), b) og c) settes 0 = 4. a. Finn sannsynlighetstettheten til Xi. Hvor stor er forventet lengde mellom påfølgende feil?

b. Beregn sannsynligheten for at det ikke er noen feil på den første meteren av

røret (målt fra venstre ende). Hvor stor er sannsynligheten for at den minste avstanden mellom 11 påfølgende feil er større enn 0.1 meter?

c. Ved kontroll av rørene begynner kontrolløren ved venstre ende av røret og kontrollerer så meter for meter mot høyre. En kontrollør har kontrollert

den første meteren av et rør uten at der var noen feil og resonnerer slik: Sannsynligheten for at den neste meteren som blir kontrollert, skal være

feilfri, er nå mindre enn sannsynligheten for at den første meteren som ble kontrollert, var feilfri.

Er dette riktig? Bruk sannsynlighetsregning til å begrunne svaret. d. Anta nå at 6 er ukjent. Vis at fordelingsfunksjonen til den stokastiske variable

Y = 1 -e

1 kan skrives

0

G(y) =

y 1

030.

mot

Lag en test med 5% signifikansnivå. Hva blir konklusjonen når observasjonene

er som ovenfor? e. Finn styrkefunksjonen for testen. Hvor stor er sannsynligheten for å forkaste

Ho når aa = 34? Hvor stor er sannsynligheten for feilkonklusjon når ma = 34?

Hl

En vil sammenligne korrosjonen av stålplater av type A med stålplater av type B, og gjør derfor, samtidig med forsøket med stålplater av type A, et forsøk med 8 plater av type B. Resultatene ble (målt i gram):

Y,: 26.3

24.5

27.6

29.8

Y = 29.2

33.6

35.2

30.4

26.2

Z(Yj - Y)2 = 99.22.

Anta at Yi, Y2, . . . , Y8 er uavhengige og normalfordelte med ukjent forvent­ ning Hq og ukjent varians oB2. */y. V _ y\ 2 f. Som estimator for aB2 er foreslått SB2 =-------——

Er det grunn for å anta at oB2 er mindre enn 16? Formuler dette problemet

som en hypotesetest. Hva blir konklusjonen når observasjonsmaterialet er som ovenfor og signifikansnivået velges lik 5%?

IV

Anta nå at både aA2 og aB2 er ukjente, men like store slik at oA2 = aB2 = o2.

g. Hvilken estimator bør du nå bruke for o2?

Finn forventning og varians til denne estimatoren. h. Utled et 95% konfidensintervall for aa - Ab når °2 er ukjent.

Hva blir intervallet i vårt forsøk?

- 217 -

V

For å undersøke om korrosjonen er avhengig av temperaturen (t), har en utført ialt seks forsøk, to ved 60°, to ved 70° og to ved 80°, alle med samme type plater. Resultatene ble:

'r

60°

60°

70°

70°

80°

80°

zl:

34.7

28.7

38.5

32.7

49.8

46.8

En antar Zi, Z2, . . . , Z6 er uavhengige, normalfordelte med kjent varians Var (Zj) = 16.

Anta at forventningsverdien til Z ved 60° er

forventningsverdien til Z ved

70° er n2 og forventningsverdien til Z ved 80° er/z3.

i.

Finn minste kvadraters estimatorer (M.K.E) for/Zj, £z2 og/z3.

j. En skal teste

=

mot

Hvordan vil du foreta denne testen? Hva blir konklusjonen når observasjons­

materialet er som over og signifikansnivået velges lik 1%? Oppgave 312 (NTH, 00702 statistikk, mai 1983. Oppg. 1)

I enkelte mineraler vil det ofte danne seg kuleformede fremmedlegemer ut fra kjerner av andre elementer. For å undersøke disse kulene lager en snitt i mineralene og analyserer snittflatene.

Vi antar at kulene er vilkårlig spredt, og at de ligger så langt fra hverandre at to eller

flere ikke støter sammen. Hvis en i en prøve med snittflate av størrelse A cm2 teller opp antall kuler (X) som er

snittet, er det rimelig å anta at X er Poissonfordelt med en parameter Å = aA. I a) og b) antar en at a = 2. a. En ønsker å ha prøver som er så store at sannsynligheten for å finne mer enn

4 kulesnitt på snittflaten er 0.90. Finn den heltallige Å-verdi som oppfyller best dette kravet. Hvor store må snittflatene (A) for disse prøvene være?

