Nuclei e particelle [2 ed.] 9788808056283 [PDF]

Zitiervorschau

EMILIO SEGRÈ

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ZANICHELLI

Capitolo 1 Cenni storici e introduzione

Uno studio scientifico sulla natura della materia, già apparso agli albori della specula­ zione della filosofia greca, fu iniziato in senso moderno, solo nel diciassettesimo secolo, quando il metodo sperimentale e l'analisi matematica, che insieme costituiscono ciò che oggi chiamiamo il «metodo scientifico», furono impiegati per la prima volta congiunta­ mente. Tuttavia problemi più semplici e più facili dovettero essere risolti prima che si g iungesse a i n vestigare scientificamente la s t r u ttura d e lla m a teria. A gl i i n iz i d e l diciottesimo secolo (1738) Daniele Bernoulli fece i primi tentativi per formulare una teoria cinetica dei gas fondata su modelli puramente atomici, ma la scienza in cui i concetti atomici assunsero per primi un a i m portanza fondamentale fu la chimica, II successo dell'ipotesi atomica (Dalton, 1803) che spiegava sia qualitativamente che quantitativamente innumerevoli fatti della chimica, la costruzione delle tavole dei pesi atomici, la scoperta della legge di Avogadro (1811) e delle leggi di Faraday sull'elettrolisi (1833) costituiscono i risultati salienti della prima parte del secolo. che resero l'ipotesi atomica altamente plausibile. Forse puo sorprendere il fatto che l'esistenza degli atomi sia stata posta in dubbio da scienziati di valore ai primi anni del ventesimo secolo. Si d eve tuttavia n o tare che un a s piegazione di t u t t i i f e n o meni c himici a l l or a n o t i richiedeva soltanto una ipotesi molto generale che prescindeva quasi totalmente dai particolari delle proprietà specifiche degli atomi, quali massa, dimensioni e forma. Una conoscenza particolareggiata della struttura atomica fu acquisita solo dopo i l 1 9 10. Nello stadio iniziale di questi ultimi sviluppi, la chimica, la teoria cinetica dei gas e lo studio delle scariche elettriche nei gas hanno avuto una importanza fondamentale. Con

l'avvento della teoria quantistica, la spettroscopia divenne lo strumento principale per lo studio degli «strati più esterni» dell'atomo. Negli ultimi anni, poi, il n ucleo è stato studiato molto intensamente, e già si sta sviluppando una fisica subnucleare. Le prime scoperie sperimentali che aprirono la via alla conoscenza della struttura dell'atomo si susseguirono rapidamente. Nel 1895 Rontgen scopri i raggi X, agli inizi del I896 Becquerel scopri la r a dioattività, e poco dopo Sir 3. J. T h omson, Wiechert e inimcdiatamente i'introduzione dell'idèa dci quanti di energia iPlanck, t900k I concetti quantistici. che ebbero origine dalla termodinamica, erano destinati a dominare l'intero canlpo della microfisica e a costituire, unitamente alla teoria della relatività ristretta di l:.instein (1905), i fondamenti della fisica moderna. Pur essendo impossibile raccontare qui la storia affascinante delle connessioni tra tutte queste linee di ricerca, tenteremo

almeno di dame un'idea con un esempio.

2

Capi t o l o l

terre

terre

Figura l./. D i s p ositivo impiegato da Mme M. Curie per Ia misura della conducibilità del)'aria dovuta all'effetto delle radiazioni di sostanze radioattive. AB, piatti del condensatore; la sostanza radioattiva è posta in B: DC, messa a terra; E, elettrometro; P, pila; Q, quarzo piezoelettrico; tt, peso. [Mme Curie, 1899]. Becquerel scopri la radioattività mentre, su suggerimento di Poincaré, ricercava nei sali di uranio una ipotetica relazione tra la fluorescenza ottica e i raggi X, allora da poco scoperti. Tale relazione risultò illusoria, ma questi studi aprirono la via a importanti sviluppi. M a ri a C u rie osservò che, sebbene la radioattività dei composti di u r a nio misurata nei prodotti chimici puri fosse proporzionale al contenuto di uranio stesso, nei minerali da cui questi erano estratti essa risultava molto piu alta di quanto ci si potesse aspettare in base al contenuto di uranio. Esegui allora l'analisi chimica dei minerali e misurò la radioattività delle diverse frazioni che aveva isolato (ftg. I.l). Questo metodo che è stato, ed è tut tora, fondamentale per la radiochimica. porto alla scoperta dcl polonio e del radio (1898). Grande fu la sorpresa quando si trovò che la identità chimica degli atomi r a d ioattivi c a m biava nel t e mpo. I n tensi studi d ello s t rano fenomeno condussero alla teoria del decadimento radioattivo (Rutherford, Soddy, 1903; von Schweidler, 1905), secondo l a q u al e gl i a t o m i r a d i oattivi d i u n a c e rt a s pecie si disintegrano spontaneamente e il numero di d i sintegrazioni per unità di t empo, pur mostrando le fluttuazioni caratteristiche dei fenomeni casuali è, in media, proporzionale

Figura l.2. D e llessione di raggi alfa, beta e gamma in un campo magnetico. La nomenclatura è dovuta a Rutherford (1899). [Mrne Curie, Tesi, )904].

Cenni storici e introduzione

3

al numero totale di atomi presenti. La legge, detto N il numero medio di atomi o nuclei, è espressa dall'equazione differenziale — dN =ii. N

dt

o dal suo integrale N (t) = N (0) e dove la «costante di decadimento» ii. è caratteristica del nucleo. Ricerche sui raggi emessi nella disintegrazione condussero alla loro classificazione in tre tipi: raggi alfa, raggi beta, raggi gamma (fig. 1.2). I raggi alfa sono particelle fortemente ionizzanti e sono assorbiti da pochi centimetri di aria; dalla loro deflessione in campi elettrici e magnetici si riusci a riconoscerli come ioni di elio aventi carica positiva doppia, o He ' + . Q uesta conclusione trovò conferma diretta in un esperimento in cui le particelle alfa erano introdotte in un tubo di vetro in cui si era fatto il v u o to ; dopo che un numero sufficiente se ne era accumulato, una scarica elettrica nel tubo mostrò le righe spettrali dell'elio (Rutherford e Royds, 1908)

(fig. 1.3). I raggi beta penetrano spessori di alluminio di qualche decimo di millimetro e sono identici agli elettroni degli atomi. Essi furono identificati per mezzo della deflessione in campi elettrici e magnetici.

A T

o

D

Figuru l.3. I l R a d on contenuto in un capillare a parete sottileAB emette particelle alla che attraversano le pareti. L'elio raccolto nello spazio vuoto T viene compresso nel capillare V; producendo una scarica elettrica si vede lo spettro caratteristico dell'elio. [Rutherford e Royds, 1908].

4

capau l o I

I raggi gamma penetrano diversi centimetri di piombo, non sono deflessi da campi elettrici o magnetici e sono radiazioni elettromagnetiche di alta energia della stessa natura dei raggi X. Altri tipi di radiazioni o particelle di grande importanza per la fisica nucleare, come i neutroni, furono scoperti molto più tardi e non erano conosciuti nei teliipi iminediatamente segueilti la scoperta della radioattività. I cambiamenti dell'identità chimica delle sostanze radioattive dovuti all'emissione di particelle furono espressi dalla legge dello spostamento enunciata da Russell, Soddy e Fajans (1913): una sostanza (1) per emissione di una particella alfa si trasforma in un'altra che la precede di due posti nel sistema periodico; (2) per emissione di una particella beta, si t rasforma in u n a sostanza che la segue di u n p o sto nel sistema periodico. Il peso atomico diminuisce di quattro unità nel primo caso c resta immutato nel secondo. Una disintegrazione alfa seguita da due disintegrazioni beta deve, pertanto, dare una sostanza che ha un diverso peso atomico ma «che occupa lo stesso posto» (isotopo) della sostanza madre nel sistema periodico. Il concetto di isotopo, sviluppato per gli elementi radioattivi, fu esteso da J. J. Thomson e da Aston agli elementi stabili

ordinari (1913-1919). La scoperta da parte di von Lauc, Friedrich e Knipping (1912) della diffrazionc dei raggi X apri un c apitolo nuovo della spettroscopia. Gli esperimenti di M o s eley sugli s pettri caratteristici dei raggi X c o ndussero al concetto di numero atomico Z e a l l a chiarificazione del concetto d i e l emento chimico: t u tt i gl i a t om i d i u g ua l n u mero atomico appartengono allo stesso elemento. Poco prima, nel 1911, Rutherford, studian­ do la diffusione delle particelle alfa da parte di foglie sottili di differenti materiali, era giunto a formulare l'ipotesi del modello planetario dcll'atomo. Il numero atomico Z f u quindi interpretato come la c arica positiva del nucleo assumendo come grandezza dell'unità di carica quella dell'elettrone. Applicando l'idea dei quanti di energia a questo semplice modello, Bohr (1913) riusci a spiegare lo spettro dell'idrogeno con mirabile precisione. Questa scoperta costitui il punto di partenza del tumultuoso sviluppo della fisica atomica che doveva culminare verso la fine degli anni venti nella formulazione della meccanica quantistica (de Broglie, Heisenberg, Born, Schrodinger, Dirac, Pauli e altri). L'applicazione della meccanica quantistica ai lenomeni atomici si rivelo partico­ larmente feconda perché, una volta accettata la nuova meccanica, coi suoi concetti profondamente diversi da quelli della fisica classica, la legge di Coulomb dell'elettricità basta da sola a spiegare innumerevoli fenomeni della spettroscopia, della chimica e della fisica dei solidi e, i n g enerale, a dare una completa giustificazione delle proprietà atomiche e molecolari della materia. In tu t ti q u esti studi è generalmcntc sufficiente schematizzare il nucleo come una carica puntiforme di massa opportuna. Per la fisica del n ucleo invece inizialmente lo s t udio t e orico f u l e nto e t r a sse poco p r ofitto d a l la meccanica quantistica, non essendo nota né l'identità dei costituenti nucleari né la legge secondo cui essi interagiscono. Per la verità la conoscenza delle leggi di intcrazionc è tuttora lungi dall'essere completa. N el 1919 Rutherford r i usci a d i stinguere i n u clei di a z oto b o m bardandoli co n particelle alfa e mostro che venivano emessi nuclei di idrogeno (fig. 1.4). Pcr questi egli coniò il n o m e di pr o t oni l r tp >nk> 2

come esempio di applicazione dell'approssimazione di Born. La formula fondamentale (vedi Appendice A) è do

1

p

[7 7 '70]

, I U„„ l'

d(u 4> r-'f> t>'

in cui occorre calcolare l'elemento di matrice L'„„ p e r i l

exp(i,h)(p —p') r

U,PP= Z e

I'

p o tenziale Ze' r. S i h a

[2,2.21]

dr

Questo integrale si calcola facilmente in coordinate polari quando si scelga l'asse polare nella direzione p — p' c si i n d ichi co n ù l ' a ngolo d i d e viazione e co n f > i l c oseno dell'angolo tra r e p — p'. Osserviamo che IpI = Ip'I e I p — p'I = 2p sin(0,'2) : — kh. L'elemento di volume (nell'integrale [2,2,21]) diviene 2rtdfir-'dr, c si ha 1

w e xp i kyr

U„ = Z e '

2>>rdfi r ' dr o

L'integrazione rispetto a p f o r nisce

"' = "

' " I

sin kr

' p s i n " (0/2) 4 p ' i - ' s in ( 0 2 )

[7.2.25]

che è identica alla eq. [2.2.16].

2.3. P erdita di energia per ionizzazione Una particella pesante carica che si muove nella materia oltreché subire gli urti nucleari sopra ricordati, urta anche con gli elettroni atomici. Il contributo principale alla perdita di energia è dovuto a quest'ultimo effetto. Talvolta gli elettroni atomici ricevono una quantità di energia tale da essere strappati al loro legame e sono chiaramente visibili nelle fotografie in camera a nebbia (fig. 2.4, raggi delta). Talvolta l'atomo viene eccitato ma non ionizzato, In ogni caso l'energia per questi processi è fornita dall'energia cinetica della particella incidente, che pertanto viene rallentata. In ligura 2.3 è ri p ortato un grafico della ionizzazione specifica in fur>zione del percorso. Poiché l'energia spesa nel formare un a c o p pia d i i o n i i n u n g a s r i s ulta a p prossimativamente indipendente dall'energia della particella che produce gli ioni, questa curva approssima quella della perdita specifica di energia.

ll passaggio delle radia=ioni nella materia

g

() P,

25

db

ze

Figura ~.6. Trasferimento di impulso a un elettrone da parte di una particella pesante carica in moto. I

Per calcolare la perdita di energia subita da una particella di carica ze che si muove in un mezzo contenente k elettroni cm ' , supponiamo dapprima gli elettroni liberi e in quiete. l.a forza che si esercita tra la particella pesante e un elettrone e zez,'r', in cui r e la distanza che li separa, La traiettoria della particella pesante non e modificata in misura apprezzabile dall'elettrone, che e leggero, e si puo supporre che l'urto abbia una durata talmente breve che l'elettrone vi acquisti un i m pulso senza cambiar di posizione. In questa ipotesi l'impulso trasferito all'elettrone deve essere perpendicolare alla traiettoria della particella pesante e può essere calcolato dalla r~ ~

Api = ~

e8"~d t =

eF' ,

dx l'

, ~" 1 dx = zez ~ — ,co s() J „ r

[2.3.1]

in cui F~'~ è la componente del campo elettrico. ortogonale alla traiettoria della particella, nel punto occupato dall'elettrone (fig. 2.6) e i è l a v e l ocità della particella pesante, supposta costante durante l'urto. l.'integrale si calcola facilmente applicando il teorema di Ciauss ad un cilindro di raggio b e avente per asse la traiettoria. Si osservi che il flusso di 6* attraverso questo cilindro è dato da c.' S , l a i o nizzazione aumenta per varie ragioni: la co ntrazione

28

Capi r o to 2

relativistica dcl campo coulombiano dello ione porta ad un aumento di b .,„come risulta d all'eq. [2.3.6] e a d u n a d i m i nuzione di b , „ c o m e s i v ede dall'eq. [2.3,8] e p a r te dell'energia viene sottratta sotto fo rma d i l uce (radiazione Cerenkov). Quest'ultimo effetto sarà discusso nel paragrafo 2.5. In conclusione il potere frenante per particelle cariche dovuto a ionizzazione cresce lentamente e raggiunge un pianerottolo per y = 100 ad una perdita di energia di circa 1,2 — 1,4 volte il minimo di i o nizzazione. Dalla lorma generale dell'eq. [2.3.11] possono trarsi alcune conclusioni di notevole importanza pratica. Essa puo anche essere scritta (/E

— — =z ii.(i) dx

o ppure, ricordando che l'energia cinetica di un a p a rticella di i n assa M è d e l t i p o E= Ma(e), e essendo una funzione della sola velocità,

dE

E

[2.3.12]

— — (F)=z iLE dx M

usando E come variabile o, dt:

dx

z'

(r) = — è„(c)

f 2.3,13]

M

usando invece c come variabile. Le relazioni [2.3.12] e [2.3.13] ci permettono di scrivere la perdita d i e n ergia i n f u n zione dell'energia per q u alsiasi particella, quando t a le funzione sia nota per i p r o toni. In p articolare, protoni, deutoni e tritoni della stessa velocità subiscono la stessa perdita specifica di energia. Relazioni d i s c ala analoghe valgono per i l p e r corso. Si o t t iene, usando come variabile la velocità,

R.(c)=

— dx

M « = —, ~ [~ - .(~')] 'd~= —,p.(~) z' „ ,

z'

[2.3.14]

o, usando l'energia,

[2.3.15] per chiarezza è stata indicata esplicitamente la variabile indipendente da usare nelle funzioni. L'eq. [2.3.14] no n è esatta in q u anto i n essa vengono trascurati i f e nomeni di neutralizzazione che si verificano alla fine del percorso ed altre correzioni. Essa è tuttavia sufficientemente accurata nella maggior parte dei casi, eccezion fatta per energie molto basse. Come esempio di applicazione della [2.3.15] possiamo verificare che un deutone di energia E ha un p ercorso doppio di quello di un p r o tone di energia E/2.

Una legge di potenza, semiempirica, valida da qualche MeV a 200 MeV, fornisce per le relazioni percorso-energia del protone R(E)= in cui E è in M e V e d R in m e t ri di a r i a . Dati numerici sulle relazioni percorso-energia sono riportati nelle figure 2.7 e 2,8, la

Il passaggio delle radiazroni nella materia

29

10 000

IO 30 50 100 100

1 000 alfa

0 Z 10

30 50 100 prot Olll]

2 O vj

10

l

5

10 50 100

Z 10 30 50 100

10 '

Figura 2.8. No mogramma di R. R. Wilson per la relazione percorso-energia. Le scale di sinistra sono in grammi per centimetro quadro. La scala di mezzo rappresenta l'energia cinetica in MeV, quella di destra il numero atomico Z del materiale frenante e la massa della particella. Per l'uso, collegare con una retta il percorso, l'energia e Z. [Se 59].

quale ultima presenta un nomogramma utile per valutazioni approssimate. Piu frequentemente usato di — dE/dx, potere frenante (lineare), è il potere frenante di massa. Esso dipende dai fattori A"/p ed I delle sostanze frenanti. Il numero di elettroni per centimetro cubo, W , è gr o ssolanamente proporzionale alla densità p. Se questa proporzionalità fosse esatta, il potere frenante di massa verrebbe a dipendere soltanto dalla 1(Z). In realtà .A /p, e quindi il p otere frenante di massa, decresce con lo Z del mezzo.

30

Capit o ( v 3

10 98

e 2

k

s Ne

4

O

3 P 8

0 50

100

Isu

300

X=(z /m)X(mg/cm')

Figura 2.9. P erdita di e nergia per vari ioni pesanti in a lluminio. La quasi universalità è sottolineata riportando c' = F/m in funzione di (z'/m)X =X. [No rthcliffe, Ph>s. Ree., 120, 1744, 1960]. Ioni della specie indicata incidono su una lamina di alluminio con d' =10 MeV/amu; alla profondità .f'=(z /m)X mg/cm e ssi hanno l'energia indicata sul grafico.

Gli ioni più pesanti, come "C , ' O e A , s o n o rallentati per perdita di energia per ionizzazione allo stesso modo delle particelle alfa, in particolare, la perdita di energia ceduta agli elettroni è soggetta ad una legge approssimata simile all'eq. [2.3.12]. La differenza principale è che z è sostituito da z,a=y(u)z dove y(n) è una funzione crescente della velocità, che raggiunge il suo valore limite, eguale ad 1, per u/c —- 2(z/137). Al decrescere della velocità il potere frenante dapprima aumenta, raggiungendo un massimo che per ' C e A si ve r i f ica approssimativamente per u/c= 0 ,037 e 0,059, c orrispondenti alle energie di 8 e 6 5 M e V r i s pettivamente. Ad energie inferiori l a diminuzione della carica nucleare efficace supera l'effetto della diminuzione di velocità e il potere frenante decresce con l'energia, In altre parole, il comportamento è il medesimo, su scala molto ampliata, di quello che si osserva al termine della curva di Bragg per

protoni e particelle alfa (fig. 2.2). La figura 2.9 fa risaltare la legge di scala presentando un grafico dell'energia in MeV per massa atomica unitaria (e = E / M ) i n f u n z ione dello spessore X d i a l l u m i nio, mgcm mol t i p l i cato per z'/m. Il grafico fornisce l'energia rimasta in determinati ioni pesanti, con energia iniziale comune Ã= 10, dopo aver attraversato uno spessore x di alluminio. Un caso particolarmente importante è fornito dai frammenti di fissione. La loro carica efficace è grande, raggiungendo circa 20e all'inizio del percorso, e per essi inoltre gli urti nucleari sono un fattore importante di perdita di energia. Se un frammento di numero atomico Z, attraversa un mezzo di numero atomico Z, e massa nucleare M,, la perdita specifica di energia per urti con i n u clei è proporzionale a

.Zl

Zi

Mz

[2.3.16]

Il passaggio delle radiazioni nella mareria

31

mentre quella dovuta agli elettroni è proporzionale a Z, I rii

[2.3.17]

in

La prima equazione [2.3.16] si applica nel caso di u r t i n u cleari che avvengono a distanza cosi piccola che le cariche del frammento e del bersaglio intervengono per intero, Negli urti con elettroni entra in gioco invece solo la carica risultante Z„ii del frammento di fissione e degli elettroni che esso si trascina dietro. Il fattore Z, de l]'eq. [2.3.17] è dovuto alla presenza di Z, el ettroni per nucleo. Un valore approssimato di li,it si ottiene assumendo che il f r ammento perda tu tti g li e lettroni la c ui v e locità orbitale nell'atomo sia minore di quella del frammento stesso. Le due cause di perdita di energia sopra considerate possono essere comparabili, ma l a perdita di energia per urti n ucleari è concentrata in pochi eventi, mentre gli u r t i e)ettronici sono molto piu uniformemente distribuiti lungo il percorso. Gli urti nucleari dànno origine alle particolari ramificazioni osservabili nelle fotografie di fr ammenti nucleari in camera a nebbia. Il fatto che la perdita nucleare di energia sia concentrata in pochi eventi è la causa del grande valore della dispersione presentato dai frammenti di fissione. Finora non ci siamo preoccupati della struttura cristallina dei solidi, ma quando particelle ionizzanti pesanti come gli ioni d i K r p a ssano attraverso monocristalli, la perdita di energia dipende dall'orientamento della traiettoria rispetto agli assi cristallini. Ci si può immediatamente render conto della ragione intuitiva riflettendo su come si presenti in modo diverso l'aspetto di un bosco di alberi piantati regolarmente, a seconda della direzione in cui si guardi. Cosi in un reticolo cubico a facce centrate la direzione perpendicolare ad una faccia (101) risulta la più trasparente. Ad esempio, si trovò che i oni di " ' K r d i e n ergia 40 keV p eneiravano in c r istallo di A l p e r c i rca 4000 A i n direzione perpendicolare ad una faccia ( 101) m a solo per circa 1500 i)t in direzione perpendicolare ad una faccia ( 111).

2.4. Perdita di energia degli elettroni La perdita di energia degli elettroni è un fenomeno molto piu complicato della perdita di energia per ionizzazione degli ioni pesanti, poiché si ha in pi ù anche una perdita di energia dovuta a r adiazione elettromagnetica (bremsstrahlung) emessa nelle violente accelerazioni che si verificano durante gli urti (fig. 2.10). Considereremo i due effetti separatamente, limitandoci per ora alla perdita di energia per ionizzazione. L'effetto combinato della perdita di energia per radiazione e di q uello per io nizzazione sarà trattato nel paragrafo 2.11. A b asse energie (« 2 mc' ) l a p e rdita per i o nizzazione è preponderante rispetto a quella per radiazione. Per la derivazione delle equazioni e la bibliografia si puo consultare l'articolo di Bethe e Ashkin in (Se 59). La perdita di energia per ionizzazione può essere trattata in modo simile a quello seguito per gli ioni pesanti. Si hanno tuttavia alcune importanti ditTerenze, in quanto e necessario ora tener conto dell'identità delle particelle urtanti e della loro massa ridotta. La formula per gli elettroni non relativistici è

dE 4ite. I d.x

mc '

log

mn 2f

1 1 —— log 2+ 2

2

[2.4.1]

Ftyue 2.lO. Vn elettrone perde energia per radiazione comemostrato dalfimprovviso aumento dl curvatura deHa sna traiettoria. Il cplanto emesso forma Una coppia elettrone-positrone.

fCaeeera a.bo@e di yropatto; foto gentihnente concessa dal Lasrrence Radiation Laboratory].

ll passaggio delle radiazioni nella materia

33

A meno di piccoli fattori nel termine logaritmico, essa risulta uguale alla [2.3,11], dunque. elettroni e protoni non relativistici della stessa velocità perdono energia con lo stesso ritmo. Per velocità relativistiche la perdita di energia degli elettroni è dE

4 rr e

,, I ' lo g

d.x m t - '

2mc-'

3

1

2

, '

1

l

2

16

log (l —P')-' — —logg+­

[2.4.2]

mentre quella per i protoni è d E 4rre "

2 mc'

, . I ' log — - + 2 l o g

I

,

l

[2.4.3]

(1 — P )~ A pari valori di P, le due espressioni differiscono di meno del 10 per cento fino ad energie dei protoni di 10'" eV. Ancora più piccola è la differenza tra la perdita di energia media degli elettroni e quella dei positroni. Una importante differenza pratica tra il comportamento delle particelle pesanti e quello degli elettroni sta nel fatto che le traiettorie di questi ultimi nella materia non sono rettilinee, specie a basse energie (E«mc'). Per questa ragione il cammino effettivo

di un elettrone tra due punti può essere apprezzabilmente più lungo della distanza in linea retta tra i due punti stessi, come può vedersi in figura 2,11. Cosi gli elettroni della stessa energia non sono tutti fermati dallo stesso spessore di materiale e il concetto di percorso perde di validità. Per misure pratiche di energia degli elettroni si può fare uso del percorso estrapolato.

È importante, però, notare che il risultato risente della geometria dell'apparato, per cui, per poter usare dati r i portati nella letteratura, si debbono riprodurre le condizioni sperimentali in cui sono stati ottenuti (fig. 2.12),

Figura Z l I. El e ttroni lenti che presentano un cammino incurvato a causa della diffusione, Un elettrone veloce procede in linea retta. [Foto originale di Wilson, 1923],

34

Capi @~lr> '

4 $0 se 40

E

~o30

8 g,20

MeV'c.

0s1 1,2

0 ,2$ 0 , $

1,0

1,5

ltQ cm

1,$ Nn. MeV

0,7

) 0$

g 0,4

1,$

Figura 2.(2.

Me V 'c

Pe rcorso degli elettroni in alluminio. L'ascissa nella scala inferiore rappresenta

l'impulso in MeV/ce in 8r = cp/e (3327 G cm ~ 1 MeV/c), nella scala superiore, l energia cinetica in MeV. jSe $9].

/i passaggio delle radiazioni nella matena

35

Nel caso dei raggi beta, gli elettroni posseggono uno spettro continuo di energia, ma è ancora possibile stabilire una relazione tra il l i m ite superiore E de ll'energia dello

spettro e il percorso massimo R (in gcm ' di alluminio) degli elettroni (Feather, 1938), Una relazione frequentemente usata per una rapida determinazione di E( M e V) è R=

0,542E — 0,133 0, 4 0 7E' '

0 ,8 < E < 3 0 ,15 < E < 0 ,8

[2.4.4]

Vedi figura 2.13 per un grafico percorso-energia, utile nel caso degli emettitori beta.

5 000

2 000 1 000

200 100

E

50

oC

20 10

Oy03 0~05 O~ l

Oy2

E„.

0>5

5

IO

m ax, MeV

Figura ?.13, Diagramma percorso-energia per alcuni comuni emettitori beta (scale logaritini­ che). [Si 55).

36

Capi t o l o 2

2.5. E f fetti di polarizzazione. Radiazione Cerenkov Nel dedurre l'eq. [2.3.11] non è stata presa in considerazione la polarizzazione elettrica del mezzo in cui lo ione pesante si muove. La costante dielettrica del mezzo abbassa il valore del campo elettrico agente in punti distanti dallo ione, causando una diminuzione dell'energia trasferita ad atomi lontani, e quindi un decremento del potere frenante di massa. Cosi, nel caso di un mezzo in due fasi di differente densità, come acqua e vapore, la fase di densità inferiore possiede un potere frenante di massa più alto. Questo effetto, però, diviene apprezzabile solo a velocità relativistiche e raramente supera qualche per cento. Un altro effetto importante della costante dielettrica è la produzione di radiazione Cerenkov (Cerenkov; Frank e Tamm, 1937). Se una carica si muove con velocita Pc in un mezzo di indice di rifrazione n, il suo campo elettrico si propaga con velocità c/n, e se pc) c/n ne risulta un fenomeno simile alla produzione di un'onda d'urto. In figura 2.14 è data la costruzione di Huyghens per le onde elettromagnetiche emesse dalla particella lungo il suo cammino. Al tempo t =0 la particella si trova in O, un secondo più tardi si trova in P av endo percorso un tratto OP= pc. Il f r o nte dell'onda elettromagnetica è sulla superficie del cono di apertura sin ' ( l / n P), il che significa che i raggi luminosi corrispondenti formano un angolo ()= co s ' ( 1 / nP) con la tr aiettoria della particella. L'intensita della luce Cerenkov può essere calcolata in modo semiclassico (per es. Ja 75): per il numero di quanti irraggiati per unità di lunghezza con frequenza tra v e v+ dv si ha dN =

2ne Ac

1

1 d v 2ire dv , , — si n ' 0 ­ n' p ' c irte c

[2.5.1]

Nella regione spettrale tra 3000 e 6000 A vengono prodotti, quindi, circa 750 s in '0 fotoni per centimetro. Lo spettro è c ontinuo e la l u ce è p olarizzata, con il v e ttore elettrico giacente nella direzione PQ. La misura dell'angolo 0 della luce Cerenkov può essere usata per determinare il valore del P della particella. L'effetto densità e la luce Cerenkov sono connessi essendo entrambi funzione della costante dielettrica del mezzo. Per la rivelazione di particelle ad energie estremamente relativistiche è utile un al­ tro effetto: la radiazione di transizione. Una particella carica che attraversa una super­ ficie di d iscontinuita tr a u n m a t eriale che ha un a f r equenza di p l asma elettronica cu~ =4rt> e~/in (dove .V' ed m sono rispettivamente la densità e la massa elettronica), ed il vuoto irradia raggi X in uno stretto cono intorno alla direzione del moto. L'energia irradiata per superftcie attraversata è W=( 2!3)(e /c)top) che risulta cosi proporzionale all'energia della particella Myc . In ci r c ostanze favorevoli tale radiazione può esser usata per misurare y.

c/n

O

Pc

P

Figura Z)4, C o s truzione di Huyghens per le onde elettromagnetiche emesse da una particella carica in moto. Origine della radiazione Cerenkov.

Il passaggio delle radiazioni nella materia

2.6.

37

Io n izzazione neigas e nei semiconduttori

Una particella carica che attraversa un gas lo ionizza. Però, solo una parte dell'energia viene dissipata per ionizzare il gas e fornire energia cinetica agli elettroni: una frazione notevole dell'energia primaria è spesa nell'eccitare gli atomi al di sotto del limite di ionizzazione ed un a

c e rt a f r azione è q u i nd i t r a sformata i n l u c e d i s c i n tillazione

rivelabile. La quantità media di energia richiesta per formare uno ione è, entro ampi limiti, indipendente dalla carica, massa e velocità della particella ionizzante, ma dipende dal gas in cui gli ioni vengono formati. Non c'è una semplice spiegazione fisica di questo fatto, che e una conseguenza dell'importanza relativa di una serie di processi. La tabella

2.1 dà l'energia media spesa per coppia di ioni in alcuni gas piu importanti. Tabella 2.1. w=eV per ogni coppia di ioni in gasa. He

Ne

Ar

Xe

H,

O,

N,

CO z

Ar ia

42,7 36,8 26,4 21,9 36,3 32,5 36,5 34,3 35,0 Particell e m del polonio 42,3 3 6, 6 2 6 , 4 22 , 0 36 , 3 30 , 9 34 tl 32 tl 33, 8 P articelle P del tritio * Si osservi che piccolissime quantità di i mpurità possono intiuenzare notevolmente il valore di w, specialmente nell'elio.

La ionizzazione ha come risultato primario la l i berazione di elettroni, alcuni dei

quali (raggi delta) hanno sufficiente energia da produrre ioni secondari. Se gli ioni vengono prodotti in un gas soggetto a un campo elettrico, essi si muovono sotto la sua azione. La velocità media V in direzione del campo, chiamata velocità di migrazione, è

proporzionale al campo. La costante di proporzionalità p si dice mobilità. Si può avere un'idea dei fattori essenziali da cui dipende la velocità di migrazione, se si assume che gli ioni abbiano nel gas un certo cammino libero medio ). e che la grandezza della loro velocità media sia u. La velocità tt può essere, ma non è necessariamente, uguale alla

velocità di agitazione termica. Se pensiamo ad un elettrone che rimbalza tra atomi pesanti, si vede che esso non trasferirà molta della sua energia agli atomi a meno che non li ecciti con urti anelastici. Nel caso dei gas nobili le energie richieste perciò sono dell'ordine di 10 eV. Sotto l'azione del campo gli elettroni acquisteranno una forte velocità u. Gli urti fanno si che la direzione di u sia orientata isotropicamente. Quando u supera un certo limite, urti anelastici diventano possibili e se avvengono provocano una considerevole diminuzione della velocità. Se il campo elettrico e è diretto secondo z, un elettrone sarà trascinato, nel tempo r tr a i v a r i u r t i, per uno spazio

[2.6.1] in direzione z, perché esso è soggetto alla forza e)' p a r t i a mo dall'eq. [2.7.7] e sostituiamo 0,. con il valore ottenuto dal

quadrato dell'eq. [2.7.2], tenendo presente l'eq, [2.7.1]. Si ottiene dall'integrazione sull'intervallo di valori permessi del parametro d'urto b, (82) = 2 r t Nx

bd b

[2.7.10]

bmm

in cui N è il numero di nuclei per cm' e x lo spessore dell'assorbitore. Si e implicitamente

supposto che lo spessore x sia praticamente uguale al cammino della particella nell'assorbitore. A causa della schermatura del nucleo dovuta agli elettroni atomici, lo Z effettivo dipende da b, tuttavia porteremo fuori Z dal segno di integrale e prenderemo in considerazione l'effetto di schermo attraverso una opportuna scelta di b „ .„, Al lora,

trascurando la variazione di v e p nell'attraversamento dello straterello, si ha 8 2tNxZ z' e v2p2

(8 ) —

b .

log b

[2.7.11]

Come fatto notare in precedenza, la carica efficace in questa formula dipende da b: in

Il pnssagttio delle radia=ioed amelia materia

41

corrispondenza di b „., la carica deve considerarsi completamente schermata. Vn'ap­ prossimazione grossolana si ott.iene scegliendo

[2.7.12]

binda =

Z3

in cui cito e il raggio di Bohr. Questo valore può giustiftcarsi con il modello statistico di Thomas-Fermi dell'atomo. D'altra parte si richiede che b,„ d i a (in un singolo urto) un angolo di deflessione piccolo rispetto a 1 radiante. Ciò comporta 2zZe~ bmm =

[2.7.13]

t'p

La scelta di b , „ p u ò anche essere basata, secondo le circostanze, sul fatto che b ;„d eve essere maggiore sia del raggio nucleare che della lunghezza d'onda di de Broglie della particella considerata. Il risultato non è molto sensibile alla scelta di b , „ e b , che appaiono solo logaritmicamente nell'eq. [2.7.11]. • La figura 2.16 mostra un graftco di 8 i n funzione della frazione del percorso totale

compiuto da particelle differenti. In una approssimazione grossolana dell'eq. [2.7.11], tenendo presente che pv è sempre compreso, nel passare dal caso non relativistico a quello relativistico estremo, tra il doppio dell'energia cinetica e l'energia cinetica della particella, e trascurando ogni

30 ~

26

'o

22

C5 I

E

18

14

, q(a

10 "

0,2

0,4

0,6

0,8

x/Ro Figura 2.16. Angolo di d iffusione multipla (non proiettato) in funzione della frazione del percorso attraversata da protoni, deutoni, e particelle alfa. [Milburn e Seheeter, UCRL 2234, ed. riv.].

42

C api to l o 2

altra funzione della velocità nell'eq. [2.7.11], possiamo scrivere, ricordando la [2.7.7], éz

[2.7.14]

(KE)z Come esempio numerico per gli elettroni si ha

( O ) = 6 00x,'[E(MeV)] (O ) =7000x![E(keV)] Un'altra formula per ( 8 ' ) (O ) = z

—

x in cm d i P b x in cm d i a r i a J u t i l e in pratica, dovuta a Rossi e Greisen, è la seguente

r'

[2.7.16]

in cui t' e lo spessore misurato in lunghezze di radiazione (v. par. 2.11), E„=(4zr x 137)"z x mc'= 2 1,2 M eV, p è in M e V / c, e u in u nità c. Per l'angolo proiettato 8„ „ ; v a le la formula semiempirica O,„; = z(15! pi') (l')' '

[2.7.17]

La distribuzione di 8, tuttavia, non è rigorosamente gaussiana. Lo spostamento lineare proiettato y corrispondente all'attraversamento di uno spessore L di materiale assorben­ te è y = 3 " L8 Lo scattering multiplo trova un'applicazione importante ed elegante nella misura del prodotto pi pe r un a particella che attraversa una emulsione fotografica (par. 3.6).

