Oeuvres completes, Volume 9: Series 1 [1 ed.] 9780511702389, 9781108002769 [PDF]

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Cambridge Library CoLLeCtion Books of enduring scholarly value

Mathematical Sciences From its pre-historic roots in simple counting to the algorithms powering modern desktop computers, from the genius of Archimedes to the genius of Einstein, advances in mathematical understanding and numerical techniques have been directly responsible for creating the modern world as we know it. This series will provide a library of the most influential publications and writers on mathematics in its broadest sense. As such, it will show not only the deep roots from which modern science and technology have grown, but also the astonishing breadth of application of mathematical techniques in the humanities and social sciences, and in everyday life.

Oeuvres complètes Augustin-Louis, Baron Cauchy (1789-1857) was the pre-eminent French mathematician of the nineteenth century. He began his career as a military engineer during the Napoleonic Wars, but even then was publishing significant mathematical papers, and was persuaded by Lagrange and Laplace to devote himself entirely to mathematics. His greatest contributions are considered to be the Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique (1821), Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823) and Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie (1826-8), and his pioneering work encompassed a huge range of topics, most significantly real analysis, the theory of functions of a complex variable, and theoretical mechanics. Twenty-six volumes of his collected papers were published between 1882 and 1958. The first series (volumes 1–12) consists of papers published by the Académie des Sciences de l’Institut de France; the second series (volumes 13–26) of papers published elsewhere.

Cambridge University Press has long been a pioneer in the reissuing of out-of-print titles from its own backlist, producing digital reprints of books that are still sought after by scholars and students but could not be reprinted economically using traditional technology. The Cambridge Library Collection extends this activity to a wider range of books which are still of importance to researchers and professionals, either for the source material they contain, or as landmarks in the history of their academic discipline. Drawing from the world-renowned collections in the Cambridge University Library, and guided by the advice of experts in each subject area, Cambridge University Press is using state-of-the-art scanning machines in its own Printing House to capture the content of each book selected for inclusion. The files are processed to give a consistently clear, crisp image, and the books finished to the high quality standard for which the Press is recognised around the world. The latest print-on-demand technology ensures that the books will remain available indefinitely, and that orders for single or multiple copies can quickly be supplied. The Cambridge Library Collection will bring back to life books of enduring scholarly value across a wide range of disciplines in the humanities and social sciences and in science and technology.

Oeuvres complètes Series 1 Volume 9 Augustin L ouis C auchy

C A m B R I D g E U N I V E R SI T y P R E S S Cambridge New york melbourne madrid Cape Town Singapore São Paolo Delhi Published in the United States of America by Cambridge University Press, New york www.cambridge.org Information on this title: www.cambridge.org/9781108002769 © in this compilation Cambridge University Press 2009 This edition first published 1896 This digitally printed version 2009 ISBN 978-1-108-00276-9 This book reproduces the text of the original edition. The content and language reflect the beliefs, practices and terminology of their time, and have not been updated.

(EUVRES COMPLETES

D'AUGUSTIN CAUCHY

PARIS. - IMPRIMERIE GAUTHIER-V1LLARS ET FILS, i^">r,i Quai des Augustins, 55.

(ElVRES COMPLETES

DAUGUSTIN CAUCHY l»l BLIKES SOUS L.A DIRECTION SCIKNTIFIQl'K

DE T/VCADEMIE DES SCIENCES ET SOLS LES AUSPICES

DE M. LE UINISTRE DE ^INSTRUCTION

IR1 SERIE. -

PUBLIQUE.

TOME IX.

PARIS, GALTH1ER-V1LLARS ET FILS, IMPRIMEURS-L1BKAIRES DC

DURE.VU

D E S L O N G I T U D E S ,

DE

L ' E C O L E

Quai des Augustins, 55. M DGCG XCVJ

P O L Y T E C I I M Q

U E .

PREMIERE SERIE. MEMOIRES, NOTES ET ARTICLES EXTRWTS DES

RECUEILS DE L'ACADEMIE DES SCIENCES J)E L'INSTITUT DE FRANCE.

OEuvresde C. — S. I, t. IX.

III.

NOTES ET ARTICLES EXTRAITS DES

COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES STANCES DE L'ACADfiMIE

DES SCIENCES.

(SUITE.)

NOTES ET ARTICLES EXTRAITS DES

COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES SEANCES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES.