Hva er det forventede antall kulesnitt på en slik prøve? b. FinnP(X = x I X > 4) dersom A = 4 cm2. •A Anta at prøver (med areal 4 cm ) som har flere enn 4 kulesnitt skal brukes

til videre analyser. Hva er det forventede antall kulesnitt for disse prøvene?

-218 -

Anta nå at Xi, X2, . . . , Xn er antall kulesnitt på arealene Alf A2, . . . , An. Vi antar at Xj, X2, . . . , Xn er stokastisk uavhengige, Xj er fremdeles Poissonfordelt med para­

meter Åj = aAj der Aj er kjent (j = 1,2,. . . , n), mens a nå betraktes som en ukjent para­ meter. c. Finn sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for a. Vis at den er for­

ventningsrett. d. Lag en test for hypotesen

Ho: a>2

Hi: a < 2.

mot

Bruk signifikansnivå 5%. Hva blir konklusjonen på testen dersom n = 10, Ai =A2 = ... = Aio = 4 cm2, og observasjonene er:

2

6

5

3

7

12

10

3

9

4.

(Bruk tilnærming til normalfordelingen.) Oppgave 313 (NTH, 00702 statistikk, mai 1983. Oppg. 2) Vi vil anta at alle kulene som blir snittet, er like store. Deres radius, r, er ukjent. Et snitt

som treffer kula, vil ha en avstand Y fra kulas sentrum. En rimelig modell vil baseres på at Y har sannsynlighetstetthet

1 r 0

!

OCyCr

ellers.

a. Finn E(Y2) og E(Y4). Bestem fordelingsfunksjonen til Y.

Den stokastiske variable Y blir ikke observert. Derimot måler en diameteren, D, til kulesnittet. I fortsettelsen velger vi å basere oss på Z = (D/2)2 , som da er gitt ved

Z = r2 - Y2.

- 219 -

b. Bruk resultatet i a) til å finne E(Z) og Var(Z). Foreslå en forventningsrett estimator for 6 = r2, basert på gjennomsnittet

av n uavhengige observasjoner Zj,..., Zn. Finn estimatorens varians.

1 Anta i punktene c) og d) at Z er tilnærmet normalfordelt. (Z = n

n

c. Finn 90% (tilnærmet) konfidensintervall for 6 = r .

Hvor stor må n være for at den forventede lengden av dette intervallet skal være mindre enn

?

d. En skal teste hypotesen

Ho:r2=ro2

mot

H!:r2t0)). b. Lag en test for hypotesen

Ho: p = 0.05

mot

H^ p>0.05

- 225 -

basert på Y. Hva blir konklusjonen på testen dersom n = 20 og Y = 3?

Velg signifikansnivå 2.5%. Vi antar i resten av oppgaven at t0 = 100 sek.

c. Vis at hypotesetesten i b) kan omformes til følgende test om 9: Ho: 9 = 21.07

mot

Hj: 9 > 21.07.

Test denne hypotesen ved å benytte tørketidene Tlf T2,.. ., T20. Bruk også her 2.5% signifikansnivå. Hva blir konklusjonen på denne testen dersom 20 S T: = 1182 ? J=1 J d. Finn styrken for testen i c) dersom 9 = 37.2.

Finn også styrken for testen i b) for denne 0-verdien. Kommenter resultatet. e. En vil teste om

T har sannsynlighetsfordeling som angitt i denne oppgaven.

Bruk tallmaterialet og oppdeling i intervaller som gitt nedenfor. Velg selv nullhypotese og alternativ hypotese.

Gjennomfør testen med signifikansnivå 5%.

antall observasjoner intervall nr.

intervall

i intervallet (XJ

1

< 0 , 25 ]

12

2

0.2 .