2.S. D ispersione La perdita di energia calcolata nel paragrafo 2.3 rappresenta un valore medio. Il valore effettivo di tale perdita per ciascuna particella fluttua attorno al valor medio, e ciò porta a due conseguenze: per una fissata lunghezza del percorso la perdita di energia e la i onizzazione della particella presentano delle fluttuazioni; per un a d at a p erdita d i energia Ia lunghezza del percorso varia in modo irregolare. Quest'ultimo fenomeno è chiamato dispersione. • Supponiamo che nell'attraversare uno spessore x si abbia una perdita media di energia Et>. Sia E la p erdita di energia relativa ad un d eterminato caso specifico: ci proponiamo d i c a l colare ( ( E —E„)'), Ri c o r dando c he p er d e finizione ( E ) = E t t e sviluppando il quadrato si ottiene immediatamente

((E —Ep)') = (E') — (2E„E) + (Eo) = (E') — E()

[2.8.1]

Supponiamo ora di fare attraversare l'assorbitore da molte particelle, ciascuna con la stessa energia iniziale. Nell'attraversare lo spessore x si verificheranno urti per i quali la perdita di energia è E„. S ia v, il loro numero per una generica particella e (v,) il l o r o valore mediato su tutte le particelle, I numeri v, e (v„) sono legati dalla relazione (vedi

cap. 5)

[2.8,2] valida se i numeri v„, risultanti da molte prove, sono statisticamente indipendenti. Si ha

ll passaggio delle radia. ioni nella materia

43

allora, considerando un gran numero P di p a r t icelle r

(E ) — Eo= — g g (v',"E',—(v,)E,) =P( v , ) E,' 1=

I

[2.8.3]

I'

Ora risulta

[2.8.4]

(, ) = .'4 ~ a, d. J

in cui tr„è la sezione d'urto differenziale per una perdita di energia E, e N è il numero di atomi per centimetro cubo dell'assorbitore. Sostituendo v, nell'eq. [2.8.3] si ottiene (E') — E,'=Np

[2.8.5]

~ t 2„E„'dx r

usando i risultati del paragrafo 2.3, si può calcolare la somma sugli r osservando che dE 4 ttz2e "db = N/ o , E „ = NZ dx , ' " mc . b

[2.8.6]

Ora tra E, e b co rre la relazione 2 4

E„=

[2.8.7]

mi zb'

che per differenziazione logaritmica fornisce

dE„ E„

2db b

[2.8.8]

usando l'eq. [2.8.7] si ha approssimativamente 2ttzze4NZ " e"" "

X/ a„E „ =

,

mU'

22rz z e4NZ

d E=

m u2

s

3

i 16

• • • 6

• 17 , 18

•

(~B) A+ BZ+ CZ' R„

Am 0,0217 B ~+0,0ssls Ca 1,14.10 6

Figura 2.23. Rendimento di fluorescenza del livello K in funzione di Z.

Eo

0

Figura 2.24. Diffusione di Thomson di un'onda elettromagnetica. Notazioni.

I I passaggio delle radiazioni nella materia

51

nel campo di un'onda piana sinusoidale sarà soggetto alla forza

[2.9.4]

eE=eEosincol ro essendo la frequenza dell'onda, e acquisterà l'accelerazione a =

eEo m

[2.9.5]

si n c o l

Si sa dalla teoria elettromagnetica che una carica e soggetta ad una accelerazione a irraggia una potenza media data da

[2.9.6] Pel nostro caso quindi, ricordando che (sin'~zit) =~, la potenza media irraggiata è 2 e4g z

(W) — — — — —— 2

3 c~m'

3

me'

[2.9.7]

Io

Questa potenza è sottratta al fascio primario e possiamo eguagliarla alla intensità che

cade sulla sezione d'urto di diffusione dell'elettrone a r. Risulta dall'eq. [2.9.7] 8zz ez or=

ro=

3

z 8z r , = — r o = O„ 6 65 x 10 mc z 3

e , = 2 ,8 2 x 1 0 ' mc'

cm'

in cui

cm

[2.9.8] [2.9.9]

è chiamato raggio classico dell'elettrone. La radiazione emessa nel caso che la radiazione incidente sia polarizzata, ha la stessa polarizzazione e la stessa distribuzione angolare di quella emessa da un dipolo orientato nella direzione del campo incidente; inoltre l'intensità deve possedere simmetria assiale

attorno alla direzione del campo (asse z) e secondo la teoria elettromagnetica classica, deve decrescere con la distanza come r' e possedere la distribuzione angolare seguente I —

,

si n ' ip

[2.9.10]

in cui y è l 'angolo tra E e l a d i r ezione di osservazione r.

1 raggi diffusi risultano polarizzati con il vettore elettrico nel piano rz. Se la luce primaria non è polarizzata, l'intensità della luce diffusa deve avere simmetria assiale rispetto alla direzione di propagazione x, L'intensità può essere calcolata sovrapponen­ do incoerentemente gli effetti della luce primaria polarizzata nelle direzioni z e y, ciascuna componente avendo intensità Io/2. Tenuto conto della simmetria assiale attorno a x, prendiamo in considerazione solo il piano xy ed in esso la direzione r' formante un angolo 8 con x. Il fascio polarizzato nella direzione z ha un'intensità Io

I,= — r , ' 2T

[2.9.11]

perché per esso y=90'; quello polarizzato in direzione y I = — roz c osz 8 2r'

[2.9.12]

52

Capi t o l o 2

poiché l'angolo tra E, ed r' è ( ti/2) — O. La somma delle intensità è cosi

Ip

I = —, rp (1+ cos-' O) 2r

dar

1

op p u r e — = — rp ( 1+ cos' O) deo 2

[2.9.13]

e la polarizzazione di questa radiazione è I,— I1 1 — Gos O

[2.9.14]

I, + l,. 1 + cos' O

Si noti che l'eq. [2,9.13] della dipendenza angolare, non contiene la frequenza della radiazione. La teoria di Thomson fornisce una sezione d'urto atomica di diffusione proporziona­ le a Z. Infatti, ancor prima che l'attuale modello atomico venisse sviluppato, il numero

atomico degli elementi più leggeri fu misurato da Barkla ed altri osservando la diffusione dei raggi X. Se però l'impulso ceduto dal fotone è piccolo rispetto a quello posseduto dall'elettrone nell'atomo, si debbono sommare le ampiezze dei raggi X diffusi da tutti gli elettroni dell'atomo. Questa diffusione è chiamata diffusione di Rayleigh e la corrispon­ dente sezione d'urto atomica è dell'ordine di rpZ . La diffusione di Thomson non prende in considerazione gli aspetti quantistici della

luce e per energie paragonabili con mc~ o più grandi, fornisce risultati in disaccordo con l'esperienza. Per esempio si è sperimentalmente trovato che la frequenza della luce

diffusa differisce da quella della luce incidente: che cio debba accadere segue dalla conservazione dell'energia e dell'impulso se si interpreta la diffusione come urto elastico dei quanti di l uce con gli elettroni. Ammettiamo che i quanti abbiano energia he@ e

impulso hm/c, diretto nella direzione di propagazione della luce, Dalla conservazione dell'energia e dell'impulso si ottiene la seguente relazione tra le lunghezze d'onda della luce incidente e diffusa (il e iL', rispettivamente) e la direzione di diffusione 2trtr i

mc

2trtri

(1 — cosO) c o n

— = 24 $ 6 2 x 1 0 " cm = A, mc

[2.9.15]

La variazione di lunghezza d'onda o di frequenza che si verifica nell'urto costituisce l'effetto Compton, cosi chiamato dal nome del suo scopritore A. H. Compton (1922). L'elettrone di rinculo si muove in una direzione 4 t ale che t an 4 =

cot (O/2)

1+x

'

pt =

trico

mc'

[2.9.16]

e la sua energia cinetica è 2x cos2 4 E,-,„= beo (l+ pt ) — n c os '4

[2.9.17]

come mostrato in figura 2.25. I problemi relativi all'intensità e alla polarizzazione non possono essere trattati con mezzi elementari per cui ci limiteremo a riportare il risultato per la sezione d'urto Compton per un elettrone (formule di Klein e Nishina) ottenuta mediando sulle polarizzazioni

do< rp k tipi

2 kp

kp k

— + — — sin O k kp

dove kp = 2z tti/2 e k = 2n tri/~' = kp [I + a (1 — cos O)]

[2.9.18]

Il passaggio delle radiazioni nella ma(ena

53

h ~/c

Figura 2.25. Diffusione Compton. Le notazioni e lo schema mostrano la conservazione dell'e­ nergia e dell'impulso.

a = O

0,75

(Thomson) 0,50 a = 0,173

0,25

>=kc

,c

a=

a =5

0

30

60'

90

120'

] 50'

t

180 '

Figura 2.26. Distribuzione angolare, in funzione dell'energia (a = h>o.'mc'), dei raggi X che hanno subito diffusione Compton.

is(elle figure 2.26 e 2.27 sono mostrati i grafici della distribuzione angolare dei raggi X diffusi per effetto Compton, per differenti valori di x (vedi Ja 75).

Produzione di coppie (5) Resta da prendere in esame l'ultimo meccanismo di assorbimento, cioè la trasformazione di un raggio gamma in una coppia elettrone-positrone, detta anche materializzazione. Il principio di conservazione dell'energia e dell'impulso impedisce che il f enomeno si verifichi nello spazio libero. Occorre la presenza di un n ucleo o d i u n e lettrone per

bilanciare l'energia e l'impulso nella trasformazione. L'energia di soglia nel sistema del baricentro per il processo di materializzazione è 2mc = 1 ,022 MeV. Questa energia è m o lt o p r ossima alla soglia anche nel sistema del l aboratorio quando la materializzazione avviene presso un nucleo che con il suo rinculo assicura la conservazione della quantità di m o to ; q u ando i l r i n culo e subito t o t almente da un elettrone, la soglia richiesta dalla conservazione dell'energia e dell'impulso nel sistema dcl laboratorio è 4mc', e si hanno allora due elettroni e un positrone che acquistano una quantità di moto apprezzabile. In una camera a nebbia o a bolle quest'ultimo evento forma un tnpletto di tracce (fig. 2.28). Si può anche avere produzione di coppie in altri fenomeni come per esempio urti di p articelle pesanti, urti elettrone-elettrone, decadi­ mento di mesoni e conversione interna in certe transizioni gamma. Alcuni di q uesti fenomeni saranno descritti in seguito.

54

Capit o lo 2

140"

1 3 0 12 0 1 10' 100" 90' 80' 70' 6 0 '

50 '

40'

/ 7~

30 20

0,1

160'

170'

10

10

fotone 180' 8 6i inc idente ~

OQ

~~ 2 — 4»

6'

10 160'

20'

150

30

1413' 1 30 '

1 2 0 ' 110'100 90' 80' 70 ' 6 0 '

50

40

Figura 2.27. Di a gramma polare della sezione d'urto differenziale per elettrone nella diffusione Cotnpton, Gli indici delle curve rappresentano i valori di x =tttot/mc' del fotone incidente. Unità di dtt/dto=1 0

cm sr

I;

La sezione d'urto atomica di produzione di coppie e dell'ordine r„'Z'/137, per energie

relat ivistiche. In figura 2.29 sono riassunti i risultati più importanti circa l'assorbimento dei raggi gamma ed è dato il coefficiente di assorbimento in funzione de)l'energia e di Z in alcuni casi tipici.

2.10. P erdita d'energia per radiazione da parte di elettroni veloci Come accennato in precedenza, la causa principale di perdita di energia per un elettrone molto veloce (E»m c ') che attraversa la materia e la radiazione elettromagnetica che esso emette a causa delle accelerazioni cui è soggetto (v. fig. 2.10). A bassa energia (E«mcz) la p e rdita per r a d iazione diventa poco i m p ortante rispetto a q u ella per

ionizzazione. La perdita di energia per radiazione è proporzionale allo Z' del materiale ed aumenta linearmente con l'energia degli elettroni. La perdita di energia dovuta a ionizzazione ed eccitazione è proporzionale a Z e aumenta solo logaritmicamente con l'energia degli elettroni. La perdita di energia dovuta a ionizzazione ed eccitazione è proporzionale a Z e aumenta solo logaritmicamente con l'energia. Cosi la perdita per radiazione è predominante a energie elevate. Fiù quantitativamente, il rapporto delle due perdite è approssimativamente (E in M e V )

(d E/dx),„., EZ EZ (d E/dx),.„ 1600mc z 800

[2.10.1]

È chiaro che esiste un'energia E, in corrispondenza alla quale le due perdite di energia risultano uguali.

(

+ J

f

Il :

I

Il ' I

t I I

•

I i

I '

A I

I

I I •

I I

, : I

l' •

Il

I •

I

4 • ' - I I

•

•

56

Capit o l o 2

1,6 ~ l Q I V I

1,4

Pb .

Pb 1,2

i~Op O l

l

/

/

1I

1,0

/

O

/

/

/

gl

0,8

/ 'g /

l~

Ix

0,6

O

I

Al

I

'I

I /

0,4

/ /

/

/

0,2

0,1 0, 2

0,5

1

2

5

10

20

50

100 2 00

500 1 000

tttto/mc'

Figura 2.29. Coefficienti di assorbimento totale dei raggi X in piombo e alluminio in funzione dell'energia (curve continue). L'assorbimento fotoelettrico dell'alluminio è trascurabile alle energie qui considerate. Le curve tratteggiate mostrano i contributi separati dell'effetto fotoelettrico, della diffusione Compton, e della produzione di coppie in Pb. Ascissa, energia in scala logaritmica; trito/mc =1 corrisponde a 511 keV.

La tabella 2.2 riassume alcune proprietà per una scelta di materiali interessanti nel

lavoro sperimentale (RPP). L'energia irraggiata appare sotto forma di raggi X e costituisce la bremsstrahlung, o spettro X c o n t i nuo che si osserva negli or dinari t ub i a r a ggi X . A d a l t a energia i

fenomeni che accompagnano la bremsstrahlung sono molto complessi e raggiungono proporzioni colossali nella formazione di sciami contenenti milioni di particelle nel caso dei raggi cosmici di alta energia. Per la teoria della bremsstrahlung ci limiteremo a una trattazione semiquantitativa di un caso speciale, trattato da Fermi. Daremo però anche i

risultati per i casi in cui le ipotesi di Fermi non sono applicabili. L'idea essenziale della trattazione di Fermi (Fermi, 1924; Weizsacker, 1937; E. J. Williams, 1933) sta n ell'analizzare in s erie d i F o u r ier i l c a m p o e l ettromagnetico prodotto da una carica in moto e nel calcolare l'effetto delle singole componenti della serie sulle altre cariche. Ciò risulta semplice se è nota la sezione d'urto per l'interazione elettromagnetica dei raggi X co n le cariche. Per fare un esempio specifico considereremo un elettrone di velocità t, = c che passa in prossimità di un nucleo di carica Ze. Faremo prima uso di un sistema di riferimento in

cui l'elettrone è in quiete, mentre il nucleo passa vicino ad esso, e calcoleremo l'effetto del c ampo elettromagnetico nucleare eseguendone un'analisi di F o u r ier e t r a t tando le singole componenti con la f o r mula di T h o mson (par. 2.9). Si otterrà come risultato l'energia irraggiata dall'elettrone nel suo sistema di q u iete, che alla fine d ovremo ritrasformare al sistema del laboratorio.

I l passaggio delle radiazioni nella materia

57

Nel sistema di quiete dell'elettrone il nucleo si muove con velocità — v. Il campo elettrico del nucleo, E, risulta contratto nella direzione del moto, contemporaneamente appare un campo magnetico H pe rpendicolare ad E e alla direzione del moto, la cui grandezza è circa uguale ad K, Questi due campi, visti dall'elettrone, sono indistinguibili da un'onda elettromagnetica piana. Questa subisce una diffusione sull'elettrone, e i quanti diffusi appaiono nel sistema del laboratorio come bremsstrahlung.

I calcoli sono sviluppati in dettaglio in (Fe 50), come pure in (Ro 52) ed in (Ja 75). Come risultato finale si trova che lo spettro si estende da v=O a 2stkv „., =mc'(y — 1) ed un diagramma dell'energia irraggiata in funzione di v ha forma approssimativamente rettangolare. La figura 2.30 mostra trv in funzione di v/v ,.„. L'eq. [2.10.2] fornisce un valore approssimato per la perdita media di energia di un elettrone che attraversa una sostanza di densità N, i c ui n u clei hanno numero atomico Z:

dE

hv Ng ( v ) dv =4Z

dx

N

183

137

r ohv „. „ Iog —,

[2.10.2] i

Questa è una espressione approssimata ed è valida per Eo » 1 37mc Z s. L e f o r m u l e valide sotto ipotesi differenti differiscono soltanto perché hanno per argomento del logaritmo una funzione dell'energia. Poiché un elettrone puo perdere una frazione apprezzabile della sua energia in un solo fotone, la perdita effettiva di energia presenta notevoli fluttuazioni attorno al valor medio. Nella bremsstrahlung si presentano molte questioni particolari di grande importan­ za teorica e pratica. Ricorderemo soltanto la polarizzazione e la distribuzione angolare della radiazione. A bassa energia (E«rrtc') come negli ordinari tubi a raggi X, la maggior parte dei raggi X prossimi al limite superiore di frequenza sono polarizzati con il vettore elettrico parallelo alla direzione del moto dell'elettrone e l'intensità ha un massimo in 4,0 3,5 3,0 ~ 2,5 o 20

1,5 1,0

0,5 0,2

0,4 ~

0,6 >/ > max

0,8

1,0

Figttru 2.30. Sezione d'urto integrale di bremsstrah}ung in funzione della frequenza. La curva 1 si riferisce a un'energia di circa 27 Z' eV, la 2 a un'energia di 4300. Z' eV. La frequenza e in unità del limite superiore di frequenza;

ao = — Z'tz'uo(Ry/Eo}=(Z'Ry/Eo} x 5,8 x 10 ' c m . 3

[(F l E } ]

58

Cepi t ob 2

O

Qx K I

8 00 Il n I

I

O

5 ~

~

I

I

ge

VI

Pl ~ g

1 ~%$.$ I ~@ I I I I

00

O

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t„ O Vl

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OI

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44

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Il passaggio delle radiazioni nella materia

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60

Capi t o l o 2

d irezione perpendicolare alla d i rezione del m o to. A d l'angolo medio di emissione di un q uanto è

e n ergie molto a lt e ( E » m c ' )

mc

[2.10.3]

indipendente dall'energia del quanto emesso. Questa distribuzione dà i c aratteristici pennelli sottili di r a diazione elettromagnetica osservati negli acceleratori di elettroni. Il vettore elettrico della bremsstrahlung ad alta energia è prevalentemente ortogona­ le al piano dell'elettrone incidente e del raggio X. Una eventuale polarizzazione del fascio di elettroni che origina la bremsstrahlung si fa risentire sulla polarizzazione della bremsstrahlung stessa. In particolare, se lo spin dell'elettrone giace nella direzione del moto, la radiazione tende ad essere polarizzata circolarmente, con il m o mento angolare parallelo allo spin dell'elettrone stesso.

1,0 0,9 0,8 0,7 2 x 10s 10'

0,6 0,5

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0,4

2 x 10'

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Figura 2.31. Ri partizionedell'energia tra elettrone e positrone nella produzione di coppie. Probabilità differenziale di produzione di coppie per lunghezza di radiazione in piombo per fotoni di varie energie. Ascissa :tt =(energia totale di un elettrone divisa per l'energia del fotone primario) = E'/E. Ordinata: E x tp(E', E)'. tp(E', E) è la probabilità, per lunghezza di radiazione, di produrre un elettrone in un intervallo unitario di energia attorno ad E. Le cifre sulle curve rappresentano E in eV. [Rossi e Greisen, Reo. Mod. Phys., 13, 259, 1941].

Il passaggio delle radiazioni nella rna(eria

6i

La produzione di coppie e strettamente connessa alla bremsstrahlung. Ciò è evidente se si considera la produzione di coppie come l'assorbimento (in presenza di un nucleo) di un quanto gamma da parte di un elettrone in uno stato di energia negativa, che è cosi eccitato a uno di energia positiva, e la bremsstrahlung invece come la transizione (con emissione concomitante di un raggio gamma) di un elettrone ordinario da uno stato di energia positiva ad un altro anche di energia positiva, sempre in presenza di un nucleo. Il calcolo della sezione d'urto per produzione di coppie fornisce per il caso hv»mc

(ic

9

-'

27

[2.10.4]

che è simile all'eq. [2.10.2]. L'energia del raggio gamma si suddivide tra l'elettrone e il positrone come mostra la figura 2.31, ed entrambe le particelle viaggiano approssimativamente nella direzione del raggio gamma per E» m c ' . L' a n golo medio t ra l a d i r ezione del moto d ell'elettrone creato e dcl raggio gamma è mc

[2.10.5]

F in notevole analogia con l'eq. [2.10.3].

2.11. Lu nghezza di radiazione. Sciami Bremsstrahlung e produzione di coppie si combinano insieme per produrre il fenomeno spettacoloso degli sciami, in cui un singolo elettrone di alta energia o un singolo quanto gamma dà inizio ad un processo moltiplicativo (fig. 2.32) con produzione di un gran numero di elettroni e raggi gamma i quali appunto costituiscono lo sciame. Una teoria matematica precisa degli sciami è molto complicata, anche se ci si limita allo studio del loro comportamento medio; a ciò si aggiunga che le fluttuazioni dalla media sono di solito grandi. Son stati eseguiti calcoli di sciami col metodo Mo ntecarlo; essi risultano molto utili nei casi pratici, Svilupperemo ora brevemente, insieme con un modello di sciami estremamente semplificato, alcuni c o ncetti d i b a se, come l a l u n ghezza di r adiazione, che sono di grande importanza sia nella teoria degli sciami che in a l t r i fenomeni. L'cq. [2.10.2] mostra che, in media, un elettrone perde energia per radiazione secondo la formula (i E

(IK

F.

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[2.11.1]

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4Z' N

Xo

137

183

L'eq. [2,11.1] fornisce immediatamente per integrazione (E) = E()e "'~'

[2.11.2]

62

Capi t a to 2

Figura 2.32. Pr ima osservazione di uno sciame da parte di Blackett e Occhialini in una camera a nebbia comandata da contatori in coincidenza sopra e sotto!a camera. [Proc. Roy. Soc., 139, 699, Londra, 1933].

Questa relazione è valida quando la perdita per radiazione predomina su quella per ionizzazione, come avviene nel caso di energie superiori ad una certa energia critica E,. La quantità X0 e chiamata lunghezza di radiazione e dipende da Z e p, la densità del

mezzo; essa risulta grossolanamente proporzionale a 1jZp, L'energia critica E, è grosso modo data, secondo l'eq. [2.10.1], da E,(MeV) =

800 Z

[2.1 L3]

(v, anche tab. 2.2). Similmente i raggi gamma posseggono un cammino libero medio per produzione di coppie X„, che si ottiene dall'eq. [2.10.4] e risulta X

9

cp

= — X ~

0

[2.1 L4]

Passiamo ora a considerare un modello sempliftcato di sciame. La conservazione della quantità d i m o t o d e termina per l ' i ntero sciame un asse nella direzione della quantità di moto della particella iniziale. Lo sciame si sparpaglia lateralmente molto

meno di quanto si propaghi longitudinalmente, come risulta dalle eq. [2.10.3] e [2.10.5].

Il passaggiodelle radiazioni neVa materia

63

Cosi la discussione seguente sarà limitata alla propagazione dello sciame nella direzione della particella iniziale. Un elet trone di energia E dà origine, in una lunghezza di radiazione, a circa tre raggi gamma, che, a loro volta, originano in un cammino libero medio circa tre coppie. Il numero di particelle nello sciame, N, cresce quindi esponenzialmente con il progredire

dello sciame

[2.11.5]

N(x) = e'" y è tale che Per x, = Xp+ X ~ ,

[2.11.6]

N =e""' = 6

ma Xp+ X

CP

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16

[2.11.7]

Xp

e quindi y

l og 6

0, 7 8

(16/7) Xp

Xp

[2.11.8]

In uno sciame reale, elettroni, positroni e fotoni sono presenti contemporaneamente

e i fotoni specialmente di bassa energia sono circa in numero doppio delle particelle. Il numero di particelle nello sciame aumenta finché l'energia non comincia a dissiparsi principalmente per i o nizzazione e effetto C o m pton p i u t tosto che per r a diazione e

produzione di coppie. A questo punto gli elettroni hanno raggiunto l'energia E„e se ammettiamo che elettroni, positroni e raggi gamma posseggano la stessa energia media, il loro numero è Ep/3E,. Ciò avviene ad una distanza X,=

Xp

0,78

l og

Ep

[2.11.9]

3E ,

dall'origine; quindi Ep

[2.11. 10]

N,„= — = exp (0,78X, j Xp) C

In questa valutazione si trascurano perdite di energia per ionizzazione, l'energia che va in massa di quiete delle coppie ed altri importanti fattori che abbassano N, ,„ fino ad

un valore prossimo a 1/6(Ep/E,). Espressioni più precise per alta energia e bassi Z sono Ep

N „,„„= 0,31 l E„

X , = 1,01Xp lo g

1 2

Ep

og

Ep

E,

0 ,37

E,

l

[2. 11. 11]

[2. 11. 12]

I risultati di calcoli piu precisi son mostrati in (fig. 2.33). A bassa energia, per esempio a 300 MeV, la trattazione generale diviene molto complicata, anche perché le sezioni d'urto vengono a dipendere dalle energie. Utili risultati„però, si possono ottenere con il metodo Monte Carlo (fig. 2.34). È stata anche studiata la distribuzione laterale di uno

sciame, ma per maggiori particolari facciamo riferimento a (Ro 53).

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10' = Eo /E

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30

35

40

45

X

Figuro 2.33. Nu m ero medio di elettroni di energia maggiore diE in uno sciame iniziato da un elettrone di energia Eo in funzione della profondità x (in lunghezze di radiazione). Ordinate in scala logaritinica. Ciascuna curva è contrassegnata da un valore di Eoj E.[(Ro 53) dovrebbe essere consultato per le approssimazioni necessarie].

2.12.

An nichilazionedel positrone

— ) Yt1+

Il processo di annichilazione del positrone e dell'elettrone è di grande importanza sia teorica che pratica. L a c o nservazione dell'energia e della quantità d i m o t o r i s ulta impossibile se nell'annichilazione di una coppia viene emesso un solo quanto gamma. Il più semplice processo possibile, nel caso di una coppia animata da piccola telocirà relatitxi t:, è quindi l'annichilazione in due raggi gamma, ciascuno di energia t~tu=mc', propagantisi in direzioni opposte. Questo è il modo più impor(ante di annichilazione; solo quando esso è proibito da qualche speciale regola di selezione, si verificano processi più complicati come, per es., annichilazione in trc gamma. Si puo presumere che la sezione d'urto per il processo in questione sia proporzionale a rtt. Inoltre essa deve essere proporzionale a n ' , come può giustificarsi con il seguente ragionamento: un positrone di velocità c che attraversa uno straterello sottile di densità elettronica . ( e spessore x, ha una probabilità di a nnichilazione a (u) .k" x = P

[2.12,1]

Ora, finché la velocità del positrone è piccola rispetto alle velocità atomiche degli elettroni, la probabilità di annichilazione sarà proporzionale al tempo r = x'c passato dal positrone nello straterello, poiché la velocità relativa del positrone e degli elettroni è poco influenzata dalla piccola velocità del positrone. Perché P nell'eq. [2.12.1] diventi proporzionale a r, al variare della velocità, occorre prendere tr=x ' c , con x c ostante. Allora a

P= —

4"x= x,+ t

[2.12.2]

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come richiesto. In effetti un calcolo particolareggiato (e non elementare) fornisce C

(a) = it r~ U

[2.1 .3]

Il passaggio delleradimiani aella muterus

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3tt e in freon. [Deutsch, Ph@aAe., N, 866, 19$1).

68

Capi ( o io 2

misurando la vita media dello stato di tripletto che si forma in tre quarti delle catture. Iniziando l'osservazione 10 s e cd o p o l ' arrivo di u n p ositrone nel gas, il positronio nello stato di singoletto, che si forma in un quarto delle catture, è già decaduto al tempo in cui l'osservazione incomincia e cosi non viene rivelato. Ciò che si vede è solamente il decadimento del positronio nello stato di tripletto, purché esso non sia convertito per urto allo stato di singoletto. Se la conversione non avviene, la vita media del positronio è indipendente dalla pressione del gas in cui i p o sitroni sono fermati. Quando la cattura avviene in presenza di molecole dotate di un momento magnetico diverso da zero, come Oz , l e c o l lisioni convertono gli s ta ti di t r i p l etto in s t a ti d i singoletto in circa 10 ' s e c . L a v ita media apparente e dovuta a positroni liberi che decadono in collisioni ed è inversamente proporzionale alla pressione del gas. Nelle figg. 2.35 e 2,36 son mostrati l'apparato usato e la dipendenza dalla pressione della costante di decadimento dei positroni in freon e in O~. La interpretazione è confermata dalla osservazione di t r e r a ggi g a mm a i n c o i n cidenza, corrispondenti all'annichilazione del)'ortopositronio (stati di tripletto), e di due raggi gamma, corrispondenti all'annichila­ zione del parapositronio (stati di singoletto). •

2.] 3.

Fe nomeni di polarizzazione

Lo studio dei fenomeni di polarizzazione di elettroni e di raggi X ha assunto una grande importanza in questi ultimi anni, e di conseguenza le tecniche sperimentali per l'analisi di tali fenomeni hanno avuto un n otevole sviluppo. L'elettrone ha spin ~ e presenta i fenomeni di polarizzazione più semplici. Si definisce polarizzazione di un fascio un vettore P avente la direzione del vettore valore medio dello spin e l u nghezza 2(s) . O p erativamente, P si m i sura osservando il n u mero di elettroni del fascio che hanno spin parallelo (N ) o a n t i p a rallelo (N ) a d u n a d a t a direzione, e calcolando la quantità N — N P=

N. +N

[2.13.1]

La direzione in cui P è massimo è la direzione di P, e (Pi è dato dall'eq. [2.13.1] misurata in quella direzione. È chiaro che ~P~ varia tra 0 e I : il primo caso corrisponde a un fascio non polarizzato, il secondo a uno completamente polarizzato. Gli elettroni di un fascio hanno un a q u a ntità d i m o t o k : s e P e k so n o p a r a l leli, il f a s cio è p o l a r izzato longitudinalmente; se sono perpendicolari, trasversalmente. La quantità P.k

[2.13.2]

è spesso chiamata elicirà dell'elettrone. Se lo spin ha la direzione di k la elicità è + 1, se ha direzione opposta la elicità e — 1. Una comune vite destrogira ha clicità positiva, cioè, avvitandola, la relazione tra la quantita di m ot o con cui essa avanza e il momento angolare della sua rotazione corrisponde ad una elicità positiva (v. cap. 9). Il decadimento beta dà spesso origine a elettroni polarizzati longitudinalmente, con P prossimo a 1 ; pe rò, per r agioni p ra tiche, è generalmente desiderabile avere fasci polarizzati t r asversalmente. La r o t azione dello spin p u ò essere realizzata facendo deflettere il fascio in un campo elettrico, Nel caso non relativistico (assumendo il valore g = 2 per il rapporto tra il momento magnetico, in magnetoni di Bohr, e lo spin in unità A),

ll passaggio delle radiazioni nella materia

69

Figura 2.37. Rotazione dello spin. Deflessione di un fascio di elettroni in un campo elettrico; approssimazione non relativistica. Linee tratteggiate, linee di forza del campo elettrico; frecce corte, orientazione dello spin (S e S' sono le orientazioni iniziale e finale); .T, T', traiettoria defl'elettrone; la polarizzazione cambia da longitudinale a trasversale.

+30 kV

30'

spettrometro 8

Ng l

F

D

730 kV rotatore dello spin

Figura 2.38. Campi elettrico e magnetico incrociati per cambiare la polarizzazione degli elettroni da longitudinale a trasversale. Uno spettrometro beta seleziona l'energia degli elettroni della sorgente S. Il rotatore dello spin cambia l'orientazione dello spin indicata con s, ma non ha azione sulla traiettoria (E= Bv/c). La fogliolina d'oro F diffonde a 90' gli elettroni che son rivelati da D. Rivelatore e fogliolina possono ruotare solidalmente attorno a SS' per determinare la asimmetria. [Cavanagh el al„Phil. Mag., 2, 1105, 1957]. si trova che lo spin si mantiene parallelo a se stesso, mentre il vettore k può ruotare (fig.

2.37). Si noti che in un campo magnetico l'angolo tra P e k non varia; perciò se la polarizzazione è inizialmente longitudinale, resta longitudinale. Per queste semplici conclusioni sono essenziali le ipotesi g=2 e l'approssimazione non relativistica. Esistono vari metodi per polarizzare gli elettroni e corrispondentemente per analizzarne la polarizzazione. Ricorderemo soltanto quelli che hanno trovato applica­ zione pratica, Il più vecchio è l'uso della diffusione coulombiana da parte dei nuclei, originariamente proposta da Mott, e nota come diffusione di Molt. Questo metodo può essere usato sia per ottenere che per analizzare la polarizzazione. In figura 2.38 è riportato schematicamente un tipico esperimento di diffusione doppia. La figura 2.39 dà la asimmetria aspettata. Con la diffusione di Mott si ottiene e si osserva soltanto polarizzazione trasversa.

70

Capno l o 2

' - 14

e

50

— 12

40

— 10 —8

30 20

10 O

0,2

0,4

0,6 0,8 E, M e V

1

1,2

1,4

Figura 2.39. P olarizzazione nella diffusione di Mott. Percentuale di asimmetria 20t)~a~ in un esperimento di diffusione singola di un fascio totalinente polarizzato in funzione dell'energia per elettroni e positroni (Z =80). Angolo di diffusione 90"'. [Tolhoek, Rea. Mod. Phys., 28, 277, 1956],

La diffusione di elettroni o positroni da parte di elettroni dipende dall'orientamento relativo degli spin ( diffusione M p l ler e B a h bha). In p r a tica è p ossibile polarizzare parzialmente gli spin del diffusore usando un bersaglio ferromagnetico magnetizzato. La variazione nella sezione d'urto di diffusione si rivela come variazione dell'intensità degli elettroni diffusi. Le misure sono sempre eseguite su base differenziale, cioè magnetizzan­ do il bersaglio prima i n u n a d i rezione e quindi nella direzione opposta. Ciò risulta particolarmente necessario perché la massima polarizzazione degli elettroni che puo ottenersi nel ferro interessa soltanto 2 dei 26 elettroni, e gli effetti risultanti sono perciò molto piccoli. Anche la sezione d'urto di annichilazione per una coppia elettrone-positrone dipende dalla orientazione relativa degli spin (vedi par. 2.12). Conseguentemente la polarizzazio­ ne di u n f a scio d i p o s i t roni l e nti p u ò e ssere rivelata facendogli attraversare uno straterello di sostanza ferromagnetica magnetizzata. Anche i raggi X presentano fenomeni di polarizzazione. Per la loro descrizione si può far uso della nomenclatura convenzionale dell'ottica distinguendo tra polarizzazione lineare e circolare. Le diffusioni Compton e Thomson dipendono dalla polarizzazione del fascio incidente. Cosi per raggi X polarizzati linearmente la formula di Klein-Nishina

da da

1

k'

ko

k

— = — rii — — + — — 2+4 cos p

dQ 4

ké pik

kp

[ 2.13.3]

dove p è l'angolo tra le direzioni delle polarizzazioni dei quanti incidenti e diffusi. Le quantità ke e k h a nn o l o s t esso significato che nell'eq. [2.9.18], e cosi contengono

l'angolo di diffusione. L'eq. [2.13.3] coincide con la formula di Thomson per hra «mc'; per trio»mc~ possiede limiti interessanti per grandi e per piccoli angoli di diffusione. La va riazione d ell'intensita d i f fusa in f u n z ione d e ll'azimuth i n t o r no a l

f a s cio

incidente, mantenendo costante l'angolo di diffusione, è segno di polarizzazione del fascio incidente. Per realizzare raggi X polarizzati circolarmente occorre un materiale diffusore con elettroni polarizzati, come ad esempio un corpo ferromagnetico. La sezione d'urto per raggi X polarizzati circolarmente e diversa a seconda che la loro direzione di rotazione è p arallela od a n t i parallela a q u ella dello spin degli elettroni, L a sezione d'urto d i

Il passaggio delle radia=è l'e5cienza del contatore, cioè la probabilità che un raggio beta emesso dalla sorgente sia contato dal rivelatore e v è il numero di disintegrazioni al secondo dalla sorgente. Il numero di conteggi per secondo registrati dal contatore gamma è Vy — Vy)y

[3.12.2]

e il numero di coincidenze, se l'emissione beta e gamma sono praticamente simultanee, come avviene se ilraggio beta precede quello gamma, è c

l/l l y

[3.12.3]

Da queste tre equazioni e possibile ricavare v, t)it e y)„, Questo esempio estremamente

semplice illustra il principio del metodo delle coincidenze. Il tempo r ha un ruolo essenziale: in particolare quando usiamo i termini «non correlato», «coincidente» e cosi

via, ci si riferisce sempre a r.

' ll «gaying circuii» o semplicemente il «gote» viene più comunemente chiamato in italiano «circuito porro» o «porta» talvolta anche «circuito di consenso». (NdT).