277. ANALYSE MATHEMATIQUE.

— Memoire sur Vemploi des variables

mentaires dans le developpement des fonctions

comple-

en series,

C. R., T. XX, p. 280 (3 fevrier 1845),

On appelle, en Arithmetique, nombres complementaires (' ) deux nombres dont la somme est une unite d'un certain ordre; et Ton dit de meme, en Geometrie, que deux angles sont complements Tun de Tautre, lorsque leur somme equivaut a un angle droit. En transportantcette locution dans l'analyse algebrique, nous appellerons variables complemenlaires deux variables dont la somme sera Tunite. I/objet de ce Memoire est de montrer les grands avantages que presenle l'em( x ) En etendant cette definition, on a dit encore que deux nombres Qt^ni complements l'un de l'autre, quand ils offraient pour somme un nombre donne. L'usage des complements dans les operations de l'Arithmetique est l'objet special d'un Ouvrage publie en 1823 par M. Berthevin. En parcourant dernierement cet Ouvrage, j'y ai trouve. pour le calcul abrege" du produit de deux nombres, quelques regies dont chacune coincide au fond avec celle que j'ai rapportee dans le Compte rendu de la seance du 16 novembre 18 jo [page 795 («)], et qui s'y trouve exprimee en termes tellement simples que, pour la demontrer, il suffirait de traduire son enonce en formule algebrique. ( a ) QEuvres de Cauchy, S. I, T. V, p. 431.

6

COMPTES RENDUS 1)E L'ACADEMIE.

ploi des variables complementaires dans le developpement des fonctions en series ordonnees suivant les puissances entieres, positives, nulle et negatives, d'une ou de plusieurs variables. ANALYSE.

§ I. — Considerations generates.

Soil

__

une variable imaginaire dont r designe le module et p 1'argument. Nommonsy une autre variable liee a x par l'equation (l)

X - f - J = I.

Je dirai que les deux variables x9 y, dont la somme est i'unite, sont complementaires Tune de 1'autre. Soit maintenant

le rapport des deux variables complementaires y et x. On tirera des equations (i) e t ( 2 ) , non seulement (3)

y = i-*>

z

= -T->> X

mais encore (4)

x = i— y,

Lz=zl^.Zt X

Or il suit evidemment des formules (4) que toute fonction entiere de x et de -> c'est-a-dire tout polynome compose de termes proportionnels a des puissances entieres, positives, nulle et negatives de x, pourra etre transforme en une fonction entiere des deux variables y9 z; et, reciproquement, il suit des formules (3) que toute fonction entiere des deux variables z9 y pourra etre transformee en un semblable polynome. Done, lorsqu'une fonction F(x) de la variable x aura ete developpee suivant les puissances entieres, positives, nulle et nega-

EXT RAIT N° 277.

7

tives de cette variable, il suffira de recourir aux equations (4) pour transformer ce developpement en une serie ordonnee suivant les puissances entieres, mais positives dey, z. Si, au contraire, par un moyen quelconque, on est parvenu a developper F(a?) en une serie simple, ou meme en une serie double, ordonnee suivant les puissances entieres, mais positives dey et s, il suffira de recourir aux equations (3) pour transformer cette serie en un developpement ordonne suivant les puissances entieres, positives, nulle et negatives de la variable x. II y a plus : on doit etendre cette remarque au cas oil la fonction F(a?) serait developpable en une serie ordonnee suivant des puissances fractionnaires ou irrationnelles des variables y, z; ce qui arriverait, par exemple, si F(a?) pouvait etre consideree comme le produit d'un facteur equivalent a une puissance positive ou negative, fractionnaire ou irrationnelle de la variable/, par un autre facteur developpable en serie ordonnee suivant les puissances entieres et positives des deux variables y, z. II arrive souvent que le developpement de la fonction F(a?) en une serie ordonnee suivant les puissances entieres de la variable x exige de longs calculs, et qu'il est, au contraire, facile de developper cette fonction en une serie ordonnee suivant les puissances ascendantes de la variable complementaire yf et du rapport z ou - de ces deux vaOC

riables. Alors les transformations que nous venons de mentionner deviennent tres utiles, et, par consequent, la consideration de la variable complementaire fournit le moyen d'abreger notablement le travail. D'ailleurs les formules que fournissent les diverses transformations dont nous venons de parler subsistent seulement sous certaines conditions et supposent evidemment la convergence des series transformees. II est essentiel de connaitre ces conditions, et c'est pour y parvenir que nous avons etabli la plupart des theoremes enonces dans la derniere seance. Nous allons, dans le paragraphe suivant, presenter quelques observations qui permettront d'introduire dans notre ana-

8

COMPTES RENDUS DE L'ACADEMIE.

lyse une precision plus grande, et de donner aux theoremes dont il s'agit une extension nouvelle. § II. — Theoremes generaux. Dans le Memoire que renferme le Compte rendu de la seance du 2o Janvier dernier, nous avons etabli le theoreme suivant : THEOREME I. — Soit une variable imaginaire dontp designe I'argument. Soit encore F(a?) une fojiction de x qui se decompose en deux facteurs represents, Vun par rs{cc)y Vautre par f ( j ) , y etant lui-meme fonction de x; et supposons que i\y) res^e fonction continue de y pour tout module de y qui ne surpasse pas une certaine limite y. En/in, soit kn le coefficient de xn dans le developpement de F(x) en se'rie ordonnee suivant les puissances entieres de x; et posons

A it developpement de f (y) en se'rie ordonnee suivant les puissances entieres et ascendantes de y correspondra un developpement de Kn qui sera convergent si la valeur trouvee de Y rend convergente la serie modulaire qui correspond au developpement de Vintegrale , . (i)

i —

r% _ n m{x) x~n-—~^-dp /

suivant les puissances entieres et ascendantes de Y. Corollaire /. — Supposons maintenant que xs{x) reste fonction continue de xf pour tout module de x inferieur a une certaine limite x. Concevons d'ailleurs que la valeur de n soit positive, la lettre n representant un nombre entier quelconque, et que le developpement de Y(x) en serie ait ete effectue pour un module r de x inferieur a x, mais tres peu different de x, Enfin prenons

EXTRAIT N* 277.