En tar for seg ialt 450 apparater og ønsker av praktiske grunner å basere

testen på det antall Y av disse som har høyst én defekt A-komponent. Vis at ovennevnte hypotese og alternativ kan skrives

Ho : 0 > 0.96

mot

0 < 0.96 ,

der 0 har samme betydning som i punkt a), n ansees her stor nok til at Y's fordeling kan approksimeres ved en normalfordeling. Utled testen, og beregn teststyrken (tilnærmet) for p = 0.30. Velg 5% signi­

fikansnivå. OPPGAVE 323 (NTH, 00711 statistikk 1, juni 1984. Oppg. 1)

En bjelke har momentkapasitet X kNm. Bjelken utsettes for et moment av størrelse Y kNm på grunn av ytre laster. X antas normalfordelt (n,o2), Y antas normalfordelt

(i?,t2). X og Y er uavhengige. Brudd inntreffer når momentet (Y) er større enn momentkapasiteten X.

- 228 -

p = 130 kNm, o=15kNm,

Anta først at

77 = 100 kNm, 7 = 10 kNm.

a. Hvor stor er sannsynligheten for at momentet (Y) skal være mindre enn

130 kNm? Hvor stor er sannsynligheten for at momentkapasiteten (X) skal være større enn 100 kNm? Gi en fortolkning av disse sannsynlighetene. b. Hvor stor er sannsynligheten for brudd?

Anta nå at p er ukjent, mens de øvrige parametrene har samme verdier som angitt ovenfor.

c. Hvor stor må p minst være for at sannsynligheten for brudd skal bli høyst 1 %? Oppgave 324 (NTH, 00711 statistikk 1, juni 1984. Oppg. 2) Ved en liten bedrift arbeides det i to skift, et dagskift og et kveldskift. En er interessert

i å studere fraværsmønsteret og har derfor gjennom lengre tid registrert fravær i hvert

av de to skiftene. På grunnlag av dette er en kommet fram til følgende todimensjonale

fordeling, der X betegner antall som er fraværende fra arbeid i dagskiftet én bestemt dag, og Y antall som er fraværende fra arbeid i kveldskiftet samme dag. V

X

0

1

2

3

0

0.40

0.25

0.05

0.00

1

0.10

0.05

0.04

0.02

2

0.00

0.05

0.03

0.01

P(X = x, Y = y) = px y (x,y) .

a. Bestem de marginale fordelinger for X og for Y, og beregn forventnings­

verdier og varianser i de to fordelingene. Er X og Y stokastisk uavhengige? b. Hvor stor er sannsynligheten for at antall fraværende på kveldskiftet en gitt

dag skal være større enn antall fraværende på dagskiftet samme dag? Bestem også sannsynlighetsfordelingen for det totale fravær (T = X + Y) en gitt dag.

Beregn E(T) og Var(T). c. Finn til slutt Cov(X,Y) og korrelasjonskoeffisienten p(X,Y). Kommenter

resultatet.

- 229 -

Oppgave 325 (NTH, 00711 statistikk, 1, juni 1984. Oppg. 3)

Antall (X) kolibakterier i v0 liter drikkevann fra en bestemt drikkevannskilde antas være Poissonfordelt med punktsannsynlighet:

P(X = x) = (e~ÅV° , X!

x = 0,1,...

a. Bestem E(X) og Var(X). Hvorfor er det naturlig å oppfatte Å som et mål for forurensningsgraden?

I punkt b) og c) antar vi at Å = 3. b. Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt liter av drikkevannet

skal være fri for kolibakterier? Hvor stor prøve (v0 liter) må en ta for at

prøven med en sannsynlighet på minst 0.9975 skal inneholde en eller flere kolibakterier? c. Drikkevannet kontrolleres ved at en tar to tilfeldig valgte vannprøver, hver på én liter, bestemmer det gjennomsnittlige antall kolibakterier i disse to prø­

vene og slår alarm dersom dette gjennomsnittet er større enn 1. Hvor stor er i såfall sannsynligheten for at det skal bli slått alarm? d. Å antas nå å være ukjent og skal estimeres. Estimatoren skal baseres på antall kolibakterier en finner i to tilfeldig valgte vannprøver. La Xi betegne antall kolibakterier i den første vannprøven som er på Vj liter, mens X2 er antall kolibakterier i den andre vannprøven som er på v2 liter.