106

Capi t o l o . t

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rivestimento di lucitc

/cm (a)

(b) schermi collimatori

magnete

S

c ristallo di N a I

rivelatore a stato solido amplihcatore

fotomoltiplicatore

i mpulso di c omand o (c)

fi n e stra di B e

segn a l e

al l 'anal i z z atore d'ampiezza multicanale

Figura 3.33. Ti p i di misure in coincidenza. (a) Semplice disposizione di coincidenza, non adatta per coincidenze gamma-gamma, perché i quanti diffusi posant> prdurre coincidenze spurie. S. sorgente; A,assorbitore. (b) Disposizione per coincidenze beta-gamma c gamma-gamma. La probabilità di diffusionc di elettroni o gamma molli da un contatt>re all'altro è ridotta dagli schermi di piombo (Pb). (c) Schema di uno spettrografo alfa disposto pcr studi di coincidenze alfa­ gamma.

Consideriamo ora cosa accade se l'emissione gamma precede quella beta. Possiamo a mmettere che il tempo tr a le due emissioni sia in media molto più grande di r . I l numero di coincidenze e allora dato solo dal numero di quelle «casuali» o «accidentali » che possiamo valutare come segue: consideriamo il numero di volte per secondo in cui il contatore beta è attivo; questo è dato d alla eq. [ 3.)2.1]; alla stessa maniera per il contatore gamma abbiamo l'eq. [3.12.2]. Ora ogni volta che il contatore beta è attivo, l'apparato registrerà una coincidenza se entro un tempo rg anche il contatore gamma avra scattato. rp e il tempo durante il quale la «porta» aperta da un impulso beta rimane aperta. Durante questo tempo si avranno in media vt),,alt impulsi gamma e quindi il numero di coincidenze casuali, dovute a raggi gamma che precedono quelli beta, è dato da

[3.12.4] dove l'indice Pc sta a indicare una coincidenza casuale fatta partire da un raggio beta.

.'Vretodi di riccia."ione delle radia-ioni nucleari

1V7

Allo stesso modo possiamo calcolare il numero di coincidenze accidentali in cui il raggio gamma precede quello beta,

[3.12.5] La loro somma da il numero totale di coincidenze accidentali che. se è T/f TT = T, come spesso avviene, puo essere scritta

[3.12.6] Si noti come il numero di coincidenze accidentali è proporzionale a v-', mentre quello delle cnincidenze vere a v. ln misure di coincidenze il numero di quelle accidentali deve essere considerato come u n londo e q u i nd i s o t t r atto, U n b u o n m e t od o p e r c o n t r o llare i l n u m er o d e l le coincidenze accidentali cnnsiste nell'usare duc sorgenti separate, una pcr il contatore beta e l'altra per il gamma con opportuna intensita di conteggio dando gli stessi tassi vt

cav it à a c c eleratrice

)

+ ~Q o

H

(e)

Figura 4.). S chemi di alcuni dei più importanti acceleratori circolari (magnetici) con dimensioni tipiche: (a) ciclotrone, (b) betatrone, (c) elettrosincrotrone, (d) sincrociclotrone, (e) protosincrotro­ ne (o electron racc track). [Nui. Ciò è vero almeno finche m è costante nel tempo (energia non relativistica). Dall'eq. [4.4.3] si trae che, data una certa frequenza e un certo campo, un ciclotrone e capace di accelerare particelle differenti aventi valori pressoché uguali del rapporto eim, come deutoni e i o n i d i e l i o, In e A etti è p o ssibile, adattando opportunamente l'apparato, accelerare ioni fino al carbonio e all'azoto. Anche nel ciclotrone gli ioni debbono essere focalizzati, e gia il campo magnetico del ciclotrone provvede ad una debole azione focalizzatrice, come descritto per il betatrone (fig. 4.6). Inoltre, nella fenditura tra le D si hanno delle componenti verticali della forza elettrica. Il loro effetto principale seppur piccolo è quello di focalizzare la particella se essa attraversa il taglio tra le D mentre il campo elettrico sta decrescendo. Le oscillazioni radiali sono meno importanti nel ciclotrone che nel betatrone. Dopo che le particelle

Acceleratori di parricelie

piano nicdiano

l 25

r

c = O

Figura 4.A. Forze di richiamo per particelle in orbite sopra o sotto il piano mediano quando il campo magnetico di un ciclotrone decresce radialmente. Le lastre piatte piramidali (shims) collocaie negli appositi spazi tra le facce polari del magnete e la scatola vuota son disposte in modo da correggere il campo niagneiico dando nei centro del ciclotrone un piccolo decremento radiale del campo. Gli «shims» circolari alla periferia aumentano la regione utile del campo.

hanno raggiunto, nel loro moto a spirale, il bordo del campo magnetico, vengono di solito deflesse elettricamente in un canale e possono essere estratte dalla macchina. Un ciclotrone di q u esto t i p o p u ò g e nerare un a c o r rente circolante d i a l c u ni mifliamperes ed un fascio deflesso dello stesso ordine di grandezza. La sua energia è limitata da fenomeni relativistici, perché la massa della particella aumenta via via che essa si avvicina al bordo del campo magnetico. Occorrerebbe quindi che parallelamente aumentasse anche B affinché sia soddisfatta l'eq. [4.4.3], con co costante. Ciò è però in contrasto con le condizioni di focalizzazione che richiedono che le linee di forza del campo magnetico rivolgano la concavità verso l'asse di simmetria della macchina. La relatività pone cosi un limite all'energia massima di un ciclotrone convenzionale. Per i protoni questo limite è, in pratica, circa 30 MeV. E possibile raggiungere energie più elevate introducendo un c a mpo m a gnetico crescente con r (il quale, come abbiamo visto, defocalizza gli ioni), ma compensando l'azione defocalizzante rendendo il campo magnetico dipendente da 0, in modo da avere una azione focalizzatrice totale. Questa possibilità fu indicata da L. H. Thomas nel 1939, e si hanno ora macchine basate su questo metodo che può essere reso piu efficace dando forma spirale alle linee di confine tra le gobbe e le rientranze sulla superficie dei poli. Un'altra possibilità consiste nel variare la frequenza del campo elettrico applicato alle D in modo che una particella sia sempre «in fase» con il campo acceleratore, il che si ottiene sfruttando il principio della stabilità di fase (Veksler, 1945; Mc M i l l an, 1946).

45. Os cillazioni di fase e stabilità In ogni acceleratore operante sul principio delle accelerazioni multiple, è essenziale che i successivi impulsi siano dati al m omento opportuno. Quando si richiede un numero estremamente grande di accelerazioni (molte migliaia), il p r oblema di m a ntenere le partice()e in movimento in fase con il campo acceleratore appare assai difficile. Tuttavia e siste un metodo che permette di f a r lo. Co n o p p o rtune disposizioni dei campi l e particelle tendono autoinaticamente ad attraversare il luogo in cui avviene l'accelerazio­ ne, all'istante in cui esse ricevono l'energia esattamente necessaria a m antenerle in risonanza con il campo elettrico. C questo il principio della stabilita di fase. Per comprendere qualitativamente il fenomeno, consideriamo dapprima una parti­ c ella che percorre un'orbita i n u n c a m p o m a gnetico costante nello spazio e c h e

i26

Capun'' secondo l'eq. [4.3.22], ed occorre un valore grande di n per mantener basso il valore di z „.„. Sappiamo pero che per la stabilità radiale si richiede n (1 , e q u i ndi sembra che la situazione non abbia vie di uscita. Christofilos (1950) e indipendentemente C."ourant, Livingston, e Snyder (1952) hanno trovato il modo di superare la difficoltà. A q uesto scopo il m agnete è costituito di segmenti successivi aventi, alternativamente. n grande e positivo ed n grande in valore assoluto ma n egativo. I l p r i m o s e gmento f o calizza verticalmente m a d e foca]izza orizzontalmente. L'opposto avviene con il secondo segmento. La risultante totale dei moti verticale e radiale e t u t t avia un a f ocalizzazione. Questo fatto, a p r i m a v i sta i natteso. puo q u alitativamente comprendersi considerando du e l e nt i o t t i che, u n a convergente e l'altra divergente. Si sono indicati in figura 4.19 i raggi in un sistema di due lenti magnetiche da c u i è m o s t r ata l ' azione r i sultante d i f o c alizzazione. L a focalizzazione con gradiente alternato ha inoltre il grosso vantaggio di ridurre notevol­ mente le escursioni radiali dovute a differenze nelle quantità di m o to. ln un acceleratore reale la scatola a s u oto è c i rcondata da un a successione di magneti aventi alternativamente ii positivi e negativi grandi. I magneti sono disposti in maniera tale da ottenere globalmente una azione focalizzatrice. In figura 4.9 è mostrata la traiettoria in una sezione del magnete. La sezione elementare è ripetuta periodicamen­

132

Capi t olo 4

B

D

r

F s~

F F

D

F

' oè' j'

(a)

D

F

D

F

D

F

D

F

D

S

(b) Figura 4.9. ( a) Successione di lenti focalizzanti e defocalizzanti in un acceleratore a focalizzazio­ ne forte. (b) Due casi dello spostamento del fascio lungo l'arco s che mostrano le azioni focalizzanti e defocalizzanti. [Green e Courant (Fl E)].

t e sull'intero a nello. L a d i s posizione precisa deve essere calcolata p r endendo i n considerazione la stabilita dell'orbita. La combinazione della focalizzazione forte e del principio del protosincrotrone ha reso possibile accelerare protoni fino ad energie di circa 5 x 10' ' eV. La figura 4.10 mostra una parte della macchina a gradiente alternato di Brookhaven. La figura 4.11 mostra lo schema generale dell'acceleratore al Fermi National Accelerator Laboratory a Batavia, Illinois, È questo i! piu grande acceleratore

esistente. Uno simile è in costruzione al CERN (ginevra, Svizzera; la figura 4.12 forniscc una vista generale del CERN). La tabella 4.2 fornisce alcuni dei dati fondamentali sugli acceleratori di B r o okhaven e Batavia.

4.8. Acceleratori lineari Il principio dell'accelerazione multipla viene anche sfruttato negli acceleratori lineari in c ui la t r aiettoria degli i oni è a p p rossimativamente rettilinea. Si hanno v ari t i p i d i acceleratori lineari: per elettroni, per protoni e per ioni pesanti come il ' C. Descrivere­ mo brevemente soltanto due tipi, uno per elettroni di altissima energia, e l'altro per gli ioni pesanti. C ome è stato r i c o rdato i n p r ecedenza, nel caso degli acceleratori circolari d i elettroni, le perdite per radiazione divengono proibitive al di sopra di una certa energia.

Acceleratori di particelle

133

a +' •" j.

' ag

Figura 4.10, Vista del protosincrotrone a gradiente alternato del Brookhaven National Labora­ tory, che mostra alcune delle 240 sezioni del magnete. [Per gentile concessione del Brookhaven National Laboratory]. Tabella 4.2. Caratteristiche di sincrotroni a gradienti alternati. Acceleratori

BNL' Massima energia dei protoni (GeV) Numero di protoni per secondo (fascio interno) Frequenza di ripetizione (impulsi s ') Diametro del l'anello (m) Peso dell'acciaio (tonnellate) Peso della bobina di rame (tonnellate) Campo magnetico All'iniezione (G) A 33 GeV e 300 GeV (kG) Tempo di salita (s) Durata del pianerottolo (s) Potenza media iniettata nel magnete (MW) Gamma della radiofrequenza (MHz) Potenza massima della radiofrequenza (kW) Costo (milioni di dollari USA) ' Protosincrotrone Brookhaven National Laboratory, ' Fermi National Accelerator Laboratory.

33 8 x 101'

0$ 257 4000 400 250 13,1 0,45 1 2,4 2,5-4,61 1000 $31'

FNLs 500 6x 10' 1/12 2000 9000 850 396 13,5 2,4 1 36 53,08-53,10 1800 $23(y'

' Periodo di costruzione 1953-1960. e Periodo di costruzione 1969-1972.

t34

Capit o lo 4

acceleratore Cockcroft­ Walton

da 800 kV

linac da 200 Mev

smistamento

area mesoni

protoni

area neutrini

preacceleratore da 8 GeV

="r area protoni

raggio di 1000 m

acceleratore principale da 500 GeV

Figura 4.11. Pianta generale del Fermi National Accelerator Laboratory a Batavia, Illinois. Quattro stadi di accelerazione: energia fmale 500 GeV. Per i dati si veda la tabella 4.2. [Per gentile concessione del FNAL, Batavia, Illinois].

rs +;/+p'',~

Figura 4.12. Veduta aerea del CERN in direzione nord dal Laboratorio I verso il sito del Laboratorio II. In primo piano a destra sono visibili i palazzi dell'amministrazione; al centro, l'anello di 200 m di diametro del protosincrotrone da 28 GeV; più oltre, l'anello di 300 m di diametro degli anelli di accumulazione incrociati. A destra della via principale si trova parte del sito del Laboratorio II del CERN, dove un pozzo d'ascensore di 46 m discende alla galleria del SPS. [Per gentile concessione del CERN, Ginevra, 1977].

Areeleratnri cit particelle

l 35

Figttr«4.!3. Ac celeratore lineare, tipo La@renne-S)oan. Il 3' t u bo di accelerazione ha una lunghezzaL, = [3I2e,,'m) V]" (T/2).

Sotto questo aspetto il vantaggio degli acceleratori lineari è ovvio. Per gli ioni pesanti la carica specifica Q/A è spesso bassa perché gli atomi d a cu i gl i i o n i d e rivano sono i onizzati solo parzialmente. (L'unità usuale per Q è la carica del protone e per A u n dodicesimo della massa del ' C). Un campo magnetico incurverebbe poco la traiettoria di questi ioni, per cui l'uso di una macchina circolare sarebbe più costoso di quello di un acceleratore lineare. Attualmente con gli acceleratori lineari si riescono a raggiungere,

per ioni pesanti, energie dell'ordine di 10 MeV per nucleone. Anche ioni pesanti (fino a Fe), pero, sono stati accelerati con il Bevatrone combinato con un iniettore speciale, e si

possono raggiungere energie di vari giga-elettronvolt per nucleone. Un acceleratore lineare di interesse storico è mostrato in figura 4.13. G)i elettrodi

pari e dispari son collegati ai poli opposti di un oscillatore. Negli intervalli tra i tubi posti sul)'asse della cavità si stabilisce una differenza di potenziale

V= Vtt costar

[4.8.1]

Uno ione che si trova nell'intervallo è soggetto al campo elettrico ivi esistente mentre tino che viaggia entro un tubo non subisce l'influenza di alcun campo, Uno ione che attraversa gli intervalli negli istanti appropriati, per esempio, 0, T =2 t r /co, 2T, ecc.

subisce molteplici impulsi acceleratori. La distanza L tra gli intervalli deve via via aumentare se si vuole che lo ione li attraversi al tempo giusto e deve essere tale che uno ione entri in un tubo quando questo è negativo e ne esca quando è positivo, quindi UT

L=—

2

[ 4.8,2]

in cui n è la velocità nel tubo. Nel caso non relativistico, dopo l'attraversamento di j intervalli, n è

[4.8,3] Quindi L( — —j — Vo Nel caso relativistico, per elettroni di alta energia, t ~ c e l a distanza tra gli intervalli deve essere costante CT

L= ­

2

[4.8.4]

Il tipo di acceleratore illustrato in figura 4.13 fu costruito e usato da Lawrence e Sloan (1931) ma è stato poco usato in fisica nucleare. D'altronde il principio su cui si basa è importante.

136

Capit a t a 4

gd

d Figura 4./4. S t r u ttura de(1'acceleratore a disco caricato che ne mostra (e dimensioni più importanti.

Negli acceleratori moderni per stabilire il campo elettrico si adoperano le guide d'onda. Vengono correntemente impiegate alte frequenze, fino a circa 3000 MHz. Una guida d'onda è u n t u b o d i m a t e riale conduttore i n c u i v i ene eccitato u n c a m po elettromagnetico oscillante. Il campo elettromagnetico nella cavità può formare un'onda stazionaria, nel qual caso essa funziona come un risuonatore, oppure un'onda che si propaga. L'onda stazionaria può naturalmente essere considerata come la sovrapposi­ zione di due onde progressive che si propagano in direzioni opposte. Uno ione che si muove con la stessa velocità di un a d elle onde progressive è soggetto a un a f orza acceleratrice costante. Nel caso di elettroni di altissima energia, in moto con velocità molto prossima a c, l 'onda elettromagnetica deve propagarsi con un a v elocita d i f ase c. T al i m o d i d i oscillazione si o t tengono i nserendo delle divisioni nella cavità ed eccitandola alla frequenza appropriata. Una siffatta cavità è mostrata schematicamente in figura 4.14. I dischi conduttori d a nno a ll a l i nea la v e locità d i f ase caratteristica desiderata. Un acceleratore lineare lungo oltre 3 km, a Stanford, raggiunge 22 GeV con una corrente di 30 pA. Come altro esempio ricordiamo gli acceleratori lineari di i on i pesanti, usati per accelerare ioni come C, N, Ne fino ad energie di circa 9 MeV per nucleone (fig. 4.15). Gli alimentatore da 2 MW oscillatore e modulatori per 10 amptilicatori tubi di deriva

prestnpper

amptdicatort (10)

stripper

arca pcr gli

poststr i pper

ituet tori

linea di trasferimento at Bevatac —.

Figura 4.15. L ' acceleratore li@care per ioni pesanti accelera fino allo Xe (meta finale U) ad una energia di 8,5 MeV/A. Durante l'accelerazione, la carica ionica Q (e quindi la carica specifica Q/A) varia, ma poiché le frequenze e la geometria dell'acceleratore sono costanti, QE/A = a (E, campo elettrico; a, accelerazione), l'accelerazione degli ioni deve essere indipendente da Q (altrimenti gli ioni vengono persi). Gli ioni sono accelerati da uno degli acceleratori Cockcroft e Walton (uno per i leggeri, l'altro per i pesanti). Essi entrano nel prestrippcr con Q/A > 0,05 e P = 0,015, e all'uscita hanno P = 0,05. Lo straterello di carbonio dello stripper porta Q/A a 0 , 33 per Ar (a 0,17 per U). L'acceleratore del poststripper porta p a 0,13 (energia a circa 8,5 MeV/A). All'uscita da questo lc particelle possono essere usate direttamente o iniettate in un sincrotrone (Bevatrone) dove possono raggiungere fino a 2,5 GeV/A.

Acceleratori di particetle

i 37

ioni positivi di piccola carica vengono prima accelerati in un acceleratore Cockcroft­ Walton avente un.i caduta di potenziale di circa 800 kV. Quando essi escono da questo acceleratore. sono concentrati in zone di spazio piccole (tale processo è chiamato in inglese «bunching» e noi lo chiamiamo «impacchettamento») in modo da poter essere iniettati nella sezione successiva, costituita da un acceleratore lineare del tipo a onda s tazionaria. '.iella seconda sezione gli ioni acquistano un'energia di circa l M e V p e r nucleone. È quindi possibile ionizzarli ulteriormente facendoli passare attraverso una logliolina sottile di carbonio, ed o t tenere cosi una pi ù a l t a c arica specifica, che e desiderabile per l'accelerazione successiva, La parte della macchina in cui avviene questo processo vien chiamata «stripper» (spogliatoio). Gli ioni entrano quindi in una nuova sezione, ancora del tipo ad onda stazionaria, in cui sono ulteriormente accelerati fino ad una energia di circa 9 MeV per n ucleone (i'/c = 0,13). Gli acceleratori lineari, come quelli circolari, hanno stabilità di fase: la differenza più importante tra i due tipi è che nel primo la stabilità di fase si ottiene nella parte di tensione crescente del ciclo, piuttosto che in quella di tensione decrescente, come negli ordinari acceleratori circolari a focalizzazione debole. P er impedire l'allargamento del fascio g]i i o n i v e ngono focalizzati co n l e nti a qiiadrupolo magnetico (vedi par. 4.10) o con altri dispositivi.

4.9. Fasci incrociati l costi di costruzione e di esercizio degli acceleratori sono, nella migliore delle ipotesi, proporzionali all'energia nel sistema del laboratorio, ed i n m o lt i c asi crescono più velocemente di essa. D'altra parte, l'energia importante per il fisico è quella nel sistema del centro di massa, che, per una particella di massa m che incide su un'altra della stessa massa e data, nel caso relativistico estremo (E » m c ' ) , da E,.„, = (2mc'E,)"'. Qu e s ta formula mostra quanto dura e la lotta per l'alta energia. Un acceleratore di protoni di 500GeV nel laboratorio f o r nisce soltanto 30,6 GeV nel sistema c.m. Per superare questo problema, si fanno urtare fasci che si muovono in sensi opposti. In ta l caso l'energia nel c.m. di due fasci, ciascuno con energia E, e ugual massa, è 2E,. Due fasci incrociati di protoni ciascuno di 15 GeV sono equivalenti, agli effetti dell'energia, a un fascio di 500 GeV su un bersaglio stazionario. Il problema è pero l'intensità. Il tasso a cui una reazione avviene si può scrivere

[4.9.1]

ii = Lct

dove u è la sezione d'urto in corrispondenza della velocità relativa, n è il n u mero di processi per secondo, e L è la luminosità, che, cosi definita, ha le dimensioni l t ' , P er esempio, per un fascio di 10i z particelle sec ', quale si ottiene da un grande acceleratore da molti GeV, che incide su un bersaglio di i d rogeno liquido spesso 10 cm, L = 4 , 3 x 10" cm "' sec ' . Con i migliori fasci incrociati disponibili, L è attualmente circa 10 volte piu piccola. La f o r mula per l a l u m i nosità di u n f ascio che urta u n b ersaglio stazionario è L = n, t.',AN in c ui n, è i l n u m e ro di p a r t icelle del fascio per unità d i volume, r, la sua velocità rispetto al bersaglio contenente N nuclei cm, e d A l ' a rea del bersaglio. Per fasci incrociati contenenti n, ed nz particelle per unità di volume e in moto relativo con velocità e„ u z , la l u minosità per unità di t.olu>neè L

z

— = ninz ( v i — vz)

(vi x vz)

[4.9.2]

138

Capi t o lo 4

o per il caso di Yi = — Yi L,'V = n i ni2i't

[ 4.9.3]

L'eq. [4.9.2] puo, per i = c, riscriversi come

L­

I,l,

1

e c tan(0,,'2) h,R

dove () è l'angolo di intersezione dei fasci e I, e I, le rispettive correnti. Il parametro h„ descrive la sovrapposizione dei fasci, Supponiamo che i fasci siano in un piano orizzontale e abbiano un a c erta estensione in v erticale. La de nsità di c o r r ente in

funzione della coordinata verticale sia p, (z) e p, (z) per ciascun fascio rispettivamente. Allora rt

h,„=

r

r

p, (z) dz pz (z) dz/ pi (z) p~ (z) dz

Da tutto ciò segue che L è una caratteristica della macchina e delle sue condizioni di

lavoro, e si può determinare o mediante calibrazioni con un a n oto (diffusione coulombiana a piccolissimi angoli) o per misura diretta di p, e p, o con altri metodi. È comunque chiaro che e essenziale ottenere la più alta densità di corrente possibile. I fasci incrociati prodotti da un acceleratore ordinario danno una luminosità troppo bassa per essere di interesse pratico. Per aumentare le correnti disponibili si carica un «anello di accumulazione» per mezzo di un acceleratore ordinario, con il che è possibile ottenere correnti circolanti molto alte, assai più che nell'iniettore. Vi sono limiti alla densità di corrente ottenibile. Teoricamente, il teorema di L i o u ville pone un l i m i te assoluto, a meno che non predominino lo smorzamento per radiazione e le fluttuazioni quantiche, come sarà il caso negli anelli di accumulazione per elettroni e positroni. Il volume dello spazio delle fasi occupato da un «pacchetto» è AQ = hx Ay Az hp„

Ap,Ap„ in cui hx ecc. e Ap„ecc, sono gli sparpagliamenti delle coordinate e impulsi delle particelle, e tale volume e una costante del moto. Nuove particelle iniettate nell'anello debbono andare in regioni dello spazio delle fasi non previamente occupate e si debbono

ammassare in una nuova regione dello spazio delle fasi disponibile nell'anello. Il numero di particelle accumulabili è cosi al più N = n (QR/Q)

[ 4.9.4]

dove n è il numero di particelle in un atto di iniezione, Q„ lo spazio delle fasi disponibile nell'anello determinato dal volume dell'anello stesso e dall'intervallo di impulso per cui il moto è stabile, e Q; è lo spazio delle fasi che compete ad un atto di i niezione ed è determinato dalle dimensioni fisiche del fiotto di particelle e dallo sparpagliamento del loro impulso. Idealmente tutte le celle di Q,- sono occupate. In pratica le particelle sono

raggruppate in pacchetti che ruotano negli anelli di accumulazione come i grani in un rosario. Le perdite per radiazione sono significative negli anelli di accumulazione di elettroni — vedi l'eq. (4.3,23] — e debbono essere compensate con una sorgente a radiofrequen­ za, Nello stesso tempo tali anelli di accumulazione sono sorgenti importanti di luce per ricerche nella regione dell'estremo ultravioletto o dei r aggi X m o l li . L a f i g ura 4.16 mostra lo schizzo generale degli anelli di accumulazione incrociati pcr protoni al CERN.

(Una veduta aerea del CERN appare in figura 4.12.) Si può avere un solo anello di accumulazione per entrambi i fasci. o un anello separato per ognuno. La luminosità per un' ireii cffeitiv,'i A del f iscio, un'i frcqucnzii di risoluzione f' .c k fnicchciii pcr «ne)In è

L = f (k.V, X~ jA)((c = 1) 4E,'k;

kr — — [ 1 + (() ' k r / 4 k,)] m, + 4k;E,

[4.9.6]

dove k

0,16

( n> = 6

= 4

0,14

( n> = 8 (n > = 10 (n> = 1 2

0,12 0,10

r.

0,08

r'S S

I/

0,06

/I //

0,04

//

S !!

CP

p.

0,02 0

2

4

6

8

10

n

12

14

16

18

20

Figura 5.6. Formula di Poisson: P(n)=((n)"/n!)e per differenti valori di (n) .

Quest'ultima espressione per la deviazione standard è di notevole importanza. Sfruttando ora il fatto che K è un numero arbitrariamente grande, si può passare al limite per K tendente all'infinito, applicando le ben note formule: K lim K

K" = — e lim

n

n'

K

1+ —

t
1— = e- K

[ 5.5 . 1 4]

Sostituendo questi valori nell'eq. [5.5.3], si ottiene P (n) =

(n)n n!

(5.5.15]

e-

in cui per K ~ o si è tolto l'indice K. Questa è la famosa formula di Poisson illustrata in figura 5.6. Dall'eq. [5.5.15], ricordando lo sviluppo in serie di potenze di e", si vede anche immediatamente che

" (n )"

g P(n) =e- g n= O

n=O

ni

= l

[5.5.16]

che assicura che la somma delle probabilita per tutti i numeri possibili di disintegrazione in un dato intervallo temporale è 1.

Se (n) è grande,P (n) ha un massimo pronunciato in prossimità di n = (n) e allora si può sviluppare il logP(n) in serie di potenze di n — (n). Facendo uso della formula asintotica di Stirling, log(x!) = x logx — x+ —,' log2/tx+ ...

si ottiene dall'eq. [5.5.15] log P (n) = n log (n) — (n) —n log n + n — ~ log 2ttn

[5.5.17]

162

Cepf toieS

0,09 s: 0,08 ~ 0,07

g 0,06 © 0,05 0,04 0,03 ~ 0,02

oo eleggedi Poisson

o 0,01

legge di Gauss

0,'8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 Figura 5.7. Confronto tra la legge di Poisson per n 20 e quella di Gauss.

e, prendendo ie derivate prima e seconda rispetto a n

dlogP dn

=log(n) -logn- ­

1

[5.5.18]

2N

dzlogP d

1

1 2

[5.5,19]

Lo zero della derivata prima conferma l'esistenza del massimoe in prossimità di n = (n) (trascurando termini in 1/n rispetto a log n e termini in l/nz rispetto a quelli in l/n); la derivata seconda può essere usata per scrivere i primi termini della serie di

potenze di log P(n), l og P (n) = log P ((n))+

(n — (n)) d 2!

dnz, logP ( n )n~(n)

1 2

= — — log 2R (n)

(n —( n) ) z 2 ( n)

[5.5.20]

da cui, passando dai logaritmi ai numeri, si ottiene immediatamente la famosa formula di Gauss:

P(n)­

e>p [-(n — (n)) /2 (n)] (2R (N))'/

[5.5.21]

gn figura 5.7 sono mostrati esempi di distribuzioni di Poisson e di Gauss).

Ricordando che [5.5.22] si vede facilmente che

• In nna approssimazione migliore il massimo è vicino a n (n) — $.

ùeea4onentora4ioanioo

! rt~

i63

[5.5.23]

Pln)dn = I

JO

che esprime ancora la condizione di normalizzazione delle probabilità. Ricordiamo qui che (n)» l e che quindi i co ntributi all'integrale per n < 0 s ono t rascurabili.

Dalle eqq. [5.5.13], [5,5.15] o [5.5.21] e possibile calcolare lo scarto quadratico medio (s,q,m,i e la deviazione standard definiti dall'eq, [5.5.10]. Dall'eq. [5.5,13] risulta che, se K tende a ac, p tende a 0 e q a 1 . L e e qq. [ 5.5,13] e [ 5 .5.9] datino allora diret taniente

o' = Kp= (n)

[5.5.24]

Lo stesso risultato si ottiene introducendo al posto di Pf n l la f o r m ula di P o i sson e facendo uso dell'identita

, (n)" g n' = (n ) ( ( n) + 1) e'">

[5.5,25]

n- O

c he puo facilmente dimostrarsi confrontando i c oefficienti di ( n ) d i u g u a l p o tenza. Identico risultato, infine, si deduce dalla definizione di o' contenuta nelle eqq, [5,5,10] e

[5.5.11] e dalla distribuzione gaussiana dell'eq. [5.5,21], se si ricorda che I 2

x p, *Clx = —

ii

Queste espressioni ci dicono che il valor medio del quadrato dello scarto dal numero medio di disintegrazioni che ci si aspettano in un certo intervallo di tempo, e uguale proprio a questo numero, e quindi

a = (n) " '

[ 5.5,27]

La quantità a' è lo scarto quadratico medio della distribuzione in n e o e nota come deviazione standard. Cosi, se si hanno in media 100 disintegrazioni al minuto, possiamo aspettarci degli scarti da questa media, in ciascun intervallo di un minuto, tali che il loro valore quadratico medio è ancora 100. È molto spesso di grande interesse conoscere la deviazione standard relativa, che risulta dall'eq. [5.5.27] 1

(n)

[5.5,28]

Essa è inversamente proporzionale alla radice quadrata del numero di conteggi usati ed

è un indice della precisione della misura. Si può anche giungere ad una stima di cr partendo dalla sua definizione, eq. [5.5.10],

in cui, pero, non si è fatta distinzione tra (n) e il suo valore «vero», che si otterrebbe, per e sempio, da un numero infinito di osservazioni, Indichiamo il valore vero di (n ) c o n

(nr). In una serie di misure che fornisce n, conteggi in ognuno degli X intervalli di ugual durata, dovremmo in realtà formare

rr 0l) = — p 0l; — (n;)) X

[5.5.29]

Poiché non è possibile ottenere il valore (n „) , l o si sostituisce con A

(n) = — P ll; X

[5.5.30]

164

Cupi to l u 5

e si assume, per il quadrato della deviazione standard di una singola misura,

o '(n) = ,

[5.5.31]

y (»; — (n))'

N — 1,.

e, per il quadrato della deviazione standard dalla media, ]

[5.5.32]

((n)) —X (X — 1),g (n; — (n))'

La sostituzione di N dell'eq. [5.5.29] con X — 1 nell'cq. [5.5.31] compensa del fatto che (n,,), valore vero, è stato sostituito da ( n ) . Per grandi valori di W, le eqq. [5.5.31] e [5.5.29] tendono a divenire uguali e in realtà non è importante far distinzione tra esse, in quanto, in pratica, la loro differenza è dell'ordine dell'errore in o' . L a g i ustificazione dell'eq. [5.5.31] e di quest'ultima affermazione si trova nei libri specializzati di statistica. Naturalmente i valori di o' cosi ottenuti sono soltanto approssimati: possono darsi dei casi in cui o' c a l colato dall'eq. [5.5.31] risulta anormalmente piccolo. Infatti, nel nostro caso, o non può essere minore di (n) ' ' c sc la nostra serie di misure ha fornito un valore inferiore a questo, dobbiamo ancora ammettere chc la deviazione standard è (n) " ' , e che il valore più basso è stato ottenuto per caso. D'altra parte, se si trova una deviazione standard molto piu grande di ( n) ' si p u ò sospettare l'csistcnza di qualche altra causa di errori casuali. Illustreremo ora questi concetti con un esempio reale. Si è eseguito il conteggio di un campione di uranio e si è determinato in 10 intervalli, ognuno della durata di un minuto, il numero di particelle alfa emesse. Nella prima colonna della tabella 5.3 è riportato il numero eAettivo di conteggi osservati; nella seconda la differenza tra la loro media e il conteggio realmente ottenuto nello specifico intervallo di 1 min; nella terza il quadrato dei numeri riportati nella seconda colonna. Il conteggio medio al minuto è 35946,4, con l a deviazione standard d i o g n i s i ngola misura data da ( 3 11740.9)' = 18 6 . C o n o = (n) " ' , c o m e dall'eq. [5.5.27], si trova o = 189 in soddisfacente accordo col valore precedente. Il conteggio medio è 35946,4 al minuto e la deviazione standard della media

Tabella 5.3.

Fs empio numerico di conteggio di un campione.

n — (n)

(n —(n))

130 — 193 39 170 — 62 190 — 205 — 306 178 141

36 076 35753 35 907 36 116 35 884 36 136 35 741 35 640 36 124 36 087

16 900 37 249 1 521 28 900 3 844 36 100 42 025 93 636 31 684 19 881 Z 311 740

(n) = 35946,4 o (n) =

= 186

Deradmiento rudlnanico

165

è data da 189/p 10 = 60. in cui 10 è il numero di osservazioni, e la deviazione standard di una osservazione è 189. In c o nclusione, il conteggio medio del nostro campione è 35946+ 60 al minuto. Ci si può ora porre la domanda: qual è la probabilità che, nel caso di un conteggio A con una deviazione standard o, la deviazione dal risultato «esatto» A' s ia maggiore di m7 II risultato esatto è definito, come sopra, come quello che si ottiene ripetendo la misura di A un numero grandissimo di volte. La risposta a questo problema nel caso di ttna distribuzione gaussiana si trova in tavole contenute, per esempio, nello Handbool' of Chemistrr ond Phtsics. Citiamo qui a lcuni numeri caratteristici. La probabilità P di osservare un conteggio che differisce da A» per più di ea è data nella tabella 5.4. Si noti che la probabilita di osservare un conteggio che differisce da A~ per più di 0.6745cr e 0,5. Quest'ultima quantità è detta errore probabile. Tabella 5.4. Probabilità per un dato multiplo della deviazione standard. 0

P

0 6 745

1 0 ,50 00

1

1,5

2,0

2,5

3

3,5

0,31 73

0,13 3 6

0,04 5 5

0,01 24

0,00 2 7

0 ,00 0 46 0 , 0 00063

4

Se desideriamo conoscere la deviazione standard di una funzione f d i d ue o p i ù variabili x, e xz, osservate indipendentemente con deviazione standard, rispettivamente, a, e az, si fa uso della formula fondamentale della proptzga=ione degli errori

cri + — — o'z

[5.5.33]

Di applicazione lrequente sono le formule per gli scarti quadratici medi della somma, differenza, prodotto, e quoziente di due quantità. Se le quantità osservate sono numeri di

conteggi,le eqq. [5.5.27] e [5.5.33] forniscono a (n, + nz) =(n, + nz)' '

[5.5.34]'

G(lli ' tl ) =

[5.5.35]

[n i n z (ni + nz)]

( nt n q

o'(n>,'nz) = ~

o(n,n,)

',J

+ — )

(n, / n , )

(— 1 +­1 ' l' "

[5.5.36]

[5.5.37]

ni/nz in cui n, e n, sono i numeri di conteggi osservati. Espressioni del tipo dell'eq. [5.3.36] si ottengono in modo rapido usando la relazione

a(log f) =

). Per calcolare questa quantità e il relativo scarto quadratico medio, chiamiamo v l a f r equenza media di emissione delle particelle; la probabilità di emissione di una particella in un piccolo intervallo di tempo r sarà vt. Il contributo 6 (4 ) a lla deflessione media prodotta dalle particelle emesse nel tempo r è

8(4) = f (T — t)v~

[ 5.6.17]

e, passando al limite, T

( 0, si ha, per T» 1 / y

[5.6,21] che è simile all'eq, [5.6.14],

I

Decodimenio radioarrioo

L 'eq. [5.6.21] viene spesso applicata per d eterminare le condizioni i n

l 69

cui u na

radiazione fortemente ionizzante (per esempio frammenti di fissione) può esser misurata su un fondo di una intensa radiazione costituita di particelle poco ionizzanti (raggi beta). Se il tempo risolutivo dello strumento, comprendente l'effetto dei componenti elettroni­ ci, e r e il numero di ioni ottenibili dalla particella fortemente ionizzante è F, e quello ottenibile dalle particelle poco ionizzanti che si presentano con frequenza v, è f, si deve avere

[5.6.22]

F»(vr)" f

Questa relazione, pero, può essere usata soltanto per stime qualitative, in quanto per più precise valutazioni si richiede uno studio particolareggiato delle condizioni sperimentali.