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L'integrale (i), dans laquelle on devra supposer le module r de x inferieur a la limite x, deviendra

et, en raisonnant comme a la page i34 ('), on prouvera que le developpement de l'integrale (2) en serie ordonnee suivant les puissances ascendantes de Y est convergent avec la serie modulaire correspondante quand Y verifie la condition Y mais encore dans le cas contraire, si, d'ailleurs, lavaleur de Y rend converger)te la serie modulaire qui correspond au developpement de la fonction (

Y

suivant les puissances entieres et ascendantes de Y. II y a plus : on pourra supposer, dans ce theoreme, comme au commencement de ce paragraphe, que u(x) reste fonction continue de x seulement pour tout module de x inferieur a x, et que An represente le coefficient de xn dans le developpement de F(a?), calcule pour un module de x inferieur a la limite x, mais tres peu different de cette limite. En consequence, on pourra enoncer la proposition suivante : THEOR£ME

II. — Soil

une variable imaginaire dont r designe le module et p Vargument. Soient, de plus, zs(x^) une fonction de x qui reste continue pour tout module de x inferieur a une certaine limiie x, et {(y, -s) une fonction de y, z qui demeure continue pour tous les modules de y9 z qui ne surpassenl pas certaines limites y, z. Faisons d'ailleurs Y=^, y

Z=I, z

et nommons F(a?) une fonction de x determinee par le sysleme des equations (5) (6)

F{x)=7s{a;)t(y,z), y = i-*,

==^>

en sorte que, dans Vequation (5), x, y representent deux variables complementaires, et z le rapport de ces variables. Enfin supposons que, pour un module de x inferieur a la limite x, mais tres peu different de cette limite, on ait developpe la fonction F(a?) suivant les puissances entieres, positives, nulle et negatives de x, et que, la lettre n designant un nombre entier quelconque, on represente par An le coefficient de xn dans le deve-

12

COMPTES RENDUS DE L'ACADEMIE. loppement de F ( # ) . Alors, au developpement de f(y, s) suivant les puissances entieres et ascendantes de y, z, repondra un developpement de kn qui sera convergent avec la serie modulaire correspondante si les valeurs deY, Z verifient la condition (7)

Y+

Z,0(i-aO]

reste, pour un module de x tres voisin de x, fonction continue de x et de 0. En/in concevons que, pour une valeur reelle on imaginaire.de 0 correspondante a un tres petit module, on developpe la fonction

i° en une serie simple ordonnee suivant les puissances ascendantes de x; 2° en une serie double ordonnee suivant les puissances ascendantes de x et de 0; et nommons les termes generaux de ces deux series. Non settlement on aura, pour un tres petit module de 0, (i)

An

EXTRAIT N° 279.

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la somme qutindique le signe S setendant a toutes les valeurs entieres, nulle et positives de m; mais, de plus, si Von attribue a 0 une valeur reelle et positive qui ne surpasse pas Vunite, I'equation (i) continuera de subsister, pourvu que cette valeur positive verifie encore la condition

Demonstration. — Concevons que, en admettant les suppositions enoncees, on attribue a la variable x un module tres voisin de x; alors, pour un tres petit module de 0, l'expression

sera fonction continue de x et de 0. Done alors la serie double, qui representera le developpement de cette fonction suivant les puissances ascendantes de x et de 0, sera convergente, et la formule f [ > , 6(i ~ x)] =IAflxn

— 2H /;2 ,, t Q m x n

entrainera l'equation A

Concevons maintenant que Ton fasse varier le facteur G, en lui attribuant une valeur reelle et positive, et que, dans la fonction

on assigne a x un module qui difFere tres peu de x, en designant d'ailleurs Targument variable de x par la lettre p. Tant qae le facteur G ne surpassera pas l'unite, l'expression

restera, par hypothese, fonction continue de 6 et de x, et Ton pourra en dire autant du coefficient kn de x11 dans le developpement de cette fonction, attendu que ce coefficient kn pourra etre cense determine par la formule (3)

An=z— OEuvres de C. — S. I, t. IX.

f

x-»f[w96(i-

V2

COMPTES RENDUS DE L'ACADEMIE.

Done, en vertu du theoreme I du § I, l'equation

continuera de siibsister pour toute valeur reelle et positive de 0 qui ne surpassera pas la limite i, si d'ailleurs la serie dont le terme general est offre un module inferieur a l'unite. Or cette derniere condition sera certainement remplie, en vertu d'un theoreme enonce dans la derniere seance (p. 28), si Ton a 0