Følgende to estimatorer er foreslått:

og _ Xi + X2 Vi + v2 Undersøk egenskapene ved disse to estimatorene. Hvilken av de to vil du fore­

trekke? Bestem til X i og X2.

slutt sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for Å, basert på

-230-

Oppgave 326 (NTH, 00722 statistikk II, juni 1984. Oppg. 3) For å bestemme målenøyaktigheten o av et bestemt måleinstrument skal en foreta n

målinger av en størrelse //. n er kjent av forsøkslederen, (men ikke av den som utfører målingene). Måleresultatene Xj,. .. , Xn antas uavhengige og normalfordelte E(Xj)=p, Var(Xj)=a2 , j = 1,...,n.

a. Utled sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren * a for o. b. Bestem et (l-a)-konfidensintervall for a2. Gjennomfør estimeringen, og bestem konfidensintervallet numerisk når

M = 22.9, n = 10, a velges lik 5% og måleresultatene er:

22.6 , 23.0, 22.5, 23.2, 22.9, 22.7, 23.0, 22.5, 22.7, 22.9.

c. Kan en på grunnlag av måleresultatene i b) påstå at a2 > 0.04? Formuler problemet som et problem i hypotesetesting, og angi en testmetode som har signifikansnivå 5%. Gjennomfør testingen.

Oppgave 327 (NTH, 00742 statistikk II, juni 1984. Oppg. 1) OO

7

-

/----

.) (I denne oppgaven kan en uten bevis bruke at J ax2e"ax dx = 0 4V a

Dette er en undersøkelse av rustdannelse på eksospotter til biler av et visst merke, som skjer ved at en registrerer den distansen (målt i 10.000 km) en bil har kjørt før gjennom-

rustning av bakre eksospotte. La X betegne den avleste kilometerstand. Det er rimelig å anta at X er Weibull-fordelt

med sannsynlighetstetthet (1) fy(x) = 2Åxe"^x

for

x>0

der Å er en ukjent parameter større enn 0. a. Anta i dette punkt at Å har verdi 0.01. Hva er da sannsynligheten for at den registrerte kilometerstand (X) er større enn 10? Finn forventningsverdien og medianen til X. b. Vis at Z = 2ÅX2 er x2-fordelt med 2 frihetsgrader og bruk dette til å finne

Var(X).

- 231 -

Vi er interessert i å estimere Å og har loddtrukket 10 Trondheimsregistrerte biler av

dette merket og registrert kilometerstanden for hver bil ved første gjennomrusting av bakre eksospotte. Resultatene ble (levetid angitt i 10.000 km)

Xp 3.0

5.3

6.5

7.0

8.5

SXj=94.4

9.3

10.1

11.6

14.1

19.0

SXj2 = 1083.46

c. La U betegne den minste av observasjonene: U = min Xj . j Finn fordelingen til U og bestem E(U).

d. Vis at sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren for Å, Å = ——. LXj

e. Bruk resultatet i b) til å finne et 95% konfidensintervall for Å basert på Å.

f. Vis at 0 =

SX:2 ----- i- er en forventningsrett estimator for 9 = , mens Å må n korrigeres for å bli forventningsrett for Å. Hva blir korreksjonsfaktoren?

Oppgave 328 (NTH, 00742 statistikk II, juni 1984. Oppg. 2)

En geolog vil sammenligne hardheten hos flintsten fra 2 forskjellige områder A og B.

Ved å skrape to og to stener mot hverandre avgjorde en hvilken av de to som var hardest. Den sten som ble utsatt for minst avskraping, ble bedømt som den hardeste av de to. På den måten kunne alle 10 stenene innbyrdes rangordnes med hensyn til hardheten. (Høy rang svarer til høy hardhet.)

Resultatet ble: Innsamlingsplass:

AAABABAB

Rangnummer:

1

B

23456789

B 10

Undersøk med 5% signifikansnivå om den gjennomsnittlige hardheten av stener innsamlet i A-området er mindre enn av stener innsamlet i B-området.