5.7. Metodo della massima verosimiglianza Spesso, per misurare una vita media, si misura il tempo in cui i nuclei di un campione si disintegrano e quindi si analizzano i dati disegnando un istogramma del numero di disintegrazioni in intervalli successivi della stessa durata. Questo procedimento pratico non sfrutta evidentemente tutta l'informazione contenuta nelle misure; si desidera invece un metodo che utilizzi al massimo i dati raccolti. Si raggiunge lo scopo con il metodo della massima verosimiglianza, che illustreremo con un esempio. Si deve pero tener presente che, per poterlo usare, occorre introdurre ipotesi a priori che influenzano molto i risultati. Cosi, nell'esempio che segue, è essenziale ammettere che sia presente una sostanza radioattiva soltanto e che la legge di decadimento sia puramente esponenziale. In queste ipotesi, avendo osservato M d i s i n tegrazioni a i t e mp i r , , t , „ . r „ ( T =tempo totale di osservazione, desideriamo conoscere il valore più p r o babile della costante di disintegrazione della sostanza. Si procede al modo seguente: per ciascun nucleo della sostanza che si disintegra, la probabilità di osservare un decadimento tra il tempo r e r+ d i è Ci()., i)di = )e "' d r ( 1 — e

[5.7.1]

)

in cui il fattore in parentesi serve a tener conto dcl tempo finito di osservazione T. La probabilita di osservare dei decadimenti agli istanti r „r , . . .t~ è allora proporzio­ nale a ,ir q e

"' ( 1 —e ..r) — i

[5.7.2]

Questa quantita è una funzione del parametro A, e ci chiediamo per quale valore di ). ha un massimo; il corrispondente valore di A è il pi ù p r o babile. Possiamo esplicitamente cercare il massimo del log G. Si ha quindi per il massimo i, log Cr(R, t„ t,. ..l~)

0 —

—

P

— g ).t; + M log ( 1 —e " ) — M log)t P.).

[5.7.3] [5.7,4]

Equazionc che puo essere risolta rispetto a ). per iterazione. Nel caso limite in cui ~ T» l

170

c api t olo s

essa fornisce il risultato ovvio M

1

—

[5.7.5]

= T =

M Come fattore di merito per il valore del parametro i. ricavato risolvendo la eq. [5.7.5], è ragionevole assumere — 1,2

É

8(i.) = —

log G ( i.,t,,, t , „)

[ 5.7.6]

C((.

Verifichiamo questo risultato nel caso in cui l a G c o nsiderata funzione di i. ha u na distribuzione gaussiana con deviazione standard o,

[5.7.7]

G = K exp [ — (iL ~p) /20' ]

Allora

(>. —>o)'

log G = log K

2 logG

[5,7.8]

2a

1

[5.7.9]

In questo caso l'8 dell'eq. [5.7.6] coincide con la deviazione standard di ),. Il metodo di massima verosimiglianza si usa comunemente nella soluzione di molti problemi, in cui è importante studiare la bontà dell'adattamento. Nell'esempio che segue si illustra il test di y' , che è quello usato normalmente in simili casi, Supponiamo d i a v er e u n 'espressione teorica, in c u i c o m p aiono de i p a r ametri incogniti, che noi vogliamo adattare ai dati sperimentali. Supponiamo di sapere già che l'espressione teorica è valida. Per esempio, avendo misurato una sezione d'urto differen­ ziale, la si sviluppa in serie di polinomi di L egendre fino al quarto: do

d0

= a i Pi (cos 0) + a,P, (cos 0) + a,P~ (cos 0) + a4P~ (cos 0)

[5.7.10]

Avendo misurato do d0 i n c o r r ispondenza di N va l o ri d i 0 , i n d i chiamo queste X quantità x , , . .., x „ e le r i s p ettive deviazioni standardo, , . . ., tr „. La f u n z i one di verosimiglianza relativa ai quattro parametri a, ...a4 e data da

' (x; — > 30 0,0006 I ® / 0,0004 L F at~27p j y e xp( - — 2 ]dx 0,0003 0,0002 con y= Jpg > — Jpn 0t 0001 I

2

3 4 5 6

8 10

20 30

4 0 5060 80lt)O

X Figura 5.8: Livello di fiducia in funzione di Z per no gradi di libertà. [Da RPP 74].

Se si debbono valutare m p a r ametri d a ll'osservazione di

N pu n t i , n o = N — m

rappresenta il numero di gradi di libertà. Una volta che si è calcolata la funzione g'(af,...,a~) con l'ausilio dell'eq. [5.7.12], si trova in figura 5.8 il «livello di fiducia» in funzione di no e di g'. Per esempio, se misuriamo do/d8 in corrispondenza di 10 punti e se adattiamo i risultati sperimentali con quattro parametri, si ha no = 6, e supponendo un g' pari a 5, il livello di fiducia risulta uguale a 0,55. Per maggiori dettagli si consulti tino degli ultimi numeri di RPP oppure il libro di R. A. Fisher, Staristical Methods for Research Workers (Oliver 8c Boyd, Edinburg, 1958). È essenziale ricordare però che il metodo della massima verosimiglianza si basa sulla validità delle ipotesi teoriche da cui si parte.

5.8. Me todi di misura delle costanti di disintegrazione Il modo più semplice per misurare una costante di decadimento è quello di applicare direttamente l'eq. [5.1.1] o [5.1.2]. Ciò risulta molto semplice se z è compreso tra circa 1 min e qualche anno, Al di fuori di questi limiti si incontrano difficoltà pratiche. Però

I72

Capi t o l o .s

anche se r è adatto per la misura può accadere che la radiazione emessa nel decadimento sia difficile da rilevare (per esempio nel RaD), nel qual caso è spesso possibile misurare non il decadimcnto della sostanza in questione, ma il formarsi di una sostanza figlia, da cui si può calcolare il r d e lla sostanza madre. Se r è m o lt o b r eve è ancora possibile, nell'eseguire le misure, impiegare metodi meccanici (come la capsula spinta da aria compressa, usata nei reattori nucleari), che risultano efficaci fino a intervalli di circa un secondo. Per tali intervalli, se la sostanza c gassosa, sono convenienti i metodi di flusso. La sostanza, prodotta in un certo punto in quantità costante, è soffiata lungo un tubo da una corrente di gas con velocità u, che si m isura dall'area del tubo e da l fl usso del gas. Si misura l'attività del gas, in m o t o stazionario entro il tubo, in due punti a distanza d l'uno dall'altro: le due attività che si ottengono stanno nel rapporto e a''™, da cui si puo ottenere il valore di r. Talvolta in esperimenti di questo tipo si può osservare la comparsa di un deposito attivo, dalla cui distribuzione sulle pareti del tubo si può ricavare r. Esperimenti classici basati su questo metodo furono eseguiti da Rutherford. Molte sono le modifiche che il metodo ha subito e notevole è l'artificio usato da Jacobsen in cui si sfrutta la velocità degli atomi chc rinculano in seguito all'emissione di una particella. Un metodo che si basa sugli stessi principi, ma fa uso di tecniche moderne con cui si può misurare lo spostamento Doppler dovuto alla velocità di un atomo che rincula, consente di raggiungere 10 " s e c (fig. 5.9). L'atomo formatosi all'istante l = 0 viaggia con velocità di rinculo r. dal punto del bersaglio sottile in cui si è prodotto. Se emette un gamma, quest'ultimo avrà un'energia Es = Ep [1 + (tl/e) cos 8] Il numero di nuclei che oltrepassano la distanza D dalla sorgente è dato da 1 = It>e in cui r è la vita media del nucleo e Ip è il numero di nuclei prodotti alla sorgente. I nuclei fermati in v ol o d a u n p i stone metallico emettono quanti di energia Ep. Se il pistone si trova a un a distanza D da lla sorgente, si osserveranno I„= I p e ' i aggi gamma di energia Ep senza spostamento Doppler, ed Is — I— p (1 — e ''"') raggi gamma di energia Es, in modo che I„i(Is+ I „ ) = e " ' " '. Ora D si puo misurare direttamente e c si può calcolare sia partendo dalla reazione che conduce alla produzione dei nuclei sia dalla misura di Es, per cui alla fine è possibile valutare r. Per modifiche al procedimento ora esposto e per altri metodi simili si rimanda alla letteratura, il metodo del bloccaggio s arà invece trattato al capitolo I l . Sono stati usati metodi elettronici per la misura diretta di vite medie molto brevi, fino a valori di ~ dell'ordine di 10 s e c . Questi metodi richiedono che il decadimento in studio sia preceduto da un altro evento, che viene usato per aprire un circuito «porta» e stabilire cosi l'origine dei tempi. Questo circuito resta aperto per un tempo l, durante il quale la probabilità che si abbia un evento e

k ~ ie " Ida = k(1 — e "')

[5.8. 1]

Jp

in cui sono stati conglobati in k fattori geometrici e di efficienza, che, comunque, sono costanti. L'apparato è realizzato in modo da contare e il numero di volte che il circuito porta viene aperto e il numero di volte che una particella viene rivelata nel tempo in cui il circuito resta aperto. Misurando il rapporto tra il numero di volte che una particella è rivelata mentre il circuito è aperto, e il numero totale di aperture in funzione del tempo di apertura l, si ottiene i. dall'eq. [5.8.1].

Decadimento radioattivo

pistone metallico spesso

bersaglio sottile

foglio di nichel sottile

173

nuclei eccitati che rinculano ''Y// i n avanti

fascio

E É~é raggio gamma emesso dal nucleo

raggio gamma emesso dal nucleo

con velocità = v

con velocità = 0

v Ee ( 1 + É— CO4 tt)

E„

•

IB '

D

0

E„

E,

(a) D( O, 073 D E I m 20 0 3 4 ev

122'

c. 8 o

8

D,'

0 , 173 em

al C go Oo •

(2

•

41 •

•

IO

•

•

14 c 13

•

12 2 '

D

t+ mm

455

oP

471 Kev

10

0

0,1

Oa

0,3

0, 4

0,5

spostatnento del pistone (cml Ic13

o 122' D

o~i

bersaglio di deuterio

1 2 ,5 mm

I

4

20 McV

ioni di ' O

100

122

f

p

pistone metallico c ono di ioni

di ' O

r aggi y rag g i y da S55 keV da 871 k V •

•

•

• •

220

240

numero di canali

•

240

(b)

Figura 5.9. Metodo del rinculo per la misura di vite medie di stati eccitati. La misura della vita media del livello da 0,871 MeV del "O. Gli spettri y, mostrati nella parte (b) della figura a sinistra, fan vedere l'intensità relativa dei picchi di 0,871 e 0,855 MeV man mano che va aumentando lo spostamento del pistone. A destra è dato il logaritmo dell'intensità relativa del picco di 0,871 MeV in funzione dello spostamento del pistone.

174

Capi t o lo 5

O

Sesostris(C) y

A h a -nakht(P) ~ Snefer u(P) Hemaka(P) Sneferu(C) Hemaka(C)

o~06 Q

l

0,5 0

1 000

2 000 3 000 4 000 età storica, anni

5 000

Figura 5.11. Curva di calibrazione del metodo del '"C. Curva calcolata per T =5568 anni. Campioni di età nota: (C) date determinate alla University of Chicago; (P) date determinate alla University of Pennsylvania (Ralph). [Libby, in Les Prix Nobel en 1960, Stockolm, 1961]. Il valore attualmente accettato per la vita media del ' C è 5730+ 30 anni.

accumulato fornisce l'età della r occia. U n p r o cedimento simile si applica al t o r io. Particolare attenzione va posta nell'accertare che l'elio o l'uranio non siano sfuggiti dal campione d urante l a s t o ri a d e ll a r o c cia. I l r a p p o rt o u r a nio/piombo p u ò v e nire impiegato in m a niera simile e risulta anzi meno soggetto, rispetto ai metodi basati sull'elio, ad errori causati da differenze nella diffusione o nella fuga dalle rocce di piombo

ed uranio. A ltri metodi son basati sul rapporto isotopico del piombo radiogenico Pb al Pb o su quello del piombo radiogenico a l P b. S i u s ano infine anche i rapporti K/Ar e " R b / S r c h e stanno diventando via via più i m portanti. Infme, in alcuni m i nerali contenenti tracce di U s i o s servano tracce di fissione spontanea rivelabili mediante attacco chimico (vedi par. 3.7). Si può cosi contare il numero di fissioni spontanee avvenute in un particolare campione. Il campione viene esposto poi a un flusso di neutroni lenti, che produrrà un numero di fissioni di gran lunga maggiore. M i surando i l fl u sso d i n e utroni e c o n tando i l n u m ero d i f i ssioni prodotte da questi, si ottiene il contenuto di U del campione, che, insieme al numero di fissioni spontanee, permette di calcolare l'età. Talvolta è stato possibile datare la stessa roccia con diversi metodi; i r i sultati sono in ragionevole accordo. Le più vecchie rocce superficiali hanno un'età di c irca 3,7 x 10~ anni. Gli stessi metodi sono stati applicati per la determinazione dell'età dei meteoriti, e i più vecchi sono di 4,5 x 10 a n ni. Questa dovrebbe essere l'età di formazione della terra, distinta

dalla segregazione delle rocce superficiali.

Problemi 5.1. Calcolare il volume di un Ci di radon a 0'C e 760 mm di Hg di pressione. 5.2. C a lcolare il peso di 1 Ci di " P u .

DeradI

j

I

i I

t

{c)

Figura 6,5. (a) Spettro di massa che mostra la composizione isotopica anomala dello Xe in una meteorite. Le linee orizzontali danno l'abbondanza normale degli isotopi di Xe nel gas preso dall'atmosfera terrestre. L'eccesso di ' Xe prova la presenza nella meteorite di " I radioattivo sl tempo di formazione della meteorite stessa. [Reynolds, Phys. Rev. Lerrers, 4, &, 1960]. (b) e (c) m ultipletto nello spettro di massa per A =16 e A = 2 0 che mostra varie molecole e " O. Risoluzione circa 1/80000. [Da Bieri, Everling, e Mattauch, Z. Naiurfors., 10', 659, 1955j.

Dalla quantità di moto e dalla velocità si ricava la massa di quiete m = p/v; nel caso relativistico Nl =

P

Pyc

[6.2.10]

Campi elettrici e magnetici vengono combinati in vari modi per realizzare pratica­ mente spettrografi di massa. Di particolare importanza sono le proprietà focalizzatrici del dispositivo perché in genere si vuole che le particelle uscenti da un punto entro un

Elementi di struttura e sis(ematica del nucleo

I 89

piccolo angolo vadano a convergere su un punto o su una linea. È possibile realizzare anche una doppia focalizzazione in modo che particelle provenienti da una fenditura entro un piccolo angolo e aventi velocità leggermente diverse si raccolgano in una stessa immagine. La figura 6,4 mostra un tipo m oderno di spettrografo di massa a doppia focalizzazione e la figura 6.5 un esempio d i r i ghe spettrali, U n p r i n cipio a l quanto differente è usato nel metodo del tempo di volo con cui si puo determinare la velocità di uno ione dal suo periodo di r i v oluzione in un campo magnetico. Le determinazioni precise di massa, l'identificazione e la misura della abbondanza dei vari isotopi, sono tra le molte applicazioni della spettroscopia di massa di interesse immediato pcr la fisica nucleare. La composizione isotopica di un elemento naturale generalmente non varia perché i diversi isotopi si comportano allo stesso modo dal punto di vista fisico-chimico. Questo non sempre è rigorosamente vero, ma in genere gli scostamenti dalla composizione normale sono piccolissimi, eccezion fatta per elementi pr ovenienti da d ecadimento radioattivo, come il p i o mbo r a diogenico. Per tutti gl i scopi pr atici gli i sotopi sono c himicamente indistinguibili e c i ò c o s t ituisce la b ase dell'importante metodo d e i iraccianti radioattivi. Attualmente si eseguono determinazioni di massa con una precisione di 1 parte su 10'; la grandezza fisica che si misura direttamente è la differenza di massa tra due ioni che hanno approssimativamente lo stesso rapporto ze/m; si ha per esempio D, — He = 25600,232(8) milionesimi di u nità di m assa

[6,2,11a]

D, — 'H'H = 4 3 29,257(3) milionesimi di unità di m assa

[6.2. 11 b]

" Cz' H„ — " C " O = 3 6 3 86,01(24) milionesimi di unità di m ass a

[ 6.2 . 1 2 a]

'H H — He= 2 1 271,073(10) milionesimi di unità di m assa

[6.2.12b]

(Nel)a notazione "X„, X sta per il simbolo chimico, A per il numero di massa, n per i! numero di atomi sulla molecola, e l'intero simbolo sta per la massa molecolare.) Si noti c he un milionesimo di u n it à d i m a ssa equivale a circa 1000 eV! L o s t u di o d i t a l i «doppietti di massa», compresa la normalizzazione " C = 12, può essere esteso a molti altri nuclei, permettendo cosi di costruire una tabella delle masse atomiche. inoltre è possibile completare i dati dello spettrografo di massa con quelli derivati dalle reazioni nucleari. Per esempio, la massa del neutrone può essere determinata

misurando l'energia dei raggi gamma emessi nella reazione 'n+ 'H = ' H +

7

[6.2.13]

qualora le masse del deutone e del protone siano già note. In questo caso se il neutrone è catturato in quiete, si ha f 2~2

n + ' H — 'H = Q = trito + [

6.2.14]

2tttdc

dove l'ultimo termine rappresenta l'energia cinetica di rinculo del deutone. Come altro esempio consideriamo un atomo di massa M, ed energia cinetica T, che urta con un atomo fermo di massa Mp. I prodotti di reazione sono un atomo di massa M, che se ne va con un'energia cinetica T~ nella direzione 0 rispetto a quella della particella incidente cd un atomo di massa Ms di energia cinetica T, in moto nella direzione y. La reazione e rappresentata dalla seguente equazione M , q M „ = M ~+ M s + Q

[6.2.15]

190

Capi t o lo 6

La quantita Q si può calcolare se sono note Af,, M2, M3, lc energie cinetiche T, e T, e ( ). Dalla conservazione dell'energia e della quantita di m oto si h a Q =(1/M3)

(M 2 + M, ) T 2 —(M, — M,) T,­ 12

— 2 (M, M2 Ti T2)' cos 0

T,

' '

1+ - —

x

[ 6.2.16]

T + T —T, '

in cui i due fattori dopo cos 0 nonché l'ultimo termine sono correzioni relativistiche che si possono spesse volte trascurare. Una tipica reazione che si può studiarc facendo uso

dell'eq. [6.2.16) è la seguente: ' H+ L i = H e + H e + Q

Q = 4, 0 23 Me V

[ 6,2, 17)

Le masse di molti isotopi stabili e instabili sono state misurate con grande precisione combinando insieme misure di spettrografia di massa con quelle di energia nelle reazioni nucleari. La spettrometria di massa si è giovata anche di altri rami della fisica: in particolare la spettrometria nel campo delle microonde ha spesso reso possibile una misura precisa dei rapporti di m assa degli ~isoto i. Un'altra importante applicazione della spettromctria di massa è la determinazione delle abbondanze isoto~iche relative in una miscela; tale misura, applicata alle miscele naturali e congiunta a quella delle masse dei singoli isotopi, permette di stabilire gli ordinari pesi atomici della chimica con una precisione generalmente superiore a quella delle determinazioni chimiche. Sono stati rivelati anche isotopi estremamente rari la cui abbondanza relativa è solo di alcune parti su 10", e per molti che non si è riusciti a rivelare sono stati stabiliti limiti superiori di abbondanza notevolmente bassi. In questo campo altri rami della fisica hanno contribuito in modo notevole; gli isotopi 2Hs "C, '~N e ' " O , f u r ono scoperti per via spettroscopica, e l' He de ll'atmosfera fu scoperto sfruttando le proprietà risonanti del ciclotrone. A. H. Wapstra e N. B. Gove hanno calcolato una tavola molto estesa delle masse, prendendo in c o nsiderazione tutti i d a t i s p erimentali disponibili e a d attandoli col metodo dei minimi quadrati. Tutti questi dati sono utili per lo sviluppo della sistematica nucleare. Alcuni dei risultati più salienti sono i seguenti: 1. I nuclei con Z d i spari hanno solo uno o due isotopi stabili. 2. I nuclei con Z dispari ed A pari sono instabili (con le sole eccezioni dcl 'H , ' L i. 10B 1 4N e 1 8 0 T a )

3. In ogni gruppo di isobari con A e Z dispari, ci sono solo uno o due nuclei stabili rispetto al decadimcnto beta. La tabella 6.2, che s i r i f erisce a n u clei stabili, m o stra l a p r eferenza per una composizione con Z e A pari. Ad una conclusione analoga si arriva da uno studio del)c abbondanze nucleari. Tabella 6.2. Nu m ero di nuclei stabili.

Z pan Z dispan

A patri

A dispttri

156 5

4g 50

Elemanri rii srrurruro e sisrernutico clel nucleo

191

6.3. Raggio del nucleo La definizione di raggio nucleare è piuttosto arbitraria, perché il risultato della sua misura dipende dal fenomeno che si sfrutta per definire il r aggio; comunque tutti i risultati concordano qualitativamente e fino ad un certo grado anche quantitativamente. Questo fatto è molto importante se si considera la varieta dei metodi usati. Esaminere­ mo dapprima la diffusione di particelle alfa. neutroni e protoni di energie elevate. In questi casi la forza predominante è di origine nucleare. Accenneremo poi alla diffusione degli elettroni, allo spostamento isotopico delle righe spettrali, agli atomi mu-mesici e al t ermine elettrostatico nelle masse nucleari. In q u esti casi i ntervengono soltanto l e interazioni elettriche. La c o ncordanza dci r i sultati m o stra t r a l ' a l tr o c he, almeno approssimativamente, la parte più i n terna della materia nucleare ha una densita di carica specifica circa uniforme su t u tt o i l n u c leo, solo con p i ccole variazioni sulla superficie del nucleo. Storicamente la prima misura del raggio del nucleo fu fatta da R u therford e da

Chadsvick, i quali, impiegando particelle alfa, determinarono l'angolo per il quale la sezione d'urto per diffusione da parte di un nucleo incomincia a discostarsi dalla legge di Rutherford. A ogni angolo di ditfusione corrisponde una distanza minima di avvicina­ mento e il fatto che la legge di diffusione basata sull'interazione puramente coulombiana cade in difetto al d i sopra d i u n c e rt o a n golo, è i n t erpretato come pr ova che al la corrispondente distanza minima entrano in giuoco forze nucleari non elettrostatiche. Si dice che la particella alfa e i l n u cleo del bersaglio si sono toccati. In q uesto modo Rutherford trovò che il raggio nucleare degli clementi leggeri può essere espresso dalla formula R =r„ A " -'

con

L6 3 13

r „ = 1,2 1 0 " cin

Sebbene il metodo sia grossolano, il risultato è stato successivamente confermato. Usando come proiettili~ine o n' i p o s t o di particelle cariche. si trova direttamente il raggio d'azione delle forze nucleari. M i sure di q uesto ti po, per t r ovare il r a ggio nucleare, non vanno fatte ne a basse energie dove la lunghezza d'onda di de Broglie dei neutroni e confrontabile o più grande del raggio nucleare ne ad altissime energie dove i nuclei diventano trasparenti ai neutroni. Quindi occorre lavorare ad energie intermedie (da 10 a 20 MeV'I. La ftgura 6.6 mostra un g r afico della sezione d'urto n ucleare a

teorica sperimentale c 3 etr $>

o spshse

2­

rs nss
—Z» -' ~ expfiq. r)

p(R)

Ir — RI

tl r dR

[(i.3.14]

Se ora poniamo r — R = s e chiamiamo con lt il coseno dcll'angolo compreso tra q ed s, integrando rispetto a tlr, per q ed R fi ssi, si ottiene dr = 2ttdlts2 ds e

, ('exp(iqps)

.tl,> — Z»~ ~

2 trs' ds d! t

exp ( i q R ) y ( R ) d R

[6,3,15]

Il primo integrale e stato discusso nel paragrafo 2.2 e vale 4tti.'e",ci', il secondo è per definizione F(ti). La formula di Bo rn dà c osi ti',

I

p­

[6.3.167

A'l tf tltt

do t

di > d o >

[6.3.17]

IF(l)I-'

La sezione d'urto viene cosi ricondotta al prodotto della sezione d'urto di di(Tusione da un punto per il fattore di forma F(tl) =

p( R ) e x p(iq R) dR

[ 6,3, 18]

Si noti che la normalizzazione di p im pone F (0) = 1. Nell'cq. [6.3.17] il fattore di forma compare come trasformata di F o urier tridimensionale della densità di carica. Sviluppando in serie l'esponenziale chc compare sotto segno di i n tegrale nell'eq.

[6,3.1 A 7. si ha (q R)' F(tl) = ~ p(R) l + i q R z r

= 1 — — I R-p (R)dR+ ...

+ ... dR =

[ 6.3.19]

6 .,i

L'ultimo integrale vale ( R -') . che r appresenta il r aggio q uadratico medio della carica. La misura di F (q) per piccoli valori di q (grandi valori della lunghezza d'onda di

196

Capit o l o 6

de Broglie) dà, in successive approssimazioni, i momenti della distribuzione di carica

f

R"p (R) dR. Si può anche dire che F (q) rappresenta grossolanamente la carica efficace

nell'urto, ovvero la quantità di carica compresa in una sfera di raggio 1/q. Le densità di carica nucleare mostrate in figura 6.8 sono il risultato dell'analisi di esperimenti di diffusione di elettroni da parte dei nuclei indicati in figura. Nel caso di un elettrone di D i rac relativistico, la formula di diffusione, che tiene conto dell'effetto dello spin e del rinculo su un nucleo puntiforme di massa M carico e privo di spin, è data da

cos' (0/2} deoj,„„,. ( 2 E „j

si n ( 0 /2) 1+ (2Eo/Mc )sin'(0/2)

[6.3.20]

in cui 0 è l ' angolo di di ffusione ed Eo è l 'energia totale dell'elettrone, entrambi nel sistema di riferimento del laboratorio, ed M è l a m assa del nucleo. L'ultimo fattore deriva dalla cinematica del rinculo del nucleo. L'estensione della distribuzione di carica del nucleo dà luogo di nuovo a un fattore di forma, e si scrive do

tl o

d tt)

d tt ) „ „ „ , .

IFt (q)l

[ 6.3.21]

in cui l'indice 1 di F st a p er r i c ordare che si tiene conto solo della carica elettrica, trascurando possibili effetti magnetici. F, è d a to sempre dall'eq. [6.3.19]. Si può verificare per via sperimentale una ipotetica distribuzione di carica confron­ tando la dtr/dai misurata con quella calcolata per mezzo delle eqq. [6.3.18] e [6.3.21] in cui si fa uso della distribuzione di carica assunta per ipotesi. Il protone e il neutrone sono particolarmente interessanti. Anche per essi si misurano i fattori d i f o rm a i n cu i p erò è necessario tener conto dei momenti magnetici delle particelle. La diffusione di elettroni di alta energia (fino a molti GeV} da parte di protoni mostra le «nubi di mesoni» che avvolgono i nucleoni e fornisce importanti informazioni circa la struttura dei nucleoni. Tale argomento sara trattato nel capitolo 18. Per ora diciamo soltanto che in prima approssimazione la densità di carica elettrica del protone può esprimersi a energia non troppo alta con un esponenziale del tipo

P = P(0)c [

6.3.22]

in cui a = O , 23 x 10 ' c m. L a r a d i c e de l r a ggio q u adratico m edio pe r u n a t a le distribuzione è data da ~ 1 2 a = 0,8 x 10 ' cm . Un'altra linea di valutazione del raggio nucleare è suggerita dalle misure di energia elettrostatica del nucleo prodotta dall'accumulo di carica positiva nel volume nucleare. Se tutta la carica fosse uniformemente distribuita sulla superficie del nucleo, l'energia sarebbe Z'e / 2R. Ammettendo invece che la carica sia uniformemente distribuita nel volume nucleare, si ottiene 3 , e' — Z' = ene r g i a elettrostatica 5 R

[6.3.23]

Ora esistono coppie di nuclei, aventi lo stesso A, tali che un nucleo si può ricavare dall'altro per trasformazione di tutti i neutroni in protoni e di tutti i protoni in neutroni. Esempi di questi nuclei speculari, come vengono chiamati, sono H e H e , ' 'B e ' 'C, "C e "N , ' S e ' " P . C i si aspetta che le forze propriamente nucleari agenti in tali nuclei siano praticamente identiche e che la differenza di energia, a parte le differenti masse ài

Elementi di struttura e sistematica del mtcieo

al

• 4n+ 1 ~ A 4 n+ 3

0

1

= A

2

3

4

5

6

Figura 6.k Difetenze sperimentali dell'energia coulombiana per nuclei speculari in funzione di

.'-A'". La curva a punti e linee mostra la semplice approssimazione classica perra ~ 1W F. Le

linee incurvate son basate su modelli più ra%nati. PCofoed-Hansen, Ree. Mod. Phys., 30, 449,

1958].

quiete del neutrone e del protone, sia interamente di origine elettrostatica Quando i nuclei differiscono di una unità in Z, l'eq. [6.3.23J dà per la differenza di energia elettrostatica

3 (2Z+1)e 5

R

ás

[6.3,24)

e se si ha anche cheZ (A + @2, per i due nuclei rispettivamente, come per esempio nel caso di "C e 'sS, Ag. [43.24J y' essere riscritta 38 A 3 = — — Azt 5 E. $ re

AE = — —

[6.3.2@

facendo uso della relazione ft = r,At>

[6.3.26 J

Dalla eq. [63.2$] e chiaro che il grafico di hE in funzione di As's deve dare una retta,

la cui pendenza dàra IPOF (hg. 6.9).

i98

Capi to l o 6

Gli scostamenti dalla retta sono dovuti ad effetti piu fiiu (chiusura dello strato), che verranno discussi più avanti. Tutti questi metodi forniscono dei risultati in accordo con l'eq. [6.3.22], con rt, costante e compreso tra 1,2 e 1,5 x 10 " c m , p e r t u tti i n u clei

esclusi i più leggeri. Il raggio dei nuclei si puo ottenere anche dallo studio della deviazione dalla semplice formula dell'atomo di idrogeno di Bohr, che si osserva negli atomi mu-mesici (vedi par.

6.4). L'eq. [6.3.1] anche con i suoi affinamenti non puo essere correttamente applicata al protone, neutrone, deutone ne ad alcuni dei nuclei più leggeri. Abbiamo già citato il caso del protone. Il deutone sarà discusso in particolare ncl capitolo 10; esso ha una struttura particolare poco compatta, e il suo «raggio» per la cui definizione rinviamo al capitolo 10. è 4,321.'.

6.4. A t omi mesici ed esotici Questo paragrafo, inserito qui per comodità, tocca vari argomenti trattati in d iverse parti di questo libro. Quando una particella carica negativamente (muone, pione, kaone, antiprotone, Z , ecc.) si arresta in un materiale di numero atomico Z. resta catturata dal nucleo e forma un atomo i d r ogenoide. Siccome i l r a g gio d i B o h r » " / t " , Z e 'nt =t t è i n v ersamente proporzionale alla massa della particella, essendo le particelle in considerazione molto più pesanti dell'elettrone, risulta chc Ia l or o o r b ita è m o lto pi ù p i ccola delle orbite elettroniche e q u i nd i l o s c h ermo de l n u c leo d a p a rt e d egli elettroni è p r essoché trascurabile. Il sistema si comporta come un atomo di idrogeno (atomo muonico, atomo mesico, ecc.). L'energia dei livelli è uguale a quella dell'atomo di idrogeno moltiplicata per il rapporto tra la massa ridotta del muone, ecc., e quella dell'elettrone. Anche altre proprietà come la vita media degli stati quantici, per radiazione, scalano con opportune potenze del rapporto delle masse ridotte. Le righe spettrali emesse sono per Io più nell'intervallo di frequenza dei raggi X. Finche il raggio di Bohr è grande rispetto a quello dcl nucleo i livelli energetici dei m uoni sono forniti dalla formula di D i r a c E =tnc

[6.4.1]

1+

in cui k = j + 1/ 2 per particelle di spin l ,l2 (e/' = l per particelle di spin 0), x = e~//tt =(1/«137»), rn è la massa ridotta del sistema particella più nucleo, ed n è il numero quantico totale. Per x Z- ' < 1 essa può essere sviluppata in serie di potenze di xZ, e, fermando lo sviluppo alla quarta potenza, si ottiene rnc Z

x~Z

1

3

[6.4.2]

Da tale equazione si ricava per l'energia di separazione di un doppietto, avente un dato n e j = l+ l ' 2 , l ' espressione x4Z4

AE =

2n'

tnc'

l (l + 1)

[6.4.3]

Nel caso di una particella con momento magnetico anomalo /t = (1+ g,) (e/t 2ttt't) in

Elementi di struttura e sistematica del nucleo

199

(al

5000 U 4000

FJ 3000

I

5

P~ 2000

limite della serie

~

C

8 1000 O 180 20 0 aS

300

2 50

energia (kevi

3d~zp

nt

4 d~ z p

aá O V

i rr

pt

I

I

•s

Il

o

% se l

Ol

N C4

rl

Io

gy

T)) C! Ol

(bl

600 (0 500

o 400

P 300 © 8 200

I

limite della serie

IO

100

92 0 9 4 0 Cá

2 p~ t s

cá

1120 1 180 1200 1220 1240 1260 1280 energia (kev) sp~la

V U O I

I

10

Fitnira 6.10. (a) Serie di Balmer (nd ~2p) e (b) serie di Lyman (np~ ls) per transizioni di muoni in Ti, [Kessler et al., Phys. Ret. Lett., 1S, 1179, 1967].

cui tn' è la massa della particella e p il suo momento magnetico, AE va moltiplicato per (1+ 2gt). La misura di AE ha mostrato l'eguaglianza dei momenti magnetici del p e del p a un livello di accuratezza di circa l'1%, e perciò può costituire un importante metodo per stimare i momenti magnetici di altre particelle. Le probabilità di tr ansizioni radiative che si possono ottenere con un opportuno fattore di scala da quelle dell'idrogeno, vanno corrette perché la particella può perdere

-* ' "

~

*

delle particelle pesanti è molto piccoIa rispetto alle orbite degli elettroni, gli elettroni si comportano come se il nucleo subisse una transizione di dipolo elettrico, con coelftciente di conversione ben definito (vedi cap. 8). I processi di diseccitazione tendono a portare le particelle pesanti in orbite di massimo momento angolare possibile (l = n — 1). Man mano che la particella si porta in orbite sempre più basse, acquista importanza la sovrapposizione della sua funzione d'onda col nucleo. Dobbiamo allora distinguere fra i vari tipi di particelle. L'interazione dei muoni è solo di tipo elettromagnetico, per

200

Capi t o lo6 IA

2

(

CO

Y

Y

o V

2)2 Y

I

~ 200

20

I 00

20

80

40

I 00

I20

)4 0

(80

aaalgla /av)

Figura á.1 J. Spettri ottenuti per assorbimento di mesoni K in CC14.Le righe denominate K10 ~ 7 sono righe kaoniche corrispondenti alla transizione li' = 10~ n = 7 in CL Le altre righe sono di origine pionica o da E . I Tr e i E so n o di origine secondaria e sono ottenuti dalla reazione K + N ~ E + Ir neinuclei. Una riga è dovuta al nucleo di '2P eccitato. [Per gentile concessione

del dr. Wiegand7.

raggiX de( )2- V

S UAp

cl 2

)l(I4- I3) )I(l f l4)

j(I2- I I)

)I(II— l0)

lc c )SII Kcv

8 I,TI 3á03

T035 I 0 4 & I 3 6,99 ITSDI 20T,áa 241,95 2T63T 3IIV9 3449l STA 4I 3 ,SS44TW 492,I9 SITI 5 5 0$3

alaagia grav)

Figura á.l ia. Sp ettro di un atomo di uranio antiprotonico. Si noti il doppietto della riga 11-10, da cui si ricava il momento magnetico del p. [Per gentile concessione del dr. Wu).

Flementi di struttura e sistematica del nucleo

201

cui se il raggio dell'orbita è più piccolo del raggio del nucleo, sia i! potenziale che i livelli sono dati da quelli d i u n o s cillatore armonico (vedi pag. 192). Dallo studio d ella differenza tra i livelli energetici reali e quelli idrogenoidi prodotta dalle dimensioni finite del nucleo, si ricava il raggio nucleare. Le osservazioni danno uiia conferma del raggio nuclearer„A"' e un valore di ro pari a circa 1,2F. Nel caso di particelle che interagiscono in modo forte, la situazione è più complessa. Non appena la funzione d'onda si sovrappone sensibilmente al nucleo, avviene una reazione tra la particella orbitante e quest'ultimo. Se la probabilità di una tale reazione è grande rispetto alla probabilità di r a diazione, il l i vello si allarga e la r a diazione X scompare. Le serie sono cosi interrotte a un dato n; lo spostamento e l'allargamento dei livelli ci dà informazioni sull'interazione particella-nucleo. La posizione dei livelli imperturbati (in genere quelli corrispondenti ad alti valori di n)fornisce la massa ridotta della particella perché le frequenze dipendono, attraverso il fattore di scala, dalla massa della particella. Il principale contributo alla deviazione dell'energia dei livelli degli atomi mesici dalla semplice formula dell'idrogeno è dovuto alle interazioni nucleari, alla polarizzazione del' vuoto, allo schermo degli elettroni e alle dimensioni finite del nucleo. Siccome però è sempre possibile trovare livelli per cui tali correzioni sono piccole e calcolabili, dai dati spettroscopici si può risalire alla massa ridotta e alla massa della particella orbitante. Dal punto di vista sperimentale la tecnica è stata perfezionata con l'uso di rivelatori a stato solido. La figura 6.10(a vedere uno spettro muonico, la figura 6.11 mostra uno spettro con righe dovute a pioni, kaoni e mesoni Z, infine la figura 6.11a mostra uno

spet tro con righe antiprotoniche.