- 233 -

Facit

Oppgave b. 0.4

6

a. 0.1

7

a. 0.028

8

a. 0.6

9

a. 0.59

10

0.344

11

a. 0.6

12

a. 0.0002

13

a. 0.33

14

a. 0.026

15

a. 0.26

16

a. 0.47

17

a. 0.344

18

a. 0.033

19

a. 0.0132

21

0.625 a. 0.42

22

c. 0.3 c. 0.5

b. 0.056 b. 0.3

c. 0.9

d.0.1

c. 22

b. 0.33 b. 0.15

d. 0.28

c. 0.37

b.0.12 b.0.10

c. 0.58

b. 0.08 b. 0.167

b. 0.000002

0.632 b. 4.8-10^

f. 1.4-10'3

g. 2.4 *

23

0.442

24

0.5

25

0.616

26

0.95

27

0.362

28

0.4929

29

a. 0.75

30

Nei

31

35

Nei np 6 P

37

0.17

38

a. 0.35

39

2.2

40 42

a. 1 eller 2 b. 0.143 0-' (1-0)0^ sØ'1

43

b. 2 eller 3

0.406

c. 0.9998 c.2.1-10’2

104

h. 1.4-10’5

0.232

b. 0.83

c. 0.63

d. 0.75

iip_49p2 6 p 36 P b. 0.39

0.62

d.3.5-10’3

c. 0.74

0.83

c. 5 s(1-0)0’2

e. 2.0-10’3

i. 1.5-10-6

- 234 -

Oppgave

44

b. 0.5 0.5

45

2930

d. 0.5 0.667

c. 0.5 0.7

1

0.55

b. 1000

46

a. 0.001

47 48

0.37 0.74 a..lArctg(|)+|

49

k = a-1

50

k = (2o)-1

53

0.01876

54

0.398

58

Nei

59 60

0.129 1 0.7

0.86

c. 0.632

0.35

0.89

0.7

1

2.92

b. 3.5

e. 0.819

b. lArctg(||

-0.06

12 61

d. 0.225

0.93

3.53

62

b. Nei

64 66

b. 1.41 1.77 0.20 0.68 ba’1 bfa+Da-2

68

a. 1 \

71

2

4

72

n

2

73

a. 0.9087

74

a. 0.02

75

a. 0.1587

93

b. 100

94

b. 120.83

95

a. 0.138

96

a. 0.9545

97

b.

98

a. 0.95

99

a. a3b’3

13~x 12 c. 0.19

5005-242y-11y2 6768

E(V) = -0.10

b. -L SÅj

-0.021

c. -11 6Åj

b. 0.7098

c. 0.1355

b. 138.55 b. 0.0008

c. p c. Ja. b. 0.105 b. 0.0031

0.361 b. 5

c. 0.938

c. ^a3c-2

6.85

b. 0.80

100

a. 0.3

101

a. 0.5

102

a. 0.79

103

c. 4

104

a. 0.2

b. 0.22

105

a. 0.56

0.75

106

a. 0.5

107

a. 0.25

108

a. 7.98

109

a. 0.025

b. 0

6.14

4

c. 178

b. 0.19

0.43

c. 21.7

c. 0.2

d. 0.9

0.75 0.21

b. 0.33 b. 0.5

b. 0.61

0.39

b. 0.53

e. 0.4

c. 20.404

20.394

- 235 -

Oppgave

111

b. 3.57

116

d. 4

c. 378.12 e. p 3

180

p1 1 er best

181

Nei

182

Nei

183

Ja

184

Ja

185

a. 1020

186

Ja

187

iii. k = 0

188

Ja

189

Ja

190

c. k2 er ikke forventningsrett

191

b. 4.1

192

b.

193

Ja

194

b. Ingen grunn til forkasting

195

b. Ja

196

Nei

c. Forkasting

e. 16

c.3 n > 11

b. 995

0.6

c. 0.3

er best.

c. Ingen grunn til forkasting

197

c. (1-Å)(1+7Å)‘l

198

c. 0.833

200 201

0 i er best b. Ø'1 c. Ø^-Ø’1

202

Ingen grunn til forkasting

203

b. k = 6. Ingen grunn til forkasting

205

a. 01 er best

206

Tilsetningen har virkning

208

209

a. 1(2N+1) c. tx-(N2 + N - 2) J lo a. Selskapet har grunn til å hevde at Å > 6

210

Ja

b. n = 90 n = 2.000

c. 0.417

d. n = 5

- 237 -

Oppgave b. c = 0

211

a. 1.6

212 213

e. 0.063 d. 10'3

214

Ja

215

b. 15

217

b. Nei

c. 0.367

218

a. 0.10

b. 0.27

219

Nei

220

e. s = 5

c.3'1

f. 1.8

d. 200

c. Nei

e. 50

-25

c. 0.25

50

50

d. 0.33

d. 100

221

a. 0.0009

225

c. 11

227

c. 0.62

228

a. 0.037

0.132 0.24

229

a. 0.1587

0.48

230

a. 0.323

231

b. (0.99, 68.63)

c.3

0.827

d. 0.2650

0.1729

c. 1.06-0.35

b.0.89

d.

c.0.5 0.196

1.06

d. 0.5

0.446 c. Forkasting

d. 0.95

232

Forkasting

234

a. 0.1056 0.9616

235 236

a. 0.423 0.681 b. 0.687 a. 0.0004 c. Forkasting e. [0.13,15.49]

237

b. k = |

238

a. 0.865

f. Ingen grunn til forkasting

c. Ingen forkasting

b. 0.9515

e. (0.15, 1.18)

f. Ingen grunn til forkasting

240

241 242

(8.43,26.8)

c. Forkasting

b. 0.62

a. 0.2 0.2 Nei

0.0384

c. 0.1057

f. Forkasting

c. 0.84

d. 0.19

f. 62.50

g. 61.55

h. 19

j. (43.20, 90.92) 244 245 246

d. 1.7

(1.20,18.53)

b. k = 9 e. c = 23 b. (240.33, 299.67)

Forkasting

c. E(R2 - o2 )2 =

E(S2-o2 )2 =

o4 n2

ø* n-1

d. Forkasting 247 248

b. 0.917 0.898 c. Ingen forkasting d. [12.55,30.49]

249

a. 0.095

d. 0(85.75) = 0.8

c. Forkasting

g. 0(85.75) = 0.65

e. p = 0.5

f. Forkasting

i. 10

250

b. [0.0037,0.0133]

251

c. kj=8

252 254

b. Forkasting c. 35 d. Forkasting a. 0.29 e. [6.10-10-4,38.43• 10'4 ]

g. a = 2.62

e. n=13 I

d. 0(0.10) = 0.43

h. 0.926

f. Forkast når Y > 2

j. 0.122

f. Forkast når STj2> 1313.3

- 238 -

Oppgave 255

forkast når |0| >0.051

e. a =5.99 0 = 0.06 [0.0013,0.017]

256

a. 0.6339 0.546

257

d. Forkast når SX, < 29.1

258

c. [1.23,4.39]

259

a. 0.590

260

a. 0.48 0.62

261

a. 0.046 0.0046

262

a. 0.159 104.935

g. Forkasting

c. n>7 e. 0.96

0.95

d. 56

c. 13.45 0.172

SSn"2

c. 10.859 c. Ingen forkasting

b. 103.29 101.645

d. 0.95

e. 30

d. 12.14

263

b. 0.92 0.84

264

a. 0.841 0.50

265

b. 0.645 0.572

267

a. Nei

268

b. ptj = 26.7 - 2.7tj

Forkasting

b. 349.35

e. [10.45, 14.11]

c. 0.868

b. Ingen forkasting 0.794

d.n>9

c. Ingen forkasting

d. [-2.91,-2.49]

e. Forkasting

f. 11

g. [0.0076, 0.1697] 269

a. 0.368

d. Nei

b. 0.736

270

c. 0.046 0.25

273

c. [-5.54, 10.40]

274

f. n>3 h. 0.816

276

f. Forkasting

278

d. 0.86

279

b. Nei

280

a. 0.017 0.017 1 d. Å^-0.27

281

a. 0.008 0.545

c. 0.204

282

b. n > 34

283

c. [0.025, 0.661]