6.5. Statistica dei nuclei I sistemi composti di particelle identiche mostrano, secondo la meccanica quantistica, un comportamento speciale, che influenza molte loro proprietà. Tratteremo qui i casi più semplici che interessano direttamente la fisica nucleare. Date due particelle identiche (p.e. due particelle alfa, due elettroni, due protoni, ecc.), scriviamo l'equazione di Schrodinger per il sistema:

A' 2ni

(Pi+ V t ) u ( r „ r t ) +

[E — V( ri • ri)] u(ri r i ) = 0

[6.5.1]

o, simbolicamente, H(1, 2) u(r,, rz) = E u(r,, ri)

[6.5.2]

avendo indicato con r, o 1, r, o 2, l'insieme di tutte le coordinate delle particelle 1 e 2, compreso lo spin. Si ttova che le soluzioni sono degeneri ; cioè se per un certo autovalore u(r,, ri) è una soluzione del problema, allora per lo stesso autovalore, lo è pure u(ri, r,). Ciò segue dal fatto che

H (1, 2) = H (2, 1)

[6.5.3]

a causa dell'indistinguibilità tra particelle identiche. Quindi una combinazione lineare U(rt ri ) = otu(ri, r , )+ P u ( r „ r i )

[6.5.4]

e ancora una soluzione per lo stesso autovalore, La scelta delle costanti ~ = + /3, con ~ e /$ reali ha l'importante proprietà che se ~ = P

[6.5.5] se x= — /)

[ 6.5.6] Ncl primo caso, l'autofunzione c simmetrica rispetto allo scambio delle particelle, ncl secondo è antisimmetrica. Sc il sistema inizialmente è descritto da u n 'autofunzione simmetrica o antisimmetrica, esso lo sarà sempre, perché la simmetria della hamiltonia­ na assicura il mantenimento della simmetria o antisimrnetria dell'autofunzionc. infatti basta considerare l equazione di Schrodingcr It i

il

[6.5.7]

=HP

per convincersi che la variazione nel tempo di P, c"y:rt, è una funzione simmetrica o antisimmetrica come Hp ; ora poiché Il è simmetrica,Hp ha la stessa simmetria di y e di conseguenza la variazione temporale di P h a l a stessa simmetria di P . L ' esperienza mostra che t u tt e l e p a r t icelle sono d escritte da a u t ofunzioni simmetriche ovvero antisimmetriche rispetto allo scambio di due particelle identiche, Per esempio, elettroni, protoni, neutroni e in generale particelle con spin —,' hanno tutte autofunzioni che sono antisimmetriche rispetto allo scambio delle coordinate, mentre particelle con spin O,l. o. in generale, con spin intero, come le particelle alfa e i d eutoni, hanno autofunzioni simmetriche rispetto allo scambio delle coordinate, Questi fatti sono tra i più fondamen­ tali della meccanica quantistica ed hanno conseguenze importantissime. Consideriatno per esempio due particelle identiche non interagenti tra loro; l'hamil­ toniana del sistema si scinde nella somma di due termini

H (1) + H (2) = H (1, 2) = II (2, 1}

[6.5.S]

Se ul (1), ug (1), u3 (1)l

u, (2), u~ (2), uq (2).... sono le autofunzioni di H ( 1}, H (2), ecc. corrispondenti agli autovalori E,, E ,. E , ..., e normalizzate in modo che

[6.5.9] allora l'autofunzione di H(1, 2) relativa all'autovalore E„+ E è d e genere ed ha la forma

u„„(1, 2) =

1

[ u .(1) u (2) + u (1) u„(2)]

[6.5.10]

dove va preso il segno più se le autofunzioni sono simmetriche e il segno meno se sono antisimmetriche. Se sono ammesse soltanto soluzioni antisimmetriche, u(l, 2) s'annulla, per in uguale ad rt, per cui no n e p o ssibile che due particelle identiche antisimmctriche possano trovarsi in stati identici. Questa e la formulazione originale del principio di esclusione di Pauli. ln meccanica statistica le particelle cui competono autofunzioni antisimmetrich~

I

Elementi tii struttura e sistematica del nucleu

203

sono governate dalla statistica di Fermi-Dirac, e quelle invece cui competono autofun­ zioni simmetriche da quella d i B o se-Einstein. Per questo motivo l e p a r t icelle con funzioni d'onda antisimmetriche sono chiamate fermioni, menlre quelle con funzioni

d'onda simmetriche sono chiamate bosoni. Una particella e un bosone o un fermione a seconda del suo spin. l dati sperimentali accumulati in un l ungo periodo d'anni mostrano che i bosoni hanno spin intero e i fermioni spin semi-intero. Questa relazione sorprendente tra spin e statistica ha ragioni teoriche molto profonde che furono infine spiegate da Pauli (1940); quando ancora tali ragioni non erano conosciute, si cercava di stabilire empiricamente se un nucleo fosse un bosone o un fermione. Cio può essere fatto in diversi modi. Uno dei metodi storicamente più importanti e più ingegnosi è fondato sull'analisi di intensità alternate negli spettri rotazionali di molecole omonucleari biatomiche. Daremo qui ora una versione alquanto semplificata delle necessarie nozioni di fisica molecolare. • Consideriamo l'autofunzione di u n a m o l e cola b iatomica costituita da n u c lei identici. Essa puo essere scritta approssimativamente sotto forma di prodotto di quattro

atitofurtzioni: la prima contenente le coordinate degli elettroni. la seconda la distanza relativa dei due nuclei e corrispondente alle vibrazioni dei nuclei stessi. la terza le coordinate rotazionali dei nuclei e la quarta le coordinate di spin nucleare: u = tttl ' usi' r e t

u i pm

[ 6 . 5 . 1 1]

La simmetria rispetto allo scambio dei nuclei di u,u funzione delle coordinate elettroni­ che, puo essere ricavata da uno studio particolareggiato della molecola: qui, per definire meglio il problema, consideriamo un caso in cui essa sia simmetrica. La u,,„è simmetrica Perché diPende solo dal v alore della distanza tra i n u c lei. La unnè semPlicemente l'autofunzione del rotatore libero nello spazio

u,„,=P, (cosB)e' '

[ 6.5.12]

in cui (I e ti> sono la colatitudine e la longitudine dell'asse che congiunge i due nuclei; la funzione unn è simmetrica per I pari e antisimmetrica per! dispari, cio segue dal fatto che Pt (cos 0)e' ~ è una armonica sferica di ordine I definita dal prodotto di r ' p e r u n

polinomio in x, i , = , d i g rado I, omogeneo e armonico. Lo scambio dei nuclei corrisponde ad un cambiamento delle variabili nella funzione: 0 d iviene tt — 0 e ti' diviene tt+ y ovvero le coordinate cartesiane cambiano segno, e ciò lascia inalterata la

funzione se I è pari o cambia il suo segno se I è dispari. Nel quarto fattore si considerano le autofunzioni di spin. Per spin ~tle funzioni hanno solo due valori (spin su o spin giù) che indicheremo con u : — spin su o P = spin giù. La particella considerata è indicata come argomento della funzione. Quindi ~(2) indica spin su per la seconda particella. Per una spiegazione completa si rimanda il lettore ai testi di meccanica quantistica. Nel caso di due particelle di spin —,', l'ultimo fattore riguardante gli spin nucleari può essere dunque scritto secondo quanto segue: se i due spin sono paralleli, l'autofunzione u,~,„ha una delle tre forme seguenti corrisponden­ ti ai tre stati di t r i pletto:

l

«(1)~(2), — [ > (1) P(2)+ >(2) P(1)], P (l) P(2)

[6.5.13]

Se gli spin sono antiparalleli. l'autofunzione ha la forma [6.5.14]

204

Capit o l o 6

1 J

Il

t

Figura 6.12. I n tensità alternata nello spettro Raman della molecola di '"N ,. [ C ome è stata osservata da Rasetti].

Quindi gli stati d i t r i p letto sono simmetrici e quelli d i singoletto antisirnmetrici rispetto allo scambio degli spin. Se l'intera autofunzione deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio dei nuclei è chiaro che bisogna associare agli stati di t r i pletto autofunzioni con 1 dispari; mentre stati con I pari sono associati con stati di singoletto. Segue che i pesi statistici degli stati con I dispari sono tre volte più grandi di quelli degli stati con 1 pari. Nell'emissione o assorbimento di radiazione elettromagnetica la simmetria del livello deve essere mantenuta, come mostrato all'inizio di questo paragrafo. Inoltre sappiamo che in p r a t ica n elle t r ansizioni elettromagnetiche si pu ò c a m biare solo i l f a t t ore dell'autofunzione contenente le coordinate ordinarie. Ne segue la possibilità di distin­ guere le righe spettrali in righe collegate a stati simmetrici rispetto allo scambio delle coordinate ordinarie (non di spin) dei nuclei (righe simmetriche) e in righe collegate a stati antisimmetrici per scambio delle coordinate ordinarie (righe antisimmetriche). L'intensità delle righe spettrali, ferme restando le altre proprietà, è proporzionale al peso statistico degli stati. Si deduce quindi che in una banda in cui non si hanno cambiamenti degli stati rotazionali, si nota una caratteristica alternanza dell'intensità. Nell'esempio sopra considerato, le righe corrispondenti ad I dispari dovrebbero essere tre volte più intense di q uelle corrispondenti ad I p a r i . È e v i dente che i n q uesta discussione è

essenziale ammettere che i due nuclei siano fermioni; se invece fossero bosoni, dovrebbero essere più intense le righe con I pari. Alternanze di intensità di questo tipo si

vedono nell'effetto Raman di molecole biatomiche omonucleari. Un esempio (' Nz) è mostrato in figura 6.12. Il ragionamento può essere generalizzato al caso di spin nucleare arbitrario. I pesi statistici di stati rotazionali vicini stanno nel rapporto

l+l =P 1 Per i fermioni i l

[ 6.5.15] p eso maggiore spetta a stati antisimmetrici per scambio delle

coordinate spaziali (spin escluso) di nuclei identici ; per i bosoni al medesimo stato spetta il peso più piccolo. Il rapporto dell'intensità da cui si ricava il p dell'eq. [6.5.15j può essere usato per determinare 1. Si noti che per 1 =0, ma nca la metà dei livelli. •

Elementi di struttura e sistematica del nucleo

205

I risultati piu importanti di questo ed altri metodi sono che tutti i nuclei con A pari hanno spin intero e sono bosoni; tutti i nuclei con A dispari hanno spin semintero e sono fermioni. Queste regole sono state di grande utilità nello stabilire il modello del nucleo a neutroni e protoni.

6.6. Il n ucleo comegas di Fermi Fino al 1931 circa. nei vari modelli nucleari si consideravano il protone e l'elettrone come i costituenti fondamentali del nucleo; queste erano allora le particelle piu semplici che si conoscessero allo stato libero. Inoltre ci si poteva ragionevolmente aspettare che gli elettroni fossero presenti nei nuclei essendo espulsi dai nuclei stessi nel decadimento beta, Si supponeva che un nucleo di numero di massa A e carica Z contenesse A protoni e A — Z elettroni. Questa ipotesi rende conto della carica e della massa del nucleo, in quanto gli elettroni, essendo molto leggeri, non disturbano molto la massa nucleare. Sotto molti aspetti questa era l'ipotesi più naturale ma attorno al 1930 sorsero due dilIicoltà molto serie. Nel 1929 Rasetti, con un o st udio dello spettro R aman della

molecola '"N, (fig. 6,12) mostrò che il ' N è un bosone (vedi par. 6.5) e quindi esso deve contenere un n u m ero pa r i di fer m i o n i. Or a è e v i d e n te c h e s e c ondo l ' i p o tesi t )el)'e)ettrone-protone l' 4 N c o n t iene 14 pr otoni e 7 e l ettroni, cioe 2 1 f e rmioni, i n contrasto con i dati esperimentali che richiedono per esso un numero pari di fermioni, Una seconda difficolta è che l'" N , c he secondo le supposizioni doveva contenere un numero dispari di fermioni, possiede uno spin intero invece di uno semintero, come ci si

as pett ava. In aggiunta. il confinare l'elettrone in una regione dello spazio delle dimensioni del nucleo (10 ' c m ) i ncontra serie difficoltà a causa del principio di indeterminazione. In base ad esso l'elettrone deve possedere una energia cinetica tanto elevata da richiedere, per legarlo al nucleo, una energia potenziale inammissibile. Tutte queste diffi c olt f u r ono ri mosse con la scoperta di Chadwick, nel 1931, del neutrone libero di massa circa uguale a quella del protone. Subito dopo Ivanenko e Heisenberg proposero, indipendentemente, un modello di nucleo formato da neutroni e protoni come costituenti fondamentali. In questo modello si ammette che il neutrone sia un fermione di spin q. I nuclei contengono Z pr otoni e A —Z = N ne utroni quindi nel caso di ' N, 7 protoni e 7 neutroni (cioè un numero pari di fermioni); ciò concorda con il carattere di bosone del '"N e con il suo spin intero. Per di più la massa relativamente g rande del neutrone e del p r otone rimuove le difficoltà introdotte dal p r i ncipio d i indeterminazione. Il m o d ello de l n u cleo a n e utrone-protone e o r a u n i versalmente accettato e costituisce la base di tutti gli studi sulla struttura nucleare. Il più semplice dei modelli nucleari trascura l'interazione nucleone-nucleone, o, meglio ancora, la rappresenta mediante una buca di potenziale che fissa i limiti al le dimensioni del nucleo. Il sistema nucleare, quando A non è troppo piccolo, è abbastanza complicato da giustificare l'uso della meccanica statistica, purché si tenga presente che in circostanze ordinarie gli insiemi di fermioni considerati sono in uno stato di estrema degenerazione e debbono quindi esser trattati con la statistica di Fermi. Consideriamo un nucleo come un insieme di neutroni e protoni liberi racchiusi in una sfera di raggio R o volume Q. I neutroni e i protoni debbono trovarsi, per il principio di esclusione, in differenti stati quantici. Il numero di stati corrispondenti a un impulso dei protoni o neutroni Più Piccolo di Pr è

206

Capit o lo 6 n=

2

4

[6.6.1]

— 2rQ P ~ F

che si ottiene dividendo lo spazio delle fasi in celle di volume (221h)' e assegnando a ciascuna cella due particelle, per tener conto del peso statistico degli stati di particelle di spin ~. A degenerazione completa, si ha Z

pprotone (3 + 2 )1/3 p F

p neutrone 1 3

(

2 1 l i3 p

1/3

A — Z '"

)

[6.6.2]

f k prot o ne F

g

n

[663]

j / neutron e

In Prima aPProssimazione Z = N = A/ 2. Se si Pone Q = (4/3)21R' con R = roA'" e si esprime ro in Fermi si t r o va che

297

PF — —

[6.6.4]

Me V/c

ro

o kF = 1,50/roF ' , i n dipendente da A. L'energia cinetica corrispondente (PF/2M = EF) è chiamata l'energia di Fermi. Per r, = 1,3F, EF è 28 MeV che è l'energia cinetica massima di un neutrone legato nel nucleo. Se l'energia di legame dell'ultimo nucleone è 8 MeV, l'energia potenziale deve allora essere 36 MeV (ftg. 6.13). La situazione per i p r o t oni è l a s t essa salvo per l a p r esenza della barriera di potenziale. Però u n n u cleo contiene meno protoni che neutroni e q u i ndi l ' energia cinetica massima dei protoni e m i n ore di q u ella dei neutroni. Le energie totali del neutrone e del protone sono le stesse, altrimenti un neutrone si trasformerebbe in u11 protone o viceversa,attraverso un processo beta. Si deve cosi concludere che l'energia potenziale dei protoni è più piccola di quella dei neutroni, effetto questo dovuto in parte alla repulsione coulombiana. L'espressione dell'energia cinetica di tutti i protoni in un nucleo, considerato come un gas degenere allo zero assoluto, è 2Q

• P

2t"' 3"

(2KA) o 2 M

10

Z

"

Q

A'

3

M

5

[6.6,5]

Analoga formula vale per i neutroni.

potenziale protonico

energia di legame = 8 MeV

potenziale neutronico protoni

tro i

EF - 25 MeV

Figura 6.l3. B u ca di potenziale per neutroni e protoni di un nucleo pesante mostrante il livello di Fermi. Si noti la differenza tra le buche per neutroni e protoni.

E lementi di struttura e sistematica tlel nucleo

207

12

Pb (e,e') 10

6

pr = 265 Mievlc

F V

O

b ~~

L

O

0

30

60

90

120

15 0

180

210

2L 0

270

300

d E (MeV) Figura 6.14. 1 punti sperimentali fanno vedere la sezione d'urto differenziale in funzione della perdita di energia, per elettroni da 500 MeV urtanti ' "Pb e diffusi a 60 gradi. La curva continua mostra il risultato del calcolo teorico nel caso di una distribuzione di Fermi con P, = 265 MeV/c corrispondente a ro = 1,15 F. Pr determina la larghezza della distribuzione. La posizione del massimo sperimentale è spostata rispetto a quella teorica perché la massa efficace del nucleone a()'interno della materia nucleare è diversa da quella del nucleone libero (par. 6.13). [Da Bohr e Mottelson, Ann. Rer. Nucl. Sci., 23, 363, 1973]. Le sezioni d'urto piuttosto grandi che si osservano per perdita di energia E ~ 240 MeV non sono interamente attribuibili a diffusione quasi-elastica da un gas di Fermi. A tali energie la produzione di mesoni nonché la presenza nel nucleo di nucleoni con impulsi elevati contribuiscono alla sezione d'urto. La distribuzione di energia tipo Fermi dei nucleoni all'interno di un nucleo pesante si manifesta direttamente dalla diffusione (e, e') (fig. 6.14). Il modello a gas di Fermi fornisce inoltre utili informazioni, anche se grossolane, circa gli stati eccitati del nucleo (cap. I 1). Il perfezionamento del modello a particelle libere tiene conto, anche se in modo parzialmente fenomenologico, di alcune interazioni trascurate nel gas di Fermi: effetti superficiali, repulsione coulombiana, e tendenza ad essere presenti protoni e neutroni in ugual numero. Ciò avviene, per esempio, nel modello a goccia che può trovare una sua parziale giustificazione in principi fondamentali, anche se qui viene presentato partendo dai suoi fondamenti empirici.

6.7. Modello a goccia di liquido Questo modello molto semplice è i n g r ado d i s p iegare, mediante pochi p arametri empirici, importanti proprietà dei nuclei. Se riportiamo in grafico il numero di neutroni contenuti nel nucleo in funzione di Z per tutti i nuclei stabili, si ottiene il diagramma di figura 6,15, talvolta chiamato Tavola di Segrè.Rimandando a più avanti le considerazio­ ni di dettaglio, si vede subito che esiste una relazione tra Z ed N i n q u a n to i p u n t i rappresentativi giacciono dentro una piccola regione, quasi una linea nel piano Z — N. Nel proporre un modello nucleare è necessario quindi tener conto di questa regolarità. La figura 6.3 mostra la frazione di impacchettamento e il decremento di massa in

208

Cap ito l n 6

funzione di A: sono funzioni lentamente variabili di A. Se la frazione di impacchetta­ mento fosse zero, l'energia di legame per nucleone sarebbe circa 7,6 MeV, tale essendo l'eccesso di massa medio del neutrone e del protone. I valori effettivi trovati indicano che l'energia di legame media per nucleone varia tra 6 e 8 MeV, come mostrato in figura 6.16. Il fatto che l'energia di legame per nucleone e la densità della materia nucleare sono quasi indipendenti da A, indica una certa rassomiglianza dci nuclei con goccioline di liquido, per le quali il calore di evaporazione e la densità dcl liquido sono indipendenti dalle dimensioni della gocciolina stessa. Seguendo questa analogia alquanto letteral­ m ente, cercheremo di esprimere la massa dei nuclei stabili in funzione di A e d i Z , preoccupandoci di tr ovare un accordo con i d ati sperimentali. Il termine più grande nell'espressione della massa sarà dato evidentemente da

ZMp+ NM„= (A — Z) M„+ ZM,

[ 6.7.1]

Tuttavia. poiché i nuclei son legati, la massa nucleare deve essere minore di questa quantità ed essendo l'energia di l e game per n u cleone circa una costante, basterà sottrarre da (A — Z) M„+ ZM , l' e nergia di legame totale che in prima approssimazione potremo indicare con una quantita positiva proporzionale ad A. Pertanto aggiungereino

all'eq. [6.7.1] la quantità (l )A= M i

O (> 0

[ 6.7.2]

L'analogia con la goccia fa supporre l'esistenza di effetti di superficie. Un nucleone vicino alla superficie del nucleo, avendo nucleoni solo da un lato e non tutt'attorno, non è legato cosi fortemente come un nucleone all'interno. Nel sottrarre a„„A si porta quindi una correzione troppo gr ande per cui d o v remo aggiungere alla massa un t ermine proporzionale al n u m ero d i n u c leoni ch e s i t r o v ano s u lla s uperficie del n u cleo. Sappiamo che il raggio nucleare è proporzionale a A'" e q uindi la superficie nucleare é proporzionale a A " p e r cui questo effetto di superficie darà alla massa un contributo +cl p A , di s e g n o o pposto a — a„„~A Dovremo quindi aggiungere un termine

a,„,Azz,

a,„ „ > 0

[ 6.7.3]

Esaminando la figura 6.15 si vede che c'è una tendenza per Z ad u g u agliare X, almeno per i nuclei leggeri. Per i nuclei pesanti Z è minore di N perché per accumulare cariche nel volume del nucleo occorre spendere dell'energia per vincere la repulsione coulombiana. Vogliamo esprimere il f atto che esiste una tendenza che favorisce la situazione N = Z. C i ò si o t t i ene aggiungendo alla formula della massa un termine, proporzionale ad A e d i pendente da N/ Z, che abbia un m i n imo per N = Z . Q u esto termine deve essere proporzionale ad A p e rché in analogia con un l i q uido d i d ata composizione, l'energia risulta proporzionale alla quantità di l i q uido. Un a semplice espressione soddisfacente queste condizioni è Is

1 3

4

BI CI lh

A

[ 1 —( Z / N )] z z

[ l + (Z/ N )]

1 4

4

(N

iz smm >

Z )z

= astmTA

[{A/ 2)

Z] z

Qs>mm > 0

[6.7,4]

Occorre poi un altro termine che tenga conto della repulsione coulombiana tra i protoni nel nucleo; esso dovrà essere positivo e della forma: M4 — — (

Z p.

r 0A " '

[6.7.5]

Elementi di struttura e sistematica del nucleo

2N

'1 •

140

•

•

210 110

100

• OO

s• •

•

•

•

70

•

s

110

10

10

20

30

40

50

N

VO

80

90

100

Z

Figttra 6.15. Diagramma Z-N di tutti i nuclei stabili rispetto alla disintegrazione beta.

2io

Capi t o l o t s

Z = 20 N = 20 N

MeV

= 28 Z =

Z = 14 N = 14

8,6 N = 8 o,

8,0

O

O

7,4

N = 50 = 82

OO

Z = 8

g/A

28

0

O

O•

Ooo so

O

6 4 2 0

O

O

Z = N=

O

• O

+

+

O

OO O

82 126

oO

Oso o o O

+O +O

+o o

4

50

8 12 16 2$ 100

O

+o

150 numero di m assa a

200

250

Figura 6./6. E n ergia di legame per nucleone degli isobari colla massima stabilità beta in funzione di A. 1 punti si riferiscono a nuclei pari-pari, le croci a nuclei di massa dispari. Sono indicate le posizioni dei numeri magici. Per le masse più basse è inserita una rappresentazione particolareggiata. Le croci oblique indicano qui i quattro nuclei stabili dispari-dispari, [Da Wapstra].

dove ( è u n n u mero dipendente dalla distribuzione radiale della carica; p.e. per una densità uniforme, ( = 3/5. Si preferiscescrivere 3 Z e

[6.7.6]

M4 — —­

5

R,

con R, = 1 , 2 4A " F. S i h a M „ = 0 ,6 9 6 5Z A " ( in M eV ) . Infine va aggiunto un termine b(A — Z, Z) che tenga conto della maggiore stabilità per N e Z pa r i r i s petto ai casi in cui Z, o N, o am b edue, siano dispari (par. 6.2). La formula finale per la massa atomica trascurando l'energia di legame degli elettroni e quindi:

M (A, Z) = (A — Z) M„+ ZM + Zm, — a,,„A + «s„„. t + [(A/2) —Z] A

3 e' Z' 5

[ 6.7.7]

R,

L'eq.[6.7.7] è chiamata formula di Weizsaeker per lem asse. Sappiamo che M„= 939,573, Mp = 938,280 e m, = 0,511 MeV (tab. 6.1). Nel determinare le costanti a„„, a,„„ a „ ed R, b i s o gna tener conto del maggior numero di f atti p ossibile. Per esempio si potrebbero prendere tutte le masse finora misurate e a d attarle alla f o r m ula aggiustando le costanti co l m e todo dei m i nimi quadrati. D ' a l tra p a r te, p o iché alcuni c oefficienti sono i n sensibili a ll a m assa ma dipendono fortemente da altri tipi di informazione, occorre usare non solo le masse ma

anche altri dati, come per esempio l'energia necessaria per produrre la fissione (vedi cap. 11). Si è dedicato molto lavoro alla determinazione dei valori di t ali costanti: valori spesso usati sono riportati nella tabella 6.3, in cui 6(p, d) sta a significare che á è stato stimato per N pa r i, Z d i s pari, eccetera. Per uno studio ulteriore del termine 8, si considerino i nuclei isobarici che possono trasformarsi uno nell'altro per decadimento beta (A costante, AZ = + 1 ) , per cattura dell'elettrone orbitale o per emissione di un positrone (A costante, AZ = — 1). Nel caso

Elementi di strutrura e sisrematica dei nucleo

211

• radioattivo i 3 o stabile

A =101

pari-dispari

42 Mo

43 Tc

44 Ru

45 Rh

46 pd

47 Ag

Figura 6 /7. Energia (in MeV) dei nuclei di numero di massa 101. Lo zero nella scala dell energia è arbitrario.

Tabella 6.3. Costanti per la formula di Weizsacker delle masse in MeV, au

a,.„,

a„ „

8 (p d)

8 (d p)

15,67

17,23

93,15

0

0

b (p p) 12 A tg

á(d d) + 12 A

di A dispari in cui il termine 8 è zero, le masse di una serie di isobari, considerate come funzione di Z, hanno un minimo per un certo valore di Z = Zo e giacciono su una parabola del piano Z, M (fig. 6.17). Il solo nucleo stabile di massa A è quindi quello con Z = Zp. In casi eccezionali può accadere che due nuclei vicini con Z = Zp e Zp + 1 o Z = Zo e Ztr — 1 abbiano energia molto prossima; allora mentre uno è stabile l'altro ha una vita cosi lunga da essere semistabile. Rigorosamente parlando, tuttavia, solo un

nucleo di dato A dispari deve essere stabile. Da un esame della tavola degli isotopi si vede che ciò è vero. La situazione è differente per i nuclei con A pari. In questo caso si vede che si possono trovare diversi isobari stabili che hanno tuttavia valori di Z che differiscono

almeno di due unità. L'ultimo termine dell'eq. [6.7,7] è introdotto per descrivere questa situazione. Se N e Z sono ambedue dispari, le masse vanno aumentate di 6 al di sopra della linea tratteggiata (fig. 6.18) che rappresenta l'eq. [6.7.7] senza il termine 8. SeN e Z sono ambedue pari, la massa è diminuita di ci e si trova sulla curva più bassa. Risulta chiaro dalla figura che in queste circostanze si può avere più di un isotopo di massa A stabile per decadimento beta ed anche che tali isotopi debbono differire di almeno due unità in Z. Queste regole di stabilità rendono conto, tra l'altro, dell'assenza di isotopi

stabili degli elementi 43(Tc) e 61(Pm). La figura 6.19 mostra i valori empirici di 8 nella nostra formula approssimata.

La precisione media dell'eq. [6.7.7] si aggira sui 2 MeV tranne che per quei posti dove si fanno sentire dei forti effetti di chiusura degli strati (vedi par. 6.13).

212

Capi t o lo 6

• ra dioattivo P o stabile / /

A = 106

/ /

I

dispari-dispari /

/

/

/

pari­ pari

/ /

43 Tc

44 Ru

45 Rh

46 Pd

47 Ag

48 Cd

49 In

Figura 6./8. E n ergia(in MeV) dei nuclei di numero di massa 106. Lo zero nella scala dell'energia è arbitrario.

Una interessante applicazione della formula delle masse è la determinazione del raggio nucleare, che comparendo come parametro in a,„„ e a .. . può essere calcolato adattando le costanti alle masse sperimentali. Green con sole misure di m assa ha ottenuto un valore di ro = 1,237. 10 " c m , in ottimo accordo con gli altri metodi prima

descritti, L'eq. [6.7.7] è m o lto u t ile ogni v o lta si desideri avere un quadro generale delle proprietà nucleari; per esempio essa fornisce la relazione tra A e Z per i nuclei stabili: ponendo 8M/BZ = 0 si ricava il valore di Z in corrispondenza al quale si ha il minimo

della massa in una serie di isobari, Dall'eq. [6.7.7] si ottiene 2a„m — 0,7825 — '

A

A

2

—Z

3 2Z e + — = 0

5

R,

[6.7.8]

che possiamo interpretare come l'equazione della «curva» di figura 6.15, ricordando che

A = Z+ N. Altre interessanti applicazioni dell'eq. [6,7.7] riguardano i calcoli dell'ener­ gia sviluppata nella fissione dei nuclei pesanti e i calcoli dei limiti (fig. 7.7) di stabilità alfa (cap. 7); invece, per molti scopi di interesse pratico, tipo studi di fissione, l'eq. [6.7.7] va ulteriormente perfezionata. Swiatecki, Myers ed altri hanno analizzato attentamente la formula delle masse, cercando una sua dimostrazione più rigorosa basata sullo sviluppo dell'hamiltoniana nucleare in serie di potenze di A " . E s si hanno tenuto presente anche alcuni effetti aggiuntivi, come la compressibilità della materia nucleare, il cambiamento della tensione

Elementi di struttura e sistematica del nucleo

213

superficiale al variare di A, ed infine gli effetti di strato e di deformazione che possono essere importanti. Per un nucleo sferico l'equazione delle masse atomiche (in MeV) da loro ottenuta è la seguente: E = [M — Z(M +

m e ) NM n5 c

= — 15,68Ai18,66A" + 2 8 ,1(N — Z)'A ' ( 1 — 1,18A " ) + +0717Z A

[6.7.9]

' ( 1 — 1,69A ' ) + t ermine di appaiamento+effetti di strato

Il termine in (N — Z)' è l'energia dovuta alla simmetria, in cui 1,18 A " è u n f a t t ore di correzione dovuto a l l 'energia superficiale; i l t e r m in e 0 ,717 Z2A ' è l' e n e rgia coulombiana, e il fattore 1,69A ' " è u n a sua correzione dovuta a forze di scambio; infine ci sono un termine di appaiamento e gli effetti di strato che vanno aggiunti a parte. La figura 6,20 mostra il confronto tra la E calcolata facendo uso dell'eq. [6.7.9], senza considerare gli effetti di appaiamento e di strato, e i dati sperimentali. Per lo studio dei termini di strato, di deformazione e di appaiamento, si rimanda il lettore alla letteratura, Un altro metodo di calcolo delle masse nucleari, valido in regioni limitate del piano (Z, N), utilizza l'indipendenza della carica dalle forze nucleari e le relazioni di massa fra nuclei che costituiscono dei m u l t i pletti d i i s o spin (cap. I l ) . L ' i de a b ase consiste

4' 8

• •

à = 20 •

12A

tV =28 lù=50 •

AI = 82

•

tt = 12á

•O

2 os

•

•

•

IO

20

30

40

50

60

70

Ots»

•

•

•

80

90

100

110

120

130

140

150

N

Z

(h =-b del testo)

8

,'•

Z ~ 20

•

z 28

Z=40

Z

•O

50

•O •

Z =82

•

•

8 go, •O

•O

•

• oo S~ot

•g O •

• O

• SS o

10

20

30

40

50

áO

70

80

90

100

z Figura 6.19. Differenze di massa dispari-pari di neutroni e protoni (h = — 8 del testo) basate sali'analisi di Zeldes, Grill e Simievic. [Afat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 3, N. 5, 1967].

214

Capi t o (o 6

80

60

40

20 X

O C

-40

-80

-l00

0

50

l00

15 0

200

250

numero di massa

Figura 6.20. Decrementi di massa di 97 nuclei stabili rispetto alla disintegrazione beta, confrontata con la curva teorica ottenuta dall'eq. [6.7.9] utilizzando solo i termini ricavati dal modello a goccia, Si noti che la curva dà l'andamento globale dei decrementi anche per nuclei leggeri. Lo scostamento dei punti dalla curva è dovuto a effetti di strato. [Myers e Swirtecki, N uri. Phys., 81, l, 1966].

Edeiaenii di >ir>ri(ara e .>istemaiii'a del riar'iea

ZI S

(b)

(a) N+2

N+2

N+1

N+1

N

N

Z -2 Z 1

2 '-2 Z - 1

Z

Z

Figura is.'I. U n a porzione del piano Z-1V. La somma algebrica delle masse dei nuclei situate nei quadratini indicati con + o — è nulla. )s)el fare la somma si deve usare il segno contenuto nel qtiadratinr>, Pertanto, se una massa è sconosciuta, la si puo deterininare conoscendo i valori delle altre miisse. Le figure sono valide per X ) Ze A ) 1 6. [Adattata da Garvey et al., Rei,Mr>d. Rhys., 4I, Sl, )969].

essenzialmente nel formare delle combinazioni lineari di masse nucleari, la cui somma deve essere nulla. In figura 6.21 sono mostrati due casi particolarmente utili: le masse situate nelle regioni contrassegnate con + o — v e n gono rispettivamente sommate o sottratte in modo che la somma risulti nulla. Dal punto di vista analitico la figura 6.21a esprime la seguente relazione: ,tf(.'V + 2, Z — 2) — M(X, Z)+ M ( X ,

Z — 1)­

— M (X + !, Z — 2) + Af (X + 1, Z) — .%1 (W + 2, Z — 1) = 0 e ut>a relazione analoga si ottiene dalla figura 6.21b. Queste relazioni sono valide per .8 > 16 ed X > Z e per N pari se X = Z. Per X < Z, le figure portano i valori X c Z nella regione corrispondente allo spigolo superiore sinistro. Queste, ed altre relazioni ancora piti complicate, prevedono masse di nuclei sconosciuti con una accuratezza di circa '00 keV. Pcr valori numerici delle masse nucleari bisognerebbe consultare la tavola di Aapstra e Gove (1971) citata in precedenza.

6.8. Mo menti elettrici dei nuclei Poichc i nuclei hanno al loro interno cariche elettriche in moto, la loro energia dipende dai campi elettrici e magnetici in cui essi possono venirsi a trovare. Tale dipendenza d ell'energia mette i n e v i denza alcuni semplici, parametri d ell'intero n u cleo, i p i ù importanti dei quali sono l a c arica, i d i p oli elettrico e m agnetico, e il q u a drupolo elettrico, l campi possono essere sia di origine esterna sia dovuti agli elettroni dell'atomo all'interno dcl quale si trova il nucleo. I campi magnetici dovuti ad elettroni atomici sono diretti lungo il momento angolare totale J òell'atomo. Invece il momento angolare e il momento magnetico del nucleo sono diretti lungo un vettore I. Sia i campi esterni che quelli atomici sono importanti: quelli esterni possono essere misurati e controllati con grande precisione ma in pratica non superano i 10s G: quelli generati all'interno sono noti con minore precisione, ma sono più intensi. L'energia elettrica delle cariche nucleari è data da

216

Capi t o l o 6

in cui tp è il potenziale del protone l' avente le coordinate x;, y;, z;. Supponendo il centro del nucleo noli'origine delle coordinate e indicando (r",ip/itx)o con dp„, ecc., l'energia si put) scrivere nel modo seguente: /

D' = Pie f la meccanica quantistica Q si annulla a nche per I = - , ', co me si t r va calcolando il s uo v a l o re m edio c on l'espressione sopra scritta. Usando le coordinate del laboratorio si ha che Z

rI

x l , + yl >, + z l.

I

l

[ 6.8,22]

mentre le eqq. [6.9.1] c [ 6 .9.2] per / = -', forniscono 1-„'+ I,'. +I

= I (1+ l) =­

[6.8.23] I„l, + I, .l, = 0. ecc Inserendo queste relazioni nell'eq. [6.8.22], si ottiene z

1

2 ,2 ( x+y+

2

)— = ­3 3

[ 6.8,24]

che comporta 3z' = r' = 0 da c ui u sando l'eq. [6,8.20] si ricava

[6.8.25] Un Q positivo indica un nucleo a A>rma di sigaro mentre un Q negativo indica un nucleo a forma di lente. L'eq. [6.8.21] è semiclassica, e il polinomio di I.egendre P, (cos 0} puf> essere scritto 3 (I J ' I l

I

2 i I./ )

2

)C

71 J

41' J- "

l'er passare ad una espressione quantistica (Casimir, 1936). occorre sostituire il polinomio di L egendre P,(cos()) ~

zC(C+ 1} — 21 (I + 1) J(J + 1) 1(21 — 1) J(2J — I)

[6.8.'e]

dove C è dato nell'eq. [6.9,9] come F (F + 1) — l (1 + I ) — J ( J + I ) = 2I, I. In conclusio­

E(ementi di struttura e sistematica del nucleo

2 t9

ne possiamo scrivere

B ) C (C + 1) —2I (I + I ) J ( J + 1) 4 / (7/ — 1) J(2J — 1)

[6.8.27]

con B = eQtp,,(0)

[6.8.28]

L'eq. [6.8.27] può sembrare indeterminata per ./ = J n / = $, ma in questi casi 8< — — 0 in quanto o y , o Q s ' a n nullano. Per ricavare il Q d a l l'energia occorre conoscere y„ ( 0 ) e q uesto è u n p r o b lema atomico per il quale fino ad ora sono state trovate solamente delle soluzioni approssima­ ie. l termini spettrali di un atomo il cui nucleo ha il Q g 0 sono spostati di una quantità N< e quindi non seguono la regola dell'intervallo. Uno studio spettroscopico particola­ reggiato, nella zona ottica o delle microonde, può fornire i valori di B, e, se e possibile calcolare il tp (0) di Q, Altri metodi che impiegano masse apprezzabili di materia, come quelli di Bloch-Purcell per la determinazione di /tt, possono essere egualmente applicati per trovare B (Dehmelt e Kr u ger). Esistono e sono stati estesamente applicati anche metodi di misura dei momenti di quadrupolo basati sui raggi molecolari, e con essi è stato misurato con grande precisione il Q del deutone. Nella discussione finora fatta ci si è limitati ai metodi di misura diretta dei momenti magnetici e d i q u a drupolo elettrico dei nuclei, senza far i p otesi circa particolari modelli nucleari, Esistono altri metodi, che non descriveremo, che permetto­ no di collegare i dati sperimentali (come la sezione d'urto di eccitazione coulombiana; vedi cap. 8) con i momenti nucleari, purché si ammetta come valido un dato modello nucleare; questi metodi risultano utili o per la verifica del modello, una volta che siano state misurate tutte le quantità interessate, o per la misura dei momenti stessi, una volta che si sia accettato il m odello.

6.9. Spin e momenti magnetici - I Defini ioni e misure. Molti nuclei presentano un momento angolare intrinseco, o «spin». Esso è sempre

un multiplo di h nei nuclei di numero di massa pari e sempre un multiplo dispari di h, 2 nei nuclei di n umero d i m a ssa dispari. Lo s pi n i n u n i t à h s i i n d ica col v ettore I . Dobbiaino qui r i cordare che I ha l e p r o p r ietà del vettore momento angolare della meccanica quantistica. In particolare la misura di l' dà sempre come risultato /(I + 1 ), e la misura di una componente di I, per esempio I„p u o d are come risultato uno qualsiasi dei numeri I, I — 1,..., — I. l' e un a c omponente di I, per esempio I„ p o s s ono essere misurate simultaneamente, ma l„ e l , o du e a l t re diverse componenti di I no n s on o

osservabili compatibili. Le sue principali proprietà quantistiche sono raggruppate nelle relazioni di commutazione (h = 1): /„./,, —/ ,I„= i / ,

[6.9.1]

/ I' -

[6.9.2]

I'I, = 0

autovalore di l' = / ( I + 1 ) autovalori di I , = /, / — 1, ..., — /

220

Capa o lo 6

HQ

po

go ( 0

(j

gz ) 0 q+

l' s

F

Figura 6.22. Convenzioni nel segno per 1, J, p, N e i numeri i;.

Allo spin è associato un momento magnetico. La grandezza del momento magnetico pi non e quantizzata e può assumere qualsiasi valore. L'unità di misura naturale dei momenti magnetici è il m agnetone nucleare Iiv =

f ei h

- 23 -l = 0 ,505 0 823 x 10 ' e r g g a uss

2M e = 3,15245 x 10 '

j B

1836,15 1

e V g a u ss

dove M~ è la massa del protone. In aggiunta al momento magnetico spesso considerere­ mo il numero g, nucleare, definito da P(

[6.9.3]

— = Ig, Iiw

e il rapporto giromagnetico Y,, definito da

[6.9.4]

Pi = YiIiI

Si osservi che per convenzione g, ) 0 i n d ica spin nucleare e momento magnetico paralleli tra loro. Una convenzione simile viene usata per definire il momento magnetico dovuto agli elettroni p>/p> — — Jg,. Per lo più i g> sono negativi. Per esempio un elettrone in uno stato s ha g~ = — 2 (fig. 6.22). Le convenzioni per i segni usate nella letteratura variano. Storicamente gli spin e i momenti magnetici nucleari furono postulati per la prima volta da Pauli nel 1924, sebbene egli pensasse che fossero dovuti a moti orbitali. Lo spia dell'elettrone fu p o stulato d a U h l enbeck e G o u dsmit nel 1925 come un m o mento angolare intrinseco di valore ~h associato ad un momento magnetico ehj2mc, Dennison riconobbe nel 1927 lo spin ~th del protone. Sono stati anche osservati poli magnetici di

ordine 2' e 2', e Dirac nel 1931 calcolò le conseguenze dell'esistenza di un monopolo magnetico che dovrebbe avere il valore (hc/ez)(g/2) e con g intero, secondo la meccanica quantistica. Però, nonostante le svariate ricerche, non si ha alcuna prova della sua esistenza. I poli magnetici di ordine 2~, con p ) 0 e pari, sono nulli come si dimostra con un ragionamento basato sulla parità. L'espressione classica dell'energia associata al momento magnetico è data da:

[6.9.5] in cui la seconda eguaglianza ci ricorda che p è diretto lungo I. Se H è dovuto al moto degli elettroni atomici, esso sarà parallelo a J per cui l'eq. [6.9.5] si può riscrivere nel modo seguente:

IJ

W, = — ii i H ( 0) — = IJ

—p, H ( 0 ) cosIJ

[ 6.9.6]

Elementi di struttura e sistema(ica del nucleo

22 1

Figura á.23. Mo d ello vettoriale di un atomo avente spin nucleare.J è il momento angolare totale degli elettroni, 1 lo spin nucleare, ed F il momento angolare totale dell'atomo.

in cui il coseno va inteso in senso quantistico. Per valutare questa espressione nel caso atomico, consideriamo, oltre ad I e J, i l momento angolare totale F de ll'atomo (ftg. 6.23), incluso il nucleo. Si ha allora

[6.9.7]

F=l + J ovvero, elevando al quadrato e risolvendo rispetto a I . J ,

[6.9.8]

I J= I J c o s [ J = 2( F~ — I — J )

l vettori quantistici F, I e J da nno come autovalori per F' i n u m e ri F( F + 1 ), ecc. Sostituendo nell'eq. [6.9.8] si trova per il v alore di IJ cos lJ l'espressione

[6.9.9]

( [F(F + l) —I(I + 1) — J(J+ 1)] = C/2 che, inserita nell'eq. [6.9.6], dà — pt H( 0)

h Wt, —

2

IJ

[ F (F + 1) —I (I + l) — J (J + 1)] =

A 2

C

[6.9.10a]

con

[6.9.10b] L'influenza del momento di dipolo magnetico si manifesta in molti fenomeni : uno dei più diretti è l a s t r uttura iperftna delle righe spettrali. Le r i ghe spettrali atomiche, esaminate con apparecchi di elevata risoluzione, mostrano spesso una struttura e la

separazione fra le componenti è dell'ordine di una frazione di un numero d'onda (ftg. 6,24). Isotopi differenti possono emettere luce le cui frequenze risultano leggermente

struttura iperfine

t antal i o

struttura isotopica

t ungsten o

' g g 9 Q7

R,S225

Figur(((g(cos JF +

+(l,, F) pvg,cos IF] = — p„g m„JI,

[6,9 . 23]

in cui (nr indica, come al solito, F cos FH„. I!secondo termine in parentesi è circa 2000 volte più piccolo del primo e puo essere trascurato. Usando l'espressione quantistica dci

Hc

Hc

M(

(b) Figura 6.25. (a) Diagramma vettoriale di un atomo con spin nucleare in un campo magnetico intenso. !.e interazioni I H,. e J H,, sono grandi rispetto all'interazione I J. I e J precedono indipendentemente attorno ad H,. (b) Diagr;irnma vettoriale di un atomo con spin nucleare in un campo magnetico debole. L'interazione tra J ed H, è piccola rispetto all'interazioneJ. I. I e J precedono attorno ad F, che a sua volta precede attorno ad H,.

Elementi di struttura e sistematica del nucleo 2 mt

1,5

25

Ng

I = f

J = è

0,5

+ 0 0,5

1,5

2,5

x

0,5 mt

ttt s

— 1,5

igura 6.26. Uariazione, in un campo magnetico H, dei livelli energetici di un atomo in uno :tato sS f/s per uno spin nucleareg. Le linee continue e tratteggiate corrispondono ai livelli che si originano dagli stati F = 2 ed F = 1, rispettivamente. Il parametro x è ( —itP+/ttl) H//h8'~ isttH/AW giove A W è la diFermua di energia tra gH stati F = 2 ed F = 1 quando il campo magnetico è nullo: dW ={A/2){21+ 1); M = rttt+ t ns n l r .

coseni, si può scrivere

F (F+l)+ J(J+ I ) - I ( I + 1 ) 2F(F+ 1)

$6.9.24)

In figura 6.26 è riportata l*energia magnetica, calcolata esattamente per tutti i valori del campo magnetico. Il momento magnetico atomico può essere definito dalla relazione BW' Ar=

8H.

f 6.9.25]

e in figura 6.27 esso k mostrato per l'atomo di cesio. Per un dato multipletto di sif il momento magnetico atomico e funzione di F, tttFe H, e, per certi valori del campo, puo snnullarsi. Le transizioni radiative tra i diversi livelli di sif sono soggette a regole di selezione simili a quelle che valgono per i multipletti ordinari (vedi la 6g. 6.27). Nel caso di radiazione di dipolo elettrico (vedi cap. 8), in assenza di campo esterno, si ha AF = +l , 0 transizione 0-+ 0 proibita

f6.9.26]

226

capi t o lo6

x 3

Figura 627. D i p endenza dal campo magnetico del momento magnetico di un atomo in uno stato $», con spia nucleare $. Le linee continue si riferiscono a livelli M dello stato F = 2, quelle tratteggiate a livelli F = 1. Il significato di x è lo stesso di quello di figura 6.26.

Se c'è un campo magnetico esterno, ed esso è debole, si deve avere h mp.— —0

[6.9.27]

per le componenti polarizzate parallelamente al campo (componenti te) e b ar= +

l

[6.9.28]

per le componenti polarizzate perpendicolarmente (componenti a) ; se il campo esternoè forte, si ha hmt = O

[6.9.29]

don~=O

p e r le componenti n

[6.9.30]

hm~= + 1

p e r le componentia

[ 6.9.31]

In ogni caso la parità deve cambiare. Tutto questo è mostrato in figura 6.28. Per la radiazione di dipolo magnetico si hanno le stesse regole di selezione, tranne che in questo caso la parità non cambia. Le transizioni ottiche avvengono fra differenti multipletti di sif. Nell'ambito di un multipletto di sif non si possono avere transizioni dovute a dipolo elettrico a causa della regola di selezione della parità Sono possibili invece transizioni di dipolo magnetico la cui frequenza cade nella regione delle microonde. Nelle pagine precedenti è stato brevemente descritto il metodo spettroscopico per la misura dello spin, del momento magnetico e dei momenti di quadrupolo elettrico. Questo metodo è stato il primo ad essere usato ed è ancora importante. Col passare

Elementi di struttura e sistematica del nucleo

ett ~

~

mg

i

M

m/

227

y

~)MMLIO ~ ' ~ ~ t CI

li

•'~~+~ tt t

F = 2

'Sua

Figura 6.28. Le componenti tt(hms = 0) della riga St/7 P3/ i (5890) del Na come appare in assorbimento. Lo spin nucleare l = $ scinde i termini come indicato a destra nella figura. Si noti che nel termine 'P3/p la sif e cosi piccola che si applica sempre il caso di campo esterno intenso. Le osservazioni sono state eseguite per vari valori del campo esterno H come indicato nella parte sinistra della figura. [Jackson e Kuhn, Proc. Roy, Soc., Londra, 167, 210, 1938).

degli anni sono state introdotte altre tecniche. In particolare, O. Stern, I. I. Rabi ed altri hanno sviluppato dei m etodi basati sull'impiego dei raggi m olecolari. Questi sono costituiti da fasci di molecole che, emesse da una fornace O, si muovono nel vuoto, come indica la figura 6.29a, e dopo essere state collimate con una fenditura S, sono infine

rivelate da un rivelatore D. Il rivelatore può esser di vari tipi. Per esempio può esseie costituito da un filo caldo che ionizza le molecole che lo urtano, da un m anometro

Pirani in cui le molecole intrappolate provocano un aumento di pressione, o può essere un rivelatore di radioattività se la sostanza impiegata è radioattiva. La molecola nel

fascio libero può essere sottoposta a forze che ne curvano la traiettoria. Nell'esperimento originale di Stern e G erlach atomi d i

a r gento attraversavano un campo magnetico

inomogeneo e venivano deflessi nella direzione z da una forza BH,

F=P/t 82

[6.9.32]

doveFH /Bz è chiamato inomogeneità del campo. Tale forza produce una deflessione che può venir calcolata con la meccanica elementare; si ha immediatamente

BH, l Z = PdF­

dz M

[6.9.33] [6.9.34]

dove x è la lunghezza del campo, M la massa della molecola e n la sua velocità.

228

Capi t o l o 6

t" D

o/ BH, a2 A

O

A

O

B

m ag n ete

Fx

B R

magnete

D

58 cm

pompe pompa

pompa

Figura 6.2k D i a g ramma schematico di un apparato per raggi molecolari. Le due curve continue in alto rappresentano i cammini di due molecole aventi momenti magnetici e velocità differenti, e i cui momenti magnetici non cambiano nell'attraversare l'apparato. Le due curve tratteggiate nella regione del inagnete B indicano i possibili cambiamenti di cammino di una di queste molecole a seconda che la coinponente del suo momento magnetico sia stata aumentata o diminuita nella regione del campo C; essaè quindi persa per il fascio e l'intensità diminuisce. In ciascuna curva il moto lungo z è stato molto esagerato. [Kellog e Millman, Rei,. Mod. Phys., 18, 323, 1946].

Ora, se le molecole sono deflesse, l'intensità del fascio diminuisce e ciò è rivelabile sperimentalmente, In generale sottoponendo le molecole ad un campo magnetico H. caratterizzato da una inomogeneità r7H,/Bz si ottiene una diminuzione dell'intensità del fascio non deflesso; se invece H, è tale che~( H , ) = 0 l'intensità non diminuisce ed anzi, considerata come funzione di H, essa ha un massimo essendo il fascio non deflesso; il valore del campo per il quale ciò avviene può essere visto in un caso speciale riportato in ftgura 6.27. L'esperimento in d efinitiva fornisce ltsH,jhW o A; pe r t r o v a re poi p, dobbiamo ancora conoscere il campo atomico sul nucleo, in accordo con l'eq. [6.9.10].

6.10. Spin e momenti magnetici (misure) II Se vogliamo o t tenere li, co n i m e t o di d e scritti n el p a r agrafo precedente, occorre conoscere il campo magnetico dell'atomo nella regione occupata dal nucleo. Esistono invece altri metodi che non necessitano di t ale informazione e possono raggiungere precisioni più elevate. Essi si basano sulla misura delle interazioni del nucleo con un campo applicato dall'esterno la cui intensità si può misurare direttamente. Il metodo è illustrato nella figura 6.29. Un raggio è deflesso da un campo magnetico inomogeneo A e rifocalizzato sul rivelatore D dal campo inomogeneo B. Tra i campi A e B è interposto un campo C ch e h a un a c omponente costante H, e un ' a ltra, perpendicolare a tale

Elementi dt .~trattura e sistematica del nutdeo

229

direzione, variabile nel tempo proporzionale a sino>t. Tale componente puo indurre delle transizioni tra i vari livelli del multipletto di sif, secondo le regole di selezione date nel paragrafo 6.9: occorre pero che la pulsazione ctt sia quella di risonanza cioè quella per cui la differenza di energia tra i livelli sia uguale alla energia dei quanti del campo e.tn. inducente Ftttz. L'eq. [6.9.21] fornisce, per esempio nel caso di c a mpo f o r te, la condizione di risonanza

[6.10.1]

Fttu = g tit > H Am t

Quando avvengono tali t r a nsizioni, il m a gnete B no n f o c a lizza più p e r che l a molecola ha cambiato momento magnetico e il fascio che giunge su D è i n debolito. Come si vede dall'eq. [6.10.1] si può determinare il fattore g, conoscendo solo H, e ttz. Il metodo da risultati estremamente precisi. In particolare ha permesso di analizzare i n gran dettaglio le m o lecole biatomiche degli isotopi dell'idrogeno (Kellog, l a b i , Ramsey, Zacharias, 1934). Lo stesso principio è stato applicato da A l v arez e Bloch (1939) anche al neutrone libero. Essi hanno analizzato un fascio di neutroni che erano stati po larizzati facendoli passare attraverso un ferro magnetizzato (vedi cap. 12), e che venivano a loro volta fatti p recedere da p arte d i u n c a m p o m a g netico n o to : d a ll a r o t azione del p i an o d i polarizzazione si calcolava il momento magnetico dei neutroni. Metodi che utilizzano raggi molecolari sono infine stati usati su larga scala per misurare i momenti magnetici di nuclei radioattivi. In tal caso si è usata la radioattività stessa per rivelare il fascio. • Presumendo che il lettore abbia una certa familiarita con la teoria dello spin di Pauli, studiamo a titolo di esempio un tipico problema corrispondente al ribaltamento d i uno spin —,' in u n e s perimento co n f a sci m o lecolari. L o s p i n è d e s critto d a u n'autofunzione

Si

i n cui $ , e d $ , sono numeri complessi. Se lo spin punta in u n a

$2

direzione defmita dalle coordinate polari é) e tét, si può prendere, per esempio, $, = cos(0/2),

$2 = —ie '~sin(él/2)

[ 6.10.2]

L'equazione di Schrodinger del moto dello spin e data da ihp = Hp in c ui H è l a relativa hamiltoniana. Allo spin si associa un momento magnetico (gefi,'2me)s = (eFt/2mc) e = atta

[6.10.3]

in cui tt e la matrice vettoriale di Pauli e dove è stato preso g = — 2. L'hamiltoniana è data da — ptta B in cui B è il campo magnetico avente come componenti B„, B, e B,. Sostituendo nell'equazione di Schrodinger, si ha tA — =

— p tt

tnt $,

B,

B+

iB

B„ — 't B

$i

— B,

$,

[6.10.4]

Consideriamo ora il caso di un campo avente una componente ruotante in modo che B = costante = Bts e

B„+ i B, = B, exp (ittzt) Introdotte ora le frequenze tzt —— (Ft tt/Ft) B„e

[6.10.5] ttt t = (Fttt/Ft) B,, sostituendole nell'eq.

[6.I0.4], si ottiene si

i [s i Cop + szco i exp ( — ittzt)]

$, = i [s,ttt texp (itttt) — sztttt>]

[6.10.6a]

[6.10.6b]

230

Capi ( o !o 6

Tali equazioni possono essere risolte, ponendo

[6.10.7]

s , =L e x p ( i p, t) + M e x p ( i p, t )

s, =

p ! — zoo

.

pz

zoo

L exp (i p , t) + M

Cui

exp (i p , t) e xp (input)

[6.10.8]

Qj !

in cui L ed M s i d e terminano dalle condizioni iniziali e inoltre pt =

pz =

+ z oo

[6.10,9]

+ i

+ zoo

[6.10.10]

+ ro>

Se si suppone che inizialmente sia s, (0) = 1 e s, (0) = 0, ricordando la condizione di n ormalizzazione s', + s< — 1, si ottengono le espressione esatte di s , ( t ) e s , ( t ). L a probabilità di trovare lo spin diretto lungo — z è data da (s, (t)~ . Il risultato del calcolo è il seguente

(s, (t)i' =

4co,

', , sin' (co+ 2ruo) + 4ro' ,

l2

[ (r o + 2cuo)'+ 4o>',]'"­ 2

[6. 10.11]

Per B, » (B„'+ B,',)'" e per cu molto vicino alla frequenza di precessione dovuta a Br„ co= — 2roo, si ha:

[6.10.12]

[s~(1)]'= sin co,t

Questa situazione è molto v i cina a q uella sperimentale in esperimenti con fasci molecolari o di i n duzione nucleare. Un altro metodo di misura dei momenti magnetici, sviluppato d~ B l och e Hansett (~1946 e indipendentemente da Purcell (1946), fa uso di masse apprezzabili di materia. Una versione schematica e sempliftcata del sistema usato da Bloch è indicata in ftgura

6.30. Si supponga di avere del!'acqua ordinaria e di considerare i nuclei di idrogeno in un campo magnetico costante Ho diretto secondo l'asse z. Per il fattore di Boltzmann ci saranno piu protoni con il momento magnetico orientato parallelamente al campo di Ha r' ,' n!

lvf »"

M cos 8

yHM sin8 =

dba/dg

e perpendicolare ad H, u n a fe,m, di frequenza co,. La fe.m. indotta è rivelabile e, noti Hii e la frequenza co,, si ricava,

tramite l'eq. [6.10.17], il valore di y.

232

Capi t o l o 6

l

l

I

I

I

I I

I

/t

I

t

/

I I A

I

/

/

I

II

'l

/

/

Figura 6.31. T r a iettoria dell'estremità del vettore di polarizzazione magnetica dei nuclei di idrogeno soggetti ad un campo alternato alla frequenza di risonanza, II campo intenso è nella direzione z. quello alternato nella direzione x o y. Il tempo di rilassamento è inftnito. [Da (Fl E)].

4

~

S

(

6

Figuro 6.3 . Pr i n cipio di un apparecchio di Purcell per osservare i moti di precessione nucleare: I, generatore di bassa frequenza; 2, generatore di alta frequenza; 3, ponte; 4, amplificatore di alta frequenza; 5, rettiftcatore di alta frequenza; 6, ampliftcatore di bassa frequenza ; 7, oscilloscopio; 8, bobine di Helmholtz; 9, solenoide attorno al campione.

Flernenii dr srruiiuro e sisrernarica del nucleo 2

33

Col metodo di Purcell si rivela la risonanza misurando l'energia e.m, assorbita dal materiale posto in un campo magnetico; l'assorbimento ha un massimo molto netto per un valore della radiofrequenza coincidente con cui, I n questa descrizione ol tremodo semplificata no n s o n o s t at i a n c ora p r esi i n considerazione i tempi di rilassamento della sostanza. Lo studio dei tempi di rilassamen­ to e di altre caratteristiche inerenti a questi fenomeni interessa la chimica, la struttura molecolare e la fisica dello stato solido. Il metodo è stato sviluppato e applicato a molti problemi. Esso tra l'altro e adatto anche alla misura dei campi magnetici (supponendo noto il momento magnetico dell'idrogeno). La figura 6.31 mostra un tipico apparato per misure di momenti magnetici col metodo di P urcell. Con i metodi sopra descritti si possono ricavare lo spin e il momento magnetico di nuclei sia stabili che radioattivi. Un altro metodo si applica solo a nuclei radioattivi a

vita breve (vedi anche cap. 8). Cercheremo di mostrare con un esempio semplificato i principi essenziali del metodo. Si supponga che un nucleo abbia tre livelli e che emetta àue raggi gamma in cascata. Supponiamo che lo stato intermedio abbia una vita media r. Con due contatori posti in coincidenza si puo trovare la probabilità che i due fotoni siano emessi entro un angolo compreso tra 0 e 0+ d0. Tale probabilita si puo esprimere per mezzo di una serie di potenze pari di cos0

[6. 10.18]

P {0) d0 =A + B cos' 0+ ...

Per semplicità ci arrestiamo al termine in cos'0 . L 'esistenza di una correlazione angolare si spiega col fatto che dopo l'emissione del primo gamma, il nucleo è lasciato con il proprio spin in una direzione non indipendente da quella del gamma uscente. Cosi, per esempio, in una radio-antenna macroscopica dipolare i quanti sono emessi di preferenza in direzione perpendicolare all'antenna. Pertanto già dall'emissione del primo quanto si può ricavare qualche informazione sull'orientamento del nucleo; il secondo quanto a sua volta è emesso anisotropicamente rispetto al pr imo perché un nucleo orientato emette in generale raggi gamma anisotropicamente rispetto allo spin. Ora si introduca un campo m agnetico H pe r p endicolare al p i a no in c u i v i e ne misurata la correlazione. Sotto l'azione di tale campo lo spin dello stato intermedio acquisterà un moto precessionale di velocità angolare H loh

neutrone possono essere scritte al modo seguente p~ll +

rr

r l~ p + r r Indicando con r la frazione di tempo durante la quale il nucleone rimane dissociato e con p, e lr„ i m o menti magnetici del protone e del neutrone possiamo scrivere: lr„= + l r „ r + ( 1 — r)1 = ( p, — 1)r+ 1 lr„= (1 — p„) r e ricavare l'e+ pn =1

mentre sperimentalmente si è trovato Pp+ lr„= 0,88 L'accordo, tenuto conto della ingenuità del ragionamento, è sorprendentemente buono. Va aggiunto che uno dei problemi della teoria mesonica è proprio quello di fornire con precisione il valore del momento magnetico del protone e del neutrone. Se si assume p„= eA/2m,c, r ri s ulta circa 0,3. Il deutone ha un momento magnetico che è quasi esattamente la somma algebrica del momento magnetico del protone e del neutrone. Ricordando che il deutone ha spin 1 e che esso è costituito di un neutrone e un protone con spin paralleli e privi di momento angolare relativo (stato s), il risultato sembra evidente. Ci si domanda piuttosto perché il momento magnetico no n è e s attamente uguale alla somma de i d u e m o m enti. Il disaccordo si può ragionevolmente spiegare ammettendo l'esistenza di una mescolanza di stati d nello stato fondamentale del deutone, come vedremo nel capitolo 10. Passando ai nuclei più pesanti, si incontrano diversi casi in cui i valori del momento magnetico si

spiegano abbastanza facilmente: per esempio nel caso del He e H ci si aspetterebbe di trovare un momento magnetico di un neutrone nel primo e quello di un p r otone nel secondo, perché nucleoni identici hanno spin opposto e il solo nuclide eff>cace rimane quello non accoppiato. Schmidt (1937) fece osservare l'esistenza di un a r egolarità abbastanza generale

riguardante i nuclei con A dispari. Essi possono essere pensati come composti di una parte costituente uno strato completo di nucleoni più un nucleone. Lo strato completo deve necessariamente contenere un numero pari di n eutroni e di p r o t oni e quindi é ragionevole pensare che non possieda momento angolare né momento magnetico, Se a questo strato si aggiunge ora un nucleone di momento angolare l e spin $, lo spin totale

del nucleo sarà uguale a I+ ]. Secondo il modello vettoriale I ed s si combinano per formare I, ciascuno acquistando indipendentemente un moto di precessione attorno aà I. Il momento magnetico lungo la direzione di I, espresso in magnetoni nucleari, è dato dalla I l Pl = gl

I

s I + gs

I

= agi

[6.12.1]

Il prodotto scalare I I è dato da s'= l ' + l ' — 2 I I

[6,12,2]

Elementi di struttura e sistematica del nucleo

239

2%àt)

11)i ~ lhl

Il

k

4

P Is x

P 2

82 8

p

jlif )IIII, I Xà

sà P

Il IIIIII PgfP Cà

I

D

Ol

fV

I

~l cv

Il

+ H

L

Z

f

t

I

C

> ll

I

Figura 6,34. Lince di Schmidt e fattori g nucleari sperimentali (», nuclei radioattivi; m, stati metastabili).

240

Capit o l o 6

o quantisticatnente da

I. I

I(l + 1 )+ I( I + l) — s(s+ 1)

[6.12.3]

2I (I + 1)

e una espressione analoga si o t tiene per (s . l ) / l ' . In s erendo tali e spressioni nell'eq.

[6.12.1], si trova I(I+ 1)+ s(s+ 1) — I(l+ 1) I ( I + 1) + I ( l y 1) — s(s y 1) +g( 21 (I + 1) 2 I(I + 1)

[6.12A]

Dalle eqq. [6.12.1] e [6.12.4] si ottiene per I = I+ q l

[6.12.5]

lt t =sg~+ IÃ( l

e per I = I - - ,

1 2

2I —1 2I+ l

(I + 1) (2I — 1) +g(

[6.12.6]

2l + l

Le due formule combinate insieme danno lt t = I R ( +

1

2l+ l

( R~

R()

[6.12.7]

dove il segno superiore vale per I = I+ ~ e q u e llo inferiore per I = I — $. I valori di g, e g, sono riportati nella tabella 6.7. Tabella 6.7. N umeri g per il neutrone e il protone. /Veutrone

Protone

0 — 3,826

1 5,586

I valori sperimentali dei momenti nucleari sono riportati in figura 6.34, insieme ai

valori teorici dell'eq. [6.12.7]. I valori osservati no n c adono esattamente sulle curve di Schmidt m a i n p u nti compresi tra di esse. Non sorprende comunque che una teoria basata su un modello cosi grossolano non dia risultati quantitativi; è già notevole trovare un accordo buono come

quello descritto.

6.13. M o d ello a strati Nel modello a goccia si sono usate le proprietà della «materia nucleare» ma non è stato detto nulla circa i singoli nucleoni; a differenza del modello atomico, in cui si dà molta importanza al moto degli elettroni nel campo generato dal nucleo. Il modello atomico ha avuto un tale successo che si è tentati di estendere al nucleo almeno alcune delle sue proprietà, tanto pi u che v i s ono m o t ivi per credere che i nucleoni posseggano orbite individuali ben definite. Tra questi motivi c'è il fatto che il gas di F e r mi , i n c u i s i t r a scura l ' i nterazione fra i n u c leoni, ha r i scosso, almeno

E!ementt di struttura e sistemtrtica del nucleo

24l

parzialmente, un certo successo. Cio significa che i nucleoni sono relativamente liberi di muoversi nella buca di potenziale e il fatto e confermato dalle linee di Schmidt (par. 6.12) che indicano l'esistenza di orbite. Per descrivere la b uc a d i p o t e nziale u n p o ' p i ù r i g o r osamente, consideriamo l'hamiltoniana del nucleo :I

H =Q T+ — p 1

t! k ( r„)

[6.13.1]

)2 +! ) 2] l/2

[6.14.8]

che, per ck — ti »h, vale approssimativamente ek — i, mentre per ~rk —i.~ «h vale h e h tion può più essere trascurata. Cosi, per un nucleo pari-pari, lo stato intrinseco più basso al di sopra dello stato fondamentale è uno stato a due quasiparticelle, di energia Ekt + Ek2

[( t k i p ) 2 + p2] t2 l + [(ek2 j ) 2 + p 2] l/2 ) 2 A

[6.14.9]

Anche se nello stato più basso le quantità e» — i. ed ek~ — i. sono piccole rispetto a A, l'energia di minima eccitazione, nota come parametro di gap (in inglese, pairing gap), è>2h. I nuclei con A dispari, nello stato fondamentale, possiedono un nucleone spaiato; invece quelli dispari-dispari ne hanno due. Nc deriva che i nuclei pari-dispari hanno una m assa maggiore dei n u clei p a ri-pari pe r i l c o n t r i b uto d o v ut o a ll a m a ssa d i u n a quasiparticella, mentre la massa dei nuclei dispari-dispari sarà maggiore di quella dei nuclei pari-pari per effetto della massa di due q uasiparticelle, ln q uest'ultimo caso l'energia da aggiungere è, co n b u o n a a p p rossimazione, pari a ) 2A ' ' Me V : s i identifica cosi con il ci dell'eq. [6.7.7]. L'energia di appaiamento è connessa con vari fenomeni fisici, tra cui la superfluidità àe)la materia nucleare, che diminuisce il momento d'inerzia dei nuclei deformati che si può osservare nelle bande rotazionali. Anche la mescolanza di più configurazioni si può studiare considerando i numeri di occupazione dei livelli in una buca di potenziale sferica. Il numero di occupazione t~ per utt'orbita degenere è definito come il numero di particelle in un certo orbitale p diviso per il numero massimo di particelle che esso può contenere. L'orbitale viene individuato da n, i, j ma non da m, mentre il numero di particelle che esso può contenere è dato da 2j + 1, per tutti i possibili valori di m. Il numero di occupazione è dato da p!(2j+ 1) = v, e varia tra 0 e 1. Se non ci fosse l'interazione residua, si dovrebbe avere, aggiungendo coppie di nucleoni a uno strato chiuso, un incremento lineare di t:,. In realtà ciò non succede, come mostra la figura 6.40a, b dove vengono paragonate le situazioni ideali con quelle reali. Nel caso r eale, lo s t ato f o n damentale del n u cleo è i l r i s u ltato d ella combinazione lineare di più configurazioni con numeri di occupazione dati approssima­ tivamente dall'eq. [6.14.1], in cui si determina à imponendo l'ulteriore condizione che il numero di nucleoni esterni a uno strato completo sia dato da

g t:,'(2j+ l) = N

[6. 14. 10]

Il parametro A~ resta invariato, mentre l'energia delle orbite viene modificata in base all'eq. [6.14.8], dove si assume come zero l'energia del precedente strato completo. A titolo di esempio, consideriamo i 12 neutroni del O : o t t o di essi sono nelle orbite ls, e 2p,,> „,, mentre per i restanti quattro ci si attende che finiscano in orbite 3d„ z p er formare una configurazione del t ip o ( 3 d, t, ) 1 = 0 . ( F a cciamo uso d e lla n o t azione spettroscopica in cui l'esponente è il numero di n ucleoni in o r bite caratterizzate dai numeri quantici riportati in parentesi.) In realtà ciò avviene, ma l'interazione residua produce un notevole parametro di gap, abbassando l'energia del livello fondamentale, come si puo vedere in figura 6.41. Trascurando l'interazione residua, i livelli energetici sarebbero quelli mostrati sulla parte sinistra della figura. In realtà si formano combina­ zinni lineari dei termini facenti parte di configurazioni diverse ma aventi I e p a r i t à

250

Capit o l o 6

l,0 I I sl/2

e2

ds/2

J

0,5

I

I

I I I I

I I I I

I

I

I I

I I

0

2

4

I I

I I

I

I

6

8

10

lV

(a)

i.o

/

/

/

dk/2

.2

0.5 / /

/

/

/

/

J /

/

/

SI/2

/

/

/

2

/

/

/

/ /

0

/

dh/2

/

4

6

8

/

/

/

/

/

IO

lV

(b) Figura 6.40. (a) Numeri di occupazione i," in funzione del numero N di nucleoni nello strato n = 3, nell'approssimazione in cui non ci sia alcuna interazione residua. (b) i," in funzione di N, corretto per l'esistenza di interazioni residue. Le linee tratteggiate riproducono la parte (a) della figura mentre le curve continue fanno vedere l'effetto delle interazioni residue; le curve continue sono un arrotondamento delle linee mostrate in (a). [Da Cohen, Coneepts of Nuilear Phfsiis, McGraw-Hi)l Co., New York, 1971]. uguali, e l'energia viene cosi alterata; il risultato è mostrato sulla parte destra della figura 6.41. Lo stesso succede per i numeri di occupazione: senza interazione residua si avrebbe la situazione di figura 6.40a, tenendone conto si ottengono le curve di figura 6.40b. Tutto ciò, per quanto riguarda i nuclei pari-pari. Se sono presenti particelle spaiate, come succede nei nuclei pari-dispari o in stati eccitati di nuclei pari-pari, si creano quasi­ particelle, e il quadro si complica ulteriormente. La spettroscopia nucleare è ormai uli argomento molto vasto, e qui ci siamo limitati a dare un'idea della problematica attuale. La figura 6.42, presa dal libro di Bohr e M o t t elson (BM 69), costituisce un eloquent~ esempio della materia trattata. •

6.15. M o dello collettivo del nucleo Il modello a strati ha ottenuto successo nella spiegazione di un gran numero di proprietà nucleari, alcune delle quali sono state descritte mentre altre saranno considerate piii tardi. Tuttavia non fornisce una descrizione completa del nucleo. Esso risulta particolar­

Elementi rii strutturrl e sistemrttica del nuclen

4é

25 1

(Ch»)o

2é + 2 é

2

2

( 3/2)0(~3/2)0

2é

(~5/2)0( k/2)(k

2é

(ds/2)o(s l /2)o (~5/2)o

24

cncf glc

diconfigurazioni

cnel'glc di stati con l = O

e termini

Figura 6.4L Energie di alcuni termini e stati con I = 0 del ' O (quattro neutroni nello strato n = 3). Si tratta del caso in cui tutti i neutroni sono apparati in coppie con momento angolare nullo. Le energie dei termini, mostrate a sinistra, sono semplicemente la somma delle energie delle orbite occupate. (Si noti che l'ordine dei livelli imperturbati, ds 7 sl (7 ds/7• è diverso da quello della figura 6.38.) Si vede anche il gap di appaiamento 2A.

mente utile nel caso di n uclei costituiti da un o st rato completo e da un o o a l c u ni nucleoni addizionali, I n u n a c o n figurazione di s t r ati c o m pleti i l n u c leo è s ferico. L'aggiunta di uno o piu nucleoni introduce solo piccole deformazioni. Invece per strati completi a metà, la situazione cambia. I nuclei si scostano apprezzabilmente dalla forma sferica e diventano importanti i m ot i collettivi di g r uppi di n u cleoni.