284

a. 0.304

285

a. 0.6472 0.6287 0.3845

286

c. [0.4982, 0.5036]

287

a. 0.442 0.569

288

Var Å = 0.111 X e. 0.795 * 10 5 e. [0.515- 10-5, 1.220- 10-5]

289

a. 0.309 0.057

290

f. M = 789.5 + 0.55 t a. 0.75 0.016 80.48

d. Ingen forkasting

g. 0.305 0.622

e. 0.06

a. 0.159

292

a. 0.75

293

b. 2400

294

a. 0.0762

295

a. Forkasting

297

0.72

298

a. 0.106 0.038

d. 0.083

c. Ingen forkasting

0.159

0.016 80.48

b. 0.977 b. 0.977

0.98 0.97

VarÅ =0.163Å

c. Ingen forkasting

e. Forkasting

c. 0.462

0.29

b. 0.0008

0.208

c. [788.8, 801.2]

c. 0.462

0.29

0.492 0.548 0.576

b. [0.036, 0.254]

c. 17

[0.158, 0.442]

d. Ingen forkasting

b. [788.8, 801.2]

c. 0.362

e.

e. 0.795 * 10-5

c. Å = 0.867 • 10'5 Å = 0.889 • 10"5

0.318

291

[0.276,0.348]

c. 1.26

b. 2.96

c. 15

d. Ingen forkasting

d. Ingen forkasting

f. Ingen forkasting

- 239 -

299 300

a. k = 9 Ingen forkasting b. Ingen forkasting c. [2.67,12.17] n^44 a. E(T2)=0 Var(T) = 02 d. 487.4 0.984 e. Ingen forkasting

301 302

a. 0.1 0.7 0.2

303

b. Forkast d. Ingen forkasting f. [45.75,49.35] [45.41,49.69]

304

c. 0.322

d. n = 19

305

a. 0.281

b. 0.042

306

a. 0.12

307

a. 0.102

308

a. 0.25

309

c. 0.83 [0.50,1.16] d. Forkast

310

b. [0.526,1.74] c. Forkast d. Ingen forkasting

311

a. 0.401 0.198

e. 6 = 487

b.0.19

d. 0.012

c. 0.072

p = -0.509

e.j 14

0.984

c. 0.50 d. 4.715

b. 0.322 d. 19

b. 0.018 e. 0.988

c. 0.121

b. 0.215

f. Ingen forkasting

a. 8

313

a. r2/3

314

a. 0.886

0.038

315

a. Å = 8

E(X)=8

r4/5

d. Ingen forkasting

e. 0.064

h. [-1.15,6.15] j. Ingen forkasting

b. E(X i X > 4) = 8.51

312

f. Ingen forkasting

e. 0.198

d. Forkast

4r4/45

b. 2r2/3 b. 0.924

c. n>21

d. k = O.4664ro2

0.75

b. 0.136

8.51

c. 0.736

0.9

d. Forkast

e. Ingen forkasting 316

lj og l2 ikke uavh. c. Var(X) = 1 2Å2 b. 0.37 0.969

E(Y) = 1

317

a. 6 a. Å

318

a. P(AAB *)

319

a. [0.0849,0.1057] b. Forkast d. [8.30,9.88]

321

a. 0.006 0.988 b. 0.5

322

d. 0.993

323

a. 0.9987 0.977

324

a. E(X)=0.39

b. 0.37

=0(1-p)

*j P(B

= 1-Øp

e. [6.00,6.04]

b. 0.048 c. 141.93

Var(X) = 0.42

E(T) = 1.07, v0>2.0

e. Ingen forkasting

E(Y)=0.68

Var(Y) = 0.64

Var(T) = 1.47 ^c. Cov(X;Y)= 0.205

p(X,Y) = 0.40

c. 0.938 d. Var(Å) < Var(Å)

325

b. 0.05

326

b. [0.03,0.18] c. Ingen forkasting

327

a. 0.37 8.86 8.33

b. Var(X) = (4 - tt)/4å e. [0.0044,0.0157]

f. (n-1)/n