Ciò si vede, per esempio, nei momenti di quadrupolo nucleare (fig. 6.43). In prossimità di uno strato completo i valori ottenuti attribuendo il quadrupolo ad una s ingola particella esterna allo strato si accordano ragionevolmente bene con i d a t i sperimentali, ma per uno strato pieno a metà i momenti di quadrupolo sono molto piu grandi di quelli che si o t terrebbero da un a p a rticella singola. Rainwater (1950) ha

suggerito che la particella singola può deformare l'intero nucleo e che il quadrupolo osservato è dovuto alla deformazione collettiva di piu orbite. Molto grossolanamente l'effetto è analogo a quello prodotto da una pallina pesante che ruota dentro un pallone di gomma. La pressione prodotta dalla fo rza centrifuga della pallina determina la deformazione dell'involucro di gomma. I n u cleoni quindi vengono a muoversi in un potenziale che non ha più simmetria sferica. Si possono quindi considerare due tipi di moti: in primo luogo un moto dell'intero nucleo come se tutti i nucleoni occupassero

252

Capi t o lo 6

2 buche

l buca

l particella 2

l

T

p a r ticelle

T

1

S7/2

—

Ià C

If I/2 '

0+

PJ/2

—

2+

2+

Il 3/2

I I I/2

f 7/2

-I

àà

d3/2

93 C

—

0+

h9/2

SI/2

0+ AZ= — 2

DZ= — I

23 ~9HS

2OITI àl

T

CIV

Icpb $2

AZ= + I 209fii

T f iY P3/2

fl/l

OO

( h9/ 2

f—

2 làp< 32

TT l

(dl/2.0+ f (s- I 0 + i

I I 3/l

79

àà •3

93

~

D Z= + 2

f7/2 0

h9/2

299 ff

Figura 6.42. Eccitazioni elementari rispetto allo stato fondamentale del '»Pb. Gli spettri dei nuclei vicini a quello del '2(lPb si possono descrivere in termini di eccitazioni elementari rispetto allo stato fondamentale del » P b , il quale possiede strati completi di neutroni e protoni e si comporta quindi come uno «stato vuoto» per le eccitazioni. In alto: eccitazioni di tipo fermionico che comportano l'aggiunta o l'allontanamento di un solo protone (2) Z = + 1 o hZ = — 1), ed eccitazioni di tipo bosonico prodotte eccitando coppie correlate di protoni (hZ = + 2) oltre che eccitazioni collettive del '»Pb. L'ultimo tipo di quanti si può descrivere anche in termini di eccitazioni coerenti di particelle-buchi. Esse danno luogo a oscillazioni di densità che corrispondono a una vibrazione della superficie. La scala dell'energia usata nella figura comporta un termine lineare in AZ scelto in modo tale che alle eccitazioni più basse di una particella e di una buca (h»a e S,„') corrisponda lo stesso valore dell'ordinata. Altre eccitazioni elementari non mostrate in figura si ottengono con variazioni del numero di neutroni (AN= + l , + 2) . In basso: spettro di bassa energia del '(f~Bi. In aggiunta alle eccitazioni di una particella singola mostrate a sinistra, lo spettro rivela eccitazioni che coinvolgono o una singola particellao una singola buca combinate con un'eccitazione collettiva. La configurazione (h»2, 3 ) dà luogo a un multipletto di stati con momento angolare totale pari a 3/2, 5/2, ..., 15/2, i quali sono stat~ tut(i identificati entro un intervallo di energia di poche centinaia di keV. Ciascuna delle configurazioni con un buco e una coppia con I = ()' dà luogo solo a uno stato singolo. In corrispondenza di una energia di eccitazione di circa 3 MeV si ottiene uno spettro piuttosto denso di stati con due particelle e un buco, come è mostrato sulla destra della figura. [Da Bohr e Mottelson, Ann. Re(, Nucl. Sci., 23, 363, 1973].

Elementi di strunura e sistematica del nucleo

25 3

n 10

30

'UL

25 )CR

00

U)La

Q ZR'

10

'UYb

15.1tn Q

"AI

'l'Ya

I )Ln

10

Q ' Hf

'"H(

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l)H •

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I RC

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UK,

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"Ca

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I G'

ns • 1 I I npa

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mKr

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IlI'CI

o

"Kr

aI

US

Ea

I)s(

II 115

Hb

Il AC

1000

I)Sb !ISb

10 0

20

40

60

80

100

120

140

SO

n' di nucleoni dispari

Figura 6,43. Momenti nucleari di quadrupolo ridotti, in funzione del numero d'ordine del nucleone dispari. La quantità Q/ZR' fornisce una misura della deformazione nucleare indipen­ dente dalla grandezza del nucleo.

una scatola ellissoidale che può ruotare o anche deformarsi a causa di vibrazioni; in secondo luogo moti d e i n u cleoni dentro l a s c atola. I d u e t i p i d i m o t o p o s sono accoppiarsi tra loro più o meno fortemente. Lo sviluppo matematico di queste idee (A. Bohr, B. Mottelson e altri dal 1952 in poi) costituisce la base del «modello collettivo» che si e dimostrato particolarmente efficace nei casi di A - 24, 150 ( A < 190 e A > 230. Ragionando col semplice modello a strati, l'eccitazione di orbite opportune dà luogo a stati di tipo vibrazionale, allo stesso modo in cui, da un punto di vista classico, un moto a rmonico può considerarsi formato d alla sovrapposizione di du e m ot i c i r colari i n direzioni opposte e complanari. Tali stati vibrazionali si verificano anche nei nuclei, quando sono presenti parecchi nucleoni all'esterno di uno strato completo. La vibrazio­ ne più semplice per un nucleo sferico è quella che gli fa prendere periodicamente la forma di lente, quindi quella sferica, poi la forma di un sigaro e poi di n uovo quella sferica, e cosi via. Nel caso di un nucleo a forma di sigaro ci sono due tipi di vibrazioni di

254

Capi( o /n fi

bassa energia: quelle /7, in cui la lunghezza dell'asse maggiore cainbia pcriodicamenre. sicche il sigaro diventa più sottile o pi ù g r osso. e quelle ; ch e lasciano costante la lunghezza del sigaro ma che periodicamente lo schiacciano lungo un piano che contieiic l'asse maggiore .~ del sigaro, sicché la corrispondente superficie assume una forrita e llittica con l'asse maggiore diretto 50 (llg. 6.46), l'energia è g data in unità di A/oo, che è il quanto di un oscillatore nel caso del potenziale deformato. Le posizioni dei livelli, in corrispondenza di una deformazione zero, sono state aggiustate empirica­ mente. I livelli con parità pari sono mostrati con curve continue, quelli con parità dispari, con curve tratteggiate. [Da (LHP 67)].

Elementi di struttura e sistematica dei nucleo

o I

P

o

òI • I

ò'• $ ' Q 4 H òl òI òI

I

257

òI òI

o

6,5

I/2(521[ S/2 (402i

I

7/2(404 S/2 752 3/2 á42 3/2 521 9/2 514 S/2 523 7/2 433

'E

6,3

82 401 Aòr 1t

6,I

g /

//

S /2

3 5,9 '

3/2(701[

p[514[ 1

I/2 (41 li 1/2[451j 1/2(770[ 9/2(404(

I/2[ • 11[

r

h Il/4g

7/2 [523[

e~

3 5.7

5/2[á421

7/2[523f l/2[530[ 5/2(413j 3/2 [532j

3/2( • »j 5/2(413[

Sg/~

UJ

~ /J

5,5

/ /J

2 42

~~0/

J/g

~

430 4

3/2(4SIJ

ò(3

/

Qso

5,3

. l/2(301[

/

/5/ 2[532i I/2[áò0[ oò 3/2(301J

7/2(413J

+I/2(541[ L 5/2[303i I/2 ( 420i 3/2(4221

5,l g02

4,9

o I/

2 o

o

o

n

o

I

N t

4,7

0

O,I

0 ,2

A

0 ,3

0 ,4

0,5

0 ,6

Figura 6.46. Diagramma di Nilsson per protoni dispari, 50< Zwròt6.4A. Esempi di livel(i rotazionali osservati col processo di eccitazione cou(ombiana in nuclei di elementi pesanti con A pari: (a) -'-'Th; (b) -'-"U, (Energia in keV).

che è caratteristica appunto dei livelli rotazionali. l è un intero pari > 0. Per ./ no n si intende il momento di inerzia totale del nucleo. ma. molto grossolanamente parlando, solo quella parte associata «Ila deformazione nucleare. Per un nucleo sferico >' è zero (fig. 6.48).

Per valori di ii al variare di Z e d i N . È istruttivo fare un diagramma di X in funzione del quadrato della velocità angolare ttt'. Prima, però, dobbiamo definire meglio ctt. In meccanica classica ttt =dE/dI e q u i possiamo assumere per tti l'espressione E, t, „ / 2 t rt. Per definire .X si può fare uso della

relazione X = fi'(2I — 1)/AEt = l>n ex P ( — z >' l

i> = Pn exP ( — xr) >'

6.12. Mostrare che due nuclei identici di spin I o r i ginano (2I+ I) ' a u tofunzioni di spin, hnearmente indipendenti. Di queste, I(2I + I ) sono antisimmetriche e (I+ l) ( 2 1+1 ) s ono simmetriche rispetto allo scambio dei nuclei. Si applichi al caso di I = l e si costruiscano le auto(unzioni. 6.13. %1ostrarc che l'energia elettrostatica di una sfera uniformemente carica di raggio R è i(gz,R), dove Q è la carica totale della sfera

6.14. Applicare la forniula delle masse alle coppie isobariche ' "(Cd-In), ' "(Os-Re), ' (Sb-Te) e discutere il tipo di radioattivita che ci si aspetta. 6.15. Calcolare, con la formula delle masse, l'energia liberata nella fissione del('uranio. Confron­ tare l'energia istantanea liberata con l'attività beta e gamma dei prodotti di fissi>>ne. Si ammetta che U si spezzi in frammenti uguali. 6,16. Calcolare il cainpo magnetico agente sul nucleo di un atomo di idrogeno e di un atomo di

Fr nello stato fondamentale. 6.17. Discutere i metodi di produzione di elementi con Z ) IOO,i:onsiderando i decadimenti a e P e hi fissione spontanea. Usare una tavola di masse per i nuovi isotopi. 6.18. Calcolare l'energia di superficie di un nucleo, ammettendo che l'energia di legame di un nucleone B sia l'energia superficiale corrispondente alla piccola rigonfiatura prodotta sulla superficie nucleare dal nucleone prima che esso sfugga dal nucleo, 6.19. Supponiaino di considerare un protone come una sfera uniformemente densa di raggio R =! x IO >zcm. (n) Qual è la velocità angolare necessaria a dargli un momento angolare di (3,'4)" h? (h) Quale energia cinetica rotazionale vi corrisponde? (c) Quanti ampère circolano attorno all'asse di rotazione del protone? 6.20. (n) Si considerino due particelle di massa n>i ed mz che ruotano su un'orbita circolare attorno al loro baricentro, Se le loro cariche sono rispettivamente e, ed ez, calcolare il rapporto giromagnetico del sistema, trascurando gli spin. ((>)Applicare il risultato al calcolo del fattore orbitale g, per i seguenti sistemi : (i) neutrone e protone in un nucleo di deuterio, fii) un mesone lz (carica e, massa = 207m„) legato ad un protone.

621. Back e Wullf [Z. Ph3>s.,66, 31 (1930)] hanno misurato la struttura iperfine della riga 3775 ?s>S,, — 61>P,„del ' ' T l e h a nno trovato tre componenti come mostrato nella figura sotto. Dedurre tutto quel che si può sullo spin e il momento magnetico del nucleo. Il termine 'P»z ha uno sdoppiamento più grande del 'Si.z. Calcolare ('e(fetta Zeeman di questa struttura iperfine. 10

i ntensità

5

0,405

0,708

272

Capi( a lo h

6.22. M o strare che per un atomo con J = z, i livelli energetici della struttura iperfine in un campo esterno H sono dati dalla

W„——

AW

Ii i

—— Hm +

AW (

2(21 + 1) I

2 (

1+

4m

x + x'

21 + 1

dove

A W = (A/2) (21+ 1) = W (F = I + y) —W (F = I — >) = 2tthhv, x = [( — p~/J) + (Ii,/1)] H/AW e il segno superiore vale per F = I+ - ,', quello inferiore per F =I — q (formula di Breit-Rabi). Mostrare che questa relazione esatta ha come casi limite le eqq. [6.9.22] e [6,9.23]. Calcolare dalla formula di Breit-Rabi il Ii~, 6.23. Descrivere come funziona l'apparato di figura 6,32,

6 .24. È stato realizzato un esperimento su un fascio atomico per misurare lo spin del '" A g che ha vita media di 3,2 h. È stata osservata una risonanza de! tipo «f!op in», cioè una transizione da uno stato F' = $+ I, M~ = —l + q ad uno F" = F', M",= — I — $ ad una frequenza di 5,82$ Mc/sec. Nello stesso fascio l' 'Rb dava lo stesso tipo di risonanza per una frequenza di 4,685 Mc/sec; I per l" Rb vale ~. Trovare l'1 del ' "Ag. 6.25. Con le stesse sostanze, ' "Ag e "'Rb, fu osservato, con un campo magnetico più intenso di quello del problema precedente lo stesso tipo di transizione a frequenze 91,739 Mc/sec perI" Rb e 204,920 Mc/sec per il " Ag. Calcolare A e Av per il " 'Ag; g~ = — 2,00238 per il Rb e — 2,00233 per l'Ag.Av per l' 'Rb è 3035,7 Mc/sec. 6.26. Per il ' ' A g, Av = — 1712,56 Mc/sec, I = y, g< —— —0,2261 in magnetoni nucleari. Trovare, t enendo conto dei risultati dei problemi precedenti, g, e p, per il ' " A g . 6.27. Mostrare che per un ellissoide omogeneo di semiassi a, a, b, il momento di quadrupolo é dato da Q = gb — a ). 6.28. Il momento elettrico di quadrupolo nucleare dovuto a un protone si definisce come il valore medio (3z' — r ) = Q per lo stato in cui M, = I (stato di massimo allineamento). Dando una forma esplicita all'autofunzione del protone,

R(r) Yi'((I, cp)m dove R è la funzione radiale, Y,' l'arnionica sferica, e a la funzione di spin, mostrare che per I = I

+$, 2(

21 —1

2l + 3

2 1+ 2

La stessa espressione di Q, come funzione di I, è valida per I = I —$. 629. M o strare che i valori di Q(M) = (3zi — ri) per M A I sono dati da

3M' — I (I + 1) Q(M) = Q(1)

I (21 —1)

6.30. Mostrare che per un ellissoide di rotazione di piccola eccentricità e densità di carica uniforme, Qo = ~qZRI),R e che i parametri /I, b e l'eccentricita dell'ellissoide sono legati da +e­

(R

dove 2a è la lunghezza dell'asse di rotazione e 2b la lunghezza degli altri due, Per un ellissoide s forma di sigaro e >0, per uno a forma di lente e < 0; AR = a —b,

Flementi di strutturu e sisuemuticu del nucleo

273

6.31. Calcolarei coefficienti di allineamento f,, f, per un sistema di deutoni aT = 10 ' 'K in un campo di 10s gauss. 632. Per la polarizzazione dinamica del protone si pongono atoini di idrogeno in un campo magnetico che dà luogo a livelli, come è illustrato sotto. Nei casi (1) e (2) il momento magnetico de(l'elettrone è opposto alla direzione di H e il momento magnetico del protone è parallelo ad H in (2) e opposto in (l). Trovare le orientazioni di questi momenti nei livelli (3) e (4). Ora si consideri cna radiofrequenza accordata (da calcolare) di su%ciente intensità che uguagli le popolazioni degli stati (2) e (3). Si calcolino le popolazioni degli stati (1) e (4) nel caso che siano in equilibrio termico con gli stati (3) e (2) rispettivamente, come indicato dalle frecce tratteggiate. Mostrare che la polarizzazione nucleare è — tanh(8j2kT) - — 6/2kT.

(2) X

/ / (3)

(4)

6.33. Si considerino due particelle di momento magnetico p, e lt z r ispettivamente aventi ciascuna lo stesso spin s. Calcolare il momento magnetico totale delle due particelle in uno stato di momento angolare orbitale nullo e spin totale I. (Esprimere il risultato in termini di )tt, Itz, s ed I). Qual e il momento magnetico per I = 0?

6,34, (a) Supponiamo che si voglia interpretare il nucleo di, He (spin z) come un sistema a due etirpi, formato di un deutone legato ad un protone, che si trovi in uno stato di momento angolare orbitale nullo (stato s). Dal momento magnetico del deuterio (0,857 lt v) e da quello del Protone (2,79p,), calcolare il momento magnetico del,'He previsto da questo modello. (b) Che cosa prevede il modello di Schmidt per zHe, ammettendo che il nucleone dispari sia in uno stato 'S„z? (c) Quale valore concorda meglio con quello misurato di — 2,13ltv? 6.35. Sono dati gli spin e le parità dello stato fondamentale dei seguenti nuclei. Giustificare i v alori osservati con considerazioni basate sul modello a strati; 'He ($+); ' N e (>+); i Al (y+ ) ; "K(3+),' G a ( 1 + ) ; Ga ( $ — ); Bi ( ~ — ); ' Bi (1 — ). Si ricordi che i nucleonis,d,g hanno parità + e p, f, ecc. parità —. [Da (P 62)]. 636. Mostrare che le regole di Nordheiin escludono l'esistenza di nuclei dispari con stati fondamentali 0+ o 1 —. Trovare alcune eccezioni. [Da (P 62)]. 637. Descrivere le condizioni fisiche per cui I = K ~ ~ o I ~ w , c on K p iccolo e costante, e sPiegare Perché nel Primo caso Q = Qo e nel secondo Q = — Qo j2. Si noti nel secondo caso il segno opposto di Q e Q, e lo si spieghi.

63$. Dimostrare che una distribuzione di cariche elettriche di densità p, simmetrica rispetto all'assez e limitata a una regione r ( R, dà luogo', all'esterno di essa, a un potenziale l a„ V (r, ()) = — P — P„(cos 0) Il

e inoltre che a, = f pdz, a, = f pzdr, az = f pq(3z' —r )dr, in cui l'integrale è esteso a tutta la regione occupata dalle cariche. 639. Modificare la trattazione dell'interazione spin-orbita esposta in (Fe 61, lezioni 27 e 28) si da adottarla all'interazione J —I, Calcolare quindi la struttura iperfma del 4'K immerso in un campo magnetico variabile da O a 10 kG.

274

Cy(r)P,(r)

[8.1.39]

nel caso di particella singola. Se sono coinvolte A particelle, si usa un procedimento

simile a quello discusso nel paragrafo 6.8. Nel caso particolare di El, si riconosce facilmente che l'eq. [8.1.36] da, a meno di costanti, gli elementi di matrice delle eq. [8.1.12] e [8.1.13]. Per vedere questo basta infatti sostituire le armoniche sferiche con le loro espressioni in coordinate cartesiane. Questa equivalenza è vera per ogni I.

8.2. Regole di selezione Se gli elementi di matrice che determinano la probabilità di transizione sono nulli per un

certo ordine di multipolo, la transizione è proibita e la relativa componente di multipolo del campo elettromagnetico viene a mancare. Si hanno cosi le regole di selezione.

Una semplice regola di selezione si deduce immediatamente dalle proprietà di parità della funzione P. Per esempio, si deve avere per ogni sistema centrale

p(r) = + p( —r)

[8.2.1]

Questa relazione deriva dal fatto che la Hamiltoniana di un sistema soggetto ad un potenziale dipendente soltanto da lr( (sistema centrale), resta invariata se si cambiar in — r. Si ha allora, se una soluzione della equazione di Schrodinger corrispondente noti è

Emi ssione griiiirriu 3

03

degenere : H (r) P (r) =

EP ( r )

H ( —r)i/i(rl = Ei/i ( r)

[8.2.27

ll(r)P( — r) = EQ( — r) il che implica t( (r) = ki/i ( — r) con k costante. Se ora applichiamo due volte l'operazione di inversione (scambio di r con — r), il che dà evidentemente l'identità. abbiamo i!i (r) ~ kt(i ( —r) ~ k-'i!i (r) = i/i (r)

o

k= + l

[8.2.3]

1" mi

e l'autofunzione e detta pari (o di parità + 1) o dispari (o di parita — 1) a seconda che k= + l o k = — 1 r i spettivamente. Se l'autofunzione è degenere si possono sempre formare combinazioni lineari i/i(r)+ i/i( — r) che hanno la p r o p rietà indicata dall'eq.

[8.2.3]. La parità del prodotto di due funzioni pari o di due funzioni dispari è pari; la parità del prodotto di una funzione pari per una dispari è dispari. L'integrale su tutto lo spazio di una funzione dispari è zero perché i contributi all integrale degli elementi di volume in r e — r si annullano a vicenda. La funzione r' Y, (0, q) e pari o dispari a seconda che! è pari o dispari, qualunque sia BI(V. Pat. 6.4). Ammettiamo che i/i,(r) e i/i, f; ha nno la stessa parità, poiché l'operatore L, n o n c ambia la parità di p , . Inoltre, come per le transizioni El, le regole di selezione per Ml s ono d,l = + 1 e ~ = + 1 , 0 c om e pu o essere facilmente verificato. Anche le regole di selezione per!a radiazione magnetica possono essere generalizzate e interpretate come rappresentanti la conservazione del momento angolare se si associano alla radiazione Ml, M2, M3 1, 2 o 3 unità di m o mento angolare, proprio come nel caso di El , E 2 ed E3, In fatti, dalla

relazione tra i campi di El e di Ml espressa dalle eqq. [8.1.28] e [8.1.29], e dall'espressio­ ne della densità di quantità di m ot o per un campo elettromagnetico c~ x A" P=

4zc

[8.2.12]

Emissrone gamma 3

05

si vede che nei due casi la densità di quantità di moto di El e Ml è l a stessa e quindi anche la densità di momento angolare e la stessa. Riassumiamo nella tabella 8.1 i r i sultati per l a r a d iazione di o r d ine pi ù b asso possibile tra due stati di m omento angolare J', J" e parità tt', rt". Tabella 8.1. Regole di selezione per la radiazione di multipoto elettromagnetico.

E1

E2

E3

E4

Ml

M2

M3

M4

An

!ItJI (

Si deve ricordare che la r elazione triangolare espressa dall'eq. [8.2.10] deve essere sempre soddisfatta; pertanto la tavola dà condizioni necessarie ma non sufficienti per le transizioni radiative. Cosi, per esempio, transizioni da J ' = 0 a J " = 0 s o n o s empre proibite, e transizioni da J' = ~ a J" = z, Ari = 0 non possono avvenire come E2 perché la relazione triangolare è v i o l ata. T r ansizioni d a J ' = 0 a J " = 0 p o s sono a v venire solamente con meccanismi differenti dalla radiazione elettromagnetica, cioè, con emis­ sione di elettroni di conversione o con formazione di coppie elettrone-positrone. In pratica i tipi di radiazione osservati finora sono: da El a E6 i ncluso e da MI a M5 incluso. In q uasi t u tt i i c a si, eccetto nelle coppie,E2-MI e E I -M 2 , i n u n a d a t a transizione si ha in pratica soltanto un singolo tipo di r a diazione,

8.3. Probabilità di transizione Generalizzando i r i sultati o t tenuti nel p a ragrafo 8.2, il l e t tore t r overà abbastanza plausibile la struttura delle formule complete che danno le probabilità di transizione. Il calcolo dettagliato (BW 52) fornisce

à'~(1, m)­

8tr (I + 1)

co

fil [(21+ I ) "]' c

I ( r ) r d r

I —1

R, (r ) — „ (I R

Rg (r) r - ' dr

[8.3.17]

dove I(„= 2,79 è il momento magnetico dcl protone in magnetoni nucleari e R; ed R> sono le autofunzioni radiali degli stati iniziale e finale. Per il caso di un singolo neutrone

[8.3.18]

• (El)= 0

perché il neutrone non ha carica, e

[8.3.19] Gli i ntegrali r a d iali p o ssono essere approssimati assumendo Ria (r) = costante =(3. R')': d a r = 0 ad r = R , come è richiesto dalla normalizzazione, e zero per r» R .

Abbiamo quindi per esempio, Z {EI) =

I

Rr ~ (r) —, R((r) rd r =­

R' '

3

3+ I

[8.3.20]

ed espressioni simili per gli altri elementi di m atrice,

Le probabilità di transizione sono state calcolate ponendo, come si fa in genere, R=r(IA" e so n o m o s t rate in f i g ura 8 ,5, Le p r o b abilità di t r a n sizione dipendono fortemente dalla energia della transizione a causa del fattore (o" ' e d a A che compare attraverso il raggio R alla potenza 2l. Le approssimazioni usate sono grossolane e non ci si puo aspettare un buon accordo numerico, Effetti importanti sono stati completamente trascurati e si è usato un modello eccessivamente semplificato. Possiamo farei una idea

308

Capi r o lo 8

19 17 15

220

13

A = 130 A = 50

I =1

130

A =

= 50

A = 20

A = 220 A = 130

A — 50 I =2

A = 22

A = 130

130

A= 50 A = 20

o V

A = 50

VJ

3 A = 220 àO

I = 3

130 A = 1 0 = 50

A =20

220

A = 50

130

I =4

13 A = 22 50

— 15 — 17

A = 130

A = 50 A = 22 A = 20 I = 5

— 19

30

— 21

— 23 — 25 0,01

A = 50

A = 20

0,1

Er, MeV

1,0

10,0

(a) Figura 8.5. La probabilità di transizione per emissione gamma basata sul modello di particella singola [in funzione dell'energia della transizione E,(MeV)]. Nella parte (a) è riportata la probabilità di transizione per radiazione El (I = l,...,5) per nuclei di massa 20, 50, 130 e 220, secondo la formula

4(l+ l) ( 3

) ( E , ) -" '

2(EI) = l [(21+ 1)!!]' K3+ IJ 4 140j

m h

Nella parte (b) è riportata la probabilità di transizione per radiazione Ml (I = 1,...,5) secondo la

Emissione gamma 3

09

16 14

12

220 130

10 A = 50

20 130 A = 50

A =220 I = 2

A = 22 A = 50

13

A = 20

22

A = 50

-6 o

8

l = 3

A = 130 A = 50

— 10

22

A = 20

— 12 130

A

— 14

A = 22 0 j=

— 16

4

— 18

A = 130 A =50 -20 A =20

-22 — 24

A = 220 l = 5 = 130

I

A = 50

-26 — 28 0,01

A = 20

0,1

10,0

1,0

Ey, MeV

(b)

formula I [(2I + 1)!!]

2+ I

140

2

I+ 1

fi

Nelle formule si trascura il fattore S(J;, i>, I) dell'eq. [8.3.13] e si suppone R = 1,40A'" F

Le curve rappresentano anche i contributi addizionali alla probabilità di transizione totale, dovuti al processo di conversione interna. [Da Condon e Odishaw, Handbook of Pltysics, McGraw-Hill, New York, 1967].

910

Cap i tolo 8 (AAtttt» t»t

+t»

Ttt»A» T

T»1»

Tt t»

Tt»

Ttt

Iàttt Tt»

»t» TH»t

T

• THN

-2

(a)

Ctt»

-6

A

K»

»

t

o — 10 IIAIN

— 12

Tt t

I AH

I

t

HT»t

Ttt»

AAtl

Tl»t

T LP

0

50

82 100

126

150

numero di neutroni N~ E5

(Ittt»TI

E4

• I»l»

• AI»l 'Tt»l

• T +t»

(b) Kr»t Att •

CN») T»tt

tt

Abt» • AItt»

f ATt» *Attt

• OIt»

Ill»~t Itttl~

~

J

E3

•1

Pl t t »

às O

CCk»

E2 Nl

• rt • Ctt»

-10

(IITttt) At» tIIAttt)

TH»t

0

50 82 100 126 numero di n eutroni N ~

15 0

Figura 8.6. Confronto dei dati sperimentali con il «tempo di dimezzamento ridotto» della transizione gamma. La «riduzione» dovrebbe eliminare l'influenza dell'energia e di bl. Ci si aspetta che le varie transizioni cadano nelle regioni contrassegnate E„E „ e cc . a d estra. [Goldhaber e Weneser, Ann. RetI. [email protected]., S, I, 1955],

Fintic

[8.7.5]

Si noti che la transizione è caratterizzata dalla sua multipolarità e che l'elemento di matrice in B è lo stesso di quello che interviene nella formula della emissione spontanea [8.3,11]. Nella funzione f (+), che si trova tabulata, sono conglobate le caratteristiche dell'orbita. Per

[8.7.6] Uno dei piu importanti casi di eccitazione coulombiana è quello di eccitazione E2 di livelli rotazionali 0 , 2 ' , 4 ' , e c c., in nuclei pari-pari con AJ =2

[8.7.7]

Gli elementi di matrice ricavati dall'esperienza sono spesso molte volte piu grandi di quanto ci si aspetterebbe dai modelli di particella singola e sono dovuti a moti collettivi. Essi sono connessi con il m o mento di q u adrupolo i n t rinseco Q„ d i t a l i n u clei: per e sempio, per una transizione 0' ~ 2

5

B(E2) = — — Q() 16>i

[8.7.8]

Si vede qui una connessione, tramite il momento di q uadrupolo intrinseco, tra il momento d'inerzia, la probabilità di transizione c il momento di quadrupolo elettrico osservabile (par. 6.12). Le intensità delle transizioni rotazionali E2 0' ~ 2 ' p o ssono calcolarsi dai momenti di quadrupolo nucleari statici. ln alcuni nuclei pesanti, e cioè -""U e " " T h , si trova che l'intensità della transizione E4 0 ~4 ' e r i v e labile. Ciò indica un momento perrnanentc di 16-polo dello stato fondamentale. Questo momento è dell'ordine di grandezza di

1 e 10 ' c m" e appare anche nel decadimento alfa dove spiega il basso impedimento di alcune transizioni AJ = 4 , n onché nella diffusionc anelastica di particelle z a circa 40 McV.

8.8. Fluorescenza nucleare L a radiazione di r i sonanza e di ( l uorescenza sono fenomeni importanti e f acili d a osservare in fisica atomica. Ci si potrebbe aspettare che la radiazione di risonanza sia osservabile anche per i nuclei, tuttavia v ari tentativi iniziali di rivelarla hanno avuto esito negativo. La ragione di ciò è che le righe di assorbimento nucleare sono molto strette e quindi assorbono pochissima radiazione da uno spettro continuo. D'altra parte, se si tenta di eccitare una riga di risonanza con la corrispondente riga di emissione, come nel caso ottico, il rinculo del nucleo emittente porta la radiazione fuori dalla risonanza con l'assorbitore. Consideriamo dapprima un i riga rigorosamente monocromatica. Sc lo stato iniziale eccitato possiede, nel sistema del laboratorio. una energia E al di sopr;i

324

Cupit v l u >


o per

[ 8.8.5]

[8.8.6]

I)ic

pcr trvare la frequenza di assorbimento necessaria. D'altra parte le linee spettrali hanno una larghezza naturale Àu> associata alla vita media r de llo stato eccitato dalla relazione 8c.rr =­

1

[8.8.7]

T

e se questa larghezza è grande rispetto ad >ti'n>) „„l„= 3 , 6 1 0 ' . P e r ò quando il nucleo è legato in un reticolo cristallino. il suo moto può essere grossolana­ mente assimilato a quello di un'oscillatore. Se l'energia di rinculo e insufT>ciente a far passare l'oscillatore dal suo stato fondamentale al primo stato eccitato, non puo essere trasferita energia al reticolo cristallino e allora si ha emissione senza rinculo come se

nelle cqq. [8.8.3] e [8.8.4] la massa fosse infinita e le frequenze di emissione e di assorbimento coincidessero. P er comprendere alcune caratteristiche del)'efTetto M o ssbauer, si c o nsideri u n modello mollo sempliftcato in cui un n ucleo di massa U è l egato con un potenziale armonico di frequenza v= o>,2>t.L'hamiltoniana del sistema e ll = l l

nuel

+

I l2

+

Mn > 2

[8.8.9]

c gli autovalori sono quindi E, „= c„+ I>o> {n + 2)

[8.8.10]

in cui c. sono i livelli di energia nucleare ed n è un numero intero. Le autofunzioni sono y,lr) «„(x), dove il primo fattore rappresenta la parte nucleare e il secondo si riferisce a lloscillatore armonico. L'energia del gamma emesso nella transizione «~ b è E, = >:, — >:>, + lt«>(n' — n")

[8.8.11]

All emissione del raggio gamma la quantità di moto dell'oscillatore cambia improv­ visamcnte, a causa del rinculo, della quantità q = E,,ic = (e„— e>,)l c

[8.8.12]

Si supponga l'oscillatore inizialmente nel suo stato fondamentale, con autofunzione u,ix). e scriviamo la trasformata di quest'ultima nello spazio dei momenti

r„(l>) = (2>th) "

ul, ( x) exp(ipxj A) dx

[8.8.13]

Il rinculo all'atto dell'emissione gamma cambia tutti i m omenti nell'oscillatore per fimpnrto q e l"autofunzione dopo l'emissione è, nello spazio dei momenti, t o (1> — q). Da questa funzione nello spazio dci m o menti si o t t iene la f u nzione nello spazio delle coordinate immediatamente dopo l'emissione

u'(x) = {2rrh) ' 2

lo ( p — q)exp( — ipxih)dp = uo(x}exp( —iqx/h)

[8.8.14]

c la probabilità di trovare l'oscillatore nello stato fondamentale è, in base ai principi della meccanica quantistica (Fe 61, pp. 40-43), 2

Poo =

« o(x) uo (x) ex p(iqx/'h) , cioè all'energia che corrisponde ai salti di eccitazione nell'oscillatore. Si può descrivere un cristallo come un insieme di oscillatori della stessa frequenza o~„, come suppose Einstein nella sua teoria del calore specifico. Per T + 0 "K la probabilità di trovare un oscillatore ne)l'nmo stato di energia è data

dal fattore di Bo)tzmann exp( — PE„):P„exp( —PE„) con P = 1 kT e la probabilità di emissione senza rinculo è

f' = g„ex p ( — PE„) P„„; P„exp ( —PE„)

[8.8.17]

La figura 8 .15 m o stra l a p r o b abilità d i t r o v are n os c illatori e ccitati d o po l a transizione per T =0 K . Lo spettro effettivo delle vibrazioni di reticolo è molto piu complicato di quanto ammette la schematizzazione di Einstein e quindi per una approssimazione migliore si usa lo spettro di Debye sostituendo hr»F con kO, in cui O e la temperatura di Debye. Inoltre a temperature maggiori dello zero assoluto, gli oscillatori cristallini si eccitano e la probabilita di trasferimento di energia al reticolo aumenta, Sviluppando quantitativa­ mente queste idee si ottiene una formula per la probabilità f di emissione senza rinculo:

=-1 ' """-""[ "(-'-)'f„""-')f= = - ex p

1+ —

—

(T « O)

Il primo termine è indipendente dalla temperatura e mostra che, anche allo zero assoluto, la frazione di decadimenti senza rinculo è grande solo se l'energia di rinculo del nucleo libero è piccola rispetto a kO . L a p r o b abilità di d ecadimento senza rinculo decresce al crescere della temperatura ed è trascurabile per temperature grandi rispetto a O (fig. 8.16). L'assorbimento mostra effetti simili. Gli esperimenti vengono per lo più eseguiti usando una sorgentc ed un assorbitors della medesima sostanza c misurando la radiazione assorbita. Se l'assorbitore è in moto rispetto alla sorgente, la frequenza della riga di assorbimento cambia di una quantità:

[8.8.19] e la radiazione è meno assorbita perché la sovrapposizione delle righe di emissione e assorbimento è meno completa (figg. 8,17 e 8.18). È cosi possibile analizzare la struttura

o forma di una riga facendo della «spettrometria Doppler». Una illustrazione quantitativa della forma di una riga di assorbimento in funzione della temperatura del reticolo è data in figura 8.19. Per una riga di emissione si avrebbe la stessa figura riflessa rispetto al massimo della riga che corrisponde alla frequenza della transizione senza rinculo. L'assorbimento di radiazione è naturalmente accompagnato dall'emissione di radia­

0,8

0,6 0,4

0,2

0,4

0,2

$A ~

10A~

15Am

2 0hc o

bg+ A, I.etters, 32, 512, 1974. RosE, H. J., e D. M. BR(NK, «Angular Distribution of Gamma Rays in Terms of Phase Deftnec) Reduced IVlatrix Elements», Reo. Mod. Phys., 39, 306, 1967. ROSE, M. E., Internai Conoersion Coegicients, North-Holland, Amsterdam, 1959. RosE, M. E., Multipole Fields, Wiley, New York, 1955. SIEGBAHN, K. (Si 65). STELsoN, P. H., e F. K. McGowAN, «Coulomb Excitation», Ann. Ret. Iv'ucl. Sci., 13, 163, 1963. YosHIDA, S., e L. ZAMlcK, «Electromagnetic Transitions and Moments in Nuclei», Ann, Ret. IVucl. Sci., 22, 121, 1972.

Capitolo 9 Decadimento beta

Il decadimento beta è una trasformazione nucleare in cui si verifica la emissione di un elettrone. Lo stesso nome viene usato per altri tipi di trasformazioni, e precisamente per l'emissione di positroni o per la cattura di elettroni orbitali da parte del nucleo. Durante le trasforn mioni nucleari, elettroni possono essere emessi dall'atomo per cause differen­ ti: per esempio, come elettroni di conversione in una transizione gamma. Il decadimento beta non riguarda tale emissione secondaria di elettroni orbitali,

9.1. Introduzione Nei primi studi sulla radioattività esisteva una considerevole confusione circa l'origine degli elettroni osservati nelle trasformazioni nucleari. Una chiara distinzione tra gli elettroni nucleari, o raggi beta, e gli elettroni di conversione si ebbe soltanto nel 1919 grazie a Chadwick, il quale mostrò che oltre alle righe monoenergetiche degli elettroni di conversione, esisteva uno spettro continuo di elettroni di d isintegrazione. Lo spettro continuo presentò immediatamente una seria difficoltà : il decadimento è una transizione tra due stati definiti, e tuttavia l'energia cinetica dell'elettrone nonè sempre la stessa. Per mantenere il p r i ncipio d i c o n servazione dell'energia è n e cessario tro vare d ove v a l'energia che non appare come energia cinetica degli elettroni. M o lte ipotesi furono formulate per giustificare l'energia mancante; per esempio tu suggerito che un'emissione gamma associata prelevasse l'energia mancante nello spettro beta. Accurate osservazioni con calorimetri che avrebbero rivelato ogni r adiazione conosciuta non r i uscirono a (rovare alcuna energia oltre quella relativa allo spettro beta continuo. S i osservo inoltre che l o s p ettro b et a h a u n l i m i t e s uperiore ben d efinito i n corrispondenza all'energia totale disponibile nella disintegrazione. Per esempio se si considera la trasformazione del 'H in ~He, i dati dello spettrografo di massa per le masse nucleari delle due sostanze mostrano che la reazione

~H= H e + e

+Q

[9,1.1]

si bilancia esattamente se si pone Q uguale al limite superiore dell'energia cinetica degli elettroni del continuo. Similmente si hanno vari casi di sostanze che decadono attraverso diramazioni alternative, quali un'emissione alfa seguita da una beta o una emissione beta seguita da una alfa. I due rami partono da uno stesso nucleo e arrivano

336

Cnpin i ( n V

3 ,0< min Ra A( ")'o ),')

g)
]

è grande i n c o n f ronto a l l e d i m ensioni n u cleari cu i s o n o e stesi gl i i n t egrali che compaiono nell'elemento di m atrice; si puo scrivere quindi

[9.5.7]

D ecadimento beta 3 5 3

e il secondo termine sarà compreso tra 0,1 e 0,01, nella zona occupata dal nucleo. Pertanto si puo arrestarc lo sviluppo al p r imo termine a meno che non accada che l'elemento di matrice corrispondente si annulli, nel qual caso si devono considerare termini di ordine superiore. Questa classificazione genera transizioni di v ario o r dine (permessa, prima proibita, ecc.) in stretta analogia allo svilupp(> in rnultipoli della radiazione elettromagnetica. (.onsidereremo solo le transizioni permesse, per le quali si

puo scri vere, secondo le eqq. [9.5.4] e [9.5.5]. H,r —g

~~(f

[9,5,8]

Q

Con AI< si è rappresentato l'integrale [ug «; dr, sul quale non laremo per ora ipotesi, mentre Q rappresenta un volume in cui è stato chiuso il sistema per semplilicare la normalizzazione. M,> è dimensionalmente un numero puro. Quanto detto finora circa H,> è tutlavia troppo semplificato. C:itiamo qui a lcuni migliorainenti necessari: (1) le «„u>, (ite, (((t,.devono essere trattate relativisticamente con gli spinori di Dirac. Cio comporta la possibilità di diverse interazioni differenti (confr. par. 9.8). ( ) H,> deve comprendere non solo l'emissione di elettroni ma anche quella di positroni e la c attura dell'elettrone orbitale. Per questo si aggiunge «d FIz i l s u o c oniugato hermitiano. (3) L ' i nterazione cosi scritta c o nsci>a l a p a r i tà ; pe r p o t c r descrivere transizioni che non la conservano occorre aggiungere altri termini. Tralasciando per ora questi punti, passiamo a considerare la densità degli stati finali. cioè il numero d i s t at i p e r i n t ervallo d i e n ergia dell'energia totale W. Tr e c o r p i partecipano alla disintegrazione: il nucleo finale, l'elettrone, c il neutrino. Energia e quantità di moto devono essere conservate. Le quantità di m ot o d elle trc particelle hanno generalmente valori comparabili e si bilanciano esattamente; l'energia di rinculo del nucleo è per& molto piccola rispetto alle energie dcll'elettrone e del neutrino, e la si puo trascurare. Si pu() percio dire chc la somma delle energie dcll'elettrone e del neutrino. E„e I,", è uguale all'energia totale della disintegrazione D', senza preoccuparsi dell'energia che deve essere ceduta al nucleo per la conservazione dell'impulso, )t = ( p ,. + (ttt-(

+ c p ; . ) ' - = E, + E e

[9.5.9]

V ogliamo ora determinare il n u m ero d i s t at i d e ll'elettrone con q u antita d i m o t o compresa tra p, e p, + dp, senza considerare la quantità di moto del neutrino. Il numero di stati in cui il neutrino ha la quantità di moto compresa nell'intervallo dp,, e l'elettrone uell'interVa)IO dPe è: ( I X„d]V,, =

16n'Q -„— p-,'(I p,.p„-'(I pe

g~It)"

[9.5. 10]

Si elimina dp,, e p, dalla eq. [9.5.10] notando che. per p„ c o stante. la cq. [9.5.9] l'ornisce )tt — E,= E , . =

(p,

[ 9.5. I l ]

(I IV = (IE,. = ('(Ip,.

che, sostituita nell,i eq. [9.5.10], dà (IlVt,. 1 6 t r-'Q-' di%', = ( )t ' — I: „ ) p , . dpe (I )t' ( 2tr ( tt)"(

[9 -' 131

354

C«»i « >l o

Questa è la densità degli stati finali, per i quali l'elettrone ha una quantità di moto compresa tra p, e p, + dp, senza tener conto della quantità di moto del neutrino, mentre l 'energia totale e compresa tra W e W + d W .

Questa è la densità appropriata da inserire nell'eq. [9.5.1], che cosi fornisce per la p robabilità d i u n a d i s integrazione che p r oduce u n e lettrone di q u a n tità d i m o t o compresa tra p, e p, + dp, 2>t , (4>t ) -' ( W —E,)-' g l ~' f < y ) , P. dp» Ac (2 >tA ) " cz

"'(P.)dP =

[9.5.1 4]

Il volume A sparisce dall'eq. [9.5.14] conie deve appunto avvenire. Ci si può chiedere anche quale sia il numero totale di decadimenti per unità di tempo i., prescindendo dalla quantità di m ot o d ell'elettrone. Cio si ot tiene dall'eq. [9.5.14] integrando rispetto a dp, da 0 alla quantità di moto massima possibile dell elettrone, p, ,„ = — ( W

— m-'c )' -'

[ 9.5.15]

C

ottenendo g> ~,),f ~ i f'p m,n

i =

—, ~

[ W —(ni - 'c + c - 'p,-',)''-']'p„'dp,

[9.5.16]

È conveniente misurare le energie in unità di »ic-' c le quantità di moto in unità di nn, ponendo E, = a>nc' p = >In>c W = con>c­ pamax = lo

[9.5.17] [9.5.18] [9.5.19] [9.5.20]

L'eq. [9.5.14] assume la forma g nl c » (>y) d>y = ' — „( h f < r/- (co — a)' >)'d>) 2>i'A"

[9.5.21]

g ni c » ( >))d>1 = . /Af r / [( 1 + > l)' ' — (1+ >1 )' ]- > y ) 2>n-'I> '

[9-5 2-]

Fin qu i l a d i s cussione è s t ata t r o pp o s emplificata i n d i v ersi p u nt i o l t r e che nell'elemento di m a t rice. Per esempio, prendendo un'onda piana per l'elettrone, e­ zioni dell'energia positiva (spettro continuo). Il fati ore cosi ottenuto è una funzione di E e del prodotto della carica della particella emessa, + e, per la carica nucleare Z» del nucleo finale. La indicheremo con F (Z, >:)per gli elettroni. Per gli emettitori di positro»> Z deve essere preso con segno negativo. Una espressione approssimata di F( Z , r) è F (Z, r) = 2>rn[1 — cxp ( —2nn)]

[).S -3]

dove n è Ze' Ai,. c i,, è la velocit i dell'elettrone lontano dal nucleo. Per n piccoli> rispetto

Decadimento beta

H r, kG 150

cm

300

100

200

e' O

or

I

355

lù

G.

G.

9/ I

50

20 50 100

100

300

500

key

Figura 9.)3. Spettri dell'impulso degli elettroni e positroni del "C u. 1 cerchietti sono punti sperimentali, le curve continue sono teoriche. Curve non normalizzate. [Wu e Albert, Phys. Reo., 75, 315, 1949].

a 1, F(Z, c) è eguale a uno.

L'eq. [9.5.21] va corretta nella g'm c" JM,>/ F (Z , c) ( c o — c)" g dg

[9.5.24]

g mc ~ M al F(Z , c )(co — c) cr)dc 2~'A'

[9.5.25]

w(g) dg = o nell'equivalente

ir(c)dc=

Poiché M,> è indipendente da p, e p,. (almeno per le transizioni permesse) dall'eq. [9.5.24] si ricava la «forma» dello spettro beta; cioè la probabilità che un elettrone sia emesso in un intervallo di impulso dr) attorno a t) ; e dall'eq. [9.5.25] si ottiene l'analoga

per l'energia, cioè la probabilità di emissione in un intervallo di energia dc. Questa forma é mostrata in figura 9.13. Spesso si traccia

a u (r)) t)'F (Z. c)

in funzione di (co — c)

[9,5.26]

Dall'eq. [9.5.24] si vede che il grafico dovrebbe essere una retta (grafico di Kurie, fig, 9.14). Scostamenti dalla retta sono attribuiti a una dipendenza di M,> da p, come avviene

nelle transizioni proibite secondo l'eq. [9.5.7] (fig. 9.15). ln questa discussione si è assunto che il neutrino abbia massa di quiete nulla; se ciò

non fosse. le equazioni dalla [9.5.9] alla [9.5.13] sarebbero leggermente diverse e la forma dello spettro beta, specialmente in prossimità del limite superiore dell'energia, ne sarebbe influenzata in maniera caratteristica (fig. 9.16). I dati sperimentali permettono di porre il limite superiore della massa del neutrino a 60 ey . L a costante di decadimento r'. si ottiene integrando l'eq. [9.5.24] da 0 a d t) p o

356

Capu o lo,9

1,5

0

2,0

256

571 657

E~, keV Figura 9,14. Grafici di Ku rie degli'spettri beta del s"Cu, Sono mostrati sia gli spettri dei positroni che degli elettroni, I punti estremi sono a 571 keV per e e a 657 keV per e'. I punti noa sono normalizzati. [Owen e Cook, Phys. Reo.,76, 1726, 1949]. 1,20 4

1,59

1,98

1,20 10

2g37

1,98

1,59

2y37

CI 7$5

5,0

2,5

71 500 keV

(b)

700 !

E , keV

energia elettroni, keV Figura 9.I5. (a ) È riportato il grafico convenzionale di Kurie dello spettro beta del '~Cl. (b) Grafico di Kurie proibito per spettro beta del seCl. Il fattore di correzione usato in questo casoere Dac{eo — e) +(10/3)(ei — 1) (eo — e} +(e — 1)~ (curve non normalizzate), [Wu e Feldman, Phys. Rev., 76, 693, 1949].

Decadimenrob eo 3 5 7

• xlO

. xlO

lOOeV

I S@

18,3

l8,4

t85

l8,6

E/rK e V

Figura 9.16. Grafico di Kurie di sHe. L'energia del punto estremo corrisponde a una energia estrema di 18,6 keV, La linea continua corrisponde a una massa del neutrino di 100 eV. [Da Bergkvist, Niie/. Phys., 398, 317, 1972].

integrando l'eq. [9.5.22) per F(Z, s) l . I l r isultato perF(Z, s)= l è g'/rt'e~

, l~cl'f (rio)

t

[9.5.27]

dove

f(eo)=

o'

[( I + rio)'" -(I + I')'"l' e'~n = s ilo+ tfo — —ilo+ 4 12 . .. , 3 9

4

s 1/2 log Bo+ (1+2/fo) 1/sl ( 1 + rfo)

[9.5.287

cheassumeIe forme limiti l.

f (eo) — ~ =no.

eo»5

[9.5.29]

[9.5.30)

358

Caph o i o V

Z = O

Z = BO

~DD qD

$]

qD

Z -6D ~ 1

2=

O

ò0

-O

z=

0

2

~D

o

3

D

—3

8

2

3

ép

(a)

(b)

4

5

6

«0

Figura 9.17. La quantità log f in funzione del numero atomico e dell'energia per elettroni la) p per positroni (b). ap è l'energia totale del limite superiore dello spettro. [Feenberg e Trigg, Reo Mod. Phys., 22, 399, 1950].

Per Z no n t r o p po p i c c olo, si d e ve però p r e ndere in c o nsiderazione la c orrezione coulombiana della funzione d'onda dell'elettrone,

Dall'eq. [9.5.25] si ha integrando 2

s 4

iM,ri f (Z, so)

[9.5.31]

o introducendo la costante adimensionale G = (g/mc )(mc/A)' Gz mcz

iMii' f (Z, so)

[9.5,32]

dove f (Z, so) ora è una funzione abbastanza complicata comprendente la correzione coulombiana. La figura 9.17 mostra un tipico esempio di f( Z sp ) .

L'eq. [9.5.31] può essere usata per determinare g o G dall'energia e dalla costante di decadimento di un emettitore beta se è noto ~Mz~'. Anticipando un risultato che verrà

discusso più avanti, l'espressione di )M„tn„e —— 0, allora mt = + 1, 0 e m>—— 0; l'effetto è quello di diluire la correlazione angolare.

Il= g (0,7,0.)(0,7,4,)+ ".c = gV

[9.8.4]

I fattori in questa interazione sono quadrivettori; di qui il nome di interazione vettoriale. Questo tipo di interazione genera le regole di selezione F. Poiché si hanno transizioni permesse che ubbidiscono alle regole di selezione GT, occorre mettere nell'interazione altri termini capaci di produrre tali transizioni. Una delle possibili scelte è H = g(p y„y $„ ) (i/I,y„y i/t,,) + h.c. = gA

[9.8.5]

I fattori in questa interazione sono vettori assiali, di qui il nome di interazione vettore­ assiale. È possibile anche una combinazione lineare di queste due interazioni. Ci sono altre possibili scelte, per esempio un'interazione scalare, che origina le regole di selezione F, e tensoriale, che origina le regole di selezione GT (fig. 9.21). Queste scelte però predicono una errata correlazione angolare tra la direzione del neutrino e quella dell'elettrone. Quindi vanno scartate. La correlazione, almeno qualitativamente, può essere capita considerando che in una transizione F un antineutrino destrogiro (elicità t 1) deve essere accompagnato d a u n e l e ttrone d i s pi n o p p osto, perché insieme trasportano momento angolare nullo. Gli elettroni, secondo la tabella 9.2, sono prodotti con elicità negativa; quindi le quantità di moto dell'elettrone e antineutrino debbono tendere ad essere parallele, come previsto dai calcoli basati sull'interazione vettoriale.

Calcoli basati sull'interazione scalare favoriscono invece l'antiparallelismo tra gli impulsi e quindi questo tipo di i n terazione è inaccettabile. •

Nelle transizioni GT gli elettroni e gli antineutrini hanno spin paralleli, perché

3á8

Cupi ( n (nv

insieme devono trasportare un'unità di m o mento angolare. L'antincutrino ha elicità + 1, l'elettrone e prodotto con elicità negativa, e quindi debbono tendere ad avere impulsi opposti come prevedono i calcoli basati sull'interazione vettore-assiale. Calcoli basati sull'interazione tensoriale favoriscono invece il p arallelismo tra gl i i m p ulsi e quindi questo tipo di i n terazione c inaccettabile. La situazione è illustrata schematicamente in figura 9.2l e n e lla t abella 9.3. La verifica sperimentale è ottenuta dalla misura della quantità di moto dell'elettrone e dal rinculo del nucleo. L'impulso del neutrino quindi viene calcolato per mezzo del principio della conservazione dell'impulso. Quando l'elettrone e l'antineutrino tendono a muover­ si parallelamente tra loro, sono favoriti valori elevati dcll'impulso di rinculo del nucleo; quando invece elettrone e antineutrino tendono a muoversi in direzioni opposte, sono favoriti piccoli valori della stessa grandezza. Tabella 9.3. Co rrelazione tra impulsi ed elicità. Impulsi di e­

Paralleli

Opposti

Tensore

Vettore assiale Scalare

evov

GT Fermi

Vettore

Osservando la distribuzione dell'energia o dell'impulso del nucleo di rinculo in una transizione Cr T pura che avviene. per esempio, ncl "He, e confrontandola con quella calcolata, si conclude che le transizioni CiT sono associate con l'interazione vettore assiale (fig. 9.24). Con argomenti simili c da cspcrienze sul ' A r , per esempio, si conclude che le transizioni F sono dovute alle interazioni vettoriali. Si pu6 anche ammettere una combinazione lineare

g(C,A+ C, I')

[9.8.6]

L'espressione [9.8.6] per la hamiltoniana non è, comunque, generale abbastanza per descrivere il decadimento beta. in quanto essa conserva la parità. Lee e Yang hanno generalizzato l'eq. [9.8.6] introducendo la violazione della parità col porre

H=gP

(Q , O ,Q„) [((i,.O;(C;+ C;.) s) P,.]+ h.c.

[ 9.8.7]

i= l'. a

dove O,: = ;„ è l 'operatore V dell'eq. [9.8.4] c O, = y„; s è l'operatore A dcll'cq, [9.8.5]. Nell'hamiltoniana la non conservazione della parità è assicurata dalla presenza simulta­ nea dei due termini nella parentesi quadra. Se C; o C,' si annullano, l'hamiltoniana conserva la parità Consideriamo ora il comportamento di H qu ando si esegue una inversione spaziale (P), quando si scambia una particella con la sua antiparticella (coniugazione di carica C), o quando si inverte la direzione del tempo (T). Analizzando l'eq. [9.8.7] si t r ova che queste operazioni ne lasciano inalterata la forma tranne che per i coefficienti (complessi) C; e C,', i quali variano se sottoposti alle trasformazioni suddette, nel modo indicato nella tabella 9.4. Esiste un importante teorema. dovuto a Schwinger, Lilders e Pauli. che afferma che sotto condizioni m o lt o a m p ie, e sicuramente per l c t e o rie elaborate fino ad ora, l'hamiltoniana è invariante per l'operazione CPT (l'ordine di C, T,' P non è importantel, Il teorema è banale nel caso delle interazioni elettromagnetichc e lorti, dove l'hamilto­ niana è invariante per ciascuna operazione, ma risulta molto importante nelle interazio­

Dei arlimenru bera

369

Tabella 9.4. Variazione dei coefficienti C; e C' ,per effett delle diverse trasformazioni. Condi=irrne per linearian=a

Trasforinazir>ne

rlell'eri. [9.8. 7] Inversione spaziale (P) Coniugazione di carica (C)

Inversione temporale (T) TCP

C~ C

— C'

C'= 0

— C'»

C rea(e e C' immag. o C immag. e C' reale C, C' entrambi reali Soddisfatte automai.

C~ C'

C

o C= O

tu deboli dove.'l'invarianza rispetto a P è s i c u r a mente violata. P ostuleremo che nell'interazione beta valga l'invarianza per inversione temporale: è quindi pure valida l'invarianza per il prodotto CP. Il significato di ciò è facilmente illustrato dalla figura 9.10. La parte (b) di questa figura diventa correttu come disegnata purché il cobalto sia sostituito dal suo coniugato di carica, cioè da un nucleo derivato dal cobalto ordinario per sostituzione di ciascun protone con un antiprotone e di ciascun neutrone con un antineutrone. Sebbene tale esperimento attualmente è praticamente irrealizzabile con nuclei, esperimenti simili con mesoni positivi e negativi convalidano l'invarianza CP. Il decadimento dei mesoni è simile a quello beta e in questo caso si conoscono due

V

V

CP

V

Figura 9.2Z I l lustra schematicamente l'effetto delle operazioni C e P sul decadimento più comune del pione, n ~i r + v„ . I l d e cadimento originale del n v i e n e t rasformato dalle operazioni C o P in situazioni fisicamente irrealizzabili. L'operazione CP descrive il decadimento del ri' realizzato fisicamente. Le frecce indicano le quantità di moto, le frecce doppie gli spin. L'elicità di v„è + 1, quella di v„è — I. Lo spin del pione è zero.

37()

capi( ( r!ov

coppie di particelle coniugate di carica: il pione positivo e negativo e il munne positivo e negativo (vedi capp. 14 e !S). Per ogni coppia il processo di decadimento della particella e quello dell'antiparticella sono immagini speculari l'uno del!'altro. Quindi in questi casi la trasformazione CF fornisce un risultato in accordo con l'esperiertza. Da questo fatto, tenendo presente il teorema CPT, risulta l'invarianza rispetto a T in q u e sti casi. Faremo uso della invarianza rispetto a T pe r c hè presumibilmente è corretta in generale e semplifica apprezzabilmente!'ulteriore discussione. Si è tuttavia provato. in un caso, che la invarianza CP è violata. Si tratta de1 decadimento del mesone neutro, chiamato K(, e si pensa che questo decadimento sia accompagnato da una violazione di T che salva l'invarianza CT F. Qu e sto caso resta finora unico. Lo d i s cuteremo ne! paragrafo 19.5. L'invarianza per i n v ersione temporale r i chiede, come accennato sopra, che i coefficient CA, C'„e C( , C( siano reali. Un'altra importante relazione tra i coefficienti CA F. si deduce dalle elicita date nella tabella 9,2. Si ottengono da qui le relazioni C A= + C 'A ,

C v = + C'v

[ 9.8.8]

che equivalgono ad ammettere una teoria del neutrino a due componenti. In definitiva l'hamiltoniana può essere scritta

II = g y

Ci(' Pp~'P ) [0 C' (+ '('5)k ] + h c.

[9,8,9]

Per completare l'analisi dobbiamo trovare il rapporto CA/C> e la costante universale g e ciò si ottiene studiando il decadimento beta del neutrone e di alcuni altri nuclei particolarmente convenienti.

9.9. Studio quantitativo di alcuni elementi di matrice Per ricavare risultati n umerici faremo uso di u na c onsiderevole semp!ificazione che otteniamo trattando la parte nucleare de!l'elemento di matrice nel('approssimazione (tori relativistica, il chc è lecito essendo i „, c relativamente piccolo. Basterà allora considerare soltanto le due componenti piu grandi delle autofunzioni nucleari a quattro componenti, In questa approssimazione gli elementi di matrice dcll'interazione vettore polare sono semplicemente

f (y (r(,(Ir =l

I MF I

[9.9.1]

mentre quelli dell'interazione vettore-assiale sono

f ugcr((;(Ir l= i M o r i '

[9.9."]

dove e è un operatore vettore-assiale le cui componenti sono le matrici di spin di Pauli. Le transizioni del p r i mo t i p o , a v enti l elemento di m a t r i ce nucleare 41F, sono transizioni di Fermi; quelle del secondo tipo sono transizioni di Gamow-Tel)er. È chiaro da)l'ortogonalità delle funzioni d'onda nucleari che MF si annulla se gli stati iniziali c

finali sono diversi (per esempio hanno valori differenti di I) tr a nne che per la trasformazione di un neutrone in protone e che Mor richiede per non annullarsi che uno

Decudimenu> heto

371

degli spin nucleonici si r i balti. In a m bedue i casi F e G T , l o s t ato i n iziale e finale debbono avere la stessa parità. Si noti il fatto che il decadimento beta, che non conserva la parità, impone una condizione sulla parità relativa degli stati nucleari iniziale e finale. Possiamo ora procedere oltre per calcolare .tf„ed Mor in casi particolari. Si noti che per scopi pratici è necessario un M< dove il soprasegno indica media sulle componenti ." iniziali del momento angolare e somma su quelle finali. 1 casi più semplici sono quelli in cui un singolo neutrone si trasforma in protone o viceversa, senza altro cambiamento nell'autofunzione. Esempi sono il decadimento del neutrone libero senza ribaltamento di spin e i l d e cadiniento del ' " O a d u n o s t ato eccitato del ' N, entrambi con I = 0. Per il primo caso ~ Mrl = 1 ; per il secondo, iMr )' =2. Per il decadimento del neutrone libero con ribaltamento di spin

[9.9.3] Il calcolo di questi elementi di matrice si esegue in base alle eqq. [9.9.1] e [9.9.2], ma non svilupperemo i relativi passaggi. Abbiamo supposto che le interazioni nel decadimento beta siano solamente di tipo A e V. Il pr imo da origine alle regole di selezione GT, il secondo a quelle F.

Sotto questa ipotesi si può calcolare (gC„)-' da una transizione permessa solo dalle regole di selezione F e- per la quale è calcolabile il )M„~ . Questo è il caso del decadimento del ' 40 ; s i h a al lora (si veda l'eq. [9.5.27])

2 ir' K Cr-

h'

log 2

[9.9.4]

IM,I' M c

e per ~AI„i = 2 ed ft = 31 27 sec (come osseivato) (vedi tab, 9,1 in cui si tiene conto di alcune piccole correzioni radiative) gCi, — 1,4029+ 0,0022 x 10

~ e rg cm'

Siniilmente si può scrivere per il neutrone jt

1 2n'h'

log 2

[9.9,6]

con )M„i' = l , ( M or [ = 3 e con un valore osservato difr = 11 15 sec (vedi tab. 9.1). Il rapporto degli ft de l n eutrone e del ' O f o r n i sce 2Cv

, =0,3566 Ci + 3C'„

[9,9.7]

Cn — = 1,53

[9.9.8]

C2

Lo studio del decadimento beta del neutrone fornisce anche informazioni sul segno r elativo di C i e C „ .

È stato possibile misurare sperimentalmente la correlazione angolare p, —I e p,. — I nel decadimento del neutrone e del ' Ne. Un fascio di neutroni polarizzati (figg. 9.23 e 9,24) (vedi capp. 10 e 12) attraversa un recipiente in cui si è praticato il vuoto e vengono osservati tanto gli elettroni che i protoni di rinculo provenienti dal decadimento in volo.

372

Capi t o l o 9

faccia del reattore bobina sche r m i f ines t r a di rame contatore beta schermo magnetico 4,5 m nucleo di ottone spessa 0,0125 cm fotomoltiplicatore • c k

c

d

á

4

c

T

O O O 0,6 cm

schermo Pb c

4

a A

D

a

contatore

4

protoni

b

sostegno specchio di rame

sbarra montaggio di alluminio

contatore di controllo

griglie alla pompa dinodi speciali struttura dinodi del fotomoltiplicatore

fenditure per protoni

4

superficie speculare di cobalto

plastico

c

fascio di neutro m

O d

c

sctnttllatore

guida di luce

D

A

30 cm

Figura 9.23. Sezione orizzontale centrale dell'apparecchiatura usata per studiare il decadimento di neutroni polarizzati. [Burgy, Krohn, Novey, Ringo e Telegdi, Phys. Rev., 120, 1829, 1960). Per una versione piu recente di questo esperimento si veda Erozolimsky, Soviet J. Nucl. Phys., l l, 583, 1970, e Steinberg et al., Bull. Am. Phys. Soc., 19, 514, 1974.

griglia 4t-2 +4 900 V griglia 4t- i primo dinodo del I contatore di t scintillatore

del

contatore beta l fascio

di neutroni f

d't protoni + 4 900 V

I

I

I

schermo d l lombo (a massa)

parete contenitore (massa) 0~

cm

15

Figura 9.24. Dispositivo di rivelazione per la misura della correlazione tra le direzioni dello spin del neutrone e dell'impulso dell'antineutrino. Questa è una sezione trasversale della parte del rivelatore di ftgura 9.23.

D ecadimento beta 3 7 3

n

H

p

+

e

+

u,

(a)

(b)

GT

(c)

Figur (cioè, il protone è pure levogiro). Cosi l'alternativa (a) in realtà non si verifica. Se C, fosse uguale a — C>., non si verificherebbe l'alternativa (b). L'ampiezza totale si ottiene sovrapponendo le ampiezze corrispondenti a (b) e (c), il chc fornisce A =- 0, 8 = I,

ella 95. P a rametri dcl decadimento del neutrone e del ' Ne. W eut rne Tl ?

B A E

n

0 1( — I) 0 0

IO,SO+ 0,16 min 0,7S IVleV 0,115 + O,OOS 1,01 + 0,04 ( 0,0025

— 0,1+0,1

"Ne

17,36+ 0,06 sec 2,206 MeV — 0,039 + 0,002 — 0,90+ 0,13 0.001 + 0,003

374

C apii r d n V

Assumendo per convenzione Cr. = 1, la costante g dedotta dne cambia notevolmente da quella che si ottiene ncl caso di m, =0, 9.7. Calcolare lii differenza tra le costanti di decadimento del 'Be neutro e del 'Be dnppiamente ionirz;itn, facend usn di funzioni d'onda anche grnssnl.inamente approssimiite. Si supponga di pntcr produrre 'Bc ' ' , Q u i>le sarebbe la sua vit;i media? 9X M o strare che il decadimento dcl )t e del neutrone danno In stesso valore di g. 9.9. Supponi'imn di voler mostrare che nel decadimcnto beta sia emesso solo un neutrino (e non, per e'empio, due). Calcolare la distribuzione delhi quantità di moto degli elettroni quando sono emessi due neutrini. (/>tt>t«: in questo caso, I;i qu.intità di moto dell'elettrone non dctermin;i le quanti('i dei due neutrini e nellii distribuzione nello spiizin delle fiisi comp iionn come vari;ibili la qinintit i di moto del('eleitrnne e quella di unn dci neutrini. I.;i distribuzione aspettiita si ric >va integr;indo sui valori dell;i qu.intit.'i di moto del neutrino).

371I

C«p« r> lr>

9.10. Tracciare il grafico della forma dello spettro beta in funzione de!l'impulso o del)'energia. Come si p,issa diii d k +

2

[10.7. 14]

in cui r„è detto l «ggi(>(IIi(«< e del potenziale (vedi App. E). L'eq. [10.2.14] è soltanto approssimata, m i il t e r m ine successivo sarebbe in k" r ,>moltiplicato per un p i c colo coefficiente (- 0,10). Fisicamente il raggio efficace corrisponde alla distanza media di interazione tra ncutronc c protone. Il raggio c(T>cace non va confuso con la larghezza di »na buca rettangolare (r(> dell'eq. [10. .5] ) o col parametro di lunghezza in altri tipi di potenziale. sebbene per una d.ita forma del potenziale le due quantit» siano interdipen­ denti c sovente dello stesso ordine di grandezza. È notevole che in questa eccellente «pprossimazione l'intero processo di ditTusione neutrone-protone » b a ssa energia è hezza di diffusione e raggio efficace. Misure a bassa ener,47 I>$3

8,12

5,17

10>74

10 7,2 0

2

á,>6 6,00 6,4 0

6$2 5,7 5

0 p+ I

8,32

(2')

7,01

(2')

2

6,» 6,72

p+

6,58 6,09

0,00 (5,15)

I

0+

000 I>PII

0

0,00 (0,156) T~ I "t)(7;- — t)

p+

r-i 20N(T> ~ 0)

' C(T, +

I I

Figura 10.8. Di a gramma dei livelli di nuclei con A =14. Le energie relative rappresentano le

masse atomiche. ~a (BM 69)].

Sistemi u due corpi e (or < ntpT(I)i (2)+ tt(2) v(l)]

pe r

T -'= 2 ,

[10.4.7]

v(1) v(2) l ~ [>T(1) v(2) — tt(2) v(1)] p e r

l -'

T- ' = 0 ,

T, = 0

[10.4,8]

L'autofunzione completa per il sistema di due nucleoni si puo ora scrivcrc come f (r, s,, s., t,, t,) in cui r rappresenta le coordinate relative dei due nucleoni, s,. s, i loro spin, e t,, t, i loro isospin. Questa espressione può scriversi anche come prodotto f„ ( r) /„ '( s„ s,) f,(tt, t,) se si trascurano. ncll'hamiltoniana, le interazioni tra isospin e spin, spin e coordinate ecc., e in generale tra gradi di liberta di tipo differente. Le funzioni f e f

prendono le forme delle eqq. [6.5.13], [6.5.14], [10.4,7] e [10.4.8]. Si puo ora riformulare i! principio di Pauli dicendo che le autofunzioni debbono essere antisimmetriche rispetto allo scambio di tu t te le coordinate, quelle di isospin incluse. Per un sistema p-p o n-n i! fattore dell'autofunzionc di isospin è tt (1) tr (2) o v (1) v (2) ed è simmetrico rispetto allo scambio di 1 con 2. Quindi la parte rimanente dell'autofun­ zionc deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio delle coordinate spaziali e di spin e si ricade cosi nella condizione usuale del principio di Pauli per particelle identiche.

394

Cnpi < olo/ 0

Come applicazione al sistema n-p, si n ot i c h e pe r i l d e u t one nello stato ' S ,Sbee

T3 V

soSne~

~

T = u ~

Figura 10.1L S pettro dei livelli del ',",Sb (T, = 15/2). Gli stati con T = 17/2 sono stati osservati come risonanze nei processii, t''i Sn( n (p, p) i e e,oSn(p, »e n). I livelli virtuali corrispondenti alle risonanze sono l'analogo isobarico dei livelli di bassa energia del ",oSn(T=1 7/2). I dati della figura m ostrano la rassomiglianza esistente tra i due nuclei rispetto a li int ll' d ' i dii lelg ametrai ' ive i i T, quan ici i spin-parità dei livelli con T = 17/2. La differenza di energia ll' d' ' erenza d' i energia cou lombiana. / e , = / 2 d e l multipletto diT = 17/2 corrisponde alla differenza ' b'

[Da (BM 69)].

Anche per elevati vaio ri di T, come si trovano nei nuclei pesanti, la situazione nos cambia. Cosi nel caso del " „ ' S b l o stato fondamentale ha — T, =~ ( Z — N) = 15/2, e

quindi T > 15/2. Esistono d'altronde altri livelli con T = 17/2, i quali appaiono con)e risonanze in bombardamenti p-p e p-n del ','iù bassi, una per livello, secondo il principio di csclusionc. Per ciascun livello si ha una certa energia cinetica, e l'intero insieme avrà perciò una energia cinetica totale, che si puf> calcolare facilmente e che risulta proporzionale a A " ' R ' (v e d i cap. 6). Nello stato fondamentale T + U s a r à m i n ima. e con questa condizione si potrà determinare il solo parametro disponibile: il raggio nucleare R. Per grandi,4, l'energia potenziale è proporzionale ad A-', e quella cinetica ad A"-'. Se scegliamo R in modo da rendere minima l'energia potenziale, il corrispondente aumento di energia cinetica al variare di R sarà insufficiente a bilanciare l'aumento di energia potenziale e il legame sarà massimo in prossimità del valore di R chc rende minima l'energia potenziale (cioè per R uguale al raggio d'azione delle forze nucleari, qualunque sia A). In altre parole, i termini proporzionali ad A' prevalgono sempre su quelli proporzionali ad A"' , e basta

Sistemi u r=e nucleari

40 t

quindi minimizzare l'energi«potenziale pcr ottenere lo stato fondamentale, Ne segue che tt>tt' i nuclei «vrcbhcr lo stesso raggio approssimativamente eguale «l raggio d «zione delle forze nucleari. Ci contraddice i dati sperimentali, poiché sappiamo che i raggi nucleari sono proporzion«li «d A' ' e non sono costanti pcr grandi A. Inoltre, l'energia